VECTORES

REGULO SABRERA ALVARADO

Primera Edición, Octubre 2019
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
N o 2016-0054 (Ley N o 26905/D.S. N o 017-98-ED)
R.U.C N o 20537983542
ISBN : 977-614-4002-11-6
Area : Superior
Diseño de carátula
Departamento de Edición y Producción ASM
ANALISIS VECTORIAL
1200 PROBLEMAS
Derechos Reservados / Decreto Ley 822
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, su tratamiento
informático la transmisión por ninguna forma ya sea electrónico, me
cánico, por fotocopia, por registro u otros métodos sin permiso previo
y por escrito de los titulares de Copyright.

RED DE UNIVERSIDADES
DE LA UNASUR
ANALISIS
VECTORIAL
1200
PROBLEMAS
Colección Tesla
Régulo A. Sabrera Alvarado
Catedrático de Física, Matemática
Computación y SocioFísica

Dedicatoria
A la juventud estudiosa
y trabajadora, que con
sus ideas y acciones innovadoras
transforman
a diario el mundo

PROLOGO
Este libro ha sido escrito pensando en hacer de él un libro de problemas para el desa
rrollo del curso de Análisis Vectorial a nivel superior. El enunciado y la solución de los pro
blemas que se estudian en el presente texto se realizan en su mayoría en el Sistema Interna
cional y a la luz de los avances de la ciencia contemporánea. La intención del autor es la de
ofrecer al estudiante una oportunidad para aumentar su compresión, apreciación y aplica
ción de las leyes y principios de la teoría del Análisis Vectorial mediante la solución de una
buena cantidad de problemas que le permitan consolidar estos conceptos teóricos, que con
forman estas teorías de la matemática vectorial.
Dado que la duración del dictado y desarrollo del curso virtual de Análisis Vectorial en
las Universidades Estatales o Privadas es de 16 semanas el contenido de este texto se ha dis
tribuido para desarrollarlo en 16 semanas. De otro lado, la obra está dividida en la forma que
el autor cree que es la más conveniente, es decir, los 1200 problemas propuestos y resueltos
que se presentan, se han seleccionado cuidadosamente y organizado de una manera gradual,
según su grado de dificultad. Al final del libro se presenta un apéndice que contiene equiva
lencias, constantes físicas, factores de conversión, prefijos del sistema internacional (S.I.),
un formulario completo del curso virtual de Análisis Vectorial,...etc.
El objetivo de éste trabajo, que es resultado de la experiencia del autor de haber dictado
por muchos años en las aulas universitarias, el curso de Análisis Vectorial en las diferentes
Facultades de Ingenierías como las Facultades de Ciencias e Ingenierías, es la de servir a la
juventud estudiosa, progresista, innovadora y con ansias de superación, que en la actualidad
siguen estudios en alguna especialidad de Ciencias ó Ingenierías en las diferentes Universi
dades Estatales ó Privadas de la Red de Universidades de la UNASUR (R.U.U), y que entu
siastamente acometen la transformación que requiere con urgencia nuestras sociedades.
Finalmente, quiero expresar mi mayor agradecimiento a todas aquellas personas que
colaboraron con entusiasmo y dedicación en la edición del presente trabajo, especialmente a
la Srta. Margot Pristengo R., por quién tengo un gran aprecio y estima especial, se encargo
de la digitación, diseño y diagramación del texto. Desde ya, me comprometo a superarme y
hacer todo lo necesario para mejorar las futuras ediciones.
Régulo A Sabrera A
Autor

NIKOLA TESLA
EL GENIO DE GENIOS
<< La ciencia no es sino una perversión
de si misma a menos que tenga como
objetivo final el mejoramiento de la
vida de la humanidad >>

CAP-1
VECTORES
Vectores 7
Analítica
Un vector se representa por una letra con
una flecha encima por ejemplo A , el mó
dulo o magnitud del vector A , se represen
ta como A ó simplemente A .
CANTIDADES ESCALARES Y
VECTORIALES
a) Escalar
Es una cantidad cuya determinación sólo
requiere el conocimiento de un número, su
cantidad, respecto de cierta unidad de
medida.
Ejem: 01
La temperatura, la longitud, la masa, el
tiempo, el trabajo, la energía, etc.
b) Vector
1) Definición
Es una cantidad cuya determinación exige
el conocimiento de un módulo, y una di
rección.
Ejem: 02
El desplazamiento, la velocidad, la fuerza,
la aceleración, el ímpetu, etc.
2) Representación de un vector
01
Gráfica
Un vector se representa por un segmento
orientado OP la longitud del segmento es
el módulo del vector, siendo los puntos O
y P el origen y extremo del vector, respec
tivamente.
P
O
c) Elementos de un vector
1) Módulo
Indica el valor del vector. Geométricamen
te es el tamaño del vector, así, si A x , A y
son las componentes cartesianas del vec
tor A , su módulo se halla así,
2 2 1/ 2
x y
A [A A ]
Ejem: 03
En la Figura, el módulo del vector A es,
Y
0
3
2) Dirección
2 2
A 4 3 5 u
0
37 o
A
A
A OP
Es la orientación que tiene el vector, res
pecto al sistema e coordenadas cartesia
nas. En el plano se define mediante el án
P
4
P
Línea
de acción
X

Robótica y Cibernética 8
gulo que forma el vector con el eje X posi 4) Vectores iguales
tivo.
Dos vectores a y b son iguales, si y sólo
si, tienen la misma dirección y el mismo
d) Tipos de vectores
módulo.
1) Vectores colineales
Son dos ó más vectores que tienen una
misma línea de acción ó todos ellos están
contenidos en una misma recta.
a
b
L
1
L
2
a b c
Los vectores a, b y c son colineales.
2) Vectores paralelos
Son aquellos vectores que tienen sus lí
neas de acción respectivamente paralelos.
b
a
Sí, L 1 es paralelo con L 2 , entonces:
a es paralelo con el vector b
a es paralelo con el vector c
3) Vectores opuestos
Dos vectores a y b son opuestos, si y só
lo si, tienen direcciones opuestas, esto es,
el ángulo que forman entre si es de 180 0 ,
además sus módulos son iguales.
La suma de dos vectores opuestos es igual
al vector nulo.
c
L
1
L
2
5) Vectores coplanares
Dos o más vectores se denominan coplana
res, cuando todos ellos están contenidos
en un mismo plano.
6) Vectores concurrentes
Si un conjunto de vectores a , b , c ,…
tienen un mismo punto de aplicación o se
intersecan en un mismo punto O, se dice
que son concurrentes.
02
O
En la Figura, a, b y c son vectores copla
nares y concurrentes.
SUMA DE VECTORES
a) Vectores colineales
c
b
a
b
a
L
Si, L 1 es paralelo con L 2 ; o son iguales.
1
L
2
a
b
c
1u
+i
1u

Los vectores sumandos tienen la misma
dirección o dirección opuesta, por lo que,
la suma se realiza algebraicamente tenien
do en consideración los signos, así, si el
vector está a la derecha o hacia arriba se
considera (+), y si esta a la izquierda o ha
cia abajo se considera (-)
Ejem: 04
En los vectores mostrados en la Figura, ha
llar a b, y a c.
Sol:
Calculemos los vectores a b y a c:
a b 2i ˆ 4i ˆ 6 ˆi
a c 2i ˆ 4( ˆi) 2 ( ˆi)
b) Producto de un vector por un esca
lar
El producto de un vector A por un escalar
(m) es otro vector de módulo menor, igual
o mayor que el vector A . Si el escalar (m)
es positivo el vector resultante tiene la mis
ma dirección que A , caso contrario direc
ción opuesta a A así,
A es el vector opuesto de A
Ejem: 05
Dado el vector A 3i ˆ 4ˆj
, y c=2, hallar
el vector c A .
Sol:
Por propiedad del algebra vectorial, el
vector ccA es:
cA (2)(3i ˆ
4ˆj)
Vectores 9
Para sumar (ó restar) dos vectores a y b ,
que forman un ángulo entre sí, se proce
de así:
Se unen los vectores sumandos a y b por
sus orígenes.
Se trazan paralelas a los vectores a y b (lí
neas punteadas) formándose el paralelogra
mo.
Se traza el vector resultante de la suma de
a y b , desde el origen 0 hacia el vértice
opuesto P.
0
b
a
R
2) Módulo
Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R ,
viene dado por:
2 2 1/ 2
R [a b 2a b cos ]
siendo, a, b los módulos de los vectores a
y b , y el ángulo formado por estos vec
tores, comprendido entre 0 0 y 180 0 .
Nota:
La diferencia de dos vectores a y b , no es
una nueva operación, en realidad la dife
rencia es una suma, así, tenemos:
R a b a ( b)
P
cA 6i ˆ
8ˆj
c) Método del paralelogramo
1) Procedimiento
Es decir, la diferencia de a y b , es la su
ma de a y b .
Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R , de
la diferencia de a con b , viene dado por:

Robótica y Cibernética 10
ro con el extremo del segundo, así sucesi
2 2 1/ 2
R [a b 2a.b cos ]
vamente hasta llegar al último vector.
Los vectores sumandos a , b , c , ..etc, se
desplazan (mueven) manteniéndose cons
tantes sus módulos y direcciones.
Ejem: 06
El módulo de la resultante de dos fuerza
de módulos 10 N y 20 N es de 10 N. ¿En
qué intervalo está comprendido el ángulo
entre estas dos fuerzas?
Sol:
Grafiquemos el paralelogramo formado
por los vectores a y b.
a=10N
R=10N
El vector resultante ( R ) de la suma, se ob
tiene uniendo el origen del primero con el
extremo del último vector.
El modulo del vector resultante ( R ) de la
suma, se determina utilizando los métodos
geométricos, ya sea, la ley del ley del seno
coseno, Pitágoras, etc.
Ejem: 07
Hallar el vector resultante de la suma de
a , b y c .
b=20N
Aplicando la fórmula para la resultante
"R" de la suma de dos vectores:
2 2
R a b 2abcos
2 2 2
R a b
cos
2ab
1/2
a
b
Sol:
El vector resultante R de la suma de los
vectores a , b y c , se halla así:
R
c
45 o
2 2 2
10 10 20
cos
1
(2)(10)(20)
a
c
Entonces: =180 o ó rad.
Por lo tanto, " " está comprendido en el
siguiente intervalo,
3 5
4 4
d) Método del polígono
b
Ejem: 08
Hallar el vector resultante de la suma de
los vectores mostrados.
a
d
Es un método que nos permite sumar dos
ó más vectores, el procedimiento consiste
en unir el origen del segundo vector con
el extremo del primero, el origen del terce
b
c

a) 2( a
)
Vectores 11
b b) 2(
a c)
c) 2(
a b)
d) 2(
a c)
e) 2( b c)
a b c d 0
Sol:
Con los vectores dados formemos el polí
gono cerrado.
Ejem: 09
En el cuadrado ABCD, hallar el módulo
del vector resultante.
a
-d
B
C
2u
0
-b
c
En la Figura, como los vectores forman
un polígono cerrado, se cumple:
a b c d 0
a c b d
Luego, la expresión del vector resultante
es:
R a c b d
R a c a c
R 2(a c)
e) Polígono Cerrado
Si el polígono vectorial resulta ser cerra
do, entonces el módulo del vector resultan
te es igual a cero, es decir:
B
A
a) 2 u b) 4 u c) 6 u
d) 8 u e) 10 u
Sol:
En la Figura, la resultante de la suma de
los vectores dados y su módulo, son:
R (AB BC CD DA) (AC DB)
R 0 (AD DC) (DA AB)
R (AD DA) (AB DC)
R 2AB R (2) AB
f) Ley de Senos
2u
R 4u
Si los vectores a , b y c forman un trián
gulo cerrado, es decir: a b c 0
D
B
d
a
c
a
c
b
b

Robótica y Cibernética 12
Entonces, se cumple la relación entre los
lados a, b y c, y los senos de los ángulos:
En el triángulo ACD, de la ley de seno,
hallemos el sen , así:
a b c
sen sen sen
Ejem: 10
En la Figura, ¿Cuál deberá ser el coeficien
te de fricción de la barra homogénea con
el piso para que pueda permanecer de la
manera mostrada? La longitud del hilo AB
es igual a la longitud de la barra.
a)1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 2/3 e) 3/4
Sol:
Representemos las fuerzas que actúan so
bre la barra BC.
f
A
g
A
45 0
R
C
En el triángulo CBD, del teorema de Pitá
goras, hallemos el lado CD:
D
1
2 2 5
2
CD ( / 2)
l
l
W
T
B
B
2
0
sen sen 45
/2 5 / 2
sen
10
10
Luego, como la tg , nos da el coeficiente
de fricción S , entonces:
tg
sen
2
1
sen
10 /10
2 1/2
[1 ( 10 /10) ]
g) Ley de coseno
S
1
3
S
Para el triángulo de lados a, b, c y vértices
A, B, C, se cumple la relación:
C
b
A
2 2 2
c a b 2a bcos
a
Ejem: 11
En la circunferencia de radio 7 u , hallar
el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
a) 3 u b) 5 u c) 7 u
d) 9 u e) 11 u
c
S
B
B

d
0
a
c
b
Vectores 13
bidimensional, dicho vector se escribe co
mo la suma de dos vectores mutuamente
perpendiculares. Así, las componentes del
vector A , en las direcciones de los ejes X e
Y, son:
Ax
A cos , Ay
Asen
Sol:
La resultante de la suma de los vectores
dados es:
R (a b c) d e
R e d e d 2e
Ahora, tracemos los vectores d , 2 e y su
resultante R .
d
60 0
60 0 e
Luego, el módulo de la resultante R es:
1
R [ (2 ) 2( )(2 )( )]
2
R
2e
2 2 1/2
0
Y
La dirección del vector A , viene dado por
el ángulo " ", cuya expresión es:
Ay
arc tg( )
A
Para determinar la resultante de la suma
de un conjunto de vectores a , b , c …, se
procede del modo siguiente :
1) Cada vector se expresa en sus componen
tes en las direcciones de los ejes X e Y,
respectivamente.
x
A
A
x
y
x
a a ˆi a ˆj
A
y
X
03
R 7 ( 7)( 7 u)
R
7u
COMPONENTES RECTANGULA-
RES DE UN VECTOR
a) Componentes rectangulares
C
Todo vector se puede expresar como la su
ma de dos o más componentes. En el plano
b b ˆi b ˆj
x
y
--------------------
siendo, î , ĵ vectores unitarios ortogonales
que definen el sistema de coordenadas
rectangulares X, Y.
2) Se suman las componentes de los vectores
que están en la misma dirección, obtenién
dose las componentes R x , R y del vector
resultante en las direcciones de los ejes X
e Y, esto es,

Rx ax b x ...
Ry ay b y ...
3) El módulo del vector resultante R se halla
aplicando el teorema de Pitágoras.
2 2 1/ 2
x y
R [R R ]
4) La dirección del vector resultante R , res
pecto del eje X, viene dado por:
R y
arc tg( )
R
Ejem: 12
En la Figura, en el cuadrado de lado p, M
y N son puntos medios. Hallar el módulo
de la resultante si: a 5u, b 2 2 u
y c 5u.
B
a
c
M
b
x
Robótica y Cibernética 14
Sean, , y los ángulos que forman los
vectores a , b y c con el lado AD, enton
ces, la resultante y su módulo son :
C
N
R a b c
R 5 cosˆi 5sen ˆj
2 2 cosˆi 2 2 sen ˆj
5 cosˆi 5senˆj
2 5 ˆ 5
R ( 5)( )i ( 5)( ) ˆj
5 5
2 ˆ 2
(2 2)( )i (2 2)( ) ˆj
2 2
5 ˆ 2 5
( 5)( )i ( 5)( ) ˆj
5 5
R 2i ˆ 2 ˆj ˆi ˆj 2 ˆi 2ˆj
R 5i ˆ 5ˆj R [5 5 ]
b) Vector unitario
R 7,1u
2 2 1/2
a
A
A
D
a) 7,1 u b) 7,3 u c) 7,5 u
d) 7,7 u e) 7,9 u
Sol:
Representemos cada uno de los vectores.
i
j p
a
b
B
p/2 M p/2
5p / 2
2p
C
N
Es todo vector que tiene módulo igual a 1.
Si a es un vector cualquiera, entonces el
vector unitario en la dirección de a , se de
fine, así:
u
a
u a
a a
a a
A
c
5p / 2
D
De modo que, todo vector se puede ex
presar como el producto de su módulo por

Vectores 15
el vector unitario que le corresponde, así: Ahora, calculemos el vector unitario en la
dirección de b , y con esto el vector B , así
a a u
Propiedad:
- Dos vectores paralelos (la misma direc
ción) tienen el mismo vector unitario.
Ejem: 13
En la Figura, hallar
B =3 u.
6u
3u
z
ˆ
a
A
B
si: A =5 u y
4u
A
B
y
û
( 3; 6;6)
[( 3) ( 6) 6 ]
b 2 2 2 1/2
1 2 2
û b ( ; ; )
3 3 3
1 2 2
B B u ˆ (3)( ; ; )
b
3 3 3
B ( 1; 2; 2)
Luego, la resultante de la suma de A y B ,
y su módulo, son:
R (3; 4;0) ( 1; 2;2)
x
10u
R (2; 6;2)
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u
d) 6,6 u e) 6,8 u
Sol:
Introduzcamos el vector auxiliar b en la
dirección del vector B .
x
6u
3u
z
10u
En la Figura, los vectores A y b , expresa
dos en forma de pares ordenados, son:
4u
A (3 ; 0 ; 6) - (0 ; 4 ; 6) = (3 ; -4 ; 0)
b = (0 ; 4 ; 6) - (3 ; 10 ; 0) = (-3 ; -6 ; 6)
A
B
b
y
04
2 2 2 1/2
R [(2) ( 6) (2) ]
R 6,6u
D
PRODUCTO ESCALAR Y VECTO-
RIAL DE DOS VECTORES
a) Leyes del algebra vectorial
Sean A , B y C vectores y "m", "n" esca
lares, se cumple:
1) A B B A (conmutativa)
2) A (B C) (A B) C (asociativa)
3) m A A m
(conmutativa)
4) m (n A) (mn) A m A n (distributiva)
5) (m n) A m A n A (distributiva)
6) m (A B) m A m B (distributiva)

b) Producto escalar
1) Definición
0
Dado dos vectores A y B , su producto es
calar o interno se representa por AB, y
se define como el producto de sus módu
los por el coseno del ángulo " " que for
man, esto es,
A B A B cos
0
A
B
Robótica y Cibernética 16
2 2 2 2
1 2 3
A A A A A A
2 2 2 2
1 2 3
B B B B B B
Si A B 0 y ninguno de los vectores es
nulo, entonces, ambos son perpendiculares
entre si.
Ejem: 14
¿Para qué valor de " " los vectores (a +
b ) y (a
b) son perpendiculares entre
sí, sabiendo que a =3 u, b =5 u?
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/5
d) 5/3 e) 3/4
Sol:
Por propiedad, si dos vectores son per
pendiculares entre sí, su producto escalar
es igual a cero así:
el resultado de AB es un escalar, es de
cir, un número real positivo o negativo.
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
escalar, son:
A B B A
A (B C) A B A C
m(A B) (mA) B A (mB)
ˆi ˆi ˆj j kˆ kˆ
1
ˆi ˆj ˆi kˆ ˆj kˆ
0
Dados: A A ˆ ˆ ˆ
1i A2j
A3k
B B ˆi B ˆj B kˆ
1 2 3
Se verifican las siguientes relaciones:
A B A1B 1 A2B2 A3B3
(a b) (a b) 0
2 2 2
a a b b a b 0
2
2 2 2
a
b 0
2
a
a
2
b
b
3
5
Ejem: 15
Hallar el trabajo realizado por la resultante
de las fuerzas F 1=(3; -4; 2) (N), F 2 =(2; 3;
-5) (N) y F 3=(-3; -2; 4) (N), si el punto de
su aplicación se desplaza en un movimien
to rectilíneo de la posición M(5; 3; -7) m a
la posición N(4; -1; -4) m.
a) 11 J b) 13 J c) 15 J
d) 17 J e) 19 J
C
C

Vectores 17
Sol:
siendo û un vector unitario que indica la
Primero, calculemos la fuerza resultante dirección del producto AxB .
de la suma de las tres fuerzas, así:
Si, A
B, o bien si A tiene la misma di
rección que B , sen 0, con lo que que
FR F1 F2 F 3 (2; 3;1)
da probado AxB 0.
Ahora, calculemos el vector desplazamien
to, así:
d N M ( 1; 4 ; 3)
Luego, el trabajo realizado por la fuerza re
sultante es:
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
vectorial, son:
AxB BxA
Ax(B C) AxB AxC
W FR
d (2 ; 3;1).( 1; 4 ; 3)
W (2)( 1) ( 3)( 4) (1)(3)
W 2 12 3
W
c) Producto vectorial
1) Definición
u
C
13 J
Dado dos vectores A y B , su producto
vectorial o externo se representa por AxB
y se define como el producto de sus mó
dulos por el seno del ángulo " " que for
man, esto es:
AxB ABsen uˆ
0
B
A
B
m(AxB) (mA)xB Ax(mB)
ˆixi ˆ ˆjxj ˆ kxk ˆ ˆ 0ˆ
ˆixj ˆ k ˆ ; ˆjxk ˆ ˆi ; kxi ˆ ˆ ˆj
Dados: A A ˆ ˆ ˆ
1i A2j
A3k
Se verifica que:
B B ˆi B ˆj B kˆ
1 2 3
ˆi ˆj kˆ
A x B A1 A2 A3
B1 B2 B
3
El módulo de AxB representa el área del
paralelogramo de lados A y B .
Si AxB 0 y ninguno de los vectores es
nulo, ambos tienen la misma dirección.
Ejem: 16
Hallar el modulo (en N.m) del momento
de la fuerza F=(2; -4; 5) N aplicada al pun
to A(4; -2; 3) m, con respecto al punto
B(3; 2; -1) m.
a) 5,8 b) 6,0 c) 6,2
d) 6,4 e) 6,8

Robótica y Cibernética 18
Sol:
Representación de los vectores a , b y c ,
Calculemos el vector de posición r , así: con a ,b contenidos en el plano XY.
r A B (4; 2; 3) (3; 2; 1)
r (1; 4 ; 4)
Con esto, calculemos el vector momento
de la fuerza, respecto del punto B, así:
k
c
30 0
j
b
B
ˆi ˆj kˆ
MB
r x F 1 4 4
2 4 5
M [( 4)(5) ( 4)(4)] ˆi
B
[(1)(5) (2)(4)] ˆj
[(1)( 4) (2)( 4)] kˆ
M ( 20 16) ˆi (5 8) ˆj ( 4 8) kˆ
M 4 ˆi 3 ˆj 4 kˆ
B
MB
6,4 N m
Ejem: 17
El vector c es perpendicular a los vecto
res a y b , el ángulo formado por a y b
es igual a 30 0 . Además a = 6 u, b =3
u, c =3 u. Hallar (a x b) c .
a) 21 u 3 b) 23 u 3 c) 25 u 3
d) 27 u 3 e) 29 u 3
Sol:
En la Figura, primero calculemos el
módu lo de a x b, así:
a xb a b sen
1
a x b (6)(3)( ) 9
2
D
Calculemos, el producto vectorial de a
por b , y luego el volumen del paralelepí
pedo formado por a , b y c , así:
a x b (9)(0 ; 0 ;1)
a x b (0 ; 0 ; 9)
(a xb) c (0 ; 0 ;9) (0 ; 0 ; 3)
3
(a xb) c 27u
Ejem: 18
Hallar un vector unitario contenido en el
plano definido por los vectores a = (2; 2;
1) y b = (1; 0; 1) que sea perpendicular al
vector c = (1; 1; -4).
a) (2/3; 2/3; 1/3) b) (2/3; 1/3; 2/3)
c) (1/3; 2/3; 2/3) d) (1/3; 1/3; 2/3)
e) (1/3; 2/3; 1/3)
Sol:
Primero calculemos el producto a x b :
a
ˆi ˆj kˆ
a x b 2 2 1
1 0 1
a xb (2 ; 1; 2)
D

Vectores 19
El vector que nos piden debe ser perpen
dicular a a x b y a c . De esto, se deduce
B B ˆi B ˆj B kˆ
que debe ser colineal al vector (a x b)x c .
ˆi ˆj kˆ
(a x b)x c 2 1 2
1 1 4
1 2 3
C C ˆi C ˆj C kˆ
1 2 3
El producto A (BxC) se llama triple
producto escalar, en tanto, el producto
Ax(BxC) se llama triple vectorial.
(a xb)xc (6 ; 6 ; 3)
(a x b)x c (6 ; 6 ; 3)
u
(a x b)x c 9
c) Productos triples
2 2 1
û ( ; ; )
3 3 3
Combinando productos escalares y vecto
riales de los vectores A , B y C se forman
productos de la forma:
(A B)C ; A (BxC) y Ax(BxC)
Se cumplen las siguientes relaciones:
Ax(BxC) (Ax(B)xC
A (BxC) B (CxA) C (AxB)
El módulo de esta expresión representa el
volumen del paralelepípedo de aristas A ,
B y C ; el cual se calcula así,
Siendo:
A A A
1 2 3
A (BxC) B B B
1 2 3
C C C
1 2 3
A
Ax(BxC) (AxB)xC
Ax(BxC) (AxC)B (A B)C
(AxB)xC (AxC)B (B C)A
(A x B) (Cx D) (A C)(B D)
(A D)(B C)
(AxB)x(Cx D) (A (BxD))C
(A (BxC))D
Ax(Bx(Cx D)) (AxC)(B D)
(AxD)(B C)
Ejem: 19
Hallar el volumen del paralelepípedo cons
truido sobre los vectores a = (4; 0; 0), b =
(0; 4; 0), c = (0; k; 4) k R.
a) 60 u 3 b) 62 u 3 c) 64 u 3
d) 66 u 3 e) 68 u 3
Sol:
Representemos el paralelepípedo construí
do con los vectores a , b y c .
c
Z
b
Y
A A ˆi A ˆj A kˆ
1 2 3
X
a

Robótica y Cibernética 20
El producto mixto (a x b) c es igual al vo Por ejemplo, sean r 1 (r 1; 1; 1)
, r 2 lumen del paralelepípedo construido sobre
los vectores a , b y c , esto es:
(r 2; 2; 2)
las posiciones de dos partícu
las, ahora si denominamos 12 al ángulo
4 0 0
que forman r 1 y r 2 , entonces expresando el
producto escalar r 1 r 2 r 1 r 2 cos 12 , en fun
V (a x b) c 0 4 0
0 k 4
ción de î , ĵ, ˆk se demuestra que se cum
ple que:
V (4)[(4)(4) (k)(0)]
(0)[(0)(4) (0)(0)]
(0)[(0)(k) (0)(4)]
V 64u
d) Vectores y coordenadas polares
esféricas
La posición de una partícula se expresa en
coordenadas polares esféricas mediante los
valores de "r", " " y " ", siendo "r" el
módulo del vector r , el cual va del origen
a la posición de la partícula, " " el ángulo
comprendido entre r y el eje polar, y " "
el ángulo formado por el eje X y la proyec
ción de r sobre el plano XY. Las coorde
nadas cartesianas rectangulares (x; y; z)
que nos determinan también la posición de
la partícula P en función de la coordenadas
polares (r; ; ), vienen dados por:
3
C
05
cos sen sen cos(
)
12 1 2 1 2
cos
cos
1 2
Donde se ha utilizado la relación trígono
métrica,
cos( ) cos cos
1 2 1 2
sen sen
1 2
De ahí, la gran importancia de las coorde
nadas polares esféricas y los métodos vec
toriales.
PROYECCION Y COMPONENTES
DE UN VECTOR
a) Cosenos directores
Z
A
Z
P
0
Y
0
Y
X
Se denomina así, a los cosenos de los ángu
los que forma el vector A con los tres ejes
de coordenadas X, Y, Z, se cumple:
X
x rsen cos
; y rsen sen
z rcos
2 2 2
cos cos cos 1
donde, , y son los ángulos formados
con los ejes x, y, z.

Ejem: 20
Un vector forma con los ejes OX, OY y
OZ los ángulos =120 0 y =45 0 .¿Qué ángu
lo forma este vector con el eje OY?
a) 30 0 b) 37 0 c) 45 0
d) 53 0 e) 60 0
Sol:
Sustituyendo =120 0 , =45 0 , en la ecua
ción de los cosenos directores, hallemos el
ángulo , así:
Vectores 21
Por tanto, el punto M, tiene coordenadas:
M ( 3 ; 3 ; 3)
ó M ( 3 ; 3 ; 3)
b) Proyección de un vector
a
B
2 2 2
cos cos cos 1
2 o 2 2 o
cos 120 cos cos 45 1
1 2 1 1
cos 1 cos
4 2 2
o
1 60 ó
o
2 120
Ejem: 21
Hallar la suma de las coordenadas del pun
to M, si su radio vector forma con los ejes
coordenados ángulos iguales y su módulo
es 3 u.
a) 5,0 u b) 5,2 u c) 5,4 u
d) 5,6 u e) 5,8 u
Sol:
Sustituyendo el dato, ==, en la ecua
ción de los cosenos directores:
2 2 2
cos cos cos 1
2 3
3cos 1 cos
De otro lado, las coordenadas del punto M,
(M x ; M y ; M z ), vienen dados por:
Mx My Mz
M cos
Mx My Mz
3
3
E
b
Proy a
b
La proyección ortogonal del vector a sobre
el vector b , viene dado por:
ab
Proy a ( )b , b
0
b 2
b
Como se aprecia la proyección de a sobre
b es un vector.
Ejem: 22
Hallar la proyección del vector a =(10; 5)
sobre el vector b = (3; 4).
a) (3 ; 4) b) (4 ; 3) c) (6 ; 8)
d) (8 ; 6) e) (2 ; 6)
Sol:
Representemos el vector a , y su proyec
ción sobre el vector b .
Pr oy
b
a
b
a

Robótica y Cibernética 22
La proyección del vector a sobre el vector Ejem: 23
b , es un vector que tiene la misma direc Hallar la componente del vector a =(5; 2;
ción del vector b , y viene dado por:
5) sobre el vector b = (2; -1; 2).
Proy a
b
b
Comp a
b b
a b b
Proy a
b
b b
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
Sol:
En la Figura, la componente del vector a
sobre el eje del vector b , es un número
real ("m"), el cual, viene dado por:
Proy a
b
(10)(3) (5)(4) (3; 4)
5 5
Comp a a cos
a cos
b
b
b
(3; 4)
Proy a (10) (6; 8)
b
5
Proy a 6 ˆi 8 ˆj
b
c) Componente de un vector
La componente del vector a en la direc
ción del vector b , viene dado por:
ab
Comp a , b
0
b
b
C
a
b
m
a b cos
ab
Comp a
b
b b
(5)(2) (2)( 1) (5)(2)
Comp a
b
3
a
Comp a 6
b
B
La componente de a en la dirección de b
es un escalar.
La relación entre la proyección y la compo
nente de un vector, viene dado po:
Proy a
b
b
Comp a
b
b
Comp a
b b
d) Distancia de un punto a una recta
Y
0
ˆn
P
d
a
Q
L
X

En la Figura, la distancia del punto P a la
recta L, cuya dirección es dada por el
vec tor a , viene dada por:
d
(P Q) n
a
Siendo, Q un punto cualesquiera de la rec
ta L, y n un vector normal.
Ejem: 24
Hallar la distancia del punto A(4; 5; -7) a
la recta que pasa por el punto B(-3; 6; 12)
y es paralela al vector c 4 ˆi ˆj 3 kˆ
.
a) 19,1 u b) 19,3 u c) 19,5
u d) 19,7 u e) 19,9 u
Sol:
Representemos la distancia del punto A
a la recta que pasa por B.
k
L1
Z
i
j d
0
c
B
Y
Vectores 23
2 2 2 1/2
c [(4) ( 1) (3) ]
c 26
La distancia del punto A a la recta L 1 ,
viene dado por:
d
e x c
ˆi ˆj kˆ
1
d 26 7 1 19
4 1 3
1
d 22 ˆi 97 ˆj 3 kˆ
26
c
2 2 2 1/2
[( 22) ( 97) ( 3) ]
d
26
9902 99,51
d
26 5,11
d
19,5 u
C
X
A
e
e) Distancia entre dos rectas
El vector que va de B hacia A es igual a:
e A B 7 ˆi ˆj 19 kˆ
La ecuación de la recta (L 1 ) que pasa por
B, y es paralela al vector c es:
x 3 y 6 z 12
4 1 3
De otro lado, el módulo del vector c , da
do por, c 4i ˆ ˆj 3kˆ
es:
d
P
n axb
L2
L1
La distancia "d" entre las rectas no para
lelas L 1, L 2 cuyos vectores direccionales
son a y b , viene dado por:
Q

Robótica y Cibernética 24
d
(Q P) (a x b)
a x b
(9; 9; 5) (10; 9; 7)
d
[( 10) (9) (7) ]
2 2 2 1/2
siendo, n un vector perpendicular a los vec
tores direccionales a , b ; y "P", "Q" pun
tos cualesquiera de las rectas L 1 y L 2 ,
respectivamente.
Ejem: 25
Hallar la distancia mínima entre las rectas
L 1 : (x+8)/2=(y-10)/3=(z-6)1, y L 2 : (x-
1)/-1=(y-1)/2=(z-1)/4.
d
136
230
d 8,97u
f) Angulo entre dos rectas
L2
Y
L 1
E
a) 8,17 u b) 8,37 u c) 8,57 u
d) 8,77 u e) 8,97 u
Sol:
De la ecuación de las rectas dadas, los pun
tos P y Q y los vectores direccionales a , b
de dichas rectas , son:
P ( 8;10;6) ; Q (1;1;1)
a (2; 3;1) y b ( 1; 2: 4)
Con esto, calculemos el vector (Q-P) y el
producto vectorial a x b, así:
(Q P) (9; 9; 5)
ˆi ˆj kˆ
a x b 2 3 1
1 2 4
a xb (10; 9; 7)
Luego, de la fórmula para la distancia en
tre dos rectas, tenemos:
d
(Q P) (a x b)
a x b
0
El ángulo " " formado por las rectas L 1 ,
L 2 de pendientes m 1 =tg 1 y m 2 =tg 2 ,
viene dado por;
tg
1
m m
1
m m
2 1
1 2
Ejem: 26
Hallar el ángulo agudo entre dos rectas que
pasan por las medianas trazadas desde los
vértices de los ángulos agudos de un trián
gulo rectángulo isósceles.
a) 30,87 0 b) 32,87 0 c) 34,87 0
d) 36,87 0 e) 38,87 0
Sol:
En la Figura, en los triángulos rectángulos,
calculemos tg 1 y tg 2 , así:
o
1 1
tg
tg(180 )
o
tg180 tg1
tg1
2
o
1
tg180 tg
1
2
X

tg
o
2 2
tg
tg(180 )
o
tg180 tg2
1
1
tg180 tg
2
1 o
Considerando 2 u los catetos del triángulo
isósceles AOB, tracemos las rectas L 1, L
2 que pasan por las medianas del triángulo
i sosceles, así:
A
1
1
0
Y
Con esto, a partir de la fórmula de teoría,
calculemos el ángulo entre las rectas, así:
tg
1 1 2
1 1
L 1
m m
1
m m
2 1
2
1 2
2
B
X
L 2
Vectores 25
siendo, A, B, C los coeficientes de la ecua
ción de plano; n un vector normal al pla
no.
Ejem: 27
Hallar la distancia del punto A(-3; 6; 12) al
plano que pasa por el punto B(4; 5; -7) y es
perpendicular al vector c = (4; -1; 3).
a) 1,51 u b) 1,53 u c) 1,55 u
d) 1,57 u e) 1,59 u
Sol:
Representemos la distancia (h) del punto A
al plano que pasa por B.
X
Z
B
0
c
e
PLANO
La distancia "h" de un punto A(a 1 ; a 2 ; a 3 ) a
un plano P, cuya ecuación cartesiana es, a
x + b y + c z = d, viene dado por:
h
D
A
Y
tg
( 1/ 2) ( 2) 3
1 ( 1/ 2)( 2) 4
h
d c A
c
o
36,87
g) Distancia de un punto a un plano
ˆn
P
a
Q
D
siendo c un vector normal al plano.
Para hallar la ecuación del plano, conside
remos un punto D(x; y; z) cualesquiera del
plano, entonces, un vector contenido en
dicho plano es,
e D B (x; y; z) (4; 5; 7)
e (x 4 ; y 5; z 7)
Como, c es al plano, entonces, es al
vector e , esto es, e c 0, luego, la e
cuación cartesiana del plano es:

(x 4 ; y 5; z 7) (4 ; 1; 3) 0
4 x y 3 z 10
Así, la distancia del punto A al plano es:
06
h
10 (4 ; 1; 3) ( 3; 6 ;12)
2 2 2 1/2
[(4) ( 1) (3) ]
8 8
h
26 5,11
h
1,57 u
OPERACIONES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
a) El gradiente
1) Definición
En matemáticas, el "gradiente" es una gene
ralización multivariable de la derivada. En
tanto, que una derivada se define solo en
funciones de una sola variable, para fun
ciones de varias variables, el gradiente to
ma su lugar.
Al igual que la derivada, el gradiente repre
senta la pendiente de la línea tangente a la
gráfica de una función. Más precisamente,
el gradiente apunta a los puntos de la gráfi
ca a los cuales la gráfica tiene un mayor
incremento. La magnitud del gradiente es
la pendiente de la gráfica en esa dirección.
Los componentes del gradiente en coorde
nadas son los coeficientes de las variables
presentes en la ecuación del espacio tangen
te al gráfico. Esta propiedad de caracteri
zación del degradado permite se defina
independientemente de la elección del siste
ma de coordenadas, como un campo vecto
rial cuyos componentes en un sistema de
coordenadas se transformará cuando se pa
se de un sistema de coordenadas a otro.
Robótica y Cibernética 26
2) Interpretación del gradiente
De forma geométrica es un vector que se
normal (perpendicular) a la curva de nivel
en el punto P(x, y) en el que se calcula el
gradiente . Por ejemplo, consideremos una
habitación en la cual la temperatura se defi
ne a través de un campo escalar, de tal ma
nera que en cualquier punto (x, y, z), la
temperatura es T(x, y, z). Asumiremos que
la temperatura no varía con respecto al
tiempo "t". Siendo esto así, para cada pun
to de la habitación, el gradiente en ese pun
to nos dará la dirección en la cual la tempe
D
ratura aumenta más rápido. La magnitud
del gradiente nos dirá que tan rápido au
menta la temperatura en esa dirección.
3) Representación
El gradiente de un campo escalar "V", o
también conocido como vector gradiente,
se denota como V, donde "" es el opera
dor diferencial vectorial llamado nabla.
El resultado del gradiente del campo esca
lar "V" es un campo vectorial E , esto es,
V=E .
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación gradiente, son:
(f+g)= f+g (Distributiva)
(f)= f, (linealidad del operador )
El gradiente de una función es ortogonal a
las superficies equiescalares, definidas por
=cte.
Apunta en la dirección en la que la deriva
da direccional es máxima
La norma o módulo del gradiente es igual
a la derivada direccional máxima.
El campo formado por el gradiente en cada
punto es siempre irrotacional, esto es:
x (V)=0

4) Expresión matemática general
La expresión general del gradiente del cam
po escalar "V"en cualquier sistema de coor
denadas ortogonales, viene dada por:
1 V 1 V 1 V
V eˆ eˆ eˆ
h q h q h q
1 2 3
1 1 2 2 3 3
Vectores 27
6) Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclidiano tridimensional, el
concepto de gradiente también puede exten
derse al caso de un campo vectorial, siendo
el gradiente de F un tensor que da el dife
rencial del campo al realizar un desplazami
ento, dado por:
donde, q 1 , q 2 , q 3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h 1 , h 2 , h 3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas cilíndricas, q 1 =, q 2 =, q 3 =z, y
h =1, h =, h z =1, con lo que:
V 1 V V
V ˆ ˆ
zˆ
donde, V=V(x, y, z) es el campo escalar.
La expresión general del gradiente del cam
po escalar "" en cualquier sistema de cur
vilíneo, viene dada por:
g
ij
x
e
i ˆ j
donde, se ha utilizado el convenio de suma
ción de Einstein.
5) Convenio de sumación de Einstein
Se llama convenio de sumación de Eins
tein a la convención utilizada para abreviar
la escritura de sumatorias, en el que se su
prime el símbolo de sumatoria representa
do por el símbolo griego .
Este convenio se aplica en matemáticas en
especial a los cálculos realizados en álge
bra lineal destinados a la física. El conve
nio se aplica sólo a sumatorias sobre índice
repetidos.
El convenio se usa especialmente con ten
sores donde es muy frecuente la operación
de suma sobre índices repetidos, y sería
muy fatigoso escribir explícitamente los
signos de sumatorias.
dF F(r v) F(r)
(v) im
dr v0
v
dF (v) ( F) v
dr
Fijada una base vectorial, este tensor podrá
representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por
las tres derivadas parciales de las tres com
ponentes del campo vectorial.
El gradiente de deformación estará bien de
finido sólo si el límite anterior existe para
todo v y es una función continua de dicho
vector.
7) Gradiente sesgado
En matemáticas, un gradiente sesgado o
gradiente de sesgo de una función armóni
ca sobre un dominio simplemente conecta
do con dos dimensiones reales en un cam
po vectorial que está en todas partes ortogo
nalmente al gradiente de la función y que
tiene la misma magnitud que el gradiente.
8) Aplicaciones en la física
El gradiente de una magnitud física, tal co
mo el potencial eléctrico, gravitatorio, etc..
posee innumerables aplicaciones en la físi
ca, especialmente en el electromagnetismo,
astronomía, mecánica de fluidos, etc...
En particular, existen muchos campos vec
toriales que pueden escribirse como el gra
diente de un potencial escalar, así:
Por ejemplo el campo electrostático E , se
deriva del potencial eléctrico V.

Robótica y Cibernética 28
E
V
Todo campo que pueda escribirse como el
gradiente de un campo escalar, se denomi
na potencial, conservativo o irrotacional.
Así, una fuerza conservativa F deriva de la
energía potencial U, del modo siguiente:
F U
Los gradientes también aparecen en los pro
cesos de difusión que verifican la ley de
Fick o la ley de Fourier para la tempera
tura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en
un material es directamente proporcional al
gradiente de temperaturas, esto es:
q k
T
donde, "k" es la conductividad térmica del
material o sustancia.
Ejem: 28
Hallar el gradiente del campo escalar F, da
do por: F(x, y)=x 2 +2x+y 2 +y 3 +xy, y evaluar
su modulo en el punto P(1; 1).
Sol:
En coordenadas rectangulares, el gradiente
del campo escalar F es:
Fˆ
F
F i ˆj
x
y
2 2 3
F (x 2x y y xy)i ˆ
x
2 2 3
(x 2x y y xy)j ˆ
y
2 2 3
x 2x y y xy F ( )i ˆ
x x x x x
2 2 3
x 2x y y xy ( ) ˆ j
y y y y y
F (2x 2 0 0 y)i ˆ
2
(0 0 2y 3y x) ˆj
ˆ
2
F (2x y 2)i (2y 3y x) ˆj
Evaluando este gradiente en el punto (1; 1)
y tomando su modulo, obtenemos:
F 5i ˆ 6ˆj F 7,8
b) Divergencia
1,1 1,1
1) Definición
La divergencia de un campo vectorial en
un punto del espacio es un campo escalar,
y se define como el flujo del campo vecto
rial por unidad de volumen conforme el vo
lumen alrededor del punto tiende a cero.
2) Interpretación
La divergencia puede entenderse como la
densidad de fuentes de un campo vectorial,
siendo positiva si el campo posee un ma
nantial y negativa si tiene un sumidero.
Por ejemplo, en el caso del flujo de calor
q , los manantiales representan la produc
ción de calor y los sumideros su consumo.
La integral de volumen de la divergencia
=q dV, será la suma de todas las fuen
tes que hay al interior del volumen.
Teniendo en cuenta el signo, el resultado
será igual a la producción de todos los ma
nantiales, menos el consumo de los sumide
ros, esto es, la producción neta de calor en
el volumen.
Si se produce más calor del que se consu
me, ese calor extra debe escapar al exterior
del volumen. Esa emisión al exterior es lo
que representa el flujo.
3) Representación

La divergencia de un campo vectorial E ,
se denota como E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
El resultado de la operación divergencia
del campo vectorial E es un campo escalar
V, esto es, E =V.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
( E + G )= E +G (Distributiva)
(c E )=c E , donde c es una cte.
( E )=() E + E , donde es un
campo escalar.
(ExG) G xE E xG
( E)G (E )G G( E)
xE 0
3 2
(r / r ) (1/ r) 0, si r 0
2
r 3, donde r es el vector de posición
E( ) ( E / )
5) Expresión matemática general
La expresión general de la divergencia del
campo vectorial E en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
1 (h2h3E) (h1h 3E)
E [
h h h q q
1 2 3 1 2
(h1h 2E) ]
q
3
donde, q 1 , q 2 , q 3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h 1 , h 2 , h 3 los llamados
factores de escala en dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas esféricas, q 1 =r, q 2 =, q 3 = y h r =1,
h =r, h =1, con lo que:
Vectores 29
1 E
( )
rsen r
La expresión general de la divergencia del
campo vectorial " E " en cualquier sistema
curvilíneo, no necesariamente ortogonal,
viene dada por:
1 k
E ( g E )
k
g x
donde, IgI es el determinante del tensor mé
trico.
Tensor métrico
En geometría de Riemann, el tensor de mé
trico es un tensor de rango 2 que se utiliza
para definir conceptos métricos como dis
tancia, ángulo y volumen en un espacio lo
calmente euclídeo.
Una vez que se elige una base local, el ten
sor métrico aparece como una matriz, deno
tada convencionalmente como "g". La nota
ción gij se utiliza convencionalmente para
las componentes del tensor. Así, el tensor
métrico "g" se expresa fijada una base coor
denada como:
g11 g12 g1n
g21 g22 g
2n
g
gn1 gn2 gnn
En física es muy común escribir la métrica
como el cuadrado del elemento de longitud
dado que el tensor es simétrico la notación
física, viene dada por:
ds
2 i j
gijdx dx
1 2 1
E (r E
2 r ) (sen E )
r r rsen r
6) Fuentes escalares de un campo
vectorial

La divergencia es una cantidad escalar con
signo, este signo posee significado geomé
trico y físico, así:
Si la divergencia de un campo vectorial en
un punto es positiva, quiere decir que en di
cho punto el campo radia hacia el exterior.
Se dice que en esa posición el campo vecto
rial posee un manantial.
Si por el contrario la divergencia es negati
va, el campo converge hacia dicho punto;
se dice que el campo posee un sumidero.
Ambos, manantiales y sumideros, constitu
yen las fuentes escalares de un campo vec
torial.
Si la divergencia es nula en un punto el
campo carece de fuentes escalares en dicho
punto.
7) Campo escalar, vectorial, tensorial
Campo escalar
Un campo escalar representa la distribu
ción de una magnitud escalar, asociando
un valor a cada punto del espacio.
En mecánica de fluidos la presión puede
ser tratada como un campo escalar, la distri
bución de temperatura sobre un cuerpo es
otro campo escalar.
Una construcción que caracteriza los cam
pos escalares son las superficie equipoten
ciales que son los conjuntos de puntos so
bre las cuales la función toma el mismo va
lor.
En física relativista, un campo escalar es
aquel para el cual la ley de transformación
entre los valores medidos por dos observa
dores diferentes satisfacen una relación
tensorial de invariancia. En ese sentido el
potencial eléctrico que en electromagnetis
mo clásico se trata como un campo escalar,
en mecánica clásica no es un escalar sino
la componente temporal de un cuadrivec
tor potencial que generaliza el potencial
vectorial clásico.
Robótica y Cibernética 30
En física cuántica, se usa el término "cam
po escalar" de una forma más restringida,
se aplica para describir el campo asociado
a partículas de espín nulo, por ejemplo, los
piones.
Campo vectorial
Un campo vectorial representa la distribu
ción espacial de una magnitud vectorial.
Es una expresión de cálculo vectorial que a
socia un vector a cada punto en el espacio
euclidiano.
Los campos vectoriales se utilizan en la fí
sica, por ejemplo, para representar la velo
cidad y la dirección de un fluido en el es
pacio, o la intensidad y la dirección de fuer
zas como la gravitatoria o la fuerza electro
magnética.
En el estudio del magnetismo, las líneas
del campo magnético de inducción se pue
den revelar usando pequeñas limaduras de
hierro sobre un papel, en presencia de un i
mán natural.
Campo tensorial
Un campo tensorial es aquel en que cada
punto del espacio lleva asociado un tensor.
Es una asignación de una aplicación multi
lateral a cada punto de un dominio del espa
cio.
En física, también se llama campo tenso
rial a cualquier magnitud física que puede
ser representada por una asignación del ti
po anterior sobre una región del espacio fí
sico, ejemplos de campos tensoriales son:
1) Campo electromagnético en la electrodi
námica clásica, 2) Campo gravitatorio, en
la teoría de la relatividad general.
Campo espinorial
Un campo espinorial es un tipo de campo
físico que generaliza los conceptos de cam
pos vectoriales y tensoriales. Si un campo
tensorial es un tipo de representación lineal

del grupo de Lorentz L, un campo espino
rial es una representación de su recubridor
universal, el grupos especial SL(2, ).
Muchas magnitudes físicas representables
mediante campos tensoriales pueden repre
sentarse también matemáticamente por
campos espinoriales de manera equivalen
te. Sin embargo algunos campos espinoria
les no admiten análogos tensoriales. En es
te sentido los campos espinoriales generali
zan los campos vectoriales y tensoriales,
que pueden ser vistos como casos particu
lares de magnitudes espinoriales.
La mecánica cuántica hace un uso extensi
vo de los campos espinoriales.
8) Campo solenoidal
Se llama así al campo cuyas fuentes escala
res son nulas en todos los puntos del espa
cio, esto es, E =0, r.
El ejemplo más importante en el electro
magnétismo de campo solenoidal, es el
campo magnético, en el que se verifica,
B =0, r, tanto en situaciones estáticas
como dinámicas.
Un campo solenoidal se caracteriza porque
sus líneas de campo no pueden converger
ni divergir de ningún punto; no pueden te
ner extremos localizados, esto hace que las
líneas solo puedan ser cerradas, o ir del in
finito al infinito, o dar vueltas sobre si mis
mas, sin llegar a cerrarse.
Un ejemplo analítico de campo solenoidal
es E =-y î +x ĵ, las líneas de campo de este
campo vectorial describen circunferencias
en torno al eje-z, en concordancia con la
idea que no tienen extremos.
9) Aplicaciones
La divergencia de un campo vectorial es
proporcional a la densidad de las fuentes
puntuales del campo, así, en la ley de
Gauss, tenemos:
Vectores 31
E
donde, " E " es el campo eléctrico, "" la
densidad de carga volumétrica, y " o " la
permitividad eléctrica del vació.
Asimismo, en la ley de Gauss para el cam
po de inducción magnético, que es una de
las ecuaciones de Maxwell, tenemos:
o
B
0
el valor cero de la divergencia nos indica
que no hay fuentes puntuales de campo
magnético, y que las líneas de campo mag
nético son líneas cerradas.
10) Teorema de la divergencia
El flujo de un campo "E" a través de una
superficie cerrada "S" y la divergencia es
tán estrechamente relacionados por la ecua
ción:
E dS
S
V
EdV
donde, "V es el volumen encerrado por la
superficie "S".
Este teorema establece, que la cantidad de
campo que escapa hacia el exterior de una
superficie cerrada "S", es igual, a la suma
neta de las fuentes escalares contenidas al
interior de dicha superficie cerrada.
Ejem: 29
Calcular la divergencia del campo vecto
rial, dado por: E(x,y) xcosyi ˆ
sen yˆj
Sol:
En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
E
E
x
E
x
y
y

(xcos y) ( sen y)
E
x
E cos y cos y
E
0
Por lo que, E es un campo solenoidal, esto
es, no presenta fuentes ni sumideros.
Ejem: 30
Hallar la divergencia del campo vectorial,
2
(x/4) y 2
dado por: E(x,y) e ˆi [0,5 ( ) ] ˆj
4
y evaluar en el punto P(1; 1).
Sol:
En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
E
E
x
E
x
y
y
2
(x /16) 2x 2y
E e ( )
16 16
Robótica y Cibernética 32
Aunque el rotacional de un campo alrede
dor de un punto sea distinto de cero, no im
y
plica que las líneas de campo giren alrede
dor de ese punto y lo encierren.
2) Interpretación
Por ejemplo, el campo de velocidades de
un fluido que circula por una tubería (cono
cido como el perfil de Poiseulli) posee un
rotacional no nulo en todas partes, salvo en
el eje central, pese a que la corriente fluye
en línea recta.
La idea es que si colocamos una rueda de
paletas infinitamente pequeña en el interior
del campo vectorial, esta rueda girará, aun
que el campo tenga siempre la misma direc
ción, debido a la diferente magnitud del
campo a un lado y a otro de la rueda.
3) Representación
El rotacional de un campo vectorial E , se
denota como x E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
El resultado de la operación rotacional del
campo vectorial E es otro campo vectorial
F, esto es, xE = F.
1
2
x /16
E [xe y]
8
( E) 1;1 0,24
Como, ( E) 1;1 es negativo, el campo vec
torial tiene un sumidero en el punto (1; 1).
c) El rotacional
1) Definición
El rotacional o rotor es un operador vecto
rial que actúa sobre campos vectoriales de
finidos en un abierto de
3 que muestra la
tendencia de un campo vectorial a inducir
rotación (giro) al rededor de un punto.
4) Fuente vectorial y escalar
Al campo vectorial G , resultado de calcu
lar el rotacional sobre un campo vectorial
E en cada punto del espacio, G xE , se
conoce como las fuentes de E (siendo las
fuentes escalares la que se obtienen medi
ante la operación de divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos
los puntos del espacio se denomina irrota
cional o se dice que carece de fuentes vec
toriales.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
x (E +G )= x E +xG (Distributiva)

Vectores 33
x (c E )=c x E , donde c es una cte.
Todo campo potencial (expresable como el
( xE) k m Em
gradiente de un potencial escalar) es irrota
cional y viciversa, esto es: E V, si y 5) Identidades
sólo si x E =0.
Algunas de las identidades más importan
Todo campo central (radial y dependiente tes de la operación rotacional, son:
sólo de la distancia al centro de fuerza) es
irrotacional, esto es: E f (r)rˆ
, entonces, x(VxF) [( F) F ]V
x E =0. En particular, el campo electros
tático de una carga eléctrica puntual "q" es
irrotacional.
El rotacional de un campo vectorial es
siempre un campo solenoidal, esto es su di
vergencia siempre es nula, (x E )=0
[( V) V ]F
Vx( xF) (V F) (V )F
F
x( xF) ( F) F
x( ) 0 , donde un campo escalar
x( F) xF ( xF)
2
4) Expresión matemática general
La expresión general del rotacional del
campo vectorial "E" en cualquier sistema
de coordenadas ortogonales, viene dada
por:
h eˆ h eˆ h eˆ
1 1 2 2 3 3
xE
q q q
1 2 3
h E h E h E
1 1 2 2 3 3
donde, q 1 , q 2 , q 3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h 1 , h 2 , h 3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q 1 =x, q 2 =y, q 3 =z, y
h x =1, h y =1, h z =1, con lo que:
E E
z y Ex E
ˆ
z
xE ( )x ( ) yˆ
y z z x
Ey
E (
x
)zˆ
x
y
donde, E = E (x, y, z) es el campo vectorial
En la notación de los índices repetidos, con
el símbolo de Levi-Civita, el rotacional del
campo vectorial E , se escribe como:
6) Aplicaciones
En un tornado los vientos están rotando so
bre el ojo, y un campo vectorial que mues
tra las velocidades del viento tendría un ro
tacional diferente de cero en el ojo y posi
blemente en otras partes (vorticidad).
En un campo vectorial que describa las ve
locidades lineales de cada parte individual
de un disco que rota, el rotacional tendrá
un valor constante en todas las partes del
disco.
Si una autopista fuera descrita con un cam
po vectorial, y los carriles tuvieran diver
sos límites de velocidad, el rotacional en
las fronteras entre los carriles sería diferen
te de cero.
La ley de Faraday de la inducción y la ley
de Ampere, dos de las ecuaciones de Max
weel, se pueden expresar muy simplemen
te usando el rotacional.
La primera indica que el rotacional de un
campo eléctrico E , es igual, a la tasa de va
riación de la densidad del flujo magnético
B , con signo opuesto debido a la ley de
Lenz, esto es:
B
xE t

