Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

More documents

Recommendations

Info

Logaritmien yhteys matemaattiseen analyysiin alkaa belgialaisen jesuiitan Gregóire de San Vincentin vuoden 1620 paikkeilla tekemästä havainnosta, jonka mukaan (taas nykyaikaistetun puhetavan mukaan) suorakulmaisen hyperbelin xy =1,x-akselin ja suorien x = a, x = b rajaaman alueen ala on sama kuin hyperbelin, x-akselin ja suorien x = ta ja x = tb rajaaman alueen. Asian toteaa helposti approksimoimalla alueita esim. n:n suorakaiteen muodostamilla porraskuvioilla: edellisen alueen tapauksessa i:nnen suorakaiteen korkeus on t kertaa jälkimmäisen alueen vastaavan suorakaiteen korkeus, kun taas jälkimmäisessä tapauksessa suorakaiteiden kannat ovat t kertaa edellisen tapauksen suorakaiteiden kannat. Tästä seuraa, että hyperbelin määrittämällä pinta-alalla on logaritminen yhteenlaskuominaisuus: jos A(a) onsuorienx =1jax = a sekä hyperbelin ja xakselin erottama ala, ja a, b>1, niin San Vincentin tuloksen mukaan A(a) =A(ab) − A(b) eli A(ab) =A(a)+A(b). 7 Differentiaali- ja integraalilaskennan esivaiheet 1600-lukua voidaan pitää eräänä matematiikan <strong>historian</strong> suurista käännekohdista. Tuolloin syntyivät nykymatematiikan keskeiset metodit, differentiaali- ja integraalilaskenta, jotamyös kutsutaan infinitesimaalilaskennaksi, jaanalyyttinen geometria. Edellisen synty liitetään yleensä Newtoniin ja Leibniziin, jälkimmäisen Descartesiin. Suuret keksinnöt eivät kuitenkaan syntyneet yhtäkkiä. Noin sadan vuoden ajalta ennen Newtonin ja Leibnizin aikaa löytyy päättelyitä, joissa on nähtävissä matemaattiselle analyysille tunnusomaisia piirteitä. Infinitesimaalilaskentaa ennakoinut Arkhimedeen Metodi oli tuolloin tuntematon, mutta ajan yleisenä henkenäoli antiikin työlään ekshaustiomenetelmän korvaaminen nopeammin tuloksiin johtavilla, joskin loogisesti vähemmän pitävillä päättelyillä. 7.1 Stevin, Kepler ja Galilei Ensimmäisiä infinitesimaalisten päättelyjen esittäjiä oli Stevin, joka v. 1586 ilmestyneessä teoksessaan De Beghinselen der Weeghconst perusteli käsitystään kolmion muotoisen kappaleen painopisteen sijainnista kolmion mediaanilla ajattelemalla kolmion sisään piirrettyjäpieniäsuunnikkaita, joiden pitemmät sivuparit olivat kolmion sivujen suuntaisia. Kunkin tällaisen painopiste oli suunnikkaan keskikohdassa, joten kolmiokin tuli tasapainottumaan pitkin kutakin mediaaniaan. Infinitesimaalisia pinta-alan- ja tilavuudenmääritysmenetelmiäkäytti huomattavalla menestyksellä tähtitieteen suurmies Johannes Kepler (1571–1630). Ympyrän ja ellipsin alat Kepler laski täyttämällä kuviot pienillä kolmioilla, joiden kantojen annettiin kutistua äärettömän pieniksi. Keplerin planeettaliikettä koskeva toinen laki – auringosta planeettaan piirretty vektori piirtää samassa ajassa aina saman pinta-alan, perustui kuitenkin virheelliseen infinitesimaalipäättelyyn. Kepler oletti havaintojen perusteella, että planeetan nopeus kunakin hetkenä onkääntäen verrannollinen sen auringosta A laskettuun etäisyyteen r. Jos radan pisteiden P ja Q välinen kaari jaetaan osakaariin ∆s, niin planeetan välillä PQ käyttämä aika on likimain t = ∆ti = ∆s vi = 1 ri∆s. k Toisaalta Kepler otaksui kolmion, ota rajoittavat janat AP ja AQ sekä kaari PQkoostuvan pienistä kolmioista, joiden alat ovat 1 2 ri∆s, ja joiden alojen summa on siis vakio × t. Sattumoisin planeetan nopeutta koskeva virheellinen oletus ja ”integroinnissa” tapahtunut virhe kumoavat toisensa! 45
Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Keplerin käyttämään samoja menetelmiä useidenpyörähdyskappaleen muotoisten viinitynnyrien tilavuuksien laskemiseksi. Tulokset ja avoimiksi jääneet kysymykset julkaistiin 1615 teoksena Nova stereometria doliorum vinariorum. – Esimerkkinä Keplerin integrointitavoista on toruksen tilavuuden laskeminen. Olkoon toruksen sisäympyrän säde b ja leikkausympyrän a. Jos torus viipaloidaan paloiksi ”putkea” vastaan kohtisuorilla tasoilla, niin yhden tällaisen palan tilavuus on likimain 1 2 πa2 (t1 + t2), missä t1 ja t2 ovat viipaleen sisä- ja ulkoreunan paksuudet. Kun viipaleiden tilavuudet lasketaan yhteen, summautuvat t1-luvut toruksen sisäympyrän kehäksi 2πb ja t2-luvut ulkoympyrän kehäksi 2π(b +2a). Tilavuudelle saadaan (oikea) arvo 2π 2 a 2 (b + a). Galileo Galilei (1564–1642) oli matematiikan professori, muttei varsinaisesti matemaatikko, vaikka puhuikin kauniisti matematiikasta kielenä, jolla luonnon salaisuudet on kirjoitettu. Myös suureiden funktionaalinen riippuvuus on implisiittisesti, mutta voimakkaasti esillä Galilein kirjoituksissa. Galilei teki varteenotettavia ja aikaansa edellä olleita havaintoja ”äärettömän pienistä” ja ”äärettömän suurista” suureista. Hän mm. kiinnitti huomiota ”eri kertalukua” oleviin äärettömän pieniin suureisiin. – Galilei havaitsi ensimmäisenä senäärettömän joukon perusominaisuuden, että joukon aidossa osajoukossa voi olla ”yhtä monta” alkiota kuin alkuperäisessä joukossa: ”On olemassa yhtä monta neliölukua kuin itse lukujakin.” 