Algebra 1ro CEBA

Índice
Unidad I
Capítulo 1 Introductorio 4
Capítulo 2 Definiciones algebraicas I 9
Capítulo 3 Definiciones algebraicas II 14
Capítulo 4 Teoría de exponentes I 19
Capítulo 5 Repaso I 24
Capítulo 6 Teoría de exponentes II 28
Capítulo 7 Teoría de exponentes III 33
Capítulo 8 Teoría de exponentes IV 38
Capítulo 9 Notación de polinomios 43
Unidad II
Capítulo 10 Cambio de variable utilizando la notación de polinomios 48
Capítulo 11 Grados de expresiones algebraicas 53
Capítulo 12 Grados de un polinomio 58
Capítulo 13 Polinomios especiales 63
Capítulo 14 Multiplicación algebraica 68
Capítulo 15 Repaso II 73
Capítulo 16 Productos notables I 77
Capítulo 17 Productos notables II 82

Unidad III
Capítulo 18 Productos notables III 87
Capítulo 19 Productos notables IV 92
Capítulo 20 División algebraica I 97
Capítulo 21 Repaso III 102
Capítulo 22 División algebraica II 106
Capítulo 23 División algebraica III 111
Capítulo 24 División algebraica IV 117
Capítulo 25 Factorización I 123
Unidad IV
Capítulo 26 Factorización II 128
Capítulo 27 Factorización III 133
Capítulo 28 Repaso IV 138
Capítulo 29 Factorización IV 143
Capítulo 30 Factorización V 148
Capítulo 31 Fracciones algebraicas I 153
Capítulo 32 Fracciones algebraicas II 158
Capítulo 33 Fracciones algebraicas III 163
Álgebra

1
1
Capítulo
Introductorio
Lectura: Origen del álgebra
Es difícil establecer estrictamente el origen del álgebra, pero todo parece afirmar que
la primera obra sobre álgebra nació en Grecia y fue su autor Diofanto de Alejandría,
quien vivió aproximadamente por el año 250 de la era cristiana. Esa obra de
Diofanto permaneció aislada en la escuela griega. Ningún otro matemático se
dedicó a ella, y esa rama de la matemática desapareció con Diofanto.
En verdad, la cuna del Álgebra puede situarse en la civilización hindú, donde
aparecieron los rudimentos de esa ciencia y fue el pueblo árabe que tenía
un intercambio comercial con la India, allá por el año 750, el que tomó esos
conocimientos, los sistematizó, les aplicó el razonamiento deductivo de la
matemática griega, y de esa combinación resultó el Álgebra que, a través de
distintas evoluciones, se conoce en nuestros días; es decir, que puede considerarse
a los árabes los verdaderos creadores del Álgebra, y hasta tal punto es así, que el
vocablo Álgebra es de etimología árabe: se deriva de la palabra alchebr, que significa
“reducción”, “suma”.
FUENTE: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA- Repetto Linskens Fesquet
En este capítulo aprenderemos
..
Números enteros
..
Números positivos
..
Cero
..
Números negativos
..
Símbolos de agrupación
..
Notaciones
4
4
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Síntesis teórica
NÚMEROS ENTEROS
Enteros positivos
Se denotan por
Z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
Se
clasifican
en
Z + = {+1, +2, +3, ...}
Cero= {0}
Enteros negativos
Z – = {...–3, –2, –1}
Para
multiplicarlos se
toma en cuenta
Para sumarlos se
toma en cuenta
que
Para la
división
Dos números
enteros de mismo
Dos números
enteros de distintos
La multiplicación
de dos números
del mismo signo
genera producto
positivo
La multiplicación
de dos números
de distinto signo
genera producto
negativo
signo se suman y
signos se restan y
se coloca el mismo
se coloca el signo
signo que llevan.
del mayor.
Se aplica la misma regla que en
la multiplicación
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Primer año de secundaria
5

1
1
Capítulo
Saberes previos
1. Completa correctamente usando los símbolos
">": (mayor que) ó "

Álgebra
Aprende más
1. Calcular:
(+3) – (–2) + (+4) – (–3)
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
2. Calcular:
(–3) – (–4) + 8(–2) – (+3)
a) –18 b) –19 c) –20
d) 44 e) 18
3. Calcular:
–5 + 3 + 3 – 1 + 8
a) 4 b) 6 c) 8
d) 9 e) 10
4. Efectuar:
(–4)(+2) + (+3)(–1)
a) –10 b) 12 c) 10
d) –11 e) 11
5. Efectuar:
(–3)(–2) – (+2)(–4) + (–1)(–3)
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
6. Efectuar:
10 (6 – 12) + (3 – 5)(–2)
a) –54 b) –55 c) –56
d) –57 e) –58
7. Reducir:
(–7)(–5 + 8) – (3 – 5)(–6)
a) –34 b) –31 c) –33
d) –32 e) –35
8. Calcular:
(4 – 2 + 1)(–3 + 1 – 2)
a) –10 b) –11 c) –12
d) –13 e) –14
9. Efectuar:
(15 – 5) ÷ (–7 + 5)
a) –4 b) –5 c) –3
d) –8 e) –9
10. Si se sabe que:
A = – (–1 + 2) – (–1 – 3)
B = – (–3 – 5) – (–2 – 7)
Hallar: B – A
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
11. Si:
P = (–3)(–4) + (–1)(+2) ÷ (+2)(–2)
Q = 4 – [ 5 – (–3)(4 – 6)]
Hallar: P × Q
a) 70 b) 90 c) 50
d) 80 e) 60
12. Efectuar:
{ (–5+2) + [ (–9) – (–3) ] – 3} : (–2)(+2)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Efectuar:
– {7+[5–(–7–2)]}+5–{[9–(14–5)+3]–5}–8
a) –20 b) –21 c) –22
d) –23 e) –24
14. Efectuar:
– 5 – { (+4)(–2) – [ 4–(–1)(–3) ] }
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Efectuar:
( −16 − 4) ' ( − 8+
6)
( + 12) ' ( −4−
2)
a) –4 b) –5 c) –6
d) –7 e) –8
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Primer año de secundaria
7
7

1
1
Capítulo
Practica en casa
1. Calcular: (+9) – (–5) + (+6) – (–8)
2. Calcular: (–5) – (–9) + (–4) – (+7)
3. Efectuar: (–4)(–3) – (+5)(–3) + (–2)(–3)
4. Efectuar: 5 (3 – 8) + (2 – 4)(–3)
5. Reducir: (–3)(–6+9) – (2–6)(–4)
6. Calcular: (5 – 3+2) × (–4 + 1 – 3)
7. Efectuar: (–13 – 5) ÷ (–11+2)
8. Si se sabe que:
A = –4 – 3 – 2 – 5
B = 2 + 4 – 8
Hallar: A × B
9. Si:
P = – (–2 +3) – (–4 –3)
Q = – (–2 – 6) – (–4 – 8)
10. Si:
M = (–5)(–3) + (–2)(+3) + (+5)(–4)
N = 8 – {3 – (–3)(5 – 7)}
Hallar: M × N
11. Efectuar: (–9 + 6) + [{(–15):(–3)} –4] × (–3)
12. Efectuar: (–5)(–2) – [(–2)(+3) + (–5)(–3)]
13. Siendo: B = (+4)(–3) + [(–12) : (–2)]
Hallar: B ÷ (–3)
14. Dado: A = (–4 + 5)(–3)(+2) + 1
Hallar: (–7 + 2) : (A)
15. Efectuar:
( −23 −5):( 7−
19 + 5)
36 :( −6−3)
Hallar Q – P
Tú puedes
1. Si: m=2; b=5, calcular el valor de:
{m – (m – b)} (m – b)
a) –14 b) –13 c) –15
d) –16 e) –17
2. Calcular el valor de la siguiente suma:
2002–2001+2000–1999+....+4–3+2–1
a) 101 b) 10001 c) 2001
d) 1001 e) 110
3. Se define:
a ⊗ b = ab + b
a # b = 2a – 4b
Siendo "a" y "b" números enteros, calcular el
valor de: (2 ⊗ 5) # (–2)
a) 36 b) 360 c) 38
d) 37 e) 44
4. Calcular el valor de:
(30 + 5)2 – (30 + 5)(30 – 5)
a) –804 b) –803 c) –805
d) –806 e) –807
5. Dada la sucesión:
2×21; 3×22; 2×23; 3×24; 2×25; .....
¿Cuál es el cociente entre los términos que
ocupan las posiciones 20 y 21 en ese orden?
a)
d)
60
41
59
41
b)
e)
33
41
17
41
c)
61
41
8
8
Colegios
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Capitulo 2
Capítulo
2
Definiciones algebraicas I
Lectura: el padre del álgebra
Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media.
Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra matemática que
afortunadamente llegó a nosotros gracias a las traducciones al latín que de ella se
hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento. Al - Jwarizmi vivió del
año 780 al 835. Nació en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente
se llama Jiva y está en Uzbekistán.
Escribió varios textos, fundamentalmente de matemática, el más
importante de todos ellos es, sin duda, "Al - jabar wa´l Muqabala,
que es un tratado sobre cómo plantear y resolver ecuaciones para
resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza así:"Este
interés por la ciencia, con la que Alá ha dotado al califa Al - Mamún,
caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve
obra sobre el cálculo por medio del álgebra, en la que se contiene
todo lo que es más fácil y útil en aritmética, como por ejemplo todo
aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos
y sin equívocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones
con terceros, todo aquello en donde esté implicada la agrimensura, la
excavación de pozos y canales, la geometría y varios asuntos más.
Con el paso de los siglos los matemáticos reconocieron que la obra de
Al - Jwarizmi era tan importante que se hicieron varias traducciones al latín,
que era el idioma en el que se escribía la ciencia en la Europa de esa época.
Para finales del siglo XVI nadie tenía dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del álgebra.
FUENTE: redescolar.ilce.edu.mx
En este capítulo aprenderemos
..
Álgebra: definición
..
Objetivo
..
Expresión algebraica
..
Término algebraico
..
Clasificación con respecto al número de términos
..
Ejercicios y problemas de aplicación
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Primer año de secundaria
9
9

2
2
Capítulo
Síntesis teórica
ÁLGEBRA
Definición
Objetivo
Expresión
algebraica
Clasificación
Término
algebraico
Monomios
Polinomios
• Coeficiente
• Signo
• Parte literal
• Exponente
10
10
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Álgebra
Saberes previos
4. Calcular: (–2) 2 + 52 – 3
1. Calcular: 5 – 3 + 7 × 2
3. Calcular: 15 ÷ 5 + 12 – 1 2 6. Calcular: (–1)(–3) + (–2)(–4) + (–5)(2)
2. Calcular: 4 +
5 × 12 3
5. Calcular: (–1) 3 + (–2) 3 + (–3) 2
Aplica lo comprendido
1. Señale el coeficiente en el término algebraico:
–3x 4 y 5
2. Señale la parte literal del término algebraico:
2 x 9 y 4 z
3. Indique el coeficiente del término algebraico:
4. Señale la suma de exponentes de la parte literal
del término algebraico:
4 x 5 y 2
5. Señale el coeficiente:
(–2) 2 (3) 2 xyz 9
(–2)(–3) xz
Aprende más
1. De las expresiones algebraicas:
• 2x 2 y 7
• x+y+z
• –3x 3 y 2 ; x–y
¿Cuántas son monomios?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
2. Indique cuáles son monomios:
• –x+y
• 4 2 xy 10
• –3xyz –1
a) –x+y b) 4 2 xy 10
c) –3xyz –1 d) –x+y; x+y+z
e) 4 2 xy 10 ; –3xyz –1
3. Señale cuántos binomios tenemos en:
• 3xyz 8
• x–y+z 2
• x+y
• x 2 y 2 +z 5
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
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4. Indique cuáles son binomios:
• x 2 +y 8
• x+y+z
• x 2 +1
• x 2 y 11
a) x 2 +y 8 b) x 2 +1 c) x 2 y 11
d) x 2 +1; x 2 +y 8 e) x+y+z
5. Señale cuántos trinomios tenemos:
• 2x 8 y 3 z
• 3xy+z+y
• 12xy
• x 2 +y 2 +z 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Primer año de secundaria
11
11

2
2
Capítulo
6. Señale el coeficiente de:
(6+10 ÷ 2+3) x 4 y 3 z 15
a) 11 b) 8 c) 13
d) 12 e) 14
7. ¿Cuál es el coeficiente de:
x+ x+ x+ x....
+ x
1444 42444 43
20 veces
a) 16 b) 7 c) 17
d) 18 e) 20
8. Señale el coeficiente de:
2x 3 y + 2x 3 y + 2x 3 y + ... 80 veces
a) 80 b) 80x 3 y c) 84
d) 84x 3 y e) 160
9. Señale el coeficiente:
3x+ 3x+ 3x+ ... + 3x + x+ x+ x+ .... + x
14444 42444443
14444244443
50 veces
17 veces
a) 150 b) 170 c) 150x
d) 167 e) 170x
10. Señale la suma del coeficiente con el exponente
de x, luego de reducir:
x 8 + x 8 + x 8 + .... 180 veces
a) 8 b) 180 c) 188
d) 180x 8 e) 188x 8
11. Si la siguiente expresión algebraica es un
monomio. Calcular: n (n+5).
x 2 y 5 + (n – 3) x 2 y 9
a) 0 b) 5 c) 3
d) 8 e) 24
12. Dado el monomio:
ky 3 z 8 + 2y 2 z 9 + 4 y 3 z 8
Hallar: k+1
a) 5 b) 4 c) –4
d) –3 e) –5
13. Dado el polinomio:
x 2 + y 3 + x n
¿Cuál puede ser el valor de "n"?
a) –1 b) 2 c) –2
d) –3 e) –4
14. Dada la expresión algebraica
x 2 + y 3 + z 2
Las letras x; y, z, representan el valor de una
cantidad. Señale (V) o (F).
I. x puede representar una velocidad
II. y puede representar el valor de una temperatura
III. z puede representar el valor de un rendimiento
a) VVV b) FFF c) VFV
d) VVF e) FVV
15. Señale la expresión reducida del siguiente
monomio:
2 2 3
( n 5) x y 2x y n 3
2x y n 3
− + + + x y n + ..... + 2x 3 y
n
1444444444 2444444444
3
50 veces
a) 50x 3 y 5 b) nx 3 y 6 c) 100x 3 y 6
d) 100x 3 y 5 e) 2x 3 y 5
Practica en casa
1. Señale los monomios:
4x 2 y 5 ; –2x 6 z 2 ; x–y 5 ; 4 xyzw
2. Señale cuántos binomios tenemos:
xy ; x+y; y 3 +3; x 2 y 3 ; 2x – 3y
3. Indique los trinomios:
2 xyw ; xyz ; x+y+z ; x 2 – y 2 – z 3
5. Sumar los coeficientes de los siguientes términos
algebraicos
4 x 2 y ; 5x 5 y 2 ; 6x 3 y 3
6. Sumar los coeficientes de los siguientes términos
algebraicos: –3 xy ; –2 yz ; x 5 y
7. Señalar el coeficiente de: (–3)(–11) x 2 y
4. En el término algebraico: 4 x 4 y 5 z
Señale la parte literal
8. Hallar el coeficiente de: (–2) 2 (2) 3 zw
12
12
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TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
9. Indique el coeficiente de:
x+ x+ x+ .... + x
144 4244 43
43 veces
10. Indique el coeficiente de:
5x 2 + 5x 2 + 5x 2 + .... 99 veces
11. Dado el monomio:
4 y 2 z 2 + (K – 4) x 2 y 2
Hallar: K+2
12. Dado el trinomio:
x + ky + 3 z + 5x 2 + 8y
Hallar: K – 1
13. De los siguientes números:
1 , –3, 4 2
¿Cuál puede ser un valor de "n" dado el
polinomio:
x 10 +y n +z 12 ?
14. Hallar el coeficiente:
4x+ 4x+ 4x+ ...... + 4x+ x+ x+ ...... + x
1444444 24444443
144424443
23 veces
45 veces
15. ¿Qué cantidades puede representar x, y, z en la
expresión algebraica:
• La estatura de una persona
• El número de personas en un salón
• El amor que siente una persona.
Tú puedes
1. Sumar los exponentes de los siguientes términos
algebraicos.
3x ; 4x 2 ; 5x 3 ; .... 22x 20
a) 20 b) 200 c) 210
d) 220 e) 240
2. Sumar los coeficientes de los siguientes
monomios:
x ; 4x 2 ; 9x 3 ; .... 100 x 10
a) 110 b) 240 c) 380
d) 385 e) 421
3. Hallar el valor de la suma de coeficientes
incrementado en "a" unidades.
y ; 4y 2 ; 9y 3 ; .... ay 9
4. Hallar el coeficiente del siguiente monomio:
1 2 3 n
(– 1)(– 2) (– 3) ( + 4)
2 2
xy
2n
2
2
+
a) 4 b) 9 c) 27
d) 12 e) 81
5. En un monomio el exponente de "x" excede
en 3 al exponente de "y", y éste excede en 4 al
exponente de "z" y éste excede en 5 al coeficiente
cuyo valor es el menor entero positivo impar.
Hallar la suma de exponentes de "x"; "y"; "z".
a) 30 b) 28 c) 31
d) 29 e) 27
a) 350 b) 360 c) 362
d) 366 e) 285
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Primer año de secundaria
13
13

3
Capítulo
Definiciones algebraicas II
Lectura: Joseph Louis
Joseph Louis, conde de Lagrange. Este insigne matemático propugnó,
en su Mécanique Analytique, los métodos abstractos que permiten
un desarrollo algorítmico, es decir con símbolos matemáticos, sin
ninguna representación concreta.
Respecto de ello, dijo:
"En mi obra no se hallarán figuras.
Los métodos que en ella se exponen no exigen construcciones ni
razonamientos geométricos mecánicos; solamente se requieren
operaciones algebraicas sujetas a un proceso regular y uniforme".
FUENTE: "El mundo de la matemática" Editorial Clasa–Oceano.
Edición 1985
En este capítulo aprenderemos
..
Identificar términos algebraicos semejantes.
..
Reducir términos algebraicos semejantes.
..
Realizar adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas
identificando términos algebraicos semejantes.
14
14
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Álgebra
Síntesis teórica
Definiciones algebraicas II
Términos semejantes
Reducción de términos
semejantes
Términos no semejantes
Adición de expresiones
algebraicas
Sustracción de expresiones
algebraicas
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Primer año de secundaria
15
15

3
Capítulo
Saberes previos
1. A partir del siguiente término algebraico:
T (x; y) = –8 x 3 y 4
Indique lo siguiente:
• Variables:
• Parte literal:
• Coeficiente:
2. Efectúe las siguientes operaciones:
• (+13) + (–12) =
• (–9)+(–4) =
3. Efectúe las siguientes operaciones:
• (+14) + (–8) =
• (–9)+(+3) =
4. Efectúe las siguientes operaciones:
• 16 – 10 =
• 13 – 20 =
5. Efectúe las siguientes operaciones:
• 7 + 8 – 16 =
• 4 + 5 – 17 =
Aplica lo comprendido
1. Reducir:
4. Reducir:
4x + 5x – 3x
–2x 2 y + x 2 y – 4xy 2 + 5xy 2
2. Reducir:
5. Si los términos algebraicos:
4xy – 5xy
T (x) = 4x m ; S(x) = 5 x 6
Son semejantes. Halle el valor de m.
3. Reducir:
–8x 2 + 3x 2 – x 2
16
16
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Álgebra
Aprende más
1. Reducir: – 2ab + ab – 3ab + 2 ab
9. Sean los términos semejantes:
a) –4xy 3 b) –6xy 3 c) –6x 3 e) 6x 2 yz–7x 3 y
y
d) –5xy 3 e) 4xy 3 15. Efectuar: 5a 2 b – 2b 2 – (7b 2 – 4a 2 b)
A (x; y) = 3x a–1 y b
a) –ab b) ab c) 2ab
d) –2ab e) 3ab
B (x; y) = –7x 4 y 5
Hallar: a – b
2. Reducir: 3 xy + 2 xy – (4 xy – 7 xy)
a) –2 b) –1 c) 0
a) 6xy b) 7xy c) 8xy
d) 1 e) 2
d) 9xy e) 10xy
10. Sabiendo que:
3. Reducir: 5mn – [ 3mn + (5mn – 13 mn)]
T (x) = –x 2 + 3x – 4
M(x) = –2x + x 2 + 5
a) 6mn b) 8mn c) 10mn
Hallar: T(x) + M(x)
d) 11mn e) 12mn
a) x b) x+1 c) x+3
4. Si:
T(x) = 3x 6 d) x–1 e) x+2
es semejante con
Q (x) = –8x 2a–2
11. Teniendo en cuenta que:
Hallar: a
A (x) = –2x 3 + 2x – 3
B (x) = –x 3 + 2x – 1
a) 1 b) 2 c) 3
Hallar: A(x) – B (x)
d) 4 e) 5
a) –x 3 +x+2 b) –x–x 3 +1
5. De: –4 xy 2 , restar 4xy 2
c) –x 3 –2 d) –x 3 –x+2
a) –4xy 2 b) –6xy 2 c) –8xy 2 e) –x 3 –x–2
d) –10xy 2 e) –12xy 2
12. Siendo:
6. De: 14 mn restar –mn
P(x) = –x 2 + 5x – 7
Q(x) = 3x 2 – 7x + 5
a) 13mn b) 14mn c) 15mn
Hallar: P(x) + Q(x)
d) 16mn e) 17mn
a) 2x 2 –2x+1 b) 2x 2 –2x+3
7. Siendo:
c) 2x 2 –2x–3 d) 2x 2 –2x–2
A (x; y) = 5xy – 4xy – 2xy
e) 2x 2 –2x+2
B (x; y) = –xy + 3xy – 4xy
Hallar: A – B
13. Reducir la siguiente expresión:
R (x; y) = 2x – 3y + x + 2y + 2x – y
a) 3xy b) 2xy c) –xy
a) x–2y b) 5x–3y c) 5x–2y
d) xy e) 5xy
d) 4x–y e) 5x+2y
8. Siendo:
P(x; y) = 5xy 3 – 3xy 3 – xy 3
14. Reducir la siguiente expresión:
E(x; y; z) = 5x 2 yz – 8yx 3 +x 2 yz + 4yx 3 –3x 3 y
Q (x; y) = –xy 3 – 4xy 3
a) 3x 3 y–8x 2 yz b) 8x 2 yz–2x 3 y
Hallar: Q – P
c) 4x 2 yz–6x 3 y d) 3x 2 y–xy
a) 9a 2 b–9b 2 b) 4a 2 b–3b 2
c) 4a 2 b–3b 2 d) 9a 2 b+5b 2
e) 7a 2 b–2b 2 17
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Primer año de secundaria
17

3
Capítulo
Practica en casa
1. Reducir:
10x 2 + 5x 2 – 8x 2
2. Reducir:
14 xy 5 – 19 xy 5
3. Reducir:
–4 ab + 2 a 2 b – 5 ab – 3 a 2 b
4. Si los términos algebraicos:
A(x) = –11x n ∧ B(x) = 5x 30
Son semejantes. Halle el valor de n.
5. Reducir:
11 abc – (3 abc – 4 abc – 5 abc)
6. De –40 ab 5 restar 30 ab 5
7. De 56 xyz restar –xyz
8. Siendo:
A (a; b) = 11 ab – 8 ab – ab
B (a; b) = –ab + 4 ab – 5ab
Hallar: A – B
9. Sean los términos semejantes:
T (x; y) = 9 x n–2 y m–3
Q (x; y) = 13 x 4 y 5
Hallar: m – n
10. Sabiendo que:
P(x) = –x 5 + 8x 3 – 9
Q(x) = –4x 3 + x 5 + 7
Hallar: P(x) + Q(x)
11. Teniendo en cuenta que:
A(m) = –4m 2 + 5m – 11
B(m) = –m 2 + 3m + 3
Hallar:
A(m) – B(m)
12. Reducir la siguiente expresión:
R (x; y) = 4x – 5y + 2x + 3y + 3x – 2y
13. Reducir la siguiente expresión:
E(m;n;p)=5m 2 np–9pn 3 +4m 2 np+4n 3 p– 11m 2 pn
14. Efectuar:
5 ab 6 – 11ab 6 – (3ab 6 – 7 ab 6 )
15. Si:
P(x) = 8x 3 – 3x
Q (x) = –4x – 14x 3
R(x) = x 5 + 2x 3
Hallar: P(x) + Q(x) + R(x)
Tú puedes
1. Si se cumple que: 5x b + ax 3 = 11 x 3 , calcular
el valor de: a b +
a) 2 b) 5 c) 6
d) 3 e) 4
2. Siendo: A=mx m+3 y 2m+n ∧ B=nx 2n–1 y 3m+1
Términos semejantes. Dar su suma
a) 4 x 5 y 5 b) 2 x 3 y 8
c) 5 x 5 y 7 d) 9 x 4 y 3
e) 7 x 6 y 6
3. Al sumar los términos: x 9 +2x 9 +3x 9 +.....+nx 9
se obtuvo 55x 9 , indique n 2
a) 76 b) 81 c) 49
d) 100 e) 196
4. Sabiendo que "a" y "b" son números naturales
tales que:
4x 7 + 12x 7 = ab x 7
Hallar la suma de todos los valores adoptados
por "a" y "b".
a) 19 b) 15 c) 29
d) 4 e) 62
5. El largo de un rectángulo mide (3x+2y). Si su
perímetro mide (10x + 6y). ¿Cuánto mide el
ancho del rectángulo?
a) 2x+y b) 7x+4y c)
7
x+ 4y
2
d) 4x+2y e) x+2y
18
18
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Capítulo
4
Teoría de exponentes I
Lectura: René Descartes
El primero que colocó el exponente en una posición elevada con
respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo,
se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x 2 , lo
escribía como 5 2 .
En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète
en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual,
salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x 2 lo
escribía como 5x ii .
Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los
incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja
de ser curioso; sin embargo, que para la potencia cuadrada no
utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como
muchos hasta entonces, x 2 como xx.
FUENTE: Link:www.epsilon.com
En este capítulo aprenderemos
..
Notación de una potencia, explicando los elementos operativos:
base – exponente – potencia.
..
Definición de exponente cero y exponente unitario.
..
Operación de multiplicación y división de potencias de bases
iguales.
..
Regla de signos de la potenciación.
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Primer año de secundaria
19
19

4
Capítulo
Síntesis teórica
TEORÍA DE EXPONENTES
I
Potenciación
• Definición
• Teorema
Definiciones
Teoremas
Exponente
Natural
Exponente
Cero
Exponente
Unitario
Multiplicación de
potencias de bases
iguales
División de
potencias de bases
iguales
20
20
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Álgebra
Saberes previos
1. Efectuar:
• (–3)(–3) =
• (–4)(–4)(–4) =
2. Reducir:
• x + x =
• x + x + x =
• x + x + x + x =
3. Reducir:
x 7 + x 7 + x 7 + x 7 + x 7 =
4. Efectúe las siguientes operaciones:
• 9 + 6 – 17 =
• 5 – 8 –20 =
• – 5 – 4 – 3 =
5. Reducir:
x 8 + 2x 8 + x 8 =
4x 11 – 12x 11 =
Aplica lo comprendido
1. Efectuar:
• 4 3 =
• 2 5 =
2. Reducir:
• x . x . x . x . x =
• m. m. m. m.....
m =
14444 24444
3
3. Calcular:
50 veces
4. Efectuar:
• 5 0 =
• (–11) 0 =
• –9 0 =
• 4 50 =
5. Efectuar:
• x 4 . x 5 =
• (–4) 2 =
• (–5) 3 =
•
m
m
21
7
3 8
•
x . x
9
x
= ; m ≠ 0
= ; x ≠ 0
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Primer año de secundaria
21
21

4
Capítulo
Aprende más
1. Efectuar:
(–3) 2 – (–2) 2
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
2. Efectuar:
(–5) 3 + (–7) 2
a) –74 b) –75 c) –76
d) –77 e) –78
3. Reducir:
x 12 . x 10 . x 40
a) x 61 b) x 62 c) x 63
d) x 64 e) x 66
4. Reducir:
40
x
; x!
0
50
x
a) x 4 b) x –10 c) x 5
d) x 10 e) x 20
5. Reducir:
7 ( − 3)
0
a) 7 b) 0 c) 3
d) 1 e) –7
6. Efectuar:
4x 0 + (4x) 0 ; x ! 0
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Reducir:
6
x
4 5
x . x
; x ! 0
a) x –1 b) x –2 c) x –3
d) x –4 e) x –5
8. Reducir:
5 − 2 2 3 0
x . x . x
a) x b) x 2 c) x 3
d) x 4 e) x 5
9. Reducir:
x . x . x + x . x . x + x . x . x
a) 3x 3 b) 2x 3 c) x 3
d) x 4 e) x 9
10. Reducir:
5 6
x
+
x
;
−3
−2
x x
x!
0
a) x 8 b) 3x 8 c) 2x 8
d) x 6 e) x 15
11. Reducir:
5 5 5
x + x + x
;
3 2
x . x
x!
0
a) 1 b) 3 c) 4
d) x e) 2
12. Reducir:
x 2 . y 5 . x 3 . y 4
a) x 6 y 9 b) x 7 y 9 c) x 9 y 5
d) x 5 y 9 e) xy 6
13. Efectuar:
(–2) 6 – (–4) 3
a) 64 b) 32 c) 128
d) 1024 e) 512
14. Reducir:
(–x) 40 . x 51 . (–x) 21 . (–x) 20
a) –x 48 b) –x 10 c) –x 144
d) –x 132 e) –x 37
15. Reducir:
x
−
. x . x
−4
x
9 3
2
5
0
; x ! 0
a) x 3 b) x 5 c) x 6
d) x 4 e) x 7
22
22
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Álgebra
Practica en casa
1. Efectuar: (–10) 2 – (–3) 4
9. Reducir: m . m . m . m + m . m . m . m
2. Efectuar: (–2) 5 + (–3) 3
3. Reducir: x 13 . x 11 . x 31
10. Reducir:
7
x
+
−3
x
x
x
5
−5
;
x!
0
30
4. Reducir:
x
; x!
0
50
x
5. Reducir: 11 ( − 8)
0
6. Efectuar: 9x 0 + (17x) 0 ; x ! 0
7. Reducir:
x
x
8 6
. x
. x
10 14
; x ! 0
11. Reducir:
8 8 8
x + x + x
3 5
x . x
; x!
0
12. Reducir: a 3 . b 6 . a 4 . b 7 . a 6
13. Efectuar: (–4) 4 – (–2) 3
14. Reducir: ( − x )
x
4
3
2
8
; x ≠ 0
6 3
2
4
3 0
−
8. Reducir: x . x . x
15. Reducir:
8 −2 3
3
0
x . x . x
−3
x
;
x!
0
Tú puedes
1. Reducir:
30 27
2 + 2
26
2
a) 16 b) 18 c) 4
d) 6 e) 8
2. Resolver:
2. 2. .... 2= 16+ 16+ ... + 16
144 244 3 144 4244 43
( 3x − 9)
veces 256 veces
a) 5 b) –7 c) 7
d) 3 e) 6
3. Hallar el valor de "x" tal que:
2 x–2 + 2 x+2 + 2 x–3 + 2 x+3 = 198
4. Si: x x =3, halle el valor de:
x xx + 1
a) 9 b) 6 c) 27
d) 81 e) 24
5. Si: 5 n = 2 y 2 m = 3; calcular:
n+ 1 m+
1
5 + 2
n+ 1 m+
1
5 − 2
a) 7/3 b) 6 c) 4
d) 2 e) 5
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
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23
23

5
Capítulo
Repaso I
Lectura: Leyenda sobre el ajedrez
Existen diversas leyendas sobre el origen del ajedrez, la más difundida de ella es la
siguiente:
Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo
en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo
y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y
filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey.
Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió
a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan feliz
con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El
joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en
la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera,
ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar
las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió
a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que
debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una
gran sorpresa:¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!"
FUENTE: red escolar.ilce.edu.mx
¿Por qué no alcanzaría el trigo?, la respuesta está en el exponente, pues al efectuar la operación, el número
crece considerablemente, así tenemos que solo por el casillero 64 el número de granos que corresponde
es 2 64 cuyo resultado es:
9 223 372 036 854 780 000.
En este capítulo recordaremos
..
La reducción de términos algebraicos semejantes, así como sus
características.
..
Teorías de exponentes
..
Definiciones y teoremas que abarcan: exponente cero, unitario
y multiplicación y división de potencias de bases iguales.
24
24
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Álgebra
Saberes previos
1. Efectúe las siguientes operaciones:
• 4 – 15 =
• –20 – 10 =
2. Efectúe las siguientes operaciones:
• –13 – 12 + 33 =
• 4 + 5 – 18 =
3. Efectúe las siguientes operaciones:
4. Reducir:
• 8a 2 + 5a 2 – 15a 2 =
• 14xy – 19xy + 2xy =
5. Efectuar:
(–5) 3 =
(–9) 2 =
(–4)(3) + (–2)(–5) =
(–8)(4) – (–3)(5) =
Aplica lo comprendido
1. Reducir:
–14x 4 y 5 + 9x 4 y 5 – 4x 4 y 5
2. Reducir:
–3abc 3 + abc 3 – 4abc 3 + 2abc 3
3. Si los términos algebraicos:
T(x) = 40x n ; S(x) = 2x 8
son semejantes. Halle "n"
4. Reducir:
–9m 5 n 4 + 5m 5 n 4 – (2m 5 n 4 – m 5 n 4 )
5. De:
8abc 8 restar 10 abc 8
6. Restar:
–xy 3 de 5xy 3
7. Reducir:
x . x. x. x. x.....
x
14444 24444
3
150 veces
8. Desarrollar las potencias, eliminando los
paréntesis:
• (–x) 4 =
• (–x) 5 =
9. Efectuar:
• x 0 = ; x ! 0
• (–x) 0 = ; x ! 0
• –3x 0 = ; x ! 0
• x 80 =
10. Efectuar:
• b 4 . b 6 . b 5 =
x
• x
16
12
+
x
x
8
4
5 6 7
m . m . m
• 9
m
= ; x ≠ 0
= ; m ≠ 0
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25
25

