Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

johtivat laskennallisempia menetelmiä tangentinmäärityksessä esiintyvien kaksoisjuurten määrittämiseksi.
Hudden menetelmä oli seuraavanlainen. Olkoon
F (x) =
n
akx k .
k=0
Muodostetaan uusi polynomi G kertomalla F :n kertoimet aritmeettisen jonon a, a + b, a +2b, ...,
a + nb luvuilla. Siis
G(x) =
Silloin F :n kaksoisjuuri e on G:n juuri: jos
ja jos Ak = a + kb, niin
n−2
=
k=0
ck
F (x) =(x− e) 2
n−2
n−2
G(x) =
k=0
n
ak(a + kb)x k .
k=0
ckx k n−2
=
k=0
k=0
ck(x k+2 − 2ex k+1 + e 2 x k ),
ck(Ak+2x k+2 − 2eAk+1x k+1 + e 2 Akx k )
(Ak +2b)x 2 − 2e(Ak + b)x + e 2 n−2
k
Ak x = ck
k=0
Ak(x − e) 2 +2bx(x − e) x k .
Jos a =0jab = 1, niin G(x) =xF ′ (x); Hudden sääntö tuleemäärittäneeksi polynomin derivaatan
puhtaasti algebrallisen manipulaation tuloksena.
Erotusosamäärän raja-arvon idea tulee sen sijaan selvästi esiin Newtonin Cambridgen opettajan
Isaac Barrow’n (1630–77) 1660-luvulla pitämissä luennoissa, joissa tangentti tulkitaan kahden
lähekkäin olevan käyrän pisteen kautta kulkevan suoran raja-asennoksi, kun pisteet ovat lähellä
toisiaan. Tämä raja-asento voitiin laskea jättämällä korkeamman kertaluvun infinitesimaalit pois.
Barrow oli ensimmäinen, joka todisti, että sellaisen käyrän C∞, joka esittää toisenkäyrän C2, xakselin
ja y-akselin suuntaisten suorien rajoittaman alueen pinta-alaa, tangentti saadaan suoraan
käyrän C2 avulla. Merkitään kuvion alaa itseisarvomerkein. Jos C2 = ZGE on käyrä, jonka pisteet
etääntyvät akselista VPD ja jos C1 = VIF on käyrä, jonka jokaisen pisteen F etäisyys akselista
FD, toteuttaa ehdon FD · R = |ZEDV |, missä R on kiinteänpituinen jana, ja jos T valitaan
akselilta niin, että DE R
=
DF DT ,jajosIon V :n ja Z:n välissä olevaC1:n piste, ILVD, IPGFDE
ja KFT:n ja IL:n leikkauspiste, niin LF DF DE
= = . Mutta LK · DE = R · LF = |GEDP | <
LK DT R
PD· DE, jotenLK < P D = IL. FT kulkee käyrän C1 alapuolella. Samoin nähdään, että FT:n
jatkekin kulkee C1:n alapuolella, joten FT on käyrän C∞ tangentti.
53