Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

hän hyväksyi vain positiiviset juuret, teoria jäi vaillinaiseksi. Polynomiyhtälön kertoimet juurien
avulla lausuvia kaavoja kutsutaan edelleen Vièten kaavoiksi.
Kolmannen asteen yhtälön x3 + px + q =0Vièteratkaisi sijoituksella
x = p
− z.
3z
Sijoituksen jälkeen yhtälö muuttuu z 3 :n toisen asteen yhtälöksi
Trigonometriaa Viète edisti mm. tyyppiä
z 6 − qz 3 − p3
27 =0.
sin A +sinB =2sin 1
(A + B)cos1(A
− B)
2 2
olevilla kaavoilla, pallotrigonometrian tangenttilauseella
A + B
tan
2 =
A − B
tan
2
a + b
a − b
ja sin x:n ja cos x:n potenssien mukaan etenevillä sinkx:n ja cos kx:n kehitelmillä
sin kx = k cos k−1 k(k − 1)(k − 2)
x sin x −
1 · 2 · 3
cos kx =cos n n(n − 1)
x − cos
1 · 2
n−2 x sin 2 n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
x +
1 · 2 · 3 · 4
cos k−3 x sin 3 x + ···,
cos n−4 x sin 4 x −···
Viète osasi valjastaa trigonometrian algebran palvelukseen: hän johti trigonometriseen sijoitukseen
perustuvan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan: mielivaltaiselle kulmalle α pätee
cos 3 α = 3 1
cos α + cos 3α.
4 4
Olkoon ratkaistavana yhtälö
x 3 + px + q =0.
Merkitään x = ny; ratkaistava yhtälö onnyty3 = − p q
p 3
y − . Valitaan n niin, että − =
n2 n3 n2 4 .
Etsitään α, jolle cos 3α = − 4q
q
= − −
n3 2
27
. Tämä voidaan tehdä, jos Cardanon kaavoissa
p3 neliöjuuren alla oleva suure p3 q2
+ on positiivinen, eli juuri Cardanon casus irreducibiliksen
27 4
tapauksessa. Nyt x = 1
cos α on alkuperäisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisu. Kaikki ratkaisut
n
saadaan ottamalla huomioon eri mahdolliset α:n valinnat.
42