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Técnicas de enseñanza de la
matemática
en el nivel primario
Problema
3X9
(Segunda Versión)
Elaborado por: Equipo de Matemática de La Paz
6X6-3X3 3X9
6X3+3X3 9X3
La Paz, enero de 2011

2
AUTORES:
El equipo de Matemáticas está conformado
por ex becarios que realizaron cursos de
matemáticas patrocinados por la Agencia
de Cooperación Internacional del Japón
(JICA). Un grupo de ellos se interesó y dedicó
su compromiso y empeño en la elaboración
del presente documento. Estos son:
Nélida López Pinto – Ex becaria JICA
Sapporo – Japón
Curso: “Métodos de enseñanza de
matemáticas para países sudamericanos”.
Gestión 2008
Hugo Colque Jiménez – Ex becario JICA Tsukuba – Japón
Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas para países sudamericanos”.
Gestión 2009
Irma Arpazi Huanca Ex Becaria JICA – PROMECA Kyoto – Japón.
Curso: Estudio de Clase. Gestión 2004
Walter Orihuela Rabaza – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, segunda capacitación
regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2007
Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, cuarta
capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2009
Con la participación de:
Oscar Demetrio Quintana Huaylluco – Ex becario Programa “¡Me gusta Matemática!”, segunda
capacitación regional de matemática, Tegucigalpa Honduras. Gestión 2007.
Déposito Legal: 4-1-414-11
Diseño y diagramación:
Dalia Nogales
Diseño de Tapa:
Richard Cornejo
Impreso:
Preview Gráfica
2011, Bolivia
Esta publicación ha sido posible gracias al auspicio financiero y la asistencia técnica de JICA.

Prólogo
El presente texto, enfocado en el desarrollo y aplicación de técnicas de enseñanza de la Matemática
para el nivel Primario, es fruto de un conjunto de actividades, experiencias e iniciativas
que las y los autores, todos ellos ex becarios de cursos de capacitación realizados en Japón y
Honduras, han sabido aprovechar, implementar y contextualizar en sus unidades educativas.
Desde julio de 2003 y durante 7 años continuos, la Agencia de Cooperación Internacional del
Japón (JICA) conjuntamente con el Ministerio de Educación desarrollaron el Proyecto de “Mejoramiento
de la Calidad de la Enseñanza Escolar” (PROMECA) con el objetivo de mejorar el
desempeño de las maestras y maestros bolivianos orientado a promover el protagonismo de los
niños y niñas en su aprendizaje.
Uno de los valiosos impactos del PROMECA fue la organización de forma voluntaria de equipos
de trabajo en las áreas de Lenguaje y de Matemática, por solicitud e iniciativa de las maestras
y maestros con el propósito de mejorar y profundizar su capacitación en sus respectivas áreas.
De esta forma, en esta oportunidad podemos presentar el trabajo del Equipo de Matemática del
Departamento de La Paz, que ha tenido la continuidad necesaria en su trabajo, contando con
el apoyo de la Unidad de Asistencia Técnico-Pedagógica de la Dirección Departamental de Educación
(ex SEDUCA) de La Paz.
El presente texto incluye diversas técnicas de enseñanza de la Matemática para los diferentes
cursos del nivel Primario que, sobre la base de los componentes temáticos del currículum japonés
y por medio del método de Estudio de Clases japonés, los autores han sabido aplicar en sus
aulas y adaptar al contexto educativo boliviano.
El Estudio de Clases (Jugyou Kenkyu) es una actividad de capacitación continua que permite no
solamente compartir experiencias y conocimientos para aprender unos de otros, sino también
aportar con el estudio de un área para el mejoramiento de la calidad de educación.
Agradecemos la meritoria contribución de los autores, cuya dedicación e iniciativa se encuentra
plasmada en cada uno de los trabajos presentados.
Esperamos que este trabajo, que constituye una segunda versión, responda a las necesidades y
expectativas de las maestras y maestros bolivianos que trabajan en el área de la Matemática,
y se constituya en un real aporte de difusión y enriquecimiento de la educación primaria en
Bolivia.
Hirofumi MATSUYAMA
Director – Representante Residente
JICA Bolivia
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4 Presentación
El Ministerio de Educación y la Agencia de Cooperación Internacional de Japón (JICA), han implementado
desde el año 2003 hasta julio de 2010 el “Proyecto de Mejoramiento de la Calidad
de la Enseñanza Escolar” (PROMECA) en las Unidades Educativas seleccionadas del Departamento
de La Paz, con el propósito de que los maestros/as del nivel primario perfeccionen las
estrategias pedagógicas y métodos de gestión educativa, de esta manera los niños y las niñas
sean protagonistas en sus aprendizajes.
El Ministerio de Educación y la Institución JICA han beneficiado también a varios docentes de
las Unidades Educativas donde se implementó el PROMECA con las becas a los países de JAPÓN
Y HONDURAS.
Las experiencias de los docentes beneficiados con becas y la adecuación de la experiencia japonesa
al contexto regional se desarrollaron en las Unidades Educativas donde se implementó
PROMECA.
En ese contexto, actualmente la Dirección Departamental de Educación de La Paz, a través de
la Unidad de Asistencia Técnico-Pedagógica organizo un equipo de matemáticas con algunos
maestros/as ex becarios, con el propósito de fortalecer las estrategias de aprendizaje-enseñanza
de los docentes de nivel primario en el área de matemáticas y difundir las experiencias adquiridas
en el área. De esta manera estos materiales le servirán como un material de consulta a las y
los docentes y estudiantes de las Escuelas Superiores de Formación de Maestros y a las maestras
y maestros interesados en el área de la Matemática de nuestro Sistema Educativo Plurinacional.
Prof. Esteban Quispe Alanoca
JEFE DE LA UNIDAD DE ASISTENCIA TÉCNICO PEDAGÓGICA
DIRECCIÓN DEPARTAMENTAL DE EDUCACIÓN DE LA PAZ

Introducción
El Equipo de Matemáticas de la ciudad de La Paz, conformado por docentes ex becarios de JICA
en Japón y en terceros países, en este caso Honduras, motivado por todas las experiencias recibidas,
especialmente de los maestros/as y expertos/as japoneses, y preocupado por difundirlas,
tal y como aprendimos de la filosofía de los auspiciantes: “adoptar y adaptar”, decidimos acudir
una vez más a JICA Bolivia para la difusión de las técnicas adquiridas en los cursos en ambos
países, que fueron desarrolladas y validadas en nuestras escuelas con niñas y niños bolivianos.
El presente texto se constituye en la sistematización de dichas técnicas.
Las Técnicas expuestas fueron adquiridas tanto por observación directa de clases públicas desarrolladas
por maestros japoneses, como por observación de las mismas en videos o por transmisión
directa e indirecta de los maestros/as japoneses en charlas, conferencias o talleres. Entonces,
dichas técnicas fueron aplicadas por cada uno de los miembros del equipo in situ, con nuestros
propios estudiantes, en los diferentes grados en los que nos desenvolvemos cotidianamente y
en talleres de réplica de conocimientos adquiridos. Por tanto fueron validadas, adecuando y/o
modificándolas de acuerdo a nuestras necesidades y nuestras realidades.
El esquema propuesto (componente o ámbito, contenido, año de escolaridad, objetivo, descripción
y procedimiento) proviene de un análisis realizado por el Equipo, resaltando que todos los
integrantes participaron en el Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar
(PROMECA) desde su respectivo lugar de trabajo.
El presente documento constituye segunda entrega a los maestros de nuestro país; sin embargo
en esta versión se pone mayor énfasis a la socialización de técnicas en los cuatro ámbitos que
propone el currículo japonés: Números y cálculo, Cantidad y medición, Figuras y Relación entre
cantidades. Para cada uno de ellos proponemos también algún ejemplo.
En esta versión presentamos el detalle de los ámbitos o componentes mencionados, así como la
estructuración de las clases, el esquema de Plan de Orientación (Plan de clase) de enseñanza de
la matemática, al estilo japonés, que resalta la importancia del proceso seguido en el aprendizaje
y el protagonismo de los niños y niñas, y finalmente incluimos los roles del maestro/a durante
las clases, por la gran importancia que tiene para nosotros la difusión del proceso pedagógico
que se desarrolla en el aula japonesa, especialmente en matemática ya que ésta podría ser, entre
otros, la diferencia en el logro de resultados alcanzados en la educación matemática. Por tanto,
se destaca el Modelo de resolución de problemas, centrado en el proceso y no en el resultado, ya que
lo interesante en todo momento siempre ha sido y siempre será analizar las maneras que tienen
los estudiantes de resolver un ejercicio o problema; pues nuestra función como educadores es
brindarles las oportunidades de que lo hagan y, al hacerlo, expresen su pensamiento.
Al igual que en nuestra primera versión, resaltamos la importancia de la “Consigna Desafiante”,
para detonar en el estudiante el interés por resolver una situación conflictiva matemáticamente,
haciendo de ésta asignatura un espacio entretenido, alegre y mágico de aprendizaje.
Ponemos, a consideración de los lectores la presente propuesta, esperando sea del interés y utilidad
para nuestra permanente formación profesional en beneficio de nuestros estudiantes, que
son los “protagonistas del aprendizaje”.
Nélida López Pinto
Coordinadora Equipo de Matemáticas
La Paz – Bolivia
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6 Agradecimientos
Expresamos un especial agradecimiento a la Agencia de Cooperación Internacional de Japón
(JICA) en Bolivia, y al Gobierno japonés que nos brindaron la oportunidad de acceder a nuevos
conocimientos que enriquecen nuestra práctica profesional, y que ahora nos brindan la oportunidad
de difundir nuestras experiencias a través de la publicación de este texto.
Agradecemos también:
Al Proyecto de Mejoramiento de la Calidad de la Enseñanza Escolar (PROMECA-JICA), por su
invaluable aporte a la educación boliviana, especialmente en el “protagonismo de los niños y
de las niñas”.
Al personal de las Escuelas Anexas a las Universidades de Educación de Tsukuba y Hokkaido
en Japón, muy especialmente a los profesores japoneses que compartieron con nosotros sus experiencias
y nos motivaron en la búsqueda de nuevas técnicas de enseñanza de la matemática
para hacer de ésta una asignatura interesante, ágil, divertida y alegre.
Al personal de las Universidades de Educación de Hokkaido en Japón y de la Universidad Pedagógica
Francisco Morazán en Tegucigalpa, Honduras.
A los asesores y líderes del 1º y 2º Cursos de “Métodos de enseñanza de la matemática para países
sudamericanos” en Japón, desarrollados en las gestiones 2008 y 2009, y del PROMETAM ¡Me
gusta Matemática!, en Honduras, gestiones 2007 y 2009.
Por último, a los colegas de países latinoamericanos que participaron con nosotros durante
nuestra estadía en Japón y en Honduras, por haber compartido su experiencia y su amistad.
Los autores

