Operadores diferenciales - OCW UPM

Dpto. Física y Mecánica
Operadores diferenciales

Se denominan líneas coordenadas de un espacio
euclídeo tridimensional a aquellas que se obtienen
partiendo un punto dado P de coordenadas (q (q1, 1, q q2, 2, q q3), 3),
variando una de ellas y manteniendo fijas las otras dos.
Si las líneas coordenadas son ortogonales en un punto
las coordenadas se denominan coordenadas
ortogonales. Por ejemplo, las coordenadas cartesianas
(x,y,z) son ortogonales, al igual que los son las
coordenadas d d cilíndricas ilí d i ( (r, ϕ,z) ) y llas coordenadas d d
esféricas (r, θ,ϕ).
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En matemáticas un operador diferencial es un operador lineal
definido como una función del operado de diferenciación.
El uso más común del operador diferencial es realizar la
derivada en sí misma.
Considerando que la variable es x, la notación más común de
éste operador es
d
dx
Las sucesivas derivadas se expresan por
2 3 n
d d d
, ,...
2 3 n
dx dx dx
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Cuando se consideran derivadas respecto a variables
diferentes las derivadas parciales pueden escribirse como:
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
Las sucesivas derivadas se expresan por
2 2 2
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
2 2 2
......................
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
n n n
n n n
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Y las derivadas parciales cruzadas
2 2 2 2 2 2
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, , , , ,
∂∂ x y ∂∂ y x ∂∂ x z ∂∂ z x ∂∂ y z ∂∂ z y
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Líneas í coordenadas
Se denominan líneas coordenadas de un espacio euclídeo
tridimensional a aquellas que se obtienen partiendo un punto
dado P de coordenadas (q 1,q 2,q 3), variando una de ellas y
manteniendo fijas las otras dos.
Si las líneas coordenadas son ortogonales en un punto las
coordenadas se denominan coordenadas ortogonales ortogonales. Por
ejemplo, las coordenadas cartesianas (x,y,z) son ortogonales,
al igual que los son las coordenadas cilíndricas (r, ϕ,z) y las
coordenadas esféricas (r, θ,ϕ).

Líneas í coordenadas
TTomando d tres vectores tangentes a cada d lí línea en un punto,
se obtienen tres vectores ortogonales entre sí, pero no
unitarios unitarios.
�
e
i
�
∂r
=
∂ q
Para obtener un sistema ortonormal, se divide cada vector
por su módulo ód l
hi( q1, q2, q3) =
�
ei
�
∂r
=
∂
q
enominado factor de escala
i
i

Líneas í coordenadas
Dado un conjunto de
coordenadas (q1, 1 q2, 2 q3) 3 sobre
un espacio euclídeo, cuyas
líneas son ortogonales entre sí,
se puede d construir t i una bbase
ortonormal en cada punto a
partir de los vectores tangentes
en cada una de las líneas
coordenadas.
q3
u1 �
u3 �
u �
u
2
q1
q2

Factor de escala
En el cálculo vectorial se definen unas cantidades cantidades,
denominadas factor
proporción entre lo
de escala
que varía
hi, que representan
una coordenada y
la
el
desplazamiento que produce esta variación.
∂r �
� ∂r
hi( q1, q2, q3) = ei
=
∂q
A partir ti dde lla expresión ió siendo i d
�
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2
2 ∂r
� dx � dy � dz � dx � dy � dz � dx � dy � dz
( h i ) = = e x + e y + e z = e x + e y + e z · e x + e y + e z
∂ ∂qi
ddqi ddqi ddqi dq d i dq d i dq d i dq d i dq d i dq d i
i

Factor de escala
( h )
i
2
2 2 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z
⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ +
⎜ ⎟
⎝∂qi ⎠ ⎝∂qi ⎠ ⎝∂qi ⎠
dde donde d d el l factor f t de d escala l se expresa mediante di t la l expresión ió
h
i
2 2 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z
⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝∂qi ⎠ ⎝∂qi ⎠ ⎝∂qi ⎠

