PROBLEMAS DE ASTROFOTOGRAFÍA

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INDICE:

1)- LÍNEA MERIDIANA EN LAS IGLESIAS ……………………………………………………………….pag.4

2)- CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS TERRESTRES...……………………pag.10

3)- CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN PUNTO TERRESTRE CONOCIDAS LAS LATITU-

DES Y LA DISTANCIA…………….………..……………………………………………………………………pag.12

4)- CALCULAR LA LONGITUD DE UN PUNTO TERRESTRE CUALQUIERA….…………….pag.14

5)- EXCENTRICIDAD DE LA ÓRBITA TERRESTRE……….…………………………………………..pag.21

6)- CALCULO DE LA EXCENTRICIDAD DE LA ÓRBITA TERRESTRE CON EL TELÉFONO

INTELIGENTE (SMARTPHONE) …………………………………………………………………………….pag.24

7)- CÁLCULO DE LA MASA DE LA TIERRA……………………………………….…………………….pag.28

8)- CÁLCULO DEL EJE DE ROTACIÓN TERRESTRE……………………….…………………………pag. 29

9)- DISTANCIA TIERRA-LUNA ………………………………………………………………………………pag. 34

10)- CALCULO DE LA DISTANCIA TIERRA-LUNA (otro método) ……………………………pag. 37

11)- ÁNGULO QUE SUBTIENDE LA LUNA …………………………………………………………….pag. 39

12)- DIÁMETRO DE LA LUNA ………………………………………………………………………………pag. 41

13)- SUPERLUNA…………….…………………………………………………………………………………..pag. 45

14)- CÁLCULO DEL RADIO DE LA LUNA ……………………………………………………………….pag. 47

15)- MEDIDAS LUNARES …………………………………………………………………………………...pag. 50

16)- ÁREA ILUMINADA ………………………………………………………………………………………pag. 54

17)- ALTURA DE UNA ELEVACIÓN LUNAR ………………………………………………………….pag. 56

18)- PERÍODO SINÓDICO Y SIDÉREO DE LA LUNA.………………………………………………pag. 58

19)- CÁLCULO DE LA ALTURA DEL SOL Y ANÁLISIS.…………………………………………….pag. 60

20)- CÁLCULO DE LA DISTANCIA TIERRA-SOL……………………………………………………..pag. 67

21)- CALCULO DE LA DISTANCIA TIERRA-SOL (otro método)………………………………pag. 68

22)- DISTANCIA AL SOL MEDIANTE EL TRÁNSITO DE VENUS……….……………………..pag. 69

23)- ÁNGULO QUE SUBTIENDE EL SOL (cámara de fotos)…………………………………..pag. 71

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24)- ÁNGULO QUE SUBTIENDE EL SOL (cámara de fotos)…………………………………..pag. 73

25)- CÁLCULO DEL DIÁMETRO SOLAR…………………………………………………………………pag. 75

26)- ALTURA DE UNA EYECCIÓN SOLAR……………………………………………………………..pag. 76

27)- ÁREA DE UN ECLIPSE……………………………………………………………………………………pag. 82

28)- CÁLCULO DEL TAMAÑO DE UNA MANCHA SOLAR……………………………………….pag. 89

29)- CÁLCULO DE LA MASA DEL SOL……………………………………………………………………pag. 93

30)- CÁLCULO DE LA ROTACIÓN DEL SOL…………………………………………………………….pag. 94

31)- ÁNGULO QUE SUBTIENDE A LA TIERRA DESDE EL SOL………………….……………..pag. 99

32)- PERÍODO SINÓDICO DE VENUS…………………………………………………….……….…..pag. 100

33)- TRÁNSITO DE VENUS…………………………………………………………………….…….…….pag. 102

34)- CÁLCULO DE LA MASA DE JÚPITER………………………………………………….….……..pag. 104

35)- MAGNITUD de una estrella MEDIANTE LA LEY DE POGGSON…………….………pag. 109

36)- TIEMPO DE EXPOSICIÓN Y LA MAGNITUD ALCANZADA………………………….….pag. 112

37)- MAGNITUD DE LAS ESTRELLAS……………………………………………………………….….pag. 115

38)- CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA ESTRELLA EN EL CCD………………………………..pag. 117

39)- PARALAJE DE UNA ESTRELLA……………………………………………………………………..pag. 121

40)- CÁLCULO DEL CAMPO DE VISIÓN DEL TELESCOPIO (FOV)………………………..…pag.123

41)- TAMAÑO DE UN OBJETO EN EL CCD DE LA CÁMARA………………………………….pag.128

42)- PROFUNDIDAD DE CAMPO EN ASTROFOTOGRAFÍA……………………………………pag.131

43)- ESTRELLAS BINARIAS………………………………………………………………………………….pag.134

44)- COLIMADO DE UN TELESCOPIO REFLECTOR NEWTON……………………………….pag.146

BIBLIOGRAFÍA: ………………………………………………………………………………………………….pag.159

ANEXO I…………………………………………………………………………………………………………….pag.162

ANEXO II…………………………………………………………………………………………………………..pag.165

ANEXO III………………………………………………………………………………………………………….pag.175

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1) LINEA MERIDIANA EN LAS IGLESIAS

Durante el siglo XV y años posteriores, hubo un afán por construir, dentro de las iglesias, líneas

meridianas que permitiesen: poner en hora los relojes y posicionar correctamente el

calendario.

La primer línea meridiana, de la que se tiene conocimiento, es la desarrollada en la catedral de

Florencia por Paolo dal Pozzo Torcanelli en 1461.

En España fue realizada en el Escorial por Johan Wendlingen, Profesor de la Cátedra de

Matemáticas del Colegio Imperial, en el Monasterio de El Escorial. Hoy desgraciadamente

tapiada.

Actualmente existe una en funcionamiento en Becerril de Campos (Palencia).

Esta iglesia, reconvertida en centro astronómico, nos presenta una serie de datos de interés en

este campo, como el péndulo de Foucault, meridiana, estenope, cielo estrellado, relojes de sol,

posicionamientos planetarios, planetario iluminado en el exterior, exposición de meteoritos,

etc.

En Sudamérica las iglesias, allí construidas, muestran orientaciones astronómicas como pone

de manifiesto el trabajo de Robert A. Benfer, Jr., Ph.D.1, University of Missouri,

benferr@missouri.edu, titulado “LUCES Y ARQUITECTURA EN LAS IGLESIAS COLONIALES DE LA

NUEVA ESPAÑA Y DEL PERÚ”

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Con el fin de estudiarla, veamos la figura siguiente:

Si anotamos los valores de las alturas del Sol (δ 1 ,δ 2 ) en los solsticios respectivos, podemos

calcular, con precisión, la inclinación del eje terrestre, ya que:

Inclinación = (δ 2 - δ 1 )/2, debemos tener presente que los ángulos los conocemos mediante las

tangente de los mismos, ya que las distancias son conocidas.

En casa lo podemos calcular con el gnomon y la meridiana, previamente calculada con los

procedimientos expuestos en trabajo anterior.

Se puede apreciar que la medición de la sombra en ambos casos no reviste dificultad, y por lo

tanto, conocida la altura del gnomon, hallar los ángulos es un proceso trivial.

Los cálculos para el año 2020, mediante la calculadora solar de la NOAA, son los siguientes:

21/06/2020 (solsticio de verano) 71,83 o en la latitud y longitud de la Cistérniga (Valladolid),

23/12/2020 (solsticio de invierno) 25 o , aplicando la expresión anterior,

Inclinación eje = 23,41 o

Qué duda cabe que podemos utilizar dicha construcción, para realizar más cálculos que los que

hemos realizado, ya que, es posible, utilizarla de calendario solar para hallar las estaciones del

año.

Nota: debemos tener presente que el dato que tenemos que considerar, es el paso de la luz

solar por la meridiana trazada, es decir el mediodía solar.

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Veámoslo con más detalle:

En el siguiente esquema tenemos ubicada a la Tierra en los extremos del eje mayor de la órbita

alrededor del Sol, puntos que conocemos con el nombre de afelio, el más lejano y el perihelio

el más cercano. Estos puntos de la órbita sabemos que nos determinan, dependiendo de la

latitud, el verano en hemisferio norte y el invierno en el sur, si la latitud es positiva y viceversa

si es negativa.

Vamos a suponer que hemos ubicado un gnomon en la superficie, según nos muestra la figura

adjunta, y trabajemos en la misma latitud en ambos casos.

Todas la líneas, eje de rotación terrestre, eje mayor de la eclíptica y círculo meridiano del lugar

en donde hemos ubicado el gnomon, se encuentran en el mismo plano en los dos puntos

señalados con anterioridad, el afelio y el perihelio. En la zona del afelio aparece con el nombre

de K y en el perihelio con el nombre de L.

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AFELIO

Veamos con detalle los elementos que componen la fig. en el lugar correspondiente al afelio.

Triángulo del gnomon determinado por los puntos F 1 FK, en donde el ángulo en F 1 (η), nos

determina la altura del Sol al pasar por el meridiano del lugar (hora del tránsito del Sol), que

por paralelas cortadas por una recta (principios de Euclides) podemos deducir que coincide

con el ángulo (90-α), de la figura adjunta.

Por otro lado el ángulo γ nos determina la latitud del lugar K y el ángulo β, la declinación solar

en ese momento. Del triángulo señalado tenemos que la altura del Sol en ese instante es:

Altura del Sol=η= 90-α = 90-(γ-β) = 90 - latitud del lugar + declinación solar

PERIHELIO

Situémonos en el perihelio de la órbita.

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Como en el caso anterior, analicemos los detalles de la figura adjunta.

El lugar de observación, el punto L, coincidente el latitud con el anteriormente mencionado el

K, nos determina el gnomon triángulo LOE 1 , en donde el ángulo en E 1 , que llamaremos ρ, nos

mide la altura del Sol al pasar por el meridiano del lugar (tránsito del Sol). Dicho ángulo por

paralelas cortadas por una recta coincide con 90-(δ+ξ), en donde δ es la latitud del lugar, que

evidentemente es la misma que γ (latitud de K) y ξ es la declinación solar, que evidentemente

es la misma que β, en esa posición.

Por lo tanto la altura del Sol será: ρ = 90 – δ - ξ

Ahora si restamos las dos expresiones obtenidas, tendremos:

η – ρ = 90 - (γ-β) - 90 + δ + ξ = β + ξ = 2 β, es decir

Declinación solar = (altura del Sol en el afelio – altura del Sol en el perihelio)/2

Ahora bien, de la geometría de la construcción podemos deducir con facilidad, aplicando los

mismos principios, que la inclinación del eje terrestre coincide con dicha declinación, por lo

tanto

Inclinación del eje terrestre = (altura del Sol en el afelio – altura del Sol en el perihelio)/2

Como ya habíamos expuesto.

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2) CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS TERRESTRES

Existen personas que siguen dudando de la esfericidad de la Tierra, suponiendo que

esta es plana.

Calculemos la distancia entre dos puntos cualesquiera suponiéndola esférica y plana.

Consideremos, para el cálculo, la figura simplificada de la derecha. Podemos apreciar

el triángulo esférico que se nos ha determinado entre estas dos posiciones sobre el

planeta.

Sean sus datos geográficos los siguientes:

LATITUDES:

1 er punto 0 ° N 12° E en este caso el ángulo b = 90°- 0° = 90°

2º punto 45°N 60° W en este otro caso el ángulo a = 90°- 45° = 45°

LONGITUDES:

Z = DIFERENCIA DE AMBAS LONGITUDES 12- (-60) = 72°

Si ahora aplicamos las ecuaciones de Besel al triángulo que se nos ha determinado en

la esfera terrestre, tendremos:

cos c = cos 90° . cos 45° + sen 90°. Sen 45°. cos 72°

De donde c = 77,378583° = 1,350511 rad.

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Como arco igual al ángulo por el radio, al ser 6371km el radio de la Tierra, la distancia

sobre el arco que une ambos puntos será de 8604,11 km.

Si ahora la consideramos plana, la distancia correspondería a la cuerda entre ambos

puntos, por lo tanto, sen c/2 = H/2R => H = 2.R.sen c/2 = 7964,98 km.

Ambos resultado discrepan entre sí en 8604,11-7964,98 = 639,13km.

Para comprobar la diferencia mencionada, es suficiente con volar, muy cerca de la

superficie terrestre (altura muy pequeña respecto al radio de la Tierra), de un punto al

otro. También podemos utilizar las opciones que nos aporta Google Earth y

comprobar los datos que aporta, 8605,54km. Este pequeñísimo error de 1,43km es

debido a que he unido a mano, con el ratón, ambos lugares

Con estos cálculos podemos comprobar que la curvatura terrestre existe, aunque

debido al inmenso radio de nuestro planeta, nosotros no la podamos apreciar a simple

vista.

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3) CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN PUNTO TERRESTRE CONOCIDAS LAS

LATITUDES Y LA DISTANCIA

Uno de los problemas que se nos presentan en la navegación astronómica es calcular

la posición del barco en el mar o en un punto de la costa a la cual arribamos.

Para ello hagamos, en primer lugar, el cálculo de la latitud del lugar en donde nos

encontramos.

Tenemos dos métodos, la polar o la altura del Sol.

a) La polar: construiremos un cuadrante con un visor, como el de la figura.

Si observamos a la estrella Polar a través del visor, el ángulo del péndulo respecto de la

posición inicial, nos marcará la latitud del lugar. Se ha de tener presente que se debe

corregir debido a que no coincide exactamente con el eje de rotación terrestre, debido

al movimiento de precesión de la Tierra

b) La altura del Sol al mediodía. Cuando el Sol se encuentra en el meridiano del

lugar, la relación geométrica de ángulos es la siguiente

Declinación solar = (latitud del lugar + altura del Sol)-90 o .

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Es evidente que si tenemos las tablas de la declinación solar, podemos hallar la latitud

del lugar a través de la altura del Sol.

Teniendo las latitudes de ambos lugares y la distancia recorrida, pasamos esta última a

distancia angular. Teniendo presente que el recorrido más corto es el ortodrómico,

tendremos:

2.π.R 360º

Distancia Δϕ , por tanto Δϕ = distancia recorrida . 360º/2.π.R (radio de la Tierra).

Si llamamos λ a a la latitud del lugar de partida, λ b al de llegada. Aplicando las

ecuaciones de Bessel,

Cos = Sen λ a . Sen + Cos λ a . Cos λ b . Cos , siendo γ la diferencia de longitudes entre el

lugar del salida y el de llegada.

γ

Δϕ

λ a

λ b

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4- CALCULAR LA LONGITUD DE UN PUNTO TERRESTRE CUALQUIERA

Antecedentes: en tiempos de Carlos I y Felipe II (su hijo), reyes del imperio español, en especial

este último, quisieron conocer con detalle el tamaño y la posición de todas las ciudades,

puertos, islas, etc. que lo componían. Sus planos estaban basados en las estimaciones de

capitanes y marineros que formaban parte de la tripulación de los barcos que realizaban la

ruta de las Américas.

Hiparco en sus trabajos sobre las estrellas, las posicionó ideando para ello dos elementos

claves, la latitud y la longitud sobre la esfera celeste con su correlato en la Tierra.

La latitud, distancia angular del punto en cuestión, al ecuador terrestre (línea equinoccial).

Dicho punto se sustentaba con facilidad hallando la altura de la Polar

Esta altura se determinaba con aparatos como el cuadrante o el astrolabio (véase la foto

adjunta).

Ahora bien, la longitud (distancia angular entre las meridianas que pasan por los lugares a

medir, normalmente uno de ellos usado como meridiano de referencia o cero, como en el caso

del citado rey, Felipe II, se encontraba en la ciudad de Sevilla (más adelante en el centro

astronómico de San Fernando, en Cádiz), circunferencia que recorre de Norte a Sur pasando

por la mencionada ciudad y que en la actualidad pasa por la localidad de Greenwich

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(Inglaterra) y por Barcelona en España. Dicho ángulo es más difícil de medir, tanto en tierra

como en el mar, por falta de relojes de precisión en la época.

En la antigüedad se medía, sobre tierra, la distancia mediante el odómetro, en el caso de los

romanos, véase foto adjunta.

En este caso se nos presentaban dos circunstancias:

1º que nos

desplacemos sobre

un paralelo, arco AB.

En este caso se

mantiene la altura de

la Polar constante y

podemos calcular el

ángulo relativo a

dicho arco de forma

sencilla, ya que conocemos la latitud δ y por lo tanto,

r = R. sen(90-δ) = R . cos δ, y como a 2.π.r (toda la circunferencia del paralelo) le corresponden

360 o al arco AB le corresponden:

x = arco AB . 360 o /2.π.r, siendo éste, el ángulo que separa a las dos meridianas. Por lo tanto

longitud de B = longitud de A + x

Debemos considerar que utilizaban las tablas de cuerdas (senos), para determinar los ángulos

(nosotros las denominamos tablas trigonométricas).

Si el desplazamiento es ortodrómico (línea más corta entre dos puntos de una esfera), es decir

por el círculo máximo que une a los puntos A y B, utilizando la Groma, el Odómetro y la

Dioptra, median el arco AB y considerándolo, aproximadamente, una recta (en distancias

pequeñas es factible), tendremos:

al ser “α” la diferencia de latitudes, h (distancia entre

meridianas) = AB . cos α.

De esta forma estamos ante el problema anterior.

Evidentemente en distancias largas, en donde el arco es significativo, debemos recurrir a la

trigonometría esférica. En este caso, como el desplazamiento es ortodrómico, hallar el ángulo

correspondiente a dicho recorrido, será:

Ángulo = arco AB . 360 o / 2.π.R (siendo R el radio de la Tierra). Conocido dicho ángulo,

aplicando las ecuaciones de Bessel y teniendo presente la colatitud de los puntos inicial y final,

lo tendríamos resuelto.

Hemos resuelto el problema en tierra, ¿pero qué pasa en el mar? o ¿con un mar intermedio,

cómo fue el caso del citado imperio español?.

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Veámoslo:

Si consideramos la primera navegación, la de Colón, magnífico capitán con amplísimos

conocimientos y experiencia, según determinados autores historiográficos, podemos

considerar que conocía:

1º la Tierra era una esfera.

2º la latitud del lugar de llegada.

3º cálculo de distancia recorrida en el mar.

4º manejo del astrolabio, escandallo, aguja de marear, etc.

5º avituallamiento o regimiento de las naves.

6º tablas de declinación solar y su empleo.

Esto, unido al valor y determinación por alcanzar una ruta hacia la tierra de las especias, así

como el apoyo de la corona española representada por Isabel I de Castilla y Fernando II de

Aragón, (Reyes Católicos), que permitieron el abastecimiento y partida de las naves Santa

María, Pinta y Niña del puerto de Palos, dio lugar a una de las gestas más importantes de la

historia de la humanidad y la formación de uno de los mayores imperios que han existido en el

planeta.

Existen grandes incógnitas respecto al cálculo que efectuó para considerar suficiente el

avituallamiento de las naves, pero lo cierto es que lo consiguió, prueba innegable de su valía y

determinación, así como la pruebas que aportó a los sabios de la corona española para

convencerles de la viabilidad de proyecto.

Los cálculos de su posición en el mar mediante el astrolabio, tablas astronómicas, corredera,

aguja de marear, escandallo, estudio de las corrientes de aire, etc. no solo le permitieron ir,

sino también volver con pruebas de su hazaña. De todas formas, para la realización de mapas

precisos, se necesitaron grande dotes de observación, por parte de todos los implicados, tanto

de forma directa como indirecta (entiéndase en este punto los cosmógrafos reales como

Alonso de Santa Cruz, Alonso de Chaves, Juan López de Velasco, Pedro Medina, y un larguísimo

número de ellos que aportaron conocimientos y estudios muy profundos sobre todo lo que

iban descubriendo en las numerosas expediciones a lo largo de los más de 300 años y su

asentamiento en abundante bibliografía, hoy en día no bien estudiada y la creación de un

organismo como la Casa de Contratación de Indias que reguló esta impresionante aventura.

Ahora bien, expuesto lo anterior, nos vamos a centrar en una de las experiencias astronómicas

más fascinantes llevadas a cabo por seres humanos, que demuestran hasta qué punto el

mundo de la ciencia dominó todo este recorrido temporal y aportó conocimiento sobre

nuestro planeta.

Hemos dicho que el conocimiento de la latitud era dominado en la época del descubrimiento,

según algunos autores no fue tal, ya que existía, pero no es más cierto que en la parte del

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mundo conocido y cartografiado por Europa, no se tenía noticia ni datos sobre el continente al

que estamos haciendo referencia, el Americano.

Ahora bien, el cálculo de la longitud, dato esencial para localizar con precisión cualquier punto

de nuestro planeta, no era factible midiendo las distancias recorridas en el mar con

mecanismos tan rudimentarios y en condiciones, a veces adversas, que impedían alcanzarla.

En el mar se tardó en sustentar una precisión adecuada hasta la elaboración de un mecanismo

que permitiese la medición temporal y su traslado a ángulos recorridos. Todos los premios que

se generaron y los sabios que se presentaron, dieron como resultado la obtención de un

cronómetro de precisión.

¿Pero qué ocurrió en tierra?, ¿cómo se podía resolver?. El ingenio de Alonso de Santa Cruz

ideó un procedimiento astronómico para la resolución del mismo. Aprovechando un

acontecimiento astronómico, como un eclipse de Luna y midiendo la posición de la

observación así como el momento, medido a partir de la hora solar, en donde se mostraba la

introducción del satélite en la sombra de la Tierra y su salida de la misma, se pudo realizar

dicho cálculo.

Juan López de Velasco, nacido en Vinuesa, Soria, España y cuyo

ayuntamiento ha puesto su nombre a una de sus calles, sucesor, en

cuanto a documentos elaborados, de Alonso de Santa Cruz, propuso a

Felipe II, la realización de una experiencia, en todo el imperio, para la

medición de un eclipse de Luna.

Nos centraremos, por tener más datos, en el acontecido en el año 1584, el diecisiete de

noviembre y que se vería desde ambos continentes, Europa (España) y centro América (Nueva

España). En este caso la misión le fue encomendada a Jaime Juan, matemático y astrónomo en

esa época.

Recibió las siguientes instrucciones, según documento que se cita:

Esta parte del documento nos sirve de referencia

para poder señalar que se debería encontrar la

meridiana del lugar, el desvío de la brújula en el

lugar de la experiencia, la altura del Sol para

determinar la latitud (distancia angular a la

equinoccial) y el comienzo del día solar en dicha

meridiana mediante el procedimiento de sombra

mínima.

Le aportaron también fórmulas para el cálculo de la misma:

Altura del Sol – declinación (según tablas) = altura del ecuador sobre el

horizonte.

Desvío de la brújula

Si a este último lo restamos de 90, nos da la latitud del lugar (ver figura adjunta)

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Por otra parte también se le indicó que

debería colocar una tabla perpendicular a

la anterior (este-oeste) con un estilete en

donde se pudiese señalar la sombra

generada por la Luna en los momentos de

entrada en la umbra de la Tierra y en su

salida. También se debería indicar la hora

solar local a la que acontecía le experiencia.

Conocidos estos datos y por la diferencia horaria reflejada en esta

experiencia y en la llevada a cabo en Sevilla, podemos deducir la

longitud del lugar respecto a la de referencia, que en este caso era

la de Sevilla.

Datos:

Final del eclipse en Méjico 7h 22min 8seg.

Final del eclipse en Sevilla 14h 30min (téngase presente que esta medición es desde el

mediodía solar, lo que en nuestro caso serían las dos de la madrugada).

La diferencia horaria nos aporta 7h 7min 52seg. Como sabemos que

a cada hora le corresponden 15 o , el total será 106 o 58’. En la foto

adjunta se puede apreciar este correlato, partiendo del meridiano

de Greenwich.

En estos momentos tenemos todos los

datos: latitud de ambas localidades y el

ángulo que determinan los dos meridianos, por lo tanto, aplicando las

ecuaciones de Bessel, podemos hallar el arco ortodrómico que separa

a ambas localidades y conocer su distancia.

Debemos aclarar que cuando nos referimos a Méjico, realmente hablamos de su capital,

Ciudad de Méjico.

España y Cristóbal Gudiel artillero y polvorista real.

Es conveniente también aclarar que la

determinación de los momentos de

entrada y salida en la umbra es

compleja, basta observar el montaje

adjunto para darse cuenta que la

entrada en la penumbra, a simple vista,

no es localizable, pero no así en la foto.