7.2 Cavalierin integroinnit Galilein oppilaista matemaatikkona kuuluisin oli Bonaventura Cavalieri (1598–1647), jesuiitta ja Bolognan professori. Cavalierin ”integrointimenetelmät” olivat Keplerin käyttämiä täsmällisempiä ja johtivat tulokseen useammin. Kepler laski yhteen mittalukuja, jotka liittyvät pieniin, mutta samaa ulotteisuutta kuin tutkittava kuvio oleviin osiin. Cavalierin perusajatus oli muodostaa yksikäsitteinen vastaavuus kahden kuvion tai kappaleen infinitesimaalisten osien välillä; jos toiseen kuvioon liittyvä mittaluku oli tunnettu, toisen mittaluku saatiin näin selville. Cavalierin periaate sanoo, että jos kahden kappaleen kaikki tasoleikkaukset ovat yhtä suuret, kappaleilla on sama tilavuus. Periaatteen nojalla esim. r-säteinen ympyrä pohjana piirretyn h-korkuisen kartion tilavuus voidaan laskea vertaamalla kappaletta samankorkuiseen yksikköneliöpohjaiseen pyramidiin, jonka tilavuus on 1 h.Etäisyydellä x kappaleiden kärjistä oleva pohjien suuntainen taso leikkaa kartiosta 3 ympyrän, jonka ala on x2 h2 πr2 ja pyramidista neliön, jonka ala on x2 . Tästä seuraa, että kartion h2 tilavuus on 1 3 πr2h. Cavalierin pääteos Geometria indivisibilibus continuorum (1635) vaikutti suuresti infinitesimaalilaskennan kehitykseen. Teos sisältää tuloksen, joka on yhtäpitävä kaavan a 0 x n dx = an+1 n +1 kanssa. Kaavan (1) Cavalieri totesi oikeaksi arvoilla n =1,..., 9 vertaamalla suunnikkaan sivun suuntaisten janojen potenssien ja lävistäjän suunnikkaasta erottamien kolmioiden kannan suuntaisten janojen potenssien summia. Cavalierin päättely tapauksessa n = 2 on suunnilleen seuraava, modernisoiduin merkinnöin. Tarkastellaan tason ensimmäisessä neljänneksessä olevaa yksikköneliötä, jonka yksi kärki on origossa 46 (1)
Page 1 and 2: Matti Lehtinen: Matematiikan histor
Page 3 and 4: 15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
Page 5 and 6: enemmän aiheenmukainen käsittelyt
Page 7 and 8: Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
Page 9 and 10: tematiikasta; länsimaisen matemati
Page 11 and 12: Kreikkalainen historioitsija Herodo
Page 13 and 14: Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
Page 15 and 16: 4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
Page 17 and 18: sanotaan tulleen käyttöön opetus
Page 19 and 20: Pythagoraan on arveltu päätyneen
Page 21 and 22: voidaan osoittaa, että ympyränkak
Page 23 and 24: Zenonin paradoksit osoittavat, ett
Page 25 and 26: 3. On mahdollista piirtää ympyrä
Page 27 and 28: Paraabelin alan laskemista ekshaust
Page 29 and 30: Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
Page 31 and 32: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
Page 33 and 34: Erityisen ansiokkaita intialaiset o
Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
Page 39 and 40: kolmannen asteen yhtälöille likia
Page 41 and 42: 6 Renessanssi Renessanssin (”uude
Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
Page 47: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
Page 55 and 56: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
Page 57 and 58: Barrow esitti tämän asian, joka o
Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
Page 61 and 62: hallintotehtävät, ensin Mainzin a
Page 63 and 64: Osittain juuri tällaisista syistä
Page 65 and 66: Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
Page 67 and 68: lausekkeeksi, milloin koordinaatist
Page 69 and 70: jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
Page 71 and 72: tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
Page 73 and 74: ollut kaikin puolin loogisesti moit
Page 75 and 76: empiiristen havaintojen perusteella
Page 77 and 78: avaruuden geometrista rakennetta my
Page 79 and 80: Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
Page 81 and 82: pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
Page 83 and 84: Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun
Page 85 and 86: jellyimmissä muodoissaan synteetti
Page 87 and 88: metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
Page 89 and 90: 13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
Page 91 and 92: Epäkommutatiivisen algebran keksij
Page 93 and 94: 14 Matemaattinen logiikka ja joukko
Page 95 and 96: Toisaalta Cantor osoitti, että rea
Page 97 and 98: todennäköisyys on noin 2 2t2 −
Page 99 and 100:
matematiikan piirissä hänen kest
Page 101 and 102:
kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
Page 103 and 104:
Turun akatemia siirtyi Turun palon
Page 105 and 106:
kehittynyt mm. automaatien teorian
Page 107 and 108:
18 Laskulaitteista ja tietokoneista
Page 109 and 110:
18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
Page 111 and 112:
poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu
show all

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?