Factor de escala
Considerando un sistema de coordenadas cartesianas (x (x,y,z) y z) y
un sistema de coordenadas curvilíneas (q1, q2, q3). Las coordenadas cartesianas se pueden expresar en función
de las coordenadas curvilíneas mediante relaciones de la
forma
x=x(q 1 q 2 q 3)
x x(q 1, q 2, q 3)
y=y(q 1, q 2, q 3)
z=z(q 1, q 2, q 3)

Factor de escala
Conociendo estas relaciones los factores de escala (h ( 1, 1, h2, 2, h3) 3)
se determinan mediante las expresiones
h
h
2
1
h
2 2 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z
⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝∂q1⎠ ⎝∂q1⎠ ⎝∂q1⎠ 2 2 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y y ⎞ ⎛ ∂z⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝∂q2 ⎠ ⎝∂q2 ⎠ ⎝∂q2 ⎠
3
2 2 2
⎛ ∂x⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z
⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ ∂ q q3 ⎠ ⎝ ∂ q q3 ⎠ ⎝ ∂ q q3
⎠

Factor de escala en coordenadas cartesianas
Cuando el sistema de coordenadas es el de coordenadas
cartesianas ( q1, q2, q3) = ( x, y, z)
, los vectores unitarios definidos
� � � � � �
sobre cada una de las direcciones son ( u , u , u ) = ( i, j, k)
1 2 3
La relación entre coordenadas es (x=x, y=y, z=z), y los
ffactores t dde escala l son
2 2 2
⎛∂x⎞ ⎛∂y⎞ ⎛∂z⎞ h 1 = h x = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1
⎝ ⎝∂x ⎠ ⎝ ⎝∂x ⎠ ⎝ ⎝∂x ⎠
2 2 2
⎛∂x⎞ ⎛∂y⎞ ⎛∂z⎞ h h2 = h hy
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1
⎝∂y⎠ ⎝∂y⎠ ⎝∂y⎠ 2 2 2
⎛∂x⎞ ⎛∂ y ⎞ ⎛∂z⎞ h h3= h hz=
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1
⎝∂z⎠ ⎝∂z ⎠ ⎝∂z⎠

Factor de escala en coordenadas cilíndricas
Cuando el sistema de coordenadas es de coordenadas
cilíndricas ( q 1 1, q 2 2, q 3 3)
) = ( r, ϕϕ
, z)
) ,los vectores unitarios definidos sobre
cada una de las direcciones son � � � � � �
( u ,la relación
1, u2, u3) = ( ur, uϕ, k)
entre coordenadas es
x= rcosϕ y = rsenϕ
z =
z

Factor de escala en coordenadas cilíndricas
LLos ffactores t dde escala l son
2 2 2
⎛ ∂ x ⎞ ⎛ ∂ y ⎞ ⎛ ∂ z ⎞
2 2
h1= hr= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ( cosϕ) + ( senϕ)
= 1
⎝∂r ⎠ ⎝∂r ⎠ ⎝∂r⎠ 2 2 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z
⎞
2 2
h2 = hϕ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ( − rsenϕ) + ( r cosϕ)
= r
⎝ ⎝∂ϕϕ ⎠ ⎝ ⎝∂ϕϕ ⎠ ⎝ ⎝∂ϕϕ ⎠
2 2 2
⎛ ∂ x ⎞ ⎛ ∂ y ⎞ ⎛ ∂ z ⎞
h3= hz=
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1
⎝∂z⎠ ⎝∂z ⎠ ⎝∂z⎠

Factor de escala en coordenadas esféricas
Cuando el sistema de coordenadas es de coordenadas
esféricas ( q1, q2, q3) = ( r, ϕ,
z)
los vectores unitarios definidos sobre
� � � � � �
cada una de las direcciones son ( u1, u2, u3) = ( ur, uθ, u,
ϕ ) la relación entre
coordenadas cartesianas y esféricas es
x = rsenθ rsenθ cos cosϕϕ
y = rsenθ senϕ
z =
r
cosθ

