Libro del Estudiante Matemáticas 7mo

ÍNDICE
Introducción...............................................................................................9
Simbología de Matemáticas.........................................................................................16
Secuencia: Senderos de Matemáticas..............................................................17
Las Matemáticas en la historia ● Ramas de estudio de las Matemáticas en 7º grado:
Aritmética, Álgebra, Geometría, Estadística descriptiva ● Organización didáctica de
los cursos ● Contenidos de los Bloques ● Metodología y forma de entrega de los
contenidos ● Iconografía de las secciones
BLOQUE I: NÚMEROS Y OPERACIONES................................................29
Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos
Secuencia 1: SENTIDOS OPUESTOS................................................................33
Origen de los Números Naturales ● El cero y la definición de los Números Naturales
● Operaciones con Números Naturales: adición, sustracción, multiplicación, división
● El conjunto de los Números Enteros (Z) ● Uso de los Números Enteros positivos y
negativos ● Representación gráfica de los Números Enteros ● Números opuestos ●
Valor absoluto de un Número Entero ● Definición y propiedades del valor absoluto ●
Relaciones de orden en Z ● Propiedad de tricotomía ● Menor que (),
igual a (=)
Secuencia 2: LO IMPOSIBLE SE HACE POSIBLE...............................................55
Reseña histórica de la numeración ● Sistema de numeración decimal ● Noción de un
Número Entero ● Adición de Números Enteros con igual signo ● Adición de Números
Enteros de distinto signo ● Suma y resta combinadas de Números Enteros, con
paréntesis ● Propiedades de la adición de Números Enteros: clausura, conmutativa,
asociativa, elemento neutro, elemento simétrico u opuesto ● Multiplicación de
Números Enteros ● Términos de la multiplicación ● Propiedades de la multiplicación
en los Números Enteros: conmutativa, distributiva ● División de Números Enteros ●
Definición de división de Números Enteros
Secuencia 3: ENTRE ENTEROS ..................................................................................79
Potenciación con Números Naturales ● Raíz cuadrada de un Número Natural ● La
adición y sustracción de dos o más Números Enteros ● Polinomios aritméticos ●
Múltiplos y divisores de un Número Entero ● Criterios de divisibilidad para Números
Enteros ● Divisibilidad por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 ● Potenciación con Números Enteros ●
Propiedades de la potenciación ● Multiplicación de potencias de igual base ● División
de potencias de igual base ● Potencia de potencia ● Reglas de la potenciación
de Números Enteros ● Radicación en los Enteros ● Definición de raíz cuadrada ●
Propiedades de la radicación en Z
Secuencia 4: COMBINADOS ES MEJOR.....................................................................97
Los números negativos ● Operaciones combinadas ● Signos de agrupación
5

Secuencia 5: APRENDE A COMPARTIR.....................................................................105
Las fracciones ● Lectura de los Números Racionales ● El conjunto de los Números
Racionales ● Números mixtos ● Conversiones ● Aplicación de las fracciones ●
Fracciones equivalentes ● Amplificación de fracciones ● Simplificación de fracciones ●
Fracción reductible ● Fracción irreductible ● Representación gráfica de las fracciones
● Relaciones de orden en los Números Racionales: mayor que, menor que
Secuencia 6: LAS PARTES DE UN TODO..................................................................127
Breve historia de las fracciones ● Mínimo común múltiplo ● Método abreviado para hallar
el mínimo común múltiplo de Números Enteros ● Adición y sustracción de fracciones
(igual denominador, distinto denominador) ● Polinomios aritméticos ● Multiplicación de
fracciones ● División de fracciones
Secuencia 7: RAÍZ QUEBRADA..................................................................................147
Curiosidades de las fracciones ● Potenciación de fracciones ● Potencia de base
racional y exponente negativo ● Regla del exponente negativo ● Propiedades de la
potenciación en los números fraccionarios ● Multiplicación de potencias de igual base
● División de potencias de igual base ● Potencia de potencia ● Potencia de un producto
● Potencia de un cociente ● Raíz cuadrada de una fracción ● Raíces con índice mayor
que dos
Secuencia 8: FRACCIÓN COMBINADA......................................................................163
Resumen de las operaciones con fracciones: suma y resta, multiplicación, división,
potenciación ● Operaciones combinadas con Números Racionales ● Signos de
agrupación ● Fracciones complejas
Secuencia 9: LOS NUMEROS CON PUNTOS ...........................................................177
El metro ● Noción de un número decimal ● Fracciones decimales ● Expresión decimal
de una fracción: decimales exactos, decimales periódicos ● Función generatriz de
un decimal: lectura y escritura de números decimales ● Relaciones de orden en las
expresiones decimales ● Redondeo de decimales ● Representación gráfica de las
décimas ● Adición de números decimales ● Sustracción de números decimales
Secuencia 10: ESQUIMAL Y DECIMAL NO ES LO MISMO.......................................199
¿Sabía que: escritura de los decimales? ● Multiplicación de números decimales ●
División de números decimales ● Potenciación de expresiones decimales ● Solución
de problemas aplicando las operaciones con expresiones decimales
Secuencia 11: ¡QUÉ PUNTERÍA!.................................................................................213
Producto y cociente de decimales por potencias de diez ● Propiedades de la adición
de números decimales: propiedad conmutativa y asociativa ● Propiedad conmutativa y
asociativa en la multiplicación de números decimales ● Operaciones combinadas con
números decimales ● Signos de agrupación con números decimales
Secuencia 12: VALORANDO LO QUE APRENDO I ................................................. 227
Adición y sustracción de Números Racionales ● Multiplicación de Números Racionales
6

● División de Números Racionales ● Potenciación de Números Racionales ● Radicación
en los Racionales ● Operaciones combinadas ● Signos de agrupación
BLOQUE II: ÁLGEBRA............................................................................239
Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos
Secuencia 1: LAS LETRAS EN LAS MATEMÁTICAS................................................241
Introducción al lenguaje matemático ● Perímetro de un rectángulo ● Perímetro de
un cuadrado ● Lenguaje algebraico ● Constante, variable y término algebraico ●
Expresiones algebraicas
Secuencia 2: ¿TÉRMINO O TERMINÓ?......................................................................257
Álgebra ● Términos semejantes, expresión reducida ● Valor numérico de expresiones
algebraicas
Secuencia 3: ¿PARA QUÉ LAS ECUACIONES?........................................................267
Signo igual que ● Propiedades de la igualdad ● Ecuaciones lineales ● Conjunto
solución de una ecuación lineal ● Solución de ecuaciones lineales ● Aplicaciones con
ecuaciones lineales ● Transposición de términos ● Ecuaciones con denominadores ●
Ecuaciones con paréntesis ● Resolución de problemas con ecuaciones lineales
Secuencia 4: LA RAZÓN PROPORCIONADA.............................................................291
Un poco de historia ● Fracciones equivalentes ● Multiplicación y división de fracciones ●
Razones ● Términos de una razón geométrica ● Proporciones ● Propiedad fundamental
de las proporciones ● Variación proporcional ● Variación directamente proporcional ●
Aplicaciones de la proporcionalidad ● Las escalas ● Razones y proporciones en otras
ciencias
Secuencia 5: VALOR DESCONOCIDO.......................................................................313
Curiosidad matemática: la divina proporción ● Tanto por ciento de una cantidad ●
Aplicaciones del tanto por ciento ● Cálculo del tanto por ciento de un número
Secuencia 6: VALORANDO LO QUE APRENDO II ...................................................325
Constante, variable y término algebraico ● Término algebraico ● Términos semejantes,
expresión reducida ● Valor numérico de expresiones algebraicas ● Ecuaciones lineales
● Solución de ecuaciones lineales ● Cálculo del tanto por ciento
BLOQUE III: GEOMETRÍA........................................................................333
Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos
Secuencia 1: MÁS DE UN PUNTO .............................................................................335
Instrumentos básicos de dibujo: la regla, las escuadras (escuadra isósceles o de 45º,
escuadra escalena de 30º y 60º), el compás ● El punto, la recta y el plano ● Postulados
y axiomas ● Definiciones ● Características del punto, la recta y el plano ● Segmentos
congruentes ● Punto medio de un segmento ● Bisector del segmento
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Secuencia 2: CON LÍNEAS TAMBIÉN SE CONSTRUYE............................................353
Origen de la Geometría ● Semirrecta ● Rayos ● Ángulos ● Medición de ángulos ●
Ejemplos de medición de ángulos ● Adición y sustracción de ángulos ● Congruencia
de ángulos ● Propiedades de los ángulos ● Bisectriz de un ángulo ● Construcción de
ángulos ● Ángulos suplementarios ● Ángulos complementarios ● Ángulos opuestos
por el vértice ● Ángulos adyacentes ● Rectas perpendiculares ● Propiedades de las
rectas perpendiculares ● Construcción de rectas perpendiculares ● Rectas paralelas ●
Propiedades de las rectas paralelas ● Construcción de rectas paralelas
Secuencia 3: LA PAREJA PARALELA........................................................................383
Euclides ● Importancia de la Geometría ● Paralelismo ● Recta transversal ● Ángulos
internos ● Ángulos externos ● Ángulos alternos internos ● Ángulos alternos externos
● Ángulos correspondientes ● Ángulos opuestos por el vértice
Secuencia 4: VALORANDO LO QUE APRENDO III...................................................393
El punto, la recta y el plano ● Ángulos: definición y clasificación ● Relación entre
ángulos: ángulos suplementarios, ángulos complementarios, ángulos opuestos por el
vértice, ángulos adyacentes ● Perpendicularidad ● Paralelismo ● Ángulos internos,
ángulos externos, ángulos alternos internos, ángulos alternos externos, ángulos
correspondientes, ángulos opuestos por el vértice
BLOQUE IV: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD
DISCRETA.................................................................................................................405
Presentación ● Expectativas de logro ● Contenidos
Secuencia 1: ORGANIZA Y COMPRENDE MEJOR LA VIDA....................................407
Estadística ● Distribución de frecuencia simple o no agrupada ● Distribución de datos
agrupados
Secuencia 2: PARTES DE UN PASTEL.......................................................................419
Intervalos de clase, población y muestra ● Representación gráfica de los datos ●
Gráfico de frecuencia absoluta ● Frecuencia relativa ● Gráfica de barras ● Gráfica de
barras comparativas ● Gráfica circular o diagrama de sectores
Secuencia 3: VALORANDO LO QUE APRENDO IV...................................................443
Origen de la Estadística ● Frecuencia ● Rango ● Gráfica de barras ● Gráfica circular
o diagrama de sectores
Bibliografía..............................................................................................................452
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INTRODUCCIÓN
La presente guía, le ofrece alternativas para apoyar su labor educativa. No es un tratado
teórico, sino una guía escrita con un sentido eminentemente práctico.
El contenido incluye orientaciones específicas y sugerencias para la adecuada conducción
del proceso educativo, para cada una de las secuencias de aprendizaje en cada uno de los
bloques; asimismo las posibles correlaciones con otras asignaturas y los ejes transversales,
y algunas indicaciones sobre las formas de evaluación empleadas.
El mismo esquema se sigue para las secuencias Senderos y para Valorando lo que Aprendo,
que corresponden a los tres días iníciales y a los últimos tres días del curso, que abren y
cierran las actividades escolares en Telebásica.
El trabajo que se desarrolla en ambas semanas brinda la oportunidad de familiarizar al
estudiante con la metodología del subsistema y de que adquiera actitudes socialmente
deseables, las cuales se fortalecen a lo largo del curso.
El Diseño Curricular Nacional Básico está organizado teniendo en cuenta tres tipos de
contenidos: conceptos, procedimientos y actitudes. El primero de ellos es el que presenta
los conceptos, hechos y principios. El segundo tipo de contenido es el que se refiere a los
procedimientos. Este segundo tipo de contenido en otros currículos ha sido relegado a un
segundo plano, pero en el DCNB los procedimientos son muy importantes y éstos no
se restringen a los algoritmos ya que se contemplan procedimientos generales como por
ejemplo el cálculo mental o la resolución de problemas. Un elemento muy importante es la
incorporación en el currículo contenidos de actitudes, valores y normas con el objetivo de
que los estudiantes tengan una actitud positiva que les permitan perseverar en el esfuerzo
necesario para la construcción de los nuevos contenidos que se le proponen en el proceso
de estudio.
Uno de los fines de la educación es formar ciudadanos cultos, pero el concepto de cultura es
cambiante y se amplía cada vez más en la sociedad moderna. Cada vez más se reconoce
el papel cultural de las matemáticas y la educación matemática también tiene como fin
proporcionar esta cultura. El objetivo principal no es convertir a los futuros ciudadanos en
“matemáticos aficionados”, tampoco se trata de capacitarlos en cálculos complejos, puesto
que los ordenadores hoy día resuelven este problema. Lo que se pretende es proporcionar
una cultura con varios componentes interrelacionados:
a) Capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información matemática y los
argumentos apoyados en datos que las personas pueden encontrar en diversos contextos,
incluyendo los medios de comunicación, o en su trabajo profesional.
b) Capacidad para discutir o comunicar información matemática, cuando sea relevante, y
competencia para resolver los problemas matemáticos que encuentre en la vida diaria o
en el trabajo profesional.
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Mediante la resolución de problemas matemáticos, los estudiantes deberán adquirir modos
de pensamiento adecuados, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza ante situaciones
no familiares que les serán útiles fuera de la clase de matemáticas. Incluso en la vida diaria
y profesional es importante ser un buen solucionador de problemas.
La resolución de problemas es una parte integral de cualquier aprendizaje matemático, por
lo que consideramos que no debería ser considerado como una parte aislada del currículo
matemático. En consecuencia, la resolución de problemas debe estar articulada dentro del
proceso de estudio de los distintos bloques de contenido matemático. Los contextos de los
problemas pueden referirse tanto a las experiencias familiares de los estudiantes así como
aplicaciones a otras áreas. Desde este punto de vista, los problemas aparecen primero
para la construcción de los objetos matemáticos y después para su aplicación a diferentes
contextos.
La resolución de problemas no es sólo uno de los fines de la enseñanza de las matemáticas,
sino el medio esencial para lograr el aprendizaje. Los estudiantes deberán tener frecuentes
oportunidades de plantear, explorar y resolver problemas que requieran un esfuerzo
significativo.
Con el mayor deseo de éxito, espero que esta Guía contribuya al logro de los propósitos
educativos.
Definición y fundamentación del área de Matemáticas
La Matemática es una disciplina que sistematiza la capacidad intuitiva del ser humano de
poder encontrar las ideas medias necesarias para resolver problemas. El conocimiento
matemático, es un conocimiento esencialmente intuitivo que precisa de la demostración
para poder ser explicado y explicitado, convirtiéndose así en conocimiento demostrativo por
excelencia.
En la enseñanza, la Matemática es una disciplina vinculada al desarrollo de las estructuras
del pensamiento lógico, la capacidad de abstracción, a los procesos deductivos e inductivos
y a la capacidad de síntesis y análisis. Con la apropiación de procesos y métodos de carácter
cuantitativo, simbólico y gráfico, se cuenta con un instrumento de apoyo indispensable para
los diferentes campos del saber.
La finalidad de las Matemáticas se halla entonces en la división de las dificultades
presentadas como problemas al razonamiento, así como la demostración, aparte de las
proposiciones incidentales para reducirlas a los conocimientos intuitivos. Su propósito es el
ejercitar esta habilidad del razonamiento de inferir lógicamente la conveniencia manifiesta
de las ideas. Como tal, la finalidad de las Matemáticas es la de fundamentar las facultades
de la razón humana que es inherente e imprescindible al ser humano.
Lo fundamental en la finalidad de las Matemáticas, es el uso de la inferencia para el desarrollo
del razonamiento sobre la base del conjunto, desde el cual pueden preverse, anticiparse y
abstraerse las conSecuencias de las interrelaciones y estructuras lógicas.
Los objetos de estudio de las Matemáticas, son los conjuntos de objetos (números, figuras,
vectores, etc.) y estructuras.
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Para formalizar el idioma en el cual se describen estos objetos, se utiliza la lógica Matemática
que permite hacer proposiciones Matemáticas, definir reglas para inferir una proposición de
otra, analizar formas de proposiciones y desarrollar procedimientos de demostraciones.
Fundamental para la enseñanza de la Matemática, es el concepto de número y operaciones
entre números. Por eso es tan importante la teoría del Sistema de Números Reales, en la
cual se definen los Números Naturales, Enteros, Racionales, Reales. Por su importancia, no
solamente en las Matemáticas sino también en la vida diaria y profesional, esta teoría ocupa
un lugar prominente en el programa de estudio de la Educación Básica.
Las Medidas, es decir, la moneda, las longitudes, el tiempo, la masa y el peso, capacidad y
el volumen, juegan un papel importante en la enseñanza de las Matemáticas como concepto
para modelar hechos concretos. Establecen un vínculo entre el Sistema de Números y de
situaciones de la vida cotidiana facilitando así el Aprendizaje de las Matemáticas.
Un papel especial juega la Geometría, como teoría que estudia la forma y el tamaño de las
figuras. La comprensión de sus conceptos facilita a los estudiantes de la Educación Básica
el acceso a las Matemáticas. En el Tercer Ciclo se combina la geometría con los números
y las funciones para presentar en la trigonometría una herramienta importante de varias
profesiones.
La teoría del Álgebra estudia conjuntos algebraicamente estructurados, es decir, conjuntos
con elementos para los cuales se definen operaciones internas y externas (suma,
multiplicación), con propiedades especiales (asociativa, conmutativa, distributiva, existencia
de elementos neutrales e inversos etc.). El Álgebra es importante porque ofrece métodos
para la solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, herramientas de suma importancia
para las profesiones técnicas. En su nivel más sencillo se introduce el Álgebra en el Segundo
Ciclo y se amplía en el Tercer Ciclo de la Educación Básica.
La teoría de Estadística Descriptiva y Probabilidad Discreta provee a los estudiantes
conceptos, modelos y herramientas para recolectar, procesar, presentar e interpretar datos,
para investigar la probabilidad de eventos y para la comprobación de hipótesis.
La Informática no se considera como parte de las Matemáticas, sino como herramienta
para resolver problemas matemáticos. En la enseñanza de las Matemáticas juega además
un papel como herramienta didáctica para facilitar el Aprendizaje de ciertos conceptos
matemáticos. Se integra en los bloques de contenido en la parte metodológica.
Con el estudio de los temas mencionados se pretende que los estudiantes desarrollarán
competencias que les permitirán reconocer y resolver problemas de la vida diaria mediante la
aplicación de métodos matemáticos, usando el razonamiento lógico para hacer conclusiones,
explicar su pensamiento y justificar sus argumentos y de esta manera ganar confianza para
desarrollar sus habilidades de razonar y justificar sus puntos de vista en general.
Ejes transversales en el área de Matemáticas
Dentro del Diseño del Currículo Nacional para la Educación Básica en el área de Matemáticas,
los ejes transversales de Identidad, Participación Democrática y Trabajo se desarrollarán
integralmente en cada uno de los bloques a través de la resolución de problemas. La
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forma más indicada para ejecutar ésta finalidad global del área de Matemática, es realizar
aplicaciones en la vida cotidiana, aprovechando la naturaleza y el entorno sociocultural en el
que se desenvuelven los estudiantes para, de ese modo, fortalecer el proceso de enseñanza-
Aprendizaje. Se deben programar actividades de trabajo en equipo en donde prevalezca la
valoración del trabajo, el diálogo, la responsabilidad, el respeto, la colaboración, la discusión,
la deliberación reflexiva y el análisis sobre las experiencias Matemáticas.
Para fortalecer el eje de identidad en su aspecto personal, se trata, sobre todo, de aprender
a argumentar racionalmente, generar estrategias para la solución de problemas y aprender
el sentido de la vinculación de ciertos contenidos matemáticos con el mundo cotidiano.
Para el desarrollo del eje de la identidad en el aspecto nacional, los estudiantes relacionan
formas geométricas con construcciones de estructuras (casas, edificios,etc.) y diseños de
todo tipo. Incluyendo edificaciones mayas y de otras culturas, conocen además el sistema
de numeración maya y el calendario maya, conocen medidas no convencionales de las
distintas culturas, especialmente de las etnias, por ejemplo el manejo de la moneda nacional
y adquieren conocimiento de datos estadísticos nacionales y sobre los distintos pueblos que
coexisten en el territorio nacional.
Con respecto al eje de trabajo, los estudiantes realizan trabajos de diseños, mosaicos y
trabajos manuales que implican formas geométricas, que reproduzcan objetos comunes
en su medio, tengan o no importancia cultural; dominan el sistema de los números Reales
para desenvolverse en la vida real, especialmente respecto a los cálculos financieros.
Manejan medidas convencionales y no convencionales para relacionarlas con el trabajo
de carpintería, sastrería, albañilería y fontanería entre otros. Elaboran registros en tablas
y gráficos estadísticos. Aprecian la utilidad e importancia de hojas electrónicas para la
administración de empresas o proyectos.
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Expectativas de logro del área de Matemáticas
Las expectativas de logro explicitan las intencionalidades educativas y expresan el grado
de desarrollo de las competencias del área de tipo cognitivo, procedimental y valorativo/
actitudinal que la Educación Básica debe garantizar equitativamente a los estudiantes.
Al finalizar la Educación Básica los estudiantes:
1. Aprecian y valoran las Matemáticas como construcción humana y como un medio para
desenvolverse en la vida académica y profesional.
2. Combinan conceptos concretos con pensamiento abstracto, y análisis con síntesis lógica
para analizar problemas de la vida real.
3. Aplican el razonamiento deductivo e inductivo para resolver situaciones de la vida,
dándole al educando confianza en sí mismo.
4. Comprenden planteamientos, descubren y entienden puntos de partida, métodos y
estrategias para la solución de problemas matemáticos aplicados a la vida cotidiana.
5. Formalizan Matemáticamente situaciones de la vida real e interpretan afirmaciones
Matemáticas en contextos concretos.
6. Revisan y evalúan críticamente los resultados de argumentaciones y cálculos y juzgan
la conveniencia de procedimientos.
7. Conocen y comprenden otros sistemas de numeración como el de los mayas y romanos.
8. Aplican métodos tradicionales de la comunidad para realizar operaciones Matemáticas.
9. Participa, junto con profesores y profesoras, en la indagación sobre los conocimientos
matemáticos (medidas, formas de conteo, etc.) y sus diversas aplicaciones en la vida
cotidiana de su familia y su comunidad.
10. Relacionan sus Aprendizajes matemáticos con situaciones concretas de la vida familiar
y comunitaria.
11. Dominan las operaciones básicas del cálculo con números de diferentes conjuntos y
rangos.
12. Estiman, redondean y hacen cálculos mentales.
13. Manejan con seguridad variable y fórmulas, aplicando conceptos y teoremas básicos del
Álgebra.
14. Desarrollan y dominan conceptos y procesos básicos de la Geometría.
15. Reconocen relaciones entre Geometría y Álgebra.
16. Recolectan, procesan e interpretan datos estadísticos
17. Construyen tablas o cuadros y gráficas para presentar información estadística.
18. Utilizan apropiadamente calculadoras electrónicas y computadoras para resolver
problemas matemáticos.
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Presentación y fundamentación de los bloques en el área de Matemáticas
La selección de los Bloques de Área de Matemáticas está basada en la evaluación crítica de
planes y programas de estudio de Argentina, Alemania y Guatemala y toma en cuenta los
estándares Centro Americanos, así como trabajos previos de la Misión Japonesa JICA, del
Comité Hondureño de Educación Matemática y de la Secretaría de Educación de Honduras.
Los Bloques de Área de Matemáticas que se describen a continuación son coherentes con
las expectativas de logro y se consideran como contenido universal en muchos programas
de estudio:
* La Geometría: Es la teoría de las formas y figuras en el plano y en el espacio y por el
carácter de sus conceptos, que pueden representarse fácilmente en forma gráfica, es
tal vez el bloque de contenido más accesible para los estudiantes. En combinación con
números, operaciones y medidas, tiene amplia aplicación en profesiones técnicas como
arquitectura, carpintería, albañilería, etc.
* Los Números y Operaciones: Son el concepto fundamental de las Matemáticas para
representar formalmente regularidades, ordenar, clasificar y describir cuantitativamente
relaciones entre números. Este bloque combina la Teoría de Conjuntos, Relaciones y
Estructuras y Sistema de Numeración Posicional Decimal.
* Las Medidas: Se usan para modelar hechos concretos. Este bloque establece un
vínculo entre el Sistema de Números Reales y de otras áreas del saber como la física,
química, estudios financieros, etc., facilitando la aplicación de las Matemáticas en la vida
cotidiana y profesional.
* La Estadística Descriptiva y Probabilidad Discreta: Son herramientas para interpretar,
evaluar y juzgar hechos concretos. Este bloque está vinculado con la Estadística
Matemática y fue seleccionado por su utilidad en profesiones técnicas y financieras.
El Álgebra: Es una teoría que desarrolla métodos para resolver ecuaciones e inecuaciones
de una o más variables.
Esta distribución es suficiente para cubrir la mayoría de las exigencias de una sociedad
moderna y se adapta a la comprensión de estudiantes de una edad entre 6 y 15 años.
Integra a lo largo de los bloques, áreas como la informática en los programas de estudio del
Segundo y Tercer Ciclo y la presentación de métodos para la resolución de problemas de
diferente índole de la vida cotidiana y profesional.
Con el fin de lograr un vínculo estrecho con su medio social y cultural, estos Aprendizajes
deben realizarse desde sus experiencias sociales y culturales, buscando siempre
aplicaciones a partir de situaciones inmediatas. Esta es una condición incuestionable para
que los Aprendizajes logrados sean realmente significativos, relevantes y pertinentes.
Su desarrollo a nivel nacional, toma en cuenta la diversidad cultural, derivada de la presencia
de los pueblos que históricamente habitan en el país y de todos los grupos culturalmente
diferenciados que en diferentes momentos se han incorporado a la sociedad hondureña.
Sus conocimientos matemáticos constituyen una riqueza que la educación debe aprovechar
y que también debe reproducir para el desarrollo de las culturas hondureñas.
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Expectativas del tercer ciclo en el área de Matemáticas
Al finalizar el Tercer Ciclo de la Educación Básica los estudiantes:
1. Dominan las cuatro operaciones básicas del cálculo con números Reales.
2. Estiman, redondean y hacen cálculos mentales con números Reales.
3. Comprenden y aplican conceptos y teoremas básicos de las Matemáticas.
4. Resuelven ecuaciones lineales y cuadráticas con una variable.
5. Estudian la Geometría de las rectas lineales con dos variables.
6. Resuelven sistemas lineales con dos variables por el método gráfico y algebraico.
7. Resuelven inecuaciones lineales y cuadráticas en una variable.
8. Resuelven inecuaciones lineales en dos variables por el método gráfico.
9. Recolectan, organizan y grafican información estadística.
10. Calculan probabilidades discretas.
11. Usan funciones trigonométricas para resolver problemas de la geometría.
12. Utilizan calculadoras y computadoras para organizar información en tablas, aplicar
métodos estadísticos y construir gráficos estadísticos.
13. Aplican sus conocimientos matemáticos en la identificación y resolución de problemas
de su comunidad y del país, en el marco de sus concepciones culturales
14. Valoran los elementos propios de su contexto cultural como medios para el desarrollo de
sus conocimientos de las Matemáticas en particular.
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Senderos de la Matemática
En la historia, las Matemáticas surgen como una necesidad de la humanidad para contar
sus pertenencías. Con el paso del tiempo van evolucionando y sus aplicaciones son más
diversas.
Esta Secuencia hace alguna reseña de ciertos momentos de esa evolución, del contenido
programático de las Matemáticas para Séptimo grado, su metodología de estudio y algunas
sugerencias para lograr un Aprendizaje significativo.
Resultados del Aprendizaje
Al finalizar esta Secuencia se espera que los estudiantes:
1. Aprecien y valoren las Matemáticas como construcción humana, como un medio para
desenvolverse en la vida académica y profesional.
2. Conozcan la temática de estudio de los cuatro bloques en los que se divide el área de
Matemáticas.
3. Conozcan y comprendan la estructura metodológica del Libro del Estudiante.
Las Matemáticas en la historia
Las primeras ideas sobre el concepto de
número nacieron en tiempos muy remotos
y su desarrollo estuvo relacionado con las
necesidades que el hombre enfrentó al
volverse sedentario, sembrar la tierra y
vivir en sociedad.
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Varias civilizaciones antiguas se destacaron por sus innovaciones en el campo de las
Matemáticas:
Los egipcios desarrollaron la geometría, debido a que el río Nilo constantemente inundaba
las tierras de cultivo, borrando los límites de propiedad, por este motivo, las tierras tenían
que ser medidas y repartidas periódicamente.
Los babilonios desarrollaron diversas aplicaciones en ingeniería y administración; ellos
poseían fórmulas para obtener áreas y volúmenes de sólidos simples; sus cálculos los
realizaban utilizando un sistema sexagesimal.
Posteriormente, el pueblo griego dio un impulso sin precedente a las Matemáticas; con éste
se formalizaron los conocimientos de la Geometría y los ordenamientos lógicos. A Grecia se
le ha llamado la cuna de la civilización occidental. Los trabajos de hombres como Euclides,
Pitágoras y Sócrates, por mencionar sólo algunos, muestran el esplendor de ese tiempo.
Después de los griegos, el pueblo árabe fue el difusor de los conocimientos, debido a su
actividad comercial; un ejemplo de ello es el sistema de numeración desarrollado en la India,
que fue difundido en Europa gracias a las caravanas de comerciantes y a la expansión y
dominación árabe sobre este continente. Los árabes realizaron mediciones astronómicas y
se les reconoce como los creadores del Álgebra.
Durante la Edad Media, el avance de las ciencias en general se vio frenado, esto repercutió
en las Matemáticas. La actividad científica se practicó dentro de los conventos, y sus
impulsores principales fueron los monjes.
El Renacimiento surge por el afán del hombre por conocer su entorno y a sí mismo;
hombres como Copérnico, Kepler y Galileo revolucionaron la astronomía, explicando
el comportamiento planetario.Descartes y Pascal aportaron diversos elementos para el
progreso de la Geometría analítica.
En el siglo XVll, Newton hace uso de las Matemáticas para dar explicación a ciertos
fenómenos físicos y, paralelamente con Leibniz, establecen las bases del cálculo infinitesimal,
que es una de las grandes aportaciones del siglo.
Las Matemáticas son aliadas y compañeras del ser humano, gracias a ellas se han
perfeccionado los medios de producción, la comunicación instantánea como la televisión, el
teléfono y las computadoras, que forman parte de la vida cotidiana.
Ramas de estudio de las Matemáticas en 7° grado
El estudio de las Matemáticas en este grado se realizará enfocando cuatro ramas:
Aritmética
La Aritmética surge como respuesta a problemas concretos de la humanidad, a través de
una larga experiencia realizada por muchas generaciones y es la base para iniciarse en el
estudio de las Matemáticas. El término Aritmética se deriva del vocablo griego arithmos que
significa números.
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El objeto de estudio de la Aritmética son las relaciones entre los números y su cálculo en
operaciones como sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y extraer raíces.
El concepto de número Natural tan familiar ahora, fue elaborado por la humanidad muy
lentamente, al tener la necesidad de conocer cuántas cosas se tenían, por ejemplo: pieles,
flechas, hachas... etcétera.
En sus orígenes los seres humanos estimaban la idea de cantidad, como pocas o muchas
cosas y mediante la comparación que efectuaban con ayuda de sus dedos, con marcas, o
con piedras se percataban si faltaba alguna de sus pertenencias.
De esta comparación surge el número, al observar que existen conjuntos con la misma
cantidad de elementos. Tiempo después se llega a su representación simbólica y hubo de
transcurrir más tiempo para que el número llegara a abstraerse, pero siempre partiendo de
situaciones cuantitativas reales.
La introducción de los símbolos numéricos y su escritura jugó un papel importante en el
desarrollo de la Aritmética. Además, fue la primera etapa hacia los signos aritméticos y las
fórmulas en general.
La segunda etapa en que se introdujeron los signos para las operaciones Aritméticas tuvo
lugar mucho más tarde.
En Séptimo grado la Aritmética se abordará a través del análisis de la numeración decimal
a partir del origen y evolución de los sistemas de numeración.
Con respecto al uso de las operaciones que ya se ha manejado en la escuela primaria,
se partirá de situaciones problemáticas, en donde se identifique el tipo de problema, se
determine la operación u operaciones con que se resuelve, se haga una estimación del
resultado, se realicen las operaciones y, el resultado sea la respuesta correcta a la pregunta
del problema.
También se darán sugerencias de cómo estimar resultados haciendo el redondeo de los
datos numéricos dados.
Habrá ejercicios recreativos para practicar el cálculo mental y su aplicación en la resolución
de problemas, se propician momentos de esparcimiento donde el juego es un reto para la
inteligencia.
Álgebra
La palabra Álgebra proviene del árabe, se origina en el vocablo alchebr que significa
reducción. Una forma de definir esta rama de las Matemáticas es:
Álgebra es la rama de las Matemáticas cuyo objetivo, es simplificar y generalizar las
cuestiones relativas a los números, es decir, que es considerada como una generalización
y extensión de la Aritmética.
Cuando se cursa el Séptimo grado de Educación Básica, ya se ha estudiado Aritmética
19

durante todos los años anteriores de vida escolar.
En esta sección del curso se facilitará el conocimiento y uso de los números representados
con letras, así como el empleo del lenguaje simbólico que se utiliza para representar
cantidades desconocidas en la resolución de problemas, además se iniciará en el manejo
de las expresiones compuestas por letras que expresan valores numéricos.
Geometría
La Geometría y la Aritmética son las raíces sobre las que se han desarrollado las Matemáticas.
Al igual que la Aritmética, los conceptos más antiguos de la Geometría se remontan a la
época prehistórica y se originan a partir de actividades prácticas y problemas cotidianos. Su
transformación en teoría requirió de un largo período.
La Geometría estudia las relaciones de los cuerpos y las figuras, considerando su forma,
magnitud y posición.
Las primeras formas geométricas surgen de las representaciones de la naturaleza, como la
luna llena, la línea que describe un rayo de luz, la sombra de un pino, etcétera.
La noción de magnitudes geométricas como la longitud, el área o el volumen surgen en
las actividades cotidianas y su práctica constante llevó a descubrir las leyes generales
más elementales, por ejemplo, observar la relación existente entre las dimensiones de un
rectángulo y su área permitió descubrir la fórmula para obtener dicha área.
La palabra Geometría se deriva de los vocablos griegos geo-Tierra y metrón-medida, esta
denominación se debe al uso que los egipcios le daban, pues medían sus tierras de labranza
cada vez que el río Nilo se desbordaba.
El campo de la Geometría dentro del Séptimo grado pretende que a través de los trazos
y construcciones geométricas se exploren y se conozcan las propiedades de las figuras
geométricas, asimismo usen en forma adecuada los instrumentos de medida y se desarrollen
las capacidades para estimar magnitudes físicas y geométricas.
El estudio de la Geometría en Séptimo grado, parte de lo práctico y de situaciones
problemáticas para poder entender los conceptos geométricos.
Estadística Descriptiva
Otra rama de las Matemáticas es la Estadística Descriptiva que abarca la recolección
y presentación de datos, y el tratamiento de la información, de las cuáles se hablará a
continuación.
Los pueblos antiguos al utilizar registros estadísticos rudimentarios en los censos de
población y de propiedades hicieron un tratamiento de la información obtenida, al organizarla
y presentarla en tablas con el propósito de llevar un mejor control.
En tiempos más recientes se introdujo el uso de las gráficas con la ventaja de que éstas
permiten observar mejor las relaciones que se dan entre los datos y se percibe en forma
más clara la información.
20

Actualmente la Estadística contribuye a proporcionar información en estudios científicos,
para poder tomar las mejores decisiones en los negocios, la industria, el deporte, etcétera.
En el Séptimo grado, el estudio de la presentación y tratamiento de la información incluye el
uso de porcentajes, tablas y gráficas.
En el desarrollo de estos temas se utilizarán los instrumentos de Geometría para la
construcción de tablas y gráficas, y la calculadora para abreviar tiempo en la obtención o
comprobación de resultados.
Ejercicios 1 Senderos
1) Complete en su cuaderno el siguiente cuadro:
2) Haga una descripción del objeto de estudio de cada rama de las Matemáticas.
Aritmética.
Álgebra.
Geometría.
Estadística descriptiva.
3) Dibuje en su cuaderno la siguiente figura sin despegar el lápiz del papel y luego conteste
las interrogantes que se formulan:
a) ¿Cuántos cuadrados diferentes hay?
b) ¿Cuántos cuadrados hay en total?
c) Dibuje los cuadrados en la misma posición que los ve, pero separados.
21

Organización didáctica de los cursos
Cuando una persona va a cursar una materia, resulta adecuado que se entere sobre
el contenido del programa correspondiente al curso. Esto le permite analizar si tiene
antecedentes necesarios para adquirir los nuevos conocimientos o debe obtener algunos
que le permitan emprender con posibilidades de éxito el estudio de la materia.
Los temas del programa correspondiente al Séptimo grado de Matemáticas de Educación
Básica, están contenidos en cuatro áreas de conocimiento, en cuatro bloques respectivamente:
I. Números y operaciones.
II. Álgebra.
III. Geometría.
IV. Estadística Descriptiva y Probabilidad Discreta.
Aunque en el programa se señalan específicamente los temas que corresponden a cada
uno de los cuatro bloques y el tratamiento de ellos sigue un orden, cada tema no se estudia
aislado, sino siempre relacionando unos temas con otros, y utilizando cada concepto
aprendido, a lo largo del curso para poder comprender los temas siguientes.
Contenidos de los Bloques
Los bloques de Área de Matemáticas que se describen a continuación son coherentes con
las expectativas de logro y se consideran como contenido universal en muchos programas
de estudio:
I. Los Números y Operaciones: Son el concepto fundamental de las Matemáticas para
representar formalmente regularidades, ordenar, clasificar y describir cuantitativamente
relaciones entre números. Este bloque combina la Teoría de Conjuntos, Relaciones y
Estructuras, y Sistema de Numeración Posicional Decimal.
Contenidos principales que integran el bloque I:
• Números enteros y sus operaciones
• Las fracciones y sus operaciones.
• Expresiones decimales y sus operaciones.
• Problemas que se resuelven aplicando los conceptos y operaciones que se mencionan.
II. El Álgebra: Es una teoría que desarrolla métodos para resolver problemas cotidianos
utilizando un lenguaje simbólico.
Contenidos principales que integran el bloque II:
• Lenguaje algebraico
• Variables y expresiones.
22

• Ecuaciones lineales en una variable.
• Problemas que se resuelven aplicando las ecuaciones.
• Razón, Proporcionalidad y Porcentaje.
III. La Geometría: Es la teoría de las formas y figuras en el plano, y en el espacio, y por el
carácter de sus conceptos que pueden representarse fácilmente en forma gráfica, es tal vez
el bloque de contenido más accesible para los estudiantes. En combinación con números,
operaciones y medidas, tiene amplia aplicación en profesiones técnicas como arquitectura,
carpintería, albañilería etc.
Contenidos principales que integran el bloque III:
• Conjunto de puntos.
• Ángulos.
• Segmentos y rayos.
• Problemas en los que se apliquen los conceptos enumerados.
IV. La Estadística Descriptiva y Probabilidad Discreta: Son herramientas para interpretar,
evaluar y juzgar hechos concretos. Este bloque está vinculado con la Estadística
Matemática y fue seleccionado por su utilidad en profesiones técnicas y financieras.
Contenidos principales que integran el bloque IV:
• Registro de datos.
• Organización y presentación de datos.
• Lectura y elaboración de tablas y gráficas.
• Problemas en los que se utilice los conocimientos citados.
Metodología y forma de entrega de los contenidos
Aunque ya conoce la organización de los contenidos en el Libro del Estudiante es importante
conocer cómo se va a trabajar; esto le permitirá aprovechar de mejor manera todos los
esfuerzos y así enfrentar adecuadamente algunas situaciones problemáticas. Los materiales
que utilizará durante el curso son el Libro del Estudiante y los Programas de Televisión.
En el Libro del Estudiante encontrará la información que se necesita para comprender los
temas que se tratan. Asimismo se incluye las actividades que se sugieren llevar a cabo
durante el curso, para que aprenda. Esta información podrá estar relacionada unas veces
con conceptos y otras con procedimientos, es decir, con las maneras de hacer algo.
El Libro del Estudiante se estructura en distintas Secuencias de Aprendizaje y cada Secuencia
se divide en secciones identificadas con nombres e iconos diferentes. Cada sección tiene
una finalidad específica.
Iconografía de las secciones
Para comprender mejor cómo se maneja este libro de conceptos y procedimientos observe
cada recuadro en el que se explícita el propósito de cada una de las secciones con su icono
correspondiente.
23

24

25

Ciencias Naturales, Matemáticas, Ciencias Sociales y otras disciplinas.
Otro recurso con el que cuenta el Libro del Estudiante son los Programas de Televisión. Los
programas televisivos presentan información interesante de mucha utilidad que le permitirá
conocer aspectos de la historia y curiosidades de las Matemáticas, procedimientos para
hallar soluciones a diferentes problemas y aplicaciones de los conceptos a la vida cotidiana.
Por cada Secuencia de Aprendizaje existe uno o dos programas de televisión el cual podrá
observarlo cuando su docente lo estime conveniente.
Ejercicios 2 Senderos
Conteste en su cuaderno de trabajo, cada pregunta:
1. ¿Cuáles son los cuatro bloques que dividen los contenidos del área de Matemáticas para
Séptimo grado?
2. ¿Qué bloque clasifica y describe cuantitativamente relaciones entre los números?
3. ¿Qué bloque desarrolla métodos para resolver ecuaciones?
4. ¿Qué bloque estudia las formas y figuras en el plano y en el espacio?
5. ¿Qué bloque está vinculado con la estadística matemática?
Ejercicios 3 Senderos
1. Dibuje a mano alzada y coloree cada uno de los iconos de las diferentes secciones y
escriba a la par de cada uno lo que significa.
2. Dibuje en su cuaderno de un solo trazo la siguiente figura sin despegar el lápiz del papel
y sin pasar dos veces por la misma línea.
26

3. Observe la figura que dibujo y conteste lo siguiente:
a) ¿Cuántas figuras de diferentes formas hay?, ¿Cuáles son?
b) ¿Cuántos tamaños de triángulos hay?
c) ¿Cuántos triángulos hay en total?
d) ¿Cuántos cuadrados hay en total?
e) Dibuje los cuadrados en la misma posición en que los ve, pero separados.
4. En los nueve cuadros de la figura de abajo coloque los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y
9. Sin repetir ninguno, de tal manera que la suma de los tres números que queden en
forma horizontal sumen 15 (las tres líneas horizontales), a la vez los tres números que
queden de forma vertical sumen 15 (las tres líneas verticales), así mismo los que queden
en forma diagonal ( las dos diagonales)también sumen 15
5. Coloque los números del 1 al 9 sin repetirlos de forma que cada lado del triángulo sume 17.
27

28

En este bloque Números y Operaciones conocerá los Números Enteros, las fracciones y las
expresiones decimales, así como las operaciones entre ellos. Este contenido corresponde
a la Aritmética, esta rama de las Matemáticas surge como respuesta a problemas concretos
de la humanidad, a través de una larga experiencia realizada por muchas generaciones.
La Aritmética es la base para iniciarse en el estudio de las Matemáticas. El término Aritmética
se deriva del vocablo griego arithmos que significa números. El objeto de estudio de
esta disciplina de las Matemáticas son las relaciones entre los números y su cálculo en
operaciones como: sumar, restar, multiplicar, dividir, potenciar y extraer raíces.
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EXPECTATIVAS DE LOGRO
Al finalizar el bloque Números y Operaciones los estudiantes:
1 Desarrollan el concepto de un número entero.
2 Representan los números enteros en la recta numérica.
3 Identifican el valor absoluto de un número entero.
4 Dominan las operaciones básicas con números enteros para resolver problemas de la
vida real.
5 Identifican números racionales en problemas de la vida real y usan las operaciones
básicas para resolverlos.
6 Reconocen situaciones de la vida real la conveniencia de los números racionales.
CONTENIDO
▪ Números enteros
o El conjunto de los números enteros.
o Uso de los números negativos y positivos.
o Representación gráfica de los números enteros.
o Valor absoluto de los números enteros.
o Propiedades del valor absoluto.
o Relaciones de orden en Z.
▪
▪
Operaciones con números enteros.
o Adición de números enteros con el mismo signo.
o Adición de números enteros con signos diferentes.
o Suma y resta combinadas de números enteros.
o Propiedades de la adición de números enteros.
o Multiplicación de números enteros.
o Propiedades de la multiplicación de números enteros.
o División de números enteros.
o Múltiplos y divisores de un número entero.
o Criterios de divisibilidad para números enteros.
o Potenciación con números enteros. Propiedades.
o Radicación en los enteros. Propiedades.
o Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de números enteros.
o Operaciones combinadas.
o Signos de agrupación.
Números racionales y sus operaciones.
o El conjunto de los números racionales.
o Fracciones equivalentes.
o Amplificación y simplificación de fracciones.
o Representación gráfica de los números racionales.
o Relaciones de orden en los números racionales.
o Adición y sustracción de números racionales.
o Polinomios aritméticos.
o Multiplicación de números racionales.
o División de números racionales.
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o Potenciación de números racionales.
o Propiedades de la potenciación de los números racionales.
o Raíz cuadrada de un número racional.
o Raíces con índice mayor que dos de números racionales.
o Aproximación racional de una raíz cuadrada.
o Operaciones combinadas de números racionales.
o Signos de agrupación.
o Fracciones complejas.
▪
Números decimales y sus operaciones.
o Expresión decimal de una fracción.
o Lectura y escritura de números racionales.
o Relaciones de orden en las expresiones decimales.
o Redondeo de decimales.
o Representación gráfica de las décimas.
o Adición de expresiones decimales.
o Sustracción de expresiones decimales.
o Multiplicación de expresiones decimales.
o División de expresiones decimales.
o Potenciación de expresiones decimales.
o Raíz cuadrada de una expresión decimal.
o Solución de problemas aplicando las operaciones con expresiones decimales.
o Propiedades de las operaciones con expresiones decimales.
o Operaciones combinadas con expresiones decimales.
o Signos de agrupación con expresiones decimales.
31

32

Secuencia de aprendizaje 1 Bloque I
SENTIDOS OPUESTOS
En esta primera secuencia recordará los Números Naturales, como una de las ideas más
antiguas de clasificar, contar y ordenar elementos, que constituyen la base de todos los
conjuntos numéricos y las Matemáticas, además estudiará las principales operaciones
entre los naturales, así como también algunas de sus propiedades, y se analizará por qué el
conocimiento de los Números Naturales no es suficiente para realizar algunas operaciones,
como la sustracción.
Conjuntamente conocerá el concepto de número entero, aprenderá a diferenciar un número
negativo de un positivo, identificará el valor absoluto de cualquier número, asimismo
reconocerá situaciones de la vida cotidiana en la que se aplica el conocimiento de la existencia
del Conjunto de los Números Enteros y aprenderá a diferenciar cuando un número entero
es mayor que otro.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Distingan entre números positivos y negativos.
2. Comprendan el concepto de número entero.
3. Identifiquen el valor absoluto de un número entero.
Origen de los Números Naturales
La idea de número natural es una de las más antiguas e importantes de las Matemáticas,
esta constituye la expresión cultural de la necesidad de contar. Los Números Naturales
son los primeros que surgen en distintas civilizaciones, ya que contar y ordenar son las
operaciones más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano
usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera,
nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.
33

Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por
ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena, pero fue
en Mesopotamia alrededor del año 4.000 antes de Cristo donde aparecen los primeros
números, que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños
tableros de arcilla, empleando un objeto puntiagudo para elaborar su marca, de aquí el
nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde,
aunque con símbolos gráficos diferentes, en Grecia y en Roma antigua. En Grecia se
empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además
de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Entre otros sistemas de numeración antiguos se encuentran el utilizado por los chinos, y
japoneses, egipcios, romanos, árabes y mayas.
A continuación se presentan algunas referencias de los números que
civilizaciones a través del tiempo.
han utilizado
De estas civilizaviones es importante destacar a Los Mayas, estos se ubicaron en la zona
nor-occidental de Honduras. El sistema de numeración que utilizaron era vigesimal (veinte
números), este método estaba basado en la posición de signos que implica el uso del cero
para indicar que no hay unidades de aquel valor (el conocimiento del cero por los mayas fue
uno de los aportes más importantes para la numeración en América), haciendo uso de un
símbolo ovalado que aparece en numerosas estelas o códices mayas y los demás números
se indicaban con puntos y barras hasta el número veinte.
Hacia el año 1,200 después de Cristo en Europa, el estudioso de la matemática conocido
como Fibonacci, propuso un sistema de numeración utilizado por los árabes y los hindúes,
en el cual se utilizaba el cero y el sistema posicional de notación como el que se utiliza hoy,
pero éste tuvo que esperar la invención de la imprenta para ser conocido en toda Europa, lo
que permitió el progresivo abandono de la numeración romana vigente hasta la edad media.
Quien colocó al conjunto de los Números Naturales sobre lo que comenzaba a ser una base
sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo
que implicaba que la existencia del conjunto de Números Naturales se daba por cierta), que
después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos
cinco postulados que llevan su nombre.
34

A este modelo adoptado por los europeos se le conoce como Sistema de Numeración Decimal
y consta de diez símbolos que son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9; los números siguientes (como
el 10, 11,12.. etc.) son una combinación de estos signos e integran la base de los Números
Naturales, independientemente de los numerales que se utilicen para representar a los
naturales, estos están relacionados con el conteo y son una sucesión infinita de números,
en progresión de uno en uno, empezando desde el cero.
El cero y la definición de los Números Naturales
Existe una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los Números
Naturales. De ahí que no exista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias
de los Números Naturales. De hecho, algunos matemáticos (especialmente los de la Teoría
de Números) prefieren no reconocer el cero como un número Natural; otros, especialmente
los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.
Históricamente, el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no
tenía una representación natural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puras
construcciones mentales.
Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las Matemáticas
y de algunas aplicaciones, la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural
la inclusión del cero dentro del conjunto de los Números Naturales. Por ejemplo, desde el
punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el número de elementos
del conjunto vacío, y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se
encuentran en estado off.
De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los Números Naturales sea cuestión
de contexto y de convenio, observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él
El Conjunto de los Números Naturales se representa con la letra N y son
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11… constituyen un conjunto infinito, se pueden representar en la
recta numérica de la siguiente forma:
N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}
2354
251
2605
}
sumandos
suma total
Sin embargo el conocimiento de los Números Naturales no es suficiente para describir,
operar y, en último caso, registrar muchas situaciones que se dan regularmente, como la
sustracción de 3 – 5 que no tiene solución en el Conjunto de los Números Naturales.
35

Ejercicio 1 Secuencia 1 bloque I
Con base en la lectura anterior, conteste y comente con sus compañeros (as) de equipo las
siguientes interrogantes:
1. ¿Cómo surgen los Números Naturales?
2. ¿Cómo se escriben en la numeración maya el 16, 17, 18, 19 y 20?
3. ¿Cómo se escriben en la numeración Romana el 16, 17, 18, 19 y 20?
4. ¿Cuáles son los Números Naturales y con qué letra se representan?
5. ¿En qué parte de la recta numérica se escriben los Números Naturales?
6. Suponga que usted no conoce los Números Naturales, ¿Cómo contaría un grupo de
vacas, sin utilizar rayas?
8. ¿Cuál es la diferencia de la numeración maya con la que se utiliza actualmente?
9. ¿Cuál es el aporte más importante de los mayas en cuanto a la numeración en América?
Programa de Televisión 1 Secuencia1 bloque I
En el siguiente programa de televisión denominado: Recordar es Dominar las Matemáticas,
se muestra la formación del Conjunto de los Números Naturales, las operaciones entre
estos, sus principales propiedades y cómo se podrían utilizar para resolver situaciones de
la vida cotidiana.
Operaciones con los Números Naturales
Adición de Números Naturales
La adición es una operación binaria (se realiza entre dos cantidades), el objetivo de esta
operación consiste en reunir en un solo número varios números del mismo género o conjunto
numérico, la adición se indica mediante el signo +. Sus elementos se llaman sumandos y el
resultado se llama suma o total.
+
2354
241
suma total
36

Sustracción de Números Naturales
La sustracción de Números Naturales es una operación binaria (entre dos cantidades), es la
operación inversa de la adición, el objetivo es encontrar un número desconocido (diferencia)
cuando se le resta otro (sustraendo) a un número conocido (minuendo).
La sustracción se indica con el signo - . Sus elementos son: minuendo, sustraendo y
resultado se llama diferencia.
Multiplicación de Números Naturales
La multiplicación es una operación binaria, su objetivo es abreviar la adición de sumandos
iguales.
La multiplicación se indica con el signo “x”. Sus elementos son: multiplicando, multiplicador
y el resultado se llama producto.
División de Números Naturales
La división es una operación binaria, es la operación inversa de la multiplicación; su objetivo
consiste en repartir un todo en cierto número de partes iguales, se indica mediante los
símbolos: ÷, /, . Cuando el residuo es cero, la división es exacta, en caso contrario es
inexacta. Sus elementos son:
Dividendo:
Divisor:
Cociente:
Residuo:
Es el número que se reparte o se divide
Es el número por el cual se divide
Es el resultado de la división
Es el sobrante
20
37

Ejercicio 2 Secuencia 1 bloque I
Forme grupos de cuatro integrantes y realice en su cuaderno lo que se le pide:
1) Efectúe las siguientes operaciones:
a) 1966 + 326 + 18 + 1=
b) 67 × 19=
c) 1984 – 728=
d) 7500 ÷ 5 =
2) Escriba el sucesor y el antecesor de:
a) ______ 34 ______
b) ______ 2 ______
3) Resuelva los siguientes problemas:
a) Una fotocopiadora saca 320 copias por hora, ¿Cuántas copias sacará en 5 horas?
b) Se compran 10 gallinas a L. 70.00 cada una y después se venden por L. 1000.00 las
10, ¿Cuál es la ganancia?
c) ¿Porqué es importante tener conocimientos de Matemáticas en su vida? Escriba su
opinión.
4) Complete el cuadro con los resultados de las operaciones indicadas, cuando sea posible
efectuar con los Números Naturales:
+ − − × ÷ ÷
38

El conjunto de los Números Enteros (Z)
La sustracción de Números Naturales es posible siempre que el minuendo sea mayor o
igual que el sustraendo.
Ejemplo:
10 – 3 = 7 porque 3 + 7 = 10
12 – 12 = 0 porque 12 + 0 = 12
¿Tiene solución en los naturales la sustracción 3 – 7?
¿Existe un número natural que sumándole 7 nos de 3?
7 + = 3
No existe ningún número natural que sumado con 7 de 3, porque cuando el minuendo es
menor que el sustraendo la operación no es posible en el conjunto N.
Observe también que en la vida cotidiana son muchos los problemas que conducen a
operaciones de este tipo o la necesidad de representar simbólicamente expresiones como
las siguientes:
• La temperatura es 4 grados centígrados bajo cero
• 200 metros sobre el nivel del mar
• Caminar 5 metros a la derecha
• El arrecife de coral en Islas de la Bahía, está 3 metros bajo el nivel del mar.
Las expresiones anteriores son mediciones cuya representación con los Números Naturales
no es suficiente para expresar la idea exacta del fenómeno que se esta midiendo. Por
ejemplo, no es lo mismo una temperatura de 4 grados centígrados bajo cero que 4 grados
centígrados sobre cero.
Situaciones como las anteriores justifican la necesidad de ampliar el conjunto de los Números
Naturales, introduciendo los números enteros negativos, así:
Recuerde que los Números Naturales se ubican a la derecha en la recta numérica y son
positivos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
0 1 2 3 4
Al ampliar este conjunto de números se ubican los números enteros negativos, a la izquierda
de los naturales en la recta numérica.
{ … –3, –2, –1, 0, …}
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1
39

0 1 2 3 4
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1
Los números enteros negativos, el cero y los números enteros positivos o naturales forman
un nuevo conjunto de números, que permiten expresar fenómenos o situaciones en dos
sentidos, llamado Conjunto de Números Enteros y se representan con la letra Z.
Z = { … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}
Notas importantes:
Uso de los Números Enteros negativos y positivos
Usando los números con el signo positivo o negativo se puede expresar la posición
relativa con respecto a un punto de referencia:
1.Observe el cambio de la temperatura en cada región de América, en los siguientes
ejemplos:
40

Para medir la temperatura se toma como punto de referencia el número que marca cero
grados centígrados (0 ºC).
Las temperaturas arriba del cero se escriben utilizando números positivos, por ejemplo:
+29 ºC ó 29ºC.
Las temperaturas abajo del cero se escriben utilizando los números negativos, por ejemplo –2º C.
2. Si se expresa 20 lempiras de ganancia, con + 20 lempiras entonces 20 lempiras de
pérdida se expresa con – 20 lempiras.
3. La cumbre de la montaña Pico Bonito se encuentra a 2,435 m sobre el nivel del mar, se
expresa la altura como + 2,435 m, tomando como punto de referencia el nivel del mar y
la mayor depresión del desierto de Colorado (USA) que queda a 610 m bajo el nivel del
mar se expresaría como – 610 m.
IMPORTANTE:
• El signo negativo en estas magnitudes significa “sentido contrario” a partir de un punto
(cero) tomado como referencia.
41

Representación gráfica de los Números Enteros
Para representar en forma gráfica el conjunto de los números enteros (Z), se hace uso de
la recta numérica. A cada división hecha sobre ella le corresponde un número entero; los
positivos se ubican a la derecha del cero y los negativos en sentido contrario, es decir, a la
izquierda. Como se muestra a continuación:
Las cantidades positivas y negativas se escriben en la recta numérica de la siguiente manera:
1) Se traza una recta
2) La recta se divide en varios segmentos iguales, señalándolos con marcas. La marca
central se identifica con el número cero
3) Las marcas que están a la derecha del cero corresponden a números enteros positivos,
no tienen último elemento.
4) Las marcas que están a la izquierda del cero corresponden a números enteros negativos,
no tienen primer elemento.
42