División temática de los contenidos
matemáticos en primaria (Japón)
Sistematización elaborada por Nélida López Pinto, con base en documentos
entregados en el Primer Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas
para países sudamericanos”, gestión 2008.
El presente texto toma como referente la División Temática de los Contenidos Matemáticos en
la Escuela Primaria de Japón, a fin de orientar el trabajo de manera más sistemática. Dichos
contenidos, si bien no difieren de los abordados en nuestro país, pueden variar, quizás en cuanto
a la agrupación en los ámbitos correspondientes.
Los ámbitos propuestos son:
A) Números y
cálculo
B) Cantidades y
medida
Enteros, decimales,
fracciones, operaciones
aritméticas, relaciones
Longitud, peso,
superficie, capacidad
y volumen, tiempo
y hora, velocidad,
ángulos
C) Figuras Figuras planas, figuras
sólidas
D) Relaciones
cuantitativas o
entre cantidades
Expresiones con
fórmula, funciones,
estadística
Numerales, ordinales, cardinales, naturales, enteros,
decimales, fracciones, las cuatro operaciones, cálculo
mental, aproximación, redondeo, valor posicional,
propiedades de interrelación +, –, X, /., entre otros
contenidos.
Medición concreta de la longitud, el volumen, los
ángulos y el peso; sistemas de unidades, métodos
de medición (mediante comparación directa,
comparación indirecta, unidades arbitrarias, unidades
convencionales), relación proporcional, tiempo, cálculo
de superficie (área, capacidad), volumen, desarrollo
de la percepción de magnitudes, cálculos de superficie,
equivalencias fraccionarias, etc.
Líneas, cuadriláteros, (cuadrado y rectángulo,
paralelogramo); triángulo (triángulo rectángulo,
triángulo equilátero, triángulo isósceles); círculos,
esferas, polígonos, componentes paralelos y
perpendiculares y componentes de las figuras, distinción
y dibujo, por ejemplo.
Expresar datos en gráficos, clasificándolos y
ordenándolos; expresar cambios en gráficos de
columnas, lineales, circulares y de barras, expresar
mediante fórmulas dos cantidades que varían en forma
proporcional, leyes asociativas, relaciones cuantitativas
y propiedades de las cuatro operaciones, regularidad
en multiplicación, proporción, intervalos numéricos,
promedio, entre otros.
7

8 Estructuración de las clases
INTRO-
DUCCIÓN
DESARROLLO
CONCLUSIÓN
Sistematización elaborada por Nélida López Pinto en base a documentos
entregados en el Primer Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas
para países sudamericanos”, Japón, gestión 2008.
Procesos educativos Acciones del maestro/a Acciones de los niños/as
Revisión de cono- Comprende el estado de los niños/as sobre Responden preguntas
cimientos previos. preparación para aprender.
Presentación del
tema a estudiar
Define el tema y lo da a conocer. Observan, hacen preguntas
Debate del tema Desarrolla el contenido de la clase anterior. Ven el tema de diversos ángulos.
Impulsa, motiva y despierta el entusiasmo. Definen la idea acerca del tema.
Planteamiento de Extrae las ideas de los niños/as
Plantean el pronóstico.
los pronósticos e Crea un ambiente para el debate.
Definen el fundamento.
hipótesis
Aprecia las impresiones propias de los niños/as.
Análisis del mé- Da instrucciones. Apoya el desarrollo del Piensan, seleccionan informatodo
para su reso- pensamiento. Promueve el pensar juntos para ción, verifican el pronóstico.
lución
encontrar otra idea, revisa las relaciones entre
el tema y el procedimiento.
Expresión del mé- Indica el método y procedimiento para el Tienen definida su propia idea y
todo de resolución resumen, analizan juntos, hace ingeniar una procedimiento. Expresan cómo
e ideas
explicación lógica.
desarrollaron su idea. Inventan el
método de expresión
Debate con base Educa para que admitan otras ideas, hace Comparan sus ideas y formas de
en la presentación razonar a los niños/as.
pensar, aceptan otras ideas, profundizan
sus ideas
Resumen del con- Reconoce el cambio en los niños/as, resume el Reflexionan en el estudio, sintenido
y método tema, el método de resolución y la forma de tetizan el contenido y el proce-
educativo pensar, evalúa el desempeño de los niños/as. dimiento, reconocen el cambio
ocurrido en sí mismos
Aviso para la si- Notifica el tema para la siguiente clase, evaguiente
clase lúa los planes y procesos educativos.
PLAN DE ORIENTACIÓN DE ENSEÑANZA DE MATEMÁTICA PARA LA UNIDAD COMPLETA
(Modelo Japonés)
Lugar: Grado: Cantidad: Niños: Niñas:
Dirigido por: Elaborado por:
I. NOMBRE DE LA UNIDAD
II. SOBRE LA UNIDAD
Nombre del ámbito relacionado con la unidad:
Grado de importancia (relación con aprendizajes futuros – próximo año–)
III. SOBRE LOS NIÑOS
IV. PLAN DE ORIENTACIÓN DE ENSEÑANZA PARA LA UNIDAD COMPLETA (períodos)
Reseña de cada clase (secuencia)
V. OBJETIVOS DE LA UNIDAD COMPLETA
VI. OBJETIVOS DE LA CLASE ACTUAL
VII. DESARROLLO DE LA CLASE
Proceso de orientación
Introducción (10 min)
Estrategias del maestro/a Actividades de los niños/as
Desarrollo (25 min)
Consigna desafiante - propósito de la clase
Conclusión (10 min)
VIII. EVALUACIÓN
IX. TAREA

Cómo explican y estructuran su clase
los maestros/as japoneses
Sistematización elaborada por Hugo Colque Jiménez en base a documentos
entregados en el Segundo Curso: “Métodos de enseñanza de matemáticas
para países sudamericanos”, gestión 2009.
Proceso de las clases como “resolución estructurada de problemas”
Revisión de la clase anterior.
Presentación de los problemas del día.
Trabajo individual o grupal de los alumnos.
Discusión de los métodos de resolución.
Puesta en relieve y resumen del punto principal.
Roles del maestro/a durante las clases
Hatsumon en la presentación del problema
Al comenzar la sesión, hacer una pregunta clave para atraer el pensamiento del alumno sobre
un punto particular en una clase.
Kikan-shido durante la resolución de problemas por los alumnos.
Significa “instrucción en el escritorio del alumno”, el maestro/a se mueve por el aula.
Evalúa el progreso de la resolución de problemas
Toma nota mental (forma esperada y otra de interés)
Neriage es una discusión de toda la clase.
Proceso de “pulir” las ideas del estudiante y obtener una idea matemática.
Ofrece la palabra para que presenten sus métodos de resolución en la pizarra
Matome como recapitulación (indispensable en la clase)
Revisa brevemente lo que han discutido y recapitula lo que han aprendido.
9

10 ¿Cuántos bloques hay?
Adaptación de la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, en base
a un video de una clase desarrollada por un maestro Japonés, validada
en la U.E. La Merced A.
COMPONENTE: Figuras
CONTENIDO: Cuerpos sólidos
AÑO DE ESCOLARIDAD: Primer año de primaria
OBJETIVO: Involucrar a los estudiantes en la visualización de una pila de bloques, para que
determinen la cantidad que la compone, a través de la formulación de diferentes formulaciones
matemáticas.
DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en mostrar de manera concreta una pila de bloques (cubos),
desde diferentes ángulos y proponer a los estudiantes que determinen la cantidad de cubos
que la compone.
PROCEDIMIENTO: Previamente el maestro/a debe haber puesto una pila de cubos sobre un
buen soporte.
El maestro/a muestra la vista delantera de una pila de cubos y pide a los estudiantes que determinen
el número de bloques.
La mayoría de los estudiantes, al ver solo la vista delantera dirán “4 bloques”. El maestro/a dibuja.
Posteriormente, el maestro/a hace girar el soporte, de tal manera que se pueda visualizar otro
ángulo de la pila y pide que determinen el número de bloques que piensan que hay. Nuevamente
dibuja en la pizarra.
Este mismo gráfico (de la pizarra), es distribuido en fotocopias a cada uno de los niños/as. El
maestro/a pide que escriban la manera en que calculan el número de bloques y su respuesta.
No es tan importante la respuesta, como la forma en que piensan los niños/as para conseguir
el número.
Algunas de las expresiones elaboradas por los niños/as, para determinar la cantidad de bloques,
son:
4 + 3 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 4 + 2 + 2 2 + 2 + 2 + 2
Cada vez que una nueva expresión sea formulada, el maestro/a pide que expliquen su trabajo
a la clase y pregunta si alguien más hizo el mismo razonamiento que su compañero e indaga
acerca del proceso de razonamiento: ¿por qué piensan que es así?
Para concluir, el maestro pide a los estudiantes que se acerquen al frente, de modo que puedan
ver claramente la pila y comprueben cuántos bloques hay en la pila.