Factor de escala en coordenadas esféricas
Los factores de escala son
2 2 2
⎛∂x⎞ ⎛∂y⎞ ⎛∂z⎞ 2 2 2
h h1 = h hr = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ( sen senθθ cos ϕϕ ) + ( sen senθθ sen senϕϕ
) + (cos ϕϕ
) = 1
⎝∂r ⎠ ⎝∂r ⎠ ⎝∂r⎠ 2 2 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z
⎞
2 2 2
h2 = hθ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ( r cosθcosϕ) + ( r cos θsenϕ) + ( − rsenθ) = r
⎝∂θ ⎠ ⎝∂θ ⎠ ⎝∂θ ⎠
2 2 2
⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z
⎞
2 2
h3 = hϕ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ( − rsenθ senϕ) + ( rsenθcosϕ) = rsenθ
⎝ ∂ ∂ϕϕ ⎠ ⎝ ∂ ∂ϕϕ ⎠ ⎝ ∂ ∂ϕϕ
⎠

Un operador diferencial vectorial es un operador lineal
que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una
variedad diferenciables
El operador vectorial nabla es un operador matemático que
tiene carácter vectorial; sin embargo carece de algunas de las
propiedades de las que gozan las magnitudes vectoriales,
como por ejemplo el módulo módulo.
En coordenadas coo de adas cartesianas ca tes a as se expresar epesapor po
� ∂ � ∂ � ∂ �
∇ = i + j + k
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z

Si el operador nabla se aplica escalarmente a un escalar se
obtiene el gradiente de dicha función escalar; si se aplica
escalarmente esca a e te a un u vector ecto se obtiene obt e e laa divergencia d e ge ca de laa
función vectorial.
Si el operador nabla se aplica vectorialmente a una función
vectorial se obtiene el rotacional de la función vectorial

Gradiente de un campo escalar f(q 1,q 2q 3)
Dada un campo escalar, escalar el gradiente de dicha función es un
campo vectorial, que en coordenadas curvilíneas se expresa
mediante ed a te la a ecuac ecuación ó
� 1 ∂f � 1 ∂f � 1 ∂f � ⎛ 1 ∂ � 1 ∂ � 1 ∂ � ⎞
∇ f = u1+ u2 + u3 = ⎜ u1+ u2 + u3 ⎟ f
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3 ⎝h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
⎠
Siendo
� ⎛ 1 ∂ � 1 ∂ � 1 ∂ �
⎞
∇= ⎜ u1+ u2 + u3
⎟
⎝h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
⎠

Gradiente de un campo escalar f(q 1,q 2q 3)
EEn un sistema i t de d coordenadas d d cartesianas t i
� ∂f � ∂f � ∂f
�
∇ f = i + j + k
∂x ∂y ∂z
En coordenadas cilíndricas
� ∂f � 1 ∂f � ∂f
�
∇ f = u + uϕ+ u
∂ r r ∂ ∂ϕϕ ∂ z
Y en coordenadas esféricas
r z
� ∂f � 1 ∂f � 1 ∂f
�
∇ f = ur+ u + u
∂ r r ∂ ∂θθ rsen rsenθθ
∂ ∂ϕϕ
θ ϕ

