Decisiones de inversion para valoracion financiera de proyectos y empresas

A mis hijos, Ligia Teresa y Nacho, por todos los
silencios que hay en este libro.
A mis nietos Juan Vicente, Juan Cristóbal y Emilio

Presentación
Han sido semanas de espera, largas como la sombra del atardecer en
la arena.
Julio 25 de 1993
Anda el tiempo, anda el tiempo sin cesar...
Eduardo Carranza
El desarrollo de este material se inició en 1969, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad
de los Andes, cuando hacía el curso Análisis de decisiones de inversión, el ya famoso Anadec, en la
honrosa compañía de Ulpiano Ayala, como profesor, y Manuel Rodríguez Becerra, como monitor.
Después se mejoró en varias etapas, tanto en la Universidad de los Andes, entre 1979 y 1981 y entre
1986 y 1988, en el Departamento de Ingeniería Industrial, en el Magíster en Dirección Universitaria,
en la Especialización en Finanzas y en el programa de pregrado de la Facultad de Administración,
como en la Universidad Javeriana, entre 1981 y 1984, en el programa de Posgrado en Economía en la
Facultad de Estudios Interdisciplinarios y en el Departamento de Administración. En 1994, la
Superintendencia del Subsidio Familiar publicó la primera edición de este texto, bajo el título de
Evaluación financiera de proyectos de inversión. En Compuclub Ltda., entre 1994 y 1998, hice
algunas versiones parciales del capítulo “El valor del dinero en el tiempo”, que mejoró
ostensiblemente el enfoque pedagógico. También entre 1994 y 1998, en la Universidad Javeriana, el
texto sufrió una revisión total y completa. En las ediciones segunda y tercera se hicieron mejoras
interesantes; en la cuarta edición se hizo hincapié en el enfoque de valoración de empresas. En los
años recientes, en el Politécnico Grancolombiano, el libro sufrió cambios estructurales y conceptuales
importantes que me llevaron a modificar una vez más el título. Como se deduce, éste es un trabajo de
acumulación de experiencias y reflexiones de muchos años. Y lo que falta...
Cada capítulo contiene un número de ejercicios o casos que se puede asignar para trabajarlos
en clase o para elaborarlos fuera de ella. Al final de cada capítulo se presenta una bibliografía que
consta de abundantes títulos de libros y artículos clásicos sobre el tema, de manera que constituye una
fuente de información que permite al estudioso profundizar en diferentes aspectos.
Este texto, además, está acompañado de varias ayudas para estudiantes y profesores, que se
encuentran en http://www.poligran.edu.co/decisiones (hay un sitio similar en la Universidad
Javeriana, en http://www.javeriana.edu.co/decisiones). Allí se dispone del programa diario de un
curso de 64 horas, de diapositivas para cada capítulo, de varios glosarios, de un banco de preguntas
frecuentes, del libro en versión electrónica, de las erratas que pueda tener este libro, de acceso a bases
de datos financieros y económicos, de archivos de Excel con ejemplos, de lecturas adicionales y de
las respuestas de muchos ejercicios.
Se sugiere al lector que utilice la hoja de cálculo para hacer más eficaz el aprendizaje de los
conceptos y herramientas. Los profesores interesados en las diapositivas pueden utilizar las
presentaciones que aparecen en la red o pueden comunicarse con el autor. Todos los lectores están
invitados a hacer comentarios sobre el libro y sobre la página en internet, ya mencionada.
En esta ocasión se han revisado varios capítulos, reescrito otros y añadido algunos
prácticamente nuevos, y es un proceso que parece no acabar nunca, pues siempre aparecen nuevas
formas de presentar algunas ideas, o nuevas ideas que aclaren los conceptos ya escritos. La novedad
de esta edición radica en varios aspectos: uno es el tratamiento detallado sobre cómo hacer

proyecciones de los estados financieros para llegar a construir los flujos de caja necesarios con los
cuales evaluar un proyecto o valorar una firma (que fundamentalmente es lo mismo); se rescribió el
capítulo del costo de capital y se enfocó hacia su cálculo correcto, teniendo en cuenta los valores de
mercado de la firma. En este capítulo se ilustra la forma, poco utilizada, de resolver el problema ya
conocido de la circularidad, entre el valor presente de los flujos de caja (valor de mercado) y el costo
de capital. Así mismo se modificó el capítulo de la construcción de flujos de caja y cálculo del valor
terminal o de continuación. El enfoque de los capítulos 7 a 9 contempla la presentación del material
en el cuerpo de cada capítulo de la manera más sencilla (pero correcta) de construir flujos de caja; lo
mismo ocurre con el capítulo del costo de capital. Las otras maneras (más complicadas) de construir
los flujos de caja, el cálculo del costo de capital y el valor de la firma se encuentran en los apéndices
de los capítulos respectivos.
Este libro puede ser utilizado para cursos de diferentes niveles. Por ejemplo, con los capítulos
2 y 3 se puede conducir un taller corto de unas 25 horas sobre matemáticas (aritmética) financieras
básicas. Los cuatro primeros capítulos permiten un curso-taller un poco más amplio, de unas 40
horas. Si se desea cubrir todo el material, se puede trabajar un curso de un semestre, de unas 64 horas
de duración. Para el capítulo 12 se requieren los conocimientos básicos de probabilidad y estadística.
En este capítulo se han incluido la metodología del proceso analítico jerárquico (Analytical
Hierarchic Process [AHP]) del profesor Thomas L. Saaty y una breve introducción a las opciones
reales.
A un lector que ya haya sido expuesto al tema de las matemáticas financieras, le conviene
estudiar los capítulos 3 a 11, pues le permiten tener una visión crítica de las diferentes metodologías
de análisis. El último capítulo es clave para exponer al lector al tema del riesgo y la incertidumbre.
Para un taller de valoración, desde el supuesto que ya se conocen las bases del valor del dinero en el
tiempo, recomendaría, sin duda, los capítulos 5 a 10. El libro también puede ser utilizado para un
taller sobre construcción de estados financieros proyectados. Para este fin el lector puede usar los
capítulos 5 y 6, que muestran paso a paso cómo proceder para hacer estas proyecciones.
En todas las versiones y en el estudio independiente del libro se sugiere con mucho énfasis
que el trabajo con el texto vaya acompañado de la revisión cuidadosa de los archivos de Excel que se
mencionan a lo largo de éste. Estos archivos, como ya se anunció, están disponibles en la página de
internet. Si algún lector tiene dificultad en bajar los archivos, por favor comuníquese a cualquiera de
las direcciones al pie de esta presentación o a través de la página en internet.
Reconozco con gran satisfacción el aporte generoso de los numerosos estudiantes de cursos de
pregrado y posgrado y de seminarios para ejecutivos y visitantes asiduos de la página de internet ya
mencionada, quienes con sus observaciones y comentarios enriquecieron y mejoraron el contenido de
este material.
Para aquel lector que por su formación esté prevenido contra los temas aquí tratados, sobre
todo por esos nombres horribles como matemáticas financieras, lo invito a que, como dice Benedetti,
“no alerte los fusiles ni piense qué delirio”. Para estudiar este texto no se necesita saber nada más que
sumar, restar, multiplicar y dividir. Es más fácil que estudiar a Heidegger, a Freud o a Durkheim, y, lo
sé, menos divertido que leer al mismo Benedetti o a García Márquez. Sin embargo, si el lector no se
aproxima al tema con el espíritu desarmado, se le va a convertir en un calvario, y uno debe trabajar y
estudiar con alegría. Así se hace más fácil el andar.
No me canso de prevenir una vez más a los lectores (como en ediciones anteriores); por eso,
como decía don Antonio Machado en boca de Juan de Mairena: “desconfíen de lo que yo como
profesor les diga, aunque parezca muy elegante y convincente”. Invito a que se aborde la lectura de
este texto con el espíritu más crítico y alerta; el trabajo intelectual debe ser sometido a escrutinio
implacable, ya que ésa es la única forma de garantizar su calidad. Queda, amigo lector, invitado a que
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manifieste sus observaciones y comentarios para que este trabajo pueda mejorarse en futuras
ediciones.
Ignacio Vélez Pareja
Bogotá, septiembre de 2005
ivelez98@yahoo.com
ivelez@poligran.edu.co
15

1
Las decisiones de inversión en la firma
¿Qué camino debo seguir? –según a donde quiera llegar– observó
el Gato.
– Me es absolutamente igual un sitio que otro... –dijo Alicia.
–Entonces también da lo mismo un camino que otro –añadió el
Gato.
Lewis Carrol, Alicia en el país de las maravillas
Este capítulo tiene como objetivo mostrar un contexto general para enmarcar el quehacer del gerente en
cuanto a la toma de decisiones de inversión. Utiliza el concepto de modelo como alternativa para
visualizar la realidad y hace hincapié en la necesidad de que los modelos construidos reflejen esta
realidad, si bien en forma sencilla y sintética, de manera fiel y práctica.
Se estudian situaciones relacionadas con alternativas cuantificables en términos económicos y a las
cuales se les puede asociar una serie de beneficios netos o egresos netos en dinero; estas cantidades de
dinero se pueden ubicar en el futuro, lo cual implica que las decisiones tienen un determinado grado de
incertidumbre. En algunos casos los resultados asociados a un determinado curso de acción son muy
difíciles de evaluar en términos monetarios. Algunas de las consideraciones difíciles de cuantificar son de
tipo ético, moral, social, económico, político, estético, etc., y por el hecho de no ser cuantificables no
deben ser despreciadas.
De hecho, muchas decisiones que aparentemente desde el punto de vista económico y financiero son
aceptables son rechazadas por los decisores. El analista de proyectos sólo tiene en cuenta los elementos de
tipo económico y financiero cuantificables y muchas veces su recomendación no es atendida por la alta
dirección; no debe pensarse que la evaluación fue incorrecta o que ella no se tuvo en cuenta. Lo que suele
suceder es que quien toma la decisión final involucra más elementos de juicio que no se encuentran en el
análisis económico de las alternativas.
Aquí se estudia una dimensión del problema: la económica; existen aquellos otros elementos de juicio
no cuantificables que siempre se deben tener en cuenta para decidir, aunque no haya sido posible
expresarlos en términos monetarios. A fin de manejar este tipo de características se presenta una
metodología para estos casos. Sin pretender que la realidad es determinística, y sólo para efectos de un
adecuado manejo conceptual del problema, durante los primeros capítulos se va a trabajar desde el
supuesto de certidumbre total. Al final se elimina este supuesto y se analiza el problema de decisión,
suponiendo incertidumbre hacia el futuro.
Más aún, muchos proyectos fracasan porque para aceptarlos sólo se tienen en cuenta los aspectos
financieros. Se pueden considerar algunas causas de fracaso de los proyectos:
• Metodología inadecuada de evaluación (véase Capítulo 6 y Epílogo).
• Falta de seguimiento y control.
• Ausencia de análisis del riesgo, ya sea por medio del análisis de sensibilidad o de consideración y
cuantificación explícita del riesgo (véanse capítulos 6 y 9).
En realidad, no es sólo que se deban hacer otras consideraciones, también debe tenerse presente que el
proceso de decisión no está claramente entendido. Aquí se ha supuesto un decisor individual con total
racionalidad y, además, racionalidad económica. Esto no siempre es cierto. La realidad es que el decisor,
cuando actúa para sí mismo o como un agente (como gerente), no puede dejar de lado su aprehensiones,
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temores, odios, amores y debilidades. Es inevitable. Muchas veces este decisor no actúa solo, sino que está
obligado a tomar decisiones en grupo, y eso introduce nuevos elementos de análisis. Lo que se pretende es
proporcionar unos elementos o instrumentos de ayuda para la toma de decisiones que tienen que
complementarse con otras consideraciones.
1.1 Modelos
Para analizar estas situaciones es necesario simplificar la realidad; una manera de hacerlo es representarla
por medio de un modelo.
Cuando se representa una realidad, generalmente se crea un modelo. Esta representación será tan
detallada y precisa como se desee y se pueda en términos de recursos. Sobre la necesidad de sintetizar y
analizar un problema real, Wilson dice:
Aun las más restringidas porciones del mundo real son demasiado complejas para ser
comprendidas con detalles completos y exactos por el ser humano. Debido a una cosa, que bajo
una observación muy refinada se encuentra que es imposible despreciar las interacciones con el
resto del Universo. Como consecuencia, es necesario ignorar muchas de las características reales
de un evento bajo estudio y hacer abstracción de ciertos aspectos de la situación real, que en
conjunto dan una versión idealizada del evento real. Esta idealización, si es exitosa, proporciona
una aproximación muy útil de la situación real. (Wilson, 1952, p. 32)
Existen diversas clases de modelos, de acuerdo con el modo de representar la realidad y de acuerdo con el
uso.
1.1.1 Según el modo de representar la realidad
Los modelos se pueden clasificar, en cuanto a la forma como representan la realidad, en:
1. Diagramas.
2. Caja negra.
3. Causa-efecto.
4. Modelos físicos.
Los modelos basados en diagramas son una forma esquemática de presentar una realidad. Indican
relaciones, flujos, posiciones, etc. Ejemplos de estos modelos son los organigramas que indican posiciones
y eventualmente relaciones entre los miembros de una organización. Al trabajar con movimientos de
dinero, en este texto se utilizan diagramas que ilustran los flujos de dinero.
El modelo de caja negra no explica qué sucede dentro del modelo. Se piensa que el proceso generador
interno se desconoce y sólo se sabe qué entra (insumo) y qué sale (producto); por esto se conoce también
con el nombre de insumo-producto.
En los modelos de causa-efecto se sabe cómo se comporta la realidad y se puede establecer una relación
de causa y efecto entre variables de entrada y salida. En algunos casos, la forma en que se comporta el
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modelo se puede expresar en forma matemática. En este texto también se utilizan modelos matemáticos
que pueden ser una combinación de los dos últimos.
Por último, los modelos físicos tratan de representar la realidad, sin llegar a ser tan esquemáticos como
los anteriores. Dentro de esta clasificación se pueden incluir las maquetas (tridimensionales) y los mapas y
planos (bidimensionales).
1.1.2 Según el uso
Cuando los modelos se clasifican de acuerdo con el uso que se les da, se pueden encontrar dos grandes
categorías: normativos y descriptivos.
Los modelos normativos son una manera teórica de concebir una realidad: muestran cómo se debe
operar. Como su nombre lo indica, establecen unas reglas de funcionamiento. Este tipo de modelo no
siempre coincide con la realidad. En un organigrama se muestra que el rector de una universidad es la
máxima autoridad; sin embargo, puede existir una estructura informal que no aparece en el modelo, por
ejemplo, el vicerrector, la autoridad real dentro de la organización.
Los modelos descriptivos tratan de representar la realidad tal como la percibe un observador. Por
ejemplo, un investigador puede observar el funcionamiento del proceso de decisión de una organización y
posteriormente elaborar un modelo que describa lo visto.
Algunos (Keeny y Raiffa, 1976) piensan que existen, además, modelos prescriptivos, que indican la
manera en que un decisor debería enfocar sistemáticamente un problema y tomar decisiones. Estos autores
abren la posibilidad de pensar en que realmente la clasificación de acuerdo con el uso no es muy clara y
que los modelos no son estrictamente normativos, ni estrictamente descriptivos.
Como ilustración de un modelo (mapa conceptual) presentamos el mapa conceptual del objeto básico de
este libro. Sobre mapas conceptuales y ayudas de estudio hay alguna información en
http://www.poligran.edu.co/decisiones, en la opción “Ayudas de estudio”.
18

Figura 1.1 Mapa conceptual básico del tema a estudiar en este libro
19

1.2 Decisiones
En la vida de las organizaciones o del individuo siempre se presentan situaciones por resolver. Las
formas de solucionarlas son variadas y, por lo general, con recursos escasos. Esta es la razón por la cual
existen la economía y la administración, y su tarea es precisamente la toma de decisiones. Al presentarse
diversas alternativas de solución, es razonable pensar en seleccionar la mejor de ellas. Aquí el término
mejor puede tener diversos significados, según los objetivos del decisor.
La función de un gerente es tomar decisiones. Se enfrenta a un problema cuando hay escasez de
recursos (restricciones) y varias soluciones. Cuando en la práctica hay exceso o cantidades ilimitadas de
recursos, no hay dificultades en la elección. Sin embargo, siempre, aun en la abundancia, habrá que
escoger un curso de acción. Un problema tiene seis componentes:
1. La persona que lo enfrenta. En general, se llamará el decisor. Éste puede ser o un individuo o una
organización.
2. Las variables controlables por el decisor. Son aquéllas sobre las cuales un decisor puede influir de manera
efectiva.
3. Las variables no controlables o del entorno. Son aquéllas sobre las cuales el decisor no tiene influencia
alguna.
4. Las alternativas. En el proceso de análisis de la situación para hallar una solución se encuentran
alternativas que resuelven el problema. Estas alternativas de solución son los diferentes cursos de
acción que cumplen las restricciones.
5. Las restricciones. Algunas variables o combinaciones de variables pueden tener una o más
restricciones que deben satisfacerse. Es preciso recordar que la toma de decisiones no es un ejercicio
obvio ni trivial, debido precisamente a la escasez de recursos (léase, restricciones).
6. La decisión. Se trata de escoger una alternativa que sea eficiente, que produzca resultados
satisfactorios, en relación con lo que el decisor valora o aprecia. Aquí eficiencia se entiende por una
alta relación entre los resultados obtenidos y los recursos empleados.
Entre estas soluciones o alternativas satisfactorias habrá una que es la mejor y se llama óptima. Si se busca la
mejor, se está optimizando. Se puede tratar de encontrar una solución o alternativa que produzca resultados
satisfactorios y no óptimos. Hay que escoger entre alternativas:
1. Cuando hay por lo menos dos cursos de acción posibles.
2. Cuando esos cursos de acción tienen por lo menos dos valores diferentes entre sí.
3. Cuando los cursos de acción tienen diferente eficiencia y efectividad.
Ahora bien, se debe precisar que no todo lo que implica escogencia es un problema, pero todo problema
sí exige una escogencia.
20

1.3 La sicología y la toma de decisiones
Von Neuman y Morgenstern (1947) propusieron en 1944 la llamada teoría de la utilidad y
establecieron unos axiomas o supuestos sicológicos para individuos que se enfrentan a situaciones como
las mencionadas arriba.
Se trata de que para que el decisor pueda escoger uno de los diferentes cursos de acción deberá cumplir
ciertas condiciones que le permitan elegir entre distintas alternativas. Estas condiciones se pueden
identificar como los siguientes supuestos o axiomas:
1. Preferencia: cuando a un individuo se le presentan dos alternativas, A y B, entonces actuará de una de
las maneras siguientes:
1.1 Es indiferente entre A y B.
1.2 Prefiere A.
1.3 Prefiere B.
2. Transitividad: cuando un decisor se enfrenta a tres alternativas, A, B y C, podrá decir lo siguiente:
2.1 Si es indiferente entre A y B y prefiere B a C, entonces prefiere A a C.
2.2 Si prefiere A a B y es indiferente entre B y C, entonces prefiere A a C.
2.3 Si es indiferente entre A y B y entre B y C, entonces es indiferente entre A y C.
3. Preferencia a la recompensa: este supuesto dice que los individuos prefieren más de un bien deseable que
menos. Aquí, bien debe entenderse en su forma más amplia, o sea, un individuo al calcular lo que recibe
cuando toma una decisión, está teniendo en cuenta bienes no tangibles y tangibles. Esto simplemente
significa que un individuo racional prefiere obtener más de un bien deseable que menos. En el contexto de
este libro se supone que el dinero es un bien deseable (esto no es siempre cierto y se pueden encontrar
múltiples ejemplos que ilustran este hecho).
Sobre los problemas que existen alrededor de teorías como las de Von Neuman y Morgenstern se
recomienda la lectura del trabajo de Heap y otros (1997). En la realidad, el decisor debe ser capaz de
leerla desde diversos puntos de vista, a saber 1 :
1. El nivel científico o técnico. Es decir, todo aquello que se puede medir y representar con un número.
Esto es lo más fácil y tiende a responder la pregunta de si es o no viable. La ventaja de este punto de
vista es que maneja un lenguaje universal y sin aparente confusión; se supone que es claro y que son
modelos normativos que indican si se debe hacer algo o no.
2. El nivel organizacional o legal. Esto se refiere a si está o no prohibido por la ley o por normas internas de
una organización. Aquí no se trata de valoraciones éticas, sino de las estrictamente legales o culturales.
Esto significa que la solución que es válida en un contexto, puede no serlo en otro.
3. El nivel de la calidad del comportamiento de las personas que están involucradas en el problema.
4. El nivel de las motivaciones, propósitos, implícitos o explícitos de las personas involucradas. Aquí
hay que considerar varios tipos de motivaciones: personales, institucionales y altruistas; todas son
válidas.
1 Dherse, Jean Paul, The Caux Roundtable Principles, conferencia presentada ante la International Association of Jesuit Business
Schools, Los Angeles, julio de 1996.
21

Aquellos que consideran sólo los dos primeros puntos de vista actúan como unos bárbaros, al
desconocer variables que afectan la decisión y lo más seguro es que tomen decisiones erróneas. Los que
sólo se concentran en los dos últimos niveles actúan como ingenuos y piensan que están tratando con
ángeles; como si la realidad fuera otra. También tomarán decisiones equivocadas. Tanto los unos como los
otros destruyen al ser humano, porque de una u otra forma se puede llegar al totalitarismo.
1.4 Métodos heurísticos
Aunque el propósito es estudiar formas de encontrar soluciones óptimas, a veces esto no es posible y se
recurrirá a un método heurístico. Estos son procedimientos sistemáticos y lógicos, no arbitrarios, y tienen
un alto grado de intuición y subjetividad. Conviene aclarar que lo subjetivo es diferente de lo arbitrario: lo
primero está basado en información recibida de múltiples maneras por el decisor; lo segundo no tiene
fundamento y es caprichoso.
Algunas consideraciones para tener presentes al pensar en trabajar con un modelo heurístico son las
siguientes:
1. Para diseñar un método heurístico, que no busca soluciones óptimas, es necesario conocer a fondo el
problema y poder plantearlo en forma tradicional; hecho esto se pueden visualizar con más facilidad
los procedimientos lógicos de un método heurístico.
2. Los procedimientos o métodos heurísticos no son reglas caprichosas, ni arbitrarias.
3. Los métodos heurísticos requieren de intuición y buen criterio. Estas cualidades no son naturales y se
requiere una cierta formación intelectual, que sólo se logra con el rigor del estudio formal y con la
experiencia, que requiere algún tiempo.
4. La imaginación y la creatividad desempeñan un papel básico y esto sí que es difícil de aprender. Hay
que dejar en libertad la mente, explorar, experimentar y nunca perder la capacidad de asombrarse.
Al hablar de la heurística y la inducción, Gorbaneff (1996) cita el método Bacon-Mill, desarrollado a
partir de los planteamientos de Francis Bacon en su Novum Organum. Este método consiste en dos
teoremas:
1. “Si dos o más casos del fenómeno tienen sólo una circunstancia en común, la circunstancia en la que
únicamente todos los casos concuerdan, es la causa del fenómeno”. Un ejemplo hipotético sería el de
analizar la pobreza en las regiones de un país; si en todas las regiones pobres se encuentra que hay un
nivel muy bajo de educación, y en el resto no, se puede concluir (heurísticamente) que la falta de
educación es una causa de la pobreza (se hace hincapié en que no debe concluirse que es la causa de
la pobreza, porque éste es un fenómeno muy complejo para asignarle una causa única).
2. “Si un caso en el cual el fenómeno ocurre y otro en el que el fenómeno no ocurre tienen todas las
circunstancias en común, salvo una, ésta es la causa [...] del fenómeno”. El mismo ejemplo anterior
puede servir para ilustrar este teorema; si se analizan dos regiones, una pobre y otra no, se puede
asociar a la pobreza (riqueza) el bajo (alto) nivel educativo, si se identifican condiciones comunes,
excepto en el nivel de educación.
22

1.5 Las decisiones financieras en la empresa
La empresa es la unidad básica de la economía, junto con los hogares o unidades familiares; es objeto de
estudio de la microeconomía, pero todo el conjunto de acciones y decisiones que se toman en su interior
constituyen, de manera agregada, el objeto de estudio de la macroeconomía. Las finanzas de la firma son una
extensión operativa de la economía.
La Figura 1.2 ilustra lo que se ha llamado el ciclo de los negocios o ciclo del capital. Es en realidad un
modelo simple de una economía de libre empresa.
En este modelo se contemplan dos unidades económicas: los hogares o unidades familiares y las
firmas. Estas dos unidades interactúan en el mercado de bienes de consumo y servicios y en el mercado
de recursos. Los hogares, poseedores de los recursos, se los venden a las firmas. Los ingresos que
reciben a su vez se utilizan para comprar más recursos y servicios a las firmas. Los ingresos que éstas
reciben sirven para comprar más recursos de los propietarios de esos recursos.
En todo este proceso, se debe generar un superávit para que la economía crezca. Si en el proceso no se
producen estos excedentes, entonces la economía tenderá a desaparecer. Para que aquello ocurra debe
existir ahorro y una capacidad para que el dinero se reproduzca. El ahorro es el excedente de los hogares
que pueden entregar a las firmas; la capacidad de reproducción del dinero es precisamente el papel que
desempeñan los negocios de las empresas en su quehacer cotidiano y que producen, como resultado, el
crecimiento económico.
Dinero
B ienes y s ervicios
Empresas
H ogares
(familias)
Dinero (salarios, dividendos,
intereses, etc. )
Tomada de: Leftwich (1966).
Trabajo y capital
Figura 1.2 El ciclo del capital
1.6 La responsabilidad social de la empresa
La responsabilidad social de la empresa, actividad que produce riqueza, es la razón de ser de las firmas
en la economía. Su propósito es generar una riqueza que debe ser repartida en forma equitativa entre los
diferentes miembros de la sociedad. Este reparto ocurre a través de varios mecanismos: una remuneración
23

justa, que permita una vida digna a los trabajadores; un reparto adecuado de utilidades o dividendos a
quienes han aportado el capital; un pago de intereses razonables a quienes han suministrado los fondos
adicionales para que la empresa pueda operar, y unas transferencias o redistribuciones que hace el Estado,
a través de los impuestos para subsidiar a los pobres, vía el seguro social, organismos de beneficencia,
prestación de servicios comunitarios, etc.
Debe observarse una diferencia, aunque sutil, muy importante: no se trata de producir y acumular la
riqueza para después repartirla. Se trata de generarla y, al tiempo, remunerar con equidad a todos los
factores o actores que intervienen en esa producción. Es necesario tener en cuenta tanto el interés propio –
de los accionistas (stockholders, en inglés)– como el de los otros interesados (stakeholders, en inglés),
llámense trabajadores, clientes, acreedores, proveedores, en fin, la sociedad en general, incluidos los
pobres.
Además, debe insistirse en la importancia de incrementar cuanto sea posible los excedentes que produce la
firma. En la medida en que ello ocurra, la sociedad, como un todo, se beneficiará, ya que habrá más recursos
para repartir. De aquí se concluye que la actividad del gerente es llevar el valor de la firma al máximo.
La tradicional definición que se usa, en cuanto a que el objetivo de la firma es aumentar el valor de los
accionistas, no entra en contradicción con lo dicho atrás. Las empresas deben generar utilidades y aumentar
el valor del accionista, sin detrimento de lograr el beneficio de la sociedad como un todo. La generación de
utilidades y el llevar el valor al máximo para el accionista debe verse como la consecuencia de haber
realizado un buen trabajo para la sociedad.
Cuando una firma produce utilidades y aumenta el valor de sus accionistas, es porque les ha brindado a
todos los interesados, léase a la sociedad, productos y servicios que satisfacen las necesidades reales de los
clientes; porque le ha ofrecido condiciones adecuadas y dignas a sus trabajadores y proveedores; porque ha
cumplido sus obligaciones con la comunidad pagando impuestos, respetando el medio ambiente y
atendiendo a cabalidad su responsabilidad social, más allá de una actividad de relaciones públicas, actuando
en forma genuina para servir a la comunidad al desarrollar su objeto social.
Los diferentes análisis y enfoques que se presentan en este texto están orientados a llevar al máximo
el valor de la firma.
Aquí claramente se intuye un problema ético que tiene que ser resuelto por cada agente (gerente,
funcionario, etc.). Es inaceptable que sea sólo el mercado el que regule la economía de una sociedad; se
requiere que participen el Estado y la sociedad.
Aun en los países más capitalistas, el Estado desempeña un papel muy importante: para que una economía
de libre mercado funcione bien, es necesario contar con un Estado fuerte que administre justicia entre los
asociados. No se trata de un Estado totalitario, ni de un Estado de enormes dimensiones, sino de un árbitro que
permita corregir las fallas del mercado y resolver las diferencias entre los miembros de la comunidad. Las
decisiones deben tener en cuenta cómo se logra el bienestar de todos los actores del proceso económico. Esto
implica que aun aquellas decisiones que en apariencia son evidentes desde el punto de vista estrictamente
financiero deben consultar aspectos como los efectos en el medio ambiente, los efectos sociales en los
empleados y clientes, los efectos económicos en los proveedores y en quienes suministran servicios a la firma,
etc.
En otras palabras, el gerente (decisor) integral o íntegro debe aceptar el juego del mercado, teniendo en
cuenta cuatro aspectos fundamentales:
1. Obtener en su proceso de decisiones una mayor productividad y eficacia.
2. Tomar decisiones con el mayor grado de equidad posible.
3. Preservar el medio ambiente en cada una de sus decisiones.
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4. Enmarcar todo lo anterior en el contexto internacional, de una economía globalizada.
Todo esto significa que cuando se toman decisiones, se deben tener en cuenta variables, restricciones y
circunstancias que no siempre son medibles. Se debe introducir un elemento de subjetividad inevitable que
matizará el resultado de un proceso objetivo de decisión.
1.6.1 La tecnología al servicio de la sociedad
Es muy interesante encontrar que la tecnología ha abierto posibilidades que antes no existían. La red
mundial (www) ha logrado que la gente desarrolle una conciencia de responsabilidad civil muy
importante, al punto que ha hecho que paulatinamente el sector privado se comporte con responsabilidad
social. Internet ha generado una toma de conciencia sobre el aspecto de la privacidad, pero también esta
comunidad ha logrado que se mire con ojos diferentes y escrutadores al comportamiento de las firmas,
más allá del efecto que tiene este comportamiento en las finanzas personales de sus accionistas.
Hoy existen posibilidades de inversión en internet, en lo que se llama la inversión con responsabilidad
social (socially responsible investment [SRI]). Se han generado así índices de acciones similares a uno
muy conocido, el S&P 500, del cual se excluyen algunas compañías, consideradas perjudiciales para el
medio ambiente, desfavorables para los derechos humanos y, en general, contrarias al bienestar de la
humanidad. Estos índices se han venido comportando mejor o igual que los tradicionales (véase Figura
1.3).
Valor de $1 invertido
6,5
6
5,5
5
Valor de $1 invertido
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
ene-90 ene-91 ene-92 ene-93 ene-94 ene-95 ene-96 ene-97 ene-98 ene-99 ene-00
DSI S&P 500 Russell 1000
Figura 1.3 Rendimiento de un fondo de inversión de con responsabilidad social
Los datos para esta gráfica fueron suministrados por Kinder, Lydenberg, Domini and Co., Inc. (KLD)
www.kld.com/wdomi.html.
A continuación las rentabilidades anuales del fondo Domini Social Equity Fund, comparadas con las
del S&P 500. Se incluye el valor de $1 invertido desde 1991 en el fondo y en un fondo hipotético igual a
S&P500.
25

Año DSEF $1 de 1991 en S&P 500 $1 de 1991 en S&P
DSEF
1992 12,10% 1,12 7,68% 1,08
1993 6,54% 1,19 10,08% 1,19
1994 -0,36% 1,19 1,26% 1,20
1995 35,17% 1,61 37,50% 1,65
1996 21,84% 1,96 23,07% 2,03
1997 36,02% 2,67 33,40% 2,71
1998 32,99% 3,55 28,58% 3,48
Tabla 1.1 Rendimiento de un fondo de inversión con responsabilidad social
Fuente: Los datos para esta tabla fueron suministrados por Kinder, Lydenberg, Domini and Co., Inc. (KLD)
www.kld.com/wdomi.html.
Lo que se demuestra con estos datos es que la inversión con responsabilidad social es tan rentable o más
que las demás. Esto es una prueba más de que las empresas con buen desempeño social y ético muestran
mejores rendimientos económicos que las empresas con desempeño ético censurable. En resumen, que se
pueden tener buenas prácticas de ética y de responsabilidad social y ganar dinero. Y esto no debe
interpretarse como que ahora está de moda ser ético, porque produce buenos resultados económicos. La
rentabilidad financiera es un subproducto del comportamiento responsable.
Este movimiento sobre la inversión socialmente responsable se inició durante la guerra de Vietnam.
Algunos inversionistas no estaban interesados en que sus inversiones apoyaran la guerra, de manera
directa o indirecta. Esta idea de ser selectivos en las inversiones se difundió muy rápidamente a medida en
que los inversionistas empezaron a verificar el comportamiento de las firmas donde hacían sus
inversiones, en temas relacionados con el medio ambiente, operaciones en África del Sur (durante el
apartheid) y la forma como las empresas trataban a sus empleados.
Hasta mediados de los años ochenta la práctica de la inversión socialmente responsable era ridiculizada.
Por ejemplo, la revista Fortune la calificaba como “inversiones para sentirse bien”. Se les podría llamar
tranquilizadoras de la conciencia. Hoy se denomina este tipo de comportamiento como políticamente
correcto.
Incluso se encuentran sitios para invertir con responsabilidad social, como:
http://www.goodmoney.com.
http://www.greenmoney.com.
http://socialinvest.org/.
http://www.kld.com/wdomi.html.
http://www.pridefund.com/.
http://www.vantage-invest.com y otros. (véase http://www.poligran.edu.co/decisiones, en la opción
Información útil).
1.6.2 Criterios de exclusión
Existen criterios que utilizan estos fondos para incluir o no a ciertas empresas en los índices y
portafolios de inversión. Algunos que excluyen a ciertas compañías corresponden a la actividad o
comportamiento de las empresas, por ejemplo:
26

• Tabaco.
• Alcohol.
• Juegos de azar.
• Armas de destrucción masiva.
• Altos grados de contaminación ambiental.
• Aspectos laborales, como sitios de trabajo inseguros, discriminación racial o étnica y violaciones de
los derechos humanos.
• Operaciones en países con problemas de derechos humanos.
• Negocios de pornografía.
El criterio para incluir o no a una firma en los índices, al final, es subjetivo, y esto encierra algunos
peligros. El principal de ellos es el de hacer discriminaciones injustas a algunas firmas y posiblemente
desatar un fanatismo tal que permita que se cometan injusticias. Aquí el remedio sería peor que la
enfermedad. Sin embargo, los que manejan los índices dicen que tienen especial cuidado al escoger las
firmas que entran o que salen del índice.
Este análisis incluye el comportamiento de las firmas no sólo dentro de Estados Unidos, sino fuera,
sobre todo en países en vías de desarrollo. Por ejemplo, se cita el caso 2 de una conocida firma de calzado
deportivo que fue eliminada del índice, porque su comportamiento en países del Tercer Mundo no se
ajustaba a los patrones ya indicados.
Sería muy interesante construir un índice similar en Colombia y examinar si su rentabilidad es mejor o
peor que la que se encuentra asociada a los índices tradicionales que hay en el mercado. ¿Cuántas
empresas pasarían la prueba de estos criterios? Está abierta la discusión.
1.7 La validez de los modelos
Coherentes con el modelo presentado páginas atrás, los métodos y aproximaciones para la toma de
decisiones financieras están basados en los planteamientos de Modigliani y Miller (1958), desarrollados
en la década de los cincuenta. Ellos establecieron que los puntos críticos en el manejo financiero de la
firma eran tres:
1. Las decisiones de inversión.
2. La decisión sobre la estructura de capital.
3. La decisión de cómo repartir dividendos o política de dividendos.
Además, definieron que en un mercado perfecto, el valor de mercado de una firma era independiente de
su estructura de capital y de la política de dividendos; de esta manera, el objetivo financiero de la firma
era identificar y emprender inversiones cuyos beneficios netos superaran sus costos netos. Más adelante
esto se estudia como la escogencia de alternativas de inversión que incrementen al máximo el valor
presente neto (VPN).
Existen muchas críticas acerca del uso de los métodos de análisis que se van a estudiar en este texto.
Incluso se citan hallazgos empíricos de una correlación negativa entre el éxito financiero y el uso de estas
2 En Tadjer (1999, pp. pp. 220-226).
27

técnicas. Sin embargo, cabe anotar que su uso ha estado plagado de errores conceptuales en su aplicación
y de supuestos completamente falsos que llevan a dudar de la validez de la descalificación de los métodos
al compararlos con los resultados obtenidos por las firmas. Esto sin contar con los supuestos restrictivos
de la teoría de Modigliani y Miller (1958), basada fundamentalmente en la existencia de mercados
eficientes.
En los capítulos dedicados a los métodos de evaluación de alternativas y a la construcción del flujo
de caja de un proyecto se estudian algunos de los supuestos restrictivos que están implícitos en los
métodos y que en la práctica no se corrigen.
Para estudiar sobre este asunto se recomienda la lectura del interesante trabajo de M. Dempsey (2003).
Como bien lo señala este autor, a pesar de todas las aparentes fallas, los modelos se deben enseñar de
todas maneras en los cursos de finanzas, pero cuidando de no convertir estos métodos en dogma, sino
entendiendo que tienen como propósito mejorar la comprensión de un fenómeno real. Así mismo, nunca
se debe perder de vista que las técnicas y métodos que se van a estudiar en este texto son apoyo para la
toma de decisiones y que nunca reemplazarán el buen juicio y el criterio del decisor.
Más aún, hay que evitar creer que en un mundo incierto, como es la realidad, las cifras puedan generar
la ilusión de certeza y de precisión y que, por lo tanto, al utilizar números en el análisis se elimina la
incertidumbre; por otro lado, hay que aceptar que para manejar un negocio se deben asumir riesgos. Esta
capacidad de tomar decisiones con información incompleta y asumiendo riesgos y acertar muchas veces es
la mayor cualidad de un gerente.
Hay que añadir que los modelos tienden a ser simplificaciones de la realidad. En ese sentido, deben
entenderse como agrupados en dos grandes categorías: explicativos y aplicativos. Un modelo explicativo
se basa en condiciones ideales, porque busca establecer las relaciones entre las variables. Es una
simplificación fuerte de la realidad, pero es una buena forma de tratar de explicar cómo unas variables se
explican por otras. Los aplicativos parten de los anteriores y deben incluir el máximo número de
condiciones más cercanas a la realidad que se desea estudiar. Los modelos explicativos no deben utilizarse
indiscriminadamente para resolver los problemas reales. Deben ser adaptados y modificados. Las falacias
que se oyen por doquier acerca de la brecha entre teoría y práctica surgen de esta equivocada aplicación de
los modelos. No existe una buena práctica sin una sólida teoría detrás. Cuando los gerentes intentan
resolver problemas complejos con modelos simples, o más bien simplistas, se equivocan y acusan a los
modelos del fracaso. No. El error no siempre está en el modelo, sino en su inadecuada utilización.
Las cifras financieras no son suficientes; hay que tener un adecuado conocimiento del negocio de la firma,
de las tendencias del mercado, de los cambios tecnológicos y de los posibles movimientos de la competencia.
Todo esto se puede asociar a la intuición. Debe observarse, sin embargo, que la intuición no es una flor
silvestre; tiene fundamentos no sólo vivenciales y empíricos, sino también de formación académica.
1.8 Ejercicios
1. ¿Cuál es la diferencia entre un modelo normativo y uno descriptivo? Dé ejemplos de cada uno.
2. Indique qué tipo de evaluación realizaría usted si fuera nombrado consultor o analista de cada una de
las siguientes situaciones, y por cuáles razones lo haría de esa manera.
2.1 Una ciudad desea extender el servicio de acueducto a los barrios más pobres para proveerlos de
agua, a fin de que mejoren sus condiciones de vida aun cuando sólo se les cobre una mínima
parte (o nada) de lo que vale el servicio.
28

2.2 Una firma desea emprender una campaña para elevar el nivel de educación e instrucción de sus
obreros no especializados y de más bajos salarios.
2.3 El Ministerio de Desarrollo desea repartir un presupuesto de 10.000 millones de pesos entre el
fomento de la pequeña industria y el fomento de la gran industria.
2.4 Una firma manufacturera y distribuidora de electrodomésticos desea reemplazar un taladro
antiguo por un nuevo equipo automático para realizar cierto servicio a las distintas líneas de
producción de una de sus plantas.
2.5 Una universidad desea emprender un proyecto de renovación de planta física tanto en oficinas
como en aulas y laboratorios.
2.6 El Ministerio de Educación desea asignar fondos para el fomento de la educación superior a
distintas regiones del país.
La descripción del tipo de evaluación recomendado debe ser breve y precisa, dentro de los términos y
marco general presentados: clase de objetivos, medidas de eficiencia o función objetivo, incluidas
predicciones, alternativas y tipo de evaluación y resultado buscado. No es posible indicar cifras, por
lo tanto, es suficiente indicar lo que se haría y cómo se haría.
3. ¿Qué es un modelo?
4. ¿Por qué son convenientes los objetivos explícitos aun cuando sean aproximados? Mencione ventajas
y desventajas de la suboptimización. ¿Qué se requiere para lograr una decisión óptima?
Referencias bibliográficas
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Investment”, American Economic Review, No. 48, junio, pp. 261-297.
29

Sapag, Nassir. 2001. Evaluación de proyectos de inversión en la firma, Prentice Hall, Buenos Aires. s. l.
Tadjer, Rivka. 1999. Smart Business Solutions for Financial Management, Microsoft Press, Redmont,
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Vélez, Ignacio. 1994. Evaluación financiera de proyectos de inversión, Superintendencia de Subsidio Familiar,
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Von Neumann, J. y Morgenstern, O. 1947. Theory of Games and Economic Behavior, 2nd ed., Princeton
University Press, Princeton, N. J.
Wilson, Bright. 1952. An Introduction to Scientific Research, McGraw Hill, New York.
30

2
El valor del dinero en el tiempo
Me inauguras el día con tus brazos
que me acogen, me salvan, me consuelan
del empuje del tiempo velocísimo
donde somos el mar y el navegante.
Jorge Guillén. Más tiempo
Se habla mucho de depositar confianza, pero nadie dice qué interés te
pagan.
Quino. Manolito en ...y yo digo
2.1 Análisis de rentabilidad
En este capítulo se estudia el problema que se plantea el decisor al enfrentarse con flujos de dinero
que ocurren en diferentes períodos. Para cualquier persona es muy claro, intuitivamente, que tiene
preferencia por consumir ahora y no posponer ese consumo; también es muy claro para cualquier
individuo que se prefiere tener una suma de dinero hoy y no tener que esperar un cierto tiempo para
poder contar con la misma cantidad de dinero ofrecida para hoy. Sobre esta base, se desarrolla lo que se
conoce como matemáticas financieras, que bien podría llamarse aritmética financiera. Para el manejo
de esta herramienta sólo es necesario aplicar las operaciones básicas de la aritmética, algo de sentido
común y cierta capacidad de análisis de situaciones.
En el estudio de este tema se pueden identificar tres esferas de comprensión:
1. Conceptual.
2. Operativa o instrumental.
3. Situacional.
La primera esfera se relaciona con el entendimiento de los conceptos básicos de interés, tasa de
interés, equivalencia y reglas de decisión de métodos basados en los anteriores conceptos. La segunda
tiene que ver con el uso de fórmulas y funciones establecidas, las cuales, por lo general, se encuentran
en las hojas de cálculo electrónicas tales como Excel, Lotus, Q-Pro, etc. Por último, está la comprensión
situacional, referida a la descripción de la realidad que se desea analizar; por ejemplo, las cláusulas de
un contrato o de un pagaré o la descripción de una situación que se desea cambiar y para lo cual se
tienen alternativas de solución.
La experiencia indica que muchos se desaniman ante la dificultad de la tercera esfera de comprensión
y asocian esa dificultad con el tema mismo, o sea, con las comprensiones conceptual y operativa. La
tercera esfera se domina con la práctica y con el ejercicio de enfrentarse a múltiples situaciones para
analizarlas. Es cuestión de tiempo y de paciencia.

2.2 El concepto de equivalencia
Uno de los fundamentos de la economía es la sicología. El comportamiento del individuo en relación
con sus decisiones (consumo y ahorro) es el elemento básico del estudio de la ciencia económica. Por
ejemplo, los individuos obtienen satisfacción al consumir –lo antes posible– y pueden cambiar consumo
actual por consumo futuro, siempre que la utilidad o satisfacción que obtenga de este último sea al menos
equivalente, no necesariamente igual a la del consumo actual. Este es uno de los temas fundamentales de
la microeconomía.
La gente tiene una preferencia subjetiva a consumir hoy, por lo tanto, la postergación de un consumo actual
implica la exigencia de una mayor cantidad de consumo futuro, para alcanzar una satisfacción equivalente.
Cuando esta necesidad compulsiva de consumir se inhibe, se produce una insatisfacción que de alguna manera
debe compensarse. Esa compensación la recibe el individuo al disponer de mayor capacidad de consumo en el
futuro. Con ello se llega fácilmente a la conclusión de que ya no se pueden sumar unidades monetarias de
diferentes períodos, porque no son iguales.
Cuando se introduce el concepto de inversión, es decir, un individuo ahorra o invierte $1 para obtener
más de $1 al final de un período, se encuentra que invertirá hasta cuando el excedente que le paguen por
su dinero no sea menor que el que el individuo asigna al sacrificio de consumo actual, o sea, a la tasa a la
cual está dispuesto a cambiar consumo actual por consumo futuro.
Un modelo matemático que representa estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:
F = P + compensación por aplazar consumo (2.1)
Donde:
F = suma futura poseída al final de n períodos.
P = suma de capital colocado en el período 0.
Este modelo y los párrafos anteriores permiten introducir un concepto de mucha importancia: el de
equivalencia. Se dice que dos sumas son equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es
indiferente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F) mayor al cabo de un (1) período.
En microeconomía esta situación se mide con la tasa marginal de sustitución en el consumo. Esta relación
es la base de todo lo que se conoce como matemáticas financieras.
Esta diferencia entre P y F responde por el valor que le asigna el individuo al sacrificio de consumo
actual y al riesgo que percibe y asume al posponer el ingreso.
El concepto de equivalencia implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es,
un peso hoy es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año.
2.3 Interés y tasas de interés
Al hablar de equivalencia se ha involucrado, en forma implícita, un monto de interés que se puede
representar como una fracción de la suma en el período inicial (hoy) o como un porcentaje i%, en general,
diferente de cero. El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente arraigado en la mentalidad
de quienes viven en un sistema capitalista. Es un conocimiento nocional, producto de la socialización, por
eso no es totalmente intuitivo, es intuición socializada.
31

No se necesita formación académica para entender que cuando se recibe dinero en calidad de préstamo,
es justo pagar una suma adicional al devolverlo. La aceptación de esta realidad económica es común a
todos los estratos socioeconómicos.
Para mostrar lo popular del concepto, se puede citar a la Enciclopedia Salvat diccionario, que define el
concepto de interés así:
Provecho, ganancia, utilidad [...]. Lucro producido por el capital […] El interés puede
definirse, en una primera aproximación a su concepto, como el precio pagado en dinero, por
el uso del dinero de otro. En economía, el interés se liga a los conceptos de capital, tiempo y
riesgo; desde esta óptica puede ser considerado como la compensación que el poseedor del
dinero recibe […] por la cesión a otros, [y] por la utilización [por ese tercero] durante un
período de tiempo […] de un capital determinado, empleo que en sí mismo, es siempre
arriesgado. (1975, p. 1817)
También podemos citar el Evangelio de Mateo, la parábola de los talentos que dice:
En aquel tiempo, dijo Jesús a sus discípulos esta parábola: un hombre que se iba al
extranjero llamó a sus siervos y les encomendó su hacienda: a uno dio cinco talentos, a otro
dos y a otro uno, a cada cual según su capacidad; y se ausentó. Enseguida, el que había
recibido cinco talentos se puso a negociar con ellos y ganó otros cinco. Igualmente el que
había recibido dos ganó otros dos. En cambio el que había recibido uno se fue, cavó un
hoyo en tierra y escondió el dinero de su señor. Al cabo de mucho tiempo, vuelve el señor
de aquellos siervos y ajusta cuentas con ellos. Llegándose el que había recibido cinco
talentos, presentó otros cinco, diciendo: señor, cinco talentos me entregaste; aquí tienes
otros cinco que he ganado. Su señor le dijo: ¡bien, siervo bueno y fiel!; en lo poco has sido
fiel, al frente de lo mucho te pondré; entra en el gozo de tu señor. Llegándose también el de
los dos talentos dijo: señor, dos talentos me entregaste; aquí tienes otros dos que he ganado.
Su señor le dijo: ¡bien, siervo bueno y fiel!; en lo poco has sido fiel, al frente de lo mucho te
pondré; entra en el gozo de tu señor. Llegándose también el que había recibido un talento
dijo: señor, sé que eres un hombre duro, que cosechas donde no sembraste y recoges donde
no esparciste. Por eso me dio miedo, y fui y escondí en tierra tu talento. Mira, aquí tienes lo
que es tuyo. Mas su señor le respondió: siervo malo y perezoso, sabías que yo cosecho
donde no sembré y recojo donde no esparcí; debías, pues, haber entregado mi dinero a los
banqueros, y así, al volver yo, habría cobrado lo mío con los intereses. Quitadle, por tanto,
su talento y dádselo al que tiene los diez talentos. Porque a todo el que tiene, se le dará y le
sobrará; pero al que no tiene, aun lo que tiene se le quitará. Y a ese siervo inútil, echadle a
las tinieblas de fuera. Allí será el llanto y el rechinar de dientes. (Mateo 25, 14-30)
En otras palabras, el interés (I) es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas
naturales por el sacrificio en que incurren al ahorrar una suma P. El mercado brinda al individuo
(persona o firma) la posibilidad de invertir o la de recibir en préstamo. El hecho de que existan
oportunidades de inversión o de financiación hace que exista el interés. Este fenómeno económico real se
mide con la tasa de interés (i), la cual, a su vez, se representa por un porcentaje. Este porcentaje se
calcula dividiendo el interés I recibido o pagado por período, por el monto inicial (P), de modo que la tasa
de interés será:
I
i (2.2)
P
En otras palabras, el interés es la compensación que reciben los individuos, firmas o personas naturales
por el sacrificio en que incurren al ahorrar.
32

Retomando el concepto de equivalencia, el modelo que lo expresa se puede redefinir así:
F = P + compensación por aplazar consumo
F = P + Pi = P(1+i) (2.3)
Y se puede generalizar para cualquier número de períodos (n), así:
O también,
n
F P 1 i
(2.4)
F
P (2.5)
1 i
n
Esta expresión es fundamental en el análisis de los movimientos de dinero. A partir de esta fórmula se
deducen todas las fórmulas de interés que se utilizan para hallar la equivalencia entre sumas de dinero en
el tiempo. En realidad, no se necesitaría conocer más que esto. Las fórmulas ya mencionadas son
derivaciones de la anterior y su uso y deducción son nada más que buenos ejercicios de aritmética. Se
dice, entonces que P es el valor descontado o valor presente de una suma futura (F).
La tasa de interés que establece esta equivalencia se llama tasa de descuento (discount rate o hurdle
rate, en inglés) o tasa de rentabilidad mínima aceptable. Algunos autores prefieren utilizar el nombre de
costo o tasa de oportunidad. Más adelante se estudia este punto con detalle y se define la forma de
determinarla.
La tasa de descuento no debe confundirse con el porcentaje de descuento que puede recibir quien
compra un producto o quien compra un título valor (bonos, por ejemplo) a descuento. La tasa de
descuento se determina considerando el costo del dinero para el que toma decisiones; esto es, lo que paga
por recibir dinero prestado o lo que deja de ganar por el dinero que tiene. A este último costo se le
denomina costo de oportunidad, y aquí se utilizará el nombre de tasa de descuento. Esta tasa de interés se
utiliza para hacer cálculos que permiten evaluar la bondad de una inversión. Este tema se tratará con más
detalle en el capítulo 5.
Ejemplo 1
Alguien entrega hoy una suma P por valor de $1.000 a un amigo y al cabo de un año (n) éste le devuelve un
valor F de $1.300. Si esta persona no intentaba ganar dinero con el amigo, pero tampoco esperaba perder al
prestarle al amigo, y la tenía depositada en una cuenta de ahorros que producía 30%, se dice que es indiferente
entre $1.000 hoy y $1.300 después de un año. O sea, estas dos sumas de dinero son equivalentes, porque al año
se han recibido 1.000 + i x 1.000 es decir $1.300, dado que la tasa de interés i% a la cual prestó fue del 30%.
2.3.1 Componentes de la tasa de interés
Se puede considerar que la magnitud de la tasa de interés corriente, es decir, la que se encuentra en el
mercado (la que usan los bancos o cualquier otra entidad financiera) tiene tres componentes o causas: la
inflación, el riesgo y la tasa real de interés. Esta descomposición es muy útil para entender los capítulos 5
33

a 9 y 11. En el capítulo 8, para entender el elemento riesgo en las diferentes tasas que allí se estudian; en
los demás capítulos, para entender las proyecciones de los estados financieros, y en el capítulo 11, para el
análisis de proyectos en inflación.
2.3.1.1 La inflación
El efecto de la inflación, más precisamente, las expectativas de inflación, es un efecto propio de la economía,
donde se presenta el problema de decidir entre alternativas de inversión. La inflación es una medida del
aumento general de precios, medido a través de la canasta familiar. Su repercusión se nota en la pérdida del
poder adquisitivo de la moneda. Esto significa que cuando hay inflación, cada vez se puede comprar menos
con la misma cantidad de dinero. A mayor inflación, mayor tasa de interés.
Para corroborar la relación entre inflación y tasa de interés corriente se puede citar a Bolten (1976), quien al
analizar la relación entre algunos indicadores económicos y las tasas de interés, en particular con la inflación,
dice, refiriéndose a Estados Unidos:
La relación entre la inflación y la tasa de interés parece ser más consistentemente confiable que la
de los otros factores de la demanda estudiados hasta aquí, aunque las otras relaciones han sido
útiles para construir todo el perfil del mercado. Entre mediados de 1965 y fines de 1966 las
crecientes tasas de inflación […] (estuvieron acompañadas) por tasas de interés crecientes […]
Cuando las tasas de inflación descendieron a fines de 1970, las tasas de interés disminuyeron de
nuevo. El resurgimiento de la rápida inflación de principios a mediados de 1971 y el subsecuente
amortiguamiento a fines de ese año se puede localizar en las tasas de interés, que también subieron
y luego bajaron de manera notable. En 1973 y 1974 la históricamente elevada inflación dio lugar al
rápido aumento de las tasas de interés.
La relación entre los factores de oferta y demanda y las tasas de interés, así como la
confiabilidad de las relaciones esperadas durante el decenio 1965-1974, se resumen a
continuación. (Bolten, 1976, pp. 369-371)
Factor 1965-1974 Relación esperada Confiabilidad
Perspectivas de
inflación
Al aumentar el factor
aumenta la tasa de interés
Exacta el 75% de
las veces
generalmente con
retraso
Otra prueba:
La Fed pondera medio punto. La amenaza de inflación empuja las tasas de interés.
Las últimas informaciones sobre inflación en Estados Unidos aumentan las posibilidades, si
bien no la certeza, de que la Reserva Federal eleve nuevamente las tasas de interés en medio
punto porcentual cuando sus autoridades se reúnan...
[…]
Distintos informes dados a conocer ayer por el gobierno mostraron fuertes alzas durante el
primer trimestre, en uno de los índices de precios más importantes para los economistas y en
los costos laborales. (Schlesinger, 2000, p. 12A)
En Colombia, el efecto de la inflación como componente de las tasas de interés se reconoce con la
corrección monetaria de la unidad de poder adquisitivo constante (UPAC), hasta 1999. A partir de
2000 esto se reconoce con la unidad de valor real (UVR). Sin embargo, para 1998, la forma de
calcular la corrección monetaria –un porcentaje de la DTF (que es la tasa promedio de captación a 90
días de los bancos, corporaciones financieras, corporaciones de ahorro y vivienda y compañías de
financiamiento comercial, divulgadas semanalmente por el Banco de la República)– resultó, a veces
en una cifra absurda, puesto que la componente inflacionaria terminó siendo mayor que la misma
34

Tasa de interés
inflación. Esto fue una de las causas de la crisis del sistema UPAC. Una rápida exploración a los
valores de las tasas de interés libres de riesgo del mercado de algunos países (en la Tabla 2.1) muestra
la influencia de la inflación sobre la tasa de interés.
TABLA 2.1 Tasas de inflación e interés de algunos países 2005
País Tasa de interés * Inflación País Tasa de interés * Inflación
Alemania 2,00% 1,70% India 5,15% 4,20%
Argentina 5,50% 8,80% Indonesia 8,07% 8,10%
Australia 5,68% 2,40% Israel 3,69% 0,30%
Brasil 19,75% 8,10% Japón 0,02% -0,20%
Canadá 2,47% 2,40% Malasia 2,84% 2,70%
Chile 3,96% 2,90% México 9,69% 4,60%
China 2,00% 1,80% Perú 3,02% 2,00%
Colombia 7,17% 5,00% Polonia 5,43% 3,00%
Unión Europea
Promedio
2,13% 2,10% República Checa 1,77% 1,60%
Corea del Sur 3,51% 0,40% Rusia 13,00% 13,40%
Dinamarca 2,18% 1,80% Singapur 2,00% 0,40%
Egipto 9,85% 6,80% Suecia 1,86% 0,30%
Estados Unidos 3,17% 3,50% Suiza 0,75% 1,40%
Filipinas 4,88% 8,50% Sudáfrica 7,05% 3,40%
Gran Bretaña 4,81% 1,90% Tailandia 2,65% 3,60%
Hong Kong 3,36% 0,50% Taiwan 1,40% 1,60%
Hungría 7,31% 3,90% Turquía 16,62% 8,20%
Venezuela 11,85% 15,80%
Fuente: The Economist (May 28th-June 3rd 2005, pp. 100-102).
*Tasas de interés: de corto plazo.
La relación que se presenta en la Tabla 2.1 se aprecia en la Gráfica 2.1.
GRÁFICA 2.1 Tasa de inflación contra tasa de interés de corto plazo
Tasa de inflación vs Tasa de interés de corto plazo
25%
20%
y = 0,9001x + 0,0181
R 2 = 0,5587
15%
10%
5%
0%
-2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18%
Tasa de inflación
Fuente: Elaboración propia a partir de la tabla anterior.
35

Debe distinguirse entre inflación, devaluación y depreciación, términos que muchas personas utilizan
indistintamente. La inflación, como se dijo, tiene que ver con el cambio en los precios de los artículos que
componen una canasta de consumo (canasta familiar). La devaluación se refiere al precio de una divisa
extranjera (en Colombia es el dólar de Estados Unidos) y la depreciación es un concepto contable, que
trata de medir, entre otras cosas, el desgaste de un bien debido a su uso.
Tener en cuenta la inflación es muy importante cuando se trata de determinar los índices de las tasas
de interés futuras (capítulo 5) y evaluar inversiones en inflación (capítulo 11).
2.3.1.2 Riesgo
El efecto del riesgo es intrínseco al negocio o inversión en que se coloca el dinero o capital: a mayor
riesgo, mayor tasa de interés. El riesgo es producido por diversos factores: la inflación futura, la
inestabilidad económica y política, la proliferación de normas que hacen inestable la situación de los
inversionistas, la devaluación, etc. El elemento riesgo en la tasa de interés es muy importante en el
reconocimiento de las tasas de interés que esperan obtener los inversionistas (capítulo 8), en la proyección
de las tasas de interés cuando se estructura un proyecto o inversión futura (capítulo 5 y 6) y cuando se
trata de evaluar el riesgo de una inversión.
2.3.1.3 Tasa de interés real
El interés real o la productividad en su uso es un efecto intrínseco del capital, independiente de la
existencia de inflación o riesgo. Refleja también la abundancia o escasez de dinero en el mercado (grado
de liquidez del mercado) y la preferencia que tengan los ahorradores por la liquidez, o sea, la
disponibilidad de dinero en efectivo para consumo.
La relación de estos componentes para determinar la tasa de interés corriente no es aditiva, sino
multiplicativa, es decir, la tasa de interés corriente se puede expresar así:
Donde:
i c = tasa de interés corriente
i r = tasa de interés real
i f = tasa de inflación
i p = componente de riesgo
1 i (1
i ) 1
ip1
i
(2.6a)
c
r
f
Esta relación está basada en la propuesta de Irving Fisher, economista de principios del siglo XX, quien
propuso la relación entre tasa de interés nominal o corriente, libre de riesgo, tasa de interés real y tasa de
inflación. Esta relación está dada por:
1 i (1
i ) 1
i
(2.6b)
c
r
f
Hay quienes proponen, al analizar las consecuencias de la utilización del capital en términos de dinero,
que se deben reducir las consecuencias a unidades monetarias constantes. Al hacer esto y utilizar, además,
una tasa no deflactada de interés se estará teniendo en cuenta dos veces el efecto de la inflación. Esto se
36

estudia con detalle en otro capítulo. Obviamente, como se sugiere en el párrafo anterior, en una economía
inflacionaria debe considerarse el precio actual de los activos o capital comprometido.
Se debe ser muy cuidadoso al establecer tasas de interés corriente, pues no se deben confundir con tasas de
interés con subsidio, ni lo contrario, tasas de interés de usura o agio. Ejemplos de las primeras son los créditos
de fomento, ejemplo de las segundas son las tasas de interés que muchas veces tienen que pagar las clases
menos favorecidas y aun las pequeñas empresas y microempresas, el 5% al 7% mensual. Es posible encontrar
situaciones coyunturales en las que la tasa de interés real es negativa, o sea, la tasa de interés corriente es menor
que la inflación (véase Tabla 2.2).
TABLA 2.2 Tasas de inflación e interés corriente y real de algunos países
País
Tasa de
interés * Inflación Real ** Tasa de
País
interés * Inflación Real **
Alemania 2,00% 1,70% 0,29% Indonesia 8,07% 8,10% -0,03%
Argentina 5,50% 8,80% -3,03% Israel 3,69% 0,30% 3,38%
Australia 5,68% 2,40% 3,20% Japón 0,02% -0,20% 0,22%
Brasil 19,75% 8,10% 10,78% Malasia 2,84% 2,70% 0,14%
Canadá 2,47% 2,40% 0,07% México 9,69% 4,60% 4,87%
Chile 3,96% 2,90% 1,03% Perú 3,02% 2,00% 1,00%
China 2,00% 1,80% 0,20% Polonia 5,43% 3,00% 2,36%
Colombia 7,17% 5,00% 2,07% República Checa 1,77% 1,60% 0,17%
Unión Europea
Promedio
2,13% 2,10% 0,03% Rusia 13,00% 13,40% -0,35%
Corea del Sur 3,51% 0,40% 3,10% Singapur 2,00% 0,40% 1,59%
Dinamarca 2,18% 1,80% 0,37% Suecia 1,86% 0,30% 1,56%
Egipto 9,85% 6,80% 2,86% Suiza 0,75% 1,40% -0,64%
Estados Unidos 3,17% 3,50% -0,32% SudÁfrica 7,05% 3,40% 3,53%
Filipinas 4,88% 8,50% -3,34% Tailandia 2,65% 3,60% -0,92%
Gran Bretaña 4,81% 1,90% 2,86% Taiwan 1,40% 1,60% -0,20%
Hong Kong 3,36% 0,50% 2,85% Turquía 16,62% 8,20% 7,78%
Hungría 7,31% 3,90% 3,28% Venezuela 11,85% 15,80% -3,41%
India 5,15% 4,20% 0,91% Promedio total 1,76%
Fuente: The Economist, May 28th-June 3rd 2005, pp 100-102.
*Tasas de interés: de corto plazo.
** Cálculos del autor.
Esta noción de componentes es pertinente para descomponer, más que para componer la tasa de interés
comercial (i c ). Esto es, a partir de una determinada tasa de interés comercial (i c ), conociendo una o dos
componentes, se puede determinar la tercera. Por ejemplo, si se conoce la inflación (i f ) y se tiene una tasa
de interés libre de riesgo, se puede determinar el interés real (i r ); si se conoce la componente inflacionaria,
i f, y la tasa de interés real, i r , se puede calcular la magnitud del riesgo, percibido por quien fijó la tasa de
interés comercial.
Sin embargo, cuando se hacen proyecciones para evaluar alternativas de inversión, es recomendable
proyectar las componentes (inflación, tasa real y riesgo) para estimar el valor futuro de una tasa de interés.
Un caso de composición de la tasa de interés es el de las corporaciones de ahorro y vivienda en Colombia,
que cobran y estipulan por separado la corrección monetaria (inflación i f ) y el interés real (i r ) . Se puede
considerar que debido a todos los mecanismos de protección –codeudores, seguros e hipotecas–, estas
tasas deberían ser libres de riesgo (i p ). Por ejemplo, si se utilizan los datos de la Tabla 2.2, se puede
estimar el monto de la tasa de interés real en esos países, utilizando la siguiente expresión, que se deduce
de la relación entre los componentes, suponiendo que la tasa de corto plazo es prácticamente libre de
riesgo, o sea, i p = 0:
37

Entonces,
1 i (1
i ) 1
i
(2.7)
c
r
f
1
ic
i r 1
(2.8)
1
i
f
Según la Tabla 2.2, las tasas reales presentan un promedio de cerca del 2% y las variaciones pueden
responder a situaciones de abundancia o escasez de dinero o a medidas de control administrativo, que
toma el gobierno.
Una exploración a las tasas de interés libres de riesgo (títulos de tesorería del gobierno colombiano
[TES]), entre abril de 1995 y julio de 1999, encuentra que la tasa de interés real no es constante. Una
interpretación que se le puede dar a este hecho es que aun en las tasas de bonos libres de riesgo existe
algún grado, probablemente, asociado a la inflación. Esto se puede apreciar en la Tabla 2.3.
Tabla 2.3 Comportamiento de la tasa real de interés en Colombia
Comportamiento A 6 meses A 1 año A 2 años A 3 años
Máximo 31,13% 26,30% 17,27% 12,97%
Mínimo -5,26% 2,33% 7,29% 8,79%
Promedio 10,39% 10,91% 9,79% 10,33%
Desviación estándar 8,75% 6,80% 1,91% 1,40%
Coeficiente de variación 1,19 1,61 5,12 7,39
Fuente: Cálculos propios del autor
Gráficamente, el comportamiento de las tasas, según los períodos de maduración de los bonos TES, se
aprecia en la Gráfica 2.2a.
Gráfica 2.2a Comportamiento de la tasa real 1995-1999
38

Tasa real de interés
Fuente: Cálculos propios del autor
Por otro lado, también se encontró que existe una alta correlación entre la tasa real y la tasa de
inflación. Esto ratifica la idea de que las tasas reales, por su alta variación (véase Gráfica 2.2a),
contienen algún grado de riesgo asociado a la inflación. La tasa de inflación que se utilizó en este
análisis fue la correspondiente al índice de precios al consumidor (IPC), con un año de
anticipación, desde el supuesto de que en las tasas de interés la inflación queda involucrada la
expectativa de inflación.
El comportamiento de la tasa real para los países registrados en la Tabla 2.3 es el siguiente:
Gráfica 2.2b Comportamiento de la tasa real 2005
Tasa Real
12,00%
10,00%
8,00%
6,00%
4,00%
2,00%
0,00%
0
-2,00%
5 10 15 20 25 30 35 40
-4,00%
-6,00%
Observación
Fuente: Cálculos propios del autor
En este caso también se encuentra un alto grado de dispersión.
En Colombia también podemos identificar estos hechos de muchas maneras. Una de ellas es visitar
alguno de los sitios en internet de entidades financieras. Por ejemplo, en el sitio de Protección S. A. se
encuentra la publicación Multinformación, No. 70, de agosto de 2005. Allí se dice:
Las tasas de interés están vinculadas directamente al costo de vida. La mejor forma de
medirlas no es compararlas en el tiempo sino enfrentarlas a la inflación.
Las tasas de interés actuales son mucho menores que las de hace algunos años, cuando
alcanzaban a ser superiores al 20% e incluso llegaron a estar alrededor del 30%, a finales de
los 90.
A primera vista podría pensarse que en estos momentos usted recibe menos dinero por sus
ahorros y que su capital se está afectando. Pero no es así, en general las tasas de interés tienen
una estrecha relación con la inflación, ya que normalmente son fijadas de tal manera que los
ahorradores mantengan su capital constante. Quienes ofrecemos productos de inversión,
buscamos ofrecer rentabilidades superiores a la inflación para que los inversionistas tengan
ganancias de capital y así no sólo se mantenga el valor del dinero en el tiempo sino que este
valor crezca.
39

Por esto, la mejor forma de evaluar los rendimientos de una inversión, está en identificar la
diferencia entre la rentabilidad de un producto financiero y la inflación, esto es lo que se
denomina rentabilidad real, pues es ése el verdadero crecimiento de nuestro capital. […]
Durante la década de los noventas tuvimos unas tasas de interés muy altas (medidas con base
en la DTF) pero acompañadas de inflaciones igualmente altas, originando en la economía un
promedio de tasa reales ligeramente por encima del 6%.
También aparece esta gráfica, que ilustra la nota citada:
Gráfica 2.2c Rentabilidad real de papeles de largo plazo
Fuente: Protección S.A. (2005).
2.3.2 Cómo opera la relación entre las componentes
La interacción de los componentes de la tasa de interés se puede asimilar a lo que ocurre con la
devaluación y las tasas de interés en países con devaluación.
Ejemplo 2
Supóngase que se cuenta con $1.000.000, que el precio del dólar es hoy de $1.000 y que se prevé una
devaluación de 20% anual. Si se puede convertir ese millón de pesos a dólares e invertirlo al 10% anual en
Estados Unidos, al regresar un año después, ¿qué porcentaje se habrá obtenido en la transacción?
40

H OY
$1.000.000
Se cambian a dólares al precio de
$1.000/US$
lo cual resulta en
US$1.000
que invertidos a
idev =20%
idura=10%
Hoy + un año
lo cual resulta en $1.320.000
suma en dólares que se cambia a pesos
al
Precio de $1.200/US$
se convierten en
US$1.100
Interés obtenido por el inversionista: 32%. Este ejemplo ilustra, por analogía, la idea anterior, ya que la
relación entre interés en moneda blanda (i blanda ) –tasa de interés en Colombia–, tasa de interés en moneda
dura (i dura ) y devaluación (i dev ) está dada por la siguiente expresión:
1
i 1
i ( 1
i )
(2.9)
blanda
dura
dev
De esta expresión se puede deducir la tasa en moneda dura, cuando el proceso es inverso; cuando en el
ejemplo se tienen dólares y se invierte en pesos. Estas expresiones se conocen como el efecto Fisher.En
este caso:
i blanda
= 1,1x1,2 – 1 = 1,32 – 1= 32%
2.4 Diagrama de flujo de caja
El diagrama de flujo de caja libre consiste en un modelo gráfico que se utiliza para representar los
desembolsos e ingresos de dinero a través del tiempo. Lo primero que se debe hacer es representar el eje
del tiempo.
0 1 2 3 n
Aquí cada número indica el final del período correspondiente. Así, el número cero indica el momento
presente, o sea, cuando el decisor se encuentra tomando una decisión; el número uno, el final del período
uno, etc. En este eje de tiempo, el período puede ser un día, un mes, un año o cualquier otra unidad de
tiempo.
Los desembolsos o egresos, convencionalmente, se expresan con una flecha hacia abajo, y los ingresos,
con una flecha hacia arriba. Al escribir un desembolso o egreso, en una hoja de cálculo, debe respetarse el
signo, o sea, se debe escribir con signo menos.
En la práctica se utiliza el nombre flujo de caja para nombrar al flujo o pronóstico de efectivo o de
fondos. Este informe mide el nivel de liquidez, o sea, la disponibilidad de dinero al final de cada período.
41

Sin embargo, aquí se utiliza el nombre flujo de caja libre, para denominar los fondos netos disponibles
para los dueños y acreedores de un proyecto de inversión o firma. Entre tanto, al instrumento que permite
medir la liquidez se le denominará flujo de caja o pronóstico de efectivo o de fondos. Los desembolsos o
egresos convencionalmente se expresan con una flecha hacia abajo.
Ejemplo 3
0 1 2 3 4 5 6
1.000
1.500
O sea que se efectúan desembolsos al final del instante cero (hoy) por $1.000; al final del período dos,
por $1.500, y al final del período seis, por $500.
500
Los ingresos, convencionalmente, se representan por flechas hacia arriba.
1.000
1.500
600
0 1 2 3 4 5
En este caso se indica que en el período 0 (final del período, hoy) se reciben $1.000; en el tres, $1.500,
y en el cinco, $600. De esta manera se puede expresar en forma gráfica y sencilla una inversión de
recursos en una fecha determinada y los ingresos o beneficios que produzca en otro período.
42

Ejemplo 4
1.500
1 2 3 4 5
1.000
Esto indica que una persona deposita $1.000 y después de 5 meses recibe $1.500.
Una forma de comparar sumas de dinero en diferentes instantes de tiempo consiste en reducirlas a
sumas equivalentes. Para este fin se han desarrollado fórmulas, las cuales se presentan a continuación.
2.5 Interés simple e interés compuesto
La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El interés simple ocurre cuando éste se
genera únicamente a partir de la suma inicial, a diferencia del interés compuesto que genera intereses a
partir de la suma inicial y desde aquellos intereses no cancelados que ingresan o se suman al capital
inicial.
Ejemplo 5
$1.000 de hoy (P) prestados al interés simple del 2% mensual (i%), durante dos meses (n), producen
1.000 x 0,02 más 1.000 x 0,02, o sea, $40 al final de dos meses (F = 1.040). En cambio, esos mismos
$1.000 (P) prestados a interés compuesto (i%) producirán 1.000 x 0,02 en el primer mes, o sea, $20, y al
final del segundo mes, 1.020 x 0,02, o sea, $40,40 (F = 1.040,40).
La Tabla 2.4, que ilustra el valor acumulado de una suma de dinero invertida a interés simple y a interés
compuesto, permite aclarar estas ideas.
Tabla 2.4 Valor acumulado de una suma de dinero
Fuente:
Mes Capital($)
Tasa de interés
Tasa de interés compuesto
Total($)
simple 2% ($)
2% ($)
Total($)
1 1.000 20 1.020 20 1.020
2 1.000 20+20 1.040 20+(1020 X 0,02) 1.040,40
3 1.000 20+20+20 1.060 40,40+(1040,40 x 0,02) 1.061,21
4 1.000 20+20+20+20 1.080 61,208+(1.061,208 x 0,02) 1.082,43
A partir de la Tabla 2.5 y recordando la aritmética básica, se puede generalizar el comportamiento del
interés compuesto, en particular de la suma total, así: (1+i) n . El valor final de 1.082,43, que aparece en la
esquina inferior derecha en la tabla anterior, es igual a 1.000 x (1,02) 4 . Cuando se estudió el concepto de
43

equivalencia, se dijo que F = P(1+i), y que esto se puede generalizar, según lo que se concluye de este
ejemplo, como F = P(1+i) n .
En otras palabras, el monto del interés simple acumulado se calcula como Pxixn y el monto del interés
compuesto acumulado, se calcula como P(1+i) n –P.
Como se verá más adelante, la expresión (1+i) n establece la relación entre dos sumas de dinero (P) en el
período 0 y F en el período n.
Al trabajar con Excel, se hacen estas sugerencias: dibujar el diagrama de flujo de caja libre y escribir en
celdas los datos que entran en la función de Excel. Al utilizar el botón Pegar función de Excel 97 (Asistente de
funciones en versiones anteriores), introducir las celdas y no los valores.
2.6 Fórmulas de interés o factores de conversión
El desarrollo metódico de estas fórmulas se conoce en la bibliografía sobre el tema con el nombre de
matemáticas financieras. Aquí se trata de encontrar una variable entre cinco, dadas tres de ellas, de las
cuales una es el número de períodos (n) o la tasa de interés (i). La condición para hallar la variable
desconocida es que se mantenga válida la equivalencia entre flujos de caja.
Las variables son:
n = número de períodos que se analizan (año, mes, día, trimestre, semana, etc.). Es claro que se trata de
períodos iguales. Nombre como parámetro en la función de Excel, nper.
i = tasa de interés, expresada en porcentaje por unidad de tiempo (año, mes, día, trimestre, semana, etc.).
Este interés debe ser estipulado por unidad de tiempo igual al período indicado en n. Se supone interés
compuesto. Nombre como parámetro en la función de Excel, tasa.
P = suma presente, situada al final del instante cero. Nombre como parámetro en la función de Excel, VA.
F = suma futura, situada al final del período n. En otros textos usan la letra S. Nombre como parámetro en
la función de Excel, VF.
C= cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el 1 y el n. En otros textos se llama
A, de anualidad; aquí se prefiere nombrarla como cuota C, porque es más general. Nombre como
parámetro en la función de Excel, pago.
Al escribir estas funciones en el texto, se reemplazará el nombre del parámetro de la función en Excel
por los nombres que aquí se han indicado.
Entre estas variables se pueden establecer relaciones cuando se cumplen ciertos patrones; de manera
gráfica y resumida son así:
1. Se puede transformar una suma de dinero presente P en el período 0, en una suma de dinero mayor, F
en el período n y viceversa.
44

0 n
0
n
P F
2. Se puede transformar una suma de dinero presente P, en el período 0, en una serie de cuotas
uniformes C, que comienzan en el período 1 y terminan en el período n y viceversa.
0 n 0 1 n
P
C C C C C
3. Se puede transformar una suma de dinero futura F, en el período n, en una serie de cuotas uniformes C, que
comienzan en el período 1 y terminan en el período n y viceversa.
0 1 n
0 n
C C C C C F
Todas estas transformaciones se pueden hacer a partir de la relación ya conocida F=P(1+i) n y de su
recíproca, P=F/(1+i) n .
Las fórmulas para cada caso se describen, con ejemplos, en el Apéndice de matemáticas financieras, al
final del capítulo.
45

2.7 Resumen de funciones de Excel
= VF(i;n;;P) convierte una suma presente P, al comienzo del período 1, o sea, final del período 0 a una suma futura F al final del período n.
= VA(i;n;;F) convierte una suma futura F, al final del período n, a una suma presente P al comienzo del período 1, o sea, final del período 0.
= VA(i;n;C) convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n a una suma presente P al
comienzo del período 1, o sea final del período 0.
= PAGO(i;n;P) convierte una suma presente P, al comienzo del período 1, o sea final del período 0, a una serie uniforme de valor C, que se inicia
al final del período 1 y termina al final del período n.
= VF(i;n;C) convierte una serie uniforme de valor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final del período n, a una suma futura F, al
final del período n.
= PAGO(i;n;;F) convierte una suma futura de valor F, situada en el final del período n a una serie uniforme de valor C, que se inicia en el final
del período 1 y termina al final del período n.
= TASA(nper;pago;va;vf;tipo;isemilla), = TIR(rango;i semilla) calcula la tasa de interés que hace equivalentes unos flujos negativos a unos
positivos. Responde a la pregunta ¿a qué tasa de interés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo de beneficios? Para la función TASA
se le debe indicar los parámetros C, F, P, e i semilla. Para la función TIR se le debe indicar al programa una tasa de interés inicial (i semilla), con
la cual inicia los cálculos y el rango donde aparecen todos los flujos que se desean analizar.
= VNA(i;rango) calcula el valor presente de un flujo de caja libre a la tasa de interés indicada y lo expresa en unidades monetarias del período
inmediatamente anterior al que inicia el rango que se indicó en la fórmula.
= nper(tasa;pago;va;vf;tipo;isemilla) encuentra el número de períodos que se requieren para que una inversión se convierta en un determinado
monto al final de esos períodos o el número de cuotas que se requieren para pagar un préstamo con una cuota determinada o el número de
depósitos iguales necesarios para obtener una cierta suma de dinero al final de los períodos calculados. En todos los casos se debe estipular una
tasa de interés.
Fuente: Elaboración propia.
Tabla 2.5 Funciones
Operación
Patrón típico (a partir de Patrón no típico
P, F, C, nper y/o i%)
(irregular)
A suma presente VA VNA
A suma futura VF No hay
A cuota uniforme PAGO No hay
Tasa de interés TASA TIR
Número de períodos NPER No hay
Estos factores se encuentran en calculadoras financieras y en otras hojas electrónicas, de manera que
pueden obtenerse con gran precisión y rapidez. También se pueden utilizar tablas de factores de interés,
que se encuentran en los libros viejos de matemáticas financieras.
Ejercicios
Resuelva los siguientes ejemplos utilizando los siguientes valores de P, F, C, n e i para hallar lo que se
pide en cada numeral. La solución está en el archivo MATFIN.XLS, anunciado en la presentación y que
es parte integral de este texto.
P= $2.000.000
n= 12
C = $200.000,00
i = 3,00%
F = $5.000.000
46

1. Calcule el número de períodos que se demora una inversión P para convertirse en un valor
determinado F, a una tasa de interés i.
2. Calcule el valor futuro F, de una cuota uniforme C, a una tasa de interés i%, al final de n períodos.
3. Calcule la cuota uniforme C, equivalente a una suma presente P, en n períodos al i%.
4. Calcule el valor presente de una cuota uniforme durante n períodos, a la tasa de i%.
5. Calcule la tasa de interés i, que hace que una inversión hoy P se convierta en determinado valor F, al final de n
períodos.
6. Calcule el número de cuotas C, que se requieren para obtener una suma determinada F, a una tasa de
interés i%.
7. Calcule la tasa de interés i%, que hace equivalentes los flujos positivos y los negativos.
Año 0 1 2 3 4
Flujo $ -10 2 5 6 7
8. Calcule el valor presente del flujo de caja libre entre el año 1 y el 4 a una tasa de interés i%, según los
datos anteriores.
2.8 Tablas de amortización
Una tabla de amortización muestra cómo un pago de una deuda se divide entre interés y abono o
amortización de la deuda; o, en el caso de que así fuera, cómo un determinado esquema de abonos o
amortizaciones conduce, al sumarle los intereses, a una cierta cuota o pago. Con una tabla de amortización
se puede también determinar el saldo pendiente al final de cada período.
Algo similar puede hacerse con una tabla de capitalización: la diferencia radica en que en lugar de
amortizar (disminuir una deuda), se capitalizan los ahorros y los intereses que ellos producen y, por ende,
se puede calcular el saldo acumulado del capital ahorrado con sus intereses.
Se pueden construir tablas de amortización con todos los esquemas de pago posibles. Tradicionalmente,
y con la ausencia de medios eficientes de cálculo, se han reducido las tablas de amortización a unos
cuantos esquemas: cuotas uniformes o abonos uniformes –como los mencionados en el ejercicio 3– y, si
acaso, a esquemas con períodos de gracia (cuando se pagan sólo los intereses y no se hace la amortización
de la deuda). Con la ayuda de las hojas de cálculo se pueden hacer esquemas tan variados que el límite lo
impone la imaginación del usuario.
Algunos ejemplos son las cuotas escalonadas que se promocionan para el pago de deudas de vivienda.
El secreto para trabajar estos esquemas es hacer depender todas las cuotas futuras de la primera cuota y
construir el modelo en función de esa primera cuota; hecho esto, hay que encontrar el valor de la primera
cuota que haga cero el saldo final. Esto se puede lograr con una opción de Excel que está en Herramientas
del menú y se llama Buscar objetivo.
47

Escogida esta opción, aparece el siguiente cuadro de diálogo:
En la casilla Definir la celda se indica la celda que nos interesa que tome cierto valor, por ejemplo, el
saldo final. En la casilla con el valor, se indica el valor que se desea que tome la casilla anterior y en la
casilla para cambiar la celda se indica la celda que debe ser cambiada hasta cuando se obtenga el valor
deseado.
En realidad hay dos grandes clases de tablas de amortización: (a) para las que se define el pago o cuota
y (b) para las que se define la amortización. En el primer caso, la amortización se calcula como el pago o
cuota menos los intereses; en el segundo, la cuota se define como la amortización más los intereses. Lo
más importante al construir la tabla de amortización es su estructura básica, así:
48

Caso 1. Cuando se fija la cuota o pago
Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final
Saldo final del Saldo inicial por tasa Pago menos Definido a Saldo inicial menos
período anterior de interés interés Voluntad abono
Ejemplo 6a
Un préstamo de $1.000 al 3% mensual pagadero en 6 meses con cuotas que se duplican cada dos meses.
La primera aproximación podría ser:
B C D E F G
2 Mes Saldo inicial $ Interés $ Amortización o abono $ Pago o cuota $ Saldo final $
3 0 1.000,00
4 1 1.000,00 30,00 -25,00 5,00 1.025,00
5 2 1.025,00 30,75 -25,75 5,00 1.050,75
6 3 1.050,75 31,52 -21,52 10,00 1.072,27
7 4 1.072,27 32,17 -22,17 10,00 1.094,44
8 5 1.094,44 32,83 -12,83 20,00 1.107,27
9 6 1.107,27 33,22 -13,22 20,00 1.120,49
En la hoja de cálculo hay que construir las fórmulas de la columna Pago de manera que indiquen que la
segunda cuota es igual a la primera, la tercera es el doble de la segunda, la cuarta igual a la tercera y así
sucesivamente.
B C D E F G
2 Mes Saldo inicial $ Interés $ Amortización o abono $ Pago o cuota $ Saldo final $
3 0
4 1 5
5 2 =F4
6 3 =F5*2
7 4 =F6
Para resolver este ejemplo hay que usar la opción de Buscar Objetivo de la hoja de cálculo. Para Excel
2010, se tiene
49

Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obtenido será:
B C D E F G
2 Mes Saldo inicial $ Interés $ Amortización o abono $ Pago o cuota $ Saldo final $
3 0 1.000,00
4 1 1.000,00 30,00 51,16 81,16 948,84
5 2 948,84 28,47 52,70 81,16 896,14
6 3 896,14 26,88 135,44 162,32 760,70
7 4 760,70 22,82 139,50 162,32 621,20
8 5 621,20 18,64 306,01 324,65 315,19
9 6 315,19 9,46 315,19 324,65 0,00
Ejemplo 6b
Un préstamo de $1.000 al 3% mensual pagadero en 12 meses con un solo pago al final se podría
solucionar de la siguiente forma.
Mes Saldo inicial Interés Amortización Pago Saldo final
($) ($) ($) ($) ($)
0 1.000,00
1 1.000,00 30,00 - 30,00 - 1.030,00
2 1.030,00 30,90 - 30,90 - 1.060,90
3 1.060,90 31,83 - 31,83 - 1.092,73
4 1.092,73 32,78 - 32,78 - 1.125,51
5 1.125,51 33,77 - 33,77 - 1.159,27
6 1.159,27 34,78 - 34,78 - 1.194,05
7 1.194,05 35,82 - 35,82 - 1.229,87
8 1.229,87 36,90 - 36,90 - 1.266,77
9 1.266,77 38,00 - 38,00 - 1.304,77
10 1.304,77 39,14 - 39,14 - 1.343,92
11 1.343,92 40,32 - 40,32 - 1.384,23
12 1.384,23 41,53 - 39,53 2,00 1.423,76
Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obtenido será:
50

Mes Saldo inicial
($)
Interés ($) Amortización
($)
Pago ($) Saldo final
($)
0 1.000,00
1 1.000,00 30,00 -30,00 0 1.030,00
2 1.030,00 30,90 -30,90 0 1.060,90
3 1.060,90 31,83 -31,83 0 1.092,73
4 1.092,73 32,78 -32,78 0 1.125,51
5 1.125,51 33,77 -33,77 0 1.159,27
6 1.159,27 34,78 -34,78 0 1.194,05
7 1.194,05 35,82 -35,82 0 1.229,87
8 1.229,87 36,90 -36,90 0 1.266,77
9 1.266,77 38,00 -38,00 0 1.304,77
10 1.304,77 39,14 -39,14 0 1.343,92
11 1.343,92 40,32 -40,32 0 1.384,23
12 1.384,23 41,53 1.384,23 1.425,76 0
Un ejemplo de cuota o pago escalonado es el de pagar un préstamo de $1.000 a la tasa del 3% mensual y
pagarlo en cuotas que crecen $10 cada mes. El primer esquema sería:
Período Saldo
inicial ($)
Interés ($) Amortización ($) Pago ($) Saldo final
($)
0 1.000,00
1 1.000,00 30,00 -29,00 1,00 1.029,00
2 1.029,00 30,87 -19,87 11,00 1.048,87
3 1.048,87 31,47 -10,47 21,00 1.059,34
4 1.059,34 31,78 -0,78 31,00 1.060,12
5 1.060,12 31,80 9,20 41,00 1.050,92
6 1.050,92 31,53 19,47 51,00 1.031,45
7 1.031,45 30,94 30,06 61,00 1.001,39
8 1.001,39 30,04 40,96 71,00 960,43
9 960,43 28,81 52,19 81,00 908,25
10 908,25 27,25 63,75 91,00 844,49
11 844,49 25,33 75,67 101,00 768,83
12 768,83 23,06 87,94 111,00 680,89
En la hoja de cálculo, la segunda cuota es igual a la primera más $10, y así sucesivamente.
La primera cuota puede tener cualquier valor; lo importante es que las demás cuotas (de la segunda en
adelante) dependan de la primera. Así, cuando se cambie la primera, las demás cuotas y el resto de la tabla
cambiarán también. Esa cuota de la cual dependen las demás deberá ser un número, no una fórmula, y el
resto debe estar encadenado a esta primera celda por medio de fórmulas. Habrá que cambiar el valor de la
primera cuota hasta cuando el saldo final sea cero. Esto se puede hacer a mano, pero el computador lo
hace más rápido. Con la opción Buscar objetivo, ya mencionada, se define la celda donde está el saldo
final de último período con el valor cero y se le pide que cambie la celda donde está la primera cuota.
Hecho esto, se obtiene el siguiente resultado:
51

Período Saldo
inicial ($)
Interés
($)
Amortización
($)
Pago
($)
Saldo
final ($)
0 1.000,00
1 1.000,00 30,00 18,98 48,98 981,02
2 981,02 29,43 29,55 58,98 951,48
3 951,48 28,54 40,43 68,98 911,04
4 911,04 27,33 51,65 78,98 859,40
5 859,40 25,78 63,20 88,98 796,20
6 796,20 23,89 75,09 98,98 721,11
7 721,11 21,63 87,34 108,98 633,77
8 633,77 19,01 99,96 118,98 533,80
9 533,80 16,01 112,96 128,98 420,84
10 420,84 12,63 126,35 138,98 294,49
11 294,49 8,83 140,14 148,98 154,35
12 154,35 4,63 154,35 158,98 0,00
Este ejemplo indica que se pueden construir tablas de amortización con cualquier esquema de pago y
siempre será posible encontrar saldo final igual a cero. El esquema de pago puede ser tal que la cuota sea
menor que los intereses que deben pagarse; en este caso, el saldo final aumentará en lugar de disminuir.
Esto es lo que ocurre en algunos planes de pago de vivienda, tanto en UPAC como en pesos, lo cual
demuestra que los males que se le atribuyen al UPAC sólo obedecen al esquema de pago de cuotas que se
adopte. Si las primeras cuotas son menores que los intereses, con deuda en UPAC o en pesos, el problema
es igual.
Caso 2. Cuando se fija el abono o amortización
Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo final
Saldo final del período Saldo inicial por la Definida a Abono más interés Saldo inicial menos
anterior
tasa de interés Voluntad
abono
En este caso se debe garantizar que la suma de las amortizaciones sea igual a la deuda.
El mismo préstamo del ejemplo anterior:
Mes Saldo inicial ($) Interés ($) Amortización ($) Pago ($) Saldo final ($)
0 1.000,00
1 1.000,00 30,00 83,333 113,33 916,67
2 916,67 27,50 83,333 110,83 833,33
3 833,33 25,00 83,333 108,33 750,00
4 750,00 22,50 83,333 105,83 666,67
5 666,67 20,00 83,333 103,33 583,33
6 583,33 17,50 83,333 100,83 500,00
7 500,00 15,00 83,333 98,33 416,67
8 416,67 12,50 83,333 95,83 333,33
9 333,33 10,00 83,333 93,33 250,00
10 250,00 7,50 83,333 90,83 166,67
11 166,67 5,00 83,333 88,33 83,33
12 83,33 2,50 83,333 85,83 -0,00
1000,00
Ejemplo 7
52

Ejemplo 8
Se desea calcular el plan de pago de un préstamo de $1.000.000 para pagarlo en 12 meses. Se quiere
estudiar tres formas de pago con diferentes supuestos:
Cuota uniforme con tasas de interés mensuales diferentes.
Cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales iguales.
Cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales diferentes.
Para todos los casos se debe construir la estructura de la forma de pago y la respectiva tabla de
amortización. Como se desea encontrar una forma de pago de la deuda, entonces se debe cumplir la
condición de tener un saldo igual a cero al final del último mes.
Para el primer caso, cuota uniforme con tasas de interés mensuales diferentes, se construye la estructura
de una cuota uniforme, dentro de la tabla de amortización, caso 1.
Mes
Saldo
inicial ($)
Interés
($)
Amortización
($)
Cuota
uniforme
($)
Saldo
final ($)
Tasa
Aumento
0 1,000.00
1 1.000,00 29,96 -24,96 5,00 1.025 2,996% 0%
2 1.024,96 29,36 -24,36 5,00 1.049 2,865% 0%
3 1.049,32 32,26 -27,26 5,00 1.077 3,074% 0%
4 1.076,58 29,09 -24,09 5,00 1.101 2,702% 0%
5 1.100,66 29,75 -24,75 5,00 1.125 2,703% 0%
6 1.125,42 31,48 -26,48 5,00 1.152 2,797% 0%
7 1.151,90 33,35 -28,35 5,00 1.180 2,895% 0%
8 1.180,26 40,02 -35,02 5,00 1.215 3,391% 0%
9 1.215,27 38,03 -33,03 5,00 1.248 3,129% 0%
10 1.248,31 36,84 -31,84 5,00 1.280 2,951% 0%
11 1.280,15 40,88 -35,88 5,00 1.316 3,193% 0%
12 1.316,03 37,24 -32,24 5,00 1.348 2,830% 0%
Como se observa, todas las cuotas (y las demás celdas) deberán depender de la primera cuota. Por lo
tanto, si esta cifra se cambia, todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuando el
saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada, puede hacer el trabajo.
Al aplicar esta opción:
Mes
Saldo
inicial ($)
Interés
($)
Amortización
($)
Cuota
uniforme
($)
Saldo
final ($)
Tasa
Aumento
0 1,000.00
1 1.000,00 29,96 70,08 100,04 930 2,996% 0%
2 929,92 26,64 73,40 100,04 857 2,865% 0%
3 856,52 26,33 73,71 100,04 783 3,074% 0%
4 782,81 21,15 78,89 100,04 704 2,702% 0%
5 703,92 19,03 81,01 100,04 623 2,703% 0%
6 622,91 17,43 82,61 100,04 540 2,797% 0%
7 540,30 15,64 84,39 100,04 456 2,895% 0%
8 455,91 15,46 84,58 100,04 371 3,391% 0%
9 371,33 11,62 88,42 100,04 283 3,129% 0%
10 282,91 8,35 91,69 100,04 191 2,951% 0%
11 191,22 6,11 93,93 100,04 97 3,193% 0%
12 97,29 2,75 97,29 100,04 0 2,830% 0%
53

En este ejemplo, la cuota uniforme es de $100,04. Obsérvese que ya no es posible usar la función de
Excel pago, por tener varias tasas de interés.
Para la cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales iguales, se construye la estructura
de una cuota uniforme, dentro de la tabla de amortización (también caso a en que se fija la cuota o pago).
La construcción de la estructura es igual a la anterior. Aquí la diferencia radica en los datos: el crecimiento
no es 0%, sino 1%, y la tasa mensual es constante, es decir, 2,5%.
Mes
Saldo
inicial ($)
Interés
($)
Amortización
($)
Cuota
uniforme
($)
Saldo
final ($)
Tasa
Aumento
0 1.000,00
1 1.000,00 25,00 -20,00 5,00 1.020 2,50% 1%
2 1.020,00 25,50 -20,45 5,05 1.040 2,50% 1%
3 1.040,45 26,01 -20,91 5,10 1.061 2,50% 1%
4 1.061,36 26,53 -21,38 5,15 1.083 2,50% 1%
5 1.082,74 27,07 -21,87 5,20 1.105 2,50% 1%
6 1.104,61 27,62 -22,36 5,26 1.127 2,50% 1%
7 1.126,97 28,17 -22,87 5,31 1.150 2,50% 1%
8 1.149,84 28,75 -23,39 5,36 1.173 2,50% 1%
9 1.173,22 29,33 -23,92 5,41 1.197 2,50% 1%
10 1.197,14 29,93 -24,46 5,47 1.222 2,50% 1%
11 1.221,60 30,54 -25,02 5,52 1.247 2,50% 1%
12 1.246,61 31,17 -25,59 5,58 1.272 2,50% 1%
Igual que en el caso anterior, todas las cuotas (y las demás celdas) dependen de la primera cuota. Por lo
tanto, si esta cuota se cambia, todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuando el
saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada, puede hacer el trabajo. Al aplicar esta
opción:
Mes Saldo Interés Amortización Cuota Saldo Tasa Aumento
inicial ($) ($) ($) ($) final ($)
0 1.000,00
1 1.000,00 25,00 67,51 92,51 932 2,50% 1%
2 932,49 23,31 70,12 93,44 862 2,50% 1%
3 862,36 21,56 72,81 94,37 790 2,50% 1%
4 789,55 19,74 75,58 95,31 714 2,50% 1%
5 713,98 17,85 78,42 96,27 636 2,50% 1%
6 635,56 15,89 81,34 97,23 554 2,50% 1%
7 554,22 13,86 84,35 98,20 470 2,50% 1%
8 469,87 11,75 87,44 99,18 382 2,50% 1%
9 382,43 9,56 90,62 100,18 292 2,50% 1%
10 291,82 7,30 93,88 101,18 198 2,50% 1%
11 197,94 4,95 97,24 102,19 101 2,50% 1%
12 100,69 2,52 100,69 103,21 0 2,50% 1%
En este ejemplo, la primera cuota es de $92,51 y crece 1% cada mes. Obsérvese que ya no es posible
usar la función de Excel pago, por no ser una cuota uniforme.
Para la cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales diferentes se construye la
estructura de una cuota uniforme, dentro de la tabla de amortización (también caso 1 a, donde se fija la
cuota o pago). La construcción de la estructura es igual a la primera. Aquí la diferencia con el anterior
radica en los datos; el crecimiento es 1%, pero las tasas son diferentes.
54

Mes Saldo Interés Amortización Cuota Saldo Tasa Aumento
inicial ($) ($) ($) ($) final ($)
0 1.000,00
1 1.000,00 30,00 (25,00) 5,00 1.025,00 3,00% 1%
2 1.024,96 29,36 (24,36) 5,05 1.049,00 2,86% 1%
3 1.049,32 32,26 (27,26) 5,10 1.077,00 3,07% 1%
4 1.076,58 29,09 (24,09) 5,15 1.101,00 2,70% 1%
5 1.100,66 29,75 (24,75) 5,20 1.125,00 2,70% 1%
6 1.125,42 31,48 (26,48) 5,26 1.152,00 2,80% 1%
7 1.151,90 33,35 (28,35) 5,31 1.180,00 2,90% 1%
8 1.180,26 40,02 (35,02) 5,36 1.215,00 3,39% 1%
9 1.215,27 38,03 (33,03) 5,41 1.248,00 3,13% 1%
10 1.248,31 36,84 (31,84) 5,47 1.280,00 2,95% 1%
11 1.280,15 40,88 (35,88) 5,52 1.316,00 3,19% 1%
12 1.316,03 37,24 (32,24) 5,58 1.348,00 2,83% 1%
Igual que en el caso anterior, todas las cuotas (y las demás celdas) dependen de la primera. Por lo tanto,
si esta cuota se cambia, todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuando el saldo
sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada, puede hacer el trabajo. Al aplicar esta opción:
Mes
Saldo
inicial ($)
Interés
($)
Amortización
($)
Cuota
($)
Saldo
final ($)
Tasa
Aumento
0 1.000,00
1 1.000,00 30,00 64,98 94,98 935,02 3,00% 1%
2 935,02 26,74 69,19 95,93 865,83 2,86% 1%
3 865,83 26,58 70,31 96,89 795,53 3,07% 1%
4 795,53 21,48 76,38 97,86 719,15 2,70% 1%
5 719,15 19,42 79,42 98,84 639,73 2,70% 1%
6 639,73 17,91 81,91 99,82 557,82 2,80% 1%
7 557,82 16,18 84,65 100,82 473,17 2,90% 1%
8 473,17 16,04 85,79 101,83 387,38 3,39% 1%
9 387,38 12,13 90,72 102,85 296,66 3,13% 1%
10 296,66 8,75 95,13 103,88 201,54 2,95% 1%
11 201,54 6,43 98,49 104,92 103,05 3,19% 1%
12 103,05 2,92 103,05 105,96 0,00 2,83% 1%
Hay que observar que cuando las tasas de interés no son constantes las funciones ya conocidas de Excel
no se pueden utilizar. Hay que diseñar la estructura de los pagos y utilizar la opción Buscar objetivo.
2.9 Tasas de interés equivalentes
En muchos casos es necesario hacer transformaciones a las tasas de interés estipuladas para poder
compararlas. En particular, esto se refiere a los casos en que los intereses se pagan en forma anticipada y
en los casos en que los intereses se estipulan para un determinado período, pero que se liquidan (se hacen
pagos, por ejemplo) en períodos menores que el estipulado inicialmente; este caso se refiere a las tasas de
interés nominal y efectivas.
2.9.1 Interés anticipado e interés vencido
Interés anticipado, como su nombre lo indica, es el que se liquida al comienzo del período, donde se
recibe o entrega un dinero. Interés vencido, por el contrario, se liquida al final del período, donde se recibe
o entrega un dinero.
Muchas negociaciones se estipulan en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el
equivalente en tasas de interés vencido. Un ejemplo corriente lo constituyen los préstamos bancarios y los
certificados de depósito a término.
55

Cuando se estipula un pago de interés anticipado (i a ), en realidad ello significa que (en el caso de un
préstamo) se recibe un monto menor al solicitado.
A manera de ejemplo, considérese un préstamo P pagadero a un año, con tasa de interés de i%.
Gráficamente se tiene para el caso de interés vencido:
P
1
0
P + Pi
El interés pagado ya se estudió: es el excedente que se entrega sobre lo recibido (en este ejemplo,
recibido en préstamo), por lo tanto, la tasa de interés será:
Pi i
(2.10)
P
Este caso, se dijo que era para el interés vencido. En el caso de interés anticipado, sería:
P
0
1
Pi a
P
Es decir, en el instante cero se recibe ahora P-Pi a
y al final del año se debe pagar P. Nuevamente, la suma
adicional que se paga es Pi a
, pero la suma recibida es P-Pi a
. Esto quiere decir que la tasa de interés vencida se
puede calcular así:
i
v
Pi
a
P Pi
a
ia
1
i
a
(2.11)
Donde:
56

i v
= tasa de interés vencida
i a
= tasa de interés anticipada
Con esta función se puede convertir cualquier tasa de interés anticipada en una tasa de interés vencida.
Esta fórmula se utiliza sólo para tasas periódicas, esto es, las tasas que se aplican en determinado período
para el cálculo del interés. Una tasa de interés anticipada del 8% trimestral, equivale a 8,6957% trimestral
vencida, que se calcula aplicando la fórmula anterior. Para utilizar esta conversión se debe trabajar con la
tasa correspondiente a un período de aplicación de esa tasa. Por ejemplo, una tasa de interés de 8%
anticipada que se aplica a un trimestre.
Para comprender mejor estas ideas se sugiere que el lector piense en una situación como la siguiente:
alguien le ofrece en préstamo $10.000, que debe pagar después de un año; pero le cobra intereses de 30%
anticipado. Si el lector necesita la totalidad de los $10.000, le pide entonces a quien le presta que le cobre
vencido, pues si es anticipado sólo recibiría $7.000. Se esperaría que al negociar intereses vencidos, le
tocaría pagar por intereses ¿más de $3.000? ¿Menos de $3.000? ¿Lo mismo ($3.000)?
Utilizando la expresión anterior, se puede transformar una tasa de interés nominal, liquidada en forma
anticipada, en una tasa de interés efectiva vencida. La tasa de interés nominal anticipada por período, se
convierte en tasa de interés vencida y después ésta se transforma en una tasa de interés efectiva. Esto se
estudiará en la siguiente sección.
Ejemplo 9
Si la tasa de interés anual se estipula como 32% y se liquida trimestralmente por anticipado, es decir, se
cobra la cuarta parte cada trimestre, ¿a cuánto equivale ese interés trimestral vencido?
Tasa de interés trimestral anticipada = 0,32/4 = 0,08 = 8%
Tasa de interés trimestral vencida = 0,08/(1-0,08) = 0,087 = 8,7%
Con un análisis similar, se puede concluir que la tasa de interés anticipado se puede calcular a partir de
la tasa de interés vencido así:
i
a
i
v
(2.12)
1 i
v
Para utilizar esta conversión se debe trabajar con la tasa correspondiente a un período de aplicación de
esa tasa. Esto significa que se utiliza sólo para tasas periódicas, esto es, las tasas que se aplican en
determinado período para el cálculo del interés. Por ejemplo, una tasa de interés de 8% vencida que se
aplica a un trimestre.
Ejemplo 10
Si un banco dice cobrar una tasa de interés de 36% anual, liquidado cada mes vencido, ¿a qué tasa de
interés mes anticipado corresponde ese interés?
El interés mensual vencido es: 0,36/12 = 0,03 = 3%
El interés mensual anticipado es i a = 0,03/1+0,03 = 0,0291
ia
0.03
1
0.03
57
0.02913

El interés nominal anual mes anticipado es 34,96%, o sea, 2,913%x12.
2.9.2 Tasa de interés nominal y efectivo
En las operaciones de bolsa se venden papeles que se han mantenido por tiempos diferentes cada uno
(una acción se vende después de 23 días de comprada y otros títulos se venden después de haberlos
mantenido por tiempos diferentes: 42 días, un año y medio, 234 días, etc.). Cuando esto ocurre y se
calculan las tasas de interés ganadas sobre esas operaciones, no son comparables entre sí debido
precisamente a la disparidad de los plazos: no es adecuado hablar de 2,5% de interés en 23 días y de
interés 4,2% en 42 días o de 37% en 440 días, y tratar de comparar estos rendimientos.
Lo mismo sucede cuando un préstamo se estipula a una tasa de interés de 35% anual, se liquida cada
trimestre vencido y se desea comparar con otro préstamo a 32% anual, pero se liquida mes anticipado. A
simple vista no es posible determinar cuál de estas expresiones de las tasas de interés indica mayor
rentabilidad o es la más onerosa, en el caso de los préstamos. Para ello se deben convertir a una base
común. Primero se debe determinar lo que se conoce como tasa de interés nominal, y a partir de esto se
debe determinar la tasa de interés efectiva.
2.9.2.1 Tasa de interés nominal o capitalizable
La tasa de interés nominal 1 o capitalizable es una tasa de interés que se estipula para un determinado
período (por ejemplo, un año) y que es liquidable en forma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al
indicado inicialmente. Esta liquidación se realiza con la tasa determinada para ese período menor y se llama
tasa de interés periódica. En el primer caso, lapsos iguales, la tasa nominal rige para la operación y el monto
del interés recibido es una fracción del monto inicial, igual a la tasa de interés nominal estipulada. En el
segundo, lapsos inferiores al estipulado, la tasa nominal se convierte en una tasa de interés mayor que se
denomina tasa de interés efectiva.
Se puede determinar una tasa de interés nominal a partir de una tasa de interés periódica simplemente
multiplicando la tasa de interés periódica por el número de períodos de liquidación que ocurran en el
período para el que se ha estipulado la tasa nominal. Por ejemplo, si la tasa mensual es de 2%, la tasa
nominal anual mes vencido será 24% (2%x12). Al contrario, la tasa de interés periódica se puede calcular
a partir de la tasa nominal dividiéndola por el número de períodos. Por ejemplo, una tasa nominal anual de
36% liquidada trimestre anticipado origina una tasa trimestral de 9% (36%/4) liquidada anticipada en el
trimestre.
2.9.2.2 Tasa de interés efectiva
La tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés nominal
o capitalizable en períodos menores al estipulado inicialmente para ella. Es una tasa de interés equivalente
a la nominal liquidada en períodos inferiores (más cortos) al estipulado para la tasa nominal; en otras
1 En este contexto no se está refiriendo al hecho que la tasa de interés contiene una componente de inflación. El contexto le indica
al lector de qué se habla.
58

palabras, si los intereses de la tasa nominal se acumularan en una cuenta durante todos esos períodos, el
interés recibido al final del período mayor estaría medido por la tasa de interés efectiva.
Dicha tasa puede calcularse en virtud de que el interés que efectivamente ocurre es compuesto, ya que
sus liquidaciones se han acumulado. Así mismo, la tasa de interés efectiva puede ser calculada cuando se
realizan pagos de interés con anterioridad a los tiempos estipulados en la tasa nominal.
Aun si los pagos de interés no se acumulan, se puede concebir la tasa de interés efectiva como el
porcentaje que resultaría si se hubiera acumulado. Esta forma de verla es útil cuando se desea comparar
tasas nominales especificadas con períodos de liquidación diferentes o cuando se tienen rendimientos en
fracciones de tiempo diferentes. Por ello es incorrecto lo que muchas personas consideran: que es
equivalente hablar de una tasa de interés del 2% mensual y una del 24% anual. La diferencia entre ellas
radica en la longitud del período de liquidación.
En resumen, la tasa de interés efectiva anual se puede considerar una ficción matemática, que sirve para
hacer comparables tasas de interés estipuladas para un determinado período (por lo general un año) con
liquidaciones en períodos inferiores a ese lapso inicial. Más aún, es una ficción en el sentido que, por
ejemplo, una persona se puede enfrentar a pagar un préstamo en forma anticipada, en períodos inferiores a
un año, por ejemplo, trimestres o pagar el mismo préstamo con la misma tasa de interés anual, pero
liquidada a final del año. En este caso, como se verá más adelante, es más costoso pagar por trimestres que
pagar al final; sin embargo, si la persona mencionada guarda su dinero en una caja fuerte, en realidad le da
lo mismo pagar al final del año o pagar en forma anticipada, aunque los cálculos de la tasa de interés
efectiva anual muestren lo contrario.
A diferencia de las tasas nominales, las tasas efectivas no se fraccionan (no se dividen por el número de
períodos) ni se pueden obtener por multiplicación de la tasa periódica por el número de períodos. La tasa
de interés efectiva es el resultado de obtener la acumulación real o virtual de intereses periódicos.
Ejemplo 11
Si se considera una inversión de $1.000 en el mes 0 al 2% mensual (liquidados mensualmente), al final
de 12 meses se tendrá: = VF(2%;12;;-1000) = $1.268,24.
Esto quiere decir una tasa de interés anual efectiva del 26,82%. Así mismo, si se dice que una inversión
rinde 27,33% anual efectivo, puede significar que se ha liquidado mensualmente a la tasa de 2,03%
(encontrar este valor como ejercicio). Debe tenerse muy en claro la diferencia entre la tasa de interés
efectiva 26,82% y 27,33% anual y los respectivos valores de 2% y 2,03% mensual, que equivalen al 24%
y 24,36% anual nominal, respectivamente.
Ejemplo 12
Suponga que un banco A le presta al 36% año vencido y que uno B le presta al 36% trimestre vencido.
Los flujos de caja en cada caso son:
Trimestre 0 1 2 3 4
Banco A $ 1.000 -1.360
Banco B $ 1.000 -90 -90 -90 -1.090
¿Cuál es más costoso? La respuesta es el B. Una forma de entender por qué cuesta más el B es pensar
que si el banco B no cobrara los intereses trimestrales, sino anuales, estas sumas se podrían invertir, por
59

ejemplo, en una cuenta de ahorros que pague el 6% trimestral y, entonces, al final del cuarto trimestre, se
tendría lo siguiente:
Trimestre 0 1 2 3 4
Suma disponible para ahorrar al 2% 90 90 90 90
mensual $
Valor al final del trimestre 4 $ = VF(6%.4,-90) = 393,72
Esto significa que si no se tuviera que pagar el interés cada trimestre, sino al final del año, ese dinero
podría ahorrarse y al final del año se tendría lo suficiente para pagar los $360 de intereses y sobrarían
$33,72. Por lo tanto, como al pagar cada trimestre no se cuenta con ese dinero, no se obtienen los $33,72
adicionales y se concluye que pagar trimestre vencido es más costoso que pagar año vencido. Al presentar
la fórmula de la tasa de interés efectiva, verifique esta conclusión.
Repita este ejemplo con 9% trimestral. ¿Cuánto acumula al final? Guarde esta cifra que le servirá más
adelante.
En muchas ocasiones, la condición de acumulación de intereses no se da en la práctica y, sin embargo, se
calcula una tasa de interés efectiva (por ejemplo, cuando se hace una inversión por un corto período, un mes, 3
meses, 20 días, etc.). El raciocinio es que hay que pensar en una liquidación de intereses diarios que no se
retiran.
Si se recuerda el Ejemplo 3 de este capítulo, allí se concluyó que el valor acumulado de una suma
presente, para cualquier número de períodos, con una tasa de interés i, era P(1+i) n . Si en ese ejemplo, se
consideran 12 meses, se tendría:
P(1+i) n = 1.000(1+0,02) 12 = 1.268,24
Es decir, el interés ganado sobre $1.000 es $268,24. Esta suma, sobre la inicial, produce un porcentaje
de 26,82%.
El 2% mensual del ejemplo se puede ver también como 24% anual, pero liquidado mensualmente,
vencido. Si 24% es la tasa nominal, entonces:
P(1+i) n = 1.000(1+0,02) 12 = 1.000(1+0,24/12) 12
El interés que se obtiene al final del año es producto de liquidar los intereses de 2% mensual y
calculado como tasa de interés es 26,82% anual. Y se calculó basado en el interés acumulado y ganado en
12 meses, o sea:
0,24
.000 1
12
1.000
12
1.000
0,24 1
12
1
12
1
26,82%
En general, se puede decir entonces que es igual a:
60

n
1 1
n
i nomV (2.13)
Por lo tanto, dados una tasa de interés nominal y el número de veces por período que se liquida, al
cumplimiento (vencido) se tiene:
n
i 1 nomV
INTERES EFECTIVO i
1
(2.14)
ef
n
Donde:
i ef = tasa de interés efectiva (en la práctica lo más usual es calcularla para un año, aunque se puede
calcular para períodos diferentes).
n = número de veces que se liquida durante el período.
i nom = tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido.
En Excel 97 se utiliza la función INT.EFECTIVO; si no aparece en el botón Pegar función o Asistente
de funciones, deberá instalarla. Para ello, vaya al menú y elija Herramientas y elija Complementos
(macros automáticas en versiones anteriores a Excel 97). Haga clic con el ratón (mouse) en Herramientas
para análisis hasta que aparezca la X y después se debe oprimir el botón para aceptar. Con esta operación
ha quedado instalada, en Pegar función o Asistente de funciones, una colección de funciones, entre ellas la
tasa de interés efectiva y la tasa de interés nominal.
= INT.EFECTIVO(int-nominal;núm. períodos)
Cuando n es muy grande, se dice que tiende a infinito, y en ese caso esta expresión que reducida a:
i
i e nom 1
(2.15)
ef
Donde:
e = base de logaritmos naturales, igual a 2,71828...
i nom
= interés nominal anual
Esta última expresión se llama tasa de interés continua.
En Excel se utiliza Pegar función o Asistente de funciones y en matemáticas se encuentra la función =
exp(). Entonces la tasa de interés efectiva continua, es decir, con liquidación instantánea es:
i exp( i ) 1
(2.16)
ef
nom
Para calcular la tasa nominal liquidada en forma instantánea, a partir de una de tasa efectiva, se despeja
i nom
de la expresión anterior, así:
61

i
nom
ln( 1
i )
(2.17)
ef
Esta forma de liquidar el interés se utiliza para el cálculo del valor de opciones y futuros (véase Hull,
1996). Cuando el interés nominal se liquida anticipado, la fórmula de la tasa de interés efectiva se
convierte en:
i
ef
n
i
1
nomA
1
n
INTERES EFECTIVO
(2.18)
Aunque en Excel no hay una fórmula que calcule la tasa de interés efectiva anual, a partir de una tasa
nominal liquidada en forma anticipada se puede utilizar la función VF de la siguiente manera, en lugar de la
expresión anterior:
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
= VF(-tasa periódica;-número de períodos;;-1) – 1
Las funciones de Excel (VA, VF. PAGO y NPER), que no están diseñadas para trabajar con tasas de
interés anticipadas, pueden recibirlas si se introducen los valores de tasas y períodos con signo negativo.
En el caso de NPER, sólo hay que introducir la tasa negativa y el resultado aparece con signo negativo,
por lo tanto hay que cambiarle el signo. En el caso de PAGO, el signo del resultado es el contrario 2 .
El interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva anual es:
1
i n
1 i n 1
nomV
ef
INTERES NOMINAL ANUAL
(2.19)
Donde:
i ef = tasa de interés efectiva anual.
n = número de veces que se liquida durante el período.
I nom V = tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido.
En Excel:
= TASA.NOMINAL(tasa de interés efectiva; num. períodos)
tasa de interés efectiva = tasa de interés efectiva anual
num. períodos = número de veces que se liquida durante el año.
Debe observarse que el monto de la tasa de interés nominal determina el monto de la tasa de interés
efectiva.
2 Esta sugerencia la recibí del profesor Ricardo Dueñas, del Politécnico Grancolombiano.
62

Tasa de interés periódica
mensual (%)
Tasa de interés
anual nominal (%)
Tasa de interés
anual efectiva (%)
1,0 12 12,68
1,5 18 19,56
2,0 24 26,82
2,5 30 34,49
3,0 36 42,58
Debe observarse también que la frecuencia con que se liquida una tasa nominal influye en la tasa
efectiva. Obsérvese también la relación, ya mencionada, entre tasa de interés nominal y tasa de interés
periódica.
Para una tasa anual nominal de 24%, esto puede verse en una tabla:
Período Tasa por período Períodos de liquidación Tasa anual efectiva (%)
(%)
Anual 24,00 1 24,00
Semestral 12,00 2 25,44
Cuatrimestral 8,00 3 25,97
Trimestral 6,00 4 26,25
Bimestral 4,00 6 26,53
Mensual 2,00 12 26,82
Diario 0,0658 365 27,11
Para estos ejemplos, es importante reiterar que una tasa de interés efectiva implica:
1. Liquidación de intereses en períodos menores al estipulado para la tasa de interés nominal.
2. Acumulación de los intereses generados durante el período indicado.
3. Interés compuesto.
Otras fórmulas y ejemplos para convertir tasas de interés nominal a efectiva, y viceversa, se encuentran
en el Apéndice al final de este capítulo.
Es común encontrar entre los estudiantes preguntas como: si se dice que una tasa de interés es de 3%
mensual, ¿es nominal o efectiva? Si no se estipula nada más, ¿se debe considerar que esa es la tasa de
interés de ese período? ¿Cuándo se espera que alguien piense en nominal o efectivo? Por ejemplo, si se
dice que una tasa de interés efectiva es de 24,5% anual, entonces en forma inmediata se puede (y se debe)
pensar en que esa tasa de interés efectiva se produjo porque hay una tasa de interés nominal y un período
de liquidación menor o igual a un año. Si habla de una tasa de 36% anual nominal, se debe esperar que se
suministre más información sobre la periodicidad de la liquidación y, por lo tanto, se esperaría una tasa de
interés efectiva mayor o igual al valor estipulado por la tasa nominal. También conviene aclarar que una
tasa de interés efectiva nunca se divide por el número de períodos; la tasa nominal, expresada por período
y liquidada en períodos de menor duración, se divide para saber qué tasa por período (menor que el
inicial) se debe liquidar.
La tasa de interés efectiva es como el punto de unión entre diferentes tasas nominales que producen la
misma tasa efectiva. Por ejemplo, dada una tasa de interés efectiva, se pueden calcular muchas tasas de
interés nominal equivalentes; el valor de estas tasas nominales varía, lo mismo que el número y longitud
de los períodos en que se liquidan. La condición que deben cumplir es que todas produzcan la misma tasa
de interés efectiva. Así, se puede encontrar qué tasas nominales mes vencido, mes anticipado, semestre
vencido, semestre anticipado o trimestre anticipado, pueden ser equivalentes a una tasa nominal liquidada
trimestre vencido. Se sugiere al lector que trabaje este ejemplo con una tasa de interés nominal de 36%
anual, trimestre vencido, para que halle las mencionadas tasas.
63

2.9.3 Relación entre tasa periódica y nominal o capitalizable
Conviene hacer un resumen que facilite la operación de conversión entre tasas equivalentes: tasa de
interés periódica es igual a tasa de interés nominal dividida por el número de períodos:
i p
= i nom
/n (2.20)
Y viceversa:
i nom
= n x i p
(2.21)
En las transformaciones entre tasas de interés nominales debe distinguirse entre transformaciones con
períodos de liquidación iguales y con períodos de liquidación desiguales.
Para el caso de períodos de liquidación iguales:
Tasa
nominal
Anticipada
Vencida
Cálculo de la tasa de
interés periódica
Equivalencia
Nueva tasa
de interés nominal
i a = i nom /n i v = i a /(1-i a ) n i v
i v = i nom /n i a = i v /(1+i v ) n i a
Para el caso de períodos de liquidación diferentes: con la tasa nominal vencida con período de
liquidación n 1 se calcula la tasa efectiva y con esta última se calcula la nueva tasa nominal con período de
liquidación n 2 . Para llegar a la tasa nominal vencida, si se tiene una anticipada, se utiliza primero el
procedimiento para convertir tasa anticipada a tasa vencida con igual período.
A continuación se indica paso a paso (incluida la conversión de anticipado a vencido y viceversa) la
equivalencia entre una tasa nominal anticipada con n 1 períodos y otra nominal anticipada con n 2 períodos
de liquidación. Esto se puede visualizar como una parábola o una U que comienza en tasa nominal
anticipada n 1 , pasa por el punto más bajo donde está la tasa de interés efectiva y sube otra vez hasta la tasa
de interés nominal con n 2 períodos.
En este esquema, el lector puede identificar dónde está y adónde quiere llegar, de modo que las
transformaciones entre diferentes tasas se hace muy fácil. Debe observarse que el punto crucial es la tasa
de interés efectiva, que sirve para establecer la equivalencia entre diferentes tasas nominales.
De todo lo anterior se puede deducir que las tasas nominales liquidadas de una misma forma y en el
mismo período, por ejemplo, una tasa nominal de 16% anual TV y una tasa nominal de 8% TV, se pueden
sumar y se obtiene una tasa de 24% TV. Así mismo, se pueden sumar las tasas periódicas liquidadas en la
misma modalidad (anticipada o vencida) y para el mismo período, por ejemplo, 2% MV y 1% MV, resulta
en 3% MV.
Por el contrario, las tasas efectivas no se suman. Se comportan de manera similar a las componentes de
la tasa de interés ya estudiadas. Si se tienen dos tasas efectivas referidas al mismo período, entonces hay
que aplicar una relación multiplicativa:
i 1
i 1
i (2.22)
ef 12
1
ef 1 ef 2
64

Por ejemplo, una tasa efectiva anual de 15% y una tasa efectiva anual de 10%, combinadas, no resultan
en 25%, sino en 1,10x1,15-1, esto es 26,5%.
Tasa nominal anticipada inom
a n 1
períodos
Tasa de interés periódica
anticipada
ia = inom a/n 1
Se convierte a tasa de interés
periódica vencida
iv = ia/(1-ia)
Se convierte a nominal
vencida inom v = ivn 1
Se convierte ahora a tasa de
interés efectiva con la fórmula
o con la función de Excel ief
Se convierte a tasa de interés
nominal anticipada n 2
períodos
inom a = ian2
Se convierte a tasa de interés
periódica anticipada
ia = iv/(1+iv)
Se convierte a tasa de interés
periódica vencida n 2
iv = inom v/n 2
Se convierte a tasa nominal
vencida n 2
con la fórmula o
con la función de Excel
inom v n 2
períodos
Ejemplo 13
Convierta una tasa de interés de 24% anual TA en una tasa nominal SA. Este es el caso más difícil y
largo. Cualquier otra situación hay que mirarla en la secuencia para identificar dónde se está y adónde se
desea llegar.
Tasa nominal anticipada de
24% anual trimestre
anticipado 4 períodos
Tasa de interés periódica
anticipada
ia = 24%/4=6%
Se convierte a tasa de interés
periódica vencida
iv = 6%/(1-6%)=6,38%
Se convierte a nominal
vencida
inom v = 6,38%x4=25,53%
Se convierte ahora a tasa de
interés efectiva con la fórmula o
con la función de Excel
ief=28,08%
Se convierte a tasa de interés
nominal anticipada n 2
períodos
inom a = 11,64%x2=23,28%
Se convierte a tasa de interés
periódica anticipada ia =
13,17%/(1+13,17%)=11,64%
Se convierte a tasa de interés
periódica vencida 2 períodos
Iv = 26,35% /2=13,17%
Se convierte a tasa nominal
vencida con la fórmula o con
la función de Excel con 2
períodos
26,35% semestre vencido
Esta U es útil para entender las relaciones de equivalencia entre las tasas. Sin embargo, toda esta
secuencia de pasos puede obviarse si se utilizan las fórmulas que se encuentran el Apéndice al final de
este capítulo.
65

2.10 Para recordar
Algunas ideas clave:
Una suma de dinero hoy vale más que esa misma suma de dinero mañana. Eso permite establecer
relaciones de equivalencia entre sumas de dinero en diferentes períodos. Esta relación se establece
por la tasa de equivalencia, que es la tasa de interés.
La tasa de interés tiene tres componentes: inflación, riesgo y una tasa real.
Las equivalencias entre tasas de interés se dan en cuanto a su forma de liquidación: anticipada y
vencida. Esta relación entre las dos modalidades se establece para tasas periódicas.
La relación entre tasas periódicas y nominales se establece a través de los períodos de liquidación.
Las tasas efectivas no se obtienen de operaciones aritméticas (multiplicación o división) con las
tasas nominales o las tasas periódicas.
La tasa nominal, al liquidarse en períodos inferiores al estipulado para la nominal, produce la tasa
de interés efectiva. La tasa efectiva en general es mayor que la nominal de donde procede. La
excepción ocurre cuando el período de liquidación coincide con el período para el cual se ha
definido la tasa nominal. En este caso, la tasa nominal es igual a la efectiva.
Las tasas nominales o periódicas de un mismo período y modalidad se pueden sumar. Las tasas
efectivas, no.
2.11 Resumen
En este capítulo se ha estudiado el concepto de equivalencia, que establece la relación entre sumas de
dinero en diferentes períodos. A partir de allí se estudió el concepto de interés (I) y la tasa de interés (i%).
Se analizaron los componentes de una tasa de interés: inflación, riesgo y tasa de interés real.
Basándose en los conceptos anteriores, se trabajaron las funciones y fórmulas que permiten hacer las
transformaciones entre sumas presentes, futuras y cuotas uniformes; se estudió también la forma de hallar el
número de períodos que establecen la equivalencia, las tasas de interés tanto para flujos con cuotas uniformes y
para flujos con cuotas no uniformes; se estudió la forma de calcular el valor presente de una serie de flujos no
uniformes. Así mismo, se ilustró la manera de construir tablas de amortización.
Además, se estudiaron las tasas de interés equivalentes: tasa de interés anticipada y tasa de interés
vencida, tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva.
Con estas herramientas, el lector estará capacitado para hacer cualquier tipo de análisis que tenga que
ver con tasas de interés. Además, esto es la base para construir indicadores que permiten evaluar la bondad
de una alternativa de inversión. Los métodos de evaluación de alternativas se estudiarán más adelante.
Referencias bibliográficas
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—. 1998a. Aplicaciones de la calculadora financiera y del Excel a la matemática financiera, Politécnico
Grancolombiano, Bogotá.
66

—. 1998b. Excel y la calculadora financiera aplicados a la ingeniería económica, Fondo Educativo
Panamericano, Bogotá.
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visitada el 20 de julio de 2005.
Bolten, Steven E. Administración Financiera,Limusa, 1981, México, D.F.
Enciclopedia Salvat diccionario. 1975. tomo 7, Salvat, Barcelona.
Grant, E. L. y Ireson, W. G. 1960. Principles of Engineering Economy, 4ª ed., The Ronald Press, New York.
Hull, John C. 1996. Introducción a los mercados de futuros y opciones, 2ª ed., Prentice Hall, Herfordshire.
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o?idDocumento=6877&seccion=/HOME/PVOLUNTARIAS/INFO/MULTINFONUEVO/&parte=1
6, visitada en septiembre 6 de 2005.
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Schlesinger, Jacob M. 2000. ―La FED pondera medio punto‖, El Tiempo, 26 de abril, p. 12-A.
67

3
Inversiones y presupuesto de capital
30 de abril
Viendo que había disminuido mucho
mi provisión de pan decidí poner más cuidado
en su consumo reduciéndolo a una galleta
por día, lo cual me entristeció mucho.
Daniel Defoe, Robinson Crusoe
Cada uno se estira hasta
donde le alcance su cobija.
C. E. Pinzón y G. Fandiño
Dichos y refranes oídos en Colombia
En este capítulo se estudia el problema de la toma de decisiones de inversión o, lo que es lo
mismo, comprometer recursos hoy con la esperanza de recibir beneficios en el futuro y en un plazo,
por lo general, largo. Aunque el contexto del capítulo se refiere siempre a alternativas de inversión
con resultados cuantificables en dinero, no siempre es posible. Más aún, los resultados asociados
con un determinado curso de acción pueden ser muy difíciles de evaluar en términos monetarios. Es
necesario tener en cuenta aspectos éticos, morales, sociales, económicos, políticos, técnicos, legales,
estéticos, etc. y que por el hecho de no ser cuantificables no deben ser despreciados. Se va a trabajar
desde el supuesto de certidumbre total; más tarde se elimina este supuesto y se analiza el problema
de decisión, suponiendo incertidumbre hacia el futuro.
3.1 Inversiones
En este acápite se estudia el problema relacionado con las alternativas de inversión. En particular,
se trata el concepto de inversión y algunas clasificaciones de estas alternativas.
Uno de los problemas más importantes que el gerente enfrenta en la toma de decisiones es que
debe hacerlo hoy. Por lo tanto, tales decisiones tienen consecuencias en términos de beneficios y
costos futuros, por lo cual es inevitable cierto grado de incertidumbre.
Generalmente, se mira lo que ha ocurrido en el pasado y se infiere el futuro basándose en la
información obtenida. En cuanto a la cuantificación de los beneficios y costos futuros, se recurre ya
sea a estudios de mercado o se acude a la contabilidad, para obtener datos del pasado, o se
combinan las dos.
El análisis de alternativas de inversión o análisis de decisiones de inversión, como se ha
denominado aquí:
1. Implica alternativas.
2. Se relaciona con las diferencias entre las alternativas en el futuro.
3. Se interesa en la diferencia entre costos y no en la asignación de costos.
4. Se interesa en la ocurrencia de los ingresos y gastos y no en su causación.
5. Considera la diferencia entre sumas iguales de dinero en distintos puntos en el tiempo.

