Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja
Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja
Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ja jonka lävistäjä onsuoray = x. Jos lasketaan y-akselin suuntaisten janojen neliöiden summa,<br />
saadaan (symmetriaa hyväksi käyttäen)<br />
Merkitään<br />
jolloin<br />
1= (x +(1− x)) 2 =2 x 2 +2 x(1 − x).<br />
x = 1<br />
1<br />
− z, 1 − x = + z,<br />
2 2<br />
1=2 x 2 + 1<br />
2 − 2 z 2 .<br />
Mutta kun x-janat peittävät neliön puolikkaan kokoisen suorakulmaisen kolmion, peittävät zpituiset<br />
janat kaksi neliön kahdeksannen osan suuruista suorakulmaista kolmiota; yhden tällaisen<br />
kolmion yli summattuna on oltava<br />
<br />
2 1 <br />
2<br />
z = x ,<br />
8<br />
koska kyseessä ovat suhteessa 1 : 2 yhdenmuotoisten pyramidien tilavuudet. Näin ollen<br />
josta<br />
1<br />
2 =2x 2 − 2 · 2 · 1 <br />
2<br />
x ,<br />
8<br />
x 2 = 1<br />
3<br />
eli 1<br />
x<br />
0<br />
2 dx = 1<br />
3 .<br />
Tapauksessa n =3päättely on jo mutkikkaampi (merkitään y =1− x):<br />
1= 1 3 = (x + y) 3 = x 3 +3 x 2 y +3 xy 2 + y 3 =2 x 3 +6 x 2 y,<br />
missä viimeinen yhtäsuuruus perustuu x:n ja y:n symmetriaan. Mutta aikaisempien tulosten ja<br />
symmetrian nojalla on edelleen<br />
joten<br />
Saadaan lopulta<br />
1=2 x 2 +2 xy = 2<br />
3 +2 (x + y)xy = 2<br />
3 +4 x 2 y,<br />
eli 1<br />
x 2 y = 1<br />
12 .<br />
<br />
<br />
3 1<br />
x = 1 − 6 ·<br />
2<br />
1<br />
<br />
=<br />
12<br />
1<br />
4<br />
0<br />
x 3 dx = 1<br />
4 .<br />
47