Por tal motivo se solicitó que

participasen en la determinación más

personas doctas de la época. En este

caso fueron: Francisco Domínguez de

Ocampo cosmógrafo real en Nueva

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Dicha experiencia fue realizada en múltiples ocasiones para la determinación de las longitudes

y latitudes de las localidades del imperio español, aunque se han perdido referencia de muchas

de ellas al ser documentos bajo secreto de estado.

Entre ellas muestro la realizada por el astrónomo Francisco José de Caldas, en una de las

múltiples

observaciones que realizó, entre el 3 y 4 de diciembre de 1797 para ubicar con más precisión

los datos aportados en sus escritos, desde la población de Gigante ciudad de Colombia. Desde

la medición de 1584 hasta la realizada por Caldas, han pasado más de 200 años, mostrándose

con ello la validez del procedimiento, así como el interés de los sucesivos monarcas por situar

bien todo el imperio.

PROPUESTA:

Con los recursos actuales y con el fin de que los alumnos aprecien el esfuerzo intelectual y

material de nuestros antepasados, podemos realizarlo entre dos institutos, uno en Méjico y

otro en España.

Para efectuarla, realizaremos los

montajes que nos permitan

determinar la línea meridiana de

cada localidad, la altura del Sol y el

cálculo de latitud, utilizando para

ello las tablas de declinación solar

existentes, ya explicado en ejercicios anteriores.

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Una vez realizadas todas las determinaciones anteriores, y

puestos de acuerdo en el día de la realización de la

experiencia, es suficiente con poner un reloj en marcha en

el instituto español, justo al mediodía solar, cuando la

sobra del Sol, generada por el gnomon, pase por la

meridiana del lugar previamente representada y esperar,

midiendo el paso del tiempo, hasta que ocurra lo mismo

en el instituto mejicano, en donde se comenzará la medición del tiempo en cuanto la sombra

solar pase por la meridiana de su lugar de medición.

En estos momentos, el instituto mejicano llamará al español y determinarán, la parada, a la

vez, de ambos relojes. Se intercambiarán los tiempos medidos por ambos y efectuarán los

cálculos del desfase temporal y su paso a grados, obteniendo de esta forma al ángulo que

separan a ambas meridianas. Conocida la longitud de uno de ellos, por suma o diferencia

obtenemos la del otro.

Determinar la distancia ortodrómica que los separa lo pueden realizar empleando las fórmulas

de Bessel que ya he utilizado en estos problemas.

Nota: la medición efectuada por Jaime Juan en 1584, se llevó a término con relojes de ruedas

(péndolas). También debemos tener presente que la puesta a cero de ellos, se llevó a cabo al

mediodía solar, es decir, el origen de la medición en cada una de las posiciones, coincidía con

el mediodía solar (paso del Sol por la meridiana del lugar).

Si tenemos presente la duración de la medición, a partir de un determinado momento, el reloj

de sol no nos puede mostrar el paso del tiempo, por lo tanto tenían que recurrir a otro

sistema. Atendiendo a los elementos de los que disponían a su alcance, ampolleta y reloj de

ruedas, optaron por este último, aunque debían ponerlo en la hora solar.

Hasta que en 1773, un relojero inglés, Harrison, desarrolló un cronómetro de precisión los

datos aportados en las mediciones efectuadas no se pudieron aplicar a la navegación.

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5) EXCENTRICIDAD DE LA ÓRBITA TERRESTRE

Una cuestión interesante se nos plantea al percatarnos de las diferencias angulares

observadas en las fotos tomadas, en posiciones orbitales diferentes. ¿Seremos capaces

de utilizarlas para algún cálculo?, ¡Veámoslo!

Partamos del valor del ángulo en ambas posiciones y sea estos, α 1 y α 2 . Calculados a

partir del problema anterior en los dos solsticios, el de verano y el de invierno.

d 1

c

α 1

α 2

b

d 2

a

Llamaremos D al diámetro solar

d 1 = D/ α 1 y d 2 = D/ α 2 ; nota: tg α = α en radianes y ángulos muy pequeños

d 1 . α 1 = d 2 . α 2 , o bien d 1 /d 2 = α 2 / α 1

De las propiedades de la elipse, tenemos.

d 2 – d 1 = 2.c, siendo c la distancia focal, luego:

c = (d 2 – d 1 )/2 = (D/ α 2 – D/ α 1 )/2 = D/2 ((α 1 – α 2 )/ (α 1 . α 2 ))

Si a es el semieje mayor,

a = d 2 -c = d 1 +c ; a 2 =c 2 +b 2 ;

a = (d 1 + d 2 )/2 = (D/ α 1 + D/ α 2 )/2 = D/2 (α 1 + α 2 )/ α 1 . α 2

Como la excentricidad orbital e, es igual a:

e=c/a, e=[(D/2)( (α 1 – α 2 )/ α 1 . α 2 /(D/2)( (α 1 + α 2 )/ α 1 . α 2 )= ((α 1 – α 2 )/ (α 1 + α 2 ))

e=((α 1 – α 2 )/ (α 1 + α 2 ))

Podemos constatar que con dos fotos tomadas en los solsticios de verano e invierno,

somos capaces de hallar la excentricidad de nuestra órbita.

Semieje mayor: a = D/2 (α 1 + α 2 )/ α 1 . α 2

Semidistancia focal: c = D/2 ((α 1 – α 2 )/ (α 1 . α 2 ))

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Semieje menor b = (a 2 -c 2 )^(1/2) = D (α 1 . α 2 )^(1/2)

Nota: el método lo podemos aplicar al cálculo de la excentricidad de la órbita lunar.

Apliquémoslo en el año 2020

Con los metadatos de la foto realizada el día 21 de junio y con la propia foto inserta en el

programa Geogebra, procedemos a calcular el ángulo bajo

el que vemos el Sol ese día.

Diagonal de la foto (1) en el programa 330,65mm

Diagonal del CCD de la cámara 43,27mm

Diámetro del Sol en el programa 41,96mm

Diámetro del Sol en la cámara 5,50mm

Ángulo en radianes 0,00916radianes o bien 31,49min.

Los datos los he obtenido con una APP (Astro 3d+).

Hay muy poca discrepancia si somos

cuidadosos a la hora de determinar con

métodos gráficos el diámetro del Sol.

Realizaremos el mismo cálculo en el solsticio de invierno y daremos la cifra de la excentricidad

de la Tierra.

A fin de adelantarme al solsticio de invierno y vista la ligera discrepancia con los datos

astronómicos, podemos utilizar para ello al programa Stellarium, cuyos datos son:

Solsticio de verano -> 31’ 28,49’’

Solsticio de invierto -> 32’ 31,09’’

Si aplicamos la fórmula e = ((α 1 – α 2 )/ (α 1 + α 2 )) en radianes, tendremos que la

excentricidad es: 0,0164. Como la real es de 0,0167, podemos apreciar que el cálculo realizado,

a través de métodos fotográficos se puede considerar totalmente válido.

23

Llegado el solsticio de invierno, una vez realizada la foto, los datos obtenidos han sido

Diagonal de la foto 330,55 mm

Diagonal del CCD de la cámara 43,27 mm

Diámetro del Sol en el programa 42,94mm

Diámetro del Sol en el CCD 5,622mm.

Como la distancia focal utilizada es de 600mm, el ángulo

resultante será:

α = 5,622/600 = 0,00937 rad. =32,207

Consultados los datos aportados por la APP mencionada, nos

da 32,276’. Se pone otra vez de manifiesto que el proceso

utilizado es correcto.

Model = Canon EOS 6D

Date Time = 2020-12-22 14:45:20

Artist = Pedro González Justo

Exposure Time = 1/4000"

F Number = F6.3

ISO Speed Ratings = 100

Focal Length = 600mm

Si ahora efectuamos el cálculo con los datos obtenidos con el proceso fotográfico, la

excentricidad orbital será

e = 0,0113 (tenemos que considerar que hemos utilizado un fecha cercana al solsticio, por

problemas meteorológicos. Realizado el día 22)

24

6) CALCULO DE LA EXCENTRICIDAD DE LA ÓRBITA TERRESTRE CON EL

TELÉFONO INTELIGENTE (SMARTPHONE)

Debido al uso generalizado de estos aparatos considero de interés para profesores y alumnos

utilizarlos para realizar mediciones astronómicas.

En uno de los problemas expuestos, calculé la excentricidad de la órbita de la Tierra mediante

el uso de cámara fotográfica, que alguien puede pensar que tienen carácter profesional y que

solamente con estos instrumentos se pueden realizar cálculos. Esta consideración no es cierta,

ya que el cálculo también lo realicé con un tubo de PVC.

Lo importante es el método geométrico utilizado y las estrategias puestas en juego para su

realización.

Es cierto, sin embargo, que para poder aplicar estos elementos al cálculo, lo primero que

necesitamos es analizar sus características con detalle, puesto que es necesario saber la

distancia focal utilizada en la foto y el tamaño del sensor óptico del teléfono.

Voy a realizar la experiencia con mi móvil, un IPNONE XS.

Primero tomamos una foto del disco solar usando de filtro la niebla para que proteja su óptica

de la intensidad de los rayos de nuestra estrella.

NOTA:

En segundo lugar analizaremos los metadatos de la misma con un programa al efecto. Si lo

realizamos en el IPhone podemos utilizar la app “METADATOS”, la cual nos informa del ancho

en pixeles de su sensor óptico, entre otros

25

Ancho en pixeles 4032

Alto en pixeles 3024

Focal Length = 6 mm

Con el programa que tengo instalado en el ordenador “Opanda IEXIF 2”

Exif Image Width = 4032

Exif Image Height = 3024

Focal Length In 35mm Film = 258mm

Con el fin de simplificar los cálculos, prescindimos de las características físicas del sensor y

aprovechamos los metadatos de la foto, atendiendo a que me señala su equivalencia a las

películas de 35 mm, la longitud focal es 258 mm en esta foto. Deseo señalar que en el ejercicio

en que realicé este mismo cálculo, tuve en cuenta las características del sensor de la cámara,

pero en este caso he considerado más oportuno ceñirme a los metadatos exclusivamente.

Con estos datos procedamos al cálculo.

Introducimos la foto en el programa Geogebra y calculamos el diámetro del Sol y la diagonal

de la foto. Atendiendo a la ecuación y sabiendo que es (x-a) 2 +)y-b) 2 =

r 2 , el radio será de

cm y la diagonal del la foto

26

Por otro lado, sabiendo que el fotograma en las películas de 35 mm, era de 36x24, nos aporta

una diagonal de

Estableciendo la proporción 34,37 43,266 como 1 x, siendo éste 1.2588 cm, luego en

nuestro caso el diámetro solar equivalente en la foto de 35 mm, será 2,5176 cm.

Sabiendo que para ángulos pequeños, el ángulo y la tangente tienen el mismo valor en

radianes (es conveniente que se le haga notar al alumno con la calculadora), el ángulo que

subtiende al Sol será 2,5176/258 = 0,0097581395 rad o bien, expresándolo en (gms) 0 0 33’33’’.

El valor para ese día es de 32’30’’. Se puede apreciar que los valores son muy próximos, aun a

pesar de utilizar un recurso tan elemental, como un teléfono móvil.

Si los valores los calculamos en los solsticios de verano e invierno, podemos calcular la

excentricidad de la órbita terrestre atendiendo a lo expuesto en el problema que trata de ello.

Considero que el valor didáctico del proceso es muy importante, puesto que involucra al

alumno en identificar la órbita planetaria y poner en juego estrategias geométricas sobre

semejanza (teoremas de Euclides, Tales y Pitágoras) y conocimientos de trigonometría. Así

mismo podemos trabajar en analítica y calcular el radio solar hallando la circunferencia

mediante tres puntos señalados en la foto. Si queremos trabajar en estadística, podemos

utilizar la media y su ajuste en campana de Gauss anotando los valores que el grupo de

alumnos identifica sobre la foto. Estas divergencias nos permiten explicar los efectos de la

corona solar sobre la foto e indicarles la importancia de utilizar un filtro adecuado a nuestros

propósitos, que proteja la cámara y en el que, el disco solar, tenga la mayor nitidez posible. Se

debe tener presente, en este caso, que la cámara realiza los ajustes de forma automática, por

lo que si elegimos un filtro muy denso es posible que no nos realice el enfoque. Existen app

que permiten realizar todo el proceso de forma manual como en las cámaras réflex.

Véase como ejemplo la foto siguiente, tomada con una cámara de este tipo en forma manual

En este caso el filtro utilizado permite ver el contorno del Sol con nitidez, por tal motivo se

simplifica la obtención de los datos y el resultado, con procedimientos análogos, nos da gran

precisión.

27

7) CÁLCULO DE LA MASA DE LA TIERRA

De igualar la atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna(Newton) y la fuerza

centrífuga que posee la Luna en su órbita alrededor de la Tierra, tenemos:

M tierra = V 2 lunar.D / G, siendo D la distancia media Tierra-Luna y G la constante de

gravitación universal 6,67.10 -11 N.m 2 /kg 2 .

Podemos apreciar que, salvo la velocidad tangencia de la Luna, conocemos todos los

datos.

Como V = ω.D y ω = 2.π rad/29,53(días que tarda la Luna en recorrer la órbita o

2.551.392 seg.).

ω = 0,00000246265 rad.seg -1

V = 0,00000246265.384000seg -1 .10 3 m = 946 m. seg -1

M = 946 2 m 2 seg -2 x384.000.000m/(6,67.10 -11 N.m.kg -2 )= 51484.10 20 kg = 5,2.10 24 kg

(dato muy similar al real de 5,98.10 24 kg)

La densidad de la Tierra será:

Densidad = masa/volumen =>

Volumen 4/3.π.R 3 = 4/3.π.6.375.000 3 = 1,09.10 21 m 3

δ = 5,2.10 24 kg/1,09.10 21 m 3 = 4,79 gr.cm 3

28

8- CÁLCULO DEL EJE DE ROTACIÓN TERRESTRE

Cuando analizamos hechos o circunstancias relacionadas con la posición en la esfera terrestre,

lo primero que aparece es la pregunta ¿Dónde estoy?, o una vez definidos los parámetros de

posición (Hiparco latitud y longitud), ¿Cómo los calculo?

Veámoslo: en primer lugar, solamente por ser más sencillo, el cálculo de la LATITUD, es decir,

el ángulo que nos separa del ecuador terrestre, conocido en la antigüedad como línea

equinoccial. Desde la época de los griegos, y solamente por haber referencias, se dieron

cuenta de que una serie de estrellas se veían a lo largo de la noche y durante todo el año. Las

circumpolares, con este nombre estoy haciendo referencia a los hechos:

1 0 Se veían toda la noche girar alrededor de un punto en el firmamento que coincidía “casi”,

con una estrella, alfa de Canis Minor, que llamaron POLAR .

2 0 No coincidían, exactamente, con el centro de giro.

3 0 Si desde cualquier punto del hemisferio norte y por mera geometría, medíamos su altura,

ángulo que forma con el horizonte del lugar, coincidía con el ángulo sobre el ecuador, es decir,

la LATITUD.

Veremos que, medir esta coordenada, no reviste dificultades.

Ahora bien, las cuidadosas observaciones realizadas por nuestros antepasados mostraban que

la posición de esa estrella NO COINCIDÍA EXACTAMENTE con el eje de rotación y además,

variaba a lo largo del tiempo, muy lentamente, pero variaba.

Es evidente que de las mismas surgieron, al menos, dos preguntas: causas y cuanto.

Las causas se conocen hoy en día, ya que sabemos que el planeta oscila, alrededor del eje de

giro, como una peonza.

A dicho movimiento le llamamos de PRECESIÓN y, cuánto se aleja del eje de giro, lo vamos a

calcular.

Como el giro se completa en 24 horas, tiempo arbitrario que diseñaron nuestros antepasados y

que hoy en día utilizamos, realizaremos tres fotos, la explicación de éste número la

comprenderemos con el proceso utilizado.

29

1 0 .- fijaremos la cámara con una distancia focal corta, a fin de cubrir un

amplio campo estelar, mirando hacia la estrella Polar. Para orientarnos

hacia la misma podemos utilizar una brújula.

Es evidente que si conocemos la posición de esta estrella, en nuestro

entorno, no necesitamos este utensilio, ya que los materiales ferro

magnéticos alteran su exactitud y por otra parte estas tomas fotográficas no

revisten ninguna dificultad.

A fin de apreciar con más detalle la posición de las estrellas, podemos desenfocarlas

ligeramente.

Es esta toma nos fijaremos, por verla con

precisión, en la constelación de Casiopea

y dentro de ella en la estrella Navi,

fácilmente identificable en la misma.

En este momento, una vez que hemos

realizado las tres tomas, con una

separación temporal de, al menos, 30’

entre ellas, procederemos a introducirlas,

de una en una, en el programa Geogebra

y anotar las coordenadas del punto que las posiciona. Debemos tener presente que:

1.- el origen de las fotos lo pondremos, en todos los casos, en el origen de coordenadas, a fin

de que la referencia sea la misma en todos ellos.

2.- ampliaremos la pantalla todo lo necesario para ubicar con la máxima precisión el puntero

sobre dicha estrella y anotar las coordenadas de posición de la misma.

3.- introducimos cada foto por separado, es decir, primero una foto, calculamos la posición de

la estrella NAVI en ella y salimos del programa. Luego hacemos lo mismo con la segunda foto y

en la tercera una vez que hemos hallado el punto que la señala, aportamos los otros dos

puntos previamente calculados.

De esta forma se aprecia con claridad el

giro que realizan las estrellas alrededor

de un punto determinado. Para

determinar dicho punto podemos apilar

las fotos, con las tomas realizadas y

observar con claridad el giro de las

estrellas alrededor del citado punto, eje

de giro de la Tierra.

El programa utilizado para realizar el

apilado es el photoshop, obteniendo el resultado que se indica en la foto.

30

Ahora unimos con un segmento, tal cual se indica en la figura, las posiciones y trazamos la

mediatriz de los tres segmentos obtenidos.

En la intersección de las mediatrices encontramos el centro de giro de las estrellas y podemos

apreciar la distancia que lo separa de la Polar.

A lo largo de todo el día, la Polar girará también alrededor de dicho centro.

31

Es decir, si queremos ajustar nuestro telescopio en el centro de giro del planeta, para lograr

fotos estabilizadas, deberemos tener presenta la hora de la noche o bien la posición de las

estrellas de referencia.

Veamos como calcular el ángulo que separa ambos puntos, la Polar y el centro de giro.

La diagonal de la foto en el programa nos da un valor de 33,05cm y la distancia entre los

puntos señalados 0,25cm. Como la diagonal del CCD con fotograma completo (36x24) es de

4,327cm, si establecemos una regla de tres, basada en la proporcionalidad del sistema de

ampliación, tendremos:

X= distancia Polar-centro de giro en el CCD= 0,327281507 mm.

Por lo tanto la tangente del ángulo será tgα 0,327281507/2/24mm=0,00681836, luego

α=0,390657469 como el ángulo es el doble 2α = 0,781314938 = 0 o 46’52,7’’

Los buscadores de la Polar, que algunos de ellos incorporan, permiten realizar esta orientación

de forma precisa y ahora se entiende el porqué de esta necesidad.

En estos momentos tenemos calculada, con precisión, la latitud del lugar de observación y

podemos utilizar su conocimiento para hallar la declinación

solar.

Este dato es imprescindible para, con él, hallar la latitud de un

lugar cualquiera utilizando la altura del Sol en pleno día.

Desde el lugar en donde hemos calculado la latitud, podemos

construir las tablas de declinación solar para poderlas utilizar

para cálculos posteriores de la latitud.

Entre las tablas construidas en la antigüedad y más famosas por el largo período de uso,

tenemos las Alfonsinas, las cuales muchos

años después fueron sustituidas por las

Rudolfinas.

Veamos como podemos calcular la

declinación solar de un día cualquiera:

LATITUD.

En primer lugar construiremos un gnomon

con el fin de hallar la meridiana del lugar del

que hemos calculado previamente la

sea una construcción

como la de la figura.

Al lo largo de un día

anotamos los finales de la

sombra, unimos los

32

puntos mediante el programa y hallamos los puntos de corte con la misma circunferencia. La

mediatriz de este segmento nos da la línea meridiana del lugar. Esa línea va desde el Norte al

Sur, pasando por la posición del gnomon. Cuando el Sol se encuentra en esa línea decimos que

nos hallamos en el mediodía solar.

Se puede observar, viendo las fotos que acompañan, que he utilizado papel milimetrado y

varias cicunferencias concéntricas con origen en el estilo vertical al plano en donde se

encuentra el papel milimetrado. Todo el montaje ha de estar en el plano del lugar.

Con la cámara he obtenido varias tomas a lo largo de la jornada y los extremos de la sombra

me han determinado los puntos de interés. Con el fin de poder utilizar el programa Geogebra,

en número de tomas era superior a cinco, realizadas antes y despues del mediodía solar.

Cuando la sombra pasa por la meridiana, tomamos su longitud y con la altura del gnomon

calculamos la tangente dividiendo la altura del gnomon entre la longitud de la sombra

mencionada. De esta forma tenemos el ángulo de elevación del Sol.

Estos datos corresponden al 8/11/2008.

Es este caso, atendiendo a que la latitud del lugar de

observación es 41 0 36’37’’,la declinación solar para ese

día fue:

41 0 36’36’’ = x + 90 - 31 0 35’51’’, por lo tanto la declinación solar fue de -16 0 47’33’’. Si miramos

unas tablas de declinación para esa fecha veremos que da -16 0 22’19’’, valor que discrepa poco

del nuestro teniendo presente el gnomon tan rudimentario empleado.

33

9) DISTANCIA TIERRA-LUNA

Como complemento al ejercicio anterior, veamos como calcularla distancia a nuestro

satélite utilizando mediciones angulares.

En estos momentos la medición se realiza mediante laser, utilizando para ello el espejo

dejado en su superficie por una de las misiones Apolo.

Hipótesis: mediciones angulares desde dos posiciones en la Tierra hacia un punto

concreto del satélite, según muestra la figura.

Conocemos la latitud y longitud de A y B.

α' y β' son los ángulos que medimos, al mismo tiempo, desde A y B en un punto

concreto de la superficie lunar.

En primer lugar calculemos el arco AB y la distancia .

Sabemos que un plano viene determinado por tres puntos. Consideremos el plano

determinado por el centro del planeta y los puntos A y B. Dicho plano, como se

observa en la figura adjunta, determina un arco entre los puntos mencionados, que

con los arcos entre N y B, y entre N y A, nos ha formado un triángulo esférico.

Dicho triángulo nos permitirá hallar las distancias que precisamos conocer. El arco AB

es la línea más corta sobre una esfera. Notemos que corresponde a un círculo máximo.

34

Atendiendo a la notación empleada, tenemos:

= diferencia de longitudes entre A y B

Por otro lado, y atendiendo a las ecuaciones de Bessel, ya mencionado,

de donde

distancia

será el ángulo que nos permita calcular el dato que necesitamos, la

abemos que el triángulo AOB es isósceles, ya

que dos de sus lados son radios de la misma

circunferencia, por lo tanto

y como

35

luego . Recordar que y son los ángulos que hemos

medido desde las posiciones A y B.

En el triángulo ABL, conocemos

, por lo tanto:

de donde

y

36

10) CALCULO DE LA DISTANCIA TIERRA-LUNA (otro método)

Vamos a suponer que trazamos, con centro en la Tierra, una circunferencia que pase por el

centro de la Luna. A esa distancia, el diámetro de la Luna tiene un valor muy semejante al arco

de circunferencia que abarca la propia Luna.

Consideramos que α es el ángulo que subtiende a la Luna, cuyo valor, calculado en problemas

anteriores es de 0,5532548°

De los datos anteriores deducimos el diámetro D = 2x1765,45 = 3530,9 km, y como el número

de veces que está incluido el mismo en toda la órbita es 360 o /0,5532548 o (ángulo que

subtiende la Luna) =650,694 veces, lo que implica una circunferencia orbital de

L=2297535,4446km. = 650,694x3530,9

De esta forma podemos establecer la siguiente proporción:

R (distancia Tierra-Luna); D (diámetro lunar); α = 0,5532548°

2.π.R ---- 360°

D ----------- α

Por lo tanto el radio (distancia media Tierra-Luna) R = L/2.π = 365664,123 km

Se puede apreciar que el error, atendiendo a la simplicidad del cálculo, es pequeño ya que la

distancia media es de 384.000 km.

