N. Piskounov _ N. Piskunov - Cálculo Diferencial e Integral. 2-Edições Lopes da Silva (1988)

N. PISKOUNOV

CÁLCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL

VOLUME II

TRADUÇAO

DE:

ANTÓNIO EDUARDO PEREIRA TEIXEIRA

Licenciado em Economia (U. P.)

Contabilista diplomado (I. C. P.)

MARIA JO SÉ PEREIRA TEIXEIRA

Contabilista diplomada (I. C. P.)

11.'’ EDIÇÃO EM LÍNGUA PORTUGUESA

EDIÇÕES LOPES DA SILVA - PORTO -1997

Título da 4." edição do original

H. C. nHCKVHOB

flHdxDEPEHI^HAJIbHOE

H

HHTErPAJIbHOE

HCHHCJIEHHfl

TOM I

H3flATEJIbCTBO «HAVKA»

MOCKBA

Todos os direitos de adaptação e de reprodução por todos os processos, reservados

para todos os paises de expressão Portuguesa, de acordo com as leis em vigor.

© LIVRARIA LOPES DA SILVA —EDITORA

Dedicamos este nosso trabalho aos nossos queridos

pais e irmãs e duma maneira geral aos

familiares que mais de perto nos acompanham,

O tradutor dedica ainda esta tradução, em especial,

aos queridos colegas Maria Luísa e José Alves

Baptista que sempre o acompanharam nos seus

estudos superiores, nas matérias versadas na presente

obra e ainda a todos os queridos alunos,

que directa ou indirectamente, contribuiram para a

prossecução desta tradução.

OS TRADUTORES

A tradução desta segunda

especialmente a ti, ROMAC.

parte

dedico-te.

O TRADUTOR

Composto e Impresso nas Oficinas Gráficos Reunidos, Lda.

R. Alvares Cabral, 22 ■32 - Telef. 2000608 - Fax 2007184

4050 PORTO - 3 000 ex. - OUT. / 97 - Dep. Legal 56 868 / 92

í n d i c e

Prefácio 11

CAPITULO XIII

Equações diferenciais

§ 1.

5.

6.

7.

8.

9.

§ 10.

§ 11.

§ 12.

§ 13.

§ 14.

§ 15.

§ 16.

§ 17.

§ 18.

Posição do problema. Equação do movimento do corpo para um

meio em que a resistência é proporcional à velocidade. Equação

da catenária

Definições

Equações diferenciais de primeira ordem (noções gerais)

Equações com variáveis separadas e separáveis. Problema da desintegração

do rádio

Equações homogéneas de primeira ordem .

Çquações redutíveis a equações homogéneas .

Equações lineares de primeira ordem .

Equação de Bernoulli . . . .

Equações de diferenciais totais . . . .

Factor integrante

Envoltória duma família de curvas

Soluções singulares das equações diferenciais c

Equação de Clairaut . . . .

Equação de Lagrange . . . .

Trajectórias ortogonais e isogonais

Equações diferenciais de ordem superior a um (noções gerais)

Equação da forma = f ( x ) ....................................................

Alguns tipos de equações diferenciais de .segunda ordem que se

reduzem a equações de primeira o rd e m ................................ 65

i

ÍNDICE

§ 19.

§ 20.

§ 21.

§ 22.

§ 23.

§ 24.

§ 25.

§ 26.

§ 27.

§ 28.

§ 29.

§ 30.

§ 31.

§ 32.

§ 33.

§ 34.

Integração gráfica das equações diferenciais de segunda ordem 73

Equações lineares homogéneas. Definições e propriedades gerais 75

Equações lineares homogéneas de segunda ordem de coeficientes

constantes.....................................................................................82

Equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n de coeficientes

constantes..................................................................................... 86

Equações lineares não homogéneas de segunda ordem . . . . 89

Equações lineares não homogéneas de segunda ordem de coeficientes

constantes . * ..................................................................................... 93

Equações lineares não homogéneas de ordem n ...........99

Equação diferencial das oscilações m ecânicas......................................... 103

Oscilações livres . ........................................................................ 105

Oscilações forçadas . . . . ................................... 107

Sistemas de equações diferenciais..............................................112

Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes 118

Noção sobre a teoria da estabilidade de Liapounov . . . . 125

Solução aproximada

das equações diferenciais de primeira ordem

pelo método Euler .................................................................................... 131

Solução aproximada das equações diferenciais pelo método dos

diferenciais finitos baseados na aplicação da fórmula de Taylor.

Método de A d a m s ....................................................................................134

Método aproximado de integração dos sistemas de equações diferenciais

dc primeira ordem ....................................................141

E xercícios.................................................................................................146

CAPITULO XIV

Integrais múltiplos

§ 1. Integral duplo . 160

§ 2. Cálculo dos integrais d u p lo s.......................................................................162

§ 3. Cálculos dos integrais duplos (cont.) .......................................................... 168

§ 4. Aplicação dos integrais duplos ao cálculo de áreas e volumes . 174

§ 5. Integrais duplos em coordenadas p o la re s............................................. 177

§ 6. Mudança de variáveis num integral duplo (caso geral) . 185

§ 7. Cálculo das áreas de superfícies . . . * . ......................................... 190

ÍNDICE

§ 8. Densidade de distribuição de matéria e integral duplo 194

§ 9. Momento de inércia duma figura p la n a ...............................................195

,§ 10. Coordenadas do centro de gravidade duma figura plana . 200

§ 11. Integrais t r i p l o s ......................................................................................... 202

§ 12. Cálculo dos integrais trip lo s......................................................................203

§ 13. Mudança de variáveis num integral d u p lo ...............................................208

§ 14. Momento de inérci^ e coordenadas do centro de gravidade dum corpo 212

§ 15. Integrais que dependem dum p arâm etro ............................. 215

Exercícios . . . .......................................................... . 216

CAPÍTULO XV

Integrais curvilíneos e integrais de superfície

§ 1.

§ 2.

§ 3.

§ 5.

§ 6.

§ 7.

§ 8.

§ 9.

Integral curvilíneo..........................................................................................223

Cálculo do integral curvilíneo................................................................ 226

Fórmula de G reen.......................................................................................... 232

Condições para que um integral curvilíneo não dependa do caminho

de integração.................................................... 235

Integrais de su p e rfíc ie .................................

Cálculo dos integrais de superfície .

Fórmula de Stokes.......................................

Fórmula de Ostrogradsky................................

Operador hamiltoniano e algumas aplicações

Exercícios..........................................................

. . 240

242

. . 245

. . 250

. . 253

. . 257

CAPITULO XVI

Séries

§ 1. Soma duma s é rie ................................................................................264

§ 2. Condição necessária de convergência de uma série . . . . . 267

§ 3. Comparação das séries com termos positivos........................................... 270

§ 4. Regra de A lem b ert..........................................................................272

§ 5. Regra de C auchy..........................................................................................276

§ 6. Comparação com um integral........................................................................278

§ 7. Séries alternadas. Teorema de L eibniz.......................................................281

§ 8. Séries de termos de jinais quaisquer. Convergência absoluta e semi-

-convergência . . .• .......... . . . . 283

ÍNDICE

§ 9. Séries de funções......................................... ............................... 287

§ 10. Séries m ajoráveis................................................................................288

§ 11. Continuidade da soma duma s é rie ................................................ 290

§ 12. Integração e derivação de séries...................................................... 293

§ 13. Séries inteiras ou séries de potências. Intervalo de convergência 296

§ 14. Derivação de séries in teiras.............................................................301

§ 15. Séries de potências áe x — a .............................................................303

§ 16. Séries de Taylor e de M aclaurin.....................................................304

§ 17. Exemplos de desenvolvimento de funções em séries . . . . 306

§ 18. Fórmulas de Euler . . 308

§ 19. Fórmula geral do b in ó m io .............................................................309

§ 20. Desenvolvimento da função Log (1 + jf) em série inteira. Cálculo de

logaritm os............................................................................................ 312

§ 21. Aplicação das séries ao cálculo dos integrais definidos . . . . 314

§ 22. Aplicação das séries à integração de equações diferenciais . . . 316

§ 23. Equação de B e s s e l..........................................................................319

Exercícios............................................................................................ 325

CAPÍTULO XVII

Séries de Fourier

§ 1. Definição. Posição do problem a................................................................ 334

§ 2. Exemplos de desenvolvimento de funções em séries de Fourier . 339

§ 3. Uma nota sobre o desenvolvimento das funções periódicas em

série de F o u r ie r .......................................................................................... 344

§ 4. Séries de Fourier de funções pares c ímpares . . . . . 347

§ 5. Séries de Fourier das funções de período 2 / .........................................348

§ 6. Desenvolvimento em série de Fourier duma função não periódica 350

§ 7. Aproximação, em média, duma função dada por meio de polinómios

trignométricos..............................................................................352

§ 8. Integral de D irichlet....................................................................................358

§ 9. Convergência duma série de Fourier num dado ponto . . . . 361

§ 10. Algumas condições, suficientes para a convergência duma série

de F ourier................................................................................................. 363

§ 11. Análise harmónica numérica ....................................................................... 366

§ 12. O integral de F o u r i e r ............................................................................. 368

§ 13. Forma complexa do integral de F ourier......................................................372

Exercícios....................................................................................................... 374

ÍNDICE

CAPÍTULO XVIII

Equações da física matemática

§ 1. Principais tipos de equações da física matemática...................................377

§ 2. Estabelecimento da equação para cordas vibrantes. Formulação do

problema aos limites. Estabelecimento da equação para oscilações

eléctricàs nos fio s .......................................................................................... 378

§ 3. Resolução da equação das cordas vibrantes pelo método de separação

das variáveis (método de F ourier)..........................................................382

§ 4. Equação da propagação do calor numa barra. Enunciado do problema

aos lim ites....................................................................... . . . . 386

§ 5. Propagação do calor no espaço..................................................................389

§ 6. Resolução do primeiro problema dos limites para a equação do

calor pelo método das diferenças finitas......................................................393

§ 7. Propagação do calor numa barra infinita....................................................395

§ 8. Problemas que conduzem ao estudo das soluções das equações de

Laplace. Enunciado dos problemas de lim ites......................................... 401

§ 9. Equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Resolução do

problema de Dirichlet para um arco com valores constantes da

função procurada sobre os círculos interior exterior . . . . 406

§ 10. Resolução do problema de Dirichlet para o círculo . . . . 409

§ 11. Solução do problema de Dirichlet pelo método das diferenças finitas 413

E xercícios.......................................................................................................416

CAPÍTULO XIX

Cálculo operacional e aplicações

§ 1. Original e imagem.............................................................................

§ 2. Imagem das funções ao(/), sen/, c o s / ....

§ 3. Imagens das funções com escala modificada da variável indepen

dente. Imagem das funções sen a/, c o s a / .................................

§ 4. Propriedade de linearidade da im agem ..........................................

§ 5. Teorema do deslocamento................................................................

§ 6. Imagem das funções sen hat, cos hat, sen a/, cos at

§ 7. Derivação da imagem ........................................................................

§ 8. Imagem das derivadas.......................................................................

§ 9. Dicionário de imagens.......................................................................

420

422

424

425

426

426

428

430

431

10 ÍN D IC E

§ 10. Equação auxiliar duma equação diferencial dada . . . .

§ 11. Teorema da decom posição..........................................................

§ 12. Exemplos de resolução das equações diferenciais e dos sistemas

de equações diferenciais pelo método do cálculo operacional .

§ 13. Teorema do enrolamento (convolution).......................................

§ 14. Equações diferenciais das oscilações mecânicas. Equações diferenciais

da teoria dos circuitos eléctricos....................................................

§ 15. Resolução da equação diferencial das oscilações . . . .

§ 16. Estudos das oscilações liv res..........................................................

§ 17. Estudo das oscilações harmónicas amortecidas no caso duma força

exterior periódica..............................................................................

§ 18. Solução da equação das oscilações no caso da ressonância .

§ 19. Teorema do retardamento.................................................................

Exercícios...........................................................................................

433

437

439

441

443

445

447

448

450

451

453

PREFA CIO

A 3.* edição em língua francesa conserva como essencial o

conteúdo da 2.*' edição. Certos capítulos foram profundamente revistos

e completados, em especial aqueles que tratam de certos ramos das

matemáticas modernas, cujo conhecimento é nos nossos dias indispensável

a todo o engenheiro. Na parte «Exercícios» aumentou-se o

número de problemas, insistindo sobre aqueles que, mais difíceis, exigem

mais reflexão. O material desta nova edição é apresentado em

dois volumes.

No primeiro volume, os capítulos iniciais «Número, variável, função»

e «Limite e continuidade das funções» foram resumidos na medida

do possível. Certas questões, habitualmente tratadas nestes capítulos,

foram conscientemente reportadas aos capítulos seguintes. Isto permitiu

abordar mais ràpidamente a derivada, noção fundamental do cálculo

diferencial; esta necessidade foi-nos ditada pelas exigências das outras

disciplinas do ensino técnico superior. O bom fundamento duma tal

disposição foi felizmente confirmado pela experiência de vários anos.

No f m do primeiro volume inseriu-se os anexos I e II expondo

problemas muito importantes para o engenheiro: «Estabelecimento duma

dependência funcional a partir de dados experimentais pelo método

dos mínimos quadrados» e «Fórmula de interpolação de Newton.

Derivação numérica».

No segundo volume, para assegurar aos estudantes uma preparação

matemática que lhes permita abordar as disciplinas ligadas à

aufDmação e aos métodos de cálculo automático, que são hoje ensinadas

nos estabelecimentos de ensino técnico superior, vários desenvolvimentos,

tratando em detalhe destas questões, foram inseridos:

«Integração numérica das equações diferenciais e sistemas de equações

diferenciais» (♦), «Integração de sistemas diferenciais lineares», «Noção

sobre a teoria da estabilidade de Liapounov», «Operador hamiltoniano»,

«Integral de Fourier», etc.

(*) Os métodos de cálculo numérico h£Ú3Ítüalmente tratados nos cursos

de análise são igualmente expostos neste manual.

Esta edição foi também completada por dois novos capítulos

«Equações da física matemática» (capítulo XVIII) e «Cálculo operacional

e aplicações» (capítulo XIX).

O capítulo XVIII passa em revista as equações fundamentais

da física matemática. Tem-se dado uma importância particular à

análise da natureza dos fenómenos físicos que conduzem às equações de

diferentes tipos e aos problemas de limites correspondentes. Uma grande

importância foi igualmente concedida aos métodos numéricos de resolução

das equações diferenciais às derivadas parciais.

No capítulo XIX expôs-se as noções fundamentais do cálculo

operacional e o método operacional de resolução das equações diferenciais.

Elas são indispensáveis para o estudo de numerosas disciplinas

aplicadas, em especial as ligadas à electrotécnica.

Um grande número de problemas e de exercícios, que esclarecem

a maior parte dos vínculos que existem entre as matemáticas e

as outras disciplinas, foram incluídos neste manual. Os problemas e

os exercícios foram especialmente escolhidos para cada capítulo do

curso a fim de contribuir para a assimilação da parte teórica. Alguns

foram resolvidos e comentados a título de exemplos. Isto torna o

uso deste manual particularmente precioso para o estudo auto-

-didáctico.

Devo exprimir a minha profunda gratidão às Edições Mir que

aceitaram a tradução e a publicação desta obra.

NOTA SOBRE A PRESENTE EDIÇÃO

O autor

Esta edição, a 4.*^ em francês, reproduz a 3.^ que se esgotou

ràpidamente.

Procedemos, no entanto, às correcções que o autor julgara necessárias

para esta nova edição, a fim de apresentar aos leitores uma

obra ainda mais digna da sua confiança.

O EDITOR

Capitulo XIII

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

§ 1. Posição do problema. Equação do movimento do corpo para

um meio em que a resistência é proporcional à velocidade.

Equação da catenâria

Suponhamos que a função y = f(x) exprime um fenómeno do

ponto de vista quantitativo. Examinando este fenómeno, é muitas vezes

impossível estabelecer directamente o carácter da dependência entre

y e X, mas pode-se estabelecer uma dependência entre as quantidades

X, y e derivadas de y em relação a jc : / , .... y(n)^ isto é. que

se pode escrever uma equação diferencial

Deduzir da relação entre x, y e as derivadas a relação directa

entre y e jc, isto é, encontrar y = f ( jc) , é ainda o que se chama integrar

uma equação diferencial

Consideremos dois exemplos.

Exemplo— 1. Deixe-se cair um corpo de massa m duma certa altura.

Pede-se para estabelecer a lei de variação da velocidade da queda v, se o corpo

experimentar uma rcsislência de travagem da parte do ar proporcional à velocidade

(sendo o coeficiente de proporcionalidade k), isto é, encontrar v = / (/).

Resolução — Em virtude da segunda lei de Newton

dv

em que -4 ^ ^ a aceleração do corpo em movimento (a derivada da velocidade

at

em relação ao tempo) e F, a força que age sobre o corpo no sentido do

mov"hnento. Esta força é constituída por duas forças: pela força de gravidade mg

e pela resistôncia do ar = kv (toma-se o sinal menos porque esta força é oposta

à velocidade). Assim

dv

m —r—t=tmg—kv,

at

(1)

dv

Temos uma relação entre a função desconhecida v e a sua derivada ,

dt

isto é, uma equação diferencial sobre a função desconhecida v. (Ê a equação

do movimento de certos tipos de paraquedas). Resolver esta equação diferencial,

é procurar uma função v = / (/), que a verifica idênticamente. Existe uma

infinidade de tais soluções. O leitor verificará fàcilmente que toda a função

da forma

- A ,

Ce

I mg

k

(2)

14 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

verifica a equaçSo (1) qualquer que seja a constante C. Mas qual destas funções

dá a relato procurada entre ver? Para a encontrar, imponhamos uma

condição suplementar: uma velocidade inicial v« (que, em especial, pode ser

nula) foi comunicada ao corpo na partida; suporemos que esta velocidade inicial

é conhecida, mas, então, a função procurada v = / (/) deve ser tal que se tenha

para r = 0 (no começo do movimento) v = w Substituindo / = 0, v = v# na

fórmula (2), tem-se:

vo = C-\- - j p ,

donde

C — Vq — mg

Assim, a constante C é determinada. A dependência entre ve/, exprime-se,

pois, por:

(2 ')

Resulta desta fórmula que para / sufícientemente grande a velocidade v

depende pouco de Vo.

Notemos que se á = 0 (isto é, se a resistência do ar for nula ou desprezável)

encontra-se o resultado conhecido em física (*):

ciai

V = VQ-\-gt.

(2')

Esta função satisfaz a equação diferen-

(1) e à condição inicial: v = Vo para / = 0.

Exemplo — 2. Um fio flexível homogéneo

está suspenso pelas suas duas extremidades. Achar

a equação da curva de equilíbrio do fio submetido

ao seu próprio peso (tal é a posição que

tomam os cabos suspensos, os fios, as correntes).

Resolução — Sejam Mo(0, h) o ponto mais

baixo sobre o fio, M um ponto arbitrário sobre

este fio (fig. 244). Consideremos a porção de

fio M«Af. Esta porção está em equilíbrio sob a

acção de três forças:

1) \ tensão 7, que age tangencialmente no ponto M e formando com

o eixo Ox o ângulo 9 ;

2) A tensão H no ponto que age horizontalmente;

31 O peso ys dirigido verticalmente para baixo, em que 5 é o comprimento

do arco AftAÍ, y o peso específico do fio.

(*) Pode-se deduzir a fórmula (2") para passagem ao limite

- ^ ~ \= v o + gt.

+■ * J

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 15

Decompondo a tensão T nas suas componentes horizontal e vertical,

obtém-se as equações de equilíbrio:

T COS ^ =

rscn<p = Y*-

Obtém-se, dividindo membro a membro, estas duas igualdades

Suponhamos agora que se pode escrever a equação da curva procurada

sob a forma Y = / U)* Aqui, / (jc) é uma função desconhecida que é preciso

procurar. Notemos que

(3)

Por conseguinte:

H

em que se fez — = a.

tg< f= r

dy 1

dx ~ a

Derivemos os dois membros da igualdade (4) em relação a x:

d^y 1 ds

dx'^ ~~ a dx

Mas sabe-sc que (ver § 1, Cap. VI)

(4)

Substituindo esta expressão na equação (5), obtém-se a equação diferencial

da curva procurada sob a forma:

Ela liga as derivadas primeira e segunda da função desconhecida y.

Sem nos preocuparmos com os métodos de resolução das equações, indiquemos

que toda a função da forma

satisfaz à equação (6) quaisquer que sejam as constantes Ci e Cs. Ê fácil de

provar substituindo as derivadas primeira e segunda da função indicada na

equação (6). Indiquemos ainda, sem o demonstrar, que se tem aí todas as

soluções (para diversos Ci e Cs) da equação (6). Isso será demonstrado no § 18.

Os gráficos das funções assim obtidas são chamadas das catenárias.

Vejamos agora como convém escolher as constantes Ci e Cs para obter

precisamente a catenária cujo ponto inferior tem por coordenadas (0, b). Dado

que para jc = 0 se tem o ponto mais baixo da catenária, a tangente é« horizontal

naquele ponto, isto é, - ^ = 0. Além dissq, por hipótese, a ordenada é

dx

igual a h nesse ponto, isto é, > = b.

(5)

(6)

(7)

16 CAIXJÜLO DIFERENCIAL. E INTEGRAL.

Deduz-se da equaçfio (7)

Substituindo nesta última x 0, obtém-se Logo Cl == 0,

se ò é ordenada de Aio, tem-se, então, y = A para x = 0. Deduz-se da equação (7),

pondo j: = 0 e Oj 0, 6=-.^ (i-f i) + C2, donde €2 =^0— a.

Encontra-se, por fim:

* X

P = -2 (« “ + e

“ )+ *»—“•

A equação (7) simplifica-se muito se se fizer a ordenada do ponto Aio

igual SL a. A equação da catenáría toma-se, então, em:

§ 2. Definições

Definição— 1. Chama-se equação diferencial a uma equação que

estabelece uma relação entre a variável independente x, a função

desconhecida y = / (jc) e suas derivadas / , y".......

Pode-se escrever simbòlicamente uma equação diferencial como

se segue:

Fix, y, y, y,

, ,

y‘">) = 0

ou

f {x y ^ .... - ^ 1 = 0.

\ ’ ’ dx' da^' ’ di'*/

Sq y = f(x) é função de uma só variável independente, a equação

diferencial diz-se ordinária. Começaremos pelo estudo das equações

diferenciais ordinárias (*).

(t) Ao mesmo tempo que as equações diferenciai^ ordinárias, estuda-se

igual mente em análise matemática equações com derivadas parciais. Chamam-se

•Equações com derivadas parciais^ a uma relação entre a função desconhecida z,

qUe depende de duas Cu várias variáveis x, y, ..., estas próprias variáveis e

. . . • • j dzdzd^z

as derivadas parciais de z : , -r—, -rs-, etc.

dx dy d^x

Tem-se como exemplo de equação de derivadas parciais de função desconhecida

z(x, y) a equação

dz dz

dx ^ dy

É fácil de veriticar que a função z = x^y^ (bem como muitas outras

funções) verifica esta equação.

No decorrer deste curso as equações de derivadas parciais são estudadas

no capítulo XVIII (vol. 2).

BQCIACÕES DIFERENCIAIS 17

Definição — 2. Chama-se ordem duma equação diferencial à ordem

da derivada mais elevada contida nessa equação.

Assim,

y' — 2xy^ + 5 = 0

é uma equação de primeira ordem.

A equação

y " + ky'— by — se n a := 0

é uma equação de segunda ordem, etc.

A equação considerada no exemplo 1 do parágrafo precedente

é uma equação de 1.® ordem e a do exemplo 2 de segunda ordem.

Definição — 3. Chama-se solução ou integral duma equação diferencial

a toda a função y = f(x) que verifica idênticamente essa equação.

Exámplo — 1. Seja a equação diferencial

d^y + í/ = 0.

dx^

As funções y = sen j:, y = 2 cos jr, y = 3 sen x —cos x e, mais geralmente,

toda a função da forma y = Ci sen x, y = Cz cos x ou

senx+ C 2 cos a:

é solução da equaçãlo dada quaisquer que sejam as constantes Ci e Cs; é

fácil de verificar, substituindo estas funções na equação.

Exemplo — 2. Consideremos a equação

x2 —y = 0.

As suas soluções são funções da forma

y = x2 + Cx,

em que C á uma constante arbitrária. Com efeito, encontra-se, derivando a

função y=zx^-{-Cx:

i/' = 2a:+C.

Substituindo as expressões de y e y" na equação dada, obtém-se a

identidade

(2x + C) X — x2 — x2 — Cx = 0,

Cada uma das equações tratadas nos exemplos 1 e 2 possui uma infinidade

de soluções.

18 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL [Ch. X III

§ 3. B2quáções diferenciais de prim eira ordem (noções gerais)

1. Uma equação diferencial de 7.® ordem é da forma

y. «') = 0. (1)

Quando esta equação é resolúvel em / , pode-se pô-la sob a forma 5

y = f { x . y).

Diz-se, então, que a equação diferencial é resolúvel em relação

à derivada. Tem-se para uma tal equação o teorema seguinte sobre a

unicidade da solução.

Teorema — Se na equação

y' = f(^y y)

a função f(x, y) e a sua derivada parcial ^ em relação a y forem

contínuas num certo domínio D do plano Oxy e se (Xo, yo) for um

ponto deste domínio, existe uma solução única y = <p(x) que satisfaz à

condição y —yo quando x — Xq.

Geomètricamente, este teorema significa que existe uma função

y ^ (p(x \ e uma só, cuja curva representativa passa pelo ponto (xo, yo).

Resulta deste teorema que a equação (1') possui uma infinidade

de soluções diferentes (por exemplo, a solução que passa pelo ponto

(xo, yo)\ a solução que passa pelo ponto (;co, >î); a que passa pelo

ponto (xo, >^2), etc., uma vez que estes pontos se encontram no

domínio D),

À condição para que a função y deva tomar o valor dado yo

quando x = Xo chama-se condição inicial. Muitas vezes escreve-se-la

sob a forma 1

y\x=XQ — £/o«

Chama-se solução geral duma equação de 1.® or

Definição— 1.

dem a uma função

( 1 ')

y = i^{x, C),

que depende duma constante arbitrária C e que satisfaz às seguintes

condições:

fl) ^tisfaz à equação ’ diferencial qualquer que seja o valor

concreto da constante C;

b) qualquer que seja a condição inicial y = yo quando x = Xo

isto é, {y)x=x^ = yo^ pode-se determinar um valor C = Co tal que a

função y = <p(x, Co) verifica a condição inicial dada. Supõe-se, então.

(2')

§ 3] EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 19

que os valores Xo e yo pertencem ao domínio de variação das variáveis

jc e no qual são observadas as condições do teorema de existência e

da unicidade da solução.

2. Procurando a solução geral duma equação diferencial, somos

conduzidos muitas vezes a uma relação da forma

0)(x, y, C) = 0,

(2')

não resolvida em y. Obtém-se a solução geral resolvendo esta relação

em relação a y. Todavia, não é sempre possível exprimir y a partir

de (2') por meio de funções elementares; conserva-se a solução geral

sob a forma implícita. Uma igualdade da forma O (x, y, C) = 0\ que

dá implicitamente a solução geral, chama-se integral geral da equação

diferencial.

Definição — 2. Chama-se solução particular a toda a função

y — [x, Co) deduzida da solução geral y = ^ {x, C), pondo nesta

última C = Co. A relação O (x, y, Co) = 0 diz-se, então, um integral

particular da equação.

Exemplo— 1. A equação de primeira ordem

dy ^ y

dx X

Q

tem como solução geral y = — \ pode-se verificá-la por uma simples substituição

na equação.

Procuremos a solução particular que satisfaz às condições iniciais:

Q

yo = 1 cuando ;co = 2. Substituindo estes valores na fórmula í/ —

obtém-se 1 = — , ou seja, C = 2. A solução particular procurada é, pois, a

função ^

9 ^

X

Sob o ponto de vista geométrico, o integral geral representa uma

família curvas planas que dependem dum parâmetro C. Estas curvas

chamam-se curvas integrais da curva diferencial dada. Um integral particular

é Tepresentado por uma curva desta família que passa por um

dado ponto do plano.

Assim, no exemplo considerado, o integral geral é representado

geomètricamente pela família de hipérboles !/ = ^ ^ o integral particular,

definido pela condição inicial dada. pela hipérbole que passa pelo

ponto Mo (2. 1). Representou-se na figura 245 as curvas da família correspondentes

aos diversos valores C = y , C = 1,C = 2, C= — 1, etc.

20 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Para facilitar os raciocínios, chamaremos no seguimento solução

da equação não sòmente à função y = 9 (ar, Co) que satisfaz à equação

proposta, mas ainda à curva integral correspondente. Sendo assim, falar-

-se-á, por exemplo, da solução que passa pelo ponto (xo, yo).

Nota — A equação 4 ^ = — não admite solução que passe pelo

^ ax X

ponto do eixo Oy (fig. 245). Tal deve-se ao facto de ò segundo membro

c^-yi \c-Vz

___ 0

IV=-/

c->/z

F i | g. 245.

da equação ser indeterminado para x = 0 e, por conseguinte, não ser

contínua.

Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em:

d) procurar uma solução geral ou o seu integral geral (se as

condições iniciais não forem dadas) ou

b) procurar uma solução particular que satisfaça às condições

iniciais (se as houver).

3. Demos a interpretação geométrica das equações diferenciais

de primeira ordem.

Seja dada uma equação diferencial resolvida em relação à derivada:

| = / ( x , y) <l')


e seja y = (p{x, C) a sua solução geral. Esta solução geral define a

família das turvas integrais no plano Oxy,

A equação (1') determina para todo o ponto M, de coordenadas

;c e um valor da derivada ^ , isto é, o coeficiente angular da tangente

à curva integral que passa por esse ponto.

Por conseguinte, a equação diferencial (1') define um conjunto

de direcções ou, como se disse, um campo de direcções no plano Oxy,

Do ponto de vista geométrico, a integração duma equação diferencial

consiste em encontrar as curvas cuja tangente em cada ponto

se confunde com a direcção do campo nesse ponto.

Representou-se na figura 246 o campo de direcção definido pela

equação diferencial

^ = _ L

dx X

4. Consideremos, em seguida, o seguinte problema.

Seja dada uma família de curvas que dependem dum parâmetro C:

y = (f{x, C) (2)

tal que para todo o ponto do plano (ou dum domínio no plano)

apenas passe uma curva desta família.

Pergunta-se: qual a equação diferencial que admite esta família

de funções para integral geral?

22 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL [Ch . X III

Acha-se derivando a relação (2) em relação a x:

o . (3)

Uma vez que apenas passa uma só curva da família para qualquer

ponto do plano, cada par de valores z, y define um único valor C

na equação (2). Substituindo este valor C na relação (3) encontra-se ^

como função de jc e Obtém-se, assim, uma equação diferencial que

é verificada para todas as funções da família (2).

Daqui resulta que para estabelecer a ligação entre jc e y e ^dx

isto é, »para escrever a equação diferencial que admite para integral

geral a fórmula (2), é preciso eliminar C nas expressões (2) e (3).

Exemplo — 2. Encontrar a equação diferencial da família de parábolas

y = (fig. 247).

Acha-se derivando em relação a jc a equação da família

dy

dx = 2Cx.

Substituindo C = ~ definida peía equação da família, obtém-se a equação

diferencial dada:

dy _ 2y

dx X '

Esta equação tem um sentido quando

que não corte o eixo Oy.

isto é, em todo o domínio

4] EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 23

§ 4. Equações com variáveis separadas e separáveis.

Problema da desintegração do rádio

Consideremos uma equação diferencial da forma

em que o segundo membro é o produto duma função que depende

somente de x por uma função que depende somente de y. Transformemo-la

como se segue (supondo /2 (y) 0):

1

dy = /i (x) dx.

(1 ')

/2Íy)

Supondo que a função y úe x é

conhecida, pode-se considerar (1'), como a

igualdade dé dois diferenciais, e as suas

primitivas distinguir-se-ão duma constante.

Integrando o primeiro membro em relação

a y e o segundo em relação a jc. obtém-se:

j — [ / i( x ) íir + C.

Fig. 248

Obtivemos uma relação entre a solução

y, a variável independente ;c e a constante independente ac e a>

constante arbitrária C, isto é. que se tem o integral geral da equação (1).

1. A equação diferencial (!')

(1 )

M {x) dx-\- N (y) dy = 0 (2)

chama-se equação com variáveis separadas. Como se acaba de demons-.

trar, o seu integral geral é

í M(x)ãx+\N(y)dy = C.

Exemplo— 1. Seja a equação de variáveis separadas

^ xdx-{-ydy — 0,

O seu integral geral, é « ,,2

o primeiro membro, não sendo negativo, implica o mesmo para o

segundo. Designando 2Ci, por C*, ter-se-á:

a:2 + £/2 = C'2.

É a equação de uma família de circunferências -concêntricas (fig. 248J

com centro na origem das coordenadas e de raio C.


2. Uma equação da forma

il/i (x) N, (y) dx + {x) (y) dy = 0 (3)

chama-se equação de variáveis separáveis. Pode-se reduzir a uma equação

de variáveis separadas (*(*) dividindo os dois membros pela expressão

N i (y) Mîx):

ou

M i{x)N j{y)

N i(y)M ,{x)

M ,{x)N ^(y)

~ ^N i(y )M A x ) ^

MAx) dx NAy) dy = 0.

M A x) * N A y)

que é uma equaô do tipo (2).

Exemplo — 2. Seja a equação

dy

dx

Separemos as variáveis;

Encontra-se, por integração:

dy

y

y

dx

X

logo,

í f = - í ^ + ^ ’

Log I y 1= — Log I X 1+ Log I C 1(•*) ou Log | j/1 = Log

Q

donde se óeúuz a solução geral y = — .

Exemplo — 3.

Seja a equação

(1 + x) y dx + (í— y)xdy=0.

Separemos as variáveis:

1 + ^ d x + -^ -^ d y = 0 ; j á x + ( y — 1 j íij/=0

Integrando, obtém-sé:

hog\x\ + x + Log\y\ — y = C ou Log | xi/1+x— i/ = C

que é o integral geral da equação proposta.

(♦) Estas transformações são legítimas sòmente num domínio em que,

nem (y) nem M- (x) se anulem.

(**) Tendo em consideração as transformações ulteriores, designamos a

constante arbitrária por log | C l , o que é legítimo, porque log | C | (quando

C Ô ) pode tomar qualquer valor de — oo a -H oo .


Exemplo — 4. A velocidade de desintegração do rádio é directafnente

proporcional à sua massa no instante considerado. Determinar a lei de variação

da massa do rádio em função do tempo, sabendo que no instante / = 0 a

massa era mo.

Determina-se a velocidade de desintegração como se segue. Seja m a

massa no instante / e m -HAm a massa no instante / -b A/. A massa desintegrada

no tempo At é Am. A relação

é a velocidade média de desintegração.

O limite desta relação quando A/ —> 0

Am

dm

dT

é a velocidade de desintegração no instante t.

Segundo as condições do problema

àm ,

-dT =

em que k é um coeficiente de proporcionalidade (k > 0). Introduzimos o sinal

menos uma vez que a massa decresce quando o tempo cresce e que, por

conseguinte,

• X

------<C

dm

0

d ^ • o

A equação (4) é uma equação de variáveis separáveis. Separemos as

variáveis:

Integrando, obtém-se:

^ Ê = - k d t .

m

Log m= — kt — Log C,

m = Ce~~î, (5)

Dado que a massa do rádio era mo no instante r = 0, C deve satisfazer

à relação

= C,

Substituindo o valor de C na igualdade <5), obtém-se a expressão procurada

(ver fig. 249) da massa em função do tempo:

m = mê (6)


Dsduz-ss O caeficiente k das observações que se seguem. Seja a % a

fracção da massa inicial desintegrada no tempo /o . Tem-se, pois, a relação

-Mq

donde

— A:ío=Log ^1-— 100/

(^ “ íõõ) •

Desta maneira estabeleceu-se que para a rádio k = 0,000436 (sendo a

unidade do tempo o ano).

Substituindo este valor de k na fórmula (6), obtém-se

^ = ^0^-0.000436/^

Encontramos o período de desintegração do rádio, isto é, o lapso de

tempo durante o qual se desintegra metade da massa inicial do rádio. Substituindo

nesta última fórmula

o período T procurado:

donde

ou

T =

em vez de m, obtém-se a equação que define

mo = moe -0.000436T

—0,000436r= — Log2

Log2

0,000436

:1590

Notemos que outros problemas da física c da química igualmente conduzem

à equação da fórmula (4).

Nota — A equação diferencial de variáveis separadas mais simples

é:

^ = / (x) ou dy = f (x) dx.

O seu integral geral, escreve-se

y = U i ^ ) d x + (^-

Ocupamo-nos deste tipo de equação no capítulo X.

§ 6. Equações homogéneas de primeira ordem

Definição— 1. Diz-se que a função f{x, y) é uma função homogénea

de grau n em relação às variáveis at e y se se tiver para todo o X

f(Xx, Xy) = rf{x, y).


Exemplo— 1. A função / (x, = + é homogénea c de grau 1,

porque

f(kx, Xy) = f (Xx)3 + (Xy)» = X f x3 + y3 = X/ (x, y).

Exemplo— 2. f {x, y) = xy-~y^ 6 uma função homogénea do segundo

grau, porque (Xx) (Xy) — (Xy)^ = [xy — y*].

Exemplo — 3. / (x, y) =

xy é uma função homogénea de grau zero.

porque — íí? , isto é , / (Xx, Xy) = / (x, y)oa /(Xx, Xy) =

(Xx) (Xy) xy ’

= X®/(x, y).

Definição — 2. A equação de primeira ordem

! = / ( - . » ) (í)

diz-se homogénea em relação a x e 3^ se a funçáo / (x, j) for uma função

homogénea de grau zero em relação a x e y.

^y) = /

Resolução da equação homogénea — Tem-se. por hipótese, /(Xx,

yy Fazeijdo nesta identidade X = — , obtém-se:

isto é, que uma função homogénea de grau zero depende sòmente da

relação ^ .

A equação (1) escreve-se. então, neste caso. sob a forma

f)-

Façamos a substituição:

Tem-se. então:

u = i'.

X

dy

dx

isto é,

, du

dx^*

y = ux.

Substituindo esta expressão da derivada na equação (1'). obtém-se

u + x - ^ = / ( l , u).

28 CALCULO DIFERENCIAL E ÍNTEGRAL

É uma equação de variáveis separáveis:

du , ^ du dx

x — = f{\,u)—u ou — --------------= — .

dx t{\,u)— u X

Por integração encontra-se

Substituindo após integração

equação (1').

f

=f-^+c.

ò f {\, u) — U ò X


dy _ xy

dx ~~ x^ — y^

obtém-se o integral da

Tem-se no segundo membro uma equação homogénea de grau zero, pois

a equação proposta é homogénea. Façamos a mudança de variáveis 1- = u,

X

Então:

dy , du

du u du

u-\- X

d x ~ í — u^ ’ dx 1 — 1/2 *

Separando as variáveis, tem-se:

(1—U2) du

X \ u^ u ) X

e por integração:

1 1

—Log| u | = L o g |x | + L og|C l ou — — hog\uxC\,

2u^

Substituindo i / = i , obtém-se o integral geral da equação inicial:

É impossível exprimir aqui y em função de x por meio das funções elementares.

Mas exprime-se fàcilmente x em função de y:

x = y y —2L og|6'i/|.

Nota — A equação

M{x, y)dx + N{x, y)dy = 0

aoenas será homogénea se M (x, y) e N (x, y) forem funções homogéneas

do mesmo grau. Daqui resulta que a relação de duas funções

homogéneas dum único e mesmo grau é uma função homogénea de

grau zero.


Exemplo — 5. As equações

(2x + 3y) dx + (x—2y) dy = 0,

. {x^+y^)dx—2xydy^0

sao homogéneas.

§ 6. Equações redutíveis a equações homogéneas

Reduzem-se a equações homogéneas as equações da forma

dy _ ax+ by -f c

dx

UiX + bty + Cl

Se Cl = c = 0, a equação (1) é, evidentemente, homogénea. Suponhamos

agora que c e Ci (ou um deles) não são nulos. Façamos a

mudança de variáveis:

Então,

x = xi + h, y = yi -f k.

dVi

dx dxi

(2)

Substituindo na equação (2) as expressões das qaantldades x, y,

obtém-se:

dyi axi byi-\- ah-\- hk-{- c

dxi aiXi 6ij/i -t- aji -f- bik Ci

(3)

Escolhamos h t k à» maneira que verifiquem as equações

a h -\-b k -\-c = 0.1 0,

cL\h -f- h\h -(“ Cl = 0. /

(4)

isto é, definamos h e k de modo que seja solução do sistenaa de

equações (4).

A equação (3) torna-se, então, homogénea:

d y i ^ axi - f byt

dxi

a^Xi -(- biyt

Resolvendo esta equação e voltando às antigas variáveis x e y

segundo as fórmulas (2), obtém-se a solução da equação (1).

O sistema (4) não tem solução quando

a

b

bt

= 0 .

30 CALC?ULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

isto é. quando abi — a^b. Mas, então, ^ = y = A. ou «i = Xa,

e a equação (1) pode ser posta sob a forma

A substituição

dy

{ax +by) + c

dx X {ax + by) +

= Xô,

(5)

z = ax by (6)

conduz, então, a equação dada a uma equação de variáveis separáveis.

Com efeito.

dz , ^dy

dx ' cte

donde

dx b dx b ' ^ '

Substituindo as expressões (6) e (7) na equação (5), obtém-se

a_

i dz a _ z-{- c

b dx b Xz-\- Cl

que é uma equação de variáveis separáveis.

O processo utilizado para integrar a equação (1) apIica-se igualmente

à integração da equação

"'

— ^ \

dx Vai^ ' 4" + biy + q Cl/ ’

em que / é uma função arbitrária contínua.

Exemplo— 1. Seja a equação

dy + 3

dx X — y — 1

Para a reduzir a uma equação homogénea façamos a substituição x = Xi + h;

y = yi + k. Então,

diji Ji + t/i + X + fe —3

dxi — i/i + X— k — 1

Resolvendo o sistema de duas equações

vem.

h-\-k — 3 = 0; h — k —1 = 0,

A = 2, k = \.

Obtém-se assim a equação homogénea

àyj__ xi + yi

dXi 1/i

EQUAÇÕES DUFERENCIAIS 31

que se resolve fazendo a substituição

tem-se:

IL = u:

àyi1 du

dx^

, du 14-m

e obtém-se uma equação de variáveis separáveis:

du l-|-u2

dxi 1


1“ U , dx4

-------- du = ------

1 +

Integrando, tem-se:

arc tg u—Y Log (1 + u^) = Log xj + Log C,

ou

arc tg u = Log {Cx^ ~\/T+ü^

Cx^

V\

Substituindo nesta última igualdade----em

Xi

vez de ii, obtém-se:

j--------- arctg —

c y í f T í r ? = e **.

Por tim, passando às variáveis jc e 3^, obtém-se:

C l / ( í - 2 ) 2 + (j,_ l)2 = * “ * -2 .

Exemplo — 2. Não se pode fazer a substituição x=^xi-\-h, y = y| + /p

na equação

2 i+ y —1

4 r+ 2 y + 5 ’

porque o sistema de equação que serve para definir h c k é incompatívd (sendo

2 1

o determinante ^ 2 coeficientes das variáveis nulo).

Pode reduzir-se e§ta equação a uma equação de variáveis separáveis fazendo

a substituição ;

2x + p = 2.

Tem-se, então, y' = z' —2 e a equação toma-se

z — 1

Z ' - 2 :

2z + 5

5z + 9

^2z + 5


Deduz-Be

| - z + -^ L o g |5 2 + 9| = x + C.

Como z = 2x + y obtém-se, finalmente, a solução da equação dada sob

a forma

( 2 x + j/) + - ^ Log 110x + 5v + 91 = x + C

OU

isto é, sob a forma implícita.

Í O i / — 5x -|- 7 Log I lOx -f 5i/ + 9 I= C 1 ,

§ 7. Equações IKreares de primeira ordem

Definição — Chama-se equação linear de primeira ordem a uma

equação linear em relação à função desconhecida e à sua derivada.

Escreve-se

^ + P{x)y = Q (x), (1)

em que C(x) e Q U) são funções contínuas de x dadas (ou constantes).

Resolução da equação linear (1) — Vamos procurar a solução da

equação (1) sob a forma de produto de duas funções de ;c:

y = u{x)v (x) ( 2)

Poder-se-á tomar arbitràriamente uma destas funções; a outra

será, então, definida por (1).

Derivando os dois membros da igualdade (2) encontra-se:

dy_

dx

^dx^ ^dx'

Substituindo a expressão da derivada ^ obtida na equação (l),

d x

ter-se-á

ou

dv .

Escolhamos a função v 3e modo que se tenha

du

(3)

p 4 - P v ~ 0 .

dx

(i)


Separando as variáveis nesta equação diferencial em v, tem-se:

Int^rando. obtém-se

ou

- = - P d x .

V

— Log Cl - f Log v = — I Pdx

Como nos basta ter uma solução qualquer não nula da equação

(4), tomaremos para função v (jc):

v{x) = e ^ ,

(5)

em que \ P dx é uma primitiva qualquer. É evidente que v (a:) ^ 0.

Substituindo o valor encontrado de v (jc) na equação (3). obtém-se

tendo em atenção que dv i .

dx ~ /

ou

du__ Q{x)

dx

v{x)

donde

Q{x)

(x)

dx -f C,

Substituindo na fórmula (2), obtém-se, finalmente:

y

r = y ( x )

<?(x)

dx-f-Ci;(x). (6)

(x)

'Nota — É evidente que a expressão (6) não muda se se tomar

em vez da função v (x) definida por (5) uma função qualquer Vi (x) =

= Cv{x)

3


Com efeito, obtém-se, substituindo Vi (jc) em vez de v (x):

yz=Cv{x) f 9 dx -f- CCv (3:).

J Cv{x)

C desaparece do primeiro termo do segundo membro; o produto

CC do segundo termo é uma constante arbitrária que se pode

designar simplesmente por C, e voltamos a encontrar a expressão (6).

Se se fizer j

dx = (p (x), a equação (6) toma a forma

y=.v(x)(p(x) + Ci;(x).

É evidente que se está no integral geral, porque se pode escolher C

de maneira que seja satisfeita a condição inicial:

y = Uo quando x = Xq.

C é determinado pela equação

Uo=^ (^0)

Exemplo — Resolver a equaçSo

(^0) +Cu {xq).

(6')

Resolução — Façamos y = uv; tem-se

du dv , du

-^ = U -y - + ^ -V .

dx dx dx

Substituindo a expresão 4 ^ na equação dada, obtém-se:

dx

dv , du

■UV={x+i)9,

dx dx x-\-í

( dv 2 \ du

u — — \- —— V -

Para a determinação de v, obtém-se a equação

(7)

isto é,

donde

ou

dv 2

i;=0,

d x x + 1

dv

V

2dx

x + í ’

Log y = 2 Log (0:4-1)

y= (r+ 1)2.

EQUAÇÕES DIFEJRENCIAIS 35

Substituindo a expressão da função v na equação (7), obtém-se pela determinação

de II, a equação

donde

„ = ( £ ^ + c .

Por conseguinte, o integral geral da equação dada escreve-se

(x + 1)"

y = - - + C(X + 1)2.

A família obtida é a solução geral. Qualquer que seja a condição inicial

(xo, y o ) em que jco^ — 1, pode-se escolher sempre C de modo que a solução

particular correspondente satisfaça à condição inicial dada. Assim, a solução

particular que satisfaz à condição yo = 3 para Xo = 0 é definida como se segue:

3 _ (0+ l)‘ _j_C(0+l)i;

Por conseguinte, a solução particular procurada é

( ^ + 1 ) " ■ 5

y- 2 - + y (x + D * .

Todavia, se se toma a condição inicial (jco, yo) de modo que Xo = — 1,

não se pode deduzir uma solução particular que satisfaça a esta condição.

2

Tal deve-se ao facto da função P (x)= -----------ser descontínua no ponto

X -j-1

jCo = — 1 e as condições do teorema da existência da solução não serem observadas.

§ 8. Eqaação de Bernoalli

Consideremos uma equação da forma (♦)

dy

--\-P { x )y ^ Q { x )y ’^,

(1)

em que P{x) q Q (x) são funções contínuas de x (ou constantes) e

n =7^ 0. (caso contrário não se teria uma equação linear).

(*) Nesta equação se conduz o problema sobre o movimento do corpo

se a resistência do meio F depender da velocidade: F =

A equação do movimento será, então,

du . dv

dt

m

-

m

3*


Esta equação que se chama equação de Bernoulli, reduz-se a uma

equação pela seguinte transformação.

Dividindo todos os termos da equação por obtém-se:

Façamos, em seguida, a substituição:

z = z/“ " + \

Então,

dz , , -ndy

= ( ^ n + í)y

dx

dx

Substituindo na equação (2), obtém-se:

(2)

É L ^ n + l) Pz = { - n + i)Q .

dx

É uma equação linear.

Calculando o seu integral geral e substituindo em e a sua expres

obtém-se o integral geral da equação de Bernoulli.

são

Exemplo — Resolver a equação

^ - \ - x y = x^y^.

dx

Resolução — Dividindo todos os termos por y’, obtém-se:

y~^y' + xy~^ = x^.

Introduzamos a nova função z= y~^.

Tem-se, então,

(3)

(4)

Substituindo na equação (4), obtém-se:

dz

— 2xz = —2x3. (5)

dx

É uma equação linear.

Achemos o seu integral geral:

dz dv . du

z = uv\ —j — = u - 5 -------\- - 3 — V.

dx dx ^ dx

Substituámos na equação (5) as expressões de z e de

ou

dü du

u —— 1--3— v—2xuv= —2x3

dx dx

dz

dx


Anulemos a expressão entre parêntesis:

-=----- 2xv = 0 ; — = 2x d x;

dx

V

Log u = x^\ u =

Obtém-se, para definir u, a equação


dx

- 2 l3 .

d u = —2e“ * V dx, w= —2 ^ e“ **x® d*+ C .

Integrando por partes, vem

u = + C ;

z = ui; =

-|-1 + Ce^^.

Tem-se pois o integral geral da equação dada:

^2

y-^ = x^-{-í-]-Ce

ou y

1

K ia + l + Ce**

Nota — Tal como para as equações lineares, demonstra-se que

se pode encontrar a solução da equação de Bernoulli sob a forma de

produto de duas funções:

y = u{x)v (x),

onde v(x) é uma função arbitrária não nula, que satisfaz à equação

v' Pv = 0.

§ 9. Equações de diferenciais totais

Definição — A equação

M {x, y) dx + N (x, y) dy = 0 (1)

chama-se equação de diferençais totais se, M {x, y) e N (x, y) forem

funções continuas deriváveis tais que

dM

dN

dx

(2)

e as derivadas parciais e ^ sejam contínuas num certo domínio.

Integração de diferenciais totais — Mostremos que se o primeiro

membro da equação (1) for um diferencial total, a condição (2) é


observada, e inversamenle, se a condição (2) for observada, o primeiro

membro da equação (1) é o diferencial total duma certa função u (jc.

isto é. que a equação (1) é da forma

cujo integral geral é da forma

du {x, y) = 0 (3)

U (x, y) = C.

Em primeiro lugar suponhamos que o primeiro membro da

equação (1) é o diferencial total duma certa função u (j:, y), isto é,

então.

M{x, y)dx + N(x, y) dy = du = ^ d x + ^dy;

du du

M = ^ ; N = ^ .

dx dy

Derivando a primeira relação em ordem a 3^ e a segunda em

ordem a x, obtém-se:

dM

d \ dN dû

dy dxdy dx dy dx

Supondo que as derivadas segundas são contínuas, tem-se

dM dN

dy dx

isto é, que a igualdade (2) é uma condição necessária para que o

primeiro membro da equação (1) seja o diferencial total duma certa

função u (jc. >^). Mostremos que esta condição é também suficiente,

isto é. que se as igualdade (2) tiverem lugar, o primeiro membro

da equação ( 1 ) é o diferencial total duma certa função u ( jc, y).

Da relação

deduz-se:

g = « ( x , V)

u = l M{x, y) dx + Cp (i/),

3C0

em que jco é a abcissa dum ponto arbitrário no domínio de existência

da solução.

Integrando em relação a jc, suponhamos y constante, e, por conseguinte,

a constante de integração é substituída aqui por uma função

(piy) de modo que seja observada a segunda relação de (4).

(4)


Para este efeito, derivemos (*) os dois membros d i última igualdade

em relação a y e igualemos o resultado a N (x, y):

ou

ou

dy J ày

Xo

dM dN

Mas c o m o ^ ^ = ^r— , pode-se escrever:

dy dx

X

= N{x, y).

f - dx + cp' {y) = N, isto é, ^ v) l*o "t" ^ (y) — ^ í/O

J dx

X o

Por conseguinte,

N (x, y) - N {xo. y) + 9 ' (í/) = ^^

cp' {y) = ^ ( ^ 0 . y)

cp {y) = \ ^ (^ 0, y) <^y +

I/)*

Consequentemente, a função u (x, y) será da forma

y

u = j M (x, y)dx+ I N {xq, y) dy -f Cj.

P(jCo, }ô) representa aqui um ponto na vizinhança do qual existe a

solução da equação diferencial (1).

Igualando esta expressão a uma constante arbitrária C, obtém-se

o integral geral da equação (1):

\ M {x, y) dx-\-l N (xo, y) dy = C. (5)

^0

Ih

(*) O integral ^ M (x, y) dx depende de y. Para encontrar a derivada

*0

deste integral em relação a y, é preciso derivar em relação a y a função sob

o sinal soma:

^

^ f ^ dM

~ ^]M (x, y)dx=--^ -^dx.

xo

Isto resulta do teorema de Leibnitz sobre a derivação dum integral

definido em relação a um parâmetro (ver § 10, capítulo XI).

Xo


Exemplo — Seja a equação

*2àX —

—^ (ix+ ^— -— dy = 0.

certifiquemo-nos de que se trata de um diferencial total.

Designemos

2x

M =

y*

então,

ày ~~

6x

A condição (2) é observada para O primeiro membro da equação

dada é, pois, o diferencial total duma certa função u (x, y). Procuremos essa

função.

_ du 2x

Como — = —5-, tem-se

dx

d_N

dx

6x

« = ^ -|F < i* + 'P (y )= -^ + <P(y).

em que <p(y) é uma função de y que é preciso determinar.

Derivemos esta relação em ordem a y e tenhamos em consideração que

Tem-se

du __ _y^— 3x^

dy y*

por conseguinte.

1 1

<P'(í')=-rr> =

Logo, o integral geral da equação proposta é

4 - ^ = c .

§ 10. Factor integrante

Suponhamos que o primeiro membro da equação

M{x, y)dx + N{x, y)dy = 0 (1)

não é um diferencial total. Por vezes é possível escolher uma função

/I (x, y) tal, que se se multiplicar o primeiro membro da equação

proposta por esta função, este primeiro membro se transforma num

diferencial total. A solução geral da equação assim obtida coincide

com a solução geral da equação proposta; a função /i (x, y) diz-se um

factor integrante da equação (l).

EQUAÇÕES DIPETRENCIAIS 41

Para encontrar um factor integrante /x, procede-se como se segue;

multipliquemos os dois membros da equação dada pelo factor integrante,

ainda desconhecido, fx:

isto é.

ou ainda

liM dx + (xiV dy = 0.

última equação seja uma equação

e suficiente que se tenha:

d(\iM )

dy

d{]iN)

dx

dM

dN

= u-------f iv ,

ày dy dx dx

. dy, ( dN d M \

=U -------

dy dx V dx dy ) '

Obtém-se, calculando o quociente dos dois membros desta última

equação por /i:

»

y ^Log|Lt^ ^ 7 V

dM

dy dx dx dy

(2)

É evidente que qualquer /x {x, y) que satisfaça a esta última

equação é um factor integrante da equação (1). A equação (2) é uma

equação de derivadas parciais da função desconhecida ju, que depende

de duas variáveis x q y. Demonstra-se que, nas condições determinadas,

ela possui uma infinidade de soluções e resulta que a equação (1)

tem um factor integrante. Mas no caso geral, é mais difícil de determinar

>^) em (2) do que integrar a equação proposta (1). É sòmente

nestes dois casos particulares que se chega a determinar a função /x {x, y).

Suponhamos, por exemplo, que a equação (1) admite um factor

integrante dependente sòmente de y. Então,

^Log|Ll

e obtém-se para /x uma equação diferencial ordinária:

dx

:0

dN

dM

d Log jui dx dy

dy

M


donde se determina (para uma quadratura) Log/x e portanto /x. É claro

que se não pode proceder assim se a expressão

não depender de jc.

ÔN dM

dx dy

M

Duma maneira análoga, se a expressão

dN

dM

não depender

de y mas somente de x encontra-se fàcilmente o factor integrante que

depende somente de x.

Exemplo — Resolver a equação

{y + xy2) dx— xdy = 0.

Resolução — Aqui M = y + xy^; N = --x ;

Õ M , , ^ dN . dM dN

— _ l + 2iy,

Daí resulta que o primeiro membro da equação não é um diferencial

total. Vejamos se esta equação admite um factor integrante, dependente sòmente

de y. Terido em atenção que

dN dM

dx dy _ —1— 1 — 2xy _ ^

M “ y + xy"^ ~ y

conclui-se que de facto assim é. Achemo-lo:

donde

dLog í i _____^

dy

L o g p = —2Logí/, soitp, = - ^ .

Obtém-se, após multiplicação de todos os termos da equação proposta

pelo factor integrante n, a equação

de diferenciais totais = = ---- .Resolvendo esta equação, encontra-se

Vdy dx í/2 )

o seu integral geral:

x x^

- + - ^ + 0 = 0

ou

P =

2x

x^-\-2C


§ 11. Envoltório duma família de curvas

Seja uma equação da forma

o (x, y, C) = 0, (1)

em que x q y são as coordenadas cartesianas variáveis e C um parâmetro

susceptível de tomar diversos valores fixos.

Para cada valor dado do parâmetro C, a equação (1) define uma

certa curva no plano Oxy. Dando a C todos os valores possíveis, obte-

F i g . 250. F i g. 251.

mos uma família de curvas dependentes dum parâmetro. Por conseguinte,

a equação (1) é a equação duma família de curvas dependente dum

parâmetro (ela contém somente um parâmetro arbitrário).

Definição — Chama-se envoltório L duma família de curvas com

um parâmetro, a uma curva tangente em cada um dos seus pontos

a uma curva da família (fig. 250).

Exemplo— 1. Consideremos a família de curvas

{x-C)^ + y^ = R^,

em qu3 R é uma constante e C um parâmetro.

É a equação duma família de círculos de raio R centrados sobre o

eixo Ox. É evidente que esta família admite como envoltório as rectas y = R,

y = - R (fig. 251).

Equação do envoltório duma família de curvas. Seja a família

de curvas

0) (x, y, 0 = 0 (1)

dependente dum parâmetro C.

Suponhamos que esta família tem um envoltório cuja equação pode

ser posta sob a forma y = (p(jc), sendo ^ (jc) uma função contínua


derivável. Consideremos um ponto Af (jc, y) do envoltório. Este ponto

pertence também a uma certa curva da família (1). Corresponde a

esta curva um determinado valor do parâmetro C que, para (x, y)

dado, é definido pela equação (1) C = C ( jc, y). Por conseguinte, tem-se

para todos os pontos do envoltório a igualdade

(^{x, y, C{x, í/)) = 0. (2)

Suponhamos que C ( jc, >^) é uma função derivável não constante

em nenhum intervalo dos valores de jc, y considerados. Calculemos a

partir da equação (2) do envoltório o coeficiente angular da tangente

ao envoltório no ponto M {x, y). Derivemos a igualdade (2) em relação

a JC, considerando y como função de jc :

ou

dO

dx

dOdC

dC dx

-j- ^yy “V

dO

dy

dO dC

dC dy

dC dC .

L dx

dy

í/' = 0

= 0. (3)

Deduz-se, em seguida, o coeficiente angular da tangente no ponto

M{x, y) à curva da família (1) da igualdade

(C é constante na curva dada).

^ Suporemos Oy 0, senão tomaríamos jc como função e y como

variável. Dado que o coeficiente angular k do envoltório é igual ao

da curva da família, deduz-se de (3) e (4):

(4)

Mas como para o envoltório C {x, y) ^ constante,

dC , d c

e tem-se, pois, para os pontos desta última

a)c(:r, y, C) = ü.

(5)

Por conseguinte, determtna-se o envoltório pelas dtms equações

seguintes:

O c, (xy, C) = 0, I

c {xc, y, C) = 0. J

(6 )


Inversamente, se, eliminando C destas equações, se obtém y = (p(x),

em que ^ (x) é uma função derivável t constante sobre esta curva,

então y = (p(x) é a. equação do envoltório.

N ota— 1. Se uma certa função y = (p{x) representa o lugar

geométrico dos pontos singulares da família (1), isto é, pontos tais que

O i = 0 e (l>y = 0, as coordenadas destes pontos verificam igualmente

as equações (6).

Com efeito, pode-se exprimir as coordenadas dos pontos singulares

em função do parâmetro C que entra na equação 0)*

x = ^(C), y = ix(C). (7)

Se se substituir ests expressões na equação (1), obtem-se uma

identidade em C:

(t>lX(C), ii(C), C1=0.

Derivando esta identidade em relação a C, obtém-se:

como se tem, qualquer que seja o ponto singular, as igualdades =

<I)y = 0, resulta que se tem também para estes pontos (1)^ = 0.

Acabamos, pois, de demonstrar que as coordenadas dos pontos

singulares verificam as equações (6).

Assim, as equações (6) definem quer o envoltório quer o lugar

geométrico dos pontos singulares das curvas da família (1), quer uma

combinação duma e doutra. Por conseguinte, tendo obtida uma curva

que satisfaça às equações (6), importa fazer um estudo especial para

determinar se a curva obtida é o envoltório, ou melhor, um lugar de

pontos singulares.

Exemplo — 2. Encontrar o envoltório da família dos círculos dependentes

dum parâmetro C

(x _ Q 2 + y2 —i}2 = 0. ' ‘ iVc

Resolução — Derivando obtém-se a equação da família em relação a C:

2 (x —C) = 0. <

Eliminando C nestas duas equações, obtém-se:

y2 — = 0 ou y = zh/?.

Resulta de considerações geométricas que o par de rectas obtidas é bem

o envoltório (e não um lugar de pontos singulares, dado que os círculos da

família não têm pontos singulares).

Exemplo — 3. Achar o envoltório da família de rectas:

em que a é o parâmetro.

x co sa + y sen a —p = 0,

(a)


Resolução — Encontra-se derivando em relação a a, a equação da família

— a; se n a + y COS a = 0. (b)

Para eliminar o parâmetro a das equações (a) e (b), multipliquemos a

P"imeira por cos a, a segunda por sen a e juntemo-las membro a membro.

Obtém-se:

x = p co sa.

Encontra-se, substituindo esta expressão na igualdade (b):

i/ = psén a.

ÊleVfemos ao quadrado os dois membros das equações precedentes e

juntemo-los. Tem-se:

x 2 -j-z/2 = p 2 .

É a equação de um círculo. Este círculo é o envoltório da família de

rectas (e não um lugar de pontos singulares, porque as rectas não têm singularidadê)

ffig. 252X

Exemplo — 4. Achar o envoltório das trajectórias dos projécteis lançados

por um canhão à velocidade v„ sob ângulos diferentes. Supõe-se que os projécteis

são lançados da origem das coordenadas c que as suas trajectórias se encontram

no plano Oxy (despreza-áe a resistência do ar).

Resolução — Achemos em primeiro lugar a equação da trajectória dum

projéctil lançado sob um ângulo a no sentido positivo do eixo Ox. O movimento

do projéctil é a sobreposição de dois movimentos: dum movimento uniforme de

velocidade * Vo na direcção do lançamento e dum movimento de queda sob

a acção da gravidade. A posição do projéctil M será, pois, definida eàn cada

instante t pelas igualdades (fig. 253):

x = vqí cos a ,

gt^

y Q = V Q t a ---- Y ' •

São as equações paramétricas da trajectória (o parâmetro é o tempo).

Eliminando t, encontra-se a equação da trajectória sob a forma:

j, _ I tg a — 2 , a ’


Por fim, introduzindo a notação iga = k, 75^ = ^» obtém-se:

y = kx — (i k"^). (8)

É a equação das parábolas que passam pela origem, de eixos verticais

e de ramos virados para baixo. Oblém-se diferentes trajectórias fazendo variar k.

rx equação (8) é pois a equação duma família de parábolas com um parâmetro,

que são as trajectórias dos projécteis lançados sob diferentes ângulos a e

com â velocidade inicial dada (fig. 254).

Procuremos o envoltório desta família de parábolas.

Derivando os dois membros da equação (8) em relação a k, obtém-se:

X — 2akx^ — 0.

Eliminemos k nas equações (8) e (9). Obtém-se:

(9)

É a equação duma parábola de vértice no ponto e eixo é Oy.

Não é um lugar de pontos singulares (as parábolas (8) não tem pontos

singulares). Assim, a parábola

1 2

é o envoltório da família de trajectórias. Chama-se parábola de segurança, porque

a região que se encontra em redor desta parábola está fora do alcance dos

projécteis lançados com a velocidade inicial Vo.

Exemplo — 5. Encontrar o envoltório da família de parábolas semi-

-cúbicas

í/3 — { x — C)2 = 0.

Resolução — Derivemos a equação dada em relação ao parâmetro C:

2(x —C) = 0.

Obtém-se eliminando o parâmetro C das duas equações

í/ = 0.


O eixo Ox é o lugar geométrico dos pontos singulares (dos pontos de

reversão de primeira espécie) (fig. 255). Com efeito, procuremos os pontos

singulares da curva

y3__(a:--C)2 = 0,

sendo C fixo. Encontra-se derivando em relação axey;

/ ’i = - 2 ( x - C ) = 0;

Fy = 3í/2 =; 0.

Resolvendo as três últimas equações, encontram-se as coordenadas do

ponto singular: x = C, y = 0, por conseguinte, cada curva da família tem um

ponto singular sobre o eixo Ox.

Os pontos singulares descrevem o eixo Ox completamente quando o

parâmetro C varia duma maneira contínua.

Exemplo — 6. Achar o envoltório e o lugar geométrico dos pontos

singulares da família

( y - C ) ^ - j ( x - C ) 3 = 0. (10)

Resolução — Derivando em ordem a C os dois membros da equação (10),

tem-se:

- 2 ( y - C ) + f 3 ( x - C ) 2 = 0

ou

C— (X —C)2=0. (11)

Eliminemos agora o parâmetro C da igualdade obtida (11) e da equação

(10) da família. Substituindo a expressão

na equação da família, obtém-se;

-ou

y—C = (i—C)2

( i _ C ) i _ _ ( x _ C ) 3 = 0

( x - C ) 3 [ ( x - C ) - | ] = 0 ;


obtém-se assim dois valores de C aos quais correspondem duas soluções do

problema proposto.

Primeira resolução:

C = x;

deduz-sc, pois, da igualdade (11):

Segunda resolução:

r 2 C = x - 3 - ;

deduz-se, pois, da igualdade (11):

ou

y —X—(x—x)2 = 0

y = x.

y = x— 9 •

Obtivemos duas rectas y = x e y = x— g-. A primeira recta é o lugar

dos pontos singulares e a segunda o envoltório (fig. 256).

Nota — 2. Demonstramos, no § 7, cap. VI, que as normais a

uma curva eram ao mesmo tempo as tangentes à evoluta. Vp-se, pois.

que a evoluta duma curva é o envoltório da família das normais a

esta curva (fig. 257).

Esta nota permite ainda indicar um método para a procura da

evoluta: encontra-se a equação da evoluta duma curva definindo prèviamente

a família das normais a essa curva, procurando depois o envoltório

desta família.


§ 12. Soluções singulares das equações diferenciais

de primeira ordem

Suponhamos que a equação diferencial

tem por integral geral

f { . . y. | ) = 0

(S>{x, y, C) = 0.

(1)

(2)

Suponhamos que a família de curvas integrais da equação (2)

tem um envoltório. Mostremos que este envoltório é igualmente uma

curva integral da equação diferencial (1).

Com efeito, o envoltório é tangente em cada um dos seus pontos

a uma certa curva da família, isto é, que ela tem nesse ponto uma

tangente comum com a curva. Por conseguinte, em cada ponto do

envoltório, as quantidades jc, y, / 's ã o as mesmas para o envoltório e

para a curva da família.

Ora para a curva da família as quantidades x, y, / verificam a

equação 0)- Resulta daí que a abeissa, a ordenada e o coeficiente

angular de cada ponto do envoltório verificam ta m b ^ esta mesma

equação, o que significa que o envoltório é uma curva integral e que

a sua equação é uma solução da equação diferencial dada.

Mas o envoltório não sendo em regra uma curva da família,

a sua equação não pode ser deduzida do integral geral (2), particularizando

C. É uma solução singular da equação diferencial.

Suponhamos conhecido o integral geral

O (o;, y, C) = 0 ;

eliminando C desta equação e o da equação (jc, y» C) = 0, obtém-se

uma equação ^ (x, y) = 0. Se esta função verifica a equação diferencial

(mas não pertence à família (2))„ é um integral singular.

Notemos que passam pelo menos duas curvas integrais por cada

ponto do integral singular, isto é, que a unicidade da solução é violada

em cada ponto dum integral singular.

Exemplo — Achar a salução singular da equação

y2 (l+ y '2 ) = i?2.

Resolução — Calculemos o seu integral geral. Resolvamos a equação em

relação a y';

______

dy V fí^ - y ^

=± -

dx

(♦)


Separando as variáveis, tem-se

yày

- = dx.

Ddduz-se o integral geral por integração:

(x — + =

Vê-se que a família de curvas integrais é a família de círculos de raio R

com centros no eixo das abcissas. O envoltório desta família de círculos é

dada pelas duas rectas y = R.

As funções y = ± R verificam a equação diferencial (*). Elas representam

os integrais singulares.

§ 13. Equação de O a ira u t

Consideremos a seguinte equação

chamada equação de Clairaut, Integra-se introduzindo um parâmetro

auxiliar. Façamos, com efeito,

= p ; a equação (1) toma a forma

dx

y = xp + '^{p).

Derivemos todos os termos desta última equação em relação a x,

tendo em vista que p = ^ é uma função de x:

dx

(!')

ou

[x + ij)'(p )]^ = 0.

Anulemos, separadamente, cada factor. Obtém-se:

dp

^ = 0 (2)

dx'

X + '^'{p) = 0. (3)

1. A integração de (Z) dá p = C (C = cpnst). Substituindo este

valor de p na equação (1), encontra-se o seu integral geral

y = xC+Vp{C) (4)

que representa, do ponto de vista geométrico, uma janúlia de rectas.

4*

52 CAl/TULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2. , Tiremos p da equação (3) de modo que seja função de x

e substituamos na equação (10: tem-se

y = x/>(x)-f t[jo(x)]

que. como vamos ver. é uma solução da equação (1).

Com efeito, encontra-se em virtude de (3):

(1'0

% = P + [^ + ^'(P)]%=P-

Por conseguinte, obtém-se uma identidade quando se substitui a

função (1'0 na equação (1):

xp -I- iKp ) =

-f t|)(p).

A solução (1'0 não pode ser obtida a partir do integral geral (4)

na equação (1), paiticularizando C. É uma solução singular; obtém-se

eliminando p das ^quações

y ^ x p

a: + il)' K(P) = 0

OU, o que equivale o mesmo, eliminando C nas equações

y = xC + ^ (C);

X -j- t|?c (C) = 0.

Vê-se, pois. que a solução singular da equação de Clairaut é o

envoltório da família de rectas definidas pelo integral geral (4).

Exemplo — Achar os integrais geral c singular da equação

dy ,

dy

dx

J

dy

Resolução — Obtém-se o integral geral substituindo por C:

dx

aC

y — xC +

y i + C2

a C:

Para obter a solução singular, derivemos esta última equação em relação

(l+,Ga)»/2 =0.


Obtém-se a solução singular (o envoltório) sob forma paramétrica (sendo

C um parâmetro):

y =

(i+ c y /* ’

oC»

Eliminando o parâmetro C acha-se a dependência entre jc e 3^. Elevando

cada uma destas equações separadamente à potência % e juntando membro

a membro, obtém-se a solução singular sob a forma

*Vs + y

Vs^flVs.

Ê um astroide. Todavia, o envoltório da família de rectas (e portanto

a solução singular) não está representada pelo asteroide completamente, mas

pela metade esquerda (porque as equações

paramétricas do envoltório mostram que x < 0

(fig. 258).

Solução

4 particuUtr

§ 14. Equação de Lagrange

Assim se chama uma equação da

forma

y = x<p (y')+i|) (y'), (1)

dy

em que ^ e ^ são fuâções dadas de ~ .

tC

Esta equação é linear em relação

a X e y, A equação de Clairaut, examinada

no parágrafo anterior, é um

caso particular da equação de Lagrange

quando ^ ( /) = / . Tal como a equação de Clairaut, a equação de

Lagrange integra-se introduzindo um parâmetro auxiliar p, Façamos

y'= p \

a equação proposta toma, então, a forma

y = x(p(p) +ip(j>).

Derivando em relação a x, obtém-se

(1')

P = (p) = (p) + f (p)] % ■ (1")


Encontra-se, logo à primeira vista, certas soluções desta equação

porque se torna numa identidade para qualquer valor constante p = Po

que verifique a condição

Po — <P(Po) = 0.

Com efeito quando p é constante, tem-se

bros da equação (1") anulam-se.

= 0 e os dois memdx

A solução correspondente a cada valor de p = po. isto é, ^ = Po.

é uma função linear de x (dado que a derivada ^ é somente constante

para as funções- lineares). Para encontrar esta função, basta substituir

na igualdade (1') o valor p = p„\

I/ = X(í)(po) + ll5(po).

Se esta solução não puder ser -deduzida da solução geral particularizando

a constante arbitrária, é uma solução singular.

Encontremos neste momento a solução geral. Para tal efeito, escrevamos

a equação (1") sob a forma

dx ^ <p'(p) _ •>I^'(P)

dp p — <P(P) P — <P(P)

e consideremos x como função de p. A equação obtida é, então, uma

equação diferencial linear em relação à função x(p).

Encontra-se, resolvendo-a.

x = \o(p, C). (2)

Eliminando o parâmetro p das equações (10 e (2), obtém-se o

integral geral da equação (1) sob a forma

Exemplo — Seja a equação

0 ( x , y, 0 = 0.

y = xy'^ + y'2.

Façamos y'= p, obtém-se:

y = xp^ + p^.

Derivemos em ordem a x. Tem-se:

p = pí + [2ip + 2 p ] - ^

(1)

(!')

(10

Achemos as soluções singulares. Dado que p — p' quando po = 0 c Pi = 1,

ter-se-á como solução as funções (ver (!')):

y =z=o:.02 + 02, isto é, i/ = 0

TOUAÇOES DIFERENCIAIS 55

y = x + í.

Saber-se-á se estas funções são soluções particulares ou singulares após

ter encontrado o integral geral. Para achar o integral geral escrevamos a

a equação (T") sob a forma

dx 2p______ 2

~dp *P— 1 —P

e consideremos x como função da variável independente p. Integrando *a

equação linear (relativamente a x) obtida, tem-se

x= — 1- (II)

(P -D * *

Eliminando p nas equações (F) e (II), obtém-se o integral geral:

y = ( c + y í+ i) ® .

A equação proposta tem por integral singular

v=0,

dado que esta solução não resulta da solução geral particularizando C.

Quanto à função y = a: + l, não é uma solução singular, mas uma

solução particular; deduz da solução geral fazendo C = 0.

§ 15. Trajectórias ortogonais e isogonais

Consideremos uma família de curvas com um parâmetro

O {x y, C) = 0.

Chamam-se trajectórias isogonais às curvas que cortam todas as

curvas da família dada (1) sob um ângulo constante. Se se tiver um

ângulo recto, estas curvas são, então, trajectórias ortogonais,

Trajectórias ortogonais — Procuremos a equação das trajectórias

ortogonais. Escrevamos a equação diferencial da família de curvas

dada. eliminando o parâmetro C das equações

dL(x, y, C)=0

Seja

dd)

dx

d<l> dy

= 0.

dy dx

d")

essa equação diferencial.

56 CAL.CULO DIFERENCIAL. E INTEGRAL

é aqui o declive da tangente no ponto M(x, y) na curva correspondente

da família. Dado que a trajectória ortogonal que passa

pelo ponto M(x, y) é perpendicular à

curva correspondente, o seu declive ^

está ligado a ^ pela relação (fig. 259)

dx

dx

dyx

dx

(2)

Substituindo esta expressão na

equação (1') e omitindo o índice T,

obtém-se uma relação entre as coordenadas

dum ponto arbitrário (x, y) e o

declive da trajectória ortogonal deste

ponto, isto é, a equação diferencial das trajectórias ortogonais

F l X, y, (3)

O integral geral desta equação

(Di(x, y,C) = 0

representa a família das trajectórias ortogonais.

As trajectórias òrtogonais encontram-se, por exemplo, quando

se estuda o derramamento plano dum fluído.

Consideremos o movimento plano dum fluído tal que o vector

velocidade v (x, y) da corrente seja definido em cada ponto do plano

Oxy. Se este vector apenas depende da posição do ponto e não do

tempo, diz-se que o movimento é estacionário. Vamos considerar um

tal movimento. Além disso, suporemos que existe um potencial de

velocidades, isto é, uma função u(x, y) tal que as projecções do

vector V (x, y) sobre os eixos de coordenadas y* (x, y) e v„ (x, y)

sejam derivadas parciais desta função em relação a x e

du du

dx = = (4)


As curvas da família

u (x, y) = C (5)

chamam-se linhas de nível ou linhas equipotenciais.

As curvas cuja tangente em cada ponto se confunde com o

vector V (x, y) chamam-se linhas de corrente; elas materializam as

trajectórias das partículas em movimento.

Mostremos que as linhas de corrente são as trajectórias ortogonais

da família de linhas equipotenciais (fig. 260).

Seja o ângulo formado pelo vector velocidade v t o eixo Ox,

Tem-se, em virtude das relações (4),

F i g. 260.

du{x, y)

dx

== V I COS (p;

du{x, y) _ \

ày

V sen (p;

donde se deduz o declive da tangente à linha

de corrente

(6)

tgq):

du{x, y)

ày

du{x, y)

Obtém-se o declive da tangente à linha equipofencial derivando

a relação (5) em relação a jc:

dx

donde

du

d^

dx

dudy_

du

dx

' dü'

dy

(7)

Por conseguinte, o declive da tangente à linha equipotencial é o

inverso mudado de sinal do declive da tangente à linha de corrente.

Daí resulta que as linhas equipotenciais e as linhas de corrente

são ortogonais.

No caso dum campo eléctrico ou dum campo magnético, as

trajectórias ortogonais da família das curvas equipotenciais são as linhas

de força do campo.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Exemplo— 1. Achar as trajectórias ortogonais da família de parábolas

y = Cx\

Resolução — Escrevamos a equação diferencial da família,

Obtém-se eliminando C:

y' = 2Cx,

Substituindo nesta igualdade y' por — ^

y

^

, obtém-se a equação diferencial

da família das trajectórias ortogonais

ou

O seu integral geral é

ydy =

Fig. 261

1 ^ 2

yy' ~~ ^

X dx

2 •

-J- + \ - = C2.

Por conseguinte, as trajectórias ortogonais da família de parábolas dada

formam uma família de elipses de semi-eixos a = 2C, b = C'{/2 (fig- 261).


Trajectórias isogonais — Suponhamos que as trajectórias cortam

as curvas duma dada família sob o ângulo a. Façamos tga = k.

O declive ^ = tga (fig. 262) da tangente à curva da famãia

dVT

e 0 declive = tg ^ da tangente à trajectória isogonal estão ligadas

pela relação

tg< P== tg(i|) — a)^

isto é.

dy dx — k

dx

dx

tgil5 —tg a

1 + t g a t g i l ) ’

(Z)

Substituindo esta expressão ná equação ( r) e omitindo o índiee T,

obtém-se a equação diferencial das ^sajeetórias isogonais.

Exemplo — 2. Achar as trajectórias isogonais da família de raotas

y = Cx. (8)

Supõe-se que estas rectas são cortadas sob o ângulo a e fár-se-á iga = k.

Resolução — Escrevamos a equação diferencial da família de rectas. Derivemos

a equação (8) em relação a x:

dy

dx

Por outra via, deduz-se da mesma equação

c= l..

A equação da família de rectas é, pois,

dy

dx

Obtém-se a equação diferencial das trajectórias isogonais servindo-nos da

relação (20

dyr

dx

dx


Tem-se, pois, omitindo o índice T:

dy

dx

l- J t- L

Obtém-se o integral geral integrando esta equaçáo homogénea:

Log + = X ** ■f'

que é a família das trajectórias. Para ver quais são as curvas desta família.

passemos a coordenadas polares:

Fig. 263

— = tg<p; V^^ + y^ = P*

X

Obtém-se, substituindo estas expressões em (9)

1

Logp=-jf (p+LogC

p = C e '‘ .

Vê-se que a família das trajectórias isogonais é composta de espirais

logarítmicas (fig. 263).

§ 16. Equações diferenciais de ordem superior a um

(noções gerais)

Como indicámos mais acima (ver § 2). pode-se escrever simbòlicamente

uma equação diferencial de ordem n sob a forma

y, y , y = o (1)


OU ainda, se se resolver em relação à derivada de ordem /i,

= y, y, y", .... y^"~% (1')

No presente capítulo, apenas consideraremos equações resolúveis

em relação à derivada de ordem mais elevada. Tem-se para estas

equações um teorema de existência e de unicidade da solução análogo

ao das equações de primeira ordem.

Teorema — Se na equação

y<'‘>= /(x . y , y .........

a função f(x, y, / , .... e as suas derivadas parciais em relação

a y, y . .... forem cortíínuas num certo domínio que contém os

valores x = Xo, y= yo, v'= ]/'<,■>• • •’ yo^'"~^l, existe uma solução e

só uma y = y(.x) da equação que verifica as condições

Vx=xo = yo.

Ux^ xq = yot

(2)

que se chamam as condições iniciais. A demonstração deste teorema

esta fora do alcance deste livro.

Se se considerar uma equação de segunda òrdem y" = f {x, y, y),

as condições iniciais da solução para x = Xo, serão

y = yo.

y = y i

em que Xo» yo* yo' são números dados. O sentido geométrico destas

condições é o seguinte: passa pelo ponto dado do plano {xo, yo) uma

única curva cujo declive da tangente neste ponto é yo'. Daí resulta que

se se der diferentes valores a /o sendo fixo o ponto Xo. yo. obtém-se

tantas curvas integrais de declives diferentes quantas passem pelo

ponto dado.

Introduzamos agora a noção de solução geral de uma equação

de ordem n.

Definição — Chama-se solução geral de uma equação de ordem n

a uma função

y — (p (Xy Cl, C2, ...» Cyi)»

dependente de n constantes arbitrárias Cu C 2* ...

tal que:

a) verifica a equação quaisquer que sejam os valores das constantes

Cl, C2. .... ;


b) sendo dadas as condições iniciais:

y^=xo ]/oi

yx=XQ = i/o»

— j/o ,

, 4 » t

se possa escolher as constantes Cu C2. .... Cn de modo que a função

y = (p {x, Cl, C a v . Cn) verifique as condições (supõe-se que os valores

iniciais Xq, yo, y',

pertencem ao domínio de existência

da solução).

Uma relação da forma O {x, y, Ci, Cg. .. .. Cn) = 0, que define

a solução geral implicitamente, chama-se integral geral da equação

diferencial proposta.

Qualquer função que se deduza da solução geral, que concretiza

os valores Cu C2, ..., Cn, é uma solução particular. A curva representativa

duma solução particular é uma curva integral da equação diferencial

dada.

Resolver (integrar) uma equação diferencial de ordem n, é:

1) achar a solução geral (se as condições iniciais não forem dadas)

2) encontrar a solução particular da equação que satisfaz às condições

iniciais (se as houver).

Damos, nos parágrafos seguintes, métodos de resolução de diferentes

equaçõçs de ordem n.

§ 17. Equação da forma =f (^)

A equação mais simples de ordem /i é da forma

Achemos o seu integral geral.

Integremos em relação a jc os dois membros da equação. Obtém-se,

tendo em consideração que y^^^ = :

f(x)dx + Cu

Xo

em que jco é um valor arbitrário fixo de jc e Ci uma constiante de

integração.

Integremos uma vez mais:

X

y(n-2) _ j

X

* 0 * 0

y (a;) 0x)dx + Cl (x — Xo) + C,.

(1)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS = / (x) 63

Continuando assim, obtém-se (após n integrações) a expressão do

integral

Xo

. . . dx

••íf{x)dx

Xo

(X —Xq) 71-2

+

{n-2)\

C i(x -X o )" ” ‘

+

{n -í)l

Para encontrar a solução particular que verifica as condições iniciais

V x — Xq Í/oÍ V x = X o — Uoi • • •; V x ^ x ] —

basta fazer

— í/o» Cyi-i — ^ 0» • • =

Exemplo — 1. Encontrar o integral geral da equaçSo

y"* = sen {kx)

e a solução particular que satisfaça às condições iniciais

Resolução.

í/x=0 = ^» í/i=0 = ^-

y '= ^

0

y - ~ l

kx dx-\-C

COS kx—1

Cidjr+Cz

ou

senfe® X I ^ ^

y =----- p - + - j g - + C,X + C2.

Tal é O integral geral. Para encontrar a solução particular que satisfaça

às condições iniciais dadas, basta determinar os valores correspondentes de

Cl e C2.

Deduz-se da condição 1/35—0 = 0 C2 = 0.

Deduz-se da condição í/x= 0 = 1 C4 = l.

Por conseguinte, a solução particular procurada é

sen kx

y= ■ k^ (t +<) •

Encontram-se equações diferenciais deste género na teoria da flexão

de vigas.

Exemplo — Consideremos uma viga prismática elástica que flexiona sob

a acção de forças exteriores, tão bem repartidas como concentradas. Levemos

o eixo Ox horizontalmente, por forma a confundir-se com o eixo da viga

antes da sua deformação e Oy verticalmente para baixo (fig. 264).


Qualquer força que aja sobre a viga (por exemplo, a carga, a reacô

dos apoios) tem um momento em relação a uma secião transversal da viga

que é igual ao produto da força pela distância entre o ponto de aplicação

da força e a secção considerada. A soma M (jc) dos momentos de todas as

forças aplicadas dum mesmo lado da secção da abcissa x chama-se momento

flexionador da viga em relação à secção dada. Demonstra-se nos cursos de

resistência de materiais que o momento flexionador duma viga é

EJ

R '

onde E é o módulo de elasticidade, que depende do material, J o momento

de inércia da secção transversal da viga em relação ao eixo horizontal que

passa pelo centro de gravidade desta secção, R o raio de curvatura do eixo

curvo da viga, cuja expressão é dada pela

fórmula (§ 6, Cap. VI)

Por conseguinte, a equação diferencial

do eixo curvo da viga escreve-se

M(x)

(l + í/'2) 3/2 EJ

Fig. 264

Se se admitir que as deformações são

pequenas e que os ângulos entre as tangentes

ao eixo da viga e o eixo Ox são pequenos, poder-se-á desprezar a quantidade

y'* que é o quadrado da pequena quantidade y' e fazer

R = - ^ .