5
Capítulo
Aprende más
1. Reducir: 4mnp + 5mnp – (2mnp – 9mnp)
a) 9mnp b) 8mnp c) 16mnp
d) 3mnp e) 4mnp
2 2 2 2
2. Reducir: 4xw z− 63xwz+ ( 8xw z−
15 xwz@
a) 9xw 2 z b) 11xw 2 z c) 9xw 2 z
d) 7xw 2 z e) 8xw 2 z
3. Si: T(x) = 8x 16 , es semejante con Q(x) = 11x 2a–2
Hallar: a
a) 1 b) 2 c) 4
d) 3 e) 6
4. Sabiendo que:
P(x) = –4x 2 + 6x – 8
Q(x) = 11x 2 – 13x + 9
Hallar: P(x) + Q(x)
a) 7x 2 –11 b) 7x 2 –6x+1
c) 7x 2 – x d) 7x 2 +x+1
e) 7x 2 –7x+1
5. Teniendo en cuenta que:
A(x) = –4x 5 – 8x – 2
B(x) = –2x 5 + 4x – 6
Hallar: A(x) – B(x)
a) –2x 5 +3 b) –2x 5 +x+1
c) –2x 5 –12x+4 d) –2x 5 –x 2 +8
e) –8x 3 –2x 2 –2
6. Si:
P(x; y; z) = 5x 3 + 2y 2 + z 4
Q(x; y; z) = 8y 2 – 9x 3 + z 4
R(x; y; z) = –4x 3 – 12y 2 – 4z 4
Hallar:
P(x; y; z) + Q(x; y; z) + R(x; y; z)
a) –8x 3 +2y 2 –z 4 b) –8x 3 –2y 2 +z 4
c) –8x 3 +y+z 4 d) –x 3 –y 2 +z 4
e) –8x 3 –2y 2 –2z 4
7. Si se cumple que: 7x m + ax 4 = 13 x 4
Calcular el valor de: m+ a−
1
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
8. Reducir:
P(x; y) = 5x – {–2x– [x – 2y]} + 2y
a) x b) 7x c) 6x
d) 8x e) 9x
9. De: (8x – 11) restar: (–4x + 1)
a) x–12 b) 12x–12 c) 10x–3
d) 11x–1 e) 12x+12
10. Efectuar: (–4) 3 – (–5) 2
a) –40 b) –37 c) –38
d) –89 e) –32
11. Reducir: x 13 . x 12 . x –16 ; x ≠ 0
a) x 6 b) x 7 c) x 9
d) x 4 e) x 14
16
18
12. Reducir:
x
+
x
+
x
; x ≠ 0
x
13 15 3
x x
a) 3x 3 b) 2x 3 c) x 3
d) 4x 3 e) 5x 3
13. Reducir: 2012 ( − 2011)
0
a) 2010 b) 2011 c) 2013
d) 2012 e) 2014
14. Reducir: x . x . x ; x ≠ 0
a) x 6 b) x 14 c) x 40
d) x 18 e) x 3
6
6
2
−3 3
5
4 0
9 9 9 9
15. Reducir:
x + x + x + x
5 4
2 x . x
; x ! 0
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
16. Reducir: m 5 . n 6 . p 7 . m 4 . n 2 . p 8
a) mn 7 p 11 b) m 9 n 7
c) m 9 n 8 p 14 d) m 9 n 8 p 13
e) m 9 n 8 p 15
17. Reducir: (–x) 50 . x 41 . (–x) 21 . x 13
a) –x 160 b) –x 240 c) –x 125
d) –x 123 e) –x 111
4
2
−5 2
2
3
18. Reducir:
x . x . x
−6
x
; x!
0
a) x 2 b) x 3 c) x 4
d) x 5 e) x 6
11
19. Reducir:
m
+
m
; m!
0
−2
−7
m m
a) m 13 b) 4m 13 c) m 12
d) 2m 13 e) m 8
6
20. Hallar "x", si: 5 x+3 + 5 x+2 +5 x+1 +5 x +1=157
a) 1 b) –2 c) –1
d) 0 e) 3
26
26
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Álgebra
Practica en casa
1. Reducir: 5x 3 y 2 z 4 +2x 3 y 2 z 4 – 9x 3 y 2 z 4
2. Reducir: 4am 5 – [8am 5 – (7am 5 – 11am 5 )]
3. Si: 9x 4 y b–2 ; es semejante con: –13x a–2 y
Hallar: a+
b
4. Si:
A(x) = –4x 8 + 23
B(x) = –30 + 5x 8
Hallar: A(x) + B(x)
5. De: 9mnp 7 resta 15mnp 7
6. Restar: –5xw de 200wx
7. De: (5xy + 4xz 2 ) restar (2xz 2 – 2xy)
8. Reducir: 4 a . a . a + 5 a . a . a – 2 a . a . a
9. Efectuar:
11. Efectuar:
• x 5 . x 6 . x 8 . x 9 =
•
m
m
20
13
12. Reducir:
14
+
m
+
m
7
m m
4 5 11
x . x . x
13 ; x ! 0
x
9
2
= ; m ≠ 0
13. Si se cumple que: 11x n + mx 6 = 18 x 6
3
Calcular el valor de: m+ n−5
• (–m) 8 =
• (–3) 7 =
10. Efectuar:
• 3 0 + 2 2 =
14. Reducir:
5 5 5 5
4m + m + m + m
3 2
14 m . m
; m ! 0
• (–4) 0 + (–2) 2 =
• –23 . x 0 = ; x ! 0
• 7 110 =
15. Reducir:
xxx .. + xxx .. + xxx .. + ... + xxx ..
144444444 244444444
3
30 sumandos
Tú puedes
1. Dados:
P = (C – 1) x 2 + 3x + 3y
Q = 5x 2 – 3 (x+y)
Si: P – Q se reduce a 6 (x+y). hallar el valor de C.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
2. De a 2 sustraer la suma de 3ab–6 y 3a 2 –8ab+5
a) –a 2 + 5 ab – 2
b) –3 a 2 + 5 ab – 1
c) 3 a 2 – 5 ab + 1
d) –3 a 2 + 5 ab + 1
e) –2 a 2 + 5 ab + 1
10 veces 7 veces
644 7448
644474448
3. Reducir:
5. 5....... 5. 15. 15. 15....
15
15 8
5 . 3
a) 25/6 b) 25/3 c) 25/2
d) 15/2 e) 7/3
4. Si: a 3 = 3
Hallar: a 3a3
a) 1 b) 3 c) 9
d) 27 e) 81
5. Simplificar:
n
2 − 2.
2
n + 3
2.
2
+ 4 n+
2
;n!
N
a) 1/4 b) 1/2 c) 2
d) 1/3 e) 4
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Primer año de secundaria
27
27

6
Capítulo
Teoría de exponentes II
Lectura: El Álgebra en la astronomía
Para los científicos que se ocupan de estudiar fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes, como
los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy útil la potenciación, porque les permite trabajar y
operar con números muy grandes con cierta facilidad.
La distancia que nos separa de la nebulosa de Andrómeda, por ejemplo,
es aproximadamente igual a:
95000000000000000000 km
La cual se puede escribir también como 95 × 10 18 , pues hay 18
ceros a la derecha del 95. Más aún, este número se puede escribir
como 0,95 × 10 20 o 9,5 × 10 19 o 950 × 10 17 .
Así como los científicos usan números gigantescos, también
utilizan números muy pequeños, como el que representa la
masa de un protón, una de las partículas del átomo:
0,00000000000000000000000165 gramos
como las potencias con exponente negativo representan inversos
de potencias positivas, es decir, por ejemplo:
–20
5 =
1
20
5
y el inverso de 5 20 es un número muy pequeño, son las potencias con
exponente negativo precisamente las que permiten expresar números
como la masa de un protón de manera más breve:
1,65 × 10 –24 gramos
El exponente –24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el número en cuestión
hasta llegar al primer dígito distinto de cero (contando este dígito).
FUENTE: www.rena.edu.ve
En este capítulo aprenderemos
..
Definir la potencia de exponente entero negativo.
..
Multiplicar potencias con exponentes iguales.
..
Identificar y desarrollar potencias de potencias.
..
Aplicar indistintamente y en forma correcta las definiciones y
propiedades vistas.
28
28
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Síntesis teórica
TEORÍA DE EXPONENTES
II
Definiciones
Teoremas
Multiplicación
de potencias
División de
potencias
Potencia de
potencia
Exponente
negativo
Bases de
exponentes iguales
Bases de
exponentes iguales
Consecuencia
Además
recuerda que
a −n ` = ?
b
j
(–a) n = ?
www.trilce.edu.pe
Primer año de secundaria
29
29

6
Capítulo
Saberes previos
1. Calcular:
4. Reducir:
•
3
+
5
=
• (–5) 2 =
7 7
•
11
−
5
• (–4) 3 =
=
3 3
• –2 2 =
2. Reducir:
• − 7 30 =
• x 4 . x 5 =
5. Efectuar:
• m 6 . m 3 . m 2 =
•
2
+
3
=
3. Reducir:
3 4
11
•
x
4 = ; x ≠ 0
x
•
2
−
11
=
3 2
6
•
m
8 = ; m ≠ 0
m
Aplica lo comprendido
1. Efectuar:
• 4 –1 =
• (–3) –1 =
• 5 –1 =
• –2 –1 =
2. Efectuar:
• 9 –2 =
3. Reducir:
(x 2 ) 5 . (x 3 ) 6
4. Reducir:
5
15
5
5
− 3
5
5. Reducir:
2 x . 3 x – 6 x
• 4 –3 =
• (–5) –2 =
30
30
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Aprende más
1. Efectuar:
1 − 1
8 +
4
B 8
8
B
1 −1
a) 11 b) 13 c) 15
d) 16 e) 12
2. Calcular:
3 –2 –4 –2
a) 33/144 b) 11/144 c) 7/144
d) 19/144 e) 13/144
3. Calcular:
5 −3
8
3
B
a) 7/125 b) 11/125 c) 17/125
d) 27/125 e) 13/125
4. Reducir:
(x 2 y 5 ) 2 . (x 3 y 2 ) 5
a) x 18 y 19 b) x 19 y 20 c) x 18 y 19
d) x 17 y 20 e) x 17 y 29
5. Calcular:
−
5 40
a) 2/5 b) 5 c) –1
d) 1/5 e) 1
6. Hallar el equivalente de:
(xy) –3 ; xy ! 0
a) x 3 y 3 b)
1
3
xy
d) x 3 y –3 e) x 3 /y 3
7. Reducir:
10
18
1020
10 −
9
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
c)
1
3 3
xy
8. Reducir:
4(x 2 ) 6 + 5x 4 . x 8 16
– 6 .
x
x
4 ; x ! 0
a) 2x 12 b) 3x 12 c) 15x 12
9. Reducir:
8 8 8 8
;
3x . 3x . 3x .... 3x
1444 42444 43E
20 veces
15 15 15 15
;
9x . 9x . 9x ... 9x
14444 424444 43E
10 veces
; x ≠ 0
a) x 4 b) x 5 c) x 7
d) x 10 e) x 12
10. Calcular:
(4 –1 – 4 –2 ) –1
a) 17/3 b) 11/3 c) 19/3
d) 16/3 e) 13/3
11. Reducir:
( xy
) ( xy
)
17 45
x ( y )
; xy ≠ 0
a) y 3 b) y 4 c) y 5
d) y 6 e) y 7
12. Calcular:
R = ;
25 5
8 +
11
B 8
3
B E
−1 −2 −1
a) 3/5 b) 4/9 c) 5/4
d) 2/7 e) 1/3
13. Reducir:
−3 −2 2 ( 3) 1 0
+− − + ( 2012)
9
a) 3/8 b) 9/8 c) 2/5
d) 1/2 e) 3/7
14. Reducir:
20 5
1024 # 125
a) 5 b) 25 c) 125
d) 625 e) 3125
15. Reducir:
−1 −1 m + n
−1
=
−1 −1G ; m ≠ n ≠ 0
m − n
a)
d)
n−
m
m+
n
b)
m+ n
e)
n–m
m
n
m + n
n
c)
m+
1
m−
n
d) 6x 12 e) 4x 12 31
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Primer año de secundaria
31

6
Capítulo
Practica en casa
1. Efectuar:
1
`
3
j
−1 −1
+
1
`
8
j
2. Calcular: 2 –2 – 5 –2
9. Reducir:
5 5 5 5
;
2x . 2x . x .... 2x
1444 42444 43E
20 veces
8 8 8 8
;
4x . 4x . 4x ... 4x
1444 42444 43E
10 veces
; x ≠ 0
11 −2
3. Calcular: 8
5
B
4. Reducir: (a 4 . b 5 ) 2 (a 3 b 2 ) 4
10. Calcular: (5 –1 – 5 –2 ) –1
( xy
11. Reducir:
2 5 ) 4 ( xy
3 24 ) ; xy ≠ 0
4 13 2 10
x . x .( y )
−
5. Calcular: 4 50
−1 −2 −1
12. Calcular: R = ;
25 5
` +
16
j `
3
j E
6. Hallar el equivalente de: (xy) –4 ; xy ! 0
–3 –2 0
13. Reducir: ^2 + 8 + (–5 h –
1
+ (2013)
25
7. Reducir:
18
6
5
5 −
240
8. Reducir: 5(x 3 ) 7 + 9x 10 . x 11 +
8 x
x
10
31
14. Reducir:
20 5
1000 # 128
−1 −1 −1
15. Reducir:
a + b
= a
−1 b
−1G ; a ≠ b ≠ 0
−
Tú puedes
1. Simplificar:
1 8
8
9
B8
3
B
−
1
1 1 −
1 −8 3
9
B8
3
B
3
B
a) 9 b) 9 c) 1/3
d) 27 e) 1/9
x 2 x x
2. Efectuar:
2
.
9
.
8
`
3
j `
4
j `
27
j
a) 2/3 b) 3/2 c) 1
d) 9/4 e) 4/9
3. Si se sabe que:
2 x = 5 .......... (1)
3 y = 7 .......... (2)
Calcular: xy
=
6
7 x
. y
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
4. Calcular:
3 2
5 + 5 + 5+
1
−3 −2 −1
5 + 5 + 5 + 1
a) 5 b) 25 c) 125
d) 625 e) 3125
5. Si:
10 m = x m . y n
10 n = x n . y m
Indicar el valor de: xy
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
32
32
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Capítulo
7
7
Teoría de exponentes III
Lectura: Christoph Rudolf
La operación de radicación se expresa cuando usamos el símbolo
. Este símbolo pudo ser una variante de la letra r, primera de
la palabra en latín radix, que significa raíz. Fue introducida
por Christoph Rudolf en 1525.
El mismísimo Euler conjeturó en 1775 que se trataba de
una forma estilizada de la letra r, inicial del término latino
radix, "radical".
Otra teoría, sin embargo, dice que el signo actual
evolucionó a partir de un punto (signo que en ocasiones se
utilizó delante de las expresiones para indicar la extracción
de la raíz cuadrada) al que posteriormente se le añadió un
trazo oblicuo en la dirección del radicando.
FUENTE: www.epsilom.com
En este capítulo aprenderemos
..
Notación y definición de la operación de radicación (Radical –
radicando – índice)
..
Definición de las potencias de exponente fraccionario.
..
Operaciones con radicales, tales como la multiplicación, división,
potenciación y radicación.
..
Identificar y desarrollar equivalentes de una raíz de raíz.
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Primer año de secundaria
33
33

7
Capítulo
Síntesis teórica
TEORÍA DE EXPONENTES
III
Definición
Exponente
fraccionario
Se complementa
con los
Recuerda
n
a = b
• símbolo radical
• índice
• radicando o cantidad sub-radical
• raíz enésima de "a"
Teoremas
Multiplicación de
reales
División de reales
Raíz de reales
Consecuencia y reglas
prácticas
34
34
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Álgebra
Saberes previos
1. Desarrollar las siguientes potencias:
• (–12) 2
4. Desarrollar las siguientes potencias:
• –3 –1 =
• (–10) 3
2. Desarrollar las siguientes potencias:
• 4 –1 =
• (–3) –2 =
2 −3
• 8
5
B =
3. Efectuar las siguientes operaciones:
•
2
. 15 =
3
• –4 –2 =
5. Reducir las siguientes expresiones:
• E(x) = 5x 4 – 8x 4 + 5x 4
• M (x; y) = 9xy + 5xy – 8xy + 4xy
• I(x; y; z) = 11x 2 yz + z 5 – 20 x 2 yz
• −
4
# 14 =
7
• –
2
–
33
` #
11
j ` 5
j =
Aplica lo comprendido
1. Calcular:
• 64 =
4
• 81 =
3
• 125 =
5
• 32 =
2. Calcular:
• 3 − 64 =
• 7 − 1 =
• 5 − 32 =
• 9 − 512 =
3. Efectuar:
3 4
P = 144 −8.
− 8 + 81
4. Efectuar las siguientes potencias:
• 16 12 / =
• ^−64 h 13 / =
• − 49 32 / =
5. Efectuar:
5 5 5
• 7 . 6 . 3 =
3
•
81
=
3
3
7 14
• 50
=
3
• 11
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Primer año de secundaria
35
35

7
Capítulo
Aprende más
1. Efectuar:
( 81 ).( − 8)
12 / 23 /
a) 33 b) 34 c) 36
d) 37 e) 38
2. Calcular:
(16 × 9) 1/2
a) 10 b) 12 c) 13
d) 15 e) 14
3. Reducir:
5
x . y
20 30
a) x 3 y 5 b) x 4 y 6 c) x 6 y 7
d) x 8 y 9 e) x 10 y 6
4. Efectuar:
^ abh
. ^
3 21 4
abh
a) a 8 b 8 b) a 7 b 7 c) a 9 b 9
d) a 10 b 10 e) a 11 b 11
5. Calcular:
125 3 − 20
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
6. Si "x" es un número positivo, reducir:
6 12 5 10 4
x + x + 9x
a) 4x 2 b) 6x 2 c) 9x 2
d) 5x 2 e) 11x 2
7. Reducir:
6
4
625 x −
36x
; x ! 0
2
9x
a) 20x 2 b) 21x 2 c) 22x 2
d) 23x 2 e) 24x 2
8. Efectuar:
3 4 48 5 3 30
x + x
a) x 2 b) 3x 2 c) 5x 2
d) 2x 2 e) 7x 2
9. Calcular:
10 .
64
4 .
16 − /
3 +
125
8 121
B
12
a) 14 b) 19 c) 20
d) 18 e) 21
10. Efectuar:
(0,25) 0,5
a) 0,25 b) 0,15 c) 0,3
d) 0,5 e) 0 ,5
11. Sea:
−
A 64 4 2 1
=
B 125 27 − 3 =
Hallar: (B+3)(A)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Efectuar:
3
x.
5
y
a) 3 x .
5 y
b) x .
3 3
c) 3 x .
15 y
d) x .
3 7
e) x .
13. Efectuar:
6
x
5 7
.
x
y
3 4
a) x 1/12 b) x 11/12 c) x 17/12
d) x 5/12 e) x 17/12
14. Efectuar:
3
x
5
y
; y!
0
3
a)
x
y
d)
3
3
y
15. Efectuar:
3
x:
x
b)
e)
; x > 0
3
5
x
y
x
y
a) x
3
b) x
6
d) x
4
e) x
c)
y
y
3
x
15
y
5
c) x
36
36
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Practica en casa
1. Calcular:
• 9 =
5
• 1024 =
3
• 343 =
• 7 16 7 =
2. Calcular:
• 5 − 32 =
• 7 − 1 =
• 3 − 1000 =
3 4
3. Efectuar: U= 169 −5.
− 64 + 16
4. Efectuar las siguientes potencias:
• 36 1/2 =
• (–125) 1/3 =
• –81 3/2 =
6. Efectuar: (144 1/2 ) . (–27) 2/3
7. Calcular: (4 × 16 × 25) 1/2
28 42 49
8. Reducir: x . y . z
9. Calcular:
7
1 −3 −20
8
125
B
10
8
10. Reducir: 400 x −
81x
;
2
9x
6 4 96 8 5 80
11. Efectuar: x + x
3 5
12. Efectuar: a b
x ! 0
5. Efectuar:
13. Efectuar: x.
x
4 4 4
• 8 . 3 . 11 =
5
•
64
=
5
2
6 12
• 21
=
3 4
• 13 =
3
14. Efectuar: x:
15. Efectuar: x. x . x
3
z
2 4 3
Tú puedes
1. Reducir:
; 2 464
( x ) B 8 16
. x
E
; x > 0
a) –1 b) 1 c) x
d) –x e) x 2
www.trilce.edu.pe
18
8
43 /
2 4
n + 13 /
n n
2
−1 3 −1
2. Efectuar: 3 . 3 .
3
1
. 3
3
a) 1 b) 2 c) –1
d) 4 e) 3
; n ∈ N , n ≥ 2
n
n n
n n
n n
n
n
n n n
+ +
3. Simplificar:
n n
n .
1
8
n
B
a) 1 b) 0 c) –1
d) n e) –n
4. Calcular el mayor valor de n, si:
1
n n =
/ / /
/ /
1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 110
+ + +
+
( n n)
;;862
@ B E E
3
a) 4 b) 2 3
c) 16
3
d) 20
3
e) 5 4
5. Luego de reducir:
3 4 33
4 3
a a a a
4 3 2 4 3 2
a a a a
Dar el exponente de "a".
a)
d)
13
72
15
72
b)
e)
13
71
11
70
c)
11
73
Primer año de secundaria
37
37

8
Capítulo
Teoría de exponentes IV
Lectura: El filamento de una lámpara y el Álgebra
Es un error pensar que en la práctica
tropezamos tan sólo con segundas y terceras
potencias, y que no existen exponentes de
potencias superiores más que en los manuales
de álgebra. Cuando un ingeniero busca el
grado de solidez de un cuerpo se ve obligado
operar a cada instante con cuartas potencias;
y en otros cálculos (para hallar el diámetro
de tubo conducto de vapor, por ejemplo)
llega a operar incluso con la sexta potencia.
Al estudiar la relación que existe entre la
luminosidad de un cuerpo incandescente, –
el filamento de una lámpara, por ejemplo– y
su temperatura, se opera con potencias aún
mayores. Así, que si calentamos un cuerpo de
2000 a 4000 grados absolutos, por ejemplo, o sea si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de
dicho cuerpo aumentará en 2 12 , es decir, en más de 4000 veces.
FUENTE: tomado del libro "Álgebra recreativa. Autor: Yakov Perelman
Link: http://www.sectormatematica.cl//librosmat/Perelman%20-%20Algebra%20recreativa.pdf
En este capítulo aprenderemos
..
Desarrollar ejercicios de Teoría de exponentes que involucren
todo tipo de definición y propiedad estudiados en capítulos anteriores.
38
38
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Síntesis teórica
Capítulo
8
TEORÍA DE EXPONENTES
IV
Presenta criterios
complementarios
Descomposición
−
a b −c
x
2
+ 3
x − 1
4
3 descomposición
en factores
n x nK
nK x n
(x a . y b ) n n n
x
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Primer año de secundaria
39
39

8
Capítulo
Saberes previos
1. Reducir:
• x 2 + x 2
• 8xy – 10
2. Reducir:
• x 4 . x 4 .
•
3. Reducir:
(a 4 ) 3 . (a 3 ) 5
5
x
3
x
=
=
=
=
4. Desarrollar:
• 5 –1
• 4 –2
5. Efectuar:
5 10
• 2 # 3
• (x 3 . y 4 ) 2
+ x 2 =
xy =
x 4 15 =
=
Aplica lo comprendido
1. Calcular el valor de:
M = 2 –3 + 4 –2 + 8 –1
2. Calcular el valor de:
5 2 2
2 2 2
2 # 5 # 9
3 # 4 # 15
3. Indicar el exponente final de "x" luego de
reducir:
x
x
8 2 3
4 3 2
.( x )
.( x )
;
x!
0
4. Calcular el valor de:
E 27 9 − 2 −1
=
5. Calcular el valor de:
−2 −1
R =
2 2
8 +
5
B 8
25
B
Aprende más
1. Simplificar:
x
E =
2 + 2
x + 1
2
+ 3 x+
2
a) 2 b) 3 c) 6
d) 4 e) 7
2. Al reducir la expresión: x .
x 3/10 . Hallar el valor de "a".
a
2a
a) 2 b) 3 c) 5
d) 10 e) 6
x, se obtiene:
3. Reducir:
;
2 1
.
15
8 +
5
B 8
5
B E `
2
j
− 1 − 1 − 1
a) 0 b) 1 c) 1/5
d) –1 e) 2
4. Reducir:
4 6
4 . 6
5
12
a) 24 b) 36 c) 60
d) 48 e) 71
40
40
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Álgebra
5. Simplificar:
5
5
7
2
64x
2x
a) x b) 4x c) 2x
d) 3x e) 6x
6. Reducir:
2 a−
8 a+
9
a ( a . a )
2a
a . a
a) a b) a 2 c) a 3
d) a 4 e) a 8
7. Si: x x =2. Calcular el valor de:
x –2x + x –x
a) 2 b) 3/4 c) 1/2
d) –1 e) 3/2
8. Calcular el valor de:
n+ 4 n+
3
+ 3 n+
2
M =
2 + 2
2
n
+ 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Reducir:
x
5 + 3
−x
5 + 3
x
−x
a) 2 x b) 3 x c) 15 x
d) 5 x e) 8 x
10. Si el exponente final de "x" es 4 en la expresión:
x
x n , calcular "n".
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
11. Al simplificar
2 2 2 2
5 . 6 − 3 . 5
2 2
15 . 2+
15
, se obtiene:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 6 e) 9
12. En la siguiente igualdad:
a −2
8`
.
b
j B
a
b
8
a n
4 =
Calcular el valor de "n".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Al operar:
−2 2 −2
3 ;
4
.
5
8 # 10
3
B 8
3
B E
a) 1/5 b) 2/5 c) 4/5
d) 8/5 e) 11/5
14. Reducir:
2 4
M =
10 # 3 # 36
3
3
( 12 5
2
# # )
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Simplificar:
10 veces
6447448
6 4444 7 4444 8
4 4 4
x. x. x.... x x . x .... x
3 6
4
x . x ... x . ^ x h
14442444
3
10 veces
16 veces
a) x b) x 2 c) x 3
d) x 4 e) x 5
Practica en casa
x+ 3 x+
2
1. Simplificar: E =
5 + 5
x + 1
5
2. Si: x 2 =4, donde x es un número natural.
Calcular: x 8 + x –4
3. Calcular el valor de: 4 2 8 7
6 @
05
4. Sabiendo que: 2 x = 6. Calcular: 2 x+1
5. Reducir: 16 4 8 /
− −13
6. Si: x n =5, reducir: x 3n –100
3 x x 3
7. Calcular el valor de "x", en: 4 = 2 . 2
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41
41

8
Capítulo
8. Calcular el valor de:
2x
+ 1
2
4
x
n 2n
n 1/
n −1 3
13. Efectuar: ^ b h^b h . ^b
h
donde: n ∈ N; n ≥ 2 y b ! 0
9. Calcular:
9
8
25
B
−12 / −1
+ 3
7 7 7 7
10. Si: A= x . x . x .... x , Hallar: A
1444442444443
28 factores
= 4 2
14. Efectuar:
' 8 2 B 1 G
2
2
2
11. Reducir:
5 10 5 15
a
a
.
.
a
a
8 16 8 24
−2 −2 12 /
12. Reducir: A = ;
1 1
` +
6
j `
8
j E
15. Efectuar:
x 2 3
^ a. a . a .... a h
x x x x
a + a + a + .... + a
144444 244444
3
"" a sumandos
x
2
Tú puedes
1. Calcule el valor de "x" en la ecuación:
2 2x+1 = 4 x + 64
a) 1/2 b) 1 c) 3/2
d) 2 e) 3
2. Calcular el valor de:
n n+
3
2 # 6
n+
1 n
3 # 4
a) 9 b) 8 c) 72
d) 16 e) 48
3. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales
positivos satisfacen el siguiente sistema de
ecuaciones:
x+
y 3
x = y
)
x+
y 6 3
y = x . y
a) 6 b) 12 c) 5
d) 11 e) 4
4. Si: 4 n + 4 n + 4 n + 4 n = 2 2008
Hallar "n".
a) 1001 b) 1002 c) 1003
d) 1004 e) 1005
5. Sea la siguiente sucesión:
4 3
x = x
1
x = x x
2
4
4
3 4 3
3 4 3 4 3
x3
= x x x
h
Calcular x 10
.
4 6 −1
a) x 4 6
c)
e)
4 8 −1
x 4 8
4 10 −1
x 4 10
4 7 −1
b) x 4 7
4 9 −1
d) x 4 9
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42
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Notación de polinomios
Lectura: Álgebra simbólica
Capítulo
9
y = x 2
Una de las causas por las que la Matemáticas no avanzaron suficientemente hasta el siglo XVI fue sin duda
la carencia de unos símbolos que ayudaran a los matemáticos a expresar sus trabajos de una manera más
simple y que permitieran su lectura con mayor facilidad.
Desde los babilonios (1700 a. de C.) hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se relataban con el
lenguaje ordinario (Período retórico o verbal). Así, por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se
puede leer para describir un problema:
"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita;
Un par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (–).
¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?
En este texto sólo son
legibles las letras x e
y, así como la fórmula
A partir de Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (Período
abreviado o sincopado) Así, por ejemplo, para expresar la ecuación: 3x 2 – 5x + 6, Regiomontano (1464)
escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5 REBUS AEQUATUR ZERO, mientras que Luca Pacioli (1494) escribía:
3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0
A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empieza a utilizar un lenguaje simbólico
bastante parecido al actual (Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así:
Stevin (1585): 3 2
. 5 1
+ 6 = 0
Vieta (1591): 3Q – 5N + 6 ae 0
Descartes (1637): 3xx – 5x + 6 = 0
Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el idioma en que está
escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en cualquier libro español.
FUENTE: Link: sites.google.com/site/504expresionesalgebraicas/
En este capítulo aprenderemos
..
Definición de un polinomio.
..
Variables constantes.
..
Valor numérico.
..
Valor numérico utilizando notación de polinomios.
..
Término independiente P(0).
..
Suma de coeficientes P(1).
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Primer año de secundaria
43
43

9
9
Capítulo
Síntesis teórica
NOTACIÓN DE
POLINOMIOS
Definición
• Variables
• Constantes o parámetros
Valor numérico
En un polinomio: P(x)
Suma de coeficientes
Término independiente
44
44
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Álgebra
Saberes previos
1. Indicar la relación de orden en: (>,

9
Capítulo
5. Si: P(x+3) =2x – 5
Calcular P .
a) 8 b) 4 c) –3
d) –6 e) 1
6. Si: P(2x–3) = x 2 + 1
Calcular: P(1) + P(5)
a) 5 b) 42 c) 16
d) 30 e) 22
7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = (x+1) 4 + (x–1) 5
a) 16 b) 14 c) 18
d) 22 e) 20
8. Sabiendo que el polinomio:
P(x) = (4x+3) 2 (x–5)+9+a
Presenta como suma de coeficientes –180.
Calcular "a".
a) 10 b) 6 c) 7
d) –9 e) –6
9. Hallar el término independiente de:
P(x) = (2x+3) 4 (x+1) 5 +6
a) 87 b) 44 c) 81
d) –42 e) 43
10. Sea: P(x+3) = x 2 – 3x + 6, presenta: P(7)=m+1
Calcular: P(m)
a) 30 b) 24 c) 36
d) 20 e) 16
11. Sea: P(x–4) = ax + 30
4
Donde: P(–9)=5. Calcular "a".
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
x + 1 y − 1
12. Si: P( ;
2 2 ) = xy
Calcular: P(5; 3)
a) 36 b) 49 c) 47
d) 83 e) 63
13. Sea el polinomio: P(x) = 2x 5 + x 2 – x + 3 + a
Si P(1) = 14 + 2 P(0)
Calcular: a+15
a) –15 b) 0 c) 15
d) 8 e) –8
14. Si: P( x − 3 ) = 5( x + 1 )
2 3
Calcular: P(1) + 5
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 18
15. Sea el polinomio:
P(2x–1) = (3x+1) 4 (5x–1) 6 –1024 2
Calcular: P(1)
a) 0 b) 1024 c) –1024
d) –1 e) 1
Practica en casa
1. Sea P(x; y) = 7x – 2y. Calcular P(1; 2)
2. Si: P(x) = 3x+2. Calcular M=
P( 1 )
P0 ( )
5. Sabiendo que: P(x) = 3x+2a, toma el valor de
17 para x=5. Calcular "a".
6. Si: P(3x+2)=x+6, calcular: P(8) + P(0,5)
3. Calcular: P(2a). Si: P(x) = x a
2 +
7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = (2x–1) 10 (x+1) 6
4. Si: P(x) = x+a. Calcular:
P( 2a)
P( 4a)
8. Hallar el término independiente de:
P(x) = (5x–1) 30 (x+2) 4 –10
46
46
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Álgebra
9. Si: P(x) = 3mx+9, hallar "m", si para x=3.
P(x) vale 0
10. Sea: P(x+1) = x 2 + 2x + 4, presenta:
P(2) = m–2, calcular: "m+2"
11. Sea: P(x–2) = mx + 4
4
Donde: P(0) = 12 , calcular:
m + 1 2
12. Si: P(
x–3 y 4 ;
3 4
Calcular: P(3; 1)
+ ) = x+y
13. Sea el polinomio:
P(x) = x 4 – 3x 3 + 2x 5 + m
Si: P(1) = 12. Calcular "m"
14. Si: P(
7x
− 3
2
) = 7x
Calcular: P(5)
15. Sea: P(x) = x 2 – 3x + 1
Calcular: P(m–3) + P(m+3)
Tú puedes
1. Se sabe que el polinomio:
P(x) = (5x–4) 7 + 2(3–4x) 6 +2–n
Tiene como suma de coeficientes a 2. Calcular
"n".
a) 1 b) 4 c) 2
d) 5 e) 3
2. ¿Para qué valor de "a" se cumple que:
P(x) = ax+2, si se sabe que P(5) = a+10?
a) 4 b) 6 c) 2
d) 5 e) 1
3. Sabiendo que: P(x; y) = P(2; 3) en P(x; y) = 2x + 3y – 1
Pxy (; )
Reducir:
4
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
4. Calcular: E=P(3) + P(10), sabiendo que:
P(x) = 2 x−
3; six>
)
5
x−
2;
six#
5
a) 18 b) 19 c) 16
d) 20 e) 17
5. Sea el polinomio:
P(x; y) = x 2 + y 3 + x 4 + y 5
Calcular:
P( −1;0) P
M
+ (0; −1)
=
P ( − 2;2)
a) –4 b) 2/3 c) –1/2
d) 1/5 e) 0
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47
47