Sabemos que la órbita lunar es elíptica, pero como aproximación al movimiento real es muy

buena. En otro ejercicio, mediante técnicas fotográficas,

podremos encontrar la excentricidad orbital y poder, de

esta forma, corregir los datos obtenidos.

Si calculamos el ángulo α en el apogeo y en el perigeo

podremos visualizar el máximo y el mínimo en la órbita

lunar y además hallar los semiejes y la excentricidad

37

orbital.

Nota: si utilizamos la parte central de la luna, tendremos una aberración en los datos, ya que la

curvatura de su superficie puede hacer que el radio de la sombra sea menor y los datos se alejen de la

realidad. Marcar los puntos sobre la Luna es sencillo, lo complicado es marcarlos sobre la sombra, ya que

los mares de la Luna pueden equivocarnos, por lo que es conveniente que se haga con cuidado y por

varios equipos de alumnos. De esta forma podremos utilizar métodos estadísticos para hallar el valor

más correcto posible.

38

11) ÁNGULO QUE SUBTIENDE LA LUNA

Seguimos con el uso de la fotografía para realizar dicho cálculo. En concreto, dicho

ángulo, es aquel que nos permite visualizar la Luna en su totalidad. Analicemos la

siguiente figura

Nosotros nos encontramos en el punto P y el ángulo es α.

Si tomamos una fotografía de la misma, nos encontraremos con el proceso siguiente:

Los dos triángulos son semejantes, por lo tanto,

tang α/2 = c/2/distancia focal y en ángulos pequeños, expresados en radianes,

α/2 = c/2/distancia focal o bien α=c/distancia focal.

Una vez que hemos tomado la foto, tendremos que calcular el diámetro de la Luna en

el CCD. Para ello introducimos la foto en el programa Geogebra y tenemos:

39

Hemos marcado tres puntos en el borde de la Luna, los correspondientes segmentos y

sus mediatrices. El punto de intersección de ellas nos determina en centro de la Luna

en la foto.

Seguidamente calculamos la distancia entre dicho punto y uno cualquiera de la

periferia, obteniendo de esta forma el radio y el diámetro de la Luna en el programa.

Una vez que tenemos este dato, tenemos que reducirlo al CCD de la cámara. Para ello

calculamos el diámetro de la foto en el programa, mediante Pitágoras, y el diámetro

del CCD de la cámara (utilizaremos el tamaño del CCD que nos indiquen las

características de la cámara) y establecemos la oportuna regla de tres:

Diámetro de la foto en el programa ------- diámetro del CCD

Diámetro de la Luna en la foto -------------- diámetro de la Luna en el CCD=c

Una vez que hemos calculado el dato c, como a través de los metadatos de la foto,

conocemos la distancia focal, hallar α, es sencillo. (No debemos olvidarnos de utilizar

radianes)

En nuestro caso α vale 0,009656 rad. O bien 33’ 11,7”.

Si buscamos los datos en Internet, podemos apreciar que la Luna se encuentra cerca

de su perigeo.

Tomando diversas fotos a través del mes lunar (29,53 días), podremos darnos cuenta

de la variación de dicho ángulo a través de la trayectoria de la Luna.

Si tenemos en cuenta los datos, mayor (perigeo) y menor (apogeo), podremos calcular

la variación que experimenta el tamaño de la Luna entre ambas posiciones y responder

a la prensa cuando nos señala que el tamaño varía un 14% entre ambas posiciones.

40

12) DIÁMETRO DE LA LUNA

Partiremos de una foto de nuestro satélite cuando esté en Luna llena (~ 100% de

iluminación. También conocemos su distancia a la Tierra (este dato lo podemos

obtener del programa Stellarium).

Necesitamos informarnos del tamaño del chip de la cámara que vayamos a emplear y

su distancia focal.

Si la cámara es compacta y no tiene zoom, su distancia focal es fija y si lo tiene

tendremos que recurrir a los metadatos de la foto, que programas como Opanda IExif

nos puede mostrar. Solamente tendremos que indicarle a dicho programa la foto que

nos interesa. De ellos podemos extraer la longitud focal a la que hemos realizado la

misma.

Ejemplo: Cámara compacta Casio Exilim 10X

Make = CASIO COMPUTER CO.,LTD.

Model = EX-H15

Date Time = 2015-03-13 12:32:15


F Number = F3.2

Exposure Program = Normal program


Focal Length = 4.3mm

Make = CASIO COMPUTER CO.,LTD.

Model = EX-H15

Date Time = 2015-03-13 12:31:07


F Number = F5.7



Focal Length = 43mm

Con otra de las cámaras, en la que empleo un zoom de 28-300mm de la casa Tamron

obtuve la foto del Sol, filtrado únicamente por la niebla, los datos siguientes:

(Es muy importante controlar este tipo de fotos, ya que con poco cuidado podemos quemarnos la pupila)

41


Date Time = 2014-12-22 12:58:02



F Number = F14




Es necesario que la foto que obtengamos para el cálculo, tenga los bordes bien

definidos. Para ello deberemos controlar la apertura del diafragma, la sensibilidad ISO,

el tiempo de exposición o bien utilizar un filtro lunar.

La elección de los datos que hemos investigado quedan expuestos en el diagrama

siguiente:

En donde

es el diámetro de la Luna en el chip.

es el diámetro de la Luna, el cual tenemos que calcular.

es la distancia focal de la cámara a la que hemos realizado la foto.

es la distancia a la Luna en el momento de hacer la foto.

Aplicando la proporcionalidad,

de donde podemos calcular el diámetro de la Luna.

Ahora bien, ¿cómo calculamos el diámetro de la Luna en el chip?.

42

Evidentemente tenemos que recurrir de nuevo a la proporcionalidad, ya que, el

tamaño de ella en ese elemento es muy reducido y no es fácil aplicar métodos

geométricos a circunferencias de radios tan pequeños.

Por ello, si queremos lograr cierta precisión, tendremos que ampliar dicho tamaño

estableciendo una proporción que me permita ampliarlo y luego volverlo a reducir al

citado chip.

En mi caso, para realizar el cálculo, he empleado una foto del satélite tomada a

través del telescopio, el cual tiene una distancia focal de 1200mm

dicha foto fue tomada el 28 de octubre de 2012. Estos momentos la Luna se

encontraba a una Distancia de: 0.002650ua (396402.319 km) y su Fase: 0.99 con una

Iluminación del 99.2%.

PASOS:

- Montamos la foto (frame completo) en el programa Geogebra

43

- Marcamos tres puntos en su periferia y trazamos la circunferencia que la rodea.

Analizada la función nos reporta un radio de 4,5cm, siendo los valores de la escena de

19,09x12,72 cm.

Como dicha escena corresponde a un chip de 22,2x14,8 mm, el diámetro de la Luna en

el chip es de 2,67cm, calculo que hemos resuelto por semejanza.

22,94 cm diámetro escena 9cm diámetro Luna

2,67 diámetro chip x

de donde x = 1,048cm, diámetro de la Luna en el chip.

Por otro lado conocemos que en ese momento nuestro satélite se encontraba a una

distancia de 396402.319 km, de donde:

1200 mm distancia focal 10,48mm

396402.319 km x

x = 10,48 * 396402,319 / 1200 = 3460,31 km de diámetro lunar

Nota: no he corregido el diámetro sabiendo que solamente se veía el 99,2%, ya que

con el Geogebra he elegido tres puntos visibles de la circunferencia lunar y la

circunferencia hallada ya ha corregido la falta de iluminación de parte de la superficie.

Como en el caso anterior, podemos utilizar la analítica determinando los puntos y

calculando el resto de los datos con las ecuaciones oportunas.

44

13) SUPERLUNA

El día 28 de setiembre de 2015 tuvo lugar un eclipse de Luna. El mismo, reunió una

característica muy interesante, la Luna se encontraba, en esos momentos, en su

posición más cercana a la Tierra, el perigeo. Los periódicos la denominaron superluna,

ya que su tamaño era, evidentemente, mayor vista desde nuestro planeta.

Dijeron que, en esa posición, su tamaño aparente era un 14% mayor.

Analicemos la situación y efectuemos el cálculo. De esa forma comprobaremos la

veracidad de la información emitida.

Supongamos que realizamos dos fotos con la misma distancia focal en las dos

posiciones extremas de nuestro satélite, el perigeo y el apogeo.

Nos aparecen los datos que nos muestra la figura adjunta

D l = diámetro lunar

AB tamaño de la imagen en el CCD en el perigeo de la Luna

CD tamaño de la imagen en el CCD en el apogeo de la Luna

OQ distancia focal del objetivo de la cámara. El mismo en ambas fotos.

OR distancia de la ¨Tierra a la Luna en el perigeo

OS distancia de la Tierra a la Luna en el apogeo

En la figura se aprecia que tenemos triángulos semejantes de dos en dos, por lo que

podemos establecer las relaciones siguientes

OQ/CD = OR/D l y en el otro caso OQ/AB = OS/D l

Si ahora despejamos el diámetro lunar de ambas expresiones e igualamos, tenemos

OQ.OR/CD = OQ.OS/AB y simplificando OQ, tendremos

45

AB/CD = OS/OR.

teniendo en cuenta que las distancias son de 406740km en el apogeo y 356410 en el

perigeo, la relación entre los tamaños será:

AB/CD = 406.740/356.410 = 114,12, lo que nos dice que la relación expresada en %

será

AB/CD = 14,12%.

Como a nosotros nos interesa utilizar la cámara fotográfica para estos cálculos, bastará

con hacer dos fotos en ambas situaciones, calcular sus radios con el Geogebra o a

mano con las dos fotos, mediante el procedimiento explicado en este libro y dividir los

mismos, recordando que el diámetro es 2.r y por lo tanto el cociente de los diámetros

AB/CD = 2.r AB /2.r CD = r AB /r CD

46

14) CÁLCULO DEL RADIO DE LA LUNA

Una cuestión interesante es el cálculo del diámetro de la Luna, es decir, su tamaño y

distancia a la Tierra.

Es notorio recordar a Hiparco, Aristarco, Euclides, Pitágoras, Eratóstenes y a todo el

elenco de sabios griegos que lucharon de forma denodada por ampliar el conocimiento

del hombre hacia el cosmos.

Alguien se preguntará el motivo de tal recuerdo, pero es fácil de abordar, ya que:

Euclides sentó las bases de la geometría: línea, segmento, punto, ángulo, recta,

semirrecta, clases de ángulos, polígonos, y un extenso etc., forman parte de su legado.

Aristarco, utilizando a Pitágoras, calculó la relación de las distancias Tierra-Luna-Sol.

Hiparco aportó, entre otros, el uso de la dioptra, magnitudes estelares, latitud y

longitud terrestres, cuerda de senos (inicios de la trigonometría), astrolabio, etc.

Eratóstenes nos aportó la medición de la Tierra, hallando su radio y esfericidad, y algo,

para mi exposición, muy importante, la suposición de que debido a las consideraciones

astronómicas, los rayos del Sol, son paralelos.

Este último supuesto, le permitió realizar el cálculo mencionado, al darse cuenta de,

por relatos de viajeros muy observadores, que la sombra del Sol en Asuán era distinta

de la de Alejandría.

Mi más profundo respeto a los mencionados y a los que no.

Hiparco se preguntó a que se debían los eclipses de Luna y si a su través podía conocer

detalles de su propio planeta, como:

- La esfericidad de la Tierra

- Que el Sol estaba más lejos que la Luna y esta a veces se interponía entre este y

la Tierra.

Como lo que intento a lo largo de estos problemas, es utilizar la fotografía como

elemento de toma de datos, veámoslo.

Aprovecharemos un eclipse lunar y realizaremos una foto del mismo. Sea el caso

siguiente: Eclipse de Súper Luna 28-09-2015. Luna entrando en la sombra de la Tierra.

Eclipse de Luna de 2015

47

1º Veamos lo que nos dicen estas fotos:

Primero calculamos el radio lunar en la foto, para ello incrustamos la foto en el programa

Geogebra y procedemos, como ya he explicado en otros enunciados, al cálculo mencionado.

En segundo lugar, hacemos lo mismo con la sombra de la Tierra en la Luna, al intersecar, ésta

última, la sombra de la anterior. Suponemos, para realizar este cálculo, que la sombra forma

un cilindro al considerar que los rayos del Sol son paralelos entre sí (Eratóstenes). Se puede

observar las dificultades de obtener puntos precisos, debido a la atmósfera terrestre, la cual

como es sabido, refracta los rayos solares. De todos modos, la estrategia es muy visual y los

cálculos dan una buena aproximación.

2º midiendo el tiempo de tránsito de la Luna en la sobra terrestre (método de Hiparco)

Primero medimos el tiempo que la Luna tarde en introducirse en la sombra terrestre.

48

Segundo medimos el tiempo que tarda en salir.

Tercero conocemos, de este modo, cuantas veces cabe la Luna en dicha sombra.

Conocido el radio terrestre a través de Eratóstenes, y suponiendo paralelos los rayos solares,

como en el caso anterior, hallamos el radio de la Luna. Se debe tener presente que los datos

temporales los podemos extraer de los metadatos de las fotos obtenidas.

Ejemplo de metadatos


Date Time = 2015-09-27 21:17:27




Atendiendo a los datos aportados por el programa Geogebra, tenemos:

Radio de la Tierra en la foto 4,98 cm

Radio de la Luna en la foto 1,38 cm

Relación de radios 4,98/1,38 = 3,608

Por lo tanto el radio lunar será 6371/3,608 = 1765,45 km (radio terrestre 6371 km).

49

15) MEDIDAS LUNARES

Ya Aristarco de Samos en el 320 a.C. se mostró interesado y calculó, utilizando la posición

relativa del Sol-Luna-Tierra, la relación entre la distancia Tierra-Luna y Tierra-Sol. Pues bien, el

reto que planteamos en este ejercicio consiste en calcular, mediante una foto, el ángulo Tierra-

Luna-Sol para seguidamente calcular la altura de un cráter de la Luna.

Hagamos una foto de la Luna, fuera del plenilunio y Luna Nueva, para que los cráteres

aparezcan contrastados por sus sombras. Sea la siguiente:

La situación de partida sería la siguiente:

50

Si presentamos el gráfico conceptual de la situación, tendríamos:

Intersección del plano Tierra-Luna-Sol, con el de la Luna, plano π, siendo las zonas

determinadas por los planos λ, µ, σ, los planos que determinan las zonas A, B y C, según figura.

51

A, B, C son las zonas determinadas en la circunferencia anterior por los planos λ, µ, σ.

En el dibujo podemos deducir que:

Cos β = y/R ; α = 90-β

En donde x e y son las dimensiones, en el radio lunar R, en que queda dividido éste, al

proyectar un punto del terminador en el plano de la foto. Como punto elegimos el

equidistante a los extremos del arco. Como hemos partido de la posición de 90º, el ángulo α es

el que forma el plano del CCD de la cámara con el eje perpendicular desde el Sol a la superficie

lunar, según figura.

Ahora la introducimos en el programa Geogebra con el fin de efectuar un adecuado análisis

geométrico de ella y las medidas de los parámetros anteriores.

Trazamos la línea determinada por el plano Tierra-Luna-Sol (línea KD). La elipse roja representa

la circunferencia que pasa por el terminador, proyectada como elipse. La circunferencia

amarilla la hemos trazado mediante las mediatrices de los segmentos determinados por

puntos en su periferia (color amarillo)

Hallamos su centro eligiendo tres puntos de su periferia. Las mediatrices nos señalan el centro

de la circunferencia que hemos superpuesto a la foto. Trazamos también la elipse que

determina el terminador o zona umbral entre la parte iluminada y la no iluminada. Pensemos

que la circunferencia de la Luna si la hacemos girar sobre el eje determina una elipse si la

seguimos observando desde el mismo punto con nuestra cámara.

Trazamos también los ejes de la misma con el fin de que nos sirvan como referencia a los

cálculos que vamos a realizar.

Según lo expuesto con anterioridad, la foto la estamos tomando con un ángulo a dicho eje de

2α+β

Calculémoslo: fig (1)

52

Y = KL = 0,97cm ; x = LD = 5,67cm; R = 6,65cm

Cos β = 0,97/6,65 = 0,1459; => β = 81,61º. Luego el ángulo que forma el eje de nuestra cámara

y el eje Luna-Sol es de 98,39 ◦ o bien 98 ◦ 23’14,47’’, en la foto que estamos analizando

53

16) ÁREA ILUMINADA

Como aplicación de lo expuesto con anterioridad, podemos calcular la parte iluminada de la

Luna y comparar nuestros cálculos con los de los planisferios.

En realidad, la parte iluminada de la Luna es siempre, salvo en los eclipses, del 50%, pero con

este epígrafe nos referimos a la que vemos desde la Tierra.

Para realizar el cálculo pensemos en un círculo en donde una parte la vemos iluminada y la

otra no.

Se nos plantean cinco casos:

LUNA CRECIENTE:

Será π.R 2 /2+ π.R.d, siendo d la distancia del terminador al eje. Aquí le hemos denominado “y”.

Distancia KL en la foto.

LUNA MENGUANTE:

Será π.R 2 /2+ π.R.d, siendo d la distancia del terminador al eje. Aquí le hemos denominado “y”

LUNA EN CUARTO CRECIENTE:

π.R 2 /2

LUNA LLENA:

100%

54

LUNA NUEVA:

0%

55

17) ALTURA DE UNA ELEVACIÓN LUNAR

El cálculo anterior lo hemos realizado a partir de la posición T-L-S con un ángulo de 90º, es

decir aquel en el que vemos iluminada la mitad de la Luna. En esta posición el cenit lunar se

encuentra en el borde de la Luna que se expone al Sol y por lo tanto al girar un ángulo α como

el señalado en los cálculos, el ángulo hasta la elevación será el anteriormente citado y el que

haya desde el borde de la foto a la elevación en cuestión.

Es evidente que si desde la posición cenit, avanzamos por una línea meridiana hasta un punto

cualquiera de ella, al ángulo que forme la sombra de un gnomon (o altura), coincidirá con el de

dicho desplazamiento, ya que los rayos del Sol son paralelos entre sí (experiencia de

Eratóstenes).

Si el ángulo que hemos recorrido hasta la citada altura lo llamamos (λ+α), la figura que se nos

forma será:

Por lo tanto

tg(λ+α) = longitud de la sombra/altura de la

elevación

Por lo tanto la altura de la elevación

será: longitud de la

sombra/tg(λ+α)

Para hallar el ángulo λ aplicamos los

conceptos de la fig(1) a nuestro

caso.

Es necesario traducir a distancia real

una vez terminado el cálculo estableciendo la oportuna relación entre el radio lunar en nuestra

foto y el real.

Para hallar λ, tenemos que medir la distancia desde la altura hasta el eje lunar en el

terminador, sea “z”, entonces cos λ = z/R, siendo R el radio lunar, que es conocido.

56

Sea el cráter señalado en la foto con P y su sombra QP igual a 0,05cm y sea la distancia el

terminador PT igual a 2,15cm. Radio lunar en la foto R=6,65cm.

El cos λ = 2,15/6,65 = 0,323 => λ=71,14º y α=90-81,61=8,39º, luego λ+α=79,53

Tag (λ+α)=5,41 => altura = 0,05/5,41=0,0092cm=>2,414km=2414m. Hemos reducido las

medidas de la foto a la realidad.

La medida obtenida entra dentro de la razonable para la altura de un cráter como el de la

figura que hemos utilizado. Nota: el radio lunar utilizado es de 1737km.

57

18) PERÍODO SINÓDICO Y SIDÉREO DE LA LUNA

El período sinódico viene determinado por el tiempo que tarda la Luna en volver a

estar en la misma posición respecto de la Tierra y el Sol.

Para calcularlo es suficiente con fotografiar la Luna y esperar hasta que vuelva a tener

una fotografía idéntica a la anterior.

Ejemplo:

Sea la foto de la figura (posición cercana al cuarto creciente)

Si ahora las comparamos, en cuanto la zona iluminada se refiere, podemos hacerlo por

superposición o comparando en un solo fotograma:

58

Podemos apreciar que la posición no es idéntica, ya que las distancias de los elementos

señalados, respecto al terminador, no es la misma.

Deberíamos esperar un cierto tiempo para que la concordancia sea total. En ese

momento, habrán transcurrido 29, 530556 días.

Para el cálculo del período sidéreo, en donde se tiene en cuenta la posición respecto a

las estrellas, podemos resolverlo atendiendo al período solar 365,256363 días, de

donde tendremos:

Arco recorrido por la Tierra (espacio) será igual al recorrido por la Luna más menos una

órbita completa dependiendo si es más rápido que la Tierra (interior) o menos si va

más lento (exterior), luego:

Arco Tierra (360º/365,25).tiempo

Arco recorrido por la Luna (360º/Periodo sideral).tiempo

360/P).S = (360/365,25).S +/- 360. (Ecuación vista con anterioridad en el cálculo de

Venus)

Por ser interior será +360, luego

1/P = 1/365,256363+1/S

Como S es el período sinódico 29, 530556 días

1/P = 1/365,256363 +1/29,530556 = 0,036601

O bien P = 27,321659 días

59

19- CALCULO DE LA ALTURA DEL SOL Y ANÁLISIS

He resuelto este ejercicio implicando a dos de mis nietos: Lucía, niña de diez años que ha

finalizado cuarto de primaria y Pedro, niño de casi nueve años que va a comenzar tercero de

primaria.

Ambos han realizado las tareas que voy a explicar:

Lucía haciendo los cálculos gráficos geométricos con el compás y el goniómetro circular y

Pedro anotando los resultados y manejando el GPS.

El material empleado ha sido:

Papel, soporte para el mismo, goma, Lapiceras, goniómetro circular, compás, reglas, nivel de

dos direcciones, GPS, programa Google Earth, página del NOAA, cámara fotográfica.

Pasos:

- Una vez sujeto el papel al soporte, Lucía traza una recta que divida a la hoja en dos

partes a lo largo de la parte más larga, medidas con cuidado.

- En un punto arbitrario pero cerca de uno de los extremos, traza la perpendicular a un

punto que nos permitirá situar al Gnomon.

- Pedro, manejando el GPS, nos indica y señala en su

papel, dividido como su hermana, nuestra posición en

hora, latitud y longitud señaladas por el instrumento.

- Realizando un inciso, les explico con el programa Google

Earth, el concepto de latitud y longitud y un breve

contenido histórico hablándoles de Hiparco y

Eratóstenes.

- También les explico los conceptos asociados a ellos como

paralelos y meridianos.

- Así mismo les señalo la meridiana del lugar, línea muy

importante en los cálculos astronómicos.

60

Utilizamos de gnomon un palillo, que Pedro mide con cuidado, dándonos un resultado de

6,8cm y Lucía inserta el gnomo en el soporte, en este caso una goma en la que previamente ha

marcado unas referencias para colocarla sobre el papel en el punto diseñado al efecto, tal cual

nos indica la foto adjunta.

Soporte para determinar la perpendicularidad del

gnomon.

Consiste en una cartulina doblada con cuidado alineando

bien uno de los bordes y cortado en forma de triángulo

para soportar el palillo que hace de gnomon.

Una vez finalizada la construcción, procedemos a colocarla en el Sol, alineando con cuidado la

sombra del gnomon con el eje

trazado al efecto y que Lucía marca

con cuidado de mantener el plano

del lugar con el nivel doble y no

mover el soporte. Una vez realizada

la marca, medimos la longitud de la

sombra, que Pedro anota, arrojando

un resultado de 5,4cm.

61

Como no conocen los cálculos trigonométricos,

procedemos a realizarlo a nivel geométrico como

nuestros antepasados los griegos.

α

Gnomon

Sombra del gnomon

Trazamos una circunferencia que tiene por radio la longitud de la sombra del gnomon y en un

punto tangente a ella, tal cual indica la figura, trazamos una vertical en dicho punto llevando

sobre ella la longitud del gnomon. La unión del extremo del gnomon y el centro de la

circunferencia, nos determina el ángulo que queríamos determinar.

El resultado, medido con el goniómetro circular

es de 52 grados.

Consultada la página del NOAA, una vez que

hemos colocado en la misma los datos de hora,

latidud y longitud, previamente anotados por

Pedro,nos arroja un resultados de 53 grados, lo

que considero un resultado excelente.

Ahora bien, limitar la experiencia a calcular la

altura, aunque hallan tenido que utilizar

elementos geométricos y físicos de alto valor

didáctico, considero que debemos seguir

profundizando en ella y añadir nuevos

elementos de interés científico.

