A1 > 2 r1 r2 A2 ja B = A1 − r1 r2 21 2 A2, saadaan jakoa tihentämällä r1-säteisen ympyrän si- sään piirretyn monikulmion ja alan ja A1:n erotus pienemmäksi kuin B. Jos nimittäin k-kulmio vaihdetaan 2k-kulmioksi, ympyrän ja monikulmion välinen ala pienenee tasan puolella sellaisten suorakaiteiden alasta, joiden kannat ovat k-kulmion sivuja ja korkeudet monikulmion ja ympyrän erotuksen muodostavien ympyränsegmenttien korkeuksia. Koska segmentin ala on pienempi kuin sitä ympäröivän suorakaiteen, tyhjennysehto täyttyy. Jos nyt A (k) 1 ja A (k) piirrettyjen säännöllisten k-kulmioiden alat, niin jollain k:n arvolla A1−A (k) 1 Tästä, monikulmioille tunnetusta tuloksesta A (k) 1 = dutaan ristiriitaan B = A1 − 2 r1 r2 A2
3. On mahdollista piirtää ympyrä, jonka keskipiste on mikä hyvänsä ja keskipisteen ja kehän etäisyys mikä hyvänsä. 4. Kaikki suorat kulmat ovat keskenään yhtä suuria. 5. Jos suora joka leikkaa kaksi muuta suoraa, synnyttää samalle puolelle itseään kaksi sisäpuolista leikkauskulmaa, jotka ovat yhteensävähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa, niin suorat, jos niitä rajatta jatketaan, kohtaavat toisensa sillä puolen kolmatta suoraa, missä ovat kaksi mainittua kulmaa, jotka ovat yhteensä vähemmän kuin kaksi suoraa kulmaa. Aksioomat puolestaan ilmaisevat universaaleja totuuksia: 1. Asiat, jotka ovat samat kuin jokin asia, ovat myös keskenään samat. 2. Jos yhtä suuriin lisätään yhtä suuret, niin kokonaisuudet ovat yhtä suuret. 3. Jos yhtä suurista vähennetään yhtä suuret, niin jäännökset ovat yhtä suuret. 4. Asiat, jotka yhtyvät toisiinsa, ovat yhtä suuret. 5. Kokonaisuus on suurempi kuin sen osa. Ikirjan propositiot käsittelevät kolmioiden ja monikulmioiden sekä yhdensuuntaisten suorien perusominaisuuksia. 5. propositio on tullut tunnetuksi nimellä pons asinorum, aasin silta. Siinä Eukleides todistaa ovelalla, mutta ilmeisesti aloittelijalle vaikeasti ymmärrettävällä tavalla, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. II kirja esittelee kreikkalaisen geometrisen algebran, mm. toisen asteen yhtälön geometrisen ratkaisun. III kirja käsittelee ympyröitä. Mielenkiintoinen on ympyrän kehän ja sen tangentin välisen ”kulman” käsittely. IV kirjan aiheena ovat ympyrän sisään ja ympäri piirretyt monikulmiot. V kirja esittelee Eudoksoksen suhdeopin. Suhdeoppi on tarpeen VIkirjassa, jossa käsitellään yhdenmuotoisuutta. Paitsi alkeisgeometrian aksiomaattista käsittelyä Alkeet sisältää kirjoissa VII, VIII ja IX koko joukon alkuaan pythagoralaista lukuteoriaa, esim. Eukleideen algoritmin kahden luvun suurimman yhteisen tekijän tai kahden suureen yhteisen mitan löytämiseksi. Lukujen a ja b yhteiset tekijät ovat tekijöinä jakoyhtälön a = q1b + r1 mukaisessa jakojäännöksessä r1, jakoyhtälön b = q2r1 + r2 jakojäännöksessä r2 jne. Koska b>r1 >r2 > ..., jokin jakojäännös on viimeinen positiivinen jakojäännös. Siinä ovat edelleen tekijöinä a:n ja b:n yhteiset tekijät ja vain ne. Jos a ja b ovat mielivaltaisia suureita, esim. janoja, Eukleideen algoritmi päättyy äärellisen monen askeleen jälkeen, jos ja vain jos a ja b ovat yhteismitallisia. Klassisen kaunis todistus alkulukujen määrän rajattomuudesta saattaa olla Eukleideen oma oivallus. Mitä hyvänsä äärellistä alkulukujen kokoelmaa {p1, p2, ..., pk} kohden voidaan valita luku, jossa ne kaikki ovat tekijöinä, esim. lukujen tulo p1p2 ···pk, ja lisätä tätä lukua yhdellä. Luku p1p2 ···pk + 1 on joko itse alkuluku tai sillä on alkutekijä, joka ei voi olla mikään luvuista p1, p2, ...pk. √a √ Stoikheian kirjoista laajin on kirja X, joka sisältää muotoa ± b olevien suureiden luokittelun. Viimeiset kirjat käsittelevät avaruusgeometriaa ja tyhjennysmenetelmää. Ne huipentuvat todistukseen täsmälleen viiden säännöllisen monitahokkaan (”Platonin kappaleen”) olemassaolosta ja näiden kappaleiden tilavuuksien laskemiseen. Stoikheian merkitys on paitsi sisällössä myös deduktiivisessa esitystavassa. Kaikki lauseet johdetaan suoraan