Se debe hacer hincapié en que siempre se consideran importantes las diferencias entre las
alternativas. En el análisis de rentabilidad, el interés se concentra en los costos futuros, y no en los
pasados o actuales. Los costos que registra la contabilidad pueden ser muy útiles en proveer la
información necesaria para hacer cálculos de los costos futuros. El hecho de que en el proceso de
toma de decisiones se tenga que usar la información incompleta no debe llevar al administrador a la
conclusión de que no se pueden tomar decisiones. Precisamente, este proceso se desarrolla
siguiendo cursos de acción de carácter irrevocable, basado en información incompleta y muchas
veces inadecuada.
3.2 Concepto de inversión
Las alternativas o cursos de acción mencionados pueden definirse como inversiones. Una
inversión es cualquier sacrificio de recursos hoy, con la esperanza de recibir algún beneficio en el
futuro. Así, se puede concebir como inversión no sólo al hecho de desembolsar una determinada
suma de dinero, sino el tiempo que alguien dedica a formarse en una universidad.
Así mismo, se debe considerar una inversión el pago anticipado de un préstamo: se sacrifica hoy
lo que se debe (al pagarlo en forma anticipada) y se obtiene como beneficio lo que se deja de pagar
en el futuro. En todo caso, se trata de cuantificar, en términos económicos, los recursos que se están
sacrificando hoy, así como los beneficios que se esperan recibir en el futuro.
3.3 Justificación y selección de alternativas
Un individuo que no viole los supuestos básicos que permiten a un decisor escoger, ordenar y
establecer transitividad mencionados en el capítulo 1 podrá determinar si los cursos de acción o
alternativas son o no justificables; si se acepta o se rechaza una alternativa. Una alternativa
justificable o aceptable es aquella que deja al decisor en una situación mejor que la que tenía antes
de llevar a cabo dicha alternativa. Una alternativa es buena cuando los beneficios superan los
costos. Aquí se está considerando beneficio todo aquello que le proporcione bienestar al decisor, sea
esto una satisfacción intangible o dinero o cosas materiales. Esto es un principio de racionalidad que
se encuentra hasta en los animales. Nadie apuesta en su contra, contra sí mismo.
Todos trabajamos para perseguir un mejor estar después de nuestra actuación. Ese mejor estar
puede asociarse a la satisfacción íntima de haber hecho el bien al prójimo, al placer de haber ganado
un negocio, al disfrute de una mayor riqueza o a la esperanza de alcanzar el cielo. En el mismo
sentido, costos son todos los recursos materiales o no (dinero, esfuerzo emocional, místico, etc.) que
se sacrifican en aras de unos beneficios posteriores.
Por otro lado, ante un conjunto de alternativas justificables, el decisor puede encontrarse en la
necesidad de seleccionar la mejor de ese grupo o, lo que es lo mismo, en algún momento tendrá que
ordenar las diferentes alternativas. Debe observarse que no tiene sentido ordenar aquellas que no
sean justificables, pues ésas deben ser rechazadas en el proceso de justificación o aceptación. Esto
significa que el decisor ordenará las alternativas que conforman un conjunto de alternativas
justificables. Y de allí escogerá la mejor.
105

3.4 Clases de alternativas de inversión
Se van a clasificar las alternativas de inversión en dependientes, independientes y mutuamente
excluyentes.
Cuando una alternativa no se puede llevar a cabo sin que otra se realice, se dice que dichas
alternativas son dependientes.
Cuando varias alternativas se pueden realizar sin que los resultados de las otras o las decisiones
con respecto a ellas se alteren, se dice que son independientes.
Cuando dentro de un grupo de alternativas se lleva a cabo una de ellas y este hecho hace que las
otras alternativas no puedan realizarse, entonces se dice que son mutuamente excluyentes.
De lo anterior se puede deducir que esta clasificación de las alternativas de inversión está
relacionada con el grado en que el flujo de caja de una alternativa se afecte al emprender otra. En el
caso de las dependientes, una de ellas no se realiza sin la otra –por ejemplo que el flujo de caja de
una está condicionado al de la otra–; en el caso de las alternativas independientes, no existe relación
alguna entre los flujos de caja de las alternativas, y, por último, cuando son mutuamente
excluyentes, la realización de una de ellas reduce a cero el flujo de caja de las otras. La clasificación
anterior es demasiado simplificada, puesto que en realidad existe es una gama continua de grados de
dependencia. En un extremo se encuentran las alternativas dependientes, y en el otro, las
mutuamente excluyentes; y entre estos dos extremos, las alternativas independientes.
La construcción de un sistema de refrigeración de un edificio depende totalmente de que este
último se construya o no. En este caso se puede hablar de alternativas dependientes. La aceptación
de propuestas de investigación por una entidad como Colciencias puede considerarse una situación
de alternativas independientes, siempre que la entidad cuente con los recursos suficientes para
financiarlas todas. Las diferentes propuestas para la construcción de un puente en un mismo sitio
son alternativas mutuamente excluyentes.
Generalmente, ante alternativas mutuamente excluyentes, el decisor selecciona la mejor. Aunque
lo deseable es seleccionar la alternativa óptima, no debe olvidarse que realmente se logra es
alcanzar resultados satisfactorios. Por lo tanto, dado un conjunto de alternativas justificables y
mutuamente excluyentes, lo máximo que se puede conseguir es seleccionar la mejor entre ellas, lo
cual no garantiza haber identificado la alternativa óptima.
También pueden considerarse otros tipos de alternativas que pueden tener algún grado de
dependencia, por ejemplo, las alternativas complementarias, que cuando se realizan
simultáneamente, el resultado es sinérgico, en el sentido en que sus beneficios combinados son
mayores que la suma de los beneficios individuales.
Por otro lado, se pueden considerar las alternativas sustitutas, lo cual significa que cuando se
hacen de manera simultánea, se genera un efecto de entropía, en el sentido en que los beneficios
totales son menores que la suma de los beneficios individuales.
Para realizar todo lo anterior, el decisor debe contar con medidas de efectividad y métodos que le
permitan tomar las decisiones adecuadas en cada caso. Existen varios métodos de decisión: unos
utilizan el concepto de cambio del valor del dinero a través del tiempo y otros no. Los que se
estudian aquí usan el concepto de cambio del valor del dinero a través del tiempo o, lo que es lo
mismo, del principio o concepto de equivalencia.
Los criterios adecuados para decidir entre alternativas de inversión requieren que se determine
una tasa de interés con la cual calcular o comparar las diversas medidas de efectividad. Aquí se
presentan los diferentes métodos que tienen en cuenta el cambio del valor del dinero a través del
tiempo y que, por lo tanto, deberán usar una tasa de descuento.
106

La tasa de descuento es aquella tasa de interés que establece las relaciones de equivalencia de un
decisor cuando se enfrenta ante varias alternativas para su evaluación. O sea, la tasa de interés (i),
que hace al decisor indiferente entre $1 hoy y $(1+i) al final de un período. Tal vez una de las
mayores dificultades del decisor es identificar la tasa de descuento adecuada. Esto se complica
cuando hay que tomar decisiones para una entidad y hay riesgo involucrado; mucho más aún,
cuando se trata de una inversión social en la cual los beneficios son, por lo general, intangibles o
muy difíciles de medir.
3.5 Costo muerto y costo de oportunidad
Cuando se analizan las inversiones de capital, se deben tener en cuenta ciertos conceptos de
costos para facilitar la comprensión de los métodos de evaluación de alternativas. En particular, se
deben comprender muy bien los conceptos costo muerto y costo de oportunidad.
Costo muerto: es aquel costo común a todas las alternativas. Los costos muertos no son
pertinentes y son irrecuperables. Por otro lado, hay costos muertos pertinentes, que sí deben
considerarse en la alternativa, porque forman parte intrínseca de ella, pero que al ser comunes no
hacen diferencia.
Los costos muertos no se toman en cuenta, ni se deben asignar a ninguna de las alternativas,
puesto que no establecen diferencias al compararlas y han ocurrido antes de tomar la decisión. Se
dedica un aparte especial, para saber identificarlos y no incluirlos en el análisis. Sin embargo, debe
aclararse que aquí se trata de la determinación del valor asociado a un recurso adquirido con
anterioridad. Puede suceder que si se decide conservar ese recurso, aunque su costo de oportunidad
sea cero, es posible que genere consecuencias que sí deben tenerse en cuenta. Por ejemplo, un
activo que se adquirió hace algunos años. Su costo histórico es un costo muerto en el sentido de no
ser pertinente para la determinación de su valor hoy, pero ese costo histórico puede seguir
generando una depreciación, lo cual tiene incidencia en los impuestos, aunque el valor comercial
del activo fuera cero (véase el ejemplo de autocorrección del capítulo 6).
Para aclarar estas ideas se pueden considerar varias situaciones 1 :
• Proyecto de inversión para analizar la creación de una nueva empresa.
• Proyecto de ampliación de una empresa existente.
• Proyecto de inversión de una empresa en marcha que implique reemplazo de equipos,
etc.
En cada caso deben considerarse los costos pertinentes. La mejor forma de no incurrir en el error
de considerar costos muertos en el análisis (sobre todo tenerlos en cuenta en una alternativa y en
otra no) es elaborar el flujo de caja de la firma con proyecto y sin éste. La diferencia entre las dos
proyecciones resultará en el flujo de caja del proyecto en estudio.
El costo de oportunidad se precisa calculando lo máximo que se podría obtener, si los recursos se
invirtieran en aquella alternativa escogida como patrón de comparación y que es diferente a las
evaluadas. En otras palabras, es el costo de la mejor alternativa que se desecha. Este tipo de costo es
de mucha importancia en el análisis económico y muchas veces no se le da una consideración
adecuada. Este concepto es fundamental para todos los métodos, para evaluar alternativas de
inversión.
El costo de oportunidad de un recurso depende del decisor y de su entorno. Esto está muy ligado
a la información disponible que tenga el decisor sobre su entorno económico.
1
Agradezco esta observación del profesor Édgar Portilla de la Universidad Javeriana, Cali.
107

Ejemplo 1
Una vez que se reconoce que la magnitud de la diferencia entre las distintas alternativas es lo
importante, se confía en que las únicas diferencias que se deben tener en cuenta son las que se
presentarán en el futuro. Las consecuencias de una decisión con respecto a un curso de acción no
pueden comenzar antes de tomar la decisión.
Desde el punto de vista de un estudio económico, un costo incurrido en el pasado es un costo
muerto y no es pertinente para efectos del estudio. Considérese el siguiente caso:
Hace 4 años el señor Pérez compró un auto por $7.500.000. En la fecha se entera de que un auto
igual, del mismo año e igual modelo, usado pero funcionando bien, usado, casi nuevo, vale
$12.500.000; así mismo encuentra que su auto tiene un desperfecto. En un centro de reparación de
automóviles le ofrecen un arreglo garantizado por $1.700.000. Se supone que la reparación deja al
aparato como nuevo. El auto podría venderlo hoy, como está, por $9.000.000.
¿Debe reparar el auto?
¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por una reparación?
Después de haber reparado el auto descubre que el arreglo quedó mal hecho y que debe enviarlo
a otro centro de servicio. Allí le explican que la reparación vale $2.000.000. Se supone que la
reparación deja al auto en perfectas condiciones.
¿Debe repararlo?
¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por la reparación?
En este punto deténgase y analice la situación. Compare su análisis con el que se presenta a
continuación.
Para que usted compare sus conclusiones se puede analizar la situación así:
Primera ocasión. ¿Debe reparar el auto? Sí.
¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por una reparación? Hasta $3.500.000.
Se supone que el individuo desea tener un auto en perfectas condiciones.
En el primer caso se tiene:
Repara
Obtiene su auto como nuevo por $1.700.000
más los $9.000.000 de la venta que no realizó
de su auto viejo antes de repararlo. Al no
venderlo lo que hace es invertir ese valor en la
alternativa Repara.
No repara
No repara y vende el auto por $9.000.000 y
compra el otro auto usado, casi nuevo, por
$12.500.000
Se ve claramente que obtener un auto usado, como nuevo por $10.700.000 es preferible a
obtenerlo usado, casi nuevo por $12.500.000. Mientras el valor de la reparación sea menor que la
diferencia entre el precio del auto nuevo y el valor del auto usado, casi nuevo, se debe reparar.
En el segundo caso: ¿Debe repararlo? Sí.
¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por la reparación? $3.500.000.
108

Repara
Obtiene su auto como nuevo por $2.000.000
más los $9.000.000 de la venta que no realizó
de su auto viejo antes de repararlo. Al no
venderlo lo que hace es invertir ese valor en la
alternativa Repara.
No repara
No repara y vende el auto por $9.000.000 y
compra el otro auto usado, casi nuevo, por
$12.500.000
Aquí se ve otra vez que es más conveniente reparar que comprar y que mientras el valor de la
reparación sea menor que la diferencia entre el precio del auto usado, casi nuevo, y el valor del auto
usado, se debe reparar.
En ambos casos se debe observar que el señor Pérez debe decidir en el instante en que se le
presentan las alternativas y analizar las consecuencias futuras de cada una. Lo que pagó por el auto
y lo que pagó por la primera reparación es el pasado y no cuenta, son costos muertos. Los
$9.000.000 del valor comercial del auto usado es un costo de oportunidad.
Ejemplo 2
Supóngase que se quiere utilizar un área de bodega disponible para montar una nueva línea de
productos. Sin embargo, se sabe que esta área de bodega se podría arrendar por $50.000 mensuales.
Si se considera la alternativa de montar la nueva línea de productos, se deben cargar a esta
alternativa $50.000 mensuales y éste será el costo de oportunidad de utilizar la bodega. Obsérvese
que no necesariamente se incurre en un desembolso de dinero.
3.6 Costo del dinero
Debido a que hay oportunidades de inversión o, por otro lado, oportunidades de préstamo, en
general el dinero tiene un costo para el inversionista. Este costo es el sacrificio en dinero en que se
incurre al retirar de una opción de ahorro o dejar de invertir en ella (el máximo posible), lo cual se
llama costo de oportunidad del dinero o el sacrificio o el costo directo que el inversionista debe
pagar cuando no cuenta con ese dinero y debe prestarlo a terceros. Éste último se conoce como
costo de capital. A cualquiera de estos sacrificios se le llama costo del dinero.
Se pueden distinguir dos tipos de costo: el costo de capital, que mide lo que el decisor (la firma)
paga por los recursos que utiliza en sus proyectos de inversión, y el costo de oportunidad del
dinero. Ambos serán estudiados con detalle en el capítulo 5.
Si se recuerda el concepto de costo de oportunidad definido atrás, éste se puede aplicar al recurso
dinero. Como todo recurso apreciable, el dinero tiene un costo de oportunidad. Este es la máxima
rentabilidad o la máxima tasa de interés que puede ser obtenida por el inversionista, dentro del
mercado donde se encuentra. Por ahora se trabaja con la idea de costo del dinero o tasa de
descuento, sin entrar en detalles acerca del modo de determinarlo.
Ejemplo 3
Una persona tiene dinero depositado en una cuenta de ahorros, que le produce 8% al año
(supóngase que esto es lo máximo que percibe esta persona), y alguien le propone un negocio (que
se lo preste, que lo invierta en una actividad productiva, etc.). Cuando la persona decide retirar su
109

dinero de la cuenta de ahorros para invertirlo en la propuesta que le han hecho, está incurriendo en
un costo de oportunidad. Esto es, deja de percibir un rendimiento o tasa de interés de 8% anual de la
cuenta de ahorros con la esperanza de recibir unos beneficios mayores, o por lo menos iguales, a los
que ya recibía. Se dice entonces que el costo de oportunidad del dinero de esa persona es de 8%
anual.
3.7 Métodos de decisión
Como la situación que se le presenta al decisor es la de analizar flujos de caja hacia el futuro, que
no siempre presentan dominación, esto es, que los flujos de caja positivos de una alternativa sean
siempre superiores o iguales a los de otra y los flujos de caja negativos de ésta sean mayores o
iguales que los de la primera, se hace necesario buscar mecanismos que permitan comparar las
cifras de cada una de ellas.
Una forma de hacerlo es utilizar el concepto de equivalencia para llevar los flujos de caja a un
período determinado y allí sí comparar las cifras. Los métodos que aquí se estudian tienen en cuenta
el valor del dinero en el tiempo. Los más conocidos son el valor presente neto (VPN), la tasa interna
de rentabilidad (TIR) y la relación beneficio-costo (RB/C).
Todos estos planteamientos responden a una pregunta que puede (y debe) hacerse en todas las
circunstancias: ¿cuándo es buena una decisión? No importa si se trata de una decisión personal,
íntima, o de una decisión con consecuencias que afecten a los demás o de una decisión de tipo
financiero. La respuesta siempre será la misma: cuando los beneficios superen a los costos. Y aquí
hay que entender por beneficios y por costos no sólo lo que se puede cuantificar. Un ejemplo de
esto puede ser la decisión de no seguir prolongando la vida de manera artificial a un paciente que no
puede cumplir con sus funciones vitales e intelectuales sin la ayuda de una máquina. Aquí no sólo
intervienen consideraciones de tipo ético y moral, sino también otras de tipo económico y
emocional. En todo caso, siempre habrá que sopesar no sólo los beneficios que produce la decisión,
sino sus costos.
3.7.1 Valor presente neto (VPN)
Cuando el decisor se enfrenta a una disyuntiva, debe considerar los beneficios y los costos que le
implica cada alternativa. Como se estudió en el capítulo 2, se trata de tomar decisiones que
requieren sacrificio de recursos (una inversión) hoy, con consecuencias de costos y beneficios
futuros. Hay que comparar, como ya se dijo beneficios y costos. Ya se estudió, en el capítulo 2,
cómo hacer la comparación de flujos de dinero en diferentes períodos.
El valor presente de un flujo de caja en el futuro es aquella cantidad equivalente que se debe
entregar o invertir hoy para asegurar esa misma suma de dinero en el futuro. Esta suma presente es
equivalente al flujo de caja que se espera recibir en el futuro.
El significado del valor presente neto (VPN) se puede ilustrar de la siguiente manera: una
persona, cuando hace una inversión, espera recibir, a lo largo de la vida de ésta, un valor igual a la
suma invertida y una suma adicional. Esas sumas que recibe las entrega el proyecto o inversión a lo
largo de su vida. El VPN indica el valor resultante de descontar la inversión y la suma que ya
recibía el inversionista por su inversión. En otras palabras, es el remanente neto que obtiene el
inversionista, en pesos de hoy, después de descontar los flujos de caja a la tasa de descuento y
restarle la inversión inicial. Se puede considerar que el inversionista le presta al proyecto un dinero
110

que debe ser devuelto con intereses a la tasa de descuento, y algo adicional, que es el beneficio que
recibe por haber realizado la inversión.
El VPN mide el remanente en pesos de hoy, después de descontar la inversión (o el préstamo que
le hace el inversionista al proyecto) y el ‘interés’ (calculado a la tasa de descuento) que debe
devolver el proyecto al inversionista. En otras palabras, es el monto por el cual aumenta el valor de
la firma después de haber llevado a cabo la alternativa que se estudia. El VPN, por lo tanto, permite
establecer mecanismos que aumenten o maximicen el valor de la firma. Todo esto implica que a
mayor tasa de descuento menor será el VPN.
Puede parecer extraño que a mayor tasa de interés, el VPN sea menor. Desde el punto de vista
matemático, esto es claro por el papel que desempeña i en la fórmula (divide). Sin embargo,
conviene pensar un poco más en este comportamiento.
La tasa de interés o tasa de descuento que se utiliza en el cálculo del VPN es el costo del dinero
para el decisor (la tasa de interés de oportunidad o costo del capital, lo que paga por ese dinero).
Esto es, que se puede pensar que el decisor está ante una invitación de un proyecto para invertir en
él. Como ese decisor ya se ganaba un interés o pagaba un interés –tasa de interés de oportunidad o
costo que pagaba por el dinero–, el proyecto debe retornarle, por lo menos, lo que se ganaba en la
alternativa que está desechando y que es aquella en la que en la actualidad tiene invertido su dinero
(costo de oportunidad); o lo que paga por los fondos necesarios para la inversión.
Ahora bien, según la definición intuitiva del VPN, mientras mayor sea la tasa de interés de
oportunidad o el costo del dinero –que ya se ganaba el decisor, antes de cambiarle el destino a su
dinero o el interés que tuvo que pagar por obtener los fondos–, menor será lo que quede después de
que el proyecto haya devuelto la inversión y los intereses que ya se ganaba (o pagaba) el decisor
(tasa de descuento); por lo tanto, a medida que la tasa de descuento del decisor aumenta, mayores
serán los intereses que tiene que devolver el proyecto, y menor, por lo tanto, el VPN, que es lo que
le queda de más como remanente, como valor agregado, al decisor y que es lo que lo hace atractivo.
Si se tiene un proyecto a un año que requiere una inversión de $1.000 y produce al final del año
$1.500, el excedente sobre la tasa de descuento tasa de oportunidad dependerá de ésta. Si se supone
que el dinero lo tiene el inversionista en una cuenta de ahorros y la tasa que le pagan es su costo de
oportunidad y, por lo tanto, su tasa de descuento, entonces, como se puede observar en la tabla,
mientras más le paguen, mayor costo de oportunidad y mayor tasa de descuento, y menor será el
remanente por encima de lo que ya ganaba y, por lo tanto, será menor el VPN, así:
Tabla 3.1 Costo de oportunidad y tasa de descuento
Año Proyecto ($) Ahorros ($) Proyecto ($) Ahorros ($) Proyecto ($) Ahorros ($)
20% 30% 40%
0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000
1 1.500 1.200 1.500 1.300 1.500 1.400
VPN 250 153,85 71,43
Diferencia 300 200 100
VPN 250 153,85 71,43
De igual manera se podría analizar si el dinero fuera prestado y si se pagaran los intereses y el
capital al final del año.
Esto se puede ilustrar con una gráfica. Supóngase que los flujos de caja netos de un proyecto se
pueden descomponer en tres partes:
1. El valor de la inversión que debe devolver el proyecto.
111

2. El valor que ya ganaba en su alternativa, que le permitió definir el costo de oportunidad, o lo
que paga la firma por haber prestado el dinero.
3. El remanente.
Gráfica 3.1 Flujos de caja netos
Ingresos o
beneficios netos
Remanente
Costo del dinero
(tasa de descuento:
costo de oportunidad
o costo de capital)
Inversión
Cuando se lleva al
período cero, es el
VPN o la generación
de valor
Es el interés que
reconoce el proyecto
por haber recibido el
préstamo de la
inversión
Es la devolución
que hace el
proyecto del
dinero recibido
para hacer
la inversión
Se pueden presentar las siguientes posibilidades:
1. Cuando el remanente es positivo y se lleva al instante cero, entonces el VPN es positivo. Hay
creación de valor.
2. Cuando el remanente es cero, el VPN es cero, al llevar todo al instante cero. No hay creación
de valor.
3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero más el remanente –las dos áreas superiores de la
figura– es menor que lo correspondiente a la tasa de descuento, entonces el VPN es negativo.
Hay destrucción de valor.
En la Gráfica 3.1 se puede observar que para un proyecto dado si la tasa de descuento aumenta,
aumentará el área correspondiente y el área de remanente disminuirá, por lo tanto, el VPN será
menor.
Para visualizar con cifras este planteamiento, se debe construir una tabla de amortización de la
inversión, tal y como se hizo para un préstamo en el capítulo 2.
T
(1)
Inversión por
recuperar al
inicio del
período (2)
Tabla 3.2 Amortización de la inversión
Costo del capital
invertido
(3)
Amortización de
la inversión y
valor agregado
(4)
Flujo de caja del
proyecto o firma
(5)
Inversión por
recuperar al final
del período (6)
Tasas de
descuento
(7)
0 -40.110,0
1 -40.110,0 -15.631,4 -2.358,4 13.273,0 -42.468,4 38,97%
2 -42.468,4 -16.458,8 -7.594,7 8.864,1 -50.063,1 38,76%
3 -50.063,1 -17.111,2 -16.036,7 1.074,5 -66.099,8 34,18%
4 -66.099,8 -21.665,3 130.973,5 152.638,8 64.873,7 32,78%
112

La columna (3) corresponde a la caja del costo del dinero, y la columna (4), a la suma de la caja
de la inversión más la caja del remanente (valor agregado). La columna (5) equivale a la suma de
las tres cajas. Observe en la tabla que todas las cifras asociadas a las tres cajas se van generando a lo
largo del tiempo.
En forma matemática, el valor presente se define así:
I
VP = ∑ +
j
j
( i)
j
1
(3.1)
Donde:
Ij = suma en el período j
i = tasa de descuento
j = período
En Excel:
= VA(i;n;C;F;tipo) cuando se trata de convertir una serie uniforme C o una suma futura F o la
combinación de ambas, a valor presente.
= VNA(i;rango) cuando se trata de un flujo de caja no uniforme. En este caso hay que tener en
cuenta que el rango debe iniciarse con la celda correspondiente al período 1 y terminar con el
flujo del período n. El valor calculado estará expresado en pesos del instante 0.
Una forma de entender este concepto es preguntarse qué suma que se espera recibir dentro de un
año es equivalente a un peso poseído hoy. Suponiendo que existe el interés, se puede invertir o dar
en préstamo ese peso y recibir (1+i) al cabo de un año, donde i es la tasa de interés vigente para ese
año y se liquida como interés compuesto. En otras palabras, se puede cambiar (1+i) recibido al final
de un año por un peso de hoy.
Se puede calcular el valor presente de los flujos de caja positivos y de los flujos de caja negativos
de una alternativa de acuerdo con lo expuesto. El VPN es la diferencia entre el valor presente de los
flujos de caja positivos (VP B ) y el valor presente de los flujos de caja negativos (VP C ), esto es, VP B -
VP C .
En forma matemática compacta, se puede expresar el VPN como:
VPN(
i)
=
∑
j
I
j
−
∑
E
j
( 1+
i) j ( 1+
i)
Donde:
Ij = flujo de caja positivo en el período j
Ej = flujo de caja negativo en el período j
i = tasa de descuento
j = período
j
j
(3.2)
En Excel:
= VA(i;n;C;F;tipo)–P cuando se trata de calcular el VPN de una serie uniforme C o una suma
futura F o la combinación de ambas con una inversión P en el instante 0.
= VNA(i;rango)–P cuando se trata de un flujo de caja no uniforme, que es el producto de una
inversión P en el instante 0. En este caso hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse
113

con la celda correspondiente al período 1 y el valor calculado estará expresado en pesos del
instante 0; por lo tanto, se puede restar el valor de P, para obtener el VPN.
También se puede utilizar la función SUMA.SERIES de las funciones matemáticas de Excel. Con
esta función se puede obtener en forma directa el VPN indicando todo el rango de los flujos de caja.
La sintaxis de la función es = SUMA.SERIES(x;n;m;coeficientes). x es la variable para usar como
base en la serie exponencial; en este caso, será 1/(1+i). n es el exponente inicial al cual desea elevar
la base x; en este caso n es igual a 0. m es el paso que incrementa el valor de n para cada término de
la serie; en este caso m es 1. Coeficientes es un grupo de coeficientes por el que se multiplica cada
exponente sucesivo de x; en este caso, los coeficientes son los flujos de caja.
Obsérvese que no tiene sentido hablar del VPN o del valor presente sin haber especificado una
tasa de descuento. Aunque en esta expresión se indica el VPN en función de una tasa de descuento
única, esta tasa puede variar con el tiempo, esto es, para cada período puede existir una tasa de
descuento diferente. El cálculo del VPN es muy fácil con hojas electrónicas como Excel.
Recordando el concepto de equivalencia del capítulo 2, es fácil concluir que el cálculo del VPN (en
el instante cero) es una mera convención: se puede pensar, en el valor medio neto (VMN) –
calculado a la mitad de la vida del proyecto– o en el valor futuro neto (VFN) –calculado al final de
la vida del proyecto– y es obvio que los resultados, en valores, serán proporcionales a (1+i)n, donde
n será el valor de la mitad de la vida del proyecto o el valor de la vida del proyecto respectivamente.
Esos cálculos indicarán el valor del remanente a la mitad del proyecto o al final de su vida.
En la realidad, cada período tiene una tasa de descuento diferente y en ese caso la expresión más
general sería:
n
∏( 1+
i
j
) = ( 1+
i1
)( 1+
i2
)...( 1+
in
)
j=
1
(3.3)
Π significa multiplicación, por ejemplo:
2
∏( 1+
i
j
) = ( 1+
i1
)( 1+
i2
)
j=
1
(3.4)
Este tema se estudia con detalle en el siguiente capítulo. Para ilustrar lo anterior, se presentan los
siguientes ejemplos.
Ejemplo 4
Suponga que se tiene proyectado montar una empresa en un centro comercial muy importante de
la ciudad. Los cálculos sobre inversión y beneficios netos durante 10 años, al final de los cuales se
venden todos los bienes, son los siguientes:
Año Flujo de caja ($)
0 -3.000.000
1 1.000.000
2 1.150.000
3 1.200.000
4 1.300.000
5 1.450.000
6 1.600.000
7 1.850.000
8 2.000.000
9 2.100.000
10 4.500.000
114

Estas cifras las obtiene el decisor por medio de proyecciones y cálculos de ingresos y egresos
futuros. El procedimiento para llegar a estas cifras rebasa el alcance de este capítulo.
Cuando usted hizo los estudios de este proyecto determinó que su tasa de descuento era la tasa de
oportunidad del dinero y que valía 36% anual. Su cálculo consideraba, además, que esta tasa no
variaría durante los siguientes diez años.
El competidor, quien ya tiene instalada una firma similar en el mismo centro comercial, no desea
que se le haga competencia; por lo tanto, prefiere pagarle algo para que desista de la idea.
¿Cuánto es lo mínimo que le deben pagar para desistir de la idea? Esta pregunta la responde el
VPN, porque mide los beneficios que obtendría si emprendiera el negocio y que desecha al desistir
de él.
A su competidor le pareció excesiva la cifra y no le pagó nada, de modo que usted instaló su
firma. Cuando ya estaba todo listo para la inauguración, volvió su competidor, que había quedado
muy impresionado por el montaje, decoración e imagen que usted presentaba al público y le ofreció
comprarle todas las instalaciones para una de sus sucursales.
¿Cuánto es lo mínimo que usted debe pedirle? Esta respuesta la da el valor presente de los
beneficios netos durante los próximos diez años, ya que no sólo debe desechar el valor de sus
beneficios netos en valor presente, sino que debe entregar la inversión realizada. Por lo tanto, usted
le pide, por lo menos, $3.504.319.
A continuación se presentan los cálculos que usted debió realizar para responder a esa pregunta
con una tasa de descuento de 36% anual.
VPN al 36% = VNA(i;rango de año 1 a 10)–P
= VNA(36%; rango de año 1 a 10) – 3000000 = $504.319
= SUMA.SERIES(1/(1+36%);0;1;rango de año 0 a 10) = $504.319
Cuando se está calculando el VPN, se deben tener en cuenta las suposiciones implícitas que tiene.
Estas suposiciones son:
1. Los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a la tasa de descuento
que se utiliza para calcular el VPN aun más allá de la vida del proyecto si el caso incluye
alternativas con vidas diferentes. Esto supone que la tasa de descuento es la de oportunidad.
Esta suposición sólo es el reconocimiento de la actividad cotidiana de tesorería en las empresas.
Ésta consiste en velar por que los fondos disponibles se mantengan productivos, ya sea en
nuevos proyectos o en actividades rentables (bonos, cuentas de ahorros, etc.). Con un ejemplo
se puede entender mejor lo que esto significa.
Ejemplo 5
Si se tiene una inversión así:
Año Flujo ($)
0 -1.000
1 300
2 1.300
115

El VPN de esta inversión será, suponiendo una tasa de descuento única i:
( )
VPN i
= −1.000
+
300
1.300
+
1+
i
( 1+
i) ( ) 2
Ahora bien, si se supone que los fondos liberados por el proyecto se reinvierten a la tasa r%,
entonces el VPN será:
VPN
( r,
i)
300
= −1,000
+
( 1 + r)
1,300
2
+
( 1 + i) ( 1 + i) 2
Para que VPN(i) sea igual a VPN(r,i), r debe ser igual a i; por lo tanto, el supuesto implícito es
que la reinversión de los fondos liberados por la inversión se hace a la misma tasa de
descuento. Esto puede que no ocurra en la práctica, ya que depende de las condiciones
puntuales desde las cuales el tesorero de la firma debe decidir sobre qué hacer con los
excedentes de efectivo. Véase el capítulo 5 sobre lo que sucede con la tasa de descuento
respecto del costo de capital y el costo de oportunidad del dinero (véase también la hoja
REINVERSIÓN del archivo VPNTIR.XLS).
Sin embargo, se debe hacer notar que los fondos que realmente se reinvierten son los
excedentes del flujo de caja de efectivo 2 y no los que aparecen en el flujo de caja del proyecto.
2. La diferencia entre la suma invertida en una alternativa y el valor de la alternativa más costosa
o de la cifra límite de que se disponga, según el caso, se invierte a la tasa de descuento utilizada
para calcular el VPN. Esto supone, además, que la tasa de descuento es la de oportunidad.
También conviene explicar esto con un ejemplo.
Ejemplo 6
Si se tienen dos alternativas A y B así:
Año Flujo A ($) Flujo B ($)
0 -1.000 -2.000
1 300 750
2 1.300 3.000
Si se está considerando la alternativa B es porque se cuenta, por lo menos, con $2.000; por lo
tanto, si se eligiera la alternativa A, los $1.000 sobrantes se invertirían a la tasa de oportunidad,
ya que un buen administrador financiero no dejaría esos fondos inmovilizados, sino que los
invertiría como excedente de efectivo. Bien, el VPN de unos fondos invertidos a una tasa de
interés y descontados a la misma tasa de interés es cero.
AÑO FLUJO ($)
0 -1.000
n
1.000(1+i)n
2
En los temas administrativos, en particular los relacionados con contabilidad y finanzas, es muy común la
polisemia, esto es, el uso de un nombre para varios conceptos. Para hacer claridad, prefiero usar el término flujo
de caja de efectivo, aunque suene redundante, en aras de la claridad. Véase capítulo 6.
116

VPN(i) = -1.000 + 1.000(1+i) n / (1+i) n = -1.000 + 1.000 = 0
Por lo tanto, cuando se calcula el VPN de A, en realidad se está haciendo la siguiente
operación:
VPN A (i) = -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i) 2 –1.000 + 1.000(1+i) n /(1+i) n
= -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i) 2 + 0
Sea la siguiente inversión: I0 = -1.000.000; I1 = 900.000; I2 = 800.000. El VPN al 30% es:
VPN (30%) = -1.000.000 + 900.000/1.3 + 800.000/(1.3) 2 = 165.680,5
Ejemplo 7
El cálculo del VPN es muy fácil con calculadoras financieras o con hojas electrónicas como
Excel, tal como se estudió en el capítulo 2.
Sugerencia: para mejorar la comprensión del concepto del VPN, se sugiere estudiar el ejercicio 2
de este capítulo.
3.7.1.1 Regla de decisión para el VPN
En el ejemplo anterior y hasta el momento no se conoce de qué modo, usted, después de haber
realizado los estudios, tomó la decisión de instalar su firma. Si al calcular el VPN al 36% el
resultado hubiera sido cero, de acuerdo con lo visto arriba, ello significaría que sólo estaría
recibiendo lo que invirtió más lo que se ganaba al costo de oportunidad o lo que paga por el dinero
(el costo del dinero).
Si el resultado hubiera sido negativo, significaría que el proyecto ni siquiera le devolvería el
valor invertido más los intereses de la tasa de descuento (costo del dinero). Si el resultado fuera
positivo, como en efecto lo fue, ello significaría que el proyecto le devolverá su inversión sus
intereses y una suma adicional. En este último caso usted quedará en una situación económica
mejor que la que tenía antes de emprender el proyecto.
De lo anterior se puede deducir fácilmente la regla de decisión para el método del VPN, que es
un modelo matemático y normativo, y por lo tanto indica qué decisión se debe tomar:
1. Si el VPN es mayor que cero, se debe aceptar.
2. Si el VPN es igual a cero, se debe ser indiferente.
3. Si el VPN es menor que cero, se debe rechazar.
Las reglas anteriores se aplican cuando se trata de rechazar o aceptar una alternativa. En el caso
de que se desee ordenar alternativas o, entre un grupo de ellas, escoger la mejor, la regla de decisión
dice que se debe elegir aquella alternativa cuyo VPN sea el mayor.
Como se puede observar, estas reglas de decisión tanto de aceptación de alternativas como de
selección y escogencia son consistentes con los supuestos estudiados en el principio del capítulo 1.
117

3.7.1.2 Representación gráfica del VPN
El VPN es una función de la tasa de interés. En el caso particular en que las tasas de interés sean
todas iguales a i durante la vida del proyecto o inversión, se tiene la Gráfica 3.2. En ella se puede
observar que una alternativa tiene VPN positivo para todas las tasas de interés menores que i r ; igual
a cero para la tasa de interés igual a ir, y valor negativo para tasas de interés mayores que ir. La tasa
ir es la que hace el VPN = 0.
Gráfica 3.2 Valor presente neto (VPN)
15.000
VPN $
10.000
5.000
0.000
-5.000
0 20 40 60 80
-10.000
Tasa de descuento i%
Si se presentan dos alternativas en forma gráfica, como en la Gráfica 3.3, se puede observar que
el ordenamiento o preferencia entre las alternativas depende de la tasa de interés utilizada para
calcular el VPN. Obsérvese en esa gráfica que para i l la alternativa A se prefiere a la alternativa B, y
para i 2 , la alternativa B se prefiere a la alternativa A. Para i ambas alternativas tienen igual VPN,
por lo tanto, la persona que toma la decisión debe ser indiferente entre las dos. De aquí se concluye
que no es necesario determinar con precisión el valor de la tasa de descuento, pues sólo debe
saberse si ésta es menor o mayor que i.
Gráfica 3.3 VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes
118

VPN
12.000
10.000
8.000
6.000
4.000
2.000
0.000
-2.000 0 10 20 30 40 50 60 70
-4.000
i1
i2
-6.000
i*
Tasa de descuento
i%
VPN A
VPN B
Es posible encontrar casos en los cuales i * no exista, y siempre se prefiera una alternativa a otra,
independientemente de la tasa de interés. A esta situación se la conoce como dominación. Ver
siguiente gráfica.
Gráfica 3.4 Alternativas C y A donde C domina a A
20.000
VPN
15.000
10.000
5.000
0.000
-5.000
-10.000
0 20 40 60 80
Tasa de descuento i%
VPN A
VPN C
3.7.1.3 Para recordar
El VPN se puede explicar así: cuando se hace una inversión, se recibe a lo largo de su vida un
flujo neto igual a la suma invertida y una suma adicional. El VPN mide el remanente después de
restar al flujo neto, en valor actual, la inversión (o el préstamo que le hace la firma al proyecto) y el
interés (calculado a la tasa de descuento, la cual es el costo del dinero: el de la deuda y el de los
accionistas) que debe pagar el proyecto a la firma. Es decir, el VPN es el aumento de valor de la
firma después de haber realizado la alternativa escogida. Por lo tanto, a mayor tasa de descuento,
menor VPN.
Se pueden presentar entonces, las siguientes situaciones:
1. Si el remanente es positivo, entonces el VPN es positivo. Aquí se está añadiendo valor y el
proyecto debe aceptarse.
119

2. Si el remanente es negativo, entonces el VPN es negativo. Aquí se está destruyendo valor y el
proyecto debe rechazarse.
3. Cuando se tienen proyectos con VPN positivo, entonces se debe escoger el que tenga mayor
VPN. Este proyecto es el que crea más valor para la firma.
La mejor forma de garantizar que un gerente produzca valor para la firma, es escoger alternativas
con VPN positivo.
3.7.2 Tasa interna de rentabilidad (TIR)
Otro método que tiene en cuenta el cambio de valor del dinero en el tiempo es la tasa interna de
rentabilidad (TIR). Este método es muy utilizado, y para el común de la gente es más fácil de
visualizar de manera intuitiva. La TIR es una medida porcentual de la magnitud de los beneficios
que le reporta un proyecto a un inversionista.
Para entender este concepto conviene regresar al concepto de VPN. Se dijo atrás que el VPN
representa el valor que recibía en exceso un inversionista sobre su inversión, después de que se ha
descontado el interés de la tasa de descuento. Este cálculo se realiza fijando una tasa de interés, de
modo que un VPN positivo a una determinada tasa de interés indica que el inversionista recibe del
proyecto su inversión, un interés sobre su dinero y una cantidad adicional. Ese interés y cantidad
adicional que recibe el inversionista es la totalidad de los beneficios que le reporta el proyecto, de
modo que cuando el VPN es igual a cero, la tasa de interés a la cual esto ocurre es una medida de la
totalidad de los beneficios que produce la inversión mientras se encuentran invertidos en ese
proyecto. A esta tasa de interés se le denomina TIR. Esto se puede visualizar como la tasa de
descuento de un decisor, que hace que el VPN a esa tasa sea cero. En las figuras 3.2 y 3.3 2 la TIR
es la tasa de interés donde la curva del VPN corta el eje de las abscisas.
De la misma manera que con el VPN, se puede ilustrar con la misma gráfica. Los flujos de caja
de un proyecto se pueden descomponer en tres partes:
1. El valor de la inversión que debe devolver el proyecto.
2. El valor de lo que ya se ganaba en su alternativa, que le permitió definir el costo de
oportunidad, o lo que paga la firma por haber tenido que prestar el dinero.
3. El remanente.
En este caso, la suma del remanente y del valor que ya se ganaba en su alternativa, que le
permitió definir el costo de oportunidad o lo que paga la firma por haber tenido que prestar el
dinero, es lo que produce el proyecto por encima de la suma invertida. Ese valor, medido por medio
de una tasa de interés como un porcentaje –que hace que el VPN sea igual a cero–, es la TIR.
Gráfica 3.5 Tasa de descuento
120

Remanente
Cuando se lleva
al período cero,
es el VPN
B eneficio s neto s
Costo del dinero
(Tasa de descuento:
costo de oportunidad
o costo de capital)
Inversión
Es el interés que
reconoc e el
proyecto por
haber recibido el
préstamo de la
inversión
Es la devolución que
hace el proyecto del
dinero recibido para
hacer la inversión
Expresado
como un %
es la T IR
Se pueden presentar las siguientes posibilidades:
1. Cuando el remanente es positivo, entonces la TIR es mayor que la tasa de descuento.
2. Cuando el remanente es cero, la TIR es igual a la tasa de descuento.
3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero (el área de la mitad de la figura) más el
remanente es menor que los intereses de la tasa de descuento, entonces la TIR es menor que la
tasa de descuento.
La TIR se puede calcular resolviendo la siguiente ecuación:
∑
j
I
j
−
∑
E
j
( 1+
i) j ( 1+
i)
j
j
= 0
(3.5)
Esta ecuación se resuelve por prueba y error y con el uso de las tablas si se desea trabajar a mano;
pero en la práctica se usan calculadoras de bolsillo financieras y hojas electrónicas que tienen
programas para resolver este tipo de ecuaciones y que instantáneamente hallan el valor de la TIR.
En Excel:
= TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) cuando se trata de calcular la tasa de interés, a partir de una
serie uniforme C o una suma futura F o la combinación de ambas y una suma P.
= TIR(rango;i semilla) cuando se trata de un flujo no uniforme. En este caso hay que tener en
cuenta que el rango debe iniciarse con la celda correspondiente al instante 0 y terminar con la
celda correspondiente al período n. Esto es, debe incluir todos los flujos.
Para calcularla por prueba y error y a mano se define el VPN a una tasa de interés determinada; si
el VPN resulta ser positivo, se utiliza una tasa de interés mayor, hasta que el VPN sea igual a cero.
Si el primer cálculo indica que el VPN es negativo, se utiliza una tasa de interés menor, hasta
encontrar un VPN igual a cero. Se puede aproximar el valor interpolando linealmente entre dos
tasas de interés que se encuentren suficientemente cercanas entre sí y que produzcan VPN de signo
contrario.
121

Ejemplo 8
Se tiene una inversión con las siguientes características:
Co = -$1.000.000 I1 = $900.000 I2 = $800.000
Como se dijo atrá
s, la TIR estará determinada por la tasa de interés que cumpla lo siguiente:
900.000/(1+i) + 800.000/(1+i) 2 – 1.000.000 = 0
En el caso de Excel, se utiliza la función TIR, ya conocida, y el programa valora esta expresión
para diferentes valores de i y se detiene cuando el valor de esa ecuación (el VPN en realidad) es
muy pequeño.
Lo que hace la hoja de cálculo es lo siguiente, suponiendo que los datos están ordenados así:
A
B
1 Año Flujo ($)
2 0 -1.000.000
3 1 900.000
4 2 800.000
En este ejemplo = TIR (A2... B4, 30%) = 45,1249%, el programa calcula el VPN a 30% y
verifica si es mayor o menor que cero. Si es mayor que cero, lo recalcula utilizando una tasa de
interés mayor, y así sucesivamente hasta cuando el VPN sea negativo. En este caso lo vuelve a
calcular con una tasa de interés menor hasta cuando el VPN sea positivo otra vez.
Este proceso se repite hasta cuando el VPN encontrado en valor absoluto sea menor que un valor
muy pequeño –del orden de una cien milésima– o se hayan realizado unas 30 iteraciones; si en las
30 iteraciones no encuentra el valor de i que determine el VPN suficientemente pequeño, declara
error.
La TIR del ejemplo del inversionista que instala un centro comercial, calculada con la hoja de
cálculo, es 41,5425%.
Conviene, además, hacer hincapié en dos hechos: primero, que la TIR indica la rentabilidad del
dinero mientras éste se encuentra invertido en el proyecto; y, segundo, que este método supone
implícitamente que los fondos liberados a lo largo de la vida del proyecto son reinvertidos a la TIR
(obsérvese la diferencia de suposiciones con relación al VPN).
Esta suposición también puede ilustrarse con un ejemplo.
Si se tiene una inversión así:
Ejemplo 9
Año Flujo ($)
0 -1.000
1 300
2 1.300
122

Para i = TIR el VPN de esta inversión será cero. Ahora bien, si se supone que los fondos
liberados por el proyecto se reinvierten a la tasa r%, entonces el VPN será:
VPN(r,TIR) = -1.000 + 300(1+r) / (1+TIR) 2 + 1.300 / (1+TIR) 2
Si r es mayor que la TIR, entonces el VPN(r, TIR) será mayor que cero, y si r es menor la que
TIR, el VPN(r, TIR), será negativo, por lo tanto, para que VPN(r, TIR) = 0, r debe ser igual a TIR.
Regla de decisión la TIR
Igual que el VPN, la TIR es un modelo matemático y normativo que dice lo siguiente:
1. Si la TIR es mayor que la tasa de descuento, se debe aceptar.
2. Si la TIR es igual a la tasa de descuento, se debe ser indiferente.
3. Si la TIR es menor que la tasa de descuento, se debe rechazar.
Debe observarse que esta regla de decisión coincide con la del VPN para aceptar o rechazar
alternativas. Esto se puede ver con claridad en las gráficas 3.2, 3.3 y 3.4.
Para el caso de la inversión en el negocio del centro comercial, como la TIR es 41,67%, lo cual
es mayor que 36%, se acepta la inversión. En el segundo ejemplo la TIR es de 45,13%, lo cual es
mayor que 30%; por lo tanto, también se acepta la inversión. La TIR puede usarse para aceptar o
rechazar alternativas, pero no para seleccionarlas. Esto quiere decir que una alternativa con mayor
TIR que otra no necesariamente es la mejor.
3.7.3 La relación beneficio-costo (RB/C)
Existe otro método muy utilizado para analizar proyectos de inversión: la relación beneficiocosto
(RB/C). Este método también tiene en cuenta el cambio del valor del dinero a través del
tiempo. Este índice se define como la relación entre los beneficios y los costos o egresos de un
proyecto.
Los beneficios se definen como el valor presente de los flujos de caja positivos. Así:
VP
I
j
=∑ B
j
j ( 1 + i)
(3.6)
B
=
Los costos se definen como el valor presente de los flujos de caja negativos. Así:
VP
=∑ 1
E
j
C
=
j
j
( + i)
C
(3.7)
123

Aquí conviene hacer la misma observación hecha anteriormente: se está suponiendo el caso
particular en que todas las tasas de descuento son iguales y constantes a lo largo del proyecto.
Para el proyecto siguiente:
Ejemplo 10
Año Flujo de caja ($)
0 -2.000
1 1.200
2 -1.800
3 2.900
Los beneficios al 10% son:
4 1.700
B = 1.200/(1,1) + 2.900/(1.1) 3 + 1.700/(1,1) 4 = 4.430,84
Los costos al 10% son:
La RB/C, por lo tanto, es:
C = 2.000 + 1.800 / (1,1) 2 = 3.487,60
B/C = 4.430,84/3.487.60 = 1,27
Regla de decisión de la RB/C
Un proyecto de inversión se justifica si la RB/C al i% es mayor que 1. Si se recuerdan los
métodos anteriores, se tiene: con el VPN se acepta una inversión cuando éste es mayor que cero, lo
cual implica que los beneficios son mayores que los costos; por lo tanto, la RB/C será mayor que
uno. Con la TIR se acepta un proyecto si ésta es mayor que la tasa de descuento, lo cual implica que
el VPN es mayor que cero y a su vez la RB/C será mayor que uno. Esto significa que el proyecto
del ejemplo se justifica al 10% porque RB/C es mayor que uno.
Cuando la RB/C es igual a uno, el decisor debe ser indiferente ante el proyecto; si es menor que
uno, el decisor deberá rechazar el proyecto. En resumen:
1. Si la RB/C es mayor que 1, se debe aceptar.
2. Si la RB/C es igual a 1, se debe ser indiferente.
3. Si la RB/C es menor que 1, se debe rechazar.
124

Éste también es un modelo matemático y normativo. Para evaluar la justificación de alternativas,
ya sea para rechazar o aceptar éstas, la RB/C coincide con los métodos anteriores.
3.7.4 Contradicciones entre los métodos
A diferencia del VPN, la TIR es adecuada únicamente para determinar si una alternativa es o no
justificable; sólo sirve para aceptar o rechazar alternativas. Al utilizar este método para ordenar
alternativas de mayor a menor TIR, se pueden presentar resultados que sean económicamente
inadecuados o, lo que es lo mismo, llevarían al decisor a seleccionar una alternativa con VPN
menor que el de otra.
En otras palabras, puede decirse que si la alternativa B tiene una TIR mayor que la alternativa A,
no se puede concluir que la alternativa B es mejor que la alternativa A. Todo depende de la tasa de
interés que se fije el decisor. Esta situación se puede ver claramente en la Gráfica 3.3.
Como ya se ha sugerido, los métodos del VPN y de la TIR no son consistentes. En efecto, cuando
se evalúan alternativas mutuamente excluyentes, se pueden presentar contradicciones al pretender
utilizar la máxima TIR para seleccionar la mejor alternativa.
La contradicción consiste en que cuando se utiliza de manera incorrecta la TIR para seleccionar
alternativas, puede ocurrir que la seleccionada no presente el máximo VPN y, por lo tanto, no sería
la mejor. Estas contradicciones ocurren debido a las suposiciones diferentes de uno y otro método.
Como esta utilización incorrecta del método de la TIR es factible y muy común, se hace necesario
llamar la atención sobre la posibilidad de contradicción y entender por qué ocurre.
En la Gráfica 3.3, si se considera i 1 como la tasa de descuento aceptable, los dos métodos se
contradicen, ya que la TIR de B es mayor que la de A, pero el VPN de la A, a la tasa de descuento
i 1 , es mayor que el de la B. Esta situación se puede resumir así: si la tasa de interés aceptable se
encuentra entre 0 e i * , los dos métodos producen resultados contradictorios; si la tasa de interés se
encuentra entre i * e infinito, producen resultados consistentes. Esto se presenta cuando se trata de
escoger entre alternativas mutuamente excluyentes. Recuérdese que de todas maneras se está
haciendo uso inadecuado del método de la TIR, pues éste es adecuado para evaluar la justificación
de alternativas.
Dado que aquí se está defendiendo el uso del método VPN, es necesario explicar por qué se
sugiere su uso. Por un lado, el método del VPN es consistente con el supuesto de que una persona
racional desea obtener más de un bien deseable que menos. Por el otro, si se examina la
razonabilidad de las diferentes suposiciones, se encuentra lo siguiente: si el decisor ha seleccionado
adecuadamente la tasa de interés para cada período, es razonable suponer que cualquier dinero
generado por el proyecto lo reinvierta, por lo menos, a la tasa de oportunidad del período en que se
liberan los fondos; en el caso de la TIR, no se puede garantizar que existan oportunidades para que
el inversionista pueda invertir los fondos liberados del proyecto a la misma TIR. Recuérdese que la
TIR es inherente al proyecto y depende exclusivamente de la forma y cantidad en que se generan los
beneficios. Otra restricción notable que tiene el método de la TIR es el hecho de que se pueden
presentar para un solo proyecto varias TIR.
Así como se ha propuesto el uso de la TIR para ordenar alternativas, también se ha sugerido el
uso de la RB/C para ese propósito. El uso es ordenar los proyectos en forma decreciente, de acuerdo
con la RB/C y seleccionar aquellas con mayor valor de este índice.
Si se ha aceptado que el VPN es un método más adecuado para la selección de las alternativas, se
puede presumir que si la RB/C no coincide en ciertos casos con el VPN, entonces el método no es
adecuado para escoger entre alternativas.
125

Esta contradicción puede explicarse en términos de las suposiciones implícitas en el índice RB/C.
Esta relación supone implícitamente que los fondos liberados se reinvierten a la tasa de descuento,
lo mismo que el VPN. Sin embargo, no tiene en cuenta las diferencias entre las inversiones, de
modo que sólo contiene una de las dos suposiciones del VPN.
A pesar de todo se han desarrollado formas de eliminar las discrepancias que ocurren cuando se
trabaja con el caso particular de una tasa de interés constante durante toda la vida del proyecto. Una
forma de hacerlo es considerar los beneficios producidos por la inversión incremental.
3.8 Alternativas con vidas diferentes
La mayoría de los autores proponen que cuando se tengan proyectos con vidas diferentes, se
analicen con el método del costo anual equivalente, que consiste simplemente en repartir el VPN de
cada alternativa en sumas iguales a lo largo de la vida de cada proyecto a la tasa de descuento
utilizada para calcular el VPN.
Este método supone que los proyectos pueden repetirse en forma indefinida y que, además, se
repiten los mismos beneficios y costos a lo largo de la alternativa que se estudia. Esto también
implica que las repeticiones futuras de las alternativas producen la misma rentabilidad. Por
supuesto, no es conveniente hacer esta suposición, ya que no es razonable, pues nada garantiza que
ello ocurra.
Ante situaciones de alternativas con vidas diferentes se debe proceder así:
1. Verifique si las alternativas se pueden repetir en el futuro.
2. Si se pueden repetir, verifique si al repetirlas se reproducen exactamente los mismos costos y
beneficios.
3. Si se reproducen los mismos costos y beneficios en el futuro, tome la decisión calculando el
costo anual equivalente (CAE o también CAUE costo anual uniforme equivalente) o la
anualidad equivalente al VPN. Se calcula convirtiendo el VPN en un pago o cuota uniforme a la
misma tasa a la cual se calculó el VPN.
4. Si no se reproducen los mismos costos y beneficios y las alternativas se pueden repetir en el
futuro, estime los beneficios y costos futuros durante un período igual al mínimo común
múltiplo de todas las alternativas que se analizan, y calcule el VPN de cada una de ellas.
5. Si no se pueden repetir las alternativas en el futuro, calcule el VPN para cada alternativa,
aunque las vidas de cada una de ellas sean diferentes. La suposición implícita es que los fondos
se reinvierten más allá de la vida del proyecto a la tasa de descuento.
Otra forma de tratar este problema es estimar un valor de salvamento ⎯o valor de mercado de la
alternativa al final de la vida útil⎯ para las alternativas con vida más larga, al final del período de la
alternativa de vida más corta ⎯se aplica una reducción a la vida más larga⎯. El caso alterno es
extender la vida de las alternativas más cortas hasta el final de la vida de la alternativa que más
dura. El valor de salvamento (o valor de mercado) es el valor comercial de la alternativa en
determinado momento.
Para ilustrar lo expresado se presenta el siguiente ejemplo.
126

Ejemplo 11
Alternativa Inversión ($) Beneficios
anuales ($(
Vida
esperada
Valor final del
proyecto ($)
A 10.000 13.500 1 año 0
B 20.000 3.116 10 años 0
Capital disponible: $20.000.
La TIR es:
TIR A = 35%
TIR B = 9%
Si la tasa de oportunidad es de 5%, ambas alternativas se justifican.
El VPN de las dos alternativas al 5% es:
VPN (5%) = $2.857,14, para la alternativa A
VPN (5%) = $4.060,93, para la alternativa B
Si se supone que no hay repetición en este ejemplo, el VPN indicaría que la mejor alternativa es
la B. Si se supone repetición sucesiva e idéntica de la inversión A durante 10 años, los VPN y los
CAE de las dos alternativas serán:
VPN (5%) = $23.165,20, para la alternativa A
VPN (5%) = $4.060,93, para la alternativa B
CAE (5%) = $3.000,00, para la alternativa A
CAE (5%) = $525,91, para la alternativa B
El CAE, que supone repetición idéntica, indicaría que la mejor es la A. El VPN de las sucesivas
repeticiones de la alternativa A es mayor que el de B, por lo tanto, se escogería la alternativa A.
Esto quiere decir que es fundamental definir con claridad si la inversión es o no susceptible de
repetirse en el futuro, pues los resultados son totalmente diferentes.
3.9 El período de repago (PR)
Los métodos estudiados hasta aquí son aquellos que tienen en cuenta el valor del dinero a través
del tiempo. Estos métodos determinan la mejor alternativa dentro de un grupo. En la práctica se
encuentra con frecuencia el uso de técnicas que no tienen en cuenta el valor del dinero a través del
tiempo. Estas técnicas son muy criticadas en la literatura, lo cual está justificado porque pueden
conducir a decisiones equivocadas. Uno de estos métodos es el llamado período de repago (PR) –
payback period o payout period–.
El PR es el tiempo necesario para que el inversionista recupere la cantidad invertida. En el caso
particular de una inversión con unos beneficios constantes a lo largo de la vida del proyecto, el PR
se calcula así:
127

PR =
Inversión
Beneficios
(3.8)
Ejemplo 12
Si se tienen tres alternativas A, B y C:
t A ($) B ($) C ($)
0 -1.000 -2.500 -1.000
1 400 200 1.000
2 400 700 0
3 400 1.200 0
4 400 2.000 0
PR 2,5 3,2 1
El uso de este método establece que entre dos alternativas se prefiere aquella que tenga menor
PR. Según esto, la alternativa C debe escogerse por tener un PR menor. Se puede ver claramente lo
inadecuado de este método, ya que cualquiera de las otras alternativas es mejor que la seleccionada.
A pesar de las fallas que pueda presentar este método, su uso generalizado no obedece a una
irracionalidad por parte del decisor.
En situaciones en las que la economía es impredecible e inestable, y por lo tanto con altos índice
de riesgo y de incertidumbre, el uso del PR es una forma de protegerse contra cambios inesperados
en el comportamiento de la economía de un país. Obviamente su uso implica aversión al riesgo. Así
mismo, el PR corrige distorsiones que el VPN presentan: por ejemplo, no es lo mismo un VPN de
$50 obtenido en un año que un VPN de $50 obtenido después de 15 años. Aunque el VPN es igual
en ambos casos, no son igualmente deseables. Si se acepta lo anterior, es conveniente complementar
el uso del PR con métodos que no conduzcan a decisiones equivocadas.
Para este fin se proponen las siguientes formas heurísticas (véase capítulo 1) de utilizar el PR:
1. Un índice que tenga en cuenta el VPN y el PR. Este índice debe favorecer las alternativas con
mayor VPN y menor PR:
VPN
VPN / PR = PR
(3.9)
2. Calcular un PR que tenga en cuenta el cambio del valor del dinero a través del tiempo (PRT).
Con esto se garantizaría que el inversionista recuperara la suma invertida más intereses. El
cálculo de este índice se hace encontrando el número de períodos que se necesitan para hacer el
VPN de la inversión igual a cero dada una tasa de interés.
N
N
It
PRT = tal que∑
−∑
t=
0
E
t
t
( 1+
i) t=
0 ( 1+
i)
t
= 0
(3.10)
128

3. Calcular un índice similar al primero, pero con PRT en lugar de PR.
VPN
PRT
(3.11)
Ejemplo 13
Para ilustrar lo anterior, considérese el grupo de alternativas A, B y C ya mencionadas. Si se
utiliza una tasa de interés del 12%, se tienen los siguientes valores:
Alternativa
A B C
Método
VPN(12%) $ 214,94 361,78 -107,14
VPN/PR 86,00 113,06 -107,14
PRT 3,15 3,72 N. C.
VPN/PRT 68,23 97,25 N. C.
En este ejemplo todos los índices recomiendan la alternativa B, menos el PRT, que recomienda la
A. En este caso se ve con claridad que los índices así modificados garantizan que alternativas con
VPN menores que cero quedarán descartadas. Estos índices no siempre conducen a la alternativa
óptima del grupo considerado, aunque en el ejemplo mostrado dos de ellos sí coinciden con la
escogencia de la mejor alternativa.
Estos métodos, que pueden conducir a alternativas no óptimas, aunque satisfactorias, se justifican
en los casos en que precisamente al decisor sólo le interesa encontrar alternativas que no lo
conduzcan a situaciones de pérdida, a la vez que asegura la recuperación de su capital a muy corto
plazo y evita así los riesgos inherentes a una economía inestable e impredecible (Ochoa, 1987). Al
hacer 10.000 simulaciones de tres flujos y utilizando diversas tasas de descuento encontró lo
siguiente:
Tabla 3.3
Porcentaje de veces que se produce el mismo ordenamiento que el VPN
Tasa de descuento utilizada
Método 10% 20% 30% 40%
PR 45,8 52,4 57,9 62,3
PRT 47,0 55,0 63,5 71,4
VPN/PR 61,8 69,4 76,9 81,6
VPN/PRT 62,4 70,5 78,9 84,4
129

Tabla 3.4 Porcentaje de veces que se escoge el mejor proyecto de acuerdo con el VPN
Tasa de descuento utilizada
Método 10% 20% 30% 40%
PR 65,5 70,2 73,9 77,0
PRT 66,3 72,1 77,7 82,1
VPN/PR 77,1 81,6 86,3 88,5
VPN/PRT 77,5 82,1 87,4 90,3
En estas tablas se puede observar que en la medida en que se involucra el proceso de descuento
(cambio de valor del dinero en el tiempo), la frecuencia del ordenamiento tiende a mejorar con
respecto al producido por el VPN. Así mismo, a medida que la tasa de descuento aumenta, la
frecuencia de este ordenamiento tiende a parecerse al del VPN, debido a que los flujos más lejanos
pierden importancia y al introducir métodos (PR y VPN/PRT) que en alguna forma desconocen lo
que sucede más allá del valor obtenido por PR y PRT, los flujos más lejanos se consideran, en cierta
forma, inexistentes. A continuación se presenta la Tabla 3.5, donde se indica la utilización correcta
de cada uno de los métodos.
Tabla 3.5 Utilización correcta de cada método
Método
Justificación
Ordenamiento
Observaciones
de alternativas
de alternativas
1. VPN 1. Adecuado 1. Adecuado 1. Analizar si los proyectos tienen vidas
iguales o no. Verificar si se cumple el
supuesto de reinversión a la tasa de
descuento.
2 TIR 2. Adecuado 2. Inadecuado 2. Sin sentido cuando se tienen varias tasas
de descuento en el proyecto. Se pueden
presentar múltiples tasas internas de
rentabilidad.
3. RB/C 5. Adecuado 5. Inadecuado 5. No tiene en cuenta la diferencia en la
magnitud de la inversión. No indica la
rentabilidad del proyecto.
4. PR 8. Inadecuado 8. Inadecuado 8. Puede conducir a escoger alternativas con
VPN negativo.
5.Período de
repago
modificado
VPN/PR, PRT,
VPN/PRT
9. Adecuado 9. Inadecuado 9. Se garantiza que no se eligen alternativas
con VPN negativo. Pueden ser útiles en
condiciones económicas impredecibles e
inestables. Permite romper empates entre
VPN iguales o muy parecidos.
3.10 Racionamiento de capital
El problema de asignación de recursos, que se resuelve en este capítulo, trata de asignar recursos
insuficientes a proyectos que son indivisibles. Esto significa que se emprenden en su totalidad o no
se llevan a cabo. Para estos casos, los métodos utilizados son la enumeración exhaustiva y la
130

programación lineal entera binaria. Los algoritmos para resolver este tipo de problemas se
encuentran en hojas de cálculo como Excel.
3.10.1 Selección de proyectos indivisibles
Diversos autores presentan el problema de indivisibilidad en la asignación de recursos con
restricciones de capital como un problema de programación lineal entera. Aunque no es insoluble y
existen programas de computador para resolver este problema, esta técnica no es muy conocida y en
la mayoría de las universidades no se considera como curso regular dentro de los programas. Tal
vez por ello la mayoría de los textos sobre evaluación de proyectos presentan el análisis de este tipo
de problemas en términos de enumeración exhaustiva, lo cual es sumamente dispendioso.
En el caso de proyectos indivisibles con escogencias excluyentes entre grupos de proyectos y con
restricción de capital, antes de efectuar una enumeración exhaustiva o elaborar un programa
matemático para su solución, se debe hacer lo siguiente:
1. Determinar en cada grupo de proyectos excluyentes la mejor alternativa (máximo VPN).
2. Combinar los mejores proyectos del punto 1 más los proyectos independientes; si esta
combinación es factible, entonces es la óptima. Si no lo es, se debe realizar una enumeración
exhaustiva o diseñar un programa para solución por programación entera.
Ejemplo 14
El rector de una universidad ha recibido las siguientes propuestas de inversión de las diversas
facultades y departamentos, para ser atendidas con el presupuesto del próximo año. Una condición
impuesta por políticas trazadas por el Consejo Directivo indica que en este caso cada una de las
facultades o departamentos debe contar con un proyecto realizado. Las propuestas son las
siguientes:
Facultad A: tres propuestas mutuamente excluyentes para mejorar un laboratorio:
Propuesta Inversión
(millones $)
Ahorro anual durante
cinco años (millones $)
A1 3,2 1,00
A2 4,0 2,00
A3 5,0 2,25
Facultad B: dos propuestas mutuamente excluyentes para reemplazar instalaciones en salones de
clase:
Propuesta
Inversión
(millones $)
Ahorro anual
durante cinco
años (millones $)
B1 4,5 1,8
B2 5,0 2,3
131

Departamento de Bienestar Estudiantil: dos propuestas mutuamente excluyentes para mejorar
instalaciones deportivas con inversión y ahorros en 5 años, así:
Propuesta Inversión ($MM) Ahorro anual
($MM)
C1 0,5 1,5
C2 1,0 0,8
Suponiendo que la tasa de descuento es del 20% anual y que se cuenta con un presupuesto de $11
millones, ¿cuál es el plan óptimo?
Lo primero que se debe hacer es calcular el VPN de cada grupo de alternativas y eliminar del
análisis aquellas que presenten un VPN negativo.
Alternativa VPN (20%)
$
Alternativa VPN (20%)
$
Alternativa VPN (20%)
$
A1 -0,2094 B1 0,8831 C1 3,9859
A2 1,9812 B2 1,8784 C2 1,3925
A3 1,7289
En este caso se elimina la alternativa A1, por tener un VPN negativo. Obsérvese que no se hace
una selección previa dentro de cada grupo. Se examina la combinación de la mejor de cada grupo y
se verifica su factibilidad.
Esta combinación es A2, B2 y C1, la cual requiere una inversión de $9,5 millones, por lo tanto,
es factible y ésa sería la mejor solución. Si el presupuesto fuera de $9 millones, no sería factible y se
debe proceder a encontrar por enumeración exhaustiva la mejor combinación. Las combinaciones
posibles son:
Combinación Monto ($) Combinación Monto ($)
A2B1C1 9,0 A2B1C2 9,5
A2B2C1 9,5 A2B2C2 10,0
A3B1C1 10,0 A3B1C2 10,5
A3B2C1 10,5 A3B2C2 11,0
La combinación factible con el presupuesto de $9 millones es A2B1C1, con un VPN de $6,8502
millones. Obsérvese que cuando hay racionamiento de capital, no siempre quedan en la solución las
mejores alternativas de los grupos mutuamente excluyentes.
3.10.2 Un método simple para escoger proyectos en racionamiento
Retomando los planteamientos del comienzo, se puede ofrecer al lector un método heurístico,
otra vez, para seleccionar proyectos independientes e indivisibles, cuando sólo se invierte en el
período inicial. De manera intuitiva, se puede pensar que ante una escasez de recursos, se debe
tratar de sacarle el jugo a los pocos recursos con que se cuenta; esto es, se trataría de obtener la
mayor cantidad de beneficio por unidad invertida. La presupuestación de capital se puede hacer
utilizando el siguiente método, que es un caso particular del método de Senju y Toyoda (1968).
Este procedimiento indica que se deben ordenar las alternativas de menor a mayor y de acuerdo
con el siguiente índice:
132

VALOR
VPN
DE LA INVERSION
Al establecer el ordenamiento, elimine los proyectos, de menor a mayor índice, hasta encontrar
un grupo de proyectos factible, esto es, que se pueda hacer. Si existe un sobrante, verifique si algún
proyecto rechazado se puede reinsertar.
Ejemplo 15
Suponga que un inversionista tiene una restricción de capital de $90 millones y estudia la
posibilidad de emprender cinco proyectos así:
Proyecto Inversión VPN
(millones $) (millones $)
1 51 27
2 8 17
3 35 40
4 18 15
5 36 10
Si se ordenaran por el VPN, el resultado sería:
Orden Proyecto VPN ($) Capital ($)
I 3 40 35
II 1 27 51
III 2 17 8
IV 4 15 18
V 5 10 36
Si se ordenara por la relación propuesta, se tendría:
Orden Proyecto Índice VPN ($) Capital ($)
I 5 0,28 10 36
II 1 0,53 27 51
III 4 0,83 15 18
IV 3 1,14 40 35
V 2 2,13 17 8
Con la disponibilidad de capital que se tiene, con el primer procedimiento se seleccionarán los
proyectos 3 y 1 con un VPN total de $67 y quedarán $4 disponibles. Con el método propuesto
(correcto) se seleccionarán los proyectos 2, 3 y 4 para un VPN total de $72 y quedarán $29
disponibles. Con estos $29 no se puede emprender ningún proyecto rechazado.
133

3.10.3 Programación lineal
Los algoritmos de programación lineal tratan de resolver problemas de optimización
(maximización, minimización o lograr un determinado valor), sujeto a ciertas restricciones. Como
su nombre lo indica, las relaciones entre las variables son lineales. Como se trata de problemas con
variables asociadas a actividades, servicios o bienes, una de las restricciones que se impone es la de
que los valores deben ser no negativos. Cuando se restringen las variables a valores enteros (0, 1,
2...), entonces se dice que se trata de un problema de programación lineal entera. Si la restricción
indica que, además de ser enteros, los valores posibles deberán ser menores o iguales a 1, esto es,
que la actividad, bienes o servicios, no pueden emprenderse más de una vez, entonces se dice que es
un problema de programación lineal entera binaria; esto significa que las variables no pueden tomar
valores diferentes a 0 o 1. En términos de un paquete de proyectos, significa que con valor 0 no se
hace el proyecto, y con valor 1 sí se hace.
Asociados a cada una de las variables hay unos resultados –beneficios o costos– y unas
utilizaciones de recursos. Los recursos son escasos y limitados. La suma de los beneficios o costos
combinados para todas las variables es lo que se conoce como función objetivo. La suma de los
consumos de recursos combinados para todas las variables deberá ser inferior a los recursos
disponibles y se constituyen, entonces, las restricciones. El problema radica en optimizar la función
objetivo y cumplir, a la vez, ciertas restricciones.
i
n
F ∑ =
i=
1
. O.
= FUNCIÓN OBJETIVO
(3.12)
x
i
≥
i n
∑ =
i=
1
C i
x i
sujeto a.
0para
todas las i(
RESTRICCIÓ N
b x ≤ B para todas las j ( RESTRICCIONES)
ij
i
j
)
(3.13)
(3.14)
Donde las x i son las variables (bienes, actividades o servicios); las B j, los valores de los recursos
que están limitados, y las b ij , los consumos de cada variable x i de cada recurso B j y las Cs en la
función objetivo son las ganancias de cada actividad x i .
Si se trata de programación lineal entera, entonces se añade la restricción siguiente:
xi entero (3.15)
Si se trata de programación lineal entera binaria, se añade la restricción:
x ≤ 1
(3.16)
i
Algunas sugerencias adicionales para plantear este tipo de problemas son las siguientes:
• Si se desea escoger entre dos alternativas mutuamente excluyentes, por ejemplo x 1 y x 2,
entonces se debe escribir la siguiente restricción:
134

x
1
+ x
2
=
1
(3.17)
• Si de esas alternativas puede hacerse una u otra o ninguna de ellas, se escribiría:
x
1
+ x
2
≤
1
(3.18)
• Si hay una alternativa que no se puede hacer si no se hace otra (contingentes o condicionales),
por ejemplo x 1 se hace sólo si x 2 se hace (x 1 puede no hacerse, sólo que para poderse emprender,
x 2 debe emprenderse), se escribe:
x1 ≤ x 2
(3.19)
• Si hay una alternativa que debe hacerse si se hace otra y ninguna se puede hacer aislada, por
ejemplo, x 1 debe hacerse si y sólo si se hace x 2 , entonces,
x
1
= x 2
(3.20)
Para resolver estos problemas se puede utilizar la opción Herramientas del menú de Excel y en
ese menú desplegado se debe escoger Solver.
Esta estrategia se puede aplicar para resolver problemas de selección de proyectos independientes
e indivisibles cuando hay racionamiento de capital. Antes de utilizar este procedimiento se
recomienda examinar el problema para eliminar proyectos que claramente no sean factibles. Lo
mejor es presentar algunos ejemplos.
Aplicando el procedimiento explicado en páginas anteriores a un ejemplo presentado por Lorie y
Savage (1955), se tiene lo siguiente.
Ejemplo 16
Se tiene un grupo de 9 proyectos que implican inversiones en dos períodos; además, a cada
proyecto se le ha calculado el VPN. Por otro lado, se cuenta con un presupuesto de $50 para el
primer año y de $20 para el segundo. La pregunta es: ¿qué proyectos deben escogerse de manera
que se maximice el VPN combinado?
Capital requerido
Proyecto Período I ($) Período II ($) VPN ($)
P1 12 3 14
P2 54 7 17
P3 6 6 17
P4 6 2 15
P5 30 35 40
P6 6 6 12
P7 48 4 14
P8 36 3 10
P9 18 3 12
Total 216 69
Presupuesto 50 20
Faltante 166 49
135

En este problema se pueden eliminar, por inspección, los proyectos 5 y 2, puesto que no son
factibles. También el 7 y el 8, al analizar lo que sobraría si se emprendiera alguno de ellos. Por lo
tanto, el total y el faltante se modifican así:
Período I II
Total $ 48 20
Faltante $ -2 0
Al eliminar los proyectos 5, 2, 7 y 8, queda un grupo factible; por lo tanto, no es necesario
trabajar el algoritmo de programación lineal entera binaria. El paquete óptimo es P 1 , P 3 , P 4 , P 6 y P 9 ,
para un total de $70.
Si se modifica el ejemplo de Lorie y Savage, se puede ilustrar mejor el planteamiento del
problema. Obsérvese el siguiente problema:
Ejemplo 17
Se tiene un grupo de 9 proyectos que implican inversiones en dos períodos; además, a cada
proyecto se le ha calculado el VPN. Por otro lado, se cuenta con un presupuesto de $50 para el
primer año y de $20 para el segundo. La pregunta es: ¿qué proyectos deben escogerse de manera
que se maximice el VPN combinado?
Proyecto
Capital
requerido ($) VPN ($)
I II
P1 12 3 14
P2 42 7 17
P3 6 6 17
P4 6 2 15
P5 11 13 34
P6 6 6 12
P7 40 4 14
P8 36 3 10
P9 18 3 12
Total 177 47
Presupuesto 50 20
Faltante 127 27
Por inspección se pueden eliminar los proyectos 2, 7 y 8. Esto modifica las cifras así:
136

Proyecto
Capital
requerido $ VPN $
I II
P 1 12 3 14
P 3 6 6 17
P 4 6 2 15
P 5 11 13 34
P 6 6 6 12
P 9 18 3 12
Total 177 47
Presupuesto 50 20
Faltante 127 27
Función objetivo maximizar: 14P 1 +17P 3 +15P 4 +34P 5 +12P 6 +12P 9
Las restricciones son:
Pi entero para todos los proyectos.
P
i
P
i
≤ 1
≥ 0
12P 1 +6P 3 +6P 4 +11P 5 +6P 6 +18P 9 ≤ 50
3P 1 +6P 3 +2P 4 +13P 5 +6P 6 +3P 9 ≤ 20
La solución incluye los proyectos P 1, P 3, P 4, P 6, y P 9, con un VPN de $70.
A través de estos ejemplos se puede observar que seleccionar aquellos proyectos que más
contribuyen a las ganancias por unidad invertida es el método adecuado cuando existe
racionamiento de capital. Obsérvese que no se maximiza el VPN ordenando los proyectos por el
VPN.
3.11 Resumen
Se han presentado diversos métodos para la evaluación y ordenamiento de alternativas, a saber: el
valor presente neto (VPN), la tasa interna de rentabilidad (TIR) y la relación beneficio-costo
(RB/C). Se ha visto que algunos, la TIR y la RB/C, pueden ser utilizados para la justificación de
alternativas pero no para su ordenamiento. También se estudió el período de repago (PR) y se
propusieron modificaciones que permiten mejorar el desempeño de este indicador.
Se analizó también el caso de alternativas con vidas diferentes y se propuso una metodología de
análisis.
Se ha analizado el problema de racionamiento de capital y se han examinado dos métodos de
solución: enumeración exhaustiva y programación lineal. Lo más importante fue la presentación de
los procedimientos que permiten resolver problemas en condiciones de escasez de recursos y con
características de indivisibilidad. También se propone una regla sencilla para la selección de
proyectos con un solo período de inversión, que consiste en dividir el VPN por la inversión
requerida y hacer la relación basándose en ese índice.
137

3.12 Ejercicios de autocorrección
1. Considérense las siguientes alternativas mutuamente excluyentes.
Período
Alternativas ($)
1 2 3 4
0 - 1.000 - 3.000 - 2.500 - 1.000
1 400 0 200 0
2 400 400 700 0
3 400 1.600 1.200 0
4 400 2.900 2.000 1.800
Calcule el VPN, la RB/C, el VPN/PR, VPN/PRT a la tasa de 12% por período. También
calcule la TIR. Ordene las alternativas de acuerdo con cada uno de los criterios.
2. Se han recibido las siguientes propuestas de inversión para ser atendidas con el presupuesto del
próximo año. Una condición impuesta indica que en este caso cada una de las unidades debe
realizar un proyecto. Las propuestas son las siguientes:
Facultad A: dos propuestas mutuamente excluyentes para mejorar un laboratorio.
Propuesta
Inversión
(millones $)
Ahorro anual durante
cinco años (millones $)
A1 3,68 1,15
A2 4,6 2,30
Facultad B: dos propuestas mutuamente excluyentes para reemplazar instalaciones en salones
de clase.
Propuesta Inversión (millones $) Ahorro anual por cinco
años (millones $)
B1 5,175 2,07
B2 5,75 2,645
Departamento de Bienestar Estudiantil: una propuesta para mejorar instalaciones de cafetería:
Propuesta
Inversión
(millones $)
Ahorro anual
durante cinco años
(millones $)
C1 0,575 1,725
Suponiendo que la tasa de descuento es del 20% anual y que se cuenta con un presupuesto de
$15 millones. Las directivas le han pedido su asesoría y le preguntan ¿cuál es el plan óptimo de
inversión?
138

3.13 Solución a los ejercicios de autocorrección
Nota: aquí se utiliza un método manual sólo para ilustrar el proceso de solución. Se supone que el
lector utiliza el computador o una calculadora financiera.
1.
Período
Alternativas ($)
1 2 3 4
0 -1.000 -3.000 -2.500 -1.000
1 400 0 200 0
2 400 400 700 0
3 400 1.600 1.200 0
4 400 2.900 2.000 1.800
En la solución de este ejercicio se usó la siguiente notación para representar cada factor:
factor(C-> P,n,i%) convierte una cuota uniforme de un peso desde 1 hasta n en una suma
presente P en 0, a la tasa i%.
factor(F->P,n,i%) convierte una suma futura de un peso en n en una suma presente P en 0, a la
tasa i%.
Cálculo del VPN
VPN 1 (12%) = -1.000 + 400 x factor(C → P,4,12%) = 214,94
VPN 2 (12%) = -3.000 + 400xfactor(F→P,2,12%) + 1,600xfactor (F -> P,3,12%) + 2.900 x
factor(F →P,4,12%) = 300,73
VPN 3 (12%) = -2.500 + 200 factor(F→P,1,12%) + 700x factor(F→P,2,12%) + 1.200 x
factor(F→P,3,12%) + 2.000 x factor(F → P,4,12%) = 361,78
VPN 4 (12%) = -1.000 + 1.800 x factor(F→P,4,12%) = 143,93
= VNA(0,12;RANGO(t = 1 a t = 4), para cada alternativa
VPN 1 (20%) = -1.000 + 400 x factor(C → P,4,20%) = 35,49
Cálculo de la TIR
VPN 1 (22%) = -1.000 + 400 x factor(C → P,4,22%) = -2,54
Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 21,86%.
VPN 2 (15%) = -3.000 + 400xfactor(F→P,2,15%) + 1.600x factor (F -> P,3,15%) + 2.900 x
factor(F → P,4,15%) = 12,57
VPN 2 (16%) = -3.000 + 400xfactor(F→P,2,16%) + 1.600xfactor (F → P,3,16%) + 2.900 x
factor(F → P,4,16%) = -76,04
Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 15,14%.
139

VPN 3 (16%) = -2.500 + 200 x factor(F→P,1,16%) + 700xfactor (F → P,2,16%) + 1.200 x
factor(F → P,3,16%) + 2.000 x factor(F → P,4,16% ) = 66
VPN 3 (17%) = -2.500 + 200 x factor (F→P,1,17%)+700 x factor (F → P,2,17%) + 1.200 x
factor(F -> P,3,17%) + 2.000 x factor(F → P,4,17%) = -1,16
Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 16,98%.
VPN 4 (15%) = -1.000 + 1.800 x factor(F → P,4,15%) = 29,16
VPN 4 (16%) = -1.000 + 1.800 x factor(F → P,4,16%) = -5,8888
Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 15,83%.
= TIR(RANGO(t = 1 a t = 4), para cada alternativa.
De los cálculos del VPN se puede deducir lo siguiente:
Cálculo de la RB/C
VP B1(12%) $ 1.214,94
VP C1(12%) $ 1.000
RB/C 1(12%) 1,215
VP B2(12%) $ 3.300,73
VP C2(12%) $ 3.000
RB/C 2(12%) 1,10
VP B3(12%) $ 2.861,78
VP C3(12%) $ 2.500
RB/C 3(12%) 1,145
VP B4(12%) $ 1.143,93
VP C4(12%) $ 1.000
RB/C 4(12%) 1,144
Cálculo del PR
PR 1 = 1.000/400= 2,5
PR 2 = 3 + 1.000/2.900 = 3,34
PR 3 = 3 + 400/2.000 = 3,2
PR 4 = 3 + 1.000/1.800 = 3,56
VPN 1 /PR 1 = 214,94/2,5 = 86
VPN 2 /PR 2 = 300,73/3,34 = 89,91
VPN 3 /PR 3 = 361,78/3,2 = 113,05
Cálculo de VPN/PR
140

VPN 4 /PR 4 = 143,93/3,56 = 40,43
Se indicará el VPN a una tasa de descuento y por n períodos así:
VPN j (i%,n)
VPN 1 (12%,3) = -39,27
VPN 1 (12%,4) = 214,94
PRT 1 = 3+39,27/400xfactor (F→P,4,12%)=3+39,27/254,21
= 3,15
VPN 2 (12%,3) = -1.542,27
VPN 2 (12%,4) = 300,73
PRT 2 = 3 + 1.542,27/2.900 x factor(F → P,4,12%)
= 3 + 1.542,27/1.843 = 3,84
VPN 3 (12%,3) = -909,26
VPN 3 (12%,4) = 361,78
PRT 3 = 3+909,26/2.000 x factor(F→P,4,12%)
= 3+ 909,26/1.271,04 = 3,72
VPN 4 (12%,3) = -1.000
VPN 4 (12%,4) = 143,93
PRT 4 =3+1.000/800xfactor (F→P,4,12%)=3+1.000/1.143,93
= 3,87
Cálculo del PRT
Cálculo del VPN/PRT
VPN1/PRT1 = 214,94/3,15 = 68,14
VPN2/PRT2 = 300,73/3,84 = 78,38
VPN3/PRT3 = 361,78/3,72 = 97,25
VPN4/PRT4 = 143,93/3,87 = 37,19
1 2 3 4
VPN al 12% ($) 214,94 300,73 361,78 143,93
Rentabilidad interna TIR 21,86% 15,14% 16,98% 15,83%
RB/C al 12% 1,22 1,1 1,15 1,14
PR 2,50 3,34 3,20 3,56
VPN/PR 86,00 89,91 113,05 40,43
PRT 3,15 3,84 3,72 3,87
VPN/PRT 68,14 78,38 97,25 37,19
Todas son justificables si la tasa de descuento es 12%.
141

Orden VPN B/C TIR PR VPN/PR PRT VPN/PRT
I 3 1 1 1 3 1 3
II 2 3 3 3 2 3 2
III 1 4 4 2 1 2 1
IV 4 2 2 4 4 4 4
2. Lo primero que se debe hacer es calcular el VPN de cada grupo de alternativas y eliminar del
análisis aquellas que presenten un VPN negativo.
Alternativa
VPN(20%)
(en millones de
pesos)
A1 -0,2408
A2 2,2784
B1 1,0156
B2 2,1602
C1 4,5838
En este caso se elimina la alternativa A 1 por tener un VPN negativo. Se examina la
combinación de la mejor de cada grupo y se verifica su factibilidad. Esta combinación es A 2, B 2
y C 1 , la cual requiere una inversión de $10,925 millones; por lo tanto, es factible y ésa sería la
mejor solución. Si el presupuesto fuera de $10,75 millones, no sería factible y se debe proceder
a encontrar por enumeración exhaustiva la mejor combinación.
Las combinaciones posibles son:
Combinación Monto ($)
A2B1C1 10,350
A2B2C1 10,925
La combinación factible con el presupuesto de $10,75 millones es A 2 B 1 C 1 con un VPN de
$7,8778 millones. Obsérvese que cuando hay racionamiento de capital, no siempre quedan en
la solución las mejores alternativas de los grupos mutuamente excluyentes.
3.14 Ejercicios
1. Explique por qué el VPN positivo de una inversión indica que es aconsejable.
2. Llene los espacios en blanco en el texto presentado a continuación, indicando y ejecutando las
operaciones necesarias.
142

Para ilustrar el significado del cálculo del VPN de una inversión cuando ésta se financia
pidiendo prestado, considere un proyecto de inversión que requiere un desembolso inicial de
$10.000 y ofrece retornos (beneficios netos) de $5.000 al año durante tres años.
El valor presente de los retornos, flujos de caja netos al 6% de interés anual es:
De modo que el VPN del proyecto de inversión es:
El valor de los retornos esperados de la inversión de $10.000 es suficiente para pagar la
amortización y el interés de un préstamo hasta de:
… pactado a una tasa de interés del 6% pagadero en tres cuotas anuales de $5.000 cada una. Un
modo de interpretar el significado del VPN del proyecto consiste en ver que una firma podría
obtener un préstamo de:
… al 6%, gastar $10.000 de ese préstamo en la inversión e inmediatamente distribuir el resto
como ingreso para los dueños.
Los beneficios netos de $5.000/año, durante tres años, de la inversión de los $10.000
exactamente repagarían el préstamo al fin del tercer año.
3. ¿Qué es la TIR de una inversión? ¿En qué tipo de decisiones es adecuado usar el criterio de TIR
y por qué?
4. ¿Cuándo coinciden los criterios de ordenamiento por TIR y VPN?
5. La Compañía Minera S. A. invirtió $200 millones hace tres años en un equipo para explotar un
filón en la selva, el cual se agotó sin producir casi nada. El equipo se deprecia linealmente en
veinte años, por lo cual vale hoy en libros $170 millones, los cuales se cargarán como pérdidas
a los flujos de caja de los próximos años, a razón de $10 millones por año. Ese equipo se puede
vender hoy como chatarra en $20 millones.
Los geólogos han descubierto un nuevo filón más profundo en el mismo sitio, el cual requerirá
una inversión adicional de $50 millones para explotarlo, pero produciría beneficios por $140
millones en valor presente (actualizado) y neto de los gastos de explotación y distribución.
Usted es uno de los miembros de la junta directiva ante la cual se presenta el tesorero de la
firma a pelear contra la estupidez de explotar el nuevo filón. “Ya se han perdido $170 millones
allá y vamos a invertir $50 millones más, para lograr beneficios por $140 millones que no
compensan los $220 millones que hay que repagar, más bien vendamos la chatarra y
rescatemos $20 millones de lo perdido”. A la intervención del tesorero sigue la del gerente,
143

quien renuncia a su cargo para retirarse de la firma y ofrecer $50 millones por los derechos de
explotación y el equipo actual de la mina.
¿Qué piensa usted de las dos intervenciones? ¿Qué haría en tal situación?
6. Homero Cerquillo vende enciclopedias de la Editora Amazona y recibe una comisión de $6.000
por cada enciclopedia que vende. Cerquillo ha estado tratando de vender a Olaf Tartán una
enciclopedia y ha gastado $5.000 en atenciones, sin que hasta el momento se haya realizado la
venta. Tartán, quien no tiene influencia ni contacto con otros clientes de Cerquillo, le dice que
le comprará la enciclopedia si él le compra un reloj por $2.500.
6.1 ¿Debe Homero aceptar la propuesta? Justifique la respuesta.
6.2 ¿Cuál sería el máximo precio que Homero podría pagar a Olaf por el reloj?
7. Una universidad tiene un fondo de inversiones para aumentar su patrimonio y está
considerando las dos propuestas de inversión descritas a continuación:
7.1 Comprar un equipo de reproducción en $5.000.000 ahora, operarlo durante cinco años y
venderlo al final de este período en $4.000.000. El flujo de caja anual producido por la
operación se supone constante e igual a $750.000/año, una vez deducidos los costos de
operación.
7.2 Comprar un lote en $5.000.000 y venderlo al cabo de cinco años en $9.500.000.
Determine una regla de decisión dependiente de la tasa de descuento i% para encontrar en
cuál de las posibles oportunidades de inversión debe la universidad colocar los $5.000.000
de que dispone ahora. Describa cómo cambia esa decisión a medida que aumenta la tasa de
descuento. ¿Cuál sería su decisión?
8. Un campesino compró un equipo de recolección de papas en $190.000 hace dos años. Debido a
que ese era un equipo desconocido para él, siguió las recomendaciones del vendedor: los costos
de operación le subieron a $70.000/año. Estos costos serían menores si hubiera comprado un
equipo más adecuado. Al comenzar la nueva cosecha, un vendedor le ofreció un nuevo equipo
que le costaba $165.000 y, además, le garantizaba que los costos de operación serían de
$30.000/año. El campesino podría vender la cosechadora vieja por $37.500 ya que ése era su
valor real.
Suponga que para efectos de este estudio el valor de salvamento –o valor de mercado de la
alternativa al final de la vida útil– es despreciable para ambas cosechadoras de papa y que el
período de estudio es de 10 años. El costo de oportunidad (tasa de descuento) es de 30% anual.
¿Qué le recomendaría usted al campesino?
9. Hace dos años una universidad compró un automóvil en $1.000.000. De acuerdo con la última
declaración de renta, el carro aparece con un valor de $700.000, pero se sabe que no puede
venderse en más de $1.200.000.
Se quiere considerar la posibilidad de continuar usando ese vehículo durante 3 años más o de
comprar un automóvil nuevo y tenerlo durante 3 años. Si continúa utilizando el vehículo actual
tendrá que hacerle inmediatamente reparaciones por $260.000 y podrá venderlo al final de 3
años en $1.300.000. El carro nuevo vale ahora $1.700.000 y al cabo de 3 años se podría vender
en $1.900.000. Los costos anuales de operación y mantenimiento son de $120.000 para el carro
actual y de $100.000 para el nuevo modelo. Si se considera que las inversiones de capital de la
universidad deben producir por lo menos un 20% anual, sin contar impuestos, ¿cuál será su
decisión? ¿Cuál sería el costo de oportunidad del capital para el cual daría lo mismo un
automóvil que el otro? ¿Qué otras consideraciones cree usted que serían pertinentes para tomar
esta decisión?
144

10. Los bonos son promesas de pago de una cierta suma de dinero en una fecha en el futuro y del
pago de intereses cada cierto período. Considere el caso de un bono de $1.000 emitido el 1 de
enero de 1987 para ser pagado el 1 de enero de 2002, pagando intereses de $125
semestralmente. Si a usted le ofrecen ese bono el 1 de enero de 1989…
¿Hasta cuánto estaría dispuesto a pagar sabiendo que tiene alternativas de inversión de igual
riesgo que le producen el 30% anual?
11. Este problema se presentó en un país en vía de desarrollo donde se habían comenzado varios
proyectos hidráulicos de dudosos méritos económicos y donde la obtención de crédito era para
entonces muy difícil.
Se había solicitado, sin embargo, un préstamo al Banco Mundial para terminar un proyecto
específico de irrigación. Los aspectos financieros del proyecto eran los siguientes: entre 1960 y
1965 se habían construido dos grandes represas, tres represas pequeñas y 100 kilómetros de
canales para riego con un costo total para 1965 de $50 millones.
Para poder terminar las estructuras del sistema de riego incluyendo los canales secundarios, los
acueductos, los vertederos, las presas de control, las compuertas de salida y las acequias de
abastecimiento para cada finca se requería un desembolso adicional de $20 millones entre 1965
y 1970, calculado en pesos de 1970.
Se solicitó al Banco Mundial un préstamo por esa suma. Un equipo de expertos estudió este
proyecto y calculó que su costo de operación y mantenimiento, comenzando en 1970, sería de
un millón por año y los flujos de caja netos del proyecto llegarían a sumar $3 millones por año
durante los primeros cinco años y $5 millones por año de ahí en adelante.
Si se supone una tasa de descuento del 8% y que la vida útil del proyecto fuera de 50 años, el
problema consistía en decidir si se justificaba económicamente, basado en los beneficios
directos, conceder el préstamo solicitado por $20 millones.
12. Dibuje una gráfica del VPN de cada uno de los siguientes flujos de caja como función de la tasa
de descuento que varía entre 0% y 30%, en pasos de 5%.
12.1 Un desembolso inmediato de $6.000, seguido de un flujo de caja de $10.000 dentro de 5
años.
12.2 Un desembolso inmediato de $6.000, seguido de una serie de flujos de caja de 1.000/año
durante diez años.
12.3 Un desembolso inmediato de $5.000, seguido por una serie de flujos de caja de 1.000/año
durante quince años, luego una serie de egresos de $1.000/año por otros quince años.
Base su dibujo en valores calculados para 0%, 4%, 8%, 12%, 16%, 20%, 24%, 28% y
30%.
13. Calcule la TIR de las siguientes alternativas:
13.1 Un desembolso de $1.000 ahora y otro de $1.000 dentro de seis años con flujos de caja
anuales de $200 durante los ocho años siguientes.
13.2 Un desembolso de $1.000 durante cuatro años a partir de hoy, seguido de una serie de
flujos de caja que comienza dentro de seis años con $2.000 y crece cada año en $200,
hasta el final del año doce.
14. Una revista mensual ofrece tres tipos de suscripción, pagadero por adelantado:
145

Plan Valor ($)
1 año 45.000
2 años 75.000
De por vida 50.000
14.1 Al comparar la suscripción anual con la de dos años, ¿cuál es la rentabilidad de la
inversión adicional en esta última?
14.2 Alguien cree que se debe suscribir de por vida y quiere comparar esta alternativa con la
posibilidad de suscribirse cada dos años. De acuerdo con una tabla estándar de
mortalidad, él espera vivir otros treinta años. Si toma la suscripción vitalicia y vive
exactamente treinta años más, ¿cuál sería la rentabilidad de la inversión extra en tal
suscripción? Suponga que no hay aumento de precios.
15. Un proyecto cuesta $10.000 y promete los siguientes beneficios netos al final de cada período:
$5.000, $4.000, $3.000 y $2.000. Si la tasa de descuento es de 10%, ¿se debe aceptar este
proyecto? ¿Cuál es la TIR? ¿Cuál es el VPN al 10%? ¿Coinciden ambos criterios? ¿Por qué?
16. Un equipo cuesta $6.000 y tiene una vida esperada de 6 años con valor de mercado o de
salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil) nulo al final de su vida.
Los gastos de impuestos, seguros, mantenimiento combustible y lubricantes se estiman en
$1.500 el primer año, en $1.700 el segundo, en $1.900 el tercero y continúan creciendo $200
cada año.
¿Cuál es el CAE si la tasa de descuento es del 30% anual? ¿Qué supuestos se hacen cuando se
calcula el CAE?
17. Acepte o rechace las siguientes propuestas de inversión utilizando los métodos de TIR y de
VPN. Suponga una tasa de descuento del 10%.
Período
Alternativa 0 1 2
A $ -10.000 2.000 15.000
B $ -10.000 10.500
C $ -10.000 18.000
18. Hay dos proyectos A y B. La función del VPN de cada uno de los proyectos está dada en la
gráfica que aparece al final del ejercicio y que corresponde a la Gráfica 3.3.
18.1 Indique en la figura: (a) la TIR de A. (b) La tasa interna rentabilidad de B.
18.2 Si la tasa de descuento es i 1 %, ¿cuál proyecto es mejor? Si la tasa de descuento es i 2 %,
¿cuál proyecto es mejor?
18.3 ¿Entre qué valores de i los ordenamientos por rentabilidad interna coinciden con el
ordenamiento por VPN?
18.4 ¿Qué se supone implícitamente, respecto a la reinversión de los fondos cuando se toman
las decisiones basándose en el criterio del VPN?
146

Gráfica 3.6 VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes
i1
VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes
VPN
12.000
10.000
8.000
6.000
i*
4.000
2.000
0.000
-2.000 0 10 20 30 40 50 60 70
-4.000 i1
I2
-6.000
Tasa de descuento i%
VPN A
VPN B
19. Considere los proyectos descritos a continuación:
Período
Flujo de caja $
Proyecto C Proyecto D Proyecto E
0 -1.000 +1.000 -1.600
1 +1.100 -500 +10.000
2 -180 +660 -10.000
3 +840 -1.800 0
¿Cuál es el VPN al 0%? ¿Cuál es el VPN para una tasa infinita de descuento? ¿Cuál es la TIR
de cada proyecto? ¿Cuál es el mejor proyecto a la tasa de descuento de 30%? ¿Podría usted
ordenar esos proyectos por su TIR?
20. ¿Cuál es el VPN al 10% de los siguientes flujos de caja? Ordénelos según el resultado obtenido.
Alternativa
Período
0 1 2 3 4 5
A $ -1.000 100 100 100 100 100
B $ -1.000 264 264 264 264 264
C $ -1.000 1.762
Calcule la TIR de cada flujo.
21. Un inversionista es socio en diferentes negocios pequeños. Su práctica es suministrar un 50%
del capital para nuevos negocios, potencialmente promisorios, a cambio de un 50% de las
utilidades. Uno de sus socios le ha propuesto que invierta capital adicional en la planta para
reducir los gastos, según 5 proyectos, mutuamente excluyentes y con una vida estimada de 10
años. Todas las inversiones tienen un valor de salvamento (o valor de mercado de la alternativa
al final de la vida útil) de cero al cabo de los 10 años.
147

Factores Propuesta A Propuesta B Propuesta C Propuesta D Propuesta E
Inversión requerida ($) 30.000 50.000 70.000 100.000 140.000
Economías anuales ($) 12.000 14.000 20.000 34.000 58.000
Si el inversionista requiere de su participación una rentabilidad mínima del 30% sobre su
inversión, ¿cuál de las propuestas debe escoger?
22. Las propuestas de inversión A, B y C son excluyentes. Suponiendo una tasa de descuento de
30% anual, ¿qué decisión se debe tomar para cada una de ellas?
Alternativa
Período
0 1 2
A ($) -10.000 2.000 12.000
B ($) -10.000 13.500
C ($) -10.000 14.000
23. Suponga que existen tres inversiones mutuamente excluyentes A, B y C. La tasa de descuento
es de 18% anual.
Alternativa
Período
0 1 2 3 TIR
A $ -1.000 505 505 505 24%
B $ -10.000 2.000 2.000 12.000 20%
C $ -11.000 5.304 5.304 5.304 21%
¿Cuál de las tres se debe elegir?
24. 24.1 Calcule la TIR de los siguientes proyectos:
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
A -10 2 4 6 8
B -10 7 5 4 2
24.2 Dibuje una gráfica esquemática de la curva del VPN para estos proyectos.
24.3 ¿Para qué rango de tasas de interés se prefiere el proyecto A al proyecto B?
24.4 Calcule la relación beneficio-costo para cada proyecto: suponga una tasa de descuento de
10%.
25. La Compañía Mapple está considerando la elección entre dos máquinas diferentes, que
esencialmente hacen el mismo trabajo (las máquinas son mutuamente excluyentes). Una
comparación de los movimientos de caja de las dos máquinas muestra que si se elige la menos
cara de las dos, se tendrá un ahorro en el momento de la compra de $1.000, pero un gasto
adicional de $333 anuales a lo largo de los cinco años de duración previstos para la máquina.
La tasa de descuento de la Compañía Mapple es del 10%.
148

Calcule la TIR de cada alternativa y determine cuál de las dos máquinas, la barata o la más
cara, debe comprarse. ¿Es este método correcto? ¿Por qué? Obtenga la misma decisión
utilizando el método de VPN.
26. Existen dos inversiones mutuamente excluyentes. Suponga una tasa de descuento del 12%.
Elija la mejor de las dos inversiones.
Alternativa
Período $
TIR (%)
0 1 2
A -16.050 10.000 10.000 16
B -100.000 60.000 60.000 13
27. Una empresa manufacturera tiene como política aceptar las inversiones que produzcan 30% o
más, ya que considera que ése es su costo de oportunidad. El gerente de la empresa presentó a
la Junta Directiva la siguiente información sobre seis máquinas que tienen una vida económica
de 10 años y valor de salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil)
nulo. Los directivos deben escoger una, ya que sólo se necesita una de ellas, esto es, son
mutuamente excluyentes:
Máquina Inversión ($) Ahorro anual ($) TIR (%)
Onondaga 30.000 11.000 34,82
Oneida 50.000 17.000 31,86
Cayuga 55.000 19.000 32,47
Tuscarora 60.000 20.000 31,11
Séneca 70.000 25.000 33,77
Tisquesusa 75.000 27.000 34,08
Un directivo dijo: “Obviamente, la mejor es la de Onondaga”. Otro dijo: “No, es la Séneca”.
Usted, que es el gerente, tiene varias formas de analizar este problema y debe elaborar un
informe en el cual se muestre:
27.1 Su análisis por medio del VPN.
27.2 ¿Son las recomendaciones de los directivos adecuadas?
27.3 Calcule el período de repago de cada alternativa. ¿Es este criterio adecuado? Si no,
utilice otro criterio de repago que sea apropiado.
28. Aviso aparecido en El Espectador, el 14 de julio de 1981:
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¿Qué TIR ofrece esta propuesta?
149

29. ¿Cuál de las dos alternativas que se describen a continuación es la mejor si la tasa de descuento
es del 25%? ¿Para qué tasa de descuento se cambia el ordenamiento?
Año
Flujo $
Alternativa A Alternativa B
0 -1.000 -1.000
1 500 550
2 400 700
3 550 600
4 680 760
30. Seleccione la mejor alternativa y explique en forma concisa su respuesta.
Método
Alternativa
A B C
VPN(30%) $ 15 45 22
TIR 42% 37% 35%
RB/C(30%) 1,12 1,06 1,03
31. Se cuenta con 100 vehículos livianos, con más de 5 años de uso, cuyo costo de operación actual
es de US$12.000 al año, y ofrecen una disponibilidad mecánica menor del 60%, lo cual obliga
a alquilar vehículos a un costo de US$25 por día, para lograr el 85% de disponibilidad
requerido. La empresa trabaja con una tasa de descuento de 20%. Se tienen tres opciones:
31.1 Alquilar toda la flota con disponibilidad garantizada de 90%.
31.2 Seguir como ahora (el valor de salvamento –o valor de mercado de la alternativa al final
de la vida útil– de cada vehículo es de US$2.000).
31.3 Reconstruir los equipos a un costo de US$9.000 por unidad y se obtienen 3 años
adicionales de vida útil con los siguientes comportamientos de costos y disponibilidad:
Costos
Año
1 2 3
Costo de operación (US$) 8.000 10.000 14.000
Disponibilidad 85% 83% 80%
Valor de salvamento (o valor de mercado de
la alternativa al final de la vida útil) (US$)
2.000
31.4 Comprar vehículos nuevos a un costo de US$20.000 con una vida útil de 6 años, con los
siguientes comportamientos de costos y disponibilidad:
150

Costos
Costo de operación (US$
miles)
Año
1 2 3 4 5 6
4 5 7 9 12 16
Disponibilidad 90% 90% 87% 85% 83% 80%
Valor de salvamento (o
valor de mercado de la
alternativa al final de la
vida útil) (US$ miles) 4
¿Cuál será la mejor decisión? Suponga siempre que la base de referencia para el análisis es que
debe trabajarse 24 horas diarias.
32. El plan de minería requiere mantener una disponibilidad mecánica de los tractores de oruga del
65% como mínimo. Actualmente se encuentra en 62%; la mina trabaja 24 horas diarias y se
tienen dos opciones:
32.1 Alquilar las horas faltantes de máquina a US$150 por hora de operación.
32.2 Comprar un paquete de repuestos capitalizables a US$50.000. El costo de operación de la
máquina es de US$60 por hora de operación. La inversión en la máquina, cuando era
nueva, fue de US$450.000 hace cinco años y se deprecia linealmente en diez años. Su
valor comercial hoy es de US$9.000. La tasa de descuento es de 20%.
Suponga siempre que la base de referencia para el análisis es que debe trabajarse 24
horas diarias.
33. Acaba de salir al mercado un nuevo tipo de computador que vale, con programas, US$30.000.
Se estima que el equipo aumentará la productividad del Departamento de Ingeniería Industrial
en un 30%. Este grupo consta de 30 personas y vale US$180.000 al año, incluidas las
prestaciones sociales. Si la tasa de descuento es de 22%, ¿se justifica comprar el computador?
34. Se han sugerido 10 propuestas para reducir costos en una universidad. Todas tienen una vida
útil estimada de 10 años y valor de salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final de
la vida útil) igual a cero. En la tabla se presentan las inversiones necesarias y los ahorros netos
después de impuestos. Cada grupo de proyectos representa alternativas para hacer un
determinado proyecto y, por lo tanto, son mutuamente excluyentes. Se debe emprender un
proyecto de cada grupo. Analice esta situación en los siguientes dos casos:
34.1 Se sabe que la tasa mínima de interés es del 10% anual y que, además, no hay limitación
de fondos disponibles. Utilizando un criterio válido de comparación, muestre cuáles
alternativas se deben emprender. Indique cualquier cálculo que sea necesario para tomar
la decisión.
34.2 Cuáles alternativas se deben seleccionar si los fondos disponibles son:
a. $150 millones.
b. $90 millones.
c. $70 millones.
Por favor, explique la respuesta.
151

Proyecto
Inversión
$(millones de
pesos)
Reducción neta después de
impuestos $ (millones de
pesos)
A1 20 5,60
A2 30 6,90
A3 50 10,07
A4 40 8,18
B 20 3,54
C1 20 5,44
C2 40 8,70
D1 10 1,36
D2 20 3,84
D3 30 5,20
35. Las restricciones presupuestales limitan las inversiones. El problema no resulta ser, en general,
el de escoger entre proyectos competitivos, sino el de escoger la secuencia en la cual estos
proyectos deben ser emprendidos. Cuando la fecha del calendario influye en la tasa de
rendimiento de los beneficios de los proyectos, la planeación tradicional orientada hacia
escoger ahora entre los proyectos puede llevar a decisiones incorrectas. Suponga que el
Instituto de Fomento Industrial (IFI) está considerando la posibilidad de emprender dos grandes
proyectos.
35.1 Una explotación de un complejo de extracción y tratamiento de uranio que produciría
beneficios netos anuales de $1.000 millones a partir del año siguiente de su construcción
y hasta 2008. A partir de 2009, y por aumento de la demanda por materiales
radioactivos, tales beneficios ascenderían a $10.000 millones al año para el mismo nivel
de desarrollo de la planta. La inversión necesaria en cualquier momento en que se
emprenda el proyecto es de 15.000 millones.
35.2 Una gran fábrica textil que producirá $2.500 millones al año en beneficios netos a partir
del año siguiente al de su construcción. Esta planta también cuesta $15.000 millones.
El Instituto dispone en la actualidad (1987) sólo de $15.000 para invertir en estos
proyectos y únicamente volverá a contar con este dinero hasta 1992. El costo de capital
es del 12% anual y las vidas útiles de los proyectos, por ser muy largas, se suponen
infinitas para los cálculos. ¿Qué debe hacer el IFI?
36. Considere las cuatro alternativas que se presentan a continuación:
Período
Alternativas $ (miles de pesos)
A B C D
0 -1.000 -3.000 -2.500 -1.000
1 400 0 200 0
2 400 400 700 0
3 400 1.600 1.200 0
4 400 2.900 2.000 1.800
36.1 Si se cuenta con un presupuesto de $7 millones y si se considera que las alternativas son
independientes, ¿cuáles se deben escoger, si la tasa de descuento es de 12% anual?
36.2 Para estas alternativas independientes, realice un estudio de la sensibilidad de la decisión
de inversión con respecto a variaciones del presupuesto inicial (fecha cero) entre 4 y 10
millones, cuando la tasa de descuento es del 12% anual.
152

36.3 Si las alternativas B y C son mutuamente excluyentes y la alternativa C sólo puede
emplearse cuando la alternativa D se ha emprendido también (aunque la alternativa D
puede emprenderse sola), realice un estudio de la sensibilidad de la decisión de inversión
con respecto de las variaciones del presupuesto inicial entre 1 y 8 millones, cuando la
tasa de descuento es del 12% anual.
37. La rectoría de la Universidad Independiente ha concluido que no podrá disponer de más de
$40.000.000 para inversiones durante el año próximo. Actualmente se han recibido propuestas
para 5 proyectos de inversión A, B, C, D y E que requieren en total $60.000.000.
Realice los cálculos necesarios para determinar cuáles propuestas deben seleccionarse, si se
deben escoger de manera que se maximice el VPN total antes de impuestos.
La tasa de descuento es de 12% anual.
Los proyectos presentados son los siguientes:
37.1 Un proyecto para reducción de costos de ciertas actividades administrativas que requiere
una inversión de $10.000.000. La vida estimada del equipo es de 12 años y tiene un
valor de salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil) de cero.
La reducción neta esperada en gastos de operación es de $2.800.000 anuales durante los
próximos 12 años.
37.2 Un proyecto para reducción de costos en actividades docentes que requiere una inversión
de $10.000.000. Se estima que esta inversión tiene un valor de salvamento (o valor de
mercado de la alternativa al final de la vida útil) de 100%. La reducción neta esperada en
gastos de docencia es de $1.800.000 anuales durante 12 años.
37.3 La construcción de instalaciones para producir ciertos elementos (papel cortado, material
impreso, etc.), que en la actualidad se compran, requerirá una inversión de $10.000.000.
Se estima que estas instalaciones tendrán un valor de salvamento (o valor de mercado de
la alternativa al final de la vida útil) del 125% de su valor inicial al final de 12 años. Si
se continúan comprando se requerirán $4.000.000 anuales, si se fabrican en la
universidad los gastos serán de $2.400.000 anuales.
37.4 La expansión de la planta física para aumentar el cupo de estudiantes requiere una
inversión de $10.000.000. Se estima que la expansión tendrá un valor de salvamento (o
valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil) de $12.000.000 al final de 12
años. Se calcula que los flujos de caja anuales provenientes del incremento en matrícula
se aumentarán en $3.700.000 y otros gastos anuales se aumentarán en $2.360.000.
37.5 La propuesta para un nuevo programa de educación continuada requiere una inversión
inmediata de $20.000.000. Se estima que los flujos de caja netos serán de $2.000.000 el
primer año, de $3.000.000 el segundo año y aumenta en $1.000.000 por año hasta el año
12. Se proyecta que el valor de salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final
de la vida útil) al final de los 12 años es de $25.000.000.
38. Senju y Toyoda (1968) presentan el siguiente problema modificando algunos enunciados para
ilustrar su método:
Se tienen ocho proyectos que exigen una inversión de capital durante dos períodos, en los
cuales se tiene una restricción de capital de $24 millones en el primer período y de $30
millones para el segundo.
Las necesidades de recursos y el VPN, en millones, de cada proyecto se indican a continuación:
153

Proyecto Necesidades VPN
($)
Período I ($) Período II ($)
P1 6 2 100
P2 2 8 400
P3 3 2 200
P4 4 6 800
P5 9 3 300
P6 6 5 600
P7 5 6 400
P8 1 7 500
Utilizando el Solver de Excel, resuelva este ejercicio.
39. Otro problema que se encuentra en el mismo artículo de Senju y Toyoda es el siguiente: se
tienen seis proyectos que requieren inversión durante cuatro períodos. Las restricciones de
capital durante esos cuatro períodos son de 16 millones de pesos en el transcurso de cada uno
de ellos. Las necesidades de capital y VPN de cada proyecto, en millones, son los siguientes:
Proyecto
Necesidades $
VPN $
I II III IV
P1 1 5 4 6 500
P2 4 3 3 5 900
P3 5 2 4 3 300
P4 7 8 4 7 600
P5 5 4 2 2 100
P6 6 9 5 5 300
Utilizando el Solver de Excel, resuelva este ejercicio.
40. Considere las siguientes situaciones:
40.1 Actualmente una operación de manejo de documentos en la biblioteca de una
universidad se hace manualmente. Los gastos anuales de esta operación (incluidas las
prestaciones sociales) son de $820.000. A esta operación anual se la llamará plan A.
Existe una propuesta, el plan B, que consiste en comprar un microcomputador para
sistematizar el proceso que reduciría el costo de personal. El precio de este equipo es de
$1.500.000. Se estima que esta inversión reduciría los gastos anuales de personal
(incluidas las prestaciones sociales) a $330.000 anuales. Y se incurriría en gastos por
mantenimiento energía y seguros en $180.000 anuales.
La vida útil de esta inversión es 10 años y al final de ellos el equipo no tendrá ningún
valor de salvamento o valor de mercado de la alternativa en ese momento. Se supone que
los gastos anuales en personal, mantenimiento y seguros serán uniformes durante los 10
años. Pregunta: ¿cuál de los dos planes es mejor? Use una tasa de descuento del 30%.
40.2 Existe otra propuesta, el Plan C, que consiste en la compra de un equipo de uso múltiple
(además se puede utilizar en procesos administrativos). El precio de este equipo es de
$2.500.000. Se estima que este equipo tendrá un valor de salvamento neto (o valor de
mercado de la alternativa en ese momento) de $ 500.000 al cabo de su vida de servicio
154

de 10 años. –El valor de salvamento neto (o valor comercial) de la alternativa en ese
momento) se toma aquí como los ingresos brutos de la venta del equipo menos los
gastos requeridos para su retiro y venta–. Este equipo, más automatizado que el del Plan
B, reducirá los gastos de personal (incluidas las prestaciones sociales) a $170.000. Los
gastos anuales, energía, mantenimiento y seguros se aumentan a $260.000.
Pregunta: compare los planes B y C utilizando una tasa de descuento del 30%. Las
características del plan B aparecen descritas en la parte 1 de este ejercicio.
41. Para la construcción de ciertas instalaciones deportivas se dispone de 2 propuestas, los planes D
y E. Los flujos de caja de la institución no se afectarán por la selección de uno u otro plan. Los
estimativos para los dos planes son como sigue:
Factores PLAN D PLAN E
Inversión ($) 5.000.000 12.000.000
Vida de servicio 20 años 40 años
Valor salvamento ($) 1.000.000 2.000.000
Gastos anuales ($) 900.000 600.000
Los gastos anuales incluyen gastos de operación y de mantenimiento, impuesto predial y
seguros de incendio.
Compárense estas 2 alternativas utilizando una tasa de descuento del 20% anual. Suponga que
en la inversión, en la segunda construcción de las instalaciones del Plan D, el precio de la
estructura ha aumentado a 20 millones y los gastos anuales en todos los casos aumentan un 5%
anual.
Referencias bibliográficas
Bacon, P. W. 1977. “The Evaluation of Mutually Exclusive Investments”, Financial Management,
vol. 6, No.2, Summer, pp. 55-58.
Beidleman, C. R. 1984. “Discounted Cash Flow Reinvestment Rate Assumptions”, The
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Grant, E. L. e Ireson, W. G. 1960. Principles of Engineering Economy. 4th ed. The Ronald Press,
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Lorie, J.H. y Savage, L. J. 1959. “Three Problems in Rationing Capital”, Journal of Business, vol.
XXVIII, oct., reproducido en Solomon, E. (ed.). 1959. The Management of Corporate
Capital, The Free Press of Glencoe, III.
Oakford, R. V.; Baimjee, S. A., y Jucker, J. V. 1977. “The Internal Rate of Return the Pseudo-
Internal Rate of Return and NPV and their Use in Financial Decision Making”, The
Engineering Economist, vol. 22, No. 3, pp. 187-202.
Ochoa, L. F. 1987. Dos casos sobre evaluación de proyectos, monografía de investigación,
Magíster en Administración, Universidad de los Andes, Bogotá.
155

Senju, S. y Toyoda, Y. 1968. “An Approach to Lineal Programming Eith 0-1 Variables”,
Management Science, vol. 15, No. 4, pp. 196-207.
Shull, David M. 1992. “Efficient Capital Project Selection Through a Yield-Based Capital
Budgeting Technique”, The Engineering Economist, vol. 38, No. 1, Fall, pp. 1-18.
Van Horne, James C. 1995. Financial Management and Policy, 11th ed., Prentice Hall, Englewood
Cliffs.
156

4
Problemas especiales de los métodos
Con tu indecisión... envenenaste de dolor mi corazón. Con
tu indecisión... cambiaste tú mi orgullo en humillación.
Indecisión. Bolero, canta Olga Guillot
Es importante tener presente cuáles son las restricciones de los modelos estudiados
hasta ahora. En el capítulo 1 se mencionaron algunos hallazgos de correlación negativa
entre el uso de estas técnicas y el éxito de las firmas. Otra vez se insiste en que en ninguna
forma ese resultado es concluyente, en especial cuando se sabe que todos estos métodos
tienen unas suposiciones muy fuertes. Además, en la práctica, su utilización no tiene en
cuenta esas suposiciones, y, como si fuera poco, en ocasiones se aplican mal. En este
capítulo se estudian con algún detalle problemas adicionales a los mencionados en el
capítulo anterior.
4.1 Tasas de interés no uniformes
En las fórmulas estudiadas hay que suponer que la tasa de interés se mantiene
constante a lo largo de todo el horizonte de planeamiento –período de estudio de la
alternativa–. Desde el capítulo 2 se sabe que esta tasa puede variar con el tiempo, lo cual
significa que para cada período puede existir una tasa de descuento diferente.
En la realidad, cada período tiene una tasa de descuento diferente y en ese caso la
expresión más general sería:
n
∏ ( 1 + i j ) = ( 1 + i 1
)1 ( + i 2
)... 1 + i n
j =1
( )
(4.1)
En lugar de (1+i) n . ∏ significa que todos los elementos se multiplican, por ejemplo:
2
∏ ( 1+
i
j
) = ( 1+
i1
)( 1+
i2
)
j=
1
(4.2)
Esta operación se puede hacer con la función = PRODUCTO (rango) de Excel.
El cálculo del valor presente neto (VPN) es muy fácil de hacer con hojas electrónicas.
Como ya se mencionó, se pueden utilizar las funciones de Excel = VA(i%;n;C;F;tipo),
cuando se trata de cuotas uniformes o sumas futuras, o = VNA(i%;rango), cuando se trata
de flujos de caja no uniformes. Un supuesto en estas funciones y en las estudiadas en el
capítulo anterior es el de considerar que la tasa de descuento i es única y constante a lo
largo de todos los períodos. Este supuesto se puede eliminar, pero entonces ya no se
podrían utilizar las fórmulas y funciones estudiadas.
Para resolver este problema se puede acudir a una hoja electrónica –o incluso a mano,
pero requiere tiempo y cuidado–. Un ejemplo de este tipo de situaciones se encuentra en el
ejercicio 19 del capítulo anterior. A veces será necesario utilizar una opción del menú de
1

Excel: Herramientas. Allí se escoge la opción Buscar objetivo, la cual, utilizada
apropiadamente, puede resolver muchas situaciones. También es posible resolver este tipo
de problemas con la función de Excel = VF.PLAN(P,rango de tasas de interés). Un
ejemplo ilustra esta situación.
La forma más sencilla de resolver este problema es utilizar una fórmula muy sencilla
construida en Excel:
FC + VP
VP =
(4.3)
t
t+
1 t+
1
1 + tdt+
1
Donde VP es el valor presente de todos los flujos futuros a partir del siguiente período;
FC, el flujo de caja del período siguiente al cual se quiere calcular el VP, y td, la tasa de
descuento.
Ejemplo 1
Suponga que un padre de familia desea ahorrar para la matrícula universitaria de su
hijo de 12 años durante toda su carrera de 5 años y que el valor de la matrícula hoy
asciende a $1.200.000 al año. Desea ahorrar siete cuotas iguales anuales a partir de los 13
años de su hijo hasta el primer año de estudios del joven y espera que de ahí en adelante él
haga retiros de la cuenta de ahorros para los pagos de la matrícula y cuando haya pagado la
última, la cuenta quede en cero. El padre debe calcular cuánto va a ser la matrícula durante
los cinco años en que su hijo va a estudiar; para ello proyecta los aumentos en el costo de la
matrícula, año tras año. Lo mismo sucede con las tasas de interés que le pagarán en la
cuenta de ahorros; también calcula esa tasa anual de año en año.
Se debe construir una tabla en Excel de manera que todas las cifras de las últimas
tres columnas dependan de la primera cuota. Esa primera cuota se escribe como un número
cualquiera. En este caso se escribió -1, de manera que se ahorrarían $1.000 anuales.
Obviamente, ahorrando esa suma no podrá acumular lo suficiente para el pago de la
matrícula.
En la tercera columna se calcula el factor de aumento acumulado; por ejemplo, para
el segundo año será 1,25 x 1,22 = 1,5250. De manera que el valor estimado de la matrícula
para ese año será de 1.200 x 1,5250 = 1.830 y así para los demás años. Las tasas de interés
servirán para calcular el factor de VP para cada año. Esto es, qué suma de dinero deberá
depositarse hoy para tener, por ejemplo, en el año 1, un peso, si las tasas de interés son 30%
y 29% anuales para cada uno de los dos primeros años. O sea, 1/[(1,3)x(1,29)] = 0,5963. El
flujo neto será la suma de lo que ahorre (con signo negativo) más lo que debe retirar de la
cuenta para el pago de la matrícula. El valor presente del flujo será lo que resulte de
multiplicar el flujo neto por el factor de valor presente; ese resultado está en pesos del
instante cero, por lo tanto, se pueden sumar. Si la cuenta debe quedar en cero, entonces su
suma deberá ser cero. Evidentemente, con ahorros de $1 no podrá quedar en cero. De
hecho, vale 3.831,37.
Este ejemplo está desarrollado en MATFIN.XLS
2

Año
% de
aumento
de la
matrícula
Factor de
aumento
Valor de la
matrícula en
miles ($)
Tasa de
interés (%)
Factor de
VP
Cuota
uniforme
($)
Flujo neto
($)
VP del
flujo neto
($)
1 25 1,2500 1.500 30 0,7692 -1,00 -1,00 -0,77
2 22 1,5250 1.830 29 0,5963 -1,00 -1,00 -0,60
3 19 1,8148 2.178 28 0,4659 -1,00 -1,00 -0,47
4 16 2,1051 2.526 27 0,3668 -1,00 -1,00 -0,37
5 17 2,4630 2.956 26 0,2911 -1,00 -1,00 -0,29
6 18 2,9063 3.488 25 0,2329 -1,00 -1,00 -0,23
7 19 3,4585 4.150 24 0,1878 -1.00 4.149,22 779,32
8 20 4,1502 4.980 23 0,1527 4.980,26 760,50
9 21 5,0218 6.026 22 0,1252 6.026.12 754,26
10 22 6,1266 7.352 21 0,1034 7.351,86 760,50
11 23 7,5357 9.043 20 0,0862 9.041,79 779,51
3.831,37
Al no sumar cero los valores presentes de los flujos netos, ésa no puede ser la cuota
uniforme. Haciendo uso del concepto equivalencia, ese valor debería ser cero, por lo tanto,
en Excel se utiliza la opción de menú Herramientas y de allí se selecciona Buscar objetivo.
En el cuadro de diálogo se le señala la celda de la suma (3.831,37), se pide que sea igual a
cero y se cambia la celda donde aparece la primera cuota, en este caso el primer valor de -1.
El programa encuentra el valor de esa celda que hace la suma igual a cero. La hoja deberá
tener la siguiente apariencia:
Año
Aumento
(%)
Factor de
aumento
Valor de la Tasa de
matrícula en interés (%)
miles ($)
Factor de
VP
Cuota Flujo neto ($)
uniforme ($)
VP del flujo
neto ($)
1 25 1,2500 1.500 30 0,7692 -1.317,59 -1.317,59 -1013.53
2 22 1,5250 1.830 29 0,5963 -1.317,59 -1.317,59 -784,68
3 19 1,8148 2.178 28 0,4659 -1.317,59 -1.317,59 -613,82
4 16 2,1051 2.526 27 0,3668 -1.317,59 -1.317,59 -483,32
5 17 2,4630 2.956 26 0,2911 -1.317,59 -1.317,59 -383,59
6 18 2,9063 3.488 25 0,2329 -1.317,59 -1.317,59 -306,87
7 19 3,4585 4.150 24 0,1878 -1.317,59 2.831,63 531,04
8 20 4,1502 4.980 23 0,1527 4.980,26 760,50
9 21 5,0218 6.026 22 0,1252 6.026,12 754,26
10 22 6,1266 7.352 21 0,1034 7.351,86 760,50
11 23 7,5357 9.043 20 0,0862 9.041,79 779,51
0,00
El valor encontrado es $1.317,59. Esto significa que deberá ahorrar esa suma
durante los próximos siete años. Observe que se puede construir cualquier clase de patrón:
creciente, decreciente, fijas algunas cuotas, etc., sin necesidad de acudir a las fórmulas
tradicionales. De hecho, no se pueden utilizar porque las tasas son diferentes períodos a
período.
Utilizando la función = VF.PLAN(P,rango de tasas de interés) se construiría una
tabla similar así:
3

Año
Aumento
(%)
Factor de
aumento
Valor de la
matrícula en
miles ($)
Tasa de
interés
(%)
Cuota
uniforme ($)
Flujo neto
($)
VP del flujo neto
($)
1 25 1,2500 1.500 30 -1,00 -1,00 -8,92
2 22 1,5250 1.830 29 -1,00 -1,00 -6,92
3 19 1,8148 2.178 28 -1,00 -1,00 -4,40
4 16 2,1051 2.526 27 -1,00 -1,00 -4,26
5 17 2,4630 2.956 26 -1,00 -1,00 -3,38
6 18 2,9063 3.488 25 -1,00 -1,00 -1,70
7 19 3,4585 4.150 24 -1.00 4.149,22 9.040,61
8 20 4,1502 4.980 23 4.980,26 8.821,23
9 21 5,0218 6.026 22 6.026,12 8.749,92
10 22 6,1266 7.352 21 7.351,86 8.821,23
11 23 7,5357 9.043 20 9.041,79 9.041,79
44.446,21
Al no sumar cero los valores futuros de los flujos netos, ésa no puede ser la cuota
uniforme. Haciendo uso del concepto equivalencia, ese valor debería ser cero; por lo tanto,
en Excel se utiliza la opción de menú Herramientas y de allí se selecciona Buscar objetivo;
en el cuadro de diálogo se le señala la celda de la suma (44.446,21), se pide que sea igual a
cero y se cambia la celda donde aparece la primera cuota, en este caso el primer valor de -1.
El programa encuentra el valor de esa celda que hace la suma igual a cero. La hoja deberá
tener la siguiente apariencia.
Año
Aumento
(%)
Factor de
aumento
Valor de la
matrícula ($)
Tasa de
interés (%)
Cuota
uniforme ($)
Flujo neto ($) VF del flujo
neto ($)
1 25 1,2500 1.500 30 -1.317,59 -1.317,59 -11.757,58
2 22 1,5250 1.830 29 -1.317,59 -1.317,59 -9.114,40
3 19 1,8148 2.178 28 -1.317,59 -1.317,59 -7.120,63
4 16 2,1051 2.526 27 -1.317,59 -1.317,59 -5.606,79
5 17 2,4630 2.956 26 -1.317,59 -1.317,59 -4.449,84
6 18 2,9063 3.488 25 -1.317,59 -1.317,59 -3.559,87
7 19 3,4585 4.150 24 -1.317,59 2.831,63 6.171,93
8 20 4,1502 4.980 23 4.980,26 8.821,23
9 21 5,0218 6.026 22 6.026,12 8.749,92
10 22 6,1266 7.352 21 7.351,86 8.821,23
11 23 7,5357 9.043 20 9.041,79 9.041,79
0,00
El valor encontrado es $1.317,59. Esto significa que deberá ahorrar esa suma
durante los próximos siete años. Observe que se puede construir cualquier clase de patrón:
creciente, decreciente, fijas algunas cuotas, etc., sin necesidad de acudir a las fórmulas
tradicionales.
De hecho, no se pueden utilizar porque las tasas son diferentes, período a período.
4.2 Períodos de diferente longitud
En todas las fórmulas estudiadas hasta ahora se ha considerado que los períodos
deben ser iguales, por ejemplo, meses, días, años, etc. Excel tiene la posibilidad de eliminar
el supuesto que se hizo al comienzo sobre la igualdad de los períodos. Esto es, que se puede
calcular el VPN o la tasa interna de rentabilidad (TIR) aun cuando los períodos son
desiguales y sólo es necesario indicar la fecha. Para esta operación se utilizan las opciones
de Pegar función o Asistente de funciones en versiones anteriores a Excel 97, y allí las
funciones = VNA.NO.PER(tasa;valores;fechas) y = TIR.NO.PER.(valores;fechas;estimar) 1
1 Hay que tener tres precauciones con el uso de estas funciones: (1) utilizar fechas con formato fecha; (2)
mantener el orden cronológico en la hoja de Excel, y (3) en caso de utilizar la función del día presente para
introducir la fecha actual, emplee = HOY() y no = AHORA(). Esta última función incluye fracción del día
según la hora, y Excel debe contar días completos.
4

después de haber introducido las nuevas funciones con Herramientas, como se indicó
arriba. La tasa que se utiliza en VNA.NO.PER es anual. A continuación un ejemplo.
Para una tasa de 22%, calcule el VPN del siguiente flujo:
Ejemplo 2
Fecha Flujo de caja ($)
1-mar-95 -1.000
4-mar-95 25
31-mar-95 23
22-abr-95 22
23-jul-95 1.020
VPN 11,01
= VNA.NO.PER(22%,rango de valores,rango de fechas).
Sólo cuando el tiempo entre las fechas es de 365 días, el VPN que se obtiene con
esta función es el mismo que el obtenido con =VNA(i;rango)–P, como se indicó arriba.
Esto significa que esta fórmula, utilizando intervalos de 365 días en las fechas, se puede
utilizar para calcular el VPN de manera directa. Obsérvese que puede utilizarse de esa
manera para cualquier período (año, mes, trimestre) y lo único que se debe hacer es utilizar
la tasa de interés adecuada.
Para una tasa de 2%, calcule el VPN:
Ejemplo 3
Fecha Flujo de caja ($)
3-mar-95 -1.000
2-mar-96 200
2-mar-97 300
2-mar-98 500
2-mar-99 120
1-mar-00 250
1-mar-01 1.200
VNA.NO.PER $53,64
VPN = VNA(i;Rango de valores)–P = $53,64
= VNA.NO.PER(i;Rango de valores;Rango de fechas)
La fórmula que Excel utiliza es la siguiente:
VPN
=
N
j
∑
( ) ( f − f )
j=
1
P
1+
tasa
j 1
365
(4.4)
Donde:
5

P j = flujo de caja de la fecha j
tasa = tasa de descuento
j = número de orden de la fecha
f j = fecha j
f 1 = primera fecha
N = Número de fechas
Para el cálculo de la TIR, Excel ofrece la siguiente función:
= TIR.NO.PER.(valores;fechas;estimar)
La tasa que calcula TIR.NO.PER es efectiva anual. A continuación un ejemplo.
Para una tasa de 22%, calcule la TIR:
Ejemplo 4
Fecha Flujo de caja ($)
1-mar-95 -1.000
4-mar-95 25
31-mar-95 23
22-abr-95 22
23-jul-95 1.020
TIR = TIR.NO.PER(rango de valores; rango de fechas; 3%) = 24,97%. Sólo cuando
el tiempo entre las fechas es de 365 días, entonces la TIR que se obtiene con esta función es
la misma que la obtenida con = TIR(rango; i semilla), como se indicó arriba.
Para una tasa de 25%, calcule la TIR:
Ejemplo 5
Fecha Flujo de caja ($)
3-mar-95 -1.000
2-mar-96 200
2-mar-97 300
2-mar-98 500
2-mar-99 120
1-mar-00 250
1-mar-01 1.200
TIR = TIR(rango de valores) = 26,83%
TIR = TIR.NO.PER(Rango de valores;Rango de fechas) = 26,83%. La fórmula que
Excel utiliza es la siguiente:
6

N
Pj
VPN = ∑
(4.5)
j=
1
( ) ( ) = 0
f j − f
1+
TIR
1
365
Donde:
P j = flujo de caja de la fecha j
TIR = tasa interna de rentabilidad
j = número de orden de la fecha
f j = fecha j
f 1 = primera fecha
N = número de fechas
4.3 Métodos que coinciden con el VPN
El problema de la contradicción entre los métodos TIR, relación beneficio-costo
(RB-C) y VPN es ampliamente reconocido en los diversos estudios sobre el tema (Bacon,
1977; Beidleman, 1984; Canada y White, 1980; Fleischer, 1966; Grant y Ireson, 1960;
Lorie y Savage, 1954, y Oakford, Baimjee y Jucker, 1977). El tema no ha sido tratado de
manera adecuada en los textos tradicionales de finanzas.
Aquí se presenta una alternativa para resolver el problema, basada en una
aproximación del autor de 1979 (véase Vélez, 1979) y en una propuesta de David M. Shull
(1991).
Para ilustrar la situación, se presenta un ejemplo.
Ejemplo 6
Se va a tomar el ejemplo de Fleischer (1996): un inversionista tiene una tasa de
descuento de 5% anual y se tienen dos alternativas mutuamente excluyentes A y B con las
siguientes características.
Alternativa Inversión ($) Flujos de caja
anuales ($)
Vida esperada
Valor final del
proyecto ($)
A 20.000 3.116 10 años 0
B 10.000 1.628 10 años 0
Capital disponible: $20.000.
Al hacer los cálculos se encuentran los siguientes indicadores:
VPN A (5%) = $4.060,95 TIR A = 9,00% y RB/C A = 1.203
VPN B (5%) = $2.570,98 TIR B =10,01% y RB/C B = 1.257
Aquí se ve una clara contradicción entre el VPN y los otros métodos.
Este ejemplo está en VPNTIR.XLS.
Esta contradicción ocurre por las diferentes suposiciones implícitas de los diferentes
métodos. En particular, cuando se está calculando el VPN, se deben tener en cuenta las
suposiciones implícitas en el método del VPN, las cuales son:
7

1. Los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a
la tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN, aun más allá de la vida del
proyecto, si el caso incluye alternativas con vidas diferentes (esto supone que la tasa
de descuento es la de oportunidad). Esta suposición no es más que el
reconocimiento de la actividad cotidiana de tesorería en las empresas. Ésta consiste
en velar por que los fondos disponibles se mantengan productivos, ya sea en nuevos
proyectos o en actividades rentables (bonos, cuentas de ahorros, etc.).
2. La diferencia entre la suma invertida en una alternativa y el valor de la
alternativa más costosa o de la cifra límite que se disponga, según el caso, se
invierte a la tasa de descuento utilizada para calcular el VPN.
En el caso de la TIR se supone que la reinversión se hace a la misma TIR y nada
dice acerca de la diferencia o fondos sobrantes. De hecho, la TIR es ciega al monto de la
inversión.
En el caso de la RB-C, se supone que la reinversión se hace a la misma tasa de
descuento, pero también es ciega al monto de la inversión.
4.3.1 La tasa interna de rentabilidad ponderada (TIRP)
Para aquellos que insisten en utilizar la TIR para decidir entre alternativas o para
ordenarlas, se propone aquí un método que simplemente involucra explícitamente las
suposiciones del VPN en el cálculo de rentabilidad. Este método o índice que se propone se
podría llamar tasa interna de rentabilidad ponderada (TIRP).
Con este procedimiento se elimina la contradicción entre el VPN y la TIR; así
mismo, sirve para eliminar el problema de las múltiples TIR.
En la literatura sobre el tema se encuentran intentos de redefinir la TIR haciendo
explícita la primera suposición del VPN, pero no se tiene en cuenta la segunda, tal vez por
lo que no tiene efecto en el cálculo del VPN. En ediciones anteriores se presentó un modelo
que aparentemente resolvía este problema; sin embargo, se presentaban casos donde se
mantenía la contradicción entre VPN y TIR.
Echeverri (1987), al simular 68 casos donde se presentaba inconsistencia entre la
TIR y el VPN, encontró que la TIR ponderada produjo los mismos ordenamientos que los
del VPN; sin embargo, años después, con la opción Buscar objetivo de Excel, se halló que
no siempre se mantenía esta consistencia. Esto ocurría porque se hacía una ponderación
simple, basada en los montos invertidos, como se hace con la RB-C, para la cual sí
funciona. La solución adecuada es simple y la presenta David M. Shull (1991), y es la que
se incluye en este texto. Para ilustrar el procedimiento se procede a presentar un ejemplo.
Ejemplo 7
Ahora se incluirán con los datos del Ejemplo 4, una a una, las dos suposiciones del
VPN, así:
Alternativa Inversión ($) Flujos de caja
anuales ($)
Vida
Esperada
Valor final
del proyecto (valor de
mercado o valor de
salvamento) ($)
A 20.000 3.116 10 años 0
B 10.000 1.628 10 años 0
8

Como se indicó en el Ejemplo 4, hay una contradicción en el ordenamiento por TIR
y por VPN, así:
VPN A (5%) = $4.060,95 TIR A = 9,00% y B/C A = 1,203
VPN B (5%) = $2.570,98 TIR B = 10,01% y B/C B = 1,257
Ahora se van a incluir las dos suposiciones del VPN, de manera explícita en el
cálculo de la TIR.
Primera suposición: los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se
reinvierten a la tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN, aun más allá de la
vida del proyecto, si el caso incluye alternativas con vidas diferentes.
Si se reinvierten los fondos generados por el proyecto durante los 10 años de vida
esperada, se tendrá una determinada suma de dinero al final de los 10 años. Con este valor
final se puede calcular una TIR. Algunos autores la llaman verdadera rentabilidad o como
se le llama aquí, tasa interna de rentabilidad generalizada (TIRG) o tasa interna de
rentabilidad con reinversión. En Excel se denomina TIR modificada (TIRM).
Para la alternativa A: en el período t = 0 se invierten $20.000 y al reinvertir los
fondos generados por el proyecto a la tasa de oportunidad (5%), al final de los 10 años en t
= 10, se obtendrán $39.192,71. Este flujo modificado produce una TIRG de 6,96%.
Para la alternativa B: en el período t = 0 se invierten $10.000 y al reinvertir los
fondos generados por el proyecto a la tasa de oportunidad (5%) se obtendrá al final de los
10 años en t = 10, $20.476,81. Este flujo modificado produce una TIRG de 7,43%.
Aquí se puede ver que al incluir únicamente la primera suposición no se elimina la
discrepancia de los dos métodos. Falta la segunda suposición.
Segunda suposición: la diferencia entre la suma invertida y el valor de la alternativa
más costosa o de la cifra límite de que se disponga, según el caso, se invierte a la tasa de
descuento utilizada para calcular el VPN.
Esto supone que la tasa de descuento es la tasa de oportunidad.
En este ejemplo, cuando se invierte en la alternativa B, quedan fondos disponibles;
estos fondos se pueden invertir, por lo menos a la tasa de oportunidad. Al calcular el VPN
de la alternativa B, se está suponiendo precisamente que se invierten a esa tasa de
oportunidad. Lo que sucede es que el VPN de una suma invertida para que produzca una
rentabilidad de i% y descontada a esta tasa de interés es la misma cifra que se invirtió; por
lo tanto, su VPN es cero.
De este modo, la inversión en B se puede considerar compuesta de dos partes: una
que se encuentra invertida a la TIRG y otra que se halla invertida a la tasa de oportunidad
(tasa de descuento).
Esto conduce a la siguiente propuesta, que es muy simple:
Calcule una tasa de rentabilidad que pondere las dos partes que componen cada
inversión. Los fondos invertidos a cada tasa de rentabilidad indicarían el peso de cada una
de ellas. Esta ponderación se obtiene calculando la TIR del flujo de caja compuesto de las
dos inversiones 2 :
2 Este enfoque de combinar los dos flujos de caja se le debe a Shull (1991).
9

⎛ VF + ⎞ n
I
VFK
−I
TIRP = ⎜
⎟ − 1 (4.6)
⎝ K ⎠
Donde:
TIRP = tasa interna de rentabilidad ponderada
VF I = valor futuro de los fondos reinvertidos a la tasa de descuento
VF K–I = valor futuro del excedente invertido a la tasa de descuento
I = inversión inicial
K = cantidad de dinero disponible
Numéricamente se tiene:
Año Alternativa A Flujo total ($) Alternativa B Excedente Flujo total ($%)
(I) ($)
(I) ($) K-I ($)
0 -20.000 -20.000 -10.000 -10.000 -20.000
1 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0
8 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0
10 39.192,71 39.192,71 20.476,81 16.288,95 36.765,76
TIRpond 6,96% 6,28%
Con este índice sí se pueden ordenar las alternativas y los resultados coinciden con
los del método del VPN. La mejor alternativa es la A, lo cual coincide con el ordenamiento
por VPN. Además, como se mencionó antes, se elimina el problema de las múltiples TIR.
Es muy importante aclarar que la TIR ponderada es sólo un índice para ordenar o
seleccionar alternativas; no indica valores de rentabilidad del dinero en determinada
alternativa. La rentabilidad del dinero, mientras se encuentra invertido en una alternativa, la
mide la TIR. Ni siquiera la TIRG indica el verdadero rendimiento del dinero mientras se
encuentra invertido en ella, pues precisamente supone que al disponerse de los fondos
liberados por el proyecto, éstos se invierten fuera de éste, a la tasa de oportunidad.
Este método es aplicable aun en los casos en que se invierte durante más de un
período. En este caso se considerarán los excedentes que existan en cada período de
inversión. Esto se estudia en VPNTIR.XLS.
1
4.3.2 Relación beneficio-costo ampliada
Otro procedimiento para eliminar la discrepancia que se presenta entre el
ordenamiento según la relación beneficio-costo (RB-C) y el VPN consiste en incluir
explícitamente las suposiciones del VPN en el cálculo del índice.
Como al calcular el valor presente de los flujos de caja positivos y de los flujos de
caja negativos se está suponiendo implícitamente que la reinversión se realiza a la tasa de
descuento, sólo falta por incluir la segunda suposición, relacionada con los fondos
restantes.
10

Para llevar a cabo esto se debe recordar que el valor presente de una suma de dinero
invertida a la tasa de descuento i y descontada a la misma tasa de interés es la misma suma
invertida. Utilizando la misma notación de la rentabilidad ponderada se tiene:
RB - CA
VP
=
VP
beneficios
costos
+ ( K − I )
+ ( K − I)
(4.7)
Donde:
RB-CA = relación beneficio-costo ampliada
K = cantidad de dinero disponible
I = inversión en la alternativa que se estudia
VP beneficios = valor presente de los flujos de caja positivos a la tasa de descuento
VP costos = valor presente de los costos a la tasa de descuento
En el mismo ejemplo, se tiene:
Ejemplo 8
VPNA(5%) = $4.060,95 y RB-CA = 1,203
VPNB(5%) = $2.570,98 y RB-CB = 1,257
Como se puede observar, se presenta discrepancia entre los dos criterios. Al incluir
la suposición que hace falta, se tiene:
RB − CA
A
RB − CA
B
24.060,95
= = 1,203
20.000
12.570,98 + 10.000
=
= 1,129
20.000
Como RB-CAA>RB-CAB, entonces, A se prefiere a B, lo cual coincide con el
ordenamiento del VPN.
Con esta modificación, la RB-C ampliada podrá utilizarse para el ordenamiento de
alternativas y producir los mismos resultados del VPN y de la TIR ponderada. Ochoa
(1987) también encontró que esta RB-C ampliada produce los mismos ordenamientos que
el VPN. Este método es aplicable aun en los casos en que se invierte durante más de un
período. En este caso se considerarán los excedentes que existan en cada período de
inversión.
4.3.3 Métodos incrementales
Para resolver el problema de las contradicciones que se presentan en los
ordenamientos por VPN, TIR y RB-C se proponen también los métodos incrementales,
pero requieren múltiples comparaciones por pares.
11

4.3.3.1 Tasa interna de rentabilidad incremental
Considérese el caso de una nueva alternativa (A-B), definida a partir de las
alternativas A y B y que se ilustra en la Gráfica 4.1.
Gráfica 4.1 Alternativa incremental A-B
3 .0 0
2 .0 0
1 .0 0
V P N
0 .0 0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0
( 1 .0 0 )
( 2 .0 0 )
( 3 .0 0 )
i
Según ésta, la inversión adicional en A va a producir flujos de caja que, descontados
a diferentes tasas de descuento, producen un VPN positivo. En estas condiciones, falta
determinar si la inversión adicional (A-B) se acepta o se rechaza a la tasa de descuento
apropiada. Como la decisión es aceptar o rechazar, se puede utilizar el método de la TIR; la
TIR incremental es i*; si ésta es mayor que la tasa de descuento, entonces se debe aceptar la
inversión (A-B) o, lo que es lo mismo, que A es mejor que B.
Para entender este concepto recuérdese que tanto A como B son alternativas
justificables, lo cual quiere decir que cada una de ellas produce flujos de caja al decisor. Se
puede considerar que la alternativa A está compuesta de dos partes o alternativas parciales:
una igual a B y un exceso, tanto en inversión como en flujos de caja; por lo tanto, como A
ya es aceptable, entonces sólo resta determinar si el exceso es o no aceptable. Este exceso
es precisamente la inversión incremental (A-B).
Al analizar la alternativa (A-B) realmente se está estudiando la realización de la
inversión extra que implica optar por la alternativa A. Se debe observar aquí que al realizar
la resta de los flujos de las alternativas A y B, las sumas correspondientes a la inversión
adicional no necesariamente se van a encontrar ubicadas en el instante cero.
Esta gráfica se refiere a la Gráfica 3.2 (capítulo anterior) en la que se indican las
alternativas A y B. Para ilustrar los conceptos anteriores y el procedimiento para calcular la
rentabilidad incremental se presenta otra vez el ejemplo de Fleischer (1996), donde ocurre
esta contradicción entre los métodos.
Ejemplo 9
Se tienen dos alternativas mutuamente excluyentes A y B con las siguientes
características (Fleischer, 1966).
12

Alternativa Inversión ($) Flujos de caja
anuales ($)
Vida esperada
Valor final del proyecto
(valor de mercado o de
salvamento) ($)
A 20.000 3.116 10 años 0
B 10.000 1.628 10 años 0
Capital disponible $20.000
Al hacer los cálculos se encuentra que las tasas internas de rentabilidad son:
TIR A = 9,00%
TIR B = 0,01%
Si la tasa de descuento aceptable (tasa de oportunidad) es del 5%, entonces estas dos
alternativas son justificables. Los VPN calculados al 5% son:
VPN (5%) = $4.060,95 para la alternativa A.
VPN (5%) = $2.570,98 para la alternativa B.
Según el método del VPN, la mejor alternativa es la A. Si, incorrectamente, se trata
de utilizar el método de la TIR, se hallará una contradicción con el método VPN. Según el
método de la TIR, la mejor alternativa sería la B, y según el VPN, la mejor es la A.
Esta dificultad se puede obviar calculando la TIR de la inversión (A-B) y
comparándola con 5%. Del ejemplo, entonces se tiene:
Alternativa Inversión ($) Flujos de caja
anuales ($)
Vida
esperada ($)
Valor final del proyecto
(valor de mercado o de
salvamento) ($)
(A-B) 10.000 1.488 10 años 0
Los cálculos de la rentabilidad indican que la TIR incremental es:
TIR (A-B) = 7,97%
Como 7,97% es mayor que 5%, entonces se debe aceptar la inversión incremental o,
lo que es lo mismo, se debe aceptar la alternativa A.
Si se hubiera calculado el VPN (5%) de la alternativa incremental el resultado
hubiera sido igual, esto es:
VPN (A-B) (5%) = $1.489,94
Por lo tanto, la inversión incremental es aceptable y se llega a la misma decisión.
En este ejemplo se puede observar que el método de la TIR incremental produce las
mismas decisiones que el método del VPN.
Cuando se tienen muchas alternativas para ordenar, se deben efectuar cálculos de
TIR incremental por pares para lograr, bajo el supuesto de transitividad, un ordenamiento
adecuado.
Si se hace a mano, esto puede resultar engorroso; sin embargo, el acceso a
calculadoras y computadoras hacen eficiente este trabajo.
13

Aunque los cálculos involucrados no son una limitación, al formar la alternativa
incremental, se pueden producir flujos de caja que pueden originar múltiples TIR,
inmanejables adecuadamente por el método establecido. Así mismo, este método tampoco
tendrá sentido en el caso general de diversidad de tasas de descuento a lo largo de la vida
del proyecto.
Como se puede deducir, este método es obsoleto para resolver el problema de las
contradicciones entre el VPN y la TIR. Más aún, es inútil.
Si la persona que tiene que recibir la información sobre la evaluación de las
alternativas conoce el tema financiero, no será necesario hacer todo esto, ya que entiende
bien que el VPN resuelve el problema. Si no sabe de finanzas, explicarle el concepto de
rentabilidad incremental será más difícil que explicar el VPN. Por otro lado, ya se presentó
una solución sencilla con la TIR ponderada.
Ahora bien, la idea de la TIR incremental se puede aprovechar de la siguiente
manera: como esa TIR indica el punto donde la decisión cambia –en la Gráfica 4.1 se
escoge a la alternativa A si la tasa de descuento es menor que la TIR incremental y a la
alternativa B si es mayor–, entonces ese valor permite eludir el cálculo preciso de la tasa de
descuento que, como se estudiará en el capítulo 5, presenta serios problemas.
Sólo es necesario calcular la tasa de descuento y determinar si esa tasa es mayor o
menor que la TIR incremental y así se escogería, por ejemplo, entre A y B.
4.3.3.2 La relación beneficio-costo incremental
Una forma de considerar explícitamente la suposición faltante del VPN es tomar en
cuenta la inversión incremental. Esto es, generar la inversión y los flujos de caja
incrementales y a esta nueva alternativa calcularle la RB-C.
Ejemplo 10
Año A ($) B ($) (B-A) ($)
0 -1.000 -2.500 -1.500
1 400 200 -200
2 400 700 300
3 400 1.200 800
4 400 2.000 1.600
La RB-C para cada una de las alternativas es:
RB-CA(10%) = [400/(1,1)+400/(1,1)2+400/(1,1)3+2400/(1,1)4]/1.000 = 1.267,9/1.000 =
1,2679
RB-CB(10%) = [200/(1,1)+700/(1,1)2+1.200/(1,1)3+1.000/(1,1)4]/1.500 = 3.027,93/1.500
= 1,21
14

B.
Si se ordenan por RB-C se decidirá por A; si se ordenan por VPN, la decisión será
Al hacer el análisis incremental se tiene:
Flujos de caja positivos incrementales a la tasa de 10%
B(10%) = 300/(1,1)2+800/(1,1)3+1.600/(1,1)4 = 1.941,81
Los costos incrementales a la tasa de 10% son:
C(10%) = 1.500+200/(1,1) = 1.681,82 y la RB-C(B-A) = 1,15
Lo cual indica que la inversión incremental se justifica y, por lo tanto, B se debe
preferir a A. Y esto concuerda con el método del VPN.
Volviendo al ejemplo de Fleischer utilizado arriba, se tiene:
RB-C(5%)A = 1,203 RB-C (5%)B = 1,257 TIRA-B = 1,14
Por lo tanto, A es mejor que B. Según el ordenamiento de acuerdo con este índice,
se debe preferir la alternativa A. El método del VPN indica exactamente lo mismo.
La RB-C es igual a 1, cuando la tasa de descuento utilizada es igual a la tasa interna
de rentabilidad incremental.
Nótese que los flujos de caja incrementales positivos son distintos a la diferencia
entre los flujos de caja positivos de las alternativas comparadas; lo mismo ocurre con los
flujos de caja negativos incrementales, que son distintos a la diferencia entre los flujos de
caja negativos de las alternativas comparadas. Aquí, flujos de caja positivos y flujos de caja
negativos deben entenderse como fueron definidos dentro del contexto de la RB-C.
En la siguiente tabla se indica para cuáles procesos de evaluación sirve cada uno de
estos métodos.
Método
Justificación
de
alternativas
Ordenamiento
de alternativas
Tabla 4.1
Observaciones
1. TIR incremental 1. Adecuado 1. Adecuado 1 Iguales a las del método de la TIR
2. TIR ponderada 2. Adecuado 2. Adecuado 2. No indica la verdadera rentabilidad del proyecto
3. RB-C ampliada 3. Adecuado 3. Adecuado 3. No indica la rentabilidad del proyecto
4. RB-C incremental 4. Adecuado 4. Adecuado 4. Si existen muchas alternativas puede ser engorroso el análisis
4.4 Múltiples tasas internas de rentabilidad
Para analizar esta situación se debe distinguir entre alternativa de inversión
convencional y alternativa de inversión no convencional. Una inversión de tipo
convencional es aquella que tiene uno o más períodos de flujos de caja positivos después de
uno o más períodos de inversión. Una inversión es no convencional cuando tiene períodos
alternados de inversión y períodos de flujos de caja positivos.
Gráficamente se puede representar en la siguiente forma:
15

Convencional
No convencional
En estas gráficas, como se había indicado, las flechas hacia abajo significan un flujo
de caja identificable con un sacrificio de recursos y las flechas hacia arriba significan un
flujo de caja positivo.
La clasificación de las inversiones en convencionales y no convencionales puede
ampliarse ahora para indicar si una inversión es pura o mixta.
La TIR no es más que una de las raíces de un polinomio de grado n, ya que lo que se
busca es aquel valor de i para el cual el VPN de una inversión es igual a cero.
Matemáticamente se puede establecer que un polinomio de grado n puede presentar los
siguientes casos:
1. No existe raíz real para el polinomio.
2. Existe una raíz real para este polinomio.
3. Existen múltiples raíces reales.
Cuando ocurre una inversión de tipo no convencional y, además, es mixta, se puede
presentar el caso 3. Parece que esta posibilidad de inversiones con flujos no convencionales
se puede presentar en la industria extractiva, donde cerrar una mina puede ser tan costoso
que el flujo resultaría negativo. También existe la posibilidad de que al efectuar el cálculo
para hallar la inversión incremental se genere un flujo de caja no convencional, aunque los
originales sean convencionales.
Las múltiples TIR plantean algunas preguntas como: ¿cuál de las múltiples tasas se
debe escoger? Si se desea aceptar o rechazar una inversión, ¿qué debe hacerse cuando la
tasa de descuento se encuentra entre dos tasas de rentabilidad? ¿Qué sentido económico
tiene esta situación? Para ilustrar la posibilidad de encontrar múltiples TIR se reproduce un
ejemplo modificado a partir del que presenta Infante, 1989.
Ejemplo 11
Se tienen dos alternativas A y B con los siguientes datos:
Inversión Año 0 Año 1 Año 2
A $ -354.700 557.000 60.000
B $ -127.700 20.000 374.000
A-B $ -228.000 537.000 -314.000
16

Las inversiones A y B son convencionales, pero A-B no lo es. Un análisis de TIR,
usando Excel, indica que la inversión incremental tiene dos TIR:
TIR(A-B) = 7,96% y 27,57%
Si la tasa de oportunidad fuera 15%, ¿se acepta o se rechaza la alternativa
incremental A-B? Este método no responde a esta pregunta, pero el VPN al 15% indica que
se debe aceptar, pues su valor es de $1.527,41.
Existen varios procedimientos para resolver el problema de las múltiples tasas de
rentabilidad: uno lo presentan Teichroew, Robicheck y Montalbano (TRM) (1965); otro,
Mao (1969) y Grant e Ireson (1960), y uno más, Canada y White (1980). En particular, la
solución de TRM (1965) es extremadamente compleja. En este texto se ofrecen dos
alternativas adicionales de solución.
Una forma de resolver el problema consiste en descontar los flujos más lejanos a
la(s) tasa(s) de descuento hasta un período en que no ocurran flujos no convencionales. Con
este proyecto modificado se calcula la TIR. En este capítulo se estudió la TIR ponderada,
que es otro método propuesto que elimina el problema de las múltiples tasas de rentabilidad
y la contradicción con el VPN.
Ochoa (1987) diseñó una simulación de 400 inversiones con múltiples tasas internas
de retorno y encontró que los procedimientos de Mao (1969), TRM (1965) y el propuesto
aquí producen los mismos resultados en cuanto a la decisión que se debe tomar; por esta
razón se considera que el algoritmo propuesto o la TIR ponderada debe ser utilizado debido
a su sencillez y confiabilidad.
4.5 Resumen
En este capítulo se han presentado métodos alternos para resolver el problema de las
tasas de interés no uniformes y períodos no uniformes; también se estudiaron métodos para
resolver las contradicciones entre el VPN y la TIR: la TIR ponderada y la RB-C ampliada;
también se ofrece una metodología para resolver el problema de las múltiples tasas de
rentabilidad. La TIRP resuelve también el problema de las múltiples tasas de rentabilidad.
Se presenta una metodología para involucrar aspectos no cuantificables en el análisis de
alternativas de inversión.
4.6 Ejercicio de autocorrección
Halle la TIRP y la RB-C ampliada. Así mismo, haga el análisis incremental de estas
alternativas. Las cifras están en pesos. La tasa de descuento es 12%.
t 1 ($) 2 ($) 3 ($) 4 ($)
0 -1.000 -3.000 -2.500 -1.000
1 400 0 200 0
2 400 400 700 0
3 400 1.600 1.200 0
4 400 2.900 2.000 1.800
17

4.7 Solución al ejercicio de autocorrección
Para la TIRP se debe hacer la reinversión a la tasa de descuento e invertir el excedente
hasta el máximo valor disponible (K-I), a la tasa de descuento y encontrar el flujo
combinado. Con ese flujo combinado se calcula la TIR y ésa es la TIRP.
Para la alternativa 1:
t I de alternativa 1 ($) K-I de alternativa 1 ($) Total ($)
0 -1.000 -2.000 -3.000
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 1.911,73 3.147,04 5.058,77
TIRP 13,95%
Para la alternativa 2:
t I de alternativa 2 ($)
0 -3.000
1 0
2 0
3 0
4 5.193,76
TIRP 14,71%
Para la alternativa 3:
t I de alternativa 3 ($) K-I de alternativa 3 ($) Total ($)
0 -2.500 -500 -3.000
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 4.503,07 786,76 5.289,83
TIRP 15,23%
Para la alternativa 4:
18

t I de alternativa 4 ($) K-I de alternativa 4 ($) Total ($)
0 -1.000 -2.000 -3.000
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 1.800 3.147,04 4.947,04
TIRP 13,32%
Alternativa TIRP (%) Orden
1 13,95 III
2 14,71 II
3 15,23 I
4 13,32 IV
Este orden 3, 2, 1 y 4 coincide con el del VPN.
Relación RB/C A
De los cálculos anteriores se tiene:
VP costos 3.000,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00
VP beneficios 3.214,94 3.300,73 3.361,78 3.143,93
RB-C ampliada 1,07 1,10 1,12 1,05
VPN $ 214,94 $ 300,73 $ 361,78 $ 143,93
Alternativa RB/CA Orden
RB/C A1 (12%) = 1,07 III
RB/C A2 (12%) = 1,10 II
RB/C A3 (12%) = 1,12 I
RB/C A4 (12%) = 1,05 IV
Este orden también coincide con el del VPN y la TIR ponderada.
Con los criterios incrementales hay que elaborar la siguiente tabla, para poder establecer la
transitividad adecuada.
19