62

ANÁLISIS:

Si la experiencia la realizamos durante las horas de Sol, veremos que el ángulo va aumentando

hasta un máximo y luego vuelve a disminuir.

El punto máximo se alcanza cuando el astro se encuentra sobre la meridiana del lugar, línea

Norte-Sur que pasa por la posición de la observación y que ya les señalé anteriormente. En ese

momento nos encontramos en el mediodía solar.

Si la observación la realizásemos a lo largo del año y anotásemos solamente el ángulo máximo

en la meridiana, nos encontraríamos que éste varía a lo largo de este período. Este fenómeno

es debido al movimiento de traslación de la Tierra, en el plano de la eclíptica, alrededor del Sol

ya que el eje de rotación del planeta no es perpendicular a dicho plano, puesto que si fuese

así, el mismo se mantendría constantemente a lo largo de toda la trayectoria.

¿Seremos capaces de calcular el ángulo que forma el eje de rotación con el plano de la

eclíptica o bien con el plano ecuatorial de la Tierra?.

Dicho ángulo, atendiendo a la figura, es el determinado por los puntos JL y el centro O de la

Tierra. A dicho ángulo le denominamos DECLINACIÓN solar y en los solsticios de verano o

invierno coincide con la inclinación del eje terrestre.

Por otro lado debido al tamaño del Sol y la distancia que nos separa de él (150 1 000.000km), los

rayos nos llegan paralelos.

63

Si ahora tenemos en cuenta un solo rayo, para simplificar la exposición, al dar la Tierra vueltas

alrededor del Sol, el rayo dará vueltas alrededor del planeta, manteniéndose en el plano de la

eclíptica siendo perpendicular a la circunferencia determinada por la intersección del planeta

con dicho plano, posiciones A, N, M. En estos momentos hemos determinado los solsticios A y

M y uno de los equinocios N, y el otro sin marcar.

El arco FL, nos determina la Latitud del lugar F, al arco JL, la declinación del Sol en ese

meridiano cuando el Sol pasa por el mismo debido al movimiento de traslación.

Ejemplo con un laser de las posiciones mencionadas.

64

Analicemos la cuestión con un esquema más simple.

El arco FL, nos determina la latitud del lugar de observación.

El arco JL es la declinación solar.

El arco FJ es el ángulo que coincide con el HCF por paralelas cortadas por una recta.

El ángulo CHF nos determina la altura del Sol en el cenit de la meridiana del lugar de

observación, que sumado al arco FJ, nos da 90 grados por el triángulo rectángulo CHF.

Podemos observar que el gnomon, vector FC, es perpendicular al plano del lugar, de ahí el uso

del nivel de dos direcciones.

De la figura adjunta deducimos que arco FL = arco FJ + arco JL, por lo tanto:

LATITUD DE F = DECLINACIÓN SOLAR - ALTURA DEL SOL + 90 GRADOS

Si tenemos en cuenta que la perpendicular, respecto a la superficie del lugar, del Sol determina

la intensidad de la radiación, apreciamos en que estación del año nos encontramos en cada

hemisferio.

Si tenemos una tabla de declinaciones solares, como las elaboradas por Alfonso X, tablas

alfonsinas, podemos, midiendo la altura

del sol en la meridiana de un lugar,

determinar la latitud a la que nos

encontramos.

65

Si nos fijamos en el sexto día, el de la fiesta de los reyes, nos indica que la declinación del Sol

es de 21 grados y 20 minutos (XXI – XX).

Nuestros navegantes podían calcular con facilidad la latitud a la que se encontraban, midiendo

la altura del Sol cuando este pasa por la meridiana del lugar y utilizando las tablas de

declinación solar.

El anuario del observatorio astronómico de 2003, nos reporta, para esa misma fecha, 22

grados 34 minutos. Esta pequeña diferencia entre los datos, nos pone de manifiesto el

movimiento de precesión del eje terrestre, el cual introduce ligeras diferencias en el ángulo

formado por los planos, ecuatorial y eclíptica.

El programa Stellarium, arroja para esa fecha 21grados 5minutos.

Veamos ahora que ocurre en los solsticios

El discurrir del Sol, esos días, nos determina los trópicos de Cáncer y de Capricornio.

La foto de la izquierda nos muestra el solsticio de invierno y el de la derecha el de verano y las

líneas marcadas el trópico de Capricornio a la izquierda y el de Cáncer a la derecha.

Arrojando la declinación solar de esos días 23grados 7 minutos, inclinación del eje terrestre.

66

20) CÁLCULO DE LA DISTANCIA TIERRA-SOL

En el apartado anterior hemos calculado la distancia Tierra-Luna y ahora, si nos atenemos al

cálculo efectuado por Aristarco de Samos, del ángulo Luna-Tierra-Sol, aplicando conocimientos

de trigonometría, tendremos:

Distancia Tierra-Sol = 365665,745 km/cos 89,86 o = 149 1 650.891,065 km. Un dato que se

asemeja en gran medida a la distancia real.

Debemos tener presente que el ángulo que determinó Aristarco de Samos fue

ligeramente menor, por lo que la distancia al Sol era menor al ser mayor el coseno.

Medir el citado ángulo requiere de una precisión que con sus aparatos estaban lejos de

conseguir. Pero lo importante es el método y el ingenio mostrado.

Se debe considerar que mirar hacia el Sol es muy peligroso y se deben utilizar siempre

métodos indirectos como los que he mostrado en alguno de los ejercicios expuestos en

la fotografía de las manchas solares.

Nota: el ángulo utilizado en el ejercicio es el real y ha sido calculado con instrumentos

modernos de precisión.

67

21) CALCULO DE LA DISTANCIA TIERRA-SOL (otro método)

Conocido el ángulo que subtiende a la Tierra, vista desde el Sol, es decir: α = 0,2986’,

podemos calcular la distancia que nos separa de nuestra estrella utilizando una simple

regla de tres:

2πR ------------ 360º

D --------------- α

Teniendo presente que R es la distancia de la Tierra al Sol en una órbita circular y que

D es del diámetro de la Tierra.

Este supuesto no está muy lejano de la realidad, ya que la órbita terrestre es una elipse

con poca excentricidad.

De lo expuesto tenemos:

R = D.360.60/2.π.α . Hemos pasado todo a minutos, ya que el ángulo α está en esa

magnitud.

R = (13000 .360. 60)/ (2.π.0,2986’) = 149.653.155,4 km

Un dato muy bueno si tenemos presente las hipótesis de partida

?

68

22) DISTANCIA AL SOL MEDIANTE EL TRÁNSITO DE VENUS

Al transitar Venus entre la Tierra y el Sol, proyecta una zona de oscurecimiento vista

desde la Tierra.

Esta foto fue realizada el día 8 de junio de 2004, a las

7:50 de la mañana.

Se utilizó, para ello, un telescopio refractor de

1200mm, a través de proyección por ocular.

Se pueden apreciar dos manchas solares que servirán al

ejemplo. La línea oscurecida se debe a un cable de la

luz interpuesto entre mi posición y el sol.

Si esta foto se hubiera tomado desde otra posición de la Tierra, lo más alejada posible

de la nuestra, observaríamos, al montar una foto sobre otra (con la misma óptica), que

las sombras generadas no coinciden.

Esto se debe a que aparece el fenómeno de la paralaje. Este fenómeno se muestra

más, cuanto más cerca se encuentre el objeto observado y más lejos el fondo de

referencia. Pues bien, usando este fenómeno que acontece cuando realizamos visuales

desde dos posiciones distintas sobre el mismo objeto, vamos a calcular la distancia que

nos separa del Sol.

Medir los arcos B’A’, OB’ y OA’ es muy sencillo, ya que es suficiente establecer una

proporción entre el diámetro del Sol, en la foto, con el tamaño angular del mismo y las

distancias, en la foto, entre dichos puntos. Es decir, a través de la foto obtenida en el

montaje realizado, medimos dichas distancias y aplicamos una sencilla regla de tres.

Fijémonos exclusivamente en las relaciones que se pueden establecer en la fig.

69

Sean los triángulos AOC y BCV. En ellos, sabiendo que tienen un ángulo igual, el C por

opuestos por el vértice, tenemos

, luego, tendremos que:

, por otro lado, como arco es igual al ángulo por el radio (en radianes),

; y como es el radio orbital de la Tierra,

tenemos; , también y si hacemos ,

y si

(distancia entre los puntos A y B de la Tierra)

Sustituyendo tendremos,

Como la diferencia entre los ángulos, se debe al paralaje

que será la

distancia angular entre las dos sombras de Venus sobre el Sol. Será suficiente con

medir la distancia entre ellas y sabiendo el diámetro angular del Sol, ya calculado

anteriormente, mediante una regla de tres hallamos dicha distancia angular.

, de esta forma hemos calculado la distancia de la Tierra al Sol, ya que

por la tercera ley de Keppler que nos dice que el cuadrado del cociente de los períodos

orbitales es igual al cubo del cociente de los radios orbitales, es decir:

y como ambos períodos son conocidos, la distancia es conocida. Una vez

conocida dicha distancia vemos que hallar la de Venus al Sol, es inmediato.

70

23) ÁNGULO QUE SUBTIENDE EL SOL (cámara de fotos)

Como en el caso anterior, si hacemos una foto al Sol, protegidos por el filtro

correspondiente, obtenemos una foto como la expuesta:

Podemos apreciar que en este caso el radio solar es de 6,97 cm según el programa

Geogebra.

Ahora lo tenemos que reducir al CCD, para ello basta con aplicar la proporcionalidad

entre los datos del programa y el CCD.

La diagonal de la foto en el programa es de 33,02 cm y el diámetro del Sol, en ella, es

de 6,97x2.

Por otro lado el CCD de la Canon 350D es de 22,2x14,8 mm, lo que nos aporta una

diagonal de 26,68mm y un pixel de 6,41μm.

Con estos datos podemos establecer la siguiente proporción:

33,02 -------- 6,97x2

26,68 -------- x

Calculada el valor de x, obtenemos un diámetro en el CCD, de 11,2634 mm.

Como el telescopio tiene una distancia focal de 1200mm, la

71

tg α/2 = 11,2634/1200, por lo que aplicando el arco tangente nos da un α=32’ 16”.

Si realizamos esta medición en los dos solsticios podremos calcular la relación entre los

ángulos de las dos posiciones y hallar, conocido el diámetro solar, el valor de los

semiejes de la órbita terrestre.

72

24) ÁNGULO QUE SUBTIENDE EL SOL (tubo de PVC)

El ejercicio anterior lo hemos realizado con una cámara fotográfica, pero con los

mismos principios, podemos utilizar el concepto de cámara obscura con otros

recursos.

Veamos el montaje siguiente:

Consta de un tubo de PVC de 1200mm de longitud

con los extremos cubiertos por un papel de albal en uno

y papel vegetal en otro.

Para enfocar hacia el Sol, sin mirar en esa dirección, es suficiente con realizar un

montaje como el que muestra la imagen adjunta

Se sujeta a lo largo del tubo y se mueve éste, hasta que la

sombra del gnomon esté situada en el centro del círculo.

Si está bien diseñado, en ese momento en el papel

vegeta, aparecerá la imagen del Sol, como nos muestra la

imagen superior.

Si tenemos apoyado el extremo superior del tubo,

solamente deberemos manejar la parte inferior, pudiendo de esta forma realizar una

foto con el móvil.

En dicha foto podremos, bien manualmente o con un programa como el Geogebra,

calcular el centro del Sol y el diámetro del tubo en la foto. Como conocemos la

longitud del tubo, 1200mm, es fácil calcular el ángulo que subtiende al Sol.

Como se comprenderá, es necesario conocer el tamaño del Sol en el tubo, pero es una

simple cuestión de proporcionalidad entre su tamaño en la foto y su tamaño en dicho

tubo.

Datos:

Tamaño interior del tubo: 3,35 cm

Tamaño en la foto 7,24cm

Tamaño del Sol en la foto: 2,37cm

73

Tamaño en el interior del tubo:

7,24 ---------- 3,35

2,37 ---------- x

Por lo que el tamaño del Sol en el tubo será: x = 3,3 . 2,37 / 7,24 = 1,0966 cm

Luego el ángulo α será:

Tang α = α = 1,0802.10/1200 rad.= 0,009138 rad. = 31,42’

Teniendo en cuenta que el real va desde 31,31 a 32,33 se puede observar la precisión

del resultado.

Conocido el ángulo, podemos calcular la distancia o el diámetro si conocemos alguno

de estos valores.

74

25) CALCULO DEL DIÁMETRO SOLAR

Partamos del gráfico siguiente:

En donde conocemos los valores de α (diámetro angular del Sol), β, δ y la distancia

entre estaciones de medición AB.

Ángulo en C = (180-α-β-δ)=θ

En el triángulo ACB, se cumple que: AB/sen θ = AC/sen β

Ángulo en D = (180-δ-β-α)=ω

En el triángulo ADB, se cumple que: AB/sen ω = AD/sen (β+α)

De las expresiones anteriores, podemos calcular los valores de AC y AD, con lo que

aplicando, al triángulo ACD, el teorema del coseno, tendremos:

CD (Diámetro solar) = (AC 2 +AD 2 -2AC.AD.cos α) 1/2

Lo complejo de este ejercicio teórico, es lograr que los puntos A, B, C, D estén en el

mismo plano, así como medir los ángulos β y δ. Pero podemos observar lo simple del

procedimiento matemático.

Por otro lado calcular la distancia entre estaciones, conocidas la latitud y la longitud

del lugar, es un simple ejercicio de trigonometría esférica. (Véase el problema al

efecto)

75

26) ALTURA DE UNA EYECCIÓN SOLAR

Las eyecciones solares son materia expulsada del Sol a través de los intensísimos

campos magnéticos que se generan en su interior. Existen distintos tipos de eyecciones,

entre ellas citamos la Eyección de Masa Coronal (CME, Coronal Mass Ejection), un tipo de

"tormenta solar. El disco del Sol, indicado por un círculo blanco, aparece oculto en esta

imagen por un instrumento llamado coronógrafo, que tuvimos la oportunidad de utilizar en el

observatorio de Tiedra. El coronógrafo crea un eclipse que oculta prácticamente toda la

información luminosa del disco solar, lo que nos permite visualizar la corona.

Imagen del satélite SOHO

Tratamos en este caso de calcular la altura de una eyección solar

76

La foto adjunta, de una eyección solar, nos permitirá realizar el cálculo de su altura y

darnos cuenta de la espectacularidad de fenómeno y sus posibles implicaciones en la

vida de nuestro planeta.

Dicho cálculo lo realizaré por tres métodos con el fin de que se pueda usar en distintos

niveles educativos.

Se debe fomentar el interés del alumno por los fenómenos astronómicos y implicarles

en algunos cálculos que pueden realizar con el nivel matemático que poseen.

1º RESOLUCIÓN GEOMÉTRICA:

1º RESOLUCIÓN GEOMÉTRICA

- Señalamos, sobre la circunferencia solar, tres puntos A, B, C

- Dibujamos los segmentos y

- Hallamos sus mediatrices con el compás. En su intersección encontramos el centro de

la circunferencia solar de la foto, punto O.

- Marcamos el punto más extremo de la eyección solar, punto D.

- Trazamos el segmento y señalamos su intersección con la circunferencia solar,

punto H.

77

- Medimos los segmentos (radio del Sol en la foto) y (altura de la eyección

solar).

- Aplicamos Thales

OH

HD

139.000 km

x

, siendo x la altura real de la eyección solar.

Nota: Como la determinación de los puntos A, B, C, D y H dependen del observador,

nos permite realizar varios cálculos y hallar con ellos datos estadísticos como la media

y la desviación típica. De esta forma podemos determinar intervalos de confianza de la

medición efectuada utilizando la estadística.

También es conveniente señalar el porqué del radio medio de una estrella, al no poder

determinar con certeza la superficie real que la delimita y su variación con las

condiciones interiores que la modifican.

2º RESOLUCIÓN ANALÍTICA:

- Montamos la foto en un papel milimetrado a fin de que nos provea de coordenadas.

En este caso los puntos son A(a x , a y ), B(b x , b y ), C(c x ,c y ) y D(d x , d y ), los cuales hemos

determinado en la foto que nos han dado y hemos transferido al papel milimetrado.

78

(c x ,c y )

(d x , d y )

(b x, b y)

(a x, a y)

Los puntos H y O los calculamos

PASOS:

- Determinamos la circunferencia que pasa por los puntos A, B, C

Sabemos que la ecuación general de la circunferencia es: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2

en donde a y b son el centro y r el radio de ella. Si la desarrollamos:

x 2 - 2ax + a 2 + y 2 - 2by + b 2 = r 2 , haciendo (*) P = -2a; Q = -2b y M = a 2 +b 2 -r 2 ,

tendremos:

Px + Qy +M = -(x 2 +y 2 ), ecuación que me permite calcular los valores P, Q y M, al formar

un sistema con los valores de los puntos A, B, C.

Una vez que hemos resuelto el sistema por el método que más nos interese, reducción

o determinantes, si aplicamos los valores encontrados, podremos, sustituyendo en las

ecuaciones (*) calcular a, b, r.

Al ser O(a,b) el centro de la circunferencia, podremos determinar la distancia

Por lo tanto la altura solicitada será: - r.

Una vez calculada la altura de la eyección solar en el papel, bastará una regla de tres

para transferirla a la altura real en el Sol.

OH

HD

139.000 km

x

79

, siendo x la altura real de la eyección solar.

3º RESOLUCIÓN CON EL PROGRAMA GEOGEBRA:

- Insertamos la foto en el panel del programa

- Con el comando de circunferencia que pasa por tres puntos, la representamos

80

- Le indicamos que nos muestre la ecuación y podremos informarnos del centro y del

radio.

- Representamos el segmento y hallamos la intersección entre éste y la

circunferencia, punto H.

- Con el comando de distancia hallamos la misma entre D y H, que en este caso es 8. Si

aplicamos la proporcionalidad establecida en los procedimientos anteriores,

tendremos que la altura de la eyección calculada será:

altura=8*139.000/(593,08)^(1/2)= 45.661.3 km.

Si nos acordamos que la Tierra tiene un radio de 6371km, podremos apreciar la

importancia de esta eyección solar.

81

27) ÁREA DE UN ECLIPSE

El día 20 de marzo de 2015 tuvimos un eclipse de Sol, cuya foto tenéis delante. En la

prensa de ese día se indicaba que la ocultación de su superficie sería, en su momento

máximo, de un cierto tanto por ciento.

Veamos cómo afrontar su cálculo, por mera curiosidad científica, en una de las fotos

que realicé ese día.

Partamos para ello del siguiente gráfico y luego lo aplicaremos al cálculo del caso de la

foto que nos acompaña.

82

Hallamos con el Geogebra, los puntos que se señalan en la fig. Cs, A, B, Cl.

Calculamos el área Asl (área del sector circular en la Luna)

Hallamos los segmentos , y .

Ahora hallamos el ángulo =α => sen α/2 = /2 => α = (arc sen /2 )*2

de donde deducimos que Asl = α.π. /360 0 => segmento circular luna = Scl= Asl -

triángulo (

y ahora hallamos el segmento circular sobre el Sol; β =

Ass = β.π.

/360 0 => Scs = segmento circular sol = Ass - triángulo (ABCs), de donde

Área cubierta = Scl + Scs

Área libre = π. - (Scl + Scs) = Al, luego Al/1200 = A'l /150000000, siendo 1200mm

la distancia focal del telescopio y la unidad de medida de la figura empleada.

Una forma más simple consiste en contar los píxeles iluminados en la foto y multiplicar

por el área de ellos traduciéndolos mediante Thales a la figura del Sol.

83

- Método ANALÍTco

Transcribimos la foto a una hoja de papel milimetrado y anotamos el tamaño del chip y

de la hoja con el fin de establecer las oportunas proporciones.

Establecemos las coordenadas de tres puntos sobre ambas figuras, circulo del Sol y

círculo de la Luna

Al no estar completa la Luna, lo primero que hay que hallar es su centro como

intersección de las mediatrices de los segmentos L 1 L 5 y L 5 L 4 . Los puntos los hemos

obtenido al colocar la foto sobre el papel milimetrado y pinchar con mucho cuidado en

la periferia del Sol, en especial los dos puntos donde comienza el corte, L 1 y L 4 .

Aunque en la figura he anotado cinco puntos, es suficiente con tres si dos de ellos son

los puntos de corte, necesarios para el resto de los cálculos.

Anotamos las coordenadas de los puntos, en el papel milimetrado y procedemos con

los cálculos de los segmentos en primer lugar y del centro de la Luna, en segundo

lugar.

Hallamos las mediatrices de los segmentos L 1 L 3 y L 3 L 4 . Obtenemos el centro, como

intersección de las dos mediatrices. Hallamos el radio como distancia entre dos

puntos, el centro ya calculado y uno de los puntos L 1 , L 4 o L 5 , y con este datos

planteamos la ecuación de la circunferencia que la representa.

(x-Cx) 2 +(y-Cy) 2 =R l

2

84

Para hallar la circunferencia solar, una vez que tenemos los tres puntos por los que

pasa, resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para determinar los

parámetros A, B, Rs, de la ecuación:

x 2 +-2Ax+A 2 +y 2 -2By+B 2 = Rs 2

Determinados los valores de A, B y R, sabemos el centro y el radio del Sol.

En estos momentos podemos calcular, como en el caso anterior, los ángulos de los

sectores circulares de ambas circunferencias mediante los lados de los triángulos que

se nos han determinado (los lados los hallamos mediante la distancia entre dos

puntos) y estos por trigonometría.

Como tenemos que restar el área de los triángulos, ésta la podemos hallar mediante la

fórmula de Herón.

Recordemos que el área del segmento circular es la diferencia entre el sector circular y

el triángulo isósceles del segmento que lo subtiende.

Determinados los segmentos circulares en ambas circunferencias los sumamos y se lo

restamos al área del círculo solar.

Conocida el área, mediante proporcionalidad entre la figura utilizada y el chip

podemos establecer la relación entre el sistema óptico del telescopio, que en nuestro

caso tiene una distancia focal de 1200mm, y la distancia al Sol (150.000.000 Km).

Es evidente que no necesitamos este último cálculo si solamente queremos hallar el

tanto por ciento de su superficie que está cubierto.

85

- ANÁLISIS DEL CCD

El reto consiste en establecer una correlación entre el área del Sol en el CCD y el área

real. Para ello vamos a resolver el problema

aplicando el teorema de Tales.

Como los pixeles de la cámara son

cuadrados de lado 6,5μm, la diagonal será d

= l , en nuestro caso CD= * 6,5μm.

Aplicando el teorema citado:

1200mm --------- 9,19*10 -3 mm

150* 10 6 km -----

luego la diagonal en el Sol será: C'D' =

150.10 6 km. .6,5.10 3 mm/1200mm =

1149,05km

nota: la distancia al Sol es de 1 U.A. y la

distancia focal del telescopio 1200mm.

como el área es

2 /2, tendremos que el

valor de ella es de 660156,25km 2.

La siguiente pregunta que nos tenemos que hacer es, ¿Cuántas celdas del CCD

representan al Sol?

Para responder a esta pregunta tendremos antes que investigar la correlación entre la

matriz que nos devuelve el programa por cada color y el número de pixeles de la

cámara.

En el primero de los

casos anotamos el

número de celdas de la

matriz de la foto y son

19 1 961.856 y el número

de pixeles del formato

full frame de la cámara

son 5472x3648 =

19 1 961.856 pixeles.

De estos datos

observamos que cada

86

celda representa a un pixel.

Una vez que hemos seleccionado la foto sobre la que queremos realizar el cálculo,

procedemos a extraer la matriz de datos mediante una aplicación específica para ello.

Visto que todos los canales nos aportan el mismo número de celdas, escogemos la

matriz del canal rojo, y efectuamos un corte a la matriz solar, fig. adjunta. Observamos

que la circunferencia solar oscila entre

los valores de 100 y de 120. Efectuado

el recuento de las celdas que tienen

números >100, se encuentra un

resultado de 1610828 celdas.

Con estas cifras, tenemos un área sin

ocultar de 1610828 x 660156,25km 2 o

bien, 1.064 10 12 km 2 .

Para comprobar los valores obtenidos y ya que no poseemos los de la foto utilizada por

algún centro de

astronomía, utilizamos la

circunferencia solar de

ese día.

