Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

3. On mahdollista piirtää ympyrä, jonka keskipiste on mikä hyvänsä ja keskipisteen ja kehän
etäisyys mikä hyvänsä.
4. Kaikki suorat kulmat ovat keskenään yhtä suuria.
5. Jos suora joka leikkaa kaksi muuta suoraa, synnyttää samalle puolelle itseään kaksi sisäpuolista
leikkauskulmaa, jotka ovat yhteensävähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, niin suorat, jos niitä
rajatta jatketaan, kohtaavat toisensa sillä puolen kolmatta suoraa, missä ovat kaksi mainittua
kulmaa, jotka ovat yhteensä vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa.
Aksioomat puolestaan ilmaisevat universaaleja totuuksia:
1. Asiat, jotka ovat samat kuin jokin asia, ovat myös keskenään samat.
2. Jos yhtä suuriin lisätään yhtä suuret, niin kokonaisuudet ovat yhtä suuret.
3. Jos yhtä suurista vähennetään yhtä suuret, niin jäännökset ovat yhtä suuret.
4. Asiat, jotka yhtyvät toisiinsa, ovat yhtä suuret.
5. Kokonaisuus on suurempi kuin sen osa.
Ikirjan propositiot käsittelevät kolmioiden ja monikulmioiden sekä yhdensuuntaisten suorien perusominaisuuksia.
5. propositio on tullut tunnetuksi nimellä pons asinorum, aasin silta. Siinä
Eukleides todistaa ovelalla, mutta ilmeisesti aloittelijalle vaikeasti ymmärrettävällä tavalla, että
tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. II kirja esittelee kreikkalaisen geometrisen
algebran, mm. toisen asteen yhtälön geometrisen ratkaisun. III kirja käsittelee ympyröitä. Mielenkiintoinen
on ympyrän kehän ja sen tangentin välisen ”kulman” käsittely. IV kirjan aiheena
ovat ympyrän sisään ja ympäri piirretyt monikulmiot. V kirja esittelee Eudoksoksen suhdeopin.
Suhdeoppi on tarpeen VIkirjassa, jossa käsitellään yhdenmuotoisuutta.
Paitsi alkeisgeometrian aksiomaattista käsittelyä Alkeet sisältää kirjoissa VII, VIII ja IX koko joukon
alkuaan pythagoralaista lukuteoriaa, esim. Eukleideen algoritmin kahden luvun suurimman
yhteisen tekijän tai kahden suureen yhteisen mitan löytämiseksi. Lukujen a ja b yhteiset tekijät
ovat tekijöinä jakoyhtälön a = q1b + r1 mukaisessa jakojäännöksessä r1, jakoyhtälön b = q2r1 + r2
jakojäännöksessä r2 jne. Koska b>r1 >r2 > ..., jokin jakojäännös on viimeinen positiivinen
jakojäännös. Siinä ovat edelleen tekijöinä a:n ja b:n yhteiset tekijät ja vain ne. Jos a ja b ovat mielivaltaisia
suureita, esim. janoja, Eukleideen algoritmi päättyy äärellisen monen askeleen jälkeen,
jos ja vain jos a ja b ovat yhteismitallisia.
Klassisen kaunis todistus alkulukujen määrän rajattomuudesta saattaa olla Eukleideen oma oivallus.
Mitä hyvänsä äärellistä alkulukujen kokoelmaa {p1, p2, ..., pk} kohden voidaan valita luku,
jossa ne kaikki ovat tekijöinä, esim. lukujen tulo p1p2 ···pk, ja lisätä tätä lukua yhdellä. Luku
p1p2 ···pk + 1 on joko itse alkuluku tai sillä on alkutekijä, joka ei voi olla mikään luvuista p1, p2,
...pk.
√a √
Stoikheian kirjoista laajin on kirja X, joka sisältää muotoa ± b olevien suureiden luokittelun.
Viimeiset kirjat käsittelevät avaruusgeometriaa ja tyhjennysmenetelmää. Ne huipentuvat
todistukseen täsmälleen viiden säännöllisen monitahokkaan (”Platonin kappaleen”) olemassaolosta
ja näiden kappaleiden tilavuuksien laskemiseen.
Stoikheian merkitys on paitsi sisällössä myös deduktiivisessa esitystavassa. Kaikki lauseet johdetaan
suoraan tai välillisesti määritelmistä, postulaateista ja aksioomista. Yleisenä tiedonmuodostusmenetelmänä
aksiomattis-deduktiivinen metodi on lähtöisin Aristoteleelta. Myöhemmin
on Eukleideen päättelyistä löydetty sieltä täältä aukkoja ja virheitä, mutta itse aksiomaattisdeduktiivinen
metodi on tullut matematiikan vakiintuneeksi esitystavaksi.
Erityisen merkityksen tuli saamaan Eukleideen viides postulaatti eli ns. paralleeliaksiooma, jonka
itsestäänselvyys ei ole läheskään niin kiistaton kuin muiden postulaattien. Monet matemaatikot
yrittivät eri aikoina johtaa paralleelipostulaatin muista aksioomista. Vasta 1800-luvulla nämä
22