La segunda indica que el rotacional de un
campo magnético B , es igual, a la suma de
la densidad de corrientes J y la derivada
temporal de la densidad de flujo eléctrico,
esto es:
1 o
E
x B J
o
Ejem: 31
Calcular el rotacional del campo vectorial,
dado por: E(x;y) yi ˆ xˆj
.
Sol:
En la expresión del rotacional en coordena
das rectangulares, reemplazando las compo
nentes del campo E , tenemos:
E E
z y Ex E
ˆ
z
xE ( )x ( ) yˆ
y z z x
Ey
E (
x
)zˆ
x
y
0 x ( y) 0
xE ( )x ˆ ( ) yˆ
y z z x
x
( y) ( )zˆ
x
y
o
x E 2kˆ
El rotacional de E es un campo constante
en la dirección del eje-z positivo.
d) El laplaciano
1) Definición
El laplaciano es un operador diferencial e
líptico de segundo orden, denotado por o
2 , relacionado con ciertos problemas de
minimización de ciertas magnitudes físicas
sobre un cierto dominio de validez.
El operador tiene este nombre en reconoci
miento de Pierre-Simon Laplace que estu
Robótica y Cibernética 34
dio soluciones de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales en las que aparecía
dicho operador.
2) Fuente
El laplaciano de un campo escalar V, es el
resultado de la operación divergencia gra
diente del campo V, es decir esta opera
ción es la fuente del laplaciano:
2
( V) V V
3) Interpretación física
El laplaciano de un campo escalar V, mi
de la segunda variación en las coordenadas
espaciales que experimenta el campo V en
un punto del espacio.
4) Aplicaciones
En física, el laplaciano aparece en múlti
ples contextos como la teoría del potencial,
la propagación de ondas, la conducción de
calor, la distribución de tensiones en un
cuerpo deformable, etc... Pero de todos es
tos casos ocupa un lugar destacado en la e
lectrostática y en la mecánica cuántica.
En la electrostática, el operador laplaciano
aparece en la ecuación de Laplace y en la e
cuación de Poisson.
En tanto, en la mecánica cuántica el lapla
ciano de la función de onda de una partícu
la proporciona su energía cinética.
5) Propiedades
Algunas de las propiedades que presenta el
laplaciano, son:
2 (F+G)= 2 F+ 2 G, linealidad.
2 (FG)=( 2 F)G+2(F)(G)+F( 2 G)
6) Expresión matemática general
La expresión general del laplaciano del
campo escalar "V" en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:

2 1 hh 2 3 V
V [ ( )
h h h q h q
1 2 3 1 1 1
hh 1 3 V h1h 2 V
( ) ( )]
q h q q h q
2 2 2 3 3 3
donde, q 1 , q 2 , q 3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h 1 , h 2 , h 3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q 1 =x, q 2 =y, q 3 =z, y
h x =1, h y =1, h z =1, con lo que:
Vectores 35
donde el término con el laplaciano vecto
rial del campo de velocidad ( 2 v ) repre
senta las tensiones viscosas en el fluido.
Otro ejemplo muy utilizado en la física es
la ecuación de ondas para el campo eléctri
co E , que puede ser derivada a partir de
las ecuaciones de Maxwell, en particular
en ausencia de cargas y corrientes (fuentes
de campos), se tiene:
2 E
E
o o E 0
2
t
2
2 2 2
2 V V V
V
2 2 2
x y z
El laplaciano de un campo escalar V, en un
sistema de coordenadas no necesariamente
ortogonal, viene dado por:
2 1 ik V
V ( g g )
k
i
g x
x
donde, g ij es el tensor contravariante de or
den 2 asociado al tensor métrico,
g es la
raíz cuadrada del valor absoluto del deter
minante del tensor métrico.
7) El laplaciano vectorial
El laplaciano vectorial, es un operador dife
rencial definido sobre un campo vectorial
E , el laplaciano vectorial es similar al la
placiano escalar, a diferencia que se aplica
sobre campos vectoriales dando como re
sultado otro campo vectorial.
Un ejemplo del uso del laplaciano vecto
rial, son las ecuaciones de Navier-Stokes
para un flujo incompresible newtoniano,
esto es:
v
2
( (v )v) f P ( v)
t
donde, es el operador llamado el D'Alem
bertiano, que se utiliza en la ecuación de
Klein-Gordon.
Ejem: 32
En una región R del espacio libre, hay un
potencial, dado por: V(, )=(V o /d)cos .
Probar que V(, ) satisface la ecuación de
Laplace.
Sol:
En coordenadas cilíndricas, sustituyendo el
potencial dado en la ecuación de Laplace,
tenemos:
2 V
0
2
V 1 (
V ) 1 V 0
2 2
2 1 Vo
V ( ( cos ))
d
1
2
2 2
2
Vo
( cos ) 0
d
2 1 Vo
V ( cos )
d
1 Vo
( sen ) 0
2
d

07
2 Vo Vo
V cos
cos
0
d
d
<< V satisface la ecuación de Laplace >>
TENSORES
a) Definición de tensor
Un tensor es cierta clase de entidad alge
braica de varios componentes, que genera
liza los conceptos de escalar, vector y ma
triz de una manera que sea independiente
de cualquier sistema de coordenadas elegi
do
b) Origen y evolución
La palabra "tensor" se utiliza a menudo co
mo abreviatura de campo tensorial, que es
un valor tensorial definido en cada punto
en una variedad.
El primero en utilizar esta palabra fue Wi
lliam Rowan Hamilton en 1846, empleán
dola para lo que actualmente se conoce co
mo módulo y fue Woldemar Voigt en 1899
quien la empleo en su acepción actual.
La palabra tensor proviene del latín "ten
sus", participio pasado de tenderé "estirar,
extender". El nombre se extendió porque la
teoría de la elasticidad fue una de las prime
ras aplicaciones físicas donde se usaron ten
sores.
Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarro
lló la notación actual con el nombre de
geometría diferencial absoluta, y se popula
rizó con la publicación de Cálculo Diferen
cial Absoluto de Tulio Levi-Civita en 1900
Con la introducción de la teoría de la relati
vidad general por parte de Albert Einstein
alrededor de 1915 se encontró su aplica
ción más apropiada, la relatividad General
es netamente tensorial.
Robótica y Cibernética 36
c) Características
Las cantidades geométricas y físicas pue
den ser clasificadas considerando los gra
dos de libertad inherentes a su descripción.
Las cantidades escalares son las que se pue
den representar por un sólo número, por
ejemplo la masa.
Hay también cantidades tipo vector, como
por ejemplo la fuerzas, que requieren una
lista de números para describir su módulo
y su dirección.
Finalmente, las cantidades tales como for
mas cuadráticas requieren naturalmente u
na matriz con índices múltiples para su re
presentación. Estas últimas cantidades se
pueden concebir únicamente como tenso
res.
Realmente, la noción tensorial es absoluta
mente general. Los escalares y los vectores
son casos particulares de tensores.
La propiedad que distingue un escalar de
un vector, y distingue ambos de una canti
dad tensorial más general es el número de
índices en la matriz de la representación.
Este número se llama rango de un tensor.
Así, los escalares son los tensores de rango
cero (sin índices), y los vectores son los
tensores de rango uno.
d) Utilización
No todas las relaciones en la naturaleza
son lineales, pero la mayoría es diferencia
ble y así se pueden aproximar localmente
con sumas de funciones multilaterales, de
modo que, la mayoría de las magnitudes fí
sicas pueden expresarse como tensores.
Un ejemplo simple es la descripción de u
na fuerza aplicada al movimiento de una
nave en el agua. La fuerza es un vector, y
la nave responderá con una aceleración
que es también un vector. La aceleración
en general no estará en la misma dirección

que la fuerza, debido a la forma particular
del cuerpo de la nave.
Si embargo resulta que la relación entre la
fuerza y la aceleración es lineal (F=ma).
Tal relación es descrita por tensor del tipo
(1, 1), es decir, que transforma un vector
en otro vector.
El tensor se puede representar como una
matriz que cuando es multiplicada por un
vector, dé lugar a otro vector. Así, como
los números que representan un vector cam
biarán si uno cambia el conjunto de coorde
nadas, los números en la matriz que repre
senta el tensor también cambiarán cuando
se cambie el conjunto de coordenadas.
En la ingeniería, as tensiones en el interior
de un sólido rígido o líquido también son
descritas por un tensor. Si selecciona un e
lemento superficial particular en el mate
rial, el material en un lado de la superficie
aplicará una fuerza en el otro lado. En ge
neral esta fuerza no será ortogonal a la su
perficie, sino que dependerá de la orienta
ción de la superficie de una manera lineal.
Algunos ejemplos muy conocidos de tenso
res en geometría son las formas cuadráti
cas, y el tensor de curvatura.
Algunos ejemplos de tensores físicos son
el tensor de energía-momento, el tensor de
polarización y el tensor dieléctrico.
e) Teoría de la elasticidad
Se llama elasticidad a la propiedad mecá
nica de ciertos materiales de experimentar
deformaciones reversible cuando se encu
entran sometidos a la acción de fuerzas ex
ternas y de recuperar la forma original (i
nicial), si estas fuerzas externas dejan de
actuar.
Vectores 37
acción de esfuerzos externos producidos
por una ó más fuerzas que actúan sobre el
cuerpo, o la ocurrencia de dilatación térmi
ca.
g) Viscoelasticidad
La viscoelasticidad es un tipo de comporta
miento reológico anelástico que presentan
ciertos materiales que exhiben tanto propie
dades viscosas como propiedades elásticas
cuando se deforman.
h) Grados de libertad
Se llama así, al número de coordenadas in
dependientes (escalares) necesarias para de
terminar simultáneamente la posición de
cada partícula en un sistema dinámico. El
concepto se utiliza en mecánica clásica y
termodinámica.
i) Densidad tensorial
08
Una densidad tensorial es una generaliza
ción del concepto de campo tensorial ordi
nario. Ciertas magnitudes pueden ser mode
lizadas como campos tensoriales, con leyes
de transformación tensorial convenciona
les. Pero también es útil definir magnitu
des llamadas "densidades tensoriales" con
transformaciones un poco más generales
que las de los tensores ordinarios.
VECTORES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES
a) Concepto de covarianza y
contravarianza
f) Deformación
La deformación es el cambio en el tamaño
o forma de un cuerpo (sólido), debido a la
Son conceptos empleados frecuentemente
en la áreas de la matemática y la física teó
rica.
Por regla general se refieren a que ciertos

objetos matemáticos, que pueden represen
tar alguna magnitud física, tiene alguna for
ma de invariancia de forma, es decir, la pro
piedad de permanecer sin cambio bajo un
conjunto dado de transformaciones experi
mentadas.
En la física, son importantes en el tratami
ento de vectores y otras cantidades, como
los tensores.
Por ejemplo,las teorías de relatividad espe
cial (covariancia de Lorentz) y relatividad
general (covariancia general) usan vectores
base covariantes bajo cambios de coordena
das.
b) Invariancia
Invariante es algo que no cambia al apli
carle un conjunto de transformaciones.
En matemática, un objeto (función, conjun
to, punto, etc...) se dice invariante respec
to o bajo una transformación si permanece
inalterado tras la acción de tal transforma
ción.
Más formalmente una entidad se conside
ra invariante bajo un conjunto de transfor
maciones si la imagen transformada de la
entidad es indistinguible de la original. La
propiedad de ser invariante se conoce co
mo invarianza o invariante.
Dos ejemplos de invarianza son:
1) La distancia entre dos puntos en una recta,
no cambia al sumar una misma cantidad a
ambos puntos; es decir es invariante.
2) La simetría también puede ser considerada
una forma de invarianza.
c) Observador
En física, un observador es cualquier ente
capaz de realizar mediciones de magnitu
des físicas de un sistema físico para obte
ner información sobre el estado físico de
dicho sistema.
Robótica y Cibernética 38
d) Transformación
En matemática, se dice que una magnitud
es función de otra si el valor de la primera
depende del valor de la segunda.
Por ejemplo el área "A" de un círculo es
función de su radio "R". A la primera mag
nitud el área "A" se le llama variable de
pendiente, y la segunda magnitud el radio
"R es la variable independiente.
e) Teoría especial de la relatividad
Es una teoría de la física, que resulta de la
observación de que la velocidad de la luz
en el vació es igual en todos los sistemas
de referencia inerciales, y de obtener todas
las consecuencias del principio de relativi
dad de Galileo, según el cual, cualquier ex
perimento realizado, en un sistema de refe
rencia inercial, se desarrollará de manera
idéntica en cualquier otro sistema inercial.
La teoría es "especial", ya que sólo se apli
ca en el caso especial/particular donde la
curvatura del espacio-tiempo producida
por acción de la gravedad es irrelevante.
La teoría especial de la relatividad estable
ció nuevas ecuaciones que facilitan pasar
de un sistema de referencia inercial a otro
sistema de referencia inercial.
Las ecuaciones correspondientes condu
cen a fenómenos que chocan con el senti
do común, como son la contracción espa
cial, la dilatación del tiempo, un límite uni
versal a la velocidad, la equivalencia entre
la masa y la energía la relatividad de la si
multaneidad.
La relatividad especial tuvo también un im
pacto en la filosofía, eliminando toda posi
bilidad de existencia de un tiempo y de un
espacio absoluto en el conjunto del univer
so.
f) Teoría de la relatividad general

Vectores 39
Es una teoría del campo gravitatorio y de nentes de un vector covariante o tensor
los sistemas de referencia generales.
contravariante de primer orden.
El nombre de la teoría se debe a que gene
raliza la llamada teoría especial de la relati i) Agujeros negros
vidad.
Los principio fundamentales introducidos Es una región finita del espacio en cuyo in
en esta generalización son el principio de terior existe una concentración de masa lo
equivalencia, que describe la aceleración y suficientemente elevada y densa como pa
la gravedad como aspectos distintos de la ra generar un campo gravitatorio tal que
misma realidad, la noción de la curvatura ninguna partícula material, ni siquiera la
del espacio-tiempo y el principio de cova luz, puede escapar de ella.
riancia generalizado.
Sin embargo los agujeros pueden ser capa
ces de emitir un tipo de radiación, la radia
g) Vectores covariantes
Si "N" cantidades físicas A 1 , A 2 ,..,A N da
das en el sistema de coordenadas (x 1 ,
x 2 ,…,x N ) están relacionadas con otras "N"
1 2 N
cantidades A , A ,…, A dadas en el sis
tema de coordenadas ( x 1 2 N
, x ,…, x ) me
diante las relaciones de transformación,
A
p
N q
x
A
p q (p=1,…,N)
q1
x
A las cantidades A p se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor co
variante de primer orden.
h) Vectores contravariantes
Si "N" cantidades físicas A 1 , A 2 ,...,A N da
das en el sistema de coordenadas (x 1 ,
x 2 ,…,x N ) están relacionadas con otras "N"
1 2 N
cantidades A , A ,…, A dadas en el sis
tema de coordenadas ( x 1 2 N
, x ,…, x ) me
diante las relaciones de transformación,
A
p
A las cantidades
N p
x
q
A (p=1,…,N)
q
q1
x
p
A se les llama compo
ción de Hawking.
Se conjetura o especula que en el centro
de la mayoría de las galaxias, entre ellas la
vía Láctea, hay agujeros supermasivos.
El 11 de Febrero de 2016,las colaboracio
nes LIGO, Interferómetro Virgo y
GEO600 anunciaron la primera detección
de ondas gravitacionales, producidas por
la fusión de dos agujeros negros a unos
410 millones de parsec, es decir, unos
1337 millones de años luz de la Tierra.
Un agujero negro supermasivo es una agu
jero negro con una masa del orden de mi
llones o decenas de miles de millones de
masas solares.
j) Gigante roja
Una gigante roja es una estrella gigante de
masa baja o intermedia (menos de 8-9
masas solares) que, tras haber consumido
el hidrógeno en su núcleo durante la etapa
de secuencia principal, convirtiéndolo en
helio por fusión nuclear, comienza a que
mar hidrógeno en una cáscara alrededor
del núcleo de helio inerte. Esto tiene como
primer efecto el aumento del volumen de
la estrella y un enfriamiento de su superfi
cie, por lo que su color se torna rojizo. En
esta fase previa a la del gigante rojo, la es
trella recibe el nombre de subgigante.

Robótica y Cibernética 40
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Las coordenadas polares de un punto P son: r=5,50 m y =240 o . Hallar las coordena
das cartesianas de este punto P.
a) (2,75; 4,76) b) (2,75; -4,76) c) (-2,75; 4,76) d) (-2,75; -4,76) e) (2,75; 4,76)
02. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares P(2,50 m, 30,0 o ) y Q(3,80 m,
120,0 o ).
I) Hallar las coordenadas cartesianas de estos puntos.
II) Hallar la distancia entre estos puntos.
03. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared
se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimen
siones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2,00, 1,00) m.
I) ¿Qué tan lejos está la mosca de la esquina del cuarto?
a) 2,04 m b) 2,24 m c) 2,44 m d) 2,64 m e) 2,84 m
II) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
a) (2,04 m; 20,6 o ) b) (2,64 m; 24,6 o ) c) (2,44 m; 22,6 o )
d) (2,84 m; 28,6 o ) e) (2,24 m; 26,6 o )
04. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas P(2,00, -4,00) m y Q(3,00,
3,00) m.
I) Hallar la distancia entre estos puntos P y Q.
a) 8,4 m b) 8,5 m c) 8,6 m d) 8,7 m e) 8,8 m
II) Hallar las coordenadas polares de estos puntos P y Q.
05. Si las coordenadas rectangulares de un punto P están dadas por (2, y) y sus coordena
das polares son (r, 30 o ). Hallar y y r.
a)1,45 m; 2,41 m b) 1,35 m; 2,21 m c) 1,05 m; 2,11 m
d) 1,25 m; 2,31 m e) 1,15 m; 2,31 m
06. Si las coordenadas polares del punto (x, y) son (r, ), hallar las coordenadas polares
para los puntos (-x, y), (-2x, -2y), y (3x, -3y).
07. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas cilíndricas de este punto.
08. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=2 u, y=2 u, z=2 u. Hallar las coordenadas esféricas de este punto.

Robótica y Cibernética 41
09. Las coordenadas cilíndricas de un punto P son: =2 u, =30 o , z=3 u. Hallar los vecto
res unitarios ˆ , y ˆ .
10. Hallar la expresión de los vectores unitarios î , ĵ, ˆk que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios ˆ , ˆ y ˆk que definen las coordenadas cilín
dricas.
11. Las coordenadas esféricas de un punto P son: r=4 u, =37 o , y =53 o . Hallar los vecto
res unitarios ˆr , ˆ y ˆ .
12. Hallar la expresión de los vectores unitarios î , ĵ, ˆk que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios ˆr , ˆ y ˆ que definen las coordenadas esfé
ricas.
13. Las coordenadas parabólicas planas (f; h) en función de las rectangulares (x; y) vienen
dadas por: x = f – h, y = 2(f.h) 1/2 donde f>0, h>0.
I) Expresar f y h en función de x e y.
II) Si f y ĥ son vectores unitarios, que definen el sistema de coordenadas parabólico,
demostrar que f y ĥ son perpendiculares entre si.
III) Demostrar que f y ĥ son funciones de f y h y hallar sus derivadas respecto de f y h.
IV) Probar que el vector de posición de una partícula en el sistema de coordenadas para
1/2 1/2 1/2 1/2
bólico, viene dado por : r f (f h) fˆ h (f h) hˆ
.
14. En la Fig01, una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente
método. Partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina d=100
m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el
árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de =35,0 o . Hallar el ancho del río.
a) 65 m b) 70 m c) 75 m d) 80 m e) 85 m
15. En la Fig02, la fuerza F 1 de magnitud F 1=6,0 N actúa sobre el cuerpo en el origen en
la dirección de =30,0 o sobre el eje-x positivo. La segunda fuerza F 2 de magnitud
F 2 =5,0 N actúa sobre el cuerpo en la dirección del eje-y positivo. Hallar gráficamente
la magnitud y dirección de la fuerza resultante F F1 F2.
a) 9,14 N, 59 o b) 9,34 N, 55 o c) 9,34 N, 51 o d) 9,74 N, 53 o e) 9,54 N, 57 o
16. El vector A tiene una magnitud de A=29 u y puntos en la dirección del eje-y positivo.
Cuando el vector B se suma al vector A , el vector A B apunta en dirección del ejey
negativo con una magnitud de 14 u. Hallar la magnitud y dirección de B .
a) -41 ĵ b) -43 ĵ c) -45 ĵ d) -47 ĵ e) -49 ĵ
17. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio R=5,00 m. Si

42
Análisis vectorial
avanza por inercia alrededor de la mitad del círculo.
I) Hallar la magnitud del vector de desplazamiento.
a) 8,0 b) 8,5 m c) 9,0 m d) 9,5 m e) 10,0 m
II) Hallar la distancia que patino.
a) 15,1 m b) 15,3 m c) 15,5 m d) 15,7 m e) 15,9 m
III) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si el patina alrededor de todo el círculo?
F 1
v
F 2
d
Fig01
Fig02
18. Tres desplazamientos son: A =150 m a 30,0 o al Sur, B =250 m al Oeste y C =150 a
30,0 o al Noreste.
I) Construya un diagrama separado para cada una de las siguientes posibles formas de
sumar estos vectores R1
A B C, R2
B C A, R3
C B A.
II) Explique que puede concluir al comparar los diagramas.
19. Un carro de montaña rusa se mueve 200 m horizontalmente y luego se eleva 135 m a
un ángulo de 30,0 o sobre la horizontal. A continuación viaja 135 m a un ángulo de
40,0 o hacia abajo.
I) Usando técnicas gráficas, hallar el desplazamiento desde su punto de partida.
a) 420,77 m b) 422,77 m c) 424,77 m d) 426,77 m e) 428,77 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento d .
a) 2,63 o b) -2,63 o c) 3,63 o d) -3,63 o e) 4,63 o
20. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de distancia en la dirección
20,0 o al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a 190 km a
30,0 o al noreste del lago A.
I) Hallar gráficamente la distancia recorrida.
a) 305,9 km b) 306,9 km c) 307,9 km d) 308,9 km e) 309,9 km
II) Hallar la dirección desde el lago B al campo base.
a) 55,14 o b) 56,14 o c) 57,14 o d) 58,14 o e) 59,14 o

Robótica y Cibernética 43
21. Indicar cuáles de las magnitudes físicas son escalares o vectoriales: peso (W), calor
(Q), calor especifico (c e ), ímpetu (I), densidad (), energía (E), volumen (V), potencia.
Serway
22. Las componentes de un vector A en las direcciones de los x e y son A x =-25 u y
A y =40,0 u. Hallar la magnitud y dirección de este vector.
a) 48,2 u; 122 o b) 46,2 u; 121 o c) 45,2 u; 123 o
d) 49,2 u; 125 o e) 47,2 u; 122 o
23. El vector A de magnitud A=35,0 u está en la dirección de 325 o en sentido antihorario
medido desde el eje-x positivo. Hallar las componentes x e y de este vector.
a) 25,67 u; -22,08 u b) 25,67 u; -24,08 u c) 25,67 u; -23,08 u
d) 25,67 u; -21,08 u e) 28,67 u; -20,08 u
24. Una persona camina 25,0 o al noreste recorriendo 3,10 km. ¿Qué distancia tendría que
caminar hacia el Norte y hacia el Este para llegar a la misma posición?
a) 1,11 km; 2,51 km b) 1,51 km; 2,71 km c) 1,41 km; 2,61 km
d) 1,21 km; 2,91 km e) 1,31 km; 2,81 km
25. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores de posición de coor
denadas polares: (12,8 m, 150 o ), (3,30 cm, 60,0 o ).
26. Un canillita para entregar un periódico recorre 3,00 cuadras al Oeste, 4,00 cuadras al
Norte y luego 6,00 cuadras al Este.
I) Hallar su desplazamiento resultante.
a) 4 cuadras b) 5 cuadras c) 6 cuadras d) 7 cuadras e) 8 cuadras
II) Hallar la distancia total que recorre el canillita.
a) 10 cuadras b) 11 cuadras c) 12 cuadras d) 13 cuadras e) 14 cuadras
27. Un explorador se mueve 75,0 m al Norte, 250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0 o al
noreste y 150 m al Sur. Hallar la magnitud de su desplazamiento resultante.
a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m d) 318,55 m e) 320,55 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 6,07 o b) 6,27 o c) 6,47 o d) 6,67 o e) 6,87 o
28. Dados los vectores A 3i ˆ 2ˆj
y B ˆi 4ˆj
. Hallar A B, A B, A B , A
B
las direcciones de A B y A B.
29. Un perro que corre en el parque, experimenta desplazamientos sucesivos de 3,50 m al
Sur, 8,20 a 30 o al noreste, y 15,0 m al Oeste.
, y

44
Análisis vectorial
I) Hallar la magnitud del desplazamiento resultante.
a) 7,12 m b) 7,32 m c) 7,52 m d) 7,72 m e) 7,92 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 171,7 o b) 173,7 o c) 175,7 o d) 177,7 o e) 179,7 o
30. Dados los vectores A 2,00i ˆ 6,00ˆj
y B 3,00i ˆ 2,00ˆj
.
I) Dibuje la suma vectorial C A B y la diferencia vectorial D A B .
II) Calcule C y D en términos de vectores unitarios.
III) Calcule C y D en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del
eje-x positivo.
31. En la Fig03, cuando el esquiador se desliza por la pista de ángulo de inclinación =
30 o , un trozo de hielo se proyecta a una posición máxima de 1,50 m a =16,0 o de la
vertical.
I) Hallar la componente de su posición máxima paralela a la pista.
a) 1,17 m b) 1,37 m c) 1,57 m d) 1,77 m e) 1,97 m
II) Hallar la componente de su posición máxima perpendicular a la pista.
a) 0,54 m b) 0,64 m c) 0,74 m d) 0,84 m e) 0,94 m
32. En la Fig04, sobre la caja que reposa en el piso se aplican fuerzas F 1 de magnitud F 1=
120 N en la dirección 1 = 60,0 o , y F 2 de magnitud F 2 =80,0 N en la dirección 2 = 75,0 o .
I) Hallar la fuerza resultante de la suma de estas fuerzas.
a) 181,4 N b) 183,4 N c) 185,4 N d) 187,4 N e) 189,4 N
II) Hallar la dirección del vector resultante de la suma de las fuerzas.
a) 71,8 o b) 73,8 o c) 75,8 o d) 77,8 o e) 79,8 o
III) Hallar la magnitud de la fuerza F 2 , para que, la fuerza resultante sea nula.
a) 110 N b) 115 N c) 120 N d) 125 N e) 130 N
g
F 2
y
F 1
2
1
x
Fig03
Fig04

Robótica y Cibernética 45
33. Dados los tres vectores de desplazamiento A (3i ˆ 3ˆj)m
, B (i ˆ 4ˆj)m
, y C
( 2i ˆ
5ˆj)m
I) Hallar la magnitud y dirección del vector D A B C.
a) 2,43 m; -41 o b) 2,53 m; -42 o c) 2,63 m; -43 o d) 2,73 m; -44 o e) 2,83 m; -45 o
II) Hallar la magnitud y dirección del vector E A B C.
a) 13,02 m; 112,57 o b) 13,22 m; 114,57 o c) 13,42 m; 116,57 o
d) 13,62 m; 118,57 o e) 13,82 m; 120,57 o
34. Dados los vectores A ( 8,70;15,0)cm y B (13,2; 6,60)cm . Si A B 3C 0 .
Hallar el vector C .
a) (7,3 î +7,2 ĵ) cm b) (7,3 î -7,2 ĵ) cm c) (-7,3 î +7,2 ĵ) cm
d) (-7,3 î -7,2 ĵ) cm e) (7,5 î +7,8 ĵ) cm
35. Las componentes x, y, z del vector A son: 8,00 u, 12,0 u y -4,00 u, respectivamente.
I) Exprese el vector A en notaciones de vectores unitarios.
II) Exprese en vectores unitarios el vector B , cuya magnitud es un cuarto la de A , y que
está en la misma dirección.
III) Exprese en vectores unitarios el vector C , cuya magnitud es tres veces la de A , y que
esta en dirección opuesta.
36. Las componentes x, y, z del vector B son: 4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente.
I) Hallar la magnitud del vector B
a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u d) 7,81 u e) 7,91 u
II) Hallar los ángulos que forma B con ejes x, y, z.
a) 55,19 o ; 36,80 o , 65,41 o b) 58,19 o ; 38,80 o , 69,41 o c) 56,19 o ; 35,80 o , 66,41 o
d) 57,19 o ; 37,80 o , 68,41 o e) 59,19 o ; 39,80 o , 67,41 o
37. El vector A tiene una componente x negativa de 3,00 u de magnitud y un componente
y positiva de 2,00 u de magnitud.
I) Hallar una expresión para A en notación de vectores unitarios.
a) 3 î +2 ĵ b) -3 î +2 ĵ c) 3 î -2 ĵ d) -3 î -2 ĵ e) 2 î +3 ĵ
II) Hallar la magnitud y dirección de A .

46
Análisis vectorial
a) 3,01 u; 140,31 o b) 3,21 u; 142,31 o c) 3,41 u; 144,31 o
c) 3,61 u; 146,31 o e) 3,81 u; 148,31 o
III) Hallar un vector B , tal que, al sumarse a A da como resultante un vector con compo
nente nula en x y componente y negativa de 4,00 u de magnitud.
a) 3 î +6 ĵ b) -3 î +6 ĵ c) 3 î -6 ĵ d) -3 î -6 ĵ e) 6 î +3 ĵ
38. Dados A (6,00i ˆ 8,00 ˆj)u
, B ( 8,00i ˆ 3,00 ˆj)u
, y C (26,0i ˆ 19,0ˆj)u
.
I) Hallar "a" y "b" tal que a A +b B +C =0.
a) 3; 4 b) 4; 3 c) 7; 5 d) 5; 7 e) 5; 8
II) Un estudiante aprendió que una sola ecuación no se puede resolver para determinar
valores para más de una incógnita en ella. ¿Como podría explicarle que tanto "a" como
"b" se pueden determinar a partir de la ecuación que se usó en el inciso I).
39. Un jardinero que empuja una podadora experimenta dos desplazamientos. El primero
de magnitud 150 cm formando un ángulo de 120 o con el eje-x positivo. Si el desplaza
miento resultante tiene magnitud de 140 cm y dirección de 35,0 o respecto del eje-x po
sitivo, hallar el segundo desplazamiento.
a) 190 cm b) 192 cm c) 194 cm d) 196 cm e) 198 cm
40. Exprese en notación de vectores unitarios los siguientes vectores.
I) El vector E de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0 o contra las manecillas del reloj, desde
el eje x positivo.
a) 15,15 î +7,72 ĵ b) -15,15 î +7,72 ĵ c) 15,15î -7,72 ĵ
d) -15,15 î -7,72 ĵ e) 13,15 î +5,72 ĵ
II) El vector Fde magnitud 17,0 cm se dirige 27,0 o contra las manecillas del reloj, desde
el eje y positivo.
a) 7,72 î +15,15 ĵ b) -7,72 î +15,15 ĵ c) 7,72î -15,15 ĵ
d) -7,72 î -15,15 ĵ e) 5,72 î +13,15 ĵ
III) El vector G de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0 o en sentido de las manecillas del reloj,
desde el eje y negativo.
a) 7,72 î +15,15 ĵ b) -7,72 î +15,15 ĵ c) 7,72î -15,15 ĵ
d) -7,72 î -15,15 ĵ e) 5,72 î +13,15 ĵ
41. Una estación de radar ubica un barco hundido en un intervalo de 17,3 km y orientación

Robótica y Cibernética 47
de 136 o en sentido de las manecillas del reloj desde el Norte. Desde la misma estación,
un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6 km, 153 o en sentido de las
manecillas del reloj desde el Norte, con elevación de 2,20 km.
I) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión con î que represen
ta el Este , ĵ el Norte, y ˆk hacia arriba .
a) 3,13 î +5,02 ĵ+2,20 ˆk b) -3,13 î +5,02 ĵ+2,20 ˆk c) 3,13î +5,02 ĵ-2,20 ˆk
d) 3,13 î -5,02 ĵ-2,20 ˆk e) -3,13 î -5,02 ĵ+2,20 ˆk
II) Hallar la distancia de separación entre el barco y el avión.
a) 6,11 km b) 6,31 km c) 6,51 km d) 6,71 km e) 6,91 km
42. El ojo de un huracán se mueve en dirección 60,0 o al noreste con una rapidez de 41,0
km/h.
I) Hallar la expresión en vector unitario del vector velocidad (en km/h) del huracán.
a) 35,5 î +20,50 ĵ b) 35,5î -20,50 ĵ c) -35,5 î +20,50 ĵ
d) -35,5 î -20,50 ĵ e) 31,5 î +24,50 ĵ
II) Se mantiene esta velocidad por 3,00 h, después el curso del huracán cambia súbitamen
te al Norte y su rapidez baja a 25,0 km/h. Esta nueva velocidad se mantiene durante
1,50 h. Hallar la expresión en vector unitario de la nueva velocidad (km/h)del huracán.
a) 21 ĵ b) 22 ĵ c) 23 ĵ d) 24 ĵ e) 25 ĵ
III) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las primeras 3,00 h.
a) 106,5 î +61,50 ĵ b) -106,5 î +61,50 ĵ c) 106,5î -61,50 ĵ
d) -106,5 î -61,50 ĵ e) 108,5 î +63,50 ĵ
IV) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las últimas 1,50 h.
a) 35,5 ĵ b) 36,5 ĵ c) 37,5 ĵ d) 38,5 ĵ e) 39,5 ĵ
V) ¿A qué distancia del punto de observación está el ojo del huracán, después que pasa so
bre este?
a) 141,5 km b) 142,5 km c) 143,5 km d) 144,5 km e) 145,5 km
43. En la Fig05, Qoqi está sobre el suelo en el origen de un sistema de coordenadas. El
dron vuela con velocidad constante en la dirección del eje-x a una altura de h=7,60 km.
En el instante t=0 el dron esta sobre Qiqo el vector de posición es P o =7,60 ĵ km. En

48
Análisis vectorial
el instante t=30,0 s, el vector de posición es P 30 =(8,04 î +7,60 ĵ) km. Hallar la magni
tud y dirección del vector de posición del dron en el instante t=45,0 s.
a) 13,4 km; 30,2 o b) 13,8 km; 34,2 o c) 14,0 km; 31,2 o
d) 12,4 km; 33,2 o e) 14,3 km; 32,2 o
44. En la Fig06, se muestra la trayectoria de una persona que sale a caminar, la cual, cons
ta de cuatro trayectorias en línea recta. Hallar el desplazamiento resultante de la perso
na, medido desde el punto de partida 0.
a) 220 m b) 225 m c) 230 m d) 235 m e) 240 m
y
0
100m
x
300m
P o P 30
•
y
x
200m
60 o 30 o
150m
Fig05
Fig06
45. Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La
primera está a una altitud de 800 m, 19,2 km de distancia horizontal y 25,0 o al suroes
te. La segunda está a una altitud de 1100 m, 17,6 km de distancia horizontal y 20,0 o al
suroeste. Hallar la distancia entre estas aeronaves.
a) 2,19 km b) 2,29 km c) 2,39 km d) 2,49 km e) 2,59 km
46. En la Fig07, la araña esta descansando después de haber construido su red. La fuerza
de gravedad sobre la araña es de 0,150 N en el punto de unión 0 de los tres hilos de se
da. La unión soporta diferentes fuerzas en los dos hilos por encima de ella de manera
que la fuerza resultante sobre la unión es cero. La tensión T x es de 0,127 N.
I) Hallar el ángulo que forma el eje-x con la horizontal.
a) 55,9 o b) 56,9 o c) 57,9 o d) 58,9 o e) 59,9 o
II) Hallar la tensión T y .
a) 75,8 mN b) 76,8 mN c) 77,8 mN d) 78,8 mN e) 79,8 mN
III) Hallar el ángulo que forma el eje-y con la horizontal.
a) 30,1 o b) 31,1 o c) 32,1 o d) 33,1 o e) 34,1 o
47. En la Fig08, el rectángulo mostrado tiene lados paralelos a los ejes x e y. Los vectores

Robótica y Cibernética 49
de posición de las dos esquinas son: A =10,0 m a 50 o y B =12,0 m a 30,0 o .
I) Hallar el perímetro del rectángulo.
a) 10,4 b) 10,6 m c) 10,8 m d) 11,0 m e) 11,2 m
II) Hallar la magnitud y dirección del vector desde el origen de la esquina superior dere
cha del rectángulo.
a) 12,1 m; 33,4 o b) 12,3 m; 35,4 o c) 12,5 m; 34,4 o
d) 12,7 m; 37,4 o e) 12,9 m; 36,4 o
y
T y
0
T x
y
x
0
A
B
x
Fig07
Fig08
48. Se tiene dos vectores A y B de iguales magnitudes. Para que la magnitud de A +B
sea cien veces mayor que la magnitud de A -B . ¿Cuál debe ser el ángulo entre ellos?
a) 1,15 o b) 1,35 o c) 1,55 o d) 1,75 o e) 1,95 o
49. Los vectores A y B tienen iguales magnitudes de 5,00 u. La suma de A y B es el vec
tor 6,00 ĵ. Hallar el ángulo entre los vectores A y B .
a) 102,3 o b) 104,3 o c) 106,3 o d) 108,3 o e) 110,3 o
50. Checho camina 2,5 km hacia el norte y luego 1,5 km en una dirección 30 o al este del
norte. Jacinta camina directamente entre los mismos puntos inicial y final. ¿Qué distan
cia camina Jacinta y en qué dirección?
a) 3,07 km; 76,73 o b) 3,47 km; 75,73 o c) 3,27 km; 79,73 o
d) 3,67 km; 77,73 o e) 3,87 km; 78,73 o
51. Una lancha viaja 14 km en dirección 60 o al sur del este. Una segunda lancha tiene el
mismo desplazamiento, pero viaja al este y luego al sur. ¿Qué distancia viajó la segun
da lancha al este? ¿Qué distancia lo hizo al sur?
a) 7,4 km; 12,9 km b) 7,2 km; 12,3 km c) 7,6 km; 12,5 km
d) 7,8 km; 12,7 km e) 7,0 km; 12,1 km
52. La resultante de dos vectores de desplazamiento tiene una magnitud de 5,0 m y una

50
Análisis vectorial
dirección norte. Uno de los vectores de desplazamiento tiene magnitud de 2,2 m y una
dirección de 35 o al este del norte. ¿Cuál es el otro vector desplazamiento?
a) 1,26 î +3,20 ĵ b) -1,26 î +3,20 ĵ c) 1,26î -3,20 ĵ
d) -1,26 î -3,20 ĵ e) 1,46 î +3,60 ĵ
53. Tanto Singapur como Quito están (aproximadamente) sobre el ecuador de la Tierra. La
longitud de Singapur es 104 o este y la de Quito es 78 o oeste.
I) ¿Cuál es la magnitud del vector de desplazamiento (en metros) entre estas ciudades?
a) 12 702 km b) 12 722 km c) 12 742 km d) 12 762 km e) 12 782 km
II) ¿Cuál es la distancia entre ellas medida a lo largo del ecuador?
a) 19 713 km b) 19 733 km c) 19 753 km d) 19 773 km e) 19 793 km
54. El operador de radar de un barco guardacostas estacionario observa que a las 10 h 30 m
hay un barco no identificado a una distancia de 9,5 km con un rumbo de 60 o al este de
norte, y a las 11 h 10 m el barco no identificado está a una distancia de 4,2 km en un
rumbo de 33 o al este del norte. Medido desde su posición a las 10 h 10 m .
I) ¿Cuál es el vector de desplazamiento del barco no identificado a las 11 h 10 m ?
a) 6,07 km; 78,3 o S-O b) 6,07 km; 78,3 o O-S c) 6,27 km; 76,3 o S-O
d) 6,27 km; 76,3 o O-S e) 6,47 km; 72,3 o S-O
II) Suponiendo que el barco no identificado continúan en el mismo curso a la misma velo
cidad ¿Cuál será su vector de desplazamiento a las 11 h 30 m .
a) 9,10 km; 78,3 o S-O b) 9,10 km; 78,3 o O-S c) 9,30 km; 76,3 o S-O
d) 9,30 km; 76,3 o O-S e) 9,60 km; 72,3 o S-O
III) ¿Cuál será su distancia y su rumbo desde el barco?
a) 3,0 km; 42,3 o N-O b) 3,0 km; 42,3 o O-N c) 3,2 km; 44,3 o N-O
d) 3,2 km; 44,3 o O-N e) 3,4 km; 46,3 o N-O
55. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 12,0 km en la dirección de 40 o al
oeste del norte. Hallar las componentes norte y sur de este vector.
a) 9,19 km; 7,71 km b) 9,59 km; 7,11 km c) 9,39 km; 7,91 km
d) 9,99 km; 7,51 km e) 9,79 km; 7,31 km
56. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 4,0 m y una dirección vertical hacia a
bajo. ¿Cuál es la componente de este vector a lo largo de una línea con pendiente ascen
dente de 25 o ?
a) -1,3 î (m) b) 1,3 î (m) c) -1,5 î (m) d) 1,5î (m) e) -1,7 î (m)
57. Considere dos desplazamientos, la primera de magnitud 3 m y la segunda de magnitud

Robótica y Cibernética 51
4 m. Muestre como pueden combinarse estos vectores de desplazamiento para obtener
un desplazamiento resultante de magnitud I) 7 m, II) 1 m, III) 5 m.
58. ¿Cuáles son las propiedades de dos vectores a y b tales que: I) a b c y a+b=c; II)
a b a b ; III) a b c y a 2 +b 2 =c 2 ?
59. Sonia camina 250 m en dirección 35 o NE, y luego 170 m hacia el este.
I) Usando métodos gráficos, halle su desplazamiento final a partir del punto de partida.
II) Compare la magnitud de su desplazamiento con la distancia recorrida.
60. Una persona camina con el siguiente esquema: 3,1 km norte, luego 2,4 km oeste, y fi
nalmente 5,2 km sur.
I) Construya el diagrama vectorial que representa a este desplazamiento.
II) ¿Qué tan lejos y en qué dirección volaría un pájaro en línea recta para llegar al mismo
punto final?
a) 3,19 m; 41,19 o O-S b) 3,19 m; 41,19 o S-O c) 3,39 m; 43,19 o O-S
d) 3,39 m; 43,19 o S-O e) 3,59 m; 45,19 o O-S
61. Se suman dos vectores a y b . Muestre gráficamente con diagramas vectoriales que la
magnitud de la resultante no puede ser mayor que a+b ni menor que Ia-bI, donde las ba
rras verticales significan un valor absoluto.
62. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte 32 km y lue
go en dirección 28 o NE durante 27 km. Dibuje el diagrama vectorial y determine el vec
tor desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida.
a) 80,2 km; 13,94 o N-E b) 80,2 km; 13,94 o E-N c) 81,2 km; 11,94 o N-E
d) 81,2 km; 11,94 o E-N e) 83,2 km; 14,94 o N-E
63. El vector a tiene una magnitud de 5,2 u y está dirigido hacia el este. El vector b tiene
una magnitud de 4,3 u y está dirigido 35 o NO. Construyendo los diagramas vectoriales,
halle las magnitudes y direcciones de I) a b, y II) a b.
I) Hallar la magnitud y dirección del vector a b.
a) 4,25 u; 50,2 o E-N b) 4,25 u; 50,2 o N-E c) 4,45 u; 52,2 o E-N
d) 4,45 u; 52,2 o N-E e) 4,65 u; 54,2 o E-N
II) Hallar la magnitud y dirección del vector a
b.
a) 8,24 u; 22,65 o S-E b) 8,24 u; 22,65 o E-S c) 8,44 u; 24,65 o S-E
d) 8,44 u; 24,65 o E-S e) 8,64 u; 64,65 o S-E
64. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo cuando 3,6 m N, el segun
do 1,8 m SE, y el tercero 0,9 m SO. ¿Qué desplazamiento se necesitaría para meter la
bola en el hoyo al primer golpe? Trace el diagrama vectorial.

52
Análisis vectorial
a) 2,15 m; 72,66 o E-N b) 2,15 m; 72,66 o N-E c) 2,35 m; 74,66 o E-N
d) 2,35 m; 74,66 o N-E e) 2,55 m; 76,66 o E-N
65. I) ¿Cuáles son las componentes de un vector A en el plano xy si su dirección es 252 o
a antihorario del eje-x positivo y su magnitud es de 7,34 u?
a) 2,27 u; 6,98 u b) -2,27 u; 6,98 u c) 2,27 u; -6,98 u
d) -2,27 u; -6,98 u e) 2,47 u; 6,78 u
II) La componente x de cierto vector es de -25 u y la componente y es de +43 u. ¿Cuál es
la magnitud del vector y el ángulo entre su dirección y el eje x positivo?
a) 49,14 m; 120,77 o b) 49,74 m; 120,17 o c) 49,54 m; 120,37 o
d) 49,34 m; 120,97 o e) 49,94 m; 120,57 o
66. En la Fig09, la pieza pesada se arrastra hacia arriba d=13 m sobre el plano inclinado
=22 o , respecto de la horizontal.
I) ¿A qué altura de su posición inicial es levantada?
a) 4,07 m b) 4,27 m c) 4,47 m d) 4,67 m e) 4,87 m
II) ¿A qué distancia se movió horizontalmente?
a) 12,05 m b) 12,25 m c) 12,45 m d) 12,65 m e) 12,85 m
67. En la Fig10, la manecilla minutera de un reloj tiene una longitud de 11,3 cm del eje a
la punta.
I) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, desde un cuarto de hora hasta la media
hora?
a) 15,18 cm; 45 o O-S b) 15,18 cm; 45 o S-O c) 15,58 cm; 45 o O-S
d) 15,58 cm; 45 o S-O e) 15,98 cm; 45 o O-S
II) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente media hora?
a) 22,6 cm; 180 o x + b) 22,6 cm; 180 o x - c) 24,6 cm; 180 o x +
d) 24,6 cm; 180 o x - e) 26,6 cm; 180 o x +
III) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente hora?
a) 0 cm; 0 o x + b) 0 cm; 0 o x - c) 2 cm; 0 o x + d) 2 cm; 0 o x - e) 4 cm; 0 o x +
68. Una persona desea llegar a un punto que está a 3,42 km de su ubicación actual y en u
na dirección de 35,0 o NE. Sin embargo, debe caminar a lo largo de calles que van ya
sea de norte a sur o de este a oeste. ¿Cuál es la distancia mínima que podría caminar pa
ra llegar a su destino?
a) 4,16 km b) 4,36 km c) 4,56 km d) 4,76 km e) 4,96 km

Robótica y Cibernética 53
13m
g
22 o v
Fig09
Fig10
69. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124 km al norte. Una tormenta i
nesperada empuja al barco hasta un punto a 72,6 km al norte y 31,4 km al este de su
punto de partida. ¿Qué distancia, y en qué dirección, debe ahora navegar para llegar a
su destino original?
a) 60,23 km; 31,42 o N-O b) 60,23 km; 31,42 o O-N c) 62,23 km; 33,42 o N-O
d) 62,23 km; 33,42 o O-N e) 64,23 km; 35,42 o N-O
70. En la Fig11, las fallas de las rocas son roturas a lo largo de las cuales se han movido
las caras opuestas de la masa rocosa, paralelas a la superficie de fractura. Este movimi
ento está a menudo acompañado de terremotos. En la Figura los puntos A y B coinci
dian antes de la falla. La componente del desplazamiento neto AB paralela a una línea
horizontal en la superficie de la falla se llama salto de la dislocación (AC). La compo
nente del desplazamiento neto a lo largo de la línea con mayor pendiente del plano de
la falla es la brecha de la dislocación (AD).
I) ¿Cuál es la desviación neta si el salto de la dislocación es de 22 m y la brecha de la dis
locación es de 17 m?
a) 25 m b) 26 m c) 27 m d) 28 m e) 29 m
II) Si el plano de la falla está inclinado a 52 o de la horizontal, ¿Cuál es el desplazamiento
vertical neto de B como resultado de la falla en I)?
a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m
C
P
A
B
R
R
D
P
52 o En t 1 En t 2
Fig11
Fig12

54
Análisis vectorial
71. En la Fig12, una rueda de radio R=45 cm gira sin arrastre a lo largo de un piso hori
zontal, P es un punto pintado sobre la llanta de la rueda. En el instante t 1 , P está en el
punto de contacto entre la rueda y el piso. En el instante t 2 posterior, la rueda ha roda
do a la mitad de una vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento de P durante el intervalo de
tiempo t 2 -t 1 .
a) 1,61 m; 31 o E-N b) 1,51 m; 37 o N-E c) 1,41 m; 32 o N-S
d) 1,87 m; 37 o N-S e) 1,67 m; 33 o E-N
72. Una habitación tienen las dimensiones de 3 m x 3,6 m x 4,2 m. Una mosca que sale de
una esquina termina su vuelo en la esquina diametralmente superior opuesta.
I) Hallar el vector de desplazamiento (en metros) en un marco con los ejes de coordena
das paralelos a las aristas de la habitación.
a) 3,0 î +3,6 ĵ+4,2 ˆk b) 3,2î +3,8 ĵ+4,0 ˆk c) 3,8î +3,2 ĵ+4,6 ˆk
d) 3,6 î +3,0 ĵ+4,4 ˆk e) 3,0 î +3,4 ĵ+4,8 ˆk
II) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento?
a) 6,09 m b) 6,29 m c) 6,49 m d) 6,69 m e) 6,89 m
III) ¿Podría la longitud de la trayectoria recorrida por la mosca ser menor que esta distan
cia?¿Mayor que esta distancia?¿Igual a esta distancia?
IV) Si la mosca caminara en lugar de volar, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más
corta que puede recorrer?
a) 7,02 m b) 7,22 m c) 7,42 m d) 7,62 m e) 7,82 m
73. Dados los vectores a 4i ˆ 3ˆj
y b 6i ˆ 8ˆj
.
I) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a .
a) 3,0; 353 o b) 3,5; 313 o c) 4,0; 343 o d) 4,5; 333 o e) 5,0; 323 o
II) Hallar la magnitud y dirección con el eje +x del vector b .
a) 7,0; 35,9 o b) 6,0; 38,9 o c) 9,0; 37,9 o d) 8,0; 39,9 o e) 10,0; 36,9 o
III) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a
b.
a) 7,2; 25,6 o b) 10,2; 27,6 o c) 9,2; 28,6 o d) 8,2; 29,6 o e) 11,2; 26,6 o
IV) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector b a.
a) 7,2; 75,7 o b) 10,2; 76,7 o c) 9,2; 78,7 o d) 8,2; 77,7 o e) 11,2; 79,7 o
V) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b.
a) 7,2; 262 o b) 10,2; 266 o c) 9,2; 264 o d) 8,2; 268 o e) 11,2; 260 o

Robótica y Cibernética 55
74. Un hombre sale de la puerta frontal, camina 1 400 m E, 2 100 m N, y luego saca una
moneda de su bolsillo y lo suelta desde un acantilado de 48 m de altura. En un sistema
de coordenadas en el cual los ejes x, y y z positivos apunten al este, al norte, y hacia a
rriba, estando el origen en la ubicación de la moneda según el hombre sale de su puerta
frontal.
I) Escriba una expresión, usando vectores unitarios, para el desplazamiento (en metros)
de la moneda.
a) -44 ˆk b) +44 ˆk c) -42 ˆk d) +42 ˆk e) -48 ˆk
II) El hombre regresa a su puerta frontal, siguiendo una trayectoria diferente en el viaje de
regreso. ¿Cuál es su desplazamiento (en metros) resultante para el viaje completo?
a) 0 ˆk b) 1 ˆk c) 2 ˆk d) 3 ˆk e) 4 ˆk
75. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue:
4,13 m SO, 5,26 m E, y 5,94 m en una dirección de 64,0 o NE. Elija el eje x apuntando
al este y el eje y apuntando hacia el norte.
I) Halle las componentes de cada desplazamiento.
II) Halle las componentes del desplazamiento resultante.
III) Halle la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante.
IV) Halle el desplazamiento que se requeriría para traer de nuevo a la partícula hasta el pun
to de partida.
76. En la Fig13, dos vectores a y b tienen magnitudes iguales a 12,7 u. Están orientados
como se muestra en la Figura, y su vector suma es r .
I) Halle las componentes x e y del vector r .
a) 2,54 î +15,29 ĵ b) 2,14î +15,19 ĵ c) 2,34î +15,39 ĵ
II) Halle la magnitud del vector r .
d) 2,24 î +15,39 ĵ e) 2,44 î +15,59 ĵ
a) 15,1 b) 15,3 c) 15,5 d) 15,7 e) 15,9
III) Halle el ángulo que forma el vector r con ele eje +x.
a) 80,6 o b) 81,6 o c) 82,6 o d) 83,6 o e) 84,6 o
77. En la Fig14, una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este.
En el primer contacto, la distancia al cohete es de 3 600 m a 40,0 o sobre el horizonte.
El cohete es rastreado durante otros 123 o en el plano este-oeste, siendo la distancia del
contacto final de 7 740 m. Halle el desplazamiento (en metros) del cohete durante el pe
riodo de contacto del radar.
a) -10159,55 î -51,08 ĵ b) -10259,55 î -52,08 ĵ c) -10359,55 î -53,08 ĵ
d) -10459,55 î -56,08 ĵ e) -10559,55 î -55,08 ĵ