El Sol completo tiene

2225328 pixeles que

superan la cifra de

referencia utilizada. Por

lo tanto el área solar

será

de

2225328x660156,25km 2

= 1.45 10 12 km 2 . Si

calculamos el área de la circunferencia atendiendo al diámetro solar que nos aporta

una enciclopedia, el resultado es de 1,47 10 12 km 2 . Podemos apreciar la similitud de

resultados, ya que hemos considerado que la frontera solar se encontraba en el valor

100, aunque podemos comprobar que es ligeramente menor. De todas formas

representa el 98,7% del que nos aporta la enciclopedia, por lo que el error, teniendo

presente que es imposible definir la frontera del Sol a causa de una estructura sólida

que lo permita, podemos considerarlo no significativo. Es evidente que el método

empleado tiene un aporte educativo de primera magnitud al permitir al alumno

manejar diversos instrumentos que forman parte de su devenir actual para realizar

cálculos de objetos a su alcance y apreciar la aportación inmejorable de nuestros

antepasados a nuestro desarrollo.

87

Si ahora calculamos el porcentaje solar cubierto por la Luna, tendremos: (2225328-

1602549)/ 2225328 * 100 = 28% de su superficie. En este caso no necesitamos calcular

el área y por lo tanto los resultados los medimos directamente en el CCD.

Otra cuestión interesante sería comprobar la aportación de los canales verde y azul al

cálculo mencionado y ver como modifican o no los datos obtenidos por el canal rojo.

El canal verde nos arroja un resultado de 1612402 celdas con un número superior a

100 y el canal azul 1635301 celdas, frente a las 1610828 celdas que nos aportó el canal

rojo base de nuestro cálculo.

Si bien es cierto que el filtro utilizado, uno de densidad neutra de 3.8, modifica los

parámetros finales, los resultados nos orientan hacia la luz blanca que procede de

nuestro astro, al observar la gran ponderación existente entre los tres canales de

información que nos aporta la cámara.

88

28-CÁLCULO DEL TAMAÑO DE UNA MANCHA SOLAR:

Vamos a proceder al cálculo del tamaño de una mancha solar. La finalidad de este

sencillo proceso consiste en que el alumno aprecie la diferencia de tamaños entre el

Sol, nuestra estrella, y el planeta en que habitamos.

Para ello estaremos vigilantes, a través del satélite SOHO, el cual captura imágenes

diarias en diversas longitudes de onda, de la aparición de una mancha solar.

Seguidamente realizaremos una foto del disco solar, con todas las precauciones

nombradas en múltiples ocasiones, con una cámara y un teleobjetivo, con los filtros

adecuados.

Veamos un ejemplo:

Foto del satélite SOHO

La foto del satélite no corresponde a la fecha de la foto obtenida, como se puede

apreciar por la mancha, su posición y tamaño, pero nos sirve como ejemplo para lo

citado en la introducción.

Los metadatos de la foto obtenida con la cámara son los siguientes:

Model = Canon EOS Ra

Date Time = 2021-07-01 11:48:07

Artist = Pedro Gonzalez Justo


F Number = F1200


Filtro de densidad neutra de Baader 3,8

Esta cámara full frame, posee un CCD de mucha resolución, por lo que podemos

ampliar el tamaño de la mancha para proceder al cálculo mencionado

89

Nota: Veremos que en la misma he obtenido parte de disco solar.

A partir de este momento podemos utilizar diversas técnicas para realizar el cálculo

mencionado, pero todas ellas seguirán el mismo proceso:

Hallar el radio solar en la foto, el tamaño de la mancha, en la dirección que

consideremos y, por último, establecer la proporción entre el radio real del Sol y el

obtenido en la foto.

Utilicemos, por comodidad, el programa Geogebra.

Introducimos la foto en el mismo

90

Calculamos el radio señalando, para ello, tres puntos en la periferia y hallando las

mediatrices de los segmentos determinados por los puntos, las cuales se cortan en el

centro del Sol, en la foto.

Radio solar 20,66 cm, como el real es de 700000 km, la proporción será:

Tamaño real de la mancha en km= tamaño en la foto en cmx 700000 km/20,66 cm.

Si elegimos una dirección cualquiera, la mancha mide:

Por lo tanto, en este caso:

0,46 x 700000/20,66 = 15585,67 km

Si tenemos presente que el diámetro de la Tierra es de

12742km, podemos apreciar, de primera mano la

enorme diferencia de tamaños entre nuestro plantea y

nuestra estrella.

En caso de no disponer del mencionado programa, podemos proceder a mano,

señalando los puntos en un papel y realizando el proceso a mano dibujando las

mediatrices con un compás y midiendo el radio con una regla.

91

29) CÁLCULO DE LA MASA DEL SOL

Mediante un procedimiento similar al anterior podemos calcular la masa de nuestra

estrella.

En este caso utilizaremos los datos que conocemos de nuestro planeta en su órbita

alrededor del SOL

Período: 365,25días=31.557.600seg

Distancia media: 1 U.A.=150.000.000km=1,5.10 11 m

Velocidad angular ω = 2.π rad/período = 2.πrad/31.557.600seg = 0,000000199102128

rad.seg -1

Velocidad =ω.D = 0,000000199102128 seg -1 .15,5.10 11 m

= 29.856,3191648585458m.seg -1

M = 29.856,3191648585458 2 m 2 .seg -2 .150.000.000.000m/(6,67.10 -11 N.m 2 /kg 2 )=

= 2,0.10 30 kg.

Para hallar la densidad es suficiente con calcular el volumen.

Sabemos que el diámetro solar es de 1.391.016.000m o bien 695508000m de radio,

luego el volumen será:

V = 4/3.π.R 3 = 1,40927256906.10 27 m 3

Por lo tanto la densidad será:

δ = 2,0.10 30 kg/1,4.10 27 m 3 = 1.428,57kg.m -3 = 1,42857 gr.cm -3

92

30) CÁLCULO DE LA ROTACIÓN DEL SOL

Enseñando el Sistema Solar a Mónica, una de mis nietas, le estuve hablando del Sol, la estrella

de nuestro sistema. Surgió el tema de la rotación del mismo. Por tal motivo estuvimos

haciendo fotos de él, ya que según el satélite SOHO, existía una mancha solar

Como se puede observar, la orientación del telescopio hacia el Sol, se hace de forma indirecta,

ya que no se puede ni debe mirar de forma directa. Es conveniente hacer hincapié en tal

circunstancia máxime cuando se trabaja con niños pequeños. En la foto está mi nieta Mónica,

una niña de cinco años en esa fecha, observando en el ordenador la foto del Sol

La mancha solar se ve de forma nítida y coincide plenamente con la obtenida por el satélite en

la misma fecha y hora.

Basándonos en esta circunstancia, utilizaremos los datos aportados por el satélite para realizar

los cálculos sobre la rotación del Sol.

93

Veámoslo:

Hemos superpuesto dos imágenes del satélite y marcado la posición de las manchas solares de

esos días: el 24/7/2020 a las 6h. y el 26/7/2020 a las 19,30h.

94

Para ello hemos montado las dos fotos en el programa Photoshop y puesto la transparencia de

la superior en el 50%, visualizándose ambas en la misma foto solar que he llamado fusión de

capas.

En primer lugar calculamos la recta de une las dos manchas, la cual corresponde a la

proyección de la circunferencia descrita por ellas sobre su diámetro, en su rotación alrededor

del eje de rotación solar.

Calculamos por Pitágoras el radio de la circunferencia de la trayectoria:

Radio = (9,37 2 -4,15 2 ) 1/2 = 8,40cm,

Siendo, como se deduce de la figura, 9,37 el radio solar en la foto y 4,15 la distancia entre la

recta y el centro de la foto del Sol.

Conocido el radio de la circunferencia y las distancias de las manchas al centro de la misma,

hallamos el ángulo que forma cada mancha con el diámetro.

Estos son: 1,2cm y 5,76cm, por lo tanto los ángulos serán:

Cos α = 1,2/8,40 => α = 50,14 0 y cos β = 5,76/8,40 => β = 82,43 0

82,43 0 -50,14 0 =32,29 0 , siendo este el desplazamiento angular en el período de tiempo entre las

dos tomas 61h30min.

Teniendo presente la rotación completa de 360 grados, mediante una regla de tres nos sale

que la rotación a la altura de la mancha solar es de 28,57 días. Según los datos de la Wikipedia,

95

la rotación en el ecuador es de 24,47 días y en los polos de 38 días, por lo tanto los datos

obtenidos están dentro de parámetros normales.

Con los cálculos efectuados, hemos demostrado que el Sol gira sobre su eje, hemos hallado el

período de rotación solar y ampliando la experiencia podemos demostrar que esa rotación

genera en la estrella un poderoso campo magnético.

Supongamos el montaje siguiente:

96

Consta básicamente de tres partes: la bobina de hilo conductor, la fuente de alimentación en

c.c. y un miliamperímetro.

Si ahora hacemos circular una corriente continua

magnético.

por la bobina, se genera un campo

Básicamente estamos haciendo que los electrones giren alrededor de un punto central. Este

movimiento es el responsable del campo magnético resultante.

Podemos apreciar el desvío que se ha producido en la aguja imantada. La fuerza sobre ella

viene determinada por la del campo magnético terrestre y el generado por la bobina la cual

posee un diámetro medio de 11cm, 28 vueltas en total y una corriente de 146mA.

En resumen, el giro que realiza el Sol sobre su eje hace que los electrones que se encuentran

en su interior generen un poderoso campo magnético y el desplazamiento hacia la superficie,

desde el interior de la estrella, genera turbulencias magnéticas que son una de las causas de

las manchas y eyecciones solares.

97

31) ÁNGULO QUE SUBTIENDE A LA TIERRA DESDE EL SOL

EL ángulo que subtiende al Sol, calculado en el ejercicio 2º, es de 32,16’.

Dicho ángulo corresponde a un diámetro del Sol de 1.400.000 km.

Por otro lado sabemos que la tangente de ángulos pequeños es proporcional, es decir:

p = tan α

K.p = tan (K.α)

Como la Tierra tiene un diámetro de

13.000 km, se puede establecer la

Siguiente proporción:

1.400.000 ------- 32,16’

13.000 ----------- x

x = 0,2986’

Este es el ángulo que subtiende a la Tierra desde el Sol.

Evidentemente, en este ejercicio, hemos supuesto conocido el diámetro del Sol.

98

32) PERÍODO SINÓDICO DE VENUS

Sabiendo que el período sinódico es el tiempo que tardan, desde la posición inicial, en estar

nuevamente alineados, apliquémoslo a los planetas Venus y Tierra

Venus, al ser un planeta interior, va más rápido que la Tierra, por lo tanto en el tiempo “t”, da

una vuelta entera y el ángulo α, que ha descrito la Tierra (ver figura)

Ángulo descrito por la Tierra = α

Ángulo descrito por Venus = 360º+α

Es de destacar que cuanto más cercano está el planeta al Sol, mayor será su velocidad orbital

(leyes de Keppler)

Por otro lado, sabemos que el ángulo es igual a la velocidad angular por el tiempo

α = ω . t, es decir, en el caso de la Tierra: α = ω T . t ; en el caso de Venus 360º + α = ω V . t

si empleamos como unidad las vueltas, las expresiones anteriores se transforman en

Tierra α = 1/365,25 . t

Venus α + 1 = 1/224,7 . t

Si ahora resolvemos el sistema por sustitución, tendremos:

1 + 1/365,25 . t = 1/224,7 . t

De donde t = (365,25.224,7)/(365,25-224,7) = 583,93 días.

El valor real es de 583,92 debiéndose la discrepancia al considerar las órbitas circulares en vez

de elípticas.

Ahora nos interesa conocer cuánto tiempo tardará en darse el alineamiento inicial (las estrellas

del fondo son las mismas).

Es suficiente con calcular el m.c.m.(365;584) = 2920. Por lo tanto y como un año son 365 días,

tendremos repetición de la situación inicial cada 2920/365 = 8 años.

Consultando las tablas del códice de Dresde, observaremos que:

99

Hay una grabación en el códice incorrecta, ya que le faltan tres puntos para ser un ocho,

aunque por el contenido, se deduce un error en la transcripción del valor.

Se puede apreciar las observaciones tan precisas que realizaron los Mayas sobre determinados

acontecimientos astronómicos, ya que, sin cálculos ni conocimientos orbitales, fueron capaces

de identificar el período sinódico de un planeta.

100

33) TRÁNSITO DE VENUS

Para resolver el tránsito de Venus vamos a suponer alineados la Tierra, Venus y el Sol. Es

evidente que en esta suposición, cuando Venus se interponga, desde la Tierra veremos un

disco de interposición de nuestra visión del disco solar.

El ángulo que subtiende al Sol es de 32’16’’ (ya calculado en otro de los ejercicios).

Distancia TS = 149800000km

Distancia VS = 108200000km

Distancia TV = 41600000km

Como el arco = ángulo x radio, en nuestro caso arco = 390457,30km de multiplicar el radio de

41600000km x 0,00938599rad (arco en radianes).

Por otro lado sabemos que el período de traslación de Venus es de 225 días, por lo tanto

224,7 días ---------------2.π.VS

X ------------------------ arco, de donde x = 0,12905341 días 0 bien 3h 5min 50seg.

Este cálculo del tiempo de tránsito sería el obtenido suponiendo que la Tierra permanece

quieta, pero este no es el caso, por lo que deberemos incluir en el desplazamiento de Venus el

movimiento de la Tierra.

Sabemos que la velocidad tangencial de la órbita terrestre es de

V = e/t = 2.π.TS/365,25x24 = 107371,80km.h -1 .

Si ahora situamos esta velocidad en la órbita de Venus, tendremos VS/TS = x/107371,80 de

donde la velocidad de desplazamiento de la Tierra en la órbita de Venus será 77554,26km.h -1 .

En movimiento relativo observaremos que la velocidad de Venus en más pequeña en esa

cantidad. Como la velocidad de este planeta es:

101

2.π.108200000/224,7x24 = 126064,5km.h -1 , su velocidad final al atravesar el arco que

subtiende al Sol, será de V f = 125896,42 – 77554,26 = 48510,24km.h -1 .

Luego el tiempo empleado en recorrer dicha ángulo será de

390457,30km/48510,24km.h -1 = 8h 2min 56seg.

Ahora bien, hemos supuesto que los planetas están alineados, pero esto no ocurre debido a

que las órbitas de ambos no se encuentran en el mismo plano, por lo que no discurre por el

centro del Sol. Al no entrar por el diámetro del círculo que se determina sobre el cono, el

ángulo real será más pequeño, pudiendo considerar el cálculo efectuado como la posición

máxima. Para el cálculo real deberemos conocer el ángulo de inclinación orbital y hallar el arco

real que va a utilizar en el tránsito.

En la figura adjunta la Tierra viene representada por el punto azul, Venus por el punto rojo y el

Sol es la base del cono.

Esto, evidentemente, nos obliga a pensar que la alineación se cumple en la línea de

intersección de los planos orbitales de ambos planetas (π, β). Pero esto no siempre es así,

puesto que es suficiente que la órbita de Venus interseque con el cono formado por el vértice

en la Tierra y como base el Sol (véase figura).

102

Llamemos ω al ángulo de intersección de ambos planos (π, β), que es según datos de la

enciclopedia 3,39º.

h = r/sen ω h’ (distancia de la Tierra al eje de intersección) = h.TS/VS

h = 390.457,30km/sen 3,39º = 6.603.130,79km

h’ = 6.603.130,79km x 149.800.000km/108.200.000km = 9.141.857,60km

Como la velocidad de la Tierra es de 107371,80km.h -1 , el tiempo que tardará en recorrer dicha

distancia será t = 9.141.857,60km /107371,80km.h -1 = 85,1421 h = 3 días 13horas 8min 31seg

Con este dato tendremos el período en el que se pueden dar tránsitos de Venus vistos desde la

Tierra {h’, intersección planos orbitales, h’}

En la posición 1ª la órbita de Venus es tangente al cono de visión desde la Tierra. En esta

concordancia no se dará tránsito, ya que no se interponen ente la Tierra y el Sol. Esta posición

es la que nos permite hallar h’ (máxima distancia al eje de intersección)

En la posición 2ª, la Tierra se encuentra más cerca de la línea de intersección y la órbita de

Venus choca con el cono de visión, por lo tanto se interpone en la visión del Sol desde la Tierra

y vemos el disco de ocultación que realiza Venus.

Podemos notar que fuera de este intervalo, la órbita de Venus está por encima del cono de

visión o por debajo. Solamente en él se pueden dar los tránsitos, siendo el de máxima duración

aquel en el que coinciden la Tierra y Venus en la línea de intersección de los planos orbitales,

que es la calculada con anterioridad.

De los datos expuestos, se observa que la

intersección de los planos orbitales se encuentra

entre la última de mayo y primera quincena de junio

y ente los meses de noviembre y diciembre.

Nota: según mis cálculos, el intervalo de variación

será de unos 7 días 2 horas 18min

103

Analicemos con más detalle dicho tránsito. Consideremos la posición que nos marca el

montaje de la figura adjunta

En él, podemos observar el plano de traslación de Venus y el de la Tierra. Ambos planos no son

coincidentes, ya que forman un ángulo de ϴ grados entre ellos.

Siendo:

ω ángulo que subtiende al Sol

ϴ ángulo entre plan os orbitales

h radio del círculo de intersección

r v radio orbital de Venus

104

r T radio orbital de la Tierra

x+j = r T

tg ω=h/x

x=h/tgω; h/tgω + j = r T

r v 2 =h 2 +j 2

r v 2 = h 2 +( r T – h/tgω) 2 = h 2 + r T 2 - 2 r T h/tgω + h 2 /tg 2 ω

h 2 (1+1/tg 2 ω) - 2 r T h/tgω + r T

2

- r v

2

= 0

h = (r T /tgω ± [ r T 2 /tg 2 ω – (1+ 1/ tg 2 ω)( r T 2 - r v 2 )] 1/2 )/(1+ 1/ tg 2 ω)

Como conocemos todos los valores, h también será conocido.

Como j = (r v 2 - h 2 ) 1/2 , es conocido

Y como x = r T – j , también será conocido

Sabemos que p =h/senϴ y sen δ = p/j.

Si ahora fusionamos todas las expresiones tendremos que sen δ = tg η /sen ϴ

δ es el ángulo que nos marca la posición del comienzo de los tránsitos de Venus. Como

existe simetría respecto a la línea de intersección de planos orbitales, el arco será el

que corresponda a 2 δ. Correspondiéndole un arco de 2 δ r T

Como sabemos que espacio es igual a la velocidad por el tiempo, tendremos

Tiempo =2 δ r T /velocidad tangencial de la Tierra

Y esta última es igual a la velocidad angular por el radio.

Siempre que Venus se encuentre es esa posición podremos observar su tránsito, el cual durará

más o menos en función del punto en que interseque al ángulo del cono que subtiende el Sol.

105

34) CÁLCULO DE LA MASA DE JÚPITER

Mediante un procedimiento similar al anterior podemos calcular la masa del planeta

Júpiter, el más grande del sistema solar.

En este caso utilizaremos los datos que conocemos de IO en su órbita alrededor de

Júpiter

Período: 1d 18h 27,6 min=152856 seg

Distancia media de IO a Júpiter 421.600km = 421.600.000m

Velocidad angular ω = 2.π rad/período = 2.πrad/152.856seg = 0,00004110525754

rad.seg -1

Velocidad =ω.D = 17329,97675 m.seg -1

M = 18.983.257,03740174.10 20 kg = 1,9. 10 27 kg

Calculando el volumen de Júpiter, para hallar su densidad y poder comparar con el sol

y la Tierra, tenemos:

V = 4/3 .π.R 3 y como su radio es de 69911 km = 69911000m

V = 1,4312818.10 24 m 3 . Por lo tanto su densidad será:

δ= 1.327,48 Kg.m -3 = 1,3 gr.cm -3

Vemos que es ligeramente menor que la del Sol y mucho menor que la de la Tierra.

Esto nos indica que sus componentes son similares al Sol, pero menos evolucionados.

106

Es decir en su mayor parte hidrógeno y en su núcleo interior elementos sólidos más

pesados.

107

1

43

85

127

169

211

253

295

337

379

421

463

505

547

35) MAGNITUD de una estrella MEDIANTE LA LEY DE POGGSON

Para ello vamos a fotografiar dos estrellas conocidas como Mizar y Alcor,

transformamos la foto en datos y comprobamos los contenidos numéricos de ambas

estrellas.

300

250

200

150

100

50

0

Series123

Series1

250-300

200-250

150-200

100-150

50-100

0-50

Este dato lo utilizamos como intensidad del brillo, ya que está relacionado con él.

Podemos comprobar que existen en ambas estrellas celdas con números superiores a

20, valor elegido de referencia para las dos, suponiendo que números inferiores

representan ruido. 162 celdas cumplen la condición en el caso de Mizar y 68 celdas en

el caso de Alcor.

En el caso de Mizar la suma del contenido de dichas celdas, que representan el número

de electrones generados por los fotones recibidos de la estrella es de 17018, mientras

que la suma correspondiente, en las mismas condiciones, a las 68 celdas de Alcor es de

4925.

Si miramos la magnitud visual de Mizar, que es 2,2 y calculamos la de Alcor,

tendremos:

m2 = m1 + 2,5.log(b1/b2), que sustituyendo nos da una magnitud visual para Alcor de

3,54625571. La que nos aporta el programa Stellarium es de 3,95.

Se puede apreciar que aunque el cálculo se debería afinar mucho más, se puede

considerar válido el procedimiento.

Es evidente que los electrones obtenidos en el CCD, son consecuencia de los fotones

que han incidido en el mismo, procedentes de los flujos emitidos por ambas estrellas y

también por los distintos procedimientos contaminantes que arrastra el proceso

fotográfico , alguno de los cuales ya hemos comentado en el presente libro. A estos

108

deberemos añadir que si permitimos la saturación del pixel, perderemos la posibilidad

de realizar un cálculo adecuado puesto que el brillo de la estrella en cuestión se vería

mermado y los datos obtenidos no serán correctos. Este punto lo podemos ajustar

modificando el tiempo de exposición hasta lograr que ningún pixel muestre valores por

encima de 254. Esto introduce las mismas consideraciones para las mismas estrellas y

por tal motivo el cociente b1/b2 sería correcto. Otro factor nuevo que deberemos

considerar es el trabajar con fotos RAW en vez de otros formatos, ya que la conversión

de la cámara puede modificar los datos a los que estamos haciendo referencia.

Considero que es un momento adecuado para analizar el porqué de las afirmaciones

anteriores.

Sabemos que el usar en el CCD la máscara de Bayer para obtener la información de los

tres canales básicos del color RGB, obliga a que la información de cada canal no cubra

todos los píxeles del mismo. El resto de los elementos de la matriz básica son cubiertos

por interpolación con los píxeles más cercanos del color al efecto.

Veamos un esquema gráfico de lo expuesto hasta este momento:

En él se puede apreciar que

la matriz del sensor no es

cubierta en su totalidad por

cada uno de los colores. Para

conseguirlo tenemos que

procesar la información de

cada color y rellenar con ella

cada uno de los huecos que

no han recibido nada. Este

proceso se llama en español

interpolación cromática.

Este proceso es sencillo de

realizar, ya que asignamos a cada celda vacía un promedio, a determinar según

distintas técnicas y efectos, de las celdas circundantes con información.

Llegados a este punto, se puede entender la aproximación que se ha realizado en el

problema resuelto, ya que algunas de las celdas utilizadas no tienen fotones realmente

recibidos, sino resultados estimados mediante un proceso matemático.

Este inconveniente se puede solventar utilizando cámaras monocromáticas, en donde

todo el CCD completo se dedica a una longitud de onda concreta, mediante el uso de

filtros y montando las fotos al final.

109

Si nos fijamos con atención, podemos apreciar que el pixel fotográfico formado por los

contenidos de las celdas que ocupan la misma posición en la matriz, tiene una celda

con fotones reales y las otras dos con datos interpolados, mientras en las cámara

monocromáticas todas las posiciones tienen información real, con el inconveniente de

que las fotos realizadas lo son en tiempos distintos. Esto es así al tener que utilizar

filtros distintos en cada una de las exposiciones que realizamos para lograr el color.

Podemos afinar un poco más la técnica utilizando la información de los tres canales,

sumándola en cada una de las estrellas y utilizar esta información como el brillo total

recibido, aunque esto haría el proceso más complejo.