Divergencia de un campo vectorial
�
Dado un campo vectorial vq ( 1, q q2, q q3
) , la divergencia de dicho
campo es un campo escalar, que se puede expresar como la
aplicación ap cac ó de del ope operador ado nabla ab a escalarmente esca a e te po por eel ca campo po
vectorial
� � ⎛ 1 ∂ � 1 ∂ � 1 ∂ � ⎞ � � �
∇ v = ⎜ u + u + u ⎟·
vu + v u + v u
⎝ h q h q h q ⎠
( )
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 ∂ 1 2 ∂ 2 3 ∂ 3
� �
⎛ 1 ∂ ∂v 1 ∂ 1 ∂ ⎞ 1 ⎛∂( hh) ∂( h h) ∂(
hh ) ⎞
1 1 ∂v2
1 ∂v ⎞ 3 1 ⎛∂( vhh 1 2 3) ∂( hv 1 2h3) ∂(
hh 1 2v3) ⎞
∇ v = ⎜ + + ⎟= ⎜ + + ⎟
⎝h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3 ⎠ hh 1 2h3 ⎝ ∂q1 ∂q2 ∂q3
⎠

En un sistema de coordenadas cartesianas
� � ∂v ∂v
∂v
∇ v = + +
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
En coordenadas cilíndricas
Y en coordenadas d d esféricas fé i
x y z
� � 1 ∂( rv ) 1 ∂ ( vϕ
) ∂v
∇ v = + +
r ∂r r ∂ϕ∂z r z
� 2
� 1 ∂(
rvr)
1 ∂(
senθ v ) 1 ∂v
θ
ϕ
∇ v = + +
2
r ∂ ∂rrsenθθ ∂ ∂θθ rsenθθ
∂ ∂ϕϕ

Rotacional de un campo vectorial
�
Dado un campo vectorial vq ( ) , el rotacional de es el
1, q2, q3)
producto vectorial, del operador nabla por el vector, lo que
resulta
� �
∇∧ v =
� � �
hu hu hu
1 1 2 2 3 3
1 ∂ ∂ ∂
hhh ∂ q ∂ q ∂
q
hv hv hv
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3

En un sistema de coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas í
Y en coordenadas esféricas
�
ur �
ruϕ �
uz
� � 1 ∂
∇∧ v =
r ∂r ∂
∂ϕ ∂
∂z
� �
∇∧ v =
v rv v
r ϕ z
1
i j k � � �
j
� � ∂
∇∧ v =
∂x ∂
∂y ∂
∂z
r
2
rsen r
vxvy vz
� � �
u ru rsenθu θ ϕϕ
∂ ∂ ∂
θ ∂ ∂θ ∂ϕ
v rv rsenθθv r
θ ϕ

Laplaciano de un campo escalar f(q 1,q 2q 3)
La expresión del laplaciano de un campo escalar f es un
campo escalar, que en coordenadas curvilíneas se expresa
mediante la ecuación
⎡ ∂ ⎛hh∂f ⎞ ∂ ⎛hh ∂f ⎞ ∂ ⎛hh ∂f
⎞⎤
2 1 ⎡ ∂ ⎛hh 2 2∂f ⎞ ∂ ⎛hh 1 1∂f ⎞ ∂ ⎛hh 1 2∂f
⎞⎤
Δ f =∇ f = 3 ⎢ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+
⎜ ⎟⎥
hhh 1 2 ⎢⎣ ∂q1⎝ h1 ∂q1⎠ ∂q2⎝ h2 ∂q2⎠ ∂q3⎝ h3 ∂q3⎠⎥⎦

En un sistema de coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas
2 2 2
∂ f ∂ f ∂ f
Δ f = + +
2 2 2
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ⎛∂ ⎞ ∂
Δ f = ⎜ r ⎟ + ⎜ ⎟ +
r ∂r⎝ ∂r ⎠ r ⎝∂ϕ⎠ ∂z
2 2
f f f
2 2 2
Y en coordenadas d d esféricas fé i
2
1 ∂ ⎛ 2 ∂f⎞ 1 ∂ ⎛ ∂f ⎞ 1 ⎛∂ f ⎞
Δ f = ⎜r ⎟+ senθ
2 ⎜ ⎟+
2 2 ⎜ 2 ⎟
r ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ r sen senθθ ∂ ∂θθ ⎝ ∂ ∂θθ ⎠ r sen θθ ⎝ ∂ ∂ϕϕ
⎠