56
Análisis vectorial
y
b
105 o
a
7740m
O
123 o 3600m
40 o
E
0
28,2 o
x
Fig13
Fig14
78. Dos vectores de magnitudes "a" y "b" forman un ángulo "" entre si cuando son situa
dos cola con cola. Pruebe, tomando componentes a lo largo de dos ejes perpendicula
res, que la magnitud de su suma es r=[a 2 +b 2 +2abcos] 1/2 .
79. Pruebe que dos vectores deben tener magnitudes iguales si su suma es perpendicular a
su diferencia.
80. I) Usando vectores unitarios a lo largo de tres aristas de un cubo, expresé las diago
nales (las líneas de una esquina a otra a través del centro del cubo) de un cubo en tér
minos de sus aristas, las cuales tienen longitud "a".
II) Determine los ángulos formados por las diagonales con las aristas adyacentes.
III) Determine la longitud de las diagonales.
81. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N
directamente hacia delante; en tanto el otro da un empuje de 513 N 32,4 o arriba de la
dirección hacia delante. Hallar la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia
delante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.
a) 1190 N; 13,4 o b) 1150 N; 11,4 o c) 1170 N; 15,4 o
d) 1180 N; 12,4 o e) 1160 N; 14,4 o
82. En la Fig15, para los vectores mostrados A y B de magnitudes A=8,0 m y B=15,0 m,
=30 o , use el método de componentes para obtener la magnitud y la dirección.
I) De la resultante de la suma vectorial A +B .
a) -0,5 î +12,9 ĵ b) 0,5î -12,9 ĵ c) +0,5 î +12,9 ĵ
d) -0,5 î -12,9 ĵ e) -0,3 î +10,9 ĵ
II) De la resultante de la suma vectorial B +A .
a) -0,5 î +12,9 ĵ b) 0,5î -12,9 ĵ c) +0,5 î +12,9 ĵ
d) -0,5 î -12,9 ĵ e) -0,3 î +10,9 ĵ

Robótica y Cibernética 57
III) De la resultante de la diferencia vectorial A -B .
a) -15,5 î +12,9 ĵ b) 15,5î -12,9 ĵ c) +15,5 î +12,9 ĵ
d) -15,5 î -12,9 ĵ e) -13,3 î +10,9 ĵ
IV) De la resultante de la diferencia vectorial B -A .
a) -15,5 î +12,9 ĵ b) 15,5î -12,9 ĵ c) +15,5 î +12,9 ĵ
d) -15,5 î -12,9 ĵ e) -13,3 î +10,9 ĵ
83. En la Fig16, escriba cada uno de los vectores mostrados, en términos de vectores
unitarios î y ĵ, si A=3,60 m, B=2,4 m, =20o , y =30 o .
II) Utilice vectores unitarios para expresar el vector C 3,00A 4,00B .
III) Hallar la magnitud y dirección del vector C .
y
B
y
A
0
x
0
x
A
B
Fig15
Fig16
84. I) ¿El vector ( ˆ i ˆ j
k ˆ ) es unitario? Justifique su respuesta.
II) Un vector unitario puede tener una componente con magnitud mayor a la unidad? ¿Pue
de tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su respuesta.
III) Si el vector A a(3,0i ˆ 4,0ˆj)
, donde "a" es una constante, hallar el valor de "a" que
convierte a A en un vector unitario.
a
b
c
B
a
a
d
e
A
D
c
a
53 0
0
d
b
E
e
C
Fig17
Fig18

58
Análisis vectorial
85. En la Fig17, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si c =3/5 u.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
86. En la Fig18, en la circunferencia de radio R=1 u, hallar el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
87. En la Fig19, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a 4u ,
c
8u , b 8u y b 4u .
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
88. En la Fig20, en el triángulo equilátero, expresar x en función de a y b .
a) 2b a
4
b) 2b a
4
c) 2b a
2
d) 2b a
4
e) b 2a
4
B
a
a
N
x
d
M
c
60 0
b
A
b
C
Fig19
Fig20
89. En la Fig21, en la circunferencia de radio 7u, hallar el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
a) 3 u b) 5 u c) 7 u d) 9 u e) 11 u
90. En la Fig22, en el triángulo equilátero de lado a=2 u, hallar el módulo de la resultante
de los vectores mostrados.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
a
b
B
60 0
e
d
0
c
A
0
C
Fig21
Fig22

Robótica y Cibernética 59
91. En la Fig23, en el tetraedro de lado a= 6 u. Hallar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
92. En la Fig24, en el tetraedro de lado a= 10 /2u. Hallar el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u
93. En la Fig25, hallar el módulo de la resultante de los vectores contenidos en los cuadra
dos de lados 5 u, y que son perpendiculares entre sí.
a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u
B
D
A
C
B
C
D
A
Fig23
Fig24
94. En la Fig26, en el rectángulo de lados 6 u y 8 u, M es punto medio de la diagonal,
hallar x en función de a y b .
a) 0,28 b 0,50 a b)1,3b 0,5a c) 0,5b 1,3a d) 10,5b 1,3a e) 1,2b 0,6a
B
x
C
a
M
A
b
D
Fig25
Fig26
95. En la Fig27, en la semicircunferencia de radio 4 u, los puntos ABCD dividen en par
tes iguales a la semicircunferencia. Hallar x en función de a y b .
4a 3b
4a 3b 3a 4b 3a 4b 6a 3b
a) b) c) d) e)
6
6
6
6
6

60
Análisis vectorial
C
A
B
x
0
a
b
C
D
B
A
D
F
E
G
H
Fig27
Fig28
96. En la Fig28, el tronco de cono regular de arista a= 3 /2 u tiene bases cuadradas cuya
diferencia de sus lados es 6 /4 u. Hallar el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
97. En la Fig29, en el triángulo equilátero ABC de lado 4 u y baricentro O, hallar el módu
lo de la resultante de los vectores mostrados.
a) 0 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) 4 u
98. En un triángulo ABC el vector AB m y el vector AC n . Construir los siguientes
vectores.
I) m n
II) m n
n
m
III)
2
2
2
99. Tomando como base los vectores AB b y AC c que coinciden con los lados del
triángulo ABC, determinar la descomposición de los vectores que coinciden con sus
medianas si éstos están aplicados en los vértices del triángulo.
B
D'
C'
A'
B'
A
0
C
A
p
n
D
m
B
C
Fig29
Fig30
100. En la Fig30, en el paralelepípedo ABCDA'B'C'D' se dan los vectores que coinciden
con sus aristas: AB m , AD n y AA ' p . Construir los vectores siguientes:

Robótica y Cibernética 61
I) m n p II)
1
m n p
2
III) 1 m 1 n p IV) m n p V)
2 2
1
m n p
2
101. En la Fig31, en el hexágono regular de lado 5 cm, hallar el módulo del vector resultan
te.
a) 30 u b) 35 u c) 40 u d) 45 u e) 50 u
102. En la Fig32, en el hexágono regular, expresar x en función de a y b .
a) a b
2
b) a b
2
c) a b
4
d) a b
4
e) b a
4
103. En la Fig33, hallar el módulo de la resultante de los infinitos vectores. Si AB = 1 u y
BC= 3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u d) 6,6 u e) 6,8 u
B
C
B
C
a
A
0
D
A
0
D
b
x
b
x
F
E
F
E
Fig31
Fig32
104. En la Fig34, en el cuadrado M y N son puntos medios., hallar x en función de a y b .
a) a b
2
b) a b
2
c) a b
4
d) a b
4
e) b a
2
A
B
b
C
A 1
A 2
A 3
a
x
N
B
60 0
B 1 B 2 B 3
C
A
M
D
Fig33
Fig34

62
Análisis vectorial
105. Probar que la suma de vectores posee la propiedad conmutativa; esto es: a b b a .
106. Un avión se mueve con velocidad de 250 km/h en dirección 37 o de norte a oeste res
pecto de la Tierra, en presencia de un viento que se desplaza con velocidad de 50 km/h
en dirección este a oeste, respecto a Tierra. Hallar el ángulo de desviación que experi
menta la velocidad del avión.
a) 7,21 b) 7,51 o c) 7,81 o d) 8,11 o e) 8,41 o
107. Probar que la suma de vectores posee la propiedad asociativa: a (b c) (a b) +c .
108. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores r 1 =
2iˆ 4ˆj 5kˆ
y r ˆ ˆ ˆ
2 i 2 j 3k .
109. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
110. Determinar los ángulos , y que el vector de posición r xi ˆ yˆj zkˆ
forma con
los ejes de coordenadas x, y z positivos, además probar que cos 2 +cos 2 +cos 2 =1.
111. Dados los vectores r ˆ ˆ ˆ
1 2i j k , r ˆ ˆ ˆ
2 i 3 j 2k , r ˆ ˆ ˆ
3 2i j 3k y r ˆ ˆ
4 3i 2 j
5k. ˆ Hallar S=(a 2 +b 2 +c 2 ) 1/2 , donde a, b y c satisfacen la ecuación, r 4 a r 1 b r 2 c r 3 .
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
112. Sean a y b son dos vectores de distinta dirección con A (x 4y)a (2x y 1)b y
B (y 2x 2)a (2x 3y 1)b . Si se cumple la relación, 3A 2B, hallar P=x.y.
a) 1,5 b) -1,5 c) 2 d) -2 e) 3
113. Sobre un punto P de un sólido actúan las fuerzas F ˆ ˆ ˆ
1 2i 3 j 5k , F ˆ ˆ ˆ
2 5i j 3k,
F ˆ ˆ ˆ
3 i 2 j 4k medidos en newtons.
I) Hallar la fuerza resultante sobre el sólido.
II) Hallar la magnitud de la fuerza resultante.
114. Hallar el ángulo agudo entre las diagonales de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2),
(4, 6) y (1, 3).
a) 82 o 41' 30" b) 82 o 45' 30" c) 82 o 49' 30" d) 82 o 53' 30" e) 82 o 57' 30"
115. Hallar un vector b de magnitud 2 u, y que tenga la misma dirección que el vector
a (3i ˆ 6ˆj 2k) ˆ (u).
116. Hallar el producto escalar o punto de los vectores a 5i ˆ 2ˆj kˆ
y b 2i ˆ kˆ.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Robótica y Cibernética 63
117. Dados los vectores a 2i ˆ ˆj 2kˆ
, y b 3i ˆ 6ˆj 2kˆ
.
I) Hallar la razón de las magnitudes de los vectores a y b .
a) 0,33 b) 0,43 c) 0,53 d) 0,63 e) 0,73
II) Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 110 o 23' 34" b) 110 o 23' 34" c) 110 o 23' 34" d) 110 o 23' 34" e) 110 o 23' 34"
118. Dados los vectores a 4i ˆ 3ˆj 2kˆ
y b iˆ 2ˆj kˆ
. Hallar la razón r= axb / a b .
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
119. El producto punto de dos vectores a y b , y la magnitud de su producto vectorial son
iguales. Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 30 o b) 37 o c) 45 o d) 53 o e) 60 o
120. El vector desplazamiento a tiene una longitud de 50 m y una dirección 30 o al este del
norte; el vector de desplazamiento b tiene una longitud de 35 m y una dirección 70 o al
oeste del norte.
I) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial a x b .
II) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial bxa.
121. Hallar el producto vectorial o cruz de los vectores a 2i ˆ 5ˆj 3kˆ
y b ˆi 2kˆ.
122. Suponga que, a cost ˆi sen t ˆj
, donde "" es una constante. Hallar d a /dt, y pro
bar que da /dt es perpendicular al vector a .
123. El vector de desplazamiento a tiene una magnitud de 30 m y una dirección de 20 o al
sur del este . El vector de desplazamiento b tiene una magnitud de 40 m y una direc
ción 20 o al oeste del norte. Hallar la componente de a a lo largo de b .
a) 19,08 b) -19,08 c) 19,28 d) -19,28 e) 19,48
124. El producto vectorial de A 5,0i ˆ 2,0ˆj 3,0kˆ
y B B ˆ ˆ ˆ
xi 3,0 j Bzk
es igual al vec
tor C 2,0ˆj C kˆ. Hallar la expresión, E=B x .C z /B z .
z
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
125. I) Los vectores a y b están sobre el plano-xy. Demostrar que la tangente del ángulo
"" entre estos vectores, está dada por: tg=(a x b y -a y b x )/(a x b x +a y b y ).
II) Evaluar la expresión para tg , cuando a 4i ˆ 3ˆj
y b 3i ˆ 4ˆj
.

64
Análisis vectorial
a) 16,06 o b) 16,26 o c) 16,46 o d) 16,66 o e) 16,86 o
126. Hallar un vector unitario que bisecte el ángulo entre los vectores a ˆj 2kˆ
y b
3i ˆ ˆj kˆ
a) 0,97i ˆ 0,16 ˆj 0,22kˆ
b) 0,91i ˆ 0,18ˆj 0,26kˆ
c) 0,99i ˆ 0,10 ˆj 0,24kˆ
d) 0,93i ˆ 0,12 ˆj 0,28kˆ
e) 0,95i ˆ 0,14 ˆj 0,20kˆ
127. Hallar el ángulo entre la diagonal principal de un cubo de lados "a", y la diagonal de
una cara adyacente.
a) 35 o 15' 12" b) 35 o 15' 32" c) 35 o 15' 52" d) 35 o 15' 72" e) 35 o 15' 92"
128. El producto escalar de dos vectores a y b de magnitudes a=4 u y b=6 u es cero. Hallar
la magnitud del producto vectorial de a y b .
a) 20 u 2 b) 22 u 2 c) 24 u 2 d) 26 u 2 e) 28 u 2
129. Dados los vectores a 2i ˆ 3ˆj 2kˆ
y b 3i ˆ 4kˆ
. Hallar la expresión E=(c x .c z )/c y ,
donde c x , c y , c z son las magnitudes de las componentes de c
a x b .
a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 d) 7,7 e) 7,9
130. Dados los vectores a (3i ˆ 2ˆj 2k)u ˆ , b 4kˆ
u, y c (2i ˆ 3ˆj) u . Hallar las expre
siónes siguientes: I) a (b c) , II) a x(b c) , III) a (bx c) , IV) a (bx c) .
131. Hallar un vector perpendicular tanto a a 4i ˆ 3ˆj
como a b ˆi 3ˆj 2kˆ
.
132. Demuestre la relación vectorial: a x(bxc) b(a c) c(a b) .
133. Las expresiones de cuatro vectores que van del origen de coordenadas a los puntos A,
B, C y D, son: a ˆi ˆj kˆ
, b 2i ˆ 3ˆj
, c 3i ˆ 5ˆj 2kˆ
y d kˆ ˆj
. Probar que el
vector AB es paralelo al vector CD .
134. Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadrados de las diagonales de un parale
logramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.
135. Hallar el área del triángulo de vértices A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
a) 4,04 u 2 b) 4,24 u 2 c) 4,44 u 2 d) 4,64 u 2 e) 4,84 u 2
136. Dados los vectores a y b , probar que, se cumple: a b a b y a b a b .
137. Exprese el vector a ˆi 2ˆj 3kˆ
como una combinación lineal de b ˆi kˆ, c ˆi ˆj
,

y d ˆ ˆ j k ˆ .
Robótica y Cibernética 65
a) b 2d b) 2b d c) b 2c d) c d e) 2c d
138. Dados los vectores a ˆi 2ˆj 3kˆ
, b 2i ˆ 2ˆj kˆ
y c 2i ˆ j 4kˆ, hallar la expre
sión: E=(d x .d y .d z )/(e x .e y .e z ) donde d x , d y , d z , e x , e y , e z son las magnitudes de las compo
nentes de los productos d a x b y e bxc , respectivamente.
a) 4,40 b) 4,44 c) 4,48 d) 4,52 e) 4,56
139. Dados los vectores a ˆi 2ˆj 3kˆ
, b 2i ˆ 2ˆj kˆ
y c 2i ˆ j 4kˆ, hallar el ángulo
entre los vectores d
a)
a x b y e bxc .
o
140 34'14" b)
d)
o
142 34'14" c)
o
o
146 34'14" e) 148 34'14"
o
144 34'14"
140. Hallar el volumen del paralelepípedo conformado por los vectores a (i ˆ 2ˆj 3k)m ˆ ,
b ( 3iˆ ˆj 4k)m ˆ , y c (iˆ 2 ˆj k) ˆ m .
a) 12 m 3 b) 14 m 3 c) 16 m 3 d) 18 m 3 e) 20 m 3
141. Dados los vectores a 2i ˆ kˆj
y b 3i ˆ 2ˆj
, hallar la expresión E=k II k , donde k II y
k , son el k para el cual a b, y a
b, respectivamente.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 6
142. En la Fig35, demuestre que a (bx c) es igual en magnitud al volumen del paralelepí
pedo formado sobre los tres vectores a , b y c .
143. En la Fig36, los tres vectores mostrados tienen magnitudes a=3, b=4 y c=10.
I) Calcule las componentes x e y de estos vectores.
II) Hallar los números "p" y "q" tal que c pa qb .
y
c
j
a
b
i
b
Fig35
c
0
Fig36
30 o x
a

66
Análisis vectorial
144. En la Fig37, un vector a de magnitud 17 m está dirigido 56 o en sentido antihorario
del eje +x.
I) ¿Cuáles son las componentes a x y a y de este vector?
II) Un segundo sistema de coordenadas está inclinada 18 o con respecto al primero. ¿Cuá
les son las componentes a' y a' en este sistema primado de coordenadas?
III) Hallar el valor de la expresión, E= (a' x a' y) / (axa y)
x
y
145. En la Fig38, se muestra dos vectores a y b y dos sistemas de coordenadas que difie
ren en que los ejes x y x' y los ejes y y y' forman cada uno un ángulo "" con el otro.
Pruebe analíticamente que a b tiene la misma magnitud y dirección sin importar que
sistema se haya usado para llevar a cabo el análisis.
y'
y
a y
a=17m
y'
y
b
v
a
a' y
x'
x'
18 o a' x
56 o 18 o
0 a x x
0 x
Fig37
Fig38
146. Dado un vector a ˆi 2ˆj 2kˆ
en coordenadas cartesianas.
I) Hallar la magnitud del vector a .
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
II) Hallar el vector unitario û a en la dirección del vector a .
a) -(1/3) î +(2/3) ĵ-(2/3) ˆk b) -(1/3) î +(2/3) ĵ+(2/3) ˆk c) -(1/3) î -(2/3) ĵ-(2/3) ˆk
d) +(1/3) î +(2/3) ĵ-(2/3) ˆk e) +(1/3) î +(2/3) ĵ-(2/3) ˆk
III) Hallar el ángulo que forma el vector a con el eje z positivo.
a) 131,8 o b) 133,8 o c) 135,8 o d) 137,8 o e) 139,8 o
147. Dados los vectores a 5i ˆ 2ˆj kˆ
y b 3i ˆ 4kˆ
en coordenadas cartesianas.
I) Hallar el producto escalar de a por b .
a) +11 b) -11 c) +13 d) -13 e) +15
II) Hallar el producto vectorial de a por b .

Robótica y Cibernética 67
a) 8i ˆ 23j ˆ 6kˆ
b) 8i ˆ 23j ˆ 6kˆ
c) 8i ˆ 23j ˆ 6kˆ
d) 8i ˆ 23j ˆ 6kˆ
e) 8i ˆ 23j ˆ 6kˆ
III) Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 111,7 o b) 113,7 o c) 115,7 o d) 117,7 o e) 119,7 o
148. I) Escriba la expresión del vector que va desde el punto P 1 (1, 3, 2) hasta el punto
P 2 (3,-2, 4) en coordenadas cartesianas.
a) 2i ˆ 5j ˆ 2kˆ
b) 2i ˆ 5j ˆ 2kˆ
c) 2i ˆ 5j ˆ 2kˆ
d) 2i ˆ 5j ˆ 2kˆ
e) 2i ˆ 5j ˆ 2kˆ
II) Hallar la longitud del segmento de línea PP 1 2.
a) 5,14 b) 5,34 c) 5,54 d) 5,74 e) 5,94
III) Hallar la distancia perpendicular desde el origen hasta esta línea.
a) 3,00 b) 3,20 c) 3,40 d) 3,60 e) 3,80
149. Dado el vector b 2i ˆ 6ˆj 3kˆ
en coordenadas cartesianas.
I) Hallar la magnitud del vector b .
a) 5,0 b) 5,5 c) 6,0 d) 6,5 e) 7,0
II) Hallar la expresión del vector unitario û .
b
III) Hallar los ángulos que forma el vector b con los ejes x, y, z, respectivamente, y cal
cular la suma de los cuadrados de las tangentes de estos ángulos.
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
150. Asumiendo que existe un campo vectorial en el espacio 3 , dado por: A (3cos )rˆ
-
2rˆ
zkˆ
.
I) ¿Cuál es el campo vectorial en el punto P(4, 60 o , 5)?
II) Exprese el campo A en coordenadas cartesianas.
III) Determine la ubicación del punto P en coordenadas cartesianas.
151. Exprese el vector 0Q desde el origen 0 hasta el punto Q(3, 4, 5) en coordenadas cilín
dricas.
a) 3i ˆ 4j ˆ b) 4i ˆ 3j ˆ c) 4i ˆ 4kˆ
d) 5i ˆ 5kˆ
e) 5i ˆ
5kˆ
152. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y cilíndricas.

68
Análisis vectorial
153. Las coordenadas cilíndricas de dos puntos P 1 y P 2 son: P 1 (4, 60 o , 1) y P 2 (3, 180 o ,-1).
Hallar la distancia entre estos dos puntos.
a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8
154. Exprese el vector unitario ˆk en términos de los vectores ˆr y ˆ del sistema de coorde
nadas esférico.
a) cosrˆ
sen ˆ
b) cosrˆ
sen ˆ
c) sen rˆ
cosˆ
d) sen rˆ
cos ˆ
e) cosrˆ
sen ˆ
155. Una nube de electrones que está confinada en una región en forma de cascarón esféri
co de radios interno r 1 =2 cm y externo r 2 =5 cm, tiene una densidad de carga volumé
trica homogénea de =(-310 -8 )cos 2 /r 4 C/m 3 . Hallar la carga contenida en esta región.
a) -1,0 C b) -1,2 C c) -1,4 C d) -1,6 C e) -1,8 C
156. Hallar la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio "R", integrando el
área superficial diferencial en coordenadas esféricas.
157. Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y esféricas.
158. Las coordenadas cartesianas de un punto son: P(4,-6, 12). Hallar las coordenadas esfé
ricas de este punto.
a) (12, 33 o , 301,7 o ) b) (11, 32 o , 302,7 o ) c) (14, 31 o , 303,7 o )
d) (15, 30 o , 304,7 o ) e) (13, 34 o , 305,7 o )
159. En cierta región del espacio 3 el potencial eléctrico está dada por: V=V o e -x sen(y/4)
donde V o =2 voltios, y x e y están en metros. Hallar la magnitud del campo eléctrico en
el punto P(1, 1, 0) m.
a) 0,50 V/m b) 0,54 V/m c) 0,58 V/m d) 0,62 V/m e) 0,66 V/m
160. Dado un campo vectorial E r rˆ
zkˆ
(V/m) en coordenadas cilíndricas. Hallar el flujo
de salida total a través de un cilindro circular de radio R=2 m y h=4 m centrado en el
origen. El eje del cilindro es el eje z.
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49
2 ˆ
161. En cierta región del espacio 3 existe un campo, dado por: E rrˆ rcos ˆ
zk . Ha
llar el valor de la expresión P=E y .E z /E x , donde E x , E y , E z son las componentes del cam
po en el punto P(4, 60 o , 1).
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0

Robótica y Cibernética 69
162. Hallar la circulación del campo F xyi ˆ 2xˆj
en sentido antihorario, a lo largo de un
cuarto de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro en 0.
a) -21,1 b) +21,1 c) -23,1 d) +23,1 e) -25,1
163. Hallar la circulación del campo F xyi ˆ 2xˆj
en sentido horario, a lo largo un cuadra
do de lados 4 u, con centro en el origen 0, y lados paralelos a los ejes x e y.
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
164. I) Dado el campo A (k / r)ˆ
en coordenadas cilíndricas con "k" constante. Demos
trar que
xA.
II) Dado el campo
radial "r". Demostrar que
A f (r)rˆ
en coordenadas esféricas, donde f es función de la distancia
xA.
165. Dado un campo F xyi ˆ 2xˆj
en una región 3 , verifique el teorema de Stokes sobre
un cuadrante de círculo de radio R=3, situado en el primer cuadrante, con centro en 0.
166. Hallar la circulación del campo F sen rˆ 3cos ˆ
en sentido antihorario, a lo largo
del cuadrante de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro
en el origen 0.
a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0
167. Dado el campo F sen rˆ 3cos ˆ
en la región 3 , hallar la magnitud del rotacional
de F en r=0,3, =53 o , y verificar el teorema de Stokes, sobre el cuadrante de circunfe
rencia de radio R=3, en el primer cuadrante, con centro en el origen 0.
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0
168. Dado el campo radial A =kr ˆr en coordenadas esféricas, determine si el teorema de la
divergencia es válido para la capa encerrada por las superficies esféricas r=R 1 , y r=R 2
(R 2 >R 1 ) con centro común en el origen.
169. Demostrar la identidad vectorial, xA, donde A es un campo vectorial en 3 .
170. Demostrar la identidad vectorial, x A 0 , donde A r es el vector de posición.
171. Demostrar la identidad vectorial r
r
/r, donde r es el vector de posición.
172. La ecuación A (BxC) B (CxA) C (AxB) describe los productos escalares triples
de tres vectores A , B y C . Hay otro tipo importante de producto de tres vectores: el
producto vectorial triple, Ax(BxC) . Demuestre la siguiente relación desarrollando en

70
Análisis vectorial
coordenadas cartesianas: Ax(BxC) B(A C) C(A B) .
173. Hallar la componente del vector A zi ˆ xˆj
en el punto P 1 (-1, 0,-2) que esté dirigida
hacia el punto P 2 ( 3 , 150 o , 1).
a) 1,205 b) 1,225 c) 1,245 d) 1,265 e) 1,285
174. Calcule los resultados de los siguientes productos de vectores unitarios. I) ˆ ˆi
, II) ˆr ˆj,
III) kr, ˆ ˆ IV) ˆ xi ˆ , V) ˆxrˆ, VI) ˆ xk ˆ .
175. Exprese la componente , A de un vector A en ( 1 , 1 , z 1 ).
I) En función de A x y A y en coordenadas cartesianas.
II) En función de A r y A en coordenadas esféricas.
176. Exprese la componente , E de un vector E en (r 1 , 1 , 1 ).
I) En función de E x , E y y E z en coordenadas cartesianas.
II) En función de E r y E z en coordenadas esféricas.
177. Dado un campo vectorial E yi ˆ xˆj
, calcule la integral Ed desde P 1 (2, 1,-1)
hasta P 2 (8, 2,-1). A lo largo de una línea recta que une los dos puntos.
178. Denote con r el vector de posición de un punto P(x, y, z). Hallar (1/r).
I) En coordenadas cartesianas.
II) En coordenadas esféricas.
179. Dado el campo escalar V=2xy-yz+xz.
I) Hallar el vector que representa la dirección y la magnitud de la razón de incremento
máxima de V en el punto P(2,-1, 0).
II) Hallar la razón de incremento de V en el punto P en la dirección hacia el punto Q(0, 2,
6).
180. En un sistema de coordenadas curvilínea, la diferenciación de un vector base puede
producir un nuevo vector en otra dirección.
I) Hallar ˆr / y ˆ / en coordenadas cilíndricas.
II) Use los resultados obtenidos en I) para encontrar la fórmula de A en coordenadas ci
líndricas, usando las ecuaciones =( u ˆ / h u u ˆ / h u u ˆ / h u ) y A =
A ˆ rrˆ
A Azˆ
k .
u 1 1 u 2 2 u 3 3
1 2 3
181. Calcule la divergencia de los siguientes campos radiales: I) f 1 (r)=r n ˆr , I) f 2 (r)=(k(r 2 )
ˆr , donde k es una constante.
182. Dado un campo vectorial F xyi ˆ yz ˆj zxkˆ
.
I) Hallar el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer

Robótica y Cibernética 71
octante con un vértice en el origen.
II) Hallar F y verifique el teorema de la divergencia.
2 ˆ
183. Para una función vectorial A r rˆ
2zk , verifique el teorema de la divergencia para
la región cilíndrica circular encerrada por r=5, z=0 y z=4.
184. Para una función vectorial dada por: A zkˆ
.
I) Hallar A dS sobre la superficie de una región semiesférica que es la mitad superior
de una esfera de radio R=3 centrada en el origen, con la base plana coincidente con el
plano xy.
II) Hallar la divergencia de A , A .
III) Verifique el teorema de la divergencia.
185. Un campo vectorial A =(cos 2 )/r 3 ˆr existe en la región comprendida entre dos capas es
féricas definidas por R 1 =2 y R 2 =3.
I) Calcule el flujo de A a través de la superficie S, A dS .
S
II) Calcule la integral de la divergencia de A en el volumen V,
A)dV .
186. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que la identidad
A (fA) f A A f
, en coordenadas cartesianas.
V (
y
2
y
C
B
R 2
R 1
0 2
x
0 A D
x
Fig39
Fig40
2 2 2
187. En la Fig39, suponga un campo vectorial A (2x y )i ˆ (xy y ) ˆj
.
I) Hallar Ad a lo largo del contorno triangular mostrado en la Figura.
II) Hallar (Axd ) dS sobre el área triangular.
III) ¿Puede expresarse A como el gradiente de un escalar? Explique.
188. En la Fig40, suponga una unción vectorial
2 ˆ
F 5rsen rˆ
r cos .

72
Análisis vectorial
I) Hallar Fd a lo largo del contorno ABCDA en la dirección indicada en la Figura.
II) Hallar el rotacional de F, esto es xF.
III) Hallar ( x F) dS sobre el área sombreada y compare el resultado con el que obtuvo
en el inciso I).
189. Dada una función vectorial A 3sen( / 2) ˆ
, verifique el teorema de Stokes sobre la
superficie de una semiesfera de radio R=4 y su borde circular.
190. Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que se cumple la
identidad: x(f A) f ( xA) ( f )xA , en coordenadas cartesianas.
191. Dada la función vectorial F (x 3y c ˆ ˆ ˆ
1z)i (c2x 5z) j (2x c3y c4z)k
.
I) Hallar c 1 , c 2 y c 3 , si F es irrotacional.
II) Hallar c 4 si F también es solenoidal.
192. Un campo eléctrico está dado por: E =25(x i +y j )/(x 2 +y 2 ) (N/C). (k=910 9 Nm 2 /C 2 )
I) Hallar en el punto P(3; 4;-2) m, un vector unitario en la dirección del campo E .
a) 0,2 i +0,4 j b) 0,6 i +0,8 j c) 0,4 i +0,6 j d) 0,8 i +0,2 j e) 0,3 i +0,4 j
II) Hallar el ángulo entre el campo eléctrico E y el eje-x en el punto P(3; 4;-2).
a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º
III) Hallar en el plano y=7, el valor de la siguiente integral doble:
4 2
E jdzdx .
0 0
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
193. Dado el vector campo E =4zy 2 cos(2x) i +2zysen(2x) j +y 2 sen(2x) k para la región IxI,
IyI y IzI es menor que 2, hallar: I) Las superficies en las que E y =0, II) La región R en
las que E y =E z , III) La región R en las que E =0.
194. Expresar el vector campo eléctrico uniforme E =5 i (N/C) en, I) Coordenadas cilíndri
cas. II) Coordenadas esféricas.
195.Expresar el vector campo eléctrico E =8sen ˆ (N/C) en, I) Coordenadas rectangula
res, II) Coordenadas cilíndricas.
196.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial,
viene dado por: E =2xz 2 i +2z(x 2 +1) k (N/C)
I) Determinar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(1; 3;-1) m.
a) x 2 =z 2 +2ln(z) b) x 2 =z 2 -2ln(z) c) z 2 =x 2 +2ln(x) d) z 2 =x 2 -2ln(x) e) z 2 =x 2 -4ln(x)

Robótica y Cibernética 73
II) El punto Q(2; z) m pertenece a una línea de campo, hallar el valor de "z".
a) 2,12 m b) 2,32 m c) 2,52 m d) 2,72 m e) 2,92 m
197.En cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, dado por la expresión: E =
20e -5y (cos(5x) i -sen(5x) j ). En el punto P(/6; 0,1; 2):
I) Hallar el módulo de E .
II) Hallar un vector unitario en la dirección de E .
III) Hallar la ecuación de la línea de campo que pasa por el punto P.
198.En una región R dada del espacio existe un campo eléctrico, dado por: E =(4x-2y) i -
(2x+4y) j (N/C). Hallar la ecuación de las línea de campo que pasa a través del punto
P(2; 3;-4) m.
a) y 2 =x 2 -4xy+19 b) y 2 =x 2 +4xy+19 c) y 2 =x 2 +4xy-19 d) y 2 =x 2 -4xy-19 e) y 2 =x 2 -xy+19
199.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x 2 i +y 2 j
(V/m). Hallar la circulación del campo E , a lo largo de la curva C: y=x 2 de (0; 0) a (1;
1) m. (k=910 9 Nm 2 /C 2 )
a) 0,47 V b) 0,57 V c) 0,67 V d) 0,77 V e) 0,87 V
200.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =2xy i +(x 2 -
z 2 ) j -3xz 2 k (N/C). Hallar el trabajo que hace el campo al trasladarse una carga unitaria
q=1 C de A(0; 0; 0) a B(2; 1; 3) m a lo largo de:
I) El segmento (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3).
a) +50 J b) -50 J c) +70 J d) -70 J e) +90 J
II) La línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3).
a) -36,5 J b) +36,5 J c) -39,5 J d) +39,5 J e) -42,5
201.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = (xy)
i +(x 2 + zy) j +5yz k (N/C). Hallar el trabajo realizado por el campo, al trasladarse u
na carga unitaria q=1 C a lo largo de la trayectorias rectas (1;0;0) (0;0;0) (0;0;1)
(0;2;0).
a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J
202.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x 2 y i -y j
(N/C). (k=910 9 Nm 2 /C 2 )
I) Hallar la circulación C E a lo largo de los segmentos rectos (0;0) (0;1) (2;0)
(0;0)
a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5

74
Análisis vectorial
II) Hallar: ( xE) dS, siendo "S" el área encerrada por la curva C, del inciso I)
S
a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4
III) ¿Se cumple el teorema de Stokes?
203.En una región R del espacio libre, existe una densidad de flujo, dado por: D =
2z 2 ˆ +cos 2 k . En la región definida por: 05 m, -1 m<z<1 m, 0<<2. Calcular
el flujo = D dS de la densidad D .
S
a) 170 C b) 172 C c) 174 C d) 176 C e) 178 C
204.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en
coorde nadas cilíndricas es: E =cos /r 2 ˆr +z cos ˆ +z ˆk (N/C). Hallar el flujo del
rotacional del campo a través del hemisferio, definido por: r=4 m, z0.
205.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en
coorde nadas rectangulares es: E = (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/2 [(x-y) i +(x+y) j ]/(x 2 +y 2 ) 1/2 . Calcular
las sigui entes integrales:
I) C E = L
Ed
II) =
III) =
, donde L es el borde circular del volumen en forma de cono para helados
de arista a=2 m, y ángulo de vértice =60º.
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
S
1
( xE) dS
, donde S 1 es la superficie superior del cono compacto.
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
S
2
( xE) dS
, donde S 2 es la superficie lateral del cono compacto.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e)
206.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por la expresión:
E = sen ˆ + 2 ˆ
I) Hallar la circulación del campo C E a lo largo del contorno de la Fig41.
a) 10,17 V b) 10,37 V c) 10,57 V d) 10,77 V e) 10,97 V
II) Hallar la circulación del campo C E a lo largo del contorno de la Fig42.
a) 4 V b) 5 V c) 6 V d) 7 V e) 8 V
207.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor
denadas cilíndricas es: E = 2 sen ˆ +zcos ˆ +z ˆk . Hallar el flujo de campo total (en

Robótica y Cibernética 75
Nm 2 /C) hacia fuera a través del cilindro hueco definido por: 2 m 3 m, 0 z 5 m.
a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199
y
2
y
2
1
0 2
x
2
1
0
1
2
x
Fig41
Fig42
208.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor
denadas rectangulares es: E =(16xy-z) î +8x2 ĵ-x ˆk (N/C)
I) Indicar si el campo E es irrotacional (o conservativo).
II) Hallar el flujo neto del campo E sobre el cubo definido por: 0 < x, y, z < 1 m.
a) 5 Nm 2 /C b) 6 Nm 2 /C c) 7 Nm 2 /C d) 8 Nm 2 /C e) 9 Nm 2 /C
III) Hallar la circulación de E alrededor del borde del cuadrado: z=0, 0<x, y<1 m, (Tómese
el sentido de circulación en el sentido de la manecillas del reloj)
a) 0 J/C b) 1 J/C c) 2 J/C d) 3 J/C e) 4 J/C
209.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en
coorde nadas rectangulares es: E (xy-z 3 ) i +(3x 2 -z) j +(3xz 2 -y) k (N/C).
I) Determinar la expresión K= + + , sabiendo que el campo E es irrotacional.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Hallar la divergencia de E , y evaluar en el punto de coordenadas (2;-1; 0) m.
a) -1 N/mC b) +1 N/mC c) -2 N/mC d) +2 N/mC e) -3 N/mC
210.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = i +z 2 j +
2yz k (V/m). Hallar el trabajo realizado al desplazar una carga de q=5 C desde el punto
P(1; 2;-4) m hasta el punto R(3;-5; 6) m.
a) 1010 J b) 1020 J c) 1030 J d) 1040 J e) 1050 J
211.En coordenadas cilíndricas, la densidad de carga, viene dado por: v =12 nC/m 3 , para
1m<<2 m, y =0 para 0<<1 m, >2 m. Hallar la densidad de flujo D en cualquier

76
Análisis vectorial
punto del espacio, y evaluar en =1,4 m. (n=10 -9 )
a) 4,18n ˆ b) 4,38n ˆ c) 4,58n ˆ d) 4,78n ˆ e) 4,98n ˆ
212. Dados el punto P(-2; 6; 3), y el vector A yi ˆ (x z) ˆj
en coordenadas cartesianas.
I) Hallar el punto P en coordenadas cilíndricas.
a) (6,32; 108,43 o ; 3) b) (6,12; 102,43 o ; 3) c) (6,52; 104,43 o ; 3)
d) (6,92, 100,43 o ; 3) e) (6,72; 106,43 o ; 3)
II) Hallar el punto P en coordenadas esféricas.
a) (7; 64,62 o ; 108,43 o ) b) (5; 60,62 o ; 100,43 o ) c) (8; 68,62 o ; 104,43 o )
d) (4; 62,62 o ; 102,43 o ) e) (6; 66,62 o ; 106,43 o )
III) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas cilíndricas.
a) -0,95 ˆ -6,00 ˆ b) -0,95 ˆ +6,00 ˆ c) +0,95 ˆ -6,00 ˆ
d) +0,95 ˆ +6,00 ˆ e) -0,91 ˆ -6,40 ˆ
IV) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas esféricas.
a) -0,86 ˆr -0,41 ˆ -6,01 ˆ b) -0,76 ˆr -0,31 ˆ -5,01 ˆ c) -0,56 ˆr -0,51 ˆ -8,01 ˆ
d) -0,66 ˆr -0,61 ˆ -4,01 ˆ e) -0,46 ˆr -0,71 ˆ -5,01 ˆ
213. Dado el vector B (10 / r)rˆ
rcosˆ ˆ
en coordenadas esféricas.
I) Expresar el vector B en coordenadas cartesianas en el punto P(-3; 4; 0).
a) 2 î - ĵ b) -2 î - ĵ c) -2 î + ĵ d) 2 î + ĵ e) î -2 ĵ
II) Expresar el vector B en coordenadas cilíndricas en el punto P(5; /2; -2).
a) 2,47 ˆ + ˆ +1,17 ˆk b) 2,37 ˆ + ˆ +1,27 ˆk c) 2,57 ˆ + ˆ +1,37 ˆk
d) 2,67 ˆ + ˆ +1,47 ˆk e) 2,77 ˆ + ˆ +1,57 ˆk
214. Dados los campos vectoriales en el espacio R 3 : E 5ˆ
10ˆ
3kˆ
, y F ˆ
2 ˆ -6 ˆk
I) Hallar la magnitud del producto vectorial E x F.
a) 70,06 b) 71,06 c) 72,06 d) 73,06 e) 74,06
II) Hallar la componente vectorial de E en el punto P(5; /2; 3) paralela a la línea x=2,
z=3.
a) -3 ˆ b) -4 ˆ c) -5 ˆ d) 3 ˆ e) 4 ˆ
III) Hallar el ángulo que forma E con la superficie z=3 en el punto P.

Robótica y Cibernética 77
a) 15,02 o b) 15,22 o c) 15,42 o d) 15,62 o e) 15,82 o
215.Hallar la circulación del campo
2ˆ 2ˆ 2
A x i y j z kˆ
a lo largo de la parábola y 2 =x
definida en el plano xy, desde el origen O(0; 0; 0) hasta el punto P(2; 2 ; 0).
a) 3,01 b) 3,21 c) 3,41 d) 3,61 e) 3,81
216. I) Dado el campo A zsen ˆ
3 cosˆ
cossen kˆ
en coordenadas cilíndricas,
exprese este campo en coordenadas cartesianas.
2
II) Dado el campo B r rˆ
senˆ
en coordenadas esféricas, exprese este campo en coor
denadas cartesianas.
217. Dado el campo vectorial H zcos ˆ
sen ˆ
2ˆ k en coordenadas cilíndricas.
2
I) Hallar Hi ˆ en el punto P(1; /3, 0).
a) -0,413 b) -0,433 c) -0,453 d) -0,473 e) -0,493
II) Hallar
ˆ H x i en el punto P(1; /3, 0).
a) -0,3 ˆ b) -0,5 ˆ c) -0,3 ˆ d) -0,5 ˆ e) ˆ 0,4k
III) Hallar la componente vectorial de H normal a la superficie =1.
a) 0 ˆ b) 0 ˆ c) 2 ˆ
d) 2 ˆ e) 5k ˆ
IV) Hallar la componente escalar de H tangencial al plano z=0.
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
218. Dado un campo vectorial,
D rsen r ˆ (1/ r)sen cos r
2ˆ en el espacio R 3 .
I) Evaluar el campo vectorial D en el punto P(10; 150 o , 330 o ).
a) -5 ˆr +0,043 ˆ +100 ˆ b) -5 ˆr +0,033 ˆ +100 ˆ c) -5 ˆr +0,053 ˆ +100 ˆ
d) -5 ˆr +0,023 ˆ +100 ˆ e) -5 ˆr +0,063 ˆ +100 ˆ
II) Hallar la componente de D tangencial a la superficie esférica r=10 en el punto P.
a) 0,043 ˆ +100 ˆ b) 0,013 ˆ +100 ˆ c) 0,053 ˆ +100 ˆ
d) 0,033 ˆ +100 ˆ e) 0,023 ˆ +100 ˆ
III) Hallar un vector unitario en P perpendicular a D y tangencial al cono =150 o .

78
Análisis vectorial
a) -1,00 ˆr -0,05 ˆ b) -1,00 ˆr +0,05 ˆ c) +1,00 ˆr -0,05 ˆ
d) +1,00 ˆr +0,05 ˆ e) -2,00 ˆr -0,08 ˆ
219. Dado los campos vectoriales, A 3rˆ
2ˆ 6ˆ
y B 4rˆ
3 ˆ
en el espacio R 3 .
I) Hallar el producto escalar AB.
a) -4,0 b) -4,5 c) -5,0 d) -5,5 e) -6,0
II) Hallar la magnitud del producto vectorial A x B.
a) 30,48 b) 32,48 c) 34,48 d) 36,48 e) 38,48
III) Hallar la componente vectorial de A a lo largo de ˆk en el punto P(1; /3; 5/4).
a) -0,116 ˆr +0,201 ˆ b) 0,116 ˆr -0,201 ˆ c) -0,136 ˆr +0,241 ˆ
d) 0,136 ˆr -0,241 ˆ e) 0,176 ˆr -0,281 ˆ
220. Demostrar la identidad vectorial,
que limita a la superficie S.
dr xB (n x )xBdS, donde C es el contorno
C
S ˆ
221. En la Fig43, calcular
C
(y sen x)dx cosxdy
, siendo C el triángulo mostrado.
a) -1,12 b) -1,22 c) 1,32 d) -1,42 e) -1,52
222. En la Fig44, calcular
región definida por y=x e y=x 2 .
C
2 2
(xy y )dx x dy , siendo C la curva cerrada que limita la
a) -1/10 b) +1/10 c) -1/20 d) +1/20 e) -1/30
223. Dada la función derivable f(r) en su dominio, hallar x( r f(r)).
y
(/2;1)
B
y
(1;1)
y=x
y=x 2
0
A x
(/2;0)
0
x
Fig43
Fig44
224. Dados, A A ˆ ˆ ˆ
1i A2j A3k
, y r xi ˆ yˆj zkˆ
, hallar (Ax r) , si xA =0.

Robótica y Cibernética 79
225. Sabiendo que, v x r , demostrar que (1/ 2) x v , siendo =cte.
226. Dado el campo
2
A x yi ˆ 2xzˆj 2yzkˆ
, hallar x x A en el punto P(1; 1; 1).
a) 3 î b) 3 ĵ c) 4 î d) 4 ĵ e) 3 ˆk
227. Dado el campo
3ˆ 2 ˆ 4
A xz i 2x yz j 2yz kˆ
, hallar xA en el punto P(1;-1; 1).
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
228. Dado el campo escalar
3 2 4
2x y z , hallar en el punto P(1; 1; 1).
a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48
229. Hallar la derivada direccional del campo escalar =x 2 yz+4xz 2 en el punto P(1;-2;-1), y
en la dirección y sentido del vector a 2i ˆ ˆj 2kˆ
.
a) 10,33 b) 11,33 c) 12,33 d) 13,33 e) 14,33
230. Dados los campos vectoriales A senui ˆ cosu ˆj ukˆ
, B cosui ˆ senuˆj 3kˆ
, y
C 2i ˆ 3ˆj kˆ
, hallar dAx(BxC) / du evaluando en u=0.
u 0
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
231. Dados los campos vectoriales
3 cos t ˆk , hallar
2 2
d (AxB) / dt
2 ˆ ˆ 2
ˆ y B(t) sen tiˆ
A(t) 3t i (t 4) j (t 2t)k
t0
evaluado en t=0.
+3e -t ĵ-
a) 35,7 b) 36,7 c) 37,7 d) 38,7 e) 39,7
232. Sabiendo que, d 2 A /dt 2 =6t î -24t2 ĵ+4sent ˆk , además A 2i ˆ ˆj
, y d A /dt=- î -3 ˆk en t=0.
Hallar A en t=/3.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
233. Dados los campos vectoriales A =x 2 yz î -2xz3 ĵ+xz 2 ˆk y B =2z î +y j-x 2 ˆk , hallar la mag
nitud de 2 ( A x B )/xy, evaluado en el punto P(1; 0; -2).
a) 8,1 b) 8,3 c) 8,5 d) 8,7 e) 8,9
234. Dada la curva C de ecuación paramétrica x=t-t 3 /3, y=t 2 , z=t+t 3 /3.
I) Hallar el vector unitario tangente ˆT a la curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3).
a) 0,71(i + ĵ) b) 0,71( î + ˆk ) c) 0,71( ĵ+ ˆk ) d) 0,71( î - ˆk ) e) 0,71 ˆk

80
Análisis vectorial
II) Hallar la curvatura "" de la curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3).
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 1/4 e) 3/4
III) Hallar el vector unitario normal ˆN a la curva C para el punto P en el que t=1/2.
a) -0,8 î +0,6 ĵ b) 0,8 î -0,6 ĵ c) 0,8î +0,6 ĵ d) -0,8 î -0,6 ĵ e) 0,2 î
IV) Hallar el radio de curvatura "" de la curva C en un punto en el que t=1/2.
a) 1,16 b) 1,36 c) 1,56 d) 1,76 e) 1,96
V) Hallar el vector binormal " ˆB " a la curva C en un punto en el que t=2.
a) 0,42 î -0,57 ĵ+0,71 ˆk b) 0,42î +0,57 ĵ+0,71 ˆk c) -0,42 î +0,57 ĵ+0,71 ˆk
d) 0,42 î +0,57 ĵ-0,71 ˆk e) 0,42 î -0,57 ĵ-0,71 ˆk
VI) Hallar la torsión "" de la curva C en un punto en el que t=1/2.
a) 1,13 b) 1,23 c) 1,33 d) 1,43 e) 1,53
235. Una curva C del espacio R 3 , viene dada en función de la longitud de arco "s" , por
las ecuaciones paramétricas: x=tg -1 (s), y=(1/2) 2 ln(s 2 +1), z=s-tg -1 (s).
I) Hallar el vector unitario tangente ˆT a la curva C para s= 2 .
a) (1/ 3)i ˆ ˆj (2 / 3)kˆ
b) ˆ i (1/ 3) ˆ j (2 / 3)k ˆ c) (2 / 3)i ˆ ˆj (1/ 3)kˆ
d) ˆ i (2 / 3) ˆ j (1/ 3)k ˆ e) (2 / 3)i ˆ (1/ 3) ˆj (2 / 3)kˆ
II) Hallar la curvatura "" en la curva C para s= 2 .
a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67
III) Hallar el vector unitario normal ˆN a la curva C para s= 2 .
a) 2 / 3i ˆ 1/ 3ˆj 2 / 3kˆ
b) 2 / 3i ˆ 1/ 3ˆj 2 / 3kˆ
c) 2 / 3i ˆ 1/ 3ˆj 2 / 3kˆ
d) 1/ 3i ˆ 2 / 3ˆj 1/ 3kˆ
e) 2 / 3i ˆ 1/ 3ˆj 2 / 3kˆ
IV) Hallar el radio de curvatura en un punto de la curva C para s= 2 .
a) 1,32 b) 1,72 c) 2,12 d) 2,52 e) 2,92
V) Hallar la binormal ˆB a la curva C para s= 2 .
a) 2/3 î -2/3 ĵ+1/3 ˆk b) 2/3 î -2/3 ĵ-1/3 ˆk c) -2/3 î -2/3 ĵ+1/3 ˆk
d) -2/3 î +2/3 ĵ+1/3 ˆk e) -2/3 î +2/3 ĵ-1/3 ˆk

Robótica y Cibernética 81
VI) Hallar la torsión "" en un punto de la curva C para s= 2 .
a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67
236. La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R 3 , está dada por: x=t, y=t 2 ,
z=t 3
I) Hallar la curvatura "" de esta curva C en un punto en el que t=1.
a) 0,13 b) 0,17 c) 0,21 d) 0,25 e) 0,29
II) Hallar el vector unitario normal ˆN a la curva C en un punto en el que t=1.
a) -0,67 î +0,49 ĵ+0,55 ˆk b) -0,67 î +0,49 ĵ-0,55 ˆk c) -0,67 î -0,49 ĵ+0,55 ˆk
d) 0,67 î +0,49 ĵ+0,55 ˆk e) 0,67 î +0,49 ĵ-0,55 ˆk
237. I) Demostrar que el radio de curvatura "" de una curva plana de ecuaciones y=f(x),
z=0, es decir, una curva C situada en el plano xy, viene dada por: =[1+(y') 2 ] 3/2 / y" .
II) Hallar el radio de curvatura "" en un punto de la curva C, si y=f(x)=3x 3 , y x=0,5.
a) 1,06 b) 1,26 c) 1,46 d) 1,66 e) 186
238. Demostrar que la curvatura "" de la curva C del espacio R 3 , definida por r = r(t) ,
viene dada por: = r x r /
tiempo t.
3
r , en la que los puntos indican derivadas con respecto al
239. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del paraboloide z=x 2 +y 2 en el pun
to P(1;-1; 2).
a) 2x+y-2z=2 b) 2x-2y+z=2 c) 2x-y-2z=2 d) 2x-2y-z=2 e) x-2y+z=2
240. Dado un campo vectorial A en el espacio R 3 , demuestre explícitamente que
x A = 0; es decir, la divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es
cero.
241. Con relación a un campo escalar , demuestre que x=0; esto es, el rotacional del
gradiente de todo campo escalar es cero.
242. Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) V=e -z sen 2x cosh y, I) U=
2 z cos 2, III) W=10r sen2 cos .
243. Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) U=x 2 y+xyz, II) V=z
sen + z 2 cos 2 + 2 , III) f=cos sen ln(r) +r 2 .
244. Demuestre que el campo vectorial E =(y+z cos xz) î +x ĵ+x cos xz ˆk es conservativo.
245. Indicar cuáles de los siguientes enunciado son correctos (C) e incorrectos (I).

82
Análisis vectorial
I) AB+2 A , II) AB+5=2 A , III) A(A B) +2=0, IV) AA+B B=0.
a) CICI b) CCII c) IICI d) ICIC e) IIIC
246. Dados los campos vectoriales, F 2i ˆ 6j ˆ 10kˆ
, y G ˆi G ˆ ˆ
yj 5k . Si F y G tienen
el mismo vector unitario. Hallar la componente "G y " del campo G .
a) 6 b) -3 c) 0 d) 6 e) 4
247. Dados los campos vectoriales, A ˆi ˆj kˆ
y B iˆ ˆj kˆ
. Si A y B son normales
entre si. Hallar el coeficiente "".
a) -2 b) -1/2 c) 0 d) 1 e) 2
248. Hallar la componente del vector a 6i ˆ 2j ˆ 3kˆ
a lo largo del vector b 3i ˆ 4j ˆ.
a) -12 î -9 ĵ-3 ˆk b) 30 î -40 ĵ c) 10/7 d) 2 e) 10
249. Hallar la proyección del vector A 6i ˆ 3j ˆ 2kˆ
a lo largo del vector unitario ĵ.
a) -12 ĵ b) -4 î c) 3 ĵ d) 7 î e) 12 ˆk
250. Hallar la componente del vector A 10i ˆ 4ˆj 6kˆ
a lo largo del vector unitario ĵ.
a) 2 b) -3 c) -4 d) 5 e) 3
251. Un río corre al sureste a 10 km/h y una lancha flota en él con la proa hacia la dirección
del desplazamiento. Un hombre camina en la cubierta a 2 km/h en una dirección a la
derecha y perpendicular a la del movimiento de la lancha. hallar la velocidad del hom
bre respecto a la tierra.
a) 10,2 km/h; 52,3 SE b) 10,2 km/h; 50,3 NS c) 10,2 km/h; 58,3 SO
d) 10,2 km/h; 56,3 SE e) 10,2 km/h; 54,3 NS
252. Dados los vectores: A 5i ˆ 3j ˆ 2kˆ
, B ˆi 4j ˆ 6kˆ
, y C 8i ˆ 2j ˆ, hallar los valores
de y tales que A + B +C sea paralela al eje y.
a) 13/7; 5/7 b) -13/7; -5/7 c) -12/7; -4/7 d) 12/7; 4/7 e) 3/5; 2/5
253. Dados los vectores A ˆi ˆj 4kˆ
, B 3i ˆ ˆj 6kˆ
, y C 5i ˆ 2j ˆ kˆ
, mutuamente
ortogonales, hallar la expresión: E=(-)/.
a) 4 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
254. I) Demuestre la relación vectorial,
2 2 2
(A B) (AxB (AB) .