Capítulo
10
Cambio de variable utilizando la
notación de polinomios
Lectura: Los polinomios en otras ciencias:
Si investigaste en la web, es probable que encontraras muchos polinomios con nombre propio: Polinomios
de Lagrange, Hermite, Newton, Chevichev... copiamos aquí un extracto de un blog que habla de los
polinomios de Zernike y su aplicación en óptica para corregir defectos visuales.
... Las matemáticas, con los polinomios
de Zernike, nos ofrecen un método para
descomponer superficies complejas en
sus componentes más simples. Así, con
este procedimiento matemático podemos
jerarquizar y definir todas las aberraciones
visuales. Un esquema que está presente con
mucha frecuencia en las consultas de cirugía
refractiva es el de las diferentes aberraciones
agrupadas y jerarquizadas:
Lo de la jerarquía es fundamental, porque
según cuál sea el grupo de la aberración,
tendrá más o menos importancia, será más
o menos fácil de corregir, etc. Por ejemplo,
el número 4 corresponde a la miopía (y
su inverso, la hipermetropía), y el 3 y 5
corresponden al astigmatismo...
Extracto de la página
FUENTE: http://ocularis.es/blog/?p=29
En este capítulo aprenderemos
..
Conociendo P(x), hallar P(F(x))
..
Conociendo P(F(x)), hallar F(x) o P(x)
48
48
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Álgebra
Síntesis teórica
Cambio de variable
utilizando la notación de
polinomios
P(x)
o
P[F(x)]
Conocido
: P(x)
Conocido
: P[F(x)]
Calculamos : P[F(x)]
Calculamos : P(x) o F(x)
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49
49

Capítulo
10
Saberes previos
1. Encontrar el valor de "x" en:
4x – 3 = 13
4. Efectúe:
3 (4–1) + 5 (2–3)
2. Reducir:
3 (x+1) – 2 (x–2) – 7
5. Efectúe:
5 (3+2)–4(6–1)
3. Reducir:
5 (x+3) – 3(x–1) – 2x
Aplica lo comprendido
1. Si: P(x) = 3x – 4
Determine: P( m – 3)
2. Si: P(x) = –3x – 1
Determine: P(m) + P(–m)
4. Si: P(x+1) = x
Determine: P(m)
5. Si: P(x – 2) = x+3
Determine: P(2m)
3. Si: P(x) = –8x + 5
Determine: P(2m–1)
Aprende más
1. Si: P(x) = 4x + 3
Determine: P(m+3)
a) 2m–4 b) 5m–3
c) 4m+15 d) 3m–6
e) m+8
2. Si: P(x) = 3x–6
Determine: P(2m–1)
a) 2m–1 b) 3m–7 c) 6m–9
d) m–3 e) 6m+4
3. Sabiendo que: P(x) = 4x–7
Calcular: P(m+3)–P(m–4)
a) 20 b) 28 c) 24
d) 30 e) 29
4. Sabiendo que: P(x) = –x+2
Calcular: P(m–3) – P(m+3) + 6
a) 15 b) 13 c) 14
d) 12 e) 11
5. Si: P(x) = 3x+1 y F(x) = 4x–3
Calcular: P(F(1))
a) 9 b) 3 c) 6
d) 5 e) 4
6. Sean los polinomios:
P(x) = –2x+3
F(x) = –3x+1
Calcular: F(P(–2))
a) –14 b) –20 c) 32
d) 18 e) –10
50
50
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Álgebra
7. Sean los polinomios:
P(x) = 3x – 7
F(x) = –2x – 1
Determine: P(F(m))
a) –7m+2 b) 5m–3 c) –m+4
d) –2m–6 e) –6m–10
8. Sean los polinomios:
P(x) = 2x–10
F(x+3)=x–1
Determine: P(3m) – 3 F(2m)
a) 2 b) 1 c) 4
d) 5 e) 3
9. Si: P(x+4) = x – 3
F(x–1) = 2x – 8
Calcular P(F(m+3))
a) 5m–3 b) 2m–7 c) 4m+6
d) 3m–5 e) 7m–1
10. ¿Para que valor de "m" se cumple: P(m)=F(m)
Si: P(x) = 3x – 7
F(x–2) = x+5
a) 5 b) 4 c) 9
d) 7 e) 8
11. Sean los polinomios:
P(x) = 3x – 1
F(x) = 4x – 5
Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x))
a) 14 b) –19 c) –13
d) –7 e) –15
12. Si: P(x) = 7x – 9 ∧
P(F(x)) = 4x – 12
Calcular "7 F(x) + 3"
a) 7x–2 b) 4x c) 6x
d) 2x–5 e) 7x+3
13. Si: P(x) = 4x – 7 ∧
F(x) = 5x – a
Calcular "a" para que: P(F(1)) = F(P(2)) + 2
a) 4 b) 2 c) 5
d) 9 e) 1
14. Si: P(x) = 3x – 4 ∧
F(x) = 5x – 1
Expresar P(x) en términos de F(x)
a) 7 F(x) + 4
1
c) 3 F(x) + 3
4
b) 5 F(x) + 5
2
d)
3
F (x) –17
(x)
e)
2F + 1
3
15. ¿Para qué valor de "m", se cumple:
P(2 F(x)) = 2 P(x) – 19
Si: P(x) = 3mx + 1
F(x) = x – 3
a) 6 b) 1 c) –3
d) 4 e) –2
5
Practica en casa
1. Si: P(x) = 3x – 1
Calcular: P(m+2)
2. Si: P(x) = –x+1
Calcular: P(m–1)
3. Si: P(x) = 2x – 4
Calcular: P(2m–1) – P(2m+1)
4. Si: P(x) = 7x – 4
Calcular: P(m+2) – P(m)
5. Si: P(x) = x 2 + 3
F(x) = 2x + 4
Calcular: P(F(0))
6. Sean los polinomios:
P(x) = 4x – 3
F(x) = –2x + 4
Calcular: F(P(m))
7. Sean los polinomios:
P(x) = 5 – x
F(x) = 2x – 1
Calcular: P(F(m))
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51
51

Capítulo
10
8. Sean los polinomios:
P(x) = x+9
G(x) = 2x – 4
Calcular: 6 P(3m) – 9 G(m)
9. Si: P(x+1) = x – 1
F(x+3) = 2x – 7
Calcular: P(F(m))
10. ¿Para qué valor de "m" se cumple:
P(m) = F(m)
Si: P(x) = 4 –x
F(x) = x – 12
11. Sean los polinomios:
P(x) = x + 3
F(x) = 2x – 3
Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x))
12. Si: P(x) = 3x – 4
F(x) = 5x – m
Calcular "m" para que: P(P(1)) = F(3) – 14
13. Si: P(x) = 7x – 1
F(x) = 5 – 2x
Expresar P(x) en términos de F(x)
14. Si: P(2x+3) = 3x – 1
Calcular: P(P(P(7)))
15. Si: P(2x+3) = 3x+1
Calcular: P(P(P(7)))
Tú puedes
1. Sea: P(x) = 4x 2 – 3 ; x H 0
Calcular:
P( x)
+ 3
2
a) x+3 b) x 4 c) x –3
d) 2x e) x /2
4. Sea: P(3x+1) = x 2 – 4
Calcular: M P (7) P ( − 2)
=
−
3
a) 3 b) 9 c) 1
d) 12 e) 6
2. Si: P(x) = –2x + 1
Calcular: P(P(P(x)))
a) 5x–3 b) –6x+3 c) 8x 3 +1
d) x 2 –3 e) –8x+3
3. Sea: P(2x–3) = 2x+5
Calcular el valor de "x" que verifica:
P(3x) + P(4x) = 65
5. Sean: P(x+1) = 4x – 7 ∧
G(x – 3) = –3x + 5
Calcular: P(x) + G(x) + 15
a) x b) –4 c) 12
d) x+3 e) x–6
a) 5 b) 8 c) 6
d) 9 e) 7
52
52
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Capítulo
11
Grados de expresiones algebraicas
Lectura: Hacer que las películas cobren vida
Muchas de las técnicas de animación que se usan en la producción de películas se basan en las
matemáticas. Los personajes, el paisaje de fondo y el movimiento se crean usando programas informáticos
que combinan píxeles para obtener formas
geométricas que luego son archivadas y
manipuladas mediante las matemáticas
que se usan en los gráficos de ordenador
El programa informático codifica en cada
píxel todas las características que pueden
ser importantes para la vista, tales como
la posición, el movimiento, el color y
la textura. El programa usa vectores,
matrices y aproximaciones poligonales a
las superficies curvas que determinan el
grado de oscuridad de cada píxel. Cada
fotograma de una película generada
por ordenador se compone de más de
dos millones de píxeles y puede llegar
a tener alrededor de cuarenta millones
de polígonos. La cantidad tan enorme de
Titanes de Ischigualasto: http://sanjuan.cfired.org.ar
cálculos necesaria convierte a los ordenadores en herramientas imprescindibles, pero sin la ayuda de las
matemáticas el ordenador no sabría que cálculos hacer. En palabras de uno de los animadores... todo se
controla con matemáticas... ¡aquellas pequeñas "x", "y" y "z" que aprendimos en el colegio cobran de
pronto relevancia.
Más información: Mathematics for computer Graphics Aplications. Michel E Mortenson (1999)
FUENTE: Link: http:\\webpages.ull.es/users/revmate/momentos705abr/mm– 2.pdf
En este capítulo aprenderemos
..
Definición de grado
..
Clases de grados de un monomio
– Grado relativo
– Grado absoluto
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53
53

11
Capítulo
Síntesis teórica
GRADOS DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Definición
Grados de un monomio
Grado relativo
Grado absoluto
54
54
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Álgebra
Saberes previos
1. Encontrar el valor de "x" en:
2 (x+3) – 1 = 3
2. Al igualar 2m–3 con 7, el valor de "m" es:
3. Reducir:
N = 4 + (–3) + 5 – (–3)
4. Reducir:
M = 2 (3 +4) – 3 (4 – 2)
5. Indicar la relación de orden usando los símbolos
>;

11
Capítulo
5. Si el GR(x) = m–5 de: M(x; y) = 5x 4 y m+2
Calcular: GA
a) 13 b) 17 c) 15
d) 14 e) 16
6. Sean los monomios
P(x; y) = 7x 4 y m+2
G(x; y) = 2mx 4 y m+2
Tales que al restar generan el monomio: x 4 y m+2
Según ello, calcular: GA(P)
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
7. El monomio: M(x; y) = 5ax 4–a y a+5
presenta un coeficiente –10
Calcular el
GR()
x
GR()
y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Para el monomio: R(x; y) = 4mx 3m–3 y 2m+1
cuyo GA=13. Calcular la suma de coeficientes
de R(x; y) y el GR(x)
a) 19 b) 14 c) 20
d) 16 e) 18
9. Sea: M(x; y) = 5x 4a–2 y a+4
Calcular GA, si GR(x) = GR(y)
a) 10 b) 14 c) 12
d) 16 e) 8
10. Sea: P(x; y) = –mx 3m–1 y 2m–7
Un monomio que cumple: GA=17. Calcular:
E = GR(x) . GR(y)
a) 42 b) 10 c) 16
d) 5 e) 70
11. Para qué valor de "m" el monomio:
M(x; y) = x 5+m y 2m–3
Se verifica: GR(x) = GR(y) – 4
a) 10 b) 12 c) 9
d) 15 e) 14
12. Si: GR(x) = 7, determinar el GA de:
M(x; y) = –5a 2 x 3a+1 y 2a–1
a) 8 b) 11 c) 9
d) 12 e) 10
13. Dado:
F(x; y; z) = –x a+1 y 5–a z a–1
GA=8, calcular GR(z)
a) 1 b) 4 c) 2
d) 5 e) 3
14. En A(x; y) = (a–1) x a+1 y a–2 se cumple:
Coeficiente + GR(x) = 6, hallar GA.
a) 1 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5
15. El monomio:
M(x; y) = 4 a (x 2 ) a . (xy) 3 . (y 3 ) a . (xy 2 ) 5 . (x a ) 2
Cumple: GR(x) = GR(y), entonces calcular el
coeficiente.
a) 16 b) 1024 c) 49
d) 2048 e) 64
Practica en casa
1. En el siguiente monomio:
M(x; y) = 5x a+2 y 7
Se sabe que GA=19, hallar GR(x)
2. Si los monomios:
P(x; y)=4x 5 y 6 ; N(x; y)=x m+2 y 4
Presentan igual GA. Hallar "m"
3. Calcular: GR(x) + GA del monomio:
P(x; y)=4ax 5+a y 3+a
Si el GR(y)=10
4. Si: P(x) = 4mx m , presenta grado 7. Calcular el
coeficiente.
5. Si el GR(x) = m+2 de M(x; y) = 4x 6 y m
Calcular el GA.
6. En el monomio: P(x; y) = (n–3)x 4+n y n , se cumple:
GR(x) + GR(y) + 5 = 19
Calcular el coeficiente.
56
56
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Álgebra
7. El monomio: F(x; y) = 3ax 7–a y a+1
Presenta coeficiente 9. Calcular:
GR()
x
GR()
y
12. Dado: F(x; y; z) = –3x a+5 y a z a+4
Donde: GA=15, calcular GR(z)
8. Para el monomio: P(x; y) = 5mx m+2 y 3m–1 , cuyo
GA=21, calcular la suma del coeficiente de P(x; y)
y el GR(x).
9. Sea el monomio: N(x; y) = 3x 2a–1 y a+3
Se cumple: GR(x) = GR(y), calcular: GA
13. Si el GR(x)=12, determinar el GA de:
M(x; y) = 2x 2a+4 y a
14. En P(x; y) = (2a–3) x 2a y a+4 , cumple:
Coeficiente + GR(y) = 13, hallar GA.
10. Sea: M(x; y) = –mx 4m y m+1 , un monomio que
cumple GA=21, calcular:
E = GR(x) × GR(y)
15. Del monomio:
M(x; y) = 4m(x 2 ) 3 . (x 5 ) m . (xy 2 ) 3 . (y 3 ) 2m
se cumple GR(x)=GR(y). Calcular el coeficiente.
11. Para que valor de "m" el monomio:
M(x; y) = x 3+m y 2m–4 , verifica: GR(x) = GR(y)
Tú puedes
1. Si los monomios M(x; y) = 4mx 4+m y n–2 ∧
N(x; y) = nx n–4 y m–1 , cumplen que la suma de
coeficientes aumentado en el GA de M(x; y)
resulta igual al GA de N(x; y) disminuido en 3n
y aumentado en 27. Calcular "m+n"
a) 4 b) 8 c) 5
d) 12 e) 6
2. Calcular GR(x) + GR(y), si el monomio:
P(x; y) = (m+n)x 2m+2n y m+n–3 presenta un
coeficiente 10.
a) 30 b) 27 c) 22
d) 29 e) 25
3. Si se cumple: (5–n)x 4 y 7 +(7–2n)x 4 y 7 =–24x 4 y 7
Calcular el GR(x) del monomio:
P(x;y) = n 2 x n+3 y 4+n
a) 12 b) 10 c) 15
d) 18 e) 16
4. Al multiplicar (x 4 ) n . (y 3 ) m . x 5 . y 7 , se reduce
a un monomio: M(x; y) = x 21 y 40 , según ello,
calcular "m + n"
a) 15 b) 19 c) 44
d) 56 e) 39
5. Si los coeficientes de los monomios:
M(x; y) = (2 a – 1) x a+b y 4 ∧ N(x; y) = (3 b –2) x ab y 6 ,
son iguales y enteros. Calcular el máximo valor
que toma el Gr(x) del monomio M(x; y).
a) 6 b) 2 c) 5
d) 4 e) 1
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Primer año de secundaria
57
57

Capítulo
12
Grados de un polinomio
Lectura: Por una comunicación más segura en internet
No podríamos comprar, pagar recibos
o realizar negocios a través de Internet
de una forma segura sin las matemáticas
de la criptografía. Aunque están basadas
en resultados algebraicos probados hace
siglos, las sofisticadas técnicas actuales de
cifrado han sido formuladas apenas en los
últimos treinta años.
La criptografía de clave pública permite al
usuario divulgar la clave de cifrado para que
todos puedan usarla, pero manteniendo
la clave de descifrado en secreto. Uno
de estos algoritmos, denominado RSA, es
la clave utilizada hoy para codificar los
modernos navegadores de Internet.
El Instituto Nacional de Estándares y
Tecnología (National Institute of Standars
and Technology, NIST) estadounidense ha adoptado un Estándar de Codificación Avanzado que se usará en
las comunicaciones electrónicas en los próximos años. Este nuevo estándar usa permutaciones, aritmética
modular, polinomios, matrices y campos finitos para transmitir la información de forma libre pero segura.
Más información: "Communications Security for The Twenty–first Century". Susan Landau. Notices of the
American Mathematical Society, April 2000
FUENTE: Link: http:\\www.webpages.ell/users/revmat/momentos/05abr/mmk– 4.pdff
En este capítulo aprenderemos
..
Grados de un polinomio
– absoluto
– relativo
..
Ejercicios de aplicación
58
58
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Álgebra
Síntesis teórica
GRADOS DE UN
POLINOMIO
Clases de grado
Grado absoluto
Grado relativo
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59

Capítulo
12
Saberes previos
1. Indicar el número de términos de cada expresión:
• M(x;y)=4x+2y–3 presenta términos
• N(x;y)=3x 2 –2y 3 –xy presenta términos
• P(x;y)=x+y–7 presenta términos
2. Reducir:
M = 4x + 7x – 9x – 2x + x – 2x
3. Reducir:
P = 5x + 2y – 3x – y – x + y
4. Reducir:
F = x 2 y – 3 x 2 y
5. Resolver:
4 (x – 1) = 3 (x + 1)
Aplica lo comprendido
1. Sea el polinomio:
P(x; y) = 4x 5 y 3 – 2x 6 y 7 +3x 9 y
Calcular: GA + GR(x) + GR(y)
2. Sea el polinomio:
G(x; y) = xy 4 – 2x 5 y 6 + 7x 4
Calcular: GR(x) – GR(y)
3. Si: GA=12 en el polinomio:
F(x; y) = x a+2 y–3x 4 y 2
Calcular "a"
4. Si: GR(y) =18, en: P(x; y) = 2x 4 y – 3xy a+9
Calcular "a".
5. Sea el polinomio:
P(x; y) = –2x 4 y 5 + 3axy 6 – 2x 4a
donde la suma de coeficientes es 8. Calcular
GR(x)
Aprende más
1. Sea el polinomio: P(x) = x 4 + 3x 5 – 2x +6
Completar según corresponda:
Presenta términos
Su grado es:
La suma de coeficientes es:
El término independiente es:
2. Del polinomio: M(x) = 4x a + 3x 2 + 2x – 7a
Su grado es igual al número de términos, según
ello, calcular el término independiente.
a) 7 b) –28 c) 4
d) –49 e) –32
3. Al sumar los polinomios:
P(x) = x 5 + x 4 + 3x m – 2x – 1 y
F(x) = x 5 + x 4 – nx 6 – 2x+p
Se observa que el resultado es un polinomio de
6 términos y de grado 9. Calcular el grado del
polinomio P(x)
a) 10 b) 12 c) 9
d) 6 e) 10
4. Sea el polinomio:
P(x; y) = 4x m y 2 + 3x 5 y 3 – 6x 4 y 5
Cuyo GA=13, calcular "m–3"
a) 9 b) 8 c) 10
d) 7 e) 11
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60
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Álgebra
5. Si: F(x; y) = x 4 y a+2 –2x 5 y 7
Presenta GA=20, hallar "a".
a) 3 b) 8 c) 14
d) 16 e) 24
3 3 3 3
6. En: R(x; y) = ( xy)( xy)( xy)....( xy)
Hallar GA
1444442444443
20 veces
a) 20 b) 80 c) 40
d) 108 e) 16
7. Si: P(x; y) = 3x 5 y 6 – 2x 3 y 4 – x 6 y 3
Presenta GR(x) = m+3
Calcular "m".
a) 3 b) 6 c) 4
d) 1 e) 2
8. Si: P(x; y) = 4x 4 +ny 3 – 2x n y 7
Presenta GA + GR(y) = 25
Calcular "n–2"
a) 11 b) 13 c) 9
d) 6 e) 7
9. Para:
Q(x; y) = x m+2 y m–1 +2x m y m–2 –3x m+3 y m+1
Tenemos que: GA = 12
Hallar "m"
a) 1 b) 4 c) 2
d) 5 e) 3
10. Si: M(x;y) = x a+1 y b–1 +2x a+2 y b–2 –x a+3 y b–3
Además: GR(x)=7 ; GR(y) = 3
Calcular "ab"
a) 20 b) 28 c) 16
d) 18 e) –14
11. Sea el polinomio:
P(x,y)=2x a+5 y a–1 +3x a–2 y a+9 +4x a+7 y a–2
De grado absoluto "33", Calcular el valor de "a"
a) 11 b) 13 c) 14
d) 15 e) 17
12. Dado el polinomio
P(x,y)=7x 2 y m+3 +4x 5 y m–4 +3x 4 y m+5 +x 6 y m–2
Si : GR(x) + GR(y) + GA = 32
Hallar "m"
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
13. En el polinomio:
P(x,y) = 3x m+1 y 3 + 2x m+4 y 8 + mx m+2 y 10
Donde m ∈ Z + ; Hallar la suma de coeficientes
de dicho polinomio, si se sabe que el GR(x) es
igual a "7".
a) 12 b) 9 c) 10
d) 7 e) 8
14. Dado el polinomio:
P(x;y)=2x a y a+1 +5x 2a y a+3 –ax a–6 +ay a+7 +7x 2a y a+2
Si su grado absoluto es 33; calcular el grado
relativo a "x" y el grado relativo a "y".
a) 20 y 17 b) 18 y 17 c) 17, 17
d) 15, 20 e) 19, 16
15. Calcular el valor de m+n con la condición de
que el polinomio.
P(x;y)=x 2m+n–4 y m+n+2 +x 2m+n–3 y m+n+1 +x 2m+n–2 y m+n
Sea de GA=28 y la diferencia de grados relativos
a "x" e "y" sea igual a 6.
a) 17 b) 15 c) 13
d) 10 e) 9
Practica en casa
1. Sea el polinomio: P(x) = x 7 – 2x 4 + 3
A : grado del polinomio
B : números de términos del polinomio
Calcular: A × B
2. Se sabe que en el polinomio:
P(x) = 3x a + 2x 4 – 5a + x + x 2
El grado del polinomio es igual al número
de términos, según ello calcular el término
independiente.
3. Sea el polinomio: P(x;y) = 3x m y 7 + 2x 5 y 4 – 3xy
Cuyo GA=12. Calcular "m"
4. El polinomio: P(x; y) = 2x 3 y 5 – 3x 4 y n+2
Presenta GR(y) = 12, calcular: GA.
5. Si: P(x; y) = x 3 y a+3 – 2x 5 y
Presenta GA=12, calcular GR(y)
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61
61

Capítulo
12
6. En:
3 2 5 3 25 3 2 5 3 25
M(x; y)= ( xy) ( xy) ( xy) .... ( xy)
1444444 42444444 43
Hallar GA.
30 veces
7. Si: P(x; y) = 4x 13 y 5 – 7x 2 y 6 – 3xy 6
Presenta GR(x) = m–2
Calcular "m"
8. Si: G(x; y) = 3x n+5 y 4 – 5x 4 y 6
Presenta GA + GR(y) = 30, calcular "n".
9. Si: Q(x;y)=x m+3 y m+1 +2x m–2 y m–1 –3x m+3 y
Presenta GA=18, hallar "m"
10. En el polinomio:
P(x; y) = x a y b+3 – 2x a+4 y b+1 –x 5+a y b+4
Presenta GR(y)=8, GR(x)=6, calcular "ab".
11. El polinomio: P(x; y) = x 4 y 5 – 2x a+2 y 3 –3x 5 y 6
Presenta: GA=15, calcular "a+3"
12. Si: Q(x; y) = 3x a–1 y a +2x a+1 y a –3x a+1 y a–3
Si: GR(x)=5, calcular GR(y)
13. Hallar "m", si GA=45
Siendo: Q(x; y) = 2 (x 3 y) m – 3 (x 4 y) m
14. Dado el polinomio:
P(x;y)=5x n y n+2 +5x 2n y n+4 –ax n–5 +ay n+8 +7x 2n y n+3
Si su grado absoluto es 37; calcular el grado
relativo a "x" y el grado relativo a "y".
15. Calcular el valor de “a+b” con la condición de
que el polinomio.
P(x;y)=x 2a+b–3 y a+b+3 +x 2a+b–2 y a+b+2 +x 2a+b–1 y a+b
Sea de GA=31 y la diferencia de grados relativos
de "x" e "y" sea igual a 3.
Tú puedes
1. Sabiendo que el polinomio:
a − 3
4 c + 2
b + 3
1 − c
2 2
P(x; y) = x y − xy + xy
Presenta el mismo grado absoluto en cada uno de
sus términos, determine el valor de "a + b +1".
a) 4 b) 12 c) 5
d) 15 e) 9
2. Sabiendo que "a" y "b" son números naturales
tales que verifican: 4x 7 + 12x 7 = a b x 7 , hallar
la suma de los valores adoptados por "a" y "b".
a) 19 b) 4 c) 15
d) 7 e) 29
4. Dado el monomio:
R(x; y) = xy 2 . x 3 y 4 . x 5 y 6 . .... . x 23 y 24
Indicar el GR(x)
a) 120 b) 164 c) 181
d) 200 e) 144
5. Sea el polinomio:
G(x; y) = x 5 y 7–n + x n y 12/n – 4y n–2
Hallar la suma de valores que puede tomar "n".
a) 11 b) 16 c) 13
d) 15 e) 12
3. Si: mx 4 y; 3x n+1 y m , son términos semejantes.
¿Qué podemos afirmar de (m+2)x 5 y 3 ; nx 5 y m+2 ?
a) Diferentes b) Constantes
c) Iguales d) Hay 2 correctas
e) Semejantes
62
62
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Capítulo
13
Polinomios especiales
Lectura: El Álgebra en Química, Economía y Medicina
El lenguaje que utiliza el álgebra se fundamenta en expresiones algebraicas. Existe
una clase importante de expresiones algebraicas llamada "Polinomios". El estar
familiarizado con polinomios y saber operar con ellos es fundamental en nuestro
desarrollo matemático. Sus aplicaciones son múltiples en la economía, las
ciencias sociales, las ciencias naturales, la ingeniería, la computación y la
medicina, entre otras. Por ejemplo:
• En ingeniería se utilizan métodos numéricos de interpolación en los
cuales se utilizan, polinomios.
• En química se utilizan polinomios para el cálculo de mezclas, es decir,
calcular el porcentaje de cada compuesto químico presente en la
mezcla, así como sus variantes para modificar dicha mezcla.
• En la economía y las ciencias sociales se utilizan polinomios para representar
el comportamiento de relaciones o funciones donde ocurren patrones.
• En la medicina y las ciencias naturales se utilizan polinomios para representar
y estudiar el comportamiento de organismos vivos y la naturaleza.
• En esta lección conoceremos lo que es un polinomio y nos familiarizaremos
con el vocabulario y los conceptos básicos, incluyendo cómo se realizan
operaciones entre ellos.
FUENTE: http://math118.files.wordpress.com/2011/01/leccic3b3n–1–introduccic3b3n–polinomios–suma–resta22.pdf
En este capítulo aprenderemos
..
Polinomio homogéneo.
..
Polinomio ordenado.
..
Polinomio completo.
– Propiedad sobre el número de términos.
..
Polinomio completo y ordenado
..
Polinomios idénticos.
– Aplicar propiedad
..
Polinomio idénticamente nulo.
– Aplicar propiedad.
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63
63

Capítulo
13
Síntesis teórica
Polinomio homogéneo
Polinomio completo
POLINOMIOS
ESPECIALES
Polinomio ordenado
Polinomios idénticos
Polinomio
idénticamente nulo
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64
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Álgebra
Saberes previos
1. Del polinomio: P(x; y) = 5x 3 +zy 2 –5
Identificar las variables y los coeficientes.
2. Sea M(x; y) = 5x 3 y 4 z 2
Calcular: GR(x) + GR(y) + GA(M)
3. Sea: P(x;y) = 3x 4 y 5 –2x 3 y+x 6 y 2
Calcular: GR(x) + GR(y) + GA(P)
4. Si: P(x) = x+3
Evaluar: P(3)
5. Si: P(x) = x 2 + 5x + 1
Evaluar P(–2)
Aplica lo comprendido
1. Indique qué polinomio no es homogéneo:
• P(x; y) = x 2 y 3 + x 3 y 2 – x 5 y 5
• R(x; y) = x 4 y 6 – 2x 3 y 7 z 2 + x 5 y 5
• T(x; y) = x 3 y 12 – x 12 y 3 + x 10 y 2 z 3
2. Indique qué polinomio es completo:
• P(x) = x 3 – x 4 + x 2 – x + 2
• R(x) = 3x – 2x 5 + x 4 + 6 – x 2 – x 3
• T(x) = x 2 – x + 1
• T(x) = –5x 9 + 3x 7 – x 3 – x + 6
Polinomio ordenado en forma
4. Si: P(x) = 3 – x + x 2 – 7x 3 + 5x a ;
Q(x) = x b – x 4 – 2x 3 + x 2 + x + 1
Son polinomios completos y ordenados. Halle
"a+b".
3. Respecto al polinomio ordenado, completar
correctamente:
• P(x; y) = x 9 y 5 – 8x 7 y 3 + x 2 y 2 – xy 7
Polinomio ordenado en forma
5. Se cumple que:
3x 2 + 5x + 3 ≡ (a – 1) x 2 + bx + c
Halle: a + b + c
con respecto a
Aprende más
1. Si: P(x; y) = 3x a y 8 – x 10 y 3 + x 9 y 4
es homogéneo. Determine el valor de "a".
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 5
2. Sea el polinomio homogéneo:
R(x; y) = ax 2 y 7 + (b – 1) x a y 8 + 2 x 5 y b
Halle la suma de coeficientes
a) 9 b) 11 c) 12
d) 6 e) 13
3. Si P(x) = x a + 2x b – x 2 +x+x c
Es completo y ordenado. Halle a + b + c
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 13
4. Sea el polinomio completo y ordenado en forma
creciente:
P(x) = x m–1 +x n–3 +x p–2 +x q–1
Halle: m+n+p+q
a) 11 b) 13 c) 12
d) 14 e) 16
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Primer año de secundaria
65
65