Ejercicio 3 Secuencia 1 bloque I
Formar grupos de tres estudiantes y realizar las siguientes actividades:
1) Complete el siguiente mapa conceptual:
2) Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios:
a) Escriba frente a cada frase otra que represente la situación opuesta
Atrás______________Derecha:______________Perder:_______________
Ir de Atlántida a Choluteca_______________________________________
Sumar 16 a una cantidad_________________________________________
Restar 48 a una cantidad_________________________________________
b) Use la siguiente recta numérica para describir hasta que punto llegó Telebásico
después de realizar los recorridos que abajo se indican.
Telebásico siempre inicia cualquier recorrido en cero.
43

3 pasos a la derecha, 5 pasos a la izquierda, 4 pasos a la derecha, llegó a_____
2 pasos a la izquierda, 4 pasos a la derecha, 2 pasos a la izquierda, llegó a____
2 pasos a la derecha, 3 pasos a la de recha, 6 pasos a la izquierda, llegó a_____
c) Conteste las siguientes preguntas tomando en cuenta que la dirección del movimiento
de un vehículo es positiva si se dirige hacia el norte y negativa si se dirige hacia el sur.
¿Hacia dónde se dirige el vehículo cuyo movimiento es de +6 km?
¿Cómo se expresa 2 km de movimiento hacia el sur?
d) Coloque al final de cada oración el entero que se emplearía para escribir abreviadamente
cada una de las siguientes oraciones.
4 metros bajo el nivel del mar_______
200 lempiras de ganancia________
El termómetro marca 4 grados centígrados bajo cero______
e) Escriba con sus palabras, un párrafo que describa la siguiente figura:
44

Números opuestos
A cada número entero positivo representado en la recta numérica, le corresponde uno
negativo y viceversa, ambos se encuentran a la misma distancia del cero, por ello se les
conoce con el nombre de números opuestos o simétricos:
1 es el simétrico de –1
2 es el simétrico de –2
–5 es el simétrico de 5
OPUESTOS O SIMÉTRICOS
Misma distancia del cero
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
Al localizar dos números simétricos u opuestos en una misma recta numérica, es fácil notar
que están ubicados a la misma distancia (a la izquierda o a la derecha) del cero, por
ejemplo:
En el –1 y el 1, hay una unidad a la izquierda y a la derecha del cero.
En el 10 y el –10, hay diez unidades a la derecha y a la izquierda del cero.
Estos pares de números simétricos representan las siguientes características:
• Tienen signos distintos, uno positivo y otro negativo.
• Se encuentran a la misma distancia del cero en la recta numérica.
45

Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número entero, es la distancia que hay de cero a dicho
número en la recta numérica.
Por ejemplo si una persona hace un
recorrido de tres km, desde un punto cero
a la izquierda y luego otra persona recorre
a la derecha tres km, desde el mismo
punto de partida que la primera, las dos
han recorrido lo mismo como se puede
observar en la figura.
Es decir, que la distancia que hay de cero
a 3 también es 3 y la distancia que hay de cero a –3 es 3.
Para expresar el valor absoluto de un número entero, se encierra entre dos barras verticales
y paralelas, así:
│ 3 │ = 3, se lee, el valor absoluto de tres es igual a tres.
│ –3 │ = 3, se lee, el valor absoluto de negativo tres es tres.
Observe los siguientes ejemplos:
│ 7 │ = 7 ☺ porque la distancia de cero a siete es siete
│ –8 │ = 8 ☺ porque la distancia de cero a negativo ocho es ocho
│ –1 │ = 1 ☺ porque…
│ 0 │ = 0 ☺ porque…
Propiedades del valor absoluto
i. “El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de sus
factores.”
│ a ∙b │ = │ a │ ∙ │ b │
ii. “El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos de los
términos del cociente.”
46

iii. “El valor absoluto de una suma es, menor o igual que la suma de los valores absolutos de
los sumandos (aplicable también a la diferencia).”
│ a + b │ ≤ │ a │ + │ b │
│ a - b │ ≤ │ a │ – │ b │
iv. “El valor absoluto de un número negativo, es igual al valor absoluto del mismo número
positivo.”
│ – a │ = │ a │
Ejemplos:
Hallar los valores absolutos de:
a) │ 5 (–3) │
│ 5 (–3) │ = │ 5 │ ∙ │ –3 │
│ – 15 │ = │ 5 │ ∙ │ –3 │
… propiedad
… efectuando las operaciones indicadas
b) 20
4
15 = 5 ( 3 ) …. Aplicando la propiedad
15 = 15
20 20
4 = 4 …Aplicando propiedad
│ 5 │ = 20
4 …Aplicando la definición de valor absoluto
│ 5 │ = 5 …Dividiendo
5 = 5
b) │ 5 + 3 │
│ 5 + 3 │ ≤ │ 5 │ + │ 3 │
… ¿Qué propiedad aplicó?
│ 8 │ ≤ │ 5 │ + │ 3 │ … ¿Qué hizo?
8 ≤ 5 + 3 … ¿Qué propiedad aplicó
8 ≤ 8
47

c) │ 5 – 3 │
│ 5 – 3 │ ≤ │ 5 │ – │ 3 │
… ¿Qué propiedad aplicó?
│ 2 │ ≤ │ 5 │ – │ 3 │ … ¿Qué hizo?
2 ≤ 5 – 3 … ¿Qué propiedad aplicó
2 ≤ 2
d) │ –7 │ = │ 7 │
7 = 7 … Aplicando la definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número entero negativo siempre es positivo.
El valor absoluto de cero es cero.
Ejercicios 4 Secuencia 1 Bloque I
1) Formar grupos de dos estudiantes y realice las siguientes actividades en su cuaderno:
¿Cuál es el opuesto de cada entero?
2) Analice y complete la tabla siguiente.
56_________ – 87__________ 6___________ – 1__________
3) Evalúe las siguientes proposiciones.
a) │ –5 │ = b) │ 6 │ = c) │ –2 │ = d) │ –9 │=
e) │ 4 + 7 │= f) │ 8 – 5 │= g) │ –a │ =
h) 60 i) │ 5 × 3 │ =
10
4) Piense y conteste:
Dos automóviles salen al mismo tiempo, uno de Tegucigalpa a 80 km/hr y el otro de Santa
Rosa de Copán a 60 km/hr, al momento de encontrarse en la carretera ¿Cuál está más
lejos de Tegucigalpa?
48

Relaciones de orden en ᵶ
Los números enteros son una serie ordenada. Esto significa que si se tienen dos números
enteros cualquiera, siempre se puede indicar cuál de ellos es mayor, menor o igual que el otro.
Entre dos números enteros cualquiera a y b existe una relación de orden, de tal manera que
al confrontar los dos, sólo puede ocurrir una de las siguientes comparaciones:
• Que uno sea mayor que el otro, a>b (a es mayor que b)
• Que sean iguales, a=b (a es igual a b)
• Que uno sea menor que el otro, a

Ejemplos:
2 < 4 porque…
0 < 1 porque…
Mayor que
Para todo a,b є Z, se dice que a es mayor que b y se representa por
a > b, si a se encuentra a la derecha de b en la recta numérica, así:
Ejemplos:
3 > 1 porque…
4 > 2 porque…
Igual a
50

Ejemplos:
4 = 4 porque…
–2 = –2 porque…
IMPORTANTE:
• Todo número positivo es mayor que el cero
• Todo número positivo es mayor que cualquier negativo
• Todo número negativo es menor que el cero
• Todo número negativo es menor que cualquier positivo
Ejercicio 5 Secuencia 1 bloque I
Realice los siguientes ejercicios en forma individual, puede apoyarse en el contenido de las
secciones ¿Qué piensan otros? y ¿Que dice la ley?
1) Compare los siguientes números y escriba el signo >, < o =, según corresponda. Recuerde
que la comparación de los números se hace de izquierda a derecha:
a) 3___4 b) 6___6 c) –4___4 d) 5___–6 e) –2___–4
f) 0___–8 g) –9___0 h) 0___5 i) 1___0 j) –9___–1
2) Ordene de mayor a menor los siguientes números, en la tabla de la derecha:
a) 2, 4, –3, –2, 0, 5, –5
b) –2, –10, 0, –1, 1, –4, –11
3) Escriba tres números enteros menores que 2:
4) Escriba cuatro números enteros mayores que –5:
5) Escriba cinco números pares menores que –2:
6) Escriba el número entero mayor que –1 y menor que 1:
51

Programa de Televisión 2 Secuencia1 bloque I
Observe con atención al programa de televisión, Paga tus cuentas a tiempo en el cual
se muestra la importancia de conocer los números enteros y la aplicación que tiene este
conocimiento en situaciones de la vida cotidiana, además las propiedades de la igualdad
(reflexiva, simétrica y transitiva), así como las propiedades de desigualdad (convexa y
transitiva)
Ejercicio 6 Secuencia 1 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
1) Diga si es verdadera o falsa cada oración:
a) Todos los números enteros tienen un opuesto o simétrico ( )
b) Todo número entero negativo es mayor que cualquier entero positivo ( )
c) El cero es mayor que cualquier entero negativo ( )
d) El conjunto Z, está formado sólo por enteros positivos y negativos ( )
e) –10 es mayor que –1 ( )
f) El signo “ mayor que “ es “ > “ ( )
g) Todos los Números Naturales son enteros positivos ( )
h) El valor absoluto de un número entero siempre es positivo ( )
2) Piense y responda:
a) ¿Qué número negativo esta a la misma distancia de 5, con respecto al cero?
b) ¿Cuál es el número que no es positivo ni negativo?
c) Exponga dos ejemplos de la vida real en las que se aplique el conocimiento de los
números enteros.
52

d) El conocer ahora los números enteros, ¿En qué le ayuda para poder desarrollarse en
su comunidad?
3) Ordene de mayor a menor los siguientes números:
a) +2, –3, –5, +4, +6, –1
b) +4, –4, –1, +1, 0
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1) Escriba a la izquierda de cada proposición el entero que se emplea para
representarla:
a) -3° C 3 grados centígrados bajo cero
b) _________ 36 metros sobre el nivel del mar
c) _________ 10 años antes de Cristo
d) _________ 20 lempiras de ahorro
e) _________ 10 metros bajo el nivel del mar
f) _________ 30 lempiras de pérdida
2) Represente en la recta numérica los siguientes números:
A = Los enteros mayores que 2
B = Los enteros mayores que –2 y menores que 5 incluyéndolos.
C = Los enteros mayores que – 10 y menores que -3
D= Los enteros menores que 0
3) Calcule:
a) │ –76 │ = b) │ 69 │ = c) │ –24 │ = d) │ –90 │=
4) Escriba dentro de cada paréntesis el signo de relación de orden (>, < ó =)
correspondiente:
a) –2 ( ) –3 f) –17 ( ) –16 k) –29 ( ) 29
b) –4 ( ) –10 g) –20 ( ) 0 l) –32 ( ) –30
c) 2 ( ) 5 h) –99 ( ) –99 m) 43 ( ) –50
d) 8 ( ) –8 i) –11 ( ) –11 n) –2 ( ) 3
e) 0 ( ) –3 j) 12 ( ) –13 ñ) –45 ( ) –46
5) Ordene en forma descendente (de mayor a menor):
A= {-5, -8, 9, 0, 12, 5, 6, -1}
B= {-10, 12, -12, 4, -6, -1 }
C= {-10, 12, -13, 14, -15, 15, -16}
53

6) Resolver los siguientes problemas:
a) La temperatura ambiente en Tegucigalpa es de 25°C y luego desciende 17 ºC.
¿Cuánto marcará el termómetro?
b) Una persona se sumerge 15 metros en el mar, al regresar se detiene a 4 metros de
la superficie por efectos de descompresión.
i) Haga una recta numérica que ilustre el recorrido de la persona.
ii) ¿Cuántos metros ha recorrido hasta que se detiene?
iii) ¿Según la recta numérica, en qué posición queda cuando se detiene?
c) La temperatura promedio de Copán es menor que la de Comayagua y la de Comayagua
es menor que la de San Pedro Sula. Suponga que la temperatura de San Pedro Sula a
16°C y la de Copán -2 ºC.
i) ¿Cuál podría ser la temperatura mínima en Comayagua?
ii) ¿Cuál podría ser la temperatura máxima en el Comayagua?
54

Secuencia de Aprendizaje 2 Bloque I
LO IMPOSIBLE SE HACE POSIBLE
Es común que al analizar un asunto cualquiera, descubramos al poco tiempo de empezar
nuestro estudio, que existen conceptos y propiedades nuevas, y sorprendentes, que son
completamente lógicas, aunque al principio no lo parezcan. Podrá pensarse por ejemplo
que si una persona tiene un salario diario de doscientos lempiras, esta podría gastar
trescientos, ¿Cómo que 200 – 300 no da? o que hay tres unidades menores que cero,
aunque no poseamos algo. A estas y otras interrogantes se dará respuesta al explorar esta
secuencia, que contiene el fascinante mundo de las operaciones fundamentales con los
números enteros: Adición, Sustracción, Multiplicación y división, además las propiedades
concernientes a cada operación como: asociativa, conmutativa, distributiva, elemento neutro
y elemento absorbente.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Identifiquen las propiedades de las operaciones de los números enteros.
Reseña histórica de la numeración
A través de la historia de la humanidad se constata la necesidad que se tuvo de contar,
algunos autores opinan que esta surge con la naciente propiedad privada de las comunidades
primitivas y se acentúa con el descubrimiento de la agricultura, con la cual las comunidades se
establecen de forma permanente o sedentaria, domestican animales y adquieren bienes y, por
lo tanto surge la necesidad de contarlos. Este testimonio se encuentra manifestado en el arte
rupestre con marcas que suponen alguna especie de conteo o en las antiguas civilizaciones
donde se utilizaron distintos símbolos o caracteres para representar un mismo número.
Para entonces se otorga un nombre especial a cada número representado con un símbolo
(numeral), con la intención de comunicarse con los demás o para saber cuantos elementos
tiene un conjunto determinado. De esta forma, un conjunto que tiene diez elementos se puede
identificar con numerales que expresan esa cantidad en diferentes sistemas de numeración
como: la numeración babilónica, egipcia, china, maya, etc.
55

Sistema de numeración decimal
Recibe este nombre porque tiene como base el número diez; además se emplea el principio
de posición y el cero. Se desarrolló en la India y se introdujo en Europa a través de España por
los árabes. Es por eso que se le conoce como numeración árabiga, pero como este sistema
de numeración tuvo su origen en la India se le llama ahora numeración indoarábiga.
Los símbolos que se utilizan para su escritura se llaman guerismos o cifras. La palabra cifra
proviene del vocablo sirf, voz árabe que significa “vacío”, con la cual se designaba al cero.
Estas cifras son los símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Del 1 al 9 se le conoce como cifras
significativas por tener un valor propio, mientras que el cero indica la carencia de valor. A
estos números de una sola cifra se les llama dígitos.
En este sistema las cifras de primer orden se les llama unidades, dado su principio de
posición; las de segundo orden se llaman decenas, las de tercer orden se llaman centenas,
etc.; de tal manera que las posiciones se ubican de derecha a izquierda y a cada una de
ellas les corresponde un valor diez veces mayor que el de la posición inmediata a la derecha.
Las cifras significativas tiene un valor propio , denominado valor absoluto y un valor que
depende de la posición que ocupan denominado valor relativo.
Por ejemplo en el número 77, la cifra 7 que tiene distintos valores de acuerdo con la posición
que ocupa. Esto es, considerado de derecha a izquierda: el primer 7 representa siete
unidades y el segundo 7 representa siete decenas, es decir, 7 veces 10, que es lo mismo
que 70 unidades.
Por lo tanto el primer 7 tiene un valor absoluto de 7 y un valor relativo de 7, el segundo 7
tiene un valor absoluto de 7 y un valor relativo de 70
Noción de un número entero
Después de la creación de los números para contar (los Números Naturales), la humanidad
se encontró con situaciones como la siguiente:
¿Cómo señalar una cantidad que represente una pérdida?, ¿Qué hacer para identificar un
avance en diferentes sentidos?
En las operaciones con Números Naturales, se vió la imposibilidad de resolver una diferencia
en la que el minuendo es menor que el sustraendo; así por ejemplo, dada la diferencia:
5 –9, no existe ningún número natural que sea resultado de la misma, es decir, no existe
número natural que sumado a 9 dé por resultado 5
Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los números negativos, que son
los mismos Números Naturales precedidos del signo menos.
Así: …–4, –3, –2, –1
56

Al ampliar los Números Naturales con los negativos, se estableció El Conjunto de los
Números Enteros que pueden considerarse como la unión del conjunto de los números
enteros positivos, del conjunto de los números enteros negativos y del número cero, es
decir:
Simbólicamente:
El conjunto de los números enteros se representan con la letra Z (mayúscula), así:
Z = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…},
y para representarlos gráficamente se utiliza la recta numérica:
Ejercicios 1 Secuencia 2 Bloque I
Con base en la lectura y la secuencia anterior, en la que se refleja el origen de los Números
Naturales, comente con sus compañeros las respuestas de los siguientes ejercicios:
1. Diga si cada proposición es verdadera o falsa.
a) En los números enteros el cero es el primer elemento.
b) Todo número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
c) El cero es mayor que cualquier entero negativo.
d) El conjunto Z esta formado sólo por enteros positivos y negativos.
e) –3 es mayor que 1
f) El signo “mayor que “es “> “
g) Todos los Números Naturales son positivos.
h) El valor absoluto de un número entero siempre es negativo.
2. Represente en la recta numérica los siguientes números.
A = Los enteros menores que –3
B = Los enteros mayores que –1 y menores que 1 incluyéndolos.
C = Los enteros mayores que –10 y menores que –3
3. Calcule
a) │ - 10 │ = b) │ 45 │ = c) │ - 8 │ = d) │ 0 │=
57

4. Escriba dentro de cada paréntesis el signo de relación de orden (>, < ó =)
correspondiente.
a) –5 ( ) – 3 g) –20 ( ) 0
b) –1 ( ) – 10 h) 99 ( ) –99
c) 9 ( ) 9 i) –11 ( ) –11
d) –5 ( ) 5 j) 36 ( ) –37
e) 0 ( ) – 12 k) 43 ( ) –50
f) –89 ( ) – 90 l) –29 ( ) 29
5. Resuelva el siguiente problema.
a) Los estudiantes de sexto grado de un centro de educación básica de Olancho
organizaron una fiesta de despedida a su maestra, para ello recolectaron Lps. 667,
pero los gastos ascendieron a Lps. 998.
i. ¿Fue suficiente el dinero reunido para el gasto?
ii. ¿Por qué?
iii. ¿Hubo ganancia o pérdida?
iv. ¿Cuánto?
Programa de Televisión 1 Secuencia 2 bloque I
Observe el programa de televisión Tienes que avanzar y luego realice los ejercicios de
adición de enteros que indique su docente, en la recta numérica.
Adición de números enteros con igual signo
Suponga que Eduardo maneja un elevador, el edificio
tiene 6 pisos, una planta baja (P) y tres sótanos (A,
B, C), en la recta numérica que se sitúa en el dibujo
están representados:
Los pisos A, B, C, D, E, F con los números: 1, 2, 3, 4,
5, y 6.
La planta baja P con el número 0.
Los sótanos X, Y, Z con los números –1, –2 y –3.
58

Tome en cuenta que ↑ significa subir y ↓ significa bajar para analizar las siguientes situaciones:
a. Si Eduardo está en la planta baja P; sube al piso C y luego sube dos pisos más, se
encuentra en ese momento en el piso E, es decir:
↑3 y luego ↑2 llegó al piso
↑5
Observe que el símbolo ↑ esta ubicado en los números positivos y como Eduardo primero
subió 3 y luego subió 2 más, se tuvo que sumar los dos números para llegar al piso 5.
b. Si Eduardo está de nuevo en la planta baja P; baja al sótano X y luego baja 2 sótanos
más, se encuentra en ese momento en el sótano Z ,es decir:
↓ –1 y luego ↓ –2 llegó al sótano ↓ –3
Observe que el símbolo ↓ esta ubicado en los números negativos y como Eduardo primero
bajó al sótano A y luego bajó 2 más, se tuvo que sumar los dos números para llegar al
sótano –3.
Indiferentemente de que los números enteros a sumar sean todos positivos o todos negativos,
la siguiente regla será un auxiliar valioso:
Regla de la adición de números enteros con igual signo.
59

Ejemplos: Sumar los siguientes números enteros:
1) Efectuar: 45 + 16 + 123 + 1
Solución: 45 + 16 + 123 + 1 = +( 45 + 16 + 123 + 1) = +(185)
+ 45
+ 16
+ 123
+ 1
+ 185
2) Efectuar: –10 –234 –16 –2
Solución: –10 –234 –16 –2 = –(+10 + 234 + 16 + 2) = –262.
– 10
– 234
– 16
– 2
– 262
Ejercicio 2 Secuencia 2 bloque I
Realice lo que a continuación se le pide:
1. Efectúe las siguientes operaciones:
a) ( –5 ) + ( –4 )=
b) (–10 ) + ( –1 )=
c) 3 + 2 + 5 + 7 + 3=
d) –10 –24 –12 –16 =
2. Calcule el resultado de las siguientes operaciones utilizando la recta numérica:
a) (+3) + (+7)
b) (–8) +(–4)
c) (–1)+(–1) + (–1)
d) (+1) + (+2) + (+3)
60

Adición de números enteros de distinto signo
Siguiendo con el ejemplo de Eduardo y el elevador:
a) Si Eduardo está en la planta baja P; sube al piso E y luego baja dos pisos , se encuentra
en ese momento en el piso C, es decir:
↑5 y luego ↓ 2 llegó al piso ↑3
Observe que Eduardo primero subió 5 pisos y luego bajó 2 , se tuvo que restar dos para
llegar al piso 3 y este número quedó con el símbolo ↑, ubicado en los positivos.
b) Si Eduardo está de nuevo en la planta baja P; sube al piso D y luego baja 6 pisos, se
encuentra en ese momento en el sótano Y, es decir:
↑4 y luego ↓6 llegó al sótano ↓–2
Observe que Eduardo primero subió al piso 4 y luego bajó 6, se tuvo que restar seis para
llegar al sótano –2 y este número quedó con el símbolo ↓, ubicado en los negativos.
Regla de la adición de números enteros de distinto signo.
Si los números enteros son de signos contrarios, se restan los valores absolutos
de los números y al resultado se le escribe el signo del sumando de mayor valor
absoluto.
En general, si a y b є Z, entonces:
i. (+a) + (- b) = + (│a│ - │b│) = +(a-b) Si el entero con mayor es positivo
ii. (+a) + (- b) = -(│-a│
-│-b│) = - (a- b) Si el entero con mayor es negativo
61

Ejemplos de adición de números enteros.
Ejemplos:
1) Efectuar: (+45) + (–30)
Solución:
Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos.
(+45) + (–30) = │+45│ – │–30│= 45 – 30 = 15
El signo del resultado es positivo (+), porque │+45│ >│–30│ y 45 tiene signo +.
Entonces: (+45) + (–30) = 15
2) Efectuar: (–15) + (+25)
Solución:
Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos.
(–15) + (+25) = │–15│ – │+25│= 25 – 15 = 10
El signo del resultado es positivo (+), porque │+25│ >│–15│ y 25 tiene signo +.
Entonces: (–15) + (+25) = 10
3) Efectuar: (–18) + (+12)
Solución:
Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos.
(–18) + (12) = │–18│ – │+12│= – (18 – 12) = 6
El signo del resultado es negativo (–), porque │–18│ >│+12│ y 18 tiene signo –.
Entonces: (–18) + (+12) = –6
4) Efectuar: (+24) + (–28)
Solución:
Los números tienen signos diferentes, entonces se restan sus valores absolutos.
(+24) + (–28)= │+24│ – │–28│= – (28 – 24) = 4
62

El signo del resultado es negativo (–), porque │–28│ >│+24│ y 28 tiene signo –.
Entonces: (+24) + (–28) = –4
5) Efectuar: (–5) + (+5)
Solución:
Los números tienen signos diferentes, entonces, se restan sus valores absolutos.
(–5) + (+5) = │–5│ – │+5│= 5 – 5 = 0
El resultado es 0 y este número no es positivo ni negativo.
Entonces: (–5) + (+5) = 0
Ejercicios 3 Secuencia 2 Bloque I
Realice lo que a continuación se le pide.
1. Calcule:
2. Calcule:
a) (–8 ) + (+ 6 ) = d) (–10) + (+20 ) =
b) (+2 ) + ( –3 ) = e) (–23 ) + (+16) =
c) ( –1 ) + ( +1) = f) (+20 ) + ( –20 ) =
a) –2 – 4 – 7= c) – 123 - 4,569 – 1,657 =
b) 5 + 8 + 9 +7= d) 14, 834 + 22,346 + 9, 999 =
3. Escribir dentro del paréntesis, la respuesta a cada una de las siguientes proposiciones.
a) ¿Cuál es el número que sumado con 16 da 20? _______( )
b) ¿Cuál es el número que restado con 10 da 8?_________( )
c) ¿Cuál es el número que restado con 10 da –2?________( )
d) ¿Cuál es el número que restado con –1 da 9?_________( )
4. Calcule el resultado de las siguientes operaciones utilizando la recta numérica.
a) (+3) + (–7) c) (–1)+(+1)
b) (–8) +(+4) d) (–2) + (+3)
63

SUMA Y RESTA COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS
1) Efectuar: –3 + 4 – 1 –3 + 5
Solución:
En este caso se presentan sumas y restas combinadas, las cuales se pueden efectuar
de dos formas:
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS CON PARÉNTESIS
Efectuar: –10 + ( –23 + 15 )
Solución:
En este caso se presentan expresiones con paréntesis, efectúe primero lo que está
dentro del paréntesis:
–10 + ( –23 + 15 )
–10 + (–8 ) … Son de signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números.
–18 …Son de signos iguales, se suman los valores absolutos de los números.
64

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
El conocimiento de las propiedades de la adición en el conjunto de los enteros facilita el
desarrollo de las operaciones y la interpretación de resultados, este conjunto satisface las
propiedades conmutativa, asociativa, clausura, elemento neutro y elemento simétrico u
opuesto.
Propiedad Clausura: La suma de dos números enteros es siempre otro entero.
Si
Ejemplo: –3 y 5 son enteros, entonces: –3 + 5 = 2 es un entero.
Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo: –3 y 5 son enteros, entonces: –3 + 5 = 5 + (–3)
+2 = + 2
Propiedad Asociativa: La agrupación de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo: –3, 5 y 9 son enteros, entonces: (–3 + 5) + 9 = –3 + ( 5 + 9 )
(+2 ) + 9 = –3 + (+14 )
+ 11 = + 11
Elemento neutro: Todo número sumado con cero da como resultado el mismo número.
Ejemplo: –3 es un entero, entonces: –3 + 0 = 0 + ( –3 )
–3 = –3
Elemento simétrico u opuesto: Todo número sumado con su simétrico u opuesto da como
resultado cero.
Ejemplo: 9 es un entero, entonces: 9 + (–9 ) = ( –9 ) + 9
0 = 0
65

Ejercicios 4 Secuencia 2 Bloque I
1. Efectúe las siguientes operaciones:
a) –4 + 5 –3 + 2 = e) –5 + ( 5 – 4 )=
b) –10 –20 –60 + 20 + 60 + 10 = f) –5 + ( -5 + 4 )=
c) –1 + 2 – 3 + 4 + 5 = g) (–8 – 3 ) – 12 =
d) 233 – 3,522 + 9,980 – 4,487 = h) (45–50)+56=
2. Verificar si la propiedad conmutativa y clausura de la Adición se cumplen con los
siguientes valores:
a) a = 1, b = 2 c) a = –1, b = –2
b) a = –3, b = 10 d) a= –80, b=12
3. Verificar si la propiedad Asociativa de la Adición, se cumple con los siguientes valores:
a) a = 1, b = 2, c= 3
b) a = –3, b = 10, c= –6
4. Verificar si la propiedad Elemento Neutro y Elemento Simétrico u Opuesto de la Adición
se cumplen con los siguientes valores:
a) a = 1
b) a = -8
5. Resuelva
a) En una pista horizontal un automóvil parte de un punto 0, recorre 3 km. a la derecha,
se detiene para revisar el motor, luego recorre 8 km. a la izquierda, en ese punto
compra combustible y luego recorre 2 km. a la derecha. ¿A cuántos km. se encuentra
del punto de partida? Dibuje una recta numérica que ilustre el recorrido, plantee las
operaciones Aritméticas para dar respuesta a la pregunta.
66

Multiplicación de Números Enteros
Para comprender la multiplicación de enteros, observe los planteamientos que se presentan
y reflexione las respuestas de cada pregunta.
a) (+3 ) + ( +3 ) + ( +3) + ( +3) = +12
¿Cuántas veces se repite el +3 como sumando?
R/ 4 veces.
Por lo tanto:
(+3 ) + ( +3 ) + ( +3) + ( +3) = ( 4 ) ( +3 ) = +12
b) ( –2 ) + ( –2 ) + ( –2 ) = –6
¿Cuántas veces se repite el - 2 como sumando?
R/ 3 veces.
Por lo tanto:
( –2 ) + ( –2 ) + ( –2 )= ( 3 ) ( –2 ) = –6
Las adiciones de sumandos iguales se convierten en una multiplicación de dos números: el
sumando por el número de veces que se repite él mismo.
Dados dos números a, b Є Z, se llamara producto de ambos y se representa por
(a)(b) ó ab ó a∙b, a un número c, también entero, tal que c = (a)(b).
En la multiplicación a se llama Multiplicando, b se llama Multiplicador y c se llama
Producto. También a y b son llamados factores de c.
67

Ejemplos de multiplicación de números enteros
1) Efectuar: (+5) (+30) =
Solución:
(+5) (+30) = + … ambos factores son positivos.
(+5) (+30) = +150
2) Efectuar: (–2 ) ( –4 ) =
Solución:
(–2 ) ( –4 ) = + … ambos factores son negativos.
(–2 ) ( –4 ) = +8
3) Efectuar: (10 ) ( -8 ) =
Solución:
(10) (–8) = – … los factores tiene signos diferentes.
(10) (–8) = – 80
4) Efectuar: (–3 ) ( +12 ) =
Solución:
( –3 ) ( +12 ) = – … los factores tiene signos diferente.
(–3 ) ( +12 ) = –36
68

5) Efectuar: (–3 ) ( –5 ) ( –2 ) =
Solución:
La multiplicación es una operación binaria, es decir se efectúa entre dos números.
Cuando se multiplican más de dos factores, esta se desarrolla de la siguiente manera:
( –3 ) ( –5 ) ( –2 ) =
( –3 ) ( –5 ) = + 15 … los primeros dos factores tiene signos negativos.
( +15 ) ( –2 ) = –30 … se multiplica el producto de los dos primeros factores por el tercer
factor, tienen signos contrarios.
( –3 ) ( –5 ) ( –2 ) = –30
Cuando una multiplicación tiene más de dos factores se puede efectuar tomando en cuenta
las siguientes consideraciones:
1) Se multiplican los factores y si el signo negativo aparece una cantidad impar, el producto
es negativo.
Ejemplo: (–1)(3)(–2)(–2) = –12
2) Se multiplican los factores y si el signo negativo aparece una cantidad par, el producto
es positivo.
Ejemplo: (–2)(–3)(–1)(2)(–2) = 24
De la regla anterior se desprende de la “ley de los signos para la multiplicación” la que afirma
que el producto de signos iguales da positivo y el de signos diferentes da negativo, es decir:
(+)(+) = +
(–) (–) = +
(+)(–) = –
(–) (+) = –
Si el signo -, aparece una cantidad par de veces el resultado es positivo (+).
(–5)(–2)(–3)(–) = +30
Si el signo -, aparece una cantidad impar de veces el resultado es negativo (–).
(4)(-2)(1)(3) = –24
69

Propiedades de la multiplicación en los números enteros.
PROPIEDAD CONMUTATIVA.
Ejemplo:
Verificar la Propiedad Conmutativa, si a= 2, b= –3
Esta propiedad afirma que: el orden en que se multipliquen
los factores no altera el producto.
Verificación:
ab = ba
(2) ( –3 ) = ( –3 ) ( 2 )
–6 = –6 …se cumple la Propiedad Conmutativa.
PROPIEDAD ASOCIATIVA.
Ejemplo:
Verificar la Propiedad Asociativa, si a= 2, b= 5, c= 6
Esta propiedad afirma que: el orden en que se
asocien los factores, no altera el producto.
Verificación:
a ( bc ) = ( ab ) c
2 ( 5×6 ) = ( 2 ×5 ) 6
2 × 30 = 10 × 6
60 = 60 … se cumple la Propiedad Asociativa
70

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Esta propiedad combina la multiplicación de números
enteros con la adición y/o la sustracción.
Ejemplo:
Verificar la Propiedad Distributiva con respecto a la sustracción, si a= –3, b= 5, c= 1
Ejemplo:
Verificación:
a ( b+c ) = ab + ac
–3 ( 5+1 ) = ( –3) (5 ) + (–3 ) ( 1 )
–3 ( 6 ) = –15 + ( -3 )
–18 = –18 … se cumple la P. Distributiva con respecto a la adición.
Verificar la Propiedad Distributiva con respecto a la adición, si a= –3, b= 5, c= 1
Verificación:
a ( b - c ) = ab - ac
–3 ( 5 – 1 ) = ( –3) (5 ) – (–3 ) ( 1 )
–3 ( 4 ) = –15 – ( –3 )
–12 = –12 … se cumple la Propiedad Distributiva con respecto a la sustracción.
71

Ejercicio 5 Secuencia 2 bloque I
1. Efectúe las siguientes multiplicaciones:
a) 3 ( –9 ) = g) ( +3 ) ( –9 ) ( –1 )=
b) –9 ( –4 ) = h) ( –5 ) ( –2 ) ( –4 )=
c) 12 ( +5 ) = i) ( +2 ) ( +3 ) ( 0 )=
d) –6 ( –10 ) = j) ( +4 ) ( –9 ) (–10 ) =
e) 3 ( 0 ) = k) ( –1 ) ( –1 ) (–1 ) ( –1 )=
f) –2 ( –2 ) = l) ( –4 ) ( –5 ) (+10 ) ( –2 ) =
2. Verificar si la propiedad Asociativa de la Multiplicación y la Propiedad Distributiva de la
Multiplicación respecto de la Adición y Sustracción se cumple con los siguientes valores:
a) a = 1, b = 2, c = 3 c) a = –1, b = –2, c = –3
b) a = -3, b = 10, c = 5 d) a = –80, b = 12, c = –20
División de números enteros
Para comprender el concepto de división de números enteros, observe los planteamientos
que se presentan y reflexione las respuestas de cada pregunta:
1. Calcule las siguientes multiplicaciones:
a) ( –3 ) ( –5 ) = + 15 …los factores tiene signos negativos.
Así tenemos que:
( +15 ) ÷ ( –3 ) = –5 porque ( –3 ) ( –5 ) = + 15
b) (+2) (-8 ) = –16 … los factores tiene signos contrarios.
( –16 ) ÷ ( +2 ) = –8 porque (+2) (–8 ) = –16
La división es la operación inversa de la multiplicación.
72

Definición de división de números enteros
Dados los números a, b, c Є Z, b≠ 0, se llamará cociente entre ambos y se representa por a ÷ b,
aa
, aa bb bb
a un número c, también entero, tal que a ÷ b = c, si a = bc
En la división exacta a se llama Dividendo, b se llama divisor y c se llama Cociente.
El cociente de dos enteros es la división de los valores absolutos del dividendo por el divisor y
es:
a) Positivo, si el dividendo y el divisor son positivos o ambos son negativos.
b) Negativo, si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes.
Ejemplos de división de números enteros
1) Efectuar: (+30) ÷ (+5 ) =
Solución:
(+30 ) ÷ (+5 ) = + … ambos términos son positivos.
(+30) ÷ (+5) = +6
2) Efectuar: (–8 ) ÷ ( –4 ) =
Solución:
(–8 ) ÷ ( –4 ) = + … ambos términos son negativos.
(–8 ) ÷ ( –4 ) = +2
73

3) Efectuar: (10 ) ÷ ( -2 ) =
Solución:
( 10 ) ÷ ( –2 )= – … los términos tiene signos diferentes.
( 10 ) ÷ ( –2 ) = –5
4) Efectuar: (–36 ) ÷ ( +12 ) =
Solución:
( –36 ) ÷ ( +12 ) = – … los términos tiene signos diferentes.
(–36 ) ÷ ( +12 ) = –3
De la regla anterior se desprende la “ley de los signos para la División”, la que
afirma que el cociente de los signos iguales da positivo y el de signos diferentes
da negativo, es decir:
74

Ejercicio 6 Secuencia 2 bloque I
1. Efectúe las siguientes divisiones exactas:
a) ( +30 )÷ ( –10 ) = g) ( +125 )÷ ( –5 ) =
b) ( –9 ) ÷ ( –3 ) = h) ( –360 ) ÷ ( –30 ) =
c) ( +120 ) ÷ ( +30 ) = i) ( +1200 ) ÷ ( +40 ) =
d) ( –60 ) ÷ ( –5 ) = j) ( –17,586 ) ÷ ( –31 ) =
e) ( +3 ) ÷ ( 0 ) = k) ( 0 ) ÷ ( –16 ) =
f) ( –2 ) ÷ ( –2 ) = l) ( –100 ) ÷ ( +100 ) =
Programa de Televisión 2 Secuencia 2 bloque I
Observe el programa de televisión denominado Enteros Aplicados y luego resuelva los
problemas de razonamiento de adición y sustracción de enteros que indique su docente.
Ejercicio 7 Secuencia 2 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, y después puede comparar las respuestas con sus compañeros(as).
En las diferentes sesiones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su
desarrollo.
75

EJERCICIOS VERBALES
1. De cada una de las afirmaciones siguientes, diga si es verdadera o falsa. De ser falsa
justifique su respuesta:
a) El producto de dos enteros negativos es positivo.
b) Números enteros con signos iguales se suman sus valores absolutos y al resultado
se le escribe el signo del mayor.
c) El producto de dos enteros negativos es negativo.
d) El cociente de dos enteros negativos es positivo.
e) El producto de un entero positivo y un entero negativo es un entero negativo.
f) Números enteros con signos diferentes se restan sus valores absolutos y al resultado
se le escribe el signo del mayor.
2. Diga la respuesta de cada una de las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el número que sumado con 5 me da –1?
b) ¿Cuál es el número que sumado con –4 me da 0?
c) ¿Cuál es el número que restado con 5 me da –8?
d) ¿Cuál es el número que restado con 5 me da 1?
e) ¿Cuál es el número que multiplicado con 5 me da –10?
f) ¿Cuál es el número que multiplicado con 4 me da 0?
g) ¿Cuál es el número que dividido con –10 me da 1?
3. Piense y luego conteste cada pregunta.
a) Se pueden agrupar los sumandos sin que la suma varíe.
¿Cómo se llama esta propiedad?
b) El cambio del orden de los factores no altera el producto.
¿Cómo se llama esta propiedad?
c) Se sabe que (–2) ∙ a = –2.
¿Qué número entero es a?
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Dibuje en su cuaderno y complete la siguiente tabla de sumar:
76

2. Efectúe las siguientes operaciones:
a) (–6 ) + (–9 ) + ( –14 ) = g) ( +1 ) ( –1 ) ( –1 )=
b) –20 – 47 – 72= h) ( –12 ) ( –2 ) ( –2 )=
c) 50 –88 + 90 –70= i) ( +144 )÷ ( –12 ) =
d) ( –14 ) ( –10 ) = j) ( –625 ) ÷ ( –5 ) =
e) ( +342 ) ( 0 ) = k) ( +1200) ÷ ( +40 ) =
f) ( –789) ( –2 ) = l) ( +10 ) + ( +20 ) + ( + 30 ) =
1. Al encender un fogón, la temperatura asciende 5 °C cada 5 minutos. Si se enciende a las
10 de la mañana y la temperatura ambiental es de 20 °C.
a. ¿A qué hora alcanza los 50 °C?
b. ¿A qué temperatura se encontrará el fogón después de tenerlo encendido una hora?
2. Al conectar un refrigerador, la temperatura desciende 5°C cada 5 minutos. Si se enciende
a las 10 de la mañana y la temperatura ambiental es de 20 °C.
a. ¿A qué hora alcanza los – 5 °C?
b. ¿A qué temperatura se encontrará el refrigerador después de tenerlo conectado una
hora?
3. Un bus de la ruta inter-urbana Ocotepeque – Tegucigalpa viaja a una velocidad de 80 km
por hora ¿Qué distancia habrá recorrido en 6 horas?
4. Cuatro amigos compran un uniforme deportivo por un valor de Lps. 24,604 y deciden
pagarlo en partes iguales ¿Cuánto debe pagar cada uno?
77

78

Secuencia de Aprendizaje 3
ENTRE ENTEROS
¡Felicidades! hasta aquí profundizó en el estudio de las cuatro operaciones fundamentales
con los enteros y algunas de sus propiedades, ahora es necesario conocer otras operaciones
que se realizan con estos números para resolver algunos problemas de nuestra vida habitual.
En esta secuencia de aprendizaje recordaremos operaciones que aplicamos con los
naturales, como la potenciación y la raíz cúbica, además algunas características de los
naturales que también mantienen los números enteros, como los criterios de divisibilidad,
el mínimo común múltiplo y máximo común divisor, propiedades que le prestarán un valioso
auxilio en sus actividades cotidianas.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia de aprendizaje se espera que los estudiantes:
1. Dominen las operaciones básicas con números enteros para resolver problemas de la
vida real.
Potenciación con Números Naturales
La potenciación es el producto de números iguales, sus elementos son :
Base: Es el número que se multiplica por si mismo.
Exponente: Es el que indica cuantas veces se multiplica la base.
Base 2 ³
Exponente
2 ³ = 2 × 2 × 2 = 8
3 ² = 3 × 3 = 9
79

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO NATURAL
La raíz cuadrada de un número natural a es un número b , tal que multiplicado por si mismo
dos veces es b x b es igual a a
Ejemplo:
√9=3, porque 3 × 3=9
√16=4, porque 4 × 4=16
LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DOS O MÁS NÚMEROS ENTEROS
La adición o sustracción de dos o más números enteros dependerá de los signos que tengan
y en este sentido pueden ocurrir dos situaciones:
1) Si los números enteros son del mismo signo, se suman los valores absolutos de
los sumandos y al resultado se le escribe el signo de los sumandos. Dos ejemplo para
observar este procedimiento:
a) Efectuar: 45 + 16 + 123 + 1
Solución: 45 + 16 + 123 + 1 = + ( 45 + 16 + 123 + 1) = +(185)
+ 45
+ 16
+ 123
+ 1
+ 185
b) Efectuar: –10 – 234 – 16 – 2
Solución: –10 – 234 – 16 – 2 = – (+10 + 234 + 16 + 2) = –262
– 10
– 234
– 16
– 2
– 262
2) Si los números enteros son de signos contrarios, se restan los valores absolutos de
los números y al resultado se le escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Dos ejemplos para observar este procedimiento:
a) Efectuar: (+45) + (–30)
Solución:
Son signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números.
(+45) + (–30) = │+45│ – │–30│= + (45 – 30) = 15
80

El signo del resultado es positivo (+), porque │+45│ >│–30│ y 45 tiene signo +
Entonces: (+45) + (–30) = 15
b) Efectuar: (+15) + (–25)
Solución:
Son signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números.
(+15) + (–25) = │+15│ – │–25│= –(25 – 15) = 10
El signo del resultado es negativo (–), porque │–25│ >│+15│ y 25 tiene signo –
Entonces: (+15) + (–25) = –10
Ejercicios 1 Secuencia 3 bloque I
Efectuar:
1) 7 + 15 – 18 – 3 = 2) –18 + 32 – 14 =
3) –21 + 45 – 20 = 4) 23 – 15 – 10 =
5) 9 + 20 + 3 –24 = 6) –16 + 20 – 8 + 2 =
Calcule las siguientes raíces:
√64 =
√100 =
√144 =
√81=
Desarrolle:
6 ³ =
10 ² =
Conteste las siguientes interrogantes:
¿Hay algún número que multiplicado por si mismo dos veces da –9? Piense y justifique su
respuesta.
¿Hay algún número que multiplicado por si mismo tres veces da –8? Piense y justifique su
respuesta.
81

Programa de Televisión 1 Secuencia 3 bloque I
Observe el programa de televisión denominado: Polinomios aritmético, el cual presenta la
historia del origen de los números enteros y la solución de los polinomios aritméticos.
Polinomios aritméticos
Un Polinomio aritmético es la combinación de adiciones y sustracciones con números
enteros en un mismo problema.
Ejemplo1: Resolver las siguientes adiciones y sustracciones simplificando la escritura.
Solución:
(+7) + (–3) – (+8) – (–5)
Primero: las sustracciones se convierten en adiciones sumando el opuesto.
(+7) + (–3) + (–8) + (+5)
Segundo: se eliminan los signos de sumar (los signos + entre los paréntesis) y también los
paréntesis. Si el primer sumando es positivo se escribe sin signo.
7 – 3 – 8 + 5
Tercero: Se suman los números que llevan signo +:
7 + 5 = + 12
Se suman los números que llevan signo - :
–3 – 8 = –11
Se resta el segundo resultado del primero:
+ 12 – 11 = +1
Por lo tanto: (+7) + (–3) – (+8) – (–5) = +1
82

Ejercicios 2 Secuencia 3 bloque I
Resolver las siguientes adiciones y sustracciones simplificando la escritura:
a) (2) + (–4) – (–3) – (–5)
b) (–7) – (–5) – (6) – (–1)
c) –(–4) + (–4) – (–4) – (–4)
d) 5 + (–3) – (–10) – 4
e) (–40) – (–90) – (–60) – (–50)
f) –(–1) + (–2) – (+8) – (–5) – (–6) + (–3)
Programa de Televisión 2 Secuencia 3 bloque I
Observe el programa de televisión denominado Primos Enteros, en el presenta la clasificación
de los números enteros (primos, compuestos, perfectos, amigos), asi mismo los
múltiplos y divisores de cualquier número.
Múltiplos y divisores de un número entero
Múltiplo de un número entero es el número que contiene a éste un número exacto de
veces. Así, 14 es múltiplo de 2 porque 14 contiene a 2 siete veces; -20 es múltiplo de 5
porque contiene a 5 cuatro veces.
Los múltiplos de un número se forman multiplicando este número por la serie infinita de
números enteros: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…; luego todo número entero tiene infinitos múltiplos.
Ejemplo:
La serie infinita de múltiplos de 5 es:
… –3 ×5= –15
–2 × 5= –10
–1 × 5= –5
0 × 5= 0
1 × 5= 5
2 × 5= 10
3 × 5=15…
83

Observe que en el ejemplo anterior –15 y 15 son múltiplos de 5, –10 y 10 son múltiplos de 5,
–5 y 5 son múltiplos de 5 y 0 también es múltiplo de 5, lo que nos indica que existe infinitas
parejas de múltiplos de un número entero que son simétricos u opuestos. Para facilitar el
cálculo del conjunto de múltiplos de un número multiplique dicho número por la serie infinita
de Números Naturales 0, 1, 2, 3…; y le agrega su simétrico u opuesto.
Notación
Para indicar el conjunto de múltiplos de un número entero se utilizará M(n) = { }, entonces
los múltiplos de 5 se escriben como:
M(5) = { …–15, –10, –5, 0, 5, 10, 15…} ó M(5) = { 0, ±5, ±10, ±15…}.
DIVISORES DE UN NÚMERO ENTERO
Divisor de un número entero es el número que esta contenido en ese número, una
cantidad exacta de veces. Así 4 es divisor de 24 porque está contenido en 24 (seis veces),
2 es divisor de 10 porque está contenido en 10 (cinco veces).
Los divisores de un número se forman dividiendo este número entre cada uno de los números
que están entre 1 y él, en los casos que la división es exacta se toma como divisor el número
y su simétrico u opuesto.
Ejemplo:
Al encontrar los divisores de 10, tomamos los números que están entre 1 y 10, así: 1, 2, 3,
4 ,5 ,6, 7, 8, 9, 10. En este caso 10 es divisible entre 1, 2, 5 y 10.
Notación
Para indicar el conjunto de divisores de un número entero utilizará D(n) = { }, entonces los
divisores de 10 se escribe D(10) = {±1, ±2, ±5, ±10}.
84

Ejercicios 3 Secuencia 3 bloque I
Forme grupos de tres integrantes y realice los siguientes ejercicios en su cuaderno:
1. Hallar los primeros 5 múltiplos de:
a) M(2) = c) M(0) =
b) M(–3) = d) M(–1) =
2. Hallar todos los divisores de:
a) D(–12) = c) D(2) =
b) D(20) = d) D(–40) =
3. Conteste
a) ¿Cuántos divisores tiene un número primo?
b) ¿Cuántos múltiplos tiene un número entero?
c) ¿Cuál es el menor múltiplo de un número entero?
d) Si un número es múltiplo de otro, ¿Qué es este del primero?
e) ¿Cuál es el residuo de dividir un número entre uno de sus divisores?
Criterios de divisibilidad para números enteros
Si se necesita conocer si un número es divisible por otro, no siempre es necesario realizar
la división para saber si el cociente es exacto, pues se conocen ciertas características que
poseen los números enteros para ser múltiplos de otros determinados.
Al conjunto de condiciones que debe cumplir un número cualquiera para ser divisible por
otro determinado, se le llama criterio de divisibilidad por este número entero.
A continuación se enuncian los criterios de divisibilidad más empleados:
Divisibilidad por 2
Un número entero es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.
Ejemplo:
a) 40 es divisible por 2 porque termina en 0, entonces 40 ÷ 2 = 20
b) –18 es divisible por 2 porque termina en cifra 8,entonces –18 ÷ 2 = –9
85

Divisibilidad por 3
Un número entero es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras
es igual a un múltiplo de 3.
Ejemplo:
a) 27 es divisible por 3 porque |2|+|7| = 2 + 7 = 9 y es múltiplo de 3;
entonces 27 ÷ 3 = 9.
b) –18 es divisible por 3 porque |–1| + |8|= 1 + 8 = 9 y es múltiplo de 3;
entonces –18÷ 3 = –6
Divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4, si las dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4.
Ejemplo:
a) 40 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras (40) son múltiplos de 4; entonces
40 ÷ 4 = 10.
b) –100 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras (00) son ceros ; entonces
–100 ÷ 4 = –25.
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco.
Ejemplo:
a) –95 es divisible por 5 porque termina en 5; entonces –95 ÷ 5 = –19
b) –50 es divisible por 5 porque termina en 0; entonces –50 ÷ 5 = –10
Divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 simultáneamente.
Ejemplo:
a) 60 es divisible por 2 porque termina en 0 y es divisible por 3 porque |6|+|0| = 6 + 0 =
6 y seis es múltiplo de 3.
Por lo tanto 60 es divisible por 6, es decir, 60÷ 6 = 10
b) –180 es divisible por 2 porque termina en cifra 0 y es divisible por 3 porque
|–1| + |8| + |0|= 1 + 8 +0= 9 y nueve es múltiplo de 3.
Por lo tanto –180 es divisible por 6, es decir, –180÷ 6 = –30
Divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola
por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero
o múltiplo de 7.
Ejemplo:
a) 343 34′ 3 × 2=6 1) Se separa la última cifra de la derecha y se multiplica por 2
34
– 6
28 2) Se resta este producto de lo que quedó a la izquierda, que es
28 y este es múltiplo de 7
86

Ahora bien 343 es divisible por 7, entonces 343 ÷ 7 = 49
b) 2,058 205′ 8 × 2=16 1) Se separa la última cifra de la derecha y se multiplica
por 2
205
– 16 2) Se resta este producto de lo que quedó a la izquierda y se
18′ 9 × 2=18 repite el paso 1 Y 2 hasta que lo que queda a la izquierda
– 18 es 0.
0
Ahora bien 2,058 es divisible por 7, entonces 2,058 ÷ 7 = 294
Divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 cuando termina en cero.
Ejemplo:
a) 700 es divisible por 10 porque termina en 0; entonces 700 ÷ 10 = 70
b) –80 es divisible por 10 porque termina en 0; entonces –80 ÷ 10 = –8
Ejercicios 4 Secuencia 3 bloque I
Forme pareja con su compañero de al lado, copie y conteste cada pregunta en su cuaderno:
1) Encierre los números que son divisibles por el número indicado a la izquierda de cada
inciso.
a) Dos: 101 230 411 500 836 110
b) Tres: 236 111 850 531 720 435
c) Cinco: 555 400 502 970 675 720
d) Siete: 140 536 175 736 252 609
2) Escriba cinco números de tres cifras que sean divisibles por:
a) Cuatro:
b) Seis:
c) Diez:
d) Tres:
e) Dos:
f) Siete:
g) Cinco:
87

Potenciación con números enteros
Observe el siguiente producto:
( –4 )( –4 )( –4 ) = ( –64)
El factor -4 se repite tres veces. El factor que se repite se denomina base( –4 ), el número
de veces que se repite se denomina exponente (3) y el resultado se llama potencia ( –64).
exponente
( -4 )³ = -64 potencia
base
Observe las siguientes potencias:
a) (+3)² = (+3)(+3) = +9
b) (–1)² = (–1)(–1) = +1
c) (+2)³ = (+2)(+2)(+2) = +8
d) (–4)³ = (–4)(–4)(–4) = –64
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Recuerde las propiedades que estudió con los Números Naturales:
Multiplicación de potencias de igual base
Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes.
División de potencias de igual base
Para dividir potencias de igual base se copia la base y se restan los exponentes.
88

Potencia de potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes.
Estas propiedades son aplicables también a los números enteros, pero debe tener en cuenta
que con los números enteros, los exponentes pueden ser negativos.
Ejemplos: Exprese en una sola potencia.
a) … los exponentes tienen signos iguales.
b) …los exponentes tienen signos contrarios.
c) …los exponentes tienen signos iguales.
d) …los exponentes tienen signos iguales.
e) … los exponentes tienen signos iguales.
f)
g)
h)
Reglas de la potenciación de números enteros.
1. todo número, entero exepto cero, con exponente cero es igual a uno, es decir,
si a
1. todo número, entero exponente uno es igual al mismo númer, es decir,
si a
3. El cero con cualquier exponente entero positivo es igual a cero. Es decir,
si a
89

Ejercicios 5 Secuencia 3 bloque I
1. Efectúe las siguientes potencia:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2. Exprese en una sola potencia.
a) g)
b) h)
c) i)
d)
e)
f)
j)
k)
l)
m)
n)
90

Radicación en los enteros
Con los Números Naturales estudió ampliamente la raíz cuadrada. Recuerde:
√(16 )=porque 4×4=16
√(64 )=porque 8×8=64
(-4)(-4) = 16
Por lo tanto la raíz cuadrada de números enteros negativos no está definida en los enteros.
Definición de Raíz cuadrada
La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el
número cuando se conoce su cuadrado.
2
a = b si ysolo si b = a
La raíz índice n de un número c, es una cantidad r que se debe multiplicar por si misma
n veces para obtener el número c.
91

Ejemplo: Calcule las siguientes raíces:
Propiedades de la radicación en ᵶ
• La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno
de los factores, es decir:
Ejemplo:
• La raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas de cada uno
de los factores, es decir:
Ejemplo:
• La raíz enésima de una potencia es igual a la potencia de la raíz, es decir:
Ejemplo:
92

Ejercicios 6 Secuencia 3 Bloque I
Desarrolle los siguientes ejercicios.
a) ¿Existen en Z?, ¿Por qué?
b) Calcule las siguientes raíces:
1)
2)
3)
4)
5)
c) Calcule las siguientes raíces aplicando sus propiedades
i.
ii.
iii.
93

Ejercicios 7 Secuencia 3 Bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes
sesiones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
1. Diga si cada una de las afirmaciones siguientes es verdadera o falsa. De ser falsa
justifique su respuesta.
a) Un número puede ser múltiplo de 9 y no de 3___________________________( )
b) Todos los números enteros son múltiplos de 1__________________________ ( )
c) Un número es divisible por otro si la división entre ellos es exacta__________ ( )
d) es igual a 3________________________________________________ ( )
e) es igual a -1_______________________________________________ ( )
f) Todo número con exponente cero es igual a él mismo ____________________( )
g) La no existe en los números enteros____________________________( )
h) 111 es divisible por 3 ______________________________________________( )
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Encuentre 5 múltiplos enteros de cada número dado:
a) 6
b) 3
c) 100
d) 1
2. Encuentre todos los divisores enteros de:
a) –12
b) 13
c) –8
d) 20
3. Encuentre las siguientes potencias:
a) =
b) =
c) =
94

d) =
e) =
f) =
g) =
4. Encuentre las siguientes raíces:
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f)
5. Calcule las siguientes raíces aplicando sus propiedades.
a)
b)
c)
6. Exprese en una sola potencia.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
95

96

Secuencia de Aprendizaje 4 Bloque I
COMBINADO ES MEJOR
La resolución continua de problemas adaptados a las actividades cotidianas inculca en las
mentes hábitos de lógica y estimula en alto grado las energías intelectuales, de este modo
se adquiere maestría en los problemas de la vida, al mismo tiempo que se obtiene una mejor
disciplina mental, constituyendo este proceso el medio más corto y seguro de aprender
Aritmética.
Es por esa razón que, en esta secuencia de aprendizaje se integrarán los conceptos
estudiados en las secuencias anteriores, en cuanto a las operaciones con enteros y sus
propiedades, además se ampliará este espacio de operaciones individuales al universo de
las operaciones combinadas y la correcta utilización de los signos de agrupación.
Resultados del aprendizaje
Al final de la secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Resuelvan problemas de la vida real que implican números enteros.
Los números negativos
Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números
absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas
cotidianos y la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo
V en oriente, y no llegan hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban
números positivos y negativos, pero sólo se utilizaban los ábacos para diferenciarlos usando
tablillas o bolas de diferentes colores, negras para los negativos y rojas para los positivos.
Corresponde a los hindúes la diferenciación entre números positivos y negativos, que
interpretaban como créditos y débitos respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.
Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye con la presentación de soluciones
negativas para ecuaciones cuadráticas.
Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío y fue necesario
que transcurrieran varios siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado.
97

La notación muy difundida para los números positivos y negativos en cuanto a la difusión
de los símbolos germánicos (+) y (–), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487
– 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m
para los negativos.
Los matemáticos, vistos en la imposibilidad de realizar en general, la operación de resta
con los Números Naturales crean otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números
negativos. Los Números Naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los
números enteros.
Los números enteros son una extensión del conjunto de Números Naturales que incluye
números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero).
Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos
interpretar como los Números Naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros
negativos que son los opuestos de los naturales.
Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y divididos, dentro
del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos
sobre los Números Naturales es la posibilidad de resolver restas del tipo: 3 –5
El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el
alemán Zahlen que significa número).
Ejercicios 1 Secuencia 4 Bloque I
Si lo necesita, retome las secuencias anteriores para efectuar las siguientes operaciones:
a) (–8 ) + (+ 6 ) =
b) (+2 ) + ( –3 ) =
c) ( –1 ) + ( +1) =
d) (–10) + (+20 ) =
e) (+20 ) + ( –20 ) =
Efectúe las siguientes multiplicaciones:
a) ( +3 ) ( –9 ) ( –1 )=
b) ( –5 ) ( –2 ) ( –4 )=
c) ( +2 ) ( +3 ) ( 0 )=
d) ( +4 ) ( –9 ) ( –10 ) =
e) ( –1 ) ( –1 ) ( –1 ) ( –1 )=
Efectúe las siguientes divisiones:
a) ( +30 )÷ ( –10 ) =
b) ( –9 ) ÷ ( –3 ) =
c) ( +120 ) ÷ ( +30 ) =
98

d) ( –60 ) ÷ ( –5 ) =
e) ( +3 ) ÷ ( 0 ) =
Desarrollar las siguientes potencias:
a) =
b) =
c) =
Calcule las siguientes raíces
a)
b)
c)
d)
e)
Programa de Televisión 1 Secuencia 4 bloque I
Observe el programa de televisión: Prioriza, en este se presentará el orden en el cual se
deben desarrollar las operaciones combinadas con los números enteros.
Operaciones combinadas
Con el fin de evitar ambigüedades se establece el siguiente orden para realizar las
operaciones combinadas con números enteros:
1° Se desarrollan las potencias y se calculan las raíces.
2° Se realizan las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha.
3° Se realizan las sumas y restas.
99

a. Resolver 20 ÷ ( –4 )( 5 ) + ( –2 )²( 3 )( –2 ):
20 ÷ ( –4 )( 5 ) + ( +4 )( 3 )( –2 ) …………… Primero potencias,
(–5 )( 5 ) + ( +12 )( –2 )
( –25) + ( –24 ) .....Segundo multiplicaciones o divisiones primera de izquierda a derecha
–25 – 24……………………………. Simplificando signos
–49 …………………..……….. Sumas o restas
b. Resolver ( 1 ) ÷ ( 1 ) – ( –2 )( 5 ) + ( –10 )( –1):
+1 ÷ 1 – ( –2 )( 5 ) + ( –10 )( –1) ……….Primero potencias.
1 – ( –10 ) + ( +10 ) ...............................Segundo multiplicaciones o divisiones primera
de izquierda a derecha
1 + 10 + 10 ………………............….........Simplificando signos
+ 21 ………………………………….......... Sumas o restas
Ejercicios 2 Secuencia 4 Bloque I
Realice los siguientes ejercicios.
a) 5² - 16 ÷ 2³ × 2 + 2² ÷ 2 × 10 - 4²
b) – 18 +( 3³)(2²)(8) ÷ 12 – 16 ( –4 )² –20
c) 5² × 3 - 8² × 12 ÷ 10 – 5 × 3³ – 10
d) ( –2) ( –1 ) ÷ ( 1 ) – ( –2 )²( 5 )
e) 10 ÷ ( –2)( 5 ) + ( –2 )²( –3 )( –2 )
f) ( –3 )³ + 5² – 16 ÷ 2³ × 2 + 4² ÷ 2 × 10 –4²
Signos de agrupación ( ), [ ], { }
( ) paréntesis
[ ] Corchetes
{ } llaves
100

Para la supresión o eliminación de un signo de agrupación se hace comenzando por el más
interno en el conjunto de signos, esto tomando en cuenta los siguientes elementos:
a) Para extraer cantidades encerradas en cualquier signo de agrupación, precedidas
del signo positivo o negativo, se realizan las operaciones indicadas dentro del signo
de agrupación y se reduce a un solo número, utilizando las “leyes de los signos para
multiplicación” se suprime el signo de agrupación.
i. –3 + ( 2 × 3 – 7)
–3 + ( 6 – 7 ) ………efectuando primero la multiplicación en los paréntesis
–3 + ( –1 ) …………………efectuando la sustracción
–3 – 1 …………………reduciendo a un solo signo
–4 …………………efectuando la adición
ii. –3 + [ 2 × 3 – 7]
–3 + [ 6 – 7 ] ……… efectuando primero la multiplicación en los corchetes
–3 + [–1 ] …………………efectuando la sustracción
–3 – 1 ………………… ¿Qué se hizo?
–4 ………………… ¿Qué se hizo?
iii. –3 + { 2 × 3 – 7}
3 + { 2 × 3 – 7} ……………… ¿Qué se hizo?
–3 + { 6 – 7 } ………………… ¿Qué se hizo?
–3 + { -1 } ………………… ¿Qué se hizo?
–3 – 1 ………………… ¿Qué se hizo?
–4 ………………… ¿Qué se hizo?
b) Para extraer expresiones encerradas en cualquier signo de agrupación precedidos de
cualquier número entero, se realizan las operaciones indicadas dentro del signo de
agrupación y se multiplica dicho número entero con el resultado que quedó dentro del
signo de agrupación.
i. –3 ( 2 × 3 – 7)
–3 ( 6 – 7 ) …………efectuando primero la multiplicación en los paréntesis
–3 ( –1 ) …………………efectuando la sustracción
+3 …………………efectuando la multiplicación
ii. –3 [ 2 × 3 – 7]
–3 [ 6 – 7 ] ………… efectuando primero la multiplicación en los corchetes
–3 [–1 ] …………………efectuando la sustracción
+3 ………………… ¿Qué se hizo?
iii. –3 { 2 × 3 – 7} ………………… ¿Qué se hizo?
3 { 2 × 3 – 7} ………………… ¿Qué se hizo?
–3 { 6 – 7 } ………………… ¿Qué se hizo?
–3 { –1 } ………………… ¿Qué se hizo?
+3 ………………… ¿Qué se hizo?
101

Ejemplos de uso de los signos de ejemplificación.
Suprimir los signos de agrupación y efectuar las operaciones indicadas
5 { 2+ [6 + 7 – 8 – ( 2 – 10 ) ] – 5 }
5 { 2+ [6 + 7 – 8 – ( – 8 ) ] – 5 } ………. Se efectúa la operación del paréntesis
5 { 2+ [6 + 7 – 8 + 8 ] – 5 } ………. se suprimen los paréntesis
5 { 2+ [ +13 ] – 5 } ………. se efectúa la operación de los corchetes
5 { 2 +13 –5 } ………. se suprimen los corchetes
5 { 10 } ………..se efectúan las operaciones de las llaves
+ 50 …....…. Efectuando la multiplicacion
Ejercicios 3 Secuencia 4 Bloque I
Realice los siguientes ejercicios:
a) –5 + { 2 + 8 [ 10 – 2 ( 3 – 5 ) ] – 3 }
b) –4 { 5 ( 2 – 3 [ 8 – 15 ] ) –2}
c) 2 – 2 ( 5 – 3 [ 4 – 6 { 8 – 7 ( 2 – 3 ) + 1 } –6 ] )
d) –2 + { 2 + 2 [ 2 – 2 ( 2 – 2 ) ] –2 }
e) 4 – 2 ( 3 – 2 [ 2 – 6 { 8 – 5 ( – 1 + 1 ) – 8 } – 2 ] – 3 ) – 4
f) {3-2[6(5+3(2–4)+4)–3(2(5+1)+3)]+4}
g) 2 {–3 [8–(2 . 3) + (4 – 3)] + (8 . 5) – (3 + 1) + 2}
h) {4–3 [5 – 6 (7 – 2)]} {8 – [2 – (6 – 3)]}
102

Ejercicios 4 Secuencia 4 Bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando con sus compañeros(as) las respuestas. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
1. Conteste lo que se le pregunta.
a. ¿En qué orden se deben desarrollar las operaciones?
i. __________
ii. __________
iii. __________
b. ¿Cuál es el nombre de cada signo de agrupación?
i. { }
ii. ( )
iii. [ ]
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Realice las siguientes operaciones combinadas.
2. Suprimir los signos de agrupación y efectuar las operaciones indicadas.
a. –10 + ( –13 + 7 – 18)
b. – 4 ( 16 – 10) – ( 12 – 46 )
c. { –5 + 3 [ 2 – 4 – ( –5 – 5 ) –3 ]}
d. – 4 – 4{ –4 – ( –4 [ –4 + 4 ] – 4 ) – 4 }
e. 5 { 2 + [ 6 + 7 + 8 ( 2 – 10 ) ] – 5 }
f. 4 – 2 ( 3 – 2 [ 2 – 6 { 8 – 5 ( –1 + 1 ) – 8 } – 2 ] – 3 ) – 4
103

104

Secuencia de Aprendizaje 5 Bloque I
APRENDE A COMPARTIR
Así como fueron creados los números negativos, para hacer posible la sustracción en los
casos en que el minuendo es menor que el sustraendo, por ejemplo 2 – 5, también fue
necesario crear números para interpretar la división en los casos en que el dividendo no es
múltiplo del divisor. Por ejemplo: 8 ÷ 3 no existe en Z, es decir, no existe ningún número
entero tal que multiplicado por tres dé por resultado ocho; para interpretar las divisiones de
este tipo se crearon los números llamados Números Racionales.
En esta secuencia de aprendizaje se dará inicio al estudio de los números racionales
conocidos también como fracciones, así como su representación, simplificación y relaciones
de orden.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los estudiantes :
1. Identifiquen números racionales en problemas de la vida real y usan las operaciones
básicas para resolverlos.
105

Las fracciones
Imagine esta situación
Oscar tiene 8 confites y los quiere repartir entre 4 amigos que invitó a su casa, ¿Cuántos
confites tendría que darle a cada amigo?
8 confites
4 amigos
8 ÷ 4 = 2 R/ Le daría 2 confites a cada uno.
Si en vez de los cuatro amigos invitados sólo llegarán 3, ¿Cuántos confites tendría que darle
a cada amigo que llegó?
8 confites
3 amigos
8 ÷ 3 =? R/ la división de 8 entre 3 no está definida en los números enteros.
Para solventar este tipo de situaciones se crearon los números racionales o fracciones, por
ejemplo: un pastel se representa con el número 1
Si se divide en dos partes ¿Con qué número se representa cada parte?
106

Las partes del pastel se representan con los siguientes números:
1 ó 1
2
, que no son más
que partes o fracciones de números enteros.
2
El número de abajo se llama denominador e indica las veces en que se divide la unidad (en
este caso se dividió al pastel en dos) y el número de arriba numerador le indica las veces
que se toman la unidad dividida (en este caso se tomó una parte del pastel).
INTERPRETACIÓN DE UNA FRACCIÓN
En general, el número racional b
a
significa que la unidad se ha dividido en b partes iguales
y se a tomado a de esas partes.
Por ejemplo: dibujar un diagrama que represente a cada fracción.
a)
2
3
Representa las dos terceras partes de un entero, es decir, se divide un entero en 3 partes
iguales y de esas partes tomamos 2
b) 5
3
Se representa por:
c)
3
2
107

En este caso 3 es mayor que 2, lo que indica que se ha tomado más de una unidad, es decir
una unidad entera y la mitad de la otra.
Toda fracción impropia es mayor que la unidad, por esa razón al representarla con un
diagrama se hace uso de dos o más figuras.
LECTURA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Para leer un número racional se lee primero el numerador y a continuación el denominador
seguido de la terminación avo, si el denominador es mayor que 10; si el denominador es
menor que 10 entonces se lee el numerador seguido de la palabra medios si el denominador
es 2, tercios si este es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5, sextos si es 6, Séptimo si es 7,
octavo si es 8, noveno si es 9 y décimos si es 10.
Ejemplo:
a) se lee tres quintos.
b) se lee un noveno.
c) se lee nueve décimos.
d) se lee cuatro doceavos.
108

Ejercicios 1 Secuencia 5 bloque I
Con base en la lectura anterior comente con sus compañeros(as).
a) ¿Qué indica el numerador en una fracción?
b) ¿Qué indica el denominador de una fracción?
c) ¿Cómo se lee una fracción cuando el denominador es mayor que 10?
Escriba como se lee cada fracción:
a)
b)
c)
d)
Escriba con números cada fracción:
a) Un Séptimo____
b) Cuatro cuartos____
c) Cinco treceavos____
d) Diez onceavos____
Dibuje un diagrama que represente a cada fracción:
a)
1
3
=
b)
c)
d)
e)
3
8
4
3
5
5
5
4
=
=
=
=
109

Programa de Televisión 1 Secuencia 5 bloque I
Observe el programa de televisión Reparte por igual, en el cual se presenta el conjunto de
los números racionales y su aplicación en la vida cotidiana.
El conjunto de los números racionales
Es el conjunto de las expresiones de la forma, donde a y b son números enteros y b es
distinto de cero, los Números Racionales se representan con la letra Q.
En símbolos: Q = { }
En la expresión b
a :
a se llama numerador (indica las partes que se han tomado de la unidad principal).
b se llama denominador (indica las partes en que se ha dividido la unidad principal).
Las fracciones están formadas por números enteros, por consiguiente estas pueden ser:
positivas o negativas, además de propias o impropias.
a) Una fracción es positiva, si es de la forma
Ejemplos:
3
,
4
5
6
a
b) Una fracción , b 0
b
Ejemplos:
es negativa, si es de la forma
110

a
c) Una fracción , b 0
|a| < |b|.
b
Ejemplos:
es propia, si el numerador es menor que el denominador, es decir,
a
, b 0
d) Una fracción b es impropia, si el valor absoluto del numerador es mayor que el
denominador, es decir |a| > |b|.
Ejemplos:
Toda fracción impropia se puede escribir como una parte entera y una parte fraccionaria,
expresión que se le conoce con el nombre de Número Mixto o Fracción Mixta. Ejemplo:
9 1 = 2
4 4
Números Mixtos:
• Un número mixto es una expresión que se compone de una parte entera y una
parte fraccionaria. Es una forma abreviada de escribir una suma de un entero
con una fracción propia omitiendo el signo de suma (+) que separa ambos
componentes.
Ejemplo:
Numerador de la Fracción
Denominador de la Fracción
Parte Entera
• Un número mixto se puede expresar como una fracción impropia y una fracción impropia
se puede expresar como un número mixto.
Conversiones:
Para convertir un número mixto a fracción impropia, se multiplica la parte entera por el
denominador de la fracción propia y a ese resultado se le suma el numerador de la fracción
propia para formar el numerador de la fracción impropia. Por su parte, el denominador de la
fracción impropia será el mismo denominador de la fracción propia. Es decir, el numerador y el
denominador de la fracción impropia resultante se consiguen como se indica a continuación:
111

Ejemplos: Convertir las siguientes fracciones impropias a números mixtos:
a)
b)
Para convertir una fracción impropia a número mixto, simplemente se lleva a cabo la división
del numerador entre el denominador. Recuerde que el numerador viene siendo el dividendo
y el denominador el divisor. El cociente será la parte entera; el numerador de la fracción
propia corresponderá al residuo de la división y el denominador será el divisor, que viene
siendo el mismo denominador de la fracción impropia.
Ejemplo: Convertir las siguientes fracciones impropias a números mixtos.
a)
9 1 = 2 porque 9 9 4 = 2 , con residuo 1.
4 4
4
2
b) porque 7 2 7÷2=3, con residuo 1.
3
APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES
Las fracciones tienen variadas aplicaciones, una de ellas es averiguar ¿Cuánto representa
de una cantidad?, por ejemplo:
Suyapa le regaló
su hermano?
de su dinero a su hermano. Si ella tenía L. 20.00 ¿Cuánto le obsequió a
Una forma de saberlo es dividiendo 20 en 4 partes, es decir 20 ÷ 4 =5 y este cociente se
multiplica por 3, así: 3 × 5 =15.
Por lo tanto, Suyapa le regalo a su hermano L. 15.00.
112

Ejercicios 2 Secuencia 5 bloque I
Con base en el contenido del programa de televisión y la lectura anterior haga lo siguiente:
1. Dibuje un diagrama que represente a cada fracción.
a)
b)
c)
d)
2. Convierta las siguientes fracciones impropias a fracciones mixtas:
a)
b)
c)
d)
3. Convierta las siguientes fracciones mixtas a fracciones impropias:
a)
b)
c)
d)
e)
4. Hallar ¿Cuánto es?:
a) 5
4 de 20 lempiras
b) 4
3 de 32 metros
c)
2 de 60 libras
3
d) 7
4 de 42 lempiras
e) 9 7 de 63 litros de agua
113

Fracciones equivalentes
Observe el diagrama de cada fracción:
Observe que la parte sombreada de las tres figuras anteriores se mantiene igual, aunque
estén divididas en diferentes partes, se puede afirmar entonces que estas fracciones son
equivalentes, es decir que:
Para determinar si dos fracciones son equivalentes, multiplíquese el numerador de la primera
fracción por el denominador de la segunda y multiplíquese el denominador de la primera por
el numerador de la segunda. Si ambos productos son iguales, entonces las fracciones son
equivalentes. A este tipo de producto se le llama “producto cruzado”
Ejemplos: Determinar si son o no equivalentes las siguientes fracciones.
a)
Solución:
Si y sólo si –4( –9 ) = 3 ( 12 )
36 = 36
114

)
Solución:
si y sólo si 5( –2 ) = 4( 3 )
–10 ≠ 12
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Las fracciones
son equivalentes a , se puede ver que estas fracciones se
obtienen multiplicando por un mismo número natural los términos de la fracción . Con estas
fracciones se dice que se ha amplificado la fracción .
Ejemplos:
a) Amplificar a 4 fracciones equivalentes cualesquiera.
Luego:
b) Amplificar a 4 fracciones equivalentes cualesquiera.
c)
Luego:
115

Ejercicios 3 Secuencia 5 bloque I
1. Dada la fracción encuentre por lo menos 4 fracciones equivalentes a ella por
amplificación
2. Realice las siguientes amplificaciones con las fracciones:
a) a décimos
b) a doceavos
c) a sextos
3. Encuentre por amplificación 2 fracciones equivalentes a:
a) , b) , c) , d)
Simplificación de fracciones
Para entender mejor la simplificación de fracciones es necesario conocer cuando una
fracción es reductible y cuando es irreductible.
Fracción Reductible:
Toda fracción
es reductible si el máximo común divisor del numerador y el
denominador es diferente de 1, es decir el MCD(a,b) ≠ 1.
Ejemplo: es reductible porque el MCD(4,8) = 4, 4 ≠ 1
Fracción Irreductible:
Toda fracción
es irreductible si el máximo común divisor del numerador y el
denominador es igual a 1, es decir si el MCD(a,b) = 1, si esto ocurre a y b son primos entre si.
Ejemplo: es irreductible porque que MCD(1,8) = 1.
116

Al proceso mediante el cual se encuentra el equivalente irreductible de una fracción dada,
se le llama Simplificación. Luego, simplificar una fracción no es más que encontrar su
equivalente irreductible.
Existen tres métodos para simplificar una fracción:
a) Utilizando el MCD
Ejemplo: Simplificar
i. Se encuentra MCD (12, 24)
ii. Dividir entre el numerador y denominador de la fracción que se va a simplificar entre el
MCD encontrado.
12 ÷ 12 = 1
24 ÷ 12 = 2 Luego
b) Utilizando factores primos
Ejemplo: Simplificar
i. Descomponemos cada número en sus factores primos.
12 = 2 × 2 × 3 24 = 2 × 2 × 2 × 3
117

ii. Aplicamos la propiedad cancelativa de la división.
c) Utilizando divisiones
Ejemplo: Simplificar
a) Dividir el numerador y el denominador por el mismo divisor, utilizando los criterios de
divisibilidad.
= ………. Se dividió cada término de la fracción entre 2
……….. se dividió cada término de la fracción entre 2
……….. se dividió cada término de la fracción entre 3
Luego
Importante:
Cuando en una fracción el numerador y el denominador contienen ceros al inicio, estos
se pueden suprimir y la fracción restante se simplifican por cualquiera de los métodos
descritos anteriormente.
Ejemplo:
……. Se suprimen los ceros en el numerador y el denominador.
…….. se simplifica.
118

Ejercicios 4 Secuencia 5 bloque I
1. Simplificar cada fracción utilizando el método que prefiera:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Representación gráfica de las fracciones
Es interesante determinar en la recta numérica los puntos que corresponden a los números
racionales y para esto se tomará en cuenta tres criterios:
1. Si la fracción es propia, es decir (el valor absoluto del numerador es menor que el
valor absoluto del denominador), su gráfica se ubicará entre 0 y 1 si es positiva, y entre
0 y -1 si es negativa.
Ejemplos:
a) Graficar:
Es una fracción propia y positiva, por lo tanto su gráfica está entre 0 y 1, para graficar en la
recta numérica se divide la unidad en 4 partes iguales y se toman 3, así:
119

) Graficar:
También es una fracción propia, pero negativa, por lo tanto su gráfica esta entre 0 y –1, para
graficar en la recta numérica se divide la unidad en tres partes y se toman 2, así:
2. Si la fracción es impropia, es decir (el valor absoluto de numerador es mayor que el
valor absoluto del denominador), antes de graficarla conviene convertir la fracción en
número mixto, para indagar cuantas unidades enteras contiene y la fracción resultante
(residuo entre divisor) se tomará para ubicarla en la unidad siguiente.
Ejemplos:
a) Graficar:
Es una fracción impropia positiva, por lo que su gráfica se encuentra a la derecha de 0, al
convertir en número mixto da como resultado ; entonces su gráfica estará entre 3 y 4,
ya que son 3 unidades más de la otra, así:
3 1 2
b) Graficar:
Es una fracción impropia negativa, por lo que su gráfica se encuentra a la izquierda de 0,
al convertir en número mixto da como resultado ; su gráfica estará entre –1 y –2, ya
que es una unidad a la izquierda de cero, más 2 de la otra, así:
3
-1 2 3
2 -5 -1 0
3
3. Si la fracción es igual a la unidad, es decir (el valor absoluto del numerador es igual
al valor absoluto del denominador), como el numerador y el denominador son iguales, la
división entre ellos es 1 si la fracción es positiva y –1 si la fracción es negativa.
120

Ejemplos:
a) Graficar:
Es una fracción igual a la unidad, es decir, su división es 1, por lo tanto su gráfica estará en
1.
b) Graficar:
Es una fracción igual a la unidad negativa, es decir, su división es – 1, por lo tanto su gráfica
estará en – 1.
RELACIONES DE ORDEN EN LOS NÚMEROS RACIONALES
Recuerde que: de dos números enteros, es mayor aquel cuyo punto sobre la recta numérica
está situado a la derecha del otro, y es menor el que esta a la izquierda, lo anterior tambíen
se aplica a los números racionales.
Ejemplos: observe la gráfica de las siguientes fracciones.
Se puede observar en la figura anterior que:
a) porque está a la derecha de
b) porque está a la izquierda de
c) porque está a la izquierda de 2
El uso de la representación gráfica en la recta numérica para comparar fracciones se complica
un poco cuando las fracciones se amplifican, por tal razón se utilizarán los siguientes criterios
para establecer si una fracción es mayor, menor o igual que otra.
121

RELACIÓN MAYOR QUE
si y solamente si
Ejemplos:
a) Comparar
Solución
Entonces
RELACIÓN MENOR QUE
si y solamente si
Ejemplos:
a) Comparar
Solución
RECUERDE:
Entonces
• Todo número positivo es mayor que el cero.
• Todo número positivo es mayor que cualquier negativo
• Todo número negativo es menor que el cero
• Todo número negativo es menor que cualquier positivo
122

Ejercicios 5 Secuencia 5 bloque I
1. Graficar cada racional en su propia recta numérica:
a) b) c) d) e) f)
2. Utilice una recta numérica para graficar las fracciones de cada inciso.
a) 4/8, –½, 5/6, –9 /4
b) 3/6, –¼, 5/8, 7/9.
3. Colocar el signo ó = según sea la primera fracción con respecto a la segunda.
a)
b)
c)
d)
e)
d)
e)
f)
123

Ejercicios 6 Secuencia 5 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento con una serie de
preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando con sus compañeros las respuestas. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
1. ¿Verdadero o falso? Diga si es verdadera o falsa cada oración, de ser falsa justifique su
respuesta.
a) 2 es un número racional
b) son fracciones equivalentes
c) es igual a
d) Dos quintos de 100 lempiras son 20 lempiras
e) 0 es menor que
f) El numerador indica las parte que tomamos de la unidad
g) representa una fracción negativa
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Convierta las siguientes fracciones impropias en mixtas.
a) c)
b) d)
124

2. Convierta las siguientes fracciones mixtas a impropias.
a)
b)
c)
d)
3. Represente cada fracción en una recta numérica.
a)
b)
c)
d)
4. Simplificar las siguientes fracciones.
a)
b)
c)
d)
125

5. Escribir dentro del paréntesis el signo (>, < ó =) que haga cierta cada proposición.
a)
b)
c)
d)
6. Resuelva
a) Si Juan tiene 50 lempiras y le quiere regalar a su hermano de lo que tiene,
¿Cuánto le regalará a su hermano?
b) En un aula hay 35 estudiantes, de ellos son varones, ¿Cuántos varones hay?
126

Secuencia de Aprendizaje 6 Bloque I
LAS PARTES DE UN TODO
Es muy común pensar que no hay manera de resolver un problema con números fraccionarios
o racionales cuando se nos presenta por primera vez, pero si se analiza con detenimiento,
encontramos que la solución es muy sencilla. El meollo del asunto es no darse por vencido
y por supuesto tener conocimiento de las operaciones y propiedades de los números
racionales.
Precisamente ahora que se tiene claro el concepto de número racional, se iniciará en
esta secuencia el estudio de las operaciones fundamentales entre las fracciones, como: la
adición, sustracción, multiplicación y división.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia de aprendizaje se espera que los y las estudiantes:
1. Operen números racionales.
Breve historia de las fracciones
Se considera que fueron los egipcios
quienes usaron por primera vez las
fracciones, pero sólo aquellas de la
forma o las que pueden obtenerse como
combinación de ellas. Es decir utilizaron
las fracciones cuyo numerador es 1 y el
denominador era cualquier número: 2,
3, 4,..., por ejemplo …, y con ellas
conseguían hacer cálculos fraccionarios
de todo tipo.
Por su parte los babilonios desarrollaron un
eficaz sistema de notación fraccionaria, que permitió establecer aproximaciones decimales
verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario
127

permitió el desarrollo de nuevas operaciones que ayudaron a la comunidad matemática de
siglos posteriores a hacer buenos cálculos, por ejemplo las raíces cuadradas.
Para los babilónicos era relativamente fácil conseguir aproximaciones muy precisas en
sus cálculos utilizando su sistema de notación fraccionaria, fue lo mejor de que dispuso
civilización alguna hasta la época del Renacimiento.
Los chinos conocían bien las operaciones con fracciones ordinarias, hasta el punto de que en
este contexto hallaban el mínimo común denominador de varias fracciones. . Algunas veces
se adoptaron ciertas artimañas de carácter decimal para aligerar un poco la manipulación
de las fracciones.
Los griegos mostraron sus grandes dotes en cuanto a geometría en algunas construcciones
geométricas de segmentos cuyas longitudes representan racionales.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor múltiplo común de todos
ellos.
Ejemplo:
1. ¿Cúal es el m.c.m de 4 y 8?
Los primeros múltiplos de 4 son 0, 4, 8, 12, 16…
Los primeros múltiplos de 8 son 8, 16, 24, 32…
Como puede observar los múltiplos de 0, 4 y 8 son infinitos, pero el menor de todos ellos es
8 (sin incluir el cero), entonces: 8 es el menor o mínimo común múltiplo.
Mínimo común múltiplo por simple inspección
Cuando se trata de hallar el m.c.m. de números pequeños, este puede hallarse muy
fácilmente por simple inspección, de este modo:
Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo del mayor de ellos, se debe
determinar, si el mayor de los números dados contiene exactamente a los demás. Si es así,
el mayor es el m.c.m., si no los contiene, se busca cual es el menor múltiplo del número
mayor aplicando el método abreviado.
Ejemplo:
a) El m.c.m. de 4 y 8 es 8, porque 8 es el mayor y contiene exactamente a 4.
b) El m.c.m. de 3, 4 y 12 es 12, porque 12 es el mayor y contiene exactamente a 3 y 4.
Método Abreviado para hallar el Mínimo Común Múltiplo de Números Enteros.
Encontrar el m.c.m. de 18, 24 y 40:
Se dividen los números dados por el menor número primo que sea divisor al menos por
128

uno de ellos. El número que no es divisible por ese factor primo se copia debajo, este
procedimiento se repite en los cocientes obtenidos hasta que todos sean 1.
Luego, el mínimo común múltiplo de (18, 24, 40) es el producto de todos los divisores primos.
m.c.m. de (18, 24, 40) = 2³ x 3² x 5 = 8 x 9 x 5 = 360.
Ejercicios 1 Secuencia 6 bloque I
1. Hallar el m.c.m. por simple inspección de:
a) 3 y 25.
b) 5 y 1.
c) 16, 4 y 8.
d) 5, 1 y 10.
2. Hallar el m.c.m. utilizando el método abreviado:
a) 2, 5 y 20.
b) 16 y 20.
c) 7, 2 y 5.
d) 40, 30 y 20.
3. Simplificar cada fracción:
a)
b)
c)
d)
129

Programa de Televisión 1 Secuencia 6 bloque I
Observe el programa de televisión: Fracciones con clase, en el cual se muestra un resumen
de la clasificación de fracciones y su aplicación en situaciones de la vida habitual.
Adición y sustracción de fracciones
En un cumpleaños se tiene un pastel y se divide en diez partes iguales, cada una de estas
porciones se representa por , si el cumpleañero pide 2 pedazos. ¿Con que número racional
o fracción se representa la parte del cumpleañero?
1 +
10
1 =
10
2
10
El cumpleañero recibirá
del pastel
En la adición y en la sustracción de racionales se presentan dos casos:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR
En este caso se suman o se restan los numeradores de las fracciones y se escribe el mismo
denominador.
Ejemplos: Determinar el resultado de las siguientes operaciones.
a)
Solución:
…el resultado se convierte a fracción mixta.
130

)
Solución:
c)
Solución:
d)
Solución:
…el resultado se convierte a fracción mixta.
e)
Solución:
…simplificando la fracción,
…el resultado se convierte a fracción igual a la unidad.
f)
Solución:
…se convierte la fracción mixta a fracción impropia,
…el resultado se convierte a fracción mixta.
131

Ejercicios 2 Secuencia 6 bloque I
1. Con base en el programa de televisión defina los conceptos siguientes y escriba dos
ejemplos de cada uno:
a) Fracción propia.
b) Fracción impropia.
c) Fracción igual a la unidad.
d) Fracción mixta.
e) Fracción reductible.
f) Fracción irreductible.
g) Fracción decimal.
2. Simplifique:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Resuelva:
a) Un hombre caminó el lunes km, el martes km, si el miércoles tuvo que regresar km
desde en punto que había avanzado hasta el martes, ¿Cuánto avanzó desde su punto
de partida?
132

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones con distinto denominador se hace lo siguiente:
1. Simplificar las fracciones dadas si es posible.
2. Calcular el m.c.m. de los denominadores y este será el denominador común.
3. Hallar los numeradores, dividiendo el m.c.m. entre cada denominador y el cociente
multiplicarlo por numerador respectivo.
4. Sumar o restar los numeradores obtenidos según el signo que posean.
5. Simplificar si es posible la fracción resultante.
Se tiene que:
Si
Q, entonces
Ejemplos: Efectuar las siguientes operaciones indicadas.
a)
Solución:
………Simplificando las fracciones, paso 1.
…sustituyendo.
m.c.m.(2,8,5) = 2x2x2x5 = 40 .. Calculando el m.c.m. de los denominadores paso 2.
133

…….Aplicando el paso 3,
…… aplicando paso 4,
Por lo tanto:
b)
Solución:
……¿Qué se hizo?
……¿Qué se hizo?
…….¿Que se hizo?
b) Mario estudió para el examen de Matemáticas el lunes horas, el martes
horas y el miércoles 3 horas, ¿Cuántas horas estudió Mario en total?
Lunes
horas
Martes
horas
Miércoles 3 horas
Mario estudió para el examen
horas.
134

Ejercicios 3 Secuencia 6 bloque I
1. Simplificar si es posible y efectuar las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f) 16-
g)
h)
i)
2. Resolver los siguientes problemas:
a) Una botella tiene litro de jugo, otra tiene litro de jugo, ¿Qué cantidad de jugo tienen
entre las dos botellas?, ¿Cuánto jugo tiene la primera más que la segunda?
b) Un aula de un centro básico tiene metro de ancho y otra tiene 4 metros de ancho.
¿Cuántos metros de ancho tienen entre las dos?, ¿Cuántos metros le hacen falta a la
primera aula para ser igual que la segunda?
135

Polinomios aritméticos
En algunas situaciones de la vida cotidiana, se requiere efectuar adiciones y sustracciones
en el mismo problema.
Ejemplo:
¿Cuánto se puede considerar que un vehículo se ha adelantado hacia el este o hacia el
oeste partiendo de un punto A?, si el automóvil avanza 3 km al oeste partiendo de un punto
A, luego avanza 5 km hacia el este a partir de ese punto y después avanza 5 km al oeste.
Solución:
Si se toma el punto A=0 en la recta numérica como punto de partida, entonces el
desplazamiento al este se representa con un número positivo y al oeste con un número
negativo, observe la siguiente gráfica:
Como puede observar el automóvil quedó al final en el punto -3, es decir, recorrió desde el
punto inicial (A), 3 km al oeste.
Esta situación puede formularse utilizando Polinomios Aritméticos, es decir, adiciones y
sustracciones combinadas de números precedidos de paréntesis y de los signos de los
sumandos, el ejemplo anterior puede expresarse de la siguiente manera:
- 3 + (+ 5 ) + ( - 5 )
Para resolver los polinomios aritméticos primero se suprimen los paréntesis tomando en
cuenta lo siguiente:
1. Cuando el paréntesis está precedido del signo menos (-), este se suprime cambiando
todos los signos de su interior.
2. Si el paréntesis esta precedido del signo más (+), este se suprime sin cambiar ningún
signo.
136

3. Después se efectúan las operaciones indicadas.
Desarrollando el ejemplo anterior se tiene:
- 3 + (+ 5 ) + ( - 5 ) … aplicando inciso 1,
- 3 + 5 - 5 = - 3 … aplicando inciso 3.
El vehículo avanza 3 km al oeste.
El desarrollo de los polinomios aritméticos en los racionales ( ) tiene los mismos criterios
que se consideraron en los enteros ( ), porque los números racionales son una ampliación
de los enteros.
Observe el desarrollo del siguiente ejemplo:
a)
... Aplicando inciso 1
... Aplicando inciso 2
... Aplicando inciso 1
Entonces el polinomio aritmético queda como:
… efectuando las operaciones indicadas.
137

Ejercicios 4 Secuencia 6 bloque I
1. Simplifique cada uno de los siguientes polinomios aritméticos:
a) - ( -1 ) + ( - 1 ) - ( - 1 )
b)
c)
d)
e)
Multiplicación de fracciones
Existen situaciones cotidianas que se relacionan con las partes de un entero, es decir las
fracciones, estas relaciones se expresan a través de las operaciones que con ellas se realizan.
Observe algunos ejemplos concretos de multiplicación en las situaciones siguientes.
a) Siete alumnos del grupo de Séptimo grado van a vender licuados de frutas en la fiesta
del centro básico. Cada uno aporta litro de leche; ¿Cuántos litros de leche se reunieron?
7 bolsas de litro son litros, o sea, litros
7 veces son
b) Un campesino va a sembrar legumbres en la mitad de la tercera parte de su terreno.
¿Qué parte del total del terreno tendrá legumbres?
138

Se puede representar gráficamente la mitad de la tercera parte de un terreno así:
Se divide el terreno en tres partes iguales (tercios) y se marca cada una de ellas, luego esos
tercios se dividen en dos partes iguales (medio). La figura queda dividida en seis partes
iguales, así que un medio de un tercio es igual a un sexto.
de
La multiplicación de racionales se define a partir de la de la multiplicación de enteros,
consecuentemente la multiplicación de fracciones mantiene las mismas propiedades de la
multiplicación de enteros incluyendo la ley de signos.
Ejemplos de multiplicación de fracciones.
1. Simplificar cada fracción si es posible.
2. Multiplicar los numeradores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma
el numerador de la fracción resultante.
3. Multiplicar los denominadores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto
forma el denominador de la fracción resultante.
4. Simplificar la fracción resultante si es posible.
Se tiene:
Si
entonces
Ejemplos: Efectuar las siguientes multiplicaciones.
139

a)
Solución:
……….simplificando cada fracción, paso 1,
.........multiplicando numeradores y denominadores, pasos 2 y 3.
. ……simplificando la fracción resultante, paso 4.
b)
Solución:
…….. ¿Qué se hizo?,
…….. ¿Qué se hizo?,
…….. ¿Qué se hizo?
Ejercicios 5 Secuencia 6 bloque I
Efectúe las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
140

División de fracciones
En ocasiones, hay necesidad de dividir una fracción o un número entero en varias partes para
repartirlas, o determinar cuántas veces cabe una parte de un número en otro. Situaciones
como las anteriores requieren de una división de fracciones como las que se ejemplifican a
continuación.
1. Con de litro de leche se llenan 10 vasos pequeños. ¿Cuál es la capacidad de cada vaso?
5 ÷ 10 =
1
8 16
En este caso se reparten los de litro entre 10 vasos, a cada frasco le cabe
de litro.
2. ¿Cuántas cajas de de litro de capacidad se nacesitan para envasar de litro de jugo de
naranja?
3
÷
1
= 6
4 8
¿Cuántas veces cabe en ?
cabe 6 veces en
Antes de dividir dos fracciones es importante tener presente la definición de recíproco o
inverso multiplicativo de una fracción.
Dos fracciones son reciprocas si su producto es 1
141

Ejemplo 1: es el recíproco de porque
Ejemplo 2: es el recíproco de porque
Ejemplo 3: es el recíproco de porque
Ejemplos de división de fracciones.
Para dividir fracciones se hace lo siguiente:
1) Simplificar cada fracción si es posible.
2) Cambiar por el inverso multiplicativo la fracción que ocupa el lugar del divisor, al
efectuar este cambio, la división también cambia a multiplicación de racionales.
3) Multiplicar los numeradores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto forma
el numerador de la fracción resultante.
4) Multiplicar los denominadores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto
forma el denominador de la fracción resultante.
5) Simplificar la fracción resultante si es posible.
Tomando la idea de recíproco se puede expresar una regla para efectuar la división de dos
fracciones:
Si
entonces
142

Ejemplo: Efectuar las siguientes operaciones indicadas:
a)
Solución:
….simplificando cada fracción, paso 1,
….cambiando al divisor por el inverso multiplicativo, paso 2,
….multiplicando numeradores y denominadores, pasos 3 y 4,
…simplificando la fracción resultante, paso 5.
Ejemplo: Efectuar las siguientes divisiones.
a)
b)
c)
143

Ejercicios 6 Secuencia 6 bloque I
1. Hallar el recíproco de cada número
racional.
a)
b)
c)
d) 9
2. Efectuar las siguientes divisiones:
a)
f)
b)
g)
c)
d)
h)
i)
e)
j)
144

Programa de Televisión 2 Secuencia 6 bloque I
Observe el programa de televisión Fracción aplicada, en el cual se muestra el algorítmo
de cada una de las operaciones fundamentales con fracciones y su aplicación en problemas
de la vida cotidiana.
Ejercicios 7 Secuencia 6 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
1. Defina cada concepto:
a) Fracción propia.
b) Fracción impropia.
c) Fracción igual a la unidad.
d) Fracción mixta.
e) Fracción reductible.
f) Fracción irreductible.
g) Fracción decimal.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Efectué las siguientes operaciones:
a)
b)
c) 1-
145

d)
j)
e)
f)
k)
g)
l)
h)
m)
i)
2. Simplifique cada uno de los siguientes polinomios aritméticos:
a)
b)
c)
146

Secuencia de Aprendizaje 7 Bloque I
RAÍZ QUEBRADA
En los conjuntos numéricos estudiados hasta el momento, todas las operaciones Matemáticas
tienen su operación inversa, la sustracción es la operación inversa de la adición, la división
es la operación inversa de la multiplicación y los números racionales no son la excepción,
además de efectuar las operaciones anteriores también cumple con la radicación que es
la operación inversa de la potenciación.
Si se dice que 8 es la tercera potencia de un número, y si se pregunta ¿cuál es ese número?,
la respuesta es 2, pues efectivamente . La operación como en el ejemplo dado se
conoce como potenciación, pero si se quiere encontrar la base conociendo la potencia 8 y
el exponente 3 utilizamos la radicación. Estas dos operaciones se estudiarán en la presente
secuencia de aprendizaje, pero ahora con los números fraccionarios.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Desarrollen potencias de fracciones con exponentes positivos y negativos.
2. Simplifiquen operaciones indicadas aplicando las propiedades de las potencias.
3. Aproximen la raíz cuadrada exacta de cualquier número racional.
4. Calculen raíces de fracciones con índice mayor que dos.
Curiosidades de las fracciones
El origen de las fracciones o quebrados es muy remoto, pues ya eran conocidas por los
babilonios, los egipcios y los griegos, pero el nombre de fracción se le debe a Adelardo de
Bath, que tradujo al latín, en el siglo XII, el libro de Aritmética de “Al-Juarizmi”.
Adelardo de Bath empleó la palabra “FRACTIO” para traducir la palabra árabe “al-Kasr”,
que significa QUEBRAR, ROMPER.
Por tal razón las fracciones se conocen también con el nombre de “QUEBRADOS”.
Adelardo de Bath fue un estudioso inglés del siglo XII.
147

Es conocido principalmente por sus traducciones al latín de muchas obras científicas árabes
importantes de astrología, astronomía, filosofía, alquimia y matemática, incluyendo antiguos
textos griegos que sólo existían como traducciones árabes y fueron así introducidos en
Europa. Su obra más conocida es la de sus estudios arábigos, incluyendo los de Al-
Jwarizmi, recopilados bajo el título de Perdifficiles Quaestiones Naturales, impreso en masa
por primera vez en 1472, con la forma de diálogo entre él mismo y un sobrino entre los años
1,113 y 1,133.
Ejercicios 1 Secuencia 7 bloque I
Revise las secuencias anteriores para realizar lo siguiente:
1. Efectúe las siguientes potencias.
e) (+3)² =
f) ( 1)² =
g) (+2)³ =
h) ( 4)³ =
i)
j)
k)
l)
m)
2. Calcule las siguientes raíces
a)
b)
c)
d)
e)
Programa de Televisión 1 Secuencia 7 Bloque I
En el siguiente programa de televisión Potencia Entera, observará la potenciación de los
números enteros y sus propiedades.
148

Potenciación de fracciones
El concepto de potenciación en los números racionales, es semejante al estudiado en los
números enteros, sólo que ahora la base es una fracción con exponente entero.
Ejemplos:
a)
b)
c)
Recuerde que :
La operación que tiene por objeto obtener una potencia de un número se llama potenciación,
la que de manera formal se define así:
Recuerde:
a) Todo número racional con exponente 1, es igual a sí mismo.
b) todo número racional con exponente 0, es igual a 1.
149

POTENCIA DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE NEGATIVO
En el conjunto de los números enteros se estudió las leyes de la potenciación con exponentes
naturales, recuerde que al dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los
exponentes y esta diferencia puede ser positiva o negativa.
Observe el siguiente ejemplo:
Suponga que
representa a cualquier número racional.
Al efectuar la división se debe copiar la base y restar los exponentes, de esta operación
resulta una potencia con exponente negativo; a continuación se tiene una interpretación en
forma de fracción para entender lo que pasó:
Relacionando los resultados, se puede decir entonces que:
Ejemplo:
a)
b)
Cuando la base es un número fraccionario y el exponente es negativo, se obtiene la potencia
invirtiendo la fracción (inverso multiplicativo) y se eleva al exponente de igual valor pero
positivo.
Es decir:
Ejemplos:
1.
2.
150

Ejercicios 2 Secuencia 7 bloque I
1. Desarrolle las siguientes potencias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2. Cambiar a exponente positivo y desarrollar cada potencia:
a)
b)
c)
d)
e)
151

Propiedades de la potenciación en los números fraccionarios
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Esta propiedad afirma que: para multiplicar potencias de igual base, se escribe la base y se
suman los exponentes.
Ejemplos:
a)
b)
c)
DIVISIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Esta propiedad afirma que: para dividir potencias de igual base, se escribe la base y se
restan los exponentes: el exponente del dividendo (numerador) menos el exponente del
divisor (denominador), en ese orden.
Ejemplos:
a)
b)
152

POTENCIA DE POTENCIA
Esta propiedad afirma que: para desarrollar una potencia de potencia, se escribe la base y
se multiplican los exponentes.
Ejemplos:
a)
b)
POTENCIA DE UN PRODUCTO
Esta propiedad afirma que: la potencia de un producto es igual al producto de las potencias
de los factores.
Ejemplos:
a)
b)
POTENCIA DE UN COCIENTE
Esta propiedad afirma que: la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias
de sus términos.
Ejemplos:
a)
b)
153

Ejercicios 3 Secuencia 7 bloque I
Simplificar las siguientes expresiones aplicando la propiedad que corresponda:
a)
j)
b)
k)
c)
l)
d)
m)
e)
n)
f)
g)
h)
i)
154

RAÍZ CUADRADA DE UNA FRACCIÓN
Partes de un radical:
Se llama raíz cuadrada a la raíz cuyo índice es 2 (el índice 2 no se escribe).
Recuerde que la raíz cuadrada sólo está definida cuando el radicando es positivo, en cuyo
caso se encuentran dos raíces: una positiva y otra negativa.
Ejemplos:
a)
b)
Por lo general se utiliza la raíz positiva llamada RAÍZ PRINCIPAL.
Cuando se necesite encontrar la raíz cuadrada de una fracción se utilizará la Propiedad del
Cociente de la Raíces que dice:
La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de la raíz cuadrada del numerador entre
la raíz cuadrada del denominador, es decir:
Ejemplo: Simplificar.
a)
Solución:
…se aplicó la propiedad de cociente de raíces cuadradas,
155

Por lo tanto
b)
Solución:
…se aplicó la propiedad de cociente de raíces cuadradas.
En este caso para calcular
puede seguir el siguiente procedimiento:
I. Descomponer 144 en sus factores primos y escribir en forma exponencial.
II. Encontrar las raíces cuadradas de los factores primos.
… desarrollando las potencias,
… aplicando la propiedad de la,
multiplicación de las raíces cuadradas.
III. Multiplicar las raíces encontradas.
Por lo tanto:
Ahora bien, se tiene que:
… ¿Qué se hizo?
Entonces
Por lo tanto:
c) … ¿Qué se hizo?
156

Ejercicios 4 Secuencia 7 bloque I
1. Hallar la raíz cuadrada de:
a)
d)
b)
e)
c)
f)
Programa de Televisión 2 Secuencia 7 bloque I
En el siguiente programa de televisión Raíz Cúbica, observará situaciones en las que se
puede aplicar las raíces para resolver problemas cotidianos.
Raíces con índice mayor que dos
La definición general de raíz enésima de números enteros sigue siendo válida para las
fracciones.
es una raíz enésima de
si y sólo si
Es decir:
157

Ejemplos: Hallar las siguientes raíces:
a)
Solución:
Porque
b)
Solución:
Porque
c)
Solución:
Porque
158

Ejercicios 5 Secuencia 7 bloque I
1. Hallar las siguientes raíces:
a)
d)
b)
e)
c)
f)
Ejercicios 6 Secuencia 7 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente y comparar las respuestas con sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
1. Diga si cada una de las siguientes proposiciones es correcta o incorrecta:
a) Las potencias de números positivos son siempre positivas.
b) Las potencias de números negativos son positivas, si el exponente es impar.
c) Todo número racional con exponente 0 es igual a él mismo.
d) Las potencias de números negativos son negativas, si el exponente es par.
e) Todo número racional con exponente 1 es igual a 1.
f) La expresión 0 0 no está definida.
159

2. Enuncie la respuesta de cada ejercicio.
a)
b)
c)
d)
e)
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Desarrolle las siguientes potencias.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
160

2. Simplificar las siguientes expresiones aplicando la propiedad que corresponda.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3. Hallar la raíz cuadrada de:
a)
b)
c)
161

162

Secuencia de Aprendizaje 8 Bloque I
FRACCIÓN COMBINADA
Cuando se estudia matemática es importante mantener frescos los conocimientos anteriores,
ya que la mayor parte del contenido es vinculante con la vida cotidiana y la solución de los
problemas que a diario enfrentamos.
Las operaciones fundamentales que ya conocemos, son de gran utilidad para resolver
ejercicios en los cuales la destreza Aritmética que se posea le será de mucho beneficio. Por
esta razón en esta secuencia se estudiarán las operaciones combinadas y los signos de
agrupación con las fracciones.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes :
1. Determinen el resultado de operaciones combinadas con racionales.
Resumen de las operaciones con fracciones.
Suma y resta de fracciones
1. Cuando tienen el mismo denominador
Se simplifican si se pueden las fracciones dadas, luego se suman o se restan los
numeradores y se deja el mismo denominador, al final si se puede se simplifica el
resultado.
2. Cuando tienen distinto denominador
a) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
b) Se calcula el m.c.m. de los denominadores.
c) Se divide el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y este cociente se
multiplica por el numerador.
d) Ya teniendo todas las fracciones con el mismo denominador, se suman o se restan
los numeradores y se escribe el mismo denominador.
e) Se simplifica el resultado si se puede.
163

Multiplicación de fracciones
a) Se simplifican las fracciones dadas si se puede.
b) Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.
c) Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.
d) Después se simplifica el producto si se puede.
División de fracciones
a) Simplificar cada fracción si es posible.
b) Cambiar por el inverso multiplicativo la fracción que ocupa el lugar del divisor, al
efectuar este cambio, la división también cambia a multiplicación de racionales.
c) Multiplicar los numeradores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto
forma el numerador de la fracción resultante.
d) Multiplicar los denominadores entre si, teniendo en cuenta los signos y este producto
forma el denominador de la fracción resultante.
e) Simplificar la fracción resultante si es posible.
Potenciación de fracciones
a) Se multiplica por si misma la base las veces que indica el exponente.
Raíz de una fracción
a) Se encuentra un número que multiplicado por si mismo la veces que indica el índice,
el resultado es el radicando.
Ejercicios 1 Secuencia 8 bloque I
1. Simplifique si es posible y efectúe las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
164

l)
m)
n)
o)
2. Desarrollar y simplificar:
a)
b)
c)
d)
3. Hallar la raíz cuadrada de:
a)
b)
165

Operaciones combinadas con números racionales
Una vez que se dominan la operaciones elementales con fracciones: suma, resta,
multiplicación división, potenciación y radicación, el siguiente paso es realizar operaciones
conjuntas, para ello primero recuerde el orden de las operaciones.
Primero: Las potencias y raíces.
Segundo: Las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha.
Tercero: Las sumas o restas.
Ejemplos: Efectuar las siguientes operaciones:
a)
Solución:
… se calcula la raíz cuadrada,
… se efectúa la multiplicación,
Por lo tanto:
… sumas y restas.
b)
Solución:
… ¿Qué se hizo?
…se efectuó la división porque es la primera operación de izquierda a derecha.
166

… ¿Qué se hizo?
… ¿Qué se hizo?
…Qué se hizo?
Por lo tanto:
1
c) 2
…¿Qué se hizo?
d) La cuarta parte de un edificio será ocupado por un establecimiento comercial, los 2/3
por oficinas y el resto por apartamentos ¿Qué parte del edificio está ocupado por los
apartamentos?
Datos
establecimiento comercial
oficinas
Proceso
Parte ocupada por el establecimiento comercial y las oficinas.
Como el edificio representa la unidad (1), tenemos:
167

Respuesta
del edificio esta ocupado por los apartamentos
e) Un depósito de agua de 154 litros de capacidad es llenado por una llave en 6 2/7 minutos.
¿Cuántos litros de agua por minuto vierte la llave?
R/ minutos …¿Qué se hizo?
Ejercicios 2 Secuencia 8 bloque I
1. Efectúe las siguientes operaciones indicadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Resuelva los siguientes problemas:
a) Una de las principales vertientes del Río Ulua esparce 2 metros cúbicos de agua
por minuto a un reservorio. Si se llena en 10 minutos, ¿Cuál es la capacidad del
reservorio?
b) En una granja hay 240 pollos. Se venden partes del total y se mueren por enfermedades
partes del resto, ¿Cuántos pollos quedan?
c) Vendí una bicicleta por 200 lempiras ganando la quinta parte de lo que me costó
¿Cuánto me costó?
168

Programa de Televisión 1 Secuencia 8 bloque I
En el siguiente programa de televisión El camino más corto se muestra la forma correcta
de resolver operaciones con números racionales y signos de agrupación.
Signos de agrupación
Cuando existen operaciones entre signos de agrupación o dentro de un signo radical primero
se realizan dichas operaciones respetando su orden.
Ejemplos: simplificar:
a)
i. Primero se resolverá la sustracción indicada en los paréntesis
…se sustituye
en el paréntesis.
ii. Ahora se resolverá la multiplicación indicada en los corchetes.
…se sustituye
en los corchetes.
iii. Ahora se resolverá la sustracción indicada en las llaves.
…sustituyendo
en las llaves.
169

iv. Por último las operaciones indicadas.
Por lo tanto:
Ejercicios 3 Secuencia 8 bloque I
1. Simplifique:
a)
b)
c)
d)
Programa de Televisión 2 Secuencia 8 bloque I
En el siguiente programa de televisión Empieza de abajo se muestra el procedimiento para
resolver fracciones complejas.
170

|
Fracciones complejas
A una fracción se le llama compleja cuando en su numerador y/o en su denominador contiene
fracciones.
Por ejemplo:
no es una fracción compleja.
si es una fracción compleja porque su numerador y denominador contienen fracciones.
Para simplificar una fracción compleja a una fracción simple, es decir, reducirla a sus términos
más sencillos, que sea equivalente a ella, se hará lo siguiente: transformar el numerador y
denominador en fracciones simples y luego proceder como en la división de fracciones.
Ejemplos: simplificar.
a)
i. Transformación del numerador en una fracción simple.
• Primero se resolverá la multiplicación indicada en la raíz.
• Ahora se encontrará la raíz cuadrada de
ii. Transformación del denominador en una fracción sencilla
171

iii. División de fracciones
…sustituyendo
y
• Ahora se efectuará la división indicada en los paréntesis.
…sustituyendo
• Por último se desarrolla la potencia.
Por lo tanto:
b)
En esta clase de fracciones, donde el numerador esta compuesto por otras fracciones
complejas, se reducen a simples realizando las operaciones indicadas de abajo hacia arriba
como se indica:
• Se efectúa la sustracción:
…¿Qué se hizo?
172

• Sustituyendo se tiene:
• Se efectúa la división:
• Sustituyendo se tiene:
• Se efectúa la suma:
…¿Qué se hizo?
• Se efectúa la división:
Por lo tanto:
... ¿Cómo se hizo?
173

Ejercicios 4 Secuencia 8 bloque I
1. Simplificar.
a)
b)
c) 2+
Ejercicios 5 Secuencia 8 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
Diga porque son falsas las siguientes proposiciones:
a) En las operaciones combinadas, primero se resuelven las divisiones.
b) Las potencias de números negativos son siempre negativas.
c) es una fracción compleja.
174

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Efectúe las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
g)
2. Simplifique:
a)
b)
c)
d)
3. Simplificar:
a)
b)
175

176

Secuencia de Aprendizaje 9 Bloque I
LOS NÚMEROS CON PUNTO
Se ha preguntado alguna vez ¿para qué sirven los números decimales? o ¿cómo se
caracterizan y de qué manera se pueden utilizar en su vida cotidiana?
Sabía que las partes de un entero se pueden representar por medio de las fracciones
decimales y que estas resultan de dividir la unidad en partes iguales.
El estudio de las cifras que se encuentran a la derecha del punto decimal es el propósito de
esta secuencia, al igual que en los números enteros se ampliará los conocimientos sobre
los algorítmos de las operaciones fundamentales, en este caso: adición y sustracción, para
luego aplicarlos a la solución de problemas habituales.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes :
1. Reconozcan en situaciones de la vida real la convivencia de los números racionales.
El metro
La unidad principal de longitud es el metro, que es la distancia entre dos rayitas señaladas
en una barra de platino, que se encuentra en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas
de París.
Patrón de medidas del metro (m). Unidad de longitud
177

Definición: un metro es la longitud de trayecto
recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de
1/299 792 458 de segundo.
La Oficina Internacional de Pesos y Medidas, es la
coordinadora mundial de la metrología. Está ubicada
en un suburbio de París, es la depositaria del kilogramo
patrón internacional, única unidad materializada del
Sistema Internacional de unidades (SI) que persiste.
Históricamente la metrología ha pasado por diferentes etapas; inicialmente su máxima
preocupación y objeto de estudio fue el análisis de los sistemas de pesas y medidas antiguos.
Sin embargo, desde mediados del siglo XVI el interés por la determinación de la medida del
globo terrestre y los trabajos correspondientes pusieron de manifiesto la necesidad de un
sistema de pesos y medidas universal, proceso que se vio agudizado durante la revolución
industrial y culminó con la creación de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, y la
construcción de patrones para el metro y el kilogramo en 1872. La Oficina define que su
cometido es “asegurar en todo el Mundo la uniformidad de las mediciones y su trazabilidad
al Sistema Internacional de Unidades”.
Con base en el sistema de medidas universal se utiliza frecuentemente un instrumento de
medición llamado “cinta métrica”
Las cintas métricas en su parte superior están divididas en centímetros y se representan
con números de color negro, a la vez el espacio entre cada uno de estos está dividido en 10
partes representadas con rayitas, si se traslada este contexto al conjunto numérico de los
racionales, los números marcados con el color negro son los números enteros positivos o
naturales y cada una de las rayitas entre los números representan los números decimales.
NOCIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL
Los estudiantes de una clase de Educación Física realizaron un trabajo de investigación
sobre el atletismo, entre otros datos obtuvieron los correspondientes a algunas marcas
mundiales.
Por ejemplo:
Salto de altura 2.44 metros (1989)
Salto de longitud 8.95 metros (1991)
Salto con garrocha 6.13 metros (1992)
178

Al observar los números que expresan estas marcas, es notorio que 2.44, 8.95 y 6.13, no
son números enteros.
Estos números resultan al medir la distancia total alcanzada en el salto. Desde luego, es
razonable pensar en la imposibilidad que los atletas salten siempre un número exacto de
metros. Entonces, al ver estas cantidades es necesario considerar que a la izquierda del
punto está anotado el número de metros enteros (unidades) que el atleta saltó y a la derecha
del punto la fracción del metro que contempla la medición realizada.
A las fracciones de metros que aparecen a la derecha del punto se les llama fracciones
decimales.
Fracciones Decimales
Son aquellas que tienen por denominador una potencia de 10, es decir la unidad seguida de
ceros: 10, 100, 1000,…
Ejemplos:
Para obtener una expresión decimal de una fracción se divide el numerador entre el
denominador. Recuerde que cuando se divide un número entre una potencia de 10, se
desplaza el punto decimal en el número de derecha a izquierda tantas cifras como ceros
tenga la potencia de 10.
Ejemplos:
Las expresiones decimales se usan en la vida diaria al medir o al contar en el sistema
monetario (lempiras y centavos), también se usa en cálculos de carácter científico, técnico
y comercial. Por lo tanto se requiere conocer y manejar en forma correcta los decimales en
muchas actividades de la vida cotidiana.
179

Ejercicios 1 Secuencia 9 bloque I
1. Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Qué son las fracciones decimales?
b) ¿Para qué sirve el punto decimal?
c) ¿En qué parte se localizan las cifras decimales, según la posición del punto decimal?
2. Escriba con números decimales las cantidades que se mencionan:
a) Juan pagó nueve lempiras y cincuenta centavos por un juego de escuadras.
b) La estatura de María es de un metro con sesenta y cinco centímetros.
c) La longitud de la cintura de mi hermano menor es de cero metros con sesenta
centímetros.
3. Determinar la expresión decimal de los siguientes racionales:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Para que tenga una idea de cómo se clasifican las expresiones decimales, observe el
siguiente Programa de Televisión 1 Secuencia 9 bloque I, luego discuta brevemente con
sus compañeros y compañeras acerca de los tipos de expresiones decimales.
180

Expresión decimal de una fracción
Hay dos tipos de fracciones:
Las que tienen como denominador a la unidad seguida de ceros o Fracciones Decimales.
Ejemplos:
Y las que no cumplen esta condición se llaman Fracciones Comunes.
Ejemplos:
Tanto las fracciones decimales como las fracciones comunes, se pueden expresar en la
forma decimal, dividiendo el numerador entre el denominador. Se escribe primero la parte
entera si la hay, y si no la hay, un cero y enseguida un punto decimal; después se escriben
las cifras decimales teniendo cuidado que cada una ocupe el lugar que le corresponde.
Ejemplos:
= 0.25 4 10
8
20
−20
0
Observe que al dividir el numerador entre el denominador se obtuvo dos clases de decimales:
Los exactos: tienen como residuo 0 y termina la división, por ejemplo: 0.25 .
Los periódicos: el residuo nunca se hace cero y no termina la división, ejemplo: 0.333…
181

Decimales Exactos
Son los que tienen un número limitado de cifras decimales.
Decimales Periódicos
Son aquellos en los cuales hay una cifra o un grupo de cifras que se repiten indefinidamente
y en el mismo orden, a ese grupo de cifras se les llama Período, el cual se indica con una
barra sobre las líneas que lo forman. Ejemplo: 0.333… = 0.3
Hay dos clases de decimales periódicos:
a) Periódico Puro: cuando el período comienza inmediatamente después del punto decimal.
Ejemplo: 0.333…= 0.3.
b) Periódico Mixto: cuando el período no comienza inmediatamente después del punto
decimal. Ejemplo: 0.8333… = 0.83.
Ejercicios 2 Secuencia 9 bloque I
1. Determinar la clase de número decimal (decimal exacto DE, periódica pura PP, periódica
mixta PM) que representa cada fracción.
a)
g)
b)
h)
c)
i)
d)
j)
e)
k)
f)
l)
182

Función generatriz de un decimal
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES
Para la representación de un número de objetos que integran una colección se usan los
números naturales y en algunas ocasiones los enteros; pero cuando se trata de indicar
el número de partes iguales en las cuales se divide la unidad, se utilizan los números
fraccionarios, los cuales se pueden escribir en forma decimal.
Los números decimales tienen el siguiente esquema:
1.5
Parte entera Punto decimal Parte decimal
Considérese que si una unidad se divide en diez partes iguales, cada una de ellas se llama
Décimo y se representa de la siguiente manera: 0.1
Si una de las partes obtenidas (décimos) se divide nuevamente entre 10, se obtienen otras
diez partes y cada una de ellas se llama Centésimo por ser la centésima parte de la unidad.
Su representación es: 0.01
De esta forma, dividiendo sucesivamente entre diez, se obtienen partes cada vez más
pequeñas llamadas Subórdenes, que se representan y nombran de la siguiente manera:
183

Ejemplos:
Escribir la lectura de los siguientes números decimales:
1.23 un entero veintitrés centésimas.
0.9 cero enteros nueve décimas.
Escribir los números decimales que corresponden a las siguientes lecturas:
Dos enteros trescientos sesenta y nueve milésimas 2.369
Cero entero dos diezmilésimas 0.0002
Ejercicios 3 Secuencia 9 bloque I
1. Reúnase con su compañero(a) más próximo(a) escriba las siguientes expresiones en su
cuaderno completando cada una:
a) Para representar fracciones decimales, la unidad se divide sucesivamente
entre:______________.
b) Todo número decimal consta de dos partes divididas por un punto decimal, dichas
partes son______________ y ______________.
c) Si se divide una unidad en diez, cada resultante se llama______________.
d) Y si nuevamente se dividen las partes obtenidas entre diez, el resultado representa
una fracción llamada:_________________.
Compare sus respuestas con las de otros compañeros (as), en caso de que no coincida con
ellos consulte a su docente.
2. Relacione ambas columnas trazando una línea que una el nombre de la fracción decimal
correspondiente:
1.2 un entero dos décimos.
0.75043 dos enteros, veinticinco centésimos.
2.25 cero enteros, setenta y cinco mil cuarenta y tres cienmilésimos.
0.1043 tres enteros, ciento cuarenta y cinco milésimos
3.145 mil cuarenta y tres diezmilésimos.
3. De manera individual:
Escriba el nombre correcto de cada uno de los siguientes números decimales:
a) 0.0101
b) 0.3535
c) 3.1416
d) 0.001
e) 1.100002
f) −3.002
184

Escriba con cifras las siguientes lecturas:
a) Cinco enteros, doce centésimas.
b) Cero enteros veinte millonésimas.
c) Dos enteros, diez centésimas.
d) Negativo tres enteros una diez milésima.
e) Doscientos un enteros doscientos dos cienmilésimas.
f) Cero enteros ciento un milésimas.
Relaciones de orden en las expresiones decimales
En muchas ocasiones es necesario comparar dos cantidades y esto ocurre también cuando
se utilizan los números decimales.
Al comparar dos números decimales, se determina si uno es mayor, menor o igual que el
otro; para saberlo, se puede seguir el camino que a continuación se presenta:
Comparación de cifras:
Sean 0.25 y 0.250
Se comparan las cifras comenzando por la parte entera y como se observa que son iguales,
se cotejan entonces las que ocupan el lugar de los décimos, en este caso se tiene que
ambas también son iguales, enseguida se comparan las cifras que ocupan el lugar de los
centésimos: sucede que también son iguales; además los ceros que están después de la
última cifra significativa no representan ningún cambio en la cantidad. Por lo tanto, en este
caso, ambas cantidades son iguales y se representa así:
0.25 =0.250
Véase otro caso:
Sean 0.9 y 0.38
Las cifras de la parte entera son iguales, entonces se comparan ambas cifras empezando
por los décimos; en este caso nueve es mayor que tres, por lo tanto, 0.9 es mayor que 0.38,
lo cual se representa así:
0.9 >0.38.
Si se tiene ahora:
Sean 0.2 56 y 0.2 7
La parte entera es igual, los décimos son iguales, pero en los centésimos se observa que 5
es menor que 7, entonces 0.256 es menor que 0.27. Se representa así: 0.256 < 0.27.
Otros ejemplos:
0.75 >0.69 porque 7 es mayor que 6.
0.28 0.125 porque tres es mayor que 1.
185

Para determinar si una expresión decimal es mayor, menor o igual a otra, no se toma en
cuenta la cantidad de dígitos que la componen, si no que se comparan a partir de la parte
entera, si es igual entonces se comparan después los décimos, y si también son iguales
se comparan los centésimos, hasta observar en que posición esta una cifra diferente a
otra, para determinar de ese modo como es la primera expresión decimal con respecto a la
segunda, sea mayor, menor o igual.
Ejemplos:
0.456 ,

3. Ordene de mayor a menor los siguientes grupos de números:
a) 1.2, 1.51, 1.1, 1.5, 1.8, 1.23
b) −1.32, −2.36, −2.63, −1.326, −0.21
c) 0.384, 0.002,0.096, 0.56, 1.1, 0.2, 0.37
d) 8.325, 5.235, 8.231, 7.235, 5.2
Programa de Televisión 2 Secuencia 9 bloque I
Observe el programa de televisión Cada decimal en su lugar y comente con su docente el
contenido del programa.
Redondeo de decimales
Al realizar cálculos numéricos, en muchas ocasiones se obtienen fracciones decimales que
deben incluirse como datos para otros cálculos, cuando las fracciones decimales contienen
muchas cifras, es necesario reducirlas, con el objeto de facilitar el cálculo y obtener de
manera abreviada el resultado.
El proceso de reducir una expresión decimal con un número dado de cifras a un número
específico de las mismas, se conoce con el nombre de redondeo.
El siguiente método para redondear números es muy utilizado en muchas calculadoras y
computadoras.
Reglas para redondear números
Regla 1:
Si el dígito siguiente a la cifra de aproximación pedida, es mayor o igual que 5, se suma 1 al
dígito que ocupa la posición de la aproximación pedida.
Ejemplo 1: Redondear 2.26521 a centésimas:
Entonces:
2.26521 2.27
187

Ejemplo 2: Redondear -25.3237 a milésimas:
Entonces:
−25.3237 −25.324
Regla 2:
Si el dígito siguiente a la cifra de aproximación pedida, es menor que 5, se eliminan todos
los dígitos posteriores a la cifra de aproximación pedida.
Ejemplo 1: Redondear 1.54832 a milésimas:
Entonces:
1.54832 1.548
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS DÉCIMAS
Para representar gráficamente las décimas en la recta numérica se divide cada unidad entera
en diez partes iguales, las cuales representan a las décimas de una expresión decimal.
Ejemplo 1: Graficar en la recta numérica 0.8
Como se muestra en la figura la primera unidad se dividió en 10 partes iguales, de las cuales
se tomaron 8 a partir del 0.
Ejemplo 2: Graficar en la recta numérica –2.3
Como se muestra en la figura la tercera unidad negativa se dividió en 10 partes iguales, de
las cuales se tomaron 3 a partir del –2.
188

Ejercicios 5 Secuencia 9 bloque I
1. Trabaje en forma individual para resolver los siguientes ejercicios:
a) Localice en la recta numérica los decimales que se le piden:
i. 2.3 y 1.5
ii. 2.4 y 2.9
iii. –1.6 y 0.6
b) Redondear a décimas cada expresión decimal.
i. 0.4568
ii. 1.234268
iii. 5.28149
iv. 2.35145
v. 89.5555
vi.0.12345
vii. 0.54321
c) Redondear a centésimas las expresiones decimales del inciso anterior.
d) Redondear a milésimas las expresiones decimales del inciso b.
ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Son muchas las situaciones diarias en las que se requiere realizar adiciones con decimales
para resolver problemas que tienen que ver con medidas, peso, tiempo, dinero, etcétera.
Para sumar expresiones decimales de un racional que tienen el mismo signo, se colocan los
sumandos uno debajo de otro de modo que:
1. En la parte entera las unidades queden bajo las unidades, decenas bajo decenas,
centenas bajo centenas, etc.
2. Los puntos decimales queden en la misma columna.
3. En la parte decimal, las décimas queden bajo las décimas, centésimas bajo centésimas,
milésimas bajo milésimas, etc.
4. Si algún número no tiene punto decimal, se le coloca en la parte derecha de la última cifra.
5. Si el número de cifras de la parte decimal no es igual en todos los sumandos, se igualan
con ceros si se desea.
189

6. Se comienza a sumar por la primera columna de la derecha, hasta llegar a la última
columna de la izquierda, como si se tratara de enteros, de modo que el punto decimal
del resultado, quede en columna con los demás sumandos.
7. Se le coloca al resultado final el mismo signo que tienen los sumandos.
Ejemplos: Efectuar las siguientes operaciones. (Observe que el número 5 es un entero,
entonces se le coloca el punto decimal a la derecha de él).
a) 0.12 +1.3564 +1.245 + 5 +12.4
0.1200
1.3564
1.2450
5.0000
12.4000
20.1214
Véase el siguiente problema:
La mamá de Mario quiere hacerle un traje y para ello necesita tela; para el pantalón requiere
1.10 m y para el saco 1.35 m, ¿Cuántos metros de tela necesita en total?
Datos
1.10 metros de tela para el pantalón.
1.35 metros de tela para el saco.
Proceso
Al resolver el problema con los datos proporcionados, el planteamiento sería:
1.10 + 1.35
Se solucionará como sigue:
1. Se alinean los números, uno debajo de otro de manera que en la parte entera las unidades
queden debajo de las unidades, que los décimos queden en columna, los centésimos en
otra, y así sucesivamente.
1.10
+ 1.35
2. La suma se iniciará por la columna de la derecha, tomando los lugares vacios como
ceros o si se desea completando con ceros dichos lugares, hasta llegar a la últma fila de
la izquierda, de modo que el punto decimal del resultado quede en columna con los de
los sumandos.
1.10
+ 1.35
2.45
3. Se le coloca al resultado final el signo de los sumandos. En este caso positivo 2.45
Respuesta
R/ La mamá de Mario necesita 2.45 metros de tela.
Se observa en el resultado de la suma con decimales que las unidades del mismo orden
se acomodan en forma vertical y luego se suman por columnas, del mismo modo que se
realiza con los números enteros.
190

Ejercicios 6 Secuencia 9 bloque I
1. Resuelva en su cuaderno con su compañero (a) más próximo (a) lo siguiente:
a) Explique los pasos que se siguen para la adición de decimales.
b) El sábado fui a jugar futbol al campo. Gasté en transporte L. 7.25, después del juego
me compré un refresco que costó L. 5.75 y una enchilada que me costó L.3.35.
¿Cuánto pagué en total?
2. Escriba en el paréntesis la letra que corresponda de acuerdo con el resultado correcto
de las adiciones:
a) 17.847 4.25+ 9.8+ 0.325=___________ ( )
b) 21.138 3.9+ 4.76+ 9.187=___________ ( )
c) 6.118 6.95+ 8.765+ 4.98=__________( )
d) 14.375 7.4+ 9.258+ 4.48=___________ ( )
e) 20.695 0.9+ 1.96+ 3.258=___________ ( )
3. Encuentre los datos que se le piden en el siguiente problema:
Los estudiantes de Séptimo grado participan en una carrera de relevos de 400 metros; en
la competencia se inscriben 3 equipos de 4 corredores cada uno. La tabla final muestra el
tiempo en segundos de cada corredor.
¿Cuál fue el equipo ganador?
Su docente tiene las repuestas correctas. Si tiene errores corríjalos.
4. De forma individual, resuelva en su cuaderno lo que se le pide.
En un mercado existen tres puestos de frutas y verduras. El primero vendió 5.25 kg de
frutas y 2.75 kg de verduras, el segundo 3.50 kg de fruta y 3.250 kg de verdura y el último
vendió 6.2 kg de fruta y 1.750 kg de verdura.
a) ¿Cuántos kilogramos de fruta vendieron los tres puestos?
b) ¿Cuántos kilogramos de verdura vendieron los tres puestos?
c) ¿Cuántos kilogramos de fruta y verdura vendieron los tres puestos?
191

5. Efectuar las siguientes operaciones:
a) 3.4+9.02+0.25
b) 3+12.56+1.235
c) 45.36+12.006+7.8954
d) 0.0008+0.2589+0.1+2
e) 0.1+0.01+0.001+0.0001
Sustracción de números decimales
En los números decimales también es necesario tener en cuenta la forma de realizar la
sustracción. El manejo del punto es una situación muy importante en las operaciones con
decimales. Para abordar este tema se plantea el siguiente problema.
Un trabajador tiene que colocar 12 de ladrillos en una pared, el primer día pone 2.90 .
Después de dos días de trabajo ha colocado 6.58 . ¿Cuántos metros cuadrados de
ladrillos colocó el segundo día?
Datos
2.90 colocó el primer día
6.58 después de dos días de trabajo
Proceso
La situación planteada se presenta así:
2.90 + = 6.58
trabajo del trabajo del trabajo de los
primer día segundo día dos días
Hay una adición de sumandos y se desconoce uno de ellos.
El procedimiento para encontrar la respuesta es el de la sustracción.
6.58 – 2.90 = 3.68
Trabajo de
los dos días
trabajo del
primer día
trabajo del
segundo día
Ya que la sustracción es la operación inversa de la adición.
192

Para la sustracción de expresiones decimales se coloca el sustraendo debajo del minuendo
de modo que los puntos decimales queden en columna; añadiendo ceros al minuendo o
al sustraendo para que tengan igual número de cifras decimales. Hecho lo anterior, se
procede a restar de derecha a izquierda, como si fueran números enteros y el punto decimal
se alinea con el de los demás elementos. Así:
Respuesta
El segundo día colocó 3.68
6.58
–2.90
3.68
Un caso que merece tomarse en cuenta es cuando el minuendo tiene más o menos cifras
decimales que el sustraendo.
Ejemplo 1:
45.785 – 6.2
Para realizar esta operación, se obtiene un decimal equivalente al sustraendo, agregándole
a este dos ceros a la derecha.
45.785
– 6.200
39.585
Ejemplo 2:
2.8 – 1.326
Para realizar esta operación se busca un decimal equivalente al minuendo. Por lo que se
agrega a este dos ceros a la derecha y se resta como números enteros.
2.800
– 1.326
1.474
Por otra parte, es notable el hecho de que cuando el minuendo es menor que el sustraendo,
no existe un decimal positivo que sea el resultado de la operación. En este caso se hace lo
siguiente:
Ejemplo 3:
1.426 – 2.85
Para realizar esta operación, se completa con un cero al 2.85, se coloca en el lugar del
minuendo y se procede a efectuar la sustracción como números enteros (recuerde que
números con signos diferentes, se restan los valores absolutos de sus cifras y al resultado
se le escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto).
– 2.850
+ 1.426
– 1.424
193

Ejemplo 4:
2 – 1.14
Para realizar esta operación se le coloca el punto decimal a la derecha del 2 y se le agregan
a este dos ceros a la derecha y se resta como números enteros.
2.00
– 1.14
0.86
Ejercicios 7 Secuencia 9 bloque I
1. Con su compañero(a) más próximo conteste lo que se le pide:
a) ¿Cuál es la operación inversa de la adición?
b) ¿Cuáles son los términos de la adición?
c) ¿Cuál es la operación que se realiza para obtener un sumando que falta en la suma?
2. Coloque los nombres que faltan en cada operación:
5.36 minuendo
– 2.32
3.04
5.632
– 4.233
1.399 diferencia
3. Escriba en el paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta:
a) 7.902 12.378 – 7.5 =_____________________( )
b) 15.299 23.511 – 16.97 =_____________________( )
c) 6.541 19.01 – 3.711 =_____________________( )
d) 41.991 37.002 – 29.1 =_____________________( )
e) 4.878 99.9 – 57.909 =_____________________( )
4. Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas:
a) Doña María tiene L.100.00 y realiza las siguientes compras: L.8.85 en chiles, L.12.36 en
tomates, L.6.04 en pepinos, L.45.69 en frijoles. ¿Cuánto gastó?, ¿Cuánto le quedó?
b) Juan recorrió en su bicicleta 123.56 km en 6 horas, si en la primera hora recorrió 36.99
km ¿Cuánto recorrió en las restantes 5 horas?
194

Ejercicios 8 Secuencia 9 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
1. Diga la palabra que complete cada una de las siguientes oraciones:
a) Cuando la unidad se divide en diez partes iguales, cada una de ellas se
llama________________. Si un centésimo se divide en diez partes iguales cada parte se
llama_________________. Si un milésimo se divide en diez partes iguales, cada parte
se llama:__________________.
b) El número de cifras decimales que se repiten indefinidamente se llama_____________.
c) Cuando una expresión decimal no tiene período se llama___________________
y cuando el período va inmediatamente después del punto decimal se
llama__________________________.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTOS
1. Encuentre la expresión decimal de cada fracción y clasifíquela como Exacta, Periódica
Pura o Periódica mixta:
a)
b)
c)
d)
e)
195

2. Escriba como se lee cada uno de los siguientes números decimales:
a) 1.23
b) 0.1234
c) –3.0003
d) 0.0010
e) 5.2600
f) –3.5020
3. Escriba con cifras las siguientes lecturas:
a) Tres enteros, tres milésimas.
b) Cero enteros, una diezmilésima.
c) Diez enteros, diez centésimas.
d) Negativo cinco enteros, diez diezmilésimas.
e) Trescientos un mil enteros, doscientos dos milésimas.
f) Cero enteros, ciento veintitrés diezmilésimas.
4. Redondear a décimas:
a) 0.23
b) 1.35
c) 11.26
d) 0.91
5. Redondear a milésimas:
a) 1.1235
b) 5.5555
c) 9.9999
d) 1.2353
6. Efectuar las siguientes operaciones:
a) 0.123+1.2+9.36=
b) 232.568 +564.23+789.36=
c) 56+12.58+1.59+0.01=
d) 12.58 – 10.963=
e) 66.68 – 45.6=
f) 23 – 21.9587=
g) 2.5 – 1.999=
196

7. Escriba los signos >,

198

Secuencia de Aprendizaje 10 Bloque I
ESQUIMAL Y DECIMAL NO ES LO MISMO
Se habrá dado cuenta que las actividades que realiza a lo largo del día requieren tiempo
para efectuarlas, usted recorre distancias, compra alimentos que tienen medida y precio,
asimismo, realiza otras actividades que demandan medidas y cálculos en los que necesita
la multiplicación y la división de decimales.
En primaria resolvió problemas con estas operaciones, recuerda ¿Cómo lo hacía?, pues
precisamente este es el objetivo de esta secuencia: estudiar la multiplicación, división y
potenciación de números decimales.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes :
1. Realicen operaciones básicas con números racionales.
¿Sabía que: escritura de los decimales?
Con el paso del tiempo los números decimales se han escrito de diferentes formas, por
ejemplo: en el año 1485 el número 372.43 se escribía como 372(0)4(1)3(2), donde el 0
significa la posición de las décimas , el 1 la posición de las centésimas y el 2 las
milésimas .
Esta notación se simplificó en el año 1552 eliminando la mención al orden de las cifras y
sustituyéndolo por un punto “∙” en la parte superior de las unidades 372•43, poco después
en el año 1555 se usó el punto “.” entre las unidades y las décimas: 372.43, uso que se
generalizaría hasta nuestro tiempo, aunque también la coma “,” en vez del punto: 372,43
fue usada a comienzos del siglo XVII en Europa y todavía se usa en países como España.
199

Ejercicios 1 Secuencia 10 bloque I
Intégrese a un equipo y realice lo siguiente:
1. Efectúe las siguientes operaciones.
a) 2.35+0.987+1.23
b) 9.2-8.1234
c) 10+1.235
d) 12-10.14785
e) 5.2 – (1.6 +2 )
2. Resuelva:
a) La cantidad de agua contenida en tres depósitos es de 479.012 litros. Si el primer depósito
contiene 244.938 litros y el segundo 149.982. ¿Cuántos litros tiene el tercer depósito?
b) Pedro tiene L. 5.64, Juan L. 2.37 más que Pedro y Enrique L. 1.15 más que Juan. ¿Cuánto
tienen entre los tres?
c) Tenía L.14.25 el lunes; el martes cobré L.16.89; el miércoles cobré L.97 y el jueves pagué
L.56.07. ¿Cuánto me queda?
Programa de Televisión 1 Secuencia 10 bloque I
Observe el programa de televisión Las ésimas en acción en el cual se mostrará el valor
posicional de las cifras decimales.
Multiplicación de números decimales
En la multiplicación de los números decimales se usa el mismo procedimiento que en los
números enteros, la única diferencia es la posición que le corresponde al punto decimal en
el producto.
200

Por ejemplo:
Si se multiplica 2.35 × 3, hay que considerar que esta operación se puede resolver, si
pensamos que 2.35 se suma 3 veces. Entonces se tiene:
2.35
2.35
+ 2.35
7.05
Si la multiplicación se resuelve de manera usual, queda:
2.35 ×3 factores
705 producto
Para determinar la posición del punto en el producto, se cuenta el total de cifras decimales
que tienen los factores (en este caso hay 2), lo que indica que en le producto habrá dos
cifras decimales, mismas que se cuentan de derecha a izquierda.
2 cifras decimales
2.35 × 3 ninguna cifra decimal
7.05 producto con 2 cifras decimales
Si se multiplican dos fracciones decimales, la multiplicación se efectúa de la forma usual y el
punto se coloca de acuerdo al número total de las cifras decimales que hay en los factores.
Por ejemplo:
0.123 × 2.3
0369
0246
02829
Como en los factores hay un total de 4 cifras decimales, esto indica que el producto tendrá
4 cifras decimales. Cuando hagan falta cifras se le agregan ceros a la izquierda.
3 cifras decimales
}
0.123 × 2.3 4 cifras decimales en total
0369 1 cifra decimal
0246
0.2829
Recuerde que la multiplicación es una operación binaria y si se necesita multiplicar tres o
más números decimales siempre hágalo de dos en dos.
201

Por ejemplo:
2.3 × 1.02 x 1.15
2.3 ×1.02
46
00
23
2.346 ×1.15
11730
2346
2346
2.69790
Ejercicios 2 Secuencia 10 bloque I
Con su equipo de trabajo resuelva en su cuaderno los ejercicios propuestos:
1. Efectúe las siguientes multiplicaciones:
a) 2.34 × 2.5
b) –0.345 × 16
c) 0.023 × 0.001
d) 1.999 × 0.9
e) 1.234 × 5.678
f) 2.005 × 1.2
g) 0.002 × 2.03
h) 52 × 0.52
i) 3.256 × 1.457
j) 3.45 × 10
k) 100 × 7.89
l) 3.4 × 1000
DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Uno de los significados de dividir es “repartir una cantidad” y si se requiere hacerlo con
mayor exactitud se utilizan las divisiones con decimales.
Para dividir decimales se realiza lo siguiente:
202

Ejemplo 1: Dividir 3.22 ÷ 4.6
a) Se dividen los signos.
Al dividir dos números que tienen signos positivos el resultado es positivo.
Recuerde:
+ ÷ + = +
+ ÷ – = –
– ÷ – = +
– ÷ + = –
b) Se igualan con ceros el número de cifras decimales tanto en el dividendo como en el
divisor.
3.22 ÷ 4.6
3.22 ÷ 4.60
c) Se borra el punto decimal de ambos números y los ceros de la izquierda de ambos
números (si los hay).
322 ÷ 460
d) Se divide como enteros.
0.7
460 3220
–3220
0
Por lo tanto:
3.22 ÷ 4.6 = 0.7
El cociente entre decimales no siempre es un número decimal, puede ser también un número
entero.
Ejemplo 2:
2.5 ÷ 0.005
2.500 ÷ 0.005 … igualando con ceros el dividendo y el divisor.
2500 ÷ 5 … eliminando los puntos decimales y ceros de la izquierda.
5 2500
–25 … dividiendo como enteros. Recuerde: cuando se baja
000 una cifra del dividendo y no contiene la división se
agrega cero al cociente.
Por lo tanto:
2.5 ÷ 0.005 = 500
Ejemplo 3: Dividir 2.2 ÷ 0.011 R/ 200
Observe el siguiente ejemplo:
Juan tiene L. 300.25 y los quiere repartir a sus 5 hijos de forma equitativa. ¿Cuánto le tiene
que dar a cada uno?
203

Datos:
- Juan tiene L. 300.25
- Debe repartir entre 5 hijos
Proceso
Se tiene que dividir 300.25 ÷ 5
300.25 ÷ 5
300.25 ÷ 5.00
30025 ÷ 500
500 30025
–3000
000
2500
–2500
0
Respuesta
Juan tiene que dar a cada hijo L. 60.05 (sesenta lempiras con cinco centavos).
Ejercicios 3 Secuencia 10 bloque I
Intégrese a un equipo de trabajo y resuelva lo que se le pide:
1. Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Cuándo completa con ceros al dividendo o al divisor?, ¿Estos los coloca en la parte
derecha o izquierda del número?
b) Cuando borra el punto decimal, ¿También borra los ceros de la parte izquierda o
derecha del número?
2. Realice las siguientes divisiones de números decimales:
a) 0.75 ÷ 0.3
b) 4.302 ÷ 1.8
c) 32 ÷ 0.2
d) 0.24 ÷ 3
e) 5.621 ÷ 1.01
f) 100.01 ÷ 0.001
g) 1.16 ÷ 0.2
h) 0.0045 ÷ 0.3
i) (1.05+0.5)÷2
j) (56-55.04) ÷0.06
k) 5.2x1.2÷0.04
l) 678.8÷ 10
m) 2.3÷100
n) 123.4 ÷ 1000
204

Programa de Televisión 2 Secuencia 10 bloque I
Observe el programa de televisión Los ceros mandan en el cual se le informará como
multiplicar números por la unidad seguida de ceros de una manera inmediata.
Potenciación de expresiones decimales
Recuerde que los elementos de la potenciación son: la base, el exponente y la potencia. En
el siguiente ejemplo se indican también los factores que dan origen a la potencia obtenida.
exponente
}
Base
factores
potencia
Ejemplos: Desarrollar las siguientes potencias
a)
b)
c)
d)
Recuerde:
• Todo número, excepto con exponente 0 es igual a uno.
• Todo número con exponente 1 es igual a si mismo.
205

Ejercicios 4 Secuencia 10 bloque I
1. Intégrese a un grupo de 3 compañeros(as) y encuentre el exponente, dadas la potencia
y la base:
a) 0.6 =0.36
b) 0.2 =0.04
Compare sus respuestas con otro equipo y si se equivoco corríjalo con su docente.
2. Continúe trabajando en equipo y complete los espacios en blanco del siguiente cuadro,
redondee cada resultado a centésimos:
3. Resuelva en forma individual los siguientes ejercicios:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Solución de problemas aplicando las operaciones con expresiones
decimales.
La adquisición de conocimientos matemáticos es sumamente necesario dentro de la
formación integral de toda persona. Pero es más importante saber aplicar los conocimientos
adquiridos a situaciones problemáticas que surgen a diario.
En esta sesión aplicará su capacidad para razonar, recuerde que la solución de problemas
requiere el siguiente razonamiento que debe conducir a la solución correcta.
206

Estrategia para resolver problemas:
En cuanto a los datos
1. Comprender el problema.,
• Asegurarse de entender qué es lo que se le pregunta.
• Si se puede, realizar un dibujo o esquema que ayude a comprender el enunciado.
• Identificar los datos.
En cuanto al proceso
2. Planear la solución
• Pensar las condiciones del problema y buscar una estrategia que ayude a solucionarlo
• Escoger las operaciones que debe utilizar.
3. Ejecutar el plan
• Resolver las operaciones en el orden establecido
En cuanto a la respuesta
4. Revisar y reflexionar sobre la solución.
• Verificar si se ha respondido lo que se ha preguntado
• Verificar si hay más de una solución
• Escribir la respuesta.
Analice la solución de los siguientes problemas.
1. Juan, Pedro y Mario quieren viajar de Tegucigalpa a Comayagua, para representar a su
CEB en una Olimpiada de Matemáticas, si el costo del autobús es de L. 27.50. ¿Cuánto
costarán los tres pasajes?, si pagan con un billete de L. 100.00, ¿Cuánto recibirán de
vuelto?
Datos
El costo del pasaje por persona es de L. 27.50.
Son 3 pasajeros.
Pagarán con un billete de L. 100.00.
Proceso
La operación que se percibe es sumar el costo de cada pasaje o multiplicar por tres dicho
costo, para encontrar el precio total y después restar esta cantidad de cien lempiras para
saber el dinero devuelto.
27.50 x 3 = 82.50 costo de los tres pasajes.
costo de número de pasajes pasajes por persona.
Restar 82.50 de 100.00 lempiras para saber el dinero devuelto.
100.00 cantidad con la que se pagaron los tres pasajes.
– 82.50 costo de los tres pasajes.
17.50 dinero devuelto.
Respuesta
Los pasajes de Juan, Pedro y Mario costarán L. 82.50
El dinero que recibirán de vuelto es de L. 17.50
207

2. En el municipio de Opatoro, del departamento de La Paz. José Juan tiene un terreno
rectángular de 32.45 metros (m) de largo por 28.63 m de ancho. ¿Cúal es el área que
cubre ese terreno?.
Datos
Área
28.63 m de ancho.
32.45 m de largo
Proceso
Recuerde que para calcular el área de un rectángulo se multiplica la base del rectángulo
(en este caso 32.45) por la altura (28.63).
Entonces:
base x altura = 32.45 × 28.63 = 929.04
Respuesta
El área del terreno de José Juan es de 929.04
3. María y Fernando, interesados en cuidar el bosque de su comunidad, decidieron
reforestarlo plantando árboles. En un vivero que ofrece precio de mayoreo al comprar 3
o más artículos, se anuncia:
Menudeo (menos de tres) L. 40.00 cada árbol.
Mayoreo (3 o más) L. 33.63 cada árbol.
María y Fernando desean aprovechar el precio de mayoreo. Sí tienen L. 300.00 ¿Cuántos
árboles pueden comprar?
208

Datos
Tienen L. 300.00
Quieren aprovechar el precio de L. 33.63 cada árbol.
Proceso
Como se puede observar es necesario dividir la cantidad que tienen María y Fernando
(L.300.00) entre el costo de mayoreo de cada árbol (L. 33.63), es decir:
300.00 ÷ 33.63
30000 ÷ 3363
3363 30000
–26904
3096
El cociente 8, indica el número de árboles que se puede comprar, y el residuo 3096, la
cantidad de dinero que le sobra L. 30.96, que es insuficiente para adquirir otro árbol.
Lo anterior se puede comprobar multiplicando el costo de mayoreo de un árbol (L. 33.63) por
el cociente de la división (8) y agregando el residuo (L. 30.96)
Respuesta
33.63 × 8
269.04
+ 30.96
300.00
Estas operaciones confirman que con L. 300.00, María y Fernando pueden comprar 8
árboles y sobra L. 30.96.
209

Ejercicios 5 Secuencia 10 bloque I
Intégrese a su equipo de trabajo para resolver los siguientes problemas:
1. El costo del pasaje de un bus cuesta L. 7.50, por lo tanto:
12 pasajes cuestan ___________
10 pasajes cuestan____________
2. Doce confites cuestan L. 3.00, entonces:
El costo de 1 confite es de ______________
El costo de 20 confites es de _____________
3. Con la siguiente tabla de precios:
Resuelva los siguientes problemas:
Artículos
Precios por unidad
Camiseta L. 36.50
Gorra L. 65.68
Collar L. 29.00
Par de aritos L. 16.30
a) Se compran 2 camisetas, media docena de gorras y un collar, si se paga con dos
billetes de L.500.00. ¿Cuánto dinero recibe de regreso?
b) Una clienta compra media docena de pares aritos y le cobraron L. 96.00.
¿Cuánto le han rebajado al precio de cada par de aritos?
Revise sus respuestas con las que obtuvieron los integrantes de otro equipo. Si no
corresponden, consulte con su docente para rectificar y corregir donde se requiera.
Ejercicios 6 Secuencia 10 bloque I
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
210

EJERCICIOS VERBALES
1. Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Hacia dónde se corre el punto decimal en el producto, cuando intervienen decimales?
b) ¿Cómo se procede cuando al contar los dígitos decimales de los factores y del
producto, estos no alcanzan para poder correr el punto decimal?
2. En la estrategia para resolver problemas hay tres etapas: datos, proceso y respuesta.
Comente con sus compañeros las actividades que debe tomar en cuenta en cada una
de ellas.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Efectué las siguientes multiplicaciones:
a) 2.035 × 1.6
b) 1.001 × 2.23
c) 36.658 × 6.025
d) 2 × 2.035
e) 4.561 × 3
2. Efectué las siguientes divisiones:
a) 0.3 ÷ 0.75
b) 5 ÷ 0.5
c) 0.64 ÷ 16
d) 0.81 ÷ 0.27
e) 0.1284 ÷ 0.4
3. Desarrollar las siguientes potencias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Con el mismo equipo de trabajo, resuelva en su cuaderno los siguientes problemas
siguiendo la estrategia de solución de problemas:
a) Si un rollo de tela tiene 25.42 m, ¿Cuántos metros hay en 25 rollos?
b) Una persona camina 0.2 km/min ¿Cuánto camina en una hora?
c) Una mesa tiene 2.3 dm de ancho por 3.1 dm de largo. ¿Cuál es su área?
211

212

Secuencia de Aprendizaje 11 Bloque I
¡QUÉ PUNTERÍA!
Son muchas las situaciones diarias en las que se requiere realizar adiciones, sustracciones,
multiplicaciones y divisiones con decimales para resolver problemas que tienen que ver
con: medidas, pesos, tiempo, dinero, etcétera. En este sentido el manejo del punto es muy
importante en cada una de las operaciones.
Por lo tanto lo aprendido en la escuela es de gran utilidad para resolver problemas que la
realidad nos plantea, su capacidad será constantemente evaluada por los problemas que a
diario enfrentará, tenga presente lo aprendido en las sesiones anteriores, para resolver los
siguientes cuestionamientos planteados en esta secuencia: propiedades de las operaciones
con decimales, operaciones combinadas con números decimales, signos de agrupación y
también se estudiará la notación científica.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Utilicen los números decimales en la solución de problemas de la vida diaria.
Producto y cociente de decimales por potencias de diez
El producto de decimales por potencias de 10 se puede obtener sin necesidad de llevar a
cabo el algoritmo ya conocido de la multiplicación.
Las potencias de diez son
ceros como lo indique el exponente)
, etcétera (la unidad seguida de
Obsérvese los siguientes productos donde uno de los factores es un número decimal y el
otro una potencia de 10.
a) 2.345 × 10 b) 1.635 × 100 c) 0.32425 × 1000
23.450 163.500 324.25000
213

Al comparar el multiplicando con su producto, sin considerar los ceros de la derecha, se tiene:
a) Multiplicando: 2.345
Producto: 23.45
b) Multiplicando: 1.635
Producto: 163.5
c) Multiplicando: 0.32425
Producto: 324.25
Nótese que cada producto, en relación con el factor decimal correspondiente tiene las
mismas cifras, pero la colocación del punto decimal es diferente.
En el producto a) el punto decimal se movió un lugar a la derecha respecto al número
decimal multiplicado por 10.
2.345
23.45
En el producto b) el punto decimal se movió dos lugares a la derecha respecto al número
decimal multiplicado por 100
1.635
163.5
En el producto c) el punto decimal se movió tres lugares a la derecha respecto al número
decimal multiplicado por 1000
0.32425
324.25
Ejemplos:
a) 2.45347 × 10 000 = 24534.7
El punto se mueve 4 lugares a la derecha porque 10 000 tiene 4 ceros.
b) 56.6363646 × 100 000 = 5663636.46
El punto se mueve 5 lugares a la derecha porque 100 000 tiene 5 ceros.
En algunos casos es necesario añadir ceros para colocar el punto decimal en el lugar
correcto.
Ejemplo:
a) 1.36 × 1000 = 1360
Al considerar que la división es la operación inversa de la multiplicación, resulta natural
pensar que si al multiplicar un decimal por una potencia de 10 el punto se habrá de mover
a la derecha; al dividir un decimal entre una potencia de 10, el punto se habrá de mover a
la izquierda.
Ejemplos:
a) 23.45 ÷ 10 = 2.345
En el cociente el punto decimal se movió un lugar a la izquierda respecto al dividendo, ya
que el divisor 10 tiene 1 cero.
214

) 149.8 ÷ 100 = 1.498
En el cociente el punto decimal se movió dos lugares a la izquierda respecto al dividendo,
ya que el divisor 100 tiene 2 ceros.
726.8 ÷ 1000 = 0.7268
En el cociente el punto decimal se movió tres lugares a la izquierda respecto al dividendo,
ya que el divisor 1000 tiene 3 ceros.
En algunos casos es necesario agregar ceros a la izquierda para colocar el punto decimal
en el lugar correcto.
Ejemplo:
1.36 ÷ 1000 = 0.00136
El punto decimal se mueva 3 lugares a la izquierda porque 1000 tiene tres ceros (obsérvese
que se colocaron 3 ceros a la izquierda del dividendo para poder colocar el punto decimal)
Ejercicios 1 Secuencia 11 bloque I
Integre un equipo de trabajo y resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios:
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a) 5 + 0.25
b) 1.25 – 0.654
c) 8 – 2.36
d) 12.3 × 0.12
e) 0.45 ÷ 0.3
f)
2. Multiplicar por potencia de 10
Recuerde que para multiplicar
por una potencia de 10, basta
con correr el punto decimal
hacia la derecha tantos
lugares como ceros tenga la
potencia, si es necesario se
agregan ceros.
215

3. Dividir por potencia de 10
Recuerde que para dividir
un número decimal por una
potencia de 10, basta con
correr el punto decimal hacia
la izquierda tantos lugares
como ceros tenga la potencia
de 10 , si es necesario se
agregan ceros.
4. Resuelva el siguiente problema:
Un litro de aceite pesa 0.92 kg. Calcule:
a) El peso de 8 envases de aceite de 10 litros cada uno.
b) Los litros de aceite que contiene un envase que pesa 23 kg.
Propiedades de la adición de números decimales
Recuerde que las expresiones decimales también son números racionales porque se
obtienen de dividir el numerador entre el denominador de una fracción. Por lo tanto, poseen
las mismas propiedades que estos.
PROPIEDAD CONMUTATIVA Y ASOCIATIVA EN LA ADICIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Propiedad Conmutativa
Esta propiedad afirma que: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
Ejemplo1:
Si a = 3.1, b = 1.5
Verificación:
a + b = b + a
3.1 + 1.5 = 1.5 + 3.1
4.6 = 4.6 Se cumple la Propiedad Conmutativa.
216

Ejemplo 2:
Si a = –2.54, b = 1.6
Verificación:
a +b = b + a
–2.54 + 1.6 = 1.6 + (- 2.54)
–0.94 = –0.94 Se cumple la Propiedad Conmutativa.
Propiedad Asociativa
Esta propiedad afirma que: se pueden asociar los sumandos en la forma que se desee
sin alterar el resultado.
Ejemplo 1:
Si a = 3.1, b = - 4.3, c = 7.2
Verificación:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3.1 + ( - 4.3 + 7.2 ) = [ 3.1 + ( –4.3 )] + 7.2
3.1 + ( - 4.3 + 7.2 ) = [ 3.1 + ( –4.3 )] + 7.2
3.1 +(+ 2.9) = (3.1 – 4.3)+ 7.2
3.1 + 2.9 = –1.2 + 7.2
6.0 = 6.0 Se cumple la Propiedad Asociativa.
Ejemplo 2:
Si a = –0.6, b = –0.5, c = –0.2
Verificación:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
–0.6 + [–0.5 + ( –0.2)] = [–0.6 +( –0.5 )] + ( –0.2 )
–0.6 + (–0.5 –0.2) = (–0.6 –0.5 ) –0.2
–0.6 + (–0.7) = –0.11 + ( –0.2 )
–0.13 = –1.3 Se cumple la Propiedad Asociativa.
PROPIEDAD CONMUTATIVA Y ASOCIATIVA EN LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
DECIMALES.
Propiedad Conmutativa
Esta propiedad afirma que: el orden de los factores no altera el producto.
217

Ejemplo 1:
a = 10.5, b = 1.12
Verificación:
ab = ba
(10.5)(1.12) = (1.12)(10.5)
11.76 = 11.76 Se cumple la Propiedad Conmutativa
Propiedad Asociativa
Esta propiedad afirma que: el orden en que se asocien los factores, no altera el producto.
Ejemplo 1:
Si a = 1.2, b = 3.6, c = 2.5
Verificación:
a(bc) = (ab)c
1.2(3.6 × 2.5) = (1.2 × 3.6)(2.5)
1.2 × 9 = 4.32(2.5)
10.8 = 10.8
Ejercicios 2 Secuencia 11 bloque I
Desarrolle en su cuaderno de manera individual cada ejercicio y compare sus repuestas con
el (la) compañero (a) más próximo y en caso de error corrija.
Verificar si la Propiedad Conmutativa con respecto a la adición y la multiplicación se cumple
con cada uno de los siguientes valores:
1. a= 0.01, b = 1.02
2. a = 9.6, b = –3.2
Verificar si la Propiedad Asociativa con respecto a la adición y la multiplicación se cumple
con cada uno de los siguientes valores:
1. A = 0.01, b = 0.02, c = 0.1
2. A = 1.11, b = –1.1, c = –0.2
Programa de Televisión 1 Secuencia 11 bloque I
Atienda el programa de televisión No es complicado que le informará sobre el orden en que
se deben desarrollar las operaciones combinadas con decimales.
218

Operaciones combinadas con números decimales
Muchas veces el trabajo de un mago deja sorprendido a los espectadores gracias a sus trucos,
o usted ha visto que algunas personas realizan mentalmente operaciones Matemáticas
en apariencia complicadas, pero cuando se descubren en que consisten “ los trucos” o
estrategias que se aplican, ya no es tan sorprendente su habilidad. Para desarrollar esas
habilidades, se requiere de práctica, por lo que en esta sesión se estudiará como efectuar
operaciones combinadas con decimales.
Recuerde que el orden de las operaciones que debe tenerse en cuenta es el siguiente:
1. Primero las potencias y raíces.
2. Segundo las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha.
3. Por último las sumas o restas.
Ejemplo 1: Simplificar:
a)
0.1 × 0.1 = 0.01 … desarrollando la potencia
b) 0.01 + 1.03 × 2 ÷ 0.2 =
1.03 × 2 = 2.06 … efectuando la multiplicación
c) 0.01 + 2.06 ÷ 0.2 =
2.06 ÷ 0.2 = 10.3 …efectuando la división
d) 0.01 + 10.3 =
0.01
+ 10.3
10.31 … efectuando la adición
Por lo tanto: 10.31
Ejemplo 2: Simplificar:
219

a) Se resuelve primero las operaciones indicadas en el numerador.
i. (8.006+0.452+0.15)÷0.1
8.006
0.452
+ 0.15
8.608 …efectuando primero las operaciones de los paréntesis,
ii. 8.608 ÷ 0.1
8.608 ÷ 0.100
8608 ÷ 100 = 86.08 …efectuando la división,
Por lo tanto:
b) Se efectúan las operaciones indicadas en el numerador.
i.
×
8.0
– 0.1
7.9
+0.32
8.22 … efectuando primero las operaciones de los paréntesis.
ii. 8.22 × 4 = 32.88
…efectuando la multiplicación.
Por lo tanto:
×
c) Se divide el resultado del numerador entre el resultado del denominador.
86.08 ÷ 32.88
8608 ÷ 3288 = 2.61
Por lo tanto:
×
2.61
220

Ejercicios 3 Secuencia 11 bloque I
Simplificar:
a)
b)
c)
d) 2 × 0.9 ÷ 0.3 + 0.1 × 0.2 – 0.01
e)
f)
g)
h)
Signos de agrupación con números decimales ( ),[ ],{ }
Un docente delante de su clase de Matemáticas sin decir palabra tomo un frasco grande
y vacío de mayonesa, procedió a llenarlo con piedras medianas, luego les preguntó a sus
estudiantes si el frasco estaba lleno. Los estudiantes estuvieron de acuerdo en decir que sí.
Así que el docente tomo una caja llena de canicas y la vació dentro del frasco de mayonesa
y las canicas llenaron los espacios vacíos entre las piedras.
El docente volvió a preguntar a los estudiantes si el frasco estaba lleno, ellos volvieron a
decir que si. Luego el docente tomo una caja con arena y la vació dentro del frasco.
Por supuesto, la arena lleno todos los espacios vacíos, así que el docente preguntó
nuevamente si el frasco estaba lleno.
En esta ocasión los estudiantes respondieron con un ‘si’ unánime. El docente enseguida
agrego 2 tazas de café al contenido del frasco y efectivamente llenó todos los espacios
vacíos entre la arena.
Se puede observar que cada elemento ocupa su propio espacio y dependiendo de cómo se
vierta se logrará un óptimo resultado.
221

Así es también en la solución de ejercicios con signos de agrupación y para lograr un
resultado exacto se debe seguir la siguiente indicación:
a) Empezar a efectuar las operaciones que están ubicadas entre el signo de agrupación
que está en la parte central del ejercicio, tomando en cuenta el orden de las
operaciones cuando estén combinadas.
b) Cuando entre un número y el signo de agrupación no está el signo + ó el signo –, la
operación indicada es una multiplicación.
Ejemplo 1: simplificar.
0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1}
0.3
+ 0.5
0.8 …sumando lo que está entre los paréntesis.
0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.8)] +0.1}
2.0
– 0.8
1.2 …restando lo que está entre los corchetes,
0.2 + {1.3 – 0.1 [1.2] +0.1}
0.1 × 1.2
0.12 …efectuando primero la multiplicación de las
operaciones entre las llaves.
0.2 + {1.3 – 0.12 +0.1}
1.30
– 0.12
1.18
+ 0.1
1.28 …efectuando las operaciones entre las llaves.
0.2 + {1.28}
0.2
+ 1.28
1.48
Por lo tanto:
0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1} = 1.48
222

Ejemplo 2:
2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0.1[ 5 – 3.6 –1.4] -1} –0.36) +0.01
5.0
– 3.6
1.4
– 1.4
0.0 …efectuando las operaciones entre los corchetes.
2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0.1[ 0] –1} –0.36) +0.01
0.1 x 0 = 0 …propiedad del elemento absorvente: todo número
multiplicado por cero el producto es cero.
2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0 -1} –0.36) +0.01
3.4
– 1.0
2.4 …restando lo que está entre llaves.
2.5 ( 0.36 – { 2.4} –0.36) +0.01
– 2.40
+0.36
– 2.04
– 0.36
– 2.40 …efectuando las operaciones entre los paréntesis.
2.5 ( –2.4) +0.01
2.5 × (–2.4)
–6.00 …efectuando la multiplicación.
–6.00 +0.01 = –5.99
Por lo tanto:
2.5 ( 0.36 – { 3.4 + 0.1[ 5 – 3.6 –1.4] –1} –0.36) +0.01 = –5.99
223

Ejercicios 4 Secuencia 11 bloque I
1. Simplifique:
a) 0.1 + {3.3 – 0.1 [1.2 – (0.3 + 0.3)]} +0.101
b) 2 {10 – 0.1 [0.1 – (0.1 + 0.01)] +0.1}
c) 3.4 ( 2.25 – { 32.1 + 1.1[ 5 – 1.6 +1.4] -1} +0.66) -0.01
d) 2.2 + ( 2.2 – { 2.2 + 2.2[ 32.2 -1.4] -2.2} -2.2) +1.4
e) 56.65 + [ 23.54 –(25.85 +12.96) +58] -85.12
f) (2.3 × 0.1 + 1) × (1 – 0.54)
g) 10 {0.10 + (10 + [10 – 0.9] -10) +0.10} -0.10
h) [(20 + 4) × 5 – 8] × (11 – 1)
i) 4 × [(7 × 3) – (5 – 3)] + (9 – 5) × 4 – (5 × 3)
Programa de Televisión 2 Secuencia 11
Preste atención al programa de televisión Los decimales aplican ya que en el encontrará
información que le ayudará comprender una de las aplicaciones de los decimales.
Ejercicios 5 Secuencia II Bloque I
EJERCICIOS VERBALES
1. Con base en lo observado en el programa de televisión, diga la palabra o palabras que
completen cada oración.
a) La _______________________ se utiliza para escribir números muy grandes o
números muy_____________________.
b) Si se le agrega un cero a un número entero, este es________ veces más grande.
224

2. Mencione algunos ejemplos en los que se utiliza la notación científica.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Representa en notación científica cada situación.
a) La campana más grande del mundo pesa: 195,000 kg __________________________
b) El peso estimado de una molécula de oxigeno es 0.000000000000000000000053
gramos.______________________________
2. Escriba los siguientes números en notación científica.
a) 15.708
b) 0.00023
c) 0.03
d) 234.2
e) 4.256
3. Simplifique:
a)
b) 3.1 + {0.3 – 0.1 [1.25 – (0.6 + 0.6)] +0.23}
c) (0.2 × 0.1 -0.3) × (0.5 – 0.54)
d) 1.2 {0.10 + (1.2 + [10 – 0.8] -10) -1.2} -0.2
225

226

Secuencia de Aprendizaje 12 Bloque I
VALORANDO LO QUE APRENDO
Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad
le plantea, su capacidad se encontrará constantemente evaluada por los problemas que a
diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este primer bloque: Números
y Operaciones. En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes
de esos conocimientos.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que las y los estudiantes:
1. Establecen procedimientos para efectuar las operaciones matemáticas con números
racionales.
2. Resuelven problemas de la vida cotidiana aplicando las razones y proporciones.
Adición y sustracción de números racionales
Para realizar estas operaciones existen dos “reglas” muy importantes que dependen del
signo que tengan los números, observe los siguientes recuadros:
227

Ejemplo 1:
Efectuar: –10 – 234 – 16 – 2
Solución: –10 – 234 – 16 – 2 = –(+10 + 234 + 16 + 2) = –262.
–10
–234
–16
–2
–262
Ejemplo 2:
Efectuar: (–18) + (+12)
Solución:
Son signos diferentes, se restan los valores absolutos de los números.
(–18) + (12) = │–18│ – │+12│= 18 – 12 = 6
El signo del resultado es negativo (–), porque │–18│ >│+12│ y 18 tiene signo –.
Entonces: (–18) + (+12) = –6.
Ejemplo 3:
Efectuar:
Solución:
………Simplificando las fracciones, paso 1.
m.c.m.(2,8,5) = 2 × 2 × 2×5 = 40 ....….. m.c.m. de los denominadores paso 2.
…….Aplicando el paso 3.
Por lo tanto:
…… aplicando paso 4.
Ejemplo 4:
Efectuar: 2.8 – 1.325
228

Solución:
2.800 se completa con ceros el término con menos cifras decimales y
– 1.325 luego se restan como números enteros.
1.475
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para realizar la multiplicación de enteros también existen dos “reglas” muy importantes que
dependen del signo que tengan los números, observe los siguientes recuadros:
Ejemplo 1:
1) Efectuar: (–2 ) ( –4 ) =
Solución:
(–2 ) ( –4 ) = + … ambos factores son negativos.
(–2 ) ( –4 ) = +8
Ejemplo 2:
Efectuar: (10) (–8) =
Solución:
( 10 ) ( –8 ) = – … los factores tiene signos contrarios.
( 10 ) ( –8 ) = –80
Ejemplo 3:
Efectuar:
Solución:
……….simplificando cada fracción, paso 1.
……….multiplicando numeradores y denominadores, pasos 2 y 3.
………simplificando la fracción resultante, paso 4.
229

Ejemplo 4:
Efectuar: 0.123 × 2.3
Solución:
3 cifras decimales
0.123 × 2.3 4 cifras decimales en total
0369 1 cifra decimal
+ 0246
0.2829
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
La división no es la excepción, también existen dos “reglas” muy importantes que dependen
del signo que tengan los números, observe los siguientes recuadros:
Ejemplo 1:
Efectuar: (–8) ÷ (–4) =
Solución:
(–8 ) ÷ ( –4 ) = + … ambos términos son negativos.
(–8 ) ÷ ( –4 ) = +2
Ejemplo 2:
Efectuar: (10 ) ÷ ( –2 ) =
Solución:
( 10 ) ÷ ( –2 )= – … los términos tiene signos contrarios.
( 10 ) ÷ ( –2 ) = –5
230

Ejemplo 3:
Efectuar:
Solución:
Ejemplo 4:
Efectuar: 2.5 ÷ 0.005
Solución:
2.500 ÷ 0.005 … igualando con ceros el dividendo y el divisor.
2500 ÷ 5 … eliminando los puntos decimales y ceros de la izquierda.
2500 5
–25 500 … dividiendo como enteros. Recuerde: cuando se baja
000 una cifra del dividendo y no contiene la división se
agrega cero al cociente.
Por lo tanto:
2.5 ÷ 0.005 = 500
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
El factor –4 se repite tres veces. El factor que se repite se denomina base, el número de
veces que se repite se denomina exponente y el resultado se llama potencia.
exponente
( –4 )³ = –64 potencia
base
231

Ejemplo 1:
Desarrollar: (–4)³
Solución:
(-4)³ = (–4)(–4)(–4) = –64
Ejemplo 2:
Desarrollar:
Solución:
exponente
potencia
base
Ejemplo 3:
Desarrollar:
Solución:
RADICACIÓN EN LOS RACIONALES
La radicación es la operación inversa de la potenciación y con los número naturales estudió
ampliamente la raíz cuadrada.
= 4 porque 4 × 4 = 16
= 8 porque 8 × 8 = 64
¿Qué pasa si trata de encontrar ?, no hay ningún número que multiplicado por si
mismo dos veces de −16; porque (+4)(+4)=16
(−4)(−4) = 16
Por lo tanto la raíz cuadrada de números negativos no está definida en los enteros.
Ejemplo 1:
Hallar
Solución:
2 porque
Ejemplo 2:
Hallar
232

Solución:
−1
porque
Ejemplo 3:
Simplificar:
Solución:
…se aplicó la propiedad de cociente de raíces.
Por lo tanto
OPERACIONES COMBINADAS
Con el fin de reducir el número de paréntesis en las expresiones aritméticas y para evitar
ambigüedades se establece el siguiente orden de las operaciones.
1° Se calculan las potencias y raíces.
2° Se realizan las multiplicaciones o divisiones, la primera de izquierda a derecha.
3° Se realizan las sumas y restas.
Ejemplo 1:
Resolver: 20 ÷ ( −4 )( 5 ) + ( −2 )²( 3 )( −2 )
Solución:
20 ÷ ( −4 )( 5 ) + ( +4 )( 3 )( −2 ) ………… Primero potencias.
(−5 )( 5 ) + ( +12 )( −2 )
( −25) + ( −24 ) …….……………Segundo multiplicaciones o divisiones
primera de izquierda a derecha.
−49
…………………..………Sumas o restas.
Ejemplo 2:
Efectuar y simplificar:
Solución:
… se encontró la raíz cuadrada.
… se efetuó la multiplicación.
233

… sumas y restas
Ejemplo 3:
Simplificar:
a)
… desarrollando la potencia.
b) 0.01 + 1.03 × 2 ÷ 0.2 =
1.03 × 2 = 2.06 … efectuando la multiplicación.
c) 0.01 + 2.06 ÷ 0.2 =
2.06 ÷ 0.2 = 10.3 … efectuando la división.
d) 0.01 + 10.3 =
0.01
+10.3
10.31 … efectuando la adición.
Por lo tanto: 10.3
SIGNOS DE AGRUPACIÓN ( ), [ ], { }
( ) paréntesis
[ ] Corchetes
{ } llaves
Ejemplo 1:
Suprimir los signos de agrupación y efectuar las operaciones indicadas en:
5{ 2+ [6 + 7 –8 – ( 2 – 10 ) ] – 5 }
Solución:
5{ 2+ [6 + 7 –8 – ( – 8 ) ] – 5 } ………. efectuamos la operación del paréntesis.
5{ 2+ [6 + 7 – 8 + 8 ] – 5 } ………. suprimimos el paréntesis.
5{ 2+ [ +13 ] – 5 } ………. efectuamos la operación de los corchetes.
5{ 2 +13 – 5 } ………. suprimimos los corchetes.
5{10 } ………. efectuamos la operación de las llaves.
+ 50 ………. suprimimos las llaves.
234

Ejemplo 2:
Simplificar:
Solución:
v. Primero se resolverá la sustracción indicada en los paréntesis
…sustituimos
en el paréntesis.
vi. Ahora se resolverá la multiplicación indicada en los corchetes.
…sustituimos
en los corchetes.
vii. Ahora se resolverá la sustracción indicada en las llaves.
…sustituyendo
en las llaves.
viii. Por último las operaciones indicadas.
Por lo tanto:
Ejemplo 3:
Simplificar: 0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1}
Solución:
0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1}
0.3
+ 0.5
0.8 …sumando lo que está entre los paréntesis.
235

0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.8)] +0.1}
2.0
– 0.8
1.2 …restando lo que está entre los corchetes.
0.2 + {1.3 – 0.1 [1.2] +0.1}
0.1 × 0.2
0.12 …efectuando primero la multiplicación de las
operaciones entre las llaves.
0.2 + {1.3 – 0.12 +0.1}
1.30
- 0.12
1.18
+ 0.1
1.28 …efectuando las operaciones entre las llaves.
0.2 + {1.28}
0.2
+ 1.28
1.48
Por lo tanto:
0.2 + {1.3 – 0.1 [2 – (0.3 + 0.5)] +0.1} = 1.48
Ejercicios 1 Secuencia 12 bloque I
1) Efectúe las siguientes operaciones:
a) –23+(–15)+(–10)=
b) (–12) +(–22) =
c) 8+20+12 =
d) 5/4+ 3/4+ (–9/4)
e) 2 + 12/8
f) 2/3+ 1/2 –3/4
g) 0.3+0.8+(–3.5)
h) –32.2+1.5+6.2
i) –6.42 + 14.2 – 129.63 + 3
236

2) Desarrolle las siguientes multiplicaciones, simplifique las respuestas si es posible
(recuerde que los paréntesis también indican multiplicación):
a) 325 × 890
b) (3)(–8)(–4)
c) (–1)(–1)(–1)(–2)
d)
e)
f)
g) 12.2(–0.025)
h) 0.01 × 0.1 × 2
i) 4.5 × 100
3) Desarrolle las siguientes divisiones, simplifique las respuestas si es posible:
a) –128 ÷ 2
b) –10 ÷ –10
c)
d)
e) 93.99 ÷ 6.9
f) –10.24 ÷ 16
4) Desarrolle cada una de las siguientes potencias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
5) Calcule las siguientes raíces:
a)
b)
1
16
c)
25
25
237

6) Realice los siguientes ejercicios:
a) 3² – 8 ÷ 2³ × 2 + 2² ÷ 2 × 2 - 3²
b) – 20 +( 1³)(2²)(3) ÷ 12 – 16 (- 2 )² + 20
c)
1
2
2
÷
5 3 5
+ ×
4 5 9
2
d)
2
4
4 1 3
× + 1 ÷
16 2 2
e) 0.2+0.02 ÷0.2 × 0.1-0.2
7) Simplifique:
a) 10 + { 10 + 10 [ 10 – 2 ( 10 – 10 ) ] – 10 }
b) 3 { 6 ( 3 – 4 [ 9 – 16 ] ) -3}
c) 4 – 2 ( 20 – 12 [ 16 – 36 { 32 – 28 ( 4 – 12 ) + 4 } -10 ] )
8) Resuelva:
a) Una persona invierte 26,733 lempiras en comprar un lote de artículos que cuesta 67
lempiras la unidad. ¿Cuántos artículos compró?.
b) Dos niños recolectan conchitas de caracoles en la playa, juntan 325 conchitas que
deciden guardar en cajas; para ello disponen de 8 cajas. ¿Podrán colocar igual
cantidad de conchitas en todas las cajas?; si / no ¿Cuántas conchitas sobrarían?
c) ¿Cuál es la longitud de una pieza de tela si los ¾ de ella son 72 metros?
d) De un tonel se sacaron sucesivamente 28 ½ y 34 ½ y quedaron todavía 25 ½
¿Cuánto contenía el tonel?
238

Cuando se cursa el Séptimo grado de educación básica, ya se ha estudiado Aritmética en
todos los años anteriores de vida escolar.
En el bloque II conocerá otra rama de las Matemáticas que se denomina Álgebra y que es
considerada como una generalización y extensión de la Aritmética.
El Álgebra emplea el conocimiento y uso de los números, así como un lenguaje simbólico
que se emplea en la resolución de problemas para representar cantidades desconocidas.
La palabra Álgebra proviene del árabe, se origina en el vocablo alchebr que significa reducción.
Una forma de definir esta rama de las Matemáticas es:
Álgebra es una parte de las Matemáticas cuyo objetivo es simplificar las cuestiones relativas
a los números.

EXPECTATIVAS DE LOGRO
1. Desarrollan el concepto de variables y expresiones algebraicas.
2. Usan el lenguaje algebraico para formalizar matemáticamente frases de la vida real.
3. Reconocen la aplicabilidad de las ecuaciones lineales en situaciones de la vida real.
4. Resuelven ecuaciones lineales en una variable.
5. Desarrollan el concepto de la razón de dos números.
6. Desarrollan el concepto de proporcionalidad.
7. Distinguen la proporcionalidad directa e indirecta.
8. Resuelven problemas que involucran proporcionalidad aplicando la regla de tres.
CONTENIDOS
▪ Variables y expresiones.
» Lenguaje algebraico.
» Aplicación del lenguaje algebraico.
» Constante, variable y término algebraico.
» Expresiones algebraicas.
» Términos semejantes.
» Expresión reducida.
» Valor numérico de expresiones algebraicas.
▪
▪
Ecuaciones lineales en una variable.
» Propiedades de la igualdad.
» Ecuaciones lineales.
» Solución de ecuaciones lineales de la forma (x±a=b).
» Solución de ecuaciones lineales de la forma (ax=b).
» Solución de ecuaciones lineales de la forma (ax+b=cx+d)
» Ecuaciones con denominadores.
» Ecuaciones con paréntesis.
» Aplicación de las ecuaciones.
Razón, Proporcionalidad y Porcentaje.
» Razones.
» Proporciones.
» Variación proporcional.
» Variación directamente proporcional.
» Aplicaciones de la proporcionalidad.
» Tanto por ciento de una cantidad.
» Aplicaciones del tanto por ciento.
240

Secuencia de Aprendizaje 1 Bloque II
LAS LETRAS EN LAS MATEMÁTICAS.
Muchos de los problemas se resuelven aplicando una fórmula. En este caso se puede
disponer de un formulario y aprender a sustituir las letras de la fórmula por los datos del
problema, realizando después, las operaciones indicadas. Esto es muy frecuente en la
geometría cuando se realiza el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, también ocurre en
otras áreas de las Matemáticas y con muchas ciencias; sin embargo, existen muchos otros
problemas para los cuales no hay fórmula que conduzca a la solución, cuando esto ocurre,
es necesario razonar y así encontrar un camino que sea adecuado para resolverlos. Aquí se
requiere traducir el enunciado del problema (que está dado en lenguaje común) al lenguaje
propio de las Matemáticas, que es un lenguaje simbólico.
Este lenguaje es esencial para la comunicación en las Matemáticas, se conoce con el
nombre de lenguaje algebraico y es propio del Álgebra, que es una de las ramas de las
Matemáticas que se empezará a estudiar en esta secuencia de aprendizaje.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Desarrollen el concepto de variables y expresiones algebraicas.
Introducción al lenguaje matemático
Las Matemáticas tienen su propio lenguaje matemático. Se trata de un lenguaje técnico
en el cual no solamente se utilizan cifras para representar los números, si no también
se usan una serie de símbolos como las letras y los de las operaciones fundamentales
Con el objeto de que se pueda generalizar y crear modelos que permitan resolver problemas
con datos diferentes pero idéntico esquema de solución.
Considere el siguiente ejemplo:
El campo de futbol de un centro de educación básica es de forma rectangular que mide
40 m de largo por 20 m de ancho, como se observa en la siguiente figura:
241

Se sabe que en un rectángulo los lados opuestos tienen la misma medida y se puede
obtener la medida de su contorno (o perímetro) sumando las medidas de sus cuatro lados.
40 m
20 m 20 m
40 m
Entonces se tiene:
Medida del contorno o perímetro: 40 m + 40 m + 20 m + 20 m = 120 m
Sin embargo, existen una infinidad de rectángulos con medidas diferentes. Las operaciones
que aquí se han realizado solamente sirven para obtener la medida del contorno de un
rectángulo de 40 m de largo por 20 m de ancho. Es necesario conocer una forma general de
obtener la medida del contorno de cualquier rectángulo.
En primer lugar hay que recordar que el entorno de cualquier figura geométrica se le llama
perímetro y se denota con la letra P; además, se utilizan otras letras del alfabeto para
representar el largo y ancho de la figura.
PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO
a
b
b
a
Para hacerlo así, es necesario convenir en que: a representa cualquier número racional,
que será la medida del largo de un rectángulo cualquiera y b representa también cualquier
número racional, que es la medida del ancho de un rectángulo cualquiera. Entonces se
tiene:
P = a + a + b +b
242

Pero hay que considerar que la suma de a + a es como la adición de dos objetos cualquiera
de la misma naturaleza. Por ejemplo:
1 cuaderno + 1 cuaderno = 2 cuadernos
1 pizarra + 1 pizarra = 2 pizarras
entonces:
a + a = 2a y b + b = 2b
Por lo tanto: P = 2a + 2b, lo que significa que el perímetro de un rectángulo se obtiene
sumando el doble del largo (2a) con el doble del ancho (2b).
De lo anterior se puede obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo, como se
muestra a continuación:
Hallar la medida del perímetro de un rectángulo de 8 m de largo y 6 m de ancho.
P = 2a + 2b
Se sustituye a y b por las medidas del rectángulo.
P = 2(8 m) + 2(6 m) = 16 m + 12 m = 28 m.
La expresión P = 2a + 2b sirve para obtener la medida del perímetro de cualquier rectángulo,
siempre y cuando se conozca lo que este mide de largo y de ancho. Por supuesto, es
necesario sustituir correctamente a y b con las medidas del largo y ancho del rectángulo, y
realizar las operaciones indicadas.
Regresando al primer ejemplo:
a = 40 m y b = 20 m y conociendo la fórmula se tiene:
P = 2a + 2b = 2(40 m) + 2(20 m) = 80 m + 40 m = 120 m. El perímetro del campo de futbol
del centro de eduación básica es 120 m.
Cuando esto ocurre, una expresión como P = 2a + 2b, se considera una fórmula, ya que se
puede aplicar en la obtención del perímetro de cualquier rectángulo.
En las Matemáticas las letras a y b se les llama variables y su función es representar en
forma general cualquier número.
243

PERÍMETRO DE UN CUADRADO
La fórmula para obtener el perímetro de un cuadrado puede expresarse como: P =4a, si se
acepta que a es la medida de un lado, así:
a
a
a
Se sabe que el perímetro de un cuadrado es: a + a + a + a = 4a
Por esta razón la fórmula se expresa:
a
P = 4a
Esta fórmula sirve para obtener el perímetro de cualquier cuadrado, porque siempre habrá
cuatro lados iguales y se sumarán sus medidas o se multiplicará la medida de un lado por 4.
Hallar el perímetro de un cuadrado que mide:
a) 2 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:
P = 4a = 4(2m) = 8 m
b) 10 m de lado. Al aplicar la fórmula, se tiene:
P = 4a = 4(10m) = 40m
244

Ejercicios 1 Secuencia 1 bloque II
a) Forme un equipo de trabajo y resuelva lo siguiente:
i. Si b = 6, entonces:
a) 5b =
b) 4b =
c) 2b =
d) 6b =
e) 3b =
ii. Si n = 2, entonces:
a) (n)(n) =
b) =
c) (n)(n)(n) =
d) =
iii. Si a = 6 y b = 2, entonces:
a) 2a + 2b =
b) =
c) =
d) 3a – 2b =
b) Obtenga el perímetro de las siguientes figuras:
Del rectángulo
10
3
Del cuadrado
5
5
245

c) Determinar la fórmula para obtener el perímetro en cada una de las figuras.
n n
P = _________
n
b
b
b b P = __________
b
3a
2a 2a P = __________
a
b
2b
b
b
2b
b
P = _________
Programa de Televisión 1 Secuencia 1 bloque II
Observe el programa de televisión ¿Por qué aumentan o disminuyen?, en el cual se
hará una descripción de las constantes y las variables en el lenguaje algebraico.
Lenguaje algebraico
El lenguaje es esencial para la comunicación de los seres humanos y para la ciencia en
general es de gran trascendencia el que se utiliza en las Matemáticas, y dentro de este es
muy importante el lenguaje algebraico.
246

Álgebra es una rama de las Matemáticas que tiene en sus principales objetivos simplificar y
generalizar las cuestiones relativas a los números. Para lograr tales objetivos se ha creado
un lenguaje simbólico. Los símbolos se utilizan para representar números.
Para iniciar el camino hacia la comprensión del lenguaje, considere lo siguiente:
es un número entero.
Al hacer la afirmación, debe entenderse que representa a cualquier integrante de la
serie de los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, …), que es infinita, y a partir de ese momento,
se puede operar con él como se opera normalmente con esa clase de números.
Si se suma con él mismo, se tiene:
La expresión 2
es el doble de
Por lo tanto, 2 está representando el doble de cualquier número natural, y con esta
expresión se está generalizando la forma de representar el doble de un número entero
cualquiera.
Considere ahora que son números enteros y que puede operar con ellos, así:
, representa de una manera general la suma de dos números naturales cualquiera.
De igual forma , está representando la diferencia de dos números naturales cualquiera.
representa el cuadrado de cualquier número natural, puede pensarse en dividir , y en
este caso la expresión
representa la mitad de cualquier número natural.
Una generalización como esta no se puede hacer usando cifras, ya que haría referencia
a números en particular y en los ejemplos anteriores, en cambio, se alude a números
cualquiera, haciendo válida la apreciación para cualquier número natural tomado.
Usualmente, el lenguaje algebraico no se maneja con cualquier clase de símbolo, como ó
u otros que pudieran escogerse de forma arbitraria, sino que se ha convenido en utilizar
las letras del alfabeto (a, b, c, d…x, y, z) para la representación algebraica, la cual permite
que el citado lenguaje adquiera carácter universal.
El manejo del lenguaje algebraico, como es natural, se logra estudiando de lo más elemental
hasta adquirir seguridad después de haber practicado con cierta intensidad.
247

Considere los siguientes ejemplos:
Lenguaje común
Un número cualquiera
La suma de dos números
La diferencia de dos números
El producto de dos números
El cociente de dos números
El cuadrado de un número
El cubo de un número
La raíz cuadrada de un número
El doble de un número
El triple de un número
La mitad de un número
La tercera parte de un número
Lenguaje simbólico
a
a + b
x – y
ad (cuando se usan letras, no se requiere
signo para indicar la multiplicación)
2x
3x
Ejercicios 2 Secuencia 1 bloque II
Escriba en su cuaderno los siguientes ejercicios y luego resuélvalos:
a) Relacione las expresiones de lenguaje común, que están a la izquierda con las de la
derecha (expresadas en lenguaje simbólico), colocando dentro de cada paréntesis el
número que corresponda.
1. La mitad de un número ( )
2. La diferencia de dos números ( )
3. La raíz cúbica de un número ( )
4. La cuarta parte de un número ( ) a – b
5. La raíz cuadrada de un número ( )
5. El cuadrado de un número ( )
b) Traduzca en su cuaderno, del lenguaje común al lenguaje simbólico, las siguientes
expresiones.
1. La suma de dos números.
2. El triple de un número.
3. El producto de dos números.
4. La quinta parte de un número.
5. Un número cualquiera más dos.
6. La suma de tres números.
7. Un número más el triple de otro.
248

8. La suma de dos números es 20.
9. Un número menos 5.
10. Un número más el doble de otro.
c) Con base en el programa de televisión conteste las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es una variable?
2. ¿Qué es una constante?
Constante, variable y término algebraico
En Honduras el clima no es el mismo en todo el territorio, el pronóstico del clima predice
que puede cambiar de calor a frío o que puede llover inesperadamente en ciertas regiones
del país, también se puede hablar por ejemplo, que la temperatura en el Polo Norte se ha
mantenido constante durante la última semana. Esto da idea de que la temperatura en el
polo no ha variado durante ese lapso.
En el mundo hay muchas cosas que sufren variación y otras que permanecen constantes.
En las Matemáticas también se presenta esta situación. Considere el ejemplo de la sesión
anterior. La fórmula para obtener el perímetro de un cuadrado puede expresarse como
P = 4a, donde a representa la medida de un lado.
Analizando la fórmula con mayor detenimiento, se aprecia que cada vez que la longitud del
lado del cuadrado sea diferente cambiará el valor de P y el de a, pero el 4 permanecerá
constante.
En el lenguaje algebraico se utilizan símbolos para representar números y cantidades
cualesquiera, y existen dos tipos:
249

En una expresión como y=× + 3, si se le da un valor a ×, se obtendrá un valor de y, como
se muestra a continuación:
Se aprecia claramente que los valores de x y y son variables y el valor de 3 es constante.
TÉRMINO ALGEBRAICO
Para indicar, en Álgebra, el producto de dos o más números cualesquiera representados
por variables, basta con escribir las variables en secuencia, anulando cualquier signo de
multiplicación, así:
Para indicar el producto de una constante con una o más variables, se anotan la constante
con las variables en secuencia, así:
De lo anterior se concluye que:
Los componentes de un término son:
1. Signo: Positivo (+) ó negativo (–). Si un término no tiene signo se considera positivo.
2. Coeficiente: Es el factor numérico que se escribe a la izquierda de las variables.
3. Parte literal: La letra (variable) o letras que forman el término.
4. Grado absoluto: La suma de los exponentes de las variables
Ejemplos:
250

Ejercicios 3 Secuencia 1 bloque II
1. Conteste en su cuaderno las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es una constante?. Dé dos ejemplos.
b) ¿Qué es una variable?. Dé dos ejemplos.
c) ¿Qué es un término algebraico? Dé dos ejemplos.
d) ¿Cuáles son las partes de un término algebraico? Dé dos ejemplos.
2. Comente y conteste en su cuaderno las siguientes preguntas:
a) Si se aplica la fórmula A = para calcular el área de varias circunferencias, ¿Qué
símbolos cambian de valor?
b) A esos elementos que cambian, ¿Cómo se les llama?
c) En la misma fórmula, ¿Qué elementos no cambian de valor?
d) ¿Qué nombre se les da a los elementos que no cambian?
3. En la fórmula para calcular un punto medio, donde y son extremos.
a) ¿Cuáles son las variables?
b) ¿Cuáles son las constantes?
Con el mismo equipo de trabajo comente y complete el siguiente cuadro.
Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas tienen una gran aplicación. Con ellas es posible resolver
problemas en los que intervienen las variables que representan números, lo cual permite
generalizar tanto en lo que se refiere a las cantidades como a los algoritmos de las
operaciones que se realizan con ellas.
251

Una vez hecha la consideración anterior se está en condiciones de clasificar las expresiones
algebraicas en:
1. Monomio
2. Binomio
3. Trinomio
4. Polinomio
1) La expresión algebraica más simple se conoce con el nombre de monomio, porque está
compuesta sólo por un término, la cual se distingue por tener los siguientes elementos:
a) Coeficiente
b) Parte literal
c) Exponente(s)
Ejemplos:
a) El coeficiente es el factor numérico que en los ejemplos anteriores está expresado por:
−5 y 9.
Los coeficientes se escriben antes de las variables;
anteriores.
, respectivamente en los ejemplos
Un coeficiente puede ser una fracción.
Ejemplo:
Coeficiente fracción.
Cuando no se escribe el coeficiente, se supone que es igual a 1.
Ejemplo:
Cuando no se escribe el signo al coeficiente, se presume que es positivo.
Ejemplo:
b) La variable o variables están representadas por las letras minúsculas del abecedario.
c) El exponente es un número natural.
Exponente
Coeficiente
Parte literal
Cuando la variable no tiene exponente se presume que es 1.
Ejemplo:
252

2) Un binomio es la expresión algebraica formada por dos términos.
Ejemplos:
a)
b)
c)
Los términos algebraicos se separan en una expresión con el signo más o menos ( + ó –).
3) Un trinomio es la expresión algebraica formada por tres términos.
Ejemplos:
a)
b)
c)
Existe un caso muy especial cuando se tiene un término donde no aparece físicamente
variable alguna, se le identifica como término independiente.
Ejemplo:
Término independiente
(no tiene variable)
En la expresión anterior, el término independiente es –1.
d) Un polinomio es la expresión algebraica formada por uno o más términos.
Ejemplo:
Ejercicios 4 Secuencia 1 bloque II
En equipo de trabajo, realice en su cuaderno las siguientes actividades:
1. Indique el número de términos que tiene cada expresión algebraica
a)
b)
c)
d)
e)
253

2. Relacione las siguientes columnas, colocando la letra correspondiente en el paréntesis.
a) Se representa con una letra. ( ) Expresión algebraica
b) Término que no tiene variables. ( ) Coeficiente
c) Es el factor numérico del término Algebraico. ( ) Trinomio
d) Expresión que consta de tres términos. ( )Variable
( )Término Independiente
3. Defina cada concepto y escriba un ejemplo de las siguientes expresiones algebraicas:
a) Monomio
b) Binomio
c) Trinomio
d) Polinomio
e) Expresión algebraica
f) Termino independiente
Programa de Televisión 2 Secuencia 1 bloque II
Observe el programa de televisión Calculando con letras en el cual se mostrará la solución
de problemas comunes utilizando el lenguaje algebraico.
Ejercicios 5 Secuencia 1 bloque II
EJERCICIOS VERBALES
1) Comente y conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Qué lenguaje es muy importante para el lenguaje de las Matemáticas?
b) ¿Cuál es la rama de las Matemáticas que tiene entre sus objetivos simplificar y
generalizar cuestiones relativas a los números?
254

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
En el diagrama que está a continuación, siga el sentido de la flecha y escriba dentro del
recuadro, con lenguaje algebraico, lo que se le pide.
Relacione la columna del lenguaje algebraico con la columna del lenguaje común, colocando
en el paréntesis la letra correcta.
Traduzca del lenguaje algebraico al lenguaje común y viceversa, según sea el caso:
a) __________________________________________________________________
b) Un número más el doble del mismo.________________________________________
c) ________________________________________________________________
d) El cociente de cuadrado de un número entre diez._____________________________
255

256

Secuencia Secuencia de Aprendizaje 2 Bloque II
TÉRMINO O TERMINÓ.
La humanidad en su infatigable deseo de investigación, descubre el número, con el cual
representa medidas de todo lo que le rodea. Sus sentidos lo llevan a lograr abstracción y
con ello logra la generalización de expresiones Matemáticas.
A los árabes se atribuye el desarrollo del Álgebra y en su lengua las palabras al gabr,
significan restauración. El Álgebra es el pilar de ramas de la matemática como la Geometría
y la Geometría , y su uso se ha extendido a otras áreas de la ciencia.
En este curso se dará seguimiento al estudio del Álgebra, después de recordar algunos
conceptos básicos como: constante, variable y término algebraico en la secuencia anterior,
ahora se estudiará las expresiones algebraicas, cómo reducirlas y cómo encontrar el valor.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Reduzcan términos semejantes de una expresión algebraica.
2. Determinen procedimientos para reconocer y evaluar expresiones algebraicas.
Álgebra:
El siglo IX es la época en la que trabajó el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi,
cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del Álgebra.
Al matemático Al – Jwarizmi se le conoce como el “padre del Álgebra”, investigó y escribió
acerca de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos
para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la
palabra algoritmo, que se usaba primero para referirse a los métodos de cálculos numéricos
en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de
“procedimiento sistemático de cálculo”.
257

La palabra Álgebra deriva de la expresión árabe “Al-jabr” que significa “restauración”
del equilibrio mediante la trasposición de términos de una ecuación, se deriva del título de
su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del Álgebra, Al-jabr wal
muqabala.
Pero el Álgebra tiene sus orígenes en Egipto y Babilonia en el segundo milenio antes de
Cristo cuando estas civilizaciones la usaban para resolver ecuaciones polinómicas de primer
y segundo grado.
A lo largo de la historia de la humanidad, ésta rama de la matemática siguió desarrollándose
con las contribuciones que hicieron las distintas civilizaciones y que han llegado hasta
nuestros días.
Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del Álgebra son adición,
sustracción, multiplicación, división, potenciación y cálculo de raíces. La Aritmética, sin
embargo, no es capaz de generalizar las relaciones Matemáticas, como decir, la suma de
dos números cualquiera es diez; en la Aritmética estos números hay que expresarlos de
forma particular, como: 1 + 9 = 10, 8 + 2 = 10, 5 + 5 = 10, entre otros. En el Álgebra basta
con escribir a + b = 10, para representar cualquier par de números que sumados den diez.
Ejercicios 1 Secuencia 2 bloque II
Comente y conteste las siguientes interrogantes:
a) ¿De qué nombre se deriva la palabra algorítmo y qué significa?
b) ¿De qué nombre se deriva la palabra Álgebra y qué significa?
c) ¿A quién se le conoce como el padre del Álgebra?
d) Escriba 5 pares de números que sumados den 15.
e) Escriba en lenguaje algebraico lo siguiente:
La suma de dos números es quince.
El doble de un número más 10 es cero.
f) Señale cada una de las partes del siguiente término algebraico.
258

Programa de Televisión 1 Secuencia 2 bloque II
Observe el programa de televisión Encuentra lo que buscas en el cual se mostrará situaciones
cotidianas en las que se aplican la adición y sustracción de variables.
Términos semejantes, expresión reducida
Imagine que usted es el encargado o encargada de hacer un inventario de los granos que
hay en las bodegas del IHMA (Instituto Hondureño de Mercadeo Agrícola), situadas en Danlí
y Tegucigalpa. Tiene los siguientes informes: en Danlí hay 80 quintales de arroz, 75 quintales
de frijoles, 100 quintales de maíz, 80 quintales de sorgo, 67 quintales avena, 45 quintales
de trigo; y en Tegucigalpa hay 60 quintales de arroz, 58 quintales de frijoles, 10 quintales
de maíz, 62 quintales de sorgo, 20 quintales de avena; pero 15 quintales de maíz, 10 de
frijoles, 30 de avena y 16 de arroz se humedecieron (lo que significa una pérdida).
Para tener una información más clara de la existencia de los granos, es conveniente reunir
toda la información:
80 quintales de arroz en Tegucigalpa + 60 quintales de arroz en Danlí –16 de arroz que se
humedecieron = 124 quintales de arroz.
75 quintales de frijoles en Tegucigalpa +58 quintales de frijoles en Danlí –10 quintales de
frijoles que se humedecieron = 123 quintales de frijoles.
100 quintales de maíz en Tegucigalpa +10 quintales de maíz en Danlí –15 quintales de maíz
que se humedecieron = 95 quintales de maíz.
80 quintales de sorgo en Tegucigalpa + 62 quintales de sorgo en Danlí = 142 quintales de
sorgo.
67 quintales avena en Tegucigalpa + 20 quintales avena en Danlí –30 quintales de avena
que se humedecieron = 57 quintales avena.
45 quintales de trigo (no hay más existencia)
De lo anterior, se observa lo siguiente:
259

a) Se suman los elementos de la misma clase, es decir, la existencia de quintales de los
mismos granos se suma.
b) Se restan los elementos de la misma clase. Los quintales que se humedecieron se
restaron de la suma de los quintales del mismo grano del inventario de las dos bodegas.
c) Los elementos que no tienen semejantes quedan independientes. Los quintales de
trigo no se sumaron o restaron.
d) El resultado final es la forma más reducida de presentar la información.
Se puede establecer una relación algebraica para manejar toda la información anterior,
dando símbolos que representen cada uno de los granos, así.
quintales de arroz
= a
quintales de frijoles = f
quintales de maíz
= m
quintales de sorgo = s
quintales avena
quintales de trigo
= v
= t
Por lo que se obtendría:
80a + 60a – 16a = 124a (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se
pueden reducir a “ 124a ” )
75f + 58f – 10f = 123f
(estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se
pueden reducir a “ 123f ” )
100m + 10m – 15m = 95m (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se
pueden reducir a “ 95m ” )
80s + 62s = 142s
(estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se
pueden reducir a “ 142s ” )
67v + 20v – 30v = 57v (estos términos presentan los mismos elementos por lo tanto se
pueden reducir a “ 57v ” )
45t (es el único término)
Juntando todos los datos se obtiene:
24a + 123f + 95m + 142s + 57v + 45t
Son términos que no se pueden reducir más, pues no presentan los mismos elementos.
260

Los términos que se pueden reducir son los que tienen los mismos elementos, es decir, que
son semejantes.
Ejemplos:
a y –a
y
son términos semejantes, pues la variable es la misma (x) y está elevada al
mismo exponente (2), aunque los coeficientes sean diferentes (–3 y 6).
son términos semejantes, pues la variable es la misma (a) y está elevada al mismo
exponente (1), aunque los coeficientes sean diferentes (1 y –1).
y
y
son términos semejantes, pues las variables son las mismas (×,b,y),
sin importar que estén en diferente orden y están elevadas a los mismos
exponentes (1 y 3), aunque los coeficientes sean diferentes (2 y 0.3).
no son términos semejantes, pues aunque tengan el mismo coeficiente (–2) y la
misma variable (x), el exponente es diferente.
Así cuando en una expresión hay términos semejantes, se pueden reducir conforme al
siguiente señalamiento:
1) Cuando los términos semejantes tienen un coeficiente de igual signo, estos se suman
y al resultado, se le asigna el signo de los sumandos, seguido de la o las variables
comunes.
Ejemplos:
Hallar la expresión reducida de:
a) 2n + 5n + n = (2 + 5 + 1)n = 8n
b) –3y – 2y = –5y
2) Cuando los términos semejantes tienen coeficientes con diferente signo, se restan los
valores absolutos de los coeficientes y al resultado se le escribe el signo del sumando
de mayor valor absoluto, seguido de la o las variables comunes.
Ejemplos:
Hallar la expresión reducida de:
a) –2× + 5×= (–2+5)×= 3×
b) 2×y – 12×y = (2 – 12)×y = –10×y
3) Cuando los términos semejantes son más de dos y sus coeficientes de signos diferentes,
se agrupan los de signo positivo y los de signo negativo de forma separada, después se
reducen ambos términos conforme se señala en los incisos anteriores.
261

Ejemplo:
Hallar la expresión reducida de:
a) 3x – 5x + 4x –6x –x = 3x + 4x –5x –6x – x = 7x – 12x = –5x
4) Cuando en una expresión hay términos semejantes y otros que no son semejantes, se
agrupan los semejantes, después se reducen ambos términos conforme se señala en los
incisos anteriores.
Ejemplos:
Hallar la expresión reducida de:
a)
= se agrupan los términos semejantes.
}
se reducen los términos semejantes.
Cuando exista un término que no tenga semejante para reducirse, se conserva en la
expresión resultante con el signo que originalmente tenía.
Ejercicios 2 Secuencia 2 bloque II
a. Escriba la siguiente expresión algebraica en su cuaderno, encierre los términos
semejantes y luego escriba porque son semejantes:
b. Encontrar la expresión reducida de:
1)
2)
3)
4) 2xa – 3by + 3cx – 5ax
5)
6)
7) –ax + 6by – mn + 9ax – mn
8)
9)
10)
262

Valor numérico de expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene
sustituyendo las variables por sus valores numéricos respectivos
y efectuando con tales valores, las operaciones indicadas. Al
efectuar estas operaciones, debe respetarse la prioridad de las
operaciones estudiadas anteriormente.
Por ejemplo: Encontrar el valor numérico de las siguientes
expresiones:
a) si se asigna arbitrariamente, el valor a
Recuerde que cuando
aparecen una
constante seguida de
una o más variables
sin que entre ellas
haya un signo de + ó
-, se trata de una
multiplicación.
Se sustituye el número 5 por la variable b, se efectúa la potencia
, luego se multiplica con el coeficiente 2, lo cual da 50.
b) si se asigna arbitrariamente, el valor a
Para calcular el valor numérico de la expresión anterior es necesario conocer el valor
numérico de cada uno de los términos que lo forman.
1) Se sustituye el número 2 por la variable x y se efectúa la multiplicación con el coeficiente
3, lo cual da 6.
3x = (3)(2) = 6
2) Se sustituye el número 2 por la variable x, se efectúa la potencia , luego se
multiplica con el coeficiente 2, lo cual da 8.
=
3) Una vez determinado el valor de cada término de la expresión algebraica, se reducen
todos hasta encontrar un solo valor que será el que corresponde a todo el polinomio, es
decir:
6 + 8 = 14
Por lo tanto, el valor numérico de , cuando x = 2 es 14.
263

c) ; para
Se determina el valor numérico de cada término:
Ahora se reducen todos los valores numéricos hasta tener un solo que será el que corresponde
a la expresión algebraica.
Por lo tanto, el valor numérico de ; cuando , es
Ejercicios 3 Secuencia 2 bloque II
Dada la expresión algebraica: y los valores ,
encuentre lo que se le pide:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Hallar el valor numérico de:
a) ; para
b) ; para
c) ; para
d) ; para
e) ; para
264

EJERCICIOS VERBALES
Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Serán semejantes dos términos cuyas variables y exponentes son los mismos, pero su
orden es diferente? ¿por qué?
b) ¿Cuándo dos o más términos son semejantes?
c) Al reducir términos algebraicos semejantes, ¿Qué le sucede a los coeficientes y qué a
las variables?
d) ¿Qué operación representan una constante y una variable juntas?
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
Encuentre la expresión reducida de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
265

Encuentre el valor numérico para los valores que se indican.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
266

Secuencia de Aprendizaje 3 Bloque II
¿PARA QUÉ LAS ECUACIONES?
En esta secuencia se introduce el concepto de ecuación lineal a través de la solución de
problemas.
Las ecuaciones son sumamente útiles en la solución de una infinidad de dificultades que
por métodos aritméticos sería bastante laborioso resolver. En cambio utilizando el lenguaje
algebraico y planteando la ecuación que representa el enunciado del problema se llega
directamente a la solución.
Las ecuaciones se usaron desde hace más de 16 siglos en las civilizaciones antiguas y su
utilidad sigue vigente en la actualidad, a pesar de los grandes avances de la ciencia y la
tecnología.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Establezcan procedimientos para hallar el conjunto solución de ecuaciones lineales.
2. Reconozcan la aplicabilidad de las ecuaciones en la vida real.
3. Resuelvan problemas mediante ecuaciones lineales.
Signo igual que
El símbolo igual que (=) que se utiliza hoy de forma universal en Matemáticas para hacer
referencia a la igualdad, fue utilizado por primera vez por el matemático galés Robert
Recorde en su obra The Whetstone of Witte (1557).
La forma original del símbolo era más larga de la que se utiliza en la actualidad. En su libro,
Recorde explica su diseño: “Para evitar la tediosa repetición de las palabras es igual a,
estableceré como normalmente hago en las hojas de trabajo un par de paralelas, o líneas
gemelas de la misma longitud, esto es: =, porque no hay nada que pueda ser más igual que
dos líneas”.
Sin embargo, un manuscrito de la Universidad de Bolonia fechado entre 1550 y 1568 utiliza
el mismo símbolo para la igualdad, y es posible que sea anterior al uso de Recorde.
267

Según un tratado sobre historia de las Matemáticas de la Universidad St Andrews, en
Escocia, el símbolo “=” no se popularizó de forma inmediata. El símbolo “æ “, que hacía
referencia a la palabra latina aequalis, que significa igual, fue utilizado mucho hasta entrado
el siglo XVIII.
LA IGUALDAD
Es común escuchar que dos cosas son de la misma especie, que tienen la misma cantidad
o que son de la misma calidad.
En Matemáticas, dos objetos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo
valor, y eso es verdad cuando existe una relación de equivalencia entre ellas, esa relación,
llamada igualdad, se denota con el signo igual (=).
Esta relación se establece generalmente entre números y operaciones, por ejemplo:
3 + 4 = 7
6 – 7 = –1
Al establecer una igualdad entre dos expresiones, se pueden observar dos partes
fundamentales: el primer miembro a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha
del signo.
Primer miembro
Segundo miembro
a = b
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Propiedad reflexiva: Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma.
Ejemplos:
5 = 5
2a = 2a
7 + 8 = 7 + 8
x = x
Todo número es igual a sí mismo.
Propiedad simétrica: En esta propiedad se observa que al establecer una igualdad el primer
miembro es igual al segundo y el segundo miembro es igual al primero.
Ejemplos:
Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a – b = c, entonces c = a – b
Si x = y, entonces y = x
Los miembros de una igualdad pueden
cambiar sus lugares.
268

Propiedad transitiva: Si se establece que una expresión es igual a otra y ésta es igual a una
tercera, la primera es igual a la tercera.
Ejemplos:
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b
Si m = n y n = p, entonces m = p
Si dos igualdades tienen un
miembro en común, los otros
dos son iguales.
Propiedad uniforme: Si a los dos miembros de la igualdad se les aumenta, disminuye,
multiplica o divide entre la misma cantidad, la igualdad permanece.
Ejemplos:
Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)
Si a = b, entonces a + x = b + x
Si 3y = 12, entonces 3y/2= 12/2
Si se aumenta o disminuye
la misma cantidad en ambos
miembros, la igualdad se conserva.
Propiedad cancelativa: Establece que se pueden suprimir sumandos o factores iguales en
los dos miembros de una igualdad y el resultado es otra igualdad.
Ejemplos:
Si (2 × 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12
Si a + b = c + b, entonces a = c
Si (8 ÷ 4) (5) = (2) (5), entonces 8 ÷ 4 = 2
En una igualdad se pueden
suprimir dos elementos iguales
en ambos miembros y la
igualdad no se altera.
Ejercicios 1 Secuencia 3 bloque II
Realice en su cuaderno lo que se le pide:
Escriba a la par de cada definición la propiedad de igualdad que se anuncia.
a) Si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos son iguales.
b) Si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se
conserva.
c) Todo número es igual a si mismo.
d) En una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la
igualdad no se altera.
Escriba a la par de cada expresión la propiedad aplicada
a) a = a
b) a + b = c + b, entonces, a = c
c) a = b, entonces, b = a
d) a = b, entonces, x + a = y + a
e) a = b y b = c, entonces a = c
269

Escriba un ejemplo con números, que muestre la aplicación de cada propiedad:
a) Reflexiva
b) Simétrica
c) Transitiva
d) Uniforme
e) Cancelativa
Analice las siguientes expresiones y anote la propiedad de igualdad que se podría aplicar
a) De dos quintales de maíz cuyos pesos están equilibrados se quita la cuarta parte de
cada uno.
b) Al iniciar el año, el cuaderno de Gloria es igual al cuaderno de Luis y el cuaderno de
Luis es igual al cuaderno de María, por lo tanto el cuaderno de María es igual al de
Gloria.
c) Juanita tiene la foto de su gato, después de buscar fotos de gatos entre sus amigas
descubrió que la única foto igual a la de ella es la de su hermana, que es del mismo
gato.
Ecuaciones lineales
Una situación cotidiana se puede plantear como una igualdad estableciendo ciertas
relaciones entre los números. Por ejemplo:
a) El papá de Pedrito mandó a reparar su motocicleta, el mecánico le presentó una factura
por los repuestos comprados de un monto de L. 200.00, si la cuenta final era de
L. 365.00 incluyendo repuestos y mano de obra, ¿Cuánto le cobró de mano de obra?
Para saber el costo de la mano de obra, se puede plantear la siguiente situación:
costo de repuestos + costo de mano de obra = costo total.
Es decir:
200.00 + x = 365.00
b) Observe la siguiente balanza
270

La balanza está en equilibrio por lo tanto los dos bloques pesan lo mismo, es decir, los pesos
de ambos lados se pueden expresar como una igualdad, así:
x + 3 = 5
En las igualdades anteriores se presentan valores desconocidos que se denotan por una
forma especial de igualdad: la ecuación.
Ejemplos de ecuaciones:
a) x + 5 = 8 b) 2x = 10 c) 3x – 1 = 5 d) 2x + 1 = 3x -2
Partes de toda ecuación
x +5=8
Miembro izquierdo signo igual miembro derecho
Saber plantear ecuaciones a partir de una situación diaria es una herramienta muy importante
que se puede emplear para solucionar problemas que requieran la aplicación de cálculos
matemáticos.
Un ejemplo muy sencillo sería:
¿Qué número sumado con 5 da 11?
Al plantear una ecuación se tendría:
Ahora imagine esta situación:
x + 5 = 11.
La señora Josefina reparte una bolsa de confites entre 8 niños. Si a cada uno de ellos le
tocaron 9 confites, ¿Cuántos confites contenían la bolsa?
Analizando la situación se tiene que:
a) Al hablar de repartición, la operación involucrada es una división.
b) La división es el número de confites de la bolsa entre el número de niños.
271

c) El cociente de la división es 9.
d) En la división los datos conocidos son el divisor y el cociente; el dato desconocido es
el dividendo; por lo tanto, éste es la incógnita.
De donde se obtiene la ecuación:
Para representar un problema por medio de una ecuación, considere lo siguiente:
a) Leer varias veces el problema y localizar las ideas principales.
b) Identificar los datos del problema y la relación que guardan entre ellos.
c) Establecer los datos conocidos y los desconocidos.
d) Encontrar la ecuación que represente el problema.
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL
La ecuación del ejemplo ¿Qué número sumado con 5 da 11?, es x + 5 = 11.
El valor de x que satisface la igualdad es 6, porque 6 + 5 = 11.
La solución de cualquier ecuación lineal o de primer grado es un número que satisface la
igualdad.
El número que satisface la ecuación se le denomina Conjunto Solución y se representa
como:
C.S. = {el número que satisface la igualdad}.
Así el conjunto solución de x + 5 = 11 es 6 y se denota de la siguiente forma:
C.S. = {6}
Ejercicios 2 Secuencia 3 bloque II
Determine cuáles de las siguientes igualdades numéricas son verdaderas y cuáles son
falsas:
a) 3 + 5 = 8
b) –2 + 5 = –3
c) 7 – 9 = –2
d) 0.3 + 3 = 0.6
e) 1 – 1/2= 1/2
Determine cuáles de las siguientes expresiones son igualdades numéricas y cuáles son
ecuaciones:
a) x + 2 = 10 b) 4x = 20
c) 8 + 4 = 12 d) X + 3 = 3 + 5
e) f)
272

Represente los siguientes problemas por medio de una ecuación:
a) Un número que restado con 10 da doce.
b) El perímetro de un cuadrado es 40, como todos sus lados tienen la misma longitud,
¿Cuál es la longitud de un lado?
c) Si cinco libras de azúcar cuestan L. 40.00, ¿Cuánto cuesta una libra?
d) El perímetro de un triángulo es de 23 cm, el primer lado mide 7 cm, el segundo 10 cm,
¿Cuánto mide el tercero?
Establezca la ecuación para cada una de las siguientes proposiciones y determine su
conjunto solución:
¿Qué número restado con diez es doce?
¿Qué número sumado con uno es cero?
¿Qué número sumado con negativo cinco es seis?
¿Qué número restado con negativo diez es negativo doce?
Observe el Programa de Televisión 1 Secuencia 3 bloque II el cual se mostrará la
clasificación de las ecuaciones lineales y sus posibles soluciones.
Solución de ecuaciones lineales
En la ecuación x+2=10, se tienen dos miembros x+2 y 10.
Si observa la ecuación anterior, se puede percibir que en un miembro de la ecuación, aparece
la variable (X) y una constante (2), mientras que en el otro únicamente una constante.
Para resolver cualquier ecuación lineal o de primer grado se aplican las propiedades de la
igualdad con el propósito de despejar o dejar sola la incógnita para conocer su valor.
Recuerde lo que dice la propiedad uniforme de las ecuaciones: Si a los dos miembros de la
igualdad se les aumenta o disminuye la misma cantidad, la igualdad permanece.
Ejemplo 1: considere la ecuación x + 27 = 52, ¿Cuál es el valor de x que satisface la igualdad?
Para resolverla, se harán los siguientes pasos:
x + (27 – 27) = 52 – 27
x + 0 = 25
x = 25
… se aplica la propiedad uniforme restando 27 a sus dos miembros.
… se efectúa la sustracción en ambos miembros.
…todo número sumado con 0 (elemento neutro) es el mismo número.
La solución de esta ecuación es 25.
273

Para probar esto, se sustituye en la x de la ecuación el valor encontrado:
X + 27 = 52
25 + 27 = 52
52 = 52
Por lo tanto: C.S. = {25}
Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de: x – 32 = 78
x – 32 = 78
X – 32 + 32 = 78 + 32 … sumando 32 a ambos lados o aplicando el inverso aditivo a –32.
X + 0 = 110
… efectuando las sustracciones.
X = 110
…aplicando el elemento neutro.
Comprobación:
x – 32 = 78
110 – 32 = 78 …sustituyendo el valor encontrado en x.
78 = 78
Por lo tanto: C.S. = {110}
Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de x – 4 = –10
x – 4 = –10
X – 4 + 4 = –10 + 4 … aplicando el inverso aditivo a –4
X + 0 = –6
… ¿Qué se hizo?
X = –6
… ¿Qué se hizo?
Comprobación:
x – 4 = –10
–6 – 4 = –10
–10 = –10 C.S. = {–6}
Ejemplo 3: hallar el conjunto solución de 5 – x = –2
Este es un caso particular de este tipo de ecuaciones, cuando la incógnita es negativa;
como esta siempre debe quedar positiva se hace lo siguiente:
5 – x = –2
5 – x + x = –2 + x …se aplica el inverso aditivo a –x, en ambos miembros.
5 – 0 = –2 + x …se reducen los términos semejantes.
5 = –2 + x …elemento neutro de la suma.
5 + 2 = –2 + x + 2 …se aplica el inverso aditivo a –2, en ambos miembros.
274

7 = x + 0 …se efectúan las operaciones indicadas.
7 = x …elemento neutro.
Comprobación:
5 – 7 = –2 …sustituyendo el valor encontrado en x.
–2 = –2
Por lo tanto: C.S. = {7}
El lenguaje algebraico tiene una gran aplicación en el planteamiento y resolución de
problemas que se resuelven mediante ecuaciones.
Ejemplo 4:
1) ¿Cuál es el número que disminuido en siete unidades es 48?
El número desconocido se presenta como: x
Si este número se disminuye en siete, la expresión queda: x – 7
Esta expresión es igual a 48, entonces la ecuación que se busca queda: x – 7 = 48
C.S. = {55}… ¿Qué se hizo?
Ejercicios 3 Secuencia 3 bloque II
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) 5 + x = 2
b) x + 6 = 0
c) x – 2 = –8
d) –2 + x = –1
e) 6 = x – 3
f) 0 = -6 + x
g) 1 – x = –2
h) –x + 5 = 3
i) –x – 1 = –1
Con base a los siguientes cuestionamientos, plantee la ecuación para el siguiente problema:
Juan pagó en la pulpería L.10.00 y le dan de cambio L.1.00, ¿Cuánto debía?
a) ¿Qué datos se tienen?
b) ¿Qué representa cada uno de ellos?
c) ¿Qué es lo que se va a determinar?
d) ¿Con qué letra se puede representar?
e) ¿Qué operación se debe realizar para plantear la ecuación?
f) ¿Cómo queda la ecuación planteada?
275

Plantee y resuelva las siguientes ecuaciones:
a) Un número disminuido en una unidad es cero. ¿Cuál es el número?
b) La suma de dos números es –2, y uno de ellos es 9, ¿Cuál es el otro número?
Aplicaciones con Ecuaciones lineales
Plantee la ecuación que describe la siguiente situación y encuentre su Conjunto Solución.
José Juan compró tres lápices y gastó L. 27.00. ¿Cuánto costó cada lápiz?
La ecuación 3x = 27 representa el problema anterior.
Recuerde lo que dice la propiedad uniforme de las ecuaciones: Si a los dos miembros de la
igualdad se multiplica o divide por la misma cantidad, la igualdad permanece
Para resolverla, se harán los siguientes pasos:
3x = 27
… se aplica la propiedad uniforme multiplicando por 1/3 a
sus dos miembros.
… se efectúa la multiplicación en ambos miembros.
1x = 9
… se efectúa la división en ambos miembros.
X =9
…todo número multiplicado por 1 es el mismo número
(elemento neutro)
La solución de esta ecuación es 9.
Para probar esto, se sustituye en la x de la ecuación el valor encontrado:
3(9) = 27
27 = 27
Por lo tanto:
C.S. = {9}
De acuerdo con lo anterior, se puede concluir lo siguiente:
Para resolver cualquier ecuación de la forma ax = b, basta con multiplicar por el inverso
multiplicativo del número que está en el miembro de la ecuación que tiene la variable o
incógnita en ambos miembros de la igualdad.
276

Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de la ecuación x = 2.
Para resolverla, se harán los siguientes pasos:
x = 2.
… se aplica la propiedad uniforme multiplicando por
sus dos miembros.
a
… se efectúa la multiplicación en ambos miembros.
1x = 3
X =3
… se efectúa la división en ambos miembros.
…todo número multiplicado por 1 es el mismo número (elemento
neutro).
La solución de ésta ecuación es 3.
Para probar esto, se sustituye en la x de la ecuación el valor encontrado:
2 = 2
Por lo tanto: C.S. = {3}
Para resolver ecuaciones de primer grado, la incógnita siempre debe quedar en un miembro
de la ecuación, y las cantidades conocidas en el otro.
277

Ejemplo 3:
El señor Martínez quiere comprar un terreno, si se conoce que este tiene un área de 325
y de fondo 25 m; quiere saber ¿Cuánto mide de frente?
Para resolver este problema se debe plantear la ecuación de la siguiente manera:
Largo del terreno: 25 m
Área del terreno: 325
Frente o ancho del terreno: x
Como el área de un rectángulo se determina mediante la relación de multiplicar la base por
la altura, se tiene:
A = ba; en este caso b es la base o largo; a es el frente o altura y A es el área.
a
A
b
Se sustituyen los valores del área por 325, el largo o base por 25 y la altura o frente por x,
en la fórmula anteriormente establecida, con lo cual se tiene la siguiente ecuación:
325 = 25
13 =
Comprobación:
325 = (25)(13)
325 = 325
Por lo tanto: El terreno tiene 13 m de frente.
278

Ejercicios 4 Secuencia 3 bloque II
Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) 10x = 2
f)
b) 2x = 10
c) 1200x = 60
g)
d) 0.25x = 4
e) –2x = 5
h) 2 = –2x
i) –8x = –24
Plantee y resuelva las siguientes ecuaciones en cada problema:
a) El área de una habitación rectangular es de 200 , si su base es de 20 m, ¿Cuál su
altura?
b) Para confeccionar 15 camisas se utilizaron 30 metros de tela, ¿Qué cantidad de tela
se utilizó en cada camisa?
c) Un objeto, observado con una lente de aumento, se ve cuatro veces mayor de lo
que mide la realidad. Si la imagen de un objeto en la lente de aumento mide 76 mm,
¿Cuántos milímetros mide realmente el objeto?
d) José pesa cinco veces lo que pesa su hermano Andrés. Si José pesa 120 lb, ¿Cuánto
pesa Andrés?
Transposición de términos
Recuerde que cuando se resuelve una ecuación por lo general a la izquierda del signo igual
se deja la variable, mientras que al otro lado una constante.
Observe en los siguientes ejercicios la aplicación de las propiedades para transformar una
ecuación:
279

a) b)
3x = 5
5x = + 12
3x – 4 +4 = 5 + 4 …se suma 4 en
5x – 2x = 2x + 12 – 2x …. se resta 2x en
3x = 5
+4
ambos miembros.
5x
-2x
= 12
ambos miembros.
En el caso a se suma 4 en ambos miembros, observe que el término -4 en el lado izquierdo
se traslado al lado derecho con el signo +.
En el caso b se resta 2x en ambos miembros, observe que el término 2x en el lado derecho
se traslado al lado izquierdo con el signo –.
Después de estas consideraciones se puede concluir lo siguiente:
Aplicando la propiedad de los casos a y b (propiedad uniforme), se puede trasladar un
término de un miembro(lado) de una ecuación al otro miembro(lado) cambiando su signo.
Este proceso se llama transposición.
Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 5x – 4 = 3x + 6
5x – 4 = 3x + 6
…se transpone el término –4 del lado izquierdo al lado derecho
del signo igual y cambia a +4.
…se transpone el término 3x del lado derecho al lado izquierdo
del signo igual y cambia a –3x.
5x – 3x = +6 + 4
2x = 10
…se reducen los términos semejantes en ambos lados de la ecuación.
…multiplicando por el inverso multiplicativo.
X = 5
Observe cuando se tiene la expresión 2x = 10, se procede depués a multiplicar ambos
280

miembros por el inverso multiplicativo de 2 que es . En este caso el multiplicar por ambos
lados es lo mismo dividir por 2 (coeficiente de la variable) ambos términos, es decir:
Cuando se tiene la expresión:
2x = 10
…se divide entre el coeficiente de la variable, en este caso 2, ambos términos de
la ecuación.
, por lo tanto: C.S. = {5}.
Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de 7x – 3 = 2x – 23
7x – 3 = 2x –23
7x – 2x = –23 + 3
5x = –20
…transposición de términos.
…reducción de términos semejantes.
…dividiendo entre el coeficiente de la variable, en este caso 5.
x = –4
Comprobación:
7(–4) – 3 = 2(–4) –23
–28 – 3 = –8 –23
–31 = –31
Por lo tanto: C.S. = {–4}.
Ejemplo 3:
Marta y María trabajan en una maquila, al terminar la semana recibieron su pago. A Marta
le entregaron 6 vales y L.10.00, y a María 4 vales y 50.00. Si los vales son de la misma
denominación y las dos recibieron igual pago, ¿De qué cantidad son los vales?
6 vales más L.10.00 para Marta: 6x + 10
4 vales más L.50.00 para María: 4x + 50
281

El pago a las dos trabajadoras es igual, por lo tanto:
6x + 10 = 4x + 50
6x – 4x = 50 – 10
2x = 40
…transposición de términos.
…reducción de términos semejantes.
…dividiendo entre el coeficiente de la variable.
X = 20
Comprobación:
6(20) + 10 = 4(20) + 50
120 + 10 = 80 + 50
130 = 130
Por lo tanto: C. S. = {20}
El vale es de L. 20.00.
Ejercicios 5 Secuencia 3 bloque II
Hallar el conjunto solución de:
a) 8x + 8 = 6x + 14
b) 3x + 1 = x + 9
c) 2x + 3 = -x
d) 4x + 1 = x + 4
e) 8 = 3x –1
f) –2x – 1 = 3x + 14
g) 6x – 5 = 2x + 7
Ecuaciones con denominadores
Cuando una ecuación contiene fracciones, el cálculo del conjunto solución se facilita si se
multiplican ambos lados de la ecuación por el mcm de los denominadores y de esta manera
las fracciones se convierten en números enteros.
282

Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de
Se multiplica por 12 ambos lados, que es el mcm de los denominadores 4 y 6.
…multiplicando por 12 ambos lados.
…propiedad distributiva.
10x – 84 = 3x
10x – 3x = 84
7x = 84
…efectuando la división.
…transposición de términos.
…reducción de términos semejantes.
…dividiendo entre 7.
x= 12
Comprobación:
Por lo tanto el C.S. = {12}
10 –7 = 3
3 = 3
Otra forma de eliminar los denominadores en una ecuación es dividir el mcm de ellos entre
el denominador de cada uno y este cociente multiplicarlo por el numerador de la fracción.
Ejemplo 1:
El mcm 12 se divide entre el denominador de la fracción , este cociente da 2, el cual se
multiplica por 5, quedando 10x.
El mcm 12 se divide entre el denominador de la fracción , este cociente da 12, el cual se
multiplica por 7, quedando 84.
283

El mcm 12 se divide entre el denominador de la fracción , este cociente da 3, el cual se
multiplica por 1, quedando 3x.
Por lo tanto , la ecuación queda: 10x – 84 = 3x
ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Existen ecuaciones que originalmente contienen paréntesis, los cuales han de eliminarse
para simplificarlas y después poder resolverlas.
Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 3(5x – 1) = 12
Observe que en esta ecuación el paréntesis va precedido del factor 3, el cual se eliminará al
multiplicar este factor por cada uno de los sumandos que están entre el paréntesis.
3(5x – 1) = 12
15x – 3 = 12
15x = 12 + 3
15x = 15
…efectuando la multiplicación.
…transposición de términos.
…¿Qué se hizo?
…¿Qué se hizo?
X = 1
¡Compruébelo usted mismo(a)!
Ejemplo 2:
–2(3x – 8) = 10
–6x + 16 = 10 …efectuando la multiplicación, observe que el número que antecede al
paréntesis es negativo, por lo tanto al multiplicar se toma en cuenta
la ley de los signos para la multiplicación.
Hay casos en los que una ecuación se encuentran expresiones afectadas de un signo
negativo.
284

Ejemplo 3:
5 – (2x – 3) = 8
Para eliminar el paréntesis, se procede a cambiar los signos de los términos que están
dentro de él, así:
5 – 2x + 3 = 8
Tomando en cuenta estos criterios, se puede resolver ahora las siguientes ecuaciones:
Ejemplo 4: hallar el conjunto solución de
El mcm de los denominadores 2, 3 y 6 es 6
…multiplicando por 6.
…propiedad distributiva.
…convirtiendo fracciones a números enteros.
9x – 24 – 2 = 1
9x = 1 + 24 + 2
9x = 27
…eliminando paréntesis.
…transposición de términos.
…reducción de términos semejantes.
…dividiendo entre 9 ambos lados.
x = 3
Comprobación:
285

Ejemplo 5: hallar el conjunto solución de
El mcm de 6 y 9 es 18:
6(x – 2) = 4(x + 4) … convirtiendo fracciones a números enteros.
6x – 12 = 4x + 16 …eliminando paréntesis.
6x – 4x = 16 + 12 …transposición de términos.
2x = 28
…reducción de términos semejantes.
x = 14
¡Compruébelo usted mismo(a)!
…dividiendo entre 2 ambos lados.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES
El proceso de resolución de problemas con ecuaciones lineales se puede reducir a cinco
pasos.
Ejemplo 1:
Se compraron 6 lápices y 10 bolígrafos a 100 lempiras. Un bolígrafo cuesta 2 lempiras más
que un lápiz. ¿Cuánto cuesta un bolígrafo?
1º) Determinar los datos dados y los buscados.
Datos dados: Se compraron 6 lápices y 10 bolígrafos a 100 lempiras.
Un bolígrafo cuesta 2 lempiras más que un lápiz.
Datos buscados: El precio de un lápiz. El precio de un bolígrafo.
2º) Decidir que cantidad será x y expresar las otras cantidades en términos de x.
El precio del lápiz: x (lempiras)
El precio del bolígrafo: x + 2 (lempiras)
La suma de los precios (seis lápices más diez boligrafos): 6x + 10(x + 2)
3º) Expresar en la forma de una ecuación las cantidades iguales.
6x + 10(x + 2) = 100
4º) Resolver la ecuación.
6x + 10(x + 2) = 100
6x + 10x + 20 = 100
16x = 100 – 20
16x = 80
X = 5
286

5º) Averiguar si la solución de la ecuación puede ser la respuesta al problema.
El precio del lápiz: x = 5(lempiras)
El precio del bolígrafo: x+2 = 5+2 = 7(lempiras)
El precio del lápiz es de 5 lempiras y el de un bolígrafo es de 7 lempiras.
Para comprobar la solución se sustituye el valor de x en la ecuación planteada.
6x + 10(x + 2) = 100
6(5) + 10(5 + 2) = 100
30 + 10(7) = 100
30 + 70 = 100
100 = 100
Ejercicios 6 Secuencia 3 bloque II
1) Relacione la columna de las ecuaciones originales con paréntesis y denominadores con
la columna de ecuaciones equivalentes sin paréntesis y sin denominadores.
a) 5(x+2) = (2x)(–5) 2x + 5 = 11
b) (x+5) + x = 11 3x – 6 = 2x + 8
c) 5x + 15 = 30
d) 8 – 4(x+2) = 12 9x – 24 – 2 = 1
e) –2x = –18
f) 5(x+3) = 30 5x + 10 = –10x
g) 7 – (2x–5) = –6 8 – 4x – 8 = 12
2) Encuentre el conjunto solución de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior.
3) Hallar el conjunto solución de:
a)
b)
c)
d)
287

4) Plantee y encuentre el conjunto solución de:
a) Hay dos cintas una amarilla y una verde. El largo de la cinta verde mide 2 veces el de la
cinta amarilla más 10 cm. La suma del largo de ambas cintas es 100 cm. ¿Cuánto mide
la cinta amarilla?
Programa de Televisión 2 Secuencia 3 bloque II
Observe el programa de televisión Pensamiento lógico en el cual se mostrará algunas
de las aplicaciones de las ecuaciones lineales a la vida real.
Ejercicios 7 Secuencia 3 bloque II
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
Conteste las siguientes preguntas.
a) ¿Qué es una igualdad?
b) ¿Qué establece la propiedad reflexiva en una igualdad?
c) ¿Qué establece la propiedad uniforme en una igualdad?
d) ¿Qué es una ecuación?
e) ¿Cuáles son las partes de una ecuación?
f) ¿Qué propiedades de la igualdad se aplican a las ecuaciones?
g) ¿Qué diferencia hay entre una igualdad y una ecuación?
h) ¿Cuál es el término independiente de una ecuación?
i) ¿Cómo se comprueba el resultado en una ecuación?
j) ¿Qué es el conjunto solución de una ecuación?
k) ¿Cómo se reducen los términos semejantes?
l) ¿Qué es la transposición de términos?
288

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
Determine cuáles de las siguientes igualdades numéricas son verdaderas y cuáles son
falsas:
a) 45 – 15 = 30
b) 10 – 18 = –8
c) (0.4)(3) = 0.12
d)
e)
De los valores 0, 1, 2 y 3 ¿Cuáles son soluciones de las siguientes ecuaciones?:
a) 5 – 2x = 1
b) 2x + 3 = 12 – x
Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) 5x = 40
b) -3x = -15
c) 7x = 21
d) –x = 8
e) 2x + 3 = –x
f) 8 = 3x -1
g) -2x -1 = 3x + 14
h) 4x + 1 = x + 4
i) 0.3x + 4 = 0.2x + 4.4
j) 0.5x + 1 = x -2
k)
l)
m)
Plantee y encuentre el conjunto solución de:
a) La suma de tres números es 130. El segundo es 4 unidades mayor que el menor y el
tercero es 6 unidades mayor que el menor. ¿Cuáles son los números?
289

290

Secuencia de Aprendizaje 4 Bloque II
LA RAZÓN PROPORCIONADA
Se ha preguntado alguna vez ¿Cómo es el 10 comparado con el 20?, si no lo ha hecho se
podría pensar que el 10 es la mitad de 20 o que el 20 es el doble de 10, incluso por cada
unidad de 10, existen 2 en 20.
La situación es que las formas más usuales de comparar dos cantidades son: a determinar
por cuántas unidades es mayor una con respecto a la otra y cuántas veces contiene una
a la otra. Dado este contexto, es muy útil apoyarse en él para poder dar solución práctica a
problemas que tienen que ver con situaciones cotidianas, como por ejemplo las transacciones
comerciales y monetarias.
Por esta y otras razones en esta secuencia conocerá, comprenderá y aplicará las
proporciones en la solución de problemas de su vida, y para tal efecto se hará un estudio de
las razones geométrica, aritmética y las propiedades fundamentales de estas como base de
las proporciones y sus diferentes aplicaciones, como el porcentaje.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Desarrollen el concepto de proporcionalidad.
2. Distingan la proporcionalidad directa de la inversa.
Un poco de historia
Sabía usted que durante buena parte del siglo XVI la multiplicación y la división eran
operaciones que no estaban al alcance de la mayoría de las personas y que en los centros
monetarios más importantes de Europa dispusieron tablas para facilitar los cálculos y éstas
se guardaban en bóvedas seguras como información muy confidencial. Este ocultismo se
mantuvo hasta que el número de calculadores hábiles aumentó de forma considerable,
este incremento se vio favorecido por la publicación de estupendas aritméticas comerciales
en las que se desarrollaban los contenidos teórico-prácticos imprescindibles para que los
clientes o los dueños de los bancos pudiesen detectar cualquier error o fraude.
291

En la historia de las matemáticas, durante ese siglo, se habla del matemático Simon Stevin
(1548–1620), es conocido como uno de los primeros expositores de la teoría de las fracciones
decimales y por sus grandes aportes a la aritmética comercial en cuanto al cálculo del
interés simple, anualidades y descuentos, que tienen su base en el conocimiento de las
razones y proporciones.
Pero antes de comenzar el estudio de las razones y proporciones es conveniente recordar
algunas operaciones con las fracciones y ciertas propiedades de estas, como:
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados de sus términos son iguales, es decir:
Ejemplo: Verificar si las fracciones dadas son equivalentes.
Solución: 4 × 2 = 8 × 1
Por lo tanto:
… efectuando el producto cruzado de los términos.
8 = 8
…las fracciones son equivelentes.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
Si
Entonces:
Ejemplo 1: Efectuar la siguiente multiplicación:
…simplificando.
292

…multiplicando y simplificando.
Ejemplo 2: Efectuar la siguiente división.
…simplificando,
…simplificando,
…cambiando por el inverso multiplicativo.
Ejercicios 1 Secuencia 4 bloque II
1. Verifique, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes:
a)
b)
c)
d)
2. Efectuar las siguientes operaciones:
a)
b)
293

3. Resuelva.
a) Un carpintero tarda horas en hacer un mueble. Si en pintarlo se tarda 1 hora,
¿En cuánto tiempo terminará el mueble?
b) Mario pesa 90 libras, José de lo que pesa Mario y Ana María 1 libra más de los que
pesa José, ¿Cuánto pesan entre los tres juntos?
Razones
Las formas más usuales de comparar dos cantidades son:
1) ¿Por cuántas unidades es mayor una con respecto a la otra?
Ejemplo:
La edad de Karla es de 40 años y la de su hijo Eduardo es de 10 años.
La primera comparación es:
40 – 10 = 30
Lo cual indica que Karla es 30 años mayor que Eduardo, o que Eduardo es menor 30 años
que Karla.
2) ¿Cuántas veces contiene una a la otra?
Si Karla tiene 40 años y su hijo 10 entonces:
Karla tiene 4 veces la edad de su hijo porque ó Eduardo tiene de la edad de su
mamá porque
Las razones tienen una gran aplicación en diversas disciplinas, por ejemplo en el área
contable para realizar movimientos financieros, en ingeniería se emplean las escalas para
realizar maquetas, ha observado que los mapas pueden ir acompañados de dos tipos de
escalas: la escala numérica y la escala gráfica, tanto las escalas numéricas como gráficas
son la razón entre las distancias en el mapa y las distancias reales que les corresponden.
294

En este mapa de Honduras por ejemplo, utiliza la escala numérica de 1: 50,000,000 ó
esto quiere decir que cualquier segmento del mapa con longitud 1 unidad representa a
50, 0000, 000 unidades de longitud en la realidad.
TÉRMINOS DE UNA RAZÓN GEOMÉTRICA
Al primer término de una razón se le llama antecedente y al segundo consecuente.
a antecedente
b consecuente a : b se lee a es a b
antecedente
consecuente
En el ejemplo de la escala del mapa:
antecedente
, ,
consecuente
Considere las siguientes situaciones:
a) Hugo encestó 48 tiros de 94 intentos; esto se puede representar como la razón (se lee
48 es a 94) y al simplificarla se tiene ; esto es: encestó 24 de 47 intentos.
b) Ayer faltaron 3 de 30 estudiantes de un grupo; si se representa esto como una razón
sería , es decir, 3 es a 30. Al simplificar se tiene , es decir, que: faltó 1 de cada 10
estudiantes del grupo.
c) Un automóvil recorre 900 km en 18 horas. En forma de razón y simplificado queda:
se interpreta: el automóvil va a una velocidad de 50 kilómetros por hora.
Observe que:
295

1) En los incisos a y b están consideradas unidades del mismo tipo (tiros libres con tiros
libres, estudiantes con estudiantes)
A la razón que involucra unidades del mismo tipo se le denomina razón interna.
2) En el inciso c están consideradas unidades de diferentes tipos (kilómetros con horas).
A la razón que involucra unidades de diferente tipo se le denomina razón externa.
Ejercicios 2 Secuencia 4 bloque II
Con su compañero(a) más próximo(a) realice en su cuaderno lo que se le pide.
1. Complete los siguientes enunciados.
a) Cuando dos cantidades se comparan a través de un cociente se trata de una
razón________________.
b) Los términos de una razón geométrica se denominan ______________y____________.
c) A la razón que incluye unidades del mismo tipo se le denomina _________________y
a la razón que involucra unidades de _______________tipo se le denomina razón
externa.
2. Establezca la razón geométrica que presenta cada una de las siguientes situaciones:
a) La escala entre dos fotografías de 10 cm a 5 cm.
b) Una motocicleta recorre 240 km en 2 horas.
c) 12 huevos cuestan L. 36.00.
d) 4 de cada 5 niños (as) han sido vacunados contra el sarampión.
3. Escriba una situación donde sean necesarias cada una de las razones que se dan:
a)
b)
4. En la razón 3:9
a) El antecedente es: b) El consecuente es:
5. Escriba la razón que represente a las situaciones que se dan; y a la par el tipo de razón
que es interna o externa.
a) Se recomienda que una persona duerma 8 de las 24 horas del día.
b) Un colibrí bate sus alas 160 veces por 2 segundos.
c) Coloca 50 ladrillos en 2 horas.
296

Programa de Televisión 1 Secuencia 4 bloque II
Observe el programa de televisión La razón proporcionada, el cual le muestra ejemplos de
fracciones equivalentes y cómo estas se relacionan con las proporciones.
Proporciones
Ya ha estudiado lo que es una razón, ahora es necesario apoyarse en ella para comprender
lo qué es una proporción y ver su utilidad en la solución práctica de problemas que tienen
que ver con situaciones cotidianas, como transacciones comerciales, monetarias, etcétera.
Por ejemplo, si el precio de 2 dulces es de L. 5.00, entonces 4 dulces cuestan L. 10.00, 6
dulces cuestan L. 15.00, 8 dulces cuestan L. 20.00 y así sucesivamente.
Estas son razones iguales que muestran el precio de los dulces.
La relación entre cada una de estas razones es la misma, pues el precio de cada dulce es
el mismo en cada razón.
Se denomina proporción a la igualdad de dos razones y se representa como:
A los términos a y d de la proporción se les conoce como extremos; a los términos b y c se les
conoce como medios.
Por ejemplo: 2 = 6
5 15
ó 2:5 = 6:15
Así en la proporción ó 2:5 = 6:15 los extremos son 2 y 15; a su vez 5 y 6 son los medios.
Observe que sucede si se multiplican los medios y los extremos entre sí:
5 6 = 30 y 2 15 = 30
297

En efecto, los productos obtenidos son iguales, por lo que en toda proporción el producto de
los medios es igual al producto de los extremos. A esta característica se le llama Propiedad
Fundamental de las Proporciones.
Propiedad Fundamental de las Proporciones.
En toda proporción a b = c d
ó a: b = c: d se tienen que: ad = bc, donde b y d ≠ 0
La propiedad fundamental de las proporciones tiene mucha utilidad en la solución de
problemas en los que dada una proporción, se desconoce alguna de sus partes.
Ejemplo 1: Hallar el valor desconocido en la siguiente proporción.
El valor del número a se puede obtener así:
Como entonces
extremos medios
Observe que la multiplicación de los medios y los extremos debe ser igual a 45, por lo tanto en
los extremos se debe buscar un número que multiplicado por tres de 45, este número es 15.
Otra forma de encontrar el valor de “a” es dividir la multiplicación de los medios entre el
extremo conocido, así:
a = 15 lo que se puede comprobar.
a 3 = 9 5, se sabe que a vale 15
Entonces:
15 × 3 = 9 × 5
45 = 45
Ejemplo 2: Hallar el valor desconocido en la siguiente proporción:
que es lo mismo que 5: 2 = : 8
Observe que el valor desconocido “a” está en un medio y para encontrar ese valor se divide
la multiplicación de los extremos entre el medio conocido, así:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, se tiene:
298

Entonces:
5 8 = 2 20
40 = 40
Recuerde:
Una proporción se determina por la equivalencia de dos razones. Por otra parte al
simplificar una razón cambia su forma pero no su valor.
Ejercicios 3 Secuencia 4 bloque II
1. Trabaje en su cuaderno estableciendo la razón que representan las siguientes situaciones:
a) Un automóvil recorre 180 km en 3 horas.
b) Un futbolista anotó 3 goles en 9 lanzamientos a la portería.
2. Complete en su cuaderno lo siguiente:
a) La equivalencia de dos razones forma una__________________.
b) En toda proporción el producto de los_______________________ es igual al producto
de los ___________________.
3. Encuentre el valor de a en cada una de las siguientes proporciones:
a)
b)
c)
d)
4. Resuelva el siguiente problema:
a) Si un tren recorre 200 km en 4 horas, ¿Cuánto tiempo necesita para recorrer 300 km
con la misma velocidad?; ¿Qué pasa con el tiempo si aumenta la distancia?;
¿Qué pasa si disminuye la distancia?; anote la proporción que representan los datos
del problema.
299

Variación proporcional
Analice el siguiente ejemplo:
1. Si un lápiz cuesta L.12.00, ¿Cuánto cuestan 2, 3 y 8 lápices?
A fin de resolver el siguiente problema se elabora la siguiente tabla:
Número de
lápices
1 2 3 8
Precio 12 24 36 96
Observe que el precio total varía según el número de lápices, pero el precio unitario es el
mismo, es decir, la razón entre el precio y el número de lápices es equivalente en cada caso,
lo cual se representa así:
Precio
Número de
lápices
Estas razones expresan entre sí cantidades que tienen una variación proporcional.
Considere el siguiente ejemplo:
2. Si por cada bolsita de café que se producen 14 tazas, entonces, ¿Cuántas bolsitas
se necesitan para producir 56 tazas?; si aumenta el número de tasas ¿Aumentará el
número de bolsitas de café?, ¿Existe una variación proporcional entre el número de
tazas y las bolsitas de café?
Este problema se resuelve utilizando la razón que hay entre el número de tazas y las bolsitas
de café, dicha razón se presenta de la siguiente manera:
Bolsitas de café
Tasas
Donde es la cantidad de bolsitas de café que se requieren para elaborar las 56 tasas.
300

Al resolver la proporción mediante de la propiedad fundamental de las proporciones, se
obtiene:
La resolución de esta proporción permite dar una respuesta; es decir, al aumentar la
producción a 56 tazas se incrementa la cantidad a 4 bolsitas de café. Por lo tanto, si hay
una variación proporcional.
En resumen, dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumento de
una de ellas corresponde un incremento a la otra y viceversa, es decir, cuando una de ellas
disminuye la otra también lo hace.
A continuación se muestra otro ejemplo de problemas que con frecuencia se presentan en
situaciones habituales.
3. Considere que el rendimiento en el trabajo de un grupo de albañiles es uniforme y que
4 albañiles hacen determinado trabajo en 6 horas, ¿Qué sucedería si se aumentara o
disminuyera el número de albañiles para realizar el mismo trabajo?
Observe la tabla siguiente:
Columna A Columna B Columna C
Número de albañiles
Tiempo que tardan en hacer
el trabajo
Producto de (A) por (B)
12 2 horas 24
8 ? 24
4 6 horas 24
2 ? 24
1 24 horas 24
Observe la columna (A), en donde el número de albañiles va de mayor (12) a menor (1); en
tanto que la columna (B) el número de horas va de menor (2) a mayor (24). Sin embargo,
los productos de los números de ambas columnas son iguales (12x2=24, 6x4=24, etcétera).
Del cuadro anterior se puede concluir que si el número de obreros aumenta disminuye el
número de horas para realizar el trabajo, y viceversa, es decir, si disminuye el número de
obreros, aumenta el número de horas. A las cantidades que se relacionan de esta manera
se les denomina magnitudes inversamente proporcionales.
Observe la tabla en la columna (C) que el número que aparece en todos los renglones es 24;
sin embargo, en la columna (B) hay dos renglones en donde falta un número, el cual debe
multiplicarse por el de la columna (A), a fin de que su producto sea igual al de la columna (C).
Para completar esta tabla se puede seguir el siguiente procedimiento:
Si 4 albañiles hacen determinado trabajo en 6 horas, ¿En qué tiempo realizarán 8 albañiles
el mismo trabajo?
301

Supuesto: 4 albañiles emplean 6 horas
Pregunta: 8 albañiles emplean x horas
Nótese que al plantear las condiciones del problema queda:
4 6 = 8
Si 4 6 = 24, entonces: 8 = 24
¿Cuál es el factor que falta para que se obtenga el producto?
Es el número 3 porque 4 6 = 8 3 = 24.
¿Qué tiempo tardan dos albañiles en hacer el trabajo?
Cuando la proporción es directa, las dos cantidades aumentan o disminuyen al mismo
tiempo. Pero si la variación es inversa, una cantidad aumenta en tanto la otra disminuye, y
viceversa.
Ejercicios 4 Secuencia 4 bloque II
Forme grupos de tres integrantes, desarrolle lo que se le pide, compare y comente las
respuestas con sus compañeros(as), y muestre las respuestas a su docente.
1. Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es una razón?
b) ¿Qué es una proporción?
2. Escriba en su cuaderno las razones que se le dan a continuación y una con flechas las
que sean equivalentes:
3. Comente y conteste con sus compañeros de grupo lo siguiente:
a) Si una docena de gallinas cuesta L. 250.00; ¿Cuánto cuestan 6 gallinas?
b) Si el número de gallinas aumenta, el número de lempiras______
c) Si el número de gallinas disminuye, el número de lempiras_____
302

4. Elabore una tabla en su cuaderno en la que represente la siguiente situación:
a) Para estribar una carga de sacos de maíz en una bodega 4 hombres tardan 6 horas,
¿Cuánto tiempo tardarán en estibar la misma carga de sacos, 8, 6 y 2 hombres?
5. Complete las siguientes proporciones:
a)
b)
c)
d)
e) 16 2 = 32
f) 40 = 10 2
Programa de Televisión 2 Secuencia 4 bloque II
Atienda con interés el programa de televisión Fracciones y proporciones, en el cual
conocerá situaciones en donde se presenta la variación proporcional y cómo encontrar el
término desconocido en proporciones complejas.
Variación directamente proporcional
Con frecuencia se manejan en la vida diaria situaciones que están ligadas entre si, como el
peso (lbs.) de una mercancía (frijoles, arroz, etcétera) y su costo en lempiras (L.); el valor
de artículos (lápices, borradores, etcétera) y el número de artículos comprados, etcétera.
Para conocer la variación de esas magnitudes y otras más, considérese el siguiente
planteamiento:
303

Si una cuadrilla de técnicos de la ENEE puede en 8 días colocar 10 postes de alumbrado
eléctrico, en 16 días (el doble número de días) podrá colocar 20 postes (el doble número de
postes) y, en 4 días (la mitad del número de días), habrán de colocar 5 postes (la mitad del
número de postes).
La situación que plantea el problema puede presentarse ordenada mediante una tabla como
ésta:
Postes de alumbrado eléctrico
Tiempo
20 16
10 8
5 4
Observe con atención y notará que cada vez que el número de días aumenta, el número de
postes colocados también aumenta y, cuando los días trabajados disminuyen, el número de
postes colocados disminuye también.
Asimismo, se ve que en cada columna hay una fracción común que representa la relación
constante entre los postes colocados y los días:
Si estas cantidades se interpretan como cocientes y se realizan las divisiones, se obtiene:
Además de que ambos elementos de la fracción común varían en la misma proporción, el
cociente de la división se mantiene constante. Esto se puede expresar así:
Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar la primera cantidad un
determinado número de veces, aumenta también la segunda ese mismo número de veces, y si al
disminuir la primera cantidad un determinado número de veces, disminuye también la segunda
ese mismo número de veces. Igualmente, dos cantidades son directamente proporcionales
cuando su cociente es constante. A este cociente se le llama constante de proporcionalidad y
se representa con la letra k.
304

Ejemplo 1:
En una casa se consumen mensualmente 300 kilovatios de electricidad; si la factura de
consumo de electricidad es de L. 150.00, ¿Cuál será el costo de consumo por 120, 180, 230,
450, 600 kilovatios?
Datos
300 kilovatios mensuales………………………………..L. 150.00
120 kilovatios mensuales………………………………..L.
Proceso
Se forman las razones y se establecen la proporción. Para ello, debe cuidarse que las
cantidades se escriban como en el planteamiento, cada razón debe tener las mismas
unidades (en este caso kilovatios con kilovatios y lempiras con lempiras).
Kilovatios Costo
Se resuelve el problema multiplicando los medios luego dividir este producto entre el otro
extremo conocido para encontrar el valor de x, así:
Respuesta
Por 120 kilovatios de consumo de electricidad se pagan L. 60.00
Se procede de igual forma con cada valor de kilovatios consumidos (180, 230, 450 y 600) y
se pasan los datos a una tabla como sigue:
Simplificando cada razón y obteniendo el cociente respectivo, se tiene:
Al analizar el problema, se observó que: “al aumentar el consumo de electricidad, también
aumento el costo que se paga por este consumo”, además, el cociente de proporcionalidad
es constante (0.5). Esto significa que las cantidades son directamente proporcionales y su
constante de proporcionalidad es k = 0.5
305

Ejercicios 5 Secuencia 4 bloque II
1. Escriba y conteste en su cuaderno lo siguiente:
a) Si dos o más cantidades son directamente proporcionales, su cociente es:
_______________ a ese cociente se le llama constante de ____________________
y se le representa con la letra __________.
b) Mencione dos situaciones que se dan en su comunidad que representan una variación
directamente proporcional.
2. Analice la situación que se plantea a continuación; elabore una tabla con las cantidades,
compare cada cociente y si existe o no variación proporcional, siguiendo el esquema
dado.
Un boletín médico reporta que en Honduras de cada 10 habitantes, 6 padecen de caries.
En comunidades de 2000, 5000, 20000, 100000 y 300000, ¿Cuántas de ellas tienen
caries en cada comunidad?
Datos
Establezca el planteamiento para cada comunidad, así:
10 Habitantes……………………………………….6 personas con caries.
Habitantes……………………………………… X personas con caries
Proceso
Forme las razones y establezca las proporciones
Habitantes Padecen caries
Pase sus resultados a la tabla siguiente:
x =
306

Compare por cociente la relación entre la incidencia de caries y el número de habitantes
Respuesta
La variación es ____________________ proporcional y el valor de la constante de
proporcionalidad es____________.
Compare con sus compañeros las respuestas. Si no coinciden, rectifique el procedimiento
y corrija.
3. Siguiendo el planteamiento anterior, resuelva el siguiente problema:
Si en una maquila ubicada en San Pedro Sula cortan invariablemente 360 modelos de
camisetas en 4 horas, ¿Cuántos modelos se deberán cortar en jornadas de 1, 2, 5, 6 y 8
horas?
Aplicaciones de la proporcionalidad
Recuerde que la comparación por cocientes entre dos números es una razón y que la
igualdad entre dos razones es una proporción.
La proporcionalidad tiene muchas aplicaciones en la solución de problemas cotidianos y
algunas de estas pasan desapercibidas como el uso de las escalas, leyes de la física y
química y el cálculo de impuestos, entre otras.
LAS ESCALAS
Las escalas con frecuencia se utilizan para dibujar objetos grandes o pequeños. La escala
de un dibujo es la razón constante de una distancia entre dos puntos correspondientes en
el objeto real, se elige en función del tamaño de la realidad y del tamaño del papel en el que
se dibujará.
Ejemplo 1:
Para que el mapa de Honduras quepa en una hoja habrá que dibujarlo a una escala
muy grande: 1:10,000,000, significa que 1 unidad (cm, mm, etc.) en el mapa representa
10.000.000 de unidades (cm, mm, etc.) en el terreno real.
Ejemplo 2:
Un dibujo de un autobús podría hacerse con una escala de 1 a 120, y el del zancudo
podría hacerse con una escala de 4 a 1. Esto quiere decir que en el dibujo del autobús 1cm
corresponde a 120 cm en la realidad y que en el dibujo del zancudo 4 cm corresponden 1
cm de la realidad.
307

Se puede usar la escala de un dibujo para establecer la proporción y encontrar las
dimensiones reales de los objetos que se muestran. Por ejemplo: Se encontrará la longitud
real del autobús que se muestra en la figura anterior.
Solución:
Se llamará “a” a la longitud real del autobús porque no se conoce y se establece la siguiente
proporción:
La longitud real del autobús es de 960 cm ó 9.60 m.
RAZONES Y PROPORCIONES EN OTRAS CIENCIAS
1. La ley de gases de Gay Lussac dice que si la presión es constante, el volumen y la
temperatura son proporcionales.
En donde: = volumen inicial = volumen final
= temperatura inicial = temperatura final
Esto es:
A una temperatura de 100 ºC el volumen de un gas es de 80 . Calcule el volumen de este
gas si se calienta a una temperatura de 220 ºC, considerando que la presión es constante.
Solución:
La temperatura inicial =100 ºC
El volumen inicial = 80
Temperatura final = 220 ºC
El volumen final es
308

Se establece la siguiente proporción:
El volumen final al calentar el gas es de 176
2. En un circuito eléctrico, la intensidad de la corriente (I) es proporcional al voltaje (V), es
decir un voltaje más alto produce una corriente más intensa.
Por ejemplo: una pila produce un voltaje de 1.5 voltios, dos de ellas conectadas en serie
(como la figura) producen un voltaje de 3 voltios. El amperímetro mide la intensidad de
corriente (I) en amperios (A). Si 3 voltios producen una corriente de 5 A, ¿Cuántos amperios
producirán 6 voltios?
Con los datos anteriores establecemos la siguiente proporción:
6 voltios producen 10 A.
Ejercicios 6 Secuencia 4 bloque II
Resuelva con un compañero(a) en su cuaderno, los siguientes problemas de proporcionalidad:
1. El dibujo del elefante está hecho a una escala: 1 a 150 cm, si este tiene 4.5 cm ¿Cuánto
mide el elefante en la realidad?
2. La rapidez de un automóvil es de 70 Km/hr y demora 6 horas en recorrer cierta distancia.
¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez
de 80 Km/hr?
3. Si el volumen inicial de un gas es de 25 cm^3 a una temperatura de 75 ºC, ¿Cuál será el
volumen final si se somete a una temperatura de 100 ºC?
4. Si una pila de 4.5 voltios producen 6 (A), ¿Cuántos amperios producirá una pila de 7
voltios?
309

5. Si una persona de 1.65m proyecta una sombra de 2 m a las 10 de la mañana, ¿Cuántos
metros de sombra proyectará otra persona que mide 1.90 m?, a la misma hora y en el
mismo lugar.
Ejercicios 7 Secuencia 4 bloque II
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparando las respuestas con sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
Conteste en su cuaderno las siguientes preguntas.
a) ¿Qué es una razón?
b) ¿Cuál es la diferencia entre una razón geométrica y una aritmética?, de ejemplos.
c) ¿Cuáles son las partes de una razón?
d) ¿Qué es una proporción?, de ejemplos.
e) ¿Cuáles son los términos de una proporción?
f) Defina con sus palabras ¿Qué es una proporción directamente proporcional?
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
Con base en las siguientes situaciones analice y conteste en su cuaderno las interrogantes
que se plantean:
1. Un curso se comprometió a plantar árboles. La secretaria del curso presenta un cuadro
resumen de la cantidad de niños y niñas comprometidos para ésta actividad.
De acuerdo a los datos, escriba la razón entre:
a) El número de niños que plantarán Pinos y el total de niños del curso.
b) El número de niños que plantarán eucalipto y el total de niños del curso.
c) El número de niñas que plantarán Pinos y el total de niñas del curso.
d) El número de niñas que plantarán palmeras y el total de niñas del curso.
e) El número de niñas que plantarán eucalipto y el total de niñas del curso.
310

Determine qué parte del total de niños del curso se dedicará a plantar:
a) Pinos.
b) Eucaliptus.
c) Palmeras.
Determine qué parte del total de niñas del curso se dedicará a plantar:
a) Pinos.
b) Eucaliptus.
c) Palmeras.
Recuerde que una razón al igual que una fracción puede ser amplificada o simplificada:
1. Un automóvil viaja a una velocidad constante y tarda 2 horas en recorrer una distancia
de 180 km, ¿Qué distancia recorrerá en 1, 3, 5 y 7 horas si conserva la misma velocidad?
2. Un saco de 144 naranjas vale L.36.00; ¿Cuánto costarán 108, 72, 54, 36 y 18 naranjas?
311

312

Secuencia de Aprendizaje 5 Bloque II
VALOR DESCONOCIDO.
En el diario vivir es muy frecuente que se presenten problemas en los que se requiere
calcular que parte representa un número de otro dado, es decir, el tanto por ciento de un
número.
Generalmente, las comisiones por un trabajo o ventas realizadas, el descuento por concepto
de impuestos sobre la renta de salarios, el interés que se recibe por ahorros o que se paga
por préstamos, etcétera, se fijan en forma de tanto por ciento.
Una de las aplicaciones de este concepto lo podemos visualizar en la escuela, cuando se
asigna un trabajo, una investigación o una exposición, la cual se acredita con un valor que
representa un porcentaje de la nota final.
Sin lugar a dudas, el signo del tanto por ciento es conocido por casi todas las personas,
ya que aparece en los periódicos, revistas, tiendas, etcétera, y debido a que su presencia
es muy común en la vida cotidiana su significado debe ser comprendido con toda claridad,
y precisamente es lo que se pretende en esta secuencia, resolver problemas en los que
interviene el conocimiento del tanto por ciento, como: los aumentos y descuentos.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Apliquen el tanto por ciento en las transacciones comerciales de uso frecuente.
Curiosidad matemática: la divina proporción
Los arquitectos antiguos especialmente en Grecia tenian muy en cuenta las proporciones
al diseñar los edificios importantes de la ciudad. Había una proporción muy especial y
preferida, la llamada proporción divina o proporción aurea, y el número que la representaba
era llamado el número de oro.
Sin embargo su aplicación práctica se le debe especialmente al matemático italiano del
Renacimiento Lucas Pacioli, este personaje aceptó una oferta de Ludovico el Moro en 1497
313

para colaborar con Leonardo da Vinci en los estudios referidos a la sección aurea que él
llamaba Divina Proporción.
La divina proporción está representada por la letra griega (fi), se trata de un número que
posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como
“unidad” sino como relación o proporción.
Por ejemplo en la fachada rectangular de un edificio, si la medida de la altura “b” y la del
ancho es “a”, entonces para que la proporción entre estos componentes sea aurea debe
cumplir lo siguiente:
b
a
b
=
b + a
Los griegos creían que era la medida de la proporción divina, de la belleza perfecta, y
se encuentra en el universo entero, desde caracoles, la cara de los tigres, las aletas de
los peces, hasta el crecimiento demográfico, la pintura, la música, la arquitectura, las
proporciones de nuestro cuerpo, de nuestro ADN, de los girasoles. Lo extremadamente
curioso y verdaderamente sorprendente reside en que no se encuentra sólo en cosas
artificiales y “humanas”, sino en la propia naturaleza y en cosas incontrolables.
Algunas curiosidades:
Si divide su altura total entre la distancia del suelo a su ombligo da (en realidad da algo
cercano, si diera nuestras proporciones de altura serían perfectas).
Las espirales de los caracoles crecen en proporción , al igual que ocurre en los girasoles
y los pétalos de las rosas.
El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas
que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo
da Vinci es el número de oro.
314

Ejercicios 1 Secuencia 5 bloque II
Comente con sus compañeros(as) las respuestas de las siguientes interrogantes y proponga
ejemplos de la vida real en los que se aplique cada uno de los conceptos:
1. ¿Qué es una razón?
2. ¿Cuáles son los términos de una razón?
3. ¿Cuáles son las clases de razones?
4. ¿Qué es una proporción?
5. ¿Cuáles son los términos de una proporción?
6. ¿Qué dice la propiedad fundamental de las proporciones y para qué se puede utilizar?
7. ¿Cuándo dos cantidades son directamente proporcionales?
Resuelva los siguientes problemas utilizando proporciones:
a) Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 2 minutos si
mantiene su velocidad constante?
b) 14 operarios efectúan un trabajo en 6 días. ¿Cuánto demorarían 42 operarios
trabajando la misma cantidad de horas diarias?
c) Considerando que 8 operarios efectúan un trabajo en 24 días, complete la siguiente
tabla:
d) Calcule el valor de 4 huevos si una docena cuesta 15 lempiras.
Programa de Televisión 1 Secuencia 5 bloque II
Observe con mucha atención el programa televisivo: una regla muy útil, en el que verá
la aplicación de la regla de tres en la solución de problemas cotidianos de porcentaje. Al
final comente con sus compañeros(as) las situaciones presentadas y la forma en que se
interpretan.
315

Tanto por ciento de una cantidad
En la vida diaria es muy frecuente que se presenten problemas en los que se requiere
calcular el tanto por ciento de un número.
El tanto por ciento expresa el número de unidades que se toman de cada ciento, para
entender mejor este concepto considere los siguientes ejemplos:
1. En un centro de educación, 60 de cada 100 estudiantes son mujeres.
2. En Honduras, 80 de cada 100 habitantes son pobres.
3. En una biblioteca 6 de cada 100 libros son de matemáticas.
Al establecer una razón con cada inciso se obtiene:
En el primero, ó 60:100 simplificando queda igual a 3:5 y se lee 3 es a 5.
En el segundo, ó 8:10 y se lee 8 es a 10.
En el tercero, ó 6:100 y se lee 6 es a 100.
Observe que cada una de estas razones tiene algo en común y es que el consecuente
(denominador) es el mismo, es decir, 100.
El tanto por ciento es la razón que existe entre un número y 100, y se indica con el símbolo %
Por otra parte, en la fracción al dividir el numerador entre el denominador el cociente es
0.60.
60% significa 60 partes tomadas de cada 100 , es decir, = 0.60= 60%.
Llámese tanto por ciento al número de partes que se toman de cada 100.
Ejemplos:
55% = 55
89
, 89% = , 100 100 4% = 4
38
, 38% =
100 100
Para expresar un número decimal en tanto por ciento, basta con leer el número de centésimas
que contiene, o lo que es lo mismo multiplicar la expresión decimal por una fracción cuyo
numerador y denominador sea 100.
Ejemplos: Expresar en tanto por ciento: a) 0.835 b) 7.05 c) 0.2
Solución:
a)
316

)
c)
Si la expresión dada es una fracción y se debe expresar como un tanto por ciento (%), se
calcula la expresión decimal y a esta se le aplica lo anotado en los ejemplos anteriores.
Solución:
a)
b)
De manera análoga se puede convertir un tanto por ciento en fracción, expresándolo en
las partes que se toma de cada 100 y luego multiplicarla por una fracción cuyo numerador y
denominador sea: 10 si el tanto por ciento (%) dado tiene una cifra decimal, 100 si tiene dos
cifras decimales, etcétera; luego se simplifica la fracción resultante.
Ejemplos: Expresar cada tanto por ciento (%) como fracción: a) 50% b) 37.5%
a) 50%
…expresando el % con las partes que se toman de cada 100.
…simplificando,
Por lo tanto:
b) 37.5%
…expresando el % con las partes que se toman de cada 100.
…multiplicando por una fracción con denominador y numerador 10.
Por lo tanto:
…simplificando,
317

Ejercicios 2 Secuencia 5 Bloque II
1. Expresar en tanto por ciento:
a) 0.32
b) 0.0052
c) 1.5
d) 23.5
e)
f)
g)
h)
2. Expresar cada tanto por ciento a fracción común.
a) 25%
b) 100%
c) 0.25%
d) 1.25%
318

Aplicaciones del tanto por ciento
Para seguir desarrollando la idea de tanto por ciento, considere el siguiente ejemplo:
1. En un centro básico, 15% de las alumnas asisten a clases de danza moderna. Si en
el centro básico hay 200 alumnas matriculadas. ¿Cuántas alumnas reciben clases de
danza moderna?
Solución:
Datos
15% de alumnas en danza moderna.
200 es el total de alumnas matriculadas en el centro básico.
Proceso
Si se expresa el tanto por ciento con las partes que se toman de cada 100, se tiene:
Se establece la proporción de la siguiente manera: si 15 alumnas de cada 100 reciben
clases de danza moderna, entonces cuántas alumnas (x) reciben de 200, es decir:
Al aplicar la propiedad fundamental de las proporciones, se tiene:
Respuesta
30 alumnas reciben las clases de danza moderna.
2. En un centro básico de 825 los estudiantes matriculados(as), el 24% aprobaron el año sin
reprobar ninguna asignatura. ¿Cuántos los estudiantes aprobaron?
Solución:
Datos
825 total de los estudiantes
24% aprobados
319

Proceso
… ¿Qué se hizo?
… ¿Qué se hizo?
Respuesta
198 los estudiantes aprobaron el año.
CÁLCULO DEL TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO
Hasta ahora ha aprendido a calcular el % utilizando proporciones, sin embargo, se puede
calcular de distintas formas. Una es cuando se da un número llamado base y el tanto por
ciento (%) que se desea encontrar con respecto a la base.
Para calcular el porcentaje que le corresponde al número o cantidad dada (base), se
multiplica dicha base por la expresión racional o decimal del tanto por ciento, así:
Ejemplo 1: Hallar el 15% de 80.
Solución:
…calculando la expresión decimal del tanto por ciento.
0.15 80 = 12 …multiplicando la base por la expresión decimal del tanto
por ciento.
Por lo tanto:
12 es el 15% de 80.
Ejemplo 2: Hallar el
% de L.200.00.
Solución:
% = 0.25% …calculando la expresión decimal de la fracción.
0.25% = = 0.0025 … ¿Qué se hizo?
0.0025 x 200 = 0.5 … ¿Qué se hizo?
Por lo tanto:
0.5 es el % de 200.
320

Ejercicios 3 Secuencia 5 bloque II
Reúnase con dos compañeros(as) y desarrolle los siguientes ejercicios:
1. Reducir cada expresión a tanto por ciento:
a)
b)
c) 0.45
2. Reducir cada tanto por ciento a fracción común:
a) 25%
b) 50%
c) 15%
3. Hallar el:
a) 20% de 500
b) 50% de 24.6
c) % de 120
d) 35% de 500
e) 50% de 50
f) 80% de 200
g) 3.5% de 10
h) 65% de 100
i) 65% de 35
j) 25% de 1.25
k) 10% de 1500
4. Resolver los siguientes problemas:
a) Una persona tiene que pagar L. 800.00. Si se le rebaja el 5% de su deuda,
¿Cuánto pagó?
b) Una señora quiere comprar un mueble, para lo cual se le presentan las siguientes
alternativas de pago: de contado le descuentan un 30%; si paga en un mes, le rebajan
el 5%; en dos meses paga el precio original que es de L. 1,960.00; pero si lo liquida en
tres meses, se le hace un recargo de 7%. ¿Cuáles son los diferentes precios que tiene el
mismo mueble según la forma de pago. A fin de resolver el problema organice los datos
en la siguiente tabla:
Meses 0 1 2 3
Valor original
Descuento/Recargo
Precio
321

Ejercicios 4 Secuencia 5 bloque II
EJERCICIOS VERBALES
Forme grupos de tres integrantes y desarrolle lo que se le pide:
1. Explique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
a) El tanto por ciento es la cantidad que se toma de cada diez unidades.
b) 1/100 en porcentaje es igual a 1%.
c) 1/10 en porcentaje equivale al 10%.
d) Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar la primera cantidad
un determinado número de veces, aumenta también la segunda ese mismo número
de veces.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
1. Complete la siguiente tabla en la que se presenta el tanto por ciento como razón, como
expresión decimal y como fracción común:
2. Reducir cada expresión a tanto por ciento:
a)
b) 2.36
3. Reducir cada tanto por ciento a fracción común:
a) 37.5%
b) 0.15%
322

4. Hallar
a) 35% de 180
b) 25% de 500.25
c) % de 300
5. Resolver los siguientes problemas:
a) En un curso de 40 estudiantes, 95% practican algún deporte. ¿Cuántos estudiantes
no practican ningún deporte?
b) Una camisa tiene un costo de L.150.00. ¿A cómo debe de venderse para ganar un
25%?
c) En un centro básico de 300 estudiantes, el 40% son mujeres. ¿Cuántos varones hay?
323

324

Secuencia de Aprendizaje 6 Bloque II
VALORANDO LO QUE APRENDO
Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad
le plantea, su capacidad se encontrará constantemente evaluada por los problemas que
a diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este segundo bloque:
Álgebra. En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes de
esos conocimientos.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que los estudiantes:
1. Determinan procedimientos para reconocer y evaluar expresiones algebraicas,
reconociendo los términos y sus elementos.
2. Resuelven ecuaciones lineales para solventar situaciones de la vida diaria.
Constante, variable y término algebraico
En el lenguaje algebraico se utilizan símbolos para representar números y cantidades
cualesquiera y existen dos tipos:
Ejemplos:
1. La expresión A = bh 2
se emplea para calcular el área de un triángulo, donde:
A = Área del triángulo; b = base, h = altura
A, b y h: son las variables. Varían según el triángulo de que se trate.
2 es la constante. Su valor no varía.
325

TERMINO ALGEBRAICO
Para indicar, en Álgebra, el producto de dos o más números cualesquiera basta con anotar
las variables en secuencia, así: ab
Para indicar el producto de una constante con una o más variables, se anotan la constante
con las variables en secuencia, así: 2a, –3xyz
De lo anterior se concluye que:
Término Algebraico: es el producto indicado de constantes y variables.
Ejemplos:
3b, -5xx 2 , 2 xxxxxx, -3.2mmnn6
3
Los componentes de un término son:
5. Signo: Positivo(+) ó negativo(–). Si un término no tiene signo se considera positivo.
6. Coeficiente: Es el factor numérico que se escribe delante de la variable.
7. Variable: La letra o letras que forman el término.
8. Grado absoluto: La suma de los exponentes de las variables
TÉRMINOS SEMEJANTES, EXPRESIÓN REDUCIDA
Los términos que se pueden reducir son los que tienen los mismos elementos, es decir, que
son semejantes.
Términos semejantes: son los que tienen las mismas variables elevadas a los mismos
exponentes y que sólo pueden diferir en sus coeficientes.
Ejemplos:
y
son términos semejantes, pues las variables son las mismas (x,b,y),
sin importar que estén en diferente orden y están elevadas a los mismos
exponentes (1 y 3), aunque los coeficientes sean diferentes (–3 y 6).
y no son términos semejantes, pues aunque tengan el mismo coeficiente (–2)
y la misma variable (x), el exponente es diferente.
Expresión reducida de un polinomio es aquella que no tiene términos semejantes
Así cuando en una expresión hay términos semejantes, se pueden reducir conforme al
siguiente señalamiento:
1) Cuando los términos semejantes tienen un coeficiente de igual signo, estos se suman y
el resultado llevará el signo que ellos tenían seguido de la o las variables comunes.
326

Ejemplos:
Hallar la expresión reducida de:
c) 2n + 5n + n = (2 + 5 + 1)n = 8n
2) Cuando los términos semejantes tienen coeficientes con diferente signo, se restan los
valores absolutos y al resultado se le da el signo del sumando de mayor valor absoluto,
seguido de la o las variables comunes.
Ejemplo:
Hallar la expresión reducida de:
b) 3x – 5x + 4x –6x – x = 3x + 4x –5x –6x – x = 7x – 12x = –5x
3) Cuando en una expresión hay términos semejantes y otros que no lo son, se agrupan
los semejantes, después se reducen ambos términos conforme se señala en los incisos
anteriores.
Ejemplos:
Hallar la expresión reducida de:
b)
Cuando exista un término que no tenga semejante para reducirse, se conserva en la
expresión resultante con el signo que originalmente tenía.
VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene sustituyendo las variables
por sus valores numéricos respectivos y efectuando con tales valores, las operaciones
indicadas. Al efectuar estas operaciones, debe respetarse la prioridad de las operaciones
estudiadas anteriormente.
Por ejemplo: Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones:
d) si se aigna arbitrariamente, el valor a
Para encontrar el valor numérico de la expresión es necesario conocer el valor numérico de
cada uno de los términos que lo forman.
Recuerde que cuando aparecen una constante seguida de una variable o dos o más variables
sin que entre ellas haya un signo de + ó –, se trata de una multiplicación.
4) Se sustituye el número 2 por la variable x y se efectua la multiplicación con el coeficiente
3, lo cual da 6.
3x = (3)(2) = 6
5) Se sustituye el número 2 por la variable x, se efectua la potencia , luego se
327

multiplica con el coeficiente 2, lo cual da 8.
6) Una vez determinado el valor de cada término de la expresión algebraica, se reducen
todos hasta encontrar un solo valor que será el que corresponde a todo el polinomio, es
decir:
6 + 8 = 14
Por lo tanto, el valor numérico de , cuando x = 2 es 14.
ECUACIÓNES LINEALES
Una situación cotidiana se puede plantear como una igualdad estableciendo ciertas
relaciones entre los números. Por ejemplo:
a) Observe la siguiente balanza:
La balanza está en equilibrio por lo tanto los dos bloques pesan lo mismo, es decir, los pesos
de ambos lados se pueden expresar como una igualdad, así:
x + 3 = 5
En las igualdades anteriores se presentan valores desconocidos que se denotan por una
forma especial de igualdad: la ecuación.
Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El
término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente con letras.
Ejemplos de ecuaciones:
a) x + 5 = 8 b) 2x = 10 c) 3x – 1 = 5 d) 2x + 1 = 3x –2
En las ecuaciones se observa, lo mismo que en las igualdades, el primer y segundo miembro.
Primer miembro Segundo miembro
X + 3 = 5
328

Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la
primera potencia, la incógnita sólo puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x). Por esta
razón a las ecuaciones lineales también se les llama ecuaciones de primer grado.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Para resolver una ecuación con variable x se aplican las propiedades de la igualdad
transformándola en la forma X = a.
Observe en los siguientes ejercicios la aplicación de las propiedades para transformar una
ecuación:
a) b)
En el caso a se suma 4 en ambos miembros, observe que el término –4 en el lado izquierdo
se traslado al lado derecho con el signo +.
En el caso b se resta 2x en ambos miembros, observe que el término 2x en el lado derecho
se traslado al lado izquierdo con el signo –.
Después de estas consideraciones se puede concluir lo siguiente:
Aplicando la propiedad de los casos a y b (propiedad uniforme), se puede trasladar un
término de un miembro (lado) de una ecuación al otro miembro (lado) cambiando su signo.
Este proceso se llama transposición.
Ejemplo 1: hallar el conjunto solución de 5x – 4 = 3x + 6
5x – 4 = 3x + 6
… se transpone el término –4 del lado izquierdo al lado derecho de
igual y cambia a +4.
… se transpone el término 3x del lado derecho al lado izquierdo del
igual y cambia a -3x.
329

5x – 3x = +6 + 4
2x = 10
…se reducen los términos semejantes en ambos lados de la ecuación.
…multiplicando por el inverso multiplicativo.
X = 5
Observe cuando se tiene la expresión 2x = 10, se procede depués a multiplicar ambos
miembros por el inverso multiplicativo de 2 que es . En este caso el multiplicar por ambos
lados es lo mismo dividir por 2 (coeficiente de la variable) ambos términos, es decir:
Cuando tenemos la expresión:
2x = 10
…dividimos entre el coeficiente de la variable, en este caso 2, ambos términos de
la ecuación.
, por lo tanto: C.S. = {5}.
Ejemplo 2: hallar el conjunto solución de 7x – 3 = 2x – 23
7x – 3 = 2x – 23
7x – 2x = –23 + 3
5x = –20
x = –4
…transposición de términos
…reducción de términos semejantes
…dividiendo entre el coeficiente de la variable, en este caso 5
Comprobación:
7(–4) – 3 = 2(–4) – 23
–28 – 3 = –8 – 23
–31 = –31
por lo tanto: C.S. = {–4}.
330

Ejercicios 1 Secuencia 6 bloque II
a) Complete el siguiente cuadro:
b) Traduzca del lenguaje algebraico al lenguaje común y viceversa, según sea el caso.
1) 2x_________________________________________________________________
2) _____________________________________ Un número menos el triplo del mismo
3) a –1_______________________________________________________________
4) ____________________________El cociente del cuadrado de un número entre diez
c) Encontrar la expresión reducida de:
1.
2.
3.
4. –5xy – 3by + 6xy – 5x
5.
6.
7. –a +3b –a + b + b
8.
9.
d) Hallar el valor numérico de:
1. ; para
2. ; para
3. ; para
4. ; para
5. ; para
331

e) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1. 10 + x = 2
2. x + 9 = 0
3. x – 8 = –8
4. –2 + x = –98
5. 7 = x – 10
f) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1. 10 x = 5
2. 2 x = 50
3. 1200 x = 6000
4. 0.25 x = 8
5. –2 x = 7
6.
7.
8. 8 = –4 x
g) Plantee y resuelva las siguientes ecuaciones en cada problema:
1. El área de una habitación rectangular es de 200 , si su base es de 20 m, ¿Cuál es
su altura?
2. El dinero que tiene Jorge es el cuádruplo del que tiene Ana. Si Jorge tuviera 3 lempiras
menos que Ana y Rosa 15 más, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto
posee cada uno de ellos?
3. Un número disminuido en diez unidades es igual a cuatro. ¿Cuál es el número?
4. La suma de dos números es –22, y uno de ellos es 2, ¿Cuál es el otro número?
h) Hallar el conjunto solución de:
a) 10x + 8 = 6x + 4
b) 6x + 2 = 2x + 18
c) 5x + 2 = –x
d) 4x + 8 = 4
i) Hallar el conjunto solución de:
1.
2.
332

La Geometría y la Aritmética son las raíces sobre las que se han desarrollado las matemáticas.
Al igual que la Aritmética, los conceptos más antiguos de la geometría se remontan a la
época prehistórica y se originan a partir de actividades prácticas y problemas cotidianos. Su
transformación en teoría requirió de un largo período.
La Geometría estudia las relaciones de los cuerpos y las figuras, considerando su forma,
magnitud y posición.
Las primeras formas geométricas surgen de las representaciones de la naturaleza, como
son: la luna llena, la línea que describe un rayo de luz, la sombra de un pino, etcétera.
La palabra Geometría se deriva de los vocablos griegos geo-tierra y metrón-medida, esta
denominación se debe al uso que los egipcios le daban, pues medían sus tierras de labranza
cada vez que el río Nilo se desbordaba.
El estudio de la Geometría en séptimo grado, parte de lo práctico y de situaciones
problemáticas para poder entender los conceptos geométricos.
333

EXPECTATIVAS DE LOGRO
El área de Geometría dentro del séptimo grado pretende que:
1 A través de los trazos y construcciones geométricas se exploren y conozcan las
propiedades de las figuras geométricas.
2 Se conozcan y usen en forma adecuada los instrumentos de medida y se desarrollen las
capacidades para estimar magnitudes físicas y geométricas.
3 Se exploren las simetrías de una figura a través de la manipulación y el dibujo.
4 Se desarrolle la imaginación espacial y se utilice adecuadamente el lenguaje para
describir a los sólidos geométricos.
5 Se apliquen las fórmulas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes en la solución
de problemas.
6 Apropian los conceptos de punto, línea y plano como conjunto de puntos.
7 Usan divisiones de líneas para construir rayos y segmentos.
8 Operan con ángulos y sus operaciones con líneas.
9 Reconocen y miden ángulos en la vida real.
CONTENIDO
▪ Conjunto de puntos.
o El punto, la recta y el plano.
▪ Segmentos y rayos
o Segmentos congruentes.
o Punto medio, puntos colineales.
o Los planos.
o Características del punto, la recta y el plano.
o Trazo de líneas.
o Construcción de paralelogramos.
o Las simetrías.
▪ Ángulos.
o Medición de ángulos.
o Clasificación de los ángulos.
o Adición y sustracción de ángulos.
o Construcción de ángulos.
o Clasificación de los ángulos con relación a otros.
o Perpendicularidad.
o Paralelismo.
o Líneas paralelas y transversales.
334

Secuencia de Aprendizaje 1 Bloque III
MÁS DE UN PUNTO
El ser humano necesitó contar y creó los números; quiso hacer cálculos y definió las
operaciones; hizo relaciones y determinó las propiedades numéricas, con lo anterior
más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones
problemáticas surgidas a diario.
Además de esos requerimientos prácticos, la humanidad precisó admirar la belleza de la
creación para satisfacer su espíritu y con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le
rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, y líneas que dieron origen
a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría, que significa
medida de la tierra.
Esta rama de las matemáticas se fue perfeccionando con la medición de terrenos y su
aplicación en la construcción, y en la actualidad es imprescindible en muchas actividades
del género humano.
En esta secuencia de aprendizaje se familiarizará con los conceptos básicos de la geometría
y trazos, a través del uso adecuado y sistemático de algunos instrumentos de dibujo.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Se apropien los conceptos de punto, línea y plano como conjuntos de puntos.
2. Usen divisiones de líneas para construir rayos y segmentos.
Instrumentos básicos de dibujo
El lápiz, la regla, las escuadras y el compás son los instrumentos básicos del dibujo.
LA REGLA
Este instrumento es una barra, generalmente de acrílico transparente o de madera, está
graduada en el canto superior, cuyo grosor por lo general está desvanecido.
335

La regla permite trazar la recta que pasa por un punto o aquella que une dos puntos, el
trazado de márgenes, los subrayados, la medición de longitudes en figuras y objetos.
LAS ESCUADRAS
Son instrumentos de acrílico transparente o madera, en forma de triángulo, pueden estar o
no graduadas.
Para comprender el nombre con el cual se identifican las escuadras es necesario conocer
el concepto de ángulo.
El ángulo es la unión de dos rayos con un origen común llamado vértice.
Los ángulos pueden tener diversas aberturas. La abertura de un ángulo se mide en grados,
utilizando el transportador.
Las escuadras tienen forma de triángulo rectángulo (por tener un ángulo recto, es decir de
90º). Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos y el tercer lado hipotenusa,
que es el lado más largo de la escuadra.
ESCUADRA ISÓSCELES O DE 45º
Sus catetos son de la misma longitud, tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.
336

45º
90º 45º
ESCUADRA ESCALENA O DE 30º y 60º
Sus catetos son de diferente longitud, por lo que a uno se le denomina cateto mayor y al otro
cateto menor; sus ángulos también son diferentes: 30º, 60º y 90º.
30º
90º 60 º
EL COMPÁS
Existen dos tipos de líneas: las rectas y las curvas. Las líneas rectas se trazan o se miden
con la regla y las escuadras, en tanto las líneas curvas o la circunferencia, se trazan con el
compás.
Existen compases de diferentes tipos:
Compás de uso general: Se emplea para el trazo de curvas entre 1 y 10 cm de radio.
Compás de puntas secas: Se usa para el traslado de medidas o división de longitudes.
Compás de bomba: Se utiliza en el trazado de curvas con radio muy pequeño.
Compás de precisión: Conocido como bigotera. La abertura de las patas se controla con
un mecanismo de rosca, lo que asegura un trazo preciso, de ahí su nombre.
Recuerde que las puntas del compás deben tener la misma longitud.
337

El compás se utiliza para:
1. Trazo de circunferencias o de arcos de circunferencias. Para el trazo de una circunferencia
se necesita tener el centro y la medida del radio; la abertura del compás debe ser igual
al valor del radio.
2. Transportar medidas. De un segmento de recta o de un arco.
3. Dividir líneas curvas y rectas.
Ejercicios 1 Secuencia 1 bloque III
Reúnase con su compañero(a) más próximo(a), escriba y complete los siguientes enunciados
en su cuaderno.
a) La escuadra isósceles o de______________tiene dos lados ______________y uno
desigual llamado __________________.
b) La escuadra escalena o de_________________tiene un cateto______________y
otro__________.
c) El lado más largo de una escuadra se llama_________________.
d) El compás sirve para trazar_______________. Para_____________medidas y para
dividir_______________ .
e) En el trazo de circunferencias o arcos las puntas del_______________deben tener la
misma longitud.
f) Los diferentes tipos de compás son____________________, __________________,
______________________.
Dibuje en su cuaderno los siguientes diseños, utilizando sus instrumentos de dibujo.
338

Programa de Televisión 1 Secuencia 1 bloque III
Observe el programa de Viaje a las estrellas en el cual se mostrará el origen de la geometría
y los conceptos fundamentales para dar inicio a su estudio.
El punto, la recta y el plano
Hay términos en matemáticas y especialmente en geometría que se denominan “primitivos”
porque se aceptan sin definirlos, que no son otra cosa que principios fundamentales
indemostrables pero que se consideran evidentes y a partir de los cuales se construye una
teoría. Por ejemplo:
El punto, la recta y el plano son los términos primitivos fundamentales de la Geometría y
están sugeridos por objetos reales.
Si hace una marca en una hoja de papel con la punta de un lápiz, se obtiene una representación
bastante fiel de un punto y entre más fina sea la punta más se aproxima a la idea de punto,
pero la marca que se haga siempre será aproximada, pues esta siempre tendrá un área.
339

En la siguiente figura, la parte donde comienzan las flechas se llama punto.
Imagine si un punto se mueve en la misma dirección o si el punto retrocediera en dirección
opuesta a la trayectoria dada y se prolongara infinitamente, ¿Qué figura se dibujaría?.
Cuando se habla de la palabra recta se tiene en la mente una idea línea recta que se
extiende indefinidamente en ambos sentidos, que por lo general se indica marcando dos
flechas en los extremos de la recta.
Una línea recta no tiene anchura o grosor, se extiende infinitamente en dos direcciones y
no tiene extremos, es decir que no finaliza en los puntos donde finaliza el dibujo, ejemplo:
A
B
Las superficies como la pizarra, la parte superior de una mesa o una pared sugieren la idea
de un plano, pero sólo son modelos, el plano como el punto y la recta son abstracciones
matemáticas.
Un plano es una superficie lisa que se extiende infinitamente en todas direcciones y cuando
se traza una figura para representarlo, la mayor parte de las veces se utiliza un paralelogramo.
Un plano tiene dos direcciones pero no tiene grosor, ejemplo:
NOMENCLATURA
Para designar un punto se usa una letra mayúscula.
Ejemplo: El punto A.
340

Para designar una recta se usa una letra minúscula o dos letras mayúsculas con el dibujo
de una recta sobre ellas.
Ejemplo: La recta o la recta .
A
B
Para designar un plano se usa una letra minúscula.
Por Ejemplo: El plano p
P
La recta y los planos son conjuntos de puntos. A partir de estos términos primitivos, se define
espacio, figura, rayo y segmento.
Espacio: Es el conjunto de todos los puntos.
Figura: Es un subconjunto no vacío del espacio o es cualquier conjunto de puntos.
Un rayo: Es una parte de una recta que comienza en un punto dado y que se extiende en
forma ilimitada en una dirección.
Por ejemplo: El rayo
A
B
Para designar un rayo se usa dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja un rayo pequeño.
La primera letra corresponde al punto donde comienza el rayo y la segunda es otro punto
cualquiera del rayo. Por ejemplo la figura anterior se designa como rayo (insertar símbolo)
Un segmento de recta es una parte de la recta entre dos puntos.
Por ejemplo: El segmento .
A
B
Para designar un segmento de recta se usan dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja
un segmento pequeño. La primera letra corresponde al punto donde comienza el segmento
y la segunda donde termina. Por ejemplo la figura anterior se designa como segmento .
Un segmento tiene longitud. La longitud del segmento
se designa por AC.
341

• • •
A B C
Si se divide un segmento en varias partes, su longitud es igual a la suma de la longitud de
sus partes. Por ejemplo en la figura anterior, la longitud del segmento es igual a la suma
de las longitudes y . Lo anterior se escribe como AC = AB + BC.
Es importante hacer la distinción entre
y AB.
designa un conjunto de puntos y AB representa un número.
Ejercicios 2 Secuencia 1 bloque III
Reúnase con su compañero o compañera más próxima para contestar en su cuaderno y
comentar las repuestas de los siguientes ejercicios.
a) ¿Qué nombres puede tener la siguiente recta?
• • • •
A B C D
b) Mencione 2 objetos que dan la idea de punto, de recta y de un plano.
c) Trace las siguientes rectas:
i
ii
d) Trace segmentos cuyas longitudes sean las siguientes:
i. 4 cm
ii. 1 cm
iii. 5.3 cm
iv. 2.9 cm
Conteste en su cuaderno lo que se le pide:
a) ¿Cuáles son los términos primitivos o fundamentales de la Geometría? y ¿por qué se
les llama así?
b) Escriba al menos dos características del punto, la recta y el plano.
c) Defina los siguientes conceptos.
i. Espacio
ii. Figura
iii. Rayo
iv. Segmento
342

POSTULADO Y AXIOMA
Antes de empezar a estudiar geometría es conveniente entender los siguientes conceptos:
Axioma: proposición evidente que se acepta como verdadera sin necesidad de una
demostración.
Ejemplo: “El todo es mayor que cualquiera de sus partes”.
Postulado: un postulado es una verdad no tan evidente como un axioma pero que también
se acepta sin una previa demostración.
POSTULADOS Y AXIOMAS
1. Por un punto pasan infinitas rectas.
m
n
u
i
p
Por el punto P infinitas rectas l, m, n, u.
2. Dos puntos distintos determinan una recta única al cual pertenecen.
A
A
A
A
3. Existen infinitos puntos que pertenecen a una recta y existen infinitos puntos que no
pertenecen a ella.
R
Q
A
S
B
C
P
343

4. Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los contiene.
A
5. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.
6. Dadas dos rectas que se cortan, hay exactamente un plano que los contiene.
7. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no
pertenecen a el.
P
A
B
Q
C
S
344

8. La intersección de dos planos es una recta.
7
DEFINICIONES
1. Dos o más puntos son colineales si y sólo si existe una recta que los contiene.
A B C D
En la figura los puntos A, B, C y D están en la mismo recta, por lo tanto se llaman puntos
colineales.
Importante:
a) Si tres puntos están en una misma recta, estos puntos son colineales.
b) Dos puntos están en una y solamente una recta.
c) Más de dos puntos no necesariamente son colineales.
2. Puntos coplanares son aquellos que están en un mismo plano.
• A
• C
• B
En la figura los puntos N, R y M están en el mismo plano, por lo tanto se llaman puntos
coplanares.
Ejemplos:
En la figura se distinguen tres planos.
345

En la figura los puntos A, B y C son coplanares, pero los puntos B, C y D no son coplanares.
B
A
B
Todo plano contiene por lo menos tres puntos no colineales.
A
B
C
Los planos son lisos y llanos. Tres puntos determinan un plano.
CARACTERÍSTICAS DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO
a) El punto no tiene dimensiones y por lo tanto no tiene área.
b) El punto únicamente tiene posición.
c) La recta está formada por un conjunto de puntos. Se prolonga indefinidamente en
ambas direcciones.
d) El plano es llano, se prolonga indefinidamente en todas direcciones.
346

Ejercicios 3 Secuencia 1 bloque III
1) En la figura de abajo hay 5 puntos de tal manera que hay por lo menos tres de ellos no
alineados, ningún plano los contiene a todos. Nombre los planos determinados por los
conjuntos de tres puntos.
2) Seleccione la figura correcta para cada proposición, escriba dentro del paréntesis la letra
que corresponde a la figura seleccionada.
A B C
A
B
C
D E F
A
( ) Dos puntos determinan una recta.
( ) Una recta y un punto determinan un plano.
( ) Dos rectas se cortan en un punto.
( ) Tres puntos no alineados determinan un plano.
( ) Dos planos se cortan en una recta.
( ) Una recta que cortan a un plano en un punto.
3) Dibuje 5 puntos diferentes A, B, C, D y E de manera que tres de ellos no estén alineados.
Dibuje las rectas que contienen. ¿Cuántas rectas contienen?, marque los primeros con
números y luego escríbalas con las letras correspondientes.
347

SEGMENTOS CONGRUENTES
Se requiere trazar utilizando regla y compás el segmento
que el segmento .
A
B
que tenga la misma longitud
Paso 1
C
Se traza con una regla un segmento y se coloca el punto C
sobre él.
Paso 2
Se hace coincidir los extremos del compás con los puntos A y B,y
C D con esa misma abertura se traza un arco con centro C que corte
el segmento en el punto D.
Si dos segmentos AB y CD tienen la misma longitud se dice que son congruentes y se escribe
AB ≅ CD (se lee el segmento AB es congruente con el segmento CD)
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Observe que el punto B está a la misma distancia del punto A y del punto C.
• • •
A B C
Entonces
punto B al C.
, por lo tanto la distancia del punto A al punto B es la misma que la del
El punto medio de un segmento es aquel punto que está en el segmento y que dista lo
mismo desde sus dos extremos.
El punto B que está en el segmento AC se le llama punto medio del segmento AC , ya que la
distancia AB es igual a la distancia BC.
BISECTOR DEL SEGMENTO
Observe las siguientes rectas, tomando en cuenta que B es el punto medio de .
348

• • • • • •
A B C A B C
• • •
A B C
Cuando una recta pasa por el punto medio de un segmento se dice que la recta biseca al
segmento.
En los casos anteriores la recta aa biseca al segmento AC , la recta que biseca un segmento se le
llama bisector del segmento.
Ejercicios 4 Secuencia 1 bloque III
Intégrese a un equipo de tres integrantes y realice lo que se le pide.
Encuentre los segmentos congruentes con el segmento , utilizando el compás.
C
D
X
A
Z
B
T
M
O
P
U
N
Trace utilizando regla y compás el segmento
segmento .
C
, que tenga la misma longitud que el
R
349

Encuentre el punto medio de los siguientes segmentos haciendo uso de una regla graduada.
N
R
K P E A
Utilice regla y compás para realizar lo que se le pide a continuación:
a) Trace un segmento congruente con y biséquelo.
A
B
b) En el segmento del inciso anterior, encuentre un punto A de manera que NA = de
NR
Haga una lista de los conjuntos de puntos colineales, segmentos, rayos y rectas (utilizando
dos puntos de la misma) de la figura de abajo.
B
C
E
F
G
Una con un segmento los puntos que tienen un mismo número
H
350

Programa de Televisión 2 Secuencia 1 bloque III
Observe el programa de Tres puntos en el cual se mostrará una recapitulación de los
axiomas y postulados de la geometría para poder demostrar gráficamente el postulado del
plano.
Ejercicios 5 Secuencia 1 bloque III
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, y después puede comparar con sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
Conteste cada interrogante:
1. ¿Cómo se le llama a la unión de dos rayos con un origen común llamado vértice?
2. ¿Cómo se le llama al lado más largo de la escuadra?
3. ¿Cómo se la llama a la escuadra cuyos lados forman ángulos de 30º, 60º y 90º?
4. Mencione las clases de compases que hay
5. ¿Cuáles son los términos primitivos fundamentales de la geometría?
Defina los siguientes conceptos:
1. Espacio.
2. Rayo.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
Dibuje una figura que ilustre cada una de las siguientes proposiciones:
1) Dos puntos determinan exactamente una recta, es decir: para dos puntos cualesquiera
hay exactamente una recta que los contiene.
2) Si dos rectas cualesquiera se interceptan, su intersección contiene exactamente un
punto.
3) Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los contiene.
351

4) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados.
5) Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta que los contiene
están en el mismo plano.
6) Si dos rectas se interceptan, hay exactamente un plano que las contiene.
7) La intersección de dos planos diferentes, (H 1
,H 2
), es una recta.
Apoyándose en la figura de abajo, indique si las proposiciones son verdaderas o falsas
escribiendo en el paréntesis una V o una F:
( ) El plano H intercepta al plano P en la recta I.
( ) En el plano P está el punto I.
( ) En el plano P está la recta EEEE ⃖⃗.
( ) En el plano H está la recta ⃖⃗. EEEE
( ) R ∈ H
( ) P ∩ EEEE ⃖⃗ = {R}
P
E
•
I
F
• R
352

Secuencia de Aprendizaje 2 Bloque III
CON LÍNEAS TAMBIÉN SE CONSTRUYE
Cuando el ser humano apareció en la tierra empleó objetos que tienen una estrecha relación
con las figuras geométricas que se conocen, se puede citar como ejemplos las puntas de
lanza, los utensilios que para contener agua y alimentos, y más adelante, cuando aparecen,
los metales las formas de los adornos y las herramientas.
Posteriormente con la cultura egipcia y babilónica, la geometría se relaciona con la agricultura,
pero es en la cultura griega donde se convierte en una ciencia abstracta cuyos fundamentos
se encuentran en la obra de Euclides llamada: Los Elementos.
Más tarde, en el renacimiento, se origina la geometría proyectiva, que empieza con los
estudios en perspectiva de aristas como Durero (Pintor alemán) y Leonardo Da Vinci (pintor
italiano).
En la actualidad, las formas geométricas como los triángulos, los cuadrados, los ángulos,
etcétera y sus principios, se usan en los dibujos a escala en las construcciones, maquinarias
y decorados entre otros.
Continuando con el análisis de los elementos básicos de la geometría, en esta secuencia
se estudiará la construcción de ángulos, así como también su clasificación, congruencia,
bisectriz y con estos conocimientos se construirán líneas paralelas y perpendiculares.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Operen ángulos y sus relaciones con las líneas.
2. Reconozcan y midan ángulos en la vida real.
3. Reconozcan líneas paralelas y perpendiculares.
Origen de la geometría
La palabra geometría está formada por las raíces griegas: “geo” que significa tierra y “metrón”
que significa medida, por lo tanto, su significado es “medida de la tierra”.
353

Según lo registra la historia, los conceptos geométricos básicos para explicar la naturaleza,
nacieron en forma práctica a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto.
La principal causa fue tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir
diques paralelos para encauzar las aguas del rio Nilo, esto debido a los desbordes que
causaban las inundaciones periódicas.
Para medir las tierras los egipcios aprendieron a calcular el área de los rectángulos y de los
triángulos construidos con cuerdas.
Los babilonios también conocían las áreas de los triángulos y los rectángulos, sobre todo
para resolver problemas de herencia. También conocieron las áreas de los pentágonos,
hexágonos y heptágono. Pero en especial estudiaron mucho los círculos.
Eran unos excelentes geómetras, ellos bautizaron las
doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de
ellas en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo
zodiacal en 12 x 30 = 360 partes. Recuerde que ellos
crearon el sistema de numeración sexagesimal (de base
60). Este zodíaco les serviría para elaborar calendarios
y almanaques: muy útiles para el cultivo de los cereales,
junto a la geometría nace la astronomía.
De ellos se heredó la división de la circunferencia en 360 grados y la de cada grado en 60
minutos y cada minuto en 60 segundos y la patente de nuestra manera de contar el tiempo
también es suya.
Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones
en base a razonamientos.
Tales de Mileto (600 a.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad
de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades
simples y evidentes. Se cree que nació en Mileto, actual Grecia.
En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría y astronomía
de los sacerdotes de Menfis, que posteriormente enseñaría con el
nombre de astrosofía.
Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de
Anaximandro.
354

Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él
era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en
dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que
estaban hechas todas las cosas. Suponía que la tierra flotaba en un océano infinito.
En geometría con base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de
teoremas generales y de razonamientos deductivos, todo ello fue recopilado posteriormente
por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en
Grecia el interés por los estudios geométricos.
Fue el famoso sabio de la historia que cayó a un pozo por mirar las estrellas y una anciana
le dijo: “Pretendes observar las estrellas y ni siquiera ves lo que tienes a tus pies”.
Cuando le preguntaron la recompensa que quería por sus descubrimientos contestó: “Me
consideraría bien recompensado si los demás no se atribuyeran mis hallazgos, sino que
reconocieran que son míos”.
Pitágoras (582-496 a.C) Era originario de la isla de Samos, situado
en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por
el tirano Polícrates, como Pitágoras tenía un espíritu libre no podía
avenirse a esta forma de gobierno, entonces emigró hacia el occidente
fundando en Cretona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el
carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa.
Por este motivo se dice que las ciencias matemáticas han nacido en
el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral.
Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse
mutuamente y para vivir en comunidad.
El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual
se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos
llamaban pentalfa (cinco alfas). En esta Escuela se entraba luego
de prestarle juramento al número diez, todos los documentos se
mantenían de manera oral y nadie podía divulgarlos. Jugaban
con piedritas y formaban los números cuadrados y los números
rectangulares.
Pero Pitágoras es famoso por haber descubierto el teorema que lleva su nombre: el Teorema
de Pitágoras. ¿En qué consiste este teorema? Simple: los lados de un triángulo rectángulo
forman cuadrados y si sumamos los cuadrados de los lados menores obtendremos los
cuadrados del lado mayor (también conocido como hipotenusa).
355

Platón Arístoteles de Atenas, apodado Platón (Plátwn = «el de
anchas espaldas»), nace probablemente, el año 428 ó 427 antes de
Cristo en Atenas o quizás en Aegina, pertenecía a una familia noble.
El año 399 tiene lugar la condena y muerte de Sócrates y temiendo
ser molestado por su condición de amigo y discípulo de Sócrates,
Platón se refugia en Megara después viajó por Egipto, Sicilia e Italia
en compañía del matemático Eudoxio.
En el 387 regresa a Atenas y funda la Academia, primera escuela
de filosofía organizada, origen de las actuales universidades. Allí
permanecerá durante veinte años dedicado al estudio y a la enseñanza. Hizo colocar a la
entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: “No entre aquí el que no conoce
geometría” mantenía esta y otras proposiciones como “los números gobiernan al mundo”.
SEMIRECTA
Si se tiene una recta m y un punto P que pertenece a la recta; este punto divide a la recta
en dos partes.
P m
Cada una de esas partes se llama semirecta, ambas semirectas incluyen los puntos de cada
extremo de la recta m menos el punto P.
m
m
Observese lo siguiente:
Si P y Q son dos puntos que pertenecen a la misma recta (m).
P Q La semirecta PQ:
Entonces el conjunto de puntos de la recta, que parten de P hacia Q, excepto P, es la
semirecta de P que pasa por Q. El símbolo que se emplea para representarla es: ,
incluye todos los puntos de P hacia Q excepto el punto P.
P Q La semirecta QP:
Ahora bien, si la semirecta mencionada incluye todos los puntos de la recta que parten de
Q hacia P, excepto el punto Q es la semirecta Q que pasa por P. Se usa el símbolo
(dibujar el símbolo) para representarla, e incluye todos los puntos de Q hacia P excepto el
punto Q.
356

P Q La semirecta QP:
RAYOS
Los rayos son figuras geométricas conocidas, pero se hará una definición formal a partir de
las semirectas.
Si es una semirecta y si a ella se le une el punto P en un extremo entonces la unión de
la semirecta dada y su extremo P representa lo que geométricamente se llama rayo.
El símbolo para representar el rayo de P hacia Q es:
es
y para representarlo de Q hacia P
Véase el ejemplo:
P Q El rayo PQ:
P Q El rayo QP:
En la figura anterior se dice que y son rayos opuestos, sus sentidos están indicados
por las flechas colocadas arriba de las letras que los definen. P y Q son colineales.
Por ejemplo: dada la recta PQ:
P R Q
P
P
Q
Q
: rayo opuesto a
: rayo opuesto a
R :
extremo fijo de ambos rayos
357

Ejercicio 1 Secuencia 2 Bloque III
Conteste las siguientes interrogantes y comente sus respuestas.
1) Geometría está formada por dos palabras griegas, ¿Cuáles son y qué significa?
2) De geometría, ¿Qué conocían los babilonios?
3) ¿Por qué es famoso Pitágoras? ¿En que consiste este teorema?
Dada la siguiente figura:
N R M K
Escriba los rayos que hay a partir del punto M.
Escriba dos rayos opuestos al rayo .
Programa de Televisión 1 Secuencia 2 Bloque III
Observe el programa de Un instrumento eficaz en el cual se mostrará el uso del
transportador.
Ángulos
Un ángulo es una figura compuesta por dos rayos ( y ) que tienen un extremo común
(punto A). Al punto A se le llama vértice y a los rayos lados.
B
Lado
A
Lado
C
Vértice
358

Para representar un ángulo se utiliza cualquiera de los siguientes símbolos:
Por ejemplo el ángulo de la figura anterior se puede designar de varias maneras:
1) Usando tres letras, en este caso la letra del vértice debe de estar en medio de las otras
dos, por ejemplo:
2) Usando el vértice, por ejemplo:
,
3) Usando la letra que está en medio de los lados (abertura) o números, por ejemplo:
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Así como se miden los segmentos con una regla, así también se pueden medir los ángulos
con un transportador.
La unidad de medida universal del ángulo es el grado y se utiliza el símbolo “ º ”
Ejemplo: Noventa grados se expresa como 90º.
El transportador es un instrumento geométrico que se utiliza para medir ángulos; por lo
general su forma representa la mitad de una circunferencia y consta de 180º, enumerados
en dos direcciones opuestas para medir ángulos en cualquier ubicación.
Pero hay otros transportadores que tienen forma de la circunferencia completa y constan
de 360º.
359

EJEMPLOS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Para medir un ángulo con el transportador se realiza el siguiente procedimiento:
1) Se desea medir el siguiente ángulo ABC
A
B
C
2) Se coloca el centro del transportador sobre el origen del ángulo ABC y el lado C debe
coincidir exactamente con el grado cero del trasportador, como se ilustra en la siguiente
figura.
B
C
3) El lado A del ángulo, marca la medida del ángulo en grados.
A
B
C
360

4) Se observa que el lado A coincide con el número 35 de la escala. Esa es la medida en
grados del ángulo ABC, para expresar que la medida del ángulo ABC es 35º se escribe
m ABC = 35º
A
B
C
Trazado de ángulos menores que 180°
Para trazar un ángulo utilizando el transportador se realiza el siguiente procedimiento:
Se desea trazar un ángulo cuya medida sea 120º
1) Se traza un rayo horizontal
O
P
2) Se coloca el transportador de tal forma que su centro coincida con el punto O y el
número cero del transportador sobre .
O
P
361

3) Se marca el punto Q que coincida con el número 120 de la escala del transportador.
120º Q
O
P
4) Se traza el rayo o lado para formar el ángulo QOP que mide 120º.
Q
120º
O
P
Trazado de ángulos mayores que 180°
Para trazar un ángulo mayor a 180º utilizando el transportador se realiza el siguiente
procedimiento:
Se desea medir o trazar un ángulo cuya medida sea 240º.
Recuerde que el transportador común tiene la medida de un ángulo de 180º
180º
1) Se traza un rayo horizontal y se coloca el transportador como se muestra en la
figura, de manera que coincida el centro en M con el punto R (el punto R el número que
le falta a 180 para llegar a 240, en este caso 60, porque 180 + 60 = 240)
362

180°
M
N
60°
R
2) Se traza el rayo o lado para formar el ángulo NMR que mide 240º.
240° N
M
R
Si utiliza un transportador con la forma de una circunferencia se traza directamente sobre la
escala del tranportador.
240º
Se puede concluir que el transportador es un instrumento geométrico que se emplea para
medir la amplitud de giro de un ángulo dado o también para el trazo de un ángulo cuya
medida sea conocida.
363

Los ángulos se clasifican según su medida en:
Ángulo recto es aquel que mide 90º
Ángulo llano es aquel que mide 180º
180º
Ángulo agudo es el que mide menos de 90º
Ángulo convexo es aquel que mide más de
180º y menos de 360º
0º
Ángulo perigonal es el arco completo de la
circunferencia que mide 360º
Ángulo obtuso es aquel que mide más de
90º y menos de 180º
360º
364

Ejercicio 2 Secuencia 2 Bloque III
Conteste las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es un ángulo?
b) ¿Para qué se emplea el transportador?
c) ¿Qué nombre reciben los ángulos de acuerdo a su medida?
d) ¿Cómo se llama el ángulo que equivale a la mitad de la circunferencia y cuánto mide?
e) ¿Cómo se llama el ángulo que es el arco completo de la circunferencia y cuánto mide?
Encuentre la medida de los siguientes ángulos usando el transportador, luego trace cada
ángulo en su cuaderno.
O
M
P
Q
O
N
B C X Y
A
Z
Trace en su cuaderno con la regla y el transportador, un ángulo cuya medida sea la que se
indica en cada inciso y anote a la par de cada uno el tipo de ángulo que es de acuerdo a su
medida.
a) m RES = 20º
b) m YOU = 180º
c) m NEL = 200º
d) m OHU = 90º
e) m KPC = 350º
Escriba los diferentes ángulos que pueden observarse en la figura de abajo, mídalos con el
transportador y clasifíquelos según su medida.
365

Adición y sustracción de ángulos
La medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura que
existe entre ellos.
D
N sº + dº = rº
20°+25°= 45°
sº =20°
dº= 25°
R
En el NRM de la figura de arriba se observa: m NRM = m NRD + m DRM, es decir:
rº = sº + dº.
45°= 20° + 25°
También los ángulos se pueden restar, por ejemplo en la figura se puede calcular el valor
de m NRD si se conocen m DRM y m NRM, así: m NRD = m NRM - m DRM,
es decir:
dº = rº - sº.
25°= 45° - 20°
M
Ejemplos: si en la figura anterior m NRD = 20º y m DRM = 25º, hallar m NRM
D
N sº + dº = rº
20°+25°= 45°
sº =20°
dº= 25°
R
M
Tenemos que: m NRM = m NRD + m DRM, entonces:
m NRM = 20º + 25º = 45º
366

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS
Dos ángulos ABC y DEF son congruentes si tienen la misma medida, y se escribe:
ABC DEF. Se lee ángulo ABC es congruente con ángulo DEF
A
F
37° 37°
rº rº
B C E D
Es importante hacer notar que la igualdad m ABC = m DEF y la congruencia
ABC DEF, son equivalentes, pues significan la misma cosa; se puede sustituir la una
por la otra cuando se estime conveniente.
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
Propiedad Reflexiva: Todo ángulo es congruente consigo mismo.
A
B
rº m ABC = m ABC ó ABC ABC
C
Propiedad Simétrica: Si un ángulo es congruente con otro, entonces este último es
congruente con el primero.
B
A
C
F
rº rº ABC DEF entonces DEF ABC
E
D
Propiedad Transitiva: Si un ángulo es congruente con otro y este con un tercero, entonces
el primero es congruente con el tercero.
A F I
rº rº rº
B E H
C D G
Si ABC DEF y DEF GHI entonces ABC GHI
367

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo, es un rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes o de
la misma medida.
Dado
ABC, se pide construir la bisectriz del ángulo.
B
A
rº
C
1) Con el centro en el vértice B y con un radio cualquiera, descríbase los arcos que corten
a en N y a en M
N
B
M
C
2) Con el centro en N y con un radio o abertura del comás igual a MN, descríbase un arco
en el interior del ángulo. Luego, con el mismo radio pero con centro en M, describase
otro arco que corte al primero en el punto D.
B
N
M
A
C
D
3) Trace el rayo . Entonces es la bisectriz del ABC.
A
sº D
B dº
C
Observe que: m DBA = m MBD.
368

Ejercicio 3 Secuencia 2 Bloque III
Calcule m AOC, m AOD, m BOD, m DOE , si rº = 30º, pº = 60º, tº = 65º.
B
C
pº tº
rº
sº
D
A O E
Encuentre la bisectriz de cada uno de los ángulos presentados a continuación.
X
O
Y
Z
P
Q
N
K
E L C P
Evaluar cada uno de los siguientes ángulos en la figura:
369

1) m FOC =
2) m DOB =
3) m GOA =
4) m EOD =
5) m AOC =
6) m AOB + m BOE =
7) m KOG + m FOC =
8) m AOC + m COK =
9) m FOA – m DOA =
10) m FOK – m FOG =
CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS
Para construir un ángulo que sea congruente al
sus lados sea , como muestra la figura:
AOB y que tenga su vértice en C y uno de
B
O A C D
Se hace lo siguiente:
1) Se traza un arco con centro en O que corte a los lados y en J y H respectivamente.
H
B
O J A
2) Trazar un arco con centro en C y con el mismo radio del arco anterior que corte al rayo
en G.
G
C
D
3) Hacer coincidir los extremos del compás con los puntos H y J y con esa misma abertura
trazar un arco con centro en G que corte al arco anterior en X.
G
X
C
D
370

3) Trazar el rayo
X
C
G
D
Se tiene entonces: BOA XCD
Los ángulos se clasifican según su relación con otro ángulo:
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si y solamente si, la suma de
sus medidas es 180º, cada uno de los ángulos se llama suplemento de otro.
80º + 100º = 180º 160º + 20º = 180º
80º 100º 160º 20º
Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si y solamente si, la suma
de sus medidas es 90º, cada uno de los ángulos se llama complemento del otro.
45º + 45º = 90º 30º + 60º = 90º
45º 45º 30º 60º
Ángulos Opuestos por el Vértice: Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados
forman dos pares de rayos opuestos. Las medidas de los dos ángulos opuestos por el
vértice son congruentes.
A
C A y D opuestos por el vértice
B D B y C opuestos por el vértice
Ángulos Adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y sus lados no
comunes son rayos opuestos.
M y rayos opuestos.
NOM y MOR son adyacentes
N O R
371

Notas: 1) Los ángulos suplementarios no son necesariamente adyacentes.
2) La suma de las medidas de los ángulos adyacentes es 180º si y solamente si los
lados no comunes de los ángulos, son rayos opuestos.
Ejemplo1:
D
160º 20º
A B C
ABD y
DBC son adyacentes y suplementarios.
Ejemplo 2: Determinar la medida del suplemento de 130º.
Para determinar el valor de este ángulo puede plantear una ecuación lineal.
Datos conocidos: Un ángulo tiene un valor de 130º
Este ángulo es suplemento de otro.
Datos desconocidos: Un ángulo x es suplemento de 130º.
Aplicando la definición de ángulos suplementarios se tiene que: X + 130º = 180º
X + 130º = 180º
X = 180º - 130º …efectuando la transposición de términos.
X = 50º
Por lo tanto la medida del suplemento de 130º es 50º.
Ejemplo 3: Determinar la medida del complemento de 20º.
Aplicando la definición de ángulos complementarios se tiene que: X + 20º = 90º
X + 20º = 90º
X = 90º - 20º
X = 70º
Por lo tanto la medida del complemento de 20º es 70º.
372

Ejercicios 4 Secuencia 2 Bloque III
Construya con regla y compás un ángulo que sea congruente al
ERT.
E
R
T
Construya con regla y compás el ángulo que tenga la medida m BAC + m EDF.
B
E
A C D F
Escribir los diferentes ángulos complementarios y suplementarios que pueden identificarse
en la figura, tomando en cuenta que y son rayos opuestos y que m DOF = 90º
D
C
E
A
B O F
Determinar la medida del ángulo que se le pide.
a) El complemento de 35º
b) El suplemento de 90º
c) El complemento de 98º
d) El suplemento de 126º
373

Rectas perpendiculares
Si dos rectas cualesquiera se interceptan, su intersección contiene exactamente un punto y
estas dos rectas se llaman secantes.
P
Entre las rectas secantes hay un caso particular, las rectas perpendiculares.
Se llama perpendicular a la recta, rayo o segmento que intersecta a otra formando entre sí
ángulos rectos, es decir, ángulos de 90º. El símbolo que se emplea para indicar que dos rectas
son perpendiculares ⊥.
Ejemplo:
90º 90º
90º 90º
En el ejemplo las rectas y forman ángulos de 90º, entonces se dice que es perpendicular
a , y se escribe .
PROPIEDADES
1. La recta perpendicular a otra recta con respecto a un punto P cualquiera es única.
P
374

2. Si dos rectas son perpendiculares forman cuatro ángulos rectos.
90º 90º
90º 90º
3. Si entonces .
4. Si dos rectas no son perpendiculares se dice que son oblicuas.
5. El segmento perpendicular comprendido entre un punto exterior a una recta, es menor
que cualquier segmento oblicuo.
P
N A B C R
<
<
N
Por lo anterior se puede decir que la menor distancia de un punto exterior a una recta, es
la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto, a la recta. (Véase figura de
arriba).
A su alrededor encontrará frecuentemente objetos que se pueden identificar con la
perpendicularidad. Por ejemplo las columnas de las casas son perpendiculares al suelo o
las paredes con el piso, las esquinas de los contramarcos, etcétera.
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PERPENDICULARES
Construya con regla y compás una perpendicular a la recta en el punto O.
La perpendicular se puede considerar como la bisectriz de un ángulo llano.
O
1. Trazar con un arco (semi círculo) con centro en O que corte a la recta en A y B.
375

A O B
2. Con una abertura mayor que el arco anterior, trazar dos arcos con centro en A y B
respectivamente que se corten en C.
C
A O B
3. Trazar la recta . La recta es perpendicular a la recta en O.
C
A O B
Ejercicios 5 Secuencia 2 Bloque III
Reúnase con su compañero(a) más próximo y conteste las siguientes interrogantes:
1. ¿Cuándo se dice que dos rectas son perpendiculares?
2. ¿Cómo son y cuánto miden los ángulos que forman las siguientes rectas?
a
b
c
d
Usando regla y compás dibuje en el cuaderno un rectángulo cuyos lados midan lo mismo
que los segmentos y .
376

A B C D
Construya la perpendicular a la recta
que pase por el punto R
N R M
Rectas paralelas
Si dos rectas se encuentran en un plano sólo puede
suceder una de dos situaciones: que se interceptan
o no.
En las figuras de la derecha las rectas y se
intersectan en un punto, mientras que las rectas
y no se intersectan, en este caso se dice que las
dos rectas son paralelas.
Dos rectas son paralelas si aun estando en un mismo plano nunca se intersectan,
aunque se prolonguen indefinidamente en sus dos direcciones.
Para expresar el paralelismo se utiliza el símbolo . De la figura anterior se puede escribir
y se lee es paralela a .
PROPIEDADES DE LAS RECTAS PARALELAS
1. Por un punto exterior a una recta, puede trazarse una y sólo una recta paralela a la dada.
P
2. Cualquiera de dos rayos, segmentos o semirectas son paralelas si y sólo si las rectas de
las cuales pertenecen son paralelas.
A
B
C
D
377

3. Si entonces .
4. Dos rectas son paralelas si y sólo si son perpendiculares a una misma recta.
1
2
CONSTRUCCIÓN DE RECTAS PARALELAS
Para trazar una recta paralela a la recta que pase por un punto A fuera de ella, utilizando
regla y compas se hace lo siguiente:
1. Se establece cualquier punto, por ejemplo O, comprendido sobre la recta .
A
O
2. Se toma la abertura con el compás del punto O al punto A y haciendo centro en O se
traza una circunferencia que intercepte a la recta en los puntos B y C.
A
B O C
3. Con el compás se toma ahora la distancia que hay de A a B y haciendo centro en C, se
interseca a la circunferencia, encontrando el punto E.
A
E
B O C
378

4. Por último, se traza la recta que une los puntos A con E. Esta es la paralela a la recta .
A
E
B O C
Otra forma de trazar una recta paralela a la recta que pasa por un punto P, es empleando
únicamente escuadras.
1. Se coloca la escuadra de 30º de manera que uno de sus lados quede formando un
ángulo recto sobre la recta dada.
P
2. Se coloca la escuadra de 45º del lado izquierdo de la primera, de tal forma que los filos
de contacto entre ambas escuadras formen un ángulo recto.
P
3. Ahora es posible que la escuadra de 30º se pueda deslizar verticalmente. En su
deslizamiento se hace coincidir con el punto P y se traza la recta m, que resulta paralela
a .
P
m
P
379

Ejercicios 6 secuencia 2 bloque III
Realice en su cuaderno lo que se le pide:
Conteste.
1. A las rectas que por más que se prolonguen en sus dos direcciones nunca se tocan se
llaman:
________________________________________________________________
2. ¿Cuándo dos rectas son paralelas?
Analice el siguiente problema y conteste:
Se tiene una recta n que es paralela a la recta r, si la recta r es paralela a c, entonces:
1. ¿Cómo es la recta n con respecto a la recta c?
2. ¿Cómo es la recta r con respecto a la recta n?
3. ¿Cómo es la recta c con respecto a ella misma?
Utilizando compás trace una recta paralela a y que pasa por el punto F.
F
Ahora utilizando las escuadras, trace una recta que pase por el punto D, luego trace
paralelas a esta recta que pasa por los puntos A, B y C.
A
B
C
D
Escriba tres ejemplos en los que se encuentren objetos o figuras de su comunidad que
parezcan rectas paralelas.
380

Ejercicios 7 secuencia 2 bloque III
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
Conteste.
1. ¿Qué significa la palabra geometría?
2. ¿Con qué instrumento se miden los ángulos?
3. ¿Cuál es la medida universal del ángulo?
4. Diga cuánto mide un ángulo:
i. Recto
ii. Agudo
iii. Obtuso
iv. Llano
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas(V) y cuáles son falsas (F)
a) ( ) Toda recta es paralela a si misma.
b) ( ) Si una recta es paralela a una segunda y esta es a una tercera recta, entonces la
primera es recta es paralela a la tercera.
c) ( ) Dos rectas cualesquiera que no se interceptan, son paralelas.
d) ( ) Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas
e) ( ) Dos rectas cualesquiera que se interceptan son perpendiculares.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
Trace las bisectrices de los ángulos del triángulo ABC de la figura de abajo.
A
B
C
381

Encuentre las medidas de los < a, < b, < c y < d
Utilizando sólo escuadras trace una recta perpendicular a < que pase por el punto P.
Utilizando regla y compás trace una recta paralela a m que pase por el punto P.
382

Secuencia de aprendizaje 3 Bloque III
LA PAREJA PARALELA
Observando detenidamente los objetos que nos rodean, como los lápices, libros, bicicletas,
edificios, etcétera, estos se forman juntando segmentos de recta. ¿Sabe cómo estas uniones
de recta se pueden realizar con precisión?, pues se necesita un diseño antes de poder
construirlos, y los segmentos de recta y las figuras geométricas nos dan esa posibilidad.
Por tal razón conocerá en esta secuencia un poca más de las rectas paralelas, como: los
ángulos que se forman cuando una recta intercepta de forma oblicua a dos paralelas.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Operen ángulos y sus relaciones con las líneas.
2. Reconozcan y midan ángulos en la vida real.
EUCLIDES
Se cree que vivió entre los siglos IV y III de antes de
Cristo y que trabajó en la Biblioteca de Alejandría. Su gran
mérito consistió en recopilar y sintetizar los conocimientos
geométricos de su época, aunque algunos aseguran que un
grupo de matemáticos de esa época escribían y que a sus
obras les colocaban el nombre de Euclides.
En todo caso Euclides fue un personaje histórico que
escribió Los Elementos que constaba originalmente de
trece volúmenes en los que se exponía la geometría clásica.
Este libro tiene tanta importancia para las matemáticas
como el Principio de Newton para la Física o el Origen de
las Especies de Darwin en la Biología.
383

Para sentar las bases de la Geometría, Euclides utilizó lo que se llama axiomas, que no son
otra cosa que principios fundamentales indemostrables pero que se consideran evidentes
y a partir de los cuales se construye una teoría. Él los llamó postulados y formuló cinco
primordiales que se pueden exponer de varias maneras equivalentes, por ejemplo:
1. Si se tienen dos puntos, entonces se puede dibujar una recta que los une.
2. Cualquier recta se puede hacer todo lo larga que se quiera.
3. Se puede trazar una circunferencia de cualquier tamaño alrededor de cualquier punto.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si tenemos una recta y un punto externo a ella, podremos dibujar todas las rectas que
queramos que pasen por ese punto, pero sólo una de ellas será paralela a la que ya se
tiene.
Todo esto parece evidente, pero el gran mérito de Euclides fue deducir toda la geometría de
su época a partir de estos 5 postulados. Tanto es así, que a la geometría clásica se le llama
en su honor Geometría Euclídea o Euclidiana.
El quinto postulado siempre fue polémico, muchos pensaban que no era un axioma sino un
teorema, es decir, parecía que no era tan primordial como los otros y que se podía deducir
a partir de los otros 4 y durante siglos se intentó hallar la manera de hacerlo. Sin embargo,
resultó que no era posible.
IMPORTANCIA DE LA GEOMETRÍA
Ha observado que rectas, curvas, ángulos,
cubos, esferas y demás figuras geométricas
forman parte del paisaje natural o urbano, y que
las matemáticas y sus leyes universales también
están en la naturaleza, en las calles, en el parque,
en las sombras, en el fondo del mar y allá donde
se fija la mirada, sin embargo, no se perciben.
En la fotografía por ejemplo se puede captar y comunicar eficazmente la belleza geométrica,
se puede deducir que las calles en las que están girando los corredores en bicicleta forman
un ángulo de 90º. Es decir, las calles en la realidad son perpendiculares.
También que hay muchos objetos que funcionan porque tienen ángulos iguales con
paralelas, estos dan la sensación de repetición y equilibrio. Por ejemplo la baranda, el toldo
y las gradas que se presentan a continuación:
384

Otros objetos que tienen ángulos opuestos en un vértice, que miden lo mismo.
En la naturaleza se pueden observar los ángulos, por ejemplo en las hojas de esta planta:
La geometría es una parte importante de la cultura de la humanidad, no es fácil encontrar
contextos en la que ésta no aparezca de forma directa o
indirecta, pues entre otros usos facilita la medición de estructuras
sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas
y además es bastante útil para la realización de complejas
operaciones matemáticas. En actividades tan variadas como
el deporte, la jardinería o la arquitectura por citar algunas se
sirven consciente o no de procedimientos geométricos.
Ejercicios 1 Secuencia 3 Bloque III
De forma individual realice en su cuaderno lo que se le pide:
a) Escriba 5 ejemplos de su comunidad en los que se puedan observar ángulos: rectos,
agudos u obtusos y opuestos por el vértice.
b) Haga un dibujo que ilustre cada postulado de Euclides.
c) ¿Cómo aplicaría la geometría en su centro escolar para resolver problemas de
recreación?, dibuje su idea.
Paralelismo
Analice las siguientes rectas paralelas interceptadas por otra recta.
385

Caso 1 Caso 2
30º
Observe que en ambos casos la recta que corta las dos rectas paralelas forma ángulos de
la misma medida.
Ahora examine la siguiente figura:
30º
La recta corta de forma transversal las rectas y
Una recta transversal, es la que intercepta a dos rectas coplanares en dos puntos distintos.
Entonces las rectas y son interceptadas por la transversal .
En la siguiente figura la recta es transversal a las rectas y . Estas tres rectas forman
ocho ángulos.
t
a
c
d
b
e
g
h
f
1) Ángulos internos son los que están entre y .
Son ángulos internos: c; d; e y f.
2) Ángulos externos son los ángulos que no son internos.
Son ángulos externos: a; b; g y h.
3) Ángulos alternos internos son dos ángulos situados entre y ; y , en lados opuestos
a .
Son ángulos alternos internos: c y f; d y e.
4) Ángulos alternos externos son dos ángulos situados entre y , y en lados opuestos
a t pero no son adyacentes.
Son ángulos alternos externos: b y g; a y h.
5) Ángulos correspondientes son los ángulos que están situados en el mismo lado de
y en el mismo lado de y .
386

Son ángulos correspondientes: b y f; d y h; a y e; c y g.
6) Ángulos opuestos por el vértice son los que tienen el vértice en común y sus lados son
rayos opuestos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Son ángulos opuestos por el vértice: b y c; a y d; e y h; f y g.
En el caso 2, se estudió que si una recta corta a dos rectas paralelas los ángulos que se forman
tienen la misma medida, es decir son congruentes, además son ángulos correspondientes.
Si la recta corta a las rectas y , y los ángulos correspondientes son congruentes entonces
y son paralelas. Recíprocamente si y son paralelas sus ángulos correspondientes
son congruentes.
Los ángulos alternos internos, son congruentes siempre y cuando estén ubicados entre
rectas que sean paralelas, cortadas por una transversal.
Ejercicios 2 secuencia 3 bloque III
Únase con su compañero(a) más próximo(a) y responda lo que se le pregunta:
En la siguiente figura ¿Cuáles rectas son transversales?
n
d
l
m
En la siguiente figura nombre los ángulos correspondientes, alternos internos, alternos
externos, opuestos por el vértice, internos y externos.
t
a b
c d
g
e
f
h
387

En la siguiente gráfica, ¿Cuáles rectas son paralelas?, ¿Cuáles ángulos son congruentes
a: m, x, y, z?
75º
m
x
y
z
130º
130º
75º
PARALELISMO
En la siguiente gráfica las rectas
de: a, b, c, d y e.
son paralelas, se pide encontrar las medidas
a
60º
d
b
f
e
c
Analice lo siguiente:
1) m a = 180º - 60º = 120º Ángulos suplementarios.
2) m b = 60º Ángulos opuestos por el vértice.
3) m c = m a = 120º Ángulos opuestos por el vértice.
4) m d = m c = 120º Ángulos alternos internos.
5) m e = 60º Ángulos correspondientes.
6) m f = 180º - 60º = 120º Ángulos suplementarios.
388

En el inciso 4) ¿Por qué m d = m c?
1) m c = m f Ángulos correspondientes.
2) m f = m d Ángulos opuestos por el vértice
3) por tanto m d = m c Por 1) y 2)
Por lo tanto los ángulos alternos internos en dos rectas paralelas cortadas por una transversal
son congruentes, en este caso: m d = m c = 120º.
En la figura de abajo se tiene que y son cortadas por la transversal .
c
a
e f
d
b
Se verifica que:
g
h
• Los ángulos alternos internos son congruentes:
d e; c f.
• Los ángulos alternos externos son congruentes:
b g; a h.
• Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes:
b c; a d; e h; f g.
• Los ángulos correspondientes son congruentes:
b f; d h; a e; c g.
• Los ángulos adyacentes son suplementarios:
m a + m b = 180º m a + m c = 180º
m c + m d = 180º m b + m d = 180º
m e + m f = 180º m e + m g = 180º
m g + m h = 180º m f + m h = 180º
389

Ejercicios 3 secuencia 3 bloque III
Conteste según lo mostrado en las siguientes figuras.
1. ¿Cómo son las rectas ?
n
25°
a 155°
2. Si , ¿Cuánto mide a?
n
60º
a
3. Si y n , explique por qué .
4. En la siguiente figura y es una transversal. Si el ángulo 3 mide 150º, ¿Cuánto
mide cada uno de los ángulos restantes? Justifique su respuesta.
1 2
3 4
5 6
7 8
390

Programa de televisión 1 secuencia 3 bloque III
Observe el programa ¡Qué ángulo! que muestra los ángulos que se forman en la naturaleza
y los que se forman cuando una recta es secante a dos rectas.
Ejercicios 4 secuencia 3 bloque III
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, comparare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
Conteste lo que se le pregunta:
1. ¿Cuándo dos rectas son paralelas?
2. ¿Cuál es la diferencia entre las rectas paralelas y las perpendiculares?
3. ¿Cuándo una recta es transversal?
4. Mencione los tipos de ángulos que se forman cuando una recta transversal corta a
dos rectas paralelas?
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
En la figura de abajo si m g = m b, explique por qué y son paralelas usando ángulos
correspondientes.
g
b
391

Identifique los ángulos alternos internos, alternos externos, correspondientes y opuestos por
el vértice en la figura.
z
x
y
a
w
b
c
d
Determine en que casos las rectas son paralelas.
a)
65º
35º
y
z
b)
Encuentre el valor de todos los ángulos de la figura, si m e = 110º. Justifique sus respuestas.
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
392

Secuencia de aprendizaje 4 Bloque III
VALORANDO LO QUE APRENDO
Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad
le plantea, su capacidad se encontrará constantemente evaluada por los problemas que
a diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este segundo bloque:
Geometria.
En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes de esos
conocimientos.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que las y los estudiantes:
1. Apropian los conceptos de punto, línea y plano como conjuntos de puntos.
2. Usan divisiones de líneas para construir rayos y segmentos.
3. Operan ángulos y sus relaciones con las líneas.
4. Reconocen y miden ángulos en la vida real.
5. Reconocen líneas paralelas y perpendiculares.
El punto, la recta y el plano
Términos primitivos: son los términos que se aceptan sin definirlos. El punto , la recta y el
plano son los téminos primitivos fundamentales de la Geometría.
El punto representa una posición y no tiene extensión ni dirección ( . ),
por ejemplo, en la siguiente figura, la parte donde empiezan las flechas
se llama punto.
Si un punto se mueve en la misma dirección dibuja una línea recta. Si
el punto retrocediera en dirección opuesta a la trayectoria dada y se
prolongara infinitamente completaría la línea recta. Una línea recta no
tiene anchura o grosor, se extiende infinitamente en dos direcciones y no
tiene extremos, ejemplo:
393

Si una línea recta se mueve a otra dirección dibuja un plano. El
desplazamiento de la recta para formar un plano es igual al del punto
para formar la recta. Un plano tiene dos direcciones pero no tiene
grosor, ejemplo:
NOMENCLATURA
Para designar un punto se usa luna letra mayúscula.
Ejemplo: El punto A.
A
Para designar una recta se usa una letra minúscula o dos letras mayúsculas con el dibujo
de una recta sobre ellas.
Ejemplo: La recta o la recta .
A
B
Para designar un plano se usa una letra minúscula.
Por Ejemplo: El plano p
p
La recta y los planos son conjuntos de puntos. A partir de estos términos primitivos, se define
espacio y figura.
Espacio: Es el conjunto de todos los puntos.
Figura: Es un subconjunto no vacío del espacio.
Un rayo: Es una parte de una recta que comienza en un punto dado y que se extiende en
forma ilimitada en una dirección.
Por ejemplo: El rayo
A
B
Para designar un rayo se usa dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja un rayo pequeño.
La primera letra corresponde al punto donde comienza el rayo y la segunda es otro punto
394

cualquiera del rayo. Por ejemplo la figura anterior se designa como rayo .
Un segmento de recta es una parte de la recta entre dos puntos.
Por ejemplo: El segmento .
A
B
Para designar un segmento de recta se usa dos letras mayúsculas y sobre ellas se dibuja
un segmento pequeño. La primera letra corresponde al punto donde comienza el segmento
y la segunda donde términa. Por ejemplo la figura anterior se designa como segmento .
Un segmento tiene longitud. La longitud del segmento
se designa por AC.
A B C
Si se divide un segmento en varias partes, su longitud es igual a la suma de la longitud de
sus partes. Por ejemplo en la figura anterior, la longitud del segmento es igual a la suma
de las las longitudes y . Lo anterior se escribe como AC = AB + BC.
Es importante hacer la distinción entre y AB.
designa un conjunto de puntos y AB representa un número.
CARACTERÍSTICAS DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO
a) El punto no tiene dimensiones y por lo tanto no tiene área.
b) El punto unicamente tiene posición.
c) La recta está formada por un conjunto de puntos. Se prolonga indefinidamente en
ambas direcciones. Sólo tiene una dirección: longitud.
d) El plano es llano, se prolonga indefinidamente en todas direcciones, tiene dos
dimensiones: longitud y anchura.
e) El plano tiene área.
PROPIEDADES DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO
1) Dos puntos determinan exactamente una recta, es decir: para dos puntos cualesquiera
hay exactamente una recta que los contiene.
2) Si dos rectas cualesquiera se intersectan, su intersección contiene exactamente un
punto.
3) Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que los contiene.
4) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados.
5) Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta que los contiene están
en el mismo plano.
6) Si dos rectas se intersectan, hay exactamente un plano que las contiene.
7) La intersección de dos planos diferentes, , es una recta.
395

ÁNGULOS
Un ángulo es una figura compuesta por dos rayos ( y ) que tienen un extremo común
(punto A). Al punto A se le llama vértice y los rayos lados.
B
Lado
x
A Lado C
Vértice
El símbolo de ángulo es
El ángulo de la figura anterior se puede designar de varias maneras:
1) Usando tres letras, en este caso la letra del vértice debe de estar en medio de las otras
dos, por ejemplo:
2) Usando el vértice, por ejemplo:
,
3) Usando la letra que está en medio de los lados (abertura), por ejemplo:
Los ángulos se clasifican según su medida en:
Ángulo recto
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Ángulo convexo
Ángulo perigonal
396

Ángulo recto es aquel que mide 90º.
Ángulo llano es aquel que mide 180º
180º
180º 0º
Ángulo agudo es el que mide menos de 90º.
Ángulo convexo es aquel que mide más de
180º y menos de 360º.
90º
180º 0º
Ángulo obtuso es aquel que mide más de
90º y menos de 180º.
0º
270º
Ángulo perigonal es el arco completo de la
circunferencia que mide 360º
90º
180º
0º
360º
0º
270º
397

Relación entre ángulos
Los ángulos se clasifican según la relación con otro ángulo:
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si y solamente si la suma de
sus medidas es 180º. Cada uno de los ángulos se llama suplemento de otro.
80º + 100º = 180º 160º + 20º = 180º
80º 100º 160º 20º
Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si y solamente si la suma
de sus medidas es 90º. Cada uno de los ángulos se llama complemento del otro.
45º
45º + 45º = 90º 30º + 60º = 90º
30º
45º 60º
Ángulos Opuestos por el Vértice: Dos ángulos son opuestos por el vértice si sus lados
forman dos pares de rayos opuestos.
A
B C A y D opuestos por el vértice
B y C opuestos por el vértice
D
Ángulos Adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y sus lados no
comunes son rayos opuestos.
M y rayos opuestos.
NOM y MOR son adyacentes
N O R
Notas: 1) Los ángulos suplemetarios no son necesariamente adyacentes.
2) La suma de las medidas de los ángulos adyacentes es 180º si y solamente si los
lados no comunes de los ángulos, son rayos opuestos.
398

Ejemplo1:
D
160º
20º
A B C
ABD y DBC son adyacentes y suplementarios.
Ejemplo 2: Determinar la medida del suplemento de 130º.
Para determinar el valor de este ángulo puede plantear una ecuación líneal.
Datos conocidos: Un ángulo tiene un valor de 130º
Este ángulo es suplemento de otro.
Datos desconocidos: Un ángulo x es suplemento de 130º.
Aplicando la definición de ángulos suplementarios tenemos que: X + 130º = 180º
X + 130º = 180º
X = 180º - 130º
X = 50º
…efectuando la transposición de términos.
Por lo tanto la medida del suplemento de 130º es 50º.
Ejemplo 3: Determinar la medida del complemento de 20º.
Aplicando la definición de ángulos complementarios tenemos que: X + 20º = 90º
X + 20º = 90º
X = 90º - 20º
X = 70º
Por lo tanto la medida del complemento de 20º es 70º.
PERPENDICULARIDAD
Si dos rectas cualesquiera se intersectan, su intersección contiene exactamente un punto y
estas dos rectas se llaman secantes.
P
399

En el medio en que se desenvuelve cotidianamente existen muchas formas geométricas.
En ellas se encuentran rectas o segmentos de recta secantes. Ahora conocerá, dos en
particular: las rectas perpendiculares.
Se llama perpendicular a la recta, rayo o segmento que intersecta a otra formando entre sí
ángulos rectos, es decir, ángulos de 90º, y el símbolo que se emplea para indicar que dos
rectas son perpendiculares es .
Ejemplo:
90º 90º
90º 90º
En el ejemplo las rectas y forman ángulos de 90º, entonces se dice que es perpendicular
a , y se escribe .
PARALELISMO
Analice las siguientes rectas paralelas interceptadas por una recta.
Caso 1 Caso 2
30º
30º
Observe que en ambos casos la recta que corta las dos rectas paralelas forma ángulos de
la misma medida.
En la figura de abajo la recta es transversal a las rectas y . Estas tres rectas forman
8 ángulos.
a
b
c
d
e
f
g
h
400

Ángulos internos son los que están entre y .
Son ángulos internos: c; d; e y f.
Ángulos externos son los ángulos que no son internos.
Son ángulos externos: a; b; g y h.
Ángulos alternos internos son dos ángulos situados entre y ; y , en lados opuestos
a .
Son ángulos alternos internos: c y f; d y e.
Ángulos alternos externos son dos ángulos situados entre y y en lados opuestos a
pero no son adyacentes.
Son ángulos alternos internos: b y g; a y h.
Ángulos correspondientes son los ángulos que están situados en el mismo lado de
el mismo lado de y .
Son ángulos correspondientes: b y f; d y h; a y e; c y g.
Ángulos opuestos por el vértice son los que tienen el vértice en común y sus lados son
rayos opuestos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Son ángulos opuestos por el vértice: b y c; a y d; e y h; f y g.
Arriba en el caso 1 y 2 se estudió que si una recta corta a dos rectas paralelas estos forman
ángulos correspondientes y tienen la misma medida, es decir son congruentes.
Si la recta n corta a las rectas y y los ángulos correspondientes son congruentes entonces
y son paralelas. Recíprocamente si y son paralelas sus ángulos correspondientes
son congruentes.
y en
1) Haga un dibujo que ilustre cada una de las proposiciones siguientes:
a) Dos puntos determinan una recta.
b) Una recta y un punto determinan un plano.
c) Dos rectas se intersectan en un punto.
d) Tres puntos determinan un plano.
e) Dos planos se intersectan en una recta.
f) una recta que untersecta a un plano en un punto.
401

2) Dibuje 5 puntos diferentes A, B, C, D y E de manera que sólo tres de ellos estén alineados.
3) Dibuje las rectas que contienen. ¿Cuántas rectas contienen?, márquelas primeros con
números y luego escríbalas con las letras correspondientes.
4) Conteste y comente con sus compañeros(as) las repuestas de las siguientes interrogantes.
a) ¿Qué nombres puede tener la siguiente recta?
b) Trace Lo siguiente:
i. Recta
ii. Rayo
iii. Plano n
N R M K
5) Conteste en su cuaderno lo que se le pide.
a) ¿Cuáles son los términos primitivos o fundamentales de la Geometría? Y ¿Por qué se
les llama así?
b) Escriba al menos dos características del punto, la recta y el plano.
c) Defina los siguientes conceptos.
i. Espacio
ii. Figura
iii. Rayo
iv. Segmento
6) Conteste las siguientes preguntas.
a) ¿Qué es un ángulo?
b) ¿Para qué se emplea el transportador?
c) ¿Qué nombre reciben los ángulos de acuerdo a su medida?, dibuje un ejemplo de cada
ángulo.
d) ¿Qué nombre reciben los ángulos de acuerdo a su relación con otro ángulo?, dibuje un
ejemplo de cada ángulo.
7) Trace en su cuaderno, con la regla y el transportador, un ángulo cuya medida sea la que
se indica en cada inciso y anote a la par de cada uno el tipo de ángulo que es de acuerdo
a su medida.
a) m RES = 90º
b) m YOU = 185º
c) m NEL = 210º
d) m OHU = 270º
e) m KPC = 359º
402

8) Determinar la medida del ángulo que se le pide.
a) El complemento de 35º
b) El suplemento de 90º
c) El complemento de 88º
d) El suplemento de 126º
9) En la siguiente figura nombre los ángulos correspondientes, alternos internos, alternos
externos, opuestos por el vértice, internos y externos.
a
c
b
d
e
f
g
h
403

404

Otra área de las matemáticas estudia: la presentación y el tratamiento de la información, y
la probabilidad, de la cual se hablará a continuación.
Los pueblos antiguos al utilizar registros estadísticos rudimentarios en los censos de
población y de propiedades hicieron un tratamiento de la información obtenida, al organizarla
y presentarla en tablas con el propósito de llevar un mejor control.
En tiempos más recientes se introdujo el uso de las gráficas con la ventaja de que éstas
permiten observar mejor las relaciones que se dan entre los datos y se percibe en forma
más clara la información.
En el séptimo grado, el estudio de la presentación y tratamiento de la información incluye el
uso de porcentajes, tablas, gráficas y otras formas de presentar la información registrada.
En el desarrollo de estos temas se utilizarán los instrumentos de geometría para la
construcción de tablas y gráficas, y la calculadora para abreviar tiempo en la obtención o
comprobación de resultados.