Robótica y Cibernética 83
II) Probar las relaciones entre los vectores unitarios de base î , ĵ, ˆk : ˆ i (jxk) ˆ ˆ / i ˆ ˆ jxk ˆ ,
ˆj
(kˆ xi) ˆ / iˆ ˆjxk
ˆ , k ˆ ˆ i x j/ ˆ i ˆ jxk ˆ .
255. Dados los vectores: A =5t 2 î +t ˆk ĵ+t3 y B =sen t î -cos t ĵ. I) Hallar d( AB)/dt, II) Ha
llar d( AxB )/dt, III) Hallar d( AA)/dt.
256. Demostrar que A y d A /dt son perpendiculares entre si, sabiendo que A =cte., y ade
más dA / dt 0.
257. Demostrar que d( A BxC)/du= A Bx (dC /du)+ A (d B /du)xC +(d A /du) BxC .
258. Calcular la expresión
2 2
E d[v (dv / dt)x(d v / dt )] / dt .
259. Una partícula se desplaza de modo que su vector de posición en cualquier instante "t",
está dada por: r cos t ˆi sen t ˆj
, siendo "" una constante.
I) Demostrar que la velocidad " v " es perpendicular al vector de posición " r ".
II) Demostrar que la aceleración " a " está dirigida hacia el origen, y su módulo es 2 r.
III) Demostrar que el producto vectorial, r x v es un vector constante.
260. Dados los campos escalares F=x 3 z+e y/x , y G=2z 2 y-xy 2 , en el espacio R 3 .
I) Hallar (F+G) y evaluar en el punto (1; 0; -2).
II) Hallar (FG) y evaluar en el punto (1; 0; -2).
261. Calcular r 3 , y evaluar para r=4/3.
a) 3 r b) 4 r c) 5 r d) 2 r e) 6 r
262. Demostrar que f(r)=f'(r) r /r, donde f es una función continua y derivable en r.
263. Calcular la expresión siguiente F=(3r 2 -4 r +6/ 3 r ) y evaluar para r=1,5.
a) 3,17 r b) 3,27 r c) 3,37 r d) 3,47 r e) 3,57 r
264. Sabiendo que, U=2r 4 r , hallar la función escalar U en r=3, si U=20 en r=2.
a) 251,67 b) 253,67 c) 255,67 d) 257,67 e) 259,67
265. Hallar (r) en r=1,2, sabiendo que = r /r 5 y (1)=0.
a) 0,10 b) 0,14 c) 0,18 d) 0,22 e) 0,26
2 2 2
x y z
266. Calcular , sabiendo que =(x 2 +y 2 +z 2 ) e , y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 0,037 r b) 0,047 r c) 0,057 r d) 0,067 r e) 0,077 r

84
Análisis vectorial
267.Dado que, =2xyz 3 î +x 2 z 3 ĵ+3x 2 yz 2 ˆk , hallar (1; 2; 3) sabiendo que (1;-2; 2)=4.
a) 70 b) 72 c) 74 d) 76 e) 78
268. Dado =(y 2 -2xyz 3 ) î +(3+2xy-x2 y 3 ) ĵ+(6z3 -3x 2 yz 2 ) ˆk , hallar (2; 2; 2) sabiendo que la
constante de integración es C=10.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
269. Siendo U una función derivable de x, y, y z, demostrar que Ud r =dU.
270. Siendo F una función derivable de x, y, y z, funciones derivables de t, demostrar que
dF/dt=F/t+Ud r /dt.
271. Demostrar que (F/G)=(GF-FG)/G 2 , siendo G0.
272. Hallar el vector unitario perpendicular externo a la superficie del paraboloide de
revolu ción z=x 2 +y 2 en el punto P(1; 2; 5).
a) 0,44i +0,87 ĵ-0,22 ˆk b) 0,44i -0,87 ĵ-0,22 ˆk c) -0,44i +0,87 ĵ-0,22 ˆk
d) 0,44i -0,87 ĵ+0,22 ˆk e) -0,44i -0,87 ĵ+0,22 ˆk
273.Hallar el vector unitario normal a la superficie (x-1) 2 +y 2 +(z+2) 2 =9 en el punto (3; 1;-4)
a) -0,67 î +0,33 ĵ-0,67 ˆk b) 0,67î -0,33 ĵ+0,67 ˆk c) 0,67î -0,33 ĵ-0,67 ˆk
d) -0,67 î -0,33 ĵ+0,67 ˆk e) 0,67 î +0,33 ĵ-0,67 ˆk
274. Hallar el ángulo que forman las superficies S 1 : x 2 +y 2 +z 2 =9 y S 2 : z=x 2 +y 2 -3 en el punto
(2;-1; 2).
a) 50,35 o b) 52,35 o c) 54,35 o d) 56,35 o e) 58,35 o
275. Hallar la derivada de =4xz 3 -3x 2 y 2 z en el punto (2;-1; 2) en la dirección 2 î -3 ĵ+6 ˆk .
a) 51,7 b) 53,7 c) 55,7 d) 57,7 e) 59,7
276. Hallar la derivada de la función P=4e -2x-y+z en el punto (1; 1;-1) en dirección hacia el
punto (-3; 5; 6).
a) -2,02 b) 2,02 c) -2,22 d) 2,22 e) -2,42
277. Hallar la dirección según la cual la derrivada de la función =2xz-y 2 en el punto (1; 3;
2) es máxima. ¿Cuál es el módulo de este valor máximo?
a) 7,08 b) 7,28 c) 7,48 d) 7,68 e) 7,88
278. Hallar los valores de las constantes "a", "b", "c" de forma que la derivada de la función

Robótica y Cibernética 85
=axy 2 +byz+cz 2 x 3 en el punto (1; 2;-1) tenga un máximo de módulo 64 en la dirección
del eje z.
a) 6, 20, -8 b) 6, 28, -8 c) 6, 22, -8 d) 6, 26, -8 e) 6, 24, -8
279. Hallar el ángulo agudo formado por las superficies S 1 : xy 2 z=3x+z 2 , y S 2 : 3x 2 -y 2 +2z=1
en el punto (1;-2; 1).
a) 71,92 o b) 73,92 o c) 75,92 o d) 77,92 o e) 79,92 o
280. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xz 2 +x 2 y=z-1 en el punto (1;-3; 2).
a) 4x-2y-z=5 b) 4x+2y-z=5 c) -4x+2y-z=5 d) 4x-2y+z=5 e) -4x+2y+z=5
281. Hallar las constantes "a" y "b" de forma que la superficie S 1 : ax 2 -byz=(a+2)x sea orto
gonal a la superficie S 2 : 4x 2 y+z 3 =4, en el punto (1;-1; 2).
a) 3/2, 1/2 b) 2/3, 2 c) 3/4, 1 d) 4/3, 3 e) 5/2, 1
282. Dados el campo vectorial A =3xyz 2 î +2xy 3 ĵ-x 2 yz ˆk y el campo escalar =3x 2 -yz.
I) Calcular A en el punto (1;-1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Calcular A
en el punto (1;-1; 1).
a) -12 b) -13 c) -14 d) -15 e) -16
III) Calcular ( A)
en el punto (1;-1; 1).
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
IV) Calcular ( )
en el punto (1;-1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
283. Dado el campo vectorial A =2x 2 z î -xy2 z ˆk ĵ+3yz2 , hallar A en el punto (1;1;1).
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
284. Dado el campo escalar =3x 2 z-y 2 z 3 +4x 3 y+2x-3y-5 en el espacio R 3 , hallar 2 en el
punto P(1;-1; 1).
a) -20 b) 20 c) -22 d) 22 e) -24
285. La ecuación paramétrica de una curva C en R 3 , viene dada por: x=(2t+1)/(t-1),
y=t 2 /(t-1), z=t+2.
I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para t=2,1.

86
Análisis vectorial
a) 0,015 b) 0,025 c) 0,035 d) 0,045 e) 0,055
II) Hallar la torsión "" de la curva , para t=2,1.
a) 0,000 b) 0,023 c) 0,043 d) 0,063 e) 0,083
286. Siendo, r =a cos u î +b sen u ĵ el vector de posición de los puntos de la curva C, y "a"
y "b" constantes positivas.
I) Hallar la curvatura "" de la curva, y evaluar para a=8, b=6 y u=/3.
a) 0,111 b) 0,131 c) 0,151 d) 0,171 e) 0,191
II) Interpretar el caso en el que a=b.
287. La ecuación paramétrica de una curva C en R 3 , viene dada por: x=-sen , y=1-cos ,
z=4sen(/2).
I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para =53 o .
a) 0,17 b) 0,27 c) 0,37 d) 0,47 e) 0,57
II) Hallar la torsión "" de la curva C, para =53 o .
a) 0,019 b) 0,039 c) 0,059 d) 0,079 e) 0,099
288. Calcular 2 (ln r) en el punto r=0,5.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
289. Dado el campo vectorial F=(3x 2 y-z) î +(xz3 +y 4 ) ĵ-2x3 z 2 ˆk en el espacio R 3 , hallar
( F) en el punto P(2;-1; 0).
a) -6 î +24 ĵ-32 ˆk b) 6 î -24 ĵ-32 ˆk c) -6 î -24 ĵ+32 ˆk
d) -6 î +24 ĵ+32 ˆk e) 6 î +24 ĵ+32 ˆk
290. Suponga que la velocidad angular es un vector constante y que la velocidad lineal
es v x r . Demuestre que v =0.
291. Demuestre la siguiente identidad vectorial 2 ()= 2 +2+ 2 .
292. Dadas las funciones escalares U=3x 2 y y V=xz 2 -2y, en el espacio R 3 . Hallar la expre
sión [UV] en el punto P(1;-1; 1).
a) -18 î +6 ĵ-12 ˆk b) 18 î -6 ĵ-12 ˆk c) 18 î +6 ĵ+12 ˆk
d) -18 î -6 ĵ-12 ˆk e) -18 î -6 ĵ+12 ˆk
293. Calcular (r 3 r ) y evaluar para r=1,5.
a) 20,00 b) 20,25 c) 20,50 d) 20,75 e) 21,00

Robótica y Cibernética 87
294. Calcular [r(1/r 3 )], y evaluar para r=1,25.
a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82
295. Calcular 2 [( r /r 2 )], y evaluar para r=1,25.
a) 0,22 b) 0,42 c) 0,62 d) 0,82 e) 1,02
296. Dado el campo vectorial A = r /r, en el espacio R 3 , calcular ( A ) en r=0,25.
a) -120 r b) -122 r c) -124 r d) -126 r e) -128 r
297. Sea f(r) una función derivable y continua, demostrar que 2 f(r)=d 2 f/dr 2 +(2/r)df/dr.
4 2 3 2 2 2
298. Demostrar que el campo vectorial A 3y z ˆi 4x z ˆj 3x y kˆ
es solenoidal.
299. Demostrar que el campo vectorial
noidal, y el campo vectorial
2 2 ˆ 3 2ˆ 2 2
A (2x 8xy z)i 4x z j 3x y k) ˆ no es sole
2
B xyz A si es solenoidal.
300. Asumiendo que U y V son campos escalares diferenciables . Demostrar que UxV
es solenoidal.
301. Dado el campo vectorial V =(-x î -y ĵ)/(x2 +y 2 ) 1/2 en el espacio R 3 . Demostrar que el
campo V es un "campo sumidero".
302. Dado el campo vectorial
I) Hallar x A en el punto (1; 1; 1).
2ˆ ˆ 3
A 2xz i yz j 3xz kˆ
y el campo escalar
2
x yz .
a) ĵ+ ˆk b) î + ˆk c) î + ĵ+ ˆk d) î - ˆk e) î + ĵ
II) Hallar rot( A) en el punto (1; 1; 1).
a) 5 î -3 ĵ-4 ˆk b) 5 î +3 ĵ-4 ˆk c) 5 î -3 ĵ+4 ˆk d) 5 î +3 ĵ+4 ˆk e) 5 î -3 ĵ
III) Hallar x( xA) en el punto (1; 1; 1).
a) 5 î +3 ˆk b) 3 î +5 ˆk c) 5 î -3 ˆk d) 3 î -5 ˆk e) -5 î -3 ˆk
IV) Hallar [A xA] en el punto (1; 1; 1).
a) -2 î + ĵ+8 ˆk b) 2 î - ĵ+8 ˆk c) 2 î + ĵ-8 ˆk d) 2 î + ĵ+8 ˆk e) 2 î + ĵ
V) Hallar x ( A)
en el punto (1; 1; 1).
a) 0 b) 2 î +5 ˆk c) 3 î -2 ĵ-4 ˆk d) 3 ĵ-4 ˆk e) 3 î -2 ĵ

88
Análisis vectorial
303. Dados los campos escalares F=x 2 yz, y G=xy-3z 2 en el espacio R 3 .
I) Hallar [( F) ( G)] en el punto (1; 1; 1).
a) -7 î +2 ĵ-3 ˆk b) -7 î -2 ĵ+3 ˆk c) +7 î -2 ĵ-3 ˆk d) -7 î -2 ĵ-3 ˆk e) -7 î +3 ˆk
II) Hallar
[( F)x( G)] en el punto (1; 1; 1).
a) 0 b) -7 î -3 ĵ c) -8 î +2 ĵ d) 4 î -2 ĵ+2 ˆk e) -3 ĵ+6 ˆk
III) Hallar
x[( F)x( G)] en el punto (1; 1; 1).
a) -23 î +14 ĵ+15 ˆk b) 23 î -14 ĵ+15 ˆk c) -23 î -14 ĵ-15 ˆk
d) +23 î +14 ĵ+15 ˆk e) -23 î -14 ĵ+15 ˆk
304. Calcular x(r /r), y evaluar para r=0,5.
a) 0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
305. ¿Para qué valor de la constante "a" el vector
tendrá su rotacional igual a cero?
3 ˆ 2ˆ 2
A (axy z )i (a 2)x j (1 a)xz kˆ
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
306. Dado una función escalar "" continua y derivable en R 3 . Probar que rot(grad)=0 .
307. La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R 3 es, x=t, y=t 2 , z=(2/3)t 3 .
I) Hallar la curvatura "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5.
a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99
II) Hallar la torsión "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5.
a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99
2 3
308. Dados los campos vectoriales A x zi ˆ yz ˆj 3xykˆ
,
po escalar =2x 2 +yz.
I) Calcular A ( )
y evaluar en el punto (1; 1; 1).
B y
2ˆ i yzˆj 2xkˆ
, y el cam
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Calcular (A ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
III) Calcular (A )B y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 î -2 ĵ -2 ˆk b) 2 î +2 ĵ -2 ˆk c) 2 î -2 ĵ +2 ˆk d) 2 î +2 ĵ +2 ˆk e) 2 î +2 ĵ

Robótica y Cibernética 89
IV) Calcular B(A ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
V) Calcular ( A)B y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 î -3 ĵ +2 ˆk b) 2 î +3 ĵ +2 ˆk c) 2 î -3 ĵ -2 ˆk d) 2 î +3 ĵ +2 ˆk e) 2 î +2 ˆk
2 2
309. Dados los campos vectoriales A yz ˆ i 3xz ˆ j 2xyzk ˆ , B 3xi ˆ 4zˆj xykˆ
, y el
campo escalar =xyz.
I) Calcular Ax( )
y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 5 î - ĵ+4 ˆk b) -5 î + ĵ-4 ˆk c) -5 î - ĵ+4 ˆk d) -5 î + ĵ+4 ˆk e) 3 î -4 ˆk
II) Calcular (Ax ) y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 5 î - ĵ+4 ˆk b) -5 î + ĵ-4 ˆk c) -5 î - ĵ+4 ˆk d) -5 î + ĵ+4 ˆk e) 3 î -4 ˆk
III) Calcular ( xA)xB y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 16 î +4 ĵ+32 ˆk b) 16 î -4 ĵ-32 ˆk c) 16 î +4 ĵ-32 ˆk d) 16 î -4 ĵ+32 ˆk e)12 ĵ+8 ˆk
IV) Calcular B
xA y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
310. Dados los campos vectoriales A xz
2ˆ i 2yˆj 3xzkˆ
y
pacio R 3 .
I) Hallar Ax( x B) en el punto P(1;-1; 2).
ˆ ˆ 2ˆ
B 3xzi 2yz j z k en el es
a) 16 î +12 ĵ+16 ˆk b) -16 î -12 ĵ+16 ˆk c) 16 î -12 ĵ-16 ˆk
d) 16 î +12 ĵ-16 ˆk e) 16 î -12 ĵ+16 ˆk
II) Hallar (Ax )x B en el punto P(1;-1; 2).
a) 4 ĵ+76 ˆk b) 4 ĵ-76 ˆk c) -4 ĵ+76 ˆk d) -4 ĵ-76 ˆk e) 4 î -76 ˆk
311. Demostrar que:
1 2
(v )v v vx( x v) , donde v es la velocidad en R 3 .
2
312. Demostrar que: (AxB) B ( xA) A ( xB) .
313. Demuestre que el campo A conservativo si A posee una de estas dos propiedades:
I) La integral de línea del componente tangencial de A a lo largo de una trayectoria que
se extiende de un punto P a un punto Q es independiente de la trayectoria.

90
Análisis vectorial
II) La integral de línea de la componente tangencial de A alrededor de cualquier trayecto
ria cerrada es igual a cero.
314. En base a la definición del diferencial de longitud dl, hallar la longitud de cada una de
las siguientes curvas:
I) =3, 0<z<5, /4<</2, z=constante.
a) 2,156 b) 2,356 c) 2,556 d) 2,756 e) 2,956
II) r=1, =30 o , 0<<60 o .
a) 0,504 b) 0,524 c) 0,544 d) 0,564 e) 0,584
III) r=4, 30 o <<90 o , =constante.
a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989
315. Calcule las áreas de las superficies siguientes con base en el diferencial de área dS.
I) =2, 0<z<5, /3<</2.
a) 5,036 b) 5,236 c) 5,436 d) 5,636 e) 5,836
II)
z=1, 1,<<3, 0<</4.
a) 3,142 b) 3,342 c) 3,542 d) 3,742 e) 3,942
III) r=10, /4<<2/3, 0<<2.
a) 7,184 b) 7,384 c) 7,584 d) 7,784 e) 7,984
IV) 0<r<4, 60 o <<90 o , =constante.
a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989
316. Usando la definición del diferencial de volumen dV determine el volumen de las regio
nes siguientes.
I) 0<x<1, 1<y<2, -3<z<3.
a) 4,0 b) 5,0 c) 6,0 d) 7,0 e) 8,0
II) 2<<5, /3<<, -1<z<4.
a) 100 b) 105 c) 110 d) 115 e) 120
III) 1<r<3, /2<<2/3, /6<</2.
a) 4,138 b) 4,338 c) 4,538 d) 4,738 e) 4,938
317. Dado que, s =x 2 +xy calcule sdS
sobre la región S dada por: yx 2 , 0<x<1.
S

Robótica y Cibernética 91
a) 0,203 b) 0,223 c) 0,243 d) 0,263 e) 0,283
318. Dado que, H =x 2 î +y 2 ĵ calcule
A(0; 0) hasta B(1; 1).
Hd L
, donde L es a lo largo de la curva y=x 2 desde
a) 0,61 b) 0,63 c) 0,65 d) 0,67 e) 0,69
319. Hallar el volumen cortado a partir del radio de curvatura de la esfera r=a por el cono
=. Evaluar para =/3, y =/2.
I) El volumen para =/3.
a) 1,05a 3 b) 1,25 a 3 c) 1,45 a 3 d) 1,65 a 3 e) 1,85 a 3
II) El volumen para =2/3.
a) 2,09 a 3 b) 2,29 a 3 c) 2,29 a 3 d) 2,29 a 3 e) 2,29 a 3
B
320. Si la integral Fd se considera como el trabajo realizado para mover una partícula
A
de A a B, hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza F=2xy î +(x2 -z 2 ) ˆk ĵ-3xz2
sobre una partícula que se traslada desde A(0; 0; 0) hasta B(2; 1; 3).
I) A lo largo de los segmentos de recta (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3).
a) -46 b) -48 c) -50 d) -52 e) -54
II) A lo largo de la línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3)
a) -37,5 b) +37,5 c) -38,5 d) +38,5 e) -39,5
321. En la Fig45, dado el campo vectorial H =(x-y) î +(x2 +zy) ĵ+5yz ˆk calcular la integral
Hd a lo largo del contorno mostrado.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,5
322. En la Fig46, dado el campo vectorial E =x 2 yî -y ĵ.
I) Calcular Ed a lo largo de la trayectoria L mostrada en la Figura.
L
a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5
II) Calcular
( xE) dS , donde S es el área encerrada por L.
S
a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4
III) ¿Se cumple el teorema de Stokes?

92
Análisis vectorial
x
1
z
1
0
i
k
2
y
j
y
1
S
L
0 1
2
j
i
x
Fig45
Fig46
323. Dado el campo escalar V=(x+y)z, calcular VdS , donde S es la superficie de la cuña
S
cilíndrica definida por 0<</2, 0<z<2 y dS es normal a su superficie.
a) 4 ˆ +1,33 ˆk b) 4 ˆ +1,33 ˆ c) 1,33 ˆ +4 ˆk d) 4 ˆ +1,33 ˆk e) 2,45 ˆ
324. Dado el campo vectorial, A =2xy î +xz ĵ-y ˆk . Calcular la integral AdV , donde V:
I) Es una región rectangular, definida por: 0x2, 0y2, 0z2.
a) 16 î +8 ĵ+8 ˆk b) -6 î +8 ĵ-8 ˆk c) 16 î -8 ĵ-8 ˆk d) 16 î +8 ĵ-8 ˆk e) 16 î -8 ˆk
II) Es una región cilíndrica, definida por: 3, 0z5.
a) 50,25 ˆ b) 52,25 ˆ c) 54,25 ˆ d) 56,25 ˆ e) 58,25 ˆ
III) Es una región esférica, definida por: r4.
a) 21,6 2 ˆr b) 23,6 2 ˆr c) 25,6 2 ˆr d) 27,6 2 ˆr e) 29,6 2 ˆr
325. Dado el campo vectorial A 3x 2 yz î +x3 z ĵ +(x3 y-2z) ˆk , puede decirse que A es:
a) Armónico b) Sin divergencia c) Solenoidal d) Rotacional e) Conservativo
326. Si un campo vectorial Q es solenoidal, ¿Cuál de las expresiones siguientes es cierta?
a)
Q d 0 b)
L
Q dS 0 c) xQ 0 d) xQ 0 e)
S
327. Indique cuál de las siguientes operaciones no está definida.
a) grad div b) div rot c) rot grad d) rot div e) div rot
2 Q
0
328. Si, r =x î +y ĵ+z ˆk , es el vector de posición del punto (x; y; z) en el espacio R 3 y r= r
¿Cuál de las siguientes expresiones es incorrecta?

a) r r / r b) r 1 c)
Robótica y Cibernética 93
2 (r r) 4 d) xr 0
2
329. La aceleración de una partícula está dada por a 2,4k ˆ
(m s ). En el instante t=0 s la
posición de la partícula es r (0;0;0) , en tanto, su velocidad es v 2i ˆ 5kˆ
(ms -1 )
I) Hallar el modulo de la posición de la partícula en el instante t=1 s.
a) 5,0 m b) 5,5 m c) 6,0 m d) 6,5 m e) 7,0 m
II) Hallar el modulo de la velocidad de la partícula en el instante t=2 s.
a) 8,0 m/s b) 8,5 m/s c) 9,0 m/s d) 9,5 m/s e) 10,0m/s
330. Dados los campos escalares U=4xz 2 +3yz, T=2(z 2 +1)cos , H=r 2 cos cos , hallar la
expresión E= U T H 1 evaluando U en el punto (1; 1; 1), T en el punto (1; /3;
1), y H en el punto (1; /3; /6).
a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58
(2x3y)
331. I) Dado el campo escalar V e cos5z , hallar V
en el punto P(0,1;-0,2; 0,4).
a) -0,558 î +0,837 ĵ-3,047 ˆk b) -0,558 î -0,837 ĵ+3,047 ˆk c) 0,558î -0,837 ĵ-3,047 ˆk
d) 0,558 î +0,837 ĵ-3,047 ˆk e) -0,558 î -0,837 ĵ-3,047 ˆk
2z
II) Dado el campo escalar T 5
sen , hallar Ten el punto Q(2; /3, 0).
a) 2,5 ˆ -2,5 ˆ -17,32 ˆk b) -2,5 ˆ +2,5 ˆ -17,32 ˆk c) -2,5 ˆ -2,5 ˆ -17,32 ˆk
III) Dado el campo escalar
d) 2,5 ˆ -2,5 ˆ +17,32 ˆk e) 2,5 ˆ +2,5 ˆ -17,32 ˆk
2
Q sen sen / r , hallar Q
en el punto S(1; /6; /2).
a) - ˆr +0,867 ˆ b) ˆr +0,867 ˆ c) - ˆr -0,867 ˆ d) - ˆr +0,867 ˆ e) 0,12 ˆ
332. Hallar el vector unitario normal a S(x; y; z)=x 2 +y 2 -z en el punto P(1; 3; 0).
a) 0,31 î -0,94 ĵ -0,16 ˆk b) 0,31î +0,94 ĵ +0,16 ˆk c) 0,31î -0,94 ĵ +0,16 ˆk
d) -0,31 î +0,94 ĵ -0,16 ˆk e) 0,31 î +0,94 ĵ -0,16 ˆk
333. La temperatura en un auditorio está dada por T=x 2 +y 2 -z. Un mosquito ubicado en el
punto (1; 1; 2) en el auditorio desea volar en la dirección que le permita calentarse lo
más pronto posible. ¿En qué dirección debe volar el mosquito?
a) -2 î +2 ĵ+ ˆk b) 2 î -2 ĵ+ ˆk c) 2 î -2 ĵ- ˆk d) 2 î +2 ĵ- ˆk e) 2 î +2 ĵ
334. I) Dado el campo
xyˆ ˆ 2
A e i sen xy j cos xzkˆ
,hallar A / xA , en el punto (1;1;1)

94
Análisis vectorial
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
II) Dado el campo
2 2 ˆ
B z cosˆ
zsen k
, hallar B / xB , en el punto (1; /3;1)
a) -1,11 b) +1,11 c) -1,31 d) +1,31 e) -1,51
III) Dado el campo
/3; /6).
1 ˆ 2
C rcos rˆ
r sen 2r sen ˆ, hallar xC /C , en el punto (1;
a) 10,22 b) 11,22 c) 13,22 d) 14,22 e) 15,22
335. I) Dado el campo
2 ˆ 2
A x yi y zˆj 2xzkˆ
, hallar xA / xA en el punto (1;1; 1).
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
II) Dado el campo
A zˆ
ˆ
3z k , hallar xA / xA en el punto (1; /3; 1).
2 3 2ˆ
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
III) Dado el campo
2 2 ˆ
A r sen rˆ
r cos
, hallar xA / xA en el punto (1; /3).
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
IV) En el inciso III), calcular
xA
y evaluar en el punto P(1,2; 45 o ; 60 o ).
a) 0,29 ˆr -0,12 ˆ b) 0,29 ˆr +0,12 ˆ c) 0,29 ˆr -0,12 ˆ d) 0,29 ˆr +0,12 ˆ e) 3,2 ˆ
336. Dado el vector de flujo de calor H k T, donde "T" es la temperatura y "k" es la con
ductividad térmica, demuestre que dado: T 50sen( x / 2)cosh( y / 2) , entonces, se
cumple que: H 0.
337. I) Compruebe que: (VA) V A A V , donde "V" es un campo escalar y A un
campo vectorial.
II) Dados los campos A 2xi ˆ 3yˆj 4zkˆ
y V=xyz, evalúe (VA) en el punto de coor
denadas x=1,5; y=1,2; z=1,8.
a) 6,08 b) 6,28 c) 6,48 d) 6,68 e) 6,88
338. I) Compruebe que: x(VA) V( xA) VxA
, donde "V" y " A " son campos esca
lar y vectorial, respectivamente.
II) Calcular x(V A ) cuando V=1/r 2 y A =r cos ˆr +r sen ˆ +sen cos ˆ , y evaluar para
r=1,2, =30 o , =60 o .

Robótica y Cibernética 95
a) 0,50 ˆr -0,14 ˆ +0,35 ˆ b) 0,50 ˆr +0,14 ˆ -0,35 ˆ c) -0,50 ˆr +0,14 ˆ +0,35 ˆ
d) 0,50 ˆr -0,14 ˆ -0,35 ˆ e) 0,50 ˆr +0,14 ˆ +0,35 ˆ
339. Dado el campo escalar U=xz-x 2 y+y 2 z 2 , evalúe div grad U en el punto P(1; 2; 3).
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
340. Demuestre la relación, n xkˆ
.
341. Demuestre la relación, x(r / sen )
.
342. I) Dado el campo V=3x 2 y+xz, evalué V xV / V en el punto (1; 1; 1).
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
II) Dado el campo V=zcos , evalué V xV / V en el punto (1; /3; 1).
a) b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
III) Dado el campo V=4r 2 cos sen , evalué V xV / V en el punto (1; /3; /6)
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
343. Dado el vector de posición r xi ˆ yˆj zkˆ
, y el campo T=2zy î +xy2 ĵ+ x 2 yz ˆk .
I) Hallar ( r)T en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 3 î +6 ĵ+6 ˆk b) 3 î +6 ĵ+3 ˆk c) 3 î +3 ĵ+6 ˆk d) 6 î +3 ĵ+3 ˆk e) 6 î +3 ˆk
II) Hallar (r )T
en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 4 î +4 ĵ+3 ˆk b) 3 î +4 ĵ+4 ˆk c) 4 î +3 ĵ+3 ˆk d) 4 î +3 ĵ+4 ˆk e) 3 ĵ+4 ˆk
III) Hallar r(r T) en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
IV) Hallar
2
(r )r en el punto x=1; y=1; z=1.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
344. Dado el vector de posición r xi ˆ yˆj zkˆ
, r r y "n" un número entero.
I) Hallar
n
r r para n=2, y r=1,5.
a) 10,25 b) 11,25 c) 12,25 d) 13,25 e) 14,25

96
II) Hallar
Análisis vectorial
n
x r r para n=3, y r=2.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
III) Hallar 2 r n para n=2 y r=1,5.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
345. Dado el vector de posición r xi ˆ yˆj zkˆ
, r r y "n" un número entero.
I) Hallar ( nr) para r=0,5.
a) r b) 2 r c) 0,25 r d) ˆ e) 2 ˆk
II) Hallar
2 ( n r) para r=0,5
a) 2 b) 4 c) 8 d) 0,25 e) 6
346. Demostrar la relación vectorial, A( ) ( A / )
.
347. I) Calcular 2 V 1 para V 1 =x 3 +y 3 +z 3 , y evaluar en x=1,y=1, z=1.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
II) Calcular 2 V 2 para V 2 =z 2 sen 2, y evaluar en =1,5, =30 o , z=1,2.
a) -0,53 b) -0,63 c) -0,73 d) -0,83 e) -0,93
III) Calcular 2 V 3 para V 3 =r 2 (1+cos sen ), y evaluar en r=1,5, =30 o , =60 o .
a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0
348. Calcular el laplaciano del campo escalar U=x 3 y 2 e xz , y evaluar en (1;-1; 1).
a) 41,49 b) 43,49 c) 45,49 d) 47,49 e) 49,49
II) Calcular el laplaciano del campo escalar V= 2 z(cos +sen), y evaluar en (5; /6;-2).
a) -5,19 b) -6,19 c) -7,19 d) -8,19 e) -9,19
III) Calcular el laplaciano del campo escalar W=e -r sen cos , y evaluar en (1; /3; /6).
a) -0,53 b) -0,63 c) -0,73 d) -0,83 e) -0,93
349. Dado el campo escalar
I) Calcular
2 2 2
V x y z y
2 V y evaluar en el punto P(1; 1; 1).
2 ˆ 3ˆ 2 2
A x yi xz j y z kˆ
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
II) Calcular
2 A y evaluar en el punto P(1; 1; 1).

Robótica y Cibernética 97
a) 2 î -6 ĵ+4 ˆk b) -2 î +6 ĵ-4 ˆk c) 2 î -6 ĵ-4 ˆk d) 2 î +6 ĵ-4 ˆk e) 2 î -4 ˆk
III) Calcular grad div A y evaluar en el punto P(1; 1; 1).
a) -2 î +2 ĵ-2 ˆk b) -2 î -2 ĵ+2 ˆk c) 2 î +2 ĵ-2 ˆk d) 2 î -2 ĵ-2 ˆk e) 2 î +2 ˆk
IV) Calcular rot rot A y evaluar en el punto P(1; 1; 1).
a) -8 î +2 ˆk b) +8 ĵ-2 ˆk c) -8 ĵ-2 ˆk d) -8 ĵ+2 ˆk e) 8 î -2 ˆk
350. Dado el campo vectorial
1z1, 0<<2.
I) Calcular D dS .
S
2 2 ˆ
D 2z ˆ
cos k
, en la región definida por: 0 5, -
a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178
II) Calcular
DdV .
V
a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178
2 2 2
351. Dado el campo vectorial F x ˆi y ˆj (z 1)kˆ
, calcular
nida por la superficie del cilindro =2, 0<z<2, 02.
F dS , donde S está defi
S
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
352. Compruebe el teorema de la divergencia A dS AdV
S , para cada uno de los si
V
guientes casos:
2 3 2
I) A xy ˆi y ˆj y zkˆ
es la superficie del cuboide definido por 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1
II) A 2z ˆ
3zsen ˆ
4cos kˆ
y S es la superficie de la cuña 0<<2, 0<<45 o ,
0<z<5.
2
III) A r rˆ
rsen cos
ˆ
y S es la superficie de un cuarto de una esfera definida por
0<r<3, 0<</2, 0<</2.
353. El momento de inercia alrededor del eje z de un cuerpo rígido es proporcional a la inte
2 2
gral (x y )dxdydz . Exprese esto como flujo de un campo vectorial A .
V
354. Calcular el flujo total hacia fuera del vector
cilindro hueco definido por 23, 0z5.
F sen ˆ
zcosˆ
zk
a través del
2 ˆ
a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199

98
Análisis vectorial
355. Probar el teorema de Stokes A d xAdS
,siendo
C
S
ˆ 2ˆ 2 ˆ
A (2x y)i yz j y zk ,
"S" la superficie de la unidad superior de la esfera x 2 +y 2 +z 2 =1 y C su contorno límite.
a) /4 b) /4 c) 3/4 d) e) 2/3
356.Calcule el flujo del rotacional del campo
vés del hemisferio esférico r=4, z0.
2 T r cos rˆ
rsen cos ˆ cos ˆ
a tra
a) 0 b) c) 3/4 d) /2 e) 2/3
2 2 2 2 2
357.Un campo vectorial está dado por: Q x y z [(x y)i ˆ (x y) ˆj] / x y .
I) Calcule la integral Qd , donde L es el borde circular del volumen en forma de co
L
no para helado que se presenta en la Fig.00
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
II) Calcular
S
1
( xQ) dS
, donde S 1 es la superficie superior del volumen del cono.
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 8
III) Calcular
S
2
( xQ) dS
, donde S 2 es la superficie inclinada del volumen del cono.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 8
358. Sean U y V campos escalares. Demuestre que
UV d VU d .
L
L
359. Demuestre que,
problema anterior.
360. Dado el campo vectorial
n
n
r dV 1/ (n 3) r r dS, donde r , r y n son como se definió en un
ˆ 2ˆ ˆ
G (16xy z)i 8x j xk .
I) Indicar si el campo G es irrotacional o conservativo.
II) Calcular el flujo neto del campo G sobre el cubo 0<x, y, z<1.
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
III) Calcular la circulación del campo G alrededor del borde del cuadrado z=0, 0<x, y <1.
Suponga la dirección contraria a las manecillas del reloj.
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
361. I) Si el campo vectorial,
hallar "", "" y ""
3 ˆ 2 ˆ 2
T ( xy z )i (3x z) j (3xz y)kˆ
es irrotacional,

Robótica y Cibernética 99
a) =6; =1; =1 b) =1; =6; =1 c) =1; =1; =6
d) =-6; =1; =1 e) =1; =-6; =1
II) Calcular T en el punto x=2, y=-1, z=0.
a) -3 b) -4 c) -5 d) -6 e) -8
362. Calcular la integral de Green,
no definido y= x y y=x 2 .
C
2 2
(3x 8y )dx (4y 6xy)dy , donde C es el contor
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
363. Calcular la integral de Green,
no definido x=0, y=0, x+y=1.
C
2 2
(3x 8y )dx (4y 6xy)dy , donde C es el contor
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 d) 4/3 e) 5/3
364. Calcular la integral de Green,
C
(3x 4y)dx (2x 3y)dy
, donde C es una circunfe
rencia de radio dos con centro en el origen del plano xy y que se recorre en sentido
positivo (giro en sentido contrario al de las manecillas del reloj).
a) -4 b) +4 c) -6 d) +6 e) -8
365. Resolver el problema anterior para la integral
2 2 2
(x y )dx 3xy dy .
C
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
366. Calcular ( x2 -2xy)dx+(x 2 y+3)dy alrededor de la frontera de la región definida por
y 2 =8x, x=2, y y=0.
a) 21,6 b) 23,6 c) 25,6 d) 27,6 e) 29,6
367. Calcule
2 1
( 10x 4 -2xy 3 )dx-3x 2 y 2 dy a lo largo de la trayectoria x 4 -6xy 3 =4y 2 .
0 0
a) 54 b) 56 c) 58 d) 60 e) 62
368. Dado el campo vectorial F=y î +(x-2xz) ĵ-xy ˆk , calcular la integral
de "S" es la superficie de la esfera x 2 +y 2 +z 2 =a 2 por encima del plano xy.
S
( xF) dS
a) 0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
369. Dados los campos, A ti ˆ 3j ˆ 2t kˆ
, B ˆi 2ˆj 2kˆ
, y C 3i ˆ tˆj kˆ
.
, don

100
I) Calcular
2
A BxCdt .
1
Análisis vectorial
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
II) Calcular
2
AxBxCdt .
1
a) -87/2 î +44/3 ĵ+15/2 ˆk b) 87/2 î -44/3 ĵ+15/2 ˆk c) -87/2 î -44/3 ĵ-15/2 ˆk
d) -87/2 î +44/3 ĵ-15/2 ˆk e) -87/2 î -44/3 ĵ+15/2 ˆk
370. Dado,
2
R(t) (3t t)i ˆ (2 6t) ˆj 4t kˆ
, calcular
4
R(t)dt .
2
a) -50 î -32 ĵ+24 ˆk b) -50 î +32 ĵ-24 ˆk c) 50 î +32 ĵ-24 ˆk
d) 50 î -32 ĵ+24 ˆk e) 50 î -32 ĵ-24 ˆk
371. Calcular la integral
/2
(3sen uˆi
2cosu ˆ
j)dt .
0
a) 3 î -2 ĵ b) 3 î +2 ĵ c) -3 î -2 ĵ d) -3 î +2 ĵ e) 2 î -3 ĵ
372. Dado el campo
I) Calcular
2
A Bdt .
0
ˆ 2ˆ ˆ
A(t) t i t j (t 1)k y
B(t) 2t 2ˆ i 6t kˆ
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
II) Calcular
2
AxBdt .
0
a) -24 î -40/3 ĵ-64/5 ˆk b) -24 î -40/3 ĵ-64/5 ˆk c) 24 î -40/3 ĵ+64/5 ˆk
d) -24 î +40/3 ĵ+64/5 ˆk e) -24 î -40/3 ĵ+64/5 ˆk
373. Hallar el volumen de la región limitada por la intersección de los cilindros x 2 +y 2 =a 2 y
x 2 +z 2 =a 2 , para a=1,5.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
374. Dado el campo
ˆ 2ˆ ˆ
F 4xzi y j yzk , hallar el flujo E F dS donde S es la super
S
ficie del cubo limitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1.
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
375. Dado el campo A 18zi ˆ 12ˆj 3ykˆ
, calcular el flujo
S
A ndS ˆ , donde S es la región

Robótica y Cibernética 101
del plano 2x+3y+6z=12, situado en el primer octante del sistema de coordenadas.
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
376. Verificar el teorema de la divergencia a ndS ˆ adV
S , donde a =4x î V
-2y2 ĵ+z 2 ˆk
es un campo, y S la superficie de la región limitada por el cilindro x 2 +y 2 =4, z=0 y z=3.
a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88
377. Calcular (y sen x)dx cosxdy
, siendo C el contorno del triángulo de vértices en
(0; 0), (/2, 0), y (/2, 1), y verificar el teorema de Green.
a) -1,02 b) -1,22 c) -1,42 d) -1,62 e) -1,82
378. Dado el campo
ˆ ˆ 2ˆ
F 2xzi x j y k , calcular
por las superficies x=0, y=0, y=6, z=x 2 , z=4.
FdV donde V es la región limitada
V
a) 128 î -24 ĵ-384 ˆk b) 128 î +24 ĵ+384 ˆk c) -128 î -24 ĵ+384 ˆk
379. Hallar
0 0
d) 128 î +24 ĵ-384 ˆk e) 128 î -24 ĵ+384 ˆk
2 2 2
(6xy y )dx (3x 2xy)dy a lo largo de la cilcloide x=-sen, y=1-cos
a) 42,65 b) 43,65 c) 44,65 d) 45,65 e) 46,65
380. Hallar
2
(3x 2y)dx (x 3cos y)dy a lo largo del paralelogramo de vértices (0; 0),
C
(2; 0), (3; 1) y (1; 1). (Recorrido en sentido positivo)
a) -4 b) +4 c) -6 d) +6 e) -8
381. Hallar el área limitada por las funciones f(x)=x 3 y g(x)=x definidas en el plano xy.
a) 1/2 b) 1/4 c) 2/3 d) 3/4 e) 4/5
382. Hallar el área comprendida entre la parábola x=4-y 2 y el eje y.
a) 31,88 b) 32,88 c) 33,88 d) 34,88 e) 35,88
383. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola x=4-y 2 y el eje y.
a) 10,67 b) 11,67 c) 12,67 d) 13,67 e) 14,67
384. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola semicubica y=x 3 y la parábola
y=2x-x 2 .
a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88

102
Análisis vectorial
385. Hallar el trabajo realizado por el campo, F=(2x-y+z) î +(x+y-z2 ) ĵ+(3x-2y+4z) ˆk al des
plazar una partícula una vuelta sobre una circunferencia de radio r=3 contenida en el
plano xy, y centro en el origen.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
386. Hallar el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de fuerzas
dado por, F 3xyi ˆ 5zˆj 10xkˆ
a lo largo de la curva x=t 2 +1, y=2t 2 , z=t 2 , desde t=1
hasta t=2.
a) 301 b) 303 c) 305 d) 307 e) 309
2
387. Dado el campo de fuerzas F 3xyi ˆ y ˆj,
hallar F dr a lo largo de la curva C del
C
plano xy de ecuación y=2x 2 , desde el punto (0; 0) hasta el punto (1; 2).
a) -3/2 b) -5/3 c) -8/5 d) -6/5 e) -7/6
388. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y 2 =4x y su "latus rectum".
a) 4/3 b) 5/3 c) 7/3 d) 8/3 e) 9/5
389. Hallar el área de la superficie comprendida entre las gráficas de las funciones y=3x-x 2
y y=3x 2 -x 3 .
a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88
390. Hallar el área de la superficie comprendida entre las gráficas de las funciones xy=1 y
y(x 2 +1)=x a la derecha de la recta x=1.
a) 0,15 b) 0,35 c) 0,55 d) 0,75 e) 0,95
391. Hallar el área de la superficie comprendida por debajo de la gráfica de la función
f(x)=e x y por encima de la gráfica de la función g(x)=1/(x 2 +1).
a) 0,53 b) 0,63 c) 0,63 d) 0,73 e) 0,83
392. Hallar el área de la superficie limitada por las rectas f 1 =y=-x+2, f 2 =y=x, y la parábola
f 3 =y=(x-1) 2 .
a) 0,308 b) 0,328 c) 0,348 d) 0,368 e) 0,388
393. Hallar el área de la superficie limitada entre la cisoide de Diocles x 3 =y 2 (1/2p-x) y su
asíntota y su asíntota x=2p.
a) 0,39p -2 b) 0,49p -2 c) 0,59p -2 d) 0,69p -2 e) 0,79p -2
394. Hallar el área de la superficie comprendida entre las curvas y=x 2 y y=2/(x 2 +1).

Robótica y Cibernética 103
a) 2,07 b) 2,27 c) 2,47 d) 2,67 e) 2,87
395. Hallar el área de la superficie limitada por el eje x y la curva de ecuación y=e -ax sen bx
(a>0) para x entre 0 y , con a=1,2 y b=3,6.
a) 0,48 b) 0,52 c) 0,56 d) 0,60 e) 0,64
396. Hallar el área de la superficie menor limitada por la parábola y=x 2 /2, y la circunferen
cia x 2 +y 2 =8.
a) 4,62 b) 5,62 c) 6,62 d) 7,62 e) 8,62
397. Hallar el área de la superficie encerrada por la recta x-y=1 y la parábola de ecuación
y 2 = 2x+1.
a) 11/3 b) 12/5 c) 13/4 d) 14/7 e) 16/3
398. Hallar el área de la superficie encerrada por la curva de ecuación y 2 =(1-x 2 ) 3 .
a) 2/3 b) 3/8 c) 2/5 d) 4/5 e) 3/4
399. Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y=ln(x)/4x y y=xln(x).
a) 0,02 b) 0,04 c) 0,06 d) 0,08 e) 0,10
400. Hallar el área de la superficie comprendida entre la curva de Agnesi y=a 3 /(x 2 +a 2 ) y el
eje x.
a) a 2 /2 b) a 2 /4 c) 3a 2 /2 d) a 2 e) 2a 2
401. Hallar el área de la superficie encerrada por las parábolas y=x 2 , y=x 2 /2, y la recta
y=2x.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
402. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas y=e x , y=e -x y el eje x.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
403. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas y=e x , y=e -x y la recta x=1.
a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82
404. Hallar el área de la superficie encerrada por la función y=sen x y el eje x, para la mitad
de un periodo.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
405. Hallar área de la superficie encerrada por la catenaria y=a cosh(x/a), las rectas x=a, y
el eje x.

104
Análisis vectorial
a) 2,15a 2 b) 2,35a 2 c) 2,55a 2 d) 2,75a 2 e) 2,95a 2
406. Hallar el área limitada por el cerdioide de ecuación, r=2(1-cos ), para 02.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3/4
407. Hallar el área de la superficie encerrada por el astroide de ecuación x 2/3 +y 2/3 =a 2/3 .
a) 1,16a 2 b) 1,36a 2 c) 1,56a 2 d) 1,76a 2 e) 1,96a 2
408. Hallar el área de la superficie encerrada por la involuta del círculo de ecuación dada
por: x=a cos +a sen , y=a sen -a cos , y el eje x.
a) 6,14a 2 b) 6,34a 2 c) 6,54a 2 d) 6,74a 2 e) 6,94a 2
409. Hallar el área de la superficie encerrada por la parábola y=x 2 y la recta -x+y=2.
a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 e) 4,5
410. Hallar el área de la superficie menor encerrada por la elipse x 2 /a 2 +y 2 /b 2 y la parábola
y=x 2 , para a=3, y b=2.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
411. Hallar el área de la superficie encerrada por la catenaria y=a cosh(x/a), el eje y y la rec
ta y=a(e 2 +1)/2e.
a) a 2 /e b) a 2 /2e c) 2a 2 /e d) 3a 2 /e e) a 2 /3e
412. Hallar el área de la superficie limitada por la hipérbola x 2 -y 2 =9, el eje x, y la recta para
lela al eje x que pasa por el punto (5; 4).
a) 21,6 b) 22,6 c) 23,6 d) 24,6 e) 25,6
413. Hallar el área de la superficie limitada por el eje polar y la primera vuelta de la espiral
de Arquímedes r=a.
a) 41,34 b) 42,34 c) 43,34 d) 44,34 e) 45,34
414. Hallar el área de la superficie limitada por una hoja del grafo polar r= 4sen 2 .
a) /4 b) /2 c) 3/4 d) e) 2
415. Hallar el área de la superficie limitada por la curva r=sen(/2).
a) 2,17 b) 2,37 c) 2,57 d) 2,77 e) 2,97
416. Hallar el área de la superficie encerrada por las curvas r=4/(1-cos ) y r=4/(1+cos ).

Robótica y Cibernética 105
a) 20,3 b) 21,3 c) 22,3 d) 23,3 e) 24,3
417. Hallar el área de la superficie encerrada en el interior del círculo r=cos y por fuera de
la cardioide r=1-cos .
a) 0,38 b) 0,48 c) 0,58 d) 0,68 e) 0,78
418. Dado el campo
ˆ 2ˆ ˆ
F 2xyi yz j xzk , calcular
F dS donde "S" es la superficie
S
del paralelepípedo definido por x=0, x=2, y=0, y=1, z=0, z=3, además verificar el teore
ma de la divergencia.
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
419. Hallar aproximadamente el área de la superficie encerrada por la parábola y 2 =4-x, y la
función logaritmo natural y=ln(x).
a) 6,02 b) 6,22 c) 6,42 d) 6,62 e) 6,82
420. Demostrar la relación dada por:
2 2
r ˆˆ
dV (r n)r dS
V .
S
421. Siendo "S" una superficie cerrada que limita un volumen "V" y A =ax î +b ĵ+c ˆk , de
mostrar que, A dS (a b c)V .
S
422. Siendo ˆn el vector unitario normal exterior a una superficie cerrada de área S, demos
trar que se cumple que: divndV ˆ S
.
V
423. Hallar la longitud de la curva correspondiente a la lemniscata de Bernoulli, de ecua
ción: r=(cos 2) 1/2 .
a) 5,04 b) 5,24 c) 5,44 d) 5,64 e) 5,84
424. Hallar la longitud de la curva correspondiente a la cardioide de ecuación: r=asen 3 (/3).
a) 4,11 b) 4,31 c) 4,51 d) 4,71 e) 4,91
425. Hallar la longitud de la curva dada por: =(1/2)(r+1/r) para "r" variando entre 1 y 3.
a) 2,15 b) 2,35 c) 2,55 d) 2,75 e) 2,95
426. Hallar el área de la superficie limitada por el caracol de Pascal, dada por: r=2+cos.
a) 3,0 v) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0
427. Hallar el área de la superficie generada por la rotación del cardioide r=a(1+cos) alre
dedor del eje polar.

106
Análisis vectorial
a) 20,1 b) 22,1 c) 24,1 d) 26,1 e) 28,1
428. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva r 2 =cos 2, alrededor
del eje polar.
a) 3,08 b) 3,28 c) 3,48 d) 3,68 e) 3,88
429. Hallar el área de la superficie generada por la rotación de la curva r=acos , alrededor
del eje y.
a) 9,07a 2 b) 9,27a 2 c) 9,47a 2 d) 9,67a 2 e) 9,87a 2
430. Hallar el volumen de un cono recto circular de altura h=2 y diámetro de la base D=4.
a) 8,18 b) 8,38 c) 8,58 d) 8,78 e) 8,98
431. Hallar el volumen V del sólido de revolución que resulta de girar el arco de parábola
y=x 2 , con x[0; 1], alrededor de la recta x=1.
a) /2 b) /4 c) /6 d) /8 e) 3/2
432. Hallar el volumen del toro generado al hacer girar un disco de radio "r" alrededor de
una recta a una distancia "a" (a>r) del centro del círculo.
a) /2 b) /4 c) /6 d) /8 e) 3/2
433. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la superficie formada por la parábola
y=x 2 +1 y las rectas x=1, x=3 alrededor del eje x.
a) 61,73 b) 63,73 c) 65,73 d) 67,73 e) 69,73
434. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la curva y=x 2 +1 alrededor del eje y des
de y=1 hasta y=5.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
435. Hallar el volumen del esferoide generado por la rotación de la elipse x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1
(a>b) alrededor del eje x.
a) 4ab 2 /3 b) 4a 2 b/3 c) 2ab 2 /3 d) 2a 2 b/3 e) 3a 2 b/4
436. Hallar el volumen de un segmento de esfera de radio "a" y altura "h", y evaluar para
a=8 y h=4.
a) 331 b) 333 c) 335 d) 337 e) 339
437. Se genera una superficie mediante una recta que siempre se desplaza paralela al plano
xz y tiene puntos en común con la recta y+z=a, x=0, y la recta x=b, z=0. Hallar el volu
men en el primer octante que forma esta superficie.

Robótica y Cibernética 107
a) ab 2 /2 b) a 2 b/2 c) ab 2 /3 d) a 2 b/3 e) a 2 b/4
438. Hallar el volumen resultante de hacer girar la curva y=8a 3 /(x 2 +4a 2 ) alrededor del eje x.
a) 2a 3 b) 4a 3 c) 2 2 a 3 d) 4 2 a 3 e) 8 2 a 3
439. A una esfera compacta de radio "a" se le hace un hueco esférico de radio "h" que pasa
por su centro. Hallar la expresión del volumen "V" restante, y evaluar para a=2 y h=3.
a) 8/3 b) 10/3 c) 11/3 d) 13/3 e) 14/3
440. Hallar el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje x un arco de la
cicloide x=a(-sen ), y=a(1-cos ).
a) 2 2 a 3 b) 3 2 a 3 c) 4 2 a 3 d) 5 2 a 3 e) 6 2 a 3
441. Hallar el volumen del sólido que resulta de hacer girar alrededor del eje x, la superficie
limitada por las parábolas y=-x 2 +4, y=x 2 , y el eje y.
a) 43,4 b) 44,4 c) 45,4 d) 46,4 e) 47,4
442. Hallar el volumen del sólido de revolución que resulta de hacer girar alrededor del eje
x, la superficie limitada por las parábolas y 2 =ax, y x 2 =by, evaluar para a=4 y b=5.
a) 80,22 b) 81,22 c) 82,22 d) 83,22 e) 84,22
443. Hallar la fórmula del volumen de una cuña formada a partir de un cilindro recto circu
lar de radio "r", pasando un plano por el diámetro de la base y a "" con la misma, eva
luar para r=9 y =45 o .
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
444. Hallar el volumen de revolución generado al girar la curva y=3x/(x 2 +3) alrededor del
eje x.
a) 21,6 b) 23,6 c) 25,6 d) 27,6 e) 29,6
445. Demostrar que el volumen de una esfera de radio "R", viene dada por: V=4R 3 /3,
evaluar para R=3.
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
446. Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar el cisoide de Diocles
x 2 =y 2 (x-a) alrededor del eje x.
a) 5,12 b) 5,32 c) 5,52 d) 5,72 e) 5,92
447. Se tiene un cilindro truncado circular de radio R=4, alturas h 1 =6, h 2 =8.