¡Cómo aprender la multiplicación!
La presentación de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldín, adaptada por
Irma Arpazi Huanca ex becaria JICA a Japón 2004, validada en sesiones
de capacitación a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo
CONTENIDO: Multiplicación de números naturales
AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primaria
OBJETIVO: Desarrollamos la comprensión del problema de multiplicación a través del diagrama
del árbol para que les permita representar el algoritmo con facilidad.
DESCRIPCIÓN: Tanto las faldas como las blusas tienen que ser de diferentes colores
PROCEDIMIENTO: Resolución del problema
El maestro o maestra debe pensar y planificar con anticipación sobre las actividades a realizar
en el aula para que favorezcan el aprendizaje de los niños y niñas, puede ser como sigue:
1er Paso Presentación del problema
Carola tiene 3 faldas y 4 blusas de diferentes colores.
¿De cuántas maneras distintas puede vestirse
con estas ropas? ¿Cuántas formas de vestir
puede combinar con estas prendas? ¿Cuántas
combinaciones distintas puede preparar para
vestirse con las prendas?
2do Paso Comprensión del problema
Para que el problema sea bien comprendido es
necesario dar una buena lectura y las preguntas
deben estar bien formuladas, porque los niños y
niñas tienen que descubrir los distintos caminos
para llegar al resultado.
3er Paso Elaboración del plan
Reconocimiento de la acción
Es necesario hacer identificar a los niños y niñas
la acción del problema y se puede ayudar con
algunas preguntas sobre lo conocido, para que
la resolución del problema le resulte fácil como
se detalla a continuación.
¿Qué es lo que tiene Carola?
¿De qué colores son las blusas y faldas?
¿Qué necesita hacer Carola?
4to Paso Ejecución
Cada niño o niña debe encontrar la forma de
combinar las prendas de vestir (faldas y blusas
de muñeca, de papel y requiere mucha creatividad
de los niños y niñas), luego debe ser socializado
en plenaria. Pero es necesario llegar a un
mismo resultado, una alternativa de presentación
de las respuestas es la siguiente:
11

12
Blusas
Faldas
Roja
Azul
Verde
Claro
Faldas
Blusas
Amarillo
Rojo
Azul
Celeste
Amarillo Rojo Azul Celeste
5 to Paso Análisis de Solución o Resultado
Una vez que hayan llegado al resultado, el docente promueve el análisis a través de las siguientes
preguntas:
¿Cuántas formas de combinación hemos obtenido?
¿Por qué hemos obtenido esa cantidad?
¿De dónde salió?
¿Cómo podemos presentar con números?
Presentación del algoritmo de la multiplicación:
De manera horizontal De manera vertical
3
3 x 4 = 12 x 4
12
Roja Azul
Verde
claro
Al mismo tiempo se puede demostrar la propiedad
conmutativa de la siguiente manera:
Presentación del algoritmo:
Recordamos: 3 faldas por 4 blusas o 4 blusas por
3 faldas
3F x 4B 4B x 3F
3 x 4 4 x 3
12 12

Multiplicaciones divertidas
Recopilado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, de las
experiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en la U.E. La
Merced A y en sesiones de capacitación a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo
CONTENIDO: Cálculo mental, multiplicación.
AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primaria
OBJETIVO: Estimular el cálculo mental, a través de la observación cuidadosa de algoritmos,
para que resuelvan ejercicios de multiplicación mentalmente.
DESCRIPCIÓN: Plantillas de ejercicios de multiplicación, cuyos rangos decenales de ambos multiplicandos
sean los mismos y cuya suma de unidades de ambas cantidades sean siempre diez.
PROCEDIMIENTO:
El maestro/a presenta en una plantilla el ejercicio:
Los niños/as desarrollan el ejercicio y luego verifican con su compañero para ver si tienen el mismo
resultado. Si están equivocados se les indica que no borren la respuesta sino que la corrijan.
Luego se les presenta el siguiente ejercicio:
Se sigue el mismo procedimiento anterior.
Posteriormente se les presenta el ejercicio:
En este momento un niño podría darse cuenta que falta una multiplicación en la serie (23 x 27)
y pasar a presentar la operación faltante y resolverla. Este momento servirá para darnos cuenta
de que empiezan a descubrir la regla. En todo caso el maestro/a anima a ir encontrando la
relación que hay entre la secuencia de números, les ayuda escribiendo en la pizarra sus ideas.
Pide que expliquen las características de las operaciones.
¿Qué observamos en los multiplicandos? R. ambos son del mismo grupo de decenas.
¿Qué se puede decir de las unidades? R. Que si las sumamos nos dan diez
¿Cómo serían las características de estas expresiones? 30 x 30 y 29 x 31 R. Los estudiantes explican
utilizando lo aprendido.
El maestro/a pregunta: ¿Cómo explicamos los resultados de estas expresiones? Presenta la serie
de ejercicios:
21 x 29
22 x 28
23 x 27
24 x 26
25 x 25
22 x 28 = 616
24 x 26 = 624
25 x 25 = 625
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14
El maestro/a pregunta ¿Hay alguna regla para encontrar el resultado? Todos los niños/as muestran
interés en resolver los ejercicios y pasar a explicar el procedimiento que han usado y al
descubrir la regla.
Una vez descubierta una de las reglas
Los últimos dígitos del resultado son iguales al producto de las cifras de las
unidades de los multiplicandos.
El maestro/a construye la regla final con las ideas de todos los estudiantes:
Las otras cifras del resultado provienen de multiplicar la decena de uno de los
multiplicandos por el número que le sigue.
Es decir si la decena es 2, entonces se debe multiplicar 2 x 3, considerando que 3 es el número
que sigue al 2.
Los niños/as proponen otros ejemplos: 35 x 35; 33 x 37; 31 x 39 y descubren que la regla también
se cumple para ellos:
� 32 x 38 = 1216
� 34 x 36 = 1224
� 35 x 35 = 1225
� 33 x 37 = 1221
� 31 x 39 = 1209
Este es un interesante ejemplo de aplicación de metodologías que permiten al niño analizar por
si mismo, las situaciones matemáticas y llegar a descubrir reglas que le facilitan la interpretación
de los resultados obtenidos.

La construcción del pensamiento
multiplicativo
La presentación de la Dr. Sc. Yuriko Yamamoto Baldín, adaptada por
Irma Arpazi Huanca ex becaria de Japón.
COMPONENTE: Números y operaciones
CONTENIDO: Multiplicación de números naturales
AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercero de primaria
OBJETIVO: Desarrollamos la comprensión del problema de multiplicación mediante los principios
combinatorios para contribuir al desarrollo del pensamiento lógico.
DESCRIPCIÓN: La bandera puede ser nuestro o de otro país, lo importante es que sea de tres
colores diferentes.
PROCEDIMIENTO: Resolución del problema
1er Paso Presentación del problema
Pintar y modificar la bandera del Estado Plurinacional, de tal modo que en dos franjas seguidas
no se repita el mismo color, pero sí, se puede repetir dos franjas del costado. ¿Cuántas banderas
diferentes podemos combinar?
2do Paso Comprensión del problema a través de la lectura
Para comprender el problema es necesaria una buena lectura para que los niños/as descubran
distintas maneras de llegar al resultado.
3er Paso Elaboración del plan - Reconocimiento de la acción
Es necesario reconocer la acción del problema y puede ayudarse con algunas preguntas sobre lo
conocido, para que la resolución del problema le resulte fácil.
¿Qué tenemos?
¿Cuántas franjas tiene nuestra bandera y de qué colores?
¿Qué debemos hacer?
¿Cuántas banderas diferentes podemos combinar?
¿Cómo podemos combinar?
4to Paso Ejecución
Para facilitar el procedimiento, el docente puede presentar la bandera y cada niño o niña encontrará
la estrategia para llegar a combinar a través del movimiento de las franjas de la bandera.
Posteriormente realizar la socialización.
5to Paso Conclusión
Sobre las decisiones que hayan tomado
para las combinaciones puede ser como
sigue:
Primera decisión: Escoger el color para
la primera franja.
Segunda decisión: Escoger los colores
para la segunda franja, no puede ser la
misma que la primera franja.
Tercera decisión: Escoger los colores
para la tercera franja, no puede ser los mismos colores que la segunda franja, más bien se
puede repetir los colores de la primera franja.
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16 Regularidades
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, en base a
una presentación del Prof. Takao Seiyama de la Escuela Anexa a la Universidad
de Tsukuba – Japón, validada en la U.E. Gral José de San Martín
y en sesiones de capacitación a docentes de primaria.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades
CONTENIDO: Regularidades en la multiplicación
AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto-Quinto grado de Primaria
OBJETIVO: Encontrar la fórmula que tenga como respuesta una cifra inferior en uno, para
resolver situaciones de multiplicación
DESCRIPCIÓN: Planteamiento de una situación de multiplicación aparentemente complicada,
pero que a través de ejercicios sencillos, los estudiantes pensando, encuentran la regularidad,
la regla que permitirá solucionar el desafío o situación problemática.
PROCEDIMIENTO: Se puede dar clases con este tema: Por ejemplo:
Escribir 50 x 50 = 2500
Ahora escribir una respuesta inferior en uno
50 x 50 = 2500
? = 2499
Entonces se tiene una respuesta que es inferior en uno al primer resultado.
CONSIGNA: Debemos encontrar una fórmula de multiplicación que tenga como respuesta una
cifra inferior en uno.
Entonces como con números grandes es complicado para pensar, vamos a achicar el número y
averiguaremos la fórmula:
3 x 3 = 9
.1
? = 8
Preguntamos: ¿Cómo se va a hacer para que tenga una respuesta?
¿Cómo debe ser la fórmula?
Puede ser esto… Se puede presentar más ejemplos...
3 x 3 = 9 4 x 4 = 16
.1 .1
4 x 2 = 8 5 x 3 = 15
Hasta este nivel los estudiantes de primaria pueden solucionar, por ejemplo:
8 x 8 = 64
.1
9 x 7 = 63
Entonces preguntamos ¿cuál es la fórmula para encontrar la respuesta inferior en uno?
50 x 50 = 2500
.1
51 x 49 = 2499
.1

Empezando por cifras pequeñas, sencillas, pensando los estudiantes encuentran alguna regla
que existe, ellos pueden imaginar fácilmente esta fórmula.
Entonces lo importante es hacer preguntas:
¿Cómo concluyeron en esa idea?, ¿Cómo se formó esa idea?, ¿por qué dicen eso?
Lo que se quiere es que el niño o la niña, diga que a través de esas tres fórmulas encontró una
regla.
50 x 50 = 2500
51 x 49 = 2499
3 x 3 = 9
.1
4 x 4 = 16
.1
8 x 8 = 64
.1
4 x 2 = 8 5 x 3 = 15 9 x 7 = 63
Vamos a probar con otros números:
¿Cuál es la fórmula?
60 x 60 = 3600
.1
61 x 59 = 2499
60 x 60 = 3600
+1 x –1 = 2499
Inicialmente un ejercicio parece difícil, pero por medio de encontrar una regla que tiene, a través
de cálculos iniciales sencillos, se lo puede resolver con facilidad.
Ahora hagamos la aplicación:
50 x 50 = 2500
= 2496
¿Cómo será la fórmula ahora?
Dejar que piensen y respondan, que hagan cálculos…
De igual manera, para que comprendan mejor, se puede empezar con números pequeños.
3 x 3 = 9
–4
4 x 4 = 16
–4
8 x 8 = 64
–4
5 x 1 = 5 6 x 2 = 12 10 x 6 = 60
Preguntar: Hasta aquí, ¿Pueden encontrar alguna regla?
Responden:
50 x 50 = 2500
52 x 48 = 2496
.1
.1
–4
–4
17