110

36) TIEMPO DE EXPOSICIÓN Y LA MAGNITUD ALCANZADA

El otro día, con el fin de calcular la magnitud de Alcor a partir de la magnitud de Mizar,

realicé fotos de ambas con diferentes tiempos de exposición a ISO constante.

Ahora la pregunta que me surge es analizar, a partir de esos datos, que magnitud

podría alcanzar aumentando el tiempo de exposición.

Si suponemos el flujo de las estrellas uniforme, consideración cierta si consideramos

intervalos cortos, a excepción de las turbulencias de la atmósfera y transparencia,

podemos observar que a mayor tiempo de exposición, el número de electrones

generados en el CCD es mayor.

Esta característica, propia de los elementos de acumulación que utilizamos, tanto en

película como en el CCD, nos permite considerar el razonamiento siguiente.

A simple vista podemos observar estrellas de hasta 6ª magnitud con buena capacidad

de observación, tanto ambiental como personal, pero nuestros ojos no poseen la

facultad de la acumulación a excepción de la persistencia retiniana que favorece

fenómenos de enlace de las imágenes. Por esta causa estrellas de magnitudes

superiores salen fuera del alcance de ella al no superar el umbral mínimo. Ahora bien

si nosotros podemos ir aumentando la información que llega de ellas y la presentamos

una vez superado el umbral citado, seremos capaces de verlas. Básicamente podemos

hacer que una estrella de magnitud 7ª pueda aparecer como una de magnitud 6ª.

Basándonos en este razonamiento, podemos considerar, a todos los efectos, que el

brillo de una estrella puede ser el resultado de la suma de fotones que han alcanzado

nuestro CCD, es decir

Brillo = I x t, siendo I la intensidad del flujo de emisión de la estrella y t el tiempo de

exposición.

Si consideramos que el flujo de emisión es constante en los tiempos que exponemos al

elemento receptor, vemos que el brillo es una función lineal del tiempo de exposición.

Brillo = I.f(t).

Por otro lado, si partimos de una foto realizada con una exposición primaria en la que

hemos obtenido ciertos resultados que nos sirvan de referencia, podemos ajustar

nuestros parámetros para mejorar lo obtenido. Si suponemos un flujo estelar B y lo

queremos multiplicar por un factor que llamaremos p, el nuevo flujo será p.B. Dicho

valor dependerá en exclusiva del tiempo de exposición, por lo cual el cambio de

magnitud Δm, será:

Δm = m primaria - m nueva = -2,5 . log (B/p.B) = - 2,5 . log (1/p) , o bien

111

Δm = -2,5 . log(1/p) de donde la magnitud nueva será, m nueva = Δm + m primaria

Si suponemos que multiplicamos el valor de la exposición utilizada por 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10…

las magnitudes se irán incrementando según una función logarítmica, la cual si la

representamos, nos aportaría la forma siguiente:

3

2,5

2

1,5

1

0,5

2,500

2,386

2,258

2,113

1,945

1,747

1,505

1,193

0,753

Series1

0

0,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

O sea, si multiplicamos la exposición por tres, la magnitud alcanzada en nuestro

elemento receptor será m primaria + 1,193. Es decir, si la exposición primitiva fue de 15"

y nos aportó estrellas de la magnitud 11ª, al utilizar una exposición de 3 x 15" = 45",

alcanzaremos estrellas de 11 + 1,193 = 12,193 de magnitud.

Es fácil apreciar que si calculamos el limite cuando el factor de multiplicación tiende

hacia infinito, dicha función también tiende hacia infinito, lim Δm p→∞ = lim p→∞ -2,5 .

log(1/p) = ∞. Esto nos indica que si aumentamos dicho factor, podemos alcanzar la

magnitud de cualquier estrella.

A nivel práctico es totalmente inviable, ya que poseemos limitaciones físicas con los

elementos que la tecnología pone a nuestro alcance y, las condiciones de la atmósfera

y del medio interestelar, hacen imposible tal extensión en el tiempo.

Por otro lado, también parece interesante calcular el factor de multiplicación que

hemos de usar para cambiar de magnitud y poder, de esta forma, analizar la sesión

fotográfica que estamos planeando realizar. Veámoslo

Sabemos por la fórmula de Pogsson que B 1 /B 2 = 10 2/5 Δm , y como B 1 = p.B 2 ,

sustituyendo tendremos que

p = 10 2/5 Δm , como Δm, representa en este caso un cambio de magnitud, tomará los

valores {1,2,3,4,5,6,…}, estando de esta forma frente a los datos siguientes

112

1 2,51188643

2 6,30957344

3 15,8489319

4 39,8107171

5 100

6 251,188643

7 630,957344

8 1584,89319

Ahora bien, si lo representamos a nivel gráfico, tendremos

300

250

200

150

Series1

100

50

0

1 2 3 4 5 6

Explicación:

Supongamos que hemos realizado una foto a ISO 800 con 30" de exposición y hemos

obtenido estrellas de magnitud 11. Si queremos obtener con esa ISO, estrellas de

magnitud 12, deberemos multiplicar, el tiempo utilizado, por 2,5118, dejando por lo

tanto abierto el obturador de la cámara 30" x 2,5118 = 75,354".

En este caso, así como en el anterior, existen limitaciones con la saturación de los

píxeles del CCD, ya que las estrellas más brillantes pueden saturarlo y existir

fenómenos de desbordamiento indeseables, así como de mantenimiento de la

posición del telescopio orientado hacia esa parte del firmamento.

La mejor forma es analizar la parte del cielo que va ser objeto de nuestro interés

fotográfico y comprobar si el tiempo de exposición teórico puede ser puesto en

práctica.

Debemos recordar que la contaminación lumínica existe siempre y por lo tanto

pretender tiempos de exposición muy elevados puede saturarnos el elemento sensor

de señales ajenas a nuestros intereses.

113

37) MAGNITUD DE LAS ESTRELLAS

Podemos utilizar la cámara de fotos para calcular la magnitud de las estrellas. En vez

de comenzar una nueva numeración, partimos de que conocemos la magnitud de

alguna de ellas y calculamos las del resto.

Para ello partamos de que conocemos la magnitud de la estrella Alnitak y queremos

conocer las de Alnilan y Mintaka.

En primer lugar tomaremos una foto del cinturón de Orión, teniendo presente que no

deberemos saturar las estrellas. Estas han de presentar una visión puntual.

Como solamente queremos las del cinturón, las extraemos de dicha foto.

Ahora extraemos la matriz de datos de la foto con algún programa al efecto. El que

utilizo nos da los datos por cada canal y yo los sumo para que no influyan las posibles

divergencias entre canales.

La suma de los datos de cada una de las estrellas han sido los siguientes:

AlnitaK: 32081

Alnilam: 34559

114

Mintaka: 21054

Para proceder a la suma, he hecho una suma condicionada a una caja que abarque

toda la estrella con la condición de un mínimo valor en los datos, para evitar, en lo

posible, la contaminación (podemos apreciar que el fondo no tiene el valor cero).

El valor por cada canal, suponiendo un sistema de 8 bits, no deberá superar el de 254,

ya que 255 no nos dejaría ver si existe saturación del valor. Como sumamos tres

canales, ROJO, VERDE Y AZUL, el valor más alto será 254x3=762.

Como sabemos las magnitudes de las estrellas a)Alnilam y c)Minataka, por

interpolación podemos calcular la de b)Almitak.

Para ello generamos el intervalo entre a y c, atendiendo a los datos de sus respectivas

matrices 34559-21054=13505, y este valor lo dividimos en las partes que

consideremos atendiendo a la facilidad del cálculo. Sean en este caso 5 sub intervalos

2701/5=2701 a cada uno de estos intervalos les asignamos los valores 1, 2, 3, 4, 5 en

orden creciente hacia los valores matriciales más pequeños.

Si tenemos presente los valores de las magnitudes

de A “Alnilam = 1,65” y C “Mintaka = 2,40”,

operando obtenemos para la magnitud de B

“Alnitak = 1,80”.

Este procedimiento es muy semejante al de

Argelander, con la diferencia, para mi esencial, de

que no necesitamos visualizar las magnitudes más

o menos, puesto que nos basamos en datos fotográficos, no interpretables.

Podría parecer que la obtención de datos de la matriz es un poco aleatoria, pero esto

no es así ya que una vez establecido el criterio lo aplicamos a todos por igual.

Este método permite realizar la foto de la zona de cielo a considerar e ir efectuando los

cálculos de forma paulatina. Con una sola foto podemos calcular la magnitud de un

importante número de estrellas.

115

38) CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA ESTRELLA EN EL CCD

Una de las cuestiones que necesitamos resolver, si queremos realizar cálculos con los

datos obtenidos por un CCD, es hallar el centro geométrico de una estrella en el

mismo.

Esto nos permitirá calcular la distancia entre ellas o analizar desplazamientos relativos

para detectar cometas, meteoroides, estrellas binarias, movimientos de la cámara, etc.

Es evidente que debido a que los tamaños de los pixeles son cantidades discretas, la

distribución de la información también la será, es decir, entre los datos de un pixel y el

contiguo, la información no es continua, por lo cual no podemos considerar el centro

del pixel, de más contenido, como el centro de la estrella.

Supongamos la foto siguiente:

Imaginemos ahora que queremos hallar la distancia en pixeles entre dos de sus

estrellas, para ello tenemos que pasar la foto a su matriz de base y extraer la submatriz

correspondiente.

116

el gráfico de la matriz será:

300

250

200

150

100

50

0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

Series8

Series1

Series15

250-300

200-250

150-200

100-150

50-100

0-50

Se aprecia que ambas estrellas están saturadas, ya que existen muchos pixeles que han

superado el valor máximo en el sistema utilizado.

En cada una de sus celdas existen números correspondientes a las intensidades

recibidas. En este momento seleccionamos aquellas celdas que se encuentre por

encima de determinado valor que nos marque la zona en donde se encuentran.

Podemos observar que existen varios pixeles que se encuentran saturados y no nos es

posible asignar el centro de las mismas al de mayor contenido numérico.

Para resolver el problema consideremos una submatriz que rodee a cada estrella:

X

X

Trabajemos con la primera de ellas

117

25,04

19,5

13

6,5

0

0

6,5

13

19,5

25,5

5

Ahora vamos a calcular la mediana en cada una de sus columnas

med x = L i + {(Σf a /2 - F ac )/f ai }.c

Como todos los intervalos tiene el mismo tamaño 6,5 μm y la clase mediana es la

primera que supera a N/2, 13215/2 = 6607,5. Por lo tanto en el eje X la clase mediana

es la que tiene una frecuencia absoluta acumulada de 6742, cuya frecuencia absoluta

es 1946 y el límite inferior del intervalo median 6,5x3= 19,5. Sustituyendo todos los

datos tendremos,

med x = 19,5 + {(6607,5 - 4796)/1946 }. 6,5 = 25,55

Si hacemos lo mismo para el eje Y, tendremos que N/2 = 13215/2 = 6607,5, como la

primera clase cuya frecuencia absoluta acumulada supera esta cifra es 6885, cuya

frecuencia absoluta es 1870 y el límite inferior del intervalo mediana es 19,5, ya que

coincide con el caso anterior al ser el tercer intervalo y ser su intervalo 6,5, al ser

cuadrado el pixel del CCD. Si ahora reemplazamos los valores hallados, tendremos,

med y = 19,5 + {(6607,5-5015)/1870}.6,5 = 25,04

Por lo tanto, la posición dentro de la matriz será el punto (25.55, 25.04) y como

conocemos el origen de la misma, tendremos su posición referenciada a la citada

matriz.

Veamos lo que ocurre con la otra estrella.

118

med x = 19,5 + {(6525 - 4716)/1891 } . 6,5 = 25,72

med y = 19,5 + {(6525 - 6456)/1859 } . 6,5 = 19,74

luego en este caso el punto central, respecto de la matriz utilizada, será (25.72, 19.74)

Se puede apreciar que con estos datos podemos hallar distancia entre ambas estrellas

en el CCD, ya que todos los pixeles tienen de tamaño 6,5 μm y conocemos el (0,0) de la

matriz y sus coordenadas respecto a la total.

por lo tanto, tendremos,

1ª matriz punto X ; 7x6,5+25,55 = 71,05

punto Y; 6x6,5+25,04 = 64,04, luego el punto será (71.05, 64,04)

2ª matriz punto X; 17x6,5+25,72 = 136,22

punto Y; 2x6,5+19,74 = 32,74, luego el punto será (136.22, 32.74)

Si ahora por ejemplo, queremos hallar la distancia, tendremos,

D =

De esta forma podremos controlar los desplazamiento relativos, si los hubiere, entre

ambas estrellas.

119

39) PARALAJE DE UNA ESTRELLA

Vamos a calcular la distancia de la Tierra a una estrella, utilizando el cambio de

posición aparente, que experimenta un objeto frente a otro lejano o muy lejano,

cuando cambiamos nuestra posición de observación de ambos.

Partamos del esquema gráfico de la figura, en donde aparecen representados el Sol y

la Tierra en los dos solsticios, verano e invierno. La órbita, que es elíptica, representa la

trayectoria del planeta a lo largo de un giro completo, un año. La estrella que he

situado en la posición C, como se podrá comprender, corresponde a una circumpolar,

que son las únicas que podemos visualizar a lo largo de toda la trayectoria.

C

A

S

B

γ' ángulo bajo el que se ve el radio de la órbita terrestre (en la figura la excentricidad

de la elipse no se corresponde con la real 0,99) de 1 U.A. (150 1 000.000km), conocida

como paralaje de una estrella.

De la fig. deducimos que el valor de γ=α' (alternos internos entre paralelas).

Nota: si posicionamos un giróscopo en B, apuntando a la estrella en C, éste mantiene

su orientación en A, después de la traslación terrestre, seis meses después.

Esto nos permite medir el ángulo α' y por lo tanto γ.

120

Conocidos los tres ángulos, ya que α=180-(γ+β) y la distancia

determinar las distancias y .

(2 U.A.) , podemos

Por otro lado SB = 1 U.A.

y como

η+γ'+β=180 -> γ' conocido

Luego la paralaje de la estrella γ' está determinada. Ahora bien, esta medición de

ángulos requiere gran precisión, debido a que a grandes distancias, dicho ángulo es

muy pequeño y cualquier error influye de forma notoria.

También tenemos que tener presente que, esta experiencia, reviste una especial

dificultad práctica debido a que la identificación de la estrella, que cambia de posición

aparente, será difícil de localizar en el montaje final. Un método consistiría en montar

una película con las dos fotos, controlando los tiempos de aparición y observar

aquellas que manifiestan movimiento aparente en la escena.

Otro elemento importante es el hecho de que solamente lo podremos realizar con

estrellas circumpolares que son las únicas que podemos visualizar a lo largo de toda la

trayectoria de la Tierra.

121

- MÉTODO FOTOGRÁFICO

Antes de comenzar, realicemos la siguiente experiencia.

Supongamos que desde nuestra posición observamos dos objetos A y B que se

encuentran a distintas distancia de nosotros.

Si nos desplazamos desde la posición 1º a la posición 2º, vemos como una vez A se

encuentra a su derecha y la otra a su izquierda.

Si la misma experiencia la repetimos con una cámara fotográfica. el resultado es

idéntico, y si montamos las dos fotos tomando a la posición B como referencia,

veremos que el punto A se encuentra, rodeando la posición de B.

Se aprecia que los triángulos ACB y DCB, son semejantes y por lo tanto conocido el

segmento AB y DE, es decir lo que se mueve el punto de D a E y lo que nos hemos

movido nosotros de A a B, así como la distancia focal de la cámara,

*

122

* es la distancia que separa las dos posiciones en el chip de la cámara, por lo tanto

, este sistema lo podemos utilizar empleando el

movimiento de traslación de la Tierra y los programas de montaje de fotos que existen

en la actualidad.

Veamos un ejemplo. Esta estrella se ha desplazado ligeramente sobre el fondo de

estrellas, el cual permanece fijo. Nosotros calculamos la matriz numérica de dichas

estrellas una vez que hemos montado las dos fotos.

Su representación gráfica, mediante la hoja de cálculo, será:

lo que nos aporta los siguientes datos,

123

40) CÁLCULO DEL CAMPO DE VISIÓN DEL TELESCOPIO (FOV)

Quizás con el título del ejercicio obtenemos poca información a priori, por lo cual considero de

interés matizar algunos conceptos implícitos en él.

Consideremos la figura adjunta

En ella destacamos los puntos B, H y G.

El cono con vértice en B y su base determinada por la circunferencia que pasa por los puntos H

y G, determina la visual que nosotros apreciamos a través del telescopio.

El ángulo en B, ángulo sólido, es el ángulo de visión que nosotros apreciamos del Universo que

nos rodea y se mide en estereoradianes, no así la distancia HG, diámetro del objetivo, si la

comparamos con la distancia ED, que no conocemos ya que no sabemos la distancia a la que

se encuentra la estrella que estamos observando. Es por este motivo por el que usamos el

ángulo de visión en vez de la distancia ED.

Ahora bien, no necesitamos utilizar los estereoradianes, sino el ángulo de la sección vertical

determinado por el vértice y el diámetro del objetivo del telescopio, el cual lo podemos

calcular a través de los parámetros del telescopio que estamos utilizando, distancia focal y

diámetro del objetivo, según la figura adjunta.

124

donde:

en mi telescopio F=1200mm y A=254mm, de

podemos apreciar la similitud de ambos valores.

Como los cálculos efectuados están en radianes, los convertiremos a grados:

de donde

(en grados)

Calcular el ángulo de visión α es sencillo, una vez resuelto el cálculo anterior.

α = Diámetro/Distancia focal en grados

En términos generales, la escala sería I=1/F , ángulo que corresponder a cada milímetro de

apertura del telescopio y F su distancia focal. En nuestro caso F=distancia AB o A’B.

Por otro lado

Podemos observar que cuanto más lejano está el objeto, más cerca del foco se encuentra la

formación de la imagen, que en este caso es real. De todos modos, la imagen está situada

125

antes del foco, con lo cual, en el telescopio citado, se encuentra, una vez que curvamos los

rayos de luz, más hacia el exterior, como señalo en la figura adjunta.

Las cámaras réflex con espejo, como la Canon 6D, tienen problemas para alcanzar la imagen,

por lo que debemos utilizar un enfocador con perfil bajo.

Si la cámara es una réflex sin espejo, como la Canon Ra, este problema no existe, al poderse

alcanzar el plano de formación de la imagen sin problemas.

Si ahora lo aplicamos, en foco primario, a un CCD full frame (36x24 mm) tendremos,

FOV largo = 36*57,3*1/1200 = 1,719 o horizontal

FOV ancho = 24*57,3*1/1200 = 1,146 o vertical

Debemos tener presente que la imagen se forma en todo el CCD, es decir, los rayos de luz del

espejo primario inciden, a través del secundario, en el citado CCD.

Hemos calculado el ángulo que determina cada milímetro del CCD, de ahí el cálculo del factor

1/1200, y los hemos sumado en todo el CCD, a través del producto con 36mm.

Esto implica que una estrella que circule horizontalmente por nuestra cámara, tardará, en el

ecuador galáctico,

en donde x=(1,719*24)/360 = 0,1146h o bien 6min 53seg.

Si no es en el ecuador galáctico, tendremos que tener presente la declinación de la estrella y

por tanto

x = 6min 53seg /cos β, siendo β la declinación.

Es interesante apreciar que cuanto más nos acerquemos a la polar más tiempo

permanecerá, en la cámara, la estrella en cuestión. Hasta tal punto que, debido a la

rotación, no salga del CCD, generando una circunferencia. Fuera del ecuador galáctico,

126

las trayectorias de las estrellas, son curvas, siendo estas cóncavas o convexas

dependiendo de la posición respecto de éste.

ARCO´= A’B’= α . R´= α . R. cos β, siendo β el ángulo AOA’ la declinación de la estrella

ARCO = AB = α . R

Siendo R la distancia OA y OA’, y R’ la distancia del eje de giro a los puntos A’ o B’

Si dividimos las dos ecuaciones, tenemos que:

ARCO´/ARCO = α . R. cos β/α . R => ARCO´= ARCO . cos β, sabiendo que ARCO = 1,719 O

127

Luego, ARCO´= 1,719 O . cos β, y como,

que al ser inversa, nos dará

que:

(suponemos desplazamientos rectilíneos en el CCD)

El arco AB, ocupa el CCD completo, mientras el arco A’B’ “NO” al ser, éste último, menor ya

que 0<= <=1.

Es decir, cuanto más al norte el valor del coseno disminuye, por lo que al arco se hace menor y

el tiempo de exposición, mayor, lo que nos permite mantener abierto el objetivo más tiempo.

Por otro lado, se puede notar que la senda de la estrella (star trail), es menor, lo que nos

permite mantener la exposición durante más tiempo sin que se aprecie.

En la foto adjunta, se puede ver que el giro se mantiene dentro del CCD de la cámara al

apuntar hacia la estrella Polar.

Orientado hacia el ecuador galáctico

Orientado hacia la Polar

128

41) TAMAÑO DE UN OBJETO EN EL CCD DE LA CÁMARA

Es evidente que cuando pretendemos realizar fotos de alguno de los objetos del cielo

profundo, una de las dudas que nos surgen es conocer si nuestro sistema óptico podrá

albergar, en todo su esplendor, al mismo.

Solamente conocemos los datos que nos aporta el planisferio sobre tamaño y

magnitud. Es conveniente pasar los mismos a nuestra realidad, tanto en tamaño como

en magnitud.

El cálculo de la segunda, ya fue presentado al comienzo de este libro, aunque cabe

señalar que deberíamos distinguir la magnitud que alcanzamos con el sistema óptico y

la que terminamos logrando después del procesado.

En algunas de las fotos expuestas se puede apreciar que después de éste, alcanzamos

objetos mucho más tenues que lo que el equipo sugiere.

Respecto al primero, deberemos calcular el campo de visión de nuestro sistema (FOV),

atendiendo al chip de nuestra cámara.

grados = (tamaño del chip x 57,3)/focal

* tamaño del chip, en la mayor parte de las cámaras son rectángulos por lo tanto

deberemos aplicarlo a los dos lados.

* focal la del telescopio que en nuestro caso son 1200mm sin reductor ni

multiplicador.

Si lo aplicamos a la cámara Canon 6D, que tiene un sensor full frame (36x24 mm),

tendremos:

grados horizontal = 36x57,3/1200 = 1,719 0

129

grados vertical = 24x57,3/1200 = 1,146 0

en total la diagonal será =2,066 0 .

La cámara Canon 350D tiene un sensor de 22,2x14,8, con lo cual sus datos serán:

grados horizontales = 22,2x57,3/1200 = 1,06005 0

grados vertical = 14,8x57,3/1200 = 0,7067 0

y su diagonal = 1,274021 0

Con este último realicé la foto de la nebulosa planetaria M97, expuesta a continuación.

Introduciéndola en el programa Geogebra y calculando su diámetro aproximado,

tenemos una distancia de 2,84 cm sobre una foto de 59,12 cm de longitud horizontal.

Si a una foto de 59,12 le corresponde un diámetro de 2,84, al sensor de 22,2 mm le

corresponderá una distancia de 1,0664 mm.

Por lo tanto como el ángulo horizontal del sensor es de 1,06005 0 = 63,603', a la imagen

le corresponde una amplitud de 1,0664x63,603/22,2 = 3,037' = 3'2''.

Si comprobamos en el programa Stellarium, puesto en este trabajo, veremos que el

tamaño es de 3'12''.

Atendiendo al proceso utilizado, apreciamos la gran precisión del proceso.

Este mecanismo nos permite conocer con antelación, si somos capaces de obtener un

tamaño significativo con nuestra foto. El empleo de un multiplicador tiene, como ya

130

hemos señalado, sus limitaciones debido a las turbulencias atmosféricas (seeing) y a la

transparencia.

Alguien podría pensar que bastaría ampliar la foto para obtener un tamaño más

adecuado, pero es necesario resaltar que si su tamaño en el chip es muy pequeño, la

ampliación no produce efectos significativos.

Se puede apreciar que los cálculos los he realizado partiendo de una foto concreta,

pero si seguimos el proceso inverso, es decir partimos del tamaño que nos indica el

planisferio electrónico, podemos calcular el tamaño que tendrá el objeto en el chip de

la cámara y si es conveniente utilizar otra cámara con el chip más reducido para

obtener un efecto amplificador.

La relación de la Canon 350D a la Canon 6D es de, en el plano horizontal, 36/22,2 =

1,62, con lo cual, la imagen sería más pequeña y abría que ampliarla 1,62 veces para

obtener el mismo tamaño.