Análisis incremental
Alternativas
t (2-3) $ (3-1) $ (4-1) $ (2-4) $ (2 -1) $
0 - 500 - 1.500 0 - 2.000 - 2.000
1 -200 -200 -400 0 -400
2 -300 300 -400 400 0
3 400 800 -400 1.600 1.200
4 900 1.600 1.400 1.100 2.500
El cálculo con las funciones de Excel resulta en lo siguiente:
Cálculo de la TIR incremental
(2-3) (3-1) (4-1) (2-4) (2 -1)
9,41% 14,87% 7,91% 14,70% 13,15%
= TIR(rango t = 0 a t = 4), para cada alternativa
Cálculo de la relación beneficio-costo incremental
C = VP C2-3
(12%) = 500+200xfactor(F→P,1,12%)+300xfactor (F→ P,1,12%) = 917,73
B = VP B2-3
(12%) = 400xfactor(F→P,3,12%)+900×factor (F→P,4,12%) = 856,68
RB-C 2-3
(12%) = 0,93
C = VP C3-1
(12%) = 1.500+200×factor(F→P,1,12%) = 1.678,57
B = VP B3-1
(12%) =
200×factor(F→P,2,12%)+800×factor(F→P,3,12%)+1.600xfactor(F→P,4,12%) = 1.825,41
RB-C 3-1
(12%) = 1,09
C = VP C4-1
(12%) =
0+400xfactor(F→P,1,12%)+400xfactor(F→P,2,12%)+400×factor(F→P,3,12%) = 960,73
B = VP B4-1
(12%) = 1.400xfactor(F→P,4,12%) = 889,73
RB-C 4-1
(12%) = 0,93
C = VP C2-4
(12%) = 2.000
B = VP B2-4
(12%) =
400xfactor(F→P,2,12%)+1.600×factor(F→P,3,12%)+1.100xfactor(F→P,4,12%) = 2.156.80
RB-C 2-4 (12%) = 1,08
C = VP C2-1
(12%) = 2.000+400xfactor(F→P,1,12%) = 1.357,14
B = VP B2-1
(12%) = 1.200xfactor(F→P,3,12%)+2.500xfactor(F→P,4,12%) = 1.442,93
RB-C 2-1
(12%) = 1,04
20

Factor (2-3) (3-1) (4-1) (2-4) (2-1)
Rentabilidad
incremental
9,41% 14,87% 7,91% 14,70% 13,15%
RB-C incremental 0,93 1,09 0,93 1,08 1,04
Ordenamiento 3>2 3>1 1>4 2>4 2>1
El ordenamiento según los criterios incrementales es 3>2>1>4, que coincide con el ordenamiento
del VPN.
4.8 Ejercicios
1) Explique por qué el VPN debe calcularse con tasas de interés que cambian de período a
período.
2) ¿Qué es la tasa interna de rentabilidad (TIR) incremental de una inversión? Explique la lógica
de su utilización.
3) Un proyecto cuesta $10.000 y promete los siguientes flujos de caja al final de cada período:
$4.000, $4.000, $3.000 y $1.000. Si la tasa de descuento es de 10%, ¿se debe aceptar este
proyecto? ¿Cuál es la TIR? ¿Cuál es el VPN al 10%? ¿Coinciden ambos criterios? ¿Por qué?
Compare esa solución con la que obtendría si aplica el análisis de la TIRP.
4) Considere los proyectos descritos a continuación:
Proyecto
Flujo de caja ($)
C D E
0 -1.000 +1.000 -1.600
1 +1.100 -500 +10.000
2 -180 +660 -10.000
3 +840 -1.800 0
a) ¿Cuál es el VPN al 0%? ¿Cuál es el VPN para una tasa infinita de descuento? ¿Cuál es la
TIR de cada proyecto? ¿Cuál es el mejor proyecto a la tasa de descuento de 30%? ¿Podría
usted ordenar esos proyectos por su TIR?
b) ¿Cuáles de estas alternativas son convencionales? ¿Cuáles son puras? ¿Cuáles son mixtas?
Si hay alguna mixta, utilice un procedimiento para encontrar la decisión correcta.
c) ¿Cuál sería el análisis con la TIRP? ¿Cuál sería el análisis con la TIR incremental?
5) ¿Cuál es el VPN al 10% de los siguientes flujos de caja? Ordénelos según el VPN.
Alternativa en ($)
Período
0 1 2 3 4 5
A -1.000 100 100 100 100 100
B -1.000 264 264 264 264 264
C -1.000 1.762
a) Calcule la TIR incremental del flujo B-C.
b) Calcule la TIR ponderada de cada alternativa. ¿Coincide con el ordenamiento del VPN?
21

6) Un inversionista es socio en diferentes negocios pequeños. Su práctica es suministrar un 50%
del capital para nuevos negocios, potencialmente promisorios, a cambio de un 50% de las
utilidades. Uno de sus socios le ha propuesto que invierta capital adicional en la planta para
reducir los gastos, según 5 proyectos, mutuamente excluyentes y con una vida estimada de 10
años. Todas las inversiones tienen un valor de salvamento de cero al cabo de los 10 años.
Propuesta A B C D E
Inversión
requerida ($)
Economías
anuales ($)
30.000 50.000 70.000 100.000 140.000
12.000 14.000 20.000 34.000 58.000
Si el inversionista requiere de su participación una rentabilidad mínima del 30% sobre su
inversión, ¿cuál de las propuestas debe escoger? Analice esta situación con TIR ponderada y
con TIR incremental.
7) Las propuestas de inversión A, B y C son excluyentes. Suponiendo una tasa de descuento de
30% anual, ¿qué decisión se debe tomar para cada una de ellas?
Período 0 1 2
A ($) -10.000 2.000 12.000
B ($) -10.000 10.500
C ($) -10.000 12.000
Analice esta situación con un criterio válido de TIR tasa interna de rentabilidad.
8) Suponga que existen tres inversiones mutuamente excluyentes A, B y C. La tasa de descuento es de
18% anual.
Alternativa 0 1 2 3 TIR (%)
A ($) -1.000 505 505 505 24
B ($) -10.000 2.000 2.000 12.000 20
C ($) -11.000 5.304 5.304 5.304 21
¿Cuál de las tres se debe elegir?
9) Existen dos inversiones mutuamente excluyentes. Supóngase una tasa de descuento del 12%.
Elija la mejor de las dos inversiones.
Alternativa
Período
0 1 2
TIR (%)
A ($) -16.050 10.000 10.000 16
B ($) -100.000 60.000 60.000 13
10) Una empresa manufacturera tiene como política aceptar las inversiones que produzcan 30% o
más, ya que considera que ése es su costo de oportunidad. El gerente de la empresa presentó a
la junta directiva la siguiente información sobre seis máquinas que tienen una vida económica
de 10 años y valor de salvamento nulo. Los directivos deben escoger una, pues sólo se necesita
una de ellas, porque son mutuamente excluyentes:
22

Máquina Inversión ($) Ahorro anual
($)
TIR
TIR
incremental
Onondaga 30.000 11.000 34,82% …
Oneida 50.000 17.000 31,86% 27,32%
Cayuga 55.000 19.000 32,47% 38,45%
Tuscarora 60.000 20.000 31,11% 15,10%
Séneca 70.000 25.000 33,77% 49,08%
Tisquesusa 74.000 27.000 34,08% 38,45%
Un directivo dijo: “Obviamente, la mejor es la de Onondaga”. Otro dijo: “No, es la de Séneca”.
Usted, que es el gerente, tiene varias formas de analizar este problema y debe elaborar un
informe en el cual se muestre:
a) Su análisis por medio del VPN.
b) Su análisis por medio de la TIR.
11) ¿Es el criterio anterior adecuado? Si no, utilice otro criterio de rentabilidad interna apropiado.
12) Si un proyecto tiene 3 años de vida y las tasas de descuento para cada año son: año 1 = 20%;
año 2 = 21%, y año 3 = 25%. ¿Cómo calcula usted el VPN del proyecto?
Referencias bibliográficas
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Mao, J. C. T. 1969. Quantitative Analysis of Financial Decisions, MacMillan, Londres.
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23

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de Subsidio Familiar, Bogotá.
—. 1979. Decisiones de inversión: textos complementarios, Departamento de Ingeniería
Industrial, Universidad de los Andes, Bogotá.
24

5
Proyección de datos para la construcción de estados financieros
No sobrevive la especie más fuerte, ni la más inteligente, sino
la que mejor se adapta al cambio.
Charles Darwin
Los computadores del futuro no pesarán más de 1,5
toneladas.
Popular Mechanics, cuando predecía la inexorabilidad de la
ciencia en 1949
El progreso es imposible sin el cambio y aquellos que no
cambien sus mentes no pueden cambiar nada.
George Bernard Shaw
En este capítulo ilustramos paso a paso la manera de proyectar datos para los
estados financieros, a partir de una información básica. Estos datos de entrada son variables
básicas como inflación, aumento real de precios o políticas de recaudos, de inventarios y de
pagos, de manera que permiten hacer análisis de sensibilidad para reconocer el hecho de la
incertidumbre y variabilidad de esos insumos. Presentamos unas tablas preliminares
basadas en los datos de entrada, que nos sirven para armar con facilidad los estados
financieros proyectados.
Para el inicio de cualquier proyecto o empresa es vital tener una idea de cómo es el
negocio y cómo es el entorno económico donde se va a desarrollar ese negocio. Se sugiere
la lectura de Penman (2001) y de Vélez Pareja (2004).
5.1 Una reflexión sobre los modelos
Los modelos simplifican la realidad y, por eso, parten de supuestos fuertes que no
siempre se cumplen. Una de las cualidades de un buen analista es la de conocer bien la
realidad y el modelo que escoge, de manera que pueda verificar si se cumplen las
condiciones de la realidad que pretende estudiar. Por otro lado, un buen modelo debe
incluir la cantidad adecuada de elementos de la realidad que sean posibles, para confirmar o
predecir su comportamiento.
El modelo debe contemplar todas las variables y elementos de la realidad y sus
interrelaciones, aunque no siempre sea posible incluirlos o medirlos. El modelador debe
tener conciencia de todo lo que es posible medir en esa realidad y debe tratar de predecir o
establecer las posibles consecuencias cuando no se pueden involucrar algunos elementos
que la determinan. Después de configurado el modelo, y sólo entonces, será posible reducir
o minimizar el conjunto de supuestos y condiciones, en el entendido de poder determinar o
medir las consecuencias de eliminarlos, a partir del comportamiento del modelo.
Algunos ejemplos de éstos en el ámbito financiero son el concepto equivalencia,
expresado como P = F/(1+i) n ; la contabilidad de una empresa, o un presupuesto o un flujo
de caja futuro. Esto permite considerar que hay dos clases de modelos: modelos
explicativos y modelos aplicativos.
Los modelos de la primera clase pretenden explicar una idea o concepto. Se requiere
que sean simples, esquemáticos y con muchas condiciones y supuestos que simplifican la
1

realidad. Estos modelos son buenos para definir y fijar conceptos complejos. Un ejemplo es
el mismo caso del concepto de equivalencia P = F/(1+i) n , y que supone que la tasa de
descuento es constante en el tiempo.
Los modelos de la segunda clase son la aplicación de un modelo explicativo a una
realidad específica. Esta clase de modelos debe incluir muchas de las variables o
condiciones que se excluyeron del modelo explicativo. Se debe hacer un gran esfuerzo para
incluir la mayor cantidad posible de condiciones de la realidad para que el modelo se
aproxime lo máximo posible a ella. En este caso, el ejemplo del concepto de equivalencia
debería ser ajustado de P = F/(1+i) n a P = F/[(1+i 1 )(1+i 2 )...(1+i n )]. Esto fue discutido en el
capítulo 4. De esta manera se tendría en cuenta el hecho de que las tasas de interés no
permanecen fijas en el tiempo.
Muchas fallas que se les atribuyen a modelos conocidos se deben a que se han
escogido o utilizado mal. Esto es, el primero se ha utilizado sin los ajustes apropiados para
convertirlo en un modelo aplicativo. Algunos modelos parten de condiciones y supuestos
que no siempre se cumplen en la realidad. Algunos de los supuestos son invisibles o
implícitos. En muchos casos se deben a las circunstancias de la época en que se formuló el
modelo, cuando los recursos computacionales eran deficientes o inexistentes. Pero hoy es
inaceptable admitir algunos de esos supuestos implícitos, ya que se cuenta con máquinas de
alta velocidad y de mayor precisión para incorporar variables adicionales o hacer cálculos
más exactos, a precios razonables. Un buen ejemplo es el modelo o fórmula del valor
presente neto (VPN) –incluidas las que aparecen en las hojas de cálculo electrónicas–, el
cual parte de supuestos que en general no se cumplen:
1. Que la tasa de descuento es constante y única a lo largo de la vida del proyecto.
(Recuérdese lo estudiado en el capítulo 4).
2. Que la tasa de reinversión es la misma tasa de descuento. (Esto fue estudiado en
el capítulo 3).
3. Que los flujos de caja intermedios (entre el período 1 y el n-1) se reinvierten a la
tasa de descuento ya mencionada. (Esto fue estudiado en el capítulo 3).
4. Que en presencia de alternativas mutuamente excluyentes, los fondos que sobren
cada vez que se analiza una alternativa se invierten a la tasa de descuento. (Esto fue
estudiado en los capítulos 3 y 4).
En el caso de la tasa interna de rentabilidad (TIR), por el contrario, se supone que la
reinversión se hace a la misma TIR y nada se dice de los montos invertidos y de la
utilización de los excedentes.
Usualmente se dedica un gran esfuerzo a la mecánica de los cálculos relacionados
con el valor del dinero en el tiempo. Los libros de texto de matemáticas financieras y
similares están llenos de fórmulas y ejercicios al respecto. Esto es necesario. Sin embargo,
se le dedica muy poco o ningún esfuerzo a definir las cifras necesarias para calcular de
manera correcta el VPN o la TIR. Es decir, a construir los flujos de caja.
En la práctica de la evaluación de proyectos, en general, se hacen simplificaciones
fuertes que pueden conducir a serios errores. Por ejemplo, cuando se supone mal que el
flujo de caja del capital (FCC) o el flujo de caja libre (FCL) analizado se puede calcular a
partir del estado de resultados (EdeR), sin hacer ajustes por ventas y pagos a crédito o,
como se analizará más adelante, cuando se supone que no existirán cambios de precios de
productos e insumos durante la vida del proyecto. El primer caso se estudia en el siguiente
capítulo, y el segundo caso, como evaluación de proyectos en inflación, en un capítulo
posterior.
2

¿Qué motiva estas reflexiones? Un hecho que es palpable en todas nuestras
facultades de ingeniería y de administración y en las escuelas de posgrado: de cierta forma
nuestros estudiantes ya han sido expuestos a modelos e instrumentos relativamente
complejos que pueden ser aplicados en ejercicios de proyección como los de los estados
financieros. Así, hemos incorporado algunas complejidades en nuestro desarrollo que no
son extrañas a casi ninguno de nuestros lectores. Por ejemplo, el efecto de la elasticidad
precio-demanda, tema clásico de cualquier curso de economía, o los costos unitarios
variables según la demanda, tema no sólo de economía, sino que la realidad cotidiana nos
muestra que ocurren.
5.2 Actividades preliminares
Sea un proyecto nuevo o una empresa nueva (y posiblemente para empresas en
marcha) es necesario recolectar alguna información acerca del negocio que deseamos
estudiar. En particular se debe investigar qué tipo de variables se van a incluir en el modelo
y qué valores tienen esas variables (por ejemplo, inflación, aumentos de precios o de
volumen, cantidades que se van a vender, etc.). Parte de esta información se obtiene con
encuestas o estudios de mercado, cotizaciones de equipos y otros activos fijos, datos
históricos del sector o firmas similares, políticas y términos comerciales generalmente
aceptados en el medio o sector y demás.
5.3 Revisión de conceptos básicos
Para entender mejor este capítulo deben tenerse claros algunos conceptos estudiados
en otros. El primero es el de tasa de descuento: ésta es la tasa de interés que mide el costo
del dinero de quien invierte, ya sea como el costo promedio ponderado del capital (CPPC), 1
o sea, lo que cuestan los fondos que utiliza el que decide para hacer sus inversiones.
En segundo lugar, conviene recordar el concepto de costo de oportunidad, esto es, la
rentabilidad que una firma obtiene en una alternativa que desecha por embarcarse en la
alternativa que se está analizando.
El tercer concepto que se debe recordar es el de inversión: todo sacrificio de
recursos –dinero, tiempo o bienes materiales– con la expectativa de obtener algún beneficio
en el futuro es una inversión. También hay que distinguir a los actores en un proceso de
evaluación de alternativas: los proyectos o alternativas (o la firma), quien decide o agente,
los acreedores y el accionista.
Para comprender algunos instrumentos utilizados en el capítulo sugerimos al lector
revisar algunos conceptos básicos planteados en esta sección y revisar los glosarios que se
encuentran en la página web http://www.poligran.edu.co/decisiones. Aunque presentamos
los estados financieros básicos –EdeR, balance general (BG) y flujo de tesorería (FT)–,
vamos a detenernos en especial en un estado financiero muy útil: el flujo de tesorería.
Estos conceptos son importantes para entender cómo se deben construir los
diferentes flujos de caja asociados a un proyecto o firma. Recuérdese que en el capítulo 1 se
presentó como objeto de trabajo del gerente financiero el manejo de los tres grandes
elementos de un balance: los activos, los pasivos y el patrimonio. Más adelante se verá la
1 O weighted average cost of capital (WACC), en inglés.
3

manera en que cada uno de ellos tiene asociado un flujo de caja y un tipo de decisión: los
activos, la decisión de inversión; los pasivos, la decisión de financiación, y el patrimonio, la
decisión de repartir dividendos.
Para la creación o la valoración de una empresa es muy importante contar con
estados financieros proyectados confiables y consistentes, a efectos de poder tomar las
decisiones apropiadas para el inicio y seguimiento de la firma. Mostramos paso a paso y de
una manera muy clara el procedimiento con el cual hacer las proyecciones de los datos que
usaremos en los estados financieros proyectados, y a partir de allí calcular los flujos de caja
necesarios para la valoración. Esta valoración se hace calculando el valor de la firma y su
VPN.
En la proyección se consideran cuatro pasos 2 :
Paso uno. Se definen los datos iniciales con los cálculos 3 de aumentos de las ventas
y compras (unidades), precios, impuestos y políticas de recaudos, pagos, inventarios y
reparto de utilidades. Así mismo, se estipula la política de préstamos y de reinversión de los
excedentes.
Paso dos. Se toman los datos del paso uno y se determinan los valores de las cifras
proyectadas.
Paso tres. Basándose en estos datos proyectados se elaboran los BG y los EdeR.
Allí se determina la utilidad, los impuestos y la utilidad neta. Lo haremos en el capítulo 6.
Paso cuatro. Teniendo en cuenta las cifras del EdeR y las políticas estipuladas en el
paso uno, se elabora el FT. Lo haremos en el capítulo 6.
Con los estados financieros podremos calcular flujos de caja para evaluar el
proyecto (VPN, TIR, etc.) o medir la rentabilidad de los fondos aportados por el accionista.
A continuación se presenta el ejemplo que ilustra lo que se ha dicho hasta ahora.
Éste se encuentra en CIGE.XLS (en el enlace http://www.poligran.edu.co/decisiones) y
supone la creación de una empresa ficticia.
5.4 La relación de Fisher
Irving Fisher, economista de principios del siglo XX, propuso una relación entre la
tasa real de interés, la tasa de inflación y la tasa de interés corriente de la siguiente manera:
1+tasa de interés corriente (libre de riesgo) = (1+tasa real de
interés)×(1+tasa de inflación)
(5.1)
Se puede añadir algún elemento adicional como un componente de riesgo y
replantear esta relación como:
2 Aquí se expresan como pasos secuenciales. Los estados financieros están interrelacionados y no es posible elaborar uno
sin el otro o los otros; cuando este ejercicio se hace en una hoja electrónica se aclara muy bien esta idea. Por ejemplo, el
saldo en caja y bancos del BG y las utilidades del EdeR sólo se pueden determinar hasta después de haber construido el
FT, cuando se decide si se debe financiar un déficit o si hay excedentes para invertir. Se sugiere el estudio de un texto
muy claro y sencillo: Cómo comprender las finanzas de una compañía. Un enfoque gráfico (Purcell, 1984).
3 Pocos se resisten a proponer y a utilizar métodos estadísticos de proyección de datos. La mayoría de las veces se sugiere
utilizar regresión lineal para hacer estas proyecciones. Así mismo, la mayoría de las veces, en la realidad, estos métodos
no son los adecuados por diversas razones: ausencia de información suficiente, incumplimiento de las condiciones que
llevan implícitas estos modelos de pronóstico, etc. Aquí se ha preferido sugerir hacer cálculos disciplinados que, en
últimas, siempre se podrán modificar y los resultados, en una hoja de cálculo, se obtienen de una manera casi instantánea.
4

1+tasa de interés corriente (con riesgo) = (1+tasa real de
interés)×(1+tasa de inflación)×(1+prima de riesgo)
(5.2)
Esta relación se puede aplicar a otras situaciones. En general, es factible suponer
que cuando ocurren fenómenos en forma simultánea que afectan a una variable, es posible
utilizar este tipo de relación. Por ejemplo, podemos calcular el aumento nominal de los
precios usando esta relación y combinando el aumento real de los precios con la inflación,
podemos encontrar el efecto del cambio de precio de una moneda extranjera con la tasa de
interés que una inversión en esa moneda extranjera gana en el mercado extranjero o
podemos combinar el efecto combinado de aumento de precios con el aumento de volumen
para hallar el aumento en el total de las ventas y así sucesivamente. En el caso de un
aumento de precios el planteamiento sería:
1+aumento nominal = (1+tasa de inflación)(1+tasa real de aumento) (5.3)
Esta relación será utilizada en forma reiterada en la proyección y cálculo de algunas
variables.
En la ecuación 5.1 tenemos tres elementos de los cuales dos son observables en la
economía: las tasas corrientes y la inflación. En el caso de los precios, observamos también
dos elementos: los precios corrientes (o mejor, los aumentos de esos precios) y la inflación.
Por lo tanto, el tercer elemento, la tasa real de interés o el aumento real de precios se puede
calcular.
De la ecuación 5.1 podemos deducir que la tasa real de interés es:
Tasa real de interés
1+
tasa de interés corriente
=
−1
1+
tasa de inflación
(5.4)
En el caso de los precios se tendría algo similar:
Aumento real de precio
1+
tasa de aumento corriente
=
−1
1+
tasa de inflación
(5.5)
Los precios corrientes o tasas corrientes se conocen también como nominales. Hay
que hacer hincapié en que las tasas reales son una construcción matemática y no son
observables. Lo que cualquier persona observa y ‘sufre’ o ‘disfruta’ son las tasas corrientes
o nominales.
Como se verá a lo largo del capítulo, crear escenarios para la tasa de inflación es un
elemento clave para nuestras proyecciones. De la tasa de inflación que se proyecte van a
depender muchas variables: los aumentos de precios, las tasas de interés, el cambio de
precio de las divisas, etc.
5

5.4.1 El problema de las predicciones
Uno de los problemas que debe afrontar quien desea hacer proyecciones es la falta
de datos. Éste, en realidad, es un problema real, pero puede abordarse de una manera menos
compleja de lo que se imagina. Veamos, por ejemplo, un negocio que tiene un producto que
no existe en el país. Digamos que se va a fabricar un dispositivo que suministra alimento a
horas predeterminadas a una mascota 4 .
Lo primero que se debe determinar es cuál es el ‘motor’ que mueve la demanda del
producto, es decir, quién lo va a consumir. Lo primero que viene a la mente es que no es un
producto personal, sino familiar; por lo tanto, el consumidor es el hogar. Entonces
determinamos el número de hogares que hay en el país. ¿Comprarán el producto todos los
hogares?
La respuesta es no. Sólo lo harán los que posean determinado poder adquisitivo. Por
ende, hay que seleccionar, de la totalidad, aquellos que pertenezcan a ciertos estratos
sociales que se caracterizan por una cierta capacidad adquisitiva. Reducido el universo a
esos estratos, surge otra vez la pregunta, ¿todos los hogares que resultan de esta selección
comprarán el producto ofrecido?
La respuesta es no. Hay que identificar cuántos de esos hogares con cierto poder
adquisitivo reúnen ciertas condiciones. Por ejemplo, aquellos que cuentan con personas que
permanecen en la vivienda probablemente no necesitarán el producto, ya que habrá gente
en la vivienda que atienda las necesidades de la mascota. Eso reduce aún más el universo.
Después de reducido ese universo a los que tienen la necesidad habrá que descubrir
a qué precios están dispuestos a comprar el producto. Si se hace la pregunta adecuada
descubriremos que algunas personas no están dispuestas a invertir ninguna cantidad para
suministrarle alimento a la mascota. Otras estarán dispuestas a pagar cierta suma de dinero
y esa suma varía de persona a persona. El resultado sería una tabla donde cierto porcentaje
de la muestra estaría dispuesto a pagar algo por ese producto. Así mismo, habrá ciertos
grupos de personas que estarán dispuestas a gastar una cierta suma máxima de dinero. Con
esa información podremos estimar cuántos hogares en realidad comprarían y a qué precio.
(Esta información será muy útil para determinar la relación elasticidad precio-demanda que
se menciona más adelante).
Hechos estos refinamientos iniciamos con un estimado del mercado posible y
objetivo y de la cantidad de hogares que podrían estar dispuestos a pagar por el producto.
¿Qué sigue? Hay que proyectar qué parte de ese mercado potencial se puede capturar y en
cuánto tiempo. Esto puede hacerse basándose en los negocios que se crea que se pueden
cerrar con facilidad. Por otro lado, hay que hacer un plan de mercadeo y publicidad que
permita saber cuánto puede aumentar la tajada del mercado con la cual se empieza.
Lo importante ahora es reconocer que si se establece la relación en esta cadena de
subdivisiones y se sabe cuál es el ‘motor’ (los hogares) prediciendo el comportamiento de
los hogares del país, se puede llegar a estimar la demanda. Esto es lo que se conoce como
crecimiento vegetativo. Es decir, el mercado crece sin hacer ningún esfuerzo por parte de la
firma. ¿De dónde sale toda esta información? Pues de los datos demográficos del país.
¿Qué proyecciones hay disponibles? Las oficinas de estadística de casi todos los países
mantienen actualizadas las proyecciones demográficas y se basan en los censos de
4 Este ejemplo está basado en la idea del proyecto de curso de los estudiantes de Ingeniería Industrial, Fabián Gómez y
Giovanni Espitia. Los comentarios que aquí aparecen son el producto de algunas sesiones de discusión con ellos y, en
general, con el grupo del curso del segundo semestre de 2005.
6

población y en encuestas periódicas que le permiten medir las tasas de crecimiento de la
población.
Pero la firma puede lograr crecer más que el crecimiento vegetativo ya mencionado.
Aunque no es fácil establecer las relaciones entre actividades de promoción y publicidad y
los resultados de las ventas, sí se puede establecer una relación positiva. De manera que si
la firma en sus proyecciones prevé gastos de ventas que incluyen publicidad y promoción,
se puede incluir una tasa aproximada de crecimiento adicional al vegetativo.
Este tipo de análisis se puede hacer más o menos complejo y depende en gran
medida del costo. Lo importante de resaltar aquí es que a veces el analista se desconcierta,
porque no ve cómo predecir la demanda porque está pensando en las cifras directas del
producto o servicio, cuando lo que hay que hacer es establecer la relación entre la demanda
y un motor (en este ejemplo, los hogares).
En cada caso hay que hacer el esfuerzo de identificar ese motor. Por ejemplo, si se
trata de producción y venta de baterías para automóviles habrá que identificar quiénes
compran automóviles: los hogares, los taxistas, las empresas, etc. Si trato de vender un
servicio de maquinaria pesada para la construcción de obras de infraestructura, trataremos
de investigar las obras de infraestructura que se estén llevando a cabo y planeando llevar a
cabo en el mercado; si el negocio es de fabricación de puertas, se relacionará con la
construcción de vivienda; si se trata de un producto masivo, exploraremos la población total
y examinaremos los grupos de edad que sean susceptibles de interesarse en el producto; etc.
5.4.2 Aumento de precios
¿Cómo podemos proyectar los aumentos de precios? Una forma relativamente fácil
es examinar los precios pasados propios (si se tienen) o de terceros con productos o
servicios similares. Basándose en esos precios se puede calcular el aumento nominal de los
precios. Si, además, contamos con unas predicciones de la tasa de inflación, podremos
encontrar las tasas de aumentos reales de precios (aplicando la relación de Fisher, ya vista).
Con esos aumentos reales de precios podremos calcular un promedio, y ésa puede ser la
base para calcular los futuros aumentos de precios nominales. También aquí aplicamos la
relación de Fisher, relacionando el promedio de aumento real de precios con la inflación
prevista.
5.5 Divisas, devaluación y paridad en el poder de compra
Una divisa es una moneda extranjera de referencia con la cual se hacen ciertas
transacciones en una economía (por ejemplo, las exportaciones o las importaciones). Esa
divisa tiene un precio (tasa o tipo de cambio) que puede ser determinado por la autoridad
monetaria o por el libre mercado basado en la oferta y en la demanda. A su vez, el precio de
la moneda local queda determinado por el de la divisa. Se habla de devaluación cuando se
hace una reducción de aquel precio (el de la moneda local), por decisión de la autoridad
monetaria. Esta reducción se hace de manera indirecta, pues la decisión que se toma (al
menos a los ojos del público) es el cambio en el precio de la divisa. Es lo equivalente a una
depreciación monetaria en un sistema de tipo de cambios fijo. La depreciación monetaria es
la disminución del precio de una moneda respecto a otra en un sistema de tasa de cambio
flexible. Este es un fenómeno contrario a la apreciación monetaria. La tasa de cambio es el
7

precio relativo de las monedas. Es el precio de la moneda de un país expresado en términos
de la moneda de otro país.
En Colombia, a pesar de tener un sistema de tasa de cambio flexible, seguimos
llamando devaluación al cambio porcentual (hacia arriba) del precio de la divisa, y
revaluación, al fenómeno contrario. La tasa de devaluación debería ser una cantidad
negativa, porque en realidad mide el porcentaje que pierde la moneda local respecto de la
extranjera.
En este capítulo utilizaremos la expresión cambio en el precio de la divisa, ya que
llamar devaluación al aumento en su precio es equivocado.
La teoría de la paridad en el poder de compra (purchasing-power parity [PPP]) dice
que, a largo plazo, las tasas de cambio en el precio de la divisa se mueven hacia un valor tal
que igualen los precios de una canasta de bienes idéntica entre dos países. En otras
palabras, que un dólar o un euro deben comprar la misma cantidad de un producto en
cualquier parte del mundo. Esto es un fenómeno cada vez más cierto debido a la
globalización.
Para entender esta idea supongamos que una hamburguesa vale en Estados Unidos
US$2,5 y que la tasa de cambio en Colombia fuera de $2.750 por cada dólar. Así mismo,
supongamos que en Colombia la misma hamburguesa cuesta $5.200. ¿Qué significa esto?
Que la hamburguesa que en Estados Unidos vale US$2,5, en Colombia vale US$1,89
(5.200/2.750), es decir, no hay paridad en el poder de compra. En este caso se dice que el
peso está subvaluado, porque lo que se compra con un dólar en Estados Unidos se puede
comprar con menos de un dólar en Colombia. Si la hamburguesa costara en Colombia
$6.875 (2,5×2.750 = 6.875) se diría que hay paridad igual a 1. Cuando la hamburguesa en
Colombia vale en dólares más que en Estados Unidos, se dice que el peso está
sobrevaluado, y si vale menos, que está subvaluado. Por ejemplo, suponiendo que el
aumento en precios de la hamburguesa es igual a la inflación en ambos países, se tienen tres
casos:
Caso a. Moneda local sobrevaluada:
Tabla 5.1 Paridad en el poder de compra mayor que 1 (moneda local sobrevaluada)
Factor Año 0 Año 1
Precio Big Mac (US$) 2,5 2,550
Inflación en Estados Unidos 2,0%
Aumento de precio en hamburguesa en Estados
2,0%
Unidos
Cambio en precio de US$1 1,0%
TRM 2.750,0 2.777,5
Inflación en Colombia 5,0%
Aumento de precio en hamburguesa 5,0%
Precio de la hamburguesa en Colombia ($) 6.875,0 7.218,8
Precio en US$ de la hamburguesa en Colombia 2,599
PPP 1,019
TRM: tasa representativa del mercado.
PPP: paridad en el poder de compra.
Caso b. Moneda local subvaluada:
8

Tabla 5.2 Paridad en el poder de compra menor que 1 (moneda local subvaluada)
Factor Año 0 Año 1
Precio Big Mac (US$) 2,5 2,550
Inflación en Estados Unidos 2,0%
Aumento de precio en hamburguesa en Estados
2,0%
Unidos
Cambio en precio de USD$1 5,0%
TRM 2.750,0 2.887,5
Inflación en Colombia 5,0%
Aumento de precio en hamburguesa 5,0%
Precio de la hamburguesa en Colombia ($) 6.875,0 7.218,8
Precio en US$ de la hamburguesa en Colombia 2,500
PPP 0,98
TRM: tasa representativa del mercado.
PPP: paridad en el poder de compra.
Caso c. Moneda local en paridad
Tabla 5.3 Paridad en el poder de compra igual a 1 (Paridad en tasas de cambio)
Factor Año 0 Año 1
Precio Big Mac (US$) 2,5 2,550
Inflación en Estados Unidos 2,0%
Aumento de precio en hamburguesa en Estados
2,0%
Unidos
Cambio en precio de USD$1 2,94%
TRM 2.750,0 2.830,9
Inflación en Colombia 5,0%
Aumento de precio en hamburguesa 5,0%
Precio de la hamburguesa en Colombia ($) 6.875,0 7.218,8
Precio en US$ de la hamburguesa en Colombia 2,550
PPP 1
TRM: tasa representativa del mercado.
PPP: paridad en el poder de compra.
El ejemplo de la hamburguesa ha sido deliberado. El Economist Group (que publica
The Economist) ha desarrollado un índice basado en el precio de la hamburguesa Big Mac
de McDonald. El PPP Big Mac es la tasa de cambio que hace que la hamburguesa cueste lo
mismo en el país de estudio que en Estados Unidos. El tema PPP Big Mac se puede ampliar
en la revista The Economist (http://www.economist.com, en el enlace “Markets & Data”,
http://www.economist.com/markets/Bigmac/index.cfm). Allí se observa si la tasa está sub o
sobrevalorada. En esta misma página se explica cómo interpretar los datos.
Observemos que la tasa de aumento del dólar (2,94% en este ejemplo) resulta de la
relación siguiente:
1+
tasa de inflación local
Tasa de cambio en precio de USD$1= −1
(5.6)
1+
tasa de inflación en EE.UU.
9

1+
5%
Tasa de cambio en precio de USD$1=
−1
= 2,94%
1+
2%
Esta expresión es teórica y no ocurre en la realidad. Siempre hay desviaciones. Sin
embargo, la utilizamos para calcular la tasa de cambio en el precio del dólar en nuestro
ejemplo. Si se puede predecir la desviación de ese valor, debería incluirse en el cálculo.
Aunque la expresión es teórica, nos indica una manera de guiar nuestras
proyecciones de algo que parece inasible: el cambio de precio de la divisa o, por otro lado y
lo que es la otra cara de la moneda, la devaluación de la moneda local.
5.6 Financiación en divisas y pérdidas en cambio
Cada día, por efectos del fenómeno de globalización y por el interés o necesidad de
las firmas de hacer presencia en el mercado externo, es común encontrar que las firmas
deciden endeudarse en moneda extranjera. Cuando eso sucede, ocurre lo que se conoce
como pérdida en cambio. Esto ocurre por el aumento del precio de la divisa. Por ejemplo,
si suponemos que una firma presta una suma en moneda extranjera y paga sólo los
intereses, el hecho de tener la deuda denominada en moneda extranjera y por cambiar de
precio, el saldo de esta deuda en moneda local aumenta. Ese aumento se denomina pérdida
en cambio. Se registra una partida por pérdida en cambio en el estado de resultados y un
mayor valor del pasivo en el balance general.
Esto se puede entender mejor con un ejemplo. Supongamos una tasa de aumento en
el precio del dólar igual a 4% anual; una tasa de interés en dólares de 8% y un préstamo de
US$10 que se paga en dos abonos iguales. El valor del dólar hoy es de $100 (véase Tabla
5.4).
Tabla 5.4 Información sobre TRM, tasa de interés en dólares y TRM
Factor Año 0 Año 1 Año 2
Cambio en precio de divisa 4,00% 4,00%
TRM (US$) 100,00 104,00 108,16
Tasa de interés en dólares 8,00% 8,00%
TRM: tasa representativa del mercado.
La tabla de amortización (Tabla 5.5) del préstamo en dólares la siguiente:
Tabla 5.5 Préstamos en dólares
Factor Año 0 Año 1 Año 2
Saldo inicial 10,00 5,00
Intereses del préstamo 0,80 0,40
Pago del capital por el préstamo 5,00 5,00
Pago total 5,80 5,40
Saldo final 10,00 5,00 …
Los intereses son el saldo inicial, multiplicado por la tasa de interés y por los pagos
de capital, son iguales a 5 (dos abonos iguales).
10

Al convertir la tabla de amortización a pesos utilizamos la tasa representativa del
mercado (TRM) vigente para cada año. Cada una de las cifras de la tabla anterior se
multiplica por la TRM del año (véase Tabla 5.6).
Tabla 5.6 Préstamo en dólares convertido a pesos
Factor Año 0 Año 1 Año 2
Saldo inicial 1.000,00 520,00
Intereses préstamo LP 1 83,20 43,26
Pago capital préstamo LP 1 520,00 540,80
Pago total préstamo LP 1 603,20 584,06
Saldo final 1.000,00 520,00 …
Aquí se debe observar lo siguiente: el saldo del año en pesos NO es igual al saldo
inicial menos el abono a capital. Esto surge por la diferencia o pérdida en cambio. Así
mismo, si se suma el abono a capital y el saldo final, se encuentra que esa suma es mayor
que el saldo inicial. Por ejemplo, esa diferencia en el año 1 (520+520−1.000 = 40) es la
diferencia o pérdida en cambio. Como se dijo arriba, aun si no se hiciera el abono, el saldo
del préstamo aumentaría por el aumento en la tasa de cambio TRM.
Entonces podemos ver el saldo inicial del año 1 como si estuviera compuesto del
abono de capital y del saldo final. Ese saldo inicial (abono a capital más saldo final del año
1) aumentó en pesos por el incremento de la TRM. De manera que la diferencia o pérdida
en cambio se puede calcular multiplicando la diferencia en la TRM entre el año 0 y el año 1
por el pago o abono de capital en dólares más el saldo en dólares. Esto se muestra en la
Tabla 5.7.
Tabla 5.7 Diferencia o pérdida en cambio
Factor Año 1 Año 2
Diferencia en TRM 4,00 4,16
Diferencia en TRM×pago de capital 20,00 20,80
Diferencia en TRM×saldo 20,00 …
Pérdida cambio total 40,00 20,80
Intereses+pérdida en cambio 123,20 64,06
TRM: tasa representativa del mercado.
En términos de lo que se registra en el estado de resultados, tenemos los intereses y
la pérdida en cambio. Esto constituye el costo financiero total en este ejemplo.
En el ejemplo hipotético que se presenta utilizaremos este procedimiento para
calcular la pérdida en cambio.
5.7 Breve nota sobre elasticidad precio-demanda
Hay muchos factores que influyen en la demanda de un producto o servicio, y
podemos identificar unas cuantas variables que la afectan. Por ejemplo, la demanda puede
depender de su precio, de la existencia y del precio de sustitutos o productos
complementarios, del consumo, del ingreso de los consumidores, de la clase de bienes y el
gusto de los consumidores o de la moda vigente:
11

¿Cómo ve el mercado latinoamericano? “Lo que nos atrajo a esta región fue
ver que el consumo por habitante crece 4% por año […] En el caso concreto de
Colombia el consumo era de 54 litros por habitante hace una década y ahora
está en 34, algo que ocurrió debido a que los precios subieron muy por encima
de la inflación hasta hace un par de años […]”. 5
Cuando estudiamos la relación de Fisher, aprendimos la idea de aumento en el
precio real. Una de las variables clave que determina la demanda es el precio real o, mejor,
el aumento de precio real. Intuitivamente uno se imagina que si el precio de un bien o
servicio sube, la demanda baja. Entonces, podemos decir hay una relación negativa entre
demanda y precio. Si la demanda reacciona mucho a un cambio de precio, se dice que la
demanda del bien o servicio es elástica. Si es lo contrario, se llama inelástica.
Si el consumo es muy reducido, el costo total puede ser completamente
insignificante. Así mismo, si el costo es una fracción muy pequeña del ingreso del
consumidor, también es irrelevante. El ejemplo clásico de esta situación es la sal común.
Esto puede conducir a una situación de inelasticidad del precio de la sal.
Sin embargo, el efecto del precio puede ser completamente al revés, dependiendo
del tipo de productos. Para ciertos bienes o servicios que tienen adscritos valores de estatus
o prestigio, la relación puede ser totalmente al revés. Por ejemplo, un producto de lujo (una
camisa de marca, un automóvil, etc.) puede ser apreciado más si cuesta más y la demanda
puede aumentar en la medida en que se aumente el precio.
El hecho de que existan sustitutos de un producto puede hacer que el efecto del
aumento en precios afecte más a la demanda. En el caso de la sal común, tenemos un
producto sin un buen sustituto y un aumento en su precio va afectar poco la demanda. En
general, los artículos de primera necesidad se ven menos afectados por los aumentos de
precios que los artículos que no son tan necesarios.
Los bienes o servicios que tienen una larga historia en el mercado se afectan
probablemente menos que los artículos novedosos. Aquí la costumbre desempeña un papel
muy importante. Así mismo, el gusto del consumidor influye en la relación preciodemanda.
Esto ocurre, sobre todo, con la ropa, que está afectada por la moda.
Descubrir la relación entre precio y demanda puede ser una tarea difícil por varias
razones: la disponibilidad o confiabilidad de los datos o que el modelo específico sea muy
complejo para ser manejado con facilidad. Lo que interesa en todo esto es medir un
indicador que nos muestre qué tanto se afecta la demanda de un bien o servicio por un
cambio en el precio. Este indicador se conoce como la elasticidad precio-demanda.
Nosotros lo llamaremos coeficiente de elasticidad precio-demanda.
En términos muy sencillos lo podemos expresar como 6 :
Elasticidad precio-demanda =
∆Q
Cambio porcentual en la demanda Q % ∆Q
β =
= =
(5.7)
Cambio porcentual en el precio ∆P
% ∆P
P
5 Entrevista de Cambio a Barry Smith, de SABMiller, gerente regional a cargo de Bavaria, por parte de SABMiller,
Cambio, No. 630, p. 23, 25 de julio de 2005.
6 Para detalles más técnicos véase Tham y Vélez Pareja (2004) y Vélez Pareja (2002).
12

Donde β es la elasticidad o coeficiente de elasticidad precio-demanda; %∆Q, el
cambio porcentual de la demanda, y %∆P, el cambio porcentual en el precio real.
O lo que es lo mismo:
%∆Q = %∆Pβ (5.8)
Esto quiere decir que el cambio en la cantidad demandada es igual al coeficiente de
elasticidad multiplicado por el aumento real de precios. El aumento real de los precios se
puede obtener deflactando (eliminando la inflación) los aumentos nominales (que incluyen
la inflación) o calculando el aumento de precios cuando hemos expresado cada precio en
términos de un año base (por ejemplo, el primer año de la serie que tenemos entre manos).
En el ejemplo que estudiaremos más adelante tenemos una tabla que puede ser
proporcionada por un estudio de mercado y que indica el efecto del precio sobre la cantidad
que el mercado está dispuesto a comprar. Si aplicamos a esa tabla la fórmula para β
presentada arriba (Tabla 5.8), se tiene:
Tabla 5.8 Precio, cantidad demandada y elasticidad
Precio %∆P Cantidad %∆Q β = %∆Q/%∆P
3,0 6.637,60
3,5 16,67% 6.289,00 -5,25% -0,3151
4,0 14,29% 6.001,80 -4,57% -0,3197
4,5 12,50% 5.759,40 -4,04% -0,3231
5,0 11,11% 5.550,90 -3,62% -0,3258
5,5 10,00% 5.368,80 -3,28% -0,3281
6,0 9,09% 5.207,80 -3,00% -0,3299
6,5 8,33% 5.063,90 -2,76% -0,3316
7,0 7,69% 4.934,20 -2,56% -0,3330
7,5 7,14% 4.816,50 -2,39% -0,3340
8,0 6,67% 4.708,90 -2,23% -0,3351
8,5 6,25% 4.610,10 -2,10% -0,3357
9,0 5,88% 4.518,80 -1,98% -0,3367
9,5 5,56% 4.434,10 -1,87% -0,3374
10,0 5,26% 4.355,20 -1,78% -0,3381
10,5 5,00% 4.281,40 -1,69% -0,3389
11,0 4,76% 4.212,30 -1,61% -0,3389
Promedio (β) -0,3313
En la Tabla 5.8, por ejemplo, para el primer cambio de precio se tiene que la
demanda cae 5,25% [(5.289,0−6.637,6)/6.637,6 = -5,25%], debido a que el precio subió
16,67% [(3,5−3,0)/3,0 = 16,67]. Nuestra fórmula nos arroja un valor de -0,35. El valor
promedio de todos los casos es -0,331, entonces se dice que por cada aumento de 1% en el
precio, la demanda cae -0,331%. Este valor promedio no está muy lejano del -0,35, que se
obtendría por un proceso más sofisticado usando alguna función compleja (como se hizo
para calcular el valor de -0,35 que se utilizará en el ejemplo presentado más adelante).
13

Si el valor absoluto de β es 1, decimos que el producto o servicio tiene elasticidad
unitaria. Se dice que la demanda es elástica si el valor absoluto de β es mayor que 1. Si el
valor absoluto de β es menor que 1, decimos que es inelástica.
La cantidad demandada será el resultado de ajustar la cantidad que esperamos que se
demande sin haber sufrido un aumento de precios, multiplicada por un factor de ajuste que
tenga en cuenta el efecto producido por %∆PQ. Ese factor de ajuste es
Q n ajustada = (Q n sin ajuste )(factor de ajuste) (5.9)
Factor de ajuste = 1+β(aumento real de precios) (5.10)
y
Q n ajustada = (Q n sin ajuste )×1+β(aumento real de precios) (5.11)
Aquí vamos a considerar que cuando se cambia una variable de entrada, las demás
permanecen constantes. Por ejemplo, cuando analicemos la sensibilidad de un resultado a
los cambios de una variable específica, podremos examinar este comportamiento una a una.
Esto es lo que los economistas llaman condiciones ceteris paribus.
Como resumen de estas ideas tenemos los siguientes casos, suponiendo un aumento
de precios nominales, que el resto de los precios de la economía está afectada por la tasa de
inflación y una elasticidad negativa:
1. Un aumento nominal de precios mayor que la inflación produce una
reducción de la demanda.
2. Un aumento nominal de precios igual a la inflación no afecta la demanda.
3. Un aumento nominal de precios menor que la inflación produce un aumento
de la demanda.
5.8 Deflactación de cifras
Como vimos en el aparte anterior, es necesario calcular aumentos de precios reales
para hacer el análisis de elasticidad precio-demanda (o simplemente para pronosticar
nuestros aumentos de precios futuros basados en las proyecciones de aumentos de precios
reales).
Es necesario tener cuidado con las conclusiones de este tipo de análisis, ya que se
deben tener en cuenta elementos como los aumentos de precios y el incremento de la
actividad, para concluir si hubo o no un aumento cierto en el rubro.
Deflactar unas cifras significa expresarlas en unidades monetarias del mismo
período. Aquí se supone que esta conversión se puede hacer utilizando los índices de
inflación. Normalmente se habla de deflactar cuando se expresan las cifras en pesos de un
año base, futuro o pasado; sin embargo, aquí se prefiere utilizar el adjetivo deflactada para
referirse a cifras en pesos de unos años anteriores, e inflados cuando se refiere a cifras de
un año posterior.
Con un ejemplo se pueden entender mejor estas ideas.
Ejemplo 1
14

Supóngase que se tienen los siguientes datos de ventas anuales, de tasas de inflación
y de crecimiento aparente:
Datos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Ventas 1.000 1.220 1.410 1.630
Inflación 18% 15,0% 12,0%
Crecimiento aparente 22% 15,6% 15,6%
Al analizar las cifras teniendo en cuenta la inflación, ya sea inflando los datos a
pesos del año 4 o deflactando los datos a pesos del año 1, encontramos lo siguiente:
Datos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Ventas 1.000 1.220 1.410 1.630
Inflación 18% 15% 12%
Cifras en pesos del año 4 (cifras infladas) 1.519,84 1.571,36 1.579,2 1.630
Crecimiento real 3,39% 0,5% 3,21%
Cifras en pesos del año 1 (cifras deflactadas) 1.000 1.033,90 1.039,06 1.072,48
Crecimiento real 3,39% 0,5% 3,21%
Cuando no se ajustan las cifras a pesos de un año base, se calcula un crecimiento
aparente, ya que se incluye el efecto de aumento de precios. Sin embargo, si se desea medir
un crecimiento ‘real’ por medio del ajuste de las cifras por precios, se debe tener presente
que los aumentos de precios en la firma que se analiza pueden discrepar de la tasa de
inflación y se mediría un ‘crecimiento real’ sobre o subvaluado, dependiendo de la relación
entre inflación y aumento de precios específicos
5.9 Efecto del endeudamiento
Uno de los temas que la teoría financiera no ha resuelto en forma satisfactoria es el
relacionado con la estructura óptima de capital. Se llama estructura de capital a cómo se
financian los activos a precios de mercado. Estructura óptima de capital es aquella que
incrementa al máximo el valor de la firma. Esto lo retomamos en un capítulo posterior.
Los activos se pueden financiar por medio de dos fuentes de capital: deuda y
patrimonio. Aquí entendemos por deuda aquel pasivo que genera un costo financiero y que
se conoce como deuda financiera. Parece una paradoja, pero la teoría financiera indica que
a mayor deuda, mayor valor (véase Modigliani y Miller, 1958, 1959 y 1963). Entonces la
idea sería endeudarse lo máximo posible, pero esto no ocurre en la realidad, porque surge lo
que se conoce como costos de quiebra.
En la realidad sí ocurre un ciclo parecido a lo siguiente:
1. Cuando una firma empieza a endeudarse, aumenta el riesgo percibido por
terceros, por ejemplo, los tenedores de la deuda. Un banco podría cobrar más
por los nuevos préstamos. Este mayor costo se refleja en un menor flujo de
15

tesorería, que a su vez aumenta las necesidades de efectivo y podría
aumentar el endeudamiento.
2. Aparición de los costos de quiebra comerciales. La información se propaga
con facilidad y los proveedores pueden perder la confianza y dejar de
despachar a crédito (a costo financiero cero) y exigirían pago contra entrega
o por anticipado. Esto disminuye la liquidez y aumenta la necesidad de
financiación, a mayor costo. Los clientes, que también se enteran de la
situación, posiblemente ya no comprarán las mismas cantidades porque
prefieren un proveedor seguro. Esto deteriora las tasas de crecimiento
proyectadas.
3. Costos de quiebra en recursos humanos. Cuando la firma empieza a tener
dificultades financieras, es posible que excelentes empleados con mejores o,
incluso, ofertas menos buenas se retiren de la compañía. Cada nuevo
empleado hay que capacitarlo y la pérdida de capital intelectual es difícil de
medir y de reponer.
4. Todo lo anterior constituye un círculo vicioso y la firma eventualmente
deberá recurrir al mercado extrabancario (agio). Los costos financieros por
encima de la usura no son aceptados por la ley para deducirlos. Es decir, se
pierde la posibilidad de reducir los impuestos. Al llegar la situación extrema
de quiebra o antes, se requieren asesores en diferentes áreas de la firma, en
particular abogados que se constituyen en costos legales de quiebra.
Los costos de quiebra son muy difíciles de medir. Sin embargo, cualquiera que se
haya enfrentado a empresas con dificultades financieras habrá sufrido alguna de estas
situaciones en mayor o menor grado. Así mismo, incluimos consideraciones respecto al
efecto del endeudamiento en libros (que es lo más visible) sobre el crecimiento de las
ventas en unidades y sobre los plazos que otorgan los proveedores para los pagos. Esto
significa que consideramos que a partir de cierto nivel de endeudamiento en libros algunos
clientes se pueden retirar o disminuir sus volúmenes de compra y algunos proveedores
pueden reducir los plazos para el pago de sus facturas, o aun aumentar sus precios. Se ha
considerado el endeudamiento teniendo en cuenta los pasivos totales.
Los costos de quiebra serán mencionados también en el capítulo 8, acerca del costo
promedio de capital.
Si bien es cierto que sobre estos efectos no se puede estipular una regla
determinada, es conveniente que quien hace el modelo financiero los tenga presentes en las
diferentes partidas que se afectan en los estados financieros. Un estimado del nivel crítico
de endeudamiento es el que refleje el sector donde se encuentra la empresa que se analiza.
5.10 Efecto de C×C en clientes
Hay que reconocer que lo deseable es que a una firma le paguen sus facturas de
contado, aunque la práctica comercial establece unos plazos aceptados por cada sector o
industria. Por lo tanto, a medida que en la realidad se exija a los clientes plazos más cortos
para pagar las facturas, habrá una reacción de ellos que se refleja en el retiro de algunos que
buscarán otros proveedores con mejores condiciones. Es decir, a medida que el porcentaje
de recaudos recibido el mismo año en que se factura aumenta, algunos clientes desertarán.
16

Se puede estimar un índice de recaudo de contado a partir del cual los clientes se
‘resienten’ y desertan. Cuando éste se supera, se calcula que se pierde un cierto porcentaje
de los clientes. No hay una regla en este sentido y lo mejor que se puede hacer es un cálculo
subjetivo de ese hecho. Si la empresa tuviera una historia donde se pueda medir la reacción
de los clientes, en cuanto a compras a partir de cambios en la política de recaudos, se puede
hacer un estimado basado en datos históricos. También se puede calcular el índice adoptado
por el sector donde se encuentra la firma y usarlo como punto crítico. En todo caso, es
recomendable que en el modelo se refleje en alguna forma este hecho. Esto es mejor que
suponer que los recaudos se pueden llevar hasta un 100% de contado sin que se afecte la
demanda.
Los estados financieros que presentamos son el BG, el EdeR y el FT. Como el lector
podrá observar, no usamos proyecciones de tipo estadístico (regresiones, etc.), sino que
utilizamos unos datos de entrada que podrán ser cambiados a voluntad en una hoja de
cálculo. Así mismo, es posible crear escenarios y llevar a cabo diversos tipos de análisis de
sensibilidad. Se supone que gente que conoce el negocio pude calcular estos datos –esto es
lo que se llama estimados disciplinados o calificados–.
Como sabe cualquier estudiante de finanzas, los estados financieros están
entrelazados entre sí. Este enlace se hace basándose en la relación básica de la contabilidad,
que dice:
Activos = Pasivos+Patrimonio (5.12)
Para mantener esta ecuación válida, cualquier cambio en uno de sus elementos debe
ser compensado por un cambio contrario en ese elemento o cambios adecuados en el resto.
Por ejemplo, un aumento en un activo puede compensarse por un descenso en otro activo, o
un aumento igual en un pasivo o en el patrimonio. O también puede considerarse una
combinación de cambios simultáneos en varios de ellos.
Existen muchas técnicas de pronóstico que podrían servir para calcular cifras útiles
en la proyección de estados financieros. Muchas veces no es posible utilizar métodos como
la regresión lineal o la descomposición, y será necesario, de todas maneras, hacer
proyecciones (por ejemplo, cuando se inicia un nuevo negocio). Para esto es necesario
identificar las variables pertinentes y hacer predicciones sobre sus posibles valores.
Así, basándose en los valores previstos, se pueden construir los estados financieros
proyectados o proforma y, con esa información, evaluar las consecuencias futuras de las
decisiones. Al disponer de una hoja de cálculo, se puede ‘jugar’ con las cifras, hasta
encontrar la más adecuada. Con Excel se puede utilizar la opción Búsqueda de objetivo o
Solver de la opción Herramientas, en el menú, para determinar los valores de una variable
cualquiera (por ejemplo, precio de venta inicial), que produzca un determinado resultado
(por ejemplo, valor de utilidad neta).
En muchos casos, y con los recursos computacionales con que se cuenta, se puede
incluso dejar de lado las complicadas técnicas de pronóstico y utilizar ‘escenarios’ posibles,
para detectar el comportamiento de los resultados financieros. Esto es, se producen
17

estimativos calificados 7 de las diversas variables y parámetros y con ellos se construyen los
estados financieros proforma. Más adelante se elabora un ejemplo para ilustrar la idea.
Lo primero que se debe hacer para construir los estados financieros es definir
políticas, metas y parámetros que se puedan basar en los estados financieros históricos (por
ejemplo, política o meta de cartera o de inventarios), en la observación del entorno
económico (por ejemplo, tasas de inflación, devaluación, etc.) y en la estimación de costos
de operación, a partir de los estados financieros históricos.
No sobra decir que es posible utilizar este enfoque tanto para una empresa que se
inicia como para una empresa en marcha. En este último caso, el balance general más
reciente nos informa sobre el valor total de activos comprometidos, las cuentas por pagar,
las cuentas por cobrar y los inventarios.
5.11 Información básica y metas o políticas
La recolección de información se debe hacer sobre volúmenes, precios de venta y de
compra actuales, aumentos porcentuales en los precios y los volúmenes de venta,
elasticidad precio-demanda, montos de diversos gastos, cantidad y precio de los activos que
se requieren, inflación, montos de las tasas de interés, disponibilidad de crédito, etc. 8
Mucho de todo lo mencionado puede ser ‘comprado’ a empresas especializadas en estudios
de mercados o prospectiva económica.
Por otro lado, se deben definir metas o políticas sobre depreciación, mantenimiento
de inventarios, recaudos de cartera, pago de proveedores y servicios, repago de deudas,
inversión de excesos de liquidez, etc.
Con esta información definida, se proyecta de manera individual cada partida o
variable, y con esos datos se pueden construir los estados financieros: BG, EdeR, FT y flujo
de caja (entendiendo este ejemplo como un proyecto de inversión).
En una hoja de cálculo reservamos un espacio para los datos de entrada: parámetros,
metas o políticas. Esta información va a ser muy útil no sólo para la construcción misma de
los estados financieros, sino para analizar los diferentes escenarios que se visualicen o para
hacer análisis de sensibilidad. El resto de la construcción de los estados financieros va a
estar directa o indirectamente ligado a estos valores.
5.11.1 Descripción del ejemplo hipotético
En este modelo se trata de hacer depender los resultados y, en consecuencia, todos
los valores intermedios (tablas de depreciación, de amortización, de juego de inventarios,
etc.) de unas pocas variables de entrada. Esto va a permitir, como se verá más adelante,
hacer análisis de sensibilidad. Esas variables son, en realidad, aquéllas sobre las cuales un
gerente toma decisiones, define políticas o acepta como variables exógenas sin control o
con poco control. Las celdas que contienen las variables o datos de entrada están en celdas
sombreadas.
7 Un estimativo calificado es aquel emitido por personas que tienen la experiencia y la información suficiente para hacer
apreciaciones subjetivas –no arbitrarias, pues lo subjetivo no es arbitrario– de los posibles valores de una variable o
parámetro.
8 En http://www.poligran.edu.co/decisiones en la opción de menú Para leer (trabajos de Ignacio Vélez) se puede consultar
una lista que no es exhaustiva.
18

Las fórmulas que allí aparecen son ejemplos o simulaciones de lo que podría ser el
comportamiento de ciertas variables que dependen de unos datos de entrada. Por ejemplo,
el mercado inicial (estudio de mercado) va a depender del precio que se utilice en el estudio
de mercado: hay una fórmula que hace depender esa cifra del precio que se incluya en el
estudio de mercado. En la realidad esto será una cifra o conjunto de cifras que se deducen
de lo que respondan los encuestados en el estudio de mercado ante diferentes alternativas
de precios.
Se planea la creación de una empresa, se proyectan los estados financieros para
poder hacer una evaluación financiera y se desea usar el VPN como método de evaluación.
Los datos reflejan todos los ingresos y costos del proyecto. Se sugiere al lector de manera
enfática que este ejemplo se estudie acompañado de la hoja de cálculo que se encuentra en
el archivo CIGE.XLS. Este archivo está disponible en
http://www.poligran.edu.co/decisiones.
Vamos a ilustrar la construcción de los estados financieros con un ejemplo
hipotético que tiene algunas complejidades 9 . Se trata de una firma que inicia operaciones y
tiene un propósito muy simple: compra un producto alimenticio para revenderlo. La
inversión inicial en activos fijos es de $45.000, y en inventarios es de 400 unidades (a partir
de ahora entenderemos por unidad un millar de unidades y el precio de compra o venta
unitario por millar).
Los activos fijos se deprecian en 4 años al final de los cuales se adquieren otros. La
valoración de los inventarios se hace basándose en la política primero en entrar, primero en
salir (PEPS) 10 . Para efectos fiscales suponemos un sistema de depreciación lineal. El aporte
de capital patrimonial es de $15.000. La tasa de impuestos es de 35%. Como el valor de los
activos supera el aporte patrimonial, se espera financiar la diferencia con un préstamo
bancario. Así mismo, en este ejemplo se supondrá que si la firma tiene algún excedente de
efectivo, lo va a invertir en el mercado a las tasas vigentes.
Se supone que esta empresa debe pagar unas regalías en dólares por unidad vendida.
Las regalías son una especie de comisión que se paga al dueño de un producto o idea por
usar ese conocimiento que se supone exclusivo. Un ejemplo de regalía es lo que debe pagar
quien instale un puesto de ventas de McDonald u otro producto o servicio similar.
El 25% de las ventas se hace en Estados Unidos, en dólares. Para efectos de
ilustración, supondremos que el único préstamo (parcial) que se negocia en dólares es el
inicial. En el ejemplo también supondremos que sólo la mitad de las necesidades de
financiación al inicio de la firma se financiará en dólares.
En este ejemplo definimos que hay una función de elasticidad, la cual indica una
sensibilidad de la demanda a partir del aumento de precio. Este tipo de información se
puede obtener a partir de estudios de consumidor donde se enfrenta al potencial comprador
con un rango de precios y él escoge a qué nivel de precios compraría un producto o
servicio. Así mismo, suponemos que existen economías de escala que se obtienen al
aumentar la cantidad comprada. Por el otro lado, consideramos que a medida que se exigen
más pagos de contado en las ventas, habrá algún número de clientes que desisten de ser
9 Hay una complejidad muy importante que no se incluye en este ejemplo: los ajustes a los estados financieros por
inflación. Su efecto se da en los impuestos, que pueden aumentar o disminuir. Así mismo, hay detalles que no se incluyen,
como el impuesto a las transacciones financieras, el impuesto al valor agregado IVA y el impuesto de industria y
comercio, por ejemplo. Esto no hace que se pierda el concepto básico de lo que se desea ilustrar y no le hace perder
generalidad al modelo. El analista deberá incluirlos en su trabajo.
10 Si se desea asumir una política diferente a PEPS, deberá ajustarse el modelo según la formulación de esa política.
19

clientes. Es decir, a partir de cierta cantidad de ventas de contado, las ventas declinan un
poco.
Por el otro lado, incluimos consideraciones respecto al efecto del endeudamiento en
libros (que es lo más visible) sobre el crecimiento de las ventas en unidades y sobre los
plazos que otorgan los proveedores para los pagos. Esto significa que pensamos que a partir
de cierto endeudamiento en libros algunos clientes se pueden retirar o disminuir sus
volúmenes y que algunos proveedores pueden reducir los plazos para el pago de sus
facturas. Para este ejemplo se trabajó el endeudamiento teniendo en cuenta el total de
pasivos, que es lo que el mercado (clientes y proveedores pueden observar). Es posible que
sea más conveniente considerar la totalidad de los pasivos para este análisis; todo depende
de lo que supongamos que mira el proveedor o el cliente.
Si bien es cierto que sobre estos efectos no se puede estipular una regla
determinada, es saludable que quien hace el modelo financiero tenga presentes las
consecuencias de estos hechos.
Los parámetros básicos se presentan en las siguientes tablas. Los datos de entrada se
indicarán con celdas sombreadas.
Tabla 5.9 Información básica: parámetros iniciales
Datos Año 0
Activos fijos 45.000,0
Depreciación lineal (años) 4,0
Inversión inicial de patrimonio 15.000,0
Proporción del préstamo inicial en
dólares 50,0%
Tasa de impuestos 35,0%
Inventario final año 0 unidades 400,0
Precio de compra base (año 0) 4,20
Aunque los datos de inversión en activos fijos y de patrimonio aparecen como datos
de entrada, en la realidad esto debe determinarse después de haber hecho los estudios de
mercado y las proyecciones. Haríamos mal si definimos a priori, por ejemplo, la capacidad
instalada sin haber estudiado el nivel de operaciones que va a tener el proyecto o firma.
También se podrían definir estos parámetros (dados en función de una capacidad instalada)
y condicionar el nivel de operaciones a estas variables de entrada sin tener en cuenta la
situación de mercado, pero no es razonable esta posición. En todos los casos, como se está
construyendo un modelo en una hoja de cálculo, las cifras de entrada siempre podrán
variarse. De hecho, un análisis necesario con este tipo de trabajos es el análisis de
sensibilidad del resultado (VPN, por ejemplo) a los cambios en ciertas variables. (Véase el
siguiente capítulo y para más detalles, Vélez Pareja, 2003).
5.12 Valores de otros parámetros iniciales y proyectados
Como es una empresa nueva, se investiga cuánto podría costar la operación en
términos de sus gastos generales y de sus gastos de nómina. Así mismo, se han estimado las
tasas de inflación que prevalecerán en los próximos años, al igual que los aumentos reales
en el precio de venta, en el costo unitario de los insumos, en los gastos (generales, de
20

nómina y administrativos) y en el precio de compra de activos fijos. También se ha
calculado el posible aumento real de las ventas en unidades. También se ha establecido la
tasa real de interés y el margen o nivel de riesgo que perciben los acreedores financieros en
la firma. Por último, se ha previsto la inflación en Estados Unidos y el precio del dólar
(TRM, en Colombia) del momento inicial.
Los gastos iniciales, la proporción de exportaciones y la TRM se presentan en la
Tabla 5.10.
Tabla 5.10 Gastos iniciales, TRM y otras variables
Datos Año 0
Gastos generales estimados al año 0 2.184,0
Nómina administrativa y de ventas 2.400,0
Porcentaje de exportación sobre el total (constante para todos los años) 25,0%
TRM al día de hoy (pesos colombianos por 1 dólar) 1.000,00
Cantidad de nómina por unidad extra sobre volumen inicial 0,15
Los datos relacionados con gastos generales y nómina administrativa y de ventas
hay que obtenerlos a partir de la estructura organizacional y de gastos que se planea tener
para la firma. Por ejemplo, suponiendo una carga prestacional de 50%, los gastos generales
y de nómina podrían ser tal y como aparece en las siguientes tablas. Para la nómina:
Tabla 5.11 Distribución de nómina
Gerente 666,67
Secretaria 266,67
Vendedores 266,67
Director Financiero 400,00
Carga prestacional 800,00
Total nómina administrativa y de ventas 2.400,00
Para el caso de los gastos generales se puede tener algo como lo que aparece en la tabla
5.12:
Tabla 5.12 Distribución gastos generales
Sueldo celador 200,00
Carga prestacional 100,00
Servicios públicos 300,00
Arriendos 1.200,00
Útiles y papelería 100,00
Fletes y acarreos 150,00
Gastos varios 134,00
Total gastos generales 2.184,00
Los datos macroeconómicos y macroeconómicos en términos de tasas de aumentos
aparecen a continuación (Tabla 5.13).
Tabla 5.13 Tasas de inflación, aumento en precios reales y volumen
21

Datos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Tasa de inflación en Colombia 6,0% 5,5% 5,5% 5,0% 4,5%
Tasa de inflación en Estados Unidos 2,0% 2,8% 1,6% 2,2% 1,9%
Aumento real de precios de venta local 0,0% 1,0% 1,0% 1,0% 1,0%
Aumento real de precios del producto en dólares 0,000% 1,000% 1,000% 1,000% 1,000%
Aumento real de precios en costo unitario 0,5% 0,5% 0,5% 1,0% 1,0%
Aumento real de los gastos generales 0,5% 0,5% 0,5% 0,5% 1,0%
Aumento real en nómina 1,5% 1,5% 1,5% 1,5% 1,5%
Aumento real en precio de activos fijos 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2%
Aumento de volumen 0,0% 1,0% 2,0% 2,0% 2,5%
Tasa de interés real 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0%
Prima de riesgo para la deuda 4,91% 4,91% 4,91% 4,91% 4,91%
Prima de riesgo en tasa prime 0,54% 0,54% 0,54% 0,54% 0,54%
% de más sobretasa prime para crédito en dólares 4,00% 4,00% 4,00% 4,00% 4,00%
La tasa prime es una tasa de referencia que se usa para expresar los créditos en
dólares. Es la tasa mínima que usan los bancos para prestarles a sus mejores clientes. La
hemos descompuesto en inflación, tasa real de interés y un porcentaje que mide el riesgo
asociado al préstamo. Los préstamos en dólares se expresan como tasa prime más cierto
número de puntos porcentuales por encima. En este ejemplo esos puntos son 4,0%.
La prima de riesgo para deuda (4,91%) se puede estimar a partir de la tasa que
cobraría un banco, restando de ese valor la tasa libre de riesgo vigente en el mercado. Esto
es una aplicación del capital asset pricing model (CAPM), que presentaremos en forma
breve en el capítulo sobre el costo de capital.
La cantidad de nómina por unidad extra sobre volumen inicial reconoce que hay una
planta de empleados básica, que es un costo fijo para un cierto volumen de operación hacia
abajo. A partir de cierto volumen (en este ejemplo se considera que es el volumen inicial
determinado por el estudio de mercado) hay que incrementar la planta de empleados. La
expresión de ese fenómeno como una fracción en dinero por unidad adicional es una
aproximación y se plantea sólo como un ejemplo. En realidad habría que determinar la
cantidad de tiempo necesario para cubrir el volumen de operación extra y convertirla en
número de personas adicionales que se requieren. La aproximación que se utiliza aquí es
bastante aceptable en el sentido de considerar recurso humano adicional que se puede suplir
con horas extras o con cierto número de personas cuando la cantidad lo requiera.
La tasa de interés real es un promedio de largo plazo del resultado de deflactar las
tasas libres de riesgo (papeles o títulos del gobierno). La prima de riesgo de la deuda es el
porcentaje adicional por encima de esa tasa libre de riesgo que cobra el banco (o en general
el tenedor de deuda) a la firma.
5.13 Algunas metas y políticas
En el cálculo de estados financieros muchas veces pareciera que hay muchas
variables por predecir. En realidad, muchas de ellas no son proyecciones en sí mismas, sino
que obedecen a políticas que la firma establece o metas que se propone. A continuación se
establecen algunas de ellas, relacionadas con la forma como se definen los gastos en
22

publicidad; las regalías; las políticas de inventario, cartera y pagos, y el porcentaje de
utilidades que se reparte al año siguiente, cuando las haya.
Como ya se dijo, en este ejemplo pretendemos reconocer el efecto que tiene el
exigir o el esperar que los clientes paguen gran parte de las facturas de contado. Es decir, a
medida que aumenta el porcentaje de recaudos recibido el mismo año en que se factura, se
espera que algunos clientes deserten de la empresa. En este caso se ha estimado un índice
de recaudo para el mismo año a partir del cual los clientes se ‘resienten’ y desertan. Cuando
se supera ese índice se calcula que se pierde un cierto porcentaje de los clientes.
Por último, para cada año se ha estimado un mínimo de efectivo que se espera
mantener en caja.
Tabla 5.14 Políticas y metas
Datos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Publicidad y promoción como porcentaje de las ventas 3,0% 3,0% 3,0% 3,0% 3,0%
Política de inventario (un mes de ventas en unidades) 8,3% 8,3% 8,3% 8,3% 8,3%
Porcentaje de recaudos recibido el mismo año 95,0%
Fracción crítica para reducción en ventas por pago de contado 85,0%
Fracción de reducción en ventas por aumento de pago en
efectivo fracción de cada punto >85% 15,0%
Porcentaje de facturas pagadas el mismo año (PCT) 90,0%
Fracción de utilidades repartidas (payout ratio) 70,0%
Saldo mínimo de tesorería 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0
Nivel de endeudamiento D% crítico 60,0%
5.14 Endeudamiento y deterioro de los plazos de pago
El índice de endeudamiento crítico es el índice de pasivos totales como porcentaje
del valor total de los activos para el cual se cree que empiezan a deteriorarse algunos
parámetros. Por ejemplo, como se mencionó arriba, a medida que la firma se endeuda, los
clientes y los proveedores pueden percibir que eso es una señal de peligro, y los clientes
pueden retirarse o reducir sus compras, y con ello deteriorar los aumentos de volumen
previstos. Por otro lado, los proveedores pueden reaccionar reduciendo los plazos de pago.
En este caso se genera una circularidad, ya que no conocemos de antemano los
valores de D% libros (pasivos totales sobre activos totales) de cada año. Esto lo conoceremos
cuando construyamos los estados financieros.
Para resolver la circularidad se debe proceder de la siguiente manera (en Excel):
1. Escoja la opción Herramientas en el menú textual de Excel.
2. Allí escoja Opciones.
3. Seleccione la pestaña Calcular.
4. En ese cuadro de diálogo se señala Iteración y haga clic en Aceptar.
Este procedimiento se puede llevar a cabo antes de iniciar el trabajo en la hoja de
cálculo o cuando Excel declare que hay una circularidad.
Aquí mostramos el valor final de ese endeudamiento y su efecto en la fracción de
las facturas que se deben pagar de contado y en el crecimiento. Se considera que el efecto
sobre ese endeudamiento se calcula teniendo en cuenta el D% libros del año anterior. A modo
23

de ejemplo (esto no puede usarse como una regla) se usará una fórmula para determinar el
índice de cuentas por pagar de contado. La fórmula hipotética 11 en este ejemplo es:
PCT t = 0,04D% libros t−1+D% deseado, si D% libros >D% crítico (5.13)
PCT t = D% deseado, si D% libros <D% crítico (5.14)
Donde PCT es la fracción de pago de contado a terceros, y D% deseado , la política
deseada de pagos de contado a terceros.
El resultado de las fórmulas 5.13 y 5.14 es el nuevo valor de la fracción de cuentas
por pagar de contado y reemplaza la cifra que se hubiera utilizado como variable de
entrada. Por ejemplo, aquí se indicó que la política de pagos sería que el 90% de las
facturas se pagaría el mismo año; sin embargo, por efecto del endeudamiento del año 0, esa
fracción pasa a ser 92,756% en el año 1. (Ver tabla 5.31).
También utilizamos una fórmula para reflejar el efecto del endeudamiento en el
crecimiento. Al igual que la anterior, es sólo para ilustración y no se espera que se
considere ‘la’ fórmula para hacerlo.
La fórmula es similar a la de las C×P:
Factor de ajuste al aumento t = -1,4 D% libros t−1+1,9, si D% libros >D% crítico (5.15)
Factor de ajuste al aumento t = 1, si D% libros <D% crítico (5.16)
Este factor se multiplica por el aumento en volumen planeado y con ese aumento
ajustado se calcula el factor que tiene en cuenta los esfuerzos de mercadeo.
Por el lado de la demanda, podemos obtener la siguiente información a partir de un
adecuado estudio de mercado (Tabla 5.15).
Tabla 5.15 Investigación de mercados
Precio Q demandada
3,0 6.637,6
3,5 6.289,0
4,0 6.001,8
4,5 5.759,4
5,0 5.550,9
5,5 5.368,8
6,0 5.207,8
6,5 5.063,9
7,0 4.934,2
7,5 4.816,5
8,0 4.708,9
8,5 4.610,1
9,0 4.518,8
9,5 4.434,1
10,0 4.355,2
10,5 4.281,4
11,0 4.212,3
11 Hay que insistir mucho en que esto es un ejemplo y no se debe considerar que es ‘la’ fórmula que debe utilizarse.
24

A partir de la Tabla 5.15 podemos encontrar ‘la fórmula’ para simular el estudio de
mercado:
Q = b 0 Precio b (5.17)
Tabla 5.16 Datos y coeficientes para simular el estudio de mercado y la elasticidad
Coeficiente de elasticidad b -0,350
Coeficiente de elasticidad b 0 9.750,00
Precio de venta determinado en el estudio de mercado 7,0
Las variables o los parámetros utilizados en las proyecciones tienen diferente
naturaleza, en cuanto a su grado de control por parte de la gerencia. Podemos distinguir dos
extremos: variables controlables y no controlables por la gerencia; variables externas e
internas. El gerente controla las variables internas hasta cierto punto. Ejemplos de este tipo
de variables son las políticas que puede fijar la gerencia, como el nivel de inventarios, así
como la política de recaudos y de pago. Sin embargo, éstas no son totalmente controlables
por la administración, porque en cierta medida son influidas por el mercado, la competencia
y las costumbres comerciales del entorno.
Las otras variables, las externas (exógenas), son prácticamente incontrolables por la
gerencia. Ejemplos de estas variables son la tasa de inflación o la tasa de interés real. Como
ya hemos dicho, estas restricciones en las variables o parámetros de entrada se pueden
analizar con herramientas de escenarios o análisis de sensibilidad. En las tablas 5.15 y 5.16
se estipularon las variables internas y externas para nuestro ejemplo.
Las políticas y metas nos sirven para calcular algunas de las partidas contables de
nuestro modelo. En este caso, por ejemplo, calculamos las ventas en unidades, y usando el
conocido juego de inventarios, podemos calcular los inventarios finales y la cantidad que
debe comprarse. Así mismo, al conocer los precios de venta –que calculamos ajustando los
precios por los aumentos de precios–, es posible estimar la facturación; de igual forma, al
conocer la política de recaudos, podemos calcular las cuentas por cobrar.
5.15 Costos y precios
Otros datos de entrada están relacionados con los descuentos por volumen y la
elasticidad precio-demanda. El comportamiento de los precios de compra, de acuerdo con
una tabla de descuentos que depende del volumen de compra, es el siguiente (Tabla 5.17):
25

Tabla 5.17 Descuentos de volumen en compra
Cantidad desde Cantidad hasta Descuento
0 4.999 0%
5.000 5.924 10%
5.925 6.524 15%
6.525 6.674 20%
6.675 6.824 21%
6.825 6.974 24%
6.975 7.124 26%
7.125 7.274 28%
7.275 7.424 31%
7.425 7.574 33%
7.575 7.724 35%
7.725 7.874 37%
7.875 8.024 39%
8.025 8.174 41%
8.175 8.324 43%
8.325 8.474 44%
8.475 8.624 46%
8.625 8.774 48%
8.775 y más 49%
Hay una aparente limitación en el ejemplo que hace pensar en que es muy pobre al
considerar un solo producto. Muchas empresas, aunque venden múltiples productos o
referencias, en la práctica venden sólo uno. Podemos pensar en empresas de bebidas o de
fundición, en imprentas o en productoras de llantas. Es una práctica común calcular (para
efectos de presupuesto) unidades equivalentes. Así, en estas empresas se piensa en términos
de hectolitros de líquido, toneladas de bronce, toneladas de papel o toneladas de llantas.
Esto aplica tanto para los productos como para los insumos 12 .
Suponemos que esta escala se mantiene en cuanto a descuentos y que los aumentos
previstos se aplican sobre el precio base ajustado por el aumento nominal de precios.
Esta empresa hipotética debe pagar unas regalías en dólares por cada producto
vendido en el mercado local o en Estados Unidos. Se planteó un esquema de equiparar las
regalías en dólares con el valor equivalente en pesos de cerca de un 6% y no menor que 5%
sobre las ventas totales. Al hacer la conversión a dólares, esta firma aceptó pagar las
regalías en dólares de acuerdo con la Tabla 5.18 (que sería considerada como datos de
entrada):
12 En casos en que esto no aplique se puede utilizar la conocida regla de Pareto, que indica que el 20% de las causas
generan el 80% de los efectos, y aplicarla a los productos o servicios.
26

Tabla 5.18 Regalías por unidad vendida
Cantidad vendida hasta Regalía unitaria en dólares
5.000 0,000400000
6.000 0,000410000
6.490 0,000424200
6.520 0,000432726
6.660 0,000441424
6.750 0,000450297
6.950 0,000459348
Más de 6.950 0,000467294
Para determinar los costos y los precios de productos e insumos debemos calcular
los aumentos de precios nominales o corrientes. Para eso utilizamos los aumentos reales de
precios y la tasa de inflación.
Antes de continuar, debemos aclarar que si bien es cierto que introdujimos como
variables de entrada los aumentos reales de precios, éstos jamás se observan en la
economía. Los precios reales son una construcción matemática. Lo que se hace en un
modelo como el aquí presentado es suponer unos aumentos de precios nominales y unas
tasas de inflación. Los procedimientos para calcular los precios nominales son variados.
Aquí hemos supuesto el siguiente procedimiento: calculamos los precios reales históricos
deflactando los precios nominales históricos, como se indicó atrás, y el promedio de esos
datos resultantes (los aumentos reales de precios) se utilizan como variables de entrada
(valores). Posteriormente se reconstruye cada aumento nominal para que el modelo sea
consistente. Esto significa que si cambiamos la inflación, entonces los precios nominales
cambian (para más detalles véase Vélez Pareja, 2002). La relación entre los aumentos de
precios nominales y reales es la mencionada en la ecuación 5.3:
1+aumento nominal = (1+tasa de inflación)(1+tasa real de aumento)
Entonces, a partir de los datos nominales observados, encontramos los reales. Desde
estos aumentos reales proyectados (o simplemente suponemos unos valores de aumentos
reales que sean razonables) y con la tasa de inflación proyectada calculamos los aumentos
nominales utilizando la última fórmula. De esta manera hemos calculado la Tabla 5.19.
Tabla 5.19 Aumentos nominales de precios y de costos
Datos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Aumento nominal de precio de venta anual 6,0% 6,6% 6,6% 6,1% 5,5%
Aumento nominal de precio del producto de
exportación 2,00% 3,83% 2,62% 3,22% 2,92%
Aumento nominal de precio de compra anual 6,5% 6,0% 6,0% 6,1% 5,5%
Aumento nominal de gastos generales anual 6,5% 6,0% 6,0% 5,5% 5,5%
Aumento nominal de nómina anual 7,6% 7,1% 7,1% 6,6% 6,1%
Aumento nominal de activos fijos anual 6,2% 5,7% 5,7% 5,2% 4,7%
Al hacer los ajustes por aumentos de precios, la tabla de precios con descuentos por
volumen para cada año queda así:
27

Tabla 5.20 Precios por volumen por año 13
Desde Hasta Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
0 4.999 4,20 4,47 4,74 5,03 5,33 5,63
5.000 5.924 3,78 4,03 4,27 4,53 4,80 5,07
5.925 6.524 3,57 3,80 4,03 4,28 4,53 4,79
6.525 6.674 3,36 3,58 3,80 4,02 4,27 4,50
6.675 6.824 3,32 3,53 3,75 3,97 4,21 4,45
6.825 6.974 3,19 3,40 3,61 3,82 4,05 4,28
6.975 7.124 3,11 3,31 3,51 3,72 3,95 4,17
7.125 7.274 3,02 3,22 3,42 3,62 3,84 4,05
7.275 7.424 2,90 3,09 3,27 3,47 3,68 3,88
7.425 7.574 2,81 3,00 3,18 3,37 3,57 3,77
7.575 7.724 2,73 2,91 3,08 3,27 3,47 3,66
7.725 7.874 2,65 2,82 2,99 3,17 3,36 3,55
7.875 8.024 2,56 2,73 2,89 3,07 3,25 3,43
8.025 8.174 2,48 2,64 2,80 2,97 3,15 3,32
8.175 8.324 2,39 2,55 2,70 2,87 3,04 3,21
8.325 8.474 2,35 2,51 2,66 2,82 2,99 3,15
8.475 8.624 2,27 2,42 2,56 2,72 2,88 3,04
8.625 8.774 2,18 2,33 2,47 2,62 2,77 2,93
8.775 8.924 2,14 2,28 2,42 2,57 2,72 2,87
8.925 9.074 2,06 2,19 2,32 2,46 2,61 2,76
9.075 9.224 1,97 2,10 2,23 2,36 2,51 2,65
Cuando el mercado detecta un aumento de precios en términos reales (el aumento de
precios nominal o corriente es mayor que la inflación), la demanda cambia y se afectan las
ventas. Esto se conoce como la elasticidad precio demanda.
-0,35×(aumento real en el precio de venta) (5.18)
En la Tabla 5.21 se presenta el valor para cada factor y se tienen en cuenta los
efectos combinados de aumento de ventas por esfuerzos de mercadeo (publicidad,
mercadeo, calidad, promociones, etc.), así como el efecto del aumento de los precios sobre
la demanda.
13 La primera reacción de un lector es pensar que no debe usarse un ejemplo con tantos decimales. Se incluyen tantos
decimales (en algunos casos más de dos), porque deseamos que el lector pueda reproducir y verificar los cálculos. Al
redondear las cifras se puede perder precisión en esa verificación y no podría saberse si es o no correcto el resultado
obtenido.
28

Tabla 5.21 Simulación de la elasticidad precio-demanda y esfuerzo de mercado
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Elasticidad = -0,35×(aumento real en precio de
venta) 0,0000 -0,0035 -0,0035 -0,0035 -0,0035
Factor de ajuste (1+elasticidad) 1,0000 0,9965 0,9965 0,9965 0,9965
D% libros 68,90% 65,95% 58,68% 46,91% 63,97% 55,27%
Factor de ajuste al aumento en volumen por
D% libros 0,93539 0,97665 1,00000 1,00000 1,00000
(1+aumento en volumen planeado×factor de ajuste
por D%) 1,00000 1,00977 1,02000 1,02000 1,02500
1+aumento neto en la demanda (como el esfuerzo
de mercado, elasticidad y endeudamiento)
= (1+aumento en volumen
ajustado)×(1+elasticidad) 1,00000 1,00623 1,01643 1,01643 1,02141
Observe que para el año 1, como la tasa de inflación y el aumento del precio en
términos nominales o corrientes son iguales (implica aumento real de 0%), el factor de
ajuste por elasticidad es 1. En los años siguientes el crecimiento esperado se reduce; por
ejemplo, para el año 3 el aumento planeado en unidades fue de 2% y después de ajustes es
de 1,643%.
5.16 Endeudamiento y deterioro del aumento de volumen
Añadimos el efecto del endeudamiento en los aumentos de volumen. Al igual que
en el caso de las cuentas por cobrar, usamos una fórmula (se advierte otra vez que es como
ejemplo y no debe ser utilizada como si fuera lo que ocurre en la realidad) que ya se
presentó. Así mismo, como en los años 0 y 1 el D% es mayor que el crítico, hay una
pérdida de clientes que se refleja en una menor tasa de aumento en unidades (aumento en
volumen). Recordemos las fórmulas 5.15 y 5.16:
Factor de ajuste al aumento t = -1,4 D% libros t−1+1,9, si D% libros >D% crítico
Factor de ajuste al aumento t = 1 si D% libros <D% crítico
Este factor se multiplica por el aumento en volumen planeado y con ese aumento
ajustado se calcula el factor que tiene en cuenta los esfuerzos de mercadeo. Es decir, lo que
aparece en la tabla anterior como (1+aumento en volumen ajustado) es 1+aumento
planeado×Factor de ajuste al aumento en volumen por D% libros.
En el caso del año 1, el resultado es 1,0 porque el aumento previsto para ese año es
0%.
Basándose en las tasas de aumento de la Tabla 5.21 podemos calcular los elementos
básicos para empezar a generar la información contable (Tabla 5.22).
29

Tabla 5.22 Unidades ajustadas por efecto de la política de cuentas por cobrar
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
1. Unidades según estudio de mercado 4.934,24
local
2. Porcentaje de ventas en exterior sobre 33,33%
ventas locales [(%exportación/(1-
%exportación)]
3. Unidades para exportación (1/3 del 1.644,75
anterior, o sea, 25% del total, en este
ejemplo)
4. Unidades totales vendidas sin efecto de 6.578,99 6.579,0 6.620,0 6.728,8 6.839,3 6.985,8
reducción de C×C
5. Ajuste por reducción en ventas por
0,9850 0,9850 0,9850 0,9850 0,9850
aumento en pago de contado
6. Unidades ajustadas (4)×(5) 6.480,3 6.520,7 6.627,8 6.736,7 6.881,0
En el ejemplo tenemos para todos los años:
Ajuste = 1−(95%−85%)×15% = 0,985
En esta tabla, el valor de las unidades vendidas determinadas en el año 0 por el
estudio de mercado se simula con la fórmula 5.17:
Aplicando la fórmula 5.17 se tiene:
Q = b 0 Precio b = 9.750 × 7,0 −0,350 = 4.934,24
Como ese valor es la venta local, y es el 75% de las ventas totales, entonces las
unidades de exportación serán el 25% del total, o sea, un tercio de las locales (1.644,75). Es
decir, el total es 6.578,99.
Las demás cantidades se calculan a partir de ese valor aplicando los factores de las
tablas 5.19, 5.20 y 521 14 . Por ejemplo:
Q 1 = 6.579,0×1
Q 2 = 6579,0×1,00592 = 6.617,9
A estos valores se les aplica el ajuste por el efecto de reducir las ventas a crédito. El
ajuste por reducción en ventas por aumento en pago de contado se ha calculado aquí como:
Ajuste = 1−(% de recaudos de contado−fracción crítica)×15% (5.19)
El valor del índice crítico de ventas de contado se puede asimilar a la cantidad de
ventas de contado del sector de la firma que se analiza.
5.17 Unidades vendidas y facturación
14 Para simplificar el ejemplo se ha supuesto que el comportamiento en volumen de las exportaciones es igual al de las
ventas locales. También se supone que aplica el mismo fenómeno respecto de la política de C×C y del endeudamiento.
30

Como se mencionó en páginas anteriores, ahora podemos calcular varias partidas,
como la facturación y los gastos. Así mismo, podemos calcular el costo de la deuda, el
valor de los activos fijos que esperamos comprar en el año 4 y el saldo mínimo de tesorería
inicial.
Tabla 5.23 Unidades vendidas, TRM, precios de venta y facturación
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Unidades vendidas (de Tabla
5.22) 6.480,3 6.520,7 6.627,8 6.736,7 6.881,0
Unidades para exportación 1.620,1 1.630,2 1.657,0 1.684,2 1.720,2
Unidades vendidas en mercado
local 4.860,2 4.890,5 4.970,9 5.052,5 5.160,7
Cambio en precio de divisa 3,92% 2,63% 3,84% 2,74% 2,55%
TRM en dólares 1.000,00 1.039,22 1.066,51 1.107,45 1.137,79 1.166,82
Precio de venta local 7,0 7,4 7,9 8,4 8,9 9,4
Precio de venta en dólares 0,007000 0,007140 0,007413 0,007607 0,007852 0,008082
Facturación local 36.062,9 38.666,3 41.877,8 45.141,1 48.664,3
Facturación en dólares 12.021,0 12.888,8 13.959,3 15.047,0 16.221,4
Facturación total 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8
Hay que observar que el precio de venta en dólares se calcula inicialmente
basándose en el precio local. En los años siguientes ese precio se rige por la inflación en
Estados Unidos y en los aumentos reales establecidos.
El cambio en el precio de la divisa se calcula como ya se indicó, así:
Cambio en precio de la divisa = (1+inflación local)/(1+inflación en Estados Unidos)−1
= 1,06/1,02 = 3,92%, para el año 1
año 1:
Basándose en ese cambio se calcula la TRM hacia el futuro. Por ejemplo, para el
TRM 1 = 1.000.00×1,0392 = 1.039,2
Los costos y otras variables se pueden calcular a continuación (Tabla 5.24):
31

Tabla 5.24 Costos, unidades y otras variables
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Regalías unitarias en
dólares 0,00042420 0,00043273 0,00044142 0,00045030 0,00045935
Regalía unitaria en pesos 0,4408 0,4708 0,4889 0,5123 0,5360
Facturación total 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8
Gastos generales 2.184,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Nómina administrativa y de
ventas 2.400,0 2.582,2 2.765,0 2.960,9 3.155,6 3.347,0
Costo de unidad extra en
nómina por unidad
adicional vendida 0,161 0,173 0,185 0,197 0,209
Nómina extra 0,0 0,0 9,0 31,1 63,2
Regalías 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.688,0
Publicidad y promoción 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,6
Saldo mínimo de tesorería
para el año 0 (20% de los
gastos generales, nómina y
regalías del año 1) 1.553,1
Factor de aumento del
precio de los activos fijos 1,06 1,12 1,19 1,25 1,31
Precio del activo fijo
adquirido en el futuro 56.193,2 0,0
Las regalías dependen de la cantidad vendida y se calculan a partir de la Tabla 5.18.
Los precios de venta en dólares se calculan igual que los precios de venta locales,
partiendo del precio inicial y aplicando los aumentos de precios nominales de la Tabla 5.16.
Los precios de venta local se calculan a partir del fijado las tablas 5.17 y 5.18. A ese valor
se le aplican los aumentos estipulados. Por ejemplo:
PV 1 = 7,0×1,05 = 7,35
El saldo mínimo para el año 0 en este ejemplo hipotético, se calcula como 20% ×
(2.326,6 + 2.582,2 + 2.856,7) = 1.553,1.
El costo de unidad extra en nómina por unidad adicional vendida se ajusta con el
aumento del costo de la nómina. La nómina extra es el valor anterior por el número de
unidades por encima de las unidades iniciales planteadas en el estudio de mercado. Por
ejemplo, para los años 1 y 2 no hay extras, porque las cantidades que se van a vender son
menores que la estipulada en el estudio de mercado inicial. En cambio, para el año 3 se
tiene (5.579−6.625,9)×0,185 = 8,7.
32

Tabla 5.25 Costo de la deuda y tasa de rendimiento de los excedentes invertidos
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Tasa de rendimiento de inversiones temporales (1+tasa de 8,15% 8,66% 8,66% 8,15% 8,15%
inflación)×(1+tasa real de interés)−1
Tasa de interés de la deuda Kd = Rf+prima de riesgo 13,06% 13,58% 13,58% 13,06% 13,06%
Prime rate 4,60% 5,42% 4,19% 4,81% 4,50%
Tasa de interés en dólares = prime rate+puntos 8,60% 9,42% 8,19% 8,81% 8,50%
El cálculo de la tasa Kd es:
Kd = R f +prima de riesgo (5.20)
Donde Kd es el costo de la deuda, y Rf, la tasa libre de riesgo. La tasa Rf se calcula
usando la relación de Fisher:
R f = (1+tasa de interés real)(1+tasa de inflación)–1 (5.21)
En este ejemplo la tasa Rf es para el año 1:
R f = (1+3%)(1+5%)−1 = 8,15%
La tasa Kd es:
Kd = 8,15%+4,91% = 13,06%
En este ejemplo se considera que cualquier excedente de efectivo se invierte en
papeles de mercado de corto plazo a una tasa de mercado. Hemos considerado que la tasa a
la cual se hacen estas inversiones es la tasa libre de riesgo (Rf). Se debe estipular la tasa a la
cual se espera invertir los excedentes. Esta tasa puede ser mayor que la tasa libre de riesgo.
La inversión que se realiza en un año se recupera al año siguiente con sus intereses.
La tasa prime se calcula a partir de los componentes: tasa real de interés, inflación
en Estados Unidos y prima de riesgo en tasa prime. Por ejemplo, en el año 1 este valor es:
(1+2%)(1+2%)(1+0,54%)−1 = 4,60%
A esta tasa se le añaden los puntos adicionales pactados (4,0%) y resulta en una tasa
de interés en dólares de 8,6%.
5.18 Tabla de depreciación
En la Tabla 5.26 calculamos la depreciación de los activos fijos. Allí, como se
estableció en los datos de entrada, utilizamos el método de depreciación lineal. En la última
fila aparece en valor de los activos netos. Los datos de esta tabla serán incluidos en el
estado de resultados y en el balance general. Para cualquier año, el valor de los activos fijos
netos es igual al valor neto del año anterior menos el gasto de depreciación del año.
33

Tabla 5.26 Tabla de depreciación
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Activos fijos netos iniciales 45.000,0 33.750,0 22.500,0 11.250,0 56.193,2
Depreciación anual 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3
Depreciación acumulada 11.250,0 22.500,0 33.750,0 45.000,0 59.048,3
Nuevos activos fijos 0,0 0,0 0,0 0,0 56.193,2 0,0
Activos fijos netos 45.000,0 33.750,0 22.500,0 11.250,0 56.193,2 42.144,9
En esta tabla ya se ha incluido el activo adquirido en el año 4 con su depreciación.
5.19 Inventarios y compras
En una tabla anterior habíamos calculado las cantidades que se esperaban vender
cada año. Basados en esas cantidades podemos calcular las unidades que necesitamos
comprar cada año, teniendo en cuenta que hemos establecido una política de inventarios.
Esto significa que si conocemos las unidades vendidas, conocemos también el inventario
final, que es una fracción de las unidades vendidas. Estas cantidades se muestran en la
Tabla 5.27.
Tabla 5.27 Inventarios y compras en unidades
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Unidades vendidas 0,0 6.480,3 6.520,7 6.627,8 6.736,7 6.881,0
Inventario final en unidades 400,0 540,0 543,4 552,3 561,4 573,4
Inventario inicial en unidades 0,0 400,0 540,0 543,4 552,3 561,4
Compras en unidades 400,0 6.620,3 6.524,1 6.636,8 6.745,8 6.893,0
Observe que el inventario final es el número de unidades vendidas por la fracción
que estipulamos como política de inventario. Así mismo, el inventario final de un año es el
inicial del año siguiente.
Por ejemplo, el inventario final del año 2 es igual a:
Inventario final = 6.522,2×8,33% = 540,0
Las compras se definen a partir de las unidades vendidas y de los inventarios inicial
y final, así:
Inventario inicial+compras−inventario final = unidades vendidas (5.22)
Compras = unidades vendidas+inventario final−inventario inicial (5.23)
5.20 Costo unitario
Basándose en las cantidades que se van a comprar, podemos examinar la tabla de
descuentos para determinar el precio de compra de cada año.
34

Tabla 5.28 Costo unitario de insumos
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Compras en unidades 400 6.620,3 6.525,7 6.638,3 6.747,4 6.894,6
Costo unitario con aumento y volumen 4,20 3,58 4,03 4,024 4,2140 4,28
La identificación del precio con descuento se hace utilizando una función de Excel
titulada BuscarV y su formulación es:
= BUSCARV(cantidad a comprar;matriz donde aparecen cantidades y
precio;columna donde se encuentra el valor que nos interesa, precio en
este caso)
(5.24)
5.21 Determinación del costo de ventas
Con las unidades de los inventarios, las compras y los precios de compra podemos
calcular el costo de ventas. Simplemente valoramos los inventarios y las compras en
unidades, multiplicándolos por el precio de compra, y por juego de inventarios calculamos
el costo de ventas (Tabla 5.29).
Tabla 5.29 Costo de ventas
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Inventario inicial 0,0 1.680,0 1.933,0 2.191,1 2.222,5 2.365,7
Compras 1.680,0 23.696,9 26.307,3 26.705,7 28.426,9 29.493,6
Inventario final 1.680,0 1.933,0 2.191,1 2.222,5 2.365,7 2.453,5
Costo de ventas 0,0 23.443,9 26.049,1 26.674,4 28.283,6 29.405,8
El juego de inventarios consiste en calcular lo que cuesta el producto que se vende a
partir de una relación muy sencilla basada en las unidades y que se puede extender a los
valores.
En unidades:
Inventario final en unidades = inventario inicial en
unidades+compras en unidades−unidades vendidas
(5.25)
En valores:
Inventario final = inventario inicial+compras−costo de ventas (5.26)
De aquí se deduce que el costo de ventas es:
Costo de ventas = inventario inicial+compras−inventario final (5.27)
Por ejemplo, para el año 1 se tiene:
35

Costo de ventas = 1.680,0+23.696,9−1.933,0 = 23.443,9
El lector puede comprobar que, en efecto, la política de valoración PEPS ocurre al
hacer el cálculo del costo de ventas de esta manera. Por ejemplo, si se toma el costo de
ventas del año 1 (23.443,9) y lo dividimos por el número de unidades vendidas (6.480,3),
encontramos que el costo promedio es 3,6177, el cual es mayor que el precio de compra de
ese año (3,58), debido a que se incorporaron en el costo las unidades compradas en el año 0
al precio de 4,20 (como la política es PEPS, en el costo entran las unidades disponibles del
inventario más antiguo a ese precio). Es decir, que de las 6.480,3 unidades vendidas, 400 de
ellas se compraron a 4,2 y 6.080,3 se compraron a 3,58, lo cual resulta en un promedio de
3,6177.
5.22 Gastos administrativos y de ventas
En páginas anteriores habíamos calculado los gastos generales, las regalías, los
gastos administrativos y de nómina y los gastos de publicidad y promoción. La suma de
estos gastos constituye los gastos administrativos y de ventas. Éstos se pueden observar en
la Tabla 5.30.
Tabla 5.30 Gastos administrativos y de ventas
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Regalías 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.688,0
Gastos generales 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Pago de nómina 2.582,2 2.765,0 2.960,9 3.155,6 3.347,0
Pago de nómina extra 0,0 0,0 9,0 31,1 63,2
Publicidad y promoción 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,6
Gastos administrativos y de ventas 9.208,0 9.848,4 10.500,6 11.203,9 11.957,9
5.23 Cuentas por cobrar y cuentas por pagar
Como ya conocemos el valor de la facturación y el valor de las compras y, además,
sabemos cuáles son las metas o políticas en relación con ellas, podemos calcular los
ingresos y egresos correspondientes.
Las ventas y las compras tienen dos componentes: lo que se recibe o compra de
contado y lo que se recibe o compra a crédito. A continuación calculamos el efecto del
endeudamiento en las cuentas por cobrar (Tabla 5.31). Utilizamos el endeudamiento final,
aunque sabemos que ese valor no se conoce de antemano por la circularidad que se genera.
Tabla 5.31 Efecto del endeudamiento en libros sobre las cuentas por pagar
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
D% libros 68,90% 65,95% 58,68% 46,91% 63,97% 55,27%
C×P por efecto de D% libros 0,92756 0,92638 0,90000 0,90000 0,90000
Observe que como el D% del año anterior (años 0 y 1) para los años 1 y 2 es mayor
que 65% el D% crítico, entonces los proveedores exigen más pago de contado (es decir,
menor plazo de pago). En la Tabla 5.32 se calculan las ventas y compras de contado y a
crédito.
36

Tabla 5.32 Ventas y compras de contado y a crédito
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Facturación (ventas) 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8
Ventas de contado (95%) 45.679,7 48.977,3 53.045,2 57.178,7 61.641,5
Ventas a crédito (5%) 2.404,2 2.577,8 2.791,9 3.009,4 3.244,3
Compras 1.680,0 23.696,9 26.307,3 26.705,7 28.426,9 29.493,6
Compras de contado 15 1.680,0 21.980,3 24.370,6 24.035,1 25.584,2 26.544,2
Compras a crédito 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4
Observe que en esta tabla ya los pagos de contado de los años 1 y 2 no son 90%,
sino más, tal y como se calculó arriba por el efecto de un D% superior al índice crítico. Los
años 3 a 5 sí gozan del beneficio de pago de contado de 90%.
Con esta información ubicamos los ingresos y los pagos en los años en que ocurren
y así se obtiene el valor del ingreso por ventas y egresos por compras (Tabla 5.33).
Tabla 5.33 Recaudos y pagos
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas de contado 0,0 45.679,7 48.977,3 53.045,2 57.178,7 61.641,5
Recaudos de cartera 0,0 0,0 2.404,2 2.577,8 2.791,9 3.009,4
Total de ingresos por ventas y
recaudos 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9
Compras de contado 1.680,0 21.980,3 24.370,6 24.035,1 25.584,2 26.544,2
Pago de cuentas por pagar 0,0 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7
Total de pagos por compras 1.680,0 21.980,3 26.087,2 25.971,8 28.254,8 29.386,9
Observe que el valor de las ventas de contado es el valor total de la facturación
multiplicado por la meta o política de cartera. En este caso tenemos para el año 1:
Ventas de contado
Ventas a plazos
= ventas totales×meta de recaudo de contado
= 48.083,8×95%
= 45.679,7
= ventas totales×(1−meta de recaudo de contado)
= 48.083,8×5%
= 2.404,2
5.24 Resumen
Hasta aquí hemos mostrado cómo se pueden construir pequeñas tablas, a manera de
ladrillos, que nos servirán para armar, en el siguiente capítulo, los estados financieros. En
ese capítulo empezamos a utilizar unos estados financieros muy simples para determinar si
15 Según Tabla 5.29.
37

es necesario prestar dinero o si, por el contrario, podemos financiar el proyecto (firma) con
los aportes de los accionistas o socios.
1. Usted tiene la siguiente información de su empresa:
Inflación
Aumento de
precios nominal
26,82% 26,07%
25,14% 26,04%
22,61% 25,03%
22,60% 21,09%
19,47% 20,50%
21,64% 19,50%
17,69% 21,02%
16,72% 18,50%
9,23% 16,01%
8,80% 10,00%
7,65% 9,96%
6,00% 8,00%
Quiere proyectar sus precios futuros y necesita su aumento.
2. Tiene tres estimativos de inflación para un año determinado:
5.25 Ejercicios
La inflación esperada es:
Estimado Inflación Aumento de precios
1 4%
2 5%
3 6%
¿Cuál sería el aumento de precios para cada caso? Explique en detalle su respuesta.
Referencias bibliográficas
Modigliani, Franco y Miller, Merton H. 1963. “Corporate Income Taxes and the Cost of
Capital: A Correction”, The American Economic Review, vol. LIII, pp. 433-443.
—. 1959. “The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment:
Reply”, The American Economic Review, vol. XLIX, pp. 524-527.
—. 1958. “The Cost of Capital, Corporation Taxes and the Theory of Investment”, The
American Economic Review, vol. XLVIII, pp. 261-297.
Penman, Stephen H. 2001. “Knowing the Business”, Financial Statement Analysis &
Security Valuation, McGraw-Hill, Irwin, pp. 486-487.
Purcell, W. R. Jr.1984 Cómo comprender las finanzas de una compañía, Norma, Cali.
38

Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation. An
Integrated Market Based Approach, Academic Press, s. l.
Van Horne, J. C. 1998. Financial Management and Policy, 11th Ed., Prentice Hall Inc.,
Englewood Cliffs, New Jersey.
Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Alguna información sugerida para una valoración. Disponible
en: http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/curso/infobasica.pdf.
—. 2003. Decisiones empresariales bajo riesgo e incertidumbre, Norma, Bogotá.
—. 2002. Ejemplo de cálculo de elasticidad de un producto. Disponible en:
http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/curso/elasticidad.pdf.
39

6
Proyección de los estados financieros
La primera ley de la termodinámica es en esencia el principio
de la conservación de la energía de los sistemas
termodinámicos. […] La variación de la energía de un
sistema, durante un proceso de transformación, es igual a la
cantidad de energía que el sistema recibe de su entorno.
Primera Ley de la Termodinámica,
Thermodynamics, Enrico Fermi.
Nunca pienso en el futuro. Llega muy pronto.
Albert Einstein
Me gustan más los sueños del futuro que la historia del
pasado.
Patrick Henry
En este capítulo ilustramos, paso a paso, la manera de proyectar estados financieros
a partir de unas tablas desarrolladas en el capítulo anterior, desde unos datos de entrada.
Se presentan los estados financieros proforma o proyectados: el balance general
(BG), el estado de pérdidas y ganancias o estado de resultados (EdeR) y el flujo de tesorería
(FT). En el siguiente capítulo, a partir del FT se calculan los flujos de caja que se utilizarán
para evaluar el proyecto o firma: el flujo de caja de los accionistas (FCA), el flujo de caja
de la deuda (FCD) y el flujo de caja de capital (FCC). Asimismo, en el Apéndice de este
capítulo se calcula el flujo de caja libre (FCL) y el FCA utilizando la metodología
tradicional a partir del EdeR.
La razón para hacer todo este proceso es doble. Por un lado, porque es necesario
hacer la planeación financiera de una firma o proyecto; de ahí que se deban proyectar los
estados financieros, los cuales, a su vez, servirán como instrumentos gerenciales de
seguimiento y control. Por el otro, porque se debe llegar a determinar el FT, que es más
coherente con la idea del valor del dinero en el tiempo, y de allí se deducen los flujos de
caja. Y, en todo caso, por la metodología que se propone de trabajar con las variables en un
nivel muy primario, es posible hacer análisis de política basados en el análisis de
sensibilidad y en escenarios. Esto enriquece notablemente el proceso de toma de decisiones.
6.1 Proyección de los estados financieros
Cuando se trabaja con métodos que tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo
–valor presente neto (VPN) y tasa interna de rentabilidad (TIR)–, se descubre que en la
práctica se utilizan muchas simplificaciones burdas. Estos métodos simplificados eran
válidos hace 35 o 100 años. Sin embargo, se encuentran en muchos libros de texto y son
utilizados por muchos profesores y analistas. A efectos de proyectar los estados financieros,
un método muy utilizado y recomendado por algunos autores es el de expresar los
elementos del último BG o EdeR como un porcentaje de las ventas, hacer una regresión
lineal de los últimos datos de ventas (por lo general con muy pocos datos) y aplicar los
porcentajes encontrados atrás sobre las proyecciones. Esto no es lo apropiado. ¿Cómo
cuadran los estados financieros? Muy fácil, ¡utilizan la cuenta de caja y bancos o de pasivos
1

corrientes para resolver cualquier diferencia! 1 . Sobre el tema de capital de trabajo como un
elemento de los flujos hay cifras mágicas que muchos manejan: el 30% de la inversión. ¿De
dónde sale? No se sabe.
El capital de trabajo es el resultado de varias políticas gerenciales, como la política
o meta de recaudos de cartera, la política de mantenimiento de inventarios y la política de
pago de acreedores a corto plazo (proveedores de bienes y servicios y similares). Más
adelante se estudia que al proyectar los estados financieros el capital de trabajo, queda
involucrado en las proyecciones y no es necesario hacer un cálculo explícito, como una
partida independiente.
Cuando se desea emprender un proyecto, por ejemplo, crear una empresa nueva, es
necesario elaborar el BG inicial y reunir la información sobre mercado, ventas, elasticidad,
precios de ventas e insumos, aumentos en ventas, precios, etc. Esto ya se hizo en el capítulo
anterior. Con esta información se elabora lo que se conoce como estados financieros
proforma (EdeR y BG proyectados). A partir del EdeR, y conociendo los planes o políticas
de recaudos de cartera, pagos y reparto de utilidades, se construye el FT. Estos son
instrumentos para planear y controlar el proyecto o firma que se va a iniciar.
En este capítulo se estudia la proyección de los estados financieros. Para ello se
partirá de variables elementales o básicas desde las cuales un gerente toma sus decisiones.
En esta sección presentamos los principios básicos para construir los estados
financieros proyectados. Éstos pueden utilizarse para análisis financiero a futuro o para la
valoración de una entidad. El modelo de valoración resultante debería ser utilizado para
guiar la toma de decisiones centrada en el valor. Esto quiere decir que la valoración no debe
hacerse sólo cuando se desee vender o comprar un negocio, sino que debe ser un
instrumento de gerencia que guíe a quien decide en la toma de decisiones. Estas últimas se
deben tomar a priori, con información incompleta, y el modelo de valoración puede ayudar
a predecir el resultado de la decisión en términos de la creación o destrucción de valor.
6.2 Algunos estados financieros
Como se mencionó atrás, se necesitan algunos estados financieros (el BG, el EdeR y
el FT), a fin de construir los flujos de caja para valorar una inversión, que es el propósito de
este libro. Es necesario distinguir entre los diferentes estados financieros y tener claridad
acerca del uso que se le puede dar a cada uno de ellos.
6.2.1 El balance general
El BG mide la riqueza de la firma en un instante y se rige por el principio de partida
doble, lo cual se expresa en un equilibrio que está dado por la siguiente ecuación:
Activos–Pasivos = Patrimonio (6.1)
Esta ecuación se llama ecuación contable o de partida doble. Cada uno de estos
elementos de la ecuación tiene asociado un flujo de caja:
1 Van Horne (1998: 742), Gallaher y Andrew (2000: 129) y Brealey, Myers y Marcus (1995: 521).
2

• Los activos (la cantidad invertida en la firma) tienen la capacidad de generar
beneficios para la firma. A este elemento del balance se asocia el flujo de caja de la
inversión, a partir del cual se toman las decisiones de inversión. Este flujo permite
evaluar la conveniencia del proyecto o firma.
• Los pasivos tienen asociados los ingresos y egresos por recibo y pago de préstamos
y sus intereses. A esta parte del balance está asociado el FCD, que permite medir el
costo de la deuda, y basándose en este costo se pueden tomar las decisiones de
financiación.
• El patrimonio tiene asociado los ingresos y egresos por los aportes o inversiones de
los socios y los dividendos o utilidades pagadas y la recompra de acciones o
participaciones. El patrimonio tiene asociado el flujo de los dividendos y
valorizaciones a que tiene derecho el accionista y permite medir la rentabilidad de
los accionistas.
Estas ideas sugieren que así como los elementos de la ecuación mantienen la
igualdad o equilibrio, los flujos de caja asociados también lo hacen.
6.2.2 El estado de pérdidas y ganancias o de resultados
El EdeR busca determinar la utilidad que produce una firma o un proyecto. Este
informe tiene características específicas, pues se elabora utilizando los principios de
causación y de asignación de costos, lo cual significa, por ejemplo, que los gastos que se
registran en éste no siempre han ocurrido como desembolsos. Además, registra todos los
gastos, incluidos los financieros. Así, por ejemplo, la depreciación, aunque el desembolso
por el pago del activo haya ocurrido años atrás; las prestaciones sociales de los empleados,
aun cuando no hayan sido pagadas aún, o las ventas realizadas, aunque éstas hayan sido a
crédito y no estén pagadas por los clientes.
En el EdeR se generan las obligaciones y los derechos en que se ha incurrido
durante el ejercicio o período a que se refiere y que se registran en el BG. Así, por ejemplo,
se generan las ventas cuando éstas se facturan (se adquiere el derecho a recibir el pago) o se
genera la obligación de pagar las facturas por materia prima o las provisiones y reservas por
prestaciones sociales. Este tipo de acciones produce movimientos en cuentas de balance, ya
sean activos (cuentas por cobrar en el caso de ventas) o pasivos (deudas a proveedores o
empleados). El EdeR determina el monto de la utilidad contable que podrá ser repartida a
los propietarios, dependiendo de la disponibilidad de efectivo.
6.2.3 El flujo de tesorería
El FT (conocido también como presupuesto o pronóstico de caja, flujo de caja, flujo
de efectivo) indica el estado de liquidez de la firma o del proyecto, es decir, la cantidad de
dinero en efectivo que se espera tener en un momento dado en el futuro.
Aquí se registran todos los ingresos y los egresos que se espera que ocurran en el
momento en que se reciben o se pagan. Así, por ejemplo, la recuperación de cartera que
corresponde a las ventas realizadas en fechas anteriores se registra cuando los clientes
pagan. Los desembolsos por pago de utilidades, de intereses o de abonos a capital se
registran en los momentos en que ocurren; en tanto que las prestaciones y las cuentas de los
3

proveedores se registran cuando se pagan, aunque la materia prima y la mano de obra hayan
sido utilizadas con anterioridad.
Es mejor hacer el análisis de liquidez de la firma con este estado financiero –que
mira hacia el futuro– y no con las razones financieras –que usualmente se utilizan para
echar una mirada hacia el pasado–, pues así usadas sólo sirven para hacer una autopsia o
examen post mórtem de la empresa.
El FT es un instrumento muy útil para determinar y controlar la liquidez de la
empresa o del proyecto. Más que útil, se puede afirmar que es el más importante
instrumento para administrar una firma. Basándose en éste se establecen las necesidades de
financiación, esto es, si se debe adquirir un préstamo, en qué cantidades y en qué momento
o cuándo se tendrán excedentes de liquidez para invertirlos en forma adecuada. También se
puede decidir sobre la conveniencia de modificar las políticas y las exigencias en los
recaudos de cartera y de pagos a proveedores. El FT registra todos los ingresos y egresos de
dinero que produce el proyecto o la empresa en el momento en que ello ocurre. A
diferencia del EdeR, el FT muestra la realización de los derechos y obligaciones que se
registran en el BG.
Como el FT indica el índice de liquidez –el saldo en bancos–, incluye todos los
ingresos y los egresos que se han realizado y que se declaran en el EdeR; además, cualquier
otro ingreso que se produzca: los ingresos debidos a préstamos recibidos (las inversiones
liquidadas, las ventas de activos, etc.) y los egresos correspondientes a pago de préstamos,
intereses, utilidades o dividendos, inversiones, impuestos, etc. (obsérvese que la
depreciación no es un flujo de dinero y, por lo tanto, no entra en el FT).
El FT, como instrumento de control y seguimiento, es muy importante para la
evaluación de un proyecto o valoración de una firma; además, indica cuál debe ser el
esquema de financiación que puede contratarse para el proyecto. A partir del FT se procede
a calcular los flujos de caja que se requieren para evaluar un proyecto o firma. Estas
consideraciones se presentan en el siguiente capítulo. Los elementos que integran el FT son
los ingresos y los egresos, que muestran, como ya se dijo, el movimiento de dinero en la
empresa. Interesa conocer el saldo resultante de la diferencia entre los ingresos y los
egresos y el valor de ese saldo acumulado a través del tiempo.
Algunos elementos típicos (no se pretende ser exhaustivo) que se incluyen en un FT
son (Tabla 6.1):
Tabla 6.1 Partidas típicas que contiene un flujo de tesorería
Ingresos
Recaudos de cartera
Préstamos recibidos
Aportes de socios
Venta de inventarios
Venta de activos fijos
Venta de otros activos en general
Rendimientos de inversiones
(intereses)
Recuperación de inversiones
Anticipos de clientes
Egresos
Pago a proveedores de bienes y servicios
Salarios y prestaciones sociales
Intereses
Amortización de deudas
Arriendos
Gastos generales
Publicidad
Compra de activos
Aportes parafiscales (cajas de compensación, impuestos
sobre nómina, etc.), seguridad social
4

Recaudo del impuesto al valor
agregado (IVA), incluido en la
cartera
Recuperación de préstamos a
terceros
Ingreso de intereses por préstamos a
terceros
Utilidades o dividendos repartidos y recompra de
participaciones o de acciones
Impuestos de renta, complementarios, Industria y comercio,
impuesto a transacciones financieras, etc., incluida la
restitución del IVA recibido
Inversión de excedentes
El FT conceptualmente es muy simple. Indica cuál es la liquidez de la firma en
determinados períodos. Incluye todos los ingresos y egresos que se prevean para
determinado horizonte de planeación (intervalo de tiempo para el cual se hace el análisis).
Así mismo, indica el saldo en bancos que se espera tener al final de cada período. Se puede
dividir en módulos, de acuerdo con el tipo de transacciones que se registran.
Debe observarse que el FT registra “el movimiento de la chequera”, es decir, lo que
entra y sale de la cuenta caja y bancos del BG. Éste es quizás el estado financiero más
importante, porque nos permite mantener una alerta sobre la situación de liquidez de la
firma y así determinar si debemos buscar financiación adicional o si tenemos excedentes
para invertir.
El modelo debe medir los efectos de las diferentes decisiones que se tomen y,
además, con éste debe ser posible analizar los diferentes cursos de acción. Es decir, que sea
susceptible de hacer un análisis de sensibilidad, e incluso un análisis de tipo probabilístico.
Con esta herramienta se contestarán preguntas como: ¿cuándo se necesita el dinero?
¿Cuánto se requiere? ¿Se puede obtener agilizando la cartera? ¿Posponiendo pagos?
¿Renegociando obligaciones con los bancos? ¿Se pueden aumentar las ventas con los
recursos que se tienen? ¿Hasta cuánto pueden aumentarse las ventas con los recursos
disponibles? Si las ventas aumentan, ¿cuándo y cuánto se necesita para responder al
esfuerzo de la fuerza de ventas? ¿Cómo se puede negociar un esquema de pago de
obligaciones con un banco? ¿Cuál es la capacidad máxima de endeudamiento? ¿Cuándo y
cuánto habrá de excedentes de liquidez?
La longitud del horizonte de planeación que se utiliza depende de los propósitos de
análisis y control que se tengan. Una vez que se trabaja en una hoja de cálculo el número de
años (o meses o trimestres) pierde importancia porque el esfuerzo de modelar y proyectar
los estados financieros es el mismo para dos, tres, cinco o 25 períodos.
Con una hoja electrónica se puede analizar qué tanto se desvió la ejecución de lo
planeado y tratar de analizar las causas que produjeron esos desvíos. Así mismo, se pueden
hacer flujos para diversos escenarios, e incluso hacer análisis de tipo probabilístico.
Esta herramienta es mucho más útil que un BG o EdeR, en términos de la
planeación. Se puede aceptar la idea que si el FT está bien, los demás estados financieros
(tradicionales) tenderán a estar bien. En otras palabras, hay que controlar el FT más que el
EdeR o el BG. Ahora bien, se pueden hacer proyecciones de estos dos estados financieros,
pero las decisiones cotidianas, que son las que conforman los resultados finales, se hacen
día a día y en su mayoría están relacionadas con el cuándo, cuánto y qué hacer con el
déficit o el superávit de efectivo.
Por conveniencia (más adelante se entenderá la conveniencia de esta estructura)
hemos dividido el FT en varios módulos con sus respectivos saldos, así:
Módulo 1. Operaciones de la firma y contiene los siguientes elementos:
5

1.1 Ingresos de caja operativos (cartera y similares).
1.2 Egresos de caja operativos (materias primas, mano de obra y remuneraciones en
general, impuestos, gastos generales, gastos de venta, etc.).
1.3 Saldo neto de tesorería antes de inversiones en activos 2 .
Módulo 2. Inversiones en activos:
2.1 Compra inicial de activos.
2.2 Compra de activos en otros períodos.
2.3 Saldo de tesorería después de inversión en activos fijos.
Módulo 3. Financiación externa, y contiene los siguientes elementos:
3.1 Ingreso de préstamos en moneda local o extranjera (convertida a moneda local).
3.2 Pago de préstamos en moneda local o extranjera (convertida a moneda local).
3.3 Intereses pagados en moneda local o extranjera (convertida a moneda local).
3.4 Saldo neto de tesorería después de financiación.
Módulo 4. Transacciones con el accionista, y contiene los siguientes elementos:
4.1 Patrimonio invertido.
4.2 Pago de dividendos.
4.3 Recompra de acciones o participaciones.
4.4 Saldo neto de tesorería después de transacciones con el accionista.
Módulo 5. Otras transacciones, y contiene los siguientes elementos:
5.1 Venta de inversiones temporales.
5.2 Intereses recibidos.
5.3 Inversiones temporales.
5.4 Saldo neto de tesorería después de otras transacciones.
5.5 Saldo acumulado de tesorería al final de año.
La razón para esta clasificación por módulos se verá más adelante, tanto en este
capítulo como en el capítulo 7, sobre construcción de flujos de caja.
Se le puede añadir un módulo adicional que nos permita controlar la disponibilidad
de cupos de crédito en los bancos (si ésta es una modalidad importante de financiación).
Este módulo indica los recursos potenciales disponibles en bancos y su índice de utilización
(cupos de crédito en los bancos). Estos cupos pueden estipularse en moneda local o en
divisas y por banco.
En la práctica se puede hacer un FT diario durante una semana, seguido por tres
fines de semana y por once meses adicionales, hasta completar un año. Es importante
mantener el FT con información de por lo menos un año, de manera permanente. Esto es, la
gerencia financiera no debe hacer un flujo para el año, pues a medida que avance éste, la
información se irá agotando, por ejemplo, porque se planeó hasta diciembre de ese año.
Más aún, debe mantenerse, aunque con menor grado de desagregación, para varios años, de
manera que el gerente pueda saber en cualquier momento el valor de la firma.
En general, el criterio de inclusión de un elemento en el FT es que ahí se registra el
movimiento de la chequera, para expresarlo en términos muy sencillos.
6.3 Relación entre los estados financieros de una firma
2 ¿Recuerda que dijimos que con el FT podíamos calcular la capacidad de endeudamiento de la firma? Si descontamos este
saldo de tesorería con el costo esperado de la deuda (Kd), obtendremos el valor de esa capacidad de endeudamiento,
6

Los estados financieros de una firma están perfectamente relacionados. No es posible
examinar uno de ellos haciendo caso omiso de los demás. En el Esquema 6.1 se puede apreciar
la relación existente entre el BG, el EdeR y el FT de una firma. Como ya se explicó, aquí se
denominará FT al instrumento que permite proyectar la situación de liquidez de la firma en el
futuro. Esto es, el saldo en bancos al final de cada período que se proyecta. Esto también se
llama flujo de fondos. A pesar de que el común de la gente llama a este instrumento flujo de
caja, se ha dejado ese nombre para la proyección de ingresos y egresos de un proyecto de
inversión, el cual sirve para evaluar la bondad de ese proyecto.
Esquema 6.1 Representación gráfica de la actividad de una empresa comercial
7

Recaudos $
Aportes de los socios $
Usuarios
Caja y
Bancos
Producto
vendido
Facturación
Comprobantes de
caja
Recibos de pago
C artera
Pagos a
proveedores $
Cos to de
Ventas
Producto para
la venta
Proveedores
Depreciación
Activos
fijos
Facturas de
cobro
Gastos de
Ventas
Cuentas
por pagar
Nómina $
Gastos de
Adminis -
tración
Trabajo
Empleados
Impuestos
Impuestos
Estado
Impuestos $
Utilidades retenidas
Dividendos
utilidades $
Utilidad
Patrimonio y
Capital
Capital
Propietarios
EdeR
BG
Flujo de bienes o dinero
Movimiento contable
Flujo de documentos
Entorno y terceros
6.4 Representación gráfica de los estados financieros
8

La relación entre los estados financieros puede ilustrarse utilizando una gráfica
sencilla. En la Esquema 6.1 se tiene un modelo de la firma, que pretende indicar las
relaciones entre todos los estados financieros. Por las líneas gruesas
fluyen bienes
(dinero, materia prima, trabajo, etc.), en los rectángulos se depositan los bienes y/o
se registran las transacciones contables, para detectar aumentos y disminuciones (por
ejemplo, en cartera entran las facturas nuevas, que aumentan el saldo y los recibos de pago
de cuentas recuperadas, que disminuyen el saldo, lo cual produce el saldo de cartera
pendiente). Y algo similar ocurre con las otras cuentas o cajas (rectángulos) del BG.
Los óvalos representan entes del entorno, por ejemplo, el Estado, los
accionistas, los usuarios o clientes, los empleados, los proveedores, etc. El ciclo se inicia
cuando los accionistas entregan dinero a la firma y se deposita en el cuadro denominado
caja y bancos. Las líneas punteadas representan movimientos de documentos contables que
afectan los valores de las cuentas del BG (por ejemplo, los recibos de caja que disminuyen
el valor de la cartera, debido a que un cliente ha pagado). Las líneas continuas _____
indican operaciones contables que afectan al EdeR (por ejemplo, la generación de
utilidades del período, que entran a aumentar la cuenta de patrimonio).
Si se piensa en una empresa que inicia labores, los socios entregan dinero (aporte de
capital). Después de recibir el dinero, la firma compra equipos y productos para la venta y
paga tanto a los empleados su trabajo como a los proveedores el equipo y los productos que
van a vender. Con el equipo, el producto de inventario y el trabajo de los empleados se
realiza la venta a los clientes, quienes, a su vez, le entregan a la firma dinero a cambio (que
llega a caja y bancos). Para lograr la venta, hay una especie de bomba que recibe varios
insumos. El producto, el costo de ventas, el trabajo de los vendedores, de la administración,
los gastos generales incurridos, la depreciación (desgaste) de los equipos. Ese proceso
genera un valor adicional que se denomina utilidad. Así quedan configurados, en forma
gráfica, los estados financieros.
6.5 Balance general y flujo de tesorería iniciales
Con la información establecida hasta ahora podemos establecer cuál es el monto de
la financiación requerida para el inicio de la operación. Aquí incluimos los ingresos por
concepto de aporte de capital patrimonial y los pagos del inventario inicial. También
tenemos en cuenta el efectivo con el que deseamos iniciar la operación.
Con la información definida y calculada hasta ahora podemos construir un balance
general en un instante anterior a ciertas decisiones (por ejemplo, la compra de activos), así
como se registra en la Tabla 6.2.
Tabla 6.2 Balance general en el momento de constituir la firma (dos instantes antes
del año 0)
Activos
Pasivos y patrimonio
Caja y bancos 15.000,0
Pasivos 0,0
Patrimonio 15.000,0
Total activos 15.000,0 Total pasivos y patrimonio 15.000,0
9

Al tomar la decisión de adquirir ciertos activos, ya definidos arriba, tenemos un
nuevo balance que lo identificamos con el año 0 menos un instante.
Tabla 6.3 Balance general un instante antes del año 0
Activos
Pasivos y Patrimonio
Caja y bancos 1.553,1 Pasivos ¿?
Inventarios 1.680,0
Patrimonio
Activos fijos 45.000,0
15.000,0
Total activos 48.233,1 Total pasivos y patrimonio 48.233,1
Si se utiliza la ecuación básica de la contabilidad, podemos calcular el valor del
préstamo que se debe adquirir:
Préstamo = total de activos–patrimonio
Préstamo = 48.233,1–15.000,0 = 33.233,1
Tabla 6.4 Balance general completo en el año 0
Activos
Pasivos y patrimonio
Caja y bancos 1.553,1 Pasivos 33.233,1
Inventarios 1.680,0
Patrimonio 15.000,0
Activos fijos 45.000,0
Total activos 48.233,1 Total pasivos y patrimonio 48.233,1
Veamos ahora la consistencia con el flujo de tesorería del año 0.
10

Tabla 6.5 Flujo de tesorería para el año 0
Módulos Año 0
Módulo 1. Saldo operativo
Ingresos de tesorería
Total de recaudos por ventas
Total ingresos de tesorería 0,0
Egresos de efectivo
Pagos totales (de la Tabla 5.29 del capítulo anterior) 1.680,0
Gastos generales
Pagos de nómina fija y extra
Regalías
Publicidad
Impuestos
Saldo neto de caja antes de compra de activos -1.680,0
Módulo 2. Saldo después de inversiones
Compra de activos fijos (de los datos de entrada) 45.000,0
Compra de activos fijos año 4 0,0
Saldo neto de caja después de compra de activos -46.680,0
Módulo 3. Financiación externa
Préstamo 1 LP 3 16.616,6
Préstamo 3 LP 0,0
Préstamo 2 CP 0,0
Préstamo en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 0,0
Préstamo 3 LP 0,0
Préstamo 2 CP 0,0
Préstamo en divisas
Interés pagado 0,0
Saldo neto de tesorería después de transacciones financieras -13.446,9
Módulo 4. Transacciones con el inversionista
Patrimonio invertido 15.000,0
Pago de dividendos
Recompra de acciones
Saldo neto de tesorería después de transacciones con los accionistas 1.553,1
Módulo 5. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 0,0
Interés recibido de inversiones temporales 0,0
Inversiones temporales 0,0
Saldo neto de tesorería después de otras transacciones 1.553,1
Saldo acumulado de tesorería al final de año 1.553,1
LP: largo plazo.
CP: corto plazo.
3 Para calcular este valor se usa una fórmula lógica de Excel. Se puede verificar en el archivo de Excel que se puede bajar de la
red.
11

El pago del inventario inicial se toma de la Tabla 6.4. El valor que se va a pagar de
inmediato (en el final del año 0) será el valor total, porque se supone que en ese momento
no hay crédito.
En este FT incluimos el monto del préstamo inicial que se necesita, y el saldo final
es exactamente el mismo que aparece en el BG (el estipulado como el 20% de ciertos
gastos tal y como lo establecimos en el capítulo 5).
6.6 Tabla de amortización
Este préstamo de largo plazo se paga en cuotas de capital iguales durante 5 años y
devenga un interés de acuerdo con la tasa de interés calculada arriba.
La tabla de amortización del préstamo de largo plazo es:
Tabla 6.6 Amortización del préstamo 1 a largo plazo
Financiación Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Saldo inicial 16.616,6 13.293,2 9.969,9 6.646,6 3.323,3
Intereses préstamo LP 1 2.165,1 1.664,3 1.248,2 798,3 382,2
Pago capital préstamo LP 1 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3
Pago total préstamo LP 1 5.488,4 4.987,6 4.571,5 4.121,6 3.705,5
Saldo final 16.616,6 13.293,2 9.969,9 6.646,6 3.323,3 0,0
Tasa de interés 13,03% 12,52% 12,52% 12,01% 11,50%
Cualquier otro préstamo que se requiera a largo plazo se repaga de la misma forma.
Los préstamos de corto plazo se repagan al año siguiente con sus intereses y, si es
necesario, se vuelven a contratar. El saldo final es igual al saldo inicial menos el abono a
capital.
6.7 Préstamo en divisas
Como la mitad de las necesidades de financiación se obtendrán en dólares, entonces
el respectivo valor, en este caso 16.616,6 se convierte a dólares con la tasa representativa
del mercado (TRM) vigente en ese momento. Estos valores se muestran en la siguiente
tabla.
Tabla 6.7 Amortización del préstamo en divisas
Financiación Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Saldo inicial 16,62 13,29 9,97 6,65 3,32
Intereses préstamo en divisas 1,43 1,25 0,82 0,59 0,28
Pago capital préstamo en divisas 3,32 3,32 3,32 3,32 3,32
Pago total préstamo en divisas 4,75 4,58 4,14 3,91 3,61
Saldo final 16,62 13,29 9,97 6,65 3,32 0,00
Tasa de interés 8,60% 9,42% 8,19% 8,81% 8,50%
Los intereses se han calculado con la tasa en dólares. Cuando convertimos a pesos
utilizando las cifras de la Tabla 6.7 y las TRM proyectadas, obtenemos lo siguiente:
12

Tabla 6.8 Amortización del préstamo en divisas convertido a pesos
Financiación Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Saldo inicial 16.616,55 13.814,55 10.633,03 7.360,79 3.781,23
Intereses préstamo en divisas 1.485,50 1.335,93 904,53 666,08 329,61
Pago capital préstamo en
divisas 3.453,64 3.544,34 3.680,40 3.781,23 3.877,71
Pago total préstamo en
divisas 4.939,14 4.880,27 4.584,93 4.447,31 4.207,31
Saldo final 16.616,55 13.814,55 10.633,03 7.360,79 3.781,23 0,00
De igual forma, tal como se mostró en el ejemplo sencillo para ilustrar la idea de la
pérdida en cambio, observe que el saldo final en pesos no es el saldo inicial menos el abono
a capital. Esto, como se dijo, obedece a la diferencia en cambio. Esta diferencia en cambio
la calculamos en la Tabla 6.9.
Tabla 6.9 Pérdida en cambio por préstamos
Cambio Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Diferencia en TRM 39,22 27,29 40,94 30,34 29,03
Diferencia en TRM×pago de capital 130,33 90,71 136,05 100,83 96,48
Diferencia en TRM×saldo 521,30 272,13 272,11 100,83 0,00
Pérdida cambio total 651,63 362,83 408,16 201,67 96,48
Debemos recordar que la diferencia en cambio es la diferencia en la TRM de un año
a otro multiplicada por el pago de capital y el saldo final. La diferencia en cambio total se
registra en el estado de resultados.
6.8 Estados financieros paso a paso
Después de haber construido las tablas anteriores podemos empezar a construir el
EdeR. Aquí lo mostramos paso a paso, como si lo estuviéramos construyendo a mano. Al
hacerlo en una hoja de cálculo se establecen las relaciones entre las diferentes celdas y todo
ocurre en forma simultánea. Lo hacemos en forma secuencial sólo para ilustrar el proceso.
Con la información recolectada y construida hasta ahora podemos calcular el EdeR hasta la
utilidad operativa. Sin embargo, por tratarse de un ejemplo de inicio de una firma, para el
año 1 podremos hacerlo en su totalidad.
13

Tabla 6.10 Estado de resultados año 1
Información Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8
Costo de ventas 23.443,9 26.049,1 26.674,4 28.283,6 29.405,8
Utilidad bruta 24.640,0 25.505,9 29.162,7 31.904,5 35.480,0
Gastos de ventas y administrativos 9.208,0 9.848,4 10.500,6 11.203,9 11.957,9
Depreciación 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3
Utilidad operativa (UO) 4.181,9 4.407,6 7.412,1 9.450,6 9.473,8
Interés recibido por inversiones temporales 0,0
Gastos financieros en moneda local 2.165,1
Gastos financieros en moneda extranjera 1.485,5
Pérdida en cambio por préstamos en divisas 651,6
Gastos financieros totales convertidos a
moneda local 4.302,3
Utilidad antes de impuestos -120,3
Impuestos 0,00
Utilidad neta -120,3
Dividendos por pagar en el año siguiente 0,0
Utilidades retenidas acumuladas -120,3
Se supone que los dividendos establecidos en un año se pagan al año siguiente. Los
impuestos se pagan el mismo año en que se causan. En este ejemplo suponemos que hay
amortización de pérdidas, es decir, que las pérdidas de un año se pueden recuperar con las
utilidades de años posteriores.
¿Por qué no podemos terminar los estados financieros de los años 2 en adelante?
Porque no sabemos aún si tendremos excedentes y, por lo tanto, no conocemos los intereses
recibidos y los impuestos. Esto lo sabremos después de calcular el flujo de tesorería.
Al igual que con el EdeR, procederemos a calcular el FT paso a paso, como si lo
hiciéramos a mano y no con una hoja de cálculo.
14

Tabla 6.11 Flujo de tesorería año 1
Módulos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Módulo 1. Saldo operativo
Ingresos de tesorería
Total de recaudos por ventas 0,0 45.679,7 51.366,3 55.605,7 59.951,9 64.630,8
Total ingresos de tesorería 0,0 45.679,7 51.366,3 55.605,7 59.951,9 64.630,8
Egresos de efectivo
Pagos totales por compras 1.680,0 21.980,3 26.036,8 26.071,1 28.246,0 29.377,8
Gastos generales 0,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Pagos de nómina fija y extra 0,0 2.582,2 2.765,0 2.969,5 3.186,2 3.409,7
Regalías 0,0 2.856,7 3.008,4 3.239,0 3.450,4 3.686,9
Publicidad 0,0 1.442,5 1.546,2 1.674,6 1.805,1 1.946,0
Impuestos 0,0 0,0
Egresos de tesorería totales 1.680,0 31.188,3
Saldo neto de caja antes de compra de activos -1.680,0 14.491,4
Módulo 2. Saldo después de inversiones
Compra de activos fijos 45.000,0
Compra de activos fijos año 4 0,0 0,0
Saldo neto de caja después de compra de activos -46.680,0 14.491,4
Módulo 3. Financiación externa
Préstamo 1 LP 16.616,6
Préstamo 3 LP 0,0
Préstamo 2 CP 0,0
Préstamo en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 3.323,3
Préstamo 3 LP 0,0
Préstamo 2 CP 0,0
Préstamo en divisas 3.453,6
Interés pagado 0,0 3.650,6 3.608,1
Saldo neto de tesorería después de financiación -13.446,9 4.063,8
Módulo 4. Transacciones con el accionista
Patrimonio invertido 15.000,0
Pago de dividendos 0,0 0,0
Recompra de acciones
Saldo neto de tesorería después de transacciones
con el accionista 1.553,1 4.063,8
Módulo 5. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 0,0 0,0 5.516,9
Interés recibido 0,0 0,0 419,8
Inversiones temporales 5.516,9
Saldo neto de tesorería después de otras
transacciones 1.553,1 -1.453,1
Saldo acumulado de tesorería al final de año 1.553,1 100,0
LP: largo plazo.
CP: corto plazo.
¿Por qué no podemos continuar y completar el FT para el año 2? Porque no
sabemos los impuestos de ese año. Esto lo sabremos cuando construyamos el EdeR (ya
podemos hacerlo, porque ya conocemos los intereses que produce la inversión de
excedentes del año 1).
15

Los préstamos de corto y largo plazo se determinan con una fórmula lógica de
Excel. Este déficit se calcula de la siguiente manera:
−(saldo acumulado de tesorería año anterior+saldo neto de tesorería del año [módulo 1]
+préstamo 3 LP−Pago préstamos de LP y CP−interés pagado+patrimonio
invertido−recompra de acciones–pago de dividendos+venta de inversiones temporales del
año anterior+interés recibido de año anterior–saldo mínimo de tesorería) 4 (6.2)
Las inversiones temporales tienen en cuenta el saldo acumulado anterior, el saldo
neto de tesorería después de transacciones con accionistas, el saldo mínimo que deseamos
mantener al final del año 1 y, en general, así para cualquier año. En este ejemplo
calculamos las inversiones temporales con una fórmula lógica de Excel que verifica si hay
o no excedentes, examinando el disponible, así:
= SI(saldo neto de tesorería después de transacciones con los accionistas+venta de
inversiones temporales+interés recibido de inversiones temporales+saldo acumulado de
tesorería al final de año anterior [o sea ‘lo disponible’]>saldo mínimo de tesorería; si es
mayor, ‘lo disponible’−saldo mínimo de tesorería; si no es mayor entonces 0)
(6.3)
Si no hay disponible, entonces no hay inversión de excedentes.
En el año 1 podemos calcular el monto del excedente y, por lo tanto, el monto de los
intereses para el año 2. Estos intereses los introducimos en el EdeR del año 2 y
completamos ese año, así (sólo indicaremos lo que está después de la utilidad operativa que
es lo que falta):
Tabla 6.12 Estado de resultados año 2
Estado de resultados Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad operativa (UO) 4.181,9 4.407,6 7.412,1 9.450,6 9.473,8
Interés recibido por inversiones temporales 0,0 419,8
Gastos financieros en moneda local 2.165,1 1.664,3
Gastos financieros en moneda extranjera 1.485,5 1.335,9
Pérdida en cambio por préstamos en divisas 651,6 362,8
Gastos financieros totales convertidos a moneda
local 4.302,3 3.363,1
Utilidad antes de impuestos -120,3 1.464,3
Impuestos 0,00 470,39
Utilidad neta -120,3 993,9
Dividendos por pagar en el año siguiente 0,0 695,7
Utilidades retenidas acumuladas -120,3 873,6
Aquí se observa el efecto de la amortización de pérdidas. Del año 1 se llevan las
pérdidas (120,3), lo que reduce la base gravable (utilidades antes de impuestos) para efecto
del cálculo de impuestos. El lector puede calcular ese efecto midiendo el porcentaje de
4 Si el lector encuentra una manera más eficiente de establecer este valor, el autor agradece su colaboración.
16

impuestos que se paga ese año (es menor que el planeado de 35%). Las utilidades retenidas
acumulan las de un determinado año con las retenidas hasta el año anterior. Con el EdeR
del año 2 completo sabemos cuáles son los impuestos y podemos completar el flujo de
tesorería del año 2. Por lo tanto, estaremos al tanto de cuánto estará disponible para invertir
en excedentes en ese año.
Observe que las utilidades retenidas de cada año incluyen las utilidades del período
o ejercicio:
17

Tabla 6.13 Flujo de tesorería año 2
Módulos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Módulo 1. Saldo operativo
Ingresos de tesorería
Total de recaudos por ventas 0,0 45.679,7 51.381,5 55.605,7 59.951,9 64.630,8
Total ingresos de tesorería 0,0 45.679,7 51.381,5 55.605,7 59.951,9 64.630,8
Egresos de efectivo
Pagos totales 1.680,0 21.980,3 26.087,2 26.071,1 28.246,0 29.377,8
Gastos generales 0,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Pagos de nómina fija y extra 0,0 2.582,2 2.765,0 2.969,5 3.186,2 3.409,7
Regalías 0,0 2.856,7 3.069,8 3.239,0 3.450,4 3.686,9
Publicidad 0,0 1.442,5 1.546,7 1.674,6 1.805,1 1.946,0
Impuestos 0,0 0,0 470,4
Egresos de tesorería totales 1.680,0 31.188,3 36.406,0
Saldo neto de caja antes de compra de activos -1.680,0 14.491,4 14.975,5
Módulo 2. Saldo después de inversiones
Compra de activos fijos 45.000,0
Compra de activos fijos año 4 0,0 0,0 0,0
Saldo neto de caja después de compra de
activos -46.680,0 14.491,4 14.975,5
Módulo 3. Financiación externa
Préstamo 1 LP 16.616,6
Préstamo 3 LP 0,0 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0
Préstamo en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 3.323,3 3.323,3
Préstamo 3 LP 0,0 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0
Préstamo en divisas 3.453,6 3.544,3
Interés pagado 0,0 3.650,6 3.000,2
Saldo neto de tesorería después de
financiación -13.446,9 4.063,8 5.107,6
Módulo 4. Transacciones con el accionista
Patrimonio invertido 15.000,0
Pago de dividendos 0,0 0,0 695,7
Recompra de acciones
Saldo neto de tesorería después de
transacciones con los accionistas 1.553,1 4.063,8 5.107,6
Módulo 5. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 0,0 0,0 5.516,9 11.034,3
Interés recibido 0,0 0,0 419,8 839,7
Inversiones temporales 5.516,9 11.034,3
Saldo neto de tesorería después de otras
transacciones 1.553,1 -1.453,1 10,0
Saldo acumulado de tesorería al final de año 1.553,1 100,0 110,0
LP: largo plazo.
CP: corto plazo.
Con el dato de ingreso por intereses de inversiones temporales podemos ahora
construir el EdeR del año 3:
18

