Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

More documents

Recommendations

Info

yritykset osoitettiin mahdottomiksi, samalla kun konstruoitiin ns. epäeuklidisia geometrioita, joissa paralleelipostulaatin korvaa jokin muu suorien yhdensuuntaisuutta koskeva oletus. 4.9 Arkhimedes Antiikin lahjakkaimpana matemaatikkona ja luonnontieteilijänä pidetään Arkhimedesta (287[?]– 212 eKr.). Hän toimi Syrakusassa, mutta oli ilmeisesti saanut koulutuksensa Aleksandriassa. Useimmat Arkhimedeen teknistä taitavuutta koskevat kertomukset liittyvät Syrakusan piiritykseen ja valloitukseen Rooman ja Karthagon välisessä toisessa puunilaissodassa. Vaikka Arkhimedeen kuuluisuus liittyy ennen muuta hänen fysikaalis-teknisiin keksintöihinsä, tarina Arkhimedeen kuolemasta kertoo hänen askarrelleen matematiikan parissa silloinkin, kun roomalainen sotilas hänet surmasi. Arkhimedeen väitetyt viimeiset sanat ”älä sotkeympyröitäni”, ”noli turbare circulos meos” ovatjääneet lentäväksi lauseeksi. Arkhimedes oli ensimmäinen rationaalisia fysikaalisia periaatteita kehitellyt ajattelija: hänen keksintöään ovat vipulaki (”antakaa minulle kiinteä piste, niin vipuan maan paikoiltaan”) ja hydrostatiikan Arkhimedeen periaate (kappaleeseen kohdistuva noste on yhtä suuri kuin kappaleen syrjäyttämän nestemäärän paino). Tunnettu Arkhimedeslegenda kertoo Arkhimedeen heureka-huudahduksesta hänen oivallettuaan nostelain. Arkhimedeen monipuolisen matemaattisen tuotannon painopiste on aiheissa, jotka nykyisin katsotaan integraalilaskennaksi: hän todisti täsmällisesti, ekshaustiomenetelmää käyttäen, että ympyrän ala on puolet säteen ja kehän tulosta, laski paraabelin segmentin ja ellipsin alan, pallon alan ja tilavuuden, pyörähdyskappaleiden tilavuuksia, erilaisten kuvioiden ja kappaleiden painopisteitä, ympyrän kehän pituuden likiarvoja kuten säännöllisen 96-kulmion ominaisuuksista johdettavan 3 1 284 4 2017 1 4 jonka Arkhimedes yksinkertaisti muotoon 3 10 71
Paraabelin alan laskemista ekshaustiomenetelmällä voi edustaa seuraava nykymerkinnöin esitetty Arkhimedeen päättely. Lasketaan suorien y =1jax = 0 paraabelista y = x 2 erottama ala S. Se voidaan tyhjentää kolmioilla ∆1, jonkakärjetovat(0, 0), (1, 1) ja (0, 1), ∆2, jonkakärjet ovat (0, 0), (1/2, 1/4) ja (1, 1), ∆31 ja ∆32, joidenkärjetovat(0, 0), (1/4, 1/16) ja (1/2, 1/4) sekä (1/2, 1/4), (3/4, 9/16) ja (1, 1) jne. Kolmion ∆1 ala on 1 1 . Suora x = 2 2 jakaa kolmion ∆2 kahdeksi kolmioksi, joilla on yhteinen kanta, jonka pituus on 1 4 ala on näin ollen 1 16 , joten kolmion ∆2 ala on 1 24 1 ja yhteinen korkeus . Kummankin kolmion 2 8 . Samoin nähdään, että kolmioiden ∆31 ja ∆32 yhteinen ala on 1 1 . n:n vaiheen jälkeen kolmioiden ala on 1+ 32 2 1 1 + ···+ 4 4n . Joka vaiheessa uudet kolmiot peittävät yli puolet edellisten kolmioiden ja paraabelin väliin jäävästä alueesta. Oletukset S < 2 2 ja S > johtavat ristiriitaan. (Arkhimedeella oli käytössään jo Eukleideen 3 3 tuntema kaava päättyvän geometrisen sarjan summalle.) Siis S = 2 3 . Arkhimedeen spiraali on transkendenttikäyrä, jonka muodostaa tasaisella nopeudella pyörivällä säteellä tasaisella nopeudella liikkuva piste. Arkhimedeen spiraalin napakoordinaattimuotoinen yhtälö onr = aφ. Arkhimedes määritti sekä spiraalin tangentin pituuden että spiraalin ja radiusvektoreiden rajoittaman alueen pinta-alan. Arkhimedeelle itselleen oli erityisen läheinen pallon tilavuuden johto; hän toivoi hautakiveensä kuvion, joka esittää palloa, kartiota ja lieriötä. Jos r-säteinen pallo sijoitetaan r-säteisen ja 2rkorkeuksisen lieriön sisään ja samaan kuvioon liitetään kartio, jonka huippu on pallon keskipisteessä ja jonka pohja yhtyy lieriön pohjaan, niin etäisyydellä x pallon keskipisteestä tehty lieriön ja kartion akselia vastaan kohtisuora tasoleikkaus erottaa lieriöstä r-säteisen ympyrän, pallosta √ r2 − x2- säteisen ympyrän ja kartiosta x-säteisen ympyrän. Koska ympyrän ala on verrannollinen ympyrän säteeseen, pallon ja kartion ympyräleikkausten yhteinen ala on πx2 +π(r2−x 2 )=πr2 . Koska pallon ja kartion leikkaukset näin tasapainottavat lieriön leikkaukset, on puolipallon ja kartion yhteinen tilavuus sama kuin lieriön(puolikkaan). Tästä seuraa, että pallon tilavuus on 2 lieriön tilavuudesta 3 (joka on pohjaympyrän ala kerrottuna korkeudella). Pallon tilavuuden määritys palautuu täten ympyrän neliöintiongelmaan. Eräs Arkhimedeen saavutuksia oli erittäin