Capítulo
13
5. Sea el polinomio completo y ordenado:
P(x)=x m+5 +x m+4 +x m+3 +x m+2 +mx m+1
Determine la suma del término independiente
con "m".
a) –1 b) 0 c) –2
d) 1 e) 2
6. Si se cumple que:
x(x+2)+3 ≡ ax 2 +bx+c
Halle: a+b+c
a) 6 b) 7 c) 8
d) 11 e) 13
7. Sean: P(x) = 3x 2 + x + 5 ;
q(x) = ax n–1 +bx+5
Polinomios idénticos. Halle a+b+n
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
8. Si se cumple que:
(a–1)x 3 + (b–1)x 2 + (c–1)x + d – 1 ≡ 0
Halle: a+ b+ c+
d
a) –1 b) 3 c) 4
d) 1 e) 2
9. Si: P(x) = (a–2) x 2 + (b – 3)x + (ab–c)
es idénticamente nulo. Halle: a+b+c
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
10. Dado el polinomio:
P(x) = x 2 – x 4 – 2x + x n+2 +x n +7
Completo, halle "n"
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 3
11. Hallar: a + b + c en el siguiente polinomio
homogéneo:
P(x; y)=10x a+6 –2ax b+a +x c y c –x 2 y b+2
a) 5 b) 6 c) 15
d) 20 e) N.A.
12. Si el polinomio:
P(x) =18x a–18 +32x a–b+15 +18x c–b+16
Es completo y ordenado en forma ascendente.
Calcular (a + b + c)
a) 88 b) 32 c) 36
d) 68 e) 92
13. Hallar la suma de coeficientes en el siguiente
polinomio:
P(x;y) = 2ax 7 y a+3 + 3x 18 y 12 – 5ay a+10
Sabiendo que es homogéneo
a) 27 b) –10 c) 13
d) 12 e) –57
14. Calcular: "b–a" sabiendo que el polinomio:
P(x)=x b–1 +x a–1 +x b–3 +2 es completo y ordenado.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Hallar: (10a + 4b) sabiendo que
P(x,y) = x a–2b y a+b –15x b y 3b–9 +2x a–b y 8
Es un polinomio homogéneo
a) 60 b) 100 c) 160
d) 200 e) 240
Practica en casa
1. Indique qué polinomio no es homogéneo
• P(x; y) = x 7 y 3 + x 3 y 7 – x 4 y 6 + x 10
• R(x; y) = x 9 y 7 – x 7 y 9 + x 10 y 7
• T(x; y) = x 8 – x 4 y 4 + 2x 3 y 5 + y 8
2. Indique qué polinomio es completo:
• P(x) = x 5 + 2x 3 – x 4 – x + x 2
• Q(x) = 7x 3 – 5 + x 2 – x
• R(x) = x 4 – 7x 2 + 1 – 3x 3 + x
3. Si: P(x) = 4+x–x 2 +9x 3 +6x a ;
Q(x) = x m +7x 4 –x 3 +x 2 –6x+1
Son polinomios completos y ordenados. Halle:
a+m
4. Se cumple que: 5x 2 +2x+3 ≡ (a+1)x 2 +bx+c
Halle: a+b+c
5. Si: (3–a) x 2 +bx ≡ 0 , halle: a–b
66
66
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Álgebra
6. Se cumple que:
(a+1) x 3 + (b–1) x 2 + (c+2) x + d – 1 ≡ 0
Halle:
a+
c
b + d
7. Sea el polinomio homogéneo:
P(x;y) = x a–2 y 7 – x 19 y+x b y 15 ; halle: a+b
8. Si: P(x) = x a + x 3 + x b + x – x c
Es completo y ordenado. Hallar a+b+c
9. Si: P(x) = x m+1 +x n–2 +x p–5 +x q–6
Es completo y ordenado en forma decreciente,
determine m+n+p+q
10. Si: x(3x+2)+1 ≡ ax 2 + bx+c
Halle: a+b + c
11. Sea el polinomio idénticamente nulo:
P(x)=(a 1
–10)x 10 +(a 2
–9)x 9 +(a 3
–8)x 8 +...+(a 10
–1)x
Halle: a 1
+ a 2
+ a 3
+ ... + a 10
n
2
3 7
m n
12. Si: P(x; y) = x y + x + x y
es homogéneo, halle: m . n
13. Si el polinomio:
P(x) = x m–5 + x m–4 + x m–3 + x m–2 + x m–1
Es completo y ordenado, halle "m"
14. Si:
(a – 5)x 2 + (2b – 3)x + 3c – 5 ≡ 3x 2 + 5x + 4
Halle: (a–b) c + b (a – c)
15. Si: P(x) = (a+b) x 2 + (b – c) x + c – 3
Es idénticamente nulo. Halle:
b−
a
c
Tú puedes
2 a 2
− 2 2 b 2
− 7
1. Si: P(x; y) = x y + xy+
xy
Es homogéneo, halle el mínimo valor para "a+b"
a) –6 b) –5 c) –4
d) –3 e) –2
2. En el polinomio completo y ordenado:
( a+ 3) 2
a
3
( a+ 1) ( 7−a)
a
−2
P(x) = x + x + x + .... + a
Halle el término independiente donde a > 0
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Si el polinomio de segundo grado:
3
P(x) = ( a + 1)
x 3 + (3 – a) x 2 + 19x – a
Es idéntico al polinomio:
Q(x) = (mx + n) r , halle: E = m+ n–a+
r
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Si: P(x) = 20 x 20 + 19x 19 + 18x 18 + ... + x
Es idéntico a:
Q(x)=(a 1
–a 2
)x 20 +(a 2
–a 3
)x 19 +....(a 20
–a 21
)x
y además: a 1
+ a 21
= 310, halle a 21
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
5. Si el polinomio:
P(x) = (a – n) x n/5 + (b – a) x 7–n + (c – 2b) x n–2
Es idéntico a:
Q(x) = –x c–2 + (a–1) x a – 3x n–4
Halle: a+b+c+n
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
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67
67

Capítulo
14
Multiplicación algebraica
Lectura: Una ecuación matemática fue resuelta luego de 140 años
Philip T. Gressman y Robert M. Strain, dos matemáticos estadounidenses, lograron
resolver la ecuación de Blotzmann, un problema imposible de resolver creado por
un físico austríaco del siglo XIX, clave en la teoría cinética de los gases. Luego de
140 años, estos dos matemáticos de la Universidad de Pennsylvania hicieron
historia poniéndole fin a un problema sin resolver.
Según relata la agencia Europa Press, a fines de la década de 1860, los físicos
James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron esta ecuación para
predecir cómo los elementos gaseosos distribuyen materiales en sí mismos
en el espacio, y la forma en que responden a los cambios en parámetros
como la temperatura, la presión o la velocidad.
Gressman y Strain estaban intrigados por esta ecuación misteriosa.
Utilizando modernas técnicas matemáticas en el campo de las ecuaciones
diferenciales parciales y análisis armónico, los científicos demostraron la
ecuación. Sin embargo, solo pudieron encontrar soluciones para los gases en
equilibrio perfecto.
Ludwig Boltzmann fue un pionero de la mecánica estadística y su constante es un
concepto fundamental de la termodinámica.
FUENTE: diario El Comercio
En este capítulo aprenderemos
..
Definición de multiplicación algebraica.
..
Factores
..
Producto
..
Identidad
..
Caso de multiplicación:
– Monomio × monomio
– Polinomio × monomio
– Polinomio × polinomio
68
68
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Álgebra
Síntesis teórica
MULTIPLICACIÓN
ALGEBRAICA
Definición
Identidad
Factores
Producto
Casos de multiplicación
monomio ×
monomio
monomio ×
polinomio
polinomio ×
polinomio
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69

Capítulo
14
Saberes previos
1. ¿Qué exponente debe tener "x" para que el
polinomio: x 4 +2x n +3x 3 +7x–11 ; sea completo
2. Ordene descendentemente los términos del
polinomio:
x 5 – 2x 7 + 4x 2 – 5
3. ¿Cuál debería ser el valor de "m+n" para
que el polinomio: x 4 +x 3 +3x n +7x+6x m ; sea
completo y ordenado
4. Calcular (n+K) si el polinomio:
x 3 + 2x n + 3x K + 11
es completo
5. ¿Qué exponentes faltan que el polinomio:
x 10 + x 9 +3x 7 + 2x 5 – 3x 4 + 11x 3 + 7x–1
sea completo?
Aplica lo comprendido
1. Calcula el producto:
(2x 2 )(3x 3 )(–4y 5 )
4. Efectuar:
(3x+5)(2x–4)
2. Calcula el producto:
3x 3 y 3 (y+2z)
5. Calcula el producto:
(2x + y)(3x – y)
3. Calcula el producto:
xyz (x+y–z)
Aprende más
1. Señale el producto:
4. Señale el producto:
d) 6x 7 y 11 e) 18x 7 y 11 a) –6 b) 10 c) 15
d) 12 e) –12
(2x 3 )(3x 4 )(2x 5 )
a) 12 b) 12x 60 c) 6x 12
(–4x 4 z 5 )(2y 3 z 2 )
a) 8x 4 y 3 z 5 b) –8x 4 y 3 z 5 c) –8x 4 y 3 z 7
d) 12x 10 e) 12x 12
d) x 4 y 3 z 7 e) –x 4 y 3 z 7
2. Señale el producto:
(–3x 3 )(–2x 5 )(–5x 6 )
5. Determine el producto:
2x 2 (3x 3 + 4x 4 – 5) y señale el coeficiente del
a) 6x 15 b) 30x 14 c) 10x 10 término de mayor grado.
d) –6x 15 e) –30x 14
a) 6 b) 10 c) 8
d) 24 e) 11
3. Señale el producto:
(3x 2 y 3 )(2x 5 y 8 6. Determine el producto:
)
–3x 2 y 3 (2x 2 y 3 – 4x 5 y 5 ), señale el coeficiente del
a) 6x 2 y 3 b) 6x 2 y 11 c) 6x 7 y 10 término de menor grado
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70
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Álgebra
7. Reducir:
(3x+2)(2x+5)+2x(5x–3)
a) 16x 2 +10 b) 16x 2 +7x+10
c) 6x 2 +15x+10 d) 16x 2 +13x+10
e) x 2 +19x
8. Al multiplicar:
(3x – 5)(2x+1) y adicionarle: 7x+5 se obtiene:
a) 6x 2 b) 6x 2 +10 c) 6x 2 –1
d) –6x 2 e) x 2
9. Reducir:
(2x+3y)(3x 2 +5y 3 )–(6x 3 +15y 4 +9x 2 y)
a) 4xy 3 b) 10xy 3 c) 7xy 3
d) 8xy 3 e) 15xy 3
10. Señale el coeficiente del término de primer
grado del producto de: (3x 2 +1+2x)(x+2)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
12. Hallar "a+b+c", si:
(3x+7)(2x–5) ≡ ax 2 + bx + c
a) –35 b) 35 c) 30
d) –30 e) 29
13. Hallar m–n, si:
2x 2 y 3 (3x 5 +y 5 ) ≡ mx 2 y 8 + nx 7 y 3
a) 4 b) –4 c) 4
d) 5 e) N.A.
14. Si: (4x–2y)(3x+4y) ≡ ax 2 + by 2 + cxy
Hallar: (a–11)(b+9)(c–9)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Si F(x) y P(x) son binomios completos y ordenados
descendentemente y al multiplicarlos se obtiene
g(x) ordenado de igual forma, halle el coeficiente
del término de primer grado de g(x) si F(x) y P(x) solo
difieren en el signo del término independiente.
a) F.D. b) 1 c) 0
d) –1 e) N.A.
11. Calcular el coeficiente del término de tercer
grado de: (3x 3 + 2x–7)(2x 2 +5–x)
a) 4 b) 12 c) 15
d) 17 e) 19
Practica en casa
1. Efectuar: (2x 2 )(3x 5 y)
9. Efectuar: (3x+2y)(5x–7y)
2. Efectuar: (–3x 4 y 5 )(–5x 2 y)
3. Efectuar: (2x 3 y)(3x 2 z)(4x 5 y)
4. Efectuar: (–7xy)(–3yz)(2zw)
5. Efectuar: x 4 (2x 3 –x+5)
10. Efectuar: (x 3 +2x–7)(x 2 +3x–1)
11. Efectuar: (x 2 +x+1)(x 2 –x+1)
12. Hallar "a+b+c", si:
(x+3)(2x–5) ≡ ax 2 +b+cx
6. Efectuar: x 8 y 4 (xy + x 4 y 2 –5z)
13. Si: x n (2x+3) ≡ ax 5 +bx 4 , calcular: a+b+n
7. Efectuar: 2xy 5 (3x 2 +2y 2 +2xy)
14. Reducir: xy(xy+z)+3z(yx+1) – (xy)(xy)
8. Efectuar: (x+y)(2x–y)
15. Reducir: (x+1)(2x+1)+(x–1)(2x–1)+x(x+1) – x
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71
71

Capítulo
14
Tú puedes
1. Si: x
x =
2
2
; hallar el menor valor de:
x (x+1) – x (x+3) + x (x+2)
a) 1/2 b) 1/32 c) 1/16
d) 1/4 e) 1/8
2. Halle el valor numérico de:
(x+1)(2x–1)+(x–1)(2x+1)–4x 2 +x
para x = 2 + 2
a) 5 b) 2 c) –2
d) 2 e) 2 –2
3. Si: (2x+1) 5 (3x+2) 5 = (6x 2 +2+7x) a+1
Hallar "a".
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
4. Reducir:
ab(ab+c)+ac(ac+b)+bc(bc+a)–a 2 b 2 –a 2 c 2 –b 2 c 2
a) abc b) 2abc c) 3abc
d) 4abc e) a 2 b 2 c 2
5. Si: x n (x 2 –1) n + (a–4)(x+2) = (x 3 –x) 5
Hallar: "a+n"
a) 9 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
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72
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Capítulo
15
Repaso II
Lectura: La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes hacia
el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Fibonacci (Leonardo de
Pisa). La sucesión se describe de la forma siguiente:
F(0) = 0;
F(1) = 1;
F(n) = F(n–1) + F(n–2)
En la naturaleza encontramos como se cumple la sucesión de Fibonacci, por
ejemplo:
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que
cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la
abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que
son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no
tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos
(1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
El número de pétalos de una flor es generalmente un término de Fibonacci. Hay flores con 2 pétalos, 3, 5,
8, 13, 21, 34, pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión.
FUENTE: www.sabiask.com
En este capítulo recordaremos
Teoría de exponentes con ejercicios de aplicación.
..
Operaciones con bases iguales.
..
Operaciones con exponentes iguales.
..
Operaciones con radicales.
..
Ecuaciones exponenciales.
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73
73

15
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar:
0 0 0
3. Efectuar: 5 3 −
5 3 5 ( −
+ +
3)
• 5 0 =
• 3 –4 =
2 −2
• 8
5
B
=
4
2
3
3
6
0
4. Efectuar: x . x . x
• 36 1/2 =
2. Reducir:
3 6
5. Calcular: x . y
3
m .m + m . m + m . m + m . m =
Aplica lo comprendido
1. Reducir:
6 −3 2 ( −3)
2
x . x . x
−5
x
2. Efectuar:
; x!
0
− 1 − 1 − 1
1 1
12.
3
8
5
B + 8 −
8
B 8 5
B
6. Calcular:
3 –2 + 11 –2
7. Efectuar:
16 1/2 – 49 1/2 + 8 1/3
8. Calcular:
3. Calcular:
3
125 # 64 # 1000
5 112 2
−
− 4
4. Reducir:
( xy
25 ) .( xy
2 3 )
4 ; x ≠ 0 , y ≠ 0
13 42
x .( y )
9. Si "x" es positivo, reducir:
• 6 x 18
• 7 x 14
10. Calcular:
5. Calcular:
−1 −2 −1
25 5
; 8 +
31
B ; E E
19
3
125
8
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74
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Álgebra
Aprende más
1. Reducir:
2 3 2 3 2 3
x . y . x . y . x . y .......
1444444 2444444
3
20 potencias
a) x 60 y 40 b) x 10 y 60 c) x 40 y 60
d) x 30 y 20 e) x 20 y 30
2. Reducir:
4 6 8 9
x . x . x . x
234
(( x ))
x!
0
a) x b) x 2 c) x 5
d) x 3 e) x 4
3. Reducir:
5 2 2 m 2
m − 1
−
8 B
a) 22 b) 23 c) 24
d) 26 e) 25
4. Efectuar:
5 2 2 64
2
− 1
−
8 B
a) 5 b) 125 c) 25
d) 625 e) 2
5. Reducir: a . b 2 . a 3 . b 4 . a 5 . b 6
a) a 12 b 9 b) a 8 b 11 c) a 9 b 6
d) a 9 b 12 e) a 7 b 6
520
6. Reducir:
( 3 x )
35
( 9x
)
x ! 0
a) x 80 b) x 85 c) x 95
d) x 84 e) x 77
2
−
7. Reducir:
75
2
15
16
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. Reducir: 4 –3 + (–3) –3 + 27
1 + (2444)
0
a) 1/64 b) 65/64 c) 4
d) 3/64 e) 63/64
8 3 7 42
9. Efectuar: x + x ; (x > 0)
a) x b) x 8 c) 4x 3
d) x 4 e) 2x 2
10. Calcular "abc" en el polinomio completo y
ordenado:
P(x) = x a–5 +x b–6 +x a–3 + x c–7
a) 350 b) 100 c) 70
d) 250 e) 210
11. Calcular el Grado relativo de "z" en el monomio:
n
M(x; y; z) =
12 n−5 11 −n
x y z
a) 3 b) 12 c) 7
d) 10 e) 5
12. Calcular P(4) + P(6) si:
P(x–5) = 3x + 2
a) 64 b) 60 c) 48
d) 46 e) 62
13. Calcular la suma de los coeficientes del
polinomio:
P(x) = (4x – 2) 4 (3x – 1) 3
a) 142 b) 144 c) 256
d) 128 e) 216
14. Calcular: F(1) + F(–1)
2x
− 1 2
3
si: F( ) = x + 6x
− 7
a) –3 b) –1 c) 7
d) 11 e) 21
15. Calcular m+n en el polinomio homogéneo
P(x; y)=(x m y 3 ) 2 + (x 4 y 5 ) 6 +(x 2 y n ) 3
a) 50 b) 10 c) 70
d) 20 e) 40
6
a
a
2
1 − a
a
16. Reducir: 8 2
3 24 B
a) 3 b) 12 c) 6
d) 14 e) 9
17. Reducir: 8 3 B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5 5
5
1 −2 −1 1 −3
−1
+
`
4
j `
27
j
3
3
6
18. Simplifique: 5 @ . 25
a) 1 b) 5 c) 10
d) 15 e) 20
19. Reducir: ( 12 + 48 − 75)
2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
x
x
20. Reducir:
7 + 3
7
−x
3
−x
+
a) 7 x b) 3 x c) 21 x
d) 2 x e) x+2
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Primer año de secundaria
75
75

Capítulo
15
Practica en casa
4 3 58
1. Reducir:
( a b c )
( abc )
2. Reducir:
3 2 411
( −3)
2
6 −2 3
5
x . x . x . x
23
( x )
3. Reducir: 5 4 11 − x 4
8 B
x − 10
; x ≠ 0
9. Calcular: ( 0, 125)
273 −
−
1
10. Efectuar:
3
x 7 y
7
11. Efectuar: a .
3 6 5
a
4. Reducir:
3 46
( 2 x )
22
( 2x
)
; x ≠ 0
12. Calcular "mnp" en el polinomio completo y
ordenado:
P(x) = x m–3 +x n–1 +x m–1 +x p–5
3
5. Reducir: 8+
19 4
–2 –3
6. Reducir: 5 (–2)
1 (1536)
0
+ + +
8
3 18 5 30
7. Efectuar: x + x
3
3 7
7
; 7 7
8. Reducir: 8 23 B E
3
13. Calcular: P(–3) + P(7) si :
P(2x–5) = 4x – 1
14. Calcular el término independiente del polinomio:
P(x) = (3x + 2) 3 (2x + 3) 2
15. Calcular a+b en el Polinomio Homogéneo
P(x; y) = (xy a–1 ) 4 + (xy) 12 + (x b+1 y) 6
Tú puedes
1. Reducir si:
64
2
m−1
4
2
m−1
2
m+
2
P = m 2
; m > 0
a) 1 b) m c) m 2
d) m 3 e) –m
2x =
10
2 x
2
2
x + 1
2. Si: 2 5.
2 x , halle:
2
a) 5 –5 b) 5 –9 c) 5 –10
d) 5 –15 e) 5 –20
4. Halle: x 2 + x + 1, en:
1
( / )
1
`
4
j 124x =
2
a) 3/4 b) 1 c) 7/4
d) 1/4 e) 1/8
5. Si: (0,1) x . (0,2) y = 2 0,2 . 5 0,3
Hallar "xy"
a) 1/15 b) 1/25 c) 1/40
d) 1/50 e) 1/60
3. Halle: x –2/15 en:
x −2/
15
= 2 /
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) a o c
76
76
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Capítulo
16
Productos notables I
Lectura: Nicolás Copérnico
VARSOVIA (Agencias). Los restos del astrónomo Nicolás Copérnico
(1473-1543) recibieron hoy sepultura en el altar de la catedral
de Frombork, en el norte de Polonia, en una ceremonia
encabezada por el líder de la Iglesia católica polaca, el
arzobispo Jozef Kowalczyk.
Los arqueólogos descubrieron sus restos hace cinco años
durante excavaciones realizadas en la catedral y tests de
ADN confirmaron después que el cráneo y los huesos
pertenecían realmente al famoso astrónomo y matemático
nacido en 1473 que, tras estudiar en Cracovia e Italia,
pasó la mayor parte de su vida en Frombork desde 1503
hasta su muerte hace 467 años.
En su obra más famosa, “De Revolutionibus Orbium
Coelestium” (de las revoluciones de las esferas celestiales)
defendía la teoría de que el sol y no la Tierra, era el centro
del universo. Su teoría heliocéntrica, publicada poco antes de
su muerte y muy disputada entonces, revolucionó la ciencia y la
observación del mundo.
FUENTE: diario El Comercio - 2011
En este capítulo aprenderemos
..
Binomio al cuadrado
..
Binomio conjugado
..
Identidades de Legendre
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Primer año de secundaria
77
77

Capítulo
16
Síntesis teórica
PRODUCTOS
NOTABLES I
Concepto
Trinomio cuadrado
perfecto
(Binomio al cuadrado)
Diferencia de cuadrados
(multiplicación de binomios
conjugados)
Trinomio
Identidades
cuadrado
de
perfecto
Legendre
(Binomio al cuadrado)
78
78
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Saberes previos
Efectuar:
1. (x+3)(2x-7)
3. (x+4)(x+4)
4. (2x+y)(2x–y)
2. (2x+1)(2x–1)
Aplica lo comprendido
Efectuar:
1. (2x 2 +3) 2
2. (3x 3 –7y) 2
4. (6a 2 +2)(2–6a 2 )
5. (3a+b 2 ) 2 +(3a–b 2 ) 2
3. (5x+6)(5x–6)
Aprende más
1. Efectuar
(x+3)(x–3) – (x+5)(x–5)
a) 2x 2 +34 b) 8x c) –34
d) 16 e) 2x 2
2. Efectuar
(x+5)(x+7) – (x+6) 2
a) 2x 2 b) –1 c) 12x
d) –x e) 2x 2 +1
3. Efectuar
(3x+2) 2 + (3x–2) 2 – 8
a) 2x 2 +34 b) 16 c) 18
d) 18x 2 e) 16x
4. Efectuar
(2x+1) 2 – (2x–1) 2 + 8x
a) 0 b) 16x c) 12x
d) 16 e) 8
5. Efectuar
(x–1)(x+1)(x 2 +1) + 1
a) 2x 4 b) x 3 c) 4x
d) 2x 2 e) x 4
6. Calcular
( 7 + 2)( 7 − 2)( 3 + 1)( 3 − 1)
a) 10 b) 12 c) 15
d) 8 e) 6
7. Calcular
16
( 3)( 5)( 17)( 257)
+ 1
a) 16 b) 4 c) 2
d) 3 e) 6
8. Calcular
2 2
( 5 + 2) −( 5 − 2)
− 160
a) 12 b) 10 c) 6
d) 2 e) 0
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Primer año de secundaria
79
79

Capítulo
16
9. Calcular
(101)(99)–100 2 + (201)(199)–200 2
a) 0 b) 2 c) –1
d) 1 e) –2
10. Calcular
179 2 –2 (179)(178) + 178 2
a) 2 b) 1 c) 0
d) –1 e) –2
11. Si a+b=7 y ab=3, calcular a 2 +b 2
a) 23 b) 43 c) 49
d) 46 e) 52
12. Si x 2 +y 2 =22; x+y=6, calcular xy
a) 5 b) 6 c) 7
d) 9 e) 4
13. Si: x +
1
= 4
x
2
Calcular: x +
1
2
x
a) 16 b) 14 c) 18
d) 15 e) 17
14. Si x −
1
= 5,
x
2
Calcular: x +
1
2
x
a) 27 b) 25 c) 29
d) 23 e) 21
15. Si x +
1
= 7 ,
x
4
Calcular x +
1
4
x
a) 21 b) 9 c) 25
d) 23 e) 11
Practica en casa
1. Efectuar
(1+x)(x–1) – (4+x)(x–4)
2. Efectuar
(2+x)(x+8) – (5+x) 2
3. Efectuar
(5x+1) 2 + (5x–1) 2 – 50 x 2
9. Calcular
(152)(148)–150 2 + (122)(118) – 120 2
10. Calcular
2013 2 – 2 (2013)(2011) + 2011 2
11. Si a+b=9 y ab=2. Calcular a 2 +b 2
4. Efectuar
(x+5) 2 – (x–5) 2 – 20x
12. Si x 2 +y 2 =82; x+y=10. Calcular xy
5. Efectuar
(x 2 + 4)(x+2)(x–2) – x 4
13. Si x
1
2
+ = 6 . Calcular x +
1
x
2
x
6. Calcular
( 5 − 3)( 5 + 3)( 7 − 1)( 7 + 1)
14. Si x
1
2
− = 3 . Calcular x +
1
x
2
x
7. Calcular
8
( 2)( 4)( 10)( 82)
+ 1
15. Si x
1
8
+ = 5 Calcular x +
1
x
8
x
8. Calcular
2 2
( 3 + 8) −( 8 − 3)
− 8 6
80
80
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Álgebra
Tú puedes
1. Reducir:
2 2 2 2 5 4 3 8
− 1
6 ( x+ 1) ( x−1) ( x − 13 ) ( x + 1) ( x − 1)
@ + 1
a) x 2 b) x 8 c) 1
d) x 4 e) x 16
4. Si: x 2 + 1 = 5x
(x 2 +x –2 ) 2 + (x 2 –x –2 ) 2
a) 81 b) 94 c) 47
d) 36 e) 9
2. Calcular:
16
3# 5# 17 # 257 + 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
3. Hallar el valor numérico de:
(a+b) 4 (a–b) 4
para: a = 3+ 2 2 ; b = 3−
2 2
a) 8 b) 6 c) 24
d) 48 e) 64
5. Hallar "a" (a > 0)
aa ( + 2 ) + 1 18 18
8xx
( − 1 + 1 ) − x
x
B = ( x + 1) ( x −1)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 9 e) 8
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Primer año de secundaria
81
81

Capítulo
17
Productos notables II
Lectura: ¿Sabes quién es Pierre Fermat? Google lanzó "doodle" en su
honor
El nuevo doodle que presenta en esta ocasión Google está dedicado
al matemático francés Pierre de Fermat, nacido el 17 de agosto de
1601. Apodado como el ‘Príncipe de los aficionados’ fue uno de los
principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII, junto a
René Descartes, además de un destacado jurista.
En esta ocasión, el nuevo doodle refiere al “cálculo diferencial”
inventado por Pierre de Fermat antes que Newton y Leibniz, por lo
que en la portada se muestra una pizarra verde en donde se aprecia
los símbolos de sumas y restas pintados con tiza, y que forman parte
de una fórmula que hoy en día ayuda a muchos científicos en el
análisis matemático.
FUENTE: Diario El Comercio - 2011
En este capítulo aprenderemos
..
Binomio al cubo
..
Suma de cubos
..
Diferencia de cubos
82
82
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Álgebra
Síntesis teórica
PRODUCTOS
NOTABLES II
Desarrollo del binomio
al cubo
Suma o diferencia de
cubos
Multiplicación Trinomio cuadrado de dos
binomios perfecto con término
(Binomio común al cuadrado)
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Primer año de secundaria
83
83

17
Capítulo
Saberes previos
1. Si: x+
1 =3 x
Hallar: x 2 +
1
x
2
2. Si: a+a –1 = 6
Hallar: a 2 +a –2
3. Reducir: (4a+3b) 2 – (4a–3b) 2 4. Efectuar:
(a+5)(a–5) + (5+b 3 )(5–b 3 )
5. Calcular:
( 5 + 2)( 5 − 2) + ( 7 + 3)( 7 − 3)
Aplica lo comprendido
1. Desarrollar: (a+3) 3
4. Calcular: (a+3)(a–5)+(a+1) 3 – (a+1)(a 2 –a+1)
2. Efectuar:(a+2)(a 2 –2a+4)+(a–2)(a 2 +2a+4)
5. Efectuar: (a 2 +1)(a 4 +1–a 2 )(a 2 +1) 3
3. Efectuar: (x+3)(x+4) – (x+5)(x+2)
Aprende más
1. Efectuar
(x+2)(x 2 –2x+4) – x 3
4. Si:
a) x 3 –8 b) 8 c) –3x
d) 6 e) x 2 –8
(x–3)(x 2 +3x+9)–(x–2)(x 2 +2x+4)
a) 2x 2 b) –19 c) 12x
d) –12x e) x 2 +1
(x+1)(x 2 –x+1)+(x–1)(x 2 +x+1)
a) 2x 2 b) 2 c) –2
2. Efectuar
3. Efectuar
A = (x+1)(x+4)
B = (x+3)(x+2)
C = (x+5)(x–2)
D = (x+2)(x+1)
Hallar: A – B + C – D
a) –12 b) –2 c) 12
d) –14 e) –10
5. Reducir:
(a 2 +8)(a 2 +3)–(a 2 +4)(a 2 +7)+(a 2 +5)(a 2 –5)–a 4
a) –4 b) –22 c) –25
d) –29 e) 4
6. Si: x + y = 3
xy = 1
Hallar: x 3 + y 3
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
84
84
Colegios
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Álgebra
7. Efectuar
(x+2) 3 – x 3 – 8
a) 0 b) 16x+x 2 –8
c) 12x+ 2x 2 8 d) 12x+6x 2
e) 12x
8. Efectuar
(x–1) 3 + 3x 2 + 1
a) 3x 2 +3x b) x 3 +3x
c) 3x d) 3x 2
e) x 3
9. Calcular
3
(
3
3 −1)( 3
4 −
3
2)( 3
9 +
3
3 + 1)( 2 + 1)
a) 10 b) 12 c) 15
d) 8 e) 6
10. Calcular
3
(
3
2 − 1)( 3
2 + 1)( 3
16 + 4 + 1)
a) 16 b) 4 c) 2
d) 3 e) 6
11. Calcular
3 3 3 3 3 3
( 5 + 2) − 3 10( 5 + 2)
a) 12 b) 10 c) 6
d) 2 e) 7
12. Calcular
3 3 3 3
( 2 − 1) + 3 2 ( 2 − 1)
a) 0 b) 2 c) –1
d) 1 e) –2
13. Si a+b=4 y ab=2. Calcular a 3 +b 3
a) 40 b) 43 c) 49
d) 46 e) 52
2 2
14. Si x + y = 18 + xy; x+y= 2 . Calcular x 3 +y 3
a) 5 b) 6 c) 7
d) 9 e) 4
15. Si x–y=2; x 2 –y 3 =40. Calcular xy
a) 16 b) 14 c) 18
d) 15 e) 17
Practica en casa
1. Efectuar:
(x+5)(x 2 –5x+25) – 125
2. Reducir:
(x+4)(x 2 –4x+16)+(x–4)(x 2 +4x+16)
3. Efectuar:
(x–4)(x 2 +4x+16) – (x–1)(x 2 +x+1)
6. Efectuar:
(5+y)(5+3y)–(2+3y)(2+5y)+12(y+1)(y–1)–9
7. Efectuar:
(x 2 –2x+4)(x+2)+(x–2)(x 2 +2x+4)
8. Efectuar:
(x–3) 3 – x 3 + 27
4. Reducir:
(a+4)(a+2)–(a+7)(a–1)+(a+3)(a–2)–(a+6)
(a+1)
9. Efectuar:
(x+1) 3 – 3x – 1
5. Reducir:
(xy+1)(xy+7)+(xy+2)(xy–10)+2(3+xy)(3–xy)
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85
85