Tabla 6.14 Estado de resultados año 3
Estado de resultados Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad operativa (UO) 4.181,9 4.407,6 7.412,1 9.450,6 9.473,8
Interés recibido por inversiones temporales 0,0 419,8 839,7
Gastos financieros en moneda local 2.165,1 1.664,3 1.248,2
Gastos financieros en moneda extranjera 1.485,5 1.335,9 904,5
Pérdida en cambio por préstamos en divisas 651,6 362,8 408,2
Gastos financieros totales convertidos a moneda
local 4.302,3 3.363,1 2.560,9
Utilidad antes de impuestos -120,3 1.464,3 5.690,9
Impuestos 0,00 470,39 1.991,81
Utilidad neta -120,3 993,9 3.699,1
Dividendos por pagar en el año siguiente 0,0 695,7 2.589,4
Utilidades retenidas acumuladas -120,3 873,6 3.876,9
Este cálculo nos permite saber el monto de los impuestos que se pagarían en el año
3, y así completamos el FT del año 3 y parte del año 4.
19

Tabla 6.15 Flujo de tesorería año 3
Módulos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Módulo 1. Saldo operativo
Ingresos de tesorería
Total de recaudos por ventas 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.951,9 64.630,8
Total ingresos de tesorería 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.951,9 64.630,8
Egresos de efectivo
Pagos totales 1.680,0 21.980,3 26.087,2 25.971,8 28.246,0 29.377,8
Gastos generales 0,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Pagos de nómina fija y extra 0,0 2.582,2 2.765,0 2.969,9 3.186,2 3.409,7
Regalías 0,0 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.450,4 3.686,9
Publicidad 0,0 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,1 1.946,0
Impuestos 0,0 0,0 470,4 1.991,8
Egresos de tesorería totales 1.680,0 31.188,3 36.406,0 38.464,3
Saldo neto de caja antes de compra
de activos -1.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7
Módulo 2. Saldo después de
inversiones
Compra de activos fijos 45.000,0
Compra de activos fijos año 4 0,0 0,0 0,0 0,0
Saldo neto de caja después de
compra de activos -46.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7
Módulo 3. Financiación externa
Préstamo 1 LP 16.616,6
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 3.323,3 3.323,3 3.323,3
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 3.453,6 3.544,3 3.680,4
Interés pagado 0,0 3.650,6 3.000,2 2.152,8
Saldo neto de tesorería después de
financiación -13.446,9 4.063,8 5.107,6 8.002,2
Módulo 4. Transacciones con el
inversionista
Patrimonio invertido 15.000,0
Pago de dividendos 0,0 0,0 695,7 2.589,4
Recompra de acciones
Saldo neto de tesorería después de
transacciones con el inversionista 1.553,1 4.063,8 5.107,6 7.306,5
Módulo 5. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 0,0 0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6
Interés recibido 0,0 0,0 419,8 839,7 1.361,1
Inversiones temporales 5.516,9 11.034,3 19.170,6
Saldo neto de tesorería después de
Otras transacciones 1.553,1 -1.453,1 10,0 10,0
Saldo acumulado de tesorería al
final de año 1.553,1 100,0 110,0 120,0
LP: largo plazo.
CP: corto plazo.
20

El cálculo de la cantidad de excedentes que se va a invertir en el año 3 nos permite
completar el EdeR del año 4 y, por ende, los impuestos del año 4; de esta manera se puede
calcular el FT del año 4:
Tabla 6.16 Estado de resultados año 4
Estado de resultados Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad operativa (UO) 4.181,9 4.407,6 7.412,1 9.450,6 9.473,8
Interés recibido por inversiones
temporales 0,0 419,8 839,7 1.361,1
Gastos financieros en moneda local 2.165,1 1.664,3 1.248,2 798,3
Gastos financieros en moneda extranjera 1.485,5 1.335,9 904,5 666,1
Pérdida en cambio por préstamos en
divisas 651,6 362,8 408,2 201,7
Gastos financieros totales convertidos a
moneda local 4.302,3 3.363,1 2.560,9 1.666,0
Utilidad antes de impuestos -120,3 1.464,3 5.690,9 9.145,7
Impuestos 0,00 470,39 1.991,81 3.201,00
Utilidad neta -120,3 993,9 3.699,1 5.944,7
Dividendos por pagar en el año siguiente 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
Utilidades retenidas acumuladas -120,3 873,6 3.876,9 7.232,3
Con los impuestos del año 4 podemos completar el FT del año 4 y parte del año 5:
21

Tabla 6.17 Flujo de tesorería año 4
Módulos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Módulo 1. Saldo operativo
Ingresos de tesorería
Total de recaudos por ventas 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.630,8
Total ingresos de tesorería 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.630,8
Egresos de efectivo
Pagos totales 1.680,0 21.980,3 26.087,2 25.971,8 28.254,8 29.377,8
Gastos generales 0,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Pagos de nómina fija y extra 0,0 2.582,2 2.765,0 2.969,9 3.186,7 3.409,7
Regalías 0,0 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.686,9
Publicidad 0,0 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,0
Impuestos 0,0 0,0 470,4 1.991,8 3.201,0
Egresos de tesorería totales 1.680,0 31.188,3 36.406,0 38.464,3 42.659,6
Saldo neto de caja antes de compra de activos -1.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 17.310,9
Módulo 2. Saldo después de inversiones
Compra de activos fijos 45.000,0
Compra de activos fijos año 4 0,0 0,0 0,0 0,0 56.193,2
Saldo neto de caja después de compra de
activos -46.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 -38.882,2
Módulo 3. Financiación externa
Préstamo 1 LP 16.616,6
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 29.518,8
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 3.453,6 3.544,3 3.680,4 3.781,2
Interés pagado 0,0 3.650,6 3.000,2 2.152,8 1.464,3
Saldo neto de tesorería después de
financiación -13.446,9 4.063,8 5.107,6 8.002,2 -17.932,3
Módulo 4. Transacciones con el accionista
Patrimonio invertido 15.000,0
Pago de dividendos 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
Recompra de acciones
Saldo neto de tesorería después de
transacciones con el accionista 1.553,1 4.063,8 5.107,6 7.306,5 -20.521,7
Módulo 5. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 0,0 0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0
Interés recibido 0,0 0,0 419,8 839,7 1.361,1 0,0
Inversiones temporales 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0
Saldo neto de tesorería después de otras
transacciones 1.553,1 -1.453,1 10,0 10,0 10,0
Saldo acumulado de tesorería al final de año 1.553,1 100,0 110,0 120,0 130,0
Con los intereses recibidos por inversiones temporales ya podemos calcular el EdeR
completo del año 5:
22

Tabla 6.18 Estado de resultados completo
Estado de resultados Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8
Costo de ventas 23.443,9 26.049,1 26.674,4 28.283,6 29.405,8
Utilidad bruta 24.640,0 25.505,9 29.162,7 31.904,5 35.480,0
Gastos de ventas y administrativos 9.208,0 9.848,4 10.500,6 11.203,9 11.957,9
Depreciación 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3
Utilidad operativa (UO) 4.181,9 4.407,6 7.412,1 9.450,6 9.473,8
Interés recibido por inversiones temporales 0,0 419,8 839,7 1.361,1 0,0
Gastos financieros en moneda local 2.165,1 1.664,3 1.248,2 798,3 3.776,8
Gastos financieros en moneda extranjera 1.485,5 1.335,9 904,5 666,1 329,6
Pérdida en cambio por préstamos en divisas 651,6 362,8 408,2 201,7 96,5
Gastos financieros totales convertidos a
moneda local 4.302,3 3.363,1 2.560,9 1.666,0 4.202,9
Utilidad antes de impuestos -120,3 1.464,3 5.690,9 9.145,7 5.270,9
Impuestos 0,00 470,39 1.991,81 3.201,00 1.844,80
Utilidad neta -120,3 993,9 3.699,1 5.944,7 3.426,1
Dividendos por pagar en el año siguiente 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3 2.398,2
Utilidades retenidas acumuladas -120,3 873,6 3.876,9 7.232,3 6.497,0
En estos momentos ya podemos completar también el FT del año 5:
23

Tabla 6.19 Flujo de tesorería completo
Módulos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Módulo 1. Saldo operativo
Ingresos de tesorería
Total de recaudos por ventas 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9
Total ingresos de tesorería 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9
Egresos de efectivo
Pagos totales 1.680,0 21.980,3 26.087,2 25.971,8 28.254,8 29.386,9
Gastos generales 0,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Pagos de nómina fija y extra 0,0 2.582,2 2.765,0 2.969,9 3.186,7 3.410,2
Regalías 0,0 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.688,0
Publicidad 0,0 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,6
Impuestos 0,0 0,0 470,4 1.991,8 3.201,0 1.844,8
Egresos de tesorería totales 1.680,0 31.188,3 36.406,0 38.464,3 42.659,6 43.189,6
Saldo neto de caja antes de compra de activos -1.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 17.310,9 21.461,3
Módulo 2. Saldo después de inversiones
Compra de activos fijos 45.000,0
Compra de activos fijos año 4 0,0 0,0 0,0 0,0 56.193,2 0,0
Saldo neto de caja después de compra de
activos -46.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 -38.882,2 21.461,3
Módulo 3. Financiación externa
Préstamo 1 LP 16.616,6
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 29.518,8 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 0,0 5.903,8
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 3.453,6 3.544,3 3.680,4 3.781,2 3.877,7
Interés pagado 0,0 3.650,6 3.000,2 2.152,8 1.464,3 4.106,4
Saldo neto de tesorería después de
financiación -13.446,9 4.063,8 5.107,6 8.002,2 -17.932,3 4.250,0
Módulo 4. Transacciones con el accionista
Patrimonio invertido 15.000,0
Pago de dividendos 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
Recompra de acciones
Saldo neto de tesorería después de
transacciones con el accionista 1.553,1 4.063,8 5.107,6 7.306,5 -20.521,7 88,7
Módulo 5. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 0,0 0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0
Interés recibido 0,0 0,0 419,8 839,7 1.361,1 0,0
Inversiones temporales 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0 78,7
Saldo neto de tesorería después de otras
transacciones 1.553,1 -1.453,1 10,0 10,0 10,0 10,0
Saldo acumulado de tesorería al final de año 1.553,1 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0
Habíamos sugerido que al descontar el saldo de tesorería antes de inversiones en
activos obtendríamos la capacidad de endeudamiento de la firma en cada período. Desde el
supuesto de tener las mismas tasas de interés para el costo de la deuda (Kd), listados en la
Tabla 6.6, la capacidad de endeudamiento de la firma se muestra en la Tabla 6.20.
24

Tabla 6.20 Cálculo de la capacidad de endeudamiento
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Saldo neto de caja antes de
compra de activos -1.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 17.310,9 21.461,3
Tasa de interés 13,03% 12,52% 12,52% 12,01% 11,50%
Capacidad de endeudamiento 59.393,76 52.641,42 44.256,58 32.638,79 19.247,78
Este cálculo se hace descontando los saldos a las tasas de cada año. Por ejemplo,
usando la relación propuesta en el capítulo 4 para descontar flujos cuando las tasas no son
constantes, para el año 3 se tiene:
21.461,3 + 0
Cd =
= 19.247,78
1+
11,50%
Donde Cd es capacidad de endeudamiento. Para el año 3 se tiene:
17.310,9 + 19.247,78
Cd =
= 32.638,79
1+
12,01%
Como se puede observar en el FT completo y en el BG que se muestra en la Tabla
6.21, la firma no ha utilizado en su totalidad su capacidad de endeudamiento en el año 0. La
capacidad de endeudamiento de los años siguientes no representa la realidad de esa
capacidad (en particular la del año 4), porque no hay suficientes períodos más allá del año
4. De hecho, se puede deducir del FT lo que se encuentra en el balance general: la firma no
alcanza a pagar la totalidad del préstamo del año 4 y queda un saldo pendiente. La
capacidad de endeudamiento debe calcularse para un período suficientemente largo para
tener un diagnóstico apropiado. Este período debería ser el plazo en que se espera pagar la
deuda que se planea adquirir. En este ejemplo hemos simplificado la situación por simple
espacio, pero para este propósito deberíamos contar con una proyección de 4 años más, ya
que este es el plazo para pagar la deuda.
Ahora, para cerrar el proceso, podemos calcular el balance general. Este balance lo
hubiéramos podido construir paso a paso, pero para hacer más fácil la lectura lo hemos
dejado para el final.
6.9 El balance general
A continuación ya podemos presentar el balance general completo (Tabla 6.21).
25

Tabla 6.21 Balance general proyectado
Balance general Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Activos
Caja y bancos 1.553,1 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0
Cuentas por cobrar 0,0 2.404,2 2.577,8 2.791,9 3.009,4 3.244,3
Inventario 1.680,0 1.933,0 2.191,1 2.222,5 2.365,7 2.453,5
Inversiones temporales 0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0 78,7
Interés causado 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Activo corriente 3.233,1 9.954,0 15.913,2 24.304,9 5.505,1 5.916,5
Activos fijos netos 45.000,0 33.750,0 22.500,0 11.250,0 56.193,2 42.144,9
Total 48.233,1 43.704,0 38.413,2 35.554,9 61.698,3 48.061,4
Pasivos y patrimonio
Cuentas por pagar 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4
Deuda corto plazo 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Impuestos causados y por pagar 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Pasivos corrientes 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4
Deuda en moneda local 16.616,6 13.293,2 9.969,9 6.646,6 32.842,1 23.615,0
Deuda en divisas 16.616,6 13.814,5 10.633,0 7.360,8 3.781,2 0,0
Total pasivos 33.233,1 28.824,4 22.539,7 16.678,0 39.466,0 26.564,4
Patrimonio 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0
Utilidades retenidas 0,0 -120,3 873,6 3.876,9 7.232,3 6.497,0
Total 48.233,1 43.704,0 38.413,2 35.554,9 61.698,3 48.061,4
En el BG registramos caja y bancos, que provienen del saldo acumulado del FT; las
cuentas por pagar, del cálculo que se hizo en las tablas preliminares. Los inventarios se
toman del juego de inventarios de la tabla preliminar. Las inversiones temporales se
calculan como la sumatoria de todas las inversiones realizadas hasta la fecha menos todas
las recuperadas hasta la fecha. Esta forma de calcular el saldo de inversiones temporales
sirve de verificación interna del modelo.
Observe que los dividendos del año t se pagan en el año t + 1, de manera que en el
BG se registran utilidades retenidas acumuladas que incluyen la totalidad de las utilidades
retenidas hasta del año anterior y las del ejercicio. Los activos fijos netos se toman de la
tabla de la depreciación.
Por el lado de los pasivos, registramos las cuentas por pagar, que provienen de la
tabla preliminar, donde se calculó lo que se recibía y se pagaba de contado y a crédito. Las
deudas de corto plazo y largo plazo (deuda) se calculan de manera similar a las inversiones
temporales: la suma de los préstamos recibidos hasta la fecha menos los abonos de capital
realizados hasta la fecha debe ser igual al saldo pendiente. Esta forma de hacerlo, como ya
se dijo, es una manera de verificar la consistencia de los estados financieros. El patrimonio
tiene dos partes: la relacionada con el aporte de capital, que puede aumentar o disminuir
con los nuevos aportes o con la recompra de acciones o participaciones, y la parte
relacionada con las utilidades retenidas, que se calculó inmediatamente después del EdeR.
6.10 Resumen
En este capítulo hemos ilustrado de manera muy sencilla y paso a paso la manera de
construir tres estados financieros proyectados: el FT, el EdeR y el BG. La construcción ha
26

tenido en cuenta la interacción que existe entre los tres estados financieros, de modo que
cada cifra se determina autónoma, pero basada en otras. No se aplica la regla tan conocida
de eliminar diferencias entre las cifras del balance general usando diferencias entre activos
y pasivos y patrimonio.
6.11 Ejercicios
1. Al final del año 1 un proyecto requiere una inversión inicial de $1.000. La vida
económica para efectos de depreciación es de 5 años. Suponiendo depreciación en línea
recta, la depreciación será:
Vida económica Año 0 1 2
Valor al inicio del período 1.000,0 800,0
Depreciación 200,0 200,0
Valor al final del período 1,000,0 800,0 600,0
Al final del año 2, la máquina se vende por su valor en libros.
Los ingresos anuales son $348,1. No hay costos, excepto el de la depreciación. El EdeR se
muestra a continuación. En este caso no hay impuestos, ni inflación. El dividendo que se
paga es el 80% de las utilidades.
Estado de resultados Año 0 Año 1 Año 2
Ventas 348,1 348,1
Depreciación 200,0 200,0
Utilidad
Dividendos
Utilidades retenidas 29,6 29,6
Utilidades retenidas acumuladas 29,6 59,2
El balance general es el siguiente:
Activos Año 0 Año 1 Año 2
Maquinaria 1.000,00 800,00 600,00
Patrimonio inicial 1.000,00 1.000,00 1.000,00
Utilidades retenidas acumuladas 0,00 29,62 59,24
Total patrimonio 1.000,00 1.029,60 1.059,20
Activos menos patrimonio 0,00 -229,60 -459,20
a) Complete el EdeR. ¿Por qué el balance no cuadra? Cuádrelo indicando y explicando
cada operación.
b) Calcule el FT, el FCL, el FCD, los ahorros en impuestos y el FCA.
c) Si ahora se tienen impuestos de 40% que se pagan el mismo año, calcule el FT, el
FCL, el FCD, los ahorros en impuestos y el FCA. Debe verificar que todo está
correcto haciendo las verificaciones en balance y en flujos.
27

2. Suponga que una firma tiene el siguiente FT:
Flujo de tesorería Año 0 Año 1 Año 2 Año 3
Total ingresos de caja 46 51 56
Egresos de efectivo … … …
Pagos totales por compras 22 26 26
Gastos generales 2 2 3
Pagos de nómina fija y extra 3 3 3
Comisiones de venta 3 3 3
Publicidad 1 2 2
Compra de activos fijos 0 0 0
Compra de activos fijos año 4 0 0 0
Impuestos 0 0 2
Egresos de caja totales 31 36 39
Saldo neto de caja 15 15 17
Tasas de interés para la deuda 13% 12% 11%
d) Con esa disponibilidad de dinero para pagar, ¿cuánto es lo máximo que esta
empresa podría prestar en el año 0 para pagarlo en esos 3 años con ese saldo neto de caja?
e) Si la empresa tuviera ya una deuda de 5 a esas tasas, ¿cuánta deuda adicional puede
adquirir?
Referencias bibliográficas
Brealey, Richard A.; Myers, Stewart C., y Marcus, Alan J. 1995. Fundamentals of
Corporate Finance, McGraw-Hill, New York.
Gallagher, Timothy J. y Andrew, Joseph D. Jr. 2000. Financial Management, 2 nd ed.,
Prentice Hall, s. l.
Modigliani, Franco y Miller, Merton H. 1963. “Corporate Income Taxes and the Cost of
Capital: A Correction”, The American Economic Review, vol. LIII, pp. 433-443.
—. 1959. “The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment:
Reply”, The American Economic Review, vol. XLIX, pp. 524-527.
—. 1958. “The Cost of Capital, Corporation Taxes and the Theory of Investment”, The
American Economic Review, vol. XLVIII, pp 261-297.
Purcell, W. R. Jr. 1983. Cómo comprender las finanzas de una compañía, Norma, Cali.
Tham Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation. An
Integrated Market Based Approach, Academic Press, s. l.
Van Horne, J. C. 1998. Financial Management and Policy, 11th ed., Prentice Hall, Englewood
Cliffs.
Vélez Pareja, Ignacio. 2003. Decisiones empresariales bajo riesgo e incertidumbre, Norma,
Bogotá.
—. 2002. Ejemplo de cálculo de elasticidad de un producto. Disponible en:
http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/curso/elasticidad.pdf.
28

7
Construcción de los flujos de caja
No hay nada nuevo bajo el sol; todo ha sido hecho antes.
Sherlock Holmes
Cuando la solución es simple, es Dios quien habla.
Albert Einstein
Cualquier tonto inteligente puede hacer las cosas más
grandes y más complejas… Se necesita ser un genio y
mucho coraje para moverse en la dirección contraria.
Albert Einstein
La belleza del estilo y la armonía y la gracia y el buen
ritmo, dependen de la simplicidad.
Platón
No hagas con más lo que puedes hacer con menos.
Anónimo
Las herramientas de valoración de empresas no son nuevas (véase Serrano, 1985, y Vélez
Pareja, 1981); sin embargo, la destreza en su uso es una de las habilidades que más se
valora en las firmas hoy en día.
Los métodos de valoración 1 se pueden clasificar en dos grandes categorías: los contables
y los asociados a la rentabilidad. Todos los métodos tienen sus ventajas y, a la vez, muchas
limitaciones. La mayoría de las limitaciones está asociada a que en realidad cuando se
valora una empresa para venderla, por ejemplo, lo que se vende es lo que esa empresa
puede generar de valor en el futuro. Y este problema de adivinar el futuro es un problema
que no está resuelto, por el alto grado de incertidumbre involucrada.
En general, se considera el valor en bolsa de las acciones de la empresa o el valor
presente de los beneficios futuros como el valor de mercado de una empresa 2 . Hay métodos
que tienen en cuenta otras cifras, como el valor del patrimonio en libros, el valor de los
activos fijos menos los pasivos, el valor de liquidación de los activos, etc. Aquí se va a
considerar la valoración de una firma o empresa en marcha: más aún, una empresa con
proyecciones futuras a partir de las cuales se va a calcular su valor. Estos enfoques son
básicamente correctos y parte fundamental en la determinación del valor de mercado de una
empresa. A continuación presentamos en forma gráfica la variedad existente.
1
Esta sección está basada en Topa (1996).
2 Para un estudio detallado sobre este tema se recomienda estudiar a Tham y Vélez Pareja (2004).
1

Gráfica 7.1 Métodos de valoración
Balance general
•Valor en libros
•Valor en libros ajustado
•Valor de liquidación
•Valor de reposición
Contables
Múltiplos
Basados en
resultados
Basados en
ingresos
•V/EBITDA
•V/EBIT
•V/RPG
•V/FCL
•V/UN
•P/Ventas por Acción (EpS)
•V/Ventas
Modelos de
valoración de
empresas
Valor de mercado
Específicos
•V/KwH
•V/# líneas telefónicas
•Valor de la acción en el mercado
Free Cash Flow
Rentabilidad
futura
Fuente: tomado de Sarmiento y Cayón (2004).
Flujos de caja
descontados
Opciones Reales
Equity value
Adjusted present value (APV)
Capital Cash Flow (CCF)
Economic Value Added (EVA)
7.1 Métodos contables
Entre los métodos contables se pueden mencionar cinco: valor en libros, valor con ajuste
de activos netos, valor de reposición, valor de liquidación y múltiplos. Estos métodos son
relativamente fáciles de utilizar, pero presentan serias limitaciones. Su uso en Colombia ha
sido frecuente, aunque han ido cediendo terreno a otros procedimientos más complejos.
7.1.1 Valor en libros
Cuando se emplea el método de valor en libros, se toma el valor del patrimonio contable.
No hay ningún ajuste, y es producto de restar los pasivos de los activos. Es muy fácil
utilizarlo, pues sólo es un punto de referencia que, por lo general, nadie considera el
verdadero valor de la firma.
Una de las causas que lo hace impreciso es la inflación, que introduce serias distorsiones
en las cifras contables. Sin embargo, los ajustes por inflación aminoran el efecto
distorsionante en las cifras de este estado financiero. Algunas cifras pueden, por lo tanto,
estar alejadas de su valor comercial. No incluyen los activos intangibles no quedan
2

registrados. Los que utilizan este método hacen un ajuste poco ortodoxo a las cifras que,
por lo general, no tiene una base sólida que justifique la cifra de ajuste. No refleja la
capacidad de la firma de producir riqueza en el futuro, ni el know-how (experiencia) de la
firma, ya que se basa en datos históricos.
7.1.2 Valor con ajuste en los activos netos
El valor con ajuste en los activos netos calcula una especie de patrimonio ajustado, que
se basa en un cálculo de lo que podría ser el valor comercial de activos y pasivos. Este
cálculo reduce parte de las distorsiones que presenta el método del valor en libros. Al igual
que el método anterior, no contempla la generación de valor futuro, ni el know-how de la
firma. Termina siendo un método algo menos sujeto a los criterios del evaluador que el
anterior.
7.1.3 Valor de reposición
El valor de reposición se basa en calcular cuánto le costaría al comprador crear una
infraestructura productiva igual a la que se tiene. Este valor, por estar basado en
cotizaciones de activos similares, no tiene relación con la capacidad de generar valor en el
futuro. Podría ser adecuado para calcular el valor del aporte de bienes a otra sociedad.
7.1.4 Valor de liquidación
El valor de liquidación consiste en calcular el valor de la firma por el precio de
venta de los activos, una vez liquidada ésta. A diferencia de los métodos anteriores, supone
que la empresa no continúa operando. Sin embargo, tales métodos, a pesar de sus
limitaciones, consideran a la firma un proyecto o empresa en marcha. En estos casos hay
que tener en cuenta que los valores así obtenidos son inferiores a los de mercado, pues
suponen una venta de los bienes físicos y activos en general a precios de ocasión o de
‘quema’. La cifra obtenida por este método define una cota inferior al valor de una firma;
en general, menor que el valor en libros.
7.1.5 Múltiplos de firmas similares
Este método calcula el valor de la firma a partir del valor de mercado de firmas
comparables, por medio de una variable similar, por ejemplo, volumen de ventas,
utilidades, etc.
La idea es encontrar una firma similar a la cual se le conoce el valor (por ejemplo,
una que se transó en fecha reciente) y ese valor se compara con un indicador de la misma
firma (utilidades, ventas, etc.). La relación valor sobre el indicador escogido servirá como
múltiplo de la firma que se va a valorar. En general, el valor de una firma estaría definido
por la siguiente relación:
Valor de firma conocido
Múltiplo =
Indicador (ventas, utilidades, etc)
Valor de la firma = Múltiplo×
Indicador de firma a valorar
(7.1)
3

Este es un método fácil de aplicar, aunque tiene serios problemas, pues no refleja
la capacidad futura de generar riqueza de la compañía valorada.
7.2 Métodos asociados a rentabilidad
Los métodos asociados a rentabilidad, a diferencia de los contables, tienen en
cuenta la capacidad de la firma para generar riqueza, para producir valor en el futuro.
7.2.1 Valor en bolsa
Como ya se mencionó, el valor de una firma que se cotiza en bolsa es
relativamente sencillo de calcular: el número de acciones en el mercado multiplicado por el
precio de mercado de la acción. Hay que llegar a un acuerdo razonable para determinar cuál
es el precio de la acción que se va a utilizar en el cálculo: la cotización del último día, el
promedio de la última semana o del último mes, etc.
Este método tiene graves limitaciones, puesto que en Colombia y en muchos
países con mercados emergentes, el mercado bursátil no sólo es muy reducido, sino muy
imperfecto, y los precios de las acciones no siempre reflejan la realidad de una oferta y
demanda libre, sino que en muchos casos son precios manipulados. Por ejemplo, en
Colombia el número de acciones inscritas en las bolsas de valores no llega a 250 y el
número de acciones con alta bursatilidad (alta frecuencia y volumen significativo de
movimientos bursátiles) son muy pocas.
Para tener una idea de lo que aquí se dice al respecto, vale la pena tener en cuenta
lo siguiente:
El mercado de valores colombiano está muy concentrado. Por
ejemplo, alrededor del 50% del sector financiero está en manos de
una sola persona o grupo. En octubre de 1998 los 34 bancos del
país presentaron pérdidas por $138.652 millones y de esos 34
bancos 16 presentaron utilidades por más de $380.000 millones de
los cuales el 51,4% corresponden a aquél único grupo que posee
alrededor del 50% del sector financiero.
El 93% de las acciones que se negocian en las bolsas de valores
está en manos de un 3% de los accionistas.
En el primer semestre de 1997, las diez empresas con mayor
bursatilidad cubren el 72,5% del mercado accionario. De esas
diez, cinco pertenecen a un solo grupo y responden por 43,91%
del valor de las acciones de mayor bursatilidad, o sea, que les
corresponde el 31,83% del mercado accionario en ese período. La
empresa con mayor bursatilidad tiene el 27,73% del total de las
diez ya mencionadas y el 20,1% del total del mercado accionario.
En enero de 1999 había 123 empresas con acciones registradas en
la Bolsa de Bogotá. En diciembre de 1996 la Superintendencia de
Valores sólo pudo calcular el coeficiente beta de 54 de esas
4

empresas por no contar con información de transacciones
suficiente para hacerlo para la totalidad de las empresas inscritas.
En otras palabras, en la Bolsa de Bogotá se mueven con
regularidad menos del 50% de las acciones registradas. El día 4 de
enero de 1999, el IBB estaba compuesto por 24 empresas. (Vélez
Pareja, 2000, s. p.)
Con la reciente ola de fusiones y adquisiciones esta situación tiende a agravarse.
7.2.2 Flujo de caja descontado
El flujo de caja descontado se basa en la capacidad que tiene la empresa de generar
riqueza en el futuro. Es necesario proyectar el flujo de caja libre (FCL, que estudiamos en
este capítulo), descontarlo al costo promedio ponderado de capital (que se estudia en el
capítulo 8) y restarle el valor de la deuda financiera. O calcular el flujo de caja de los
accionistas (FCA, estudiado también en este capítulo) y descontarlo al costo del patrimonio
de los accionistas. En la Tabla 7.1 presentamos un resumen de las características de cada método.
Tabla 7.1 Características de los diferentes métodos
Método
Característica
Activos
Valor
Libros
Reposición Liquidación
ajustados
en bolsa Múltiplos Flujo de caja
descontado
Usa información
A A No No A M A
cuantitativa
Mide bien el
No No No No M M A
rendimiento
económico
Flexibilidad para No B B B B M A
determinar rango de
valores
Adaptabilidad A A No No M M A
Aporta a proceso de No No No No M M A
negociación
Complejidad
No No M M No M A
conceptual
Aceptación A A M M A B B
Rapidez M M M M A A B
Experiencia de
M M M M B B A
evaluadores
Exige equipos de M M M M M B A
cómputo
B: bajo; M: medio; A: alto, y No: no requiere o no tiene.
Fuente: tomada de Topa (1986).
Este libro está enfocado en la valoración basándose en los flujos de caja
descontados. En los capítulos 2, 3 y 4 se estudiaron métodos para evaluar y escoger
alternativas de inversión, pero no se ha precisado cómo se llega a las cifras de los flujos de
caja asociados a cada alternativa. Estos flujos de caja sirven para calcular indicadores de la
5

bondad de un proyecto, como tasa interna de rentabilidad (TIR) o valor presente neto
(VPN).
En este capítulo se estudia con detalle la determinación de los flujos de caja, en
particular de los flujos de caja de la deuda (FCD), el FCA y lo que se conoce como el flujo
de caja del capital (FCC) 3 . En el apéndice se estudia el flujo de caja de los ahorros en
impuestos (AI) y el FCL.
Este desarrollo lo ilustramos con el ejemplo relativamente complejo que hemos
desarrollado desde el capítulo 5. Allí se incluyeron algunas variables y condiciones de la
realidad. Todos los esfuerzos que se dediquen a perfeccionar los métodos de evaluación y
selección de alternativas serán vanos si no se introducen cifras adecuadas en ellos; aquí se
debe recordar aquello de garbage in, garbage out de los anglosajones, esto es, si
introducimos basura (datos malos) a un modelo, obtendremos resultados pobres.
7.2.3 Estados financieros proyectados
A continuación repetimos los estados financieros encontrados en el capítulo
anterior. En la Tabla 7.2 presentamos el estado de resultados (EdeR) proyectado.
Tabla 7.2 Estado de resultados
Estado de resultados Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8
Costo de ventas 23.443,9 26.049,1 26.674,4 28.283,6 29.405,8
Utilidad bruta 24.640,0 25.505,9 29.162,7 31.904,5 35.480,0
Gastos de ventas y administrativos 9.208,0 9.848,4 10.500,6 11.203,9 11.957,9
Depreciación 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3
Utilidad operativa (UO) 4.181,9 4.407,6 7.412,1 9.450,6 9.473,8
Interés recibido por inversiones temporales 0,0 419,8 839,7 1.361,1 0,0
Gastos financieros en moneda local 2.165,1 1.664,3 1.248,2 798,3 3.776,8
Gastos financieros en moneda extranjera 1.485,5 1.335,9 904,5 666,1 329,6
Pérdida en cambio por préstamos en divisas 651,6 362,8 408,2 201,7 96,5
Gastos financieros totales convertidos a
moneda local 4.302,3 3.363,1 2.560,9 1.666,0 4.202,9
Utilidad antes de impuestos -120,3 1.464,3 5.690,9 9.145,7 5.270,9
Impuestos 0,00 470,39 1.991,81 3.201,00 1.844,80
Utilidad neta -120,3 993,9 3.699,1 5.944,7 3.426,1
Dividendos a pagar en el año siguiente 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3 2.398,2
Utilidades retenidas acumuladas -120,3 873,6 3.876,9 7.232,3 6.497,0
A continuación se muestra el flujo de tesorería (FT), tomado del capítulo anterior
(Tabla 7.3).
3 También se conoce como CCF, por su nombre en inglés: capital cash flow.
6

Tabla 7.3 Flujo de tesorería proyectado
Módulos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Módulo 1. Saldo operativo
Ingresos de tesorería
Total de recaudos por ventas 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9
Total ingresos de tesorería 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9
Egresos de efectivo
Pagos totales 1.680,0 21.980,3 26.087,2 25.971,8 28.254,8 29.386,9
Gastos generales 0,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1
Pagos de nómina fija y extra 0,0 2.582,2 2.765,0 2.969,9 3.186,7 3.410,2
Regalías 0,0 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.688,0
Publicidad 0,0 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,6
Impuestos 0,0 0,0 470,4 1.991,8 3.201,0 1.844,8
Egresos de tesorería totales 1.680,0 31.188,3 36.406,0 38.464,3 42.659,6 43.189,6
Saldo neto de caja antes de compra de
activos -1.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 17.310,9 21.461,3
Módulo 2. Saldo después de inversiones
Compra de activos fijos 45.000,0
Compra de activos fijos año 4 0,0 0,0 0,0 0,0 56.193,2 0,0
Saldo neto de caja después de compra de
activos -46.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 -38.882,2 21.461,3
Módulo 3. Financiación externa
Préstamo 1 LP 16.616,6
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 29.518,8 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 0,0 5.903,8
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamos en divisas 3.453,6 3.544,3 3.680,4 3.781,2 3.877,7
Interés pagado 0,0 3.650,6 3.000,2 2.152,8 1.464,3 4.106,4
Saldo neto de tesorería después de
financiación -13.446,9 4.063,8 5.107,6 8.002,2 -17.932,3 4.250,0
Módulo 4. Transacciones con el
accionista
Patrimonio invertido 15.000,0
Pago de dividendos 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
Recompra de acciones
Saldo neto de tesorería después de
transacciones con el accionista 1.553,1 4.063,8 5.107,6 7.306,5 -20.521,7 88,7
Módulo 5. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 0,0 0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0
Interés recibido 0,0 0,0 419,8 839,7 1.361,1 0,0
Inversiones temporales 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0 78,7
Saldo neto de tesorería después de otras
transacciones 1.553,1 -1.453,1 10,0 10,0 10,0 10,0
Saldo acumulado de tesorería al final de
año 1.553,1 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0
7

LP: largo plazo; CP: corto plazo.
Por último, se muestra el balance general (BG):
Tabla 7.4 Balance general proyectado
Balance general Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Activos
Caja y bancos 1.553,1 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0
Cuentas por cobrar 0,0 2.404,2 2.577,8 2.791,9 3.009,4 3.244,3
Inventario 1.680,0 1.933,0 2.191,1 2.222,5 2.365,7 2.453,5
Inversiones temporales 0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0 78,7
Interés causado 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Activo corriente 3.233,1 9.954,0 15.913,2 24.304,9 5.505,1 5.916,5
Activos fijos netos 45.000,0 33.750,0 22.500,0 11.250,0 56.193,2 42.144,9
Total 48.233,1 43.704,0 38.413,2 35.554,9 61.698,3 48.061,4
Pasivos y patrimonio
Cuentas por pagar 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4
Deuda corto plazo 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Impuestos causados y por pagar 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Pasivos corrientes 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4
Deuda en moneda local 16.616,6 13.293,2 9.969,9 6.646,6 32.842,1 23.615,0
Deuda en divisas 16.616,6 13.814,5 10.633,0 7.360,8 3.781,2 0,0
Total pasivos 33.233,1 28.824,4 22.539,7 16.678,0 39.466,0 26.564,4
Patrimonio 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0
Utilidades retenidas 0,0 -120,3 873,6 3.876,9 7.232,3 6.497,0
Total 48.233,1 43.704,0 38.413,2 35.554,9 61.698,3 48.061,4
Basándonos en estos estados financieros, procedemos a calcular los diferentes flujos
de caja.
7.2.4 Construcción de los flujos de caja
Antes de seguir conviene recordar unos planteamientos básicos de las finanzas.
Éstos tienen que ver con lo propuesto por Modigliani y Miller (1958, 1959 y 1963) en sus
trabajos seminales de finales de los años cincuenta y principios de los sesenta. La idea
básica es la siguiente: en una economía perfecta (mercado perfecto), donde ni siquiera
existan impuestos, el valor total de una firma no cambia por la forma como esté repartido el
capital entre patrimonio y deuda. En términos matemáticos:
V sd = P sd = V cd = P cd +D (7.2)
Donde V sd es el valor de la firma sin deuda; P sd , el patrimonio sin deuda; V cd , el
valor de la firma con deuda; P cd , el valor del patrimonio con deuda, y D, la deuda. Esto
significa que lo que se conoce como estructura de capital, es decir, la forma como se
distribuye el aporte de fondos entre los tenedores de la deuda y los dueños del patrimonio.
8

Esto significa que cuando no hay impuestos (situación hipotética), la estructura de capital
no afecta el valor de la firma.
Para cada elemento de la anterior ecuación hay asociados unos flujos de caja que
mantienen la misma relación que los valores, así:
FCL = FCD+FCA (7.3)
Donde FCL es el flujo de caja libre; FCD, el flujo de caja de la deuda, y FCA, el
flujo de caja del accionista.
Por otro lado, establecieron que cuando existen los impuestos, esta externalidad
genera un valor adicional que se denomina ahorros en impuestos por pago de intereses o
escudo fiscal. En este caso, la estructura sí afecta el valor de la firma, y su planteamiento
matemático es el siguiente:
V cd = V sd +V AI = P cd +D (7.4)
Donde V cd es el valor de la firma con deuda; V sd , el valor sin deuda; V AI , el valor de
los ahorros en impuestos; P cd , el valor del patrimonio (hay que aclarar que este valor,
aunque con igual notación será diferente al anterior presentado en la ecuación 7.2), y D, el
valor de la deuda. De igual manera se pueden asociar flujos de caja a cada uno de estos
elementos, así:
FCL+AI = FCD+FCA (7.5)
Donde AI es el ahorro en impuestos.
A partir de estos conceptos básicos vamos a derivar los flujos de caja que nos
permitirán calcular el valor de la firma y su VPN.
7.2.5 El flujo de caja de capital
Quienes aportan el capital para el funcionamiento de una firma o proyecto son dos:
los dueños de la deuda y los accionistas o dueños del patrimonio. Son a ellos a quienes la
firma o proyecto debe devolver una cierta rentabilidad. ¿Dónde se remunera la inversión
que ellos hacen en la firma o proyecto?
Esto lo podemos responder examinando dos de los estados financieros que hemos
presentado arriba: el EdeR y el FT. Si observamos el EdeR, encontramos que después de
los ingresos operativos netos y de los otros ingresos, se registran dos partidas asociadas con
esta remuneración: los gastos financieros (remuneración a los dueños de la deuda) y las
utilidades netas (remuneración a los dueños del patrimonio). Sin embargo, esto no es la
cantidad que ellos reciben (recordemos el concepto de causación que se aplica en la
construcción del EdeR).
En el FT aparecen, como ya sabemos, los movimientos reales de dinero. En el
módulo 2 del FT vimos que aparecen las transacciones financieras; mientras en el módulo
3; las transacciones realizadas con los accionistas.
9

Esto quiere decir que si deseamos saber la remuneración que efectivamente reciben
los dueños del capital (deuda y patrimonio), debemos mirar los módulos 2 y 3 del FT. Aquí
debemos aclarar que cuando se examinan los flujos de caja, se hace desde el punto de vista
de cada dueño del capital (deuda y patrimonio).
7.2.6 El flujo de caja de la deuda
¿Qué aportan y qué reciben los dueños de la deuda? Entregan préstamos a la firma o
proyecto y reciben en compensación el monto inicial prestado y los intereses pactados. Esto
lo podemos determinar en el módulo 2 del FT (Tabla 7.5). Veamos:
Tabla 7.5 Componentes del FCD en el FT
Módulo 3 . Financiación externa Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Préstamo 1 LP 16.616,6
Préstamo 3 LP 29.518,8 0,0
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamo en divisas 16.616,6
Pago de préstamos
Préstamo 1 LP 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3
Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 0,0 5.903,8
Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Préstamo en divisas 3.453,6 3.544,3 3.680,4 3.781,2 3.877,7
Interés pagado 0,0 3.650,6 3.000,2 2.152,8 1.464,3 4.106,4
LP: largo plazo; CP: corto plazo.
El FCD lo determinamos recordando que debemos examinarlo desde el punto de
vista de los dueños de la deuda. De este modo, procedemos a modificar la presentación de
la tabla anterior así (Tabla 7.6):
Tabla 7.6 Cálculo del FCD
Deuda Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Menos nueva deuda -33.233,1 0,0 0,0 0,0 -29.518,8 0,0
Más pago de deuda 0,0 6.776,9 6.867,7 7.003,7 7.104,5 13.104,8
Más pago de intereses 0,0 3.650,6 3.000,2 2.152,8 1.464,3 4.106,4
FCD -33.233,1 10.427,6 9.867,9 9.156,5 -20.949,9 17.211,2
Entonces, el FCD es todo lo que aportan los dueños de la deuda como préstamos a
la firma o proyecto (ellos hacen una inversión al prestar ese dinero, por lo tanto, es un
monto negativo) y en compensación reciben el repago de la deuda y los intereses pactados.
La suma algebraica de estas partidas es el FCD.
7.2.7 El flujo de caja del accionista
De igual forma, el FCA lo determinamos a partir del módulo 3 del FT. ¿Cuál es el
aporte y la remuneración sobre ese aporte que hacen los accionistas? Simplemente, el
aporte es capital o patrimonio y la remuneración está constituida por los dividendos o
10

utilidades realmente pagados y por la recompra de acciones o participaciones. Veamos esto
en el módulo 3 (Tabla 7.7).
Tabla 7.7 Componentes del FCA en el FT
Módulo 4. Transacciones con el Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
inversionista
Menos patrimonio invertido 15.000,0
Más pago de dividendos 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
Más recompra de acciones 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Tal y como lo hicimos con el módulo 2, modificamos la presentación de la tabla
anterior así (Tabla 7.8):
Tabla 7.8 Cálculo del FCA
Aporte y remuneración Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Aportes de patrimonio -15.000,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Más recompra de participación 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Más dividendos 0,0 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
FCA -15.000,0 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
Entonces, el FCA es todo lo que aportan los dueños del patrimonio a la firma o
proyecto (ellos hacen una inversión al aportar ese dinero, por lo tanto, es un monto
negativo) y en compensación reciben los dividendos o utilidades repartidos y cualquier
recompra de patrimonio. La suma algebraica de estas partidas es el FCA.
7.2.8 Construcción del flujo de caja de capital
A partir del FCD y del FCA podemos construir el FCC. Este último está en la
esencia de los planteamientos de Modigliani y millar. Recientemente, Ruback (2000) lo ha
popularizado. Dijimos que eran los aportes y la remuneración que efectivamente reciben los
dueños del capital (deuda y patrimonio). Por lo tanto, el FCC será:
Tabla 7.9 Cálculo del FCC
Flujos de
capital
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCD -33.233,1 10.427,6 9.867,9 9.156,5 -20.949,9 17.211,2
FCA -15.000,0 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
FCC -48.233,1 10.427,6 9.867,9 9.852,2 -18.360,6 21.372,5
El FCC es la suma del FCD y el FCA:
FCC = FCD+FCA (7.6)
Observe que esta expresión es la parte derecha de las ecuaciones 7.3 y 7.5.
De aquí puede surgir una paradoja: el valor del flujo de caja que nos interesa no es
lo que queda en la firma, sino lo que sale para pagarle a los dueños del capital (deuda o
11

patrimonio). Esto es importante tenerlo en cuenta, porque con frecuencia se cree que los
flujos de caja que interesan son lo que resulta de restarle los egresos a los ingresos.
Para el año N, el último año proyectado (5 en este ejemplo) se debe añadir el valor
de mercado o valor terminal (Benninga y Sarig, 1997; Copeland, Koller y Murrin, 2000, y
Weston y Copeland, 1992, lo llaman continuing value. Damodaran, 1996, y Tham y Vélez
Pareja, 2004, lo llaman terminal value) 4 . Aquí lo llamaremos valor terminal y lo
estudiaremos en el capítulo 9.
7.3 Para recordar
Se debe tener siempre en cuenta que el cálculo del FCC es muy sencillo de obtener.
Se toman los datos del FT (módulos 2 y 3 corregir: son el tres y el cuatro) y de allí se
calcula el FCD y el FCA. La suma de estos dos es el FCC.
7.4 Resumen
En este capítulo hemos construido el FCC desde partidas que se encuentran en el
FT. Es la manera más fácil de determinar los flujos de caja pertinentes para la valoración de
un proyecto o firma.
Referencias bibliográficas
Benninga, Simon Z. y Sarig, Oded H. 1997. Corporate Finance. A Valuation Approach,
McGraw-Hill, s. l.
Copeland, Thomas E.; Koller, T., y Murrin, J. 2000. Valuation. Measuring and Managing
the Value of Companies, 3 a ed., John Wiley & Sons, New York.
Damodaran, Aswath. 1996. Investment Valuation, John Wiley & Sons, New York.
Modigliani, Franco y Miller Merton H. 1963. “Corporate Income Taxes and the Cost of
Capital. A Correction”, The American Economic Review, vol. LIII, pp. 433-443.
—. 1959. “The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment.
Reply”, The American Economic Review, vol. XLIX, pp. 524-527.
—. 1958. “The Cost of Capital, Corporation Taxes and the Theory of Investment”, The
American Economic Review, vol. XLVIII, pp. 261-297.
Ruback, Richard S. 2000. Capital Cash Flows. A Simple Approach to Valuing Risky Cash
Flows, Working Paper, Social Science Research Network.
Sarmiento, Julio y Cayón, Edgardo. 2004. “Múltiplos para valoración de empresas en
Colombia. Análisis de resultados del período 98-02”, Cuadernos de Administración,
No. 28, pp. 111-128.
Serrano, Javier. 1985. “Valoración de empresas. Marco teórico para su realización”,
Monografías, Facultad de Administración, Universidad de los Andes, Bogotá, pp. 4-
15. [Publicado también por la Comisión Nacional de Valores en el Boletín Comisión
Nacional de Valores, pp. 4-15, 1985].
Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation. An
Integrated Market Based Approach, Academic Press, s. l.
Topa, Guillermo. 1996. “Algunos de los métodos para valoración de empresas”, Revista
4 En estas referencias hay un completo estudio del tema.
12

Superintendencia Bancaria, Bogotá, No. 26, marzo, pp. 16-22.
Vélez Pareja, I. 2004. Decisiones de inversión, enfocado a la valoración de empresas, 4ª
ed., Ceja, Bogotá. Disponible en: http://www.poligran.edu.co/decisiones.
—. 2000. “The Colombian Stock Market: 1930-1998”, Latin American Business Review,
vol. 1, No. 4, pp. 61-84. Disponible como documento de trabajo en Social Science
Research Network, 1999.
—. 1999a. “Construction of Free Cash Flows. A Pedagogical Note. Part I” (documento de
trabajo), Social Science Research Network, diciembre.
—. 1999b. “Construction of Free Cash Flows. A Pedagogical Note. Part II”, Social Science
Research Network, diciembre.
—. 1981. “A propósito de la valoración de empresas”, Actualidad Gerencial, año 2, No. 7,
junio. [También como “Consideraciones para la valoración de empresas”, Carta de
Gerencia, No. 426, julio 19, p. 8, 1983]
Weston, J. Fred y Copeland, T. E. 1992. Managerial Finance, 9 th ed., The Dryden Press, s.
l. [Hay traducción en español como Finanzas en administración, 9ª ed., McGraw-
Hill, s. l., 1995]
13

A7 Apéndice
En este apéndice ilustramos formas alternas pero más complicadas (aunque no
difíciles) de calcular los flujos de caja, tanto el FCL como el FCA.
A7.1 El flujo de caja libre
Se ha dicho desde hace mucho tiempo que el flujo de caja libre (FCL) no debe
incluir las partidas relacionadas con la financiación, sea ésta de los accionistas o de los
dueños de la deuda. Esto es cierto. ¿Por qué? Porque el destino de los beneficios operativos
del proyecto es remunerar a los dueños del capital. Recordemos qué encontramos después
de la utilidad operativa más los otros ingresos en el estado de resultados: el pago de
intereses, la disponibilidad de utilidad neta para los dueños del patrimonio y lo relacionado
con los impuestos. Por lo tanto, si al derivar el FCL incluimos las partidas para las cuales
está destinado el FCL, estamos creando una distorsión en su cálculo. Podemos decir que:
FCC (por ahora no importa cómo se llegue a esto) ≡ lo que se les entrega a los dueños del
capital
(A7.1)
Es decir, el FCC es idéntico (o debe ser) a lo que los dueños del capital reciben.
Recordemos que en el cuerpo del capítulo dijimos que una consecuencia de la
financiación con deuda cuando hay impuestos era que se generaba un ahorro en impuestos
(y eso genera valor para la firma o proyecto) y que, además, ese ahorro queda involucrado
en la utilidad neta. Por la argumentación anterior hay que precisar la anterior identidad:
FCL (por ahora no importa cómo se llegue a esto) ≡ lo que se les entrega a los dueños del
capital menos los ahorros en impuestos
(A7.2)
Por lo tanto, una forma sencilla de hacer esta relación es:
FCL = FCD+FCA−AI
(A7.3)
Donde FCL es el flujo de caja libre; FCD, el flujo de caja de la deuda; FCA, el flujo
de caja del accionista, y AI, el ahorro en impuestos tal y como se estudia con detalle más
adelante.
Obsérvese que el FCL está relacionado con los otros tres: el FCA, el FCD y el AI.
Esta relación se basa en la misma ecuación contable, ya mencionada, que se encuentra en el
balance general (BG): los fondos que se utilizan para comprar los activos se originan en los
pasivos y en el patrimonio.
Como se ve, esta es la forma más sencilla de construir el FCL. ¿Dónde se
encuentran el FCD y el FCA? En el flujo de tesorería (FT). Y ¿el ahorro en impuestos?
Examinando cuándo se pagan en el FT y si se han ganado mirando la utilidad antes de
14

intereses e impuestos (utilidad operativa [UO]) en el estado de resultados (EdeR). Si la UO
es mayor que los intereses, los ahorros en impuestos son T×I. Si la UO es positiva, pero
menor que los intereses, el ahorro será T×UO. Si es negativa, no hay ahorros en impuestos 5 .
A7.2 Forma tradicional de cálculo del FCL
Una definición utilizada para el FCL es la de “fondos disponibles y que
efectivamente se entregan a los dueños del capital (accionistas y tenedores de deuda)”. A
este valor se puede llegar de dos formas: una directa, como la que acabamos de estudiar en
el aparte anterior, que mide lo que reciben los dueños del capital (deuda o patrimonio), o
una indirecta, que parte de la utilidad (operativa o neta) del EdeR a la cual hay que hacerle
ajustes para convertir una cifra basada en causaciones a un flujo de caja.
La forma más conocida para llegar al mismo resultado (en condiciones ideales)
requiere el cálculo del capital de trabajo de la firma (activos corrientes menos pasivos
corrientes) y calcular, además, el cambio en ese capital de trabajo (CCT) de un período a
otro para aplicarlo a la siguiente expresión 6 :
FCL = UO×(1−T)+Dep+Amort−CCT−Inversiones
(A7.4)
Donde UO es la utilidad operativa; T, la tasa de impuestos; Dep, la depreciación;
Amort, amortizaciones, y CCT, el cambio en el capital de trabajo.
De lo que se trata aquí es convertir una cifra de utilidad contable (UO o utilidad
neta), que contiene elementos de causación (registros de ingresos o gastos que no han
ocurrido aún), en un flujo de caja.
Examinemos esta ‘fórmula’. Al calcular UO×(1−T), estamos reconociendo los
impuestos sin que se afecten por el ahorro en impuestos (la UO por definición es antes de
intereses e impuestos, por lo tanto, no tiene ese efecto). Al sumar la depreciación y las
amortizaciones, estamos reconociendo que estas dos partidas son asignaciones de costo y
no un flujo de caja, y al restar el CCT 7 , estamos ajustando el resultado de la UO que está
basada en el concepto de causación, por aquellas partidas que en el EdeR aparecen en su
totalidad cuando en términos de flujos de dinero no han ocurrido (en particular, las ventas y
los gastos ya que hay cuentas por cobrar y cuentas por pagar).
Examinemos con detalle la operación con el CCT, en particular una partida que nos
va a permitir entender por qué se debe restar el cambio. Si para un año cualquiera, t, se
realizan unas Ventas t , es claro que por el principio de causación esas ventas quedan
registradas en el EdeR en su totalidad.
Si queremos determinar cuánto de esas ventas ingresan realmente en el año t,
debemos hacer un par de consideraciones. La primera: no todo lo que se facturó y que
aparece como ventas se ha recibido en t, pues en t se habrá recibido la cantidad que queda
después de restarles a las ventas las cuentas pendientes de recibir, o sea, las cuentas por
pagar (c×c t ). Esto es, que de las ventas registradas en t, Ventas t , se recibe únicamente:
5 Esta situación puede cambiar en el caso de existir la posibilidad de amortizar pérdidas en años posteriores. Hay que
consultar la norma fiscal.
6 Como se verá más adelante, se puede partir también de la utilidad neta.
7 Para facilitar el análisis no estamos considerando inversiones temporales en el capital de trabajo, pero esto no le quita
generalidad al planteamiento.
15

FC por ventas en t = Ventas t − c×c t
(A7.5)
La segunda consideración es que a comienzos del año t había algunas cuentas por
cobrar del año t−1, c×c t−1 . Si esas cuentas por cobrar fueron cobradas y se recibieron en t,
entonces hacen parte del flujo de dinero que se genera en el año t. Si acaso no fueron
cobradas en su totalidad, lo que falta por cobrar habrá quedado registrado en las c×c del año
t. Por lo tanto, el flujo total de dinero en t, por concepto de las ventas de ese año y de los
anteriores es:
FC Vt = c×c t−1 +Ventas t −c×c t
(A7.6)
Reordenando los términos tenemos:
FC Vt = Ventas t +c×c t−1 −c×c t
(A7.7)
O, lo que es lo mismo:
FC Vt = Ventas t −(c×c t − c×c t−1 )
(A7.8)
O sea, que a las ventas se le resta el cambio en c×c de t−1 a t. Recordemos que las
cuentas por cobrar hacen parte del capital de trabajo. Con un razonamiento similar se puede
llegar a la conclusión que para las demás partidas que componen el capital de trabajo se
resta el cambio en ellas de t−1 a t.
Para el caso de las cuentas por pagar, usando un argumento similar se tiene que las
compras quedan registradas en el costo de ventas (como se vio en el capítulo 6) del EdeR.
Sin embargo, parte de esas compras no ha sido pagada aún, por lo tanto, el egreso (flujo)
por concepto de compras del año t, C t , es:
FC por compras en t = C t −c×p t
(A7.9)
Donde c×p t significa cuentas por pagar del año t.
Al igual que con las cuentas por cobrar, se traen unas cuentas por pagar de año
anterior, entonces el flujo total del año t es:
FC Ct = c×p t−1 +C t −c×p t
(A7.10)
Reordenando los términos tenemos:
FC Ct = C t +c×p t−1 −c×p t
(A7.11)
O lo que es lo mismo:
FC Ct = C t −(c×p t −c×p t−1 )
(A7.12)
Ahora examinemos qué hay incluido en el EdeR cuando se resta el costo de ventas:
16

CV t = IF t−1 +C t −IF t
(A7.13)
Donde IF es inventario final, y CV, el costo de ventas.
Como deseamos llegar a un flujo de caja que está dado por la ecuación A7.12 y ya
tenemos registrado el costo de ventas (ecuación A7.13), debemos hacer un ajuste para que
CV t se convierta en (A7.12). ¿Qué le falta para que esto ocurra? Pues debemos restarle la
diferencia entre A7-12 y A7.13, o sea, A:
A = (c×p t −c×p t−1 )+(IF t−1 −IF t )
(A7.14)
Es decir, al costo de ventas se le resta el (c×p t −c×p t−1 )+(IF t−1 −IF t ) y queda:
FC Ct = CV t −A = IF t−1 +C t −IF t −(c×p t −c×p t−1 )−(IF t−1 −IF t )
(A7.15)
Simplificando se tiene:
FC Ct
= IF T−1 +C t −IFT−(c×p t −c×p t−1 )−(IFT−1 − IFT)
= C t −(c×p t − c×p t−1 ) (A7.16)
Entonces se resta A al CV para obtener FC Ct . Pero CV está restando en el EdeR, por
lo tanto, en resumen, a las ventas de t les hemos restado el cambio en cuentas por cobrar y
al costo de ventas le hemos restado A (recordemos que CV se resta, por lo tanto lo que se
resta a CV es equivalente a sumarlo) que en total resulta en:
-CCT = -[(c×c t −c×c t−1 )−(c×p t −c×p t−1 )−(IF t−1 − IF t )]
(A7.17)
Es decir_
-CCT = -[(c×c t −c×c t−1 )−(c×p t −c×p t−1 )+(IF t −IF t−1 )]
(A7.18)
Y la expresión dentro de los paréntesis cuadrados es el CCT.
En relación con la consistencia entre la definición de FCL y la ‘fórmula’, hay que
ser cuidadoso en la definición de los elementos que entran en ella. Por ejemplo, cuando
aquí decimos CCT nos referimos exactamente a la definición de capital de trabajo, que es la
diferencia entre activos corrientes y pasivos corrientes. En este caso, el activo corriente
contiene todos los elementos que hacen parte de éste. En particular, contiene el saldo de
caja, las cuentas por cobrar, los inventarios y las inversiones temporales; por otro lado,
contiene los pasivos corrientes excepto la parte corriente de la deuda financiera.
Si, por el contrario, en el capital de trabajo no se incluyen todos los elementos del
activo corriente (por ejemplo, si se dejan por fuera las partidas saldo de caja y bancos e
inversiones temporales por considerarlas no operativas), estaremos perdiendo consistencia
entre la definición y la formulación.
Si calculamos el FCL por ambos métodos, el resultado tiene que ser el mismo.
Aquí surge una aparente paradoja: si hemos dicho que el FCL debe estar libre de los
efectos de la financiación, ¿cómo es que podemos calcularlo precisamente a partir de los
17

elementos que financian a la firma, como hicimos en el primer enfoque? La respuesta es
fácil. Es sólo cuestión de perspectiva. Podemos verlo como lo que finalmente reciben los
dueños del capital (primer enfoque) o lo que hay disponible para entregar y efectivamente
se entrega a los dueños del capital. Ambos enfoques, por lo tanto, deben llevarnos al mismo
resultado.
¿De dónde sale cada pieza de información para construir los flujos de caja? En el
primer enfoque, sale del FT y de las condiciones de impuestos que existan. En el segundo
enfoque tomamos información del BG y del EdeR.
Consideramos que el primer enfoque es más claro, más sencillo y expuesto a menos
errores.
A7.3 Los ahorros en impuestos
Se deben tener en cuenta todos los impuestos que se prevean: impuesto de renta, de
patrimonio, de industria y de comercio, de avisos, de vehículos, de ganancia ocasional, de
renta presuntiva, etc. Los impuestos asociados a un proyecto deben calcularse examinando
la situación fiscal de la firma con el proyecto y sin éste. Los impuestos netos a cargo del
proyecto son la diferencia entre los impuestos de la firma con el proyecto y sin éste.
Los impuestos sobre ganancias ocasionales o de capital afectan aquellas cantidades
obtenidas en exceso del valor que aparece en libros, o sea, el saldo del activo después de
descontar la depreciación. Este impuesto es pertinente cuando se incluyen en la evaluación
los valores de salvamento de ciertos activos. Por otro lado, hay que recordar que la ley
permite hacer ajustes periódicos a los valores en libros de los activos, de manera que el
efecto del impuesto de ganancia ocasional puede ser neutralizado en algún grado.
Los impuestos que genera el AI son los de renta. Cuando se mencionan los
impuestos en este contexto del costo de capital y de FCL, se refiere a impuestos de renta.
Se pregunta con frecuencia sobre el efecto de los ajustes por inflación de los estados
financieros en el FCL. La pregunta es fácil de responder: sólo se afectan los impuestos por
aumento o disminución de ellos en relación con la contabilidad tradicional. Es decir, se
debe calcular e incluir como impuestos los resultantes de los estados financieros ajustados
por inflación. Esto implica que se deben proyectar con los ajustes por inflación.
Estos últimos sólo tratan de resolver un problema que solucionó hace mucho tiempo
la evaluación de proyectos, o sea, el tratar de determinar el valor real de los activos. Este
asunto se maneja sin ninguna dificultad conceptual (mas no práctica), con el concepto de
costo de oportunidad de los recursos comprometidos en el proyecto.
No puede olvidarse que los ajustes no crean riqueza, sino que tratan de medirla.
Ahora bien, si el efecto de los ajustes sobre el FCL es nulo, excepto en lo que refiere al
monto de los impuestos, debe tenerse en cuenta que para la valoración estos ajustes afectan
el CPPC, debido a los ajustes que se hacen al patrimonio. Es decir, los ajustes al patrimonio
se registran como un gasto y generan AI.
El efecto de los impuestos en los gastos de una entidad sujeta a gravamen resulta en
lo siguiente: un gasto antes de impuesto (G) se convierte en G×(1–T) después de impuestos,
donde T es la tasa de impuestos.
Lo anterior significa que un gasto implica un ahorro en impuestos de G×T en ese
gasto, en términos generales. En el caso de los intereses, se obtiene un ahorro en impuestos
igual a I×T. Este ahorro en impuestos reduce el pago de los intereses y, por lo tanto, el
18

costo de la deuda. Como ya está incluido en el costo de capital, no debe estar en el FCL. A
diferencia de las demás partidas, ésta no ‘se ve’ en el FT, porque está considerada dentro de
los impuestos que se pagan, como un menor valor.
Pero ¿cómo ocurre ese ahorro en impuestos por pago de intereses? A continuación
expondremos cómo ocurren los ahorros en impuestos. Ocurre, porque todos los gastos, en
particular los intereses de la deuda, generan un ahorro en impuestos.
Un ejemplo aclara esta idea.
Ejemplo A7.1
Supóngase que una firma tiene el siguiente estado de pérdidas y ganancias o de
resultados simplificado:
Estado Sin deuda Con deuda
Ventas 1.000 1.000
Costo de ventas 500 500
UO 500 500
Intereses 0 300
Utilidad neta AI 500 200
Impuestos (30%) 150 60
Utilidad neta DI 350 140
AI = diferencia en impuestos 90
El ahorro en impuestos es algo tangible y que se refleja en menores impuestos, con
el consiguiente efecto en el FT. En el ejemplo, al examinar el EdeR, la primera idea que se
le viene a alguien a la cabeza es que el accionista va a recibir $300 menos, porque hubo un
incremento del gasto financiero.
Sin embargo, cuando consideramos los impuestos, se descubre que no es así. Si los
intereses fueran $300, la primera reacción podría ser pensar que la utilidad neta se reduciría
en $300, pero sólo se reduce en $210 (350−140 o lo que es lo mismo, G[1–T] =
300[1−0,30] = 210), como se puede apreciar en la tabla. Se observa que hay un ahorro en
impuestos de 90 o sea G×T o 300×30%. Este ahorro en impuestos va a parar a manos del
accionista.
Este cálculo está simplificado, pues se sabe que puede haber ajustes por inflación y
debe tenerse en cuenta su efecto en los impuestos. Así mismo, esta expresión es
aproximada, porque supone que los impuestos se pagan el mismo año en que se causan. En
la realidad, esto ocurre al año siguiente en muchos casos. En algunos negocios la mayor
parte de los impuestos se pagan el mismo año en que se causan, por efecto de la retención
en la fuente. Esta retención en la fuente desempeña el papel de un anticipo de impuestos.
En cada caso hay que reconocer cuál es la situación.
Para calcular el costo de la deuda después de impuestos, se debe considerar el efecto
de los impuestos en los gastos deducibles. El efecto de los impuestos en los gastos de una
entidad sujeta a gravamen resulta en lo siguiente:
Un gasto antes de impuesto G se convierte en G(1–T) después de impuestos, donde
T es la tasa de impuestos.
Por lo tanto, un gasto G genera un ahorro en impuestos de GT.
19

Debe observarse que esta fórmula tiene sentido cuando la entidad produce utilidad
operativa, y está sujeta a impuestos sobre la renta. Más específicamente, si el resultado de
la utilidad operativa, más los otros ingresos es positivo (utilidad antes de intereses),
entonces se genera algún ahorro en impuestos por pago de intereses. Si no se producen esos
excedentes, no hay ahorro de impuestos, al menos en el período que se analiza. En todos los
casos la mejor manera de calcular el ahorro en impuestos por pago de intereses, por
ejemplo, es calcular la diferencia entre los impuestos con deuda y sin ésta. No siempre el
ahorro será de T×I, puesto que depende del valor de la utilidad antes de intereses. Veamos
esto con un ejemplo sencillo.
Supongamos ahora que la utilidad operativa es menor que los intereses que deben
pagarse:
EdeR Con deuda Sin deuda
UO 500 500
Intereses 650 0
Utilidad antes de impuestos -150 500
Impuestos 30% 0 150
Utilidad neta 0 350
AI = diferencia en impuestos 150 0
Observemos en este ejemplo que el ahorro en impuesto por haber pagado 650 de
intereses no es 195 (30%×650), sino 150 (500×30%). Esto significa que cuando la utilidad
operativa es menor que los intereses el ahorro en impuestos es sólo el que se produce
basado en la utilidad operativa. Si utilidad operativa fuera cero o negativa, ¿cuál sería el
ahorro en impuestos?
Cuando la utilidad antes de impuestos es cero o negativa, los impuestos son cero.
Por otro lado, los ahorros en impuestos son la diferencia entre los impuestos con deuda y
sin, por tanto:
Si UO>intereses, entonces AI es T×UO−T×(UO−Int) = T×Int.
Si 0<UO<intereses, entonces AI es T×UO−T×(UO−Int); pero como UO−Int es
negativo, los impuestos son cero y, por lo tanto, AI = T×UO
Si UO<0, entonces T×UO−T×(UO−Int); como UO es negativa, entonces ambos
términos son cero, por tanto, AI = 0
Si hay amortización de pérdidas, el AI perdido en un año se puede recuperar cuando
haya UO.
A7.4 Asignación de costos y causación
Hay ciertos gastos que si bien no forman parte del FCL, sí inciden en él debido a los
ahorros en impuestos que se generan, como es el caso de la depreciación.
La depreciación no entra en el FCL porque no es un movimiento de dinero —no es
un flujo de caja, es una asignación de costos pasados—. Además, si a un proyecto se le
carga el valor de la inversión en el año cero y el valor de la depreciación en los años
siguientes, se estaría contando dos veces el valor de la inversión. Piense qué sucede si se
calcula el valor presente de los costos al 0%: se tendría dos veces el valor de la inversión en
el año cero.
20

Debe observarse también que en el FCL los ingresos brutos corresponden a los
flujos verdaderos de dinero asociados al proyecto. Recuerde que si la venta de los bienes o
servicios producidos por el proyecto se hace a crédito, aunque ello representa un ingreso
contable, la facturación que registra el EdeR no forma parte del FCL. Así mismo, aquellos
gastos que no ocasionan flujos de dinero, como son la depreciación y reservas de pensiones
aceptadas fiscalmente, no deben considerarse gastos a efectos de determinar el FCL para
evaluar una alternativa de inversión. Sin embargo, son tenidos en cuenta indirectamente, al
reflexionar sobre su efecto en los impuestos.
Con los conceptos estudiados hasta ahora es claro que la depreciación disminuye la
base gravable y, por ende, los impuestos; de tal manera, que si se acelera la depreciación,
esto es, si se deprecia más al comienzo de la vida del activo, entonces los impuestos serán
menores en ese período y mayores en el futuro 8 .
Al aplazarse los impuestos, su valor presente disminuye, por lo tanto, el efecto de
acelerar la depreciación en un proyecto es aumentar su VPN. Se debe advertir que no
siempre es así y que depende justamente del valor residual del bien; si al final del período
se vende el bien (un bien totalmente depreciado), éste generará más utilidad y más
impuestos consecuentemente, que uno a medio depreciar. Hay que analizar cada caso en
particular; depende del tipo de negocio. Por ejemplo, el caso de un negocio que produce
pérdidas durante los primeros siete años, el ahorro en impuestos por la depreciación durante
los primeros siete años y su efecto en el aplazamiento de los impuestos y, por consiguiente,
sobre el VPN se pierden, salvo que en la legislación fiscal exista un sistema de carry over
de las pérdidas (recuperación de esos saldos negativos en materia fiscal, de modo que las
pérdidas de años anteriores reduzcan las utilidades de los años subsiguientes; esto se llama
amortización de pérdidas), aunque, donde existe, normalmente no van más allá de los cinco
años 9 . Se deja al lector como ejercicio verificar esto en el archivo CIGE.XLS.
A7.5 Algunas reflexiones
Aquí se presenta un tema para reflexión y que, por lo general, ocasiona algún
debate. Se pueden adoptar varias posiciones:
1. Considerar que los recursos deben registrarse en el momento en que se pagan;
ésta es la posición de aquellos que consideran que, por ejemplo, si una inversión (un
equipo, activos fijos, en general) se financia, entonces no debe registrarse la inversión en el
momento en que se compromete el activo, sino cuando se paga. Esto concordaría con que
interesa saber cuándo ocurren los desembolsos.
2. Considerar que los recursos deben registrarse cuando se utilizan, independiente
de cuándo se paguen. Esta es la posición de aquellos que consideran que, por ejemplo, si
una inversión (un equipo, activos fijos, en general) se financia, entonces debe registrarse la
inversión en el momento en que se compromete el activo y no cuando se paga. Esto
conduciría, para ser consistentes, a que los insumos (trabajo, materias primas, etc.) deberían
registrarse sólo cuando se utilizan y no cuando se pagan.
8 Esto ocurre si se generan utilidades operacionales. Si la firma no paga impuestos, porque no está generando utilidades y
no se pueden acumular pérdidas de un período para compensarlas en períodos futuros, esta afirmación no sería válida.
9 En Colombia se permitió diferir o amortizar pérdidas por cinco años, hasta 2003, según la reforma tributaria de 1995. A
partir de 2004 sólo se puede amortizar el 25% de las pérdidas.
21

3. Considerar que hay dos tipos de egresos: los de inversión o de infraestructura del
proyecto y los de operación. Los primeros pueden ser financiados o no y deben registrarse
en el FCL cuando se utilizan y no cuando se pagan; los segundos deben registrarse cuando
se pagan ya que, por lo general, su forma de pago corresponde a usos y costumbres del
medio donde se desarrolla el proyecto. En particular, la financiación de los montos de una
inversión ocurre básicamente porque quien decide no tiene todos los recursos necesarios,
mientras que la forma de pago de los segundos obedece a prácticas normales dentro de la
operación de un negocio. Esta última posición es la adoptada en este texto y responde más
concretamente la pregunta de si el proyecto es bueno o no, en sí mismo. Cuando una
inversión se financia, la ventaja o la desventaja que se genera con la financiación
corresponde a quien decide y no al proyecto. Esas ventajas o desventajas deberán reflejarse
en el FCA, ya que es su decisión o necesidad la de financiar o no el proyecto de inversión.
El proyecto debe pagar el costo del dinero a través de la tasa de descuento utilizada para
descontar los flujos de dinero al año cero. De esta manera no se introduce un elemento, a
favor o en contra del proyecto, que no responde a sus propios beneficios o costos, sino que
obedece a las carencias u oportunidades del que decide.
A7.6 Comparación de enfoques
Para que el lector se forme una idea clara de la afirmación sobre la sencillez de la
propuesta (pero más aún, sobre la sencillez de la propuesta planteada en el cuerpo del
capítulo que consiste en trabajar con el FCC) desarrollaremos paso a paso los cálculos para
llegar a los FCL y a los FCA a partir del FT y del EdeR (forma tradicional).
En el ejemplo que presentamos en el cuerpo del capítulo tenemos una situación
típica de cualquier proyecto o empresa que se inicia: en los primeros períodos se generan
pérdidas. En este caso, además de tener pérdidas en el primer año, consideramos pertinente
incluir la amortización (o recuperación) de pérdidas. Sin embargo, para no hacer demasiado
complejo el ejemplo, hemos considerado que los impuestos se pagan el mismo año en que
se causan. (Para estudiar un caso más complejo véase Vélez Pareja y Tham, 2003, y Tham
y Vélez Pareja, 2004).
A7.6.1 A partir del FT
Con el primer método se deben mirar los estados financieros, en particular el FT
para determinar el FCD y el FCA, tal y como se hizo en el cuerpo del capítulo. Por otro
lado, hay que estudiar los estados financieros para identificar cuándo hay pérdidas (como
en el primer año, en nuestro ejemplo) y cuándo se recuperan esas pérdidas. Así mismo, se
debe examinar si aun habiendo pérdidas netas fue posible ganar alguna porción de los
ahorros en impuestos. Con este análisis determinamos el monto y el momento en que se
ganan realmente los ahorros en impuestos.
Veamos en nuestro ejemplo qué nos dicen los estados financieros al respecto. Lo
primero es verificar si se han ganado total o parcialmente los ahorros en impuestos. ¿Dónde
nos enteramos de ello? En el EdeR. Observemos que en todos los años, excepto el año 1,
los intereses (gastos financieros) son menores que la utilidad operativa o UO, ya
mencionada. Esto significa que durante los años 2, 3 y 4 se gana la totalidad de los ahorros
en impuestos (T×gastos financieros), menos en el año 1, en el cual, como lo vemos en el
22

EdeR, sólo ganamos como ahorro en impuestos T×UO. Es decir, que en lugar de ganar
1.505,79 (4.302,27×35%), sólo se ganan 1.463,67 (4.181,92×35%). Si no existiera la
posibilidad de amortizar (recuperar) pérdidas en años posteriores, la diferencia en ahorros
en impuestos se habría perdido (Tabla A7.1).
Tabla A7.1 UO, otros ingresos y gastos financieros
EdeR Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
operativazo 4.181,92 4.407,55 7.412,10 9.450,61 9.473,79
Otros ingresos 0,00 419,83 839,71 1.361,11 0,00
Suma 4.181,92 4.827,38 8.251,81 10.811,72 9.473,79
Gastos financieros 4.302,27 3.363,08 2.560,93 1.666,00 4.202,93
Como en el modelo que se ha presentado se contempla la amortización de pérdidas,
entonces ese ahorro en impuestos se podrá recuperar en el futuro.
A continuación mostramos en la Tabla A7.2 los elementos que permiten calcular
cuándo y cuánto se recupera de esos ahorros en impuestos temporalmente perdidos. Lo
primero que mostramos es el AI obtenido y el AI máximo posible. La diferencia entre los
dos es el AI por recibir. Nuevamente se llama la atención al lector sobre el hecho de la
amortización de pérdidas, cuyo efecto es reducir la tasa efectiva del impuesto. Por ejemplo,
en el año 2 aparentemente se deberían pagar impuestos, porque entre la UO y los otros
ingresos se obtendría una utilidad neta antes de impuestos.
Tabla A7.2 Ahorros en impuestos e impuestos
Ahorro en impuestos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Tasa de impuestos 35,0% 35,0% 35,0% 35,0% 35,0%
Ahorro en impuestos obtenido 1.463,67 1.177,08 896,32 583,10 1.471,02
Ahorro en impuestos causado 1.505,79 1.177,08 896,32 583,10 1.471,02
Impuestos causados y pagados 0,00 470,39 1.991,81 3.201,00 1.844,80
AI por recibir 42,12 0,00 0,00 0,00 0,00
Por ejemplo, para el año 1 el AI máximo posible es 1.505,79, y el obtenido es
1.463,67, como se calculó arriba. La diferencia es 42,12 y esta suma es el monto de los
ahorros en impuestos que no se reciben (si no se pueden amortizar pérdidas, se pierde; si se
puede amortizar pérdidas, se recuperará en el futuro). A continuación, en la Tabla A7.3, se
determina el monto amortizado de las pérdidas del año 1. Esto lo hacemos calculando la
base del impuesto y comparándola con la utilidad antes de impuestos (UAI). La diferencia
será la cantidad de pérdida amortizada del período.
Tabla A7.3 Cálculo de las pérdidas amortizadas
Amortización Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
UAI -120,35 1.464,31 5.690,88 9.145,72 5.270,86
Impuestos causados y pagados 0,00 470,39 1.991,81 3.201,00 1.844,80
Base del cálculo de impuestos (impuestos/(tasa
de impuestos) 0,00 1.343,96 5.690,88 9.145,72 5.270,86
Diferencia con UAI = pérdidas amortizadas NC 120,35 0,00 0,00 0,00
% de pérdidas amortizadas 100,00% 0,00% 0,00% 0,00%
% de pérdidas amortizadas pendientes 0,00% 100,00% 100,00%
23

Por ejemplo, para el año 2 la base del cálculo fue 1.343,96 (470,39/35,0%) y la UAI
es 1.464,31, por lo tanto, se amortizaron 120,35 de las pérdidas del año 1. En el año 3 la
base del cálculo del impuesto fue 5.690,88 (1.991,81/35,0%). La UAI fue de 5.690,88, por
lo tanto la diferencia (0,0) es el monto de las pérdidas amortizadas. La pérdida del año 1 fue
de 120,35; en consecuencia, conociendo los montos amortizados en los años siguientes (2 y
3), calculamos qué proporción se amortizó en cada año. En este caso se amortizó totalmente
la pérdida al año siguiente. Si no fuera así, se podría calcular cuánto se amortiza en cada
año posterior y hacer el análisis sobre qué fracción se amortiza en cada año.
Con esta información podemos calcular la totalidad del AI para cada año así (Tabla
A7.4):
Tabla A7.4 Ahorros en impuestos totales
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ahorro en impuestos obtenido 1.463,67 1.177,08 896,32 583,10 1.471,02
Recuperación de AI por recibir 0,00 42,12 0,00 0,00 0,00
AI total 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
Con el AI total podemos calcular ahora el FCL, tal y como lo anunciamos al inicio
de este apéndice. Este cálculo se presenta en la Tabla A7.5.
Tabla A7.5 Cálculo del FCL y del FCC
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCD -33.233,10 10.427,59 9.867,90 9.156,48 -20.949,92 17.211,22
FCA -15.000,00 0,00 0,00 695,75 2.589,35 4.161,30
AI 0,00 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
FCL = FCD+FCA–AI -48.233,10 8.963,91 8.648,70 8.955,90 -18.943,66 19.901,50
Con el FCL se calcula el valor de la firma. En el capítulo 9 ilustramos la forma de
hacerlo y demostraremos que coincide con el cálculo del valor que se hizo con el FCC en el
cuerpo de este capítulo.
Como vemos, para llegar al FCL se necesitan tanto una serie de pasos como análisis
para calcular el AI y poder encontrar el valor correcto. El lector debe comparar este
procedimiento con el cálculo del FCC, que nos permite llegar al valor de la firma o
proyecto en forma mucho más simple.
El FCA y el FCL se pueden calcular a partir de la utilidad neta y desde la utilidad
operativa. Vamos a ilustrar las dos formas.
A7.6.2 A partir de la utilidad neta del EdeR
Ahora procedemos a señalar los pasos para calcular el FCL a partir del EdeR y del
BG. Lo primero es calcular el capital de trabajo y el cambio año tras año (véase Tabla
A7.6).
24

Tabla A7.6 Capital de trabajo y su cambio
Capital de trabajo Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Caja y bancos 1.553,10 100,00 110,00 120,00 130,00 140,00
Cuentas por cobrar 0,00 2.404,19 2.577,75 2.791,85 3.009,41 3.244,29
Inventarios 1.680,00 1.932,97 2.191,14 2.222,48 2.365,72 2.453,51
Inversiones 0,00 5.516,87 11.034,35 19.170,56 0,00 78,74
Activos corrientes 3.233,10 9.954,03 15.913,25 24.304,89 5.505,13 5.916,55
Cuentas por pagar proveedores 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4
Pasivos corrientes 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4
Impuestos causados y por pagar 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Capital de trabajo = activos
corrientes–pasivos corrientes 3.233,1 8.237,4 13.976,5 21.634,3 2.662,4 2.967,2
Cambio en capital de trabajo 3.233,1 5.004,3 5.739,1 7.657,8 -18.971,9 304,7
A continuación presentamos el FCL a partir de la utilidad neta. Para este
procedimiento es necesario el cálculo del AI tal y como se hizo en la sección anterior
(Tabla A.77).
Tabla A7.7 A7 FCL desde utilidad neta
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad neta 0,0 -120,3 993,9 3.699,1 5.944,7 3.426,1
Más depreciación 0,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3
Más gastos financieros 4.302,3 3.363,1 2.560,9 1.666,0 4.202,9
Menos ahorro en impuestos 0,0 -1.463,7 -1.219,2 -896,3 -583,1 -1.471,0
Menos cambio en capital de
trabajo -3.233,1 -5.004,3 -5.739,1 -7.657,8 18.971,9 -304,7
Menos inversión en activos fijos -45.000,0 0,0 0,0 0,0 -56.193,2 0,0
FCL -48.233,1 8.963,9 8.648,7 8.955,9 -18.943,7 19.901,5
De igual manera, podemos calcular el FCA desde la utilidad neta. En este caso no es
necesario calcular el AI (Tabla A7.8).
Tabla A7.8 A8 FCA desde utilidad neta
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad neta 0,00 -120,35 993,92 3.699,07 5.944,72 3.426,06
Más depreciación 0,00 11.250,00 11.250,00 11.250,00 11.250,00 14.048,29
Menos cambio en capital de
trabajo -3.233,10 -5.004,34 -5.739,10 -7.657,78 18.971,88 -304,75
Menos pago de préstamos -6.776,95 -6.867,66 -7.003,71 -7.104,54 -13.104,78
Más pérdida en cambio ya
considerada en el pago de
préstamos y causada en el saldo 651,63 362,83 408,16 201,67 96,48
Más ingreso de préstamos 33.233,10 0,00 0,00 0,00 29.518,79 0,00
Menos inversión en activos -45.000,00 0,00 0,00 0,00 -56.193,16 0,00
FCA -15.000,00 0,00 0,00 695,75 2.589,35 4.161,30
Observe que coincide con el calculado desde el FT.
25

26
A7.6.3 A partir de la UO del EdeR
Para calcular el FCL a partir de la UO procedemos como se ilustra en la Tabla A7.9.
Tabla A7.9 FCL desde UO (EBIT)
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
UO 0,0 4.181,9 4.461,6 7.404,9 9.442,7 9.464,9
Menos impuestos sobre UO 0,0 -1.463,7 -1.561,6 -2.591,7 -3.305,0 -3.312,7
Más depreciación 0,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3
Más rendimiento de inversiones 0,0 424,8 850,9 1.362,2 0,0
Menos impuesto sobre
rendimiento de inversiones 0,0 -148,7 -297,8 -476,8 0,0
Menos cambio en capital de
trabajo -3.233,1 -5.004,3 -5.777,5 -7.633,5 18.986,8 -304,5
Menos inversión -45.000,0 0,0 0,0 0,0 -56.193,2 0,0
FCL -48.233,1 8.963,9 8.648,7 8.955,9 -18.943,7 19.901,5
Por supuesto, el resultado es el mismo que se obtuvo con la primera versión de
cálculo del FCL, arriba. En este caso no se requiere conocer el AI.
A continuación calculamos el FCA a partir de la UO. De manera simétrica vemos
que es necesario hacer ajustes relacionados con los AI dejados de recibir y recibidos con
posterioridad.
Tabla A7.10 FCA desde UO
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
UO 0,00 4.181,92 4.407,55 7.412,10 9.450,61 9.473,79
Menos impuestos sobre UO 0,0 -1.463,7 -1.542,6 -2.594,2 -3.307,7 -3.315,8
Más depreciación 0,00 11.250,00 11.250,00 11.250,00 11.250,00 14.048,29
Menos cambio en capital de trabajo -3.233,10 -5.004,34 -5.739,10 -7.657,78 18.971,88 -304,75
-
Menos pago de préstamos 0,00 -6.776,95 -6.867,66 -7.003,71 -7.104,54 13.104,78
Más pérdida en cambio ya
considerada en el pago de préstamos
causada en el saldo 651,63 362,83 408,16 201,67 96,48 96,48
Más ingreso préstamos 33.233,10 0,00 0,00 0,00 29.518,79 0,00
-
Menos inversión en activos -45.000,00 0,00 0,00 0,00 56.193,16 0,00
Más rendimiento de inversiones 0,00 0,00 419,83 839,71 1.361,11 0,00
Menos impuesto sobre rendimiento
de inversiones 0,00 0,00 -146,94 -293,90 -476,39 0,00
Menos gastos financieros 0,00 -4.302,27 -3.363,08 -2.560,93 -1.666,00 -4.202,93
Más ahorro en impuestos 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
FCA -15.000,00 0,00 0,00 695,75 2.589,35 4.161,30
En este caso hemos requerido los cálculos del AI, detalladamente, como se presentó
arriba.
Ya hemos calculado el FCL y el FCA. Ahora debemos pensar cuál es la tasa de
descuento apropiada para descontar el FCL y el FCA. El primero debe descontarse con el
costo promedio ponderado de capital para el FCL (CPPC FCL ), que incluye el efecto de los

ahorros en impuestos. El segundo con el costo del patrimonio (Ke). Esto lo vamos a
estudiar en el próximo capítulo.
A7.7 Para recordar
Resumiendo todo lo anterior, podemos calcular el FCL de varias maneras: una muy
sencilla es utilizando el FCD y el FCA que se toman del FT. Se suman y se les resta el AI.
La parte más difícil es el cálculo del AI. Esto es:
FCL = FCD+FCA−AI
Por otro lado, podemos calcular el FCL y el FCA partiendo del EdeR; una forma es
partir de la UO, y la otra, partir de la utilidad neta. En ambos casos se debe calcular el
capital de trabajo y se resta el cambio de éste para cada año. Consideramos que trabajar los
flujos desde el FT es la forma más clara y sencilla de llegar al FCL.
A.7.8 Ejercicios
1. Se cuenta con los siguientes datos de los estados financieros para los años 2 y 3 (el año 3
no es el último de la proyección).
Estado de resultados Año 2 Año 3
Ventas 51.539,0 55.819,7
Utilidad bruta 25.498,1 29.153,6
Depreciación 11.250,0 11.250,0
Utilidad antes de intereses e impuestos (UAII o UO) 4.461,6 7.404,9
Interés recibido por inversiones temporales 424,8 850,9
Gastos financieros en moneda local 1.664,3 1.248,2
Gastos financieros en moneda extranjera 1.335,9 904,5
Pérdida en cambio por préstamos en divisas 362,8 408,2
Total de gastos financieros y pérdida en cambio convertidos a moneda local 3.363,1 2.560,9
Utilidad antes de impuestos 1.523,3 5.694,9
Impuestos 491,04 1.993,21
Utilidad neta 1.032,3 3.701,7
Balance general Año 2 Año 3
Activos
Caja y bancos 110,0 120,0
Cuentas por cobrar 2.577,0 2.791,0
Activo corriente 16.058,4 24.318,2
Activos fijos netos 22.500,0 11.250,0
Pasivos y patrimonio
Pasivos corrientes 2.043,5 2.669,7
27

Deuda en moneda local 9.969,9 6.646,6
Deuda en divisas 10.633,0 7.360,8
Total pasivos 22.646,5 16.677,2
Patrimonio 15.000,0 15.000,0
Utilidades retenidas 911,9 3.891,0
Flujo de tesorería Año 2 Año 3
Módulo 1. Saldo operativo
Total ingresos de caja 51.366,3 55.605,7
Egresos de efectivo
Impuestos 491,0 1.993,2
Egresos de caja totales 36.314,4 38.563,0
Módulo 2. Financiación externa
Ingreso de préstamos 0,0 0,0
Pago de préstamos
Préstamo LP 3.323,3 3.323,3
Préstamo en divisas 3.544,3 3.680,4
Interés pagado 3.000,2 2.152,8
Módulo 3. Transacciones con el inversionista
Patrimonio invertido 0,0 0,0
Pago de dividendos 0,0 722,6
Recompra de acciones 0,0 0,0
Módulo 4. Otras transacciones
Venta de inversiones temporales 5.582,2 11.181,0
Interés recibido de inversiones temporales 424,8 850,9
Inversiones temporales 11.181,0 19.185,4
Calcule los siguientes flujos de caja para el año 3:
a) FCD.
b) FCA a partir de la UO.
c) FCL a partir de la UO.
d) FCL a partir del FT.
e) FCA a partir del FT.
f) FCC.
g) AI.
Explique detalladamente su procedimiento.
2. Explique profundamente el porqué de las operaciones que hace con la depreciación y con
el CCT cuando deriva un flujo a partir de la utilidad operativa o neta.
3. Un profesor europeo presenta en una de las diapositivas que usa en su curso de
valoración y evaluación de proyectos los siguientes flujos:
0
FCL VT FCL FCF+VT FCA VT del FCA FCA+VT FCD AI
28

1 90,00 90,00 50,00 50,00 80,00
2 100,00 100,00 60,00 60,00 80,00
3 108,00 108,00 68,00 68,00 80,00
4 116,20 116,20 76,20 76,20 80,00
5 123,49 2.363,01 2.486,50 83,49 1.603,00 1.686,49 80,00
a) Calcule el AI para cada año. Explique cómo lo hace.
b) Calcule el valor de la deuda de cada año. Explique cómo lo hace.
c) Si las ecuaciones de equilibrio para los flujos de caja (FCL+AI = FCD+FCA) y para
los valores (valor total de la firma en el año n = deuda del año n+valor de mercado
del patrimonio en el año n) se deben cumplir en todos los períodos, ¿hay
consistencia en las cifras? Verifique y explique.
4. Una empresa tiene en sus estados financieros la siguiente información:
Estados financieros 1999 2000
Ventas 5.192,5 5.400,0
Gastos de operación 3.678,5 3.848,0
Depreciación 573,5 580,0
Utilidad antes de impuestos e intereses
Gastos financieros 170,0 172,0
Utilidad antes de impuestos
Impuestos 652,1
Utilidad neta
Capital de trabajo diferente de efectivo 92,0 -370,0
Total de deuda 2.000,0 2.200,0
La información aquí presentada incluye toda la operación de la firma. No hace falta
ninguna otra partida. La firma tuvo gastos de capital (inversión) por valor de 800 en 1999 y
de 850 en 2000. El capital de trabajo de 1998 fue de 34,8 y la deuda total en 1998 fue de
1.750. Complete los datos que faltan. Con esta información:
a) Calcule el FCA para 1999 y 2000.
b) Calcule el FCF para 1999 y 2000.
c) Calcule el FCA y el FCF para 2001 si el aumento de las ventas y de los gastos de
operación es de 6% y el capital de trabajo no cambia. La depreciación es igual a la
de 2000. La deuda y su costo permanecen iguales a los de 2000.
5. Si en el año n hay una utilidad operacional de 200, ¿cuál es el ahorro en impuestos en ese
año si los gastos financieros valen 300?
6. Suponga que usted tiene los datos de un EdeR así:
Utilidad antes de 100
impuestos e intereses
Intereses 150
Calcule las partidas de este EdeR para determinar cuánto es el ahorro en impuestos por
pago de intereses si la tasa de impuestos es de 40%.
29

Referencias bibliográficas
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30

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—. 2001. “Una nota sobre el costo promedio de capital” Social Science Research Network,
February 8. [Este trabajo se halla publicado con el mismo título en Monografías No.
62, Serie de Finanzas Facultad de Administración de la Universidad de los Andes,
Bogotá, 2002, pp. 61-98].
Weston, J. Fred y Copeland, T. E. 1992. Managerial Finance, 9 th ed., The Dryden Press, s.
l. [Hay traducción en español como Finanzas en administración, 9ª ed., McGraw-
Hill, s. l., 1995]
31

1
8
La tasa de descuento: el costo promedio ponderado del capital
Sin lugar a dudas, este es el problema principal
de la administración financiera.
Ezra Solomon, Teoría de la administración
financiera
Yo no tengo ningún inconveniente en meterme en
camisa de once varas.
Nicanor Parra, Antipoemas
En la práctica financiera, el tratamiento que se da a uno de los conceptos más
importantes en la evaluación de proyectos y la valoración de empresas es, por decir lo
menos, ligero. El problema del costo promedio ponderado de capital o tasa de descuento
para descontar flujos de caja muchas veces se resuelve escogiendo una tasa sin el adecuado
sustento financiero (a veces el costo de la deuda más unos puntos porcentuales). Otras
veces se calcula un promedio ponderado del costo de la deuda y del costo de capital del
dueño y se utiliza como tasa única. Aquí se aborda el tema de la manera más sencilla, pero
a la vez correcta, y se propone un cálculo de la tasa de descuento apropiada para rebajar
flujos de caja. Aunque determinar el costo de capital es uno de los problemas más difíciles
y controvertidos de la teoría financiera, y aun cuando es realmente ‗meterse en camisa de
once varas‘, se hará el intento 1 .
En el capítulo 3 se presentó la idea del costo del dinero. Este costo permite
comparar los flujos de dinero en el futuro. En este capítulo se trabajará la manera de
determinar el costo promedio ponderado del capital, esto es, la tasa de descuento. Debemos
distinguir entre lo que cuestan los recursos que necesita la firma o proyecto y las tasas a las
cuales la firma puede invertir sus excedentes de liquidez. Ambas varían según las
condiciones de la economía. La tasa del rendimiento de los excedentes puede ser mayor,
menor o igual que el costo de los recursos que utiliza la firma o proyecto, pero usualmente
es menor. Un buen gerente trata de maximizar el rendimiento de esos excedentes dentro de
ciertos riesgos.
Los recursos que usa la firma provienen de dos fuentes: los dueños del patrimonio o
accionistas y los tenedores de la deuda. A continuación se va a estudiar cada uno de ellos.
Los cálculos asociados a cada una de estas posibilidades son simples, pero la obtención de
la información veraz y apropiada para llegar a ellos puede ser una tarea muy compleja.
8.1 Los mercados financieros
En los mercados financieros la firma puede obtener tanto fuentes de financiación
como oportunidades de inversión de excedentes. El mercado financiero ofrece varias
posibilidades al inversionista para la obtención de recursos.
1 Este capítulo está reescrito en su mayor parte. Trata de ser más conciso y, sin entrar en complicaciones que superan el
alcance del libro, plantea un procedimiento correcto para el cálculo de la tasa de descuento de los flujos de caja, que es
consistente con el enfoque que utiliza valores de mercado y circularidad. Para un estudio detallado de este problema,
véase Vélez Pareja y Tham (2001) y Tham y Vélez Pareja (2004).
1

2
Los bancos y otras instituciones financieras son la fuente más común de
financiación de las empresas, en particular las pequeñas y las medianas. Ellos captan los
recursos del público y éstos se colocan entre las firmas y las personas naturales que
requieren fondos financiados para hacer sus inversiones de capital.
El mercado de capitales es donde concurren inversionistas (ahorradores) y
consumidores de capital (por lo general firmas o el gobierno), para entregar o recibir
dinero. Estas transacciones se hacen, por lo general, mediante la compra o venta de títulos
valores, como bonos, certificados de depósito a término (CDT), títulos de tesorería (TES)
certificados de cambio, títulos de participación, etc., y las operaciones las realizan los
corredores de bolsa en las bolsas de valores.
Los plazos de los títulos valores transados aquí son, generalmente, de por lo menos
un año. El mercado de capitales es el mecanismo de la economía para asignar y distribuir
los recursos de capital en el proceso de transferencia del ahorro a la inversión (véase el
ciclo de capital en el capítulo 1). Los recursos que se mueven en el mercado de capitales se
dedican a la financiación, por lo general, del capital de trabajo permanente o del capital fijo
de las empresas y del gobierno.
El mercado bursátil es similar al anterior, pero las operaciones se hacen sobre
acciones de las empresas inscritas en las bolsas de valores. En este mercado se negocian
acciones de diversas firmas. En Colombia se puede (1) identificar grupos representativos de
las acciones que se negocian y (2) determinar no sólo el rendimiento individual de las
acciones de una firma, sino el rendimiento general por grupos específicos y del total de los
grupos. Los grupos para los cuales se determinan las transacciones y rendimientos son
bancos, seguros, alimentos y bebidas, textiles, siderurgia, cementos y varios.
La primera es la fuente de financiación por deuda financiera. La otra opción es la
fuente de financiación por patrimonio.
Como se puede observar, estas oportunidades de inversión y de obtención de
recursos están disponibles para cualquier inversionista; además, es posible considerarlas un
universo donde se puede invertir cualquier excedente de liquidez u obtener los recursos que
requiere la firma. Al hacer la selección del costo de oportunidad de la firma, se debe tener
en cuenta el elemento riesgo que existe en cada inversión.
Toda la información acerca del mercado de capitales y del mercado bursátil de
Colombia se encuentra disponible en internet, en secciones especializadas de los
periódicos, en revistas y en otras publicaciones. En otros países se encontrará información
similar en publicaciones parecidas a las que se encuentran en Colombia.
Ejemplo 1
Supóngase un inversionista a quien le proponen hacer una inversión en acciones de
una entidad que le ofrece solidez, como Bavaria S. A. Este inversionista debe identificar
alternativas con grados similares de riesgo, por ejemplo, en el sector de alimentos o, en su
defecto, en corporaciones de ahorro, bancos, etc., y determinar la tasa de oportunidad de su
dinero.
Aunque el tema del riesgo será abordado en el último capítulo, vale la pena
mencionar que una forma de medirlo para una inversión es conocer qué tanto varía el
rendimiento que produce (en términos estadísticos, se mide la varianza o desviación
estándar de los rendimientos durante un determinado período): mientras más alta sea la

3
variación, mayor será el riesgo que se asume. Mal haría si considerara inversiones que le
pudieran ofrecer altos rendimientos como base para comparar la alternativa de inversión en
una empresa que sea relativamente segura.
8.2 El costo de capital
Cuando un individuo, persona natural, no tiene dinero para llevar a cabo una
inversión, presta el dinero, y los intereses o la tasa de interés indicarían el costo de capital
de esa persona. Así mismo, si esa persona tiene el dinero disponible, lo que gana en la
actualidad sobre su dinero es su costo de oportunidad y en ese caso ése sería su costo de
capital. Por lo general, la situación de las personas es una mezcla de las dos anteriores: se
invierte el dinero que se obtiene, en parte por dinero recibido en préstamo y el resto por
ahorros con que cuenta el individuo (recuerde cómo se compra vivienda: las entidades
financieras prestan un alto porcentaje del valor y el resto lo aporta la familia de sus
ahorros). En este caso es muy fácil medirlo. En el caso de la firma, como se verá a
continuación, lo que paga la firma por los recursos que debe obtener para realizar las
inversiones no es tan evidente. Aquí hay que tener en cuenta no sólo lo que se paga por
intereses por concepto de deuda, sino que debe tenerse en cuenta lo que esperan ganar los
accionistas o socios. En todo caso, individuo o firma, hay un costo por la utilización del
capital de terceros y ese precio constituye el costo de capital.
8.3 Determinación del costo de capital de la firma
Una firma obtiene fondos de muy diversas fuentes; por lo tanto, la identificación del
costo del dinero no es tan simple. Si se analizan los estados financieros de la firma, se
observa que los accionistas, los acreedores en general, los empleados y la misma firma, a
través de ciertas reservas, han provisto los fondos que utiliza para su actividad económica.
Se constituye así una gran canasta de fondos, por lo general no gratuitos, de la cual sale el
dinero para las inversiones. Se debe distinguir entre el costo de la deuda financiera y el
costo del dinero de los fondos aportados por los accionistas.
Debe recordarse el concepto básico contable de la partida doble o ecuación
contable:
Activos = Pasivos+Patrimonio
Esta ecuación contable indica el origen de los recursos con que cuenta la firma para
hacer sus diferentes operaciones (inversiones en activos fijos, por ejemplo). Todo lo que
tiene la firma lo puede adquirir porque hay terceros (acreedores o accionistas) que le han
suministrado los fondos necesarios. Cada uno de estos dos actores (acreedores y
accionistas) tiene derecho a ser remunerado por haber aportado sus recursos a la operación
de la firma. Por lo tanto, el costo de capital de la firma se puede visualizar de forma
esquemática, así:
Figura 8.1 Costo de capital
3

4
Costo de la deuda financiera
Costo del capital
Costo del patrimonio
¿Cuál es la diferencia entre deuda y patrimonio 2 o capital de los accionistas? La
deuda es una fuente de financiación que está regida contractualmente. Se pactan los
intereses que se pagan y las fechas en que se pagan tanto los intereses como los abonos a
capital. El acreedor recibe su dinero, en teoría, sin importarle si la empresa ha producido
beneficios o no. Tiene prioridad sobre los pagos de utilidades o dividendos de los socios o
accionistas. En casos de financiación con entidades financieras, se le exige a la firma que
presente garantías reales (bienes raíces o activos en general) o, a la vez, se le exigen
codeudores que respalden la deuda en caso que la firma no pueda pagar. En la deuda se
incluyen los bonos emitidos por la firma, los préstamos recibidos, etc.
Por el contrario, el patrimonio o capital de los socios tiene una remuneración
residual. Es decir, se les paga si después de pagar todas las obligaciones (gastos de
personal, materia prima, arriendos, intereses, etc.) queda un remanente o utilidad. Así
mismo, en caso de una quiebra o liquidación son los últimos en recibir su dinero. Esto
muestra claramente una gran diferencia en el riesgo que asume cada dueño de los recursos.
Debe recordarse lo estudiado en el capítulo 2 sobre la relación entre el riesgo y la tasa de
interés. En general, las tasas de interés mantienen la siguiente relación, según su grado de
riesgo:
Ke>K p >Kd>R f (8.1)
Donde Ke es el costo del patrimonio 3 ; Kp, la tasa de las acciones preferentes; Kd, la
tasa de la deuda, y R f , la tasa libre de riesgo.
De este modo, el costo de capital resultante de la combinación de las tasas Ke y Kd
es un valor intermedio entre ellas; es un promedio. El costo promedio de capital debe
cumplir con esta relación:
Ke>costo promedio de capital>Kd (8.2)
8.3.1 Costo de la deuda
Antes de entrar en detalles sobre el costo de la deuda hay que definir con precisión
qué se considera deuda para efectos de la determinación de la tasa de descuento de la firma.
En este contexto se llama deuda a la deuda financiera.
2 Muchos autores de habla hispana usan el término en inglés equity cuando se refieren al patrimonio. Aquí se utilizará
patrimonio o capital de los socios o accionistas.
3
En lo sucesivo aparecerá indistintamente costo del patrimonio, costo del patrimonio apalancado, costo del patrimonio
con deuda o costo del accionista. Se refieren a lo mismo.

5
Deuda financiera será todo pasivo que tenga establecido de manera explícita una
tasa de interés. Observe el lector que no se trata de los pasivos de la firma, sino de aquellos
pasivos que causan interés.
Usualmente se hace mucho hincapié en el cálculo del costo de la deuda de manera
individual y se utiliza, como es de esperarse, el cálculo de la tasa interna de rentabilidad
(TIR) para hallar el costo porcentual de una fuente de financiación. Como veremos más
adelante, esto no es importante y genera distorsiones. Aquí lo significativo es conocer el
costo de la deuda período a período, y ese costo puede ser diferente por la variedad de
plazos y costos de las diferentes fuentes de financiación.
Por otro lado, algunos textos tradicionales de finanzas proponen un cálculo
ponderado de los diferentes orígenes de los fondos, lo cual conduce al llamado costo
promedio de la deuda de la firma, antes de impuestos o después de éstos. El procedimiento
propuesto allí es muy sencillo: multiplicar el costo del dinero por la proporción que tiene en
el total de los aportes de los fondos. Esto también genera distorsiones indeseables en la
medición del costo de la deuda. Cabe anotar que lo más importante es conocer el saldo en
cada período, los intereses pagados y, en consecuencia, el costo (combinado) de cada
período.
Para determinar el costo de la deuda de una entidad se debe tener en cuenta el
esquema de pagos de cada una de las fuentes de financiación, cuando se trata de bonos,
préstamos o similares. No es correcto hacer una ponderación, ya que no se tendría en
cuenta el efecto del plazo que se produce al combinar varios esquemas de pagos diferentes.
Además, si se trata de determinar la tasa de descuento que se utilizará para descontar flujos
de dinero en el futuro, mal puede acudirse a datos históricos; en rigor, se debe hacer una
planeación financiera que indique cómo se va a financiar la firma en el futuro. En cuanto a
la deuda, cabe anotar que lo más importante es conocer el saldo, los pagos de intereses y el
costo (combinado) de cada período. Un ejemplo ayudará a aclarar esta afirmación.
Ejemplo 2
Supóngase que una firma financia una inversión con tres fuentes así: un millón de
pesos pagaderos a un año en una sola suma con intereses del 28% anual, vencido; cuatro
millones pagaderos a diez años, en diez cuotas uniformes cada año, con intereses al 20%
anual, vencido, y un millón pagadero a cinco años, en cinco cuotas uniformes cada año, al
38% anual. Observe que hemos nombrado las fuentes de financiación de manera genérica.
Estas pueden ser préstamos, bonos, etc.
Lo que se debe tener en cuenta no es la TIR, sino el costo período a período, basado
en los intereses que se han pagado y en el saldo de la deuda vigente. Para esto vamos a
identificar cada una de las tablas de amortización de los tres préstamos, así:
Amortización de la financiación 1
Año Saldo inicial Abono Intereses Pago total Saldo final
0 1.000.000,0
1 1.000.000,0 1.000.000,0 280.000,0 1.280.000,0 -
En la tabla anterior, el préstamo se paga al año de adquirido, a la tasa de 28%.
5

6
Amortización de la financiación 2
Año Saldo inicial Abono Intereses Pago total Saldo final
0 4.000.000,0
1 4.000.000,0 154.091,0 800.000,0 954.091,0 3.845.909,0
2 3.845.909,0 184.909,2 769.181,8 954.091,0 3.660.999,7
3 3.660.999,7 221.891,1 732.199,9 954.091,0 3.439.108,7
4 3.439.108,7 266.269,3 687.821,7 954.091,0 3.172.839,4
5 3.172.839,4 319.523,2 634.567,9 954.091,0 2.853.316,2
6 2.853.316,2 383.427,8 570.663,2 954.091,0 2.469.888,4
7 2.469.888,4 460.113,3 493.977,7 954.091,0 2.009.775,1
8 2.009.775,1 552.136,0 401.955,0 954.091,0 1.457.639,1
9 1.457.639,1 662.563,2 291.527,8 954.091,0 795.075,9
10 795.075,9 795.075,9 159.015,2 954.091,0 -
En la tabla anterior se calculó la cuota uniforme a diez años a la tasa de 20% y se
separa el abono del pago de interés. Se debe recordar del capítulo 2 que el pago o cuota es
la suma de los intereses y el abono. Si se conoce el pago total (954.091,0) y se conoce la
tasa de interés (20%) y el saldo inicial, se puede calcular el interés pagado y, por lo tanto, el
abono a la deuda de cada período. Excel tiene fórmulas para determinar estos valores.
Amortización de la financiación 3
Año Saldo inicial Abono Intereses Pago total Saldo final
0 1.000.000,0
1 1.000.000,0 94.883,8 380.000,0 474.883,8 905.116,2
2 905.116,2 130.939,6 343.944,2 474.883,8 774.176,7
3 774.176,7 180.696,6 294.187,1 474.883,8 593.480,0
4 593.480,0 249.361,4 225.522,4 474.883,8 344.118,7
5 344.118,7 344.118,7 130.765,1 474.883,8 0,0
En la tabla anterior, de igual manera, se calcula la cuota uniforme a cinco años a la
tasa de 28% y se separa el abono del pago de interés.
Así, sólo se tendrán en cuenta aquellos pasivos con un esquema de repago preciso,
para tener un adecuado cálculo del costo de la deuda período a período. En la siguiente
tabla se hace este cálculo:

7
Amortización de las financiaciones combinadas y tasa de interés de cada año
Año Saldo inicial Abono Intereses Pago total Saldo final Tasa
0 6.000.000,0
1 6.000.000,0 1.248.974,8 1.460.000,0 2.708.974,8 4.751.025,2 24,3%
2 4.751.025,2 315.848,8 1.113.126,0 1.428.974,8 4.435.176,4 23,4%
3 4.435.176,4 402.587,7 1.026.387,1 1.428.974,8 4.032.588,7 23,1%
4 4.032.588,7 515.630,6 913.344,1 1.428.974,8 3.516.958,0 22,6%
5 3.516.958,0 663.641,8 765.333,0 1.428.974,8 2.853.316,2 21,8%
6 2.853.316,2 383.427,8 570.663,2 954.091,0 2.469.888,4 20,0%
7 2.469.888,4 460.113,3 493.977,7 954.091,0 2.009.775,1 20,0%
8 2.009.775,1 552.136,0 401.955,0 954.091,0 1.457.639,1 20,0%
9 1.457.639,1 662.563,2 291.527,8 954.091,0 795.075,9 20,0%
10 795.075,9 795.075,9 159.015,2 954.091,0 - 20,0%
Observe que esta tabla es la suma de las tres anteriores. En la última tabla, la
columna ―Tasa‖ se ha calculado simplemente como los intereses del año divididos entre el
saldo inicial. Por ejemplo, para el año 1 se tiene 1.460.000,0/6.000.000 = 24,3%.
Observemos en la última tabla cómo la tasa de interés por período varía desde 20% hasta
24,3%, que resulta de una combinación de las tasas de las tres formas de financiación.
El lector debe observar cómo el cálculo aritmético del promedio del costo financiero
o el cálculo de un promedio ponderado como la TIR distorsionan una realidad que es
necesario tener en cuenta: el costo de la deuda cambia a través de los años 4 . Así mismo, el
monto de la deuda también lo hace a medida que se pagan los préstamos o se adquieren
otros. Esta forma de definir el costo de la deuda es el correcto.
8.3.2 Costo de los fondos de los accionistas
Una de las mayores dificultades de la teoría financiera ha sido la de calcular el costo
de los fondos aportados por los accionistas.
En realidad se trata de medir y tener en cuenta el costo de oportunidad de los
accionistas. Una forma obvia y elemental es la de preguntarles a los accionistas qué tasa de
interés desean obtener de sus inversiones. Esto, que parece ingenuo, termina siendo lo más
adecuado; sin embargo, esto no siempre es posible, por lo tanto, hay que calcularlo de
manera indirecta. Por ejemplo, observando qué decisiones de inversión han tomado los
accionistas en el pasado o aceptando que si el accionista no protesta ni rechaza los
resultados de la firma, se puede suponer que la tasa de rentabilidad de la firma es aceptable
y, por ende, esa cifra puede ser un buen cálculo del costo de oportunidad de los accionistas.
También se ha abordado este problema con modelos válidos para firmas que tienen
acciones inscritas en las bolsas de valores, ya que involucran el precio en bolsa y los
dividendos.
Al considerar el escaso número de empresas inscritas en las bolsas de valores de
Colombia (alrededor de 140), la reducida cantidad de acciones que realmente se negocian
(alrededor de 30) y el muy reducido número de acciones que se transan con regularidad
4 Puede haber otras razones para que el costo de la deuda (Kd) no sea constante, entre otras, la tasa de inflación.
7

8
(cerca de 20), los modelos propuestos dejan de tener utilidad para aplicarlos a la mayoría de
las firmas que existen en un país con un mercado bursátil reducido 5 . Sin embargo, hay que
proporcionar aproximaciones apropiadas y prácticas.
Una primera aproximación es la siguiente:
D
Ke g
(8.3)
V
Donde:
Ke es el costo de capital del patrimonio; D, lo que se paga en dividendos a los
accionistas; V, el valor de mercado de la acción, y g, la tasa de crecimiento de los
dividendos.
Esta expresión define el costo de los fondos aportados por los accionistas según el
modelo presentado por Solomon (1969) y propuesto por Gordon y Shapiro (1956). Además,
esta expresión se deduce de la estudiada en el capítulo 2, donde se analiza el costo
capitalizado cuando hay crecimiento. Por los datos de entrada que requiere es útil para
examinar empresas cotizadas en bolsa.
El problema que presenta esta propuesta es que cuando no hay dividendos o
utilidades, no se puede afirmar que el costo sea cero, ya que la tasa de crecimiento se aplica
a los dividendos. Además, es muy difícil estimar la tasa de crecimiento de los dividendos
desde fuera de la empresa.
Otra manera de calcular el costo de los fondos aportados por los accionistas es
utilizar el modelo capital asset pricing model (CAPM), propuesto por William Sharpe
(1963, citado por Levy y Sarnat, 1982) y otros (su estudio supera el propósito de este libro,
pero se mencionarán las ideas principales). Este modelo dice que la rentabilidad de una
acción (esto supone que la rentabilidad de la acción mide la tasa de interés que satisface las
expectativas del accionista) está relacionada en forma lineal con la tasa libre de riesgo de
una economía (R f ) y con la rentabilidad del mercado de acciones (R m ) como un todo.
La rentabilidad del mercado se mide de forma similar a la inflación; así como ésta
se mide con el índice de precios al consumidor (IPC), que está asociado a una canasta de
bienes que consumen los hogares de un país, la rentabilidad del mercado se mide con un
índice asociado a una canasta de acciones que muestra lo que compran los inversionistas.
En Colombia se utiliza el índice de la Bolsa de Colombia (IGBC). Para cualquier período t,
se tiene:
R
m t
IGBCt
1
(8.4)
IGBC
t-1
La rentabilidad del mercado o del portafolio del mercado se mide comparando el
índice de una fecha con el de una fecha anterior (véase Tabla 8.1). Por ejemplo:
Tabla 8.1 Cálculo de la variación del índice de la Bolsa
5 Esta situación es típica de economías emergentes o en desarrollo.

9
Fecha (fin de mes) IGBC Variación
Octubre 2003 2.158,2 -
Noviembre 2003 2.224,6 3,1%
Diciembre 2003 2.333,7 4,9%
Enero 2004 2.272,5 -2,6%
Febrero 2004 3.089,8 36,0%
Marzo 2004 3.321,2 7,5%
Tomemos el caso de enero de 2004: la variación (rendimiento) es:
2.272,5/2.333,7−1 = -2,6%.
Esto significa que el mercado como un todo tuvo una rentabilidad mensual de -2,6%
(bajaron los precios de las acciones, en promedio, 2,6%). Los cálculos para determinar el
rendimiento histórico de una acción en particular son similares:
Ke
t
Pt
D
t
Pt-1
Pt
1
(8.5)
P P
t-1
t-1
Donde Ke t es el costo o rentabilidad de la acción; P t+1 , el precio de la acción en el
período t+1; D t+1 , el dividendo recibido en t+1, y P t , el precio de la acción en el período t.
La expresión matemática del CAPM es:
Ke R
f
β
j
R
m
R
f
(8.6)
Donde j es la pendiente de esa línea recta y se llama beta o coeficiente beta de la
acción j. Mide lo que se conoce como riesgo sistemático, es decir, el que es común para
toda la economía. R m es el rendimiento del portafolio de mercado m. R f es el rendimiento de
los bonos libres de riesgo (por ejemplo, los bonos TES, emitidos por el gobierno, se pueden
considerar libres de riesgo). Por último, Ke es el rendimiento esperado de la acción.
Si se construye la gráfica del exceso de rentabilidad de una acción sobre la tasa libre
de riesgo contra el exceso de la rentabilidad del portafolio del mercado también sobre la
tasa libre de riesgo, se puede apreciar qué tanta relación hay entre las dos. En otras
palabras, se puede establecer la siguiente relación:
Ke - R
f
j
m
f
β R R
(8.7)
Esta relación indica que el rendimiento de una acción está compuesto por la tasa
libre de riesgo, más un múltiplo del riesgo que existe por invertir en acciones (R m −R f ). La
fracción de ese riesgo está medida por j . Esta ecuación se puede interpretar como que el
valor esperado de la rentabilidad de una acción está compuesto de la tasa libre de riesgo
(R f ) más j (R m −R f ), que es una prima de riesgo por invertir en la acción j. Este valor
esperado de la rentabilidad de la acción es un cálculo del costo del patrimonio.
Obsérvese que este planteamiento es coherente con lo estudiado en el capítulo 2,
acerca de los componentes de una tasa de interés. La tasa libre de riesgo contiene, en teoría,
9

Rentabilidad de la acción, Rs
10
la tasa real y la tasa de inflación esperada 6 , y el resto es el componente de riesgo allí
mencionado.
Cuando la empresa no es una sociedad inscrita en bolsa o sus acciones no se
negocian, se puede utilizar este cálculo haciendo ajustes al coeficiente beta según los
niveles de endeudamiento. Esto lo estudiaremos más adelante.
Una forma de calcular j es correr una regresión lineal entre la rentabilidad de la
acción particular y la tasa libre de riesgo y la rentabilidad del portafolio de mercado
(medido, por ejemplo, con el IGBC) y la tasa de rentabilidad del mercado R m . La pendiente
de esa línea de regresión será j de la acción. Entonces habrá betas mayores que 1, iguales a
1 y menores que 1, lo cual significa que habrá acciones que aumentarían el riesgo del
portafolio del mercado (beta mayor que 1, las llaman agresivas), acciones que no alteran el
riesgo del portafolio del mercado (beta igual a 1) y acciones que disminuyen el riesgo del
portafolio del mercado (beta menor que 1, las llaman defensivas).
En la siguiente gráfica se presenta la situación de una acción colombiana,
comparada con el índice de la Bolsa 7 .
Gráfica 8.1 Cálculo del coeficiente beta una acción
Relación entre la rentabilidad de la acción y la del mercado
15,0%
10,0%
y = 0,6149x - 0,0013
R² = 0,7128
5,0%
0,0%
-5,0%
-10,0%
-15,0% -10,0% -5,0% 0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0%
Rentabilidad del mercado, Rm
La lectura de la Gráfica 8.1 y de la relación lineal que resulta indica que la beta de
esa acción es 0,6149. Esto significa que ante un aumento de 1% en la rentabilidad del
mercado (o descenso), la acción reacciona en 0,6228%. Es una acción defensiva.
Como la mayoría de las firmas en un país con un mercado bursátil reducido no se
encuentran registradas en la bolsa de valores o si lo están sus acciones no se transan con
6 En realidad, en la tasa libre de riesgo puede estar involucrada una prima o componente de riesgo asociada con la
inflación. Si el mercado estima una inflación futura, puede equivocarse en ese cálculo; por lo tanto, en la tasa libre de
riesgo hay un elemento de riesgo inflacionario. Esto conduce, como se estudió en el capítulo 2, a que al descontar la
inflación de una tasa libre de riesgo, el resultado no sea una constante.
7 El Índice General de la Bolsa de Colombia (IGBC) surgió en 2001, después de la fusión de las tres bolsas de valores que
existían en Colombia y se empezó a utilizar a mediados de 2001.

11
frecuencia, es difícil encontrar su beta. Sin embargo, se puede estimar a partir de la beta del
sector al cual pertenezca o a la empresa más parecida. Este enfoque permite hacer un
cálculo del costo de los fondos de los accionistas, aun para firmas no inscritas en la bolsa de
valores.
El cálculo de las betas o coeficientes beta se puede hacer también con datos
contables, por ejemplo, el rendimiento sobre la inversión o sobre el patrimonio, y se hace
una regresión con los mismos datos agregados de la totalidad de las empresas existentes
(véase Vélez Pareja, 2003a). 8
La Superintendencia Financiera de Colombia cuya página de Internet se encuentra
en http://www.superfinanciera.gov.co/, ofrece amplia información de las empresas que
cotizan en bolsa y sus estados financieros están disponibles al público. También se puede
llegar a ese sitio por http://www.cashflow88.com/decisiones/cursodec.html en la opción
Información útil. En esa página entrando por SIMEV se encuentra lo siguiente:
Figura 8.2 Información sobre las empresas que cotizan en bolsa en la Superintendencia
Financiera de Colombia
Entrando por el enlace Registro Nacional de Valores y Emisores - RNVE se tiene acceso a
la información por empresa.
Figura 8.3 Acceso a la información de las empresas
Al presionar Enter (a la derecha) estando dentro de la casilla en blanco, se puede tener
acceso a todas las entidades emisoras de valores:
8 Véase también el apéndice sobre riesgo sistemático y riesgo total.
11

12
Figura 8.4a Acceso al listado de todos los emisores
Al oprimir el nombre de cualquier emisor aparece este cuadro de diálogo de donde el
usuario puede escoger lo que requiera.
Figura 8.4b Información disponible para las empresas que cotizan en bolsa
8.3.2.1 Empresas no transadas en bolsa
Hasta aquí todo parece funcionar muy bien. Sin embargo, resulta que todas estas
técnicas que estudiamos en este libro para calcular el valor de una firma (o de un proyecto)
están diseñadas precisamente para empresas que no cotizan en bolsa. La razón es muy
simple: para las empresas que cotizan en bolsa conocemos su valor con sólo abrir el
periódico o entrar a internet. El problema lo tenemos con las otras, las que no cotizan. Para
ellas debemos construir flujos de caja y valorar esos flujos futuros y así determinar su
valor 9 . Más aún, una buena gerencia financiera debería hacerse con un cálculo permanente
del valor de la firma o proyecto. Para sorpresa de muchos, las firmas que no cotizan en
bolsa son la inmensa mayoría en todo el mundo. Examinemos los casos de Estados Unidos
y de Colombia.
8.3.2.2 El mercado de valores en Estados Unidos
9 Esto significa que cuando hablamos del valor de una firma que no cotiza en bolsa nos referimos al valor presente de sus
flujos de caja futuros.

13
El mercado de valores de Estados Unidos se considera un mercado casi perfecto
para las empresas que se negocian en bolsa. El número de empresas que se negociaban en
las principales bolsas de valores en diciembre de 2002 se muestra en la Tabla 8.2.
Tabla 8.2 Número de empresas registradas en las bolsas de valores de Estados Unidos
(2002)
Bolsa Número de firmas
NYSE 2.800
NASDAQ 3.910
AMEX 800
Total 7.510
Para tener una idea de la importancia relativa de estas cifras debemos compararlas
con el número total de firmas en Estados Unidos. En la Tabla 8.3 se muestran las firmas
existentes en Estados Unidos, clasificadas por el número de empleados.
Tabla 8.3 Firmas de Estados Unidos según el número de empleados, 2001
Tamaño No. de firmas Porcentaje del total
Total 5.657.774 100,00%
0* 703.837 12,44%
0-4* 3.401.676 60,12%
5-9 1.019.105 18,01%
10-19 616.064 10,89%
<20 5.036.845 89,03%
20-99 518.258 9,16%
100-499 85.304 1,51%
<500 5.640.407 99,69%
500+ 17.367 0,31%
* El número de empleados se mide en marzo, de manera que algunas firmas (firmas creadas después de
marzo, empresas cerradas antes de marzo y empresas estacionales) aparecerán sin empleados y algún gasto de
nómina.
Fuente: Office of Advocacy, U. S. Small Business Administration (http://www.sba.gov/advo/), basado en
datos del U. S. Department of Commerce, Bureau of Census, Statistics of U.S. Businesses y cálculos del
autor.
Se puede observar que el número de firmas en Estados Unidos es más de 5,657
millones y que de esas firmas más del 98% tienen menos de 100 empleados, y 99,7%,
menos de 500.
Aunque el total de firmas en bolsa y el total de firmas en Estados Unidos están
referidos a años diferentes, podemos formarnos una idea de la proporción de empresas que
se negocian en bolsa en relación con las que no se negocian 10 . En este contexto (en Estados
Unidos) se considera que una firma es grande si tiene 500 o más empleados.
10 El número de firmas registradas en las bolsas es 0,13392% del total de firmas y 0,2565% de las firmas con más de
cuatro empleados en 1999 y 44,86% de las firmas con más de 500 empleados.
13

14
No hay consenso sobre el criterio para clasificar a las firmas por tamaño, incluso en
el resto del mundo. En algunos países se usa el volumen de activos; en otros, el número de
empleados. Aun en la definición de los límites de cada categoría tampoco hay acuerdo. Por
ejemplo, mientras en Estados Unidos una firma se considera grande si tiene más de 500
empleados, en Europa una firma se clasifica como grande si tiene más de 250 empleados, lo
mismo que en Japón 11 .
8.3.2.3 El mercado de valores en los mercados en desarrollo
A efectos de comparar, presentamos alguna información sobre las empresas que se
negocian en bolsa y el número total de empresas en Colombia. Información similar a ésta se
puede encontrar para otros países en desarrollo. El perfil en otros países en desarrollo puede
ser similar al de Colombia (véase Tabla 8.4).
Tabla 8.4 Microempresas colombianas por sector (2000) 12
Tipo Total microempresas Proporción
Comercio 557.759 57,7%
Servicios 288.771 29,9%
Industria 120.785 12,5%
Total 967.315 100,1%
Esta encuesta incluye microempresas formalizadas y no formalizadas Las empresas
formalizadas (registradas como negocios en una cámara de comercio) en Colombia se
muestran en la Tabla 8.5.
Tabla 8.5 Número total de empresas registradas en Confecámaras 2001 13
Tamaño No. de firmas Proporción
Sin datos de activos 46.550 8,74%
Microempresas 432.269 81,19%
Pequeñas 39.963 7,51%
Medianas 7.786 1,46%
Grandes 5.845 1,10%
Total 532.413 100,00%
De las empresas registradas, 13.631 están clasificadas como medianas y grandes.
Por otro lado, el número total de firmas registradas en la Bolsa de Valores de Colombia es
algo más de 110 14 , y de éstas cerca de 30 acciones se negocian con alguna frecuencia. Para
mayores detalles sobre el mercado de valores en Colombia véase Vélez Pareja (2000).
11 En Japón estos límites dependen de la actividad.
12
Colombia, Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE), (2000). Encuesta nacional de
microestablecimientos de comercio, servicios e industria, disponible en: http://www.dane.gov.co.
13 Confecámaras es la Confederación Nacional de Cámaras de Comercio (http://www.confecamaras.org.co/). No hay
acuerdo en el criterio para clasificar las firmas por tamaño. Algunos usan los activos; otros, el número de empleados.
14 Este número es aproximado, porque no es estable. Hay empresas que entran y salen de la bolsa. Lo mismo ocurre con el
número de empresas que se negocian con alguna frecuencia.

15
Existen aproximadamente 1,1 millones de firmas, incluidas las del sector informal.
Las empresas registradas en bolsa son el 0,0125% del total de firmas y las que se negocian
con alguna frecuencia son el 0,0027% del total de firmas. Si consideramos sólo las firmas
de más de cuatro empleados (firmas pequeñas, medianas y grandes), tenemos que las firmas
registradas en la Bolsa de Valores constituyen el 0,1033%, y las que se negocian con
frecuencia, el 0,0226%. Si sólo consideramos las 13.631 firmas grandes y pequeñas, el
número de empresas registradas en bolsa es el 1,01% y el número de las que se negocian
con frecuencia es el 0,22%. El número de empresas registradas en bolsa es el 2,34% de las
firmas grandes, y el número de las que se negocian con frecuencia, el 0,51%.
En resumen, las pequeñas y medianas empresas (pymes) son un porcentaje
substancial de la economía de Estados Unidos y de los países en desarrollo. Sin embargo, la
carencia de información impone restricciones para el acceso de estas firmas a los recursos
de financiación a través de acciones. Debemos ofrecer alternativas para calcular el costo del
patrimonio, dado que los métodos populares y bien conocidos como el CAPM pueden ser
inválidos en el contexto de las empresas que no se negocian en bolsa (la mayoría de ellas
pymes). Esta afirmación se refuerza con lo presentado por Vélez Pareja (2000): la prima de
riesgo de mercado (PMR) es con frecuencia negativa. Sin embargo, ante la ausencia de
mejores modelos, debemos trabajar o adaptar lo que se tiene, en este caso, el CAPM.
8.3.2.4 El cálculo del costo del patrimonio sin deuda (Ku)
El costo del patrimonio sin deuda (Ku) es lo que esperan ganar los dueños del
capital propio si la empresa no tuviera deuda financiera. Al no tener deuda, entonces el
riesgo del accionista se reduce, por lo tanto el costo del patrimonio sin deuda es menor que
Ke. Podemos calcular el costo del patrimonio sin deuda con el coeficiente beta sin deuda y
utilizar el CAPM. Podemos ‗desendeudar‘ el coeficiente beta de empresas similares a la
que se estudia y que no se cotiza en bolsa utilizando un procedimiento muy sencillo 15 y usar
el CAPM 16 para calcular el costo del patrimonio sin deuda. Aquí supondremos que esa tasa
de descuento es el costo del patrimonio sin deuda. Si se hace este supuesto entonces el
coeficiente beta sin deuda es:
β
Sin deudat
β
D
1
P
empresa en bolsat
empresa en bolsa(t -1)
empresa en bolsa(t-1)
(8.8)
Donde β empresa en bolsa t es el coeficiente beta de una empresa transada en bolsa;
D empresa en bolsa (t−1) y P empresa en bolsa (t−1) son los valores de mercado de la deuda y del
patrimonio de la empresa que se transa en bolsa en el período anterior al que se desea
calcular. El valor de mercado del patrimonio se calcula como el número de acciones en el
mercado multiplicado por el precio de la acción. El valor de mercado de la deuda dependerá
si se transa en el mercado (bonos) o si es una deuda ‗privada‘. En el primer caso hay que
15 Este procedimiento es sencillo cuando se hace una suposición acerca de la tasa de descuento de los ahorros en
impuestos. Esto es, cuando se supone que esa tasa es Ku.
16 La idea de ahorro en impuesto se estudia en el apéndice del capítulo 7.
15

16
calcular el valor presente de los flujos futuros que debe pagar la firma por esa deuda a la
tasa de mercado y en el segundo caso es necesario utilizar el valor en libros de la deuda.
Este coeficiente beta sin deuda se puede calcular con la información que se
encuentra en la Superintendencia Financiera, para el caso de Colombia. Este cálculo debe
hacerse para varias empresas del mismo sector y calcular el promedio del resultado como
un estimador de la beta sin deuda para calcular el valor Ku. Sin embargo, también es
posible hallar información apropiada para calcular estos coeficientes beta en la página del
profesor Damodaran (http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/). Allí se encuentra muy buen
material sobre el tema. La página aparece como:
Figura 8.5 Página web del profesor Damodaran
Al oprimir el enlace Updated Data aparece lo siguiente:
Figura 8.6 Página de datos del profesor Damodaran

17
Desplazándose un poco en esta página se puede tener acceso a información de
varios mercados emergentes del mundo, entre ellos Colombia.
Figura 8.7 Página de datos para economías emergentes del profesor Damodaran
17

18
Allí se puede encontrar información de betas de países con mercados emergentes al
bajar el archivo ―emergcompfirm.xls‖ y más abajo se encuentran las betas con deuda y sin
ésta de mercados emergentes por sectores (Levered and Unlevered Betas by Industry) que
se pueden obtener al bajar el archivo ―betaemerg.xls‖, oprimiendo el enlace Emerg Mkt.
Los profesores Julio Sarmiento y Edgardo Cayón han calculado los valores del
costo del patrimonio sin deuda para diversos sectores en Colombia a partir de los datos de
Damodaran, que están en betaemerg.xls. Han hecho el ajuste por inflación y riesgo país. La
información se puede encontrar en http://www.javeriana.edu.co/decisiones/Julio/, y allí se
debe oprimir el enlace Costo de capital 2005.
Una vez que se conoce este coeficiente beta sin deuda para un número de firmas
similares a la que no se transa en bolsa, podemos usar un promedio ponderado de los
coeficientes beta sin deuda para estimar el coeficiente beta sin deuda, como hicimos arriba.
Con este cálculo podemos estimar Ku, usando la ecuación 8.6, como:
Ku = R f + sin deuda (R m –R f ) (8.9)
Una vez conocido Ku se puede calcular Ke, el costo de los accionistas. Como hemos
supuesto que Ku es la tasa de descuento para los ahorros en impuestos, Ke está dado por la
siguiente expresión 17 :
17 Hay que suponer que la tasa de descuento de los ahorros en impuestos es Ku. Cuando se hace esto y partimos de la
AI
expresión más general de Ke esto es,
Di
1
Vi
1
Kei
Kui
(Kui
Kdi
) (Kui
ψi
) , donde es la tasa de descuento de los
P
P
i1
i1

19
Ke t = Ku t +(Ku t −Kd t )D t−1 /P t−1 (8.10)
Aquí surgiría una circularidad, puesto que D y P son valores de mercado 18 . El valor
de mercado del patrimonio depende de Ke y a su vez Ke depende del valor de mercado del
patrimonio. El valor de mercado de la firma es el valor presente de sus flujos futuros
descontados al costo del capital y el valor de mercado del patrimonio es el valor presente de
los flujos futuros del accionista descontado a la tasa del accionista, Ke. Sin embargo, como
veremos más adelante, este problema lo podemos eludir.
Tanto el cálculo de Ku como de Ke se hacen hacia el futuro. Esto tiene
implicaciones importantes: (1) en rigor se deberían pronosticar los valores de R f y R m , y (2)
se debería analizar si los coeficientes beta se mantendrán en su nivel o no. Hecho esto se
puede proceder a calcular Ku y Ke.
8.3.2.5 Ajustes necesarios al CAPM en economías emergentes
En economías emergentes se presentan algunas distorsiones en el mercado, las
cuales pueden hacer muy difícil el cálculo del costo del patrimonio. Estas distorsiones
tienen que ver con la disponibilidad de coeficientes beta de empresas que no cotizan en
bolsa, de primas de riesgo de mercado negativas y del cálculo apropiado de la tasa libre de
riesgo (R f ). En esta sección estudiamos tanto el problema de la prima de riesgo del mercado
como la determinación de los coeficientes beta.
8.3.2.6 Prima de riesgo del mercado
Al retomar el tema del cálculo de Ke a través de las betas y del riesgo del mercado,
se puede observar una anomalía que se presenta en los mercados de países en desarrollo.
Esto se puede apreciar en Vélez Pareja (2002, 1999 y 2003a). Allí se ilustra cómo con
frecuencia la PMR (el riesgo en que incurre el inversionista o empresario) es negativo.
Como se estudió en el capítulo 2, a mayor riesgo se espera más rentabilidad. Sin embargo,
decir que la prima de riesgo (Rm−Rf) es negativa implica que la tasa libre de riesgo es
mayor que la rentabilidad del mercado accionario. Esto contradice el sentido común y lo
que se espera, según lo estudiado.
En la Tabla 8.6 podemos observar que, en ocasiones, el mercado presenta
rendimientos negativos y que en otras el rendimiento de los TES (tasa libre de riesgo) fue
mayor que el rendimiento del mercado accionario, lo cual produce una prima de mercado
negativa. Esto significa que en el 29,63% de las observaciones, desde enero de 2002 a
marzo de 2004, casi la tercera parte de las veces la PMR fue negativa.
ahorros en impuestos y aplicando el CAPM, se llega a la fórmula 8.8. Observe que en la expresión de Ke, al hacer igual
a Ku el último término desaparece. (Véase Tham y Vélez Pareja, 2004, y Vélez Pareja y Burbano, 2005).
18 Por valor de mercado se entiende en este capítulo y en los siguientes el valor presente de los flujos de caja de la firma
descontados al costo promedio de capital. Es muy importante no confundir este concepto con el valor de mercado en bolsa
de valores. Precisamente estas técnicas basadas en el costo de capital y los flujos de caja son necesarias para las empresas
no transadas en bolsa, que son la inmensa mayoría.
19

20
Fecha
Tabla 8.6 R m −R f , rentabilidad del mercado y R f (TES)
Rentabilidad mensual
del mercado Rm
Rentabilidad mensual
de TES (5 y 7 años)
Riesgo de mercado
(Rm−Rf)
Promedio
acumulado de
Rm−Rf
Ene.-02 8,29% 1,11% 7,19%
Feb.-02 -6,81% 1,11% -7,93% -0,37%
Mar.-02 2,00% 1,19% 0,81% 0,02%
Abr.-02 2,75% 1,13% 1,62% 0,42%
May.-02 2,96% 1,04% 1,92% 0,72%
Jun.-02 6,21% 0,97% 5,23% 1,47%
Jul.-02 -4,14% 0,66% -4,80% 0,58%
Ago.-02 0,22% 1,20% -0,98% 0,38%
Sep.-02 6,83% 0,91% 5,92% 1,00%
Oct.-02 9,36% 1,04% 8,31% 1,73%
Nov.-02 5,55% 0,64% 4,90% 2,02%
Dic.-02 9,65% 1,17% 8,48% 2,56%
Ene.-03 2,45% 1,07% 1,38% 2,47%
Feb.-03 -2,50% 1,15% -3,65% 2,03%
Mar.-03 -1,14% 1,14% -2,28% 1,74%
Abr.-03 8,44% 1,15% 7,29% 2,09%
May.-03 17,43% 1,08% 16,35% 2,93%
Jun.-03 2,62% 1,02% 1,59% 2,85%
Jul.-03 2,89% 1,03% 1,87% 2,80%
Ago.-03 -2,53% 1,02% -3,55% 2,48%
Sep.-03 0,97% 1,05% -0,08% 2,36%
Oct.-03 2,68% 1,08% 1,60% 2,33%
Nov.-03 3,08% 1,02% 2,06% 2,31%
Dic.-03 4,90% 1,02% 3,88% 2,38%
Ene.-04 -2,62% 1,00% -3,62% 2,14%
Feb.-04 35,96% 0,95% 35,02% 3,40%
Mar.-04 7,49% 0,88% 6,61% 3,52%
Aunque en estas cifras arrojan un promedio de la PMR de 3,52%, lo cual es
históricamente inusitado, y no presenta problemas con el CAPM, aun cuando parece muy
alta, vale la pena advertir al lector que esto no es lo típico. Si se excluyen los extremos se
encuentra que el promedio es 2,72% mensual. Por otro lado, la tasa libre de riesgo medida
por la rentabilidad de los TES arroja un promedio de 1,03% mensual. Con estos datos el
CAPM se puede utilizar.
Otra aproximación a la estimación de la prima de riesgo del mercado es hacer una
regresión de las betas de todas las acciones transadas en una fecha determinada y la
rentabilidad de cada acción en esa fecha. Esto significa que si examinamos el modelo
CAPM:
Ke = Rf+β×PRM (8.11)
Al hacer la regresión de las betas y la rentabilidad de las acciones la pendiente o
coeficiente de la beta sería un estimativo de la PRM.

21
En realidad hay una mayor dificultad en encontrar una aproximación a la tasa libre
de riesgo, como la rentabilidad de los TES, que a la PMR. Esta dificultad surge por la poca
frecuencia con que se transan bonos a largo plazo.
Los datos presentados nos muestran que podríamos utilizar el CAPM directamente a
pesar de los valores negativos de la PMR.
Sin embargo, puede suceder que en un largo período este riesgo sea negativo. Ante
esta situación muchos analistas utilizan como prima de riesgo la prima de riesgo calculada
para un mercado desarrollado, como la obtenida para las firmas de Standards & Poors
(S&P500) en Estados Unidos. El valor de este dato está alrededor de 6% anual. Si
utilizáramos ese valor como, la PMR para nuestro ejemplo, y la convertimos a tasa
mensual, necesitaríamos el coeficiente beta de la firma para poder calcular el Ke 19 .
Esta PMR, basada en los datos de S&P500, debe ser ajustada por inflación y por la
devaluación. Este ajuste por inflación implica deflactarla con la tasa de inflación de Estados
Unidos e inflarla con la inflación local.
PRM
local
PRMS&P500(1
i
local)
f
(8.12)
(1
i )
f US
Donde PRM local es la prima de riesgo del mercado local; PRM S&P500 , la prima de
riesgo del mercado de Estados Unidos, basado en los datos de S&P 500; i f local , la tasa de
inflación local, y i f US , la inflación en Estados Unidos 20 .
En el ejemplo CIGE.xls tenemos que la inflación local es 5,01%, la PRM S&P500 es
10,64% y la inflación en Estados Unidos es 1,98%. Entonces la PRM local es:
(0,1064×1,0501)/1,0198 = 10,9518%
Si utilizáramos este valor para la PRM, necesitaremos un cálculo grueso de β u de la
firma. Podemos calcular un valor de β u tal y como se ha propuesto, a partir de las betas de
las empresas del sector. Se ajustan por endeudamiento y se promedian. Con este estimador
de β u podemos calcular Ku y hacer la evaluación, habiendo tenido la precaución de añadir
una prima de riesgo país, que no aparecería en la prima de riesgo calculada a partir de los
datos de Estados Unidos.
Una forma de medir el riesgo país (RP) es calcular lo que se conoce como el spread
de los bonos soberanos de Colombia. Este spread es la diferencia entre la rentabilidad de
los bonos de Tesoro de Estados Unidos y la rentabilidad de los bonos de Colombia (en
dólares). Hay varias propuestas para manejar este RP. Uno es muy popular y utilizado por
la mayoría de los analistas y el otro es el propuesto por Lessard (1996):
1. El más popular consiste en usar el CAPM y añadir una prima de RP a la PMR y
multiplicarlo por el coeficiente beta sin deuda de una firma similar en Estados
Unidos, como se explica a continuación 21 :
19 Las tasas que se usan para calcular el costo de capital deben ser tasas nominales o sea, no capitalizadas.
20 Este ajuste se requiere cuando necesitamos estimar Ke para un inversionista local, por ejemplo, cuando se está
valorando una firma o evaluando un proyecto en moneda local. Por supuesto que si el análisis se hace desde el punto de
vista de un inversionista de Estados Unidos o inclusive en dólares estadounidenses, el ajuste no es necesario.
21 Este método lo menciona Damodaran y se le atribuye.
21

22
Ku = R f + firma US sin deuda [(R m –R f )+RP] (8.13)
2. El enfoque propuesto por Lessard 22 indica que el riesgo de la firma debe incluir la
beta de la firma en la economía local, calculada como:
no transada = firma en Estados Unidos × país (8.14)
Lessard la define como: ―The country beta is […] the product of two underlying
dimensions: (1) the volatility of the stock market (or of the macroeconomy of the country in
question) relative to that of the U.S. and (2) the correlation of these changes in value with
the U.S. benchmark portfolios‖ (1996, p. 60).
Entonces, usando el CAPM y la propuesta de Lessard, el Ku para la firma sería:
Ku = Rf+ no transada sin deuda (Rm–Rf)+RP (8.15)
En este caso, como se mencionó atrás, debemos ajustar la PRM con la inflación
externa e interna y con el cambio de precio de la divisa.
Para un análisis de cómo utilizar estos procedimientos y sus limitaciones, véase
Tham y Vélez Pareja (2004) y Vélez Pareja (2003).
8.3.2.7 Cálculo de coeficientes beta
Adicional al enfoque presentado para estimar los coeficientes beta hay una
propuesta de Caicedo, 2004 de relacionar las betas con el tamaño de la empresa medido con
base en el logaritmo natural del valor de los activos totales.
Esta idea resuelve de manera muy fácil el cálculo de betas de empresas no transadas
en bolsa. La relación encontrada por Caicedo es doble:
1,466
0,144
(8.16)
i
TA i
0,061
(8.17)
i
TA i
contables.
Donde
TA
i
ln A
T
it
o sea, el promedio del logaritmo natural de los activos
22 La propuesta de Lessard la hizo para proyectos en el extranjero y la hemos adaptado para calcular Ke del patrimonio de
la firma.

