Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

ja jonka lävistäjä onsuoray = x. Jos lasketaan y-akselin suuntaisten janojen neliöiden summa,
saadaan (symmetriaa hyväksi käyttäen)
Merkitään
jolloin
1= (x +(1− x)) 2 =2 x 2 +2 x(1 − x).
x = 1
1
− z, 1 − x = + z,
2 2
1=2 x 2 + 1
2 − 2 z 2 .
Mutta kun x-janat peittävät neliön puolikkaan kokoisen suorakulmaisen kolmion, peittävät zpituiset
janat kaksi neliön kahdeksannen osan suuruista suorakulmaista kolmiota; yhden tällaisen
kolmion yli summattuna on oltava
2 1
2
z = x ,
8
koska kyseessä ovat suhteessa 1 : 2 yhdenmuotoisten pyramidien tilavuudet. Näin ollen
josta
1
2 =2x 2 − 2 · 2 · 1
2
x ,
8
x 2 = 1
3
eli 1
x
0
2 dx = 1
3 .
Tapauksessa n =3päättely on jo mutkikkaampi (merkitään y =1− x):
1= 1 3 = (x + y) 3 = x 3 +3 x 2 y +3 xy 2 + y 3 =2 x 3 +6 x 2 y,
missä viimeinen yhtäsuuruus perustuu x:n ja y:n symmetriaan. Mutta aikaisempien tulosten ja
symmetrian nojalla on edelleen
joten
Saadaan lopulta
1=2 x 2 +2 xy = 2
3 +2 (x + y)xy = 2
3 +4 x 2 y,
eli 1
x 2 y = 1
12 .
3 1
x = 1 − 6 ·
2
1
=
12
1
4
0
x 3 dx = 1
4 .
47