17
Capítulo
10. Si: a+b=2
ab=3
Hallar: a 3 +b 3
13. Calcular:
3 3 3 3 3 3
( 5 −1)( 9 − 2 3 + 4)( 25 + 5 + 1)( 3 + 2)
11. Si: a – b = 5
ab = 3
Hallar: a 3 – b 3
14. Si: x 2 +y 2 = 12 – xy; x – y = 3
Calcular: x 3 – y 3
12. Si: x +
1 = 3
x
Hallar: x 3 +
1
x
3
15. Si: x+y=5; x 3 + y 3 = 35
Calcular: xy
Tú puedes
1. Reducir:
2 2
( a + 1)( a − 1)( a + a+ 1) − ( b + 1)( b − 1)( b + b+
1)
a) a b) b c) a+b
d) a–b e) 2
2. Calcular:
3 3 3
^
3 3
3+ 2 2 + 3−2 2h
− 9^
3+ 2 2 + 3−
2 2 h
a) 3 b) 6 c) 9
d) 0 e) 12
4. Reducir:
(x 2 –4)(x–3)(x+1)–[x(x–1)–4] 2
a) 4 b) –4 c) 0
d) 2 e) 6
5. Si: (ab) 2 +(cd) 2 =3 y
abcd=2
Calcular:
a 6 b 6 +c 6 d 6
a) 6 b) 8 c) 9
d) 12 e) 7
2
3. Si: x
1
` +
x
j = 3 (x>0)
5
Hallar: x +
1
5
x
a) a b) – 3 c) 3
d) 7 e) 6
86
86
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Capítulo
18
Productos notables III
Lectura: El matemático que agitó la bolsa
El Gurú de la gestión cuantitativa - James Simons
Wall Street no es Hollywood, pero también fabrica mitos. Warren Buffet, Peter Lynch, Mark Mobius o
Bill Gross son algunas de sus leyendas. Se
trata de profesionales que han aportado un
estilo propio al mundo de la inversión.
En este Olimpo bursátil también tiene
su hueco James Simons. El fundador
de Renaissance Technologies, una de
las entidades de hedge funds más importante del mundo con cerca de 20
000 millones de dólares bajo gestión, ha comunicado que se retira en 2010.
Muchos le consideran un pionero
en el uso de sistemas matemáticos
combinados con aplicaciones informáticas para batir el mercado.
Su adiós coincide con el deseo de
los reguladores de poner coto a los
sistemas de inversión inteligentes
(robots), que este erudito contribuyó
a desarrollar, por distorsionar el
comportamiento bursátil.
La vida de Simons encaja como
un guante en el mito del sueño
americano. Hijo de un zapatero,
nació hace 71 años en los suburbios
de Boston. Dotado con una habilidad
innata para los números, colaboró
con el Departamento de Defensa
descifrando códigos secretos. Además,
obtuvo el Premio Veblen, la mayor
distinción en el ámbito de la geometría,
con sólo 38 años. Antes de fundar Renaissance, Simons fue presidente
del Departamento de Matemáticas de la
Universidad Stony Brook. En esta época tuvo
el primer contacto con el mercado invirtiendo parte de sus ahorros en la compraventa de divisas.
FUENTE: El país.com/oct–2009
En este capítulo aprenderemos
..
A reconocer un trinomio cuadrado perfecto (TCP).
..
A transformar un TCP en binomio al cuadrado (2 formas).
..
A practicar: multiplicación de binomios conjugados.
..
A practicar identidades de Legendre.
Importante: El trinomio cuadrado perfecto se representará por TCP.
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Primer año de secundaria
87
87

Capítulo
18
Síntesis teórica
PRODUCTOS NOTABLES
III
Trinomio cuadrado
perfecto
TCP
Repaso
Dándole forma
Formas de
reconocer
Regla práctica
Legendre
TCP
binomio al
cuadrado
Diferencia de
cuadrados
88
88
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Álgebra
Saberes previos
En cada caso calcule el TCP
4. (2x 2 –3y 3 ) 2
1. (x+3) 2
5. (xy 5 +2yzw) 2
2. (x 3 –3y 2 ) 2
3. (x+5yz) 2
Aplica lo comprendido
1. x 2 + 6 xy + 9 y 2 ; es equivalente a:
4. a 2 + b 2 – 2 ab; es equivalente a:
2. 4a 2 + 12ab + 9b 2 ; es equivalente a:
5. 9x 2 – 6x + 1; es equivalente a:
3. 4z 2 + 20xz + 25x 2 ; es equivalente a:
Aprende más
4. Dado el binomio: a 4 + 4b 4 , si al adicionarle el
1. Si: (3x + 2y) 2 = Ax 2 + Bxy + Cy 2
d) 9y 2 e) 25y 2
Hallar: A + B + C
monomio Ka 2 b 2 se convierte en un TCP, señale K.
a) 13 b) 19 c) 25
d) 8 e) 5
a) 2 b) 4 c) 8
2. Si: Ax 2 + Bx + C, es un TCP; señale la relación
entre A, B y C.
d) 16 e) 1
a) 2 AC=B b) AC=4B c) 2AB=C 5. Dado: x 2 + 4xy + 9y 2 , la expresión que se debe
d) 4AC=B 2 e) AC=4B 2
adicionar para que se convierta en un TCP.
3. Dado: 9x 2 + 18 xy, indique que monomio se
debe agregar para que se convierta en TCP. a) xy b) 2xy c) 3xy
a) y 2 b) 6y 2 c) 36y 2 d) 4xy e) 6xy
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Primer año de secundaria
89
89

Capítulo
18
6. Efectuar:
x 2 + 6x +16 – (x+3) 2
a) 1 b) 0 c) –4x
d) 6x e) 7
7. Efectuar:
(x+2) 2 – 2 (x+2)(x+1) + (x+1) 2
a) 2x 2 b) –19 c) 12x
d) –12x e) 1
8. Efectuar:
(x+1) 2 + (x–1) 2 – 2x 2
a) 2x 2 b) 2 c) –2
d) –2x 3 e) 2x 3
9. Efectuar:
(x 2 + 5) 2 – (x 2 – 5) 2 – 10 x 2
a) 0 b) 16x+x 2
c) 12x 2 d) 10x 2
e) 12x
10. Si: x +
1
= 3. Hallar: x 4 +
1
x
x
4
a) 44 b) 45 c) 46
d) 47 e) 81
11. Si: a + b = 5
ab = 2
Hallar: a 4 + b 4
a) 439 b) 433 c) 431
d) 430 e) 300
12. Si:
x 2 + 10x + 27 ≡ (ax + b) 2 + c
Calcular: abc
a) 10 b) 24 c) 12
d) 16 e) 15
13. Si:
4x 2 – 12x + m ≡ (2x – n) 2
Calcular: m+n
a) 15 b) 12 c) 7
d) 9 e) 4
14. Si: 4x 20 + 12x 10 y 14 + 9y 28 ≡ (Ax m + By n ) 2
Hallar: A + B + m + n
a) 29 b) 30 c) 28
d) 31 e) 32
15. Si: (3x–1) 2 + (3x+1) 2 ≡ 2 (ax 2 + b)
Calcular: ab
a) 6 b) 4 c) 8
d) 15 e) 9
Practica en casa
1. Si: (5x 2 +3y) 2 ≡ Mx 4 + Nx 2 y + Py 2
Hallar: M + N + P
2. Si: 2mx 2 + 3nx + p
Es un TCP, señale la relación entre: m, m y p
3. Dada la expresión: 25x 2 + 10 xy
Indique qué monomio se debe agregar para que
la expresión se convierta en un TCP
4. Dada la expresión: 6 4 a 4 + y 4 + K 2 a 2 y 2
Hallar K 2 , si es un TCP
5. Hallar el valor positivo de "K"
x 2 – 11 xy + 9y 2 + Kxy
es un TCP
6. Reducir:
(x+y) 2 +(x–y) 2 +(1+x)(1–x)+(1+y)(1–y)–2
Indique a qué expresión se debe agregar para
que se obtenga un TCP.
7. Hallar "K", si:
(m+2n) 2 –(m–2n) 2 +m(m+2n)+2n(m+2n)+Kmn
Es un TCP
8. Hallar "K", si: (a+3b) 2 + (a+b) 2 + Kb 2
Es un TCP
9. Hallar "P", si:
(x 2 +y 2 ) 2 + (x+y) 2 (x–y) 2 –(x 4 +y 4 )+px 4 +5x 2 y 2
es un TCP
90
90
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Álgebra
10. Si: x +
1
= 4. Hallar: x 4 +
1
x
x
4
11. Si:
a+b = 3
ab = 1
Hallar: a 4 + b 4
13. Si:
x 4 –14x 2 y 5 +49y 10 +36a 2 –12ab 3 +b 6 ≡
≡(Ma+Nb 3 ) 2 +(Ax 2 +By 5 ) 2
Hallar: (M – N + A – B)
14. Si: 9x 14 +42x 7 y 4 + 49y 8 ≡ (Ax m +By n ) 2
Señale: A + B + m + n
12. Si:
4a 2 +4ab+b 2 +25x 2 +30xy+9y 2 ≡(Ma+Nb) 2 +(Ax+By) 2
Hallar: M + N + A + B
2 2
15. Si: ( 5x+ 2y) + ( 5x− 2y)
+ Kxy
Es un TCP. Hallar P( 10 ) en P(x) = Kx + 1
Tú puedes
1.
9 10 5 2 40 20 3
x 3x y y a 2,
5a b
25 6
+ + + + + b
4
16
Es equivalente a: (Ax m +By n ) 2 + (Ma p + Nb q ) 2
Señale: A+B+M+2N–m+n+p+q
a) 20 b) 21 c) 25
d) 23 e) 24
2. Reducir:
4 4 2 2 4 2 2 4
225 , x + y + 3xy + 004 , a + 0,
8a b + 4b
2 2
− (1,5x
+ 0,2 a )
−
2 2 2 2
4. Reducir: a + 2ab + b – a – 2ab+
b
Si: b > a > 0
a) 2a b) 2c c) a–b
d) b–a e) 0
5. Si: x(x 3 +1)=9 – 4x
5 (x > 0)
Calcule el valor numérico de: x 4 –6x 2 –x
a) 9 b) 3 c) –9
d) – 3 e) 3
a) y 2 b) b 2 c) y 2 +b 2
d) y 2 +2b 2 e) 2y 2 +b 2
3. Si: a+b=2 y a=b –1
Hallar: a 1024 + b 1024
a) 2 10 b) 2 9 c) 2
d) 4 e) 8
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91
91

Capítulo
19
Productos notables IV
Lectura: Un matemático calcula el record definitivo de los 100 metros
planos en 9.29
El matemático holandés John Einmahl, de la Universidad de Tilburgo, ha calculado el récord definitivo
de 14 disciplinas atléticas y, entre ellas, el masculino de los 100 metros que él estima en 9.29 segundos
apoyándose en la teoría de los valores extremos y en proyecciones estadísticas.
Einmahl no pretende predecir los récords posibles en un futuro lejano sino, como lo
dice expresamente su estudio, los récords que podrían darse bajo las condiciones
actuales. La base de los cálculos de Einmahl son las mejores marcas de 1.546
atletas masculinos y 1024 atletas femeninas de élite de cada disciplina estudiada
que luego somete a complicadas elaboraciones matemáticas con ayuda de un
ordenador.
Según los cálculos de Einmahl, el récord del maratón entre los hombres, que
posee el keniano Paul Tergat (2h.04:55) es especialmente notable puesto
que el matemático holandés considera que sólo podría ser mejorado en
49 segundos. Entre las mujeres, en cambio, el récord de la británica Paula
Radcliffe, de 2h.15:25, podría ser claramente mejorado en 8 minutos y 50
segundos.
Curiosamente, también en las pruebas de velocidad, en las que habitualmente
se cree que se está muy cerca del límite de lo humanamente posible, los cálculos
de Einmahl apuntan a posibles mejoras. No sólo el récord de los 100 metros, que
podría ser bajado de los 9.77 de Asafa Powell a 9.29, podría mejorar sino también el
récord de 200 metros, en manos de Michael Johnson en 19.32, está casi un segundo por encima de lo
posible.
La teoría de los valores extremos, la especialidad de Einmahl, suele utilizarse para calcular cosas como “la
mayor pérdida posible” en caso de catástrofes naturales, por lo que las compañías de seguros recurren con
frecuencia a esta disciplina para determinar el monto de sus pólizas.
FUENTE : EFE
En este capítulo recordaremos
..
Diferencia de cuadrados.
..
Binomio al cubo.
..
Suma o diferencia de cubos.
..
Binomios con término común.
92
92
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Álgebra
Síntesis teórica
PRODUCTOS NOTABLES
IV
Diferencia de
cuadrados
Suma o diferencia de
cubos
Binomio al cubo
Binomios con un
término común
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93
93

19
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar: (a 2 + 3)(a 2 – 3)
4. Efectuar: (x – 2) 2
2. Efectuar: (a 2 + 1)(a 4 – a 2 + 1)
5. Efectuar: (x + 3)(x – 7)
3. Efectuar: (a + 2) 3
Aplica lo comprendido
1. Reducir: (x+1)(x–1)+(x+2)(x–2)+(x+3)(x–3)
4. Reducir: (x+1) 3 + (x–1) 3 – 2x 3
2. Reducir: (x+3)(x 2 –3x+9) + (x–3)(x 2 +3x+9)
5. Reducir: (x+4)(x–4) – (x+8)(x–2)
3. Reducir: (x+1)(x+5)+(x+3)(x–9)
Aprende más
1. Reducir:
(a+2)(a–2)(a 2 +4)– (a 2 + 2 )(a 2 – 2 )
a) –6 b) –8 c) –2
d) –18 e) –14
2. Efectuar:
(x 2 + 6x + 3)(x 2 + 6x + 7) – (x 2 + 6x + 5) 2
a) 12x b) 0 c) –4
d) 6x e) 7
3. Efectuar:
(x 2 + x + 2)(x 2 + x – 2) – (x 2 + x) 2
a) 2x 2 b) –4 c) 12x
d) –4x e) 4
4. Efectuar:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – (x 2 +5x+5) 2
a) 2x 2 b) 2 c) –2x
d) –1 e) 2x 3
5. Si:
a + b = 3
ab = 5
Hallar: a 3 + b 3
a) 18 b) –18 c) 27
d) –27 e) 15
6. Si: x
1
3
+ = 3 ; hallar: x +
1
x
3
x
a) 0 b) 3 c) – 3
d) 2 3 e) –2 3
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94
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Álgebra
7. Reducir:
(a+b) 3 +(a–b) 3 +2a(5b 2 –a 2 )
a) 6 ab 2 b) 16 ab 2 c) 10 ab 2
d) 4 ab 2 e) 12 ab 2
8. Reducir:
2 2 2 3 3 5
−
6 ( x− 1) ( x + x+ 1) ( x − 1)
@
1
+ 1
a) x b) x 2 c) x 3
d) 1 e) 0
9. Efectuar:
(x+y–3)(x–y+3) + (y–3) 2
a) 0 b) x 2 c) 12x 2
d) 10y 2 e) 12xy
10. Si:
x 2 + 3 xy + 9y 2 = 17 ............ (1)
x = 5 + 3y ..... (2)
Hallar: x 3 – 27y 3 + 11
a) 85 b) 86 c) 95
d) 96 e) 80
11. Si: x 2 – 3x + 1 = 0
3
Calcular: x +
1
3
x
a) 10 b) 24 c) 12
d) 18 e) 27
12. Reducir:
(x+3)(x+5)+(x+4)(x–6)+(x–7)(x+1)
a) 3x 2 b) 3x 2 –10 c) 3x 2 –24
d) 3x 2 –17 e) 3x 2 –16
13. Reducir:
(x+1)(x+3)+(x+3)(x+2)–(3+5x)(3–2x)
a) 0 b) 10x 2 c) 12x 2
d) 8x 2 e) –8x 2
14. Si: x 2 – 4x + 1 = 0
2
Calcular: x
3
+ + x +
1
2 3
x x
a) 75 b) 72 c) 66
d) 60 e) 48
15. Si: x 2 + 1 = 5 x
6
Calcular: x +
1
6
x
a) 16 b) 14 c) 18
d) 15 e) 19
Practica en casa
1. Reducir:
(x+3)(x–3)(x 2 +9)–(x 2 + 5 )(x 2 – 5 )
6. Si: x +
1
= 7 ; hallar: x
x
3
+
1
3
x
2. Reducir:
2 2 2 5 17 /
6 ( x+ 2) ( x−2) ( x −4) @ + ( 3x+ 1)( 3 x − 1) + 5
3. Efectuar:
(x 2 – x + 5)(x 2 – x + 7) – (x 2 – x + 6) 2
4. Efectuar:
(x 2 – 3x + 5)(x 2 – 3x – 5) – (x 2 – 3x – 5) 2 + 50
7. Reducir:
(a+2b) 3 + (a – 2b) 3 + 2a ( 5 b+a)( 5 b–a)
8. Efectuar:
(a – b + 6)(a – b – 6) – (a – b) 2
5. Si: a + b = 5
ab = 7
Hallar: a 3 + b 3
9. Si: x 2 + 5xy + 25 y 2 = 10
x = 3 + 5y
Hallar: x 3 – 125y 3 + 10
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95
95

19
Capítulo
10. Calcular el valor de:
3 3 3 3 3
( 2 + 3)( 4 − 6 + 9)
+
3 3 3 3 3
+ ( 4 − 3)( 16 + 12 + 9)
13. Reducir:
(3+x)(3+2x)+(5+2x)(5–3x)+(3x–7)(2x+5)
11. Si: x 2 – 5x + 1 = 0
3
Calcular: x +
1
3
x
14. Si: x 2 – 3x + 1 = 0
2
Calcular: x
1 3
+ + x +
1
2 3
x x
12. Reducir:
(a+11)(a+5)+(a–3)(a–2)+(a+9)(a–20)
15. Si: x 2 + 1 = 3 x
6
Calcular: x +
1
6
x
Tú puedes
1. Si: a+a –1 = 8 . Hallar: a 5 +a –5
a) 29 2 b) 45 2
c) 50 2 d) 58 2
e) 56 2
2. Efectuar, utilizando productos notables:
2 5 3# 5# 17 # 257 + 1
a) 1,7 b) 1,4 c) 1,1
d) 1,2 e) 1,3
4. Reducir:
(x 2 –x+1)(x 2 +x+1)(x 4 +x 2 +1)(x 8 +x 4 +1)–x 8 (x 8 +1)
a) 1 b) 0 c) x 4
d) x 2 e) x
5. Hallar el valor numérico de:
E = x 3 – 3x + 15
3 3
para: x= 3+ 2 2 + 3−
2 2
a) 20 b) 21 c) 20
d) 17 e) 19
3. Hallar el valor numérico de:
(x+y) 4 – (x–y) 4
Para: x= 7+ 2 ; y= 7−
2
a) 12 47 b) 112
47 c) 112 7
d) 47 e) 100 47
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Álgebra
División algebraica I
Lectura: Invención del número cero
El número cero fue inventado tres veces: por los babilónicos
(alrededor del 500 a.C), por los mayas (hacia el 50 a.C) y por
los indios (aproximadamente hacia el 500). El dígito cero
desempeña un rol importante en un sistema posicional, por que
permite distinguir, por ejemplo, entre los números 309, 390 y
39. Antes de la invención de caracteres marcadores de posición,
los babilónicos dejaban la posición correspondiente vacía, lo
cual a menudo generaba malentendidos y dudas.
Leonardo Fibonacci introdujo el cero en Europa en el siglo XI.
Caracteres numéricos mayas: el cero se simboliza como un
caracol.
Tomado de: "Gran enciclopedia del saber (National Geographic) Informática
y matemática"
En este capítulo aprenderemos
..
División algebraica – Definición
..
Elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo.
..
Algoritmo de la división: D = d . q + R
..
División exacta e inexacta.
..
Grados de lo polinomios cociente y residuo.
..
División entre monomios.
..
División de un polinomio entre un monomio.
..
Ejercicios
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97
97

20
Capítulo
Síntesis teórica
DIVISIÓN
ALGEBRAICA I
Definición
Propiedades
Algorítmo de la
división
Casos de división
• División exacta
• División inexacta
monomio
÷
monomio
polinomio
÷
monomio
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Álgebra
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes divisiones:
a)
b)
c)
+ 5
−1
=
− 12
+ 4
=
− 20
−2
=
2. Efectuar la siguiente multiplicación:
(x+3)(x+5) =
3. Reducir:
a) 5x+2x–4x =
b) 5x+2y+3x+7y =
4. Efectuar:
a)
b)
x
x
x
x
10
3
13
12
=
=
5. Dados los polinomios:
P(x) = x 5 +2x 3 –5x+3
Q(x) = 8x 2 + 7x 3 + 4
Entonces:
a) Grado de P(x) =
b) Grado de Q(x) =
Aplica lo comprendido
1. En la siguiente división:
x 2 +2x
0
x
x+2
El dividendo es: x 2 + 2x
El divisor es :
El cociente es :
El residuo es :
2. Del ejercicio anterior, la división ¿es exacta o
inexacta?
Justifica tu respuesta:
3. A partir de la siguiente división:
x 3 +6x 2 +11x+7
x 2 +3x+2
El grado del dividendo es: 3
El grado del divisor es :
El grado del cociente es :
El grado máximo del residuo es :
4. Efectuar:
8x
2
4x
5. Efectuar:
x + 6x
x
6
3 2
Aprende más
1. En una división, se tiene:
Divisor = x + 3
Cociente = x + 5
Residuo = 2
Hallar el dividendo:
a) x 2 +6x+16 b) x 2 +8x+16
c) x 2 +9x+16 d) x 2 +7x+17
e) x 2 +8x+17
2. De la siguiente división:
x 3 +6x 2 +11x+7
x 2 +3x+2
Hallar:
Grado del
cociente
+
Grado máximo
del residuo
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
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99

20
Capítulo
3. Efectuar: (–12x 4 y 7 ) ÷ (3xy 5 )
a) 4xy 7 b) –3x 2 y 3 c) 6x 4 y 7
d) –4x 3 y 2 e) 4x 4 y 5
4 3
4. Efectuar:
24 a b
3 2
−8
ab
a) 3 ab b) –4 ab c) 8 ab
d) –8 ab e) –3 ab
5. Efectuar: (x 3 + 10x 2 – 4x) ÷ (x)
a) x 2 – 10x + 4 b) x 2 – 10x – 4
c) x 2 +10x+4 d) x 2 +10x–4
e) x 2 +10x
3 2
6. Efectuar:
4x + 6x −8x
2x
a) x 2 +3x–8 b) 2x 2 +3x–8
c) 2x 2 +3x–4 d) x 2 +3x–4
e) 2x 2 –3x+4
7. En una división exacta, el divisor es (x 2 +5) y el
cociente es (x+1). Hallar el dividendo.
a) x 3 +x+5 b) x 3 +x 2 +5x+5
c) x 3 +x 2 +5 d) x 3 +5
e) x 3 +5x+5
8. Al dividir (12x m+8 ) entre (6x 13 ), el grado del
cociente es 7. Calcular el valor de "m".
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
4 7 3
−18x y z
9. Efectuar:
2 3
6xy z
a) 3xyz b) –3xy 5 c) 3x 3 y 5
d) –3x 3 y 6 z e) 3x 3 y 5 z
10. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (6y 3 z 2 )
para obtener (–54xy 5 z 3 )?
a) 9xy 2 z b) 6xy 2 z
c) –9xy 2 z d) –3–x 3 y 6 z
e) 3x 3
y 5 z
11. Efectuar:
4 3 2 2 3
6x y − 9xy + 12xy
3xy
a) 2x 3 –3x 2 y+4xy 2 b) –2x 3 +3x 2 y–4xy 2
c) 3x 3 –3xy+y 2 d) 6x 3 +xy+y 2
e) –x 3 +3x 2 y+4xy 2
12. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (4x 3 y 5 )
para obtener (16x 4 y 5 – 28x 3 y 7 +8x 5 y 9 )
a) 4x+7y 2 +2x 2 b) 4x–7y 2 +2y 4
c) 4x–7y 2 +2x 2 y 4 d) 4x+7y 2 –2y 4
e) 4x+7y 2 –2x 2
13. Si (–4x 3 y 7 ) es el cociente que resulta de dividir
(–12x m y 18 ) entre (nx 4 y p ), calcular el valor de
"p–(m+n)"
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
14. Al dividir: (x a y 7 +x 8 y b ) entre (x 3 y 2 ) se obtiene
un polinomio homogéneo de grado 13. Calcular
el valor de "a × b".
a) 100 b) 110 c) 120
d) 130 e) 140
15. Al dividir (x m+2 +3x n–5 +8x p+1 –7x 3 ) entre (x 3 )
el cociente obtenido es un polinomio completo
y ordenado. Calcular: mn + np + mp − 1
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
Practica en casa
1. En la siguiente división:
2x 3 +x 2 + 3x + 1 x+1
2x 2 – x + 4
–3
El cociente es:
2. A partir de la siguiente división:
x 5 + 2x 4 – x 2 +3
x 2 – 2x + 1
El grado del cociente es:
100
100
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Álgebra
3. Efectuar: (18x 7 ) ÷ (9x 4 )
4. Efectuar:
−15
m
−5
m
10
5. Efectuar: (x 8 + 8x 5 ) ÷ (x 4 )
6. Efectuar:
4
4 3
x + 3x −5x
x
7. En una división exacta, el divisor es (x+3) y el
cociente es (x+9). Calcular el dividendo.
8. Al dividir (20x m+7 ) entre (5x 3 ), el grado del
cociente es 10. Calcular el valor de "m".
9. Efectuar:
−21x y
3 6
3 xy
4 7
10. ¿Qué monomio debe multiplicar a (8x 4 y 9 ) para
obtener (–32x 9 y 13 )?
3 4 5
11. Efectuar: 4 ab−
12 a b
2
2 ab
12. ¿Qué polinomio debe multiplicar a (x 4 y 2 ) para
obtener (3x 5 y 3 + 8x 6 y 4 )?
13. Si (3x 4 y 6 ) es el cociente que resulta de dividir
(12 x a y b ) entre (4x 2 y 3 ), entonces:
a =
b =
14. Al efectuar (12 x a y 7 + 18 x 9 y b ) ÷ (6 x 5 y 4 ), se
obtiene: mx 2 y 3 + nx 4 y 6 . Luego:
a = m =
b = n =
15. Al efectuar (x a +5y 10 +x 13 y b–3 ) ÷ (x 4 y 8 )
Se obtiene un polinomio homogéneo de grado 15.
Luego:
a =
b =
Tú puedes
1. En una división exacta, el dividendo es
(x 3 +6x 2 +5x+p), el divisor es (x 2 +m) y el
cociente es (x+q). Calcular el valor de m+p+q
a) 34 b) 36 c) 38
d) 41 e) 44
2. Si los cocientes de la siguientes divisiones:
A B
Bx
B y
Cx
Ax Bx
C representan términos semejantes.
Calcular el valor de:
A+
C
B
a) –1 b) 2 c) –2
d) 1 e) 0
3. Si se cumple: Mx A – Nx B = 5x C
Calcular el cociente de la siguiente división:
M
( 3A+
7B)
x
N
( 6B−
C)
x
a) 8x b) x 4 c) 2x 5
d) 3x 6 e) 1
4. En una división, se tiene:
Dividendo = P(x)
Divisor = x 2 – 6x + 5
Cociente = Q(x)
Residuo = ax + b
Si se cumple: P(5) – P(1) = 12, calcular el valor
de "a".
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Al dividir un polinomio P(x) entre x 3 , el resto es:
x 2 +x+7, halle el término independiente.
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
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Primer año de secundaria
101
101

21
Capítulo
Repaso III
Interpretación geométrica del trinomio al cuadrado
Calculamos el área del cuadrado de lado "a+b+c"
c
ac bc c 2
b
ab b 2 bc
a
a 2 ab ac
a
b
c
FUENTE: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trinomio_al_cuadrado.svg
En este capítulo recordaremos
..
Productos notables con ejercicios de aplicación.
102
102
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Saberes previos
1. Desarrollar:
• (m + n) 2 =
• (x+3) 2 =
2. Desarrollar:
4. Desarrollar:
• (m+x) 3 =
• (n–2) 3 =
• (x+y)(x–y) =
• (m+8)(m–8) =
3. Reducir:
• (a+b) 2 +(a–b) 2 =
5. Desarrollar:
• (x+8)(x+4) =
• (m–3)(m–9) =
• (y+5) 2 + (y–5) 2 =
Aplica lo comprendido
1. Efectuar: (x+5) 2 – x (x+10)
6. Efectuar: (x + 4) 3
2. Efectuar: (y–7) 2 – (y–8) 2 + 2y
2 2
3. Reducir: ( m+ 5 ) + ( m−5 ) −50
2
m
; m ≠ 0
7. Efectuar: (m – 5) 3
8. Desarrollar: (x+5)(x–8)
2 2
4. Reducir:
( x+ 9) −( x−
9)
( x+ 1 ) − ( x−
1 )
2 2
; x ≠ 0
9. Reducir: (m–6)(m+7) + m (m+1)
5. Reducir: (x+3)(x–3)(x 2 +9) + 81
10. Reducir: (x+1) 3 + (x–1) 3
Aprende más
1. Desarrollar: (5m+4) 2
a) m 2 +16 b) 25m 2 +40m+16
c) 5m 2 +20m+16 d) 25m 2 +16
e) 25m 2 +40m+4
2. Desarrollar: (7m–3) 2
a) 49m 2 –9 b) 7m 2 –9
c) 49m 2 +42m+9 d) m 2 –9
e) 49m 2 –42m+9
3. Reducir: (2m+1) 3 –6m(2m+1)–1
a) m 3 b) 2m 3 c) 4m 3
d) 8m 3 e) 16m 3
4. Desarrollar: (7x–5y) 3 –105xy(7x–5y)+125y 3
a) x 3 b) (6x) 3 c) (7x) 3
d) (8x) 3 e) (9x) 3 103
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Primer año de secundaria
103

21
Capítulo
5. Reducir: (x–8)(x+4) – (x+2) 2 + 16+ 8x
a) –20 b) –22 c) –24
d) –21 e) –23
6. Reducir: ( x
1 2
) ( x
1 2
+ − − )
x x
x ! 0
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2 2
7. Reducir: ( 4x+ 2003) + ( 4x− 2003)
− 4006
a) 4x 2 b) 16x 2 c) 32x 2
d) 64x 2 e) 128x 2
8. Reducir: (x 2 + 5) 2 – x 4 – 5x (2x + 1) + 5x
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
9. Desarrollar: (a + b + c) 2
a) a 2 +b 2 +c 2 b) a 2 +b 2 +c 2 –abc
c) a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+bc+ac)
d) a 2 +b 2 +2abc e) a 2 +b 2 +c 2 +a+b+c
10. Reducir: 6 ( x+ 8)( x+ 5) −( x+ 7)( x+ 6) + x@
− ( x+
2)
a) –4x b) –8x c) –16x
d) –32x e) –24x
2 2
11. Si: x 2 + 3x = 8, hallar el valor numérico de:
(x+1)(x+2)(x+5)(x–2)
a) –10 b) –20 c) –30
d) –40 e) –50
12. Si: a + b = 5
ab = 2
Hallar: a 2 + b 2
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
13. Si: x+y=3, reducir: (x+y) 3 – x (9y+x 2 ) – y 3
a) –1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3
14. Reducir: (x+2) 3 + (x–2) 3 – 2x (x 2 –12x) – 24x 2
a) 6x b) 12x c) 18x
d) 24x e) 30x
15. Si: m +
2
= 5 , Hallar: m 2 +
4
m m
a) 19 b) 20 c) 21
d) 22 e) 23
16. Reducir: ( x+ 1)( x− 1)( x + 1)( x + 1)
+ 1
a) x 2 b) x 4 c) x 6
d) x 8 e) x 16
2
2 4
2 2 2 2 4
17. Reducir: ( x + 2y )( x − 2y ) + ( x + 2y ) − 2x
2
xy
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18. Si: x + y = 5
xy = 1
Hallar x – y ;
x > y
a) 21 b) 20 c) 31
d) 6 e) 17
19. Si: x + y = 7
xy = 20
Hallar:
x y
+ y x
a) 3/20 b) 9/20 c) 11/20
d) 7/20 e) 13/20
4 +
20. Si: x +
1 = 5 , Hallar:
x 1
x
2
x
a) 21 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
Practica en casa
1. Desarrollar: (7n+2) 2
4. Desarrollar: (5x – 11y) 2
2. Desarrollar: (5x – 3) 2
5. Reducir: (x–6)(x+2)–(x+2) 2 +10
3. Desarrollar: (4x – 5) 2 6. Reducir: 4x
1
2
4x
1
2
` + − − x ! 0
x
j `
x
j
104
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
2 2
7. Reducir: ( 3x+ 1005) + ( 3x− 1005)
−2010
8. Reducir: (x 2 +3) 2 – x 4 – 3x (2x + 1)
9. Desarrollar: (x+y+2) 2
10. Reducir: 6 ( x+ 4)( x+ 7) − ( x+ 5)( x+ 6)
+ x@
11. Si: x 2 + 5x = 60, hallar el valor numérico de:
(x+2)(x+4)(x+1)(x+3)
2
14. Reducir:
(x+2) 3 + (x – 2) 3 – 2x 3 + 24x 2
15. Si: x+ x
3 = 5, Hallar: x
2 +
x
9
2
16. Reducir: ( x − 1)( x + 1)( x + 1)
−1
17. Si:
x + y = 7
xy = 1
Hallar: x – y ;
2 2 4
x > y
12. Si:
a + b = 7
ab = 2
Hallar: a 2 + b 2
13. Si: x + y = 3
Reducir: (x+y) 3 – y (9x + y 2 ) – x 3
18. Si:
x + y = 6
xy = 20
Hallar:
x y
+ y x
4 +
19. Si: x +
1 = 7,
hallar:
x 1
x
2
x
20. Si: a – 2b = 3, hallar el valor numérico de:
2
a –9
4b (a –b)
Tú puedes
1. Si: x – 3y = 5
Hallar el valor numérico de:
( x+ 5)( x−5)
y( 2x−
3y)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Si el polinomio:
P(x; y) = 25x 2 + 4axy + 16y 2
Es un trinomio cuadrado perfecto. Hallar el
máximo valor que toma "a".
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
3. Si: x +
1 = 3,
Hallar: x
5
+
1
x
5
x
2 2
4. Calcular:
2a
+ b
+
3a
+
4b
ab b a
Sabiendo que: (a+b) 2 = 4 ab (ab ! 0)
a) 10 b) 12 c) 4
d) 9 e) 16
5. Simplificar:
A=(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)–
–(a+b+c+d) 2
a) ab+cd b) ab–cd c) ab–c
d) ab+c e) a 2 b 2 –cd
a) 121 b) 122 c) 123
d) 124 e) 125
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Primer año de secundaria
105

