Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

More documents

Recommendations

Info

ja galeoni-jakolaskulla näin: 78963 245 = 322 + 73 245 /1 /1 /5 7 /5 /4 /6 3 2 4 5 | /7 /8 /9 /6 /3 | 3 2 2 /7 /3 /5 /0 /0 /4 /9 /9 /4 Kymmenjärjestelmän ohella toinen pysyvään ja yleiseen käyttöön jäänyt intialainen innovaatio on trigonometrian sinifunktio: intialaisten tähtitieteilijöiden ajanlaskumme alkuvuosisatoina laatimiin Siddhanta-nimisiin runomuotoisiin esityksiin liittyi kaksinkertaisen kulman jänteen puolikkaan taulukoita. Intialaiset taulukot noudattivat kulmajakoa 3 ◦ 45 ′ ; tarkemmat arvot interpoloitiin. Ptolemaioksen taulukko oli käyttänyt vastaaviin tarkoituksiin koko kulmaa vastaavia jänteitä. Nimitys sini, latinan sinus, johtuuväärinkäsityksestä: sanskritin jänteen puolikasta tarkoittava jya-ardha vääntyi arabiaan muodossa jiba. 1100-luvun kääntäjä luki termin virheellisesti muodossa jaib. Tämä sana tarkoitti lahtea, rintaa tms. kaarevaa objektia kuten latinan sinus. Huomattavin varhaiskeskiajan matemaatikko oli Brahmagupta (noin 625). Intialaiselle matematiikalle tyypilliseen tapaan hänen tuotantonsa oli epätasaista: oikeat ja vähemmän oikeat tulokset esiintyvät rinta rinnan, esim. ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen arvot √ 10 ja 3. Tunnettu Heronin kaavalle analoginen Brahmaguptan kaava nelikulmion pinta-alalle S, S = (s − a)(s − b)(s − c)(s − d), (s on nelikulmion piirin puolikas) pätee itse asiassa vain ympyrän sisään piirrettyihin eli jännenelikulmioihin. Merkittävin Brahmagupta oli aritmeetikkona: hän käytti ensimmäisenä nollaa ja negatiivisia lukuja johdonmukaisesti. Mm. sellainen sääntö kuin ”negatiivinen kertaa negatiivinen on positiivinen” oli Brahmaguptalle tuttu. Toisen asteen yhtälöllä saattoi olla kaksi ratkaisua silloinkin, kun ratkaisut eivät olleet positiivisia. Brahmagupta ja hänen aikalaisensa Intiassa käyttivät sumeilematta myös irrationaalilukuja välittämättä niihin sisältyvistä loogisista vaikeuksista. Brahmagupta käytti kirjoituksissaan Diofantoksen tavoin eräänlaista algebrallista symbolismia. Brahmaguptan ansiolistaan kuuluu vielä ensimmäisen asteen Diofantoksen yhtälön ax + by = c täydellinen kokonaislukuratkaisu. Jos c on jaollinen a:n ja b:n suurimmalla yhteisellä tekijällä, yhtälön yksittäisratkaisu löytyy Eukleideen algoritmia soveltamalla ja jos (x0, y0) on yksittäisratkaisu, niin myös parit (x0 − bt, y0 + at) ovat ratkaisuja. Diofantos itse oli tyytynyt eri tehtävissä vain rationaalisiin yksittäisratkaisuihin. 29
Erityisen ansiokkaita intialaiset olivat Pellin yhtälöiden x2 − Dy2 =1,D ei neliöluku, ratkaisemisessa. (Yhtälötyypin nimi johtuu 1600-luvulla eläneestä englantilaisesta John Pellistä, jonka on arveltu tutkineen tämänlaatuisia yhtälöitä; tieto on kuitenkin epävarma.) Brahmagupta havaitsi, että josx2−Dy2 = a ja t2 − Du2 = b, niin x ′2 − Dy ′2 =(xt + Dyu) 2 − D(xu + yt) 2 = (x2 − Dy2 )(t2 − Du2 )=ab. Tietoa saattoi käyttää hyväksi osoittamaan, että yhdestä Pellin yhtälön ratkaisusta voi generoida äärettömän monta muuta. Lisäksi jos x ′ :lla ja y ′ :lla on yhteinen tekijä, se voidaan supistaa, ja mahdollisesti päästä löytämään tarvittava yksittäisratkaisu. Viimeinen huomattava keskiajan intialaismatemaatikko oli Bhaskara (1114–85). Bhaskara kehitti nerokkaan chakravala-menetelmän, jolla Pellin yhtälön yksittäisratkaisu voitiin löytää. Hän ratkaisi yhtälön x2 =1+py2 tapauksissa p = 8, 11, 32, 61 ja 67. Esimerkiksi yhtälön x2 =1+61y2 ratkaisu on x = 1 766 319 049, y = 226 153 980. Bhaskara on tiettävästi ensimmäinen, joka on kiinnittänyt huomiota nollalla jakamisen mahdottomuuteen. Intialaisten nokkelaa laskemista irrationaaliluvuilla edustaa Bhaskaran havainto √ 3+ √ 12 = (3 + 12) + 2 √ 3 · 12 = 3 √ 3. Bhaskara on kuuluisa myös yksisanaisesta (Katso!) Pythagoraan lauseen todistuksestaan, joka perustuu siihen, että c-sivuinen neliö voidaan jakaa neljäksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden kateetit ovat a ja b, sekä a − b-sivuiseksi neliöksi; c 2 =2ab +(a − b) 2 = a 2 + b 2 . 