23
Caicedo sugiere utilizar ambas expresiones y calcular un promedio entre los dos
resultados. Hay que aclarar que este modelo tiene un sustento estadístico, más que
económico o financiero.
Del ejemplo que hemos trabajado en los capítulos 5 y 6 tenemos los siguientes
valores de activos totales (véase Tabla 8.7):
Tabla 8.7 Activos totales y logaritmo natural
Tipo de valor Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Activos totales 48.233.104,20 43.704.030,90 38.413.246,30 35.554.889,70 61.698.288,80 48.061.420,80
Ln 17,69 17,59 17,46 17,39 17,94 17,69
El promedio del logaritmo natural es 17,63. Por lo tanto, el coeficiente beta
estimado para ese caso sería:
β (B.6) = -1,466+0,144×17,63 = 1,0724
β (B.7) = 0,061×17,63 = 1,0753
beta.
sería:
El promedio de los dos resultados es 1,0738. Este sería el estimativo del coeficiente
Usando los datos para PRM y de R f del ejemplo CIGE.xls, el Ke de este ejemplo
R f anual = 8,44%
PRM anual = 8,635%
Por lo tanto, el Ke sería:
Ke = 8,44%+1,0738×8,635%=17,71%
8.3.3 Costo promedio de capital de la firma
Al conocer el costo de la deuda, los fondos generados internamente y el costo de los
fondos aportados por el accionista, ya se puede obtener el costo promedio del capital para el
flujo de caja de capital (CPPC FCC ).
En este caso se va a considerar que el costo de los fondos de los accionistas está
definido por Ke, ya sea porque se obtuvo directa o indirectamente.
Una forma muy sencilla de aproximarse al CPPC es pensar en lo que espera recibir
cada uno de los dueños del capital (deuda o patrimonio). Lo que espera recibir el dueño de
la deuda es el interés calculado con el saldo de la deuda al final del período anterior
(D% t.−1 ) y la tasa del costo de la deuda Kd t . Esto es:
Interés (lo que espera recibir el dueño de la deuda) = Kd t ×D t−1 (8.18)
Por el otro lado, lo que espera recibir el dueño del patrimonio está basado en el
costo esperado por el dueño del patrimonio y el patrimonio (a valores de mercado). Es
decir:
23

24
Lo que espera recibir el dueño del patrimonio = Ke t ×P t−1 (8.19)
El costo de esos valores esperados por el dueño de la deuda y del patrimonio se
suman y constituyen lo que espera pagar la firma por los fondos aportados por el dueño de
la deuda y del patrimonio (a precios de mercado), de manera que ese total dividido entre el
total de aportes (deuda más patrimonio) nos indica el costo porcentual de los fondos con
que la firma opera. Esto es:
Costo total que espera pagar la firma = Kd t ×D t−1 +Ke t ×P t−1 (8.20)
Costo porcentual de los fondos totales = (Kd t ×D t−1 +Ke t ×P t−1 )/(D t−1 +P t−1 )
(8.21)
Esto es el CPPC FCC . El valor total de la firma es la suma de los valores de mercado
de la deuda y del patrimonio. Entonces se puede calcular el CPPC como:
CPPC
t
D
P
FCC
t-1
t-1
Kd Ket
KdD%
t-1
KetP%
t-1
(8.22)
Vt-1
Vt-1
Donde CPPC FCC es el costo promedio ponderado del capital para el flujo de caja de
capital; Kd t , el costo de la deuda como tasa nominal, no capitalizada; D% t−1 , el
endeudamiento a valores de mercado calculado basándose en el período anterior; Ke t , el
costo del patrimonio; P% t−1 , la proporción del patrimonio en el valor total de la firma a
valores de mercado, calculado basándose en el período anterior; D t−1 es la deuda del
período t−1; P t−1 , el valor de mercado del patrimonio en t−1, y V t-1 , el valor de mercado de
la firma en t–1.
Afortunadamente, cuando se ha calculado el valor de cada período se puede
comprobar algo muy interesante:
Ku t = K dt D% t−1 +Ke t P% t−1 (8.23)
Para evitar el problema de la circularidad podemos trabajar con el costo del
patrimonio sin deuda y descontar lo que se conoce como el FCC (capital cash flow [CCF]).
Esto se estudió detalladamente en el capítulo 7.
Cuando el FCC se descuenta con el costo del patrimonio sin deuda, se obtiene el
valor de la firma o proyecto. No presenta el problema de la circularidad. Esto tiene un gran
significado, en cuanto facilita el análisis de un flujo de caja. Se puede descontar con una
tasa constante (bajo el supuesto de una inflación constante; si la inflación cambia durante
las proyecciones de los flujos de caja hay que hacer los ajustes por inflación en la tasa Ku y
que se espera se vean reflejados en variables proyectadas como precios, tasas de interés,
etc.).
¿Es lógico pensar en que si la tasa de descuento fuera el costo de capital, entonces
un proyecto que rente exactamente el costo de capital deberá tener valor presente neto
(VPN) igual a cero? Para responder a esta pregunta, se presenta el siguiente ejemplo.

25
Ejemplo 3
Supóngase un proyecto que requiere $30 millones y que la firma se financia con
deuda y patrimonio. El costo de la deuda es 30%. Así mismo, que la firma puede
determinar un Ku igual a 30,6%. La tasa de impuestos es 35%.
Ejemplo de cálculo de CPPC y Ke
Fuente de los fondos Proporción Valor
Deuda 70% 21,00
Acciones 30% 9,00
Este proyecto tiene una vida de un año y sus resultados son:
Estado de resultados (EdeR) o de pérdidas y ganancias
Ventas 74,14
Depreciación 30,00
Gastos 33,41
Utilidad operativa (UO) 23 o EBIT (por sus sigla en inglés) 10,73
Intereses 6,30
Utilidad antes de impuestos 4,43
Impuestos 1,55
Utilidad neta después de impuestos 2,88
Si se liquida el proyecto al final del primer año, lo que reciben los dueños del capital
(deuda y patrimonio) 39,18, del año 1, se descompone así:
Destino de los fondos generados por la firma
Devolución de la inversión $30,00
Utilidad repartida a los accionistas 2,88
Intereses 6,30
Total 39,18
Los fondos generados por la depreciación servirán para pagar la deuda y devolver el
dinero aportado por los dueños del patrimonio, así:
Aportes de los dueños del capital
Préstamo $21
Aporte de los accionistas $9
Por lo tanto, los flujos de caja de la deuda (FCD) y los flujos de caja del accionista
(FCA) son:
23 La utilidad operativa es la misma que algunos llaman utilidad antes de impuestos e intereses (UAII).
25

26
Flujos de los dueños del capital
Flujos Año 0 Año 1
FCD -21 27,30
FCA -9 11,88
El dueño de la deuda recibe 21 más los intereses de 6,3. El dueño del patrimonio
recibe los 9 de su aporte más la utilidad 2,88. De la tabla anterior podemos calcular el FCC.
Dijimos arriba que el FCC es lo que realmente reciben los dueños del capital (deuda y
patrimonio). En este caso entonces tenemos:
FCC = FCD+FCA (8.24)
FCC = 27,30+11,88 = 39,18
Al descontar el FCC con Ku, se tiene:
VP(FCC) = 39,18/1,306 = 30
Al calcular Ke para el año 1 usando el valor que acabamos de calcular para el
proyecto tenemos:
Ke t = Ku t +(Ku t −Kd t )D t−1/P t−1 (8.25)
Ke t = 30,6%+(30,6%−30%)×21/(30−21) = 32%
Al revés, si calculamos ahora el valor de Ku t usando Kd t y Ke t , tenemos:
Ku t = Kd t D% t−1 +Ke t P% t−1 (8.26)
Ku t = 30% × 70% + 32% × 30% = 21% + 9,6% = 30,6%
Como se estudió en el capítulo 3, un VPN igual a cero significa que lo producido
por el proyecto alcanza exactamente para devolver la inversión y pagar el costo del dinero.
A continuación se examina cómo ocurre esto.
El prestamista debe recibir los $21 millones que prestó (70%×30 = 21) más los
intereses de 30%, o sea, $6,30 millones (30%×21 = 6,30). Entre tanto, los accionistas
recibirán, al liquidar el negocio (al año), los $9 que invirtieron, más lo que esperaban
ganarse, esto es, 32% sobre su inversión o, lo que es lo mismo, 32%×9 = 2,88. Todo esto
suma, como se mostró arriba, 39,18.
Esto significa que el VPN de este proyecto es $0.
Como se puede ver con este ejemplo, cuando un proyecto tiene un VPN igual a
cero, los flujos generados alcanzan exactamente para pagar el costo del dinero.
Esta es la forma más sencilla de abordar en forma correcta el problema del costo del
capital.
El lector debe observar la simetría entre los componentes del CPPC FCC y el FCC.
Cada elemento del FCC tiene un elemento correspondiente en el CPPC FCC

27
Simetría entre flujos de caja y contribución de cada fuente de financiación al costo de
capital
Co D Patri
ncepto euda monio
FC F FCA
C CD
CP K KeP
PC FCC dD% %
8.4 Para recordar
El costo de la deuda debe calcularse como se indicó en el acápite correspondiente:
dividiendo el interés pagado por la deuda al comienzo del año.
El costo del patrimonio puede calcularse de varias formas:
De una manera burda: preguntando al dueño
Usando el modelo de Gordon:
D
i c
g
(8.27)
V
Usando el modelo CAPM, con la ecuación 8.6:
K
e
R
f
β
j
(R
m
R
f
)
Las variables se definieron en páginas anteriores.
Este costo del patrimonio es lo que espera ganar el accionista. No es lo que se ganó
en el período anterior. Lo que se gana puede ser mayor o menor que lo esperado, por lo
tanto, el costo del patrimonio (Ke) no es lo que resulte de las utilidades o dividendos
repartidos a lo largo de la vida del proyecto que se va a evaluar (hacia el futuro).
De manera iterativa para cada año y resolviendo el problema de la circularidad
como:
Ke t = Ku t +(Ku t −Kd t )D t−1 /P t−1 (8.28)
Las variables se definieron atrás.
Conocido el costo de la deuda y el costo de los fondos del accionista, el CPPC FCC se
puede calcular de varias formas:
Ponderando los diferentes costos por los montos respectivos:
CPPC FCC = KdD% t−1 +KeP% t−1 de la fórmula 8.11
Observe que esta fórmula es conceptualmente igual a la que aparece en muchos
otros textos:
27

28
CPPC
D
P
FCC
t-1
t-1
t
Kdt
Ket
(8.29)
Vt-1
Vt-1
Donde D es deuda y P es patrimonio y V = D+P
Desendeudando el coeficiente beta y usando el CAPM para calcular el valor de Ku,
que es igual a CPPC FCC .
8.4.1 Valoración de empresas y evaluación de proyectos
Al evaluar un proyecto nos preguntamos qué tasa de descuento utilizar. No es
conveniente intentar determinar una tasa de descuento para un proyecto aislado, a menos
que constituya en sí mismo una empresa autónoma. En este caso se debe proceder a
calcular el CPPC del proyecto como una empresa nueva. Si el proyecto es parte de una
empresa en marcha, es necesario seguir una conducta que valore la firma con proyecto y sin
éste. El valor del proyecto o su VPN será la diferencia de valor entre la empresa con
proyecto y sin éste.
La presentación de esta idea puede parecer marginal al dedicarle un párrafo en todo
el capítulo. Sin embargo, es importante considerarla . Así se puede tener claridad sobre
cómo afecta el proyecto a la empresa, en particular sus efectos sobre el endeudamiento y
los impuestos.
8.4.2 Determinación de la tasa de descuento
El costo de la deuda y el costo de los fondos propios y el rendimiento de los
excedentes calculados, como se ha propuesto, tienen componentes de riesgo, pero desde el
punto de vista de terceros. En el caso de Ke, esta tasa incluye el riesgo sistemático a través
del coeficiente beta. Esto es, el prestamista (quien otorga el crédito) y el accionista perciben
cierto riesgo en la firma y lo involucran en los costos de los fondos aportados por ellos.
Por lo tanto, desde el punto de vista de la firma que está tratando de identificar su
tasa de descuento, se deberá introducir el componente de riesgo (mencionada en el capítulo
2) asociado con el negocio o alternativa que se esté analizando (riesgo no sistemático). Es
decir, considerar los riesgos inherentes al proyecto que se evalúa. La forma más sencilla,
pero más burda, aproximada y peligrosa es aumentar tanto el costo de capital como el costo
de oportunidad con el componente de riesgo percibido, según las alternativas de inversión
que se estén considerando.
En el primer caso habrá que modificar la tasa así:
CPPC FCC cr = CPPC FCC +prima de riesgo (8.30)
Donde CPPC FCC es el costo promedio ponderado de capital para el FCC; prima de
riesgo, el componente de riesgo no sistemático de la firma, y CPPC FCCcr , el costo promedio
ponderado de capital con prima de riesgo no sistemático.

29
Incluir un riesgo específico (no sistemático) en la tasa de descuento es válido
cuando se reconoce que el inversionista no está diversificado. El riesgo sistemático se
puede eliminar con la diversificación. Cuando ésta no existe, el inversionista queda
expuesto al riesgo no sistemático o específico de su negocio. Recordemos que al calcular
Ke por medio del CAPM introducimos el riesgo sistemático al usar el coeficiente beta, que
sólo mide el riesgo sistemático.
Otra forma es considerar el riesgo de manera explícita (con distribuciones de
probabilidad, simulación de Monte Carlo, etc., temas que se mencionarán en el capítulo
12). Cuando el riesgo se incluye de manera explícita, no se hace este ajuste porque el riesgo
se reconoce al incluir las variaciones a través de distribuciones de probabilidad. Esto
significa que cuando se incluye el riesgo en el análisis de manera explícita, esto es, se
consideran las variaciones posibles en un conjunto de variables de un proyecto, la tasa de
descuento no debe tener el componente de riesgo no sistemático incluido, porque de lo
contrario se estaría contando dos veces ese riesgo. En resumen:
1. Cuando se tiene el caso ideal en que no se financia la inversión, la tasa de descuento
debe ser la de oportunidad del accionista (Ke).
2. Cuando la inversión se financia en parte, la tasa de descuento debe ser el costo
promedio de capital.
3. Cuando una inversión se financia y se utilizan fondos de un costo inferior al costo
de la deuda promedio o de mercado, hay que medir los efectos del subsidio de
manera explícita (véase Tham y Vélez Pareja, 2005 y Vélez Pareja, Tham y
Fernández, 2005). Este es el caso de los créditos de fomento o subsidiados, que por
lo general están ligados al proyecto y no se puede destinar a otro. Cuando los fondos
están amarrados a un proyecto de inversión, esto significa que su costo de
oportunidad es cero, porque no pueden dedicarse a ninguna otra alternativa.
Este es el caso de los créditos de fomento que buscan estimular inversiones que por
diversas causas producen ingresos bajos y, por lo tanto, baja rentabilidad. Por
ejemplo, ciertos negocios de exportación sólo se pueden efectuar, en lo que a
precios se refiere, haciendo consideraciones estrictamente marginales; estos
negocios son estimulados por el gobierno por medio de créditos de bajo costo e
incentivos fiscales que compensan la baja rentabilidad. Debe anotarse, además, que
en estos casos se deben identificar con claridad los costos y los beneficios asociados
con la inversión.
4. Si se considera necesario implementar algunas alternativas, independientemente de
la tasa de descuento, se seleccionarán y ordenarán con el VPN calculado con el
CPPC FCC , aunque resulte en valores negativos. Hay otras ventajas no cuantificables
que harán que se acepte el proyecto.
En este caso debe tenerse en cuenta lo siguiente: por razones de política u otros
intangibles, es posible que sea necesario hacer inversiones a pesar de que su
rendimiento sea menor que la tasa de oportunidad. Por ejemplo, una entidad puede
considerar necesario –por cualquier razón– ejecutar inversiones (una cafetería para
sus empleados, por ejemplo) a pesar de que existan otras por fuera que producirían
un rendimiento mayor. En estos casos, se deberían considerar las alternativas que
rindan más que el costo de capital.
5. Si se incluye el riesgo de manera explícita, se debe usar el CPPC FCC .
29

30
8.4.3 La tasa del costo de la deuda en el CPPC FCC : tasa efectiva o tasa nominal
Otra consideración sobre el costo de la deuda es la siguiente: el uso más importante
en finanzas de la tasa de interés de la deuda es su consideración en la proyección de estados
financieros y su inclusión en el costo promedio ponderado de capital CPPC FCC o WACC
(por su sigla en inglés weighted average cost of capital). ¿Cómo se liquida el interés que se
va a pagar? ¿Con la tasa de interés efectiva o con la nominal (no capitalizada)? Cualquiera
sabe que la tasa efectiva no se utiliza para calcular los intereses que se pagan. Los contratos
de deuda estipulan la liquidación de los intereses en términos de tasas periódicas, vale
decir, nominales o no capitalizadas, en el sentido que las periódicas surgen o se pueden
calcular a partir de las nominales y viceversa. En los estados financieros lo que aparece
como gasto de intereses es lo que se calcula para el pago de esos intereses. Es decir, tanto
las proyecciones de los estados financieros como el cálculo del CPPC FCC se hacen con el
costo de la deuda nominal (no capitalizada), no con la tasa efectiva de interés (véase Vélez
Pareja, 2004).
8.5 Resumen
Se ha presentado una alternativa para el cálculo de costo de capital y una
metodología para la determinación de la tasa de descuento que puede ser aplicada en
empresas de diverso tamaño, aunque no estén inscritas en la Bolsa de Valores.
Con estos planteamientos se busca una forma sencilla de aproximarse al cálculo del
costo de capital. Se pretende simplificar las herramientas de modo que puedan ser utilizadas
por personas o entidades que erróneamente consideran muy complicadas o fuera de
contexto, por exóticas, las técnicas administrativas. De todas maneras, no sobra advertir que
al utilizar cualquier modelo, en cualquier área de la ciencia, hay que validar sus supuestos.
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31

32
Apéndice 8.1
A8.1.1 El efecto de los impuestos en el costo promedio de capital
Al presentar el costo promedio de capital en el cuerpo del capítulo parecería que
estamos desechando los impuestos. No. El efecto de los impuestos está considerado, puesto
que en lo que recibe el accionista ya se ha tenido en cuenta. No obstante, conviene recordar
unos planteamientos básicos de las finanzas. Éstos están relacionados con lo propuesto por
Modigliani y Miller (1958, 1959 y 1963) en sus trabajos seminales de finales de los años
cincuenta y principios de los sesenta. La idea básica es la siguiente: en una economía
perfecta (mercado perfecto) donde ni siquiera existan impuestos, el valor total de una firma
no cambia por la forma como esté repartido el capital entre patrimonio y deuda. En
términos matemáticos:
V sd = P sd = V cd = P cd +D
(A8.1.1)
Donde V sd es el valor de la firma sin deuda; P sd , el patrimonio sin deuda; V cd , el
valor de la firma con deuda; P cd , el valor del patrimonio con deuda, y D, la deuda. Esto
significa que cuando no hay impuestos, la estructura de capital no afecta el valor de la
firma.
Por otro lado, Modigliani y Miller establecieron que cuando existen los impuestos
está externalidad genera un valor adicional que se denomina ahorros en impuestos por
pago de intereses o escudo fiscal. En este caso la estructura sí afecta el valor de la firma y
su planteamiento matemático es el siguiente:
V cd = V sd +V AI = P cd +D
(A8.1.2)
Donde V cd es el valor de la firma con deuda; V sd , el valor sin deuda; V AI , el valor de
los ahorros en impuestos; P cd , el valor del patrimonio (hay que aclarar que este valor,
aunque con igual notación, será diferente al anterior presentado en la ecuación A8.1.1), y
D, el valor de la deuda.
A8.1.2 Ahorros en impuestos
Como vimos en el capítulo 7, el efecto de los ahorros en impuestos en el costo
promedio del capital para el flujo de caja de capital (CPPC FCL ) se introduce multiplicando
el costo de la deuda (Kd) por el factor (1−T). ¿Qué significa el factor (1−T)? Pues
simplemente es el factor que se aplica a Kd por el ahorro en impuestos (véase Apéndice del
capítulo 7 y Tham y Vélez Pareja, 2004). Consideremos dos situaciones: cuando se pagan
los impuestos el mismo año en que se causan y cuando se pagan al año siguiente.
Ejemplo 1
Antes afirmamos que el costo de la deuda después de impuestos es Kd(1−T).
Veamos cómo se llega a esto con un ejemplo (tabla). Un préstamo de $1.000 a un año al

33
30% antes de impuestos, se convertiría en un préstamo al 18% si la tasa de impuestos fuera
de 40%.
Año Préstamo Intereses
Pago de
capital
Flujo neto
antes de
impuestos
Ahorro en
impuestos
Flujo neto
después
de impuestos
0 1.000 1.000 1.000
1 -300 -1.000 -1.300 120 -1.180
Kd 30% 18%
Como se puede ver, Kd después de impuestos es 18% (30%×(1−40%)). Como la
tasa de impuestos (T) es 40%, entonces el ahorro en impuestos (AI) es 120 (300×40%).
Aquí suponemos que los impuestos se pagan el mismo año en que se causan y que el AI se
gana en su totalidad el mismo año. Kd después de impuestos es Kd(1−T) = 30%×60% =
18%.
Si los impuestos se pagan al año siguiente, el resultado sería:
Año Préstamo Intereses
Pago
de
capital
Flujo neto
antes de
impuestos
Ahorro en
impuestos
Flujo neto después
de impuestos
0 1.000 1.000 1.000
1 -300 -1.000 -1.300 -1.300
2 120 120
Kd 30% 20%
El AI también es 120, pero se obtiene al año siguiente. Observe que Kd después de
impuestos no es Kd(1−T). La tasa después de impuestos es de 20% y no de 18%. Aunque
todos estos detalles son manejables con una hoja de cálculo, el uso en la práctica y en libros
de texto recientes (ediciones de 2005) todavía se basan en el ajuste de la tasa de interés por
el factor (1−T).
El costo de la deuda puede afectarse por el cambio en el riesgo percibido frente a la
empresa. A medida que una firma aumenta su deuda, también aumenta el riesgo percibido
por los inversionistas y prestamistas interesados en esa firma; por lo tanto, aumentarán sus
expectativas de ganancia y, en consecuencia, la tasa de interés que piensan obtener se
elevará. Más aún, el acreedor, un banco, por ejemplo, podría aumentar el costo de la deuda
a medida que la firma se endeuda, porque al elevar su endeudamiento, se eleva el riesgo.
Esta consideración se tiene en cuenta en el ejemplo detallado de los capítulos 5 y 6 y que se
encuentra en el archivo CIGE.xls.
Al igual que hicimos en el cuerpo del capítulo, si bien los dueños de la deuda y el
patrimonio esperan recibir:
Costo total que espera pagar la firma = Kd t ×D t−1 +Ke t ×P t−1
(A8.1.3)
Ahora consideramos lo que realmente paga la firma después de recibir los ahorros en
impuestos. Entonces lo que paga netos es:
33

34
Costo total que espera pagar la firma menos los ahorros en
impuestos = Kd t ×D t−1 +Ke t ×P t−1 −AI t
Pero AI t es igual a Kd t ×D t−1 ×T
Entonces:
Costo total que espera pagar la firma menos los ahorros en
impuestos = Kd t ×D t−1 +Ke t ×P t−1 −Kd t ×D t−1 ×T
(A8.1.4)
(A8.1.5)
Para conocer el costo de esos recursos netos dividimos lo anterior entre el valor del
capital invertido:
Costo de los fondos totales = (Kd t ×D t−1 +Ke t ×P t−1 −Kd t ×D t−1 ×T)/(D t−1 +P t−1 )
(A8.1.6)
O sea, el costo promedio de capital para la firma al tener en cuenta los ahorros en
impuestos y que se usa para descontar el flujo de caja libre (FCL) es:
CPPC
t
FCC
Kd
t
D
V
t-1
t-1
Ke
t
P
V
t-1
t-1
Kdt
D
V
t-1
t-1
T
Kd
t
1- TD%
t-1
KetP%
t-1
(A8.1.7)
Esta expresión se puede presentar como:
CPPC FCL = Kd tD % t−1 + Ke t P% t−1 − T×Kd t ×D% t−1
(A8.1.8)
Donde Kd t es el costo de la deuda antes de impuestos; T, la tasa de impuestos; Ke t ,
el costo del patrimonio, y D% t−1 y P% t−1 son la proporción de la deuda y el patrimonio
sobre el valor total de mercado de la firma. Esta expresión se conoce en inglés
como WACC (Weighted Average Cost of Capital).
El lector debe observar la simetría entre los componentes del CPPC FCL y el FCL.
Cada elemento del FCL tiene un elemento correspondiente en el CPPC FCL para el FCL.
Antes de ilustrar esta idea debemos desarrollar la fórmula que hemos mostrado para este
CPPC FCL .
Concepto Deuda Patrimonio Ahorro en impuestos
FCL = FCD+FCA−I FCD FCA AI
CPPC FCL Kd t D% t−1 Ke t P% t−1 T×Kd t ×D% t−1
Es decir, el FCC se reduce por los ahorros en impuestos para conformar el FCL y a
la vez el CPPC FCL se reduce en T×Kd t ×D% t−1 para dar lugar al CPPC FCL . Si el FCC se

35
redujera por los AI y no se hiciera algo igual con el CPPC FCL , se estaría contando doble el
efecto de los impuestos en el valor de la firma o proyecto.
La formulación anterior tiene varios supuestos que no siempre se cumplen:
1. Que los impuestos se pagan el mismo año en que se causan.
2. Que los ahorros en impuestos se obtienen en su totalidad.
3. Que no hay otras fuentes de ahorros en impuestos como puede ocurrir cuando hay
ajustes a los estados financieros por inflación. Para estudiar este tipo de
complicaciones véase Vélez Pareja y Tham (2003) y Tham y Vélez Pareja (2004).
Si la firma o proyecto no paga impuestos: entonces sobra (1−T) en la expresión y el
valor de Kd(1−T) debe reemplazarse por Kd. Esta observación debe tenerse en cuenta para
los casos de organizaciones que por su naturaleza no estén sujetas a impuesto de renta o
empresas que no producen utilidades operativas en determinado período. Así mismo, como
se indicó atrás, si se considera que los impuestos se pagan en el período siguiente después
de haber hecho la provisión de los impuestos, se entiende que este factor (1−T) no recoge el
verdadero efecto de los ahorros en impuestos.
Cuando no se cumplen los supuestos anteriores, se puede demostrar que si se
supone que la tasa de descuento de los ahorros en impuestos es Ku, el CPPC FCL apropiado
es 24 :
FCL AIt
CPPC
t
Kut
(A8.1.9)
Vt-1
Donde V t-1 es el valor de la firma al comienzo del período de análisis y AI t es el
ahorro en impuestos del período t. Esto también genera circularidad. Para más detalles
consulte Vélez Pareja y Tham (2001), Vélez Pareja y Burbano (2003) y Tham y Vélez
Pareja (2004), de las referencias de este capítulo.
Incluso no es estrictamente necesario que los impuestos se paguen en un año
diferente al que se causan. Sólo cambiemos el período de análisis de años a meses,
bimestres o trimestres. Los impuestos se pagan en uno sólo de ellos y en el resto no hay
pago de impuestos. Los ahorros en impuestos ocurren cuando se pagan los impuestos.
Entonces, en la mayoría de los períodos (menores que un año) no se obtienen los ahorros en
impuestos.
Ejemplo 2
Supóngase el mismo proyecto del Ejemplo 3 del cuerpo del capítulo, que requiere
$30 millones, y que la firma se financia con deuda y patrimonio. El costo de la deuda es
30%. Así mismo, que la firma puede determinar un Ku, que es igual a 30,6%. La tasa de
impuestos es de 35%. Fuente de los fondos: deuda de 70% y patrimonio de 30%. Para
calcular Ke se debe resolver la circularidad, ya que se tiene que:
24 Nuevamente, la expresión más general del CPPC es
CPPC
t
Ku
t
-
AI
i
-[(Ku
t
V
t-1
ψ
t
)
AI
V
t1
V
t1
. Observe que en la expresión
de Ke, al hacer igual a Ku el último término desaparece y obtenemos
Pareja, 2004, y Vélez Pareja y Burbano, 2003).
t
AI
t
Ku
t
-
V
t-1
CPPC (Véase Tham y Vélez
35

36
Ke t = Ku+(Ku−Kd)D t−1 /P t−1
El valor de P es el valor presente del flujo del año 1 a la tasa definida por el
CPPC FCL menos la deuda. Aquí vamos a utilizar el valor que resulta de esa circularidad y
usaremos Ke igual a 32% 25 .
Si se supone que los impuestos se pagan en el mismo año en que se hace la
provisión, entonces el costo de la deuda después de impuestos será de 30%×(1−35%) =
19,50%.
De manera que el CPPC FCL = 19,5%×70%+32%×30% = 23,25%.
Este proyecto tiene una vida de un año y sus resultados son:
Ventas 74,14
Depreciación 30,00
Gastos 33,41
Utilidad operativa (UO) 10,73
Intereses 6,30
Utilidad antes de impuestos 4,43
Impuestos 1,55
Utilidad neta después de impuestos 2,88
Los ahorros en impuestos son 2,2 (6,3×35%). Debido a los ahorros en impuestos el
pago neto de intereses es $4,1 (6,3−2,2), es decir, 6,3×(1−35%), por lo tanto, como se
estudió con detalle en el capítulo 7, el FCL del proyecto será: 6,30+30,00+2,88−2,2 =
36,98 26 . Los 36,98 del año 1 se descomponen así:
Devolución de la inversión $30,00
Utilidad repartida a los accionistas 2,88
Intereses antes de impuestos 6,30
Menos ahorros en impuestos por pago de intereses (6,3×35%) -2,20
Flujo de caja 36,98
De este modo el valor presente neto (VPN) es:
Factor Año 0 Año 1
Flujo de caja -30 36,98
VPN(23,25%) $ 0,00
Observe que este es el mismo valor que se obtuvo arriba con el FCC y Ku, como
tasa de descuento. Este flujo de caja está definido como:
25
Los valores de mercado se encuentran descontando los flujos futuros. Aquí hay un círculo: para calcular CPPC se
necesita el valor de mercado de la firma y para calcular ese valor se necesita el CPPC. Todo el detalle de la solución a este
problema escapa el alcance del libro. Los interesados pueden referirse a Vélez Pareja y Tham (2001), ya mencionado.
26 Esta es una forma tradicional de obtener el FCL y que se estudió en el capítulo 7. En este ejemplo sencillo se supone
que todo se recibe y paga de contado, de manera que el capital de trabajo es cero y que en el año 1 no hay inversiones de
capital. Por esta razón no aparecen en el cálculo del FCL. El lector debe verificar que estos dos procedimientos arrojan el
mismo resultado para el FCL, es decir 36,98.

37
Intereses+pago de capital de la deuda+recompra del
patrimonio+dividendos pagados−ahorros en impuestos
Este flujo de caja es lo que definimos en el capítulo 7 como FCL. Es decir:
FCL = FCD+FCA−AI
(A8.1.10)
Donde FCL es el flujo de caja libre; FCD, el flujo de caja de la deuda; FCA, el flujo
de caja del accionista, y AI, el ahorro en impuestos. Esta es la manera más sencilla y segura
de calcular el FCL. Es sencilla y a prueba de errores.
Como se estudió en el capítulo 3, un VPN igual a cero significa que lo producido
por el proyecto alcanza exactamente para devolver la inversión y pagar el costo del dinero.
A continuación se examina cómo ocurre esto.
El prestamista debe recibir $21 (70%×30 = 21) más los intereses de 30%, o sea,
$6,30 (30%×21 = 6,30) y los accionistas recibirán al liquidar el negocio (al año), los $9 que
invirtieron más lo que esperaban ganarse, esto es, 32% sobre su inversión o lo que es lo
mismo, 32%×9 = 2,88. El fisco, por último, contribuye con $2,2 para el pago de los
intereses.
Los fondos generados por la depreciación servirán para pagar la deuda y devolver el
dinero aportado por los dueños del capital, así:
Pago del préstamo $21
Aporte de los accionistas $9
Obsérvese que los ahorros en impuestos por pago de intereses no los recibe el
Estado, ni el prestamista: el accionista se queda con ellos. Es el fisco, como ya se dijo, el
que provee parte de los recursos para pagar los intereses. Por lo tanto, los flujos de caja del
prestamista y del accionista son:
Flujos de caja Año 0 Año 1 Rendimiento
Prestamista -21 27,30 30%
Accionista -9 11,88 32%
Como se puede ver con este ejemplo, cuando un proyecto tiene un VPN igual a
cero, los flujos generados alcanzan exactamente para pagar el costo del dinero.
A8.1.3 Estructura de capital
Se llama estructura de capital a cómo se financian los activos a valores de mercado.
Los activos se pueden financiar por medio de dos fuentes de capital: deuda y patrimonio.
Aquí entendemos por deuda aquel pasivo que genera un costo financiero y que se conoce
como pasivo o deuda financiera.
Como se estudió en páginas anteriores, cuando hay impuestos, aunque parezca una
paradoja, tener deuda es bueno para la firma, porque aumenta el valor. Esto ocurre porque
cuando se pagan intereses, éstos son deducibles, y el Estado subsidia a quien tiene deuda.
Esto se llama una externalidad. El valor de este subsidio es de TKd t D t−1 , donde las
37

38
variables son las que se definieron arriba. Así, el valor de la firma se incrementa por el
valor presente de los ahorros en impuestos o escudo fiscal (tax shield). Recordemos lo
planteado arriba:
V CD = V SD +V AI = V Patrimonio +V Deuda
(A8.1.11)
La primera reacción ante esto sería: entonces me endeudo hasta 100%. Sin embargo,
cuando una firma se endeuda, también ocurren algunos costos ocultos o contingentes
asociados con la posibilidad que la firma quede insolvente. Esto hace que exista un valor
esperado o costos de dificultades financiera o de quiebra que pueden reducir el valor de la
firma. La existencia de estos costos de dificultades financiera o de quiebra evita que, en
general, las firmas se endeuden hasta el 100%. Esta idea se puede observar en la gráfica
siguiente:
Gráfica A8.1 Estructura óptima de capital
Valor de la firma
V cd = V sd + VP(AI)
Valor máximo de la firma con deuda V cd
Costos de quiebra
Valor de la firma
Valor de la firma sin deuda V sd
Valor presente de los ahorros
en impuestos
D/P = Deuda/patrimonio
Endeudamiento óptimo
A8.1.4 Costos de dificultades financiera o de quiebra
¿Cuándo se alcanza el endeudamiento óptimo para lograr el máximo valor de la
firma? Observemos el valor de la firma en la Gráfica A8.1. Poco antes de alcanzar el
máximo valor el aumento se desacelera, sin llegar todavía a declinar. ¿Qué significa esto?
Que se generan unos costos de dificultades financiera o de quiebra (CQ) que no alcanzan a

39
anular a los ahorros en impuestos adicionales. Cuando llega al máximo, significa que los AI
son iguales a los CQ. Después de ese punto los CQ son mayores que los AI.
Se pueden identificar conceptualmente algunos costos de dificultades financiera o
de quiebra. Así mismo, se pueden clasificar como costos de dificultades financiera o de
quiebra financieros, comerciales, de recursos humanos y legales.
A8.1.4.1 Costos de dificultades financiera o de quiebra financieros
Cuando una firma empieza a endeudarse, aumenta el riesgo percibido por terceros
(por ejemplo, los tenedores de la deuda). Un banco podría cobrar más por los nuevos
préstamos. Este mayor costo se refleja en un menor flujo de tesorería que, a su vez,
aumenta las necesidades de efectivo y podría aumentar el endeudamiento. Todo lo anterior
constituye un círculo vicioso y la firma eventualmente deberá recurrir al mercado
extrabancario, que cobra tasas de usura. Los costos financieros por encima de la usura no
son aceptados por la ley para deducirlos. Es decir, se pierde el AI.
A8.1.4.2 Costos de dificultades financiera o de quiebra comerciales
En los costos de dificultades financiera o de quiebra comerciales, la información se
propaga con facilidad y los proveedores pueden perder la confianza y dejar de despachar a
crédito (a costo cero), reducir los plazos y tender a exigir pago contra entrega o por
anticipado. Esto disminuye la liquidez y aumenta la necesidad de financiación, a mayor
costo. Los clientes, que también se enteran de la situación, posiblemente ya no comprarán
las mismas cantidades, porque prefieren un proveedor seguro.
A8.1.4.3 Costos de dificultades financiera o de quiebra en recursos humanos
Los costos de dificultades financiera o de quiebra en recursos humanos indican que
cuando la firma empieza a tener dificultades, es posible que excelentes empleados con
mejores, o incluso menores ofertas, se retiren de la compañía. Así, hay que capacitar a cada
nuevo empleado, y la pérdida de capital intelectual es difícil de medir y de reponer.
A8.1.4.4 Costos de dificultades financiera o de quiebra legales
Al llegar la situación extrema de quiebra o antes, se requieren asesores en diferentes
áreas de la firma, en particular abogados. Debemos reconocer que los costos de dificultades
financiera o de quiebra son muy difíciles de medir. Aquí sólo los dejamos enunciados. En
los capítulos 5 y 6 involucramos algunos de esos costos en los estados financieros.
A8.1.5 Solución del problema de la circularidad
A continuación presentamos un ejemplo que ilustra la manera de calcular el costo
promedio de capital y resolver la circularidad que existe entre el valor de mercado y el
costo promedio de capital.
Antes de entrar en los detalles del ejemplo, es necesario ejecutar un paso, a fin de
resolver la circularidad. En una hoja de cálculo debemos activar aquella opción con la cual
funcionan las iteraciones. En el caso de Excel, los pasos son:
1. Seleccione la opción de menú Herramientas.
2. Allí escoja Opciones.
39

40
3. Una vez se despliegue el contenido, elija Calcular.
4. Active Iteraciones.
5. Presione Aceptar.
Ejemplo 3
Este es un ejemplo de cálculo del CPPC FCL y del valor de la firma, que supone que
Ku es la tasa correcta de descuento para los ahorros en impuestos.
Supóngase que se tiene una firma con la siguiente información:
Costo de la deuda: 11,2%: costo del patrimonio sin deuda (Ku): 15,10%, y tasa de
impuestos: 35%. La información sobre inversión, FCA y saldos de la deuda y aporte inicial
de los socios es la siguiente.
Tabla A8.1.1 FCL e inversión inicial
Factores de la inversión Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Aporte de los socios (P) 125.000,00
Valor inicial de la inversión 500.000,00
Flujo de caja del accionista 27 12.075,00 9.255,00177.915,00 213.169,45
Saldo de la deuda al final del
período (D) 375.000,00243.750,00 75.000,00 37.500,00
Con esta información se puede calcular cuánto se ha pagado de capital cada año y
cuánto de intereses, y así se puede calcular el FCD y los AI.
Tabla A8.1.2 Pagos a la deuda y AI
Factores de la inversión Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Pago de capital (saldo
131.250,00 168.750,00 37.500,00 37.500,00
anterior−saldo actual)
Pagos de interés (saldo
inicial×Kd) 42.000,00 27.300,00 8.400,00 4.200,00
FCD 173.250,00 196.050,00 45.900,00 41.700,00
Ahorros en impuestos
AI = T×pago de interés 14.700,00 9.555,00 2.940,00 1.470,00
FCL = FCD+FCA−AI 170.625,00 195.750,00220.875,00 253.399,45
El siguiente paso puede parecer extraño, pero es necesario para evitar una división
por cero. Ahora calcularemos de forma provisional el valor al cual deseamos llegar (que
sería lo último): el valor de la firma, suponiendo que el CPPC FCL es cero. Hemos numerado
cada fila en las siguientes tablas para indicar el orden en que se debe proceder.
27 En el flujo del año 4 se supone que hay un valor terminal que recoge todo el valor agregado por la firma a partir del año
5 hasta el infinito. Este es un tema de suma importancia para la valoración de empresas, ya que la experiencia indica que
más del 50% del valor de la firma se debe a ese valor terminal. El valor terminal se estudia en el capítulo siguiente. Este
ejemplo está tomado de Vélez Pareja y Tham (2001).

41
Tabla A8.1.3 Valor total provisional (antes de resolver la circularidad)
Factor Año 0 Año 1 Año 2 Año 3
(1) Valor en t 840.649,45 670.024,45 474.274,45 253.399,45
Cálculo del CPPC FCL . Ejemplo: el valor de la firma al final del período 3 es:
(253.399,45+0)/(1+CPPC FCL 4) = 253.399,45/(1+0%) = 253.399,45
Para el período 2 será:
(253.399,45+220.875,00)/(1+CPPC FCL 3) = (253.399,45+220.875,00)/(1+0%)
= 474.274,45
Y así para los demás años.
Ahora se puede calcular cada uno de los componentes del CPPC FCL . Calcularemos
paso a paso el endeudamiento a valores de mercado, el costo de la deuda después de
impuestos y la participación de la deuda en el CPPC FCL .
Tabla A8.1.4 Cálculo del CPPC FCL . Contribución de la deuda al CPPC FCL
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
(2) Peso relativo de la deuda D% t−1 (D t-1 /Valor en t–1) 44,61% 36,38% 15,81% 14,80%
(3) Costo de la deuda después de impuestos Kd(1−T) 7,28% 7,28% 7,28% 7,28%
(4) Contribución de la deuda al costo de capital: (2)×(3) 3,25% 2,65% 1,15% 1,08%
Estos valores no son los finales, porque se han calculado con CPPC FCL igual a cero,
en forma provisional. Esto significa que los valores definitivos se obtendrán cuando se
termine el proceso.
A continuación, la proporción de patrimonio se calcula como 1−D% y se proyecta el
valor de Ke. Para calcular Ke usamos la fórmula 8.10 del cuerpo del capítulo 8. A
continuación se calcula el segundo término de la ecuación del CPPC FCL , es decir, la
contribución del patrimonio al CPPC FCL
Tabla A8.1.5 Cálculo del CPPC FCL . Contribución del patrimonio al CPPC FCL
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
(5) Peso relativo del patrimonio P% (1−D%) t−1 55,39% 63,62% 84,19% 85,20%
(6) Ke t = Kut+(Ku t -Kd t )D% t−1 /P%
t−1 18,24% 17,33% 15,83% 15,78%
(7) Contribución del patrimonio al costo de capital: (5)×(6) 10,10% 11,03% 13,33% 13,44%
Se recuerda al lector que los valores de las filas (1) a (7) no son los definitivos.
Hechos estos cálculos y activada la capacidad de iteración de la hoja de cálculo,
procedemos a sumar las dos partes del CPPC FCL . Observe que al hacer esta suma el
resultado en la siguiente tabla no es el que se obtuvo en la Tabla A8.1.3, porque los valores
41

42
de las tablas A8.1.4 y A8.1.5 son provisionales. Este resultado de la Tabla A8.1.4.6 es el
definitivo después de que la hoja de cálculo resuelve la circularidad.
Tabla A8.1.6 Cálculo del CPPC FCL
Factor Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
(8) CPPC FCL (WACC) después de impuestos 12,7% 13,2% 14,3% 14,4%
Hecho esto, resulta el valor en la fila o paso (1).
Tabla A8.1.7 Cálculo de CPPC FCL
Factor Año 0 Año 1 Año 2 Año 3
(1) Valor en t 607.966,72 514.450,01 386.831,45 221.431,38
La Tabla A8.1.4 se verá ahora así:
Tabla A8.1.8 Cálculo del CPPC FCL . Contribución de la deuda al CPPC FCL (final)
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
(2) Peso relativo de la deuda D% t−1 (D t-1 /Valor en t–1) 61,68% 47,38% 19,39% 16,94%
7,28% 7,28% 7,28% 7,28%
(3) Costo de la deuda después de impuestos Kd(1−T)
(4) Contribución de la deuda al costo de capital: (2)×(3) 4,49% 3,45% 1,41% 1,23%
La Tabla A8.1.5 se ve ahora así:
Tabla A8.1.9 Cálculo del CPPC FCL . Contribución del patrimonio al CPPC FCL (final)
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
(5) Peso relativo del patrimonio P% (1−D%) t−1 38,32% 52,62% 80,61% 83,06%
(6) Ke = Ku+(Ku–Kd)D%
t−1 /P% t−1 21,38% 18,61% 16,04% 15,90%
(7) Contribución del patrimonio al costo de capital: (5)×(6) 8,19% 9,79% 12,93% 13,20%
Obsérvese que el costo de los fondos propios (Ke) es mayor que el costo Ku. Esto es
de esperarse porque Ku es, como ya se dijo, el costo del accionista o dueño como si no
hubiera deuda 28 . Al haber deuda, necesariamente Ke termina siendo mayor que Ku, debido
al endeudamiento. Con estos valores se puede calcular el valor de la firma en cada período.
Si el Ke se conociera, tal y como se dijo arriba, entonces el valor de
com Kd t D% t−1 +Ke t P% t−1. Excel resuelve la circularidad que allí se presenta y se producen
exactamente los mismos valores.
Cuando el CPPC FCL se calcula así, entonces la Tabla A8.1.6 aparece como:
28 Como Modigliani y Miller dicen que el

43
Tabla A8.1.10 Cálculo del CPPC FCL (final)
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
(8) CPPC FCL después de impuestos
(contribución de la deuda+contribución
del patrimonio) 12,7% 13,2% 14,3% 14,4%
(1) Valor de la firma en t con el CPPC FCL 607.966,72 514.450,01 386.831,45 221.431,38
El valor de la firma en final del período 3 es:
(253.399,45+0)/(1+ CPPC FCL 4) = 253.399,45/(1+14,4%) = 221.433,06
Para el período 2 será:
(221.433,06+220.875,00)/(1+CPPC FCL 3) =
(221.433,06+220.875,00)/(1+14,3%) = 386.831,45
Y así para los demás años.
Hay que ser consciente de que los valores 14,4% y 14,3%, etc. no están calculados
desde el comienzo, porque dependen del valor de la firma que se va a calcular. En este caso
en la hoja de cálculo se crea una circularidad. Ésta se resuelve permitiendo que la hoja de
cálculo haga las suficientes iteraciones, para que las cifras converjan al valor final.
Con estos valores para cada período se puede calcular ahora el VPN.
Tabla A8.1.11 Cálculo del VPN
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Valor presente del flujo 607.966,72 514.450,01 386.831,45 221.431,38 607.966,72
Inversión inicial 500.000,00
VPN 107.966,72
Examinemos si el cálculo con el CPPC FCL modificado presentado en el cuerpo del
capítulo nos conduce al mismo resultado. Una vez resulta la circularidad se tiene:
Tabla A8.1.12 Flujo de caja libre e inversión inicial
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
AI 14.700,00 9.555,00 2.940,00 1.470,00
CPPC FCL t = Ku–Ai t /V t-1 12,68% 13,24% 14,34% 14,44%
Valor total (V) 607.966,72 514.450,01 386.831,45 221.431,38
Vemos que los valores son idénticos. A modo de verificación adicional, podemos
calcular el valor presente de los FCC, y observamos que se obtienen los mismos resultados.
43

44
Tabla A8.1.13 Flujo de caja de capital y valor de la firma
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
(FCC) = FCL+AI =
FCD+FCA 185.325,00 205.305,00 223.815,00 254.869,45
Ku 15,10% 15,10% 15,10% 15,10%
VP(FCC) 607.966,72 514.450,01 386.831,45 221.431,38
Como se puede observar, el método presentado en el cuerpo del capítulo (FCC) y el
del CPPC FCL con el FCL son equivalentes.
Para hacer más completo el análisis vamos a calcular el valor del patrimonio a partir
del FCA y usando Ke.
Tabla A8.1.14 Cálculo del valor de mercado patrimonial con FCA sin resolver la
circularidad
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCA 12.075,00 9.255,00 177.915,00 213.169,45
Ke t = Ku t +(Ku t −Kd t )D t−1 /P t−1
Valor del patrimonio 412.414,45 400.339,45 391.084,45 213.169,45
Valor de la deuda 375.000,00 243.750,00 75.000,00 37.500,00
Valor total 787.414,45 644.089,45 466.084,45 250.669,45
Cuando se tiene activada la opción de iteración, se puede construir la fórmula de Ke
y resulta en los valores de la siguiente tabla.
Tabla A8.1.15 Cálculo del valor de mercado patrimonial con FCA resultado final
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCA 12.075,00 9.255,00 177.915,00 213.169,45
Ke t = Ku t +(Ku t −Kd t )D t−1 /P t−1 21,4% 18,6% 16,0% 15,9%
Valor del patrimonio 232.966,72 270.700,01 311.831,45 183.931,38
Valor de la deuda 375.000,00 243.750,00 75.000,00 37.500,00
Valor total 607.966,72 514.450,01 386.831,45 221.431,38
Obsérvese que todos los valores coinciden. Como resumen, se puede decir que
cuando se hace de manera correcta, todos los diferentes métodos para valorar flujos de caja
deben producir idénticos resultados.
Referencias bibliográficas
Modigliani, Franco y Miller Merton H. 1963. ―Corporate Income Taxes and the Cost of
Capital. A Correction‖, The American Economic Review, vol. LIII, pp. 433-443.
—. 1959. ―The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment.
Reply‖, The American Economic Review, vol. XLIX, pp. 524-527.
—. 1958. ―The Cost of Capital, Corporation Taxes and the Theory of Investment‖, The
American Economic Review, vol. XLVIII, pp. 261-297.
Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation. An
Integrated Market Based Approach, Academic Press, s. l.

45
Vélez Pareja, Ignacio y Burbano, Antonio. 2003. ―A Practical Guide for Consistency in
Valuation. Cash Flows, Terminal Value and Cost of Capital‖, Social Science
Research Network.
Vélez Pareja, Ignacio y Tham, Joseph. 2001. ―A Note on the Weighted Average Cost of
Capital WACC‖, documento de trabajo disponible en Social Science Research
Network, febrero. [Vesión en español como ―Nota sobre el costo promedio de
capital‖, en Monografías, No. 62, Serie de Finanzas, La medición del valor y del
costo de capital en la empresa, Universidad de los Andes, Bogotá, 2002, pp. 61-98.]
Vélez Pareja, Ignacio y Tham, Joseph. 2003. Timanco S. A. ―Impuestos por pagar, pérdidas
amortizadas, deuda en divisas, renta presuntiva y ajustes por inflación. Su
tratamiento con flujo de caja descontado y EVA©‖, Social Science Research
Network, septiembre.
45

46
Apéndice 8.2
A8.2.1 Cálculo del valor cuando se tiene endeudamiento constante
En el apéndice A8.1 vimos que los valores del costo de patrimonio (Ke) y del costo
promedio del capital para el flujo de caja de capital (CPPC FCL ) dependen del
endeudamiento. A mayor endeudamiento, mayor Ke; por lo tanto, mayor CPPC FCL . Si el
endeudamiento es constante, entonces tanto Ke como CPPC FCL son constantes. En otras
palabras, no es correcto usar un Ke o un CPPC FCL si no hay endeudamiento constante.
Sin embargo, es muy común, tanto en la práctica como en diversos estudios,
encontrar analistas y autores que de manera inconsistente usan un CPPC FCL para descontar
el flujo de caja libre (FCL) aunque el endeudamiento no sea constante.
En este ejemplo suponemos que estamos trabajando con una hoja de cálculo y que
tiene activada la opción de iteración que permite resolver el problema de la circularidad.
Así mismo, nos basaremos en las relaciones fundamentales entre flujos y valores y las
llamaremos relaciones de conservación de flujos y de valores.
FCL+AI = FCD+FCA
(A8.2.1)
Donde FCL es el flujo de caja libre; AI, ahorro en impuestos; FCD, el flujo de caja
de la deuda, y FCA, el flujo de caja del accionista.
V = VP(FCL a Ku)+VP(AI a ) = deuda+patrimonio
(A8.2.2)
Donde V es el valor de la firma o proyecto; Ku, el costo del patrimonio sin deuda, y
, la tasa de descuento de los ahorros en impuestos. Como se ha hecho en el cuerpo del
capítulo 8, suponemos que es Ku.
Para ilustrar el procedimiento, presentamos un ejemplo sencillo. Supongamos que
una firma tiene en la actualidad el siguiente préstamo; pero desea mantener un
endeudamiento a valores de mercado constante e igual a 60%:
Tabla A8.2.1 Préstamo actual de la firma
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Saldo de la deuda al
final del período (D)
375.000,00 245.000,00 150.000,00 75.000,00
Pago de capital (saldo
anterior–saldo actual)
130.000,00 95.000,00 75.000,00 75.000,00
Costo de la deuda (Kd) 11,20% 11,20% 11,20% 11,20%
Pagos de interés 42.000,00 27.440,00 16.800,00 8.400,00

47
Así mismo, la firma paga 35% de impuestos sobre la renta, de manera que a partir
de esta base ha calculado su ahorro en impuestos por pago de intereses como:
Tabla A8.2.2 Ahorro en impuestos
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Pagos de interés 42.000,00 27.440,00 16.800,00 8.400,00
Ahorro en impuestos (AI) 14.700,00 9.604,00 5.880,00 2.940,00
Supongamos que la firma tiene un FCL establecido que se muestra en la Tabla
A8.2.3:
Tabla A8.2.3 Flujo de caja libre
Flujo Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
A8.2.2 Cálculo del CPPC FCL y del valor con el FCL
Cuando se utiliza el CPPC FCL y D% es constante, no hay circularidad en el cálculo.
Recordemos que la circularidad surge cuando debemos calcular Ke, es decir, Ke =
Ku+(Ku−Kd)D/E. Ke depende de D%, pero como este valor ya se conoce y se supone
constante, no hay lugar a la circularidad. De hecho, con D% conocido, Ke lo podemos
calcular desde el comienzo. En este caso, el cálculo de CPPC FCL y del valor es muy fácil.
El costo del capital propio (Ke) es:
Ke = Ku+(Ku−Kd)D%/P% = 15,10%+(15,10%−11,20%)×60%/40% = 20,95%
El CPPC FCL es:
Kd×(1−T)×D%+Ke×P% = 11,20%×(1−35%)×60%+20,95%×40% = 12,7%
En la Tabla A8.2.4 se indican esos valores y el valor de la firma.
47

48
Tabla A8.2.4 Cálculo del CPPC FCL y de los valores de la firma
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
Deuda
Peso relativo de la deuda (D%) 60,00% 60,00% 60,00% 60,00%
Costo de la deuda después de
impuestos
7,28% 7,28% 7,28% 7,28%
Contribución de la deuda al
costo de capital
4,37% 4,37% 4,37% 4,37%
Patrimonio
Peso relativo del patrimonio
(P%)
40,00% 40,00% 40,00% 40,00%
Ke = Ku+(Ku–Kd)D%/P% 20,95% 20,95% 20,95% 20,95%
Contribución del patrimonio al
costo de capital
8,38% 8,38% 8,38% 8,38%
CPPC FCL 12,7% 12,7% 12,7% 12,7%
Valor en t 616.222,98 524.159,47 395.233,90 224.746,77
Para que los resultados de la tabla anterior sean válidos, debemos recalcular la
deuda basados en el endeudamiento constante (D%) de 60% 29 .
Tabla A8.2.5 Valores de la deuda
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Saldo de la deuda al final
del período (D)
369.733,79 314.495,68 237.140,34 134.848,06
Pago de capital (saldo
anterior-saldo actual)
55.238,11 77.355,34 102.292,28 134.848,06
Pagos de interés 41.410,18 35.223,52 26.559,72 15.102,98
Ahorros en impuestos
(AI), T×interés
14.493,56 12.328,23 9.295,90 5.286,04
Diferencia con el valor
inicial de la deuda -5.266,21 69.495,68 87.140,34 59.848,06
Observe que la deuda es el 60% del valor en cada año. En el año 0 la deuda es
369.733,79, o sea, 616.222,98×60%. Es decir, hay que reducir la deuda inicial en 5.266,21
y aumentarla en los demás años. Estos nuevos valores de la deuda y de los intereses deben
reflejarse en los estados financieros.
Basados en el concepto de conservación del valor podemos decir que el valor del
patrimonio se puede calcular como se muestra en la Tabla A8.2.6.
29 El ajuste el endeudamiento a un valor determinado puede hacerse ya sea variando la deuda o variando el patrimonio o
ambos. Aquí hemos optado por variar la deuda, ya que es en nuestra opinión más fácil y más familiar para el lector.

49
Tabla A8.2.6 Patrimonio calculado como valor total menos deuda
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3
Valor en t 616.222,98 524.159,47 395.233,90 224.746,77
Saldo de la deuda al final del
período (D)
369.733,79 314.495,68 237.140,34 134.848,06
Valor total–deuda 246.489,19 209.663,79 158.093,56 89.898,71
A8.2.2.1 Valor presente ajustado
El valor presente ajustado (VPA) (APV, Adjusted Present Value) consiste en
utilizar la ecuación básica de conservación de los flujos y descontar sus elementos a las
tasas correspondientes para encontrar el valor de la firma:
Valor de la firma = VPA = VP(FCL a Ku)+VP(AI a )
(A8.2.3)
Como en todo nuestro análisis hemos supuesto que la tasa de descuento del AI es
Ku, entonces la ecuación A8.2.3 queda modificada así:
Valor de la firma = VPA = VP(FCL a Ku)+VP(AI a Ku) (A8.2.4)
Cuando usamos el VPA para calcular el valor y hay endeudamiento constante (D%),
se nos presenta una circularidad. A continuación mostramos cómo se resuelve. Iniciamos
con el valor actual de la deuda, tal y como se indica en la Tabla A8.2.1.
Como vimos en la ecuación A8.2.3, a fin de utilizar el VPA para saber el valor
debemos calcular los pagos de interés y el AI. Esto ya se hizo en la Tabla A8.2.2.
Tabla A8.2.7 Valores temporales de la deuda, el interés y el AI
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Saldo de la deuda al
375,000.00 245,000.00 150,000.00 75,000.00
final del período (D)
Pago de capital (saldo
130,000.00 95,000.00 75,000.00 75,000.00
anterior–saldo actual)
Costo de la deuda (Kd) 11,20% 11,20% 11,20% 11,20%
Pagos de interés 42.000,00 27.440,00 16.800,00 8.400,00
Ahorro en impuestos
(AI)
14.700,00 9.604,00 5.880,00 2.940,00
Usamos estos valores para calcular el valor y obtenemos la Tabla A8.2.8
49

50
Tabla A8.2.8 Valores temporales con el VPA
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
AI 14.700,00 9.604,00 5.880,00 2.940,00
VPN ajustado (VPA)
VP(FCL a Ku) 585.217,47 502.965,42 383.167,59 220.154,24
VP(AI a Ku) 25.551,80 14.710,34 7.327,73 2.554,28
VPA = valor 610.769,26 517.675,76 390.495,32 222.708,52
D% 61,40% 47,33% 38,41% 33,68%
Como se puede observar, no se está cumpliendo con el endeudamiento constante e
igual a 60%. Como sabemos que la deuda es el valor multiplicado por el D% (60%),
entonces introducimos esa fórmula en la fila donde aparece la deuda (en la hoja de cálculo)
y se obtiene lo siguiente (véase Tabla A8.2.9):
Tabla A8.2.9 Valores finales de la deuda
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Saldo de la deuda al final
del período (D)
369.733,79 314.495,68 237.140,34 134.848,06
Pago de capital (saldo
anterior–saldo actual)
55.238,11 77.355,34 102.292,28 134.848,06
Pagos de interés 41.410,18 35.223,52 26.559,72 15.102,98
Ahorros en impuestos (AI) 14.493,56 12.328,23 9.295,90 5.286,04
Diferencia con el valor
inicial de la deuda -5.266,21 69.495,68 87.140,34 59.848,06
A su vez, la tabla donde hemos calculado el valor quedará así:
Tabla A8.2.10 Valores finales con el VPA
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
AI 14.493,56 12.328,23 9.295,90 5.286,04
CCF 185.118,56 208.078,23 230.170,90 258.685,49
VPN ajustado (VPA)
VP(FCL a Ku) 585.217,47 502.965,42 383.167,59 220.154,24
VP(AI a Ku) 31.005,52 21.194,06 12.066,31 4.592,53
VPA = valor 616.222,98 524.159,47 395.233,90 224.746,77
D% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00%
Observe que cuando se halla el valor de la deuda para que el D% sea de 60%, el
valor de la firma cambia. Esto significa que la deuda debe ser ajustada hacia arriba o hacia
abajo, para garantizar que el valor de D% se cumple. En este ejemplo sencillo la deuda ha
bajado desde 375.000,00 en el año 0 a 369.733,79; ha subido desde 245.000,00 en el año 1
a 314.495,68 en el año 2, y así sucesivamente. Es muy importante tener esto en cuenta

51
cuando se supone endeudamiento constante. El nivel de la deuda debe ser ajustado hacia
arriba o hacia abajo, contratando nueva deuda o pagando la existente para mantener el
endeudamiento en el nivel estipulado. Y esto debe reflejarse en todos los estados
financieros: estado de resultados (EdeR), flujo de tesorería (FT) y balance general (BG).
Vemos que los valores en cada año son idénticos a los calculados con el FCL y el
CPPC FCL .
A8.2.2.2 Flujo de caja de capital (FCC)
A continuación mostramos cómo es el cálculo del valor con el FCC y que este
método produce los mismos resultados que obtuvimos atrás. Como vimos en el cuerpo del
capítulo 8, cuando se supone que la tasa de descuento de los AI es Ku, entonces la tasa de
descuento para el FCC es Ku.
A diferencia de lo que se mostró en el cuerpo del capítulo, en este caso se nos
presenta circularidad al calcular el valor. Esto ocurre porque el FCC depende del FCD o del
AI (FCC = FCD+FCA = FCL+AI).
Para comenzar iniciamos el cálculo con la deuda actual. Ya vimos que de esa deuda
actual se obtiene un AI como se muestra a continuación.
Tabla A8.2.11 Valores iniciales de la deuda, los intereses y el AI
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Saldo de la deuda al final
del período (D) 375.000,00 245.000,00 150.000,00 75.000,00
Pago de capital (saldo
anterior–saldo actual) 130.000,00 95.000,00 75.000,00 75.000,00
Pagos de interés 42.000,00 27.440,00 16.800,00 8.400,00
Ahorros en impuestos (AI) 14.700,00 9.604,00 5.880,00 2.940,00
El FCC se puede calcular como FCD+FCA o como FCL+AI. Si consideramos que
el FCL está ‗dado‘, entonces el FCC es:
Tabla A8.2.12 Valores temporales del FCC
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
AI 14.700,00 9.604,00 5.880,00 2.940,00
CCF 185.325,00 205.354,00 226.755,00 256.339,45
Con estos valores calculamos los valores temporales para cada año:
51

52
Tabla A8.2.13 Valores temporales con el FCC
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCC 185.325,00 205.354,00 226.755,00 256.339,45
Ku 15,10% 15,10% 15,10% 15,10%
Valor 610.769,26 517.675,76 390.495,32 222.708,52 -
D% 61,40% 47,33% 38,41% 33,68%
Nuevamente, el endeudamiento, ni es constante, ni vale 60%. Hay que recordar,
como en los casos anteriores, que este valor es temporal y no es el correcto. Cuando
expresamos el valor de la deuda para cada año como D%×valor, en este caso, 60%,
encontramos que el valor de la deuda y de los flujos de caja finales son los siguientes:
Tabla A8.2.14 Deuda y flujos de caja finales: FCL, AI y FCC
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Saldo de la deuda al
final del período (D)
369.733,79 314.495,68 237.140,34 134.848,06
Pago de capital (saldo
anterior–saldo actual)
55.238,11 77.355,34 102.292,28 134.848,06
Pagos de interés 41.410,18 35.223,52 26.559,72 15.102,98
AI 14.493,56 12.328,23 9.295,90 5.286,04
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
CCF = FCL+AI 185.118,56 208.078,23 230.170,90 258.685,49
Por el otro lado, los valores calculados son:
Tabla A8.2.15 Valores finales con el FCC
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCC 185.118,56 208.078,23 230.170,90 258.685,49
Ku 15,10% 15,10% 15,10% 15,10%
Valor 616.222,98 524.159,47 395.233,90 224.746,77 -
D% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00%
Observe, una vez más, que los valores calculados para cada año son idénticos a los
calculados con los otros métodos.
A8.2.2.3 Flujo de caja del accionista (FCA)
Cuando se utiliza el FCA encontramos otra vez la circularidad. Ésta ocurre porque
dado el FCL, el FCA se calcula usando la relación de conservación de flujos ya conocida.
FCA = FCL+AI−FCD
(A8.2.5)

53
Debemos conocer el pago de la deuda, de los intereses y de los AI para calcular el
FCA, y para ello debemos conocer la deuda, pero ésta depende del valor. Como en los dos
casos anteriores, iniciamos el cálculo con la deuda inicial.
Tabla A8.2.16 Valores iniciales de la deuda, los intereses, los AI y el FCD
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
Saldo de la deuda al final
del período (D)
375.000,00 245.000,00 150.000,00 75.000,00
Pago de capital (saldo
anterior–saldo actual)
130.000,00 95.000,00 75.000,00 75.000,00
Pagos de interés 42.000,00 27.440,00 16.800,00 8.400,00
Ahorros en impuestos
(AI)
14.700,00 9.604,00 5.880,00 2.940,00
FCD 172.000,00 122.440,00 91.800,00 83.400,00
En la Tabla A8.2.17calculamos el FCA a partir del FCL, del FCD y del AI:
Tabla A8.2.17 FCA temporal
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL 170.625,00 195.750,00 220.875,00 253.399,45
AI 14.700,00 9.604,00 5.880,00 2.940,00
FCD 172.000,00 122.440,00 91.800,00 83.400,00
FCA 13.325,00 82.914,00 134.955,00 172.939,45
Con este FCA calculamos el valor temporal del patrimonio y de la firma:
Tabla A8.2.18 Valor temporal del patrimonio y de la firma
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCA= FCL+AI–FCD 13.325,00 82.914,00 134.955,00 172.939,45
Peso relativo de la
deuda (D%)
60,0% 60,0% 60,0% 60,0%
Peso relativo del
patrimonio (P%)
40,0% 40,0% 40,0% 40,0%
Ke 20,95% 20,95% 20,95% 20,95%
Valor de la deuda 375.000,00 245.000,00 150.000,00 75.000,00 -
Valor del patrimonio 224.767,06 258.535,67 229.790,53 142.981,67
Valor total 599.767,06 503.535,67 379.790,53 217.981,67 -
D% 62,52% 48,66% 39,50% 34,41%
Nuevamente se observa que el D% ni es constante, ni vale 60%. Ahora formulamos
la deuda como D% del valor total y se obtienen los siguientes flujos de caja.
Tabla A8.2.19 Valores finales de los flujos de caja y de los valores de patrimonio y
firma
53

54
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCA= FCL+AI-FCD 88.470,27 95.499,37 101.318,91 108.734,45
Peso relativo de la
deuda (D%)
60,0% 60,0% 60,0% 60,0%
Peso relativo del
patrimonio (P%)
40,0% 40,0% 40,0% 40,0%
Ke 20,95% 20,95% 20,95% 20,95%
Valor de la deuda 369.733,79 314.495,68 237.140,34 134.848,06 -
Valor del patrimonio 246.489,19 209.663,79 158.093,56 89.898,71
Valor total 616.222,98 524.159,47 395.233,90 224.746,77 -
D% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00%
Diferencia entre valor
inicial de la deuda y
valor final -5.266,21 69.495,68 87.140,34 59.848,06
Como se observa, debemos ajustar el valor de la deuda para que se pueda garantizar
un endeudamiento constante. Otra vez, nuestros resultados son idénticos a los obtenidos
con los demás métodos.
A8.2.3 Conclusiones
En este apéndice hemos mostrado cómo proceder para calcular el valor de la firma y
del patrimonio cuando estipulamos un endeudamiento constante. Hay que tener en cuenta
que para ser consistentes debemos ajustar la deuda hacia arriba o hacia abajo, contrayendo
nueva deuda o pagando parte de la existente de manera que el D% se mantenga en el nivel
deseado. Estos cambios deben reflejarse en los estados financieros. Para ilustrar esta
consistencia mostramos un ejemplo sencillo y aplicamos dos principios básicos:
conservación de los flujos de caja y conservación de los valores.
A lo largo de este apéndice se ha insistido en que los niveles de deuda deben
ajustarse para garantizar el endeudamiento deseado. Esto es muy fácil de hacer en una hoja
de cálculo y en una hoja de papel. Lo más importante es que estos ajustes de la deuda
ocurran en la realidad. Es posible que haya dificultades operativas en pagar deuda ya
adquirida o en contraer nueva deuda. Por ejemplo, puede no haber la liquidez adecuada
para pagar deuda o puede haber dificultades financieras para adquirir nueva deuda. En estos
casos el resultado es que el valor se afecta y no es el planeado. Por otro lado, todo esto
implica mantener en forma permanente y actualizada un modelo financiero que permita
conocer el valor de la firma con cierta frecuencia y tomar las decisiones sobre
endeudamiento en el momento adecuado.
Para terminar, el punto crítico en este problema es que quien ‗decide‘ qué prestar o
qué pagar es el modelo y no la gerencia. Al ocurrir esto puede suceder que no sea factible
ajustar la deuda a los niveles necesarios para mantener el endeudamiento constante.

55
Referencias bibliográficas
Tham, Joseph y Vélez Pareja, I. 2005. ―Modeling Cash Flows with Constant Leverage. A
Note‖, Social Science Research Network, disponible en:
http://ssrn.com/abstract=754444, 28 de junio.
Vélez Pareja, Ignacio y Tham, Joseph. 2005. ―Una nota sobre el cálculo del valor con
endeudamiento constante, en Modeling Cash Flows with Constant Leverage. A
Note, Social Science Research Network, disponible en:
http://ssrn.com/abstract=754464, 28 de junio.
55

56
Apéndice 8.3
A8.3.1 Riesgo sistemático y riesgo total
Debemos tener en cuenta dos factores: (1) que la mayoría de los inversionistas en
empresas que no se transan en bolsa pueden no estar diversificados. (2) Que unos métodos
capturan el riesgo total (sistemático y no sistemático o que se puede diversificar), mientras
otros capturan sólo el riesgo sistemático. Los métodos que incluyen el riego total son
aquellos que se basan en apreciaciones subjetivas del riesgo y aquellos que se basan en
datos históricos incluyen sólo el riesgo sistemático. En términos generales, podemos
considerar la siguiente relación:
El riesgo total está medido por la desviación estándar de los rendimientos y se
compone del riesgo no sistemático y del sistemático.
Riesgo total () = riesgo no sistemático+riesgo sistemático
= riesgo no sistemático+(prima de riesgo de mercado) (A8.3.1)
(Prima de riesgo de mercado) mide sólo el riesgo sistemático ( sólo está asociada
a ese riesgo sistemático) y es la desviación estándar de los rendimientos y mide el riesgo
total.
Debemos definir si en la valoración de las firmas que no se transan en bolsa los
flujos de caja con riesgo deben ser evaluados con el riesgo total o con el riesgo sistemático
incluido en la tasa de descuento.
Existen abundantes indicios sobre que las firmas que no se transan en bolsa (en
particular pequeñas empresas) tienen un riesgo adicional que debe ser considerado. Para
mencionar sólo un par de estudios citamos a McMahon y Stanger (1995) y Heaton (1998).
McMahon y Stanger (1995) dicen que la función objetivo desde el punto de vista
financiero de las pequeñas empresas debe ser redefinido teniendo en cuenta varias
dimensiones o variables: rentabilidad, riesgo, liquidez, diversificación, transferibilidad,
flexibilidad, control y responsabilidad (accountability). Ellos reconocen que cierta
rentabilidad puede ser pecuniaria y que otra parte de esa rentabilidad puede ser no
pecuniaria. En particular, los autores dicen sobre el riesgo no sistemático:
… there is need to comment on the nature of risk from the viewpoint of small
enterprise owner-manager. Contrary to precepts of existing financial thought,
there is good reason to believing both systematic and unsystematic risk are
important to owner-manager of small enterprises. […] The principal sources of
unsystematic or enterprise or specific risk, which appear to require attention,
and which should be made explicit in the financial objective function of a small
enterprise. McMahon y Stanger (1995, s. p 32.)
[…]
In summary, the available empirical evidence on the small firm effect suggests
that it exists and persists on stock exchanges around the world, and then this is
so for main boards and second boards. There is some evidence which is not
conclusive that the cause of small firm effect may be related to the limited
availability of information on listed small enterprises, and to a lack of
marketability of their shares. Hence, it is argued that ignorance and illiquidity

57
confront investors in small enterprises with greater unique or unsystematic risk,
and that they therefore expect to receive higher returns than would be predicted
from the CAPM which prices only systematic risk. It is probable that the
existence of transaction costs which bear more heavily on small enterprises, and
which CAPM assumes away, also plays a part in accounting for the small firm
effect. McMahon y Stanger (1995, s. p 32.)
Por otro lado, Heaton dice:
An appraiser must also consider the impact on required return of smallness itself
beyond the systematic risk captured by beta. In a study on the effect of size on
required return, Banz [1981] found that returns for small companies were
substantially higher, even after the adjustments for bet risk had been made. In
one test, Banz created portfolios identical beta risk, and found “the average
excess return from holding very small firms long and very large firms short is,
on average, 1.52% per month or 19.8% on an annualized basis. Heaton, 1998,
p. 14
[…]
Because of the extraordinary difficulty of estimating the cost of capital of small
illiquid businesses, venture capital companies which specializes in buying and
selling small illiquid businesses, will often use a discount rate of 20-50% for the
cost of equity capital. (Heaton 1998, s. p 16.)
En la misma línea de pensamiento:
Bekaert (1995) distingue […] barreras que surgen de los riesgos específicos de
los mercados emergentes (EMSRs por sus siglas en inglés) que desincentivan a la
inversión extranjera y conducen a una segmentación de hecho 30 . EMSRs incluyen
el riesgo de liquidez, riesgo político 31 , riesgo de política económica, y, quizás,
riesgo cambiario. 32 Al contrario de lo que algunos puedan pensar, estos riesgos
no son diversificables. Por lo tanto, hacen parte del riesgo total. Bekaert y
Harvey (2003) anotan que “[…] las encuestas del Banco Mundial sobre los
inversionistas institucionales en los países desarrollados indican que los
problemas de liquidez que se encuentran en los países en desarrollo fueron
percibidos como un impedimento importante para invertir en mercados
emergentes. Más aún, encontraron que el riesgo político era pagado por el
mercado de valores de los países emergentes”.Vélez-Pareja 2003, p.13-14
En resumen, hay indicios de que las empresas no transadas en bolsa (pymes),
incluso empresas transadas en bolsa de los mercados emergentes, tienen riesgos que no se
pueden diversificar y que deben ser incluidos en las mediciones del riesgo total.
A8.3.2 Ejercicios
1. La empresa tiene acceso a ciertos recursos para financiar su operación. Esas son
todas las alternativas de las que dispone la firma para llegar a $90 millones que
30 De acuerdo con Bekaert y Harvey (2003), ―un país segmentado (integrado) es un país que establece (exime de)
impuestos para la inversión que llega o sale del ese país.‖
31 El riesgo político se puede medir como la diferencia (spread) entre el rendimiento de los bonos en dólares de los
mercados emergentes y el rendimiento de los bonos en dólares de los mercados desarrollados.
32 Bekaert y Harvey (2003).
57

58
requiere para operar. Su tasa de oportunidad es de 40% anual y la tasa de impuestos
es de 35% sobre la renta gravable 33 . Determine:
El costo de cada una de las fuentes de financiación definidas a continuación.
El costo de los fondos propios.
El costo de la deuda y la cuasi deuda.
El costo promedio del capital de la firma basándose en los siguientes datos indicados
para cada alternativa:
a. Crédito de cartera ordinaria con las siguientes condiciones:
• Plazo: dos años.
• Tasa de interés: 34% nominal anual TA.
• Comisión: 1,5% por una sola vez al desembolso del crédito.
• Amortización: uniforme y semestral.
• Reciprocidad: debe mantener el 20% del valor del crédito durante los 6
meses anteriores a la operación a una tasa de 26% nominal anual TV.
Además, deberá mantener un CDT por el mismo plazo de la operación por
un monto igual al 10% del monto solicitado y se le reconocen intereses al
26% nominal anual TV.
• Monto máximo: $20 millones.
b. Créditos de un fondo de garantía del sistema financiero:
• Plazo: 5 años.
• Período de gracia: 2 años con cero amortización, pero se pagan los intereses
pactados.
• Tasa de interés: 35% nominal anual TA.
• Comisión: 1,5% por una sola vez al desembolso del crédito.
• Amortización: uniforme y semestral.
• Monto máximo: $25 millones.
c. Leasing:
• Plazo: 2 años.
• Factor para calcular la cuota: 0,06831 (cuota igual a monto por factor). La
cuota se debe pagar anticipada.
• Valor residual: 10% del monto que se paga al final del mes 24. Este valor
residual es el valor por el cual la firma puede adquirir el activo una vez
terminado el contrato de leasing.
• Monto máximo: $35 millones.
d. Patrimonio:
• Dividendos: $3,255 anual por acción.
• Valor nominal (en libros) de la acción: $32,5.
• Precio de la acción en el mercado hoy: $45.
• Comportamiento de los dividendos: crecen al 10% anual.
33
Este ejercicio fue propuesto por el profesor Diego Fernando Hernández, hoy en la Universidad Nacional de
Colombia

59
• Monto máximo: $40 millones.
2. Se tienen dos alternativas de préstamo, A y B, con los siguientes flujos de caja.
¿Cuál de las dos deberá ser escogida como la mejor? No considere las conveniencias o
inconveniencias de liquidez. No haga cálculos, explique cómo se haría el análisis.
Año A ($) B ($)
0 1.000 1.000
1 -310 0
2 -1.310 -1.690
Tasa de impuesto sobre la renta: 40%
Costo del patrimonio sin deuda: 38%
3. Si la rentabilidad esperada de una acción es 24% y se sabe que la beta de esa acción
es 1,5, si la rentabilidad del mercado es 19% y si el CAPM funciona, entonces la
tasa libre de riesgo es 5%. ¿Cierto o falso? Explique su respuesta.
4. Si la tasa de rentabilidad de una acción en el mercado es de 18% anual y se ha
calculado la beta de esta acción como 1,5, si la rentabilidad del mercado es 13% y si
el modelo CAPM funciona, ¿cuál es la tasa libre de riesgo? Explique su resultado.
a) 6%.
b) 12%.
c) 5%.
d) 4,5%.
e) 3%.
f) Ninguna de las anteriores.
5. ¿Qué condiciones o supuestos hay implícitos en la fórmula del costo promedio
ponderado de capital: CPPC FCL t = Kd t (1–T)D% t−1 +Ke t P% t−1 . Defina el significado
de cada una de las variables de la fórmula e indique las opciones correctas.
a) D% y P% son el costo del dinero de la deuda y del patrimonio.
b) Impuestos se pagan en el mismo período en que se causan.
c) Siempre se pagan impuestos.
d) La UO o UAII (EBIT) es menor que los intereses.
e) La UO o UAII (EBIT) es mayor o igual que los intereses.
f) D% y P% se calculan con valores de mercado.
g) D% y P% se calculan con valores de mercado y son los correspondientes al año
anterior al año en que se calcula el CPPC.
h) D% y P% se calculan del balance.
i) El valor de mercado es el valor presente de los flujos de caja libre a la tasa del
CPPC.
j) D% y P% se calculan basándose en los valores de mercado del año anterior al año
para el cual se calcula el CPPC.
k) La única fuente de ahorros en impuestos es el interés pagado.
l) D% y P% indican la estructura de capital.
m) Ninguna de las anteriores.
n) Todas las anteriores.
59

60
6. Usted tiene esta información:
Actor Flujo de caja del actor Tasa de descuento
Accionistas FCA=
Tenedores de deuda FCD =
Firma FCL = Es el costo promedio de capital
(CPPC FCL ) = D%Kd t (1–T)+P%Ke t
Por favor:
• Llene los espacios vacíos. ¿Qué supuesto implícito hay en esta definición del
CPPC FCL ?
• Si conoce el FCL, defina el FCA basándose en lo encontrado en la tabla.
7. Usted está en un mundo donde los supuestos de Modigliani y Miller se cumplen. Si
usted conoce la tasa de impuestos, el FCA y el FCD y sus componentes,
• ¿Cómo calcula el FCL?
• ¿Con cuál tasa de descuento calcularía usted el valor de la firma?
8. Si con el CAPM usted calcula el costo del patrimonio (Ke) para una empresa,
• ¿Cómo calcularía el costo del patrimonio sin deuda (Ku)?
• Usted está en un mundo donde los supuestos de Modigliani y Miller se
cumplen. Si usted conoce el FCA y el FCD, pero no conoce la tasa de
impuestos y puede calcular el Ku usando el CAPM,. ¿Cómo calcula el valor
total de la firma? ¿Se presentará el problema de circularidad? ¿Por qué sí o
por qué no?
9. Comente lo que aparece en la parte del artículo que se transcribe a continuación. El
comentario a favor o en contra deberá ser sustentado en forma apropiada. No es
válido responder algo así como ―me parece muy bien, porque el CPPC es muy
importante‖ o cosas parecidas. Si necesita un traductor, entre a la página del curso a
la opción Idiomas.
Traditional Calculation of WACC
The WACC is fundamental to multiyear project evaluations because it
incorporates the time value of money into the analysis.
Use of the WACC as the appropriate discount factor depends on several
assumptions.
First, the WACC is calculated using the organization's current or
anticipated capital structure as the weighting factor. The capital structure
comprises the proportion of capital from each class of assets--bank notes,
long-term debt, stockholders' equity or net assets, preferred stock, and so
forth--to be leveraged to finance the project.
Second, the annual cash flows for any project are discounted by the
WACC. This is appropriate even when a project uses only one source of
capital (debt, for example) because the organization’s target capital structure
cannot be maintained unless subsequent projects use capital from other
classes.
Third, it is assumed that excess receipts and expenditures that may occur
during the project's life can be invested or financed, respectively, at the rate of
the WACC.

61
The WACC is calculated by adding the products of each component’s
proportion or percentage of capital (w1) and its corresponding after-tax cost
(k1). Thus,
(1) WACC = w1k1+w2k2+w3k3+ ...
Next, costs must be determined for each capital source, or each class of
debt or equity. The after-tax cost of debt is determined by reducing the
prevailing rate on new debt by the tax rate. Determining the cost of equity is
more challenging. The most common approach to determining the cost of
equity, the capital asset pricing model (CAPM), uses the market risk of the
organization, indicated by β, “β” (the no diversifiable risk to the owners) to
project the expected return on the organization’s funds “R”. (d) This return
should compensate the organization for that market risk above the returns that
could be expected from risk-free investments “Rrf” (eg, U.S. Treasury notes)
and investments in a cross-section of publicly traded firms in the market
“Rm”. The calculation may be stated as: the return to organization equals the
risk-free rate of return plus the measure of the market risk of the organization
multiplied by the difference between the market rate of return and the risk-free
rate of return, or
(2) R = Rrf+β(Rm–Rrf)
The β term (the β of the healthcare organization) is estimated regularly
and published by analysts, and both the market and risk-free returns are
readily available. (Holmes y Schroeder, 2000, pp. 48-53)
10. ¿Cree usted que el costo de capital de los accionistas es más alto que el costo de la
deuda? Explique su respuesta.
11. Explique en sus propias palabras cuál es la relación existente entre las tres
siguientes ecuaciones:
a) Activo = pasivo+patrimonio
b) FCC = FCA+FCD
c) CPPC FCC = Ke×P%+Kd×D%
12. ¿Por qué ocurre circularidad cuando calculo el valor total de la firma con el
CPPC FCL ?
13. Un profesor europeo dice en una de las diapositivas que usa en su curso de
valoración y evaluación de proyectos, antes de iniciar un ejemplo de valoración: ―El
valor de mercado del patrimonio es $1.073 y el valor de la deuda es $800‖. Use esta
información para calcular el CPPC FCL . Con el CPPC FCL y el Ke calculados
descuente los flujos de caja.
Deuda 800 Kd 10% Tx 50%
Ke 13,625% Valor de patrimonio 1.073,00 CPPC 9,9411%
Asimismo, tiene estos datos relacionados con los flujos:
a) ¿Tiene sentido hacer la valoración teniendo en cuenta lo que dice en el primer
párrafo? No es necesario que usted haga el cálculo del valor. Opine y justifique.
61

62
b) Verifique el cálculo que hace para el CPPC FCL , es decir, muestre las operaciones
que se deben hacer para llegar al resultado y verifique.
c) Calcule el valor de la deuda de cada año. Explique cómo lo hace.
d) Si el profesor europeo usa el CPPC FCL y el Ke calculado arriba para descontar
los flujos de caja, ¿qué supuesto hace sobre el endeudamiento D%? ¿Es correcto
hacer este supuesto? ¿Por qué sí o por qué no?
14. ¿Con qué tasas de descuento se deben descontar los siguientes flujos de caja?
Flujo de caja Tasa de descuento Para calcular valor de
FCD
Deuda
FCA
Patrimonio
FCL
Valor de la firma
FCC
Valor de la firma
Referencias bibliográficas
Bekaert, Geert y Campbell R. Harvey, 2003, Emerging Markets Finance, Journal of
Empirical Finance 10 (2003) 3–55.
Godfrey, S. y Espinosa, R. 1996, ―A Practical Approach to Calculating Costs of Equity for
Investment in Emerging Markets‖, Journal of Applied Corporate Finance, Fall, pp.
80-89.
Heaton, Hal B. 1998. ―Valuing Small Business. The Cost of Capital‖, The Appraisal
Journal, vol. 66, No. 1, January, pp. 11-16.
Holmes, Richard L. y Schroeder, Rick E. 2000. ―Objective Risk Adjustment Improves
Calculated ROI for Capital Projects‖, Healthcare Financial Management,
diciembre, pp. 48-52.
McMahon, Richard G. P. y Stanger, Anthony M. J. 1995. ―Understanding the Small
Enterprise Financial Objective Function‖, Entrepreneurship Theory and Practice,
Summer, pp. 21-39.
Vélez Pareja, Ignacio. 2003. ―Costo de capital para empresas no transadas en bolsa‖
[Spanish version of ―Cost of Capital for Non-Traded Firms‖), Social Science
Research Network, 20 de octubre, disponible en: http://ssrn.com/abstract=391620.

9
Cálculo del valor terminal y de la firma
Mafalda: ¿Qué es ese recorte de diario, Manolito?
Manolito: La cotización del mercado de valores.
Mafalda: ¿De valores morales? ¿Espirituales?
¿Artísticos? ¿Humanos?
Manolito: No, no; de los que sirven.
Quino
Hay sólo dos cosas infinitas, el universo y la estupidez
humana, pero no estoy seguro de la primera.
Albert Einstein
9.1 Diferentes resultados con diferentes datos
¿Qué se debe considerar el valor de la empresa? Es claro que se trata de valorar la
firma, porque alguien estaría, eventualmente, interesado en comprarla o porque el que toma
las decisiones desea saber si éstas crean o destruyen valor. De este modo, quien va a
comprar adquiere los derechos sobre los flujos futuros que va a recibir, y en este caso se
supone que compra la firma con pasivos o, lo que es lo mismo, compra basándose en el
flujo de caja del accionista (FCA). En caso de que el comprador adquiera la firma sin sus
pasivos, comprará basándose en el flujo de caja de capital (FCC). Se trata, entonces, de
determinar cuál es ese valor o precio que el comprador asigna hoy a esos flujos futuros, y
eso es el valor presente.
Se debe tener cuidado al elegir las cifras que se utilizan para determinar el valor
comercial de una empresa. Podría pensarse en utilizar desde la utilidad neta del estado de
resultados (EdeR) hasta el FCA. Aquí se analiza la conveniencia e inconveniencia de cada
opción. Los resultados de una firma hipotética (tomado de nuestro ejemplo de los capítulos
5 y 6) son los siguientes.
Ejemplo 1
Tomamos algunos datos de nuestro ejemplo trabajado en los capítulos anteriores.
Renglón Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad neta ($) -120,3 993,9 3.699,1 5.944,7 3.426,1
Saldo neto de tesorería 14.491,4 14.975,5 17.158,7 -38.882,2 21.461,3
FCC del proyecto ($= 10.427,6 9.867,9 9.852,2 -18.360,6 21.372,5
FCA ($) 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3
Como se trata de reconocer el valor del dinero en el tiempo (valor presente), los
datos correspondientes a la utilidad neta deben descartarse, porque, como ya se dijo, allí se
1

incluyen cifras que no constituyen un movimiento de dinero (causación, asignación de
costos como la depreciación, etc.).
Aunque, como también se mencionó, el flujo de tesorería (FT) refleja movimientos
reales de dinero, incluidos préstamos (ingresos y egresos), intereses y pagos de utilidades y
dividendos, por lo tanto, si se incluyen todos esos elementos al utilizar el saldo neto de
tesorería, se subvaloraría el valor de la empresa. Además, como se dijo en el capítulo 7, los
flujos que nos interesan no son los saldos que quedan al restar ingresos y gastos, sino lo que
se le entrega a los dueños del capital.
Por último, hay que distinguir entre el FCA y el FCL, porque el primero está
asociado con el patrimonio, y el segundo, al total de los activos (o sea, a la firma). El FCA
es adecuado para calcular el valor de mercado del patrimonio; mientras el FCL, lo es para
valorar la firma como un todo.
9.1.1 El Flujo de caja libre (FCL)
El flujo de caja de capital (FCC), de la empresa, no coincide, ni con las utilidades
netas, por lo ya mencionado, ni con el FT, porque allí se incluyen unos elementos que no
deben aparecer en el FCC, que ya se estudiaron. Para el propósito de calcular el valor de la
empresa puede ser utilizado el FCC, pero debe tenerse en cuenta que este flujo responde
por todos los costos asociados al proyecto o empresa y que equivale, como ya se mencionó,
a comprar sin pasivos.
En este caso, para calcular el valor de la firma se debe estimar el valor presente del
FCC a la tasa del costo promedio del capital. Luego, para calcular el valor del patrimonio, a
aquel valor se le resta el valor de la deuda financiera en el instante cero. El valor presente
neto (VPN) se calcula restando del valor de mercado de la firma la inversión inicial o, lo
que es lo mismo, al valor del patrimonio se le resta el aporte inicial de los accionistas.
9.1.2 El flujo de caja del accionista (FCA)
El FCA es otra forma de calcular el valor del patrimonio de los accionistas. ¿Por
qué? Porque el comprador de la empresa está interesado en los ingresos que aspira a recibir
en el futuro. Y, ¿qué es el FCA? Pues simplemente, como ya se dijo, lo que reciben los
dueños durante la vida de la firma o proyecto. Éste es un punto de referencia para
determinar el valor por el cual debe venderse la empresa.
En todos los casos se acostumbra a añadir una prima de venta. Esta prima de venta
puede asociarse al reconocimiento de los esfuerzos y el tiempo incurridos para crear la
firma (costo en que no incurriría el comprador). Así mismo, ese valor permitiría establecer
un margen de negociación entre las partes.
9.2 Otras consideraciones 1
Las cifras que se obtendrían basándose en lo anterior no siempre reflejan todo el
valor de la empresa. Hay consideraciones intangibles adicionales a lo que usualmente se
propone, que conviene tener en cuenta y que se enumeran a continuación:
1 Este acápite está basado en Vélez (1981).
2

Mercados. ¿Posee la empresa una participación alta o baja del mercado? La
participación muy alta puede implicar escaso crecimiento. ¿Es baja la participación? Si es
así, se puede crecer fácilmente. Pero si se ha perdido mercado, la situación es diferente: la
experiencia indica que es mucho más fácil conquistar nuevos mercados que recuperar uno
perdido. ¿El mercado en que se mueve la firma es disciplinado o no? ¿Hay competencia
leal o desleal?
Finanzas. ¿Tiene la empresa una ‘historia’ en el mercado financiero? Las entidades
financieras toman muy en cuenta el comportamiento en el manejo del crédito de la firma.
Es muy posible que en el momento de solicitar un crédito, éste se le niegue a cualquier
empresa que nunca antes los ha solicitado. La política de autofinanciarse o de obtener
fondos en créditos de accionistas paternalistas puede ser más barata y cómoda en términos
de plazos y flexibilidad, pero a la larga resulta costosa por esta razón.
Personal. ¿El personal administrativo y operativo es idóneo? En caso de que no lo
sea, ¿es factible su renovación? Este personal no idóneo, ¿tiene mucha o poca antigüedad?
Muchas veces la antigüedad en los cargos ha impedido una sana rotación y movilidad, que
obliga, en últimas, a la empresa a permanecer con personas inadecuadas en oficios clave.
Recursos materiales. ¿Es el equipo obsoleto? ¿A cuántos años se está de las últimas
innovaciones? ¿De los equipos de la competencia? ¿Tiene el equipo buen servicio local de
mantenimiento, repuestos, etc.? Un equipo inadecuado puede llevar a la empresa a salirse
del mercado por altos costos y baja producción, que originan precios no competitivos, o por
no poseer capacidad para atender la demanda.
Tecnología. ¿El sector tiene un desarrollo tecnológico rápido o lento? ¿Se prevén
cambios fundamentales de la tecnología en el futuro inmediato? Para este aspecto, es válida
la observación referente a los recursos materiales.
Pasivos contingentes y ocultos. ¿Tiene la empresa problemas fiscales de años
pasados? ¿Los últimos años están claramente definidos con la División de Impuestos
Nacionales? ¿Las reclamaciones tributarias tienen posibilidades de ser ganadas o perdidas?
¿Recientemente ha habido despidos o retiros de personal que puedan dar lugar a futuros
conflictos legales? Este tipo de problemas, además de los costos en dinero que representan,
tienen la desventaja de costos adicionales en términos de tiempo y energía de diferentes
miembros de la organización.
Proveedores. ¿Hay facilidades de importación de materias primas? ¿Son los
proveedores monopolios? ¿Ha habido buenas relaciones con ellos? En caso contrario,
podrían bloquear económicamente a la empresa, si así lo desearan.
Precios. ¿Hay control de precios? ¿Hay libertad vigilada? ¿Son fácilmente
negociables? ¿Existen pactos dentro del sector para mantener precios iguales? ¿Son
respetados estos pactos? Este aspecto va ligado a todos los anteriores, en la medida en que
los costos sean altos y no se puedan compensar con unos precios adecuados.
Socios. ¿Se va a comprar parte o la totalidad de la empresa? Si la compra es parcial,
¿hay problemas entre los socios? Se dan casos en que los esfuerzos deben dedicarse a
resolver estos problemas y no a hacer rentable a la empresa.
Actividad. ¿El objeto del negocio es sujeto de connotaciones éticas o legales que lo
hagan vulnerable en el futuro? ¿Los bienes o servicios son aceptados por la comunidad?
¿Existen riesgos reales o potenciales de contaminación ambiental? ¿Hay o ha habido
problemas en relación con los derechos humanos (trabajo infantil, etc.)? ¿Las prácticas
laborales y comerciales son o han sido equitativas y justas?
3

Comprador. Al comprador le interesa la empresa como un negocio estrictamente
comercial, o hay otros valores para ese potencial comprador. El valor de una empresa puede
ser uno para un cierto tipo de compradores y otro muy diferente –más allá de las
proyecciones o las tasas de descuento– para otro tipo de comprador.
Por último, la pregunta que puede resolver todo: ¿por qué venden la firma? Estas
observaciones no son exhaustivas, pero la experiencia indica que cuando no se analizan
estos temas previamente, se pueden convertir en fuente de problemas muy graves
posteriores, que por lo general no aparecen cuantificados en los cálculos corrientes.
Además, responder estas preguntas puede conducir a cuantificar mejor o, por lo menos,
ajustar los cálculos a su verdadera dimensión.
9.3 Gerencia financiera basada en el valor
Como vimos en el capítulo 8, las firmas que no cotizan en bolsa son la inmensa
mayoría en todo el mundo. Las herramientas que se estudian para calcular el valor de una
firma (o de un proyecto) están diseñadas para empresas que no cotizan en bolsa, que son la
inmensa mayoría en el mundo (cerca del 99% o más). Como el mercado no define el valor
(por no ser transadas), se debe definir basándose en las proyecciones de los flujos futuros.
Este ejercicio de mantener actualizadas las proyecciones y el cálculo del valor de la firma
equivale al proceso diario (instantáneo quizá) de valoración que hace día a día el mercado
con las firmas transadas en bolsa.
Incluso, las empresas que cotizan en bolsa hacen bien en mantener este modelo al
día, al igual que las no cotizadas en bolsa, no sólo para analizar con anticipación sus
decisiones, sino desde el supuesto de tener un modelo que refleje bien la realidad y de
comparar el valor que le asigna el mercado y el valor a partir del modelo. Con esto la
administración de la firma puede tomar cierto tipo de decisiones, como sacar al mercado
acciones que tenga en su poder para aprovechar coyunturas en las cuales la acción pueda
estar sobrevalorada.
El mensaje aquí es muy claro: la mayoría de las empresas deben mantener un
modelo que permita medir el valor y, por lo tanto, que le permita medir el efecto de futuras
decisiones sobre el valor de la firma. Una pregunta que surge inmediatamente es con qué
frecuencia se debe actualizar el modelo.
No se puede establecer una regla general, pero la frecuencia de actualización la
puede dar la frecuencia con que los indicadores externos o macroeconómicos se actualizan
o varían. Este modelo (que presentamos en este capítulo) debería ajustarse y actualizarse la
mayor cantidad de veces posible, dependiendo de cómo cambian los indicadores o
parámetros. Por ejemplo, la inflación, de la cual contamos con información mensual; la
devaluación y riesgo de mercado en forma diaria, o la tasa promedio de captación de las
entidades financieras (DTF), de la cual obtenemos información semanal. Otras se
actualizan trimestralmente como el producto interno bruto (PIB), el desempleo, las
expectativas de los empresarios, etc.
Entonces se puede pensar que la frecuencia de actualización estaría entre un día y un
trimestre. En realidad, con la disponibilidad de computadores baratos en casi todas las
empresas y la disponibilidad de información en internet (véanse cualquiera de los enlaces
en información útil en http://www.poligran.edu.co/decisiones) esto es factible y debería
4

redundar en un mejor proceso de decisión. Y todo ello es accesible a pequeñas y medianas
empresas, con costos razonables.
El ejercicio de valoración de la firma y la planeación implícita que hay en éste no
debe hacerse sólo cuando se quiere vender o comprar una empresa. Debemos mantener
actualizado el modelo y utilizarlo como herramienta de gerencia financiera. Un modelo de
este tipo permite responder preguntas como ¿qué efecto va a tener en el valor de la firma la
decisión de cambiar un parámetro o una política? Cualquier análisis que ayude a la toma de
decisiones gerenciales debe hacerse hacia el futuro y no hacia atrás.
Una vez proyectados los estados financieros, como lo hicimos en el capítulo 6, éstos
se convierten en herramientas fundamentales para la toma de decisiones por parte de la
gerencia. Desde instrumentos de planeación, control y seguimiento hasta herramientas para
evaluación de alternativas de inversión y para la valoración de empresas.
Basándonos en el análisis de sensibilidad que vamos a estudiar en el capítulo 12,
podemos evaluar el efecto de las decisiones futuras sobre indicadores financieros
tradicionales, como las razones financieras y otros. Lo más importante es examinar qué
sucede con el valor de la firma. Hecha la valoración se puede examinar el efecto de cada
decisión en ese valor. Y esto es la esencia de un gerente.
9.4 El valor terminal
Debemos distinguir entre un proyecto como parte de un negocio total y un proyecto
autónomo que en realidad puede ser considerado una firma. Más aún, aunque sea un
proyecto autónomo (por ejemplo, una firma), debemos distinguir qué sucede al final del
período de proyección de los datos para la evaluación. Hay dos situaciones:
• Cuando al final del período de estudio la firma o proyecto se liquida, y en este caso se
dice que existe un valor de liquidación o de salvamento. Este valor puede ser positivo o
negativo (al final de un proyecto, por ejemplo, se puede necesitar demoler unas
instalaciones y recuperar la situación original del sitio; por lo tanto, el valor de
salvamento puede llegar a ser negativo).
• Se puede considerar que al final del período de estudio se tiene una empresa en marcha
que sigue produciendo. En este último caso podemos hacer la siguiente consideración:
si a usted le proponen considerar la riqueza que produce su empresa en el futuro, pero
sólo durante cinco años, su reacción natural sería la de pensar que la firma la creó para
que durara toda la vida. Contar la riqueza que se produce durante los primeros cinco
años sería despreciar posiblemente la mayor capacidad de generación de valor (cuando
la firma se ha consolidado).
En el capítulo 7 definimos los flujos de caja para los períodos proyectados. Sin
embargo, una firma se crea para que dure toda la vida. ¿Qué pasa después del último
período de proyección?, pues la firma sigue generando valor y eso hay que medirlo. Se
mide con el valor terminal (VT), que es el valor presente de todos los flujos que ocurrirán
más allá del último año de proyección explícita. Se especifica con detalle su cálculo porque,
dependiendo del período de proyección, el VT puede ser una fracción muy alta del valor
total de la firma. Hay casos en que puede pasar del 75%. Para calcularlo hay que estimar la
tasa de descuento y la del crecimiento de los flujos de caja.
Una forma aproximada de calcular este valor presente es suponer que se continuará
recibiendo un flujo de caja hasta el infinito. Así, su valor presente puede calcularse de
5

acuerdo con lo estudiado en el capítulo 2 (véase allí costo capitalizado). No es ésta una
tarea fácil: hay que estimar el monto de los flujos de caja permanentes durante el resto de la
vida del proyecto (o firma), calcular o proyectar lo que podrá ser la tasa de descuento hacia
el futuro en forma indefinida y la tasa de crecimiento de esos ingresos hacia el futuro.
Para calcular el valor terminal se deben hacer algunas suposiciones que simplifiquen
el análisis. La idea básica detrás del cálculo del VT es una perpetuidad, tal y como lo
estudiamos en el capítulo 2. Una de las simplificaciones que se hacen es considerar que a
partir del período N+1 ocurrirá una perpetuidad. Esta perpetuidad puede ser con
crecimiento o sin éste. En realidad, el cálculo del VT es un ejercicio muy riesgoso, ya que
requiere hacer unos supuestos muy fuertes y se utiliza una herramienta muy simple para su
cálculo. Sin embargo, la experiencia indica que este VT es muchas veces lo que define si un
proyecto es bueno o no. Algunos (entre ellos el autor) han observado que ese VT puede
responder por más de la mitad del valor presente del flujo de un proyecto.
Para el cálculo de perpetuidades tenemos dos casos: con crecimiento y sin éste. Para
perpetuidades constantes la expresión es:
C
P =
i
(9.1)
Donde P es el valor presente de la perpetuidad; C, la suma uniforme a perpetuidad, e
i, la tasa de descuento.
Para perpetuidades crecientes la expresión es:
C
P =
i - g
(9.2)
Donde P es el valor presente de la perpetuidad; C, la suma uniforme a perpetuidad;
i, la tasa de descuento, y g, la tasa de crecimiento.
• Suponiendo que la firma se ha estabilizado y su flujo de caja no crece (g = 0). El
VT es el valor proyectado del flujo de caja al siguiente período (F n+1 ) dividido
entre la tasa de descuento (i)
VT
=
FC
i
n+
1
(9.3)
• Suponiendo que la empresa crece y entonces su flujo de caja se aumenta por una
cantidad constante g: 2 el VT es el valor proyectado del flujo de caja al siguiente
período (F n+1 ) dividido entre la diferencia entre la tasa de descuento (i) y la tasa
de aumento (g) de ese flujo hacia el futuro.
2 El crecimiento se puede prever por etapas con diferentes tasas de crecimiento. En este caso habrá que hacer los ajustes
correspondientes y esta fórmula no aplicará.
6

VT
=
FC
n+1
i − g
(9.4)
Esto supone que la empresa seguirá produciendo este flujo de caja hacia el futuro
por tiempo ilimitado y que, además, seguirá creciendo en forma constante.
En ambos casos la tasa de interés es la tasa de descuento adecuada, esto es, el costo
promedio ponderado de capital (CPPC) o tasa de descuento de la firma. Más adelante
haremos algunas precisiones y refinamientos a estas ideas básicas para el cálculo del VT.
La fijación del valor de salvamento es un problema complejo (se trata de calcular lo
que valdrán los activos o la firma en marcha al final de n años) y se puede manejar con
algún ingenio. Si sólo se trata de aceptar o rechazar un proyecto, puede evaluarse sin valor
de salvamento y obviar el cálculo así: si el VPN no es negativo (cero o mayor que cero), es
innecesario calcularlo, porque al incluir el valor de salvamento sería más positivo aún. Si el
VPN es negativo, se puede calcular cuál debería ser el valor de salvamento necesario para
que el VPN fuera cero y, a partir de ese valor, hacer un mejor cálculo o descartar el valor
obtenido por imposible. En este último caso el proyecto se rechazaría.
Si se trata de valorar una firma, sí es necesario calcular apropiadamente el VT.
9.5 Cuál flujo de caja incluir en el cálculo
Hemos trabajado con el FCC, pero para estimar el VT utilizaremos el FCL y no el
FCC 3 . El FCL lo asimilaremos a la utilidad operativa después de impuestos (UODI o net
operating profit less adjusted taxes [NOPLAT, en inglés]). La UODI, debe recordarse,
tiene el gasto de depreciación incluido. Así mismo, por ser una medida contable, tiene
implícitos ciertos registros contables basados en la causación.
La idea de utilizar la UODI como flujo de caja, que tiene incluida la depreciación
como un gasto, es suponer que al considerar la depreciación como un flujo de caja, es un
gasto que permite mantener el nivel de activos, lo que a su vez garantizaría un flujo de caja
libre constante.
Imaginemos que se tiene una sala de microcomputadores para alquiler. Si la
ocupación es total, el dueño tendría que mantener todos los equipos en perfecto
funcionamiento (cambia un mouse, un teclado, un disco duro, etc.). Este proceso de cambio
de partes y de mantenimiento adicional se puede asimilar a invertir los fondos generados
por la depreciación. En todo caso, este gasto lo único que podría garantizar es un FCL
constante, sin crecimiento. Si en la utilidad operativa (UO) se registrara un gasto de
mantenimiento y reposición de partes dañadas igual o superior a la depreciación, el FCL
sería el calculado por los métodos ya conocidos del capítulo 7. No sería necesario
asimilarlo a la UODI 4 .
Cuando se parte de la UODI como una estimación del FCL, se hacen ciertos
supuestos, como:
1. El monto de la depreciación se reinvierte en activos productivos para
mantener la capacidad productiva al mismo nivel.
3 Se puede demostrar que el VT del FCC es (FCL×[1+g]+Kd×D% perp ×VT×T)/(Ku−g) y es idéntico al obtenido con el
FCL. El inconveniente de usar el FCC radica en que se genera una circularidad o, si se desea, al despejar VT de la anterior
fórmula se llega precisamente a la expresión que se usaría para el FCL.
4 Con esto se supone que el modelo de depreciación refleja bien el desgaste y deterioro de los activos productivos.
7

2. No hay cuentas por pagar, ni por cobrar.
3. La totalidad de los fondos disponibles se distribuye a los dueños del capital
(deuda y patrimonio).
4. No hay reinversión de excedentes de liquidez.
5. No hay fondos en caja y bancos.
6. Se mantiene la política de inventarios.
7. Se gana la totalidad de los ahorros en impuestos (AI) y se gana en el mismo
período en que se causa el interés, lo que implica el pago de los impuestos
en el mismo período.
8. Se liquidan los activos y pasivos corrientes con excepción de los inventarios,
en el período N.
Para hacer el cálculo del VT necesitamos un CPPC a perpetuidad constante. Esto
tiene ciertas implicaciones:
1. Inflación constante.
2. Tasa de impuestos constante y se ganan los ahorros en impuestos a
perpetuidad.
3. Endeudamiento constante.
Cuando se calcula el valor terminal se supone que existe lo que se conoce como estado
estable. Esto implica que los márgenes y rentabilidad de la firma permanecen constantes y que la
tasa de crecimiento es constante. La tasa de crecimiento y los márgenes deben calcularse en
función de la inflación que se supone regirá durante la perpetuidad.
La tasa de crecimiento g debe reflejar el estado estable. Es decir, que permanecerá
constante durante todo el resto de la vida de la firma. Hay que tener cuidado con este estimativo
porque en ningún caso deberá ser mayor que el crecimiento a precios corrientes de la economía.
Si g fuera mayor que ese crecimiento tendríamos el absurdo de en algún período tener la
empresa más grande que la economía misma. Debe estar en función de la inflación que regirá en
la perpetuidad.
Si suponemos que el flujo de caja libre del último año proyectado, FCL N , no
contiene una inversión en activos fijos, debemos incluir la reinversión del gasto de
depreciación (para mantener el flujo de caja constante) más una inversión extra (que
permite que el flujo de caja crezca y se mantenga creciendo a perpetuidad y que depende de
los activos invertidos).
Cuando se calcula el valor terminal y no consideramos crecimiento, debemos
garantizar que los flujos de caja permanezcan, al menos, constantes, lo cual implica que
debemos hacer algún tipo de inversión para que ello suceda. Para hacerlo utilizamos la
UODI como flujo de caja libre como ya se dijo.
Es decir que el flujo de caja libre que utilizaremos es
FCL N − Depreciación N = UODI N (9.5)
Por el otro lado, si creemos que habrá crecimiento g, entonces debemos garantizar
que ocurra ese crecimiento. Este crecimiento no se logra reinvirtiendo sólo la depreciación.
Debemos hacer una inversión adicional a perpetuidad. Esta inversión es una fracción h del
flujo de caja libre que hemos asimilado a la UODI. Se puede demostrar (Ver Tham y Vélez
Pareja, 2004) que la fracción que se debe invertir para garantizar un crecimiento g es
g
h = (9.6)
ROIC
8

donde h es la fracción de UODI que debe invertirse, g es la tasa de crecimiento de UODI
(del flujo de caja libre) y ROIC es el rendimiento esperado sobre el capital invertido por sus
siglas en inglés (return on invested capital).
Esto significa que nuestro flujo de caja deberá ser ajustado por
1-
h = 1−
g
ROIC
(9.7)
Es decir
⎞
⎜
g
UODI −
N × 1 ⎟
⎝ ROIC ⎠
(9.8)
En el capítulo 2 estudiamos que el valor presente de una perpetuidad creciente es
VP
perp
⎛ + ⎞
= ∑ ∞ 1 g
FC
N ⎜ ⎟
j N+
1⎝1+
TD ⎠
j
= FC
⎛ 1+
g
⎜
⎝ TD −
N
= g
⎞
⎟
⎠
(9.9a)
Donde FC es el flujo de caja, TD es la tasa de descuento y g es la tasa nominal de
crecimiento. Esta es una serie que puede ser condensada en una fórmula simple que
estudiamos en el capítulo 2 y su apéndice.
1+
g
VPperp
= FC
N
(9.9b)
TD − g
Si reemplazamos nuestro FC por el FCL ajustado del año N, tenemos que el VT se
calcula utilizando la siguiente expresión (Ver Tham y Vélez Pareja, 2004 y Copeland et al.
2000):
⎛ g ⎞
UODI
N
( 1 + g)
⎜1
− ⎟
ROIC
VT =
⎝ ⎠
(9.10a)
FCL
CPPC − g
Donde VT es valor terminal, UODI es UO después de impuestos, g es la tasa de
crecimiento, ROIC es el rendimiento sobre el capital invertido (UODI/capital invertido a
comienzo del año) y CPPC FCL es el costo promedio de capital a perpetuidad.
Cuando hacemos ROIC = CPPC FCL esta expresión se reduce a
VT
UODI
( 1+
g)
N
=
FCL
(9.10b)
CPPC
Por otro lado, el CPPC FCL a perpetuidad puede ser calculado como
CPPC FCL =
Ku − T × D% × Kd
(9.11)
Donde CPPC FCL es el costo promedio ponderado de capital nominal a perpetuidad;
Ku, el costo del patrimonio sin deuda a perpetuidad; D%, el endeudamiento a perpetuidad;
T, la tasa de impuestos; Kd, el costo de la deuda, y g, el crecimiento a perpetuidad (véase
Vélez Pareja, 2006).
9

En el ejemplo CIGE.xls, que hemos venido trabajando, tenemos la siguiente
información que se muestra en la Tabla 9.1.
Tabla 9.1 Datos para el cálculo del VT
Datos Año 6
Endeudamiento constante a perpetuidad (D% perp ) 85,0%
Inflación año 6 en adelante 2,01%
T 35%
Crecimiento real (g real ) 4,00%
Tasa real de interés 3,00%
Prima de riesgo para la deuda 6,00%
Ku r 9.10%
A continuación calculamos algunos valores a partir de la tabla anterior:
Tabla 9.2 Cálculo del CPPC y del VT
Datos Año 5 Año 6
Crecimiento g nominal del año 6 en adelante 6,08762%
Kd = (1+inflación)×(1+tasa real de interés)+prima de riesgo de la deuda 11,07%
Costo del patrimonio sin deuda real, Ku r 9,10%
Ku para N+1 y siguientes = (1+inflación)(1+Ku r )−1 11,29%
CPPC FCL = Ku − T × D% × Kd
8,00%
UODI 6.158,0
UODI
N
( 1+
g)
VT =
FCL
CPPC
81.687,00
El cálculo del VT lo hacemos usando la ecuación 9.10b:
UODI
N
× ( 1+
g)
VT =
FCL
CPPC
6.158,0 × ( 1+
6,08762% )
VT =
= 81.687,00
8,00%
Al considerar la UODI como flujo de caja hacia el futuro, estamos suponiendo que
no existen los efectos de causación debido a cuentas por cobrar y por pagar. Además, no se
mantienen excedentes de liquidez, ni en caja, ni en inversiones temporales. Por otro lado, la
UODI implica una política de inventarios que se mantiene a perpetuidad. En consecuencia,
se liquidan algunos activos corrientes tal y como se indica en las siguientes tablas.
10

Tabla 9.3 Activos corrientes tomados del balance general
Datos Año 5
Caja y bancos 140,0
C×C 3.244,3
Inversiones temporales 78,7
C×P -2.949,4
Descontamos las cuentas por pagar y por cobrar y hallamos el valor de los activos
corrientes para ajustar el valor terminal.
Tabla 9.4 Liquidación de activos corrientes
Datos Año 5
Caja y bancos 140,00
C×C (descontadas con el CPPC FCL ) 5 3.004,04
Inversiones temporales 78,74
C×P (descontadas con el CPPC FCL ) -2.730,96
Liquidación de activos corrientes 491,83
Con este valor hacemos el ajuste al valor terminal que se usará en la valoración.
Tabla 9.5 Ajuste del valor terminal
Datos Año 5
Liquidación de activos corrientes 491,83
UODI
N
( 1+
g)
VT =
FCL
CPPC
81.687,00
VT ajustado = VT+liquidación de activos corrientes 82.178,83
Los valores de cuentas por cobrar y por pagar se esperan recibir o pagar al año
siguiente, por lo tanto, su valor en el último año será el valor previsto para el año N+1
descontado por el CPPC FCL .
Obsérvese lo siguiente: el efectivo de caja se puede recuperar inmediatamente,
mientras que las C×C y las C×P se recuperan y pagan al año siguiente, o sea, N+1 (en
nuestro ejemplo en el año 6). Por lo tanto, las descontamos a la tasa de descuento a
perpetuidad, CPPC FCL .
En el ejemplo, para las C×C tenemos un valor de 3.244,3 (véase la Tabla 9.2 con las
cifras del balance general) y cuando descontamos esa suma al CPPC FCL , 8,00%, obtenemos
3.004,04 (3.244,3/1,0800). Lo mismo hacemos con las C×P. El excedente de liquidez se
recupera con su rendimiento en el año 6, pero suponemos que a partir del año 6 y hasta el
infinito cualquier reinversión se hace al mismo CPPC FCL (a esto equivale suponer
repartición de todos los fondos disponibles), y cuando calculamos ese rendimiento y lo
descontamos a la misma tasa, obtenemos el valor que aparece en el balance general.
5 Se descuentan al CPPC FCL , porque esos valores se reciben o pagan en el año 6. Esto aplica también a las cuentas por
pagar.
11

Lo anterior nos lleva a ajustar los flujos de caja calculados en el capítulo 7 de la
siguiente manera:
Tabla 9.6 Cálculo del FCC con valor terminal
Datos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCD -33.233,10 10.427,59 9.867,90 9.156,48 -20.949,92 17.211,22
FCA -15.000,00 0,00 0,00 695,75 2.589,35 4.161,30
FCC -48.233,10 10.427,59 9.867,90 9.852,22 -18.360,56 21.372,53
VT ajustado 82.178,83
FCC = FCD+FCA+VT -48.233,10 10.427,59 9.867,90 9.852,22 -18.360,56 103.551,35
Ahora necesitamos definir la tasa apropiada para descontar el FCC y así determinar su valor
en el año 0.
9.6 Costo de los fondos de los accionistas
Aunque este tema se discutió en el capítulo 8, recordemos las ideas básicas para
calcular el costo del dinero. Una manera de calcular el costo de los fondos aportados por los
accionistas es usando el capital asset pricing model (CAPM):
Ke = R
f
+ β(R
m
− R
f
)
(9.12)
Donde Ke es el rendimiento esperado de la acción; βj mide la pendiente de esa línea
recta y se llama beta o coeficiente beta de la acción j; R m es el rendimiento del portafolio de
mercado m, y R f es el rendimiento de los bonos libres de riesgo (por ejemplo, los bonos
TES, en el caso de Colombia, emitidos por el gobierno, se pueden considerar libres de
riesgo).
Como la mayoría de las firmas en un país con un mercado bursátil reducido no se
encuentran registradas en la bolsa de valores o si lo están, sus acciones no se transan con
frecuencia, es difícil encontrar su beta. Sin embargo, se puede aproximar a la del sector al
cual pertenezca o a la empresa más parecida, haciendo ajustes al coeficiente beta según los
índices de endeudamiento. Este enfoque permite hacer un cálculo del costo de los fondos de
los accionistas, aún para firmas no inscritas en la bolsa de valores (véase Vélez Pareja,
2003a).
La Superintendencia Financiera de Colombia
(http://www.superfinanciera.gov.co/Economicos/indica.htm) hace los cálculos de las betas
y están disponibles al público. También se puede llegar a ese sitio por
http://www.poligran.edu.co/decisiones, en la opción Información útil.
9.7 El cálculo del costo del patrimonio sin deuda (Ku)
Las diferencias en la naturaleza de la deuda y el patrimonio hacen que el riesgo que
asume el patrimonio sea mayor que el que asume la deuda. A medida que haya más deuda,
hay más riesgo para el patrimonio y se espera que la rentabilidad que esperan los dueños de
este patrimonio sea mayor. Por lo tanto, el costo del patrimonio será el menor cuando el
endeudamiento es cero. En este caso el costo del capital del patrimonio se conoce como el
12

costo del patrimonio sin deuda (Ku). Se puede calcular Ku con el modelo CAPM
presentado en la ecuación 9.12, con el coeficiente beta sin deuda. Podemos ‘desendeudar’
el coeficiente beta de la acción de una firma endeudada utilizando el procedimiento
indicado en el capítulo 8. Entonces el coeficiente beta sin deuda es:
β
Sin deuda t
=
β
⎡ D
⎢1
+
⎢⎣
P
empresa en bolsa t
empresa en bolsa (t-1)
empresa en bolsa(t-1)
⎤
⎥
⎥⎦
(9.13)
Donde β empresa en bolsa t es el coeficiente beta de una empresa transada en bolsa en el
período t; D empresa en bolsa (t−1) y P empresa en bolsa (t−1) son los valores de mercado de la deuda y del
patrimonio de la empresa que se transa en bolsa en el período anterior al que se desea
calcular. El valor de mercado del patrimonio se calcula como el número de acciones en el
mercado multiplicado por el precio de la acción.
Este coeficiente beta sin deuda se puede calcular con la información que se
encuentra en la Superintendencia Financiera, para el caso de Colombia. Este cálculo debe
hacerse para varias empresas del mismo sector y calcular el promedio del resultado como
un estimador del valor Ku. Sin embargo, también es posible hallar información apropiada
para calcular estos coeficientes betas en la página del profesor Damodaran
(http://pages.stern.nyu.edu/~adamodar/). Allí se encuentra muy buen material sobre el
tema.
Una vez que se conoce este coeficiente β sin deuda , podemos estimar Ku, usando el
CAPM similar a la fórmula 9.10, como:
Ku = R f +β sin deuda (R m −R f ) (9.14)
El cálculo de Ku se hace hacia el futuro. Esto tiene dos implicaciones importantes:
(1) en rigor se deberían pronosticar los valores de R f y R m . (2) Se debería analizar si los
coeficientes beta se mantendrán constantes o no. Como vimos en el capítulo 8, Ku es
equivalente al CPPC de la firma:
CPPC FCC = KdD%+KeP% = Ku (9.15)
Donde CPPC es el costo promedio de capital; Kd, el costo de la deuda; D%,
endeudamiento calculado sobre el valor de mercado de la firma; Ke, el costo del capital de
los accionistas, y P%, el porcentaje de participación del patrimonio en el total de la firma.
Como ya conocemos Ku, no se requiere calcular el ponderado.
En la página del profesor Damodaran, mencionada en el capítulo 8, se encuentra
información sobre betas y otros parámetros de sectores de economías emergentes y de
algunas empresas. En el caso de Colombia, ofrece la información que se presenta en la
Tabla 9.7. Esta información procede de la Superintendencia Financiera de Colombia y tiene
la ventaja de estar procesada. La columna de beta desapalancada no aparece en forma
directa y fue calculada por el autor a partir de la ecuación 9.11.
13

Tabla 9.7 Betas de mercado y desapalancadas
Nombre Sector Beta
Valor deuda/valor
patrimonio (D/P)
Beta
desapalancada
Cemento Argos S. A.
Productos para
construcción 0,98 17,84% 0,828210786
Cementos del Valle
Productos para
construcción N. D. 4,01%
Cementos Caribe S. A.
Productos para
construcción 1,04 20,29% 0,862076913
Cementos Paz del Río
Productos para
construcción 1,34 0,00% 1,339959887
Cementos Rioclaro S. A.
Productos para
construcción N. D. 0,00%
Bavaria S. A. Cerveza 0,81 120,93% 0,368435778
Banco de Bogotá Bancos 0,81 55,99% 0,519271701
Banco Ganadero S. A. Bancos N. D. 118,92%
Banco de Occidente S. A. Bancos 0,40 64,02% 0,242656562
Banco Popular S. A. Bancos N. D. N. A.
Bancolombia S. A. Bancos 1,11 71,04% 0,64604506
Corp. Fin. Nacional y
Suramericana Bancos 1,42 333,43% 0,327155721
Valores Bavaria S. A. Inversiones diversas 1,70 224,20% 0,524362222
Interconexión Eléctrica S. A. Transmisión eléctrica 0,51 195,19% 0,171755837
Grupo Aval Acciones y Valores Finanzas otros servicios 0,38 118,10% 0,172854831
Inversiones Nacional de Chocolates Alimentos confitería 0,89 11,88% 0,793706522
Inversiones Alimenticias Noel S.
A. Alimentos-misceláneos 0,58 3,87% 0,562237593
Carulla Vivero S. A. Alimentos-detal 0,58 58,80% 0,365878274
Cía. Colombiana de Inversiones Cías. de inversión 1,47 16,66% 1,260083031
Suramericana de Inversiones Cías. de inversión 1,27 190,96% 0,436834192
Cartón de Colombia S. A. Papel y afines N. D. 11,52%
Promigas S. A. Gasoductos N. D. 28,59%
Almacenes Éxito S. A. Detal-hipermercados 0,73 21,50% 0,598330721
Pavco S. A. Tuberías N. D. 1,80%
Cía. Colombiana de Tabaco S. A. Tabaco 0,81 9,33% 0,737246784
N. D.: no disponible.
Supongamos, como se dijo en la descripción del ejemplo, que nuestra empresa
ficticia se ubica en el sector de alimentos (todos sin incluir bebidas, en particular Bavaria).
En ese caso tomaríamos el promedio de las empresas de ese sector, como se muestra en la
Tabla 9.8, donde se aumentó el número de decimales para que se pueda verificar.
Tabla 9.8 Betas de mercado y desapalancadas del sector alimentos
Nombre Sector Beta D/P Beta desapalancada 6
Inversiones Nacional de Chocolates Alimentos confitería 0,8880 0,1188 0,7937065
Inversiones Alimenticias Noel S. A. Alimentos-misceláneos 0,5840 0,0387 0,5622376
Carulla Vivero S. A. Alimentos-detal 0,5810 0,5880 0,3658783
Promedio 0,573940796
En nuestro ejemplo tenemos:
6 Cálculos del autor.
14

Tabla 9.9 Datos para cálculo de Ku
Inflación año 0 5,01%
PRM Estados Unidos 10,64%
Inflación Estados Unidos año 0 1,98%
Riesgo país (Rp) 1,17%
PRM 10,95185%
Rf 7,11020%
Entonces con esto y el modelo CAPM calcularíamos el costo del capital
desapalancado (Ku), si suponemos que el riesgo de mercado 7 en Estados Unidos es igual a
10,64%, que la inflación en ese país es de 1,98%, que la inflación en Colombia es 5,01%,
que el cambio en el precio del dólar es 2% y la tasa libre de riesgo es igual a 7,11%.
Debemos convertir la PRM en dólares a pesos. Es decir, debemos deflactarla con la
inflación de Estados Unidos, ajustarla por el cambio de precio de la divisa y ajustarla hacia
arriba con la inflación en Colombia así:
PRM
nacional
PRMS&P500(1+
ifdom)
= (9.16)
(1+
i )
fUS
Donde PRM nacional es la prima de riesgo del mercado nacional; PRM S&P500 , la prima
de riesgo del mercado de Estados Unidos, basada en los datos de S&P 500; i fdom , la tasa de
inflación local, e i fUS , la inflación en Estados Unidos.
En el ejemplo CIGE.xls tenemos que la inflación local es 5,01%, que la PRM S&P500
es 10,64%, que la i fUS es 1,98%. Entonces la PRM nacional es:
PRM nacional = (10,64% ×1,0501)/1,0198 = 10,95185%
Entonces para calcular el Ku inicial debemos tener en cuenta lo que se conoce como
riesgo país (RP), es decir, la diferencia entre la rentabilidad de los bonos de Estados Unidos
y la rentabilidad de los bonos en dólares de Colombia, que se conocen también como bonos
soberanos, y que para este ejemplo se supone igual a 1,17%. Este RP se introduce en el
cálculo de Ku así:
Ku = R f +βu(R m −R f )+RP (9.17)
Ku = 7,11%+0,5739×10,95185%+1,17% = 14,566%
En el ejemplo se supuso que la inflación al inicio del proyecto era de 5,01%. Con
estos datos calculamos el Ku real como 1,14566/1,0501−1, lo cual arroja un valor de 9,1%.
7 Debido a imperfecciones del mercado la PRM en Colombia es típicamente negativa. Por eso se parte de la PRM en
Estados Unidos y se ajusta como se explica inmediatamente.
15

9.8 Valoración de la firma y el proyecto
Hemos calculado Ku como 14,566% en el año cero. Deflactamos este Ku con la
inflación que le corresponde y suponemos que ese Ku real o deflactado permanece
constante. Esta hipótesis es razonable, puesto que Ku está asociado a los activos
productivos o al negocio en sí y se supone que el tipo de negocio no cambia. Si la inflación
de los años posteriores difiere de la inflación del año cero, entonces los Ku nominales van a
cambiar. Para determinar el valor de Ku para cada año inflamos el Ku constante (real) con
la inflación prevista para cada año, usando la relación de Fisher. Esto se ilustra en la Tabla
9.10.
Tabla 9.10 Cálculo de Ku
Datos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Costo de oportunidad del
accionista sin deuda Ku real 9,10% 9,10% 9,10% 9,10% 9,10% 9,10%
Inflación 5,00% 6,0% 5,5% 5,5% 5,0% 4,5%
Ku nominal (con inflación) 14,56% 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
Por ejemplo, el Ku del año 4 se calcula con la inflación del año 4, así:
Ku 4 = (1+0,05)×(1+0,091)−1 = 0,1456 = 14,56%
Observe que Ku varía de período a período debido a que la inflación proyectada
cambia. Ahora podemos descontar el FCC de los años 1 a 5. Sin embargo, debemos tener
en cuenta que las tasas no son constantes y, por lo tanto, ni las fórmulas tradicionales de
matemáticas financieras ni las funciones financieras de Excel servirán.
Tabla 9.11 Cálculo del valor con el FCC 8
Datos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCC = FCD+FCA+VT 10.427,59 9.867,90 9.852,22 -18.360,56 103.551,35
CPPC FCC = Ku 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
Valor total 64.150,07 63.759,40 63.519,49 63.259,04 90.826,95
¿Cómo se hace esta operación? Ilustremos el procedimiento para el descuento de los
años 5 y 4 a los años 4 y 3, usando lo que aprendimos en el capítulo 4. Es decir:
FC
t+
1
+ VPt
+ 1
VPt
=
1+
Tasa de descuento
t+
1
(9.18)
El valor de mercado en el año 4 es el valor presente del flujo del año 5 más el del
valor que exista en el año 5. Es decir:
8 En este punto usted deberá estar escéptico sobre lo adecuado de hacer una valoración de flujos de caja con el FCC y el
Ku. Si es así, nos alegramos porque usted está estudiando de manera crítica este texto. Para que esté seguro de la
equivalencia entre este método y el tradicional que usted conoce sobre la forma de calcular el valor (usando el flujo de
caja libre FCL y el CPPC FCL tradicional) le sugerimos la lectura del Apéndice 9.1 de este capítulo.
16

FCC
5
+ Valor de mercado5
Valor de mercado4
=
1+
Ku
5
103.551,35 + 0
Valor de mercado4 =
= 90.827,0
1+
14,01%
El valor en el año 3 se calcula de manera similar:
−18.360,56
+ 90.827,0
Valor de mercado3 =
= 63.259,0
1+
14,56%
Y así sucesivamente.
Podemos ahora calcular el VPN para el año 0. Es lo mismo que restar al valor
presente de los flujos futuros la inversión inicial (Tabla 9.12).
Tabla 9.12 Cálculo del VPN de la firma (proyecto)
Datos Año 0
Valor de mercado 64.150,07
Inversión inicial -48.233,10
VPN 15.916,97
El VPN positivo indica que el proyecto (en este ejemplo una firma) es viable y se
recomendaría su ejecución.
Para evaluar qué tan bueno es este proyecto o firma para el accionista debemos tener
presente que el FCC descontado es el valor de mercado de la firma. Al restarle el valor de
la deuda inicial, obtenemos el valor de mercado del patrimonio. A este valor del patrimonio
le restamos la inversión inicial del accionista.
En este caso:
Tabla 9.13 Cálculo del VPN del accionista
Datos Año 0
Valor de mercado 64.150,07
Deuda 33.233,10
Valor de mercado del patrimonio 30.916,97
Inversión del accionista -15.000,00
VPN del accionista 15.916,97
Obviamente, el VPN del proyecto y el del inversionista son idénticos, como era de
esperarse, porque el valor de mercado de la deuda y el valor en libros los hemos supuesto
iguales. Con este valor podemos decidir si el proyecto es aceptable o no. En este caso el
proyecto es aceptable, porque el VPN es mayor que cero.
Referencias bibliográficas
Copeland, Thomas E.; Koller, T., y Murrin, J. 2000. Valuation. Measuring and Managing
the Value of Companies, 3 ed., John Wiley & Sons, s. l.
Miller, M. H. y Modigliani, F. 1961. “Dividend Policy, Growth and the Valuation of
Shares”, The Journal of Business, vol. 34, No. 4, pp. 411-433.
17

Modigliani, Franco y Miller Merton H. 1963. “Corporate Income Taxes and the Cost of
Capital. A Correction”, The American Economic Review, vol. LIII, pp. 433-443.
—. 1959. “The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment.
Reply”, The American Economic Review, vol. XLIX, pp. 524-527.
—. 1958. “The Cost of Capital, Corporation Taxes and the Theory of Investment”, The
American Economic Review, vol. XLVIII, pp. 261-297.
Ruback, Richard S. 2000. “Capital Cash Flows. A Simple Approach to Valuing Risky Cash
Flows”, Social Science Research Network.
Sapag, Nassir. 2001. Evaluación de proyectos de inversión en la firma, Prentice Hall,
Buenos Aires.
Tham Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation. An
Integrated Market Based Approach, Academic Press, s. l.
Vélez Pareja, Ignacio. 1981. “A propósito de la valoración de empresas’’, Actualidad
Gerencial, año 2, No. 7, junio [También como “Consideraciones para la valoración
de empresas’’, Carta de Gerencia, No. 426, julio 19, 1983, p. 8).
—. 2004a. Decisiones de inversión, enfocado a la valoración de empresas, 4ª ed., CEJA,
Bogotá, disponible en: http://www.poligran.edu.co/decisiones.
—. 2004b. “Proper Determination of the Growth Rate for Growing Perpetuities. The
Growth Rate for the Terminal Value”, working paper, Social Science Research
Network, enero.
— y Burbano, Antonio. 2005. “Consistency in Valuation A. Practical Guide”, working
paper, Social Science Research Network.
Vélez-Pareja, Ignacio, 2006, "A New Approach to WACC, Value of Tax Savings and Value
for Growing and Non Growing Perpetuities: A Clarification" .
http://ssrn.com/abstract=873686
18

Apéndice 9.1
A9.1.1 Las tasas de descuento que se van a utilizar
En el caso del costo promedio del capital para el flujo de caja de capital (CPPC FCC )
es necesario hacer una aclaración importante: como hemos notado en el cálculo de las
tablas del cuerpo del capítulo 9, las condiciones o supuestos para usar la formulación
tradicional del CPPC FCL con el factor (1−T) no se cumplen. En particular, los ahorros en
impuestos (AI) no se ganan en su totalidad y hay recuperación de ellos en años posteriores.
Esto nos obliga a utilizar la versión del CPPC FCL siguiente y que presentamos en el capítulo
8:
CPPC
FCL
t
AI
t
= Ku
t
− (A9.1.1)
Vt-1
Donde Ku t es el costo del patrimonio sin deuda; V t−1, el valor de la firma al
comienzo del período de análisis, y AI t , el ahorro en impuestos del período t. Esta versión
del CPPC FCL genera circularidad, pero vamos a ilustrar la manera de resolverla.
Recordemos que la circularidad consiste en que el CPPC FCL depende del valor de la firma
(observe la presencia de V en la fórmula) y el valor de la firma es el valor presente de los
flujos de caja descontado al CPPC FCL .
Para descontar el flujo de caja del accionista (FCA) se utiliza el costo del patrimonio
(Ke) y se utiliza la expresión presentada en el capítulo 8, a saber:
Ke t = Ku t +(Ku t −Kd t )D t−1 /P t−1
(A9.1.2)
Donde Ke t es el costo del patrimonio; Ku t , el costo del patrimonio sin deuda; Kd t , el
costo de la deuda; D t−1 , el valor de mercado de la deuda al final del año anterior, y P t−1 , el
valor de mercado del patrimonio del año anterior.
A9.1.2 Cálculo del valor con circularidad
Ante todo retomemos los valores del flujo de caja libre (FCL) y del AI, calculados
en el capítulo 7. Allí mismo aprendimos la relación básica entre los flujos de caja: podemos
calcular el FCL, lo cual hacemos en la Tabla A9.1.1:
Tabla A9.1.1 Cálculo del FCL y del FCC
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCD -33.233,10 10.427,59 9.867,90 9.156,48 -20.949,92 17.211,22
FCA -15.000,00 0,00 0,00 695,75 2.589,35 4.161,30
AI 0,00 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
FCL = FCD+FCA−AI -48.233,10 8.963,91 8.648,70 8.955,90 -18.943,66 19.901,50
Siguiendo las instrucciones presentadas en el capítulo 8 para resolver la
circularidad, podemos iniciar el cálculo con la fila donde aparece el CPPC FCL en blanco.
19

Utilizaremos la expresión general del CPPC, dado que en nuestro caso no se cumplen las
condiciones del caso muy especial donde se puede utilizar la expresión tradicional CPPC FCL
= KdD%(1−T)+KeP%.
Tabla A9.1.2 Cálculo temporal del valor con el FCL con CPPC FCL = 0%
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ku 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
AI 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
FCL 8.963,91 8.648,70 8.955,90 -18.943,66 19.901,50
VT 82.178,83
FCL+VT 8.963,91 8.648,70 8.955,90 -18.943,66 102.080,33
CPPC FCL t = Ku−AI t /V t−1
Valor V 109.705,18 100.741,26 92.092,56 83.136,67 102.080,33
En este cálculo utilizamos el mismo procedimiento que se presentó en el cuerpo del
capítulo para calcular el valor con el FCC, es decir, descontamos el FCL y el valor que se
halló en cada año por la tasa de descuento (esto se hace para manejar tasas variables).
Obviamente, el lector entenderá que este no es el valor correcto, porque ha sido
calculado con un CPPC FCL igual a cero. Enseguida procedemos a construir la fila donde
aparece el CPPC FCL . Cuando copiamos la fórmula para el CPPC FCL para los años 1 a 5, en
forma automática encontramos el valor de los flujos.
Tabla A9.1.3 Cálculo del valor con el FCL
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ku 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
AI 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
FCL 8.963,91 8.648,70 8.955,90 -18.943,66 102.080,33
CPPC FCL t = Ku−AI t /V t−1 13,36% 13,19% 13,69% 13,63% 12,39%
Valor V 64.150,07 63.759,40 63.519,49 63.259,04 90.826,95
Obsérvese que el valor calculado con el FCL es idéntico al valor que se calculó con
el flujo de caja de capital (FCC) en el cuerpo del capítulo.
A este valor también se puede llegar calculando el valor presente del FCA a la tasa
Ke y sumarle el valor de la deuda. Antes de entrar a calcular los valores descontados, es
necesario aclarar una idea respecto del valor terminal del FCA.
Las relaciones de valor y de flujos, relaciones de equilibrio, se deben cumplir en
todos los períodos. Un período especial es el último de la proyección (período N), el cual en
nuestro ejemplo es 5. Hemos calculado el valor Terminal (VT) de FCL, es decir, el de los
activos, de manera que se debe cumplir con la siguiente relación de equilibrio:
VT del FCL = Deuda+VT del FCA
(A9.1.3)
Pero sabemos que la deuda en N no es cero. De los estados financieros se puede
determinar que el saldo de la deuda es 23.615,03. Por lo tanto, de la ecuación A9.1.3
podemos calcular el valor terminal del FCA así:
VT del FCA = VT del FCL−deuda
(A9.1.4)
20

VT del FCA = 75.101,9−23.615,03 = 51.486,89
De este modo, el FCA con VT será:
Tabla A9.1.4 FCA con VT
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCA sin VT -15.000,0 0,00 0,00 695,75 2.589,35 4.161,30
VT para FCA 58.563,79
FCA 0,00 0,00 695,75 2.589,35 62.725,09
El cálculo del VT a partir del FCA es algo más complejo, por una razón simple: en
general, cuando hay deuda y, en particular, cuando el D% es diferente al D% N , la tasa de
crecimiento del FCA no es la misma que la estimada para el FCL. Sólo cuando no hay
deuda se puede usar la tasa de crecimiento del FCL. Es más fácil calcularlo por diferencia.
Sin embargo, los interesados en conocer la formulación de la tasa de crecimiento cuando
hay deuda pueden consultar Vélez Pareja y Burbano (2003). Esta tasa es una función del
FCL, la deuda y la tasa de crecimiento del FCL.
A continuación se muestra el resultado después de haber resuelto el problema de la
circularidad. Debe ser claro para el lector que al calcular el valor presente del FCA se
obtiene el valor de mercado del patrimonio. Como se estudió en el capítulo 5, la expresión
para el Ke es la indicada arriba como A9.1.2.
Ke t = Ku t +(Ku t −Kd t )D t−1 /P t−1
Iniciamos el cálculo con la fila donde aparece el Ke en blanco.
Tabla A9.1.5 Cálculo temporal del valor con el FCA con Ke igual a 0
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Deuda 33.233,10 27.107,79 20.602,97 14.007,42 36.623,33 23.615,03
Gastos financieros 4.302,3 3.363,1 2.560,9 1.666,0 4.202,9
Kd = gastos financieros/deuda 12,95% 12,41% 12,43% 11,89% 11,48%
FCA 0,00 0,00 695,75 2.589,35 62.725,09
Ke t = Ku t +(Ku−Kd t )D t−1 /P t−1
Valor del patrimonio 66.010,19 66.010,19 66.010,19 65.314,45 62.725,10
Valor total = Vr patrimonio+deuda 99.243,30 93.117,98 86.613,16 79.321,86 99.348,43
El lector debe ser consciente de que éste no es el valor correcto, puesto que no se
espera que Ke sea cero. Hecho esto, introducimos la expresión para Ke y se obtienen los
valores de Ke y del patrimonio. Al sumar la deuda, se tiene el valor de la firma:
21

Tabla A9.1.6 Cálculo final del valor con el FCA con Ke igual a su verdadero valor
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Deuda 33.233,10 27.107,79 20.602,97 14.007,42 36.623,33 23.615,03
Gastos financieros 4.302,3 3.363,1 2.560,9 1.666,0 4.202,9
Kd = gastos financieros/deuda 12,95% 12,41% 12,43% 11,89% 11,48%
FCA 0,00 0,00 695,75 2.589,35 62.725,09
Ke t = Ku t +(Ku−Kd t )D t−1 /P t−1 18.55% 17.09% 16.38% 15.31% 15.72%
Valor del patrimonio 30,916.97 36,651.62 42,916.53 49,251.62 54,203.62
Valor total = Vr
patrimonio+deuda 64,150.07 63,759.40 63,519.49 63,259.04 90,826.95
Como nuevamente se puede observar, el valor calculado de esta manera es idéntico
a todos los anteriores y al calculado con el FCC. Observe también que el valor de mercado
de patrimonio es el obtenido por diferencia en la Tabla 10.
Ahora le queda al lector la decisión de escoger el método que más le convenga.
Creemos que lo más sencillo es descontar el FCC con el costo desapalancado del
patrimonio.
Es el momento para establecer unas relaciones de consistencia que permiten
verificar que la valoración ha sido correcta. Si esto es así, debe cumplirse lo siguiente:
VP(FCC a Ku) = VP(FCL a CPPC FCL ) = VP(FCA a Ke)+deuda
(A9.1.5)
como:
De esta relación se puede concluir que el valor del patrimonio se puede calcular
VP(FCA a Ke) = VP(FCC a Ku)−deuda = VP(FCL a CPPCFCL)−deuda (A9.1.6)
Estas relaciones de consistencia deben cumplirse para cualquier supuesto sobre la
tasa de descuento de los ahorros en impuestos. Debemos recordar que el supuesto utilizado
en los capítulos 7 y 8 ha sido que la tasa de descuento de los ahorros en impuestos es Ku.
Este ejemplo se puede examinar en el archivo CIGE.XLS, que se encuentra en la
página web del curso Decisiones de inversión en la dirección:
http://www.poligran.edu.co/decisiones.
A9.1.3 Resumen
Hemos presentado un procedimiento para calcular el VT y el valor de la firma. Se
han usado dos procedimientos para el cálculo del valor de la firma: a partir del FCL y a
partir del FCA. Estos dos procedimientos presentan el problema de la circularidad. Como
era de esperarse, los resultados son idénticos.
Referencias bibliográficas
Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation. An
Integrated Market Based Approach, Academic Press, s. l.
Vélez Pareja, Ignacio y Burbano, Antonio. 2003. “A Practical Guide for Consistency in
Valuation. Cash Flows, Terminal Value and Cost of Capital”, working paper, Social
Science Research Network.
22

Vélez Pareja, Ignacio y Tham, Joseph. 2001. “A Note on the Weighted Average Cost of
Capital WACC”, working paper, Social Science Research Network, febrero.
[Publicado en español como “Nota sobre el costo promedio de capital”,
Monografías, No. 62, Serie de Finanzas. La medición del valor y del costo de
capital en la empresa, Universidad de los Andes, Bogotá, 2002, pp. 61-98.]
23

Apéndice 9.2
Como una gran final presentamos en un mapa conceptual 9 un resumen de las ideas
básicas en valoración. Desde el supuesto que el modelo CAPM (Ke = R f +β×[R m −R f ])
funciona y que la tasa de descuento de los ahorros en impuestos es Ku, indicamos la
secuencia de cálculos e interacciones entre variables, β, valores, flujos y tasas. Se puede
considerar que Ku es la madre de todo lo demás. Veamos:
Identifique las firmas que se transan en bolsa y que son similares al negocio que se está estudiando.
Identifique o calcule las betas de esas firmas
Desapalanque las betas Use
β
t
u t
= . β ut es β de la firma como si no tuviera deuda. D t−1 es el valor de
D
t-1
1+
β
P
t-1
mercado de la deuda en t−1 y P t−1 es el valor de mercado de la firma que se transa en bolsa en t−1
Calcule el promedio de las β u
Con el promedio de β u calcule
Ku = Rf + βu × (Rm - Rf)
FCC = FCD+FCA
CPPC
t
FCL
AIt
= Ku
t
−
V
t-1
Ke t = Ku t+(Ku t−Kd)D t−1/P t−1
FCA
Valor de mercado de la firma,
V = VP(FCC a Ku)
CPPC FCL t = Kd t (1−T)D% t−1+Ke t P% t−1
Caso MUY especial
FCL = FCD+FCA−AI
VP(FCA a Ke)
Valor de mercado del
patrimonio
Valor de mercado de la firma,
VP(FCL a CPPC FCL )
Valor de mercado de la firma,
VP(FCA a Ke)+deuda
9 Agradezco a mis estudiantes de la Especialización de Finanzas de la Universidad del Valle, Cali, Colombia (abril de
2005), quienes con sus inquietudes y preguntas hicieron que apareciera esta ayuda gráfica.
24

Apéndice 9.3
Este apéndice está basado en Tham y Vélez Pareja (2002 y 2004) y Vélez-Pareja y
Burbano (2003). Asimismo, agradezco a mis estudiantes del Posgrado en Administración
de la Universidad Nacional de Medellín (Escuela Nacional de Minas), por sus preguntas
que me llevaron plantear este resumen.
A.9.3.1 Consistencia en valoración
Cuando se trabaja en valoración aparece con frecuencia la queja por el problema de
consistencia de los resultados. Algunos asesores y consultores financieros deciden hacer la
valoración con sólo un método para no sentir la sensación de que algo puede estar mal
hecho. Esta no es la solución.
En este libro nos referimos a la consistencia entre los métodos a dos identidades
relacionadas con la conservación de flujos y de valor. Esta conservación se expresa en
términos de dos relaciones muy simples y basadas en los planteamientos de Modigliani y
Miller.
Conservación de flujos:
FCL+AI = FCD+FCA
(A9.3.1)
Donde FCL es el flujo de caja libre; AI, los ahorros en impuestos; FCD, el flujo de
caja de la deuda, y FCA, el flujo de caja del accionista.
Conservación de valores:
V firma = V firma sin deuda +V AI = V D +V P
(A9.3.2)
Donde V firma es el valor de mercado de la firma con deuda; V firma sin deuda , el valor de
mercado de la firma como si no existiera deuda (valor desapalancado); V AI , el valor de
mercado (valor presente) de los ahorros en impuestos descontados a una tasa apropiada;
V D , el valor de mercado de la deuda, y V P , el valor de mercado del patrimonio.
En este libro hemos supuesto que la tasa de descuento de los AI es Ku, el costo del
patrimonio sin deuda. Una razón para hacerlo es que las formulaciones de las tasas de
descuento resultan mucho más sencillas y se evita el problema de la circularidad cuando se
hace este supuesto. Como el valor de mercado de la firma con deuda incluye el valor de
mercado de AI, entonces es fácil deducir que si ψ es Ku, el valor de la firma será menor
que si ψ es Kd, el costo de la deuda. (En general, Ku>Kd, por lo tanto, V AI será menor si la
tasa de descuento es mayor).
A continuación mostramos las relaciones entre flujos de caja, tasas de descuento y
valores.
25