A equação diferencial da viga flectida torna-se, então,

É unu equação da forma (1).

M(x)

y=- EJ

Exemplo — 3. Uma viga está embutida pela sua extremidade O e uma

força P age verticalmentc na extremidade L à distância / a partir da secção

de encaixe (fig. 264). Desprezar-se-á o peso da viga.

Consideremos a secção no ponto N (x), O momento de flexão em relação

à secção V é no caso dado

M(x) = (l — x) P.

A equação diferencial (2') transforma-se em

(2)

(2')

Condições iniciais: a deflexão v é nula quando j: = 0 e a tangente ao

eixo da viga curvada confunde-se com o eixo Ox, isto é.


Integrando, vem

(3)

Em especial, a fórmula (3) define a flecha h na extremidade L:

pi»

* = »*=» = 2EJ •

§ 18. Alguns tipos de equações diferenciais de segunda ordem

que se rôduzmn a equa4;ões de primeira oídem

I

— Equações da forma

â='(-1 )

(1)

que não contém, explicitamente, a função desconhecida y.

Resolução — Designemos a derivada ^ por p : ^ = p- Ter-se-á

dx ^

dx^ dx *

Substituindo estas expressões das derivadas na equação (1),

obtém-se uma equação de primeira ordem

em que p é a função desconhecida de jc. Por integração, obtém-se o

integral geral

p = p (z, Cl),

p).

depois, deduz-se da relação ^ = p o integral geral da equação (1):

dxy

= l p ( x , Ci)dx + C 2.

Exemplo— 1. Consideremos a equação diferencial da catenária (ver § 1)

Façamos

dy

dx = p ;


tem-se

dx^

^ dp

dx

e obtém-se uma equação diferencial de primeira ordem em relação à função

auxiliar p{x):

Separemos as variáveis

dp dx

"^1 + a • ’

então.

L og(p+ V l+/> *)= -J + Ci,

P - i

Mas como p =

, esta última relação é uma equação diferencial que

contém a função desconhecida y. Obtém-se integrando a equação da catenária

(ver § 1)

Achemos a solução particular que satisfaz às condições iniciais seguintes:

í'i=o = 0-

A primeira condição conduz C2 = 0, a segunda, Ci = 0.

Obtém-se, finalmente:

Nota — Integra-se duma maneira análoga a equação

Fazendo

primeira ordem

= p, obtém-se para determinar p uma equação de

| = / ( » . p).

Determinando p <m função de x, deduz-se y da relação

(ver § 17).

= p


II — Equações da forma

que não contêm, explícitamente, a variável independente x. Façamos

de novo

dy

(3)

dx

mas consideremos agora que p é função de y (e não de x, como anteriormente).

Ter-se-á

d^y d p d p d y dp

daf^ dx dydx d y ^'

Substituindo na equação (2) as expressões ^ e ^ , obtém-se

dx dx*

uma equação de primeira ordem apoiando-se sobre a função auxiliar p:

(2)

P). W)

Integrándo, obtém-se, p como função de 3; e duma constante

arbitrária Cii

p = P (y, Cl).

Substituindo esta expressão na relação (3). encontra-se uma equação

diferencial de primeira ordem relativamente à função y de x:

Separando as variáveis, tem-se:

dx = p { y , Cl).

dy

' dx.

p (y, Cl)

A integração desta equação fornece o integral geral da equação

proposta:

O (x, y, Cu C2 ) = 0.

Exemplo — 2. Encontrar o integral geral da equação

_ 5

Resolução — Façamos p — c consideremos p como função de y.

do

Tem-se, então, = e obtém-se uma equação de primeira ordem em


que a função desconhecida é p:

Integrando esta equação, tem>se

2

p^ = Ci—y ^ ou p = ± K C i —!/-*/» .

Mas p =

e obtém-se

; obtém-se, pois, para y a equação squaçãi

dx

dy

Y c ^ —y-y^ -=dx ou ± V C iy^'^—\ = dx.

• + c , - ± f

Para calcular este integral, façamos a substituição

l = í2.

Então, tem-se,

JL A

yV3 = (í2 + l )2

Por conseguinte,

dy = 3t +

r y ^ ! > d y ___f 3t(t»+l) ,, 3 /'f» ,

' YC iy'^'^— i J ‘ Cf V 3 j

Finalmente, obtem-se

= - ^ K c y / a - l (Ciy*^^+2).

x + C2 = ± - ^ y Cj1,'/3_1(C,í,*/3+2).

Exemplo — 3. Suponhamos que um ponto material descreve a recta Ox

sob a acção de uma força que depende sòmente da posição do ponto.

A equação diferencial do movimento é

dx

Seja Xo e = v© para / = 0.

at

Multipliquemos os dois membros da equação por

de 0 a r. Obtém-se:

1 / d x \2 1 (•

T I "áT) - y "“'S = J ^ (3^) dx.

dx

dt

dt e integremos

EQUAÇÕES DIFERESNCIAIS 69

XO

/• ( x ) á x ] = 4 -'«^? = const.

o primeiro termo da última igualdade representa a energia cinética do

ponto material e o segundo, a sua energia potencial. Resulta da igualdade

obtida que a soma das energias potencial e cinética

é constante durante o movimento.

Problema do pêndalo matemático, — Consideremos

um ponto material de massa m que se

move sob a acção do seu próprio peso sobre uma

circunferência L num plano vertical. Achemos a

equação do movimento abstraindo das forças de

resistência (fricção, resistência do ar, etc.).

Tomemos a origem das coordenadas no ponto

mais baixo da circunferência e dirijamos o eixo Ox

tangencialmente a esta última (fig. 265).

Seja / o raio da circunferência, s o comprimento

da porção de arco de origem O no ponto

variável M onde se encontra a massa m, sendo

este arco tomado com o sinal (5 > 0 se o ponto M

está à direita de O; s < 0 se o ponto M está

ã esquerda de O).

Propõe-se encontrar a dependência entre 5

e o tempo /.

Decomponhamos a força de gravidade mg

nas suas componentes tangencial e normal. A primeira

que é igual a —mg sen ç>, implica o movimento,

a segunda é compensada pela reacção da circunferência descrita pela

massa m.

A equação do movimento escreve-se, pois,

d^s

m - ^ = —mg sen 9.

s

Como se tem para a circunferência q) = -p , obtém-se a equação

d^s

s

- = - g s e n - .

É uma equação diferencial do tipo II (porque não contém esplidtamente

a variável independente /).

Integremo-la como foi acima indicado:

Por conseguinte.

ds

~dt

dp

d^s __ dp

dt^ ds

p dp = — gscn — ds.


logo

p^=^2gl COSy + Ci.

Designemos por so a distância máxima do ponto M. A velocidade do

ponto é nula quando s = a>:

Isto permite determinar C :

ds

dt 8=80 = P = 0.

S = 8 0

0 = 2gl COS-^ + C l,

donde

C i= —2gZcos-^ .

Por conseguinte,

^ '= ( - í - ) ' = 2g í ( c o s ^ - c o s ^ )

OU, aplicando a esta última a fórmula relativa à diferença de cossenos:

ou (♦)

( | l ) “ = 4 ,,s e n * - ^ s e n f ç f ,

I f — 2 VTi > / s « i sen í ç l ,

Ê uma equação de variáveis separáveis. Separemos as variáveis:

ds

:=2ygldt.

j / s e n ^ - p s e n ^ - ^

(5)

(6)

(7)

Suporemos por momentos que s^ S e de modo que o denominador da

fracção não seja nulo. Se se suposer que .r = 0 quando t = 0 ter-se-á a

igualdade (7) ^

f ^ . _ = 2 V f l t. (8)

/ s e n i l f sen- 21

Esta igualdade dá a dependência entre s e t, O integral à esquerda não

se exprime por meio de função elementar. O mesmo se diga de s como

função de /. Consideremos o problema posto aproximadamente. Suporemos

que os ângulos e são pequenos. Os ângulos — —

L •' 21 21

não serão

(*) Tomamos o sinal mais antes do radical. Decorrerá da nota feita

no fim deste problema que não há lugar a examinar o caso do sinal menos.


superiores a

ou

, Substituámos na equaçSo (6) os senos pelos ângulos

^ _ 9 i/TT i / ^ + ^0 ^0—^

dt y 21 21

dt I v * F ^ .

Separemos as variáveis. Obtem-se (supondo provisòríamente que s =^sò)

ds

(6')

-f-d í. ( V )

Suporemos de novo que s = 0 quando / = 0. Integrando esta última equação,

tem-se:

I i rio / a

(8 ')

w y s õ -s -

ou

donde

Nota — Suposemos até agora que s=^So, Mas pode-se verificar, substituindo

directamente, que a função (9) é solução da equação (60 qualquer

que seja r.

Notemos que a solução (9) é uma solução aproximada da equação (5),

dado que substituímos a equação (6) pela equação aproximada (60.

A igualdade (9) mostra que o p^nto Af (que se pode considerar como

a extremidade do pêndulo) executa oscilações harmónicas de período

■= 2. / - f .

g

Este período não depende da amplitude da oscilação So.

Exemplo — 4. Problema da segunda velocidade cósmica.

Determinar a velocidade a que é preciso lançar um corpo verticalmente

para cima para que escape^ à atracção terrestre. Desprezar-se-á a resistência do ar.

Resolução — Designemos as massas da terra e do corpo respectivamente

por M t m. Em virtude da lei da atracção de Newton a força que solicita

o corpo m •€

. . M•m

(9)

em que r é a distância entre o centro da terra e o centro de gravidade do

corpo lançado, e A: a constante da gravitação universal.

A equação diferencial do movimento do corpo de massa m é

ou

d^r

dt^

d^r

M»m

* r2 •

(10)


Tomamos o sinal menos porque a aceleiUção é aqui negativa. A equação

(10) é uma equação da forma (2). Resolvê-la-emos tomando por condições

iniciais:

para / = 0 r= R, ^ =

at

R é aqui o raio da Terra e vo, a velocidade de lançamento. Introduzamos

as notações

dr d^r dv dv dr dv

l ü dr dt ^ dr

sendo v a velocidade do movimento. Obtém-se, substituindo na equação (10):

dv . M dr

V - r - = — k — . V dv= — km —r- .

dr r* r2

Integrando-se esta equação, vem

Determinemos Ci no caso de v = Vo na superfície da Terra (r = R)

(11)

ou

4 = + fc j» f-i-+ c,

^ kM , vl

= +"2

Substituámos o valor encontrado C> na igualdade (11);

„ 1 kM

— = + k M - - — + - ^

OU

( 12)

Ora, a velocidade do corpo deve ser constantemente positiva (ela nSo

se anula), pois ^ 0. Como a quantidade — se torna arbitràriamente

pequena quando r cresce indefinidamente, a condição terá lugar para

A

todo o r sòmente se

ou

2 (13)

v o > y

Teni-se, pois, para a velocidade mínima

1^0 =

/ 2kM

R ’ (U )


em que

/c = 6,66.10-8 cm8

g s 2 ’

ií = 63*10'^ cm.

Na superfície da Terra, r = R, a aceleração da força de gravidade

Sendo assim, deduz-se da igualdade (10)

I. ^

ou

M = gR^

Substituindo este valor de M na fórmula (14), obtém-se:

i>o= V ^ = V 2 -9 8 1 -6 3 107=» 11,2-10»— =11,2 — .

s s

§ 19. Integrarão gráfica das equações diferraciais

de segunda ord«n

Vejamos qual é a interpretação geométrica duma equação diferencial

de segunda ordem. Seja a equação

y" = f {x, y, y')- (l)

Designemos por <p o ângulo formado pela tangente à curva com

o eixo positivo Ox\ tem-se

dx = t g (p. (2)

Para explicitar o sentido geométrico da derivada segunda, lembremo-nos

que a fórmula do raio de curvatura duma curva num dado

f l . í i + i í í ,

y "

Donde

(1 +

R

(*) Suposemos até agora que o raio de curvatura cra um número

essencíalmente positivo, mas suporemos neste parágrafo que o aio de curvatura

poderá tomar os valores tanto positivos como negativos; se a curva é convexa

(y" < 0), suporemos o raio de curvatura negativo {R < 0); supô-lo-emos

positivo (R > 0) se a curva é côncava (y" > 0).


Ora

j/' = tg(p; 1 + / * = ! + tg*<jp = sec*(jp;

( r + y V ^ = |sec*«p| = — V -

I COS (P)

Por conseguinte.

y =

R I COS®(p I

(3)

Substituindo na equação (1) as expressões obtidas para y e y \

ter-se-á

o u

= í{x, y, t g c p ) ,

R I COS <p I

R = |c o s® c p |-/(a :, y, tgcp)

(4)

o

que mostra

rencial de segunda ordem determina a

Fig. 266

grandeza do raio de curvatura da curva

integral, uma vez dadas as coordenadas do ponto e a direcção da

tangente neste ponto.

Daqui resulta um método de construção aproximada duma curva

integral que admite uma tangente contínua (*) em cada ponto; a curva

é constituída por arcos de círculos.

Assim, suponhamos que se deve traçar a curva integral da equação

(1) que satisfaça às condições iniciais:

Ux=xq= j/q;

yx=XQ = yo.

Tracemos pelo ponto Mo (xo. yo) um raio MoTo de declive y =

= tg ^0 = y'o (fig. 266). Deduz-se da equação (4) R = Ro. Consideremos

um segmento MoCo de comprimento Ro sobre a perpendicular

à direcção MoTo e tracemos do ponto C tomado para centro um pequeno

arco de círculo M qM^ de raio Ro^ Notemos que será preciso considerar

o segmento MoCo do lado conveniente para que 9 arco de círculo

seja convexo para cima quando /?o < 0 e que seja convexa para

baixo quando R o > ^ (ver nota pág. 73).

(*) Isto é, que o declive é uma função contínua do arco 5.


Seja, em seguida, um ponto Mi (jci, yO sobre o arco da curva

construído, suficientemente vizinho de Mo e seja tgî o declive da tangente

MiTi à curva no ponto Mi. Deduzamos da equação (4) o valor

R = Ri correspondente a Mi. Tracemos o segmento MjCi. igual a Ru

perpendicularmente a MiTi e, de Ci como centro, tracemos um arco

ií/iMg

Tomemos em seguida sobre este arco um ponto

M2 (JC2, >^2). vizinho de Mu e continuemos a nossa construção até que

se obtenha uma porção de curva suficientemente grande formada de

arcos de círculos. Resulta do anterior que esta curva é aproximadamente

uma curva integral que passa pelo ponto Mo. É evidente que a

curva constante será tanto mais aproximada da curva integral quanto

mais pequenos forem os arcos M qM i, M íM^, . . .

§ 20. Equações Lineares homogéneas.

Definições e propriedades gerais

Definição— 1. Uma equação diferencial de ordem n diz-se linear

se é do primeiro grau em relação à função desconhecida y e ks suas

derivadas / , ....

isto é. se ela é da forma

«oí/ +diy + •■ + anU = f (x), (1)

em que ao» » ^ n f M são funções de x dadas ou constantes

e ã o ^ O qualquer que seja x no domínio de definição da equação (1).

Suporemos, no seguimento, que as funções « 0»«i, c f(x) são

contínuas para todos os valores de jc e que ã o ^ l (senão bastará dividir

todos os termos por ao), A função / ( jc) chama-se o segundo membro

da equação.

Se / ( jc) 0, a equação diz-se não homogénea ou ainda, com

segundo membro. Se / ( jc) = 0, a equação escreve-se

+ ••• = o (2)

e diz-se homogénea ou sem segundo membro (o primeiro membro desta

equação é uma função homogénea do primeiro grau em relação a y, / ,

Estabeleçamos algumas propriedades fundamentais das equações

lineares homogéneas, cingindo-nos às demonstrações das equações de

segunda ordem.

Teorema— 1. Se yi e 3^2 forem duas soluções particulares da

equação linear homogénea de segunda ordem

>*1 + y>2 também é solução desta equação.

y" + aiy' + a^y = 0, (3)


Demonstração — Dado que 3^1 e ^2 são soluções da equaçãó proposta,

tem-se

y 'i+ aiyí + 02y 1= i = o 0, , I

y'í + «1^2 + <*2^2 ! = 0 . /

Substituindo a soma + >^2 na equação (3) e tomando as identidades

(4) em consideração, ter-se-á

(^1 + Vi)” + oi (yi + í/2)' + «2 (í/i + Vi) =

= iyi + flií/í + 02í/i) + {y'2 + «1^2 + <hyè = 0 + 0=0,

o que demonstra que + >^2 é solução da equação.

Teorema — 2. Se yi for solução da equação (3) e se C for uma

constante, Cyi é também uma solução desta equação.

Demonstração — Substituindo na equação (3) a expressão Cyi,

obtém-se:

{Cy^" + 0 ,1 {Cy^' + <h {Cy,) = C {yi + a,y[ + a^y^ = C - 0 = 0;

e o teorema fica demonstrado.

Definição — 2. Duas soluções y^ e y 2 de (3) dizem-se linearmente

independentes sobre o segmento [a, 6] se a sua relação não for constante

sobre este segmento, isto é, se

(4)

— constante.

í/2

Senão, as soluções dizem-se linearmente dependentes. Por outras

palavras, duas soluções 3^1 e 3^2 dizem-se linearmente dependentes, sobre

o segmento [a, b], se existir uma constante \ tal que ^

G < jc < 6. Tem-se, então, 3^1 = kyz.

^ P^^ra

Exemplo — Seja a equação y'' — y = 0. Verifica-se fàcilmente que as

funçQes

5e~® são soluções desta equação. As funções e* e

são linearmente independentes em todo o segmento, dado que a relação - ^ = ^2*

e *

não permanece constante quando x varia.

3gX

As funções e* e 3e^, essas, são linearmente dependentes, p o is-^ = 3 = co n st.

e*

Definição — 3.

Sendo 3^1 e ya função de x, o determinante

W{y„y^)=^^

^ = y ,y '^ -y [y ^

y'i y'2

cbama-se determinante de Wronski ou wromkien das funções dadas.


Teorema — 3. Se as funções yi e y 2 forem linearmente dependentes

sobre o segmento [a, 6], o seu wronskien é idênticamente nulo

nesse segmento,

Con efeito, se 1/2 = onde \ = const, y' = e

W{yu yi) = y t Vz y i = X V i V i

y 'i y'2 y 'i y \ y \

= 0.

Teorema — 4. Se o determinante de Wronski W (yi, >^2) das soluções

yi e y 2 da equação (3) não for nulo no ponto x =Xq do segmento

[a, 6] onde os coeficientes da equação são contínuos, ele não se anula

em qualquer parte daquele segmento.

Demonstração — Sendo yx e y 2 duas soluções da equação (3),

tem-se

Vi + îí/2 + ^ i /2 = 0» í/i H“ 4” (bVi = 0-

Multiplicando os termos da primeira igualdade por 3^1, os da

segunda por —>^2 e juntando, obtém-se:

{viVÍ — y'íyò + «1 (yií/2 — yiy^) = o. (5)

O coeficiente de ai em (5) é o wronskien W (yu y^ò e precisamente

^ {yu y ^ = — yiy^)- o primeiro termo é a derivada do

wronskien:

(^1. yi) = {yiy'2 — y ’iyi)' =

Por conseguinte, a igualdade (5) escreve-se

— j/í'í/2.

W ' + axW=0. (6)

Achemos a solução da primeira equação que satisfaça à condição

inicial W I x=Xq= PFo* Encontremos, em primeiro lugar, a solução geral

da equação (6) supondo W ^ 0. Separando as variáveis na equação (6),

dW

obtém-se ^ = —a^ da:. Integrando, vem

W

ou

Log W = — J a^dx

Xo

X

Log C

Log

C

= — ^ dx,

Xo


donde

- j a, d*

W = Ce (7)

Há que notar que a função (7) se pode escrever e que verifica

a equação (6), do que se pode fàcümente comprovar pela substituição

directa desta função na equação (6). A hipótese fV=^0, já não é

indispensável. A fórmula (7) chama-se fórmula de Liouville.

Determinemos C de modo que seja verificada a condição inicial.

Fazendo x = Xo no primeiro e segundo membros da igualdade (7),

achamos

Wo = C.

Por conseguinte, a solução que verifica as condições iniciais será

da forma

—J a, dx

(W)=Woe

(7')

Para a hipótese WoÔ, Resulta, então, da igualdade (7) que

W qualquer que seja jc porque a exponencial não se pode anular

para valores finitos da variável. O teorema está demonstrado.

N ota— 1. Se o wronskien for nulo para um certo valor x = Xo

é, então, nulo para qualquer valor x do segmento considerado. Tal

resulta directamente da fórmula (7): se = 0 para x = jCo, então.

Por conseguinte, W = 0 qualquer que seja o valor do limite

superior x na fórmulaí (7).

Teorema — 5. Se as soluções yi e y 2 da equação (3) forem linearmente

independentes entre o segmento [a, ó], o determinante de Wronski

formado com estas soluções não se anula em nenhum ponto deste

segmento.

Indiquemos a ideia da demonstração deste teorema sem a dar

completamente.

Suponhamos que íF = 0 num certo ponto do segmento; em virtude

do teorema 3. o wronskien será nulo em todos os pontos do

segmento [a, b\:

W = 0

ou

í/lí/2 — í/íí/2 = 0.


Consideremos, em primeiro lugar, o§ intervalos contidos no

segmento [a, b] nos quais y i^ O , Então,

ou

y iy 2 z z M i = o

yl

Por conseguinte, a relação ~ é constante em cada um dos intervalos

mencionados

U2

Vi

= A, = const.

Reportando-nos ao teorema de existência e da unicidade, pode-se

demonstrar que y 2 = para todos os pontos do segmento [a, 6],

compreendendo aqueles em que = 0, o que é impossível, porque,

por hipótese, e y-z, são linearmente independentes. Por conseguinte,

o wronskien não se anula em nenhum ponto do segmento [a, è].

Teorema — 6. Se yi e y 2 forem duas soluções linearmente independentes

da equação (3), entãOy

y = C i i / i + ^ 2 ^ 2 * (8)

em que Ci e Cg são constantes arbitrárias, é a solução geral desta

equação.

Demonstração — Resulta do teorema 1 e 2 que a função"

C\yi + C^y^

é a solução da equação (3), quaisquer que sejam as constantes Ci e Cg.

Mostremos agora que, quaisquer que sejam as condições iniciais

yx=ô = yo-» y'x=ô = y'o^ é possível escolher valores das constantes

Cl e Cg de modo que a solução particular correspondente Ciyi + Cg^^g

satisfaça às condições iniciais.

Substituindo as condições iniciais na igualdade (8), tem-se

em que se fez

yo-- + ^*2^20

yo = Ciyô -)- C2^20

20» 1

20» J

{yi)x=XQ — ^loí {y<^x=XQ — í/20*»

{y-òx=XQ = z/io; {y^x=XQ = yô-

(9)


Pode-se tirar Ci e C2 do sistema (9), porque o determinante deste

sistema

VlQ

V20

Uio í/20

— í/loí/20 í/loí/20

é o determinante de Wronski para jc = jCo e não é, pois, nulo (dado

que as soluções yi e >^2 são linearmente independentes). A solução particular

deduzida da família (8) substituindo Ci e C2 pelos valores

encontrados satisfaz às condições iniciais dadas. O teorema está

demonstrado.

Exemplo — 2. A equação

1 1

cujos coeficientes «1 = — e ü2 = -----õ- são contínuos em todo o segmento que

X X “

não contenha o ponto jc = 0, admite as soluções particulares

1

íî — í/2 = —

(é fácil de verificar substituindo na equação). A solução geral é pois

y —

Nota — 2. Não existe método geral que permita encontrar sob

forma finita a solução geral de uma equação diferencial linear de

coeficientes variáveis. Todavia, existe um tal método para as equações

de coeficientes constantes. Será objecto do parágrafo seguinte. No que

respeita às equações cujos coeficientes são variáveis, indicar-se-á no

capítulo XVI «Séries^», vários processos que permitem encontrar soluções

aproximadas que satisfaçam às condições iniciais.

Vamos demonstrar agora um teorema que permite encontrar a

solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem de coeficientes

variáveis conhecido que seja uma solução particular.

Como sucede por vezes encontrar ou advinhar directamente uma

solução particular, este teorema pode ser muito útil em muitos casos.

Teorema — 7. Se se conhecer uma solução particular duma equação

diferencial linear homogénea de segunda ordem, a procura da

solução geral reduz-se às quadraturas.

Demonstração — Seja uma solução particular conhecida *da

equação

y'' + = 0.

— •

X


Achemos uma outra solução particular da equação proposta tal

que yi e y 2 sejam linearmente independentes. A solução geral escrever-

-se-á, então, y = C iji + 02^2. em que Ci e C2 são constantes arbitrárias.

Pode-se escrever, em virtude da fórmula (7) (ver a demonstração

do teorema 4):

y2yi — y zyi= C e *

dx

Por conseguinte, tem-se para a determinação de 3^2 uma equação

linear de primeira ordem. Integremo-la como se segue. Dividamos todos

os termos por y\:

y?.yi — VíHl ^ ^

ú y\

y

ou

] = ± C e -

dx\yt7 í/i

donde

1 r c r S "

í/i ) y\

d x + r .

Como procuramos uma solução particular, ter-se-á, fazendo C = 0,

C= 1:

- I a, dx

y2 = y . \ dx. (10)

y\

Ê evidente que yi e 3^2 são soluções línearmente independentes,

y,

porque — ^ c o n s t

A solução geral da equação proposta escreve-se, pois.

f r ^

y = Ciyt + Ciyi J — ^ — X. (11)

Exemplo — 3. Achar a solução geral da equação

( l- x 2 ) y''-2xy'-{-2y = 0.

Resolução — Verifica-se^ directamente que esta equação tem por solução

particular = x. Achemos uma segunda solução particular ya tal que yi

e >2 sejam linearmente independentes.

6


Notando que fli = — 2x , obtém-se, em virtude da fórmula (10):

1—

? 2xi

x dx

1- x2

.- L o g ( l- x 2 )

dx = x f __ ^

* J x > (l- I*)

j)dx = x [ - l + i . L o g | ^ | ]

(■**■ + 2 (1—a:) + ^ + a : ) ;

A solução geral é pois

y=C'iX + C'2 ( “2 ’

§ 21. Equações lineares homogéneas de segunda ordem

de coeficientes constantes

Seja a equação linear homogénea de segunda ordem

y" + p y ' + Qy = o> ( i )

em que p Q q são constantes reais. Para encontrar o integral geral

desta equação, basta, como demonstramos mais acima, encontrar duas

soluções particulares linearmente independentes.

Procuremos as soluções particulares sob a forma

então,

y = e hx OU /c = const;

y' = ke>‘=‘-,

y " = k V \

Substituamos estas expressões das derivadas na equação (1):

Como

e’‘=‘ {k^+ p k + q) = 0.

0, deve-se ter

-{-pk-\-q— 0. (3)

Por conseguinte, se k é raiz da equação (3), a função será

solução da equação (1). A equação (3) chama-se equação característica

da equação (1).

A equação característica é uma equação de segunda ordem de

que designaremos as raízes por e kz. Tem-se:

Os três casos seguintes se podem apresentar:

I — kl t k 2 são números reais distintos (ki ^ kn)\

II — Â:, e k 2 são números complexos;

III — kl Q k 2 são números reais iguais (ki = k-^.

Examinemos cada caso separadamente.

(2)

*2 = — Y - l / y - í-


I — As raízes da equação característica são reais e distintas:

kl ^ *2.

Ter-se-á, então, para soluções particulares

j/2 =

Estas soluções são linearmente independentes porque

Vz

:e('‘*"'“)* # c o n s t.

«kl*

Ui «

O integral geral escreve-se, por conseguinte,

Exemplo— 1.

Ssja a equação

y = Cie*‘* + C2e'‘**.

y'* + y ' — 2y = 0.

A equação característica escreve-se

A:2 + A; —2 = 0.

Achemos as raízes desta equação

O integral geral é

*1.2= - Y ± | / ^ ^ + 2 :

A:i = l, /;£=—2.

y = Cie^+C2e-^^,

II — As raízes da equação característica são complexas.

Dado que as raízes complexas são conjugadas, façamos

em que

Aíi = a + ip ;

*2 == 05 — ip,

Pode-se pôr as soluções particulares sob a forma

São funções complexas duma variável real que verifica a equação

diferencial (1) (ver § 4, cap. VII).

É evidente que se uma função complexa de variável real

(4)

y = u (x) iu {x) (5)

verifica a equação (1), esta equação é verificada separadamente pelas

funções u(x) e v(jc).

84 CAL.CUL.O DIFERENCIAL E INTEGRAL.

OU

G)m efeito, substituamos a expressão (S) na equação (1):

[u (i) -|- iv (x)]' + P [“ (^) + (^)]" + 9 i^) + W ] = 0

(u" + pu + 9“ ) + + P^’ + 9^) — 0-

Mas uma função complexa apenas é nula se, e sòmente se, as

partes real e imaginária o forem separadamente, isto é,

u ' + pu + gu = 0,

v' + p v -|- gi; = 0.

Acabamos de demonstrar que u (x) e v (x) são soluções da equação

proposta.

Recopiemos as soluções complexas (4) sob a forma de soma

das partes real e imaginária;

Pi = «“* COS px -)- ie“* sen px,

Pa = c“* COS px — fe®*

De acordo com o que se acaba de demonstrar, as funções reais

seguintes serão soluções particulares da equação (1):

px.

= e“* COS px, (6')

y, = e““ senPa:. (6')

As funções pj e Pa são linearmente independentes, porque

ffi_ e®*cosPx

P2

e“* sen Px = c o tg P x : ? t c o n s t .

Por conseguinte, a solução geral da equação (1), no case-em

que as raízes da equação característica forem complexas, toma a forma

ou

p = + Bi/ 2 = cosPx -f fie®*sen px

p = {A COS Px + 5 sen Px), (7)

em que A t B são constantes arbitrárias.


y"+ 2i/' + 5y = 0.

Achar o integral geral c a solução particular que satisfaz às condições

iniciais yx=o = 0, i/i=o=r= 1. Construir a curva integral correspondente.


Resoluções:

1. Escrevamos a equação característica

A:2 + 2fc + 5 = 0

e determinemos as suas raízes:

O integral geral é, pois,

y =

—l + 2i, /c2= —1 — 2i.

(i4 cos2ar+5 sen 2x).

2. Achemos a solução particular que satisfaça às condições iniciais dadas;

determinemos para esse efeito os correspondentes valores de A e B.

Deduz>se da primeira condição:

0 = e”®(/I COS 2*0 + B sen 2*0), donde A = 0.

Tendo em conta que

y' — c"* 2B COS 2x— sen 2x,

deduz-se da segunda condição:

A solução particular procurada é, pois,

1 = 2B, ou seja B = y .

y = -i-e"*sen2z.

A curva está representada na figura 267.

III

— A equação característica admite uma raiz real dupla.

Tem-se, então, = ko.

Obtém-se uma solução particular yi = em virtude dos raciocínios

anteriores. É preciso encontrar uma segunda solução particular

linearmente independente da primeira (a função é idênticamente


igual a e não pode ser considerada como uma segunda solução

particular).

Procuraremos a segunda solução particular sob a forma

y ^ = u ( z ) e***,

em que u (;c) é uma função desconhecida que se deve determinar.

Derivemos:

^2 =

{u + k{u),

y ; = + /Ciue‘ * * = + 2 k j u ' + Afw).

Obtém-se, substituindo as expressões das derivadas na equação (1):

e*** [u' + (2*1 +p)u + (*J + p*i + q)u] = 0.

Como kl é uma raiz dupla da equação característica, tem-se

kl -\-pki -f- g = 0 .

Além disso. *1 = *2 = — ou 2*i = —p , 2ki + p = 0.

Por conseguinte, para encontrar u (x), torna-se necessário resolver

a equação = 0 ou w" = 0. Acha-se, integrando u = Ax + B.

Pode-se fazer A = l, B = 0; tem-se, então, u = x. Pode-se, pois, tomar

para segunda solução a função

y^ = xe’‘'^.

Esta solução é linearmente independente da primeira, dado que

^ = a; ^ const. Tomar-se-á, pois, para integral geral, a função

Vi

y = Cie‘ ‘* + = e*'* { C ^ + C ^ ) .


4y' + 4y==0.

A equação característica A:2 —4A: + 4 = 0 tem por raízes k^ = k2 = 2.0 integral

geral escreve-se:

y = Cie^^ + C2xe2x,

§ 22. Equações diferenciais lineares homogéneas de ordein

n de coeficientes constantes

Consideremos uma equação diferencial linear homogénea de

ordem n:

y , ( n ) + ^^ + • • • + ®7lí/ = 0.

(1)

Suporemos que üu CI2........ Om são constantes. Antes de indicar

um método de resolução da equação (1), daremos duas definições que

nos serão úteis no seguimento.

EQUAÇOEJS DIFERENCIAIS 87

Definição— 1. vSe àt tiver para todo o jc do segmento [a, 6], a

igualdade

(x) = Ai(pi (x) 2^2 (^) “f" • • • "h l9n—1 (^)*-

em que Au Ao.......são constantes, não todas nulas, diz-se que

é uma combinação linear das funções <pi (x)^ ipg W» • • •»

(^)

-i (^)*

Definição — Dizem-se linearmente independentes n funções <Pi (^)»

(P2 (x), . . (x), (p^ (x)se nenhuma delas puder ser representada

como combinação linear das outras.

N ota— 1. Resulta destas definições qüe se as funções (pi (x),

^2 (^)í • • M <Pn (^) forem linearmente dependentes, existem, então,

constantes Ci, Cz, não todas nulas, e tais que se tem, quaisquer

que seja x sobre o segmento [a, b],

Exemplos:

C'i<Pl (ar) + ^ 2^2 W + ••• + (^) = 0.

1. As funções = = í/3 = 3e*são linearmente dependentes, por-

1

que se tem para î = l» ^2 = ^» ^ 3 = — ^ a identidade

+ CgSe* = 0,

2. As funções í/i = 1, Vz = x, = linearmente independentes, porque

nâo se pode anular idênticamente a expressão

6*1 • 1 -f- C2X-f~

com Cj, 6*2» não todos nulos.

3. As funções í/i = e^^^,í/2 = ^^**t •y yn

,, _phnx

—c » ,comAf,,A;2,...

arbitrários, são linearmente independentes (não demonstraremos esta proposição).

Passemos agora à solução da equação (1). Para esta equação

tem-se o seguinte teorema.

Teorema — Se as funções yi, yz, ..., yn forem soluções linearmente

indepnedeníes da equação (1), a sua solução geral é da forma

í/= + ^ 2Í/2 + ••• (2)

em que Cu Cz, Cn são constantes arbitrárias.

Se os coeficientes da equação (1) forem constantes, acha-se a

solução geral tal como para a equação de segunda ordem.

1 — Forma-se a equação característica

F + a i F “ ‘ + a2F “ 2+ . . . + fln = 0.

88 CALCUIjO d i f e r e n c i a l b in t e g r a l

2 — Acham-se as raízes da equação característica

• • *1

3 — D e acordo com o carácter das raízes escrevem-se as soluções

particulares, linearmente independentes, partindo do que se segue:

a) corresponde a toda a raiz real simples k, uma solução particular

e'‘*;

b) corresponde a todo o par de raízes complexas conjugadas

= a -|- ip e A**’ = a — iP duas soluções particulares e“* cos px

e e’* sen Px *

c) corresponde a toda a raiz real k de ordem de multiplicidade

r tantas soluções lineares independentes

phx kx hx.

d) cx)rresponde a todo o par de raizes complexas conjugadas

= a + iP, = a — íp, de ordem de multiplicidade /i, 2/ül soluções

particulares

* COS px, COS Px, ..., COS Px,

e®* sen Px, xe®* sen Px, ..., x**” ê®*sen Px.

O número destas soluções é igual ao gràu da equação característica

(que também é a ordem da equação diferencial proposta).

Demonstra-se que estas soluções são linearmente independentes.

4 — Tendo encontrado n soluções linearmente independentes 3^1,

3^2. .... yn. escreve-se a solução geral da equação diferencial proposta

sob a forma

y = CiVi - f + ... + CnUnf

onde Cu C2,

Exemplo — 4.

... Cn são constantes arbitrárias.

Encontrar a solução geral da equação

Resolução — Formemos a equação característica

*4— 1 = 0.

As raízes desta equação são

^l = lt * 2 = — 1| *3 = 1, * 4 = — í.

O integral geral, é póis,

y^C i€^+ C ^-^-\-A cosx-f B senx,

cm que Ci, C2, A, B são constantes arbitrãrías.

EQUAÇÕES DIFERia^CIAIS 89

Nota — 2. Resulta do que precede que toda a difícuTdade da

resolução duma equação diferencial linear homogénea de coeficientes

constantes reside na resolução da equação característica correspondente.

§ 23. Equações lineares não homogéneas de segunda ordem

Seja uma equação linear não homogénea de segunda ordem

y" + a^y' + a^y = f (x). (1)

A estrutura da solução geral da equação (1) é dada pelo teorema

seguinte.

Teorema— 1. Á solução geral da equação não homogénea (1)

é a soma durna solução particular qualquer y* desta equação e da

solução geral y da equação homogénea correspondente

y" + fflií/' + <h.y = ^-

Demonstração — Deve-se demonstrar que a soma

(2>

y = v + y*

é a solução geral da equação (1). Demonstremos, em primeiro lugar,

que a função (3) é uma solução da equação (1).

Substituamos a soma ^ + i/* na equação (1) em vez de y,

Ter-se^á:

(3>

ou

{«/ + y*)" + ffli ( y + y*)' + «2 { y + y * ) = / (x)

(y" + aiV' + (hy) + iy*" + ^ty*' + <hy*) = / (a^)- (4 >

Sendo y solução da equação (2), a expressão do primeiro parêntesis

é idênticamente nula. Sendo uma solução da equaçção (1),

a expressão do segundo parêntesis é igual a /(jc). A igualdade (4) é

pois uma identidade. A primeira parte do teorema está assim demonstrada.

Mostremos agora que a expressão (3). é a solução geral da

equação (1), isto é, que se pode escolher as constantes arbitrárias que

ela contenha, de maneira a que sejam satisfeitas as condições iniciais:

Ux — Xq ----- í/o» 1

y'x^xo = y i í

(5)


quaisquer que sejam Xo,*'yo e (desde que jco seja tomado no domínio

de continuidade das funções «i, e / ( jc)).

Tendo em atenção que se pode por y sob a forma

y = Ciyi + C^V2,

em que yi e 3^2 são duas soluções linearmente independentes da equação

(2) e Cl e C2 constantes arbitrárias, pode-se recopiar a igualdade (3)

sob a forma

y ^ C ^ y i + C^Vi + y*.

(3')

Resulta das condições (5) que(*)

+ ^ 2Í/20 4" í/o = í/o»

^lí/lO + ^ 2^20 + í/o = í/o-

É-nos preciso deduzir Ci e C2 deste sistema, Recopiemo-lo sob

a forma

^lí/io + ^ 21/20 — = Uo y o - y l I

^lUio + C2Í/20 = yo — y t- J

Note-se que o determinante dos coeficientes das incógnitas Ci e C2

é o wronskien das funções yt e >^2 calculado no ponto x = Xn. Dado

que estas funções são linearmente independentes, por hipótese, o

wronskien não é nulo; o sistema (6) possui, pois, uma solução bem

determinada Ci e C2, isto é, que existem constantes Ci e C2 tais que

a fórmula (3) define a solução da equação (1) que satisfaz às condições

iniciais dadas. O teorema está completamente demonstrado.

Por conseguinte, se se conhecer a solução geral y da equação

sem seçundo membro (2) o problema reside em encontrar uma solução

particular qualquer y* da equação com segundo membro (1).

Indiquemos uiti método geral que permita encontrar soluções

particulares duma equação com segundo membro.

Método da variação das constantes — Escrevamos a solução geral

da equação homogénea (2):

y = Ciyi + Ciy^. (7)

Vamos procurar uma solução oarticular da equação não homogénea

(1) sob a forma (7), tendo em consideração que Ci e C2 são

funções de x que é preciso determinar.

(6)

(♦) Aqui yio, ^20» y?» Í^ío» í/20» y*' sâo valores que tomam as funções

yu yi, y*t y[, yí^ y*' para x = xq.


Derivemos a igualdade (7):

y = C{yi + CiVi + CiVi + ^^2^2*

Escolhamos as funções Ci e C2 de maneira que seja satisfeita a

igualdade

('iVi + C2Í/2 = 0. (3)

Sendo assim, a derivada primeira / torna-se

y= C iyi + ^'22/2*

Derivando agora esta expressão, acha-se

y ' = Ciyi + C21/2 + Ciyi + í^2í/2-

Substituamos y, y\ / ' na equação (1). Obtém-se:

ou

H” ^2Í/2 + -j- C2I/2 + + í^2Í/2) +

+ ^ + C22/2) = / W

^ 1 (í/l + ^lí/l + ^ y Ò + ^ 2 (i/2 + ^li/2 + ^2/2) +

+ Cil/i + C2^2 = / (^)*

As expressões contidas nos dois primeiros parêntesis anulam-se

pelo facto de yi e y2 serem soluções da equação homogénea. Por

conseguinte, esta última igualdade, toma a forma

Cîí/í + Í^22/2 = / (^)* (9)

Assim, a função (7) é uma solução da equação com segundo

membro (1) visto que as funções Ci e C2 satisfazem às equações (8)

e (9), isto é, se se tiver

+ C2Í/2 = 0, Cií/i 4" ('2y2 = / W*

Ora o determinante deste sistema é o wronskien das fuiíções

linearmente independentes yi e y^. pois que não é nulo; calcifla-se

C[ e C' como funções de x resolvendo o sistema anterior:

Integrando, calcula-se:

Cí=(pi(x),

C2=(P2(^).

Cl = J (^) “h Ci; C2 = J 92 (^) + C2,

em que Ci e Cg são constantes de integração. \


Substituindo as expressões de Ci e C2 na igualdade (7), acha-se

um integral dependente de duas constantes arbitrárias Ci e isto é,

a solução geral da equação com segundo membro (*).

Exemplo — Determinar a solução geral da equação

Resolução — Determinemos a solução geral da equação homogénea

assim,

Tem-se:

y *

Logy'=U>gx+LogC-, y'= C x;

y=Cix^+C2.

Para que esta expressão seja solução da equação proposta, é preciso

determinar Ci e C2 como funções de x do sistema

Resolvendo este sistema, vem

C[x'^ -j- C2 • 1 = 0, 2C[x -f- í/2 • 0 = X.

C í = l .

e por integração:

C i= -|-+ C i,

Cz----- -Ç-+C2.

Substituindo as funções encontradas na fórmula y = Cix2 + C2, obtém-se a

solução geral da equação com segundo membro:

— — x3

y = Cix2 + C2+-2------6"

_ — X» - . —

ou y = Cix2 + C2 + ~g“ , em que Cj e C2 são constantes arbitrárias.

O

particulares.

teorema seguinte pode ser útil para a procura de soluções

Teorema — 2.

Seja uma equação não homogénea

í/" + (hV + 0.2V = fi (^) + Í2 (^) (10)

cujo segundo membro é a soma de duas funções /i (jc) e /z (x). Se

for uma solução particular da equação

/ +«2Í/ = /lW (11)

(♦) Se se fizer Ci = C2 = 0, obtém-se uma solução particular da

equação (1).


e y 2 uma solução particular da equação

y" + aiy' + (x), (12)

+ 3^2 é uma solução particular (*) da equação (10).

Demonstração — Substituindo a expressão + >^2 na equação (10),

obtém-se:

ou

(yi 4" Hiò'* 4” ^1 (^1 4" 4“ ^2 (i/i 4" = / i (^) 4~ A (^)

(í/i 4" nii/í + fl2Í/i) 4" (í/2 4“ îí/2 4 “ ^2Í/2) = /i (^) 4" /2 (^)* (13)

Resulta das igualdades (11) e (12) que (13) é uma identidade.

O teorema está demonstrado.

§ 24. EquaçSes lineares não homogéneas de segunda ordem


Seja a equação diferencial

y'" + py' + qy = í (^ )* (1)

em que p t q sao numeros reais.

Indicou-se no parágrafo anterior um método geral de procura

das soluções das equações não homogéneas. Quando a equação é de

coeficientes constantes, por vezes é mais simples encontrar uma solução

particular sem integração. Consideremos tipos de equações (1) às quais

se aplica esta nota.

I — Suponhamos que o segundo membro da equação (1) é o

produto dum exponencial por um polinómio:

/(x) = P „(x )e“*. (2)

em que P» (x) é Um polinómio do grau n. Os casos seguintes podem-se

apresentar:

a) O número a não é uma rcáz da equação característica

A* + pA: + ç = 0.

É preciso, então, procurar a solução particular sob a forma

y. = (ylox" + ^ ,x " - ‘ + . . . + ^ „) (x) (3>

Com efeito, substituindo y* na equação (1) e simplificando por

ter-se-á

Q'n {^) + (2a + p) Q'n (a:) + (a^ + pct + g) (x) = P„ (x). (4>

(*) Ê evidente que este teorema subsiste para um número arbitrário de

termos no segundo membro. /


Qn (x) é um polinómio de grau n, Qn (x) e Qn (x) são, respectívamente,

polinómios de graus n — 1 e n — 2. Tem-se, pois, dum

lado e doutro da igualdade polinómios de grau n. Igualando os coe

cientes das mesmas potências de x (o número de. coeficientes desconhecidos

é igual a « + 1), obtém-se um sistema de « + 1 equaç

para a determinação dos coeficientes A q, A i, A z....... Anb)

a é uma raiz simples da equação característica.

Se se procurasse, então, uma solução particular sob a forma (3),

obter-se-ia no primeiro membro da igualdade (4) um polinómio de

grau n — 1, dado que o coeficiente de Qn(x), quer -h pa-j-q, é

nulo e que Qn (^) © Qn (x) são polinómios de graus inferiores a n.

Por conseguinte, a igualdade (4) não poderia ser uma identidade

qualquer»que seja a escolha das constantes Ao, Ai, Az....... An-

Então, no caso considerado, procurar-se-á a solução particular

sob a forma de polinómio de grau n + 1 privado do seu termo constante

(porque este último desaparece após a derivação) (♦):

y* = ^Qn (^)

c) a é uma raiz dupla da equação característica. O grau do

polinómio baixa, então, de duas unidades quando se substitui a função

Qn (^) equação diferencial. Com efeito, sendo a uma raiz da

equação característica, + «p + ^ = 0; além disso, sendo a raiz dupla,

tem-se 2a — p (sabe-se, efectivamente, que a soma das raízes da

equação do segundo grau escrita acima é igual ao coeficiente do

termo do primeiro grau tomado com o sinal menos). Assim. 2a p = 0.

Resta, pois. no primeiro membro da igualdade (4) Ç" (x), isto é,

uih polinómio de grau n — 2. Para que o resultado da substituição

seja um polinómio de grau n, torna-se necessário procurar uma solução

particular sob a forma de produto de por um polinómio de

de grau m H- 2. A constante e o termo do primeiro grau deste polinómio

desaparecem então, após derivação e poder-se-á omitir na

solução particular.

Assim, quando a é uma raiz dupla da equação característica,

procurar-se-á uma solução particular sob a forma

Exemplo— 1. Achar a solução geral da equação

y" -\-3y = x.

Resolução — A solução geral da equação homogénea correspondente é

y^C ie-^ + Cze-^^-

(*) Notemos que todos os resultados acima são válidos quando a é

um número complexo (isto resulta das regras de derivação da função

dado que m é um número complexo arbitrário; ver § 4, Cap. VII).


Como o segundo membro da equação não homogénea é da forma

(isto é, da torma (x) e®*) e não sendo 0 raiz da equação característica

jfca _j_ 4^ _j_ 3 = 0, procuraremos uma solução particular sob a forma p* = Çi (ít) e®*,

isto é, que faremos

Substituamos esta expressão na equação proposta. Tem>se:

44o + 3 (i4oa: H- i4i) = X.

Deduz, igualando os coeficientes das mesmas potências de x dum e

doutro lado da igualdade:

3í4q— 11 44q 3i4 j = 0^

donde

1 4

Aq=

•

Por conseguinte.

* 1 4

9 -

A solução geral y^y-{-y* será

I, = Cie-* + Cje-s* + -g-1- - .

Exemplo — 2. Achar a solução geral da equação

y''-f9y=(x2 + l)^3x^

Resolução — Encontra-se fàcilmente a solução geral da equação

O segundo membro da equação dada

y -—C^ COS 3 x ~f“ ^2 SCO 3 x .

e3x ^ ja forma

P2 (^) c3*.

Como o coeficiente 3 no expoente não é uma raiz da equação característica,

procuramos uma solução particular sob a forma

y* — ou y* = (.4x2 + + 0 c®*.

Substituamos esta expressão na equação diferencial:

[9 (Axi+ fix + C) + 6 (2^x+ B) -|- 2.4 + 9 {Ax^+ B*+ C)] = (i* + 1) «sx.

Simplificando por

de X, obtém-se:

e igualando os coeficientes das mesmas potências

18x4-1, 12/l + 18i? = 0, 2.4 - f 6i?+18C = l,

1 1 5

donde, A = j^ ; P = —^ \C = ~. A solução particular é, pois,

l o 2 .1 o l

e a solução geral

J/*= X*__ L i-! e3x

" U 8 27 ' SI J

y = Ci cos3x + C2sen3x+ +


Exemplo — 3. Resolver a equação

íT—7y' + 6y = (x—2)tf*.

Resoluçõo — Aqui o segundo membro é da forma

em que

o 1 do expoente é uma raiz simples do polinómio característico. Procuraremos,

pois, uma solução particular sob a forma

ou ainda

donde

y* = xQi (x) e* ou y* = x {Ax+B) e* ;

Substituindo esta expresão na equação, tem-se:

[(^x2 + Bx) + ( ^ x + 2B) + 2A -1 (Ax^+ Bx) —

—7 (2Ax + B) + 6 (Ax^ + Bx)] e* = (x—2) e*,

(— lO^x — 5B + 2/1) e* = (X—2) c*.

Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, vem

— 10^ = 1, —5B + 2 ^ = - 2 .

1 9

Tem-se, pois, para solução particular

e a solução geral escreve-se

n

^=Cie«*+C2e*+* (

— Suponhamos o segundo membro da forma

f{x) = P (x) e“* COS Px + Ç (x) e“* sen Px, (5)

onde P (x ) e Q(x) são polinómios.

Pode-se examinar este caso como o anterior passando as funções

trigonométricas a exponenciais. Substituamos cosjSx e stnfix pdas suas

expressões exponenciais dadas pelas fórmulas de Euler (ver -§ S.

cap. V n ) . Obtém-se:

ou

/ (X) = i> (X) -----+ Q (X)

f(x) =

e*.

i í . ( x ) + ^ 9 ( x ) ] ^(a+ip)x

— e

2i

+

(a —ip)x

(6)

Tem-se nos parêntesis rectos polinómios cujo grau é igual ao

grau mais elevado de P (x) ou de Q (x). Vê-se que o segundo membro

foi posto sob a forma do caso I.

EQUAÇOBS DIFERENCIAIS 97

Mostra-se (não o demonstraremos) que se podem encontrar soluções

particulares que não contenham quantidades complexas. Por

conseguinte, quando o segundo membro da equação (1) é da forma

f(x, = P (x) COS ^x+ Q {x) sen (7)

sendo P (x) e Q(x) polinómios, determina-se como se segue, a forma

da solução particular:

a) se a + ip não é raiz da equação característica, é preciso

procurar uma solução particular da equação (1) sob a forma

y*z=U {x) COS px + 7 (x) sen px, (8)

sendo U (x) e V (x) polinómios cuja grau é igual ao grau mais elevado

de P(x) ou de Qix)-.

b) se a + é raiz da equação característica, tomar-se-á uma

solução particular sob a forma

y = x[ü (x) e“* C O S^x-\-V(x) sen Pa:]. (9)

Para evitar possivei's erros, notemos que as formas indicadas das

soluções particulares (8) e (9) são evidentemente conservadas também

no caso em que o segundo membro da equação (1), um dos polinómios

P(x) e Q (x) é um polinómio idênticamente nulo, isto é, quando

o segundo membro é da forma

P (x) e“* COS Pa: ou Q (x) e“* sén Pa:.

Consideremos, em seguida, um caso particular importante. Suponhamos

que o segundo membro duma equação linear de segunda

ordem é ^ forma

em que M e N s ã o constantes.

f (x) = M COS Px + iV sen Px,

a) Se pi não é raiz da equação característica, procurar-se-á uma


(7')

y* = A COS px + 5 sen Px. (8')

b) Se pi é raiz da equação característica, procurar-se-á uma


y* = X (A COS Px - f 5 sen Px). (9')

Notemos que a função (70 é um caso particular da função (7)

(P(x) = M, Q (x) = N, a = 0); as funções (80 e (90 são casos particulares

das funções (8) e (9).


Exemplo — 4. l>.termiiiar o integral geral da equação linear não

homogénea

+ + = 2 COS X.

Resolução — A equação característica 2A; + 5 = 0 tem por raízes

= — l + 2i, At2 = —1— 2í. O integral geral da equação homogénea correspondente

escreve-se pois

y = e-*(Ci cos2x + C2Scn 2x).

Procuremos uma solução particular da equação com segundo membro

sob ia forma

y* = >lcosx + B sen x,

sendo A e B constantes a determinar.

Substituamos y* na equação proposta. Tem-se:

—^^4 COS X—Bsén x + 2 (—^ sen x-{-B cos x) + 5 (A cos x + Bsen x) = 2 cos x.

Igualando os coeficientes de cosx e de senx, obtém-se duas equações para

determinar A t B\

— ^ + 2B + 5yl = 2 ; —B—2/l + 5B = 0,

donde ^ =

5

B = 4~

o

•

A solução geral da equação proposta y = y + y*, é

y = e~^ {Cl cos 2x + C^2 2x) +

2 1

cos x +

u 0

sen x.

Exemplo — 5. Resolver a equação

y''-\-^y = cos 2x.

Resolução — As raízes da equação característica são ki = 2i^k2=—2i ;

a solução geral da equação homogénea é, pois,

y = Ci COS 2x-f-C2 s e n 2x.

Procuremos uma solução particular da equação com segundo membro

sob a forma

y* = x {A cos 2x + B sen 2x).

Tem-se: í/*' = 2x (— ^ sen 2x + B cos 2x) + (A cos 2x + B sen 2x),

y*"=— ^x{— A cos2x— B sen2x) + 4 ( — ^ sen2x + Bcos2x).

Substituamos estas expressões na equação proposta e igualemos os coeficientes

de cos 2x e sen 2x; obtém-se um sistema de equações para a determinação

áe A t B:

1

4B = 1 ; — 4^ = 0, donde .4 = 0, B = -^ •

O integral geral da equação dada é, pois,

Exemplo — 6.

4

y = Ci cos 2x + C2 sen2x + -^ X sen 2x.

Resolver a equação

y*—y = cos X.

sen


ResoJução — O segundo membro da equação é da forma

/ (x) = (M COS x +sen x)

com Aíc=3, ÍV = 0. A equação característica —1 = 0 tem como raízes =

tk 2= —l.A solução geral da equação homogénea é

y = Cie* + C2e-*.

Como a+<P = 2 + i .l, não é raiz da equação característica, procurar-se-á

uma solução particular sob a torma

y* = e2x COS x-\-B sen x).

Substituindo esta expressão na equação, obtém-se, após redução dos termos

semelhantes,

(2A + 4B) COS X + (— 4/1 + 2B) e** sen x = 3e2* cos x.

Igualando os coeficientes de cos x e sen x, vem

2A f 4^ = 3, — AA -h 2B = 0,

3 3

donde ^ = — , 5 = — . A solução particular é, pois,

e a solução geral

( ^ 3 c o s a i+ y 3 s c n xj \ ,

( 3 3 \

^ c o s z + - ^ s e n i j .

§ 25. Equações lineares não homogéneas de ordem n

Seja a equação

+ *’ + . . . + a „ y = f{x). (1)

em que ai, ü2......., / (jc) são funções contínuas de x (ou constantes).

Suponhamos que se conhece a solução geral

da equação sem segundo membro

1/ = C il/i + C 2Í/2 + • • • + ^ n í / 7 i

(2)

-f- • • • "f“ = 0.

Tal como para a equação de segunda ordem, tem-se o teorema

seguinte.

Teorema — Se y é a solução geral da equação homogénea (3)

e uma solução particular da equação não homogénea (1),

Y = y -\-y*

é a solução geral da equação completa.

(3)


Por conseguinte, tal como para a equação de segunda ordem,

a integração da equação (1) resume-se na procura duma solução particular

da equação com segundo membro.

Tal como para a equação de segunda ordem, pode-se achar uma

solução particular da equação (1) pelo método da variação das constantes

supondo que em (2) Ci, Cn sejam funções de x.

Formemos o sistema de equações (comparar § 23):

2)

^1^1 “1“ ^'2^/2 + . • • + — 0,

^lí/l + ^2Í/2 + • • • + CnVn = 0»

(4)

+ . . . + c 'j r - ^ ^ = í { x ) . j

Este sistema de equações de incógnitas C', .... Cn, tem uma

solução bem determinada. (O determinante dos coeficientes c ;, c ;, ....

Ç n é O determinante de Wronski das soluções particulares y^, y2, yn

da equação homogénea, que se supõem linearmente independentes;

não é, pois, nulo.)

O sistema (4) pode, pois, ser resolvido em relação às funções

C[, Cg, . . ., Cn.Integremo-las, uma vez encontradas:

Cl = J Cj dx -|- Ci‘, C2 = J C2 dx -f- C2; . . .;

C n = ^ Cndx

onde Cl, C2, . . ., Cn são constantes de integração.

Mostremos que a expressão

y* = Ciyi C2^2 + • • • + Cnyn (5)

é a solução geral da equação completa (1).

Derivemos a expressão (5) n vezes tendo em conta, de cada vez,

as igualdades (4); ter-se-á, então:

y* = Ciyi + C 2Í/2 + C 3 ^ 3 Cj^yn,

y* = Ciyi + ^'2^/2 + ^3^3 + . . . + Cní/n,

+ C2Í/2" • 4 ' Cnyn'

y* ^ + Cai/^^ i- .. . + / (^)-

Multipliquemos a primeira equação por an,a segunda por «n-i»

a penúltima por e juntemos. Obtém-se

♦(n)


dado queí/i» í/2» • • •» í/n são soluções particulares da equação homogénea

e que, por conseguinte, as somas obtidas, juntando entre si os

termos duma mesma coluna, são nulas.

Por conseguinte, a função y^= Cij/i + . . . + Ci, ...,

Cn são funções de x determinadas pelas equações (4)) é uma solução

da equação não homogénea (1), e como contém n constantes arbitrárias

Cl, C2, . . é a solução geral.

A proposição está assim demonstrada.

Por vezes, é mais fácil encontrar soluções particulares duma equação

não homogénea de ordem n de coeficientes constantes (confrontar

§ 24). Assim é quando:

I — Suponhamos que o segundo membro da equação diferencial

é da forma f (x) — P (x) sendo P (x) um polinómio em jc;

convém distinguir dois casos:

a) se a não é raiz da equação característica, procurar-se-á uma


y = Q W e“*,

em que Q(x) é um polinómio do mesmo grau que P ( jc), mas com

coeficientes indeterminados;

b) se a é raiz de ordem de multiplicidade /j. da equação característica,

procurar-se-á uma solução particular da equação com segundo

membro sob a forma

y. = x*‘Ç (x)e“*,

sendo Q{x) um polinómio do mesmo grau que P(x).

II — Suponhamos o segundo membro da forma

f (x) = M COS px +

onde M Q N são constantes. Determina-se, então, a solução particular

como se segue:

a) se pi não é raiz da equação característica, a solução particular

é da forma

y* = A COS Pa: + B sen Px,

sen

em que A e B são coeficientes constantes indeterminados;

b) se pi é raiz de multiplicidade /x da equação característica,

tem-se

y* = x'^ {A COS px - f sen px).

III — Seja

f{x) = P (x)'e** COS px + (? (x) e“* sen px,


em que P(x) e Q(x) são polinómios em jc. Tem-se:

a) Se a + pi não é raiz de ordem de multiplicidade fi da

equação característica, procura-se uma solução particular sob a forma

y * = U (x) COS ^x + V (a:) sen ^x,

em que U (x) c V (x) são polinómios cujo grau é igual ao grau mais

elevado de P(a:) e de Q(x).

b) Se a +. pi é raiz de ordem de multiplicidade fi da equação

característica, procura-se uma solução particular sob a forma

em que í/ ( jc)

y* = x^[U (x) COS Px + F (x) sen Px],

e F (x) têm o mesmo significado que para o caso a).

Nota geral para os casos II e III — Se o segundo membro da

equação contiver sòmente cos px ou sen px, será preciso quando muito^

procurar uma solução sob a forma indicada, isto é, com um seno ou

um cosseno. Noutros termos, pelo facto do segundo membro não

conter cospx ou senpx não resulta, de forma alguma, que a solução

particular não contenha estas funções. Pode-se comprovar isso mesmo,

considerando os exemplos 4, 5 e 6 do parágrafo anterior e ver-se-á

no exemplp 2 deste parágrafo.

Exemplo— 1. Determinar a solução geral da equação

y^^—y = x^+i.

Resolução — A equação característica â:* — 1 = 0 tem como raízes

î = lt

^ 2 = —1» k2 = i,k^= —-i.

Achemos a solução geral da equação homogénea (ver exemplo 4, § 22):

y = Cie* + C2«“* + C3 cosa: + C4 sen x.

Tomar-se-á uma solução particular da equação completa sob a foitna

Derivemos

dada. Obtém-se:

y* = AqX^ + AiX^ + A2X + A^.

quatro vezes e substituamos as expressões obtidas na equação

— Aqx^ — Aix^ — A2X—As = x^-\-í,

Igualemos os coeficientes das mesmas potêiicias de x. Tem-se:

— A o = í ; —^, = 0 ; —^2 = 0; — ^ 3 = 1 .

Por conseguinte,

y*= —a:3 —1.

Encontra-se o integral geral da equação completa sob a forma

l/ = y + y*» ou seja

y = COSX + C4 sen x—x^ — 1.

Exemplo — 2.

Resolver a equação

y^^ — y = 5 cosx.


Resolução — A equação característica —1 = 0 tem por raízes Afi = l*

— 1, *3 = 1, ^4= — í. A solução geral da equação homogénea é, pois,

^ + C 2e~ ^ + C 3 COS X + C 4, sen x.

O segundo membro da equação proposta é da forma

t {x) = M zosx+N sen x,

com M = 5, TV= 0.

Como í é uma raiz simples da equação característica, procura-se uma


y* = x(A COS x + ^ s e n x).

donde

Substituindo esta expressão na equação, obtém-se:

44 sen X—4B cos x = 5 cos x ,

44 = 0, —45 = 5

A solução particular da equação diferencial proposta é, pois, A = 0, B =

_ 5

4 *

y* = — ^ X sen X

e a solução geral

y + + cosX-I-C4 senr— ^ x senx.

§ 26. Equação diferencial das oscilações mecânicas

O objecto deste parágrafo e dos parágrafos seguintes é o estudo

dum problema de mecânica por meio de equações diferenciais lineares.

Consideremos uma massa Q colocada

sobre uma mola em espiral (fig. Í68).

Seja y o desvio desta massa a partir

da sua posição de equilíbrio. O desvio

para baixo será considerado como positivo,

o desvio para cima será negativo.

Na posição de equilíbrio a força de

gravidade que age sobre a massa é

compensada pela elasticidade da mola.

Suponhamos que a força de chamada

é proporcional ao desvio, isto é, que

se exprime por — ky em que k é uma

dada constantes chamada «Rigidez» da

mola (*).

Fig. 268

Suponhamos que se opõe ao movimento da massa Q uma força

de resistência proporcional à velocidade do movimento em relação ao

(♦) Uma mola cuja força de chamada é proporcional à deformação

diz-$e «característica linear».


ponto mais baixo da mola isto é, uma força —Xv = —X ^ , em que

at

X = const. > 0 (um amortecedor).

Escrevamos a equação diferencial do movimento. Em virtude da

segunda lei de Newton

^ dl^ dt (1)

(k e X são números positivos). Obtivemos uma expressão diferencial

linear homógenea de segunda ordem de coeficientes constantes.

Escrevamo-la sob a forma

com

dt^

X

t +w = o.

dt

Q

Além disso, suponhamos que o ponto inferior da mola efectua

um movimento vertical que obedece à lei z = (0- Tal é o caso se

a mola estiver fixada pela sua extremidade inferior a um rolo, descrevendo

um contorno dado (fig. 269).

k

(1')

A força de chamada.será então, não — ky mas —k [i/ + tp (01>

a força de resistência será —X [y' + <p' (í)l obtém-se, em vez da

equação (1)

n i í ^ + X - ^ + Â : i /= - A : c p ( t) - V ( 0 (2)

dt^ dt

ou

(2')


onde se faz

^ < p (o + v ( < )

Obtivemos uma equação diferencial de segunda ordem com

segundo membro.

A equação (1') chama*se equação das oscilações livres, a equação

(20 é a das oscilações forçadas.

§ 27. Oscilações livres

Consideremos, em primeiro lugar, a equação das oscilações livres

y"" + py' + qy = 0.

Escrevamos a correspondente equação característica

e achemos as raizes:

+ pk q = Q

1. Seja q^ As raízes A:i e kz são, então, números reais

negativos. A solução geral exprime-se por exponenciais:

y = Cic"'‘ + C2e'‘‘‘ (Al < 0, *2 < 0). (1)

Resulta desta fórmula que a distensão y tende assintòticamente para

zero quando r oo, quaisquer que sejam as condições iniciais. Não

há oscilação no caso dado, porque a força de travagem é grande em

relação ao coeficiente de rigidez da mola k.

D

2. Seja - ^ = g; tem-se, então, uma raiz dupla k i= k^ = — — .

* ^

A solução geral escreve-se, pois:

_

_ _ p _

y = C,e ^ '+ C , t e = {C, + C,i)e

Aí ainda a distensão tende para zero quando t oo, mas menos

depressa do que no caso anterior (dado o factor Ci + Czt).

3. Seja p — 0. isto é. que se supõe a ausência de travagem.


k^ q = 0,

pt

(2)


e tem por raízes ki = pi, = —Pi, com p = A solução geral é

y = Ci COS Pí + Ca sen pi. (3)

Substituamos nesta fórmula as constantes arbitrárias Ci e C2 por

outras, A Q <po ligadas a Ci e C2 pelas relações:

Cl = A sen (po,

Cg = A cos (po.

Daí resulta A e <po em função de Ci e C2, como se segue:

A = V C l + Ca, cpo = are •

C '2fl

Substituindo as expressões de Cj e C2 na fórmula (3), obtém-se

y = A sén q)o cos pi ^ (po senPi

1/ = ^ sen(Pí + (po). (3')

Tais oscilações dizem-se harmónicas. As curvas integrais são sinusoides.

O intervalo de tempo T no qual a quantidade pt + (po varia

ou

2n

de 27t chama-se período das oscilações', no nosso caso 7* = -5- . Cha-

P

mamos frequência das oscilações ao número de oscilações no tempo 2tt\

no nosso caso a frequência é p, a. constante A, que represento a distensão

máxima a partir da posição de equilíbrio, chama-se amplitude

do movimento oscilatório; ç»o é a fase inicial.

Representa-se o gráfico da função (3') na fig. 270.

4. Seja p 0 e -^ < g.

As raízes da equação característica são. então, complexas:


em que

fci = a + ip,

a = - ^ < 0 , P =

= OL— ip,

O integral geral é da forma

y = e“ ‘ (Cl COS pí + Cz sen PO

1/ = i 4 e “ ' sen (pí + q>o). (4)

Somos obrigados a tomar aqui, para amplitude, a quantidade

que depende do tempo. Como a < 0, ela tende para zero quando r -» oo,

isto é, que estamos na presença de oscilações amortecidas. A figura 271,

representa o gráfico de tais oscilações.

§ 28. Oscilações forçadas

A equação das oscilações forçadas escreve-se

y” py' + qy = f {t).

Consideremos o caso importante da prática em que a força perturbadora

exterior é representada pela função periódica

j {t) = a sen coí;

a equação torna-se. então,

í/" + p y +qy = d s è n d )


1. Suponhamos, em primeiro lugar, que p =7^ 0 e ^ < g, isto é,

que as raízes da equação característica são números complexos a ± pi,

A solução geral da equação homogénea escreve-se. então, (ver fórmulas

(4) e (4'), § 27)

y = Aé^^stn + W -

Procuremos uma solução particular da equação com segundo

membro sob a forma

y =z M COS co/ + sen (út. (3)

Substituindo esta expressão de y* na equação diferencial inicial,

encontra-se M e N:

M = ____ __________• N = .

( í - o Y + p V ( g _ c o Y + p W

Antes de substituir as expressões de Af e na igualdade (3),

introduzamos as novas constantes A* e (p*, fazendo

ou seja

M = A*sen cp*,

a * = ^ V aj^ + jv^ =

V ( g _ o ) Y + /) W

N = A*coscp*,

^ M

tlô) = ---- .

N

Poder-se-á, então, escrever a solução particular da equação não

homogénea sob a forma

3|c :|e a(e :|e :|e :|t

y — A sen 9 COS coí + ^ cos (p sen (út = A sen (co/ + cp )

ou, finalmente.

y = : sen(o)í + ).

V(q — (oY +

O integral geral da equação (1) é igual z. y = y

y* , oa seja

i/ = ê'*‘ sen(pí + cpo) +

V(q — (ú')" +

sen (o)í + <P ).

O primeiro termo do segundo membro fa solução da equação

homogénea) representa oscilações amortecidas. Decresce quando t cresce

e, por conseguinte, ao fim dum certo tempo, é o segundo termo, que

representa oscilações forçadas, que desempenha o papel principal.

A frequência a> destas oscilações é igual à frequência da força exte-


rior /(O; a amplitude das oscilações forçadas é tanto maior quanto

mais pequeno for p e que esteja na vizinhança de q.

Estudemos, em detalhe, a dependência entre a amplitude das

oscilações forçadas e a frequência w para diferentes valores de p.

Designemos para este efeito a amplitude das oscilações forçadas

por D(ü>):

D ((d) = . “

V(g — + p 2 (0

2

Façamos q = (para p = 0 Pi seria igual à frequência das oscilações

próprias). Tem-se

Façamos

— = X- - ^ =

Pl ’ Pl

em que A é o quociente da frequência da força perturbadora e da

frequência das oscilações livres do sistema, não dependendo a constante

\ da força perturbadora. A amplitude exprime-se, então, pela

fórmula

Õ (^) = — ^ ° (4)

P iV (i +

Achemos o máximo desta função. Corresponde, evidentemente,

ao valor de \ para o qual o denominador é mínimo. Mas o mínimo

da função

_____________

V(1_A,=*)2 + yV (5)

é atingido para

e é igual a

. = Y i -

V ' - 4 -

Por conseguinte, a amplitude máxima é igual a

a

D .

^ PiY 7


O gráfico da função D (K) para diversos y está representada na

figura 272 (para fixar ideias, fez-se a construção das curvas correspondentes

a = 1. = 1). Estas curvas chamam-se curvas de ressonância.

Resulta da fórmula (5) que para y pequenos o valor máximo da

amplitude é atingido para valores de A. vizinhos da unidade, isto é.

quando a frequência da força coercitiva é vizinha da frequência das

oscilações livres. Se y = 0 (logo p = 0, isto é, se não houver resis-


tência ao movimento, a amplitude das oscilações forçadas cresce indefinidamente

quando A 1, isto é, quando o) =z= Y q \

lim D (A.) = oo.

(v=0)

Quando = q, há ressonância.

2. Suponhamos, agora, que se tem p = 0, isto é, que consideraremos

a equação das oscilações elásticas sem resistência em presença

duma força coercitiva periódica:

y'" qy = a sen (ot. (6)

A solução geral da equação homogénea é

^ = Cl C O S p^ -f C2 sen. p^

(p^ = q),

Se isto é, se a frequência da força coercitiva não é igual

à frequência das oscilações próprias, a solução particular da equação

não homogénea escreve-se

y* = M COS (oí + iV sên cot.

Substituindo esta expressão na equação proposta, vem

A solução geral é

M = 0, N = — ^ , .

q — iú

y = A sen (Pí -|- 9o) “h ■ ' sen coí.

7 — (O

O movimento resulta, pois, da sobreposição das oscilações próprias

de frequência p e das oscilações forçadas de frequência ü>.

Se = ü), isto é, se a frequência das oscilações próprias coincide

com a frequência da força coercitiva, a função (3) não é solução da

equação (6). Procurar-se-á, então, em virtude dos resultados do § 24,

uma solução particular sob a forma

y = t { M COS Qòt-\-N StVi (út). (7)

Encontra-se M e N substituindo esta expressão na equação

diferencial;

M = - — ; N = 0.

2(ú

Por conseguinte.

y = — ^ teos(út

zp


A solução geral é da forma

y = Asèn (pí + q,„) _ — tcospt.

2 (0

O segundo termo do segundo membro mostra que a amplitude

das oscilações aumenta indefinidamente quando t oo. Este fenómeno.

Fig. 273.

que tem lugar quando a frequência das oscilações próprias do sistema

e a frequência da força coercitiva coincidem, chama-se ressonância,

O gráfico da função y* está representada na figura 273.

§ 29. Sistemas de equações diferenciais

Na resolução dum grande número de problemas pede-se para

encontrar funções yi = yt (x), y 2 = y 2 {x), , , , , yn = yn {^) que satisfaçam

a um sistema de equações diferenciais que contém a variável x,

as funções desconhecidas yi, yz....... yn e suas derivadas.


Consideremos o sistema de equações diferenciais de primeira

ordem:

dyi

dx

= h { x . Ui, Vz, . . . . yn),

= Vit í/2» •••» í/n)»

dyn

dx = fn(x, yu í/2» ...» yn). ( 1)

onde, yu ........ yn são funções desconhecidas e x a variável.

Um tal sistema, resolvido em relação às derivadas primeiras,

chama-se sistema normal.

Integrar este sistema, é determinar funções yu ^2. . .. yn qüe

verifiquem as equações (1) e que satisfaçam às condições iniciais dada$:

( í ^ l ) 3c = x o — í/ io » {y^x=X(i — 2/20» . . . » ( 2/ n ) x = x o — Vno*

Integra-se o sistema (1) como se segue.

Derivemos a primeira das equações (1) em relação a jc*

(2)

dfi dfi dyi dfi dy„

dx* dx dyi dx dyn dx

Substituamos as derivadas ,

dx dx

sões ju fo> .... fn tiradas de (1).

Obtém-se a equação

d^yi

dx^

= P2Í^y yu

”

dyn

dx

yn)-

pelas suas expres-

Derivando a equação obtida e procedendo da mesma maneira,

acha-se:

È^=zFzix, yu yz, .... y„).

dx"

Assim, continuando, encontra-se finalmente

cTyi

dx"

iPn{x, yu .... Vn)-


Obtém-se, assim, o sistema seguinte:

= yi, . . . . yn),

^ U l t • • •> í/n)»

da^

(3)

d"yi

dx^

= Pn{x< Uu ■■•. Vn)-

Obtém-se das n — 1 primeiras equações (admitindo que isso seja

possível) >>2. ........... y^ exprimindo-as em função de x, yi e das deri-

Í i í ! .

dx dx^ ■■■’ dx"-i •

yi = <P2 {x, yi, y\, .. .. y ' r \

yj = (p3(x, yi, y\, .. y ' r \

(4)

yn==tpn(a;, y i , y i , •

Substituindo estas expressões na última equação (3), obtém-se

uma equação de ordem n baseando-se em yi’.

Determina-se

dx^ = y i , y i , • • • . y i "

resolvendo esta expressão:

(5)

— ^2» • • •» ^n)*

(6)

í *§•..

Derivemos

.

esta

. .

expressão

. . . .

n .— .

1

.

vezes;

. . .

encontram-se

. . . .

as derivadas

Substituamos estas funções na equação (4). Encontram-se y2 ,

ys.......Vn :

V2 ''1^2 ^1» ^2» • * 1

yn = ^n{^. Cl, C2, . .

C J . I

Para que a solução obtida satisfaça às condições iniciais dadas (2),

não resta mais do que determinar ém (6) e (7) os valores das cons-

(7)


constantes Cu C2........

diferencial).

(como se fez no caso duma só equação

N ota— 1. Se o sistema (1) for linear em relação às funções desconhecidas,

a equação (5) será também linear.

Exemplo— 1. Integrar o sistema

com as condições iniciais

- ^ = y+2 + x, - ^ = —4í^ —3z + 2x

Resoluções: (í')* = o - l. (*)x= 8-0.

1. Derivando em relação a jc a primeira equação, tem-se

d^y dy ^ dz , ^

dx^ dx dx

dy dz

Substituindo, nesta última, as expressões c obtidas das equações

(a), obtém-se:

ou

ou

- ^ = (» + * + * ) - f- (— 4 y — 3 s + 2 * ) + l

d^y

- 3y—2z - j - 3x -j-1.

dx^

2. Deduz-se da primeira equação (a)

dy

Substituindo esta expressão em (c), obtém-se

d»y

----

dx^

+ 2 - 3 j- f y = 5 * - fl.

A solução geral desta última é

y = (Ci + C2x) e-* + 5 x - 9

e tendo em conta (d)

z = (C2 —2(7i — 2C2X) e-* - 6x +14.

Escolhamos as constantes Ci e Cs de maneira a satisfazer âs condições

iniciais (b):

( i/)x = o = f» ( ^ ) x = o = ^«

Deduz-se, então, das igualdades (f) e (g)

1 = C^—9, 0 = C2—2Ci + 14,

donde ^ = 1 0 e C-. = 6. /

Por conseguinte, a solução que satisfaz às condições iniciais (b) escreve-se

y = (10 + 6x) e-* + 5x—9, z = (— 14 — 12x) e-^ — 6o: + 14.

( a )

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

116 , CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Nota — 2. Suposemos, nos raciocínios anteriores, que se podia tirar

as funções .... das n — 1 primeiras equações (3). Mas pode-se.

por vezes, tirar yz. . Vn de menos de n equações. Obtém-se. então,

para determinar y, uma equação diferencial de ordem inferior a n.

Exemplo — 2. Integrar o sistema

dx dy dz ,

-dt= ^+ «-

Resolução — Derivando em relação a / a primeira equação, encontra-se

d^x_dy dz

=(i + z) + (i + y),

dV^ dt ' dt

d^x

2x-\-y -\~z.

dt^

Eliminando as variáveis y e z das equações

dx

d2x .

dt^ y + 2,

obtém-se uma equação de segunda ordem em relação a x:

__2 i - 0

dí2 dt

O integral geral desta última é

x = Cie-^-\-Coe^K

Donde

( a )

et j / = - ^ _ z = _ c , e - í + 2C2e2t _ z .

Substituindo as expressões acima de x e y na terceira equação do sistema

proposto, obtém-se uma equação que permite determinar z:

dz

(P )

Integrando esta equação, encontra-se

^ —

Mas tem-se, então, em virtude de ip):

í/=-(C i + C3)e-í + C2^2í.

(y)

(ô)

As equações (a ),

(5), (y) dão a solução geral da sistema proposto.

Pode suceder que as equações diferenciais dum sistema contenham

derivadas de ordens superiores a um. Por conseguinte, a ordem do

sistema eleva-se.

Assim, o problema do movimento dum ponto material solicitado por

uma força F reduz-se a um sistema de três equações diferenciais dc segunda

ordem. Sejam F^, F^ as projecções da força F sobre ^s eixos coordenados.


A posição do ponto em cada instante / é definida pelas suas coordenadas x,

y, z. Resulta daí que x, y» z são funções de /. As projecções do vector

velocidade do ponto material sobre os três eixos são -4^-, .

dt dt dt

Suponhamos que a força F e, por conseguinte, as suas projecções Fx, F,

Pz . dependem do tempo /, da posição jc, y, z e da velocidade .

dt dt dt

As funções que se procuram neste problema são

x = i ( í) , v = v(t), z = z(t).

Determinamo-las a partir das equações da distância (lei de Newton):

d^x „ í ^ dx dy dz \ \

'” ■*2 l* ’ *’ ~dt' H F ’ ~dr) ’

d^y „ / dx dy dz \

- d t ' s r ) ' \ w

d^z _ / dx dy dz \

i T ' -ST ' - w ] -

Obtivemos um sistema de três equações diferenciais de segunda ordem.

Se o movimento é plano, isto é, se a trajectória é uma curva plana (por

exemplo, do plano Oxy) obtém-se um sistema de duas equações para determinar

x{t) fí y (/):

d^x / dx dy ^

> (9)

dt i

( dx dy

- F 1

* d r'' dt

Pode-se resolver um sistema de equações diferenciais de ordem n reduzindo-o

a um sistema de equações de primeira ordem. Mostremos como se

procede com o exemplo (9) e (10). Introduzamos as notações:

Tem-se

d^x

dt^

dx

dt

du

dt

dy

dt "

dt^

dv

1 T

O sistema de duas equações de segunda ordem (9) e (10) a duas funções

desconhecidas x (/) e y é substituído por um sistema de quatro equações

de primeira ordem com quatro funções desconhecidas x, y, u, v:

dx -=u,

dt

m

dy = u,

dt

du

- j i i - = F x { t , X, y, lí, u),

dv

m — = Fy{t, X, y, u, v).

V'

(10)


Indiquemos, para terminar, que o método geral examinado de resolução

de sistemas de equações diferenciais pode ser substituído, em certos casos concretos,

por processos artificiais que permite chegar mais ràpidamente ao fim.

Exemplo — 3. Determinar a solução geral do sistema de equações diferenciais

d^y

dx^

d^z

dx2 = y-

Resolução — Derivemos duas vezes em relação a jc os dois membros da

primeira equação:

d^y _ d^z

dx^ ~ dx2

d^z

Ora, = logo se obtém a equação de quarta ordem

d^y

dx^ = y -

Por integração, obtém-se a solução geral desta equação (ver t. II, cap. XIII,

§ 22, exemplo 4):

y = + COS + s e n x .

Tiremos desta equação e substituámo-lo na primeira equação do

0X2

sistema proposto. Determina-se

z = + —^3 COS X—C4 sên x.

§ 30. Sistemas de equações diferenciais lineares


Seja dado o sistema de equações diferenciais

dx-^

dt

dx^

dt

— ^11^1 + ^12^2 H“ • • • +

— ^ 2 1 * ^ 1 “ h ^ 2 2 - ^ 2 + • • • + ^ 2 n ^ n »

( 1)

dXn , , ,

—; — + a^^nX^ + . . . annXjii

dt

em que os coeficientes au são constantes. Aqui t designa a variável

independente, Xi (t), jcz (í).......... (0 as funções desconhecidas. O sistema

(1) chama-se sistema de equações diferenciais homogéneas de

coeficientes constantes.


Como indicamos no parágrafo anterior, este sistema pode ser

resolvido reduzindo-o a uma equação do grau n, ordem que no caso

presente será linear (já o haviamos notado na nota 1 do parágrafo

precedente). Ora o sistema (1) pode igualmente ser resolvido por um

outro método, sem o reduzir a uma equação de ordem n. Este método

permite analisar mais concretamente o carácter das soluções.

Procuraremos a solução particular do sistema sob a forma seguinte:

= X2 = ol2 6' , Xn = ar,e^\ (2)

Deve-se determinar as constantes a i, ag, .... e â: de modo

que as funções aie'", ajc"', .... anC*' verifiquem o sistema de equa-

ções (1). Substituindo-as no sistema (1). obtemos:

kai6^^ = (aiiai + flizaz + .

= (^21^1 + 022^2 +

+ «man)

+ <h.n^n)

Dividamos por Passando para o primeiro membro todos

os termos e pondo em evidência os coeficientes de «i, a j,

obtemos o sistema de equações

(ajl — /c) «1 + 012^2 + • • • + = 0»

+ (®22 — A:) a2 + . . . + ^2n^n = 0.

(3)

^nl^l + (^n2^2 + • • • H“ (^nn — = 0-

Escolhamos a i, « 2»• ••• ^ ^ maneira que seja verificado o

sistema (3). Este sistema é um sistema linear de equações algébricas

em relação a a i , ag,..., a^.Formemos o determinante do sistema (3):

aii — k «12 • ^l7l

A(A) =

«21 «22 — k . , «2n

(4)

^nl an2 • (flnn — k)

Se A: é tal que o determinante A é diferente de zero, o sistema (3)

não possiri «enão uma solução nula «i = «2 = ... = aî = 0, e, por

conseguinte, as\ fórmulas (2) apenas dão as soluções triviais:


Assim, apenas poderemos obter soluções não triviais (2) para os

valores de k para os quais o determinante (4) se anula.

Obtemos uma equação do grau n para determinar k:

lll— fc ãi2 CL^n

^21 U>22 k ,. ^2n = 0. (5)

^nl ^ m2 • • • dnn— k

Esta equação é chamada equação característica do sistema (1).

As suas raízes chamam-se raízes da equação característica.

Consideremos alguns casos.

I — As raízes de equação característica são reais e distintas.

Designemos por ku kz, kn, as raízes da equação característica.

Para cada raiz /c; escrevamos o sistema (3) e determinemos os coeficientes

a ii) 1 í ^2 (i) » a U)

Pode-se mostrar que um dentre eles é arbitrário. Pode-se estimá-lo

igual à unidade. Assim, obtemos:

para a raiz ki a solução do sistema (1)

x„ = a ,e

para a raiz a solução do sistema (1)

.<2) _ x f =

xr = a r e

para a raiz k^ a solução do sistema (1)

^(n) A,,/ (n) hnt

-- LCj c , 0^2 -- ^2 ^ » • • •» ^

Pode-se verificar, por substituição directa nas equações, que o

sistema de funções

+ Câfe"'-^ + . .

(6)

Xj^ =

+ C2^n^'^^ + • ■

em que Ci, Cz.......Cn são constantes arbitrárias, é a solução do sistema

de equações diferenciais (1). É a solução geral do sistema (1). Mostra-se

fàcilmente que se pode encontrar para as constantes valores tais que a

solução verifica as condições iniciais dadas.


cm que

Exemplo— 1. Achar a solução geral do sistema de equações

- ^ = 2x1+ 2x2, - ^ = xi + 3x2.

Resolução — Formemos a equação característica

12 —A: 2

1 3 —A: = 0

—5A: + 4 = 0. Encontramos as raízes

*1 = 1» *2 = ^-

Voltemos a procurar as soluções sob a forma

Componhamos o sistema (3) para a faíz /ci = l e determinemos

c

ou

(2-l)aií> + 2aî> = 0, \

laiD + (3-l)aS5i> = 0 /

aii> + 2aî) = 0,

aii> + 2aî) = 0,

1 1

donde ^ Façamos = 1. Obtemos = — g-. Obtivemos, assim,

a solução do sistema

xil> = e^ X ^l>=— y e'.

Componhamos, em seguida, o sistema (3) para a raiz *2 = 4 e determinemos

e :

—2aí2) + 2a^2)^0,

a<2)-2a^*> = 0,

donde = e = a^^^ = l. Obtemos a segunda solução do sistema:

A solução geral do sistema será [ver (6)]

X 2 = — +

II — As raízes da equação característica são distintas, mas alguma

delas são complexas.

