CAP9_EJEMPLO_INTRODUCTORIO

Carrera de Ingeniería Civil
Área: Estructuras
DISEÑO EN CONCRETO
ARMADO I
Mag. Carlos Mesta
carlos.mestac@usil.pe

LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
identifica conceptos básicos, previos al
diseño por flexión de una sección de
concreto armado, y grafica el diagrama
momento-curvatura.

Capítulo 9.- EJEMPLO INTRODUCTORIO AL
DISEÑO EN CONCRETO ARMADO
ÍNDICE:
1. Introducción
2. Viga de concreto simple
3. Viga de concreto armado, con refuerzo en tracción
3.1. Sección sin fisurar
3.2. Sección fisurada
3.3. Capacidad máxima por esfuerzos admisibles

Capítulo 9.- EJEMPLO INTRODUCTORIO AL
DISEÑO EN CONCRETO ARMADO
ÍNDICE:
3.4. Capacidad última o máxima de la sección
3.5. Inicio de la fluencia en el acero
4. Diagrama momento – curvatura
5. Ejercicio propuesto

9.1
INTRODUCCIÓN

Introducción
Con la finalidad de presentar algunas ideas preliminares relacionadas con
el diseño y con el comportamiento en flexión de un elemento de concreto
armado, analizaremos un elemento bajo diversas condiciones de refuerzo
y agrietamiento de la sección transversal.
Datos
Viga simplemente apoyada
L = 5.0 m
Concreto f’c = 210 kg/cm 2
Acero fy = 4200 kg/cm 2
Sección transversal
0.30 x 0.60 m

9.2
VIGA DE CONCRETO SIMPLE

Viga de concreto simple
Es un ejercicio teórico. Es muy raro encontrar vigas esbeltas como ésta
(esbeltez geométrica = 5.0/0.6=8.3) construidas de concreto simple.
La idea es demostrar la escasa, casi nula, resistencia que tendría una
viga de estas proporciones si fuera construida sin refuerzo de acero.

Viga de concreto simple
El concreto simple se utiliza en elementos de poca esbeltez, en los cuales
las dimensiones de la sección transversal son comparables con las luces del
elemento y en los que los esfuerzos de tracción por flexión son bajos.
Zapatas
Muros de gravedad
Calzaduras
Pavimentos
Muro de gravedad

Viga de concreto simple
El concreto simple se utiliza en elementos de poca esbeltez, en los cuales
las dimensiones de la sección transversal son comparables con las luces del
elemento y en los que los esfuerzos de tracción por flexión son bajos.
Zapatas
Muros de gravedad
Calzaduras
Pavimentos
Calzadura de concreto simple

Viga de concreto simple
Hipótesis para el análisis
Las secciones planas permanecen planas
El comportamiento del concreto en tracción y compresión es lineal hasta la
falla de la sección por tracción (σ = Eε)
No hay posibilidad de una falla por cortante, ni de pandeo lateral
El módulo de rotura en tracción por flexión del concreto se puede estimar
mediante la ecuación fr = 2 f ′ c = 29 kg
cm 2

Viga de concreto simple
Recordemos que la falla en tracción del concreto simple es frágil, con un
diagrama esfuerzo-deformación que se puede idealizar así.
fr = Mv
I
= M S
La viga colapsará cuando la sección central, la más solicitada, alcance el
esfuerzo fr, asociado a ε = 0.00014 − 0.0002

Viga de concreto simple
Procedimiento de análisis
Cálculo del módulo de rotura fr
Cálculo del momento de inercia I
Cálculo de la resistencia nominal de la sección Mn
Cálculo de la carga nominal que produciría la falla de la sección ω máx

Viga de concreto simple
Resultados
fr ≈ 29 kg/cm 2
S ≈ 18,000 cm 3
Mn ≈ 5,220 kg − m
ω máx = 1,670 kg m