22
Capítulo
División algebraica II
Lectura: Problemas árabes
Uno de los métodos más antiguos para resolver las ecuaciones de segundo grado es el método geométrico
de "completar el cuadrado" atribuido a Al–Khwarizmi.
F
5
5x 25
K
Al–Khwarizmi consideraba cinco tipos de ecuaciones
de segundo grado: ax 2 = bx; ax 2 =b; ax 2 +bx=c;
ax 2 =bx+c donde a, b, c eran positivos y a=1. (Los
números negativos y complejos aparecieron mucho
después). He aquí uno de sus ejemplos:
B
x
x 2
C
5x
Resolver la ecuación: x 2 +10x=39
Se construye un cuadrado ABCD, con AB=AD=x.
Se extienden los lados AB y AD de forma que
DE=BF=5. (5 es la mitad de 10, el coeficiente de
x).
A
x
D 5
E
Se completa el cuadrado AFKE. El área de AFKE
se puede expresar como: x 2 +10x+25, pero la
ecuación a resolver es: x 2 +10x=39
Por lo tanto, hay que agregar 25 a los dos miembros
de la ecuación, lo que da:
x 2 + 10x + 25 = 39 + 25 – 64
Los dos miembros de la ecuación son ahora cuadrados perfectos:
(x+5) 2 – 8x 2
Puesto que se tiene: AF=AE=x+5=8, la solución será x=3.
Tomado de: "Historia e historias de matemáticas"
Mariano Perero
En este capítulo aprenderemos
..
División algebraica II.
..
Método de Horner
– Esquema
– Procedimiento
..
Ejercicios
106
Colegios
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Álgebra
Síntesis teórica
DIVISIÓN
ALGEBRAICA II
División entre
polinomios
Método de Horner
• Esquema
• Procedimiento
Aplicaciones
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Primer año de secundaria
107

22
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a) 4 + 5 = b) –3+8 =
c) 4 – 3 = d) 5 – 8 =
2. Efectuar las siguientes operaciones:
a) (+4)(–5) = b) (12) ÷ (3) =
c) (–3)(+2) = d) (–8) ÷ (2) =
3. En la siguiente división:
2
2x
+ 3x+
5
x + 2
4. Dado el polinomio:
P(x) = 5x 4 + 3x 2 + 6x + 1
Completar:
a) Coeficiente principal =
b) Grado del polinomio =
c) Término independiente =
d) Suma de coeficientes =
5. El polinomio:
P(x) = x 4 + 8x 3 – 5x 2 + x + 7
El dividendo es :
El divisor es :
Está completo y
respecto a la variable.
Aplica lo comprendido
1. La división:
2
6x
+ 5x+
7
2x
+ 3
Se representa mediante el siguiente esquema de
Horner:
2 6 5 7
3
• Dada la siguiente división
x
2
+ 7x+
1
x − 2
3. El cociente es :
4. El residuo es :
¿Cuál es el error?
2. El siguiente esquema corresponde a una división
efectuada por el método de Horner:
5. La siguiente división:
x
2
− 3x+
5
x − 4
3 9 –3 5
2 6 2
¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta
3 1 7
Señalar:
a) El cociente =
b) El residuo =
108
Colegios
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Álgebra
Aprende más
1. Luego de efectuada la división:
Completar:
a) Dividendo = x 2 + 5x – 4
b) Divisor =
c) Cociente =
d) Residuo =
2. Luego de efectuar la división:
x
Relacionar correctamente
Dividendo A 7
x
2
2
+ 5x−4
x − 1
+ 5x+
13
x + 2
Divisor B x+2
Cociente C x+3
Residuo D x 2 +5x+13
3. Luego de efectuar la división:
Indicar verdadero (V) o falso (F)
x
2
+ 7x+
13
x + 5
a) El dividendo es : x 2 + 7x + 13 ( )
b) El divisor es : x – 5 ( )
c) El cociente es : x – 2 ( )
d) El residuo es : 3 ( )
4. Obtener el residuo de la siguiente división:
2
4x
− 5x+
9
x − 3
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
5. Luego de efectuar:
6x
+ 7x+
2
2x
+ 1
Indicar el cociente
a) 3x–2 b) 3x+2 c) 2x+3
d) 2x–3 e) 3x+4
6. Si el residuo de la división:
6x − 11x+
m
3x
− 1
Es 4, calcular el valor de "m"
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
7. Obtener el cociente de la siguiente división:
3 2
x + 5x + 6x
+ 8
x + 4
a) x 2 +x+2 b) x 2 –x+2
c) x 2 +x–2 d) x 2 –x–2
e) x 2 +x+1
2
2
8. Calcular el cociente de la siguiente división:
6x 3 + 19x 2 + 18x
+ 9
3x
+ 5
a) 2x 2 +3x+1 b) x 2 +2x+1
c) x 2 +2x+3 d) 2x 2 +x+3
e) 3x 2 +2x+1
9. Calcular el residuo de la siguiente división:
4x + 5x −2x
− 3
4x
− 3
a) 9 b) 12 c) 3
d) 0 e) 6
10. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división
3 2
x + 5x − 6x
+ 1
2 ?
x −x−1
a) x+7 b) x+6 c) x+5
d) x+4 e) x+3
11. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división:
3 2
3x + 2x + 6x
+ 13
2
x − x+
2
a) 3x+5 b) 5x–3 c) 3x–5
d) 5x+3 e) 0
12. Luego de efectuar la siguiente división:
3 2
6x − 25x + 3x
− 5
2
, el cociente es:
3x
− 5x+
2
a) 2x+5 b) 2x–5 c) –2x+5
d) –2x–5 e) 5x+2
13. Luego de efectuar:
3 2
5x+ 4x + 7−
2x
2
x + 1 −x
Indicar el residuo
a) 4x+2 b) 5x+3 c) 0
d) 2x+4 e) 3x+5
3 2
14. Si la siguiente división:
x + 7x + Ax + B
2
x + 2x−1
Es exacta, calcular: A + B
a) 3 b) 4 c) 7
d) 9 e) 10
4 3 2
15. Si la división:
x + 3x + 5x + Ax−B
2
x + x−2
es exacta, calcular A+ B
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
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Primer año de secundaria
109

22
Capítulo
Practica en casa
1. Luego de efectuar la división:
x
Completar:
a) Cociente =
b) Residuo =
2
+ 2x+
5
x − 1
2. Luego de efectuar la división:
x + 4x+
5
x + 3
Relacionar correctamente:
Dividendo A x+1
Divisor B 2
Cociente C x 2 +4x+5
Residuo D x+3
3. Luego de efectuar la división:
Indicar verdadero (V) o falso (F)
x
2
2
+ 6x+
8
x + 2
a) El cociente es : x+4 ( )
b) El residuo es : 16 ( )
c) La división es exacta ( )
4. Calcular el residuo de la siguiente división:
2
x − 3x+
2
x − 6
2
5. Luego de efectuar:
5x
− x+
2
, Indicar el cociente
x − 1
6. Obtener el cociente de la siguiente división:
2
6x
+ 5x−4
2x
− 1
2
7. Si el residuo de la división:
x − 5x+
m
x − 3
Es 3, calcular el valor de "m"
8. Calcular el cociente de la siguiente división:
3 2
x + 4x + 6x
+ 9
x + 3
9. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división:
3 2
2x + x + 3x
+ 2
x − 1
10. Hallar el residuo de la siguiente división:
3x 3 + 8x 2 + 7x
+ 6
3x
+ 2
11. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división:
3 2
x + 3x + x − 2
2
x + x−1
3 2
12. Luego de efectuar la división:
5x + 12x + x + 3
2
x + 2x−
1
El residuo es:
13. Luego de efectuar:
Indicar el residuo
2 3
7x − 2+ 12x − 7x
2
3x
+ x−2
3 2
14. Si la siguiente división:
x + 7x + Ax + B
2
x + 5x−3
Es exacta, calcular el valor de "A+B"
15. Dada la división exacta:
4 3 2
2x − 9x + 2x + 8Ax+
B
2
x − 5x+
1
Calcular el valor de "A + B"
Tú puedes
1. Calcular "m+n+2" si la división:
5 4 3 2
6x − 17x + 7x + mx + nx+ p
3 2
, es exacta
3x − 4x + 5x
− 7
a) 22 b) 18 c) –11 d) 25 e) 28
2. Si el residuo de la siguiente división:
5 4 3 2
3x −8x − 5x + 26x + mx + n
3 2
x −2x − 4x
+ 8
Es –5x+2, calcular 2m+n"
a) –20 b) –50 c) –3 d) –40 e) –70
3. Al efectuar la siguiente división:
3 2
6x − 12x + 4Ax + A
2 ,
3x
+ 3
El residuo toma la forma "mx+m". Calcular el
valor de "A+m"
a) 10 b) 24 c) 30 d) 31 e) 32
4. Calcular la suma de coeficientes del cociente de:
6x − x + 4x − 10x + Ax − 6
3x
− 2
Sabiendo que el residuo de la división es 2.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 5 e) 7
5. Calcular el cociente de la siguiente división
exacta:
4 3 2
ax + ( a− b) x + bx + ( b− cx ) + c
2
ax −bx −c
a) ax 2 + bx + c b) x 2 + x – 1
c) ax 2 + x + b d) x 2 + bx + c
e) x 2 – bx – c
110
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Capítulo
23
División algebraica III
Lectura: Sobre el papiro de Rhind
L o s egipcios resolvieron ecuaciones lineales por el método de la falsa posición. Este método
también fue utilizado por los babilonios, contemporáneamente con los egipcios, y
posteriormente por los árabes. El siguiente problema aparece en el Papiro Rhind
(S. XVIII a.C):
"Un montón, sus dos tercios, su mitad, todos juntos hacen trece. ¿Cuál es la
cantidad?"
El problema se reduce a la ecuación:
x+ 2
x+ 1
x= 13
3 2
Los egipcios encontraban la solución de este tipo de ecuación a través de
un método llamado regla de falsa posición. En primer lugar atribuían un
valor falso al montón, por ejemplo, 12:
12 +
2
( 12 ) + 1 ( 12 ) = 12 + 8 + 6 = 26
3 2
Luego, mediante una regla de tres simple se obtiene el valor verdadero del
montón, que en este caso es 6.
Valor verdadero =
12 # 13
= 6
26
E s t e método es un ejemplo del uso de aproximaciones, en que se parte de un valor falso y
se procura corregirlo para mejorar el resultado. En este caso permite obtener la solución exacta por la
estructura del problema.
FUENTE: (http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ContribucionesV8_n1_2007/De%201a%20Resolucion_de_Ecuaciones/2_
EcuacionesPolinomicas.pdf)
En este capítulo aprenderemos
..
División algebraica III
..
División entre polinomios
..
Método de Ruffini
– Esquema
– Procedimiento
..
Aplicación
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Primer año de secundaria
111

23
Capítulo
Síntesis teórica
DIVISIÓN
ALGEBRAICA III
División entre
polinomios
Método de Ruffini
Regla
Aplicación
112
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a) 7 – 2 = b) –4 + 5 =
3. Ordenar el polinomio de forme descendente:
P(x) = 5 + x 3 – 6x + x 2
& P(x) =
c) – 6 – 2 = d) 2 – 5 =
• Dada la siguiente división:
2. Efectuar las siguientes operaciones:
a) (5)(2) = b) (3) (–4) =
c) (–2)(–3) = d) (–1) (5) =
4.
5.
2
3x
− 5x+
7
x − 2
Contesta las siguientes preguntas:
El dividendo es :
El divisor es :
El cociente es :
El residuo es :
Aplica lo comprendido
1. La división:
2
x − 8x+
10
x + 3
Se representa mediante el siguiente esquema de
Ruffini:
1 –8 10
3
3. Del siguiente esquema de Ruffini:
7 –2 5 –10
1 7 5 B
7 5 A 0
Calcular: "A + B"
Es correcto
2. El siguiente esquema corresponde a una división
efectuada por el método de Ruffini:
2 7 5
–3 –6 –3
2 1 2
Señalar:
a) Cociente :
b) Residuo :
• A partir de la siguiente división:
2
2x
− 5x+
3
x − 1
Responde:
4. El cociente es:
5. La división, ¿es exacta o inexacta?
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Primer año de secundaria
113

23
Capítulo
Aprende más
1. Luego de efectuar la división:
x
Completar:
a) Dividendo =
b) Divisor = x – 3
c) Cociente =
d) Residuo =
2. Luego de efectuar la división:
x
Relacionar:
2
2
+ 2x−9
x − 3
+ 7x+
14
x + 2
Dividendo A x+2
Divisor B 4
Cociente C x 2 +7x+14
Residuo D x+5
3. Luego de efectuar la división:
3x
− 7x+
6
x + 1
Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) El dividendo es : 3x 2 + 7x + 6 ( )
b) El divisor es : x – 1 ( )
c) El cociente es : 3x + 4 ( )
d) El residuo es : 10 ( )
4. Calcular el cociente de la siguiente división:
3 2
x + 3x −13x
− 15
x + 5
a) x 2 + 2x + 1 b) x 2 – 2x + 3
c) x 2 + 2x + 3 d) x 2 – 2x – 3
e) x 2 – 2x – 1
5. Hallar el residuo de la siguiente división:
2x − x + 3x
− 2
x + 2
a) 28 b) –28 c) 29
d) –29 e) 30
2
6. Obtener la suma de coeficientes del cociente de:
2 3
2x + 3x+ 4x
+ 7
x + 1
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
7. A partir del siguiente esquema de Ruffini:
5 a 2 –3
1 5 b d
5 7 c e
Calcular el valor de: (b+c+e) ÷ (a+d)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
8. El cociente de la siguiente división:
3
3x
+ 2x+
3
x − 2
es:
a) 3x 2 – 6x + 14 b) 3x 2 + 6x + 14
c) 3x 2 – 6x – 14 d) x 2 + 1
e) 3x 2 + 6x – 14
9. Calcular el residuo de la siguiente división:
4 3 2
2x + 3x − x + 2x+
6
x + 2
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
10. Si el residuo de la siguiente división:
3 2
2x + 7x − 2x+
m
x + 3
Es igual a 17, calcular el valor de "m".
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
114
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
3 2
11. Al efectuar la división:
x + 5x + mx + 15
x + 2
El término independiente del cociente es 8.
Calcular: m + residuo
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
12. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división:
3x 3 + 8x 2 + 7x
+ 6
3x
+ 2
a) x 2 – 2x + 1 b) x 2 + 2x + 1
c) x 2 – 2x – 1 d) x 2 +2x – 1
e) x 2 + 1
13. Hallar el residuo de la siguiente división:
3x − 2x + 6x + 11x+
10
3x
− 2
a) 21 b) 20 c) 23
d) 24 e) 25
14. De la siguiente división:
3 2
ax + ( b− a) x + ( 3c− bx ) + 5c
x − 1
Calcular el valor de "a+b", si la suma de
coeficientes del cociente es 51, y el residuo de
la misma es 56.
a) 13 b) 24 c) 30
d) 41 e) 50
Practica en casa
1. Luego de efectuar la división:
2
x + 9x+
20
x + 6
Completar:
a) Cociente :
b) Residuo :
2. Luego de efectuar la división:
x
2
− 5x+
7
x − 3
Relacionar correctamente:
Dividendo A x–3
Divisor B 1
Cociente C x 2 –5x+7
Residuo D x–2
3. Luego de efectuar la división:
2
3x
+ 2x−5
x − 1
Indicar verdadero (V) o falso (F):
a) El cociente es : 3x+5 ( )
b) El residuo es : 10 ( )
c) La división es exacta ( )
4. Obtener el cociente de la siguiente división:
3 2
x + 5x −10x
− 8
x − 2
5. Hallar el residuo de la siguiente división:
3 2
2x + x + 3x
+ 10
x + 1
6. Calcular el cociente de la siguiente división:
3 2
2x + x −7x
− 6
x − 2
7. A partir del esquema de Ruffini:
5 4 3 B
–1 –5 1 –4
5 –1 A 3
Calcular el valor de A + B
8. El cociente de la siguiente división:
3 2
3x
+ 2x
+ 3
; es:
x + 2
9. Calcular el residuo de la siguiente división:
4 3 2
3x + 5x − 10x + 7x+
4
x + 3
10. Si el residuo de la siguiente división:
3 2
2x + 9x + 3x+
A
x + 2
Es igual a 20, calcular el valor de "A"
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115

23
Capítulo
11. En el siguiente diagrama de Ruffini:
1 2 –3 2
A 1 B 0
1 3 0 C
Calcular el valor de "A+B+C"
14. Luego de efectuar la siguiente división:
3 2
mx + ( n− 3m)
x + nx + 5
x − 3
El residuo obtenido es 41, calcular "m" si la
suma de coeficientes del cociente es 18.
3 2
12. Al efectuar la división:
x + 6x + Ax + 30
x + 4
El término independiente del cociente es 7
Calcular: A + residuo
13. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división
3 2
2x + 3x + 3x
+ 7
?
2x
+ 1
15. A partir de la división:
( A− 5) x 3 + ( B− A) x 2 + ( C− Bx ) + A+
B
x − 1
Obtener la suma de coeficientes del cociente, si
el residuo es igual a 14.
Tú puedes
1. Calcular el valor de:
4A−
B
+
7B+
2A
B A
Si luego de efectuar:
3 2
Ax + 3x −5x−
B
x − 2
El residuo obtenido es "7B+2"
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
2. El siguiente esquema representa una división
exacta efectuada por el método de Ruffini:
A G E F A
A B C E B
A D B A F
Indicar el cociente de la división:
a) x 3 + x 2 + x + 1
b) –x 3 + x 2 – x + 1
c) 2x 3 – x 2 + x – 1
d) –x 3 – 2x 2 + x – 1
e) x 3 – x 2 + x – 1
3. Calcular el cociente de la siguiente división:
36 18
x − 5x
+ 8
9
x + 2
a) x 3 – 2x 2 – x + 2
b) x 27 + 2x 18 + x 9 + 2
c) x 27 – 2x9 + 2
d) x 27 – 2x 18 – x 9 + 2
e) x 27 – 5x 18 + 4
4. Al efectuar la división:
4 2 3 2 2 2
Ax + ( A− A + 1)
x + x − Ax+ A − 7
x− A+
1
La suma de coeficientes del cociente y residuo
obtenidos es cero. Calcular el valor de "A".
a) –1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3
5. Si Q(x) es un polinomio que representa el
cociente de la siguiente división:
AMx 3 + ( AP+ BNx ) + BP + ( AN + BM)
x
2
Ax + B
El cuál verifica: Q(1) = 0, calcular el valor de:
4M+ N+ P +
M+ 8N+ P +
M+ N+
14P
M
N
P
a) 18 b) 19 c) 21
d) 23 e) 27
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Capítulo
24
División algebraica IV
Lectura: Problemas babilónicos
Existe más de medio millón de tablillas cuneiformes
que todavía están siendo descifradas e interpretadas;
abarcan un periodo que va desde el año 2100 a.C hasta
el año 300 a.C, época del famoso rey Nabucodonosor.
De esas tablillas, unas 300 se relacionan con las
matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de
multiplicidad, de recíprocos, de cuadrados, de cubos,
etc. Los problemas que se plantean tratan acerca de
cuentas diarias, contratos, préstamos, interés simple y
compuesto. En geometría los babilonios conocían, entre
otras cosas, el teorema de Pitágoras y las propiedades
de los triángulos semejantes; el álgebra hay problemas
de segundo e incluso algunos de tercero y cuarto
grado; también resolvían sistemas de ecuaciones, hay
un ejemplo de 10 ecuaciones con 10 incógnitas.
El problema siguiente ilustra el carácter algebraico de
la geometría de los babilonios, quienes utilizaban para
resolverlo, un método parecido al que usaríamos hoy
día.
Si se multiplica el largo por el ancho se obtiene un área
de 600. Cuando se multiplica por sí misma la diferencia
entre el largo y el ancho, y ese resultado se multiplica
por 9, da una superficie equivalente al cuadrado del largo. ¿Cuáles son el largo y el ancho?
x
Resolviendo este sistema, se obtiene: x=30, y =20
y
Z
x. y=
600
]
[ 9( x−
y)
= x
]
3 ( x − y)
= x
\
2 2
Tomado de "Historias e historias de matemáticas"
Mariano Perero
En este capítulo aprenderemos
..
División algebraica IV
..
Teorema del residuo
..
Procedimiento
..
Ejercicios
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117

24
Capítulo
Síntesis teórica
TEOREMA DEL RESTO
Regla
Aplicaciones
Casos especiales
Aplicaciones
118
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a) 8 – 5 = b) 1 – 6 + 7 =
c) (3)(–5) = d) (–4)(–2) =
2. Efectuar las siguientes operaciones
a) (3) 2 = b) (4) 3 =
c) (–5) 2 = d) (–2) 3 =
3. Efectuar:
a) (5) 2 – 10 =
b) (2) 3 – 5 (2) + 4 =
4. Si: x – A = 0 x = A
Calcular "x" en las siguientes ecuaciones:
a) x – 4 = 0 x =
b) x – 8 = 0 x =
c) x + 5 = 0 x =
5. Luego de efectuar la división:
2
6x
− 5x+ 7 , completar:
x − 1
Dividendo =
Divisor =
Cociente =
Residuo =
Aplica lo comprendido
1. Efectuar las siguientes operaciones:
a) (5) 2 + 8 =
b) (3) 2 – 2 (4) – 1 =
c) (4) 3 – 5 (8) + 10 =
2. Sabiendo que:
x – A = 0 x = A
x + A = 0 x = –A
Calcular "x" en las siguientes ecuaciones:
a) x – 3 = 0 x =
b) x – 5 = 0 x =
c) x – 4 = 0 x =
3. Calcular el residuo de la siguiente división:
2
x − x+
5
x − 2
Residuo =
4. Obtener el residuo de la siguiente división:
2
x + 5
x − 3
5. La siguiente división:
x
2
− 3x+
2
x − 2
¿Es exacta o inexacta?
Justifica tu respuesta
d) x – 1= 0 x =
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119

24
Capítulo
Aprende más
1. Dada la siguiente división:
2
x − 5x+
7
x − 2
Completar:
a) Dividendo =
b) Divisor =
c) Divisor = 0 x =
d) Residuo =
2. Relacionar correctamente:
x – 7 = 0 A x = 4
x + 4 = 0 B x = –7
x + 7 = 0 C x = –4
x – 4 = 0 D x = 7
3. Dada la siguiente división:
2
x − 2x+
8
x − 1
Indicar verdadero (V) o falso (F):
a) El dividendo es : x 2 –2x+8 ( )
b) El divisor es : x+1 ( )
c) Su divisor =0 x = 1 ( )
d) El residuo es : 11 ( )
4. Obtener el residuo de la siguiente división:
2
x − 8
x − 3
a) 0 b) –2 c) 4
d) 1 e) –1
5. Calcular el residuo de la siguiente división:
2
x + x+
1
x − 2
a) 6 b) 7 c) –7
d) –8 e) 0
6. Hallar el residuo de la siguiente división:
3
x − 5x+
2
x − 2
a) –4 b) –1 c) 0
d) 2 e) 3
7. Hallar el residuo de la siguiente división:
3 2
x + 2x
−7
x + 1
a) –3 b) 4 c) –5
d) 6 e) –6
8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división
5 3
x + x + 8
x + 1
a) 0 b) 1 c) 3
d) 5 e) 6
9. Si la división:
3
x + 5x+ A − 13
x − 2
Es exacta, calcular el valor de "A"
a) –3 b) 4 c) 0
d) 5 e) –5
10. Hallar el residuo de la siguiente división:
5
( 3x− 2)
+ 8x−
4
x − 1
a) 0 b) 2 c) 5
d) 7 e) 8
11. Si el residuo de la siguiente división:
7
( x− 2)
+ Ax − 1
x − 3
Es igual a 15, calcular el valor de "A"
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
12. Obtener el residuo de la división:
2 4 3
( x − 8) + 7( x−2)
−x
x − 3
a) 0 b) 2 c) 5
d) 7 e) 8
13. Luego de efectuar la división:
5x + ( M−1)
x
− 2
x − 1
Se obtiene por residuo 14, calcular "M"
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
14. Hallar el residuo de la siguiente división:
10 8 2
5x + x − 2x
+ 10
2
x − 1
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) 18
15. Calcular el residuo de la división:
2 2 2 4 2
( x + x+ 4) + ( x + x+ 3)
+ x + x+
6
2
x + x+
3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
120
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Álgebra
Practica en casa
1. Dada la siguiente división:
2
x − x+
9
x − 2
Completar:
a) Dividendo =
b) Divisor =
c) Divisor = 0 x =
d) Residuo =
2. Relacionar correctamente:
x + 6 = 0 A x = 5
x – 5 = 0 B x = –6
x + 5 = 0 C x = –5
x – 6 = 0 D x = 6
3. Dada la siguiente división:
x
2
− 3x+
6
x − 1
Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) El dividendo es : x 2 –3x–6 ( )
b) El divisor es : x–1 ( )
c) Su divisor =0 x = 1 ( )
d) El residuo es : 4 ( )
4. Obtener el residuo de la siguiente división:
2
x − 10
x − 4
5. Hallar el residuo, luego de efectuar:
2
x + 3x+
1
x − 4
6. La siguiente división:
3
x −5x−12
x − 3
¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta:
8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división:
3 2
x + x + 3
x + 1
9. Si la división:
3
x + 4x+ A − 8
x − 1
Es exacta, calcular el valor de "A".
10. Hallar el residuo de la siguiente división:
4
( x− 1)
+ 2x+
3
x − 2
11. Si el residuo de la siguiente división:
3
( x− 4)
+ Ax − 1
x − 5
Es igual a 35, calcular el valor de "A".
12. Obtener el residuo de la división:
2 5 3
( x − 3) + 5( x−1)
−x
x − 2
13. Luego de efectuar la división:
10 7
2x + ( M−5)
x − 3x
x − 1
Se obtiene por residuo 9, calcular "M".
14. Hallar el residuo de la siguiente división:
14 10 6
13x − 7x + 5x
+ 1
2
x − 1
15. Calcular el residuo de la siguiente división:
3 10 3 3
( x + x− 6) + 4( x + x− 5)
+ 8
3
x − 7 + x
7. Hallar el residuo de la siguiente división:
3
x + 10
x + 1
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121

24
Capítulo
Tú puedes
4. Luego de efectuar la siguiente división:
1. Si el residuo de la siguiente división:
d) 7 x 9 e) 4x 9
2 4 n − 1
1+ 2x+ 3x + 4x + ..... + nx
2M+ 13 M+
17 2
Mx + ( 4M+ 3) x − Mx ( + 1)
+ 2
x − 1
Es igual a "n 2 x − 1
–7n"
El residuo obtenido es 8. Calcular el valor de M.
Calcular: n
5 a) 1 b) 2 c) 3
a) 3 b) 4 c) 5
d) 4 e) 5
d) 6 e) 7
5. Hallar el residuo de la siguiente división:
2. Calcular el residuo de la siguiente división: ( x+ n)( x−n−1)( x−n− 2)( x+ n+
1)
2 2
3n 15 2 n 5 2n
10
x
+
+ 7n x
+
− 5nx
+
x −x−n
n + 5
x − 2n
a) n b) 3n c) n 2 +2
a) 0 b) n 3 c) 2n 3
d) 3n+2 e) 3n 2 +2n
d) 3n 3 e) 4n 3
3. Hallar el residuo de la siguiente división:
999
x
99 10
x − 9
a) 9x 9 b) 7x 9 c) 6x 9
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Capítulo
25
Factorización I
Lectura: Jean Le Rond D'Alembert
Científico y pensador francés de la Ilustración
(París, 1717-1783). Sus investigaciones en
matemáticas, física y astronomía le llevaron a
formar parte de la Academia de Ciencias con
sólo 25 años; y resultaron de tal relevancia que
aún conservan su nombre un principio de física
que relaciona la estática con la dinámica y un
criterio de convergencia de series matemáticas.
FUENTE: www.biografiasyvidas.com/biografia/d/d_
alembert.htm
En este capítulo aprenderemos
..
Definición de factorización
..
Factor
..
Factor primo
..
Propiedades de factorización
..
Método de factorización
..
Método factor común
..
Método de agrupación de términos
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Primer año de secundaria
123

25
Capítulo
Síntesis teórica
FACTORIZACIÓN
Propiedades
Definición
Factor
Métodos de
factorización
Método agrupación
de términos
Método del factor
común
124
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Álgebra
Saberes previos
Efectuar las siguientes multiplicaciones:
1. xy (z + w)
4. xz (x + 1)
5. (x + y) (x + z)
2. x 2 y 2 z 3 (x 4 + yz 2 + xy 5 )
3. (a 2 + b) (b + c)
Aplica lo comprendido
1. Factorizar:
x 2 a + x 2 b – x 2 c
4. Factorizar:
(a+x)(b+c) + (a+b)(a+x)
2. Factorizar:
x 5 y + x 5 z + x 5
5. Factorizar:
(a+b+c)x – (a+b+c) y
3. Factorizar:
x (a+b) + y (a+b) + z (a+b)
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Primer año de secundaria
125

25
Capítulo
Aprende más
1. Señale un término de uno de los factores primos
de: xy + x 5 y + x 2 z
a) x 2 b) xy c) y 2
d) x 3 e) xz
2. Señale un factor primo:
x 4 y 5 + x 8 y 2
a) x+y b) x 3 +y 4 c) x 2 +y 2
d) x 4 y 2 e) x 3 +y 2
3. Señale el factor primo que se repite más:
a 2 b 4 – a 5 b 3 + a 6 b 6
a) a b) b c) a 2
d) a 2 +b e) b–a 3 +a 4 b 3
4. Factorizar y señalar un factor primo:
x 17 y 21 + x 8 y 26
a) x 8 +y 5 b) x 9 +y 5 c) x 9 +y 6
d) x 5 +y 9 e) x 9 +y 7
5. ¿Cuántos términos tiene el factor primo no
monomio de:
x 2 y 2 – x 2 y 5 + x 15 y 18
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
6. Señale un factor de:
x n + x n+1 +x n+2
a) x 2 +1 b) x+1 c) x 2 +x+1
d) x 2 +x e) x–1
7. Factorizar:
x n–4 – x n–5 + x n–3
a) x n (x 2 +x+1) b) x n (x 2 –x+1)
c) x n–3 (x 2 +x–1) d) x n–5 (x 2 +x–1)
e) x n–4 (x 2 +x–1)
8. Señale un factor primo:
a 2 b 2 + a 2 c 2 + x 2 b 2 + x 2 c 2
a) a 2 +c 2 b) b 2 +x 2 c) b 2 +c 2
d) a 2 +x e) b+c
9. Señale un factor primo de:
y 2 – yz + x 2 y – x 2 z
a) y–z 2 b) y 2 +x c) y+z
d) y+x 2 e) y 2 +x 2
10. Señale un factor primo:
x 3 y + x 2 yz + x 4 z + x 3 z 2
a) x+y b) x+z 2 c) y+z
d) x+yz e) y+xz
11. Factorizar: x 2 + xy + xz + yz e indicar un factor
primo:
a) y + z b) x c) y
d) x + z e) z
12. Factorizar:
x 5 + x 3 y 3 + m 2 x 2 + m 2 y 3 e indicar el número
de factores primos:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Factorizar: x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 e indicar un
factor primo:
a) x 2 b) x c) y 2
d) x 2 + y e) x 2 + y 2
14. Factorizar: 2x 3 – 2xy 2 + y 3 – x 2 y e indique un
factor primo.
a) x + 2 b) y + 2 c) 2y – x
d) x – y e) y – 2
15. Señalar un factor primo de:
mn (x 2 + y 2 ) + xy (m 2 + n 2 )
a) x + y b) m + n c) mx + y
d) nx + my e) x + ny
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Álgebra
Practica en casa
1. Señale los factores primos de:
xyz + x 4 + xy
2. Señale los factores primos de:
x 7 y 8 + x 2 y 12
3. Señale el factor primo que más se repite:
a 8 b 5 – a 2 b 8 + a 5 b 4
4. Factorizar e indicar un factor primo no mononio
de:
a 23 b 15 + b 19 a 12
8. Factorizar:
a 4 + a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2
9. Señale el factor primo de mayor grado de:
x 2 y – yz 3 + x 2 w – wz 3
10. Factorizar:
a 6 y + x 4 yz + x 7 z + x 5 z 2
11. Factorizar: a 2 + ab + ac + bc
5. ¿Cuántos términos tiene el factor primo no
monomio de:
x 9 y 4 – x 3 y 6 + x 14 y 19
6. Señale los factores primos de:
x n+4 + y n+6 + x n+17
12. Factorizar: x 7 + x 5 y 5 + m 3 x 2 + m 3 y 5
13. Factorizar: x 4 + x 3 y 2 + xy 2 + y 4
14. Factorizar: 5a 3 – 5 a 2 b 2 + b 3 – ab
7. Factorizar:
x n–6 + x n–7 – x n–4
15. Factorizar: ab (m 2 + n 2 ) – mn (a 2 + b 2 )
Tú puedes
1. Señale un factor primo de:
(ax+by) 2 + (ay–bx) 2
a) ax+by b) ay–bx c) a 2 +x 2
d) b 2 +y 2 e) a 2 +b 2
2. Indicar la suma de factores de:
(x + 3)(x + 2) + (x + 5)(x + 4) – 3(x + 4)
a) 3x + 9 b) 3x + 8 c) 3x + 7
4. Sumar los factores primos de:
a 2 (b+c) + b 2 (a+c) + c 2 (a+b) + 2abc
a) a+b+c b) 2(a+b+c) c) 3(a+b+c)
d) a+b e) b+c
5. Un factor de x(x + 5y) + x 2 – 25y 2 es:
a) x + y b) x – y c) x + 5
d) x + 5y e) x – 3y
d) 3x – 8 e) 3x + 1
3. Un factor de:
b (a+6c) + 2ac + 3b 2 ; es:
a) a+b b) b+c c) a+2b
d) c+3b e) a+3b
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Primer año de secundaria
127