108
Análisis vectorial
I) Hallar el área de la superficie lateral de este cilindro truncado.
a) 170 b) 172 c) 174 d) 176 e) 178
II) Hallar el área de la superficie total de este cilindro truncado.
a) 270 b) 272 c) 274 d) 276 e) 278
III) Hallar el volumen de este cilindro truncado.
a) 351,9 b) 353,9 c) 355,9 d) 357,9 e) 359,9
448. Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje x la pará
bola semi cubica: y 2 =x 3 , alrededor del eje.
a) b) /2 c) /3 d) /4 e) 3/4
449. Dado el campo
2
F (5xy 6x )i ˆ (2y 4x) ˆj
, hallar
del plano xy, y=x 3 desde el punto (1; 1) hasta el punto (2; 8).
F dr a lo largo de la curva C
C
a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35
450. A un sólido en forma de tonel parábolico de diámetros d=6, D=8, y altura h=12, se le
practica en el centro un agujero esférico de radio R=3. Hallar el cambio porcentual que
experimenta el volumen del sólido.
a)-20,17 % b) 20,17 % c) -22,17 % d) 22,17 % e) 24,17%
451. Hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x, la catenaria dada
por y=acosh(x/a), y las rectas x=a.
a) 9,05a 3 b) 9,25a 3 c) 9,45a 3 d) 9,65a 3 e) 9,85a 3
452. Hallar el volumen del sólido de revolución engendrado al girar alrededor de la recta
y=-p la figura limitada por la parábola y 2 =2px y por la recta x=p/2.
a) 2p 3 /3 b) 4p 3 /3 c) 3p 3 /4 d) p 3 /4 e) p 3 /3
453. Hallr el volumen del sólido generado al girar la cisoide y2=x3/(2a-x) alrededor de su
asíntota x=2a.
a) a 3 b) 2a 3 c) 4a 3 d) 2 a 3 e) 2 2 a 3
454. Un sólido tiene una bse circular de radio "r". hallar el volumen del sólido sabiendo que
toda sección perpendicular a su base es un triángulo equilátero. Evaluar para r= 3 .
a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 2/3

455. Hallar la integral
3
2
Robótica y Cibernética 109
(A dA / dt)dt , siA(2) 2i ˆ ˆj 2kˆ
, A(3) 4i ˆ 2ˆj 3kˆ
.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
456. La aceleración de una partícula en función del tiempo para t0, viene dada por a =
e tˆ i 6(t 1) ˆj 3sen t kˆ
(m/s 2 ), si v(0) 0 , y r(0) 0 , hallar la velocidad v y el des
plazamiento r en función del tiempo.
I) Evaluar la magnitud de la velocidad instántanea v en el instante t=1 s.
a) 9,13 m/s b) 9,33 m/s c) 9,53 m/s d) 9,73 m/s e) 9,93 m/s
II) Evaluar la magnitud del desplazamiento r en el instante t=1 s.
a) 4,15 m b) 4,35 m c) 4,55 m d) 4,75 m e) 4,95 m
457. Hallar la velocidad aerolar de una partícula que se desplaza a lo largo de la trayectoria
r =acos t î +bsen t ĵ , siendo "a", "b", "" constantes y "t" el tiempo.
a) ab î b) ab ĵ c) abî /2 d) ab ĵ/2 e) ab ˆk /2
458. Demostrar que si una partícula se desplaza en un campo de fuerza central, entonces su
trayectoria debe estar contenida en una plano.
459. Demostrar que el momento angular L de una partícula que se desplaza en un campo
de fuerza central se conserva.
460. Expresar las ecuaciones de movimiento de una partícula de masa "m" en un campo de
fuerza central " F(r) ".
461. Demostrar que para el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza cen
2
tral, r h cte. , donde "r" es la distancia radial y "" el ángulo polar.
462. Demostrar que para el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza cen
2
tral, r 2A 2dA /dt, donde es la rapidez de crecimiento del área de berrido del vec
tor de posición r .
463. Demostrar que una partícula en movimiento bajo la acción de una fuerza central, tiene
una velocidad aerolar constante.
464. Haciendo la sustitución, r=u -1 , demostrar que la ecuación diferencial que describe el
movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central, puede expresarse así:
d 2 u/d 2 +u=-f(u)/mh 2 u 2 , donde "m" es la masa de la partícula, "h" es una constante.
465. I) Probar que un campo de fuerza central es conservativo.
II) Hallar la correspondiente energía potencial de una partícula en dicho campo central.

110
Análisis vectorial
466. Expresar la ecuación correspondiente al principio de conservación de la energía, para
una partícula de masa "m" que se mueve en un campo de fuerza central.
467. Demostrar que la ecuación diferencial que describe el movimiento de una partícula de
masa "m" en un campo de fuerza central puede expresarse así: (mh 2 /2r 4 )[(dr/d) 2 +
2
r ] F(r)dr E
, donde "h" es una constante, y "E" es la energía total de la partícula.
468. I) Para una partícula de masa "m" que se mueve en un campo de fuerza central, demos
trar que, v 2 = r
2 r 2
2 =h 2 [(du/d) 2 +u 2 ].
II) Usar el resultado del iniso I), para probar que la ecuación de conservación de la ener
gía se reduce a: (du/d) 2 +u 2 =2(E-V)/mh 2 , donde "E" es la energía total, "V" es el poten
cial asociado a la fuerza conservativa.
469.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde
nadas polares planas (r; ).
470.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde
nadas cilindricas (; ; z).
471.Expresar la velocidad y aceleración del movimiento libre de una partícula en coorde
nadas esféricas (r; ; ).
472.Probar que la aceleración a de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en
el espacio con una velocidad v , viene dado por: a =(dv/dt) û T +(v 2 /) û N , siendo () el
radio de curvatura y û T , û N vectores unitarios en las direcciones de la tangente y la
nor mal a la curva.
473. Demostrar que en coordenadas rectangulares de la magnitud de la velocidad aerolar,
viene dada por: (1/2)( x y yx ).
474. Demostrar por métodos vectoriales que la trayectoria de un planeta alrededor del Sol
es una elipse, con el Sol en uno de sus focos.
2 2
475.Probar que: k=1/=(x y x y) /(x y )
3/2 es la expresión de la curvatura de una
curva plana en un punto P, " " el radio de curvatura, y (x; y) las coordenadas del
punto P.
476.En la Fig47, en el sistema de poleas, hallar la velocidad y la aceleración del bloque 2.
sabiendo que las rapideces y aceleraciones de los bloques 1 y 3 son: v 1 = 6 m/s, a 1 =2
m/s 2 , v 3 =3 m/s y a 3 =4 m/s 2 . Despreciar todo tipo de fricción.
a) -11 m/s ; 4 m/s 2 b) -15 m/s ; 8 m/s 2 c) -17 m/s ; 6 m/s 2
d) -11 m/s ; 2 m/s 2 e) -13 m/s ; 10 m/s 2
477.En la Fig48, una partícula describe una trayectoria parabólica dada por : y=4x 2 con

Robótica y Cibernética 111
velocidad constante v=4 m/s, donde x, y están dadas en metros. Hallar el módulo de la
componente normal (a N ) de la aceleración, en el instante en que x=0,376 m.
a) 1 m/s 2 b) 2 m/s 2 c) 3 m/s 2 d) 4 m/s 2 e) 5 m/s 2
y
g
y=4x 2
v
1
2
A
3
j
i
0
m
x
Fig47
Fig48
478.Una partícula se mueve en el espacio a lo largo de una trayectoria curva con una velo
cidad ( v ) y una aceleración ( a ). Demostrar que el radio de curvatura instantáneo, vie
ne dado por: =v 3 / vxa .
479.En la Fig49, el extremo derecho B de la barra de longitud l=2,5 m se mueve con rapi
dez de v 0 =6 m/s, y el otro extremo A se desliza sobre la pared vertical. Hallar la rapi
dez con que se mueve el punto medio de la barra, cuando el extremo B está a una dis
tancia de d=2 m de la pared.
a) 3 m/s b) 4 m/s c) 5 m/s d) 6 m/s e) 7 m/s
A
l
g
eje
C
l
B
h
D
R
A
B
liso
Fig49
Fig50
480.En la Fig50, se muestra el mecanismo biela-manivela para una posición cualquiera de
la manivela R. Si la longitud de la biela es l=0,8 m y la manivela de radio R=2 cm gira
con una velocidad angular constante de =4 rad/s. Hallar:
I) La velocidad instantánea de la cruceta C, cuando 30 0

112
Análisis vectorial
a) 2,1 cm/s b) 3,1 cm/s c) 4,1 cm/s d) 5,1 cm/s e)6,1 cm/s
II) La aceleración instantánea de la cruceta C, cuando 30 0
a) 24,1 cm/s 2 b) 25,1 cm/s 2 c) 26,1 cm/s 2 d) 27,1 cm/s 2 e) 28,1 cm/s 2
481. Demostrar que el tiempo entre dos posiciones diferentes para una partícula de masa
"m" que se mueve en una fuerza de campo central, viene dada por:
donde G(r)=2E/m+(2/m) F(r)dr -h 2 /2m 2 r 2 .
r 1/2
r
t [G(r)] dr ,
482. Demostrar que la trayectoria que describe una partícula bajo la acción de una fuerza
central atractiva del tipo F(r)=-k/r 2 , k>0, es una cónica (parabola, elipse o hiperbola).
483. Deducir la ecuación de una cónica r=p/(1+cos), donde "" es la excentricidad de la
cónica que puede ser parabola (=0), elipse (<0) o hiperbola (>0).
484. La trayectoria que describe un cuerpo de masa "m", bajo la acción de una fuerza cen
tral es una elipse de semiejes "a" y "b".
I) Demostrar que la ecuación de la elipse, viene dada por: r=a(1- 2 )/(1+cos ), donde
"" es la excentricidad de la órbita eliptica.
II) Demostrar que la distancia del foco O al vértice de la elipse es: OV=a(1-).
III) Demostrar que la distancia del foco O al punto más lejano de la órbita es: OU=a(1+).
IV) Demostrar que la distancia del foco O al centro C de la elipse es: c=a.
V) Demostrar que la distancia del foco O al centro C de la elipse es: c=(a 2 -b 2 ) 1/2 .
VI) Demostrar que el semieje "b" de la órbita eliptica, viene dada por: b=a(1- 2 ) 1/2 .
485. Demostrar que los cuadrados de los periodos "" de los planetas en su movimiento al
rededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores "a" de sus tra
yectorias elipticas (tercera ley de Kepler).
486.En la Fig51, de A sale un auto y se dirige a B situado una distancia de 40 m de la ca
rretera, su rapidez en la carretera y fuera de ella es de 5 m/s y 3 m/s.¿ A qué distancia
del punto D debe abandonar el auto la carretera, para que el tiempo de viaje sea el me
nor posible?
a) 10 m b) 20 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m
487.En la Fig52, ¿Con qué rapidez mínima debe lanzarse el cuerpo por la mesa horizon
tal, para que este al llegar a la parte redondeada en forma de semicircunferencia de ra
dio R=2,5 m, describa una trayectoria parabólica? (g=10 m/s 2 )
a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s
488.Desde el origen de coordenadas, se dispara un cohete, hacia un satélite que se mueve
en una órbita circular de radio R=6000 m. Si el cohete siempre se encuentra en la recta
o

Robótica y Cibernética 113
que une el origen con el satélite, y las magnitudes de las velocidades de ambos en todo
instante es de 50 m/s, hallar el tiempo que demora el cohete en impactar con el satéli
te.
a) 1 min b) 2 min c) 3 min d) 4 min e) 5 min
A
x=?
D
v
C
o
B
40m
0
R
Fig51
Fig52
489.De un cañón se disparan dos proyectiles seguidos con la misma rapidez v 0 =300 m/s y
con ángulos de disparo 1 =53 0 y 2 =37 0 . ¿Para qué intervalo de tiempo entre los dispa
ros, los proyectiles colisionan entre sí? (g=10 m/s 2 )
a) 11,0 s b) 11,4 s c) 11,8 s d) 12,2 s e) 12,6 s
490. Dado el campo F (2y 3)i ˆ xzˆj (yz x)kˆ
(N) , hallar
de ecuación paramétrica: x=2t 2 , y=t, z=t 3 desde t=0 hasta t=1.
F dr a lo largo de curva
C
a) 8,03 J b) 8,23 J c) 8,43 J d) 8,63 J e) 8,83 J
491. Dada la fuerza F (2x y)i ˆ (3y x) ˆj
(N), hallar
del plano xy que une los puntos (0; 0) (m), (2; 0) (m) y (3; 2) (m).
F dr a lo largo de la curva C
C
a) 10 J b) 11 J c) 12 J d) 13 J e) 14 J
492. Hallar el trabajo realizado al desplazar una partícula en el campo de fuerza F 3x 2ˆ i
(2xz y) ˆj zkˆ
(N) a lo largo de la curva C definida por x 2 =4y, 3x 3 =8z, desde x=0
(m) hasta x=2 (m).
a) 10 J b) 12 J c) 14 J d) 16 J e) 18 J
493. Dado el vector A (y 2x)i ˆ (3x 2y) ˆj
, hallar la circulación de A alrededor de la
circunferencia C del plano xy con centro en el origen y radio R=2, sabiendo que C se
recorre en sentido positivo (antihorario).
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

114
Análisis vectorial
494. En la Fig53, dado la fuerza F=(2x+y 2 ) î +(3y-4x) ĵ , hallar la integral F dr alrede
C
dor del triángulo, en el sentido indicado.
a) -11/3 b) +11/3 c) -13/3 d) +13/3 e) -14/3
y
(2;1)
v 1
j
i
m 1
l
v 2
m 2
0
(2;0)
x
Fig53
Fig54
495. En la Fig54, en los extremos de la barra de peso despreciable y longitud l=50 cm es
tán sujetadas las bolas de masas m 1 =0,4 kg, m 2 =0,6 kg. Las velocidades de las bolas
están en un mismo plano y sus módulos son, v 1 =4 m/s, v 2 =2 m/s. Hallar:
I) Las distancias de las bolas "1" y "2" al centro de masa (c.m) del sistema.
a) 15 cm ; 35 cm b) 35 cm ; 15 cm c) 20 cm ; 30 cm
d) 30 cm ; 20 cm e) 25 cm ; 25 cm
II) El módulo de la velocidad del centro de masa (c.m) del sistema.
a) 0,1 m/s b) 0,2 m/s c) 0,3 m/s d) 0,4 m/s e) 0,5 m/s
III) La dirección de la velocidad del centro de masa (c.m) del sistema.
a) b) c) d) e)
IV) El módulo de la velocidad angular con la que rota la barra, respecto de su centro de ma
sa (eje instantáneo de rotación).
a) 10 rad/s b) 12 rad/s c) 14 rad/s d) 16 rad/s e) 18 rad/s
496. I) Dado el vector A =(4xy-3x 2 z 2 ) î +2x2 ) ĵ-2x3 z ˆk , demostrar que la circulación A es
independiente de la trayectoria C que pasa por dos puntos de la misma.
II) Demostrar que existe una función derivable "V" de forma que A =V, y evaluar esta
función "V" en x=0,5, y=1,5, z=2,5, tomando la constante de integración C=0.
a) 0,14 b) 0,24 c) 0,34 d) 0,44 e) 0,54
497. Verificar el teorema de la Divergencia de Gauss para A =4x î +2y2 ĵ+z 2 ˆk extendida a
la región limitada por el cilindro x 2 +y 2 =4, y los planos z=0, z=3.
a) 80 b) 82 c) 84 d) 86 e) 88

Robótica y Cibernética 115
498. I) Demostrar que el campo de fuerzas F=(y 2 cos x+z 3 ) î +(2ysen x-4) ĵ+(3xz2 +2) ˆk (N)
es conservativo.
II) Hallar el potencial escalar asociado a la fuerza F, y evaluar en x=0,5, y=0,5, z=0,5, to
mando la constante de integración C=0, y la masa unitaria m=1 kg.
a) 1,02 J/kg b) 1,22 J/kg c) 1,42 J/kg d) 1,62 J/kg e) 1,82 J/kg
III) Hallar el trabajo realiazado al desplazar un cuerpo de masa unitaria en este campo des
desde el punto A(0; 1;-1) m hasta el punto B(/2;-1; 2) m
a) 21,6 J b) 23,6 J c) 25,6 J d) 27,6 J e) 29,6 J
499. En la Fig55, sobre la tabla de masa M=50 kg, ubicada sobre el piso liso, está el cuer
po de masa m=10 kg. El coeficiente de fricción entre el cuerpo y la tabla es =1/2.
¿Con qué aceleración se moverá el cuerpo de masa "m" si sobre el actúa la fuerza F 0
=80 N?
a) 1
m
2
s
b) 2
m
2
s
c) 3
m
2
s
d) 4
m
2
s
e) 5
m
2
s
500. En la Fig56, hallar la fuerza que ejercen las pesas en movimiento sobre la pared verti
cal en el instante en que el eje de las pesas forma con la horizontal el ángulo =53 0 .
Las pesas inician su movimiento de la posición vertical sin rapidez inicial. La masa de
cada bola de las pesas es m=5 kg. (g=10 m/s 2 )
a) 10 N b) 12 N c) 14 N d) 16 N e) 18 N
501. Demostrar que el campo de fuerzas F=r 2 r es conservativo y hallar el potencial escalar
asociado a este campo de fuerzas.
502. Determinar si el campo de fuerzas F=2xz î +(x2 -y) ĵ+(2z-x2 ) ˆk es conservarivo.
503. Demostrar que el trabajo realizado sobre una partícula de masa "m" para desplazarla
desde A hasta B, es igual, a la variación de la energía cinética en dichos puntos, tanto
si el campo de fuerzas sea conservatio o no.
F 0
m
M
g
l
g
Fig55
Fig56
504. Hallar la circulación C A del vector A =(yz+2x) î +xz ĵ+(xy+2z) ˆk a lo largo de la curva

116
Análisis vectorial
x 2 +y 2 =1, z=1, en el sentido positivo, desde el punto (0; 1; 1) hasta el punto (1; 0; 1).
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
505. I) Dado el campo de fuerzas E r r
, indicar si este campo es conservativo o no.
II) En caso que el campo E sea conservativo, hallar su función potencial "V".
III) Calcular la circulación del campo E a lo largo de cualquier curva C cerrada simple.
506. Demostrar que (2x cos y+z sen y) dx+(xz cos y-x 2 sen y) dy+x sen y dz es una diferen
cial exacta. Como consecuencia resolver esta ecuación dada.
507. Dada la función escalar (x; y; z)=2xy 2 z+x 2 y, calcular
nida por: x=t, y=t 2 , z=t 3 desde t=0 hasta t=1.
C
dr
, siendo C la curva defi
a) (19/45) î +(11/15) ĵ+(75/77) ˆk b) (11/45) î +(21/15) ĵ+(71/77) ˆk
c) (17/45) î +(23/15) ĵ+(75/77) ˆk d) (13/45) î +(13/15) ĵ+(81/77) ˆk
e) (17/45) î +(19/15) ĵ+(79/77) ˆk
508. Dado el vector F=2y î -z ĵ+x ˆk , calcular la integral Fxdr , a lo largo de la curva defi
C
nida por: x=cos t, y=sen t, z=2 cos t, para "t" variando desde t=0 hasta t=/2.
a) 1,81 î +2,04 ĵ b) 1,01 î +2,44 ĵ c) 1,41î +2,84 ĵ d) 1,21î +2,64 ĵ e) 2 î +2,8 ĵ
Q
y(m)
u
v
d 2
t=1s
P
0
d 1
v
P
j
0
i
s
x(m)
Fig57
Fig58
509.En la Fig57, los móviles A y B parten simultáneamente de P y Q moviéndose en di
recciones perpendiculares con rapideces de v=4 m/s y u=2 m/s, en el instante inicial
d 1 =40 m y d 2 =10 m, respectivamente.
I) Después de que tiempo de iniciado el movimiento la distancia entre los móviles A y B
es mínima.
a) 1 s b) 3 s c) 5 s d) 7 s e) 9 s
II) Hallar la distancia mínima entre los móviles A y B.

Robótica y Cibernética 117
a) 2 2 m b) 3 2 m c) 4 2 m d) 3 3 m e) 4 3 m
510.En la Fig58, la partícula se mueve a lo largo de la parábola y=2x 3/2 , la longitud de la
curva recorrida es s=t 3 . Si en t 0 =0 s, x 0 =y 0 =s 0 = 0 m. Hallar el valor del ángulo " " en
el instante t=1 s.
a)
o
61 47 22 b)
o
62 47 22 c)
o
63 47 22 d)
o
64 47 22 e)
o
65 47
22
511. Dado el vector A =(3x+y) î -x ĵ+(y-2) ˆk y B =2 î -3 ĵ+ ˆk , hallar (AxB)xdr alrede
C
dor de la circunferencia del plano xy, de centro en el origen y radio R=2, recorrida en
el sentido positivo (antihorario).
a) 81,9 î +31,7 ĵ b) 83,9 î +33,7 ĵ c) 85,9î +35,7 ĵ d) 87,9î +37,7 ĵ e) 89 î +39,7 ĵ
512. Dado el vector A =yî +2x ĵ-z ˆk , hallar
S
A ndS ˆ , donde "S" es la superficie del plano
2x+y=6 situada en el primer octante y limitado por los planos z=0 y z=4.
a) 100 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108
513. Dado el vector A =(x+y2) î -2x ĵ+2yz ˆk , hallar
del plano 2x+y+2z=6 situada en el primer octante.
S
A ndS ˆ , donde "S" es la superficie
a) 160 b) 162 c) 164 d) 166 e) 168
y
B
v
b
0
r
a
P
A
x
d
r
r
'
G
Fig59
Fig60
514.En la Fig59, el móvil describe la trayectoria elíptica de semiejes a=4 m, b=2 m con
velocidad lineal constante de v=2 m/s. Un foco luminoso ubicado en el centro de la cur
va le sigue. Para, =30 0 , hallar:
I) La velocidad angular del foco luminoso para que el móvil este constantemente ilumina
do.
a) 3,3 rad/s b) 4,3 rad/s c) 5,3 rad/s d) 6,3 rad/s e) 7,3 rad/s
II) La componente radial de la velocidad.

118
Análisis vectorial
a) 11,3 m/s b) 12,3 m/s c) 13,3 m/s d) 14,3 m/s e) 15,3 m/s
515.En la Fig60, el cono circular recto gira alrededor de su vértice sobre una superficie ru
gosa con una rapidez angular de =6 rad/s. Hallar la rapidez angular ( ') con la que gi
ra el cono alrededor de su eje si el ángulo que hace la generatriz (G) con éste es de
=37 o .
a) 6 rad/s b) 8 rad/s c) 10 rad/s d) 11 rad/s e) 14 rad/s
516.En la Fig61, un peatón que se mueve en línea recta a la rapidez de v=4 m/s, ilumi
nado por un haz de luz horizontal de un foco situado en el infinito; proyecta su sombra
sobre un muro circular de radio R=3 m. Hallar la rapidez de la sombra para el instante
t= 5 /2 s y cuando =30 o . (El tiempo se cuenta desde el instante en que el peatón esta
alineado con el foco y el muro).
a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s e) 5 m/s
Rayo de
luz
P
Q
s
R
g
aceite
Fig61
Fig62
517. En la Fig62, un chorro de aceite que cae sobre la superficie del agua se extiende for
mando una mancha circular de grosor "h", ¿Cómo depende del tiempo la rapidez del
movimiento de los extremos de la mancha si en unidad de tiempo ingresa el volumen
de aceite "q"?
a)
q
( )
4ht
1/2
b)
q
( )
3ht
1/2
c)
q
( )
2ht
1/2
d)
2q
( )
ht
1/2
e)
q
( )
ht
1/2
518. Dado el vector F=2y î -z ˆk ĵ+x2 calcular la integral A ndS ˆ , donde "S" es la super
S
ficie y 2 =8x situada en el primer octante y limitada por los planos y=4 y z=6.
a) 124 b) 126 c) 128 d) 130 e) 132
519. Dado el vector A =6z î +(2x+y) ĵ-x ˆk , calcular la integral
superficie limitado por el cilindro x 2 +z 2 =9, x=0, y=0, z=0 e y=8.
S
A ndS ˆ , donde "S" es la

Robótica y Cibernética 119
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
520. I) Hallar la integral A ndS ˆ extendida a la superficie del cubo de volumen V=1, li
S
mitado por los planos x=0, x=1, y=0, y=1, z=0, z=1.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
II) Hallar la integral A ndS ˆ extendida a la superficie de una esfera de radio "a" con
S
centro en el origen de coordenadas (0; 0).
a) 2a 3 b) 3a 3 c) 4a 3 d) 6a 3 e) 8a 3
521.En la Fig63, el sólido homogéneo está formado por el cilindro de radio "a" y altura
H=15 2 cm y la semiesfera de radio "a". ¿Para qué valor mínimo de "a", el sólido es
tá en equilibrio estable?
a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm
522.En la Fig64, las mitades del cilindro circular compacto de radio R=8 cm y peso total
100 N se apoyan mutuamente, la superficie de contacto entre los cilindros es rugosa, el
piso es liso y =37 0 .
I) Hallar el módulo de la reacción en B.
a) 50 N b) 60 N c) 70 N d) 80 N e) 90 N
II) Hallar el módulo de la reacción en A.
a) 10 N b) 20 N c) 30 N d) 40 N e) 50 N
III) Hallar el módulo de la componente normal de la reacción entre las superficies de con
tacto de los semicilindros.
a) 22 N b) 24 N c) 26 N d) 28 N e) 30 N
IV) Hallar el módulo de la reacción entre las superficies de contacto de los semicilindros
a) 22 N b) 24 N c) 26 N d) 28 N e) 30 N
V) ¿A qué distancia del punto A actúa la componente normal de la reacción entre las superficies?
a) 6 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 9 cm e) 10 cm
523. Dado el vector A =4xz î +xyz2 ĵ+3z ˆk , calcular la integral A ndS ˆ sobre toda la su
S

120
Análisis vectorial
perficie de la región por arriba del plano xy acotada por el cono z 2 =x 2 +y 2 y el plano
z=4.
a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 e) 340
g
H
R
R
a
g
A
B
Fig63
Fig64
524. Hallar el área del plano x+2y+2z=12 limitado por los planos x=0, y=0, x=1, y=1.
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
525. Hallar el área del plano x+2y+2z=12 limitado por los planos x=0, y=0, y el cilindro
x 2 +y 2 =16.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
526. Hallar el área de la superficie limitada por la intersección de los cilindros x 2 +y 2 =a 2 y
x 2 +z 2 =a 2 .
a) 10a 2 b) 12a 2 c) 14a 2 d) 16a 2 e) 18a 2
527. Calcular la integral A=
la y=x 2 y la recta y=2x.
S
2
xy dS, donde "S" es la región comprendida entre la parábo
a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8
528. Calcular la integral
S
2
A sen dS, donde "S" es la región correspondiente a la su
perficie del círculo =3cos .
a) 1,0 b) 1,2 c) 1,4 d) 1,6 e) 1,8
529. Calcular la integral
V
2 2
I (y z )dV , donde "V" es la pirámide limitada por los
planos de coordenadas y por el plano x+y+z=1.
a) 1/15 b) 1/20 c) 1/25 d) 1/30 e) 1/35

530. Calcular la integral
V
Robótica y Cibernética 121
V
dV , donde "V" es el volumen del cuerpo limitado por los
planos xOy y xOz, el cilindro x 2 +y 2 =ax y la esfera x 2 +y 2 +z 2 =a 2 .
a) 0,1a 3 b) 0,2a 3 c) 0,3a 3 d) 0,4a 3 e) 0,5a 3
531. En la Fig65, calcular la integral
V
2
I r cosdV
, donde "V" es el volumen del co
no de altura h=5, ángulo de vértice 2=60 o , y que está situado con respecto al siste ma
de coordenadas mostrada.
a) 4,01 b) 4,21 c) 4,41 d) 4,61 e) 4,81
532.En la Fig66, el tanque cilíndrico de radio R=10 cm, y altura H=1,20 m que contiene a
gua de densidad =1000 kg/m 3 , hasta una altura de h=1 m, se hace girar a una veloci
dad angular constante de o =10 rad/s, sin que el agua se derrame. Hallar el cambio en
el nivel del agua para el punto más alto de la superficie libre del agua, cuando la ve
locidad angular se duplica. (g=10 m/s 2 )
a) 2,5 cm b) 5,0 cm c) 7,5 cm d) 10,5 cm e) 12,5 cm
533. Dado el vector F=(x+2y) î -3z ĵ+x ˆk , hallar la integral
perficie 2x+y+2z=6 limitada por x=0, x=1, y=0 e y=2.
( xF) ndS ˆ donde S es la su
S
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
534. Dado la función escalar =4x+3y-2z, hallar la integral
cie 2x+y+2z=6 limitada por x=0, x=1, y=0 e y=2.
ˆndS donde S es la superfi
S
a) 2 î - ĵ-2 ˆk b) 2 î + ĵ-2 ˆk c) 2 î - ĵ+2 ˆk d) 2 î + ĵ+2 ˆk e) 2 î +2 ˆk
z
R
r 2 =h/cos
h
H
h
x
0
y
Fig65
Fig66

122
535. Hallar la integral
por x 2 +y 2 =36.
R
Análisis vectorial
2 2 1/2
(x y ) dxdy extendida a la región R del plano xy limitada
a) 140 b) 142 c) 144 d) 146 e) 148
536. Hallar la integral (2x y)dV , donde "V" es el volumen limitado por el cilindro
V
z=4-x 2 y los planos x=0, y=0, y=2 y z=0.
a) 72/3 b) 74/3 c) 76/3 d) 78/3 e) 80/3
537. Hallar la integral
V
y=0, z=0 y 2x+2y+z=4.
FdV , donde "V" es el volumen limitado por los planos x=0,
a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3
538. Hallar la integral
V
y=0, z=0 y 2x+2y+z=4.
xFdV
, donde "V" es el volumen limitado por los planos x=0,
a) 8( î - ˆk )/3 b) 8(- ĵ+ ˆk )/3 c) 8( î - ĵ)/3 d) 8( ĵ+ ˆk )/3 e) 8( ĵ- ˆk )/3
539.En la Fig67, el cuerpo de masa m=1 kg se mueve en un plano horizontal describiendo
la espiral, cuya ecuación en coordenadas polares es: r=b , siendo b=0,147 m una
constante y =d/dt=4 rad/s la velocidad angular constante. Hallar:
I) El módulo de la fuerza total ejercida sobre el cuerpo, en el instante en que =/2.
a) 1 N b) 2 N c) 4 N d) 6 N e) 8 N
II) El módulo de la fuerza de Coriolis, en el instante en que =/2.
a) 4,1 N b) 4,3 N c) 4,5 N d) 4,7 N e) 4,9 N
III) La razón (F r /F ) entre los módulos de las fuerza radial (F r ) y tangencial (F ), en el ins
tante en que =4 rad.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
540.En la Fig68, el cuerpo de masa m=1 kg se mueve por la espiral cuya ecuación en coor
denadas polares es: r=e b , siendo b=2 una constante y =d/dt=4 rad/s la velocidad
angular constante. Hallar:
I) El módulo de la fuerza ejercida sobre el cuerpo, debida a su aceleración, en el instante
en que =/4.
a) 380,8 N b) 382,8 N c) 384,8 N d) 386,8 N e) 388,8 N
II) El módulo de la fuerza de Coriolis, en el instante en que =/4.

Robótica y Cibernética 123
a) 301,9 N b) 303,9 N c) 305,9 N d) 307,9 N e) 309,9 N
III) La razón (F r /F ) entre los módulos de las fuerza radial (F r ) y tangencial (F ), en el ins
tante en que =4 rad.
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 3/2 e) 4/3
v
v
m
m
0
0
Fig67
Fig68
541. Dados los vectores M =-10 î +4 ĵ-8 ˆk y N =8 î +7 ĵ-2 ˆk .
I) Hallar un vector unitario en la dirección del vector M 2N .
II) Hallar la magnitud del vector 5i ˆ N 3M .
III) Hallar el vector dada por: M 2N (M N) .
542. Los tres vértices de un triángulo están ubicados en los puntos A(1; 2; 5), B(-4;-2;-3), y
C(1; 3;-2).
I) Hallar la longitud del perímetro del triángulo ABC.
a) 21,9 b) 22,9 c) 23,9 d) 24,9 e) 25,9
II) Hallar el valor de la expresión N=u x u z /u y , donde u x , u y , u z son las componentes del vec
tor unitario û que esta dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del
lado BC.
a) 1,43 b) 1,83 c) 2,23 d) 2,63 e) 3,03
III) Mostrar que este vector unitario û multiplicado por un escalar es igual al vector de A
hacia C y que el vector unitario es por lo tanto paralelo a AC.
543. El vector del origen al punto A está dado por (6;-2;-4), y el vector unitario dirigido
desde el origen hacia el punto B es (2;-2; 1). Si la separación de los puntos A y B es de
10 unidades, hallar las coordenadas del punto B.
a) -7,83 î +7,83 ĵ-3,92 ˆk b) 7,83î +7,83 ĵ+3,92 ˆk c) 7,83î -7,83 ĵ-3,92 ˆk
d) 7,83 î +7,83 ĵ-3,92 ˆk e) 7,83 î -7,83 ĵ+3,92 ˆk

124
Análisis vectorial
544. Un círculo con centro en el origen de radio R=2 unidades, se ubica en el plano xy.
Hallar el vector unitario en componentes rectangulares ubicado en el plano xy, que es
tangente al círculo en el punto ( 3 ; 1; 0), y esta en la dirección de y aumentando su
valor.
a) (- î - ˆ 3j)/2 b) ( î + ˆ 3j)/2 c) (- î + ˆ 3j)/2 d) ( 3 î + ĵ)/2 e) ( î + ˆ 3j)
545. En la Fig69, la barra homogénea de peso "W" está en equilibrio, y el coeficiente de
fricción de la barra con la superficie es =1/4. Hallar el ángulo mínimo " ".
a)
o
31 0730 b)
o
33 0730 c)
o
35 0730 d)
o
37 0730 e)
o
39 0730
546. En la Fig70, dados dos sistemas de referencia S(XYZ) y S'(X'Y'Z'), probar que las re
laciones para los momentos de inercia de un cuerpo de masa "m", en ambos sistemas
de referencia, vienen dados por:
' 1 1
I) I x (I x I y ) (I x I y )cos2
I xy sen 2
2 2
' 1 1
II) I y (I x I y ) (I x I y )cos2
I xy sen 2
2 2
1
III) I xy (Ix I y)sen 2
Ixy
cos2
2
IV) Probar que el ángulo " ", para el cual el sistema de ejes X'Y' es principal, viene dado
1 1
por: tg
[ 2I xy / (I x I y )] .
2
V) Probar que el valor máximo del momento de inercia del cuerpo, respecto de los ejes
X'Y', viene dado por:
' 2 2 1/2
max x y x y xy
I (I I ) [(I I ) 4I ] / 2
VI) Probar que el valor mínimo del momento de inercia del cuerpo, respecto de los ejes
X'Y', viene dado por:
' 2 2 1/2
min x y x y xy
I (I I ) [(I I ) 4I ] / 2
Y
g
Y'
X'
R
0
X
Fig69
547. Un campo vectorial está dado por:
A(1; 2; 1) y Q(-2; 1; 3).
Fig70
ˆ 2 ˆ 2ˆ
G 24xyi 12(x 2)j 18z k . Dado dos puntos,

Robótica y Cibernética 125
I) Hallar G en el punto P(1; 2;-1).
a) (46; 38; 10) b) (42; 30; 16) c) (44; 34; 14) d) (40; 32; 12) e) (48; 36; 18)
II) Hallar un vector unitario en la dirección de G en el punto Q(-2; 1; 3).
a) (,26; 0,39; 0,88) b) a) (-0,26; -0,39; 0,88) c) a) (0,26; -0,39; 0,88)
d) a) (0,26; 0,39; -0,88) e) a) (-0,26; 0,39; 0,88)
III) Hallar un vector unitario dirigido de Q hacia P.
a) (0,59; 0,20; -0,78) b) (-0,59; 0,20; 0,78) c) (0,59; -0,20; 0,78)
d) (0,59; -0,20; -0,78) e) (-0,59; 0,20; -0,78)
IV) Hallar la ecuación de la superficie sobre la cual G =60.
548. Si a es un vector unitario en una dirección dada, B es una constante escalar, y r =x î +
y ĵ+z ˆk , describa la superficie ra=B. ¿Cuál es la relación entre el vector unitario a y
el escalar B en esta superficie? [Sugerencia: Considere primero un ejemplo sencillo
con a a y B=1, y luego considere cualquier a y B.]
x
549. Dado el campo vectorial E =4zy 2 cos 2x î +2zy sen 2x ĵ+y2 sen 2x ˆk en la región x ,
y , y z menores que 2.
I) Hallar las superficies para la cual E y =0.
II) Hallar la región para la cual E y =E z .
III) Hallar la región para la cual E =0.
550. Demostrar la ambigüedad que resulta cuando el producto vectorial es utilizado para
hallar el ángulo dos vectores, hallar el ángulo entre A =3 î -2 ĵ+4 ˆk y B =2 î + ĵ-2 ˆk ¿E
xiste esta ambigüedad cuando el producto escalar es utilizada?
551. Un campo vectorial esta dada por: G =25(x î +y ĵ)/(x2 +y 2 ), en el espacio
I) Hallar un vector unitario en la dirección de G en el punto P(3; 4;-2).
II) Hallar el ángulo entre G y î en el punto P(3; 4;-2).
3 .
a) 30 o b) 37 o c) 45 o d) 53 o e) 60 o
III) Hallar el valor de la siguiente doble integral sobre el plano y=7:
4 2
0 0
G ˆjdzdx
.
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
552. Expresando las diagonales como vectores y usando la definición del producto escalar
o punto, hallar el ángulo menor entre dos diagonales cualesquiera de un cubo, donde

126
Análisis vectorial
cada diagonal conecta vértices diametralmente opuestas y pasan a través del centro del
cubo.
a) 64,53 o b) 66,53 o c) 68,53 o d) 70,53 o e) 72,53 o
553. Dados los puntos M(0,1; -0,2; -0,1), N(-0,2; 0,1; 0;3) y P(0,4; 0; 0,1).
I) Hallar el vector R MN .
II) Hallar el producto escalar (punto) RMN R MP .
III) Hallar la proyección escalar de R MN sobre R MP .
a) 0,10 b) 0,12 c) 0,14 s) 0,16 e) 0,18
IV) Hallar el ángulo entre
R MN y R MP .
a) 70 o b) 72 o c) 74 o d) 76 o e) 78 o
554. Mostrar que los campos vectoriales A = cos ˆ + sen ˆ + ˆk y B = cos ˆ +
sen ˆ - ˆk son perpendiculares entre si, en cualquier caso.
555. I) Hallar la componente vectorial de F=(10; -6; 5) que es paralela a G =(0,1: 0,2; 0,3)
II) Hallar la componente vectorial de F que es perpendicular a G .
III) Hallar la componente vectorial de G que es perpendicular a F.
556. Mostrar que los campos vectoriales A =(sen 2)/r 2 ˆr +2sen/r 2 ˆ y B =r cos ˆr +r ˆ son
en cualquier caso paralelos uno a otro.
557. Tres vectores partiendo del origen están dados por: r 1 =(7; 3; -2), r 2 =(-1; 7; -3), y r 3 =
(0; 2; 3).
I) Hallar un vector unitario perpendicular a ambos vectores r 1 y r 2 .
II) Hallar un vector unitario perpendicular a los vectores r 1 - r 2 y r 2 - r 3 .
III) Hallar el área del triángulo definido por r 1 y r 2 .
a) 30,3 b) 31,3 c) 32,3 d) 33,3 e) 34,3
IV) Hallar el área del triángulo definido por los extremos de los vectores r 1 , r 2 y r 3 .
a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 34
558. El campo vectorial E =(B/) ˆ , donde B es una constante, debe ser desplazada tal que
sus orígenes se sitúen en la línea, x=2, y=0. Escribir la forma desplazada de E en com
ponentes rectangulares, y evaluar la magnitud de E en x=2,5, y=1,5.
a) 0,47B b) 0,51B c) 0,55B d) 0,59B e) 0,63B
559. El punto A(-4; 2; 5) y los dos vectores, R AM =(20; 18); -10) y R AN =(-10; 8; 15),

Robótica y Cibernética 127
definen un triángulo.
I) Hallar un vector unitario perpendicular al triángulo.
II) Hallar un vector unitario en el plano del triángulo y perpendicular a R AN .
III) Hallar un vector unitario en el plano del triángulo que bisecte el ángulo interior en A.
560. Transformar el campo vectorial H =(A/) ˆ , donde A es una constante, de
coordenadas cilíndricas a coordenadas esféricas.
a) Asen /r ˆ b) Acos /r ˆ c) A/r sen ˆ d) A/r cos ˆ e) A/r 2 ˆk
561. I) Expresar el campo vectorial D =(x 2 +y 2 +z 2 ) -1 (x î +y ĵ) en componentes cilíndricas y
variables cilíndricas.
II) Evaluar D en el punto donde =2, =0,2, y z=5, expresando el resultado en coordena
das cartesianas y cilíndricas.
562. Un cilindro de radio "a", centrado en el eje z, rota alrededor del eje z con una veloci
dad angular rad/s. La dirección de rotación es en el sentido antihorario mirando en
la dirección del eje z positivo.
I) Usando componentes cilíndricas, escribir una expresión para el campo de velocidades,
v , que genera la velocidad tangencial en cualquier punto al interior del cilindro.
II) Convertir el resultado obtenido en I) a componentes esféricas.
III) Convertir a componentes rectangulares.
563.En la Fig71, la partícula bajo la acción de una fuerza central se mueve según la cir
cunferencia de diámetro "r o " que pasa por el centro de fuerzas 0. Si en el punto A su
velocidad es "v ", hallar el módulo de su velocidad, cuando 45 0 .
o
a) v 0 b) 2 v 0 c) 3v 0 d) 4v 0 e) 5v 0
r
m
0
r o
F
A
a
m
g
0 o
Fig71
Fig72
564.En la Fig72, el tubo cilíndrico delgado y hueco OA está inclinado un ángulo =37 0 res
pecto de la horizontal y gira alrededor de la vertical con una velocidad angular constan
te de =5 rad/s. Si una partícula que está obligada a moverse al interior del tubo está

128
Análisis vectorial
inicialmente en reposo a una distancia de a=10 cm de 0. ¿A qué distancia de 0 se en
contrará la partícula, luego de t=0,5 s de iniciado su movimiento? (g=10 m/s 2 )
a) 31,6 cm b) 33,6 cm c) 35,6 cm d) 37,6 cm e) 39,6 cm
565. Expresar en componentes cilíndricas.
I) El vector que va de C(3; 2; -7) a D(-1; -4; 2).
II) Un vector unitario en D dirigido hacia C.
III) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen.
566. Una esfera de radio "a", centrado en el origen, rota alrededor del eje z a una velocidad
angular de rad/s. La dirección de rotación es en sentido horario cuando se observa
en la dirección del eje z positivo.
I) Usando componentes esféricas, escribir una expresión para el campo de velocidades
v , la cual genera la velocidad tangencial en todo punto interior a la esfera.
II) Convertir a componentes rectangulares.
567. Las superficies =3, =5, =100 o , = 130 o , z=3, y z=4,5 definen una superficie cerra
da.
I) Hallar el volumen limitado por esta superficie.
a) 6,08 b) 6,28 c) 6,48 d) 6,68 e) 6,88
II) Hallar el área total de la superficie que encierra el volumen.
a) 14,7 b) 16,7 c) 18,7 d) 20,7 e) 22,7
III) Hallar la longitud total de los doce bordes de las superficies.
a) 20,4 b) 22,4 c) 24,4 d) 26,4 e) 28,4
IV) Hallar la longitud de la línea recta más larga que se sitúa enteramente dentro del volu
men.
a) 3,01 b) 3,11 c) 3,21 d) 3,31 e) 3,41
568. Dado el campo vectorial E =A/r 2 ˆr .
I) Expresar este campo E en componentes rectangulares.
II) Expresar este campo E en componentes cilíndricas.
569. Dado el punto P cuyas coordenadas esféricas son, r=0,8, =30 o , =45 o , y el campo vec
torial E =(cos ˆr +sen/sen ˆ )/r 2 .
I) Hallar el campo E en el punto P.
II) Hallar la magnitud del campo E en el punto P.
III) Hallar un vector unitario en la dirección de E en el punto P.
570. I) Expresar el campo vectorial uniforme, F=5 î en componentes cilíndricas.

II)
Robótica y Cibernética 129
Expresar el campo vectorial uniforme, F=5 î en componentes esféricas.
571. Las superficies r=2 y r=4, =30 o y =50 o , y =20 o y =60 o definen una superficie
cerrada.
I) Hallar el volumen encerrado por esta superficie.
a) 2,11 b) 2,31 c) 2,51 d) 2,71 e) 2,91
II) Hallar el área total de la superficie cerrada.
a) 12,01 b) 12,21 c) 12,41 d) 12,61 e) 12,81
III) Hallar la longitud total de los doce bordes de la superficie.
a) 17,09 b) 17,29 c) 17,49 d) 17,69 e) 17,89
IV) Hallar la longitud de la línea recta más larga que cae enteramente al interior de la super
ficie.
a) 2,13 b) 2,33 c) 2,53 d) 2,73 e) 2,93
572. I) Expresar el campo vectorial, G =8 sen ˆ en componentes rectangulares.
II) Expresar el campo vectorial, G =8 sen ˆ en componentes cilíndricas.
573. I) Expresar el vector unitario î en componentes esféricas en el punto r=2, =1 rad,
=0,8 rad.
II) Expresar el vector unitario î en componentes esféricas en el punto x=3, y=2, z=-1.
III) Expresar el vector unitario î en componentes esféricas en el punto =2,5, =0,7 rad,
z=1,5.
574. En el punto B(5; 120 o ; 75 o ) un campo vectorial tiene el valor A =-12 ˆr -5 ˆ +15 ˆ
I) Hallar la componente vectorial de A normal a la superficie r=5.
II) Hallar la componente vectorial de A tangente a la superficie r=5.
III) Hallar la componente vectorial de A tangente al cono =120 o .
IV) Hallar un vector unitario que sea perpendicular a A y tangente al cono =120 o .
575. Dados los vectores A ˆi ˆj
, y B ˆj kˆ
en el espacio
I) Hallar la magnitud de la resultante A B.
3 .
2,05 b) 2,25 c) 2,45 d) 2,65 e) 2,85
II) Hallar el vector 3A 2B.
a) 3 î + ĵ-2 ˆk b) 3 î - ĵ+2 ˆk c) 3 î + ĵ+2 ˆk d) 3 î - ĵ-2 ˆk e) 3 î + ĵ
III) Hallar el producto escalar de A por B .

130
Análisis vectorial
a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 d) 2,0 e) 2,5
IV) Hallar el producto vectorial de A por B .
a) î - ĵ+ ˆk b) î + ĵ- ˆk c) î - ĵ- ˆk d) î + ĵ+ ˆk e) - î - ĵ+ ˆk
576. Dados los vectores A 2i ˆ ˆj
, B ˆi kˆ
, y C 4j ˆ en el espacio 3 .
I) Hallar la expresión E=[[A (B C)]/[(A B) C)] .
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
II) Hallar la expresión R=[A (BxC)][(AxB) C)]
a) 60 b) 62 c) 64 d) 66 e) 68
III) Hallar el triple producto vectorial, Ax(BxC).
a) 4 î +8 ĵ+4 ˆk b) 4 î -8 ĵ-4 ˆk c) 4 î +8 ĵ-4 ˆk d) 4 î -8 ĵ+4 ˆk e) 4 î +4 ˆk
IV) Hallar el triple producto vectorial, (AxB)xC.
a) 4 î +8 ĵ+4 ˆk b) 4 î -8 ĵ-4 ˆk c) 4 î +8 ĵ-4 ˆk d) 4 î -8 ĵ+4 ˆk e) 4 î +4 ˆk
577. Dados los vectores A aˆi 2ˆj
, y B aˆi 2a ˆj 3a kˆ
, hallar el menor ángulo entre es
tos dos vectores.
a) 30 o b) 37 o c) 45 o d) 53 o e) 60 o
578. En términos del grupo de base estándar { î , ĵ, ˆk }, a 2i ˆ ˆj 2k, ˆ b 3i ˆ 4kˆ
y c
ˆi
5j
ˆ 3kˆ.
I) Hallar 3a 2b 4c y
2
a b .
II) Hallar a , b y ab . Deducir el ángulo entre a y b .
III) Hallar la componente de c en la dirección de a y en la dirección de b .
IV) Hallar a x b, bx c y (a xb)x(bxc).
V) Hallar a (bx c) y (a xb) c y verificar que estas son iguales. Indicar en que sentido
izquierdo o derecho está el grupo { a, b, c} .
VI) Evaluando cada lado de la ecuación, verificar la identidad a x(bxc) (a c)b (a b)c .
579. Hallar el ángulo entre las dos diagonales principales de un cubo.
a) 64,5 o b) 66,5 o c) 68,5 o d) 70,5 o e) 72,5 o

Robótica y Cibernética 131
580. Las proyecciones sobre los ejes de coordenadas de las fuerzas P , Q y F son las sigui
entes: P x =6 N, P y =3 N, P z =12 N, Q x =3 N, Q y =-7 N, Q z =1 N, F x =5 N, F y =2 N, F z =-8 N.
I) Hallar la magnitud de la resultante de la suma de estas fuerzas.
a) 11 N b) 13 N c) 15 N d) 17 N e) 19 N
II) Hallar la expresión, E=cos cos /cos , donde "", "" y "" son los ángulos que for
ma el vector resultante con los ejes x, y, z.
a) -3/4 b) -5/6 c) -3/5 d) -7/3 e) -8/5
581. En la Fig73, ABCDEF es un hexágono regular con centro 0 la cual, es también el ori
gen de los vectores de posición. Hallar los vectores de posición de los vértices C, D, E,
F en términos de los vectores de posición a, b de A y B.
582. En la Fig74, ABCD es un cuadrilátero, en el cual, P, Q, R, S son los puntos medios de
los lados AB, BC, CD, DA respectivamente. Mostrar que PQRS es un paralelogramo.
583. En un tetraedro regular, se trazan líneas que conectan los puntos medios de cada lado
con los puntos medios de los lados opuestos. Mostrar que estas tres líneas se reúnen en
un punto que biseca cada una de estas.
584. Sea ABCD un tetraedro regular y P, Q, R, S los centros medios de las caras opuestas a
los vértices opuestos a los vértices A, B, C, D respectivamente. Mostrar que las líneas
AP, BQ, CR, DS todas se reúnen en un punto (llamado el centroide del tetraedro),la
cual divide cada línea en la razón 3 : 1.
C
b
B
B
Q
C
D
O
a
A
P
R
E
F
A
S
D
Fig73
Fig74
585. Un número de partículas de masa m 1 , m 2 , m 3 ,...están situadas en los puntos con vecto
res de posición r 1 , r 2 , r 3 ,...relativo a un origen O. El centro de masa G de las partícu
las está definida ser el punto del espacio con vector de posición: R =(m 1 r 1 +m 2 r 2 +
r ,...)/(m 1 +m 2 +m 3 +...). Mostrar que si un origen diferente O' fuese usado, esta defini
m 3 3

132
Análisis vectorial
ción para G debería estar en la mismo punto del espacio.
586. Probar que las tres perpendiculares a los lados de un triángulo son concurrentes.
587. Si, a1 ˆ ˆ ˆ
1i 1j 1k
, a2 ˆ ˆ ˆ
2i 2j 2k, a3 ˆ ˆ ˆ
3i 3j 3k
donde {i, ˆ ˆj,k} ˆ es
una base estándar, mostrar que:
a (a xa )
1 1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
Deducir que la rotación cíclica de los vectores en un triple producto escalar nos da el
valor del producto intercambiado.
588. Expresando los vectores a , b , c en términos de una bases estándar apropiada, probar
que la identidad a x(bxc) (a c)b (a b)c .
589. Probar las siguientes identidades: I) (a xb) (cxd) (a c)(b d) (a d)(b c) , II)
(a xb) x (cxd) [a, b, d]c [a, b, c]d , III) a x(bxc) cx(a xb) bx(cxa) 0 .
590. Sea {a,b,c} cualquier grupo de base. Entonces la correspondiente base recíproca
* * *
{a ,b ,c }está definida por:
*
a
I) Si ˆ ˆ ˆ {i, j,k} es una base estándar, mostrar que
II) Mostrar que
* * *
bxc /[a,b,c],
b cxa /[a,b,c],
ˆ* ˆ* ˆ*
{i , j ,k } {i, ˆ ˆj,k}
ˆ .
*
*
c
a xb /[a,b,c].
[a ,b ,c ] 1/[a,b,c] . Deducir que si {a,b,c} es un grupo definido en
sentido derecho, entonces, también
* * * * * *
III) Mostrar que {(a ) ,(b ) ,(c ) } {a,b,c}.
* * *
{a ,b ,c } lo es.
IV) Si un vector v es expandida en términos del grupo bases {a,b,c} en la forma v
+ b
c, mostrar que los coeficientes "", "", "" están dadas por
*
vb,
*
vc.
a
*
va ,
591.En las ecuaciones de Lame. La dirección en la que los rayos-X son fuertemente disper
sados en un cristal están determinadas por las soluciones "x" de las ecuaciones de La
me, es decir: x a L, x b M, x c N , donde {a,b,c} son los vectores de base de
los lados del cristal, y L, M, N son enteros cualesquiera. Mostrar que las soluciones de
* * *
* * *
las ecuaciones de Lame son: x La Mb Nc , donde {a ,b ,c }es la base recí
592. Si
proca de la base {a,b,c}.
r(t) (3t 4)i ˆ t ˆj (t 3)kˆ
2 3
, donde ˆ ˆ ˆ
hallar r y r . Deducir la derivada temporal de r x r .
{i, j, k}es una base estándar constante,

Robótica y Cibernética 133
593. Los puntos A y B tienen vectores de posición a y b relativo al origen O. Hallar el vec
tor de posición x del punto X que divide la línea AB en la razón : (es decir
AX/XB=/).
594.En la Fig75, la barra homogénea doblada de peso despreciable, que tiene unida en su
extremo inferior una bola de masa m=0,5 kg, gira con velocidad angular constante de
=5 rad/s. (g=10 m/s 2 , =53 o , 0,5 m).
I) Hallar la tensión en la barra, en los puntos de unión con la bola.
a) 5 N b) 6 N c) 7 N d) 8 N e) 9 N
II) Hallar la reacción normal sobre la bola.
a) 1 N b) 2 N c) 3 N d) 4 N e) 5 N
III) Hallar la fuerza total que ejerce la barra sobre la bola.
a) 7,1 N b) 7,3 N c) 7,5 N d) 7,7 N e) 7,9 N
IV) ¿En cuántas veces aumenta la fuerza total ejercida por la barra sobre la bola, cuando
la velocidad angular se duplica?
a) 1,9 b) 2,9 c) 3,9 d) 4,9 e) 5,9
V) ¿La tensión es la misma a lo largo de la parte oblicua de la barra?
a) 1/3 s b) 2/3 s c) 3/4 s d) 4/5 s e) 5/6 s
595.En la Fig76, la cadena homogénea de longitud 2 m, que está sobre la superficie li
sa de los planos inclinados, cuyo vértice es redondeado, se suelta en la posición mostra
da. El ángulo de inclinación es =53 0 y a=2 /3. (g=10 m/s 2 )
I) Hallar la velocidad de la cadena, en el instante en que su extremo izquierdo pasa por el
vértice 0.
a) 4/3 m/s b) 5/3 m/s c) 7/3 m/s d) 8/3 m/s e) 7/4 m/s
II) ¿En qué tiempo llega el extremo izquierdo de la cadena al vértice 0?
a) 0,22 s b) 0,42 s c) 0,62 s d) 0,82 s e) 1,02 s
III) Hallar la velocidad de la cadena, en el instante en que su extremo izquierdo pasa por el
o
vértice y el ángulo de inclinación de los planos es 90 .
a) 2,18 m/s b) 2,38 m/s c) 2,58 m/s d) 2,78 m/s e) 2,98 m/s
IV) ¿En qué tiempo llega el extremo izquierdo de la cadena al vértice 0, si el ángulo de in
o
clinación de los planos es 90 ?
a) 0,36 s b) 0,46 s c) 0,56 s d) 0,66 s e) 0,76 s

134
Análisis vectorial
V) ¿Qué valor mínimo debe tener "a", para que le cadena al soltarse, inicie su movimien
to, si el coeficiente de fricción entre la superficie y la cadena es =1/2.
a) 1,18 m b) 1,28 m c) 1,38 m d) 1,48 m e) 1,58 m
0
g
l
a
g
m
Fig75
Fig76
596. I) En la Fig77, cuatro esferitas, cada una de masa m=2 kg, están situadas en los vérti
ces de un tetraedro regular de lado a=1,4 m. Hallar la fuerza gravitacional ejercida so
bre una cualquiera de las esferitas por las otras partículas. (G constante gravitacional)
a) 2G b) 3G c) 4G d) 5G e) 6G
II) Tres esferas rígidas uniformes de masas M=3 kg y radio a=0,5 m están ubicadas sobre
una mesa horizontal y están presionadas juntas tal que sus centros están en los vértices
de un triángulo. Una cuarta esfera rígida uniforme de masa "M" y radio "a" está ubica
da sobre las otras tres tal que todas las cuatro esferas están en contacto uno con la otra.
Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre la esfera superior por las otras tres inferio
res.
a) 20G b) 22G c) 24G d) 26G e) 28G
m
m
m
a
a
a
m
m
m
a
m
a
a
m
m
a
m
a
m
Fig77
m
Fig78

Robótica y Cibernética 135
597. I) En la Fig78, ocho partículas de masas "m", están situadas en los vértices de un cu
bo de lado "a". Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre cualquiera de las partículas
por las otras siete partículas.
II) Deducir la fuerza gravitacional ejercida sobre las cuatro partículas ubicadas en cuatro
caras del cubo por las cuatro partículas ubicadas sobre las caras opuestas.
598. I) Una barra uniforme de masa "M" y longitud "2a" está situado a lo largo del eje x en
el intervalo [-a, +a], y una partícula de masa "m" (M=18m) está situada en el punto
x=d. Hallar la fuerza ejercida por la barra sobre la partícula.
a) 3m 2 G/a 2 b) 4m 2 G/a 2 c) 5m 2 G/a 2 d) 6m 2 G/a 2 e) 7m 2 G/a 2
II) Dos barras uniformes de masas "M" y longitudes "2a", están situadas a lo largo de los
intervalos [-a, +a] y [b-a, b+a] del eje x, de modo que, sus centros están separadas por
una distancia "b" (b=4a)). Hallar cuantas veces es la fuerza gravitacional que ejerce u
na barra sobre la otra barra, respecto de M 2 G/a 2 . (G=constante gravitacional)
a) ln(
3 )
1/2
4
b) ln(
4 )
1/2
3
c) ln(
3 )
1/4
4
d) ln(
4 )
1/4
3
e) ln(
3 )
1/2
2
599. Un disco rígido uniforme tiene masa "M" y radio "a", y una barra rígida uniforme
tiene masa "m" y longitud "b". La barra es ubicada a lo largo del eje de simetría
vertical del disco con un extremo en contacto con el disco. Hallar la fuerza necesaria
para separar la barra del disco. La barra se encuentra sobre el disco.
600. Mostrar que la fuerza gravitacional ejercida sobre una partícula al interior de una esfe
ra hueca simétrica es cero. [Sugerencia: El procedimiento es la misma que la una par
tícula situada fuera de una esfera simétrica, excepto en un detalle.]
601. Un hueco estrecho es perforado alrededor del centro de una esfera uniforme de masa
"M" y radio "a". Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre una partícula de masa
"m" que se encuentra al interior del hueco a una distancia "r" del centro.
602. Una esfera simétrica, de radio "a" y masa "M", tiene su centro a una distancia "b"
(b>a) de un plano infinito que contiene una distribución de masa "" por unidad de á
rea. Hallar la fuerza gravitacional ejercida sobre la esfera.
603. Dos semiesferas rígidas uniformes, cada una de masa "M" y radios "a" están ubicadas
en contacto uno con otra formando una esfera completa. Hallar la fuerza necesaria para
separar las semiesferas.
604. Dos bloques idénticos cada una de masa "M" están conectadas por una cuerda inexten
sible delgada y pueden moverse sobre la superficie de una tabla horizontal rugosa. Los
bloque están siendo jalados a velocidad constante en una línea recta por una cuerda co
nectada a una de ellas. La tensión en la cuerda de remolque es "T o ".
I) ¿Cuál es la tensión en la cuerda que une los bloques?

