4° SECUNDARIA - MATE Y CIENCIAS

I BIMESTRE
4
Razonamiento
Matemático
SECUNDARIA

R
A
Z.
4TO sec
M
A
TE
M
Razonamiento
Matemático
∆. Juegos de ingenio
∆. Razonamiento inductivo
∆. Sucesiones
∆. Sucesiones geométricas y aritméticas
3
9
15
21
Trigonometría
∆. Ángulo trigonométrico
∆. Sistema de medición angular
∆. Fórmula general de conversión
∆. Longitud de arco
154
160
166
172
Á
TI
C
O
∆. Series geométricas y aritméticas
∆. Sumas notables
27
33
∆. Área del sector circular
∆. R.T de ángulos agudos - I
178
184
∆. Lógica proposicional - I
40
∆. Análisis dimensional - I
192
Aritmética
∆. Lógica proposicional - II
∆. Teoría de conjuntos - I
∆. Teoría de conjuntos - II
46
52
58
Física
∆. Análisis dimensional - II
∆. Análisis vectorial - I
∆. Análisis vectorial - II
198
204
210
∆. Operaciones básicas en Z
64
∆. Características físicas del movimiento
216
∆. Progresión aritmética
70
∆. Movimiento rectilíneo uniforme
222
∆. Ecuaciones y sistemas lineales
78
∆. Química orgánica: Átomo de carbono
230
Álgebra
∆. Leyes de exponentes
∆. Polinomios
∆. Fracciones algebraicas (MCD Y MCM)
84
90
96
Química
∆. Hidrocarburos saturados: Alcanos
∆. Hidrocarburos insaturados - I
∆. Hidrocarburos insaturados - II
238
248
257
∆. División y teorema del resto
102
∆. Hidrocarburos cíclicos y aromáticos
265
∆. Factorización
108
∆. Compuestos oxigenados - I
273
∆. Ángulos formados por dos rectas
116
∆. Ser vivo
282
Geometría
∆. Triángulos - líneas notables
∆. Congruencia de triángulos
∆. Aplicaciones de la congruencia
122
128
134
Biología
∆. Principios de bioquímica
∆. Biomoléculas inorgánicas
∆. Glúcidos
289
294
300
∆. Polígonos y perímetros
140
∆. Lípidos
306
∆. Cuadriláteros
146
∆. Proteínas
310
22

Juegos de ingenio
1
Capitulo
R
A
Z.
M
A
TE
M
En este capítulo aprenderemos ...
• A desarrollar el criterio lógico y la rapidez mental del alumno.
• A incentivar el razonamiento en el curso.
• A desarrollar la capacidad de orden y de relación.
• A obtener conclusiones con solamente el criterio lógico, sin hacer uso de
conocimientos profundos de la matemática y la lógica.
Á
TI
C
O
M arco Teórico
RAZONAMIENTO LÓGICO
Desarrolla la creatividad
de orden y relación
Indicadores para un correcto
razonmiento lógico
Ejercicio sobre
cerillos
Relación de
parentesco
Relación de
tiempo
Cuadrado mágicos
y otros casos
INTRODUCCIÓN
Encontramos aquí interesantes ejercicios en los
cuales tendrás que poner en práctica tu habilidad
e ingenio. En algunos de ellos se utilizaría conocimientos
elementales de aritmética y geometría;
en otros, reflexión y un modo de pensar lógico.
El propósito al proceder así es empezar a ejercitar
y desarrollar aún más nuestras capacidades
intelectuales. Es cierto que algunos ejercicios son
sencillos, pero otros no son tan fáciles de resolver
a simple vista y eso es lo que los vuelve interesantes;
ya que es posible llegar a la respuesta de
cada uno de ellos, de una manera lógica y deducida
a partir de los datos mencionados.
Se ha dividido esta unidad de manera que sea
fácil identificar el tipo de problema y las reglas
que se deben respetar para su resolución.
33

R
A
Z
M
A
TE
M
Á
TI
C
O
. Esta división es la siguiente:
I. EJERCICIOS CON CERILLAS
En este tipo de problemas hay que observar cuidadosamente
lo que dice el exto y tener cuidado con
lo que se plantea; no olvides que es muy diferente
decir “retira”, “aumenta” o “mueve”, ya que en cada
una de esas expresiones hay un problema diferente.
II. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCOS
Muchos de los problemas de lógica recreativa presentan
problemas de relaciones familiares, donde
por lo general, se aprecian enunciados de difícil
comprensión por “enredado” de su texto; por este
motivo se requiere de una atención adecuada para
llevar a acabo la resolución correcta de dicho problema.
Aquí hay que tener presente la relación que existe
enre cada uno de los integrantes de la familia que en
un mimo problema puede desempeñar papeles diferentes;
y observar bien lo que dice el problema, teniendo
en cuenta que en algunos casos lo que piede
el problema es la relación específica de un familiar
y en otros casos la incógnita está relacionada con la
cantidad de integrantes que puede tener la familia.
4TO sec
III. PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN DE TIEMPO
Siguiendo con la clasificación en este punto los
problemas están relacionados hacia una relación de
días o fechas en el calendario; teniendo en cuenta
lo complicado de los textos; por eso al momento de
resolver problemas de este tipo se sugiere tener en
consideración el criterio de analizar las condiciones
partiendo de la parte final y siguiendo un procedimiento
regresivo, en forma análoga a lo que se
hizo en problemas sobre parentesco.
IV. SITUACIONES DIVERSAS
Es aquí donde se ubican los otros tipos de problemas
de lógica recreativa en el cual tratamos ejercicios de
diferentes tipos que requieren para su resolución de
matemáticas elementales, reflexión y persistencia
con el fin de ejercitar el poder de análisis.
E jercicios resueltos
1. En la figura, ¿cuántas cerillas hay que retirar como
mínimo, para dejar dos cuadrados iguales?
Resolución:
▶
▶
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
▶
▶
Se retiran 4 cerillas.
Rpta: D
44

1
A hora hazlo tú !!
Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas.
¿Cuántas cerillas hay que mover de posición como
mínimo, de tal forma que la casa aparezca del otro
costado?
Solución:
I Bimestre
1
¿Cuántos palitos de fósforo se deben mover como
mínimo para tener 7 cuadrados? (No necesariamente
del mismo tamaño)
Solución:
R
A
Z.
M
A
TE
M
2
¿Quién es el primo del hijo del padre que es hermano
único de mi padre?
Solución:
2
Si el hijo de Pedro es el padre de mi hijo.
¿Qué parentesco tengo yo con Pedro?
Solución:
Á
TI
C
O
3
En una reunión se encuentran: 1 abuelo, 1 abuela,
2 padres, 2 madres, 4 hijos, 3 nietos, 1 hermano,
2 hermanas, 2 hijos varones, 2 hijas, 1 suegro, 1
suegra y 1 nuera. ¿Cuál es la menor cantidad de
personas que satisface esta relación?
Solución:
3
Hay dos patos con dos patas delante de un pato,
dos patos y varias patas detrás de un pato y un
pato entre dos patos. ¿Cuántos patos como mínimo
hay?
Solución:
4
Se tiene doce cerillas dispuestas en cuatro
cuadrados pequeños como muestra la figura:
4
Se tiene doce cerillas dispuestas en cuatro
cuadrados pequeños como muestra la figura:
Solución:
Solución:
Según esto conteste lo siguiente:
a) ¿Cuántas cerillas hay que retirar como mínimo, para dejar dos
cuadrados?
b) ¿Cuántas cerillas hay que mover de posición como mínimo, para
hacer tres cuadrados del mismo tamaño?
c)¿Cuántas cerillas hay que mover de posición como mínimo, para
dejar diez cuadrados, no todos del mismo tamaño?
55
Según esto conteste lo siguiente:
a) ¿Cuántas cerillas hay que retirar como mínimo, para dejar tres
cuadrados?
b) ¿Cuántas cerillas hay que mover de posición como mínimo,
para hacer dos cuadrados del mismo tamaño?

R
A
Z.
M
A
TE
M
01
S
igamos practicando
Siendo, el mañana, del anteayer del ayer de hace
3 días del mañana de hoy del pasado mañana,
domingo.¿Qué día será el mañana del ayer de hace
3 días del mañana del pasado mañana?
Solución:
4TO sec
04
Alex dice: “Yo tengo un hermano únicamente,
quiero averiguar, ¿quién es el otro hijo del padre
del tío de la mujer del hijo de mi padre que sin
embargo no es mi hermano?”.
Solución:
Á
TI
C
O
02
Distribuir los números del 1 al 9 de tal forma que
la suma horizontal y vertical o en diagonal siempre
sea igual a 15. Dar como respuesta x.
05
¿Cuántos palitos de fósforo se deben quitar como
mínimo para obtener 3 cuadrados del mismo
tamaño?
x
Solución:
Solución:
03
¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa
del único vástago de mi madre?
Solución:
06
¿Con cuántas líneas rectas como mínimo se pueden
unir todos los puntos sin levantar el lápiz ni pasar 2
veces por la misma línea?
Solución:
66

I Bimestre
07 08
¿Cuántos árboles se podrán plantar como mínimo
en 12 filas, si se plantan 5 árboles en cada fila?
Solución:
Colocar los números del 1 al 12 en los círculos de la
estrella, de tal manera que la suma de los números
de todas las filas sea 26. Hallar a+b+c+d+e+f
Solución:
z
R
A
Z.
m
n
M
A
TE
M
y
p
x
Á
TI
C
O
E jercicios propuestos
Nivel Básico
1. ¿Qué parentesco tiene Juan con la hija de la esposa
del único hijo de su madre?
a) Tía c) Sobrino e) Cuñada
b) Hija d) Esposa
2. ¿Se podrá dibujar una cruz, sin levantar la mano, ni
repetir el trazo, ni tampoco mover el papel donde se
esté dibujando?
a) Imposible
b) Sí se puede
c) Sí, con los lapiceros
d) Sí, escribiendo «cruz»
e) No es posible
3. ¿Qué parentesco me une a Pedro si mi papá es cuñado
de su papá?
a) Es mi sobrino
b) Soy su tío
c) Somos hermanos
d) No somos parientes
e) Somos primos
4. La hija de la comadre de la madrina del sobrino de
mi única hermana, ¿qué es de mí?
a) Tía c) Sobrina e) Esposa
b) Hija d) Hermana
Nivel Intermedio
5. Tres padres y tres hijos van a pescar en un bote,
¿cuál es la menor cantidad de personas que había
en ese bote?
a) 3 c) 4 e) 6
b) 2 d) 5
6. Coloca los números impares mayores siguientes a
7, sin repetirlos, de manera que la sume de los 3 números
ubicados a los círculos unidos por una línea
recta, sea siempre la misma y la máxima posible.
Determina dicha suma.
a) 40
b) 50
c) 49
d) 45
e) 41
7. Si en los círculos de la figura, escribimos los números
naturales del 3 al 11, de manera que los números
en cada lado del triángulo sumen 25, ¿cuál es la
suma de los números que se escriben en los círculos
etiquetados con x, y, z?
a) 21
b) 13
c) 15
d) 18
e) 12
z
x
y
77

R
A
Z. Nivel Avanzado
M
A
TE
M
8. En una reunión familiar se encuentran presentes
un bisabuelo, dos abuelos, una abuela, tres padres,
dos madres, dos suegros, dos nueras, dos nietos, un
bisnieto y tres hijos. ¿Cuántas personas, como mínimo,
hay en dicha reunión familiar?
a) 6 c) 8 e) 4
b) 9 d) 7
4TO sec
10. Con seis cifras diferentes seleccionadas de los números
naturales del 2 al 8, completa el siguiente
esquema, de modo que la primera cifra sea 2 ° ; la
primera y la segunda forman un número 3 ° , y así sucesivamente
como se indica a continuación. ¿Cuál
es la cifra que no se empleará?
° ° °
2 4 6
Á
TI
C
O
9. Anacleta mira un retrato y dice: «No tengo hermanos,
ni hermanas; sin embargo, la madre de esta
mujer es hija de mi padre». ¿De quién es el retrato?
a) De la madre de Anacleta
b) De la hija de Anacleta
c) De Anacleta
d) De la sobrina de Anacleta
e) De la abuela de Anacleta
° ° °
3 5 7
a) 3 c) 6 e) 7
b) 4 d) 8
T
area para la Casa
1. ¿Cuántas cerillas como mínimo hay que mover para
que se genere una verdadera igualdad?
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
2. En una casa se encuentran reunidos los esposos
Fernández, sus 4 hijos varones y cada uno tiene 1
hermana también presente. ¿Cuál es la menor cantidad
de personas reunidas en dicha casa?
a) 4 c) 5 e) 8
b) 7 d) 6
3. En una bodega la gaseosa con envase cuesta
S/.1.50, además hay una oferta, por 2 botellas
vacías se puede canjear una llena. ¿Cuál es la
mayor cantidad de gaseosas que puede deber una
persona que tiene S/.10,50?
a) 10 c) 11 e) 12
b) 13 d) 9
4. Se tiene una casa de cuatro pisos y en cada piso vive
una familia. La familia Castilla vive un piso más
arriba que la familia Muñoz, la familia Fernández
habita más arriba que la Díaz y la familia Castilla
más abajo que la Díaz. ¿En qué piso vive la familia
Castilla?
a) 1° c) 2° e) 3°
b) 4° d) 5°
5. Siendo el mañana del pasado mañana del ayer domingo,
¿qué día será el ayer del anteayer del mañana?
a) Miércoles c) Jueves e) Sábado
b) Lunes d) Martes
88

Razonamiento
inductivo
2
Capitulo
R
A
Z.
M
A
TE
M
En este capítulo aprenderemos ...
• A resolver diferentes problemas mediante el análisis inductivo y deductivo.
Á
TI
C
O
M arco Teórico
Paso de las proposiciones particulares a generales, es decir, mediante el análisis de experimentos sencillos, con las
mismas características del problema original se debe llegar a resultados que, al ser relacionados, nos permitan llegar
a conclusiones con amplia probabilidad de certeza, a las que llamaremos caso general.
Caso
1
Caso
2
Caso
3
Razonamiento
inductivo
Caso
general
A continuación se presentan sucesiones numéricas, que nos van a permitir facilitar la resolución de los problemas
de inducción, aunque algunas sucesiones presentadas no son muy usadas.
NÚMEROS TRIANGULARES
NÚMEROS CUADRADOS
99

R
A
Z
M
A
TE
M
4TO sec
. NÚMEROS RECTANGULARES (OBLONGOS)
Á
TI
C
O
DEDUCCIÓN
Método por el cual mediante un caso general se obtiene casos particulares.
* Al razonar de manera inductiva, a veces se llega a conclusiones falsas; esto es lo que se conoce como falsa inducción.
* No siempre es sencillo inducir, por lo que este tema requiere de mucha práctica.
* El uso de la lógica inductiva y deductiva es una de las principales formas de encarar la mayoría de problemas.
Caso
general
Razonamiento
deductivo
Casos
particulares
E jercicios resueltos
1. Calcula el valor de:
Solución:
1× 2× 3× 4+ 1=
5
2× 3× 4× 5+ 1=
11
3× 4× 5× 6+ 1=
19
E = 96× 97× 98× 99 + 1
3. Al tomar una hoja cuadriculada de 20 cuadraditos
por lado y trazar una de sus diagonales principales,
¿cuántos triángulos se forma?
Solución:
2. Calcula el valor de:
910× 890 + 100
A =
311× 289 + 121
Solución:
= 96 × 99 + 1
= 9505
A =
A=3
2
900 − 100 + 100
2
300 − 121 + 121
⇒ 20 × 21 = 420
10

1
A hora hazlo tú !!
Calcula “E” y da como respuesta la suma de cifras:
2
E (333...3)
180cifras
Solución:
I Bimestre
1
Calcula “A” y da como respuesta la suma de sus 2
últimas cifras:
) 2
A= A = ( 777 ... 77×
999 ... 99
50cifras
50cifras
Solución:
R
A
Z.
M
A
TE
M
2
=
Calcula el valor de:
Calcula el valor de:
2
Á
TI
C
O
E = 100×101×102×103+1
A = 80×81×82×83+1
Solución:
Solución:
3
Si Pepito traza una de las diagonales principales
en un pliego de papel cuadriculado que tiene 50
cuadrados por lado, ¿cuántos triángulos se forman?
Solución:
3
Si Jessica traza una de las diagonales principales
en un pliego de papel cuadriculado que tiene 25
cuadrados por lado, ¿cuántos triángulos se forman?
Solución:
4
Resuelve:
4
Resuelve:
(425 × 375 × 160625 + 625 × 625) 1/8
Solución:
(265 × 247 × 65617 + 81 × 81) 1/16
Solución:
11

R
A
Z.
M
A
TE
M
01
S
igamos practicando
2
Calcula: (abc)
abc× a = 972
abc× b = 648
abc× c = 1296
Solución:
4TO sec
04
Resuelve y da como respuesta, la cifra final de la
siguiente suma:
100 200 300 900
2 + 3 + 4 + 5
Solución:
Á
TI
C
O
02
¿Cuántas esferas hay en el siguiente arreglo?
05
Resuelve y da como respuesta la suma de cifras
del resultado.
∆= 555...5 × 999...9
40cifras 40cifras
Solución:
1 2 3 50 51 52
Solución:
03
¿Cuántos palitos hay en el siguiente arreglo?
06
Calcula:
28
abcd× 9999 = ...4785
(a + b) × (c + d)
Solución:
1 2 3 4 38 39 40
Solución:
12

I Bimestre
07 08
Calcula el total de bolitas en el siguiente arreglo: Si: abc × 57 = ... 319
abc × 28 = ... 876
Calcula la suma de las tres últimas cifras del resultado
de:
abc × 58
Solución:
R
A
Z.
M
A
TE
M
1 2 3 38 39 40
Solución:
Á
TI
C
O
E jercicios propuestos
Nivel Básico
1. Si: a + b + c = 27
Calcula: abc+ bca + cab
a) 2887 c) 3617 e) 2757
b) 2997 d) 3147
2. Resuelve:
2+ 4+ 6+ 8+ ... + 4444
1+ 3+ 5+ 7+ ... + 4443
a) 4444
4443
b) 2222
2221
c) 2223
2222
d) 2221
2220
e) 1 2
3. Calcula la suma de cifras del resultado de:
2
A = ( 333
... 33
)
100cifras
a) 300 c) 900 e) 399
b) 60 d) 1089
4. Calcula la suma de cifras del resultado de:
2
A = ( 666
... 665
)
50cifras
a) 313 c) 301 e) 480
b) 300 d) 295
Nivel Intermedio
5. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra IN-
DUCE?
I
a) 64
N N
b) 32
D D D
c) 30 U U U U
d) 28 C C C C C
e) 63 E E E E E E
6. Si en la siguiente multiplicación, cada asterisco (*) es
una cifra, calcula la suma de cifras del producto.
a) 16
b) 19
c) 17
d) 20
e) 18
7. Calcula el valor de A:
A =
191× 209 + 81
47 × 53 + 9
∗
2
9 ∗ 2
∗ ∗ ∗ ×
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ 1
∗
∗ ∗ ∗ 8 ∗ ∗ 4
a) 4 c) 8 e) 16
b) 2 d) 10
13

R
A
Z. Nivel Avanzado
M
A
TE
M
8. Si:
176 1 + 276 2 + 376 3 + 476 4 + ...1076 10 = ...ab
Calcula: a + b
a) 6 c) 9 e) 12
b) 4 d) 5
4TO sec
a) 34 c) 36 e) 133
b) 35 d) 37
10. Calcula el valor de:
E = 97 × 98 × 99 × 100 + 1
Á
TI
C
O
9. Si en la siguiente división, cada asterisco representa
un dígito, calcula la suma de cifras del dividendo.
∗ ∗ 5 ∗ ∗ ∗1
∗
∗ ∗ 6 ∗∗∗
− ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
− ∗ 2 ∗
∗ ∗ ∗
− − −
T
area para la Casa
a) 9701 c) 970 e) 19801
b) 9700 d) 971
1. Calcula la suma de cifras del resultado de:
2
( 666 ... 665 )
15cifras
a) 91 d) 95
b) 105 e) 96
c) 98
a) 460 d) 1565
b) 475 e) 685
c) 465
4. Calcula el total de puntos de contacto en la siguiente
figura:
2. Si:
abc× c=2429
abc× b=1388
Calcula:
abc×
bc
a) 17309 d) 15339
b) 16309 e) 16409
c) 16519
3. ¿Cuántos círculos hay en la figura 30?
; ; ;
Fig.(1) Fig.(2) Fig.(3) Fig.(4)
;
a) 990
b) 800
c) 900
d) 930
e) 810
5. Determina el valor de:
1 2 3 23 24 25
E = 56× 59× 57× 58 + 1
a) 2435
b) 1205
c) 3345
d) 2305
e) 3305
14