18
Vamos a probar con otros números:
60 x 60 = 3600 60 x 60 = 3600
–4 ¿Cuál es la fórmula?
–4
61 x 59 = 3596 +1 x –1 = 3596
Entonces cuando se da una fórmula, la explicación para cursos superiores sería:
(a + b) (a – b) = a 2 + b 2
Aplicando las cifras del desafío:
50 x 50 = 2500 (50 + 1) (50 – 1) = 50 2 – 1 2
= 2500 – 1
? = 2499 51 x 49 = 2499
50 x 50 = 2500 (50 + 2) (50 – 2) = 50 2 – 2 2
= 2500 – 4
? = 2496 52 x 48 = 2496
Ahora con - 9
50 x 50 = 2500
= 2491
.1
–4
–9
¿Y cómo va a ser ahora?
50 x 50 = 2500 (50 + 3) (50 – 3) = 50 2 – 3 2
–9
3x3 = 2500 – 9
53 x 47 = 2491 53 x 47 = 2491
Ahora con - 16, ¿Cuánto será?
50 x 50 = 2500 (50 + 4) (50 – 4) = 50 2 – 4 2
4x4
–16
= 2500 – 16
54 x 46 = 2484 54 x 46 = 2484
Para finalizar con - 25, ¿Cuánto será?
50 x 50 = 2500 (50 + 5) (50 – 5) = 50 2 – 5 2
5x5
–25
= 2500 – 25
55 x 45 = 2475 55 x 45 = 2475
Los estudiantes pueden seguir probando con otros números para su aplicación.

Relación entre números
Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,
“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, gestión
2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades
CONTENIDO: Mayor qué, menor qué e igual a
NIVEL: Primario
OBJETIVO: Desarrollar en los estudiantes un pensamiento crítico y reflexivo con relación al valor
posicional de las cifras y la relación que existe entre dos números (>, =,

20 Actividades Recursos Puntos de atención
ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 minutos
1. Explicar que se desarrollará una actividad de
comparación de dos números, utilizando 2 juegos de
tarjetas de números del 0 al 9.
2. Solicitar a dos niños (as) que pasen al frente.
3. Proporcionar a cada niño un juego de tarjetas del 0
al 9.
4. Solicitar a cada niño que saque seis tarjetas en turnos
alternos, colocando cada tarjeta en la tabla que se
encuentra en el pizarrón, de tal manera que formen el
número mayor.
5. Cada niño deberá pensar en qué lugar colocará la
tarjeta que vaya sacando (podrá pedir apoyo de sus
compañeros para colocar la tarjeta en el lugar que crea
conveniente para formar el número mayor)
6. Luego de haber formado los dos números, preguntar a
todos los niños/as CUÁL ES EL NÚMERO MAYOR.
7. Presentar los signos mayor que, menor que, igual que,
luego pedir a un niño que coloque el signo correcto
entre los dos números formados.
8. Preguntar a todos los niños/as POR QUE es el número
mayor el señalado. Pedir 3 intervenciones de tal
manera que se les induzca hacia la respuesta correcta.
9. Concluir indicando la regla de comparación que se
aplica a la comparación de los números formados.
ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 min.
10. Realizar el mismo juego en parejas para lo cual se
debe explicar cómo llenar la hoja de trabajo y como
construir sus materiales para jugar.
ACTIVIDADES. TIEMPO: 20 min.
11. Presentar los otros casos, tomando en cuenta el
resultado del ejercicio anterior (modificar la posición
de algunas tarjetas de manera que la comparación de
los dos números se resuelvan de la siguiente manera:
a. Que la primera cifra de la izquierda en ambos
números sean diferentes o iguales
b. Que las primeras dos cifras a la izquierda sean
iguales
c. Que las primeras tres cifras de la izquierda sean
iguales y así sucesivamente.
d. Verificar también que la cantidad de cifras de los
números sean diferentes (23567>457)
- Tarjetas de
números
- Tarjetas con
signos de >
mayor que,
< menor
que, = igual
que.
Reglas, tijeras,
fotocopias,
lápices.
1. Tomar en cuenta la
posición de los números
formados para la
colocación del signo de
desigualdad correcto.
10.Reglas de comparación de
dos números naturales:
a. Comparar la cantidad de
cifras. El que tenga más
cifras es el mayor.
b. Si los dos tienen la
misma cantidad de cifras,
comparar la primera cifra
de la izquierda de cada
número. El que tenga la
cifra mayor es el mayor.
c. Si las primeras cifras son
iguales, comparar la
segunda cifra de cada uno;
el que tenga la mayor cifra
es el mayor.
d. Si las primeras dos cifras
de ambos números
son iguales, comparar
la tercera cifra y así
sucesivamente con el
mismo procedimiento.
e. Si uno tiene menos casillas,
entonces tienen el número
menor.
Si al final todas las cifras son
iguales, los dos números son
iguales.
En los casos de modificación de
la posición de los números, pasar
a niños/as a colocar el signo de
comparación de cantidades (>
< =) y que expliquen POR QUÉ
colocó el signo.

MODELO DE HOJA PARA EL JUEGO:
Comparación de números
Fecha: Curso:
Nombre del niño o niña de la izquierda Nombre del niño o niña de la derecha
Resultados R
del juego o
Primer juego
Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Segundo juego
Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Tercer juego
Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Cuarto juego
Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
Quinto juego
Número del niño o niña (izquierda) Número del niño o niña (derecha)
MODELO DE FICHAS PARA EL JUEGO:
=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
MODELO DE RAYADO EN LA PIZARRA PARA EL JUEGO:
21

22 Problemas de longitud y espacialidad
Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,
“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, gestión
2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo
COMPONENTE: Cantidad y medida
CONTENIDO: Cálculo de longitudes y orientación espacial
NIVEL: Primario
OBJETIVO: Poder determinar longitudes, realizar ejercicios de orientación y establecer lugares
a través del uso de una rejilla. Además de determinar o formular problemas sobre estos aspectos
DESCRIPCIÓN: Este tipo de dibujos se puede usar para la formulación de problemas como
decir
¿Juan quiere ir a su escuela desde su casa y debe recorrer tres cuadras en forma horizontal y dos
en vertical. Donde está la escuela
Juan olvido sus cuadernos y su mamá debe mandarlos y decide enviarlos en un taxi a quien
debe indicar la dirección ¿dónde es la el colegio?
CASA
DE
JUAN
ESCUELA
DE JUAN
EMPRESA
DE TÁXIS

Misterios del cálculo de la
multiplicación
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba
– Japón, 2009, validado en la U.E. Gral. José de San Martín y en capacitaciones
a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo
CONTENIDO: Regularidades en la multiplicación
AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto grado de primaria
OBJETIVO: A través de la actividad de hacer “el cálculo interesante”, intentar que los/as niños/
as puedan explicar de manera lógica sus respuestas y aprecien la alegría de descubrir la regla.
DESCRIPCIÓN: Utilización de múltiplos de tres en tres problemas matemáticos como una pista
para introducir los problemas matemáticos, dejar un tiempo para pensar solos y luego de tener
los resultados anotados en tarjetas, invitar a poner en orden e incitar a encontrar la regla.
PROCEDIMIENTO:
Presentar la siguiente expresión matemática:
37 x 3 = ¿Cuál es el resultado?
Solicitar que un estudiante resuelva el ejercicio. Luego copiar la expresión en un cartel. Pegar
Escribir la siguiente expresión:
37 x 6 = ¿Cuál será el resultado?
Repetir el anterior procedimiento.
Presentar otra expresión:
37 x 9 = ¿Cuál será el resultado?
En este punto de la lección se pueden formular preguntas que despierten el interés de los alumnos:
¿Cuál es el próximo número que sigue?
¿Por qué?
Presentar otro ejercicio:
37 x 12 = ¿Cuál será el resultado?
¿Habrá otras expresiones?
¿Podríamos encontrarlas? ¿Cómo?
Se puede decir a los/as niños/as: para ayudar a nuestro pensamiento, sería bueno ordenar las
expresiones, (mejor si hay algún estudiante que lo proponga).
La pizarra quedaría así:
23

24
Los multiplicadores
son múltiplos de 3
El multiplicando
siempre es 37
Otras expresiones que se pueden formar:
SUGERENCIAS
De acuerdo al grado, se sugiere que se inicie con operaciones más altas por el nivel de los niños/as
por ejemplo 37 x 15, pero ese es un criterio, cada uno hace su clase según su experiencia,
conocimiento y habilidad.
En la clase se debe conocer la regla y expresarla con diferentes palabras.
Nosotros como docentes queremos encontrar reglas nuestras y a veces decimos que no esta bien
si no compartimos algo correcto que el niño indique.
Hay que escuchar a los alumnos. En ocasiones
los estudiantes nos dan otras respuestas,
hay otras reacciones, entonces el
docente tiene que tener capacidad académica
de escuchar y no solo de enseñar.
En el siguiente proceso se puede ofrecer otras secuencias como:
Aplicaciones de la regla:
37 x 42
30 y 12
= 37 x 30 + 37 x 12
= 1110 + 444
= 1554
3x1
37 x 3 = 111
3x2 +111
37 x 6 = 222
3x3 +111
37 x 9 = 333
3x4 +111
37 x 12 =
3x5
37 x 15 =
37 x 18 =
+222
+222
+222
37 x 24 =
37 x 21 = 37 x 27 =
37 x 30 = 1110
37 x 33 = 1221
37 x 36 = 1332
3 x 1 el factor 3
indica las veces
que se repite el
producto
La suma de los dígitos
del resultado da siempre
la cifra del multiplicador
2 + 2 + 2 = 6
Es la cifra que se
debe repetir
37 x 39 = 1443
37 x 42 = 1554
37 x 45 = 1665

