Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

More documents

Recommendations

Info

tai piste. Koska 1 n käytössä taulukkoja 2 n 2 :n kahdentaminen tuottaa luvun , joka ei yleensä ollut sallittua muotoa, oli n :n lausumiseksi muodossa 1 a + 1 b 1 +...+ . Rhindin papyrus sisältää tällaisen c taulukon kaikille parittomille n:ille välillä [5, 101]. (Triviaalia jakoa 2 1 1 = + n n n egyptiläiset eivät kelpuuttaneet.) – Englantilainen J.J. Sylvester osoitti 1800-luvulla, että jokainen murtoluku voidaan esittää äärellisenä yksikkömurtolukujen summana ja esitti erään algoritmin, jolla tämä voidaan tehdä. Todistus voidaan tehdä induktiolla murtoluvun osoittajan suhteen: Olkoon p ≥ 2. Oletetaan, että kaikki murtoluvut k voidaan kirjoittaa eri yksikkömurtojen q summaksi, kun k
Kreikkalainen historioitsija Herodotos (n. 484 – n. 425 eKr.) katsoi kreikkalaisten oppineen geometrian egyptiläisiltä, jotka olivat tarvinneet geometriaa maanmittaukseen: faarao oli alkuaan antanut ihmisille viljelysmaata, kullekin yhtä paljon, ja määrännyt maasta veron. Niilin tulvan jälkeen viljelypalstojen koko muuttui. Maanmittarit, geometrit eli köydenpingottajat, olisivat sitten määrittäneet uudet veroperusteet. Egyptiläisten varsinainen geometrinen tietämys on säilyneistä lähteistä päätellen ollut kuitenkin melko niukkaa. Erään Rhindin papyruksen tehtävän (numero 50) mukaan ympyrän ala olisi laskettu tavalla, joka vastaisi π:n jokseenkin hyvää likiarvoa 256 1 =3,16 ...:”Pyöreän pellon halkaisija on 9 ketiä. Mikä on sen pinta-ala? Ota halkaisijasta 81 9 , eli 1; jäännös on 8. Kerro 8 kertaa 8: tulos on 64. Siis ala on 64 setatia.” Jos olisi π d 2 = 2 8d 2 4 · 64 256 , olisi π = = .) Luonteva selitys tälle arviolle on verrata ympyrää 9 81 81 neliöön, jonka sivu on d. Jos neliö jaetaan yhdeksään yhtenevään pikkuneliöön, niin näkee helposti, että ympyrän ala ei paljon poikkea alasta, joka on 7 9 d2 = 63 81 d2 ≈ 64 81 d2 2 8d = . – Rhindin 9 papyruksessa on muitakin likimääräiskaavoja: nelikulmio, jonka sivut ovat a, b, c ja d saa alakseen a + c · 2 b + d 2 . Epäsuorasti voidaan päätellä, että egyptiläiset olisivat tienneet, että yhdenmuotoisten kuvioiden alojen suhde on vastinsivujen suhteen neliö; asiaa ei tietenkään täsmällisesti formuloitu tai ”todistettu”. Mitään varsinaisia todisteita siitä, että egyptiläiset olisivat tunteneet esimerkiksi Pythagoraan lauseen sisällön,eiole. Ehkä yllättävin egyptiläistä geometriaa koskeva tieto löytyy Rhindin papyrusta parisataa vuotta vanhemmasta Moskovan papyruksesta: siinä lasketaan erään katkaistun neliöpohjaisen pyramidin tilavuus käyttäen selvästi oikeaa kaavaa V = h 3 (a2 + ab + b 2 ). (Kuviossa profiili katkaistusta pyramidista,luvut4ja2pohjanjakannensärmänpituuksina ja 6 korkeutena sekä laskutoimitus, joka johtaa oikeaan tilavuuteen 56.) Tälle tulokselle osaa antaa arvoa, kun huomaa, että puolisuunnikkaan alan kaavan yleistykseen perustuvan virheellisen kaavan ”V = h · a2 + b2 ” saattaa löytää 2 vielä 1900-luvulla painetuista oppikirjoista. – Kaavoja sanan nykymielessä eivätegyptiläiset tosin kirjoittaneet: kaikki asiat esitettiin sanallisina toimintaohjeina ja konkreettisin numerolaskuin. 3.2 Babylonialainen matematiikka Muinaiskulttuureista kehittynein matematiikka oli ilmeisesti Mesopotamiassa, nykyisen Irakin alueella. Tätä matemaattista kulttuuria on tapana kutsua babylonialaiseksi, vaikka aluetta vallitsivat ja matematiikkaa harjoittivat vuosituhansien aikana useat muutkin kansat sumerilaisista alkaen. Babylonialaisen kulttuurin ja matematiikankin yhdistävä ulkoinen piirre on nuolenpää- eli kiilakirjoitus. Kirjoitussymbolien kiilamuoto johtuu siitä, että ne synnytettiin painamalla poikkileikkaukseltaan kolmiomaista kirjoitinpuikkoa vinosti saveen. Koviksi