I BIMESTRE
4
Aritmética
SECUNDARIA
Una educación plasmada
en proyectos

A
R
IT
M
Lógica
proposicional - I
1
Capitulo
É
TI
C
A
• A formalizar y simbolizar cualquier proposición simple o molecular.
• A determinar una tabla de verdad.
• A determinar los valores de verdad o falsedad de una forma directa y sencilla.
En este capítulo aprenderemos ...
M arco Teórico
LÓGICA
Preposición
Variable
proposicional
Clases de
proposiciones
Conectivos
lógicos
Simple
Compuesta
Conjunción
Disyunción
Disyunción fuerte
Condicional
Bicondicional
Negación
Tablas de
verdad
1. Lógica proposicional:
Es una parte de la lógica que tiene por objeto de estudio las proposiciones y la relación entre ellas, así como la
función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos.
2. Proposición lógica:
También conocida como enunciado cerrado, es un enunciado que posee valor de verdad.
Se le denomina variable proposicional.
40

I Bimestre
Ejemplos:
Simples
(Atómicas)
Compuestas
(Moleculares)
* Carlos es despístado
* Carlos es travieso
* Carlos es travieso y despístado
* Es falso que Daniel sea actor de cine
3. Conectivos lógicos:
a) Conjunción:
Conectiva: y/pero/e/sin embargo…..
Operador: ∧/.
p ∧ q
V V V
V F F
F F V
F F F
b) Disyunción débil:
Conectiva: o/u/...o…
Operador: ∨
p ∨ q
V V V
V V F
F V V
F F F
c) Disyunción fuerte:
Conectiva: o….o/o bien/
….o bien….
Operador: ∆ / ↔
p ∆ q
V F V
V V F
F V V
F F F
d) Condicional:
Conectiva: Si…. Entonces/por lo tanto
Operador: → / ⇒
p → q
V V V
V F F
F V V
F V F
e) Bicondicional:
Conectiva: Si... y solo si.../
Entonces y solo entonces
Operador: ↔ / ≡
f) Negación:
Conectiva: no/ni/ no es el caso que
Operador: ∼ / ⎤
p
F
V
4. Tablas de valores de verdad:
* Evaluar un esquema molecular es obtener la
matriz principal.
* El número de valores que se asigna a cada variable
es «2 n », donde «n» es el número de variables.
* Es importante jerarquizar los esquemas antes
de evaluarlos.
Ejemplo:
p ↔ q
V V V
V F F
F F V
F V F
∼p
V
F
p q (p ∧ q) → (p ∆ q)
V V V V V F V F V
V F V F F V V V F
F V F F V V F V V
F F F F F V F F F
2 2 = 4
Valores
1 3 2
Matriz principal: FVVV
5. Clases de matrices principales:
a) Tantología:
Todos los valores son verdaderos.
b) Contradicción:
Todos los valores son falsos.
c) Contingente:
Cuando entre todos los valores de la matriz
principal hay por lo menos uno verdadero o
uno falso.
A
R
IT
M
É
TI
C
A
41

4To sec
A
R
IT
M
1
A hora hazlo tú !!
Determina la matriz principal de la siguiente
proposición compuesta: (p ∧ q) ∨ q
Solución:
1
Determina la matriz principal de la siguiente
proposición compuesta: (p ∨ q) ∧ p
Solución:
É
TI
C
A
2
Determina los valores de verdad de r y p si se sabe
que la proposición es falsa: ∼p ∨ r
Solución:
2
Determina el valor de verdad de ∼p ∨ ∼q si se
sabe que la preposición es verdadera: ∼p ∧ q
Solución:
3
Simboliza mediante conectores lógicos “Si tomas
jugo de naranja o fresa, entonces estarás lleno”.
Solución:
3
Simboliza mediante conectores lógicos “Si estudias
para tu examen, entonces aprobarás”.
Solución:
4
Si la proposición compuesta:
[(p → q) ∨ (q ∨ ∼r)] es falsa; determine los valores
de verdad de p, q y r.
Solución:
4
Si la proposición:[(∼p ∨ q) →(q ↔ r)] ∨ (q ∧ s)
es falsa y “p” una proposición verdadera, determina
los valores de verdad de q, r y s en ese orden.
Solución:
42

01
S
igamos practicando
Señala la proposición compuesta:
a) Agripino y Cesarina son hermanos.
b) Los Heraldos Negros es una obra de Cesar
Vallejo.
c) Joseph-Nicephore tomó la primera fotografía
en blanco y negro.
d) Carlos y Richard van juntos al cine.
e) Daniel es profesor y Rosa es escritora.
Solución:
I Bimestre
04
Si la siguiente proposición es falso: (∼p ∧ q) →
[(p ∨ r) ∨ t] determina el valor de la verdad de:
I. ∼(∼p ∨ ∼q) → (r ∨ ∼t)
II. (∼p → t) → (∼q → r)
Solución:
A
R
IT
M
É
TI
C
A
02
Simboliza mediante conectores lógicos: “Si
Daniel y Agripina juegan fútbol, Margarito será
el árbitro”.
Solución:
05
Si la proposición:
(p → ∼q) ∨ (∼r → s)
es falsa, determina los valores de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. (∼p ∧ ∼q) ∨ ∼p
II. (p → q) → r
Solución:
03
Determina la matriz principal de la siguiente
proposición compuesta: (p ∆ q) ↔ ∼r
Solución:
06
Determina si la siguiente proposición es tanto
lógica, contradictorio o contingente.
[(∼p ∧ q) → r] ↔ [(p ∧ q) ∆ ∼r]
Solución:
43

A
R
IT
M
É
TI
C
A
4To sec
07 08
Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a) (3 + 5 = 9) ∧ (5 × 2 = 10)
b)
⎛13 18
1
⎞
⎜ + =
5 5
⎟→ (32 = 5)
⎝ ⎠
c) (23 = 8) ∆ ( 16 = –4)
d) (–13 < 8) ↔ (8 + 1 > 9)
Solución:
Dada la proposición:
∼[(r ∨ q) → (r → p)] ≡ V, donde q es una
proposición falsa. Determina el valor de verdad
de las siguientes proposiciones:
I. r → (∼p ∨ ∼q)
II. [r ↔ (p ∨ q)] ↔ (q ∧ ∼p)
III. (r ∨ ∼p) ∧ (q ∨ p)
Solución:
E jercicios propuestos
Nivel Básico
1. Determina la matriz principal y la naturaleza de la
siguiente proposición compuesta:
⎡⎣ ( ∼p∧q) ↔( r△∼
q)
⎤ ⎦
a) VVVVVVVV; tautología
b) FFFFFFFF; contradicción
c) FVVFVFVF; contingente
d) VFVFVFVF; contingencia
e) FFVVFFVV; tautología
2. Si la proposición: “(p → ~q) ∨ (~r → s)” es falsa,
deducir el valor de verdad de: (~p ∧ ~q) ∨ ~p
a) V d) F e) V o F
b) No se puede determinar.
c) Es V si “p” es F.
3. ¿Cuántas de las siguientes expresiones no son proposiciones
simples?
• El átomo no se ve, pero existe.
• Los tigres no son paquidermos, tampoco las
nutrias.
• Toma una decisión rápida.
• Hay 900 números naturales que se representan
con tres cifras.
• La matemática es una ciencia fáctica.
• Es imposible que el año no tenga 12 meses.
a) 0 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
4. Simboliza: «Si Mateo estudia para el examen entonces
no desaprueba el examen de Química».
a) p∧ q
d) p→( q∨p)
b) p→( q∨p) e) p→
q
c) ( p∨q)
→ q
Nivel Intermedio
5. Si la proposición: “(~p → q) ∨ ~r” es falsa.
Hallar el valor de verdad de “p”, “q” y “r” en ese
orden.
a) VVF b) FFF c) FFV
d) FVF e) VFV
6. Los esquemas moleculares: “p → q” y “~p ∨ q”.
a) Son equivalentes por teorema de De Morgan.
b) Son premisas de “~q”.
c) Son equivalentes por ley de implicación.
d) No son equivalentes.
e) Ambos esquemas tienen premisa existencial.
7. Halla el valor de verdad de los siguientes enunciados:
I. Toda proposición lógica es un enunciado.
II. Todo enunciado es una proposición lógica.
III. Una proposición lógica es un enunciado abierto.
a) VFV c) VFF e) FVF
b) VVV d) FFV
44

I Bimestre
T
Nivel Avanzado
8. Si ( p→q) ∨( r→
s)
es una proposición falsa,
indica el valor de los siguientes esquemas:
I. ( p∧q) ∨( q)
II. ( r∨q) ↔⎡⎣
( q∨r)
∧s⎤ ⎦
III.( p→q) ↔⎡⎣
( p∨q)
∧
q⎤ ⎦
Son respectivamente:
a) VFV c) VVV e) FFV
b) FFF d) VVF
area para la Casa
9. Si se define: p D q = (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Simplificar: “~[(p D ~q) → ~q]”
a) p ∧ q c) ~p ∧ q e) ~q
b) p ∨ q d) ~p
10. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones,
respectivamente:
I. (8.4 =3.2) ∧(4 + 8 = 13)
II.
⎛
⎜
⎝
15
5
+ 1 =
18 ⎞
3 2 5
5
⎟ →( − =− )
⎠
III. (3 −2 = 9) ∆ ( 16 = 4)
IV. (1< –5) ↔(10 – 2 > 5)
a) FVVF c) VVVV e) VVFF
b) FFFF d) VFVF
A
R
IT
M
É
TI
C
A
1. Determina la matriz principal de la siguiente proposición
compuesta: ( p∨q)
↔r
a) VVFFVVFF
b) VFVFVFFV
c) VVVVFFFF
d) FFFVVVFV
e) VVVFFFFV
2. Si la proposición: ( p→q) ∨( r→
s)
es falsa,
determina el valor de: ( p∧q)
∨p
a) V
b) No se puede determinar
c) V o F
d) F
e) Es V si p es F
3. Si la proposición compuesta: ( p∧q) →( r∨ t)
es
falsa, indica qué proposiciones son verdaderas.
a) p; r b) p;q c) r;t
d) q;t e) p;r;t
4. Simboliza «Si Daniel va a la fiesta entonces no estudiará
para su examen, pero no es el caso que vaya
a la fiesta y apruebe sus cursos. De ahí que Daniel
estudia para su examen».
p: Daniel aprueba sus cursos.
q: Daniel va a la fiesta.
r: Daniel estudia para su examen.
a) ⎡⎣ ( q→r) ∧
( q∧
p)
⎤ ⎦ → r
b) ⎡⎣ ( q→r) ∧( q∧
p)
⎤ ⎦ → r
c) ⎡⎣ ( q→r) ∨( q∧
p)
⎤ ⎦ →r
d) ⎡⎣ ( q→r) ∧( q∧
p)
⎤ ⎦ →r
e) ⎡⎣ ( q→r) ∨
( q∧
p)
⎤ ⎦ → r
5. Determina la matriz principal y la naturaleza de la
siguiente proposición compuesta:
⎡⎣ ( p→q) ∧( q→
r) ⎤ ⎦ →( p→r)
a) FFFFFFFF; contradicción
b) VVVVVVVV; tautología
c) VVVVVVVV; contingencia
d) FFVVFFVV; contingencia
e) VVFFVVFF; tautología
45

A
R
IT
M
Lógica
proposicional - II
2
Capitulo
É
TI
C
A
En este capítulo aprenderemos ...
• A definir las leyes correspondientes a la lógica proposiconal.
• A utilizar lo aprendido en la resolución de problemas.
M arco Teórico
PROPOSICIONES EQUIVALENTES
Dos proposiciones son equivalentes cuando la
bicondicional es una tautología y se denota como.
A ≡ B
“A es equivalente a B”
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
1. Doble negación (involutiva)
2. Idempotencia:
3. Conmutativa:
∼(∼p) ≡ p
p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p
p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
5. Distributiva:
6. De Morgan:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
7. De la condicional:
p→ q ≡ ∼p ∨ q
p → q ≡ ∼q → ∼p (transposición)
8. De la bicondicional:
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
9. Absorción:
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (∼p ∨ q) ≡ p ∧ q
p ∨ (∼p ∧ q) ≡ p ∨ q
∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
10. Complemento:
p ∨ ∼ p ≡ ∨; p ∧ ∼p ≡ F
4. Asociativa:
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r)
11. Identidad:
P ∨ V ≡ V
P ∧ V ≡ P
P ∨ F ≡ P
P ∧ F ≡ F
46

I Bimestre
Cuantificadores
a. Cuantificador Universal: Sea la función f (x)
proposicional
sobre un conjunto A, el cuantificador ∀(“para
todo”) indica que todos los valores del conjunto A
hacen que la función proposicional f (x)
sea verdadera.
∀ se lee: “Para todo”
Ejemplo: Sea: f (x)
: x 3 + 2 > 5 donde x ∈ N
La proposición cuantificada es: ∀ x ∈ N ; x 3 + 2 > 5
es falsa.
b. Cuantificador existencial: Sea f (x)
una función proposicional
sobre un conjunto A el cuantificador ∃
(existe algún) indica que para algún valor del conjunto
A, la función proposicional f (x)
es verdadera.
∃ se lee: “Existe algún”
Ejemplo: Sea: f (x)
: x 2 - 5 < 8, donde: x ∈ Z + , la proposición:
x ∈ Z + / x 2 - 5 < 8 es verdadera.
CIRCUITOS LÓGICOS
Son, básicamente, un arreglo de interruptores conocido
como compuertas lógicas, en el que cada compuerta
lógica tiene su valor de verdad.
a) Circuito en serie:
• P q • < > P^q
b) Circuito en paralelo:
P
• • < > P
q
Disyunción débil
Conjunción
^
q
A
R
IT
M
É
TI
C
A
E jercicios resueltos
1. Reduce:
P
• q
•
q
P
~P
Resolución:
Realizamos el esquema molecular:
⎡⎣(p ∨q) ∧q⎤⎦∧⎡⎣
p ∨(p ∧q)
⎤
⎦
Absorción
q ∧⎡⎣
p ∨(p ∧q)
⎤
⎦
Absorción
q ∧ (
p
∨
q)
Conmutativa
q
∧(q∨ q)
Absorción
Rpta.: q
2. Determina el esquema molecular de la siguiente
proposición y da como respuesta su forma más reducida.
“Si el triángulo tiene dos lados iguales, entonces
el triángulo se llama isósceles y el triángulo
no se llama isósceles, luego el triángulo no tiene dos
lados iguales”.
q
Resolución:
p = El triángulo tiene dos lados iguales.
q = El triángulo se llama isósceles.
Esquema:
* [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p
* Ley condicional
[(∼p ∨ q) ∧ ∼q] → ∼p
Absorción
* (∼q ∧ ∼p) → ∼p
Ley del condicional
* ∼(∼q ∧ ∼p) ∨ ∼p
Morgan
* (q ∨ p) ∨ ∼p
Asociativa
* q ∨ (∼p ∨ p)
Complemento
* q ∨ (∨)
identidad
47

4to sec
A
R
IT
M
1
A hora hazlo tú !!
Determina el circuito lógico para el siguiente esquema
molecular: [{∼p ∨ q} ∧ {q ∨ s}]
Solución:
1
Determina el circuito lógico para el siguiente esquema
molecular: [{∼p ∧ q} ∧ {q ∨ s}]
Solución:
É
TI
C
A
2
Utilizando las leyes de proposiciones, determina
el equivalente más simple de la siguiente expresión.
[(p ∨ q) ∨ [(∼p ∧ ∼q) ∨ p]
Solución:
2
Utilizando las leyes de proposiciones, determina
el equivalente más simple de la siguiente expresión.
[(∼p ∨ q) ∧ [(∼p ∧ ∼q) ∨ p]
Solución:
3
Reduce:
3
Reduce:
q
P
P
P
• q
•
• q
•
~P q P
Solución:
P
Solución:
~P
q
4
Indica el equivalente de la siguiente proposición:
“Daniela no va al cine o Daniela va al cine; pero
no va con falda, implica que no va al cine pero
tiene puesta su falda”.
Solución:
4
Indica el equivalente de la siguiente proposición:
“Enrique va al gimnasio o Enrique no va al gimnasio;
pero no va con buzo, implica que va al
gimnasio pero no tiene puesto su buzo”.
Solución:
48

01
S
igamos practicando
Determina el esquema molecular para el siguiente
circuito lógico.
•
P
~P
q
q
P
~r
t
•
I Bimestre
04
Se define: p * q ≡ (p ∧ ∼q) ∨ (p ∧ q)
Simplifica:
∼[(p * ∼q) → (∼p * q)]
Solución:
A
R
IT
M
P
Solución:
r
É
TI
C
A
02
Reduce:
[(p → q) ∧ q] ∧ [(q → p) ∧ p]
Solución:
05
Si: P S q ≡ [(q ∧ p) → ∼p] ∧ ∼q
Simplifica:
[(p ∨ q) S q] → ∼q
Solución:
03
Determina el esquema molecular de la siguiente
proposición y da como respuesta su forma más reducida.
“Si Saphira es española, entonces es aficionada
a la fiesta brava y Saphira no es aficionada a
la fiesta brava; por lo tanto, no es española”
Solución:
06
Determina el equivalente de la siguiente
proposición:
(p ∨ q) → (∼p ∧ q)
Solución:
49

A
R
IT
M
4to sec
07 08
Indica el equivalente de la siguiente proposición:
(p → ∼q) ∧ (∼q ∨ ∼p)
Solución:
Simplifica:
[(p → q) → p] ∧ [∼p → (∼p → q)]
Solución:
É
TI
C
A
E jercicios propuestos
Nivel Básico
1. Determina el esquema molecular de:
•
p
q
~r
t
~q p
~p
t
a) {(p∨q)∨(~r∨t)}∧{(~q∧p)∨[~p∧(r∨t)]}
b) {( p∧q) ∨( r∨
t) }∧{( q∧p)
∨ q}
c) ( p∨q) ∧( r→
t)
d) ⎡⎣ ( p∧q) ∨( r∨
t) ⎤ ⎦ ∨⎡ ⎣ ( p∧r) ∨( r∨t)
⎤ ⎦
e) Faltan datos
2. Reduce:
∼ (∼ p∧ ∼ q)→ ∼ (∼ p∧q)
a) p∨ q c) p∧ q e) ( p∧q)
∨ q
b) p∨ q d) q∨ p
r
•
3. Indica la negación de la siguiente proposición: «Si
Luis es aceptado por Lila, se casará».
a) Si Luis no es aceptado por Lila, no se casará.
b) Luis no es aceptado por Lila o no se casará.
c) Luis no se casará o es aceptado por Lila.
d) Luis no se casará y es aceptado por Lila.
4. Reduce:
(p→∼q)∧[∼{(p→q)∧(q→p)}v ∼ p ]
a) p c) q e) ~(p∧q)
b) q d) p
Nivel Intermedio
5. Determina la negación de la siguiente proposición:
«Juan es melancólico porque vive alejado de su familia».
a) No es cierto que, Juan vive alejado de su familia
porque no está melancólico.
b) Juan vive alejado de su familia y está melancólico.
c) Juan no está melancólico y vive alejado de su familia.
d) Juan no está melancólico pero no vive alejado de
su familia.
e) Más de una es correcta.
6. Si se define p∗ q , por la tabla:
p q p * q
V
V
F
V
F
V
F F
Simplifica:
V
V
F
V
{ }→ ∗ }
M= ⎡⎣ ( p∗q) ∗p⎤ ⎦ ( q p)
a) p∧ q c) p∧ q e) p
b) p→ q d) p∨
q
50

7. Si: p * q ~ p ~ q
p⊙q ≡∼p∧
q
Simplifica: ⎡⎣ (( ∼q) ⊙p) ∗(( ∼p) ⊙( q))
⎤ ⎦
a) p c) p∧ q e) v
b) q d) p∨
q
8. Simplifica:
• ~(p ^ q)
T
Nivel Avanzado
~(p ^ q)
r
~q
•
a) p c) q e) p∧
q
b) q d) q
area para la Casa
I Bimestre
9. Se sabe que:
p q p @ q p
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
//
V
F
F
V
Determina la tabla de verdad indica los valores de su
matriz principal: ~(p @ q) ∨ (p // q)
a) FFVV c) VVVF e) VFVF
b) FVVV d) VVFF
10. Si: D≡( p∨q) →( p∨q) →( q∨p)
A≡ p N≡
q
Simplifica el siguiente circuito:
A
•
D
•
N
a) P c) Q e) p∧ q
b) p d) q
q
A
R
IT
M
É
TI
C
A
1. Realizar el circuito lógico luego de simplificar
a)
b)
c)
d)
e)
{[∼p∨q∨p)∧(∼q∨p∨q)]∨p}∧∼p
2. ¿Cómo se simboliza la siguiente proposición? «Si
Agripino trabaja, gana dinero, y si no trabaja entonces
se divierte. Por lo tanto; si no gana dinero se
divierte».
a) ⎡⎣ ( p→q) ∧( p→
r) ⎤ ⎦ →( q→r)
b) ⎡⎣ ( p→q) ∧( p→
r) ⎤ ⎦ →( q→r)
c) ⎡⎣ ( p→q) ∧( p→
r) ⎤ ⎦ →( q→r)
d) ⎡⎣ ( p→q) ∧( p→
r) ⎤ ⎦ →( q→r)
e) ⎡⎣ ( p∨q) ∧( p∨
r) ⎤ ⎦ ∨( q∨r)
4. Reduce:
a) p
b) p∧
q
c) q
d) p
e) p∨
q
5. Se define:
pRq ≡⎡⎣ p∧( p∨
q) ⎤ ⎦ ∧⎡⎣
q∨( p∧
q)
⎤ ⎦
Simplifica: ( pRq) R ( p∧
q)
a) p b) q
c) p∧ q d) p
e) q∨
p
3. Reduce:
a) p∧
q
b) q
c) p∨
r
d) r
e) r
51

