Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

More documents

Recommendations

Info

sarjojen summia. (Tosin jo Arkhimedes oli tehnyt samanlaisia päättelyjä.) Oresme jopa totesi harmonisen sarjan 1 1 1 + + + ··· 2 3 4 hajaantumisen, aivan samoin perustein kuin asia nykyäänkin todistetaan. Oresme perusti väitteensä sille, että ensimmäinen termi, kahden seuraavan, neljän seuraavan jne., summa on aina ainakin puoli. – Keskiajan skolastikot raivasivat tavallaan tietä myöhemmälle matemaattiselle analyysille äärettömän suuren ja äärettömän pienen olemusta pohtiessaan. Antiikin matematiikalle nämä käsitteet olivat vieraita. 37
6 Renessanssi Renessanssin (”uudelleensyntymisen”) kiinnostus antiikkiin innosti edelleen myös antiikin matemaattisten klassikkojen käännöksiin. Kaupan tarpeet ja uusi tekniikka, kirjapainotaito, synnyttivät entistä paljon laajalevikkisemmän matemaattisen kirjallisuuden, laskuopit. Renessanssin aikana tehtiin ensimmäiset todella antiikin matematiikkaa pitemmälle menevät uudet keksinnöt, nimenomaan algebran alalla. 6.1 Painettuja laskuoppeja Keskiajan lopulla Euroopan matematiikan painopiste oli yliopistojen ulkopuolella. Tosin Pariisin yliopistossa oli vuodesta 1336 voimassa sääntö, jonka mukaan tutkintoa ei myönnetty muuta kuin niille opiskelijoille, jotka valaehtoisesti tunnustivat kuunnelleensa Eukleideen Alkeiden ensimmäisiä kirjojakoskeneita<strong>luentoja</strong>. Yleensä itseoppineet laskumestarit levittivät tietoa käytännön elämään kuten kauppaan, kirjanpitoon ja merenkulkuun liittyvästä aritmetiikasta ja algebrasta. Kirjapainotaidon keksiminen 1400luvun keskivaiheilla ei välittömästi merkinnyt kovin suurta mullistusta matematiikassa. 1400luvun merkittävin matemaatikko, saksalainen Johannes Müller alias Regiomontanus (1436–76) tosin omisti Nürnbergissä kirjapainon, mutta ennenaikainen kuolema esti häntä toteuttamasta laajoja suunnitelmiaan kääntää tärkeimmät matematiikan klassikkojen teokset suoraan kreikasta latinaksi ja painaa ne. (Konstantinopolin joutuminen turkkilaisten käsiin v. 1453 oli saanut monet siellä olleet oppineet siirtymään länteen, ja mukana oli tullut runsaasti kreikkalaisia käsikirjoituksia.) Regiomontanuksen omista töistä ontärkein De triangulis omnimodis, ensimmäinen eurooppalainen systemaattinen trigonometrian esitys. Se ilmestyi painosta vasta 1533. Sisällöltään se vastaa nykyistä trigonometrian peruskurssia, mutta esitys on täysin verbaalista. Nykyistä merkintätapaa ei vielä ollut. Trigonometrisista funktioista käytettiin yleensä vain siniä ja kosinia. Itse sanan trigonometria esitti käyttöön Barthomæus Pitiscus (1561–1613). Kirjapainotaito teki 1400-luvun loppupuolella mahdolliseksi tuottaa lisääntyneen kaupan tarpeisiin kirjoitettuja laskuoppeja: ensimmäinen tällainen oli anonyymin tekijän Trevison aritmetiikka vuodelta 1478. Saksassa vaikuttanut laskuoppien kirjoittaja Adam Riese (1492–1559) on jättänyt saksan kieleen täsmällisyyttä ilmentävän puheenparren nach Adam Riese (vrt. ”Elon laskuopin mukaan”). Hiukan edistyneempiä aritmetiikan oppikirjoja kirjoittivat mm. italialainen Luca Pacioli (1445[?]–1509[?]) ja ranskalainen Nicolas Chuquet. Paciolin laajalle levinnyt teos Summa de arithmetica, geometria, proportione et proportionalita ei juuri sisältänyt enempää kuin Fibonaccin 300 vuotta vanhempi kirja. Chuquetin (ranskankielinen!) käsikirjoitus Triparty en la science des nombres (1484) sisälsi alkeellista symbolien käyttöä (esim. 14 − √ 180 esiintyy muodossa R) 2 .14.m.R) 2 180; yhteen- ja vähennyslaskun merkkeinä käytettiin melko yleisesti kirjaimia p (plus = enemmän) ja m (minus = vähemmän), käsitteli negatiivisia lukuja ja esitteli ensi kertaa suurten lukujen nimitykset biljoona, triljoona jne. Nykyaikaisia piirteitä alkoi yleisemminkin tulla esiin: 1500-luvun alkupuolen laskuopeista löytyy hajanaisia plus- ja miinusmerkkien sekä yhtäläisyysmerkkien