26
Capítulo
Factorización II
Método de las identidades
Lectura: El concepto de infinito es 2000 años más antiguo de lo pensado
El primer uso matemático del concepto de real
de infinito se ha visto retrasado unos 2000
años. Y la culpa la tiene un nuevo análisis
de las páginas de un pergamino en el que un
monje medieval de Constantinopla copió la
labor del griego Arquímedes.
El concepto de infinito es una de las cuestiones
fundamentales en las matemáticas y aún hoy
es un enigma. El pergamino reproduce 348
páginas escritas por Arquímedes, siendo esta
la copia más antigua de los antiguos genios
griegos.
En él, se han encontrando pruebas de que
Arquímedes ya dió un “uso sistemático
del concepto de infinito en una parte del
documento llamado Teoremas del Método de
la Mecánica. Para analizarlo, se ha examinado el pergamino con un nivel de detalle extraordinario, gracias
al uso de imágenes multiespectrales y también a una técnica que utiliza un haz fino de rayos X desarrollada
por la Universidad de Stanford. El escáner puede generar una imagen de un millón de píxeles en menos
de una hora.
Esta novedosa lectura revela que Arquímedes se dedicaba a las matemáticas e hizo usos del concepto real de
infinito, tales como el número de triángulos dentro de un prisma, o el número de líneas dentro de un rectángulo.
FUENTE: LIVE SIENCE
En este capítulo aprenderemos
..
Factorizar el TCP
..
Transformándolo en un binomio al cuadrado
128
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Álgebra
Síntesis teórica
MÉTODOS DE
FACTORIZACIÓN
Método de las
identidades
Métodos del TCP
Formas de
reconocerlo
Factorizando
TCP
Binomio al cuadrado
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Primer año de secundaria
129

26
Capítulo
Saberes previos
Factorizar:
4. (x 5 – y 6 ) 2
1. (a+b) 2 – (b 2 + a 2 )
5. (a 2 + b) 2
2. x 4 + 2y 4 – (x 2 + y 2 ) 2
3. (a 3 + b) 2
Aplica lo comprendido
Factorizar:
4. (x+y) 3 – x 3 – 6 xy (x+y)
1. (x+y) 2 + (x–y) 2 – 2x 2 + xy
2. (x+y) 2 – (x–y) 2 – 6 xyz
5. (x+y)(x–y) + y (y + 7x)
3. (a+b) 2 – b 2 – 5 ab
Aprende más
4. Luego factorizar: x 2 – 4x + 4 + x – 2, indique
1. Factorizar y señalar el número de factores primos
d) x 3 +y 5 e) 2x 3 +y 5
no repetidos de:
un factor primo:
a 4 + 2 a 3 b 2 + (ab 2 ) 2
a) x + 2 b) x + 4 c) x – 2
a) 2 b) 3 c) 4
d) x – 5 e) x +1
d) 5 e) 6
5. Luego de factorizar: x 2 + 2x+1 – 3(x+1);
2. Señalar un factor primo de:
indique la suma de sus factores primos.
a 2 + b 2 + a 4 + b 4 + 2 a 2 b 2
a) 2x – 1 b) 2x + 3 c) 2x + 1
a) a 2 –b b) a 2 +b c) a 2 +b 2 –1 d) 2 x – 4 e) 2x + 4
d) a 2 +b 2 +1 e) a 2 +b 4
6. Luego de factorizar: x 2 –6x+9 +4(x–3) ; indique
3. Señale un factor primo de:
x 3 + y 5 + x 6 + y 10 + 2x 3 y 5
un factor primo:
a) x + 2 b) x + 9 c) x –1
d) x + 6 e) x – 3
a) x 3 +y 2 b) x 3 +y 3 c) x 3 +y 4
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Álgebra
7. Factorizar: (x + 2) 2 + 2(x + 2) + 1; indicar un
factor primo
a) x + 1 b) 2x + 3 c) x + 3
d) x + 5 e) 2x + 5
8. Factorizar: (x + 3) 2 + 6(x + 3) +9; indicar un
factor primo.
a) x + 3 b) x – 3 c) x + 6
d) x – 6 e) 2x + 1
9. Factorizar: (x 2 + x) 2 + 4 (x 2 + x) +4
Indique un factor primo:
a) x 2 +x b) x – 1
c) x 2 + x + 2 d) x 2 + x + 4
e) x 2 + 2
10. Luego de factorizar:
x 4 +4x 2 + 4 +x 3 + 2x; indique el número de
factores primos:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Luego factorizar: x 2 – 4xy + 4y 2 + xz – 2yz,
indique un factor primo:
a) x + 2 b) x + 4 c) x –2y
d) x – z e) x +z–y
12. Luego de factorizar: x 2 + 2xy + y 2 – x (x + y);
indique la suma de sus factores primos.
a) 2x – y b) y c) x +2y
d) x – y e) 2x + y
13. Luego de factorizar: x 2 – 6xz + 9z 2 + xy – 3yz;
indique un factor primo:
a) x – z b) x + 9 c) x – 3
d) x + yz e) x – 3z
14. Factorizar:
P(x)=x 2 (x+5) 2 +6x(x+5)+9–5x(x 2 +5x+3),
indicar un factor primo.
a) x 2 + 1 b) x 2 + 2 c) x 2 + 5
d) x 2 + 3 e) x 2 + 9
15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo
del polinomio:
P(x,y) = (3x + 2y) 2 + 8 (3x + 2y) + 16
Hallar: "a + b+ c"
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
Practica en casa
1. Señalar el número de factores primos de:
x 4 + 2 x 3 y 4 + (xy 4 ) 2
2. Señalar un factor primo de:
a 3 + b 3 + a 6 + b 6 + 2 a 3 b 3
3. Señale un factor primo de:
a 8 + b 4 + a 16 + b 8 + 2 a 8 b 4
5. Factorizar: x 2 + 2x+1 – 5(x+1)+4
6. Factorizar: x 2 – 10x + 25 +7(x–5)
7. Factorizar: (x + 3) 2 + 2(x + 3) + 1
8. Factorizar: (x + 5) 2 + 8(x + 5) +16
4. Sumar con coeficientes de un factor primo de:
x 4 + 25y 4 + 10 (xy) 2 – x 2 – 5y 2
9. Factorizar: (x 2 + x) 2 + 10 (x 2 + x) +25
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Primer año de secundaria
131

26
Capítulo
10. Factorizar: x 4 +2x 2 + 1 +x 3 +x
14. Factorizar:
P(x)=a 2 (a+3) 2 +10a(a+3)+25–4a(a 2 +3a+5)
11. Factorizar: x 2 – 6xy + 9y 2 + xz – 3yz
12. Luego de factorizar: x 2 +4xy+4y 2 – 5x(x+2y);
indique la suma de sus factores primos.
13. Factorizar: a 2 – 4ab + 4b 2 +ac – 2bc
15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo
del polinomio:
P(x,y) = (5x + 3y) 2 + 12 (5x + 3y) + 36
Hallar: "a + b+ c"
Tú puedes
1. Señale un factor de:
(y+1)(y+2)(y+3)(y+4) + 1
a) y 2 +y+1 b) y 2 + y + 3
c) y 2 + y + 4 d) y 2 + y + 5
e) y 2 + y + 2
2. Señale el término cuadrático de un factor primo
de: (x + 2)(x 3 – 4x 2 + 4x) + 2x (x – 4) + 1
a) x 2 b) 2x 2 c) 3x 2
d) –2x 2 e) –3x 2
3. Señale el número de factores primos de:
(x+y) 4 – (x–y) 4 + 16 x 2 y 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Sumar los factores repetidos de:
(x–y)(x+y)(x 2 +y 2 )...(x 16 +y 16 )+y 32 +2x 16 +1
a) 2x 16 b) 2x 16 –2
c) 2 (x 16 +y 16 ) d) 2(x 16 +1)
e) 2y 16
5. Señale un término del factor primo de:
a 2 (a 2 +1)+b 2 (b 2 +1)+2ab(ab+1)+(a+b)(2a 2 +2b 2 )
a) a 3 b) 2a 2 c) 2b 2
d) a 2 e) b 3
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Capítulo
27
Factorización III
Lectura: El arte de plantear ecuaciones
El idioma de álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema
referente a números o relaciones abstractas de cantidades. Basta
con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma
algebraico", escribió el gran Isaac Newton (*) en su manual de
álgebra titulado Aritmética Universal. En otras palabras el álgebra
es el idioma universal que traspasa lenguas y fronteras.
Fuente: PROBLEMAS Y GENIALIDADES MATEMÁTICAS – YAKOV
PERELMAN
(*) Al hablar de Sir Isaac Newton, no existe una faceta en la que podamos
encasillarlo, entre el gran recorrido de su vida ha tenido roles como físico,
filósofo, matemático, inventor, alquimista y científico. Su mayor logro y el
porque es mayormente recordado es por la ley de la gravitación universal y las
leyes de la mecánica clásica.
FUENTE: www.cultura10.com/isaac-newton-y-sus-grandes-descubrimientos/
En este capítulo aprenderemos
..
Método de las identidades
..
Diferencia de cuadrados
..
Reconocer la diferencia de cuadrados
..
Transformar diferencia de cuadrados suma y diferencia
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Primer año de secundaria
133

27
Capítulo
Síntesis teórica
FACTORIZACIÓN:
MÉTODO IDENTIDADES
Diferencia de
cuadrados
Reconocer:
Diferencia de cuadrados
Factorización
Diferencia de cuadrados
Suma × diferencia
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Álgebra
Saberes previos
• Efectuar:
4. (x + 2)(x – 2)(x 2 + 4)
1. (a 2 + 5)(a 2 – 6)
2. (a 3 + b 5 )(a 3 – b 5 )
5. (2a + 1)(2a – 1)(4a 2 + 1)
3. (3 – x 4 )(x 4 + 3)
Aplica lo comprendido
1. Factorizar:
a 2 – 4y 14
4. Factorizar:
(a+b) 4 – z 4
2. Factorizar:
x 10 – 4y 14
5. Factorizar:
a 4 – 625
3. Factorizar:
x 4 – y 4
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Primer año de secundaria
135

27
Capítulo
Aprende más
1. Factorizar y señalar un factor:
x 2 + y 2 + 2xy – z 2
a) x+y b) x–y c) x+y+z
d) x–y+z e) x–y–z
2. Señale un factor de: 4a 2 – 12ab + 9b 2 – c 2
a) 2a+3b b) 2a–3b c) 2a+3b+c
d) 2a–3b–c e) 2a+3b–c
3. Sumar los coeficientes de un factor primo de:
(x+y)(x–y)+z(2y–z)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
4. Luego de factorizar: x 2 – (x + z) 2 ,
e indicar un factor primo
a) x – z b) x + z c) x – 2z
d) 2x + z e) x + 2z
5. Señale un factor de: 4x 2 + 4x – 4z 2 + 1
a) 2x+2z+1 b) 2x–z+1 c) 2x–z 2 +1
d) 2x 2 –z 2 +1 e) x+z
6. Factorizar: (x+2) 2 – (2x+3) 2 ; e indicar un factor
primo
a) 3x+5 b) 2x+7 c) 2x–1
d) x–1 e) x+2
7. ¿Cuántos factores primos hay en la expresión:
P(x; y) = (9x 2 – 4y 2 )(x 2 – 25 y 2 )
a) 3 b) 4 c) 5
d) 2 e) 1
8. Factorizar:
P(x; y) = 9x 2 + 1 – 6x + 9z 2
Indicando el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Señalar el número de factores primos:
(a 2 +b 2 +2ab) 2 – x 4
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
10. ¿Cuántos factores primos lineales (1er. grado) se
obtienen al factorizar:
P(a; b) =a 4 – b 4 – a 2 + b 2
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e)
11. ¿Cuántos factores primos tiene:
x 8 – 16
a) 2 b) 1 c) 4
d) 5 e) 6
12. Factorizar e indicar un factor primo:
(x 4 +4x 2 +4) 2 – z 8
a) x 2 +z b) x 2 +2 c) x 2 +z+2
d) x 2 +z 2 +2 e) x 2 –z
13. Factorizar:
P(x; y) = (36x 2 – 25 y 2 )(x 2 – 4y 2 )(x 4 – 4y 4 );
Indicar el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 4
d) 6 e) 7
14. Factorizar:
P(x) = x 14 – x 2 – 6x – 9
Indicando el número de factores primos
obtenidos:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. Factorizar:
P(a; b; c) = 9a 2 + 3a – 4b 2 + 2b – c 2 – c + 4bc
Indicando un factor primo
a) 3a + 2b – c b) 3a – 2b + 8c
c) a – b + c d) a 2 + b 2 + c 2
e) a – 2b + 4c
136
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Álgebra
Practica en casa
1. Factorizar:
x 2 +49y 2 z 2 + 14xyz – 9
9. Factorizar: (5x + 3) 2 – (3x – 5) 2
2. Factorizar:
9a 2 + 25b 2 – 30ab – (z 2 ) 3
10. Factorizar:
P(x, y) = x 8 – y 8 – x 4 + y 4
3. Factorizar:
(x 2 +y 3 )(x 2 –y 3 ) + z 5 (2y 3 – z 5 )
4. Sumar los factores primos de:
(4a+7b)(4a–7b) – 3c (3c+14b)
5. Señale los factores primos de:
9x 4 + 6x 2 – 16 z 8 + 1
6. Factorizar: 4x 2 –(x + 5) 2
7. Factorizar:
P(x,y) = x 4 – y 4
8. Factorizar:
P(x,y) = (25x 2 – 4y 2 ) (x 2 – 36y 2 )
11. Factorizar: x 2 +2xy+y 2 – z 2
12. Factorizar:
P(a, b,c) = a 2 – 6ab 2 +9b 4 – b 2 +4bc 2 – 4c 4
13. Factorizar:
P(x,y) = (49x 2 –4y 2 ) (x 2 – 9y 2 ) (x 4 – 81y 4 )
14. Factorizar:
P(x) = x 10 – x 2 – 10x – 25
15. Factorizar:
P(a,b,c)= 4x 2 + 2x – 9y 2 + 3y – z 2 – z + 6yz
Tú puedes
1. Sumar los factores primos de:
x 4 +6x 2 y 2 + 4y 4 – x 4 y 4 – 1
a) 2(x 2 +y 2 ) b) 2 (2x 2 +y 2 )
c) 2 (x 2 +2y 2 ) d) 2xy
e) 2x 2 y 2
2. ¿Cuántos factores primos tiene:
(a 2 + b 2 – c 2 – 1) 2 – 4 (ab+c) 2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Factorizar y restar los factores primos:
a 4 b 4 + 64
a) 2ab b) 4ab c) 6ab
d) 8ab e) 2a 2 b 2
5. Sumar los factores primos de:
x 6 + 2x 5 + x 4 – 9
a) 2 (x 3 – x) b) 2 (x 3 +3)
c) 2 (x 3 + x 2 ) d) 2 (x 3 +x)
e) 2 (x+1)
3. Señale la suma de coeficientes de un factor de:
(x+1)(x 2 +2x)(x+3)+(1+z)(1–z)
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 10
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Primer año de secundaria
137

28
Capítulo
Repaso IV
Repaso: El sentido de los números
"Si la matemática fuera una ciencia, como la astronomía o la mineralogía, podríamos definir su objeto. Pero
nadie ha podido ni podrá definirla. Inútilmente aplicaremos los occidentales, nuestro propio
concepto científico del número, a la ciencia
de que se ocupaban los matemáticos de
Atenas y Bagdad. En verdad, el tema,
el propósito y la metodología de la
ciencia que en estas ciudades llevaba
el nombre de matemática, eran muy
diferentes de nuestra matemática.
Porque no hay una sola matemática;
hay muchas.
Esto, que denominamos historia "de
la" matemática, suponiéndola una
realización progresiva de un ideal
único e inmutable es, en realidad,
una pluralidad de procesos cerrados entre sí, independientes;
un nacimiento repetido de distintos
y nuevos mundos de la forma, que
son incorporados, transfigurados
y, por último, analizados hasta sus
elementos finales; un brote nada
más que orgánico, de duración
fija, una madurez, en suma una
decadencia y una muerte. No nos
engañemos. El mundo antiguo creó
su matemática casi desde la nada.
El espíritu occidental, histórico, había
aprendido la matemática antigua, y la
poseía —pero exteriormente y sin asimilarla;
debió, pues, crear la suya modificando y
mejorando —engañosamente— una realidad que en el fondo aniquilaba la matemática euclidiana, que
no le era adecuada.
Pitágoras llevó a cabo lo primero. Descartes, lo segundo. Pero los dos actos son, en el fondo, idénticos".
Oswald Spengler
"La decadencia de occidente
En este capítulo recordaremos
División algebraica
..
Método de Ruffini
..
Esquema
..
Regla
..
Aplicaciones
138
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Álgebra
Saberes previos
1. Dada la siguiente división:
4 3 2
2x − 2x + 7x − 4x+
6
x − 5
Completar:
El grado del polinomio dividendo es :
El grado del polinomio divisor es :
El grado del polinomio cociente es :
2. Completa los recuadros en el siguiente esquema
de división:
1 3
1 1 1
–2 1 0
3. Completa los recuadros en el siguiente esquema
de división:
–8 7 1
1/5 –1 –2 1
15 –5 –10
4. En la siguiente división:
3 2
x − 7x + 5x
+ 2
x − 2
Relacionar:
Polinomio divisor A –8
Polinomio cociente B x–2
Residuo C x 3 –7x 2 +5x+2
Polinomio dividendo D
5. Si en una división sabemos que el dividendo es
x 3 +2x 2 –5x+2, el cociente x 2 –x–2 y el residuo
8. Calcular el divisor
Aplica lo comprendido
En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y
residuo:
1. Dividir:
3 2
x + x + 2x
− 2
;
x − 1
x ! 1
2. Dividir:
4x −5x 2 + 3x
−3
x − 1
; x ! 1
3. Dividir
2x + 5x + 3x
−2
x + 1
; x ! − 1
4. Dividir:
3 2
2x + x − x + 1
;
x − 2
5. Dividir:
3 2
2x + x − 5x
+ 2
;
x + 1
x ! 2
x ! − 2
6. Dividir
4 3 2
6x − 4x + x + 10x−
2
;
3x
+ 1
7. Dividir:
3 2
2x − x + 5x
+ 6
2x
+ 1
;
x ! −
1
2
8. Dividir:
4 3 2
6x + 3x + x −6x−
1
;
2x
− 1
9. Dividir
4 3 2
3x + x + 6x + 5x−
1
;
3x
+ 1
10. Dividir
4 3 2
15x −8x − 9x + 7x+
1
;
5x
− 1
x ! −
1
3
x !
1
2
x ! −
1
3
x !
1
5
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Primer año de secundaria
139

28
Capítulo
Aprende más
4 3
1. Luego de dividir:
2x + 6x + x + 3
x + 3
Indicar su cociente
a) 2x 3 –1 b) x 3 +1 c) x 3 –3
d) x 3 –1 e) 2x 3 +1
2. Dividir:
3
2x
− 3x+
1
, Indicar su cociente
x + 2
a) 2x 2 +4x–5 b) x 2 –4x+5
c) 2x 2 –5 d) 2x 2 –4x+5
e) x 2 +4x–5
4 3
3. Dividir:
x + 5x
− 9
x − 3
E indicar el término independiente del cociente.
a) 72 b) 71 c) 73
d) 75 e) 76
5 4
4. Hallar el resto en:
8x + 16x − 5x
+ 9
x + 2
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
4 3
5. Hallar el residuo en:
5x + 16x − 8x
+ 2
x + 3
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
2 3
6. Al dividir:
4x + 2x + 3x
+ 6
; x ! − 2
x + 2
El cociente es:
a) 2x 2 +1 b) 2x 2 +4 c) 2x 2 +7
d) 2x 2 +3 e) 2x 2 +5
7. Hallar la suma de coeficientes del cociente en:
8x 4 + 5x 2 + 2x 3 + 3x+
6
2x
+ 1
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
8. Calcular el resto en:
4 2
27x + x−
6x
+ 15
3x
− 1
a) 10 b) 13 c) 15
d) 17 e) 19
9. Dividir:
cociente
3 4
40x −2x+
8−128x
2x
+ 1
, Indicar su
a) –64x 2 +52x–27 b) 64x 2 –52x–27
c) 64x 2 –27 d) 64x 2 –52x+27
e) –64x 2 +52x–27
2 4 3
10. Hallar el resto en:
x −x− 6x+ 6x + 3x
2x
− 1
; x =
a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) –5
11. Indica la suma de coeficientes del cociente
luego de dividir:
3x + 52x−63−32x
− 9 + x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. Hallar "m", para que la división:
3 2
3x −5x − x+
m
; sea exacta:
x − 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Determina el valor de "n", si la división presenta
residuo nulo.
2x −5x 2 −7x+
( n−
6)
x − 3
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
14. Calcular (b – a) si la división:
4 3 2
x + 2x − 5x + ax+
b
; es exacta:
x + 1
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
15. Sabiendo que la división es exacta:
3x −2x 3 −5x 2 + ax − 8
x − 2
Hallar: a 2 +1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
1
2
140
Colegios
TRILCE Central: 6198-100

Álgebra
16. Calcula el producto de coeficientes del cociente de:
3x 4 −2x 3 + 3x 2 −5x+
7−
3
x − 3
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
17. Determina el valor de "m" para que el polinomio
P(x)=x 3 –7x 2 +5x+m–3, sea divisible por "x–1"
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18. Al dividir:
3x − 8x −( 12 −1)
x − 6x+
m − 3
x − 6
Se obtiene residuo nulo. Hallar "m"
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
19. Si el residuo de dividir:
4x + 5x + αx
+ 4
x − 1
; x ! 1
es 6, hallar "a"
a) –5 b) –6 c) –7
d) –8 e) –9
20. Hallar el residuo de la división:
4 2 3 2 a
5ax − ax+ 5x − 6ax
+ 2
; x !
a
5x−
a
5
Si la suma de coeficientes del cociente es (a–2)
a) 0 b) –1 c) –2
d) –3 e) –4
Practica en casa
1. Completar el siguiente diagrama de Ruffini
2 3 –5 6
–3 9 12
2 –3 –2 12
7. Al dividir:
2 3
4x + 2x + 3x
+ 6
;
x + 2
Indicar su cociente
x ! − 2
3 2
2. Hallar el resto en:
x −x + x −30
; x ! 2
x − 2
3 2
8. Hallar el resto en:
2x − 3x + x + 1
;
x − 1
x ! 1
4 3
3. Dividir:
2x + 2x −14x
− 5
; x ! 3
x − 3
E indicar el término independiente del cociente.
9. Dada la división exacta:
4 3 2
3x − 2x + ax −x
−2
; x ! 2
x − 2
4. Hallar el residuo en:
3x
− 5x+
2
;
x + 2
4
x ! − 2
10. Hallar el resto de dividir:
9 8 2
x + x + x + x+
1
; x ! 1
x − 1
5. Hallar el resto de dividir:
9 8 2
x + x + x + x+
1
; x ! − 1
x + 1
6. Hallar el residuo:
3x
− 5x+
6
;
x − 1
2
x ! 1
11. Dada la división exacta:
3 2
3x −2x −15x
− 18
; x ! 3
x − 3
Indicar el cociente disminuido en 3x 2 +6
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Primer año de secundaria
141

28
Capítulo
12. Calcular el valor de "m", si la división:
2x 3 −( m− 2)
x
2 + 5
es exacta; x ≠ –1
x + 1
14. Dividir:
4 2
27x − 6x + x + 15
; x !
1
3x
− 1
3
Dar la suma de coeficientes del cociente.
13. Señala el resto en:
4 3 2
2x + x − 8x + 2x+
32
x + 2
;
x ! −
2
15. Indicar el residuo en:
4 2
x − 1+ 2x − 3x
; x ! − 2
x + 2
Tú puedes
1. En la siguiente división:
36 35 34
x + x + x + ... + x+
m
x + 1
Calcular el valor de "m" si el residuo es –6
a) –4 b) –5 c) –6
d) –7 e) –8
2. Al dividir:
3 2 2 3 2
nx + nx−
nx + n + n
x+ n+
1
Se obtiene que la suma de coeficientes del
cociente es igual a f(n).
Calcular: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10)
a) 383 b) 384 c) 385
d) 386 e) 387
4. Hallar el resto en la siguiente división:
x
5 + nx +2
x − 1
Sabiendo que la suma de coeficientes del
cociente es 10.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
5. Halle el residuo en:
1001 700
x − x + 2
x − 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Determinar el resto en:
8 5 2
6x + 4x + ( n+
1)
x − n
10x
− 10
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
142
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Capítulo
29
Factorización IV
Lectura: John Milnor obtiene el premio Abel de matemáticas
Jhon Milnor matemático estadounidense, ha obtenido el premio Abel de matemáticas por sus
"descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra", según el acta del jurado. Oyvind Osterud,
presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, entidad que creó el galardón como
complemento a los actuales premios
Nobel, lo ha anunciado hoy en Oslo.
Dotado con seis millones de coronas,
equivalente a tres cuartos de millón
de euros, el premio Abel reconoce aportaciones de extraordinaria
importancia e influencia a las ciencias matemáticas y se entrega
desde 2003.
Milnor, de 80 años, ha tenido
precisamente gran influencia en
conformar el escenario actual
de las matemáticas, y su trabajo,
según el jurado, muestra rasgos
de la investigación de altura:
una gran perspicacia, una vívida
imaginación, notables sorpresas y
una belleza suprema. Un ejemplo
es su descubrimiento, inesperado,
de las esferas lisas exóticas en
siete dimensiones, que señaló el
nacimiento de la topología diferencial.
En 1962, cuando solo tenía 31
años, Milnor obtuvo la prestigiosa
medalla Fields, reservada para matemáticos jóvenes. Recibirá el
galardón de manos del rey Harald en una ceremonia en Oslo el próximo 24
de mayo.
Son numerosos los resultados, las conjeturas
y los conceptos matemáticos que llevan el
nombre de Milnor, por ejemplo, esferas exóticas de Milnor, fibraciones de Milnor, número de Milnor, teoría
kneading de Milnor-Thurston y conjeturas de Milnor en la teoría de nudos, la teoría K, la teoría combinatoria
de grupos y la dinámica holomórfica. Sin embargo, la importancia de la obra de Milnor va mucho más allá
de los espectaculares resultados de su investigación. Ha escrito, además, libros sumamente influyentes que
muchos consideran como modelos de excelente escritura matemática y también de divulgación.
EL PAÍS - Madrid - 23/03/2011
En este capítulo aprenderemos
..
Factorización por identidades
– Suma de cubos
– Diferencia de cubos
..
Aspa simple
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143

29
Capítulo
Síntesis teórica
MÉTODOS DE
FACTORIZACIÓN
Aspa simple
Factorización por
identidades
• Suma de cubos
• Diferencia de cubos
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Álgebra
Saberes previos
• Efectuar:
4. (x–7)(x+1)
1. (x+2)(x 2 – 2x+4)
2. (a 3 – 3)(a 6 + 3a 3 + 9)
5. (2x+3)(3x–5)
3. (x+3)(x+5)
Aplica lo comprendido
• Factorizar:
4. x 2 – 10x + 24
1. x 3 + 8
2. a 9 – b 6
5. x 2 – 3x –10
3. x 2 + 3x + 2
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145

29
Capítulo
Aprende más
1. Señale el factor primo repetido de:
(a 3 – 1)(a 3 – 8)(a 6 – 1)
a) a+1 b) a+2 c) a–2
d) a–1 e) a 3 –1
2. Factorizar e indique un factor de:
a 3 + b 3 + a 2 + ab + b 2
a) a+b+1 b) a 2 –ab+1 c) a–b–1
d) a–b+1 e) a+b
3. ¿Cuántos factores primos tiene:
a 6 – 64
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
4. Factorizar y señale un factor:
a 6 + b 6 + 2a 3 b 3 + ab 4 + a 4 b
a) a–b b) a 2 +ab+b 2
c) 2–ab+b 2 d) a 3 +b 3 +ab
e) a 3 –b 3 +1
5. Señale un factor de:
a 3 + b 3 + ab (3a + 3b – a 2 b 2 )
a) a+b b) a–b c) a+b+ab
d) a+b–ab e) a+b+1
6. Indique un factor de:
(4x 2 +4x+1)(2x+1) – y 3 – 8 – 6y 2 – 12y
a) 2x–y b) 2x+y c) 2x–y–1
d) 2x+y–1 e) 2x+y+1
7. Sumar los factores primos de:
(x 2 +5x+6)(x 2 –5x+6)(x 2 –3x–10)(x 2 +3x–10)
a) 8x b) 3x c) 4x
d) 5x e) 6x
9. ¿Cuántos factores primos tiene:
x 6 – 9x 3 + 8
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10. Indique un factor primo de:
a 2 + b 2 + 2 (ab–a–b) – 35
a) a+b b) a+b+7 c) a+b–7
d) a–b+7 e) a–b–7
11. Sumar los factores primos de:
4x 4 – 17x 2 + 4
a) 2x b) 4x c) 3x
d) 5x e) 6x
12. ¿Cuántos factores primos tiene:
[x 2 + ab] 2 – [(a+b) x] 2
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
13. Señale cuál no es un factor primo de:
(x 2 – ab) 2 – (a–b) 2 x 2
a) x–a b) x+a c) x–b
d) x+b e) x–ab
14. Señale un factor primo de:
x 3 (x+1) 3 – 8
a) x+1 b) x–2 c) x–1
d) x+3 e) x–3
15. Sumar los factores lineales:
a 6 – 30a 4 + 27a 3 + 300a 2 – 1000
a) 2a+3 b) 2a+1 c) 2a–3
d) 2a–1 e) 2a+5
8. Sumar 2 factores primos de:
(6x 2 +19x+15)(10x 2 +11x–6)(21x 2 –26x+8)
a) 2x+8 b) 2x+6 c) 3x+1
d) 3x+2 e) 5x+8
146
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Álgebra
Practica en casa
1. Factorizar:
(x 3 + 8) + x 2 – 2x + 4
8. Sumar los factores lineales de:
(a 3 – 27)(a 3 – 125)(a 6 – 9a 3 +8)
2. ¿Cuántos factores primos tiene:
x 7 – a 6 x
9. Sumar los factores primos de:
9x 4 – 82 x 2 y 2 + 9y 4
3. Factorizar e indicar los factores primos:
x 6 + y 6 – 2x 3 y 3 – xy 4 + x 4 y
4. Factorizar:
x 3 – y 3 – xy (3x – 3y + x 2 y 2 )
5. Factorizar:
(9x 2 + 6x + 1)(3x + 1) – a 3 – 125 – 15y 2 – 75y
6. ¿Cuántos factores primos tiene:
x 3 (x 3 – 28) + 3 3
7. Sume los factores primos de:
4x 2 + 9y 2 + 3y (4x – 5) – 2 (5x+7)
10. ¿Cuántos factores primos tiene:
(x 2 + a 2 b 3 ) 2 – (a 4 + b 6 + 2a 2 b 3 ) x 2
11. Factorizar: x 4 – (2ax + a 2 – b 2 ) 2
12. Factorizar: (x 2 – ab) 4 – (a 2 – b 2 ) 4 x 4
13. Sumar los factores primos de:
(x 2 +15x–14)(x 2 +9x+18)(x 2 –10x+21)(x 2 +11x–12)
14. ¿Cuántos factores lineales tiene:
x 3 (x + a + b) 3 + a 3 b 3
15. Factorizar:
(ax + bx + cx) 2 – (ax + cx)(a+b+c) + ac
Tú puedes
1. Señale un factor primo:
(a+b) [(a+b) 2 + (c 2 +bc+ac)3] + x 6
a) a+b+x b) a+b+x 2 c) a+x 2
d) a+b+c+x 2 e) b+x
2. Restar los factores de:
x (x+1) + a (2x + 1) + a 2 + 10
a) 1 b) 2 c) 3
d) x e) 2x
4. Restar los factores primos de:
x 6 + 7x 4 + 2x 2 + 6x + 7x + 1
a) 2x b) 3x c) 4x
d) 5x e) 6x
5. Sumar los coeficientes del factor trinomio:
x 3 + y 6 + z 9 – 3xy 2 z 3
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Señale un factor de:
(a 3 +1) x 2 + (a+1) 3 x – a 2 (3x – 1) + a
a) (a+1)x + a b) ax–1
c) (a+1)x–a d) x–a
e) ax+1
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Primer año de secundaria
147

30
Capítulo
Factorización V
Lectura: Paolo Ruffini
(Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico italiano. Nacido
en Valentano, ciudad que pertenecía entonces a los Estados Pontificios,
cursó estudios de medicina en la Universidad de Módena, pero
una vez finalizados se dedicó casi por entero a la investigación
matemática.
Desde 1787 ejerció la docencia como profesor de matemáticas
en la Universidad de Módena. Ganó la cátedra de análisis de
la escuela militar de esta ciudad, que hubo de abandonar en
1798 al ser expulsado por negarse a pronunciar el juramento
de fidelidad a la República Cisalpina creada por Napoleón
Bonaparte. Fue restituido en su puesto por las tropas
austriacas un año más tarde. Tras recuperar sus dominios,
el duque de Módena le nombró rector de la Universidad
de Módena (1814), en la que ocupó las cátedras de clínica
médica, medicina práctica y matemáticas aplicadas.
Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado
método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio
que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio
x-a. Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la
matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de
la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas
inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.
FUENTE: biografiasyvidas.com
En este capítulo aprenderemos
..
Factorizar por divisores binomio
..
Regla:
..
Posibles ceros
– Factor binomio
– División Ruffini
148
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Álgebra
Síntesis teórica
MÉTODO DE LOS
DIVISORES BINOMIOS
"ceros" del
polinomio
Factor binomio
Aplicando Ruffini
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Primer año de secundaria
149