I BIMESTRE
4
Álgebra
SECUNDARIA
Una educación plasmada
en proyectos

Á
L
G
E
B
R
A
Ecuaciones y
sistemas lineales
En este capítulo aprenderemos ...
• A resolver y calcular el conjunto solución de una ecuación de primer grado.
• A clasificar y diferenciar las ecuaciones en compatibles e incompatibles.
• A reconocer y clasificar los diferentes tipos de sistemas que hay.
• A obtener y calcular el conjunto solución.
1
Capitulo
M arco Teórico
ECUACIÓN
Es la igualdad entre dos expresiones matemáticas,
en la que se puede reconocer por lo menos una
variable.
Ejemplo:
5x + 2 = 4x + 8
→ 5x + 2 = 4x + 8 es falsa si x = 0
→ 5x + 2 = 4x + 8 es verdadero si x = 6
Solución de una ecuación
Es el valor que toma la variable y que hace que la
ecuación se verifique (sea verdadera)
Ejemplo:
x = 6 es solución de la ecuación:
5x + 2 = 4x + 8
Ya que: 5(6) + 2 = 4(6) + 8
32 = 32
CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.)
Es el conjunto formado por las soluciones de la
ecuación.
Ejemplo:
x 2 – 7x + 6 = 0
Se verifica para x = 6; x = 1
Luego:
Conjunto solución: C.S. = {1; 6}
ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRA-
DO
Es la ecuación que al ser reducida se obtiene
como mayor exponente de la variable a 1.
Ejemplo:
x 2 + 2x + 1 = x 2 – x + 8
2x + 1 = –x + 8
3x = 7 ⇒ x = 7
3
Forma general:
ax + b = 0; a ≠ 0
Clasificación
Por el tipo de conjunto solución, se clasifican de
la siguiente manera:
a) Compatible determinada
Cuando posee una única solución.
Ejemplo:
5x – 1 = 9
C.S. ={2}
b) Compatible indeterminada
Cuando posee infinitas soluciones.
Ejemplo:
5(x+1) = 4x + x + 5
5x + 5 = 5x + 5
5 = 5 (verdadera)
78

I Bimestre
Tiene infinitas soluciones.
* x = 0 ⇒ 5 = 5
* x = –1 ⇒ 5 = 5
* x = 4 ⇒ 5 = 5
∴ C.S. = R
c) Incompatible o inconsistente
Cuando no tiene solución.
Ejemplo:
7(x – 1) = 3x + 4x + 2
7x – 7 = 7x + 2
–7 = 2 (falsa)
Luego la ecuación no tiene solución:
C.S. = ∅
ANÁLISIS DE COMPATIBILIDAD
Sea:
ax + b = 0
• Compatible determinada: a ≠ 0 ∧ b ∈ R
• Compatible indeterminada: a = 0 ∧ b = 0
• Incompatible o inconsistente: a = 0 ∧ b ≠ 0
CONJUNTO SOLUCIÓN
Está formado por pares ordenados (x 0
; y 0
) que verifican
las dos ecuaciones simultáneamente.
Por ejemplo: C.S. = {(3; –11)} es el conjunto solución
del ejemplo anterior.
Forma general:
ax + by = c
mx + ny = p
Donde: x; y son variables.
{a, b, c, m, n, p} son coeficientes.
Análisis de compatibilidad
ax + by = c
mx + ny = p
• Sistema compatible determinado:
Posee única solución. Se cumple lo siguiente:
a b
≠
m n
• Sistema compatible indeterminado
Posee infinitas soluciones. Se cumple lo siguiente:
a b c
= =
m n p
Á
L
G
E
B
R
A
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema es un conjunto de ecuaciones con dos o más
variables. Se llama sistema lineal de ecuaciones porque
está compuesto por ecuaciones de primer grado.
Ejemplo:
5x + y = 4
x – y = 14
• Sistema incompatible o inconsistente
No tiene solución. Se cumple lo siguiente:
a b c
= ≠
m n p
E jercicio resuelto
1. Resuelve:
5 1 17
+ = ..........(1)
x y 6
2 6
+ = 3..............(2)
x y
Resolución:
Eliminamos la variable “y” para esto multiplicamos
por (–6) a la ecuación (1) y después sumamos
ambas ecuaciones.
⎛ 5 1 17 ⎞
⎜ + = ( −6)
⇒
x y 6 ⎟
⎝ ⎠
2 6
+ = 3
x y
Luego, reemplazamos en (2)
−30 6
– =−17 ↓ ( + )
x y
2 6
+ = 3
x y
28
− =−14
x
⇒ x=+
2
Tenemos: 2 + 6 = 3⇒ y = 3∴ C.S. = {(2;3)}
2 y
79

4To sec
A hora hazlo tú !!
Á
L
G
E
B
R
A
1
Resuelve: 4x− 1 2x+ 1 x−1
− =
5 3 2
Solución:
1
Resuelve: 3x-2 - x + 1 = 2x - 2
5 3 2
Solución:
2
Resuelve: 5 – 4 (3x – 8)=5(–2x + 3) +2(x + 1)
Solución:
2
Resuelve: 6 - 3(2x - 1) = 4(-x + 2) - (x + 1)
Solución:
3
Resuelve:
10 9
+ = 2
x y
Solución:
3
Resuelve:
3 + 2 = 1
x y
Solución:
7 6 11
− =
x y 2
5 - 4 = 1
x y 2
4
Calcula “a” si la siguiente ecuación es inconsistente:
3ax + 2 + 5x = 8(x – 2)
Solución:
4
Calcula “a“ si la siguiente ecuacion es incosistente:
2ax + 2 + 6x = 4(x-2)
Solución:
80

01
S
igamos practicando
Resuelve: –x + 3 (x – 7) = 2x + 8
Solución:
I Bimestre
04
Calcula la suma de valores de “a” y “b” si se sabe
que el siguiente sistema de ecuaciones tiene infinitas
soluciones.
ax + y = 8
x + by = 9
Solución:
Á
L
G
E
B
R
A
02
¿Cuál es el valor de “b”, para obtener x = 5y?
(x – 2y = b – 2)x2
2x + y = b + 1
Solución:
05
Calcula “n” si el siguiente sistema de ecuaciones
es incosistente.
(n + 3)x – (n – 5)y = 4
3x + 5y = 2
Solución:
03
Calcula “m.n” si el siguiente sistema de ecuaciones
es compatible indeterminado:
(m – n)x – (3n – m)y = 2
5x + 2y = 1
Solución:
06
Determina la relación correcta entre “a” y “a” si
el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene
solución única.
ax + ay = 17
ax + ay = 8
Solución:
81

4To sec
Á
L
G
E
B
R
A
07 08
Al resolver el sistema se obtuvo como conjunto
solución (2;3):
Calcula: “m + n” si
(m + 1)x + (y + 1)n = 8
(x + 1)m + (n + 1)y = 9
Solución:
Calcula “m.n” si al resolver el sistema se obtuvo
como conjunto solución (2;1). Calcula m+n
mx + ny = 5
m(x – 1) + n(y – 2) = 1
Solución:
E jercicios propuestos
Nivel Básico
Nivel Intermedio
1. Resuelve: x− 1 =
x−3
−
x − 4
2 4 5
1
a)
9
b) 9
11
c) 11
9
d) 9
e) 11
5. Calcula el valor de “a” para obtener x = 4y:
2x + 3y = a + 1
x – 2y = a
a) 3 c)
b) 9 2
1
3
d) 1 9
e)
2
9
2. Resuelve: 4(x-1)+7(x+3)=9(x-1)+2x+10
a) 1 2
b) 2 d) 3 2
c) 1 e) ∅
3. Resuelve: 4(x-2)+3(x+1)=x-17+6(x+2)
a) 2 c) 1 e) ∅
b) d) 0
4. Calcula:
Si 2 x
3
y =
a) 13 2
2
b)
13
3x+
2y
y
c) 13 e) 5
d) 4
6. Calcula “a” si la ecuación es inconsistente
7ax + 3-2x = 4(x-2)
a) − 7 6
7
b)
6
c)
6
7
d) − 6 7
7. Calcula “x” si se sabe que x = (a+b) (a – b) y
a + 1 a
b + = ,
1 b ab 0
PUCP 2006 - I
a) 1 c) 2 e) -3
b) 0 d) -2
8. Determina el valor de x – z al resolver el sistema:
xz = 12
(x + y) x = 125
(x+y) z = 625
a) –2 c) –1 e) 2
b) 0 d) 3
e)
Nivel Avanzado
1
7
82

I Bimestre
9. Calcula “n” si el siguiente sistema de ecuaciones es
inconsistente
(n – 1)x – (n – 2)y = 3
2x + 4y = 2
a)
3
c) 3 e) 4 2
4
3
b) 1 2
T
d) 1 3
area para la Casa
10. Calcular “x” del sistema
x y
=
y + z x + z = z
x + y = 1
x + y + z
a) 2 3
c) 3 5
e) 3 4
b) 1 3
d) 4 3
Á
L
G
E
B
R
A
1. Resuelve e indica el valor de “y”
3
+
1
= 4
x y
1
−
1
= 2
x y
a) 2 c) -1 e) -2
b) 1 d) 3
2. ¿Cuál es el valor de “m” para que x = 2y?
5x – 2y = m
x + 9y = m+1
4. Calcula “m” si la siguiente ecuación no tiene solución.
(m-4)x – (m-3)y = 6
2x + 5y = 7
a) 26/7 c) 26/3 e) 13/7
b) 13/3 d) -14/3
5. Calcula “n” si el siguiente sistema de ecuaciones es
inconsistente.
3x – 2y = 3
(n-1)x + (n+1)y=6
a) 5 c) − 1 e) 2 5
5
a) 7 2
b) − 1 8
c) 1
8
d)
8
3
e) 3
8
3. Resuelve la siguiente ecuación de primer grado.
(m–3)x 2 + 4m – 3x = mx - 1
b) 1 5
d) 1 6
a) 13 2
b) 13 6
c) 6
13
d) 2
13
e) 13 5
83

Á
L
G
E
B
R
A
Leyes de
exponentes
En este capítulo aprenderemos ...
• A utilizar y aplicar las distintas leyes de exponentes para reducir expresiones
más complejas.
• A reconocer y diferenciar las propiedades de potenciación y radicación.
2
Capitulo
M arco Teórico
POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO
Potenciación
2. Exponente negativo
− 1 1
a = ; ∀ a ∈ − {0}
a
3. Teoremas
Donde:
a ∈ R
p ∈ R
n ∈ N
Es una operación matemática que consiste en hallar
una expresión llamada potencia, multiplicando un
factor denominado base, tantas veces como lo indica
un elemento llamado exponente.
Exponente natural
⎧a;si: n = 1
n ⎪
a = ⎨a...a.....a ;si: n ≥ 2
⎪⎩ "n" veces
m n m+
n
a .a = a ; ∀a ∈; ∀m,n∈
m
( ) n
mn
a = a ; ∀a ∈; ∀m,n∈
m
a m−n
= a ; ∀a ∈−{0}; ∀m,n∈
n
a
m m m
(a.b) = a .b ; ∀a, b ∈; ∀m∈
m m
⎛ a ⎞ a
⎜ ; a ; b {0}; m
b
⎟ = ∀ ∈ ∀ ∈− ∀ ∈
⎝ ⎠ m
b
Radicación
Ejemplo:
2 5
= 2.2.2.2.2 = 32
5veces
1. Exponente cero
0
a = 1 ; ∀a ∈
−{0}
Sea un número real “a” y un número natural “n” mayor
m que uno “b” se llama raíz enésima de “a” y se denota:
m
n n m
b n m
a = a = a sólo ; si ∈bQ;n∈
n
n = a, bajo la condición de que si “n” es
par, entonces a > 0 y b > 0.
Exponente fraccionario
84

I Bimestre
m
m
n n m n m
a = a = a ; ∈Q;n∈
n
Teoremas
n n n
a.b = a. b
n
n a = a ; b ∈
− {0}
b n
b
n m a
n.m
= a
m n p m m.n
mnp
x y z = x. y. z
Ecuaciones exponenciales
Es aquella donde la incógnita se encuentra únicamente
en el exponente.
Teorema
x y
Si a = a ⇒ x = y;a > 0∧a ≠1
x x
Si a = b ⇒ x = 0; ∀a ≠b; a; b ∈
−{0}
Ecuaciones trascendentes
Es aquella donde la incógnita se encuentra en la base
y el exponente.
Propiedad
Ojo:
x y
x = y → x = y; xy ≠0
1 1
1 2 1 4
⎜ ⎛ ⎞ =
⎛ ⎞
2
⎟ ⎜
4
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Es una excepción a la regla.
.
.
n
x
n
x = n → x = n;x ≠0
...
Á
L
G
E
B
R
A
E jercicios resueltos
1. Simplificar:
x+ 2 x+ 3 x+
4
2 + 2 + 2
K =
x+ 2 x+
1
2 − 2
Resolución:
Utilizando:
x y x y
b ⋅ b = b +
x 2 x 3 x 4
2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅2
⇒ K =
x 2 x 1
2 ⋅2 −2 ⋅2
Factorizando:
x
2 3 4
2 (2 + 2 + 2 )
K =
x 2 1
2 (2 − 2 )
2 3 4
2 + 2 + 2 4+ 8+
16
K = =
2 1
2 − 2 4−
2
28
K = ∴ K = 14
2
2. Reducir:
M =
n
n
4 + 6
n
n
16 + 24
Resolución:
Recuerda: ( a⋅ b)
= a ⋅b
n
n n n
n n n
⇒(4 ⋅ 6) = 4 ⋅6
Luego en el ejercicio:
M =
M =
n
n
n
4 + 6
n
n n n n
4 ⋅ 4 + 4 ⋅6
n n
( 4 + 6 )
n n n
4 (4 + 6 )
Simplificando: n
1 ⎛1⎞
M = n = n
n ⎜ ⎟
4 ⎝4
⎠
1
∴ M = 4
3. Calcular el valor de:
64
Resolución:
Recuerda: 1
⎛1⎞3
1 1
3
⎜ ⎟ = =
⎝8⎠
8 2
1
2
⎛1⎞
1 1
⎜ ⎟ = =
⎝9⎠
9 3
Luego en el ejercicio:
3
−1
9
−8
−
−
1
⎛1⎞3
1
1
⎛1⎞⎜
⎟
8 1 2
8
3
− ⎝ ⎠
⎛ ⎞
9
−
− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 ⎝9⎠ 1 ⎝9⎠
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
64 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝64 ⎠ ⎝64
⎠
1
⎛
=
⎞3
= 3 =
1 1 1
⎜ ⎟
⎝64 ⎠ 64 4
85

4To sec
A hora hazlo tú !!
Á
L
G
E
B
R
A
1
Calcula:
2
−2 3
−1
E = 16 ÷ 27
Solución:
1
Calcula:
Solución:
−2 −1
2 3
E = 81 ÷ 27
2
Calcula “x” en la ecuación:
x+ 1 x+ 2 x+
3
2 + 2 + 2 = 112
2
Calcula “x” en la ecuación:
x x+ 1 x+
2
3 + 3 + 3 = 3159
Solución:
Solución:
3
Resuelve:
1
⎛ 14 n+
4
3 − 3 ⎞8
⎜
3
n ⎟ =
⎝ 3 − 9 ⎠
Solución:
3
Resuelve:
1
⎛ 14 n 4
32 4 +
−- 32 n+2 ⎞58
⎜
= 3
⎟ 2
⎝ 32 n −- 89
⎠
Solución:
4
Resuelve.
4
Resuelve.
x
x
( ) 2 x
7
=
x 10
( ) 2 6
x 2
x x
7
=
x 10 9
Solución:
Solución:
86

01
S
igamos practicando
Calcula
1
−3 −2 −1 −1⎤2
⎥
⎥⎦
⎡ 1 2 4 1
R =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢⎜ 3
⎟ + ⎜ + +
5
⎟ ⎜
23
⎟ ⎜
10
⎟
⎢⎣
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solución:
I Bimestre
04
x x x
Si 25 + 4 = 2.(10) calcula:
( ) ( x − 4)( x − 2)
A= x−
2
Solución:
Á
L
G
E
B
R
A
02
Simplifica:
3 2 ( −2
2 − 2
) 2
E =
5
2 −1
Solución:
05
Calcula la suma de cifras de “n” si
1
⎛ 15 n
7 − 7 ⎞8
⎜
7
n−4 3 ⎟ =
⎝7 − 7 ⎠
Solución:
03
Simplifica:
n+ 3 n+
1
3 − 3
E =
n−1
72 3
Solución:
( )
06
Calcula a + b si “x” es un número positivo tal que:
−1
⎛24
4 ⎞
3 3 2
⎜
a
⎟
⎝ ⎠
x x x = x
Solución:
b−1
( )
7 3
10
= 3
b+
1 2b
9 − 2.3
87

Á
L
G
E
B
R
A
4To sec
07 08
Si x y =2 (donde x>0) , calcula el valor de la expresión:
y
y
x
−
y
y
⎛ y
x ⎞ ⎛ x ⎞ −
2
⎜4 ⎟ . ⎜x ⎟ + ( x )
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2y −y
2x − 6x
Solución:
Resuelve:
9
x
x
x
= 3
3
Solución:
E jercicios propuestos
Nivel Básico
Nivel Intermedio
1. Calcula:
− −
A = 27 9 2 1
a) 9 c) 3 e) 1 3
b) 2 d) 1
2. Calcula:
1
⎡ 1 1 1
A = ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ −
⎢
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ − ⎤
2
1 2 1 2
⎠ ⎝ ⎜ 1 ⎞ 2 ⎥
⎢ 4 9 16
⎟
⎠ ⎥
⎣⎢
⎦⎥
a) 4 c) 2 e) 0
b) 3 d) 1
3. Calcula: r
⎛ 1 ⎞
r
3
A = ( ) −
⎜ 92
2 2
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a) 0 c) 2 e) 4
b) 1 d) 3
5. Simplifica:
n+ 1 n+ 2 n+ 3 n+
4
E =
2 + 2 + 2 + 2
n n+ 1 n+ 2 n+
3
2 + 2 + 2 + 2
a) 1 c) 7 e) 5
b) 4 d) 2
x x x
6. Si: 25 + 9 = 2( 15)
( )
Calcula A= x+
2
( x−1) x+
3
( )
a) 8 c) 1/64 e) 1/27
b) 27 d) 1/8
7. Si b, x, r, ∈ y se verifica:
2
r 10 r
b b 9 2 3
=
4
4
+ −( )
x 2 x+
1
4 . 2 − 2 = 0
Entonces se puede afirmar: UNMSM 2008 - I
4. Resuelve: 2x+ 3 2x+ 1 2x+
2
2 − 3 = 3
a) − 1 2
b) − 1 4
c) 1 8
1
d)
2
e)
1
4
a) x-b=3 c) |b|<|x| e) x.b=2
b) x+b=3 d) x<b
88

I Bimestre
Nivel Avanzado
10. Si xx5 = 5 , calcula:
8. Calcula “x”
x
2 x −27 6
+ 2 = 65
a) 1 c) 5 e) 4
b) 3 d) 2
9. Calcula “x”
x+ 1 x−2
3 3
15 247
+ − =
x−1 x−2
3 3
a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
UNALM 2008
A = x
5
a) 5 c) 5
b) 5 d) 1 5
x
2x
x
5x
+ 5. x xx
x
x
x x
5 5
x + x x
x + x
e) 1
Á
L
G
E
B
R
A
T
area para la Casa
1. Simplifica
n+ 5 n+
2
2
A =
+ 2
n−2
72.
2
a) 8 d) 4
b) 2 e) 16
c) -2
4. Si
−
1
x x52 = 5;
determina
( x − 2
)
a) 5 d) 1 25
5
x x x
2. Si 9 + 100 = 230 ( )
x−
x
Calcula A= ( x−
)
( 2) ( −1
3
)
a) 2 d) 4
b) 6 e) 9
c) 3
b) 3
5 e) 1 5
c) 5
5. Calcula el valor de E.
3. Determina el conjunto solución.
3
( ) =
x
5 26 5
2 32 . 2
E =
⎛
⎜
⎝
3
35 / ⎞
x ..
3
x x ⎟
⎠
4 3
x
a) {9} d)
b) {1} e) {3}
c) {0}
a)
b)
10
x 17 d)
20 14
x 43 e)
17
x 10
40
x 17
c) 10
x 27
89