Tabla A9.3.1 Correspondencia entre flujos de caja, tasas de descuento y valores
Flujo de
caja
Tasa de descuento
Para obtener
FCD Costo de la deuda (Kd) Valor de mercado de la deuda
FCA Costo del patrimonio con deuda (Ke) Valor de mercado del patrimonio
FCL CPPC FCL Valor de mercado de la firma con deuda
AI
Tasa de descuento que se suponga para el
AI (ψ)
Valor de mercado del AI
FCC CPPC FCC Valor de mercado de la firma con deuda
FCL Ku Valor de mercado de la firma sin deuda
Donde FCC es el flujo de caja de capital. Las demás siglas han sido definidas en
páginas anteriores. Podemos establecer, entonces, la siguiente relación a partir de la
ecuación A9.3.2:
VP(FCL a CPPC FCL ) = VP(FCL a Ku)+VP(AI a ψ)
= VP(FCD a Kd)+VP(FCA a Ke)
(A9.3.3)
La deducción de las diferentes fórmulas para Ke, CPPC FCL y CPPC FCC tienen en
cuenta el hecho de trabajar con perpetuidades (por ejemplo, para el VT) o con flujos finitos
(lo que se usa en cualquier valoración con diferentes plazos de proyecciones) y el valor que
se utilice para estimar ψ, la tasa de descuento del AI.
A9.3.2 Flujos finitos
Primero vamos a mostrar las formulaciones para flujos de caja finitos teniendo en
cuenta dos valores de ψ: Ku y Kd. La formulación general para Ke es:
Ke = Ku + (Ku
i
i
i
- Kd
i
D
)
E
i-1
L
i-1
- (Ku
i
- ψ
i
V
)
E
AI
i-1
L
i-1
(A9.3.4)
Incluyendo la tasa ψ apropiada se tiene:
Tabla A9.3.2 Costo del patrimonio (Ke), según (ψ) la tasa de descuento de AI
ψ i = Ku i
ψ i = Kd i
AI
D
⎛
i-1
D ⎞
i-1
Vi-1
Ku
i
+ (Ku
i
- Kd
i
)
L
Ku +
P
⎜
⎟
i
(Ku
i
- Kd
i
) -
L L
i-1
⎝ Pi-1
Pi-1
⎠
En estas expresiones D es la deuda y P es el patrimonio. Las demás variables ya han
sido definidas en páginas anteriores. El superíndice L significa que es con deuda.
El CPPC FCL cuando se cumplen las condiciones muy especiales ya conocidas está
mostrado en la Tabla A9.3.3.
26

Tabla A9.3.3 Fórmula del CPPC FCL según ψ
ψ i = Ku i
ψ i = Kd i
Di-1
KeiPi-1
Di-1
KeiP
Kd
i
( 1− T) +
Kd ( )
L L
i
1−
T +
L L
V V
V V
i-1
i-1
Donde V es el valor de la firma con deuda y T es la tasa de impuestos.
En esta formulación se debe tener cuidado de utilizar la expresión apropiada para
Ke, según el valor de ψ. Es decir, que si se está suponiendo ψ = Kd, se debe utilizar la
fórmula de la segunda columna de la Tabla A9.3.2, y si es Ku, se utiliza la de la primera
columna.
La formulación del CPPC FCL más general, que incluye el caso muy especial
mostrado en la Tabla 3, está indicada en la Tabla A9.3.4. Para tener en cuenta los casos que
no cumplen con las condiciones para este caso especial podemos usar una expresión
general para el CPPC FCL , como se muestra a continuación:
i-1
i-1
i-1
CPPC
FCL
= Ku
i
-
AI
V
i
L
i-1
- (Ku
i
V
− ψi
)
V
AI
i−1
L
i−1
(A9.3.5)
Tabla A9.3.4 Fórmula para CPPC FCL según ψ
ψ i = Ku i
ψ i = Kd i
AI
AIi
AIi
Vi-1
Ku
i
- Ku
L
i
- - (Ku
L i
- Kd
i
)
L
V
V
V
i−
1
Las condiciones ya mencionadas para utilizar una u otra formulación para el
CPPC FCL se muestran en la siguiente tabla:
Tabla A9.3.5 Condiciones para el uso de las dos versiones del CPPC FCL
CPPC FCL
Di-1
KeiPi-1
Kd
i
( 1−
T) +
L L
Vi-1
Vi-1
=
Kd
i i-1
+
i i-1
( 1−
T) D% Ke P %
i−
1
i-1
Condiciones
1. Los impuestos se pagan el mismo
período en que se causan.
2. Hay suficiente utilidad antes de gastos
financieros para ganar el AI.
3. La única fuente de gastos financieros
son los intereses.
Ku
i
-
AI
V
i
L
i-1
-[(Ku
i
V
− ψ
i
)
V
AI
i−1
L
i−1
Para cualquier situación.
Si se trabaja con el FCC utilizamos las siguientes formulaciones para el CPPC FCC :
27

Tabla A9.3.6 Fórmula del CPPC FCC según ψ
ψ i = Ku i
ψ i = Kd i
Kd
iDi-1
KeiPi-1
Kd
iDi-1
KeiPi-1
+ +
L
L
L
L
V V V V
i-1
i-1
Se debe tener en cuenta la misma precaución indicada para la Tabla 3 acerca de
incluir el Ke apropiado en la fórmula.
La formulación más general para el CPPC FCC es:
i-1
i-1
WACC
adjusted
= Ku
i
-
V
TS
i-1
( Ku
i
- ψ
i
)
L
V
i−1
(A9.3.6)
Tabla A9.3.7 Fórmula del CPPC FCC según ψ
ψ i = Ku i ψ i = Kd i
V
i-1
Ku i Ku
i
- ( Ku
i
- Kd
i
)
L
V
AI
i−
1
Las formulaciones para el CPPC FCL , CPPC FCC y Ke se pueden utilizar también para
el cálculo y descuento del valor económico agregado (EVA), en sus distintas modalidades y
que se estudian en el capítulo siguiente. De manera que podemos hacer una tabla resumen
de todo lo anterior y que se muestra a continuación:
Tabla A9.3.8 Resumen de formulaciones de las tasas de descuento
Tasa ψ i = Ku i ψ i = Kd i
Ke (para FCA y utilidad
económica, [UE])
Ku
i
+
(Ku
i
D
- Kd
i
D
)
P
i-1
L
i-1
⎛ Di-1
V
Ku
⎜
i
(Ku
i
- Kd
i
) -
L
⎝ Pi-1
P
Di-1
KeiPi-1
Kd
i
1−
T +
L
V V
AI
i-1
+
L
i-1
CPPC FCL,EVA i-1 i i-1
(caso especial) Kd
i
( 1− T) +
( )
L L
L
CPPC FCL,EVA (caso general)
CPPC FCC,EVA
Ku
Kd D
V
i
i-1
AIi
-
L
Vi
− 1
Ke P
Ke P
V
i-1
i-1
i-1
TSi
V
Ku
i
- - (Ku
L i
- Kd
i
)
Vi
− 1
V
Kd
iDi-1
KeiPi-1
+
L
V V
i i-1 i i-1
+
L
L
L
i-1
Vi-1
i-1
i-1
V
CPPC FCC,EVA i-1
Ku i Ku
i
- ( Ku
i
- Kd
i
)
L
V
V
AI
i−
1
AI
i-1
L
i-1
⎞
⎟
⎠
28

A9.3.3 Perpetuidades
Si se trata de perpetuidades a partir de la ecuación A9.3.4 para Ke, se tienen las
siguientes formulaciones:
Tabla A9.3.9 Costo del patrimonio con deuda para perpetuidades según ψ
ψ perp = Ku perp
ψ perp = Kd perp
D
i-1
Di-1
Ku
i
+ (Ku
i
- Kd
i
)
Ku (Ku - Kd )( 1- T)
L
i
+
i i
L
P
P
i-1
Cuando se trabajan perpetuidades (por ejemplo, para calcular el VT) se tienen las
siguientes expresiones. La formulación general del CPPC r es:
i-1
CPPC
r
⎛
⎜1−
⎝
AI
= Ku
r
L
⎞
( ψ − g) V
⎟ ⎠
(A9.3.7)
Hay ocho posibilidades que se muestran a continuación.
Tabla A9.3.10 Fórmula para el CPPC FCL r según ψ, inflación, i f y g real
ψ = Ku
ψ = Kd
g r = 0 i > 0 WACC Ku - T × Kd × D%
g r = 0 i = 0
g r > 0 i > 0
r
= WACC = Ku − ( Ku - i)
WACC Ku − T × D% × Kd
r
r
T × Kd × D%
( Kd − i)
= WACC = Ku ( 1−
T D% )
WACC Ku − T × D% × Kd
g r > 0 i = 0 WACC Ku − T × Kd D%
r r
×
= WACC = Ku - ( Ku - g)
= WACC = Ku − ( Ku - g )
r r
r
×
r
r
r
T × Kd × D%
Kd − g
r
T × Kd
( Kd − g )
r
r
× D%
r
A.9.3.4 Resumen
En este apéndice hemos presentado en forma resumida las diferentes formulaciones
de las tasas de descuento para obtener consistencia en la valoración.
Referencias bibliográficas
Copeland, Thomas E.; Koller, T., y Murrin, J. 2000. Valuation. Measuring and Managing
the Value of Companies, 3 rd ed., John Wiley & Sons, New York.
Miller, M. H. y Modigliani, F. 1961. “Dividend Policy, Growth and the Valuation of
Shares”, The Journal of Business, vol. 34, No. 4, pp. 411-433.
29

Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2002. “An Embarrassment of Riches. Winning
Ways to Value with the WACC”, working paper, Social Science Research Network.
—. 2004. Principles of Cash Flow Valuation, Academic Press, s. l.
Vélez-Pareja, Ignacio y Burbano, Antonio. 2003. “A Practical Guide for Consistency in
Valuation. Cash Flows, Terminal Value and Cost of Capital”, working paper, Social
Science Research Network.
30

Apéndice 9.4
En este apéndice se muestra una lista de los errores más frecuentes en la valoración de
empresas y evaluación de proyectos de inversión:
1. Uso incorrecto del costo de capital (CPPC) al usar fórmulas para perpetuidades y no
para flujos finitos.
2. Uso de proyecciones a precios constantes o reales y no a precios nominales.
3. Uso de valores en libros y no de mercado para calcular el CPPC.
4. Suponer que el costo de capital (propio o CPPC) es constante cuando el
endeudamiento a valores de mercado cambia.
5. Suponer que el efectivo en caja y las inversiones temporales hacen parte del flujo de
caja libre y del flujo de caja del accionista. Esto ocurre cuando se excluye del
capital de trabajo elementos como el efectivo en caja y las inversiones temporales 10 .
6. No verificar que FCL+AI = FCD+FCA.
7. No verificar que VP(FCL)+VP(AI) = VP(FCD)+VP(FCA).
8. Suponer que el costo del capital del patrimonio sin deuda (Ku) y el costo del capital
del patrimonio con deuda (Ke) son variables independientes e incluirlas en el
modelo de valoración como datos de entrada.
9. Suponer de manera incorrecta que los ahorros en impuestos se obtienen en su
totalidad y en el año en que se causan los impuestos.
Referencias bibliográficas
Benninga, S. y Sarig, O. 1997. Corporate finance, McGraw Hill, New York.
Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. “Top 9 (Unnecessary and Avoidable)
Mistakes in Cash Flow Valuation”, working paper, Social Science Research
Network.
10 Por ejemplo, en la página 36 de Benninga y Sarig (1997) dicen: “Cash and marketable securities are the best example
of working capital items that we exclude from our definition of ∆NWC, as they are the firm’s stock of excess liquidity”.
31

10
La creación de valor y su medida
Mafalda: Ahí está... Esa palomita no sabe lo que es el
dinero y, sin embargo, es feliz. ¿Vos creés que el dinero
lo es todo en esta vida, Manolito?
Manolito: No, por supuesto que el dinero no lo es todo
... también están los cheques.
Quino
Los cínicos son los que conocen el precio de todo, pero
no conocen el valor de nada.
Oscar Wilde
El economic value added (EVA) 1 o valor económico agregado ha sido uno de los
temas recientes que más acogida han tenido en el mercado. Sobre éste se ha escrito mucho
a favor y en contra.
Este capítulo se compone de seis partes. En las dos primeras se presentan las ideas
básicas que sustentan la creación de valor y por qué se necesita medir el valor. Aquí se
repasan los conceptos de costo promedio de capital y de medición de valor con el valor
presente neto (VPN). Enseguida se estudia la idea básica del valor económico agregado, en
particular el enfoque presentado por Stern, Stewart & Co. En los últimos tres apartados se
muestra cómo el EVA se puede usar para calcular el valor de los flujos de caja, cómo se usa
el valor agregado de mercado y cuáles son los problemas del EVA. En los dos apéndices
del capítulo se presentan algunos problemas metodológicos percibidos en el enfoque del
EVA y se plantea una alternativa de medición de valor agregado económico por medio de
la inversión recuperada y valor agregado (IRVA).
10.1 Conceptos básicos
Para entender el problema de la creación de valor se debe regresar a algunos
conceptos básicos: el VPN y el costo promedio ponderado de capital (CPPC, en inglés
wheighted average cost of capital [WACC]). Estos temas fueron estudiados en los capítulos
3 y 8, respectivamente.
El VPN es una medida de la creación de valor para una empresa, asociada con las
diversas alternativas y, en particular, con aquellas que se aceptan como buenas. Lo que
mide el VPN es el valor adicional que aporta una alternativa al valor de la firma.
Esto implica reconocer el valor del dinero en el tiempo, lo cual a su vez significa
que el efecto de la causación y de la asignación de costos no puede quedar incluido en el
flujo de caja, que se estudió en el capítulo 7. El flujo de caja está compuesto por los fondos
disponibles y que se entregan a los dueños del capital (deuda y patrimonio). Tal y como se
estudió en el capítulo 3, el VPN se puede visualizar así:
1 EVA es una marca registrada por Stern, Stewart & Co. Debido al uso generalizado de la sigla EVA (economic value
added), aquí se utilizará en lugar de la sigla en español VEA (valor económico agregado).
1

Figura 10.1 Representación gráfica del VPN
Ingresos o
beneficios netos
Remanente
Costo del dinero
(tasa de descuento:
costo de oportunidad
o costo de capital)
Inversión
Cuando se lleva al
período cero, es el
VPN o la generación
de valor
Es el interés que
reconoce el proyecto
por haber recibido el
préstamo de la
inversión
Es la devolución
que hace el
proyecto del
dinero recibido
para hacer
la inversión
La mejor forma de garantizar que un gerente produzca valor para la firma es escoger
alternativas con VPN positivo. Regla de decisión para el VPN:
a) Si el VPN es mayor que cero, se debe aceptar. Se agrega valor.
b) Si el VPN es igual a cero, se debe ser indiferente. No se agrega valor.
c) Si el VPN es menor que cero, se debe rechazar. Se destruye valor.
Para seleccionar la mejor alternativa, se escoge la de mayor VPN.
Cuando una firma invierte, los recursos que utiliza tienen un costo. Este costo puede
ser lo que paga por utilizar el dinero de otros o el costo medido por lo que deja de ganar al
disponer los recursos para esa inversión.
Una firma obtiene fondos de diversas fuentes. Así, a través de reservar, los
accionistas, los proveedores, los empleados y la misma firma han provisto los fondos que
utilizan para su actividad económica. Esto es una gran canasta de fondos que se usan para
las inversiones. En particular, nos interesa lo que hemos llamado la deuda financiera, es
decir, aquella que causa intereses. El costo promedio de estos fondos es el CPPC.
Figura 10.2 El CPPC y sus componentes
Como se observa en la figura anterior hay dos fuentes de recursos para la firma y
cada uno tiene un costo asociado: el costo de la deuda y el costo del patrimonio.
2

El primero es lo que paga la firma a los tenedores de la deuda financiera (dueños de
bonos o bancos) por utilizar sus recursos. Su cálculo es relativamente sencillo: lo que se
paga dividido entre los recursos utilizados de terceros.
El segundo es la remuneración que esperan recibir los accionistas por aportar su
dinero y asumir los riesgos de invertir en el negocio. Se compone, a su vez, de las utilidades
repartidas y de las retenidas en la firma. La mezcla de ambos es lo que conocemos como
CPPC.
10.2 Necesidad de medir el valor
¿Por qué se requiere medir el valor? El objetivo de una buena gerencia es
incrementar al máximo el valor de la firma y, a partir de allí, repartir en forma equitativa la
riqueza entre todos los interesados: accionistas, trabajadores, el Estado, los clientes, los
acreedores, los proveedores... En general, la sociedad. Por lo tanto, es una obligación de la
gerencia tomar decisiones adecuadas que contribuyan a ese objetivo.
Esta gestión implica, en el fondo, comprar activos (proyectos tangibles o
intangibles, alternativas de inversión, etc.) que generen valor adicional para la firma. Y aquí
será necesario retomar la idea de considerar los beneficios y los costos en términos muy
amplios, de manera que incluyan todos aquellos aspectos que no pueden ser cuantificados.
También es importante recordar que en el contexto que rodea la toma de decisiones de
inversión se está restringiendo el análisis a aquello que puede ser cuantificado. Esto no
significa que deba creerse que por referirse a aspectos cuantitativos, basados en modelos
matemáticos, de mayor o menor complejidad, entonces se está ante un valor exacto y
preciso. Lo que se obtiene en este tipo de análisis es un punto de referencia, un elemento de
juicio que –junto con otros, no cuantificables, subjetivos, pero no arbitrarios–, permite al
decisor actuar de la forma más apropiada.
Aquella persona que decide no puede sucumbir ante la ilusión de realidad que
ofrecen las cifras exactas. A veces la aritmética produce una ilusión de realidad que puede
confundir. Gabriel García Márquez lo sabe y lo utiliza muy bien: si en sus novelas dice que
un hecho ocurrió hacia las tres de la tarde, algunos le creerán; pero si fija la hora exacta del
evento a las 3:12 de la tarde, bajo un calor asfixiante, entonces muy pocos albergarán dudas
acerca de que el hecho narrado en la novela ocurrió.
10.3 Valor económico agregado (EVA)
EVA es un concepto muy viejo. Desde el siglo XVIII los economistas han
reconocido que para que una firma pueda aumentar su valor debe producir más que el costo
de su dinero –CPPC, igual al promedio del costo de la deuda y del costo del patrimonio
aportado por los socios– (Hamilton, 1777, y Marshall, 1890, citados por Biddle, Bowen y
Wallace, 1997). Recientemente, esta idea ha sido comercializada bajo diferentes etiquetas,
que incluyen los nombres de ingreso residual (residual income [RI], en inglés), utilidad
económica, 2 EVA o valor de mercado agregado (market value added [MVA], en inglés).
2 El ingreso residual es el resultado de restarle a la utilidad neta una imputación del costo del capital empleado en la
operación.
3

El EVA trata de medir el valor que agrega un proyecto a la firma o valor que genera
la firma en un determinado período; tiene en cuenta que esa generación de valor debe
resultar después de que se haya recuperado lo correspondiente a la inversión y a la
remuneración que corresponde a los que prestan el dinero (intereses) y a los que aportan el
capital (rendimiento de los accionistas). Recuérdese la definición de VPN. Hay varias
formas de medirlo, una de ellas –la más popular– es la comercializada por Stern, Stewart &
Co.
Joel Stern y Bennett Stewart, de la firma Stern, Stewart & Co., han propuesto la idea
de medir la buena gestión de la gerencia, en particular de la financiera, por medio del valor
económico agregado o EVA. Este concepto se presenta en realidad como la utilidad
económica (UE) o el RI, aunque se le hacen algunos ajustes, como se estudiará más
adelante.
Esta idea es, sencillamente, reconocer de manera explícita el significado del VPN.
Algunos investigadores han encontrado una alta correlación entre el valor de EVA y el
valor de las acciones, lo cual es lógico, ya que el VPN precisamente mide el aumento en el
valor de la firma. Sin embargo, parece que los hallazgos que presentan sus
comercializadores son anecdóticos. Biddle, Bowen y Wallace (1997) y Chen y Dodd (1997)
demuestran que la correlación es mucho menor que la publicitada por los promotores del
EVA. Parte del éxito de la propuesta del EVA radica en que tradicionalmente se han
utilizado medidas contables para medir, en forma incompleta, el valor económico que
genera una firma. Por ejemplo, con la utilidad neta, las ganancias por acción y otras razones
financieras.
Veamos ahora cómo es el comportamiento de uno de los ejemplos preferidos que
presentan los promotores del EVA: Coca Cola. Presentamos el coeficiente de
determinación (R 2 ) de diferentes variables con el precio de la acción, de mayor a menor R 2
(véanse gráficas 10.1 a 10.5).
Gráfica 10.1 Ventas y precio de la acción
4

Coca Cola 1990-2000
Precio de la acción
80,00
70,00
60,00
y = 2,4121e 0,0002x
R 2 = 0,9083
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
-
10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 20.000 22.000
Ventas
Gráfica 10.2 Utilidad Operativa y precio de la acción
Coca Cola 1990-2000
Precio de la acción
90,00
80,00
70,00
y = 4,711e 0,0006x
R 2 = 0,8206
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
-
1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500
Utilidad operativa
Gráfica 10.3 Flujo de caja libre y precio de la acción
5

Coca Cola 1990-2000
Precio de la acción
100,00
90,00
80,00 y = 11,022e 0,0006x
70,00 R 2 = 0,6905
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
-
500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000
Flujo de caja libre
Gráfica 10.4 Utilidad neta y precio de la acción
Coca Cola 1990-2000
Precio de la acción
90,00
y = 8,4126e 0,0005x
80,00
R 2 = 0,6172
70,00
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
-
1.200 1.700 2.200 2.700 3.200 3.700 4.200
Utilidad neta
Gráfica 10.5 UE y precio de la acción
6

Coca Cola 1990-2000
Precio de la acción
80,00
70,00
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
-
y = 17,269e 0,0004x
R 2 = 0,2872
900 1.400 1.900 2.400 2.900 3.400 3.900
Utilidad económica
De este ejercicio podemos concluir que la UE tiene la menor correlación con el
precio de la acción. Es un indicio adicional de que un valor aislado de EVA o UE es
completamente irrelevante como medida de generación de valor.
El EVA se puede usar como un mecanismo de control y seguimiento para las
decisiones que se tomen, porque lo que se hace con el EVA es tratar de verificar, período a
período, que la firma (o proyecto) esté produciendo remanentes que contribuyan a la
generación del VPN, con el cual, períodos atrás, se tomó la decisión de emprender el
proyecto (VPN positivo). Sin embargo, hay que ser cuidadosos en su aplicación: un
proyecto bueno puede necesitar varios años para que produzca excedentes que aumenten el
patrimonio de los accionistas. En general, en la práctica ocurre así. De hecho, los proyectos
tienen un período de repago, esto es, el tiempo en que se recupera la inversión y es, por lo
general, mayor que 1. Lo más importante es determinar si el proyecto (o firma) ha generado
los flujos de caja esperados.
Un EVA aislado no es una medida de valor ni de su crecimiento. El valor lo
determinan los EVA futuros descontados a la tasa apropiada 3 . La tasa de descuento
apropiada debe ser calculada basándose en los valores de mercado de la firma para cada
año.
Se ha utilizado también como un indicador para evaluar a los gerentes y establecer
sistemas de incentivos; es decir, no se remunera sobre la base de la utilidad contable
producida, sino sobre el EVA obtenido, lo cual tiene algún sentido.
3 En ediciones anteriores se dijo en forma categórica que el EVA no era adecuado para valorar una firma o proyecto.
Aunque no se dijo de manera explícita, esta afirmación es válida cuando no se usan valores de mercado para determinar el
costo de capital (lo mismo sucede con el flujo de caja libre). Valga esta aclaración para rectificar lo que se dijo, aunque ya
ha sido, de hecho, rectificada con varios escritos (véase bibliografía).
7

10.4 Una forma sencilla de medir el EVA
Desde el punto de vista de flujos de caja, se estableció que la suma del flujo de caja
de la deuda (FCD) más el flujo de caja del accionista (FCA) es el flujo de caja de capital
(FCC), es decir, lo que efectivamente reciben los dueños del capital (tenedores de deuda y
accionistas). El FCD es todo lo que suministran y reciben los dueños de la deuda, y el FCA,
todo lo que aportan y reciben los accionistas, incluida la recompra de acciones. Es decir:
FCC = FCD+FCA (10.1)
Donde FCC, es el flujo de caja de capital; FCD, el flujo de caja de la deuda, y FCA,
el flujo de caja del accionista.
El FCA y el FCD los podemos asociar con dos elementos del estado de resultados
(EdeR): la utilidad neta y los gastos financieros. Estos dos elementos responden por la
rentabilidad en dinero del patrimonio y de la deuda.
El rendimiento esperado de la deuda es KdD t−1 y el rendimiento esperado del
patrimonio es KeP t−1 . Proponemos comparar aquello que se le reconoce contablemente al
patrimonio (utilidad neta) y a la deuda (gastos financieros) con lo que espera cada uno de
los dueños del capital. Es decir, comparar el resultado contable del rendimiento del
accionista y el resultado contable del rendimiento del tenedor de la deuda con el valor
monetario esperado por parte del tenedor de la deuda. Este costo combinado se puede
calcular como:
KdD% t−1 +KeP% t−1 (10.2)
Como hemos supuesto que la tasa de descuento de los ahorros en impuestos es Ku
(Cfr. Tham y Velez Pareja, 2004), entonces la anterior ecuación se puede presentar así:
Ku = KdD% t−1 +KeP% t−1 (10.3)
Por lo tanto, el EVA se puede calcular como:
EVA t = I t +UN t −Ku t ×(CI) t−1 (10.4) 4
Donde EVA es el valor económico agregado; I, el interés pagado (en general, gastos
financieros); UN, la utilidad neta; Ku, el costo del capital sin deuda, y CI, el capital
invertido. El capital invertido se define como el total de activos menos los pasivos que no
generan interés.
En la misma definición de EVA observamos que es una medida del exceso de
beneficio que se obtiene sobre el rendimiento esperado tanto por el tenedor de la deuda
como por el dueño del patrimonio. Por lo tanto, el valor resultante, cuando se calcula el
4 Este enfoque se planteó en Vélez Pareja y Tham (2004).
8

valor presente de EVA a una tasa adecuada, es un valor adicional a la inversión realizada.
De ahí su nombre, valor agregado.
De todo lo anterior se deduce que para aumentar el EVA se puede optar por algunas
posibilidades:
• Aumentar la utilidad operativa sin aumentar ni capital ni pasivos.
• Liquidar actividades que no alcancen a cubrir el costo de capital.
• Invertir en proyectos con VPN mayor que cero.
• Reducir el CPPC.
El EVA básico debe ser ajustado, pero hay que hacer hincapié en lo siguiente: puede
ser peligroso calcular y actuar basándose en el EVA básico. Esto es así porque el EVA
pretende medir el valor agregado que produce un proyecto o firma.
Hay muchos ajustes por hacer al EVA básico, pero entre los principales están:
• Los gastos de investigación y desarrollo.
• Inversiones estratégicas.
• Contabilización de adquisiciones.
• Reconocimiento de gastos.
• Depreciación.
• Gastos de reestructuración.
• Impuestos.
• Otros ajustes al balance general (Ehrbar, 1998, p. 167).
En realidad, todos estos ajustes se hacen para que el EVA se parezca lo más posible
al flujo de caja libre (FCL), o de la firma. Sin embargo, como el EVA incluye la
depreciación, entonces se aparta radicalmente del concepto de FLC.
En resumen, los cálculos del EVA con sus ajustes deben eliminar las distorsiones
generadas por los principios generalmente aceptados, al ajustar las cifras contables. Y en
ese caso, el MVA debe producir la misma cifra que el VPN, dado que se calculará con el
FCL.
Sin embargo, conviene aclarar un punto acerca del cálculo del EVA (esto si se
acepta que el EVA es un cálculo ex post) como una medida del control de desempeño de la
firma. Aun cuando se calcula a partir del flujo de caja real, que no incluye las distorsiones
producidas por el principio de causación, es necesario verificar si algunos elementos del
gasto (egresos de dinero) incluyen renglones que pueden ser capitalizados, por ejemplo, los
gastos preoperativos o de investigación y desarrollo.
Por ejemplo, para el control financiero del proyecto sería suficiente verificar si el
FCL es igual o no al proyectado y si el CPPC es mayor o menor que el proyectado. A partir
de esta comparación, se deben hacer correcciones al plan para que el flujo de caja y el costo
de capital sean los mismos que se proyectaron.
Como el EVA se utiliza mucho para establecer planes de incentivos dentro de la
firma, se debe tener mucho cuidado al determinar el CPPC y en el cálculo de cuánto capital
se ha invertido, pues hay un problema real con el EVA como esquema de incentivos: no
todos pueden controlar el índice del costo de capital. En consecuencia, se pueden tomar
9

decisiones sobre la cantidad de recursos que se utilizan en el desarrollo del proyecto, pero
las decisiones sobre estructura de capital y de endeudamiento, que definen el CPPC, son
determinaciones del gerente financiero.
10.5 Valor agregado de mercado (MVA)
Por su misma característica de ser una medida del exceso sobre un rendimiento
esperado, el valor presente del EVA es el valor presente de ese excedente. En el capítulo 3
y en la revisión de conceptos básicos de este capítulo vimos que a ese valor lo hemos
llamado VPN, aun cuando también lo llaman valor agregado de mercado (MVA, por su
nombre en inglés). Esto es el valor en exceso que el mercado asigna a la acción de una
firma (el valor de venta de la firma sería el precio de la acción por el número de acciones) o
el valor en exceso que el mercado asigna a los activos de una firma o proyecto. Así:
MVA = valor de mercado–valor en libros = VPN (10.5)
MVA = valor presente de los EVA futuros
Todo esto se ha planteado desde el supuesto que las tasas de descuento utilizadas se
basan en los valores de mercado de la firma o proyecto.
10.6 Problemas con EVA
Hemos dicho que un EVA o un UE positivo o incluso creciente no significan un
buen desempeño o creación de valor. Con un ejemplo se explica esta idea.
Ejemplo 1
Supongamos una firma sin deuda y que reparte todo el efectivo que genera. Ésta
adquiere activos por $20.000 y deprecia linealmente en 5 años. Al final recupera su capital
de trabajo. El costo del capital sin deuda (Ku) es 10%. Las ventas son constantes e iguales a
$17.000, el costo de ventas es 45% de las ventas y los gastos generales constantes son de
$2.600. La tasa de impuestos es del 40%. El balance general es el siguiente:
Activos 0 1 2 3 4 5
Capital de trabajo 4.004 4.004 4.004 4.004 4.004
Activos fijos 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000
Menos depreciación
acumulada 4.000 8.000 12.000 16.000 20.000
Activos fijos netos 20.000 16.000 12.000 6.000 4.000 0
Total activos 24.004 20.004 16.004 12.004 8.004 0
Pasivos
Patrimonio 24.004 20.004 16.004 12.004 8.004
Total pasivos y patrimonio 24.004 20.004 16.004 12.004 8.004
El EdeR es:
10

Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 17.000 17.000 17.000 17.000 17.000
Costo de ventas 7.650 7.650 7.650 7.650 7.650
Gastos generales 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600
Depreciación 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000
UO 2.750 2.750 2.750 2.750 2.750
Impuestos 40% 1.100 1.100 1.100 1.100 1.100
Utilidad operativa después de impuestos
(UODI) = utilidad neta 1.650 1.650 1.650 1.650 1.650
El flujo de tesorería es el siguiente:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 17.000 17.000 17.000 17.000 17.000
Costo de ventas -7.650 -7.650 -7.650 -7.650 -7.650
Gastos generales -2.600 -2.600 -2.600 -2.600 -2.600
Impuestos -1.100 -1.100 -1.100 -1.100 -1.100
Recuperación del capital trabajo 4.004
Saldo neto disponible 5.650 5.650 5.650 5.650 9.654
De este flujo de tesorería calculamos el FCA, que es igual al FCL porque no hay
deuda y se reparte todo lo que esté disponible. Así mismo, se calcula el EVA, el VPN y el
MVA.
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCA = FCL 5.650 5.650 5.650 5.650 9.654
Ke = CPPC 10% 10% 10% 10% 10%
P = VP(FCA a Ke) 23.904 20.645 17.059 13.115 8.776
Capital invertido 24.004 20.004 16.004 12.004 8.004 0
VPN -100 641 1.055 1.111 772
UODI = utilidad neta 1.650 1.650 1.650 1.650 1.650
Costo del capital invertido 2.400 2.000 1.600 1.200 800
UE = EVA -750 -350 50 450 850
MVA = VP(EVA a CPPC) -100
Observe que EVA = UE está aumentando e incluso llega a ser positivo. El EVA es
negativo durante los primeros períodos y, además, es creciente. Ninguno de los dos
comportamientos garantiza una creación o destrucción de valor agregado. En este caso hay
destrucción de valor (el VPN es negativo). Ahora miremos qué sucede cuando aumentamos
la depreciación. EVA o UE aislados no miden la creación de valor. Ni su aumento significa
creación de valor. En la siguiente tabla vemos el balance general con depreciación
acelerada:
11

Activos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Capital de trabajo 4.004 4.004 4.004 4.004 4.004
Activos fijos 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000
Menos depreciación
acumulada 5.500 11.000 16.500 18.500 20.000
Activos fijos netos 20.000 14.500 9.000 3.500 1.500 0
Total activos 24.004 18.504 13.004 7.504 5.504 0
Patrimonio 24.004 18.504 13.004 7.504 5.504
Total pasivos y
patrimonio 24.004 18.504 13.004 7.504 5.504
De igual manera calculamos el EdeR con depreciación acelerada:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 17.000 17.000 17.000 17.000 17.000
Costo de ventas 7.650 7.650 7.650 7.650 7.650
Gastos generales 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600
Depreciación 5.500 5.500 5.500 2.000 1.500
UO 1.250 1.250 1.250 4.750 5.250
Impuestos 40% 500 500 500 1.900 2.100
UODI = Utilidad neta 750 750 750 2.850 3.150
El flujo de tesorería con depreciación acelerada es el siguiente:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 17.000 17.000 17.000 17.000 17.000
Costo de ventas -7.650 -7.650 -7.650 -7.650 -7.650
Gastos generales -2.600 -2.600 -2.600 -2.600 -2.600
Impuestos -500 -500 -500 -1.900 -2.100
Recuperación del capital trabajo 4.004
Saldo neto disponible 6.250 6.250 6.250 4.850 8.654
De este flujo de tesorería calculamos el FCA, que es igual al FCL porque no hay
deuda y se reparte todo lo que esté disponible. Así mismo, se calcula el EVA, el VPN y el
MVA con depreciación acelerada:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCA = FCL 6.250 6.250 6.250 4.850 8.654
CPPC = Ke 10% 10% 10% 10% 10%
P = VP(FCA a Ke) 24.229 20.402 16.192 11.561 7.867
Capital invertido 24.004 18.504 13.004 7.504 5.504 0
VPN 225 1.898 3.188 4.057 2.363
UODI = utilidad neta 750 750 750 2.850 3.150
Costo del capital invertido 2.400 1.850 1.300 750 550
UE = EVA -1.650 -1.100 -550 2.100 2.600
MVA = PV(EVA a CPPC) 225
12

Nuevamente el EVA es negativo (más negativo que en el caso anterior con
depreciación lineal), y crece y a pesar de haber resultado con un EVA mucho más negativo,
por lo tanto, el valor ¡aumentó! Gustavo: Este por lo tanto no me suena lógico
Observe que como depende de la depreciación, con sólo variar el método de
depreciación, EVA o UE cambian. Más aún, este ejemplo indica cómo se puede disminuir
EVA o UE y aumentar el valor de la firma (si se aumenta la depreciación, los impuestos se
aplazan y eso genera valor).
Para entender la carencia de significado del EVA aislado como una medida de valor
se presenta la forma como funciona el VPN. Para ello usamos el ejemplo que acabamos de
analizar:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCL 6.250 6.250 6.250 4.850 8.654
Saldo inicial de la inversión -24.004 -20.154 -15.920 -11.262 -7.538
Costo del capital invertido 2.400 2.015 1.592 1.126 754
Recuperación de la inversión 3.850 4.235 4.658 3.724 7.900
Saldo final -24.004 -20.154 -15.920 -11.262 -7.538 362
VPN 225
Recuperar la inversión no significa nada en relación con crear valor. Ya sea que
crezca o que sea positivo, lo importante es cuándo ocurre. Sólo después de que la inversión
se ha recuperado en su totalidad, el recuperar la inversión puede ser considerado una
medida de la creación de valor. El lector debe observar que en este ejemplo la inversión
inicial no se recuperó. Los 362 del año 5 son el valor futuro del VPN; pero no se dice que
su signo o su valor sea una medida de valor en sí misma. Sólo hay creación de valor
después de que la inversión inicial se ha recuperado. Por ende, la inversión recuperada es
similar a EVA; sin embargo, esto no significa que sean conceptualmente iguales. EVA se
calcula a partir de datos contables, y la recuperación de la inversión, a partir de flujos de
caja. Y esto hace una gran diferencia.
Observe que la recuperación de la inversión disminuye, y eso no significa que el
proyecto sea malo. ¿Cuándo se espera que haya creación de valor? Después de que el saldo
de la fila de la inversión −inversión por recuperar− sea positiva. Esto es lo que en el
capítulo 3 se llamó período de repago descontado. En este ejemplo ese punto está entre 4 y
5 años. Antes de ese punto en el tiempo no hay creación de valor. Después de ese punto
existe creación de valor. También debe observarse que el valor creado se encuentra al final
de la vida del proyecto, como debe ser, y el valor presente de ese valor es el VPN del
proyecto.
Una crítica que se le puede hacer a este tema –aparte de ser una medida
aproximada– es que se ha comercializado tanto que –como ocurre con las demás modas de
la administración– se cree que es una nueva teoría y que es la panacea. No es así. Pretende
ser una herramienta de seguimiento y control, que es consistente y coherente con un viejo
conocido: el VPN. Más aún, parece que hubiera una carrera o competencia entre las firmas
consultoras para saber quién registra más siglas (como EVA) y comercializarlas a como dé
lugar.
13

No se puede olvidar que estas son técnicas que no reemplazan al decisor, quien sabe
en realidad el significado de conceptos como el VPN, actúa en consecuencia y toma
decisiones que aumentan el valor de la firma, y deberá escoger o diseñar los instrumentos
más adecuados a sus decisiones. En gran parte es sentido común; de paso se podría acuñar
el nombre y la sigla de gerencia por sentido común (GSC).
La mejor forma de garantizar un mayor valor de la firma, de aumentar la riqueza, es
escoger de manera sistemática proyectos de inversión con VPN mayor que cero y
garantizar por medio del control y el seguimiento –para esto podría servir el EVA, aunque
se estudiará si es o no adecuado– que la firma o proyecto se está comportando como se
había previsto.
Por supuesto, esta es la idea básica del EVA, pero se puede –y se debe– hacer el
esfuerzo de adaptarla, según la conveniencia del caso.
Ejemplo 2
Para calcular el EVA usaremos el ejemplo CIGE.xls, trabajado en los capítulos 5 a
9. De allí tomamos los datos de los estados financieros que requerimos para el cálculo del
EVA, incluido el valor de Ku para los años 1 a 5. Con el valor de Ku y los datos de utilidad
neta, gastos financieros y capital invertido podemos ahora calcular el costo del capital
invertido y el EVA para los años 1 a 5:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad neta -120,35 993,92 3.699,07 5.944,72 3.426,06
Gastos financieros 4.302,27 3.363,08 2.560,93 1.666,00 4.202,93
Suma 4.181,92 4.357,00 6.260,00 7.610,72 7.628,99
Total de activos 48.233,10 43.704,03 38.413,25 35.554,89 61.698,29 48.061,42
Pasivos no generadores de
1.716,59 1.936,71 2.670,57 2.842,69 2.949,36
interés
Capital invertido 48.233,10 41.987,44 36.476,54 32.884,32 58.855,60 45.112,06
Costo de oportunidad de los
15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
accionistas sin deuda
(incluye inflación) Ku
EVA 7.546,55 6.340,31 5.508,14 4.786,31 8.245,38
Ya hemos calculado el EVA para cada año proyectado. Ahora debemos calcular el
valor terminal para el año 5. Este valor terminal ya se calculó en el capítulo 9. Lo más
adecuado es calcular el valor terminal del EVA como:
VT(EVA) =
UODI
N
WACC
( 1+
g )
real
perp real
− CI
N
(10.6)
O sea, el valor terminal del FCL menos el capital invertido en N.
Tal y como lo mencionamos en el capítulo 9, el uso de la utilidad operativa después
de impuestos (UODI) a perpetuidad implica que no tenemos cuentas por cobrar (C×C), ni
cuentas por pagar (C×P), ni se invierten excedentes liquidez, sino que se reparten todos los
14

fondos disponibles. Por lo tanto, debemos recuperar el efectivo en caja, las C×C y C×P
(descontadas un año) y las inversiones temporales. Y este valor se añade al valor Terminal
(VT). Para calcular el EVA debemos encontrar el valor terminal como ya se ha explicó y
hacerle unos ajustes relacionados con algunos activos y pasivos corrientes. Esto es una
liquidación virtual de los activos y pasivos corrientes. Este ajuste es el siguiente:
Más caja y bancos
Más liquidación de activos corrientes
Más cuentas por cobrar (descontadas un año)
Más inversiones temporales
Menos cuentas por pagar (descontadas un año)
= Liquidación de activos corrientes
Según la recuperación de algunos activos corrientes, tenemos:
Activos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Recuperación de dinero en caja 140,0
Recuperación de C×C 2.883,4
Recuperación de inversiones temporales 78,7
Recuperación de C×P -2.621,3
Recuperación neta de activos corrientes 480,87
Para calcular el EVA debemos encontrar el VT como se ha explicado y hacerle los
ajustes previstos en el capítulo 9. Además, hay que sustraer el valor del capital invertido, ya
que lo que nos indica el EVA es un excedente sobre el capital invertido, por lo tanto, si el
VT mide el valor total de la firma, el VT del EVA es el VT de la firma menos el capital
invertido. Una vez calculado el valor presente del EVA con Ku, sumamos el valor del
capital invertido y así obtenemos el valor del proyecto o firma para cada año.
Así, el EVA con VT quedaría como:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Utilidad neta -120,35 993,92 3.699,07 5.944,72 3.426,06
Gastos financieros 4.302,27 3.363,08 2.560,93 1.666,00 4.202,93
Suma 4.181,92 4.357,00 6.260,00 7.610,72 7.628,99
Total de activos 48.233,10 43.704,03 38.413,25 35.554,89 61.698,29 48.061,42
Pasivos no generadores de interés 1.716,59 1.936,71 2.670,57 2.842,69 2.949,36
Capital invertido 48.233,10 41.987,44 36.476,54 32.884,32 58.855,60 45.112,06
Ku 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
Costo del capital invertido 7.546,55 6.340,31 5.508,14 4.786,31 8.245,38
EVA -3.364,63 -1.983,32 751,86 2.824,40 -616,39
TV del FCL 81.697,96
Activos corrientes liquidados 480,87
Menos capital invertido -45.112,06
EVA con VT -3.364,63 -1.983,32 751,86 2.824,40 36.450,38
15

Con estos valores de EVA podemos calcular ahora el valor presente del EVA
usando Ku como tasa de descuento. A ese valor presente se le suma cada año el valor del
capital invertido y se obtiene el valor de la firma.
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
EVA con VT Terminal -3.364,63 -1.983,32 751,86 2.824,40 36.450,38
Ku 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
PV(EVA) 15.916,97 21.771,96 27.042,95 30.374,71 31.971,35
Más capital invertido 48.233,10 41.987,44 36.476,54 32.884,32 58.855,60
Valor total 64.150,07 63.759,40 63.519,49 63.259,04 90.826,95
Este cálculo coincide año por año con el valor calculado usando el valor presente
del FCL descontado a CPPC FCL , con el valor presente del FCA descontado a Ke, con el
valor calculado descontado el FCC a Ku, y usando el valor presente ajustado (adjusted
present value [APV], que es igual a descontar el FCC a Ku) mediante la utilización de la
tasa Ku. Observe también que el valor presente del EVA es el VPN del proyecto, tal y
como lo habíamos calculado en el capítulo 9.
Referencias bibliográficas
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http://papers.ssrn.com/sol3/paper.taf?ABSTRACT_ID=2948. [También publicado en
Journal of Accounting and Economics, vol. 24, No. 3, 1997.]
Chen, Shimin y Dodd, James L. 1997. “Usefulness of Operating Income, Residual Income,
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disponible en http://papers.ssrn.com/sol3/paper.taf?ABSTRACT_ID=39949
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Damodaran, Aswath. 1996. Investment Valuation, John Wiley, New York.
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17

18

Apéndice 10.1
A10.1.1 Otros enfoques de EVA
Tham y Vélez Pareja (2004), Vélez Pareja y Tham (2003a y 2003b) y Tham (2001)
mostraron que se puede hacer coincidir la valoración con flujos de caja descontados y los
métodos de valor agregado (métodos basados en la idea del EVA). Calcularon los
resultados usando los métodos de valor agregado a partir de la utilidad operacional después
de impuestos (UODI) y a partir de la utilidad neta. En esos cálculos se utilizaron los valores
de mercado para calcular las tasas del costo promedio ponderado de capital para el flujo de
caja de capital (CPPC FCL ) y el costo del patrimonio (Ke).
En Vélez Pareja (1999a, 199b y 2004) se indicaba la discrepancia entre los dos
procedimientos. En estos últimos casos la comparación de métodos se hizo usando valores
en libros para calcular el valor del CPPC FCL . Obviamente con valores en libros no
coincidirán jamás, excepto en situaciones únicas y ad hoc.
El ingreso residual (IR) o utilidad económica (UE) se define así:
Utilidad económica = utilidad neta−costo de los fondos propios×patrimonio
En forma matemática:
UE = UN–Ke×P
(A10.1.1)
Donde UE es la utilidad económica; UN, la utilidad neta; Ke, el costo de capital de
los fondos propios, y P, el patrimonio.
Otra forma de calcularlo es la siguiente:
EVA = UODI−CPPC FCL ×CI
(A10.1.2)
Donde EVA es el valor económico agregado; UODI, la utilidad operacional menos
impuestos; CPPC FCL , el costo promedio ponderado del capital para el flujo de caja libre, y
CI, el capital invertido.
Estas dos definiciones son las más comunes en libros de texto y en revistas de
información general para la gerencia. La lógica en que se sustenta el EVA es la siguiente: el
valor presente neto (VPN) mide el aumento en el valor de la firma. Lo que trata de medir el
EVA (y el valor de mercado agregado o MVA) es el valor que se agrega a la firma (igual
que el VPN).
Una aproximación a la contribución que hace un proyecto (firma) es la utilidad neta
contable (sin intereses). A esta cifra ya se le ha restado la depreciación, que es una
aproximación a la inversión (asignada a ese período). Al calcular el EVA y restarle a la
utilidad operacional el costo de capital multiplicado por el total de activos empleados
(pasivo más patrimonio), se está reconociendo el costo del dinero, tanto el que la firma
19

paga a los dueños de la deuda financiera como el que debe reconocer a sus accionistas, lo
cual no es más que reconocer el efecto del descuento que se hace a la tasa de descuento o
rentabilidad mínima aceptable, cuando se calcula el VPN.
Lo que quede después de esta operación equivale al remanente, ya mencionado, que
se ha llamado el VPN 5 . En otras palabras, si el EVA mide bien el valor económico
agregado, el cálculo del VPN debe ser el valor presente del EVA proyectado (sin tener en
cuenta la depreciación y reconociendo los ingresos y egresos cuando ocurren, no cuando se
causan, como lo hace el EVA). La suma de los EVA descontados debe producir un
resultado igual al VPN.
En ambas medidas de valor agregado muchos trabajan con el patrimonio o los
activos del período que se analiza; sin embargo, si se desea evaluar el resultado de un
período determinado, no es razonable considerar el patrimonio o los activos del mismo año
que se analiza, puesto que allí ya se tiene acumulado el resultado mismo, esto es, las
utilidades del período. Por esta razón, debe tenerse en cuenta el patrimonio o el valor de los
activos del período anterior al analizado. De hecho, un inversionista tiene la expectativa de
obtener un rendimiento sobre la inversión que tiene comprometida al comienzo del período.
Por esta razón, las cifras correspondientes a patrimonio total y activos totales que se deben
incluir en el análisis son las del período anterior 6 .
Aquí se ve claro que los análisis típicos de razones financieras del análisis
financiero tradicional poseen la misma falla. Por ejemplo, el retorno sobre la inversión
(ROI) se calcula dividiendo la utilidad del año entre el patrimonio del mismo año; pero
debe ser dividida entre el patrimonio del año anterior (final). El patrimonio total tiene en sí
mismo el valor de la utilidad producida ese mismo año (y que no se ha repartido).
Entonces, los cálculos del EVA, a partir de la utilidad, deberían hacerse de la
siguiente manera:
EVA= UODI−CPPC FCL ×CI t−1
(A10.1.3)
o
UE = UN−Ke×P t−1
(A10.1.4)
Un ejemplo muy simple ayuda a entender este planteamiento: si el patrimonio en t
es $1.000 y los accionistas desean ganar 42% anual y si la firma obtiene en t+1 una utilidad
neta después de impuestos de $500, el patrimonio total en t+1 sería de $1.500 antes de
repartir utilidades. Si se calcula el EVA como se dice, resultaría en -$130
(500−1.500×42%). ¡Un pésimo desempeño! Habría una aparente destrucción de valor.
5 Debe tenerse presente que cuando se calcula el VPN, se hace un cálculo de lo que va a crecer el valor de la firma, pero
basado en unas proyecciones. Este cálculo se hace en fecha cero (hoy) –algunos prefieren llamar a esto un análisis ex ante,
lo que significa que se hace con anticipación–, y en realidad el aumento de valor de la firma cuando se emprende un
proyecto con VPN mayor que cero ocurre al final de la vida calculada para el proyecto. El EVA sirve como herramienta
de control para verificar que se está creando VPN, período tras período.
6 Cabe anotar que esta es una de las consideraciones que tienen los promotores del EVA. Se hace esta aclaración, porque en los
libros de texto y en las revistas de divulgación general se presenta de una manera simple, lo cual induce a errores en el cálculo del
EVA, sobre todo cuando se hace el cálculo desde afuera, como un analista externo.
20

Sin embargo, los accionistas deseaban ganarse $420 (1.000×42%) 42% sobre los
$1.000 que habían invertido en t. Esto es, se produciría valor por $80 (500−1.000×42%).
Como se puede ver, el EVA calculado sobre la base del patrimonio del mismo período en
que se generan las utilidades subestima la creación de valor.
Cuando se usa el flujo de caja libre (FCL) y el flujo de caja del accionista (FCA)
para calcular el valor y la UODI, así como la utilidad neta para calcular el valor agregado,
es necesario resolver el problema de la circularidad (el CPPC FCL depende del valor y el
valor depende del CPPC FCL ) que se presenta cuando usamos CPPC FCL o Ke. Como vimos
en el cuerpo del capítulo 10, cuando se usa el flujo de caja de capital (FCC) o la nueva
formulación del cálculo del EVA allí propuesta, el problema de la circularidad desaparece.
Debido a que la utilidad operativa es menor que los gastos financieros, tenemos que
utilizar la formulación general del CPPC FCL , que tiene en cuenta el ahorro en impuestos
(AI), es decir:
FCL
CPPC = Ku -
AI
V
t
t-1
(A10.1.5)
Todas las partidas de los estados financieros de las siguientes tablas están tomadas
del capítulo 6.
Tabla A10.1.1 Cálculo temporal del EVA con CPPC FCL (sin resolver la circularidad)
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ahorro en impuestos (AI) 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
Utilidad operacional (UO) 4.181,92 4.407,55 7.412,10 9.450,61 9.473,79
Otros ingresos (OI) 0,00 419,83 839,71 1.361,11 0,00
UO+OI 4.181,92 4.827,38 8.251,81 10.811,72 9.473,79
UO+OI después de impuestos 2.718,25 3.137,80 5.363,68 7.027,62 6.157,96
Total de activos 48.233,10 43.704,03 38.413,25 35.554,89 61.698,29 48.061,42
Pasivos no generadores de
0,00 1.716,59 1.936,71 2.670,57 2.842,69 2.949,36
interés
Capital invertido 48.233,10 41.987,44 36.476,54 32.884,32 58.855,60 45.112,06
CPPC FCL = Ku−AI t /V t−1
Cargo por capital invertido 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
EVA 2.718,25 3.137,80 5.363,68 7.027,62 6.157,96
VT del FCL 81.697,96
Liquidación de activos corrientes 480,87
Menos capital invertido -45.112,06
EVA con VT 2.718,25 3.137,80 5.363,68 7.027,62 43.224,73
VP(EVA) a CPPC FCL 61.472,07 58.753,82 55.616,02 50.252,35 43.224,73
Capital invertido 48.233,10 41.987,44 36.476,54 32.884,32 58.855,60
Valor total 109.705,18 100.741,26 92.092,56 83.136,67 102.080,33
21

Ahora podemos incluir la fórmula parra el CPPC FCL y resolver la circularidad.
Tabla A10.1.2 Cálculo final del EVA con CPPC FCL (con la circularidad resuelta)
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ahorro en impuestos (AI) 1.463,67 1.219,20 896,32 583,10 1.471,02
Utilidad operacional (UO) 4.181,92 4.407,55 7.412,10 9.450,61 9.473,79
Otros ingresos (OI) 0,00 419,83 839,71 1.361,11 0,00
UO+OI 4.181,92 4.827,38 8.251,81 10.811,72 9.473,79
UO+OI después de
2.718,25 3.137,80 5.363,68 7.027,62 6.157,96
impuestos
Total de activos 48.233,10 43.704,03 38.413,25 35.554,89 61.698,29 48.061,42
Pasivos no generadores de 0,00 1.716,59 1.936,71 2.670,57 2.842,69 2.949,36
interés
Capital invertido 48.233,10 41.987,44 36.476,54 32.884,32 58.855,60 45.112,06
CPPC FCL = Ku−AI t /V t−1 13,36% 13,19% 13,69% 13,63% 12,39%
Cargo por capital invertido 6.446,05 5.537,44 4.993,42 4.483,20 7.292,16
EVA -3.727,80 -2.399,64 370,26 2.544,42 -1.134,20
VT del FCL 81.697,96
Liquidación de activos
480,87
corrientes
Menos capital invertido -45.112,06
EVA con VT -3.727,80 -2.399,64 370,26 2.544,42 35.932,57
VP(EVA) a CPPC FCL 15.916,97 21.771,96 27.042,95 30.374,71 31.971,35
Capital invertido 48.233,10 41.987,44 36.476,54 32.884,32 58.855,60
Valor total 64.150,07 63.759,40 63.519,49 63.259,04 90.826,95
El lector puede verificar que este resultado es idéntico al encontrado por el método
propuesto en el cuerpo del capítulo 10 y por el cálculo en el capítulo 9, cuando se usaron el
FCC, el FCL y el FCA.
Ahora hacemos el cálculo usando la utilidad neta para hallar la utilidad económica y
la descontamos con Ke.
Tabla A10.1.3 Cálculo temporal del EVA con Ke (sin resolver la circularidad)
22

Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Kd 12,95% 12,41% 12,43% 11,89% 11,48%
Utilidad neta -120,35 993,92 3.699,07 5.944,72 3.426,06
Total patrimonio 15.000,00 14.879,65 15.873,58 18.876,90 22.232,27 21.497,03
Ke = Ku+(Ku−Kd)D/E
Costo del patrimonio 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Utilidad económica
-120,35 993,92 3.699,07 5.944,72 3.426,06
(UE)
VT del FCL 74.621,72
Menos deuda -23.615,0
Liquidación de activos
480,20
corrientes
Menos patrimonio -21.497,03
UE+TV−patrimonio
-120,35 993,92 3.699,07 5.944,72 33.415,92
invertido
VP(UE+TV) 43.933,29 44.053,63 43.059,71 39.360,64 33.415,92
Patrimonio 15.000,00 14.879,65 15.873,58 18.876,90 22.232,27
Suma 58.933,29 58.933,29 58.933,29 58.237,54 55.648,19
Valor total (V) 92.166,39 86.041,07 79.536,25 72.244,96 92.271,52
Con estos valores provisionales se puede trabajar el proceso de iteración
(automático en una hoja de cálculo) y hallar el valor de la firma final. Ahora introducimos
la fórmula para Ke y se resuelve la circularidad.
Tabla A10.1.4 Cálculo temporal del EVA con Ke (con la circularidad resuelta)
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Kd 12,95% 12,41% 12,43% 11,89% 11,48%
Utilidad neta -120,35 993,92 3.699,07 5.944,72 3.426,06
Total patrimonio 15.000,00 14.879,65 15.873,58 18.876,90 22.232,27 21.497,03
Ke = Ku+(Ku−Kd)D/E 18,55% 17,09% 16,38% 15,31% 15,72%
Costo del patrimonio 2.782,28 2.543,40 2.600,50 2.890,41 3.495,19
Utilidad económica
-2.902,63 -1.549,48 1.098,57 3.054,31 -69,13
(UE)
VT del FCL 81.697,96
Menos deuda -23,615,00
Liquidación de activos
480,20
corrientes
Menos patrimonio -21.497,03
UE+TV−patrimonio
-2.902,63 -1.549,48 1.098,57 3.054,31 36.997,64
invertido
VP(UE+TV) 15.916,97 21.771,96 27.042,95 30.374,71 31.971,35
Patrimonio 15.000,00 14.879,65 15.873,58 18.876,90 22.232,27
Suma 30.916,97 36.651,62 42.916,53 49.251,62 54.203,62
Valor total (V) 64.150,07 63.759,40 63.519,49 63.259,04 90.826,95
23

Nuevamente, los resultados son idénticos a los obtenidos con los métodos
estudiados en capítulos anteriores y en este capítulo.
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renta presuntiva y ajustes por inflación. Su tratamiento con flujo de caja descontado
y EVA©”, working paper, Social Science Research Network, septiembre.
24

Apéndice A10.2
A10.2.1 El control del proyecto. IRVA: un análisis complementario al VPN
Diversos estudios sobre la materia indican con abundancia la importancia de
proyectar flujos de caja y calcular indicadores de rentabilidad (VPN, TIR, etc.). Sin
embargo, poco se le dedica a la actividad de seguimiento y control. Aquí se proponen dos
herramientas analíticas para complementar el cálculo del VPN: la amortización de la
inversión inicial y el período de repago descontado (PRD).
A10.2.1.1 La amortización de la inversión inicial
Para el control y seguimiento de una firma se presenta un enfoque basado en la tabla
de amortización de la inversión. Es el mismo enfoque utilizado para analizar el pago de un
préstamo. Si se examina la tabla de amortización, es posible determinar cuánto valor se crea
y cuándo ocurre esa creación de valor.
Cuando se analiza la tabla de amortización de un préstamo, hay dos posibilidades:
definir el pago total por período o definir la amortización de la deuda. El pago total o cuota
siempre es igual a la amortización más el interés pagado. Cuando se define el pago total,
entonces la amortización se define por resta (pago total menos pago de intereses). Cuando
se define la amortización, el pago total queda definido por suma (interés más amortización).
Esto significa que sólo uno de ellos puede ser definido a priori.
En el caso de una inversión existe una similitud entre el pago total, en el caso de un
préstamo, y el FCL, en el caso de una inversión. Dado el pago total, es posible deducir la
amortización. El interés del préstamo es similar al costo del capital invertido, y la
amortización, similar a la recuperación del capital invertido. Si se examina la Tabla
A10.2.1, será posible encontrar si ocurre o no creación de valor y, en caso afirmativo,
cuándo.
Suponga nuestra firma del ejemplo con el siguiente flujo de caja del capital (FCC) y
el costo promedio ponderado de capital para el FCC (CPPC FCC ), proyectados:
25

Tabla A10.2.1 Amortización proyectada de la inversión
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Inversión por recuperar al
-48.233,10 -45.352,07 -42.332,56 -38.872,77 -62.891,26
inicio del período
(final a t−1) (1)
Costo del capital invertido
-7.546,55 -6.848,39 -6.392,43 -5.657,93 -8.810,75
(2) = (6)×(1)
FCC (3) 10.427,59 9.867,90 9.852,22 -18.360,56 72.998,51
Amortización de la
2.881,04 3.019,51 3.459,79 -24.018,50 64.187,76
inversión y valor agregado
(4) = (3)+(2)
Inversión por recuperar al -48.233,10 -45.352,07 -42.332,56 -38.872,77 -62.891,26 1.296,50
final del período
(5) = (1)+(4)
Tasas de descuento (6) 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
Saldo en N 1.296,50
VPN de saldo en N 647,93 749,31 862,46 992,70 1.137,18
La fila 4 es la recuperación de la inversión y el valor agregado, y se denomina
inversión recuperada y valor agregado (IRVA). Su valor define si el flujo de caja libre
(FCL) de la firma paga el costo del capital invertido y si se genera o no valor económico
agregado. La expresión matemática que define a IRVA es:
IRVA
t
⎛
t
= − × ⎜
− ∑ − FCC
FCC
t
CPPC t Io
⎝ j=
1
1
⎞
IRVA ⎟
j
⎠
(A10.2.1)
Donde IRVA t es la inversión recuperada y valor agregado del período t; FCC, el
flujo de caja de capital; CPPC FCC t, el costo promedio ponderado de capital para el FCC en
el período t; Io, la inversión inicial, e IRVA j , el IRVA de períodos anteriores.
En la Tabla A10.2.1 se puede observar que hasta cierto momento el FCC recupera el
capital invertido y su costo. Luego, a partir de este punto, hay creación de valor. Este punto
en el tiempo se llama período de repago descontado 7 (PRD).
A10.2.1.2 El período de repago descontado
Un indicador clásico de la conveniencia de un proyecto es el período de repago. Sin
embargo, este índice no tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Una alternativa es
calcular el PRD. Este último es el tiempo en que se recupera la inversión inicial más los
intereses del CPPC. Esto es, cuando el valor presente neto (VPN) es cero.
La formulación del período de repago es:
PRD = t
o
7 Véase Tabla A10.2.1 y capítulo 3.
PRD = t
t
∑
j=
0
t
FCC
( 1+
i)
FCC
j
∑ t
j=
0
∏ ( 1+
i
j)
j=
0
j
j
=
0 cuando i es
=
0 cuando i es
26
constante
variable
(A10.2.2)

(A10.2.3)
Donde PRD es el período de repago descontado; i e i j son el CPPC FCC ; j es el
período, y FCC j es el flujo de caja de capital en el período t.
Este índice es muy importante, porque indica que no se puede esperar creación de
valor económico agregado antes de ese tiempo. Antes del PRD, el FCC recupera apenas el
capital invertido. A partir del PRD, el FCC comienza a general valor agregado.
Tabla A10.2.2 Generación de VPN y el PRD
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
FCC 10.427,59 9.867,90 9.852,22 -18.360,56 103.551,35
CPPC FCC 15,65% 15,10% 15,10% 14,56% 14,01%
VPN acumulado -48.233,10 -39.216,29 -31.802,90 -25.372,33 -35.833,66 15.916,97
Obsérvese que el saldo de la inversión no amortizada indica la generación de VPN.
Al calcular cada uno de esos saldos como valor presente, se obtiene el VPN acumulado
hasta el tiempo t. En esta columna también se puede detectar el PRD, que es el tiempo en
que el proyecto devuelve la inversión y el costo del dinero, o sea, cuando el VPN es cero.
En este ejemplo el PRD está entre 4 y 5 períodos (si se hacen los cálculos de regla de tres
simple se obtiene que PRD = 4,98). Esto se puede ver muy bien en la Gráfica A10.2.1
Gráfica A10.2.1 VPN acumulado y PRD
VPN acumulado hasta t y PRD
20,000
10,000
PRD = 4,69
15,917
-
-10,000
- 1 2 3 4 5 6
VPN
-20,000
-30,000
-40,000
-39,216
-31,803
-25,372
-35,834
-50,000
-48,233
-60,000
Año
27

¿Qué es lo que interesa? Primero, que se verifique que el FCL y las tasas de
descuento se cumplan y, por lo tanto, la amortización de la inversión y valor agregado
ocurran como se había planeado. Segundo, que se calcule el PRD y se verifique cuándo se
llega a este punto. Esto es importante, porque sólo después de ese punto se puede crear
valor económico agregado. No se debe esperar ninguna creación de valor antes de que se
llegue al PRD. Antes del período correspondiente a PRD cualquier excedente que se
produzca no corresponde a generación de valor, sino que va apenas a cubrir la inversión
inicial o su costo de capital.
A10.2.2 FCC real frente al FCC presupuestado
Para hacer un adecuado seguimiento del proyecto se deben controlar variables:
• El FCC.
• Las tasas de descuento
• La amortización de la inversión y el valor agregado.
• El PRD.
Entonces, se debe comparar el FCC proyectado con el FCC real. Ahora hay que
comparar la forma como el proyecto recupera la inversión inicial y genera valor agregado.
Esto se hace construyendo una tabla de amortización real similar a la tabla de amortización
de la inversión proyectada, pero introduciendo el FCC y la tasa de descuento reales.
A10.2.3 El flujo de caja real
Una de las razones que tienen aquellos que promueven el EVA para partir de los
datos contables (utilidad neta o utilidad operacional) es la sencillez. Sin embargo, en la
realidad eso implica hacer más de 160 ajustes (que se mantienen en secreto), para tratar de
aproximarse a una cifra razonable. En otras palabras, lo que se intenta es aproximarse al
FCL, que es donde en realidad se genera valor.
Weissenrieder (1997) propone el enfoque de cash value added (CVA) como
alternativa a la medición del valor a partir de las cifras de utilidades contables y sugiere que
se abandone el enfoque del EVA. Su propuesta incluye la determinación de los flujos de
caja a partir del EdeR, partiendo de la utilidad neta contable y deduciéndole el incremento
en capital de trabajo. Esta idea se discute en Velez Pareja (1999 y 2000) y una propuesta
alterna se plantea eliminando el saldo de caja y bancos del cálculo del capital de trabajo e
incluyendo el ahorro de impuestos por pago de intereses, lo que usualmente no se hace.
Para intentar mantener un enfoque fácil y manejable se deberá partir de cifras
contables, pero para calcular antes el FCC real (o el FCL real 8 ). Esto es, basándose en los
estados financieros del período anterior, se calcula lo que fue el FCC o el FCL.
Así, el FCC real (FCC r ) se define como:
FCC real = FCD real +FCA real
(A10.2.4)
8 Si se usa el FCL entonces FCL real = FCD real +FCA rea AI real .
28

Es necesario aclarar que algunos de los ajustes propuestos no están relacionados con
la causación o la asignación de costos. Ciertos ajustes tienen que ver con su naturaleza. Por
ejemplo, el ejemplo clásico de los textos sobre EVA, en cuanto a si los gastos de
investigación y desarrollo son un gasto o una inversión. Esta distinción no es necesaria si el
enfoque parte del FCC r o del FCL r .
Después de todo este análisis, ya se puede presentar la idea de un EVA, verdadero o
de caja, o al menos no tan aproximado como el EVA, que está basado en valores contables,
para el seguimiento del proyecto (o empresa). Como se trata de determinar si se está
aumentando el valor de la firma –en otras palabras, si se está contribuyendo al VPN
calculado años atrás con el cual se aceptó el proyecto– se debe comparar el FCL proyectado
del proyecto con el real, y esto es muy fácil de hacer (en el caso de una firma). Hay que
recordar que una firma o proyecto puede no generar valor en unos períodos (esto por lo
general ocurre en la realidad). Lo importante es verificar si lo real se comporta como lo
proyectado.
Basándose en esta suma se puede determinar si se está generado o no VPN, y ésta es
la suma que debe ser comparada con el FCL proyectado. En particular, a partir de este FCL
real se puede determinar si se está generando valor adicional para la firma (remanente por
encima de la inversión y del costo del dinero). La duda que puede quedar es si una empresa
con muchos años de vida puede mantener el proyecto que la originó. La respuesta es
probablemente no; pero lo que sí debe hacerse en cualquier empresa es una planeación
permanente, y son esos planes contra los que se debe comparar el desempeño de cada
período.
Aquí se propone otra medida para evaluar si se genera o no valor económico
agregado: IRVA. Se trata de determinar cuánto queda del FCL real para recuperar la
inversión y generar valor agregado. En este caso es necesario tener en cuenta todo lo que el
FCL ha recuperado de la inversión en períodos anteriores. Siempre que IRVA sea positiva,
se está haciendo una buena gestión. Si la inversión se ha recuperado, entonces se puede
decir que se está generando valor agregado.
La IRVA se calcula así:
Flujo de caja de capital real menos costo de promedio
ponderado de capital para el FCC de la firma por
(saldo de los activos totales en t−1 menos el
acumulado de la IRVA hasta t−1)
(A10.2.5)
Cuando la inversión se recupere en su totalidad, se estará creando valor si la IRVA
es positiva.
A continuación se presenta en forma detallada la propuesta de IRVA.
Lo que se ha llamado amortización de la inversión y valor agregado real se va a
denominar en lo sucesivo IRVA real, y esta cifra será la que va a determinar si el
desempeño de la gerencia es adecuado y si se ha generado valor. La expresión matemática
que la define es:
29

IRVA
t
⎛
t
= − × ⎜
−∑ − FCC
FCC
rt
CPPC rt I
o
⎝ j=
1
1
⎞
IRVA ⎟
j
⎠
(A10.2.6)
Donde IRVA t es el IRVA en el período t; FCC rt , el flujo de caja de capital real;
CPPC FCC rt, el costo promedio de capital real en el período t, Io, la inversión inicial, e
IRVA j , la IRVA de los períodos anteriores.
A10.2.4 Uso de IRVA
La IRVA, combinada con la tabla de amortización prevista para la firma y su PRD,
es adecuada para medir el desempeño de la firma y de la gerencia.
Lo primero que hay que observar en IRVA es su signo. Si es positivo, significa que
el FCC del período pagó el costo del capital invertido y generó una suma adicional para
recuperar la inversión inicial o para generar valor económico agregado. Es necesario, pero
no suficiente que la IRVA sea positiva para generar valor económico agregado. La señal
inequívoca de una buena gestión es mantener los resultados de acuerdo con lo planeado. Y
la única señal inequívoca de que se ha generado valor económico es una IRVA positiva
después de que se ha alcanzado el PRD.
Si la IRVA es negativa, significa que el FCL no fue suficiente para cubrir el valor
del costo del capital invertido. Esto no significa un mal desempeño. Si fue planeado así
dentro de las proyecciones de los flujos, está bien. Sin embargo, una IRVA negativa
significa que no hay valor económico agregado. En todos los casos la IRVA real debe ser
comparada con la IRVA planeada. Un ejemplo aclara esta aseveración:
Tabla A10.2.3 Cálculo del VPN. Una IRVA positiva no garantiza creación de valor
agregado
t Inversión Costo del Amortizació Flujo de Inversión por Tasas de Factor VPN
(1) por capital n de la caja de recuperar al descuent VP (8) acumulado en
recuperar invertido inversión y capital real final del o reales
t (9)
al inicio del
período (2)
real
(3)
valor
agregado
real
(4)
(5) período
(6)
(7)
0 -40.110,0 1,0000 -40.110,0
1 -40.110,0 -15.630,9 -2.130,9 13.500,0 -42.240,9 38,97% 0,7196 -30.395,7
2 -42.240,9 -16.372,6 -7.372,6 9.000,0 -49.613,4 38,76% 0,5186 -25.728,5
3 -49.613,4 -16.957,9 17.042,1 34.000,0 -32.571,3 34,18% 0,3865 -12.588,1
4 -32.571,3 -10.676,9 23.323,1 34.000,0 -9.248,2 32,78% 0,2911 -2.691,8
5 -9.248,2 -3.051,9 31.948,1 35.000,0 22.699,9 33,00% 0,2188 4.967,8
6 22.699,9 7.540,9 84.540,9 77.000,0 107.240,9 33,22% 0,1643 17.617,1
7 107.240,9 35.861,3 43.661,3 7.800,0 150.902,2 33,44% 0,1231 18.577,3
8 150.902,2 50.793,7 127.336,7 76.543,0 278.238,9 33,66% 0,0921 25.627,3
30

Obsérvese que no es suficiente para que se cree valor agregado que la IRVA sea
positiva. En la tabla anterior es positiva en los períodos 3 y 4, pero se utiliza para la
recuperación de la inversión inicial. No hay generación de valor agregado. De la misma
manera, una IRVA negativa no implica destrucción de valor. Esto significa simplemente
que el FCC no fue suficiente para cubrir el costo del capital invertido. Si esto estaba
planeado, está bien. Lo grave es que ocurra cuando no estaba planeado. El PRD del ejemplo
es 4,35, y sólo después de que este punto se ha alcanzado existe creación de valor.
Aun si la IRVA es negativa es posible concluir que el desempeño de la gerencia es
buena. Si la IRVA real es mayor que el proyectada, indica que hubo una buena gerencia.
En resumen, la regla para utilizar IRVA es:
Para t<PRD:
Si IRVA>IRVA proyectada , el desempeño es bueno, mejor que lo esperado.
Si IRVA<IRVA proyectada , el desempeño es malo, peor que lo esperado.
Si IRVA<0, no hay recuperación de la inversión. Simplemente el FCL no
cubrió el costo del capital invertido.
Si IRVA>0 hay recuperación de la inversión.
Para t>PRD:
Si IRVA>IRVA proyectada , el desempeño es bueno, mejor que lo esperado.
Si IRVA<IRVA proyectada , el desempeño es malo, peor que lo esperado.
Si IRVA<0, no hay creación de valor.
Si IRVA>0, hay creación de valor.
A10.2.5 El procedimiento de análisis con IRVA
Para analizar el desempeño de una firma deberán seguirse los siguientes pasos:
1. Al evaluar la firma no sólo debe calcularse el FCL, sino también el plan de
amortización de la inversión. Así mismo, deberá calcularse el PRD.
2. Cada período deberá comparar el FCC con su FCC r .
3. Cada período deberá comparar la tasa de descuento proyectada con la tasa de descuento
real de ese período.
4. Si t<PRD, no se debe esperar creación de valor. Durante este período sólo se puede
esperar recuperación de la inversión inicial. Si t>PRD, espere creación de valor.
5. Para cada período compare la IRVA real con la IRVA proyectada, de acuerdo con las
ecuaciones.
6. Cada IRVA real calculada deberá guardarse, pues se utilizará en el futuro.
7. La regla de decisión para analizar la IRVA es:
7.1 Si IRVA<0, no hay generación de valor.
7.2 Si t<PRD e IRVA>0, hay recuperación de la inversión, pero no creación de valor.
7.3 Si t>PRD, entonces la IRVA es una medida real del valor agregado o destruido.
8 Aun si IRVA es negativa puede considerarse el desempeño:
8.1 Si IRVA>amortización de la inversión y valor agregado proyectado, el desempeño
es bueno, mejor que lo planeado.
31

8.2 Si IRVA<amortización de la inversión y valor agregado proyectado, el desempeño
es malo, peor que lo planeado.
9 Compare el VPN hasta t:
9.1 Si el VPN t real >VPN t planeado, hay un buen desempeño.
9.2 Si el VPN t real <VPN t planeado , hay un mal desempeño.
10 Vigile el PRD. Si ha llegado a ese punto en el tiempo y no hay VPN positivo, revise si
hubo inversión adicional o si en los períodos pasados el desempeño no estuvo acorde
con lo planeado. IRVA debe ser positiva después de t=PRD (esto es cierto para flujos
de caja convencionales: ingresos seguidos de egresos). En el caso de flujos de caja no
convencionales: ingresos seguidos de egresos y seguidos por ingresos, etc., IRVA
puede ser negativa y, de nuevo, no significa destrucción de valor.
A10.2.6 Algunas conclusiones sobre el EVA y la IRVA
Los ejemplos presentados sugieren lo siguiente:
Para un proyecto con VPN positivo (aceptable, que crea valor), el EVA contable
puede indicar un desempeño inaceptable si se usa el valor en libros para calcular el costo de
capital.
El EVA calculado con fundamento en patrimonio o capital del período analizado
subestima más que el EVA calculado con las cifras del período anterior.
Para que el EVA calculado refleje la realidad de la generación de valor es necesario
hacer muchos ajustes 9 (entre ésos, tener en cuenta que las inversiones de excedentes, que
aparecen como un egreso, son generación de valor).
Existen buenas alternativas para establecer control y seguimiento sobre un proyecto
o para definir puntos de referencia para el pago de incentivos en una organización. Una de
éstas es el flujo de caja real, el cual puede ser calculado a partir de los estados financieros
disponibles para el público.
Estas inconsistencias pueden estar ocasionadas por el hecho de que siempre se está
descontando el costo de capital multiplicado por el valor total de los activos o del
patrimonio. De esa manera se desconoce que el proyecto o firma ha ido devolviendo parte
de esos activos o patrimonio. Habrá con seguridad otras explicaciones, que habrá que
estudiar con más detenimiento.
El seguimiento y control de un proyecto y la determinación de la creación de valor
no es un método simple. No se puede lograr con una cifra mágica ni, mucho menos, con
datos derivados de utilidades contables. En tal caso, es necesario hacer muchos ajustes para
corregir los efectos que se presentan, debido a que la contabilidad trabaja sobre causación y
asignación de costos. Cuando se trabaja con IRVA es innecesario hacer los ajustes de otras
metodologías, porque la creación de valor está asociada a los FCL y no a las utilidades
contables.
El enfoque IRVA, que mide desempeño, presenta varias ventajas:
A10.2.7 Ventajas de IRVA
9 Hay autores –incluido Bennet Stewart, uno de los creadores del EVA– que han identificado hasta 164 ajustes para tratar
de calcular en forma adecuada el EVA de una firma. (Véase Shaked, Allen y Leroy, 1997).
32

• Examina las diferentes fuentes de generación o destrucción de valor: el CPPC FCC y
el FCC r .
• Permite analizar el proyecto en su capacidad de cubrir la inversión y el costo del
dinero a lo largo del tiempo.
• Permite calcular el PRD, el cual es el punto donde en realidad se empieza a generar
valor (se empieza a generar VPN).
• Es consistente con el VPN, es decir, la maximización del valor de la firma.
• Es sencillo, sin ser simplista.
• Es una herramienta de control gerencial que verifica lo real contra lo planeado.
• No depende de un sistema de depreciación, como otros métodos.
Referencias bibliográficas
Shaked, Israel; Michel, Allen, y Leroy, Pierre. 1997. “Creating Value Through E.V.A.
Myth or Reality?”, Strategy & Business, Fourth Quarter, disponible en
http://www.strategy-business.com/strategy/97404/page3.html.
Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation, Academic
Press, San Diego.
Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Decisiones de inversión, Enfocado a la valoración de
empresas, 4ª ed., Ceja, Bogotá, disponible en
http://www.poligran.edu.co/decisiones.
—. 2000. “Construction of Free Cash Flows. A Pedagogical Note. Part II”, Social Science
Research Network, Corporate Finance. Valuation, Capital Budgeting and Investment
Policy (WPS), vol. 3, No. 3, February, disponible en
http://papers.ssrn.com/paper.taf?ABSTRACT_ID=199752.
—. 1999a. “Construction of Free Cash Flows a Pedagogical Note. Part I”, Social Science
Research Network, Corporate Finance. Valuation, Capital Budgeting and Investment
Policy (WPS), vol. 2, No. 20, December, disponible en
http://papers.ssrn.com/paper.taf?ABSTRACT_ID=196588.
Weissenrieder, Fredrik. 1997. “Value Based Management. Economic Value Added or Cash
Value Added?”, Social Science Research Network.
33

11
Evaluación de proyectos en inflación
Pa’ podé arreglar del pobre la situación si el político
ladrón nos entretiene con cuentos y estadísticas
diciendo: ¡la culpa es de la inflación”
Rubén Blades, Déjenme reír (Para no llorar), en
Maestra vida
La inercia del espíritu humano y su resistencia al
cambio no se manifiestan, como se podría creer, en las
masas ignorantes —fácilmente convencidas con sólo
apelar a su imaginación—, sino en los profesionales
que viven en la tradición y del monopolio de la
enseñanza. Toda innovación es una doble amenaza
para las mediocridades académicas: pone en peligro
su autoridad de oráculo y evoca la horrenda
posibilidad de ver derrumbarse todo el edificio
intelectual laboriosamente construido.
Arthur Koestler, “Los sonámbulos”
Es muy divertido hacer lo imposible.
Walt Disney
Hay abundantes estudios sobre cómo involucrar la inflación en la evaluación de un
proyecto. Muchos de esos autores son de países desarrollados con bajas o casi nulas tasas
de inflación. En esta medida se explica por qué no se le hace un tratamiento detallado a este
problema. Sin embargo, como se verá más adelante, la distorsión de la inflación al evaluar
un proyecto llega a ser importante, aun en economías con inflaciones de un dígito. Por esta
razón, en este capítulo se estudia el efecto de la inflación en la evaluación de proyectos.
Hay tres enfoques para hacer la evaluación de proyectos en condiciones
inflacionarias:
• Precios nominales o corrientes (precios proyectados).
• Precios constantes (se conoce también como inflación neutral).
• Pesos (o cualquier otra moneda) constantes (inflación no neutral en los precios
descontando el efecto de la inflación proyectada).
El enfoque de precios corrientes o nominales proyecta los precios de los insumos y
productos y descuenta los flujos de caja futuros a las tasas de descuento futuras nominales o
corrientes. El enfoque de precios constantes no proyecta aumentos de precios, sino que
supone que los precios se mantienen iguales y constantes al precio del instante cero a través
de toda la vida del proyecto, y descuenta los flujos de caja futuros a la tasa de descuento
real. Por último, el enfoque de los pesos constantes proyecta los aumentos relativos de
precios y descuenta los flujos de caja futuros con la tasa de descuento real 1 .
Muchos analistas de proyectos dicen que cualquiera de los enfoques produce los
mismos resultados. La única precaución en que insisten es que se debe ser consistente: no
se deben mezclar flujos de caja nominales o corrientes con tasas de descuento reales y
viceversa. Esta recomendación es una sutil manera de decir que si hay consistencia,
1 Para una descripción típica de la forma de trabajar cifras a precios constantes se recomienda la lectura del capítulo 14 de
un texto clásico de nuestras facultades de economía: Técnicas de medición económica. Metodología y aplicaciones en
Colombia (Lora, 2005).
1

entonces cualquiera de los enfoques producirá una respuesta correcta. Esto no es cierto, en
general, como se demostrará en esta parte del capítulo.
Cuando se revisa la literatura sobre el tema, en particular los libros de texto de
finanzas y de evaluación de proyectos, se encuentra que muchos autores no son
suficientemente claros acerca de cuál es el enfoque apropiado para evaluar proyectos en
inflación. El resultado es que en la práctica –y esto es crítico en las economías con altas
tasas de inflación– los analistas de proyectos terminan evaluando proyectos de la manera
equivocada.
Van Horne (1971) muestra que hay un sesgo cuando los flujos de caja reales se
descuentan con tasas nominales (hay algunos errores de redondeo que se explican por la
falta de herramientas de cálculo como las que se tienen hoy).
Cooley, Roenfeldt y Chew (1975); Bailey y Jensen (1977), y Howe (1992)
reconocen que hay que incluir la inflación y que no considerarla lleva a decisiones
subóptimas y que se producen sesgos.
Findlay (1976) anota que no hay justificación teórica para hacer valoración en
términos reales o constantes.
Nelson (1976) dice que en un mundo ideal sin impuestos la inflación no afecta el
valor y que el ordenamiento por valor presente neto (VPN) dependerá de la inflación.
Canada y White (1980 y 1996) sugieren que es necesario ser cuidadosos y
consistentes: los flujos de caja a precios corrientes se deben descontar con tasas de
descuento corrientes, y los flujos de caja a precios constantes, con la tasa de descuento real;
sin embargo, reconocen que los impuestos y la depreciación introducen algún sesgo en el
análisis.
Levy y Sarnat (1982) dicen que la respuesta correcta se obtiene con cualquiera de
los métodos y que la única precaución que se debe tener es no mezclar tasas de interés (de
descuento) y flujos de caja. Sin embargo, dedican un buen espacio a demostrar que cuando
hay impuestos, la depreciación introduce un sesgo hacia arriba (mayor VPN) cuando se
trabaja con precios constantes.
Rappaport y Taggart (1982) reconocen los tres enfoques. Sin impuestos, dan lo
mismo. Identifican el problema del efecto de la depreciación, ya que si no hay impuestos
entonces no hay ahorro en impuestos por depreciación (TD). Reconocen que el valor de los
ahorros en impuestos por depreciación, cuando se calcula con el método de precios
nominales, es menor que cuando se hace con precios constantes. Además, consideran, al
igual que Arzac (2005), que con el método de precios reales se proyecta a precios
nominales y se deflacta.
Vélez Pareja (1983, 1987, 1994, 1998, 1999 y 2004) menciona que para decisiones
sobre reemplazo de equipo no es equivalente trabajar con precios corrientes y con precios
constantes). Por otra parte, Vélez-Pareja y Tham (2002 y 2004) y Tham y Vélez-Pareja
(2002 y 2004) señalan que la valoración a precios constantes y a precios nominales no da lo
mismo, que la depreciación produce un sesgo y muestran las condiciones para que los
resultados sean idénticos.
Tanto Ezzell y Kelly (1984) como Mills (1996) reconocen el sesgo causado por el
ahorro en impuestos por depreciación o el capital de trabajo. Ezzell y Kelly (1984) critican
la ‘regla’ de considerar que sólo es necesario ser consistentes entre flujos y tasas de
descuento para obtener resultados idénticos.
Mehta, Curley y Fung (1984) dicen que cuando la inflación es neutral, todos los
métodos dan lo mismo y que el método de precios nominales es más fácil de utilizar.
2

Asimismo, dicen que cuando la inflación es neutral (no hay aumentos reales de precios), los
métodos dan lo mismo.
Dixon y Hufschmidt (1986) reconocen que la inflación neutral no se puede suponer
(cuando se trabaja con precios constantes) y proponen trabajar con el aumento relativo de
los precios. Creen que los resultados son idénticos una vez que se incluyan tales aumentos
relativos.
Howe (1992) reconoce que debemos incluir la inflación en el análisis. Extrañamente
dice que es muy raro encontrar que se descuenten flujos de caja reales con tasas de
descuento reales. Damodaran (1996) presenta un ejemplo que muestra la equivalencia de
trabajar con cualquier método, y previene al lector de no mezclar tasas y flujos de caja.
Weston y Copeland (1992) presentan un ejemplo muy detallado y señalan que
cuando no hay inflación (o cuando hay inflación neutral), los resultados son los mismos.
Cuando la inflación no es neutral, los resultados difieren; sin embargo, el lector termina con
la idea de que la decisión resultante es la misma (el ejemplo muestra dos VPN positivos y
no previene al lector sobre la posibilidad de llegar a ser contradictoria).
Brealey, Myers y Marcus (1995), así como Brealey y Myers (1996 y 2003) dicen
que se obtiene el mismo VPN ya sea con flujos de caja a precios corrientes y tasas de
descuento corrientes o con flujos de caja a precios constantes y tasa de descuento real. Los
autores previenen al lector de no mezclar tasas reales y flujos de caja a precios constantes y
viceversa.
Van Horne (1997) acepta que debe utilizarse el método de precios constantes. Ross,
Westerfield y Jaffe (1999) previenen que no hay que mezclar flujos reales con tasas
nominales y viceversa.
Copeland, Koller y Murrin (2000), en general, dicen que es lo mismo trabajar con
cualquier método y que el secreto es no mezclar tasas y flujos. Dicen, además, que “cuando
se hace en forma apropiada los valores son idénticos”. Se mostrará que esto no es cierto.
Belli et al. (2001) dicen que “definir los flujos de caja de un proyecto en precios
nominales requiere una proyección de la inflación. Esto es una tarea difícil, si no
imposible”. Arzac (2005) dice que debe valorarse con nominales, pero que el análisis a
reales es el nominal deflactado 2 .
Como se puede apreciar, muy pocos autores hacen la suficiente claridad para
comprometerse con el enfoque correcto: los datos proyectados para calcular los flujos de
caja se deben hacer a precios nominales o corrientes, y esos flujos de caja futuros tienen
que descontarse a la tasa de descuento corriente o nominal. Estas posiciones son muy
importantes, y lo son porque muchos creen –por lo menos, según lo que se encuentra en las
recomendaciones de algunas instituciones financieras como el Banco Interamericano de
Desarrollo (BID)– que el procedimiento correcto es el de los precios constantes. El BID
apoya la metodología de precios constantes.
2
El profesor Arzac ofrece un sitio en internet donde se pueden encontrar las proyecciones de la inflación
(http://www.phil.frb.org/econ/spf/index.html). Sin embargo, hay que anotar que ‘demuestra’ que valorar con flujos
deflactados y flujos nominales se obtiene el mismo resultado. Esto es cierto en la medida en que los flujos de caja estén en
precios corrientes y se deflacten lo mismo que la tasa de descuento. Por supuesto, en esas condiciones se obtiene el mismo
resultado, porque esa operación significa que el numerador (los flujos de caja) y el denominador (las tasas de descuento)
se están dividiendo por la misma cantidad (1+i f ) j , donde i f es la tasa de inflación y j es el período. Esto no es la
metodología de precios constantes o reales; sencillamente es deflactar flujos y tasas de descuento.
3

Cabe anotar que algunos economistas argumentan que la metodología a precios
constantes sí puede implicar ¡aumento de precios!... relativos. Esto, obviamente, es una
contradicción. Esta propuesta se analiza más adelante 3 .
Así mismo, hay que insistir en que se ha generalizado el uso de precios constantes
con cero aumento de precios, esto es, que los precios del año 0 se mantienen a lo largo de la
vida del proyecto. Esto es equivocado. En los párrafos siguientes se estudia el problema que
surge entre las dos metodologías (tres si se acepta la posición arriba planteada). Debo
aclarar también que la metodología de precios constantes implica que los precios iniciales
no cambian; la metodología de pesos constantes es diferente y supone que los precios sí
cambian y que este cambio se refleja en los llamados precios relativos. Debo hacer
hincapié en el análisis y crítica de la metodología de precios constantes, porque está muy
difundida, tanto para la evaluación social de proyectos como para la evaluación privada de
proyectos.
El principal argumento que se esgrime para defender esta metodología es que no se
incurre en los posibles errores al tratar de pronosticar la inflación o el aumento de los
precios y que, además, se obtienen los mismos resultados. Lo primero sería aceptable hace
cincuenta años, cuando los instrumentos de cálculo y de análisis eran muy precarios; hoy,
con la disponibilidad de los computadores, este argumento pierde toda validez.
Lo segundo es una falacia que surge de un esquema que proyecta los flujos a precios
corrientes y después deflacta esos flujos con una tasa de inflación y, a su vez, deflacta la
tasa de interés con la misma tasa de inflación; esto es aritmética elemental, pues al dividir
numerador y denominador por la misma cifra, los resultados al calcular el VPN (véase
Arzac, 2005) son idénticos. Pero la realidad es otra; como se verá más adelante, los precios
no aumentan lo mismo que la inflación.
Otra razón que esgrimen las entidades financieras es que se debe evitar la
apreciación subjetiva sobre precios que puede hacer cada solicitante de crédito. Es posible
evitar esto fácilmente si se tiene en cuenta que los bancos centrales o las oficinas de
estadística de los países mantienen información de todos los sectores y subsectores de la
economía, de manera que sus departamentos de estudios económicos podrían hacer cálculos
de precios o de los aumentos de éstos, para imponerlos en cada caso o para evaluar si el
cálculo que hace el usuario es irreal o no. Incluso se podría pensar en establecer una franja
de precios o de aumentos por sectores y subsectores de la economía.
Por otro lado, pareciera que aquellos quienes defienden esta metodología de análisis
desconocen los supuestos implícitos que se hacen al suponer la inexistencia de los
aumentos de precios y la coincidencia en las decisiones alcanzadas por el análisis a precios
corrientes y a precios constantes.
11.1 Problemas y soluciones
Se debe garantizar que con las dos metodologías se van a obtener resultados
idénticos en el VPN; si no son iguales –aunque tengan el mismo signo–, con sólo variar el
3 Deseo dejar constancia de que algunos economistas amigos insisten en que la metodología a precios constantes no
implica aumentos de precios iguales a cero; según ellos, esta metodología de precios constantes debe llamarse precios a
pesos constantes, lo cual permite considerar cambios de precios relativos. Insisto en que precios constantes implica
mantener iguales los precios y que pesos constantes implica deflactar por medio de un deflactor, que podría ser el índice
de precios al consumidor (IPC), lo cual dejaría implícitos los aumentos de precios relativos.
4

monto de la inversión inicial se cambiaría la decisión. Veamos el siguiente ejemplo
elemental.
La tabla muestra el VPN de un proyecto con dos metodologías:
Metodología VPN ($) Decisión
A precios constantes 1.000 Aceptar
A precios corrientes 2.000 Aceptar
Ejemplo 1
sería:
Si se aumentara la inversión en el instante cero en $1.500, entonces la situación
Metodología VPN ($) Decisión
A precios constantes -500 Rechazar
A precios corrientes 500 Aceptar
Aquí se ve que con los mismos supuestos en cada metodología y cambiando sólo la
inversión inicial, la decisión cambia. Por lo tanto, evaluar proyectos con una u otra no
produce necesariamente los mismos resultados. Alguna de las dos debe estar errada. La
metodología de precios corrientes pretende modelar la realidad tal y como se espera que
ocurra en el futuro; la otra implica unos supuestos y mezcla de cifras en pesos de diferente
poder adquisitivo que, como se verá a continuación, deberá ser desechada por equivocada.
Hay un ejemplo detallado en el archivo de Excel INFLACION.XLS en varias hojas,
disponible en http://www.poligran.edu.co/decisiones, y a ese ejemplo se hará referencia en
este aparte del capítulo. Se puede copiar desde la red; es más, se aconseja estudiar esta parte
acompañado de esas hojas de cálculo.
11.2 Supuestos implícitos
Los supuestos implícitos que hay detrás del análisis de la metodología de precios
constantes para que la decisión siempre coincida por idéntica con el análisis a precios
corrientes son los siguientes –esto implica que los resultados del VPN con la metodología
de precios corrientes sean idénticos a los resultados del VPN con la metodología de precios
constantes, así como lo señalan Vélez Pareja (1999 y 2005) y Vélez Pareja y Tham (2002)–
:
1. ¡No hay impuestos!
2. Los aumentos de precios que ocurren en la realidad serán iguales a la tasa de
inflación, incluida en la tasa de descuento nominal o corriente.
3. Todas las ventas y pagos por bienes y servicios se hacen de contado, no hay
ninguna clase de plazo.
4. No existe valor de salvamento.
5. No existe ningún efecto de elasticidad precio-demanda.
6. La tasa de descuento, cuando se usa la metodología de precios corrientes o
nominales, debe ser exactamente igual a (1 tasa real/1+tasa de inflación)–1 y a
precios constantes debe ser igual a i r , la tasa de interés real.
5

7. Todos los excedentes de liquidez se distribuyen a los dueños de la deuda y
del patrimonio.
8. La tasa del costo de la deuda debe ser deflactada con la inflación de cada
año.
Estas ocho condiciones se deben incluir en los análisis (precios constantes, reales y
corrientes o nominales) para obtener VPN idénticos entre todas las metodologías. Cada uno
de estos supuestos o condiciones se estudia a continuación.
11.2.1 Supuesto 1: ¡no hay impuestos!
Cuando hay impuestos, la depreciación y los intereses generan ahorros que se
atribuyen al proyecto. En general, como se estudió en los capítulos 7 y 8, cualquier gasto
deducible de impuestos genera ahorros en impuestos. En el caso de la depreciación, sería
idéntico en valor absoluto a precios constantes y a precios corrientes.
Sin embargo, el valor relativo es mayor a precios constantes que a precios
corrientes. Por lo tanto, el proyecto quedaría sobrevaluado, porque se subestima la renta
gravable y con ello, los impuestos por pagar. Ahora bien, como los impuestos son
inevitables, si se supone que sí hay impuestos, entonces debe suponerse que no hay
depreciación, ni financiación. Algunos autores que ya han tomado conciencia de esto
proponen ¡deflactar la depreciación! Esto es manipulación de cifras sin ningún sentido
económico.
Analíticamente se puede hacer la siguiente consideración: si se supone que todos los
ingresos y gastos registrados en un estado de resultados (EdeR) corresponden a operaciones
de contado y que no existe financiación, entonces el flujo de caja libre (FCL) después de
impuestos sería 4 :
(S–D)×(1–T)+D = (1–T)S+TD (11.1)
Donde S es la utilidad bruta (UB); T, la tasa de impuestos, y D, la depreciación.
Si no existe inflación, el VPN (expresado como VPN NI ) a la tasa de descuento real
(i r ) sería:
VPN
NI
=
n
∑
n
( 1 − T ) St
TDt
+
t
( )
∑
1 + i t = 1 ( + i )
t = 1 r
1
r
t
− I
(11.2)
Si hay inflación (i f ) y todos los precios y costos aumentan en ese porcentaje,
entonces la UB (S t ) se aumenta en (1+i f ) t y el factor de valor presente se reduce por
1/(1+i f ) t , esto es, el VPN con inflación (VPN I ) es:
4 Este análisis se basa en Levy y Sarnat (1982) y utilizo la misma notación.
6

VPN
=
n
I
=
n
t
( 1−
T ) S ( + ) n
t
1 i
f
TDt
∑
+
t t
( ) ( ) ∑ t t
t=
1 1+
i 1+
i t=
1 ( 1+
i ) ( 1+
i )
( 1−
T )
n
t
t
∑ +
t
( )
∑ t t
t=
1 1+
i t=
1 ( 1+
i ) ( 1+
i )
r
S
r
f
r
TD
f
− I
r
f
− I
(11.3)
O sea que se va a presentar una diferencia entre el VPN a precios constantes (sin
inflación) y el VPN a precios corrientes (con inflación).
Esta diferencia es:
n
TD
n
t
t
∑ −
t
( )
∑ t t
t= 1 1+
i t=
1 ( 1+
i ) ( 1+
i )
r
r
TD
f
(11.4)
Si se analiza el valor presente de una cuota uniforme de $1 durante 5 años y se
compara ese valor presente a tasa de interés real contra el mismo valor presente a tasa de
interés corriente, se encuentra una amplia gama de distorsiones. En Tabla 11.2 se encuentra
el error en favor del análisis a precios constantes por $1 en ahorros en impuestos por
depreciación durante 5 años para diferentes combinaciones de tasas de interés reales y tasas
de inflación. El cálculo está hecho como:
Valor presente de ahorro en impuestos por depreciación a tasa real
− 1 (11.5)
Valor presente de ahorro en impuestos por depreciación a tasa corriente
Tabla 11.1 Error en valor presente de ahorro en depreciación: precios constantes
frente a precios corrientes
Tasa de interés real
Inflación
1% 3% 5% 6% 10% 12%
0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
1,00% 3,00% 2,96% 2,92% 2,90% 2,83% 2,79%
2,00% 6,04% 5,96% 5,87% 5,84% 5,68% 5,61%
2,50% 7,57% 7,47% 7,36% 7,31% 7,12% 7,03%
5,00% 15,38% 15,16% 14,94% 14,84% 14,43% 14,23%
7,50% 23,41% 23,06% 22,72% 22,55% 21,91% 21,60%
10,00% 31,65% 31,16% 30,69% 30,45% 29,56% 29,13%
12,50% 40,10% 39,46% 38,84% 38,54% 37,36% 36,80%
15,00% 48,75% 47,94% 47,16% 46,78% 45,32% 44,62%
17,50% 57,58% 56,60% 55,66% 55,19% 53,41% 52,56%
20,00% 66,59% 65,43% 64,30% 63,75% 61,64% 60,63%
22,50% 75,78% 74,41% 73,10% 72,46% 69,99% 68,82%
Se puede observar que aun en escenarios con bajas tasas de inflación los efectos del
sesgo de evaluar un flujo de caja con la metodología de precios constantes (en lo que se
refiere a ahorros en impuestos por depreciación) se producen errores considerables.
7

El efecto de la depreciación sobre el VPN a precios constantes comparado con
precios corrientes se puede apreciar en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2
Si la tasa de interés real es de 6%; la inflación, de 10%, y el aumento relativo de
precios y costos, 1%, entonces la tasa de descuento es de 16,6%. El aumento de precios y
costos es de 11,1%. Los impuestos son de 40%. Un EdeR simplificado es:
Factores Precios constantes Precios corrientes
Aumento de
cada partida
Ventas 100 100,0% 111,1 100,0% 11,1%
Gastos 50 50,0% 55,55 50,0% 11,1%
Depreciación 10 10,0% 10 9,0% 0,0%
Utilidad 40 40,0% 45,55 41,0% 13,9%
Impuestos 16 16,0% 18,22 16,4% 13,9%
Utilidad neta 24 24,0% 27,33 24,6% 13,9%
Si se supone que todas las operaciones se hacen de contado y los impuestos se
pagan en el mismo período en que se causan, entonces el flujo de caja neto será:
Flujo Precios constantes Precios corrientes
Año 1 34,00 37,33
Valor presente $32,08 $32,01
Obsérvese cómo el peso relativo de la depreciación es mayor en la columna de
precios constantes y pesos constantes, y eso se refleja en menores impuestos relativos, lo
cual, a su vez, se refleja en el valor presente.
Aquí se ve con claridad que en este caso un proyecto a precios constantes queda
mejor evaluado (VPN mayor) que ese mismo proyecto evaluado a precios corrientes. Y esto
es grave, porque es posible que muchos proyectos que se hayan aceptado como buenos,
sean malos. Muchas veces, no se sabe por qué, ocurren fracasos estruendosos en proyectos
aparentemente recomendables; aquí hay una posible explicación. El autor tiene alguna
intuición, sin datos empíricos formales para apoyarla, sobre que muchos proyectos –
públicos y privados– fracasan porque han sido aceptados con un VPN positivo calculado
con la metodología de precios constantes y que si se hubieran evaluado a precios corrientes
es posible que hubieran sido rechazados. Esto se debe estudiar de manera formal.
Van Horne (1971) propuso un ejemplo sencillo donde indica el problema de la
inconsistencia al evaluar flujos nominales o corrientes con tasas reales y viceversa. Sin
embargo, no menciona la fuente de la inconsistencia. En ese ejemplo se puede ver con
claridad la diferencia que surge cuando se usa el enfoque de precios constantes y el de
precios corrientes. El ejemplo tiene los siguientes datos de entrada: la tasa de descuento es
12%; la tasa de inflación, 5%; la tasa de descuento real, 6,67%, y la tasa de impuestos,
50%. Así, en la siguiente tabla se presenta un FCL constante con tasa real:
8

Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ingresos 30,0 40,0 50,0 50,0 30,0
Egresos 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0
Depreciación 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0
UO 0,0 10,0 20,0 20,0 0,0
Impuestos (50%) 0,0 5,0 10,0 10,0 0,0
FCL -100,0 20,0 25,0 30,0 30,0 20,0
VPN a tasa real $3,1
En este caso aparece como un buen proyecto. Ahora analicemos el mismo proyecto
con FCL corriente y tasa de descuento corriente. De este modo, tenemos:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ingresos 31,5 44,1 57,9 60,8 38,3
Egresos 10,5 11,0 11,6 12,2 12,8
Depreciación 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0
UO 1,0 13,1 26,3 28,6 5,5
Impuestos (50%) 0,5 6,5 13,2 14,3 2,8
FCL -100,0 20,5 26,5 33,2 34,3 22,8
VPN a tasa real -$2,2
Si se calcula el valor presente del ahorro en impuestos por depreciación, se tiene:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Depreciación 20 20 20 20 20
TD = 50%×20 10 10 10 10 10
VP a tasa real 41,4
VP a tasa nominal 36,1
Diferencia 5,3
VPN a constantes 3,1
VPN a nominales -2,2
Diferencia entre VPN 5,3
La diferencia entre los dos VPN es idéntica a la diferencia entre el valor presente de
los ahorros en impuestos a tasas reales y nominales.
La ecuación 11.4 es muy ‘elegante’ y simple, pero es válida en un contexto muy
restringido, tal como se indicó atrás. Se puede tratar de hacer un ajuste a los resultados de la
metodología a precios constantes, restando la cantidad definida en la fórmula 11.4, pero el
problema es que sólo se puede hacer si el resultado calculado a precios corrientes (VPNI)
¡se conoce!
De hecho, de antemano no se sabe si la firma obtendrá o no los ahorros en
impuestos (los ahorros en impuestos a precios constantes y corrientes). Éstos se conocen
una vez que los estados financieros proforma a precios corrientes y constantes se han
construido, y para conocerlos se debe pronosticar la inflación. Se debe saber si la firma
9

obtiene o no los ahorros en impuestos. Y evitar el pronóstico de la inflación era uno de los
propósitos de la metodología a precios constantes.
Parte de esta diferencia se puede compensar si la evaluación de proyectos a precios
constantes se hace con impuestos calculados sin tener en cuenta los ajustes por inflación y
la evaluación de proyectos a precios corrientes se hace con impuestos calculados teniendo
en cuenta los ajustes por inflación. Sin embargo, esta corrección puede que no sea
suficiente.
Usualmente los ajustes por inflación se hacen cuando se cumplen ciertas
condiciones. En un documento de trabajo del Banco Mundial se dice que las instrucciones
del Banco “… exigen que se apliquen ajustes por inflación a los estados financieros en
aquellos países donde la inflación acumulada en tres años se aproxime o exceda el 100 por
ciento” 5 (Goldschmidt y Yaron, 1991, s. p.). Esto significa que es posible que algunos
países no tengan previsto en su legislación la aplicación de los ajustes a los estados
financieros. Más aún, el hecho que el Banco Mundial exija que se apliquen dichos ajustes
no significa que los efectos que distorsionan los datos desaparezcan. Las distorsiones
existen porque la realidad es diferente a lo que se modela cuando se usa la metodología de
precios constantes. Los ajustes pueden reducir estas distorsiones sólo si en la realidad,
cuando el proyecto esté operando, ocurren éstos.
Además, si se están comparando proyectos con diferente intensidad de inversión en
activos fijos, entonces las diferencias son aún mayores.
11.2.2 Supuesto 2: los aumentos de precios que ocurrirán en la realidad (a
precios corrientes) serán iguales a la tasa de inflación que esté incluida en la tasa de
descuento corriente
La situación del supuesto 2 se denomina inflación neutral, en la cual todos los
precios y costos aumentan exactamente en un porcentaje igual a la inflación. Esto, a simple
vista, es irreal, ya que día a día se observa que el comportamiento de los precios no es igual
a la inflación. De hecho, la inflación es un promedio ponderado de los aumentos de una
gran variedad de productos y servicios.
Hay autores que reconocen este hecho y proponen utilizar los aumentos de precios
relativos (véase Dixon y Hufschmidt, 1986). Esta solución no es suficiente para resolver el
problema, pues quedan pendientes todos los demás puntos aquí mencionados.
Cuando en el archivo INFLACION.XLS se toman los datos del flujo de caja y se
evalúa con tasa sin inflación y con los precios relativos, descontando la inflación 6 –esto no
se hace restando del aumento de precios la inflación, como lo hacen muchos, sino
descontándola del aumento de precio: (1+aumento de precio)/(1+inflación)–1)–, se
encuentra que el proyecto que tenía un VPN negativo de menos 2.902,81 tiene ahora un
VPN positivo de 5.966,46. Este ejemplo está en el archivo mencionado, en la hoja “Precios
relativos”.
Se debe tener en cuenta que la relación entre la tasa de interés corriente y real o
deflactada se establece por:
5 En el ejemplo que se menciona al final de este capítulo, tomado del Banco Mundial, la tasa de inflación es 3,5% y el
acumulado por incluso 10 años está muy lejos del estándar sugerido por el Banco.
6 Esto no se hace restando del aumento de precios la inflación, como lo hacen muchos, sino descontándola del aumento de precio:
(1+aumento de precio)/(1+inflación)–1).
10

(1+i c ) = (1+i r )(1+i f ) (11.6)
Donde i c es la tasa de interés corriente; i r , la tasa de interés real o deflactada, y i f , la
tasa de inflación o componente inflacionaria.
Entonces dos ingresos, uno a precios corrientes y otro a precios constantes o, lo que
es lo mismo, sin aumento de precios, mantienen la siguiente relación si i f = i a . Si todos los
aumentos son iguales a la inflación:
Ic t+1 = Ik t (1+i a ) (11.7)
Ik
Al descontar estos flujos se tiene:
t
Ict+ 1
Ikt
(1+
ia
)
= =
(11.8)
1+
i 1+
i
f
f
Ik
t
(1+
i
r
)
Ict+
1
Ik
t
(1+
i
a
)
=
=
(1+
i )(1+
i ) (1+
i )(1+
i )
f
r
r
f
(11.9)
En este caso, la igualdad es válida si y sólo si i a = i f y Ik t = Ik t+1 (esto significa
precios constantes), o sea:
Ict+
1
Ik
t
(1+
i
a
)
=
(1+
i )(1+
i ) (1+
i )(1+
i )
f
r
r
f
Ik
t
=
(1+
i
r
)
(11.10)
Donde Ik es el ingreso neto a precios constantes; Ic, el ingreso neto a precios
corrientes o nominales; i f , la tasa de inflación; i a , la tasa de aumento en los precios, e i c , la
tasa de interés corriente o nominal.
Esta es la razón por la cual algunos autores dicen que el VPN a precios constantes
es idéntico al VPN a precios corrientes. Si la tasa de inflación y la tasa de aumento de
precios no son iguales, se deduce que habrá unas ganancias (en caso de que el aumento de
precio de los ingresos sea mayor que la inflación o que el aumento de precio de los gastos
sea menor que la inflación) o unas pérdidas (en caso de que el aumento de precio de los
ingresos sea menor que la inflación o que el aumento de precio de los gastos sea mayor que
la inflación) que no son tenidas en cuenta cuando se calcula el VPN 7 .
11.2.3 Supuesto 3: las ventas y los pagos por bienes y servicios se hacen de estricto
contado
Esto, sobra decirlo, está lejos de ser cierto. Para resolver este punto se debe hacer el
cambio propuesto en páginas anteriores, de ajustar las cifras constantes (que se trasladen de
7 Ganancias en el caso en que el aumento de precios de venta sea mayor que la inflación y/o que el aumento en precios de
los insumos sea inferior a la inflación y pérdidas en el caso en que el aumento de los gastos sea mayor que la inflación y/o
que el aumento del ingreso sea menor que la inflación.
11

un período a otro, esto es la cartera por cobrar) por la respectiva inflación. Esto, a su vez,
implica que habrá que calcular la inflación futura, que era una de las ventajas del análisis a
precios constantes.
Teniendo en cuenta las ideas anteriores, hay que analizar qué sucede cuando se
considera que los pagos o ingresos no son de contado. Es decir, cuando se reconoce que una
empresa en su operación normal genera cartera (cuentas por cobrar) y pasivos corrientes
(cuentas por pagar). Entonces, si al pasar una suma de dinero de un período a otro (por
ejemplo en el caso de la cartera pendiente o de los pagos a proveedores) no se ajusta por el
factor de aumento o de inflación, el valor presente de esas sumas no será igual.
Supongamos que se tiene una suma hoy (digamos, una facturación en la fecha) Io.
Esta cantidad se recibe como un flujo de caja de la siguiente manera: en el período en que
se facturó se recibe Io(1–λ) y el resto en el período siguiente. λ es la fracción de la
facturación que se vendió a crédito. Su valor presente es:
A precios constantes es:
VP
K
( 1+
i )
r
A precios corrientes o nominales es:
VP
C
Io × λ
= Io×
(1- λ) +
(11.11)
Io×
λ
= Io×
(1- λ) +
(11.12)
( 1+
i )( 1+
i )
r
f
La tasa de inflación es i f , i r es la tasa real de descuento, VP C y VP k son los valores
presentes nominales y reales. La diferencia es:
VP
K
Io×
λ Io × λ
− VP = −
(11.13)
C
( 1+
i ) ( 1+
i )( 1+
i )
r
r
f
Io×
λ ⎛ 1 ⎞ Io×
λ ⎛ if
( ) ( ) ⎟ ⎞
VP − = ×
⎜ −
⎟ = ×
⎜
K
VPC
1
(11.14)
1+
i
r ⎝ 1+
if
⎠ 1+
i
r ⎝1+
i
f ⎠
Esta diferencia es la sobrevaloración. En el caso de cuentas por pagar sería una sub
valoración. El resultado neto va a depender de la estructura del capital de trabajo.
Esto se ilustra mejor con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 3
Supongamos un ejemplo muy sencillo con un solo año de análisis. En la siguiente
tabla se registran ventas al 100% de contado:
12

Factores Año 1
Precios corrientes ($) 120
Precios constantes ($) 100
Interés real 12%
Inflación o componente inflacionaria 20%
Tasa de descuento corriente 1,12×1,2–1 = 0,344 o 34,4%
Tasa de descuento constante 12%
Valor presente corriente ($) 120/1,344 = 89.286
Valor presente constante ($) 100/1,12 = 89.286
Como se observa, el valor presente es igual, ya que el aumento es igual a la
inflación en este ejemplo, 20%. Si las ventas fueran a crédito, incluso en forma parcial, se
tiene la siguiente tabla donde se presentan ventas 90% de contado y 10% a crédito.
Ventas 90% de contado Año 1 Año 2
($)
Corrientes 108 12
Constantes 90 10
Valor presente corriente 108/1,344 = 80.357 12/(1,344) 2 = 6.643
Valor presente total 87,0
Valor presente constante 90/1,12 = 80.357 10/(1,12) 2 = 7.972
Valor presente total 88.329
Podemos observar que los dos valores no coinciden. Un análisis similar puede
hacerse con el valor de salvamento.
Como se dijo arriba, si se corrige el movimiento del flujo de caja por la inflación,
entonces sí coinciden los valores. Siguiendo con el mismo ejemplo, se tiene la siguiente
tabla, que presenta las cuentas por pagar ajustadas por inflación:
Factores Año 1 Año 2
Corrientes 108 12
Constantes 90 10/(1+20%) = 8.333
Valor presente corriente 80.357 6.643
Valor presente total 87.000
Valor presente constante 80.357 6.643
Valor presente total 87.000
Aquí se consideró que el ajuste habría que hacerlo con la inflación.
En estricto sentido, esos ajustes se deberían hacer con los cambios de precios
previstos. En este ejemplo, se supone implícitamente que los cambios de precios son
iguales a la inflación.
Para ratificar todo lo dicho, se toma el ejemplo detallado (INFLACION.XLS) y se
calcula el VPN a precios constantes y se calcula el VPN con la tasa deflactada; luego, se
13

incluyen los supuestos presentados arriba y que estamos analizando, tanto a precios
constantes como a precios corrientes y se observa que esa es la única forma posible para
que los resultados del VPN sean iguales. Y esto debe ser así, porque si no son iguales a
precios corrientes y a precios constantes, basta que la inversión inicial varíe por el valor de
la diferencia para que se cambie la decisión.
11.2.4 Supuesto 4: no existe valor de salvamento del proyecto.
El supuesto que dice que no existe valor de salvamento del proyecto puede
defenderse como una posición conservadora, pero muchos proyectos de inversión pueden
depender del valor de salvamento al final del período de análisis. En caso de que se incluya,
la relación entre en valor de salvamento a precios corrientes y a precios constantes debe ser
idéntica a (1+i f ) n , donde i f es exactamente la inflación; en general, esta proporción debe ser
el aumento acumulado de la inflación, teniendo en cuenta que las tasas pueden ser
diferentes.
11.2.5 Supuesto 5: no existen relaciones de elasticidad precio-demanda
Si el analista trabaja con precios constantes y la elasticidad se define como la
sensibilidad de la demanda a las variaciones de precio, entonces, como no hay aumento de
precios reales, el modelo no captura estas variaciones, favorables o no. La principal falla de
este análisis a precios constantes es que los supuestos implícitos que hay detrás del modelo
deforman la realidad que se desea representar; por lo tanto, el modelo no se puede validar al
compararlo con la realidad.
11.2.6 Supuesto 6: la tasa de descuento a precios corrientes debe ser
exactamente igual a la tasa libre de riesgo y a precios constantes igual a i r , la tasa real
Esto es (1+i r )(1+i f )–1 y a precios constantes debe ser igual a i r . Donde i f es la tasa de
inflación, e i r es la tasa de interés real.
Esta suposición se puede compensar teniendo en cuenta que se debe deflactar –con
la tasa de inflación– las tasas de descuento corrientes, que incluyen el riesgo que otros –los
acreedores y los accionistas– perciben en la firma. Por lo tanto, la tasa de descuento a
precios constantes no sería ir, sino:
(1+i c )/(1+i f )–1 (11.15)
Este planteamiento contradice abiertamente los postulados de Modigliani y Miller,
quienes reconocen que las tasas de descuento deben reflejar el riesgo producido por el
endeudamiento a precios de mercado. Utilizar la tasa libre de riesgo, que es la que resulta
de la expresión anterior, es desconocer el efecto cambiante del endeudamiento en el riesgo
que debe incluirse en la tasa de descuento.
FCA
11.2.7 Supuesto 7: todos los excedentes de liquidez hacen parte del FCL y del
El supuesto 7 contradice la definición de FCA, que incluye sólo lo que el dueño
recibe. En el capítulo 7 se discutió sobre las razones para incluir en el FCA sólo lo que el
dueño del patrimonio recibe. La bibliografía sobre las razones que tienen las empresas para
14

conservar efectivo en caja o en inversiones de corto plazo es muy amplia (veánse las
referencias bibliográficas al final del capítulo)
11.2.8 Supuesto 8: la tasa del costo de la deuda debe ser deflactada con la
inflación de cada año
Cuando se usa cualquiera de las metodologías que no tienen en cuenta la inflación,
lo que supuestamente se afecta es el precio de los insumos y productos. Más aún, si la
ventaja que esos métodos suponen es no tener que calcular la inflación, en este caso
(cuando hay deuda) sí habría que hacerlo para que los VPN coincidan.
Estas ocho condiciones se deben cumplir para que los valores del VPN calculado
con ambas metodologías coincidan. Como se puede intuir, los ajustes que se necesitan para
que coincida el análisis a precios constantes con el análisis a precios corrientes son tales
que anulan la supuesta simplicidad que pretende tener el método; entre otras cosas, porque
termina siendo necesario proyectar tanto la inflación como los aumentos de precios. La
conclusión es que se debe trabajar a precios corrientes y no a precios constantes.
11.3 Evaluación a precios corrientes y constantes
En este aparte se ilustra la evaluación del proyecto a precios corrientes y constantes,
y se establecen las diferencias en los resultados.
15
Ejemplo 4
En el archivo INFLACIÓN.XLS hay un ejemplo similar al detallado presentado en
los capítulos 5 a 9. En ese ejemplo se prevén unas tasas de aumento de precios para
diferentes variables y las tasas de aumento de precios se fijan en cero, esto es, se evalúa el
proyecto a precios constantes. A precios corrientes el FCL resultante es:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL -12.000,00 0,00 506,83 1.057,32 25.689,72
Tasas de descuento 34,01% 34,02% 31,40% 30,10%
Factor de valor presente 0,7462 0,5568 0,4237 0,3257
VPN (tasas de descuento) después de
impuesto
-2.902,81
Ahora se debe observar la diferencia de resultados al evaluar el proyecto a precios
constantes. Cuando los aumentos de precios son 0% y no se hacen los demás ajustes a los
supuestos implícitos, es decir, se trabaja a precios constantes –vale decir, aumento de
precios 0% y tasa de descuento real o deflactada–, el FCL es:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL ($) -12.000,00 0,00 292,09 499,96 19.235,04
Tasas de descuento 6% 6% 6% 6% 6%
Factor de valor presente 1,0000 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921
VPN (tasas de descuento) ($) 3.915,69

En la evaluación a precios corrientes el VPN fue negativo y se rechazó; este valor
contradice la decisión a precios constantes. O sea, un proyecto malo en la realidad (precios
corrientes) puede ser aceptado como bueno a precios constantes, porque el VPN es
positivo.
El mayor peso en esta distorsión lo tiene el efecto de la elasticidad (al tener 0% de
aumento, el modelo hace crecer la demanda). Sin embargo, cuando se anula el efecto de la
elasticidad, el VPN del análisis a precios constantes también es positivo con valor de
4.675,67.
Al incluir los supuestos presentados arriba –véanse hojas “Flujo de caja cte.” y
“Flujo de caja K” del archivo INFLACION.XLS– se obtienen los siguientes flujos de caja a
precios corrientes y constantes.
Ejemplo 5
Cuando se calculan los flujos a precios corrientes y los valores con todos los ocho
supuestos ya mencionados se tiene el siguiente resultado:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL después de impuestos ($) -12.000,00 1.305,68 4.850,06 6.588,47 0,00
Factor de valor presente 1,0000 0,7733 0,5931 0,4624 0,3635
VPN (tasas de descuento) antes de
impuesto ($)
-5.067,20
Cuando se hace el mismo ejercicio a precios constantes y se incluyen los ocho
supuestos se tiene el siguiente resultado:
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL después de impuestos ($) -12.000,00 1.070,23 3.232,08 3.628,56 0,00
Factor de valor presente 1,0000 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921
VPN (tasas de descuento) antes de
impuesto ($)
-5.067,20
Como se observa, en este caso los VPN sí son idénticos, y deben serlo.
En el archivo INFLACION.XLS se encuentra el ejemplo detallado a precios
constantes y tasa de descuento sin inflación y el mismo ejemplo detallado, pero con los
supuestos planteados arriba, tanto con precios corrientes como constantes, de donde se
extrajeron los flujos de caja presentados en este ejemplo.
11.4 Evaluación con precios relativos
Utilizando otra vez el archivo INFLACION.XLS y si se toman los aumentos de
precios relativos y se descuenta a la tasa de interés real, entonces se deben hacer los
siguientes ajustes:
1. El aumento de precios relativo es (1+aumento de precio)/(1+tasa de inflación)-1.
En este ejemplo sería:
16

Tabla 11.2 Aumentos en precios
11 Aumentos en precios de compra 0,82% 0,81% 0,83%
13 Aumentos en precios de venta 3,28% 1,63% 1,65%
16 Aumentos en honorarios 2,46% 0,00% 0,00%
18 Aumentos en gastos generales 0,82% 0,81% 1,65%
20 Aumentos en mano de obra 4,10% 0,81% 0,83%
2. La tasa de descuento a precios relativos tiene que ser exactamente igual a i r , la
tasa real de interés. El factor de valor presente se calcula con 6% como tasa de descuento.
3. La función de elasticidad debe cambiarse a:
1–0,36×aumento relativo de los precios
Con todos estos ajustes, entonces el FCL y el VPN son:
Tabla 11.3 FCL y VPN
Factores Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
FCL -12.000,00 0,00 396,27 687,74 21.225,74
Factor de valor presente 1,0000 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921
VPN 5.742,89
El VPN es ahora positivo y un proyecto malo se aceptaría como bueno.
Una situación similar a la que se encontró a precios constantes.
11.5 Evaluación en moneda extranjera
Es frecuente encontrar que en la práctica se propone trabajar en dólares y sobre la
base de que la inflación en Estados Unidos es casi cero se piensa que estos problemas se
eliminan. Esto es cierto sólo en el caso en que todos los ingresos y egresos ocurran en
dólares o que los aumentos de precios de los rubros que se manejan en pesos coincidan con
el cambio de precios de la divisa. Es fácil demostrar que si, por ejemplo, la nómina que se
maneja en pesos se aumenta en 25% y la devaluación es de 15%, entonces al considerar las
partidas en dólares constantes se estaría despreciando un sobrecosto, así:
Ejemplo 6
La tabla muestra los datos en moneda extranjera
Año 1 2 3
Nómina ($) 10.000.000 12.500.000 15.000.000
Tasa de cambio ($/US$) 1.000 1.150 1.300
Nómina a precios constantes en dólares 10.000 10.000 10.000
Nómina a precios de cada año en dólares 10.000 10.869,57 11.538,46
Aumento de la nómina en dólares 8,70% 6,15%
Este sencillo ejemplo muestra cómo al considerar dólares constantes, cuando una
partida se maneja en pesos, puede también conducir a distorsiones graves.
17

18
11.6 Otras consideraciones
Además de los problemas mencionados, se deben tener en cuenta otras
consideraciones:
1. La realidad es que los datos de los cuales dispone el analista son los precios y
costos históricos (corrientes) y las tasas de interés históricas (corrientes); por otro lado,
dispone también de las series históricas de los diferentes indicadores económicos que le
permitirán hacer las proyecciones necesarias. Y al mencionar proyecciones no se alude sólo
a proyecciones estadísticas, sino también cálculos calificados, basados en el pasado, el
presente y en cualquier información disponible al analista.
2. En muchos cursos de posgrado y de ejecutivos se oye decir que al descontar los
flujos de caja a precios corrientes se está inflando el VPN. Esta apreciación es incorrecta.
Cuando los flujos de caja se descuentan a la tasa de descuento corriente, el efecto de la
inflación se elimina, porque la tasa de descuento tiene incluida un componente
inflacionario. Entonces, cuando se aplica el proceso de descuento a las cifras en precios
corrientes, el efecto de la inflación se elimina y el VPN resultante está deflactado en
términos de inflación.
3. Un proyecto financiado debe asumir costos financieros, posiblemente
inmodificables, cualquiera que sea el nivel de inflación; entonces, al considerar flujos de
caja a precios constantes se estaría favoreciendo el proyecto al imputársele explícitamente a
través de los desembolsos de la financiación su efecto en los impuestos, el cual resulta en
unos ahorros en impuestos relativamente mayores que a precios corrientes. Este análisis es
similar al presentado arriba sobre la depreciación. Dichos pagos de intereses, al igual que la
depreciación, no se modifican al definir precios o pesos constantes.
4. Existe un tabú en cuanto al pronóstico de la inflación se refiere; sin embargo, se
realizan predicciones implícitas o explícitas acerca de índices de ventas, fenómeno afectado
por variables tan impredecibles como el nivel de la economía, el nivel de precios, acciones
de la competencia, fenómenos atmosféricos, políticas gubernamentales, etc.
5. Así mismo, se tiene la ilusión de que un pronóstico de ciertas variables (índice de
ventas o de producción, por ejemplo) es confiable; en rigor se deben utilizar varios
pronósticos y combinar los posibles resultados, y para esto se pueden utilizar métodos de
simulación.
Si se considera que la variación en los precios o incluso la inflación son fenómenos
probabilísticos, se pueden establecer probabilidades históricas o subjetivas para diferentes
índices de precios y a partir de allí hacer cálculos probabilísticos sobre los precios que
ocurrirán en el futuro. Si se considera que los precios obedecen a políticas
gubernamentales, variables macroeconómicas, etc., se pueden hacer predicciones de la
misma forma como se predice el comportamiento del consumidor, dadas ciertas políticas
oficiales supuestas, o sea lo que se conoce como análisis de escenarios, para lo cual existen
expertos sobre el tema.
Se debe reconocer que pronosticar precios es una tarea difícil, ya que puede
depender en parte de las medidas de política económica del gobierno de turno y, en
ocasiones, de factores netamente políticos y sociales. En otras palabras, los precios
involucrados en el proyecto que se analiza son otras variables que hay que calcular y su
resultado carecerá de las fallas de cualquier pronóstico. No se debe olvidar que ningún
pronóstico es exacto. La toma de decisiones es un proceso con resultados difícilmente
reversibles, basado en datos incompletos e inexactos; a pesar de ello, es necesario tomar

decisiones e implementarlas. A veces es preferible hacer proyecciones que se sustentan en
juicios basados en la experiencia, que hacer pronósticos basados en modelos estadísticos.
Esto es cierto, sobre todo cuando la economía cruza coyunturas muy críticas.
6. Aceptado el hecho de que el aumento de precios es difícil de pronosticar, se
puede considerar la alternativa –con el grado de complejidad que se desee– de incluirlo en
un modelo de evaluación de inversiones basado en métodos de simulación o en el análisis
de sensibilidad presentado en el capítulo 12. En el peor de los casos, se puede optar por la
versión más primitiva del análisis de sensibilidad en la cual se consideran diferentes índices
de los valores de las variables, lo cual es posible con cualquier hoja de cálculo.
7. Un proyecto debe ser controlado en su ejecución, por lo tanto, los valores que se
van a controlar deben ser similares a los que ocurran en la realidad. En otras palabras, unos
estados financieros a precios o pesos constantes de nada sirven para fines de control, pues
los valores que se van a controlar nunca serán ni siquiera parecidos a los pronosticados.
8. Un EdeR a precios constantes es una colcha de retazos donde se encuentran
partidas deflactadas o a precios constantes y partidas no deflactadas, por ejemplo, los
intereses, como ya se estudió o la depreciación, que no tiene sentido deflactarla.
9. Hay que reconocer que los métodos de pronósticos, por lo general, implican que
el contexto de donde salieron los datos históricos ocurrirá otra vez en el futuro. Es
preferible utilizar varios pronósticos y la experiencia, la intuición y el conocimiento del
entorno económico que tenga el analista o el decisor, para hacer cálculos aproximados, pero
que tienen un sustento subjetivo. Hemos estado anclados a procedimientos que eran válidos
hace un siglo o menos, cuando los recursos de cálculo eran precarios. Hoy en día se cuenta
con hojas de cálculo electrónicas y otro tipo de programas que permiten hacer análisis de
escenarios, simulaciones de Monte Carlo, etc. Por lo tanto, debemos eliminar el temor a
hacer pronósticos, incluida la inflación. La idea no es minimizar lo difícil que implica el
trabajar con el futuro. Eso no es fácil. Pero hoy se cuenta con muchas más herramientas que
nunca para analizar nuestros pronósticos.
En otras palabras, los precios son algunas de las variables que hay que pronosticar.
Debe aceptarse que cualquier método de pronóstico conlleva un cierto margen de error y es
necesario aprender a vivir con él.
10. Si ninguno de los anteriores argumentos fuera aceptable, no se debe olvidar que
para cualquier proyecto es fundamental predecir las necesidades de fondos futuros para
negociarlos con el banco con suficiente anticipación. Así mismo, para hacer cálculos de las
necesidades de fondos es básico proyectar las cifras a precios corrientes; de otra manera se
estipularían necesidades de financiación a pesos constantes, lo cual carece de ventajas
prácticas o de sentido, en términos de la administración financiera. En otras palabras, el
proyecto no debe evaluarse sólo desde el punto de vista de su conveniencia económica y
financiera; se deben evaluar también otros aspectos, como la viabilidad del proyecto en
términos de liquidez.
O sea, un proyecto puede ser recomendable desde el punto de vista económico y no
ser factible por no contar con los recursos necesarios para llevarlo a cabo. La evaluación a
precios constantes no tendría en cuenta esta situación, ya que no tiene sentido establecer
necesidades de recursos a precios constantes. Al comparar necesidades de liquidez para
pagar préstamos contratados, incluso en el instante cero, no se podría saber si el proyecto
puede o no pagarlo, porque la liquidez a precios constantes no dice nada acerca de la
disponibilidad real de dinero. Esto, aparte de la dificultad de definir bien las necesidades de
19

fondos. No se debe olvidar que el flujo de tesorería queda distorsionado con los impuestos
subestimados a precios constantes.
Un flujo de tesorería proyectado a precios constantes no significa nada para la
gerencia. Estos flujos de caja quedan distorsionados por muchos motivos, pero el más
importante es la subvaloración de los impuestos, como ya se demostró.
11.7 Algunos hallazgos empíricos
El autor tiene algunas pruebas puntuales y muy restringidas acerca de todo lo aquí
analizado: en 1986 enseñé este tema en un programa de posgrado, para una siderúrgica muy
importante en Colombia, y se examinó esta hipótesis con dos proyectos que fracasaron. Se
reconstruyó el estudio de la evaluación –hecha a precios constantes– con los datos
disponibles de la época y los resultados finales –a precios corrientes– indicaron que los
proyectos debieron ser rechazados.
Por otro lado, en Vélez Pareja (2004 y 2005) se examina el caso del Banco Mundial
(BM). El BM utiliza la metodología de precios constantes y así entrena a muchos
consultores. El resultado de este análisis es que por utilizar la metodología de precios
constantes la sobrevaloración de un proyecto de infraestructura –utilizado por el BM en la
capacitación de consultores (véase International Bank for Reconstruction and
Development-The World Bank [2002] y Estache et al. [2002])– debida al efecto de la
depreciación, como se indicó arriba, es de 3,57% y la sobrevaloración debida a las cuentas
por cobrar, como también se indicó arriba, es de 6,37%. La sobrevaloración total por este
concepto se puede estimar en alrededor del 10%. En cuanto a la sobrevaloración por un uso
inadecuado del CPPC fue de 8,53%. 8 La sobrevaloración total, que no es necesariamente la
suma de las individuales, es de 21,21%.
La sobrevaloración del valor se puede observar en la Tabla 11.5.
Tabla 11.4 Resumen de la sobrestimación del valor
Factores
Valor Como % del Como % del valor
absoluto valor del WB nominal
CPPC errado 7,91 8,53% 10,34%
C×C 5,91 6,37% 7,72%
Depreciación 3,32 3,57% 4,33%
Total 17,14 18,47% 22,39%
Constantes-nominales 16,23 17,50% 21,21%
Aunque al calcular los elementos de la sobrevaloración de manera independiente y
aislada éstos producen un valor diferente al obtenido cuando la supervaloración se calcula
de manera integrada, la correcta es esta última. Esto significa que un 17,50% del valor
calculado con la metodología de precios constantes y CPPC constante es una
sobrevaloración. O, visto de otra manera, el valor calculado con la metodología del ejemplo
es 21,21%, mayor que el calculado con precios nominales. Como se puede ver, en cualquier
caso, las diferencias son muy altas y superan el tradicional 5%.
8 En este trabajo se analizó también el uso del CPPC constante cuando el endeudamiento no es constante y ello produjo
una sobrevaloración.
20

11.8 Para recordar
La mayor falla de la metodología de precios constantes es que las suposiciones o
condiciones implícitas que tiene distorsionan la realidad que deseamos representar por
medio del modelo (el flujo de caja y los estados financieros son un modelo). Por lo tanto, la
validación de ese modelo con la realidad es imposible. La situación es muy simple: no es
cierto que evaluar proyectos con precios constantes o pesos constantes sea equivalente a
evaluarlo con precios nominales o corrientes.
Las metodologías de precios y pesos constantes son sesgadas y sobrevalúan un
proyecto. Estas metodologías simplifican en exceso la realidad y producen resultados
indeseables. Estas metodologías (precios constantes y reales) son una simplificación
exagerada e inadecuada de la realidad. La metodología correcta es la de precios corrientes;
cualquier otro enfoque que no represente la realidad lo más cercano posible se debe
desechar en forma inmediata.
Las consecuencias de utilizar estas metodologías (precios constantes o reales) son
muy graves, porque quien decide puede resultar aceptando malos proyectos como buenos.
En el caso de proyectos de firmas reguladas donde hay que determinar tarifas, éstas pueden
quedar subestimadas (como sucede en el ejemplo del BM), con las consecuencias
previsibles de operar un negocio con tarifas por debajo de lo que deben ser para lograr un
índice adecuado de rentabilidad.
La escasez de recursos es crítica en países en desarrollo. Por lo tanto, los analistas
de proyectos de las agencies locales y extranjeras deben ser muy cuidadosos con el proceso
de selección de proyectos en estos países. Hemos visto que el orden de magnitud de los
errores o sobrevaloración cuando se aplican estas metodologías equivocadas puede ser alto.
Se ilustró que pueden superar el tradicional ±5%.
Nuestra propuesta es muy sencilla: los proyectos y valoraciones de empresas deben
elaborarse a precios nominales o corrientes.
El caso particular del BM es muy delicado porque esa institución ha apoyado
tradicionalmente la evaluación en precios constantes. Lo grave es que el BM representa una
autoridad intelectual y económica inmensa sobre instituciones, agencias gubernamentales y
analistas de estos países. Esta práctica debe ser revisada para reducir la probabilidad de que
se acepten proyectos malos como buenos.
Más aún, lo que está en juego es la cantidad enorme de recursos que manejan esas
instituciones y que asignan en países en desarrollo y que pueden ir por el camino
equivocado. Todas estas decisiones se toman en detrimento de los países menos
desarrollados y de sus habitantes.
11.9 Resumen
Se ha demostrado que no es correcto trabajar con pesos constantes al hacer el
análisis económico de alternativas, puesto que el modelo desvirtúa la realidad que pretende
ilustrar, y los resultados son diferentes en la forma como en la práctica se trabaja en la
evaluación de proyectos de inversión.
21

11.10 Ejercicios
1. ¿Por qué se requiere (entre otras cosas) que no haya impuestos para que el VP de
un flujo a precios corrientes sea igual al VP de ese mismo flujo a precios
constantes y a pesos constantes o precios reales o relativos?
2. Suponga que la inflación del año n–1 fue del 18%, entonces a precios corrientes se
ajustaría así:
Estado de resultados
Precios constantes Precios corrientes
(año n)
(año n)
Ventas 1.000,00 1.180,00
– gastos 600,00 708,00
– depreciación 100,00 100,00
= utilidad antes de impuestos 300,00 372,00
– impuestos (35%) 105,00 130,20
= utilidad neta 195,00 241,80
¿Cuál es el efecto de la depreciación sobre los impuestos, de acuerdo con las dos
metodologías de evaluación de proyectos utilizadas en el tabla anterior?
3. Se tienen los siguientes datos:
Ingresos año (n–1): $100.
Egresos año (n–1): $50.
Inflación año n: 10%.
Aumento real de ingresos año n: 4%.
Componente real de la tasa de interés año n: 6%.
Tasa de riesgo de la tasa de interés año n: 2%.
Aumento real de egresos año n: 12%.
Construya el flujo de caja para el año n con cada una de las tres metodologías de evaluación
de proyectos en condiciones inflacionarias.
4. Mi sueldo actual es de $620.000; si la inflación mensual es del 2%, ¿cuánto
debería pedir de aumento (%) para que dentro de 8 meses mi capacidad de compra
sea igual a la actual?
5. Mi sueldo actual es de $620.000; si la inflación mensual es del 2%, y me
aumentan 3% mensual, ¿cuál es la inflación en 8 meses? ¿cuál es el aumento real
recibido en 8 meses? ¿Cuál será el sueldo dentro de los 8 meses?
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27

12
Decisiones bajo riesgo e incertidumbre 1
¡Ay, cómo es cruel la incertidumbre!
Si ella merece mi dolor
o yo la tengo que olvidar.
Gonzalo Curiel. Incertidumbre
... Aureliano saltó once páginas para no perder el tiempo en
hechos demasiado conocidos, y empezó a descifrar el instante
que estaba viviendo, descifrándolo a medida que lo vivía,
profetizándose a sí mismo en el acto de descifrar la última
página de los pergaminos,...
Gabriel García Márquez, Cien años de soledad
En todos los capítulos anteriores sobre toma de decisiones se ha hecho una suposición
muy fuerte: que las consecuencias futuras de una decisión de inversión son determinísticas,
es decir, que son predecibles con certeza total. No es necesario insistir en este punto, pues
es obvio que los hechos futuros son impredecibles. Con relación a las consecuencias futuras
de una decisión, se pueden presentar tres situaciones:
1. Determinísticas.
2. No determinísticas.
3. Ignorancia total.
Uno de los problemas que se presentan en la comprensión de los temas de administración
y gerencia es que muchos términos tienen significados múltiples; ejemplos de esto se
encuentran con mucha frecuencia en los temas contables y financieros (expresiones como
ingreso, flujo de caja, flujo de fondos, para citar sólo tres). En particular, cuando se habla
de riesgo o incertidumbre, la confusión se incrementa porque existe un conocimiento
previo –intuitivo tal vez– de lo que es la incertidumbre.
Para muchos, la incertidumbre es el desconocimiento del futuro. En este contexto se
considera que el riesgo y la incertidumbre se producen por la variabilidad de los hechos
futuros y por su desconocimiento. Aquí se entiende por incertidumbre, primero, la situación
general de desconocimiento del futuro. Igualmente, se usará la misma palabra en
contraposición al concepto de riesgo, como se aclara a continuación. En esos casos se habla
de que una decisión se toma bajo riesgo o bajo incertidumbre. En la bibliografía sobre el
tema se presenta confusión al definir la situación 2. Por ejemplo, Hillier (1963) habla de
riesgo e incertidumbre como si fueran iguales; lo mismo sucede con Hespos y Strassman
(1965), para sólo citar unos pocos. Morris (1964), por otro lado, hace la distinción entre
riesgo e incertidumbre. Lo cierto es que existen grados de incertidumbre y en la medida en
que disminuye con la información recolectada, se puede manejar en forma analítica cada
1 El tema de este capítulo se trata con mayor profundidad en Vélez Pareja (2003).
1

vez más. Los casos de riesgo, como los distingue Morris (1964), son muy particulares y los
más comunes están relacionados con situaciones de azar (loterías, ruletas, rifas, etc.) o con
decisiones a cuyos resultados posibles se les ha asignado una distribución de probabilidad.
Para la incertidumbre, por el contrario, no se posee información suficiente como para
asignarle una distribución de probabilidad. Por esta razón se presentan en este capítulo las
tres situaciones: determinísticas, no determinísticas y de ignorancia total.
12.1 Certidumbre total
Un ejemplo del primer caso, y para el cual sería válido todo lo expuesto a lo largo del
texto, es un papel de descuento: suponga que se compra un título del Estado al 95% de su
valor nominal y después de 3 meses se vende por el 100% de su valor. Hay certeza absoluta
de que a los noventa días, si compró a $950.000 en ese título, se recibirá $1.000.000. Con
esta información y dada una tasa de descuento, se podrán establecer criterios de decisión
sobre la conveniencia de esa alternativa.
El segundo caso no puede ilustrarse con un solo ejemplo, ya que se reconoció la
existencia de grados de incertidumbre. Por esta razón se presentan dos casos posibles:
incertidumbre y riesgo.
12.2 Incertidumbre
Se dice que una decisión se toma bajo incertidumbre cuando no es posible asignar
probabilidades a los eventos posibles.
Ejemplo 1
Un muchacho desea establecer una venta de periódicos en la cafetería de la universidad y
tiene que decidir cuántos deberá comprar. Calcula vagamente la cantidad que podría vender
en 15, 20, 25 o 30 periódicos (para simplificar la situación, se acepta que cantidades
intermedias no ocurrirán). Por lo tanto, considera que tendrá que adquirir 15, 20, 25 o 30
periódicos.
Con esta información se puede construir una tabla de resultados que indique el número
de periódicos faltantes o sobrantes, así:
Ventas
Compras
15 20 25 30
15 0 -5 -10 -15
20 5 0 -5 -10
25 10 5 0 -5
30 15 10 5 0
2

Para convertir estos resultados en pérdidas o ganancias monetarias se deben utilizar las
siguientes fórmulas:
Resultado = PV×ventas–PC×compras
+PR×(compras–ventas) cuando compras>ventas
Resultado = PV×compras–PC×compras
cuando compras<ventas
(12.1)
(12.2)
Donde, PV es el precio de venta de cada periódico = $6; PC, el precio de compra de
cada periódico = $5, y PR, el precio de venta de los periódicos sobrantes como retal de
papel = $0,25.
Por lo tanto, la tabla de ganancias, que se conoce como matriz de resultados, será:
Ventas
Compras
15 20 25 30
15 15,00 15,00 15,00 15,00
20 -8,75 20,00 20,00 20,00
25 -32,50 -3,75 25,00 25,00
30 -56,25 -27,50 1,25 30,00
En este caso, sin llegar a la completa ignorancia, el que decide no tiene, ni siquiera en
forma subjetiva, un cálculo de la probabilidad de ocurrencia de los diferentes eventos.
Dentro de la categoría de las situaciones bajo incertidumbre podemos catalogar la del
ejemplo estudiado en los capítulos 5, 6 y 9. Una manera de enfrentar este hecho es hacer un
análisis de sensibilidad, que consideraremos en la siguiente sección.
12.2.1 Análisis de sensibilidad
Las variables de entrada que hemos incluido en este modelo son los valores que
creemos que pueden ocurrir en el futuro. Sin embargo, somos conscientes de que ese valor
es sólo uno de los muchos resultados y que en realidad podemos esperar una amplia gama
de valores posibles. Esa realidad implica aceptar el hecho inevitable de la incertidumbre.
Hay muchas herramientas para el manejo de la incertidumbre con variados grados
de complejidad (véase Vélez Pareja 2003).
Uno de los métodos más tradicionales para analizar variaciones ha sido el punto de
equilibrio o también conocido como análisis volumen precio.
12.2.2 Punto de equilibrio proyectado y dinámico
3