poltetut savitaulut ovat erittäin kestäviä, ja niitä onlöydetty tuhansittain, joukossa kolmisensataa sisällöltään matemaattista. Nämä taulut ajoittuvat kolmelle kaudelle, vuoden 2100 eKr. ympäristöön, vuosille 1800–1600 eKr. (Hammurabin aika) ja vuosille 600 eKr. – 300 jKr.; mielenkiintoisimmat ovat keskimmäiseltä jaksolta. Babylonialainen numeromerkintä välillä 1–59 noudatti samaa periaatetta kuin egyptiläisen hieroglyfikirjoituksenkin. Ykkösellä ja kymmenellä oli omat nuolenpäämerkkinsä, joita toistettiin tarvittava määrä. Suurempia lukuja merkittäessä käytettiin kuitenkin 60-kantaista paikkajärjestelmää. Siten esim. 60 merkittiin samalla merkillä kuin 1, 61 kahdella vierekkäisellä ykkösen merkillä jne. Käytössä oli siis 60-kantainen lukujärjestelmä eliseksagesimaalijärjestelmä. Merkintätapaa sovellettiin myös ykköstä pienempiin lukuihin. Babylonialainen merkintätapa on yhä 8
Page 1 and 2: Matti Lehtinen: Matematiikan histor
Page 3 and 4: 15 Todennäköisyyslaskenta: ajanvi
Page 5 and 6: enemmän aiheenmukainen käsittelyt
Page 7 and 8: Edwards, C. H., Jr.:TheHistorical D
Page 9: tematiikasta; länsimaisen matemati
Page 13 and 14: Jo noin 4000 vuotta vanhat babyloni
Page 15 and 16: 4 Antiikin Kreikan matematiikkaa Ma
Page 17 and 18: sanotaan tulleen käyttöön opetus
Page 19 and 20: Pythagoraan on arveltu päätyneen
Page 21 and 22: voidaan osoittaa, että ympyränkak
Page 23 and 24: Zenonin paradoksit osoittavat, ett
Page 25 and 26: 3. On mahdollista piirtää ympyrä
Page 27 and 28: Paraabelin alan laskemista ekshaust
Page 29 and 30: Aikalaiset ja jälkeen tulleet arvo
Page 31 and 32: 5 Matematiikkaa keskiajalla Antiiki
Page 33 and 34: Erityisen ansiokkaita intialaiset o
Page 35 and 36: algebralla ymmärrettiin matematiik
Page 37 and 38: x 3 +2x 2 − 5x − 10 = 0. Havait
Page 39 and 40: kolmannen asteen yhtälöille likia
Page 41 and 42: 6 Renessanssi Renessanssin (”uude
Page 43 and 44: julkaisi Ars Magnassa. - Cardano ei
Page 45 and 46: hän hyväksyi vain positiiviset ju
Page 47 and 48: Logaritmitaulukkojensa luvut Napier
Page 49 and 50: Hyvä viinivuosi 1612 inspiroi Kepl
Page 51 and 52: 7.3 Descartes, Fermat ja analyyttin
Page 53 and 54: perusteella. Potenssisumman n k p k
Page 55 and 56: 7.5 Tangenttikonstruktioita Matemaa
Page 57 and 58: Barrow esitti tämän asian, joka o
Page 59 and 60: Newtonin differentiaalilaskennan pe
Page 61 and 62:
hallintotehtävät, ensin Mainzin a
Page 63 and 64:
Osittain juuri tällaisista syistä
Page 65 and 66:
Johann Bernoulli oli Leibnizin aggr
Page 67 and 68:
lausekkeeksi, milloin koordinaatist
Page 69 and 70:
jos x = y√1 − c4 ± c 1 − y4
Page 71 and 72:
tunnetaan, f:n derivaatat voidaan i
Page 73 and 74:
ollut kaikin puolin loogisesti moit
Page 75 and 76:
empiiristen havaintojen perusteella
Page 77 and 78:
avaruuden geometrista rakennetta my
Page 79 and 80:
Cauchy on Eulerin jälkeen kaikkien
Page 81 and 82:
pintaa. Tästä oivalluksesta alkun
Page 83 and 84:
Lukujonoihin perustuvan reaaliluvun
Page 85 and 86:
jellyimmissä muodoissaan synteetti
Page 87 and 88:
metrisen kirjan 26-sivuisena liitte
Page 89 and 90:
13 Algebran kehitysvaiheita 1800-lu
Page 91 and 92:
Epäkommutatiivisen algebran keksij
Page 93 and 94:
14 Matemaattinen logiikka ja joukko
Page 95 and 96:
Toisaalta Cantor osoitti, että rea
Page 97 and 98:
todennäköisyys on noin 2 2t2 −
Page 99 and 100:
matematiikan piirissä hänen kest
Page 101 and 102:
kansanedustaja ja toimi 1920-luvull
Page 103 and 104:
Turun akatemia siirtyi Turun palon
Page 105 and 106:
kehittynyt mm. automaatien teorian
Page 107 and 108:
18 Laskulaitteista ja tietokoneista
Page 109 and 110:
18.3 Matematiikka ja tietokoneet Jo
Page 111 and 112:
poliittisiin ristiriitoihin 1930-lu
show all

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?