I BIMESTRE
4
Geometría
SECUNDARIA
Una educación plasmada
en proyectos

G
E
O
M
E
T
R
Í
A
Ángulos formados por
dos rectas paralelas
y una secante
En este capítulo aprenderemos ...
• El concepto de paralelismo.
• La determinación de ángulos entre rectas paralelas.
1
Capitulo
M arco Teórico
PARALELISMO
1. DEFINICIÓN
Dos rectas coplanares que no se intersecan son
llamadas paralelas.
Usaremos la notación L 1
// L 2
, para indicar
que las rectas L 1
y L 2
son paralelas.
Se cumple que:
‣ Ángulos correspondientes siempre son iguales.
1 = 5; 3 =7; 2 =6; 4 = 8
‣ Ángulos alternos internos siempre son iguales.
3 = 5 ; 4 = 6
‣ Ángulos alternos externos siempre son iguales.
L 1
// L 2
L 1
L 2
2 = 8 ; 1 = 7
‣ Ángulos conjugados internos suman 180°.
3 + 6 = 180° ; 4 + 5 = 180°
2. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
‣ Ángulos conjugados externos suman 180°.
2 + 7 = 180° ; 1 + 8 = 180°
Dada dos rectas L 1
y L 2
(L 1
// L 2
), se dice que la recta
L es una secante de ambas si las interseca en dos
puntos diferentes.
L
4
1
3
2
L 1
3. PROPIEDADES
Si L 1
// L 2
⇒
x
a
y
b
L 1
z
8
5
7
6
L 2
a + b = x + y + z
L 2
116

I Bimestre
a
b
x
L 1
L 2
Resolución:
x
30°
20°
30°
L 1
G
E
O
M
E
T
R
x = a + b
a
b
c
L 1
x = 30° + 20°
x = 50°
L 2
Ejemplo 2: Calcula “y”, si a + b = 60°.
Í
A
360° = a + b + c
L 2
y
20°
a
b
α α
A
L 1
y
O
θ
θ B
m AOB = 90°
L 2
Resolución: a + b = y + y + 20°
60° = 2y + 20°
40° = 2y
20° = y
δ
g
L 1
Demostración:
Si L 1
// L 2
⇒ x = α + θ
f
α
L 1
q
x
a
b
L 2
Resolución:
θ
L 2
a + b + q + f + g + δ = 180º
Por P trazamos una paralela a L 1
y L 2
.
Ejemplo 1:
30°
Calcular “x”. L 1
x
20°
L 2
x
α
α
Luego por alternos internos:
∴ x° = α + θ
θ
θ
L 1
L 2
L 3
117

4To sec
G
E
O
M
E
T
R
1
A hora hazlo tú !!
¿Para qué valor de ‘‘x’’ las rectas L 1
y L 2
serán
paralelas?
x 2 +120°
12(8-x)
L 1
L 2
1
¿Para qué valor de ‘‘x’’ las rectas L 1
y L 2
serán
paralelas? L 1
6(13-x)
x 2 +111°
L 2
Solución:
Solución:
Í
A
2
Calcula ‘‘x’’ si AB // MR.
2
Si L 1
// L 2
, calcula x.
M
x 45°
R
Solución:
15°
x
L 1
Solución:
A
70°
B
60°
L 2
3
Calcula “x” en la figura mostrada si L 1
// L 2
.
3
Calcula “x” en la figura mostrada si L 1
// L 2
.
2α
x
L 1
Solución:
L 1
x
L 2
Solución:
124°
3α
L 2
130°
4
Calcula “x” si L 1
// L 2
y L 3
// L 4
.
4
Calcula “x” si L 1
// L 2
y L 3
// L 4
.
x
α α
L 3
Solución:
θ
x
L 1
L 3
L 2
Solución:
θ θ
25°
L 4
L 4
θ
4x
L 1 L 2
118

01
S
I Bimestre
igamos practicando
Calcula ‘‘α’’ si L 1
y L 2
son paralelas.
Si L1 // L2
y δ +φ = 100°, calcula x.
L x
δ
1
α
L 1
α
Solución:
60°
60° α
α
L 2
Solución:
φ
L 2
04
G
E
O
M
E
T
R
Í
A
02
Si L1 // L2
, calcule x.
α α
L 1
Solución:
05
Si L 1 // L , halla “x”.
2
L 1
x
80°
θ
θ
L 2
α+30°
θ+40°
x
α+80°
θ+50°
Solución:
L 2
03
Si L1 // L2
, calcula θ. Además α mide 60°. Si L 1
// L 2
// L 3
, calcula “x”.
β
β
α
φ
φ
θ
L 1
L 2
Solución:
06
x
40°
Solución:
120°
L 1
L 2
L 3
119

G
E
O
M
E
T
R
4To sec
07 08
Solución:
Calcula “y”, si L1 // L2
y α+ β=
66°
Calcula “x”, si L 1 // L 2 .
Solución:
Í
A
E jercicios propuestos
Nivel Básico
1. Calcula “x”, si L1 // L2
.
a) 15°
b) 25°
c) 35°
d) 45°
e) 55°
2. Calcula “x”, si L1 // L2
.
a) 49°
b) 59°
c) 69°
d) 79°
e) 89°
3. Calcula “x”, si L1 // L2
a) 110°
m + 15° x L
b) 146°
c) 150°
d) 163°
e) 179°
4m + 70°
L
4. Calcula “x”, si L1 // L2
.
a) 1°
b) 3°
c) 9°
d) 18°
e) 27°
Nivel Intermedio
5. Calcula “x”, si L1 // L2
. 20°
L
a) 45°
45°
b) 55°
c) 58°
100° x
d) 60°
10°
e) 65°
L
6. Calcula “x”, si AB // DC.
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 60°
120

7. Calcula “x”, si AB // L 2
.
a) 20°
b) 80°
c) 86°
d) 96°
e) 100°
Nivel Avanzado
8. Si L1 // L2
y se tienen ”n” ángulos de medida ω ,
calcula “ ω ”
a) 180°
n
d)
180°n – 180°
81
I Bimestre
b)
180° – 180°n
n
c) 180°
1 –
1
2n
e)
180°n – 180°
n
9. Si L1 // L2
; AM = MB y AN = NC, calcula el valor
de “x”.
a) 30°
b) 13°
c) 37°
d) 54°
e) 15°
10. Calcula “x”, si L1 // L2
y L3 // L4
a) a - b - c
a
b) b + c - a
c) a + b + c
x
d) a + b - c
e) a + c - b
L
c
L
b
L
L
G
E
O
M
E
T
R
Í
A
T
1. Calcula “x”, si L // L .
a) 20°
b) 25°
c) 30°
d) 35°
e) 50°
area para la Casa
1 2
2. Si AB // CD y α+ β= 220 ° , calcula “x”
a) 40°
b) 50°
c) 55°
d) 35°
e) 30°
3. Calcula “x”, si L // L .
a) 11°
b) 12°
c) 13°
d) 14°
e) 15°
1 2
20°
7x
7x
4. Calcula “x”, si L // L .
a) 130°
b) 120°
c) 110°
d) 100°
e) 140°
1 2
120°
5. Calcula “x”, si L // L y ω+ φ=
320 ° .
a) 40°
b) 50°
c) 60°
d) 70°
e) 80°
1 2
121

G
E
O
M
E
T
R
Í
A
Triángulos - Líneas
notables asociadas a
los triángulos
En este capítulo aprenderemos ...
• A definir el triángulo y reconocer sus elementos.
• A clasificar los triángulos.
• A aplicar sus propiedades en la resolución de problemas.
2
Capitulo
M arco Teórico
TRIÁNGULO RECTILÍNEO
Es aquel que se forma al unir tres puntos no colineales
mediante segmentos de recta.
b) x + y + z = 360°
c) α+β= z β+θ= x α+θ= y
d) Relación de correspondencia
β≥α≥θ
Si: b≥a≥
c
Elementos
Vértices: A, B y C
Lados: AB, BC, CA
Notación
∆ABC: Se lee, triángulo ABC o de vértices A, B y C.
Cálculo del perímetro: 2p∆ ABC = a + b + c
Si se sabe: AB = c, BC = a y CA = b
Propiedades fundamentales
e) Relación de existencia:
b− c< a< b+
c
a− c< b< a+
c
b− a< c< b+
a
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
A. Según las medidas de sus lados
1. ∆ Escaleno
a≠b
→ α≠β
b≠c
→ β≠θ
c≠a
→ θ≠α
a) α+β+θ= 180°
122

I Bimestre
2. ∆ Isósceles
a≠
b
α≠β
AC : base
LÍNEAS NOTABLES ASOCIADAS A LOS
TRIÁNGULOS
Ceviana
BP : Ceviana interior.
BQ : Ceviana exterior.
G
E
O
M
E
T
R
3. ∆ Equilátero
a) Mediana
Si: M es punto medio de BC.
Í
A
AM: es mediana.
B. Según las medidas de sus ángulos
1. ∆ Acutángulo
b) Bisectriz
a < 90°
b < 90°
q < 90°
BL: bisectriz interior
BT: bisectriz exterior
c) Mediatriz
2. ∆ Rectángulo
L : mediatriz de AC
M: es punto medio.
M
d) Altura
a + b = 90°
a 2 + b 2 = c 2
(T. Pitágoras)
BH: altura
3. ∆ Obtusángulo
BL: altura
b > 90°
a < 90°
q < 90°
123

4To sec
G
E
O
M
E
T
R
1
A hora hazlo tú !!
Calcula “x”.
Solución:
1
Calcula “x”.
8x-10°
3x-40°
4x+15°
Solución:
Í
A
2
Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD
2
Calcula “x”, si AB = BC y TC = TD.
Solución:
Solución:
3
Calcular “x”
3
Calcula “x”
Solución:
Solución:
4
En un triángulo ABC; AB = 9m – x; BC = 2x – 12 m,
además, mA > mC, calcula “x” si se sabe que es
un número entero.
Solución:
4
En un triángulo ABC, AB = 8m –x, BC = 3x-8 m;
además mA > mC, calcula la suma de valores
de “x” si es un número entero.
Solución:
124

01
S
I Bimestre
igamos practicando
Calcula “a”. Calcula “a”, si b + q = 200°.
04
G
E
O
M
E
T
R
Solución:
Solución:
Í
A
02
Si el triángulo ABC es escaleno, ¿cuántos triángulos
se podrán formar con los valores enteros para
las medidas del AC?
05
Si AB = AR y PQ = PC, calcula k =
Solución:
2a + 3b
3a − 3b
u
u
Solución:
03
Calcula FC si BC = 9m y BE = 4m.
06
Si a + b + g = 400°, calcula “x”.
Solución:
Solución:
125

G
E
O
M
E
T
R
Í
A
4To sec
07 08
En un triángulo ABC, se cumple: AB = 2 m y AC = 32
m, calcula el perímetro del triángulo (en metros),
sabiendo que es un número entero y que el ángulo
“A” es obtuso.
Solución:
Calcula “x”, si AB=3m, BC=CD=4m y AD=7m
Solución:
E jercicios propuestos
Nivel Básico
1. Observa la figura e indica qué tipo de triángulo es
ABC.
a) Acutángulo
b) Rectángulo
c) Obtusángulo
d) Isósceles
e) B y D
2. Calcula “ θ+ β”:
a) 120°
b) 110°
c) 130°
d) 125°
e) 140°
A
D
B
110° E
40 20°
C
3. Si el triángulo ABC es escaleno, calcula la suma
de los valores enteros impares que puede tomar la
medida del tercer lado.
a) 28m
b) 35m
c) 23m
d) 24m
e) 39m
4. Si α+ θ=40 , AB=BF y , mEBC = 90, calcula “x”.
a) 50°
b) 30°
c) 20°
d) 25°
e) 35°
5. Calcula “x”, si BD = DF.
a) 100°
b) 120°
c) 150°
d) 160°
e) 170°
6. Calcula “x”, si
a) 10°
b) 30°
c) 50°
d) 60°
e) 70°
Nivel Intermedio
w + θ = 200º
B
x
H
w 40°
A D C F
E
80°
126

7. Calcula “x”, si AB=AD=DC
a) 40°
b) 45°
c) 30°
d) 25°
e) 35°
Nivel Avanzado
8. Determina la relación correcta si PQ=PR
a) 3x=2 θ
b) 5x=2 θ
c) 7x=3 θ
d) 4x= θ
e) 7x=2 θ
I Bimestre
9. En un triángulo ABC, AB=8m y BC=15m. Calcula
el perímetro del triángulo (en metros) si se sabe que
AC toma el mínimo valor entero posible y el ángulo
“B” es obtuso.
a) 35m c) 41m e) 51m
b) 38m d) 47m
10. Calcula “x”
a) 105°
b) 115°
c) 130°
d) 145°
e) 120°
G
E
O
M
E
T
R
Í
A
T
area para la Casa
1. Si CE = 10m, CB = 7m, calcula FE.
a) 1m
b) 2m
c) 3m
d) 4m
e) 5m
4. Si AD y HD son bisectrices de los ángulos BAC y
BHC, respectivamente, calcula “x”.
a) 36°
b) 20°
c) 24°
d) 18°
e) 27°
D
2. Si ω+ φ= 140 ° , calcula “x”.
a) 7°
b) 18°
c) 21°
d) 28°
e) 35°
3. En un triángulo, dos de sus lados suman 28m. Calcula
el mayor valor entero que puede tomar la altura
relativa al tercer lado.
a) 12m
b) 13m
c) 24m
d) 18m
e) 32m
5. Si BE = HE y AD = CD, calcula “M”.
M = 3 α
4β
a) 4
b) 7
c) 6
d) 1
e) 8
127

I BIMESTRE
4
Trigonometría
SECUNDARIA
Una educación plasmada
en proyectos

T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Ángulo
trigonométrico
En este capítulo aprenderemos ...
1
Capitulo
Í
A
• A reconocer las características fundamentales de los ángulos trigonométricos en
cuanto a su generación y tipo de rotación: horario y antihorario.
• A resolver ejercicios utilizando el concepto de los ángulos trigonométricos.
M arco Teórico
Elementos de un ángulo
• Lado inicial
• Lado final
• Vértice
Tipos de rotación
• Sentido horario (ángulo
negativo)
• Sentido antihorario
(ángulo positivo)
Ángulo
- < < +
Trigonométrico
DEFINICIÓN
Es aquella figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de uno de sus extremos, que es un punto
fijo llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final)
DEFINICIONES COMPLEMENTARIAS
1. Ángulo positivo
Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido antihorario.
154

I Bimestre
De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor positivo.
2. Ángulo negativo
Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido horario. De
esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor negativo.
O
α
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
3. Ángulo nulo:
Es aquel que se obtiene cuando no hay rotación, de modo que sus lados inicial y final coincidan. La medida
del ángulo nulo tiene un valor igual a 0°.
0°
4. Angulo de una vuelta:
Es aquel que se obtiene cuando la posición inicial, luego de una rotación del rayo, coincide por primera vez
con la posición final.
O
Por definición el valor del ángulo trigonométrico es ilimitado, pues este depende de la magnitud de la rotación y
a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos.
“Para sumar o restar ángulos trigonométricos, se recomienda colocar todos los ángulos en sentido
antihorario, cambiando la rotación para que todos estén orientados en el mismo sentido”
155

4to sec
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
1
A hora hazlo tú !!
Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos.
Solución:
1
O
Calcula «x» en función de los otros ángulos
trigonométricos:
A Solución:
x
C
B
Í
A
2
Calcula “x”.
Solución:
2
Calcula “x”.
Solución:
5°–x
3
Calcula “x” si OC es bisectriz
Solución:
3
Calcula “x” si OCes bisectriz
Solución:
O
4
Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos
mostrados.
Solución:
4
Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos
mostrados.
Solución:
156

01
S
igamos practicando
Completa en cada recuadro el sentido de rotación en
que fue generado cada ángulo trigonométrico.
Solución:
I Bimestre
04
Calcula “x” en función de q, a y b.
Solución:
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
02
Asocia usando flechas:
05
Calcula “y”
Solución:
Ángulo
positivo
Solución:
Ángulo
negativo
03
06
Calcula “q”. Señala el valor de “q” si AÔB es agudo y “x”
adopta su máximo valor entero posible.
Solución:
Solución:
157

T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
4to sec
07 08
Si la medida de “q” es máxima, calcula el
complemento de:
a = (x x +x 2x +x 3x )°
Solución:
O
Calcula el complemento de x°, si la medida de q
es máxima. A
xx
5x
Solución:
B
C
E jercicios propuestos
Nivel Básico
4. Calcula «x»:
1. Indica qué ángulos tienen giro antihorario:
a) 50°
b) 55°
c) 60°
d) 65°
e) 70°
20°+x
A
25°-x
20°+x
D
a) a c) b e) a, b, q
b) q y a d) q y b
2. Indica qué ángulos son negativos:
a) y c) a e) y, q y a
b) q d) y y a
3. Calcula «x»:
Nivel Intermedio
5. Calcula «x» en función de q, a, b, y:
B
A
a) a-b+q-y b) a+b+q+y
c) -a+b+q+y d) a+b-q+y
e) a-b-q-y
6. Calcula «a» en función de «x».
X
C
D
E
5°-7x
a) -2/3 c) 7 e) 14
b) -1/8 d) 17
5x+9°
a) 90° + x
b) x - 90°
c) 180° - x
d) 90 – x
e) x – 180°
x
158

I Bimestre
7. Señala lo correcto con respecto a los ángulos trigonométricos
mostrados.
a) q-a=360º
b) q-a=240º
c) q+a=360º
d) q+a=240º
e) a+q=240º
8. Calcula «y»:
a) 50°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
120°
Nivel Avanzado
x-70°
y
4x-30°
9. Señala el valor de «x», si AÔB es agudo y «x»
adopta su máximo valor entero posible.
B
a) 100°
b) 112°
c) 122°
20°-4x
-20°
d) 116°
e) 114° A
O C
10. Señala lo correcto respecto a los ángulos trigonométricos
mostrados.
a) b-a=270º
b) a-b=270º
c) b+a=270º
d) b-a=180º
e) a-b=90º
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
T
area para la Casa
1. Calcula “α”
a) 18°
b) 26°
c) 34°
d) 22°
e) 30°
5°+α
20°+3α
15°–α
4. Calcula “ψ” en función de “β”
a) 180 + β B
b) 180 – β
c) 2β
d) -180 +β
e) β+360
A
O
C
2. Calcula “x” en función de q,a y b
5. Calcula “y” .
a) θ–β+α
b) β–α+θ
c) θ+β+α
d) 180–2β
e) θ–β–α
x
a) 40 2y+16
b) 42
c) 44 (7x-11°)
d) 46
e) 48
(-6x-2°)
3. Calcula “x”
a) 90 + θ
b) 180 – θ
c) 90 –θ
d) 2θ
e) -θ–90
A
x
159

T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Sistema de
medición angular
En este capítulo aprenderemos ...
2
Capitulo
Í
A
• A convertir correctamente unidades de un sistema a otro, usando el método del
factor de conversión.
• A reconocer los sistemas de medición angular, así como las unidades que involucran
al interior de ellas.
M arco Teórico
,
se cumple se cumple se cumple
Tener en cuenta:
a° b'c'' = a°+ b' + c''
g m s g m s
x y z = x + y + z
Sistemas de Medición Angular
Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacando
los siguientes:
O
1º 1º1º
P
1. Sistema Sexagesimal
Llamado también inglés, tiene como unidad a un grado sexagesimal
(1º), que viene a ser la 1/360 parte del ángulo de una vuelta. Esto es:
Unidad: 1° =
1 vuelta
360
1 vuelta = 360°
160

I Bimestre
También tenemos:
1 min sexag.: 1’ = 1º ⇒ 1º = 60’
60
1’
1 seg sexag.: 1’’ = ⇒ 1’ = 60’’
60
⇒ 1º = 3600’’
Llamado también francés, tiene como unidad
grado centesimal (1 g ), que viene a ser la
del ángulo de una vuelta. Esto es:
1 g 1 g 1 g
O
P
Unidad: 1 g 1 vuelta
=
400
1 vuelta = 400 g
También tenemos:
1 min centesimal 1 m 1
=
g
100
⇒ 1 g = 100 m
1 seg centesimal 1 s =
1m
100
⇒ 1 m = 100 s
⇒ 1 g = 10000 s 3.
Conversión
Si
sistema
de
deseado.
resultan
9
Sistema Radial o Circular
Llamado también internacional, tiene como unidad
a un radián (1 rad) que viene a ser la medida
de un ángulo central en una circunferencia, cuando
el arco que subtiende mide igual que el radio
de la circunferencia.
A
En el gráfico:
R
L: Long. del arco AB.
O θ L R: Radio de la circunferencia.
R
B
Si L = R ⇒ θ = 1 radián
entre sistemas
queremos convertir medidas angulares de un
a otro, se multiplica dicha medida por un factor
conversión, resultando la medida en el sistema
Estos factores de conversión equivalen a 1 y
de las siguientes igualdades:
g 180°=πrad
g
°= 10
200 = πrad
a
un 1/400.
parte
2. Sistema Centesimal
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
161