Suponhamos que entre as raízes da equação característica existem

duas raízes complexas conjugadas:

fel = a + ip ,

fe« = a —- if


A estas raízes corresponderão as soluções

x f = (y = 1, 2, .. ., n), (7)

x f = a‘/V“" (;• = 1, 2, .. ., n). (8)

Os coeficientes aj^ e são determinados a partir do sistema

de equações (3).

Do mesmo modo que no § 21 (t. II. cap. III) pode-se mostrar

que as partes reais e imaginárias da solução são também soluções.

Obtemos, assim, duas soluções particulares:

{7Í f C O S sên p z )

sen pz -f

cos pz)

em que A."’, são números reais definidos por meio

de «ji** e afK

As combinações correspondentes das funções (9) entrarão na

solução geral do sistema.

Exemplo — 2. Encontrar a solução geral do sistema

dxi

"dT

= — +

dx2

= — 2xi —5x2.

dt

Resoluçõo — Formemos a equação característica

‘ _ 0

_ 2 —5—A:

A2 + 12A: + 37 = 0 c calculemos as _|uas^juízes;

^2——^ — í*

Fazendo k^ = —6 + i no sistema (3). achamos:

(9)

OU

Escrevamos a solução (7):

= l^(-6+Í)f, == (1 + i)

Fazendo ^2 = —^ ^ sistema (3), achamos:

a^2^^ = í — i.

Obtemos o segundo sistema de soluções (8):

Voltemos a escrever a solução (73:

= (cos í + i sen í), ^-6/ (cos í + i sent)

x ju = cos t + ie~^^ sen í,

= (c o s í — sen (cos í +sen t).

'

(7)

(8')


Voltemos a escrever a solução (8') ‘.

COS t — ie"® * s e n í ,

x^2)_g-6í (cos í —sení) —

(cos í + sen t).

Podemos escolher como sistema de soluções parciais separadamente as

partes reais e imaginárias

= e“®^ COS í, = e"®^ (cos t — sen í),

sen f,

A solução geral do sistema será:

xj = cos t + ^2^“®^ sen t,

x2 = Cic"®^ (cos í —sen +

= e"®* (cos f + sén t).

(cos í + sen r).

(9')

Pode-se encontrar, por um método análogo, a solução dum sistema

de equações diferenciais lineares de ordens superiores de coeficientes

constantes.

Em mecânica e teoria de circuitos eléctricos estuda-se. por exemplo,

a solução do sistema de equações diferenciais de segunda ordem

dt^

<fy

de

■aiiX-\-ãizy.

■Ü2\X -|“ ^222/*

(10)

Procuremos de novo a solução sob a forma

x = ae kt

y = ê^\

Substituindo estas expressões no sistema (10) e dividindo por

obtemos um sistema de equações para determinar a, p t k:

(«11 — k^)a-\- «12P = Q, y

«21^^ -f" (^22 — P = 0* /

(11)

Os valores a t p não serão diferentes de zero senão no caso

em que o deteribinante do sistema for igual a zero:

«11 — k

«21

«12

^22 — ^

:0. (12)

É pre<|isamente a equação característica para o sistema (10); é

uma equação de quarta ordem em relação a k. Sejam kx, k 2, k^ e k 4

as suas raízes (supondo-as distintas).


Por cada raiz ki do sistema (11) encontramos os valores a e p.

A solução geral análoga a (6) será da forma

y =

+ C3p<=*ê*>‘ + C iP^V *'.

Se certas raízes forem complexas, a cada par de raízes complexas

corresponderá, na solução geral, uma expressão do tipo (9).

Exemplo — Encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais

d^x

dt^

d^y

dt^

= x—Ay,

-a:+y.

Resolução — Escrevamos a equação característica (12) e achemos as suas

raízes:

1_A:2 _ 4

= 0,

— 1 1 —A;2

k^ = i, k2= —í, A;3 = 1/3, ki^=—l/S.

Voltemos a procurar a solução sob a forma

i<i) = aeí',

l(2) = (x(2)e-*', y(2) = p(2)e^^\

i(3)=â(3)e ^3t ^ yi3) = p(3)e^^\

x(4) = a í í ) í - ’^^',

11) tiramos a^íi e pu>:

a = l,

a<2) = l,

y(4) = p(4)g-

a<3) z= 1, P<3> = - 1 .

a<4) = l, = .

Escrevamos as soluções complexas:

a;íi> = e~^^ = cos / + í sen ^

X(2) ; -it = COS t — i ^ í ,

= y (cos í + í sen/),

1

í/<2) = -_ (cos t — i stn t).

As partes reais e imaginárias tomadas separadamente serão também

soluções: __ _ ^

j;(l) - : cos /, ^(1) — COS / ,

1

x(2) — sen r, sén t.


Podemos, agora, escrever a solução geral:

X = C^ COS t -j- C2 sen t - f - V 3í - j - (J

y = î~2 ^ ^ V lt.

N o ta — Não consideramos neste parágrafo o caso das raízes múltiplas

da equação característica.

§ 31. Noção sobre a teoria da estabilidade de Liapounov

Como as soluções da maior parte das equações diferenciais e dos

sistemas de equações elementares não se exprimem por meio de funções

elementares ou por quadraturas, recorre-se igualmente a métodos de

integração aproximada. Deu-se uma ideia destes métodos no § 3 (t. II,

cap. Xlll); além disso, vários destes métodos serão examinados nos

§§ 32-34 e também no capítulo XVI.

O defeito destes métodos, é que eles apenas dão uma solução

particular; para obter outras soluções particulares é preciso refazer

todos os cálculos. Conhecendo uma solução particular não se pode

pronunciar sob o carácter das outras soluções.

Em muitos problemas de mecânica e de técnica, importa conhecer

não os valores concretos da solução correspondente a valores concretos

da variável, mas o comportamento da solução quando a variável varia,

em especial quando tende para infinito.

É, por exemplo, importante saber se as soluções que satisfazem

às condições iniciais dadas são periódicas ou se elas tendem assintòticacamente

para uma função conhecida, etc. A teoria qualitativa das

equações diferenciais tem por objecto estas questões.

A questão da estabilidade duma solução ou dum movimento é

uma das questões fundamentais da teoria qualitativa; esta questão foi

estudada em detalhe pelo eminente matemático russo A. Liapounov

(1857-1918).

Seja o sistema de equações diferenciais

É ^ = fi{t, X, y),

di

^ = X, y).

dt

Sejam x = x{t) e y = yU) as soluções deste sistema que satisfazem

às condições iniciais

^t=0 = ^0> 1

(1)

yt=o=yo- > ’


Sejam ainda a: = x {t)Qy = y {t)as soluções deste sistema (1) que

satisfazem às condições iniciais

^t=0-- ^0i 1

(11)

yt=o = yo- )

Definição — As soluções ar = aí (/) e y = y{t) que satisfazem às

equações (1) e às condições iniciais (!') dizem-se estáveis no sentido de

Liaponnov quando / oo se, para todo 0 > 0 arbitràriamente pequeno,

existe 8 > 0 tal que se tenha para todo / > 0 as desigualdades

|x(<) — x ( í ) |< e ,

(2>

desde que as condições iniciais satisfaçam às desigualdades

I í o — ^ 0 1 < ô .

I ^ 0 — í/o I < ô .

Interpretemos esta definição. Resulta das desigualdades (2) e (3)

que as soluções variam pouco, qualquer que seja t positivo, quando

as condições iniciais variam pouco. Se o sistema de equações diferenciais

é o dum movimento, o carácter do movimento varia pouco

quando as condições iniciais variam pouco se as soluções forem estáveis.

Vejamo-lo com o exemplo duma equação de primeira ordem.

Seja a equação diferencial

(3>

A sua solução geral é

d y

dt

- Í/ + 1 . (a)

(b)


Achemos a solução particular que satisfaça à condição inicial

»(=0 = ^- (c)

É evidente que esta solução y — i corresponde a C = 0 (fig. 274). Achemos

em seguida a solução particular que sattsfaça à condição inicial

donde

yt=o = yo-

Achemos o valor de C na equação (b):

yo=c+u

C=yo~í.

Substituindo este valor de C na igualdade (b), obtém-se

P = (yo—1) e"' + l.

É evidente que a solução >^= 1 é estável. Com efeito

y—y=[(íío—1) «■' + !] —l = (ío—l) « “ ' —^ 0

quando t —> oo.

A desigualdade (3) é, pois, verificada qualquer que seja c desde que

se tenha

(í/o—l) = ô < e.

Consideremos, em seguida, o sistema de equações:

dx = cx-\- gy,

dt

- ^ = ax + by,

dt

supondo que os coeficientes a, b, c. g são constantes e gzÔ,

Vejamos a que condições devem satisfazer os coeficientes para

que a solução jc = 0, >^ = 0 do sistema (4) seja estável.

Derivemos a primeira equação e eliminemos y. Obtém-se uma

equação de segunda ordem:

(Px dx du dx . , .

^ ^ c — + g ^ = ^ c — + g(ax+ by)= =

dr dt dt dt

(4)

ou

dx

= c -------1- agx + b

dt

dí^x , . dx

+ ----

dt

(ag — bc) x = 0. (5)



- ( b + c)K - { a ^ - b c ) = 0. ( 6)

Designemos as raízes da equação característica por Ai e A2. Os

casos seguintes se podem apresentar:

1. As raízes da equação característica são reais, negativas e

distintas:

<C 0, X2 <C 0, X2.

Então,

y = [ C l ( ^ 1 - c) + C 2 (X 2 - c ) ^ .

A solução que verifica as condições iniciais

x|i=o = ô, y |í= o = í/o

c x ^ - \- g y ^ — Xit I ^0^1 — ^^0 — Vog j.2 t

X ---- 6 -1 6 ,

A-i —A2 Âi —

1

y = —

(7)

g 'K

^0^1 — ^*^0 — í/o^ {K - c)

^

Resulta destas últimas fórmulas que, para todo 8 > 0, se pode

escolher e yo suficientemente pequenos tais que se tenha para todos

os r > 0:

I I < I !/ (0 I < dado que

< 1 ê < 1.

Resulta daí que neste caso a solução jc = 0, y = 0 é estável

2. Sejam Xi = 0, A2 < 0. Tem-se

x = C^-\-

y = j [ C 2 Í X .- c ) e ’'^*-cC i]

e, como anteriormente, a solução é estável

3. Seja Al = A2 < 0. Tem-se

x={C^-\- C2O

í/ = — ^ ^ [ C l ( À i — c) - I - C 2 (1 4 "

'i


Dado que

teît 0 e » 0 quando í —> oo,

ter-se-á para Ci e Co. suficientemente pequenos (isto é, quando JCo e yo

sejam suficientemente pequenos) | x (í) | < e e | i/ (0 I < ®qualquer

que seja í > 0. A solução é estável.

4. Seja Al = zA. = 0. Tem-se

a: = C l +

1

y =■ — [ — cC\ H " C 2 — C C 2Í ] .

g

Vê-se que por mais pequeno que seja Cj 7^ 0. jr e y tendem para

o infinito quando t-> co, isto é. que a solução é instável.

5. Suponhamos que uma das raízes Ai c Ao é positiva, por

exemplo, Ai > 0.

Resulta da fórmula (7) que por mais pequenos que sejam jc e >^, se

+ gyo — ^0^2 ¥= 0,

isto é. que se Ci =?í=0, \ x (t) | 00, quando t - ^ 0 0 ,

Por conseguinte, a solução é instável neste caso também.

6. As raízes da equação característica são complexas e a parte

real é negativa:

A.1 — cc i'P, 1

. í « < 0 .

A,2 = a — íP, J

Neste caso

X = sen (Pí + ô),

1

y = j cé^ [(a - c) sen (pí + ô) + p cos (pí + 6)]

1

(8)

Ê evidente que para todo e > 0 se pode tomar Xo e yo de modo

que se tenha | C | <; e e f ^^ I <; e e, portanto,

I“ 1

A solução é estável.

I X (í) I < 8 e I 1/ (0 |< 8.

7. As raízes da equação característica são números imaginários

puros:

= p í, Xa = — pt.


Neste caso

x = C sen(pt + ô),

1

y = — C [P COS

-j- ô) — c sen (pí -j- ô)],

isto é. que x(t) q y (t) são funções periódicas de t. Verifica-se. como

anteriormente, que a solução é estável.

8. As raízes da equação característica são complexos e a parte

real é positiva {a > 0).

Resulta das fórmulas (8) que por mais pequenos que sejam Xq e yo

(isto é, que para C 0 arbitrariamente pequenos) as quantidades

Ijc (/) I e I.V(/) I podem tomar valores arbitràriamente grandes quanto t

cresce, dado que -> oo quando oo. A solução é instável.

Para dar um critério geral de estabilidade da solução do sistema

(4). procederemos como se segue.

Escrevamos as raízes da equação característica sob a forma

complexa

^1 =

-|- ^^1 í

^2 = ^2 H” 1 ^ 2

(se as raízes forem reais. ÀJ* = 0 e À** = 0).

Representaremos as raízes da equação característica por pontos

no plano da variável complexa. Partindo dos oito casos examinados

acima, pode-se formular a condição de estabilidade da solução do

sistema (4) como se segue.

Se alguma das duas raízes \i e X2 da equação característica (6)

não se encontrar à direita do eixo imaginário e se uma raiz pelo menos

for diferente de zero, a solução é estável; se houver uma raiz à direita

do eixo imaginário ou se as duas raízes forem nulas, a solução é

instável.

Consideremos agora o sistema de equações mais geral:

dx

— = cx + gy-[-P {x, y),

dt

- ^ = ^ a x - \- b y -\-Q {x, y).

dt

Salvo casos excepcionais, a solução dum tal sistema não se exprime

por meio de funções elementares e quadraturas.

Para estabelecer a estabilidade da solução deste sistema, compara-se

às soluções dum sistema linear. Suponhamos que quando jc -> 0 e y 0

(4')


as funções P ( jc, y) c Q ( ac, y) tendem igualmente para zero mais

depressa do que p =

; noutros termos.

p -^ 0 P p -^ 0 p

Demonstra-se, então, que além dum caso excepcional, a solução

do sistema (4') é estável ou instável ao mesmo tempo que o do sistema

dx

dt

= cx-\- gy,

du

— = ax

. .

by,

dt

Exceptua-se o caso em que as duas raízes da equação característica

se encontram sobre o eixo imaginário; então, é mais difícil de

decidir da estabilidade ou da instabilidade da solução do sistema (4').

A. Liapounov estudou a questão da estabilidade das soluções de

sistemas de equações sob hipóteses bastante gerais.

§ 32. Solução aproximada das equações diferenciais

de primeira ordem peio método de Euler

Consideraremos dois métodos de resolução numérica duma equação

diferencial de primeira ordem. Neste parágrafo abordaremos o

método de Euler,

Achemos a solüção aproximada da equação

(4)

| = / ( » , y) (1)

sobre o segmento [xo, 6], que verifica a condição inicial y = yo para

JC= jCo. Decomponhamos o segmento [aco, b] com a ajuda dos pontos

ACü. ACi. ACo....... Xr^ = b H partes iguais (aqui aco < aci < X 2 < ... < x^)-

Introduzamos a notação aci —Xo = aco—aci = ... =fe— = Ax = /»>

por conseguinte,

, b - X o

Seja y = 9 (x)

uma certa solução aproximada da equação (1) e

Uo^fpiô), yi = (p{î), y„ = 9(x„).

Introduzamos as notações

A l / o í / o . ^yi — Ví — í / l . . . . . . . . . . A y „ _ i = í / n


Em cada um dos pontos jco, jci........ da equação (1) substituámos

a derivada pela relação das diferenças finitas:

í),

l\x

^ y = f{x, y )S x .

Para x = x», teremos

Ayo

Ax

—^ = f{xo, yo), A y o = / ( ^ o , !/o) A x

(2)

(2')

OU

Uí — yo — / (^0» í/o)

Nesta igualdade jco. yo. h são conhecidos, por conseguinte, encontramos:

yi = yo + f{xo, yo)h

ou

Para x = JCi a equação (2') será da forma

Ayi = /(xj, 1/,)A

y 2 — yi = f(Xi, yt)h, y2 = yi + f{Xi, yt)h.

Ti, yi, h são aqui conhecidos, por conseguinte, determina-se y^.

Do mesmo modo achamos:

í/3 = í/2 + / (^2» í/2)

yk+i = yk + f{^k. yh)h,

Xo Xí Xz X3

Fig 275

yn — yn—l “í” / {^n—íi í//» —l)

Encontramos assim os valores aproxi-

X niaàos da solução nos pontos Xo, Xi,

Reunindo sobre o plano das coordenadas os

pontos (xo, yo). (xi, yO ...........por

segmentos de recta obtemos uma linha quebrada que é a representação

aproximada da curva integral (fig. 275). Esta linha chama-se linha

quebrada de Euler,

Nota — Designemos por ^ = (p/^ (o:) a solução aproximada da

equação (1) correspondente à linha quebrada de Euler para- Ax = h.

Pode-se demonstrar que se existir uma solução única y = <p* (x) da


equação (1) que satisfaz às condições iniciais e determinada sobre o

segmento [xo, b] então lim | (p/^ (x) — (p* (x) | = 0 para todo o x do

/i->0

intervalo [xo, b].

Exemplo — Achar o valor aproximado para x = 1 da soluçfto da equação

y' = y+«

que verifica a condição inicial: >ô ^ 1 para Xo = 0.

Resolução — Dividamos o segmento [0, 1] em 10 partes iguais com a

ajuda dos pontos Xo = 0; 0,1; 0,2; 1,0. Por conseguinte, h = 0,1. Procuraremos

os valores y^y •••yVn com o auxílio das formulas (2')

byh = {yh+^h)b

ou

yh+i = yh + (vk+ xk)h .

Obtemos assim: yi = l.+ (l + 0)*0,1 = 1 + 0,1 = 1,1,

!/2= 1,1 + (14 + 0,1).0,1 = 1,22,

No decurso da resolução formamos o quadro:

y h

y i & ^ h

xo = 0 1,000 1,000 0,100

xi = 0 ,l 1,100 1,200 0,120

X2 — 0,2 1,220 1,420 0,142

X3 - 0 ,3 1,362 1,620 0,162

^4 = 0 ,4 1,524 1,924 0,1924

— 0 ,0 1,7164 2,2164 0,2216

X 6--0,6 1,9380 2,5380 0,2538

X7 = 0,7 2,1918 2,8918 0,2892

Xg = 0 ,8 2,4810 3,2810 0,3281

X9 - 0 , 9 2,8091 3,7091 0,3709

xio - 1,0 3,1800

Encontramos o valor aproximado y |x=i = 3,1800. A solução exacta da

equação dada, que verifica as condições iniciais citadas anteriormente, será

Por conseguinte.

y = 2e ^ — X — 1.

y |3ç_4 = 2 ( e — 1) = 3,4366.

O erro absoluto é igual a 0,2566, o erro relativo a

0,2566

3,4366 = 0 ,0 7 5 ^ 8 % .

134 CALCULO DIFERENCIAL 1 INTEGRAL

§ 33. Solução aproximada das equaçSes diferenciais

pelo método dos diferenciais finitos baseados na aplicação

da fórmula de Taylor. Método de Adams

serão

Voltemos de novo a procurar a solução da equação

y'=f{x, y) (1 )

sobre o segmento [;co. b] que verifica a condição inicial: para x = Xq,

y = >0. Introduzamos as notações que nos servirão para a exposição.

Os valores aproximados da solução nos pontos

• • m

Í/01 yu í/2i • . -1 í/n-

As primeiras diferenças ou as diferenças de primeira ordem serão:

^ ^ 0 = ^1 — Í/01 ^ í / l = í/2 — í/l» •••1 ^Vn-i — Vn Vn-i-

As segundas diferenças ou diferenças de segunda ordem são:

^ y o = ^y\ — ^yo = y 2 — 2^1 -|-

= Ay 2 — Ayi = ^3 — 2^2 + yu

^^Vn-2 = à y „ - i — Ay„-o = y„ — + ^ „ _ 2 .

As diferenças das diferenças de segunda ordem chamam-se diferenças

de terceira ordem. etc. Designemos por yl, y[^ .... y,; os valores

aproximados das derivadas e por yl, y[, .... os valores aproximados

das derivadas de segunda ordem. etc. Duma maneira análoga se determinam

as primeiras diferenças das derivadas

A l/Ó = .ví — Í/Ó, A i / ; = 1/2 — VÍ. • • •, ^y'n-i = yn — y'n-i,

e as segundas diferenças das derivadas

= ^y'^ — Ai/i, AVi = Ai/á — ^y\, . . .

• . •• A V .,-2 = Av;_i — Al/;,-2, etc.

Escrevamos, em seguida, a fórmula de Taylox para a solução da

equação na vizinhança do ponto x = Xn (t. I, cap. IV, § 6, fórmula (6)):

, X — X q ,

1/ i/o -j------ ^ I/o

{x — Xo)

1 ' 1-2

" ■ I

Vo+ ... +

+

(x — Xo)

1 -2 - •m y o + R n (2)


Nesta fórmula yo é conhecido e achamos os valores das derivadas

a partir da equação (1) da maneira seguinte. Substituindo

no segundo membro da equação (1) os valores iniciais JCo» yo

encontramos

ya = f(xo, yo)-

Derivando os termos da equação (1) em relação a x, obteremos:

.. df , df .

y = — + — í/-

dx dy

(3)

xq, yo, y'o, encon

Substituindo no segundo membro os valores

tramos:

.. í df ^ df \

í/o = l-T— )

\ OX oy / x= xq, í / = y o . V'=Vq-

Derivando ainda uma vez a igualdade (3) em relação a jc e

substituindo os valores Xq, yo, y^, yl encontramos y'^". Prosseguindo (* (*)

assim podemos determinar os valores das derivadas em qualquer ordem

para x = Xo. Todos os termos do segundo membro da fórmula (2).

exceptuando o termo resto Jijn são conhecidos. Assim, despre?ando

o termo resto, podemos obter os valores aproximados para qualquer

valor de jc ; o seu grau de exactidão dependerá da grandeza | jc — jCo |

e do número de termos do desenvolvimento.

No método considerado mais abaixo não se determina com a

ajuda da fórmula (2) senão alguns primeiros valores de y quando ! jc — jcq|

é pequeno. Determinaremos os valores y^ e yz por jCi = jCo + A e

Xo = Xo + 2/i, tomando quatro termos do desenvolvimento (yo é conhecido

dos dados iniciais):

h r ,,,

= ^ 0 + — í/o + —-r í/o + — ^ 0 ,

1 1-2 3!

(4)

, 2A , , (2 h f , {2 h f

^ 2 = yo + 7 - ^ 0 + í/o + - ^ í/o

1 1*2 3!

Supomos, assim, conhecidos três valores (*♦) da função yo, yi. y2.

Na base destes valores, determinemos, utilizando a equação (l):

yo = f{xo, y o ). y't = f{xi, y i ) , yz = í{xz, yz).

( *) Suporemos, no que se segue, que a função f{x, y) é dcrivável em

z t y tantas vezes quantas o exijam os raciocínios.

(**) Para um^çi solução dum grau de exactidão mais elevado deveríamos

calcular mais que os três primeiros valores de y.

(4')


Agru

Conhecendo y'» y'v U^podcmos determinar Ay'. Ayí.

pemos os resultados dos cálculos no quadro seguinte:

y y' Ay' A2y'

^0 yo y í

A{/i

Xj — Xq-j~ ^ Ul y í A«yí

Ay;

X2 = xq-\-2h V2 ví

. . . . . . . . . . . . . . .

yh -2 y 'k -2

^y'k—2

;to-}-(A: — 1) h U k-i y 'k - i a -í/;,_2

^ y 'h - i

Xk=^XQ-]-kh Vk y'k

Suponhamos, agora, que conhecemos os valores da solução

í/o. yu y2 , . . . . yh-

Baseando-nos nestes valores, podemos calcular utilizando a equação

(1), os valores das derivadas

í/o» yi. ^2»

yÁ,


e. por conseguinte.

Ayó, Ayí.........

® AVo', AVí, . . . . A^y;_2.

Determinemos o valor de j/a+ i , segundo a fórmula de Taylor,

fazendo a — a;*, x = x^+i = x* + fe:

7^3

Lm

Vh+i = — í/fe + T-Z Vh +

. . .

1 1 *2 1 . 2 . 3 m !

Limitemo-nos, neste caso, a quatro termos do desenvolvimento:

h?

^/l+l = í/fe + — í/fe + T—Z í/fe “t 4 0 0 Vh- (5)

1 1 *2 1 * 2 -o

Nesta fórmula as incógnitas são e que procuramos

determinar com a ajuda das diferenças conhecidas de primeira e

segunda ordens.

Exprimamos, em primeiro lugar, com o auxílio da fórmula de

Taylor. fazendo a = x — a = ^ h :

, , i - h ) „ A - h f

Vh-i = y* H— z— Vk + ' ■• • - Vh.

1 1 -2

(6)

ey'h-2 >fazendo a = X/,, x — a — — 2 h:

yh- 2 = Vh

Da igualdade (6) tiramos

{ - 2 h) r „ I, { - 2 h f

Uh +

1.2 yh>

/ f jk r 1% h ff,

Vh — y h - i = ^ y k - i

1 1-2

Subtraindo os termos da igualdade (6) pelos da igualdade (7),

obtemos: \

(7)

(8 )

y ^ - , - = S y \_2 = A y l - ^ y -

(9)

ou

De (8) e (9) tiramos

Ayft-i — Aj/ft_2= AVÁ-2 = feVr

4

i í/ft = - ^ A

( 10)


Substituindo o valor de Vk’ na igualdade (8), obtemos:

h

^^y'k- 2

2 h

(11)

Achamos, assim, e Substituindo as expressões (10) e (11)

no desenvolvimento (5). obtemos:

, h r , h . , . .0 '

Uk+l — + 9" A/Va-I “1“ J2 ^ y h - 2- ( 12)

1 z 1 z

É a chamada fórmula de Adams para quatro termos. A fórmula

(12) permite, conhecendo y^, yk- 2.^ determinar y^ + i- Assim,

conhecendo j,,. >’i e y>> podemos encontrar y\i e. em seguida. >^4» l/s, •••

N ota— 1. Indiquemos, sem o demonstrar, que se existir uma

solução única da equação (1) sobre o segmento [x,. h] que verifica as

condições iniciais, então, o erro dos valores aproximados determinados

pela fórmula (12) não excede em valor absoluto M/z‘ em que M é

uma constante que não depende do comprimento do intervalo e da

forma da função / (x, y) e independente da grandeza h.

Nota — 2. Se quisermos reduzir a margem do erro. convém tomar

um maior número de termos no desenvolvimento (5) e modificar, por

conseguinte, a fórmula (12). Assim, se em vez da fórmula (5) tomarmos

uma fórmula cujo segundo membro contenha cinco termos, isto é,

se acrescentarmos um termo de ordem h \ obteremos, duma maneira

análoga, em vez da fórmula (12) a fórmula

Ufi + i — + ^Í/A + y ^ y h - l “I” Í2 ^ ^ ^ y k -3 ‘

Aqui yh+i é determinado a partir dos valores í//t, yu-i^ Â-aC yk- 3 -

Assim, antes de abordar os cálculos segundo esta fórmula, é preciso

conhecer os quatro primeiros valores da solução: >0, y^, y.v

No decorrer do cálculo destes valores com a ajuda das fórmulas

do tipo (4) convém tomar cinco termos no desenvolvimento.

Exemplo— 1. Achar os valores aproximados da solução da equação

y ' \ X

que verifica a condição yo = 1 para Xo = 0.

Determinar os valores da solução para x = 0,l; 0,2; 0,3; 0,4.

Resolução — Em primeiro lugar determinemos yu >2 com a ajuda das

fórmulas (4) e (4'). Obtemos da equação e das condições iniciais

yl)---

iiQ ; 0^-1 f-0r=i.

EQUAÇÕES D IF E R E N aA IS 139

Derivando esta equação, obtemos

í/'' = í/' + l.

Por conseguinte.

y ;= (y ' + i U o = i + i = 2 -

Derivemos ainda uma vez

y = y ■

Por conseguinte,

yó'' = yõ=2.

Substituindo na igualdade (4) os valores yot !/ó» !/õ e /i = 0,1, obtemos:

Duma maneira análoga encontraremos para h = 0,2:

y 2 = l + - ^ - l + - ^ - 2 + l ^ ' 2 = l,2427.

Conhecendo yo, yi, >^2 obteremos a partir da equação:

yó = yo+ô = l I

y\ — —1,1103-|-0,1 = 1,2103 \

y2~y2~\~^2~ 1,24270,2 = 1,4427 \

Ayi = 0,2103;

Ay; = 0,2324;

A2yí = 0,0221.

Com os valores obtidos, teremos o quadro seguinte:

.V V y ' Ay'

xo = 0 yo= 1,0000 » i = i

Ayi = 0,2103

xi = 0,l yi = 1,1103 yi = 1,2103 A2í/í = 0,0221

Ay; = 0,2324

x2 = 0.2 j/2 = Í>2.427 y; = 1,4427 A2j/; = 0,0244

Aj/i = 0,2568

= 0,3 í/3 = 1,3095 y i= 1,6995

J4 = 0,4 1/4= 4,5833


Tiramos da fórmula (12):

í/3 = 1,2427 + - ^ • 1,4427 + - M . 0,2324 + - ^ 4 ^ • 0,0221 = 1,3995.

1 Z IZ

Em seguida, encontramos os valores

da mesma fórmula (12) encontramos >^4:

^^y[- Depois, com o auxílio

j/4 = 1,3995+^ . 1,6995 + M . 0,2568 + - ^ - 0 ,1 -0,0244 = 1,5833.

A expressão da solução desta equação é:

y = 2 e ^ — x — í .

Por conseguinte, 4 = —0,4—1 = 1,58364.0 erro absoluto é 0,0003;

0 0003

o erro relativo: —:-------0,0002 = 0,02 %. (O erro absoluto do valor y4 cal-

1,583Ô4

culado pelo método de Euler é de 0,06: o erro relativo: 0,038 3,8 %).

Exemplo — 2. Achar os valores aproximados da solução da equação

y ' = y ^ + x ^ j

que verifica a condição inicial:. yo = 0 para Xo = 0.

Determinemos os valores da solução para a: = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Resolução — Achamos:

yJ = 02 + 02 = 0,

{^^=0=i^yy'+ 2^)*=o=0*

yí'=0 = (2í/'* + 2yí/‘'+ 2 U o = 2 -

Das fórmulas (4) e (4'), obtemos:

Da equação tiramos!

= 2 = 0,0003, = 2 = 0,0027.

yó = 0» yí = 0,0100, í^2 = 0,0400.

Com o auxílio destes valores compomos as primeiras linhas do quadro,

depois, determinamos • os valores de e 3^4 segundo a fórmula (12).

Assim,

ys = 0,0027 + . 0,0400 + • 0,0300 + - ^ • 0,1-0,0200 = 0,0090,

í/4 = 0,0090 + • 0,0901 + - ^ - 0.0501 + - ^ - 0,1-0,0201 =0,0214.

Notemos que para ^4 os quatro primeiros números exactos depois da

vírgula são: >^4= 0,0213 (pode-se obtê-los por outrOs métodos mais precisos

que permitem avaliar o erro).


Ay'

A2y'

Xq= 0 í/o = 0 í/i = 0

Ay; = 0,0100

xi = 0,l 1/1 = 0,0003 í/| = 0,0100 A2iî = 0,0200

Ay; = 0,0300

3^2 = 0,2 y2 — 0,0027 y2 = 0,0400 A2y;:z^ 0,0201

^!/2 = 0,0501

^3 = 0,3 y3 = 0,0090 y '= 0,0901

í*4= 0,4 y4 = 0,0214

§ 34. Método aproximado de integração dos sistem as

de equações diferenciais de primeira ordem

Os métodos de integração aproximados das equações diferenciais

considerados nos §§ 32 e 33 podem ser aplicados, igualmente, para

a resolução dos sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.

Consideremos, agora, o método das diferenças para a resolução de

sistemas de equações. Conduziremos os raciocínios para um sistema

de duas equações que comporta duas funções desconhecidas. Pede-se

para procurar as soltíês do sistema de equações

^ = / . ( x , y, z),

(1)

■ ^ = Í 2 Í^, y, z),

dx

que verifica as condições iniciais: para x = x., > = >’o, z = Zo.

Determinaremos os valores das funções y t z para os valores da

variável independente Xq, x \, x^, . .

(2)


Seja de novo

— h {h — 0, 1, 2y • • .t ^ 1). (3)

Os valores aproximados da função serão notados por

e, respectivamente.

í/o» y

Zq»

• • •» Í/A» Í/A+ 1> • • •»

Z/t, 2^ + 1í • • •» Z,i.

Escrevamos as fórmulas de recorrência do tipo (12) do § 33:

. h , } i . , , 3 , .2 '

V h + i — Â + -j“ í/A + -^ ^ V h - i + Í/a 2i

(4)

h , h . , i *î a2'

Â + l = 2a + ^ — AZa-1 + h S . Z/e-2.

(5)

Para abordar os cálculos segundo estas fórmulas torna-se necessário

conhecer, além dos 3^0 e Zo dados, yi, y 2 \ Zi. Z2* encontraremos

estes valores pelas fórmulas do tipo (4) e (4') do § 32:

í/l = !/o + Y í/o + — í/o + — //o .

^ 2 h , .{2kf . ^ ( 2 h f . . .

V2 = uo ~ yo — ~~ yo H— Y” ’

, h . . hr .. ...

21 =— 2q+ Y ^0 + ~ 2q + ~ 2q ,

, 2 h ^ . (2 h f (2 k f ^...

22 = + “ 2q H------- --- 2q H----- 7— ^0 •

1 2 3!

Para aplicar estas fórmulas é preciso conhecer?/', y'o"^ ^ó’

Zo"que vamos agora determinar. Tiremos, agora, das equações (1) e (2)

Ui)

/ l (*^ 0» !/()í 2q),

"0 /2 (*^Ü’ yOy 2q).

Derivando as equações (1) e (2) e substituindo os valores Xo. yo, Zo*

. encontramos:

'Vl

//õ = (//").v-A„ = (" T

+ ÍÍÍl „

■ + ^ A ,

r/r (lif r>z /.\=Ao

r/./’ ay úz / -v=.vn


Derivando, ainda uma vez, obtemos y '" e 2 ^", Conhecendo 3^1,

y 2. Zi, Z2. tiramos das equações (1) e (2)

l/íy UZy ^1, Z2y Az/q, A^Í, A^^q, Az^, Az[, A^Zq,

O q u e n o s p e r m ite c o m p o r a s p r im e ir a s c in c o lin h a s d o q u a d r o

X V V* A y ' A 2 y ' Z z ' A z ' A 2 z '

^0 y o y i ZQ ^ '0

^ y 'o A z ’o

yi y í A ^y'o Z i Z'l

Ayi

A z í

Xo y 2 y '2 A V i ^2 Z2

A y í A 22

•^3 y 3 y ’z Z3 Z3

Das fórmulas (4) e (5) obtemos 3^3 e z» e das equações (1) e (2)

y's ® ^3- Calculando Ay' A^^', Az', A^z' encontramos, utilizando de

novo as fórmulas (4) e (5). >4 e >5 e assim sucessivamente.

Exemplo — Encontrar os valores aproximados das soluções do sistema

z' = y

para as condições inic)áis: y.» = 0, Zo = 1 para a- = 0.

Calcular os valores das soluções para jc= 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Resolução — Tiramos destas equações:

í/o = âc=o = 1»

^ó = í/x=o = 0.

Derivando estas equações teremos:

yo = {ynx=o=(z^)x=o = 0 y

2S = (z'')3:=0 = (y')x=0 = l,

í/Í:' = (í/'")x=0=(O*=0==1,

2i:'=(-")x=o = (y")x=o = o.


Aplicando as fórmulas do tipo (4) e (5), obtemos:

!/i=o+—

n , ü.l . , (O.ip n ■-------.1=0,1002,

3!

(0.2)^ (0,2)3

j,2 = 0 + - ^ - l - 0+ 1 = 0,2013,

1-2 3!

0,1 (0, 1)*

3i = 1 + ^ - 0 + V 1-2 t9— 1

. 0 = 1,0050,

3!

Dos dados obtidos, tiramos:

y{ = 1,0050, í/2 = 1,0200,

zí = 0,1002, 22 = 0,2013,

= 0,0050, A2^ = 0,1002,

Ayí = 0,0150, A2Í = 0,1011,

A2y J = 0,0100, A2::i = 0,0009

e compomos as cinco primeiras linhas do quadro:

X y V ’ Ay' A2í/'

Xq = 0 !/o = 0 í/i = l

A j/i = 0 , 0 0 5 0

ii= ---0, l y i = 0,1002 í/i = 1 , 0 0 5 0 A-í/,', = 0,0100

A y í = 0 , 0 1 5 0

^2 = 0.2 ^2 = 0 , 2 0 1 3 1/2= 1,0200 A 2yJ = 0,0102

Aí/Ó = 0 , 0 2 5 2

13= 0,3 í/3 = 0 , 3 0 4 5 í/i = 1 ,0 4 5 2

^4 = 0 , 4 !/4 = 0 , 4 1 0 7


X z 2' Az' A3z'

Xq = 0 Zq= Í * i= o

A«i = 0,1002

= 0,1 zi = 1,0050 z ; = 0,1002 A% = 0,0009

A «;= 0,1011

12 = 0,2 Z2= 1,0200 «2 = 0,2013 A2«i = 0,0021

Azí = 0,1032

X3 = 0,3 23 = 1,0452 «i = 0,3045

0:4 = 0,4 Z4= 1,0809

Com a ajuda das fórmulas (4) e (5) encontramos;

JÍ3 = 0,2013 + . 1,0200 + . 0,0150 + . 0,1 -0,0100 = 0,3045,

Z3 = 1 ,0 2 0 0 + -^ • 0,2013 + - ^ - 0,1011 - f - ^ • 0,1-0,0009= 1,0452

e de maneira análoga:

= 0,3045-1,0452 + ^

0,1

- 0,0252 + • 0,1-0,0102 = 0,4107,

Zi = l,0 4 5 2 + -^ 0 ',3 0 4 5 + - 0,1032 -0,0021 = 1,0809.

Ê evidente que as soluções exactas do sistema dado de equações que

verificam ás condições iniciais serão:

10

!/ = | - («* — «“*). z = «■*)-

Eis porque os quatro primeiros algarismos exactos, após a vírgula, serão:

V4 = Y («® = 0,4107,

z*=4-(e®-^ + «"®-^) = 1,0811.


Nota — Como as equações de ordem superior e os sistemas de

equações de ordens superiores se reduzem em numerosos casos a um

sistema de equações de primeira ordem, o método exposto é igualmente

Aplicável à resolução destes problemas.

Exercícios

Mostrar que as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias

satisfazem às equações diferenciais em frente.

1. y = sen x —1 +

Funções

Equações diferenciais

+ í/ COS X = Y sen 2x.

2* y = Cx C — .

3. y^ = 2Cx + C^,

4. y‘i = Cx^-

1 + C

5. y = C\X-\--- ^ + ^3-

6. j/ = (Ci+C2x)e'‘*+

(^c—1)2 *

7. y = Cê'

,a arc senx_|_ arc senx

8.

Integrar as equações de variáveis separáveis.

d^y . 3 d^y

=0.

dx3 X d x 2

d2y

dx2

-2fc-^ + fc2jí = e*.

ax

dy

dx

diy 2 dy

0.

dx2 ' X dx

9.! y dx—x d y = 0 . Rcsp. y = Cx.

10. (l + w )y d u + (l — v) u dv = 0. Resp. Log. uv-{-u— v = C.

11. (l + i/) dx —(1 —x) di/ = 0. Resp. (1 + í/) (1 —x) = C.

12. (í2— i / 2 )_____ 4 r + U í® T-a _I_ + tía;2=0. r ' A = n Resp. K e . K n . ---- - ^ :------- ^ ^ + U Ll ncr o g ^y = C.

dt

13. {y — a) dx-fa;2 di/ = 0. Resp. — a) = Ce^

‘14. z dí —(/2—-a2) dzz=0. Rcsp. z2a_(7 / ^

t a

dx _ l + x2

45.

. Resp. X =

dy ~ í + y^

i — Cy

16. (1 + í2) dt — l/F ds —■0. Resp. 2 tg s = C.

17. dp + p tg 0 d0 = O. Resp. p = C COS 0.

18. sen 0 COS q)d0 — cos 0 sen q>dq) = 0. Resp. cos(p = Ccos0.

19. sec2 0 tg (p d0 +sec2 (p tg 0 dq)=0. Resp. tg0tgq) = C.

20. sec2 0 tg(p dcp + sec2 <p tg0 dÒ = 0. Resp. scn2 0_|..sen2 cp=c.

21. (l + x2) dy-—~^í — y^ dx= 0. Resp. arc sen y—arc tgx=C *


22. Vl-a;2dy —V l —í/2dx = 0. Rcsp. y V l —x2 —x -í/^ =

23. 3«*tgydx + (l —«*)sec2i/dy = 0. Resp. tg y = C (1 —

24. (x — í/2jj) dx + (y — x2y) dy = 0. Resp. x2 + y2 = x2y2 C,

Estabelecimento de equações diferenciais

25. Mostrar que a curva cujo declive da tangente em cada ponto é proporcional

à abcissa do ponto de contacto é uma parábola. Resp. y = ax2-|-C.

26. Determinar uma curva que passa pelo ponto (0, —2) tal que o declive

da tangente em cada ponto seja igual à ordenada correspondente aumentada

de 3 unidades. Resp. y =

27. Determinar uma curva que passe pelo ponto (1, 1) tal que o declive da

tangente em cada ponto seja proporcional ao quadradc da ordenada desse

ponto. Resp. k (x — í) y — y + 1= 0.

28. Determinár uma curva cujo declive da tangente em cada ponto seja n

vezes maior que o da recta que reúne este ponto à origem das coordenadas.

Resp. y = Cx^.

29. Fazer passar pelo ponto (2, 1) uma curva cuja tangente em cada ponto

1

coincida com o raio vector traÇado da origem a esse ponto. Resp. y = x.

30. Encontrar em coordenadas polares a equação duma curva tal que em cada

ponto a tangente do ângulo formado p^lo raio vector e a tangente à curva

seja igual ao inverso mudado do sinal do raio vector. Resp. r(0-[-C7) = l.

31. Encontrar em coordenadas polares a equação duma curva tal que em cada

ponto a tangente do ângulo formado pelo raio vector e a tangente à curva

seja igual ao quadrado do raio vector. Resp. r^ = 2.

32. Mostrar que a curva que goza da propriedade de todas as suas normais

passarem por um ponto fixo é um círculo.

33. Achar uma curva tal que em cada ponto a subtangente seja igual ao dobro

da abcissa. Resp. y = C “|/x .

34. Determinar uma curva cujo raio vector seja igual à porção de tangente

compreendida entre o ponto ^ langência e a sua intersecção com o eixo Ox.

Resolução — De aCqr^ com as condições do problema "j/l-j-y'2 =

= t/ x2-|- iy2 donde ^ ^ ^ ^ Integrando>o, obtém-se duas famílias de

V i f y X ■

^ C

curvas: y = Cx e y = — .

X

Segundo a lei de Newton, a velocidade de arrefecimento dum corpo qualquer

no ar é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e

o meio. Sendo a temperatura do ar 2C° C, o corpo arrefece de 100° a 60° C

no espaço de 20 minutos. Quanto tempo demorará a temperatura a baixar

a 30° C?

dT

Resolução — A equação diferencial do problema é

— 20). Integrando,

vem r —20 = Ce'*'; 7= 100 quando í = 0 ; 7 = 60 quando < = 20;


logo C = 80, donde 40 = 67^20/1^ 20^ por conseguinte, J = 2 0 +

+ 80 Fazendo T = 30, vem / = 60 minutos.

36. Considere-ss um funil cónico de ângulo 60^ no cimo e de altura 10 cm^

Ao fim de que tempo T o funil ficará vazio, sabendo que a água passa

por uma abertura de 0,5 cm-^ no fundo?

Resolução — Calculemos de duas maneiras diferentes o volume de água que

corre entre os instantes t e r + Ar. À velocidade constante v, escapa em

um segundo uma coluna de água de secção 0,5 cm^ de altura h. Escapa-se,

pois, no tempo Ar uma quantidade de água de dv

— dt)= — 0,5i) <ít= — 0,3 *).

Por outra via, diminuindo a altura com o escoamento, o seu acréscimo dh

é negativo e tem-se:

— dv = Jir* áfc = 4 (* +

De modo que

donde

■^(ft + 0,7)*dA= —0,3 V 2 g h d t,

O

t = 0,0315 (10*/*—ft*/*)+ 0,0732 (10®/*— fe®/*)+ 0,078 ( V 10 — Y h).

Fazendo li = 0, obtém-se o tempo de escoamento T = 12,5 segundos.

37. A travagem dum disco que gira num líquido é proporcional à velocidade

angular de rotação o). Achar a dependência entre a velocidade angular e

o tempo, sabendo que a velocidade angular do disco baixa de 100 r/m

para 60 r/m no espaço de um minuto. Resp. cd= 100(3/5)^ tr/m n.

38. Suponha-se que a pressão de ar vertical numa dada secção depende da

pressão das massas de ar superiores. Encontrar a dependência entre a

pressão e a altitude, sabendo que a pressão é de 1 kg/cm* ao nível do

mar e de 0,92 kg/cm2 a 500 metros de altitude

Indicação — Servir-se da lei de Mariotte em virtude da qual a densidade

dum gás é proporcional à sua piessão. A equação diferencial do problema

é dp= — kp dh, donde p = e“0,00017/1. Resp. p = ^-0,00017/1.

Integrar as equações homogéneas seguintes:

39. (y — x)dx + (y + x)dy = 0, ReSp. y^ + 2xy — x^=C,

40. (x-\-y) d x-^xd y = 0. Resp, x^-{-2xy = C.

41. {x-\-y) dx + (y — x) dy = 0.R tsç. Log (x2 + i/2)^/2__arc t g = C.

^ 2 . X dy — y dx=~\/x'^-^y^ dx. Resp. í + 2Cy— C^x^ = 0.)

43. (Sy+ í0x)dx+ (òy + lx)dy = 0.Resp. (x + y)^ {2x+y)^ = C.

(*) A velocidade de escoamento v da água por uma abertura que

se encontra à distância h da superfície livrcr 6 dada pela tórmula v = 0,6 ~[/2gh,

cm que g é a aederação no campo da gravidade.

BQUAÇOES DIFERENCIAIS 149

(2 V®7 —s) dí + í ds = 0. Rcsp. Vi- Kte^ * = C ou s = t Log2 — .

T

C

45. 5 . (r —s ) d í + í ds = 0. Rcsp. = C ou s = íLog —

46

47

xj/2 dy = (a:3

j,3) dx. Rcsp. y = x f 3 Log Cx.

XCOS — (y dx + x dy) = y sen — (X dy — y dx). Rcsp. xy cos==^*

Rcsp.

Rcsp.

48.

49.

50.

51.

52.

Integrar as equações diferenciais seguintes, reduzindo-as a equações homogéneas:

(3y —7 x - f 7 ) dx— (3x — 7y — 3) dy = 0. Rcsp. (x + y — í)^ (x —[/ —1)2 = C.

(x + 2 í / + l ) d x — (2x + 4j/ + 3) dy=^0. Rcsp. Log (4 x + 8 i/ + 5) + 8 y — 4 x = C .

{x + 2y + l) dx—(2x —3) dy = 0. Rcsp. Log (2x —3) — =

Determinar a curva cuja subnormal é a média aritmética entre a abeissa

e a ordenada do ponto da curva considerada. Resp. (x — y)2 (x + 2y) = C.

Determinar a curva cuja relação do segmento cortado pela tangente sobre

o eixo Oy pelo raio vector é uma constante.

_ ÉL

^ ^ dx f x \ ‘ni / C

Resolução — Por hipótese, tem-se :^ = = = = | = m, donde ^“g "j

53.

54.

X

Determinar a curva cuja relação do segmento cortado pela normal sobre

o eixo Ox pelo raio vector é uma constante.

, dy

Resolução — Por hipótese

= m, donde x2-f ^2=^2 (x—C)2,

'Vx^+ yi

Determinar a curva cujo segmento cortado pela tangente sobre o eixo Oy

é igual a sec G em que 0 é o ângulo entre o raio vector e o eixo Ox.

Resolução — Como se tem tg0 = -i^ e, por hipótese.

obtém-se

donde

y = x ^dy

- = a sec a0,

dx

y - x - f - = a-^-----

dx X

- ( t +o)

j

55. Determinar a- curva sujo segmento cortado pela normal sobre o eixo Oy

é igual à distância do ponto considerado ]ài origem das coordenadas.


Resolução — O segmento cortado pela normal no eixo Oy é igual a à 1/ + - ^ ;

logo, por hipótese, tem-se

donde

x2 = C(2|/ + C).

56. Achar a forma de um espelho tal que os raios provenientes dum ponto O

sejam reflectidos paralelamente a uma dada direcção.

Resolução — Identifiquemos esta direcção com o eixo Ox e seja O a origem.

Sejam OM o raio incidente, MP o raio reflectido, MQ a normal à curva

procurada:

a = P; OM = OQ, NM = y,

57.

58.

59.

60.

61.

62.

donde

NQ==NO + O Q = - x - { - y x ^ + y ^ = y cotg P = ! / ^ .

y dy = ( — x + ~ y y ^ ) dx \

por integração, encontra-se

y^ = C^-\-2Cx.

Integrar as seguintes equações diferenciais lineares:

2 y (x-Ll)». Resp. 2y = (x + l)* + C (x + l)2 .

y

X + Í

y x - ^ í

X 1

y' — a

.Resp. i/ = C'x® + i — a

(x —x3) y' + (2x2—1) y —ax3 = 0. Resp. y = ax + Cx~[/í — x^,

COS t-\-s sen t = 1. Resp. s =sen t-\~C cos t .

dt

—sen t

- ^ + s COS í = -^sen 2t. Resp. s=sén í — 1 + Ce

dt 2

y '---- íí- y = Resp. y = x‘^(e^-\-C).

X

63.

y ' + — y = -^ .R e sp .. x^y = ax + C.

X x ' ‘

64. y' + y = ^ .R e s p . e^y = x + C

e

65.

66.

67.

1 —2x

y —1 = 0 . Resp. y = X®(1 +

r2

Integrar as equações de Bernoulli:

y' xy = x3y3. Resp. y2 (x^ + l + = 1.

(1 — x2) y' — xy — axy^ = 0. Resp. {C \ — x^—a)y = l.

3y2y'_fly3__x—1 = 0 . Resp. = (x4-l) —1.

- 1/2

69. w'(x*í/S+a;i/) = l. Resp. X[{2 — +C]=e^


70.

71.

{y\jOgx — 2 )y d x = x d y , Resp. y (Cx + Log 1) = 1.

tg x + sec X

z/ —y'COSx = ^2 cosa: (1 —senx). Resp. y = - scnx + C

72.

73.

74.

Integrar as seguintes equações de diferenciais totais:

(x2^ y ) dx + {x— 2y) dy = 0. Resp. + yx — y^ = C,

(y —3x2) dx— (Ay — x) dy = 0. Resp. 2y2 —x y + x® = C.

(y3—x) y' = y. Resp. y^ = 4xy + C.

76.

77.

Resp. Log = c.

X

X — y

2 (3xy2 + 2x3) d x 3 ( 2 x 2 ^ ^ 2) dy = 0. Resp. x ^ + 3 x 2j/2 i^3 —

X d x + (2x + y ) dy

= 0. Resp. L og(x+y)-

=c.

78.

79.

80.

( i + - 5 r ) **+!'’*

f Í f c i í ! Í f = 0. Resp. ___ ^

{x — y)i x — y

xdx-\-ydy = ^ - ^ ^ ^ .'Resp. i2+y*—2arc tg ~ = C.

81. Encontrar as curvas que gozam da propriedade segundo a qual o produto

do quadrado da distância dum ponto qualquer tomado sobre a curva

considerada na origem pelo segmento cortado pela normal sobre o eixo

das abcissas é igual ao cubo da abcissa do ponto. Resp. y^ (2x2 _f_ ^2) = c,

8 Encontrar os envoltórios das famílias de curvas seguintes: a) y = Cx-\-C^,

83.

Resp. i» + 4 j, = 0. b) j, = -^ + C 2 . Resp. 27*2 = 4j/3. c) 4 -— I t-= 2 .

O

Resp.27í^ = **. d) C*x+Cj/—l = 0.Resp. j,í + 4x= 0. e) ( i—C)*+(j/—C)* = C*.

Resp. 1 = 0 ; y = 0 . f) (í —C)2 + y* = 4C. Resp. i,2 = 4x4-4. g )(i_ C )* +

+ (íí—C)3 = 4. Resp. {x— y)i = 8. h) Ci3-j-C2i/ = 1. Resp. i« + 4y = 0.

Uma recta desloca-se de tal maneira que a soma dos segmentos que ela

corta sobre os eixos de coordenadas é igual a uma constante a. Procurar

o envoltórm desta família de rectas. Resp. = (parábcrta).

84. Achar o envoltório duma família de rectas tais que os eiôs de coordenadas

cortem sobre estas rectas, segmentos de comprimehto constante a,

Resp. x*/3_j_^V3_fl*/3^

j

8 Õ .

86.

Achar o envoltório duma família de círculos, óujos diâmetros sejam duplos

das ordenadas da parábola = 2px. Resp. y2 = 2/> +

Achar o envoltório dum?, família de círculos centrados sobre a paróbola

= Ipx è que passe pelo vértice da parábola. Resp.

«cissoíde». x3 -f. ^2 (x 4- 2/?) = Q.,

c


87. Achar o envoltório duma famflia de círculos cujos diâmetros sáo as curvas

-_0

da elipse 62^2+ a2y2 =-^252 perpendiculares ao eixo Ox, Resp. + 62

4- - ^ = 1

^ 62

88. Achar a evoluta da elipse x262 + a2y2_a252 como envoltório das suas

normais. Resp. =

Integrar as seguintes equações (Equações de Lagrange):

89. ]/ = 2 xy'4-y'^. Resp. x = - ^ —^ p ; y = Í £ ^ Z f l .

90. y = xy'*+ y'*. Resp. y = (V *+l-T -C )*. Integral singular : y = 0.

91. y = x (l f y ') + (y')*. Resp. x = Ce~P— 2p + 2 ; y = C (p + í)c -P — p*-^2.

92. y = yy'^ + 2 x y \ Resp. 4Cx = 4C2—y^.

93. Determinar as curvas à normal constante. Resp. (x—C)2+y2 = a2. Integral

singular: y = ± fl.

94. y = xy' + i/' — y'2. Resp. y = Cx-\-C — C2. Integral singular: : 4y =

= (x+l)2.

95. y = x y '+ l / l — y'2,Resp. y = Cx+Integral singular : y2—x2= +

96. y = xy' + y'. Resp. y = Cx-\-C,

1 1

97. y = xy'4— . Resp. y = Cx + —

y

O

Integral singular : y2 = 4x.

1 1

3 27 „

98. y = xy' — . Resp. y = Cx— ^ . Integral singular y^ 3z=---- = —x^-

4

99. A área do triângulo formado pela tangente a uma curva e os eixos de

coordenadas é constante. Achar essa curva. Resp. As hipérboles equiláteras

4xy = i t l>em como as rectas da família y = Cx ± a “^/C.

100. Achar uma curva tal que o segmento da sua tangente compreendida entre

os eixos de coordenadas tenha um comprimento constante a. Resp. y = C x ±

aC

± . Solução singular : x*/3_j_^2/3_^2/3

101. Achar uma curva tal que a soma dos segmentos cortados pelas suas tan*

gentes sobre os eixos coordenados seja igual à contante 2a. Resp. y = Cx —

— _2oC Solução singular: (y — x — 2a)2 = 8ax.

1 —C

102. Achar as curvas tais que o produto das distâncias de dois pohtos dados à

tangente seja constante. Resp. Elipses e hipérboles (trajectórias ortogonais

e isogonais).

103. Achar as trajectórias ortogonais da família de curvas y = ax^. Resp. x^ +

-f ny- = C.

104. Achar as trajectórias ortogonais da família de parábolas y* = 2p(x — a)

(a é o parâmetro da família). Resp. y = Ce

105. Achar as trajectórias ortogonais da famílias das curvas x* —y* = a (sendo

a o parâmetro). Resp. y = — .

106. Achar as trajectórias ortogonais da família de círculos x* + y* = 2ax. Resp.

Os círculos;

y = C (x 2 + y 2 )


107. Achar as trajectórias ortogonais de parábolas iguais às tangentes nos seus

vértices a uma recta dada. Resp. Se o parâmetro das parábolas for 2p e

2 2~

se Oy for a recta dada, a equação das trajectórias será y-{-C = -^ 1 / —

3 r p

x3

108. Achar as trajectórias ortogonais das cissoídes i/2 = . . Resp. (Jt2 + y2)2 =

2a — X

= (jc^ - y^)a\

109. Achàr as trajectórias ortogonais das lemniscatas (jc* + y^y = (jc* — y^)á^.

Resp. (x^J^y2)^ = Cxy.

110. Achar as trajectórias isogonais da família de curvas' jc2 = 2a (y —X T/3)

em que a é um parâmetro variável, sabendo que o ângulo entre as curvas

e as suas trajectórias é w = 60°.

Resolução — Acha-se a equação diferencial da família de curvas y' = -—

— ~[/S e substitue-se y' pela expressão ç = —----

Se « = 60°, tem-se ç =

y '—V 3 -2i/ -,/í

i + y 'V s X

y '- V 3

1+ 1/3 y'

í + y' tgo) *

e obtém-se a equação diferencial

O integral geral i/^ = C {x—yl/W jáá a família das trajectórias procuradas.

111. Achar as trajectórias isogonais da família de parábolas y^ = 4Cx, sabendo

arc tgque

ú) = 45°. Resp. y^—xy-{-2x^ = Ce x v 7

, 2y-3c

112. Achar as trajectórias isogonais da família de rectas y = Gjc para o) = 30°, 45°.

1

2 V3 arc tg ^

X^ —1—m2 — g

^ 2 arc tg — y

a;2_i_ ^2 — g

113. y = C|í* 4- Eliminar Cj e C2. Resp. y"— y = 0.

114. Escrever a equação diferencial de todos os círculos dum plano. Resp.

(l+y'2) y>"-3y'y"2=0.

115 Escrever a equação diferencial de todas as cónicas com centros, nos

eixos principais Ox, Oy. Resp. x (yy"-\-y'^)—y'y = 0.

116. Dá-se a equação diferencial yw_2y''__y'4-2y = 0 ® ^ ûa solução geral

y==Cie^-\- ^2^“*-]-C3^2*.

Pede-se: 1) verificar que a família de curvas dadas é precisamente a solução

geral; 2) encontrar a solução particular correspondente a jc = 0; y|= 1;

y’ = 0, y" = - 1. Resp. jr = - l (9e* + e-*—4e**). '

1 \ 2

117. Dá-se a e^quação diferencial y’*= — e a sua solijção geral y = ± - ^ ( x -b

1) Verificar que a família de curvas dadas é precisamente o integral geral.

2) Achar a curva integral que passa pelo ponto (1, 2) e cuja tangente neste

ponto R » p - forma » - ! com / - o = + eixo 4 - positivo Ox um ângulo de 45°.


Integrar as seguintes equações diferenciais simples, reduzindo-as a equações

de primeira ordem:

118. ^y'" = 2, Resj). y = x^Logx-]-CiX^-\-C2X+ C ^\ dar a solução particular que

satisfaz às condições iniciais: x = l, y = í, = j/" = 3.

119. =

■f

+ . . . + C„_1I + Cn.

120. y“= a^y. Resp. ax= Log (ay + Va*!/® + C^)+ ou j/= Cie“» + Cje"®*.

121. y" = - ^ . Resp. (CiX+C2)^ = Ciy<‘— a.

Nos exemplos' 122-125, escrever a solução particular que satisfaz às condições

iniciais: x = 0, y = — 1, y' = Q.

122. XI/'' — = Resp. y = e* (x— í) + C^x^+C2- Solução p a rtic u la r:

y = e ^ ( x - í ) .

123. yy" — (y')^ + (y')^ = 0 - y + y = ^ + ^2- $olução particular:

124. / + y' tg x = sen 2 x . Resp. y = Í72+Ci sénx —x—y sen2x.Soluções p articu

lares :y = 2 sen X—sen X COS x —x —1.

125. (y")^4-(y')^ = ®^* y = C2— acos(x-\-C^). Solutions particulières :

y = a—1 — a c o sx ; y = a cosx —(a + 1). (Indicação—'Forma paramétrica

y" = acostj y' = ãsenf.)

í26. y" = . Resp. y = ± (x + + C2.

127. y'" = y"2. Resp. y = (Ci —x) [Log (Ci —x) —1] fC2X+ C3.

128. y'y'" —3y"2 = 0. Resp. x = C'iy2 + C2y + f^3.

Integrar as equações lineares diferenciais seguintes de coeficientes constantes:

129. y" = 9y. Resp. y = €^€'^^ + € 26-^^.

130. y"-f y = 0. Resp. y = ^ cosx-j-B sen X.

131^ y'" —y' = 0. Resp. y = C'i + C'2e*.

132. y" + 12y = 7y'. Resp. ^ = Cie3* + C2^4^.

133. y" —4y' + 4y = 0. Resp. y = (C1 + C2X)

134. y" + 2y'-4-10y = 0. Resp. y = (/I cos 3x + B sen 3x).

-3+KÍ7 -3 -V \7

135. y"-f-3y' —2y = 0. Resp.. y = CiC ^ +C2e ^

136. 4y" —12y' + 9 y = 0. Resp. y = (Cj 4-C2X)

137. y" + y' + í/ = 0. Resp. y = e ^ ^ cos x)+B sen (^í^x) J

138. Duas massas idênticas estão suspensas numa mola em espiral. Suponha-se

que uma das massas se destaca e se pede para encontrar o movimento da outra.

Resp. x = a cos ^

acção duma só massa em repouso.

- y í j , em que a é o alongamento da mola sob a


139. Um ponto material de massa m é solicitado por dois centros, sendo as

forças proporcionais à distância. O factor de proporcionalidade é k. A distância

entre os dois centros é 2c. O corpo encontra-se no instante inicial

sobre a linha dos centros à distância a do meio. A velocidade inicial é

140.

141.

142.

143.

144.

145.

nula. Achar a lei do movimento do ponto. Resp. x = a cos

5i/'' + 4y = 0. Resp. y = Cie^ + C2e~^ + C2e^^ + Cê~^^.

y”' —2y"—y '- |- 2 í / = 0. Resp. y — C .

y " " — + —a^y — 0. Resp. y = { C C 2^^) c®*.

j, = Ci + C2a: + C3x2 + C4c2* + C5C-2*.

yiv = 0. R e s p . y = (Cj cos l / ^ + ^2 s c n l / ^ ) +

+ ( C 3 COS V 2 X + C 4 s c n " \/2 a :) c* .

y^^ — + 16y = 0. Resp. 1/ = U 1^2* _j_ C2c"23c ^ C3XC2*+ Ci^xe-^^,

146.

!/^^ + y = 0. Resp. y = e ^ ^CiC0S : ^ + C 2sen— ^ +

147

, y^^ — aî/ = 0. Encontrar a solução geral e pôr cm evidência a solução

particular que satisfaz às condições iniciais: a;o = 0, .v = l, t/' = 0, y" =.

= — t/'" = 0. Resp. Solução geral: y = Cê'^^-\-C2<s~^^+C^cosax -\-Cz

Solução particular: yo = cosax.

Integrar as equações diferençais com segundos membros; achar a solução

geral:

148.

V " - l y ' + \2y = x. Resp. y = Cie3«-f-Cae«»+

144

•

149.

150.

151.

152.

s"—fl2s = <+ l. Resp. S = Cte°< + cê-ot — L+ i .

«2

2/* + ^ '—2y = 8sen2í. R e^. y = Cie*+C2e-**—-^ (6 sen2x+2 cos2z),

y"—y = 5z + 2. Resp. y = Cie*+C2e“*—5z—2.

s '—2as' + a2s = e< (a

1). Resp. « = Cie<*‘ + C2fe»‘ + ( a - l ) í •

153.

154.

155.

156.

y" + 6y ' + 5y = e2*. R e s p . y = C j e - * + C 2e “ 6* _ ^ A ^2 * .

í/" + 9y = 6 c3 * . R e s p . í/ = C i COS 3a: + C 2 s e n 3 a ; + - ^

—3i/' = 2--6a:. Resp. y = Ci + C2c3*4-x2.

i/" + 3y = e"* COS a:. Resp. y = c* (^4 cos ^ 2 a:+B sen. I /2 x) -f

+ - ^ (5 COS a:—4 sen x).

157. í/" + 4í/=-=2sén2x. Resp. > = >1 sé* 3c + 5cof2ec—y cos2ác.


158. y»" — —2y = 2x + 3.Resp. y = (Ci + C'2x) c* + C'3e2* —x—4.

159. y ^ a^y = sen ax. Resp. y = {Ci — sen ax) e®* + C2C"®* + C3 cos ax+

+ C4 senax.

160. y^^ 4- 2fl2y" -|- a^y = 8 cos ax. Resp. y = (Cj + ^2^) cos ax 4- (C3 + C4X) X

x2'

X sen ax----- ^ cosax.

a"

101^ Determinar a curva integral da equação y^-|-A2y = 0 que passa pelo ponto

M (^0» 1/0) e tangente neste ponto à recta y = ax. Resp. y = yo cos Ac(x— xq) +

_L ® sen (x —Xq).

' k

162. Achar a solução da equação y" + 2Ay' + /i2j/==0, que satisfaz às condições

y = a, y '= C para x = 0. Resp. Si h<^n,

y = e ~ ^ cos ‘X/n^— h^x-\—:j^ Íi^ = ^ s e n "yn^ — h^x^ ;

si h = n, y = \(C + ah) x + a] ; si n,

C+a(fe+y/t2—ra8)

(h_ypr;^)X

2 V W ^ i

C + a (h — 1/fe^—n^) ^-(h+ ysiU S)*

2 y f t2 _ » a

163. Achar a solução da equação y^ + n^y = A sen p x (p :^ n ), que satisfaça

às condições: y = a, y ' = C quando x = 0.

C(/i2—p2)-_ Ap - , A .

Resp. y = a cos nx 4----^ H — 5-----5“ sin px.

164. Um peso de 4 kg ligado a uma mola distende-a de 1 cm. Achar a lei do

movimento, sabendo que a extremidade superior efectua oscilações harmónicas

y = sen “j/lOOgí, sendo y a distensão vertical.

Resolução — Seja x a coordenada vertical do peso contado a partir da

posição de repouso. Tem-se:

4 d2jj

- k ( x — y — l),

g dt^

em que / é o comprimento da mola distendidade t k = 400, como resulta

das condições iniciais. Deduz-se

100^ x = 100^ sen ‘\/íÕÕgt + 100/^.

Procurar-se-á um integral particular desta equação sob a forma

t (C1 cos ~l/í00gt 4- C2 sen VlOOgí) 4- g,

dado que o primeiro termo do segundo membro da equação entra na

solução da equação homogénea.

165. No problema 139, a velocidade inicial é igual a e está dirigida pcrpcndicularmente

à recta dos centros. Encontrar a trajectória.

Resolução — Tomemos a origem das coordenadas no meio do segmento í

ligando os dois centros: as equações diferençais do movimento escrevem-se:

= + m ^ = - 2 ky.


Condições iniciais no instante r = 0:

dx ^ r. dy

Encontra-se, integrando:

x = a c o s ( | / ^ / ) ,

donde

x2 y m

- = 1 (elipse).

a2

166. Um tubo horizontal gira em torno dum eixo vertical com uma velocidade

angular constante <o. Uma esfera desliza no tubo sem atrito. Achar a

lei do movimento da esfera, sabendo que no instante inicial se encontra

sobre o eixo de rotação e a sua velocidade inicial é (segundo o eixo do

tubo).

d^r

Indicação — A equação diferencial do movimento é -j-r- = o)2r. Condições

dr

iniciais; r = 0, = vq quando / = 0.

integrando-se, obtém-se: = +

Aplicar o método da variação das constantes na integração das seguintes

equações diferenciais:

5 sen x-\-7 cos x

167. —7i/' + 6i^ = sena;. Rcsp. y = Cê^-\-C2e^^-

74

168. y"-j-y = sec x, Resp. y = Ci cos x + C2 sen x-\-x sen x + q o s x Log cos x.

1

169. i / + y = - . R e s p . = cosa: + C 2 s e n x — l / c o s 2 i:.

cos 2x cos 2x

Integrar as seguintes equações diferenciais de tipos diversos:

170. y y ''= y 'i + l.R tsp. j/ = - 5 ^

2Ci

x2 dy — y2 dx

xy

171 =0. Resp. = C.

(X—y)2 ‘ x — y

1 7 2 . í/ = a : y '2 + {/'*. Resp. jí = ( V Í T Í + C ) ® .

Soluções singulares: í/ = 0; x + l = 0.

1 7 3 . y " + y = sec X . Resp. y = C i cos x - ( - C 2 s é n x + x s e n x + cos x Log cos x .

1 7 4 . ( 1 + x 2 ) i / ' —x i/ —a = 0 . Resp. y = ax + C V l + x * y ^

U du l!

175. Xcos — = í/cos---- X . Resp. xe = C.

X dx X

\e2x

176. —4i/ = í2*sen 2x. Resp. v = Cie-2* + C2e**— (scn2i4-2 cos 2i).

177. + y L o g z = 0. Resp. (Logx + l + Ci) i/ = l.

178. (2i + 2í^—l ) d i + (a: + íí—2)dj/ = 0. Resp. 2x + y —3 Log ( x + í / + 1) = C.

179. 3e* tg dx + (1 — e*) sec* j/dj/ = 0. Resp. tgj/ = C (1 —e*)®.


Integrar os sistemas de equações diferenciais:

180. -4 ^ = y + l» = ^ + Indicar a solução particular que satisfaça às conat

at

dições iniciais x = — 2, y = 0 para / = 0. Resp. y = Ci cos f -(-'C'2sén t,

x = (Ci-\-C2) co sí+ (C 2 —Cj)sen t. Solução^particular

x* = cost — sení, i/*=:cosf.

181. —^ = x — 2y, —^ = x — y. Indicar a solução particular correspondente às

dt dt • •

condições iniciais jc = 1 y = \ para / = 0. Resp. y=C^ cos t-\-C2 sen/,

x = (Ci-r^2) COS í-f (C2 —Cj) sen /. Solução particular: y* = cos/ —sen /,

y* = cos /.

dx dy

182.

dx ,

— + y = cos/.

Resp. x = C ie-' + C2e-3‘,

y = C ^2^”^^ “}~cos t.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

I( d^y

I d/2

] Ü í.

V d/2

= x,

y-

d^x , dy

dt^ i r

dx d^y

dt dt^ = 1.

dy

dx

dz

dx

= z — y,

= — y — 3z.

dz

+ 4 ^ = 0 .

dx

dy

-~ -\-2 y -\-z = » a x ,

dz , «

------- 4 v — 2z = cos X.

dx ^

dx

= y4-z,

d/

dy

= x + z,

dt

dz

= x + y .

dt

Resp. x = fC2«"^ 4-Ç3 cos Í + C4 sén í,

y = Cê^ fC 2e“ ^—C3 cos í — C4 sèn t,

Resp. x = C^ + C2t-\-C^t^ — ^ /3 + e^

y = C4 - (Cj -f- 2C3) í — L (C 2 -1) í* -

Resp. y = (Cj + C21) e“3x^

z = (C2—Cl —C21) e-3*.

Resp. y = Cie**-rC2e“3*,

2= -2(Ciér2* —C2«-**).

Resp. y = Cl -j- C/^x 2 sen x,

2= —2Ci—C2 (2i + l) —

—3 sèn X—2 cos x.

Resp. j: = Cie“*-f C2e3‘.

y = C3e-‘ +C2e3‘,

z=_(Ci-i-C3) e-< + C2«3'.


189.

190.

\ dx z ’

I ^ ___i_

N dx ~ y — X ‘

{

dy ^ X

dx yz ’

dz _ X

C*

Resp. z^C ê

Resp. — = Ci,

y

£/=Xc

.c 1^2

2^2— | - x2 = C2.

*

Estudar a estabilidade da solução x = 0, y = 0 para os sistemas de equação

diferençais seguintes:

191.

192.

193.

dx

I

I

I

~ = 2 x - 3 y ,

^ = 5x+6y.

^ = _ 4 x -1 0 ,,

iisT

- ^ = i2x + iSy,

^ = - 8 x - i 2 y .

Resp. Instável.

Resp. Estável.

Resp. Instável.

194.

Achar os valores aproximados das soluções da equação y' = + x que

verificam a condição inicial: y = 1 para jc= 0. Encontrar os valores das

soluções para os valores jc = 0,l; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Resp. z/3c=o,s = 2,114.

195. Achar o valor aproximado Vx—i,k da solução da equação y '+ y = g3c

que verifica as condições iniciais: y = 1 para jc = I. Comparar o resultado

obtido com a solução exacta.

196. Achar os valores aproximados e yt=uk das soluções do sistema de

equações ^ . = y—x,

= —x—3y que verificam as condições iniciais:

X = 0, y = 1 para / = 1. Comparar os resultados obtidos com os valores

exactos.

Capítulo XIV

INTEGRAIS MCLTIPLOS

§ 1. Integral duplo

Seja no plano Oxy um domínio fechado (*) D limitado por uma

curva L.

Seja dado no domínio D uma função contínua

z = f(x , y).

Dividamos o domínio D em n domínios parciais por curvas

quaisquer:

Asi, A^2f AS3, • • *9 As^

(fig. 276). Para não complicar a escrita, designaremos igualmente por

Asi, Aí^ as áreas destes pequenos domínios. Escolhamos em cada

um ponto Pi arbitrário (interior ou

sobre a fronteira); ter-se-á, pois, n pontos:

■Pl» *^2» • • •» -^71 •

Sejam /(P i), / ( ^ 2)» • • •» / (^n) os

valores da função nestes pontos: formemos

a soma dos produtos f (Pi) A sj:

y„ = /(i>0 As, + / ( í '2)As2+ . . .

+ /(/>„) A í„ = S /(P í) A s í (1)

que se chama soma integral da função

/(jr, >^) no domínio D.

Se / > 0 em D, poder-se-á representar geomètricamente cada termo

/ (Pj) Asi como o volume do cilindro elementar de base Aí ^ e de

altura / (P,).

A soma é a soma dos volumes dos cilindros elementares, isto é,

o volume do corpo em «escada» representado na fig. 277.

(*) Um domínio D diz-se fechado se está limitado por uma curva

fechada e se se considera que as pontos fronteiros pertencem ao domínio.

INTEGRAIS MÚLTIPLOS 161

Consideremos uma sequência arbitrária de somas integrais formadas

pela função f(x, y) no domínio D

Vn„ Vn„

por diversos cortes de D em domínios parciais Asi. Supor-se-á que

o maior diâmetro dos Asj tende para zero quando oo.

Tem-se, então, o seguinte teorema que não demonstraremos.

Teorema— 1. Sendo contínua a função f(x, y) no domínio /echado

D, a sequência (2) de somas integrais (1) tem um limite quando

o maior diâmetro dos domínios parciais As tende para zero e quando

nk*

(2)

n -^ oo. Este limite é o mesmo qualquer que seja a sequência (2),

isto é, que não depende nem do modo do çorte de D em domínios

parciais Asi nem da escolha do ponto Pi em Ast.

Este limite chama-se integral duplo da função /(x, y) sobre o

domínio D e designa-se por

isto é.

l\f{P)ds ou

D

D

y)dxdy,

lim 2 / (Pi) [x, y) dxdy.

diam A Si-> 0 i = l

D

D chama-se o domínio de integração.

Se f (jc, y) > 0, o integral duplo da função f (x, y) sobre o domínio

D é igual ao volume Q do corpo limitado pela superfície z = f(x, y),

o plano z = 0 e a superfície cilindrica cujas geratrizes são paralelas

ao eixo Oz e se apoiam sobre a fronteira de D (fig. 278).

Consideremos ainda os teoremas seguintes sobre o integral duplo.

11


Teorema — 2. O integral duplo da soma de duas funções tp (;c, y)

^ y) no domínio D é igual à soma dos integrais duplos de cada

uma das duas funções consideradas nesse domínio:

15 [q> {=>:, y) + ^ (^. í')] f y'» + y ^

Teorema — 3. Pode-se separar um factor constante para fora do

sinal de integração dupla:

se a = const., tem-se

5 J a c p ( x , y)ds= all (f ( x , y) ds.

D

D

Demonstram-se estes dois teoremas exactamente como os teoremas

correspondentes sobre os integrais definidos (ver tomo I, § 3, cap. XI).

Teorema — 4. Se o domínio D for constituído por dois domínios

parciais Di e D2, sem ponto interior comum e se f (x, y) for contínua

em todos os pontos de D, tem-se

J J / ( x , y)dxdy=\Jf{x, y)dxdy +

D2

Demonstração — Pode-se representar a

soma integral em D sob a forma (fig. 279)

2 / (PO = 2 / ( ^ 0 +

+ 2 /(^ i)A S i, (4)

Di

contendo a primeira soma os termos relativos aos domínios parciais

de Dl e a segunda os termos relativos aos domínios parciais de D^,.

Como o integral duplo não depende de modo de corte, cortaremos

o domínio D de tal maneira que a fronteira comum de Di e D2

seja também uma fronteira dos domínios parciais As^-. Passando a

limite a igualdade (4) quando As^ -^0, obtém-se a igualdade (3). Este

teorema subsiste quando D é formado de vários domínios disjuntos

ou sem pontos interiores comuns.

§ 2. Cálculo dos integrais duplos

Consideremos um domínio D do plano Oxy tal, que qualquer

paralela a um dos eixos coordenados, por exemplo a Oy, e que passa

por um ponto interior (♦) ao domínio, corte a sua fronteira em dois

pontos e N 2 (fig. 280). (*)

(*) Um ponto interior é um ponto que não se encontra na fronteira.


Suporemos que, no caso considerado, D está limitado pelas curvas

y = (pi ( x ) , y = (p2 (x) e das rectas jc = a , x = b e que

(pi (o;)<(p2(^)»

sendo as funções <pi ( jc) e (pz (x) contínuas sobre o segumento [ a , b].

Convencionaremos chamar a este domínio regular segundo o

eixo Oy. Do mesmo modo se define domínio regular segundo o eixo Ox.

Um domínio, regular segundo os

dois eixos de coordenadas dir-se-á, simplesmente,

domínio regular, A fig. 280

dá um exemplo de domínio regular.

Suponhamos / ( jc, y) contínua no

domínio D,

Consideremos a expressão

h (P2(x)

Id= \ ( i / (^. y) dy)dx

a q>i (x)

que chamaremos integral duplo ou soma

dupla da função / ( jc, >^) sobre D, Nesta

expressão, calcula-se em primeiro lugar

o integral entre parêntesis, sendo a integração feita em'relação a y

e sendo jc considerado como constante. Acha-se, após integração, uma

função contínua (*) de jc :

q>2^x)

(D(a;)= I f{x, y)dy.

(Pl (x)

Integremos agora esta função em relação a jc

a c b:

b

/^ = J O (x) dx.

entre os limites

Por fim, encontra-se um número constante.

Exemplo — Calcular o integral duplo

1 x2

0 0

Resolução — Em primeiro lugar, calculemos o integral interno (entre

parêntesis):

rí-l-

(*) Não demonstraremos a continuidade da função O (a:).


Integremos, agora, a função obtida de 0 a 1:

) ( * * + x ) ‘^ ^ = l “ 5 ~ + 3 : 7 j o 5 + H * = 1 0 5 -

0

O domínio de integração D é o domínio limitado pelas curvas (fig. 281)

y = 0y x = 0y i/ = a:2, x = l .

Sucede que o domínio D é tal que uma função y = (fi (jc), y =

não pode ser dada por uma única expressão analítica em todo o

intervalo de variação de x (de x = a a x = b). Seja, por exemplo,

a <c < b e

^)^ (x) =

(x) sobre o segmento [a, c],

cp^ (j:) = X {x) sobre o segmento [c, ò],

sendo e xU ) funções dadas analiticamente (fig. 282).

Escrever-se-á, então, o integral duplo como se segue:

h (po(x)

í ( í / ( ^ . V)dy)dx =

a (pi(x)

= í ( í y)dy)dx+ l ( J /(x , ij)dy)dx =

a qpiC\)

c (Pt(x)

= n í y)dy)dx-\- 5 ( J f(x, y)dy)dx.

a itC.x) c xix)

Escreve-se a primeira igualdade em virtude da conhecida propriedade

dos integrais definidos e a segunda porque se tem (x) = ^ (x)

sobre o segmento [a, c] e <pi (x) = x (^) sobre [c, b].

Uma transcrição análoga para o integral duplo tem lugar quando

a função <p2 (x) se decompõe em diferentes expressões analíticas sobre

o segmento [a, b\

Estabeleçamos algumas propriedades dos integrais duplos.


Propriedade— 1. Se se divide um domínio D regular segundo Oy

em dois domínios Dx e por uma paralela ao eixo Oy ou ao eixo Ox,

o integral duplo sobre D é igual à soma dos integrais análogos

sobre Di e D 2 :

I d = ^Di "h

(^)

Demonstração — a) Suponhamos que a recta jc = c (a < c i e Dz.

Então,

h (P2(x)

b

Id= \ { J J{x, y)dy) dx= \(b{x)dx =

a q>i ( X ) a

c 6

= Í O ( x ) á c + j(I> (x )d a: =

a

C

<P2 (x)

= S ( S /(^, !/)dy)dx +

a <Pi ( X )

b (P 2 ( x )

+ S ( I y) d y)d x = lD, + / dj.

C ( P i ( x )

b) Suponhamos que a recta y = h divide o domínio D em dois

domínios regulares segundo Oy Dx e Dz como a figura 283.

Designemos por Aíi e Mz os pontos de intersecção da recta y = h

com a fronteira L de D. Designemos as abcissas desses pontos por

e bz*

O domínio D é limitado por curvas contínuas:

1. y = W ;

2. a curva AxMxMzB de que escrevemos convencionalmente a

equação sob a forma

y = (p*(a:),

tendo em vista que (x) = «p, ( ^ ) q u a n d o a - ^ x < ;a ie

e que

<p* (x) = h quand9^ < x < 6,;

3. as rectas jc = n. x = b.

O domínio Dz é limitado pelas curvas

y = (pí (x), y = (p2 (x), em que Uj < x < òj.

_

(*) O facto de uma parte da fronteira do domínio D ser um segmento

vertical não impede que este domínio seja regular segundo Oy; porque se

exigia para esse efeito que qualquer vertical que passe por um ponto interior

do domínio não cortasse a fronteira em mais de dóis pontos.


Escrevamos a identidade seguinte aplicando ao integral interior

o teorema sobre a decomposição do intervalo de integração:

h (poíx)

Id= 1 {í /(^ . y)dy)dx =

a (pi(3c)

h q)*(x)

(Í.2Í31')

í ( y)dy+ S f{x, y)dy)dx =

a ffiix) <p*(x)

(p*(x)

b

í;,o(x)

= í ( í y)dy)dx+ J ( I f{x, y)dy)dx.

a (pi(x) a cp*(.x)

1

Decomponhamos o último integral em três integrais aplicando o

mesmo teorema integral exterior:

h q>2(x)

a, q)2<x)

] ( i y)dy)dx=^ y)dy)dx +

a q)*(x) a (p*(x)

bj q>2(x) b q>2(*^)

+ 5 ( i /(^- y)dy)dx+ 5 ( J /(x , y)dy)dx\

Cj q>*(x) bi (p*(x)

Como (x) = (x) no segmento [a, b\ e no segmento [f>„ b\

o primeiro e o terceiro integral são idênticamente nuIo$. Por coQseguinte

qp*(x)

jj 1 b| <P2^^^

Id= ] {I /{^. y)dy)dx+l ( i /(^> y)dy)dx.

a (PiCx)

Qj (p*(x)

O primeiro termo é aqui um integral duplo estendido sl Di t

o segundo, um integral estendido a Dz. Por conseguinte,

A demonstração é análoga qualquer que seja a secante AfiAfz.

Se a recta AfiAfz divide D em três domínios ou mais, obtém-se uma

relação análoga a (1) com um número correspondente de termos no

segundp membro.

Corolário — Pode-se dividir cada um dos domínios regulares

segundo Oy por uma paralela a Oy ou Ox e aplicar-lhe a propriedade

(1). Por conseguinte, pode-se dividir o domínio D por paralelas

aos eixos coordenados num número arbitrário de domínios parciais

regulares:

Dj, £>2, Dg, . .


e poder-se-á, sempre, afirmar que o integral duplo alargado ao domínio

D é igual à soma dos integrais duplos alargados aos domínios

parciais (fig. 284)

Propriedade — 2.

/ d= H " -^^8 "1" (^)

(Avaliação dos integrais duplos). Sejam m e M

o mínimo e máximo valor da função f(x, y) do domínio D. Seja S

a área de D, Tem-se a desigualdade

b CP2 ^ x )

( I y)dy)dx^MS.

a ( P i ( x )

Demonstração — Calculemos o integral interior que designaremos

por 4» (jc):

isto é,

Tem-se:

(P2(x)

<P2(x)

(x) = J f{x, y)dy^ I Mdy = M [((> 2 {x) —(pi ( x ) ] .

(x)

<Pi (x)

b (p2 (x) b

/ f l = I ( S /(a:, i/)dí/)dx< 5 M[(p2(x) — çi(x)]dx — M5,

a (Pi (x) a

Duma maneira análoga

(3)

(3')

9 2 <P2 (x)

0(x)= í / (x, y) dy ^ J

<Pi (x; (p^ { x )

mdx = m [(pz (x) — q)j (x)],

b

b

/^ = J o (x) dx:^lm [(p2 (x) — (Pi (x)] dx = mS,

1G8


isto é, que

ID TflS. (3")

A desigualdade (3) resulta das desigualdades (30 e (3^0*

Interpretaremos geomètricamente este teorema no parágrafo seguinte.

Propriedade — 3. (Teorema da média). O integral duplo I d duma

função contínua f(x, y) é iguçd ao produto de S pelo valor da função

num certo ponto P do domínio D:

h

(p2 (ac)

í ( í /(^ . y)dy)dx = f{P)S.

a ( P i( 3 c )

Demonstração — Deduz-se de (3):

1

TO< — / d < Aí.

U

(4)

O número ^ d está compreendido entre o maior e o menor

valor da função f(x, y) no domínio D, Em virtude da continuidade

de f(x, y) em D, ela toma num certo ponto P do domínio D o

i

valor / d, isto é. que

o

donde-

ÍD = f{P)S. (.=»)

§ 3. Cálculo dos integrais duplos {continuação)

Teorema — O integral duplo duma função contínua f (jc, y) estendido

ao domínio regular D tem por expressão (♦)

h

(po(^)

J J / (x, (/) dard{/ = J ( ] / {x, y) dy)dx.

D a (Pi(x)

(*) Supõe-se, de novo, que o domínio é regular segundo O y e limitado

pelas curvas y = (p, (i), y = <p2 (i), i = a, i = 6.

INTEGRAIS MÜLTIPLOS 169

Demonstração — Cortemos o domínio D por paralelas aos eixos

coordenados em n domínios regulares (rectangulares):

Asi, As2) • • •}

Tem-se. em virtude da propriedade 1 [fórmula (2)] do parágrafo

anterior.