Introducción al estudio de la
estadística en nivel primario
Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,
“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, gestión
2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades - Estadística.
CONTENIDO: Estudio de tablas y gráficos estadísticos.
NIVEL: Primario
OBJETIVO: Representar en tablas y gráficos diferentes tipos de datos numéricos; para comprender
mejor su significado a partir de experiencias vividas en un contexto conocido.
DESCRIPCIÓN: El estudio de la estadística se puede iniciar desde los primeros años del nivel
primario e ir afianzando los conceptos necesarios para el nivel secundario, considerando la diversidad
cultural y social de los estudiantes y el objetivo o contenidos que se quieran desarrollar. En el
siguiente trabajo se presenta de forma general pautas para introducirse en el estudio de la estadística;
la cual puede ser adaptada para cursos inferiores o superiores.
Se puede trabajar entre todos los estudiantes o en grupos predefinidos considerando como una
de las variables el tiempo que disponga el profesor para su clase. En ambos casos deben tomar
nota de los datos observados, para posteriormente socializarlos en sala. En este caso, como el
colegio se encuentra cerca de una parada de transporte público (micros), se pide a los estudiantes
que vayan analizando el comportamiento de la cantidad de micros que se encuentran en la
parada estacionados cada determinado tiempo y posteriormente realizan un análisis estadístico
en tablas y gráficos de barra. De acuerdo a la metodología empleada esta forma de trabajo es
orientada constantemente por el docente.
PRIMERA JORNADA
a) Definir la actividad a realizar: Observación de la cantidad de micros en la parada.
b) Determinar los intervalos de tiempo: Cada media hora, de hrs. 9:00 hasta las 14:00.
c) Conformar grupos de estudio de acuerdo al número de observaciones.
d) Realizar las observaciones necesarias y registro de la cantidad de micros que se encuentran
estacionados cada media hora: Cada grupo verá la mejor forma de registrar los datos que
vayan observando. Muchos estudiantes se verán en conflicto y no sabrán como comenzar y
pedirán un ejemplo de cómo y dónde deben anotar los datos que observen. El profesor deberá
procurar que sean los estudiantes quienes encuentren la mejor forma. No se les debe dar
un formato de la tabla de recolección de datos, puesto que lo que se busca es que sean ellos
los protagonistas en la búsqueda de soluciones a partir del trabajo grupal.
Se sugiere que solamente los grupos asignados salgan del aula a realizar sus observaciones para
paralelamente continuar con el avance de otros contenidos.
SEGUNDA JORNADA
a) Cada grupo escribe en la pizarra y socializa el trabajo realizado en la anterior jornada: En
esta etapa tomar en cuenta que cada grupo debe anotar en la pizarra las observaciones
realizadas, además de explicar la forma en la que registraron los datos en el momento de
realizar las observaciones; pero como todavía no se les dio el modelo de la tabla el registro
de los datos puede ser de forma numeral, literal o con dibujos. Los grupos pueden escribir de
la forma que lo consideren mejor.
b) El maestro/a y los estudiantes sistematizan los datos obtenidos.
25

26
OBJETIVO: Representar
en tablas y gráficos, datos
numéricos; para comprender
el significado a
partir de experiencias
vividas en nuestra comunidad.
REGISTRO
ESTUDIANTES
Grupo A.
Mi grupo observó dos
micros a las nueve de la
mañana
Grupo C.
5 micros a las 10:00
Grupo F.
11: 30
Grupo H.
No observamos ningún
micro.
(registrar de los once
grupos)
Tabla
de
datos
TÍTULO: Análisis de datos estadísticos con tablas y gráficos de barra
PRIMERA OBSERVACIÓN
Horas 9:00. Dos micros
CUARTA OBSERVACIÓN
Hora 10:30. Seis micros
SÉPTIMA OBSERVACIÓN
A las 12:00 Un micro
TABLA TIPO Inicial
Hora Micros observados
9:00
9:30
10:00
10:30
11:00
11:30
12:00
12:30
13:00
13:30
14:00
SISTEMATIZACIÓN POR PROFESOR Y ESTUDIANTES
SEGUNDA OBSERVACIÓN
Horas 9: 30. Dos micros
QUINTA OBSERVACIÓN
Hora 11:00. Cinco micros
OCTAVA OBSERVACIÓN
Hora 12:30-13:00 Cero micros
TERCERA OBSERVACIÓN
Horas 10: 00. Cinco micros
SEXTA OBSERVACIÓN
Hora 11:30. Cuatro micros
NOVENA OBSERVACIÓN
Hora 13:30-14:00. Un micro
A partir de esta u otras formas de registro que hayan realizado los estudiantes el maestro/a
juntamente con los estudiantes buscará una forma adecuada para el llenado de las tablas,
aclarando los conceptos de celda, fila, columna, tabla y posteriormente gráfico (barra, torta…).
Una vez socializado y buscada la mejor forma de registrar los datos, el maestro/a deberá haber
logrado que los estudiantes logren realizar una tabla correcta de esas formas son las siguientes,
tomando en cuenta en año de escolaridad.
TABLA TIPO
Intermedio
Tabla de datos
Hora de
Observación
Número de
micros
9:00 2
9:30 2
10:00 5
10:30 6
11:00 5
11:30 4
12:00 1
12:30 0
13:00 0
13:30 1
14:00 1

Posteriormente se realiza el vaciado de los datos obtenidos en uno de los gráficos que se quiera
estudiar en este caso dos formas de vaciar los datos en un gráfico de columnas.
GRÁFICO DE BARRAS. Inicial
9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 14:00
a)
c)
PARQUE AUTOMOTOR
(Número de vehículos)
Particular
Automóvil
Camión
Minibús
micros
b)
Particular
Automóvil
Camión
Minibús
GRÁFICO DE BARRAS. Avanzado
Cantidad de micros estacionados
d)
Tabla de datos (cantidad de micros/tiempo)
Tiempo 9:00 9.30 10.00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:00 14:00
Cantidad de micros 2 2 5 6 5 4 1 0 0 1 1
Diagrama de barras
7
6
5
4
3
2
1
0
9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00
horas
cantidad
de micros
TABLA TIPO. Avanzado. (Este tipo también se lo realiza a partir del análisis de los
anteriores datos y pude ser aplicado a los últimos años del nivel primario).
Intérvalos de tiempo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia acumulada
9:00-9:29 2 2/23=0.09 2
9:30-9:59 2 2/23=0.09 4
10:00-10:39 5 5/23=0.22 9
10:30-10:59 6 6/23=0.26 15
11:00-11:29 5 5/23=0.22 20
11:30-11:59 1 1/23=0.04 21
12:30-12:59 0 0/23=0.00 21
13:00-13:29 0 0/23=0.00 21
13:30-13:59 1 1/23=0.04 22
14:00-14:30 1 1/23=0.04 23
Total datos 23 1.00
Es estudio de la estadística o el comportamiento de datos estadísticos en un determinado periodo
se puede realizar a partir de simples observaciones como:
a) El kiosco de la escuela. ¿Cuántas unidades de un producto vende por día? ¿Qué productos
vende más?
b) El jardín de casa o la escuela. ¿Cuántas clases de flores hay?¿Qué plantas dan más flores por año?
c) Un video, una fotografía de la ciudad. ¿Cuántos vehículos pasan por hora? ¿Cuántos son
particulares?
d) Cuadros de datos. ¿Cuántos automóviles particulares hay? ¿Cuántos camiones?
27

28 Fracciones equivalentes
Sistematizado por Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA
– PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, gestión 2009, validado en la U.E.
San Miguel de El Palomar
COMPONENTE: Fracciones
CONTENIDO: Fracciones con distinto denominador
AÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto de Primaria
OBJETIVO: Convertir fracciones homogéneas y heterogenias a fracciones equivalentes
DESCRIPCIÓN:
� Es un juego para dos jugadores.
� Material:
� Dado tetraédrico numerado: 2, 3, 4, 6 (Numerador).
� Dado cúbico numerado: 4, 6, 8, 9, 10, 12 (Denominador).
� Seis fichas para cada jugador.
Reglas:
� Salida a mayor puntuación a cara / cruz.
� Tiradas alternas.
� Se tiran los dos dados y se anota la fracción resultante Numerador / Denominador:
a) Se simplifica y se coloca una ficha sobre una casilla que la represente.
b) Si no se puede simplificar (2/9, 3/8, 4/9, 3/10) se retira una de las fichas que el jugador
ya tenía colocadas.
� No se puede ocupar casilla que ya tenga ficha.
� Gana quien antes coloca sus seis fichas.
1 1/6 1/4 1/5 1/2 3/4
1/3 1/2 2/3 1 3/5 2/5
2/3 1/3 1/2 2/5 1/6 3/5
3/4 1/3 2/5 1 1/4 1/3
1/5 3/5 3/4 1/5 1/3 1/4
1/2 1/6 1/2 1 1/2 1/2
1/4 1/3 3/4 1 2/3 2/5

Explorando el desarrollo de un prisma
Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo,
2008, desarrollada con estudiantes de la U.E. La Merced A, durante el III
Encuentro Internacional de PROMECA.
COMPONENTE: Figuras
CONTENIDO: Cuerpos sólidos
AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto año de primaria
OBJETIVO: Que los estudiantes desarrollen su pensamiento abstracto, al analizar y explicar las
características de las plantillas de un cuerpo geométrico y desarrollando diferentes tipos de ellas.
DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en el análisis del cuerpo concreto (prisma) y de las características
de su plantilla elemental, para proceder a la transferencia de sus conocimientos en la
elaboración de otras plantillas.
PROCEDIMIENTO:
A manera de retroalimentación y anclaje con este nuevo contenido, el maestro puede presentar
diferentes desarrollos (plantillas) de cubos y preguntar:
¿Cuál de estos desarrollos corresponde a un cubo? ¿por qué?
Una vez que los estudiantes señalen las plantillas que corresponden a un cubo (en este caso,
todas), explican las condiciones para serlo: “Tiene que tener seis cuadrados de las mismas medidas
y se tiene que poder unir las aristas, no tienen que sobreponerse, porque si no, no se armaría
el cubo”. El maestro invita a los estudiantes a analizar los elementos de un prisma rectangular:
� Tiene seis caras paralelas
� Sus lados opuestos son iguales
� Sus lados son rectángulos
Posteriormente, solicita que desarmen el prisma rectangular obteniendo así la plantilla (desarrollo,
patrón o también llamado molde), para su análisis correspondiente.
Los estudiantes concluyen:
La plantilla del prisma:
� Tiene seis caras paralelas.
� Tiene seis lados rectangulares.
� Sus lados son paralelos u opuestos.
En este momento, el maestro debe solicitar ideas de los estudiantes que ayuden a identificar las
caras opuestas del prisma cuando está desarmado.
Algunos estudiantes indicarán, por ejemplo:
29

30
– Podemos armar el prisma y antes de desarmarlo podemos poner una marca cualquiera
como por ejemplo una “X”, una “Y”, o lo que sea
– Podemos pintar los dos lados que son opuestos, de un mismo color.
– Se puede poner un punto, un cuadrado, etc.
– Podemos enumerar cada pareja de lados.
Una vez elegida una de las opciones (u otra), proceder de tal forma que al tener la plantilla se
visualice cada par de caras y analizar sus características, estableciéndose:
– En una plantilla de prisma, cada par de lados opuestos están separados por un rectángulo diferente.
Entonces, el maestro/a podrá presentar varias plantillas para desafiar el ingenio de los estudiantes,
preguntando:
¿Cuál de estos desarrollos corresponde a un prisma rectangular? ¿Por qué?
a) b) c) d)
Una vez discutidas cuáles son plantillas
de prismas rectangulares (incisos a y d) y
¿por que?, puede proceder a recortarse estas
plantillas y tratar de armar los prismas rectangulares.
En este punto el maestro/a anima a la clase
a elaborar modelos alternativos para el desarrollo
de prismas rectangulares.
A modo de plantearles mayores desafíos presenta otras plantillas con las características un tanto
diferentes: ¿Creen que se forme un prisma rectangular con estas plantillas?

