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La notación usual para Ia integral defde a a b, debida alfilósofo y matemático
aiernán G. W. Leibniz, es
dx = urn f(x) x1. (9)
1P1'O
a x b
Figura 5.4.7 Origen de Ia
notación de Leibniz para Ia
integral
Si consideramos I como el area bajo y =f(x) de a a b, Leibniz pensó primero en una
delgada banda con alturaf(x) y ancho "mfrnitesirnalmente pequello" dx (como en la
figura 5.4.7), de modo que su area era el productof(x) dx. Consideró la integral como
una suma de areas de tales banths y denotó esta surna mediante la letra alargada S (de
suinma) que aparece como el signo de integral en Ia ecuación (9).
Verernos que esta notación integral no solo es altamente sugerente, sino que
tarnbién es ñtil en extremo para el manejo de las integrales. Los nümeros a yb son
el lImite inferior y el lImite superior de la integral, respectivamente; son los
extremos del intervalo de integración. La funcionfx) que aparece entre el signo
de integral y dx es el integrando. El sImbolo dx que va después del integrando de
la ecuación (9) debe pensarse, por el momento, simplemente como una indicación
de lo que es la variable independiente. Como ci Indice de la suma, la variable
independiente x es una "variable muda"; se puede reemp]azar por cualquier otra
variable sin afectar ci significado de Ia ecuación (9). AsI, sifes integrable en
[a, b], podernos escribir
Jf(x) dx = Jf(t) di = Sb
du.
La definición dada, de Ia integral definida, se aplica solamente cuando a
pero es conveniente incluir tarnbién los casos a = b y a > b. La integral se define
en estos casos como:
Jf(x) dx =0 (10)
y
-
siempre que exista Ia integral del lado derecho. AsI, el intercambio de los lImites
de integración invierte el signo de Ia integral.
AsI como no todas las funciones son derivables, no toda función es integrable.
Supongamos que c es un punto en [a, b] tal quef(x) * +oo cuando x * c. Si
[xk_l, XkI es el subintervalo de la partición P que contiene a c, entonces la suma de
Riemann en Ia ecuación (3) se puede hacer arbitrariamente grande si elegimos
xr suficientemente cercano a c. Sin embargo, pam nuestros propósitos, solo
necesitamos saber que toda función continua es integrable. El siguiente teorema
se demuestra en ci apénd ice E.
Teorema 1 Existencia de Ia integral
Si la funcionfes continua en [a, b], entoncesfes integrable en [a, b].
284 Capitulo 5 / La integral