30
Capítulo
Saberes previos
1. Hallar el resto:
(x 5 + 2x 4 – 3x + 7) ÷ (x–1)
4. Hallar el cociente:
(x 4 + 2x 3 + 7) ÷ (x+3)
2. Hallar el resto:
(x 3 +2x 4 – 7) ÷ (x+2)
5. Hallar el cociente:
(x 4 + 2x 3 + 7) ÷ (x+3)
3. Hallar el cociente:
(x 3 + 3x 2 + 7x + 2) ÷ (x+1)
Aplica lo comprendido
1. Hallar los posibles valores que anulan al
polinomio:
x 3 + ax 2 – 6
4. Si un polinomio se anula para x=–7, entonces
un factor es:
2. Hallar los posibles ceros de:
x 5 + ax 2 – 7x – 10
5. Si un polinomio se anula para x=5 y x=–2,
entonces dos de sus factores son:
3. Si un polinomio se anula para x=3, entonces un
factor es:
150
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Álgebra
Aprende más
1. Señale un factor primo: x 3 + 7x 2 – 5x – 3
a) x 2 +x+1 b) x 2 + 7x + 3
c) x 2 + 8x + 3 d) x 2 + 5x + 3
e) x 2 + 8x – 3
2. Señale el término independiente de un factor
primo de: x 3 – 5x 2 + 11x + 17
a) –1 b) –17 c) 17
d) 16 e) 15
3. Señalar el factor primo de mayor grado:
x 3 – 5x + 12
a) x 2 + 3x + 4 b) x 2 +3x+5
c) x 2 –3x–4 d) x 2 +3x–5
e) x 2 –3x+4
4. Sumar los coeficientes del factor primo no lineal:
x 3 + x 2 – 12
a) 1 b) 4 c) 7
d) 9 e) 10
5. Multiplicar los términos de un factor primo de:
x 4 + 3x 3 – 2x 2 – 9x – 2
a) 4x 3 b) 4x 5 c) 4x 6
d) 4x 2 e) 4x 4
6. Señale el término cuadrático de un factor primo
de: x 4 – 7x 3 + 19x + 2
a) –x 2 b) –3x 2 c) –5x 2
d) –7x 2 e) x 2
7. Sumar los factores primos de:
x 3 + 6x 2 + 11x + 6
a) 3x+3 b) 3x+5 c) 3x+4
d) 3x+6 e) 3x+2
8. Sumar dos de los factores primos de:
x 3 – 10x 2 + 31x – 30
a) 2x+5 b) 2x–7 c) 2x+7
d) 2x–6 e) 2x
9. Hallar el valor numérico de un factor primo de:
x 3 – 13x – 12, para x=11
a) 7 b) 9 c) 14
d) 13 e) 15
10. Señale un factor primo de:
2(x+1)(x 2 –x+1)+(1–x)(1+x+x 2 )+x(8x+11)–23
a) x–4 b) x–5 c) x+1
d) x+5 e) x+6
11. Sumar los factores primos de:
x (x 2 – 46) – 5 [
x 2
2
x 2
` + j + ` −2j ]
2 2
a) 3x+5 b) 3x–9 c) 3x–6
d) 3x–5 e) 3x+6
12. Si un factor de:
ax 3 + 3ax 2 + 5x – 9; es (x–1)
Señale el otro factor primo:
a) x 2 – 4x – 9 b) x 2 – 4x – 1
c) x 2 – 4x – 1 d) x 2 + 4x + 9
e) –x 2 + 2x – 1
13. Si (x–3) es un factor de:
x 3 + (K+1)x 2 – (5K+3) x – 7K – 1
Señale la suma de los otros dos factores primos.
a) 2x+5 b) 2x+6 c) 2x+7
d) 2x+4 e) 2x+8
14. Sumar los factores primos de:
x (x+1)(x+2)+(x+3) 2 – (x–3) 2 – 30x + 12
a) 3x+2 b) 3x–2 c) 3x+3
d) 3x–3 e) 3x–1
15. Sumar los factores lineales de:
x 6 – 2x 4 – 11x 2 + 12
a) 2x b) 3x c) 4x
d) 2x–2 e) 2x+2
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Primer año de secundaria
151

30
Capítulo
Practica en casa
1. Factorizar: x 3 + 4x 2 + 8x + 5
2. Factorizar: x 3 – 12x 2 + 18 x – 7
3. Factorizar: x 3 + 5x 2 – 12
4. Factorizar: x 3 + 6x – 7
5. Sumar los coeficientes del factor no lineal de:
x 4 + x 3 + 3x 2 + 10x + 7
6. Señale el término lineal de un factor de:
x 4 – x 3 – 5x 2 – 6x + 11
7. Sumar los factores primos de:
x 3 + 10x 2 – 13x – 22
8. Sumar los factores lineales de:
x 3 + 4x 2 – 11x – 30
9. Hallar el valor numérico de un factor primo de:
x 3 + x 2 – 33x + 63, para x=13
10. Factorizar:
2(x–2)(x 2 +2x+4) – (x+2)(x 2 –2x+4)+(x–7) 2 –49
11. Factorizar:
(x + 3) 6 x(x–3) + 5@
+ 3
x
; ` + 1j
+ `
3
x –1 j E –5 3
2 2
12. Si un factor de: ax 3 + 2ax 2 + 11x – 3
es (x+1), señale el otro factor:
13. Un factor de: x 3 + (4K + 1) x 2 + 13 Kx + 24
es (x+2), calcule los otros dos factores
14. Hallar los factores lineales de:
x 6 + 17x 4 – 12x 2 – 6
15. Sumar los factores primos de:
x 6 – 14x 4 + 49x 2 – 36
Tú puedes
1. Sumar los factores lineales de:
x 3 (x–6) 3 + 7x 2 (x–6) 2 + 11x 2 – 66x + 5
a) 2x–1 b) 2x–3 c) 2x–6
d) 2x–7 e) 2x–9
4. Sumar los factores lineales:
x 7 +6x 6 +11x 5 +6x 4 +x 3 +6x 2 +11x+6
a) 3x+5 b) 2(3x+2) c) 3(3x+2
d) 3x+5 e) 3(x+2)
2. Señale el factor repetido de:
x 3 + 11x 2 y + 40xy 2 + 48y 3
a) x+3y b) x+y c) x+2y
d) x+4y e) x+4y 2
5. ¿Cuántos factores cuadráticos tiene
x 36 + 5x 24 + 3x 12 – 9
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Señale el factor cuadrático primo:
x 3 – ax 2 + x + a 2 – a (x+1)
a) x 2 +1 b) x 2 –a c) x 2 +1+a
d) x 2 +1–a e) x 2 +a
152
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Capítulo
31
Fracciones algebraicas I
Lectura: Más sobre el papiro de Rhind
En el Papiro de Ahmes, llamado así en honor del escriba que lo copiara alrededor del 1650 a C. (o Papiro
Rhind, por quien lo comprara en 1858) aparecen las fracciones unitarias –de
numerador 1– usadas por los egipcios junto con la fracción 2/3. Con
ellas eran capaces de resolver muchísimos problemas. Por ejemplo:
los seis primeros problemas del papiro consisten en efectuar el
reparto de una, dos, seis, siete, ocho y nueve hogazas de pan
entre 10 hombres. Veamos dos ejemplos de sus soluciones que
nos darán ideas para completar las restantes:
a) Divida un pan entre 10 hombres. Cada hombre recibe
1/10. Prueba:
1h 1/10
2h 1/5
4h 1/3 1/15
8h 2/3 1/10 1/30, luego 10 hombres: 2/3 1/5 1/10
1/30. Total 1 hogaza, lo cual es correcto.
Divida 2 panes entre 10 hombres
b) Cada hombre recibe 1/5. Prueba:
1h 1/5
2h 1/3 1/5
4h 2/3 1/10 1/30
8h 1 2/3 1/10 1/30. Total 2 hogazas, lo cual es correcto
FUENTE: http:/www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf
En este capítulo aprenderemos
..
Definición del mínimo común múltiplo de dos o más polinomios.
..
Definición del máximo común divisor de sos o más polinomios.
..
Definición de la fracción algebraica.
..
Clasificación
– Fracciones algebraicas homogéneas.
– Fracciones algebraicas heterogéneas.
..
Simplificación de fracciones algebraicas.
..
Fracciones algebraicas irreductibles.
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Primer año de secundaria
153

31
Capítulo
Síntesis teórica
FRACCIONES
ALGEBRAICAS I
Mínimo Común
Múltiplo (MCM)
Conceptos
preliminares
Los polinomios deben
estar factorizados
Máximo Común Divisor
(MCD)
Fracciones
homogéneas
Clasificación
Fracciones
heterogéneas
Fracciones algebraicas
Nx () ; existe si D(x) ≠ 0
Dx ()
Simplificación
Fracciones
irreductibles
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Álgebra
Saberes previos
1. Factorizar: P(x) = 3x 2 – ax
2. Factorizar: Q(x) = x 2 – 36
3. Factorizar: R(x) = x 2 –3x – 4
4. Factorizar: S(x) = x 3 – 9x 2 + 26 x – 24
5. Factorizar: M(a; b) = a 3 + 8b 3
Aplica lo comprendido
1. Dados los monomios:
M(x)=x 8
N(x) = x 4
Hallar el MCM(M; N) y MCD(M; N)
2. Dados los monomios:
M(x; y) = x 4 y 3
P(x; y) = x 5 y 2
Q(x; y) = x 3 y
Hallar el MCM(P; M; Q) y MCD(P; M, Q)
3. Dados los polinomios:
P(x) = x(x–3) + 4 (x–3)
Q(x) = x 2 – 9
Hallar el MCD(P; Q)
4. Indique cual de las siguientes expresiones son
fracciones algebraicas::
P(x) =
x−
4
x
Q(a) =
S(x; y) = a
m−
3
a
5. Simplificar:
Rx ()
=
x
x
2
2
2 2
+ y
5
− 25
+ 5x
Aprende más
1. Sean los polinomios:
3. Sean los polinomios:
a) x 7 (x+2) 6 b) x 5 (x+2) 6 c) x 7 a) 1; 2x 2 +5x–3 b) 0; 2x 2 –x+3
(x+2)
d) x 5 (x+2) 9 e) x 5 (x+2) 6 c) –1; 2x 2 +5x–3 d) 1; 2x 2 –5x+3
e) 1; 2x 2 +2x–1
P(x) = x 6 (x–1) 4
Q(x) = x 4 (x–1) 8
R(x) = x 2 –16
S(x) = x 2 +5x+4
Halle el MCM de P y Q
Hallar el MCD de R y S
a) x(x–1) b) x 6 (x–1) 4 c) x 4 (x–1) 8
a) x+4 b) x–4 c) x+1
d) x 6 (x–1) 8 e) x 4 (x–1) 6
d) x–1 e) x–8
2. Sean lo polinomios:
4. Sean los polinomios:
P(x) = x 7 . (x+2) 9
R(x) = 2x+1
S(x) = x 5 . (x+2) 6
S(x) = x–3
Halle el MCD y MCM de R y S, respectivamente:
Hallar el MCD de P y S
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155

31
Capítulo
5. Indique la alternativa que contenga una fracción
algebraica:
a)
d)
x + 5
b)
x + 4
c)
103
2
2
2 x
x + 5
+ 5
e) 3
x
x
x − 3
4
6. ¿Cuál es la condición para "x" tal que la fracción
algebraica:
Fx () =
x + 3
, se encuentre bien definida
2x
− 4
a) x=2 b) x≠2 c) x=4
d) x≠4 e) x=3
7. Simplificar:
x + 5
2x
+ 10
a) 1 b) 2 –1 c) 3 –1
d) 4 –1 e) 5 –1
8. Simplificar: Fxy (; )
4x− y+
3z
=
8x− 2y+
6z
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 1/5 e) 1/6
3x+
3y
5x−
5y
9. Simplificar: Txy (; ) = −
x+
y x−
y
a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) –5
10. Reducir: Ex ()
=
2x
−
8
x − 4 x − 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2 2
x − y
+ y
x+
y
11. Reducir: Fxy (;) =
3x
a) 2 –1 b) 3 –1 c) 4 –1
d) 4 –1 e) 6 –1
2
12. Simplificar:
x −3x−4
2
x − 1
Luego, indique la suma del numerador y el
denominador de la fracción irreductible.
a) x–5 b) 2x–4 c) 2x–5
d) 2x–3 e) 2x–6
13. Reducir: T(x) =
x – 9
–
3 – 4x
e x
2
x – 3x x
o
a) x 2 b) 3x c) x
d) 4x e) 5x
2
14. Sin importar que valor numérico tomen la
variables de la siguiente fracción algebraica:
2 2
mx + by + p
Fxy (; ) =
2 2
2x
+ 3y
+ 5
Ésta siempre se reduce a 2. Halle el valor de
m+n+p.
a) 5 b) 10 c) 20
d) 25 e) 30
3 2
x − 6x + 11x
− 6 + 5 x
15. Simplificar: x − 1
2
3x
+ 18
a) 2 –1 b) 3 –1 c) 5 –1
d) 6 –1 e) 7 –1
Practica en casa
1. Sean:
P(x; y; z) = x 7 y 9 z 3
Q(x; y; z) = x 3 y 10 z 8
Calcule:
MCM
MCD
2. Indique que fracción es algebraica (x!5; x!–6)
x + 7
;
x−
2
;
5x−
3
x − 5 x + 6 2 − 1
3. ¿Qué fracción hay que extraer para que las
fracciones sean homogéneas
x
;
x − 1
;
5
;
2
x −2 − 2+
x x−2
2 −x
4. Calcule el valor que no debe tomar "x" para que
la fracción algebraica: F(x) = x
x
+ 3
5. Simplificar:
x − 7x
x
2
−6 x −7
6. Sean:
P(x) = x 7 (x+1) 5 (x–2) 6
Q(x) = x 4 (x+1) 4 (x–2) 8
Halle:
MCM
MCD
2
y
156
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Álgebra
7. Sean: F(x)=
x − 7 ; G(x) =
2
x + 3 5 − x
Indique qué valor debe tomar "x" para que las
fracciones sean homogéneas.
8. Simplificar:
4 2
x ( x − 8x
+ 15)
, x ! 0; 5; –3
3
x ( x− 5)( x + 3)
9. Simplificar:
x − 25
; x ! 05 ,
2
x − 5x
10. Simplificar:
( x+ 3)( x+ 6)( x−5)( x−
8)
( x− 5)( x+ 8)( x+ 6)( x+
3)
2
; x ! −65 ; ; −8;
− 3
11. Halle el MCM de los polinomios:
P(x; y) = x n y m+5 (x+1) n–4 (y–3) m–3
Q(x; y) = x n+3 y m+2 (x+1) n–2 (y–3) m–7
12. Sean:
A(x) = (x+3) 5 (x+7) 4 (x–2) 9
B(x) = (x+3) 6 (x+7)(x+2) 3
Si el MCD de los polinomios A(x); B(x) es:
(x+3) m (x+7) n , calcule: E = m+n
13. Indique el valor de "x" que hace que las
fracciones:
x + 1
;
x − 1
, sean homogéneas
xx ( − 2)
+ 5 xx ( − 3)
+ 9
2
14. Simplificar:
x −5x−6
, x ≠ 0,6
2
x − 6x
15. Luego de simplificar:
F(x) =
xx ( − 3)
( x− 3 )( x+
5 )
G(x) =
( x−7)( x−5)
( x+ 5 )( x−7
)
; x ! − 537 , ,
Halle el MCD de los denominadores
Tú puedes
mx + ny
1. Si la fracción algebraica: Fxy (; ) = , se
12x+
3y
reduce a una constante para cualquier valor que
tomen sus variables. Hallar el valor de:
m + 1 n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Simplificar: (a ≠ ±b)
E =
a+
b a−
b
c
mc
a − 2ab+
b a + 2ab+
b
2 2 2 2m
a) (a 2 –b 2 ) –2 b) (a 2 –b 2 ) –3 c) (a 2 –b 2 ) –2
d) (a 2 –b 2 ) 4 e) (a 2 –b 2 ) –1
4 2
2. Simplificar:
a + 4
− 2 ;
a − 1
E
( a 1 )
2
− + 1 a − 1
a) a b) a 3 c) a 2
d) a 4 e) –a
3. Simplificar: (x > 0)
E = 1
1 1
1
1
1
.... 1
1
` +
x
j` +
x 1
j` + + + x + 2
j `
x + 100
j
a) x –1 (x+1) b) x –1 (x+101)
c) x –1 (x–1) d) x –1 (x+100)
e) x –1 (x+102)
4 2
a + a + 1
a 1
2 −
2 −
5. Reducir: a − a+
1
( a 1 )
2 ( a 1 )
2
+ − −
a) 2 –1 b) 3 –1 c) 4 –1
d) 5 –1 e) 6 –1
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Primer año de secundaria
157

32
Capítulo
Fracciones algebraicas II
Lectura: ¿Por qué no todos los números son enteros?
En la matemática las fracciones o números
racionales surgen como necesidad de
ampliación del campo numérico de los números
enteros. Los números enteros no dan solución a
la ecuación: bx=a, donde b es distinto de cero,
cuando a no es múltiplo de b. Por ejemplo,
en las ecuaciones: 3x=5(1) o 2x=7(2), no
se encontrará ningún valor para "x" que las
satisfaga que sea entero. Se expresa entonces
el valor de x como una fracción de la forma a/b
(5/3 o 2/7 para nuestros ejemplos), siendo a y
b un par de números enteros (naturales para
nuestro estudio) con b distinto de cero. Dos o
más fracciones que resultan solución de una
misma ecuación se denominan equivalentes
y se conviene que definen el mismo número
racional.
Por ejemplo, para la ecuación (1) las fracciones 10/6 o 15/9 resultan equivalentes a 5/3, qué es el número
racional representante de esa clase de fracciones equivalentes, mientras que 2/7 será el número racional
que representa la clase de fracciones equivalentes con él, por ejemplo: 4/14; 10/35; 1000/3500; etc.
(Como representantes de las clases de fracciones equivalentes se eligen las fracciones irreductibles, es decir
que no pueden simplificarse)
FUENTE: http://www.godmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf
En este capítulo aprenderemos
..
Suma de fracciones algebraicas:
homogéneas
heterogéneas
..
Diferencia de fracciones algebraicas
homogéneas
heterogéneas
158
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Álgebra
Síntesis teórica
FRACCIONES
ALGEBRAICAS II
Adición de fracciones
algebraicas
Sustracción de fracciones
algebraicas
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Primer año de secundaria
159

32
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar: 2x+6 – (7x+2)
2. Reducir: 5 (x–2)–3(x–2)
3. Si:
x − 1
;
x
son fracciones homogénea.
x + 2 x+
a
Halle "a".
4. Indique que fracción de las dadas a continuación
es algebraica:
F(x) = x 3
Q(m) =
m 2
a
E(x; y) =
x
y
5. Sumar: x +
10 − x
5 5
Aplica lo comprendido
1. Calcular:
5+
x
+
3 − x
;
x x
x ! 0
4. Sumar:
x + 2 +
x + 2
x − 5 5 − x
; (x ≠ –2)
2. Calcular:
x + 3 −
x − 6
; x ! 0
x x
3. Luego de sumar:
1
−
1
; Indicar el numerador
x x+
1
(x ≠ 0; –1)
5. Calcular:
x 2
x + 2 + x + 2
; (x ≠ –2)
Aprende más
1. Reducir:
x + 5 +
x + 1
;
x + 3 x + 3
x ! − 3
4. Efectuar:
2 3
;
x− 1
+ x+
1
x ! ! 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a)
x−
1
x
b)
5x
− 1
x 1
2 −
c)
5x
+ 1
x 1
2 −
2. Reducir:
2x
+ 5
−
x + 3
;
2 2
x − 4 x − 4
x ! ! 2
d)
x + 1
e)
5x
5x
x 1
2 −
a) (x–2) –1 b) (x–2) –2 c) x 2 –2
d) x–2 e) (x–2) 3
5. Calcular:
1
x x + 5
+
3. Calcular:
x − 4
−
5+
4x
; x ! 3
x + 3 x + 3
a) –1 b) –2 c) –3
d) –4 e) –5
a)
d)
2
x + 5
x + 5
2
x + 1
x + 5
b)
e)
x
2
2
+ 5x+ 1
c)
x + 5
x + 10
x + 5
x
2
− 5x+
1
x + 5
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Álgebra
6. Sumar:
x + 1 con
x − 1 ; x! ! 1
x − 1 x + 1
a)
d)
2
2x
2
x − 1
2x
x 1
2 −
b)
e)
2
2( x + 1)
c)
2
x − 1
2
2( x − 2)
2
x − 1
7. Reducir:
x + 1 +
x + 2 −
3+
2x
; x ! 5
x − 5 x − 5 x − 5
a) 0 b) x c) –x
d) x–5 e)
x
x − 5
8. Efectuar:
x + 8 −
5 + x +
x − 7
; x ! 4
x − 4 x − 4 x − 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Efectuar:
3
+
x
−
1
; x ! 1,0
x x − 1 x − 1
a)
d)
3
x
3 + x
x
b)
e)
x + 1
3
3 + x
3
10. Si se cumple que:
A B 8x
2
;
x + 2 x − 1 −
2
x + x−2
x ! 1,
− 2
Hallar: A . B
a) 4 b) 8 c) 12
d) 16 e) 20
c)
2x
x 1
2 −
x
x + 1
11. Calcular:
x − 2
+
( x−1)( x−4) 2 2 ;
x − 2x
x − 4x
x ! 0 ; 2 , 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2
12. Reducir:
2x
−
50 − 10x
; x ! ! 50 ,
xx ( + 5)
2
x − 25
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2
2 2
13. Reducir:
ax + a
x − a
+
x
2
ax
+
2x
− ax a − x
a) 1 b) –1 c) 2
d) –2 e) 3
14. Calcular: E = (a –1 +b –1 ) –1 . (a+b)
(a ≠ 0 ∧ b ≠ 0)
a) a b) ab c) b
d) a 2 e) ab 2
15. Calcular:
1 1
1 2
1 x 2x
x− 1
−
+ −
−
`
x+
1
j
2x 2x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Practica en casa
1. Calcular:
3− x +
2x
− 3
;
x x
x ! 0
6. Reducir:
2x
+ 10
+
x + 11
;
x + 7 x + 7
x ! − 7
2. Calcular:
5−
x
−
5
;
x x
x ! 0
3. Efectuar:
1
−
1
; x ! 0
x x
2 2
4. Efectuar:
x + 7
+
7 + x
; x ! 3
3 − x x − 3
2
5. Reducir:
x
+
x
; x!
0,
− 1
2 2
x + x x + x
7. Efectuar:
x − 2 + 1 ; x ! −1
x + 1
8. Efectuar:
x + 2 −
x − 2
; x ! ! 2
x − 2 x + 2
9. Si se cumple:
A B 5x
1
x + 1 + x − 2 = −
2
x −x−2
Hallar: A.B
; x ! − 12 ,
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161

32
Capítulo
10. Reducir:
x 1 5
; x ! 5,
2
x − 5 + x+ 2
− −
x−
5
2 2
13. Reducir:
a
+
b
+
b
aa ( + b) ba ( + b)
a
donde a+b ≠ 0 ∧ a, b ≠ 0
11. Reducir:
2x
− 3
+
6 − x
−
x + 3
; x 2 +x–1 ! 0
2 2 2
x + x−1
x + x−1
x + x − 1
12. Calcular:
3
4x
+
12x
− 36
; x ! ! 30 ,
2
2
x ( x+
3)
x − 9
14. Calcular:
2
− − − − −1
1 1 1 1
( a + b )( a . b )(
a
+
ab
)
a a
15. Reducir:
1 1
`
x− 2
− x+
2
j
− 1 2 2
−
x
− x
+
4x+
x
4 4x
Tú puedes
1. Calcular la suma de fracciones algebraicas:
2x+ 3y−6z
xy ( −x)
−5z
+
6z−3y−2x
5z+ x( x−y)
a) –3 b) –2 c) –1
d) 1 e) 2
2. Luego de reducir las fracciones algebraicas:
2
2
x + x+ 1 x 2 2x
1
2 −
+
+
−
2
2
2x
+ x 2x
−x−1
x − x
Indicar la suma del numerador con el
denominador
a) x+1 b) x+3 c) x+5
d) x+2 e) x+4
3. Sumar: S =
1
+
1
+
1
+ .... +
1
2 6 12 2
n + n
Donde n ∈ N
a)
d)
n
n + 1
n
n − 1
b)
e)
n+ 1 c) 1
n
n−
1
n
4. Si: F(x) =
5 − 5
2
Calcular:
F (x)
F (2x)
x
− x
a) (5 x +5 –x ) –1 b) (5 –x –5 x ) –1
c) 5 –x d) (5 x –5 –x ) –1
e) 5 x
5. Si:
1
=
1
−
1
z y x
; xyz , , ! 0
Calcular:
E =
x
−
z xz
x − y y−
z
2
y
a) x b) 0 c) 1
d) –1 e) y
162
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Capítulo
33
Fracciones algebraicas III
Lectura: Algoritmo de la división
Dividir fracciones resulta dificultoso si el dividendo no es múltiplo exacto del divisor y la regla "La división
de dos fracciones se transforma en una multiplicación al invertir la segunda" es muy útil, pero es necesario
conocer en qué propiedades se apoya: Para
justificar el hecho de que se invierte el divisor
existen varios caminos. Por ejemplo:
Transformar ambas fracciones en equivalentes de
igual denominador. De esta forma se obtiene un
entero o unidad común para ambas fracciones y
por lo tanto la relación de división se reduce a
dividir los numeradores entre sí. Ejemplos:
• Sea dividir 7/12 : 1/12, esto puede ser pensado
como ¿cuántas veces cabe un doceavo
en 7 doceavos? La respuesta es 7 y proviene
de dividir 7 : 1/12 : 12 = 7/1 = 7.
El Algoritmo de la división
6 8 7 9 4 7
5 7 9 8 2 7
1 9
5 4
5
• Sea 3/5 : 2/3 = 9/15 : 10/15 = 9/10 (usando
un razonamiento similar en este caso,
pero como el cociente de numeradores no
es entero se deja indicado con una fracción).
En general: a/b : c/d = ad/bd : bc/bd=ad : bc/bd : bd = ad : bc = ad/bc. (lo que responde a
la regla citada en un comienzo)
FUENTE: http//www.gpdmatematica. orga.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf
En este capítulo aprenderemos
..
Multiplicación de fracciones algebraicas.
..
División de fracciones algebraicas.
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Primer año de secundaria
163

33
Capítulo
Síntesis teórica
FRACCIONES
ALGEBRAICAS III
Multiplicación
División
164
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Álgebra
Saberes previos
1. Simplificar:
x + 1
; x ! ! 1
2
4. Simplificar:
x −2 x −2 −
`
x − 1
x
j`
x
j
1
2
2. Simplificar:
x + 5x
; x ! − 5
x + 5
5. Sumar:
1 + 1 x
3. Efectuar:
x
−
5
x − 8 x − 8
Aplica lo comprendido
1. Multiplicar:
x
.
x + 1
y x + 2
2. Multiplicar:
x
.
x + 1
x − 1 x + 2
3. Multiplicar:
x − 1
.
2x
x − 3 x + 1
4. Dividir:
x
'
x + 5
x + 5 x −6
5. Dividir:
1
x
3
x
Aprende más
1. Efectuar: E= x
1 1
3
` + : x ! 1,2
x + 1
j`
+ −
x − 2
j
a)
d)
x + 1
x − 2
x
x − 2
b)
e)
2 2
2x
+ 1
x − 2
2x
x − 2
2. Reducir:
x −4
.
x −25 + 10 − 3 x
x − 5 x + 2
a) x b) x 2 c) x 3
d) 2x e) x–2
c)
x + 2
x − 1
3. Dividir:
x − 2
'
x − 2
x + 3 x − 1
a)
d)
x−
1
x
x − 1
x − 3
b)
e)
x − 1
x + 1
x − 1
x + 3
4. Sean: Ax () =
x
.
x + 1
; x ! 12 ,
x − 1 x − 2
Determinar:
Bx () =
x + 1
.
x
x − 1 x − 2
Ax ()
Bx ()
a) 1 b) 2 c) x
d) –x e) x+1
c)
x + 3
x − 1
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165

33
Capítulo
5. Efectuar:
1
; x ! 0,
− 1
−1
1 + x
a)
d)
x+
1
x
x−
1
x
6. Efectuar:
a)
d)
x+
y
xy
xy
x+
y
7. Calcular:
a)
d)
x
x + 1
x − 1
x + 1
1
1 +
1
x y
1 +
1
x
1−
1
x
b)
e)
b)
e)
b)
e)
x
x + 1
x − 1
x + 1
x+
y
x
x
x+
y
x + 1
x − 1
x − 1
x + 2
2
8. Reducir:
> 1
+
x # 4
1
−
1 2y
H
x+
y x − y
a) y b) 2y c) 3y
d) 4y e) 5y
1−
1
9. Reducir:
1
'
x + 1
x + 1 x
a) 1 b) 2 c) x
d) –x e) 3
c)
c)
c)
x
x − 1
y
x+
y
x
x − 1
a−
b
1
10. Reducir: a+ b
'
a−
b
a+
b
− 1
a+
b
a−
b
a) a/b b) a/2 c) ab
d) b/a e) 1/b
x+
y
11. Efectuar: c + x ' ( x+
y)
−1
m
1 + xy
a) 1 b) 2 c) 3
d) x e) y
12. Calcular:
1 +
1
x + 1
1 + x
x + 1
a) x –1 b) x c) 1
d) 2x e) x+1
13. Calcular:
1
1 −
1
1 +
1
x
− x
a) x b) x–1 c) 1
d) 0 e) –x
14. Si: a+b+c=0
Calcule:
a+
b
+
b+
c
a+
c b+
a
2
c + ab
#( a+ c) #( a+
b)
a) 1 b) –1 c) –b
d) –c e) a
x + 1 +
x − 1
15. Reducir: x − 1 x + 1
− 1
1 − x
−
1 + x
1 + x 1 − x
a)
d)
( x + )
2x
b)
( x − 1)
2
2x
e)
1 2
x − 1
c)
2x
( x + 2)
2
2x
x + 1
2x
Practica en casa
1. Multiplicar:
x
.
x
;
3
y y
5
y!
0
4. Dividir:
x
'
x − 1
; x ! 2
x −2 x −2
2. Multiplicar:
x − 1
.
x + 2
;
x x
3. Multiplicar:
5x
.
x − 2
3x
+ 1 x + 2
x ! 0
x
5. Dividir: 3
x
; x ! 01 ,
x − 1
2 2
6. Calcular:
x − 9
.
x − 4
; x ! 3,
− 2
x + 2 x − 3
166
Colegios
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Álgebra
7. Dividir:
x − 11
'
x
x + 5 x + 5
; x ! − 5
x
8. Dividir: x + 1 ;
x
x ! 0,
− 1
1 1
+ − −
12. Calcular: c1
x m ; x ≠ {0, –1}
x
13. Reducir:
9. Calcular:
1
; x ! 01 ,
1
− 1
x
10. Sean: A(x) =
x + 1
.
x − 7
x − 5 x − 1
B(x) =
x − 7
.
x + 1
; x ! 51 ,
x − 5 x − 1
Calcular: A ÷ B
1 −
1
14. Efectuar: x x + 1
− 1 ; x ! 01 ,
−1
x
−1 −1
15. Reducir:
1 − a
−
c m −^1
−a
h
a
1 −1
1 −
1
11. Reducir: x ; x ,
1 1 ! 0 − 1
+
x
Tú puedes
1. Si: aK
=
S
aaa.... a ; bK
=
S
bbb....
b
Kdigitos
K digitos
Calcular:
a a a b b b
4 1 2
...
100 1 2
c + + + mc
+ + ..... +
b b b a a a
1
2
100
a) 5 b) 10 c) 100
d) 1000 e) 200
2. Reducir:
( 3a+ 2b) −( 3a−
2b)
( 2a 3b )
2 ( 2a 3b
)
2
+ − −
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. De la expresión:
x = 1 +
1
1 +
1
1 +
1
1 +
1
1
2 2
. . .
2
100
m
100
4. Si: x =
a + 1
; y =
ab + a
ab + 1 ab + 1
x+ y−1
Calcule: x − y + 1
a) a b) b c) a+b
d) 1 e) 2
a + 1
−
3a
+ 3
`
4
5. Calcular: R = 3a
− 1
j −
3a
− 1
3
a + 1
2
−
13a
+ 13
`
+ 4
3 a − 1
j
3a
− 1
a) 1 b) a c) 2a
d) 3a e) –1
2
Se puede afirmar que:
a) x 2 –x–1=0 b) x 2 –x+1=0
c) x 2 +x+1=0 d) x 2 –1=0
e) x 2 +2x–1=0
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167