El tetraedro
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba
– Japón, 2009, validado en sesiones de capacitación a docentes de primaria
y en la U.E. Gral. José de San Martín.
CONTENIDO: Cuerpos sólidos
AÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto grado de primaria
OBJETIVO: Pensar sobre el número de lados en el desarrollo del tetraedro.
DESCRIPCIÓN: Un sobre manila tamaño carta, en el que a través del procedimiento anterior
(Dobleces para encontrar el triángulo regular), se encuentran esta vez cuatro triángulos regulares
o cuatro caras de un tetraedro.
PROCEDIMIENTO:
CONSIGNA: Ahora usando este sobre, encuentren con el mismo procedimiento un triángulo
regular.
Distribuir sobres.
– Se debe trabajar más fino.
Esta línea es importante, hay que resaltar (hacer doblez a uno y al otro lado)
– Ahora se debe encontrar el otro lado del triángulo:
Este lado también hay que resaltar. (Doblar para los dos lados). En Japón a los
estudiantes se les dice doblar en forma de montaña, ahora en forma de valle.
Ahora tomando como referencia el vértice de arriba, vamos a doblar paralelamente con la base
al otro lado.
Ahora tenemos otra vez el triángulo regular.
Analizamos con los estudiantes: El sobre tiene un lado y otro lado; en este lado tenemos un
triángulo, en el dorso también tenemos otro triángulo…
En este lado tenemos un triángulo
medio de triángulo regular, en el
dorso tenemos otro medio de triángulo
regular, sumados los dos tenemos
otro triángulo regular.
En este otro lado también tenemos
una mitad de triángulo regular
medio, y en el dorso existe otro
triángulo regular medio, sumados
ambos, hay otro triángulo regular.
31

32
Entonces: ¿Cuántos triángulos regulares hay?
R. Con este trabajo ya tenemos cuatro triángulos regulares.
Ahora observen:
(Meter la mano dentro del sobre, abrir, resaltar los triángulos regulares o caras. (la parte restante
del sobre doblar contra una de las caras del sólido).
¡Sorpresa!
El estudio del tetraedro se lo hace en primaria superior, pero un triángulo plano aprenden los
niños/as de primaria.
Si se amplia su reconocimiento de esta manera con seguridad les va a gustar los estudiantes.

Cálculos interesantes de sustracción
Recopilado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA 2008, de las
experiencias adquiridas con maestros japoneses, validada en sesiones de
transferencia a docentes de primaria.
COMPONENTE: Números y cálculo
CONTENIDO: Cálculo mental, sustracción, multiplicación.
AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto año de primaria
OBJETIVO: Estimular la capacidad de observación de los estudiantes, a través de la resta de
dígitos y multiplicación por 9, para que descubran la “regla oculta”.
DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en el uso de lotas en los que se anotará ejercicios de sustracción
de manera divertida. Los resultados serán analizados para descubrir la “regla oculta”.
PROCEDIMIENTO: El maestro solicita a un estudiante que le dicte su número favorito de dos
dígitos, uno de los números dados, puede ser por ejemplo: 86
Ahora da la siguiente consigna a todo el curso: Inviertan los dígitos de este número y réstenlo
del anterior. Por ejemplo:
86 – 68 = 18
Este ejemplo es anotado en una plantilla rectangular que pone en la pizarra; para posteriormente
solicitar otros y seguir el mismo procedimiento.
Después de un rato, la pizarra puede presentar la siguiente lista, por ejemplo:
86 – 68 = 18
43 – 34 = 9
98 – 89 = 9
53 – 35 = 18
62 – 26 = 36
73 – 37 = 36
Dirigiendo la observación a la lista presentada, ya los estudiantes o el mismo maestro pueden
solicitar acomodar las lotas de acuerdo al resultado obtenido de la siguiente manera:
43 – 34 = 9
98 – 89 = 9
86 – 68 = 18
53 – 35 = 18
62 – 26 = 36
73 – 37 = 36
Consigna: ¿qué observan en los resultados?
Los estudiantes pueden indicar:“todos son múltiplos del 9”, si esta respuesta no se da, el maestro/a
podría orientar hacia la observación de este detalle.
33

34
Consigna: ¿Cómo podemos explicar que todos los resultados son múltiplos del 9; pero que no
todos son el mismo número?
Con esta consigna, se plantea el desafío a los estudiantes, quienes ahora deben analizar cada
detalle de las cantidades propuestas, hasta descubrir la “regla oculta”, de la siguiente manera:
4
8
6
3
6
2
– 3 4 =
Entonces: la Regla oculta es:
9
9 8 – 8 9 = 9
– 6 8 =
18
5 3 – 3 5 = 1 8
– 2 6 =
36
7 3 – 3 7 = 3 6
4 – 3 = 1
8 – 6 = 2
6 – 2 = 4
1 x 9 =
2 x 9 =
4 x 9 =
� Restar los dígitos del minuendo y el resultado multiplicarlo por 9.
Comprobando esta regla en cada uno de los ejercicios planteados, se podría concluir con otros
ejemplos similares.
9
18
36

Patrones en la multiplicación
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, Tsukuba
– Japón, 2009, validado en sesiones de capacitación a docentes de primaria
y en la U.E. Gral. José de San Martín.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades
CONTENIDO: Multiplicación
AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto-Sexto grado de primaria
OBJETIVO: Resolver situaciones problemáticas de multiplicación a través de encontrar patrones
en multiplicaciones que tengan cifras pequeñas.
DESCRIPCIÓN: Situación multiplicativa entre factores que tienen 6 dígitos repetidos, y que con
la calculadora hay error en la respuesta, por lo que surge la necesidad de realizar un cálculo escrito
a mano, en el que a través de ejercicios con cifras pequeñas se puede encontrar un patrón,
que se aplicará en la solución del desafío o situación problemática.
PROCEDIMIENTO:
CONSIGNA:
Con calculadoras resuelvan lo siguiente:
Situación problemática o desafío, ¿cuánto será?
Damos un tiempo para que los/as niños/as hagan el cálculo (utilizando la calculadora).
Nota.- Cuando se hace cálculos con una calculadora que tiene 8 dígitos, ésta aparece como
error, entonces intencionalmente usamos la calculadora para crear necesidad de realizar
otro tipo de cálculo.
Continuamos; con calculadora no se puede, pero si hacemos el cálculo a mano sería mucho
mejor, para ello empezamos con cifras pequeñas:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121 ¿qué cálculo sigue ahora?, esperar la respuesta
111 x 111 = 12321 hasta aquí algunos estudiantes ya podrían encontrar el patrón
preguntar por el siguiente cálculo.
1111 x 1111 = 1234321
Seguir encontrando los otros cálculos, hasta el que tenga seis
dígitos, pedir que escriban la solución.
111111 x 111111 = 12345654321
¿Por qué dieron esta respuesta? Se ve que encontraron el cálculo de otra manera. Solicitar a un
estudiante que explique:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
111111 x 111111 = 12345654321
777777 x 999999 =
Se enumera los dígitos: 1, 2 y se
retrocede hasta 1 = 121
Cuento 123456 y retrocedo hasta
uno 54321 = 12345654321
35

36
Hasta aquí es sólo la introducción, para que los estudiantes, puedan encontrar el patrón.
777777 x 999999 =
Si aun no pueden, continuamos averiguando con una cifra
más chica:
7 x 9 = 63 ahora ¿qué sigue?
77 x 99 = 7623
777 x 999 = 776223
Hasta aquí, ya se puede sacar el patrón
777777 x 999999 = 777776222223
La clase no debe terminar aquí, hay que buscar la explicación y realizar aplicaciones. Por ejemplo:
Entonces los estudiantes empezarán a analizar y averiguar cómo se llegó al anterior resultado.
9 – 7 = 2
777777 x 999999 = 777776222223
Ahora puede resolver el anterior ejercicio:
8 x 9 = 72 ahora ¿qué sigue?
88 x 99 = 8712
888 x 999 = 887112
Y aquí ya tiene la regla ¿Cómo resuelve y explica el
estudiante?
¿Cómo se explica
el 8 y 1?
888888 x 999999
9 x 8 = 72
= 888887111112
Ahora comprobamos si la regla es correcta con cualquier número multiplicado por 9
444444 x 999999 =
4 x 9 = 36 9-4= 5
444443555556
888888 x 999999 =
Baja aquí
Sale de
multiplicar
7 x 9 = 63
Uno sale de restar
9 – 9 = 1
¿De dónde
sale el 7 y 2?
A estas alturas de la clase los niños/as estarán entusiasmados por seguir probando y averiguando
la eficacia de la regla, es importante que expliquen siempre en cada etapa, el por que dan
determinadas respuestas.