136
Análisis vectorial
II) La tensión en la cuerda de remolque es súbitamente incrementada a "4T o ". ¿Cuál es loa
aceleración instantánea de los bloques y cuál es la tensión instantánea en la cuerda que
los conecta?
605. Un cuerpo de masa "M" está suspendida de un punto fijo O mediante una cuerda uni
forme inextensible de masa "m" y longitud "b".
I) Hallar la tensión en la cuerda a una distancia "z" debajo de O.
II) El punto de soporta empieza a elevarse con una aceleración "2g". ¿Ahora, cuál es la
tensión en la cuerda?
606. Dos esferas uniformes cada una de masas m=5 000 kg y radios R=47 cm. Son libera
das desde el reposo con sus centros separadas d=1 m y moviéndose bajo la acción de
sus fuerzas gravitacionales. Mostrar que estas esferas colisionan en menos de 425 s.
[G=6,6710 -11 Nm 2 kg -2 .]
607. Un bloque está deslizándose hacia abajo sobre la superficie inclinada de una cuña fija.
La fuerza de fricción ejercida sobre el bloque está dada por f=N, donde "N" es la
reacción normal y "" es una constante positiva. Hallar la aceleración del bloque.
¿Como difieren los casos <tg y >tg ?
608. Un avión jet, que inicialmente se mueve a 480 km/h hacia el Este, súbitamente ingresa
a una región donde el viento sopla a 160 km/h en dirección 30,0 o al noreste. Hallar la
nueva rapidez y dirección del avión respecto al nivel de la tierra.

Vectores 137
SOLUCIONARIO
Solución: 01
Las coordenadas cartesianas del punto
P, de coordenadas polares r=5,50 m y =
240 o , vienen dadas por:
x rcos (5,50m)cos240
x
2,75 m
y rsen (5,50m)sen240
y
4,76 m
Solución: 02
I) Recordemos que las coordenadas car
tesianas (x; y)en función de las coordena
das polares (r; ), se expresan, así:
x rcos ; y rsen
De modo que, las coordenadas cartesianas
del punto P(2,50 m; 30,0 o ) y Q(3,80 m;
120,0 o ), son:
1
o
1
o
x (2,50m)cos30 2,17 m
P
y (2,50m)sen30 1,26 m
2
o
2
o
x (3,80m)cos120 1,90 m
Q
y (3,80m)sen120 3,29 m
II) A su vez, la distancia entre estos pun
tos P y Q, viene dada por:
2 2 1/2
2 1 2 1
d [(x x ) (y y ) ]
2 2 1/2
d [( 1,90 2,17) (3,29 1,26) ]
o
o
D
d 4,55 m
Solución: 03
I) Podemos utilizar el teorema de Pitágo
ras, para hallar la distancia a la mosca me
dida desde el origen, así:
2 2 1/2
r (x y )
2 2 1/2
r [(2,00) (1,00) ]
r 2,24 m
II) Las coordenadas polares (r; ) que es
tablecen la posición de la mosca, son:
y 1
tg ( ) tg ( ) 26,6
x 2
1 1 o
o
(r; ) (2,24 m; 26,6 )
Solución: 04
I) La distancia entre los puntos P(2,00; -
4,00) m y Q(-3,00; -3,00)m está dada por:
2 2 1/2
2 1 2 1
d [(x x ) (y y ) ]
2 2 1/2
d [(2,00 ( 3,00)) ( 4,00 3,00) ]
d 8,60 m
II) A su vez, las coordenadas polares da
das por la distancia radial "r" y el ángulo
polar "", para los puntos P y Q, son:
1
2 2 1/2
r [(2,00) ( 4,00) ] 4,47 m
1
1
4,00
tg ( ) 63,4
2,00
1 o
2 2 1/2
B
E
C
r [( 3,00) (3,00) ] 4,24 m

138
Robótica y Cibernética
1
3,00
tg ( ) 135
3,00
1 o
2
1 2y
o
tg ( ) 180
2x
Nota
Recordemos que el ángulo polar ""
se mide desde el eje x positivo.
Solución: 05
De las relaciones entre (x; y) y (r; ),
obtenemos las coordenadas "x" e "y", así:
x rcos
o
2,00 rcos30 r 2,31m
y rsen (2,31)sen30
y
1,15 m
Solución: 06
Las coordenadas polares (r; ) para el
punto (x; y), vienen dadas por:
o
E
* Las coordenadas polares para el punto
(3x; -3y), son:
3
2 2 1/2
r [(3x) ( 3y) ] 3r
Este punto está en el cuarto cuadrante si (x;
y) está en el primer cuadrante o en el tercer
cuadrante si (x; y) está en el segundo cua
drante. Por lo que, este ángulo es:
3
1
3y
tg ( )
3x
Solución: 07
Las coordenadas cilíndricas (; ; z)
en términos de las coordenadas cartesianas
(x; y; z), vienen dadas por:
z
P
2 2 1/2 1 y
r (x y ) y tg ( )
x
* Las coordenadas polares para el punto
(-x; y), son:
0
r
z
x
y
1
2 2 1/2
r [( x) (y) ] r
x
y
RASA
1
1 y
o
tg ( ) 180
x
* Las coordenadas polares para el punto
(-2x; -2y), son:
2
2 2 1/2
r [( 2x) ( 2y) ] 2r
Este punto está en el tercer cuadrante si (x;
y) está en el primer cuadrante o en el cuar
to cuadrante si (x; y) está en el segundo
cuadrante. Por lo que, este ángulo es:
2 2 1/2 2 2 1/2
(x y ) (1 2 ) 2,24 u
y 2
tg ( ) tg ( ) 63,43
x 1
1 1 o
z 3 u
( ; ; z) (2,24 u; 63,43; 3 u)
Solución: 08
Las coordenadas esféricas (r; ; ) en
términos de las coordenadas cartesianas

(x; y; z), vienen dadas por:
z
P
Vectores 139
1 ˆ 3 ˆ 1
ˆ i j (i ˆ 3ˆj)
2 2 2
0
r
z
x
y
y
j
P
x
y
2 2 2 1/2
r (x y z )
0
i
RASA
x
2 2 2 1/2
r (2 2 2 ) 3,46 u
2 2 2
1 1 x y
tg ( ) tg ( )
z z
2 2
1 2 2
o
tg ( ) 75,96
2
y 2
tg ( ) tg ( ) 45
x 2
1 1 o
(r; ; ) (3,46 u; 75,96 ; 45,0 u)
Solución: 09
Los vectores unitarios ˆ , ˆ y ˆk que
definen el sistema de coordenadas cilíndri
cas, vienen dadas por:
ˆ ˆ oˆ oˆ
ˆ cosi sen j cos30 i sen30 j
3 ˆ 1 ˆ 1
ˆ i j ( 3ˆi ˆj)
2 2 2
ˆ cos( )i ˆ
sen( ) ˆj
2 2
ˆ ˆ oˆ oˆ
ˆ sen i cos
j sen30 i cos30 j
o
o
Ahora, verifiquemos que estos vectores uni
tarios son perpendiculares entre si, así:
1 ˆ ˆ 1
ˆ ˆ ( 3 i j) ( ˆi 3ˆj)
2 2
1
ˆ ˆ ( 3ˆi ˆi 3i ˆ ˆj ˆj ˆi 3ˆj ˆj)
4
1
ˆ ˆ ( 3ˆi ˆi 3i ˆ ˆj ˆj ˆi 3ˆj ˆj)
4
Como, ˆ i ˆ i ˆ j ˆ j 1, ˆ i ˆ j ˆ j ˆ i 0, entonces:
1
ˆ ˆ ( 3 3) 0
4
Luego, los vectores unitarios ˆ y ˆ son
perpendiculares entre si:
Solución: 10
Del problema anterior, los vectores u
nitarios ˆ , ˆ y ˆk base del sistema de coor
denadas cilíndricas, en términos de los vec
tores unitarios î , ĵ, ˆk base del sistema de
coordenadas cartesianas, viene dada por:
ˆ cosˆi sen ˆj
ˆ sen ˆi cosˆj

140
Resolviendo este par de ecuaciones para î
y ĵ, obtenemos:
Robótica y Cibernética
ˆr 0,64i ˆ 0,48ˆj 0,60kˆ
ˆi cos ˆ
sen ˆ
ˆj sen ˆ
cosˆ
kˆ
kˆ
Solución: 11
Los vectores unitarios ˆr , ˆ , ˆ que de
finen el sistema de coordenadas esféricas,
vienen dadas por:
x
i
z
k
0
rˆsen ˆ
coskˆ
ˆr sen cos ˆi sen sen ˆj cos kˆ
ˆ
cosˆ
sen kˆ
ˆ cos cos ˆ i cos sen ˆ j sen k ˆ
ˆ sen ˆi cosˆj
Evaluando las expresiones de ˆr , ˆ , ˆ
obtenidas anteriormente, para r=4 u, =53 o ,
y =37 o , tenemos:
o oˆ
o o
ˆr sen53 cos37 i sen53 sen37 ˆj
o
cos53 kˆ
r
j
P
r
y
o oˆ
o o
ˆ cos53 cos37 i cos53 sen37 ˆj
o
sen53 kˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ 0,48i 0,85 j 0,79k
oˆ
o
ˆ sen37 i cos37 ˆj
ˆ 0,60i ˆ
0,79j ˆ
Solución: 12
Los vectores unitarios ˆr , ˆ , ˆ en tér
minos de los vectores unitarios ˆ y ˆk vie
nen dadas por:
rˆsen ˆ
coskˆ
ˆ
cosˆ
sen kˆ
Resolviendo este par de ecuaciones para ˆ
y ˆk , obtenemos:
ˆ
sen rˆ
cosˆ
kˆ
cosrˆ
sen ˆ
Sustituyendo ˆ en las expresiones para î ,
ĵ, obtenidas en el prob.(10), tenemos:
ˆi cos (sen rˆ cos ˆ
) sen ˆ
ˆi sen cos rˆ cos cos ˆ
sen ˆ
ˆj sen (sen rˆ cos ˆ
) cos ˆ
ˆj sen sen rˆ cossen ˆ
cosˆ

kˆ
cosrˆ
sen ˆ
Solución: 13
I) Resolviendo el sistema de dos ecuacio
nes dadas obtenemos las coordenadas para
bólicas en función de las coordenadas rec
tangulares:
Vectores 141
les de los vectores unitarios ˆf y ĥ , así:
fˆ
1 h ˆ
1/2 h
( )
f 2 f (f h)
fˆ
1 f ˆ
1/2 h
( )
h 2 h (f h)
x f h ;
f
1/2
y (f h)
2 2 1/2
x {x y )
2
2 2 1/2
x (x y )
h
2
II) De otro lado, se sabe que el vector de
posición en coordenadas rectangulares, vie
ne dado por:
ˆ ˆ ˆ 1/2 ˆ
r xi y j (f h)i 2(f h) j
Así, los vectores unitarios en el sistema de
coordenadas parabólicos son:
1/2 1/2
r / f f h
ˆf [ ; ]
r / f 1/2 1/2
(f h) (f h)
1/2 1/2
r / h h f
ĥ [ ; ]
r / h 1/2 1/2
(f h) (f h)
Recordemos que si dos vectores son per
pendiculares su producto escalar es cero, es
to es:
hˆ
1 h ˆ
1/2 f
( )
f 2 f (f h)
hˆ
1 f ˆ
1/2 f
( )
h 2 h (f h)
IV) Resolviendo las ecuaciones de ˆf y
ĥ para los vectores unitarios î , ĵ, tenemos
1/2 1/2
ˆ f h
i fˆ hˆ
1/2 1/2
(f h) (f h)
1/2 1/2
ˆ h f
j fˆ hˆ
1/2 1/2
(f h) (f h)
Sustituyendo estos vectores unitarios î , ĵ
en la expresión del vector de posición:
1/2 1/2 ˆ 1/2 1/2
r f (f h) f h (f h) hˆ
Solución: 14
Representemos la distancia horizontal
recorrida a lo largo del río, y el ancho del
río.
1/2 1/2
ˆˆ (f h) (f h)
f h 0
(f h) (f h)
<< ˆf y ĥ son perpendiculares >>
x
arbol
III) Ahora, hallemos las derivadas parcia
100m
35 o

142
Robótica y Cibernética
Del triángulo rectángulo, obtenemos el an Con lo que, la dirección del vector R , res
cho "x" del rió, así:
pecto del eje x es:
x (100 m)tg35
x 70 m
Solución: 15
1) Método gráfico
Desplacemos el vector F 2 a continua
ción del vector F 1, y tracemos el vector re
sultante R F1 F2, así:
y
o
B
o o o
27 30 57
2) Método de componentes
Expresemos las componentes cartesia
nas de los vectores F 1 y F 2 , así:
oˆ
o
F 6cos30 i 6sen30 ˆj
1
F 5,2i ˆ 3,0 ˆ j (N) y F 5 ˆ j (N)
1 2
Ahora, calculemos la resultante de la suma
de F 1 y F 2 , así:
B
B
j
R
F 2 =5N
R F F 5,2i ˆ 3,0 ˆj 5,0ˆj
1 2
R 5,2i ˆ
8,0ˆj
i
RASA
0
30 o
F 1 =6N
x
Con esto, calculemos la magnitud de R , y
su dirección "" respecto del eje-x, así:
En la Figura, de la ley de coseno, calcule
mos la magnitud del vector resultante R ,
así:
2 2 1/2
1 2 1 2
R [F F 2FF cos ]
2 2 o 1/2
R [6 5 2(6)(5)cos120 ]
R 9,54 N
Ahora, sea "" el ángulo opuesto al lado
F 2 , entonces, de la ley de coseno, tenemos:
2 2 1/2
R (5,2 8,0 ) 9,54 N
R 8,0
tg ( ) tg ( ) 57
R 5,2
1 y 1 o
x
Solución: 16
Sea R 14ˆj
el vector resultante de
la suma de los vectores A 29ˆj
y B , en
tonces, se tiene que:
29ˆj B 14ˆj
2 2 2
2 1 1
F R F 2R F cos
B 43ˆj
B
2 2 2
5 9,54 6 (2)(9,54)(6)cos
o
27
Solución: 17
Sea, R=5 m el radio de la trayectoria
circular que describe la patinadora, como
se muestra en la Figura.

C
Vectores 143
2) R2
B C A
B
d
R
A
C
A
B
R 2
3) R3
C B A
La magnitud del vector desplazamiento d
para la mitas del recorrido AB, correspon
diente a una vuelta completa es:
d 10i ˆ 10 m
puesto que el desplazamiento esta en una
linea recta desde el punto A (inicial) hasta
el punto B (final).
A su vez, la distancia recorrida (s) no es i
gual al desplazamiento en línea recta (d).
La distancia recorrida sigue la trayectoria
curva del semicírculo (ACB), esto es:
1
s (2R) 5
15,7 m
2
Para una vuelta completa, d empieza y ter
mina en el punto A, por lo que, Id I=0.
Solución: 18
Los tres diagramas mostrados abajo
representan las soluciones gráficas para la
suma de los tres vectores A , B y C , así:
1) R 1= A B C
R 1
E
D
A
Se observa que, R1 R2 R3, mostrando
que la suma de un conjunto de vectores no
es afectada por el orden de los vectores que
se suman.
Solución: 19
Representemos sin escala los tres vec
tores desplazamientos que experimenta el
carro de montaña rusa.
j
i
200m
En la Figura, expresiones en componentes
cartesianas de cada uno de los vectores de
desplazamiento, son:
B
R 3
C
RASA
40 o
135m
30 o 135m
d
C
A
d 200i; ˆ d 116,91i ˆ 67,50 ˆ j
1 2
B
d 103,42i ˆ
86,78ˆj
3

144
Robótica y Cibernética
Con esto, calculemos el vector desplazami
ento total y su magnitud, así:
Ahora, sea "" el ángulo opuesto al lado
de 190 km en el triángulo, entonces:
d d1 d2 d3
d 200i ˆ 116,91i ˆ 67,50ˆj
103,42i ˆ
86,78ˆj
d 420,33i ˆ
19,28 ˆj
2 2 1/2
d [(420,33) ( 19,28) ]
d
420,77 m
A su vez, la dirección de este vector d ,
viene dada por el ángulo "", así:
19,28
tg ( ) 2,63
420,33
1 o
Solución: 20
Representemos los dos desplazamien
tos que realiza el avión a partir de la base.
O
N
S
base
E
R
En la Figura, de la ley de coseno, obtene
mos la magnitud del vector R , así:
2 2 o 1/2
R [280 190 2(280)(190)cos80 )]
B
60 o
280km
20 o
R 309,9 km
A
B
190km
A
RASA
2 2 2
190 309,9 280 2(309,9)(280)cos
o
37,14
Con lo que, el ángulo "" que da la direc
ción del vector R es:
o o o
37,14 20 57,14
Solución: 21
De las cantidades dadas indiquemos
las cantidades vectoriales y escalares.
- Peso (W) : Vector
- Calor especifico (c e ) : Escalar
- Ímpetu (I) : Vector
- Densidad () : Escalar
- Energía (E) : Escalar
- Volumen (V) : Escalar
- Potencia (P) : Escalar
Solución: 22
Representemos el vector A y sus com
ponentes en las direcciones de los ejes-x e
y, respectivamente.
A y
En la Figura, las componentes
vector A , y su magnitud son:
x
A x
y
A x y
A 25i y A 40ˆj
2 2 1/2
A [( 25) (40) ] 47,2 u
A
y
j
0 x
i
C
Ay
del

Vectores 145
A su vez, la dirección del vector A , res
pecto del eje-x positivo, viene dada por:
Solución: 25
Las expresiones de los vectores A
(12,8 m; 150 o ) y B (3,30 cm; 60,0 o ), en el
o o 1
Ay
sistema de coordenadas rectangulares, son:
180 180 tg ( )
Ax
oˆ
o
A (12,8 m)cos150 i (12,8 m)sen150 ˆj
E
40,0
180 tg ( ) 122
25,0
o 1 o
A ( 11,1i ˆ
6,40ˆj) (m)
Solución: 23
Representemos el vector A de magni
tud A=35 u, formando un ángulo de =
325 o con el eje-x positivo.
y
oˆ
o
B (3,30 cm)cos60 i (3,30 cm)sen60 ˆj
B (1,65i ˆ
2,86ˆj) (cm)
Solución: 26
I) El desplazamiento neto que realiza el
canillita en la dirección del eje-x (esteoeste)
es:
=325 o RASA
A
x
xn
3 0 6 3 cuadras
El desplazamiento neto que realiza el cani
llita en la dirección del eje-y(norte-sur) es:
yn
0 4 0 4 cuadras
En la Figura, las componentes del vector
A en las direcciones de los ejes x e y, son:
o
A (35 u)cos35 ˆi 28,67 u (i) ˆ
x
o
A (35 u)sen35 ( ˆj) 20,08ˆj
y
E
4c
3c
6c
R
O
N
S
E
Solución: 24
Las distancias que tiene que caminar
la personas hacia el norte (d N ) y el este (d E )
vienen dadas por:
d (3,10 km)sen25 1,31km
N
d (3,10 km)cos25 2,81km
E
o
o
E
Con lo que, la magnitud del desplazamien
to resultante es:
n
2 2 1/2
n
R [(x ) (y ) ]
2 2 1/2
R [3 4 ] 5 cuadras
B
El ángulo que forma el vector desplazami
ento resultante R , viene dado por:

146
4
tg ( ) 53
3
1 o
Luego, el desplazamiento resultante es, 5
cuadras a 53 o Norte-Este.
II) A su vez, la distancia total recorrida
por el canillita para dejar el periódico es:
d 3 4 6 13 cuadras
Robótica y Cibernética
to de la horizontal, viene dada por:
D
33,25
tg ( ) 6,07
312,50
1 o
Solución: 28
I) Calculemos el vector A
B, así:
A
A B (3i ˆ 2ˆj) ( ˆi 4ˆj) 2i ˆ 6ˆj
Solución: 27
Representemos los cuatro desplazami
entos realizados por el explorador.
II) Calculemos el vector A
B, así:
A B (3i ˆ 2ˆj) ( ˆi 4ˆj) 4i ˆ 2ˆj
O
N
S
E
250m
125m
30 o
150m
III) Calculemos el módulo de A
B, así:
2 2 1/2
A B [(2) ( 6) ] 6,32 u
IV) Calculemos el módulo de A
B, así:
75m
2 2 1/2
A B [(4) (2) ] 4,47 u
R
En la Figura, expresando cada uno de los
desplazamientos en sus componentes en x
e y, calculemos el vector desplazamiento
total R , y su magnitud, así:
R d1 d2 d3 d4
ˆ ˆ oˆ
R 75 j 250i 125sen30 i
o
125cos30 ˆj
150ˆj
R 312,50i ˆ
33,25 ˆj (m)
V) Calculemos las direcciones de los vec
tores A B y A
B, así:
AB
AB
6
tg ( ) 71,6
2
1 o
2
tg ( ) 26,6
4
1 o
Solución: 29
Representemos los tres desplazamien
tos realizados por el perro.
N
O E
2 2 1/2
R [(312,50) (33,25) ]
S
15m
R 312,55 m
A
R
3,5m
8,2m
A su vez, la dirección del vector R , respec
RASA
30 o

En la Figura, expresando cada uno de los
desplazamientos en sus componentes en x
e y, calculemos el vector desplazamiento
total R , y su magnitud, así:
Vectores 147
C A B
35 o
î y ĵ, así: R d1 d2 d
C 5,00i ˆ
4,00ˆj
3
ˆ o
R 3,5 j 8,2cos30 ˆi 8,2sen30 ˆj 15i ˆ
D A B
R ( 7,9i ˆ
0,6ˆj) (m)
E
D 1,00i ˆ
8,00 ˆj
2 2 1/2
R [( 7,9) (0,6) ] 7,92 m
A su vez, la dirección del vector R , respec
to de la horizontal, viene dada por:
D A B , así:
o 1 0,6
o o
180 tg ( ) 180 4,3
7,9
o
175,7 C
1 4 o
tg ( ) 38,65
5
También, se puede dar la dirección de R
o
(r; ) (6,4; 38,65 )
como 4,3 o C
hacia el NO.
Solución: 30
I) Representemos las gráficas de la su
ma vectorial C A B y la diferencia vec
o 1 8,0 o
180 tg ( ) 97,1
torial D A B.
1,0
o
(r; ) (8,6; 97,1 )
D
-B
Solución: 31
B
A-B
j
A
i
A+B
P II
RASA
P
II) Calculemos los vectores C A B y
D A B , mediante los vectores unitarios
16 o P
C 2,00i ˆ 6,00ˆj 3,00i ˆ 2,00ˆj
D 2,00i ˆ 6,00ˆj (3,00i ˆ 2,00 ˆj)
III) Calculemos las expresiones polares
planas de los vectores C A B y
2 2 1/2
r C [(5) (4) ] 6,4 u
2 2 1/2
r D [( 1) (8) ] 8,06 u
Representemos las componentes para
lela (P II ), y perpendicular (P ) al plano del
vector de posición P del trozo de hielo.

148
Robótica y Cibernética
En la Figura, el ángulo que forma el vector
P con el plano inclinado es de 39 o , por lo
* Método de componentes
La resultante de la suma de los vecto
que:
res 1 F 2 expresadas en componentes rec
o
P (1,50 m)cos39 1,17 m A
tangulares es:
F F1
F2
o
P (1,5 m)sen39 0,94 m E
oˆ
o
F 120cos60 i 120sen60 ˆj
Solución: 32
I) Representemos el vector R , resultan
te de la suma de F 1 y F 2 .
oˆ
o
80cos75 i 80sen75 ˆj
F 60i ˆ 104ˆj 20,7i ˆ 77,3ˆj
F (39,3i ˆ
181,3 ˆj) (N)
F 2 =80N
En la Figura, de la ley de coseno, calcule
mos la magnitud del vector resultante R :
2 2 o 1/2
R [120 80 (2)(120)(80)cos45 ]
R
y
75 o R
60 o
185,4 N
Sea "" el ángulo opuesto al lado de 80 N,
entonces, de la ley de coseno, tenemos:
2 2 2
80 185,4 120 2(185,4)(120)cos
o
17,8
Por lo que, la dirección del vector R , res
pecto del eje-x positivo es:
o o o
60 17,8 77,8
j
x
F 1 =120N
i
RASA
C
A
La magnitud de la fuerza resultante F, y su
dirección respecto del eje-x positivo, son:
2 2 1/2
F [(39,3) (181,3) ] 185,5 N
1 181,0
tg ( ) 77,8
30,30
II) Ahora, calculemos la fuerza F 2 , para
que, la fuerza resultante sea nula, así:
F F1 F2
0
F2 F1 F2 F1
120 N
Solución: 33
I) Calculemos la magnitud y dirección
del vector D A B C, así:
D (3i ˆ 3ˆj) (i ˆ 4ˆj) ( 2i ˆ 5ˆj)
D 2i ˆ
2ˆj (m)
2 2 1/2
D [(2) ( 2) ] 2,83 m
2
tg ( ) 45
2
1 o
C
E

j
i
y
0
45 o
2m
II) Calculemos la magnitud y dirección
del vector E A B C, así:
E (3i ˆ 3ˆj) (i ˆ 4ˆj) ( 2i ˆ 5ˆj)
E 6i ˆ
12ˆj (m)
D
2m
x
Vectores 149
Solución: 35
I) La expresión del vector A en nota
ción de vectores unitarios î , ĵ, ˆk es:
A (8i ˆ 12ˆj 4k)(u) ˆ
II) El vector B , cuya magnitud es un
cuarto del vector A , y que está en la mis
ma dirección que este, es:
1
B A (2i ˆ 3ˆj k)(u) ˆ
4
III) El vector C , cuya magnitud es tres ve
ces la de A , y que esta en dirección opues
ta a este, es:
2 2 1/2
E [( 6) (12) ] 13,42 m
12
180 tg ( ) 116,57
6
j
o 1 o
E
12m
i
6m
Solución: 34
Reemplazando los vectores A y B en
la condición, A B 3C 0, obtenemos el
vector C , así:
( 8,70i ˆ 15,0 ˆj) (13,2i ˆ 6,60ˆj) 3C 0
y
3C 21,9i ˆ
21,6 ˆj
C 7,3i ˆ
7,2ˆj (cm)
0
135 o C
B
x
C 3A ( 24i ˆ 36ˆj 12k)(u) ˆ
Solución: 36
I) La expresión del vector B en nota
ción de vectores unitarios î , ĵ, ˆk es:
B (4i ˆ 6ˆj 3k)(u) ˆ
2 2 2 1/2
B [(4) (6) (3) ]
B 7,81u
II) Sean , y los ángulos que forma
el vector B con los ejes x, y y z, entonces,
de la definición, A B ABcos tenemos:
(4i ˆ 6ˆj 3k) ˆ ˆi 7,81cos
4
cos ( ) 59,19
7,81
1 o
(4i ˆ 6ˆj 3k) ˆ ˆj 7,81cos
6
cos ( ) 39,80
7,81
1 o
D
E

150
(4i ˆ 6ˆj 3k) ˆ kˆ
7,81cos
Robótica y Cibernética
Igualando las componentes, a ambos lados
de la ecuación, tenemos:
3
cos ( ) 67,41
7,81
1 o
Solución: 37
I) La expresión del vector A en nota
ción de vectores unitarios î , ĵ, es:
A ( 3i ˆ
2ˆj)(u)
II) La magnitud y dirección del vector A
viene dada por:
2 2 1/2
A [( 3) (2) ]
A 3,61u
2
180 tg ( ) 146,31
3
o 1 o
III) Ahora, calculemos el vector B , que al
sumarse al vector A de como resultado el
vector R 4ˆj
, esto es:
3i ˆ 2ˆj B 4ˆj
B 3i ˆ
6ˆj
Solución: 38
I) Reemplazando los vectores A , B y
C en la condición del problema , obtene
mos "a" y "b", así:
a A bB C 0
B
C
C
a(6i ˆ 8ˆj) b( 8i ˆ 3ˆj) (26i ˆ 19ˆj) 0
(6a 8b)i ˆ ( 8a 3b) ˆj 26i ˆ 19ˆj
6a 8b 26
8a 3b 19
Resolviendo este par de ecuaciones para
"a" y "b", obtenemos:
a 5 y b 7
II) En este caso, dado que las componen
tes de un vector son independientes una de
otra, nos permitió resolver "a" y "b" con u
na sola ecuación.
Solución: 39
Representemos los dos desplazamien
tos A y B que realiza el jardinero, y el des
plazamiento resultante R .
j
i
A
y
B
R
120 o
35 o
0 x
En la Figura, de la ley de coseno, obtene
mos la magnitud del desplazamiento B ,
así:
2 2 2 o
B 150 140 (2)(150)(140)cos85
B 196 cm
RASA
B D
D
Solución: 40
I) Representemos el vector E de magni
tud 17,0 cm, que se dirige 27,0 o contra las
manecillas del reloj, desde el eje x positivo

Vectores 151
y
y
0
27 o
x
0
27 o
x
j
j
i
E=17cm
i
G=17cm
oˆ
o
E 17cos27 i 17sen27 ˆj
E (15,15i ˆ
7,72ˆj) (cm)
II) Representemos el vector Fde magni
tud 17,0 cm, que se dirige 27,0 o contra las
manecillas del reloj, a partir del eje y positi
vo
C
Solución: 41
I) Representemos los vectores de posi
ción del barco hundido A , y avión B , res
pecto de la estación ubicada en el origen de
coordenadas.
y
0
x
y
F=17cm
27 o i
j
j
i
A
B
d
=136 o
=153 o
RASA
0
x
Las expresiones en vectores unitarios î , ĵ,
ˆk de los vectores A y B , son:
oˆ
o
F 17sen27 i 17cos27 ˆj
F (7,72i ˆ
15,15 ˆj) (cm)
III) Representemos el vector G de magni
tud 17,0 cm, que se dirige 27,0 o en sentido
de las manecillas del reloj, desde el eje y
negativo.
oˆ
o
G 17sen27 i 17cos27 ˆj
G (7,72i ˆ
15,15 ˆj) (cm)
A
C
oˆ
o
A 17,3cos46 i 17,3sen46 ˆj
A (12,02i ˆ
12,44 ˆj) (km)
oˆ oˆ ˆ
B 19,6cos63 i 19,6sen63 j
2,2k
B (8,89i ˆ 17,46ˆj 2,2k) ˆ (km)
Con esto, expresemos el vector de posición
d del barco respecto del avión, así:
d A B

152
d (12,02i ˆ12,44ˆj)
(8,89i ˆ 17,46ˆj 2,2k)
ˆ
d (3,13i ˆ 5,02 ˆj 2,2k) ˆ (km)
II) A su vez, la distancia del barco respec
to del avión es:
2 2 2 1/2
d [( 3,13) ( 5,02) (2,2) ]
Robótica y Cibernética
C
d ( 106,5i ˆ
61,50 ˆj) (km)
1
IV) El desplazamiento del huracán duran
te 1,5 horas a la velocidad v 2 es:
km
d ˆ
ˆ
2 (25 j )(1,5 h) 37,5 j (km)
h
V) El desplazamiento total que experi
menta el huracán y su magnitud, son:
B
C
d 6,31km
B
d d1
d2
Solución: 42
I) La expresión en vector unitario del
vector velocidad del huracán, para el pri
mer desplazamiento es:
d ( 106,5i ˆ 61,50 ˆj) (37,5ˆj)
d 106,5i ˆ
99,0ˆj
oˆ
o
v 41sen60 i 41cos60 ˆj
1
km
v ˆ ˆ
1 ( 35,51i 20,50 j) ( )
h
y
C
2 2 1/2
d [( 106,5) (99,0) ]
2 2 1/2
d [( 106,5) (99,0) ]
d
145,4 km
E
d 2
d 1
d
N
O
60 o
S
E
Solución: 43
La coordenada y del dron es constante
e igual a y=7,6010 3 m, en tanto, la coorde
nada x está dada por, x=vt, donde "v" es la
velocidad horizontal constante del dron.
0
x
II) La expresión de la velocidad para el
segundo desplazamiento, es:
km
v ˆ
2 25 j ( )
h
E
P o P 30
•
y
x
v
III) El desplazamiento del huracán duran
te 3 horas a la velocidad v 1 es:
km
d ˆ ˆ
1 ( 35,51i 20,50 j)( )(3h)
h
Para t=30,0 s, tenemos x=(8,0410 3 m, de
modo que, v=268 m/s. Con esto, el vector
de posición en función del tiempo es:

Vectores 153
m ˆ 3 ˆ
P t (268 )t i (7,50 10 m) j
s
Evaluando esta expresión para t=45 s, obte
nemos la magnitud de P 45 , así:
4ˆ
3
P (1,2110 i 7,60 10 ˆj)(m)
45
45
4 2 3 2 1/2
P [(1,2110 ) (7,60 10 ) ]
P45
14,3 km
A su vez, la dirección del avión medida,
respecto de la estación de radar es:
1 4
0,76 10 o
4
tg ( ) 32,2
1,21 10
Solución: 44
Expresando los desplazamientos en
vectores unitarios î , ĵ, calculemos el des
plazamiento resultante d , así:
j
i
200m
d d1 d2 d3 d4
ˆ ˆ oˆ
d 100i 300 j150cos30 i
d
y
0
100m
60 o 30 o
150m
oˆ oˆ o
150sen30 j200cos60 i 200sen60 ˆj
d ( 129,90i ˆ
201,79 ˆj) (m)
x
E
300m
RASA
2 2 1/2
d [( 129,90) ( 201,79) ]
d
240 m
Solución: 45
Los vectores de posición del primer y
segundo avión, respecto del controlador de
radar, son:
oˆ
o
r (19,2 km)cos25 i (19,2 km)sen 25 ˆj
1
2
ˆ (0,8 km)k
r (17,4i ˆ 8,11j ˆ 0,8k) ˆ (km)
1
oˆ
o
r (17,6 km)cos20 i (17,6 km)sen 20 ˆj
ˆ (1,1km)k
r (16,5i ˆ 6,02ˆj 1,1k) ˆ (km)
2
Con esto, calculemos el vector de posición
del segundo avión, respecto del primer a
vión, así:
2 1
r r (17,4i ˆ 8,11j ˆ 0,8k) ˆ
2 1
(16,5i ˆ 6,02ˆj 1,1k)
ˆ
r r ( 0,863i ˆ 2,09ˆj 0,3k) ˆ (km)
De modo que, la distancia entre el primer
avión y el segundo avión es:
2 1
2 2 2 1/2
(r r ) [( 0,863) ( 2,09) (0,3) ]
(r2r 1) 2,29 km
Solución: 46
I) Sea "" el ángulo que forma ele eje-x
con la horizontal, entonces, en la Figura, se
observa que el ángulo que forma el peso de
E
B

154
Robótica y Cibernética
la araña con el eje-y también es "". Aho
ra, la suma de las componentes de las fuer
y
zas en la dirección del eje-x debe ser cero,
esto es:
y
T y
V
x
0,127N
H
0
A
B
oˆ
o
B (12 m)cos30 i (12 m)sen30 ˆj
C
j
x
i
0,150N
RASA
0,150sen 0,127 0
0,127
sen ( ) 57,9
0,150
1 o
C
B (10,4i ˆ
6,0ˆj) (m)
De aquí, obtenemos el ancho (a), la altura
(h), y el perímetro (p) del rectángulo, así:
a 10,4 m 6,43 m 3,96 m
h 7,66 m 6,00 m 1,66 m
II) La suma de las componentes de las
fuerzas en la dirección del eje-y, debe ser
cero, esto es:
T 0,150cos57,9 0
y
Ty
o
0,0798 N
III) De otro lado, el ángulo entre el eje-y
y la horizontal (H) es:
o o o
90 57,9 32,1
Solución: 47
I) Primero expresemos los vectores de
posición de los vértices en términos de los
vectores unitarios î , ĵ, así:
E
C
p (2)(3,06 1,66) 11,2 m
II) Ahora, calculemos la magnitud y di
rección del vector de posición del vértice C
del rectángulo, así:
C (10,4i ˆ
7,66ˆj) (m)
2 2 1/2
C [(10,4) (7,66) ] 12,9 m
7,66
tg ( ) 36,4
10,4
1 o
Solución: 48
Sea "" el ángulo entre los vectores
A y B , entonces, el vector S resultante de
la suma de estos vectores es:
E
E
oˆ
o
A (10 m)cos50 i (10 m)sen50 ˆj
A (6,43i ˆ
7,66ˆj) (m)
A
B
-
S
A=B
RASA

2 2 2 2
S A A 2A cos(
)
2 2 2 2
S 2A (1 cos ) 4A cos 2
Vectores 155
nitudes de 5,00 u, y su suma es el vector
6,00 ĵ, entonces el ángulo entre los vecto
res A y B , es:
y
S 2Acos (1)
2
A=B
Ahora, calculemos el vector D resultante
de la diferencia de los vectores A y B así:
A
R
B
0
x
A
D
A=B
2 2 2 2
R A A 2A cos(
)
B
2 2 2 2
6 5 5 (2)(5) cos
2 2 2 2
D A A 2A cos( )
2 2 2 2
D 2A (1 cos ) 4A sen 2
1 14
cos ( )
50
o
106,3
C
D
2Asen (2)
2
Como, la magnitud de S es cien veces la
magnitud de D , entonces de (1) y (2), ob
tenemos el valor de "", así:
S 100D
2Acos 100(2Asen )
2 2
1 1
2tg ( )
100
o
1,15
A
Segunda forma
El ángulo "" entre los vectores A y
B , también, viene dada por:
4
2tg ( ) 106,3
3
1 o
Solución: 50
Representemos los desplazamientos
que realizan Checho (azul) y Jacinta (rojo)
entre los mismos puntos A y B.
O
N
S
E
1,5km
30 o d
B
Solución: 49
Como los vectores A y B tienen mag
RASA
2,5km
A

156
Robótica y Cibernética
En la Figura, de la ley de coseno, obtene tos realizados y el desplazamiento total.
mos la distancia recorrida por Jacinta, así:
2 2 2 o
d 2,5 1,5 (2)(2,5)(1,5)cos150
d 3,87 km
Ahora, calculemos el ángulo "" correspon
diente al vértice A, así:
2 2 2
1,5 2,5 3,87 (2)(2,5)(3,87)cos
o
11,27
De modo que, la dirección del vector d ,
respecto de la horizontal, es:
o o o
90 11,27 78,73
Solución: 51
Representemos los desplazamientos
que realizan la primera lancha (rojo) y la se
gunda lancha (azul) entre los mismos pun
tos A y B.
A
60 o d x
E
O
N
S
Expresando los vectores en términos de
vectores unitarios î , ĵ, obtenemos el vec
tor desplazamiento d 2 .
d d1
d2
ˆ oˆ oˆ
5 j 2,2sen35 i 2,2cos35 j
d
2
E
B
d
A
d ( 1,26i ˆ
3,20 ˆj) (m)
Solución: 53
I) Representemos las posiciones de Qui
to y Singapur , con respecto al polo Norte.
Quito
d 2
35 o d 1
RASA
2
D
O
N
S
RASA
E
1,4km
En la Figura, las distancias recorridas al
este (d x ) y al sur (d y ) por la segunda lancha
son:
B
d y
R
78 o
P.N.
178 o
0 o 104 o
182 o R
Singapur
d (14 km)cos60 7,0 km
x
d (14 km)sen60 12,1km
y
Solución: 52
Representemos los dos desplazamien
o
o
E
En la Figura, la distancia de la línea recta
que une Quito con Singapur es:
2 2 2 2 o
d R R 2R cos178
2 2 2 2
d 2R 1,999R 3,999R

Vectores 157
d (2,000)(6 371km) 12 742 km
II) A su vez, la distancia entre Quito y
Singapur, medida a lo largo del ecuador es:
C
C
y
9,10km
18 o
A
2
o
S ( )(178 )(6371km)
o
360
S 19 793 km
E
p
0
9,5km
O
N
S
E
x
Solución: 54
I) Representemos los vectores de posi
ción del barco a las a las 10 h 30 m (en A) y a
las 11 h 10 m (en B), y el desplazamiento que
realiza el barco de A hacia B.
y
0
B
4,2km
33 o 27 o
30 o
En la Figura, de la ley de coseno, obtene
mos la magnitud del vector d , así:
2 2 o
d 9,5 4,2 (2)(9,5)(4,2)cos27
d 6,07 km
En la Figura, de la ley de seno, calculemos
el ángulo "" así:
o
sen sen 27
18,31
4,2 6,07
Con lo que, el vector desplazamiento es
6,07 km, con 78,3 o de Sur a Oeste.
II) La distancia que recorre el barco en la
dirección AB , con la misma velocidad es:
d
9,5km
O
N
S
60
o
E
A
o
x
A
6,07 km
D vt ( )(60 m)
40 m
D 9,10 km
Así, el vector desplazamiento a las 11 h 30 m
es, 9,10 km, con 78,3 o de Sur a Oeste.
III) En la Figura, la magnitud de su vector
de posición a las 11 h 30 m es:
2 2 2 o
p 9,5 9,10 (2)(9,5)(9,10)cos18,3
p 3,0 km
De otro lado, de la ley de seno, calculemos
el ángulo "", así:
o
sen sen18,3
72,3
9,10 3,00
Con lo que, la magnitud de su vector de
posición a las 11h 30m está dada por 3,0
km a 72,3 o -30 o =42,3 o de Oeste a Norte.
Solución: 55
Representemos el vector desplazami
ento de magnitud 12 km y dirección 40 o de
Norte a Oeste.
O
12km
40 o
N
0
S
E
A
o
B

158
Robótica y Cibernética
Las componentes norte (d N ) y sur (d S ) de donde "-" es el ángulo entre los vectores
este vector de desplazamiento, son:
a y b . (unidos por sus orígenes)
I) Evaluando, para R=7 m, el valor de es:
o
d N (12,0 km)cos40 9,19 km
2 2 2
A
7 4 3 (2)(4)(3)cos
o
d (12 km)sen40 7,71km
S
Solución: 56
Representemos al vector desplazami
ento d de magnitud 4 m, y a la línea de
pendiente 25 o ascendente como eje-x.
1 o
cos ( 1) 180
a
R
b
y
0
25 o
x
Los vectores a y b son paralelos, y están
en el mismo sentido.
II) Evaluando, para R=1 m, el valor de
es:
4m
25 o
j
i
2 2 2
1 4 3 (2)(4)(3)cos
1 o
cos (1) 0
RASA
En la Figura, la componente del vector
desplazamiento a lo largo del eje x es:
o
d (4 m)cos115 1,7 m ˆi
x
d x
E
Solución: 57
I) En la Figura, se muestra la suma de
los vectores a y b de magnitudes a=4 m y
b=3 m , y la resultante R .
a
R
Los vectores a y b son paralelos, y están
en sentidos opuestos.
III) Evaluando, para R=5 m, el valor de
es:
2 2 2
5 4 3 (2)(4)(3)cos
b
b
1 o
cos (0) 90
a
R
RASA
R
b
Podemos utilizar la ley de coseno, para ha
llar la magnitud de la resultante R .
2 2 2
R a b 2a bcos
Los vectores a y b son perpendiculares
entre sí.
a

Vectores 159
Solución: 58
II) De la Figura, por propiedad de los la
I) Como, a b c y a+b=c, entonces dos de un triángulo, tenemos que:
los vectores a y b son paralelos, y están
d d en el mismo sentido.
1
d2
II) Como, a b a b , entonces los vec
es decir, la suma de las magnitudes de los
tores a y b , están contenidos en los lados
desplazamientos d 1 y d 2 , es mayor que la
de un rectángulo.
magnitud del desplazamiento total d
-b
a+b
a-b
b
Solución: 60
I) Representemos los tres desplazamien
tos efectuados por la persona: 3,1 km nor
te, luego 2,4 km oeste, y finalmente 5,2 km
sur, y su desplazamiento total d .
III) Como, a b c y a 2 +b 2 =c 2 , entonces
los vectores a y b , forman un ángulo recto
entre sí.
3,1km
N
5,2km
O E
S
c
b
d
RASA
a
2 2 1/2
d [(2,1) (2,4) ]
d 3,19 m
170m
250m
1 2,1
tg ( )
2,4
d N
A
35 o
Solución: 59
I) Representemos los dos desplazamien
tos que realiza Sonia: 250 m en dirección
35 o NE, 170 hacia el Este, y su desplaza
miento total d .
a
O
E
2,4km
II) En la Figura, la distancia "d" que ten
dría que volar el pájaro en línea recta, para
llegar al mismo punto final es:
A su vez, la dirección en la que tendría que
volar el pájaro, viene dada por:
o
41,19 de Oeste a Sur
S
Solución: 61
Asumiendo que "" es el ángulo que

160
Robótica y Cibernética
forman los vectores a y b entre sí, trace
mos los vectores suma a b y diferencia
a b.
a-b a+b
b -b
a
De la ley de coseno para a
b , tenemos:
2 2 2
a b a b 2a bcos
2 2 2
a b a b 2a b
a
O
N
S
54km
E
32km
El desplazamiento total d es la suma vecto
rial de los desplazamientos parciales, esto
es:
d d1 d2 d3
ˆ ˆ oˆ
d 54i 32 j 27cos28 i 27cos28 j
d (77,84i ˆ
19,32 ˆj) (km)
d
28 o
27km
RASA
o
2 2
a b (a b)
a b (a b)
De la ley de coseno para a
b , tenemos:
2 2 2
a b a b 2a bcos
2 2 2
a b a b 2a b
2 2
a b (a b)
a b a b
Solución: 62
Representemos los tres desplazamien
tos que realiza el auto: 54 km hacia este,
32 km hacia el norte, y 27 km en dirección
28 o NE, y el desplazamiento total d .
2 2 1/2
d [(77,84) (19,32) ]
d
80,2 km
A su vez, la dirección del vector desplaza
miento, viene dada por:
19,32
tg ( ) 13,94
77,84
1 o
B
De modo que, el desplazamiento total del
automóvil es de 80,2 km en dirección
13,94 o de este a norte.
Solución: 63
Representemos los vectores a de mag
nitud 5,2 u dirigido hacia el este, y b de
magnitud 4,3 u dirigido 35 o NO., y con es
to tracemos los vectores suma S a b , y
diferencia D a b .