T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
1
4to sec
A hora hazlo tú !!
Simplifica la siguiente expresión: Simplifica la siguiente expresión:
L = 3°2'
L = 5°5'
2'
5'
Solución:
Solución:
1
Í
A
2
Calcula el valor de “x”
Solución:
2
Calcula el valor de “x”
Solución:
9 (8x + 16)°
3
Calcula:
g
30 + 24°
D =
π
rad
60
Solución:
3
Calcula el valor de:
π
rad + 32°
N = 45
g
40
Solución:
4
Calcula:
4
Calcula:
M =
3y - 2x
12
Solución:
E =
3y - 2x
10
Solución:
5y g °
g
162

01
S
igamos practicando
Indica la cantidad de segundos centesimales que
tiene “α”
a = 2 g 3 m 4 s
Solución:
I Bimestre
04
Calcula M en el sistema centesimal.
M = π rad+63°
5
Solución:
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
02
Efectúa:
10°51’48’’ + 22°31’42’’
Solución:
05
Si un ángulo mide (8x – 2)° y su suplemento mide
20x g , ¿cuál es el valor de “x”?
Solución:
03
Si un alumno al copiar 30° escribió 30 g , ¿qué error
cometió en radianes?
Solución:
06
Calcula “x” en la igualdad:
x ( 5x )'
( 2x + 1 )'
⎡ ° ⎤ ° π
⎢ ⎥ = rad
⎣ ⎦
6
Solución:
163

T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
4to sec
07 08
Calcula: a + c si se sabe que:
b
π rad = a°5b'5c"
37
Solución:
Calcula el valor de a + b, si p rad =a o b'
8
Solución:
Í
A
E jercicios propuestos
Nivel Básico
Nivel Intermedio
1. Indica la cantidad de segundos centesimales que tiene
“a=3 g 4 m 5 s ”:
a) 345 s c) 30405 s e) 300405 s
b) 3045 s d) 32405 s
2. Efectúa:
18°19’32’’ + 36° 48’ 51’’
a) 55°8’23’’ d) 58°18’28’’
b) 65°18’23’’ e) 65°18’23’’
c) 55°18’28’’
3. Convierte el sistema radial
E = 30° + 45°
a) p / 2 c) 5p / 12 e) p / 5
b) 3p / 4 d) p / 6
4. Si un alumno al copiar 50° escribió 50 g , ¿qué error
comete en radianes?
a) p / 36 c) p / 18 e) 36p
b) p / 5 d) p / 20
5. Calcula M en el sistema centesimal.
M =
+ 15°
6
a) 40 g c) 35 g e) 45 g
b) 50 g d) 60 g
6. Si los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden:
6x g y (5x+4)°, calcula la medida del tercer ángulo,
en el sistema radial.
a) p / 5 c) 2p / 5 e) 3p / 5
b) p / 10 d) 3p / 10
7. Si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
mide 72°, calcula el otro ángulo agudo, en
radianes.
a) p / 3 c) p / 7 e) p / 10
b) p / 4 d) p / 9
Nivel Avanzado
8. Si un ángulo mide 40 g y su suplemento mide 11 x
+23°, cuánto mide “x”?
a) 10 c) 12 e) 14
b) 11 d) 13
164

9. Calcula “x” en la igualdad:
a) 24 c) 12 e) 3
b) 36 d) 6
T
area para la Casa
I Bimestre
10. Calcula la medida del ángulo AOD en radianes si
OC es bisectriz de AÔB .
A
a) 3p / 5
b) 4p / 5
c) 2p / 5
d) 3p / 10
e) 7p / 10
D
O
x
C
x
B
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
1. Si un alumno al copiar 60 g escribió 60°, ¿qué error
comete en radianes?
a) π/30 c) π/36 e) π/60
b) π/40 d) π/6
2. Calcula M en el sistema centesimal.
M = π rad + 45°
4
a) 90 g c) 100 g e) 110 g
b) 105 g d) 102 g
3. Calcula x + y
x−
y
4. Calcula:
π
rad + 5°
k = 12
g
100
a) 1/3 c) 1/9 e) ¼
b) 2/9 t
d) 2/3
5. Si un ángulo mide (5x+4)° y su suplemento
es (2x+5)πrad
45
, ¿cuál es el valor de “x”?
a) 10 c) 14 e) 18
b) 12 d) 16
a) 11
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19
3y’
165

I BIMESTRE
4
Física
SECUNDARIA
Una educación plasmada
en proyectos

F
Í
S
I
C
A
Análisis
dimensional - I
En este capítulo aprenderemos ...
• A conocer las magnitudes fundamentales del Sistema Internacional.
• A conocer la relación entre magnitudes fundamentales y derivadas.
• A conocer las fórmulas dimensionales de algunas magnitudes derivadas.
1
Capitulo
M arco Teórico
DEFINICIÓN
La medición en la física es fundamental, para ello
es necesario establecer un conjunto de unidades
convencionales para cada magnitud física, esto permite
diferenciar una magnitud de otra.
Magnitud: Todo aquello que puede ser medido.
Medir: Consiste en comparar dos cantidades de una
misma magnitud; donde una de ellas es la unidad
patrón.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES
POR SU ORIGEN
• Magnitudes fundamentales
• Magnitudes derivadas
Magnitudes fundamentales:
Son aquellas magnitudes que convencionalmente, servirán
como base para deducir las demás magnitudes físicas.
Según el Sistema Internacional SI son:
MAGNITUD FÍSICA UNIDAD SÍMBOLO
Longitud metro m
Tiempo segundo s
Masa kilogramo kg
Temperatura kelvin K
Intensidad de corriente
Cantidad de sustancia
ampere
mol
Intensidad luminosa Candela
A
mol
cd
Magnitudes derivadas:
Son aquellas magnitudes que se expresan en función de
las magnitudes fundamentales.
Entre las magnitudes derivadas tenemos la aceleración,
fuerza, potencia, energía, carga eléctrica, etc.
POR SU NATURALEZA
• Magnitudes escalares
• Magnitudes vectoriales
Magnitudes escalares:
Es aquella magnitud que queda definida solamente por
un valor numérico y su unidad de medida.
Ejemplo: Temperatura → 300 K
Magnitudes vectoriales:
Es aquella magnitud que, además del valor numérico y
una unidad, depende de una dirección.
Ejemplo:
Velocidad → 30 m/s hacia dirección el norte
|Ecuación dimensional:Expresión matemática que
nos permite establecer una magnitud física en función
de las magnitudes fundamentales.
Notación:
Si B es una magnitud física su ecuación dimensional
(E.D) es [B].
Según el SI las ecuaciones dimensionales son:
• Para las magnitudes fundamentales
MAGNITUD
Longitud
E.D.
L
192

I Bimestre
que se usarán
Algunas propiedades de las E.D.
Tiempo
T
específicamente en este capítulo son:
Masa
M
1) [Número real] = 1
Frecuencia T –1
Temperatura q
2) [xy] = [x][y]
Intensidad de
I
3) ⎡x
⎤ ⎡⎣x
⎤⎦
corriente
⎢y
⎥=
⎣ ⎦ ⎡⎣y
⎤⎦
Cantidad de
4) [cX] = c[X]
N
sustancia
(c: número real)
5) [X n ] = [X] n
• Para algunas magnitudes derivadas
(n: número real)
6) [razón trigonométrica] = 1
MAGNITUD E.D.
7) Las constantes numéricas son adimensionales mas
Área L 2
no así las constantes físicas.
• [p] = 1
Volumen L 3
• Ley de la gravitación universal
Velocidad LT –1
mm
Aceleración LT –2
F=
G 1 2
d
2
Fuerza MLT –2
G: constante (física) de gravitación universal.
Trabajo ML 2 T –2
2
−11
Nm
G = 6.67×
10
Energía ML 2 T –2
2
kg
Potencia ML 2 T –3
Luego:
Presión ML –1 T –2
−13 −2
∴ ⎡⎣G ⎤⎦=
M LT
Calor ML 2 T –2
F
Í
S
I
C
A
E jercicios resueltos
1. Determina la ecuación dimensional de la fuerza (F)
si su valor se calcula mediante la siguiente fórmula:
F = (masa) (aceleración)
a) MLT –1
b) MLT –2
c) ML
d) MT –2
e) LT –2
Solución:
Desarrollando las ecuaciones dimensionales.
[F] = [masa][aceleración]
−2
⎡⎣F ⎤= ⎦ (M)(LT )
∴ ⎡⎣F ⎤⎦=
MLT −2
2. Determina la ecuación dimensional “Ce” si la cantidad
de calor que se entrega a una sustancia, para
incrementar su temperatura se calcula mediante la
siguiente fórmula:
Q = mCe∆T
Si se sabe que:
Q: calor
m: masa
Ce: calor específico
∆T: Variación de la temperatura
2 1
a) L θ −
2 2 1
b) LT − θ
−
−12
2
c) θ L
d) T − θ
2 2
e) LT −
Solución:
Por teoría se sabe que calor y energía tienen la misma
ecuación dimensional.
Siguiendo la fórmula:
Q = mCe∆T
⎡⎣ Q⎤⎦ = ⎡⎣ m⎤⎡ ⎦⎣Ce⎤⎡ ⎦⎣∆T⎤⎦
2 − 2
ML T = M ⎡ ⎣Ce
⎤ ⎦ θ
Resolviendo:
2 –2 −1
⎡⎣Ce
⎤= ⎦ L T θ
2 2
⎡⎣Q ⎤⎦= ⎡⎣E ⎤⎦=
ML T −
193

4to sec
A hora hazlo tú !!
F
Í
S
I
C
A
1
Determina la ecuación dimensional de la presión P
si se calcula mediante la siguiente fórmula:
fuerza
P =
área Solución:
1
Calcula la ecuación dimensional de T, si se calcula
aplicando la siguiente formula:
1
T = ⎛ P a
⎝ ⎜ ⎞2
E
⎟ .
⎠ 2
Solución:
Dónde:
P: presión
E: energía
a: aceleración
2
Determina la ecuación dimensional de la fuerza
centrípeta (F cp)
si su valor se puede calcular aplicando
la siguiente fórmula:
Solución:
2
(masa)(velocidad)
Fcp
=
radio
2
Determina la ecuación dimensional de la fuerza
de gravedad (F g ) si su valor se puede calcular aplicando
la siguiente fórmula:
Fg = (masa)(aceleracion)
Solución:
3
Determina la ecuación dimensional de la energía
cinética (E k
) si viene dada por la siguiente ecuación:
2
(masa)(velocidad)
Ek
=
2
Solución:
3
Determina la ecuación dimensional de la energía
potencial gravitatoria(E p
) si viene dada por la
siguien te ecuación:
E p
= (masa ) (aceleración) (longitud)
Solución:
4
Calcula la ecuación dimensional de “P”, si la
siguiente ecuación dimensional es correcta:
DFL
P =
m
Dónde:
D: densidad
L: longitud
F: fuerza
m: masa
Solución:
4
Determina la ecuación dimensional de «Z» si
la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:
T . P 2
F A . Z
3 =
Donde:
T: temperatura
P: presión
F: fuerza
A: área
Solución:
194

01
S
igamos practicando
Determina la ecuación dimensional de “a” a partir
de la siguiente ecuación correcta:
mna = 4VFcos(207 ° )
Dónde:
F: fuerza
V: volumen
m y n son masas
Solución:
I Bimestre
04
Calcula la ecuación dimensional de «R» si la ecuación
universal de los gases ideales se define por:
PV = nRT
Dónde:
P: presión
V: volumen
n: número de moles
R: constante universal de los gases
T: temperatura absoluta
Solución:
F
Í
S
I
C
A
02
Calcula la ecuación dimensional de “K” si el valor
de la energía cinética promedio de una molécula,
cuando se trata de un gas ideal monoatómico, se
calcula mediante la siguiente ecuación:
3
Ek
= KT
2
Dónde:
K: constante de Boltzman
T: temperatura absoluta
Solución:
05
Determina la ecuación dimensional de «H». A
partir de la siguiente ecuación dimensionalmente
correcta:
2
Vm
=
F .3 A
2 H
Donde:
V: volumen
M: masa
F: fuerza
A: área
Solución:
03
Determina la ecuación dimensional de «h» si el
postulado de Max Planck señala que el valor de la
energía de una onda electromagnética se calcula
mediante la siguiente ecuación:
06
Determina la unidad de «Z» si su valor se calcula
mediante la siguiente formula:
E = hf
Dónde:
E: energía
f: frecuencia
h: constante de Planck
Solución:
Donde:
F: fuerza
V: volumen
a: aceleración
Solución:
195

F
Í
S
I
C
A
4to sec
07 08
Calcula la ecuación dimensional de «Y», si su valor
se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Donde:
X y R: longitudes
r: densidad
V: volumen
Solución:
Calcula la ecuación dimensional de «W» si la
siguiente ecuación dimensionalmente es correcta:
Donde:
T: temperatura
m: masa
V: volumen
Solución:
E jercicios propuestos
Nivel Básico
Nivel Intermedio
1. Determina la ecuación dimensional de la cantidad
de trabajo mecánico (W) si se calcula mediante la
siguiente ecuación:
W = (fuerza).(distancia)
a) MT -2 c) MLT -2 e) L 2
b) ML 2 d) ML 2 T -2
2. Determina la ecuación dimensional de la energía
(E) si su valor se determina mediante la siguiente
fórmula:
E = (masa).(aceleración).(altura)
a) ML 2 T -2 c) ML 2 T e) LT -2
b) ML d) MLT
3. Calcula la ecuación dimensional de la densidad si
se calcula mediante la siguiente fórmula:
a) ML c) ML -3 e) ML 2
b) ML 2 d) M -3
4. Calcula la ecuación dimensional de la carga eléctrica
(q) si viene dada por la siguiente ecuación:
q = (intensidad de corriente). (tiempo)
a) I c) IT e) I 2 T
b) T d) ILT
5. Determina la ecuación dimensional de «k» si la
energía potencial elástica de un resorte deformado
se calcula mediante la siguiente ecuación:
Epe= 1 2
kx
2
Donde:
Epe: Energía potencial elástica
x: longitud de la deformación
k: constante de rigidez
a) MT c) M -2 T e) M 3 T
b) MT -2 d) MT -1
6. Calcula la ecuación dimensional de «y» si la siguiente
ecuación es dimensionalmente correcta:
d.V = m.Y
Donde:
d = distancia
V = volumen
m = masa
a) LM -1 c) L 4 M -1 e) L 4 M
b) L 2 M d) L 2 M 2
7. Determina la ecuación dimensional de «T» si la siguiente
ecuación es correcta:
Fm . =
T A
196

I Bimestre
Donde:
F: fuerza
m: masa
A: área
a) ML c) L 2 T e) LT -1
V: volumen
b) LT 3 d) L -2 T 3 9. Calcula la ecuación dimensional de «Y» si la siguiente
ecuación es dimensionalmente correcta:
Y.T = F. D/A
Donde:
T: tiempo
a) M 2 L 3 T -2 c) ML 3 T -2 e) ML 3 T -2
F: fuerza
b) ML d) ML 2
D: longitud
A: área
Nivel Avanzado
a) MT c) MT -6 e) M 2 T
b) M 2 T -3 d) MT -3
te ecuación es dimensional correcta:
PA F 10. Determina la ecuación dimensional de «S» si la siguiente
ecuación es correcta:
X v
Donde: P: presión
35m
= aS
A: área F: fuerza
v
V: rapidez
Donde:
m: masa
8. Calcula la ecuación dimensional de «x» si la siguien-
F
Í
S
I
C
A
a) ML -4 T 2 c) M 2 L -4 e) ML 2 T -4
b) MLT d) MT -2
T
area para la Casa
4. Determina la ecuación dimensional de «G» si la siguiente
1. Calcula la ecuación dimensional de la distancia si
b) LT −1 d) LT −2
una forma de determinar su valor es utilizando la
siguiente expresión:
D= (rapidez).(tiempo)
ecuación es dimensionalmente correcta:
G h t a
a) L c) L −1 Dónde:
e) ML −1
b) M d) M −1
h: altura
t: tiempo
a: aceleración
2. Determina la ecuación dimensional del peso específico
(γ) si se calcula mediante la siguiente ecuación:
a) LT
c) LT e) LT
γ = (densidad).(aceleración de la gravedad)
b) L T
d) LT −3
a) LT −2 −2 −2
c) ML T e) ML −3
5. Calcula la ecuación dimensional de «J» si la siguiente
b) MLT −2 d) L −3
ecuación es correcta:
J= L .
F A
3. Determina la ecuación dimensional de la aceleración
centrípeta ( a cp ) si su valor se calcula median-
L: longitud
Dónde:
te la siguiente ecuación:
F: fuerza
rapidez
acp ( ) 2
A: área
a) MLT c) ML
longitud delradio
b) MLT −2 d) LT –2
e) M 2
a) LT
c) L −2 e) LT
197

F
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S
I
C
A
Análisis
dimensional - II
En este capítulo aprenderemos ...
• A conocer las magnitudes fundamentales del Sistema Internacional.
• A conocer la relación entre magnitudes fundamentales y derivadas.
• A conocer las fórmulas dimensionales de algunas magnitudes derivadas.
2
Capitulo
M arco Teórico
DEFINICIÓN
Siguiendo con el estudio del análisis dimensional, en
este capítulo veremos cómo calcular las ecuaciones
dimensionales de algunas ecuaciones físicas, aplicando
para ello nuevas propiedades y principios.
PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES
DIMENSIONALES PARTE II
1. La ecuación dimensional de todo ángulo, razón
trigonométrica y, en general, de toda cantidad
adimensional es uno.
• ⎡⎣sen(53 ° ) ⎤⎦
= 1
• ⎡⎣log(x) ⎤= ⎦ 1
• ⎡⎣64° ⎤⎦
= 1
2. La ecuación dimensional del exponente de toda
magnitud física es igual a uno.
•
2V H
P (fuerza)
⎡2V H
⎤
⎢ = 1
⎣ P ⎥⎦
==2N se secumple que:
FV
• 9 3x == 3 se cumple que:
⎡FV
⎤
⎢ = 1
⎣ 3x ⎥⎦
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
DIMENSIONAL (PHD)
En toda ecuación dimensionalmente correcta, los
términos que se suman o se restan deben tener la
misma ecuación dimensional.
Por ejemplo, si la siguiente ecuación es
dimensionalmente correcta:
A + B = C
Entonces se debe cumplir que
⎡⎣A⎤⎦= ⎡⎣B⎤⎦=
⎡⎣C⎤
Ejemplo:
⎦
Sabiendo que la siguiente expresión es
dimensionalmente correcta: H = a F – b P
Donde F: fuerza y P: presión. Indica la ecuación
dimensional de a .
b
Del problema se cumple
⎡⎣H ⎤⎦= ⎡⎣aF − bP⎤⎦
Por el principio de homogeneidad
⎡⎣H ⎤⎦= ⎡⎣aF ⎤⎦=
⎡⎣bP
⎤⎦
⎡⎣ H⎤⎦ = ⎡⎣ a⎤⎡ ⎦⎣F⎤⎦ = ⎡⎣ b⎤⎡ ⎦⎣P⎤⎦
−2 −1 −2
⎡⎣a ⎤⎦MLT
= ⎡⎣b ⎤⎦ML T
⎡a
−1 −2
⎣ ⎤⎦ ML T =
⎡b
−2
⎣ ⎤⎦
MLT
⎡a⎤
−2
∴
⎣ ⎦
= L
⎡⎣b
⎤⎦
198

I Bimestre
E jercicios resueltos
1. Si A representa el área, ¿cuál es la ecuación dimensional
de x?
1/2
A log(30) = ⎡56.x
⎤
⎣ ⎦
Solución:
⎡ 1 ⎤
⎡⎣ A⎤⎡ ⎦⎣log(30) ⎤⎦ = ⎡⎣ 56⎤⎦ ⎢x 2 ⎥
⎢
⎣ ⎥
⎦
1
2
L .1 = 1. ⎡⎣x
⎤⎦2
1
2
2
⎡⎣x⎤⎦
= L
4
∴ ⎡⎣x⎤⎦
= L
2. Siendo m: masa y v: rapidez. Determina x.y si la
energía cinética viene dada por la siguiente ecuación:
1 x y
Ek
= m .v
2
Solución:
Aplicando las dimensiones en cada término
1 x y
⎡Ek
= ⎡ ⎤ ⎡m ⎤⎡v
⎤
⎣ ⎤⎦ ⎢⎣2
⎥⎦
⎣ ⎦⎣ ⎦
1 x y
⎡E ⎡ ⎤
⎣ k ⎤⎦= ⎢
⎡m⎤ ⎡v⎤
⎣2
⎥⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 −2 x −1y
ML T = 1.M (LT )
2 −2 x y −y
ML T = M L T
Igualando magnitudes
M = M x
→ x = 1
L 2 = L y
→ y = 2
∴ x.y = 2
F
Í
S
I
C
A
199