esiintymiä (=-merkin ensimmäinen käyttäjä, englantilainen Robert Recorde, 1520–58, perusteli kahden vaakasuoran viivan valintaa vanhanaikaisella englannilla ”bicause noe .2. thynges can be moare equalle”), negatiivisia kertoimia, juurimerkkejä jne. +-merkki on luultavasti muotoutunut &-symbolista, − saattaa olla m-kirjaimen korruptoitunut muoto. Ensi kerran nämä merkit ovat nykyisessä käytössä Johann Widmanin (s. n. 1460) vuonna 1489 ilmestyneessä laskuopissa. Nykyinen juurimerkkimme on itse asiassa r-kirjaimesta muodostunut; r on sanan radix alkukirjain; samaa etymologiaa on esim. retiisi. Se ilmestyi ensi kerran saksalaisen Christoff Rudolffin algebran oppikirjassa vuonna 1525. Renessanssin matematiikasta puhuttaessa ei sovi unohtaa taiteen ja geometrian, etenkin avaruus- 38
Page 1 and 2: Matti Lehtinen: Matematiikan histor
Page 3 and 4: 15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
Page 5 and 6: enemmän aiheenmukainen käsittelyt
Page 7 and 8: Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
Page 9 and 10: tematiikasta; länsimaisen matemati
Page 11 and 12: Kreikkalainen historioitsija Herodo
Page 13 and 14: Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
Page 15 and 16: 4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
Page 17 and 18: sanotaan tulleen käyttöön opetus
Page 19 and 20: Pythagoraan on arveltu päätyneen
Page 21 and 22: voidaan osoittaa, että ympyränkak
Page 23 and 24: Zenonin paradoksit osoittavat, ett
Page 25 and 26: 3. On mahdollista piirtää ympyrä
Page 27 and 28: Paraabelin alan laskemista ekshaust
Page 29 and 30: Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
Page 31 and 32: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
Page 33 and 34: Erityisen ansiokkaita intialaiset o
Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
Page 39: kolmannen asteen yhtälöille likia
Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
Page 47 and 48: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
Page 49 and 50: Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Kepl
Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
Page 55 and 56: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
Page 57 and 58: Barrow esitti tämän asian, joka o
Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
Page 61 and 62: hallintotehtävät, ensin Mainzin a
Page 63 and 64: Osittain juuri tällaisista syistä
Page 65 and 66: Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
Page 67 and 68: lausekkeeksi, milloin koordinaatist
Page 69 and 70: jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
Page 71 and 72: tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
Page 73 and 74: ollut kaikin puolin loogisesti moit
Page 75 and 76: empiiristen havaintojen perusteella
Page 77 and 78: avaruuden geometrista rakennetta my
Page 79 and 80: Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
Page 81 and 82: pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
Page 83 and 84: Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun
Page 85 and 86: jellyimmissä muodoissaan synteetti
Page 87 and 88: metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
Page 89 and 90: 13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
Page 91 and 92:
Epäkommutatiivisen algebran keksij
Page 93 and 94:
14 Matemaattinen logiikka ja joukko
Page 95 and 96:
Toisaalta Cantor osoitti, että rea
Page 97 and 98:
todennäköisyys on noin 2 2t2 −
Page 99 and 100:
matematiikan piirissä hänen kest
Page 101 and 102:
kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
Page 103 and 104:
Turun akatemia siirtyi Turun palon
Page 105 and 106:
kehittynyt mm. automaatien teorian
Page 107 and 108:
18 Laskulaitteista ja tietokoneista
Page 109 and 110:
18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
Page 111 and 112:
poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu
show all

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?