Con los datos de los estados de resultados proyectados, se puede calcular el punto
de equilibrio para cada año. En rigor, no se necesita, ya que el informe financiero muestra
si hay o no utilidad, y eso indica si se está por encima o por debajo del punto de equilibrio.
Sin embargo, para el seguimiento y ciertas decisiones basadas en el análisis marginal, se
debe conocer el punto de equilibrio.
El punto de equilibrio lo calculamos con la conocida fórmula:
Costos fijos
PE =
MC
(12.3)
Donde PE es punto de equilibrio y MC es margen bruto de contribución. El PE así
calculado es el relacionado con la utilidad bruta.
Los costos fijos, el margen bruto y el punto de equilibrio tradicional proyectado de
cada año, se encuentran en la Tabla 12.1.
Tabla 12.1 Costos fijos, margen bruto y punto de equilibrio proyectados
Costos fijos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Ventas 48.083,84 51.555,06 55.837,06 60.188,11 64.885,78
Sueldos y salarios 2.582,16 2.765,04 2.960,88 3.155,55 3.347,02
Gastos generales 2.326,62 2.466,85 2.615,54 2.760,05 2.913,09
Depreciación 11.250,00 11.250,00 11.250,00 11.250,00 14.048,29
Total costos fijos 16.158,78 16.481,89 16.826,42 17.165,60 20.308,40
Utilidad bruta 24.639,96 25.505,93 29.162,71 31.904,48 35.479,97
Margen bruto 66,39% 68,03% 69,87% 71,48% 68,70%
Costos variables totales
Regalías 2.856,75 3.069,83 3.240,04 3.451,51 3.688,04
Publicidad y promoción 1.442,52 1.546,65 1.675,11 1.805,64 1.946,57
Nómina extra 0,00 0,00 9,04 31,11 63,17
Total costos variables 4.299,26 4.616,48 4.924,19 5.288,27 5.697,78
Margen de contribución a costos fijos
descontando gastos variables de ventas,
regalías y publicidad. 8,94% 8,95% 8,82% 8,79% 8,78%
Margen de contribución neto 42,30% 40,52% 43,41% 44,22% 45,90%
Punto de equilibrio 38.198,10 40.677,24 38.762,18 38.817,14 44.245,46
Precio de venta 7,42 7,91 8,42 8,93 9,43
Punto de equilibrio en unidades 5.147,99 5.144,86 4.601,05 4.344,72 4.692,12
Inventario inicial 400,00 540,03 543,39 552,32 561,39
Inventario final 540,03 543,39 552,32 561,39 573,41
Compras en unidades 2 5.176,99 5.144,60 4.555,73 4.323,35 4.721,07
Precio de compra en el modelo 3,58 4,03 4,02 4,21 4,28
Precio de compra basándose en el punto
de equilibrio 4,03 4,27 5,03 5,33 5,63
Podemos observar claramente que ni los precios de venta ni los precios de compra
corresponden a las cantidades vendidas o compradas. Esto ocurre porque el modelo para el
2 Por juego de inventarios basándose en el dato del punto de equilibrio.
4

cálculo del punto de equilibrio supone que los precios de venta y los costos unitarios son
constantes, cosa que este ejemplo no ocurre. Por otro lado, supone que todo lo que se
produce se vende, es decir, que no se mantienen inventarios.
Podemos calcular diferentes puntos de equilibrio para hacer cero las siguientes
partidas:
• Utilidad bruta.
• Utilidad antes de impuestos e intereses (UO).
• Utilidad neta.
• De efectivo, medido por el saldo operativo (saldo neto de tesorería).
Debemos identificar cuál es la variable básica (puede haber varias; en este caso los
aumentos de precios reales, el aumento de volumen, los coeficientes de la función
elasticidad precio-demanda, que afectan la cantidad vendida), que cambia el número de
unidades que se van a vender. Recordemos que las unidades vendidas y compradas no son
una variable de entrada, sino el resultado del aumento de precio, en el primer caso, y de las
unidades vendidas, en el segundo caso (calculadas usando el juego de inventarios). Por lo
tanto, haciendo cero cada partida mencionada en la lista anterior y cambiando el aumento
real del precio de venta, calculamos la cantidad que hace que las utilidades sean cero.
Si los puntos de equilibrio proyectados se hubieran calculado utilizando la opción
Solver (la opción Buscar objetivo no funciona, porque existe una circularidad relacionada
con el endeudamiento D%) los resultados habrían sido los siguientes (Tabla 12.2):
Tabla 12.2 Puntos de equilibrio para diferentes resultados
Punto equilibrio para utilidad 7.943,44 7.773,04 6.979,99 5.707,18 5.364,47
bruta
Aumento real para utilidad bruta -64,51% 6,23% 20,29% 19,54% 2,66%
Punto de equilibrio UO 6.756,50 6.883,00 7.077,50 7.332,10 7.311,40
Aumento real para UO -12,18% -2,82% -3,17% -5,39% 4,92%
Diferencia con el tradicional 31,2% 33,8% 53,8% 68,8% 55,8%
Aumento real para utilidad neta 0,00 -0,06 -0,08 -0,08 0,21
Unidades para saldo operativo 7.441,58 7.381,52 7.202,74 N.C 6.454,48
Aumento para saldo operativo -42,38% 3,52% 4,59% N.C 9,40%
Comparemos los resultados del punto de equilibrio basado en utilidad operativa, UO
y los calculados en forma dinámica.
Tabla 12.3 Puntos de equilibrio dinámicos proyectados
Factores Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Punto de equilibrio UO tradicional 6.756,50 6.883,00 7.077,50 7.332,10 7.311,40
Punto de equilibrio en unidades 5.147,99 5.144,86 4.601,05 4.344,72 4.692,12
(dinámico)
Diferencia 31,25% 33,78% 53,82% 68,76% 55,82%
Hay que anotar que el punto de equilibrio dinámico hay que calcularlo para cada
período después de haber calculado el anterior, porque los resultados del anterior influyen
5

sobre el siguiente. Si el cálculo se hace de manera independiente, se pierde consistencia. En
todo caso, vale la pena anotar la enorme diferencia entre los volúmenes para el punto de
equilibrio con el procedimiento tradicional y el obtenido haciendo los cambios en las
variables apropiadas.
La diferencia se debe a que las relaciones que se capturan directamente en el modelo
de la hoja de cálculo son más complejas que las que se pueden capturar en la fórmula
estándar del punto de equilibrio. Por ejemplo, la fórmula simple del punto de equilibrio no
tiene en cuenta que las compras y, a su vez, los precios de compra dependen del volumen
de ventas (por la determinación del volumen que se va a comprar por juego de inventarios).
Esto, por supuesto, afecta las utilidades netas.
Estos puntos de equilibrio se calculan de manera independiente, período a período,
pero los resultados de cada año afectan a los siguientes (por ejemplo, las cantidades
vendidas y los inventarios finales).
De igual manera podríamos calcular los puntos de equilibrio asociados a la utilidad
bruta, utilidad neta o a alguno de los saldos del flujo de tesorería (FT).
A partir de los indicadores estudiados en este capítulo, tanto la firma como el
inversionista pueden tomar sus decisiones de inversión.
12.2.3 Análisis de sensibilidad de las variables
Como aquí se trata de hacer predicciones o proyecciones hacia el futuro para poder
calcular los flujos de caja y definir el valor presente neto (VPN), deberá aceptarse que esos
cálculos futuros pueden tener algún error. Por la forma como se ha construido el modelo,
todos los resultados dependen de las variables al mayor grado posible de desagregación, por
ejemplo, volúmenes, precios, aumento de precios, inflación, políticas o metas de recaudo,
etc. Con este modelo se puede hacer un análisis de sensibilidad que cumple varios
propósitos: averiguar los efectos de los cambios en ciertas variables para descubrir cuáles
son aquellas más críticas; esto es, aquellas variables que cuando cambian en una unidad
porcentual el cambio porcentual en los resultados (utilidad, activos, VPN, etc.) es mayor
que ±1%.
Esto permite centrar la atención del gerente –tanto en la etapa de diseño y
planeación de la firma o proyecto como en las etapas de control– en lo que realmente es
importante.
Este tipo de análisis es muy fácil en una hoja de cálculo; de hecho, esto es su gran
valor. Se conoce como “¿Qué pasa si...?”. Con los datos del ejemplo se ha realizado el
análisis de sensibilidad para identificar las variables más críticas a partir de un cambio de
±1% en las variables indicadas y se encontró lo siguiente para la sensibilidad del VPN.
6

1. Precio inicial
2. Coeficiente de elasticidad
Tabla 12.4 Análisis de sensibilidad
Variable -1% +1% % VPN
-16,28% 0,00% 16,28%
11,86% -7,19% 11,86%
3. Precio de compra base 11,32% -11,27% 11,32%
4. Fracción ventas para exportación -3,45% 7,45% 7,45%
5. Valor de activos fijos
7,34% -7,32% 7,34%
6. Nivel crítico de C×C
-1,19% 5,48% 5,48%
7. C×C de contado
4,98% -0,68% 4,98%
8. Fracción de reducción de ventas por C×C de contado
4,29% 0,00% 4,29%
9. Tasa libre de riesgo (Rf)
4,04% -3,95% 4,04%
10. Beta
2,36% -2,33% 2,36%
11. Prima de riesgo de mercado (PRM)
2,36% -2,33% 2,36%
12. Salarios de administración
1,27% -1,27% 1,27%
13. Gastos generales
1,11% -1,11% 1,11%
14. Aumento en volumen vector
-0,65% 0,65% 0,65%
15. Aumento en costo unitario vector
-0,65% 0,65% 0,65%
16. Tasa de impuestos
-0,49% 0,48% 0,49%
17. D% perp
-0,48% 0,48% 0,48%
18. Aumento de precios vector
-0,48% 0,48% 0,48%
19. C×P de contado
0,28% -0,28% 0,28%
20. Prima de riesgo para deuda
-0,27% 0,27% 0,27%
21. Inflación año 6
-0,17% 0,17% 0,17%
22. Crecimiento g real
-0,16% 0,16% 0,16%
23. Inflación vector
-0,16% 0,16% 0,16%
24. Patrimonio
0,16% -0,16% 0,16%
25. Tasa de interés real
-0,15% 0,16% 0,16%
26. Inflación de Estados Unidos vector -0,13% 0,13% 0,13%
27. Política de inventarios
0,08% -0,08% 0,08%
28. Puntos % por encima de prime rate
-0,04% 0,04% 0,04%
29. Política de dividendos
-0,01% 0,01% 0,01%
30. Riesgo en prime rate
-0,01% 0,01% 0,01%
31. Proporción de préstamo en USD$
0,00% 0,00% 0,00%
A continuación ordenamos las variables por su efecto en el valor total de la firma.
De esta manera, la distorsión que se produce en la determinación de las variables críticas se
elimina. Es decir, según el ordenamiento por VPN, prácticamente todas las variables son
críticas. Esto, como ya se dijo, obedece a que el VPN tiene un valor constante que se resta
del valor total de la firma (el valor de los activos), lo cual distorsiona la medición. La
sensibilidad del valor de la firma se presenta en la Tabla 12.5.
7

1. Precio inicial
2. Coeficiente de elasticidad
Tabla 12.5 Sensibilidad del valor de la firma
Variable -1% +1% % Valor
8
-4,01% 0,00% 4,01%
2,98% -1,79% 2,98%
3. Precio de compra base 2,78% -2,77% 2,78%
4. Fracción ventas para exportación -0,86% 1,87% 1,87%
5. Nivel crítico de C×C
-0,30% 1,36% 1,36%
6. C×C de contado
1,24% -0,17% 1,24%
7. Valor de activos fijos
1,12% -1,11% 1,12%
8. Fracción de reducción de ventas por C×C de contado
1,06% 0,00% 1,06%
9. Tasa libre de riesgo (Rf)
1,00% -0,98% 1,00%
10. Tasa de impuestos
0,80% -0,79% 0,80%
11. Beta
0,59% -0,58% 0,59%
12. Prima de riesgo de mercado (PRM)
0,59% -0,58% 0,59%
13. Salarios de administración
0,31% -0,31% 0,31%
14. Gastos generales
0,27% -0,27% 0,27%
15. Aumento en volumen vector
-0,16% 0,16% 0,16%
16. Aumento en costo unitario vector
-0,16% 0,16% 0,16%
17. D% perp
-0,12% 0,12% 0,12%
18. Aumento de precios vector
-0,12% 0,12% 0,12%
19. C×P de contado
0,07% -0,07% 0,07%
20. Prima de riesgo para deuda
-0,07% 0,07% 0,07%
21. Inflación año 6
-0,04% 0,04% 0,04%
22. Inflación vector
-0,04% 0,04% 0,04%
23. Crecimiento g real
-0,04% 0,04% 0,04%
24. Patrimonio
0,04% -0,04% 0,04%
25. Tasa de interés real
-0,04% 0,04% 0,04%
26. Inflación de Estados Unidos, vector -0,03% 0,03% 0,03%
27. Política de inventarios
0,02% -0,02% 0,02%
28. Puntos % por encima de prime rate
-0,01% 0,01% 0,01%
29. Política de dividendos
0,00% 0,00% 0,00%
30. Riesgo en prime rate
0,00% 0,00% 0,00%
31. Proporción de préstamo en USD$
0,00% 0,00% 0,00%
Debido a que el VPN es la resta del valor total menos los activos y a que éstos no
cambian al modificar la variable de análisis, entonces el VPN es mucho más sensible a las
variaciones del activo fijo. Para identificar mejor las variables críticas preferimos usar el
resultado de la sensibilidad del valor total.
No hemos presentado la totalidad del análisis (hay que hacerlo para todas las
variables), sino que seleccionamos algunas de ellas para ilustrar la idea. En este caso
podemos decir que 9 variables son críticas (en negrita), porque generan un cambio mayor

del inducido en las variables. Por ejemplo, para un aumento de ±1% en la política de
recaudos (en lugar de 95% se utilizaría 95,95% o 94,05%) el valor disminuiría -0,17% y
aumentaría 1,24% (debe recordarse que al pasar de cierto nivel crítico se pierden clientes),
en el caso de los recaudos, y en el caso de los pagos el valor de la firma cambiaría en 0,07%
y -0,07% 4 .
Por otro lado, hay que advertir que este análisis de sensibilidad depende del valor
inicial del cual se parte. Por ejemplo, si una variable tiene valor cero, este análisis de
sensibilidad no se podría utilizar.
También se puede hacer lo que se podría llamar análisis de sensibilidad al revés.
Éste consiste en descubrir qué valor debe tener una variable determinada para que un
resultado sea uno previamente definido. Como ilustración, en el ejemplo anterior, ¿qué
valor deberá tener el precio de venta inicial para que el VPN tome un valor de $0 (este sería
como el punto de equilibrio)? Esto se puede hacer con la opción Buscar objetivo 5 o Solver
de Excel, en la opción de menú Herramientas. El cálculo de los puntos de equilibrio en la
sección correspondiente se hizo usando esta última herramienta.
Este análisis contempla una variable a la vez, pero es básico para hacer cualquier
otro análisis que involucre más de una variable, porque en ese caso debemos concentrarnos
en las variables más críticas.
Se puede considerar un análisis de dos variables en forma de tabla, que permite
examinar el resultado con dos valores de las variables a la vez 6 . Por ejemplo, si
examinamos el comportamiento del VPN de esta firma considerando dos variables (en este
caso políticas), como política de recaudos (porcentaje de las ventas que se recuperan en el
mismo año en que se facturan) y política de pagos (porcentaje de pagos que se hacen en el
mismo año en que se recibe la factura), encontramos que la sensibilidad del VPN a las
políticas de recaudos y pagos es la siguiente (Tabla 12.6):
Tabla 12.6 Sensibilidad del VPN a las políticas de recaudos y de pagos
C×C de contado
C×Pde contado
80% 85% 90% 95% 100%
70% 22.257,38 22.975,01 18.282,04 16.923,74 16.229,57
75% 22.009,06 22.656,91 18.036,44 16.677,21 15.984,87
80% 21.761,61 22.409,18 17.791,68 16.431,51 15.740,99
85% 21.448,06 22.162,39 17.547,83 16.186,70 15.497,99
90% 20.916,98 21.916,62 17.226,15 15.916,97 15.255,94
95% 20.385,90 21.648,32 17.012,30 15.674,17 15.014,92
100% 20.086,64 21.327,58 16.807,48 16.127,76 14.814,82
Los resultados son los esperados: mientras menos se pague de contado y mientras
más le paguen a la firma de contado, el VPN será mayor, excepto cuando se sobrepasa
cierto límite de recaudos de contado, donde empieza a ocurrir una retirada de clientes (se
modeló de manera que a partir de 85% de pagos de contado se pierden algunos clientes).
4 Este es un análisis de sensibilidad muy simple. Hay enfoques mucho más complejos y confiables. Para uno un poco más
elaborado, véase Vélez Pareja (2003b).
5 Si hay circularidad, la opción Buscar objetivo no funciona y se utiliza Solver.
6 Esto se hace entrando a la opción “Tabla” de la opción Datos en el menú principal de Excel.
9

Debido a que precisamente el comportamiento del VPN con relación a la política de
recaudo no es lineal, hay que tener mucho cuidado al definir las variables críticas. En este
caso, si el punto de referencia base de la política de recaudos estuviera por debajo de 85%
el resultado de aumentar 1% en esa política será muy diferente a que si el punto de
referencia base está por encima de 85%.
Un análisis más amplio (de más de dos variables a la vez) se hace con la opción
Escenarios (administrador de escenarios en versiones anteriores a Excel 97) de
Herramientas del menú de Excel. La ventaja en este caso es que permite construir
escenarios hasta con 32 variables y sin modificar la hoja original donde se encuentra el
modelo se pueden examinar los resultados. El escenario aparece de la siguiente manera.
Del ejemplo detallado se construyen los siguientes escenarios que hemos nombrado
CIGEopt y CIGEpes con las variables que hemos definido como críticas:
Tabla 12.7 Escenarios
Resumen de escenario Valores actuales CIGEopt CIGEpes
Celdas cambiantes
Valor de activos fijos 45.000,00 44.500,00 45.500,00
Precio de compra base 4,20 4,00 4,40
C×C de contado 95,0% 92,0% 96,0%
Nivel crítico de C×C 85,0% 87,0% 81,0%
Coeficiente de elasticidad -0,350 -0,340 -0,400
Precio inicial 7,00 7,40 6,90
Fracción ventas para exportación 25,0% 30,0% 15,0%
Fracción de reducción de ventas por C×C de
contado 15,0% 12,0% 17,0%
Tasa libre de riesgo (Rf) 8,44017% 8,00000% 9,00000%
Celdas de resultado
Valor total 64.150,07 140.366,00 -14.522,52
Valor patrimonio 30.916,97 107.603,35 -48.204,17
VPN 15.916,97 92.603,35 -63.204,17
La columna de “Valores actuales” representa los valores de las celdas cambiantes
cuando se creó el informe “Resumen de escenario”, antes de introducir los cambios. Las
celdas cambiantes de cada escenario se muestran en gris, bajo la columna CIGE1 y CIGE2
(nombre del escenario). Con esta herramienta el análisis del problema y la decisión final se
pueden mejorar.
Esta herramienta facilita la discusión en comités y permite un proceso de llegar a
consensos sobre valores de ciertas variables críticas. A cada escenario podría asignársele
una probabilidad de ocurrencia y encontrar un valor esperado del resultado.
Una herramienta de análisis adicional que permite el análisis de unas cuantas
variables y con restricciones es la opción Solver de Excel. Así mismo, es posible diseñar
simulaciones con la técnica de Monte Carlo, para hacer un análisis de sensibilidad más
apropiado, que implica distribuciones de probabilidad para cada variable.
El análisis de sensibilidad permite tener en cuenta posibles variaciones en las
variables y no tener que depender de un solo estimativo de las variables.
10

Un paso de mucha importancia es el de determinar las variables críticas, ya que es
sobre éstas que quien decide hace su análisis antes de iniciar el proyecto y ejerce el control
una vez el proyecto está en marcha.
12.3 Riesgo
Cuando además de prever los posibles resultados futuros asociados a una alternativa, se
les puede asignar probabilidades –aunque sean subjetivas– a cada uno de ellos, entonces se
dice que se encuentra frente a una situación bajo riesgo. El riesgo es aquella situación sobre
la cual tenemos información, no sólo de los eventos posibles, sino de sus probabilidades.
Para ilustrar la diferencia con una situación de incertidumbre se presenta el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2
En una empresa se ha reunido un grupo de ejecutivos para estudiar la introducción de un
nuevo producto. Estas personas, basándose en estudios de mercado y en su experiencia, han
producido cálculos calificados, han sido capaces de determinar ciertas cifras relacionadas
con la inversión que se va a realizar y sus resultados. Estos datos se muestran en la Tabla
12.8.
Tabla 12.8 Flujo neto de caja en miles de pesos para el producto nuevo
Año Valor esperado ($) Desviación estándar ($)
0 -5.000 200
1 1.500 100
2 1.500 150
3 1.500 200
4 1.400 300
5 1.500 350
6 1.200 350
7 1.300 400
8 2.000 550
En forma similar a lo expuesto en relación con la idea de no incluir los intereses en el
flujo de caja, pues se contarían dos veces, en este caso se está considerando explícitamente
el riesgo a través de los cálculos de la desviación estándar; por lo tanto, la tasa de descuento
que se va a utilizar debe estar libre de riesgo. Esto significa que la tasa de descuento, si
fuera el costo de oportunidad del dinero, debe estar medida como la rentabilidad que
producen inversiones que están libres de riesgo, como títulos de inversión emitidos por el
gobierno. En este ejemplo, se estimó en 20% anual y sin modificaciones hacia el futuro.
Cuando en el contexto de las finanzas se habla de riesgo, muchas personas piensan sólo
en los mecanismos que diseña la ingeniería financiera para protegerse del riesgo implícito
en ciertas operaciones financieras. Éstas se relacionan más con actividades especulativas,
de inversión de excedentes de tesorería. El contexto en que se maneja esta idea está
relacionado con lo que ocurre después de que se emprende un proyecto, por ejemplo. Pero
no se puede soslayar el estudio del riesgo del proyecto mismo, que es el objeto de estudio
de este libro. Los riesgos asociados a una alternativa de inversión tienen diversas causas y
11

hay que vivir con sus efectos. Si se intenta predecir un evento, pueden intervenir tantas
variables, que, a su vez, generan otros tantos elementos que se deben predecir, que es una
especie de explosión de un árbol que se ramifica hasta el infinito.
En la demanda del mercado por un bien o servicio se deben tener en cuenta la
disponibilidad de dinero de la gente, sus gustos, la obsolescencia, la innovación
tecnológica, el desempleo, la inflación, la tasa de cambio, las tendencias demográficas, la
moda, el clima... Y ello, a su vez, depende de muchos otros parámetros. Todo esto se
constituye en causa de riesgo, y lo único que se puede hacer es tratar de medirlo; una vez
medido, hay que asegurarse de haber tomado todas las precauciones posibles y esperar a
que ocurra lo mejor.
Si el resultado es que la probabilidad de éxito es muy baja, sólo por suerte se puede
esperar que salga bien. Y allí no hay poder humano que pueda influenciar a la suerte para
que sea favorable.
Aquí conviene resumir las consideraciones de los casos no determinísticos. Se acepta que
el concepto de incertidumbre implica que no se asignan distribuciones de probabilidad
(definidas en términos de sus parámetros, como la media y la desviación estándar); el
riesgo, por el contrario, implica que sí se le puede asignar algún tipo de distribución
probabilística. Conviene aclarar también que el término incertidumbre se utiliza para
indicar una situación de desconocimiento del futuro y el hecho mismo de lo impredecible.
Por último, la situación de ignorancia total es, en realidad, una situación irreal que en la
práctica no existe. Algo similar se podría decir de la certidumbre total, porque, en rigor, ni
la estabilidad económica del Estado, responsable de las inversiones que se hacen en ciertos
títulos, se puede garantizar y, en consecuencia, es posible que no ocurra el evento en teoría
cierto.
12.4 Causas del riesgo y de la incertidumbre
Las causas de la variabilidad son básicamente atribuibles al comportamiento humano.
Más aún, la incertidumbre es consecuencia de nuestra naturaleza humana, del conocimiento
limitado que se tiene de las cosas, esto es, de la ignorancia. Sin embargo, existen
fenómenos no atribuibles directamente al ser humano que también causan incertidumbre y
riesgo. Algunas manifestaciones de ambos se mencionan a continuación:
1. Inexistencia de datos históricos directamente relacionados con las alternativas que se
estudian.
2. Sesgos en el cálculo de datos o de eventos posibles.
3. Cambios en la economía, tanto nacional como mundial.
4. Cambios en políticas de países que en forma directa o indirecta afectan el entorno
económico local.
5. Análisis e interpretaciones erróneas de la información disponible.
6. Obsolescencia.
12

7. Situación política.
8. Catástrofes naturales o comportamiento del clima.
9. Baja cobertura y poca confiabilidad de los datos estadísticos con que se cuenta.
En una investigación desarrollada por García y Marín (1987), entre 1985 y 1986, los
ejecutivos de las empresas más grandes de Colombia percibían como principales causas del
riesgo las siguientes:
1. Inestabilidad de las medidas económicas y falta de continuidad en los programas
sectoriales.
2. Factores políticos e institucionales.
3. Inestabilidad política.
4. Política cambiaria y de comercio exterior.
5. Inestabilidad social.
6. Inseguridad.
7. Orden público.
12.5 Cómo medir el riesgo y la incertidumbre
En una situación de incertidumbre no sólo es importante hacer predicciones para evaluar
una inversión y decidir si rechazarla o no, sino poder tomar cursos de acción
complementarios que reduzcan las posibilidades de fracaso. Un medio para reducir la
incertidumbre es obtener información antes de tomar la decisión —ver, por ejemplo, la
información acerca del mercado—.
Otra alternativa es aumentar el tamaño de las operaciones, como es el caso de las
compañías petroleras, que asumen menos riesgos al perforar 50 pozos de petróleo que al
perforar uno. La diversificación es otro medio de disminuir la incertidumbre en las
inversiones; sobre todo, la diversificación a través de productos o servicios sustitutos,
como, el café y el té. Si el precio del café sube demasiado y las ventas decrecen, se pueden
reemplazar por el té y así se pueden mantener estables los ingresos de la firma. La decisión
de comercializar ambos productos puede ser tomada si se prevén bajas sustanciales en los
precios. Es posible encontrar inversiones A y B, independientes, pero cuyos VPN varían
según la situación general de la economía y, en forma contraria, de manera que en
promedio los beneficios de la firma se mantienen constantes durante el período.
Al ejecutar esta clase de inversiones en forma simultánea, se puede eliminar o reducir el
riesgo. Este tipo de combinaciones es lo que buscan los grandes grupos y fondos de
inversión, al invertir en empresas de muy diversa índole. También es lo que buscan, con
altos grados de refinamiento, los modelos de selección de portafolio, como los de
Markowitz (1952, 1959 y 1970) y Sharpe (1963, 1964 y 1985).
13

En un artículo clásico, David B. Hertz (1964) describe lo que se ha tratado de hacer para
medir el riesgo, y propone lo que se podría hacer para resolver mejor el problema. Las ideas
utilizadas tradicionalmente han sido:
1. Predicciones más exactas. La reducción del error en las predicciones es útil, pero el
futuro es siempre el futuro y siempre existirá algún grado de desconocimiento acerca
de éste, a pesar de que se cuenta con la tecnología que permite hacer predicciones más
precisas.
2. Ajustes empíricos. Si un analista en forma sistemática sobrevalúa o subvalúa el valor
de las variables que estudia, puede hacer correcciones a sus cálculos, de acuerdo con su
comportamiento anterior. Esto, a primera vista, parece razonable, pero ¿qué hacer si los
cálculos de ventas han resultado inferiores a lo real en 75% más del 25% de los casos y
no han llegado a más del 40% en una sexta parte de las acciones emprendidas?
3. Revisar la tasa de descuento. Esto se podría aplicar aumentando la tasa mínima de
descuento para dar una protección contra la incertidumbre. Sin embargo, la persona que
toma decisiones debe saber explícitamente cuál es el riesgo que se asume y cuáles son
las posibilidades de obtener el resultado esperado.
4. Cálculos de tres niveles. Calcular valores inferior, promedio y superior y determinar el
VPN a partir de varias combinaciones de cálculos optimista, promedio y pesimista.
Este enfoque no indica cuál de estos cálculos ocurrirá con mayor probabilidad y no
presenta una idea clara de la situación. Sin embargo, si se evalúa el proyecto para el
peor de los casos posibles y el VPN es positivo, se debe aceptar sin duda.
5. Probabilidades selectivas. Consiste en calcular para una variable determinada todas las
posibilidades que existen y, basándose en esto, hallar las rentabilidades o los VPN.
El método, que fue propuesto por Hertz (1964), utiliza las técnicas de simulación y se
debe usar el computador. El análisis tiene tres etapas:
1. Cálculo el rango de valores de cada uno de los factores y dentro de cada rango asignar
una probabilidad de ocurrencia a cada valor.
2. Seleccionar al azar un valor particular, basándose en la distribución probabilística de
cada factor. Este valor se combina con los valores de los demás factores y se calcula un
indicador de la bondad de la alternativa –VPN o tasa interna de rentabilidad (TIR)–.
3. Repetir el paso anterior muchas veces para obtener las probabilidades de ocurrencia de
los valores posibles del indicador y, según en esto, calcular el valor esperado y las
probabilidades de ocurrencia de ciertos rangos del indicador seleccionado.
Este procedimiento es un análisis de sensibilidad muy amplio y exhaustivo.
12.6 La evaluación de múltiples objetivos
14

Un problema típico de incertidumbre también está asociado con la multiplicidad de
objetivos que se encuentran en una organización. Al establecer ordenamientos y
preferencias entran en juego los objetivos. Hasta este punto sólo se han considerado
situaciones en que los resultados se pueden referir a un único objetivo de la organización
(maximización del beneficio económico) y en que además los resultados son cuantificables.
Se ha supuesto que existe un solo objetivo o que el individuo puede coordinarlos todos de
manera que la preferencia, la transitividad y el ordenamiento pueden realizarse. La realidad
no es tan fácil, pues las organizaciones tienen múltiples objetivos y los resultados no
siempre se pueden medir. Lo que al final sucede es que el análisis financiero-económico es
uno de los elementos de juicio, entre otros, para que el que decide seleccione una
alternativa. Shakespeare plantea la dificultad de decidir cuándo hay múltiples objetivos, así:
Corin: Y, ¿cómo halláis vos esta vida pastoril, maese Touchstone?
Touchstone: A decir verdad, pastor, considerada en sí, es buena vida;
pero mirada como vida de pastores, no vale nada. Por lo solitario, me
gusta mucho; pero, como retiro es detestable. Ahora, por lo campestre,
me encanta, aunque por lo alejada de la Corte me es tediosa. En cuanto a
frugal, ya lo ves, se aviene con mi humor; empero, por excluir la
abundancia, no se compagina con mi estómago. ¿Entiendes de filosofía,
pastor? (1966, p. 1214)
El análisis de múltiples objetivos y de intangibles no está completamente desarrollado,
por lo tanto, aquí se presentan dos opciones para hacer, por lo menos, explícitos los
objetivos y los juicios de valor que se puedan tener respecto de ciertas variables que no se
pueden medir. La dificultad estriba en que, a veces, los que deciden no son conscientes de
los objetivos de la organización y conviene contar con un método que permita hacer
consciente al que decide de los diferentes objetivos de la organización y que, además,
permita valorar los resultados de manera subjetiva, pero internamente consistente. Otra vez
el proceso de identificación de objetivos y definición del problema es básico para tomar
buenas decisiones.
12.6.1 Modelo de Churchman
El modelo de Churchman pretende resumir en un índice todos los aspectos pertinentes al
análisis, de manera que se pueda establecer un ordenamiento de las alternativas. Si fuera
factible obtener una definición explícita de los objetivos de la organización, se habría
avanzado mucho en la evaluación, pero se presentan dificultades para lograrlo.
Primero, no es fácil lograr que un gerente muestre de manera concreta los objetivos de la
organización. Y esto no es por ineptitud, sino porque su punto de vista puede ser muy
diferente del de los socios o de los miembros de la junta o consejo directivo. Por otro lado,
es imposible que una persona aísle o elimine sus propios objetivos o metas del análisis, y de
alguna manera éstos influyen en su percepción. Segundo, como ya se dijo, las
organizaciones no tienen un solo objetivo, sino varios y, por lo general, son conflictivos
entre sí. Por ejemplo, la maximización de utilidades puede estar en contradicción con
mantener un medio ambiente limpio o que la organización sea un sitio de trabajo agradable.
15

Por último, los cambios en los cuadros directivos, en la composición de los accionistas, la
política económica del gobierno, la competencia, etc. hacen que los objetivos varíen.
Si los objetivos o los intangibles se designan por O1, O2, O3... Om, los resultados de
cada alternativa como R1, R2, R3... Rm y cada alternativa por A1, A2, A3... Ak, entonces
se pueden representar la calificación de cada alternativa así:
V(Rm,Ak) (12.4)
Este valor pretende evaluar qué tanto contribuye a los diversos objetivos de la
organización. En este caso será necesario calificar tanto la importancia relativa de cada
objetivo como el grado en que cada resultado contribuye a cada uno de los objetivos.
Respeto a los resultados intangibles, habrá que asignar valores subjetivos y consistentes a
los resultados y, a la vez, examinar en cuánto contribuyen al logro de cada objetivo. El
procedimiento para calcular un número que englobe todos los aspectos es relativamente
fácil.
Lo primero que se debe hacer es identificar y cuantificar los factores que se van a utilizar
para hacer la evaluación. Por lo tanto, se debe desarrollar una lista de los factores
pertinentes, algunos de los cuales pueden tener implícita una medida numérica. Para
cuantificar el resto de los factores, se les debe calificar según alguna escala numérica que
corresponda a las diferentes categorías establecidas. Por ejemplo, muy malo, malo, regular,
bueno y excelente, pueden ser las diferentes categorías de determinado factor y se le puede
asignar a cada una de ellas un valor, por ejemplo, 0, 1, 2, 3 y 4.
Hecho esto, se debe asignar una ponderación o peso a cada factor, en relación con los
demás. El tercer paso consiste en multiplicar la calificación de cada factor por el peso
respectivo, y los resultados se suman para obtener el puntaje final de cada alternativa. Se
escoge la de mayor puntaje.
Lo más importante es lograr una consistencia interna entre las calificaciones. Una manera
de lograr esta consistencia es acudir al procedimiento propuesto por Churchman y Ackoff
(1954), que consiste en hacer comparaciones por pares y entre cada factor y la suma de las
restantes. Estas comparaciones deberán indicar numéricamente lo que se aprecia de manera
subjetiva en cuanto a las preferencias. Así se ajustan los valores hasta cuando las
comparaciones numéricas se ajusten a las apreciaciones. Es decir, si un factor se prefiere a
otro, esta preferencia se debe reflejar en los pesos; lo mismo en cuanto a la combinación de
factores.
Ejemplo 3
Si se evalúa la compra de un sistema de procesamiento de datos y se consideran las
siguientes variables con sus respectivos pesos:
16

Característica Peso Sigla
Memoria principal del computador 7 M
Almacenamiento 5 A
Costos 10 C
Plazo de entrega 7 P
Base de datos 9 B
El que decide deberá poder hacer comparaciones como las siguientes:
Si los costos bajos son más importantes que todo lo demás en conjunto, entonces:
C>M+A+P+B
10<7+5+7+9 = 28
Esta persona deberá, o revisar su apreciación de la importancia de los factores o cambiar
su calificación. Si fuera esto último, debe calificar la variable costo con más de 28 puntos,
por ejemplo 30.
En general, debe hacer lo siguiente:
Comparar C con M+A+P+B
Comparar C con M+A+P
Comparar C con M+A
Comparar C con M
Comparar A con P
Comparar M con A+P+B
Comparar M con P+B
Comparar M con B
Comparar A con P+B
Comparar P con B
... Y así sucesivamente para todas las combinaciones.
Al hacer esas comparaciones, debe verificar si lo que dicen las relaciones numéricas
coincide con su apreciación subjetiva de los pesos e importancia relativa de las
características. En caso de discrepancia, deberá hacer los ajustes pertinentes hasta que las
comparaciones numéricas coincidan con las preferencias. Cuando se ha llegado a un
conjunto coherente de pesos, entonces se pueden expresar como un porcentaje de la suma
total de los pesos asignados o asignar los puntajes de manera normalizada, esto es, que
sumen 100. Hecho esto, se puede proceder a producir un indicador único que refleje la
evaluación de cada alternativa.
Ejemplo 4
Si, por ejemplo, se estuvieran evaluando 4 alternativas (marcas) de acuerdo con las 5
características anteriores, se podría llegar a una tabla como la siguiente:
17

Características M A C P B
Marcas
A 20 9 6 8 4
B 10 6 9 4 8
C 5 3 3 2 2
D 5 6 12 4 4
Pesos 9 4 30 7 9
Pesos como porcentaje 15% 7% 51% 12% 15%
Los porcentajes se redondearon a cero decimales. Lo primero que debe hacerse es
investigar si hay dominación, es decir, que una alternativa sea mejor que otra en todos los
aspectos. Esto sucede entre las alternativas b y c, por lo tanto, se elimina c del análisis, ya
que b es superior en todos los aspectos.
El valor de cada alternativa puede determinarse ponderando su calificación con el peso
correspondiente, así: V(a) = 20×9+9×4+6×30+8×7+4×9 = 488; V(b) = 484, y V(d) = 493.
Según este procedimiento, la mejor alternativa sería la d con 493 puntos. Una variación
pequeña a este procedimiento es asignar los puntajes de manera normalizada, esto es, que
sumen 100, tal y como aparece en la última fila de la tabla. El resultado es el mismo.
Si la asignación original de pesos se variara y fuera consistente con la apreciación
subjetiva del que decide, la evaluación sería, eliminando también a c:
Características M A C P B
Marcas
A 20 9 6 8 4
B 10 6 9 4 8
D 5 6 12 4 4
Pesos 7 5 10 7 9
Pesos como porcentaje 18% 13% 26% 18% 24%
V(a) = 20×18%+9×13%+6×26%+8×18%+4×24% = 8,73; V(b) = 7,56, y V(d) = 6,48.
Los porcentajes se redondearon a cero decimales. Ahora la mejor sería la b. Esto indica
que puede (y debe) hacerse un análisis de sensibilidad para determinar qué tanta variación
en la decisión se presenta al cambiar los pesos.
La asignación de ponderaciones y su consistencia interna es de vital importancia. Muchas
veces es necesario recurrir a la opinión de expertos o, incluso, de funcionarios de la misma
organización. Cuando se debe recurrir a personas dentro de la misma organización, puede
encontrarse que las personas lleguen a ser reacias a expresar de manera explícita sus
preferencias. Si esto ocurre, todavía existe una opción para ‘descubrir’ esas opiniones.
Una posibilidad es el análisis de regresión, el cual se podría aplicar a una serie de
pruebas que se somete a los funcionarios, a fin de tratar de que califiquen en una escala
numérica total su apreciación de la bondad de muchos casos reales o ficticios, luego de
haberles indicado cuáles son los factores que se deben tener en cuenta. Con estos datos se
puede hacer una regresión múltiple con los pesos o ponderaciones como variables y así
18

descubrir las ponderaciones que mejor se ajusten a los resultados. Este enfoque encuentra
las ponderaciones implícitas que el evaluador asignó a cada factor.
Todas estas ponderaciones son subjetivas, y aquí debe recordarse que subjetividad y
arbitrariedad no son lo mismo, aunque en el lenguaje corriente a veces se intercambian. La
primera es algo personal, producto de la experiencia y de la cantidad de información que se
posea; la segunda es arbitrariedad.
Hammond, Keeny y Raiffa (1999) citan a Benjamín Franklin como el autor de un
proceso que permite hacer un análisis de los objetivos de una manera parecida al análisis de
dominación, ya mencionado. Dice Franklin:
... mi método es dividir media hoja de papel en dos columnas con una línea:
escribiendo en una el pro y en la otra el contra. Luego [...] voy anotando
bajo diversos encabezamientos [...] los diferentes motivos [...] a favor o en
contra de la medida.
Cuando los tengo ya todos reunidos [...] trato de estimar su respectivo peso;
y donde encuentro dos, uno a cada lado, que parecen iguales, tacho los dos.
Si encuentro una razón en pro igual a dos en contra, tacho las tres.
[...]
... en efecto, he hallado gran ventaja en esta forma de ecuación de lo que se
puede llamar el álgebra moral o prudencial.
Basándose en esta excelente idea, Hammond, Keeny y Raiffa (1999) proponen hacer
intercambios entre objetivos, de manera que se llegue a un objetivo que no discrimine entre
las alternativas. En el ejemplo de la compra del computador se podría intercambiar precio
por memoria o disco duro, de modo que un precio menor se suba, pero a la vez se suba la
capacidad en disco duro o memoria por una cantidad equivalente que fija el analista. Si el
precio de una alternativa es $1 millón más, pero tiene más memoria, ¿en cuánto debe
aumentarse el precio de otra alternativa con menos memoria para que las memorias sean
iguales? (¿cuánto adicional está dispuesto a pagar el analista para que la alternativa con
menos memoria tenga igual memoria que la otra?) Este proceso se hace hasta que cierto
objetivo (característica en el ejemplo) queda con igual valor para todas las alternativas. En
ese caso, el objetivo se puede eliminar, puesto que no hace ninguna discriminación entre las
alternativas. Esto, junto con el análisis de dominación, hace el problema más sencillo.
12.6.2 Modelo de proceso analítico jerárquico 7
Hoy en día, los profesionales constantemente recurren a diversas técnicas que les
permiten resolver materias específicas. Sin embargo, surgen dificultades cuando deben
enfrentarse a elementos para los cuales no hay medida. En esos casos, las técnicas
estándares no son herramientas de trabajo adecuadas.
7 Este aparte ha sido elaborado básicamente por Claudio Garuti e Isabel Spencer. Garuti es ingeniero civil de la
Universidad de Chile, con posgrado en la Universidad de Roma. Spencer es ingeniero civil matemático de la Universidad
de Chile, con posgrado en la Universidad de Roma. Ambos autores pertenecen a la firma consultora FULCRUM
Ingeniería Ltda.
19

Por ello en nuestra sociedad los valores sociales requieren métodos que permitan evaluar
las diferencias entre dinero, calidad ambiental, salud, felicidad y entidades similares. Tal
enfoque es necesario precisamente porque no hay escalas sociales de medida que hayan
adquirido popularidad, aun cuando ha habido varios intentos en las ciencias sociales para
crear los fundamentos de una teoría de la medida.
Compartiendo este interés, a fines de los años setenta, el profesor Thomas L. Saaty,
doctor en Matemáticas de la Universidad de Yale, creó un modelo matemático denominado
proceso jerárquico analítico (analytical hierarchy process [AHP]), como una forma
efectiva de definir medidas para tales elementos y usarlas en los procesos de toma de
decisiones.
El AHP es una teoría que está orientada hacia el responsable de la toma de decisiones, y
sirve para identificar la mejor alternativa de acuerdo con los recursos asignados. Este
método puede aplicarse a situaciones que involucran factores de tipo técnico, económico,
político, social y cultural. Es decir, pretende ser una herramienta científica para abordar
aquellos aspectos que son difícilmente cuantificables, pero que a veces requieren una
unidad de medida. La complejidad del asunto se hace evidente cuando los que toman
decisiones requieren darle un valor específico, por ejemplo, a la vida humana, a una especie
en extinción, a la calidad de vida de un grupo determinado, etc.
Esta teoría permite trabajar con varios escenarios a la vez, los que pueden dar prioridad a
los objetivos de tipo económico, ambiental, cultural, político, etc. Además, este método
permite la participación de distintos grupos, al manejar varios objetivos, criterios y
alternativas simultáneamente. Su uso ayuda al grupo de trabajo a obtener consenso entre los
intereses de los distintos participantes o grupos de poder.
Aparte de lo anterior, estas ideas han ido gradualmente incorporando otros ámbitos de
aplicación, que van desde la ubicación de instalaciones de energía hasta la planificación de
carteras de inversión, investigación en tecnologías bajo incertidumbre, planificación
territorial, asistencia diagnóstica, etc. Saaty ha utilizado este método para la resolución de
conflictos:
Existen ciertos pasos preliminares que se deben tomar para comprender la
naturaleza de un conflicto en particular:
1. Identificación de las partes en conflicto.
2. Identificación de los objetivos, necesidades y deseos de cada una de
las partes.
3. Identificación de los posibles resultados del conflicto o sus posibles
‘soluciones’.
4. Hipótesis acerca de la forma como cada parte visualiza sus objetivos
y, particularmente, su visión sobre la importancia relativa de estos
objetivos.
5. Supuestos sobre lo que cada una de las partes opinaría de los
resultados y la forma en que un resultado específico podría cumplir
con sus objetivos. (Saaty, 2004, p. 56)
Es importante hacer notar que, por las características descritas, esta metodología se ajusta
muy bien a los problemas donde las variables en juego son de distinta índole (económicas,
20

políticas, sociales, culturales y ecológicas) y, en general, de difícil medición. Por este
motivo, en varios países del mundo el AHP está aplicándose como una metodología de
creación de métrica, donde no la hay para los procesos de toma de decisión. 8
Saaty (2004) nos alerta sobre el hecho de que en la toma de decisiones se intercambian
intangibles: cedo en esto para ganar en aquello. Sin embargo, hay que medir estos aspectos
intangibles. Esto es difícil. ¿Cuántas veces le preguntamos a un experto sobre cómo hacer
ciertas cosas y, aunque tomemos nota de cada instrucción que nos indica, al tratar de
hacerlo no nos resulta igual? Esto sucede ya sea con un músico extraordinario, con un
pintor, con un chef de cocina o con la receta de la abuela que tanto nos gustaba. El
problema es cómo extraer esos aspectos subjetivos, no mensurables en apariencia pero que
están allí, en la mente del experto. Nuevamente recordamos: lo subjetivo no es lo arbitrario.
La propuesta de Saaty es establecer jerarquías o, más general, redes de conexión.
Cualquier orden, sea en el mundo físico o en el pensamiento humano, implica
proporcionalidad entre sus partes. De manera que debemos usar proporciones para capturar
esas relaciones.
Si tenemos aspectos intangibles que evaluar, tratemos de usar la asignación de
preferencia del menos preferido como unidad para ‘calificar’ los demás. Así, si estamos
evaluando dónde pasar unas vacaciones, calificamos el sitio menos deseable y a partir de
allí calificamos los demás. Si debo escoger entre ir a Cartagena o a Acapulco, le asigno por
ejemplo, 1/3 a Acapulco y 3 a Cartagena.
12.6.2.1 Descripción del método
La jerarquía, base del método AHP, es una abstracción de la estructura de un sistema,
que permite estudiar las interacciones funcionales de sus componentes y su efecto global en
el sistema. Esta abstracción puede asumir diferentes formas, que esencialmente descienden
de un objetivo general a subobjetivos, y así sucesivamente. Conviene destacar el grado de
estabilidad de esta estructura, cuyos niveles más altos corresponden a consideraciones
estratégicas, mientras que los niveles inferiores representan los mecanismos operativos que
permiten concretar los anteriores (véase Figura 12.1 del Ejemplo).
La jerarquía es un modelo más o menos confiable de una situación de la vida real.
Representa nuestro análisis de los elementos más importantes en dicha situación y de sus
relaciones. Por sí sola, la jerarquía no es una ayuda muy poderosa en el proceso de
planificación o toma de decisiones. Lo que falta es un método para determinar el peso
relativo con el que los elementos de un nivel influyen en los elementos del nivel superior y
sobre los objetivos estratégicos.
Para determinar el peso, o las prioridades de los elementos de un nivel, relativo a su
importancia para un elemento del nivel siguiente, debe previamente transformarse en un
8 En http://www.poligran.edu.co/decisiones se encuentra mucha información, documentos y presentaciones de
diapositivas suministrados al autor por el profesor Saaty.
21

problema matemático preciso. Este paso esencial y aparentemente inocente es el más
crucial de cualquier problema que requiera la representación de una situación de la vida
real, en términos de una estructura matemática abstracta. Es entonces deseable identificar
los pasos principales en el proceso de representación y hacer cada paso lo más explícito
posible, para permitirle al usuario potencial formar su propio juicio en el significado y valor
del método en relación con su problema y sus objetivos.
Una de las contribuciones importantes del método de análisis jerárquico es que los
grupos en conflicto estructuran el problema en conjunto desde el principio, en vez de que
esto sea hecho por un tercero, y después negociar los valores numéricos obtenidos. Y en
directa relación con ello está el cómo obtener consenso de los distintos juicios de un grupo.
El proceso de obtener el consenso puede ser utilizado para demostrarles a las personas
que sus intereses están considerándose; de este modo, el consenso significa aumentar la
confianza en los valores de las prioridades.
La cantidad de información disponible para proveer el juicio de las personas es crucial.
En la búsqueda del consenso es preferible que los especialistas de cada área interactúen
entre sí, ya que una persona bien informada puede efectuar cambios sustanciales en las
creencias de las otras. El debate debe ayudar a acercar los juicios, ya que éstos están
afectados por factores como años de experiencia, historial, profundidad de conocimiento,
experiencia en áreas relacionadas, compromiso personal en el problema, entre otros.
La negociación y la conversación deben ser procedimientos intrínsecos para obtener el
acuerdo del grupo. Además, no deben arbitrarse las prioridades utilizando los juicios de un
grupo favorecido frente a los otros; es decir, descubrir un marco de referencia matemático
conveniente para un problema no resuelve automáticamente sus características sociales
intrínsecas. Si un problema social requiere arbitraje, el mediador debe evaluar
cuidadosamente las necesidades e influencias de los grupos antes de indicar dónde
establecer los compromisos.
El AHP consta de tres etapas básicas:
Primera: el problema es descompuesto en subobjetivos, llamados también criterios,
como impacto ambiental, político, económico, etc. Éstos son agrupados en diferentes
niveles que forman un árbol jerárquico.
Segunda: el peso o grado de importancia de cada criterio en un nivel cualquiera de la
jerarquía es medido por una comparación sistemática de cada elemento respecto del resto
del mismo nivel.
Lo importante no es tanto la medida precisa de un determinado factor, sino la
importancia que se le asigna a los factores. Y ¿cómo se asigna esta importancia? Saaty
(2004) propone una escala que permita una expresión verbal que, a la vez, posibilite la
comparación por pares y el establecer si son igualmente importantes, si hay una
importancia moderada de uno sobre otro, si hay una fuerte preponderancia o si hay una
importancia suprema.
22

La escala de comparación entre pares de criterios en un nivel está constituida por juicios
de valor dentro de un rango de importancia, que va desde igual hasta extremadamente
(igual, moderado, fuerte, muy fuerte, extremadamente). A cada juicio de valor le
corresponde un valor numérico absoluto (1, 3, 5, 7, 9), pertenecientes a una escala absoluta
(invariante bajo la transformación identidad). Además, existen valores de compromiso o
intermedios (2, 4, 6, 8). Estos valores indican cuántas veces un criterio es considerado más
importante que el otro. Los valores recíprocos (1, 1/3, 1/5...) son utilizados cuando la
dominancia es inversa. Esto genera una matriz recíproca positiva.
Las categorías propuestas son:
1 Importancia idéntica.
3 Importancia moderada de uno sobre otro.
5 Fuerte o esencial importancia.
7 Importancia muy fuerte o demostrada.
9 Importancia extrema.
2, 4, 6, 8 Valores intermedios.
Se usan los recíprocos para hacer comparaciones entre los factores o variables. Es decir,
si a un factor A se le asigna 5 cuando se compara con un valor B, entonces el valor del
factor B será 0,2 (1/5).
Tercera: para cada matriz de comparaciones a pares se genera un vector de prioridades,
que está dado por el vector propio de dicha matriz. Este vector de prioridades corresponde a
una escala de proporciones (es decir: invariante bajo la transformación ax, con a>0) es
transformado por las prioridades de los niveles superiores de la jerarquía (aplicación del
principio de composición jerárquica), los que a su vez fueron los criterios con los cuales se
construyeron las matrices de comparaciones a pares.
Este procedimiento es repetido hacia abajo en la jerarquía, calculando los pesos de cada
criterio en cada nivel, usando éste para determinar los pesos compuestos en los niveles
inferiores y finalizando con los objetivos terminales que corresponden a las distintas
alternativas o estrategias que se van a seguir. Geométricamente, esto se puede entender
como un cambio coordenado de los vectores de cada matriz en cada nivel, para tener las
coordenadas de las alternativas con respecto del objetivo global buscado.
Las prioridades así obtenidas son muy estables, es decir, al hacer pequeños cambios en
los juicios numéricos (pequeño significa un desplazamiento en una o dos unidades enteras
en ambas direcciones), éstas no varían. Existen distintos paquetes computacionales que
implementan la metodología AHP y que permiten análisis de sensibilidad/estabilidad, para
validar los efectos de incertidumbre en las comparaciones y su estabilidad frente a los
cambios de escenarios, lo cual ayuda a la selección de la mejor alternativa (Expert Choice,
SuperDecision, Decision Lens, entre otros...).
La metodología AHP tiene algunas ventajas cuando se usa en las empresas:
1. Descompone los criterios en componentes manejables.
23

2. Conduce con facilidad al grupo hacia el consenso.
3. Proporciona la oportunidad de examinar los desacuerdos y estimula la discusión y
expresión de opiniones.
4. Ofrece la oportunidad de modificar los criterios y los juicios de valor.
5. Fuerza a los analistas a mirar el problema como un todo.
6. Ofrece un sistema de medición. Le permite al analista estimar magnitudes relativas
y construir escalas de fracciones (razones o ratios) con relativa precisión.
7. Organiza, da prioridades y sintetiza la complejidad dentro de un contexto racional.
8. Interpreta la experiencia sin que sea una caja negra.
9. Hace posible manejar los conflictos de percepción y de formación de juicios y
criterios.
12.6.2.2 Un ejemplo sencillo
La aplicación de la metodología se ilustrará directamente con un ejemplo sencillo y sin
aplicar las medidas de inconsistencia. La idea básica es asignar calificaciones a las
variables de manera consistente. Supongamos que se trata de un latinoamericano que vive
en Estados Unidos (Hawai). Supongamos, además, que se tiene un par de ofertas de trabajo:
una dentro del país y otra en el exterior. La oferta por fuera de Estados Unidos implica
trasladarse a vivir con su familia a Colombia 9 .
Usted ha identificado las siguientes variables pertinentes:
1. Viajes.
2. Desarrollo profesional.
3. Manejo del tiempo.
4. Salario.
5. Perspectivas en Estados Unidos.
6. Perspectivas en Colombia.
La primera tarea es asignar una calificación o importancia a cada uno de estos aspectos.
No se trata de calificarlos como buenos o malos, sino qué tan importantes son para quien
decide. Después de haber asignado un peso a esos aspectos, se procederá a calificar las dos
ofertas. Usted ha ordenado los seis aspectos de la siguiente forma:
Viajes 1
Desarrollo profesional 2
Manejo del tiempo 3
Salario 1
Perspectivas en Estados Unidos 5
Perspectivas en Colombia 4
9 Este ejemplo fue desarrollado por Guillermo Rossi, de IMPSA.
24

Usted llegó a la conclusión que si bien los viajes son un problema, porque lo alejan de su
familia, debe cambiar de huso horario y hacerlo con frecuencia, son tan importantes como
el salario.
Con ese ordenamiento de sus aspectos usted ahora trata de asignarle algún puntaje en
cuanto a peso relativo (consistente con su preferencia u ordenamiento) por pares.
Al aplicar este procedimiento se tiene:
Variables
Viajes
Desarrollo
profesional
Manejo
del
tiempo
Salario
Perspectivas
en Estados
Unidos
Perspectivas
en
Colombia
Viajes 1 2 3 1 5 4
Desarrollo profesional 1/2 1 2 1/2 4 3
Manejo del tiempo 1/3 1/2 1 1/3 3 2
Salario 1 2 3 1 5 4
Perspectivas en Estados 1/5 1/4 1/3 1/5 1 1/2
Unidos
Perspectivas en Colombia 1/4 1/3 1/2 1/4 2 1
Suma 3+2/7 6 9+5/6 3+2/7 20 14+1/2
Observe el lector que las columnas y filas de igual sombreado son una el inverso de la
otra.
¿Cómo obtener un ranking de prioridades a partir de una matriz de comparación a pares?
El profesor Thomas L. Saaty, de la Universidad de Pittsburgh, demostró
matemáticamente que la solución vector propio (eigenvector) es el mejor enfoque.
La forma precisa de obtener el vector con los valores buscados es elevar a potencias
sucesivas la matriz de comparaciones [A] previamente normalizada, esto es:
{x} = Lím [A] n con n∞
Una forma aproximada de obtener este valor es:
1. Se suma cada columna, se normaliza y se calcula el promedio de cada fila.
2. El cálculo se detiene cuando entre dos iteraciones consecutivas, la diferencia entre
la columna de los promedios es menor que un valor dado.
Es importante hacer notar que el método aproximado es bueno en la medida en que la
inconsistencia general del modelo sea baja. A medida que ésta sube, se hace necesario
trabajar con el método del vector propio, donde se consideran todas y cada una de las
múltiples formas de ir de un punto a otro en el grafo de conexión (expresado a través del
límite de la matriz de conexión [A]).
Observe que en esta tabla las relaciones de preferencias en término de asignación de
pesos están convenientemente asignadas de manera que si se prefiere a viajes sobre
25

desarrollo profesional hay una relación inversa entre ellas. Es decir, que si viajes,
comparado con desarrollo profesional, tiene un peso de 2, entonces desarrollo profesional
tiene el inverso (1/2). Así para las demás variables.
Ahora normalizamos esos pesos de la siguiente manera: encontramos la proporción de
cada peso (en la columna) sobre la suma del total de cada columna y calculamos el
promedio para cada aspecto (fila). En el ejemplo:
Variables
Viajes
Desarrollo
profesional
Manejo
del
tiempo
Salario
Perspectivas
en Estados
Unidos
Perspectivas
en
Colombia
Promedio
Viajes 0,305 0,329 0,305 0,305 0,25 0,276 0,2948
Desarrollo
profesional
0,152 0,164 0,203 0,152 0,2 0,207 0,1799
Manejo del tiempo 0,102 0,082 0,102 0,102 0,15 0,138 0,1125
Salario 0,305 0,329 0,305 0,305 0,25 0,276 0,2948
Perspectivas en
Estados Unidos
Perspectivas en
Colombia
0,061 0,041 0,034 0,061 0,05 0,034 0,0469
0,076 0,055 0,051 0,076 0,1 0,069 0,0711
Total 1 1 1 1 1 1 1
Por ejemplo, al normalizar la columna de “Viajes”, dividimos el valor la celda por la
suma total. Si calculamos la celda “Salario-Viajes”, tenemos 0,305 (1/3,28). Y así para el
resto. Ahora elevamos al cuadrado la matriz de preferencias y obtenemos:
Variables
Viajes
Desarrollo
profesional
Manejo
del
tiempo
Salario
Perspectivas
en Estados
Unidos
Perspectivas
en
Colombia
Viajes 6,00 10,08 16,67 6,00 40,00 26,50
Desarrollo profesional 3,72 6,00 9,83 3,72 25,00 16,00
Manejo del tiempo 2,35 3,75 6,00 2,35 15,33 9,67
Salario 6,00 10,08 16,67 6,00 40,00 26,50
Perspectivas en Estados 0,96 1,63 2,62 0,96 6,00 4,02
Unidos
Perspectivas en Colombia 1,48 2,42 3,83 1,48 9,33 6,00
Suma 20,51 33,97 55,62 20,51 135,67 88,68
Igual que arriba, normalizamos dividiendo cada celda por la suma de la columna.
La última columna “Promedio” es el peso o ponderación resultante que es coherente con
las preferencias de la persona. Hecho esto calificamos cada variable y normalizamos la
calificación.
26

Variables
Viajes
Desarrollo
profesional
Manejo
del
tiempo
Salario
Perspectivas
en Estados
Unidos
Perspectivas
en
Colombia
Promedio
Viajes 0,293 0,297 0,300 0,293 0,295 0,299 0,296
Desarrollo
profesional 0,181 0,177 0,177 0,181 0,184 0,180 0,180
Manejo del
tiempo 0,115 0,110 0,108 0,115 0,113 0,109 0,112
Salario 0,293 0,297 0,300 0,293 0,295 0,299 0,296
Perspectivas en
Estados Unidos 0,047 0,048 0,047 0,047 0,044 0,045 0,046
Perspectivas en
Colombia 0,072 0,071 0,069 0,072 0,069 0,068 0,070
Elevamos otra vez la matriz al cuadrado y se tiene:
Variables
Viajes
Desarrollo
profesional
Manejo
del
tiempo
Salario
Perspectivas
en Estados
Unidos
Perspectivas
en
Colombia
Viajes 226,40 373,38 605,40 226,40 1.474,97 960,11
Desarrollo profesional 137,77 227,33 368,64 137,77 897,44 584,46
Manejo del tiempo 85,31 140,80 228,39 85,31 555,97 362,14
Salario 226,40 373,38 605,40 226,40 1.474,97 960,11
Perspectivas en Estados
Unidos 35,48 58,50 94,90 35,48 231,33 150,57
Perspectivas en
Colombia 53,66 88,53 143,63 53,66 349,86 227,83
Suma 765,01 1261,91 2.046,36 765,01 4.984,56 3.245,21
Obtenemos los valores normalizados y tenemos:
Variables
Viajes
Desarrollo
profesional
Manejo
del
tiempo
Salario
Perspectivas
en Estados
Unidos
Perspectivas
en
Colombia
Promedio
Viajes 0,296 0,296 0,296 0,296 0,296 0,296 0,296
Desarrollo
profesional 0,180 0,180 0,180 0,180 0,180 0,180 0,180
Manejo del
tiempo 0,112 0,112 0,112 0,112 0,112 0,112 0,112
Salario 0,296 0,296 0,296 0,296 0,296 0,296 0,296
Perspectivas en
Estados Unidos 0,046 0,046 0,046 0,046 0,046 0,046 0,046
Perspectivas en
Colombia 0,070 0,070 0,070 0,070 0,070 0,070 0,070
La diferencia con el anterior al tercer decimal es 0,000. Se puede considerar aceptable y
se para el proceso.
Ahora vamos comparar por pares para determinar la preferencia de cada alternativa
respecto de la otra. Es decir, la preferencia entre un trabajo en Estados Unidos y uno en
Colombia.
27

Variables
Viajes
Desarrollo
profesional
Manejo del tiempo
Salario
Perspectivas en
Estados Unidos
Perspectivas en
Colombia
Estados
Unidos
Colombia
Estados
Unidos
Colombia
Estados
Unidos
Colombia
Estados
Unidos
Colombia
Estados
Unidos
Colombia
Estados
Unidos
Colombia
Estados
Unidos 1 5 1 1/4 1 4 1 1/7 1 9 1 1/3
Colombia 1/5 1 4 1 1/4 1 7 1 1/9 1 3 1
Estados
Unidos 1+1/5 6 5 1+1/4 1+1/4 5 8 1+1/7 1+1/9 10 4 1+1/3
Colombia 0,833 0,833 0,2 0,2 0,8 0,8 0,125 0,125 0,9 0,9 0,25 0,25
Promedio
Estados
Unidos
Promedio
Colombia
0,167 0,167 0,8 0,8 0,2 0,2 0,875 0,875 0,1 0,1 0,75 0,75
0,83 0,20 0,80 0,13 0,90 0,25
Observe que al comparar cada alternativa (en este caso se asignó un valor de preferencia
a la variable más deseable), se le asigna un valor a la otra por su inversa. Por ejemplo, si
preferimos el salario en el cargo en el exterior con 7, la preferencia del salario en Estados
Unidos será 0,143 (1/7).
Con esa información ya tenemos las comparaciones de las alternativas entre sí, y los
pesos o ponderaciones de los criterios rectores, por lo que podemos proceder a hallar la
evaluación o medida ponderada de las alternativas (Estados Unidos y Colombia) respecto
del objetivo global (selección de lugar de trabajo). Esto se hace calculando el resultado de
la multiplicación suma producto o producto punto como se llama en el cálculo de matrices,
y que geométricamente se puede interpretar como un cambio de coordenadas desde un
sistema local de coordenadas a uno global.
Para el caso del trabajo en Estados Unidos, se tiene:
Variables
Pesos
Estados
Unidos
Peso×calificación
Viajes 0,296 0,833 0,247
Desarrollo profesional 0,180 0,200 0,036
Manejo del tiempo 0,112 0,800 0,089
Salario 0,296 0,125 0,037
Perspectivas en Estados Unidos 0,046 0,900 0,042
Perspectivas en Colombia 0,070 0,250 0,018
Total 1 0,468
Para el caso del trabajo en Colombia:
28

Variables Pesos Colombia
Peso global
Peso×calificación
Viajes 0,296 0,167 0,049
Desarrollo profesional 0,180 0,800 0,144
Manejo del tiempo 0,112 0,200 0,022
Salario 0,296 0,875 0,259
Perspectivas en Estados Unidos 0,046 0,100 0,005
Perspectivas en Colombia 0,070 0,750 0,053
Total 1,000 0,532
Matricialmente:
{0,296; 0,180; 0,112; 0,296; 0,046; 0,070}x
0,833 0,167
0,200 0,800
0,800 0,200
0,125 0,875
0,900 0,100
0,250 0,750
= {0,532; 0,468}
{Colombia; Estados Unidos}
Se multiplica por pares la columna Pesos por la columna de preferencia para cada
alternativa y se suman los resultados. Excel tiene la función SUMAPRODUCTO, que hace
este cálculo de manera directa e instantánea.
Con estos resultados finales, se puede tomar la decisión. En este ejemplo, el modelo
recomienda aceptar el trabajo en Colombia con un valor de 0,532, comparado con el de
Estados Unidos, de 0,468.
Hay un programa comercial llamado Super Decisions, que es un software para aplicar
este procedimiento.
29
12.6.2.3 Ejemplo complejo
Para ilustrar mejor las características, requisitos y ventajas del AHP, a continuación se
desarrolla un ejemplo en el cual se ha utilizado este método para la toma de decisiones, en
un problema de carácter estratégico.
El mayor problema con el que se enfrenta la industria nuclear hoy en día es cómo
disponer de una forma segura las grandes cantidades de residuos radioactivos producidos,
algunos de ellos, con una vida media proyectada de cientos de miles de años.
La cantidad estimada de este tipo de desperdicios producido por las industrias en Estados
Unidos es de 60 millones de galones de líquidos de alto riesgo para el año 2000. Este monto
es aún menor que el que genera la industria militar estadounidense.

Debido a la toxicidad y a la larga vida media de este tipo de desperdicios, el problema de
su manejo es un gran desafío para la industria.
El objetivo es “Aislar los radionucleidos de la biosfera, para preservar la salud de la
generación presente y futura, y proteger el medio ambiente con un mínimo de vigilancia y
monitoreo continuo”.
El manejar desperdicios nucleares es un problema complejo de toma de decisiones, que
involucra factores de incertidumbre.
El analista-decisor debe considerar y optar entre varios tipos de objetivos de carácter
estratégico, por ejemplo: tecnológicos, ambientales, económicos, sociales y políticos.
La Figura 12.1 describe el objetivo raíz, los subobjetivos y las alternativas (conocidas
también como objetivos terminales o estrategias), para el problema en estudio. En la
jerarquía, el objetivo “Disponer de una forma segura” es descompuesto en ocho criterios, y
algunos, pero no todos, son descompuestos a su vez en subcriterios (figura 1). La
alternativa que surgirá como la mejor dependerá de las prioridades de todos los criterios.
Veamos un ejemplo de como el decisor fue comparando los distintos criterios, para
entregarles un peso relativo de uno sobre el otro (Ci frente a Cj).
Cuando comparamos (tabla de priorización de los subobjetivos o criterios) el estado de la
tecnología (C1) con la repercusión estética (C8), nosotros le asignamos el valor 9, lo que
significa que C1 es extremadamente más importante que C8. La repercusión estética
debería ser considerada al elegir una alternativa o estrategia, pero este criterio es
insignificante cuando es comparado con el estado de la tecnología.
Puesto que las repercusiones estéticas pueden ser minimizadas mediante una mejor
localización y un mejor diseño de las instalaciones donde se vaya a implementar, el estado
de la tecnología es más importante que los factores de costo (C3); por ende, le asignamos el
valor 5. Los costos son importantes, pero si no existe una tecnología apropiada, las
consideraciones de costos carecen de significado. En la tercera fila de la matriz, los costos
son considerados muy fuertemente más importantes que las repercusiones estéticas (C8). El
costo de la disposición de desperdicios nucleares afecta los costos de generación eléctrica;
en cambio, las repercusiones estéticas pueden ser minimizadas. No obstante, el reducir
repercusiones estéticas indeseadas, también incrementa los costos. Por lo tanto, no se
justifica un “extremadamente más importante” de los costos sobre las repercusiones
estéticas y, por ende, le asignamos el valor 7 “muy fuertemente más importante” de C3
sobre C8.
Cada grupo de criterios son comparados de la misma forma anterior, según la
importancia con respecto al “criterio padre” y, de nuevo, las alternativas o estrategias son
comparadas en matrices separadas para cada subcriterio.
30

El resultado final se obtiene al llevar a cabo el proceso de composición jerárquica, esto
es, la productoria 10 (∏) de todos los criterios y subcriterios a través de la jerarquía desde
abajo hacia arriba, y luego su sumatoria (∑) ponderada rama por rama.
Cabe hacer notar que este es un proceso de tipo multilineal y, por ende, eminentemente
no lineal, lo que permite aproximar cualquier problema discreto de tipo no lineal en un
espacio denso discreto. Esto es equivalente a la aproximación que hace una función de tipo
polinomial de otra función cualquiera en un espacio denso continuo (p-lines), o la
aproximación que realizan los fractales para mimetizar la realidad mediante la replicación
infinita de patrones bases discretos. Lo anterior permite una mejor aproximación de la
realidad que, por ejemplo, los métodos tradicionales de programación lineal y derivados
Figura 12.1 Jerarquía para la decisión de la disposición del desperdicio nuclear
Disposición segura de los residuos
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C2.1 C2.2
C2.3 C3.1 C3.2
C6.1 C6.2
C2.4 C2.5
C3.3
S1 S2 S3 S4 S5
Objetivo (goal): “Disponer de forma segura el desperdicio nuclear”.
Subobjetivos o criterios:
C1. Estado de la tecnología: estado presente de la investigación necesaria asociada con el
desarrollo de cada alternativa o estrategia de acción.
C2. Salud, seguridad y repercusiones ambientales: esto incluye los subcriterios: C2.1
Seguridad para la exposición radiológica a corto plazo, debido al manejo operacional de los
desperdicios. C2.2 Seguridad para la exposición de largo plazo, proveniente de
10 El símbolo ∏ es un operador aritmético que indica que los elementos se multiplican. De igual manera, el símbolo ∑
significa que los elementos se suman. Al segundo se le llama sumatoria. Por analogía, llamaremos al primero productoria.
Ni sumatoria, ni productoria, ni pitatoria (término que indica lo mismo que la productoria) son palabras del idioma
español; sin embargo, por el uso corriente de sumatoria (y que todo el mundo entiende) hemos asimilado, por analogía, el
operador ∏ con la palabra productoria.
31

incertidumbres en la seguridad de los contenedores, la estabilidad del lugar donde sean
dispuestos o en el tránsito a órbita solar. C2.3 Elementos de seguridad para prevenir robos,
sabotajes o accidentes. C2.4 Efectos no radiológicos a la salud como accidentes de
transporte, construcción y operación. C2.5 Efecto en el ecosistema, como contaminación de
aire y agua debido a escapes.
C3. Costos: incluye los subcriterios: C3.1 Costos de capital para la construcción,
equipamiento, y trabajo. C3.2 Costos de operación para trabajo y otros recursos requeridos.
C3.3 Costos de administración.
C4. Repercusiones socioeconómicas: efectos en la población, el empleo, la habitación, la
educación y los servicios de salud como resultado de la construcción y operación de la
instalación.
C5. Período de implementación: el tiempo requerido desde la planificación hasta la
implementación de una alterativa o estrategia de acción.
C6. Consideraciones políticas: incluye los subcriterios C6.1 y C6.2, correspondientes a
las repercusiones políticas nacionales e internacionales, respectivamente, de estándares y
leyes nacionales e internacionales.
C7. Consumo de recursos: incluye: suelo, agua, materiales, energía, mano de obra para la
construcción, operación y administración de la instalación.
C8. Repercusiones estéticas. Incluye efectos visuales, de olor y ruido.
Alternativas o estrategias de acción:
S1. Basurero geológico (cavidades mineras a 600 m de profundidad).
S2. Perforación muy profunda (10.000 m bajo tierra en formaciones rocosas de baja
permeabilidad y alta dureza).
S3. Basurero dispuesto en una isla (de formación geológica profunda y estable).
S4. Basurero dispuesto bajo fondo marino (en depósitos sedimentarios ubicados a miles
de metros bajo el fondo marino).
S5. Basurero dispuesto en el espacio (residuos serían aislados en una matriz de cerámica
y metal, y luego enviada en vehículos especiales a una órbita solar).
La siguiente tabla muestra la priorización de los subobjetivos o criterios:
32

Variables C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
C1 1 1 5 7 5 5 7 9
C2 1 1 5 7 5 5 7 9
C3 1/5 1/5 1 5 2 2 3 7
C4 1/7 1/7 1/5 1 1/4 1/4 1 3
C5 1/5 1/5 ½ 4 1 1 3 5
C6 1/5 1/5 ½ 4 1 1 4 5
C7 1/7 1/7 1/3 1 1/3 1/4 1 5
C8 1/9 1/9 1/7 1/3 1/5 1/5 1/5 1
Suma de columnas 3 3 12+ 2/3 29+1/3 14 +7/9 14+ 2/3 26+ 1/5 44
Ahora normalizamos los valores. Esto se hace dividiendo cada celda de cada columna
por el total de la columna (matriz estocástica).
A continuación encontraremos el peso normalizado para cada criterio. Lo haremos
calculando el promedio de cada fila:
Variable C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
C1 0,33 0,33 0,39 0,24 0,34 0,34 0,27 0,20
C2 0,33 0,33 0,39 0,24 0,34 0,34 0,27 0,20
C3 0,07 0,07 0,08 0,17 0,14 0,14 0,11 0,16
C4 0,05 0,05 0,02 0,03 0,02 0,02 0,04 0,07
C5 0,07 0,07 0,04 0,14 0,07 0,07 0,11 0,11
C6 0,07 0,07 0,04 0,14 0,07 0,07 0,15 0,11
C7 0,05 0,05 0,03 0,03 0,02 0,02 0,04 0,11
C8 0,04 0,04 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,02
Por ejemplo, la celda C1-C3 (0,39) resulta de dividir 5 por 12 2/3. La celda C3-C4 (0,17)
resulta de dividir 5 por 29 1/3 y así sucesivamente:
Variables C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Promedio
C1 0,33 0,33 0,39 0,24 0,34 0,34 0,27 0,20 0,306
C2 0,33 0,33 0,39 0,24 0,34 0,34 0,27 0,20 0,306
C3 0,07 0,07 0,08 0,17 0,14 0,14 0,11 0,16 0,116
C4 0,05 0,05 0,02 0,03 0,02 0,02 0,04 0,07 0,036
C5 0,07 0,07 0,04 0,14 0,07 0,07 0,11 0,11 0,084
C6 0,07 0,07 0,04 0,14 0,07 0,07 0,15 0,11 0,089
C7 0,05 0,05 0,03 0,03 0,02 0,02 0,04 0,11 0,043
C8 0,04 0,04 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,02 0,019
Suma 1,000
El proceso sigue elevando al cuadrado la matriz inicial hasta cuando la última columna
de la tabla anterior (el promedio, que técnicamente se llama el vector propio o eigenvector),
33

comparada con la anterior, no sea significativamente diferente. Por ejemplo, en nuestro
caso, diremos que estamos satisfechos si la diferencia entre dos columnas sucesivas es cero
en tres decimales.
Al elevar la primera matriz al cuadrado tenemos:
Variables C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
C1 8,00 8,00 25,02 96,00 35,88 35,30 79,80 168,00
C2 8,00 8,00 25,02 96,00 35,88 35,30 79,80 168,00
C3 3,32 3,32 8,00 34,13 11,65 11,40 29,20 67,60
C4 1,04 1,04 2,84 8,00 3,51 3,43 6,95 17,47
C5 2,46 2,46 6,01 21,97 8,00 7,75 19,30 49,10
C6 2,60 2,60 6,35 22,97 8,33 8,00 20,30 54,10
C7 1,31 1,31 3,30 9,67 4,26 4,18 8,00 20,82
C8 0,52 0,52 1,73 4,74 2,15 2,13 4,12 8,00
Suma 27,25 27,25 78,27 293,47 109,67 107,49 247,47 553,09
Al normalizar, como se hizo arriba, y calcular el promedio, tenemos:
Variables C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 Promedio
C1 0,29 0,29 0,32 0,33 0,33 0,33 0,32 0,30 0,314
C2 0,29 0,29 0,32 0,33 0,33 0,33 0,32 0,30 0,314
C3 0,12 0,12 0,10 0,12 0,11 0,11 0,12 0,12 0,114
C4 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,033
C5 0,09 0,09 0,08 0,07 0,07 0,07 0,08 0,09 0,080
C6 0,10 0,10 0,08 0,08 0,08 0,07 0,08 0,10 0,085
C7 0,05 0,05 0,04 0,03 0,04 0,04 0,03 0,04 0,040
C8 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,018
En el siguiente paso, que omitimos, se encuentra, al elevar al cuadrado la matriz otra vez,
que la diferencia es 0,000. Por lo tanto, no se sigue el proceso y se dice que los pesos son
los que aparecen en la última columna de la tabla anterior.
El resultado final, basado en un análisis completo de las distintas alternativas para
disponer de los desperdicios de alto riesgo, calificándolas y ponderándolas con los pesos
que acabamos de obtener fue:
Mina abandonada (disposición geológica) S1 = 0,300
Órbita solar (disposición orbital) S5 = 0,228
La disposición geológica quedó en primer lugar, principalmente porque utiliza técnicas
de minería convencionales cuya tecnología está disponible hoy. La disposición espacial se
ubicó segunda debido a consideraciones de seguridad de largo plazo y a su impacto nulo en
el ecosistema Tierra. La mayor ventaja de esta alternativa se halla justamente en el total
aislamiento del desperdicio con respecto a la biosfera; las desventajas incluyen las
posibilidades de explosión de la nave en tránsito o fallas en mantener la órbita.
34

Las alternativas restantes en orden decreciente son las siguientes:
Hoyo muy profundo S2 = 0,172
Isla abandonada S3 = 0,158
Bajo el fondo marino S4 = 0,139
Al comparar este ordenamiento de alternativas con el del Departamento de Energía de
Estados Unidos, resultó en ambos casos la disposición geológica como la más preferible
(véase Saaty y Gholamnezhad, 1982, y Saaty, 2000 y 1996).
12.7 El Analityc Network Process (ANP)
Por último, queremos hacer una breve introducción a lo que es la generalización
matemática del AHP, y que corresponde al analityc network process (ANP), donde aparte
de tener todos los beneficios de medida que trae el AHP, se agrega la posibilidad de
modelar sistemas con procesos de redes interrelacionadas, con sus interconexiones y
retroalimentaciones. Esto permite modelar la realidad tal cual es, de forma directa,
representativa y, además, de manera sintética. De hecho, un modelo de red puede disminuir
hasta en un orden de magnitud el número de criterios de un modelo jerárquico, gracias a su
capacidad de interconexión, e incluso aumentar su capacidad predictiva.
Casos típicos de sistemas en red son los procesos biológicos, psicológicos,
antropológicos, así como todos los sistemas complejos que compiten por recursos de una
forma colectiva, como ecosistemas, distribución de mercado, gestión de recursos
(económicos o humanos), y todo proceso de toma de decisión sujeto a cambios de sus
relaciones de dependencia e importancia en sus atributos (la importancia de A respecto de
B depende de cómo se comporte C, y la importancia de C a su vez de cómo se comporte A
o B).
Estos comportamientos son comparables a las ecuaciones de los modelos caóticos donde
el estado de [Z(i)] es una función del estado [Z(i–1)], y su representación geométrica los
fractales, pero, con la ventaja adicional de poder modelar las variables tangibles e
intangibles de una manera gráfica e intuitiva al razonamiento humano.
A continuación pasamos a describir brevemente un ejemplo de aplicación de ANP a un
caso real en Chile: “Estimando la participación relativa de mercado de mutuales privadas
en Chile: Asociación Chilena de Seguridad (ACHS), Instituto de Seguridad del Trabajo
(IST) y la Mutual de la Cámara Chilena de la Construcción (CCHC)” (véase Figura 12.2).
El presente caso se llevó a cabo en Chile, en diciembre de 2002, y correspondió a parte
de un trabajo para el Curso de ANP realizado por Saaty, organizado por el Departamento de
Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Santiago de Chile y
Fulcrum Ingeniería Ltda. Este estudio, de corte académico, tomó una semana en su
ejecución y sus realizadores (Mario Sandoval 11 y Claudio Garuti) consiguieron la
información necesaria por medio de entrevistas al gerente de mercadeo de ACHS y
11
Mario Sandoval M., médico cirujano, MSc, en Medio Ambiente y MSc. en Ergonomía.
35

ejecutivos de IST y CCHC. Por la presente también se agradece la disposición de las
empresas involucradas a ayudar en el proyecto en cuestión 12 .
Figura 12.2 Modelo de red para estimar la participación relativa de mercado de las
mutuales en Chile (Super Decision software)
La síntesis de priorización arrojó la siguiente distribución o participación de mercado
para las mutuales (Figura 12.3).
12 Los resultados del trabajo fueron posteriormente contrastados con un estudio de terreno contratado por ACHS a la
empresa Adimark, con el objetivo de evaluar la participación de mercado de las mutuales privadas en el mismo año. Cabe
hacer notar que dicho estudio tuvo un costo significativo y que sus resultados no fueron conocidos por los autores hasta el
final del presente trabajo. En la Figura 12.2 se muestra el modelo de red para estimar la participación de mercado de las
mutuales en Chile. Los resultados para el modelo son mostrados en la Figura 12.3 y la comparación con los valores
relativos actuales de participación se hallan en la Tabla 12.9.
36

Figura 12.3 Síntesis de resultados modelo participación relativa de mercado de las
mutuales en Chile
Tabla 12.9 Comparación de resultados con los datos de participación actual de
mercado de las mutuales
Resultados
Variables
Resultados de ANP
actuales*
Asociación Chilena de Seguridad (ACHS) 52,0% 52,6%
Mutual de Seguridad (CCHC) 35,5% 34,8%
Instituto Seguros del Trabajo (IST) 12,5% 12,6%
Índice de compatibilidad = 1,000197 (99,98%)
Fuente: Superintendencia de Seguridad Social.
*La columna “Resultados actuales” se obtiene a partir del número de trabajadores actualmente afiliados a las diferentes
mutuales (privadas) que administran el seguro de accidentes del trabajo y enfermedades profesionales en Chile, en
términos porcentuales. El porcentaje de afiliación en mutuales privadas se halla alrededor del 76% del total global del
país. No se consideró el 24% de afiliación estatal por tener un concepto de institución y objetivos diversos a los de las
instituciones privadas.
El índice de compatibilidad entre las dos métricas de decisión resulta inferior al 0,2 por
mil, (99,98% de compatibilidad), es decir, para todos los efectos prácticos los dos vectores
de prioridades son el mismo vector.
Por otra parte, es interesante mostrar (Figura 12.4) uno de los análisis de sensibilidad
realizados para ver la estabilidad de la solución encontrada. Esta figura nos muestra:
a) La situación actual de equilibrio en la participación de mercado de las mutuales
dada por la línea vertical en gris respecto al eje de las abscisas.
b) La pendiente o tendencia de crecimiento de la curva ACHS (línea quebrada que
sube). Esta curva tiene un 85% de posiciones donde su participación de mercado supera al
37

resto y sólo un 15% donde es superada por CCHC. El IST aparece sin posibilidad de
puntear esta distribución de mercado bajo ninguna combinación de las variables.
c) Por último, podemos agregar que los parámetros de mayor influencia para el
grupo “Alternativas” (los competidores) resultaron ser el grupo “Servicio al cliente” con
los nodos “calidad y rapidez del servicio” y el grupo “Imagen corporativa”, el que presenta
su mayor influencia dentro de la participación de mercado con el nodo (criterio)
“comunidad”. Cabe hacer notar que la alternativa ACHS resulta estar bien evaluada en
estos elementos, especialmente en los nodos “calidad del servicio” e “imagen a la
comunidad”.
Es decir, la solución encontrada goza de un fuerte grado de estabilidad para el modelo
analizado, y de no producirse cambios importantes en la estructura de mercado de mutuales
(generado por parte de las mismas mutuales), es decir, de mantenerse el statu quo, las
participaciones actuales se mantendrán sin variación.
Lo interesante del método AHP es que permite verificar la inconsistencia y permitir un
cierto grado de inconsistencia. Aunque la consistencia es algo deseable, es poco probable
de lograr al 100%. La mente humana no está ‘programada’ para ser siempre consistente.
Debemos y podemos dejar una cierta dosis de inconsistencia en nuestras decisiones. Es
inevitable, realista y de analizarse en profundidad incluso necesario.
38

Figura 12.4 Análisis de sensibilidad modelo participación relativa de mercado de las
mutuales en Chile (línea gris vertical señala los índices de participación actual)
Hay una técnica novedosa y poco conocida, pero no tan reciente, denominada conjuntos
borrosos (fuzzy sets). Muchas veces el especialista no tiene una noción precisa de cuánto
puede valer cierta variable, aunque la conozca muy bien. Este valor lo expresará más bien
como un rango. Los conjuntos borrosos y el AHP se complementan. Más aún, los conjuntos
borrosos necesitan del AHP.
La inconsistencia es inevitable, pero no debería ser muy alta y no debe desestimarse,
porque de otra manera haría que la información pareciera caótica. De algún modo, la
inconsistencia nos permite que cambiemos de opinión, seamos capaces de incorporar nueva
información al sistema (sistema abierto) y no actuemos como robots. En términos de
magnitud, la inconsistencia no debería superar el 10%. Esto implica una restricción al
número de elementos que se comparan: entre 5 y 9. Si se estudiaran, por ejemplo, 100
elementos, en promedio se tendría para cada uno 1% de valor relativo y una pequeña
inconsistencia de 1% haría cambiar el valor al doble, es decir 2%.
Existen hallazgos empíricos de que cuando se actúa de manera consistente, a partir de
algún procedimiento, se tiende a tomar mejores decisiones, que cuando se toman decisiones
basadas sólo en procedimientos intuitivos. Analizar con detalle las alternativas y hacer un
mejor proceso de decisión no garantiza que siempre se tome la mejor decisión. Sin
39

embargo, sí es más probable que se tome una mejor decisión cuando se analiza con juicio la
situación.
Estos modelos tienen la ventaja de garantizar consistencia, basados en el criterio y en los
resultados históricos de las decisiones tomadas por quien decide. No reemplazan a los
expertos y tomadores de decisión, sino que incorporan (modelan) su experiencia y buen
criterio en el procedimiento, de manera sistemática y consistente; por lo tanto, ayudan a
comprender a él y a los demás, cómo piensa y decide, y más importante aún, por qué piensa
lo que piensa.
Esto, en última instancia, podría ayudarnos como sociedad a lograr el paradigma de
sociedad del conocimiento (un paso más allá de la actual sociedad de la información). En el
entendido de que comprehender la forma de pensamiento de nuestros semejantes nos
ayudará primero a entendernos mejor y, segundo, a que no perezcan las mentes brillantes y
que no sólo nos dejen su legado, en cuanto a su lógica de pensamiento, sino también su
estructura operativa.
Por último, se puede agregar que la experiencia personal de uno de los autores de este
aparte, luego de 17 años de aplicar el sistema a los más diversos especialistas y tomadores
de decisión en general, el efecto descrito (pensar lo que pensamos y por qué lo pensamos),
se ha notado más fuerte en los procesos grupales que en los individuales, lo que nos lleva a
concluir que la gran potencia de este sistema está en su capacidad de integración del
conocimiento para generar nuevo conocimiento, que es uno de los pilares básicos de la
sociedad del conocimiento.
40
12.8 Predicción
El proceso de predicción comienza con la recolección de datos. Éstos pueden ser
obtenidos por medio de experimentos o simplemente por la recopilación de datos
históricos. En el caso de la ejecución de experimentos, por ejemplo, la duración de un
determinado producto o la simulación del comportamiento de una variable (véase aparte
sobre simulación), el experimentador puede controlar ciertas variables y, por lo tanto, se
puede lograr una mejor comprensión de las fuentes de variación; en el caso de los datos
históricos, nada puede hacerse para controlar las variables que afectan los resultados; éste
sería el caso cuando se desea pronosticar la demanda futura a partir del comportamiento de
ésta en el pasado.
Debe recordarse lo estudiado en el capítulo 6 sobre la identificación de las variables más
críticas, y sobre ellas sí hacer los esfuerzos para mejorar la información obtenida.
El paso siguiente en el proceso de predicción es la construcción de un modelo de
inferencia estadística para hacer el pronóstico. Estos modelos operan bajo condiciones muy
específicas, como son los supuestos de independencia entre variables, las distribuciones de
probabilidad específicas, etc. Si estos supuestos no se cumplen, los resultados obtenidos
pueden perder toda validez.
Al tomar decisiones es posible que el grado de detalle y afinamiento de los resultados sea
innecesario; por lo tanto, es posible hacer suposiciones fuertes y restrictivas a tal punto que
violen las condiciones específicas requeridas por el modelo en cuestión. En estos casos, lo

importante es conocer qué condiciones no se están cumpliendo y cuáles son las
consecuencias, para actuar con la debida precaución.
12.8 Apreciación
No siempre es posible partir de información histórica para hacer pronósticos, entonces es
necesario aplicar el criterio, fruto de la experiencia, para predecir lo que ocurrirá respecto
de una decisión. El buen criterio o buen juicio es algo que se obtiene con mucho esfuerzo y
paciencia. Si bien es cierto que la educación formal da una preparación para adquirirlo, la
mejor manera de refinar el criterio es a través de la experiencia.
Al tomar algunas decisiones, lo importante no es determinar cuál es el valor preciso de
una variable determinada, sino si este valor sobrepasará o no cierto valor crítico. En estos
casos un cálculo o apreciación de este valor será suficiente. Se podría pensar en el principio
de reducir la discriminación requerida; este principio se puede enunciar de la siguiente
manera: cuando haya que determinar el valor de una variable, encuentre el valor de esa
variable para el cual la decisión cambie de una alternativa a otra.
De esta manera, lo único que se necesita es determinar si el valor calculado de la variable
sobrepasa o no el valor crítico que hace cambiar la decisión. Al tratar de determinar el valor
de la(s) tasa(s) de descuento que se va a utilizar para calcular el VPN de dos alternativas
mutuamente excluyentes, sólo se necesita saber si esta(s) tasa(s) de descuento es(son)
mayor(es) que el(los) valor(es) crítico(s) estipulado(s). Debe recordarse la TIR incremental
del capítulo 4.
12.9 Funciones con más de una variable
Muchas veces es necesario pronosticar una variable que depende, a su vez, de otras. Los
costos totales de operación de un equipo determinado se componen de mano de obra,
energía, mantenimiento, etc. Matemáticamente se puede expresar así: C = f(c 1 , c 2 , c 3 ,..., c n ).
Se puede obtener el pronóstico de C de dos formas: pronosticando C directamente o
pronosticando los componentes de C, y a partir de allí hallar el valor de C, por medio de la
relación f(.). ¿Cuál de las dos formas utilizar? Esto depende de la varianza que se obtenga
en una u otra forma. Si C = c 1 +c 2 y c 1 y c 2 son estadísticamente independientes, entonces la
2
2 2
σ
varianza del pronóstico a partir de C es
c , y a partir de las
σ ci es
c1 + σ
c2
.
Si
2
σ
c
es menor que esta expresión, entonces se debe preferir estimar C en forma directa.
Si la relación entre C y las c i es C = c 1 +c 2 y la desviación estándar de C es
σ
es
ci y sus valores están determinados por:
σ
C
y la de ci
σ
C = 0,10C
σ
ci = 0,10ci
41

Entonces las varianzas serían: a partir de C:
σ
2
2
2 2 2
= ( 0,
10C
) = (( 0,
10(
c
1
+ c
2
)) = ( 0,
10)
( c
1
+ c
2
2c
1c
2
)
2
C
+
σ
2
2 2
2 2
2 2
C = 0,10 ) C = (0,10 ) c1
+ (0,10 ) c 2 +
( 2c
c
1
2
A partir de las c i :
σ
2
2 2
2 2
C
= ( 0,10) c1
+ (0,10) c2
Claramente se ve que la varianza de C a partir del pronóstico de las c i es menor que a
partir de C.
42
12.10 Métodos de pronóstico
Las técnicas de pronóstico son una herramienta necesaria para la planeación macro y
microeconómica. Para el caso del gerente, su quehacer básico es la toma de decisiones con
consecuencias futuras y, por lo tanto, debe elaborar cálculos de lo que sucederá en el futuro.
Por otro lado, debe prever escenarios que le permitan anticiparse a las posibles
eventualidades que le indicarán la conveniencia o inconveniencia de una alternativa. En
particular, para analizar decisiones de inversión es necesario hacer cálculos de muy
diversas variables: precios, tasas de interés, volúmenes de venta o de producción, etc., por
lo tanto, es necesario que el analista conozca, por lo menos, la existencia de ciertas técnicas
que lo ayuden en esta tarea.
Para elaborar pronósticos se pueden encontrar dos grandes clases de modelos: causales y
de series de tiempo. Los primeros tratan de encontrar las relaciones de causalidad entre
diferentes variables, de manera que conociendo o prediciendo alguna o algunas de ellas, se
pueda encontrar el valor de otra. En el segundo caso no interesa encontrar esas relaciones,
sino que se requiere solamente encontrar los posibles valores que asumirá una determinada
variable. En todos los casos siempre se hace uso de la información histórica, ya sea para
predecir el comportamiento futuro o para suponer que el comportamiento histórico se
mantendrá hacia el futuro, y sobre esta base hacer los cálculos.
Se debe tener presente que no existe ningún método de pronóstico infalible; lo que hacen
estos procedimientos es calcular un valor posible, pero siempre sujeto a errores. Si el
fenómeno que se va a pronosticar fuera determinístico, sólo bastaría utilizar la ley
matemática que lo rige y predecir con exactitud el resultado; éste sería el caso de
fenómenos físicos, como la caída libre de un cuerpo.
En el proceso de toma de decisiones se involucra el comportamiento humano, a través de
las decisiones de los individuos a quienes está dirigido un determinado producto o servicio,

y las decisiones del mercado, que están compuestas por muchísimas decisiones
individuales, imposibles de predecir con exactitud. Una fuerte limitación de los métodos de
pronóstico es la de suponer que las causas que determinaron los datos históricos prevalecen
y esto no siempre es cierto.
Un método de pronóstico para analizar series de tiempo es el de descomposición. Un
paso importante en el proceso de determinar el método de series de tiempo adecuado es
considerar los diferentes patrones que se encuentran en los datos. Se pueden identificar
cuatro patrones típicos: horizontal o estacionaria, estacional, cíclico y de tendencia.
Se presenta un patrón horizontal o estacionario (H) cuando los datos fluctúan alrededor
de un valor promedio constante. Las ventas que no aumentan ni disminuyen con el tiempo
son un ejemplo de este tipo de comportamiento.
Se presenta un patrón estacional (E) cuando los datos están afectados por factores que se
repiten con cierta frecuencia (trimestral, mensual o en determinadas fechas, por ejemplo,
Navidad, Semana Santa, etc.).
Un patrón cíclico (C) se presenta debido a efectos económicos de largo plazo y,
generalmente, asociados con el ciclo económico. La construcción de vivienda puede ser un
ejemplo de este tipo.
Existe un patrón de tendencia (T) cuando existe un aumento o disminución secular de los
datos. Las ventas de la mayoría de las firmas presentan este comportamiento.
Los métodos de descomposición suponen que los datos contienen patrones estacionales,
cíclicos y de tendencia. Una función que representa esta relación puede ser la siguiente:
Dato = patrón+error = = f(tendencia, estacionalidad, ciclo)+error (12.5)
Xt = f(T t , E t , C t , Er t ) (12.6)
Donde X t es el dato al período t; T t , el componente de tendencia en el período t; E t , el
componente o índice de estacionalidad del período t; C t , el componente cíclico del período
t, y Er t , el error del período t.
La mayoría de los datos incluyen combinaciones de estas tendencias y se deben generar
procedimientos para separarlos.
En el archivo PRONÓSTICO.XLS se presenta un ejemplo detallado de este método.
Existen otras clases de pronósticos, denominados cualitativos o de pronóstico tecnológico,
tales como el método Delphi. Este método busca, a través de múltiples rondas o iteraciones
donde se comparte la información, encontrar consenso sobre valores o escenarios posibles.
Se hace hincapié en que no hay un método de pronóstico perfecto, aunque se podría
construir un modelo que ajuste perfectamente los datos que se tienen de un fenómeno; sin
embargo, esto no es recomendable, puesto que el elemento aleatorio o de error siempre
43

estará presente y será impredecible; es mejor identificar los patrones predecibles y asumir
el error que se presente que tratar de introducir en el modelo el elemento error que, como se
dijo, es completamente impredecible e inevitable. En otras palabras, cualquier cálculo
implica un cierto grado de error ineludible.
Existen muchos métodos de pronóstico, y en esta nota no se hará una revisión exhaustiva
de ellos. Además, para calificar la conveniencia de cada uno de ellos se debe acudir al
método de los mínimos cuadrados, esto es, se considera el mejor método aquel que
minimiza la suma de los cuadrados de los errores (diferencias entre el valor calculado y el
observado).
A pesar de la eliminación de los supuestos sobre certidumbre total, los enfoques
presentados hasta ahora no permiten involucrar la complejidad de la interacción de las
muchísimas variables que tienen que ver con un proyecto de inversión. Para mencionar
algunas de ellas, se puede pensar en ¿qué tasa de interés será la adecuada para el futuro?
¿Cuánto valdrá la inversión? ¿Cuándo comenzará a producir beneficios? ¿Durante cuánto
tiempo? ¿Cuánto tiempo habrá que invertir? ¿Qué mercado existirá? Etc.
12.11 Tasa de descuento con análisis del riesgo 13
Las tasas de interés que se encuentran en el mercado tienen implícita un componente de
riesgo y se sabe que a mayor riesgo, mayor tasa de interés. Sin embargo, hay que hacer
claridad sobre qué mide el riesgo que se encuentra en esas tasas de mercado.
Cuando se introduce el elemento riesgo de manera explícita, esto es, cuando se analizan
los flujos de caja basados en la distribución de probabilidad de las variables que lo
determinan, se debe utilizar una tasa de interés libre del riesgo que se está analizando; de
otra manera, se estaría contando doble el efecto de ese riesgo: una vez como el componente
de riesgo que hay en la tasa de interés y otra al reconocer la variación de manera explícita a
través de una distribución de probabilidad.
Así mismo, en el capítulo 3 se planteó que una de las formas de manejar el problema del
riesgo era, hace algunos años, aumentar la tasa de descuento; en realidad, lo que se hacía
era reconocer que para compensar el riesgo de una inversión debería exigírsele más,
objetivo que se lograba aumentando el componente de riesgo en la tasa de descuento.
Si el costo de capital (deuda más costo de los fondos aportados por los inversionistas) se
calcula midiendo el costo de cada fuente de capital, entonces allí está incluido algún grado
de riesgo. Usualmente el costo promedio de capital se calcula utilizando el modelo capital
asset pricing model (CAPM), que se estudia en el capítulo sobre portafolio. Si al medir el
costo promedio de capital se puede suponer que se captura todo el factor del riesgo que
existe, entonces se supone que esa tasa ya tiene involucrado el riesgo y, por lo tanto, no se
debe utilizar cuando se introduce el riesgo de manera explícita.
Si, por el contrario, no tiene involucrado el riesgo que se introduce de manera explícita
en el análisis, se debe utilizar el costo promedio de capital calculado con el modelo CAPM
para descontar los flujos de caja cuando se hace el análisis del riesgo de manera explícita.
13 Este aparte está tomado de Vélez Pareja (2003).
44

Esta tasa de descuento, el costo promedio de capital que se calcula utilizando el CAPM, no
tendría incluido el riesgo que se desea medir en la simulación.
¿Qué piensan algunos autores al respecto? Ross, Westerfield y Jaffe opinan que “El
coeficiente beta de una acción no sale del aire. Más aún, está determinado por las
características de la firma. Consideramos que hay tres factores clave: la naturaleza cíclica
de los ingresos, el apalancamiento operativo y el apalancamiento financiero” (1999, p.
300). Consideran, además, que:
Vale la pena anotar que cíclico no es lo mismo que variabilidad. Por
ejemplo, una firma que produzca películas tiene ingresos muy variables
debido a que los altibajos del gusto del espectador no son fácilmente
predecibles. Sin embargo, debido a que los ingresos de un estudio
cinematográfico dependen más de la calidad de sus producciones que
del ciclo económico, las productoras de películas no tienen un ciclo muy
acentuado. En otras palabras, acciones con una alta variabilidad (alta
desviación estándar en su rentabilidad) no necesariamente tienen un
coeficiente beta muy alto… (Ross, Westerfield y Jaffe, 1999, p. 301)
El apalancamiento operativo tiene que ver con la estructura de los costos fijos y
variables, no con la variabilidad. El apalancamiento financiero tiene que ver con la deuda.
Terminan anotando. En otras palabras, el CAPM sólo captura el riesgo sistemático de la
economía, que no puede ser eliminado por la diversificación de un portafolio.
Al calcular el costo promedio de capital correctamente (con valores de mercado), este
costo se ajusta automáticamente en cada simulación, aun cuando entre las variables que se
simulan no se incluyan directamente aquellas que tienen que ver en forma directa con el
costo de capital (esto es, inflación, coeficientes beta, etc.). Este ajuste ocurre precisamente
porque el costo promedio de capital basado en valores de mercado depende del valor total,
que a su vez es función de los flujos de caja libre y del mismo costo de capital 14 . En otras
palabras, lo que afirman Ross, Westerfield y Jaffe (1999) significa que el mercado no
‘paga’ por un riesgo no sistemático (riesgo que afecta a una empresa en particular). El
mercado paga por el riesgo sistemático, o sea, el que afecta a todas las firmas de una
economía. Como se verá en el capítulo sobre portafolio, el riesgo no sistemático se puede
eliminar por medio de la diversificación.
Según esto, para Ross, Westerfield y Jaffe (1999) el coeficiente beta (y por lo tanto el
costo promedio de capital) no refleja la variabilidad de los parámetros de entrada que nos
ocupa. Y, con ello, se debería concluir que cuando utilizamos el costo promedio de capital,
no estamos incluyendo el riesgo asociado con la variabilidad atribuible a las variaciones de
los parámetros específicos de la empresa representada en un modelo financiero. Esto
significaría que cuando se descuenta un flujo de caja libre esperado (que en términos
prácticos implica suponer certidumbre total), deberíamos añadir una prima de riesgo al
costo promedio de capital. Por el contrario, si incluimos de manera explícita el riesgo en el
análisis (utilizando la simulación, por ejemplo), debemos utilizar el costo promedio de
capital como si fuera la tasa ‘libre de riesgo’. En este caso se habla de tasa libre de riesgo
porque no toma en cuenta el riesgo asociado con las variaciones de los parámetros.
14 Para un tratamiento detallado de este cálculo con valores de mercado y circularidad, véase Vélez Pareja y Tham (2000).
45

Por otro lado, Brealey y Myers (2000) tienen la posición contraria. Ellos consideran que
el costo promedio de capital ya tiene incluido todo el riesgo que enfrenta la firma. De
manera que si deseamos descontar los flujos de caja libre esperado (como si estuviéramos
en una situación de certeza total), para tener en cuenta el riesgo, deberíamos utilizar el
costo promedio de capital. Y si incluyéramos el riesgo de manera explícita en el análisis,
deberíamos utilizar la tasa libre de riesgo.
Si se utiliza el enfoque de Ross, Westerfield y Jaffe (1999), al descontar el valor
esperado del flujo de caja libre con el costo promedio de capital más una prima de riesgo
(que no es claro cómo calcularla) para tener en cuenta la variabilidad de los parámetros de
entrada, la decisión debería ser la misma que si el gerente decidiera conociendo el valor
esperado del VPN y su probabilidad de fracaso. Esto al tener en la mente y en el corazón la
función de utilidad de la firma (sea lo que sea esa función).
Por el contrario, si se utiliza el enfoque de Brealey y Myers (2000), entonces al calcular
el valor presente de los flujos de caja libres con el costo promedio de capital se debe llegar
a la misma decisión que tomaría el gerente con la función de utilidad de la firma en su
mente y corazón conociendo el valor esperado del VPN y su probabilidad de fracaso, pero
calculando este VPN con la tasa libre de riesgo.
En este texto creemos que el enfoque de Ross, Westerfield y Jaffe es el adecuado.
Precisemos una vez más esta posición. La simulación de Montecarlo debe hacerse usando
el costo promedio de capital, que no incluye el riesgo asociado con la variabilidad de los
parámetros o variables que deseamos simular.
Como el supuesto implícito es que el riesgo asociado con la variabilidad es no
sistemático (que se puede diversificar), entonces si se utiliza el costo promedio de capital,
ya sea usando el valor esperado del flujo de caja libre o simulando, habrá que suponer
siempre que la firma diversifica totalmente el riesgo asociado a la variabilidad. Esto no es
una suposición razonable, sobre todo si se está analizando el flujo de caja de una firma
(para valorarla a precios de mercado) o si se está analizando un proyecto aislado (por
ejemplo, el sembrado de palma africana).
Aquí consideramos que es posible tomar una mejor decisión si se calcula el valor
esperado del VPN y se añade a esta cifra el análisis o consideración de la probabilidad de
fracaso. Por el contrario, si se utiliza el valor esperado de los flujos de caja y se usa el costo
promedio de capital (que no incluye el riesgo de la variabilidad), habría que calcular una
prima de riesgo que finalmente tendría que ser subjetiva, cuando no arbitraria. Hacia el
final del capítulo mostraremos con el ejemplo que se presenta a continuación cómo se
puede involucrar en la decisión la distribución de probabilidad resultante de la simulación y
la actitud hacia el riesgo, medida con una función de utilidad.
12.12 Simulación
Simulación, en el sentido más común de la palabra, significa imitar. Y de esto se trata; se
va a imitar el comportamiento de un sistema a través de la manipulación de un modelo que
representa una realidad (véase capítulo 1).
46

La simulación ha sido utilizada desde hace mucho tiempo, especialmente por los
diseñadores; por ejemplo, se tiene la prueba de modelos a escala de aeroplanos en túneles
de viento, modelos de represas, distribución en planta, etc. Con el surgimiento de la
investigación operacional y con la disponibilidad de los computadores, esta técnica ha sido
y es de gran utilidad.
Hay ciertos problemas que son muy complejos y cuya solución analítica es prácticamente
imposible de hacer. Sin embargo, Hillier (1963), en un artículo clásico, propone una
solución analítica basándose en el teorema del límite central de la estadística y dice que la
distribución del VPN, costo anual equivalente CAE o TIR es aproximadamente normal.
Debe observarse, y así lo dice, que hace caso omiso del problema de la discrepancia entre
los criterios y de la posibilidad de múltiples tasas de interés. Realmente esto no presenta
una limitación al método, ya que se han propuesto formas de eliminar las discrepancias
entre los criterios y de la posibilidad de múltiples tasas internas de rentabilidad. Lo que
propone él es enfrentar al que decide con las diferentes probabilidades de obtener distintos
valores del VPN de una inversión. Más específicamente, la probabilidad de que el VPN sea
menor que cero.
De acuerdo con el método de Hillier, se tiene:
E
Var
( VPN)
( VPN )
= N I j
∑
j = 0
j
( 1 + i)
(12.7)
=
( I )
N Var j
∑
j = 0 2 j
+
( 1 i )
(12.8)
Donde Y es el ingreso neto promedio del periodo j; E(.), el valor esperado de la
expresión que va dentro del paréntesis; I j , el flujo de caja del período j; Var(.), la varianza
de la expresión dentro del paréntesis; i, la tasa de descuento libre de riesgo; N, la vida del
proyecto en años, y j, el período que se analiza.
La distribución del VPN tiende a ser normal; los resultados son mejores en la medida en
que las distribuciones de los diferentes componentes sean más cercanas a la normal.
Para el caso del ejemplo mencionado al comienzo del capítulo:
Ejemplo 5
$1.500
1.2
$1.500
1.44
$2.000
4.3
( ) =− $ 5.000+
+ + ... = $667, 51
E VPN
47

( )
VARVPN
=
$10.000 $22.500 $302.500
40.000+
+ + ...
$ =
2 6
4
( 1,2 ) ( 1,2 ) ( 1,2 )
σ (VPN) = $393,03
$154.469,24
Con una tabla de la distribución normal se pueden hallar algunas probabilidades; por
ejemplo:
( 667,51 − 0)
⎡
⎤
P( VPN ≤ 0) = P⎢Z
≤
= 1,697 = 0,04457 ó 4,457%
393,0
⎥
⎣
⎦
El cálculo de esta probabilidad se puede hacer con las funciones estadísticas de Excel
=DISTR.NORM(x,media,desv_ estándar,acum) o = DISTR.NORM.ESTAND (Z). En este punto el
que decide posee toda la información cuantitativa posible de obtener. Ahora deberá tomar
una decisión que involucra su actitud hacia el riesgo. El modelo no puede acompañar al
quien decide más allá de la información cuantitativa; la acción final de tomar una decisión
es un acto de soledad. Esto es, para algunos un 10% de probabilidad de que el proyecto sea
indeseable puede parecer poco, para otros, 2% es excesivo. También en esto tiene que ver
la cantidad de dinero que esté en juego. Más adelante se estudia lo relacionado con las
actitudes hacia el riesgo.
La propuesta de Hillier supone un manejo analítico del problema; sin embargo, la
complejidad de las distribuciones de probabilidad puede ser alta, de manera que conocer
sus parámetros es muy difícil o imposible. Aquí hay que advertir que no sólo se trata de la
complejidad de las distribuciones de probabilidad, sino también, y sobre todo, de la
complejidad de las relaciones entre las diferentes variables. Un caso ilustrativo es el
ejemplo detallado del capítulo 6. A pesar de que la técnica de simulación tiende a ser un
procedimiento costoso, es uno de los enfoques más prácticos para abordar un problema.
La simulación implica construir un modelo, el cual es matemático en gran parte. Antes de
describir el comportamiento total del sistema, la simulación describe la operación de ese
sistema en términos de eventos individuales de cada componente del sistema, cuyo
comportamiento se puede reseñar, por lo menos en cuanto a distribuciones de probabilidad.
La interrelación entre estos componentes se puede involucrar dentro del modelo. La
combinación de los eventos posibles y el efecto de la interrelación entre éstos le permite al
analista determinar la configuración adecuada de los subsistemas. Como la simulación
trabaja con un número finito de pruebas, se incurre en un error estadístico que hace
imposible garantizar que el resultado es el óptimo. De hecho, muchas veces no se busca el
óptimo de una solución, sino el comportamiento o tendencia de determinado parámetro.
Una manera cruda o aproximada de hacer una simulación es la llamada técnica de Monte
Carlo.
Ejemplo 6
48

Suponga una inversión de $4.375.000 en un sembrado cuyo fruto es perecedero. De
acuerdo con los datos históricos, la demanda se ha comportado de la siguiente forma:
Ventas (unidades)
Punto medio
Frecuencia
relativa
Números aleatorios
asignados
3.125 4% 00-03
3.250 16% 04-19
3.375 24% 20-43
3.500 36% 44-79
3.625 16% 80-95
3.750 4% 96-99
Como las probabilidades tienen dos cifras significativas, entonces se asignan 100
números de 00 a 99 (que tienen igual probabilidad de ocurrencia) en forma proporcional a
la probabilidad. Observe la tabla y encontrará que para un evento con probabilidad 4 hay
asignados cuatro números (00 a 03).
Volumen de ventas
40%
Probabilidad
30%
20%
10%
0%
3.125 3.250 3.375 3.500 3.625 3.750
Cantidad
Suponga que el precio de venta de este artículo es de $3.000. De modo que el ingreso
bruto es unidades vendidas×precio unitario. Supóngase, además, que las cantidades
producidas han variado en la siguiente forma:
Producción (unidades)
Punto medio
Frecuencia
relativa
Números
aleatorios
asignados
3.248,75 10 00-09
3.373,75 35 10-44
3.498,75 43 45-87
3.623,75 12 88-99
49

Volumen de producción
Probabilidad
50%
40%
30%
20%
10%
0%
3.248,75 3.373,75 3.498,75 3.623,75
Cantidad
El costo variable unitario es $1.000. Lo producido por encima de las ventas se considera
una pérdida de $1.000 por unidad y las ventas no realizadas no acarrean pérdida. Las ventas
perdidas son la diferencia entre la demanda (ventas) para el período y la cantidad
producida.
Con fundamento en los datos de las distribuciones de probabilidad, se puede determinar
que el promedio de las ventas y de la producción es el mismo y vale $3.445,00. Si se
trabajara con promedios, se tendría un ingreso neto al final de un año de:
($3.000×3.445–3.445.000) = 3.445,00×2.000
= $6.890.000
La rentabilidad promedio de esa inversión, en un año, sería de 57,43%.
Si se supone que las ventas y la producción se comportarán en la misma forma como lo
han hecho históricamente, se puede generar una muestra aleatoria. Si se desea que la
probabilidad de ocurrencia sea proporcional a la frecuencia con que han ocurrido los
valores, entonces, en el caso de la producción, la probabilidad de que ocurra un valor
alrededor de 3.498,75 debe ser 4,3 veces mayor que la probabilidad de obtener un valor
alrededor de 3.248,75.
Para lograrlo en forma gráfica se construye un histograma de probabilidad acumulada y
se usan números aleatorios entre 00 y 99 para ‘entrar’ a la gráfica por el eje de las
ordenadas. La asignación de los números aleatorios es proporcional a la probabilidad de
cada valor. A partir de allí se localiza el valor de la variable trazando un horizontal hasta
‘tocar’ la gráfica y ‘bajar’ al eje de las abscisas para localizar el valor de la variable.
Entonces, simulando los valores de las ventas y de la producción un número de veces
suficientemente grande, se puede obtener una distribución de frecuencia de los ingresos
netos y a su vez calcular las respectivas tasas internas de rentabilidad o valores presentes
netos. Con estos valores se construye la distribución de frecuencia y se puede conocer la
probabilidad de que la TIR sea mayor que la tasa de descuento utilizada o de que el VPN
50

sea mayor que cero. Utilizando la función =ALEATORIO() de Excel se pueden obtener
números aleatorios, que se comparan con el acumulado de la probabilidad de la
distribución, y con ellos se pueden simular valores para calcular ciertos parámetros como la
TIR o el VPN. Esta simulación se puede hacer también con la opción “Generación de
números aleatorios” de Análisis de datos en la opción de menú Herramientas, de Excel.
Al oprimir la opción Análisis de datos aparece el siguiente cuadro de diálogo:
Y al escoger “Generación de números aleatorios”, aparece,
51

La distribución de frecuencia de los valores de rentabilidad calculados para 100
simulaciones es la siguiente:
Rentabilidad
(%)
Frecuencia % acumulado
35,0 3 3,0
40,0 2 5,0
45,0 9 14,0
50,0 26 40,0
55,0 38 78,0
60,0 21 99,0
65,0 0 99,0
70,0 1 100,0
Total 100
52

Frecuencia absoluta y acumulada (%) de la TIR
Frecuencia
40
35
30
25
20
15
10
5
0
35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70%
TIR
120%
100%
80%
60%
40%
20%
0%
% acumulado
De la tabla y el gráfico se puede inferir que la probabilidad de obtener una TIR menor o
igual que 55% es del 78%. Esta medida, por aproximada que sea, es mejor guía para tomar
una decisión que decir que la rentabilidad del proyecto es 57,43%, como sería el resultado
al trabajar con promedios.
Una forma de saber cuándo ‘parar’ una simulación es examinar el comportamiento del
resultado que se desea simular. Cuando ese resultado se estabiliza, se puede considerar la
posibilidad de detener el proceso de simulación. En el ejemplo anterior, la probabilidad de
fracaso tiene el comportamiento que aparece en el gráfico:
ESTABILIZACION DE LA PROBABILIDAD DE FRACASO
VS No DE SIMULACIONES
PROBABILIDAD DE FRACASO
100.00%
90.00%
80.00%
70.00%
60.00%
50.00%
40.00%
30.00%
20.00%
10.00%
0.00%
0 50 100 150 200 250 300 350
No. DE SIMULACIONES
En este ejemplo y para una tasa de descuento de 55%, se puede ver que la estabilización
del resultado se logra a partir de la simulación 153, y los valores de la probabilidad de
fracaso tienden a 70%.
53

Una forma más rigurosa de hacer el cálculo estadístico del tamaño adecuado de la
muestra es calcular la varianza del resultado (probabilidad de fracaso) para un cierto
número de simulaciones (por ejemplo, 1.000). Esta varianza se podría calcular para 30
corridas de 1.000 simulaciones. Si se supone que la distribución de esa probabilidad es
normal, se define un índice de confianza –por ejemplo, 1% o 5%–, y basándose en esa cifra
se calcula la z de la distribución normal. Así mismo, se calcula el error absoluto que se está
dispuesto a aceptar, en este caso el número de puntos en porcentaje. Con estos datos se
calcula el tamaño de la ‘muestra’, es decir, el número de simulaciones que debe hacerse. La
forma de calcular n es la siguiente:
n =
z
2
2
×σ
2
e
(12.9)
Donde n es el tamaño de la muestra; z, la variable normal con µ = 0 y σ = 1, para un
nivel de confianza deseado, y e, el error absoluto aceptado.
Otro ejemplo: con los supuestos y datos del ejemplo utilizado para ilustrar la
construcción del flujo de caja de un proyecto en el capítulo 6 se hizo una simulación para
algunas variables: aumento en precios de venta, en precios de compra, en volumen de
ventas y en tasa de inflación. El programa utilizado en estos dos ejemplos está disponible
en el archivo SIMULACION.XLS. Allí hay otros ejemplos.
En el ejemplo del flujo de caja del capítulo 7 (INFLACIÓN.XLS), las distribuciones
utilizadas aumentos en precios y en volumen de ventas en unidades:
Venta Probabilidad Compra Probabilidad Unidades Probabilidad Inflación Probabilidad
25,00% 25,00% 22,00% 5,00% 4,0% 27,00% 20,00% 30,00%
26,00% 40,00% 23,00% 15,00% 5,0% 40,00% 21,00% 40,00%
27,00% 20,00% 24,00% 30,00% 6,0% 23,00% 22,00% 20,00%
28,00% 10,00% 25,00% 35,00% 7,0% 5,00% 23,00% 5,00%
29,00% 5,00% 26,00% 15,00% 8,0% 5,00% 24,00% 5,00%
Los resultados de la simulación fueron los siguientes:
54

No. de
simulaciones
Probabilidad
de fracaso
1 0,00%
10 10,00%
20 25,00%
40 12,50%
80 10,00%
90 10,00%
95 11,58%
100 8,00%
150 8,00%
200 11,50%
250 8,40%
Probabilidad de fracaso
30%
20%
10%
0%
0 50 100 150 200 250 300
Número de simulaciones
En la tabla y gráfico anteriores se puede observar que a partir de 100 simulaciones la
probabilidad de fracaso se encuentra alrededor de 8%.
Por ejemplo, si se estipularan los siguientes parámetros para el ejemplo anterior, se tendría:
Z 2,32634193 15
E 0,50%
Desviación estándar 3,38%
N 247,993383
Es decir, una corrida de 250 simulaciones proporcionaría un buen estimado de la
probabilidad de fracaso.
15 Este es el valor de z para una probabilidad de 1%.
55

El programa utilizado está disponible. Los interesados pueden obtenerlo en
http://www.poligran.edu.co/decisiones y allí, en la opción Ejemplos y ejercicios. Existen
programas comerciales que se adicionan a Excel que sirven para este tipo de operaciones
con simulación. El interesado puede bajar un programa de muestra desde
http://www.treeplan.com/ o desde http:www.decisiontoolpak.com/. Hay un programa de
simulación comercial muy recomendado llamado Cristal Ball. Es muy costoso. Como
alternativa se sugiere un programa denominado Simular, que se puede bajar de
http://www.simularsoft.com.ar/ 16 . Una vez calculado el índice de riesgo como la
probabilidad de fracaso de un proyecto, esto es, la probabilidad de que el proyecto tenga un
VPN menor que cero, puede calcularse el valor esperado del VPN y la desviación estándar
y la probabilidad de fracaso. Ésta tiene implícita la relación entre la magnitud de los
beneficios del proyecto, el VPN esperado y su desviación estándar. De manera que es
posible tener un proyecto con menor VPN esperado y menor desviación estándar y ser más
deseable que otro con mayor VPN esperado y mayor desviación estándar. Por ejemplo, si se
supone que la distribución del VPN fuera normal, entonces los siguientes proyectos
quedarían ordenados así:
VPN
esperado
Desviación
estándar
Probabilidad
de fracaso
(%)
1.000 250 0,003
350 100 0,023
100 30 0,043
500 150 0,043
750 250 0,135
100 35 0,214
250 100 0,621
350 150 0,982
100 45 1,313
750 350 1,606
500 250 2,275
1.000 500 2,275
500 300 4,779
0 50 50,000
0 100 50,000
-100 100 84,134
-100 50 97,725
-200 100 97,725
-200 50 99,997
Aquí se observa que no es el VPN esperado, ni la desviación estándar la medida
adecuada para ordenar proyectos bajo riesgo, sino la probabilidad de fracaso (probabilidad
de que el VPN sea menor que cero). Esta probabilidad es una medida del riesgo. Este
16 Es un programa de simulación probabilística comparable con Crystal Ball. Este programa ha sido desarrollado por
Luciano Machain (luciano_machain@yahoo.com.ar).
56

ordenamiento coincide con el llamado coeficiente de variación en estadística, el cual es el
cociente entre el valor esperado y la desviación estándar de la variable, en este caso, el
VPN. Quienes toman decisiones tienden a ser aversos al riesgo y, como se estudió en el
capítulo 2, a mayor riesgo, se espera mayor rentabilidad. Sin embargo, habrá quienes estén
dispuestos asumir un mayor riesgo (mayor probabilidad de fracaso) si el valor esperado del
VPN es lo suficientemente grande. Esto se tratará inmediatamente: las actitudes hacia el
riesgo.
12.13 Actitudes hacia el riesgo
Hay gente que juega lotería o ruleta, hay quienes son toreros o astronautas; otros aceptan
gerenciar empresas quebradas, otros se atreven a ser rectores universitarios, hay
empresarios visionarios (y exitosos), hay eternos enamorados que se entregan por
completo, etc. Por otro lado, hay quienes se resignan a un cómodo empleo que no presenta
retos, ni amenazas, hay quienes nunca juegan y nunca serán espontáneos en una plaza de
toros, otros, como un columnista de la página económica de un periódico, dice que “una
buena inversión debe hacerse teniendo en cuenta que no quite el sueño, aunque no dé para
comer muy bien”. Por último, hay algunos que nunca salen de sí mismos, porque les da
miedo la entrega total. Todas estas diferencias en el comportamiento humano se deben a las
diferentes actitudes hacia el riesgo.
Cuando en un curso universitario se plantea el problema de un juego con probabilidad
0,5 de ganar $0 y 0,5 de ganar $1.000, y se pregunta cuánto dinero daría cada estudiante
por participar, la respuesta es $500. Al analizar más el problema y someter al interrogado a
confrontaciones y escogencia, se encuentra que la cifra no es $500, sino otra muy diferente.
La primera cifra ($500) se denomina valor esperado monetario. Valor esperado
monetario de una decisión es el promedio ponderado de todos los valores que pueden
resultar y que corresponden a todos y cada uno de los resultados posibles, dado que el que
decide ha optado por elegir una alternativa. Se dice, en general, que cuando hay poco
dinero en juego, la gente decide de acuerdo con el valor esperado del juego y trata de
decidirse por la alternativa que lo maximiza, pero en muchos casos la gente no decide por
el valor esperado monetario (VEM).
Para aquellos que dudan acerca de la forma de tomar decisiones cuando está involucrado
el azar (decisiones bajo riesgo), se propone el análisis de dos casos: uno hipotético (la
paradoja de San Petersburgo) y uno real, cualquiera de las loterías que se venden en el país,
véanse tablas del Ejemplo 8.
Ejemplo 7
Se proponen las siguientes alternativas:
La paradoja de San Petersburgo
A: Un regalo, libre de impuestos, de $10.000.
57

B: Un pago de 2 n centavos, donde n es el número de veces que se lanza una moneda al aire
hasta cuando aparezca sello.
Sólo se puede participar una vez en el juego y la secuencia de lanzamientos se detiene
cuando aparezca sello por primera vez.
El valor esperado de cada una de las alternativas es:
E(A) = $10.000,oo
1 1 1
E
2 4 8
E(B) = 1 + 1 + 1 + 1 + ....... = ∞
( B ) = × 2 + × 4 + × 8 + K +
Nadie escogería la alternativa B a pesar de tener un valor esperado igual a infinito, a
menos que haya una gran propensión al riesgo.
Ejemplo 8
La Lotería de Bogotá
Con la información que se presenta a continuación se puede calcular el valor esperado de
la Lotería de Bogotá, por ejemplo:
Precio del billete: $3.000
Premios de la lotería.
Lotería de Bogotá (4 de diciembre de 1997)
Número de series: 150; números de billete: 10.000. Total de billetes 1.500.000
Cantidad
Tipo de premio
Valor del
premio en
millones
($)
Probabilidad
Valor esperado (valor
del premio por el
número de premios
por la probabilidad)
($)
1 Mayor 1.000,0 0,0000667% 666,67
2 Secos 50,0 0,0000667% 66,67
2 Secos 20,0 0,0000667% 26,67
100 Secos 2,0 0,0000667% 133,33
149
Secos (el número
del mayor con
otro número de
0,5
0,0099333%
49,67
serie)
Vr. esperado total 943,00
58

E(C) = $3.000
E(D = lotería) = $943
Este cálculo se ha hecho suponiendo que todos los billetes se venden, que no existen
impuestos sobre los premios y desechando las combinaciones –como premio mayor y
premios secos– por ser despreciables (en valor esperado no alcanzan a sumar un peso);
algunas de las probabilidades de ganar más de un premio son:
Evento
Premio mayor y un
seco de 50 millones
Premio mayor y dos
secos de 50 millones
Tres secos (dos de
50 y 1 de 20
millones)
Premio mayor y tres
secos (dos de 50 y 1
de 20 millones)
Cuatro secos (dos de
50 y dos de 20
millones)
Premio mayor y
cuatro secos (dos de
50 y dos de 20
millones)
Cinco secos (dos de
50 millones, dos de
20 y 1 de 2
millones)
Probabilidad
Premio
en
millones
Valor esperado en
centavos
Valor esperado
en centavos (en
notación
científica: por
ejemplo, 3,2593
dividido por un
1 seguido de 8
ceros)
4,44444444E-13 1.050 0,0466666666667 4,666667
2,96296296E-19 1.100 0,0000000325926 3,2593E-08
2,96296296E-19 120 0,0000000035556 3,5556E-09
1,97530864E-25 1.120 0,0000000000000 2,2123E-14
1,97530864E-25 140 0,0000000000000 2,7654E-15
1,31687243E-31 1.140 0,0000000000000 1,5012E-20
1,31687243E-31 142 0,0000000000000 1,87E-21
Como se puede apreciar, el valor esperado de esta lotería es mucho menor que su precio;
sin embargo, gran cantidad de personas compran lotería, rifas, hacen apuestas, etc. Hay
ejemplos que muestran cómo la gente no toma decisiones tratando de maximizar el VEM.
Una prueba cotidiana es la gente que compra rifas y loterías. Todos saben que el valor
esperado de la lotería es muy inferior al precio que se paga por ella. De hecho, si no fuera
así, nadie haría una rifa y no existirían las loterías.
Estos ejemplos ilustran la idea de que bajo riesgo, muchas personas no tratan de
maximizar el valor esperado de sus ganancias. O sea, entran en juego otros factores.
Ante situaciones como éstas, los estudiosos del tema han presentado teorías que permiten
explicar (teorías descriptivas) o predecir el comportamiento de un individuo en particular
59

cuando se encuentra enfrentado a decisiones bajo riesgo o incertidumbre reducida a riesgo,
por medio del cálculo de probabilidades subjetivas. Estas reflexiones obligan a preguntarse
cómo se explica, entonces, el proceso de decisión. La teoría expuesta ofrece esta
explicación, aunque con limitaciones. En términos más sencillos: cada individuo cuando se
enfrenta a situaciones de riesgo, puede asignar un valor a cada una de las alternativas que
analiza. Estos son los índices de utilidad cardinal.
La relación funcional entre valores de dinero y los índices de utilidad cardinal no es
lineal en general. La no linealidad obedece a que muchas personas no toman decisiones
basadas en la maximización del VEM (criterio bayesiano de decisión). Sin embargo,
cuando a las alternativas se les han asignado índices de utilidad, entonces sí se puede
aplicar el criterio bayesiano de decisión. O sea, el individuo trata de maximizar el valor
esperado de su índice de utilidad.
Esta teoría parece ser aceptable a corto plazo: cuando el individuo tiene que tomar la
decisión y los resultados son inmediatos. Puede no ser válida cuando la decisión implica
resultados futuros.
Las personas pueden ser aversas, propensas o indiferentes al riesgo. Una persona que esté
dispuesta a pagar por jugar una lotería podrá determinar su actitud al riesgo, según el
monto que pague:
1. Propensión al riesgo. Una persona totalmente propensa al riesgo, enfrentada ante el
siguiente juego: $0 con probabilidad 0,5 y $10.000 con probabilidad 0,5, estará
dispuesta a pagar más del valor esperado del juego por participar en él. O sea, pagará
más de $5.000 por participar en este juego.
2. Aversión al riesgo. Si esa misma persona fuera totalmente aversa al riesgo y se enfrenta
a la misma situación, pagará menos del valor esperado del juego por participar en él. O
sea, pagará menos de $5.000.
3. Indiferencia al riesgo. Si la mencionada persona fuera indiferente al riesgo, pagaría
exactamente $5.000 por participar en el juego.
En la realidad las personas no son, ni totalmente aversas, ni totalmente propensas al
riesgo. Existen algunos hallazgos empíricos de que hay rangos de valores en los cuales las
personas son aversas al riesgo, y rangos en los cuales son propensas al riesgo. También
parecen existir pruebas de que los individuos tienden a ser propensos al riesgo cuando hay
en juego pequeñas sumas de dinero (el caso de las loterías, que además dividen el billete en
fracciones de bajo costo) y a ser aversos cuando las sumas de dinero son altas.
12.14 Nuevos desarrollos: teoría prospectiva 17
Daniel Kahneman y Amos Tversky estudiaron profundamente el tema de la toma de
decisiones. En 2002, a Kahneman le otorgaron el premio Nobel de Economía por su
17 Este aparte está tomado de Vélez Pareja (2003).
60

contribución al estudio del proceso de decisión. Su mayor contribución es la teoría
prospectiva (prospect theory, en inglés).
Debido a que se creyó que la teoría de la utilidad cardinal describía bien el
comportamiento del que toma la decisión, se había propuesto utilizarla como una teoría
normativa, o sea, que le indicara al que toma la decisión cómo tomar decisiones de manera
consistente (por ejemplo, al delegar a un agente las decisiones bajo riesgo). Ya hemos visto
algunas incongruencias entre lo que dice la teoría y lo que hace la gente. Kahneman y
Tversky (1979), en un trabajo que se considera seminal en cuanto al origen de su teoría,
mostraron que cuando la gente toma decisiones bajo riesgo se presentan sesgos que
muestran inconsistencias con la teoría de la utilidad.
Algunos de estos problemas han sido señalados en este capítulo y en el capítulo 1. Los
autores desarrollaron entonces su teoría prospectiva en la cual, a diferencia de la teoría de la
utilidad, la utilidad (o utilas) se asigna a las pérdidas o ganancias que percibe el individuo y
no a su riqueza neta después de haber tomado la decisión, y en lugar de usar probabilidades
se utilizan pesos o ponderaciones de decisión. En la descripción de Robledo (2002), se dice
que hay tres factores críticos que explican las actitudes hacia el riesgo. El primero se
relaciona con la forma de la función de utilidad. La curva de utilidad tiene una forma de S,
cóncava para ganancias debido a las utilidades o ganancia marginal decreciente; convexa
para las pérdidas, lo cual implica que la ‘desutilidad’ crece más que en forma proporcional
con el tamaño de las pérdidas. En otras palabras, la utilidad de la pérdida marginal decrece
con su tamaño. Puede ser sorprendente, pero los hallazgos de Kahneman y Tversky indican
que el que toma la decisión es averso al riesgo cuando se trata de ganancias y propenso al
riesgo cuando se trata de pérdidas. Esto se puede explicar porque los individuos tratan de
asumir riesgos para evitar pérdidas grandes. Es como si se pensara en “ya que puedo perder
mucho, entonces tomemos este riesgo alto”.
El segundo factor tiene que ver con la pendiente de la función de utilidad. La curva tiene
una pendiente mayor para las pérdidas que para las ganancias. Este efecto se llama aversión
a las pérdidas. Su consecuencia inmediata es que la gente aprecia más la posesión de algo
que la satisfacción de recibir ese bien. Es decir, la utilidad negativa que se percibe por
perder algo es mayor que la utilidad percibida por recibir ese mismo bien. Entregar un bien
que ya poseo implica un gran sacrificio, aunque sepa que posteriormente ese bien me será
restituido. Eso se puede observar en la gráfica que se presenta adelante.
El tercer factor está ligado al hecho de la subestimación de las probabilidades altas y
medianas, en comparación con sobreestimación de las probabilidades bajas. Este factor
explica que una persona sea propensa al riesgo cuando las probabilidades de ganancias son
muy pequeñas, como lo vimos en el caso de una lotería y que tenga una propensión al
riesgo moderada para altas probabilidades de pérdidas. Esto en contraste con una aversión
al riesgo para probabilidades bajas de pérdidas, como cuando se toma un seguro y actitud
moderada de aversión para probabilidades altas de ganancias.
Una curva de utilidad típica de una situación consistente con la teoría prospectiva es la
siguiente:
61

Gráfico 12.1 Curva de utilidad en el contexto de la teoría prospectiva
Función de utilidad
15
10
5
Utilas
0
-5
-10
-15
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
$
Obsérvese, por ejemplo, cómo para una pérdida de 4 se tiene una utilidad negativa de
más de 2 veces la utilidad de una ganancia de 4.
Hay un efecto muy importante, que ya se mencionó en el capítulo 1 como experiencia
directa del autor, y se conoce como el efecto de contexto (framing effect). Ocurre por la
forma de presentar el problema de decisión. Esto se debe a que el ser humano no tiene en
cuenta valor absoluto de las pérdidas o las ganancias que se puedan obtener, sino su
relación con un punto de referencia determinado. Esto significa que la decisión puede
depender de cómo se exprese la presentación de la situación. Y eso determina si un
resultado se percibe como una pérdida o como una ganancia. Por ejemplo, muchos de los
que tienen tarjeta de crédito conocen por experiencia directa que se puede comprar un bien
en 100.000 si se paga en efectivo o en 110.000 si paga con tarjeta de crédito. La diferencia
puede ser vista como un descuento si se paga en efectivo o como un recargo si se paga con
tarjeta de crédito. Si se mira como un descuento, la diferencia es una ganancia y su punto
de referencia es 110.000. Si se mira como un recargo, es un costo adicional (una pérdida) y
el punto de referencia no es 110.000, sino 100.000. Si la asociación de tarjetas de crédito en
el país quisiera promover el uso de la tarjeta de crédito, entonces argumentarían que por ser
usuario de una tarjeta de crédito usted tiene derecho a un descuento de 10.000. Esto, por
supuesto, es muy diferente a presentarlo como un recargo por pagar con tarjeta de crédito.
62

La primera presentación (un descuento) estaría en perfecta concordancia con la teoría
prospectiva. Este ejemplo fue presentado por Thaler (2000, citado por Robledo, 2002).
El más famoso y sólido ejemplo de efectos de contexto lo presentaron Tversky y
Kahneman (1981) como el problema de la enfermedad asiática.
Problema 1. Se presentó a 152 personas:
Imagínese que Estados Unidos se prepara para enfrentar el brote de una enfermedad muy
rara proveniente de Asia y que se espera que se produzcan 600 muertes. Se han propuesto
dos programas que pueden combatir dicha enfermedad. Suponga que los cálculos precisos
de los científicos son los siguientes:
Programa A. Si se adopta el programa A, se salvarán 200 personas.
Programa B. Si se adopta el programa B, hay una probabilidad de 1/3 de que se salven
600 personas y de 2/3 de que no se salve ninguna.
¿Cuál programa prefiere usted?
Tversky and Kahneman (1981) encontraron que el 72% de las personas prefirió el
programa A y que el 28% prefirió el programa B. La mayoría de las personas que
respondieron eran aversas al riesgo: la posibilidad de salvar 200 vidas con certeza era más
atractiva que la probabilidad de 1/3 de salvar a 600. El valor esperado del programa A era
igual al del programa B.
A otro grupo se le presentó la misma situación acerca de la enfermedad, pero con
programas diferentes.
Problema 2. Se presentó 155 personas:
Programa C. Si el programa C se adopta, 400 personas morirán.
Programa D. Si se adopta el programa D, hay una probabilidad de 1/3 de que nadie
morirá y de 2/3 de que 600 personas morirán.
¿Cuál de los dos programas prefiere?
La mayoría de las personas enfrentadas a este problema adoptaron una actitud de
propensos al riesgo: la muerte segura de 400 personas es menos aceptable que tener la
probabilidad de 2/3 de que morirán 600 personas. El 78% prefirió el programa D contra
22% de las personas que prefirieron el programa C. La teoría prospectiva es capaz de
predecir cómo responderán los encuestados en cada contexto.
Recuérdese la experiencia del autor con estudiantes en sus cursos, mencionada en el
capítulo 1, que indica que dependiendo de si se plantea una inversión con 10% de
probabilidad de pérdida, los resultados eran diferentes a si se planteaba con 90% de
probabilidad de éxito.
El efecto de contexto puede asimilarse a una ilusión óptica. Es un problema de
percepción. Son bien conocidos los casos de ver en una misma figura diferentes imágenes.
Una muy sencilla es la de ver caras o copas en la siguiente figura:
63

Figura 12.5 El efecto de contexto es como una ilusión óptica
Si se mira la parte negra del dibujo, uno puede percibir las caras de dos personas que se
miran de frente. Si se observa la parte clara, se percibe una copa alta. Lo mismo ocurre
cuando se le muestra un vaso de agua a una persona. Algunas personas lo verán medio
lleno, otras medio vacío. Así ocurre con la forma de presentar un mismo problema, como
en los casos acabados de mencionar.
La teoría prospectiva permite entender el efecto de contexto. De acuerdo con esta teoría,
la gente valora más una ganancia cierta que una ganancia probable aunque tengan igual
valor esperado. Y lo contrario es cierto para las pérdidas.
Creemos que estos nuevos hallazgos permitirán tomar mejores decisiones o, por lo
menos, entender mejor el proceso de decisión.
12.15 Árboles de decisión
Se han desarrollado muchas técnicas para facilitar el proceso de decisión en la
organización. Este desarrollo se ha producido por el problema del desconocimiento del
futuro, por lo menos hasta nuestros días. Una de estas técnicas de ayuda es comúnmente
conocida como árboles de decisión. Esta técnica es un método conveniente para presentar y
analizar una serie de decisiones que se deben tomar en diferentes momentos.
Aunque el enfoque de árboles de decisión fue utilizado dentro del contexto de la teoría de
la probabilidad, Magee (1964a y 1964b) fue el primero en utilizar el concepto para tratar el
problema de las decisiones de inversión de capital; posteriormente, Hespos y Strassmann
(1965) propusieron, con algún detalle, combinar el análisis del riesgo, propuesto por Hertz
(1964) y Hillier (1963), con la técnica de los árboles de decisión (debe aclararse que Magee
había previsto la combinación de estos enfoques cuando planteó la utilización de los
árboles de decisión). En 1968, Raiffa desarrolló en forma detallada y muy clara la teoría de
64

la decisión, donde se incluye la técnica propuesta por Magee y, en general, todo lo
relacionado con las decisiones bajo riesgo.
Aquí se presenta lo relacionado con los árboles de decisión dentro de los planteamientos
de los mencionados autores. Sin embargo, se hace con la salvedad de que es una
herramienta útil para visualizar las diferentes alternativas que se presentan al que decide y
para un mejor tratamiento probabilístico; pero de ahí a creer que se pueda utilizar como
herramienta que involucre conceptos como la teoría de la utilidad, hay un largo trecho. Los
árboles de decisión son muy útiles para el planteamiento de problemas secuenciales; sin
embargo, esta clase de situaciones implica decisiones con resultados hacia el futuro que, en
términos de comportamiento del que decide, no se ha definido con claridad cómo
manejarlos.
En general, los problemas cuyos resultados se presentan como matrices de pago son
susceptibles de ser representados como árboles de decisión. El problema del vendedor de
periódicos, que se presentó como una matriz de resultados, puede ilustrarse como un árbol
de decisión (Figura 12.6).
Figura 12.6 El problema del vendedor de periódicos
Ventas
Ganancia
Compra 15
15 15
20 15
25 15
Compra 20
30 15
15 -8,75
20 20
25 20
30 20
15 -32,5
20 -3,75
25 25
Compra 25
30 25
15 -56,25
20 -27,5
Compra 30
25 1,25
30 30
En el caso anterior se observa que no existen probabilidades asociadas a ningún evento.
65

Figura 12.7 El problema del lanzamiento de un producto
Baja demanda P = 0,30
VPN en miles
de millones $1,0
Alta demanda
nacional P = 0,71
$4,5
Introducir
regionalmente
1
Alta demanda
regional P = 0,70
Distribuir a
escala nacional
A 2
No distribuir a
escala nacional
C
Baja demanda
nacional P = 0,29
Alta demanda
nacional P = 0,71
D
Baja demanda
nacional P = 0,29
-$0,5
$2,5
$2,0
Alta demanda regional y alta demanda
nacional P = 0,50
$7,5
Introducir a
escala
nacional
B
Alta demanda regional y baja demanda
nacional P = 0,20
$1,0
Baja demanda P = 0,30
-$4,0
En un árbol de decisiones hay nodos y ramas. En la figura anterior se puede observar que
hay líneas rectas (las ramas), cuadrados (los nodos o puntos de decisión) y círculos (los
nodos o puntos de azar). Las ramas que se extienden de los nodos indican las alternativas
que se pueden tomar, en el caso de nodos de decisión, o los diferentes resultados de un
evento, en el caso de los nodos de azar. En este último caso cada rama tiene asociada una
probabilidad de ocurrencia. Esta probabilidad es una medida de la posibilidad de que ese
evento ocurra. La suma de las probabilidades de las ramas que parten de cada nodo de
evento es igual a uno. Es decir, se supone que los eventos son exhaustivos. A los nodos de
decisión no se les asignan probabilidades, ya que en esos puntos el que decide tiene el
control y no es un evento aleatorio, sujeto al azar.
La secuencia óptima de decisiones se encuentra comenzando a la derecha y avanzando
hacia el origen del árbol. En cada nodo se debe calcular un VPN esperado. Si el nodo es un
evento, este VPN se calcula para todas las ramas que salen de ese nodo. Si el nodo es un
punto de decisión, el VPN esperado se calcula para cada una de las ramas y se selecciona el
más elevado. En cualquiera de los dos casos, el VPN esperado se lleva hasta el siguiente
evento, multiplicado por la probabilidad asociada a la rama por donde se viaja.
Existen programas que se adicionan a Excel que sirven para este tipo de operaciones con
árboles de decisión. El interesado puede descargar un programa de muestra desde
http://www.treeplan.com/ o desde http://www.decisiontoolpak.com/.
66

12.16 Opciones reales 18
Las opciones reales toman el concepto básico de árboles de decisión y elementos como la
flexibilidad para evaluar inversiones.
12.16.1 Inversiones
En el capítulo 3 definimos inversión como el sacrificio de unos recursos hoy con la
esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Las inversiones tienen algunas
características que son pertinentes en el enfoque de opciones reales:
• Irreversibilidad.
• Incertidumbre.
• Discrecionalidad y libertad.
La mayoría de las inversiones se pueden considerar una opción de compra sobre una
inversión, que otorga al tenedor de la opción el derecho a hacer la inversión y recibir el
proyecto. ¿Qué es una opción? Una opción es una estrategia financiera que da al poseedor
de la opción el derecho, mas no la obligación, de comprar o vender un activo a un precio
determinado durante un cierto período.
Ese derecho de vender o comprar el activo se llama flexibilidad. En general, se puede
considerar que una opción es el derecho de ejecutar una acción, por ejemplo, la de aplazar,
expandir, contratar o abandonar un proyecto durante determinado tiempo, el cual se conoce
como la vida de la opción. Es muy importante reconocer dónde aparecen estos derechos.
Copeland y Keenan (1998) nos presentan una larga lista de opciones reales por sectores
industriales. Éstas cubren desde la industria automotriz, con las decisiones de modificar
diseños de vehículos, hasta los medios de comunicación y la industria del entretenimiento
para el lanzamiento de nuevos productos, pasando por el típico caso del sector farmacéutico
con sus proyectos de investigación y desarrollo. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que
no todas las inversiones tienen opciones reales implícitas, ni todas las opciones reales que
puedan existir en una inversión resultan valiosas para la firma.
12.16.2 Irreversibilidad
La irreversibilidad es típica de inversiones en capacidad productiva: una línea de
producción, un pozo petrolero, una mina de carbón, un edificio. En general, este tipo de
inversiones se consideran irreversibles, porque o no se puede recuperar el dinero o es muy
difícil hacerlo en caso de que el negocio fracase. Este costo se puede considerar costo
muerto o semimuerto. Un ejemplo de costos muertos o semimuertos se presenta en la
industria petrolera. Hay costos completamente irrecuperables, como la perforación del pozo
o el ducto, en el caso de una explotación marina. Son semimuertos los relacionados con los
equipos submarinos que se utilizan para llevar a cabo la perforación en el fondo del mar o
los relacionados con lo que se conoce como el árbol de Navidad –wet Christmas tree
(WCT), en inglés–.
18 Este material sobre opciones reales está tomado de Vélez Pareja (2003).
67

Si los equipos son muy especializados y sólo se utilizan en este tipo de proyectos, los
precios de mercado del producto (petróleo, en este ejemplo) pueden hacer que los precios
de esos equipos muy especializados bajen tanto que no se amerite su recuperación y se
conviertan en costos muertos. Si no son especializados (camiones, generadores eléctricos,
etc.) pueden tener un mercado de segunda que los hace valiosos y son recuperables.
12.16.3 Riesgo e incertidumbre
Como ya se dijo, aquí diferenciamos entre incertidumbre y riesgo. El primer caso se
refiere a una situación en la cual se conocen los posibles resultados, pero no se conoce la
probabilidad asociada con cada uno. Riesgo es aquella situación a la cual se puede asignar
una probabilidad (subjetiva o no) a cada evento. Certidumbre se refiere a la situación donde
el inversionista conoce con probabilidad 100%, cual va a ser su rentabilidad futura.
Los inversionistas tienden a tener cierta aversión hacia el riesgo, sobre todo cuando
se trata de sumas de dinero muy altas en comparación con su riqueza actual.
La incertidumbre (y el riesgo) significa que los eventos futuros pueden tener un
resultado favorable o desfavorable. Por ejemplo, el precio del café puede subir o bajar; el
precio de una acción puede hacer lo mismo. La toma de decisiones no es una actividad
pasiva, es muy dinámica, y los gerentes se adaptan y ajustan sus expectativas a medida que
la incertidumbre se resuelve. Esto es, a medida que aquellas variables inciertas asumen su
valor real.
Así, los gerentes pueden y deben revisar sus decisiones para ajustarlas a la realidad
cambiante. La ‘estrategia’ es tomar ventaja en la época de las ‘vacas gordas’ y aminorar las
pérdidas en la época de las ‘vacas flacas’. Entonces, cuando existe incertidumbre, la
gerencia puede añadir valor que no se tiene en cuenta cuando se hace un análisis tradicional
de VPN, donde se supone que los flujos de caja son únicos.
La posibilidad de esperar permite al gerente mirar la evolución de las condiciones
económicas, precios por ejemplo, antes de tomar una decisión irreversible. Si los precios
aumentan lo suficiente, el gerente hará la inversión. Si no aumentan, el gerente no la hará.
En el caso de proyectos de investigación, el director puede ir tomando decisiones a
medida que ocurren los resultados. Se puede detener el proyecto si los resultados no son
favorables o seguir con el proyecto si los resultados son positivos.
A mayor riesgo, mayor el valor de la flexibilidad en la decisión. Recordemos las
variables que influyen en el precio de una opción. Más adelante se ilustra esto con un
ejemplo.
12.16.4 Riesgo económico y riesgo técnico
Existen dos tipos de riesgo que tienen efectos opuestos en la regla de decisión:
el riesgo económico y el riesgo técnico o privado. El primero se puede asociar con el riesgo
sistemático, no diversificable, y el segundo, con el riesgo no sistemático o específico,
diversificable.
El riesgo económico o sistemático se asocia con la situación general de la economía
(precios o cambios en los costos). Este riesgo es externo al proyecto o a la decisión. Este
tipo de riesgo estimula la decisión de esperar para ver si las condiciones cambian.
68

El riesgo técnico no tiene nada que ver con los movimientos de la economía. Es un
riesgo propio, específico del proyecto. Es un riesgo interno del proyecto. Por ejemplo, la
capacidad instalada disponible en una línea de producción no depende de la situación de la
economía, sino de las condiciones de las piezas de una determinada máquina y de los
materiales de que está hecha. En estos casos esperar no cambia la situación. Más bien, la
empeora. Dada la situación, se deben tomar las precauciones apropiadas para hacer un
mantenimiento preventivo adecuado y mantener una cantidad suficiente de repuestos que
garanticen el flujo de la producción.
¿Cuál es la diferencia entre un inversionista que posee una acción de una empresa y
un gerente que tiene un paquete de proyectos en su empresa? Un inversionista de bolsa sólo
puede beneficiarse del riesgo sistemático. El mercado no le paga el riesgo no sistemático,
porque puede diversificarlo (recordemos el capítulo 9 sobre portafolios.) En cambio, el
gerente de la firma puede beneficiarse del riesgo técnico o diversificable haciendo una
gestión óptima de sus proyectos. Aunque parezca contradictorio, a los gerentes no les
interesa deshacerse del riesgo no sistemático, sino aprovecharse de éste. Para un gerente el
riesgo técnico o no sistemático es un activo valioso que puede utilizar a su favor para
aumentar el valor de la firma.
12.16.5 Discrecionalidad y libertad
Esta discrecionalidad y esta libertad están referidas a la elección de cuándo
emprender o terminar o ampliar la inversión. En la mayoría de las inversiones en proyectos
existe flexibilidad. Y esa flexibilidad tiene valor. A mayor grado de libertad de la gerencia
al respecto, mayor es el valor de esa inversión. Por ejemplo, un gerente puede tomar las
siguientes decisiones respecto de una explotación petrolera:
• Puede expandir la explotación de un pozo que ya tiene un costo muerto implícito.
• Puede esperar y preservar los recursos disponibles para cuando haya mejores
precios.
• Puede reactivar el pozo.
• Puede suspenderlo de manera temporal varias veces sin incurrir en el costo de
cerrarlo en forma definitiva.
• Puede cambiar la forma de extracción.
• Puede abandonarlo.
12.16.6 La importancia de la flexibilidad
La flexibilidad en el enfoque de valorar las inversiones añade valor a la firma. Si en
lugar de usar la tradicional regla del VPN, que subestima estas posibilidades, utilizamos el
enfoque de opciones reales, podemos dar valor a la habilidad (este tipo de habilidades es el
que aprecian las firmas en sus gerentes) de invertir ahora, hacerle un seguimiento para ver
cómo evoluciona el proyecto de inversión, y si resulta exitoso, seguir invirtiendo, ya sea
por expansión o simplemente manteniendo la inversión realizada. Esta clase de análisis se
hace cuando se usan árboles de decisión. Son situaciones típicas de los sectores
farmacéutico, minero, petrolero y similares.
69

Otra de las posibilidades características de la flexibilidad en el análisis de
inversiones es la de considerar el abandono de un proyecto de inversión que ha mostrado
ser un fracaso. Esto significa liquidar el proyecto y recuperar un cierto valor de salvamento.
Otra posibilidad adicional de flexibilidad consiste en comprar información o esperar
y ver cómo resulta el proyecto en etapas preliminares. Esto también se conoce como
esperar para que la incertidumbre se resuelva.
12.16.7 Opciones reales para valuar la flexibilidad
En finanzas, los activos subyacentes pueden ser acciones, divisas, contratos a futuro,
índices accionarios, etc. En el contexto de inversiones en proyectos (inversiones reales las
llaman, aunque las financieras son también reales, y muy reales), el valor del proyecto es el
activo subyacente y los flujos de caja libre equivalen o representan los dividendos. El valor
del proyecto puede variar como una variable aleatoria, y la mayoría de las inversiones u
opciones reales no son como se aprende al estudiar el VPN, un asunto de ‘todo o nada’ de
‘ahora o nunca’. Aplazar o liquidar en un determinado momento una inversión es valioso
para el inversionista. Éste ejercerá la opción de invertir sólo si el proyecto tiene suficientes
beneficios.
El enfoque de opciones no sólo se aplica a acciones. Hay muchas situaciones que se
pueden analizar como opciones. Entre ellas, las conocidas como opciones reales. Dos de las
más importantes son la opción de expansión y la opción de abandonar un proyecto.
La evaluación de los proyectos de inversión se ha hecho fijando una vida de los
proyectos y calculando los VPN. Esto supone que no hay posibilidad de hacer cambios en
los proyectos. Si las hay, se conocen como opciones reales. En estos casos, el valor de un
proyecto será el VPN del proyecto más el valor de la opción:
Valor presente del proyecto = VPN+valor de la opción (12.10)
Podemos distinguir diversas clases de opciones en proyectos de inversión:
• Opción de variar el volumen de producción (en el caso de expandir: opción de
crecimiento; en el caso de reducir puede llegar hasta el cierre: opción de cierre).
• Opción de abandonar.
• Opción de aplazar.
Las opciones reales son difíciles de calcular. Los modelos como el de Black-
Scholes, como ya se dijo, no funcionan en estos casos, y hay que recurrir a árboles de
decisión, simulación de Montecarlo y enfoques diseñados para cada caso.
En particular, la opción de abandono se evalúa teniendo en cuenta el valor presente
del proyecto hasta el momento de abandonar y el valor presente del valor de abandono. Por
ejemplo, existe la necesidad de una nueva planta para producir un nuevo producto. Se
presentan dos alternativas: la A, que se empieza a construir ya, y la B, que se empieza a
construir dentro de un año. Si existe la posibilidad de que durante el año la demanda del
producto caiga, la B sería la mejor alternativa, porque da la opción de abandonar el
proyecto durante los próximos 12 meses.
70

Cuando se utiliza la regla del VPN para evaluar una inversión, la decisión es de todo
o nada. La regla es: si el VPN es mayor que cero, acepte; si es negativo, rechace la
inversión. En la vida real pueden existir posibilidades de aplazar la inversión o de
cancelarla, si se ha emprendido. Estas decisiones de aplazar o cancelar se toman cuando se
ha resuelto la incertidumbre acerca de los resultados. Al ser una decisión de todo o nada, el
VPN desestima el valor de la flexibilidad.
En general, para evaluar una decisión de abandono se puede utilizar el siguiente
enfoque:
VP
a
a
At
VAa
= ∑ +
t
( ) ( ) a
t= 1 1+
i 1+
i
(12.11)
Donde VP a es el valor presente del proyecto en el momento de analizar si se
abandona o no; a, el momento en que se abandona el proyecto; A t , el flujo de caja neto del
proyecto en el período t; i, la tasa de descuento, y VA a , el valor de abandono del proyecto
en el período a.
Para estos casos la regla de decisión es la siguiente:
At
VAa
〉
1
(12.12)
a
∑
t
Si ( ) ( ) a
t= 1+
i 1+
i
Se debe continuar el proyecto y evaluar la decisión en el siguiente período:
At
VAa
≤
1
(12.13)
a
∑
t
Si ( ) ( ) a
t= 1+
i 1+
i
Se debe evaluar con t = a–1.
At
VAa
≤
1
(12.14)
a
∑
t
Si ( ) ( ) a
t= 1+
i 1+
i
Para todos los t. Entonces se debe abandonar el proyecto de inmediato.
12.16.8 VPN frente a opciones reales
En el capítulo 2 estudiamos los métodos de flujo de caja descontado o VPN. Allí
aprendimos que la regla de decisión del VPN es: invierta si VPN>0; no invierta si VPN<0.
Si se trata de alternativas mutuamente excluyentes, elija aquella que tenga mayor VPN.
En algunos casos esta regla de decisión puede conducir a resultados erróneos.
Cuando nos encontramos con un VPN negativo y estático, podemos rechazar un proyecto
71

para el cual puede ser mejor esperar o puede resultar que una buena decisión es invertir en
buenos proyectos de investigación y desarrollo que tendrían muy buenas expectativas. O, al
revés, aceptar proyectos con un VPN alto, pero que evita que la firma se embarque en
proyectos menores. El criterio de decisión con las opciones reales dice que no es suficiente
que la inversión tenga un VPN positivo, porque puede suceder que los precios cambien y se
pueda tornar en un proyecto indeseable. Por eso usted ha estudiado este libro, para
examinar todas esas posibilidades. A veces es apropiado esperar para tener mejor
información. Otras veces es preferible esperar para invertir cuando las condiciones sean
más favorables.
Dixit y Pindyck (1994) presentan un ejemplo muy sencillo para ilustrar tanto la idea
de abandono del proyecto como la de aplazamiento de la decisión. El ejemplo también se
encuentra en Copeland y Antikarov (2001) y Copeland et al. (2000).
Suponga que se debe decidir si se invierten $1.600 en un proyecto que produce
cierto artículo. El flujo de caja estimado hoy por cada artículo es de $200, pero se espera
que cambie al final del primer año. Este cambio es una variable aleatoria y tiene valores de
$300 o $100 con una probabilidad de 50% para cada uno. A partir de ese cambio se espera
que permanezca constante para siempre. Si se vende cada artículo por anticipado, es decir,
se paga al inicio el flujo de caja a perpetuidad sería de $200 desde el año 0, o sea, el valor
esperado de $300 y $100. Sin embargo, si se tiene en cuenta la resolución de la
incertidumbre al final del primer año, el análisis puede ser muy diferente. Supongamos que
la tasa de descuento es de 10% anual. Examinemos diferentes enfoques a este problema.
Recordemos antes que el valor de una perpetuidad se calcula como C/i, entonces:
1. Si se utiliza el VPN bajo el supuesto de un flujo a perpetuidad por $200 se
tiene:
200
VPN = -1.600 + ∑ ∞ t
(1.1)
200
= −1.600
+ 200 +
0,1
= -1.600 + 200 + 2.000
= 600
Este VPN es el valor descontado del flujo a perpetuidad menos la inversión inicial
más el valor de la primera unidad vendida en el año 0.
2. Si se estima que el precio del primer año es un hecho cierto (se vende
anticipado) y de allí en adelante se considera como un hecho incierto con las
probabilidades ya mencionadas, y se trabaja con el valor esperado a partir
del año 1, se tiene:
0
72

∞
∞
300 100
VPN = −1.600
+ 200+
0,5∑
+ 0,5
t ∑ t
(1,1) (1,1)
= −1.600+
200 + 0,5 × 3.000+
0,5 × 1.000
= −1.600+
2.200
= 600
Esto significa que no es suficiente considerar los diferentes eventos con sus
probabilidades asociadas para aprovechar la variabilidad. Se obtiene el mismo resultado.
3. Si se considera la posibilidad de iniciar ahora y descontinuar el proyecto
dependiendo del resultado del precio al final del año 1, se tiene (suponiendo
un valor de salvamento de 1.600):
⎡
300 ⎤
VPN = 0,5max⎢−1.600
+ 200 + ,0
0,1
⎥
⎣
⎦
= 827,27
73
t= 1
t=
1
⎡
100
1.600⎤
+ 0,5max⎢−1.600
+ 200+
, 200 −1.600
+
0,1
1.1
⎥
⎣
⎦
= 0,5 ×
( −1.600
+ 200 + 3.000) + 0,5 × ( 200 −1.600
+ 1.454,54)
= 0,5 × 1.600 + 0,5 × 54,54
4. Si se aplaza la inversión hasta cuando se resuelva la incertidumbre del
precio, se tiene:
⎡ ⎡−1.600
300 300 ⎤⎤
⎡ ⎡−1.600
100 100 ⎤⎤
VPN = 0,5⎢max⎢
+ + , 0 0,5⎢max
, 0 ⎥
1,1 1,1 0,1 1,1
⎥⎥
+ ⎢ + +
⎣ 1,1 1,1 0,1 1,1
⎥
⎣ ⎣
× ⎦⎦
⎣
× ⎦⎦
⎡ ⎡ −1.600
+ 3.300 ⎤⎤
⎡ ⎡ −1.600
+ 1.100 ⎤⎤
= 0,5⎢max⎢
, 0 0,5⎢max
, 0 ⎥
1,1
⎥⎥
+ ⎢
⎣ 1,1
⎥
⎣ ⎣
⎦⎦
⎣
⎦⎦
1.700
= 0,5
1,1
= 772,73
Se puede ver, entonces, cómo al hacer consideraciones de opciones reales se puede
aumentar el valor de una inversión. En este caso, la mejor alternativa es invertir ahora y
considerar la opción de abandonar el proyecto si el resultado del precio al final del año 1 es
desfavorable.
El valor de la flexibilidad puede medirse como la diferencia entre el VPN
tradicional (en nuestro ejemplo, $600) y el resultado de la opción real. En estos casos se
tiene:
• Flexibilidad del VPN tradicional = 600–600 = 0.
• Flexibilidad del VPN con eventos probabilísticos = 600–600 = 0.