4to sec
A hora hazlo tú !!
F
Í
S
I
C
A
1
Si P representa la presión, ¿cuál es la ecuación dimensional
de Y?
5 . Y² = 36º log(452)
P
Solución:
1
Se ha determinado que la velocidad de un fluido
se puede expresar por la ecuación:
1
2Pm 2
v =
⎡
2BY
⎤
⎢
+
⎣ A ⎥⎦
Donde Pm es la presión manométrica del fluido e
“Y” es la altura del nivel del fluido. Si la ecuación
es dimensionalmente correcta, las magnitudes
físicas de A y B, respectivamente, son:
Solución:
2
Calcula el valor de x y en la siguiente expresión dimensionalmente
correcta:
v = π 2 a x t y
Dónde: v es rapidez, a es área y t es tiempo.
Solución:
2
De la siguiente ecuación dimensionalmente
correcta, calcula las dimensiones de G.F.
a = G ; e + 2 = log F . m
t
v
Dónde: Solución:
a: aceleración
t: tiempo
m: masa
v: velocidad
3
Calcula (x + 1) z si la siguiente expresión es dimensionalmente
correcta:
3
En la siguiente ecuación física, indica la ecuación
dimensional de a × b siendo:
xz
Psen75°=
85d t .m
Si se sabe que:
P: potencia
d: distancia
t: tiempo
m: masa
Solución:
π
a = A× e × Sen( bT)
Dónde:
A= Longitud
T= Tiempo
e= Constante numérica.
Solución:
4
Calcula
⎡a
⎤
⎢⎣c
⎥⎦
si la siguiente ecuación es correcta:
4
Calcula la ecuación dimensional de la expresión
x/y si la siguiente ecuación es correcta:
2
P = at + cρ
Dónde P es presión, t es tiempo y ρ es la densidad.
Solución:
log( 3)
mx
T=
ye
Dónde:
T: tiempo
m: masa
Solución:
200

01
S
I Bimestre
igamos practicando
Determina la ecuación dimensional de C si la
siguiente ecuación es correcta:
mS = 6V tan(3C / F)
m: masa; S: tiempo; V: volumen y F: fuerza.
Solución:
04
La ecuación
F
A= + B es dimensionalmente correcta.
t
Si F representa la fuerza y t el tiempo, calcula la
dimensión de B.
UNMSM 2013-II
Solución:
F
Í
S
I
C
A
02
Determina la ecuación dimensional de A/B, si
se sabe que v: velocidad y t: tiempo y además la
siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:
A = ve
Bt
2
Solución:
05
Calcula x 2 + y si un cuerpo es abandonado desde
una cierta altura h, luego de un intervalo de tiempo
adquiere una rapidez v. Si la aceleración de la
gravedad viene dada por
1 x y
g=
h v
2
Solución:
03
Calcula x – y si la siguiente expresión es dimensionalmente
correcta:
y
m
P = log(23).
dt
x
Si se sabe que P es la presión, d es la distancia, t es
tiempo y m es masa.
Solución:
06
⎛ 2 x
En la ecuación
ab ⎞
H = ⎜
senθ
y
2c
⎟
⎝ ⎠
dimensionalmente correcta, H es la altura, "a" es la
rapidez, b es el radio y c es la aceleración. Determina
x + y. UNMSM 2013-II
Solución:
201

4to sec
F
Í
S
I
C
A
07 ⎡ xy
⎤
08
Calcula ⎢ 2 ⎥ se sabe que F es fuerza, H es altura
⎣x
⎦
y v es rapidez si la siguiente ecuación es dimensionalmente
correcta: Y = F + 1/2H×v 2 .
Solución:
Si la expresión siguiente es dimensionalmente
correcta, ¿cuál es la ecuación dimensional A y α
respectivamente?
1 2 1 3
d = At + αt
2 6
Si: d: distancia
Solución:
t: tiempo
E jercicios propuestos
Nivel Básico
b) MT -1 d) M -1 T
1. Si P representa la presión, ¿cuál es la ecuación dimensional
de H?
H.log(36) = 25.P
Nivel Intermedio
5. Determina la dimensión de A.w, si un objeto que
a) ML -1 T -2 c) ML -1 e) M 2 LT 2
realiza un movimiento periódico tiene la siguiente
b) ML -1 T -4 d) MLT -2
ecuación:
x = A⋅cos( ωt)
2. Si r representa la densidad de un cuerpo, calcula la
Si x es la posición y t el tiempo
ecuación dimensional de K.
ρ 2 .597 = tg (30°).K
a) LT c) L 2 T -2 e) LT -1
b) T
a) M 2 .L -6 c) ML -6 e) M 3 L 6
2 d) LT 2
b) ML 2 d) M 2
6. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta,
calcula las dimensiones de Y.
3. Determina la ecuación dimensional de D, si la siguiente
ecuación es correcta:
Y Cos 60° = MA
Donde:
Z.L = 6V. sec (5D / F)
M: masa; A: aceleración
Si L: longitud; Z: área;
V: volumen y F: fuerza.
a) MLT c) MLT- 2 e) M 2 T -2
b) ML
a) MLT c) MT -2 e) ML 3 T
2 T d) ML
b) MLT -2 d) M
7. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta,
calcula las dimensiones de «θ».
4. Determina la ecuación dimensional de K a partir de
θR = WT
la siguiente igualdad numérica:
Donde:
e
⎛ 3F.
W: velocidad; T: tiempo;
v K ⎞
263
⎝ ⎠ =
R: constante numérica.
Si F: fuerza y v: velocidad
a) T c) T
a) MT c) MT 2 e) M 2 T -1 -1 e) L
b) L -1 d) T 2
202

I Bimestre
T
Nivel Avanzado
8. El número de Reynolds es un valor adimensional el
cual nos indica si un flujo es turbulento o laminar,
dentro de un tubo. El número de Reynolds (R), se
calcula mediante la siguiente ecuación:
R =ρ Vd/
n
Donde r es la densidad, V la rapidez promedio y d el
diámetro del tubo. Determina las dimensiones de la
viscosidad n.
a) M 2 L -1 T -1 c) ML -1 T -2 e) ML -1 T -1
b) M 3 L -1 T -1 d) ML -2 T -1
9. Calcula el valor de a/c a partir de la siguiente ecuación
dimensionalmente correcta.
P.23 = D a . V c
Si P es la presión, D la densidad, y V velocidad.
area para la Casa
a) 1/2 c) 1 4
b) -1/2 d) - 1 4
e) 2
10. Calcula el valor de x.y si la siguiente ecuación es
dimensionalmente correcta.
t = kg x L y
g: aceleración de la gravedad
l: longitud
t: tiempo
k: constante adimensional
a) 1 c) -1/2 e) -1/4
b) 1/2 d) 1/4
F
Í
S
I
C
A
4. Calcula el valor de s.h teniendo en cuenta la siguiente
1. Si A representa la aceleración, ¿cuál es la ecuación
b) L -1 T d) LT -1
dimensional de Q?
Q = log(32)A 2
expresión dimensionalmente correcta:
A = 225 V s t h
a) LT –2 c) LT e) L 3 T –4
Dónde:
A: aceleración
b) L 2 T –4 d) L 2
V: volumen
t: tiempo
2. Teniendo en cuenta que Z representa la fuerza, determina
la ecuación dimensional de W.
a) 2/3 c) 1/3 e) –2/3
W= tg( 2π)
Z
b) 2 d) 3
a) MLT –2 c) MT -1 e) 12 /
M L
5. Calcula el valor de (x+y) 2 sabiendo que se cumple
b) ML d)
12 / 12 / −1
M L T
la siguiente ecuación dimensionalmente correcta:
D
P = m x .a y /A
3. Determina la ecuación dimensional de F ,
Dónde:
teniendo en cuenta la siguiente ecuación dimensionalmente
P: presión
correcta:
2D = a.e F.t
Dónde:
A: área
M: masa
a: aceleración
a: aceleración
t: tiempo
a) 1 c) 3 e) 5
e: número de Euler
b) 2 d) 4
a) LT c) LT 2 e) L 3 T –2
203

I BIMESTRE
4
Química
SECUNDARIA
Una educación plasmada
en proyectos

Q
U
Í
M
IC
A
Química orgánica
Átomo de carbono
En este capítulo aprenderemos ...
1
Capitulo
• A comprender las propiedades del carbono.
• A localizar los tipos de hibridación.
M arco Teórico
QUÍMICA ORGÁNICA
estudia
{
COMPUESTOS ORGÁNICOS
ORGANÓGENOS
CARBONO
HIDRÓGENO
OXÍGENO
NITRÓGENO
Bajo punto de
fusión y ebullición.
Se descomponen
fácilmente
Formados por
{
Sus caracteristicas
No se disuelven
en H2O
SECUNDARIOS
Metales: Na, Ca,
Fe, Mg, Zn, K...
No
metales:P,S,F,I.Br
No conducen
electricidad
Se disuelve en
Bencina, acetona
CCl4, etc.
CARBONO
Se presenta Propiedades Tipos
Natural
* Cristalino- grafito
diamante
*Amorfo-antracita
-turba
- hulla
-lignito
Artificial
* Cristalino- fulleneros
*Amorfo-coque
carbón-vegetal
carbón-animal
negro de humo
carbón activado
Covalencia
- enlace covalente
tetravalencia
- 4 enlaces
Autosaturación
- puede unirse a
otros carbones
hibridación
-SP 3
-SP2
-SP
Primario
Secundario
Terciario
Cuaternario
Denominada también química de los compuestos de carbono debido a que en ella se estudia a todos
aquellos compuestos de carbono naturales o artificiales que se encuentran o sintetizan.
Se excluyen de la química orgánica algunos compuestos de carbono que tienen mineral tales como:
Anhidridos: CO; CO 2
Ácidos oxácidos: H 2
CO 3
Sales carbonatadas: (CO 3
) –2
Bicarbonatos: NaHCO 3
Cianuros: CN –
Cianatos: CNO –
Antecedentes
Por mucho tiempo se creyó que sólo los seres vivos producían compuestos orgánicos debido a una “fuerza
vital” y fue así como el químico sueco Jacob Berzelius (1807) propuso la teoría vitalista.
SER VIVO
Compuestos orgánicos
230

I Bimestre
Ejemplos:
Los animales
Las plantas
producen
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ urea
producen
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ glucosa
Luego en 1828 el químico alemán Friedrich Wöhler discípulo de Berzelius, sintetizó por primera vez un
compuesto orgánico (urea) a partir de uno inorgánico veamos:
Q
U
Í
M
IC
A
NH 4
CNO calor NH 2
CONH 2
{
-Cianato de amonio
-Compuesto inorgánico
{
-Urea (carbodiamida)
-Compuesto orgánico
Años más tarde la doctrina de la fuerza vital de Berzelius se desestima abriéndose paso así al desarrollo de
la química orgánica moderna.
CARACTERÍSTICAS DE LOS COMPUESTOS ORGÁNICOS
1.º Tiene dos grupos de elementos:
a) Organógenos: C, H, O, N
b) Secundarios:
- Metales: Na, Ca, Fe, Mg, Zn, K
- No metales: P, S, F, I, Br
2.º Tienen bajo punto de fusión y ebullición.
3.º No se disuelven en agua, pero sí en líquidos
orgánicos (bencina, acetona, tetracloruro de
carbono).
4.º Generalmente tienen alta masa molecular.
5.º No conducen la electricidad.
6.º Se descomponen fácilmente con el calor.
I. Formas de existencia
NATURAL
CRISTALINO
AMORFO
Diamante (duro)
Grafito (frágil)
Antracita
Turba
Hulla
Lignito
ARTIFICIAL
AMORFO
CRISTALINO
Coque
Carbón vegetal
Carbón animal
Negro de humo
Carbón activado
Fullerenos
II. Propiedades químicas
a) Tetravalencia
Capacidad para formar 4 enlaces.
C ; C ; C ;
b) Covalencia
El carbono al unirse a otros elementos forma
enlaces por compartición de pares de electrones,
es decir, “enlaces covalentes”.
C
b.1 Enlace covalente simple
H H H
H C Cl ; H C C
H H H
b.2 Enlace covalente doble
H
H
C O ; C C
H
H
Cl
H
H
231

4To sec
Q
U
Í
M
IC
A
b.3 Enlace covalente triple
H
C N ; H C C C
c) Autosaturación
Los carbonos pueden unirse a otros carbo
nos formando cadenas abiertas o cerradas
de tipo:
c.1 Acíclicas o abiertas
- Saturadas: cuando sólo tienen enlaces simples
entre carbonos.
C C C C C (lineal)
E.C. doble
c.2 Cíclicas o cerradas
- Saturadas - Insaturadas
C
C
C C
C C
C C
C
C
C C C C (lineal)
C
C
C
C
C
(ramificada)
- Insaturadas: contiene enlaces múltiples entre
carbonos.
d) Hibridación
Es el proceso por el cual los orbitales n o r -
males de un átomo se combinan entre sí
para generar nuevos orbitales denominados
híbridos que permiten explicar la geometría
molecular y ángulos de enlace del carbono
respecto a sus átomos enlazados.
Se presentan los siguientes tipos de hibridización del carbono:
1.º Hibridización sp 3
C
C
sp 3
2.º Hibridización: sp 2
C C
sp 2
3.º Hibridización: sp
Forma: tetraédrica
Ángulo: 109,5°
Enlace: simple
Forma: trigonal plana
Ángulo: 120°
Enlace: doble
Ejemplo 1:
C C
Forma: lineal
Ángulo: 180°
sp Enlace: triple
H H H H H
H C C C C C C C C
H
sp 3 H sp 2 sp 2 sp 2 sp 2 sp 2 sp
sp
Ejemplo 2: Identifique para cada carbono su tipo de hibridización:
H
H
H
C H H H H
H
C
C
C
C
C
C C C C H
H
H
H
C
H
H
232

I Bimestre
Tipos de carbono
CARBONO NOTACIÓN
N.°DE CARBONO
CARBONO
NOTACIÓN
AL CUAL VA UNIDO
N.°DE HIDRÓGENO
QUE CONTIENE
Primario CH 3
1C 3H (hidrógenos primarios)
Secundario CH 2
2C 2H (hidrógenos secundarios)
Q
U
Í
M
IC
A
Terciario CH
3C 1H (hidrógeno terciario)
Cuaternario C
4C No posee.
Ejemplo: En el siguiente alcano, indique el número de carbonos primarios, secundarios, terciarios y
cuaternarios respectivamente.
CH 3
CH 3
CH 3
CH CH 2
CH CH 2
C CH 3
CH 2
CH 2
CH 2 CH 2
CH
CH 3
Tipos de fórmulas
FORMULAS
FÓRMULAS
REPRESENTACIÓN
INDICA
Desarrollada
H
H H H
C C C H
H H H
Muestra
todos los
enlaces
Semidesarrollada
CH 2
CH 3
Enlaces
Global
CH 3
CH 3 8
C
C
Topológicas
(zig-zag)
1 carbono en cada extremo
y muestra los enlaces y
grupos funcionales.
E jercicio resuelto
1. La alizarina sirve para la fabricación de colorantes
y tiene las siguiente estructura:
O OH
Resolución:
H O
H
O
OH
H
O
H
O
Indique el número de enlaces sigma(s) y de enlaces
pi(p), en ese orden, presentes en ella.
H
H
O
H
H
Se debe cumplir la tetravalencia del carbono, así
que se completa con hidrógenos.
En cada enlace simple se considera 1s.
En cada enlace doble se considera 1s y 1p.
Entonces hay 28s y 8p.
Rpta.: 28s y 8p
233

4To sec
A hora hazlo tú !!
Q
U
Í
M
IC
A
1
H
Escribe la fórmula global de:
H H H
C C C H
H
H
Solución:
H
1
H
Escribe la fórmula global de:
H H H H H H
C C HC HC C C H
H
H
Solución:
H H H H
2
Es una forma de carbono natural:
Solución:
2
Es una forma de carbono artificial:
Solución:
3
Indica el tipo de fórmula para:
3
Indica el tipo de fórmula para:
Solución:
* CH 3
— CH 2
— CH 3
:
Solución:
* CH 3
—CH 2
—CH 2
—CH 3
* C C :
* C 3
H 8
* C 2
H 6
:
4
¿Qué es tetravalencia?
Solución:
4
¿Qué es hibridación?
Solución:
234

01
S
igamos practicando
Indicar el número de propiedades de los compuestos
orgánicos:
( ) Son solubles en benceno y tetracloruro de carbono.
( ) Presentan enlaces covalentes entre sus átomos
como característica general.
( ) Se descomponen con relativa facilidad por acción
del calor.
( ) Son malos conductores eléctricos.
( ) No presentan el fenómeno de la isomería.
Solución:
I Bimestre
04
Mencione 4 características de los compuestos
orgánicos.
Solución:
Q
U
Í
M
IC
A
02
¿Qué hizo Friedrich Wöhler?
Solución:
05
Determinar el número de enlaces pi(π) que posee
la estructura.
Solución:
OH
CH 3
C CH 3
CH 3
03
¿Qué es covalencia?
Solución:
06
Escribe la fórmula global de:
* CH 3
— CH 2
— CH 2
— CH 3
___________________________________
*
CH 3
CH 2 CH CH 3
CH 3
___________________________________
235

4To sec
Q
U
Í
M
IC
A
07 08
Determine el número de carbonos secundarios en: Determine los carbonos con hibridación sp 2 .
CH 3
CH 3
CH 2
CH CH 2
C C CH 2
CH 3
Solución:
H 2
C = CH – CH = CH – CH 3
Solución:
E jercicios propuestos
Nivel Básico
Nivel Intermedio
1. La propiedad que no corresponde al carbono es:
a) Tetravalencia d) Autosaturación
b) Hibridación e) Carácter metálico
c) Concatenación
2. No es un compuesto orgánico:
a)CCl 4
c)C 2
H 6
e)C 3
H 8
b)CH 4
d)CO 2
3. Determina la cantidad de carbonos primarios y terciarios
presentes en la siguiente estructura:
CH2-CH3
|
CH3-CH-CH2-CH2-CH-CH-CH3
|
|
CH3
CH3
a) 6; 2 c) 5; 4 e) 7; 2
b) 5; 3 d) 6; 3
4. Determina la fórmula global y el número de carbonos
primarios y secundarios, terciarios en:
CH 3
-CH 2
-CH(CH 3
) 2
a) C 5
H 10
;2;1;2 d) C 5
H 12
;3;1;1
b) C 5
H 8
;3;2;1 e) C 5
H 12
;3;1;2
c) C 5
H 10
;3;2;2
5. La cantidad de carbonos primarios, secundarios y
terciarios, en la siguiente estructura, son:
a) 4, 1, 4
b) 3, 2, 3
c) 5, 2, 3
d) 4, 3, 2
e) 2, 3, 3
6. En la siguiente fórmula de líneas, indica la fórmula
global y los carbonos terciarios.
a) C 9
H 15
;3
b) C 10
H 14
;2
c) C 10
H 16
;3
d) C 8
H 18
;3
e) C 12
H 18
;4
7. Indica número de carbonos primarios, secundarios,
terciarios y cuaternarios que presenta la siguiente
molécula:
CH 3
CH 2
CH(CH 3
)C(CH 3
) 2
CH 2
CH 3
a) 4; 2; 4; 1 d) 5; 2; 1; 1
b) 5; 2; 3; 1 e) 3; 4; 3; 1
c) 4; 3; 3; 1
236

I Bimestre
Nivel Avanzado
8. Indica el número de hibridación sp presenta en la
siguiente molécula:
a) 1 c) 3 e) 5
b) 2 d) 4
9. Determina la cantidad de enlaces sigma (σ) y pi (π)
presenta en la siguiente estructura:
CH3
|
H2C=CH-C=C-C
≡ C-CH3
|
CH3
a)18; 6 c) 19; 5 e) 18; 4
b) 20; 4 d) 20; 5
10. El número de enlaces pi (π) en la siguiente molécula
es:
a) 5
b) 8
c) 7
d) 9
e) 6
CH=CH 2
HO-C=O
Q
U
Í
M
IC
A
T
CH 3
CH 2
CH 3 CH 2
area para la Casa
a) 1 c) 2 e) 3
CH 2
CH3
CH3
1. | Determinar | el número de enlaces pi(p) de:
CH CH 3
2C=CH-C=C-CH 2C=CH-C=C-C
CH 3
– C ≡ C-CHC – C ≡3
C-CH CH 3
b) 4 d) 5
| |
a) 1 CH3
CH3
c) 2 e) 3
4. Friedrich Wöhler sintetizó la ____________ a
b) 4 d) 5
partir del cianato de amonio.
2. ¿Cuántos carbonos tienen hibridización sp 2 ?
a) urea
b) cocaína
c) fosfina
d) plata
e) anilina
C C C C C C C
5. Señalar el elemento organógeno:
a) 7 c) 6 e) 3
b) 5 d) 4
a) ozono c) oxígeno e) cloro
b) fósforo d) hierro
3. Señale cuántos carbonos secundarios hay en el
compuesto:
CH
CH 2
CH 2
CH 3
237