Arreglo de puntos
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA, participante
del Curso “Métodos de Enseñanza de Matemáticas para Países
Suramericanos”, 2009. (Presentado por el Prof. Kozo Tsubota Escuela
Anexa a la Universidad de Tsukuba– Japón). Validado en la U.E. Gral.
José de San Martín y en capacitaciones a docentes.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades
CONTENIDO: Aplicación del concepto de multiplicación
AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto Grado de Primaria
OBJETIVO: Encontrar maneras de contar el número total de puntos en un cuadrado con
cuatro puntos en cada lado, y representar cada manera de contar como una expresión.
Interpretar el significado de las expresiones.
DESCRIPCIÓN:
En esta clase, los estudiantes encuentran el número de puntos en una configuración (arreglo)
de puntos, y encuen tran las maneras de contar el número de puntos en el arreglo.
Algunos estudiantes representan sus maneras de contar usando expresiones y otros interpretan
el significado de cada expresión.
PROCEDIMIENTO:
CONSIGNA:
Voy a sacar unos círculos (desordenados), ¿Cuántos son?
Dan diversas respuestas.
¿Por qué no pueden contar exactamente?
¿Si están ordenadas pueden contarlas?
Ante la respuesta afirmativa, presentar la hoja:
Mirando la figura siguiente, piensen: ¿Cuántos puntos hay en la
figura?
Mostrar nuevamente y volver a preguntar.
Confirman que hay 25 puntos.
Piensen en cómo representar la manera de contarlos usando una
expresión. (agrupando)
Los estudiantes representan sus maneras de contar las expresiones, y
otros interpretan sus expresiones.
Por que están desordenadas:
- Muestre la figura a los estudiantes
rápidamente, sólo por un momento, de modo
que ellos construyan una imagen del arreglo de
puntos de la figura.
- Cada estudiante debe tratar de representar
mediante una expresión su propia manera de
contar.
- Los estudiantes ven las expresiones hechas
por otros estudiantes, y piensan en las
interpretaciones de esas expresiones.
1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25
37

38
(3 x 3) + (4 x 4) = 25
5 x 5 = 25
Concluyen que hay varias maneras de con tar, y que para cada expresión hay varias
interpretaciones posibles.
Otras expresiones: 6 × 4 + 1 = 25
3 × 8 + 1 = 25
11×2 + 3 = 25
¿Cuántos puntos
hay en la figura?
Encuentren
formas de contar
En el centro cuento 3 x 3 y
luego agrego 4 veces 4 en
las esquinas
4 x 4 = 16
3 x 3 =
16 + =
(4 x 4) + (3 x 3) =

Aumentando el multiplicador
Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo -
Japón, 2008, validado en la U.E. La Merced A.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades
CONTENIDO: Multiplicaciones
AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer año de primaria
OBJETIVO: Que los estudiantes descubran la relación entre los productos de un mismo número
por otros, a través de la manipulación de material concreto.
DESCRIPCIÓN: Es importante que los estudiantes, antes de memorizar la tabla de multiplicación
de una determinada cifra, la conceptualicen y entiendan el procedimiento, para ello se
manipularán diferentes materiales concretos, planteando un ejercicio sencillo en torno a lo que
se observa y manipula, para posteriormente generalizar la regla que relaciona un número con
otro.
PROCEDIMIENTO: Con diferentes materiales concretos del contexto, por ejemplo bolitas ensartadas,
planteamos la siguiente consigna:
¿Cuál sería la expresión matemática que representa este ejemplo?
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, entonces:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
Otra respuesta puede ser aumentando una varilla
Como cada varilla tiene 3 bolitas y hay cinco varillas,
entonces expresamos 3 X 5 = 15
Entonces: ¿cómo podemos calcular la respuesta
de 3 X 6?
En este punto, los niños/as deben descubrir ellos
mismos la respuesta, el maestro orienta el análisis
preguntando la diferencia entre un ejercicio
que ya saben y otro que todavía no saben, los estudiantes
dan su opinión, pueden decir por ejemplo:
Son los niños/as deben encontrar esta parte
Se recomienda que en 3er grado, se aborde
el cambio de producto, cuando el
multiplicador aumenta de uno en uno, este
concepto que fue aprendido con el ejemplo
de las bolitas en la varilla.
3 X 5 + 3 = 3 X 6
39

40 Dados y fracciones equivalentes
Sistematizado por Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de JICA
– PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, gestión 2009, validado en la U.E.
San Miguel de El Palomar
COMPONENTE: Números enteros
CONTENIDO: Fracciones con distinto denominador
AÑO DE ESCOLARIDAD: Sexto de Primaria
OBJETIVO: Convertir fracciones homogéneas y heterogenias a fracciones equivalentes
DESCRIPCIÓN: Los Juegos matemáticos constituyen una herramienta de ayuda para el tratamiento
de diversos contenidos del currículum de matemáticas, tanto en el nivel primario,
Secundaria y en Bachillerato.
Hemos visto la utilidad de los juegos en el tratamiento de la diversidad, como recurso motivador
para los estudiantes con mayores dificultades y también como origen de posibles investigaciones
para estudiantes destacados. También hemos apreciado la relación intrínseca de muchos juegos
con los procesos típicamente matemáticos y con las estrategias de resolución de problemas.
En particular los juegos permiten potenciar el uso de diversas estrategias como:
�� ��������������� �� �����������������������������������������������������������
�� ������������������������� �� �����������������������������������������
�� ���������������������������������������� �� ����������������������������
�� ����������������� �� ��������������������������������
�� ������������������ �� �����������������������������������������
�� ��������������������������� �� �����������������������������
�� ����������������������������� �� �����������
�� ���������������������� �� �����������������������
�� �������������������� ��
PROCEDIMIENTO: Los dados y fracciones equivalentes, es un juego para dos o más jugadores
y se necesita un dado cúbico normal (con caras del 1 al 6) para el numerador de la fracción, y
un dado cúbico cuyas caras lleven los valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12, que se utilizará para el denominador.
Cada jugador elige una fracción y comienza el juego. En su turno, un jugador lanza los dos dados
y construye la fracción resultante. Si la fracción es equivalente a la que el jugador eligió, se
anota un punto, si no es así, no se anota nada y pasa el turno al siguiente jugador.
Gana quien tenga más puntos después de 15 turnos.
a) Después de jugar algunas partidas, investiga qué fracción (o fracciones) merece la pena
elegir para tener más posibilidades de ganar el juego.
b) Volver a jugar después de haber hecho la investigación. ¿Te ha ido mejor ahora?

Cálculo del área de figuras geométricas
Elaborado por Walter Orihuela Rabaza, ex becario de JICA – PROMECA,
“Me gusta Matemática”, Proyecto Regional, Tegucigalpa Honduras, gestión
2007, validado en la U.E. Juan Lechín Oquendo
COMPONENTE: Cantidades y medida
CONTENIDO: Cálculo del área de figuras geométricas con medidas no convencionales.
NIVEL: Primario
OBJETIVO: Calcular el área de figuras geométricas usando medidas no convencionales como
unidad de medida. (Cuadrados, rectángulos y triángulos), para poder encontrar áreas de nuestra
vida comunitaria.
PROCEDIMIENTO:
PRIMERO. Se recuerda con los estudiantes los contenidos aprendidos anteriormente, como son
las características de un perímetro, cuadriláteros, cuadrados y rectángulos.
SEGUNDO. Explicar cuál será el objetivo de la presente jornada o periodo.
TERCERO. Se procede a realizar un juego que consiste en ganar el terreno a la otra pareja.
JUEGO EN PAREJAS
Cada integrante de la pareja lanza una vez el dado, y el que obtenga el número mayor pinta un
cuadrilátero de un solo color.
Se vuelve a lanzar los dados y nuevamente el que saque el número mayor pinta de un solo color un
cuadrilátero contiguo al anterior pintado.
Cada jugador debe pintar de un solo color todos los cuadriláteros.
El ganador es el que haya pintado mayor cantidad de cuadriláteros.
CUARTO. Se presenta en la pizarra varias figuras geométricas, pidiéndoles que estimen cual
figura tendrá el área mayor y cuál el área menor en forma oral con todo el curso.
QUINTO. Se presentan, las mismas figuras en hojas individuales y se pide que también calculen
el área de estas figuras de forma individual, tomando como unidad de medida un casino.
41

42
SEXTO: Se socializa los resultados en la pizarra
Objetivo
Instrucciones
Tema
siguiente
MATERIA:............................ FECHA:........................
NOMBRE:..................................................................
¿Cuál de las siguientes figuras tiene mayor área?
¿Cuánto tiene más?
A B
Respuesta:......................................................
.......................................................................
A B
Sistematización de la
situación didáctica
Respuesta:......................................................
.......................................................................
Título
Nombre:
La Paz, agosto 24 de 2007
OBJETIVO DEL DÍA DE HOY
Calcular el área de figuras geométricas usando
medidas no convencionales.
AUTOEVALUACIÓN:
( ) 1. Pude encontrar el área de las Geométricas.
( ) 2. Expliqué mi procedimiento a mis Compañeros.
( ) 3. Respeté la participación de mis compañeros.
OBJETIVO DE LA SIGUIENTE CLASE
Conocer la unidad oficial del área (centímetro
cuadrado).
COEVALUACIÓN
Mencionar tres aspectos positivos
Mencionar tres aspectos para mejorar
( ) 1. Encontró el área correctamente.
( ) 2. Explicó bien el procedimiento.
( ) 3. Respetó las opiniones de sus compañeros.
Mis sugerencias para mejorar
Atentamente:
Cuadro o gráfico de las
figuras geométricas
Evaluación de la clase
SÉPTIMO. Para verificar su los estudiantes lograron comprender el concepto de área de forma
práctica se les pide que resuelvan de forma individual una hoja donde se les pide que comparen
el área de dos figuras y puedan establecer la relación entre ambas.
OCTAVO. También pedirles que llenes las dos fichas de evaluación de conocimientos.

Dobleces
Sistematizado por: Prof. Hugo Colque Jiménez Ex Becario JICA Tsukuba
– Japón, 2009, validad en la U.E. La Merced A y en sesiones de capacitación
a docentes de primaria.
COMPONENTE: Figuras
CONTENIDO: Triángulo regular
AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercer grado de primaria
OBJETIVO: Identificar y caracterizar triángulos regulares, dentro del conjunto de triángulos y
reforzar el sentido de los niños/as con respecto a creación de figuras
DESCRIPCIÓN: Una hoja de papel tamaño A4, carta, etc., en la que a través de dobleces se
encuentra lados de un triángulo y se construye un triángulo regular. 1
PROCEDIMIENTO:
CONSIGNA: Utilizando una hoja de papel, vamos a construir un triángulo regular. (Mostrar y
distribuir a cada estudiante)
Hoja de papel Trazo en pizarra
Primero, doblemos en la mitad, a lo largo
Teniendo un vértice en la esquina derecha de
abajo, ésta tiene que sobreponerse a la línea
punteada del medio. Hacer el doblez.
La hoja no tiene esta línea todavía, también
tiene que tener ese doblez.
Para ello doblar a lo largo del borde y
Trazamos:
1 Su construcción se aplica para la elaboración del tetraedro, ya en sexto grado.
Simultáneamente trazamos, una línea perpendicular…
Tomamos como base
Marcar la esquina de abajo, y luego el
vértice superior
con esto obtenemos tres ángulos iguales
marcar la base y el otro lado obtenido
43

44
Hoja de papel Trazo en pizarra
Hacemos lo mismo para encontrar el otro
lado:
Con este trabajo se sabe que la línea de esta
base y el lado encontrado son congruentes.
Consideramos otra vez:
La base es congruente con los dos lados encontrados..
en consecuencia resulta que los tres bordes
son iguales.