Viga de concreto simple
En el análisis anterior no hemos considerado para nada el coeficiente de
seguridad. Ya que la falla será frágil, el coeficiente de seguridad debe ser
alto.
Para concreto simple, la Norma E.060 señala que el factor de reducción de
resistencia es φ = 0.65. Si suponemos que la carga que actúa sobre la viga
está asociada casi toda con carga muerta, tendremos:
φMn ≥ Mu
0.65 Mn ≥ 1.4 M servicio
La carga máxima en condiciones de servicio que podemos aplicar en forma
segura será:
ω servicio ≈ 1,670 0.65
1.4
≈ 775 kg/m

9.3
VIGA DE CONCRETO ARMADO

Viga de concreto armado
Sección reforzada con acero en tracción
As = 10 cm 2
ρ = As
bd = 10
30×55 = 0.6%

Viga de concreto armado
Hipótesis para el análisis
Las secciones planas permanecen planas
El comportamiento del concreto bajo cargas de servicio, en tracción y
compresión, es lineal elástico (válido para esfuerzos de compresión bajos)
No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral
El módulo de rotura en tracción por flexión del concreto se puede estimar
en 29 kg/cm 2
Existe una perfecta adherencia entre el concreto y el acero

Viga de concreto armado
Diagramas esfuerzo-deformación supuestos

9.3.1
SECCIÓN SIN FISURAR

Sección sin fisurar
Antes que se produzca la fisuración del concreto por efecto de la tracción
por flexión, la resistencia máxima del concreto en tracción será fr.
Deformaciones y esfuerzos en la sección antes de la fisuración

Sección sin fisurar
Utilizaremos la sección transformada no agrietada, incluyendo el aporte
del acero, para calcular los esfuerzos en el concreto y en el acero.
c
n = Es
Ec
Sección transformada no agrietada

Sección sin fisurar
Procedimiento de análisis
Cálculo del eje neutro c
Cálculo del momento de inercia de la sección transformada no agrietada Itr
Cálculo del momento que ocasiona el agrietamiento por tracción Mcr
Cálculo de los esfuerzos máximos en el concreto y el acero, instantes antes
de alcanzar Mcr
Cálculo de la curvatura de agrietamiento φ cr de la sección

Sección sin fisurar
Resultados
c ≈ 31.1 cm
Itr ≈ 588,000 cm 4
Mcr ≈ 5,900 kg − m
fc ≈ 31 kg
kg
cm2 ≪ 210
cm 2
fs ≈ 215 kg
cm2 ≪ 4200 kg/cm2
φ cr ≈ 0.453 × 10 −3
Τ 1 m

Sección sin fisurar
Comparando el momento de agrietamiento con el de la sección no reforzada,
apreciamos que hay un incremento de 13% (5,900 vs 5,220 kg-m).
Para cuantificar el incremento de resistencia que produce la presencia del
acero de refuerzo, tendremos que analizar qué sucede con la sección luego
de que el concreto en tracción se haya agrietado. A partir del agrietamiento
del concreto se puede decir que el acero empieza a trabajar realmente.
Cuando el momento flector en la sección alcance el valor de agrietamiento
por flexión, no se producirá una falla frágil de la sección ni el colapso de la
viga. El acero de refuerzo tomará las tracciones que el concreto no es capaz
de soportar y permitirá seguir incrementando la carga externa, de manera
segura, sin el colapso de la viga.

9.3.2
SECCIÓN FISURADA

Sección fisurada
Analicemos los esfuerzos en unan sección, instantes después de ocurrido el
agrietamiento del concreto. Apliquemos un momento flector 10% mayor a
Mcr, es decir 6,500 kg-m.
Hipótesis adicional: el aporte del concreto en tracción se desprecia. Todo
el concreto por debajo del eje neutro no será considerado en los cálculos de
resistencia.
Esfuerzos y fuerzas resultantes en la sección luego del agrietamiento

Sección fisurada
Utilizaremos la sección transformada agrietada, para calcular los esfuerzos
en el concreto y en el acero.
c
n = Es
Ec
Sección transformada agrietada