Q
U
Í
M
IC
A
Hidrocarburos
saturados
Alcanos
En este capítulo aprenderemos ...
2
Capitulo
• A comprender las propiedades del carbono.
• A localizar los tipos de hibridación.
• A reconocer la estructura de los hidrocarburos saturados.
M arco Teórico
HIDROCARBUROS
pueden ser:
ACÍCLICOS
CÍCLICOS
ALCANOS
Enlace simple
C N
H 2N-2
{
{ CN
ALQUINOS
Enlace Triple
H 2N-2
CICLOALCANOS
CICLOALQUINOS
ALQUENOS
{
Enlace Doble
C N
H 2N
CICLOALQUENOS
HIDROCARBUROS
Los hidrocarburos son compuestos orgánicos binarios que contienen en su estructura interna, átomos de carbono e
hidrógeno.
Representación del heptano
238

I Bimestre
Ejemplo:
• CH 4
• C 2
H 6
• C 3
H 6
• C 4
H 6
• C 6
H 6
Q
U
Í
M
IC
A
Los hidrocarburos se pueden clasificar en:
Hidrocarburos
Alifáticos
Aromáticos
Alcanes
Alquenos
Alquinos
Acídicos
Cíclicos
Ciclo alcanos
Ciclo alqueno
Ciclo alquino
Prefijos IUPAC.
Para nombrar a los compuestos orgánicos se utilizan prefijos de acuerdo al número de átomos de carbono.
N° de carbono Prefijo N° de carbono
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Met
Et
Prop
But
Pent
Hex
Hept
Oct
Non
Dec
11 undec
12 dodec
13 tridec
14 tetradec
15 pentadec
20 eicos
30 triacont
40 tetracont
50 pentacont
90 nonacont
Alcanos
Los alcanos son hidrocarburos alifáticos saturados debido a que presenten solo enlaces simples entre sus átomos de
carbono.
Se conocen también como parafinas, presentan poca afinidad química, hidrocarburos forménicos o hidrocarburos
metánicos.
Hidrocarburos Estructura Nomenclatura IUPAC Fórmula global
ALCANOS
(Parafinas)
(Enlace simple)
Prefijo
N° de carbono ANO C n
H 2n + 2
Ejemplo:
• CH 4
= Metano
• CH 3
= Etano
CH −CH − CH = Pr opano
• 3 2 3
• CH 3−(CH 22 ) − CH3
= Bu tano
• CH 3 −(CH 2) 3 − CH3 = Pentano(C5H 12)
239

4to sec
Q
U
Í
M
IC
A
• CH 3 −(CH 2) 4 − CH3 = Hexano(C6H 14)(20átomos)
• CH 3−(CH 25 ) − CH3
= Heptano (C 7
H 16
) (23 átomos)
Radicales alquilo (–R)
Al eliminar un hidrógeno de un alcano se obtiene un sustituyente alquilo (grupo alquilo)
Hidrocarburo
CH 4
Metano
CH 3
–CH 3
Etano
Radical(R)
–CH 3
Metil(m)
–CH 2
–CH 3
Etil (e)
CH 3
–CH 2
–CH 3
Propano –CH 2
–CH 2
–CH 3
Propil (p)
CH 3
–CH–CH 3
Isopropil
Ejemplo:
a)
CH3−CH −CH3
|
CH3
2 – Metil propano
b) CH3−CH −CH2−CH3
|
CH3
2 – metilbutano
c) CH −CH −CH −CH −CH
|
CH2−
CH3
3 – etil pentano
d)
3 2 2 3
CH 3
–CH 2
–CH 2
–CH 3
Butano
–CH 2
–CH 2
–CH 2
–CH 3
Butil (b)
3 –etil – 2,2 dimetilpentano
b) CH2−
CH3
|
CH3−CH −CH −CH3
|
H3C
− CH2
3-4 dimetil hexano
5 – etil – 2, 3 dimetil heptano
Nomenclatura IUPAC
1. Se elige la cadena más larga, contiene el mayor número
de átomos de carbono enlazados, los que están
fuera son los radicales alquilos.
2. Se empieza a enumerar por los sustituyentes más
cercanos.
3. Se nombra a los sustituyentes en orden alfabético,
considerando la posición del carbono en la cadena
principal.
4. Se nombra la cadena principal.
Ejemplos
Nombrar las siguientes estructuras orgánicas:
a) CH3 CH2H5
| |
CH3−C −CH −CH2−CH3
|
CH
3
c) CH3
CH2−
CH3
| |
CH3−C −CH2−CH −CH2−CH2−CH3
| |
H3C − CH2 H3C −CH −CH3
33 – dietil – 5 – isopropiloctano
d) CH3−C(CH 32 ) −CH2−C(CH 32 ) −C3H7
CH3
CH3
| |
CH3−C −CH2−C −CH2−CH2−CH3
| |
CH3
CH3
2,2,4,4 tetrametil heptano
240

I Bimestre
Otros grupos alquilo
Isobutil CH3
|
CH −CH
|
CH
3
2 −
Sec-butil CH3−CH2−CH
−
|
CH
Ter-butil CH3
|
CH3
−C −
|
CH
3
Q
U
Í
M
IC
A
Isopentil CH3
3
|
CH −CH2−CH2
|
CH3
Neopentil CH3
|
CH3−C −CH2−
|
CH
Ter-pentil CH3
|
CH3−CH2−C −
|
CH
3
3
e)
5-sec-butil-8-etil-5-isopropil-2,7-climetildecano
f)
6-ter-butil-3-isopropil-2,6,7trimetilnonano
g)
3-etil-2,7 dimetil-6 propilnonano
241

4to sec
Q
U
Í
M
IC
A
Propiedades físicas
En condiciones normales son:
• Gases : C 1
– C 4
• Líquido : C 5
– C 15
• Sólido : C 16
– más
1) Sus puntos de fusión y ebullición aumentan con el número de átomos de carbono.
2) Son insolubles en agua, pero sí en los derivados orgánicos como éter, cloroformo, acetona.
3) Son menos densos que el agua (0,42 < D R
< 0,95) su densidad también varía con las ramificaciones.
4) Metano y etano carecen de olor, del propano al pentadecano tiene olor empireumático (olor a brasas o quemado),
el resto carece de olor por su poca volatibilidad.
• Presentan isómeros de cadena y de posición.
Extracción de Petroleo
Propiedades químicas
• Son poco reactivos; por ello se le denominan Parafinas (parum affsinis: «poca afinidad»)
• Se obtienen por fuentes Naturales y también por métodos sintéticos:
Por fuentes naturales a partir del craking del petróleo y del gas natural.
Por métodos sintéticos a partir de la síntesis de Kolbe y síntesis de Gringnard.
242

I Bimestre
• Dan reacción por sustitución, halogenación que se producen en presencia de la luz Solar, calor o peróxidos, además,
de combustión, completa e incompleta y de oxidación, no adición.
Reacción de combustión completa
C3H8+ O2→ CO2+ H2O + ENERGIA
En la reacción completa de hidrocarburos se forman como productos el dióxido de carbono y el agua, y se libera
una gran cantidad de calor.
Q
U
Í
M
IC
A
Reacción de Halogenación (Cl 2
; Br 2
)
CH3CH3+ Cl2LuzCH 3CH2Cl + HCl
La halogenación es una forma de reacción llamada sustitución muy propia de los alcanos, donde el halógeno
sustituye a un átomo de hidrógeno.
E jercicios resueltos
1. De las siguientes fórmulas:
I. C 8
H 15
II. C 7
H 15
III.C 4
H 6
IV. C 9
H 17
V. C 5
H 12
La respuesta al alcano, es:
a) IV b) III c) V
d) II e) I
Resolución:
Los alcanos, también llamados PARAFINAS se caracterizan
por presentar la siguiente fórmula global.
C n
H 2n+2
I. C 8
H 15
(F) → C 8
H 18
II. C 7
H 15
(F) → C 7
H 16
III.C 4
H 6
(F) → C 4
H 10
IV. C 9
H 17
(F) → C 9
H 20
V. C 5
H 12
(V)
2. Indica el nombre del siguiente compuesto:
CH3−CH2−CH −CH −CH −CH2−CH − CH3
| | | |
CH3 CH3 CH 2 5 CH3
a) 5-etil-3, 4, 6 trimetiloctano
b) 4-etil-2,5,6trimetiloctano
c) 2,5 dietil-4-6 dimetiloctano
d) 3,5 dietil-4,7 dimetiloctano
e) 3-etil-4,5,7dimetiloctano
Resolución:
4-etil-2,5,6trimetiloctano
3. Nombra la siguiente cadena carbonada.
CH3 CH3
| |
CH3−C −CH2−CH2−C −CH3
| |
CH3
CH 2 5
a) 2, 3, 4, 4 tetrametil heptano
b) 2,2,5,5 tetrametil hexano
c) 3,3,6,6 tetrametilhepatno
d) 2-etil-2,5,5 trimetil hexano
e) 2,2,5,5 tetrametilhepatno
Resolución:
2,2,5,5 tetrametil heptano
243

Q
U
Í
M
IC
A
1
4to sec
A hora hazlo tú !!
No es hidrocarburo alcano.
No es hidrocarburo alcano.
a) C 2
H 6
b)C 3
H 8
c)C 5
H 12
a) C 6
H 14
b)C H 4
c)C 7
H 16
d) C 4
H 9
e)C 6
H 14
d) C 9
H 20
e)C 8
H 19
1
2
¿Cuál es el nombre correcto del siguiente compuesto?
CH3
CH3
| |
CH3−C −CH2−C −CH2−CH3
| |
CH3
CH3
Solución:
2
¿Cuál es el nombre correcto del siguiente compuesto?
CH3
CH
3 CH3
|
| |
CH3−C − CH23 − C − CH 2 −CH
C −3CH 2−CH3
|
| |
CH3
CH
3 CH3
Solución:
3
El compuesto cuya fórmula es:
H3C
− CH2
|
CH3−CH2−C −CH2−CH2
| |
CH3H3C
− CH
|
CH3
Solución:
3
El compuesto cuya fórmula es:
H3CH
C − CH
3 2
| |
CH CH−CH 3−CH 2 −CH C −−CH 2−
CH
2
−CH −(CH ) −CH
| | | |
CH 2 5CH
CH
3H3C
− CH 2 5
|
CH3
Solución:
3 2 2 2 2 2 2 3
4
Indica el nombre IUPAC a la siguiente molécula.
CH3
|
CH3−CH2−C −CH2−CH2−CH2−CH −(CH 2) 2−CH3
| |
CH 2 5 CH 2 5
Solución:
4
Indica el nombre IUPAC a la siguiente molécula.
CH3H 3C
− CH2
| |
CH3−CHCH 2−C CH2− 2 −(CH 2) 2−CH
3−CH 3
| 2−C −CH2−CH
5
2
| |
CH 2 5 CH
2 5
3H3C
− CH
Solución:
|
CH3
244

01
S
igamos practicando
Señala el nombre de las siguientes estructuras:
a) CH 3
CH 2
CH 3
b) CH 3
–CH 2
–CH 2
–CH 3
c) CH 3
–(CH 2
) 3
–CH 3
d) CH 3
–(CH 2
) 4
–CH 3
e) CH 3
–(CH 2
) 5
–CH 3
Solución:
I Bimestre
04
Determina la fórmula global de los siguientes hidrocarburos:
a) 3,3 dimetilpentano
b) 3-etil-4-metil hexano
Solución:
Q
U
Í
M
IC
A
02
Indica el nombre del siguiente compuesto:
05
Nombra la siguiente estructura:
Solución:
CH3
|
CH3−C −CH2−CH −CH3
| |
CH3
CH2−
CH3
Solución:
03
Nombra la siguiente cadena carbonada:
06
Nombra la siguiente estructura:
CH3
|
CH3−C −CH −CH2−CH3
| |
CH3CH
2 5
Solución:
CH3
|
CH2 CH3
CH3
|
| |
CH2−CH2−C − CH −CH2
| |
CH2
CH3
|
CH 3
Solución:
245

Q
U
Í
M
IC
A
4to sec
07 08
Determina la atomicidad del 4,4 dietil -2- metil heptano.
Solución:
Determine la masa molecular del 2,3 dimetil -4-
propil Heptano.
Solución:
E jercicios propuestos
Nivel Básico
1. Indica el nombre del siguiente compuesto:
CH CH
3CH33
CH3CH3
| | |
CH 2-CH-CH2-CH
3-CH2-CH-C 3 -CH22 -CH-C 3
2-CH3
3
|
| |
CH
CH
3 CH3
3
a) 2,2 dimetilheptano
b) 5-etil-2,2 dimetilhexano
c) 2-etil-5,5 dimetilhexano
d) 2,2,5 trimetilheptano
e) 3,6,6 trimetilheptano
2. Indica el nombre de la siguiente estructura orgánica:
CH CH 2 3 CH 3 CH 33CH
3CH3
3 3
| | | |
CH CH CH 3 32 2 2-CH-C -CH 2 2-CH
23-CH
3-CH2-CH-C 2-CH3
3 3
| | | |
CH CH CH 3 CH
3 3 3
a) 3,4,4 trimetiulhexano
b) 3-etil-4-metilhexano
c) 2-etil-3,3 dimetilpentano
d) 2-etil-2,3 dimetilpentano
e) 4etil-3-metilhexano
3. Nombra el siguiente compuesto orgánico.
CH 3
–CH 2
–C(CH 3
) 2
–C(CH 3
) 2
–CH(CH 3
) 2
a) 2-metilnonano
b) 3,3 dimetiloctano
c) 2-etil-2,3,3 trimetilhexano
d) 2,3,3,4,4 pentametil hexano
e) 2-etil-2,3 trimetil-3-isopropilbutano
4. Nombra el siguiente compuesto:
CH3 CH3
| |
CH3−C−C
H2−CH −CH −CH3
| |
CH3 CH3
a) 2,2,4,5 tetrametilhexano
b) 4-isopropil-2,2 dimetilpentano
c) 2,3,4,5 tetrametilhexano
d) 1-sisopropil-4,4-dimetilpentano
e) N.A.
Nivel Intermedio
5. Indica el nombre del siguiente compuesto:
CH 3
CH 2
CH 3
CH 3
–CH–CH 2
–C–CH 2
–CH–CH 2
–CH–CH 3
CHCH 3
CH
CH 3
CH 3
CH 2
CH 3
246

I Bimestre
a) 5etil -5 isobutil-2,9dimetilundecano
b) 2-metil-4-4,8-trietil-8 etil-nonano
c) 2-metil-4,4-dietil-8-etil-nonano
d) 2,6,6-trietil-4-isopril-8 metil-decano
e) 4,4-dietil-6-isopropil-2,8-dietildecano
6. Después de formar la cadena de:
2, 2, 4 – trimetil – pentano
Da como respuesta su fórmula general.
a) C 6
H 14
c) C 8
H 18
e) C 8
H 14
b) C 8
H 16
d) C3H 6
7. Indica la atomicidad de:
2, 4, 5, 6 – tetrametil – 3, 6 –dietil –octano
a) 56 c) 50 e) 54
b) 52 d) 58
Nivel Avanzado
8. Determina la fórmula global del siguiente compuesto
orgánico:
2,2,3,3 tetrametilbutano
a) C 8
H 18
c) C 6
H 14
e) C 9
H 16
b) C 7
H 14
d) C 8
H 14
9. Determina la atomicidad del siguiente compuesto:
2,2,3 trimetilheptano
a) 30 c) 34 e) 36
b) 28 d) 32
10. Determina la atomicidad de los siguientes compuestos:
3-metilheptano; 2,4 dimetiloctano
a) 24; 30 c) 30: 34 e) 26; 30
b) 26; 32 d) 28: 34
Q
U
Í
M
IC
A
T
area para la Casa
1. Es un hidrocarburo parafínico con atomicidad 20
a) Butano c) Pentano e) Octano
b) Decano d) Hexano
2. Nombra el siguiente hidrocarburo:
CH3−CH2−CH2−CCH ( 3) 2−C( CH3) 2−CH( CH3)
2
a) 2,3,3,4,4 pentametil heptano
b) 4,4,5,5,6 pentametil heptano
c) 5-isopropil-4,4,5,5 butametil pentano
d) 2,3,3 trietil decano
e) 3,3 dietil-4,4 dimetil hexano
3. Nombra al siguiente hidrocarburo:
CH3
Cl
| |
CH3 −CH2−C−CH2−C−CH2−CH3
| |
CH3 CH2−CH3
a) 5-cloro-5-etil-3,3 dimetil heptano
b) 3-cloro-3-etil-5,5 dimetil heptano
c) 1,1 dietil-1-cloro hexano
d) 3,3 dimetil-5-cloro octano
e) 1-cloro-1,1 dietil-3,3 dimetil pentano
4. Nombra al siguiente compuesto:
CH3
|
CH3−C−CH2−CH2−CH−CH2−CH3
| |
CH3 CH3
a) 2,2,5 trimetil heptano
b) 3,6,6 trimetil heptano
c) 2,2 dimetil-5-etil hexano
d) 2-etil-5,5 dimetil hexano
e) N.A.
5. Determina la fórmula global de los siguientes compuestos:
• 2,4 dimetil hexano
• 3-etil-4-metil nonano
a) CH 8 16; C12H20
d) CH 7 14;
C12H24
b) C8H18; C12H26
e) CH 8 20;
C11H24
c) CH 7 16;
C10H22
247

I BIMESTRE
4
Biología
SECUNDARIA
Una educación plasmada
en proyectos

B
I
O
L
O
G
Í
A
Ser vivo
En este capítulo aprenderemos ...
• A identificar un ser vivo de un objeto no vivo.
• A conocer sus funciones y su relación con la naturaleza.
1
Capitulo
M arco Teórico
DEFINICIÓN
Un ser vivo es, en última instancia, una porción de
materia, pero de tipo animado o viva, lo cual implica que
tiene una organización compleja. Además, un ser vivo
posee características propias o particulares.
Características
ZZ
Organización compleja: De lo simple a lo complejo.
Z Z Reproducción: Proceso biológico que permite la conservacion
de la especie.
ZZ
Crecimiento: Es el aumento de biomasa.
Z Z Relación: Capacidad de responder a los estimulos
del medio.
Z Z Metabolismo: Reaciones quimicas para la obtencion
de materia y energía.
Z Z Homeostasis: Es el equilibrio interno del cuerpo.
Z Z Evolución: Son cambios graduales a travez del tiempo.
ZZ
Movimiento: Característica que permite el desplazamiento
.
1. Reproducción
Es un proceso autodirigido hacia la formación de
nuevos descendientes idénticos o semejantes a sus
progenitores, garantizándose la supervivencia y la
perpetuación de las especies.
a. Reproducción asexual
• Participa un solo progenitor
• No participan gametos
• No hay variabilidad genética
• Ocurre en organismo unicelulares y en
algunos animales como esponjas, planarias,
malaguas entre otros
b. Reproducción sexual
• Participan dos progenitores
• Sí participan gametos
• Sí hay variabilidad genética
• Ocurre en organismos multicelulares
• El tiempo de vida de los descendientes es
largo
2. Metabolismo
Conjunto de reacciones químicas que ocurren en los
seres con la finalidad de intercambiar materia y energía
con el ambiente, hay dos tipos de metabolismo:
a. Anabolismo
Es un proceso por el cual se forman (sintetizan)
moléculas complejas a partir de moléculas simples.
Es una reacción de tipo endergónica porque
convierte la energía luminosa en energía
química.
b. Catabolismo
Es un proceso por el cual se rompen (degradan
u oxidan) moléculas complejas a moléculas
simples. Es una reacción de tipo exergónica
porque libera energía.
3. Relación
Es la capacidad de emitir una respuesta ante un estímulo,
pues los seres vivos se relacionan constantemente
con su ambiente. Las respuestas del ser vivo
frente al estímulo pueden ser de adaptación o de
irritabilidad.
282