/ d = • • • + S i = l

Transformemos cada termo da direita pela aplicação do teorema

da média sobre os integrais duplos

/A ,.= /(P ,) As,.

A igualdade (1) transforma-se em

/d = / (Pi) Asi + / (Pi) Asj + . . . + / (P„) As„ = S / (Pi) Asi, (2>

i=l

onde P i é um ponto em As,. Tem-se à direita uma soma integral para

a função / (x, y) sobre D. Segundo o teorema da existência dos integrais

duplos, resulta que o limite desta soma, quando n -^ oo e que

o maior diâmetro dos domínios parciais As^ tende para zero, existe e

é igual ao integral duplo da função / (;if, y) sobre D. O valor numérico

de do primeiro membro da igualdade (2), resultante de duas

integrações simples sucessivas, não depende de n. Passando a limite

em (2). obtém-se

OU

I d = lim S / (Pi) Asi = n / (^< y) ^y

diam As, -►o

D

H / ( ^ . y) dy = ^D- (3>

Por fim, obtém-se:

b (P2<»)

y ) d x d y = .lA f ^ f(x, y)dy)dx.

D a tpi(x)j

(4>

Nota— 1. Quando f(x, >^) > 0, a fórmula (4) a^piite uma interpretação

geométrica simples. Consideremos o corpo delimitado pela

superfície z = f (x, y), o plano z = 0 e a superfície cilíndrica cujas

geratrizes são paralelas a Oz e se apoiam sobre a fronteira do domínio D

(fig. 285). Calculemos o volume V deste corpo. Indicamos acima que

o volume deste corpo era igual ao integral duplo de /(jc, y) sobre D:

H

D

y)dxdy.

(5)

170 CALCJULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Calculemos agora o volume deste corpo utilizando os resultados

do § 4, cap. XII, tomo I, sobre o cálculo do volume dum corpo em

função das áreas de secções paralelas. Tracemos o plano secante

X = const. (a < c < b). Calculemos a área 5 (jc) da figura obtida no

plano X = const. Esta figura é o trapézio curvilíneo delimitado pelas

curvas z = f(x, y) {x = const.), z = 0, y = n W , y = y>2W- Por conseguinte,

esta área, exprime-se pelo integral

(P2(X)

5 (x ),= \ f{x, y)dy)

(Pi(oc) (6)

Conhecendo as áreas das secções paralelas, encontra-se fàcilmente

o volume

h

V = l S (x)dx

ou, substituindo a expressão (6), pela área 5 (x), encontra-se:

b q>2 ( x )

= 5 ( í /(^ , y)dy)dx.

a <Pi ( x )

(7)

Os primeiros membros da fórmula (5) e (7) são iguais e. portanto,

o mesmo se diga dos segundos membros

b (P 2 ( x )

n /{ ^ > y)dxdy=l ( J f(x, y)dy)dx.

D

a <Pi (x)


Agora não é difícil dar o sentido geométrico do teorema sobre

a avaliação dos integrais duplos (propriedade 2 do parágrafo anterior):

o volume V do corpo delimitado pela superfície z = f (jc, y), o plano

z = 0 e a superfície cilíndrica que tem por directriz a fronteira do

domínio D é superior ao volume do cilindro de base S e de altura m,

mas inferior ao cilindro de base 5 e de altura M (sendo m t M o

F i g. 287.

menor e o maior valor da função z = f (x, y) no domínio D (fig. 286).

Isto resulta do facto de o integral duplo Ij) ser’igual ao volume V

deste corpo.

Exemplo— 1. Calcular o integral duplo

X X (4—«2 —ya)dxíiy,

D

sabendo que o domínio D está limitado pelas rectas x = 0, x = l, y = 0, y =

Resolução.

3

8 /2 1

0 0 u

Exemplo — 2. Calcular o integral duplo da função f(x, y) = 1 + x + y

sobre o domínio limitado pelas curvas x = "l/y , y = 2, z = 0 (fig. 287).


R m o I u ç õ o .

2 Vv

j [ j (l + x + !/)(ix Jáy= j ^x + x y + ^ ~ ^ ^ d y =

0 - V 0

= 1 [ ( V í / + y V Í / + - | - ) — .V® =

2 i i

f r-y/- I , T/- , í/®1 J J 3^2 , 2i/2 y3 -12 4 4 „

= ) L V i ; + y + y V ! / ^ j < í í / = [ ^ + - r + - ^ + — J o = i 5 ^ 2 + ^

0

Aô/a — 2. Suponhamos um domínio D regular segundo Ox delimitado

pelas curvas

a; = ^5i(í/). a; = i|)2(i/), y = c, y = d,

com ,ti (y ).< t z (y) ( % 288).

Tem-se, então, evidentemente

d

i|J2(i^)

J J /( x , y)dxdy=l ( I f{x, y)dx)dy.

(8)

D c ll?i(í/)

Para calcular um integral duplo, aplicar-se-á, segundo o caso,

a fórmula (4) ou a fórmula (8). A escolha é indicada pela forma do

domínio D ou da função a integrar.

Fig. 288 Fig. 289

Exemplo — 3. Inverter a ordem de integração em

1 V x

/ = H I /(X, y)dy)dx.

0 3C

Resolução — O dornínio de integração é limitado pela recta y ^ x c

pela parábola y = '\/x (fig. 289).

Qualquer recta paralela ao eixo dos x corta a fronteira do domínio

em dois pontos ou mais; poder-se-á, pois, aplicar a fórmula (8); fazendo

î(y) = í/2, t|)2(y) = y, 0 < í / < l ;


tem-se

1 V

( í ^y-

0 yf

Exemplo — 4. Calcular

_y_

D

sabendo que o domínio D é o triângulo limitado pelas rectas y = x, y = 0,

X = 1 (£ig. 290).

Resolução — Apliquemos as fórmulas (4). (Se se aplicasse a fórmula (8),

ser-nos-ia preciso integrar a função e ^ em relação a x\ mas este último integral

não é integrável por meio de funções elementares):

D 0 0 0

1 1

= ^ x ( e - i) d x = ( e - í ) - ^ \ = - ^ = 0,859...

0 0

Nota — 3. Se o domínio D não for regular nem segundo Ox

nem segundo Oy (isto é, se existirem verticais e horizontais que passem

pelos pontos interiores do domínio e que cortem a fronteira do domínio

cm mais de dois pontos), não se pode, então, integrar sem precaução.

Sc se chega a cortar o domínio irregular D em um número finito de

domínios regulares segundo Ox ou Oy, Di D 2, .... integrar-se-á

cm cada domínio parcial e far-se-á a soma dos resultados obtidós.

Na figura 291, tem-se um corte dum domínio irregular D em

dois domínios regulares £>i e D 2.


Exemplo — 5. Calcular o integral duplo

lle^^yds

D

em referência ao domínio D compreendido entre dois quadrados centrados na

origem e cujos lados são paralelos aos eixos coordenados sabendo que os

lados são» respectivamentc» iguais a 2 e a 4 (fig. 292).

Resolução — O domínio D é irregular. Corta-se em quatro domínios

regulares Di, £>2, D», Dí pelas rectas x = — 1 e x = l. Tem-se, pois,

f t e*+i/ds= C( e*+i'(is+ ( f e*+Wíís+f f e»+i/ds4-^ J e^+V ds.

V DÍ oi 03 Oi

Tem-se, sucessivamente,

- 1 2 1 2

I (I e^+Vdy)dx+ \ (le=^*Vdy)dx +

D —2 -2 —1 1

1 - 1 2 2

+ í (I dy)dx-^ ^ dy)dx =

- 1 - 2 1 - 2

(tf2_ e - 2) ( e - l_ e - 2) + (e2—e) («_«-!) + (e-l —«-*) («—í"!)+

^ ( e 2_ e - 2) (e2_ e ) = (e3_e-S ) (e—e-i) = 4 sh 3 sh 1.

Nota — 4. No seguimento, omitiremos os parêntesis no integral

duplo,

h (P2(3:)

^ D = l { I fix, y)dy)dx,

a q)j(x)

e escreveremos, simplesmente:

6 (Pgíx)

Id= 1 I f{x, y)dydx,

a (Pi(3c)

sendo a integração feita pela ordem como são escritos os diferenciais

das coordenadas (’").

§ 4. Aplicação dos integrais duplos ao cálculo

de áreas e volumes

1. Volumes — Vimos no § 1 que o volume V dum corpo limitado

por uma superfície z = / (a:, y \ onde f (x, y) é uma função não

negativa, o plano z = 0 e a superfície cilíndrica de geratrizes paralelas

a Oz e cuja directriz é a fronteira de D, é igual ao integral duplo

de / (x, y) sobre D:

v =

(*) É por vezes cómodo escrever

b tp2 b (j)2

^D= j ( j / (^, í/) di/j dx= ^ dx^ /(X, y) dy.

a <pi a q>i


Exemplo —Calcular o volume do corpo limitado pelas superfícies x = 0,

>^= 0, j: + y + z = l, z = 0 (fig. 293).

Re«dução.

^ = n (1—*—») ***.

D

em que D é o domínio triangular do plano Oxy limitado pelas rectas x 0,

y = 0, jc + y = l; é o domínio tracejado da figura 293. Tem-se:

1 1—X 1 ^

^ (1—*— ^(1 —*)y— *d* =

0 0 0

Tem-se, pois, V a — da unidade de volume.

6

Nota— 1. Se o corpo de que se procura o volume é limitado

superiormente pela superfície z = ^ 2 (x, y) ^ 0 e inferiormente pela

superfície z = (x, y} > 0, sendo a projecção destas duas superfícies

F i g. 294.

sobre o plano Oxy um mesmo domínio D, o volume V deste corpo

será igual à diferença dos volumes dos corpos «cilíndricos»; o primeiro

cilindro tem por base D e é limitado superiormente pela superfície

z = ^ 2 (x, y): o segundo cilindro tem igualmente por base D e

é limitado superiormente pela superfície z = (Xy y) (fig. 294).

O volume V é, pois, a diferença de dois integrais duplos:

OU

r = n 2(^.

D

D

y)ds.

<t>i{x,y)]ds. (1)


É fácil de demonstrar que a fórmula (1) é verdadeira não só

qiiàndo {x, y) e ^2 U, y) são funções não negativas, mas também

quando (jc, >?) e ^2 (x, y) são funções contínuas arbitrárias que

satisfaçam à relação

Nota — 2. Se / ( jc, y) muda de sinal em D, dividir-se-á D em

dois domínios: 1) £>i com / (jc, y) > 0; 2) Dz com / (x, y) < 0.

Suponhamos Di e Dz tais que os integrais duplos sobre estes domínios

y)-

existam. O integral sobre £>i é. então, positivo e representa o volume

do corpo que se endontra por cima do plano Oxy, O integral sobre Dz

é negativo e o seu valor absoluto representa o volume do corpo que

se encontra por cima do plano Oxy. Por conseguinte, o integral sobre D

representa a diferença dos volumes correspondentes.

2. Ãreas planas — Se se formar uma soma integral para a função

f (jc, >^) = 1 definida no domínio D, obtém-se a área

s = S l - A s i ,

i=l

qualquer que seja o corte Passando a limite nó segundo membro,

obtém-se

S=l^dxdy.

D


Se o domínio D é regular (ver. por exemplo, fig. 280), a área

exprime-se pelo integral duplo

h (p2(^)

> 5 = 1 ( 5 dy)dx.

a (Pi(ac)

Tem-se, após integração do integral interno,

>5 = 5 [ q >2 {x) — ( ^ ) J dx

a

(comparar § 1, cap. XII, tomo I).

h

Exemplo — 2. Calcular a área do domínio limitado pelas curvas

y = 2 — x 2 y = x .

Resolução — Determinemos os pontos de intersecção das curvas dadas

(fig. 295). As ordenadas das duas curvas são iguais num ponto de intersecção;

x = 2—

donde

x2 + x—2 = 0

x i= —2,

X2=í.

Obtivemos dois pontos de intersecção: (— 2, 2), A/o(l, 1).

A área procurada é, pois,

1 2-3c2 1

-2 X -2 /

§ 5. Integrais duplos em coordenadas polares

Consideremos, em coordenadas polares 0, p um domínio D tal

que todo o raio procedente da origem e que passa por um ponto

interior do domínio corta a fronteira de D em dois pontos ou mais.

suponhamos que D é lipritado pelas curvas p = Oi (0), P = O , (0)

e os raios 0 = a e 0 = p, com (pi (0) < Og (0) e a < p (fig. 296).

Diremos, então, que um tal domínio é regular.

Seja em D uma função contínua das coordenadas 0 e* p:

z = F { e , p).

Decomponhamos arbitràriamente D em domínios parciais

Formemos a soma integral

Vn= ^F{P,)As,,

Jt—1

em que Pfi é um ponto tomado em As;^.

12

(1)


Resulta do teorema de existência dos integrais duplos que quando

o maior diâmetro dos ASf^ tende para zero, a soma integral (1) tem

um limite V. Ele dá por definição de integral duplo de F(0, p) em D:

7 = n / ’ ( e , P)ds.

D

(2)

Ocupemo-nos do cálculo de um tal integral duplo.

Como o limite da soma integral não depende do modo do corte

de D em domínios parciais cortá-lo-emos, por razões de comodidade,

traçando raios 0 == 0q, 0 = 0i, 0 = Bg. 0 = 0^ (em que

00 = a , 0n= P, 0 o < 01 < 02 < • • •< 6n)e circunferências concêntricas

p = po, p = Pií . • p = Pm onde [po é o menor valor da

função (0) e Pm o maior valor de ^2 (6) no intervalo fechado

a < 0 < P ; ••• < Pi < . . . < p^l.

Seja ASij^ a área delimitada pelas linhas de coordenadas

p = p f - i. p = p/, 0 = 0 /,_ i, 0 0 ^ .

Haverá 3 espécies de domínios parciais :

1. Domínios inteiramente interiores a D\

2. Domínios inteiramente exteriores a D;

3. Domínios que invadem a fronteira de D.

A soma das áreas que invadem a fronteira tende para zero

quando 0 e A p/^Ô ; desprezar-se-á, pois, estas áreas. As

áreas parciais As^j^ exteriores a D não entram na soma integral con-


siderada e não apresentam interesse. Poder-seá, pois, escrever a soma

integral sob a forma

I

em que P,* é um ponto arbitràriamente tomado em

A soma dupla exprime que somamos em primeiro lugar sobre

o índice i considerando k fixo (isto é, que fazemos a soma das áreas

compreendidas entre dois raios vizinhos (*)). O sinal da soma exterior

exprime que adicionamos as somas que resultam da primeira soma

(somamos sobre k).

Achemos a expressão da área dum domínio parcial que

não invade a fronteira de D. É a diferença das ^reas de dois sectores:

= — (Pi “f" ^Pi) ^ Pi = ^Pi H— Api

ou

Aí?ife = p?Ap,. A0ft, oú P i < p ? < p i + Apf.

A soma integral escreve-se, pois(**),

h=i i

em que P (6J, p?) é um ponto tomado em As^^.

Destaquemos, agora, o factor A0;^ da soma interior (o que é

legítimo, porque é um factor comum a todos os termos desta soma):

= 2 [ S ^ P?) P?^P‘]

k=l i

Suponhamos que Ap,- 0 e que A0/i é constante. Então, a

expressão entre parêntesis tenderá para o integral

2(ej)

I F (6ft. P) P dp.

«Kl (e*)

(*) Notemos que somando sobre o índice / este índice não tomará,

forçosamente, todos os valores de 1 a m, dado que todos os domínios parciais

compreendidos entre os raios 0 = 0 ^ e 0 = 0ft+i, não pertencem, forçosam;nte,

a D.

(**) É permitido considerar uma soma integral sob esta forma, dado que

o limite da soma não depende do ponto escolhido no domínio parcial.


Supondo agora que AB^ 0 obtém-se, por fim (*):

P 2(0)

V=S(J F(9, p)pdp)d0.

a <Di(0)

A fórmula (3) serve para o cálculo de integrais duplos em

coordenadas polares.

(3)

Fig. 297

Se se integrar primeiro sobre 0, depois sobre p. tem-se a fórmula

(fig. 297):

P2 0)2(p)

F = J ( J F{e, p)d0)pdp.

(3')

Pi Wi(p)

Seja calcular o integral duplo da função f(x, y) sobre o domínio

D, sendo este integral escrito em coordenadas rectangulares:

y)dxdy.

Se D é um domínio regular em coordenadas polares 0, p, poder-

-se-á passar nos cálculos às coordenadas polares.

(*) A nossa dedução da fórmula (3) não é rigorosa: em primeiro lugar

temos feito tender Apj para zero conservando invariável, e sòmente depois

é Que temos feito tender para zero. Isto não corresponde completamente

à definição de intecral duplo que consideramos como limite de somas integrais

quando o maior diâmetro dos domínios parciais tendesse para zero( aqui seria

preciso fazer tender para zero, simultâneamente, A0^ e Apj). Entretanto, apesar

desta falta de ricor, o resultado está certo (isto 6, que a fórmula (3) é leeítima).

Poder-se-ia estabelecer esta fórmula rigorosa como para o integral duplo em

coordenadas rectangulares. Indicaremos que será estabelecida também no § 6

partindo de outras considerações (como caso particular da fórmula geral de

transformação de coordenadas num integral duplo).


Com efeito, tem-se,

a: = pcos0, i/ = psen0,

f{x, y) — /[pcosS, psene] = / ’(6, p),

por conseguinte,

p 02(0)

J J / ( x , y )d a :d y = J ( 5 /[p co s0 , p sen e]p d p )d 0 . (4)

D a <D:(0)

-je

o cilindro

Exemplo— 1. Calcular o volume V do corpo compreendido entre a esfera

x2_|_y2 — 2ay-0.

Resolução — Poder-se-á tomar por domínio de integração a base do cilindro

.x2-j-y2—2ay= isto é, o círculo do centro (0, a) e de raio a. Pode-se escrever

a equação deste círculo sob a forma x^-\-(y—a)2 = (fig. 298).

Calculemos um quarto do volume procurado V (metade está representao

na fig. 298). Tomar-se-á, eqtão, por domínio de integração o semi-círculo definido

pelas equações

í^ = <Pi (í/) = 0, X = (f2{y) = y 2ay—yi,

A função sob o sinal soma é

y = 0, y = 2a.

2 = /(^, y) = — —

Por conseguinte,

T-J( í

2a V 2ay—y2

l/4a2 — x2— ^2

dy.

Passemos a coordenadas polares G, p:

x = p c o s0, í/ = p sen 0.

Determinemos os limites de integração. Para esse efeito escrevamos a

equação do círculo dado em coordenadas polares: como

x2 + í/2 = p2^

í/ = p sen 0,

tem-se

ou

p2— 2ap sen 0 = 0

p = 2íiscn0.


A fronieira do domínio em coordenadas polares, escreve-se, pois, (fig. 299):

p = a>i(0)=O, p = ®2(Ô) = 2a séne, o = 0 , P =

A função a integrar transforma-se em

F ( e , p ) = V4a*—p«.

Obtém-se, por conseguinte:

n

2 2 a sen 6

T - $ ( I

0 0 0

71

2

= ~ j ^ [(4a®—4a»seiií 0)* /t_ (4 ,*)Vtj ^0 =

JC

2

0

7Í

2

bá^ p 4

= — ^ (l-cos«0)d0 = ~a8(3„«.4).

0

Exemplo — 2. Calcular o integral de Poisson

<ie=

Resolução — Calculemos, primeiramente, o integral

D

** ^*dxdy,

F i g. 299.

endo o domínio de integração o círculo (fig. 300)

X*-f- y*eaií8.

Passemos a coordenadas polares 0, p:

2 n R 2«

/ „ = 5 (5 e - P * p ip ) á 0 = - |- S «-•’*) áe = n ( l— -'*V

0 0 0 ó


Fazendo lender R para infinito, isto é, fazendo crescer indefinidamente o

domínio de integração, tem-se

2n oo

2n R

j ( í e P*pdp)d0= lim J (J « ^*p^p)^®= ^ ^ ® ) = n.

í 'i* ' D_^nrk ív n. R—¥CO

0 0 0 0

Mostremos que o integral J J e **

D '

dx dy tende para tt quando se

alarga o domínio D' de modo que qualquer ponto do plano se encontre definitivamente

em D' «convencionalmente escreveremos D' oo).

F i g. 301.

Sejam e i?2 a maior e a mais pequena distância da fronteira de D'

à origem das coordenadas (fig. 301).

Como e*’**” í'* > 0 para todo valor, tem-se

ou

D'

n (1 — e” ^^) * < 5 5 tf"'**—''* dxdy

(1 —e” ^^).

Como D '—^co, tem-se i? i—>-oo e e os membros extremos

da desigualdade tendem para um só e único limite •tt. O mesmo se diga, pois,

do termo intermediário:

lim II e-^^'-y^dxdy = n.

D'—¥oo (5)

Suponhamos, em especial, que D' seja um quadrado de lado 2a e de

centro na origem. Ter-se-á

^ ^ e~^^~y^dxdy= J J e~^^~y^dxdy =

^jy

n n

“Í5

a

a

e y^dxdy— J ^ J e dx^ dy.

— a —a


Ponhamos fora o factor e do integral interno (o que é permitido,

porque não dei>ende da variável de integração x). Tem-se

tem-se, pois,

a

J J dy= J ^ j dx^ dy,

D ' — a — a

n

Façamos ^ dx = B a - É um número constante (depende sòmente de a)\

j J

— a

dxdy= I e-y^Bady = Ba j e~y^ dy.

D ' - a _ a

Mas este último integral é também igual a ( porque j dx =

—o

a

= I dy^ ; por conseguinte,

—a

a

a

D '

Passemos agora a limite fazendo tender a para infinito nesta igualdade

{D' alargou-se, então, indefinidamente):

lim f f dxdj/=-- lim = lim f f

D'->oo J J a->cx) 0-+00 L J J

a

Mas viu-se que (5)

Por conseguinte.

—oo

lim f f dx dy — Tí.

D '-^ o o J J

D '

[ j

ou

00

1 dx =

Este integral encontra-se muitas vezes em probabilidades e em estatística.

Notemos que nos teria sido impossível calcular directamente este integral, dado

que a primitiva de não se exprime por meio de funções elementares.


§ 6. Mudança de variáveis num integral duplo

{caso geral)

Consideremos um domínio D do plano Oxy limitado por uma

curva L. Suponhamos que as coordenadas x c y s&o funções de novas

variáveis u e v:

X = (p{u, u), v), (1)

onde as funções <p(u, v) e v) são unívocas, contínuas e possuem

derivadas contínuas num certo domínio D' que definiremos no seguimento.

Corresponde, então, segundo as fórmulas (4) a qualquer par

de valores w e v, um único par de valores x c y. Suponhamos, além

disso, as funções , lhes corresponde, então, valores determinados de m e v

segundo as fóriíHilas (1).

Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas Ouv (fig. 302).

Resulta do que precede que a qualquer ponto P{x, y) do plano

Oxy (fig. 303) corresponde univocamente um ponto P (« , v) do plano

Ouv de coordenadas m , v definidas pelas fórmulas (1). Os números u

e V chamam-se coordenadas curvilíneas de P.

Se no plano Oxy o ponto P descreve a curva fechada L que delimita

o domínio D, o ponto correspondente descreve no plano Ouv

uma curva fechada U que delimita um certo domínio £)': corresponde,

então, a qualquer ponto de D' um ponto de D.

Assim, as fórmulas (1) estabelecem uma correspondência biunívoca

entre os pontos dos domínios D e D \ ou, como se costuma dizer,

representam biunivocamente D sobre D \

Consideremos em E/ uma recta u = const. Em regra, as fórmulas

(1) fazem-lhe corresponder no plano Oxy uma linha curva.


Do mesmo modo, corresponderá a qualquer recta v = const. do

plano Ouv uma certa curva no plano Oxy.

Cortemos o domínio D' pelas rectas u = const. e v = const. em

pequenos domínios rectangulares (não teremos em conta os rectângulos

que invadem a fronteira de D'). As curvas correspondentes do domínio

D cortam este último em quadriláteros curvilíneos (fig. 303).

Consideremos no plano Ouv o rectângulo As' limitado pelas rectas

u = const., lí + Au = const., v = const. v + Av = const. e o quadrilátero

curvilíneo correspondente a A^ no plano Oxy,

Designaremos as áreas dos domínios parciais igualmente por A^

e As, Tem-se, evidentemente,

às = àuàv.

As áreas As e As' são, em regra, diferentes.

Suponhamos dada em D uma função contínua

Z = j{x, y).

o

A todo o valor da função z = f(x, y) do domínio D corresponde

mesmo valor de z = F ( m, v) em Z)', em que

F{u, v) = f[(p{u, v), i|3(u, y)].

Consideremos as somas integrais da função z no domínio D.

Tem-sê. evidentemente, a igualdade seguinte:

2 /(a:, i /) A s = 2 ^ ( “ . v)As. (2)

Calculemos A;, isto é, a área do quadrilátero curvilíneo P1P2F3F4

no plano Oxy (ver fig. 303).

Determinemos as coordenadas dos vértices:

P i {xi, yi),.xi = (p (u , v),

1/1 = ^ (u, v),

Pi {Xi, 1/2). ^2 = cp(u + Au, y), 1/2= Tl?(u + Au, y),

PiiXi^ys), a:3 = cp(u + Au, y+Ay), y3 = T|3(u + Au, y + Ay),

P4 yò, x^ = (ç{u, y + Ay), j/4 = ip (u, y + Ay).

(3)

Assemelharemos no cálculo da área do quadrilátero P1P2P3P4.

os arcos P1P2, P2P3, P3P4. P4P1 a segmentos de rectas paralelas: substituiremos,

além disso, os acréscimos das funções pelos seus diferenciais.


Quer dizer, fazemos abstracção dos infinitamente pequenos de ordem

mais elevada que e Av. As fórmulas (3) transformam-se, então, em

X, = (p(u, v).

5<p

X 2 = 9 ( ií, y) + - ^ A u ,

du

yi = i|)(u, v).

Xj = <p (u, v) + - ^ A u + - ^ Av, yj = 1|) (u, v) + - ^ A u + - ^ Av,

du dv du du

du

(30

X4 = <p(u, v) + - ^ A v , y4 = ’l’(w. v) + - ^ A v .

dv

dv

Sob estas hipóteses, o quadrilátero curvilíneo PxP2PJPa pode ser

assemelhado a um paralelogramo. A sua área A5 é aproximadamente

igual ao dobro da área do triângulo P1P2P3. que se calcula aplicando

a fórmula correspondente da geometria analítica:

— t ó — (* j— *s)fes — íl)| =

= I f i í , A p) ií.A:,-i» f ü Au + ü A»)I =

IV du dv / dv dv \ du dv / 1

Ü Ü A u Ap — ?^-?Í.AuAu

du dv

dv du

Façamos

d<p d»|)

du dv

d<p dt|)

Au Av =

dv du

d(p dç

du dv

= /.

d»j) d<|)

du dv

d(p dq)

du dv

dij} di|)

du dv

Au Av *).

Por conseguinte,

As I / 1As'. (4)

O determinante I chama-se determinante funcional ou jacobiano

(do nome do matemático alemão Jacobi) das funções (p(w, v) e ^ (u, v).

(*) O duplo traço vertical significa que se toma o valor absoluto do

determinante.


A igualdade (4) apenas é aproximada, dado que nos cálculos da

área às desprezamos os infinitamente pequenos de ordem superior.

No entanto, à medida que as dimensões dos domínios elementares às

e são mais pequenas, mais se aproxima da igualdade. A igualdade

tem lugar quando se passa a limite, tendendo os diâmetros dos domínios

elementares às e A' para zero:

| / | = lim

dlamAs'-^0 As'

Apliquemos agora a igualdade obtida ao cálculo do integral

duplo. Em virtude da igualdade (2) pode-se escrever

2 / ( ^ . y) As í t í F (u, i;)|/|As'

(a soma integral da direita estende-se a ly). Passando a limite quando

obtém-se a igualdade rigorosa

n /( x , y)dxdy= II F(u, v)\I\dudv.

D D'

Tal é a fórmula, de transformação das coordenadas em integral

duplo, Ela permite reduzir o cálculo dum integral duplo num domínio D

(5)

Fig. 304 Fig. 305

ao cálculo dum integral duplo num domínio D', o que pode simplificar

o problema. A primeira demonstração rigorosa desta fórmula deveu-se

a M. Ostrogradsky.

Nota — A passagem das coordenadas cartesianas às coordenadas

polares, examinada no parágrafo anterior, é um caso particular de

mudança de variáveis num integral duplo. Neste caso, tem-se w = 0,

V = p:

x=pcos9, y = pscnQ-


O arco de círculo AB (p = pO do plano Oxy (fig. 304) é representado

pela recta A'B' no plano OQp (fig. 305). O arco de círculo

DC (p = pi) do plano Oxy 6 representado pela recta D'C' do plano

oep.

As rectas AD e BC do plano Oxy estão representadas pelas

rectas A'£y e B'C' do plano OOp. As curvas Li e L, estão representadas

pelas curvas e L'^.

■Calculemos o jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas

X e em coordenadas polares Oep:

dxdx

d0dp - p sen 0COS 0

/ =

p COS 0 sen 0

50 dp

= — p sen^ 0 — p cos^ 0 = — p-

Tem-se, pois, | / 1= p e

3 2(e)

llf(x, y)dxdy= \{

p)pí^p)<í®-

D a Oi (0)

VoIta-se a encontrar a fórmula estabelecida

no parágrafo anterior.

Exemplo — Seja calcular o integral duplo

J J (y —x) Ixdy

D

em que JD é o domínio do plano Oxy limitado

pelas rectas

y = j/ = x —3, y~- 1 ^

y = — g-*-!-5.

O cálculo directo deste integral é bastante

fastidioso, mas uma mudança de variáveis

simples permite reduzir este integral à integração num rectângulo cujos

lados são paralelos aos eixos coordenados.

Façamos

^

u = y—x, v = y+-^x. (6)

Então, as rectas y = jc + l, y = x — 3 são representadas, respectivamente,

1 7

pelas rectas m= 1, « = —3 do plano Ouv; as rectas y = — õ" * + - õ"*

1 y d d

y=a— 5-X+ 5 tem por imagens as rectas i; = — , i;=a5.

3 3

O domínio D será, pois, representado pelo domínio rectangular D' da

figura 306. Resta, pois, calcular o jacobiano da transformação. Exprimamos para

190 CALCULO DIFERENCIAL fi INTEGRAL

esse efeito jc e em função de 1/ e v. Resolvendo o sistema de equações (6)»

obtém-se

3 , 3 1 . 3

X = - — U + — V^ y = - u + - ^ V .

Por conseguinte.

dx dx 3 3

du dv 4 4

1 =

dy dy 1 3

du dv 4 4

e o valor absoluto do jacobiano é | / | = — .

16 ■

Logo

_3_

16

J J (y-x)dxdy= J J [ ( + x “ + T ‘' ) “ ( ~ T “ + T ‘' ) ] t ‘^“ ‘^'' =

~ ^ í -ûdudz;= ^ ^ ududv— —8.

d"

3

§ 7. Calculo das áreas de superfícies

Seja calcular a área limitada por uma curva T traçada sobre

uma superfície (fig. 307); a superfície é dada pela equação z = f(x, y)

onde /(jc, y) é contínua e possui derivadas parciais contínuas.

Seja L a projecção de T sobre o plano Oxy. Designemos o domínio

do plano Oxy limitado por L por D.

Cortemos arbitràriamente D em n domínios elementares Aî,

A^2........ Tomemos em cada domínio elementar um ponto

arbitrário Pi (1^, y\i).

Corresponde ao ponto Pf um ponto sobre a superfície

r]h /(Í m y]i)l


Tracemos o plano tangente à superfície no ponto Aí|. Tem por

equação

Z — Zi = f^ (li, T)i) (x — li) + f y (li, Tli) {y — lli) (1)

(ver § 6, cap. IX, t. I). Delimitemos sobre este plano o domínio Aa^

tendo Asj como projecção sobre o plano Oxy, Consideremos a soma

de todas as áreas correspondentes Aoi

2 Aa<.

í=»i

O limite a desta soma quando o maior dos diâmetros dos

tende para zero será, por definição, a área da superfície:

n

a = lim 2 (2)

d i a m A a i “^ 0 i = i

Calculemos agora a área da superfície. Designemos por yi o

ângulo entre o plano tangente e o plano Oxy. Sabe-se de geometria

analítica que (fig. 308)

Asi = Aoi COS Yi

ou

Aoi =

A$i

COS Yi (3)

O ângulo Vi é também o ângulo entre o eixo Oz e a normal

ao plano (1). Tendo-se em conta (1) e por aplicação da correspondente

fórmula de geometria analítica, obtém-se:

1

C OS Vi = ;

Por conseguinte.

V l + / ^ ^ ( 5 i , ' n i ) + / y ( ? i » 'Hi)

Aoi= v i . + r : a i , tio+

t,í) así.

Substituindo esta expresão na fórmula (2), tem-se:

o = lim 2 V l + fiih, T,i) + fyîlt, r\i) ASi.

d i a m Asi-Ô i = l

Como o limite da soma integral do segundo membro desta última

igualdade, é, por definição, o integral duplo

I I + + ( 0 ) ^ tem-se, por fim.

"“[í ^‘+('fr+(í-) (4)


Tal é a fórmula que permite calcular a área da superfície z = f(x, y).

Se a equação da superfície é dada sob a forma

x = ii{y, z)outmelbor y = X

z),

as fórmulas correspondentes do cálculo da área transformam-se em

(3')

“ 1!

&)

onde D' e D" são domínios dos planos Oyz e Oxz sobre os quais se

projecta a superfície dada.

Exemplo — 1. Calcular a área da esfera

+ =

Resoluçõo — Calculemos a área do hemisfério superior

(fig. 309). Tem-se:

Por conseguinte.

dz

dx

dz

ày

Z= l/i?2 — — J/2

X

y m — ifi — yi '

y

-|/ií2_a:2_j,2

y dx ) dy ) y J t i - x i - y i - y f l 2_ a : 2_ y 2


O domínio de integração é determinado pela condição

Logo, em virtude da fórmula (4), tem-se:

R

4 "= $ ( S

dx.

Para calcular este integral duplo, passemos a coordenadas polares.

A equação da fronteira do domínio de integração torna-se, então, em p = R,

Por conseguinte,

2 n R

0 = 2 J f — P*^p) <je = 2 i? J l-V Ã ã H ^ l? d e = 2fl Ji?d0=4nil*.

0 0

2n

= 2R j Rde=istfíi.

Exemplo — 2. Achar a área da parte do cilindro

cortada pelo cilindro

-j_ y2 =

Resolução — Na figura 310 tem-se representado a oitava parte da superfície

em questão. A equação da superfície é

donde

;= l/a * —I*,

dy

dx Va® —; - • - ^ = 0 -

: ã ’ dz

O domínio de integração é o quarto de círculo da equação

*^ + 2*<a2, ® > 0 , z > 0 .

Por conseguinte,

a yâ2—jc2

T ” - í ( J y j f e l * ) ' ' ' —

a

"]/a2—~x2

= a J dx = a2, a=8a2.

/a2-:«2

dx =

13


§ 8. Densidade de distribuição de matéria e integral duplo

Suponhamos, distribuído num domínio D uma certa matéria,

de modo que cada unidade de área deste domínio contenha uma certa

quantidade desta matéria. Falaremos no seguimento da distribuição

de massa, se bem que os raciocínios que se seguem, sejam válidos

quando se trata de distribuição de carga eléctrica, de quantidade de

calor, etc.

Consideremos um elemento de área arbitrário ^s do domínio D.

Seja Am a massa da matéria distribuída sobre este elemento. Chama-se,

então, à relação

densidade superficial média da matéria no

domínio ^s,

Suponhamos agora que a área A5 se encerra em volta do ponto

P {x, y). Consideremos o limite lim

. Se ele existir, dependerá,

em regra, da posição do ponto P, isto é, das coordenadas x t y.

É, pois, uma função /(P) do ponto P. Chamaremos a este limite densidade

superficial da matéria no ponto P;

l i m 4 ^ = / ( / > ) = / ( X , y ) . ( 1)

As~^0 As

Assim, a densidade superficial é uma função f(x, y) das coordenadas

do ponto considerado no domínio.

Tnversamente, supomos dado no domínio D a densidade superficial

duma certa matéria como função contínua f (P) = f (x, v); pede-se

para determinar a quantidade total de matéria M contida, em D.

Cortemos o domínio D em áreas parciais As^ (i = 1, 2, . . n) e

tomemos em cada área um ponto P i ; / (P,) representa, então, a

densidade superficial no ponto

O produto f (Pi) Asi representa, então, a menos de um infinitamente

pequeno de ordem superior, a quantidade de matéria contida

na área As,-, e a soma

i= l

exprime aproximadamente a auantidade total de matéria distribuída

no domínio D. Ora, é uma soma inteeral para a função f (P) em D.

Obtém-se um valor exacto passando a limite quando

Por conseguinte (*),

lim ^ f{Pi) A s i = l U ( P ) < ^ = l U i ^ ’ (2)

A sj-^ 0 i = i D D

(♦) A espressão Asi

área Asi tende para zero.

0 significa, aqui, que o diâmetro do elemento de


isto é, que a quantidade total de matéria no domínio D é igual ao

integral duplo sobre D da densidade f (P) = f (x, y) desta matéria.

Exemplo — Determinar a massa duma placa circular de raio R , sabendo

que a densidade sup:írficial f ( x , y) do material em cada ponto P { x , y ) é

proporcional à distância do ponto (jc, y ) ao centro do círculo:.

/(z, y ) = k l/a :2 + y2 .

Resolução — De acordo com a fórmula (2), tem-se:

Af = J ^

D

dx dy^

onde o domínio de integração D é o círculo +

Passando a coordenadas polares, obtém-se:

•

M = k \

2 n R 1

ppdpj d0 = A :2 n ^

0 0 (

• knR^.

§ 9. Momento de inércia duma figura plana

Chama-se momento de inércia / dum ponto material M de

massa m em relação a um ponto O ao produto desta massa m pelo

quadrado da distância r do ponto M ao ponto O:

I = mr^.

O momento de inércia dum sistema de pontos materiais jiíu

ni2, .... em relação a O é a soma dos momentos de inércia

dos diversos pontos do sistema:

1 =

i = i

Determinemos agora o momento de

inércia duma figura material plana D.

Suponhamos D contido no plano Oxy.

Determinemos o momento de inércia desta

figura em relação à origem O supondo a

densidade superfcial constante e igukl à

unidade.

Cortemos D em áreas elementares Í^Si (/ = 1, 2.......ri) fig. 311).

Tomemos em cada elemento de área um ponto Pi de coordenadas

T]/. Chamamos momento de inércia elementar da área A A',- ao

produto da massa A5j pelo quadrado da distância r? = |f + Ti?:


e formemos a soma de tais momentos:

i= l

Ela define uma soma integral para a função f (x, y) =

no domínio D,

Definamos o momento de inércia da figura como limite desta

soma integral quando o diâmetro de cada elemento A5j tende para zero:

/ o = lim

diam ASf-ô i= l

Mas o limite desta soma é o integral duplo H

+ 3^^) X dx dy.

Por conseguinte, o momento de inércia da figura £>. em relação à

origem das coordenadas, é

■^0=

D

+ l^)dxdy,

sendo D o domínio definido pela figura plana dada.

Os integrais

/* * = í í y^dxdy,

D

Iyy — ^ ^ ^ d^ dy

(1)

(2)

(3)

chamam-se, respectivamente, os momentos de inércia da figura D em

relação aos eixos Ox e

Exemplo— 1. Calcular o momento de inércia do círculo cheio D de

raio R em relação ao seu centro O.

Resolução — Segundo a fórmula (1), tem-se:

^0= j j (3:2 + y2) dxdy.

Pa^^sando a coordenadas polares 0, p, a equação deste crfrculo transforma-se

em

p = i?.

Logo

2 jt R

^0= j ( j p^p^p)

nR*

Nota — Se a densidade superficial y não é igual à unidade mas

é uma função de x e y, isto é, y = y (x, y), a massa de área íiS i será

igual, a menos de um infinitamente pequeno de ordem superior, a


Y (li, r\i)ASi e o momento de inércia duma figura plana em relação

à origem se transforma em

v)(3:^ + y^)dxdy.

(1')

Exemplo — 2. Calcular o mamento de inércia da figura material plana D

limitada pelas curvas — x\ a; = 0, y = 0 em relação ao eixo Oy» sabendo

que a densidade superficial em cada ponto é igual a y (fig. 312).

Resolução.

1 V i-x

0 0 0

1 Vl-X

•2|í2

dx-

Elipse de inércia — Determinemos o momento de inércia duma

figura plana D em relação a um certo eixo OL passando por um

ponto O que tomamos para origem das coordenadas. Seja <f o angulo

formado pela recta OL com a direcção positiva do eixo Ox (fig. 313).

A equação normal da recta OL é

X sèn 9 — y COS (p = 0.

A distância r dum ponto qualquer M {x. y) a esta recta é igual a

r = I X sèn 9 — 1/ COS 9 |.

198 CALCULO DIFF^RENCIAL E INTEGRAL

O momento de inércia / da figura plana D em relação à recta OL

é, por definição,

/ = J J dx dy = X5 (a: sèncp — 1/ COS dxdy =

D

D

= sen^ ^ I I ^ dx dy — 2 sen q) cos ^ H xy dxdy cos^ V

Por conseguinte.

I = I sen (p — 21 xy sen cp cos (p + Ixx cos (p, (4)

onde ^í/í/ = í I x^ dx dy é o momento de inércia da figura em relação

ao eixo y e Ixx = I í dx dy o momento de inércia em relação ao

D

eixo x; pusemos, além disso, I^y = H xy dx dy. Dividamos todos os

D

termos da igualdade (4) por /; obtém-se:

X

/cos . / sén cp Y

Tomemos sobre o eixo OL um ponto

A (X . Y) tal que

OA = ^ .

V l

Corresponde a diversas direcções OL,

isto é. a diversos ângulos p, diversos valores /

e logo diversos pontos A. Procuremos o lugar geométrico dos pontos A.

Obtém-se, evidentemente,

1 1

X = —= cos cp, y = —z: sen cp.

V /

V l

Em virtude da igualdade (5). as quantidades X t Y estão ligadas

entre si pela relação

1 = Ixx^^ — 2IxyX Y + ly y ^ ^ ‘ (^)

O lugar geométrico dos pontos Á (X, Y) é, pois, a curva do

segundo grau (6). Mostremos que é uma elipse.


Tem-se a igualdade seguinte, chamada de Bouniakovsky (*)

(matemático russo):

OU

(J x ^ d x d y ) ( ll y^dxdy)

Jxx^yy l l y > 0 .

Assim, o descriminante da curva (6) é positivo, o que mostra

que é uma elipse (fig. 314). Chama-se elipse de inércia, A noção de

elipse de inércia é fundamental em mecânica.

Notemos que os comprimentos dos eixos da elipse de inércia e

a sua disposição no plano dependem da forma da figura plana dada.

Como a distância da origem das coordenadas a um ponto arbitrário A

{*) Para demonstrar a desigualdade de Bouniakovsky, consideremos a

desigualdade evidente:

H[/ (*. í/) —^ 0,

onde X é uma constante. A igualdade não é possível senão quando / (x, y) —

—X<p (jc, y) = 0, isto é, se f {x, y) = X(x, y)dxdy +

D

D

I I

D

y)dxdy-;>0.

Consideremos a expressão do primeiro membro como função de X. É um

polinómio do segundo grau que não se anula: as suas raízes são, pois, complexas,

o que implica que o descriminante formado com os coeficientes do

polinómio do segundo grau é negativo, isto é, que

( J J /q) d l dyY — J ^ p dx dy ^ J <p2 dxdy<^ 0

D D D

(55 /(pdxdyj < 55 /2 dx dy ^ ^ (f2 dx dy.

Ê a desigualdade de Bouniakovsky.

X

No nosso caso, / (x, y) = x, (p (x, y) —y, — const.

A notável desigualdade de Bouniakovsky intervém, constantemente, cm

matemáticas. Em muitas obras chama-se injustamente desigualdade de Schwarz.

Bouniakovsky publicou-a (bem como outras desigualdades importantes) cm 1859

c Schwarz em 1875.


da elipse é igual a

y = , onde / é o momento de inércia da figura

relativamente ao eixo O A, ao construir-se a elipse, calcula-se fàcilmente

o momento de inércia da figura D em relação a uma recta qualquer

que passe pela origem das coordendas. Em particular, é fácil de ver

que o momento de inércia da figura é mínimo em relação ao eixo

maior da elipse e máximo em relação ao eixo menor.

§ 10. Coordenadas do centro de gravidade duma figura plana

Indicamos no § 8 do capítulo XII (tomo I) que as coordenadas

do centro de gravidade do sistema de pontos materiais Pi, P2, Pj^

de massas mi, 17 12....... rrin eram dadas pelas fórmulas

S » . ■

(*)

Determinemos agora as coordenadas do centro de gravidade duma

figura plana £>. Cortemos estas figuras em áreas elementares muito

pequenas Se se suposer que a densidade superficial é igual à

unidade, a massa do elemento parcial será igual à sua área. Além

disso, se se suposer, em primeira aproximação, que toda a massa da

área elementar Aí,- está concentrada em qualquer um dos seus pontos

Pi (Çf, Tii), poder-se-á assemelhar a figura D a um sistema de

pontos materiais. Em virtude das fórmulas (1) as coordenadas do centro

de gravidade da figura serão, então, determinados aproximadamente

pelas igualdades:

i = i______

i = n

S a5 í

í= 1

Vc

a5,

i=l______

i = n

i= l

No limite, quando A*?; ->-0,as somas integrais dos numeradores

e dos denominadores definem os integrais duplos e obtemos fórmulas

exactas para o cálculo do centro de gravidade duma figura plana:

I J x d x d y

D _______________,

J i dxdy

Vc-

J I y d x d y

D _______________

n ^ d y

D

(2)


Estas fórmulas, que foram estabelecidas para uma figura plana

de densidade superficial igual a um. subsistem para uma figura cuja

densidade fosse uma constante y.

Se a densidade superficial é variável:

T = Y (a:, y),

as fórmulas correspondentes tomam, então, a forma

As expressões

11 Y (^. y )x d x d y

D _____________________________ .

11 Y (^. y )d x d y

D

yc-

= 11Y (^. y )^ ^y

D

SI Y(^. y )y d x d y

I I Y(^. y )d x d y

M x = M y i.x , y )y d x d y

D

são chámadas momentos estáticos da figura plana D em relação aos

eixos lç>y e Ox.

o integral J J 7 (x, y) dx ãy exprime a massa da figura considerada.

F i g. 315.

Exemplo — Determinar as coordenadas do centro de gravidade dum quarto

de elipse (fig. 315)

— + i í i = l

a2 ^ 62

supondo a densidade superficial igual a 1.


Resolução — Segundo as fórmulas (2):

a

a

Va2-x2

í ( j xdy^dx — f ~\/a% — x'^xdx

_0_____ 0_____________ ü

a 4"

j (

í

-4- nab

4

1 .

— nab

4

a a

í ( J ydy)dx

ü

i/c=-

1

— nab

4

§ 11. Integrais triplos

4a

3 ji ’

Consideremos um domínio V do espaço limitado por uma superfície

S. Seja / (jc, y, z) uma função em que x, y, z são as coordenadas

rectangulares dum ponto do espaço, definida e contínua em K e sobre

a sua fronteira. Para fixar ideias, quando f(x, y, z ) > 0 . poder-se-á

supor que está função representa a densidade de distribuição duma

certa matéria em V.

Cortemos o domínio V arbitràriamente em domínios parciais Aui.

onde Aui representará igualmente o volume do pequeno domínio correspondente.

Tomemos um ponto arbitrário em cada Aui e designemos

por f (Pi) o valor da função f nesse ponto. Formemos a soma

integral Î ifiP ô A v i (1)

Ab

3 jt

e aumentemos o número de domínios parciais Avi de modo que os

seus diâmetros tendam para zero (*). Se a função / (jc, y, z) é contínua,

o limite das somas integrais (1) existe ídá-se aqui. ao limite, o mesmo

sentido que para os integrais duplos (**). Este limite, que não depende

nem do modo da divisão do domínio V nem da escolha dos pontos Pi,

é designado pelo símbolo 1 1 i / (P) dv e chama-se integral triplo.

(*) Chama-se diâmetro do domínio Ai;j à maior distância entre os pontos

da sua fronteira.

(**) Não demonstraremos este teorema de existência do limite das somas

integrais (teorema de existência de integrais triolos) que tem lugar para qualquer

função contínua num domínio fechado V (compreendendo a fronteira).


Tem-se, então, por definição

. lim ^ f ( P d à v , = ^ ^ U ( P ) d v

diam A vi-►o

y

^ ^ ^ f (P) dv = ^ ^ ^ f {x, y, z)dxdy dz. (2)

V

V

Se se considera que / (jc, y, z) é a densidade especial da distribuição

duma matéria num domínio V, o integral (2) dá a massa de

toda a matéria que se encontre em V.

§ 12. Cálculo dos integrais triplos

Suponhamos que um domínio espacial (tridimensional) V limitado

por uma superfície fechada S goza das seguintes propriedades:

1. Qualquer paralela ao eixo Oz que passe por um ponto interior

(isto é. não tangente à fronteira 5) de V corta a superfície S em dois

pontos;

F i g. 317.

2. Todo o domínio inteiro V tem por projecção sobre o plano

Oxy um domínio regular D (a duas dimensões);

3. Qualquer parte de V obtida cortando V por um plano paralelo

a um plano de coordenadas quaisquer (Oxy, Oxz, Oyz) goza igualmente

das propriedades 1. e 2.

Um domínio com três dimensões que goza das propriedades indicadas,

dir-se-á regular.

Tais são, por exemplo, a elipsoide, o paralelipedo recto, o tetraedro,

etc. Dá-se um exemplo de domínio irregular a três dimensões na

fig. 316. Neste parágrafo, apenas consideraremos domínios regulares.


Suponhamos ijue a superfície que limita o domínio V tem por

equação na sua parte inferior z = x U, >^) e na sua parte superior

z = ^{x, y) (fig. 317).

Vamos dar um processo de cálculo de um integral triplo l y

num domínio V para uma função de três variáveis / (jc, y, z), definida

e contínua em V. Suponhamos que a projecção D t V sobre o

plano Oxy é limitado pelas curvas

í/ = 9 i ( ^ ) . y = x = a , x = b .

Tem-se, então.

b (P 2 ( x ) \|)(3 C , y)

' ^ v = í l S [ í / ( a ; , y . z)dz\dy]dx.

a ( P i ( x ) x ( 3 c , y)

(1 )

Observemos que após integração em relação a z e substituição

dos limites nos parêntesis de (1), obtém-se uma função x t y.

Resta, então, um integral duplo sobre D que

se sabe integrar,.

Consideremos um exemplo de cálculo dum

integral triplo.

Exemplo— 1. Calcular o integral triplo da

função / (jc, y, z) =xyz no volume V limitado pelos

planos

x = 0, y = 0, z = 0, x-\-y + z — í.

Resolução — Este domínio é regular. É limitado

sup^riormente e inferiormente pelos planos

z = 0 e z = I — z — y e a sua projecção sobre o

plano Oxy é um domínio regular D que é o

triângulo limitado pelas rectas x = 0, y = 0, y = l—jc (fig. 3Í8). Por conseguinte,

i - x - y

J J J xyz dzj da.

Introduzamos os limites de integração no integral duplo sobre o domínio D:

1 1—ac 1—ac—y

dx =

\ - x

1—ac

=j{ 1

xyz^

7 = 1 —ac—y

dyj- dx =

2=ü

Consideremos agora algumas propriedades dos integrais triplos.


Propriedade— 1. Se se cortar o domínio V em dois domínios

Vx e V 2 por um plano paralelo a um plano de coordenadas quaisquer,

o integral triplo em V é a soma dos integrais triplos em Vx e V 2*

A demonstração desta propriedade é análoga em todos os pontos

dos integrais duplos. Não há lugar, pois, a repetição.

Corolário — Qualquer que seja a divisão do domínio V em

número finito de domínios Vx, V 2....... . tem-se

/y = /v j + "í" •••

Propriedade — 2. (Teorema sobre a avaliação dum integral triplo).

Sendo m e M o mínimo e máximo valor de f {x, y, z) em V, tem-se

a igualdade

m V ^ I y ^ M V ,

onde V é o volume do domínio dado e l y o integral triplo de t(x, y, z)

em V.

Demonstração — Calculemos, em primeiro lugar, o integral interno

y )

no integral triplo J J / (x, y, z) dz\ d o :

D x(x, V)

^ (*, y) 'f (*. y) <*. w>

I í{x, y, 5 M d z = M \ dz =

X (x, y) X (x. y) X (x, y)

Mj ( x , y)

= M z 1 =M[<lp(x, y ) - x { x , y )l

y)

O integral interno não é, pois. superior à expressão M [^(x, y ) —

—X >^)]* conseguinte, em virtude do teorema do § 1 sobre os

integrais duplos, obtém-se (designando por D a projecção de V sobre

o plano Oxy):

/ ^ = J J J f{x, y, z) dz] d a < í i' M[y\> {x, ij) —

D X ^ x , y ) -D

— %(x, i/)]da = M n y) — x(^.

D

Mas este último integral duplo é igual ao volume do domínio

compreendido entre as superfícies z = >^) ® z = ^ (x, y), isto é,

ao volume do domínio V, Logo, tem-se

l y ^ M V .

Demonstra-se duma maneira análoga que / y > mF. A propriedade

2 está, assim, demonstrada.


Propriedade — 3. (Teorema da média). O integral triplo l y duma

função contínua /(jc, y, z) num domínio V é igual ao produto do

seu volume V pelo valor da função num certo ponto P do domínio:

b q>2 y)

! [ í f{x, y, z)dz]dy]dx = f{P )V .

V : (3 c ) y)

A demonstração desta propriedade é análoga à da propriedade

correspondente dos integrais duplos [ver § 2, propriedade 3, fórmula (4)].

Podemos, agora, demonstrar ò teorema sobre o cálculo dos integrais

triplos.

Teorema — O integral triplo duma função / (jc, y, z) num domínio

regular V tem por expressão

h <p2 ( x ) y)

í n / (^. y. z) = n í [ í f(^ , y, z)dz]dy}dx.

V a q>i(x) x(x, y)

Demonstração — Cortemos o domínio V por planos paralelos aos

planos de coordenadas em n domínios regulares:

(2)

Designemos, como acima, por ly o integral triplo de / (jc, y, z)

em V ' e por / a u ^. o integral triplo desta função no elemento de

volume /SkVi, Pode-se escrever, em virtude da propriedade 1 (do seu

corolário):

ly = /Ayj4- /Ay2+ • • • + I (3)

Transformemos cada termo do segundo membro, segundo a

fórmula (2):

ly = / (P,) ^V^ + / ( P2) A i;2 + . . . + / {Pn) Al^n, (4)

onde Pi é um ponto de

Tem-se, no segundo membro desta igualdade, uma soma integral.

/ ( jc, y, z) é, por hipótese, uma função contínua no domínio V t o

limite desta soma, quando o maior diâmetro dos ^Vi tende para zero,

existe e define o integral triplo de / ( jc, v, z) em V. Obtém-se, pois,

passando a limite na igualdade (4) quando o diâmetro 0:

O U seja, ainda.

= H í / (^. y. z) dv.

h (p 2 (a c ) \ | ) ( x , y)

J j j / 2) = í I í [ í / (j c , y, z) dz\dy] dx,

V a <P|U) x(’c.



Aqui z = x(^> y) e z = ^ (x, >^) são equações das superfícies que

limitam o domínio regular V inferiormente e superiormente. As curvas

y = (Pi (x), y = (f2 W, X = a, y = b delimitam o domínio D, projecção

de V sobre o plano Oxy,

Nota — Tal como para os integrais duplos, pode-se formar integrais

triplos com ordens diferentes de integração em relação às variáveis

e com outros limites, se porventura a forma do domínio o permitir.

Cálculo do volume dum corpo por meio dum integral triplo — Se

a função Vintegrar é f ( x / y , z) = 1, o integral triplo no domínio V

exprime o volume V deste domínio:

V=lll dxdy dz.

V

(5)

Exemplo — 2. Calcular o volume do elipsóide

a 2 ^

^ c2

Resolução — O elipsóide (fig. 319) é limitado inferiormente pela superfície

2 = _c 1/ 1__— ____— c superiormente pela superfície z= c 1/ 1 — —— — .

" V r 1)2

_2 jj2

A projecção deste elipsóide sobre o plano Oxy (domínio D) é 2lelipse =


Tem-se, pois, reduzindo ao cálculo dum integral triplo:

-í

a

í I í ^ dx =

-2. j

■ v < - ^

j ____ y fl2 52

dy dx.

Quando se calcula o integral interno considera-se x constante. Façamos

a mudança de variável

y = 6 | / ^ 1 — ^ sen í, dy = b j/^ 1 —-^ c o s td L

a

^2

Jl

A variável 3^ vai de — 6 1 / 1------- a 6 1 / 1------ ^r-, pois t varia d e ---- —

r w 2

. Substituindo estes novos limites no integral, obtém-se:

n

V -2 . I [ j

—a Ji

2

n

2

X b J / 1 — COS í dí J dx= 2c6 — J co s^/d íjd x ^

—a X jx

” 2

a

= j (a2 —x2) (il = - Anabc

Assim,

F = — Jia6c.

o

Se a = b = c, obtém-se o volume da esfera:

V = fn a ^ .

§ 13. Mudança de variáveis num integral duplo

1. Integral triplo em coordenadas cilíndricas — Chamam-se coordenadas

cilíndricas aos três números 0, p, z que definem a posição

num ponto P do espaço, sendo 6 e p as coordenadas" polares da pro-


jecção do ponto P sobre o plano Oxy e z a cota de P, isto é, a sua

distância ao plano Oxy tomado com o sinal mais se o ponto se encontra

acima do plano Oxy e com o sinal menos no caso contrário (fig. 320).

Corte-sc o domínio espacial dado V em volumes elementares

pelas superfícies de coordenadas 0 = 0^, p = pj, z = (semi-planos

que contêm o eixo Oz, cilindros circulares de eixo Oz, planos perpendiculares

a OzX Um volume elementar é. então, um «prisma» curvilíneo

(representado na fig. 321). A área da base deste prisma é igual, a menos

de um infinitamente pequeno de ordem superior, a pA0Ap, sendo a

sua altura ^z (omitimos os índices /, /, k para abreviar a escrita). Tem-se,

pois, Av = pA0ApAz. O integral triplo da função F (0, p, z) no domínio

V escreve-se, então.

/ = H Í ^ ( 0 . P- z)pdedpdz.

V

Os limites de integração são determinados pela forma do domínio V.

Se o integral triplo de f(x , y, z) é dado em coordenadas rectangulares.

é fácil dar a sua expressão em coordenadas cilíndricas. Com

efeito, tendo em consideração que ^

obtém-se:

onde

V

x = pcos0; y = psen0; z = z,

z ) d x d y d z = lllF ( Q , p, z)pd0dodz,

y

/(pcos0, psen0, z) = F(Q, p, z).

Exemplo — Determinar a massa M dum hemisfério de raio R e âc

centro na origem das coordenadas, sabendo que a sua densidade F é proporporcional

em cada ponto {x, y, z) à distância deste ponto à base: F ^ kz>

14

(1 )


Resolução — A equação do hemisfério superior

Z = — y 2

escreve-se em coordenadas cilíndricas

Por conseguinte,

—p2.

2n R V m - p z

J J J í [ 1 ( j Ajzííz j p d p j d0 =

V 0 0 0

2n R V R 2-p2 2n R

“ K í ' ^ I P‘*p]‘í®= í [ f

0 0 0 0 0

2n

2. Integral triplo em coordenadas cilíndricas, — Em coordenadas

esféricas, a posição dum ponto P no espaço é definida por três números

4

Fig. 323

0, r. <p em que r é a distância do ponto à origem das coordenadas,

chamado também raio vector do ponto, <p o ângulo entre o raio vector

e o eixo 02 e 0 o ângulo entre a projecção do raio vector sobre o

plano Oxy e o eixo Ojc calculado no sentido trigonométrico (no sentido

contrário dos ponteiros de um relógio) (fig. 322). Tem-se, para qualquer

ponto do espaço:

0 < r< o o , 0<q><n; O<0<2n.


Cortemos o domínio dado V em elementos Av por superfícies

de coordenadas r = const. (semi-plano que passa pelo eixo Oz)- A menos

dc um infinitamente pequeno de ordem superior, pode-se considerar que

o domínio elementar Av é um paralelepípedo de arestas Ar^ rAq),

r sen Â0. O volume elementar exprime-se, então, (ver fig. 323):

Au = r^sén cp Ar A0 Aq).

O integral triplo da função F(0, r, (p) no domínio V, escreve-sc

V

r, (p)r"sénq)drd0dq). (!')

Os limites de integração são determinados pela forma do domínio V.

Deduz-se, fàcilmente, da figura 323, as expressões das coordenadas

cartesianas em função das coordenadas esféricas:

x = r sen q)cos0,

^ = rsen (p sen0,

z = rcosq).

A fórmula que permite passar de um integral em coordenadas

cartesianas a um integral em coordenadas esféricas é, pois,

5 n / ( ^ . y. z)d xd yd z =

V

= J n / [^ s®” COS0, r sen 9 sen 0, r cos cp] r^sen (p dr dQ dqi.

V

3. Mudança das coordenadas gerais num integral triplo — A passagem

d e so rd e n a d a s cartesianas para coordenadas cilíndricas ou

esféricas num integral triplo é um caso particular da transformação

geral das coordenadas no espaço.

Suponhamos que as funções

x = ^ { u , t, w),

j/ = iHu, t, w),

z = X (“ . ^

representam biunivocamente o domínio V em coordenadas cartesianas

X, y, z no domínio K' em coordenadas curvilíneas u, t e w.

Suponhamos que o elemento de volume Av do domínio V é

representado pelo elemento Av' do correspondente domínio V' e seja

Aü -►o A v

212 CAIXrULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Então,

V

y. Z)dxdydz =

= J J Í/[q )(u , t, w), iH m, t, w), x(u, t, w )]\I\d u d td w .

Do mesmo modo que para os integrais duplos, aqui ainda I

se chama jacobiano da transformação: do mesmo modo que para os

integrais duplos, mostra-se que o jacobiano está representado pelo

determinante de terceira ordem:

dx dx dx

du dt dw

/ =

dy ày dy

du dt dw

dz dz dz

du dt dw

Assim, no caso de coordenadas cilíndricas:

X— pcos6, y = p sen0, z = z (p = u, 0 = í, z=u>);

Em coordenadas esféricas:

COS0 — psen0 0

/ = sen0 pcos0 0 = p .

0 0 1

x = r s e n <pcos0, y = rsen <ps«i0, z = rcoscp {r = u,

senq)cos0 rcos(pcos0 — rsen<psen0

/ = senq>sen0 rcos(psen0 rsencpcos0

COS (p — r sen q) 0

§ 14. Momento de inércia e coordenadas do centro

de gravidade dom corpo

==.í, 0 = u>);

1. Momento de inércia dum corpo — Os momentos de inércia

dum ponto material M (x, y, z) de massa m em relação aos eixos

coordenados Ox, Oy, Oz (fig- 324), exprimem-se, respectivamente, pelas

fórmulas ^ , 2 . 2.

Ixx = (y + ^ ) m ,

lyy = (•** -|- z^) m, Izi = (x* -}- y*) m.

= /^sen (p.


Os momentos de inércia dum corpo exprimem-se pelos integrais

correspondentes. Assim, o momento de inércia dum corpo em relação

ao eixo Oz exprime-se pelo integral i H X 7

y

y, z) dx dy dz, onde y {x, y, z) é a, densidade da matéria.

Exemplo— 1. Calcular o momento de inércia dum cilindro circular recto

de altura 2h e de raio R em relação a um diâmetro da sua secção média,

sendo a densidade Yo constante.

Fig. 324 Fig. 325

Reeoluçõo — Escolhamos um sistema de coordenadas como se segue: identifiquemos

o eixo Oz com o eixo do cilindro e tomemos a origem no centro

de simetrià^s({ig. 325).

O problema reside em procurar o momento de inércia do cilindro em

relação ao eixo Ox:

^xx = í n (y^+^^)yodxdydi.

V

Passemos a coordenadas cilíndricas:

2n R h

^ XX = Yo í { I [ 1(**+p® **“* ®) p <í> j- <Í0 =

2n

R

= Yo I 1 1 [ - ^ + 2Ap2 sen* o j p dp| dB =

2n

= , H

2A3 R2 2hR^

4 sen* 6 I de=


2. Coordenadas do centro de gravidade dum corpo — Tem-se

fórmulas análogas às do centro de gravidade das figuras planas dadas

no § 8. cap. XII, tomo I;

x^ =

S H y* z)d xd yd z

V _____________________________ .

H í yi^y Vy z)dxdyd2 ’

S H yyi^y Vy z)d x d y d z

y c = -

í H V (^. y. 2) f^y '

z, =

onde y{x, y, z) é a densidade.

V

ZY (x, y, z)d xd yd z

í n Y (^. y. 2) dx dy dz

V

Exemplo — 2. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da

metade superior duma esfera de raio R e de centro na origem. Considera-se

constante a densidade yo.

Resolução — O hemisfério é limitado pelas superfícies

* = z =. 0.

A cota do centro de gravidade é dada pela fórmula

í H *V0 àx dy dz

V

I I lyodxdy dz

V

Passando a coordenadas esféricas, tem-se:

Híü

2ji 2 fí

Yo r COS q)ra sen (p d rj

0 0

ac = -

2n 2 R

Yo Ç ^ t q) dr J áq) I" d0

b b 0

_ -T 3

~ 2 P3 ■" 8

d0

Em virtude da simetria do hemisfério, tem-se, evidentemente, Xc = yc = 0.


§ 15. Integrais que dependem dum parâmetro

Consideremos o integral seguinte, dependendo do parâmetro a:

b

^ (a) = í / (^. a) dx.

a

(Considerámos tais integrais no § 10, cap. XI, tomo 1). Indiquemos

sem demonstração que se a função f{x, a) é contínua em relação a x

no segmento [a, b\ e em relação a a no segmento [ai, «2]» a função

I(a)=\í{x, a)dx

é contínua no segmento [au ccz]. Poder-se-á, pois, integrar a função / (a)

em relação a a no segmento [«i, a2]:

j / ( a ) d a = J (S/(a:, a )d x)d a .

0C{ a

A expressão do segundo membro é o integral duplo de f(x, a)

no rectângulo correspondente do plano Oxy, Pode-se inverter a ordem

de integração:

tt2 6 h

y (y/(x, a )d x)d a .= l (í/(x , a)d a )d x,

cti a a ctx

o que mostra que basta integrar em relação ao parâmetro a sob o

sind soma. Esta fórmula serve também para o cálculo de certos integrais

definidos.

Exemplo — Calcular

00

dx ( a > 0 , 6}>0).

Não se sabe calcular este integral por meio de funçSes elementares.

Mas partamos do seguinte integral, fácil de calcular:

J

(o>0)

Integrando esta igualdade de a = a a a = ò, obtém-se:

a 0 a

216 CALCULO DIFERENCIAL B INTEGRAL

Mudando a ordem de integração, no primeiro membro, tem-se:

oo b

Í [ i *"“* * ']

b a

Calculando o integral entre parêntesis rectos, obtém-se:

oo

íe-ax^g-bx h

-----------------d x= Log-----.

X

^ a

Calcular os integrais (*):

Exercidos

1 2

1. j J (x^ + yi)dxdy. Reip.

0 1

4 2

dy dx

2.

íí - - (®+y)® ■

3 1

2 xVZ

3. J j xydxdy,

2n

1 X

a

4. f f r dr d0.

=-íí

0 a sen 6

U Jt

X dy dx

xa + ya •

0

f

x^

Vxydxdy,

í 5

0 v — a

« T 25

Resp. L o g -^

Re*p. — .

Resp. -^ jia 2 .

p 3Xfl . 1

Resp. — ---- a arc tg — .

4 ® fl

Resp.

Ji

b 2

7. j I pd0dp. Resp.

24 •

N L

(*) Como indicamos mais adma, a ordem de integração em

j j ^ dx é a dos diferenciais, isto é, que

^ ^ N L N L

J J/(*> í ( f/(ft v)^\dy.

M K M k


Definir os limites de integração para o integral ^ ^ / (x, y) dx dij, sendo

o domínio limitado pelas curvas:

3 5

8. x = 2y x = 3 , í / = —1, i/ = 5. Resp. j j / (x, y) dy dx.

2 - 1

1 í-x2

9. y = 0, i/=l —x2. R e s p . J j / (x , I/) d l/ d x .

-1 0

a V a2-x2

10. x2 + z/2 = a2. Resp. j j / (x, y) dy dx.

-a _ Ya2-x2

1 1+3C2

í'~ T + Í 2 > v = ^^- j [ /(^ . y)dydx.

-S Xi

a i/-f2a

12. y = 0, y = a, i/ = x, y = x— 2a. Resp. j j / (i, y)dxdy.

0 V

inverter a ordem de integração nos seguintes integrais:

2 4 4 2

,s .J Í f(x, y)dydx. Resp. f Ç / (a;, y)dxdy.

1 3 3 *1

1 Vx _ 1 y i

I j / (*. y) dy dx. Resp. ^ j ^ l')

0 x3 b Í/2

a V 2 Õ y ' ^ 2 a a

j í /(* ' V)dxdy. Reg?. j j / (a:, y) dy dx.

° ® 0 o_ /aa_5cj

1 V1-** 1 y ~ r ^

J J /(*> y)dydx. Req>. \ \ /(*, y)dxdy.

-1 0 i -v^Tqfã

1 1-p 0

J J /(*. y)dxdy. Resp. j j / (®. y)dydx-\-

0 —/ l_y2 -1 0

1 1-X

+ j j i(x, y) dy dx.

0 0


Calcular os seguintes integrais passando a coordenadas polares:

ji

a x2

2 a

<8. j J V « . _ a ;2 — y2dydx, Resp. J f P^P

0 0 0 0

Ji

a Va2-y2

2 a

19. J ^ ( x ^ y ^ ) dx dy, Resp. J ^ p3dpd0 = -^!^

0 0 0 0

oo oo

Ü

2 oo

20. j j da;. Resp. ^ ^ g” ^*p dp dO = - ~ .

2a V 2ax—x2 2 2a cos 0

21. I j dydx, Resp. | j pdpd0 = i ^ .

Transformar os seguintes integrais duplos introduzindo as novas variáveis u

e V, ligadas pelas fórmulas x = u —uv, y = uv:

3 e

« 3 * 1 + 3 l- i>

22. 1 f / (a;, y) dy dx, Resp. f f f (u — uv, uv) u du du.

0 CMC a ,0J

1+q

b c

b-j-c i—v

23- j j / (x, y) dff dx. Resp. j j f (u— uv, uv)ududv~r

1 V

+ J — uv)ududv.

b 0

5+c

Aplicação do integral duplo ao cálculo das áreas

24. Calcular a área da figura limitada pela parábola y* = 2jc e a recta y = x.

Resp. I-.

25. Calcular a área da figura limitada pelas cuvas y* = Aax, x + y =? 3^, y = 0.

Resp.

26. Calcular a área da figura limitada pelas curvas ^1/2 ^

Resp.

3 •


27.

28.

29.

30.

Calcular a área da figura limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x, x = 0.

Resp. 1 /2 — 1.

Calcular a área do arco da curva p = a sen 20. Resp. .

o

Calcular a área limitada pela lemniscata cos 2tp. Resp. a^.

x2 \ 2 2xy

Calcular a área da «boucle» da curva ( ——

[ a2 ^ b2 J c2 •

Indicação — Passar as novas coordenadas x = pa cos 0 e y = pb sen 0.

a2b2

Resp.

■ê2~*

Cálculo de volumes

Calcular os volumes dos corpos limitados:

3 1 .

Pelas superfícies ± + + x = 0, y = 0, z = 0. Rép.

3 2 .

3 3 .

3 4 .

z = 0,

x + í/ + 2 = 3. Resp. 3jt.

(x — l)2 + ( y _ l ) 2 = i^ xy = z, Z = 0. Resp. Jt.

QO

x2_l_y2—2flX = 0, z = 0, Íc2-|-y2=:z2, Resp. —â ^.

Resp.

3 5 .

3 6 .

3 7 .

3 8 .

3 9 .

4 0 .

y = x2^ X = y2^ Z = 0, Zz=i2 + y—x2, Resp. .

140

Pelos planos coordenados, o plano + 3y — 12 = 0 e o cilindro z = -^ y2,

dà

Resp. 16.

Pelo cilindro circular recto de raio a e cujo eixo se identifica com Oz,

X Z / 3X 1 \

os planos coordenados e o p la n o ---- 1----= 1. Resp. (-7-------- I .

a ' a V4 3 /

Pelos cilindros ®2-|-j,2 =a2, xi-\-z^ = a2. Rép. — a*.

3

y2^z2 = x, x — y, z = 0. Resp..

d4

x2-\-y2j^z2 = a2^ x2 + y2 = R2^ fl > i?. Resp. A ji [a^-~Ç]/a2 — R2)^,

4 1 .

4 2 .

az = x2-{-y2^ z = 0, x , ^ = 2ax, Resp.

p2 = a2cos20, x2y2 ^ z2 z= a2^ z = 0. (Calcular r» volume interior do

(cilindro.) Resp. ( 3 jx + 20—16 V^)-

Áreas de superfícies

43. Calcular a área da parte do cone

x2-\-y2 = 2ax, Resp. 2na2 I/2 .

= ^2 cortada pelo cilindro

44< , Caiw'dar a área da parte do plano ;c + y + z = 2^z que se encontra no

primeiro triedro formado pjlos eixos coordenados e limitada pelo cilindro

+ y2 = a2. Resp. 1 / 3.


45. Calcular a área do segmento esférico (do pequeno), sendo o raio da esfera a

e o raio da base do segmento b. Resp. 2jx(a^—a "l/a2 — b^),

46. Calcular a área da parte da esfera + q u e é cortada pelo

cilindro = 1 (a > 6). Resp. —Sa^ —arc sen

^ ' a

47. Achar a área da superfície do corpo que é formado pela intersecçâo de

dois cilindros = y^-\-z^ = a^, Resp. 16í| 2.

48. Calcular a área da parte da süperfície do cilindro = la x compreendida

entre o plano z = 0 e o cone

Resp. %à^.

49. Calcular a área da parte da superfície cilíndrica compreendida

entre os planos z = m x e z = 0. Resp. 2má^.

50. Calcular a área da parte do parabolóide jc^ + z^ = 2ajc compreendida entre

o cilindro parabólico y^ = «jc e o plano x = a. Resp. J- jia^ (3 —1).

3

M assas, centro de gravidade e m om ento de inércia

de figuras planas

(Suporemos, nos problemas 51 a 62 e no problema 64, que a densidade

superficial é constante e igual a 1)

51. Qual é a massa de um disco circular de raio a sabendo que a densidade

em cada ponto P é inversamente proporcional à distância ao centro

(designar-se-á por K o coeficiente de proporcionalidade). Resp. traK.

Calcular as coordenadas do centro de gravidade dum triângulo equilátero.

52. Identificar-sc-á o eixo O x com a altura e o vértice com a origem.

Resp. x = ^ - ^ , y = 0.

53. Encontrar as coordenadas do centro de gravidade dum sector circular de

raio a. Identificar-se-á a bissectriz do ângulo ao centro (2a) com o

eixo Ox. Resp. Jg —— ^ “ , ííg = 0.

5 4 . Encontrar as coordenadas do centro de gravidade do semi-círculo superior

da equação x^ + y^ = d^. Resp. Xc = 0, .

3ji

55. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área definida por um

arco de cicloide x = a (/ —sen 0, y = fl (1 —cos t \ Resp. = aji, y^ = — .

6

56. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área da «boucle» da

curva = a ^co slQ . Resp. = , yc = 0.

o

57. Achar as coordenadas do centro de gravidade da área interior à cardióide

p = a (1 + COS 0). Resp. ig = , j/g = 0.

58. Calcular o momento de inércia da área do rectângulo limitado pelas

rectas x = 0, x = a, y = 0, y = 6 em relação à origem de coordenadas.

Resp. a b ( a ^ ± ^ ^


3j2

59. Calcular o momento de inércia da elipse — +

a) em relação ao eixo Oy;

b) em relação à origem de coordenadas.

„ ,, na^b nab , „ i to\

Resp. a) — — ; b) —^ ( ^ 2 + 62).

ji2

60. Calcular o momento de inércia do círculo cheio p = 2a cos 0 em relação ao

3

pólo. Resp. — na*.

dá

61. Calcular o momento de inércia da área da cardióide p = n:(l —cos 6) em

35jia^

relação ao pólo. Resp.

16

62. Calcular o momento de inércia do disco (x—a)2-f(y —6)2 = 2a2‘cm relação

ao eixo Oy. Resp. 3'Tra'*.

63. A densidade em cada ponto duma placa quadrada de lado a proporcional

à distância deste ponto a um vértice do quadrado. Calcular o momento

de inércia da placa em relação a um lado que passa por aquele vértice.

Resp.

■ ^ /2 + 3 L o g (V 2 + l)], onde Ar é o coeficiente de proporcionalidade.

64. Calcular o momento de inércia da área da figura limitada pela parábola

w

= ajc e a recta x = u em relação à recta y = —a. Resp. — a*.

5

Integrais triplos

65. Calcular

5ÍÍ

dx dy dz

- sabendo que o domínio de integração é

limitado pelos planos coordenados e o plano jc -I- y + z = 1.

Resp. Log 2 5

” 2 16 *

M ^ y

66. Calcular J ^ xyzdzj dx. Resp. .

0 0 0

67. Calcular o volume do corpo limitado pela esfera + y^ + z^ = 4 e o

parabolóide + y^ =3z- Resp. ji.

D

68 (*) Calcular as coordenadas do centro de gravidade e os momentos de inércia

X y z

da pirâmide formada pelos planos x = 0, i/ = 0, z = 0; — + — + — =1.

Resp. = v —— r — T r r T

4 ’ 4 ’ ^ 4 ’ * 60 ’ 60 ’ —

~

^9. Calcular o momento de inércia dum éone circular recto em relação ao

seu eixo. Resp. - L nhr* onde /i é a altura e r o raio do círculo da base.

(*) Nos problemas 68, 69, 72 e 73 supõe-se que a densidade é constante

e igual à unidade.


70. Calcular o volume limitado pela superfície de equação (x2 + y2_^22)2 = a3x.

Resp. -1

à

71. Calcular o momento de inércia dum cone circular em relação ao diâmetro

da sua base. Resp. _ _ (2 fc2 + 3r2).

72. Calcular as coordenadas do centro de gravidade limitado por uma esfera

de raio ^ e um cone de ângulo no vértice 2a, coincidindo o vértice com

3

o centro da esfera. Resp. Xc = 0, í/c = 0, Zc = õ" ®(1 + cos o) (identificou-sei

o

o eixo do cone com o eixo Oz e colocou-se o vértice na origem).

73. Calcular as coordenadas do centro de gravidade do corpo limitado por

uma estera de raio a e por dois planos que passam pelo centro e formam

q

jr

um ângulo de 60°. Resp. p = __a^ 0 = 0, (p = — (a recta de intersecção

iD

^

dos planos foi tomada para o eixo Oz, o centro da esfera serviu de origem

de coordenadas esféricas p, 0, <p).

oo

74. Sirva-se da igualdade f da ( a > 0 ) , para calcular os

-\/x V ji J

oo OO __ __

f COS X d x Ç sen X d x í ^ ^

J - T 7 T ‘ J - Í T T • 1 ^ T ' K t -

Capitulo XV

INTEGRAIS CURVILÍNEOS E INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

§ 1. Integral curvilíneo

Consideremos um ponto P(jc, >^) movendo-se sobre uma curva

plana L dum ponto M a um ponto N. O ponto P é solicitado por

uma força t^que varia em grandeza e em direcção quando P se desloca,

isto é, que ela é uma função das coordenadas de P:

F=F{P).

Calculemos o trabalho A da força quando o ponto é deslocado

de M para N (fig. 326). Cortemos para esse efeito a curva MN em n

partes arbitrárias pelos pontos Mo = M, Mi, M2, ...» = N partindo

de M para N e designemos por o vector Designemos

por F f a intensidade da força F no ponto M j. Pode-se, então, considerar

que o produto escalar FÂsf representa aproximadamente o

trabalho F ao longo do arco

Seja

A i ^ FiASi.

F = X (x, y)i + Y{x, y)J,


em que X (jc, y) t Y (jc, y) são as projecções do vector F sobre os

eixos Ox e Oy, Designando por e A//f os acréscimos das coordenadas

Xi e i/i quando se passa de a Afi+i, obtém-se:

Por conseguinte.

A s i = A x i i + A yt j .

FtASi = X(Xi, yt) Axi + Y (x,-. yt) Ayt.

O valor aproximado do trabalho A da força F' ao longo da

curva MN é

A ÍV S = s [X (Xi, Ui) àXi + r (Xí, yt) Aí/i]. (1)

i=l i=i

Sem fazer raciocínios rigorosos, indiquemos atendendo que se

o limite da expressão do segundo membro existe quando (é.

então, evidente que Axi - í- 0 e Ayt 0), ele exprime o trabalho da

força F ao longo da curva L entre os pontos M e N:

^ = lim 2 [X {Xi, Ui) Ax; + Y (Xi, i/,) Aj/J.

Axi-Ô i=i

Ai/j-^0

(2)

O limite (*) do segundo membro chama-se integral curvilíneo

de X (x, y) e Y (x, y) ao longo da curva L e é designado por

A = lX{x, y )d x - \- Y (x, y) dy (3)

O R

A = 5 X(x, y)dx + Y (x, y) dy.

(Af)

(3')

Encòntra-se muitas vezes limites de somas (2) em matemáticas

e física, sendo X ( jc, y) &Y (x, y) funções de duas variáveis no domínio D.

As letras M c N no' integral (3') foram postos entre parêntesis

para indicar que não são números mas os extremos da curva na qual

é estendido o integral curvilíneo. O sentido de M e iV ao longo da

curva diz-se sentido de integração.

* Dá-se aqui ao limite da soma integral o mesmo sentido que para

o integral definido, ver § 2, Cap. XI, t. I.

INTEGRAIS c u r v il ín e o s E INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 225

Se L é uma curva empenada, define-se duma maneira análoga

o integral curvilíneo das três funções X {x, y, z \ Y {x, y, z), Z {x, y, z)

J X {x, y, z )d x - \- Y {x, y, z) dy + Z (x, y, z) dz =

L

1

= l i m 2 ^ i^h, Vk, h ) + y Uh, Z a ) A i/ / , +

A.v/i-Ô fi~ i

AjfkÔ

Azfi~>^0

+ Z{x^, yn, Z /,)A z/,.

A letra L sob o sinal soma indica que o integral é estendido

à curva L.

Indiquemos duas propriedades do integral curvilíneo.

Propriedade— 1. Um integral curvilíneo é definido pela expressão

sob o sinal soma. a forma da curva de integração e o sentido

de integração.

O integral curvilíneo muda de sinal ao mesmo tempo que o

sentido de integração, dado que o vector As e. por conseguinte, as

suas projecções Ax e Aj mudam de sinal.

Propriedade — 2.

Cortemos a curva L em

duas partes Li e Lo de modo que M N =

= M K ! KN(fig, 327). Resulta, então, directamente

da fórmula (1)

(N)

(K)

J X dx ~\-Y d y = J X dx

(Aí)

(Aí)

(AO

+ Y d y + J Xdx + Ydy,

--- - (K)

parciaiís.

Îndiquemos ainda que o integral curvilíneo conserva o seu sentido

quan^do a curva L é fechada.

A origem e a extremidade da curva coincidem, então. Já não se

pode escrever no caso duma curvjr fechachr X dx + Y dy, mas

(i/)

I X dx -\ Y dy e será preciso mdkar, forçosamente, o sentido de

L

percurso ao longo da curva fechada L. Designa-se também frequentemente

um integral curvilíneo sobre uma curva fechada L pelo símbolo

j ^ X dx f Y dy.

Nota — Fomos conduzidos à noção de integral curvilíneo considerando

o problema do trabalho duma força F sobre um percurso

curvilíneo L.

15

(V)


Considerava-se, então, que a força F era uma função vectorial

das coordenadas do ponto de aplicação {x, y); as projecções do vector

variável F sobre os eixos de coordenadas são iguais às funções escalares

(isto é, numéricas) X (x, y) e Y (jc, y). Pode-se, pois considerar um

integral curvilíneo da forma dx + Y dy como integral da função

vectorial F dada pelas suas componentes X c Y.

O integral da função vectorial F sobre a curva L é designado

pelo símbolo

i F d s .

L

Se o vector F é determinado pelas suas componentes X, Y, Z,

e^te integral escreve-se

] X dx Y dy Z dz.

L

Em especial, se o vector se encontra no plano Oxy, o integral

deste vector reduz-se, então, a

L

IX d x + Ydy.

Quando o integral curvilíneo duma função vectorial é estendido

a uma curva fechada L, chama-sc ainda a circulação do vector F

sobre o contorno fechado L.

§ 2. Ofcleulo do integral curvilíneo

Propomo-nos, neste parágrafo, precisar a noção de limite da

soma (1) § 1 e, do mesmo modo. teremos precisada a noção do integral

curvilíneo e indicaremos um processo de cálculo.

Suponhamos a curva L dada sob

a forma paramétrica:

^ = <p(0.

y = ^(t).

Consideremos o arco de curva MN

(fig. 328). Sejam a e p os valores do

parâmetro correspondente nos pontos

M e N. Dividamos o arco M N em partes

Asj pelos pontos Mi (Xu yO, Mg (Xz,

Fig 328 >'='>........ yn) e façom os X i =

Consideremos o integral curvilíneo definido no parágrafo anterior

j X (x, y)dx + Y (X, y) dy. (1)

INTEGRAIS CURVILÍNEOS E INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 227

Enunciemos, sem demonstrar, um teorema sobre a existência dos

integrais curvilíneos. Se as funções <p{t) e tf/ (t) forem contínuas e possuírem

derivadas contínuas (p' (/) e (/) sobre o segmento [a, p] e se

as funções de t X [p (t), ^ (01 ^ ^ [<p(0> ^ (0 } forem contínuas sobre

segmento, os limites existem.

lim 2 ^ (î. Vi) Aa:; = J X {x, y) dx,

lim 2 y ( i i , y,) Aj/i = I X (íi y)dy

Ayi->0 i= l

sendo Xi e as coordenadas dum ponto do arco As^-. Estes limites que

não dependem do modo da decomposição da curva em arcos parciais

Asf quando As,; 0 , nem da escolha do ponto M i {Xi, yi) sobre o

arco Asj-, chamam-se integrais curvilíneos e designa-se-los por

lim 2 A" (Xi, yi) Axi = ^ X (x, y) dx,

Aa'/-^0 i = i

L

n

lim 2 y (^h yd Ai/j = y y {x, y) dy.

Aj/^-Ô í = l

L

Nota — Resulta do teorema que tendem também para este mesmo

limite (isto é, para o integral curvilíneo) as somas definidas no parágrafo

anterior, onde os pontos {xi, y^) são as extremidades do arco As^-,

sendo arbitrária a decomposição de L em arcos parciais.