Sección fisurada
Procedimiento de análisis
Cálculo del eje neutro c
Cálculo del momento de inercia de la sección transformada agrietada Icr
Cálculo de los esfuerzos máximos en el concreto y el acero en la sección
fisurada
Cálculo de la curvatura de la sección luego del agrietamiento φ

Sección fisurada
Resultados
c ≈ 15.51 cm
Icr ≈ 178,000 cm 4
fc ≈ 56 kg
cm 2
fs ≈ 1300 kg
cm 2
φ ≈ 1.65 × 10 −3
Τ 1 m

Sección fisurada
Existe un fuerte incremento en el esfuerzo del acero en tracción al agrietarse
la sección. Para un momento externo un 10% mayor que Mcr, el esfuerzo de
compresión en el concreto ha aumentado de 31 a 56 kg/cm 2 y el esfuerzo en
el acero de 215 a 1,300 kg/cm 2 .
kg. m
kg. m

9.3.3
CAPACIDAD MÁXIMA POR
ESFUERZOS ADMISIBLES

Capacidad máx. esfuerzos admisibles
Las normas fijaba para el diseño en flexión los siguientes esfuerzos
admisibles para la compresión en el concreto y la tracción en el acero:
Concreto : fc admisible = 0. 45 f ′ c = 0.45 × 210 = 95 kg
cm 2
Acero
: fs admisible = 0. 5 fy = 0.50 × 4200 = 2,100 kg
cm 2
Acero lineal elástico fs < fy
Concreto lineal elástico (esfuerzos de compresión bajos)

Capacidad máx. esfuerzos admisibles
Cuando el acero alcance su esfuerzo admisible, la sección ya se encontrará
agrietada por flexión.
Entonces, los cálculos se harán utilizando las propiedades de la sección
transformada agrietada. Para que esto sea válido, tendremos que suponer
que el concreto se comporta linealmente hasta alcanzar su esfuerzo
admisible.
Esfuerzos y sección transformada agrietada

Capacidad máx. esfuerzos admisibles
Procedimiento de análisis
Cálculo de los momentos máximos Mad, sin sobrepasar los esfuerzos
admisibles
Cálculo de los esfuerzos máximos en el concreto y el acero en la sección
fisurada
Cálculo de la curvatura en servicio φ de la sección

Capacidad máx. esfuerzos admisibles
Resultados
Mad ≈ 11,000 kg − m
fc = 90 kg
cm 2
Mad ≈ 10,500 kg − m
fs = 2100 kg
cm 2
φ ≈ 2.666 × 10 −3
Τ 1 m

9.3.4
CAPACIDAD ÚLTIMA O MÁXIMA
DE LA SECCIÓN

Capacidad última de la sección
El momento flector de 10,500 kg-m que produce el máximo esfuerzo
admisible en el acero NO es la capacidad máxima o última de la sección.
Una vez que se superan los esfuerzos admisibles, la sección no falla. Ésta
aún tiene una reserva de resistencia que es justamente la que aprovecha el
Diseño por Resistencia.
Falla en la zona de compresión

Capacidad última de la sección
El momento flector de 10,500 kg-m que produce el máximo esfuerzo
admisible en el acero NO es la capacidad máxima o última de la sección.
Una vez que se superan los esfuerzos admisibles, la sección no falla. Ésta
aún tiene una reserva de resistencia que es justamente la que aprovecha el
Diseño por Resistencia.
Agrietamiento en flexión cerca a la carga máxima

Capacidad última de la sección
El momento flector de 10,500 kg-m que produce el máximo esfuerzo
admisible en el acero NO es la capacidad máxima o última de la sección.
Una vez que se superan los esfuerzos admisibles, la sección no falla. Ésta
aún tiene una reserva de resistencia que es justamente la que aprovecha el
Diseño por Resistencia.