• Flexibilidad para considerar abandono (valor de salvamento = 1.600) = 827,27–
600 = 227,27.
• Flexibilidad para invertir un año más tarde: 772,73–600 = 172,73.
Ahora vamos a ilustrar cómo a mayor variabilidad (mayor riesgo) el valor de la
flexibilidad aumenta. Supongamos que los precios pueden variar entre 350 y 50, por lo
tanto, su valor esperado es 200, pero con mayor variabilidad (o volatilidad, se dice
también). Veamos cómo resulta cada caso estudiado atrás:
1. Si se utiliza el VPN bajo el supuesto de un flujo a perpetuidad por $200 se
tiene:
200
VPN = -1.600 + ∑ ∞ t
(1.1)
200
= −1.600
+ 200 +
0,1
= -1.600 + 2.200
=
600
Este VPN es el valor descontado del flujo a perpetuidad menos la inversión inicial
más el valor de la primera unidad vendida en el año 0.
2. Si se estima que el precio del primer año es un hecho cierto (se vende
anticipado) y de allí en adelante se considera como un hecho incierto con las
probabilidades ya mencionadas, y se trabaja con el valor esperado a partir
del año 1, se tiene:
∞
∞
350 50
VPN = −1.600
+ 200 + 0,5∑
+ 0,5
t ∑
(1,1) (1,1)
= −1.600+
200+
0,5 × 3.500 + 0,5 × 500
= −1.600+
200 + 0,5 × 3.500 + 250
= −1.600+
200 + 1.750 + 250
= 600
0
t= 1
t=
1
Se obtiene el mismo resultado, como se esperaba.
3. Si se considera la posibilidad de iniciar ahora y descontinuar el proyecto
dependiendo del resultado del precio al final del año 1, se tiene (suponiendo
un valor de salvamento de 1.600):
t
74

⎡
350 ⎤
VPN = 0,5max⎢−1.600
+ 200 + ,0
0,1
⎥
⎣
⎦
⎡
+ 0,5max⎢−1.600
+ 200+
⎣
= 0,5 ×
= 1.077,27
( −1.600
+ 200 + 3.500) + 0,5 × ( 200 −1.600
+ 1.454,54)
= 0,5 × 2.100 + 0,5 × 54,54
50
,200
0,1
1.600⎤
−1.600
+
1.1
⎥
⎦
4. Si se aplaza la inversión hasta cuando se resuelva la incertidumbre del
precio, se tiene:
⎡ ⎡−1.600
350 ⎤⎤
⎡ ⎡−1.600
VPN = 0,5⎢max⎢
+ 350 + , 0 ⎥ + 0,5⎢max
50
1,1 0,1
⎥ ⎢ + +
⎣ ⎣
⎦⎦
⎣ ⎣ 1,1
⎡ ⎡ −1.600
+ 3.850 ⎤⎤
⎡ ⎡−1.600
⎤⎤
= 0,5⎢max⎢
,0 0,5⎢max
550, 0 ⎥
1,1
⎥⎥
+ ⎢ +
⎣ 1,1
⎥
⎣ ⎣
⎦⎦
⎣
⎦⎦
2.250
= 0,5
1,1
= 1.022,73
Se puede ver entonces cómo al aumentar la incertidumbre, el valor de la flexibilidad
aumenta. En este caso, también, la mejor alternativa es invertir ahora y considerar la opción
de abandonar el proyecto si el resultado del precio al final del año 1 es desfavorable.
Igual que en la primera parte de este ejemplo, el valor de la flexibilidad es la
diferencia entre el VPN tradicional (en nuestro ejemplo, $600) y el resultado de la opción
real. En estos casos se tiene:
• Flexibilidad del VPN tradicional = $600–$600 = 0
• Flexibilidad del VPN con eventos probabilísticos = $600–$600 = 0
• Flexibilidad para considerar abandono (valor de salvamento = 1.600): 1.077,27–
600 = 477,27.
• Flexibilidad para invertir un año más tarde: 1.022,73–600 = 422,73.
50
,
0,1
⎤⎤
0⎥⎥
⎦⎦
12.17 Resumen
En este capítulo se ha estudiado el problema de la toma de decisiones bajo incertidumbre.
Se ha distinguido entre riesgo e incertidumbre; el primero se refiere a situaciones donde se
tiene una distribución de probabilidad de los eventos; mientras en el caso de incertidumbre
esta distribución no se conoce. Se examinan las causas de la incertidumbre. Se presenta una
metodología para involucrar aspectos no cuantificables en el análisis de alternativas de
inversión. También se menciona la técnica de simulación como una herramienta para
75

cuantificar el riesgo de una inversión. Por último, se presentan las actitudes hacia el riesgo
de los individuos y los árboles de decisión para analizar y tomar decisiones secuenciales.
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78

EPÍLOGO
Helo, por fin, bien despierto
Frente a frente a la jornada,
Que se extiende por un aire
Pronto a entregar la mañana
Siempre ignota, nunca neutra,
Turbia tal vez o entreclara,
pero sin cesar atmósfera...
JORGE GUILLÉN, VIDA-ESPERANZA
En los capítulos anteriores se han presentado las principales herramientas para la toma de
decisiones de inversión. Muchos de los lectores ya se habrán hecho la pregunta acerca de la
aplicabilidad de las mismas. Nuevamente se debe insistir en la necesidad e importancia de validar
los modelos que hay implícitos en los métodos de análisis, así como una evaluación de las
circunstancias que rodean la decisión para definir si se debe o no utilizarlas a profundidad para
tomar las decisiones. No debe olvidarse que estos instrumentos son una guía, una ayuda para el
proceso de toma de decisiones y que muchas veces es necesario aplicar un criterio sano
⎯prudente algunas veces⎯ y tomar así la decisión, a pesar de los resultados cuantitativos.
Sin embargo, conviene explorar la realidad cotidiana, empresarial, para saber si estos
métodos tienen alguna aplicación práctica. Existen para este propósito dos estudios que arrojan
luz sobre estos hechos; a continuación se presentan las cifras más importantes de cada uno.
Vélez y Nieto (1986) desarrollaron una investigación en 1980 para determinar el uso de
técnicas para la toma de decisiones de inversión en 70 empresas localizadas en Bogotá. La
clasificación de las empresas y los resultados en cuanto al uso de técnicas para la toma de
decisiones es la siguiente:
No TIR% VPN% B/C% U/I% CAE% PR%
Pequeña 17 0 6 0 0 0 0
Mediana 11 9 0 0 27 0 0
Grande 42 27 27 2 2 2 0
U/I = Utilidad sobre inversión PR = Período de repago CAE =
Costo anual equivalente
Aquí se puede observar que el 58% de las empresas grandes de la muestra utilizan
métodos que tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo. En Estados Unidos se encontró un
66% en 1976.
García y Marín (García y Marín, 1987) en una investigación realizada entre 1985 y 1986 y
que abarcó 104 empresas de Bogotá, Medellín, Cali y Barranquilla, examinaron en forma
exhaustiva la actividad financiera en las más grandes empresas nacionales y multinacionales no
financieras.

PR% VPN% TIR % ROI% ROE% OTROS %
Nacionales 20 28 34 13 - 5
Multinacionales 25 25 33 16 1 -
Total 22 27 33 14 3 1
Estos datos indican que el 60% de las empresas más grandes de Colombia utilizan
técnicas que tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Estas cifras son muy consistentes
con los resultados de 1980.
En 1980 el 76% de las empresas grandes consideraban de alguna manera el riesgo en la
toma de decisiones. En 1985-1986 el 93% informó que lo hacía.
Como se puede deducir de las cifras aquí presentadas, los métodos que han sido
estudiados en este libro no son exóticos, ni esotéricos, y se utilizan en el proceso de toma de
decisiones de las grandes empresas. Debe anotarse en este punto que según los datos de 1980, a
mayor tamaño de la firma mayor es la utilización de técnicas para la toma de decisiones de
inversión.
PRÁCTICAS INADECUADAS PARA EVALUACIÓN
En el capítulo 1 se citó el trabajo de M. Dempsey (1996) donde ese autor menciona otras
investigaciones que muestran indicios sobre la inoperancia de los modelos aquí estudiados.
También se mencionó en ese capítulo que esa afirmación carecía de validez estadística por el tipo
de observaciones y en particular porque se estaba descalificando unos procedimientos que
tienden a ser mal utilizados. A continuación se presentan algunos de los errores que se cometen
en la práctica y que han sido detectados por el autor en muchos seminarios para ejecutivos.
A continuación se mencionan también algunas prácticas equivocadas que producen una
distorsión en la evaluación o selección de alternativas de inversión y se indica el capítulo donde
se ha discutido el punto y se presenta el sustento teórico para debatirlo.
1. Considerar que la tasa de interés efectiva es un indicador adecuado para
escoger alternativas de inversión (apéndice del capítulo 2).
2. Escoger alternativas mutuamente excluyentes con el período de repago
(capítulo 3).
3. Escoger alternativas independientes con racionamiento de capital con el
VPN o TIR (capítulo 3).
4. Comparar alternativas con vidas diferentes con el CAE o caue (capítulo 3)
5. Escoger alternativas con el VPN sin hacer explícita la tasa de reinversión
(capítulos 3 y 4).
6. Escoger alternativas excluyentes con la TIR o la RB/C (capítulos 3 y 4).
7. Suponer tasas de descuento iguales para toda la vida del proyecto (capítulo
4).
8. Incluir la financiación [ingresos de préstamos, amortización e intereses en
el flujo de caja libre cuando se calcula con el método indirecto (desde el estado de
resultados) (capítulo 7).
9. Uso de proyecciones a precios constantes o reales y no a precios nominales
y evaluar un proyecto a precios constantes y no a precios corrientes (capítulo 11).
396

10. Calcular VPN o comparar TIR con tasa de descuento reducida restándole el costo
de capital y considerar el resultado como lo que se quiere ganar por encima del mismo (capítulo
8).
11. Escoger como mejor alternativa de financiación aquella que ofrezca menor
tasa de interés; no se deben comparar alternativas con base en tasas, sino en valores
(capítulo 3).
12. Comparar leasing con o contra préstamos sin tener en cuenta los ahorros en
impuestos por la depreciación, en el caso del préstamo (capítulo 8).
13. Evaluar alternativas de inversión sin tener en cuenta la incertidumbre y el
riesgo (capítulo 12).
14. Calcular el VPN o comparar la TIR con tasas de descuento que incluyen el
riesgo y a la vez hacer el análisis del riesgo de manera explícita (capítulo 12).
15. Añadir al VPN el valor presente de los ahorros en impuestos y a la vez
utilizar como tasa de descuento después de impuestos el CPPC después de impuestos
(WACC) (capítulo 8).
16. Hacer seguimiento y control de un proyecto con el EVA © y no con el Flujo
de Caja Libre real del proyecto (capítulos 3 y 10).
17. Uso incorrecto del costo de capital (CPPC) al usar fórmulas para
perpetuidades y no para flujos finitos. (capítulo 8)
18. Uso de valores en libros y no de mercado para calcular el CPPC. (capítulo
8)
19. Suponer que el costo de capital (propio o CPPC) es constante cuando el
endeudamiento a valores de mercado cambia. (capítulo 8)
20. Suponer que el efectivo en caja y las inversiones temporales hacen parte
del flujo de caja libre (FCL) y del flujo de caja del accionista (FCA). Esto ocurre cuando
se excluye del capital de trabajo elementos tales como el efectivo en caja y las inversiones
temporales 1 . (capítulo 7)
21. No verificar que FCL + AI(ahorro en impuestos) = FCD + FCA. (capítulo
7)
22. No verificar que VP(FCL) + VP(AI) = VP(FCD) + VP(FCA). (capítulo 9)
23. Suponer que el costo del capital del patrimonio sin deuda, Ku y el costo del
capital del patrimonio con deuda, Ke son variables independientes e incluirlas en el
modelo de valoración como datos de entrada. (capítulo 8)
24. Suponer de manera incorrecta que los ahorros en impuestos se obtienen en
su totalidad y en el año en que se causan los impuestos. (capítulo 8)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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1 . Por ejemplo, en la página 36 de Benninga & Sarig (1997), dicen: “Cash and marketable securities are the best
example of working capital items that we exclude from our definition of ∆NWC, as they are the firm’s stock of
excess liquidity.” (Subrayado en el original)
397

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398

GLOSARIO
Parte de este glosario se ha recogido de diferentes fuentes:
Glosario de Yahoo: http://e1.biz.yahoo.com/glosario/ (visitado el 19 de junio de
2004). Glosario de Alfil.com: http://www.alfil.com/glosarioindex.htm (visitado el 19 de
junio de 2004). Glosario de New York Stock Exchange (Bolsa de Valores de Nueva Cork):
http://www.nyse.com/ (visitado el 19 de junio de 2004). Glosario de la Superintendencia
de Valores de Colombia: http://www.supervalores.gov.co/glosario/glosario.htm (visitado el
19 de junio de 2004)
A
Accionista: Es aquella persona propietaria de acciones y poseedor del título que las representa,
quien además se encuentra debidamente inscrito en el libro de registro de accionistas de la
respectiva sociedad emisora.
Actitudes hacia el riesgo. Predisposición de los individuos a asumir riesgos. Depende del estado
de ánimo de la persona, de las cantidades en juego, de las probabilidades involucradas,
etcétera. Hay personas adversas (que no están dispuestas a asumir riesgos y los eluden), hay
personas propensas o amantes del riesgo, que lo buscan e indiferentes al riesgo. Estos
últimos deciden con base en el valor esperado monetario.
Activo: Representa los bienes y derechos de la empresa. Dentro del concepto de bienes están el
efectivo, los inventarios, los activos fijos, etc. Dentro del concepto de derechos se pueden
clasificar las cuentas por cobrar, las inversiones en papel del mercado, las valorizaciones,
etc. Informalmente, algo que una firma puede usar para generar ingresos. Puede ser tangible
como un vehículo o un edificio o intangible como una marca de fábrica, una patente o el
“goodwill”.
Activos corrientes: Son activos susceptibles de convertirse en dinero en un futuro próximo, tales
como las cuentas por cobrar o los inventarios.
Activos fijos: No son líquidos debido a que se necesitan para el funcionamiento del negocio en
forma permanente, tales como oficinas, maquinaria, vehículos, etc.
Adjusted Present Value (APV). Véase Valor Presente Neto ajustado (VPNA)
Ahorro en impuestos: El valor presente de los ahorros en impuestos de una alternativa de financiación.
Bajo ciertas condiciones es igual a Gastos financieros × Tasa de impuestos.
Ajustes integrales por inflación: Es el reconocimiento en los estados financieros del efecto de la
inflación. En Colombia el ajuste se aplica sobre las partidas no monetarias, utilizando para
ello el PAAG, que es el porcentaje equivalente a la variación del Índice de Precios al
Consumidor para ingresos medios, establecido por el DANE.
Alternativas complementarias. También pueden considerarse otro tipo de clases de alternativas
que pueden tener algún grado de dependencia, por ejemplo, las alternativas
complementarias, que cuando se realizan simultáneamente, el resultado es sinérgico, en el
sentido en que sus beneficios combinados son mayores que la suma de los beneficios
individuales.
399

Alternativas con vidas diferentes. Situación que se presenta cuando entre varios proyectos o
alternativas no todos tienen la misma duración. Por ejemplo, cuando se comparan dos máquinas
que tienen una vida útil diferente.
Alternativas de inversión dependientes. Cuando una alternativa no se puede llevar a cabo sin que
otra se realice se dice que dichas alternativas son dependientes.
Alternativas de inversión independientes. Cuando varias alternativas se pueden realizar sin que
los resultados de las otras o las decisiones con respecto a ellas se alteren, se dice que son
independientes.
Alternativas de inversión mutuamente excluyentes. Cuando dentro de un grupo de alternativas
se lleva a cabo una de ellas y este hecho hace que las otras alternativas no puedan
realizarse, entonces se dice que son mutuamente excluyentes.
Alternativas substitutas. Se pueden considerar las alternativas substitutas lo cual significa que
cuando se hacen de manera simultánea, se genera un efecto de entropía, en el sentido que
los beneficios totales son menores que la suma de los beneficios individuales.
Amortización: Reducciones graduales de la deuda a través de pagos periódicos sobre el capital
prestado. Recuperación de los fondos invertidos en un activo de una empresa.
Análisis de sensibilidad. Metodología que permite examinar el comportamiento de un resultado a la
luz de variaciones controladas de unas variables independientes.
Apreciación (Appreciation): Fenómeno en el cual una moneda gana valor con respecto a otra,
generalmente con respecto a una moneda más fuerte. Opuesto a la devaluación. Se llama
también revaluación. También se conoce como apreciación el incremento de valor de una
acción o cualquier otro activo.
Árboles de decisión. Técnica que permite analizar decisiones secuenciales basada en el uso de
resultados y probabilidades asociadas.
Arrendamiento financiero o "leasing". Figura comercial por medio de la cual una entidad
financiera adquiere un activo de un proveedor y se lo alquila a un tercero, quien tiene
obligación de pagar un canon de arriendo y al final puede ejercer lo que se llama una
opción de compra, o lo que es lo mismo, puede comprar el activo por un precio pactado
desde el principio.
Asistente de Funciones. Opción de Excel para usar diversas fórmulas prediseñadas. Entre otras se
encuentran las financieras, matemáticas y estadísticas.
B
Balance General (BG). Estado financiero que mide la riqueza de la firma en un instante. Se rige
por el principio de partida doble, lo cual se expresa en un equilibrio que está dado por la
siguiente ecuación: Activos - Pasivos = Patrimonio.
Beta β (Beta), coeficiente beta: Medida de riesgo de una acción. Mide la relación entre el
rendimiento de una acción y el rendimiento de los indicadores del mercado. Si una acción
tiene una beta de 1 (uno), se espera que por cada punto que suba o baje el mercado, la
acción subirá ó bajará en la misma proporción. Para un beta de 2 (dos), se espera que por
cada punto que suba o baje el mercado, la acción subirá ó bajara dos veces el movimiento
del mercado. Según esto, acciones con betas mayores que 1, se consideran acciones más
volátiles que acciones que tienen 1 o menos de coeficiente beta. Coeficiente que mide la
volatilidad relativa a una acción. Corresponde a la covarianza de la relación entre la acción
y el resto del mercado. Beta mayor que uno (1) significa que varía más que el mercado.
Tiene mayor riesgo. De otra parte, un BETA menor que 1 significa que la acción varía
menos que proporcional al mercado. Si el valor de BETA para una acción es igual a 1,
400

significan que los rendimientos de ésta varían de manera proporcional a los rendimientos
del mercado, es decir que las acciones tienen el mismo rendimiento que el mercado. Es una
medida del riesgo sistemático de un activo. Mide la sensibilidad del valor de una acción
frente a variaciones en el mercado. Es un indicador del riesgo sistémico o sistemático del
mercado de la inversión en acciones, que permite establecer qué tan sensible es el
comportamiento de la rentabilidad de una acción cuando se presentan movimientos en la
rentabilidad del mercado accionario.
Bono: Son títulos que representan una parte de un crédito constituido a cargo de una entidad
emisora. Su plazo mínimo es de un año; en retorno de su inversión recibirá una tasa de
interés que fija el emisor de acuerdo con las condiciones de mercado, al momento de
realizar la colocación de los títulos. Por sus características estos títulos son considerados de
renta fija. Además de los bonos ordinarios, existen en el mercado bonos de prenda y bonos
de garantía general y específica y bonos convertibles en acciones.
Buscar objetivo. Opción de menú de Excel que permite encontrar un valor deseado a partir de otro
valor del cual el primero depende. Para encontrarlo se debe entrar por Herramientas.
Capital Asset Pricing Model CAPM (Modelo de valoración de Activos de Capital): Modelo
muy utilizado en las finanzas modernas que predice las relaciones entre la rentabilidad y el
riesgo de una inversión. Su herramienta principal es la beta.
Certidumbre total. Situación ideal que no existe en la realidad y que supone que se sabe con
certeza sobre la ocurrencia de un determinado evento.
Ciclo de los negocios o ciclo del capital. Proceso de intercambio de bienes, servicios, trabajo y
dinero que produce un valor agregado a una sociedad.
Circularidad: Se refiere a la relación circular (uno depende de otro y ese otro depende del primero)
entre el costo promedio ponderado de capital, CPPC, y el valor de mercado de la firma o
proyecto, que es el valor presente de los flujos al CPPC.
Componentes de la tasa de interés. Inflación, tasa de interés real y riesgo. Esta relación no es
aditiva, sino multiplicativa.
Componentes de un problema. 1) El decisor. 2) Las variables controlables por el decisor. 3) Las
variables no controlables o del entorno. 4) Las alternativas. 5) Las restricciones. 6) La
decisión y el control.
Concepto de equivalencia. Este es el concepto básico del tema de evaluación de alternativas de
inversión. Dice que la persona (el decisor) asigna un valor mayor a una suma de dinero hoy
que a la misma suma de dinero en el futuro. En palabras sencillas, un peso hoy vale más
que un peso dentro de n períodos. La relación fundamental establece que P=F/(1+i) n o
F=P(1+i) n .
Costo de la deuda, Kd. Lo que paga la firma a terceros por deudas a cargo de ella.
Costo del patrimonio con deuda, Ke. Es la expectativa de ganancia que tienen los accionistas sobre
los fondos aportados por ellos. Es el costo de lo que debería pagar la firma a sus accionistas.
En realidad es el costo de oportunidad de los accionistas.
Costo del patrimonio sin deuda, Ku. Es la expectativa de ganancia que tendrían los accionistas
sobre los fondos aportados por ellos si la firma no tuviera deuda y todos los fondos hubieran
sido aportados por ellos. Es el costo de lo que debería pagar la firma a sus accionistas en
condiciones de cero deuda. En realidad es el costo de oportunidad de los accionistas en una
situación de riesgo menor por no tener deuda.
Costo de oportunidad del dinero. Como todo recurso apreciable, el dinero tiene un costo de
oportunidad. Este es la máxima rentabilidad o la máxima tasa de interés que puede ser
obtenida por el inversionista, dentro del mercado en donde se encuentra.
401

Costo de oportunidad: el costo de oportunidad es lo máximo que se podría obtener, si los recursos se
invirtieran en aquella alternativa escogida como patrón de comparación y que es diferente a las
evaluadas.
Costo del Dinero. Este costo es el sacrificio en dinero en que se incurre al retirar de una opción de
ahorro o dejar de invertir en ella (el máximo posible), lo cual se llama costo de oportunidad
del dinero o el sacrificio o el costo directo que el inversionista debe pagar cuando no cuenta
con ese dinero y debe prestarlo a terceros; éste último se conoce como Costo de Capital. A
cualquiera de estos sacrificios se le llama Costo del Dinero.
Costo muerto: Es aquel costo común a todas las alternativas. Los costos muertos no son
pertinentes y son irrecuperables. Por otro lado, hay costos muertos pertinentes, que sí deben
considerarse en la alternativa, porque forman parte intrínseca de ella, pero que al ser
comunes no hacen diferencia. Los costos muertos no se toman en cuenta, ni se deben
asignar a ninguna de las alternativas, puesto que no establecen diferencias al compararlas y
han ocurrido antes de tomar la decisión. Se dedica un aparte especial, para saber
identificarlos y no incluirlos en el análisis.
Costo promedio ponderado de capital de la firma (CPPC). Costo ponderado del costo de la
deuda y de los fondos aportados por los accionistas. En inglés se conoce como Weighted
Average Cost of Capital (WACC). Cuando un individuo, persona natural, no cuenta con fondos
suficientes para llevar a cabo una inversión, presta el dinero y los intereses o la tasa de interés,
indicarían el costo de capital de esa persona. En este caso es muy fácil medirlo. En el caso de la
firma, como se verá a continuación, lo que paga la firma por los recursos que debe obtener para
realizar las inversiones no es tan evidente. En todo caso, individuo o firma, se paga por la
utilización del capital de terceros y ese precio constituye el Costo de Capital.Este costo tiene en
cuenta el costo de la deuda, Kd, el costo del patrimonio con deuda, Ke y la tasa de impuestos
que paga la firma, T.
Costos fijos: Costos que no variaron con el nivel de producción, pero que se producen con el paso
del tiempo.
Costos variables: Costos iniciales contraídos al comenzar la producción por elementos
incorporados al producto. Por ejemplo, materias primas, salarios. Por lo general se llaman
costos variables porque varían con la producción.
Cuota o pago uniforme C. Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entre el 1
y el n. En otros textos se llama A, de anualidad; aquí se prefiere nombrarla como cuota C,
porque es más general. Nombre como parámetro en la función de Excel, pago.
D
Decisor. Ente o persona que debe tomar una decisión.
Deflactor: Índice que se utiliza para convertir un valor o precio corriente (nominal) a uno
constante respecto a un precio de referencia.
Depreciación monetaria: Disminución del precio de una moneda respecto a otra en un sistema de
tipo de cambios flexibles. Fenómeno contrario a la apreciación monetaria.
Depreciación: Un cargo que se registra en el estado de resultados durante un cierto tiempo para
reconocer que un activo pierde valor a medida que se usa. La implicación de esta idea es
que el activo será reemplazado en algún momento y esto va a costar dinero. La
depreciación no es un flujo de caja, es sólo un reconocimiento de un egreso (inversión) que
se hizo con anterioridad. Es una asignación de costos que se pagaron en el pasado.
Desventaja financiera. Una medida en unidades monetarias que mide el mayor ⎯o menor⎯
costo de una alternativa de financiación en comparación con otra. Se determina calculando
402

el Valor Presente Neto de cada alternativa de financiación a la tasa de oportunidad
financiera.
Deuda Financiera: Es el pasivo que genera la obligación de pagar intereses. Es la deuda que se
tiene en cuenta para el cálculo del costo promedio ponderado de capital, CPPC.
Devaluación: Pérdida de valor de una moneda con respecto a otra más fuerte. Generalmente con
respecto el dólar de los Estados Unidos. La devaluación se expresa a través de una tasa que
nos indica la pérdida de poder adquisitivo del peso frente a otra moneda de referencia, que
puede ser el dólar, el yen, el marco, etc. Reducción, por decisión de la autoridad monetaria,
del valor de la moneda propia respecto a las extranjeras. Es lo equivalente a una
depreciación monetaria en un sistema de tipo de cambios fijo.
Diagrama de flujo de caja. El diagrama de flujo de caja, consiste en un modelo gráfico que se
utiliza para representar los desembolsos e ingresos de dinero a través del tiempo. Los
ingresos se representan con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.
Todo se supone que ocurre al final de cada período.
Dígitos o números aleatorios. Dígitos (0 a 9) que tienen una distribución uniforme, esto es, que
todos tienen igual probabilidad de ocurrir. Se utilizan para asignar probabilidades en el
computador al hacer las simulaciones de Monte Carlo.
DISTR.NORM(x,media,desv_estándar,acum). Función de Excel que permite calcular la
probabilidad según una distribución normal. Se debe introducir el valor de la variable, la
media y la desviación estándar de la distribución.
DISTR.NORM.ESTAND(z). Función de Excel que permite calcular la probabilidad según una
distribución normal estandarizada, con media 0 y desviación estándar igual a 1. Se debe
introducir el valor de la variable normalizada.
Dividendo: En caso de haber utilidades en una empresa, son la parte de ellas que corresponden al
accionista de la misma. En otras palabras, es el valor pagado a los inversionistas como
retribución a su inversión, ya sea en efectivo o en acciones.
Divisa: Medio de cambio cifrado en una moneda distinta a la nacional o doméstica. Moneda
extranjera.
DTF (depósitos a término fijo): En Colombia es un indicador que recoge el promedio semanal
de la tasa de captación de los certificados de depósito a término fijo (CDTs) a 90 días de
los bancos, corporaciones financieras, de ahorro y vivienda y compañías de financiamiento
comercial y es calculado por el Banco de la República. Hay para 180 y 360 días también.
Usualmente se expresa como tasa de interés nominal anual trimestre anticipado, NA TA
E
Economic Value Added (EVA © ) véase Valor Económico Agregado (VEA)
Endeudamiento: Utilización de recursos de terceros obtenidos vía deuda para financiar una
actividad y aumentar la capacidad operativa de la empresa. Para efecto del cálculo del costo
promedio de capital, CPPC, se calcula con base en el valor de mercado.
Escenarios o análisis de escenarios. Herramienta de Excel que permite variar hasta 32 variables
para observar el comportamiento de un resultado.
Estado de pérdidas y ganancias (PyG) o estado de resultados: Estado financiero que busca
determinar la utilidad que produce una firma o un proyecto. Se elabora utilizando el
principio de causación y de asignación de costos, lo cual significa que los gastos que se
registran en él no siempre han ocurrido como desembolsos. Se registra la depreciación
aunque el desembolso por el pago del activo haya ocurrido años atrás; esto es, utiliza la
idea de asignación de costos. El estado de resultados o de pérdidas o ganancias muestra los
ingresos y los gastos, así como la utilidad o pérdida resultante de las operaciones de la
403

empresa durante un periodo de tiempo determinado, generalmente un año. Es un estado
dinámico, ya que refleja una actividad. Es acumulativo, es decir, resume las operaciones de
una compañía desde el primero hasta el último día del periodo.
Estructura de capital: Financiamiento permanente a largo plazo de la empresa representada por
deuda financiera, capital preferente y capital contable (el capital contable consta del capital
social, el superávit de capital y las actividades retenidas). La estructura de capital es
distinta de la estructura financiera porque esta última incluye también el pasivo a corto
plazo y las ventas de reserva. La estructura de capital debe calcularse con base en el valor
de mercado de la firma.
EV enterprise value: Palabra que en español significa valor de la firma y no es más que el monto
de los recursos invertidos internamente en un negocio. Se define como: EV = Precio x
Acciones en Circulación + Deuda Financiera
Evaluación de múltiples objetivos e intangibles. Situación en la cual se trata de involucrar en el
análisis o evaluación de alternativas, elementos que no han sido incluidos en el cálculo de
Valor Presente Neto. Se puede utilizar una metodología de ponderación de factores y
calificación. Las ponderaciones deben ser verificadas para consistencia interna.
F
Flujo de caja convencional. Cuando los egresos están seguidos sólo de ingresos o viceversa. En
este caso se espera una sola Tasa Interna de Rentabilidad (TIR).
Flujo de Tesorería (FT). Estado financiero que trata de determinar el estado de liquidez de la
organización o del proyecto, o sea la cantidad de dinero con que se cuenta en un momento
dado.
Flujo de caja del accionista (FCA). Consiste en todos los ingresos y egresos que reciben o
asumen los accionistas de un proyecto o empresa. Con este flujo se puede estimar el valor
de una firma o proyecto para un eventual comprador.
Flujo de caja de la deuda (FCD: Consiste en todos los ingresos y egresos que reciben o asumen
los dueños de la deuda de un proyecto o empresa. Con este flujo se puede estimar el valor
de mercado de la deuda en caso d que sea una deuda pública o que se negocia en bolsa,
como los bonos.
Flujo de caja libre (FCL). Relación de ingresos y egresos en el tiempo que se usa para determinar la
conveniencia o no de una alternativa ⎯proyecto⎯ de inversión. No todos los movimientos de
dinero se incluyen en este Flujo de Caja Libre de un proyecto. Cuando se calcula a partir del
Estado de pérdidas y ganancias, no entran en su conformación los siguientes renglones: aportes
de capital, préstamos recibidos, pagos de préstamos, pagos de intereses (y su equivalente en el
pago de arriendo), ahorros en impuestos por intereses y utilidades o dividendos pagados. Es lo
que reciben efectivamente los dueños del capital (deuda y patrimonio) ajustado por los
ahorros en impuestos.
Flujo de caja no convencional. Cuando los egresos están seguidos de ingresos y después de
egresos otra vez y así sucesivamente, o viceversa. En este caso se puede esperar varias
Tasas Internas de Rentabilidad (TIR).
Fórmulas de interés o factores de conversión. Relación aritmética entre sumas de dinero que
permiten hallar la equivalencia entre ellas. La relación fundamental es P=F/(1+i) n o
F=P(1+i) n .
I
Incertidumbre. Se llama incertidumbre a la situación de desconocimiento de los hechos futuros.
En un significado más especial y en el contexto del conocimiento que se tiene sobre los
eventos futuros y sus probabilidades, se dice que hay una situación bajo incertidumbre
404

cuando se pueden conocer los eventos futuros posibles, pero no se sabe nada acerca de la
distribución de probabilidad de los eventos; esto es, que no se conocen las probabilidades
asociadas a cada evento.
Índice bursátil: Se define como el indicador bursátil del mercado ordinario de las bolsas de
valores […]. Refleja las fluctuaciones que por efectos de oferta y demanda o por factores
externos del mercado, sufren los precios de las acciones. Es el instrumento más
representativo, ágil y oportuno para evaluar la evolución y tendencia del mercado
accionario. Cualquier variación de su nivel es el fiel sinónimo del comportamiento de este
segmento del mercado, explicando con su aumento las tendencias alcistas en los precios de
las acciones y, en forma contraria, con su reducción la tendencia hacia la baja de los
mismos. Índice que mide el comportamiento promedio de un mercado accionario.
Herramienta utilizada para interpretar el comportamiento de los precios de las acciones o
del valor de las empresas. Es una serie cronológica de números que indican la variación
relativa de los precios de un conjunto de acciones que se cotizan en bolsa, en la que el
precio de cada acción es ponderado de acuerdo con su importancia; se usa como referencia
un valor unitario llamado base definido para una fecha dada. Por tanto, el valor del índice
en otra fecha cualquiera mostrara una variación promedio (Aumento o disminución) de un
conjunto de precios en un mercado bursátil, con respecto a la fecha inicial de acciones
cotizadas. La comparación de los valores del índice de dos fechas cuales quiera será
también significativa de la variación promedio de los precios de entre esas dos fechas. Es
entonces. Un índice que mide la rentabilidad promedio del mercado y se conoce como Rm
o rentabilidad del mercado. Es un buen indicador del estado de la economía en algunos de
sus diferentes sectores.
Índice de precios al consumidor (IPC): Variación que entre un mes y otro presentan los precios
de bienes y servicios de consumo final correspondientes a una canasta típica, donde se
incluyen los servicios educativos, de salud, de alimentos y combustible, entre otros.
Índice de tasa de cambio real (ITCR): Medida más amplia que la tasa de cambio de la moneda
local en relación con una canasta de monedas de otros países y sus respectivas inflaciones
o devaluaciones. Un ITCR que sea igual a cien (100), indica que la moneda local de un
país no está devaluada ni revaluada en comparación con otras monedas internacionales.
Índices financieros o razones financieras: Herramientas utilizadas para la interpretación de los
estados de resultados de las empresas, con el fin de convertir esa información en elementos
útiles para sus usuarios.
Inflación: Aumento de precios de los bienes de consumo y factores de productividad. En general,
la inflación se define como la pérdida de poder adquisitivo de la moneda de un país. Mide
el crecimiento del nivel general de precios de la economía. En Colombia, la inflación es
calculada mensualmente por el DANE sobre los precios de una canasta básica de bienes y
servicios de consumo para familias de ingresos medios y bajos. Con base en éstas se
calcula un índice denominado Índice de precios al consumidor (IPC). La inflación
corresponde a la variación periódica de ese índice. Subida generalizada de los precios. La
inflación en Colombia se mide con el IPC, este índice es una media ponderada, no es la
medida exacta de los precios de todos los productos.
INT.EFECTIVO(int-nominal; núm. períodos). Función de Excel que permite calcular la tasa de
interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal y el número de períodos de
liquidación.
Interés ajustable: Tasa de interés sobre un depósito o un préstamo que es periódicamente
actualizada de acuerdo con las fluctuaciones del mercado o de la inflación.
405

Interés simple e interés compuesto, La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El
interés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la suma inicial, a diferencia del
interés compuesto que genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos intereses no
cancelados que ingresan o se suman al capital inicial.
Interés(es): Es el costo que se paga a un tercero por utilizar recursos monetarios de su propiedad.
Es la remuneración por el uso del dinero. En general, cantidad que paga un prestatario a un
prestamista, calculada en términos del capital a una tasa estipulada por un espacio de
tiempo. La suma que se paga o recibe por el uso del capital. Provecho, ganancia, utilidad.
Lucro producido por el capital. El interés, I, es la compensación que reciben los
individuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar una
suma P.
Inversión. Una inversión es cualquier sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún
beneficio en el futuro.
Inversiones ligadas a fuentes de financiación. Estas son inversiones que reciben financiación
para realizar un proyecto en forma exclusiva; esos fondos no pueden ser utilizados en otros
proyectos. Por lo general se trata de una financiación subsidiada, esto es, a tasas menores
que las de mercado.
J
Justificación de alternativas. Procedimiento que consiste en determinar si una alternativa es
buena o no; si se debe rechazar o no; si es aceptable o no es aceptable.
M
Margen: Medida que indica la proporción de alguna de las partidas de utilidad (utilidad, bruta,
utilidad operacional, utilidad neta) de una compañía, existen margen neto (utilidad neta
después de impuestos), márgenes de operación, etc.
Método de Hillier. Método propuesto por Frederick S. Hillier para calcular la probabilidad de
éxito o fracaso de un proyecto usando el Teorema del Límite Central.
Metodología para evaluar alternativas con vidas diferentes. a) Verifique si las alternativas se
pueden repetir en el futuro. b) Si se pueden repetir, verifique si al repetirlas se replican
exactamente los mismos costos y beneficios. c) Si se replican los mismos costos y
beneficios en el futuro, tome la decisión calculando el Costo Anual Equivalente (CAE) o la
anualidad equivalente al VPN. d) Si no se replican los mismos costos y beneficios y las
alternativas se pueden repetir en el futuro, estime los beneficios y costos futuros durante un
período de tiempo igual al mínimo común múltiplo de todas las alternativas que se analizan
y calcule el VPN de cada una de ellas. e) Si no se pueden repetir las alternativas en el
futuro, calcule el VPN para cada alternativa aunque las vidas de cada una de ellas sean
diferentes. La suposición implícita es que los fondos se reinvierten más allá de la vida del
proyecto a la tasa de descuento.
Métodos de descomposición. Método de pronóstico estadístico que supone que los datos se
componen de varios elementos: tendencia, ciclo, estacionalidad y error. La idea consiste en
"descomponer" los datos en los tres primeros componentes ya mencionados, proyectar cada
uno de ellos y después "recomponerlos" para tener el dato proyectado.
Métodos de pronósticos. Métodos estadísticos que permiten hacer proyecciones de datos basadas
en datos históricos. No siempre son exactos; mejor, nunca coinciden con los resultados
reales porque siempre hay un elemento de error imposible de pronosticar.
Métodos heurísticos. Aunque el propósito es estudiar formas de encontrar soluciones óptimas, a
veces esto no es posible y se recurrirá a un método heurístico. Estos son procedimientos
sistemáticos y lógicos, no arbitrarios y tienen un alto grado de intuición y subjetividad.
406

Conviene aclarar que lo subjetivo es diferente de lo arbitrario: lo primero está basado en
información recibida de múltiples maneras por el decisor; lo segundo no tiene fundamento
y es caprichoso.
Modelo. Simplificación de la realidad por medios gráficos, tridimensionales o matemáticos.
Múltiples Tasas Internas de Rentabilidad. Cuando se calcula la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) se
puede encontrar más de una TIR. (La TIR es una de las raíces de un polinomio de grado n). Esto
puede ocurrir cuando hay cambio de signo en los flujos; por ejemplo, a unos egresos siguen unos
ingresos y después más egresos. Este problema se elimina con la Tasa Interna de Rentabilidad
(TIR) ponderada.
N
NPER(tasa;pago;va;vf;tipo). Función de Excel que permite calcular el número de períodos que hace
equivalentes sumas negativas con sumas positivas cuando la serie es uniforme.
Número de períodos n. Número de períodos que se analizan (año, mes, día, trimestre, n semana,
etcétera). Es claro que se trata de períodos iguales. Nombre como parámetro en la función
de Excel, nper.
P
PAGO(i;n;P;F;tipo). Función de Excel que permite calcular el valor de la cuota uniforme
equivalente a una suma presente, a una suma futura o a ambas.
Paradoja de San Petersburgo. Ejemplo clásico que muestra que la gente no maximiza el valor esperado
monetario.
Pasivo: Representa las obligaciones totales de la empresa, en el corto plazo o el largo plazo, cuyos
beneficiarios son por lo general personas o entidades diferentes a los dueños de la empresa.
(Ocasionalmente existen pasivos con los socios o accionistas de la compañía). Encajan
dentro de esta definición las obligaciones bancarias, las obligaciones con proveedores, las
cuentas por pagar, etc.
Patrimonio: Es el valor líquido del total de los bienes de una persona o una empresa.
Contablemente es la diferencia entre los activos de una persona, sea natural o jurídica, y
los pasivos contraídos con terceros. Equivale a la riqueza neta de la Sociedad.
Período de Repago (PR). El período de repago es el tiempo necesario para que el inversionista
recupere la cantidad invertida.
Período de repago descontado PRT. Este es el tiempo en que el inversionista recupera la suma
invertida más intereses. El cálculo de este índice se hace encontrando el número de
períodos que se necesitan para hacer el VPN de la inversión igual a cero dada una tasa de
interés.
Períodos de diferente longitud. Las funciones de Excel trabajan bajo el supuesto que todos los
períodos son uniformes; por ejemplo, los meses son todos iguales y febrero es un mes igual
a marzo. En la realidad, pueden ocurrir movimientos de dinero en fechas diversas que están
separadas por días (5 días, 3 días, 48 días, etcétera). En estos casos las funciones ya
conocidas no operan y hay que recurrir a otras funciones como VNA.NO.PER
(tasa;valores;fechas) y TIR.NO.PER. (valores; fechas; estimar).
Precios constantes. Metodología que pretende eliminar los problemas causados por la inflación
⎯cambios de precios⎯ y que consiste en no hacer proyecciones de los precios futuros de
insumos, bienes y servicios y hacer los cálculos de Valor Presente Neto con una tasa de
descuento deflactada o real. Se dice que coincide con el mismo cálculo a precios corrientes
(ver precios corrientes), pero en general no es así.
Precios corrientes. Metodología que pretende incluir los de la inflación ⎯cambios de precios⎯ y
que consiste en hacer proyecciones de los precios futuros de insumos, bienes y servicios y
407

hacer los cálculos de Valor Presente Neto con una tasa de descuento corriente, no
deflactada. Se dice que coincide con el mismo cálculo a precios corrientes (ver precios
corrientes), pero en general no es así. Esta es la forma correcta de trabajar la evaluación de
un proyecto en condiciones inflacionarias.
Prime rate tasa “prime”: En Estados Unidos, es la tasa aplicada por los bancos a los créditos a
corto plazo concedidos los clientes de primera fila. La tasa de interés más baja que cobran
los bancos comerciales en los EE.UU. a sus mejores y mayores clientes. Otras tasas de
interés tales como las de los créditos personales, préstamos para compra de vehículo, y
otros préstamos están ligadas a esa tasa. Es la tasa más favorable que cobran los bancos en
préstamos de corto plazo a sus mejores clientes.
Programación Lineal Entera. Caso especial de la Programación Lineal cuando las variables
deben tomar valores enteros. Cuando las variables son enteras y sólo pueden tomar valores
de 1 ó 0, entonces se llama Programación Lineal Binaria. Sirven para trabajar selección de
proyectos indivisibles.
Programación Lineal. Método matemático que permite optimizar una función objetivo, sujeta a
varias restricciones. Este método se utiliza para resolver problemas de racionamiento de
capital.
Punto de equilibrio: Es el nivel que tiene que alcanzar una variable dada para obtener un
equilibrio entre ingresos y gastos, sin beneficio ni pérdida.
Q
Qué pasa si... ("What if") Posibilidad que ofrece la hoja de cálculo electrónica de examinar un
resultado variando una variable a la vez. Con esta herramienta se pueden identificar las
variables más críticas, en relación con las variaciones en los resultados.
R
Racionamiento de capital. Situación en la cual una firma enfrenta insuficiencia de recursos para
emprender todos los proyectos deseados. Esta restricción puede ocurrir por restricciones
internas (decisiones políticas de la firma) o por restricciones externas (escasez de dinero o
acceso limitado a fuentes de recursos).
Regla de decisión para el método de la Relación Beneficio/Costo. a) si la Relación
Beneficio/Costo es mayor que 1, se debe aceptar; b) si la Relación Beneficio/Costo es igual
a 1, se debe ser indiferente; c) si la Relación Beneficio/Costo es menor que 1, se debe
rechazar.
Regla de decisión para el método de la Tasa Interna de Rentabilidad. a) Si la TIR es mayor
que la tasa mínima aceptable, se debe aceptar. b) Si la TIR es igual a la tasa mínima
aceptable, se debe ser indiferente. c) Si la TIR es menor que la tasa mínima aceptable, se
debe rechazar.
Regla de decisión para el método del Valor Presente Neto (VPN). a) Si el VPN es mayor que
cero se debe aceptar b) Si el VPN es igual a cero se debe ser indiferente c) Si el VPN es
menor que cero se debe rechazar.
Relación Beneficio/Costo (RB/C). La relación entre los Beneficios y los Costos o Egresos de un
proyecto. Los beneficios se definen como el valor presente de los flujos netos de caja,
cuando éstos son positivos. Los costos se definen como el valor presente de los flujos netos
de caja, cuando éstos son negativos.
Relación Beneficio/Costo Ampliada (RB/CA). Método que involucra explícitamente las
suposiciones del VPN en el cálculo de la Relación Beneficio Costo. Con este procedimiento
se elimina la contradicción entre el VPN y la TIR.
408

Relación Beneficio/Costo Incremental. Método obsoleto para eliminar la contradicción entre
VPN y TIR. El cálculo hay que hacerlo por pares de alternativas.
Riesgo. Se dice que una situación o decisión es bajo riesgo cuando además de conocerse los
eventos, se conoce la distribución de probabilidad de los mismos. Esto es, que se conocen
las probabilidades asociadas a cada evento.
Riesgo de mercado Market risk. El que no se puede evitar por medio de la diversificación. Es el
riesgo que asume quien decide ser empresario. Una forma de medirlo es encontrar la
diferencia entre Rm, la rentabilidad del mercado y Rf, la rentabilidad libre de riesgo.
S
Selección de alternativas de financiación. Metodología que determina la mejor alternativa de
financiación para un proyecto deseable. No siempre coincide con la financiación de menor
costo. Tiene en cuenta los ahorros en impuestos.
Selección de alternativas. Procedimiento que consiste en determinar cuál es el ordenamiento o
jerarquización de varias alternativas y que las ordena de mejor a peor.
Simulación. Una simulación es una imitación. Metodología que permite examinar el
comportamiento de una variable combinando todas las posibilidades de valores de aquellas
variables dependientes y que tienen una distribución de probabilidad. Estos se llaman
también métodos de Monte Carlo. Un resultado de la aplicación de esta herramienta es el
encontrar la probabilidad de éxito o fracaso de un proyecto, dados ciertos parámetros.
Solver. Opción de menú de Excel que permite resolver problemas de Programación Lineal. Se
encuentra bajo la opción de menú Herramientas.
Suma futura F. Suma futura, situada al final del período n. En otros textos usan la letra S.
Nombre como parámetro en la función de Excel, VF.
Suma presente P. Suma presente, situada al final del período cero. Nombre como parámetro en la
función de Excel, VA.
Suposiciones implícitas en el método de la Relación Beneficio Costo (RB/C). Los fondos
liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a la misma tasa de
descuento. Por ser una medida relativa, no tiene en cuenta el monto de la inversión.
Suposiciones implícitas en el método de la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). Los fondos
liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a la misma TIR. Por ser una
medida relativa, no tiene en cuenta el monto de la inversión.
Suposiciones implícitas en el método del Valor Presente Neto (VPN). Estas suposiciones son: a.
Los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a la tasa de
descuento que se utiliza para calcular el Valor Presente Neto, aún más allá de la vida del
proyecto, si el caso incluye alternativas con vidas diferentes. Esta suposición no es otra
cosa sino el reconocimiento que quienes reciben los flujos de la firma (accionistas y
tenedores de la deuda) reinvierten esos dineros a sus propias tasas de rentabilidad
esperadas: Kd para la deuda y Ke para el patrimonio. b. La diferencia entre la suma
invertida en una alternativa y el valor de la alternativa más costosa o de la cifra límite de
que se disponga, según el caso, se invierte a la tasa de descuento utilizada para calcular el
VPN. Esto supone además que la tasa de descuento es la de oportunidad.
Supuestos sicológicos para la toma de decisiones. Preferencia: Cuando a un individuo se le presentan
dos alternativas A y B, podrá escoger entre ellas o ser indiferente. Transitividad: secuencia de
preferencias encadenadas. Preferencia a la recompensa: este supuesto dice que los individuos
prefieren más de un bien deseable que menos.
409

T
Tabla de amortización. Tabla que indica las sumas totales pagadas, descompuesta en interés y
abono o amortización de un préstamo y que permite determinar el saldo al final y al
comienzo de cada período.
Tasa de cambio fija: Tasa de cambio que se mantiene constante en el tiempo y generalmente está
ligada al dólar. La autoridad monetaria o el banco central de cada país son los encargados
de mantener fija esta paridad cambiaria.
Tasa de cambio flotante: Tasa de cambio cuyo comportamiento se deja totalmente al mercado sin
que la autoridad monetaria intervenga para tratar de regular su comportamiento.
Tasa de Cambio Representativa del Mercado - TCRM: Relación entre el precio de dos
monedas que es determinado por la oferta y la demanda. En otras palabras, es lo que
tendría que pagarse en una moneda (peso colombiano, por ejemplo) para adquirir otra
moneda (dólar estadounidense, por ejemplo). La TCRM es un indicador económico que
revela el nivel diario de la tasa de cambio oficial en el mercado spot de divisas
colombiano. Corresponde al promedio aritmético simple de las tasas promedio ponderadas
de compra y venta de divisas de las operaciones interbancarias y de transferencias,
desarrolladas en las Ciudades de Bogotá D. C. Medellín, Cali y Barranquilla por los
intermediarios plenos del mercado que se encuentran autorizados en el estatuto cambiario
es decir: Bancos Comerciales, Corporaciones Finacieras F. E. N. y Bancoldex.
Tasa de descuento. Tasa de interés que establece la equivalencia entre sumas futuras y presentes.
Es la máxima entre el costo de capital y el costo de oportunidad del dinero de la firma.
Tasa de equivalencia. La tasa de interés que establece la equivalencia entre una suma futura y una
suma presente se llama tasa de equivalencia, tasa de descuento (discount rate o hurdle rate,
en inglés) o tasa de rentabilidad mínima aceptable.
Tasa de interés anticipada. Tasa de interés que se liquida al comienzo del período.
Tasa de interés continua. Es la tasa de interés efectiva cuando el número de períodos de
liquidación es infinito.
Tasa de interés efectiva. Es la tasa de interés que resulta cuando se liquida una tasa de interés nominal
en períodos menores al estipulado inicialmente para ella. Es una tasa de interés equivalente a la
nominal liquidada en períodos inferiores (más cortos) que el estipulado para la tasa nominal.
Tasa de interés en moneda extranjera: Tasa de interés equivalente en moneda local a la que se
obtendría en el extranjero, teniendo en cuenta los efectos devaluacionistas o
revaluacionistas.
Tasa de interés i. Tasa de interés, expresada en porcentaje por unidad de tiempo (año, mes, día,
trimestre, semana, etcétera). Este interés debe ser estipulado por unidad de tiempo igual al
período indicado en n. Se supone interés compuesto. Nombre como parámetro en la función
de Excel, tasa.
Tasa de interés libre de riesgo, Rf: No presenta ningún riesgo para los inversionistas. Un
ejemplo de ella es la que otorgan en Colombia los Títulos de Tesorería (TES) del Gobierno
o la de los Bonos del Tesoro de Estados Unidos.
Tasa de interés nominal. Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula para un
determinado período ⎯por ejemplo, un año⎯ y que es liquidable en forma fraccionada, en
lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente; esta liquidación se realiza con la tasa
determinada para ese período menor y se llama tasa de interés periódica.
Tasa de interés periódica. Tasa de interés asociada a un período menor que el estipulado para la
tasa de interés nominal y que sirve para calcular el monto del interés a pagar o recibir.
Tasa de interés real: Tasa de interés que tiene descontado el efecto de la inflación.
410

Tasa de interés vencida. Tasa de interés que se liquida al final del período.
Tasa de interés: Es la expresión porcentual del interés aplicado sobre un capital. Las tasas de
interés pueden estar expresadas en términos nominales o efectivos. Las nominales son
aquellas en que el pago de intereses no se capitaliza, mientras que las efectivas
corresponden a las tasas de intereses anuales equivalentes a la capitalización de los
intereses periódicos, bien sea anticipadas o vencidas.
Tasa de oportunidad financiera. La menor tasa de interés entre varias alternativas de inversión.
Se utiliza para calcular la desventaja financiera.
Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). Todos los ingresos por encima de la inversión, medida en
términos porcentuales. Es la tasa de interés que hace equivalentes los ingresos netos con los
egresos netos. En Excel se calcula con =TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) cuando se trata de
calcular la tasa de interés, a partir de una serie uniforme C o una suma futura F o la
combinación de ambas y una suma P. =TIR(rango;i semilla) cuando se trata de un flujo de
caja libre no uniforme.
Tasa Interna de Rentabilidad Incremental. Método obsoleto para eliminar la contradicción entre
VPN y TIR. Consiste en calcular la TIR del flujo que resulte de restar el flujo de caja de
una alternativa de otra; si la TIR incremental es mayor que la tasa de descuento, entonces la
alternativa de la cual se restó la otra, es buena. Por ejemplo, si TIR A-B es mayor que la tasa
de descuento, entonces se justifica invertir una suma extra en A, por lo tanto A es mejor
que B. Sirve para detectar cuál es la tasa de interés en la cual la decisión de escogencia
entre dos alternativas mutuamente excluyentes, se cambia. El cálculo hay que hacerlo por
pares de alternativas.
Tasa Interna de Rentabilidad Ponderada (TIRP). Método que involucra explícitamente las
suposiciones del VPN en el cálculo de rentabilidad. Con este procedimiento se elimina la
contradicción entre el VPN y la TIR; así mismo, sirve para eliminar el problema de las múltiples
TIR.
TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla). Función de Excel que permite calcular la tasa de interés que hace
equivalentes sumas negativas con sumas positivas cuando la serie es uniforme.
TASA.NOMINAL(tasa de interés efectiva;num. períodos). Función de Excel que permite
calcular la tasa de interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva y el número de
períodos de liquidación.
Tasas de interés equivalentes. Tasas de interés que son equivalentes entre sí y que tienen en
cuenta la forma de liquidación: anticipada, vencida, nominal o efectiva. Se dice que cada
tasa nominal o periódica tiene una tasa de interés efectiva equivalente.
Tasas de interés no uniformes. Cuando las tasas de interés cambian ⎯como ocurre en la
realidad⎯ de período a período, entonces las funciones financieras de Excel VA, VNA, VF y
PAGO no pueden ser utilizadas. Es necesario trabajar con operaciones aritméticas de Excel.
Teoría de la utilidad cardinal. Teoría propuesta por Von Neuman y Morgersten en los años 40,
para explicar por qué la gente no se guía por el valor esperado monetario. La gente, dice la
teoría, trata de maximizar el valor esperado de algún tipo de utilidad y no el valor esperado
monetario. Véase Valor esperado monetario.
Tipo de cambio fijo: Tipo de cambio entre dos divisas fijado por la autoridad monetaria central
como fruto de un compromiso legal de la misma.
Tipo de cambio flexible: Tipo de cambio entre dos divisas que puede fluctuar libremente de
acuerdo con la oferta y la demanda del mercado.
Tipo de cambio: Precio relativo de las monedas. Precio de la moneda de un país expresado en
términos de la moneda de otro país.
411

TIR(rango;i semilla). Función de Excel que permite calcular la tasa de interés que hace equivalentes sumas
negativas con sumas positivas cuando la serie no es uniforme.
TIR.NO.PER.(valores;fechas;estimar). Función de Excel que permite calcular la Tasa Interna de
Rentabilidad (TIR) cuando los movimientos de dinero ocurren a intervalos no uniformes. El
resultado es una tasa de interés anual.
Títulos de tesorería TES: En Colombia son los títulos de deuda pública emitidos por la Tesorería
General de la Nación (en pesos, en UVR´s - Unidades de Valor Real Constante - o en
pesos ligados a la TRM) que son subastados por el Banco de la República. Se caracterizan
por ser una de las mayores fuentes de financiación del Gobierno.
Títulos de tesorería primarios: TES ofrecidos en la primera subasta.
V
VA(i;n;C;F;tipo). Función de Excel que permite calcular el valor en período cero equivalente a
una serie uniforme, a una suma futura o a ambas.
Valor de mercado: Es el valor presenta de los flujos de caja libre descontados al CPPC. Como
ciertos parámetros del CPPC dependen del valor de mercado surge una circularidad.
Valor Económico Agregado (VEA). El EVA es una medida del valor que agrega un proyecto a la
firma o el valor que genera la firma en un período de tiempo. Tiene en cuenta que esa
generación de valor debe resultar después de que se ha recuperado lo correspondiente a la
inversión y a la remuneración que deben recibir los que prestan el dinero (intereses) y los que
aportan el capital (rendimiento de los accionistas). Recuérdese la definición del Valor Presente
Neto. Indicador que sirve para controlar la generación de valor (Valor Presente Neto). Se
calcula así: Valor Económico Agregado igual a Utilidad antes de intereses e impuestos menos
Costo de capital promedio x Valor total de los activos del período anterior.
Valor en libros (Book Value, en inglés): Valor de un activo en los libros de contabilidad de una
compañía. En ciertas ocasiones el valor en libros de un activo puede ser diferente de su
valor real. El valor neto en libros del patrimonio de los accionistas de una firma es la
diferencia entre los activos y los pasivos. Incluye los activos tangibles e intangibles y a
menudo se expresa en valores por acción. Usualmente el precio de mercado de la acción
está por encima del valor en libros de esa acción.
Valor esperado monetario (VEM). Es el valor esperado en dinero de los diferentes resultados de
una lotería o situación bajo riesgo, con probabilidades establecidas.
Valor Presente (VP) El valor presente de un ingreso de dinero en el futuro, es aquella cantidad que
se debe entregar o invertir hoy para asegurar esa misma suma de dinero en el futuro. Esta
suma presente es equivalente al flujo de dinero que se espera recibir en el futuro. En Excel:
=VA(i;n;C;F;tipo) cuando se trata de convertir una serie uniforme C o una suma futura F o la
combinación de ambas. = VNA(i;rango) cuando se trata de un flujo de caja libre no uniforme.
En este caso hay que tener en cuenta, que el rango debe iniciarse con la celda
correspondiente al período 1 y el valor calculado estará expresado en pesos del período 0.
También llamado valor actual. Es el valor actual de unos flujos de fondos futuros,
obtenidos mediante su descuento. En otras palabras, es la cantidad de dinero que se
necesitaría invertir hoy para obtener dichas cantidades en el futuro.
Valor Presente Neto (VPN). El Valor Presente Neto mide el remanente en pesos de hoy, después
de descontar la inversión (o el "préstamo" que le hace el inversionista al proyecto) y el
"interés" (calculado a la tasa de descuento) que debe "devolver" el proyecto al
412

inversionista. En otras palabras, es el monto por el cual aumenta la riqueza del decisor
(individuo o firma) después de haber llevado a cabo la alternativa que se estudia. El VPN,
por lo tanto, permite establecer mecanismos que aumenten o maximicen el valor de la
firma. Todo esto implica que a mayor tasa de descuento, menor será el VPN. En Excel: =
VA (i;n;C;F;tipo)-P cuando se trata de calcular el VPN de una serie uniforme C o una suma
futura F o la combinación de ambas con una inversión P en el período 0. = VNA (i;rango)-P
cuando se trata de un flujo de caja libre no uniforme, que es el producto de una inversión P
en el período 0. En este caso hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse con la
celda correspondiente al período 1 y el valor calculado estará expresado en pesos del
período 0, por lo tanto, se puede restar el valor de P, para obtener el VPN. Este método
comienza por escoger una tasa de descuento apropiada y emplea la diferencia para
aplicársela a pagos futuros e ingresos y compara este valor con el costo actual de compra,
para cada alternativa. Es mejor que el método de la tasa interna de retorno cuando se trata
de clasificar alternativas, pero la escogencia de la tasa de descuento es debatible. Método
por el cual se evalúan propuestas de inversión considerando el valor del dinero sobre el
tiempo. Este método toma en cuenta todos los costos y beneficios de un proyecto y
determina el costo o beneficio de cada proyecto.
Valor Presente Neto ajustado VPNA. Metodología propuesta por algunos autores para incluir lo
que se llaman externalidades. Por ejemplo, tasas de interés subsidiadas, exenciones de
impuestos, ahorros en impuestos, etcétera. Muchas de estas externalidades se pueden incluir
en forma directa en el VPN, en muchos casos por medio de un ajuste a la tasa de descuento.
Tiene la ventaja de mostrar el valor en dinero de esas externalidades. Hay consenso en que
es una mejor forma de incluir esos efectos que hacerlo con la tasa de descuento.
Ventaja fiscal o ventaja tributaria., escudo fiscal, ver ahorro en impuestos
VF(i;n;C;P;tipo). Función de Excel que permite calcular el valor futuro de una suma presente, de
una serie uniforme de cuotas o de ambos.
VF.PLAN(P,rango de tasas de interés). Función de Excel que permite calcular el valor futuro de
una suma presente cuando hay tasas de interés que cambian de período a período.
VNA(i;rango). Función de Excel que permite calcular una suma presente equivalente a flujo de
caja libre no uniforme.
VNA.NO.PER(tasa;valores;fechas). Función de Excel que permite calcular el valor Presente neto
(VPN) cuando los movimientos de dinero ocurren a intervalos no uniformes.
VPN/PR. Es un índice que tiene en cuenta el Valor Presente Neto y el Período de Repago. Este
índice favorece las alternativas con mayor VPN y menor PR.
VPN/PRT. Es un índice que tiene en cuenta el Valor Presente Neto y el Período de Repago
descontado, PRT. Este índice favorece las alternativas con mayor VPN y menor PRT.
W
Weighted Average Cost of Capital (WACC). Ver costo promedio ponderado del capital CPPC.
413

Construcción de estados financieros proyectados y consistentes
Construction of Consistent Forecasted Financial Statements
Ignacio Vélez–Pareja
Politécnico Grancolombiano
Bogotá, Colombia
ivelez@poligran.edu.co
nachovelez@gmail.com
www.casflow88.com
First version: April 7, 2005
This version: julio 21, 2006

Resumen
Para valorar una firma o un proyecto, es necesario construir estados financieros proyectados para de allí derivar
los flujos de caja. En esta nota pedagógica presentamos un modelo para proyectar estados financieros en una hoja de
cálculo –EXCEL © – de una manera consistente y sin usar aproximaciones por diferencias. La forma más sencilla y burda
de hacerlo es “cuadrar” los estados financieros (en particular el balance) creando una partida que explique cualquier
diferencia que se presente entre los activos totales y los pasivos más patrimonio para hacer que el balance “cuadre”. Si
el total de los activos es mayor que los pasivos y el patrimonio, entonces el ajuste se hace en una cuenta en el lado de
los pasivos y patrimonio. Si es más bajo, se hace en el lado de activos. Esto no sólo es inapropiado, sino que puede
ocultar errores cuando se trabaja con un modelo complejo como lo son los que usan los consultores en valoración.
Ilustramos el procedimiento con un ejemplo que tiene algunas complejidades. Estas complejidades se explican
en la Sección 1. El propósito de esta nota es que el lector, siguiendo las instrucciones aquí presentadas, pueda
completar el ejemplo. Invitamos y animamos al lector para que lea activamente el documento y construya los estados
financieros por sí mismo en una hoja de cálculo que se suministra para ese propósito. Los estados financieros que
proyectamos son: el Balance General (BG), el Estado de resultados o de pérdidas y ganancias (PyG) y el Flujo de
Tesorería (FT). La construcción de los estados financieros empieza con políticas y/o metas (por ejemplo, la política de
cuentas por cobrar) y datos o parámetros de entrada específicos de la firma o del entorno macroeconómico. Con estas
políticas o metas y los datos de entrada podemos construir los estados financieros. Para los propósitos de valoración, el
Balance General (BG) y el Estado de resultados o de pérdidas y ganancias (PyG) son importantes, pero pueden ser
insuficientes si deseamos calcular los flujos de caja de manera directa. Por esa razón elaboramos el Flujo de Tesorería.
A partir de la tabla de parámetros construimos las tablas que serán utilizadas en la construcción de los estados
financieros. En el texto describimos algunas complejidades: por ejemplo la elasticidad precio-demanda, el efecto del
endeudamiento en el crecimiento real y en la política de cuentas por pagar. Introducimos también el efecto de la política
de las cuentas por cobrar en crecimiento.
Reproducimos la hoja de cálculo de Excel © y en las dos últimas columnas incluimos las fórmulas que el lector
debe construir y copiar para el período del pronóstico. Hay algunas excepciones, pero serán indicadas.
Antes de que el lector trate de bajar el documento, le recomendamos que lea las siguientes instrucciones:
http://cashflow88.com/decisiones/libro_on_line/guia_SSRN.pdf.
El formato inicial con los títulos de filas y columnas para ser completado por el lector se puede bajar desde
http://www.cashflow88.com/decisiones/libro_on_line/cige_esquema.xls
Las explicaciones detalladas y completas del procedimiento para la construcción de los estados financieros se
pueden consultar en nuestros libros Decisiones de inversión y Principles of Cash Flow Valuation. El primero puede ser
bajado, pero no impreso, desde SSRN; para el segundo, el lector puede encontrar la tabla de contenido y el Capítulo 1
en http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/principles/principles_toc.html
Palabras clave: Evaluación de proyectos, estados financieros proyectados, Flujos de caja, flujo de tesorería,
pronóstico de efectivo, Estado de resultados, estado de pérdidas y ganancias, Balance general.
Clasificación JEL: M41, M40, M21, G31, H43
ii

Abstract
In order to value a firm or a project, it is necessary to construct estimated financial statements and free cash
flows. In this teaching note we will present a spreadsheet model –EXCEL©- for forecasting financial statements in a
consistent way and without using what is known as plugs. The simplest and coarse form of a plug in forecasting financial
statements is to match the financial statements (in particular the Balance Sheet) creating a line or item to account for any
difference that arises between total assets and liabilities plus debt in order to make the Balance Sheet to check. If total
assets are greater than total liabilities plus equity, then the plug is a new line in the liabilities side. If lower, the plug is a
line in the assets side. This is no only inappropriate, but it can hide mistakes when working with complex models such as
those used by valuation analysts.
We illustrate the procedure with an example that has some complexities. These complexities are explained in
Section One. The purpose of this note is that the reader, following the instructions, could complete the example. Then,
the readers are encouraged to read actively by constructing the financial statements for themselves on a spreadsheet.
The relevant financial statements are: the Balance Sheet (BS), the Income statement (IS) and the Cash Budget (CB).
The construction of the financial statements starts from policies and/or targets (i.e. accounts receivable policy or target)
and input data that is specific for the firm or from the macroeconomic environment. With these targets or policies and
data we can construct the financial statements. For valuation purposes, the balance sheet and the income statements
are important but may be insufficient if we wish to construct the cash flow using the direct method. For that reason we
construct the CB.
From the table of parameters we construct tables that will be used in the construction of the main financial statements. In
the main text we describe some complexities such as price-demand elasticity, the effect of book value leverage on the
real growth and on accounts payable policy. We introduce the effect of accounts receivable policy on growth as well.
We reproduce Excel © spreadsheet and in the last two columns we include the formulation than the reader should
replicate and copy for the forecasting period. There are a few exceptions, but they will be announced.
Before the reader tries to download the document, we recommend reading the following instructions:
http://cashflow88.com/decisiones/libro_on_line/guia_SSRN.pdf.
The spreadsheet with the titles of rows and columns to be completed by the reader can be downloaded from
http://www.cashflow88.com/decisiones/libro_on_line/cige_esquema.xls
The complete and detailed explanation of the construction of the financial statements can be seen in our books
Decisiones de inversión (in Spanish) and Principles of Cash Flow Valuation. The first one can be downloaded (but not
printed) from SSRN; for the second one the reader can find the table of contents and Chapter One in
http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/principles/principles_toc.html
Keywords: Project evaluation, Financial statements, Free cash flows, Cash budget, Income statement, Balance
sheet
JEL Classifications: M41, M40, M21, G31, H43
iii

Construcción de estados financieros proyectados y consistentes
Introducción
Para valorar una firma o un proyecto, es necesario construir estados financieros proyectados y flujos de caja. En
esta nota pedagógica presentamos un modelo para proyectar estados financieros en una hoja de cálculo –EXCEL © – de
una manera consistente y sin usar aproximaciones por diferencias. La forma más sencilla y burda de hacerlo es
“cuadrar” los estados financieros (en particular el balance) creando una partida que explique cualquier diferencia que se
presente entre los activos totales y los pasivos más patrimonio para hacer que el balance “cuadre”. Si el total de los
activos es mayor que los pasivos y el patrimonio, entonces el ajuste se hace en una cuenta en el lado de los pasivos y
patrimonio. Si es más bajo, se hace en el lado de activos. . Esto no sólo es inapropiado, sino que puede ocultar errores
cuando se trabaja con un modelo complejo como lo son los que usan los consultores en valoración.
Ilustramos el procedimiento con un ejemplo que tiene algunas complejidades. Estas complejidades se explican
en la Sección 1. El propósito de esta nota es que el lector, siguiendo las instrucciones aquí presentadas, pueda
completar el ejemplo. Invitamos y animamos al lector para que lea activamente el documento y construya los estados
financieros por sí mismo en una hoja de cálculo que se suministra para ese propósito. Los estados financieros que
proyectamos son: el Balance General (BG), el Estado de resultados o de pérdidas y ganancias (PyG) y el Flujo de
Tesorería (FT). La construcción de los estados financieros empieza con políticas y/o metas (por ejemplo, la política de
cuentas por cobrar) y datos o parámetros de entrada específicos de la firma o del entorno macroeconómico. Con estas
políticas o metas y los datos de entrada podemos construir los estados financieros. Para los propósitos de valoración, el
Balance General (BG) y el Estado de resultados o de pérdidas y ganancias (PyG) son importantes, pero pueden ser
insuficientes si deseamos calcular los flujos de caja de manera directa. Por esa razón elaboramos el Flujo de Tesorería.
A partir de la tabla de parámetros construimos las tablas que serán utilizadas en la construcción de los estados
financieros. En el texto describimos algunas complejidades: por ejemplo la elasticidad precio-demanda, el efecto del
endeudamiento en el crecimiento real y en la política de cuentas por pagar. Introducimos también el efecto de la política
de las cuentas por cobrar en crecimiento.
Reproducimos la hoja de cálculo de Excel © y en las dos últimas columnas incluimos las fórmulas que el lector
debe construir y copiar para el período del pronóstico. Hay algunas excepciones, pero serán indicadas.
Antes de que el lector trate de bajar el documento, le recomendamos que lea las siguientes instrucciones:
http://cashflow88.com/decisiones/libro_on_line/guia_SSRN.pdf.
El formato inicial con los títulos de filas y columnas para ser completado por el lector se puede bajar desde
http://www.cashflow88.com/decisiones/libro_on_line/cige_esquema.xls
Las explicaciones detalladas y completas del procedimiento para la construcción de los estados financieros se
pueden consultar en nuestros libros Decisiones de inversión y Principles of Cash Flow Valuation. El primero puede ser
bajado, pero no impreso, desde SSRN; para el segundo, el lector puede encontrar la tabla de contenido y el Capítulo 1
en http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/principles/principles_toc.html
El documento está dividido en esta presentación y cuatro secciones. En la Sección 1 explicamos las principales
complejidades que se encuentran en el ejemplo. En la Sección 2 presentamos el ejemplo detallado en tablas que se
parecen a una hoja de cálculo. En la Sección 3 resumimos los presentado a manera de conclusión. La última sección es
de bibliografía.
1

Sección 1
En esta sección hacemos un repaso de ideas fundamentales que nos permiten entender algunas complejidades
incluidas en el modelo de Excel © .
El proceso de proyectar
En el proceso de proyección se consideran cuatro pasos 1 :
Paso uno. Se definen los datos iniciales con los cálculos 2 de aumentos de las ventas y compras (unidades),
precios, impuestos y políticas de recaudos, pagos, inventarios y reparto de utilidades. Así mismo, se estipula la política
de préstamos y de reinversión de los excedentes.
Paso dos. Se toman los datos del paso uno y se determinan los valores de las cifras proyectadas.
Paso tres. Basándose en estos datos proyectados se elaboran los BG y los PyG. Allí se determina la utilidad,
los impuestos y la utilidad neta.
Paso cuatro. Teniendo en cuenta las cifras del PyG y las políticas estipuladas en el paso uno, se elabora el FT.
Con los estados financieros podremos calcular flujos de caja para evaluar el proyecto (VPN, TIR, etc.) o medir la
rentabilidad de los fondos aportados por el accionista.
En esta nota pedagógica se presenta un ejemplo que ilustra lo que se ha dicho hasta ahora. Supone la creación
de una empresa ficticia.
La relación de Fisher
Irving Fisher, economista de principios del siglo XX, propuso una relación entre la tasa real de interés, la tasa de
inflación y la tasa de interés corriente de la siguiente manera:
1+tasa de interés corriente (libre de riesgo)
= (1+tasa real de interés)×(1+tasa de inflación) (1)
Esta relación se puede aplicar a otras situaciones. En general, es factible suponer que cuando ocurren ciertos
fenómenos en forma simultánea que afectan a una variable, es posible utilizar este tipo de relación. Por ejemplo,
podemos calcular el aumento nominal de los precios usando esta relación, combinando el aumento real de los precios
con la inflación, podemos encontrar el efecto del cambio de precio de una moneda extranjera con la tasa de interés que
una inversión en esa moneda extranjera gana en el mercado extranjero o podemos combinar el efecto combinado de
aumento de precios con el aumento de volumen para hallar el aumento en el total de las ventas y así sucesivamente. En
el caso de un aumento de precios el planteamiento sería:
1+aumento nominal = (1+tasa de inflación)(1+tasa real de aumento) (2)
Esta relación será utilizada en forma reiterada en la proyección y cálculo de algunas variables.
En la ecuación 2 observamos dos elementos: los aumentos de precios corrientes y la inflación. Por lo tanto, el
tercer elemento, el aumento real de precios se puede calcular.
De la ecuación 1 podemos deducir que la tasa real de interés es:
Tasa real de interés
1+
tasa de interés corriente
= − 1
(3)
1+
inflación
En el caso de los precios se tiene algo similar:
1
Aquí se expresan como pasos secuenciales. Los estados financieros están interrelacionados y no es posible elaborar uno sin el otro o los otros; cuando este
ejercicio se hace en una hoja electrónica se aclara muy bien esta idea. Por ejemplo, el saldo en caja y bancos del BG y las utilidades del PyG sólo se pueden
determinar hasta después de haber construido el FT, cuando se decide si se debe financiar un déficit o si hay excedentes para invertir. Se sugiere el estudio de
un texto muy claro y sencillo: Cómo comprender las finanzas de una compañía. Un enfoque gráfico (Purcell, 1984).
2
Pocos se resisten a proponer y a utilizar métodos estadísticos de proyección de datos. La mayoría de las veces se sugiere utilizar regresión lineal para hacer
estas proyecciones. Así mismo, la mayoría de las veces, en la realidad, estos métodos no son los adecuados por diversas razones: ausencia de información
suficiente, incumplimiento de las condiciones que llevan implícitas estos modelos de pronóstico, etc. Aquí se ha preferido sugerir hacer cálculos disciplinados
que, en últimas, siempre se podrán modificar y los resultados, en una hoja de cálculo, se obtienen de una manera casi instantánea.
2

Aumento real de precio
1+
tasa de aumento nominal
= − 1
(4)
1+
tasa de inflación
Los precios corrientes o tasas corrientes se conocen también como nominales. Hay que hacer hincapié en que
las tasas reales son una construcción matemática y no son observables. Lo que cualquier persona observa y ‘sufre’ o
‘disfruta’ son las tasas corrientes o nominales.
Como se verá a lo largo de esta nota, crear escenarios para la tasa de inflación es un elemento clave para
nuestras proyecciones. De la tasa de inflación que se proyecte van a depender muchas variables: los aumentos de
precios, las tasas de interés, el cambio de precio de las divisas, etc.
Aumento de precios
¿Cómo podemos proyectar los aumentos de precios? Una forma relativamente fácil es examinar los precios
pasados propios (si se tienen) o de terceros con productos o servicios similares. Basándose en esos precios se puede
calcular el aumento nominal de los precios. Si, además, contamos con datos históricos de la tasa de inflación, podremos
encontrar las tasas de aumentos reales de precios (aplicando la relación de Fisher, ya vista). Con esos aumentos reales
de precios podremos calcular un promedio, y ésa puede ser la base para calcular los futuros aumentos de precios
nominales. También aquí aplicamos la relación de Fisher, relacionando el promedio de aumento real de precios con la
inflación prevista.
Divisas, devaluación y paridad en el poder de compra
Una divisa es una moneda extranjera de referencia con la cual se hacen ciertas transacciones en una economía
(por ejemplo, las exportaciones o las importaciones). Esa divisa tiene un precio (tasa o tipo de cambio) que puede ser
determinado por la autoridad monetaria o por el libre mercado basado en la oferta y en la demanda. A su vez, el precio
de la moneda local queda determinado por el de la divisa. Se habla de devaluación cuando se hace una reducción de
aquel precio (el de la moneda local), por decisión de la autoridad monetaria. Esta reducción se hace de manera
indirecta, pues la decisión que se toma (al menos a los ojos del público) es el cambio en el precio de la divisa. Es lo
equivalente a una depreciación monetaria en un sistema de tipo de cambios fijo. La depreciación monetaria es la
disminución del precio de una moneda respecto a otra en un sistema de tasa de cambio flexible. Este es un fenómeno
contrario a la apreciación monetaria. La tasa de cambio es el precio relativo de las monedas. Es el precio de la moneda
de un país expresado en términos de la moneda de otro país.
En Colombia, y posiblemente en otros países, a pesar de tener un sistema de tasa de cambio flexible, se sigue
llamando devaluación al cambio porcentual (hacia arriba) del precio de la divisa, y revaluación, al fenómeno contrario.
La tasa de devaluación debería ser una cantidad negativa, porque en realidad mide el porcentaje que pierde la moneda
local respecto de la extranjera. En esta nota utilizaremos la expresión cambio en el precio de la divisa, ya que llamar
devaluación al aumento en su precio es equivocado.
La teoría de la paridad en el poder de compra (purchasing-power parity [PPP]) dice que, a largo plazo, las tasas
de cambio en el precio de la divisa se mueven hacia un valor tal que igualen los precios de una canasta de bienes
idéntica entre dos países. En otras palabras, que un dólar o un euro deben comprar la misma cantidad de un producto
en cualquier parte del mundo. Esto es un fenómeno cada vez más cierto debido a la globalización.
Para entender esta idea supongamos que una hamburguesa vale en Estados Unidos US$2,5 y que la tasa de
cambio en Colombia fuera de $2.750 por cada dólar. Así mismo, supongamos que en Colombia la misma hamburguesa
cuesta $5.200. ¿Qué significa esto? Que la hamburguesa que en Estados Unidos vale US$2,5, en Colombia vale
US$1,89 (5.200/2.750), es decir, no hay paridad en el poder de compra. En este caso se dice que el peso está
subvaluado, porque lo que se compra con un dólar en Estados Unidos se puede comprar con menos de un dólar en
Colombia. Si la hamburguesa costara en Colombia $6.875 (2,5×2.750 = 6.875) se diría que hay paridad igual a 1.
Cuando la hamburguesa en Colombia vale en dólares más que en Estados Unidos, se dice que el peso está
sobrevaluado, y si vale menos, que está subvaluado. Por ejemplo, suponiendo que el aumento en precios de la
hamburguesa es igual a la inflación en ambos países, se tienen tres casos:
Caso a. Moneda local sobrevaluada:
Caso b. Moneda local subvaluada:
Caso c. Moneda local en paridad
3

El ejemplo de la hamburguesa ha sido deliberado. El Economist Group (que publica The Economist) ha
desarrollado un índice basado en el precio de la hamburguesa Big Mac de McDonald. El PPP Big Mac es la tasa de
cambio que hace que la hamburguesa cueste lo mismo en el país de estudio que en Estados Unidos. El tema PPP Big
Mac se puede ampliar en la revista The Economist (http://www.economist.com, en el enlace “Markets & Data”,
http://www.economist.com/markets/Bigmac/index.cfm). Allí se observa si la tasa está sub o sobrevalorada. En esta
misma página se explica cómo interpretar los datos.
La tasa de aumento teórica del dólar resulta de la relación siguiente:
1+
tasa de inflación local
Tasa de cambio en precio de USD$1= − 1
(5)
1+
tasa de inflación enEE.UU.
Esta expresión es teórica y no ocurre en la realidad. Siempre hay desviaciones. Sin embargo, la utilizamos para
calcular la tasa de cambio en el precio del dólar en nuestro ejemplo. Si se puede predecir la desviación de ese valor,
debería incluirse en el cálculo.
Aunque la expresión es teórica, nos indica una manera de guiar nuestras proyecciones de algo que parece
inasible: el cambio de precio de la divisa o, por otro lado y lo que es la otra cara de la moneda, la devaluación de la
moneda local.
Breve nota sobre elasticidad precio-demanda
Hay muchos factores que influyen en la demanda de un producto o servicio, y podemos identificar unas cuantas
variables que la afectan. Por ejemplo, la demanda puede depender de su precio, de la existencia y del precio de
sustitutos o productos complementarios, del consumo, del ingreso de los consumidores, de la clase de bienes y el gusto
de los consumidores o de la moda vigente:
Una de las variables clave que determinan la demanda es el aumento de precio real. Intuitivamente uno se
imagina que si el precio de un bien o servicio sube, la demanda baja. Entonces, podemos decir hay una relación
negativa entre demanda y precio. Si la demanda reacciona mucho a un cambio de precio, se dice que la demanda del
bien o servicio es elástica. Si es lo contrario, se llama inelástica.
El hecho de que existan sustitutos de un producto puede hacer que el efecto del aumento en precios afecte más
a la demanda. En el caso de la sal común, tenemos un producto sin un buen sustituto y un aumento en su precio va
afectar poco la demanda. En general, los artículos de primera necesidad se ven menos afectados por los aumentos de
precios que los artículos que no son tan necesarios.
Descubrir la relación entre precio y demanda puede ser una tarea difícil por varias razones: la disponibilidad o
confiabilidad de los datos o que el modelo específico sea muy complejo para ser manejado con facilidad. Lo que
interesa en todo esto es medir un indicador que nos muestre qué tanto se afecta la demanda de un bien o servicio por
un cambio en el precio. Este indicador se conoce como la elasticidad precio-demanda. Nosotros lo llamaremos
coeficiente de elasticidad precio-demanda.
En términos muy sencillos lo podemos expresar como 3 :
Elasticidad precio-demanda =
∆Q
cambio porcentual en la demanda Q % ∆Q
β =
=
Cambio porcentualenelprecio ∆P
% ∆P
P
(6)
Donde β es la elasticidad o coeficiente de elasticidad precio-demanda; %∆Q, el cambio porcentual de la
demanda, y %∆P, el cambio porcentual en el precio real.
O lo que es lo mismo:
%∆Q = %∆Pβ (7)
3
Para detalles más técnicos véase Tham y Vélez Pareja (2004) y Vélez Pareja (2002).
4

Esto quiere decir que el cambio en la cantidad demandada es igual al coeficiente de elasticidad multiplicado por
el aumento real de precios. El aumento real de los precios se puede obtener deflactando (eliminando la inflación) los
aumentos nominales (que incluyen la inflación) o calculando el aumento de precios cuando hemos expresado cada
precio en términos de un año base (por ejemplo, el primer año de la serie que tenemos entre manos).
En el ejemplo que presentamos en esta nota tenemos una tabla que puede ser proporcionada por un estudio de
mercado y que indica el efecto del precio sobre la cantidad que el mercado está dispuesto a comprar.
Si el valor absoluto de β es 1, decimos que el producto o servicio tiene elasticidad unitaria. Se dice que la
demanda es elástica si el valor absoluto de β es mayor que 1. Si el valor absoluto de β es menor que 1, decimos que es
inelástica.
La cantidad demandada será el resultado de ajustar la cantidad que esperamos que se demande sin haber
sufrido un aumento de precios, multiplicada por un factor de ajuste que tenga en cuenta el efecto producido por %∆PQ.
Ese factor de ajuste es
Qn ajustada = (Qn sin ajuste)(factor de ajuste) (8)
Factor de ajuste = 1+β(aumento real de precios) (9)
y
Qn ajustada = (Qn sin ajuste)×1+β(aumento real de precios) (10)
Aquí vamos a considerar que cuando se cambia una variable de entrada, las demás permanecen constantes.
Por ejemplo, cuando analicemos la sensibilidad de un resultado a los cambios de una variable específica, podremos
examinar este comportamiento una a una. Esto es lo que los economistas llaman condiciones ceteris paribus.
Efecto del endeudamiento
Los activos se pueden financiar por medio de dos fuentes de capital: deuda y patrimonio. Aquí entendemos por
deuda aquel pasivo que genera un costo financiero y que se conoce como deuda financiera. Parece una paradoja, pero
la teoría financiera indica que a mayor deuda, mayor valor (véase Modigliani y Miller, 1958, 1959 y 1963). Entonces la
idea sería endeudarse lo máximo posible, pero esto no ocurre en la realidad, porque surge lo que se conoce como
costos de quiebra.
En la realidad ocurre un ciclo parecido a lo siguiente:
1. Cuando una firma empieza a endeudarse, aumenta el riesgo percibido por terceros, por ejemplo, los
tenedores de la deuda. Un banco podría cobrar más por los nuevos préstamos. Este mayor costo se
refleja en un menor flujo de tesorería, que a su vez aumenta las necesidades de efectivo y podría
aumentar el endeudamiento.
2. Aparecen los costos de quiebra comerciales. La información se propaga con facilidad y los proveedores
pueden perder la confianza y dejar de despachar a crédito (a costo financiero cero) y exigirían pago
contra entrega o por anticipado. Esto disminuye la liquidez y aumenta la necesidad de financiación, a
mayor costo. Los clientes, que también se enteran de la situación, posiblemente ya no comprarán las
mismas cantidades porque prefieren un proveedor seguro. Esto deteriora las tasas de crecimiento
proyectadas.
3. Costos de quiebra en recursos humanos. Cuando la firma empieza a tener dificultades financieras, es
posible que excelentes empleados con mejores o, incluso, ofertas menos buenas se retiren de la
compañía. Cada nuevo empleado hay que capacitarlo y la pérdida de capital intelectual es difícil de
medir y de reponer.
4. Todo lo anterior constituye un círculo vicioso y la firma eventualmente deberá recurrir al mercado
extrabancario (agio). Los costos financieros por encima de la usura no son aceptados por la ley para
deducirlos. Es decir, se pierde la posibilidad de reducir los impuestos. Al llegar la situación extrema de
quiebra o antes, se requieren asesores en diferentes áreas de la firma, en particular abogados que se
constituyen en costos legales de quiebra.
Los costos de quiebra son muy difíciles de medir. Sin embargo, cualquiera que se haya enfrentado a empresas
con dificultades financieras habrá sufrido alguna de estas situaciones en mayor o menor grado. Así mismo, en el
ejemplo incluimos consideraciones respecto al efecto del endeudamiento en libros (que es lo más visible) sobre el
crecimiento de las ventas en unidades y sobre los plazos que otorgan los proveedores para los pagos. Esto significa que
5

consideramos que a partir de cierto nivel de endeudamiento en libros algunos clientes se pueden retirar o disminuir sus
volúmenes de compra y algunos proveedores pueden reducir los plazos para el pago de sus facturas, o aun aumentar
sus precios. Se ha considerado el endeudamiento teniendo en cuenta los pasivos totales.
Si bien es cierto que sobre estos efectos no se puede estipular una regla determinada, es conveniente que
quien hace el modelo financiero los tenga presentes en las diferentes partidas que se afectan en los estados financieros.
Un estimado del nivel crítico de endeudamiento es el que refleje el sector donde se encuentra la empresa que se
analiza.
Debido a que los ingresos y egresos dependen del endeudamiento en libros y a su vez éste depende de los
primeros, se genera una circularidad. Para resolverla, se debe incluir un proceso de iteración en la hoja de cálculo. Esto
se hace de manera sencilla:
1. Seleccione Herramientas en el menú.
2. Allí seleccione Opciones
3. En Opciones escoja Calcular
4. En Calcular seleccione la casilla que dice Iteración
Efecto de C×C en clientes
Lo deseable es que a una firma le paguen de contado, aunque la práctica comercial establece unos plazos
aceptados por cada sector o industria. Por lo tanto, a medida que en la realidad se exija a los clientes plazos más cortos
para pagar las facturas, habrá una reacción de ellos que se refleja en el retiro de algunos que buscarán otros
proveedores con mejores condiciones. Es decir, a medida que el porcentaje de recaudos recibido el mismo año en que
se factura aumenta por encima de la práctica comercial del sector, algunos clientes desertarán.
Se puede estimar un índice de recaudo de contado a partir del cual los clientes se ‘resienten’ y desertan.
Cuando éste se supera, se calcula que se pierde un cierto porcentaje de los clientes. No hay una regla en este sentido y
lo mejor que se puede hacer es un cálculo subjetivo de ese hecho. Si la empresa tuviera una historia donde se pueda
medir la reacción de los clientes, en cuanto a compras a partir de cambios en la política de recaudos, se puede hacer un
estimado basado en datos históricos. También se puede calcular el índice adoptado por el sector donde se encuentra la
firma y usarlo como punto crítico. En todo caso, es recomendable que en el modelo se refleje en alguna forma este
hecho. Esto es mejor que suponer que los recaudos se pueden llevar hasta un 100% de contado sin que se afecte la
demanda.
Los estados financieros que presentamos son el BG, el PyG y el FT. Como el lector podrá observar, no usamos
proyecciones de tipo estadístico (regresiones, etc.), sino que utilizamos unos datos de entrada que podrán ser
cambiados a voluntad en una hoja de cálculo. Así mismo, es posible crear escenarios y llevar a cabo diversos tipos de
análisis de sensibilidad. Se supone que gente que conoce el negocio puede calcular estos datos –esto es lo que se
llama estimados disciplinados o calificados.
Como sabe cualquier estudiante de finanzas, los estados financieros están entrelazados entre sí. Este enlace se
hace basándose en la relación básica de la contabilidad, que dice:
Activos = Pasivos+Patrimonio (11)
Para mantener esta ecuación válida, cualquier cambio en uno de sus elementos debe ser compensado por un
cambio contrario en ese elemento o cambios adecuados en el resto. Por ejemplo, un aumento en un activo puede
compensarse por un descenso en otro activo, o un aumento igual en un pasivo o en el patrimonio. O también puede
considerarse una combinación de cambios simultáneos en varios de ellos.
Así, basándose en los valores previstos, se pueden construir los estados financieros proyectados o proforma y,
con esa información, evaluar las consecuencias futuras de las decisiones. Al disponer de una hoja de cálculo, se puede
‘jugar’ con las cifras, hasta encontrar la más adecuada.
No sobra decir que es posible utilizar este enfoque tanto para una empresa que se inicia como para una
empresa en marcha. En este último caso, el balance general más reciente nos informa sobre el valor total de activos
comprometidos, las cuentas por pagar, las cuentas por cobrar y los inventarios.
6

Sección 2
El modelo en Excel ©
En este documento el lector encuentra el modelo CIGE.xls con la indicación de las fórmulas utilizadas de
manera que sea fácil reconstruir el modelo completo o las partes que se deseen. En la primera fila y la primera columna
aparecen las letras y números correspondientes a la hoja de Excel para facilitar la ubicación y la construcción de las
fórmulas. En las columnas finales de la derecha se indican estas fórmulas. Se presentan en general las fórmulas para el
año 0 y/o el año 1. Cuando es necesario se muestran las fórmulas para otros años y se indica para cada caso. Las
celdas sombreadas son datos de entrada. El documento ha sido revisado minuciosamente. Sin embargo, si se
encuentra algún error, por favor avisar a alguna de las direcciones anotadas al inicio.
Para elaborar la hoja de cálculo debe bajar el archivo cige_esquema.xls que se mencionó en la introducción. En
la escritura de fórmulas de Excel © hay que tener cuidado porque dependiendo de la configuración regional los
argumentos de las funciones pueden estar separadas por coma (,) o punto y coma (;).
B C D E F G H I
3 Estados financieros proyectados Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6
4 Parámetros
5 Información básica
6 Activos fijos 45,000.0
7 Depreciación lineal (Años) 4.0
8 Inversión inicial de patrimonio 15,000.0
9 Proporción del préstamo inicial en USD 50.0%
10 Tasa de impuestos 35.0%
11 Inventario final año 0 unidades 400.0 Damodaran
12 Beta de la acción D/P Beta desapalancada
13 Inversiones Nacionales De Chocolates 0.8880 0.1188 0.793706522
14 Inversiones alimenticias Noel S.A. 0.5840 0.0387 0.562237593
15 Carulla Vivero S.A. 0.5810 0.5880 0.365878274
16 Promedio Beta u 0.5739408
17 Inflación año 0 5.01%
18 PRM USA 10.64%
19 Inflación USA año 0 1.98%
20 Cambio de precio del USD$ 2.00%
21 Riesgo país Rp 1.17%
22 PRM 10.95185%
23 Rf 7.11020%
24 Ku nominal observado en año 0 14.5659128%
25 Ku real observado en año 0 9.10%
26 Precio de compra Base (Año 0) 4.20
27 Coeficiente 1 para efecto de D% 1.40
28 Coeficiente 2 para efecto de D% 1.90
29 Coeficiente para efecto de D% en crecimiento 0.04
7

30
31
32
B D E F G H I J
Estados financieros proyectados Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6
Endeudamiento constante a perpetuidad 85,00%
Inflación esperada año 6 y siguientes 2,01%
Crecimiento g real año 6 en adelante 4,00%
33 % de impuestos pagados en el mismo año 100%
34 Gastos generales estimados a año 0 2.184,0
35 Nómina administrativa y de ventas fija 2.400,0
36 Porcentaje de exportación sobre el total 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0% 25,0%
37 Tasa de cambio, TRM al día de hoy 1.000,00
38 Cantidad de nómina por unidad extra sobre volumen inicial 0,15
39
40 Tasa de inflación local 6,0% 5,5% 5,5% 5,0% 4,5%
41 Tasa de inflación USA 2,0% 2,8% 1,6% 2,2% 1,9%
42 Aumento real de precios de venta local 0,0% 1,0% 1,0% 1,0% 1,0%
43 Aumento real de precios del producto en USD$ 0,0% 1,0% 1,0% 1,0% 1,0%
44 Aumento real de precios en costo unitario 0,5% 0,5% 0,5% 1,0% 1,0%
45 Aumento real de los gastos generales 0,5% 0,5% 0,5% 0,5% 1,0%
46 Aumento real en nómina 1,5% 1,5% 1,5% 1,5% 1,5%
47 Aumento real en precio de activos fijos 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2%
48 Aumento de volumen 0,0% 1,0% 2,0% 2,0% 2,5%
49 Tasa de interés real 2,0% 2,0% 2,0% 2,0% 2,0%
50 Prima de riesgo para la deuda 4,91% 4,91% 4,91% 4,91% 4,91%
51 Prima de riesgo en prime rate 0,54% 0,54% 0,54% 0,54% 0,54%
52 Puntos por encima de prime para crédito en USD 4,00% 4,00% 4,00% 4,00% 4,00%
55 Políticas y metas
56 Publicidad y promoción como % de las ventas 3,0% 3,0% 3,0% 3,0% 3,0%
57 Fracción de ventas como inventario 8,3% 8,3% 8,3% 8,3% 8,3%
58 Porcentaje de recaudos recibido el mismo año 95,0%
59 Fracción crítica para reducción en ventas por pago de
85,0%
contado
60 Fracción de reducción en ventas por aumento de pago en
15,0%
efectivo fracción de cada punto >85%
61 Porcentaje de facturas pagadas el mismo año 90,0%
62 Payout ratio (fracción de utilidades repartidas) 70,0%
63 Saldo mínimo de caja 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0
64 Nivel de endeudamiento D% crítico 65,00%
8

B C D
67 Tabla de descuentos de volumen en compra
68 hasta Descuento
69 0 5.000 0,0%
70 5.000 5.925 10,0%
71 5.925 6.525 15,0%
72 6.525 6.675 20,0%
73 6.675 6.825 21,0%
74 6.825 6.975 24,0%
75 6.975 7.125 26,0%
76 7.125 7.275 28,0%
77 7.275 7.425 31,0%
78 7.425 7.575 33,0%
79 7.575 7.725 35,0%
80 7.725 7.875 37,0%
81 7.875 8.025 39,0%
82 8.025 8.175 41,0%
83 8.175 8.325 43,0%
84 8.325 8.475 44,0%
85 8.475 8.625 46,0%
86 8.625 8.775 48,0%
87 8.775 8.925 49,0%
88 8.925 9.075 51,0%
89 9.075 9.225 53,0%
9

B C D E
92 Investigación de mercados
93 Precio Q vendida
94 3,0 6.637,6
95 3,5 6.289,0
96 4,0 6.001,8
97 4,5 5.759,4
98 5,0 5.550,9
99 5,5 5.368,8
100 6,0 5.207,8
101 6,5 5.063,9
102 7,0 4.934,2
103 7,5 4.816,5
104 8,0 4.708,9
105 8,5 4.610,1
106 9,0 4.518,8
107 9,5 4.434,1
108 10,0 4.355,2
109 10,5 4.281,4
110 11,0 4.212,3
111 De esta Tabla podemos encontrar "la fórmula" para simular el estudio de mercado
112
113 Datos y coeficientes para simular el estudio de mercado y la elasticidad
114 Coeficiente de elasticidad b -0,350
115 Coeficiente de elasticidad b0 9.750,00 4934
116
Precio de venta determinado en el estudio de
mercado 7,0 6.579,0
117 Fórmula Q=b0Precio b
10

B C D E F G H I Año 1
Regalía unitaria
118
en USD$
119 0 0,000410000
120 5.000 0,000410000
121 6.000 0,000424200
122 6.490 0,000432726
123 6.520 0,000441424
124 6.660 0,000450297
125 6.750 0,000459348
126 6.950 0,000467294
127
128 Aumentos de precios y de costos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
129 Aumento nominal de precio de venta anual local 6,0% 6,6% 6,6% 6,1% 5,5% =(1+E$40)*(1+E42)-1
130 Aumento de precio del producto de exportación 2,00% 3,83% 2,62% 3,22% 2,92% =+(1+E41)*(1+E43)-1
131 Aumento nominal de precio de compra anual 6,5% 6,0% 6,0% 6,1% 5,5% =(1+E$40)*(1+E44)-1
132 Aumento nominal de gastos generales anual 6,5% 6,0% 6,0% 5,5% 5,5% =(1+E$40)*(1+E45)-1
133 Aumento nominal de nómina anual 7,6% 7,1% 7,1% 6,6% 6,1% =(1+E$40)*(1+E46)-1
134 Aumento nominal de activos fijos anual 6,2% 5,7% 5,7% 5,2% 4,7% =(1+E$40)*(1+E47)-1
11

B C D E F G H I J K Año 0 Año 1
Tabla de descuentos de
136 volumen en compra Precio Base (Año 0)
137 De hasta Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Descuento
138 0 0 4,20 4,47 4,74 5,03 5,33 5,63 =+D26 =+D138*(1+E$131)
139 0 4,20 4,47 4,74 5,03 5,33 5,63 100% 0,0% =+$D$138*J139 =+D139*(1+E$131)
140 0 5.000 3,78 4,03 4,27 4,53 4,80 5,07 90% 10,0% =+$D$138*J140 =+D140*(1+E$131)
141 5.000 5.925 3,57 3,80 4,03 4,28 4,53 4,79 85% 15,0% =+$D$138*J141 =+D141*(1+E$131)
142 5.925 6.525 3,36 3,58 3,80 4,02 4,27 4,50 80% 20,0% =+$D$138*J142 =+D142*(1+E$131)
143 6.525 6.675 3,32 3,53 3,75 3,97 4,21 4,45 79% 21,0% =+$D$138*J143 =+D143*(1+E$131)
144 6.675 6.825 3,19 3,40 3,61 3,82 4,05 4,28 76% 24,0% =+$D$138*J144 =+D144*(1+E$131)
145 6.825 6.975 3,11 3,31 3,51 3,72 3,95 4,17 74% 26,0% =+$D$138*J145 =+D145*(1+E$131)
146 6.975 7.125 3,02 3,22 3,42 3,62 3,84 4,05 72% 28,0% =+$D$138*J146 =+D146*(1+E$131)
147 7.125 7.275 2,90 3,09 3,27 3,47 3,68 3,88 69% 31,0% =+$D$138*J147 =+D147*(1+E$131)
148 7.275 7.425 2,81 3,00 3,18 3,37 3,57 3,77 67% 33,0% =+$D$138*J148 =+D148*(1+E$131)
149 7.425 7.575 2,73 2,91 3,08 3,27 3,47 3,66 65% 35,0% =+$D$138*J149 =+D149*(1+E$131)
150 7.575 7.725 2,65 2,82 2,99 3,17 3,36 3,55 63% 37,0% =+$D$138*J150 =+D150*(1+E$131)
151 7.725 7.875 2,56 2,73 2,89 3,07 3,25 3,43 61% 39,0% =+$D$138*J151 =+D151*(1+E$131)
152 7.875 8.025 2,48 2,64 2,80 2,97 3,15 3,32 59% 41,0% =+$D$138*J152 =+D152*(1+E$131)
153 8.025 8.175 2,39 2,55 2,70 2,87 3,04 3,21 57% 43,0% =+$D$138*J153 =+D153*(1+E$131)
154 8.175 8.325 2,35 2,51 2,66 2,82 2,99 3,15 56% 44,0% =+$D$138*J154 =+D154*(1+E$131)
155 8.325 8.475 2,27 2,42 2,56 2,72 2,88 3,04 54% 46,0% =+$D$138*J155 =+D155*(1+E$131)
156 8.475 8.625 2,18 2,33 2,47 2,62 2,77 2,93 52% 48,0% =+$D$138*J156 =+D156*(1+E$131)
157 8.625 8.775 2,14 2,28 2,42 2,57 2,72 2,87 51% 49,0% =+$D$138*J157 =+D157*(1+E$131)
158 8.775 8.925 2,06 2,19 2,32 2,46 2,61 2,76 49% 51,0% =+$D$138*J158 =+D158*(1+E$131)
159 8.925 9.075 1,97 2,10 2,23 2,36 2,51 2,65 47% 53,0% =+$D$138*J159 =+D159*(1+E$131)
12

Simulación de la elasticidad precio demanda y esfuerzo de mercado
B C D E F G H I Año 0 Año 1
162
163 Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Elasticidad= -
164 0.35*(Aumento real en
0,00000 -0,00350 -0,00350 -0,00350 -0,00350 =+$D$114*E42
precio de venta)
165
Factor de ajuste
(1+elasticidad)
1,00000 0,99650 0,99650 0,99650 0,99650 =1+E164
166 D% en libros 68,90% 65,95% 58,68% 46,91% 63,97% 55,27% =+E240
167
Factor de ajuste al
aumento por D%
0,93539 0,97665 1,00000 1,00000 1,00000
13
=SI(D240>$D$64;SI(-
$D$27*D166+$D$28=0;1;-
$D$27*D166+$D$28);1)
168
(1+ aumento en
volumen ajustado)
1,00000 1,00977 1,02000 1,02000 1,02500 =+(1+E48*E167)
169
1+ aumento neto en la
demanda como el
esfuerzo de mercado,
D% y la elasticidad =
1,00000 1,00623 1,01643 1,01643 1,02141 =E165*E168
(1+ aumento en
volumen ajustado)*(1
+ elasticidad)
170
171
Cálculo de las
variables básicas
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Unidades según
172 estudio de mercado
=D115*D116^D114
4.934,24
local
Porcentaje de ventas
173 en exterior sobre
33,333% =+SI(D36=0;0;D36/(1-D36))
ventas locales
174
Unidades para
exportación 1.644,75
=SI(D36=0;0;+D173*D172)
Unidades vendidas sin
175 efecto de reducción de
6.579,0 6.620,0 6.728,8 6.839,3 6.985,8 =+D174+D172 =D175*E169
6.578,99
CC
176
177
178
ajuste por Reducción
en ventas por
aumento en pago de
contado
Unidades ajustadas
totales
Unidades para
exportación
0,9850 0,9850 0,9850 0,9850 0,9850
6.480,3 6.520,7 6.627,8 6.736,7 6.881,0 =+E175*E176
1.620,1 1.630,2 1.657,0 1.684,2 1.720,2 =+E177*E36
=SI($E$58<$E$59;1;1-($E$58-
$E$59)*$E$60)

B C D E F G H I Año 0 Año 1
179
Unidades vendidas en
mercado local
4.860,2 4.890,5 4.970,9 5.052,5 5.160,7 =+E177-E178
180
Cambio en precio de
divisa
3,92% 2,63% 3,84% 2,74% 2,55% =+(1+E40)/(1+E41)-1
181
Tasa de cambio TRM
USD$ 1.000,00 1.039,22 1.066,51 1.107,45 1.137,79 1.166,82
=+D37
=+D181*(1+E180)
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
184 Precio de venta local 7,0 7,4 7,9 8,4 8,9 9,4 =D116 =D184*(1+E129)
Precio de venta en
185 USD$ 0,007000 0,007140 0,007413 0,007607 0,007852 0,008082 =+D184/D181 =+D185*(1+E130)
186 Facturación local 36.062,9 38.666,3 41.877,8 45.141,1 48.664,3 =+E184*E179
187 Facturación en USD$ 12.021,0 12.888,8 13.959,3 15.047,0 16.221,4 =+E178*E185*E181
188 Facturación 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8 =+E186+E187
Regalías unitarias en
189 USD$ 0,00042420 0,00044142 0,00044142 0,00045030 0,00045935 =BUSCARV(E177;$B$119:$C$126;2)
Regalía unitaria en
190 Col$ 0,4408 0,4708 0,4889 0,5123 0,5360 =+E189*E181
191 Gastos generales 2.184,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1 =D34 =D191*(1+E132)
Nómina administrativa
192 y de ventas 2.400,0 2.582,2 2.765,0 2.960,9 3.155,6 3.347,0 =D35 =D192*(1+E133)
Costo de unidad extra
en nómina por unidad
Año 1
Año 2
193 vendida 0,161 0,173 0,185 0,197 0,209 =+D38*(1+E133)
=+E193*(1+F133)
=SI(E177<=$D$175;0;(E177-
194 Nómina extra 0,0 0,0 9,0 31,1 63,2
$D$175)*E193)
195 Regalías en USD 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.688,0 =+E190*E177
Publicidad y
196 promoción 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,6 =E188*E56
Saldo mínimo de caja
para Año 0 (basado
en 20% de los gastos
generales, la nómina y
197 las comisiones) 1.553,1 =+(E191+E192+E195)*0.2
198
Factor de aumento del
precio de los activos
Año 1
Año 2
199 fijos 1,06 1,12 1,19 1,25 1,31 =(1+E134)
=E199*(1+F134)
200
Precio del activo fijo
adquirido en el futuro 56.193,16
Año 4
=+H199*D6
14

201
202
Tasa de rendimiento de inversiones
temporales
Tasa de interés local usando el CAPM
Kd=Rf+prima de riesgo
B C D E F G H I
8,12% 7,61% 7,61% 7,10% 6,59% =(1+E40)*(1+E49)-1
13,03% 12,52% 12,52% 12,01% 11,50% =E201+E50
203 Prime rate (tasa preferencial) 4,60% 5,42% 4,19% 4,81% 4,50% =+(1+E51)*(1+E49)*(1+E41)-1
Tasa de interés en USD = prime rate +
204
8,60% 9,42% 8,19% 8,81% 8,50% =+E203+E52
puntos
205
206 Tabla de depreciación
207 Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
Año 1 Año 2
208 Activos fijos netos iniciales 45.000,0 33.750,0 22.500,0 11.250,0 56.193,2 =+D212
209 Depreciación anual 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3 =($D$212+D211)/$D$7
Año 5
=(+H211)/$D$7
210 Depreciación acumulada 11.250,0 22.500,0 33.750,0 45.000,0 59.048,3 =+E209+D210
Año 0 Año 1
211 Nuevos activos fijos 0,0 0,0 0,0 0,0 56.193,2 0,0 =D200 =E200
=+E208-
212 Activos fijos netos 45.000,0 33.750,0 22.500,0 11.250,0 56.193,2 42.144,9 =+D6+D211
E209+E211
214 Inventarios valuados a PEPS
215 Inventarios y compras en unidades Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
216 Unidades vendidas 0,0 6.480,3 6.520,7 6.627,8 6.736,7 6.881,0 =+D177 =+E177
217 Inventario final en unidades 400,0 540,0 543,4 552,3 561,4 573,4 =+D11 =E216*E57
218 Inventario inicial en unidades 0,0 400,0 540,0 543,4 552,3 561,4 =C11 =D217
=E216+E217-
219 Compras en unidades 400,0 6.620,3 6.524,1 6.636,8 6.745,8 6.893,0 =D216+D217-D218
E218
220 2 3 4 5 6 7
221 Costo unitario
222 Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
223 Compras en unidades 400 6.620,3 6.524,1 6.636,8 6.745,8 6.893,0 =+D219 =+E219
224 Costo unitario con aumento y volumen 4,200 3,58 4,03 4,024 4,2140 4,28 =BUSCARV(D219;$C$138:$I$159;D220;VERDADERO)
15

225 B C D E F G H I Año 0 Año 1
Determinación del costo
226 de ventas Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
227 Inventario inicial 0,0 1.680,0 1.933,0 2.191,1 2.222,5 2.365,7 =+D218*D224 =+D229
228 Compras 1.680,0 23.696,9 26.307,3 26.705,7 28.426,9 29.493,6 =+D219*D224 =+E219*E224
229 Inventario final 1.680,0 1.933,0 2.191,1 2.222,5 2.365,7 2.453,5 =+D217*D224 =SI(E228<=0;D224*E217;E224*E217)
230 Costo de ventas 0,0 23.443,9 26.049,1 26.674,4 28.283,6 29.405,8 =+D227+D228-D229 =+E227+E228-E229
231 Costo promedio unitario 3,6177 3,995 4,025 4,198 4,273 =+E230/E216
232
Cálculo de los gastos
administrativos y de ventas Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
233 Regalías 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.688,0 =+E195
234 Gastos generales 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1 =+E191
235 Pago de nómina 2.582,2 2.765,0 2.960,9 3.155,6 3.347,0 =+E192
236 Pago de nómina extra 0,0 0,0 9,0 31,1 63,2 =+E194
237 Publicidad y promoción 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,6 =+E196
Gastos administrativos y
238 de ventas 9.208,0 9.848,4 10.500,6 11.203,9 11.957,9 =SUMA(E233:E237)
239
240 D% en libros 68,90% 65,95% 58,68% 46,91% 63,97% 55,27% =+D457 =+E457
CxP por efecto D% en
241 libros 0,92756 0,92638 0,90000 0,90000 0,90000 =MIN(1;SI(D240<=$D$64;$E$61;$D$29*D240+$E$61))
16

B C D E F G H I Año 0 Año 1
244 Ventas y compras Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
245 Ventas totales 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8 =+E188
246 Recaudos en el mismo año 45.679,7 48.977,3 53.045,2 57.178,7 61.641,5 =+E188*$E$58
247 Ventas a crédito 2.404,2 2.577,8 2.791,9 3.009,4 3.244,3 =E188-E246
248 Compras totales 23.696,9 26.307,3 26.705,7 28.426,9 29.493,6 =+E228
249 Compras pagadas en el año 1.680,0 21.980,3 24.370,6 24.035,1 25.584,2 26.544,2 =+D228 =+E228*E241
250 Compras a crédito 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4 =D228-D249 =E228-E249
251
252
253 Recaudos Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
254 Ventas de contado 0,0 45.679,7 48.977,3 53.045,2 57.178,7 61.641,5 =+D246 =+E246
255 Recaudos de cartera 0,0 0,0 2.404,2 2.577,8 2.791,9 3.009,4 =C247 =D247
256 Total de ingresos por ventas y recaudos 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9 =+D255+D254 =+E255+E254
257 Compras de contado 1.680,0 21.980,3 24.370,6 24.035,1 25.584,2 26.544,2 =+D249 =+E249
258 Pago de cuentas por pagar 0,0 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 =C250 =D250
259 Total de pagos por compras 1.680,0 21.980,3 26.087,2 25.971,8 28.254,8 29.386,9 =+D258+D257 =+E258+E257
Balance al constituir la empresa
B C D E
262 Activo Año 0
263 Caja y bancos 15.000,0 =+D8
264 Total 15.000,0 =+D263
265 Pasivo y patrimonio
266 Pasivo
267 Capital 15.000,0 =+D8
268 Total 15.000,0 =+D267+D266
269 Chequeo 0,0 =+D268-D264
270 Balance después de adquirir activos y pasivo
271 Activo
272 Caja y bancos 1.553,1 =+D197
273 Inventarios 1.680,0 =+D229
274 Activos fijos 45.000,0 =+D6
275 Total 48.233,1 =SUMA(D272:D274)
276 Pasivo y patrimonio
277 Pasivo por diferencia (Tot activos - patrimonio) 33.233,1 =+D275-D278
278 Capital 15.000,0 =+D8
279 Total 48.233,1 =SUMA(D277:D278)
17

Flujo de tesorería para el año 0 para determinar monto del préstamo (verificación independiente)
B C D
282 Módulo 1: Saldo operativo
283 Ingresos de caja
284 Total cuentas por cobrar
285 Total ingresos de caja 0,0 =SUMA(D283:D284)
286 Egresos de efectivo
287 Pagos totales 1.680,0 =+D228
288 Gastos generales
289 Pagos de nómina
290 Comisiones de venta
291 Publicidad
292 Impuestos
293 Egresos de caja totales 1.680,0 =SUMA(D286:D292)
294 Saldo neto de caja antes de compra de activos -1.680,0 =D285-D293
295 Módulo 2: Saldo después de inversiones
296 Compra de activos fijos 45.000,0 =+D6
297 Compra de activos fijos año 4
298 Saldo neto de caja después de compra de activos -46.680,0 =+D294-D296-D297
299 Módulo 3: Financiación externa
300 Préstamo 1 LP 16.616,6 =(1-D9)*SI(D298+D312-D197<=0;-(D298+D312-D197) ;0)
301 Préstamo 3 LP
302 Préstamo 2 CP
303 Préstamo en divisas 16.616,6 =D9*SI(D298+D312-D197<=0;-(D298+D312-D197) ;0)
304 Pago de préstamos
305 Préstamo 1 LP
306 Préstamo 3 LP
307 Préstamo 2 CP
308 Préstamo en divisas
309 Interés pagado
310 Saldo neto de caja después de transacciones financieras -13.446,9 =SUMA(D298:D309)
311 Módulo 4: Transacciones con el inversionista
312 Patrimonio invertido 15.000,0 =D8
313 Pago de dividendos
314 Recompra de acciones
315
Saldo neto de caja después de transacciones con los
accionistas
1.553,1 =SUMA(D310:D314)
316 Módulo 5: Otras transacciones
317 Venta de inversiones temporales
318 Interés recibido de inversiones temporales
319 Inversiones temporales 0,0 =-SI(D315>D197;D315-D197;0)
320 Saldo neto de caja después de transacciones discrecionales 1.553,1 =SUMA(D315:D319)
321 Saldo acumulado de caja al final de año 1.553,1 =D320
Tabla de amortización préstamo 1
B C D E F G H I Año 0 Año 1
324 Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
325 Saldo inicial 16.616,6 13.293,2 9.969,9 6.646,6 3.323,3 =D329
326 Intereses préstamo LP 1 2.165,1 1.664,3 1.248,2 798,3 382,2 =E330*E325
327 Pago capital préstamo LP 1 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3
328 Pago total préstamo LP 1 5.488,4 4.987,6 4.571,5 4.121,6 3.705,5 =E326+E327
329 Saldo final 16.616,6 13.293,2 9.969,9 6.646,6 3.323,3 0,0 +D300 =E325-E327
330 Tasa de interés 13,03% 12,52% 12,52% 12,01% 11,50% =+E202
18

B C D E F G H I Año 1 Año 2
Tabla de
amortización
332 préstamo 2 Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
333 Saldo inicial
Intereses
334 préstamo CP 2 0,0 0,0 0,0 =+E337*F345
335
Pago capital
préstamo CP 2 0,0 0,0 0,0 0,0 =+E337
336
Pago total
préstamo CP 2
337 Saldo final 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 =+E413 =+E337-F335+F413
19
Año 4 Año 5
340 Saldo inicial 29.518,8 =H344
Intereses
341 préstamo LP 3 3.394,7 =I345*I340
342
Pago capital
préstamo LP 3 5.903,8 =$H$344/5
343
Pago total
préstamo LP 3 0,0 0,0 0,0 0,0 9.298,4 =H341+H342 =I341+I342
344 Saldo final 29.518,8 23.615,0 =+H412 =I340-I342
345 Tasa de interés 13,03% 12,52% 12,52% 12,01% 11,50% =E330 =F330
346
Valor del
préstamo en
347 USD $
348 Año 0 Año 1
349 Saldo inicial 16,62 13,29 9,97 6,65 3,32 =+D353
Intereses
préstamo en
350 divisas 1,43 1,25 0,82 0,59 0,28 =+E354*E349
351
Pago capital
préstamo en
divisas 3,32 3,32 3,32 3,32 3,32 =+$D$353/5
352
Pago total
préstamo en
divisas 4,75 4,58 4,14 3,91 3,61 =+E351+E350
353 Saldo final 16,62 13,29 9,97 6,65 3,32 - =+D303/D181 =+E349-E351
354 Tasa de interés 8,60% 9,42% 8,19% 8,81% 8,50% =+E204
355
356 En pesos 17.268,18 =+D353*E181
357 Saldo inicial 16.616,55 13.814,55 10.633,03 7.360,79 3.781,23 =+D361
Intereses
préstamo en
358 divisas 1.485,50 1.335,93 904,53 666,08 329,61 =+E350*E181
Pago capital
préstamo en
359 divisas 3.453,64 3.544,34 3.680,40 3.781,23 3.877,71 =+E351*E181
360
Pago total
préstamo en
divisas 4.939,14 4.880,27 4.584,93 4.447,31 4.207,31 =+E352*E181
361 Saldo final 16.616,55 13.814,55 10.633,03 7.360,79 3.781,23 - =+D353*D181 =+E353*E181

B C D E F G H I Año 1
364 Diferencia en tasa de cambio TRM 39,22 27,29 40,94 30,34 29,03 =+E181-D181
365
366 Pérdida en cambio por pago de capital 130,33 90,71 136,05 100,83 96,48 =+E351*(E364)
367 Pérdida en cambio por saldo en USD 521,30 272,13 272,11 100,83 - =+(E364)*(E353)
368 Pérdida en cambio total 651,63 362,83 408,16 201,67 96,48 =+E367+E366
369 Interés + pérdida en cambio 2.137,13 1.698,76 1.312,69 867,74 426,08 =+E368+E358
B C D E F G H I Año 1 Año 2
372 Estado de resultados Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
373 Ventas 48.083,8 51.555,1 55.837,1 60.188,1 64.885,8 =+E188 =+F188
374 Costo de ventas 23.443,9 26.049,1 26.674,4 28.283,6 29.405,8 =+E230 =+F230
375 Utilidad bruta 24.640,0 25.505,9 29.162,7 31.904,5 35.480,0 =E373-E374 =F373-F374
Gastos de ventas y
376 administrativos 9.208,0 9.848,4 10.500,6 11.203,9 11.957,9 =+E238 =+F238
377 Depreciación 11.250,0 11.250,0 11.250,0 11.250,0 14.048,3 =E209 =F209
Utilidad operativa
378 UO 4.181,9 4.407,6 7.412,1 9.450,6 9.473,8 =E375-E376-E377 =F375-F376-F377
379
Interés recibido por
inversiones
temporales 0,0 419,8 839,7 1.361,1 0,0 =+E429 =+F429
380
Gastos financieros en
moneda local 2.165,1 1.664,3 1.248,2 798,3 3.776,8 =+E326+E341+E334 =+F326+F341+F334
381
Gastos financieros en
moneda extranjera 1.485,5 1.335,9 904,5 666,1 329,6 =+E358 =+F358
382
Pérdida en cambio
por préstamos en
divisas 651,6 362,8 408,2 201,7 96,5 =+E368 =+F368
383
Gastos financieros
convertidos a
moneda local 4.302,3 3.363,1 2.560,9 1.666,0 4.202,9 =SUMA(E380:E382) =SUMA(F380:F382)
384
Utilidad antes de
impuestos -120,3 1.464,3 5.690,9 9.145,7 5.270,9 =E378+E379-E383 =F378+F379-F383
=SI(D388>=0;SI(E384<=0;0;E384*$D$10); =SI(E388>=0;SI(F384<=0;0;F384*$D$10);
385 Impuestos 0,00 470,39 1.991,81 3.201,00 1.844,80 SI(D388+E384<=0;0;D388+E384)*$D$10) SI(E388+F384<=0;0;E388+F384)*$D$10)
386 Utilidad neta -120,3 993,9 3.699,1 5.944,7 3.426,1 =E384-E385 =F384-F385
387 Dividendos 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3 2.398,2 =SI(E386*$E$62<0;0;E386*$E$62) =SI(F386*$E$62<0;0;F386*$E$62)
Utilidades retenidas
388 acumuladas -120,3 873,6 3.876,9 7.232,3 6.497,0 =D388+E386-D387 =E388+F386-E387
20

Tabla 11 Flujo de tesorería FT
391 Módulo 1: Saldo operativo
392 Ingresos de caja
B C D E F G H I Año 0 Año 1
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
393 Total cuentas por cobrar 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9 =+D256 =+E256
394 Total ingresos de caja 0,0 45.679,7 51.381,5 55.623,0 59.970,6 64.650,9 =D393 =E393
395 Egresos de efectivo
396 Pagos totales por compras 1.680,0 21.980,3 26.087,2 25.971,8 28.254,8 29.386,9 =+D259 =+E259
397 Gastos generales 0,0 2.326,6 2.466,9 2.615,5 2.760,1 2.913,1 =D234 =E234
398 Pagos de nómina fija y extra 0,0 2.582,2 2.765,0 2.969,9 3.186,7 3.410,2 =D235 =E235+E236
399 Comisiones de venta 0,0 2.856,7 3.069,8 3.240,0 3.451,5 3.688,0 =D233 =E233
400 Publicidad 0,0 1.442,5 1.546,7 1.675,1 1.805,6 1.946,6 =D237 =E237
401
402
403 Impuestos 0,0 0,0 470,4 1.991,8 3.201,0 1.844,8 =+D385 =+E385*$D$33+D385*(1-$D$33)
404 Egresos de caja totales 1.680,0 31.188,3 36.406,0 38.464,3 42.659,6 43.189,6 =SUMA(D396:D403) =SUMA(E396:E403)
405
Saldo neto de caja antes de compra de
activos -1.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 17.310,9 21.461,3 =D394-D404 =E394-E404
406 Módulo 2: Saldo después de inversiones
407 Compra de activos fijos 45.000,0 =+D6
408 Compra de activos fijos año 4 0,0 0,0 0,0 0,0 56.193,2 0,0 =+D200 =+E200
Saldo neto de caja después de
409 compra de activos -46.680,0 14.491,4 14.975,5 17.158,7 -38.882,2 21.461,3 =+D405-D408-D407 =+E405-E408-E407
410 Módulo 3: Financiación externa
411 Préstamo 1 LP 16.616,6 =+D329
412 Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 29.518,8 0,0
413 Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
414 Préstamo en divisas 16.616,6 =+D361
415 Pago de préstamos
21
=SI(-(D432+E409-E416-E417-E418-E419-E420-
E424+E428+E429-E63+E423-E425)>0;-(D432+E409-E416-
E417-E418-E419-E420-E424+E428+E429-E63+E423-E425);0)
=SI(-(D432+E405+E412-E416-E417-E418-E419-E420-
E424+E428+E429-E63+E423-E425)>0;-(D432+E405+E412-
E416-E417-E418-E419-E420-E424+E428+E429-E63+E423-
E425);0)

B C D E F G H I Año 0 Año 1
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
416 Préstamo 1 LP 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3 3.323,3 =+E327
417 Préstamo 3 LP 0,0 0,0 0,0 0,0 5.903,8 =+E342
418 Préstamo 2 CP 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 =+E335
419 Préstamo en divisas 3.453,6 3.544,3 3.680,4 3.781,2 3.877,7 =+E359
420 Interés pagado 0,0 3.650,6 3.000,2 2.152,8 1.464,3 4.106,4 =+D326+D341+D334 =+E326+E341+E334+E358
421
422
Saldo neto de caja después de
transacciones financieras -13.446,9 4.063,8 5.107,6 8.002,2 -17.932,3 4.250,0
Módulo 4: Transacciones con el
inversionista
423 Patrimonio invertido 15.000,0 =D8
=SUMA(D409:D414)-
SUMA(D416:D420)
424 Pago de dividendos 0,0 0,0 695,7 2.589,4 4.161,3 =+D387
425 Recompra de acciones
426
Saldo neto de caja después de
transacciones con los accionistas 1.553,1 4.063,8 5.107,6 7.306,5 -20.521,7 88,7
427 Módulo 5: Otras transacciones
=D421-D424+D423-
D425
428 Venta de inversiones temporales 0,0 0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0 =C430 =D430
Interés recibido de inversiones
429
=SUMA(E409:E414)-SUMA(E416:E420)
=E421-E424+E423-E425
temporales 0,0 0,0 419,8 839,7 1.361,1 0,0 =D201*D428 =E201*E428
430 Inversiones temporales 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0 78,7
Saldo neto de caja después de
=D426-
431 transacciones discrecionales 1.553,1 -1.453,1 10,0 10,0 10,0 10,0 D430+D428+D429
Saldo acumulado de caja al final
432 de año 1.553,1 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 =D431 =D432+E431
=(SI((E426+E428+E429+D432)>E63;E426+E428+E429+D432-
E63;0))
=E426-E430+E428+E429
22

B C D E F G H I Año 0 Año 1
435Balance general Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
436Activos
437
438Caja y bancos 1.553,1 100,0 110,0 120,0 130,0 140,0 =D432 =E432
439Cuentas por cobrar 0,0 2.404,2 2.577,8 2.791,9 3.009,4 3.244,3 =D247 =E247
440Inventario 1.680,0 1.933,0 2.191,1 2.222,5 2.365,7 2.453,5 =+D229 =+E229
Inversiones temporales
=SUMA($D$430:D430)-
=SUMA($D$430:E430)-
441
0,0 5.516,9 11.034,3 19.170,6 0,0 78,7 SUMA($D$428:D428)
SUMA($D$428:E428)
442Interés causado 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 =+D379-D429 =+E379-E429
443Activo corriente 3.233,1 9.954,0 15.913,2 24.304,9 5.505,1 5.916,5 =SUMA(D438:D442) =SUMA(E438:E442)
444Activos fijos netos 45.000,0 33.750,0 22.500,0 11.250,0 56.193,2 42.144,9 =+D212 =+E212
445Total 48.233,1 43.704,0 38.413,2 35.554,9 61.698,3 48.061,4 =D444+D440+D439+D438+D441+D442 =E444+E440+E439+E438+E441+E442
446Pasivos y patrimonio
447Cuentas por pagar 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4 =D250 =E250
Deuda corto plazo
448
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
=SUMA($D$413:D413)-
0,0 SUMA($D$418:D418)
=SUMA($D$413:E413)-
SUMA($D$418:E418)
Impuestos causados y por
449pagar 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
=SUMA($D$385:D385)-
0,0 SUMA($D$403:D403)
=SUMA($D$385:E385)-
SUMA($D$403:E403)
450Pasivos corrientes 0,0 1.716,6 1.936,7 2.670,6 2.842,7 2.949,4 =SUMA(D447:D449) =SUMA(E447:E449)
Deuda en moneda local
=SUMA($D$411:D412)-
=SUMA($D$411:E412)-
451
16.616,6 13.293,2 9.969,9 6.646,6 32.842,1 23.615,0 SUMA($D$416:D417)
SUMA($D$416:E417)
452Deuda en divisas 16.616,6 13.814,5 10.633,0 7.360,8 3.781,2 0,0 =+D361 =+E361
453Total Pasivos 33.233,1 28.824,4 22.539,7 16.678,0 39.466,0 26.564,4 =+D452+D451+D450 =+E452+E451+E450
454Patrimonio 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0 15.000,0 =+D8 =+D454
455Utilidades retenidas 0,0 -120,3 873,6 3.876,9 7.232,3 6.497,0 =D388 =E388
456Total 48.233,10 43.704,0 38.413,2 35.554,9 61.698,3 48.061,4 =SUMA(D447:D455)-D453-D450 =SUMA(E447:E455)-E453-E450
457D% en libros 68,90% 65,95% 58,68% 46,91% 63,97% 55,27% =D453/D456 =E453/E456
458Verificación 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 =D456-D445 =E456-E445
23

Sección 3
Comentarios finales
En esta nota pedagógica hemos ofrecido al lector una manera ordenada y consistente para proyectar estados
financieros usando la hoja de cálculo Excel © . Lo interesante de este trabajo es que permite al lector hacer un ejercicio
paso a paso hasta llegar a los estados financieros proyectados de manera consistente y sin ajustes arbitrarios para
“cuadrar” los estados financieros. El modelo está construido de manera que todos los estados financieros se relacionan
entre sí, produciendo unos resultados integrales y consistentes.
Estos estados financieros sirven de base para construir los flujos de caja necesarios para valorar proyectos o
firmas.
Sección 4
Referencias bibliográficas
Modigliani, Franco y Miller, Merton H. 1963. “Corporate Income Taxes and the Cost of Capital: A Correction”, The
American Economic Review, vol. LIII, pp. 433-443.
—. 1959. “The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment: Reply”, The American Economic
Review, vol. XLIX, pp. 524-527.
—. 1958. “The Cost of Capital, Corporation Taxes and the Theory of Investment”, The American Economic Review, vol.
XLVIII, pp. 261-297.
Purcell, W. R. Jr.1984 Cómo comprender las finanzas de una compañía, Norma, Cali.
Tham, Joseph y Vélez Pareja, Ignacio. 2004. Principles of Cash Flow Valuation. An Integrated Market Based Approach,
Academic Press, s. l.
—. 2002. Ejemplo de cálculo de elasticidad de un producto. Disponible en:
http://sigma.poligran.edu.co/politecnico/apoyo/Decisiones/curso/elasticidad.pdf.
Vélez Pareja, Ignacio, 2006, Decisiones de inversión. Para la valoración de proyectos y empresas, Editorial Universidad
Javeriana 5ª edición.
24