O teorema que acaba de ser formulado dá um processo de cálculo

dos integrais curvilíneos.

Assim, por definição:

(N)

J X{x, y)dx= lim ^ X{xi, y;)Axi,

(M)

Axi->0 i = l

(2)

(3)

onde

AX; = Xi — = (f- (ti) — (p (íi- ,)•

Apliquemos a fórmula dos acréscimos finitos de Lagrange

Axi = 9 (ti) — (p (ti-i) = (p' (Ti) (ti — ti-^) = cp' ( t O Áti,

sendo um certo valor de t compreendido entre os valores

e ti. Sendo o ponto Xi, î arbitrário sobre o arco A^,, escolhamo-lo

por forma a que as suas coordenadas correspondam ao valor do

parâmetro Xf:

íi = íp

^ ("Ti)-


Substituindo os valores encontrados de Xj, yi e na fórmula (3),

encontra-se:

J X {x, y) dx= lim X ^ [<P ('^í)

ÍM)

Mi-^0i = l

9 ' (t^í)

O segundo membro representa o limite de uma soma integral

para a função contínua de uma só variável X (0. ^ (0] /( O sobre o

segmento [a , /?].

Por conseguinte, este limite é igual ao integral definido desta

função:

(.V)

J A’ (x, y)dx = ^ X[(p (t),

(31) a

P

(í)] (p' (t) dt.

Duma maneira análoga, obtém-se a fórmula

(-V)

p

J Y {x, i/)rfí/= J F[(p(0, ^{t)]yl;i' {t)dt.

( M) a

Somando membro a membro estas igutádádes, obtém-se:

(-V)

I X (x, y )d x + Y (x, y) dy =

(M)

P

= [fp (^). ^ (019 (0 + >^19 CO. ^ (0]^’ (0l (4)

Tal é a fórmula que permite calcular um integral curvilíneo.

Calcula-se do mesmo modo o integral curvilíneo

^ X dx -f- Y dy -j- Z dz

ao longo duma curva empenada definida paramètricamente: x = ^ ( t ) ,

y = ( 0 . z = x ( 0 .

Exemplo— 1. Calcular o integral curvilíneo a respeito das funções

3zy- — x^y (isto é, sobre a função vectorial —x'^yk) ao longo

do segmento de recta que vai do ponto Af (3, 2, 1) ao p o n t o N ( 0, 0, 0) (fig. 329).

Resolução — Para encontrar as equações paramétricas da recta de integração,

escrevamo-la sob a forma:

Designando por t

paramétrica da recta:

JL- —

2 ■ 1 ’

o valor comum destas relações, obtém-se a equação

x = 3t^ y = 2t, z = t.

Corresponde à origem do segmento M N o valor do parâmetro / = 1 c

à extremidade o valor t = 0. Encontra-se, fàcilmente, as derivadas de x, y, z

INTEGRAIS c u r v il ín e o s E INTEGRAIS DE SU PERFÍCIE 229

em relação a t (tem-se necessidade para calcular o integral curvilíneo):

— 3, y^=2i, = 1.

Calcula-se, agora, o integral curvilíneo proposto com a ajuda da fórmula (4):

(V) 0

j x3dx-\-3zij^dy— x iy d z= ^ [(3<)® 3-l-3< (2í)2-2-

(■'/)

U

87

(3<)*-2M] d<= j S7t^dt=—^ .

4

Exemplo — Calcular o integral curvilíneo para o par de funções 6x^y,

1Gjc>'2 sobre a curva plana y = entre os pontos Aí(l, 1) e N {2, 8) (fig 330):

Resolução — Para calcular o integral

proposto

(V)

f 6x^y dx-]-íOxy'^ dy

(M)

é preciso ter as equações paramétricas da

curva. É evidente que aqui x pode servir dc

parâmetro

x = x, y = -x ^ .

Fig. 329 Fig. 330

O parâmetro x varia de xi= I a Xt = 2, As expressões das derivadas

em relação ao parâmetro são:

Por conseguinte,

(N) 2

^ ^x'^y d x i O x y " ^ dy = ^ + =

I

^

= j (6x5_1_ 30i9) dx = [i« + 3x10)2 ^ 1084.


Vamos dar, agora, algumas aplicações dos integrais curvilíneos.

1. Expressão da área dum domínio limitado por uma curva em

função dum integral curvilíneo — Seja dado no plano Oxy um domínio

D limitado por uma contorno L tal que qualquer paralela a qualquer

dos eixos coordenados que passa por um ponto interior do

domínio corte a fronteira L em dois pontos no máximo (isto é, que

o domínio é regular) (fig. 331).

Seja [a, b] o segmento do eixo Ox sobre o qual se projecta o

domínio Z>, limitado interiormente pela curva (/i):

e. superiormênte, pela curva

y = yi (^).

y = yz{^),

[í/i (^) < yz W].

A área do domínio D é, então, igual a

b

b

s = ^ yz(x) dx — I yi (x) dx.

Mas o primeiro integral é um integral curvilíneo ao longo da

curva 1, {MPN), dado que y = y2 {x) é a equação desta curva; por

conseguinte: ,,

I Uz (x) dx= I y dx.

M P N


O segundo integral é um integral curvilíneo estendido à curva

h {MQN) :

^

lyi{x)dx= J ydx.

a

M Q n

Em virtude da propriedade 1 dos integrais curvilíneos, tem-se:

Por conseguinte.

M P N

N P M

S = — ^ y d x — J ydx = — I ydx,

N P M M Q n l

sendo L percorrido no sentido inverso dos ponteiros dum relógio.

Se uma parte da fronteira L é constituída por um segmento M-M

(M)

paralelo ao eixo Oy, tem-se \ y dx = Q e a igualdade (5) é, ainda,

(Ml)

verdadeira (fig. 332).

Pode-se mostrar duma maneira análoga que

X dy.

(6)

L

Juntando membro a membro (5) e (6) e dividindo por 2, obtém-se

ainda uma fórmula para calcular a área 5:

(5)

S = xd y — y dx. (7)

Exemplo — 3. Calcular a área da elipse

^ ' a: = a cosí, y — h s tn t.

Resolução — De acordo com a fórmula (7), encontra-se:

2Jt

= y ^ [a COS tb COS t — bsen t ( — a sén í)] dt ^ : : i a b .

b

Notemos que a fórmula (7) bem como as fórmulas (5) e (6)

se aplicam também para a área de domínios cujas fronteiras são

cortadas pelas paralelas aos eixos de coordenadas em mais de dois

pontos (fig. 333). Para o demonstrar, partamos o domínio dado

(fig. 333) em dois domínios regulares por meio da curva /*. A fórimlta

(7) é verdSOeira para cada um dáes. Juntandò memhüo a membro,

obtém-se no primeiro nwmbro a área do domínio dado e no

segundo o integral curvilíneo (precedido do coeficiente ^ ) estendido

a toda a fronteira, dado que o integral sobre a linha de divisão l*

é tomada duas vezes, no sentido directo e no sentido inverso, e

anula-se, portanto.


2. Trabalho duma força variável J f sobre um caminho curvilíneo

L — Indicamos no começo do § 1, que o trabalho de uma

f o r ç a F = X {x, y, z) i ^ Y {x, y, z)j-V Z {x, y, z) k ao longo duma

curva L = MN era igual ao integral curvilíneo:

(N)

A = í X(x, y, z)dx-{-Y (x, y, z) dy + Z {x, y, z) dz.

(M)

Tomemos um exemplo concreto do cálculo do trabalho de uma

força.

Exemplo — 4. Calcular o trabalho A da força de gravidade F que desloca

uma masa m do ponto M\ cj) ao ponto M2 («2» ^2» ^2) longo do

caminho arbitrário L (fig. 334).

Resolução — As projecções da força de gravidade F sobre os eixos de

coordenadas são

-T = 0, y = 0, Z = — mg,

O trabalho executado é, pois,

(Ma)

('2

^ X dx-\-Y dy-\-Z d z— ^ (—

(Ml)

mg) dz = mg (c^—

Vê-se que, no campo da gravidade, o trabalho não depende do caminho

seguido, mas sòmente do ponto inicial e do ponto final. Mais exactamente, o

trabalho da força de gravidade apenas depende da diferença dos níveis determinados

pelo ponto final e o ponto inicial.

§ 3. Fórmula de Green

Mostremos que um integral duplo num domínio plano D exprime-se

por um integral curvilíneo tomado ao longo da fronteira L deste

domínio.

Seja D um domínio do plano Ojc3^ limitado pelo contorno JL,

sçndo D regular, quer em relação a Ox quer em relação a Oy.


Suponhamos este domínio limitado inferiormente pela curva y = yi(x)

e superiormente pela curva y = y\ i^)<y 2 W < b)

(fig. 331).

Conjuntamente, estas curvas formam o contorno fechado L, Sejam

em D duas funções contínuas X (jc, y) e Y (jc, y) dotadas de derivadas

parciais contínuas. Consideremos o integral

Tem-se:

b

y)

dxdy.

íídX{x,

by

D

(

D a yiix) a

b

= j [X (x, z/2 (x)) — X {x, i/i (x))] dx.

Viix) dx = (1)

a

Notemos que o integral

ÍX (x , y2Íx))dx

a

é numèricamente igual ao integral curvilíneo

I

X{x, y)dx,

( M P N )

ao longo da curva MPN de equações paramétricas

x==x, y = y2 Íx),

sendo x o parâmetro.

Então, tem-se

b^ X (x, 1/2(x)) dx= I X (x, y) dx.

a M P N

De maneira análoga, o integral

b

J X (x, yt (x)) dx

é numèricamente igual a

b

í X (x, y^ (x)) dx = J X (x, y) dx.

a

a (.m Q N )

Substituindo as expressões (2) e (3) na fórmula (1). obtém-se:

(2)

(3)

í X (x, y ) d x - j X{x,y)dx. (4)

M P N MQN


Ora,

j X (x, y)dx= — 5 X {x, y) dx

M Q N

N Q M

(ver § 1, propriedade 1). Pode-se, pois, recopiar a fórmula (4) sob a

forma:

1 1 ^ j ^ (^. y)dx-\- j X {x, y) dx.

D M P N N Q m

Mas a soma dos integrais curvilíneos do segundo membro é

igual ao integral curvilíneo sobre o contorno L completamente percorrido

no sentido dos ponteiros dum relógio. Pode-se, pois, pôr esta

igualdade sob a forma

í í = j X {x, y) dx, (5)

onde L indica que o contorno fechado L é percorrido no sentido

dos ponteiros dum relógio.

Se uma parte da fronteira é constituída por um segmento /&

paralelo ao eixo Oy, tem-se ^ X {x, y) dx = 0 e a igualdade (5)

permanece verdadeira.

Do mesmo modo se encontra:

^ ^ ^ d x d y = - ^ Y { x , y)dy. (6)

D L

Deduzindo (6) de (5). encontra-se:

D L

Se se percorrer o contorno L no sentido inverso dos ponteiros

de um relógio, tem-se (* (*)

D ^ L

É a fórmula de Green (matemático inglês, 1793-1841) (♦♦).

(♦) Quando num integral curvilíneo sobre um contorno fechado L,

não ss indica o sentido de integração, subentende-se que se irata do sentido

inverso dos ponteiros dum relógio. Se o percurso tiver lugar no sentido dos

ponteiros, é preciso ter cuidado em especificá-lo.

(**) Esta fórmula é um caso particular duma fórmula mais geral estabelecida

pelo matemático russo M. Ostrogradsky.


Suposemos o domínio D regular. Mas, tal como para o cálculo

duma área (ver §2). pode-se mostrar que esta fórmula permanece

verdadeira para qualquer domínio que admita um corte regular

§ 4. Condições para que um integral curvilíneo não dependa

do caminho de integração

Consideremos o integral curvilíneo

(N)

I X d x + Ydy,

(M)

estendido a uma curva plana L que reúne os pontos M t N Supor-se-á

que as funções X (x, y) Q Y (x, y) possuem derivadas parciais contínuas

no domínio D. Vejamos em que condições o integral curvilíneo não

depende da forma da curva L, mas sòmente da posição dos pontos

M e N,

Consideremos essas curvas arbitrárias MPN e MQN do domínio

considerado D reunindo os pontos M e N (fig. 335).

Seja

isto é.

í X d x + Y d y = J X dx-^Y dy, (1)

M P N m Q N

í X d x - \- Y d y - I Xdx + Ydy = 0.

M P N M Q N

Em virtude das propriedades 1 e 2 dos integrais curvilíneos (§ 1),

pode-se escrever

fi ^ X dx -{-Y dy J X dx -\-Y dy = 0^

M PN n q m

que representa o integral curvilíneo sobre o contorno

fechado L

Fig. 335 ^ X d x -\- Y dy = 0. (2)

Nesta última fórmula, o integral curvilíneo é tomado sobre um

contorno L, constituído pelas curvas MPN e NQM. É evidente que

este contorno pode ser considerado como arbitrário.

Por conseguinter-cesuka 4a -condição de o ixUiegui sobfc mna

curva que reúne dok pontos arbitrários M e N não dqpender dò

caminho seguido, mas sòmente destes dois pontos, que este integral

é mdo sobre qmiqtter contorno fechado.

O recíproco é verdadeiro: se um integrsd curvilíneo é nulo qualquer

que seja o contorno fechado, não dq>ende do caminho de


integração entre dois pontos, mas somente da posição destes dois

pontos. Com efeito, a igualdade (2) implica (1).

No exemplo 4 do § 2 o integral curvilíneo não depende do

caminho de integração: no exemplo 3 depende do caminho, dado

que o integral sobre o contorno fechado considerado não é nulo. mas

dá a área limitada por este contorno; nos exemplos 1 e 2 os integrais

curvilíneos dependem igualmente do caminho de integração.

Põe-se, naturalmente, a pergunta: a que condições devem satisfazer

as funções X (x, 3^) e y (x, y) para que o integral curvilíneo \ X dx +

Y dy seja nulo qualquer que seja o contorno fechado?

O teorema seguinte responde a esta pergunta.

Teorema — Sejam X (x, y) e Y (x, y) duas funções contínuas num

domínio £), bem como as suas derivadas parciais e

dy dx

Para que o integral curvilíneo sobre qualquer contorno fechado L

deste domínio seja nulo, isto é, para que se tenha

é necessário e suficiente que

i X (x, y)dx-\-Y {x, y) dy = 0, (2 )

dX _ d Y

dy dx

em todos os pontos do domínio D.

(3)

Demonstração — Tomemos um contorno fechado arbitrário L num

domínio D e escrevamos a fórmula de Green correspondente a este

contorno:

D ^ L

Se a condição (3) for satisfeita, o integral duplo da esquerda é

idênticamente nulo e tem-se

^Xdx-i-Ydy==0.

Demonstrou-se. pois, que a condição_(3) é suficiente.

Mostremos q uê^la è nec^sâriSi i*to é, que le a iguaMade (2')

tiver lugar para qualquer, contorno fechado L em D, a condição (3)

tem forçosamente lugar em cada ponto do domínio.

BTTSORAIS CURVILÍNEOS E INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 237

Suponhamos, pelo contrário, que tem lugar a igualdade (2'):

L

mas que a condição (3) não tem lugar, isto é, que

dx

dy

se verificaria apenas um único ponto. Seja, por exemplo, num ponto

PUo. >ô)

dx

dy

Como se tem no primeiro membro uma função contínua, ela

é superior a um certo número 8 > 0 em todos os pontos dum domínio

suficientemente pequeno £>' que contenha o ponto P(xo, Tomemos

dY d\

o integral duplo da diferença-------------s sobre este domínio. Ele é

dx dy

positivo. Com efeito.

í í

^ ^ ^ 6 dxdy = ò ^ ^ dxdy = bD' >Q.

Ô ia; segundo a .fórmula de X3reen, o primeiro membro desta

fitim a desigualdade é-igual aa~integral curvflíneo sobre a fronteira U

do \ domínio D', que por bqjótese é nula. Logo. esta desigualdade

1 dY dX

contradiz a condição (T) e a suposição de que ---------- — é diferente

dx dy

de zero» não o seria senão num ponto» é falsa. Tem-se» pois»

dY

dx - ^ = 0

dy

em todos os pontos do domínio D.

O teorema está completamente demonstrado.

Mostramos, no § 9. cap. XIII. que a condição

dY {x, y) dX {x, y)

dx

traduzia o facto de que a expressão X dx + Y dy é o diferended total

duma certa função u (x, y). isto é. que

dy

X dx + Y dy = du {x, y)


com

Mas, então, o vector

, du . , du .

f ’ = x í + y i = ^ . + ^ - j

dy

é o gradiente da função u {x, y); a fünção u {x, y) cujo gradiente é

o vector X i + Y j\ chama-se potencial deste vector. (n)

Mostremos que. neste caso, o integral curvilíneo 1= I

{M)àx dy

sobre uma curva anbitrária que reúne os pomos M e N é igual à

diferença dos valores da função u nestes pontos:

( N ) ( N )

J X d x + Y d y = J du(x, y) = u(N)-u{M ).

(M)

(M)

Demonstração — Se X dx + Y dy é o diferencial total da fun

ção u (x, y), tem-se X — ^ , Y = ^ c o integral curvilíneo escreve-sc

( N )

~ ] dx

(M)

, ,d u

d x + - d y

Para calcular este integral, escrevamos as equações paramétricas

da curva L que reúne M e N:

x =

y = ^(t).

Admitiremos que corresponde ao valor t = to, do' parâmetro o

ponto Af e ao valor t = T o ponto N. O integral curvilíneo reduz-ê,

então, ao integral dînido

r

du dy 1 ,

dx dt ^ dy dt\

A expressão entre parêntesis é uma função de t que exprime a

derivada total da função u[^(r), f (01 em relação a i.


Por conseguinte.

= I ---- d t = u

J dt

[<p(0 , 1*5(0] |ío =

= u [<f (0, 1|5 (Oj — w[<p (<o), (<o)] = u{N) — u (M).

Vê.se que o integral curvilíneo dum diferencial total não depende

do caminho de integração,

O integral curvilíneo estendido a uma curva empenada goza da

mesma propriedade (ver §7).

Nota — Tem-se, por vezes, de integrar o integral curvilíneo duma

função X (jc, >^) em relação ao arco da curva de integração L\

í X {x, y)ds= lim 2 ^ !//)

L

As;-^0 i = l

sendo ds o diferencial do arco. Calcula-se estes integrais como os integrais

curvilíneos considerados acima. Suponhamos a curva L dada pelas

equações paramétricas

^=<í>(0 . !/ = ll’ (0 ,

sendo f(t). ^((), /(0> ^'(0 funções continuas de t.

Sejam a e os valores do parâmetro t correspondentes às extremidades

do arco L.

Como

ds =

(p’ {tf -f a|)' (tf dt,

obtém-se a seguinte fórmula para calcular o integral (4):

5 X (z, y ) d s = lX [(f) (t), ij5(í)] V cp' (tf + ij)' (tf dt.

L

CL

Pode-se considerar o integral curvilíneo em relação ao arco da

curva empenada x — <f{t). y = (0. z = x W

J X (x, y, z )d s = ] X [<p (t), \|5 (t), X (í)] X

X K < p ' (tf + {tf + X {tf dt.

Com a ajuda dos integrais curvilíneos com fclemento diferencial,

o arco ds, pode-se determinar, por exemplo, os centros de gravidade

de curvas pesadas.

(4)


y Raciocinando como no § 8, cap. XII, (tomo I,) obtém-se as

^guintes fórmulas para o cálculo das coordenadas do centro de gravidade

duma curva empenada:

I xds

lyds

I zds

L

L

L

^ c - , Vo- .

L L L

Exemplo — Encontrar as coordenadas do centro de gravidade duma eq>ira

da hélice,

x = a c o sí, y = ascnt, z= bt (0 < !í < 2 ji),

sabendo que a sua densidade linear é constante.

Resolução — Aplicando-se a fórmula (5), obtém-se:

2Jt

___________________

J a COS í ^ + cos2 í + 62 d í

2ji

J V«^sen2 í-f-a2 cos2 í + 62 dí

(5)

2n

J a COS í l / a 2 - |- 6 2 d í _______

b____________________a ’\/a2_j_62.0

/ ---------- 2 ji + 62

= 0.

IXima ^nraneira análoga = 0,

[ 0/ ~|/a2sen2 í-|-a2 cos2 í-j-ò2 dí ______

b

ò-2ji2 l / a 2-(- Ò2

■= ------------------= JXO.

2ji V a 2 + 62

2ji Y a ^ + b^

Tem-se, então, para coordenadas do • centro de d( gravidade duma espira

da hélice

^c = 0, yc = 0y Zc = nb.

§ 5. Integrais de superfície

Seja dada em coordenadas rectangulares Oxyz um domínio V,

Em V é dada uma superfície a limitada por uma curva empenada A.

Relativamente à superfície a, suporemos que se definiu em cada

ponto P um sentido positivo indicando a normal unitária n (P) cujos

cossenos directores serão funções contínuas das coordenadas dos pontos

da superfície.

Consider^nos em cada fxmto da superfície um vector

F = X (.r, y, z)i-\-Y (x, y, z) j + Z (x, y, z) k,

seflPdo X, Y, Z funçõâ^ contínuas das coordenadas.


Dividamos arbitràriamente a superfície em áreas elementares Aa,-.

Tomemos um ponto arbitrário Pi em cada elemento e consideremos

a soma

S (F (/» ,)w (P ,))A a ,. (1)

sendo F{Pi) o valor do vector F no ponto de n {Pi) o

vector unitário da normal nesse ponto, Fn o produto escalar destes

vectores

O limite da soma (1) relativo a todas as áreas Ao,- quando o

maior diâmetro destas áreas tende para zero .é, por definição, um

integral de superfície que se designa pelo símbolo

J 5 F n da.

a

Então, por definição í*), tem-se

lim 2 = J J F n da.

diam Aai->0

^

Cada termo da soma (1)

F ifiià C i = Fi AUf COS ( n | , jP ,)

(2)

(3)

admite a seguinte interpretação: este produto é igual ao volume dum

cilindro elementar de base Aa^ e de altura Fi cos (tii, Fi), Se F

for a velocidade dum fluído que atravessa a superfície a, o produto (3)

é igual à quantidade de fluído que atravessa o elemento Aa^ na

unidade de tempo na direcção Ui (fig. 336).

C") Se a superfície a admite em cada ponto um plano tangente que

varia conlinuamente com P e se a função vectorial F é contínua nesta superfície,

csle limite existe (admitiremos sem demonstração, este teorema de existência dos

integrais de superfície).

16


A expressão f I F n do dá a quantidade total do fluído que

a

atravessa na unidade de tempo a superfície a no sentido positivo,

sendo F o vector velocidade do fluído no ponto dado. Eis porque

o integral de superfície (2) se chama ainda fluxo de campo vectorial F

através superfície a.

Resulta da definição de integral de superfície que se se dividir a

superfície o em partes Oj, Og, . . a,ter-se-á

^ J F n da = ^ J F n da + ^ ^ F n dor + . . . + J ^ F n do,

a Oi O2 Ok

o vector unitário n escreve-se:

n = cos(/i, .r) i-f-COS (n, y)j-\-cos(n, z)k.

Substituindo no integral (2) as expressões dos vectores F e n

em função das suas componentes, obtém-se:

J J Fn da = J J [X COS {n, x) + Y cos (n, y) +

a

a

+ Z cos(ai, z)]do, (2')

o produto A(7 cos (n, z) é a projecção da área Aa sobre o plano

Oxy (fig. 337); tem-se igualmente para os outros produtos:

Aacos(n, x) = íiOy^, Aacos(Ai, y) = Ôxz, àocos(n, z) = àOxy, (4)

onde AOy^y Aa^^, Aa^^y são as projecções da área Acr sobre os correspondentes

planos coordenados.

Sendo assim, o integral (2') escreve-se ainda sob a forma

J J F n da = J J [X cos {n, x) Y cos {n, y) +

a

a

-f - Z COS z ) ] da = X dy dz Y dzdx Z dx dy. {T)

§ 6. Câlciilo dos integrais de superfície

O cálculo de um inteeral sobre uma superfície empenada reduz-se

ao cálculo dum integral duplo sobre um domínio plano.

Indiquemos um processo de cálculo do integral

J J Z cos {riy z) do.

a

Suponhamos a superfície o* tal que qualquer recta paralela ao

eixo Oz o corta num só ponto. A equação de superfície pode ser

posta, então, sob a forma

^ =

y).


Designando por D a projecção da superfície a sobre o plano Oxy,

tem-se (em virtude da definição dos integrais de superfície):

]lZ{x, y, z) COS (ra, z)da =

— l i m '^Z{Xi, yi, Zi) COS (rii, z)Aoi.

d i a m Aai->0 i = í

Em seguida, tendo em consideração a última fórmula (4) do § 5,

obtém-se:

J ^ Zcos(A^, z) do =

a

n

= ^ , lim Hl Z{Xi, yi, f{Xi, yi))(Aa^ )i =

d i a m Aoxy-^0 i= l

n

S ^ (^í. í/í. / yi)) I A a * „ |i,

d i a m Aa-vo i=i

sendo a última expressão uma soma integral para o integral duplo da

função Z (x, y, f (u, y)) no domínio D. Por conseguinte.

J j2 c o s ( n , z )d a = ± ^ ^Z {x , y, f{x, y))dxdy.

a

D

O sinal mais corresponde a cos («, z) > 0 e o sinal menos a

C O S (n, z) ^ 0.

Se a superfície a não satisfaz à condição indicada no começo

deste parágrafo, corta-se-la em partes que satisfaçam a esta condição

e calcula-se o integral, separadamente, em cada parte.

Calcula-se. duma maneira análoga, os integrais

^ J X C O S {n, x)do; J í cos {n, y) d a .

a

a

Assim se encontra justificada a éxpressão dum integral de superfície

sob a forma (2'0 do §5.

Poder-se-á considerar, então, que o segundo membro da igualdade

(2") é uma soma de integrais duplos sobre as projecções correspondentes

do domínio o-, sendo os sinais destes integrais duplos

(ou. como se diz ainda, os sinais dos produtos dydz, dxdz, dxdy)

tomados de acordo com a regra indicada.

Exempla— 1. Consideremos uma superfície fechada a cortada em dois

pontos no máximo por qualquer paralela ao eixo Oz.

Consideremos o integral

Hz COS (n, z) d o .


Escolheremos como normal positiva a normal exterior. Podemos cortar

esta superfície em duas partes, inferior e superior de equações:

2 = /l(* . í/) et z = h{x, y).

Designemos por D a projecção a sobre o plano Oxy (fig. 338); tcm-se:

j ^ z COS (n , z)do= ^ ^ Í2 (X, y) dx dy— f f

*^0 D D

O segundo integral foi afectado do sinal menos, porque no integral de

superfície o produto dxdy para a superfície z = fi {x, y) deve ser precedido

do sinal menos, dado que cos(n, z) é negativo.

iZ

Ora, a diferença dos integrais do segundo membro representa o volume

limitado pela superfície a. Logo, o volume do corpo limitado pela superfície a

6 igual ao integral de superfície

F = ^ ^ 2 COS (n , z) do.

o

Exemplo — 2. Uma carga eléctrica positiva e colocada na origem das

coordenadas origina um campo vectorial cuja distribuição do vector F é

dada cm cada ponto pela lei de Coulomb:

sendo r a distância do ponto considerado à origem e r o vector unitário do

raio vector dirigido em direcção ao ponto considerado (fig. 339); A: é um factor

constante.

Calcular o fluxo do campo de vectores através de uma esfera de raio R

•centrada na origem.


Resolução — Considerando que r = R = const., tem-se:

k ^ r n d a = ^ ^ ^ r n d o .

O

a

Mas o último integral é igual à área u da esfera. Com efeito, o produto

escalar rn é constantemente igual à unidade e fica

do = a.

íí

Por conseguinte, o fluxo procurado é

§ 7. Fórmula de Stokes

Seja dada uma superfície a tal que qualquer paralela a Oz a

corta num único ponto. Designemos por k a sua fronteira. A normal

positiva à superfície n será a que forma com Oz um ângulo agudo

(fig. 340).

Seja z = f(x, y) a equação da superfície. Os coênos directores

da normal à superfície têm por expressão (ver § 6, cap. IX. tomo I):

C O S ( n , x) =

dx

+(^)

cos(n, y) =

ày

(1)

cos(w, z)=-

^ { ^ )

Suporemos que a superfície <r se encontra completamente num

domínio espacial V. Seja dada em V uma função contínua X (x, y, z)

com as suas derivadas parciais de primeira ordem. Consideremos o

integral curvilíneo tomado ao longo do contorno A.

I X {x, y, z) dx.


Tem-se, ao longo de A z = f (x, y), sendo x, y as coordenadas

dos pontos da curva L. projecção de A sobre o plano Oxy (fig. 340).

Por conseguinte, pode-se escrever

í X (x, y, z )d x = [ X {x, y, f {x, y)) dx. (2)

\ L

Este último integral é um integral curvilíneo

tomado ao longo de L. Transformemo-lo,

aplicando a fórmula de Green, fazendo

X{x, y, f{x, y)) = X{x, y),

0 = Y (x , y).

Substituindo na fórmula de Green X

e Y pelas suas expressões, obtém-se:

_ J J dX(x, yJ ( x _ , j ^ ^ ^ ^ ^ _

= \ X(x, y, f {x, y)) dx. (3)

sendo o domínio D limitado por L. Derivemos a função composta

A' (jc, y, f (x, y)) em relação a y :

dX (x, y, f (x, y)) ^ dX (x, y, z) dX {x, y, z) dfjx, y)

dy dy dz dy

Substituindo a expressão (4) no primeiro membro de (3), obtém-se:

-íí[

JJ

dX{x, y, z) ^dX (x, y, z) dfjx, y)

dy dz dy

= ^ X (a-, I/, / (x, y)) dx.

dxdy =

L

Tendo em conta (2) esta última igualdade escreve-se:

^ X (a:, y, z) dx = — ^ ^ dxdy dx dy. (5)

Os dois últimos integrais transformam-se em integrais de superfície.

Com efeito, resulta da fórmula (2") do § 5 que se tem para

qualquer função A (x, y, z) a igualdade

H ^ 2) COS (n, z)da — Adx dy.


Sendo assim, os integrais do segundo membro de (S) transformam-se

como se segue:

j

J j - ^ c o s ( n , z)da,

D

[[dX df , , [{dx df , _

J J oz oy J J dz du

a

(6)

Transformemos o último integral aplicando as fórmulas (1) do

presente parágrafo; calculando o quociente da igualdade (1) pela

terceira, encontra-se:

cosjn, y) ^ df

ou

Por conseguinte,

D

cos{n, z)

dy

fif

-----cos(n, z) = — cos(n, y).

dy

dz dy dxdy-H

a

?

COS

( n , y) da. (7)

Substituindo as expressões (6) e (7) em (S). obtém-se:

^ X (x, y, z)dx= — I ^

C O S (n, z ) da -f-

+

C O S ( n , y) da. (8 )

!!S

O sentido de percurso de X deve ser tal que um observador

atravessado de pés à cabeça pela normal n veria o contorno percorrido

no sentido inverso dos ponteiros de um relógio.

A fórmula (8) é verdadeira para qualquer superfície podendo

ser cortada em duas partes de equações da forma z = f(x, y).

Obtém-se, duma maneira análoga, as fórmulas

j Y (x, y, z ) d y = j | — - ^ c o s (ra , x) + -^ c o s (re , z)j da, (8')

X

a

j z ( x , y, z )d z = I ---- ~cos{n, y ) - f - ^ c o s ( n , x) j da. (8')


Somemos membro a membro as igualdades (8). (80 e (8^0;

obtém-se a fórmula

dx

dy

+

(dZ

dy

dz

, í dX

I C O S (n, X) +

Ê a fórmula de Stokes (matemático inglês (1819-1903)). Ela permite

transformar um integral de superfície a num integral curvilíneo tomado

sobre a fronteira X desta superfície, sendo o sentido de percurso da

fronteira o especificado mais acima.

O vector {B de componentes

dZ

dy

d Y

dz

B = — — —

^ dz ■ dx

chama-se vector «tourbillon» ou rotacional da função vectorial

F = X i + Y j + Z k e escreve-se, simbòlicamente, rot F .

Por conseguinte, pode-se recopiar a fórmula (9) sob a forma

vectorial

^ F d s = l^nvotF da,

(9')

e o teorema de Stokes, enuncia-se:

A circulação de um vector ao longo dum contorno fechado que

limita uma superfície é igual ao fluxo do seu rotacional através desta

superfície.

Nota — Se a superfície a é uma porção de plano paralelo a Oxy,

tem-se Az = 0 e encontra-se a fórmula de Green como caso particular

da fórmula de Stokes.

Resulta da fórmula (9) que se

B^■.

d Y

d Y ^ dZ d Y ^ dX dZ

.0, ^ - ^ = 0,

dx dy dy dz dz dx

dx

dX

dy

(9)

0, (10)

o integral curvilíneo é nulo sobre qualquer curva empenada fechada A:

^X d x-\-Y dy-\-Zdz = Q. (11)

O integral curvilíneo não depende, pois, da forma da curva de

integração.

Como no caso duma curva plana, mostra-se que as condições

mencionadas (10) são não sòmente suficientes mas também necessárias

para ter a igualdade (11).


Sendo estas condições satisfeitas, a expressão sob o sinal soma

é o diferencial total duma certa função u (x, y, z):

e, por consQguinte,

(N)

Xdx-\-Ydy -\-Z d z = du (x, y, z)

J Xdx-\-Ydy-{-Zdz= ^ du = u(N)— u{M).

(M)

(M)

Demonstra-se-lo tal como para a fórmula correspondente no

caso de uma função de duas variáveis (ver § 4).

Exemplo— 1. Escrevamos as fórmulas fundamentais da dinâmica do

ponto material

dvx dUj. dvz

“ T - ' ' '

Aqui m é 2l massa do ponto; X, Y, Z são as componentes da força que

solicita o ponto; 1;^ = - ^ , , Vy = - ^ as componentes da velocidade v.

at ^ dt dt

Multipliquemos os dois membros das

equações acima pelas expressões

Vxdt = dx, Uydt = dy^ Uzdt — dz.

Obtém-se, juntando membro a membro

as igualdades dadas:

d

m (vx d v x + dvy + Vz dvz) =

= X dx-\-Y dy-\-Z dz :

dx-\-Y dy -{-Zdz.

Como v%+ vy-\-vz — v‘^, pode-se escrever:

d ( ~

j ~ X dx-{-Y dy-\-Z dz.

(N)

Fig. 341

Calculemos os integiais dos dois membros entre dois pontos

a trajectória:

(M2)

1 1 (•

— — — m v \ = - I X d x - \ - Y d i j - \ - Z d z^

(Ml)

e Afj sobre

sendo v, e v, as velocidades no ponto e M.^.

Esta ültima igualdade traduz o teorema das forças vivas; a variação

da energia cinética entre dois pontos é igual ao trabalho da força que age sobre

a massa m.

Exemplo — 2. Calcular o trabalho da força de atracção newtoniana

duma massa imóvel m que age sobre uma massa unitária deslocando-se entre

dois pontos A/j (fl^, hx, c ^2(^2, ^2» ^2)-

Resolução » Tomemos a origem das coordenadas no centro atractififo.

Designemos por r o raio vector (fig. 341) traçado da origem ao ponto onde


se encontra a massa unitária e seja

então,

o vector unitário desta direcção. Tem-se,

sendo k a constante universal de gravitação. As componentes

de F sobre os eixos são, respectivamente,

-cr -.r 1 ^ y ^

.Y — — kni —r----; Y = — km ; Z = — km -r- — .

r2 r r2 r r2 r

O trabalho da força F sobre o arco

é

(M2)

= —km ^

(Ml)

X dx-\-y dy-\-z dz

(M2) (M 2)

= j ^ = j ^ ( y )

(Ml)

(Ml)

(dado que r2 = x 2 r dr = x dx-\-y dy-\-z dz). Designando por e

os comprimentos dos raios vectores dos pontos e Mj, obtém-se:

A = km ----- .

\''2 '*1/

Por conseguinte, aqui ainda o integral curvilíneo não depende do caminho

de integração. A função u — -!^ chama-se potencial do campo de atracção da

r

massa m. No nosso caso

Y_àu du ^ du

dx ’ dy ' dz ^

A = u{M2) — u{Mí),

isto é, que o trabalho para deslocar a massa unitária é igual à diferença do

potencial entre os pontos final e inicial.

§ 8. Fórmula de Ostrogradshy

Seja um domínio regular V do espaço a três dimensões, limitado

por uma superfície fechada a e tendo por projecção sobre o plano Oxy

um domínio regular D. Suporemos que se pode dividir a superfície

<T em três partes (Ti , Og» ^3 de mcKio que as equações das duas primeiras

se escrevam

z = fi(x, y) et z = tz{x, y),

sendo fi (jc, y) e /2 (jc, y) contínuas no domínio D e sendo a terceira

parte as uma superfície cilíndrica de geratrizes paralelas ao eixo Oz-

Consideremos o integral

dZ{x, y, z)

dx dy dz.

dz


Integremos, em primeiro lugar, sobre os z:

'=íi( I

D /,(.v, !/)

= j j 2 (z, Í/, fz (x, y))dxdy — ^ ^ Z {x, y, /,'(x, y)) dx dy. (1)

D

Definamos sobre a superfície a a normal positiva, dirigida para

o exterior. Então, cos («, z) será positivo sobre a superfície ct2 e negativo

sobre a superfície <ti; é nula sobre a superfície ^3.

Os integrais duplos do segundo membro da igualdade (1) são

iguais aos integrais de superfície correspondentes

llZ{x, y, Í2 ÍX, y))dxdy= llZ{x, y, z)cos(n, z)da,

D O 2

I J Z (x, y, fi {x, y)) dxdy= l'^Z {x, y, z) (—cos (n, z)) der.

D

aj

Escrevemos no último integral (—cos(/i, z)) porque o elemento

de área Aî está ligado ao elemento de área ^s do domínio D pela

relação As = Aai [— cos (w, z)] dado que o ângulo (n, z) é obtuso.

Assim.

J y, fi(x, y))dxdy =

D

= — J J Z (x, y, /i (x, y)) cos (n, z) da.

<^t

Substituindo (20 e (2'0 em (1), obtém-se:

ííí

dZ{x, y, z)

dx dy dz =

dz

íí = j | z ( x , y, z)cos(n, z)da + Z(x, y, z)cos(«, z)dcr.

02

Para comodidade de cálculos a seguir, recoplemos esta última

igualdade juntando-lhe a quantidade J | Z (x, y, z) cos (n, z) do = 0

CT3

(tem-se cos («, z) = 0. sobre tr,):

ííí

dZ{x, y, z)

• dx dy dz =

dz

= I ^ Z cos (/z, z) da + U Z cos (n, z) da + j j Z cos (n, z) da.

02 ai a.

D

(2')

(2" )


Ora. a soma dos integrais do segundo membro é igual ao integral

sobre toda a superfície c\ por conseguinte.

1 1 1 dx dy dz = I j Z (x, y, z) cos (n, z) da.

V

Duma maneira análoga, obtêm-se as relações:

o

1 1 1 1 1

^^

V ^ a

1 1 1 dydz= (^.

y> z) COS («, x) da.

Juntando membro a membro estas três últimas igualdades, obtém-se

a fórmula de Ostrogradsky (*):

d Y

dZ

ÍÍKdX .

dx dy dz

I dx dy dz =

íí

= \ j (X COS {n, x) 4- y COS (n, y) + Z cos (n, z)) da.

riV ri''/

A expressão - — i---- --\------chama-se divergência do vector

dx dy dz

(2)

e escreve-se div h '\

J-’ = X í + y^-f-ZA;

.. ,, dX d Y ^ dZ

dx dy dz

Indiquemos que esta fórmula é verdadeira para todo o domínio

podendo ser dividida em domínios parciais que satisfaçam às condições

mencionadas no começo deste parágrafo.

Vamos dar uma interpretação hidrodinâmica da fórmula estabelecida.

Suponhamos que F — X I Y j + Z k é o valor velocidade dum

fluído que atravessa o domínio V. O integral de superfície em (2) é.

então, o integral da projecção de F sobre a normal exterior u ;

onde a quantidade de fluido saído do volume V durante a unidade

• Esta fórmula (por vezes, chamada fórmula de Ostrottradsky-Gauss) foi

descoberta pelo célebre matemático russo M. Ostrogradsky (1801-1861) que a

publicou em 1928 no seu artigo «Notas sobre a teoria do calor».


de tempo (ou que aí entrou, se o integral é negativo). Esta quantidade

expriihe-se por meio do integral triplo de div F .

Se div F = 0, o integral duplo sobre qualquer superfície fechada

é nulo, a quantidade de fluído entrado ou saído é nula. Mais precisamente,

a quantidade de fluído entrado no volume dado é igual à

quantidade de fluído saído.

Sob forma vectorial, a fórmula de Ostrogradsky escreve-se:

^ ^ J div F d v = J J Fn ds

(1')

e enuncia-se: o integral da divergência dum campo vectorial F num

volume é igual ao fluxo do campo vectorial através da superfície que

limita este volume.

§ 9. Operador hamiltoniano e algumas aplicações

Seja dada uma função u = u(x, y, z). Em cada ponto do domínio

em que a função u (x, y, z) é definida e derivável, é determinado o

gradiente:

, ,du , ,du , ^ du

(1)

Por vezes, o gradiente da função u(x, y. z) é assim designado:

o sinal V lê-se «nabla».

_ .du . d u d u

Vu = t — + j ^ + k ;

dx dy az

1. É cómodo escrever sobre uma forma simbólica a igualdade (2):

(2)

Vu

e de considerar o símbolo

{ .d , .d , - 5

% s )“

^ --- ^ --- dx dy dz

(2')

(3)

como um «vector simbólico». Este vector simbólico chama-se operador

hamiltoniano ou operador nabla (operador V ). Decorre das fórmulas (2)

e (2') que quando se «multiplica» o operador simbólico V por uma

função escalar u, obtêm-se o gradiente dessa função:

Vw = gradi/. (4)


2. Pode-se formar o produto escalar do vector simbólico V

pelo vector F = i X + j Y + k Z :

(ver § 8). Assim.

5 + + * • á ) < « + J Y + ’‘^ =

dx dy dz dx

dy

dZ

dz

:divi*’

^F = à iv F . (5)

3. Formemos o produto vectorial do vector simbólico V pelo

vector F = íX + jY + k Z :

I + •'l + *=á) =<<«+ ■ ' + =

i j k

ri

rí

O 0 . 0

dx dy dz

X Y Z

dZ

dY

d d d d d d

= i dy dz

- J dx dz + A* dx dy

Y Z X Z X Y

/ \ dx dz / \ dx dy /

.( dZ a y \ J d X dZ\- ^ ( âY d X \

“ dy “ “S " ) + v i r “ ' i r i + * A i r “ J “

rot F

(ver § 7). Assim,

V X F = rot F. (6)

Decorre do que acaba de ser dito que a utilização do vector

simbólico V permite exprimir sob uma forma muito sucinta as operações

vectoriais. Consideremos ainda algumas fórmulas.

4. O campo vectorial F (x, y, z) — iX + j T + k Z diz-se

campo vectorial potencial se o vector F for o gradiente duma certa

função escalar u (x, y, z):

F = grad u

ou

F = i — -I- ^ -1_ l;

''d x ^ ^ d y + ^Jz-


Neste caso as projecções do vector F serão

ou

dx' ^ dy ’ dz'

Decorre destas igualdades (ver t 1, cap. VIU, § 12):

ÊÃ

dy

dX dY dY dZ dX dZ

dy

dY

dx

dx dz dy

dY

dz

^ = 0.

dy

Por conseguinte, para o vector F considerado

Obtemos, assim:

rot

dz

dX

dz

dx

dZ

dx

rot (grad u) = 0 (7)

Aplicando o operador V, pode-se escrever em virtude das fórmulas

(4) e (6) a igualdade (7) sob a forma:

(V X Vu) = 0. (T)

Utilizando a propriedade que da multiplicação dum produto

vectorial por um escalar basta multiplicar por este escalar um dos

factores sòmente, escreveremos:

(VxV)u = 0. (7” )

O operador V possui de novo as propriedades dum vector

usual: o produto vectorial do vector por si mesmo é nulo.

O campo vectorial F (x, y, z) para o qual rot F = 0 diz-se

irrotaciond. Decorre da igualdade (7) que todo o campo potencial é

é irrotacional.

O inverso é igualmente verdadeiro; por outras palavras, se um

certo campo vectorial F é irrotacional. é potencial. A validade desta

afirmação decorre dos raciocínios conduzidos no fim do § 7.

5. O campo vectorial F (x, y, z) para o qual

d iv F = 0 ,

isto é, o campo vectorial que não contém origens (ver § 8) chama-se

selenoidal oU tubular. Demonstraremos que

div (rot F ) = 0, (8)

por outras palavras que o campo rotacional não contém origens.


Com efeito, ^ F = i X + J Y + AjZ, então,

e. eis porque.

\ dy d z )

ày

dX dZ ^ ' d Y dX

. dz dx ;!+*'(\ dx dy

d v ) ' dX dZ )

dz í' d y \\ dz dx }

1+

d Y dX

)= 0.

+ U

d z \ dx dy

A igualdade (8) escrever-se-á com a ajuda do operador V :

v (v x ií’) = o. (8:

o primeiro membro desta igualdade' pode ser considerado como

o produto misto vectorial escalar dos três vectores V, V, F de que

dois são idênticos. Este produto é. evidentemente, igual a zero.

6. Seja dado um campo escalar u = u(x, y, z). Definamos o

campo dos gradientes:

j .du , ,du , j du

gmd

Achamos, em seguida,

,. , j . d ( d u \ d ( d u \ d ( d u \

d .v (g r.d a ) = - y + - y + - ( _ — )

ou

o2

, . , , , o u . OÛ . OÛ

div(gradu) = — + — + — .

dx dy dz

(3)

o segundo membro desta igualdade chama-se operador de Laptace

da fpnção u e nota-se por

Por conseguinte, a igualdade (9) pode-se escrever:

div (grad u) = Au. (11)

Com o auxílio do operador V a igualdade (11) escrever-se-á sob

a forma

(VVu) = Au.

(11')


Notemos que a equação

dru

o2

oû

^2

aru

do? d:? = 0 (12)

ou

Aa = 0

(12')

se chama equação de Laplace. As funções que verificam a função de

Laplace chamam-se funções harmónicas.

Exercícios

Calcular os integrais curvilíneos seguintes:

1. J dx-\-2xy dy sobTQ o círculoa; = a cos 1, y = a sení. Resp. 0.

2. ^ y dx — 2; (2^ sobre a clipsea: = fl cos í, y = bscnt, Resp. —2jiaò.

5

_ _ í—^ d x -----^ — —du sobre um círculo centrado na origem. Resp. 0.

X2 _j_ 1/2 x2 + y2 ^

, r ydx + xc xdy ;sobre a recta y = x.áe x = i à x = 2. Resp.Log 2.

5. ^ yz d xxz dyxy dz sobrt a hélicea: = a cos 1, i/ = asen í, z ^ k t^ t variando

entre 0 et 2jc. Resp. 0.

Í 0

X dy — i/dx sobre a hipociclóide x = a cos^ í, y = ascn,^ t.Kesp. Jia^ (o

J

dobro da área limitada pela curva).

y = . Resp. a2 (o dobro da área limitada pela curva).

3at

xdy — y dx estendido à cu

8. J X dy — y dx sobre a curva x = a (í —sen í), y = a (1 — cos í) (0 < ;í< ;2 n ).

Resp. —Srra^ (o dobro da área compreendida entre um arco da ciclóide

e o eixo Ox).

Demonstrar que:

9. grad (cq)) = c grad cp, onde c é constante.

10. grad (cjqp + C2\l)) = cj gr^d (p + C2 ^ ^ constante.

11. grad (cptl)) = (p grad grad (p.

12. Calcular grad r, grad r2, grad— , grad / (r), onde + +

Resp- : 2r ; ; / ' (r) .

13. Demonstrar que div (^ + J3) = div A + div B .

14. Calcular div r, ou r xí -\-yj-\-zk. Resp. 3.

15. Calcular div (^cp), onde .4 é uma função vectorial e 9 uma função escalar

Resp. (p div A + (grad (p4).

17


16. Calcular div (r«c), onde e é um vcctor constante. Rest>. .

17. Calcular div J3 (r^ ), Resp. AB

Demonstrar que:

18. rot (ciAi + C2A 2) = Ci rot A í -\-C2 rot ^2i onde et C2 são constantes.

19. rot (>!/*) = grad-4 X c,ondee é um vcctor constante.

20. rot rot iá = grad div 4 —A 4.

21. 4 X grad q) = rot (<p4).

Integrais de superfícies

22. Mostrar que J J cos (n, z)d o = 0 sobre uma superfície fechada.

23. Achar o momento de inércia dum segmento esférico de equaçSo -4-1/24.

+ cortado pelo plano z = H em relaçSo ao eixo Oz.

Resp. fí^ (2 ií3 _ 3 /í2 ^ _ |.^ 3 ).

24. Achar o momento de inércia da porção do parabolóide de revolução

25.

26.

jç2 4. y2 = 2cz contido pelo plano z = c em relação ao eixo Oz. Resp. — c*.

3

Calcular as coordenadas do centro de gravidade da parte da superfície

R2

o

cónica a:2 + j/2 —_ ^ 2 cortada pelo plano z = H. Resp. O; 0; •—

Calcular as coordenadas do centro de gravidade do segmento da superfície

lesférica x2-f y2 ^2 = cortado pelo plano z = H. Resp.^0, —g— ) •

27.

Calcular J J

cos (nx) -\ y cos (ny)-\-z cos (nz)] da ; sobre uma superfíciei.

28.

fechada. Resp. W , sendo V o volume interior à superfície

Calcular I I zdxdy, onde S designa o lado exterior da esfera x2-|-

+ J/2+z2 = /?2. Resp. *

• o

29. Calcular 1 l x’^ dy dzy'^ dz d xz^ dx dyy onde S é o lado exterior da

30.

31.

superfície da esfera x^-{-y2-\-z^ = R2, Resp. 'ttR*.

Calcular j J ds ^ onde S designa a superfície lateral do cone

8

X2 - [y2 z2

o 2na2-j/a2 + ò2

+ = 0 < z < 6 .R e s p . ---------^ . T

Com a ajuda da fórmula de Stokes transformar o integral ^ y dx-\-z dy-{-

+ xd2. Resp. ■“ j j (c o sa + c o sP + cos y) ds.


Achar os integrais curvilíneos directamente e aplicando a fórmula de

Stokes:

32.

í í (y + ^) + + + + L é o círculo x^-{-y^-\-z^ =

x + i/ + z = 0. Resp. 0.

’í

33. ^ dx-\-dy-\-z dz, onde L é o círculo x^-\-y^ = R^^ z = 0. Resp. —

Aplicando a fórmula de Ostrogradsky, transformar os integrais de superfície

em integrais de volume:

34. ^ ^ COS a + y cos P + z cos y) ds, Resp. ^ ^ J dz,

8 V

35. ^ ^ (x^-{-y^-]-z^) (dy dz-\-dx dz-]-dx dy). Resp. 2 J (x y z ) dx dy dz.

36. ^ ^ xy dx dy-]-yz dy dz-\-zx dz dx, Resp. 0.

l l ^ à y d z + ^ d x d z + ^ d x d y .R tsp .^ ^ J

S

(S+£^+S)

V

Aplicando a fórmula de Ostrogradsky, cúlcular os integráis seguintes:

38. j j (xcosa + í/cosp + zcosv)ds, «onde 5 é a superfície de elipsóidc.

X^ 1/2 ^2

- ^ + - b 2 + ~ ^ -

39.

40.

^ ^ (x3 COS a + í/3 COS P + z3 COS v) dí, onde 5 é a superfície da esfera

x2 + í/2_|_22 = í?2, Resp.

O

^ ^ x2 dy dz + y^ dz dx-\-z^ dx dy, onde 5 é a superfície do cone

z2

Tlã^b^

- - ^ = 0 (0<z<fc).Resp. —-—

41. ^ ^ X dy d z y dx d z z dx dy, onde 5 é superfície do cilindro x* + y* = «'

— H ^ z ^ H , Resp. Sna^H,

42. Demonstrar a identidade J J ^ ^ ^ o condu

torno que limita o domínio D e

on

a derivada segundo a normal exterior.


Resolução:

= \ l — Y cos(s, x)-{-X scn(s, x)] d®,

C

onde (5. x) é o ângulo entre a tangente ao contorno C e o eixo Ox, Se

se designar por {n, x) o ângulo entre a normal e Ojc, tem-se sen (i, x) =

= cos (/z, X), COS (s, x) = —sen (n, jc). Por conseguinte,

I í

D

Fazendo X = — , y = — , obtém-se:

dx dl/

í [AT COS («, x) + y scn(n, x)] ds.

OU

D

c

A expressão

d‘û

í J ( S + S ) ‘“ ' " ” Í - 3 Í ' “ -

D

C

d'û

chama-se operador de Laplace,

43. Estabelecer a identidade (chamada fórmula de Green)

J J j (vû-u^v)dxdyd^= J J

V

a

~ ] áa.

sendo u e v contínuas e tendo derivadas de segunda ordem contínuas no

domínio D. Os símbolos Aiz e Av representam:

_dû d'û dû * _d2í; dî; d2y

'^“ ^dx2 + ^ + '^ » . + d ^ *

São os operadores de Laplace no espaço.

Resolução — Na fórmula

5 j í f ê + i + f

façamos

= J J [ Z COS (n , x) + y COS (n , y)-\-Z cos (n, z)\ db

^

X=zVUx-—UVx,

Y = ÜUy— UVy^

Z — VUz — UVz,


Tem-se

dX . dY , dZ / * t t ^ \ t ^

^ ^ (Uxx - f Uyy + Uzz) — U (Vxx + + i^2z) = tA M— uA u^

JT COS (w, a:) + y COS (n, y)-{-Z cos {n, z) =

= V (Ux COS (n, x) + Uy COS (n, y) + Uz cos {n, z)) — u {vx cos (fi, x) +

Por conseguinte.

+ I ' / \ ' / \v dv

Vy COS (n, y) + Vz cos in, z)) = v —-----u — .

On

an

44. Estabelecer a identidade

lííòiu dx dy dz = íí

do,

a

onde Au = ^ ^ + — -1-^^ (operador de Laplace).

dx^ ^ dy^ ~ âz2

Resolução — Façamos, na fórmula de Green, estabelecida no exemplo anterior,

V= 1. Então, Av = 0 e a identidade está demonstrada.

45. Se u (x, y, z) é uma função harmónica num certo domínio, isto é, uma

função tal que em cada ponto deste domínio é verificada a equação de Laplace

dû

dû

tem-se, em toda a superfície fechada a

55 du r — da = 0.

*

ón

Resolução — Isso resulta directamente da fórmula do problema 44.

46. Seja u{x, y, z) uma função harmónica num domínio V e consideremos

em V uma esfera 6 de centro M (x^, iji, z{) e de raio R. Mostrar que

yu * i) = - 4 í^ { J

Resolução — Consideremos o domínio S2 limitado pelas duas esferas a,

õ de raios R e p (p < i? ), de centros no ponto M y\, z^), Apliquemos

a este domínio a fórmula, dc Green do problema 43, onde u

será a função indicada acima e v a função

1 _____________ 1____________


Confirmamos direçtamente, derivando e substituindo, que

dû

= 0. Por conseguinte.

ou

i+i \ r dn “

/

Ç Çf 1 ^ ^ r)da=0,

í í í í (l* -“ -=»■

Sobre as superfícies ct e a a quantidade _ é constante

“ r

) (^'7 pode-se-la fazer* sair do sinal de integração. Em virtude do resultado

estabelecido no problema 45:

dû

dû

Por conseguinte,

7 H du do = 0.

dn

mas

“ í í í

Logo

M r )

dn

dr

J_

r2 •

+ J J u ^ d a - j J u-lda = 0

ou

_1_

p2 J J « d a = ^ J J u d a .

(1)

Apliquemos o teorema da média ao integral da esquerda:

± J J J j , .

(2)


ou

onde (S, 0 é um ponto sobre a superfície da esfera de raio p e de

centro no ponto M {xi, z{).

Façamos tender p para zero: então, (6, il, D (î» î) •

Logo, quando p -» 0 , obtém-se:

- L r f _ 4 ,.

P2 J J P*

I j “ « (*i. Vu *i) 4n.

ã

Além disso, dado que o primeiro membro da igualdade (1) não depende

de p, quando p —> 0, obtém-se, por fim:

~W f j Vi’ * i)

ã

u(î,yu * i ) = 4 à 2 f f

Capíiuio XVI

SÊRIES

§ 1. Soma duma série

Definição— 1.

Seja dada uma sucessão numérica infinita (♦)

A expressão

Uiy lÍ2, • • «y Ujrij . . .

+ ^2 + + • • • + • (1)

chama-se série numérica, sendo os números Ui, U2........ ... os

termos da série.

Definição — 2.

soma parcial :

Consideremos as somas parciais:

À soma dos n primeiro termos de série chama-se

+ ^2 + • • • +

Si =

^2 = ^1 + ^2,

53 = -|- 1^2 + Z^3,

”f" ^2 "l~ ^3 “h • • • ~\~Un.

Se o limite seguinte existir e for finito:

s = lim

n-ôo

chama-se soma da série (1) e diz-se que a série converge.

Se lim não existe (por exemplo 00 quando n

n->oü

diz-se que a série (1) diverge e que não tem soma. *

0 0),

* Diz-se que uma sucessão é dada qtiando se conhece a lei que permite

calcular qualquer termo u m vez dado n.

SÉRIES 265

Exemplos — Consideremos a série

a-\-aq-âq^-\-. . . .

(2>

É uma progressão geométrica de primeiro termo a c de razSo q (a ^ 0 ) .

A soma dos n primeiros termos da progressão geométrica (quando q ^ l )

é igual a -

a — aq^

Sn —■

1 —g

OU

aq^

g 1 - g *

1. Se |g|<l, q ^ ^ O quando n-ôo e, por conseguinte,

Assim, quando

l i m s „ = l i t n [ ---------- ^ — .

n->oo n->oo g 1 9 / 1 9

q < 1, a série (2) converge e a soma é

a

s = 1—g

2. Se q > 1 , Ig ^ l^ o o quando n->co

'

e ——---->-±00 quando

1 — g

n-^co,, isto é, que lim não existe. Assim, quando q > 1, a série (2)

n->oo

diverge.

3. Se q = 1, a série (2) escreve-se

Por conseguinte

“1“ a -|- a -j- . . .

Sn = na, lim Sn = co,

n-âo

a série diverge.

4. Se q = — 1, a série (2) escreve-se

a — a + a—a+ ...

e

I* 0 se n é par

— I L a se n é ímpar,

não tem limite, a série diverge.

Assim, a progressão geométrica (de primeiro termo não nulo) converge,

se, e somente se, a sua razão for menor que a unidade em valor absoluto.

Teorema— 1. Se a série obtida, suprimindo em {l) vários termos,

converge, a série proposta converge igualmente,

Reciprocameníe, se a série proposta converge, a série obtida suprimindo

vários termos converge igualmente. Por outras palavras, não

se afecta o carácter de convergência duma série suprimindo um número

finito de termos.

Demonstração — Sejam Sj^ a soma dos n primeiro termos da

série (1), , a soma dos k termos suprimidos (notemos que se n for


suficientemente grande, todos os termos rejeitados estão compreendidos

na soma s^) e seja ainda ^n-h a soma dos termos da série que entram

em Sn mas não em Tem-se

+ or^-Af

sendo <^k um número constante não dependente de n.

Resulta desta última relação que se lim On-h existe, então, lim $n

n->oo

n-¥oo

também existe; se lim existe, o mesmo se diga de lim On-hy O que

n-ôo

n->0Q

demonstra o teorema.

Para terminar este parágrafo, indiquemos duas propriedades elementares

das séries.

Teorema — 2.

Se a série

converge e se a sua soma é s, a série

+ (3 )

Cãi -f- Cã2

em que c é um número arbitrário fixo, converge também e a sua

soma é cs.

Demonstração — Sejam e . respectivamente, as somas parciais

de (3) e (4). Tem-se

= cai + • • • + CUn = C(«1 + • • • + ^n) =

Resulta que a soma parcial

de (4) existe, porque

lim On = lim {cSn) = c lim Sn = cs.

(^)

Assim, a série (4) converge e a sua soma é cs.

Teorema — 3.

Se as séries

+ ^ +

+ ^2 + • • • -

(5)

(6)

convergem e têm por somas s e s, as séries

e

(«1 + Ò,) + («2 + 62) + • • •

(ai — 6j) + («2 — ^^2) + • •.

(7)

(8)

convergem igualmente e lêm por sòmas 5 + s e 5 — s.

SÉRIES 267

Demonstração — Mostremos a convergência da série (7). Designemos

a sua soma parcial de índice n por e as somas parciais de (S)

e (6), respectivamente, por Sn e Sn\ tem-se

0^71 = (^1 + ^l) + • • • + (^n + bn) =

= («1 + • • • + «n) + (^1 + • • • + fcn) = ^71 +

Passando esta igualdade a limite quando n

oo, tem-se

lim On = lim (Sn -j- Sn) = Hm Sn + Hm Sn = S+S.

Assim, a série (7) coqverge e tem por soma s-j-s.

Duma maneira semelhante se demonstra que a série (8) converge

também e que tem por soma s —~s.

Diz-se que as séries (7) e (8) foram obtidas, somando e subtraindo

termo a termo as séries (5) e (6).

§ 2. Condição neceâsãria de convergência de um a série

Quando se estuda uma série, uma das questões fundamentais é

a da convergência ou da divergência dessa série. Mais abaixo estabeleceremos

critérios suficientes que resolvem esta questão. Propomo-nos,

agora, estabelecer um critério necessário de convergência.

Teorema — Se uma série converge, o seu termo geral Un tende

para zero quando n tende para infinito.

Demonstração — Suponhamos que a série

+ 2^3 + • • • + + • • *

converge, isto é, que se tem a igualdade

Hm Sn =

Tl-ÔO

em que f e a soma da 'série (um número finito fixo); mas, então,

tem-se, igualmente, a igualdade

lim s„-i = s,

7l->00

porque n e (n — 1) tendem para infinito ao mesmo tempo. Subtraindo

termo a termo a segunda igualdade da primeira,. obtém-se:

ou

lim s„ — lim s„_i = 0

Tl-ôo

lim (s„ — s„_i) = 0

n-ôo


Ora,

Logo

^71—1—

lim Un = 0,

c. q. d.

Corolário — Se o termo geral

quando n-> oo, a série diverge.

Exemplo — A série

1+A+1+,

n ,

3 ^ 5 ^ 7 ^ 2n -|-1

diverge, porque

lim u„ = lim ( = l.=jí= 0.

n-ôo n->oo \ / Z

duma série não tende parq zero

Notemos que o critério examinado dá uma condição necessária,

mas não suficiente, isto é, que uma série pode bem divergir mesmo

que o seu termo de ordem n tenda para zero.

Assim, a série seguinte, dita harmónica

diverge, se bem que

1

lim Un = lim — = 0.

j^_>oo ri

Para o demonstrar, recopiemos um maior número de termos da

série harmónica:

i 1 1 1 1 1 1

^ + Y + 3 ’+ 4 + T + ' 6 + y + ^ +

1 1 1 1 1 1 1 1 1

+ y + ro + n + 12 + Í3 + 14 + Í5 + 16 + 17‘+

(1)

Escrevamos, ainda, a série auxiliar

. , 1 . í1 1 . 1 . 1 , 1 , 1 ,

l + ^ + ^ + ^ + ^ + ^ + - õ - + - ^ +

4

8

1 1 1 1 1 1 1 1

+ F6+ F6+ F6+ F6+ F6+ 1 6 + 1 6 + 1 6 +

16 termos

+ .32 + '" + 3 2 +

(2)

SÉRIES 269

Constrói-se a série (2) como se segue: o seu primeiro termo é

1 1

igual a 1, o segundo igual a _ , o terceiro e o quarto igual a — ,

2 4

1 1

OS quatro seguintes são iguais a -5-, os oito seguintes a — os dezas-

1 o 16

seis seguintes iguais a ^ , etc.

oZ

Designemos por Sn’ a soma dos n primeiros termos da série

harmónica (1) e por a soma dos n primeiros termos da série (2).

Como cada termo da série (1) é maior que o correspondente

termo da série (2) ou lhe é igual, tem-se para n > 2

Sn> sf-

Calculemos as somas parciais da série (2) para os valores n iguais

a 2\ 2^ 2^ 2». 2*:

S2=l + |- = 1 + 1 - |- ,

(3)

«4= 1 + y + ( - ^ + ^ ) = 1 + y + -|-= 1 + 2 ~ ,

í8= l + y + ( y + y ) + ( y + y + y + y ) = 1 + 3 .1 ,

S i 6 = l + l + ( l + l ) + ( l + . . . + l ) +

4 tci mos

+(i^+..+i^)=i+^4’

8 termos

S 3 2 - l + l + ( l + l ) + ( l + . . . + l ) +

4 lermos

+(i^ + - .+ 4 ) + ( 4 + - + 4 ) = ^ + ^ 4 =

8 termos 16 termos

1 1

calcula-se, do mesmo modo, «26 = 1 + 6--^ , «27 = 1 + 7 - c, em

A Z Z

geral. «24 = 1 +*..^.


Por conseguinte, as somas parciais da série (2) podem ser superiores

a qualquer número positivo, fazendo k suficientemente grande,

isto é, que

lim s^n = oo,

mas resulta, então, da relação (3) que

lim

n-ôo

isto é, que a série harmónica (1) diverge.

§ 3. Comparação das séries com termos positivos

Sejam duas séries de termos positivos

Temos os seguintes teoremas.

+ ^2 + ^3 + • • • + + • • M (1)

+ ^’3 + • • • + + • • • (2)

©

Teorema— 1. Se os termos da série (1) não forem superiores

aos correspondentes termos da série (2), isto é, se

e se (2) converge a série (1) converge também.

Demonstração — Designemos por

segunda série:

n

Un<.Vn{n = \, 2, ...), (3)

i = l

Resulta da condição (3) que

e o„ as somas parciais da

^

Sji On* (4)

Como a série (2) converge, as suas somas parciais têm limites

lim a„ = o.

n-*-oo

Sendo positivos os termos das séries (1) e (2), tem-se On d o,

e. em virtude da desigualdade (4),

s„< a.

Assim, demonstramos que as somas parciais s,^ são limitadas

Notemos que, quando n cresce, a soma parcial s,^ cresce, e resulta

SÉRIES 271

do facto que a sucessão das somas parciais é limitada e cresce

quando tem um limite (*)

e, evidentemente.

lim Sn = S,

n-*oo

5<a.

O teorema 1 permite pronunciarmo-nos sobre a natureza de certas

séries.

Exemplo— 1. A série

converge, dado que os seus termos são mais pequenos que os termos correspondentes

da série

f + -p--!-“2 3 -+ -^ + ••• + - ^ + * • •

que é uma série geométrica da razão a partir do segundo termo. A sua

soma é l A

1

, A série proposta converge

^

e a sua soma é menor que i ^

1

.

Teorema — 2. Se os termos da série (1) não forem inferiores

aos correspondentes termos da série (2), isto é, se

Un >

e se a série (2) diverge, a série (1) diverge igualmerue.

Demonstração — Resulta da condição (5) que

(f>)

Sn>On- (6)

Como os termos da série (2) são positivos, a sua soma parcial fJn

cresce com n, e como diverge

l i m

n - ^ o o

= oo.

Mas, então, em virtude da desigualdade (6),

a série (1) diverge.

l i m Sn = o o ,

* Para se confirmar que a variável tem um limite lembremo-nos

dum critério de existência do limite duma sucessão (ver cap. II, t. I): tuma

variável limitada e crescente tem um limite». No nosso caso, a sucessão das

somas 5^ é limitada e desce, logo tem um limite, a série converge.


Exemplo — 2. A série

diverge, porque, a partir do segundo, os seus termos são superiores aos termos

correspondentes da série harmónica

Yn

qu2 como S2 sabe diverge.

Noía — Os dois critérios que se acabam de dar (teorema 1 e 2)

apenas são legítimos para as séries de termos positivos. Continua a

vigorar quando íaltam vários termos numa ou noutra série. Todavia,

estes critérios já não são verdadeiros se uma qualquer das séries possuir

termos negativos.

§ 4. Regra de Alembert

Teorema (regra de Alembert) — Se numa série de termos positivos

+ ^ + + • • • + + • • • (1)

a relação

Un

tiver um limite finito I quando n-> oo:

n->oo Un

= (2)

1. a série converge quando / < 1,

2. a série diverge quando / > 1

(se / = 1, nada se pode dizer).

Demonstração— 1.

K q < \ (fig. 242).

Seja / < 1. Consideremos o número q tal que

q-L

q-L

l' Jinfjll

I

Fig. 342

Resulta da definição dos limites e da relação (2) que se tem

para todos os n a partir dum certo número N, isto é, para n'^N ,

a desigualdade

Un + i <q-

(2')

SÉRIES 273

Com efeito, como a quantidade —^ tende para o limite /, pode-se

tornar a diferença entre íííLíl e o número / (a partir dum certo N)

Un

inferior em valor absoluto a qualquer número positivo, em particular

2i q — U isto é, que

Un+i - I

Un

< q — L

Esta última desigualdade implica (2'). Escrevamos esta igualdade

para diversos n a partir de N:

^N+2<^q^N + i

(3)

Consideremos agora as duas séries

Ui U2 Un Un+í + ÍÂ'+2 + • •

Un “h ÇUn

qÛN "}■•••

(10 é uma progressão geométrica de razão positiva ^ < 1. Logo

converge. Os termos da série (1). são a partir de u^+i^ inferiores

(1)

(1 ')

L-f

L-f

Fig. 343

aos termos da série (10- Resulta do teorema 1 § 1 que a série (1)

converge.

2. Seja / > 1.

Resulta de lim = /(/> !) que a partir dum certo número N,

n-*-oo Ufi

isto é. para n ' ^ N , sa tem a desigualdade

«n+l. > 1

(fig. 343), ou Un+i> Un para todos os n'^N . Mas isso dizer que os

termos da série crescem a partir do índice iV + 1, logo o termo

geral não tende para zero. A série diverge

18

274 CALCULO DIFERENCIAL 'E INTEGRAL

Exemplo— 1. Estudar a natureza da série

1 . 1 . 1

1.2.3...

Resolução — Tem-sc

1 1

1 1

1.2.. • n n! ’ 1.2.....n(«4-l)' («-hl)I’

J^n +l _ n 1 1

u, n (n + 1) ! « + 1 '

Por conseguinte,

lim — lini

n -|-1

=0 < 1.

Wn =

A série converge.

Exemplo — 2. Estudar a natureza da série

2 22 23 2^

T + ^ + - r + - + ^ + -

Resolução — Aqui, tem-se

2^ 2^+1

í

.2 —^ ; l i m - í ^ = Um 2 - ^ = 2>l.

n + l ’ u„ ^ «+1 4 " 1 n->oo n->oo ^

A série diverge, de resto o seu termo geral

tende para infinito.

Nota — A regra de Alembert permite ver se uma série positiva

converge sòmente no caso em que lim existe e é diferente de 1.

n-voo ^71

Se este limite não existir ou se lim

n-voo

n

= 1, a regra de Alembert

não permite concluir que a série converge ou que diverge, porque

pode, então, tanto convergir como divergir.

Para determinar a natureza de uma tal série, recorrer-se-á a

um outro critério.

n-ri

Notemos, no entanto, que se lim 1 e se o quociente

n - c o U

Un

for maior que a unidade para n suficientemente grande, a série diverge.

Com efeito, se > 1, então Un + i

Un

não tende para zero quando n oo.

Ilustremos o que foi dito com exemplos.

Exemplo — 3. Estudar a convergência da série

'2 + '3 + T + "' n + l + ■

Un e o termo geral

SÉRIES 275

Resolução — Tem-Se

lim ^n-H

n-*>oo Uji 1V-H30 ^ n-¥CO

w -j- 1

A série diverge, porque i í í i ± i > l para todo o n:

un

^n+l _ n^-\-2n-\-í

U n «2 _|_ 2n > 1 .

Exemplo — 4. Apliquemos a regra de Alembert à série harmónia

1 1 1

1 + 2 + T + - + I + -

Tem-se = —-

^ /I ’ ^n+i n + i

e, por conseguinte,

lim -íííí±L= lim

n ->o o **7i n -> o o ' í + 1

Portanto, a regra de Alembert não permite dizer nada sobre a convergência

ou divergência da série harmónica.

Mas estabeleceu-se doutro modo que esta série diverge.

Exemplo — 5 Estudar a convergência da série

= 1 .

1

——h 1 .2 ^ 2 —.3 H—-—h ^ 3 -4 ^ ••••

n (/i+ 1)

Resolução — Tem-se

.. 1 .. 1

**"~n(n + l ) ’ (n+l)(ra + 2)’

lim Jía±L = lim

Um

n -.o o n -.o o ( ^ “ h 1 ) ( ^ “ 1” n ->o o

n + 2 = 1.

A recra d’ Alembert nada dá. Mas oode-se demonstrar que esta série

converge por outras considerações. Com efeito,

1 1 1

/i(n+l)~n n + 1 ’

e pode-se recopiar a série dada sob a forma

(t “ t ) + (t “ t ) + (t ~ t ) +• • • + ) + • • •

Reduzindo os termos semelhantes, obtém-se a expressão da soma parcial Sn :

Por conseguinte,

\ ,

fi -|“ 1

lims,i=lim ( l-----

n-¥co n-¥co n -> o o V \ /

a série converge e a sua soma é igual .a 1.


§ 6. Regra de Cauchy

Teorema (regra de Cauchy) — Sendo dada a série

de termos positivos, se a quantidade Y

/i->oo, isto é, se se tiver

n ---

lim y Un = l,

n->oo

1. a série convege se I < l

2. a série diverge se l > l.

+ ^2 + + • • • + + • • • (1)

tiver limite finito I quando

Demonstração — 1. Seja / < 1. Seja q um número tal que / < ^ < 1.

Ter-se-á, a partir dum certo n = IV

Dal resulta que

\V

VUn < q

ou melhor

Un<q"

para todos os m M

Consideremos, agora, as duas séries:

4 " ^ 2 “ h ^ 3 “ I” • • • “ I” “ h ^JV + l 4 “ ^N+2 4 “ • •

N , JV + 1 , N+2 I

q +q +q 4 - ...

(1')

A série (10 converge porque os seus termos formam uma progressão*

geométrica decrescente. Os termos da série (1) são. a partir

de inferiores aos respectivos termos de (10- Logo a série (1) converge.

2. Suponhamos / > 1. Ter-se-á, a partir dum certo n = N

V u „ > l

ou mrihor

u„ > 1 .

A série diverge, evidentemente.

Exmnple — Estudar a convergência da série

(1)

Resolução — Apliquemos a regra de Cauchy:

n->co ?i-»-oo ' \ i / n V

A série converge.

7,— n r = 2 < ‘-

SÉRIES 277

Nota — Tal como para a regra de Alembert o caso em que

lim Z = 1

n-ôo

exige um estudo particular. A série pode. então, tanto convergir eomo

divergir. Assim, para a série harmónica (que. como se sabe. diverge)

lim V lü ^ = lim 1 / ~ = 1.

n-ôo n->-oo ' W

V T

Para nos assegurarmos disso, mostremos que lim Log 1 / — =»= 0.

n-+oo y

Com efeito,

X 1 / 1 1. —Logn

hm Log 1/ — = lim--------------- .

n-ôo ^ n 71-^00 n

O numerador e o denominador desta fracção tendem para infinito.

Apliquemos a regra d’Hospital:

_ _ J.

Ikn Log lim u „ — 1 = 0 .

n-*-oo ’ n n->-oo n n-*<» 1

Assim, Log 1/ ^ ^

O mesmo se diga da série

para a qual

lim ] / ^ = í.

n-^ 0 0 ! n

1 . 1 . 1 _r

-2

n

lim n . = lim l / X - lim i T - ! - - = !•

Mas esta série converge porque a partir do «agundo, os seus

termos serão inferiores aos da série convergente

(ver exemplo 5, § 4),

1 1 1

— + - ^ + ...H---------------!-•••

l-2 ~ 2 -3 ~ «(n + 1)


isto é,

§ 6. CcHnparação com um integral

Teorema — Seja a série de termos positivos não crescente

+ ^^2 + ^3 + • • • + (1)

^ • • I

e seja / (;c) uma função contínua não crescente tal que

f{í) = Ui; /(2) = U2: •••: f{n) = u.. (2)

Pode-se, então, afirmar que:

1. se o integral

oo

J / (x) dx

converge (ver § 7, cap. XI. t. I). a série íl) converge igualmente:

2. se o integral diverge, a série (1) converge.

Demonstração — Representemos os termos da série geomètricamente,

reportando ao eixo das abcissas, os números dos termos 1,

1, 3, n, ^ + 1. ... e verticalmente os seus valores Wi, 1/2........

(fig. 344).

ConstruSmos, sobre a mesma figura, o gráfico da função não

crescente

y = f (^)

que satisfaz à condição (2).

Nota-se, na figura 344, que o primeiro rectângulo construído tem

por base 1 e por altura f (1) = Ui. A área deste rectângulo é, pois, u^,

A área do segundo rectângulo é Uo, e a área do de ordem n e último

rectângulo construído é A soma das áreas dos rectângulos construídos

é igual à soma dos n primeiros termos da série. Por outro

SÉRIES 279

lado a figura em escada formada por estes rectângulos contém o

domínio limitado pela curva y = f(x) e as rectas jc = 1, ac = /i + 1,

Tl-f" 1

y = 0; a área deste domínio é igual a j / (x) dx.

'i

Por conseguinte.

n + l

s » > j i(x)ãx. (3)

1

Consideremos, agora, a fig. 345. Aqui, o primeiro rectângulo

construído tem por altura e a sua área é também Wo. A área do

segundo rectângulo é M3, etc. A área do último rectângulo construído

é ^ 1+1* Por conseguinte, a área de todos os rectângulos construídos

é igual à soma dos (n+l) primeiros termos da série menos o primeiro,

ou seja. Sn+i — Ui. Por outro lado. como é fácil de ver,

a figura em escada formada por estes rectângulos está compreendida

no trapézio curvilíneo formado pela curva y = f(x) e ãs rectas x = 1,

n + l

x = n +l, y = 0. A área deste trapézio curvilíneo é igual a | / (a:) dx.

Logo

n + l

« n + l — » 1 < í f ( x ) d x ,

1

donde

n + l

» n + l < í f ( x ) d x - j ^ U , .

1

(4)

Consideremos, agora, os dois casos.

00

1. Suponhamos que o integral I f (x) dx converge, isto é, que

1

tem um valor finito.

Como n+l 00

j f (x) dx < y (x) dx,

i 1

tem-se, em virtude da desigualdade (4),

00

1

isto é, que a soma parcial é limitada qualquer que seja n. Ora,

ela cresce com n, porque todos os Un são positivos. Logo tem

um limite finito quando n oo

a série converge.

lim Sn

n-foo


2. Suponhamos em seguida que \ f {x) dx = oo.Tal quer dizer

n-hl

í

que I f (:r) dx cresce indefinidamente com Mas, então, em virtude

i

da desigualdade (3), cresce também indefinidamente com n, k4o é,

a série diverge.

O teorema, está pois, completamente demonstracfo.

Exemplo — Estudar a convergência da série

1 1 1 1

IP n- 2p ^ 3P 4" • • • n- .

Resolução — Comparemos com o integral da função

que satisfaz a todas as condições do teorema. Considermos o integsal

1 VLogx |J^ = Log para p = 1 .

= {Ní-p— 1) para p i.

Façamos tender N para infinito e estudemos a convergência do integral

segundo os casos.

Poder-se-á, então, julgar da convergência do integral segundo os valores de p.

Se p > 1, j

oo

1

oo

Í

^ ^ , o integral é finito, logo a série diverge.

d x

- ^ = oo, o integral é infinito, a série diverge.

. r dx

Se P — 1, \ — — oo, o integral é infinito, a série diverge.

Notemos que nem a regra d*Alembert nem a dc Cauchy resolvem a

questão da convergência desta série. Com efeito.

lim

n-voo

^n+í

—lim

n —►oo

: 1,

l / - ^ = lim = .iP ^ \,

n-ôo 71-^00 ^ 71-voo Vr /i /

SÉRIES 281

§ 7. Séries alternadas. Teorema de Leibniz

Considerámos, até agora, séries de termos positivos. Neste parágrafo

vamos considerar séries cujos sinais dos termos são alternados,

isto é, séries da forma

em que Wi. «2........

l/j — Uo W3 — “1“ • • •»

• • são positivos.

Teorema de Leibniz — Se numa série alternada

os termos vão decrescendo

e se

Ui — 1/2 + — W4 -f- • • . (Un !> 0), (1)

l^l>U2>^/3>. . . (2)

lim w „ = 0, (3)

n -^00

a série (1) converge, a sua soma é positiva e não é superior ao primeiro

termo.

Demonstração — Consideremos a soma dos n = 2m primeiros termos

da série (1):

S2m — (Ui — U2)^{Uq— Ui^-\- . . . + (í^2m-l — í^2m)«

Resulta da condição (2) que as expressões entre parêntesis são

positivas. Logo a soma ^2m é positiva

*2m> 0

e cresce com m.

Recopiemos, agora, esta soma sob a forma

S2m = “ 1 — (« 2 — M3) — ( « 4 — W5) — . . •

• • • — (W 2 m -2 — ^2m-i) — “ 2m-

Em virtude da condição (2), cada expressão entre parêntesis é

positiva, logo, subtraindo todas as expressões entre parêntesis de Ui,

obtém-se um número inferior a «i, isto é, que

S2m < «1-

Por conseguinte, estabelecemos que cresce com m e é limitada

superiormente. Resulta que «zm tem um limite s:

Q

lilU $2m =

m -.o o

0 < s< u j.


Todavia, não demonstrámos ainda que a série converge; demonstrámos

somente que a sucessão das somas parciais pares tem um

limite 5. Demonstremos agora que as somas parciais ímpares tendem

também para s.

Consideremos, para esse efeito, a soma dos n = 2m + ] primeiros

termos da série (1):

^ 2 m + l = = ^2m + ^ 2 m + l -

Como, segundo a condição (3). lim í^2m+i =- 0» tem-se

m-yoo

lim S2m+i = lim S2m + üm U2m+i = üm S2m = s.

Y fl-y - C K > m ->oo 771->00 j n - y - o o

Do mesmo modo, demonstramos que lim

quer seja ímpar.

Logo a série converge.

n-y-oo

= s quer n seja par

^5

Fig. 346

^3

N ota— 1. O teorema de Leibniz pode ser ilustrado geométricamente

como se segue. Reportemos ao eixo numérico as somas parciais

(fig. 346):

Sj = Ui, $2 = Wi — U2 = ^1 U21 ^3 ^2 H“ ^3»

^4 = ^3 — ^4» ^5 = ^4 + ^5»

e assim sucessivamente.

Os pontos que representam as somas parciais tendem para um

ponto 5 que representa a soma da série. As somas parciais pares

encontram-se à esquerda de s, as somas parciais ímpares à direita de s.

Nota — 2. Se uma série alternada satisfaz à condição do teorema

de Leibniz. não é difícil avaliar o erro cometido quando se substituir

a sua soma s por uma soma parcial ^T^-Isto equivale a desprezar todos

os termos a partir de ^^77+1. Mas estes termos formam uma série

alternada cuja soma é, em valor absoluto, inferior ao primeiro termo

SÉRIES 283

desprezado (í^+i). Por conseguinte, o erro cometido quando se substitui

s por Sj^ não ultrapassa em valor absoluto o primeiro termo desprezado.

Exemplo— 1. A série harmónicía alternada

converge porque

1----- 4 - ^ ___ L_l

2 ^ 3 4

2) lim Un= lim — =0.

n -fo o n-*oo ^

A soma dos n primeiros termos desta série

1 1 1 1

difere da soma s da série por uma quantidade inferior a


n + í •

1 1 1

1----—4 t---- 1 L

2! ^ 31 41

converge em virtude do teorema de Leibniz.

§ 8. Séries de termos de sinais quaisquer

Convergência absoluta e semi-convergência

Uma série diz-se de termos de sinais quaisquer se se encontra

entre os seus termos, quer termos positivos quer termos negativos.

As séries alternadas do parágrafo anterior são, evidentemente,

um caso particular das séries de termos quaisquer.

Vamos examinar algumas propriedades das séries de termos de

sinais quaisquer.

Contràriamente à convenção adoptada no parágrafo anterior, admitiremos

daqui em diante que os números Wi, W2. ...» ... podem ser

quer negativos quer positivos.

Vamos dar, em primeiro lugar, um importante critério suficiente

da convergência das séries de termos de sinais quaisquer.

Teorema— 1.

Se a série de termos de sinais quaisquer

+ ^2 + • • • + + • • • (1)


é tal que a série formada com os valores absolutos dos seus termos

I I “ h I ^ 2 I + • • • + I I “ h • • • ( 2 )

converge, a série proposta também converge.

Demonstração — Sejam e as somas dos n primeiros termos

das séries (1) e (2).

Sejam ainda s'n a soma de todos os termos positivos e a soma

dos valores absolutos de todos os termos negativos contidos nos n

primeiros termos da série proposta

Sn = Sn — Sn\ CT^ = 5,^ + .

Por hipótese, tem por limite o ; e Sn são quantidades

positivas crescentes inferiores a a. Logo, têm limites s e i". Resulta

da relação = Sn — sú q u e também tem um limite que é igual

a / — "5, isto é, que a série de termos de sinais quaisquer (1) converge.

O teorema demonstrado permite julgar da convergência de certas

séries de termos de sinais variáveis. O estudo da questão da convergência

duma tal série reduz-se, então, ao estudo duma tal série de

termos positivos.

Consideremos dois exemplos.


sen a , sen 2a , sen 3a

12 ' 22

f ...H-

32

onde a é um número qualquer.

sen na

«2

Resolufão — Consideremos, paralelamente à série proposta, as séries

(3 )

sen a

12 + sen 2a +

sen 3a sen na

32 + • - n2

(4)

12 ^ 22

1 1

A série (5) converge (ver § 6). Os termos da série (4) não são superiores

aos termos da série (5); logo (4) também converge. Resulta do teorema

demonstrado que a série (3) converge também:


JX ^ 3X _ JX

COS - 7- COS 3 COS 5 - 7-

COS (2n — 1)

4 , 4 , 4

3 i 32 I 33 T ••• I 37»

Resolução — Consideremos, ao mesmo tempo que a série proposta, a série

+

J _+ _L +

3 - 1 32 r 33 - r • • • I 3 « 0)

(5)

(6)

SÉRIES 285

Esta série converge, porque é uma progressão geométrica de razão — .

o

Resulta daí a convergência da série dada (6) porque os seus termos são

inieriores em valores absolutos aos termos da série (7).

Notemos que o critério de convergência demonstrado acima é

simplesmente suficiente para que uma série de termos quaisquer converja,

mas não necessária; existem séries com termos de sinais variáveis

que convergem, mas cujas séries dos valores absolutos divergem.

Daí, ser útil introduzir as noções de convergência absoluta e

semi-convergência para as séries de termos quaisquer e classificar assim

estas séries.