Capacidad última de la sección
Hipótesis para el análisis
Las secciones planas permanecen planas
No hay posibilidad de una falla prematura por cortante, ni por pandeo lateral
Existe una perfecta adherencia entre el concreto y el acero
Se desprecia el aporte del concreto en tracción a la resistencia de la
sección

Capacidad última de la sección
El acero de refuerzo tiene un diagrama de comportamiento elasto-plástico
perfecto, con una plataforma de fluencia ilimitada con fy = 4200 kg/cm 2
que se inicia con una deformación de fluencia εy = 0.0021. El módulo de
elasticidad se considera Es = 2 × 10 6 kg/cm 2
Diagramas esfuerzo-deformación del acero

Capacidad última de la sección
Es necesario conocer el diagrama esfuerzo-deformación del concreto en
compresión (relación constitutiva). Éste se puede obtener de ensayos de
laboratorio o utilizando algún modelo disponible.
Diagramas esfuerzo-deformación del concreto comprimido

Capacidad última de la sección
Asumiremos, con cargo a verificación, que la falla de la sección se
producirá por agotamiento del concreto comprimido, y que el acero de
refuerzo está en fluencia. Esto conducirá a una falla dúctil.
Esfuerzos y deformaciones en la sección

Capacidad última de la sección
Simplificación: El concreto en compresión se puede modelar mediante un
diagrama esfuerzo-deformación parabólico, con tangente horizontal en f’c.

Capacidad última de la sección
Cuando el concreto agote su capacidad de deformación:
Volumen de compresiones
Tracción en el acero
Equilibrio
Cc ≈ 2 3 c b f′ c
T = As fy
Cc = T

Capacidad última de la sección
Cuando el concreto agote su capacidad de deformación:
Volumen de compresiones
Tracción en el acero
Equilibrio
Cc ≈ 2 c × 30 × 210 = 4,200 c
3
T = 10 × 4,200 = 42,000 kg
c = 10 cm

Capacidad última de la sección
Cuando el concreto agote su capacidad de deformación:
Resistencia nominal de la sección (Σ momentos respecto a Cc):
Mn = 42,000 55 − 0.375 × 10 ≈ 21,500 kg − m

Capacidad última de la sección
Verificación de las deformaciones en el acero para comprobar su fluencia:
0.002
10 = ε s
45
ε s = 0.009 ≈ 4.3 ε y
La curvatura de la sección cuando se alcanza la resistencia máxima es:
φ máx ≈ ε c
c = 0.002
10 = 20 × 10−3 1Τm

Capacidad última de la sección
Utilizando las fórmulas para calcular la resistencia nominal que se
presentará posteriormente, a partir de las hipótesis de la norma E.060:
Mn = As fy d − a 2
a =
c = 7.84
0.85
As fy
= 10×4,200
0.85 f ′ c b 0.85×210×30
= 9.22 cm
Mn = 21,420 kg − m
= 7.84 cm

Sección sin acero de refuerzo
Sección con As = 10 cm 2
justo antes del agrietamiento
Sección con As = 10 cm 2
después del agrietamiento
Sección con As = 10 cm 2
capacidad por esfuerzos admisibles
Sección con As = 10 cm 2
capacidad nominal

9.3.5
INICIO DE LA FLUENCIA EN EL ACERO

Inicio de la fluencia en el acero
Este estado precede al de la falla de la sección y se le asocia al momento de
fluencia (My) de la sección y la curvatura de fluencia (φy).
En secciones con falla en tracción (sub-reforzadas), marca el inicio del
comportamiento inelástico de la sección.

Inicio de la fluencia en el acero
Simplificación: El concreto en compresión se puede modelar mediante un
diagrama esfuerzo-deformación parabólico, con tangente horizontal en f’c.