tai välillisesti määritelmistä, postulaateista ja aksioomista. Yleisenä tiedonmuodostusmenetelmänä aksiomattis-deduktiivinen metodi on lähtöisin Aristoteleelta. Myöhemmin on Eukleideen päättelyistä löydetty sieltä täältä aukkoja ja virheitä, mutta itse aksiomaattisdeduktiivinen metodi on tullut matematiikan vakiintuneeksi esitystavaksi. Erityisen merkityksen tuli saamaan Eukleideen viides postulaatti eli ns. paralleeliaksiooma, jonka itsestäänselvyys ei ole läheskään niin kiistaton kuin muiden postulaattien. Monet matemaatikot yrittivät eri aikoina johtaa paralleelipostulaatin muista aksioomista. Vasta 1800-luvulla nämä 22
- Page 1 and 2: Matti Lehtinen: Matematiikan histor
- Page 3 and 4: 15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
- Page 5 and 6: enemmän aiheenmukainen käsittelyt
- Page 7 and 8: Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
- Page 9 and 10: tematiikasta; länsimaisen matemati
- Page 11 and 12: Kreikkalainen historioitsija Herodo
- Page 13 and 14: Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
- Page 15 and 16: 4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
- Page 17 and 18: sanotaan tulleen käyttöön opetus
- Page 19 and 20: Pythagoraan on arveltu päätyneen
- Page 21 and 22: voidaan osoittaa, että ympyränkak
- Page 23: Zenonin paradoksit osoittavat, ett
- Page 27 and 28: Paraabelin alan laskemista ekshaust
- Page 29 and 30: Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
- Page 31 and 32: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
- Page 33 and 34: Erityisen ansiokkaita intialaiset o
- Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
- Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
- Page 39 and 40: kolmannen asteen yhtälöille likia
- Page 41 and 42: 6 Renessanssi Renessanssin (”uude
- Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
- Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
- Page 47 and 48: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
- Page 49 and 50: Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Kepl
- Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
- Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
- Page 55 and 56: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
- Page 57 and 58: Barrow esitti tämän asian, joka o
- Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
- Page 61 and 62: hallintotehtävät, ensin Mainzin a
- Page 63 and 64: Osittain juuri tällaisista syistä
- Page 65 and 66: Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
- Page 67 and 68: lausekkeeksi, milloin koordinaatist
- Page 69 and 70: jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
- Page 71 and 72: tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
- Page 73 and 74: ollut kaikin puolin loogisesti moit
- Page 75 and 76:
empiiristen havaintojen perusteella
- Page 77 and 78:
avaruuden geometrista rakennetta my
- Page 79 and 80:
Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
- Page 81 and 82:
pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
- Page 83 and 84:
Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun
- Page 85 and 86:
jellyimmissä muodoissaan synteetti
- Page 87 and 88:
metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
- Page 89 and 90:
13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
- Page 91 and 92:
Epäkommutatiivisen algebran keksij
- Page 93 and 94:
14 Matemaattinen logiikka ja joukko
- Page 95 and 96:
Toisaalta Cantor osoitti, että rea
- Page 97 and 98:
todennäköisyys on noin 2 2t2 −
- Page 99 and 100:
matematiikan piirissä hänen kest
- Page 101 and 102:
kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
- Page 103 and 104:
Turun akatemia siirtyi Turun palon
- Page 105 and 106:
kehittynyt mm. automaatien teorian
- Page 107 and 108:
18 Laskulaitteista ja tietokoneista
- Page 109 and 110:
18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
- Page 111 and 112:
poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu