calculo_I_de_edwars_4_edicion_PDF

a=5 a=2 a=1
a = 1/2
a = 1/4
-2 0 2
x
Figura 1.3.12 Parábolas con anchos Figura 1.3.13 Una parabola trasladada
diversos
abre. Especificamente, mientras más grande sea a > 0, Ia parabola crece más
rápidamente yes más angosta (figura 1.3.12).
La parabola de Ia figura 1.3.13 tiene Ia forma de la "parabola estándar" del
ejemplo 7, pero su vértice está localizado en el punto (h, k). En el sistema de
coordenadas u, v que se indica, Ia ecuación de esta parabola es v = u2, en analogIa
con Ia ecuación (5), con a = 1. Pero las coordenadas uv y las coordenadas xy están
relacionadas de Ia manera siguiente:
uxh, v=yk.
Por tanto, la ecuación de esta parabola en las coordenadas xy es
yk=(xh)2. (7)
AsI, cuando la parabola y = x2 se traslada h unidades a la derecha y k unidades
hacia arriba, Ia ecuación en (7) de Ia parabola trasladada se obtiene reemplazando
x por x - h y y por y - k. Esta es otra instancia del principio de traslación que
observamos con los cIrculos.
Más en general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma
y=ax2+bx+c (aO) (8)
puede reconocerse como una parabola trasladada, completando primero el cuadrado
en x para obtener una ecuación de Ia forma
yk=a(xh)2. (9)
La grafica de esta ecuación es una parabola con su vértice en (h, k).
(1-3)
Figura 1.3.14 La parabola
y=2x2-4x 1 del ejemplo9
x
EJEMPLO 9
Solución
Determine la forma de la gráfica de la ecuación
y=2x2-4x-1. (10)
Si completamos el cuadrado enx, Ia ecuación (10) toma la forma
y 2(x2 - 2x + 1) - 3;
y + 3 = 2(x - 1)2.
Por tanto, la gráfica de la ecuación (10) es la parabola que aparece en Ia figura
1.3.14. Se abre hacia arriba, y su vértice está en (1, 3).
28 CapItulo 1 / Funciones y gráficas