Nota: el valor de 57,3 es el factor de conversión de radianes a grados.

Si a 2π radianes le corresponden 360 0 , a un radián le corresponderán 360/2π = 57,3.

Al dividir el tamaño del chip entre la distancia focal del telescopio, el cual utilizamos

como objetivo de la cámara, obtenemos la tangente del ángulo, pero para ángulos

pequeños se puede equiparar al ángulo, lo que al multiplicarlo por el factor de

conversión obtenemos el ángulo de visión del sistema, FOV.

Podemos observar que nos ocurre si reducimos la focal o la ampliamos con los

elementos adecuados, pero deberemos tener presente que las condiciones

atmosféricas nos limitarán en gran medida las tomas que hagamos.

Como curiosidad podemos calcular el tiempo que una estrella tardará en recorrer

nuestro CCD.

Teniendo en cuenta que la Tierra tarda 24h en dar una vuelta completa, y esto

equivale a 3600,y como el ancho del CCD es de 1,719 0 , el tiempo será de

x = (1,719x24)/360 = 0,1146h o bien 6min 53seg.

Ahora bien eso suponiendo que estamos realizando la medición con una estrella que

se encuentre en el ecuador galáctico, cuya declinación es cero. Si no fuese así

tendríamos que ajustarnos a otra circunferencia paralela a la anterior y por lo tanto su

longitud sería menor aunque el tiempo de rotación sería evidentemente el mismo, por

lo tanto.

x = 6min 53seg/cos β, siendo β la declinación de la estrella. Se puede ver que a mayor

declinación, mayor tiempo, hasta alcanzar la polar que tardaría un tiempo infinito.

131

42) PROFUNDIDAD DE CAMPO EN ASTROFOTOGRAFÍA

Como podemos apreciar este concepto de “profundidad de campo” no tiene sentido

en astrofotografía, pero lo nombro debido a que se maneja el concepto de apilado y

deseo hacer notar la diferencia que existe entre ambos apilados.

Existen programas como photoshop o Gimp, que permiten apilar varias tomas con el

fin de mejorar la profundidad de campo en la macrofotografía.

Veamos ambos procesos con el fin de explicar dichas diferencias:

1º procesado con photoshop

Realizamos varias tomas que posean distintos planos de enfoque sobre un objeto

Se puede apreciar que las tres tomas tienen distintos puntos de enfoque. Si ahora las

apilamos en el sentido de estos programas, obtenemos el siguiente resultado:

Se observa que la profundidad de campo lograda

es excelente. Ahora bien, este concepto no

podemos aplicarlo a la fotografía estelar, ya que

las distancias a las que trabajamos, sitúan al

punto de enfoque en el infinito.

Entonces, ¿qué significado tiene en

astrofotografía?.

En este campo, lo que intentamos es mejorar la

calidad de la imagen, eliminando aquellos valores

de la matriz de la foto, que no corresponden con

las emisiones de los objetos estelares, como la corriente térmica, de lectura y

partículas de alta energía que llegan a la cámara. Debido a que estas muestran un

comportamiento aleatorio, cada toma las depositará en un fotosito diferente, de tal

132

manera que, con operaciones matemáticas de suma de matrices y división por un

número, conseguiremos eliminarlos y mejorar, por lo tanto, el contraste de la foto.

En este apilado realizamos un importante número de fotos (20 o más). El apilado

incluye fotos Dark(oscuras) y Flat(planas), de esta forma anulamos la corriente térmica

y los defectos del espejo.

El resultado final de este proceso es:

133

Esta foto, que corresponde con la nebulosa de la Flama, la tenemos que procesar con

el fin de resaltar la nebulosa, mediante programas como pixinsight u otros.

Se puede apreciar la gran contaminación lumínica que existe, lo que no permite

visualizar la nebulosa.

Después del procesado se aprecia la nebulosa, la cual podemos potenciar un poco más

forzando el mismo.

134

43) ESTRELLAS BINARIAS

Vamos a partir de una situación real que se presenta en el taller de astronomía,

modificada para resolver problemas concretos.

Actores: Pedro González Justo, profesor y los alumnos: Lucía y Javier, ambos de

primero de bachillerato.

Problema: estudio de las estrellas binarias mediante métodos fotográficos. Los datos

los procesaremos con los programas Geogebra y Gimp. También utilizaremos

conocimientos de geometría y analítica.

Buenas tardes, Lucía y Javier. Hoy vamos a centrarnos en el análisis de las estrellas

binarias.

Estuve ayer en una conferencia en la universidad en la que el ponente trató este tema

y me pareció interesante estudiarlo en nuestro taller de astronomía.

- Lucía.- ¿Qué significa eso de estrellas binarias?

- Pedro.- son estrellas que tienen interacciones gravitatorias entre sí. Por lo general

orbita una alrededor de la otra o alrededor de un centro de masas.

- Javier.- ¿Podrían ser más de dos?

- Pedro.- Sí. Pero nos vamos a centrar en el caso más simple. Una de las estrellas orbita

alrededor de otra más masiva.

Recordad que nosotros vamos a utilizar procedimientos fotográficos.

Básicamente tratamos de determinar movimientos relativos entre dos o más puntos,

en fotografías de la misma región estelar.

- Lucía.- ¿Cómo podemos apreciar éste efecto?.

- Javier.- Sí, cuando miro al cielo, en una noche estrellada, no veo que nada se mueva.

- Pedro.- Tomad estas dos fotos de la misma región del cielo y pensad que

procedimiento podemos poner en marcha, con los materiales que tenemos, para

comprobar si ha habido movimiento relativo entre los objetos de la foto.

- Javier.- Podemos utilizar el programa de fotos y superponer ambas.

- Lucía.- Sí, si coloreamos los puntos de una de ellas, podemos apreciar si en alguna

región se aprecian dos puntos de distinto color cercanos entre sí.

- Pedro.- El procedimiento que habéis imaginado me parece interesante, pero necesita

algunas precisiones antes de su uso. ¿Cuáles son?.

135

- Lucía.- ambas tomas han de ser iguales. Es decir, se deben poder superponer.

- Javier.- misma cámara y misma focal.

- Pedro.- es cierto, se deben poder superponer, como muy bien apunta Lucía. Para ello,

el sistema óptico y fotográfico, han de ser idénticos. Esto es complicado de lograr,

máxime cuando las fotos han sido tomadas en épocas diferentes y evidentemente las

condiciones no han sido idénticas. Tenemos que tener presente que las zonas a

estudiar solamente tendrán una zona en común, pero para nosotros será suficiente,

siempre que la parte a estudiar esté en ambas.

- Pedro.- ¿Qué podemos hacer si no lo son?

- Lucía.- Con los metadatos de las fotos, aplicar Thales.

- Javier.- Sí, deben poderse superponer ambas y para ello las distancias relativas y

ángulos han de ser iguales, a excepción de la que se haya desplazado.

- Pedro.- Muy bien, puesto que las distancias están relacionadas con el tamaño y la

focal de la foto, mientras que los ángulos son una invariante del sistema. Esto significa

que no depende de la óptica y de la foto. Tened presente que dos figuras son

semejantes cuando todos los ángulos de ellas son iguales aunque las distancias

cambien. Evidentemente, éstas, tienen que guardar todas la misma proporción.

- Pedro.- Muy bien. Resuelto el primer reto, midamos las distancias entre dos de ellas.

Podéis utilizar una regla milimetrada y un trasportador de ángulos, pero como

pretendemos utilizar recursos informáticos, utilizaremos el programa Geogebra.

- Lucía.- Pedro, ya he introducido la foto en el programa.

- Javier.- Yo, también.

136

- Pedro.- Veo que habéis calculado los puntos que nos sitúan a cuatro de las estrellas

de la Osa Mayor. Mizar, Alcor, Alkaid y Alioth. Ahora podéis calcular sus distancias

respectivas mediante analítica. Este sistema es más aconsejable que la medida con

regla, puesto que tendrías que conocer la escala a la ha sido trazada la foto en el

programa. Recordad que el programa,

aunque aumente el tamaño visual,

conserva el valor de los puntos y los ejes

de referencia. Si nosotros ampliamos

solamente la foto, tendríamos que, una

vez efectuada la medida, reconvertirla, a

la imagen original, por semejanza.

- Lucía.- Mizar es el punto D(57.13,

34.33); Alcor es el punto E(56.84, 34.25);

Alioth es el punto C(60.63, 40.23) y

Alkaid es el punto F(58.44, 23.94). Calculando la distancia entre Mizar y Alkaid, nos da

un valor de 10,47225859 cm (relativa al tamaño de la foto introducida en el programa).

- Pedro.- ¿Cómo has efectuado el cálculo?.

- Lucía.- Aplicando la distancia entre dos puntos.

- Pedro.- ¿Y tú, Javier?.

- Javier.- En mi caso los puntos son: Mizar es el punto E(58.46, 35.59); Alcor es el punto

D(58.19, 35.46); Alioth es el punto F(61.84, 41.59) y Alkaid es el punto C(60.1, 25.25).

Calculando la distancia entre Mizar y Alkaid, nos da un valor de 10,46925021 cm,

mientras que el programa aporta a la distancia el valor de 10.48.

- Pedro.- ambas medidas no coinciden. ¿Qué sucede?

- Javier.- Creo que es debido a que los puntos de las estrellas no están bien centrados.

De todos modos el error cometido es muy pequeño.

- Pedro.- Es cierto. Los dos no habéis colocado el centro de las estrellas de igual modo,

pero el error cometido, teniendo en cuenta la comodidad del cálculo, es muy pequeño,

aunque en cálculos reales tendríamos que afinar mucho más. En el caso del programa,

el error se encuentra en el número de decimales incluidos en el proceso.

- Lucía.- Si las estrellas son fijas, y lo son, ya que estamos utilizando la Osa Mayor,

podemos calcular la relación de las distancias focales.

- Javier.- Me he fijado en que ambas fotos están giradas. ¿Por qué?

- Pedro.- Vamos paso a paso. Primero resolvamos el tema de las distancias y luego el

del giro.

137

A ver Lucía, ¿cómo resolvemos el tema de las distintas distancias?.

- Lucía.- Es suficiente con establecer una proporción entre las distancias obtenidas en

la medición que hemos efectuado y las distancia focales de ambas fotos. Al conocer

tres datos, podemos calcular el cuarto. Si no tenemos nada más que las distancias,

podremos tener la relación entre las focales.

- Pedro.- Muy bien. A ver Javier, investiguemos las causas del giro.

- Javier.- La única explicación que se me ocurre es que hemos girado la cámara al

realizar la foto.

- Pedro.- Muy bien, Javier. El giro se debe a la rotación de la Tierra. Como los que

giramos somos nosotros, en la práctica, al considerarnos fijos, gira el cielo sobre

nuestras cabezas. Como veréis, el programa Gimp, nos permite rotar las fotos para

hacerlas coincidir.

Por otro lado, podéis observar que no es necesario rotar las fotos para superponerlas,

pues si calculamos distancias y ángulos de cada una por separado apreciaremos si se

presenta algún cambio.

- Pedro.- Habiendo calculado la distancia entre dos estrellas, hallemos el ángulo que

forman tres estrellas. Usaremos las estrellas de la Osa Mayor, Mizar, Alcor y Alkaid,

teniendo presente las rectas Mizar-Alcor y Mizar-Alkaid.

- Lucía.- Pedro, ¿hemos estudiado alguna cuestión que nos permita realizar el cálculo?.

- Javier.- Respecto al tema, recuerdo la recta determinada por dos puntos, la mediatriz

de un segmento, las distancia entre dos puntos y el ángulo entre dos rectas.

- Pedro.- Muy bien, Javier. Veo que tienes buena memoria. Este último apartado que

habéis estudiado es el que emplearemos para su cálculo.

- Lucía.- Ya me acuerdo de la fórmula (1):

en donde el vector Mizar-Alcor es:

y el vector Mizar-Alkaid es

Con los puntos que he determinado sobre la foto que me has dado, tenemos que:

a x = 56,84-57,13 ; a y = 34,21-34,33

138

b x = 58,46-57,13 ; b y = 23,93-34,33

Por lo tanto, aplicando la fórmula del coseno, tengo un valor de cos α = 0,2620509147,

por lo tanto α = 74 o 48' 30''.

- Javier.- En mi caso los valores son:

a x = 8,19-58,46 ; a y = 35,46-35,59

b x = 60,1-58,46 ; b y = 25,25-35,59

Y una vez aplicada la fórmula he obtenido el valor del cos α = 0,2873186 cuyo ángulo

es:

α = 73 o 18' 9''.

- Pedro.- Muy bien, ahora compararlo con el valor que nos aporta el programa para

ambos casos.

- Lucía.- el Geogebra pone que el ángulo es de 73,13 o . No se parece mucho al que he

obtenido. Es posible que me haya equivocado en el cálculo.

- Javier.- En mi caso pone que es de 72,37 o , luego también que he equivocado.

- Pedro.- Puede, pero teniendo presente lo que os dije sobre la precisión de los

cálculos, digamos al programa que utilice cinco decimales y veamos lo que pasa.

Como los nuevos valores complican el cálculo enormemente, os he hecho un programa

en la hoja de cálculo para que pongáis los mismos en las celdas adecuadas y podamos

comparar los nuevos resultados con los anteriores.

- Lucía.- Los nuevos valores que me aporta el programa son:

a x = 56,83963-57,12504 ; a y = 34,20605-34,33451

b x = 58,45528-5712504 ; b y = 23,92583-34,33451

al introducirlos en la hoja de cálculo dan un ángulo de α = 73 o 7' 33''. Este valor es casi

idéntico al que aporta el programa. Parece mentira que cambiando el número de

decimales, cambie tanto el resultado final.

- Javier.- En mi caso los nuevos valores son:

a x = 58,18801-58,45989 ; a y = 35,45837-35,59462

b x = 60,09653-58,45989 ; b y = 25,24595-35,59462

los cuales, al procesarlos en la hoja, me aportan un valor de α = 72 o 22' 11'',

prácticamente igual al del programa.

139

- Pedro.- Veréis que vuestros ángulos se diferenciaban en más de un grado y ahora,

con los valores más ajustados, se diferencian en unos cuantos segundos.

Espero que os ayude a reflexionar sobre la importancia de la precisión en los cálculos

matemáticos.

Una vez comprendidos los conceptos anteriores, estamos preparados para analizar si

una estrella orbita sobre otra, es decir si son binarias gravitacionales.

Como no tenemos a mano fotografías de otros momentos, podemos trabajar con los

datos aportados por otros astrómetros que se dedican a investigar sobre estrellas

binarias.

Para ello tenemos que fijar unos conceptos previos como es el de la clasificación de las

estrellas binarias que utilizan en sus observaciones. En una de ellas, las clasifican en

visuales, astrométricas, espectrográficas y dobles eclipsantes.

De todas ellas nos interesan las visuales, ya que se pueden desdoblar por medios

fotográficos como los que estamos empleando.

En las tablas existentes, se nos aportan datos de interés con el fin de que otros

astrómetros puedan confirmar los datos o aportar otros nuevos. Entre ellos tenemos la

AR y DEC con el fin de poder localizar las estrellas con precisión, el ángulo formado por

la dirección N-S de la estrella base y la recta determinada por ésta y la que gira, así

como la distancia angular que las separa, según el esquema adjunto.

- Javier.- Pedro, nos podrías explicar cómo se determina la línea N-S.

- Pedro.- Si, no es complicado. Es suficiente con mover el motor de declinación de la

montura y comprobar que la estrella principal, u otra que veamos, se desplaza paralela

al borde del frame. Si no fuese así, rotaríamos la cámara o el ocular, hasta lograrlo.

Para facilitarnos la labor, el programa de la cámara tiene la opción de visión en directo

con una retícula de apoyo y existen oculares con un retículo iluminado para conseguir

el mismo efecto.

140

- Lucía.- ¿Cómo calculamos el ángulo α, si solamente tenemos dos estrellas y no las

tres que hemos utilizado?.

- Pedro.- Muy bien, Lucía, veo que has observado la diferencia. En este caso, nos

tenemos que dar cuenta que al coincidir el eje N-S, con el eje de coordenadas Y, su

vector de dirección tiene la forma (0,a), por lo tanto, si lo hacemos unitario tendría

como componentes (0,1) y una vez calculado el vector

ángulo citado.

, podríamos resolver el

- Javier.- Al tener una componente cero, se simplifica el cálculo, pero, ¿cómo hallamos

la distancia angular?

- Pedro.- Nosotros en la foto, como sabemos la distancia focal en mm y la distancia

entre estrellas en mm. Podríamos resolver el triángulo.

A

. Como en ángulos pequeños, y en radianes, la tangente y el ángulo

tienen el mismo valor, por lo tanto, si sustituimos tendríamos que .

Con el ocular, una vez colocado para esta operación, mediríamos el tiempo que tarda

una estrella en alcanzar la posición de la otra (ejemplo, cetro del ocular) y como

sabemos la velocidad de rotación de la Tierra y la latitud de la estrella tendríamos

determinada dicha distancia angular.

, siendo 15,04’’/seg la velocidad angular de la Tierra en segundos de

arco por segundo de tiempo, en el ecuador terrestre o galáctico. Veréis que lo

multiplicamos por cos δ, para ajustarlo a la declinación de la estrella en cuestión.

141

- Pedro.- Os recuerdo que en el cálculo anterior, deberemos reducir la distancia entre

las estrellas, en la foto, a la distancia real en el chip (36x24 mm full frame).

- Lucía.- Pedro, ¿cómo lo calculamos?.

- Pedro.- Ya os dije que aplicando Tales. Es suficiente con establecer la relación entre

las dimensiones de la foto y el tamaño del chip.

- Javier.- Pedro, no me quedó claro lo que nos dijiste sobre desdoblar las estrellas.

- Pedro.- Javier, me estaba refiriendo a que, con los medios óptico y fotográfico,

tenemos que ser capaces de visualizar a las estrellas de forma separada.

Por ejemplo, si miráis a Mizar y Alcor, a simple vista, parece ser una estrella un poco

alargada, pero al mirarla con más aumentos, somos capaces de distinguir que son dos

y si aumentamos algo más, veríamos que son algunas más. En la realidad, la estrella

Mizar es una estrella doble.

- Pedro.- Aquí tenéis un ejemplo de los conceptos que hemos estado analizando. Esta

foto nos permitiría hacer los cálculos del ángulo de separación y la distancia angular.

Aunque nosotros necesitaríamos dos fotos más, para determinar cinco puntos de la

órbita y poderla calcular.

Fotos tomadas a lo largo de 12 años desde el observatorio de Yerkes (binaria visual

Krüger 60)

- Pedro.- Bien, visto esto, vamos a calcular la órbita de una estrella sobre otra. Como

no tenemos datos propios, utilizaremos los que nos aportan las tablas de observación

que os he comentado. Supongamos una de ellas, en donde entre otros datos nos

señala los siguientes:

142

Año ángulo distancia

2011.00 284.0 0.765

2012.00 294.7 0.682

2013.00 309.2 0.562

2014.00 333.0 0.419

2015.00 15.7 0.332

2016.00 61.2 0.398

2017.00 87.6 0.536

2018.00 103.5 0.653

2019.00 115.1 0.731

2020.00 125.0 0.775

La distancia angular, que como sabéis es la que separa a las dos estrellas y el ángulo

que forman las direcciones N-S y la recta estrella-estrella, se pueden considerar

coordenadas (en este caso polares), y se pueden introducir directamente en el

programa Geogebra. Este tipo de coordenadas, las polares, tienen dos componentes,

el módulo, o distancia al centro de coordenadas y el ángulo que forma con el eje

horizontal (eje X).

El programa, con el fin de identificarlas, utiliza como notación un par de elementos

introducidos en un paréntesis, separados por punto y coma, siendo el primer elemento

la distancia angular y el segundo, el ángulo seguido de el símbolo de grados. Ejemplo

(distancia angular;ángulo o ) => (0.345;45 o )

En nuestro caso, como el origen de ángulos en el citado programa es el eje horizontal y

los datos astrométricos en el vertical, tendremos que sumarles 90 o a todos ellos. La

gráfica será

143

De la observación de la gráfica podemos deducir que la estrella secundaria órbita

alrededor de la principal pero, al no encontrarse esta última en uno de los focos, cabe

considerar que realmente lo hace sobre un centro de masas. De esta forma, son ambas

las que lo hacen sobre el citado punto. Vemos que la elipse determinada está girada

respecto de los ejes y desplazada del origen de coordenadas.

Para calcular el valor de los semiejes de la elipse, y poder, por lo tanto aplicar la citada

ley, deberemos aplicar, en el programa Geogebra, las opciones que éste tiene al

efecto.

Centro[-0.58x² + 0.32x y - 1.04y² + 0.16x - 0.41y = -0.27] => A(0.09,0018)

Ejemayor[-0.58x² + 0.32x y - 1.04y² + 0.16x - 0.41y = -0.27] => 0.3x-0.95y=0.2

Ejemenor[-0.58x² + 0.32x y - 1.04y² + 0.16x - 0.41y = -0.27] => 0.95x+0.03y=0.3

Focos M(0.61,-0.02) ; N(-0.44,-0.35)

Longitud Semieje mayor a=0.7683

144

Longitud Semieje menor b=0.5395

Área del triángulo entre los años 2012 y 2013 es 0.09064 u 2

Si tenemos presente las leyes de Kepler en donde una de ellas nos indica que las áreas

barridas en tiempos iguales, son iguales cuando un astro orbita sobre otro. Y si

tenemos en cuenta que el área de una elipse es S=πab, en donde a es el semieje mayor

y b el menor.

Por otro lado, como tenemos las fechas de las observaciones podemos aplicarlo a dos

en concreto que llamaremos T 1= C y T 2= B, las cuales nos determinan, sobre la elipse, la

figura siguiente,

d

T

2

1

Si nos fijamos en el triángulo E 1 , T 1 , T 2 , en donde α es la diferencia de los ángulos de

posición y d 1 y d 2 las distancias angulares. Y si consideramos, en dicho triángulo, el

segmento T 1 T 2 , en vez del arco, el área será, para los años 2012 y 2013-04-26

α= 7.8192º

145

d 1 = 1.1235 y d 2 = 1.2347

Luego el área A = (1.1235 2 + 1.2347 2 – 2*1.1235*1.2347*cos 7.8192 1/2 = 0.0964 de lo

que deducimos que el período P = 1.3021/0.0964 = 14.37 años

Nota: Si lo queremos hacer con más precisión, bastaría integrar la función obtenida

entre T 1 y T 2

T 2

d 1

t’

Sumarle el área de triángulo E 1 T 1 t’ y restarle el área del triángulo E 1 T 2 t’’.

146

44) COLIMADO DE UN TELESCOPIO REFLECTOR NEWTON:

Este se compone de un espejo principal cóncavo en forma de casque esférico, cuya superficie

está tratada con un material reflectante.

Los rayos de luz que entran en el telescopio son reflejados por el espejo primario y son

desviados por el secundario que se encuentra a 45 grados y enviados hacia el ocular.

El espejo de este reflector tiene una longitud focal larga y su superficie óptica es adecuada

para pequeños reflectores y aquellos con una relación focal mayor o igual a f/9. Sin embargo,

con reflectores más grandes y los que tienen relaciones de abertura iguales o inferiores a f/8,

estos espejos esféricos no logran converger todos los rayos de luz en el mismo punto focal (1) .

Los rayos procedentes de la región periférica del espejo se centran en un punto diferente que

los rayos procedentes del centro, dando lugar a una imagen que carece de contraste debido a

la aberración esférica.

Para corregir este defecto, las superficies de los espejos se trabajan durante el pulido para

generar una forma parabólica, lo que permite llevar todos los rayos de luz al mismo punto

focal.

El espejo secundario crea una obstrucción, lo que provoca un pequeño efecto negativo en las

fotos que puede causar una pequeña pérdida de contraste, y reduce la cantidad total de luz

que llega al punto focal por fenómenos de difracción, sin embargo dicha obstrucción no es

apreciable en el ocular.

La óptica de un reflector es menos costosa de producir que la de cualquier otro diseño óptico.

El aspecto negativo de un telescopio reflector newtoniano es que generalmente tiene un tubo

largo y es propenso a vibraciones bajo la acción del viento. Debemos tener presente que la

colimación de ambos espejos forma parte del mantenimiento normal este tipo de telescopios.