suurten lukujen merkitsemiseen soveltuva lukujen merkintätapa (jota Arkhimedes demonstroi mielikuvituksellisella laskutehtävällä: laskemalla maailmankaikkeuden täyttämiseksi tarvittavien hiekanjyvästen määrän – Arkhimedeen mukaan 1063 ). Tässä yhteydessä Arkhimedes johtui lähelle logaritmilaskennan perusperiaatetta: lukujen kertolaskua vastaa eksponenttien yhteenlasku. Arkhimedes totesi, että luvut 1:stä 108 :aan eli myriadi myriadiin asti ovat nimettävissä, Ne muodostavat ensimmäisen luokan, luvut 108 :sta 1016 :een muodostavat toisen luokan jne., kunnes P =108·108 päättää ensimmäisen jakson. Toisen jakson suurin luku on P 2 ; menetelmää jatketaan, kunnes tullaan P :nteen jaksoon, jonka suurin luku on P 108. Arkhimedeen järjestelmä mahdollistaisi kaikkien kymmenjärjestelmässä enintään 80000 biljoonalla numerolla kirjoitettavien lukujen nimeämisen. – Arkhimedeen nimissä onmyös ns. karjaongelma, hiukanepäselvästi muotoiltu kokonaislukuyhtälöryhmä, joka tavallisen tulkinnan mukaan redusoituu yhtälöön x2 − 4729494y2 =1. Yhtälön ratkaisut ovat niin suuria lukuja, että niiden kirjoittamiseen tarvittaisiin satojatuhansia numeroita. 4.10 Apollonios ja kartioleikkaukset Menaikhmoksen aloittaman kartioleikkauskäyrien teorian tutkimuksen vei pisimmälle pergalainen,
Page 1 and 2: Matti Lehtinen: Matematiikan histor
Page 3 and 4: 15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
Page 5 and 6: enemmän aiheenmukainen käsittelyt
Page 7 and 8: Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
Page 9 and 10: tematiikasta; länsimaisen matemati
Page 11 and 12: Kreikkalainen historioitsija Herodo
Page 13 and 14: Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
Page 15 and 16: 4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
Page 17 and 18: sanotaan tulleen käyttöön opetus
Page 19 and 20: Pythagoraan on arveltu päätyneen
Page 21 and 22: voidaan osoittaa, että ympyränkak
Page 23 and 24: Zenonin paradoksit osoittavat, ett
Page 25: 3. On mahdollista piirtää ympyrä
Page 29 and 30: Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
Page 31 and 32: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
Page 33 and 34: Erityisen ansiokkaita intialaiset o
Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
Page 39 and 40: kolmannen asteen yhtälöille likia
Page 41 and 42: 6 Renessanssi Renessanssin (”uude
Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
Page 47 and 48: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
Page 49 and 50: Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Kepl
Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
Page 55 and 56: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
Page 57 and 58: Barrow esitti tämän asian, joka o
Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
Page 61 and 62: hallintotehtävät, ensin Mainzin a
Page 63 and 64: Osittain juuri tällaisista syistä
Page 65 and 66: Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
Page 67 and 68: lausekkeeksi, milloin koordinaatist
Page 69 and 70: jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
Page 71 and 72: tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
Page 73 and 74: ollut kaikin puolin loogisesti moit
Page 75 and 76: empiiristen havaintojen perusteella
Page 77 and 78:
avaruuden geometrista rakennetta my
Page 79 and 80:
Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
Page 81 and 82:
pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
Page 83 and 84:
Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun
Page 85 and 86:
jellyimmissä muodoissaan synteetti
Page 87 and 88:
metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
Page 89 and 90:
13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
Page 91 and 92:
Epäkommutatiivisen algebran keksij
Page 93 and 94:
14 Matemaattinen logiikka ja joukko
Page 95 and 96:
Toisaalta Cantor osoitti, että rea
Page 97 and 98:
todennäköisyys on noin 2 2t2 −
Page 99 and 100:
matematiikan piirissä hänen kest
Page 101 and 102:
kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
Page 103 and 104:
Turun akatemia siirtyi Turun palon
Page 105 and 106:
kehittynyt mm. automaatien teorian
Page 107 and 108:
18 Laskulaitteista ja tietokoneista
Page 109 and 110:
18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
Page 111 and 112:
poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu
show all

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?