Definição — A série de termos de sinais variáveis

“h ^2 “h ^3 4“ • • • H“ • • • (1)

diz-se absolutamente convergente se a série formada com os vaíores

absolutos dos seus termos

I 1+ I I+ I í + • • • + I I+ • • • (2)

converge.

Se a série (1) converge, mas se a série (2) diverge, a série proposta

(1) diz-se semi-convergente ou não absolutamente convergente.

Exemplo — 3. A série harmónica alternada

1 1 1

1---- - 4 - - ------—4-...

2 ^ 3 4 ^

é se mi-convergente, porque a série dos valores absolutos é a série harmónica

1 1 1

1 + T + T + T + -

que diverge. A série harmónica alternada converge, como resulta do critério

de Leibniz.


1 1 1

é absolutamente convergente, dado que a série dos valores absolutos

1 1 1

converge, como ficou estabelecido no § 4.

Utilizando a noção de convergência absoluta, formula-se muitas

vezes o teorema 1 como se segue: uma série absolutamente convergente

é convergente.

Indiquemos para terminar (sem demonstração) as seguintes propriedades

das séries absolutamente convergentes e semi-convergentes.


Teorema — 2. Se uma série converge absolutamente, ela converge

absolutamente quando se muda arbitràrramente a ordem dos seus termos,

A soma duma tal série não depende da ordem dos seus termos,

Esta propriedade não se conserva para as séries semi-convergentes.

Teorema — 3. Se uma série é semi-convergente, pode-se reagrupar

os seus termos de maneira que a soma da nova série obtida seja igual

a um número A dado antecipadamente, Além disso, pode-se reagrupar

os termos duma série semi-convergente de maneira que essa nova

série seja divergente.

A demonstração destes teoremas sai do âmbito deste curso. Para

ilustrar o facto de que se pode reagrupar os termos duma série semi-

-convergente de maneira a modificar a sua soma, consideremos o

exemplo seguinte.

Exemplo — 5. A série alterada

1— — + —-----—+ ...

(8)

2 ^ 3 4 ^

não converge absolutamente. Seja s a sua soma. Tem-se, evidentemente, s > 0.

Reagrupemos os termos de (8) de modo que um termo positivo seja seguido

de dois termos negativos:

A A A A 4

. (9)

Mostremos que a série obtida converge, mas que a sua soma / é duas

A

vezes menor que a soma da série (8), isto é, que é igual a — s. Sejam c

2

as somas parciais das séries (8) e (9). Consideremos a soma dos 3k termos

da série (9):

"3'‘" + • • • + “

= (t ~ t ) + (t ~ t ) + •• • + =

' ' T [ ( ^ “ T ) + ( T “ T ) + "- + (2 fc ^ “ Í ) ] =

1 1 , 1 1 , , 1 1 1 .

’ 2 V ^~ 2 + 3 4 ■*■••• + 2fc — l 2fc 2 *2'''

Por conseguinte. 1 1

lim lim -5- í2ft = - ^

ft-fCO /í-VOO ^ ^

Depois

lim s

A->>oo

1 = lim (sg

k-*oo \

lim s2k f-2= lim I 5Ó

fe-voo k-^co \ ^

1 \ 1

3» ' 2k + \ l ) “ 2

1

2fe + l Ak + 2} ~ 2

SâRIES 287

Logo, obtém-se

lim

nôo

^

Vê-se que a soma da série mudou após reagrupamento dos seus termos

(diminuiu de metade).

§ 9. Séries de funções

Chama-se série de junções a toda a série na qual o termo geral

é uma função duma variável x.

Consideremos a série de funções

Uj (x) + U2 (x) + U3 (x) + . . . + (x) + . . . ( 1 >

Dando a x diferentes valores numéricos obtém-se diferentes séries

numéricas que podem tanto convergir como divergir.

O conjunto dos Valores de x para os quais a série de funções

converge chama-se domínio de convergência dessa série.

É evidente que, no domínio de convergência duma série de funções,

a sua soma é uma certa função de x.

Eis porque se a designa por ^(jc).

Exemplo — Consideremos a série

l + a: + x2-f...+x^+...

Esta série converge para todos os jc no intervalo (— 1, 1), isto é,

para todos os x que satisfaçam à condição |jc|<l. Para todo o valor de x

deste intervalo, a soma da série é igual a (a soma duma progressão

í — x

geométrica, decrescente de razão x). Por conseguinte, a série proposta define

no intervalo (— 1, 1) a função

S

( l ) =

1 — X

que representa a soma da série, isto é, que

1

í — x

= l+a; + x2-t.x3+.

Designemos por (x) a soma dos n primeiros termos da série (1),

se esta série converge e se a sua soma é s(x), então,

onde r„ (x) é o resto da série (1):

s(x) = s„(x) + r„(x),

r„ (x) = w„+i (x) + «„+2 (a:) + . . .

288 CÁL.CULO DIFERENCIAL. E INTEGRAL.

Temos para todos os x do intervalo de convergência lim s^, (x) =

n-ôo

= s (x), logo

lim r„ (x) — lim [s (x) — s„ (x)] = 0,

71-► oo

o que mostra que o resto

zero quando oo.

(x)duma série convergente tende para

§ lO. Séries majoffrveis

Definição — A série de funções

U , ( x ) + M 2 ( ^ ) + « 3 ( ^ ) + • • • + W n ( - Í ^ ) + • • • (1)

diz-se majorável num certo domínio de variação de x, se existir uma

série numérica convergente de termos positivos

^1 + 0^2 + 0^3 + • • • + + • • • (2)

tal que se tenha para todo o x do domínio considerado

|w i(x)|< a,, |i/2 (x )|< a 2 , |Un(x)|<a„, . . . (3)

Por outras palavras, uma série é majorável se cada um destes

termos não for superior em valor absoluto ao termo correspondente

duma série numérica convergente de termos positivos.

Assim, a série

COS X

~ r ~

c o s 2 .r , c o s 3 : r ^

o2

I

3"

I • • •

cosnx

é majorável sobre todo o eixo Ox. Com efeito, tem-se para todos os

valores de x a relação

e sabe-se que a série

cosnx <

1

(^ = 1, 2, ...) ,

converge.

Resulta imediatamente da definição que uma série majorável

num certo domínio é absolutamente convergente em todos os pontos

desse domínio (ver § 8). Além disso, numa série majorável goza da

importante propriedade seguinte.

SÉRIES 289

Teorema — Suponhamos que a série de junções

(^) + ^^2 (^) + • • • + ^ n W + • • •

é majorável sobre o se^menfo [a, h]. Sejam s (x) a soma desta série,

a soma dos seus n primeiros termos. Então, corresponde a

qualquer e > 0 arbitrar lamente pequeno um número N tal que para

todos os n '^ N

\s(x) — (x) I < e,

qualquer que seja x sobre o segmento [a, b \

Demonstração — Designemos por tr a soma da série (2):

a = ai + a 2 + as + . . . + a,i + a„ + i + . .

Tem-se

= CTn +

em que o,, é a soma dos n primeiros termos de (2) e

desta série:

t'7, = ^n + i + OÍ71+2 + • • •

Como esta série converge, tem-se

e, por conseguinte.

em que

lim 0,1 = 0

71-► CX'

o resto

lim 8,1 = 0 .

7í - ► 0 0

Escrevamos, agora, a soma da série de funções (1) sob a forma

s (x) = Sn (x) + r„ (x),

Sn (X ) = U i (x) + . . . + Un (x),

fn i^) = “ n + 1 W + “ n + 2 ( ^ ) + U„+3 + • ■ •

Resulta da condição (3) que

I ^ n + l (•^) I I ^ n + 2 ( ^ ) I O ín + 2 t • • •

e, portanto,

I (-^) I

para todos os x do domínio considerado.

Ís (-í;) — s „ ( x ) |< e „

para todo o jc do segmento [a, b] e e,^ -► 0 quando « oo.

Nota — O resultado obtido pode ser ilustrado geomètricamente

como se segue.

Consideremos o gráfico da função y = s Cr). Construamos uma

faixa de largura 2sn . sobre esta curva, isto é, construamos as curvas

y = 5 (x) + 8^ e y = s(x)- En (fig. 347).

19


Nestas condições qualquer que seja o gráfico da função Sn (x)

ficará contido completamente nesta faixa que conterá igualmente os

gráficos de todas as somas parciais seguintes.

Nota — Numa série de funções arbitrárias convergindo sobre o

segmento [a, b], não goza forçosamente da propriedade demonstrada

no teorema. Mas existem séries não majoráveis que gozam da referida

propriedade. Toda a série que goza desta propriedade diz-se uniformemente

convergente sobre o segmento [a, b].

Assim, a série de funções Ui (jc) + «2 W + ... 4- u,^ (jc) + ... diz-se

uniformemente convergente sobre o segmento [a, b] se corresponde a

todo o e > 0 arbitràriamente pequeno um número N tal que, para

todo o n '^ N, se tenha

\s(^) — Sn{^)\<e

qualquer que seja x sobre o segmento [a, b \

Resulta do teorema demonstrado que uma série majorável é

uniformeménte convergente.

§ 11. Continuidade da soma duma série

Seja uma série de funções contínuas

u, (x) + U2(a:) + ,. . + Ií„ (x) + . . .

convergente sobre um segmento [a, 6].

Demonstramos no capítulo II (t. I) um teorema sobre a continuidade

da soma de um número finito de funções continuas. Esta

propriedade já não é conservada para a soma duma série (que contém

SÉRIES 291

uma infinidade de. termos). Certas séries de funções contínuas têm

por soma funções descontínuas.

Exemplo — Consideremos a série

JL J _ JL ^ ± 1 1

Os termos desta série (que figuram entre parêntesis) são funções continuas

qualquer que seja jc. Mostremos que esta série converge e que a sua soma

é uma função descontínua.

Achemos a soma dos n primeiros termos desta série:

1

Calculemos a soma da série:

Se ;c > 0 1

5 = lim (x)= lim (x 2’^'Hi —x) = l—x,

n —yoo n —yoo

Sc a: < 0 1

s= lim Sn {x)= lim (— | x \ — x) = — 1 — x

n-¥co

n->oo

Se JC= 0, tem-se = logo s- lim s^ = 0. Tem-se, pois:

n-^co

S(i) = l_ x para ®>0,

s(i) = —1—I para i< 0 ,

s(x) = 0 para x = 0.

Assim, a soma da série considerada é uma função descontínua. Representamos

o seu gráfico na figura 348, bem como das somas parciais (x), (;c)

e í,W.


O teorema seguinte diz respeito às séries majoráveis.

Teomera — A soma duma série de funções contínuas majorável

sobre o segmento [a, b] é uma função contínua sobre esse segmento.

Demonstração — Consideremos a série de funções contínuas majorável

sobre o segmento [a, b]

onde

c

Ui (x) + Uz (x) + U3 (x) + . . . (1)

Escrevamos a sua soma sob a forma

s(x) = s„ (x) -t-r„ (x),

s„ (x = Uj (x) + . . . + u„ (x),

^71(^)

^71 + 1(^) H” ^71+2 (X) -+“ • • •

Tomemos sobre o segmento [a, b] um x arbitrário e demos-lhe

um acréscimo Ax, tal que jc -f Ajc pertença a [a, b \

Introduzamos as notações

então.

donde

As = 5 (x + A:r) — s{x);

As^ = Sn(x+ Ax) — Sn (x) |

As = As^ + rn{x + Ax) — (x),

Asj < 1A s J + I rn {x + Ax)\ + \ (x) |. (2)

Esta igualdade é verdadeira para todo o n.

Para demonstrar a continuidade de s(jc), é preciso demonstrar

que, qualquer que seja e > 0 arbitràriamente pequeno, antecipadamente

dado, existe 8 > 0 tal que, para todos os j Ajc ! < 8, se tenha | As | < e.

Como a série proposta (1) é majorável corresponde a todo o

e > b um n tal que

e

I rn { ^ ) I <

3 ’

(3)

qualquer que seja jc sobre o segmento [a, b]. O número jc + Ajc pertence

ao segmento [a, 6], logo

i rjí (x + Ax) | < -^ .

(3')

Por outra via, para o N escolhido, a soma parcial (x) é uma

função continua (a soma dum número finito de funções contínuas), e.

SÉRIES 293

por conseguinte, pode-se escolher 8 positivo tal que. para todo o Ajc que

satisfaça à condição | Ajc| < 8 se tenha

I Aspf I <

•

(4)

Resulta das desigualdades (2). (3). (3'). (4)

isto é.

I < e . visto que | Ax | < ô,

o que prova que 5(;c) é uma função contínua no ponto x (e, portanto,

em qualquer ponto do segmento [a, Z?]).

Nota — Resulta do teorema demonstrado que se a soma duma

série e descontínua sobre um segmento dado [a, b], a série não pode

ser majorada sobre esse segmento. Assim,, a série estudada como

exemplo não pode ser majorada sobre todo o segmento que contém

o ponto .X= 0 no qual a série é descontínua.

Notemos, por fim, que o recíproco não é verdadeiro; existem

séries não majoráveis sobre um segmento mas que convergem sobre

esse segmento para uma função contínua. Em especial, qualquer série

uniformemente convergente sobre o segmento [a, b] (mesmo se não

for majorável) tem por soma uma função contínua (se, bem entendido

todos os seus termos fòrem contínuos).

Teorema— 1.

§ 12. Integração e derivação de séries

Seja a série de junções contínuas

Ui ( x ) + « 2 ( i ) + • • • + “ n W + • • • (1)

majorável sobre o segmento [a, b] e seja s(x) a sua soma. O integral

de s (x) entre a e x, pertencente a [a, i], é igual à soma dos integrais

dos termos da série entre os mesmos limites:

ou

X X X X

I S {x) dx = I U^{x) dx I U2 {x) dx I Un{x) dx .

a a a a

Demonstração — A função s{x) pode ser posta sob a forma

s(x) = s„^xj + r„(x)

s(x) = Ui(x) + M2 (x) + ... -I-

(x) + r„ (x).


Tem-se

5 s (x) dx = J (x) dr + J (^) dr + • • •

a a a

X

X

... + Ûn(x)dx+ I rn(x)dx (2)

(o integral duma soma finita de termos é igual à soma dos seus

integrais).

Como a série proposta (1) é majorável, tem-se, qualquer que

seja X, I r„ (x) | <; e„, onde e„ 0 quando « ^ oo. Logo

OU

I f r„ (x) d x |< ± S I r„ (x) I d x < ± S e„ dx =

a cc cx

= ± e „ (x — a ) < e „ (6 — a).

Como e„ -► 0, tem-se

X

lim 5 r„ (x) dx = 0.

n-ôo a

Mas, deduz-se de (2)

* * * *

J rn(x)dx= J s{x)dx— [ J iii(x ) d x + . . . + ^ u„(x)dxl.

a a a a

Por conseguinte,

X X X

lim { j s (x) dx — [ J ui (x) dx + . . . -1- J u„ (x) dx ]) = 0

n-»»oo a

lim [ j Ui (x) dx -f . . . + j w„ (x) dx ]= J s (x) dx. (3 )

7i-ôo a

A soma entre parêntesis recto é uma soma parcial para a série

X

X

í u, (x) dx - f . . . -f í u„ (x) dx - f . . . (4)

a

a

Como as somas parciais desta série têm um limite, esta série

X

converge e a sua soma é igual, em virtude de (3), a | s (x) dx, ou seja

a

X X X X

5 s(x)dx= 5 u i ( x ) d x - f ^ U 2 ( x ) d x - | - . . . - f ^ u „ ( x ) d x .

a a a a

£ a igualdade- que nos propúnhamos demonstrar.

SÉRIES 295

N ota— 1. Se a série não for majorável, não é sempre possível

X

integrar termo a termo, isto é. que o integral J s {x) dx da soma

a

da série (1) não é sempre igual à soma dos integrais dos seus

termos (isto é, a soma (4)).

Teorema — 2.

Se a série

Ui (^) + (^) + • • • + (^) + • • • (5)

de funções que têm derivadas contínuas sobre [a, 6], converge sobre

este segmento para 5(jc) e se a série

Ui (^) + ^2 (*^) + • • • H“ (^) + • • •» (®)

formada com as derivadas dos seus termos, é majorável sobre este.

segmento, então, a soma da série das derivadas é igual à derivada da

soma da série proposta:

s (x) = u[ (x) + Ü2 (x) + u^{x) + . . . + Un(x) + ...

Demonstração — Designemos por F(jc) a soma da série (6):

e demonstremos que

F (x) = u\ {x) + ^2 (o:) + . . . + Un (^) + • • •

F (x) = s (x).

Como a série (6) é majorável, tem-se, em virtude do teorema

anterior.

X X X X

I F (x) dx= ^ u'i (x) dx I Uzix) dx + . .. u’n{x) dx + . . .

a a a a

Integrando no segundo membro, obtém-se

Mas

ac

I F{x)dx = [ui (x) — ui (a)] +

a

[U2 (^) — U2 (oc)] -f" • • • “1” \Un {^) Un (ot)] 4" • • •

S {x)= {x)- |- U2 {x) “1- (^) “!” •••»

S (oc) = 1^1 (oc)>f‘ í^ 2 (tt) 4“ • • • “t” Uji (oc) 4" • • •»

quaisquer que sejam jc e a sobre o segmento [a, 6]. Por conseguinte.

] F(x)dx = s{x) — s{a).


Derivando em relação a x, os dois membros desta igualdade,

obtém-se , , ,

F{x) = s (x).

Por conseguinte, demonstramos que sendo as condições do teorema

satisfeitas, a derivada da soma duma série é igual à soma das

derivadas dos seus termos.

Nota — 2. É muito importante que a série derivada seja majorável,

porque se esta condição não for observada, a derivação termo a^* termo

pode-se tornar impossível.

Para confirmar este facto, consideremos um exemplo duma série

majorável que não possa ser derivada termo a termo.

Consideremos a série

senl^x sen . sen

+ — !-••• + sen n x

r

Esta série converge para uma função contínua, porque é majorável.

Com efeito, qualquer que seja x, os seus termos são inferiores,

em valores absolutos, aos termos da série numérica convergente

1 . 1 1

+ T r + T ^ + --- + - ^ + ---

1 O n

Escrevamos a série formada com as derivadas dos termos da

série proposta:

COS X + 2 ^ COS 2 ^ + • • • + c o s n ^ x + . . .

Esta série diverge. Assim, quando x = 0. transforma-se em

1 + 2^ + 3^ + . . . + + . . .

ípoder-se-ia demonstrar que diverge não sòmente para x = 0).

I 13.

Séries inteiras ou séries de potências

Intervalo de convergência

Definição— 1. Chama-se série inteira ou série de potências a

uma série da forma

^0 H” “h 0,2^^ -f- . . . -f- üj^X^ -|- ( 1 )

em que ao, fli, a2. .... ... são constantes dadas, chamadas coeficientes

da série.

O conjunto dos pontos de convergência duma série é um intervalo,

que se pode reduzir a um ponto. Para nos certificarmos disso, demonstraremos.

em primeiro lugar, o teorema seguinte, fundamental na teoria

das séries inteiras.

SARIES 297

Teorema (d’Abel) — 1. a) Se uma série inteira converge para

um certo valor de jCo, não nulo, converge absolutamente para qualquer

valor de x tal que

I ^ I < C I ^ 0 1 »

b) Se a série diverge para um certo valor de x^, diverge para

qualquer x tal que

Demonstração— 1.

Como, por hipótese, a série numérica

^0 “1“ ^1^0 “1“ ^2*^0 “h • • • “h ■!“••• (1 )

converge, o seu termo -► 0 quando n -> oo, o que prova que

existe um número positivo M tal que todos os termos da série são

inferiores em valor absoluto a M.

Recopiemos a série (1) sob a forma

ÜQ+ ÜíXq( ----^ + ^2^0 Í ----1 + • • • + Í ----1 + • • • (1^)

e consideremos a série dos valores absolutos dos seus termos:

I^0 I+ I<*1^0 I X

+ IÜ2XqI X X q

2

+ •••

• • • + I ^ 71^0 I + . . . (2)

Os termos desta série são inferiores aos termos correspondentes

da série

M + M

Xq

+ M + ... + M (3)

Quando | jc | < | jco|. esta última série é uma série geométrica de

razao < 1, logo, converge. Como os termos da série (2) são

X q

inferiores aos de (3), resulta que a série (2) converge também, o que

significa que a série (la) ou (1) converge absolutamente.

2. Já não é difícil, agora, a segunda parte do teorema: suponhamos

que a série (1) diverge num certo ponto Então, ela divergirá

também em qualquer ponto x tal que \x\> \ x^\- Com efeito, se

ela convergisse num certo ponto x que satisfaça a esta condição, em


virtude da primeira parte do teorema, convergiria igualmente no

ponto xó, porque | xó | < 1^ 1- Mas, isto é contrário à hipótese que

a série diverge no ponto xó* Logo a série diverge também no ponto x,

O teorema está completamente demonstrado.

O teorema d’Abel permite julgar da disposição dos pontos de

convergência e de divergência duma série inteira. Com efeito, se Xo

é um ponto de convergência, todos os pontos do intervalo (—| Xo 1, \xo\)

são pontos de convergência absoluta. Se xó é um ponto de divergência,

toda a semi-recta à direita de | xó | e a semi-recta à esquerda de —| xó |

são constituídos de pontos de divergência.

a série converge

a série diverge

a série diverge

Fig. 349

Isto permite concluir que existe um número R tal que os pontos

IXI < /? são pontos de convergência absoluta, e os pontos | x | > /?

pontos de divergência.

Tem-se. pois, o teorema seguinte sobre a estrutura do conjunto

dos pontos de convergência duma série inteira.

Teorema — 2. O conjunto dos pontos de*convergência duma série

inteira é um intervalo centrado sobre a origem das coordenadas.

Definição — 2. Chama-se intervalo de convergência duma série

inteira ao intervalo compreendido entre os pontos — R c + R tal que

a série converge, e mesmo absolutamente, nos pontos x desse intervalo

e diverge nos pontos x que lhe são exteriores (fig. 349). O número R

chama-se raio de convergência da série inteira.

Nas extremidades do intervalo (isto é. nos pontos x = /? e x = — /?),

a questão de convergência ou de divergência da série proposta deve

ser objecto dum estudo especial.

Notemos que para certas séries o intervalo de convergência se

reduz a um ponto (^ = 0) e para outros estende-se a todo o eixo Ox

(R = 00).

Indiquemos um modo para determinar o raio de convergência

duma série inteira.

Consideremos a série

ÜQ -f- ã \ X - |- 4 “ • • • “I" “[” ••• (1)

SÉRIES 299

e formemos a série dos valores absolutos dos seus termos:

|aol + l«lIIÎ + l«2ll^l' + l«3ll^l' +

+ |a4||x|^ + ... + |a J |x |" + ... (4)

Para determinar a convergência desta última série (de termos

positivos) apliquemos a regra d’Alembert.

Suponhamos que existe o limite

n + 1

lim

= lim ^77+1 \x\ = L\x\.

Ur, n-ôc

Então, segundo a regra d’Alembert, a série (4) converge L\x\ < 1,

isto é. para | x | < y - , e diverge quando L\x\ > 1, isto é. para

^ 1

1^ l > | .

1

Por conseguinte, a série (1) converge absolutamente para| x | .

Se I X I > , lim I X I Z/ > 1, e a série (4) diverge, o seu

L / n-*co

termo geral não tende para zero(*).

Mas, então, o termo geral da série inteira (1) não tende mais

para zero, o que significa, em virtude do critério de convergência

necessário, que esta série inteira diverge ^ quando | x I > ^ ) •

Resulta do que precede que o intervalo | — y» y j

de convergência da série inteira (1), isto é, que

é o intervalo

R = — = lim

L

^n+l

Duma maneira análoga, pode-se também servir-se da regra de

Cauchy para determinar o intervalo de convergência duma série inteira.

Obtém-se, então.

R =

lim V\ãr,\

(*) Lembremos que dürante a demonstração da regra d*AIembcrt (ver § 4)

notamos que se lim

> 1, o termo geral crescia, logo não tendia para zero.


Exemplo — 1. Determinar o intervalo de convergência da série

1 + X+ X2 + X3+... ...

Resolução — Aplicando a regra d*Alembert, obtém-se

lim

n-> -oo 1

= \x\.

Por conseguinte, a série converge para | j: | < 1 e diverge para 1JC| > 1.

A regra d*Alembert nada dá nos pontos fronteiriços do intervalo (—1, 1). Mas

vê-se directamente que a série diverge nos pontos x = ± 1.


2x (2x)2 , (2x)3

1 2 + 3

Resolução — Apliquemos a regra d*Alembert:

lim

n->oo

(2 x)^+i

tl —f- 1

(2x)"

= lim

n-ôo

n -{-i

12x I = I 2x I.

A

A série converge quando |2x|<l, isto é, se | a; ; converge no

ponto x = —

1

e diverge no ponto x = ----

i

L ,

^

2 2


x2 x3

" + ^ + 3 T + - - + i n - + -

Resolução — Apliquemos a regra d*Alembert:

lim

n-voo

Uji

— 11111 m

n-ôo x ’^ ( n + 1)1

X

— l i m

n->oo n -j- 1

= 0 < 1.

Como o limite não depende de x e como é menor que 1, a série converge

qualquer que seja x.

Exemplo — 4. A série 1 -f ^ + (2x)2 -|- (3x)3 + • • • diverge qualquer

que seja x, excepto x = 0 , porque {nx)'^ —^ o o quando n —> oo qualquer

que seja x náo nulo.

Teorema — 3.

Urna série inteira

Oo + OiX + OaX* + . . . + o„x” + . . . (1)

é majorável sobre o segmento [— p, p] contido no seu intervalo de

convergência.

Demonstração — Por hipótese, tem-se p < R (fig. 350) e, portanto,

a 94ri« numérica (de termos positivos)

1 f l o I + I 1 P + I < * 2 I + • • • + I I p " ( 5 )

SARIES 301

converge. Mas, quantlo \x \ < p, os termos da série (1) não são superiores

em valores absolutos aos termos correspondentes de (5). Logo

a série (1) é majorável sobre o segmento [— p, p].

Corolário— 1. A soma duma série inteira é uma junção contínua

sobre todo o segmento completamente contido no intervalo de con-

Intervalo de convergência

-R

-pv

H-

Intervalo de majoração

Fig. 350

vergência, Com efeito, a série é majorável sobre este segmento e os

seus termos são funções contínuas de x. Por conseguinte, em virtude

do teorema 1, § 11, a soma desta série é uma função contínua.

Fig. 351

Corolário — 2. Se os limites de integração a, p pertencerem ao

intervalo de convergência duma série inteira, o integral da soma da

série é igual à soma dos integrais dos termos da série. Com efeito,

o intervalo de integração pode ser contido no segmento [— p, p], onde

a série é majorável (fig. 351) (ver o teorema 2. § 12 sobre a integração

das séries majoráveis).

Teorema— 1.

série inteira

a série

§ 14. Derivação de séries inteiras

Se (—/?, /?) for o intervalo de convergência da

S {x) = « 0 + a^x + Ü2X^ + a^x^ + ai,x" + . . . + a^x"^ + • • • . (1)

(p {pc) = -f- 2 ^ 2 ^ ”1“ Sü ^ x . -|- rtUj^x -j- . . . (2)

deduzida de (1) por derivação termo a termo, admite o mesmo intervalo

de convergência: além disso, tem-se

(p (a:) = s' {x) quando | o: | < i?,

isto é, que no intervalo de convergência, a derivada da soma da

série inteira (1) é igual à soma da série obtida derivando termo a

termo a série (1).


Demonstração — Demonstremos que a série (2) é majorável sobre

todo o segmento [— p, p] que pertence completamente ao intervalo de

convergência.

- / ? -p

Fig. 352

0 I I --H

X p ç Xz X/

Tomemos um ponto | tal que p < i < R (fig. 352). A série (1)

converge neste ponto, logo lim = 0, e existe uma constante M

tal (}ue

n-*oo

| a „ r i < M (n = l. 2, ...).

Se IXI < p, tem-se

raa„x" * K |« a „ p " ‘ l = n|a„^

n — 1 I

< « >

onde

g = T < i -

Assim, quando | x | < p, os termos da série (2) são inferiores em

valores absolutos aos termos da série numérica positiva

^ ( í + 2q + 3g^-i-...+

+ ...)•

Mas. como o mostra a regra d’Alembert. esta última série converge:

nq

lim

= q< í.

j i — 2

n-ôo (n — 1) q

Logo a série (2) é majorável sobre o segmento [— p, p] é. em

virtude do teorema (2). § 12. a sua soma é a derivada da soma da

série proposta sobre o segmento [— p. p]. isto é.

q) (x) = s ' (x).

Como se pode encerrar todo o ponto interior do interv?ilo

(— R, R) num certo segmento [— p. p]. resulta que a série (2) converge

em qualquer ponto interior do intervalo (— /l, R).

Mostremos que a série (2) diverge na vizinhança do intervalo

(— R, R). Admitamos que a série (2) converge para Xi > R. Integrando

termo a termo no intervalo (0. jcg) onde R < X2 < Xu concluir-

-se-ia que a série (1) convergiria no ponto Xz. o que contradiz as

condições do teorema. Por conseguinte, o intervalo (— /?./?) é o

SARIES 303

intervalo de convergência da série (2). O teorema está completamente

demonstrado.

A série (2) pode ser de novo derivada termo a termo, e será

lícito continuar este procedimento à vontade. De modo que:

Teorema — 2. Se uma série inteira converge no intervalo (—R, R),

a sua soma representa uma função que tem no intervalo de convergência,

derivadas de qualquer ordem n, sendo cada uma delas a soma

da série proposta; além disso, o intervalo de convergência de cada

série obtida por derivação é também o intervalo de convergência

da série proposta {— R, /?).

§ 15. Séries de potências áe x — a

Chama-se também série de potências a uma série da forma

^0 + — a) + a2 (:r — + • • • + + • • •» (1)

onde as constantes Oq, au . •> dn ••• são igualmente chamadas os

coeficientes da série. Os termos desta série contêm as potências crescentes

dt X — a.

Se a = 0, obtém-se uma série de potências de x, que é, pois,

um caso particular da série (1).

Para determinar o domínio de convergência da série <1), façamos

a mudança de variável

X — a = X .

A série (1) transforma-se, após esta substituição,

ÜQ+ a^K + d2X^ + • • • + dnX^ + • • •» (2)

que é uma série de potências de X.

Seja — R < X < R o intervalo de convergência da série (2)

(fig. 353, a). Resulta daí que a série (1) convergirá para os x que

verificam a desigualdade —R < x — a < R ou a — R < x a a + R.

Como a série (2) diverge para | X | > R, a série (1) divergirá para

\x — a\> R, isto é, na vizinhança do intervalo a — R < x < a + R

(fig. 353, p).


Por conseguinte, o intervalo de convergência da série (1) é o

intervalo {a — R, a R) tendo por centro o ponto a. Todas as propriedades

duma série inteira em x no intervalo de convergência (—/?,/?)

são completamente conservadas para uma série inteira de x — a no

intervalo de convergência {a — R, a R). Assim, integrando termo a

termo a série inteira (1), os limites de integração pertencentes ao

intervalo de convergência (a — R, a + R), obtém-se uma série cuja

0 1 2 3

H--- 1--- 1----h-

Fig. 354

soma é igual ao integral da soma da série proposta (1). Se se derivar

termo a termo a série inteira (1), sendo x tomado no intervalo de

convergência (a — R, a + R), obtém-se uma série cuja soma é igual

à derivada da soma da série proposta (1).

Exemplo — Achar o domínio de convergência da série

( x - 2 ) + ( x - 2 ) 2 + ( o : - 2 ) 3 + . . . + ( x - 2 r + . . .

Resolução — Fazendo x — 2 = X, obtém-se a série

X + X2 + X3+...+X^+...

Esta série converge para — 1 < X < -H 1. Logo, a série proposta converge

para x tais que — 1< x —2 < 1, isto é, para 1< x < 3 fig. 354).

§ 16. Séries de Taylor e de Maclaurin

Mostrámos no § 6, cap. IV (t. I) que uma função f(x) que

possua derivadas até à ordem /i +-1 inclusivé na vizinhança do ponto

X = a (isto é, no intervalo que contém o ponto x = a) admitia nesta

vizinhança o desenvolvimento seguinte de Taylor

fj^) = f(a) + ^ r (a) + (a) + .. .

•••T------W +

(1)

onde o resto Rn (x) era calculado segundo a fórmula

Rn = [a + e (X - a)]. O < 0 < 1 .

(ra + 1 ) !

SÉRIES 305

Se a função f(x) é indefinidamente derivável na vizinhança do

ponto X = a, poder-se-á tomar n arbitràriamente grande na fórmula de

Taylor. Suponhamos que o resto tende para zero no domínio

considerado quando n-» oo:

lim Rn {x) = 0.

n -^cx5

Sendo assim, fazendo tender oo na fórmula (1), obtém-se

à direita uma série com uma infinidade de termos dita série de Taylor:

f(x) = f{a)

X — a

1

I A n ) / _\ I / o \

i --------,---- / W + * .. (2)

n\

Esta última igualdade apenas está certa se R^, {x) 0 quando

/!-> 00. Então, a série do segundo membro converge e a sua soma

é igual à função j{x). Mostremos que assim é:

onde

í{x) = Pn{x) + RniA

Pn (X) = / (a) + ^ / ' («) + . . . + /" V ).

1! rei

Como, por hipótese, lim

n-voo

(x) = 0, tem-se

f{x)= lim P„(x).

Ora, Pn (x) é uma soma parcial da série (2); o seu limite é

igual à soma da série do segundo membro da igualdade (2). A igualdade

(2) é, pois, legítima:

/ (X) = / (a) - f ^ r (a) + (fl) + . . .

1 ' ' ' 2

• • • +

(x — a)" ,(„)

re! ^ r ' ( a ) + . . .

Resulta, do que antecede, que a série de Taylor representa a

função dada f (x), se e só se, lim (x) = 0. Se lim (x) ¥= 0,

n-voo

n-»>oo

a série não representa a função dada, se bem que possa convergir

(para uma outra função).

Se, na série de Taylor, se fizer a = 0, obtém-se num caso particular

desta série, chamada série de Maclaurin:

/ (X) = / (0) + -^ / ' (0) + / ' (0) + . . . - f ^ (0) + . . . (3)

1 2! ni

20


Se se escrever formalmente a série de Taylor duma dada função

e se se quiser certificar que ela representa efectivamente esta função,

será preciso demonstrar que o resto tende para zero bem como ainda

comprovar, duma maneira ou doutra, que a série escrita converge

para a função dada.

Notemos que. para cada função elementar definida no § 8.

cap. I (t. I). existe um a g um R tais que. no intervalo {a — R, a R),

ela se desenvolve em série de Taylor ou (se n = 0) de Maclaurin.

§ 17. Exraoplos de desenvolvimento de fnnções em séries

1. Desenvolvimento em série de Maclaurin de f{x) = senx,

No § 7. cap. IV (t. I), obtivemos a fórmula

3 5 1

X . X . . . .vn-H OC

senX = X ------- ^---------777

+ ^2n W-

3! 5! (2n - 1)!

Como se demonstrou que lim i?2n (^) = 0, obtém-se, tendo em

n-voo

conta o que foi dito no parágrafo anterior, o desenvolvimento de

sen X em série de Maclaurin;

sen X = a ; + ( - 1 ) " + * ^ ^ -------

3! 5! (2n - 1)! + • • • (1 )

Como o resto tende para zero qualquer que seja jc, a série

proposta converge e a sua forma representa a função senjc qualquer

que seja x,

A figura 355 representa o gráfico da função senx e das três

primeiras somas parciais da série (1).

Recorre-se a esta série para calcular senjc para diversos valores

de X.

Calculemos, por exemplo, sen 10® a menos de 10"® Dado que

10® = ^ = 0,174533, tem-se

sen

Í 8 ~ 5 f ( f s T + à ( f s T - l i ( i - s ) ’ + • •

Limitando-nos aos dois primeiros termos, obtém-se a igualdade

seguinte aproximada;

. Ji ji 1 / jt

18 ^ Í8 “ tT ii8 j ’

SÉRIES 307

O erro S é. em valòr ^bsoluto, inferior ao primeiro termo desprezado:

ô < — f —y < — (0,2)® < 4 -10-«.

5 ! \ 1 8 / 1 2 0

Se se calcular cada termo da expressão do sen ^ tomando 6

decimais, obtém-se

Jl

sen .^ = 0473647.

lo

Pode-se garantir as quatro primeiras decimais.

2. Desenvolvimento em série de Maclaurin da função f (x) = e*.

é‘

*

= \+X-\----------------------------------h

. . I _l_ I _L _L

• • •.

2! 3! n!

porque, como se demonstrou, lim (x) = 0 qualquer que seja x a

n-*-oo

série converge para todos os x e representa a função e^.

(2)


3. Desenvolvimento em série de Maclaurin da função f (x) = cos x.

Deduz-se do que foi dito no § 7, cap. IV, (t. I) que

2 4 6

cosx= 1 ------------------------- [-•••»

2 ! 4 ! 6 !

a série converge para todos os jc e representa a função cosjc.

(3)

§ 18. Fórmulas de Euler

Até agora, consideramos séries de termos reais e deixámos à

margem as séries de termos complexos que sai fora do âmbito deste

livro, limitando-nos a examinar um exemplo importante.

Definimos, no cap. VII (t. I). a função pela igualdade

^ _j_ ^ g ç j j y Y

Fazendo jc = 0, obtém-se a fórmula de Euler:

^*^=z=cosi/ + isen y.

Se se definir a função exponencial de expoente imaginário

por meio da fórmula (2) do pàrágrafo 17. representando a função

sob a forma de série inteira, encontra-se a igualdade de Euler. Com

efeito, definamos substituindo na igualdade (2) do § 17 iy por x:

= 1 + Í L {iyf {iyf iiyT

+

1! 2 ! 3 !

n\

Como j2 = _ 1, = — i, i* = 1, = i, i» = — 1, etc.,

obtém-se

(1)

1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !

Separemos as partes reais e imaginárias desta série

V 2! 4! / V I ! 3 ! 5 ! /

As expressões entre parêntesis são as séries inteiras de cos y

e de seny (ver as fórmulas (3) e (1) do parágrafo anterior). Por

conseguinte,

= cos y i sen y.

Voltamos a encontrar a fórmula de Euler,

SÉRIES 309

§ 19. Fórmula geral do binómio

1. Desenvolvamos em série jdc Maclaurin a função

f(2) = {í+x)^,

sendo m uma constante arbitrária.

Como o cálculo do resto apresenta algumas dificuldades, procederemos

doutro* modo para encontrar o desenvolvimento em série desta

função.

Tendo em conta que a função / (x) ==(14- xy^ satisfaz à equação

diferencial

e à condição

(1 + ^) í {^) = m f (x)

/(0) = 1,

procuremos uma série inteira cuja soma s{x) satisfaça à equação (1) e

à condição 5(0) =-l:

s{x) = i + aiX + a^x^ + • . • + a^x" + . . . ( ♦ ) . ( 2 )

Substituindo esta série na equação (1), obtém-se:

(1 4“ (^1 “{“ 2^2^ “1“ 4~ • • • “í~ 4~ • • •)

= m (1 4" 4~ ^2^ ”1“ • • • “í~ CLji^ 4“ • • •)•

Identificando os coeficientes das mesmas potências de x dum

e doutro lado da igualdade, encontra-se:

rtj = m ; ai + 2ü2 = ma^; . . . ; nan + (w 4-1)

Donde se obtém, para os coeficientes da série, a expressão

. aîm — 1) m {m —1)

«0 = 1; a^ = m\ = ----- i = — 5— ---- >-■,

(1 )

í • • •

_a2 {m — 2)__m{m — \){m — 2)

3 ” - 2 ^ 3 ’

_m (m — 1).. . [m /I + 1]

— 7“õ ’ ‘ *

1 * 2 . . . Al

São os coeficientes da série do binómio.

(*) Tomamos o termo constante igual à unidade, vista a condição s (0) = 1.


Substituindo-os na fórmula (2), obtém-se:

1-2

m(m — — (ra — 1)1 „ ,

1-2...n

(3)

Se /n é um inteiro positivo, os coeficientes de e das potências

superiores são nulos e a série reduz-se a um polinómio. Se m é fraccionário

ou um inteiro negativo, tem-se uma série com uma infinidade

de termos.

Determinemos o raio de convergência da série (3):

lim

n-ôo

Un

7l->00

m(m — í)...[m — n + i]^n

“n+l = ----------------- ;----------------^ .

n!

_TO (m — — w + 2] „_i

~~ ^ j

{n - 1)!

Un-hí m(m — í). . ,(m — n í) {n — í)\

= lim

m{m — l ) . . . {m — n 2)nl

m —n í

= lim

\x = X ,

n-*-oo n

De modo que a série (3) converge para |jc| < 1.

No intervalo (— 1, 1) a série (2) representa uma função í (jc) que

satisfaz a equação diferencial (1) e à condição

5(0) = 1.

Como existe apenas uma única função que satisfaz a equação

diferencial (1) com a condição inicial s (0) = 1, resulta que a soma

da série (3) é identicamente igual à função (1 + a:)”*, e obtém-se o

desenvolvimento

(1 + = 1 + ma: ■

m(m — í) 2

-a:^ -I-

1-2

m(m — 1) (m — 2) , ,

-------------------------X + . . .

1-2-3

(3')

SARIES 311

Em e$.pecial. se m = — 1, tem-se

1

1 + a: = 1 — X ,

(4)

Se m = i

1-3

V l + X = 1 + — X ------ — X^ -1----------- .

2 2-4 2.4-6

1-3-5

X* + ... (5)

2-4.6.8

Se m = —

V i

, 1-3.5-7.4

2 2-4'

2-4-6 2-4-6.8 X — (6)

2. Apliquemos o desenvolvimento do binómio ao desenvolvimento

doutras funções. Desenvolvamos em série de Maclaurin a função

/ [x) = arc sen x.

Substituindo x por —Jc^ na igualdade (6). obtém-se:

1 : ^ ^ , 1-3-5.. . ( 2 » - l ) ^

2-4-6 2-4-6...2ra

Em virtude do teorema sobre a integração das séries inteiras,

tem-se para | x | < 1

\ dx , 1 , 1-3 x'* , 1-3-5 x' .

\ ^ = arc sen x = x-\----------- ------------- h :r—;— ^ •

ò Y i - x ^ 2 3 2-4 5 2-4-b 7

. . . +

,2n + l

1-3-5.. .(2ra-l) X-

2-4-6... 2n 2w + l

+ - • •

Esta série converge no intervalo (—1, 1). Poder-se-ia demonstrar

que a série converge igualmente quando x = ± 1 e que a soma correspondente

a estes valores representa arc sen x. Então, fazendo x = 1,

obtém-se esta fótmula para calcular ir ;

. ji 1 1 1-3 1 . 1-3-5 1

arc s« i 1 = — = 1 H----------- ------------- \-----------------\-...

2 2 3 2-4 5 2-4-6 7


§ 20. Desenvolvimento d a função log (1 -|- x) ^ série intrira.

C^dculo de logaritm os

Integrando a igualdade (4) do § 19 de 0 a x (com | x | < 1).

obtém-se:

ou

X

X

f _ d ^ ^ f (1 _ a; 4. . . .)

j 1 + ^ ^

dx

L o g ( l - f x ) = x - ^ + | - - ^ + . . . + ( - i r - " ‘ - + . . . (1)

2 3 4 n

Esta igualdade é verdadeira no intervalo (—1, 1).

Se se substituir x por —x nesta fórmula, obtém-se a série:

Log (1 — ;r) =

^2

X

x^

2 3 4

que converge no intervalo (— 1, 1).

As séries (1) e (2) permitem calcular os logaritmos de números

compreendidos entre zero e dois. Indiquemos sem o demonstrar que

o desenvolvimento (1) subsiste para jc = 1.

Vamos dar uma fórmula que permita calcular os logaritmos

naturais dos números inteiros.

Como a diferença termo a termo de duas séries convergentes

é uma série convergente (ver § 1, teorema 3). obtém-se. subtraindo

termo a termo (2) de (1):

Log (1 + a:) — Log (1 — x) =

(2)

1 1 o r I I I

1 — X L 3 5 J

Façamos em s ^ i d a

1 X TI -|- 1

1— X n

qualquer n > 0, tem-se 0 < x < 1, logo

tem-se x =

1

2n + l*

Para

L o g ^ = L o g ^ = 2 [ - j — -f - * . 4

\ - x n l2n + l 3(2n-|-iy

+

1

5(2n + iy

SÉRIES 313

donde

Log(n + 1) — Logn =

1 1

= 2 +

,2n + l ' 3(2n + l f 5(2« + l)®

Para w = 1, deduz-se

r 1 1 1

‘■”* ^ = n r 4 + ? ¥ * + ^ = ' + -

(3)

Para calcular log2 com a precisão desejada ô, é preciso calcular

a soma parcial Sp tomando um número p de termos tal que a soma

dos termos desprezados (isto é. o erro Rp cometido, substituindo por Sp)

seja inferior ao erro admitido 8. Calculemos, para esse efeito, o erro Rp :

R^ = 2

1

+

( 2 p + 1 ) 3 " ^ + ’ ( 2 p + 3 )

1

2P+5' \+ • • •

(2/7 + 5) 3‘

Como os números 2p + 3, 2p + 5. ... são superiores a 2p + 1.

aumentamos o valor de cada fraeção quando substituímos estes números

por 2/7+1. Logo.

R p < 2

1

( 2 p + l ) 3 " ^ + ‘ ( 2 p + l ) 3 ‘‘^ + ^

i

(2p + l)3"P+® + . . .

+

OU

Rp <C 2p + l

g2p+5

Temos, entlre parêntesis recto, uma série geométrica de razão

A soma desta série é

•

R p <

32P+1

2P + l i _ l

9

(2p + l)3=^'>-‘4 '

(4)


Se se quiser agora calcular log 2, por exemplo, a menos de

0,0000001, é preciso escolher p de modo que se tenha Rp < 0,0000001.

Chega-se lá, tomando p de modo que o segundo membro da desigualdade

(3) seja inferior a 0,0000001. Verifica-se que basta fazer p = i.

Assim, a menos de 0,0000001, tem-se

1

Log 2 » Sg= 2 Í ^ + - i

U - 3 3 - ; 3®'*’ 5-3®’^

1 3 - 3 * 1 5 - 3 ‘* J

1

1

+ Ti +

7 - 3 ’ 9 - 3 ® H - 3

= 0 , 6 9 3 1 4 7 1 .

A resposta é log 2 = 0,6931471, com sete décimais exactas.

Fazendo na fórmula (3) n = 2, obtém-se:

Log3 = Log2 - f 2 [ 4 ' + 7 ^ + + • • •] = li098612, etc.

Lo 0*0 0*0 J

Podmos, pois, calcular os logaritmos naturais de qualquer inteiro.

Para obter os logaritmos decimais basta servir-se da re la to

(ver § 8, cap. II, t. I)

log N = M Log N ,

com M = 0,434294. Obtém-se, assim, Log 2 = 0,6931472, log 2 = 0,30103.

§ 21. Airiicação das séries ao cálculo dos integrais definidos

Mostrámos, nos capítulos X e XI (t. I), que existiam integrais

definidos que, considerados como funções dos seus limites superiores,

não se exprimiam sob forma finita por meio das funções demmtares.

Por vezes, é cómodo calcular tais integrais por meio de séries.

Consideremos alguns exemplos.

1. ^ ja calcular o integral

A primitiva de não é uma função elementar. Para calcular

o integral, desenvolvamos em série, a funô sob o sinal soma substituindo

no desenvolvimento de e* (ver fórmula (2), § 17) x por — x*:

^4 0 271

= 1 - A - f — - — - f . . . 4 - ( - i r — +...

1 ! 2 ! 3 ! n\

SARIBS 315

Integrando os dois membros desta igualdade de 0 a n, obtém-se

a a a

+ •••

1 1|.3 2!.5 3!-7

Esta igualdade permite calcular o integral, qualquer que seja a.

com a aproximação desejada.

temse:

2. Seja calcular o integral

a

\

sen X

Desenvolvamos em série a função sob o sinal soma: como

X*.3

X X

s e n i = x --------- 1---------------- H

3! 51 7!

dx.

senx 3^ x ' ' X*

i --------- \---------------

3! 5! 7!

convergindo esta última série qualquer que seja x. Integrando termo a

termo, obtém-se:

ía

sen

X , a**

------- dx = a —

X 31-3 5!-5 71.7 ■f...

É fácil de calcular a soma desta série com a precisão desejada,

qualquer que seja a,

3. Calcular o Integral elíptico

5 V l — sen^cpdq) (/c<l).

0

Desenvolvamos a expressão sob o sinal soma em série de binómio,

1

com m = —, X = — k^sGn^<p (ver fórmula (5), § 19):

.2— 2 ^ _ I — A^sen^ (p — ^ —

1 1 3


Esta série converge qualquer que seja ^ e pode ser integrada

termo a termo, dado que ela é majorável em todo o intervalo.

Por conseguinte.

(p (p

j V l — sen^ (p dcp = (p — ^

0

1

sen^ Q) dfo —

— AM sen* çp dtp — A®j sen* (p dcp — . , .

0 0

Os integrais do segundo membro calculam-se elementarmente.

Para <p = ^2 ■

ísen

(p d(p j

1 - 3 . . . {2n — í) n

~2

(ver § 6. cap. XI, t. I) e. por conseguinte,

n

2

j V l — A ^ s e n ^ ( p d q ) = ^ | l — ^k] —

0

íí-3Vk^ íl-S-òVk^ 1

V2.4/ 3 \2.46/ 5 *‘J ’

§ 22. Aplicação das séries à integra^^ de equações

diferenciais

Se a integração duma equação diferencial não se reduzir a quadraturas,

tem-se, então, de recorrer a métodos de integração aproximada.

Um destes métodos consiste em representar a solução da equação

sob a forma de série de Taylor; a soma de um número finito de

termos desta série será aproximadamente igual à solução particular

procurada.

Suponhamos, por exemplo, que se tem de procurár a solução

duma equação diferencial de segunda ordem

cmn as condições iniciais

y' = F(x, y, y'),

(y)x=*o yo« (y )x=*o yo*

(i>

(2>

SARIBS 317

Suponhamos que a solução >^ = / (jc) existe e pode ser representada

por uma série de Taylor (não nos aprofundaremos sobre a

questão das condições que devam ser verificadas para que tal tenha

lugar):

y = /(x) = /(x„)+^f"^»/'(:ro) + ^ ^ ^ ^ 'r(^ o) + . . . • (3)

1 1 • z

Devemos encontrar / ( jco), f (xo), f'(xo), isto é, os valores

das derivadas da solução particular para x = jcq. Encontra-se-las por

meio da equação (1) e das condições (2):

deduz-se da equação (1):

r M

f(Xo) = yo,

f'(ô) = yol

^ (^0, uo, .</ó).

Derivando os dois membros da equação (1) em relação a x

i/"' = F;. (ít. !/, y) + F\j {x, y, y) y + {x, j/, if) if (4)

e substituindo x = Xo no segundo membro, encontra-se:

/ " 'W = (í/'")x=.v

Derivemos a relação (4) uma vez mais. Tem-se

e assim sqcessivamente.

Substituamos os valores das derivadas encontradas na igualdade (3).

Esta série representa a solução da equação proposta para os valores

de X para os quais ela converge.

Exemplo — Encontrar a solução da equação

í/a:2,

que satisfaz as condições iniciais

(í/)x=0 = 1» (í/')x=0 = 0.

Resolução — Tem-se:

/(0) = z/o= l; /'(0) = yi = 0.

Deduz-se da equação dada (z/*')jc =o = r (0) = 0 ; depois

y- = _ y'x2- 2 x y , { y n x = 0 = r (0) = 0,

4x1/' —2i/, (r/^^)^=,o= — 2

c em geral, derivando k vezes os dois membros da equação pela aplicação

da fórmula de Leibniz, vem (§ 22, cap. III, t. I):

j/<fe+2)=

A: (it—1)


Fazendo jc= 0, obtém-se:

ou, fazendo k + 2 = n.

Donde

!/r= -l-2 . í,i«=-5.6yíV_(_i)2(i.2)(5.6K

j,J* = -9.10j/^f> = (-l)3 (1-2) (5-6) (9.10),

í/S'* = ( - l ) ' ‘ (1-2) (5-6) (9 .1 0 )... [(4*-3)(4fc-2)].

Além disso, j,(s) = o, =0,..., i/í,^'‘+i)==0.

y'o»•>= 0, i^^'»> = 0........ |/i<'‘+2>=0,

!/!,’»= 0, !,<>» = 0........ y<‘'‘+3)=0.

De modo que sòmente não se anulam as derivadas de ordens múltiplas

de quatro

Substituindo os valores das derivadas encontradas na série de MacLaurin,

obtém-se a solução da equação proposta

j,= 1 _ _ 1 . 2 + .^ ( 1 .2 ) ( 5 .6 ) - j^(1.2)(5.6)(9.10) + ...

. . , + ( ^ i ) h — (i.2 ) ( 5 .6 ) . .. [ ( 4 ^ - 3 ) (4 /c -2 )l + . . .

Verifica-se, por meio da regra d*Alembert que esta série converge para

todos os valores de x, logo ela é solução da equação difrencial.

Quando a equação é linear, é cómodo procurar os coeficientes

do desenvolvimento duma solução particular pelo método dos coeficientes

indeterminados. Para isso, «substitui-se» directamente a série

y = Uq a^x -f- . -f- CLn^^ “f" • • •

na equação diferencial e identificam-se os coeficientes das mesmas

potências de x dum e doutro lado da equação.

Exemplo — Achar a solução da equação

que verifica as condições iniciais

(y)3C=0 = 0,

Resolução — Façamos

í/'' = 2xí/' + 4í/,

(y')^^_Q=l.

y = ao+ aiX + 00^2 + 03^^+ . • • ...

Acha-se, tendo-se em conta as condições iniciai»

ao = 0, ai = l.

SâR IES 319

Por conseguinte,

y = x + a2x"^-\-a^x^-\- ...+anX^+ ... ,

í/' =--1 + 2ü2X + 803x2 4- ... + +... ,

y”= 2^2 4" 3 •2 fl3X 4“ •••4“ w — 1) 4“ •••

Substituindo as expressões acima na equação proposta e identificando os

coeficientes das mesmas potências de x, vem:

2o2 = 0,

3*203 = 24“4,

4 • 804 = 4o2 4 “ ^^2»

donde 02 = 0

donde 0 3 = 1

donde «4 = 0

n(o—l)o^ = (n—2) 2o;i_24-4o;i_2, donde = .

/I— 1

Por conseguinte,

2*1 1

4 “ 2! ’

_ ! Í - _

6 TT! 3! ’ "9 = 4!

„ _ (A-1)! 1

2A) — A! ’

04 = 0 ; 00 = 0 ; ü2k — 0.

Substituindo os coeficientes encontrados, emcontra-se a equação procurada

x3

r2fe+l

í/ = ^ + — + -^+-3T+---' A:!

A série obtida converge qualquer que seja x.

Notemos que a solução particular encontrada se exprime por meio das

funções elementares; com efeito, se se puser x em factor, obtém-se o desenvolvimento

da função Logo,

X2

y = xe^ .

§ 28. E^çptapão de Bessel

Assim se chama a uma equação da forma

x^y’ + xy + (x^ — y = 0 {p = const). (1 )

Convém procurar a solução desta equação, como as soluções de

certas equações de coeficientes variáveis, não sob a forma de série

inteira, mas sob a forma de produto duma certa potência de x por

uma série inteira:

y — ^

A = 0

•

(2>


É lícito tomar ao diferente de zero, dado que o expoente r é

indeterminado.

Recopiemos a expressão (2) sob a forma

y = k=0

e procuremos as suas derivadas:

,r+Ã

y '= S (r + A:)aAX^+*-‘ ;

k=0

H-A-2

y ' = S (r + A) (r + A; — 1) a^x

k=0

Substituamos estas expressões na equação (1):

uu

x^ (r + k)(r + k-l) +

A=*0

X 2 j (^ + ^) * + (^ — P^) 2

A=0 ft=0

Anulando os coeficientes de x na potência r, r + l, r + 2,

r + k. obtém-se o sistona de equações diferenciais:

[r (r — 1) + r —p^J Oo = 0 ou [r^ — p^] = 0,

I(r + l) r - f - ( r + l ) - p 2 ] a i = 0 ou [(r + 1 ) ^ = 0,

[{r + 2) (r + 1) + (r + 2 )- p ^ ] + a» = 0

ou [(r -|- 2 f — p^] 02 + ^0 = 0,

[(r + A) (r -1- A: — 1) + (r + A) —p^]a* + 0^-2 = 0

ou [(r + k f — p^] ük - f «*-2 = 0.

(3)

Consideremos a última igualdade:

[(r + k f — p^] a* + aft_2 = 0.

Pode-se reç(îá-la sob a forma

[(r -f. A —p) (r + A + p )] a* - f ak- 2 = 0.

Por hipótese. a ^ 0 \ por conseguinte,

(3')

logo. Ti = p OU melhor t2 = — p.

SÉRIES 321

Consideremos, em primeiro lugar, a solução correspondente a

ri = p > 0 .

Deduz-se, sucessivamente, do sistema de equações (3) todos os

coeficientes ai, ü2....... uq sendo Oo arbitrário. Tomamos, por exemplo,

flo = 1. Então,

____ ______________O 'h -2

k{2p-\-k)

Dando a k vários valores, encontra-se:

fli = 0, fl3 = 0 et, em geral, fl2m+i = 0!

2(2p + 2)

«4 =

1

2-H 2p + 2){2p + A)

1

fl2v = ( - i r ‘

2 -4 -6 . . . 2v {2p + 2) (2j5 + 4 ) ... (2p + 2v)

(4)

Substituindo os coeficientes encontrados na fórmula (2). obtém-se:

Vi

2 (2 p -f2 ) 2-4(2p + 2)(2p + 4)

2-4-b(2p + 2)(2p + 4)(2jD-t-6)

(5)

Todos os coeficientes C2v são determinados porque, por todo o k,

o coeficiente de na equação (3)

nao é nulo.

Assim, é uma solução particular da equação (1).

Procuremos, agora, em que condições todos os coeficientes

são determinados quando se considera a segunda raiz ra = — p. Para

isso, é preciso que seja verificada a desigualdade seguinte para todo k

positivo e par:

(6)

r2 + k ^ p .

Ora, p = Ti, por conseguinte,

r2 + k ^ V i .

Assim, a condição (6) é, neste caso, equivalente à s ^ in te :

21

^2 ^ k.


sendo k um inteiro par positivo. Mas

por consînte,

^^ — ^2 = 2p.

De modo que, se p não é um número inteiro, pode-se escrever

uma s ^ n d a solução particular que se deduz da expressão (5) substituindo

p por — p:

Vz = x ~ A \ ---------- +

I 2(- ( - 2 p + 2 ) 2 - 4 ( - 2 p + 2 ) ( - 2 p + 4 )

2 . 4 . 6 ( - 2 p + 2 ) ( - 2 p - f 4 ) ( - 2 p + 6 )

1

(5-)

J-

As séries inteiras (5) e (50 convergem qualquer que seja x, o

que é fácil de verificar aplicando a regra d’Alembert. É igualmente

evidente que e yz são linearmente independentes (*).

A solução multiplicada por um certo factor, constante, chama-se

função de Bessel de primeira espécie de ordem p e representa-se-la

por Jp. A solução yz é representada por / _ p .

Por conseguinte, quando p não é um número inteiro, a solução

geral da equação (1) escreve-se

y = C \J p -(- C^J —p .

1

Assim, se p = - y , a série (5) escreve-se.

1 —

2 - 3 2 - 4 . 3 - 5 2 .4 .6 -3 .5 .7

J_

V x í

3 5 7

X , X X ,

X ------------------------------------\- . . .

3 ! 5! 7 !

(♦) Verifica-se, como se segue, a independência linear destas funções

Consideremos a relação

í/1

. 1-

2 ( - 2 p + 2 ) + 2 - 4 ( - 2 p + 2 ) ( — 2p + 4)

1---- +

2 (2p + 2) 2*4 (2p -)- 2) (2p 4)

Esta relação não é constante, dado que tende para infinito quando jc—> 0.

Logo, as funções y-i c são linearmente independentes.

S£RI£S 323

sel

Esta solução multiplicada por y — , chama-se função de Bes-'^

’ notemos que a expressão entre parêntesis recto é o desenvolvimento

em série do senx. Por conseguinte.

/ ( x ) = ] / - Í |

* ^ JIX senx

Do mesmo modo se obtém, a partir da fórmula (50:

J ^ (x )= — COS X.

JIX

O integral geral da equação (1) quando p = -^

é

y = CiJj (x) + C2J j («x^)

2' "Y

Suponhamos, agora, que p é um número inteiro positivo que

designaremos por «(« > 0). A solução (5) tem, então, um sentido e

representa uma primeira solução particular da equação (1). Mas a

solução (50 nada representa, porque certos donominadores do desenvolvimento

se anulam.

Para p = n inteiro positivo, tema-se por função de Bessel J,^

i

a série (5) multiplicada pelo factor (quando « = 0, toma-se o

2"re!

factor 1):

/„ (x ) = — í

2"n! I

1 ■+

2(2n + 2) 2-4(2ra + 2)(2w + 4)

2 •4 •6 (2rt + 2) (2/1 H- 4) (2n + (i)

ou

oo

Z J v i ( / / + v ) i V 2 /

(7)

Demonstra-se que é preciso procurar neste caso uma segunda


K ,^{ x ) = J ^ { x ) \ a )\i, x - \- x ~'" ^ hi,x‘.

/f- - 0


Substituindo esta expressão na equação (1) determinam-se os coeficientes

bk-

A função Kn (^) com os coeficientes assim definidos chama-se,

após multiplicação por um certo factor constante, função de Bessel

de segunda espécie de ordem n.

É uma segunda solução da equação (1), que, oom a primeira,

forma um sistema linearmente independente.

O integral geral escreve-se

Notemos que

y — C^J „ (x) -j- C 2 K n {x).

l im (x) = o o .

3C->0

Por conseguinte, se se quer limitar às soluções finitas para x = 0,

será preciso fazer C2 = 0 na fórmula (8).

Exemplo — Encontrar a solução da equação de Bessel para p = 0

(8)

que satisfaça às condições iniciais:

para j =>eO, 'i/ = 2, i/' = 0.

Resolução — De acordo com a fórmula (7) encontra-se a solução particular

v = 0

+ _ L ___

^(2 \ 2 I (3 !)21 2 /^ '* *

Utilizando esta solução, pode-se escrever a solução que satisfaz às

condições iniciais dadas, a saber:

í/ = 2 /o í^).

No/a — Se se tivesse de procurar o integral geral da equação proposta

procurar-se-ia uma segunda solução particular sob a forma

00

^ o(^) = J q (^) Log a: + 2

ft= 0

Limitamo-nos a indicar que a segunda soluçãov particular, que designamos

por kç^ (jc), se escreve

*•<*> = •'«(*) Loí'+-S— (f )‘ (‘ + 4-) +

+ i ã T p ( f r í - + w ) - . . .

^ Após multiplicação por um certo factor constante, esta função chama-se

função de Bessel de segunda espécie de ordem zero.

SARIBS 325

Exerdcios

Escrever os primeiros termos das séries de que se conhece o termo geral:

1. Un=^ 1 2 _

(n !)2

n (« + !) ’ ‘ * d. Ufi — pnf! •

4» «n=(— . 5. «n = y n* + l—

Estudar a convergência das seguintes séries:

6* “^ + "^ + "^+--*+2n+--- Convergente.

1 . 1 , 1 . . 1 ,

Vlõ V 20 1/3Õ *’ Víõ^

«• 2 + 4 + Í + +

9• o “!“ 3 —“j* • • • 3

VT y S "

n - \ - i

1

Resp. Divergente..

Resp. Divergente..

Resp. Divergente.

10 • + C<«ver*cme

11 I ^

Resp. Divergente.

12. 1 1 1 1 j-----1----- 1

' ’ ** Resp. Convergente.

2 5 ' 1 0 ^ 1 7 ^

Estudar a convergência das séries de termos gerais:

1 1

13. Un = - ^ • Resp. Convergente. 14. Resp. Divergente.

15. Un = g ^-^ ^. Resp. Divergente. 16. = Resp. Divergente

17. U;i=- Resp. Convergente.

/ i 2 -j- 2iH - |- 3

1

18. “n-i = — R**P- I>ivergwite.

n Log n

1 1 1

19. Demonstrar a deâgiialdade 1 ---- > Log (n + 1 ) >

2 o n

1 1 1

> 2 + y + - + í + i -

20. O teorema de Leibniz é aplicável à série

— ---------- ------- 1---- -------------------- h ... ■

V 2 - I V 2 -f-l V 3 - I 1 /3 + 1 ~ [/n — 1 "V/n+ 1

Resp. Não é aplicável, dado que os termos da série não decrescem monòtonamente

em valores absolutos. A série diverge.

Quantos termos é preciso tomar nas séries seguintes para ter a soma a

menos de -1-

i0«


1 1 1 1 1

'2- T - 3 + T - 5 + - - - + ( - 1 ) " T + --'

1 1 1 1 1

2>5.

1

2 2-3 ' 2-3-4 2-3-4-Õ

Resp. /I = 10«.

Resp. n = 10».

1

-r(—ir-^+-«. Resp. n= 10.

Dizer se as séries seguintes convergem absolutamente:

2õ.

32 ■ ■ ■ 52 72 + 92 + • •• + (

1

(2n — 1)2

Resp. Convergência absoluta.

26.

1 1 1 1 1 1 1

T ~ T ■lã" T ■ “ ■■■ ^ ~ T ' 2 " ■

Resp. Convergência absoluta.

27.

_J_____ 1____1_____

Log 2 Log 3 ' Log 4 Log 5

-l)n

Log n

Resp. Semi-convergente.

28. — 1

1 1 . 1

^ 2

Resp. Semi-convergente.-

29.

30.

31.

32.

33.

34.

Encontrar a soma da série:

1 . 1 . 1

1.2-3^2-3-4 ! + . . . + n(n+l)(« + 2 ) ^****'4

+ ...

Para que valores de x as séries seguintes convergem?

X x2

l-r-y H ^ + -- - + ^ + “ Resp. — 2 < X < 2.

x2 X» X^

3x + 3*x* + 3»x» + . . . + 3” i"* + ...

lOOi 10000x2 , lOOOOOOx*

1-3 1-3-5 1-3-5-7

8cnx + 2 sen-^ + 4 «en - ^ + ... +2" (

1

Resp. IX | < y .

Resp. — 1 < x < 1.

Resp. — c» < X < oo.

i— '3n^***

Resp. — oo < x < oo .

3õ.

36.

37.

38.

39.

. . . +

.. Resp. — 1 < x < 1.

1 + l / l 2+ 1^2

^ + 2^ " + V »

3'*

2J + Resp.—

x + ^ x * + - |i x 3 + . . . 4 - ^ x » » + ... Resp. —e < x < e .

3»

Achar a soma da série x + 2 x2 + ...+ n x " + ... (|x | < 1).

SâRlES 327

Indkaçõo — Escrevei’ a série sob a forma

X . . .

x2 + x3 + x 4 + ...

x3_j_x^ _}- . . .

^ ®4 +...

...............................•

Dizer se as séries seguintes são majoráveis«sobre os segmentos indicados:

X x^ x ^

(0 < X < 1). Resp. MajoráveL.

42.

• 1H—j—1—^ H—0—h • • • + — + • • • (0 < •< 1). Resp. Nio majorávd.

aenx , aèn 2x , ten 3x

la 22 . [0, 2ti]. Resp. MajoráveL.

^ 3 2 ^ * * * ^ na

Desenvolvimento de funções em séries

1

43. Desenvolver em série de potências de x e indicar o intervalo de

10 + x

convergência. Resp. Converge para 10 < x < IOl

44. Desenv<dver cosx segundo as potências de .

45^ Desenvcáver segundo as potências de x.

Resp.

46. Desenvolver eP^ s ^ n d o as potências de (x —2).

Resp. íS + «* (* _ 2 ) + ^ (x - 2 ) í ( x - 2 ) s + ;..

47 Desenvolver x» —2x* -f 5x —7 segundo as potências de (x — 1). Resp— 3 +

4- 4 (X - 1 ) + (X —1)2 + (X — 1)3. 168

48. Desenvolver o polinómio xi0-j_2x®—3x’ —dx® + 3x^ + 6**—^ —2 em série

de Taylor das potências de x — 1; verificar que este polinómio admite 1

como raiz tripla. Resp. / (x) í= 81 (x— 1)3 + 270 (x— 1)^ + 342 (x— 1)® +

+ 330 ( X - 1)3 +186 ( X - 1)7 + 63 (X - 1)8 + 1 2 (x- 1)» + ( x - l)io.

49. Desenvolver cos<x + a) segundo as potências de x. Respi coso —x seno ~

xa x3 , x^

— 27-cosa + -gTac® « + -^ c o s fl—...

50* DesenvdvM’ Log x segundo as potências de (x — 1). Kçsp, (x — 1) —

- ^ (X - D*+ ^ (X -1)»- 4- 4 ( * - D* + ■


51. Desenvolver em série de potências de (jc + 2).

H.p. . - • [ . +

oo

n » l

52. Desenvolver cos^x cm série das potência de . Rép. - ^ +

Jl \2^-l

4“-‘ ( — t )

+ S < - » * ----- ( 2 .-1 ) .

n = l

1 °°

53. Desenvolver —5- em série de potências de (x + 1). Resp. 5 j +

X ( x + l ) ^ ( - 2 < x < 0).

n=0

1 6 8

54. Desenvc^ver tg x cm série de potências de Resp. l+2x

Escrever os quatro primeiros termos do desenvolvimento em série inteira

das seguintes funções:

♦ D ' , x 3 2 x 6 I T x ? ,

55. tg*. Rep. * + _ + _ + _ + . . .

56. e Rép. e ^

57.

58. Log(l + ^*). Rép. Log2 +

59. Rép. +

60. (1 + *)*. Rép. l +

61. secx. Rép. 1 .

62. Logcos*. Rép.

x2 4x4 31x6

2 ! ^ 4 ! 7 2 0

x2 7x4

2 4

+ . . .

x2 . 7x4

f ...

2 8 ^ 384

63. Desenvolver sen^x em série inteira de x.

, (Ax)3 (/cx)6 (fex)7

Rep. ------- ^ - p + . . .

64. Desenvolver sen^x segundo as potências de x e determinar o intervalo de

2x2 23x4 , 26x«

02n-lx2n

convergência. Resp.

2 ! 4 ! ^ 6 !

A série converge qualquer que seja x.

65. Desenvolver — -— em série inteira Resp. 1 —x* + x* — x« + ...

1+X2

66. Desenvolver arctgx em série inteira.

SfiRIES 329

Indkaçõo — Servir-se da fórmula arc tg x = ^

dx

l + x2 *

Resp. I ---- --------------- ^ + - . . ( - l < x < l ) .

67. Desenvolver

1

( 1 4 - x ) 2

em série inteira. Resp. 1 — 2 jc -h 3x2 — 4 jc* + ...

Utilizando as fórmulas do desenvolvimento em série de potências das funções

e*. senx, cosx, L o g (l+ x ), (1 + x)’^ e aplicando diversos processos

desenvolver em séries de potências as funções e determinar os intervalos

de convergência:

68. senhx. Resp.x + - | y + - ^ + . . . (— oo < x < oo).

69, coshx. Resp.l + - | ^ + - ^ + . . . (— o o < x < o o ) .

1 (— l)"(2x)*«

7 0 . c o s 2 X, . Resp.l + - | - 2 (2n) !

n = l

( —o o < i< o o ).

71. (1 + x) Log ( 1 t - x ) . R e^. x + ^ (—1)“

(n— 1) n

n -2

7 2 . (1 - | - x ) e Resp. 1 ^ ^ x ^ ( — oo <[ x o o ).

n=2

oo

2 ( I * I <

n=0

74. Í Ü ^ . R e s p . l + ^ + | i + . . . + ^ +

OO

( — oo X o o ).

n=0

76, e* acu x. Resp. x - | - x 2 - |- ------------ g -|— 1_

( — oo < * < o o ).

1 *8 1.3 i5

77. x + y r + x i . R e s p . x - . ^ - j - + ^ ~ + . . . + ( - l ) n + l

x2n+l

-1 /7 ^ n J l X - ,

-TT+-"

1 . 3 . . . (2 /1 — 1 ),

2^./i 1

,8. | í 2 S ( ^ 8 , . 2


sa.

r j 2 ^ í , . R é p . 2

U n=0

C O

f Rép. C + L o g |* l + 2 (2>.H2n)l (“ °° < * < »

0 < x < oo).

n=l

82.

J Í T I ^ ' S 9b — 8 •

ü

naal

Demonstrar as igualdades

sen <o + x) = sen tf cos x + cos tf sen x

cos(tf-fx) = costf cosx + sentf senx

desenvolvendo os primeiros membros segundo as potências de x.

Calcular, com a ajuda das séries:

83. COS 10° a menos de 0,0001. Resp. 0,9848.

84. sen 1° a menos de 0,0001. Resp. 0,0175.

g5. sen 18° a menos de 0,0001. Resp. 0,3090.

g6. ssn a menos de 0,0001. Resp. 0,7071.

4

87. arctg J . a menos de 0,0001. Resp. 0,1973.

5

88. Log5 a menos de 0,0001. Resp. 1,609.

89. log5 a menos de 0,0001. Resp. 0,609.

90. arcsen 1 a menos de 0,0001. Resp. 1,5708.

91. ^ menos de 0,0001. Resp. 1,6487.

92. loge a menos de 0,00001. Resp. 0,43429.

93^ cos i a menos de 0,00001. Resp. 0,5403.

Utilizando o desenvolvimento em série de Maclaurin da função / (x) =

= calcular a menos de 0,001:

94. y ^ . Resp. 3,107.

95. V to. Resp. 4,121.

96. y^ãÕÕ. Resp. 7,937.

97. {/25Õ. Resp. 3,017.

98.

99. \Í2 Resp. 1,2598.

Calcular os integrais seguintes, desenvolvendo ein série as funçSes sob os

sinais de integração:

1

sinx

100.

dx a menos de 1Q“®. Resp. 0,94608.

Sê RIBS 331

10,. J ,-» • dx a menos de 0,0001. Resp. 0,7468.

102. ^ sen (x2) dx a menos de 0,0001. Resp. 0,1571.

ü

1

2

103. ^ e ^ ^ d x a menos de 0,01. Resp. 0,81.

104.

ü

0,5 I arc^tga;

ü

1

^

^ COS ~^xdx a menos de 0,001. Resp. 0,764.

106. ^ Log { í x ) dx a menos de 0,001: Resp. 0,071.

1 *2

107. [ e ^ dx a menos de 0,0001. Resp. 0,9226.

ü

i

5

108. Ç dx a menos de lO.OOOl. Resp. 0,0214.

J V l - x

•h

ü

0,5

dx

109

+ x4 a n>enos> de 0,001. Resp. 0,494. j L og(l + J ) ^

Indicação — No decorrer da resoluçSo deste exemplo e dois dois seguintes

i preciso ter em vista as igualdades;

V ( —1)"~^ _ 'V 1

n* 6 ’ Z j «2 ~ 12 ’ Z j (2«—

n = l n = l n = l

que serão estabelecidas no § 2 do cap. XVII.

1 1


Integração de equações diferenciais por séries

113. Encontrar a solução da equação y " = xy que satisfaz às condições iniciais

seguintes: jc = 0, y = \, y ' = 0.

Indicação — Procurar a solução sob a forma de série.

Resp. 1 +

2.3

õ-^-f

' 2.3.5.6 7+ . . . ■ 2.3.5.6 ... (3/c— 1) 3A:

114. Encontrar a solução da equação y" + xy' + y = 0 que verifica as condições

x^

iniciais: para jc = 0, y = 0, y' = L Resp. jc---- — |- — ... +

(_l)n+i x2n-l

2 1*0*0

■■■ ... (2n — l) •

115. Encontrar a solução geral da equação

lV+ly'+(x2— j, = 0.

Indicação — Procurar a solução sob a forma

1

(Ao+ . h x - í - A 2 3 : - ^ Resp. [ l —^ + . . . J +

1

-rC2X + C

^

^

<^0SX

^ .

116. Encontrar a solução da equação xy" + y' + xy = 0 que satisfaz às condições

x^

iniciais: para jc = 0, y = 1, y' = 0. Resp. 1 ----^ +

22 ^ (1.2)22* (1.2-3)22«

r2lí

+ . . . ( - D" +

(A:!)2 22'‘

Nota — As duas últimas equaçSes diferenciais sSo casos particulares da

equação de Bessel

2^V '+ xy' + (x2 — n2) J, = 0

1

quando n = -^ e n = 0.

117. Encontrar a solução geral da equação 4x£/" + 2y' + í/ z=0.

Indkação — Procurar a solução sob a forma de série xP (oq + a^x +

+ OnX^ + ...). Resp. COS "i/^ + ^2 sen ’\/x.

118. Achar a solução da equação (1 —jc^) y" —jcy'= 0 que satisfaz às condições

iniciais: y = 0, y '= 1 para jc = 0. Resp. a;_|.JL £!__|__L A ^_u

1 2 3 2 4 5 '

■*■2 4 6 7 + •••

119. Achar a solução da equação (1 + jc2)y" + 2jcy' = 0 que satisfaça às condim

.... X^ X® Xt

ções iniciais: y = 0, y = 1 para jc = 0. Resp. x ----------- 1-------------------- u . . .

, 3 5 7

120. Encontrar a solução da equação y" = xyy' que satisfaz às condições iniciais:

x3 , 2*4 3x5

y * 1, y' * 1 para x * 0. Resp. l -j-j

3! ^ 41 5!

SâRIES 333

121. Encontrar a solução da equação (1—x)/=l+x —> que satisfaça às

iniciais: ^ = 0 para = 0 e indicar o intervalo de convergência da série

obüda. Resp. i + ^ +

122. Achar a solução da equação xy'* + y = 0 que satisfaça às condições

iniciais: y = 0, y' = i para jc= 0 e indicar o intervalo de convergência.

x'^

I~l

(—o o < x < o o ) .

(1!)2 2^(2!)3 3 (3!)4 4

2

123. Achar a solução da equação y"+ -^ y'-{-y = 0 que satisfaz às condições

iniciais: y = 1, y' = 1 para x = 0, Resp.

1

1*24. Achar a solução da equação ----y'-\-y = 0que satisfaz às condições

X

iniciais: y = 1, y' = 0 para x = 0 e indicar o intervalo de convergência da

X®

série obtida. Resp. 1— ^

2! ^ 22-42 22-42.62

Determinar os três primeiros termos do desenvolvimento em série inteira

das soluções das equações diferenciais seguintes de que se indicam as

condições iniciais:

4x3

125. y' = x^ + y^ ; para x = 0, y ^ ^ í. Resp. 1-f a: f x2 4 - —^ .

é»x2 x3

126. y" = ey-{-x; para x = 0, y = l, í/' = 0. Resp. 1

2 ' 6

x2 x3

127. y '= seny —senx; para a: = 0, y = 0. Resp.---- ------- ----- ...

2 6

Determinar alguns termos do desenvolvimento em série inteira das soluções

das equações diferenciais seguintes de que se indicam as condiçõs iniciai*

indicadas:

x2 2x2

128. = x2; para x = 0, y = 0, y '= 0. Resp. 1+ x + - ^ + —\~— — h

4!

14x6 + • • •

1 . 1

129. y' = y2-i-x3; para x = 0, y = -^- Rcsp- —+ T ^ + '« ^^ + Í6

130. y' = x i— y^\ para z = 0, y = 0. R e s p . 1 * — ^ + — ...

X3

131. í/' = x2y2_i; para x = 0, y = l. Resp. 1—x H — ------ ^ + - 5 ---- •••

x2 2x2 llx^

132. y' = eV-\-xy\ para x = 0, }í = 0. R e^. + — 3“ + "2^37^ + • • •

Ca|>itulo XVH

SÉRIES DE FODRIER

§ 1. Definisão. Posisão do proUema

Chama-se série trigonométrica a uma série da forma

— + o, COS X + 6, sen X uj cos 2x + 62 sen 2x -f ..

OU, sob uma forma mais compacta

oc

+ 2 (a„ COS/JX -f b„ sen nx). (1)

As constantes ao, a„ et (n = 1, 2, ...) são os coeficiertíes da

série trigonométrica.

Se a série (1) convergir, a sua soma é uma função periódica f (jc)

de período 2tt, dado que sennjc e cos/uc são funções periódicas de

período 2ir.

De modo que

f (x) = f(x 2n).

Ponhamos o seguinte problema.

Dá-se uma função periódica / ( jc) de período 2tt. Pergunta-se

para que condições impostas a / ( jc) existe uma série trigonométrica

convergente para f (jc).

Este problema será objecto do presente capítulo.

Determinação dos coeficientes da série por meio das fórmulas

de Fourier.

Suponhamos que a função / (jc), periódica e de período 2tt, pode

ser representada por uma série trigonométrica convergente para / ( jc)

no intervalo (— tt, tt), isto é, que seja a soma desta série:

oo

/ ( ^ )

= - ^ + (a„ coswx + bn nx).

n = í

(2)

SÉRIES DE FOURÍER 335

Suponhamos que o integral da função do primeiro membro desta

igualdade é igual à soma dos integrais dos termos da série (2). Isto

terá lugar, por exemplo, se se suposer que a série proposta converge

absolutamente, isto é. que converge a série numérica positiva seguinte

-f- Iflj j -f- j I-f- j «2 I+ j ^2 í + • • • + I MI- f I I + • • •

{^)

A série (1) é, então, majorável e pode ser integrada termo a

termo de —ir a tt. Aproveitemos para calcular o coeficientes a©.

Integremos os dois membros da igualdade (2) de — tt a + ir:

n n n :i

a,i COS n x d x J sen n x dx^ .

^} ( x ) d x = ^ ^ d x 2 (í

— n -J t n = l —ji —jx

Calculonos. separadamente, cada integral do segundo membro:

—JI

71 n

^ cosnardx = |

TÍGq,

- a» sen nx

COS n x d x = -------------

— JX

— JX

JX

^ bn s m n x d x = bn ^

JX

cosnx

sen nx dx = — bn

= 0.

Por conseguinte.

J / {x) dx = jtao,

donde

Uq

JX

/ (:r) dx. (4)

Para calcular os outros coeficientes da série, calcularemos, prèviamente

os int^rais auxiliares seguintes.


S t n e k forem inteiros t st n= ^k, tem-se

e se n = k.

J CO Sn x CO Skxd x = 0;

—n

n

J c o sn x sta k x d x = 0\

— 71

Ti

í sen rax sen fcr dr = 0;

J cos^ k xd x = n \

- Jt

7i

^ sen kx cos kxd x = 0;

—Ti Jt

Jt

^ stxi^kxdx = n.

(I)

(H )

Calculemos, por exemplo, o primeiro integral do grupo (I).

Como

COS nx COS k x =

[cos (ra + A) x + cos (n — k) x],

tem-se

Jt

ícosnx cos k xd x =

Jt

Jt

~ y f cos (r + Á:) X dx + ^ ^ cos (n — k )x dx = 0?

De igual modo se obtêm as outras fórmulas (!)(*). No que

respeita aos integrais (II) calculam-se directamente (ver cap. X, t. I).

Pode-se calcular, agora, os coeficientes e ó* da série (2),

(*) Com a ajuda das fórmulas

1

cos nxa ta kx = — [stn{n-\-k) x ^ a tn (n -k ) x],

sennx stnkx = — [—cos (« + A:) x + co s (n — k) xj.

SâRIES DE FOURIER 337

Para determinar para dado, multipliquemos os dois

membros da igualdade (2) por cos kx:

f (x) COS k x = — COS k x +

2

+ (aî COS n x cos k x + bn sen n x cos kx),

(2')

71=1

A série do segundo membro da igualdade é majorável, dado

que os seus termos não são superiores em valores absolutos aos

termos da série positiva convergente (3). Pode-se, pois, integrar termo

a termo sob qualquer segmento.

Integremos a igualdade (2') de — tt a tt:

J f {x)coskxdx = ^ ^ coskxdx

+ J oo^nxcoskxdxbn ^ sen nx cos/cx

n = l —«

A respeito das fórmulas (II) e (I), vê-se que todos os int^rais

do segundo membro se anulam, excepto o que contém o coeficiente

Por consûinte.

J f (x) cos kxdx =

J co^ kxdx = akn,

donde

n

a /i= — 1 / (x) cos k x ãx.

JX J

(5)

Multiplicando os dois membros da igualdade (2) por sen^x e

integrando de novo de — ir a ir. obtém-se:

donde

5 f (x) SCO kx dx = bft J sèa ^kxd x= b )in ,

—71 —Jl

Jl

1 f

bk = — \ f(x) sên kx dx.

n J

— Jl

(6)


Os coeficientes definidos pelas fórmulas (4), (5) e (6) chamam-se

coeficientes de Fourier da função /(jc) e a série trigonométrica (1)

formada com estes coeficientes é a série de Fourier da função f{x).

Voltemos, agora, ao problema posto no princípio deste parágrafo:

quais as propriedades que deve possuir a função / ( jc) para que a

série de Fourier convirja e que a sua soma

seja igual aos valores da função nos pontos

considerados?

Vamos enunciar um teorema dando as

condições necessárias para que à função / (jc)

seja representável por uma série de Fourier.

Definição — Uma função / ( jc) diz-se

monótona por corte sobre o segmento [a, b\

se se puder decompor esse segmento pelos

pontos jci, JCz. num número finito

de intervalos (a, Xi). {xu JC2) -. (jCn-i.

de modo que a função seja monótona em cada intervalo, isto é, que

seja ou não crescente ou não decrescente.

Resulta da definição que se / ( jc) for monótona por corte e

limitada no segmento [a, 6], apenas pode ter pontos de descontinuidade

de primeira espécie. Com efeito, se jc = c é um ponto de

descontinuidade para a função / (jc), tem-se, em virtude da monotonia

da função,

lim / ( x ) = / ( c — 0 ) , lim / ( a : ) = / (c + 0 ) ,

X->C—0

«-♦'C+O

isto é, que o ponto c é um ponto de descontinuidade de primeira

espécie (fig. 356).

Temos o teorema seguinte:

Teorema — Se a função periódica / (jc) de período 2tt é monótona

por corte e limitada no segmento [— tt, tt], a sua série de Fourier

converge em todos os pontos. Á soma da série obtida s(x) é igual

ao valor da função / ( jc) nos pontos de continuidade. Nos pontos de

descontinuidade de / ( jc) a soma da série é igual à média aritmética

dos limites da função à esquerda e à direita; isto é, se jc = c for um

ponto de descontinuidade de / (jc).

S(x)^=c =

/ ( c - 0 ) + /(c + 0)

Este teorema mostra que a classe das funções representáveis por

séries de Fourier é bastante lacta. Eis porque as séries de Fourier

SÉRIES DE POURIER 339

têm encontrado uma larga aplicação nos diferentes ramos da matemática.

Utiliza-se particularmente com sucesso as séries de Fourier

eni física matemática e nas suas aplicações a problemas concretos

de mecânica e de física (ver cap. XVIII).

Não demonstraremos o teorema que acaba de ser enunciado.

Demonstraremos nos § 8, 9, 10 um outro critério suficiente para que

uma função possa ser desenvolvida em série de Fourier. Abrange,

num certo sentido, uma classe mais restrita de funções.

