FICHA-2.2

FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2.
Gauss. Problemas. Inecuaciones
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS I
1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss:
2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss:
No existe solución porque la tercera ecuación es imposible para cualquier valor de z.
3. En la actualidad las edades de una madre y su hijo suman la edad del padre, 38 años y
cuando nació el hijo la suma de las edades de los padres era 61. ¿Cuántos años han de pasar
para que la edad de la madre sea 5 veces la del hijo?
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 1

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4. Hace 5 años la edad de un padre era 7 veces la del hijo, mientras que el hijo tenía la sexta
parte de la edad de la madre. Si dentro de siete años la edad del padre será el triple que la
del hijo, ¿qué edad tendrán entonces cada uno?
5. Halla un número de tres cifras si se sabe que sus cifras suman 15, la cifra de las unidades es
cuatro veces mayor que la de las decenas y la diferencia entre el número que resulta de
intercambiar la cifra de las centenas y las unidades y el número original es 297 unidades.
6. Encuentra un múltiplo de 10 de 4 cifras de tal manera que sus cifras suman 16 y si se
intercambian las cifras de las decenas y centenas el número disminuye en 90 unidades,
mientras que si se intercambian las cifras de las unidades de millar y las centenas el número
aumenta en 3600 unidades.
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 2

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7. Se tienen tres aleaciones diferentes de oro (Au) y plata (Ag). La primera tiene un 60 % de
oro y su precio es de 25 €/g, la segunda contiene la misma cantidad de oro que de plata y su
precio es de 20 €/g y la tercera contiene un 60 % de plata siendo su precio de 15 €/g.
¿Cuántos gramos hay que coger de cada aleación para conseguir una aleación de 10 g con el
52 % de oro y que cueste 21 €/g?
Distribuyendo los datos en una tabla y suponiendo que se toman x g de la aleación 1, y g de la aleación
2 y z g de la aleación 3, se tiene:
Cantidad Oro (Au) Plata (Ag) Precio €
Aleación 1 x 0,6x 0,4x 25 €/g 25x
Aleación 2 y 0,5y 0,5y 20 €/g 20y
Aleación 3 z 0,4z 0,6z 15 €/g 15z
MEZCLA 10 210€/g 25x + 20y + 15z
Porcentaje oro:
0,6x 0,5y 0,4z
0,52 0,6x 0,5y 0,4z 5,2 6x 5y 4z
52
10
Porcentaje plata:
Precio final: 25x + 20y + 15z = 210
0,4x 0,5y 0,6z
0,48 0,4x 0,5y 0,6z 4,8 4x 5y 6z
48
10
Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, se tiene x = 5, y = 2 y z = 3, por tanto
hay que coger 5 g de la aleación 1, 2 g de aleación 2 y 3 g de la aleación 4.
8. Se desea hacer una mezcla con tres clases de café. Uno tiene un 30% de torrefacto y un 70 %
de natural y cuesta 8 €/kg; otro tiene mitad de cada tueste y cuesta 9€/kg y el último solo
tiene tueste natural y cuesta 6 €/kg. ¿Cuántos kg hay que coger de cada café para obtener
100 kg de café que tenga un 65 % de tueste natural y cueste 8,15 €/kg?
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 3

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9. La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas es una unidad
mayor que la suma de las otras dos. Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta
en 99 unidades ¿Cuál es ese número?
Llamamos x a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las unidades.
Así, el número es: x y z → 100x + 10y + z
Tenemos que:
Resolviendo x=1, y=4, z=2, y el número es 142.
10. En un jardín hay dos zonas arboladas, una rectangular y otra cuadrada. De la primera
sabemos que su largo es 7 metros mayor que su ancho. De la segunda, que la medida de su
lado coincide con la diagonal de la otra. Calcula las dimensiones de ambas zonas sabiendo
que para vallar la zona cuadrada se necesitaron 18 metros más de valla que para la
rectangular.
Hacemos una representación gráfica de la situación:
El perímetro del rectángulo es: P = 2(x + 7) + 2x = 4x + 14
Como sabemos que el perímetro del cuadrado supera en 18 m al del rectángulo podemos
plantear esta ecuación:
La resolvemos:
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Gauss. Problemas. Inecuaciones
x 2 = ‒3, esta solución no es válida porque la longitud del lado de la parcela no puede ser
negativa.
Las dimensiones de la zona arbolada rectangular son 5 x 12 m. La zona cuadrada tiene un lado
de 13 m.
11. Resuelve las inecuaciones siguientes:
a)
2x +1 ≥0
x - 2
Hallamos las raíces de ambos polinomios; así determinamos los intervalos en los que hay
que estudiar el signo de la fracción.
2x + 1 = 0 → 2x = −1 → x = −1/2
x− 2 = 0 → x = 2
(−∞, −1/2) (−1/2, 2) (2, +∞)
+ − +
Incluimos x = −1/2, que anula la fracción (x = 2 no vale, pues anula el denominador).
b)
2
x +1
2 >0
4 - x
Como x 2 + 1 > 0 para cualquier valor de x, solo tenemos que buscar los valores de la
incógnita para los cuales 4 − x 2 > 0.
Las raíces del polinomio son:
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 5

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Estudiamos el signo:
(−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞)
4 − x 2 − + −
Por tanto, las soluciones de la inecuación inicial son los números del intervalo (−2, 2).
c) 5x 10 15.
15 5x
10 15
15 10 5x
10 10 15 10
25 5x
5
25 5x
5
5 5 5
5 x 1
5,1 / 5 1
S x R x
12. Resuelve los sistemas de inecuaciones:
1 2x
1
0
a)
3
x 1
9 0
1
3
2x
1
0
1
2x
1 0
2x
2
x 1
x 1 9 0
3 3 9 0
3 6
x x x 2
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:
x
1 y x 2 x / 1
x 2 1
, 2
b)
x - 3y - 1 < 0
x + y < 3
x -3
Representamos cada una de las rectas y vemos qué región del plano cumple cada
desigualdad.
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Las soluciones del sistema son todos los puntos del recinto intersección de todas ellas.
c)
2x + 3y 800
4x + 2y 1000
x 0
y 0
Representamos cada una de las rectas y vemos qué región del plano cumple cada
desigualdad y obtenemos:
Las soluciones del problema son los puntos de coordenadas enteras que hay en la región
sombreada.
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 7