EXPECTATIVAS DE LOGRO:
1. Recolectan y clasifican datos estadísticos sobre situaciones reales mediante encuestas
y cuestionarios, tablas o cuadros sencillos.
2. Construyen gráficas circulares y de barra con información de eventos sencillos de su
entorno.
3. Organizan y analizan información estadística en gráficos de barra y circulares.
4. Describen y analizan información estadística organizada en gráficos de barra y circulares.
CONTENIDO
▪
▪
Registro de datos.
o Distribución de frecuencia simple o no agrupada.
o Distribución de datos agrupados.
Organización y presentación de datos.
o Representación gráfica de los datos.
o Frecuencia relativa.
o Gráfico de barras.
o Gráfico de barras comparativas.
o Gráfico circular o diagrama de sectores.
406

Secuencia de aprendizaje 1 Bloque IV
ORGANIZATE Y COMPRENDE MEJOR LA VIDA
Las actividades que día a día realizan los habitantes de una comunidad o de una sociedad
se llevan en registros , son ejemplos de éstos los nacimientos, las defunciones, los
casamientos, etcétera. El conteo y la medición de tales hechos genera una gran cantidad de
información que se hace necesario ordenarla, clasificarla y analizarla para saber qué dicen
de su comportamiento en un período de tiempo.
Las instituciones correspondientes como el INE (Instituto Nacional de Estadísticas) dan
a conocer esta información por medio de tablas y gráficas para que la población tenga
conocimiento de cuál ha sido su desarrollo. Esto hace resaltar la importancia del manejo de
la información.
En esta secuencia se dará inicio al estudio de la Estadística, rama de las matemáticas que
se dedica a la recolección, análisis e interpretación de datos.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Recolecten y clasifiquen datos estadísticos sobre situaciones reales mediante encuestas
y cuestionarios.
2. Organicen datos en en tablas y cuadros sencillos.
ESTADÍSTICA
La palabra “estadística” procede del latín statisticum collegium (“consejo de Estado”) y de su
derivado italiano statista (“hombre de Estado” o “político”). El término alemán Statistik, que fue
inicialmente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente el análisis
de datos del Estado, es decir, “la ciencia del Estado” (también llamada “aritmética política”
de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística
adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue introducido por el
inglés John Sinclair.
407

En su origen la estadística estuvo asociada a datos, al ser utilizados por los gobiernos y
cuerpos administrativos. La colección de datos acerca de estados y localidades continúa
ampliamente a través de los servicios de estadística nacional e internacional. En particular
los censos suministran información regular acerca de la población.
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya
se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera
y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el
año 3000 a. de C. los babilónicos usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos
en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante
trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes
de construir las pirámides en el siglo XI a. de C., Los libros bíblicos de Números y Crónicas
incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la
población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías.
En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. de C. Los
griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. de C. para
cobrar impuestos.
En muchas actividades del género humano se requiere realizar encuestas o recopilar datos
para posteriormente organizarlos y efectuar un análisis de la información obtenida, lo cual
permitirá tomar decisiones que sirvan para evaluar los procesos, mejorar las áreas donde
se detectan errores, etcétera.
Cuando se obtiene determinada información, lo primero que procede es la organización de
datos y su tabulación.
Ejemplo:
a) En una maquila se obtuvo la siguiente producción de camisetas durante 25 días de
trabajo de un mes.
140 152 146 140 160
155 149 152 148 147
150 141 146 152 157
148 155 152 160 148
160 140 152 148 155
Como se puede observar, los datos están en desorden. Para facilitar su estudio es conveniente
ordenarlos en forma decreciente (de mayor a menor), como se observa a continuación.
160 155 150 146 152
160 155 149 146 152
160 152 148 141 140
157 152 148 140 148
155 152 147 140 148
408

Ahora hay que ordenar los datos en una tabla, en donde se registra el número de veces que se
repite un dato mediante una línea vertical (I), el registro de este conteo se llama tabulación.
Una vez que ya están ordenados los datos, es más fácil observar que la mayor producción
es de 160 camisetas y la menor de 140 y que la variación es de 20. A esta diferencia entre
estos datos se le llama técnicamente Oscilación o Rango; es decir, la producción durante
este mes oscila o varía entre 160 y 140 camisetas, es decir, el rango es de 20.
Estas y otras observaciones que se realicen en la tabla, pueden aprovecharse para mejorar
el proceso de producción de la citada fábrica.
La organización de los datos y su tabulación resultan útiles en el proceso de presentación y
tratamiento de la información.
III
I
III
IIII
I
I
IIII
I
II
I
III
Ejercicios 1 Secuencia 1 Bloque IV
Intégrese a un grupo y escriba en su cuaderno y complete las siguientes oraciones:
a) La palabra ________________ procede del latín statisticum collegium.
b) Fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de
_______________y _______________ datos. Este concepto fue introducido por el
inglés John Sinclair.
c) Cuando se recaba la información, lo primero que se procede es la _____________ de
datos y su __________________.
d) Como es muy común que los datos aparezcan desordenados, para facilitar su estudio es
conveniente ordenarlos en forma ___________________.
e) Después de ordenarlos, se presentan en una_________________, en donde se registra
con una______________________ el número de veces que se repite un dato, el registro
de este conteo se llama __________________.
409

Trabaje en su cuaderno con los siguientes datos.
1) Se preguntó la edad a 40 zestudiantes de un instituto; los datos fueron los siguientes:
13 14 14 15 13 16 17 18 13 14
14 15 17 14 13 16 17 18 20 20
20 20 18 17 18 13 19 16 19 19
13 13 14 15 15 17 16 16 15 18
a) Ordene los datos en forma creciente.
b) Registre en una tabla que contenga los datos ordenados y su conteo.
c) ¿Cuál es la osilación o rango?
2) Las edades de 10 personas entrevistados al azar fueron: 27, 14, 13, 16, 17, 18, 15, 14,
12 y 18 años. Ordenar los datos en forma creciente (menor a mayor) y en forma tabular
(en una tabla).
Programa de Televisión 1 Secuencia 1 Bloque IV
Observe con atención el programa de televisión La línea que crece y decrece en el que
se mostrará el origen de la estadística y los principales gráficos para representar los datos.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SIMPLE O NO AGRUPADA.
Básicamente las técnicas que permiten organizar los datos, son la tabular y la gráfica. La
primera es una de las formas más sencillas de presentarlos; generalmente se colocan los
valores en forma ascendente o creciente (menor a mayor) también se acostumbran colocar
en forma descendente o decreciente (mayor a menor), lo cual ofrece las siguientes ventajas:
1) Se descubren rápidamente los valores mínimos y máximos en los datos.
2) Se pueden dividir fácilmente los datos en secciones.
3) Se puede dar cuenta si algunos valores aparecen más de una vez en el arreglo.
4) Se puede observar la distancia entre los valores consecutivos de la tabla o arreglo.
¿Qué puede hacer una persona para organizar los números desordenados que recoge en
sus investigaciones?, ¿Cómo se las arregla para transformar esa masa de datos en un
resumen fácil de entender?. El primer paso en la solución de este problema es el de construir
lo que se llama una distribución de frecuencias.
410

Ejemplo 1: Suponga que las edades de un grupo de 8 estudiantes de séptimo grado son:
12, 13, 14, 12, 14, 13, 12 y 13 años. Se pide ordenarlos en forma creciente y en la forma
tabular.
Al ordenarlos en forma creciente quedan:
12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14.
Para ordenarlos de forma tabular se construye una tabla de la siguiente manera:
Se puede observar que:
La edad de 12 años se repite 3 veces en el grupo.
La edad de 13 años se repite 3 veces en el grupo.
La edad de 14 años se repite 2 veces en el grupo.
III
III
II
El número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable, se llama
frecuencia y se representa con la letra “f “
Considerando la definición anterior los datos quedarían ordenados en forma tabular de la
siguiente forma:
De este ejemplo se tiene que:
La frecuencia de 12 años es 3, entonces: f = 3.
La frecuencia de 13 años es 3, entonces: f = 3.
La frecuencia de 14 años es 2, entonces: f = 2.
En la distribución de frecuencia simple o no agrupada significa que los valores de las
variables (“X”), en el ejemplo anterior “La edad” no se combina para formar grupos, si no
que cada valor de ella, es un grupo en sí.
411

El siguiente ejemplo resume toda la información hasta el momento proporcionada.
Ejemplo 2: Los siguientes datos muestran las edades de cierto número de personas.
32 28 41 42 35 35 28
17 17 20 17 17 18 35
18 17 35 42 28 42 21
21 18 21 20 35 20 35
La variable es la edad.
Al ordenar los datos en forma creciente queda:
17 17 17 17 17 18 18
18 20 20 20 21 21 21
28 28 28 32 35 35 35
35 35 35 41 42 42 42
La ordenación es tediosa, pero muy conveniente hacerla, para luego más fácilmente obtener
la tabulación o forma tabular de frecuencia simple, como se muestra en la siguiente tabla:
La oscilación de las edades es de 42 a 17 años, es decir, el rango es de 25
En una serie de datos, la diferencia entre el valor máximo (VV mmmmmm ) y valor mínimo (VV mmmmmm ) de la
variable se llama Rango (Rg).
Para calcular el rango de la distribución anterior se aplica la fórmula del rango:
412

Ejercicios 2 Secuencia 1 Bloque IV
1) Comente con sus compañeros(as) las ventajas de organizar los datos.
2) Escriba en su cuaderno y complete las siguientes oraciones:
a) El número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable, se
llama ___________________ y se representa con la letra_______________.
b) En una serie de datos, la diferencia entre el valor_______________ y valor
_______________de la variable se llama _______________.
3) Las calificaciones de 50 estudiantes de la clase de matemáticas al final del año fueron
las siguientes:
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93
73 79 88 73 60 93 71 50 85 55
61 75 75 87 74 62 95 76 63 50
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60
99 78 89 61 75 95 60 79 53 54
a) Ordene los números en forma descendente.
b) Encuentre el rango.
c) Hallar las notas de los 6 estudiantes de mayor puntuación.
d) Hallar las notas de los 2 estudiantes de menor puntuación.
e) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron calificaciones mayores que 80?
f) ¿Cuántos estudiantes reprobaron?
Distribución de datos agrupados.
En ciudades como San Pedro Sula o Tegucigalpa es común que haya una gran afluencia de
vehículos circulando en determinadas horas y en ciertas calles.
La recopilación de estos datos, su agrupación y conteo, registro en tablas, sirve a las
autoridades de la Secretaría de Obras Públicas, Transporte y Vivienda (SOPTRAVI)
para decidir qué medidas se deben tomar en cuanto al sentido de las calles: colocación
de semáforos, vigilancia, etcétera, además para evitar grandes congestionamientos de
413

vehículos, así como pérdida de tiempo y molestias a quienes transiten por la ciudad.
En relación a lo anterior considere el siguiente ejemplo:
A continuación aparecen los datos que se obtuvieron contando el número de vehículos que
cruzan cierta calle cada cinco minutos.
28 32 24 26 23 23 30 25
34 30 32 25 25 20 25 37
39 34 36 28 24 26 26 24
24 20 22 28 29 26 27 27
26 31 33 31 28 38 28 27
Al ordenar los datos en forma descendente y registrar el conteo en una tabla se obtiene:
Puede observarse que el mayor número de vehículos es 39 y el menor número es 20, de
manera que la diferencia entre estos datos es 19, o sea el rango, es de 19.
El rango es útil para determinar como se pueden agrupar los datos, es decir, cuántos grupos
o intervalos de datos se tendrán de acuerdo con la cantidad de ellos (N). Comúnmente los
intervalos son grupos de 3, 5 ó 7 datos, los cuales constituyen la amplitud del intervalo.
Cabe señalar cada intervalo tiene dos extremos, el número menor se denomina límte
inferior y el extremo mayor límite superior.
414

Si se escoge un intervalo que conste de 5 datos, es decir 39, 38, 37, 36, 35, se expresa
como 35-39.
De donde se observa que:
39 es el límite superior y 35 es el límite inferior.
Luego se debe determinar el número de intervalos y para esto se divide el rango entre el
número de datos del intervalo, o sea:
19 ÷ 5 = 3.8
Redondeando 3.8 a la unidad más próxima, se tiene 4, lo cual indica que debe haber 4
intervalos cuya amplitud sea 5.
Los datos se presentan en una tabla que incluye el intervalo, el conteo (el número de rayitas)
se expresa con números y recibe el nombre de frecuencia.
Ahora bien, si se hubiera escogido un intervalo que constara de 3 datos, es decir 39, 38, 37,
se expresa como 37 - 39. De tal manera que: 39 es el límite superior y 37 es límite inferior.
Para obtener el número de intervalos se divide el rango entre el número de datos del
intervalo, o sea:
19 ÷ 3 = 6.3
Como el número del intervalo debe ser entero, y mayor que 6, esto indica que debe haber 7
intervalos con amplitud de 3.
Se realiza la tabulación, que incluya el intervalo, el conteo y la frecuencia.
Considerando lo anterior se aprecia que:
Cuando hay un número considerable de datos, es conveniente agruparlos en grupos o
intervalos, este arreglo facilita la comprensión de los mismos.
415

Conocida la amplitud del intervalo puede determinar los límites tomando en cuenta los
siguientes criterios:
1. Precise el dato mayor como límite superior del primer intervalo.
2. A partir del límite superior en conteo decreciente discrimine cada valor incluyendo el dato
mayor hasta agotar la amplitud del intervalo, este último valor será su límite inferior.
Ejercicios 3 Secuencia 1 Bloque IV
Realice en su cuaderno lo que se le indica, con base en la siguiente información:
Un grupo de 40 estudiantes presentó un examen de Ciencias Naturales y se obtuvieron los
siguientes resultados.
70 48 43 39 65 67 28 36
56 62 33 45 40 66 63 58
43 39 70 68 49 29 30 40
67 36 25 12 23 26 68 25
40 50 57 39 29 44 65 41
a) Ordene los datos en forma descendente.
b) Determine su rango.
c) Con intervalos de 5 datos, determine el número de intervalos.
d) Realice una tabulación, incluyendo el intervalo, el conteo y la frecuencia.
Ejercicios 3 Secuencia 1 Bloque IV
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento, con una serie
de preguntas y ejercicios, los cuales puede trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
416

EJERCICIOS VERBALES
Conteste las siguientes preguntas.
a) ¿Cuándo se dice que los datos están ordenados en forma descendente?
b) ¿Cuándo se dice que los datos están ordenados en forma creciente?
c) ¿Cómo se obtiene el rango de una distribución de datos?
d) ¿A qué se le llama frecuencia?
e) ¿Qué son los intervalos?
f) ¿Cómo se les llama a los extremos de un intervalo?
EJERCICIO DE REFORZAMIENTO
Recolecte las edades de todos los estudiantes matriculados en su centro, una vez con la
información realice en su cuaderno lo que se le indica.
a) Ordene los datos en forma descendente.
b) Determine su rango.
c) Con intervalos de 7 datos, determine el número de intervalos.
d) Realice una tabulación, incluyendo el intervalo, el conteo y la frecuencia.
417

418

Secuencia de aprendizaje 2 Bloque IV
PARTES DE UN PASTEL
Tradicionalmente los gobiernos han llevado registros de población, nacimientos, defunciones,
ocupaciones, producción y de todo tipo de actividades que se realizan en el territorio nacional.
El conteo y la medición de tales hechos generan una gran cantidad de información.
En la actualidad los medios masivos de comunicación, a través de reportajes y noticieros
principalmente, proporcionan información de manera constante y una buena parte de esa
información se da a conocer por medio de gráficas, en las cuales se visualiza e interpreta
mejor los datos proporcionados, esto hace resaltar la importancia del manejo y tratamiento de
la información. Por esta razón en esta secuencia de aprendizaje se estudiará la organización
y presentación de los datos en gráficas de barra y circulares entre otras.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar esta secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Organicen y presenten información estadística en gráficas circulares y de barra.
2. Contruyan gráficas circulares y de barra con información de acontecimientos sencillos de
su entorno utilizando la computadora u otro tipo de recurso.
3. Describan y analicen la información estadística organizada en gráficas circulares y de
barra.
Intervalos de clase, población y muestra
Cuando se realiza una encuesta o una investigación cualquiera se obtienen datos, los cuales
es necesario, en primer término, organizar para posteriormente analizarlos y así encontrar la
información que se busca. Veáse el siguiente ejemplo:
En un centro de salud se quiere saber el peso de los pacientes de un año, que acuden a
consulta, para valorar el grado de nutrición de los niños en esta edad que habitan en esta
comunidad.
419

Al cabo de una semana se atendieron 20 niños, los cuales obtuvieron los siguientes pesos
en libras.
José 16.0 Francisco 14.8 Martha 11.0 Roberto 18.0 Susana 17.8
Pablo 20.4 Laura 19.0 Iris 18.0 Isabel 13.0 María 14.0
Manuel 16.6 Marvin 14.8 Carmen 17.0 Martín 18.8 Adrian 18.0
Luis 18.0 Alejandro 19.6 Lorena 17.0 Trinidad 18.0 Héctor 16.0
Se observa que los datos están en desorden; para facilitar su estudio se deben ordenar en
forma creciente o decreciente, en este caso en forma creciente:
11.0 13.0 14.0 14.8 14.8 16.0 16.0 16.6 17.0 17.0 17.8 18.0 1 8 . 0
18.0 18.0 18.0 18.8 19.0 19.6 20.4
Posteriormente, se registran los datos en una tabla o una tabulación, la cual consta de tres
columnas:
1. Nombre de la variable estudiada (en este caso el peso). En esta columna se anotan los
datos sin repetirlos y en forma ordenada.
2. Conteo de los datos: Aquí se registra el número de veces que se repite cada dato con
una marca o rayita.
3. Frecuencia. En esta columna se anota el número que representa a las rayitas obtenidas
en el conteo de los datos.
Peso Conteo Fracuencia
11.0 I 1
13.0 I 1
14.0 I 1
14.8 II 2
16.0 II 2
16.6 I 1
17.0 II 2
17.8 I 1
18.0 IIII 5
18.8 I 1
19.0 I 1
19.6 I 1
20.4 I 1
Total 20
Una vez hecha la tabulación, se observa que el peso mayor es de 20.4 libras y el menor es
de 11.0 libras. De estos dos datos se obtiene el rango, el cual resulta de la diferencia entre
ellos.
Rg = 20.4 – 11.0 = 9.4
420

El rango sirve para calcular los intervalos de clase, como se verá a continuación. Los
intervalos son datos agrupados de acuerdo con la amplitud de intervalo que se elija. Para
determinar el número de intervalos se divide el rango entre la amplitud del intervalo elegido.
En el ejemplo se requiere una amplitud de intervalo de 2 libras, pues cada dos libras de peso
es significativo en los niños de un año. Así para obtener el número de clases o intervalos, se
realiza la operación siguiente:
En este caso el cociente de la división es de 4.7 por los cual se redondeo al entero más
próximo 5.
A continuación se definen los intervalos o clases tomando los límites inferior y superior
considerando la amplitud del intervalo elegida. Por ejemplo en el primer intervalo el límite
inferior es 11.0 y se le suma 2 obteniéndose 13, que es el límite superior.
Posteriormente se determina el número de casos que están dentro de cada intervalo, es
decir, las frecuencias de clase.
Los datos agrupados se presentan en una tabla de frecuencia.
Las tablas de frecuencia facilitan el análisis de los resultados de una investigación, ya que
mediante ellas se puede establecer relaciones entre los datos.
En el ejemplo anterior, los médicos observaron que la mayoría de los pacientes de un año
está bien alimentados, pues se encontraron dentro del intervalos de 13 a 19 libras de peso,
mientras que 2 están bajo la línea de peso normal y 2 pacientes tienen sobre peso.
En muchas ocasiones es necesario realizar investigaciones donde se estudian las
características o valores de una población determinada, pero debido a las limitaciones de
tiempo o de recursos no se trabaja con la totalidad de la población sino con una parte de
esta.
Por ejemplo; supóngase que se desea saber las preferencias deportivas de todos los
estudiantes de los centros de educación básica que actualmente está aplicando la
421

metodología de Telebásica en Honduras, entrevistar a todos los estudiantes implicaría un
gasto excesivo en tiempo y dinero, y el análisis de los resultados sería dificultoso, porque
la población a investigar es demasiado grande y esta dispersa en todo el territorio nacional.
En situaciones como ésta es necesario utilizar un método estadístico llamado muestreo,
que consiste en seleccionar una muestra que represente a toda la población. Lo que hace
la investigación sea menos costosa y se realiza en menor tiempo.
Se llama población al grupo o conjunto de individuos, características u objetos que se
examinan. En el ejemplo anterior la población serían todos los estudiantes de Telebásica.
Y debido a que es muy dificil examinar toda la población se elige una muestra, que es una
pequeña parte de la población, que se toma como representativa del conjunto.
La muestra elegida debe cumplir con los siguientes requisitos para tener validez:
a) Debe representar a la población, esto es, ha de pertenecer a ésta y ser elegida en forma
al azar o en forma aleatoria, para que todos los elementos de la población tengan la
misma probabilidad de ser considerados.
b) Debe ser confiable, es decir, los resultados que se obtengan deben poder ser generalizados
a toda la población con cierto grado de precisión.
c) Que sea práctica, es decir, que sea sencilla de llevar a cabo.
d) Que sea eficiente, esto es, debe proporcionar la mayor información a menor costo.
Existe un procedimiento para elegir una muestra al azar, este es llamado método de muestreo
aleatorio, el cual se explica detalladamente en el siguiente ejemplo:
En una maquila trabajan 4500 obreros(as) y se desea tomar una muestra de 45 personas.
El primer paso es enumerarlos atendiendo el número de cifras que tiene la población total,
en el ejemplo se tienen 4 cifras por lo tanto el primer elemento se enumera con 0001.
Posteriormente se colocan en una urna 10 bolitas enumeradas del 0 al 9 y cada vez que
se elija un obrero(a) se extrae una esfera, se anota el dígito y se regresa a la urna, se
revuelven las esferas y se repite el procedimiento tres veces más hasta obtener un número
de cuatro dígitos. De esta forma todos los obreros tienen la misma posibilidad de aparecer
en la muestra.
Se preguntará ¿Qué pasará cuando el número escogido de cuatro dígitos sea mayor que
el de la población?, por ejemplo si se obtiene 6456, en este caso se divide por el total de la
población (4500) y se toma el residuo.
6456 4500
− 4500 1
1956
422

En este caso se elegirá 1956, de esta forma no se desperdician los números mayores a la
población.
Ahora bien ¿de qué tamaño debe ser la muestra? Esta varía dependiendo del tamaño de
la población y de las características propias de la investigación, pero en general se toma el
1% de la población para formar la muestra. El tamaño de la población se denota con la letra
N y el de la muestra con la letra n.
Ejercicios 1 Secuencia 2 Bloque IV
Analice y responda en su cuaderno las siguientes interrogantes:
a) ¿En qué casos se aplica el método del muestreo?
b) ¿Cuáles son las ventajas de este método?
c) ¿A qué se le llama población?
d) ¿Qué es una muestra?
e) ¿Qué requisitos debe cumplir una muestra para tener validez?
f) ¿Cómo se denota el tamaño de una población y el de la muestra?
Obtenga la población y la muestra acerca de cada caso:
a) Una empresa que fabrica 10000 focos a la semana realiza un control de calidad de
sus productos probando 1000 focos en el mismo lapso de tiempo.
b) Se desea saber el porcentaje de calcetines defectuosos producidos en 5 días, al
día se producen 1000 calcetines y se pretende examinar 10 calcetines diferentes
diariemente en diferentes horas del día.
c) Anote los datos de alguna posible investigación que se pueda hacer en su comunidad
y defina la población y la muestra.
d) Como tomaría una muestra de 20 estudiantes del centro básico que estudia tomando
en cuenta del 1º al 9º para realizar un estudio de las asignaturas preferidas.
423

Representación gráfica de los datos
Para lograr una mejor comprensión de los números arreglados en forma tabular, se utilizan
los gráficos, que destacan algunos hechos más claramente. Un gráfico para ser de utilidad
real, debe ser simple y poner mayor énfasis en los rasgos significativos de los datos.
Un gráfico estadístico es la representación de un fenómeno por medio de figuras geométricas
(puntos, líneas, rectángulos, circulos etc.). Entre estos gráficos se tienen el de barras simples,
el de barras comparativas y el gráfico circular entre otros.
GRÁFICO DE FRECUENCIA ABSOLUTA
Cuando los datos estadísticos han sido registrados en una tabla, pueden representarse por
medio de una gráfica. Para precisar esta idea considere el siguiente ejemplo:
Se han tabulado los datos referentes a la estatura en centímetros de los miembros de un
equipo de futbol de un centro básico, integrado por 25 jugadores (titulares y reservas).
Para elaborar la gráfica representativa de los datos anotados en la tabla, se trazan dos ejes,
uno horizontal y otro vertical, que sean perpendiculares. Por lo general en el eje horizontal
se anotan los datos (estaturas) y en el vertical las frecuencias.
424

FRECUENCIA ABSOLUTA
5
4
3
2
1
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 ESTATURA
Otro ejemplo se presenta a continuación:
El entrenador de un equipo de basquetbol, ha registrado el número de puntos que cada uno
de sus jugadores anotó en total durante la temporada que recientemente terminó y dicha
información la concentró en la siguiente tabla.
La gráfica representativa de esta tabla se ve así:
FRECUENCIA ABSOLUTA
4
3
2
1
60 70 80 90 100 PUNTOS ANOTADOS
425

Seguramente, el análisis de estas gráficas y otras que puedan elaborar los entrenadores,
con características personales y del rendimiento de sus jugadores en la práctica de un
deporte, permitiran optimizar el funcionamiento de los equipos a su cargo.
Por otra parte, conocer cómo se realiza la representación grafica de las frecuencias
absolutas, sirve de base para comprender cómo se elaboran e interpretan otras gráficas
más específicas en cuanto a cualidades y cantidades, que se estudiarán en las siguientes
sesiones de esta secuencia.
Ejercicios 2 Secuencia 2 Bloque IV
Realice en su cuaderno lo que se le pide a continuación:
Complete y elabore las gráficas que representen la frecuencia absoluta, correspondientes a
cada una de las tablas que se dan a continuación.
426

Programa de televisión 1 secuencia 2 bloque IV
Atienda con interés el programa de televisión Recordar es dominar las matemáticas, en
el que se mostrará el plano cartesiano como herramienta fundamental para dibujar gráficas
de datos.
Frecuencia Relativa
Cuando se tiene una serie de datos, debidamente ordenada y tabulada, no solamente es
necesario conocer la frecuencia absoluta de los valores que se incluyen, esto es, el número
de veces que un dato aparece en el total considerado, sino que se requiere saber también
cuál es la frecuencia relativa, es decir, el tanto por ciento de la aparición de ese dato en
relación al conjunto de los datos.
Para que se aprecie el procedimiento que se sigue cuando es necesario obtener una
frecuencia relativa, considere el siguiente ejemplo.
En un centro de salud de Comayagua, se atendió durante la semana pasada a cierto número
de pacientes, con síntomas de diversos padecimientos, los cuales se enumeraron en la
tabla que aparece a continuación:
La frecuencia relativa es un dato que se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el
total de las frecuencias y multiplicando el cociente por cien. Es decir:
427

Realizando las operaciones según los datos de la tabla anterior, se obtiene:
Estos resultados son tantos porcientos y la suma de ellos debe ser 100%, ya que en la
fórmula interviene como cociente 50, que es el total de los valores registrados en la tabla. Al
representar la frecuencia con un tanto por ciento, se está haciendo referencia a la frecuencia
relativa.
A continuación se presenta una tabla en la cual se incluyen las frecuencias relativas.
Motivo de consulta Conteo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
Gripe IIII IIII 9 18
Tos IIII I 6 12
Herida IIII 4 8
Quemadura IIII 5 10
Hepatitis III 3 6
Diabetes IIII III 8 16
Dolor estomago IIII I 6 12
Quebradura IIII IIII 9 18
Total 50 100%
Es posible concluir, por tanto, que el 16% de las consultas se dio a enfermos de diabetes y
12 % de los pacientes con dolor de estomago, etcétera.
428

Ejercicios 3 Secuencia 2 Bloque IV
Realice lo que se le pide.
En una serie de datos estadísticos la frecuencia absoluta es de 7, 12, 1, 3, 10 y el total es
33. Para obtener la frecuencia relativa complete las siguientes expresiones. Puede usar
calculadora si lo desea.
Para el dato 7
Frecuencia relativa =
Para el dato 12
Frecuencia relativa =
Para el dato 1
Frecuencia relativa =
Para el dato 3
Frecuencia relativa =
Para el dato 10
Frecuencia relativa =
Complete la siguiente tabla anotando las frecuencias absoluta y relativa en las columnas
correspondientes. Puede usar calculadora si lo desea.
429

GRÁFICA DE BARRAS
Los datos pueden ser de dos tipos: cualitativos y cuantitativos. Los primeros hacen
referencia a cualidad y los segundos a números o cantidades.
Los datos cualitativos son medidas de características, de rasgos, de cualidades asociadas
con la unidad de observación.
Una gráfica de barras es una representación gráfica de una tabla de frecuencias para
datos cualitativos. Por lo general en el eje horizontal se disponen los datos cualitativos y en
el eje vertical las frecuencias de los datos.
La elaboración de una gráfica, es sencilla y para ello se debe tomar en cuenta lo siguiente:
La línea base, es una línea horizontal o vertical en el cual descansan o inician las barras;
sirve para poder establecer comparaciones entre los datos cualitativos, representados por
las barras, con una simple y rápida inspección.
El ancho de las barras, todas las barras o rectángulos de un gráfico tendrán la misma
medida de ancho, siendo este arbitrario. El ancho de la barra generalmente depende del
número de datos a representar con relación al espacio disponible para la construcción del
gráfico.
Separación entre las barras, el espacio entre barras o rectángulos, no debe ser menor que
la mitad del ancho de la barra, ni mayor que el ancho de la misma, manteniendo siempre la
misma distancia.
Toda gráfica debe ir acompañada de su tabla de datos, con la suma de sus totales.
Ejemplo:
El director de un centro básico realizó una encuesta para conocer las preferencias de los
y las estudiantes de séptimo grado, en relación a las asignaturas que cursan. Los datos
obtenidos son los siguientes:
Campo de estudio
430

Para construir la gráfica de barras debe seguirse el siguiente procedimiento:
1. Se trazan dos ejes perpendiculares.
2. Se coloca la escala de valores o frecuencias sobre el eje vertical y los datos cualitativos,
en el eje horizontal.
3. Se trazan los rectángulos o barras del mismo ancho sobre el eje de los datos cualitativos,
dejando un mismo espacio entre ellos. La longitud de cada barra representa el número
de frecuencias.
Al analizar la gráfica de 45 estudiantes entrevistados, se observa que:
1) 9 estudiantes prefieren Matemáticas, 4 prefieren Español, 4 prefieren Educación Artística,
etcétera.
2) La asignatura que más prefieren los estudiantes es Ciencias Naturales.
3) Las asignaturas que menos prefieren los estudiantes son: Español, Inglés y Educación
Artística.
4) Los estudiantes que prefieren otra materia que no sea Matemáticas, son 36.
5) Los estudiantes que prefieren Inglés más que otras materias son 4.
6) Al preguntar a un estudiante sobre la materia de su preferencia, lo más probable es que
conteste Ciencias Naturales y las menos probables son: Español, Inglés y Educación
Artística.
La gráfica de barras es una forma objetiva de presentar los datos en estudio de un problema
estadístico.
431

Ejercicios 4 Secuencia 2 Bloque IV
Con base en la siguiente tabla, elabore una gráfica de barras y luego conteste las preguntas
con relación a la gráfica
Sabores de helados que prefiere un grupo de estudiantes de primer grado.
1) ¿Cuál sabor es el que gusta más?
2) ¿Cuál es el sabor que gusta menos?
3) Si usted vendiera helados, ¿De cuáles sabores tendría más?
4) Si llegara un grupo de escolares a comprar helados ¿De cuál sabor es probable que
venda menos?
Escriba los datos de la siguiente investigación en una tabla y posteriormente elabore la
gráfica de barras correspondiente.
Las temperaturas máximas registradas para el mes de abril durante 6 años en Tegucigalpa
fueron de 29ºC en 1988, 28ºC en 1999, 29ºC en el 2000, 30ºC en el 2001, 32ºC en el 2002
y 34ºC en el 2003.
Gráfica de Barras Comparativas
Es muy común que se tengan que realizar comparaciones de las investigaciones realizadas,
así como la presentación de los datos, ya sea en forma tabular o gráfica, para la toma de
desiciones o para formular planes a corto y largo plazo.
Para concretar esta idea considere el siguiente caso:
Un médico realizó una investigación acerca de la libreta de vacunación en dos centros
432

ásicos de la misma comunidad y elaboró una tabla comparativa, en la que registró los
datos de los estudiantes que carecen de algunas vacunas.
Resulta, además, que en ese lugar no existe un centro de salud y las vacunas se aplican
cuando una brigada médica recorre diversas poblaciones de la región.
Por medio de la tabla anterior se pueden determinar algunos aspectos, como los siguientes:
1. El mayor número de los estudiantes que no han sido vacunados contra la tuberculosis se
encuentra en el centro A.
2. El menor número de los estudiantes que no han sido vacunados contra difteria, tosferina
y tétano se encuentra en la escuela B.
3. Existe igual número de los estudiantes que no han sido vacunados en el centro A y B en
lo que respecta a las vacunas de poliomielitis.
La representación gráfica de los datos de la investigación es la siguiente:
Estudiantes del CEB A
Estudiantes del CEB B
433

Esta información comparativa servirá de base para solicitar una campaña de vacunación y
lograr que los estudiantes que carecen de alguna vacuna sean inmunizados.
Así como en el ejemplo anterior se puede llegar a tomar una desición con base en las tablas
y gráficas elaboradas, existen casos en los cuales es necesario llevar un control en cuanto
a compras y/o ventas.
Véase el siguiente ejemplo:
Una empresa vende confites por caja y se necesita saber en qué semana, 1ª ó 4ª del
mes, se venden más cajas y cuál es el mejor cliente que se tiene, para este efecto de ha
elaborado la siguiente tabla comparativa.
Una vez realizada la tabla, se procede a representar los datos en una gráfica de barras
comparativas.
Como puede observarse, estas tablas y gráficas se hacen con la finalidad de conocer el
volumen de ventas y así poder aumentarlas.
La ventaja de comparar tablas y gráficas radica en que se pueden tomar decisiones que
sirvan para el desarrollo de medidas preventivas o correctivas en múltiples situaciones de
importancia económica, política o social.
Otra ventaja de presentar los datos comparativos por medio de tablas y gráficas, radica en
434

que permite al lector, apreciar y valorar la información de una manera clara y sencilla.
Por lo general en el eje horizontal se disponen los datos cualitativos y en el eje vertical las
frecuencias de los datos, pero también los datos se pueden ubicar de forma contraria.
Observe como quedaría la gráfica del ejemplo anterior al ubicar los datos cualitativos en el
eje vertical y las frecuencias de los datos en el eje horizontal.
Ejercicios 5 Secuencia 2 Bloque IV
Conteste en su cuaderno las siguientes interrogantes:
a) ¿Considera importante realizar investigaciones para posteriormente presentar los datos
en forma tabular y gráfica? ¿Por qué?
b) ¿El realizar comparaciones de la información obtenida en una investigación le permite
tomar decisiones? ¿Cómo lo ejemplificaría?
435

Elabore en su cuaderno dos gráficas comparativas de las ventas de prendas de vestir,
realizadas en los meses de agosto y septiembre, por una tienda de ropa. Una gráfica con
los datos cualitativos en el eje horizontal y los datos de las frecuencias en el eje vertical y la
otra con los mismos datos pero intercambiando los ejes.
VENTAS DE ROPA EN LOS MESES DE AGOSTO Y SEPTIEMBRE
Escriba en su cuaderno dos conclusiones derivadas de las gráficas.
GRÁFICA CIRCULAR O DIAGRAMA DE SECTORES
Una gráfica circular es otro ingenioso medio de presentar un resumen visual de frecuencias
de datos cualitativos, resulta muy útil para representar una distribución de frecuencias
relativas.
En la práctica es frecuente encontrar situaciones o fenómenos estadísticos que hacen
relación a la subdivisión de un total en sus partes componentes y porcentajes que cada
una de ellas representa. Para representar tales situaciones se emplea la gráfica circular o
de sectores.
El círculo completo representa el total todos los datos, es decir el 100%, al cual corresponde
360º.
El procedimiento para representar datos en este tipo de gráficas se muestra con el siguiente
ejemplo:
De 450 personas, 125 hablan inglés; 100 hablan francés; 75 hablan alemán y el resto habla
español.
En este caso lo primero que hay que hacer es averiguar la cantidad de personas que hablan
español y luego construir una tabla con estos datos.
125 hablan inglés
100 hablan francés
+ 75 hablan alemán
300
436

450 – 300 = 150, 150 personas hablan español.
Se tabulan los datos en una tabla de frecuencias absolutas.
Luego, se encuentran las frecuencias relativas de cada uno de los datos.
Personas que hablan inglés:
Personas que hablan francés:
Personas que hablan alemán:
Personas que hablan español:
Ahora bien, para hacer la gráfica circular convertimos los porcentajes en grados con la
relación 1% = 3.6º utilizando las proporciones, es decir:
Para 27.8 %
1%: 3.6° = 27.8%: x
En esta proporción la incógnita es un extremo, por lo tanto:
En todas las proporciones el cociente será 1%, por lo que para convertir el porcentaje a
grados, sólo es necesario efectuar la multiplicación entre ellos.
Para 22.2%
22.2 × 3.6° = 79.92° 80°
Para 16.7%
16.7 × 3.6° = 60.12° 60°
Para 33.3%
33.3 × 3.6° = 119.88° 120°
437

Estos datos se organizan en una tabla de la siguiente manera:
Observe que la suma de los grados que representan a las frecuencias relativas de los datos
es 360º.
Estos datos se representan en un círculo de radio cualquiera, con la ayuda del transportador.
Quedando finalmente así:
Notas importantes:
1. Al 100% del área del círculo le corresponden 360º por tanto, al 1% le corresponde 3.6º.
2. Toda cantidad parcial debe expresarse en porcentaje.
3. Asignar a cada porcentaje parcial un sector circular de acuerdo al ángulo correspondiente
a dicho porcentaje.
4. Usar el compás y el transportador para hacer el círculo y dibujar los ángulos
respectivamente obtenidos.
5. Si no desea sombrear, puntear o rayar dentro del círculo, se sugiere escribir los indicadores
en la parte superior o inferior derecha del gráfico.
6. La suma de los grados debe ser igual a 360º y la de los porcentajes a 100%.
438

Ejercicios 6 Secuencia 2 Bloque IV
Conteste las siguientes interrogantes:
1. ¿Qué tipo de datos se representan en las gráficas circulares?
________________________________________________________________________
2. ¿Qué cantidad de grados representa el círculo completo?
________________________________________________________________________
3. ¿Qué cantidad de porcentaje representa el círculo completo?
________________________________________________________________________
3. ¿Qué relación se utiliza para convertir los porcentajes a grados?
________________________________________________________________________
Realice los ejercicios que se le presentan a continuación:
1) Construya una gráfica circular de la siguiente tabla de datos obtenidos por un estudio de
la clasificación de la red vial oficial
Tipo de Carretera
Pavimentada 2845
Transitable todo el tiempo 9357
Transitable sólo en verano 1484
Total
Kilómetros
2) Elabore una gráfica circular con la información que se le presenta a continuación y al
terminar escriba 3 conclusiones.
Tipos de comida preferidas en el aula de clase: montucas, 13; enchiladas, 10; mondongo,
8, yuca con chicharrón, 5; nacatamales, 16, y chop suey, 6.
439

Programa de Televisión 2 Secuencia 2 Bloque IV
Atienda con interés el programa de televisión Hazlo más rápido, en el cual conocerá el
procedimiento para elaborar gráficos de sectores en la computadora.
Ejercicios 7 Secuencia 2 Bloque IV
En esta sección integrará los conocimientos adquiridos hasta el momento,con una serie de
preguntas y ejercicios, los cuales pueden trabajar en forma individual o en equipos según
disponga su docente, compare sus respuestas con las de sus compañeros. En las diferentes
secciones de esta secuencia encontrará elementos que le facilitarán su desarrollo.
EJERCICIOS VERBALES
Diga si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, de ser alguna falsa
justifique su respuesta.
a) Se llama población al grupo o conjunto de individuos, características u objetos que se
examinan.
b) Una muestra es una pequeña parte de la población, que se toma como representativa
del conjunto.
c) La muestra no necesariamente deba ser elegida en forma al azar o en forma aleatoria.
d) Un tabla de frecuencias es la representación de un fenómeno estadístico por medio
de figuras geométricas (puntos, líneas, rectángulos, circulos etc.)
e) Para elaborar la gráfica representativa de los datos anotados en la tabla, se trazan
dos ejes, uno horizontal y otro vertical, que sean perpendiculares.
f) La frecuencia relativa es el tanto por ciento de la aparición de ese dato en relación al
conjunto de los datos.
g) Los datos pueden ser de dos tipos: cualitativos y cuantitativos. Los primeros hacen
referencia a números o cantidades y los segundos a cualidad.
h) El ancho de las barras de un gráfico tendrán la misma medida, siendo este arbitrario.
i) El círculo completo representa el total de todos los datos, es decir el 100% el cual
corresponde a 360º.
440

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO
Realice las siguientes actividades.
a) El director de un centro básico, realizó una investigación sobre la preferencia de acuerdo
con el tipo de juegos que preferían jugar los los estudiantes de séptimo grado y obtuvo
los siguientes resultados:
Construya una gráfica de barras con los datos anteriores. Y escriba una conclusión sobre
la gráfica.
b) La distribución de la tabla, corresponde a las temperaturas máximas medias registradas
en Ocotepeque en el mes de septiembre, durante 5 años.
Construya una gráfica circular con los datos anteriores. Y escriba dos conclusiones sobre
la gráfica.
441

442

Secuencia de aprendizaje 3 Bloque IV
VALORANDO LO QUE APRENDO
Lo aprendido en la escuela le será de gran utilidad para resolver problemas que la realidad
le plantea, su capacidad se esncontrará constantemente evaluada por los problemas que a
diario enfrentará, por lo tanto tenga presente lo aprendido en este cuarto bloque: Estadística
Descriptiva y Probabilidad Discreta .
En esta secuencia de aprendizaje, recordará algunos aspectos importantes de esos
conocimientos.
Resultados del aprendizaje
Al finalizar la secuencia se espera que los y las estudiantes:
1. Organicen datos en en tablas y cuadros sencillos.
2. Organicen y presenten información estadística en gráficas circulares y de faja.
Origen de la Estadística
La palabra “estadística” procede del latín statisticum collegium (“consejo de Estado”) y de
su derivado italiano statista (“hombre de Estado” o “político”). El término alemán Statistik,
que fue primeramente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente
el análisis de datos del Estado, es decir, “la ciencia del Estado” (también llamada “aritmética
política” de su traducción directa del inglés). No fue hasta el siglo XIX cuando el término
estadística adquirió el significado de recolectar y clasificar datos. Este concepto fue
introducido por el inglés John Sinclair.
En su origen, por tanto, la estadística estuvo asociada a datos, a ser utilizados por el
gobierno y cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La colección de datos acerca
de estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de estadística
nacional e internacional. En particular, los censos suministran información regular acerca de
la población.
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya
443

se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera
y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el
año 3000 a. C. los babilónicos usaban ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos
en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante
trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes
de construir las pirámides en el siglo XI a. C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas
incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la
población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías.
En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los
griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para
cobrar impuestos.
En muchas actividades del género humano se requiere realizar encuestas o recopilar datos
para posteriormente organizarlos y efectuar un análisis de la información obtenida, lo cual
permitirá tomar desiciones que sirvan para evaluar los procesos, mejorar las áreas donde
se detectan errores, etcétera.
Para realizar una recolección de datos es indispensable conocer algunos conceptos como:
FRECUENCIA ( f )
Es el número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable, se
representa con la letra “f “
Ejemplo 1: Observe la siguiente tabla de frecuencias:
Considerando la definición anterior las frecuencias serían los siguientes datos:
La frecuencia de 20 años es 3, entonces: f = 3.
La frecuencia de 22 años es 3, entonces: f = 3.
La frecuencia de 24 años es 2, entonces: f = 2.
En la distribución de frecuencia simple o no agrupada del ejemplo anterior, se denota que
los valores de las variables (“X”) que corresponden a la “La edad” no se combina para
formar grupos, si no que cada valor de ella, es un grupo en sí.
RANGO (Rg)
Es la diferencia entre el valor máximo ( ) y valor mínimo ( ) de una serie de datos, se
representa con las letras “Rg”
444

Ejemplo 2: Los siguientes datos muestran las edades de cierto número de personas, como
se muestra en la siguiente tabla:
La oscilación de las edades es de 42 a 17 años, es decir, el rango es de 25.
Para calcular el rango de la distribución anterior se aplica la fórmula del rango:
Las tablas de frecuencia facilitan el análisis de los resultados de una investigación, ya que
mediante ellas se puede establecer relaciones entre los datos.
En muchas ocasiones es necesario realizar investigaciones donde se estudian las
características o valores de una población determinada, pero debido a las limitaciones de
tiempo o de recursos no se trabaja con la totalidad de la población sino con una parte de
esta.
Se llama población al grupo o conjunto de individuos, características u objetos que se
examinan y muestra a una pequeña parte de la población, que se toma como representativa
del conjunto.
La muestra elegida debe cumplir con los siguientes requisitos para tener validez:
a) Debe representar a la población, esto es, ha de pertenecer a ésta y ser elegida en
forma al azar o en forma aleatoria, para que todos los elementos de la población
tengan la misma probabilidad de ser considerados.
b) Debe ser confiable, es decir, los resultados que se obtengan deben poder ser
generalizados a toda la población con cierto grado de precisión.
c) Que sea práctica, es decir, que sea sencilla de llevar a cabo.
d) Que sea eficiente, esto es, debe proporcionar la mayor información a menor costo.
445

GRÁFICA DE BARRAS
Los datos pueden ser de dos tipos: cualitativos y cuantitativos. Los primeros hacen
referencia a cualidad y los segundos a números o cantidades.
Los datos cualitativos son medidas de características, de rasgos, de cualidades asociadas
con la unidad de observación.
Una gráfica de barras es una representación gráfica de una tabla de frecuencias para
datos cualitativos. Por lo general en el eje horizontal se disponen los datos cualitativos y en
el eje vertical las frecuencias de los datos.
La elaboración de una gráfica, es sencilla y para ello se debe tomar en cuenta lo siguiente:
La línea base, es una línea horizontal o vertical en el cual descansan o inician las barras;
sirve para poder establecer comparaciones entre los datos cualitativos, representados por
las barras, con una simple y rápida inspección.
El ancho de las barras, todas las barras o rectángulos de un gráfico tendrán la misma
medida de ancho, siendo este arbitrario. El ancho de la barra generalmente depende del
número de datos a representar con relación al espacio disponible para la construcción del
gráfico.
Separación entre las barras, el espacio entre barras o rectángulos, no debe ser menor que
la mitad del ancho de la barra, ni mayor que el ancho de la misma, manteniendo siempre la
misma distancia.
Toda gráfica debe ir acompañada de su tabla de datos, con la suma de sus totales.
Ejemplo:
El director de un centro básico realizó una encuesta para conocer las preferencias de los
y las estudiantes en relación a las asignaturas que cursan. Los datos obtenidos son los
siguientes:
Para construir la gráfica de barras debe seguirse el siguiente procedimiento:
1. Se trazan dos ejes perpendiculares.
2. Se coloca la escala de valores o frecuencias sobre el eje vertical y los datos cualitativos,
en el eje horizontal.
446

3. Se trazan los rectángulos o barras del mismo ancho sobre el eje de los datos cualitativos,
dejando un mismo espacio entre ellos. La longitud de cada barra representa el número
de frecuencias.
Al analizar la gráfica de 45 estudiantes entrevistados, se observa que:
1. 9 estudiantes prefieren Matemáticas, 4 prefieren Español, 4 prefieren Educación
Artística, etcétera.
2. La asignatura que más prefieren los estudiantes es Ciencias Naturales.
3. Las asignaturas que menos prefieren los estudiantes son: Español, Inglés y Educación
Artística y Educación Física.
4. Los estudiantes que prefieren otra materia que no sea Matemáticas, son 33.
5. Los estudiantes que prefieren Inglés más que otras materias son 4.
6. Al preguntar a un estudiante sobre la materia de su preferencia, lo más probable es que
conteste Ciencias Naturales y las menos probables son: Español, Inglés, Educación
Artística y Educación Física.
GRÁFICA CIRCULAR O DIAGRAMA DE SECTORES
Una gráfica circular es otro ingenioso medio de presentar un resumen visual de frecuencias
de datos cualitativos, resulta muy útil para representar una distribución de frecuencias
relativas.
En la práctica es frecuente encontrar situaciones o fenómenos estadísticos que hacen
relación a la subdivisión de un total en sus partes componentes y porcentajes que cada
una de ellas representa. Para representar tales situaciones se emplea la gráfica circular o
de sectores.
447

El círculo completo representa el total todos los datos, es decir el 100%, al cual corresponde
360º.
El procedimiento para representar datos en este tipo de gráficas se muestra con el siguiente
ejemplo:
De 450 personas, 125 hablan inglés; 100 hablan francés; 75 hablan alemán y el resto habla
español.
En este caso lo primero que hay que hacer es averiguar la cantidad de personas que hablan
español y luego construir una tabla con estos datos.
125 hablan inglés
100 hablan francés
+ 75 hablan alemán
300
450 – 300 = 150, 150 personas hablan español.
Luego, se encuentran las frecuencias relativas de cada uno de los datos.
Personas que hablan inglés:
Personas que hablan francés:
Personas que hablan alemán:
Personas que hablan español:
Ahora bien, para hacer la gráfica circular convertimos los porcentajes en grados con la
relación 1% = 3.6º utilizando las proporciones, es decir:
448

Para 27.8 %
1%: 3.6° = 27.8%: x
En esta proporción la incógnita es un extremo, por lo tanto:
En todas las proporciones el cociente será 1%, por lo que para convertir el porcentaje a
grados, sólo es necesario efectuar la multiplicación entre ellos.
Para 22.2%
22.2 × 3.6° = 79.92º 80°
Para 16.7%
16.7 × 3.6° = 60.12º 60°
Para 33.3%
33.3 × 3.6° = 119.88º 120°
Estos datos se organizan en una tabla de la siguiente manera:
Observe que la suma de los grados que representan a las frecuencias relativas de los datos
es 360º.
Estos datos se representan en un círculo de radio cualquiera, con la ayuda del transportador.
Quedando finalmente así:
449

Notas importantes:
1. Al 100% del área del círculo le corresponden 360º por tanto, al 1% le corresponde 3.6º.
2. Toda cantidad parcial debe expresarse en porcentaje.
3. Asignar a cada porcentaje parcial un sector circular de acuerdo al ángulo
correspondiente a dicho porcentaje.
4. Usar el compás y el transportador para hacer el círculo y dibujar los ángulos
respectivamente obtenidos.
5. Si no desea sombrear, puntear o rayar dentro del círculo, se sugiere escribir los
indicadores en la parte superior o inferior derecha del gráfico.
6. La suma de los grados debe cuadrar a 360º y la de los porcentajes a 100%.
Ejercicios 1 Secuencia 3 Bloque IV
1) Comente con sus compañeros(as) las ventajas de organizar los datos.
2) Complete las siguientes oraciones:
a) El número de veces que aparece una observación o un mismo valor de la variable,
se llama ___________________ y se representa con la letra_______________.
b) En una serie de datos, la diferencia entre el valor_______________ y valor
_______________de la variable se llama _______________.
c) La palabra ________________ procede del latín statisticum collegium.
d) Fue hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de
_______________y _______________ datos. Este concepto fue introducido por el
inglés________________.
3) Analice y responda en su cuaderno las siguientes interrogantes:
a) ¿A qué se le llama población?
b) ¿Qué es una muestra?
c) ¿Qué requisitos debe cumplir una muestra para tener validez?
4) Trabaje en su cuaderno con los siguientes datos:
i. Después de una fiesta se preguntó a los 20 invitados ¿Cuántos confites tienen?
13 14 14 15 13
14 15 17 14 13
20 20 18 17 18
13 13 14 15 15
450

a) Ordene los datos en forma decreciente.
b) Registre en una tabla que contenga los datos ordenados y su fracuencia.
c) ¿Cuál es la osilación o rango?
ii. Obtenga la población y la muestra acerca de cada caso.
a) Una fábrica de fósforos produce 50000 fósforos en un día, a la semana realiza un
control de calidad de sus productos probando 5000 fósforos en el mismo lapso de
tiempo.
Población______________________________________ N___________________
Muestra________________________________________ n __________________
5) Con la siguiente distribución de frecuencia construir un gráfico de barra.
6) Para estudiar sus actitudes hacia la música rock, a 1200 personasse les preguntó (entre
otras cosas), si escuchaban “muy poco”, “poco”, “más o menos lo debido” o “demasiado”
música rock. Las respuestas se contabilizaron y se escribieron en la tabla de abajo.
Construir un Diagrama Circular o de Sectores para dicaha información.
451

BIBLIOGRAFÍA
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