N
Vectores 161
y el desplazamiento total d .
O
4,3u
S
I) Magnitud y dirección del vector S.
S a b
ˆ oˆ oˆ
S 5,2i 4,3sen35 i 4,3cos35 j
S (2,73i ˆ
3,52 ˆj) u
2 2 1/2
S [(2,73) (3,52) ] 4,45u
1 3,52 o
tg ( ) 52,2 de EN
2,73
II) Magnitud y dirección del vector D .
D a b
ˆ oˆ oˆ
D 5,2i 4,3sen35 i 4,3cos35 j
D (7,67i ˆ
3,52 ˆj) u
2 2 1/2
D [(7,67) ( 3,52) ] 8,44u
1 3,52 o
tg ( ) 24,65 de ES
7,67
Solución: 64
Representemos los tres desplazamien
tos que realiza la bola: 3,6 m N el primero,
el segundo 1,8 m SE, y el tercero 0,9 m SO
S
35 o 0 5,2u
D
j
C
D
i
E
O
RASA
En la Figura, las componentes del desplaza
miento d en las direcciones Este (eje-x) y
Norte (eje-y), son:
N
d 1,8cos45 0,9cos45
E
N
S
E
3,6m
o
dE
0,64m
d 3,6 1,8sen45 0,9sen45
o
45 o
dN
2,05m
2 2 1/2
d [(0,64) (2,05) ] 2,15 m
1 2,05 o
tg ( ) 72,66 de EN
0,64
Solución: 65
I) Representemos el vector A de magni
tud 7,34 u, con ángulo de 252 o respecto del
eje-x positivo.
7,34u
y
d
0
1,8m
252 o
45 o
x
o
A
0,9m
o

162
Robótica y Cibernética
Las componentes del vector A en las direc I) En la Figura, la altura a la que es ele
ciones de los ejes-x y y, son:
vada la pieza pesada es:
E
o
o
A x (7,34 u)cos252 2,27 u
h (13 m)sen22 4,87 m
D
o
II) La distancia horizontal que se ha mo
A x (7,34 u)sen252 6,98 u
vido la pieza pesada es:
II) Representemos el vector B de compo
A
o
x (13 m) cos22 12,05 m
nentes B x =-25, y B y =+43 u.
43u
25u
B
y
Solución: 67
I) Representemos las manecilla del mi
nutero del reloj desde un cuarto de hora a
la media hora.
12
0
x
La magnitud del vector B y el ángulo en
tre su dirección y el eje x positivo, son:
9
d
3
j
2 2 1/2
B [( 25) (43) ] 49,74 m
RASA
6
i
o o 1 25
90 90 tg ( )
43
o
120,17
Solución: 66
Representemos la pieza pesada arras
trada hacia del plano inclinado 22 o respec
to de la horizontal.
13m
22 o v
g
B
En la Figura, el vector desplazamiento d
en términos de los vectores unitarios î , ĵ
es:
d ( 11,3i ˆ
11,3 ˆj) (cm)
d 11,3 2 15,98 cm
De modo que, el desplazamiento es 15,98
cm a 45 o de oeste a sur.
II) En la Figura, el vector desplazamien
to d en términos de los vectores unitarios
î , ĵ es: d ( 11,3i ˆ 11,3i) ˆ (cm) 22,6 ˆi (cm)
d 22,6 cm
E
A

Vectores 163
El ángulo fijo es medido desde los ejes es
12
te-oeste, contra el sentido de las manecillas
del reloj desde el este. Así, O es medido en
contra de los ejes norte-sur, con el norte
siendo positivo; A es medido en contra del
d
eje este-oeste con el este siendo positivo.
9
3
Ahora, puesto que sus pasos individuales
son vectores de desplazamientos que están
j
solamente de norte a sur o de este a oeste,
i
estas deben eventualmente tomar suficien
6
tes pasos de norte a sur para cubrir 1,96
km, y suficientes pasos de este a oeste para
De modo que, el desplazamiento es 22,6
igual 2,80 km. Cualquier paso individual
cm a 180 o con ele eje-x positivo.
puede únicamente estar a lo largo de uno u
III) En la Figura, el vector desplazamien
otra dirección, así, el mínimo total será de
4,76 km.
to d en términos de los vectores unitarios
12
Solución: 69
Representemos los dos desplazamien
tos efectuados por el barco debido a la ac
ción del viento.
9
d
3
N
d
j
O
E
î , ĵ es: ˆ ˆ
6
i
S
124km
72,6km
d (11,3i 11,3i) (cm) 0
d 0 cm
De modo que, el desplazamiento es 0 cm a
0 o con el eje-x positivo.
Solución: 68
Las componentes horizontal (O) y
vertical (A), del desplazamiento que efec
túa la persona, son:
o
H (3,42 km)sen35 1,96 km
V (3,42 km)cos35 2,80 km
o
A
D
RASA
31,4km
En triángulo rectángulo, obtenemos la mag
nitud del desplazamiento, así:
2 2 1/2
d [(51,4) (31,4) ]
d 60,23 km
A su vez, el ángulo del desplazamiento d ,
respecto de la horizontal es:
31,4
tg ( ) 31,42
51,4
1 o
A

164
Así, el desplazamiento que debe efectuar el
barco para llegar a su destino es de 60,23
km con dirección 31,42 o de norte a oeste.
Solución: 70
I) La desviación neta si el salto de la dis
locación es de 22 m y la brecha de la dis
locación es de 17 m, es:
2 2 1/2
D [(22) (17) ] 28 m
II) A su vez, el desplazamiento vertical,
viene dado por:
D (17 m)sen52 13 m
v
Solución: 71
Cuando el punto P de la rueda gira me
dia vuelta, recorre una longitud de R=
1,41 m. El desplazamiento vertical es 2R=
0,90 m, con lo que, el desplazamiento neto
es:
v
t 1 t 2
P
R
2 2 1/2
d [(1,41) (0,90) ]
d
R
1,67 m
En tanto, la dirección del vector desplaza
miento del punto P es:
0,90
tg ( ) 33
1,41
o
1 o
De modo que, el desplazamiento que expe
rimenta el punto P es de 1,67 m, en la direc
P
Robótica y Cibernética
ción de 33 o de este a norte.
R
D
D
E
2R
Solución: 72
I) El vector de desplazamiento en un
sistema coordenadas con los ejes paralelos
a las aristas de la habitación, es:
r (3,0i ˆ 3,6 ˆj 4,2k) ˆ m
II) La magnitud del vector desplazamien
to es:
2 2 2 1/2
r [(3,0) (3,6) (4,2) ]
r
6,29 m
III) La distancia en línea recta entre dos
puntos es la distancia más corta posible,
así, la longitud de la trayectoria tomada por
la mosca debe ser mayor que o igual a 6,29
m.
IV) Si la mosca caminara en lugar de vo
lar para ir de una cara a otra. La trayectoria
más corta sería la diagonal a través de estas
dos caras. Si las longitudes de los lados de
la habitación son " 1", " 2", y " 3",
entonces la longitud de la diagonal a través
de las dos caras está dada por:
2 2 1/2
1 2 3
[( ) ]
donde debemos escoger los i del grupo
de 3,0 m, 3,6 m, y 4,2 m, tal que, minimice
la longitud. La distancia mínima es cuando
1 =3,0 m, 2 =3,6 m, y 3 =4,2 m. Enton
ces la distancia mínima que la mosca debe
caminar es:
2 2 1/2
[(3,0 3,6) (4,2) ]
7,82 m
E
A

Análisis Vectorial
APENDICE A
1. TRIGONOMETRIA
Basandose en la Figura. mostrada, pode
mos definir las siguientes relaciones:
y
sen ,
r
x
ctg ,
y
x
cos ,
r
r
sec ,
x
tg
csc
a) Identidades trigonométricas
sen
tg
,
cos
2 2
sec 1 tg ,
0
2 2
sen cos
1
2 2
y
x
csc 1
ctg
Suma y diferencia de dos ángulos
sen( ) sen cos cos sen
cos( ) cos cos cos cos
tg
tg
tg( )
1 tgtg
ctgctg 1
ctg( )
ctg
ctg
Y
r
x
y
X
r
y
Relaciones entre funciones de 2 y .
sen2 2sen cos
2 2
cos2 cos sen
2tg
tg2
,
2
1 tg
ctg 1
ctg2
2ctg
Relaciones entre funciones de /2 y .
2 1 1
sen (1 cos )
2 2
2 1 1
cos (1 cos )
2 2
Relaciones entre funciones de 3 y .
sen3 3sen 4sen
cos3 4cos 3cos
Suma y diferencia de funciones
1 1
sen sen 2sen ( )cos ( )
2 2
1 1
cos cos 2cos ( )cos ( )
2 2
1 1
cos cos 2sen ( )sen ( )
2 2
Producto de dos funciones
1
sen sen [cos( ) cos( )]
2
1
coscos [cos( ) cos( )]
2
3
3
2

Apéndice
1
sen cos [sen( ) sen( )]
2
Identidades fundamentales
sen
e
i
e
2i
i
,
i
e
cos
e cos
isen
i
e
2
i
Relaciones de funciones recíprocas
1 1 2 1
sen a cos 1 a tg
a
1
a
1 1 2 1 1
a
cos a sen 1 a tg
a
1 1 tg a sen a 1
cos
1
1a 1a
Funciones hiperbólicas
senh x
e
e
tgh x
e
x
e
2
x
,
x
x
e
e
x
x
,
2
2
2 2
e
cosh x
e
ctgh x
e
x
x
x
e
2
e
e
x
x
x
Recíproca de funciones hiperbólicas
1 2
senh x n(x 1
x )
1 2
cosh x n(x x 1)
1 1 1
x
tgh x n( )
2 1
x
1 1 x 1
ctgh x n( )
2 x 1
b) Teorema del seno
Los lados de un triángulo son proporcio
nales a los senos de los ángulos opuestos,
esto es:
A
a b c
sen sen sen
c) Teorema del coseno
En todo triángulo, el cuadrado de un lado
es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, menos el doble producto
de éstos por el coseno del ángulo com
prendido entre ellos, esto es:
2 2 2
a b c 2bccos
2 2 2
b a c 2accos
2 2 2
c a b 2a bcos
d) Teorema de la tangente
En cualquier triángulo, la diferencia de
dos lados cualesquiera es a su suma co
mo la tangente de la mitad de la diferen
cia de los ángulos opuestos es a la tangen
te de la mitad de su suma, esto es:
a b tg[( )/ 2]
a b tg[( )/ 2]
e) Relaciones en los triángulo rectángulos
En el triángulo rectángulo ABC, se cum
plen las siguientes relaciones:
B
c
b
n
A
h
C
a
c
m
b
a
B
C

2
b
2
h
a m
2
c
mn
h b c / a
2 2 2
a b c
Análisis Vectorial
2
b m
2
c 3
4tg
4tg
n
tg4
2 4
1 6tg tg
Relaciones entre funciones 4 y .
a n
sen4 4sen cos 8sen 2 cos
4 2
cos4 8cos 8cos
2. CALCULO
a) Desarrollo de series de potencias
1) Desarrollo binomial
n n n1 n(n 1) n2 2 n(n 1)(n 2 n3 3 n
(x y) x n x y x y x y ... y , n
Z
2! 3!
2) Desarrollo de Taylor
2 3 n
' (x a) (x a) (x a) (n)
‣ f (x) f (a) (x a)f (a) f "(a) f "'(a) ... n f ( (a) ...
2 3
' h h
‣ f (x h) f (x) hf (x) f "(x) f "'(x) ...
2! 3! n!
2! 3!
2 3
' x x
f (x h) f (h) xf (h) f "(h) f '"(h) ...
2! 3!
‣ Si, f (x) es una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo a x b, en
tonces existe un valor de "x" con a x b, tal que se cumple:
2 n1 n
(n1) (n)
(b a) (b a) (b a)
f (b) f (a) (b a)f '(a) f "(a) ... f (a) f (a)
2! (n 1)! n!
2 3 n1 n
(n1)
h h h h
f (a h) f (a) hf '(a) f "(a) f '"(a) ... f (a) f (a h)
2! 3! (n 1)! n!
para, b a h , 0
1
2 n1 (n 1)
n
(x a) (x a)
f (x) f (a) (x a)f '(a) f "(a) ... f (a) R
2! (n 1)!
de donde,
(n)
f (a (x a))
n
R n (x a) , 0
1
n!

3) Serie de Mclaurin
Apéndice
2 3 n1
x x x n1
f (x) f (0) xf '(0) f "(0) f '"(0) ... x R
2! 3! (n 1)!
n
de donde,
R
n
n
f (a (x a))
, 0
1
n!
4) Exponenciales
1 1 1 1 1
e 1 ...
1! 2! 3! 4! 5!
2 3 4 5
x x x x x x
e x ...
1! 2! 3! 4! 5!
2 3 4
x (xloge a) (lxogea) (xloge
a)
e
a 1 xlog a ...
2! 3! 4!
2 3 4
x a (x a) (x a) (x a)
e e [1 (x a) ... ]
2! 3! 4!
5) Logarítmicas
x 1 1 x 1 2 1 x 1
3
1
loge
x ( ) ( ) ... ( x )
x 2 x 3 x
2
1 2 1 3 1 4
loge
x (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) ... (2 x )
2 3 4
x 1 1 x 1 3 1 x 1
5
loge
x 2[ ( ) ( ) ... ]
x 1 3 x 1 5 x 1
( x 0)
1 2 1 3 1 4 1 5
log e(1 x) x x x x x ... ( 1 x 0 )
2 3 4 5
1 1 1
log e(n 1) log e(n 1) 2[ ... ]
3 5
n 3n 5n
x 1 x 3 1 x 5
log e3 (a x) loge
a 2[ ( ) ( ) ... ]
2a x 3 2a x 5 2a x
3 5 2n1
1 x x x x
loge
2[x ... ...]
1x 3 5 2n 1
(a 0, -a< x < )
( 1 x 1)
2 3
x a (x a) (x a)
logex logea ... (0 x 2a )
2 3
a 2a 3a

6) Trigonométricas
Análisis Vectorial
3 5 7
x x x
sen x x ... ( x R)
2! 5! 7!
2 4 6
x x x
cosx 1 ... ( x R)
2! 4! 6!
3 5 7 9 2n 2n
x 2x 17x 62x 2 (2 1)B n 2n1
tg x x ... x ...
3 15 315 2835 (2n)!
2 5 7 2n
2 2
1 x x 2x x 2 B n 2n1
ctg x ... x ...
x 3 45 945 4725 (2n)!
2
( x / 4 y B n los números de Bernoulli)
( x
2 2
y B n los números de Bernoulli)
x 5 4 61 6 277 8 2n
secx 1 x x x ... En
x ...
2 24 720 8064
2 2
( x / 4 y E n los números de Euler)
2n1
3 5 7 2n1
n
1 x 7 31 127 2(2 1)
cscx x x x ... B x ...
x 6 360 15120 604800 (2n)!
3
1 x 1.3 5 1.3.5 7
( x
2 2
y B n los números de Bernoulli)
2 1
sen x x x x .... ( x 1, sen x )
2.3 2.4.5 2.4.6.7
2 2
3
1 x 1.3 5 1.3.5 7
2 1
cos x (x x x ... ) ( x 1, 0 cos x )
2 2.3 2.4.5 2.4.6.7
3 5 7
1 x x x
2
tg x x ... ( x 1)
3 5 7
1
1 1 1 1
tg x ... (x > 1)
2 5 7
2 x 3x 5x 7x
1
1 1 1 1
tg x ... (x < -1)
2 2 7
2 x 3x 5x 7x
3 5 7
1 x x x
2
ctg x x ... ( x 1)
2 3 5 7
2 4 6 8
x x x 17x
2 2
loge
cosx ... ( x / 4
2 12 45 2520
)

3 4 6
Apéndice
x 7x 62x
2 2
loge
tg x loglex ... ( x / 4
3 90 2835
2 4 5 6 7
sen x x 3x 8x 3x 56x
e 1 x ...
2! 4! 5! 6! 7!
)
3 4 6
cos x x 4x 31x
e e(1 ... )
2! 4! 6!
2 3 4 5
tg x x 3x 9x 37x
2 2
e 1 x ... ( x / 4
2! 3! 4! 5!
7) Hiperbólicas e hiperbólicas recíprocas
)
3 5 7 2n1
x x x x
senh x x ...
3! 5! 7! (2n 1)!
( x )
2 4 6 2n
x x x x
cosh x 1 ... ( x )
2! 4! 6! (2n)!
n1 2n 2n
3 5 7 9
2n1
n
1 2 17 62 ( 1) 2 (2 1)
tgh x x x x x x ... B x ..
3 15 315 2835 (2n)!
3 5 7 n1 2n
1 x x 2x x ( 1) 2 2n1
ctgh x ... Bn
x ... (0 x )
x 3 45 945 4725 (2n)!
n
2 4 6 8 2n
n
1 5 61 1835 ( 1)
sech x 1 x x x x ... E x ( x / 2
2! 4! 6 8! 2n!
3 5 n 2n1
)
1 x 7x 31x 2( 1) (2 1)
2n1
csch x ... Bn
x ... (0 x )
x 6 360 15120 (2n)!
1 1 3 1.3 5 1.3.5 7 n 1.3.5(2n 1)
2n1
senh x x x x x ... ( 1) x
2.3 2.4.5 2.4.6.7 2.4.6...2n(2n 1)
1
1 1.3 1.3.5
cosh x [ n(2x) ]
(x > 1)
2 4 6
2.2x 2.4.4x 2.4.6.6x
3 5 7 2n1
1 x x x x
tgh x x ... ...
3 5 7 2n 1
( x 1)

b) Diferenciales y derivadas
Análisis Vectorial
1) Diferenciales
dax
adx
d(u v) du dv duv udv vdu
u vdu udv
d v
2
v
n n1
dx n x dx
y y1 y
dx yx dx x log xdy
e
de
x
x
e dx
a x
a x
de ae dx
da
x
x
a log adx
e
e
1
dlog x x dx
2) Derivadas
a
1
dlog x x log edx
a
x
x
dx x (1 log x)dx
e
dsen x
cosxdx
dcosx sen xdx
2
dtgx sec dx
2
dctgx csc xdx dsecx tgxsecxdx dcscx ctgxcscxdx
dversx sen xdx
1 2
dtg x 1
x dx
1 2
dsen x 1
x dx
1 2
dctg x 1
x dx
1 2
dcos x 1
x dx
1 1 2
dsec x x x 1dx
1 1 2
dcsc x x x a dx
1 2
dvers x 2x x dx dsenh x cosh xdx
dcosh x senh xdx
dtgh x sech xdx
2
dctgh x csch xdx
2
dsech x
sech x tgh xdx dcsch x csch xctgh xdx
1 2
dsenh x x 1dx
1 2
dcosh x x 1dx
1 2
dsech x x 1
x dx
1 2
dtgh x 1
x dx
1 2
dcsch x x x 1dx
1 2
dctgh x x 1dx
c) Integrales
1) Integrales indefinidas
adx a x
af (x)dx a f (x)dx
(y)
(y)dx
dy , siendo
y' dy/dx (u v)dx udx vdx
y'
udv u v vdu
dv
du
u dx u v v dx
dx
dx

n1
n x
x dx , (n 1)
n1
dx
log x o log( x)
x
Apéndice
f '(x)dx
logf (x) ,
[df (x) f '(x)dx]
f (x)
f[(x)dx
f (x) , [df (x) f[(x)dx]
2 f (x)
x
e dx e
x
a x 1
e dx e
a
a x
ax
ax b
b dx
logxdx xlogx x
a logb
x
a logadx a
x
dx 1 1 x 1 1
x
tg ( ) o ctg ( )
2 2
x a a a a a
a
dx 1 1
x 1 a x
tg ( ) o log
x a a 2a a x
2 2
dx 1 1
x
ctg ( )
2 2
x a a a
dx 1 x 1
x
sen ( ) o cos ( )
2 2
a x a a
x
dx
2 2
a
2 2
log(x x a )
dx 1 1
a
cos ( )
2 2
x x a a x
dx 1 a a x
log( )
2 2
x a x a x
2
dx 2 a bx
tg ( )
x' a bx a
a
1 1/ 2
n1
n (a bx)
(a bx) dx
,
(n 1
(n 1)b
)
dx 1
log(a bx)
a bx b
dx
1
2
(a bx) b(a bx)
dx
1
(a bx) 2b(a bx)
3 2
xdx 1 [a bx alog(a bx)]
2
a bx b
xdx 1 a
[log(a bx) ]
2 2
(a bx) b
a bx
xdx 1 [ 1 a ]
3 2 2
(a bx) b a bx
2(a bx)
dx 1 a bx
log
x(a bx) a x
dx 1 1 a bx
log
2 2
x(a bx) a (a bx) a a
dx 1 b a bx
log
2 2
x (a bx) a x a x
c
dx 1 1
x
tg
x c c
2 2

Análisis Vectorial
c
dx 1 c x
log
x 2c c x
2 2
dx 1 x c
log
2 2
x c 2c x c
dx 1 c d x
log( )
(a bx)(c dx) ad bc a bx
2
a bx dx (a bx)
3b
3
2(2a 3bx) (a bx)
x a bx dx
2
15b
3
a bx dx
dx 2 a bx a
x x a bx
dx 2 a bx
a bx b
xdx 2(2a bx)
2
a bx 3b
a bx
dx 1 a bx a
log( )
x a bx a a bx a
x
dx
2 2
a
2 2
log(x x a )
x
xdx
2 2
a
x
2 2
a
1
x (x a ) dx (x a )
3
2 2 3 2 2 3
dx x
(x a ) a x a
2 2 3 2 2 2
xdx 1
(x a ) x a
2 2 3 2 2
1
x (x a ) dx (x a )
5
2 2 3 2 2 5
2 2
dx x a
2 2 2
2
x x a ax
2 2
dx 1 a a x
log( )
2 2
a x a x
a
xdx
2 2
x
a
2 2
x
1
x a x dx (a x )
3
2 2 2 2 3
dx
x
(a x ) a a x
2 2 3 2 2 2
xdx 1
(a x ) a x
2 2 3 2 2
1
x (a x ) dx (a x )
5
2 2 3 2 2 5
2 2
2 2 1
x dx x a x
a x sen
2 2
a x 2 2 a
2 2
dx a x
2 2 2 2
x a x ax
2 2 2 2
a x a x 1
dx sen
x
2
x
x a
2
x dx x 1
x
sen
2 2 3 2 2
(a x ) a x
a

dx 1
a x
cos ( )
2
2ax x a
Apéndice
1
x
( ) dx sen x 1
x
1
x
1/ 2 1 2
dx 1 cx b
1
sen
sen xdx cosx
2 2
a 2bx cx c b a c
cosxdx sen x
tgxdx logcosx
ctgxdx logsen x
x
secxdx log tg( )
4 2
1
cscxdx log tg x
2
3 1
2
sen xdx cosx(sen x 2)
3
x x
sen dx a cos
a a
1
sen(a bx)dx cos(a bx)
b
dx x
log tg
sen x 2
dx
2
cos x tg x
dx x
tg
1
cosx 2
2
2 x xsen 2x cos2x
xsen xdx
4 4 8
4 3x sen 2x sen 4x
sen xdx
8 4 32
4 3x sen 2x sen 4x
cos xdx
8 4 32
4 1 3
tg xdx tg x tg x x
3
4 1 3
ctg xdx ctg x ctg x x
3
2 1 1
sen xdx cosxsen x x
2 2
2 1 1
cos xdx sen xcosx x
2 2
x x
cos dx asen
a a
1
cos(a bx)dx sen(a bx)
b
dx x
log tg( )
cosx 4 2
dx x
tg( )
1
sen x 4 2
dx x
ctg
1
cosx 2
3 2
2 2 x x 1 xcos2x
x sen xdx ( )
6 4 8 4
2
2 x xsen2x cos2x
xcos xdx
4 4 8
3 1 2
tg xdx tg x logcosx
2
3 1 2
ctg xdx ctg c logsen x
2
1 2
sen xcosxdx sen x
2

Análisis Vectorial
2 2 1 1
sen xcos xdx ( sen 4x x)
8 4
m1
m sen x
sen xcosxdx
m1
2
sen xdx
x
sen x log tg( )
cosx 4 2
dx
sen xcosx
log tg x
dx 1 x
log tg( )
2
sen xcosx sen x 4 2
m1
m cos x
sen xcos xdx
m1
sen xdx
2
cos x secx
cosxdx
2
sen x cscx
dx 1 log tg
x
cosx 2
2
sen xcos x
dx
2 2
sen xcos x 2ctg2x
dx
2
sen x ctg x
2
ctg xdx ctgx x
2
tg xdx tgx x
2
sec xdx
tg x
csc 2
xdx ctgx
xsen x sen x xcosx
x 2 sen xdx 2xsen x (x 2
2)cosx xcosxdx cosx xsen x
2 2
x cosxdx 2xcosx (x 2)sen x
1 1 2
sen xdx xsen x 1
x
1 1 2
cos xdx xcos x 1
x
1 1 1 2
ctg xdx x tg x log(1 x )
2
1 1 2
csc xdx xcsc x log(x x 1)
x
x
cos dx xcos a x
a
a
1 1 2 2
x x a
a a 2
1 1 1 2
tg xdx x tg x log(1 x )
2
1 1 2
sec xdx xsec x log(x x 1)
x x
sen xsen a x
a a
1 1 2 2
1 x 1 x a 2 2
tg dx x tg log(a x )
a a 2
1 2 2
ctg dx xctg log(a x ) logxdx xlogx x
xlog xdx
2 2
x x
log x
2 4
3 3
2 x x
x log xdx log x
3 9

p
x log(ax)dx
Apéndice
p1 p1
x
x
2 2
log(ax)
(logx) dx x(lox) 2xlogx 2x
2
p1 (p 1)
n
(log x) 1
dx (log x)
x n 1
n1
dx
1
x(log x) (n 1)(log x)
n n 1
1 1
senlog xdx xsenlog x xcoslog x
2 2
x
e dx e
x
a x 1
e dx e
a
a x
dx
xlog x
log(log x)
m m1
log x 1
x log xdx x [ ]
2
m1 (m 1)
1 1
coslog xdx xsenlog x xcoslog x
2 2
x
e dx e
x
ax
ax e
xe dx (a x 1)
2
a
x
dx e
log
x
1e 1e
x
a e
m x
dx 1 1 m x a
tg (e )
m x
be m ab b
e
ax
sen pxdx
ax
e (asen px pcospx)
a
2 2
p
e
ax
cospxdx
ax
e (a cospx psen px)
a
2 2
p
senh xdx cosh x
cosh xdx senh x
tgh xdx logcosh x
ctgh xdx logsenh x
1 x
sech xdx 2tg (e )
x
csch xdx log tgh( )
2
xsenh xdx xcosh x senh x xcosh xdx xsenh x cosh x
2) Integrales definidas
0
n1
x
x e dx (n)
1
dx 1
, (m > 1)
m
x m1
0
dx
cscp, (p < 1)
p
(1 x)x
0
p1
x dx
, (0 < p <1)
1
x sen p
0
dx
ctgp, (p < 1)
p
(1 x)x
0
m1
x dx
, (0 < m < n)
n
1
x nsen(m / n)
0

0
dx
(1 x) x
Análisis Vectorial
a dx
, si a
0
2 2
a x 2
0
/2
n (n 1/ 2)
sen xdx
, n > -1
2 (n / 2 1)
0
/2
n (n 1/ 2)
cos xdx
, n > -1
2 (n / 2 1)
0
0
sen mxdx
x
/ 2, si m 0
0, si m 0
/ 2, si m;0
0, m 1
sen xcosmxdx
/ 4, m 1
x
/ 2, m 1
0 2
0
cos xdx
x
0
tg xdx
x 2
0
sen kxsen mxdx 0, (k m, k, m
Z)
0
coskxcosmxdx 0, (k m, k, m
Z)
2 2
sen mxdx
sen mxdx
2
0 0
0
2
sen xdx
x
2
2
m
cosmxdx / 2e , (m 0)
2
1
x
m
0
/ 2e , (m 0)
n
x e
ax
n1
(n 1)/a , (n 1)
dx
n1
n!/ a , (n Z )
2 2
cos(x )dx
sen(x )dx
0 0
1
2 2
sen xdx
x
0 0
cosxdx
x
2
/2 1
dx cos a
, (a < 1)
1
a cosx 2
1
a
0
2
dx 2
, (a 2 < 1)
1
a cosx 2
1
a
0
0
e
ax
dx
1
a
2 2
ax
e dx
(a > 0)
0
2a
0
xe
x
2
dx
1
2
0
2 x
x e
2
dx
4
0
2
2n ax
1.3.5...(2n 1)
x e dx
n1
n
2 a
a
0
e
2 2 2
( x a / x )
dx
e
2a
2

0
e
nx
x dx
1
2n
n
Apéndice
0
e
nx
x
dx
n
ax
a
e cosmxdx , (a > 0)
2 2
a m
0
ax
m
e sen mxdx , (a > 0)
2 2
a m
0
b / 4a
2 2
2 2
ax
e
e cosbxdx
,(a > 0)
0
2a
1
0
n
(log x) dx ( 1) n!
n
1
0
(log1/ x)
1/ 2
dx
2
1
0
1/ 2
(log1/ x) dx
1
0
n
(log1/ x) dx n!
1
0
3
xlog(1 x)dx
4
1
0
xlog(1 x)dx
1
4
1 2
0
log x dx
1
x 12
1 2
0
log x dx
1
x 6
1 2
log x
2 dx
1
x 8
0
1 2
0
1
x dx
log( )
1
x x 4
1
0
log xdx
1
x
2
log2
2
1
0
n
n
x log(1/ x) dx
(n 1)
(m 1)
n1
, (m+1>0)
1 p q
0
(x x )dx p 1
log( ), (p 1
0)
log x q 1
1
0
dx
[log(1/ x)]
1/ 2
0
x 2
e 1
log( )dx
x
e 1
4
0
xlogsen xdx log2
2
2
/2
0
sen x logsen x dx log 2 1
/ 2 / 2
logsen xdx logcosxdx log2
2
0 0
/2
0
log tg xdx 0
0
2 2
a a b
log(a bcosx)dx log( ), (a b)
2

d) Fórmulas para la suma de los
números naturales
1) Suma de los "n" primeros números natu
rales.
S
n
n(n 1)
2
2) Suma de los "n" primeros números pa
res naturales.
Sn
n(n 1)
3) Suma de los "n" primeros números im
pares naturales.
2
S n
n
4) Suma de los cuadrados de los "n" prime
ros números naturales.
S
n
n(n 1)(2n 1)
6
5) Suma de los cubos de los "n" primeros
números naturales.
S
n
2 2
n (n 1)
4
e) Promedios
1) Media aritmética (M a )
La media aritmética de "n" cantidades
a 1 , a 2 ,…,a n , viene dado por:
M
a
a a ... a
n
1 2 n
2) Media geométrica (M g )
La media geométrica de "n" cantidades
a 1 , a 2 ,…,a n , viene dado por:
M [a .a .....a ]
g 1 2 n
1/ n
3) Media armónica (M h )
La media armónica de "n" cantidades
a 1 , a 2 ,…,a n , viene dado por:
M h 1/a 1 1/a ... 1/a
2 n
n
Análisis Vectorial
f) Progresiones
1) Progresión aritmética
Si "a" es el primer término de una pro
gresión aritmética, "k" el último, "d" la
diferencia común, "n" el número de tér
minos y "S" la suma de términos, se
cumple:
k a (n 1)d ,
n
S (a k)
2
n
S [2a (n 1)d]
2
2) Progresión geométrica
Si "a" es el primer término de una pro
gresión geométrica, "k" el último, "r"
la razón común, "n" el número de térmi
nos y "S" la suma de los "n" términos,
en estas condiciones se cumple:
k
n 1
a r ,
k r a
S ,
r1
n
(r 1)
S
a (r 1)
Si, "n" es infinito y r 2 <1, entonces, la
suma de los infinitos términos de la pro
gresión es:
S a
1 r
g) Ecuación cuadrática
Las dos raíces de una ecuación cuadráti
2
ca del tipo: a x bx c 0 , vienen da
dos por:
2
2 1/ 2
b [b 4a c]
x
2a
Si: b 4ac 0, las raíces son reales y
diferentes.
2
Si: b 4ac 0, las raíces son iguales
y reales.
2
Si: b 4ac 0, las raíces son comple
jas y diferentes.

Apéndice
También, se cumplen las siguientes rela
ciones:
x
b
c
x y xx 1 2
a
a
1 2
h) Logaritmo
1) Definición
El logaritmo de un número "N", es el
exponente "x" al que hay elevar otro nú
mero denominado base "b", para obte
ner dicho número, esto es:
x
b
N x logb
N
1
m a [2b 2c a ]
2
2 2 2 1/ 2
1
m b [2a 2c b ]
2
2 2 2 1/ 2
1
m c [2a 2b c ]
2
2 2 2 1/ 2
‣ Ortocentro
Es el punto de intersección de las tres al
turas
C
Se lee "x" es el logaritmo del número
"N" en la base "b".
2) Operaciones
log MN log M log N
M
log log M log N
N
p
logbM
plogbM
x 1
log Nx logb
N
x
b b b
b b b
b h a a
h b
h c
A
c
2
h a [p(p a)(p b)(p c)]
a
2
h b [p(p a)(p b)(p c)]
b
1/ 2
1/ 2
B
3. GEOMETRIA
a) Triángulos
1) Puntos notables de un triángulo
‣ Baricentro
Es el punto de intersección de las tres
medianas, en el se encuentra el centro
de gravedad del triángulo.
A
b
m b
C
m a
c
m c
a
B
2
h c [p(p a)(p b)(p c)]
c
1/ 2
‣ Incentro
Es el punto de intersección de las tres bi
sectrices, correspondientes a sus tres án
gulos
A
b
B
C
2
B [bcp(p a)]
b
c
c
B
B
a
1/ 2
B

Análisis Vectorial
Circunferencia
Longitud circunferencia : C 2
R
Radio circunferencia :
C
R
2
Longitud de arco :
o
R n
o
180
0
R
R
l
Círculo
Area total círculo :
A R
Longitud de arco : S R
Longitud de circunferencia : C 2
R
2
Longitud de cuerda : 2 R d
Distancia de cuerda : h R d
Angulo central en radianes :
2 2
D
4
2
0
R
d
R
h
S
Cubo
Area :
A 6 a
2
24 r
2
Volumen :
V a
3
8 r
3
Diagonal : d 3 a
Lado del cubo : a
a
a
d
Radio de la esfera inscrita : r
a
Esfera
Area total de una esfera :
2 2
A 4R
D
Area de zona : AZ
2R
h1
Area de luna : AL
2R
2
Volumen de una esfera :
4 3
V R
3
Volumen sector esférico :
2 2
VS
R
h1
3
Volumen segmento esférico :
2 2
VS
1 h3
(3r3
h3)
6
de una sola base
Volumen segmento esférico :
2 2 2
VS
2 h2(3r3
3r2
h2)
6
de dos bases
r 3
r 2
R
h 1
h 2
h 3

Tetraedro
Area :
Apéndice
2 2
A 3 a 24 3 r
Volumen :
Radio de la esfera inscrita : r
3 3
V 2 a / 2 8 3 r
a
a
a
a
a
a
Tronco de cono
Radio de la base media :
r R
r m
2
Area lateral : (r R) g
Area total : A (r R)g (r
R )
Volumen :
1 2
2
V h(r r R R )
3
Generatriz del cono : g
A L
2
2
h
r
r m
R
g
Cilindro
Area lateral : 2R
h
A L
Area total :
A 2R h R
2
h
Volumen : V R h
Tonel
Volumen :
1
2
V h (r
2 R )
3
Radio menor : r
Radio mayor : R
Altura : h
Toroide
Area : A 4r
R
Volumen : V 4r
R
Radio menor : r
Radio mayor : R
2
2
h
r
R
R
r
R

Paralelepípedo
Análisis Vectorial
Volumen : V a b c
Superficie total : A 2(a b bc ca)
Diagonal :
2 2 2
d a b c
c
d
Radio mayor : R
b
Pirámide o cono
a
Volumen :
1
V Sh
3
Area lateral :
Area de la base : S
A
1
p a
2
h
a
Altura : h
Perímetro de la base : p
R
p
Paralelogramo
Area : A a h a bsen
Angulo entre los lados :
Altura : h
b
h
a
Polígono regular de n lados
Area del polígono :
Area sector :
Area segmento :
1 2 180
A n a ctg
4 n
1 1
AS
R S R
2 2
2
o
1 2
ASEG
R (
sen )
2
Perímetro del polígono : p 2 n R sen n
R
a
0
Area polígono circunscrito :
A
2
n R tg n

Apéndice
Trapecio
Area :
(B b) h
A
2
Area : A pmh
Area :
h
A (B b b ')
6
H : altura
Triángulo
h
b
pm
B
Area :
A 3 3 r
3
a3
r
r
l 3
3 2 3 r
a 3
4. GEOMETRIA ANALITICA PLANA
a) Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos P 1 , P 2 de coordenadas rectangulares (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ), viene
dado por:
d [(x
2
2 1/ 2
2 x1)
(y2
y1)
]
La distancia entre dos puntos P 1 , P 2 de coordenadas polares (r 1 ; 1), (r 2 ; 2 ), viene dad
por:
d [r
2 2
1/ 2
1 r2
2r1
r2
cos( 1
2)]
b) Formas que adoptan las ecuaciones de una recta
1) Ax
By C 0
(forma general )
2) y y1 m(x x1)
(forma punto pendiente )
3) y mx b
(forma pendiente intersección )
4)
x y
1
a b
(forma intersecciones )
c) Pendiente de una recta
La pendiente de la recta que pasa por los puntos
P 1 (x 1 ; y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 ), viene dado por:
Y
P 2
m
y
x
2
2
y
x
1
1
P 1
0
X

Análisis Vectorial
d) Coordenadas del punto medio
Las coordenadas del punto medio del segmento
de recta P 1 (x 1 ; y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 ), viene dado por:
Y
P 2
x
m
x1
x2
y
2
y
m
y
1
y
2
2
P 1
P m
0
X
e) Angulo entre dos rectas
El ángulo entre dos rectas S1, S2 de pendientes
m 1 y m 2 , viene dado por:
m1
m2
tg
1
m m
1
2
f) Area de un triángulo
El área de un triángulo cuyas coordenadas rectangulares
de sus vértices son: A(x 1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ), C(x 3 ; y 3 ), viene
dado por:
1
A (x1 y2
x2y1
x2y3
x3y2
x3y1
x1y3)
2
L 1
Y
0
B
Area
L 2
X
Si las coordenadas polares de los vértices del triángulo
son: A(r1 ; 1)
, B(r2 ; 2)
y C(r3 ; 3)
, entonces el área de di
cho triángulo es:
1
A [r1 r2
sen( 2
1)
r2
r3
sen( 3
2)
r1
r3
sen( 1
3)]
2
CONICAS
a) Circulo
La ecuación de un circulo de centro en (h ; k) y radio
" R" , viene dado por:
A
Y
C
2
( x h) (y k)
2
R
2
(h; k)
Si el centro se ubica en el origen, la ecuación ante
rior, queda así:
X
x
2
y
2
R
2

Apéndice
La ecuación polar de un círculo con el origen sobre
la circunferencia y su centro en el punto C es:
r 2Ccos( )
Y
Si el origen no está sobre la circunferencia, el radio
es " a"
y el centro está en el punto b, a, en este caso
la ecuación es:
0 R
X
a
2
r
2
b
2
2r bcos( )
b) Elipse
La ecuación de una elipse con centro en (h; k) y se
miejes mayor " a"
y menor " b"
es:
(x h)
a
2
2
(y k)
2
b
2
1
b
Y
0
a
(h; k)
X
Si el centro se encuentra en el origen de coordenadas
0, la ecuación se convierte en:
x
a
2
2
y
b
2
2
1
La ecuación polar cuando el polo está en el centro de
la elipse es:
b
Y
a
0
X
r
2
a
2
2
a
2
b
2
2
sen b
cos
2
c) Hipérbola
La ecuación de una hipérbola de centro (h; k) y de
ejes paralelos a los ejes de coordenadas X, Y y de eje
transverso horizontal es:
Y
(x h)
a
2
2
(y k)
2
b
2
1
(h; k)
Si el centro está en el origen de coordenadas 0, la e
cuación se reduce a:
0
X
x
a
2
2
y
b
2
2
1

Análisis Vectorial
siendo " a"
el semieje transverso y " b"
el semieje
conjugado (vertical).
La ecuación polar que tiene el centro en el polo es:
r
2
a
2
2
a
2
b
2
2
sen b
cos
2
Y
d) Hipérbola equilátera
Es aquella hipérbola que tiene por centro el origen y
por asíntotas los ejes de coordenadas, su ecuación es:
x y C
X
siendo " C"
una constante.
e) Parábola
La ecuación de una parábola con vértice en V(h; k) y
foco en F(h+p; k) es:
Y
(y k)
2
4p(x h)
Si el vértice está en el origen, la ecuación anterior se
reduce a:
0
F
V
X
y 2
4px
Y
La ecuación polar cuando el foco está en el polo y
" p" es el semilado recto es:
p
r
1
cos
Si el vértice está en el polo y " p"
tiene el mismo
significado anterior, la ecuación es:
F
V
X
r
2pcos
sen
2
Y
f) Relaciones entre las coordenadas polares y
rectangulares
x rcos
y rsen
0
r
x
y
X
r
2 2
y
x y , tg 1
( )
x
,
sen
,
2 2
x
y
y
cos
x
2
x
y
2

Apéndice
g) Angulo sólido
Angulo sólido es el espacio comprendido al interior de una circunferencia cónica (vérti
ce), como muestra la Figura., los ángulos sólidos se representan simbólicamente mediante
" ". El valor del ángulo sólido en todo el espacio es 4.
En el S.I. (Sistema Internacional) los ángulos se miden en estereorradián, y para obtener
su valor se traza una superficie esférica de radio arbitrario "R" con centro en el vértice O,
(como se muestra en la Fig.); y se aplica la relación:
S
2
R
S
siendo "S" el área del casquete esférico interceptado
por el ángulo sólido.
Cuando el ángulo sólido es pequeño en lugar de "S"
se debe considerar un diferencial de superficie de
área "dS", de modo que la ecuación anterior, queda
así:
R
0
d
dS
2
R
P
En algunos casos la superficie " dS " no es perpendicu
lar a OP y ella forma un ángulo " " con la normal a
" dS ", como muestra la Figura, en éste caso el ángulo
sólido, viene dado por:
dScos
d
2
R
d
0
dS
5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES
a) Transformación de coordenadas
Sean x, y, z las coordenadas de un punto P en el sistema cartesiano (S), y x 1 , x 2 , x 3 las
coordenadas de dicho punto en un sistema de coordenadas ortogonales (0), si existe una
transformación biunívoca entre los sistemas (S) y (0), entonces, la terna (x, y, z) podemos
expresarlo en función de la terna (x 1 , x 2 , x 3 ), así:
x x(x 1, x 2, x 3)
, y y(x 1, x 2, x 3)
, 1 2 3
z z(x , x , x )
o viceversa, la terna (x 1 , x 2 , x 3 ) en función de la terna (x, y, z), así:
x1 x 1(x, y, z)
, x2 x 2(x, y, z), 3 3
x x (x, y, z)

Análisis Vectorial
b) Coordenada curvilínea ortogonal
En la Figura, las superficies x 1 =c 1 , x 2 =c 2 , x 3 =c 3 siendo
c 1 , c 2 , c 3 constantes se llaman superficies coordenadas;
la intersección de cada par de estas superficies definen
las líneas coordenadas L 3 , L 2 , L 3. Cuando estas
líneas de coordenadas se cortan en ángulo recto se
dice que el sistema de coordenadas (0) es ortogonal.
c) Vectores unitarios
Los vectores unitarios que se utilizan como vectores base para definir el sistema de coor
denadas ortogonales (0), y que son tangentes a las líneas de coordenadas L 1 , L 2 , L 3, vie
nen dados por:
ê
i
r / xi
r / x
r / x
h
i
i
i
con (i=1, 2, 3)
donde, r x ˆi y ˆj z kˆ
o r r(x 1, x 2, x 3)
es el vector de posición del punto P en los
sistemas de coordenadas (S) y (0), respectivamente, y h i con (i=1, 2, 3) los coeficientes
métricos o coeficientes de Lamé, cuyas expresiones, vienen dados por:
0
X
Z
L 1
u 2 =c 2
P
L 3
u 3 =c 3
u 1 =c 1
L 2
Y
x
y
z
h i [( ) ( ) ( ) ]
x x x
2 2 2 1/ 2
i i i
con (i=1, 2, 3)
el sentido del vector unitario ê i , con (i=1,2 ,3) es el de crecimiento de x i .
Como xi
es un vector normal en el punto P a la superficie xi ci, el vector unitario en
esta dirección y sentido, viene dado por:
ê
x
con (i=1, 2, 3)
* i
i
xi
En conclusión, en cada punto de un sistema de coordenadas curvilíneas se pueden definir
dos sistemas de vectores unitarios ê i tangentes a las líneas de coordenadas L i , con (i=1,2,
*
3) y ê i perpendiculares a las superficies de coordenadas x i =c i con (i=1, 2, 3). Ambos sis
temas de vectores unitarios coincidirán solo en el caso en que el sistema de coordenadas
sea ortogonal, y tendrán la misma función que la de los vectores unitarios cartesianos î ,
ĵ, ˆk *
, con la diferencia que los vectores unitarios ( ê i o ê i ) pueden cambiar de dirección y
sentido de un punto a otro.
d) Elementos de línea, superficie y volumen
Como, r / xi hieˆ
i (i=1, 2, 3), el diferencial del vector de posición r en el sistema de
coordenadas ortogonal (0), viene dado por:

r r r
dr dx dx dx
x x x
1 2 3
1 2 3
Apéndice
dr h dx eˆ h dx eˆ h dx eˆ
1 1 1 2 2 2 3 3 3
L 3
h 3 dx 3 e 3
y el cuadrado del elemento de longitud es:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3
ds dr dr h dx h dx h dx
h 1 dx 1 e 1
P
L 1
h 2 dx 2 e 2
L 2
En la Figura., como los vectores unitarios ê 1 , ê 2 , ê 3 son mutuamente perpendiculares
entre si; los elementos de superficie dA 1 (formado por L 2 , L 3 ), dA 2 (formado por L 1 ,
L 3 ), y dA 3 (formado por L 1 , L 2 ), vienen dados:
dA (h dx e ˆ ) x (h dx e ˆ ) h h eˆ x eˆ
dx dx h h dx dx
1 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
dA (h dx e ˆ ) x (h dx e ˆ ) h h eˆ x eˆ
dx dx h h dx dx
2 3 3 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
dA (h dx e ˆ ) x (h dx e ˆ ) h h eˆ x eˆ
dx dx h h dx dx
3 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
En la Figura, el elemento de volumen en el sistema de coordenadas ortogonal, viene dado
por el triple producto escalar, esto es:
dV (h dx e ˆ ) (h dx e ˆ )x(h dx e ˆ ) h h h dx dx dx
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3
e) El gradiente, la divergencia, el rotacional y la laplaciana.
Sean: un campo escalar y A un campo vectorial, entonces las expresiones de los opera
dores gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciana, en un sistema de coordenadas curvi
línea ortogonal, vienen dados por:
1 1 1 1
grad e e e e
3
ˆi ˆ
i 1 1
ˆ2 ˆ
3
h i x i h 1 x 1 h 2 x 2 h 3 x
3
1
divA A [ (h h A ) (h h A ) (h h A )]
h h h x x x
2 3 1 3 1 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3
h eˆ h eˆ h eˆ
1 1 2 2 3 3
1
rot A x A h h h x x x
1 2 3 1 2 3
h A h A h A
1 1 2 2 3 3

Análisis Vectorial
2 1 h2h3 h3h1
hh 1 2
[ ( ) ( ) ( )]
h h h x h x x h x x h x
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
1) Coordenadas rectangulares
En este sistema de coordenadas: x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z, los coeficientes métricos son: h 1 =1,
h 2 =1, h 3 =1, y a su vez, los operadores diferenciales, vienen dados por:
ˆ
grad i ˆ
j
kˆ
,
x y z
A
A
x y A
divA A
x y z
z
A A
z y
A
ˆ
Ax A
z ˆ
y Ax
rot A x A ( ) i ( ) j ( ) kˆ
y z z x x y
2 2 2
2
2 2 2
x y z
2 2 2 2
ds dx dy dz ; dV dxdydz
Las superficies coordenadas son: tres planos mutuamente perpendiculares.
2) Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas: x1
, x2
, x3
z, están relacionados con las coorde
nadas cartesianas por: x cos
, y sen, z=z, los coeficientes métricos son: h 1 =1,
h , h3
1, y las expresiones de los operadores diferenciales, son:
2
1
grad eˆ eˆ eˆ
z
1 2 3
1 1 A2
A
divA A ( A 1)
z
1 A
A A A
1 1 A
rot A x A ( ) e ( ) e ( ( A ) ) e
z
z
3 2 1 3
1
ˆ1 ˆ2 2
ˆ3
2 2
2 1 1
( )
2 2 2
z
2
1 d dF( ) d F( ) 1 dF( )
F( ) F( ) ( )
d d 2
d
d
2
3

Apéndice
2 2 2 2 2
ds d d
dz ; dV dddz
Las superficies coordenadas son:
z=cte. planos.
cte. , cilindros concéntricos; cte. , planos; y
3) Coordenadas esféricas
Las coordenadas esféricas: x1
r, x2
, x3
, están relacionados con las coordena-
das cartesianas por: x rsen cos
, y r sen sen
, z rcos , los coeficientes métri
cos son: h 1 =1, h2
r, h3
1, y las expresiones de los operadores diferenciales son:
1 1
grad eˆ eˆ eˆ
r r r sen
1 2 3
1 1
1 A
divA A (r A ) (sen A )
2
r r rsen rsen
2 3
1 2
1 A 1 1 A 1
rot A [ (sen A ) ]e [ (r A )]e [ (rA )
A ]e
r sen r sen r r r
2 1 1
3
ˆ1 3
ˆ2 2
ˆ3
2
2 1 2 1 1
(r ) (sen )
2 2 2 2 2
r r
r
r sen
r sen
2
2
1 d d F(r) 2 dF(r)
F(r) F(r) (r F(r))
r
2 2
dr
dr r dr
2 2 2 2 2 2 2
ds dr r d
r sen d
2
dV r sen drdd
Las superficies coordenadas son: r cte. , esferas concéntricos; cte. , conos; y =cte.
planos.
2

Análisis Vectorial
APENDICE B
1. FACTORES DE CONVERSION
Angulo plano
grado minuto segundo radían revolución
1 grado 1 60 3 600 1 74510 -2 2,77810 -3
1 minuto 1,66710 -2 1 60 2,90910 -4 4,63010 -5
1 segundo 2,77810 -4 1,66710 -2 1 4,84810 -6 7,71610 -7
1 radían 57,30 3 438 2,06310 5 1 0,1592
1 revolución 360 2,1610 4 1,29610 6 6,283 1
Angulo sólido
1 esfera = 4 esterorradianes = 12,57 esterorradianes
Longitud
Angstrom metro pulgada pie yarda milla-T
1Angstrom 1 10 -10 39,3610- 10 3,2810 -10 1,0910 -10 6,210 -14
1 metro 10 10 1 39,37 3,28 1,09 0,62110 -3
1 pulgada 2,5410 8 0,0254 1 0,083 0,0278 1,57810 -5
1 pie 30,4810 8 0,3048 12 1 0,3333 1,89410 -4
1 yarda 91,4410 8 0,9144 36 3 1 5,6810 -4
1 milla-T 6,2110 6 6,2110 -4 63360 5280 1760 1
1 milla-N 185210 10 1852 72912 6076 2025,3 1,15
1 vara 5,29210 10 5,0292 198 16,5 5,5 3,12510 -3
1 legua 4,82810 13 4828,032 190080 15840 5280 3
1 año luz 9,4510 25 9,4510 15 37210 15 3110 15 10,3310 15 5,8710 12
1 parsec 30,8410 25 30,8410 15 121210 15 10110 15 33,6710 15 19,1510 12
1 braza 1,8310 10 1,8288 72 6 2 1,13510 -3
1 estadio 201,1610 10 201,168 7920 660 220 0,125

Apéndice
Area
mm 2 cm 2 m 2 km 2 plg 2 pie 2
1 mm 2 1 10 -2 10 -6 10 -12 15,5 1,07610 -5
1 cm 2 10 2 1 10 -4 10 -10 0,155 1,07610 -3
1 m 2 10 6 10 4 1 10 -6 1550 10,76
1 km 2 10 12 10 10 10 6 1 15510 -5 10,7610 6
1 plg 2 645,2 6,452 6,45210 -4 6,4510 -10 1 6,910 -3
1 pie 2 9,2910 4 929 9,2910 -2 9,2910 -8 144 1
1 yarda 2 0,83610 6 0,83610 4 0,8361 0,83610 -6 1296 9
1 milla 2 2,1510 12 2,5910 10 2,5910 6 2,59 4,0110 9 27,8710 6
1 hectárea 10 10 10 8 10 4 10 -2 1,5510 7 10,7610 4
1 acre 4046,810 6 4046,810 4 4046,86 4046,810 -6 6,2710 6 43560
1 vara 2 25,2910 6 25,2910 4 25,2928 25,2910 -6 3,9210 4 272,15
1 legua 2 23,3110 12 23,3110 10 23,3110 6 23,31 3,610 11 2510 8
Volumen
mm 3 cm 3 m 3 km 3 litro pie 3
1 mm 3 1 10 -3 10 -9 10 -18 10 -6 3,53110 -8
1 cm 3 10 3 1 10 -6 10 -15 10 -3 3,53110 -5
1 m 3 10 9 10 6 1 10 -9 10 3 35,31
1 km 3 10 18 10 15 10 9 1 10 12 35,3110 9
1 litro 10 6 10 3 10 -3 10 -12 1 3,53110 -2
1 galón 3,78510 6 3,78510 3 3,78510 -3 3,78510 -12 3,785 133,6710 -3
1 pie 3 2,83210 7 2,83210 4 2,83210 -2 2,83210 -11 28,321 1
1 plg 3 16,3910 3 16,39 1,63910 -5 1,63910 -14 1,63910 -2 5,78710 -4
1 cuarto 0,94610 6 0,94610 3 0,94610 -3 0,94610 -12 0,946 33,41710 -3
1 pinta 0,47310 6 0,47310 3 0,47310 -3 0,47310 -12 0,473 16,70810 -3
1 onza 2,36510 6 2,36510 3 2,36510 -4 2,36510 -13 0,2365 8,3510 -3
1 barril 0,15910 9 0,15910 6 0,159 0,15910 -9 0,15910 3 5,614

Análisis Vectorial
Tiempo
año día hora minuto segundo
1 año 1 365,2 8,76610 -3 5,25910 5 3,15610 7
1 día 2,73810 -3 1 24 1 440 8,64010 4
1 hora 1,14110 -4 4,16710 -2 1 60 3 600
1 minuto 1,90110 -6 6,94410 -4 1,66710 -2 1 60
1 segundo 3,16910 -8 1,15710 -5 2,77810 -4 1,66710 -2 1
Masa
g kg lb onza tonelada
1 g 1 10 -3 2,20510 -3 35,2710 -3 9,810 -7
1 kg 10 3 1 2,205 35,27 9,810 -4
1 lb 453,6 0,4536 1 16 4,4610 -4
1 onza 28,35 2,83510 -2 0,0625 1 2,7910 -5
1 tonelada 1 01610 3 1 016 2 240 35 840 1
1 ton. métr 10 6 10 3 2 204,6 35 274 0,98
1 slug 14,5910 3 14,59 32,17 514,8 1,4310 -2
1 arroba 11,3410 3 11,34 25 400 1,1110 -2
1 quintal 45,3610 3 45,36 100 1 600 4,4510 -2
1 utm 9,810 3 9,8 21,60 345,6 9,610 -3
1 uma 1,6610 -24 1,6610 -27 3,6610 -27 5,85710 -26 1,6310 -30
1 cuarto 254,0110 3 254,01 560 8 960 0,249
1 dracma 1,772 1,7710 -3 3,910 -3 6,2510 -2 1,73610 -3
Velocidad
mm/s cm/s m/s km/h pie/s milla/h
1 cm/s 10 1 0,01 3,610 -2 3,28110 -2 2,23710 -2
1 m/s 1000 100 1 3,6 3,281 2,237
1 km/h 277,8 27,78 0,2778 1 0,9113 0,6214
1 pie/s 304,8 30,48 0,3048 1,097 1 0,6818

Apéndice
1 milla/h 447,0 44,70 0,4470 1,609 1,467 1
1 nudo 514,4 51,44 0,5144 1,852 1,688 1,151
Aceleración
mm/s 2 cm/s 2 m/s 2 km/h 2 pie/s 2 plg/s 2
1 cm/s 2 10 1 0,01 129,6 3,28110 -2
1 m/s 2 1000 100 1 3,6 3,281 39,37
1 km/h 2 277,8 27,78 0,2778 1 0,9113 3,0410 -3
pie/s 2 304,8 30,48 0,3048 3,9510 3 1 12
plg/s 2 25,4 2,54 25,410 -3 329,18 83,310 -3 1
Fuerza
lbf pdl kgf N dyn ozf
1 pdl 3,10810 -2 1 1,4110 -2 0,1383 1,38310 4 0,497
1 lbf 1 32,17 0,4536 4,448 4,44810 5 16
1 kgf 2,205 70,93 1 9,80665 9,810 5 35,26
1 N 0,2248 7,233 0,102 1 10 5 3,597
1 dyn 2,24810 -6 72,3210 -6 1,0210 -6 10 -5 1 3,59710 -5
1 tf 2000 64340 907,2 8896,6 8896,6105 3,2010 4
1 tf m 2204,6 70921 1000 9806,6 9806,610 5 3,5310 4
1 arroba 25 804,25 11,34 111,20 111,2010 5 4
1 quintal 100 3217 45,36 444,80 444,8010 5 1600
1 ozf 62,4910 -3 2,011 28,3610 -3 0,278014 0,27801410 5 1
Presión
lbf/pie 2 pdl/pie 2 kgf/m 2 Pa dyn/cm 2 bar Torr
1 atm 2,11610 3 68,0610 3 1,033104 1,01310 5 1,01310 6 1,013 760
1 lbf/pie 2 1 32,17 4,8825 47,881 478,81 4,1310 -6 0,359
1 lbf/plg 2 144 4632,48 703,08 6894,8 68948 5,9510 -4 51,69
1 pdl/pie 2 3110 -3 1 0,152 1,49 14,9 0,1310 -6 0,011
1 kgf/m 2 0,2048 6,59 1 9,806 98,06 0,8510 -6 0,073
1 Pa 2,08910 -2 0,672 0,102 1 10 10 -5 7,510 -3

Análisis Vectorial
1 bar 24,210 4 7,79106 1,0210 4 10 5 10 6 1 8,6910 4
1 Torr 2,785 89,60 13,6 133,3 1333 0,1210 -4 1
Energía
lbfpie pdlpie kgfm joule ergio 1kWh 1 eV
1 Btu 778 2,50210 3 107,55 1055 1,05510 10 2,9310 -4 6,5910 21
1 lbfpie 1 32,17 0,13825 1,356 1,35610 7 0,3810 -6 0,8510 19
1 pdlpie 3,1110 -2 1 4,310 -3 4,2110 -2 4,21410 5 1,1710 -8 2,6310 -17
1 cal 3,087 99,308 0,427 4,186 4,18610 7 1,1710 -6 2,6210 19
1 kgfm 7,233 232,5 1 9,806 9,80610 7 2,7210 -6 6,1210 19
1 joule 0,7376 23,729 0,102 1 10 7 0,2810 -6 6,2010 18
1 hph 1,9810 6 63,710 6 0,2710 6 2,6810 6 2,6810 13 0,746 1,6710 25
1 kWh 2.6510 6 85,4110 6 0,3710 6 3,610 6 3,610 13 1 2,2510 25
1 eV 1,1810 -19 3810 -19 0,1610-19 1,610 -19 1,610 -12 4,410 -26 1
Potencia
lbfpie/s pdlpie/s kgfm/s vatio ergio/s hp cal/s
1 Btu/h 0,216 0,695 2,9910 -2 0,293 0,29310 7 3,9310 -4 710 -2
1 lbfpie/s 1 32,17 0,138 1,356 1,35610 7 1,8210 -3 0,324
1 pdlpie/s 3,10810 -2 1 4,310 -3 4,2110 -2 4,2110 5 5,65.10 -5 10 -2
1 kgfm/s 7,2329 232,68 1 9,806 9,80610 7 0,013 2,343
1 vatio 0,7376 23,729 0,102 1 10 7 1,3410 -3 0,239
1 hp 550 17693 76,07 746 74610 7 1 178,16
1 kW 737,6 2,37310 4 101,97 10 3 10 10 1,341 239
1 Btu/s 778 25,02810 3 107,58 1055 1,05510 10 1,414 252
Densidad de masa
g/cm 3 kg/m 3 lb/pulg 3 lb/pie 3 utm/m 3
1 g/cm 3 1 10 3 36,210 -3 62,5 102,06
1 kg/m 3 10 -3 1 0,3610 -4 6,2510 -2 0,102
1 lb/pulg 3 27,68 2,76810 4 1 1 728 2,82510 3