5.2 Islamin matematiikka Islamin perustaja profeetta Muhammed kuoli vuonna 632. Noin sata seuraavaa vuotta islam oli sotaisessa ekspansiovaiheessa, mutta kahdeksannen vuosisadan puolivälistä alkaen islamilaisvaltioiden johtajat alkoivat suhtautua myönteisemmin myös kulttuuriin. Erityisesti kalifikunnan keskuksessa Bagdadissa ja sinne perustetussa Aleksandrian Museionia muistuttaneessa Bait al Hikmassa eli Viisauden talossa tutkittiin ja käännettiin arabiaksi kreikkalaisia käsikirjoituksia, ja myös kosketuksia Intiaan hyödynnettiin. <strong>Matematiikan</strong> <strong>historian</strong> kannalta islamin kulttuurin suurimpana ansiona pidetään toisaalta antiikin perinnön tallettamista ja toisaalta intialaisen aritmetiikan omaksumista ja edelleen välittämistä. Ajatus on jossain määrin islamin kulttuurin monia tieteellisiä saavutuksia väheksyvä. Joissain tapauksissa arabialainen panos näkyy vain tuotteen nimessä: esim. Klaudios Ptolemaioksen tähtitieteellinen pääteos, jonka vaikutus keskiajan maailmankuvaan oli erittäin ratkaiseva, tunnetaan yleisesti arabiankielisellä nimellään Almagest. –Onmyös huomattava, että islamin kulttuuripiiri oli maantieteellisesti laaja ja sisälsi monia kansallisuuksia ja kieliä. Yhdistävä tekijäoliuskontoja sivistyksen yhteinen kieli arabia. Merkittävimmin arabimatemaatikoista on jälkimaailmaan vaikuttanut Muhammad ibn Musa Al- Khwarizmi (780[?]–850[?]). (Nimen ortografia vaihtelee eri lähteissä. Vaihtelu selittyy osin siitä, että arabian kielessä vain konsonantit merkitään.) Al-Khwarizmi kirjoitti tähtitieteestä, mutta tärkeimmät hänen teoksistaan ovat aritmetiikan ja algebran oppikirjat. Edellinen on säilynyt vain latinankielisenä käännöksenä De numero indorum. Siinä selvitetään intialaisen kymmenjärjestel- 30
Page 1 and 2: Matti Lehtinen: Matematiikan histor
Page 3 and 4: 15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
Page 5 and 6: enemmän aiheenmukainen käsittelyt
Page 7 and 8: Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
Page 9 and 10: tematiikasta; länsimaisen matemati
Page 11 and 12: Kreikkalainen historioitsija Herodo
Page 13 and 14: Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
Page 15 and 16: 4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
Page 17 and 18: sanotaan tulleen käyttöön opetus
Page 19 and 20: Pythagoraan on arveltu päätyneen
Page 21 and 22: voidaan osoittaa, että ympyränkak
Page 23 and 24: Zenonin paradoksit osoittavat, ett
Page 25 and 26: 3. On mahdollista piirtää ympyrä
Page 27 and 28: Paraabelin alan laskemista ekshaust
Page 29 and 30: Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
Page 31: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
Page 39 and 40: kolmannen asteen yhtälöille likia
Page 41 and 42: 6 Renessanssi Renessanssin (”uude
Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
Page 47 and 48: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
Page 49 and 50: Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Kepl
Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
Page 55 and 56: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
Page 57 and 58: Barrow esitti tämän asian, joka o
Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
Page 61 and 62: hallintotehtävät, ensin Mainzin a
Page 63 and 64: Osittain juuri tällaisista syistä
Page 65 and 66: Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
Page 67 and 68: lausekkeeksi, milloin koordinaatist
Page 69 and 70: jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
Page 71 and 72: tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
Page 73 and 74: ollut kaikin puolin loogisesti moit
Page 75 and 76: empiiristen havaintojen perusteella
Page 77 and 78: avaruuden geometrista rakennetta my
Page 79 and 80: Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
Page 81 and 82: pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
Page 83 and 84:
Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun
Page 85 and 86:
jellyimmissä muodoissaan synteetti
Page 87 and 88:
metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
Page 89 and 90:
13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
Page 91 and 92:
Epäkommutatiivisen algebran keksij
Page 93 and 94:
14 Matemaattinen logiikka ja joukko
Page 95 and 96:
Toisaalta Cantor osoitti, että rea
Page 97 and 98:
todennäköisyys on noin 2 2t2 −
Page 99 and 100:
matematiikan piirissä hänen kest
Page 101 and 102:
kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
Page 103 and 104:
Turun akatemia siirtyi Turun palon
Page 105 and 106:
kehittynyt mm. automaatien teorian
Page 107 and 108:
18 Laskulaitteista ja tietokoneista
Page 109 and 110:
18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
Page 111 and 112:
poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu
show all

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?