Al tener una buena apertura (normalmente parten de 114mm), tienen mayor luminosidad, por

lo que son idóneos para la observación de objetos débiles como nebulosas, galaxias y cúmulos

de estrellas. Su bajo contraste limita la obtención de colores brillantes o imágenes con alto

grado de resolución en objetos como la Luna y los planetas, como es el caso de los refractores.

147

Expongo en la figura (1) la geometría de la luz en el citado telescopio, para analizar sus

propiedades; veámoslo:

El espejo es la línea NEGRA, que corresponde con la sección de un casquete esférico, siendo el

punto O, el centro de curvatura del mismo y la distancia OD, OG, ON, radios del mismo.

El objeto origen viene determinado por el PUNTO A, del cual parten tres rayos, uno ROJO

paralelo al eje del telescopio, otro VERDE que pasa por el foco del espejo, casquete esférico y

otro VIOLETA que pasa por el centro de curvatura.

El rayo rojo, se refleja siguiendo la ley de Snell es decir

formando el mismo ángulo, respecto a la normal, al incidir

que al reflejarse.

El rayo verde, que al pasar por el foco se refleja, atendiendo

a la mencionada ley, paralelo al eje del telescopio.

El rayo violeta, que al ser normal a la superficie esférica, se refleja en la misma dirección.

Podemos observar que los dos rayos básicos, pasan por el FOCO F, uno después de la reflexión

y el otro antes de ella, formando lo que denominamos imagen, la cual es real e invertida, pero

no así el que pasa por el centro de curvatura, el cual forma otra imagen en distinto punto.

Si el punto A tiende hacia el infinito, las imágenes tienden hacia el foco y a superponerse, no

llegando a estar en él, puesto que esto implicaría que los puntos N, K y G, fuesen el mismo

punto. Ahora bien es cierto que la imagen se vuelve cada vez más pequeña.

Veamos otros elementos de interés:

El foco se encuentra siempre entre el centro de curvatura, atendiendo a lo expuesto y el

espejo.

148

La flecha, distancia EG, nos determina la curvatura del espejo, ya que OD = OE + EG y siendo EC

el radio de la circunferencia que nos determina el casquete esférico, tendremos:

OC 2 = EC 2 + (OC – EG) 2 aplicando a la figura el teorema de Pitágoras, de donde podemos

calcularla.

Al que le guste investigar, puede generar la experiencia con el programa Geogebra y se

percatará de lo siguiente:

1º si el espejo es esférico los rayos lejanos al vértice no pasan por el foco o bien aparecen

varias imágenes, lo que implica que la imagen salga difuminada, mostrándose con más

intensidad en los bordes del espejo que en el centro.

2º para evitar este efecto no deseado, el espejo tiene forma parabólica y la flecha es muy

pequeña frente a la longitud del telescopio.

3º aún con este desarrollo físico, en los bordes de la foto aparece el efecto de coma. Existen

lentes que lo corrigen.

Los datos del telescopio reflector newton C254-NGT, son los siguientes:

Diámetro del primario “P”: 254mm ó 10’’

Diámetro menor de la elipse del secundario “S”:

58mm

Diámetro del tubo “H”: 286,5mm. Para efectuar la

medida del diámetro es suficiente medir con una cuerda el perímetro y dividirlo por π

Distancia focal PF´: 1200mm

Como la elipse proyectada, con un ángulo de 45º, forma un

círculo cuyo radio coincide con el diámetro menor de la

elipse, y teniendo presente que esto ocurre cuando el

diámetro mayor por el cos 45º = diámetro menor, la

medida de dicho elemento es de 58 mm. Para efectuar su

medida he puesto un papel en el secundario y he marcado

la elipse. Después he introducido los datos en el programa

Geogebra y con la elipse dibujada he obtenido las medidas.

149

Si ahora aplicamos Thales al espejo primario y secundario, en función de la distancia focal

Dia.P/1200 = Dia. S/x, tenemos que la distancia SF = SF´= x

distancia del centro del secundario al punto de enfoque F.

En dicho punto es donde se nos formará la imagen, es

decir, se encuentra el plano focal. Por lo tanto

SF=SF´=274mm

Por otro lado atendiendo a la estructura física del

telescopio, con el fin de medir todos los parámetros bien y

analizar el tren óptico con detalle, partiremos de la siguiente figura:

En donde V representa el centro del espejo parabólico del primario.

El centro del secundario es O.

La distancia del espejo primario al enfocafor, por su parte exterior, es de 910mm, si le

añadimos la distancia al centro del enfocador, como este tiene 64mm de diámetro exterior, el

total será: 910+32=942mm, hasta el centro del enfocafor, que es el centro del primario. Ahora

bien, como el espejo parabólico tiene flecha. Deberemos calcularla y sumárselo para hallar la

distancia desde el vértice del espejo al secundario. Veámoslo

En la figura C es el centro del radio de curvatura del primario, considerado éste como un

espejo esférico en telescopios pequeños. F es el foco y V el centro del primario. Como el rayo

reflejado, forma con la normal al punto de contacto con el espejo el mismo ángulo que el rayo

incidente (ley de Snell), es isósceles de donde la distancia CF y FD son iguales. Lo mismo ocurre

en el otro rayo, por lo tanto si nos vamos acercando a V, la condición se cumple siempre, por

lo tanto CF = FV y tendremos que CV = 2FV.

Es decir: el radio de curvatura del

telescopio es igual a dos veces su distancia

focal.

Por otro lado, si llamamos a la flecha= x

(distancia de V al origen de coordenadas),

“y” a la distancia de C a dicho origen, de tal forma que y+x = R, siendo esta última el radio de

curvatura, distancia CV, tendremos:

B es el extremo del espejo primario y su distancia al centro, radio del espejo primario “h”

R 2 = y 2 + h 2 ; como y=R-x si sustituimos en la anterior y operamos.

R 2 = (R-x) 2 + h 2 ; R 2 = R 2 -2Rx+ x 2 + h 2 ; x 2 – 2Rx + h 2 = 0 , luego x = R – (R 2 -h 2 ) ; sustituyendo valores

x = 3,36mm aproximando x = 4 mm. La distancia VO=942+4=946(*). La otra solución no la

consideramos ya que pertenece a la otra parte de la circunferencia, en donde no se encuentra

el espejo del telescopio.

150

En vez de utilizar este sistema, podemos utilizar el teorema de la altura, que nos dice que ésta

es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Para aclararlo

veamos la siguiente figura:

Estableciendo la oportuna referencia, y/h=h/x; y=2R-x, pero al

ser x<<<<2R, podemos poner que 2R/h=h/x o bien x=h 2 /2R; es

decir:

(*)Si se la restamos a la distancia focal 1200, tendremos que la distancia OF será de 254mm.

Estos valores son aproximados, ya que el espejo no es esférico, sino parabólico. De todas

formas son suficientemente buenos para analizar lo siguiente.

Podemos aplicar el teorema de Thales a los diámetros del primario y del secundario a las

superficies de ambos espejos.

Diámetros: 254/58 = (1200-4)/x, de donde x= 273mm

Superficies: π(254/2) 2 /π(58/2) 2 =(1200-4) 2 /x 2 ; x=273mm

De las medidas efectuadas, considero que esta última es la

mejor, ya que el diámetro del primario viene dado de fábrica

y el del secundario es relativamente fácil de medir, mientras

que las otras medidas efectuadas son más complicadas y hay

que efectuarlas con mucho cuidado de no dañar los espejos.

De todas formas, sea una o la otra, la consideración siguiente

no pierde nada de realismo.

Cuando trabajamos a focal cero o foco directo, el sensor de

la cámara se deberá encontrar en esa posición si queremos

hacer una foto. Es decir, del sensor de la cámara al centro del secundario, deberá haber una

distancia de 273mm

Espesor de la chapa del tubo: 1mm

Diámetro exterior del tubo: 286,5mm, luego su radio será de 143,25mm o bien 143mm

aproximando.

Altura del enfocador en su posición más baja: 64mm

Anillo T de acoplamiento de la cámara 10mm

Distancia del exterior de la cámara al CCD, incluido el anillo T

151

- Canon 350D: 51mm

- Canon 6D: 51mm

Para medir ambas distancias es suficiente con poner el anillo T, poner la cámara en modo

“Bulb”, apretar el disparador y medir con él pulsado, de

esta forma se retira el espejo. Una vez efectuada la

medida y retirado el metro, soltamos el botón de

disparo. No hacerlo antes porque podemos dañar el

mecanismo del espejo.

Ahora bien, como el foco se encuentra a 273mm, una

vez doblado 90º por el secundario, vemos que supera al

radio y al enfocador, ya que 64+143=207, lo que restado a la medida de 273, nos sale fuera del

sistema anterior 273-207=66mm.

Como en el valor de 273 se encuentra el foco, el plano focal o bien el CCD de la cámara deberá

estar en dicho punto.

Si montamos la cámara, anillo T, adaptador al porta

ocular y el adaptador al

enfocador de 1 1/4”, según

figura, la distancia supera en

mucho a los 66mm de los que

disponemos.

Por lo tanto debemos prescindir de elementos. Eliminamos el adaptador

al porta ocular y el adaptador al enfocador, de esta forma tenemos

solamente la cámara, anillo T y el enganche al enfocador.

Con esta configuración tenemos los 51mm de la cámara y anillo T, más

1mm del adaptador al enfocador, es decir 52mm.

Esta configuración, que recibe el nombre de “perfil bajo”, nos permite disponer de un

recorrido del enfocador de 14mm para ajustar el foco.

Esto lo hemos logrado gracias a que la casa Celestrón, ha dividido el adaptador al enfocador en

dos partes, diseñando la rosca que va al enfocador con el mismo paso que la rosca del anillo T.

Por desgracia no ha hecho lo mismo para cámaras de 2”, con lo que he tenido que elaborar un

acople para poderlo lograr.

152

Evidentemente con el PVC utilizado y después de tantos usos, el desgaste es notorio y ha

perdido algo de ajuste. Espero conseguir algún adaptador en alguna de las tiendas de

astronomía, aunque he preguntado en varias y no he conseguido una respuesta adecuada a

mis necesidades.

Se puede apreciar, si se analizan las cifras con

detalle, que el enfocador tiene un diámetro de

56,4mm en su interior (el tubo que se desliza),

mientras que el secundario tiene 58mm, por lo que

de forma aparente perdemos información. Esto no

es así debido a que la parte del enfocador que se

introduce en el tubo tiene el mismo diámetro,

58mm y que el rayo convergente en F, va

decreciendo de tamaño, no habiendo ninguna parte

de la información que se pierda. Se puede apreciar

la importancia de que el secundario está bien centrado en el enfocador.

Ahora bien, una vez analizada la obtención del punto focal, pongamos

el punto de mira en alinear todos los elementos que intervienen en

su formación.

1º colocar el secundario a la

altura del enfocador, de

forma que el rayo de luz, al

ser doblado por el primero,

camine a lo largo del segundo. Para ello debemos

mirar por el enfocador, siguiendo su eje y visualizar el

secundario centrado en él. Como también veremos el

primario las garras de retención se verán equilibradas

todas ellas, es decir, se debe ver el mismo porcentaje

de ellas. Para lograrlo podemos auxiliarnos de un colimador como el Cheshire, ya que este nos

facilita el alineamiento del ojo. Por otro lado, podemos auxiliarnos de una cámara colocada en

éste último y así poder manipular el secundario con una mano y sujetándolo con la otra. Como

tendremos que mover el tornillo central del secundario, primeramente deberemos aflojar los

tornillos de ajuste, alejándole del primario o acercándole a él. Por último ajustaremos los otros

tres tornillos para que el centro del primario, con una imagen de arandela en su centro, quede

centrado en el secundario.

Es evidente que la interceptación del rayo de luz ha de ser total, por lo que la superficie del

secundario proyectada en la dirección perpendicular al eje del telescopio debe coincidir con la

superficie del cono de luz en ese punto. Si a la superficie del secundario la llamamos “S” y a los

ejes del secundario “a” y “b”, en ese punto S=π.a.b y su proyección S’=S.cos 45º. Esta

superficie es la que posee el rayo de luz a la altura del centro del secundario y que deberá ser

menor que la del enfocador dentro del tubo. Podemos observar que ambas circunferencia han

de ser concéntricas.

153

2º Centrado el secundario, procederemos a orientar el primario con el fin de que todo el haz

de rayos converja en el secundario. Par ello moveremos los tornillos de colimación, situados en

la parte de atrás del telescopio de forma que el centro del colimador Cheshire, un punto negro

en el secundario, se centre en la imagen de la arandela sobre el secundario.

Nota: si no hemos desplazado ni el primario ni el secundario, no es necesario ajustar el tornillo

central del secundario, siendo suficiente jugar con los tornillos del secundario y del primario tal

cual se ha explicado.

Debido a los cambios de temperatura y a los esfuerzos a los que se le somete en el transporte,

puede perder la alineación del eje óptico, por lo que la colimación se debe realizar con cierta

frecuencia. En estos casos

no será necesario

manipular el tornillo

central del secundario. Es

suficiente modificar la

presión de los tres

tornillos del secundario y

los tres del primario.

Para modificar la posición de éstos, podemos utilizar un colimador laser, ya que su empleo es

muy sencillo y fácilmente realizable por uno solo.

Es importantísimo comprobar que está perfectamente colimado, ya que si no fuese así

provocaríamos un movimiento del eje óptico más importante del que tenía.

Para comprobar la colimación del colimador laser he realizado un aparato de colimación como

nos muestra la imagen adjunta.

En ella podemos apreciar que el colimador se encuentra apoyado en dos cilindros y un tornillo

de apriete con una diana al fondo. Posicionaremos el colimador, girándolo sobre sí mismo en

tres posiciones equidistantes 120º, habiendo aflojado previamente el tornillo superior. Si el

laser apunta, en todas las posiciones señaladas, en la diana, es que está perfectamente

colimado, si este no fuese el caso, incidiríamos suavemente el los tornillos de ajuste que posee

el colimador, hasta conseguir el efecto deseado, que no se mueva el puntero del centro de la

diana.

Podemos apreciar que la diana estará dispuesta en función del diámetro del colimador laser

que tengamos. Si nos damos cuenta estamos frente a tres círculos tangentes entre sí, de los

que conocemos todos los datos, ya que es suficiente con medir con un calibre los diámetros de

todos ellos y hallar su radio.

Sean estos r 1 , r 2 y R. La altura de los ejes de los cilindros de apoyo la hemos puesto nosotros,

sea H, la misma, y la separación entre ellos también, llamémosla D.

La altura al suelo será:

Altura = ((R+r 1 ) 2 -(D/2) 2 ) (1/2) +H

154

De esta forma tenemos el lugar del centro de la diana, la cual situaremos en otra pared

perpendicular al suelo y paralela al plano en donde hemos situado los cilindros.

Alguien se preguntará como conseguir que el laser traspase la pared en donde sujetamos los

cilindros, es fácil, es suficiente realizar un taladro a la altura calculada y en el centro de D. Si

suponemos unos ejes de coordenadas con centro en el cilindro de la izquierda, las

coordenadas del citado punto serían (D/2, Altura-H). Se supone que el taladro supera en

diámetro, al laser.

Existen otros métodos que he probado, pero a mi entender éste,

que tiene un trabajo sencillo de manualidades, es más preciso y

no depende de una colocación imprecisa del laser, que provocaría

una falta de precisión en el alineado del laser.

Todo esto partió de una mala experiencia en la limpieza del

espejo primario, por lo que relato los pasos a seguir para no

cometer los mismos errores.

1º- Antes de quitar los tornillos que sujetan la base del primario al telescopio, poner una

pegatina en las dos partes, el tubo y la base de soporte del

espejo, y marcar mediante una

línea la unión de ambas.

2º- Aflojar las abrazaderas del

primario, habiendo medido

previamente la altura del espejo

sobre la base, en todas las

abrazaderas, con el fin de dejarlas a la misma altura.

3º- lavar el espejo con un algodón, con agua destilada, sin ejercer ningún tipo de presión en la

acción. De dentro hacia fuera sin realizar movimientos circulares. Aclararlo con agua

abundante y secarlo con una pera inyectando aire limpio (las hay al efecto).

4º- Montarlo todo colocándolo en la misma posición de partida.

Realizadas todas las operaciones que aquí se han incluido, procedía a realizar fotografía de

cielo profundo con el fin de comprobar los resultados.

155

La primera de las fotos es la estrella Betelgeuse y la segunda “M66 o las tres de Leo”

Es impresionante poder observar la diferencia tan abismal entre ambos ajustes.

Quizás alguien se pregunte porqué es necesario prescindir de algunos elementos para hacer

foco, mientras que si utilizamos un duplicador o triplicador (barlow), no.

Veamos qué le pasa al foco con el uso de estos elementos.

La lente de Barlow es una lente convergente que funciona según indica la figura adjunta:

En ella se puede observar que el rayo de luz que llega por la izquierda, cuyo

foco sería el de color rojo, se alarga hacia la derecha color verde.

Nos da idea de que el foco se alarga y en este caso, llegaría con facilidad al

plano del CCD de la cámara y no tendríamos los problemas anteriores. Nuestro foco ya lo

podemos alcanzar y realizar las tomas necesarias.

El uso de esta lente, como todas las que interpongamos en el tren óptico, disminuirá la luz

resultante, evidentemente dependerá de la calidad de las mismas, pero siempre disminuirá.

Por otro lado si tenemos presente que los aumentos se calculan dividiendo la distancia focal

entre la del ocular, al aumentar la distancia focal estos aumentarán. Tenemos que considerar

el límite teórico, si queremos hacer fotos de cierta calidad.

Trabajando a foco directo, como es mi caso, lo que desciende es el ángulo de visión, lo que

provoca una apreciación de aumento. Veámoslo:

En radianes α=254/1200 = 0,21166667 o bien α=12 ◦ 7’36’’ en cambio si utilizamos la lente

Barlow 3x, tendremos α=254/3600=0,07055556 o bien α=4º2’33’’. Podemos apreciar que al

disminuir el campo de visión tenemos una sensación de que hemos aumentado la foto x3. Es

un procedimiento análogo al que ocurre cuando utilizamos una cámara que tenga un chip más

pequeño, pero en el caso anterior no es una ampliación digital.

156

MÁSCARA DE BARTHINOV

Una vez realizadas las operaciones anteriores y con el fin de analizar el enfoque he construido

una máscara de Barthinov.

He descargado de Internet, con el programa oportuno que está en la red, una máscara de

1200mm de enfoque, 254mm de apertura y 15mm de borde, la he imprimido en papel y la he

grapado a un plástico resistente, para poderla recortar con el cúter.

Una vez obtenida la he montado en un anillo que ya tenía para el filtro solar y le probé

haciendo fotos a varia estrellas.

157

La primera de las fotos corresponde a

la visión de una estrella a través de la

máscara. En ella podemos observar la

alineación de los rayos, demostrando

el buen enfoque que hemos logrado.

En la segunda observamos el enfoque

real a una estrella sin la máscara. Se puede apreciar con una nitidez formidable la

araña del telescopio indicando con ello que el enfoque es correcto.

En este problema he comentado que el acoplamiento de la cámara al enfocador lo

había construido con un tubo de PVC, el cual me empezaba a dar problemas debido a

su desgaste a lo largo de las numerosas sesiones que realicé. Como he seguido

158

investigando que empresas me podrían realizar uno de aluminio, al fin lo he

conseguido. Os muestro el resultado final del acoplamiento.

De izquierda a derecha: adaptador antiguo, nuevo y conjunto acoplador con anillo T y

la cámara.

Tuve que diseñarlo y me lo fabricaron a través de una tienda de astronomía.

Este es el esquema de la pieza que me hicieron. Las dimensiones y forma, las elaboré

con un programa de dibujo.

159

BIBLIOGRAFÍA:

PROGRAMAS UTILIZADOS

-DSS

- STELLARIUM

- STARTRAILS

- GEOGEBRA

LIBROS

- CIENCIA SECRETA La cosmografía española y el Nuevo Mundo (MARIA DE PORTUONDO)

- El Eclipse de Luna - Misión Científica de Felipe II en Nueva España (MARÍA LUISA

RIDRIGUEZ SALA)

- La medición de un imperio: reconstrucción de los instrumentos utilizados en el

proyecto de López de Velasco para la determinación de la longitud (MANUEL MORATO-

MORENO)

- Datos astrológicos del eclipse de Luna acontecido en 17 de noviembre de 1584 (Archivo

General de Indias de Sevilla)

- GEOGRAFÍA Y DESCRIPCIÓN UNIVERSAL DE LAS INDIAS RECOPILADA POR JUAN LÓPEZ DE VELASCO

(DON JUSTO ZARAGOZA)

- FIRMAMENTO Y ATLAS TERRESTRE: LA ASTRONOMÍA QUE PRACTICÓ FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

(JOSÉ GREGORIO PORTILLA BARBOSA)

- SUMA DE GEOGRAFÍA (MARTÍN FERNÁNDEZ DE ENCISO)

- ASTRONÓMICO REAL (ANDRÉS GARCÍA CÉSPEDES)

- CRISTÓBAL COLÓN Y EL DESCUBRIMIENTO DE AMÉRICA (ALEJANDRO DE HUMBOLDT)

- DIARIO DE A BORDO DEL PRIMER VIAJE DE COLÓN (BARTOLOMÉ DE LAS CASAS)

- RELACIONES Y CARTAS DE CRISTÓBAL COLÓN (LIBRERÍA Y CASA EDITORIAL HERNANDO)

- ARTÍCULOS DE LA WIKIPEDIA

- ASTRONOMÍA DE F. MARTÍN ASÍN editorial PARANINFO

ASTROFOTOGRAFÍA

CAMARAS DIGITALES - ASTRONOMÍA PRÁCTICA y EXPERIMENTAL - http--

www.astropractica.org - José Mª Piña

El sol y las estrellas Luminosidad y temperatura de las estrellas

Estrellas - Magnitudes, Distancias, Paralaje .. Astronomía Sur

160

DeepSkyStacke

Apilado con DSS

DeepSkyStacker - Free

Tutorial DeepSkyStacker .. Astronomía Sur

ESTRELLAS BINARIAS

Introducción Estrellas Binarias Alejandro Eduardo Russo

Las Estrellas Dobles EL PORTAL DE LA ASTRONOMÍA

FILTROS FOTOGRÁFICOS

FILTRO SOLAR PARA OBJETIVOS (DENSIDAD NEUTRA ND=3,8)

ADAPTADOR DEL FILTRO A OBJETIVO CELESTRON DE 10’’

OCULARES HYPERION

Adaptador M43-T2 para oculares Hyperion - Lunático Astronomía

Ocular Baader Planetarium Hyperion (3.5, 5, 8, 13, 17, 21, 24)

ASTRONOMÍA

Alineación de un Telescopio

Alineación Polar

Colimador láser para newtons y dobson BST. con adaptador a 2 incluido.

DeepSkyStacker, el mejor amigo del astrofotógrafo - Software - Astronomia - Espacio

Profundo

La Astronomia En La Antiguedad

La imagen digital

Lluvias de estrellas

PRESTACIONES DE UNA CAMARA CCD

Procesado basico de una toma con pixinsight

DATOS TELESCOPIO

Calculador de Telescopios cortesía de N.A.A.

Telescopios - Fórmulas prácticas .. Astronomía Sur

FOTOGRAFÍA

CANON 6D

Cámara CCD ST8-XE de SBIG

Cámaras EOS descargar drivers, software, manuales - Canon España

FOV Calculator v2 - 12DString

New adapter for T M480.75 screw mount lens to Canon EOS EF camera eBay

161

CANON Ra

- Nuevo filtro IR, mayor sensibilidad al hidrógeno alfa.

- Más ligera, sin espejo y full frame

- Adaptador a teleobjetivos anteriores

- Extensores para el enfoque

VARIOS

Adaptador a M42 macho a OAG - Lunático Astronomía

162

ANEXO I

Algunos de los trabajos realizados con el grupo CYGNUS.

Ejemplo de unidades de trabajo en el aula, de los libros editados por el grupo.

Participación en la visita a Francia para visualizar el último eclipse del siglo con el grupo SYRMA

de la Universidad de Valladolid

163

CURSO

LIBROS

MEMORIAS

Y UN LARGO ETC. DURANTE MÁS DE 30 AÑOS DE TRABAJO EN GRUPO Y EN SOLITARIO.

164

165

ANEXO II

PONENCIAS

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

ANEXO III

176

177

PROBLEMAS DE ASTROFOTOGRAFÍA

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