I Bimestre
a. Adaptación
Es la respuesta a un estímulo constante. Se da
cuando el estímulo que proviene del ambiente es
constante, permanente, en donde el ser vivo modifica
y determina su forma de vida para adaptarse.
Ejemplo: Las vicuñas adaptadas a la altura
del altiplano.
Ejemplo de tigmonastía en planta “mimosa o resentida”
Ejemplo de reacción al roce la planta “venus
atrapa moscas”
B
I
O
L
O
G
Í
A
La respuesta puede ser al clima, temperatura,
alimento o una necesidad de protección.
b. Irritabilidad
Es la respuesta a un estímulo temporal. Se da
cuando el estímulo proviene del ambiente o un
organismo y es temporal y transitorio, en donde
el ser vivo produce respuestas específicas. Ejemplo:
Cuando los animales huyen del fuego por el olor
a humo.
La respuesta puede ser al color, dolor, un llamado,
una caricia o un cortejo.
4. Movimiento
Todos los seres vivos pueden moverse 8algunos desplazarse),
incluyendo a los vegetales, los cuales son
escasos y muy lentos.
• Desplazamiento: A través de extremidades, cilios
y flagelos.
• Tropismo: Es propio de vegetales, ante un estímulo.
Ejemplo: fototropismo, hidrotropismo,
etc.
• Taxia: propio de protozoarios ante un estímulo.
Ejemplo: fototaxia, quimiotaxia.
• Nastia: Movimiento en plantas ante un estímulo
temporal. Ejemplo: tigmonastia.
5. Organización compleja de los seres vivos
• Átomo
Es la mínima unidad de la materia, está conformado
por partículas subatómicas como: protones,
neutrones, electrones, hiperones, leptones,
quarks, etc.
e e
e
6P+
6N
e
Carbono
• Molécula
Constituye una combinación de átomos enlazados.
La unión de las moléculas generan macromoléculas,
como: una proteína, un triglicérido o
el almidón de las plantas.
e
e
Molécula de agua
Molécula
Hemoglobina
• Organela
Es una estructura dentro o componente, de la
célula la cual realiza una función específica.
283

4to sec
B
I
O
L
O
G
Í
A
Mitocondria + batería (pila)
Se encarga de la respiración celular
• Agregado supramolecular
Es la asociación de macromoléculas orgánicas
que tiene un fin común. Ejemplo: un virus, una
membrana celular, etc.
• Órgano
Es una estructura dentro de un organismo, generalmente
compuesta de diversos tipos de tejidos
que forman una cantidad funcional.
• Sistema
Dos o más órganos que trabajan juntos en la ejecución
de una función corporal específica.
• Organismo multicelular
Es un ser vivo individual compuesto de muchas
células. Un individuo es el representante de una
especie.
• Célula
Unidad biológica, anatómica, fisiología y genética
de todos los seres vivos.
Neurona
• Tejidos
Grupo de células parecidas que realizan una función
específica similar.
Ejemplo de individuo: organismo capaza de
cumplir un nicho ecológico
• Población
Conjunto de individuos de la misma especie que
al cruzarse entre sí generan prole (descendencia)
fértil
Tejido nervioso
varias neuronas
Cardumen
• Comunidad
Dos o más poblaciones de diferentes especies
que viven e interactúan en la misma tarea.
284

I Bimestre
Leyendas: Ccomunidades de animales
• Ecosistema
Unidad de estudio de la ecología. Agrupa a una
comunidad junto con los elementos no vivos que
lo rodean.
BIOTIPO + BIOCENOSIS
• Bioma
Es una determinada parte del planeta que comparte
el clima, flora y fauna. Un bioma es el conjunto
de ecosistemas característicos de una zona
biogeográfica.
Ejemplo: bioma tropical
• Biósfera
Parte de la Tierra habitada por seres vivos, incluye
componentes vivos y no vivos.
6. Crecimiento
Todos los seres vivos pluricelulares crecen (aumenta
su número de células), esto les genera un aumento
de su biomasa; es decir, su masa corporal. Este
proceso se da por mitosis que es un tipo de división
celular que ocurre en células somáticas.
En unicelulares el crecimiento por aumento de volumen,
por el cual se da por síntesis o anabolismo.
7. Evolución
Son cambios por adaptación. La palabra evolución,
para describir tales cambios, fue aplicada por primera
vez en el siglo XVIII por el biólogo suizo Charles
Bonnet en su obra Consideration sur les corps. La
evolución son los cambios (conjunto de transformaciones)
graduales que se dan a través del tiempo.
B
I
O
L
O
G
Í
A
Leyenda: Mantis religiosa
A hora hazlo tú !!
1. Menciona los tipos de metabolismo:
_______________________________________________________________________________________
2. Respuesta es a un estímulo temporal:
_______________________________________________________________________________________
3. Movimiento de las plantas cuando son rozadas o estimuladas por la luz: _____________________________
4. Unidad biológica, anátomica,fisiología y genética de todos los seres vivos: ___________________________
285

4to sec
B
I
O
L
O
G
Í
A
S
igamos practicando
Lectura 1:
El único animal visible desde el espacio es el coral. Aunque antes se les consideraba plantas, los corales son unos
pequeños animales que se alimentan de plancton y producen unos residuos calizos. Las agrupaciones de corales
suelen ser grandes y forman arreciles, entre los que destacan la gran barrera coralina, que se extiende por gran parte
de la costa oeste de Australia, asi como las importantes formaciones coralinas del caribe, brasil y de la polinesia.
Algunos corales viven en simbiosis con algunas algas y tienen que vivir cerca de la superficie para que las algas
reciban luz suficiente y puedan efectuar fotosíntesis. Tambien existen corales solitarias que no forman arreciles,
como los que viven en el mediterraneo junto con su pariente proximo, la a a anémona de mar, los corales fueron los
primeros animales que vivieron en el mar, hace unos 800 millones de años. Si en el terciario había unas 4000 especies
de coral, en la actualidad se calcula que hay unas 800 especies.
1. Escribe 2 países que destaquen por tener corales.
_______________________________________________________________________________________
2. Cuántas especies de corales hay en la actualidad.
_______________________________________________________________________________________
Crucigrama:
HORIZONTALES:
1. Moléculas de los seres vivos
4. Tipo de nutrición en la que un ser vivo necesita tomar
materia de otros seres vivos, porque es incapaz
de fabricar materia orgánica por sí mismo. Este es el
tipo de nutrición que tienen todos los animales.
5. Tipo de célula primitiva, sencilla, sin verdad o núcleo.
Las bacterias son los únicos seres con este tipo
de célula.
6. Una de las tres funciones que realizamos los seres
vivos, gracias a la cual podemos engendrar nuevos
seres semejantes a nosotros.
7. Elementos químicos de los seres vivos.
8. Animales que se alimentan de materia vegetal
9. Animales capaces de regular su temperatura a corporal.También
se les llama “de sangre caliente”
10. Tipo de moléculas más sencillas, que pueden encontrarse
dentro o fuera de un ser vivo. No ha sido
fabricado por ningún ser vivo. Ejemplo: agua
13. Seres que se alimentan de materia orgánica en descomposición.
Son ejemplo de ello las sales, (tipo de
hongo)
14. Es lo más pequeño que tiene vida propia. Es la unidad
que forma los seres vivos. Un ser humano tiene
unos 50 000 millones de ellas.
15. Seres que, al reproducirse, no ponen huevos, sino
que la cría nace viva del vientre de la madre.
16. Seres de nutrición heterótrofa que se alimentan de
materia animal y vegetal.
19. Tipo de moléculas que solo un ser vivo ha podido
fabricar. Por ejemplo: azúcares, proteínas, grasas.
20. Tipo de nutrición de los seres fotosintéticos, es decir,
de las plantas. Los seres con este tipo de nutrición
son capaces de fabricar su propia materia orgánica
a partir de moléculas inorgánicas y de la energía del
sol.
21. Una de las tres funciones que realizan los seres vivos
gracias a la cual podemos reaccionar ante lo que
ocurre a nuestro alrededor.
23. Es el bioelemento más abundante de un ser vivo. Su
símbolo es H.
24. Tipo de reproducción en la que no se necesitan dos
progenitores, basta con uno.
VERTICALES
2. Cambios muy profundos que sufre una larva hasta
convertirse en adulto
3. Proceso mediante el cual las plantas toman dióxido
de carbono del aire, agua y sales minerales del suelo,
y forman su propio alimento
11. Animales que se alimentan de otros animales.
12. Tipo de célula compleja, con verdadero núcleo y varios
tipos de orgánulos.
17. Una de las tres funciones que realizamos los seres vivos,
gracias a la cual podemos intercambiar materia
y energía con el medio que nos rodea.
18. Animales que ponen huevos en su ciclo reproductivo.
22. Es la biomolécula más abundante en un ser vivo. Es
inorgánica, y está formada por hidrógeno y oxígeno.
286

I Bimestre
1
4
7
9
11
6
8
5
3
B
I
O
L
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A
2
12
10
13
14
15
17
18
16
19
20
22
21
23
24
P
reguntas propuestas
1. Tendencia que tienen los organismos de mantener su
ambiente interno relativamente constante.
a) Homeostasis
b) Retroalimentación
c) Adaptación
d) Ciclosis
e) Diapédesis
2. Nivel de organización de un ribosoma.
a) Nivel molecular
b) Nivel celular
c) Nivel de organismo
d) Nivel supramolecular
e) a y b son correctas
3. ¿En qué se asemeja la materia inanimada a la materia
animada?
a) Pueden desplazarse
b) Están formadas por átomos
c) Poseen interacción
d) Su estructura es muy compleja
e) Necesitan aporte de energía
4. Nivel de organización que presenta una semilla.
a) Celular
b) Organismo
c) Molecular
d) a y c
e) supramolecular
287

4to sec
B
I
O
L
O
G
Í
A
5. Nivel de organización en el que se encuentra un ser
vivo unicelular y de estructura simple que puede vivir
en colonias.
a) Supramolecular
b) Población
c) Organismo
d) Molecular
e) Celular
6. Con respecto a los niveles de organización, entre células
y órganos se encuentran _________.
a) Sistemas
b) Organelas
c) Moléculas
d) Tejidos
e) Especies
7. Marca la secuencia correcta.
a) Población – biotipo – especie
b) Especie – población – comunidad
c) Comunidad – ecosistema – célula
d) Ecosistema – población – biósfera
e) Tejidos – órganos – moléculas
8. El cerebro (C) y el paramecium (P) se ubican en los
niveles ________ y ________, respectivamente.
a) Tisular – Macromolecular
T
area para la Casa
1. El acercamiento de un protozoario a la luz es un
ejemplo de ________.
a) Tropismo
b) Nastia
c) Fotosíntesis
d) Taxia
e) Movimiento
2. Es un ejemplo de anabolismo:
a) Degradación proteica
b) Duplicación del ADN
c) Descomposición del ARN
d) Desnaturalización de proteínas
e) Oxidación de glúcidos
3. Proceso biológico que garantiza la supervivencia de
las especies.
a) Duplicación del ADN
b) Desarrollo
b) Sistémico – Celular
c) Celular – Supramolecular
d) Tisular – Tisular
e) Orgánico – Organismo
9. Coloca V o F según corresponda y marca la secuencia
correcta:
( ) El primer nivel biológico es el celular.
( ) Las macromoléculas son más complejas que las
supramoléculas.
( ) Los ribosomas son supramoléculas.
( ) Los dientes se ubican en el nivel tisular.
a) VFFF c) VFVF e) FVFV
b) VVVV d) FVVV
10. Marca la alternativa correcta.
“A”
“B”
Proteínas Membranas
Glúcidos
Ribosomas
Lípidos
Ribovirus
respecto a los niveles de organización al que pertenecen
A y B.
a) A = nivel químico; B = nivel celular
b) B = nivel tisular; A = nivel químico
c) A y B = nivel químico
d) A y B = nivel celular
e) A = nivel supramolecular; B = nivel celular
c) Adaptación
d) Crecimiento
e) Reproducción
4. Sobre la reproducción asexual, marca lo correcto:
a) Intervienen dos progenitores
b) La velocidad de reproducción es mayor
c) Es una característica de organismos multicelulares
d) Intervienen células sexuales
e) Hay variabilidad
5. El crecimiento de un organismo es considerado
como una función específica de ________.
a) Adaptación
b) Reproducción
c) Catabolismo
d) Anabolismo
e) Irritabilidad
288

Principios de
bioquímica
En este capítulo aprenderemos ...
2
Capitulo
• A identificar las estructuras y funciones biológicas en términos químicos.
B
I
O
L
O
G
Í
A
M arco Teórico
DEFINICIÓN
La materia está formada, fundamentalmente, por elementos químicos (27 de ellos se encuentran en los organismo
vivientes) llamados bioelementos; los cuales de acuerdo a su abundancia, se clasifican en:
A. Bioelementos primarios u organógenos:
Constituyen aproximadamente el 96% de materia orgánica.
Son:
Carbono …………………C S Complementarios
Nitrógeno………………..N Básicos P (3%)
Hidrógeno ……..………..H (96%)
Oxígeno………………….O
B. Bioelementos secundarios u oligoelementos:
Constituyen aproximadamente entre el 0.1% y el 4% de la materia orgánica, son esenciales para la vida, pues cada
uno de ellos cumple funciones muy importantes. En este grupo encontramos a los macroconstituyentes(0,9%)
y a los microconstituyentes, algunos de ellos se denominan elementos traza pues se encuentran en cantidades
menores a 0.1%.
Bioelementos
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MACRO CONSTITUYENTES (0,9%)
Molibdeno ……………… Cu
Magnesio ……………… Mg
Cobalto ……………… Mo
Calcio ……………… Ca
Selenio ……………… Co
Potasio ……………… K
Cromo ……………… Cr
Silicio ……………… Si
Cloro ……………… Cl
Estaño ……………… Sn
Sodio ……………… Na
Vanadio ……………… Vn
MICRO CONSTITUYENTES (0,1%)
Flúor ……………… F
Yodo ……………… I
Boro ……………… B
Hierro ……………… Fe
Manganeso ……………… Mn
Zinc ……………… Zn
Bioelementos Funciones
Azufre (S) Se encuentra en dos aminoácidos (cisterna y metionina), presentes en todas las
proteínas; también en algunas sustancias como la coenzima A.
Fósforo (P) Forma parte de los nucleótidos, compuestos que forman los ácidos nucleicos.
Forman parte de coenzimas y otras moléculas como fosfolípidos, sustancias
fundamentales de las membranas celulares.
También forma parte de los fosfatos, sales minerales abundantes en los seres vivos.
Magnesio (Mg) Forma parte de la molécula de clorofila.
En forma iónica actúa como catalizador, junto con las enzimas, en muchas reacciones
químicas del organismo.
Calcio (Ca) Forma parte de los carbonatos de calcio de estructuras esqueléticas (huevos y dientes)
En forma iónica en la contracción muscular, coagulante sanguínea y transmisión del
impulso nervioso.
Sodio (Na) Catión abundante en el medio extracelular
Necesario para la conducción nerviosa y la contracción muscular.
Interviene en la regulación hídrica
Potasio (K) Catión más abundante en el interior de las células
Necesario para la conducción nerviosa y la contracción muscular
Interviene en la regulación de la presión osmótica
Cloro (Cl) Anión más frecuente en el medio extracelular
Necesario para mantener el balance en la sangre y fluido intersticial
Componente primordial del ácido estomacal
Hierro (Fe) Fundamental para la síntesis de clorofila
Catalizador en reacciones químicas y formando parte de citocromos que intervienen en
la respiración celular, y en la hemoglobina que interviene de oxígeno.
Manganeso (Mn) Interviene en la fotólisis del agua, durante el proceso de fotosíntesis de las plantas
Yodo (I)
Flúor (F)
Cobalto (Co)
Necesario para la síntesis de la tiroxina (hormona que interviene en el metabolismo)
Su carencia produce bocio
Forma parte del esmalte dentario y de los huesos.
Forma parte de la vitamina B 12
(cianocobalamina), necesaria para la síntesis de
hemoglobina
Su carencia produce anemia permiciosa
290

I Bimestre
Silicio (Si)
Cromo (Cr)
Zinc (Zn)
Litio (Li)
Molibdeno (Mo)
Proporciona resistencia al tejido conjuntivo
Induce tejidos vegetales, como en las gramíneas
Principal componente de las plumas de las aves.
Interviene, junto a la insulina, en la regulación de glucosa en la sangre.
Actúa como catalizador en muchas reacciones del organismo (cofactor)
Acelera la mitosis celular
Actúa sobre neurotransmisores y la permeabilidad celular
En dosis adecuadas puede prevenir estados depresivos.
Forma parte de la enzimas vegetales que actúan en la reducción de los nitratos por
parte de las plantas.
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Elementos
Porcentajes de elementos comunes
Ser humano Corteza terrestre Universo
Oxígeno 64,00 47,00 0.60
Carbono 18,50 0.03 0.02
Hidrógeno 9,50 0.14 91.00
Nitrógeno 3.30 Traza 0.04
Fósforo 1,00 0.07 Traza
Hierro Traza 5.00 Traza
Helio Traza Traza 9.06
A hora hazlo tú !!
1. Los bioelementos primarios son el ___________ y los secundarios __________________________.
2. Se les denominan elementos plásticos biogenésicos u organógenos a los ___________ debido a que _________
________________________________________________.
3. Es el bioelemento más abundante en el ser humano _______________.
4. Coloca dos ejemplos de electrolitos __________________.
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S
igamos practicando
Lectura 1
Los electrolitos son sustancias disueltas en agua que constan de varios elementos químicos: sodio, calcio, potasio,
cloro, magnesio y bicarbonato.
Cuando se practica un deporte se tiende a transpirar. El sudor es una forma de perder agua corporal para equilibrar
la temperatura corporal. La cantidad de agua que se llega a perder puede causar deshidratación.
Por tanto, la reposición de líquidos debe ser una necesidad primordial. Actualmente se aconseja beber líquidos con
elevado contenido salino, para aumentar el rendimiento, lo que parece ser una mala idea, ya que al sudar se pierde
agua y diferentes electrolitos. Por lo tanto, la respiración hídrica debe consistir en reponer agua, sal y el resto de
electrolitos.
¿Qué son los electrolitos, como se forman y que función desempeñan en el cuerpo humano? ¿Qué es el sudor y
cuál es su función?
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Escribe las funciones específicas de cada uno de los bioelementos secundarios.
a) Na (sodio) ______________________________________________________________________________
b) K (potasio) _____________________________________________________________________________
c) Cl(cloro) _______________________________________________________________________________
d) Mg (magnesio) __________________________________________________________________________
e) Fe (fierro) ______________________________________________________________________________
f) I (yodo) ________________________________________________________________________________
g) F(Flúor) _______________________________________________________________________________
h) Si (silicio) ______________________________________________________________________________
i) Co (cobalto) ____________________________________________________________________________
P
reguntas propuestas
1. Principal anión inorgánico, ayuda a mantener la isotonocidad
de los líquidos corporales. Es componente
del HCl y segregado por las glándulas gástricas en
los vertebrados.
a) K c) Na e) Cl
b) Mg d) H
2. ¿Qué bioelemento presenta la hormona tiroxina
producida por la tiroides?
a) Si c) Zn e) Co
b) Cu d) l
3. La deficiencia de _______ produce anemia en humanos
y primates y la deficiencia de _______ ocasiona
cretinismo y bocio.
a) sodio - potasio
b) cloro - cobalto
c) silicio – boro
d) selenio – flúor
e) hierro – yodo
4. No es bioelemento organógeno:
a) Carbono d) Nitrógeno
b) Sodio e) Hidrógeno
c) Oxígemo
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I Bimestre
5. ¿Cuál es el bioelemento predominante en el ser humano?
a) Oxígeno d) Nitrógeno
b) Potasio e) Hidrógeno
c) Azufre
6. No forma parte de la estructura de huesos ni dientes.
a) Calcio d) Magnesio
b) Cobre e) Flúor
c) Fósforo
7. El oligoelemento hierro actúa como:
a) Integrantes de la hormona tiroidea
b) Forma la estructura de la vitamina B 12
c) Constituyente de la hemoglobina
d) Forma parte de la clorofila
e) Constituye de la hemocianina
8. Los compuestos químicos disociados están en forma
de cationes y aniones, identifica el anión.
a) Potasio d) Cloro
b) Sodio e) Calcio
c) Magnesio
9. Es el núcleo de la clorofila.
a) Mg b) I c) K
d) Na e) S
10. Es el núcleo de la hemoglobina.
a) Fe b) I c) Mg
d) Cu e) C
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T
area para la Casa
1. Principio inmediato inorgánico que se encuentra
en mayor proporción:
a) Oxígeno
b) H 2
O
c) DNA
d) CO 2
e) RNA
2. Elemento presente en la hemolinfa de los insectos.
a) Cobre
b) Magnesio
c) Carbono
d) Zinc
e) Nitrógeno
3. Es un bioelemento presente en el esmalte de los
dientes de los humanos:
a) Calcio
b) Hierro
c) Selenio
d) Nitrógeno
4. Es el núcleo de la clorofila y actúa como catalizador:
a) Cobre
b) Magnesio
c) Carbono
d) Zinc
e) Nitrógeno
5. Son bioelementos que intervienen en el impulso
nervioso:
a) Na
b) Mg
c) A y B
d) A y C
e) N. A.
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