Apéndice
1 lb/pie 3 1610 -3 16 5,7910 -4 1 1,6345
1 utm/m 3 9,79810 -3 9,798 0,35410 -3 0,612 1
Carga eléctrica
abcoulomb Ah coulomb statcoulomb
1 abcoulomb 1 2,77810 -3 10 2,99810 10
1 ampere-hora 360 1 3600 1,07910 13
1 coulomb 0,1 2,77810 -4 1 2,99810 9
1 statcoulomb 3,33610 -11 9,26610 -14 3,33610 -10 1
Corriente eléctrica
abampere ampere statampere
1 abampere 1 10 2,99810 10
1 ampere 0,1 1 2,99810 9
1 statampere 3,33610 -11 3,33610 -16 1
Fuerza electromotriz
1 abvoltio voltio statvoltio
abvoltio 1 10 -8 3,33610 -11
1 voltio 10 6 1 3,33610 -3
1 statvoltio 2,99810 10 299,8 1
Resistencia eléctrica
1 abohmio ohmio statohmio
abohmio 1 10 -9 1,11310 -21
1 ohmio 10 9 1 1,11310 -12
1 statohmio 8,98710 20 8,98710 11 1
Capacitancia
abfaradio faradio microfaradio statfaradio
1 abfaradio 1 10 9 10 15 8,98710 20

Análisis Vectorial
1 faradio 10 -9 1 10 6 8,98710 11
1 microfaradio 10 -15 10 -6 1 8,98710 5
1 statfaradio 1,11310 -21 1,11310 -12 1,11310 -6 1
2. VALORES DE ALGUNAS PROPIEDADES FISICAS
PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS
Densidad Calor específico Coeficiente de
Líquido en kg/m 3
tensión
J/kg 0 C cal/g 0 C superficial (N/m)
Benzol 880 1 720 0,41 0,03
Agua 1 000 4 190 1,0 0,073
Glicerina 1 200 2 430 0,58 0,064
Aceite de ricino 900 1 800 0,43 0,035
Kerosene 800 2 140 0,051 0,03
Mercurio 13 600 138 0,033 0,5
Alcohol 790 2510 0,6 0,02
PROPIEDADES DE ALGUNOS SOLIDOS
Sólido
Densidad
en kg/m 3
Temperatura
de fusión 0 C
Calor
J/kg 0 C
específico
cal/g 0 C
Calor de
fusión
J/kg
Coeficiente
dilatación
térmica
Aluminio 2 600 659 896 0,214 3.2210 5 2,310 -5
Hierro 7 900 1 530 500 0,119 2,7210 5 1,210 -5
Latón 8 400 900 386 0,092 - 1,910 -5
Hielo 900 0 2 100 0,5 3,3510 5 -
Cobre 8 600 1 100 395 0,094 1,7610 5 1,610 -5
Estaño 7 200 232 230 0,055 5,8610 4 2,710 -5
Platino 21 400 1 770 117 0,028 1,1310 5 0,8910 -5

Apéndice
Corcho 200 - 2 050 0,49 - -
Plomo 11 300 327 126 0,030 2,2610 4 2,910 -5
Plata 10 500 960 234 0,056 8,8010 4 1,910 -5
Acero 7 700 1 300 460 0,11 - 1,0610 -5
Zinc 7 000 420 391 0,093 1,1710 5 2,910 -5
PROPIEDADES ELASTICAS DE
ALGUNOS SOLIDOS
Sustancia
Resistencia a la
rotura en N/m 2
Módulo de
Young en N/m 2
Aluminio 1,110 8 6,910 10
Hierro 2,9410 8 19,610 10
Cobre 2,4510 8 11,810 10
Plomo 0,210 8 1,5710 10
Plata 2,910 8 7,410 10
Acero 7,8510 8 21,610 10
PERMITIVIDAD RELATIVA (k) DE ALGUNOS DIELECTRICOS
Cera 7,800 Madera 2,5-8
Agua 81 Alcohol, etílico (0 0 C) 28,4
Kerosene 2 Petróleo 2,1
Aceite 5 Agua (destilada, 0 0 C) 88,0
Parafina 2 Agua (destilada, 20 0 C) 80,0
Mica 6 Aire (1 atm) 1,00059
Vidrio 5-10 Aire (100 atm) 1,0548
Nilón 3,5 CO 2 (1 atm) 1,000985
Caucho 2-3, 5 Porcelana 6
Azufre 4,0 Ebonita 2,6

Análisis Vectorial
CONDUCTIVIDAD TERMICA DE ALGUNOS SOLIDOS
( en W/m o C)
Aluminio 210 Fieltro 0,046 Hierro 58,7
Cuarzo fundido 1,37 Cobre 390 Arena seca 0,325
Corcho 0,050 Plata 460 Ebonita 0,174
RESISTIVIDAD DE ALGUNOS MATERIALES ( en m )
Aluminio 2,8310 -8 Germanio (puro) 0,45
Cobre 1,6910 -8 Germanio (5.10 -6 % de As) 0,011
Oro 2,4410 -8 Silicio (puro) 640,0
Hierro (0 0 C) 8,8510 -8 Silicio (10 -4 % de As) 0,003
Niquel 7,2410 -8 Solución de NaCl 0,044
Plata (0 0 C) 1,4710 -8 Ambar 5,010 14
Mercurio 95,810 -8 Vidrio 10 20 -10 14
Tungsteno 5,5110 -8 Ebonita 10 12 -10 16
Constatan (Cu60) 44,010 -8 Mica 10 11 -10 15
Nicromo 10010 -8 Madera 10 8 -10 11
CONDUCTIVIDAD ELECTRICA DE ALGUNOS MATERIALES
( en S/m )
Aluminio 3,5410 7 Germanio (puro) 2,22
Cobre 5,8110 7 Germanio (5.10 -6 % As) 90,9
Oro 4,0910 7 Silicio (puro) 1,5610 -3
Hierro (0 0 C) 1,5310 7 Silicio (10 -4 % de As) 3,3310 -2
Níquel 6,8010 7 Solución de NaCl 25
Plata (0 0 C) 6,1410 7 Ambar 2,010 -15
Tungsteno 1,8210 7 Vidrio 10 -20 -10 -14
Mercurio 1,8210 6 Ebonita 10 -12 -10 -16

Apéndice
Constatan (Cu60) 2,0410 6 Mica 10 -11 -10 -15
Nicromo 1,0010 6 Madera 10 -8 -10 -11
SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA ( e ) DE ALGUNOS MATERIALES
Mica 5 Hidrógeno 5,010 -4
Porcelana 6 Helio 0,610 -4
Vidrio 8 Nitrógeno 5,510 -4
Baquelita 4,7 Oxígeno 5,010 -4
Aceite 1,1 Argón 5,210 -4
Trementina 1,2 Oxido de carbono 9,210 -4
Benceno 1,84 Aire 5,410 -4
Alcohol (etílico) 24 Vapor de agua 7,010 -3
Agua 78 Aire (100 atm) 5,510 -2
MOMENTOS DIPOLARES DE ALGUNAS MOLECULAS (mC)
HCl 3,4310 -30 HBr 2,6010 -30 HI 1,2610 -30
CO 0,4010 -30 H 2 O 6,2010 -30 H 2 S 5,3010 -30
SO 2 5,3010 -30 NH 3 5,0010 -30 C 2 H 5 OH 1,2610 -30
SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA ( m ) DE ALGUNOS MATERIALES
Hidrógeno (1 atm) -2,110 -9 Oxígeno (1 atm) 2,110 -6
Nitrógeno 91 atm) -5,010 -9 Magnesio 1,210 -5
Sodio 2,410 -6 Aluminio 2,310 -5
Cobre -1,010 -5 Tungsteno 6,810 -5
Bismuto -1,710 -5 Titanio 7,110 -5
Diamante -2,210 -5 Platino 3,010 -4
Mercurio -3,210 -5 GdCl 3 2,810 -3

Análisis Vectorial
MOVILIDAD DE LOS IONES EN LOS ELECTROLITOS (m 2 /Vs)
NO - 3 6,410 -8 H + 3,2610 -7 K + 6,7010 -8
Cl - 6,810 -8 Ag + 5,610 -8
Código de colores para las resistencias
Colores
1ª Cifra 2ª Cifra Multiplicador Tolerancia
Negro 0 0
Marrón 1 1 x10 1%
Rojo 2 2 x 10 2 2%
Naranja 3 3 x 10 3
Amarillo 4 4 x 10 4
Verde 5 5 x 10 5 0.5%
Azul 6 6 x 10 6
Violeta 7 7 x 10 7
Gris 8 8 x 10 8
Blanco 9 9 x 10 9
Oro x 10 -1 5%
Plata x 10 -2 10%
Sin color 20%
PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL (S.I.)
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo
10 1 deca da 10 -1 deci d
10 2 hecto h 10 -2 centi c
10 3 kilo k 10 -3 mili m
10 6 mega M 10 -6 micro
10 9 giga G 10 -9 nano n
10 12 tera T 10 -12 pico p
10 15 peta P 10 -15 femto f
10 18 exa E 10 -18 atto a

Apéndice
3. FORMULAS E IDENTIDADES DEL ANALISIS VECTORIAL
1) ( )
2) ( )
3) (f g) f g
4) x(f g) xf xg
5) ( f ) f f
6) (f xg) g xf f xg
7) xf 0
8) x f xf xf
9)
2
x xf f f
10) x 0
11) f xgxh (f h)g (f g)h
12) / nˆ nˆ
13) B / n ˆ (n ˆ )B
14)
2
15) x r 0
16) r 3
17) r r / r
18)
3
(1/ r) r / r
19)
3 2
(r / r ) (1/ r) 0, si r 0 20)
r r ' ' r r '
21) F( ) ( F / )
22) A( ) ( A / )
r r '
r r '
23) xA( ) x( A / )
24) (A )B( ) (A )( B / )
25)
27)
29)
f ds f dV
26)
S
V
ds
dV
S 28)
V
f (g ds) f gdV (g )f dV 30)
S V V
31) x(f xg) f g g f (g )f (f )g
32) (f g) (f )g (g )f f x xg gx
xf
33) (exf ) (gxh) (e g)(f h) (e h)(f g)
34) (exf )x(gxh) [e (f xh)]g [e (f xg)]h
f d
C
L
S
S
xf ds
ds xf xf dV
S V
d
ds x
35)
36)
37)
L
N
M
Mdx Ndy ( )dxdy
S x
y
2
V
S
[ ( ) ( )]dV ( ) ds
2 2
V
S
[ ]dV ( ) ds

Análisis Vectorial
4. ECUACIONES DE MAXWELL EN EL VACIO (S.I.)
Ley
Para campos electromagnéticos
independientes del tiempo
Forma integral
Forma
diferencial
De Gauss para el campo e
léctrico E
De Gauss para el campo
de inducción magnética B
De circulación para el cam
po eléctrico E
De circulación para el cam
po de inducción magné
tica
E /
o
E ds q / S
o
B ds 0 B
0
S
E d 0 x E 0
L
o I xB
o
L B d
J
Ley
Para campos electromagnéticos
dependientes del tiempo
Forma integral
Forma
diferencial
De Gauss para el campo
eléctrico E
E / o
E ds q / S
o
De Gauss para el campo
de inducción magnética
B
B ds 0
S
B
0
De circulación para el
campo eléctrico E
d
E d B ds
L dt S
De circulación para el
campo de inducción mag
d
nética
B d
L
oI oo
B ds
dt S
xB
x E 0
o
J

Apéndice
5. RESUMEN DE FORMULAS DEL ELECTROMAGNETISMO (S.I.)
01) Ley de Coulomb
02)
Nombre Discreta (s) Continua (s)
q .q
F k r
1 2
3 12
r12
Fuerza sobre una carga F q E
en el campo eléctrico E
03) Intensidad del campo eléctrico
04) Campo a una distancia "d"de un
filamento de longitud infinita y
densidad de carga lineal " "
E
k
F k dV r dV
V
2
1 1 3 12 2
V
r12
1 2
N
/ r r k) qk
(r r´)
3 3
k1
r rk
V r r´
d
P
E k dV
E
2 d
o
05) Campo a una distancia "d" de un
filamento de longitud finita " " y
densidad de carga lineal " "
d
P
sen
E 2 d
o
l/2
06) Campo a una distancia "d" del centro
de una espira cuadrada de lados "2a"
P
d
8a d
E
4 (a d )(2a d )
o
2 2 2 2 1/ 2
y densidad de carga lineal " "
0
2a
07) Campo a una distancia "d" de un
plano infinito de densidad de carga
2a
P
d
E
2
o
superficial uniforme" "

Análisis Vectorial
08) Campo a una distancia "d"del centro
P
de un anillo de radio "R", y densidad
de carga lineal uniforme " "
d
Rd
E
2 (d R )
o
2 2 3/ 2
R
09) Campo a una distancia "d" del centro
de un disco de radio "R", y densidad
de carga superficial uniforme " "
P
d
R
d
E [1 ]
2
2 2
o d R
A
10) Campo de planos infinitos paralelos
delgados cargados con densidades
de cargas superficiales
-
B
C
/ o
en B
E
0, en A y C
11) Campo de planos infinitos paralelos
delgados cargados con densidades
A
de cargas superficiales
B
C
/ o
en A y C
E
0, en B
12) Campo de un cascarón esférico de
radio "R", y densidad de carga
superficial uniforme " "
R
r
P
0, para r R,
E 2 2
R / or para r R.
13) Campo de una esfera compacta de
r
P
radio "R", y densidad de carga
volumétrico uniforme " "
R
r / 3 o, para r R,
E 3 2
R / 3or para r R.

14) Campo de un segmento esférico
Apéndice
de radio "R", y densidad de
carga superficial uniforme " "
o
2
r
E ( )( )
4
2
R
E
0
R
r
15) Campo en el eje de simetría de
un cascarón cilíndrico de longitud
P
eje
R
" ", y densidad de carga superficial
uniforme " "
z
l
R
R
( ), z
2
2 2 2 2
o R (z ) R z
E
R
R
( ), z
2
2 2 2 2
o R ( z) R z
16) Campo en el eje de simetría de
un cilindro compacto de longitud
O
P
eje
R
" ", y densidad de carga volumétrica
z
l
uniforme " "
E
2
2 2 2 2
[ (z ) R z R ], z
o
2 2 2 2
[2z ( z) R z R ], z
2
o
O
E
17) Componente perpendicular del campo
de una superficie plana cargada, que limita
un ángulo sólido " "
P
E
4
o
18) Ecuación para las líneas de fuerza de E Eydx
Exdy
19) Tensor Maxwelliano de tensión eléctrica
1 1 2
T (E E E )
4
2

Análisis Vectorial
20) Flujo de E a través de una superficie S E E dS
S
21) Densidad de líneas de campo eléctrico
22) Número de líneas del campo eléctrico
D
E
o
N
23) Ley de Gauss en su forma integral E E dS Q
S
n / o
24) Ley de Gauss en su forma diferencial
25)
E
E /
Momento dipolar de un dipolo eléctrico p qd
pcos
26) Potencial eléctrico de un dipolo eléctrico V(r, )
2
4or
27)
2pcos
Componentes radial (E r ) y tangencial (E ) Er , E
3
4
r
o
o
psen
3
4
r
del campo E de un dipolo eléctrico
28)
p
Campo eléctrico de un dipolo eléctrico E [3cos 1]
3
4or
29) Momento del momento dipolar de un dipolo M px E
30)
31)
Trabajo para alinear un dipolo eléctrico W p E
Energía de interacción de un dipolo con E W p E
2 1/2
32)
1 p1 p2 3p 1 (r1 r 2)p 2 (r1 r 2)
Energía de interacción entre dos dipolos W [
]
3 5
4
r r r r
o 2 1 2 1
o
33) Momento del cuádrupolo
Q 2qd
2
34) Potencial eléctrico de un cuádruplo
35) Componentes del campo eléctrico de
un cuadrupolo eléctrico
36) Campo eléctrico de un cuadrupolo
37)
2
qd 2
V (3cos 1)
3
4
r
o
3qd 2
E (3cos 1) ,
r 4
4or
3qd
E (sen 2 )
4
4
r
Trabajo para desplazar una carga "q" W q
E d
o
o
3qd
E (5cos 2cos
1)
4
4
r
4 2 1/ 2

38)
Apéndice
Circulación del campo eléctrico E C E W / q E d
39) Condición de campo eléctrico conservativo rot E 0 o C E E d 0
40) Definición de energía potencial eléctrica W U UB
UA
41) Diferencia de energía potencial entre B y A
B
B A A
o
U U q E d
42) Energía potencial eléctrica en un punto P
U
P
P
q E d
43) Energía potencial de interacción de Q 1 y Q 2
QQ 1 2
U
k
r
44) Energía potencial de una carga en un
1 q .q
Ui
4 . r
sistema de "N" cargas puntuales
45) Energía potencial de un sistema de "N"
cargas puntuales
46) Definición de potencial eléctrico en un punto P
47) Potencial eléctrico de una carga puntual "q"
48) Potencial eléctrico de un sistema de
"N" cargas puntuales
49) Potencial eléctrico de un cuerpo cargado
50) Diferencia de potencial eléctrico entre B y A
U
V
S
o
o
N i j
ji
ij
N N
1 q i.q
8 r
U
o i j j 1
P
P
P
q
o
q
V
k r
N
q
V k
r
V k
k1
k
k
dq
r
E d
D
B
BA B A
A
V V V E dr
51) Ecuación de las líneas equipotenciales Exdx
Eydy
52) Cargas después del contacto de dos esferas de
'
1 1 1 2 1 2
Q (R / R R )(Q Q )
'
radios R 1 , R 2 con cargas iniciales Q 1 Q 2 ,
Q 2 (R 2 / R 1 R 2 )(Q 1 Q 2 )
53) Potencial eléctrico a una distancia "d" de un
P
filamento de longitud infinita y densidad de
carga lineal uniforme " "
d
C
V n( )
2o
d
ij
j

Análisis Vectorial
54) Potencial eléctrico a una distancia "d" de un
filamento de longitud " " y densidad de
carga lineal uniforme " "
o
2 2
( / 2) d
V n[ ]
2
d 2d
55) Potencial eléctrico a una distancia "z" del
centro de una espira de lados " " y densidad
de carga lineal uniforme " "
2 2
2
z 2( / 2)
V n[
]
2 2 2 2
o z ( / 2) 2 z ( / 2)
d
P
z
0
P
l/2
l
56) Potencial eléctrico a una distancia 'd"del
centro de una espira circular de radio "R"
y densidad de carga lineal uniforme " "
R
V
2 (d R )
o
2 2 1/2
l
P
d
R
57) Potencial eléctrico a la distancia "d" de una
superficie plana muy grande de densidad de
carga superficial uniforme " "
P
d
V
2
o
d
58) Potencial eléctrico a una distancia "d" del
centro de un disco de radio "R", y densidad
de carga superficial uniforme " "
P
d
2 2
V [ d R d]
2
o
R
59) Potencial eléctrico de un cascarón cilíndrico
muy largo de radio "R", y densidad de carga
superficial uniforme " "
P
r
R
R
l
l>>R

Apéndice
c
c
VP
2k
n( ), r R y VP
2k
n( ), r R
r
r
60) Potencial eléctrico de un cilindro muy
largo compacto de radio "R", y densidad
de carga longitudinal uniforme " "
P
r
R
V
P
r 2k n( ), r R
R
r 2
k [1 ( ) ], r R
R
R
l
l>>R
61) Potencial eléctrico de un cascarón esférico
de radio "R", y densidad de carga superficial
uniforme " "
P
r
V
R / o, r R,
R / or, r R.
P 2
R
62) Potencial eléctrico de una esfera compacta
de radio "R", y densidad de carga volumétrico
uniforme " "
P
r
V
2 2
o
P
3
o
(3R r ) / 6 , r R,
R / 3 r, r R.
R
63) Potencial eléctrico de un hemisferio compacto
de radio "R", y densidad de carga volumétrica
uniforme " "
2 2 3/2 3 2 3
V P [2(d R ) 2d 3R d 2R ]
12
o
R
0
P
d
64) Potencial eléctrico de un segmento esférico
hueco de radio "R", y densidad de carga
superficial uniforme " "
R
R
V (1 cos o)
2
o
0
0

65)
Análisis Vectorial
El gradiente del potencial eléctrico E gradV V
66) Componentes cartesianas del campo E
E
x
V
; Ey
x
V
y Ez
y
V
z
67) Componentes polares planas del campo E
E
r
V
;
r
E
1V
r
68) Componentes cilíndricas del campo E
V
E ;
E
1 V
y Ez
V
z
69) Componentes esféricas del campo E
E
E
r
V
; E
r
1 V
r sen
1V
r
y
70)
Carga puntual "Q" frente a una placa a potencial nulo (V=0)
Componente normal del campo eléctrico en la placa
E
2Qd '
n 3
4or
71) Fuerza eléctrica entre la placa y la carga "Q"
1 Q
F 16 d
o
2
2
o
Q
d
72)
Carga puntual "Q" frente a una esfera conductora a V=0
Carga imagen y distancia al centro esfera
a
Q
i
2
a a
Q y b
d d
73) Densidad de carga superficial inducida en la esfera
Q
d
0
2 2
'
Q(d a )
4a (d a 2da cos )
2 2 1/ 2
74) La ecuación de Laplace y Poisson
75) 2 V en coordenadas cartesianas rectangulares
76)
2 V en coordenadas polares planas
2
0 Laplace
V
/ o
Poisson
2 2 2
V V V 0
2 2 2
x y z
/
2
1 V 1 V 0
(r )
2 2
r r r r /
o
o

77) 2 V en coordenadas cilíndricas
2 V en coordenadas esféricas
78) Energía del campo eléctrico E en el vació
79) Energía eléctrica de un conductor cargado
80) Densidad de energía eléctrica en el vació
81)
Intensidad de corriente eléctrica
Apéndice
82) Velocidad media o arrastre de los electrones
83) Señal eléctrica alterna senoidal
84) Valor pico a pico de la señal alterna senoidal
85) Valor medio de la señal alterna senoidal
86) Valor eficaz de la señal alterna senoidal
87) Factor de forma de la señal alterna senoidal
88) Definición de densidad de corriente eléctrica
89)
U
1
2
o
2
E dV
1 1
U VdS Vdv
2 S 2
U 1
u oE
V
2
2
dQ
I en vA
dt
eE
v
m
e
o
V
A(t) A sen( t )
2A o
A
m
1
T
T
0
A(t)dt
1
A ef [ A (t)dt]
T 0
Aef
F A
J
Vector densidad de corriente eléctrica J nq v
90) Intensidad de corriente por un conductor
91) Relación para un conductor de sección variable
J1 A2
J2 A1
92) Densidad de corriente para un medio continuo J
v
1 2 V 1 V
(r ) (sen )
2 2
r r
r
r sen
2
1 V 0
2 2 2
r sen /
I
A
A
m
2 2
2 2 2
1 V 1 V V
(r )
r r r r z
T 2 1/2
I J dS JcosdS
A
o
0
/
o

93) Resistencia eléctrica de un conductor
Análisis Vectorial
R
S
94) Resistencia en función de la temperatura R R o[1 (T T o)]
95) Resistividad macroscópica de un material
VA
I
V
J
96)
m
Resistividad microscópica de un material
ne
e
2
v
97) Resistividad en función de la temperatura o om(T T o)
98) Cambio en fracción de la resistividad
99) Coeficiente de resistividad de un material
o
m(T T o)
o
1d
dT
100) Conductividad macroscópica de un material
101)
102)
103)
104)
105)
106)
107)
Conductividad microscópica de un material
Densidad electrónica de un material
Energía cinética media del movimiento térmico es
Velocidad media de los es
en el gas electrónico
Velocidad cuadrática media de los s
Ley de Wiedemann-Franz
Conductancia eléctrica de un conductor
J
ó J E
E
2
1 ne
m v
n
N A.z.
A
e
1 m.vc
2
3 k.T
2 2
1
v [ v ]
N
1
N
N 1/2
i1
i
e N 2 1/2
v c [ v
i 1 i ]
K k 2
3 ( ) T
e
1 I
G R V
108)
109)
Ley de Ohm para conductores ohmicos
Analogía entre electricidad e hidráulica
V R cte.
I
VAB
IR y PAB
QC
110) Potencia eléctrica consumida en una resistencia
2
2 V
P VI I R
R

111)
112)
113)
114)
115)
116)
117)
118)
119)
120)
121)
122)
123)
124)
Apéndice
Potencia instantánea en corriente alterna (C.A) P(t) VIcos VIcos(2t )
Potencia active (P) de una corriente alterna (C.A)
P IVcos IZIcos
I R
Potencia fluctuante de una corriente alterna (C.A) P(t) VIcos(2t )
Potencia reactiva (Q) de una corriente alterna (C.A)
Q IVsen I (X X )
1
Reactancias inductiva (X L ) y capacitiva (X C ) XL L, XC
C
Potencia aparente (S) de una corriente alterna (C.A)
Factor de potencia (F) de una corriente alterna
S P
ˆjQ
P
F cos
S
Primera ley de Faraday m kQ kIt
Segunda ley de Faraday
Ley unificada de Faraday
Coeficiente de disociación en un electrolito
Recombinación electrolítica
Cuantización de las cargas en un electrolito
1A
k Ckx
, F=10 -3 C -1
Fz
m
1A
Q
Fz
n'
n
1
C
2 C.n
z.F
Q
N
2
L
, n' # de iones disociados
Densidad de corriente en un electrolito J =q + n o+ < v >+ q - n o- < v >
A
o
C
2
125) Velocidad media de los iones (+) y (-) v u E , v u E
126) Carga eléctrica debido a los iones (+)
127) Ley de Ohm en un electrolito
128) Resistividad de un electrolito
129) Energía cinética media mínima partículas ionizantes
130) Corriente de saturación IS eNo
F
q e.z z y q no q no
NA
F
J z n (u u )E
o
N
A
NA
F.z n o(u u )
1 2 m
m.v (1 ).Wi
2 M

131)
132)
133)
134)
135)
Análisis Vectorial
Ecuación de continuidad para J J 0
t
La ecuación de Laplace para J J
0
Densidad de carga del equilibrio electrostático
Tiempo de relajación
Trabajo de las fuerzas de Coulomb
t C
t/
(r) o(r)e
2
E d V
V
1
C 1 2
136)
137)
138)
139)
Fuerza electromotriz
Fuerza electromotriz de Thomson
Diferencia de potencial entre dos puntos a, b
Diferencia de potencial en los bornes de una pila
2
12 E
E d
1
1
2
N
dT
N
1 2
V IR ( )
ab k k
k1 k1
1
V ab ( )
1
r / R
140)
141)
Resistencia de compensación
R
x
r
g
2
g
r
R
Resistencia equivalente para conexión serie Re R 1 ... RN
S
142)
143)
144)
145)
Resistencia equivalente para conexión paralelo
Corriente en un galvanómetro balístico
Corriente en un galvanómetro
Resistencia desconocida en el puente Weatstone
1 1 1
e 1 N
R R ... R
I
I
R
x
NBAq
o
k
NAB
r
g
2
g
r
R
S
146)
147)
R1
f.e.m desconocida en un potenciómetro x
R
Primera ley de Kirchoff (Regla de nodos)
1S
S
( )I
k k 0
148) Segunda ley de Kirchoff (Regla de mallas)
N
M
( )I R ( )
k k k
k1 k1

149)
150)
151)
152)
153)
154)
155)
156)
Apéndice
I0R0
Resistencia en paralelo (Shunt) con un amperímetro RS
I I
V
Resistencia en serie con un voltímetro Ra R0
I
Cantidad de calor disipado por efecto Joule
Cálculo microscópico del efecto Joule
Movilidad de los electrones en un conductor
Fuerza electromotriz en una bobina de inducción
Energía eléctrica almacenada en una bobina
0
0
2
2 V
Q 0,24 i R t 0,24 t
R
P
V
v
E
J EdV
d
di(t)
(t)
L
dt dt
W
M
1
LI
2
Inductancia equivalente para conexión en serie Le L 1 ... LN
2
157)
158)
Inductancia equivalente para conexión en paralelo
1 1 1
e 1 N
L L ... L
Impedancia equivalente para conexión en serie Z Z 1 ... ZN
159)
160)
161)
162)
163)
164)
Impedancia equivalente para conexión en paralelo
Voltaje total en un circuito eléctrico RL
Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RL
Voltaje total en un circuito eléctrico RC
Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RC
Susceptibilidad eléctrica de un dieléctrico
1 1 1
e 1 N
Z Z ... Z
2 2 1/2
L
V I[R X ] IZ
1 XL
1
L
tg ( ) tg ( )
R R
2 2 1/2
C
V I[R X ]
1 XC
1
1 / C
tg ( ) tg ( )
R R
i
o(k 1)
E
165) Constante dieléctrica
k 1
o
o
Capacidad especifica de inducción
166)
ko o
167) Vector desplazamiento dieléctrico
D k E
o
o

168)
169)
170)
171)
172)
173)
174)
175)
176)
177)
178)
Teorema de gauss para dieléctricos
Análisis Vectorial
tg 1 k1
Ley de Snell en dieléctricos
tg k
Vector de polarización en dieléctricos
D dS q (carga libre)
S
P
e
2 2
N
1
p
V
Vector de polarización para dieléctrico neutro Pe noo
E o
E
Vector de polarización para dieléctrico polar Pe no pe
Fórmula de Debye-Langevin
o
i1
2
c
nop
3
kT
Densidad superficial de cargas de polarización p P e nˆ
Densidad volumétrica de cargas de polarización p div Pe
Relación entre D , E y P D oE Pe
Carga inducida en una esfera conductora
k1
q i ( )q
k
Trabajo de extracción de un electrón en un metal W e(V V')
e, i
179)
Capacidad eléctrica
C
q
V
180)
Capacidad de un condensador plano paralelo
C
d
o A
181)
Capacidad de un condensador cilíndrico
C
2o
n(b / a)
182)
Capacidad de un condensador esférico
C
4
o
ab
(b a)
183)
184)
Capacidad equivalente para conexión en serie
1 1 1
e 1 N
C C ... C
Capacidad equivalente para conexión en paralelo Ce C 1 ... CN
185)
Carga instantánea en proceso de carga condensador
ab
t/RC
q(t) V C (1 e )
186) Intensidad de corriente en un proceso de carga
I(t)
V ab
R
e
t/RC

187)
Apéndice
Constante de tiempo en un proceso de carga t RC
188)
189)
190)
191)
192)
193)
194)
Carga instantánea en un proceso de descarga
Energía eléctrica almacenada en un condensador
Densidad de energía eléctrica en un condensador
Fuerza eléctrica entre las placas de un condensador
Coeficientes de potencial sistema de "N" cargas
Energía de un sistema de "N" conductores
Coeficientes de capacidad de "N" conductores
t / RC
q(t) Q.e
2
1 Q 1 1
W qV CV
2 C 2 2
2 2
o E oVab
w
2 2d
2 2 2
oEA
Q
D A
F
2
2 2
A
V
o
N
i p
j 1 ij Q
j
1
W
Q
N
2
j1
Q V
N
i c
j 1 ij V
j
j
j
o
2
195)
196)
197)
198)
D
Intensidad de corriente eléctrica de desplazamiento ID J
S
D dS
( ) dS
S t
La ley de Biot-Savart para calculo de B
La ley de Biot-Savart para calculo de modulo de B
B I d x r
4 r 3
B
o
C
I sen
d
2
4 r
o
C
Cálculo de B en un medio o sustancia magnética B Bo Bm
199)
Campo de inducción magnética a una distancia
"d" del extremo de un imán
B o
4 d
q
2
IMAN
N
q
d
P
B=?
200) Campo de inducción magnética a una distancia
"d" de un filamento rectilíneo muy largo que
conduce una corriente "I"
d
B
B o
I
2 d
I

201)
Análisis Vectorial
Campo de inducción magnética a una distancia
"d" de un filamento rectilíneo finito que
conduce una corriente "I"
B
d
202)
o
B I (sen
sen )
4
d
Campo de inducción magnética en el centro
de una espira rectangular de lados "a", "b"
que conduce una corriente "I"
2 2 1/2
B o 8I(a
b )
4 a b
I
I
I
a
B
0
P
I
b
I
203)
Campo de inducción magnética a una distancia
204)
"d" del centro de una espira cuadrada de lados
"2a" que conduce una corriente "I"
2
2oIa
2 2 2 2 1/2
B
(a d )(2a d )
Campo de inducción magnética a una distancia
2a
2a
d
P
I
I
"d" del centro de un anillo de radio"R" que
d
I
conduce una corriente "I"
2
o
IR
B 2 (d R )
2 2 3/2
0
I
R
205)
Campo de inducción magnética en el centro de
B
un filamento en forma de arco circular de
radio "R" que conduce una corriente "I"
o B I
4 R
206) Campo de inducción magnética a una distancia "d"
del centro de un anillo de radio "R", densidad de
carga lineal " " que gira con frecuencia " "
R
d
0
R
R
I

Apéndice
207)
Campo de inducción magnética en puntos
del eje de simetría de un solenoide de "N"
vueltas, que conduce una corriente "I"
3
o
R
B 2 (d R )
2 2 3/2
P
R
2
1
l
o
IN
B (cos2
cos 1)
2
208)
Campo de inducción magnética de un
toroide de radios interno "R 1", externo
"R 2" que conduce una corriente "I"
R 2
R m
0
R1
o
IN
R 1
r R 2
B 2
r
0 r R o r R
1 2
I
I
209)
Campo de inducción magnética de un
cilindro compacto de radio "R", muy
I
R
largo que conduce una corriente "I"
o
Ir
2 , r R
2
B
R
o
I , r R.
2
r
210)
Campo de inducción magnética en P de un
anillo de radio "R", que conduce corriente
"I", cuando d>>R
R
0
I
P
oIR
B
3
4d
211) Campo de inducción magnética en P de un
2
I
P
d
disco de radio "R", densidad de carga
superficial " ", y que gira con frecuencia
d
angular " "
2 2
o
R 2d
B [ 2d]
2 2 1/2
2 (R d )
R

212)
Análisis Vectorial
Campo de inducción magnética a una distancia
"d" del centro de un anillo de radio "R", densidad
de carga lineal " ", que gira alrededor de su diámetro
con frecuencia angular " "
P
d
3
oR
B , d R
3
4d
R
213)
Campo de inducción magnética en puntos
del eje de simetría de un cilindro hueco
rotante de radio "R", y densidad de carga
superficial " "
oR d d h
B (
)
2 2 2 2 2
d R (d h) R
d
h
P
R
214)
Campo de inducción magnética a una distancia
P
a
"d" del centro de una espira hexagonal de lados "a"
que conduce una corriente "I"
a
d
a
B
2
3 3oIa
2 2 2 2
(4d 3a ) d a
a
a
a
215)
Campo de inducción magnética en puntos del
plano que contiene una banda de corriente "I"
de ancho "w" a una distancia "d"
w
I
d
P
o B I n(1
w )
2w d
216) Campo de inducción magnética a una distancia
"d" de una banda de corriente "I" de ancho "w"
o I 1
B ( ) tg ( w )
w
2d
P
d
0
w
I

217)
Apéndice
Campo de inducción magnética en el punto P,
de N vueltas de corriente "I" que se encuentran
sobre un tronco de cono
o IN 2
B sen cos
n( b )
2(b a) a
I
b
a
P
218)
Campo de inducción magnética en el punto
P, creado por dos espiras circulares que
conducen corrientes "I" (x<<2b)
a
P
0
I
x
2b
o
2 2
2
2 2 3/2 2 2
Ia 3 (4b a ) 2
B [1 x ...]
(a b ) 2 (a b )
a
I
219)
Campo de inducción magnética generado
por una esfera hueca de radio "R", densidad
de carga superficial " " que gira alrededor
P
z
de su diámetro
0
R
220)
4 3
2oR / 3z , para z R
B
2o
R / 3, para z R
Campo de inducción magnética a una distancia
"d" del centro de un disco de radio "R", densidad
de carga superficial " ", que rota alrededor de su
P
d
diámetro
1 oR
B , d R
3
16 d
4
R
221) Campo de inducción magnética generado
por una esfera sólida rotante de radio "R",
densidad de carga volumétrica " "
P
z
5 3
2oR /15z , para z R
B
2
o
R / 3, para z 0
0
R

222)
Análisis Vectorial
Campo de inducción magnética en el centro
de la base de un cilindro sólido rotante de
"R", densidad de carga volumétrica " "
P
223)
o
2 2
B h( R h h)
2
R
Campo de inducción magnética a una distancia
"d" de la base mayor de un segmento esférico
P
hueco de densidad de carga superficial " "
1
2
B oR[ sen (cos 2)]
d
3 2 2
0
R
h
224)
Campo de inducción magnética en el vértice P
de un cono regular hueco rotante de altura "h",
ángulo de vértice " " y densidad de carga
R
superficial " "
B
o
2
Rsen
2
225)
Campo de inducción magnética en el vértice P
P
de un cono regular sólido rotante de altura "h",
ángulo de vértice " " y densidad de carga
volumétrica " "
R
o
2 1
2cos
B R ( )
4
2
1
cos
226)
Campo de inducción magnética en el vértice P
de una pirámide de base circular de radio "R"
P
P
con densidad de carga superficial " "
o
B (8 5 2) R
2
R
R

227)
Apéndice
Campo de inducción magnética en el vértice
P de un paraboloide de ecuación cz=x 2 +y 2 ,
altura "H", densidad de carga superficial " "
z
1
H c[1 ]
1 H / c
H
228)
Campos de inducción magnética, creados por
x
0
y
dos bandas de de densidades de corriente "J",
separados por una distancia "d"
(I)
oJ, zona I
B 0, zona II
J zona III
o
d
J
J
(II)
(III)
229)
Campo de inducción magnética a una distancia
"d" del centro de una superficie circular de
radio "R", con densidad de corriente "J"
P
d
oJ
d
B (1 )
2 2 2
d R
J
0
R
230)
Campo de inducción magnética a una distancia
P
"d" del centro de una superficie cuadrada de
lados "a", con densidad de corriente "J"
o B
J ( 1 )
2 1
4d / a
d
0
J
a
231) Campo de inducción magnética de una esfera
a
compacta de radio "R", densidad de carga
volumétrica " ", y se desplaza con velocidad
"v"
B
4vrsen
A 2
(3)(4 o)c
B
B 2 2
(3)(4 o)r c
3
4vR sen
0
R
A
B
v

232)
Análisis Vectorial
1
Relación de campos de una carga puntual que B
2
c
se desplaza con velocidad "v"
v x E
233)
234)
235)
236)
237)
238)
239)
240)
241)
242)
243)
Definición de intensidad magnética
B
H
Fuerza magnética sobre una carga puntual F q v x B
Fuerza de Lorentz sobre una carga puntual F qE qvxB
Fuerza magnética sobre un conductor curvilíneo
F
Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo F I x B
V
o
J x BdV
o II 1 2
Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos F
2 d
Torque magnético sobre un circuito de corriente
M x B
Momento magnético de un circuito de corriente M I S
Periodo de las oscilaciones transversales de un imán
Periodo de las oscilaciones longitudinales de un imán
2
I
T 2 ( )
mB
o
o
o
1/ 2
2
2MR
T 2 ( )
3
NIm
IB
Diferencia de potencial de equilibrio en el efecto Hall V V1 V2
R d
3
1/2
244)
245)
Campo eléctrico transversal en el efecto Hall
La constante de Hall
EH
R
R B x J
A
nq
o
246)
247)
La conductividad eléctrica en el efecto Hall
Campo de inducción en función del potencial vectorial B rot A
2
e
h
248)
Potencial vectorial magnético de una densidad "J"
A(r )
J(r )
4
r r
o 1
2
dV1
V1
2 1
249)
o mx r2
Potencial vectorial de un circuito distante A(r )
4
r
2 2
2

250)
251)
252)
253)
254)
255)
256)
257)
Apéndice
o m 3(m r 2) r2
Campo magnético de un circuito eléctrico distante B(r 2) [ ]
3 5
4
r r
Componente radial H r de un dipolo magnético
2mcos
Hr
3
4r
Componente tangencial H de un dipolo magnético
msen
H
3
4r
Modulo de la intensidad magnética de un dipolo
Potencial escalar V y campo de inducción B
2 2
1 m
H (3cos 1)
3
4
r
B
V
mr2
Potencial escalar magnético de un circuito pequeño V
4r
3
Potencial escalar de un circuito de corriente grande
I
V(P)
4
Longitud de onda de De Broglie
h h
mv p
o
2
2 1/ 2
258)
259)
Cantidad de movimiento de De Broglie
Vector número de onda
h
p
k
2
k (2 / )nˆ
260)
261)
262)
263)
Carga especifica en un espectrómetro de Dempster
q 2. V
2 2
m Br
Periodo de una partícula en un cicrotrón
2
W
T
2
e.c B
2
W
Campo de inducción magnética en un cicrotrón B
2
e.c T
2m 2W
Periodo de resonancia en un ciclotrón To T
2
B q B q
o
Condición de funcionamiento en un sicrotrón
264) La ley de Ampere para circuitos magnéticos
265) Flujo magnético a través de una superficie "S"
m e.T o
cte.
B 2
C B d I
B
B
S B dS
o

266)
Análisis Vectorial
Ley de Gauss para campos magnéticos div B 0
267)
Ley de Ohm para circuitos magnéticos
m
m
R
m
268)
269)
270)
271)
272)
273)
274)
275)
276)
277)
278)
279)
280)
281)
Reluctancia de un circuito magnético con "S" constante
R
mi
i
Reluctancia de un circuito magnético con "S" variable d
R
m 0
S
Reluctancia total para una conexión en serie
Reluctancia para una conexión en paralelo
Primera ley de Kirchoff para circuitos magnéticos
Segunda ley de Kirchoff para circuitos magnéticos
Trabajo de desplazamiento de un conductor
Densidad de corriente de desplazamiento
Razón entre las densidades de corriente
J C y D
R
m
n
o
o
S
i1
R
mi
n 1 1
i1
mi
R m [ R ]
n
i1
mi
0,
k
k
i 1 miR mi ( )
i1
mi
W I d i
J
J
J
D
J C
D
D
t
m m
m
Continuidad de la componente normal de B ˆn (B2B 1) 0
Discontinuidad de componente tangencial de H ˆn 2x(H2 H 1) JS
Continuidad del flujo de inducción magnética BdV (S 2) (S 1)
Definición de fuerza electromotriz
f.e.m inducida en una bobina rotante de "N" espiras
V
W
q
C
Ed
NBSsen
d
282) Ley de Faraday
dt
283)
f.e.m en función del potencial vectorial magnético Ad t
284)
N2
Voltaje de salida (V 2 ) en un transformador V ( ) V
N
B
2 1
1

285)
286)
287)
Apéndice
Potencia entregada y consumida en un transformador V1 I1 V2 I2
Definición de flujo de autoinducción
a
S
Autoindiccón para un contorno no ferromagnético a LI
B dS
288)
Ley de Faraday para un contorno no ferromagnético
da
di
L
L
dt dt
289)
Expresión para el coeficiente de autoinducción
L
d x r
3
2 r
o
S
dS
290)
Coeficiente de autoinducción para un
solenoide muy largo
o
2
L N S /
I
S
l
N
291)
Coeficiente de autoinducción para un
solenoide de coeficiente k=l/d
o
2
L kN S /
I
S
l
N
292)
Coeficiente de autoinducción para
cilindros coaxiales de radios "R 1",
R 2
"R 2" y longitud " "
1 R2
L o . n( )
2
R
1
R 1
l
293)
Coeficiente de autoinducción de un
un toroide de sección transversal
rectangular de lados "a", 'b"
1 2 R2
L o N b n( )
2
R
1
N
b
R
a
R 1
R 2
I
294)
Coeficiente de autoinducción para
Una línea de transmisión
d
L
1
d
o n( )
R
R
l

295)
296)
297)
298)
299)
300)
301)
302)
303)
304)
305)
306)
307)
308)
Análisis Vectorial
Voltaje de salida (V 2 ) en un transformador V
N2
( ) V
N
Intensidad de corriente en un circuito eléctrico R-L
Tiempo de relajamiento en un circuito eléctrico R-L
Energía magnética en una bobina inductora
Densidad de energía en una bobina inductora
2 1
1
R t/L R t/L
I(t) Ioe (1 e )
R
t
c
W
w
L
R
M
M
1
LI
2
1
2
o
2
d21
Inducción mutua para dos bobinas de corriente 2
dt
Flujo magnético de inducción mutual para dos bobinas 21 M21I 1,
11 M11I
2
N 1.N2
Coeficiente de inducción mutual para un núcleo hierro M21
R
Expresión de Neumann para calculo de "M 21"
M
21
o
m
H
2
d ' d
4
C2 C2
r r '
Coeficiente de autoinducción para conexión en serie Le L1 L 2 ... Lk
Coeficiente de autoinducción para conexión paralelo
Fuerza electromotriz generada en un disco de Faraday
1 1 1 1
e 1 2 k k
L L L ... L
1 B R
2
2
Momento magnético orbital del electrón m e
L L gLL
2m
Momento angular en el estado estacionario del electrón L ( 1)
k
309) Momento dipolar orbital del electrón
310) Momento magnético orbital del átomo
311) Espín del electrón
e
m L ( 1)
2m
m
S
z
Z
m
k 1
h
2 4
312) Momento magnético dipolar de espín m e
S S gSS
m
L
L,k

313)
314)
Apéndice
e
Proyección del momento magnético dipolar en el eje-z mS, Z B
2m
Momento magnético dipolar de un electrón me gSS gLL
315)
Velocidad angular de presesión de la órbita del electrón
L
o
e H
2m
316)
Momento angular orbital inducido (teorema de Largor)
2
o m
eS
4m
H
317)
Torque magnético sobre un electrón moviéndose B
Bxme
318)
Energía magnética de un electrón en un campo B
W m B
e
319)
320)
321)
322)
323)
Vector de magnetización de un material
Campo magnetizante en un material magnetizado
Susceptibilidad magnética de un medio
N
mn
1
V0 V V0
V
k1
M Lim Lim m
1
H B M
Permeabilidad magnética de un material o(1 m)
Permeabilidad magnética relativa del material k
m 1 m
m
o
M
H
o
k
324)
Susceptibilidad diamagnética de una sustancia
2
ne o o
Z 2
m r
k1
1
6m
325)
Susceptibilidad paramagnética de una sustancia
m
2
nm o
3kT
o
H
326) Permeabilidad magnética de un cuerpo ferromagnético
327) Período de las oscilaciones en un circuito CLC
328) Amplitud de la intensidad de corriente en un CLC
329) Amplitud de la diferencia de potencial en un CLC
B
(H)
H
2
T 2
o
LC
Io Qoo
Qo
LC
V
o
Q
C
o

330)
331)
332)
333)
334)
335)
336)
337)
Análisis Vectorial
Amplitud de la diferencia de potencial en un CLC
Energía eléctrica máxima de E en un CLC
Energía magnética máxima de B en un CLC
Carga en oscilación sobreamortiguada de un CRLC
Carga en oscilac. criticam. amortiguado de un CRLC
Carga en oscilación infraamortiguado en CRLC
Coeficiente de amortiguamiento o atenuación
Frecuencia angular de la oscilación infraamortiguada
V
o
W
W
E
Q
C
M
o
1
CV
2
1
LI
2
o
2
o
2
o
q(t) q e
2
R(1 1 (4L / R C)t / 2L
R t / 2L
q(t) e (A Bt)
Rt/2L
qoe sen( t o)
q(t)
2
1
R C / 4L
R
2L
2 1/ 2
[(1/ LC) (R / 2L) ]
338)
339)
340)
Fase inicial de la oscilación infraamortiguada
Amplitud de las oscilaciones inframortiguadas
Periodo de las oscilaciones infraamortiguadas
1 2 1/ 2
o tg [(4L/ R C) 1]
A
qo
e
2
1
R C/ 4L
2
4L
T
4L / C R
R t / 2L
2
341)
Decremento logarítmico de una amortiguación
A(t)
n
A(t T)
T
342)
343)
Tiempo de relajación de las oscilaciones amortiguadas
Relación entre " " y " "
Rapidez de cambio de la energía del sistema oscilante
346) P m en un oscilador armónico amortiguado forzado
1
NT
o
[1 ( ) ( ) ]
2
dE
RI
dt
2
1
P I cos
o
o o
2
2 2 1/2
344)
2
2
Factor de calidad del sistema oscilante Q
1 e
2T 1 e
2
345)

347)
348)
349)
350)
351)
352)
353)
354)
355)
356)
357)
358)
359)
360)
361)
362)
363)
364)
365)
Apéndice
Valor eficaz de la corriente y f.e.m en un OAAF
Valor máximo de la corriente en un OAAF
I
I
o
ef ;
I o, max
2
o
R
Frecuencia de resonancia en un OAAF r 1 o
LC
Relación entre E y B para ondas electromagnéticas E cB
Velocidad de propagación de las O.E en el vació
8 m
c ofo
3 10 s
Velocidad de la luz en el vació
Velocidad de propagación de una O.E.en un medio v
f
Ecuación para la componente E de una O.E.
Ecuación para la componente H de una O.E.
Densidad de energía de una onda electromagnética
Energía del campo electromagnético
ef
o
2
m
1/2 8
c [ oo] 3 10 s
2 1 E
E 0
2
c t
2
2 1 H
H 0
2
c t
o
o
wE
E H
2 2
W
Vector de Poynting P ExH
Penetración de rayos gamma en una pared
Energía de un fotón
V
0
o
I(d) I e
E
hc
2
2 2
2
E dV
Ley de Snell para la refracción ni sen i nR sen R
Indice de refracción
c o
n
v
Angulo crítico en reflexión interna total
1 nR
C
sen ( )
ni
La fuente se aleja del receptor en reposo (E. Doppler)
v f0
f
1 (v 1 / v)
La fuente se acerca al receptor en reposo (E. Doppler)
f0
f
1 (v / v)
1
d
366) El efecto Doppler electromagnético
2 1/ 2
[1 (v/c) ]
f f0
1 (v/c) cos

Análisis Vectorial
CONSTANTES FISICAS UNIVERSALES
Magnitud Símbolo Valor
01. Unidad masa atómica 1 u.m.a 1,6605655(86) 10 -27 kg
02. Carga elemental e 1,6021892(46) 10 -19 C
03. Carga especifica electrón e/m e 1,7588047(49) 10 -11 C/kg
04. Longitud onda Compton (n) C, n =h/(m n c) 1,3195909(22) 10 -15 m
05. Longitud onda Compton (p) C, p =h/(m p c) 1,3214099(22) 10 -15 m
06. Longitud onda Compton (e) C, e =h/(m e c) 2,4263089(40) 10 -12 m
07. Magnetón de Bhor B =eh/2m 9,274078(36) 10 -24 J/T
08. Magnetón Nuclear n =eh/2m p 5,050824(20) 10 -27 J/T
09. Momento magnético protón p 1,410617(55) 10 -26 J/T
10. Momento magnético electrón e 9,284832(36) 10 -24 J/T
11. Masa en reposo del neutrón m n 1,6749543(86) 10 -27 kg
12. Masa en reposo del protón m p 1,6726485(86) 10 -27 kg
13. Masa en reposo del electrón m e 0,9109534(47) 10 -30 kg
14. Volumen de 1 mol gas perfecto V o =RT o /P o 0,02241383(70) m 3 /mol
15. Constante de Boltzman K=R/N A 1,380662(44) 10 -23 J/K
16. Constante universal gases R 8,31441(26) J/molK
17. Constante de gravitación G 6,672(41) 10 -11 Nm 2 /kg 2
18. Constante de Planck 6,6266176(36) 10 -34 J/Hz
19. Constante de radiación primera c 1 =2hc 2 3,741832(20) 10 -16 Wm 2
20. Constante de radiación segunda c 2 =hc/k 0,01438786(45) mK
21. Constante de Stefan-Boltzman = 2 k 4 /60h 3 c 2 5,6703(71) 10 -8 W/m 2 K 4
22. Constante de estructura fina = o ce 2 /2h 0,0072973506(60)
23. Constante de Faraday F=N A e 9,648456(27) 10 4 C/mol
24. Constante eléctrica o =1/( o c 2 ) 8,85418782(7) 10 -12 F/m
25. Radio de Bhor a o =/(4R ) 0,52917706(44) 10 -10 m
26. Radio clásico del electrón R o = o e 2 /4m e 2,8179380(70) 10 -15 m
27. Velocidad de la luz en el vació c 299792458(1,2) m/s
28. Aceleración de caída libre g 9,80665 m/s 2
29. Número de Avogadro N A 6,022045(31) 10 23 mol -1
30. Energía en reposo neutrón m n c 2 939,5731(27) MeV
31. Energía en reposo protón M p c 2 938,2796(27) MeV
32. Energía en reposo electrón M e c 2 0,5110034(14) MeV
33. Constante magnética o 12,5663706144 H/m
34. Constante de Rydberg R = o
2 m e c 3 e 4 /8h 3 1,097373177(83) 10 7 m -1
35. Cuanto de flujo magnético o =h/2e 2,0678506(54) 10 -15 Wb

Apéndice
Bibliografía
1] Murray. R. Spiegel, Análisis Vectorial, Teoría-Problemas, Mac-Graw Hill, 2da edición.
Seymur Lipschutz
2] Harry Lass, Análisis Vectorial y Tensorial, Ed. CECSA, 2da impresión. CECSA
3] Louis Brand, Análisis Vectorial, Aplicaciones a la estática, dinámica, 4ta edición.
4] David Sneider, Análisis Vectorial, Ciencias e Ingeniería, Sexta Edición-2016.
5] N. Kemer, Análisis Vectorial, Matemáticas de los campos tridimensionales,
para Físicos.
6] José L. Galan G. Análisis Vectorial para la Ingeniería, Teoría-Problemas, BTU-2020.
7] Elkin L. Arias Análisis Vectorial y Tensorial una aplicación a las ondas planas en
sismología, ISBN 978-958-8348-86-5, Ed.Universidad de Medellín.
8] Angel Garcia C. Análisis Vectorial para estudiantes de ingeniría, Ed. García Maroto
José J. Ruís T. Edición Primera, año 2013 ISBN 9788415475972.
9] Hwei P. Hsu Análisis Vectorial, Addisson Wesley Iberoamericana. 2012.
10] J.J. Scala Estalella Análisis Vectorial, Ed. Reverte, Vol. Vectores, año 01-1990.
11] M. I. Krasnov Análisis Vectorial, Curso de Matemáticas Superiores, Ed. MIR.
A.I. Kiseliov
G.I. Makarenko
12] Bourne-Kendall Análisis Vectorial y Tensores Cartesianos, Ed. LIMUSA, 2da.
Edición. Nro. páginas 302, ISBN 9681806352, año 1990.
13] Michael Crowe A History Vector Analysis, the evolution of the idea of a Vectorial
System.
14] Régulo Sabrera A. Física-I, Teoría-problemas, Ed.Megabyte-2009, Nro. Páginas 1328.
15] Régulo Sabrera A. Mecánica Clásica, para Ingenieros y Cientificos, Ed. Alfa. 2006.
16] Régulo Sabrera A. Teoría de Campos Electromagnéticos, Ed. Megabyte, Año 2009,
texto dirigido a estudiantes de nivel Pre-Grado y Post-Grados.
2022-Lima