Inicio de la fluencia en el acero
En el inicio de la fluencia del acero:
fc = −a 1 ε c 2 + a 2 ε c a 1 = f ′ c/ ε o
2
a 2 = 2 f ′ c/ε o
f ′ c = 210 kg/cm 2 ε o = 0.002 a 1 = 52.5 × 10 6 a 2 = 0.21 × 10 6

Inicio de la fluencia en el acero
En el inicio de la fluencia del acero:
Resultante de compresiones
Cc = 0 c
fc(y) b dy = b a 2
c
2 ε c − a 1
c
3 ε c 2 (1)
Tracción en el acero
Compatibilidad
T = As fy = 42,000 kg
ε c
c =
ε y
55−c
ε c = 0.0021c/(55 − c) (2)
Equilibrio Cc = T (3)

Inicio de la fluencia en el acero
En el inicio de la fluencia del acero:
Resolviendo (1), (2), (3):
c ≈ 16.92 cm ε c ≈ 0.000933 fc ≈ 150 kg/cm 2

Inicio de la fluencia en el acero
En el inicio de la fluencia del acero:

Inicio de la fluencia en el acero
En el inicio de la fluencia del acero:
La posición de la resultante se ubica aproximadamente a 5.9 cm del borde
superior:
φy ≈ 5.51 × 10 −3 1/m
My ≈ 20,620 kg − m
La fuerza de compresión total en el concreto así como la posición de la
resultante de compresiones, pueden determinarse con ayuda de tablas.

Notas:
c = profundidad del eje neutro
b = ancho de la sección
Cc = K1 ∗ f ′ c ∗ b ∗ c
Posición de la resultante = K2 ∗ c
Las tablas son aplicables a cualquier valor
de f’c con la condición que el diagrama
constitutivo en compresión sea como el
mostrado en la figura (parábola-recta
descendente con caída de 0.15 f’c)

9.3.6
DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA

Diagrama momento curvatura
Permite entender el comportamiento de la sección analizada en todo el
intervalo de respuesta, desde el inicio del proceso de carga hasta el
agotamiento total de su capacidad. Se distinguen 3 etapas:

Diagrama momento curvatura
1.- La primera asociada al comportamiento de la sección antes de alcanzar
Mcr, cuando el concreto aún resiste tracciones. Al producirse la fisuración, la
rigidez se reduce y la curvatura aumenta sin incremento en el momento
flector.

Diagrama momento curvatura
1.- Antes de la fisuración, la rigidez de la sección se puede estimar mediante
Ec*Ig, donde Ig es el momento de inercia bruta de la sección. Luego de la
fisuración y antes del inicio de la fluencia, la rigidez se reduce a Ec*Icr,
donde Icr es el momento de inercia de la sección completamente fisurada.

Diagrama momento curvatura
2.- La segunda etapa está asociada al comportamiento de la sección fisurada
con el acero trabajando en el rango elástico (fs < fy).

Diagrama momento curvatura
3.- La tercera etapa se presenta una vez que se ha excedido el momento
flector que produce la primera fluencia del acero y se prolonga hasta
alcanzar el agotamiento del concreto en compresión.

9.3.7
EJERCICIO PROPUESTO

Ejercicio propuesto
La sección mostrada (dimensiones en cm) está
sometida a la acción de un momento positivo
(compresión en la parte superior). Se pide:
a) Calcular el momento de agrietamiento de la
sección, sin considerar el acero de refuerzo
b) Si se aplica un momento positivo de 190 ton − m,
¿se producirá agrietamiento en la sección? Calcule
la posición del eje neutro, las deformaciones en la
sección y los esfuerzos en el concreto y en el
acero.
c) Para el diagrama constitutivo del concreto indicado
en la figura, calcule el momento nominal (Mn) que
resiste la sección. Indique la profundidad del eje
neutro, la deformación en el acero y la curvatura de
la sección.
f ′ c = 350 kg/cm 2
fy = 4,800 kg/cm 2 (elasto-plástico)
Ec = 280,000 kg/cm 2
n = 7.2
fr = 38 kg/cm 2
As = 10 barras φ1"

BIBLIOGRAFÍA
• McCORMAC, J.C. and Brown R.H., 2013
Design of reinforced concrete.
9th edition. Wiley
• WIGHT, J.K., 2015
Reinforced Concrete: Mechanics and Design
7th edition, Prentince Hall
• OTTAZZI, G.A., 2015
Apuntes del curso Concreto Armado 1
15ta edición, PUCP
• SENCICO, 2009
Norma Técnica E.060 Concreto Armado