§ 2. Elxemplos de desenvolvimento de funções

em séries de Fourier

Vamos dar exemplos de desenvolvimento de funções em séries de Fourier.

Exemplo— 1.

como se segue:

Dá-se uma função periódica f(x) de período I tt definida

f(x) = x,

Esta função -é monótona por corte e limitada (fig. 357). Ela admite, pois,

um desenvolvimento em série de Fourier.

Aplicando a fórmula (4) do § 1, obtém-se:

ÜQ = — 1 f \ X ^ dx = -----

\ x2

Ji J ji 2

= 0.

Apliquemos a fórmula (5) do § 1 e integremos por partes:

ji

jt

I f irscnA:xJx i r

= — \ X COS kx dx = -*-T- X — ;---- ---------- \ sen kx dx = 0.

J Jt L A: j-ji k i J

De acordo com a fórmula (6) do § 1, determina-se:

Jt

n í ! „ + T j c o s f e d z ] = ( - l) f t + il.

Obtém-se, assim, a série

— Jt


Esta igualdade tem lugar para todos os valores exoepto nos pontos de

descontinuidaae. Nestes pontos a soma da série é igual à média aritmética

aos limites da função à esquerda e à direita, isto é, a zero.

Exemplo — 2. Dá-ss uma função periódica de período 2nr definida como

se segue:

f { x ) = — x para —

f ( x ) = x para 0 < x < ji

isto é, que f{x )= \x\ (fig. 358). Esta função é monótona por corte e limitada

sobre o segmento —-tt < x < tt.

yn

-5 n -4jr -3ji -2ti - n 0 n I n 5 n 5 n ^

Fig. 358

Determinemos os coeficientes de Fourier:

Jt 0

flo—— j / W dx = ^ ^ J ( _ x) d x ^ J xdxj =JI,

- J i - J t 0

1 ^ ”

ííft = — J ( —^) COS kxdx-\- ^ X COS kx dxj =

- J t ü

1 r isenfci|o 1

0

f , isenfci |n i

ji

= 1 t L-------í — U + T

- J t

COS

=-Lr.

k x

T í k L

= — ( C O S k n

U

k

COS k x \ n

—Jl ^ |0

{ 0 para

^ par.

___ ^

para k ímpar;

Jlfe2

bk = - ^ ^ J (—^) s©n /cx dx-|- ^ X sen A:x dxj = 0 .

Jl

^ _ | J , e n f c x d * ] =

] =

ü

Obtém-se, pois, a série

^ . Jl 4 r COS JX , COS 3x , COS 5x

32 52

COS (2p4-l) X

(2p+l)2 }■ • ■

Esta série converge para todo o valor, e a sua soma é igual à função

proposta.

SâRIES DE FOURIER 341

Exemplo — 3. Define-ss uma função periódica de período 2nr como

se segue:

/ (^) = — 1 para — Ji < x < 0,

f(x) = í Pwa 0 < a :< ji.

Esta função (fig. 359) é monótona por corte e limitada no segmento

— *ir X

Calculemos os coeficientes de Fourier:

n 0 ji

«*0= 4- J / W á t = ^ [ J (-i)< te + já x ]= 0 :

—« Jl 0

0 Jl

^ r f / -I\ I J . f 1 J 1 ^ Bcn/cx 0 . sen sên

afe = — 1^ j

A:x kx Jl

( — 1) COS kxdx-\- \ cos kx dx \ = —1— j-— -----= 0 ;

-Jl kA

0 Jl

COS kx

= J (—1) sen A:x dx+^ sen/cx dx J = ^

- J l 0

0 coskx |Ji

- J l k |o ] =

^~nk

r 0 para p k par,

1= ' ^

para k impar.*.

I nk

A série de Fourier considerada escreve-se, pois,

4 r senx , sen 3x sen 5x sen (2p + l) ^

' w = 4 [ ^ +

2 p + l

Esta igualdade é exacta para todos os valores excepto nos pontos de

descontinuidade.

y i

1

-3 Jl - 2 n - Jl 0 Jl 2 Jl 3ji X

-1

Fig. 359

Indicamos, na figura 360, como as somas parciais Sn representam com

uma precisão crescente a função /(x) quando n —> oo.

Exemplo — 4.

se segue:

Dá-se uma função periódica de período Iw definida como

/(x) = x2, — ji< ;x < ;ji (fig. 361).


SÉRIEIS DE FOURIER 343

Calculemos os coeficieates de Fourier:

jt

1

«0 J = -L f x2dx = — - ^

Ji J JI 3

—Jt

1 f o I j 1 r x2 s e n A:a; |Ji 2 f , , 1

= — \ COS kx dx = — -------- --------- — 7- i ^ s e n kx dx =

n J n \_ k \-n k J ^ J

X COS

_______L f

kx ^ 1 f “I 4

^ + \ COS/cx d x j [jx COS A:Ji] =

nk L

■I

4

para k par,

—-p- para k ímpar;

Jt

x2 COS kx

bh= — \ a;2 s e n kx dx= -]-----

- f ^ ^ COS kx d x J =

JX J

^ ji L

Jt

2 rxsen/cxJt i r

-n~T ]

—Jt

Logo, a série de Fourier da função dada, escreve-se

„ jx2 , / cosx COS 2x , COS 3x

n - i - 22 32

Como a função é monótona por corte, limitada e contínua, a igualdade

tem sempre lugar

Fazendo na igualdade obtida x = nr, obtém-se;

oo

6 ~ Zl «2 •

6 ^ w2

n = l

Exemplo — 5. Dá-se uma função periódica de período 2*7t definida como

se segue:

/(x) = 0 para — j t < x < 0,

/(x)=x para 0 < x < ji (fig. 362).


Definamos os coeficientes de Fourier:

JT (I n

-JT

.n

1 rx sen kx

— — f X COS kx d x — — r

^ i

ji L

0

I COS k x

Jik k

r 2

^ para k ímpar,

” I 0

para k par;

— ^ f sen A:x dx I =

0 A: J ' ] =

I 1 r 7 7 1 r XCOS A'x -T , 1 f , n

= - j xsen /rxrf^ ^ _[_------- — ^ + _ J costodxJ =

= -----COS Aji =

:ik

J_

para k ímpar.

1 para k par;

O desenvolvimento em série de Fourier é

. . . Ji n 2 í /COS

X . COS 3x ^ cos 5x , \

12 » 32 ~ ' 5 ^ ‘* j

/ aèn sen X sén 2x , sen 3x

1 2

Nos pontos de descontinuidade da função f{x) a soma da série é igual

à média aritmética dos limites da função à esquerda e à direita ^ no caso

presente

•

Fazendo na igualdade obtida x = 0, obtém-se:

oo

8~Z j (2n —1)2 ■

n=l

§ 8. Úma nota sobre o desenvolvimMito das fdnsões periódicas

em série de Foorier

Indiquemos a propriedade seguinte duma funô

2it\ tem-se

n

A.+2JI

í ■<|)(a:)da:= j Tfi(a:)da-,

- Ji X

qualquer que seja o nómero X.

Com efeito, como

1)3 {£ — 2 jl) = l|3 (g ),

de período

SÊRIEa DB FOURIER 345

Fazendo x = ^ —27t, pode-se escrever, quaisquer que sejam c e d:

d (f+ 2 n d-\-2zi d+2ji

i |: ( | — 2 j t ) d | = J i j ) ( | ) d | = J \lp(x)dx

c c+2ji c+2.t; c+2.t

Em particular, fazendo c = —ir, d = X, obtém-se:

por conseguinte,

X X+2n

5 ^p(x)dx=

—jt

J

n

\p{x)dx,

A.+2JI — Ji n P.+2JI

J ij) (:c) dj: = ^ J i|? (^) d^:* + J ilp (.r) dj: =

A, — Ji Jt

— Jt Jt A. Jt

= ^ '\^{x)dx I {x) dx J ip (a:) da: = ^yp (x) dx.

K — Jt — Jt — Jt

A propriedade mencibnada 'significa: o integral duma função periódica

tfi (x) sobre um segmento arbitrário de comprimento igual ao período

tem sempre o mesmo valor. Geomètricamente: as áreas tracejadas sobre

a figura 363 são iguais.

Resulta da propriedade demonstrada que se pode. no cálculo dos

coeficientes de Fourier, substituir o intervalo de integração (— ir, ir)

pelo intervalo (A, A -f- 2w), isto é, que

A ,+ 2 j t

A ,+ 2 jt

1 f 1 f

ão = — \ f{x) dx, Un= — \ f (x) COS nx dx,

A, A,

A ,+ 2 jt

1 f

= — \ j (x) sen nx dx,

n J

(1)

onde A 6 um número arbitrário.

Isto resulta do facto de a função f{x) ser, por hipótçse, uma

funô periódica de período hr, por conseguinte, as hinções f(x)cosnx


e / (jc) sen nx são também funções periódicas de período 2ir. Mostremos

com um exemplo como a propriedade demonstrada simplifica, em

certos casos, o cálculo dos coeficientes.

Exemplo — Seja desenvolver em série de Fourier a função f(x) dc

período igual a x sobre o segmento 0 < jc < 2*ir, O gráfico da função / (x)

está representado na figura 364. Esta função é dada no segmento nr]

por duas formulas: fix) = x + 2'ir sobre o segmento [— nr, 0] e /(x) = x sobre

o segmento [0, nr.] Ora esta função está representada muito simplesmente por

/ (x) = X sobre o segmento [0, 2nr]. Por conseguinte, ter-se-á interesse em

desenvolver esta função em série de Fourier, utilizando a fórmula (1) com X= 0:

1 •’ 1 r

<7o = — j f (^) dx — — \ xdx = 2n \

0 ' ü

2Jt

2 ji

I f . / v , I f , I fx s c n n x

fln = — \ f (x) COS n x d x = — \ X COS n x d x = — ----------

J i j J i L n

COS wx"|2Jt

+ - ^ J c Jo = «•

= 4 [ -

Por conseguinte.

^ / (x) sên nx dx = ^ X sen nx dx =

0 ü

X COS nx , scnnx“l2jt

n n2 Jo

2 2 2 2

/ (x) = ji — 2 sen x— ^ sen 2x — — sen 3x—— sen 4x — f 5x— ...

2 o 4 0

& ta série representa sempre a função dada, exoepto nos pontos de

descontinuidade (os pontos x = 0, 2nr, 47t, ...). Nestes pontos, a soma da

série é igual à semi-soma dos valores limites da função /(x) à direita e à

esquerda (no caso presente a nr).

SâR IES DE FOURIER 347

§ 4. Séries de Fourier de funções pares e impares

Resulta da definição das funções pares e ímpares que se ^(;c)

é par se tem

Com efeito.

ji

J

ji

dx = 2 ^yp (x) dx.

— n 0

I y\){x)dx= J il) (j:) -f- í ^ (^) d.r = J xj) (—x) dx +

-Jl —Jl 0 0

Jl Jl Jl Jl

+ 5 (^ ) d x = J ij; (a:) da; + ^ \)j (x) d x = 2 J ij; (x) d x ,

dado que uma função par goza, por definição, desta propriedade;

x) = ^ (x).

Tem-se, duma maneira análoga, para uma função ímpar y>(x)

Jt Jl Jl

J (p{x)dx= ^ (p {—x) dx + í 9 (^) dx =

— Jl 0 0

Jl

= — ^ (p (x) d x j (p (x) d x = 0 .

0 0

Se se tiver o desenvolvimento de Fourier duma função f (x) ímpar,

o produto f{x)coskx é uma função ímpar e /(x)senÃx uma função

par; logo,

Jl

Jl

« 0 = -^ j f{x)dx = 0,

— Jl

Jl

1 r

«A = — I / (^) COS kx dx=0, (1)

3T J

— Jl

Jl

6* = — ^ / (x) sen A;x dx = -^ J / (x) sen kx dx,

Jl

isto é, que a série de Fourier duma função ímpar apenas contém senos

(ver exemplo 1, § 2).


Se se tiver o desenvolvimento de Fourier duma função par o

produto / (x) sen kx é uma função ímpar e f (x) cos kx é par. pdo que:

/ (x) dx.

- l i

f (x) COS kx dx,

(2)

/ (x) sen kx dx = 0,

isto é, a série de Fourier duma função par apenas contém cossenos


As fórmulas obtidas permitem simplificar os cálculos dos coeficientes

de Fourier quando a função dada é par ou ímpar. É evidente

que qualquer função periódica não é forçosamente par ou ímpar


Exemplo — Seja desenvolver em série de Fourier a funçSo par / (x) de

período 2*7t definida no segmento [0, w] por

y = x.

Já desenvolvemos esta função cm série de Fourier no exemplo 2, § 2

(ver fig. 358). Calculamos dc novo os coefícientes dc Fourier desta binçâo

utilizando a paridade desta função.

Em virtude da fórmula (2), 6^ = 0, qualquer que seja k\

-í

Jl

= — \ X dx=^n, ük = X

COS kx dx =

_ 2 ["x sen

~ ~ n L

k

^

JiA:2

para k par,

para k ftnpar.

Voltamos a encontrar os mesmos coeficientes que no exemplo 2, § 2, mas

mais ràpidamente.

§ 5. Séries de F ourier das fanções de período 21

Seja f{x) uma função periódica de período 2/, em regra diferente

de 2tt. Desenvolvamo-la em série de Fourier.

Façamos a mudança^ de variável

x = ^ t .

n

SÉRIES DE FOURIER 349

A função /

é. então, uma função periódica de t de

período

— 7T < JC < ir :

e pode-se desenvolvê-la em série de Fourier no segmento

y + 2 (oftCosAí + ÒA senAO,

( 1)

ou

í

Jl

—jr

n

k = i

í/

ji

( ^ í ) c o s A í d í ,

—zi

Voltemos, agora, à antiga variável x:

I

- í .

Ter-se-á, então:

I

n

t = x —

dt=^dx.

^ 0 — y J ~ T J k^xdx,

-I

I

-I

bk f(x) se a kjx d x.

= H -

-I

A fórmula (1) transforma-se em:

/ W = ~ -f- ^ COS y a: + h/^ sen y x j ,

A=1

(2)

(3)

onde os coeficientes an, bf^ são calculados segundo as fórmulas (2).

Tal é a série de Fourier duma função periódica de período 2/.

Notemos que tudo o que foi dito sobre as séries de Fourier das

funções periódicas de período 2tt mantém-se em vigor para as funções

periódicas de período qualquer 21 O teorema sobre o desenvolvimento

duma função em série de Fourier do § 1, permanece em vigor, bem

como as notas sobre a possibilidade de calcular os coeficientes da série

integrando num segmento arbitrário de comprimento igual ao período

(vei § 3) e de simplificar o cálculo dos coeficientes quando a função

é par ou ímpar (§ 4).


Exemplo — Desenvolver em série de Fourier a função periódica de período

21 definiüa no segmento [—/; /] pela igualdade / ( jc) = |jc| (fig. 365).

if, — 0 ; ãi) = ^ ^ X dx ~ I \

^ r 0

2 f knx ^ 21 Ç , ^ I

Ufi— = — \ XCOS x c o s-y —r- - d-r dx = —^ —r \ X xcos COS, kx k x ddx x = J 4/

0 " ^ 0 I

Por conseguinte, o desenvolvimento escreve-se:

. . I Al

COS — X

I

COS - j - X

3^

0

para k par.

(2 p - 'r 1) Jl

COS I — ^

(2p + l)2

§ 6. Desenvtrfvimento em série de Fourier

dum a função não periódica

para k ímpar.

Seja dada no segmento [a, b] uma função monótona por corte / (x)

(fig. 366). Mostremos que esta função pode ser representada nos pontos

de descontinuidade por uma série de Fourier. Consideremos, para esse

efeito, uma funô arbitrária periódica monótona por corte ix(x) de

período 2p.'^\b — a\ e coincindindo com a função f (jc) no segmento

[a. ó]. (Prolongamos f(x)).

SÉRIES DE POURIER 351

Desenvolvamos a função /i (j:) em série de Fourier. A soma desta

série concide em todo o segmento [a, b\ (excepto nos pontos de

descontinuidade) com a função dada / ( jc), isto é, que se desenvolveu

/ (jc) em série de Fourier no segmento [a, b\.

Consideremos em seguida o seguinte caso importante. Seja / ( jc)

uma função dada no intervalo [0. /]. Prolongando arbitràriamente esta

Fig. 367

função no intervalo [— /, 0] (conservando a monotonia por corte)

podemos desenvolver esta função em série de Fourier.

Em especial, se prolongarmos esta função no intervalo —/ < x < 0

de modo que / ( jc) = / (— jc) , obtém-se, finalmente, uma função

par (fig. 367). (Diz-se, então, que a função / ( jc) foi «prolongada de

maneira par». Esta série desenvolve-se em série de Fourier de cossenos.

De modo que a função / ( jc) dada no intervalo [0, /] foi desenvolvida

em série de Fourier de cossenos.

Se se prolonga a função / ( jc) sobre — Z< jc < 0 de modo que

/(jc) = — / ( — jc) obtém-se uma função ímpar, desenvolvendo-se em

série de senos (fig. 368). (Prolongamento ímpar da função / ( jc) . Por

conseguinte, se for dado no intervalo [0, /] uma função monótona por

corte / ( jc) , pode-se desenvolvê-la ou em série de Fourier de cossenos

ou em série de Fourier de senos.

Exemplo— 1. Seja desenvolver a função f(x) = x no intervalo [0,

série de senos.

Resolução — Prolonguemos esta função de maneira ímpar (fig. 357).

Obtém-se a série


■

sen X

sen 2x , sen 3x

em


Exemplo — 2.

de cosenos.

Desenvolver a função f{x) = x no segmento [0, tt] em série

Resolução — Prolonguemos esta função de maneira par; tem-se:

f(x) = \x\, —

(fig. 358). O desenvolvimento em série de Fourier desta última função é

n i r COS X , COS 3x , cos 5.r

2 Ji i í ' 3 - ' 5 '2

(ver exemplo 2, § 2). Por conseguinte, no intervalo [0, -tt], tem-se a igualdade

71 4 r COS X , COS 3x , COS 5x

52

§ 7. Aproximação, em média, duma função dada por meio de

polinómios trigonométricos

A representação duma função em série (de Fourier, Taylor, etc.)

tem este sentido prático que a soma parcial obtida quando se limita

ao termo de ordem n é uma expressão aproximada da função que

se desenvolve. Pode-se levar esta aproximação ao grau desejado

escolhendo convenientemente n. Todavia, o carácter da representação

aproximada pode variar.

Assim a soma dos n primeiros termos da série de Taylor

coincide com a função dada no ponto considerado e não tem neste

ponto derivadas até à ordem n coincidindo com as derivadas da

função considerada. Um polinómio de Lagrange de ordem n (ver § 9,

cap. VII, t. I) coincide com a função considerada em « + 1 pontos.

Vejamos qual é o carácter da aproximação duma função periódica

/(jc) por meio dos polinómios trigonométricos da forma

(x) :

ÜQ + X I ah COS kx + bh sen kx.

h=i

em que ao, ai, bu bz, .... são coeficientes de Fourier. isto é

que se aproxima com a soma dos n primeiros termos da série de

Fourier desta função. Façamos algumas notas preliminares.

Suponhamos que se tem y = f (x) no intervalo [a, b] e que se

quer avaliar o erro cometido quando se substitui esta função por

uma outra função <p(.x). Pode-se considerar, por exemplo, que o eri;o

é representado pela expressão max \f(x) - (p(x) | no intervalo [a, b],

o que se chama desvio máximo entre f{x) e <p{x). Mas, por vezes.

SARIES DE FOURIER 353

é mais natural considerar o desvio quadrático médio 8 cujo quadrado

é, por definição.

b

(x)fdx.

Expliquemos, na figura 369, a diferença entre o desvio quadrático

médio e o desvio máximo.

Suponhamos a função f(x) representada pelo traço a cheio e as

aproximações <pi (x) e <p2 U) pelos ponteados. O desvio máximo da

curva 3^ = (x) é menor que o desvio máximo da curva y = n W .

mas o desvio quadrático médio da primeira curva é maior que o

da segunda, porque a função y — n (x) se distingue notòriamente

de y = f(x) sòmente num pequeno intervalo e, por conseguinte,

caracteriza melhor a função y = f (x) que a primeira.

Voltemos agora ao nosso problema.

Seja dada uma função f(x) periódica de período 2w, Entre os

polinómios trigonométricos do grau n

n

^ + 2 («A COS fcr + Pasen kx)

k = i

pede-se para calcular, escolhendo convenientemente os coeficientes a*

e ^kl o polinómio cujo desvio quadrático médio, definido pela igualdade

é mínimo.

23

- = i i

/ ( x ) ^ ^ { a k COS kx + sen kx) j dx

2 k=i

354 CALCULO DIFBRBNCIAL B INTEGRAL

O problema reside em encontrar o mínimo duma função de

2/1 + 1 variáveis ao, a j, . . On, P i . P 2 . • • -i P n -

Desenvolvamos o quadrado da expressão entre parêntesis recto

e integremos t^m o a termo; tem-se:

^ I {/* (^) — 2/ (x) - f 2 (“ A COS Ax 4- Pa sen kx)

—Ji A=1

+ (a* COS - f Pa sen Ax) j | cíx = ^ J f (x) dx —

h = i

n 71 ji

— 2 ^ 1 / (^) cfcc — — J ^ —

-TI k = i -Jt

71 n

TC

—ji

- - ^ 7 , Pa f/( x )s é n A x d x + — -® f dx +

Ji J 2ti 4 J

A=1 - ji - n

71 n

n

ji

A=1 —n h = i —Jt

71 Jt 71 Jt

«A J COS A;x dx + ^ tto Pa ^ sen A:x dx -|-

k=í — Jt

h = i —n

n 71 Jt

+í2 h=i 7 = 1 -Jt

k=^J

COS kx COS jx dx +

71 71 Jt

A= 1 7 = 1 — Jt

77. 71 Jt

í COS kx SOT ]x dx 4 “

3 2 PaP/ í sen kx sen jx dx.

k=i }=i —Jt

k¥=J


Notemos que

71

>

\ i{x)dx=ao-,

V

“ Jt

71

/ ( x ) COS kx dx = a h \

^ ji J•/

j

—ji

Jt

^ / (x) sen kx dx = bk

são os coeficientes de Fourier da função f{x).

Além disso, em virtude das fórmulas (I) e (II) do § 1, tem-se,

quando k = j,

n 71

J cos^kxdx = n, J sexí^kxdx = n,

— n — 71

n

para k e j quaisquer: í sen kx cos ]x dx = 0.

e, quando, k ^ /,

Jl 71

5 COS kx COS jx dx=0, ^ sen kx sèn jx dx = ii.

— 71 — Jl

De modo que

^ 2n 1 ~

“ ^

2 ■**

71 n

+

f+r2

k= i

(aÂ + Pl).

Juntando e subtraindo a quantidade

tem-se

^

^

A=1

-Jl A=1

n

+ ■+■ -^(«0 — «of + y 2

k=i

(P* ~ *a)^]-

(1)


Os três primeiros termos desta soma não dependem da escolha

dos coeficientes ai, . .. Pi, •••. P^- Os outros termos

n

(ao — üq)^ + ~2 [(Â — + (Pa — â)^]

são não negativos. A sua soma é mínima (zero) quando

A = 1

ao = do^ ^ í — d l, . . . , OLn = djii Pl ~ ^1» • • •» Pn =

Tal é a escolha dos coeficientes ao, a i, ....

o qual o polinómio trigonométrico

n

y + (a^ C O S kx + Pa sèn kx)

A = 1

p^, .... P^ para

menos se desvia da função / (;c) no sentido de que o desvio quadrático

médio 6^ seja mínimo.

Acabamos de demonstrar o teorema:

Entre todos os polinómios trigonométricos de ordem n, é o

polinómio de Fourier da função f {x) que dá a melhor aproximação

quadrática média desta função.

O desvio, quadrático médio mínimo é

n

— 31 A = 1

(2)

Como 6% ^ 0 , tem-se, qualquer que seja n,

31 n

i J f ( x ) d * > ^ + i 2 ( » í + 6S).

Segue-se que a série do segundo membro converge quando /i

e pode-se escrever

Ü ^ jT ^ “I" + â)«

— 31 A = 1

Bsta relação é a desigualdade de Bessel.

Limitemo-nos simplesmente a indicar que para qualquer função

limkada monótona por corte, o desvio quadrático médio obtido quando

se substitui esta função por uma soma parcial de Fourier tende para

A = 1

oo

(3)


zero quando ap : ô* ^ 0 quando n -* oa. Mas. então, da fórmula

(2) resulta a igualdade

oo

n

h = i

chamada igualdade de Liapounov {*). (Indiquemos que A. Liapounov

demonstrou esta igualdade para uma classe de funções mais lacta

que a classe aqui tratada).

Resulta do que acaba de ser demonstrado que, para uma função

que satisfaça à igualdade de Liapounov (especialmente para qualquer

função limitada monótona por corte), a série de Fourier correspondente

dá um desvio quadrático médio nulo.

Nota — Estabeleçamos uma propriedade dos coeficientes de Fourier,

que nos servirá no seguimento. Vamos dar, prèviamente, uma

definição.

Uma função diz-se contínua por corte no intervalo [a, ó], se

os seus pontos de descontinuidade de primeira espécie são em número

finito sobre este segmento (ou se é para todo o valor contínua).

Mostremos a seguinte proposição.

Se a função f (x) for contínua por corte sobre o segmento [— tt, ir]

os seus coeficientes de Fourier tendem para zero quando n -» oo, isto é,

lim = 0, lim = 0. (4)

n->00

7l->CO

Demonstração — Se a função f(x) é contínua por corte no inter-

JX

valo [— ir. ir]. O mesmo se passa com /* (jc). Mas. então. | f (x) dx

—Jl

existe e é um número finito (**). Então, da desigualdade de Bessel (3)

oo

resulta que a série 2 («n + &n) converge, o que implica que o seu

th=1

termo geral tende para zero: lim (a%, + 6») = 0, as igualdades (4)

n-H»

estão demonstradas. Assim se tem para uma função limitada contínua

por corte as igualdades

lim

Jl

n -* -o o — Jl

- n

J / (x) C O S nxdx = 0y

Jl

lim J / (x) sen nxdx = 0.

n-+>oo — Jl

(♦) Esta igualdade é ainda chamada fórmula de Parseval,

(♦♦) Este integral é a soma dos integrais dos diferentes bocados de funções

contínuas que constituem a função f{x) no intervalo [—‘tt, ‘tt].


Se a função f(x) é periódica e de período 2tt, pode-se recopiar

estas últimas igualdades como se segue (com a arbitrário);

a + 2 n

lim J i {x)Q,osnxdx = 0\ lim J f {x) *stanxdx = 0.

n-»-oo a

Notemos que estas igualdades subsistem se se integrar num intervalo

[a, b] qualquer, isto é, que os integrais

b

J / (x) COS nx dx ei

a

b

a

J / {x) sén nx dx

tendem para zero quando n tende para infinito, se / (jc) for uma função

limitada contínua por corte.

Com efeito, suponhamos, para fixar ideias, que 6 — a < 2ir e

consideremos a função auxiliar (p{x) de período Itt definida como

se segue:

<P(^) = /(a;) para a ^ x ^ b ,

(p(x) = 0 para 6 < x C a + 2n.

Então;

fe

a+2jt

l f (x) COS nxdx= j (f (x) COS nxdx,

a

a + 2 n

lf{x)stanxdx= I ^>{x) ^nnxdx.

Como y>(x) é uma função limitada e continua por corte, os

integrais dos segundos membros tendem para zero quando /i->oo.

Segue-se que os integrais dos primeiros membros tendem também

para zero. A proposição está assim demonstra e tem-se

6 b

lim ] f{x)eosnxdx = 0\

n->oo a

lim \ f {x) ^nnxdx = Q

a

(5)

quaisquer que sejam a e b e a. função f(x) limitada e contínua por

corte no segmento [a, b\.

§ 8. Integral de Dirichlet

Vamos estabelecer neste parágrafo uma fórmula que exprime as

somas parciais duma série de Fourier por meio de integral. Esta fórmula

ser-nos-á útil nos parágrafos seguintes.

Consideremos uma soma parcial de Fourier para a função periódica

f{x) de período 2ir:

«n (^) = Y ^ Sén kx).


com

Jl

Oft = — 1 f{t) COS kt dt, bk = — \ f (t) sen kt dt.

I I J IX J

—jT —n

Substituamos estas expressões na de (2:), obtém-se:

Jl

(^) = ^ / (t) dt -f-

+ l [ ~ l

h=l

/ (t) COS A:í dí -)- ---------- sen \ I f(t)se sên ,.

kt dt

Jl

—Jl

J

ou, introduzindo coskx e senAx sob o sinal soma (o que é legítimo,

porque coskx e sen/:jc não contêm a vîável de integração).

Jl

/ (í) dt +

2[í

n Jl Jl

f {t) COS kx COS kt d t ^ f {t)sènkxsènktdt^,

k = i — JX —Jl

1

Ponhamos agora — como factor e substituamos a soma dos

Jl

integrais pelo in t^ a l da soma; tem-se:

Jl

n

Sn U (^) kx COS kt + f (t) sèn kx sen /cí]| di.

o u

A = 1

dt =

— Jl A ==l

n

= ^ j / ( O [■1-+ y> jC osk(t — x) dt. (1)

A=1

Transformemos a expressão entre parêntesis. Façamos

a„ (z) = y + C O S z + C O S 2z . -f- co s nz;


então.

ou

20n (z) COS Z = COS Z + 2 COS Z COS Z + 2 COS Z COS 2 z + - -

. .. + 2 COS z COS nz = cos z + (1 + cos 2z) + (cos z + cos 3z) +

+ (cos 2z + cos 4z) + • • • + [cos (A^ — 1) Z + cos (/I -f 1) z] =

= 1 + 2cosz + 2cos 2z + ---

. . . + 2 cos (w — 1) z + cos WZ + cos (/I + 1) z

2o;i (z) cos z = 2oyi (z) — cos nz + cos»(w + 1)

cos nz — cos (/z + 1) z

0„ (z) :

2 (1 — cos z)

Ora.

cosnz — cos (re + 1) z = 2 sen (2re + 1) sen — ,

Z

Z

1 — cos z = 2 sén^ .

Logo,

sen(2n + l)-2

On (Z) = ■

2 » n |

Pode-se» pois» recopiar a igualdade (1) sob a forma

t ~ ^

, } sên(2n + 1 l)-)

Jt J

Ht)

2sén- í — d t .

Como a função sob o sinal soma é periódica (de período 2ir)

o integral conserva o mesmo valor em qualquer segmento de comprimentó

2w, Segue-se que

t — X

ac+ji

sén (2n + 1 )

Sn (^) = — f J

n J n t ) d t .

2 sen t — X

SâR IE S DB FOURIER 361

Introduzamos a nova variável de integração a fazendo

t — x = a,

Então, obtém-se a fórmula

t = x-\-a.

5 sen(2« + l ) ^

«n(^ ) = — \ i{x + ct)-------------------------da.

Jl J

2 sen a

(2)

O integral do segundo membro é o integral de Diridúet

Façamos nesta fórmula j{x) = 1; então, Qq= 2, = 0, 6^ = 0

quando /: > 0; logo, U) = 1 qualquer que seja n, e obtém-se a

identidade

^ J sen (2ra-1=* 1)

1 = — \ ----------------------^ da,

a

-Jl 2 sen ^

~2

que nos servirá no seguimento.

(3)

§ 9. Convergência duma série de Fourier num dado ponto

Suponhamos que a função f{x) é contínua por corte no intervalo

[ - 7T, 7t] .

Multipliquemos os dois membros da identidade (3) do parágrafo

anterior por / (jc) e introduzamos f U) sob o sinal de integração.

Obtém-se a igualdade

f{^)

Jl

í{x)

a

sen(2« + 1) ^

2 sen a

Subtraiamos, membro a membro, esta igualdade da igualdade (2)

do parágrafo anterior. Obtém-se:

, p sén(2ra + l ) ^

Sn i.x) — / (x) = — \ [/ (x + a) — / (x)]----------------------da.

Jl J O Oí

-Jl 2 sen ~

Vê-se que a convergência da série de Fourier para o valor da

função f (x) no ponto dado depende da convergência para zero do

integral do segundo membro quando oo.

da.


Decomponhamos este último integral em dois:

jt

a

1 f

Sn (^) — f(^) = — i [f (so

"2

a) — f (x)]------------ sen na da +

jc J ^ . a

2 * ^ 2

n

1 1 f

+ - 7 7 —- I [f { x a ) — f (x)]cosnada,

2 Jt J

utilizando a fórmula sen (2n + 1) = sen /i« cos + cos na X sen ^ .

z z ^

Decompondo o primeiro integral do segundo membro desta última

igualdade em três, vem:

a

1 f "2

5/1 (^)—/(^) = — \ [/(^ + a) —/(x )]------------sènnada +

J ^ a

-6 2sen s e n --|

+ ■

-ô a

f COS -7^

ü

j [/(x + a)

o a

— Jl

2 ” “ 2

71

a

COS-y

f

■J [/ (^ + 0^)

o

6 Oí

2sen 2

sén na da +

sen na da +

+ “ \ [/ (^ + a) —- / (x)] y COS na da.

Façamos <Di (a) = f

— Í_Í£) . Como / (x) é limitada e contínua

por corte, (a) será igualmente uma função periódica de a

limitada e contínua por corte. Segue-se que o último integral do


segundo membro tende para zero quando oo. porque é o coeficiente

de Fourier desta função. A função

a

( a ) = [ / ( ^ + a ) — / ( ^ ) ]

n

^

2 sen 2

é limitada quando —T < a < —8 e 8 < « < t; tem-se

1

|a ) 2 ( a ) |< [ M 4 - ^ ]

o 2 s e nô

-

em que M é o limite superior de | / (jc) | . Além disso, a função ^2 («)

também é contínua por corte. Por conseguinte, em virtude das fórmulas

(5) do § 7. o segundo e terceiro integrais tendem para zero

quando 00.

Pode-se escrever, por conseguinte.

= lim í

^-►OO JX

lim [s„ (x) — / (x)] =

a

c o ^

[/ (x -t- a) — / (x)]

2 s e n |

J

-6

sen wa da. (1)

A integração na expressão do segundo membro é alargada ao

intervalo — 8 < a < 8, logo o integral depende dos valores de f (x)

sòmente no intervalo compreendido entre x — 8 e x + S.

Desta última igualdade deduz-se a importante proposição: a convergência

da série de Fourier no ponto considerado x depende sòmente

do comportamento da junção numa vizinhança arbitràriamente pequena

deste ponto.

Tal é o conteúdo do princípio da localização no estudo das séries

de Fourier. Se duas funções /i (x) e Í2 (x) concidem na vizinhança dum

ponto JC, as suas séries de Fourier convergem ou divergem ao mesmo

tempo neste ponto.

§ 10. Algumas condições suficientes para a convergência

duma série de Fourier

Demonstramos no parágrafo anterior que se uma função for

contínua por corte no intervalo [— tt, tt], a convergência da sua série

de Fourier no ponto considerado jco para o valor / (xo) depende

sòmente do comportamento da função numa vizinhança arbitràriamente

pequena [jco — 8, jCo + 8] de centro no ponto jcq.


Demonstremos em seguida que se a função é, na vizinhança

de jco, tal que os limites seguintes existam e sejam finitos

l / (^0 + oc) — / (Xo)

Jim ---------------------- =

a-^-0 a

0 )

l : „ / ( ^ 0 + OC) — / ( X o )

lun -----------------------= ^2»

a-^ + O a

(2)

e se a própria função é contínua no ponto Xo (fig. 370), a série de

Fourier converge neste ponto para /(JCo)(*).

Demonstração — Consideremos a função ^2 («)

anterior:

do parágrafo

a

COS

(Dj (a) = [/ (aro + a) — / (aro)] •

2 Osen — ^

como a função f{x) é contínua por corte no intervalo [— tt, tt] e

contínua no ponto Xo. é. por conseguinte, continua numa certa vizinhança

[xo — S, Xo + 5] do ponto Xo. Logc a função (a) é contínua

em todos os pontos em que e |a[<8. A função ^2 («) não é

definida para a = 0.

(*) Se as condiç5es (1) c (2) forem verificadas, diz-se que f(x) no

ponto X tem uma derivada à direita e uma derivada à esquerda. Representou-se

na fif?. 370' uma função tal que = tg (pi, kz = tg (pa, /cj ^ kz. Se k^ = kz,

isto é. se as derivadas à direita e à esquerda forem iguais, a função é derivável

no ponto dado.


Procuremos os limites lim O 2 (a) e

Q—►O—0

condições (1) e (2):

lim O 2 (oc) utilizando as

Q—►0~j~0

a

lim d)2( a ) = lim [ / (xq + a) — / (xo)]

a-^0—0 a-^0—0

o

2 sen

a

a -►0—0 CC OC 2

sen -

= lim /(ô + oc)-/(ô) ^

a-►0—0 a

a

~2

X lim ---------- lim COS— = A :i* l-l = /p i.

a -►0—0 OC a-^ 0—0 2

sen

Por conseguinte, se se definir a função $2 (<*) fazendo ^2 (0) = ku

ela será contínua no intervalo [—8, 0] e, por conseguinte, limitada.

Demonstra-se, duma maneira análoga, que

lim d)2 (<^) = ^2-

a->0+0

Logo a função $2 (a) é limitada e contínua no intervalo [0. 8].

Assim, a função $ 2 (a) é limitada e contínua por corte no intervalo

[—8, 8]. Voltemos à igualdade (1) do § 9 (designando x por Xo):

lim [s„ (xo) — / (xo)] =

n->oo

c

a

t r “2

= l i m ^ \ [/(x o + a ) - / ( x o ) ] -------------- s é n r a a d a

- ô 2 s é n ^

OU

Um [s (xo) - / (xo)] = lim ^ \ O 2 (a) sen na da.

«-►oo

n-^°o ^ J

õ

366 CAIXULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Tendo em atenção as fórmulas (5) do § 7. conclui-se que o

limite do segundo membro é nulo. e portanto.

OU

lim [s„ (xo) — / (xo)] = 0

7l->00

lim 5;i(:to)= (tq).


A diferença entre o teorema demonstrado no § 1 e o teorema

acima consiste no que se segue; pedia-se no teorema do § 1 para a

convergência da série de Fourier no ponto Xo para o valor / ( jco),

que JCo fosse um ponto de continuidade sobre o segmento [— tt, tt]

e que a função fosse monótona por corte, enquanto que aqui se pede

que a função seja contínua no ponto jCo que tenham lugar as condições

(1) e (2) e que a função seja contínua por corte e limitada no

intervalo [— tt, tt]. É evidente que estas condições são diferentes.

Nota— 1. Se uma função contínua por corte for derivável no

ponto Xo, é evidente que as condições (1) e (2) tenham lugar e que

se tenha ki = )fc2. Por conseguinte, num ponto de derivabilidade da

função f{x), a série de Fourier converge para o valor da função nesse

ponto.

Nota — 2. I — A função considerada no exemplo 2 do § 2

(fig. 358) verifica as condições (1) e (2) nos pontos 0, dz 27t, ifc 47t, ...

Ela é sempre derivável. Logo a série de Fourier desta função converge

em cada ponto para o valor desta função.

II — A função do exemplo 4, § 2 (fig. 361) verifica as condições

(1) e (2) nos pontos dt tt, ± Stt, ± Stt. Ela é derivável para

todo o valor, logo representável por uma série de Fourier em cada

ponto.

III — A função do exemplo 1, § 3 (fig. 357) é descontínua nos

pontos di 7T, dz 37T, dz Stt. É Sempre derivável. logo a série de Fourier

converge para o valor desta função em todos os pontos, excepto nos

pontos de descontinuidade. Nos pontos de descontinuidade, a soma

da série de Fourier é igual à média aritmética dos valores limites

da função à esquerda e à direita: é nula no caso considerado.

§ 11. Analise harmónica numérica

A teoria da decomposição das funções em séries de Fourier

chama-se análise harmónica. Vamos fazer, agora, algumas observações

sobre o cálculo aproximado dos coeficientes de Fourier, isto é, sobre

a análise harmónica numérica.


Como se sabe, os coeficientes de Fouríer da função f(x) de

período 2tt são definidos pelas fórmulas

jt

n

1 f 1 r

Oo— — \ f(x)dx-, a* = — \ / (^) COS kx dx;

n J

Jt J

— Jl —Jl

Jt

1 f

bk = — \ f(x) sên kx dx.

Jt J .

— Jt

Em muitos casos encontrados em prática, a função /(jc) é dada

quer sob a forma de quadro (quando a dependência funcional é

obtida experímentalmente) quer por uma curva traçada por um aparelho.

O cálculo dos coeficientes de Fourier faz-se, então, por meio de métodos

de integração aproximada (ver § 8, cap. XI, t. I).

Consideremos o segmento — tt < jc < tt de comprimento lir.

Pode-se sempre reduzir a este caso, escolhendo convenientemente a

unidade sobre o eixo Ox,

Dividamos o segmento [— ir, tt] em n partes iguais pelos pontos

Xq j c , X j , ^ 2 , • • Xj^ — J l .

O comprimento dum segmento parcial é, então,

A

2 j i

í^x = — .

n

por

Designemos os valores da função f (x) nos pontos Xq, Xu X2.......

yoy Uu U2i .-M yn-

Tomamos estes valores quer no quadro, quer sobre a curva da

função.

Utilizando, por exemplo, a fórmula dos rectângulos (ver fórmula (1),

§ 8, cap. XI, t. I). determinam-se os coeficientes de Fourier:

n

2 V 2 V

i=l

i=l

n

COS k X i ,

sâikxi.


Têm sido elaborados esquemas, que simplificam o cálculo dos

coeficientes de Fourier. Não podemos aqui perder-nos em detalhes, mas

indiquemos que existem aparelhos (chamados analizadores harmónicos)

que, segundo o gráfico da função dada, permitem calcular aproximadamente

os coeficientes de Fourier.

§ 12. O integral de Fourier

Seja f(x) uma função dînida em qualquer intervalo (— 00, 00)

e absolutamente integrável nestç intervalo, isto é, que o integral

5 \f{^)\dx=Q ( 1 )

existe. Suponhamos, além disso, que f (x) admite um desenvolvimento

em série de Fourier em qualquer intervalo (— /, + /):

onde

f{x) = - ^ +

I

00

A=1

aACosy o: + bu s e n y j:,

ah = ~Y ^ f{t) CO S ^ td ty bk = ~Y ^ f (0 ~ ^

- I - I

Substituindo na série (2) os valores dos coeficientes

das fórmulas (3), pode-se escrever:

00 I

/(^■) = j /(í)ííí + -y 2 (

I

f f(t)c o s ^ td t^ c o s Y ^

-I h = i -I

J» I I

(2)

(3)

e bf^ tirados

ou

h = i - I - I

00 I

+ y 2 j j^cosyícos

k = í -I

/ (^) = -^

J

I

dí Í

00 I

/ (0 + y 2 ^

-I h = i -I

k n , k j i ^ k n

— :r + sen - t sen — x

I I - I

CO S dt.

I

(4)


Estudemos o problema da forma do desenvolvimento (4) quando

se passa a limite para / oo.

Introduzamos as notações seguintes:

Tí 2n

«1 = — , a2 = — ,

/ I

Substituindo-as em (4) teremos:

I oo I

kn . A

• 1 — » • • • — •

I /

/(^) = - ^ + (í/(O COS «A (í —

A=1 -I

(5)

àak (0)

Quando / -^ oo o primeiro termo do segundo membro tende para

zero. Com efeito.

-I



Para cada valor fixo de Z a expressão entre parêntesis é uma

função de (ver fórmulas (5)) tomando os seus valores de a oo.

Notemos, sem o demonstrar, que se a função f(x) for monótona por

corte em cada intervalo infinito, limitada no intervalo infinito e que

satisfaz à condição (1) a fórmula (6) tomará, se /-> + oo, a forma

oo

oo

^ ~ ^ f f a{t — x) da. (7)

0 — oo

A expressão da direita chama-se integral de Fourier da função / (x).

A igualdade (7) tem lugar para todos os pontos em que a função

é contínua. Nos pontos de descontinuidade é a igualdade

oo

oo

0 —oo

J f(t)cosa{t-x)dt] = (?’)

que'é verificada.

Transformemos o integral do segundo membro da igualdade (7)

desenvolvendo cos a (/ — x):

24

cos a {t — x) = COS a í COS ax + sen a t scnax.


Substituindo esta expressão na fórmula (7) e fazendo sair cosax

e senajc de debaixo do sinal de integração nos integrais em que a

integração é realizada na variável í, obtemos

oo

oo

/(^) = ( ! / (t) CO S a t CO S ax da +

0 —oo

oo

oo

+ M(í / (t) sen a t sen ax da. (8)

Cada um dos integrais em í, situados entre parêntesis, existe,

porque a função / (0 é absolutamente integrável no intervalo (— oo, + oo)

de modo que as funções / (0 cos a t q f (t) sen a t são também absolutamente

integráveis.

Consideremos os casos particulares da fórmula (8).

1. Suponhamos que f (x) é par. Neste caso f ( t ) cos a t é uma

função par e f (t) sen a t uma função ímpar de modo que temos:

J f (t) cos atdt = 2 ^ f{t) cos atdt,

— oo 0

00

1 f (t)scaatdt = 0.

— oo

Neste caso a fórmula (8) põe-se sob a forma

oo

oo

K í / (t) cos at cos ax da. (9)

2. Suponhamos que f(x) é ímpar. Analizando a natureza dos

integrais da fórmula (8), teremos neste caso;

oo

oo

f(^) ~ ^ í ^ ^ sen sèn ax da. (10)

Se a função / (x) não é definida senão no intervalo (0, oo), pode-se

representá-la para x > 0 tanto pela fórmula (9) como pela fórmula 10.

No primeiro caso definimo-la complementarmente para o ihtei*valo

(— 00, 0) sob a condição de a função ser par e no segundo ser ímpar.

SÉRIES DE FOURIBR 371

Sublinhamos, uma vez mais. que nos pontos que apresentem

descontinuidades convém substituir / U) nos primeiros membros das

igualdades (9) e (10) pela expressão

/(^ + 0) + /(^-0 )

2

Voltemos à fórmula (8). Os integrais entre parêntesis são funções

de a. Introduzamos as notações:

oo

1 r

A{a)= — \ f {t) COS at dtj

— oo

oo

B {á)= ^ ^ / (í) sen at dt.

— oo

Então, pode-se escrever a fórmula (8) sob a forma:

oo

/ (^) = í (^) COS ax -j- B (a) sen ax] da. (11)

0

Diz-se que a fórmula (11) dá o desenvolvimento da função j{x)

em harmónicas de frequência a que variam duma maneira contínua

de 0 a 00. A lei de distribuição das amplitudes e das fases iniciais

em função da frequência a é expressa pelas funções A{a) t B (a).

Voltemos à fórmula (9). Façamos

F (a) =

^ ^

0

(12)

A fórmula (9) toma, então, a forma

/— °°

/ (:r) = y — \ (a) cos ax da.

(13)

A função F (a) chama-se transformada-cosseno de Fourier da

função / (x).

Se na igualdade (12) F («) for a função dada e / (í) a função procurada.

será, então, uma equação integral para a função f(t). A fórmula

(13) dá a solução desta equação.


Com base na fórmula (10), pode-se escrever as seguintes igualdades:

__ oo

d) (a) = 1 / — \ f{t) sèn at dt. (14)

r JT J ^

ü

/ —

/ (x) = \ / — 1 O (a)sên ax da. (15)

A função ^ (a)

função f(x).

chama-se íransformada-seno de Fourier da

Exemplo — Seja ^ (p > q, a; > 0).

Determina-se, segundo a fórmula (12), a transformada-cosseno de Fo\irier:

(0 ,) = l / Ã J , - P í COS « < á í = | / - | - ^ 5 ^ .

0

Segundo a fórmula (14) determina-se a transformada-seno de Fourier:

0

Com a ajuda das fórmulas (13) e (15), obtém-se as relações recíprocas:

oo

f

COS a x

n J p2 + a2

0

2

Jt

oo

Ç

a ^ _ a x

J P « + a2

( i > 0 )

da = e-P* (x > 0 ).

§ 13. Forma complexa do integral de Fourier

No integral de Fourier (fórmula (7), § 12) a função de a, que

se encontra entre parêntesis, é par e, por conseguinte, é igualmehte

determinada para os valores negativos de a. Em virtude do que acabámos

de dizer pode-se recopiar a fórmula (7) sob a forma:

oo

oo

H í f (t)cosa {t— x)dt^ da. (1)

— oo — oo


Consideremos, agora, a expressão seguinte identicamente nula

M

oo

í ( í / (^) — x)dt)da = 0 .

— M — oo

Q primeiro membro é idênticamente igual a zero, porque a

função de a entre parêntesis é uma função ímpar e o integral duma

função ímpar tomada nos Tunites de —Af a + Af é igual a zero.

É evidente que

OU

M

oo

lim J ( J f (t) séa oí{tx) dt)da = 0

M -^ o o — M — oo

oO

oo

I (5/(0 — •^) ^0 íía=0- (2)

— oo — oo

Nota — Notar-se-á aqui o facto seguinte: o integral convergente

nos limites infinitos é definido como se segue:

J (p (a ) d a = J 9 (a ) d a + J q) (a ) da =

- o o — oo c

C

= lim 5 (}) (a ) da + lim 5 o o — M

Pode suceder, pois, que o limite C*"*) exista enbora os lim ita do

segundo membro da igualdade (*) não existam. A expressão do segundo

membro da igualdade (**) chama-se valor principal do integral. Assim,

consideremos na igualdade (2) o valor principal do integral impróprio

(exterior). É neste sentido que se deve compreender os integrais que

encontramos neste parágrafo.

Multipliquemos os membros da igualdade (2) por ^ e acres-

ceiltemo-los às partes correspondentes da igualdade (1); obtém-se, então;

/(x>-àll!

oo oo

/

(í) (cos a{t — x) i sên a(t — x)) dt da

— oo — oc


OU

oo

oo

/(^) H t\e iait—x) dt da. (3)

— oo — oo

É precisamente a forma complexa do integral de Fourier, Pode-se

pô-la sob a forma:

/W

oo

oo

= f (-L, (

V9.n. J \V2n J /

1/2ji

^V 2 jc

Esta última igualdade permite-nos escrever:

oo

f

F*(a) = - ^

V2k jL

j {x) =

oo

\ F* (a) e ~da.

y 2n J

(4)

(5)

A função F* (a) definida pela fónnula (4) chama-se transformada

de Fourier da funô /(/). A função / ( jc) definida pela fórmula (5)

chama-se transformada inversa de Fourier para a função F* (o) (as

transformadas diferem pelo sinal de 0-

Exercidos

1 Desenvolver em série de Fourier no intervalo (— ir, ir) a função)

/(x) = i

„, 1 2 /! COS X a , COS 3x , cos 5x , ^ ,

32 + 52 + • • • j - r

T ” n I 1*

' sen X

sen 2i , sen 3x

3. Utilizar a desenvolvimento cm seno da função f{x)= 1 no intervalo (0, tt)

1 1 1

para calcular a soma da série 1 — õ +-?-----n -ir ••• Rcsp. — .

o 5 7 4

2. Utilizar o desenvolvimento cm série de Fourier da função / (x) = x* para

1 i 1 1

calcular a soma da sé rie--------- i- -l —____-— 1- . . . Resp.----- .

12 2* ^ 3-! 42 ^ 12


4. Desenvolver em série de Fourier no intervalo ( — nr, n r) a função

,, , ji2 x2 COS 2a: , cos3a: cos 4x ,

~~Í2 ^ ” ^ 2 I 3 2 42 ^ *• *

5. Desenvolver em série de Fourier no intervalo ( — nr, n r) a função

. . . (JI + a:)

/(^)=— ò para

-3X X 0|

/ (®) = y (Ji—a:) para 0 < x < jt.

1 1

Resp. sen a :+ — scn2a: + -^ sèn3x-|-...

6. Desenvolver em série de Fourier no intervalo ( — nr, nr) a função

/(a:)=—xpara — Ji<a;<0,

f ( x ) = 0 para 0 < a: < ji.

Resp ____?- "V COS (2n+i)x y sen nx

- 4 n Z j (2n+l)2 Z j ^ n '

m — 0 n = l

7. Desenvolver em série de Fourier no intervalo ( — nr, nr) a função

Resp. - l - ± y sen(2re+l)x

^ 2 71 ZJ 2n + l

n = 0

f(x) = í para — Ji<a:<0,

/(a:)=—2 para 0<a:<jt.

S. Desenvolver a função / (jc) = no intervalo (0, nr) em série de senos.

00

n = 1

Desenvolver a função y = cos 2x no intervalo (0, nr) em série de senos.

_ 4 r sen X , 3 sen ; 3a: , 5 sen 5x

*^*®**' ~~n L22— l " ^ 2 2 ^.32 ' 22—52 ■]

10. Desenvolver a função y = sen x no intervalo (0, nr) em série de cosseno*^.

n 4 r 1 , COS 2x COS 4x “I

*^*®*’' i r L 2'^ '1—2 2 1 —42■*■■■’]■

11. Desenvolver em série de Fourier a função y — e^ no intervalo (— l, /).

y j \«n 7ZTLX

.-t . . ^ (—l)"cos—^

Resp. + l{e‘- e - ‘) 2

21

/2-|-n2ji2

n = 1

+ 7t{et-e-l) 2

n= 1

(—l)"-i n sen -

i2 + n2jt2


12. Desenvolver a função / (x) = 2x no intervalo (0, 1) cm série de senos.

oo

Resp. i - A 2 VI y COS 2njix

n ^ n

n = 1

13, Desenvolver a função f (x) = x no intervalo (0, /) cm série dc senos.

sen

I- nnx

I

S < -!)"■ —

n = 1

14. Desenvolver a função

/ a ;p a ra 0 < x < l,

2—X para l< x < 2

no intervalo (0, 2)*. a) em série de senos; b) em série de cossenos.

(2n-{-í) nx

sen i———-—

■) ^ S ( - O " ' i2.+ h - '

ii-bO

, 1 ^ V

Y 2j (^+1)2

n = * 0

OapiMo XVIII

EQUAÇÕES DA FÍSICA MATEMAMCA

§ 1. Principais tipos de equações da física matemática

Chamam-se equações principais da física matemática (no caso

duma função de duas variáveis independentes) às equações diferenciais

seguintes às derivadas parciais dà segunda ôrdem.

I — Equação da onda:

dû

dt^

dû

do?

(1)

Somos levados a considerar esta equação quando do estudo dos

processos das vibrações transversais duma corda, das vibrações longitudinais

dum tronco, das oscilações da corrente eléctrica num fio, das

vibrações de torção da árvore, das oscilações dos gases. etc. Esta

equação é a mais simples do tipo hiperbólico.

II — Equação do calor ou equação de Fourier:

— = a^

dt

Somos levados ao estudo desta equação quando em presença de

problemas apresentados pelos processos de difusão do calor, da filtração

de líquidos ou de gases num meio poroso (por exemplo, a filtração

do petróleo e dos gases nos grés sob cobertura), de certos problemas

da teoria das probabilidades, etc. É a equação mais simples do tipo

parabólico.

III — Equação de Laplace:

dû

do?

(2)

dû . dû

da:^

Oy^

:0. (3)

Somos levados ao estudo desta equação uma vez postos em

presença de problemas apresentados pelos campos eléctricos e magnéticos,

o estado estacionário de calor, a hidrodinâmica, a difusão, etc.

É a equação mais simples do tipo elíptico.


Nas equações (1), (2) e (3) a função procurada u depende de duas

variáveis. Pode-se igualmente estudar as equações correspondentes ao

caso em que a função procurada comporta um maior número de

variáveis. Por exemplo, a equação das ondas no caso de três variáveis

independentes é da forma:

dû _ 2 (

+ dû

dy^

a equação do calor no caso de três variáveis independentes é da

forma:

(1')

dt V 03? dy^ /

a equação de Laplace a três variáveis independentes é da forma:

(2 ')

dû

+ dû

dx^ ‘ dy^

dû = 0.

(3')

§ 2. Ei^tabelecimento da equação para cordas vibrantes.

Formulação do problema aos lim ites. Estabelecimento da

equação para oscilações eléctricas nos fios

Em física matemática entende-se por corda um fio flexível e

elástico. As tensões que aparecem na corda num momento arbitrário

do tempo são dirigidas segundo a tangente ao seu perfil.

Seja / o comprimento da corda que no instante inicial é dirigido

segundo o segmento do eixo Ojc de O a /. Suponhamos que as extremidades

da corda estão fixadas nos pontos x = 0 c x = L Se se desvia

a corda da sua posição inicial depois solta-se-la ou se, sem desviar

a corda, se imprime aos seus pontos uma certa velocidade ou melhor

se se afasta a corda imprimindo ao mesmo tempo uma certa velocidade

aos seus pontos, os pontos da corda serão, então, animados dum certo

movimento e dir-se-á que a corda vibra. O problema consiste em

determinar á forma da corda para todo o instante arbitrário do tempo

e em determinar a lei do movimento de cada um dos pontos da corda

em função do tempo.

Apenas consideraremos os pequenos desvios dos pontos da corda

da sua posição inicial. Pode-se, portanto, admitir que o movimento

dos pontos da corda se efectua perpendicularmente ao eixo Ox e

num mesmo plano. Nesta hipótese o movimento ondulatório da corda

é descrito por uma única função u (x, t) que dá a deslocação do

ponto da corda de abcissa x no instante t (fig. 371).

EQUAÇÕES DA FÍSICA MATEMATICA 379

Como apenas consideraremos os pequenos desvios da corda no

plano (x, u) podemos supôr que o comprimento do elemento

da corda é igual à sua projecção sobre o eixo Ox, isto é(*) que

M iM ^ = X2 — Xi, Suporemos do mesmo modo que a tensão é idêntica

para todos os pontos da corda; designemo-la por T.

Consideremos o elemento MM' da corda (fig. 372). Nas extremidades

deste elemento actuam as forças T segundo a tangente à

corda. Suponhamos que as tangentes formam com o eixo Ox os

ângulos cp e q) + Aq). A projecção sobre o eixo Ou das forças que

actuam sobre o elemento MM' será igual a T sen (q) + Aq)) — T sen q».

Como o ângulo q é pequeno, pode-se pôr tg q sen q ,e teremos:

r sen (q + Aq) — T sen q

7’tg(q) + A(p) — Ttg(( =

1 du{x A.r, t) du {x, t)

1 dx dx

„dû(x -\-d Ax, t) .

= T ---- T---------------- Ax :

dx^

O<0<1

(aplicámos aqui o teorema de Lagrange à expressão entre parêntesis).

Para obter a equação do movimento, é preciso igualar à força

de inércia as forças exteriores aplicadas ao elemento. Seja p a densidade

linear da corda. A massa do elemento da corda será pAx, A aceleração

do elemento é —

dt^ *

(*) Esta hipótese equivale a desprezar a grandeza cm relação a 1.

Com efeito,

ac2 :V2 X2

V l + dl = j ^ 1 + -^ ... j I dx = X2 — x^.

.rj


Por conseguinte, teremos em virtude do princípio de d’Alembert:

pAx — Y = ^

df

^

dx^

T

Simplificando por Ajc e fazendo — =

movimento

É } L — 2

dt^

obtemos a equação do

dû

dx' .2 • (1 )

Obtivemos a equação dita equação de onda que é a equaô das

vibrações da corda. Para determinar completamente o movimento da

corda não basta só a equação (1). A função procurada w(jc, t) deve

ainda satisfazer às condições dos limites, indicando o que se produz

nas extremidades da corda (jc = 0 ejc = /)eòs condições iniciais,

descrevendo o estado da corda no instante inicial (/ = 0). Por condições

iniciais entende-se do mesmo modo o conjunto das condições

dos limites e das condições no instante inicial.

Suponhamos, por exemplo, que, como o admitimos, as extremidades

da corda para jc = 0 e x = I são imóveis. Então, para todo

o t devem ser verificadas *as igualdades:

u (0, t) = 0,

u (l, t) = 0.

Estas igualdades constjtuem as condições dos limites para o

nosso problema.

No momento inicial t = 0 a corda possui a forma que lhe demos.

Suponhamos que esta forma é definida pela função f ( jc) . Assim

deve-se ter

u(x, 0) = u\t=o = f(x).

(3'>

Deve-se, além disso, fixar a velocidade no momento inicial em

cada ponto da corda, que é determinada pela função ç>(jc). Assim

deve-se ter

du

dt

t = 0

(2')

(2'>

= cp(x). (3')

As condições (30 e (3'0 são as condições iniciais.

Nota — Em particular, pode-se ter f(x) = 0 e 9 (jc) = 0. Se estas

condições forem verificadas, a corda está em repouso e, por conseguinte,

u(x, t) = 0.


Como o indicámos mais acima somos conduzidos à equação (1)

pelos problemas apresentados no caso das oscilações eléctricas nos

condutores. Examinemos este caso. A corrente eléctrica num condutor

é caracterizada pela grandeza i (x, 0 e a tensão v (jc, /). que dependem

da coordenada x do ponto do condutor e do tempo t. Considerando

um elemento de condutor Ajc, podemos escrever que a queda de tensão

õv

no elemento Ajc é igual a v (jc, 0 “ v (jc + Ajc, t ) ^ — — Ajc. Esta

queda de tensão forma-se da tensão ohmiana (ohmienne) igual a iR Ajc

e da tensão induzida igual 3 ,^ L^x. Logo

ot

— í!ix = iR Ax L Ax,

dx

dt

(4 )

em que R e L isão, respectivamente, a resistência e o coeficiente de

auto-indução, calculados para uma unidade de comprimento do condutor.

O sinal menos indica que o sentido da corrente é oposto ao

crescimento de v. Dividindo por Ajc, obtemos a equação

^ + iíí + i Ü _ o .

dx

dt

(5)

A diferença das intensidades da corrente que entra e sai do

elemento Ajc no decorrer do tempo Aí será

i {x, í) — i (x + Ax, t) ^ Ax Aí.

dx

dv

Ela é dispendida pela carga do elemento igual a C Ax — At e

a fuga pela superfície lateral do condutor, em consequência da imperfeição

do isolamento, igual a AvAxAt (A designa aqui o coeficiente

de fuga). Igualando estas expressões e dividindo por AxAt obtemos a

equação

Í Í - + C

dx

dv

dt

A v = Q.

Costuma-se chamar às equações (5) e (6) equações do telégrafo.

Pode-se obter do sistema de e q u a ç ^ (5) e (6) uma equação

contendo apenas a função desconhecida / (x, í) e uma equação que

contenha apenas a função desconhecida v (x, í). Derivemos os termos

(tí)


da equação (6) em relação a jc e os termos da equação (S) em relação

a / e multipliquemo-las por C. Subtraindo uma da outra obtemos:

dî

do?

dv di dh

+ A - - C R — - C L ^ = 0 ,

dx dx d?

Substituindo nesta última equação — pela sua expressão tirada

dx

da equação (5). obtemos:

- ^ + a ( - ) - C R — - C L ^ = Q

dx^ V dt ) dx dt^

OU

dî

do?

= C L -^-\-{C R + AL) — + ARi.

dt^

dt

(7)

Duma maneira análoga, obtém-se uma equação determinante

v(x, 0:

= C L ^

dx' ^ de + (CR AL) dv

dt

ARv. (8)

Se se puder desprezar a fuga de corrente pelo isolamento (A = 0)

e a resistência (R = 0) as equações (7) e (8) reduzem-se a equações

de onda:

2 dî dPv d^v

dx^ de dx^ de

em que se designou ^ . As condições iniciais e os limites são

formulados para o problema tendo em conta as condições físicas.

§ 3. Resolução d a equação das cordas vibrantes pelo m étodo

de separação das variáveis {método de Fourier)

O método de separação das variáveis (ou método de Fourier)

que vamos considerar é típico para a resolução de numerosos problemas

de física matemática. Seja determinar a solução da equação

dû

d e

dû

do?

(1)

EQUAÇÕES DA FÍSICA MATEMÁTICA 383

satisfazendo às condires iniciais:

u(0, t) = 0, (2)

u(l, t) = 0, (3)

u{x, 0) = f(x), (4)

du

dt

= 9 (5)

Procuraremos uma solução particular (não idênticamente nula)

da equação (1) que satisfaz ^ condições dos limites (2) e (3) sob a

forma de produto de duas funções X (x) e T (í) de que a primeira

apenas depende de a: e a segunda de /:

u (z, t) = X (x) T (t). (6)

Efectuando esta substituição na equação (1) obtemos: X (jt) T"(í) =

= a* X" (x) T (í) e dividindo os termos da igualdade por a^XT

ê T '

.£ 1

■X

(7)

O primeiro membro desta igualdade contém uma função que

não depende de a:, e o segundo uma função que não depende de t.

A igualdade (7) não pode ter lugar a não ser no caso em que o

o primeiro e o segundo membros não dependam nem de x nem de t,

por outras palavras, sejam iguais a um número constante. Designemo-lo

por — A em que X > 0 (consideraremos mais adiante o caso X < 0).

Então,

— = —

a^T X

Obtemos destas igualdades duas equações:

X" +%X = 0, (8)

T" + a \T = 0. (9)

As soluções gerais destas equações são (ver, cap. XIU, § 21, t. I):

X{x) = AcosVlx + BscaVkx,

T {t) — C COS a V à í + 77 sen a V x í ,

(10)

(11)

em que A, B, C, D são constantes arbitrárias.


Substituindo as expressões de X {x) t T (í) na igualdade (6),

obtemos:

u (x, t) = {A COS V à x - f - B sen {C c o s a V X t sen a V X t).

Escolhamos agora as constantes A q B úq maneira que sejam

verificadas as condições (2) e (3). Como T (/) ^ 0 (no caso contrário

teríamos u (jc, 0 = 0. o que contradiz a nosSa hipótese), a função X (jc)

deve verificar as condições (2) e (3), isto é. que se deve ter X (0) = 0,

X{1 = 0). Substituindo os valores jc = 0 e x = / na igualdade (10).

obtemos, em virtude de (2) e (3):

0 = ^ 1 + B 0 ,

0 = A COS V k l + B sen V I i.

A primeira equação dá-nos A = 0 & resulta da segunda:

B se n V k l — O.

B ^ O . porque no caso contrário teríamos X = 0 e u = 0. o que

contradiz a hipótese. Por conseguinte, deve-se ter

donde

sen V k I = 0,

V k = -

I

(n = l . 2, . . . ) (12)

(não tomamos o valor n = 0, porque neste caso teríamos = 0 e m = 0).

Obtemos assim:

X = Bsen — x.

I

(13)

Os valores obtidos de k chamam-se valores próprios para o

problema dos limites dado. As funções X (x) correspondrates chamam-se

funções próprias.

Nota — Se tivéssemos tornado em vez de — A, a expressão -1- X = it*.

a equação (8) seria da forma

X"— lêX = 0.

A solução geral desta equação é:

X = Ae** -f-

A solução além de zero no caso duma equação desta forma

não pode verificar as condições dos limites (2) e (3).

EQUAÇÕES DA PtSICA MATEMATICA 385

Conhecendo |/X podemos, utilizando a igualdade (11), escrever:

1 (t) = C CO S---- í + z; sen------í

^ I I

(//: 1, 2, ...) . (1^.)

Para cada valor de n, e. por conseguinte, por cada X, substituindo

as expressões (13) e (14) na igualdade (6), obtemos a solução

da equação (1) que verifica as condições dos limites (2) e (3).

Designemos esta solução por //„ {.r, t) :

. tízi ( ann ^ . .. ann \

u„ (x, t) = sen — XI C „ cos-----1 D sen —— M . (1 • v

I \ I I /

Para cada valor de n podemos escolher as constantes C & D c

eis porque escrevemos e (a constante B está inclusa em ® ^n)-

Como a equação (1) é linear e homogénea, a coma das soluções é

também uma solução e eis porque a função representada pela série

cx

u {x, <) = S (X. t)

7?=1

OU

cv

u (x, t) = COS-j-1 + D„ sen-----í j sen — x (IH)

é também uma solução da equação diferencial (1) que verifica as

condições dos limites (2) e (3). É evidente que a série (16) não será

a solução da equação (1) a não ser no caso em que os coeficientes r„

0 Dn sejam tais que esta série convirja e que convirjam as séries

obtidas depois da derivação termo a termo em relação a x e a r.

A solução (16) deve ainda satisfazer às condições iniciais (4)

e (5). Obtê-la-emos por uma escolha adequada das constantes C„ eD„ .

Fazendo na igualdade (16) 7 = 0, obtemos (comp. a condição (4));

f {x)= '^jC n sèn (17)

71 = 1

Se a função f(x) é tal que se pode desenvolvê-la em série de

Fourier (ver § 1, cap. XVII) no intervalo (0, /) a condição (17) será

verificada se se fizer

X. 2 r ,, , nji ,

Cn = — y { ^ )s e a — x dx. (18)

25


Depois, derivando os termos da igualdade (18) em relação a í

e fazendo / = 0, obtemos em virtude da condição (S) a igualdade

OU

(p(x)

oo

n=i

ann

Determinemos os coeficientes de Fourier desta série:

I

^ arm 2 f , , nn ,

Dn-----= — I (P (a:) sen — xax

I I J I

0

nn

I

2 f , . nn ,

Dn = ----- I cp w sen — X dx.

ann J I

(19)

Demonstramos, assim, que a série (16) cujos coeficientes e D^,

são determinados pelas fórmulas (18) e (19) representa, se ela for

duplamente derivávd termo a termo, a função u {x, t) que é a solução

da equação (1) e verifica as condições iniciais e os limites (2)-(S).

Nota — Resolvendo o problema considerado para a equação da

onda por um outro método pode-se demonstrar que a série (16) é

igualmente a solução no caso em que não for derivável termo a termo.

A função f(x) deve, então, ser duas vezes derivável e ^(jc) uma vez

derivável.

§ 4. Equação da propagação do calor num a barra.

Enunciado do problem a aos lim ites

Consideremos uma barra homogénea de comprimento /. Suporemos

que as perdas são eliminadas por isolamento térmico da superfície

i z r

0 <

Fig. 373

lateral da barra e que em cada ponto da sua secção transversal a

temperatura é idêntica. Estudemos o processo da pre^gação do calor

na barra.

Disponhamos o eixo Ox de maneira que uma das extremidades

da barra coincida com o ponto .r = 0 e o outro com o ponto x — l

(fig. 373).


Seja u (jc. 0 a temperatura na secção da barra de abcissa x- no

instante t. Estabeleceu-se. experimentalmente, que a velocidade de propagação

do calor, isto é. a quantidade de calor que penetra pela

secção de abcissa x no decorrer dum intervalo de tempo unitário, é

determinada pela fórmula

,du

(1)

em que S designa a superfície da secção da barra considerada, k o

coeficiente de condução térmica (*).

Consideremos o elemento da barra, compreendido entre as secções

de abcissas Xi e jcs (jc2 — Xi = Ajc). A quantidade de calor que passa

pela secção de abcissa Xi no decorrer do tempo A/ será

4 9 , ------ SM ,

(2)

de igual modo para a secção de abcissa x^:

SM .

X=X2

(3)

A quota de calor Agi — Agz no elemento da barra no decurso

de tempo M será igual a

4 9 , - 4 ( ? . = [ - i g S M - k p

X=Xi

dx

k ^ A x S M

d r

du

( aplicamos o teorema de Lagrange à diferençá ^dx

S M

X=X2

)•

(4)

du

dx X=X2

3C=3Cl

Esta quota de calor no decurso de tempo Aí é consumida com a

elevação da temperatura do elemento da barra duma grandeza

AÇi — AÇ2 = cpAxiS Au

(*) A velcKidade dc propagação do calor, ou a velocidade do fluxo de

calor, é determinada por:

A<?

g = lim At

em que AQ designa a quantidade de calor que passa pela secção S no decurso

do tempo A/.


\Q^ — \Q i ^ roA./'ò---- Aí,

dt

em que c designa a capacidade calorífica da substância da barra,

c a densidade da substância da barra (pAor»? é a massa do elemento

da barra).

Igualando as expressões (4) e (5) da mesma quantidade de calor

Afíi — aGz. obtemos:

k ^ A.nV Aí = c{) A.rA Aí

dt

ou

üu

dt

k dû

r(> d.i^

Designando — = a*, obtemos, íinalmente:

cp

du 2

dt

dx^

(6)

É a equação da propagação do calor {equação do calor) numa

barra homogénea.

Para que a solução da equação (6) seja inteiramente determinada,

a função u (x, t) deve verificar as condições iniciais, correspondentes

às condições físicas do problema. As condições iniciais para a solução

da equação (6) podem ser diversas. As condições correspondentes ao

primeiro problema dos limites para 0 < í < T são as seguintes:

(7)

U(0, t) = y\h{t).

U(l, í) = Vl)2(í).

(8)

(9)

Do ponto de vista físico a condição (7) (condição inicial) corresponde

a como se para r = 0 a temperatura nas diferentes secções

da barra fosse dada igual a <p(x). As condições (8) e (9) (condições

dos limites) correspondem a como se as extremidades da barra para

jc = 0 e X = I mantivessem uma temperatura igual, respectivamente,

a (0 e ^2 (0-

Demonstra-se que a equação (6) tem uma solução única no

domínio 0 < i: < Z, 0 7" que verifica as condições (7), (8) e (9).

EQUAÇÕES DA FÍSICA MATBMATICA 389

§ 5. Propagação do calor no espaço

Consideremos o processo de propagação do calor no espaço a três

dimensões. Seja u (jc, y. z> t) a temperatura no ponto de coordenadas

(a, y, z) no instante t. Estabeleceu-se, empiricamente, que a velocidade

de passagem do calor pela superfície A5, isto é, a quantidade de calor

fornecida durante a unidade de tempo, é determinada pela fórmula

(análoga à fórmula (1) do parágrafo anterior)

, àti .

(I)

en. que k designa o coeficiente de condução térmica do meio considerado

que supomos homogéneo e isotrópico, n o sector unitário orientado

segundo a normal à superfície As no sentido de propagação do

calor. Em virtude do § 14, cap. VIII, tomo I, podemos escrever

âu du du , du

^ — COS a + — COS p + ^ Y'

ân dx dy dz

em que cosa, cosjS, cosy são os cossenos directores do vector //. ou

du

= ti grad u.

dn

du

Usando a expressão ^ na fórmula (1), obtemos:

AÇ = — kn grad u As.

A quantidade de calor que passa no decurso do tempo At pela

superfície As, será igual a

àQ Aí = — kn grad u Aí As.

Voltemos ao problema que apresentamos no começo deste parágrafo.

No meio considerado isolemos um pequeno volume V limitado

pela superfície 5.

A quantidade de calor que se propaga pela superfície S será

Ç = — Aí J J k n grad u ds. ( 2)

em que n é o vector unitário orientado segundo a normal exterior à

supe^cie S,

É evidente que a fórmula (2) dá a quantidade de calor que

penetra no volume V (oú que deixa o volume V) no decurso do

tempo Aí. A quantidade de calor que penetra no volume V conduz

ao aquecimento da substância desse volume.


Consideremos um volume elementar Av. Suponhamos que no

decurso de lapso de tempo A/ a sua temperatura é elevada de àu.

É evidente que a quantidade de calor consumida para elevar a

temperatura do elemento Av será igual a

c Aí;o Au ^ cAup

dt

Aí,

em que c é a capacidade calorífica da matéria ê p a densidade.

A quantidade global de calor consumido no aquecimento no volume V

no decurso do tempo Aí será

Aí

du.

Mas é a quantidade de calor que ao penetrar no volume V no

decurso do tempo Aí, é determinada pela fórmula (2). Temos, assim,

a igualdade

íí Aí kn grad ~ J ^ ^

Dividindo por Ar, obtemos:

I ^ An grad w d s = | ^ ^ cp dv. (3)

O in t^ a l de superfície, que forma o primeiro monbro desta

equação, pode ser transformado segundo a fórmula de Ostrograddcy

(ver § 8, cap. XV) fazendo F = k grad u :

n grad u)nds= div {k grad u) dv.

s

V

Substituindo o integral duplo do primeiro membro da igualdade (3)

por um integral triplo, obtemos:

m div (/c grad u) dy = ^ j | cp

dv

ou

1“

du

div {k grad u) — cp -----| di; =±= 0.

(1 1 dt

(4)

EQUAÇÕES DA PISICA MATEMATICA 391

Aplicando o tèorenla da média ao integral triplo do primeiro

men^bro (ver § 12, cap. XIV), obtemos:

L d

div (/c grad u

) —

cp

t .

= 0,

^=^1, y=Vi, z=zi

em que P(x, z) é um ponto do volume V,

Como podemos considerar um volume arbitrário V no espaço

a três dimensões, em que se efectua a propagação do calor e como

supomos que a função sob o sinal de integração na igualdade (4) é

contínua, a igualdade (5) será verificada em cada ponto do espaço.

Assim

Mas

cp = div { k grad

d

t

u

) .

(5)

(6)

(ver § 14, cap. VIII. t I) c

div (i grad «) = . | - ( t I ) + I ; ( i I ) + i ( t Q

(ver § 9. cap. XV). Substituindo na equação (6) teremos:

c , - ^ = ± h ^ ] + ± ( k ^ ) + l U È í ) „ )

d t d x V

Se k é uma constante, então.

d

x ) d y \ V d y ) d z \ d z )

d iv (k gradu) = A:div (gradu) = k ( ^

^

\ d ã f d i T d z ^ l

e a equação (6) dá neste caso

d u (

, ^

u \

ou fazendo ^ ~ ®

d u _

^2 / I (

f ‘u \

d t d y ^ d z ^ J

(8)


Sob uma forma resumida a equação (8) escreve-se:

du

dt

=

. dû dû , j j ¥ 1 A

em '.que Aw = ------- \------- h — é o operador de Laplace. A eqitadx^

dy^ dz^

ção (8) é a equação da propagação do calor no espaço a três dimensões.

Para obter a sua solução única que satisfaz ao problema apresentado

é preciso dar-se as condições iniciais.

Suponhamos que temos um corpo íl cuja superfície é a. Considere-se

neste corpo o processo de propagação do calor. No momento

inicial a temperatura do corpo é dada. Isso corresponde a como se

conhecessem os valores iniciais para ^ = 0, por outras palavras às

condiões iniciais:

u(x, y, z, 0) = q)(.r, y, z)

Além disso deve-se conhecer a temperatura em qualquer ponto Af

da superfície a do corpo em qualquer momento t de tempo, as condições

dos limites:

u(M, = t) (10)

(Outras condições de limites são possíveis).

Se a função procurada u {x, y, z, 0 não dependesse de z, isso

corresponderia a cómo se a temperatura não dependesse de z, obteríamos

a equação

du

dt

_ ‘2.(

(I I)

dita equação da propagação do calor sobre o plano. Se se considerar

a propagação do calor num domínio plano D de fronteira C, as condições

dos limites do mesmo modo que (9) e (10) são, então, assim

formuladas:

u \ x , y, 0) = i[>{x, y),

u {M , t) = yi>{M. t).

em que e ^ são funções dadas, M um ponto da fronteira C.

Se a função u não depender nem de z nem de y, obtemos a

equação ^ ^ equação da propagação do calor numa barra*

ot ox^


§ 6. Resolução do primeiro problema dos lim ites para

a equação do calor pelo método das diferraças finitas

Do mesmo modo que para o caso das equações diferenciais

ordinárias, por ocasião da resolução das equações das derivadas parciais

pelo método das diferenças finitas as derivadas são substituídas

pelas diferenças correspondentes (ver fig. 374):

(III

du (x, t) _ u (X + /^, i) — u (x, t)

âx

h

dû(x, t) I u (x + h, t) — u (x, t) u (x, t) — u(x — h, l)

------ ^ ^ —

dx^ h

du{x,t) u{xh, t)— 2u(x, t)-\-u(x — h, t)

~ d ? ~ ^ S ----------------------- ■

duma maneira análoga

du{x, í) u{x, t 1 ) — u(x, t)

dt

I

(1 )

(3)

O primeiro problema dos limites para a equação do calor (ver § 4)

enuncia-se da maneira seguinte. Pede-se para determinar a solução da

equação

du _^2 ^ “

dt dx^

(4)

que verifica as condições iniciais

u(x, 0) = {p(x),

w(0. í) = i|5, (<), 0 - ^ t - ^ T .

u{l, í) = 'l’2 (<). o < í < r ,

(3)

(«)

(7)

isto é. determinar a solução u (x, t) no rectângulo delimitado pelas rectas

t = 0, X = 0, X = L, t = T se se conhecer os valores da função procurada

sobre três dos seus dados: t = 0, x = 0, x = L (fig. 375).

Cerquemos este rectângulo duma grade formada pelas rectas

x= ih, 1 = 1 , 2 , . . . ,

t — kl, k = l , 2, . . . .


e determinemos os valores aproximados das soluções nos nós desta grade,

isto é, nos pontos de intersecção destas rectas. Introduzamos as notações:

u {ih, kl) = Ui^ fe. Escrevamos em vez da equação (4) as equações cot-

(x-h,t) (x,t) (x-hh,t)

T

j

1

m i ) í

í

H k ) M \m A

1

1 í

LX

Fig. 374

Fig. 375

respondentes em diferenças finitas para o ponto {ih, kl). Em conformidade

com as fórmulas (3) e (2) obtemos:

Definamos u

A+1 — k_ k — Ut-1, h

I

A+l ------^ h + ^í-1, ft)‘

(8)

(9)

Resulta da fórmula (9) que se se conhecer os três valores na série

de ordem k: ut, h, í^í+i . ft» k, pode-se determinar o valor ^+1

na série de ordem (/: + !). Conhecemos todos os valores sobre a

recta r = 0 (ver fórmula (5)). Segundo a fórmula (9) determinamos

os valores sobre todos os pontos interiores do segmento t = 1. Os

valores nas extremidades deste segmento são-nos conhecidos em virtude

das fórmulas (6) e (7) Assim, determinamos fila por fila, os valores

da solução procurada para todos os nós da grade.

Está demonstrado que se pode obter, s ^ n d o a fórmula (9), um

valor aproximado da solução não para um valor arbitrário do quo-

/j2

ciente dos passos h e i mas, sòmente no caso em que A fór-

2a^

mula (9) simplifica-se particularmente se o passo / segundo o eixo t

for escolhido de maneira que

i - ^ = 0


ou

1 = ^

Neste caso a equação <9) toma a fonna:

“ í, ft+l = Y (“ i+l, h + “ í-l, *)• (10)

Esta fórmula é particularmente cómoda para os cálculos (fig. 376).

Determina-se, pelo método indicado; a solução entre os nós da grade.

O valor da solução entre os nós da grade pode

ser obtido, por exemplo, por extrapolação, traçando

um plano para todos os três pontos do

( í M V

espaço (x, t, u). Designemos por (x, t) a solução

assim obtida com o auxilio da fórmula (lU)

depois da extrapolação.

(i+w

Demonstra-se que

Fig. 376

limw/,(x, t) = u{x, t),

h->-0

em que u (x, r) é a solução do nosso problema. Está, finalmente, demonstrado

(*) que

t)-u {x , t)\< :M h \

em que M é uma constante independente de A.

§ 7. Propagação do calor muna barra infinita

Suponhamos que no instante inicial é fixada a temperatura

de diversas secções duma barra infinita. Pede-se para determinar a

distribuição da temperatura da barra nos instantes seguintes. (£-se

conduzido ao problema da propagação do calor numa barra infinita

no caso do estudo dos problemas físicos, sendo o comprimento da

barra tão grande que a temperatura dos seus pontos interiores nos

momentos considerados apenas depende de muito pouco das condições

nas extremidades da barra)

Se a barra coincide com o eixo Ox, o problema matemático

enuncia-se da maneira seguinte. Determinar a solução da equação

du __ 2 dû

d t ~ ^

(1)

(*) Um enunciado mais detalhado da questão é dado na obra de L. Collatz

cNumerische Behandlung von Differentiagleichungen». Bri. Sprínger. 1951.


no domínio — oo<jc<oo,

/ > 0 , verificando á condição inicia)

„(./•, 0) = ( | (./•)

Apliquemos, para determinar a solução, o método de separação

das variáveis (ver § 3), isto é, vamos procurar uma solução particular

da equação (1) sob a forma de produto de duas funções:

ou

U(:r, t)=X(.i) T(t)

Substituindo na equação (1) teremos:

X (x) T (/) = T (/)

(1^)

iV

Cada um destes quocientes não pode depender nem de jc, nem de í

e eis porque os igualamos a uma constante (♦) — X}. Obtemos de (4)

duas equações:

E, resolvendo-as, obtemos:

(b)

X = A COS k.r + B sen Ã./

Substituindo em (3), obtemos:

//;, (j\ t) = çQg _j_ ^ sçjj y

(7)

(a constante C está inclusa em /í (X) e B (X)).

Para cada valor de X obtemos uma solução da forma (7). As

constantes arbitrárias A e B têm para cada valor de X valores definidos.

Razão porque se pode considerar que A c B são funções de X.

O somatório das soluções da forma (7) é também uma solução em

consequência da linearidade da equação (1)):

[/I (X) COS Xj' + B (X) sen X.r]

(♦) Como, segundo o sentido do problema 7 (0 deve ser limitado qualquer

que seja t, se q>(x) for Itmiado,

deve ser negativo. Eis porque escrevemos —X*,


Integrando a expressão (7) em relação ao parâmetro X nos limites

de 0 a 00 obtemos igualmente uma solução

u{x, t) = ] e [A (X) COS \x -\- B (k) sen \x] dk, (8)

se A {k)cB (A) forem tais que este integral, a sua derivada em relação

a / e a sua derivada segunda em relação a x existam e se obtenham

derivando o integral em ordem sl t e sl x. Escolhamos A (k) e B (X)

de modo que a solução u (jc, t) satisfaça à condição (2). Pondo na

igualdade (8) t = 0, obtemos em virtude da condição (2):

u (x, 0) = fp (x) = ( [A fX) COS kx B (X) sen kx] dk. (9)

Suponhamos que a função ^ (a:) é tal que pode ser representada

por um integral de Fourier (ver § 12, cap. XVII):

011

<1 (./•) — - ^^^

(( (x)= U[(Í

((

^

0 —^

(a) C O S Ka da ) cos kx

+ ( í cp (a) sen ka da^ sen X.r

•X'

dk.

(10)

Comparando os segundos membros de (9) e (10), obtemos:

1 f

^ (X) = — \ (T(a) COS ka da,

^ J

— «X

oc

1 f

ti (X )= — 1 q: (a) sen ka da.

n J

(II)


Substituindo os valores encontrados de (X) e B (X) na fórmula (8),

obtemos:

+ 00

0 —oo

(f (a) COS Ka da^ cos Xx -f-

+ ( í fp (a) sen Xa da^ sen Xx^ dX =

— oo

oo

oo

= ^ I ^ <P(a) (cos Xa cos Xx-j- sèn Xa ,sèn Xx) da j d X =

0 —oo

oo

oc

= ^ ^ ^ q) (a) cos X (a — x) da^ dX

0 —oo

OU invertendo a ordem de integração, temos, finalmente:

oo

oo

u{x, Í ) = ^ I |cp(a) ^j e“ ““^'‘ cosX(a — x)dXj j da. (12>

— oo 0

É a solução do problema que havíamos posto. Transformemos

a fórmula (12) Calculemos o integral que figura entre parêntesis:

oo

íe “*^’''c

o s X ( a

— x)dX= —

oo

a V t J

cosPzdz. (13>

Esta transformação do int^ral foi efectuada com o auxilio das

substituições:

Introduzamos a notação

Derivando (*) obtemos:

aX^t = z, ^---- ^ = P (1^)

a V í

oo

^ (P) = J

0

cos Pz dz.

OO

K ' (p) = — J e“ *’ z sèn Pz dz.

0

(*) Demonstra-se fòdlmente que se pode derivar.

(15)


Integrando por parte, vem:

ou

K ' (P)

^'sen fiz]o “ y j ^

p

^ ' ( p ) = - f ^(p)-

In t^ a n d o esta equação dtferencial, obtemos:

0

K (p) = Ce

Detenninemos a constante C. Resulta de (15):

(16)

K{0)

(ver § S, cap. XIV). Por co n sîn te, na igualdade (16) deve-se tei

Assim

^Substituamos o valor (17) do integral (15) em (13):

(17)

C O S %{a — x)d%-

1 V jt

■e

4

a V t 2

Substituindo

pela sua expressão (14). obtemos finalmente o

valor do int^ral (13):

oo . (g—x)»

1 1 / n 4a*í

CO S l{a — x)dX = ^ V T (18)

Substituindo esta expressão do integral na solução (12) teremos,

finalm ante:

u{x, t) = -----L _ \ <ip (a) e da. (19)

2 a V n í -o

t \ J


Esta fórmula, chamada integral de Poisson, é a solução do problema

posto sobre a propagação do calor numa barra infinita.

Nota — Pode-se demonstrar que a função u(x, í) definida pelo

integral (19) é a solução da equação (1) e satisfaz à condição (2) se

a função ^(jc) for limitada no intervalo infinito (— oo. oo).

Estabeleçamos o sentido físico da fórmula (19). Consideremos a

função

para — oo < x < Xq,

(p (x) = (x) para x„ < < a:o + Ax,

(20)

para X q + Ax < x < oo

Então, a função

{■0

n (X. t) =

2a V

—s

oc

jtí

«P (oc) e

(a-x)'-

kn^l

é a solução da equação (1) adoptando para r = 0 o valor y>* (x).

Em virtude de (20) pode-se escrever;

da

( 2 1 )

^ . 4a2t

u (x, t) ■ 1 = ( (p (a) e da.

laV^nt/ J

-0

Aplicando o teorema da média a este último integral, obtemos:

(g—A')^

* ( p ( c ) A : r k a ^ t

u (z, t) =

—— ■e

2 a l/jií

^0 < ê < ^0 + A:r. (22)

A fórmula (22) dá o valor da temperatura num ponto da barra

em cada instante de tempo se para / = 0 a temperatura da barra for

em toda a extensão u* = 0. com excepção do segmento [jCo, Xo + Ajc]

onde é igual a 9 (x), É precisamente a soma das temperaturas da

forma (22) que dá a solução (19). Notemos que sc p é a, densidade

linear da barra, e a capacidade calorífica da substância, a quantidade

de calor no elemento [jCo, Xo + Ax] para / = 0 será

AÇ ^ (p(^) Az pc

Considerôs em seguida a função

1

-= - e

2a^nt

(l-xV

tkaî

(23)

(24)


Comparando-a ao segundo membro da fórmula (22) e tendo

em conta (23) diz-se que ela dá a temperatura em qualquer ponto

da barra num momento arbitrário de tempo t, se para r = 0 na

secção í (caso limite quando Ax -> 0) se encontrasse uma fonte instantânea

de calor que dispensasse uma quantidade de calor Q = cp.

§ 8. Problemas que conduzem ao estudo das soluções das

equações de Laplace. Enunciado dos problemas de lim ites

Neste parágrafo consideraremos certos problemas que conduzem

à resolução da equação de Laplace

dû dû ^ p

dx^ dy^ dz^

(1)

Como já mencionamos, o primeiro membro da equação (1)

d'û , dû , dû .

— H—

dx'^ dy^ d ^

é chamado operador de Laplace. As funções u que verificam a equação

de Laplace são chamadas funções harmónicas.

I — Distribuição estacionária da temperatura num corpo homogéneo.

Seja um corpo homogéneo Q limitado por uma superfície a.

Mostramos no § 5 que a temperatura em diversos pontos do corpo

verifica a equação (8):

du

dt \dx^ dy^ dz^J

Se o processo for estacionário, isto é, se a temperatura não

depender do tempo, mas ünicamente das coordenadas dos pontos do

corpo, então, — = 0 e, por conseguinte, a temperatura verifica a

equação de Laplace

d

t

dû dru dû_^

(1)

Para que a temperatura do corpo seja determinada univocamente

a partir desta equação é preciso conhecer a temperatura sobre a

superfície a. Formula-se, então, da maneira seguinte o problema de

lii^tes para a equação (1).

26


Determinar uma função u(x, y, z) que verifica a equação (1)

no interior do volume ü e tomando em cada ponto M da superfície a

os valores dados:

u\o = yÍ){M). (2)

Este problema é chamado problema de Dirichlet ou primeiro pro~

blema de limites para a equação (1).

Se sobre a superfície do corpo a temperatura não for conhecida,

mas se se conhecer o fluxo de calor em cada ponto da superfície que

é proporcional a ^ (ver § 5) ter-se-á sobre a superfície a. em vez

on

da condição inicial (2). a condição

du

dn

= ij)* (M). (3)

O problema da procura da solução da equação (1) que verifica

a condição inicial (3) é chamado problema de Neumann ou segundo

problema de limites.

Se se considerar a distribuição da temperatura sobre o domínio

plano D, limitado pelo contorno C, a função u dependerá de duas

variáveis x q y e verificará a equação

^ + - = 0

dx^ ^ V

que se chama equação da Laplace para o plano. As condições iniciais

(2) ou (3) devem ser verificadas sobre o contorno C.

II — Fluxo potencial dum líquido ou de um gás. Equação de con

tinuidade. Suponhamos que no interior do volume O. limitado pela

superfície a (particularmente O pode ser ilimitado) se produz o escoamento

dum líquido. Seja p a densidade do líquido. Designemos a

velocidade do líquido por

v=Vxi-{-Vyj-\- v^k, (5)

em que Uy, são as projecções do vector v sobre os eixos

de coordenadas. Isolemos no corpo íl um pequeno volume o>. limitado

pela superfície S. Para cada elemento As da superfície S no decurso

do tempo At passa uma quantidade de líquido

AQ = prn As At,

em que n é o vector unidade orientado segundo a normal exterior

à superfície 5. A quantidade total do liquido ô que penetra no volume o>

(ou que se escoa do volume ü>) exprime-se pelo integral

Ç = Aí ^ J pvn ds

8

(6)


(ver §§ 5 e 6, cap. XV). A quantidade de líquido no volume a>

no instante t era

(D

No decurso do tempo Al a quantidade de líquido variará, em

consequência da variação da densidade, duma grandeza

Ü)

Supondo que o volume o> não está ligado a fontes, concluímos

que esta variação é devida a um afluxo de liquido cupa quantidade

é determinada pela igualdade (6). Igualando os segundos membros das

igualdades (6) e (7) e simplificando por Ar, obtemos:

d(ú. (8)

S (0

Transformemos o integral duplo do primeiro niembro segundo a

fórmula de Ostrogradsky (§ 8, cap. XV). A igualdade (8) torna-se, então:

ou

d(ú

(7,

Sendo o volume tomado arbitràriamente e sendo a função sob

o sinal de integração contínua, temos:

ou

dt

+ div (pi^) = 0

(9>

^ (Pí^«) + Y (pVy) + f (PV,) = 0.

dt dx dy dz

Ê a equação de continuidade de escoamento dum fluído compresslveL

Nota — Em certos problemas, por exemplo, quando se faz o estudo

do escoamento do petróleo ou dos gases através dum terreno poroso

para o poço, pode-se adoptig:

k

v = — — gradp,

(9')


em que p é a pressão, k o coeficiente de permeabilidade e

dt

dt

\ = const. Substituindo na equação de continuidade (9), teremos:

dt

— div (/cgradp) = 0

011

dt d x \ d x) d y \ du/ dyJ d z \ dz)

(10)

Se Â; é constante, esta equação toma a forma:

dt A. \dx^ dy^ dz^) ’

( 11)

e encontramos a equação do calor.

Voltemos à equação (9). Se o fluido é incompressível, p = const,

dp

^ = 0 e a equação (9) escreve-se:

div (v) = 0. (12)

Se o movimento é potencial, isto é, se o vector v é o gradiente

duma certa função

a equação (12) toma a forma:

ou

V = grad (p,

div (grad cp) = 0

d^<p d \ d \

dx^ + H dy

+ ^ dz^

= 0,

(13)

por outras palavras, a função potencial da velocidade <p deve verificar

a equação da Laplace.

Em numerosos problemas, como por exemplo, nos problemas de

filtração, pode-se adoptar

v = — *1 gradp,


em que p é a pressão. ki uma constante; obtemos, então, a equação

de Laplace para determinar a pressão

dx^ dy^ dz^

0. (13’)

As condições iniciais para a equação (13) ou (130 podem ser

formadas da maneira seguinte:

1. Dá-se sobre a superfície a os valores da função procurada p

que é a pressão (condição (2)). É o problema de Dirichlet.

2. Dá-se sobre a superfície a os valores da derivada normal dn'

por outras palavras, o fluxo que atravessa a superfície (condição (3)).

É o problema de Neumann.

3. Dá-se sobre uma porção da superfície a os valores da função

procurada p (a pressão) e sobre uma porção da superfície os valores

da derivada normal (o fluxo através da superfície). É o problema de

Dirichlet-Neumann.

Se o movimento é plano-paralelo, isto é, se a função (p (ou p)

não depender de z, obtém-se a equação de Laplace no domínio a

duas dimensões D de fronteira C:

d \

dx^

d \

dy^

0. (14)

As condições iniciais do tipo (2), problema de Dirichet. ou do

tipo (3), problema de Neumann. são dadas sobre o contorno C.

III — Potencial duma corrente eléctrica estacionária. Suponhamos

que num meio homogéneo que preenche um certo volume V passa

uma corrente eléctrica cuja densidade em cada ponto é dada pelo

vector J (x, y, z) = J:,i + J y j + Jzk. Suponhamos que a densidade

da corrente não depende • do tempo t. Suponhamos, ainda, que o

volume V considerado não contém fonte de corrente. Por conseguinte,

o fluxo do vector J através da superfície fechada S situada no

interior do volume V é igual a zero:

J J J n d s = 0 ,

s

em que n é o vector unidade dirigido, sçgundo a normal exterior,

à superfície.

Com base na fórmula de Ostrogradsky podemos concluir que

d iv J " = 0. (15)


A lei de Ohm generalizada permite determinar no mèio condutor

considerado, a força eléctrica E :

ou

E = —

X

J = k E ,

em que A é a permeabilidade do meio que consideramos constante.

Resulta das equações gerais do campo que se o processo for estacionário,

o campo vectorial E é irrotacional, isto é, que rot JEJ = 0.

Então, do mesmo que no caso do estudo do campo das velocidades

dum líquido, o campo vectorial é um campo potencial (ver § 9. cap. XV).

Existe uma função <p tal que

Em virtude de (16). obtemos:

E = grad q).

J = X grad q).

(16)

(17)

(18)

ou

Resulta de (15) e (18):

Adiv (grad q)) = 0

d‘ (p 5"(p d^(p

dz^

■0. (19)

Obtivemos a equação de Laplace. Resolvendo esta equação para

as condições iniciais correspondentes, obtemos a função y> e. segundo

as fórmulas (18) e (17), obtemos a corrente J e a força eléctrica E.

§ 9. Equação de Laplace « n coordenadas ciKndricas.

Resolução do problema de Díríchlet para um arco com

valores conslantes da função procurada sobre os

círculos Interior e exterior

Seja u (x. y, z) uma função harmónica de três variáveis. Entíio,

por definição.

dû

dû

dx^ dy^ dz^

Introduzamos as coordenadas cilíndricas (r, f, z):

ar = rco&(p, i/ = rs€ntp, z = z

0. (1)


donde.

r = Vx^ + y\ (p = arc tg — , z = z.

X

(2)

Substituindo as variáveis independentes x, y, z por r, dx

dx^ d f \ dx) dr dx^ dr á(p dx dx

duma maneira análoga

diû* ^ Y I

dw^ \ dx )

d(p dx

(3)

dû*

dr^ \ dy )/ dr dy^ dr d^ ^(p dy dy

alem disso.

+

d^^ \ dy )

dû

dz^

Encontramos as expressões para

cPu*

dz^

dr dr d^r d^r d^>

dx ' dy ' dx^ ’ dy"^ ’ dx

d{ç dy

^cp

dy

,2 ’

d \ d \

a partir da ioualdade (2). Fazendo a soma dos segundos membros das

igualdades (3), (4) e (5) e igualando o resultado a zero (visto que a

soma dos primeiros membros destas igualdades é nulo em virtude de (1)),

obtemos:

d^û* , 1 di^ , 1 , d^ú

dx'

dr^ r d r '^ r ^ 5(p^ + ^ = “ -

(4)

(5)

(6)


É a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas.

Se a função u não depender de z e depender de jc e 3^, a função

u* que não depende a não ser de r e ^ verifica a equação

*

d u

dr^

r dr

1 d V

■ 0, (7)

em que r e y> são as coordenadas polares para o plano.

Achemos agora a solução da equação de Laplace no domínio D

(arco) limitado pelos círculos C i: — R\ e C^: x* + t/* = i?*

que tomara os valores limites seguintes:

W|Cl = Wl,

U I C2 = «2.

em que Ui e são constantes.

Resolveremos o problema em coordenadas polares. É evidente que

é lógico procurar uma solução que não dependa de <f.

A equação (7) toma, então, a forma:

(8)

(9)

dr^

r dr

____Q

Integrando esta equação, obtemos:

u = C1 Log r -(- Cz-

(10)

Determinemos Ci e C2 das condições (8) e (9):

Uj = Cx Log i?i 4* Cz,

Uz = Cl Log /? 2 “I" C2.

Daí tiramos

Uz — Uj

Ci =

L og—^

Ri

Log Ri

Cz = Ui— (Uz — Ui)

1 T?2

Substituindo os valores achados de Ci e C2 na fórmüla (10),

obtemos, finalmente:

r

Log —

u = Ui H--------------- {Uz — Ui).

Log El

Ri

(11)


Nota — De facto, resolvemos o problema seguinte: determinar uma

função u que satisfaça à equação de Laplace no domínio limitado pelas

superfícies (em coordenadas cilíndricas):

r=R^, r = y ? 2, 2 = 0, z = H,

e que verificam as condições dos limites seguintes:

U \ r ^ R ^ = U

du

dz

= 0, f í

U \r=R.^ =

z=n

= 0

(problema de Dirichlet-Neumann). É evidente que a solução procurada

não depende nem de z, nem de e é dada pela fórmula (11).

§ 10. Resolução do problem a de Dirichlet p ara o circulo

Seja no plano Oxy um círculo de raio R, de centro na origem

das coordenadas e uma função /(^) dada sobre esse círculo (ç> é o

ângulo polar). Pede-se para determinar uma função u (r, (p) contínua

no círculo (inclusivé sobre a fronteira), que verifica no interior do

círculo a equação de Laplace

d“u , dû

— = (1>

dx^ dy^

e adoptando sobre a circunferência do círculo os vectores dados

u|,=fí = /((p). (2)

Resolveremos o problema em coordenadas polares. Escrevamos a

equação (1) nestas coordenadas:

dû \ du 1 dû

0

ou

►dû

dr^

du . d^û

dr '

:0. ( l ’>

Procuraremos a solução pelo método de separação das variáveis

fazendo

u = O (cp) R (r). (3)

Substituindo na equação (10 .obtemos;

r^d) (fp) R" (r) + rd) (tp) R ' (r) + d>" (cp) (r) = 0


OU

<l>" (((;)____ r R " (r) + r]{’ (r)

Cl) (if.) “

R (r)

= - k ^ i^)

Como o primeiro membro desta equação não depende de r,

e o segundo membro de <p, eles são. por conseguinte, iguais a um

número 'constante que designaremos por —k^. Assim a igualdade (4)

dá duas equações:

d)” ((()) + /^l) ((p) = 0, (5)

r^R" (r) + rR ' (r) - k~R (r) = 0.

A solução geral da equação (5) será

(')')

(1) = A COS ^’(p + sen (6)

Procuraremos a solução da equação (5') sob a forma R (r) =

Substituindo R (/*) = cm (5'). obtemos:

ou

r m {m - 1) + rmr^~ ~ = 0

— lê = 0.

Podemos escrever duas soluções particulares linearmente independentes

e A solução geral da equação (5') será

R = Cr^ + Dr~^

Substituindo as expressões (6) e (7) em (3):

Uk = AC O S k (ç + Bh sen Arcp)

A função (8) será a solução da equação (1') para todo o valor

de k, diferente de zero. Se /: = 0 as equações (5) e (5') escrevem-se

e. por conseguinte,

a ) " = 0, rR"{r) + /? '( r ) = 0,

Uo = {Ao + (Co + D qLog r) (8')

A solução deve ser uma função periódica de <p, visto que para

um mesmo valor r para <p c (p + 27t devemos chegar à mesma solução;

trata-se. com efeito, dum mesmo ponto do círculo. Eis porque é

evidente que na fórmula (8') seja preciso que Bo = 0. Procuraremos

a solução contínua e finita no círculo Por conseguinte no centro

do círculo para r = 0 a solução deve ser finita, e por consequência

é preciso que na fórmula (8') Do = 0 e na fórmula (8) 0 ^ = 0

(7)

(8)


Assim, o segundo membro de (8') reduz-se ao produto A qCq que

designaremos por AÍ/2, Assim

Un=- (8)

Procuraremos a solução do nosso problema sob a forma de soma

das soluções do tipo (8), visto-que a soma das soluções é uma

solução. A soma deve ser uma função periódica de (p. Se-lo-á também

se cada termo da soma for uma função periódica de (p, Para isso k

deve tomar valores inteiros. (Notemos que se tivéssemos igualado

os membros da igualdade (4) ao número + não teríamos obtido

uma solução periódica). Podemos limitar-nos aos valores positivos

A: = l, 2,

visto que, as constantes A, B, C, D sendo arbitrárias, os valores negativos

de k não dão novas soluções particulares.

Assim

u(r, ( p ) = y + 2 ( ^ 1 „ COSncp + 5„sen ra(p)r" (9)

(a constante Cn está inclusa em Aj,, e 5^). Escolhamos, agora, as

constantes arbitrárias Aj^ e de maneira que sejam verificadas as

condições iniciais (2).

Substituindo na igualdade (9) r = R, obtemos em virtude da condição

(2):

oo

/(9 ) = ^ + ( A n COS n(p + B j, s è a ncp)

n = l

(10)

Para que tenha lugar a igualdade (10) é preciso que a função

admita um desenvolvimento em série de Fournier no intervalo (— ir, ir)

e que AnR^ e sejam os seus coeficientes de Fourier. Por conseguinte,

An Q Bn são determinados, segundo as fórmulas:

71

n = ~7;r \ f{t)cosntdt,

nB j

31

1 f

n = —— \ f (t) sên nt dt.

ici?" J

(11)


Assim, a série (9) com os coeficientes determinados, segundo as

fórmulas (11), será a solução do nosso problema se ela puder ser

duas vezes derivada termo a termo em ordem a r e a (mas isso

não foi demonstrado). Transformemos a fórmula (9). Substituindo

e Bn pelas suas expressões (11) e efectuando certas transformações

trigonométricas, obtemos:

n oo .T

u ( r , < f ) = ^ j f ( t ) d t + ^ ^ j / ( t ) c o s n ( t — ( f : ) d t ^ ^ ' j =

—.1 /<= 1 —.l

- Ji n = i

Transformemos a expressão que figura entre parêntesis (♦):

1 + 2 2 - .9 ) = 1 + 2 ( i ) "

71 = 1 71 = 1

_ZL í(í-(f)

_ÍL -i(í-<f)

= 1 + — --------— + — -------------- :

1 _ JLg-Kí-t)

R

-(ir

R ^ - r

1 — 2 — C O S (t — (p ) +

R (i) 2 íd2 — 2 i ? r c o s ( í — (p) +

C*) Durante a demonstração determinamos a soma duma progressão

geométrica infinita,* cuja razão é um número complexo de módulo inferior

à unidade. Esta fórmula da soma duma progressão geométrica pode ser

estabelecida da mesma maneira que para os números reais. É necessário, no

entanto, ter em conta a definição de limite duma função complexa da

variável real. A variável independente é aqui n (ver § 4, cap. VII, t. I).


Substituindo a expressão que figura entre parêntesis na fórmula (12)

pela expressão (13), obtemos:

U{l\ (|):

.T

r>2 2

2ji J /(<)• R — r

J{~ — 2rJ{ COS (t —(f) +

dt. (14)

A fórmula (14) chama-se integral de Poisson. Demonstra-se,

analisando esta fórmula, que se a função / (y>) for contínua, a função

w(r, (f>) definida pelo integral (14) verifica a equação (!') e quando

r R teremos u (/*, (9), por outras palavras u (r, ^) é a solução

do problema de Dirichlet que apresentamos para o círculo.

§ 11. Solução do problema de Dirichlet pelo método

das diferenças fínitas

Seja um domínio D no plano Oxy limitado pelo contorno C.

Seja dada sobre 0 contorno C uma função contínua /. Pede-se para

determinar a solução aproximada da equação de Laplace

^ ^ 2

ox ay

— »

(1)

que verifica a condição dos limites

u\c = f.

Tracemos duas famílias de curvas

x = ih et y = kh,

(2)

(3)

em que h é um número dado. tomando i q k sucessivamente valores

inteiros. Diremos que o domínio D está recoberto por uma grade

(quadrícula). Os pontos de intersecção das diferentes rectas serão chamados

nós da grade.

Designemos o valor aproximado da função procurada no ponto

X = ih, y = kh por isto é. u{iK kh) = h- Assemelhamos

o domínio D ao domínio da grade D* constituído pelo conjunto dos

quadrados contidos inteiramente no domínio D, assim como alguns

quadrados cortando a fronteira C (pode-se não ter isso em conta).

Assemelha-se o contorno C ao contorno C* constituído por segmentos

de recta do tipo (3). Em cada nó situado sobre o contorno C* demos

o valor /* igual ao valor da função / correspondente ao ponto mais

próximo do contorno C (fig. 377).

Não consideramos os valores da função procurada a não ser

para os nós da grade. Como já indicámos no § 6, por ocasião da


resolução pelo método aproximado, as derivadas são substituídas pelas

diferenças finitas:

dd?

~ih, y—hh

, k — h 4~ h

d\í

01/

x=ihy y^hli

í/. k +1—

fi 4~ U}^

A equação diferencial (1) é substituída pela equação das diferenças

finitas (depois da simplificação por h^):

k — /j -f- Ui-x^ k + /i+i — + Ui^ = 0

ou (fig. 378)

~ + h + /í + 1 + î-1, k + A-l)«

(4)

Para cada nó da grade situando no interior do domínio D* (e

não situado sobre a fronteira de C*) componhamos a equação (4).

Fig. 377 Fig. 378

Se o ponto (jc = /A, y = kh) for vizinho do ponto do contorno C*,

no segundo membro da igualdade (4) teremos os valores de /*.

Obtemos, assim, um sistema não homogéneo de N equações a N incógnitas

{N i o número de nós da grelha situados no interior do

domínio D*).

Demonstremos que o sistema (4) possui uma solução que é

única. É o sistema de N equações lineares a N incógnitas. Ele possui

uma solução única no caso em que o determinante do sistema for

diferente de zero. O determinante do sistema é diferente de zero se

o sistema homogéneo apenas tiver uma solução trivial (nula).


O sistema será homogénéo se /* = 0 para os nós da grade situados

sobre o contorno C*. Demonstraremos que neste caso todos os valores

Ui^ para todos os nós interiores da grade são nulos. Suponhamos que

no interior do domínio existe ^ diferentes de zero. Para fixar

ideias, suponhamos que o maior valor desses valores é positivo.

Designemo-lo por Wj, ^ > 0.

Em virtude da fórmula (4) 'escrevemos:

1

h = + h + h + i + î-i, h + A-l)- (4')

Esta igualdade apenas é verificada para o caso em que todos

os valores u do segundo membro são iguais ao maior valor íÍ í,

Temos assim cinco pontos para os quais o valor da função procurada

é üi^ Se nenhum destes pontos estiver sobre a fronteira, demonstraremos

tomando um de entre eles e escrevendo para ele a igualdade

(4) que noutros pontos o valor da função desconhecida será

também igual a ãj, ft. Prosseguindo assim atingiremos a fronteira e

demonstraremos que para um ponto da fronteira o valor da função

é igual a fe. Mas isso contradiz o facto de que nos pontos da

fronteira f* = 0.

Supondo agora que no interior do domínio temos um valor

negativo mínimo demonstraremos da mesma maneira que sobre a

fronteira o valor da função é negativo, o que contradiz também a

condição apresentada.

Assim o sistema (4) possui uma solução que é única.

Os vedores de Ui^

determinados a partir do sistema (4) cons^

tituem os valores aproximados da solução do problema de Dirichlet

formulado anteriormente. Estabeleceu-se que se a solução do problema

de Dirichlet para um dado domínio D e uma dada função f existe

(designemo-la por u{x, y) e se ui^ for a solução do sistema (4),

teremos, então, a relação

Iu (^, y) —Ui, hI< (5)

em que A é uma constante independente de h.

Nota — É por vezes possível, embora isso não esteja demonstrado

rigorosamente, utilizar o processo seguinte para avaliar o erro

da solução aproximada. Seja a solução aproximada para um

passo igual sl 2h, u\^k ^ solução aproximada para um passo igual a A,

Eh(x, y) o erro da solução u\% Então, temos a igualdade aproximada

{x, y) ^

1

,.(h) ■


nos nós comuns das grades. Assim, para determinar o erro da solução

aproximada para um passo h, é preciso determinar a solução para um

passo 2A. A terça parte da diferença destas soluções aproximadas é

precisamente a avaliação do erro da solução para o passo h. Esta

nota pode respeitar igualmente à resolução da equação do calor pelo

método das diferenças finitas.

Exerdcios

I. Estabelecer a equação das vibrações de torção duma barra homogénea

cilíndrica.

Indicação — O momento giratório na secção da barra de abeissa x é

d0

determinada pela fórmula M=^GI , em que 0 (oc, r) é o ângulo de tórax

ção da secção da abeissa x no momento t, G o módulo de deslize, / o

momento de inércia polar da secção transversal da barra.

^20 ^ a20 ^ GI

Resp. -T—

dí2

= -----

ax2 ’

em que

H

a2 = ----

^

k á o momento de inércia da

unidade de comprimento da barra.

d20 d20

Determinar a solução da equação -r:— = , Que verifica as condições

aí 2 ax2

0(0, í) = 0, 0(Z, í) = 0, 0(x, 0) = (p(x), ^ ^ = Q,em ûe

q,(x) = ^ p a r a 0 < x < A ,

Dar

_ 80q

uma

CD

k = Q

«PW = — - ^ ^ + 2 0 0 para y < x < / .

interpretação mecânica do problema. Resp. 0 {x, t) =

i2k-\-Í)nx (2k-\-\)nat

------------ sen 2-----1—-— COS ----- .

(2A: + 1)2 I I

Estabelecer a equação das oscilações longitudinais duma barra cilíndrica

homogénea.

Indicação — Se u{x, /) designar a deslocação da secção do cilindro de

abeissa x no momento /, a contraeção de traeção T da secção x é determinada

pela fórmula T —ES , em que E é o módulo de elasticidade do material,

ox

S a superfície' da secção transverçal da barra.

Resp. —fl2 ,em que a^—— . p a densidade do material da barra.

dí2 dx2 p ’

Uma barra homogénea de comprimento 21 sob a acção das forças aplicadas

às suas extremidades curvou-se duma grandeza 2X. No instante í = 0

liberta-se-la da acção das forças exteriores que lhe foram aplicadas. Deter-


minar o afastamento u {x, t) da secção da barra de abcissa x no instante /

(o meio do eixo da barra está situado no ponto de abcissa x = 0).

(— {2k-\-\)nx {2k-\-\)nat

Resp. a(*, t) = ^ 2 7Í

(2/r-t-l)2 21 21

/í=0

5, Uma barra de comprimento / está fixa por uma das suas extremidades

e sobre a outra age uma força de extensão P. Determinar as oscilações

longitudinais da barra se para / = 0 a força P não agir.

P « p y ( - l ) " ; e n ( 2 n + l ) n i ( 2 n + l ) j i ( í /

2 j (2« + 1)2 2Í ------- 21-------

71=0

(ver o problema 3 para o sentido de E c S).

6. Determinar a solução da equação que satisfaz às condições

w(0, 0 = 0, u(I, i) = A sen co/, u (x, U) = 0,

àu (x, 0)

= 0 .

Dar uma interpretação mecânica do problema.

Resp. íi (x, t)z

A sen — X sèn coí

a

sen — I

a

2A(úa

~ 2 j „ / nna

"= ‘ “ ( — )

sen —

njiat

^— sen

_

.

tuix

I I

Indicação — Procurar a solução sob a forma de soma de duas soluções:

U - V ~ { - I L \ OÚ W -

é a solução que verifica as condições:

i;(0, 0 = 0, V (l, 0 = 0 , V (x^ 0) = —w{x, 0),

^ Supõe-se que sen ^ ^ q j

A sen— x sènco/

a

sen — I

a

dv (x, 0)

Ft

dw (x, 0)

dt

7. Determinar a solução da equação - ^ = a2 ^ que verifica as condições:

dt dx^

u(0, 0 = 0, u(l, 0 = 0, í> 0 ,u (x , 0) =

IX para 0 < x ^ ,

l—x para < x < / ,

27


_ ( 2 1 1 1 1 ^ (2.+ 1)n,z

Resp (., 0 = - ^ 2 - f c V ^

sen -

I

71 = 0

Indicado — Resolver o problema pelo método de separação das variáveis.

8. Determinar a solução da equação -^ ^ = r/2 JlHL que verifica vei as condições:

Üt OX'i- ’

X ( I — x)

u (0, i) — u (0, l) --- 0, u (.r, 0) = -

Z2

1

Resp. u(x, í) 2

.^3 ZJ (2/i-hl)^

n=0

(2n+l)2Ji2g2f

/2 (2/1 1) nx

I

9. Determinar a solução da equação — , que verifica as condições:

dt

dx^

= 0 , u(/, t) = “o. u (i, 0) = fp(x).

dx la=0

Indicar o sentido físico do problema.

oo

Resp. u{x, /) = uo+ 2 j

n=0

(2n-\-\) Ji

COS------

. 2 r (2n -\-i)nx. ( —

cm que ^n = - ) <P(x) C O S -^ -j------

(2/1 +1)

Indicação — Procurar a solução sob a forma u = + v (x, /).

10. Determinar a solução da equação = g2 que verifica as condições:

dt dx2 *

«(0, 0 = 0 , = u (i, 0)=(p(x).

Indicar o sentido físico do problema.

Resp. „ (X, í) = 2 p(p + l) + p2 ' sén

n=l

/ ’

I

que /1„ = — j qp(i' sen dx, p=Hl, pi, p2. •••. PnS*o »»

positivas da equaô tg p = — tL .


Indicoção — Na extremidade jc = / da barra produz-se uma troca de calor

com o meio ambiente, em que a temperatura é igual a zero.

11. Determinar (segundo a fórmula (10) do § 6 fazendo /t = 0,2), a solução

j j - du « dû

aproximada da equaçao ---- — 2 que verifica as condições:

dt ux^

u(x, 0) = o:^-|— x j , u(0, 0 = 0 , u{[, 0 = “^ i 0 < í < 4 / .

12. Determinar a solução da equação de Laplace d'û , d'û = 0 na zona

dx^ dy^

0 <Cx<;a, 0 < < y< oo, que verifica as condições:

u(0, y) = Q, u(a, y) = 0, u{x, 0) = A (l— <»)=0.

2^ 1 —z- y nnx

Resp. u(i, í) = _ 2 — ^ sen------

n = l

Indicação — Determinar a solução pelo método de separação das variáveis.

13. Achar a solução da equação de Laplace

dx^

0 < ! x < ;í7, que verifica as condições:

Resp. u(x, t)-

d“U _

u ( x , 0) = 0 ,'u (x , ò) = 0, u(0, y) = A y { b — y),

SAb^

Jl3

S

71=0

^ (fl» !/) = 0.

(2n-j-l) n (g —i)

b

(2n ^ l ) ny

ò

(2n + l)3

g jj (^^ + 1)

b

rectângulo

dû . dû

14. Determinar a solução da equação

= 0 no interior do and

dx^ ' dy^

limitado pelos círculos x2 -\-y2 = Rl^ x2 + y2 = Bl, que verifica as condições:

du

dr r=fíl X2jii?i ’ “ l'-=«2 “2-

Dar uma interpretação hidrodinâmica do problema.

Indicação— Resolver o problema em coordenadas polares.

Resp.

Q - • Ro

u= U 2 ~ Log —^ .

2A.JI

^2^ dû

15. A função u(x, y) = e-y senx é a solução da equação ^ ^ -x- . „ = 0

dx2 oy^

no quadrado 0 < x < l, que verifica as condições:

(0, y) = 0, u(l, y) = e~í'senl, u(x, 0) = scnx, u (x, l) = e~iscna:.

16. Nos problemas 12-15 resolver a equação de Laplace para condições dos

limites dados pelo método das diferenças finitas no caso áe h = 0,25.

Comparar a solução aproximada com a solução exacta.

Copíhilo XIX

CALCULO OPERACIONAL E APLICAÇÕES

Na hora actual, o cálculo operacional (ou simbólico), é um dos

domínios importantes da análise matemática. Em física, em mecânica,

em electrotécnica e noutros ramos da ciência utiliza-se os métodos do

cálculo operacional para a resolução de diferentes problemas. O cálculo

operacional encontrou uma aplicação particularmente larga na

tecnologia moderna da automação e das telecomunicações. Neste capítulo

(com base na matéria dos capítulos precedentes) serão precisamente

expostas as noções fundamentais do cálculo operacional bem como os

métodos da sua aplicação à resolução das equações diferenciais ordinárias.

§ 1. Original e imagem

Seja dada uma função da variável real t definida para t > 0

(por vezes consideraremos que a função / (/) está definida num intervalo

infinito — 00 < r < 00 . mas / (0 = 0 quando t < 0). Suporemos que

a função /(/) é contínua por corte, isto é, tal que, em cada intervalo

finito, ela possui um número finito de descontinuidades de primeira

espécie (ver § 9, cap. II, t. I). Para assegurar a existência de certos

integrais no intervalo infinito 0 < / < oo imporemos à função / (t)

restrições complementares. Suporemos precisamente que existem números

positivos constantes A i e 5o tais que

I/ (í |< M eô‘ (1)

para todo o valor arbitrário de t tomado no intervalo 0 < í < oo .

Consideremos o produto da função f(t) pela função complexa

da variável real (*) /, em que p = a + iò (a > 0) é um número

complexo:

/ w . (2)

(♦) A respeito das funções complexas da variável real, ver § 4, cap. VII, t I.

CALCULO OPERACIONAL E APLICAÇÕES 421

A função (2) é também uma função complexa da variável real /:

e - ‘’'í(t) = e - i a + ib)t - ihl

= e~"'f (t) COS bt — ie "'/ (/) sen bt.

/

Considereremos em seguida o integral impróprio

oo

J e ~(t) d t = ^ e~ “'/ (t) COS bt d t — i \ e ~'"/ (/) sen bt dt.

0 0 0

Mostremos que se a função /(/) verifica a condição (1) e a > So,

então, os integrais do segundo membro da igualdade (3) existem e a

convergência desses integrais é absoluta. Consideremos, primeiramente,

o primeiro destes integrais:

oo

oc

/ (t) COS b t d t l ^

í

\ \e ^ f (t) COS bt dt *

0 0

oo

oo

-(a—So)t M dt :

Cl — Sq

0 0

Estima-se da mesma maneira o segundo integral. Assim o integral

oo

\ e-^^f (t) dt existe. Ele define uma certa função de p, que designaü

remos (*) por F (p):

cv-

(.H)

F { p ) = ^ dt. (4)

A função F ip) chama-se transformada de Laplace ou imagem L

ou simplesmente imagem de f (t). A função / (0 chama-se original ou

função objecto, O facto de F (p) ser a imagem da função f(t) é assim

notada:

(5)

OU

o u

(6)

L{f{t)} = F{p). (7)**)

(♦) A função F(p) para p Ô é uma função da variável complexa (ver

entre outros o livro traduzido do russo de V. Smionov «Curso de Matemáticas

Superiores», vol. III, segunda parte).

(**) Utiliza-se também outros símbolos de correspondências. É assim

que em vez da notação -í- se emprega também o símbolo J e escreye-sc

no caso da fórmula (6) / (t) □ F (p) (N.d.T.).


Como veremos em seguida o sentido da introdução das imagens

reside no facto de que elas permitem simplificar a resolução de numerosos

problemas, em particular de reduzir a resolução das equações

diferenciais ordinárias a certas operações algébricas simples que permitem

determinar a função imagem. Conhecendo a imagem pode-se

determinar o original quer por meio das tábuas prèviamente compostas

«original-imagem» (dicionário de imagens) quer pelos métodos que

exporemos mais à frente. Perguntas se põem. então, naturalmente.

Seja dada uma certa função F (p). Existe uma função / (/) em

que F ip) é 3, imagem? Se ela existe, é única? As duas perguntas

recebem uma resposta positiva se F (p) e f (í) satisfizerem certas condições.

Em particular a unicidade da imagem é estabelecida pelo

teorema seguinte que enunciaremos sem demonstração.

Teorema da unicidade — Se duas junções contínuas (p{t) e ^(/)

possuem uma mesma imagem L F (p) essas junções são idênticamente

iguais.

Este teorema será duma grande utilidade para tudo o que se

seguirá. Com efeito se na resolução dum problema prático pudermos

determinar a imagem da função procurada, e em seguida obtivermos

o original segundo a sua imagem, podemos concluir em virtude do

teorema formulado que a função obtida é a solução do problema posto,

e que não existem outras soluções.

§ 2. Im agens das funções Gq (f), sen f, cos t

I — A função / (O assim determinada

j{t) = \ para

f{t) = 0 para t < 0

chama-se junção unidade de Heaviside e representa-se por <to(0- O grá-

/

õ o ( t )

0 t

Fig. 379

fico desta função está representado na figura 379. Obtemos a imagem L

da função de Heaviside:

oo

-Vt

^ K {t)} = \ <? dt= —

- í

0

p


Assim (♦)

(8)

OU, mais exactamente.

Em certos tratados de cálculo operacional chama-se imagem da

função /(O à expressão

í^*(p)=ple-^*fit)dt.

Neste caso tem-se : Oq (t) le, por conseguinte, C C, mais

exactamente Coq (t) C.

II — Seja f (0 = sen t; então.

oo

L { s e n t} = \ e sea tdt =

- í

Assim,

e ^ (—p sení — cosí)

7 + 1

1

0 p ^ + 1

sen í

p== + i

(9)

III — Seja / (0 = COS t\ então.

oo

L {C O S í } = í e - ^ + o s í d í = ^ 2 > ! 1 - L z Z £ 2 Í Í )

J p" + 1 0 p + 1

Assim,

CO S í

p

■p " + l

(10)

(*) Na altura do cálculo do integral I dt poder-se-ia tê-lo represen-

0

tado como a soma dos integrais de funções reais; teríamos obtido o mesmo

resultado. Esta nota diz respeito, igualmente aos dois integrais seguintes.


§ 3. Imagens das funções com escala modificada da variável

independente. Inmgens das funções sen cos at

Consideremos a imagem da função / {at), em que a > 0:

Efectuemos uma mudança de variável no segundo integral, fazendo

z = at\ por conseguinte, dz = a dt\ obtemos, então;

0

ou

1 f "

L{f{at)} = - y “ í{z)dz

0

Assim, se

então.

Cl a /

->/(«<)•

(11)

Exemplo— 1. Obtemos imediatamente da fórmula (9), em virtude de (11):

ou

sen at

. 1 1

' ‘ (t ) + 1

sen at

• p2 4_a2 •

( 12)

Exemplo — 2. Obtemos da fórmula (10), em virtude de (11):

COS at

1

a

ou

COS at

• p2 + a2 • (13)

CALrCULO OPEHACIONAX. E APLICAÇÕES 425

§ 4. Propriedade de linearidade da im a g ^

Teorema — A imagem da soma de várias funções, multiplicadas

por constantes, é igual à soma das imagens destas funções multiplicadas

pelas constantes correspondentes, por outras palavras, se

(Tf são constantes) e

então

F{p)-^í(l),

nt)= yc,í,(t)

i=“l

/•'>(!>) ^ li

F(p)= S ('iFi(p)-

(i4>

(14'>

Demonstração — Multipliquemos todos os termos da igualdade (14)

por e integremos em / nos limites de 0 a oo (pondo fora os

factores Ci de debaixo do sinal de integração); obtemos a igualdade

(140.

Exemplo— 1. Determinar a imagem da função

/(/) = 3sen 4/ —2 COS õ/.

Resolução — Em virtude das fórmulas (12), (13) e (14'), obtemos:

12 2p

p 2 + i f i “ p2 + 2r> /> 2 - f l6 /^2_^25 •

Exemplo — 2.

Determinar o original cuja imagem é dada pela expressão

A’ / \ i

p 2 _ ^ 4

/,2_|_9

Resolução— Representemos F(p) da maneira seguinte:

/.{/(/)} = 3- -2-

-2ü-

P

2 p2 + (2)í /-^ + (3)i

Por conseguinte, em virtude das fórmulas (12), (13) e (140, obtemos:

f(t)=^— sen 2 /+ 20 COS 3L

Resulta do teorema da unicidade do § 1 que é o único original que corresponde

à função dada F(p).


§ 5. Teorema do deslocamento

Teorema — Se F (p) é a imagem da função f (0. então» F (p + a)

é a imagem da função f (/). por outras palavras

se

então,

ão. / ’(> + a ) - > e - “ VW- /

(Supomos aqui que Re (p + o) > Jo)-

(15)

Demonstração — E>eterminemos a imagem da função f-""* / {t):

Assim,

O teorema demonstrado alarga, notàvelmente/ a classe das imagens

para as quais o original pode fàcilmente ser encontrado.

§ 6. Imagem das funções senh a t, cosh af,

sen í/f, COS af

Resulta imediatamente da fórmula (8) em virtude da fórmula

(15) que

p + a

De uma maneira análoga

1 . at

- — V e .

p — a

(16)

(16')

Subtraindo dos termos da relação (160 os termos correspondentes

da relação (16) e dividindo as diferenças obtidas por 2, obtemos:

o u

1 ( — í---------- L _ ' ) ^ l ( e “ ‘ _ e - “ ')

2 \p — a p + a / 2

a

-V

p

~~2

— a

T

s h a í. (17)

CALrCULO OPERACIONAL E APLICAÇÕES 427

De igual modo fazendo a soma de (16) e de (160:

— ch at.

(18)

Resulta da fórmula (12), em virtude das fórmulas (15):

(/. af +

-> e “ ‘ senffl/

(19)

Da fórmula (13). em virtude das fórmulas (15), resulta:

P + «

(p + a)- +

-r e “ ‘cos at

(20)

Exemplo— 1.

Determinar o original cuja imagem é dada pela fórmula

7

Resolução — Transformemos F(p) de maneira a dar-lhe a forma da

expressão do primeiro msmbro da relação (19):

Assim,

p24-i0p + 41 (p + 5)2-hl6 4 +

r / X 7 \

f (p)=- 4 (P+ 5)i + 4-;

Por conseguinte, em virtude da fórmula (19), teremos:

f (p) ^ sen At

* 4

Exemplo — 2. Determinar o original cuja imagem é dada pela fórmula

p 2 - ( - 2 p + 1 0

Resolução — Transformemos a função F (p):

P~f~3 _ (P~l~ i)~f~2 _ p-r t

p2 + 2p+10 (p+l)2 + 9 (p + l) 2 + 3 2 + (p + |) 2 ^ . 3 2

P+1 I 2 3

(p+l)2 + 32-t- 3 (p+l)2 + 32

em virtude das fórmulas (19) c (20), obtemos o original

F (p) COS 3/ + - ^ e~^ sèn 3/

o


§ 7. Derivasão da imagem

Teorema — Se F ( p ) f (0> então,

dp

(21)

Demonstração — Demonstremos, primeiramente, que se f{t) verifica

a condição (1), então, o integral

\e {—tf í {t) dt (22)

existe.

Por hipótese | / ( 0 I Sq; além disso

temos a > 0 e 5o > 0. É evidente que existe um número e > 0 que

verifica a desigualdade a > 5o + e. Do mesmo modo que no § 1

se demonstra a existência do integral

0

Calculemos, seguidamente, o integral (22):

] I e - ^ " í 7 (0 I d í = 1 1 ( í ) I dt.

0 0

Sendo a função limitada, e menor em valor absoluto do

que um certo número N para todo o valor í > 0, pode-se escrever:

] 1e " ^ 'í 7 (t)\dt<N]\ (0 I dí = iV I \f{t)\dt<oo

0 0 0

Demonstramos, assim, a existência do integral (22). Ora, este

integral pode ser considerado como a derivada de ordem n em ordem

ao parâmetro ("■) p do integral

Assim da fórmula

0 (*)

(*) Estabelecemos no preâmbulo a fórmula de derivação do integral

definido em relação a um parâmetro real (ver § 10, cap. XI, t. I). Aqui o

parâmetro p é um número complexo, mas a fórmula de derivação permanece

válida.


obtemos a fórmula

(X

0 ^ 0

Estas duas igualdades dão-nos

oc

^ 0

isto é, a fórmula (21).

Utilizemos a fórmula (22) para obter a imagem da função

potência. Escrevamos a fórmula (8):

OU

P

Obtemos desta fórmula em virtude da fórmula (21):

t

De uma maneira análoga

7 - '

Para n qualquer, obtemos:

Exemplo — 1. Obtemos da fórmula (ver (12)

oo

n\

,71 + 1 . f 71

—►t . (23)

---- = \ sen at dt,

P^-\- 4- J

0

derivando o primeiro e o segundo membro em relação ao parâmetro p:

, T* í sen “ í • (24)

Exemplo — 2. Obtemos da fórmula (13), em virtude da fórmula (21):

(p2 4-a2)2

t COS at. (25)


Exemplo — 3. Obtemos da fórmula (16), em virtude da fórmula (21):

----í----(26)

(p + a)'^ ■

§ 8. Imagem das derivadas

Teorema — Se F (p)

f (t), então.

(27)

Demonstração — Em virtude da definição de imagem duma função

podemos escrever:

(28)

Suporemos que todas as derivadas /'(f). /"(/)/ . ..

encontraremos, satisfazem à condição (1), e, por conseguinte, que o

integral (28) e os integrais análogos para as derivadas sucessivas existem.

Efectuando a integração por partes do integral do segundo membro da

igualdade (28), obtemos:

0 0

Orá, segundo a condição (1)

Eis. porque

<ao

\\mè~^^j{t) = 0

t-ÔO

et ]

0

(t)dt= F(p)

L{rit)} = - fiO )+ p F {p ).

o teorema está demonstrado. Consideremos, seguidamente, a imagem

das derivadas de qualquer ordem. Substituindo na fórmula (27) a

expressão pF (p) — f(0) em vez de F (p) e substituindo / (/) por f (i),

obtemos:

p[p^(p)-f(0)]-r(0)^r(t)

ou, tirando os parêntesis,

p V ( p ) - p / ( 0 ) - / '( 0 ) ^ . r ( < ) . (29)


A imagem da derivada de ordem n será

p"F{p)-[p^-'f{0)+p"-^r (0) + . . .

(30)

Nota — As fórmulas (27), (29) e (30) simplificam-se se / (0) =

/'(O) = ... = /("-D (0) = 0. Neste caso obtemos:

F{p)^f{t),

pFÍp)->f (t),

§ 9. Dicionário de imagens

Para facilitar a utilização das imagens obtidas agrupamo-las num

quadro.

Nota — Se tomarmos para imagem da função /(/)

F*{p)=p]e-^^f{t)dt,

0

convém nas fórmulas 1 a 13 do quadro, multiplicar as expressões da

primeira coluna por p. Quanto às fórmulas 14 e 15 elas serâo da

forma: como F* (p) = pF (p), substituindo na parte esquerda da fórmula

14 F(p) pela expressão ^LSE) e multiplicando por p, obtemos:

P

14'. (

dp" \ p

Substituindo na parte esquerda da fórmula 15

Fi(p) = ^ , FAp ) = ^

P

P

e multiidicando por p, obtemos:

15' - F: ip) Ft (p) ^ \ fi (t) Í2 {t - T) dl.

P

J

í


QUADRO X


§ 10. Equação auxiliar duma equação diferencial dada

Seja dada uma equação diferencial linear da ordem n de coeficientes

constantes ai, 02. . •/ «n :

ã^x , ^ ' cfcr ,

+ + > . • + dn-i — + dnît) = f {t)- (31)

d/t cít dt

Pede-se para determinar a solução desta equação x = x(t) para

r > 0, que verifica as condições iniciais:

(0) = Xo, X (0) = xi, . . x<"-‘’ (0) = xV"! (32)

O problema já tinha sido resolvido da seguinte maneira: procuravamos

a solução geral da equação (31) contendo n constantes arbitrárias;

seguidamente determinavamos as constantes de maneira que as

condições iniciais (32) fossem verificadas.

Exporemos agora um método mais simples de resolução deste

problema, o método do cálculo operacional. Procuraremos a imagem

L da solução x{f) da equação (31) que verifica as condições (32).

Designemos esta imagem L por x (p); assim x {p)~T ^ (0-

Suponhamos que a imagem da solução da equação (31) existe,

bem como as suas derivadas até à ordem n inclusivé (uma vez achada

a solução podemos verificar a validade desta suposição). Multipliquemos

os dois membros da igualdade (31) por em que p = a + ib e

integremos em t nos limites de 0 a 00:

oo

dí -f Cl ( e

J dí" J dt

0

oo

oo

0

■dt +

. . . + f J

e~^^x (i) d t= 1

0

%/

0

(33)

Na parte esquerda da igualdade temos a imagem L"da função x{t)

e das suas derivadas, na parte direita a imagem L da função f(t) que

designaremos por F (p). Por conseguinte, a igualdade (33) pode ser

posta sob a forma:

{ - ^ } + } + --+anL{x (t)) = L (/ (í)}.

28


Substituindo nesta igualdade as imagens da função e as suas

derivadas pelas expressões (27), (29) e (30), obtemos:

aQ{p^x{p) — "Xq+P^' ^^0 •^0 + "t" • • • + “t" ^0^ +

3..^ . , Jn-2h

+ (P^^ (P) ~ [p'^ ^^0 -f-P^ ^^0 + • • • + +

+ an-i{P^(P) — M } + flni(p) = ^(P)- (3^*

A equação (34) chama-se equação auxiliar ou equação imagem.

Nesta equação a incógnita é a imagem ~x {p), que determinamos a

partir desta equação. Transformemos esta equação deixando no primeiro

membro os termos que contêm ~x (p)’

Í(P) [ÔP'' + + . . . + «n-lP + ^n] =

= + • • • + +

+ + • • • + 4'" +

+ «n-2[p^0 + ^ó] + ^n--l [ô] + ^(P)-

(34')

O coeficiente de x (p) no primeiro membro da igualdade (340

é um polinómio em p de ordem n que se pode obter se no primeiro

membro da equação (31) se substituir as derivadas pelas potências

correspondentes de p. Designemo-lo por q)^ (p ):

(P) = ôP^ + ^+ • • • + ^n-lP + 05)

O segundo membro da equação (340 está assim composto:

o coeficiente ^ multiplicado por Xq,

o coeficiente a^-2 é multiplicado por pxç^ + x ’^

o coeficiente Ui é multiplicado por + . . . +

o coeficiente Oo é multiplicado por P'^~^Xq+ p^"^Xy + . . . +

Façamos a soma de todos estes produtos. Juntemos ainda a

imagem do segundo membro da equação diferencial F (p). Todos os

termos do segundo membro da igualdade (340, excepto F (p), constituem

após agrupamento dos termos semelhantes, um polinómio de

grau n — 1 cujos coeficientes são conhecidos. Designemo-lo por (p)«

Assim, a equação (340 pode ser escrita:

X(P) <f>7i (P) = i^n-iiP) + f(p)-


Determinemos x (p) desta equação:

x{p) =

^n-l(p) , F{p)

(P)

, tPn (P)

(36)

Resulta que x (p) assim determinado, é a imagem da solução

da equação (31), que verifica as condições iniciais (32). Se agora

determinarmos a função jc* (0 cuja imagem é a função x (p), definida

pela igualdade (36), resultará, então, do teorema da unicidade formulado

no § 1 que jc* (0 é a solução da equação (31) que verifica

as condições (32), isto é,

X* (t ) = X {t).

Se a solução da equação (31) for obtida pelas condições iniciais

nulas: Xq= x'^^ = xl = ... = = 0, então, na igualdade (36). teremos

(p) = 0 e ela será da forma

ou

x(p) =

F(P)

<Ph(p )

x{/?) = -

F{p)

flop" + <*iP" *+ ••• + fl/i '

Exemplo — 1. Determinar a solução da equação

dx _

(36')

que verifica a condição x = 0 para í = 0.

Resolução — Formemos a equação auxiliar

^(p) (p+l) = 0 + y

ou

Decompondo a fracção do segundo membro em fracções elementares,

obtemos:

• ' « “ T - T + r -

Utilizando as fórmulas 1 e 4 do quadro 1, encontramos a solução:

X (/) = 1 —


d^x

-9x= 1,.

dt^

que verifica as condições inidais: xq = Xq= 0 para r = 0.


Resolução — Escrevamos a equaçáo auxiliar (340

í(p )(p 2 + 9) = ± ou í(p ) = - ^ - ^ .

Decompondo esta fracção em fracções elementares, obtemos:

1 1

*(p)=.

9 9

p2 + 9 ■ p

Em virtude das fórmulas 1 e 3 do quadro 1, obtemos a soluç&o:

*:(< )= — ^ c o s 3 t + - |- .


á^x dx

* 2 dt

que verifica as condições inidais: xq = Xq=0 para / = 0.

ou

Resolução — Escrevamos a equação auxiliar (340

X{p)z

®(P) (p2 + 3p + 2) = - ^

1

p 2 (p2 + 3p+2) p 2 (p + l)(p + 2 )-

Decompondo esta fracção em fracções elementares pelo método dos

coeficientes indeterminados, obtemos:

, 1 1 3 J_ , _ 1 ________ 1

2 p2 4 p "T" p + i 4(p + 2)

Segundo as fórmulas 9, 1 e 4 do quadro 1, obtemos a solução:


d^x dx

-d ír+ 2 -5 r+ 5 ® = * " * ’

que verifica as condições: Xq= \, Xq= 2 para f = 0.

Resolução — Escrevamos a equação auxiliar (34')

ou

^(p)(p2 + 2p + 5 ) = p .l + 2 + 2 .1 + L{sení}

*(P) (P* + 2j» + 5 ) = p + 4 + p 2 + l •

donde obtemos x(p):

*(p)=

P + 4

p2if-2p+5 ^ (p2+i)(jt,a+2p+5) •

CALCULO OPERACIONAL B APLICAÇÕES 437

Decompondo esta ültima fracção do segundo membro em fracções elementares,

podemos escreveV:

ou

x(p)-.

1 1 r / 1 I 1

10 10 5

p2 + 2pH-5 + ’

p + 1 , 2 9 2

*(P)=-77T 10 (p + l)2 + 2 * ^ 10-2 (p + l)2 + 22

___1_ P I 1 1

10 ’ p 2 + l 5 'p 2 + l ■

Em virtude das fórmulas 8, 7, 3, e 2 do quadro 1, obtemos a soluçfto:

OU, finalmente:

11 29 1 1

* (í)= -jõ - e“‘ c o s2 < + -^ e -'se n 2 < — cosí + -g-sent

(

11 29 \ 1 1

c o s 2 í + - ^ sen cost + -^ s e n í.

§ 11. Teorana da decom poslj^

Resulta, da fórmula (36) do parágrafo precedrate, que a imagem

da solução duma equação diferencial linear se compõe de dois termos:

o primeiro é uma fracção racional regular de p, o segundo termo

uma fracção em que o numerador é a imagem do segundo membro

da equação F (p) e o denominador do polinómio q>n (p)-

Se F(p) é uma fracção racional, o segundo termo será também

uma fracção racional. É preciso também, saber encontrar o original

cuja imagem é uma fracção racional r ^ l a r . Abordarmos esta questão

no presente parágrafo. Suponhamos que a im agm L duma certa

função é uma fracção racional r ^ l a r de p:

^n-l(P )

<Pn(P)

Pede-se para achar o original. No § 7 do cap. X, t I, mostramos

que cada fracção racional r ^ l a r pode ser rqiresentada sob a forma

de fracções elementares de 4 tipos:

I.

p~ — a

I I .

iP — af


I I I----- onde

«■2

as raízes do denominador são complexas,

isto é. < 0,

IV. — , „ — í: , onde > 2. as raizes do denominador

(p2 + a,p -f 02)'* ’

são complexas.

Encontremos o original para cada uma das quatro fracções elementares.

Para as fracções do tipo I, obtemos, em virtude da fórmula 4

do quadro 1:

— -----

p — a

Para a fracção do tipo II» em virtude das fórmulas 9 e 4 do

quadro 1, obtemos:

^ , - ^ A — ----- . (37)

i p - a f { k - i ) l

Consideremos agora as fracções do tipo III. Efectuemos as seguintes

transformações*

Ap + B

_________ Ap + B____________

/ + «,p + ^ ^ ~

: = A

, Ü

2

Designando aqui o primeiro e o s ^ n d o termo, respectivamente

por M e N, obtemos, em virtude das fórmulas 8 e 7 do- quadro 1:

í / ^

M-*Ae ^ cosí y -----

' 4

N

(n AaÁ 1 , i / a\

V 2 / , / aj ^ 4

y a , - -

CALX:ULO OPEPwACIONAL e a p l ic a ç õ e s 439

Assim, finalmente:

Ap + B

/)“ -|- a^p + (I2

X

X

.1 COS í

B -

V/

Áa^

flo —

sen t

/ » - 4

Não abordaremos aqui as fracções elementares do tipo IV para

não nos lançarmos em cálculos bastante fastidiosos. Para alguns casos

particulares esta questão será analisada mais adiante.

(38)

§ 12. Eixemplos de resolução das equações diferenciais e dos

sistemas de equações diferenciais pelo método do cálculo

operacional


d'^x . , ^

— —-[- kx = sen õx,

(11“

que verifica as condições iniciais = 0, = 0 para / = 0.

Resolução — Formemos a equação auxiliar (340

3 . 3

X (p) (P-+''i) = a:(p) =

p2 + 9 ’ (p-2 + .j) ( p 2 ,4 )

x{p) = - p 2 j - 9 ^ p 2 - H 4

1

5 -f- 9 ‘ 19

donde obtemos a solução

3 1

X (t) = — scn2t—-^ sen3í.

^ ^ 10 5


d^x

dt^ + X — 0 ,

que verifica as condições iniciais: xq = 1, Xq= S, = 8 para / = 0.

Resolução — Formemos a equação auxiliar (340

obtemos

(p ) (P ^ + 1 ) = • 1 + P • 3 + 8 ,

— . p2-]-3p4-8_ p2 -|- 3/> -|- 8

p3_|_l -(p + l)(p 2 _ p + l) •


Dscomponhamos a fracção racional obtida em fracções elementares:

8 - P + ^ ^ 2 . 1

(P + 1)(P*—/’ + !) P + 1 P*—P + 1 “ P + 1

1 V ã

P ~ 2 11

Utilizando o quadro 1, escrevemos a soluçSo:

x(t^= !/=2«-'-Fe2' ^ *) •

Exemplo— 3. Determinar a soluçáo da equaçto

d^x

dt^

-x = í cos2t,

que verifica as condições iniciais: x = 0, xó = 0 t = 0.

Resolução — Escrevamos a equação auxiliar (34')

1 8

x(p) (p * + l)= - P* + 4 (p2+4)a

donde

I (p)= -

1

9 p2 + l + ~ ^ 9 o - — p2_^4

«9 í— I / “

^+ 3 -j

(p2 + 4)2 •

Por conseguinte,

5

X ( 0 = — 9“ s c o í+ - jg » n 2 í + y ^ -is e n 2 t—/ cos2t j .

Ê evidente que o método do cálculo operacional permite igualmente

resolver os sistemas dc equações diferenciais lineares. Mostremo-lo no exemplo.

Exemplo — 4.

Determinar a sedução da equação

^ + 4 f + 3 ,- 0 ,

que verifica as condições iniciais: x = 0, y ~ 0 para r = 0.

Resolução — Designemos x (í)-í-x (p ), y(t)^~yíp) e escrevamos o sistema

das equações auxiliares:

3p + 2)x<p) + py ( p ) = l

p

í»® (p) + (4p+3) y (p) = 0.


Resolvendo este sistema, obtemos:

4p-|-3_________ 1

x (p )= -

p ( p + l ) ( l l p + 6) 2p 5(P + 1) 1 0 ( llp + 6 ) ’

1

/ _ 1 ______ 11 \

y(p) = (llp + 6 )(p + l) ~ 5 Vp + 1 llp + 6 ) ■

Segundo as imagens obtemos de cada vez o original, isto é, as soluções

procuradas do sistema:

1 1

* W = T - T " ''-

1

í'W=-5-(«”' —e “ ).

3 - jit

10

Resolve-se, duma maneira análoga, os sistemas lineares de ordem superior.

§ 13. Teorem a do enrolam ento (Conyolutiorí)

Na altura da resolução das equações diferenciais pelo método

do cálculo operacional servimo-nos repetidas vezes do

Teorema do enrolamento — Se Fi (p) e F2 (p) são as imagens das

junções /i (0 e /2 (í). wto é, se

PÁP)-^h{t) e

então. Fx (p) Fîp) é a imagem da junção

por outras pãlavras

j /lW/2(<—x)dT,

Fi ip) F 2 (p) ^ j fi (t) fz (t - X) dx. (39)

Demonstração — Determinemos a imagem da funô

partindo da definição de imagem

UiÍT)fz(t-x)dx,

0

U í (t:) fzit —x:)dx} = °l

0 0 0

[Ui{t)fzit — x)dx]dt.


O integral do segundo membro é um integral duplo, que se

toma no domínio limitado pelas rectas t = 0, t = / (fig. 380).

Mudando a ordem de integração neste integral.

obtemos, então:

0

(x) h (t — x) dxj =

= I l/i (x) ] {t — x) dt ]dx.

Efectuando a mudança de variável t — r = z no integral interior,

obtemos:

í e~^'Í2 ( t - r ) d t = J (z) dz =

T 0

= J e-^^h (2) dz = e-^^F^{p).

0

Por conseguinte,

L \U i W h {t — t) dx] = °lfi (x) e~^'^F2 (p) dx =

Assim,

= Fo_ (p) J e ^ Vi (x) dx = Fj (p) Fi (p).

í /i (x) A (í — x) dx ^ F j (p) FzÍp).

É a fórmula 15 do quadro 1.

N ota— 1. A expressão I /i (x) f^ { t — t) dx chama-se enrola-

0

mento (ou produto de composição) das duas funções fi (t) e /2 (0*

A operação do cálculo correspondente chama-se transformação de

enrolamento de duas funções e tem-se, então.

t

t

i’ /i (x) A (< — x) dx = J /, (í — t) a (x) dx.

0 0

A validade desta última igualdade pode ser estabelecida efectuando

a mudança de variável t — r = z no integral do segundo membro.

Exemplo — Determinar a solução da equação

d^x

que verifica as condições iniciais: xq = = 0 para / = 0.


Resolução — Escrevamos a equação auxiliar (34")

^(P) (p2+l) = ^(p),

1

em que F {p) é a imagem da função / (f). Por conseguinte, x (p) ■-

p2 + l fiP),

— — V sen t € F (p) f (t). Aplicandb o teorema do enrolamento (39)

e designando

p2 + l

=^2ÍP). ^(P) = î(p), obtemos

I

: (r) z= ^ / (t) sén (t — x) dx. (40)

Nota — 2. Com a ajuda do teorema de enrolamento pode-se

determinar fàcilmente a imagem do integral duma dada função, se

se conhecer a imagem dessa função; precisamente se /r (p) -V / (í)

então.

/ (x) dx. (îl)

Com efeito, se introduzirmos as notações

/i(0 = /(0, f 2 Ít) = U então. F,Íp) = F(p), F^{p) = 1

Substituindo estas funções na fórmula (39), obtemos a fórmula (41).

§ 14. Equações diferenciais das oscilações mecânicas.

Equações diferenciais da teoria dos circuitos eléctricos

Sabe-se da mecânica que as oscilações dum ponto material de

massa m são descritos pela equação (*)

\ dx k 1 ,

- ^ + — — + — ^ = — /i(0:

dt m dt m m

(42)

designando aqui x o vértice do ponto duma certa posição, k a rigidez

do sistema elástico, por exemplo da mola, a força de resistência ao

movimento é proporcional (com um coeficiente de proporcionalidade A)

no primeiro grau da velocidade, /i (t) é a força exterior ou de perturbação.

(*) Ver, por ‘ exemplo, cap. XIH, § 26, t. II, em que se estabeleceu uma

equação deste género na altura do estudo das oscilações dum peso fixado

a uma mola.


A solução duma equação do tipo (42) descreve igualmente as

pequenas oscilações de outros sistemas mecânicos com um grau de

liberdade, por exemplo, as vibrações de torção do volante sobre um

tronco flexível, se x for o ângulo de rotação^

do volante, m o momento de inércia do

volante, k a rigidez à torção do tronco e

m/i (0 o momento das forças exteriores em

relação ao eixo de rotação. As equações do

tipo (41) descrevem não sòmente as oscilações

mecânicas mas também os fenómenos que se

desenrolam nos circuitos eléctricos.

Seja um círculo eléctrico, composto

duma inductância L, duma rçsistência R e

duma capacidade C, ao qual é aplicado uma

força electro-motriz E (fig. 381). Designemos

por i a corrente no circuito e por Q a carga do condensador, então,

como se sabe da electrotécnica I e Q verificam as equações seguintes:

L — + Ri + ^ = E,

dt C

dQ

dt

(43)

(44)

Obtemos da equaô (44):

âQ

di

dt

(44')

Substituindo (44) e (44') na equação (43), obtemos para Q uma

uma equação do tipo (42):

L ^ + R ^ + — Q = E.

dt^ dt C

(45)

Derivando os dois membros da equação (43) e utilizando a

equação (44), obtemos a equação que determina a corrente i:

dh di , i , dE

--- -ti--------------1 t -- -----•

dt^ dt C dt

(46)

As equações (45) e (46) são equações do tipo (42).


§ 15. Resolução da equação diferencial das oscilações

Escrevamos a equação das oscilações sob a forma

d^x

de

Ui

dx

dt

a2X = f(t), (47)

onde o sentido mecânico ou físico da função procurada x, dos coeficientes

üi, Ü2, e da função / (/) é fàcilmente estabelecida comparando

esta equação com as equações (42), (45) e (46). Determinemos a solução

da equação (47). que verifica as condições iniciais: x = Xq, x' = x^

para r = 0.

Formemos a equação auxiliar para a equação (47):

^(P) (P^ + îP + ^2) = ÔP + ^0 + « 1^0 + 7^(P)y

("^8)

em que F(p) é a imagem da função /(/). Obtemos da igualdade (48):

ô(p) + ô + (íiô , fîp)

^ÍP)=^' 2 , , ' 2 ,

P + «!/? + «2 P +d\P + a2

(49)

Assim, para a solução Q (/) da equação (45), que verifica as

condições iniciais: Q = ç ' = Ç' para r = 0, a imagem será da

forma

Q ( p ) — ^ ( ^ o P Qo) RQo _j_________ E {p)

L p ^ - \ - R p + — L p ^ + R p -)- 1

O carácter da solução depende essencialmente das raízes do binómio

p* -f ãip + Ü2\ elas serão complexas, reais e distintas ou reais

e iguais. Consideremos em detalhe o caso em que as raízes do binómio

sao complexas, isto é, quando

< 0. Analisar-se-á duma

maneira análoga os outros casos.

Como a imagem da soma de duas funções é igual à soma das

suas imagens, em virtude da fórmula (38) o original para a primeira


fracção situado na parte direita de (49) será da forma

L

^

- ^ — —— — ~>e I a:ocosf. i / .

Xq COS t y Ü2--------- f-

P + ^ iP + ^2

^0 +

+ sent (50)

Determinemos, em seguida, o original correspondente à fracção

^(P)

+ dip + Ü2

Utilizaremos aqui o teorema do enrolamento atendendo a que

1 e. ^

P + ^ iP + ^2 -I / cq 4

y a , - -

Por consequência, obtemos, segundo a fórmula (39)

F{P)

P +aiP + <h

- T

sen {t — x) Ü2 — — dx. (51)

Assim, obtemos de (49) tendo em conta (50) e (51):

u(i)=e

2 ^

X q C O S t

XqCL\^

^0 +

+ sent +

fl? J

f(x)e ^ sen (í — x) Ü2 — — dx. (52)

^ 4


Se a força exterior / (r) = 0. isto é, se estivermos em presença de

oscilações mecânicas ou eléctricas livres, a solução é dada pelo primeiro

termo do segunda membro da expressão (52). Se os valores iniciais

são iguais a zero: xq = = 0, então, a solução é dada pelo segundo

termo do segundo membro da igualdade (52). Consideremos estes casos

mais em detalhe.

§ 16. Estudo das oscilações livres

Suponhamos que a equação (47) descreve oscilações livres, isto é,

que / (/) = 0. Introduzamos, para maior comodidade na escrita das

fórmulas, as notações: = 2n, k\ = Então, a equação

(47) tomará a forma

d^x , ^ dx

+ 2n

dt dt

k^x = 0. (53)

A solução desta equação X] que verifica as condições iniciais

(x = Xo, X = x' para / = 0) é dada pela fórmula (50) ou pelo primeiro

termo da fórmula (52):

xi(t) = e I arocos/ci^ -f senk lí]. (54)

ki

Façamos Xq = a, ^ = 6. É evidente que para todo o a e b

/Cl

se pode escolher Af e 8 de maneira que se tenha a = M sen 8,

6 = Af COS 8, então, tg 8 = ajb. Escrevamos a fórmula

(54) sob a forma:

x\ = [M COS k(t senô + M sen/c^ícos ô],

pode-se, então, finalmente escrever a solução assim:

x\ = 'Vc? + bê sen ( k i t 6), (55)

A solução (55) corresponde às oscilações amortecidas.

Se 2n = fli = 0, isto é, se se desprezar a fricção interna, então,

a solução será de forma

x\ = Vd^ + 6^ sen (k^t + ô).

Teremos neste caso oscilações harmónicas. (No tomo II, cap. XIII,

§ 27, são dadas, nas figuras 270 e 271, os gráficos das oscilações

harmónicas e amortecidas).


§ 17. E^studo das oscflações harmónicas amortecidas

no caso duma força exterior periódica

Na altura do estudo das oscilações elásticas dos sistemas mecânicos

e particularmente na ocasião do estudo das oscilações eléctricas,

teve-se de considerar diversos tipos de forças exteriores / (0- Estudemos

em detalhe o caso de uma força exterior periódica. Suponhamos que

a equação (47) é da forma

4- 2 n + k^ x = A sen coí.

dt^ ^ dt ^

(56)

Para elucidar a natureza do movimento basta considerar o caso

em que Xq = x' = 0. Poder-se-ia obter a solução da equação segundo

a fórmula (52). mas é mais cómodo aqui do ponto de vista metódico

obter a solução efectuando todos os cálculos intermediários.

Escrevamos a equação da imagem

donde obtemos:

(ú

x{p)(p +2np + k) = A-^ 2’

P + ©

x{p) =

A 0)

{p^ + 2np + k)ip + (D )

Consideremos o caso em que 2n^0 (n^ < k^). Decomponhamos

a fracção da parte direita em fracções elementares:

________ A(ú ______ __ ______________ Np + B I ^

(p^ + 2np-{-k’‘){p’‘ + <ú^) p^ + 2np + k^ + (o* '

(57)

(58)

Determinemos as constantes B, C, D pelo método dos coeficientes

indeterminados. Utilizando a fórmula (38) obtemos de (57) o original

x{t) = {k^ — (0^* + 4n^(ú‘

co^) sen (út — 2n(ú cos coí +

— nt

(2«“^

+ w^) —— sen kit + 2n© cos

kl

* i í ] |; (59)

aqui de novo ki = — ra*. É precisamente a solução da equação (56),

que verifica as condições iniciais = 0 para t = 0.


Consideremos o caso particular para o qual 2n = 0. No sistema

mecânico, por exemplo, isso corresponde ao caso em que não há

résistência interna, nem amortecedores. Pará

um contorno eléctrico isso corresponde ao

caso em que ií = 0, por outras palavras,

que a resistência interior do circuito é nula.

A equação (56) toma. então, a forma

dt^

. k^x = A sen o)í, (60)

e obtemos a solução desta equação que

verifica as condições Xq= = 0 para

/ = 0, se pusermos na fórmula (59) n = 0:

x(t)= — ^ ----\— (osenAí+ A:senü)/j.

Temos aqui a soma de duas oscilações harmónicas: as oscilações

próprias de frequência k:

A ___ 0^

tpr

sen Aí

co^ k

e as oscilações forçadas de frequência a>:

^forc (0

sen (úí.

No caso em que A > (d, o carácter das oscilações está rq>resentado

na figura 382.

Voltemos, uma vez mais, à fórmula (59). Se 2n > 0, o que tem

lugar para os sistemas mecânicos e eléctricos considerados, o termo,

que comporta o factor e que representa as oscilações próprias

amortecidas, decresce ràpidamente quando t cresce. Para t suficientemente

grandes o carácter das oscilações é determinado pelo termo que

não contém o factor isto é, o termo

x{f)

{(A^ — (ú^) sen o)í — 2/zo) cos (oí}. (62)

(A^ — co^)^ + 4n^(ú^

Introduzamos as notações:

A (A^ - (o")

71/cos ô; — /r.2 2\2 I / 2 2 T l / S C n ô ,

(A^ — + 4/1^03“

{k — (0 ) 4n (0

(63)


onde

M =

2 ..2

V(k^ — (ú^f + Artoí

Pode-se escrever assim a solução (62):

x(t) = sen (íoí + ô). (64)

Resulta da fórmula (64) que a frequência k das oscilações forçadas

corresponde à frequência a> da força exterior. Se a resistência

interna caracterizada pelo número n for fraca e se a frequência «>

for próxima da frequência k, a amplitude das oscilações pode tomar-se

arbitràriamente grande, pois x) denominador pode tornar-se também

tão pequeno quanto se queira. Quando n = 0, = k} a solução não

é expressa pela fórmula (64).

§ 18. ^ Solução da equação das oscilações no caso da ressonância'

Consideremos o caso particular em que = 2n = 0, isto é, quando

a resistência é nula, e a frequência da força exterior coincide com a

frequência das oscilações próprias A: = . Neste caso, a equação toma

a forma

-\-k^x = A sen kt. (65)

dt^ ^

Procuraremos a solução desta equação que verifica as condições

iniciais: :to = 0, = 6 para r = 0. A equação auxiliar será

k

p ^ + 1 ^

donde

Ak

í ( p ) = :

(p^ + k Y

Obtivemos uma fracção racional regular do tipo IV que não

estudamos sob a sua forma geral. Para determinar o original pela

imagem (66) recorreremos ao artifício seguinte. Escrevamos a identidade

(fórmula 2, quadrol):

- A

,-p t sen kt dt. (67)


Derivemos (*) os dois membros desta igualdade em relação a k:

1 2k^

= í

e

COS ktdt.

Utilizando a igualdade (67). escrevemos, assim, esta igualdade:

oo

2k^

t C O S k t ------sen k t dt.

(p^ + k ^ f

k

Daí resulta imediatamente:

Ak

VA:

sen k t — t COS k t

(obtemos, desta fórmula, a fórmula 13 do quadro 1). Assim, a solução

db equação (65) será

x{t)

A í \

2k\k

sen k t — t COS k t

(()S)

Estudemos o segundo termo desta solução

X n ( t ) - - - ---------- 1 C O S k t :

2 k

quando t cresce, esta grandeza não é limitada. A amplitude das oscilações

correspondente à fórmula (680 aumenta indefinidamente quando t

cresce indefinidamente. Por conseguinte, a amplitude das oscilações correspondente

à fórmula (68) aumenta também indefinidamente. Este

fenómeno que tem lugar quando a frequência das oscilações próprias

coincide com a frequência da força exterior chama-se ressonância (ver

igualmente, tomo II, cap. XIII, § 29, fig. 273).

§ 19. Teorema do retardamento

Suponhamos que a função f (t) é idênticamente nula para / < 0

(fig. 383, a). Então, a função / (/ — to) será idênticamente nula quando

t < to (fig. 383, 6). Demonstremos o teorema do retardamento seguinte.

(*) O integral do segundo membro pode ser representado sob a forma

de soma de dois integrais da variável real em que cada um depende do

parâmetro k.


T e o re m a — Se F (p) é a imagem da junção f (í), então 6“^^" F(p)

é a imagem da função f (t —to), isto é, se f(t)-»-F(p), então.

f ( t - Q ^ e ~ ^ * ' ‘F{p).

-toL

Fig. 383

I

^0

(b)

Demonstração — P o r d efin ição d e im agem , tem es:

0

= í e ' ' ’7 it - Q dt + S e - P '/ ( í - to) dt.

0 ^0

O p rim e iro in teg ral d o seg u n d o m e m b ro d a ig u a ld a d e é igual

a zero , v isto q u e f ( t — t o ) = 0 q u a n d o t < t o . E fectu em o s, n o seg u n d o

in teg ral, u m a m u d a n ç a d e v ariáv el fa z e n d o t — t o = z :

L ( / (f _ í„)} = ]e~ (z) dz = e - ] e~^^f (z) dz = e~^<^F{p).

0 0

A ssim , f ( t - to) e-P'« F (p).

Exemplo — Estabelecemos no § 2 para a função unidade de Heaviside:

j

^0 W ^ -----• Resulta, em virtude do teorema demonstrado, que para a função

• P

6o(t-M

0 h t

Fig. 384

Oq(/—h) representada na figura 384, a imagem L será isto é,

1 ^ ’

ao Ae-P'».

• P


Exercícios

Determinar a solução das seguintes equações para os valores iniciais dados:

1. 2x = 0 , x' = 2 para / = 0. Rcsp. x = Ae~^—

d t

rf3.r d^x

2 —

x = 2y x ' ---- 0 , x ' = [ para 0. Rcsj5. x = \ — t + e^,

dt^ dV^

4»at

3. 2 n -^ -!-(<»*-!-6*) X- 0, x = in, i ' - xi para t=0. Resp. * = - X

dt- dt ^

X [Jô^ <*os bt 1 (x;,—xoa) sén bt],

/,. 4 ^ —3 -^ + 2 x = í-®', x -=l. x' = 2 para <=0. Resp. x = -jê®'+4^<>' +

dt- dt 1 ^ 1

2 ,

5. -|- m ^x = a COS /?/, x = jtoi - ^ó- ^ R^SP- ^ -• ^ 2_y^s. ^

X (COS nt—cosmt)-\-XQ cos m í+ - ^ scn mí.

6. ^ — ^ = í2, o: = 0. x' = 0 para í = 0. Rcsp. x = 2^* —

d/2 o

7 . + ^ = x = x’ = x ' = 0 para t = 0.Resp. i = - ^ ( < * - 3 t + - | j e '-

1 I 1 f ^ t /5 nm * ^

,3 1 2 "

8. -r 4 -^ -* = l, xo = *ó’=®õ = 0 para <= 0. Resp. ®= 1— y ''" ‘“ "J

d(3

X COS t V 3

9. 2 - ^ + * = **“ í. xo=®i = ®í = ^lT = 0 para í = 0. Res^ ^ = y X

X [ e '( t - 2 ) + e -'(t + 2) + 2scnt]

10. Determinar a soiuçSo do sistema das equações diferenciais

d*x , _ 4 L,_n

que verifica as condições iniciais zo = yo = î = yó = 0 ^= 0.

1 1 1

Resp. .r (0 = ”- y cosí + -^ e ^ + -^ e -^

!/(<)=—y c o sí— ^ « -' + 1.

índice alfabético

Amplitude, 106

Análise harmónica, 366

Area, 176

— de superfícies, 190

Astróide, 53

Cálculo operacional, 420-453

Campo de direcções, 21

— irrotacional, 255

— potencial, 254

— solenoidal, 255

— tubular, 255

Catenária, 13, 15

Centro de gravidade, 200, 212, 240

Circulação, 226, 248

Coeficientes de Fourier, 338

Comparação com um integral, 278

Condição(ões)

— de convergência das séries, 267,

270, 272, 276, 278, 281, 283. *

— iniciais, 18, 61, 380, 388, 392

— dos limites, 380, 388, 392

Coordenadas

— curvilíneas, 185

— cilíndricas, 208

— esféricas, 210, 211

Coesenos, 308

— imagem L, 424

Curva integral, 19, 62

Densidade, 194

— superficial, 194

Desigualdade de Bessel, 356

— de Bouniakovsky, 199

Desvio máximo, 352

— quadrático, 352, 353

Determinante

— funcional, 187

— de Wronski, 77, 79

Divergência, 252

Domínio

— de convergência, 287

— fechado, 160

— de integração, 161

— regular, 163, 177, 203

Elipse, 231

— de inércia, 199

Elipsoidal, 207

Envoltório, 43-49

Equação(ões)

— de Bernoulli, 35-37

— de Bessel, 319

— característica, 82, 120

— do calor, 377, 388, 393-401

— de Clairaut, 51-53

— de continuidade, 402

— das cordas vibrantes, 378, 379

— das diferenças finitas, 414

— diferencial, 13, 16

— de derivadas parciais, 16

— de diferenciais totais, 37-40

— homogénea, 26-29, 75

— integral, 19, 62

— geral 19, 62

— particular, 19

—lineares, 32-35, 75

— homogéneas, 75-89

— não homogéneas, 75, 89-103.

— ordinárias, 16


Equação(ões)

— ordem, 17

— solução 17

— geral, 18, 61

— particular, 19

— de variáveis separáveis, 23-26

— de Lagrange, 53-55

— de Uplace, 257, 377, 401-409

— em coordenadas cilíndricas, 408

— de onda, 377, 380

— do telégrafo, 381

— do tipo elíptico, 377

— hiperbólico, 377

— parabólico, 377

Esfera, 192, 208

Espiral logarítmica, 60

Factor integrante, 40

Fase inicial, 106

Fluxo do campo vectorial, 242, 248, 253

Formulas

— de Adams, 138

— de Euler, 308

— geral do binómio, 309-311

— de Green, 234, 260

— de Liouville, 78

— de Ostrogradsky, 250, 252

— de Stokes, 248

Frequência das oscilações, 106

Funçãoís)

— de Bessel, 322-324

— contínua por corte, 357

— harmónica, 257, 261, 401

— homogénea, 26, 27

— ínnpar, desenvolvimento em série de

Fourier, 347

— linearmente dependentes e linearmente

independentes, 87, 88

— logarítmica, 312

— monótona por corte, 338

— objecto, 421

— par, desenvolvimento em série de

Fourier, 348

— próprias, 384

— unidade de Heaviside, 422, 452

Grade, 413

Gradiente, 253

Igualdade de Liapounov, 357

Imagem da função, 420

Integração gráfica, 73-75

Integral curvilíneo, 223-232, 235-240

— dependente de um parâmetro. 215

— de Dirichlet, 361

— duplo, 160; 168

— em coordenadas polares, 177-185,

189

— de Fourier, 368-374

— geral, 19, 62

— múltiplo, 160

— particular, 19

— de Poisson, 182, 400, 413

Integral

— singular, 50

— de superfície, 240-245

— triplo, 2C2-212

— em coordenadas cilíndricas, 208

— espéricas, 210

Intervalo de convergência, 298, 300

Jacobiano, 187, 212

Linha quebrada de Euler, 132

— de corrente, 57

— equipptencial, 57

— de nível, 57

Método das diferenças finitas, 393-395,

-413-416

— de Euler, 131-133

— de Fourier, 382, 396, 409

— de separação das variáveis, 382,

396, 409

Momento

— de inércia, 195, 212

— estático, 201

Mudança de variáveis

— num integral duplo, 185-190

— num integral triplo, 208-212

Nós da grade, 413

i

ÍNDICE ALFABÉTICO 457

Opsrador

— hamiltaníano, 253-257

— de Laplace, 256, 260, 401

— nabla, 253

Original, 420

Oscilações, 103, 443 *

— amortecidas, 107, 447

— forçadas, 105, 107-112

— harmónicas, 106, 440 —— ' •

— livres, 105-107, 44^

*

Parábola de segurança,f*47"’"’"^

Pêndulo matemático, 69Í71

Período das oscilações, |l06

Ponto }

— interior do domíni^), 162

— singular, 45 j

Potencial, 238, 250 \

Primeiro problema dos lijnites, 388, 402

Problema de Dirichlet, 402, 405-416

— dos limites, 388, 4o|"'^'^

— de Neumann, 402, l405

Produto de composição, 442^ * ...........

Progressão geométrica, 265

Propagação do calor, 386-392

Raio, 177

— de convergência duma série, 298

Regra

— de Cauchy para a convergência

duma série, 276

— de Alembert, 272

Ressonância, 112,451

Resto duma série, 288

Rotacional, 248

Segundo problema dos limites, 402

— velocidade cósmica, 71-73

Senos, 306

— Imagem L, 422

Série(s) 264

— absolutamente convergente, 285, 286

— alternada, 281

— contiuidade da soma, 290, 301

— convergente, 264-267

— divergente, 264, 268, 271

— inteira (de potências) 296, 303

— de funções, 287

— de Fourier, 334-352

— harmónica, 268

— integração e derivaçõo, 293, 296,

296, 301-303

— de Maclaurin, 306-308

— majoráveis, 288 -

— númerica, 264

— semi-convergente, 2 ^ , 286 , ,

-- ^ ^ e ' T a ^ r , T6? ^ v

~ ttig<>hoíniitricí 33^4‘ ^ ^ ^

- tmiformeménte* çòpyêrgçnte^^ 290

Sistema de eqüàções diferenciais, 1J3,

..118................. . - V

— normal de equações diferenciais,

113

• Soluçãofões)

— geral,.J^, 61

— linearmente depçndentes-. e " Hnearniente

indcpendenjtes, <7fr81». 88

— ^ngplar, >58 ‘ Ti' C ' ^ '

— dupla, 163, 168

— intgral, 160, 202

— parcial duma série, 264

— duma série, 264

— continuidade, 290

Teorema de Abel, 297

— de enrolamento, 441

— de Leibniz, 281

— do retardamento, 451

Teoria da estabilidade, 125-131

Termos da série, 264

Trabalho, 223, 224, 232

Trajectórias

— isogonais, 55, 59, 60

— ortogonais, 55-58

Transformada-cosseno de Fourier, 371

Transformada de Fourier, 374

— inversa de Fourier, 374

— de Laplace, 421

Transformada-seno de Fourier, 372

Variação das constantes, 90, 100

Vector turbilhão, 248

Volume, 174, 207

N. Piskounov _ N. Piskunov - Cálculo Diferencial e Integral. 2-Edições Lopes da Silva (1988)

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