La caja proporcional
Sistematizado por la Prof. Nélida López Pinto, ex becaria JICA Sapporo,
2008, validado en la U.E. La Merced A.
COMPONENTE: Relaciones entre cantidades
CONTENIDO: Proporciones
AÑO DE ESCOLARIDAD: Quinto año de primaria
OBJETIVO: Descubrir el significado de las razones y proporciones, a través de la manipulación
de objetos dentro de una caja, para expresarlas matemáticamente.
DESCRIPCIÓN: La técnica consiste en la manipulación de objetos dentro de una caja, aumentando
la cantidad de los mismos; pero manteniendo la proporción.
PROCEDIMIENTO: En una caja colocamos, por ejemplo, tres tipos de vestimenta: 1 cartera, 3
sombreros y 2 zapatillas.
A continuación sumamos los objetos (vestimenta),
en este caso: 6.
Caja 1
De estos 6 objetos, 1 es una cartera, tres son sombreros
y dos son zapatillas, por tanto la proporción
es: 1 : 3 : 2
A modo de plantear el desafío a los estudiantes, lanzamos la consigna:
Supongamos que esta vestimenta es de una sola persona, consideremos que cada una de las
personas tiene la misma cantidad de carteras (1), de sombreros (3) y de zapatillas (2), deseamos
aumentar el número de vestimentas adecuadamente y a la vez seguir manteniendo la misma
proporción. Si queremos ahora tener 12 vestimentas; pero que se mantenga la misma proporción
(distribución).
Al mencionar 12 vestimentas, probablemente los estudiantes razonen utilizando la palabra
“doble”, ya que sabemos que en la caja tenemos 6 vestimentas y ahora queremos 12.
Pero además, indica el problema que se desea mantener la misma proporción, entonces lógicamente
se debe doblar la cantidad de carteras, de sombreros y de zapatillas de la siguiente
manera:
Caja 2
Entonces se establecen, junto a los estudiantes las siguientes razones o proporciones:
1
Proporción entre carteras y el total de vestimentas en ambas cajas = —
8
3
Proporción entre sombreros y el total de vestimentas en ambas cajas = —
8
45

46
2
Proporción entre zapatillas y el total de vestimenta en ambas cajas = —
8
Otra manera de establecer las proporciones es:
TOTAL
1 3 2 6
1 + 3 + 2 = 6
Se ha decidido, como en el ejemplo anterior incrementar la vestimenta de manera proporcional
para que alcance para dos personas ¿en cuánto debe incrementarse cada tipo de vestimenta?
1 3 2 1 3 2
— + — + — = 1 Multiplicamos esta ecuación por la cantidad requerida — 2 + — 2 — 2 = 2
6 6 6 6 6 6
2 6 4
El resultado será: — + — + — = 2 Vale decir: 2 carteras, 6 sombreros y 4 zapatillas.
6 6 6
Por supuesto que esta segunda forma será más útil a la hora de realizar cálculos con cantidades
más grandes. Veamos:
Tres hermanos deben aportar Bs. 580 para pagar el impuesto de su casa, decidieron hacerlo de
manera proporcional al salario de cada uno. Si Pablo gana Bs. 3200, María gana Bs. 2560 y
Fernando gana Bs. 1989 ¿Cuánto debe aportar cada uno de ellos?
3200 + 2560 + 1989 = 7749
3200 2560 1989
+ + = 1
7749 7749 7749
3200 2560 1989
580 + 580 + 580 = 580
7749 7749 7749
239,515 + 191,612 + 148,873 = 580
Pablo María Fernando

Múltiplos y divisores
Sistematizado por: Prof. Juan Marcelo Chuquimia Pacosillo, ex becario de
JICA – PROMECA, Tegucigalpa, Honduras, con el Programa “Me gusta
Matemática”, gestión 2009, validado en la U.E. San Miguel de El Palomar
COMPONENTE: Números Naturales.
CONTENIDO: Multiplicación y división de números naturales
AÑO DE ESCOLARIDAD: Tercero de Primaria
OBJETIVO: Practicar los conceptos de múltiplo y divisor, manejar divisores comunes a dos números
y realizar el Cálculo mental.
Descripción del material de Juego:
Múltiplos y divisores
Baraja formada por 51 cartas:
- 48 cartas cada una de las cuales tiene un
número desde el 1 hasta el 48.
- 3 comodines, cada uno de ellos sirve para
el valor que quiera su poseedor en cada jugada.
��Reglas del juego
Por medio de esta baraja se pueden trabajar
los conceptos de múltiplo y divisor de muchas
maneras. Presentamos a continuación dos posibilidades,
que llamamos Juego 1 y Juego 2,
de los cuales daremos las reglas por separado:
�� JUEGO 1
�� Se utilizan sólo las 48 cartas que no son comodines. Puede variar el número de jugadores,
pero es aconsejable que sea entre 4 y 6.
�� Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: será
la llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa.
�� Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Puede colocar
una sola carta a la derecha o a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún
divisor en común con ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo puede
colocar la carta hacia arriba o hacia debajo de la carta muestra si, respectivamente, es múltiplo
o divisor de la misma.
�� Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto anterior, roba una carta
del montón y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha.
�� El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con cualquiera de las
dos cartas que haya en los extremos horizontales de la cadena que se vaya formando.
�� El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o el que menos cartas
tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas.
�� Si la carta muestra que aparece es un número primo, las dificultades de colocar cartas son
mayores. En ese caso, además de las posibilidades descritas, se pueden colocar debajo de
47

48
la carta muestra, y tapadas por ella, cartas que representen a otros números primos. (Esta
regla puede no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de jugadores
–que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números que hacen más difícil
el juego, y se llegue a caracterizar que esos son los números primos).
�� JUEGO 2
�� Se utilizan todas las cartas, incluidos los comodines. Puede variar el número de jugadores,
pero es aconsejable que sea entre 4 y 6.
�� Un jugador por turno, reparte cinco cartas a cada jugador y descubre una boca arriba: será
la llamada carta muestra. El resto de las cartas las coloca boca abajo en la mesa, con la
primera levantada sobre la mesa.
�� El objetivo del juego es lograr agrupar las cinco cartas, bien en un grupo de cinco o en uno
de tres y otro de dos; en ambos casos con la condición de que cada uno de los grupos tenga
algún divisor común con la carta muestra.
�� Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte. Si no tiene todas las cartas
agrupadas, puede elegir entre coger la carta colocada boca arriba o robar la primera del
montón; después tira boca arriba sobre la mesa una de las seis. A partir de ese momento,
cada jugador tiene la posibilidad de elegir la carta que tira el jugador anterior a él o de robar
una carta del montón.
�� El juego termina cuando uno de los jugadores tiene todas las cartas agrupadas o cuando se
acabe el montón. En el primer caso, el jugador que ha agrupado todas recibe 10 puntos; los
demás 4, 3, 2 ó 0 puntos, según el número de cartas agrupadas. Si se ha acabado el montón,
se puntúa sólo las cartas agrupadas (4, 3, 2 ó 0 puntos).
�� Las partidas se realizan a un número prefijado de puntos o de partidas.
Si la carta muestra es un número primo, y puesto que las dificultades son mayores, se añade
como posibilidad para agrupar el que todas las cartas sean números primos, o bien un grupo
de dos o tres primos y el resto múltiplos del primo que ha aparecido. (Esta regla puede no explicitarse,
y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de jugadores –que puede ser
toda la clase– comente que hay algunos números que hacen más difícil el juego, y se llegue a
caracterizar que esos son los números primos).
Posibles variantes
Hay muchas posibilidades de realizar juegos con las cartas de esta baraja (o parte de la misma)
para trabajar los conceptos de múltiplo y divisor. Una posible variante que permite tratar los
restos potenciales es la siguiente:
�� Se juega con la misma dinámica del Juego 1, pero para colocar cartas a derecha o izquierda
hay que cumplir la condición de que la suma de los números de las cartas sea múltiplo de
un número prefijado de antemano para cada partida (y que se podría limitar a que estuviera
comprendido entre 2 y 10). Gana el que acaba sus cartas o el que tiene menos cartas al
acabarse el montón. Es conveniente, tras jugar algunas partidas con el mismo número (o
variándolos), discutir entre todos cuáles son las cartas que se quedan en la mano.

Multiplicación con tarjetas numéricas
Sistematizado por el: Prof. Oscar Quintana, ex – becario PROMECA –
JICA, Tegucigalpa, Honduras. Proyecto Regional “¡Me gusta matemática!”,
gestión 2008.
COMPONENTE: Números Naturales
CONTENIDO: Operación aritmética de la multiplicación
AÑO DE ESCOLARIDAD: Cuarto de primaria
OBJETIVO: Conocer la manera de encontrar el resultado de la multiplicación D00 y C00 (decenas
y centenas con ceros)
DESCRIPCIÓN: (M) tarjetas numéricas: 60 de 1, 40 de 10
(N) las mismas que M. recurso; tabla de multiplicar
PROCEDIMIENTO: Plantear un ejercicio (decena con ceros por otro cualquiera) como el siguiente:
20 x 23 = 460
UVE de Gowin
20 X 23 = 460
23 X 20 = 460
2
PENSAR PREGUNTAR
¿Qué es multiplicar?
HACER
Multiplicar es encontrar el D0 x DU = CD0
producto de dos números 20 x 23 = 460
llamados Multiplicando y 20 Multiplicador
multiplicando. Suma abreviada x 23 multiplicando
de un mismo Número 60 suma abreviada de 3
40 suma abreviada de 2
460 Producto
TÍTULO: Multiplicar
El principio del cálculo vertical de DU X DU es de su composición en dos partes; es decir DU X DO
y DU X U y luego se suman los dos productos (ejemplo 13 X 21 = 13 X 20 + 13 X 1 = 260 + 13 =
273). Por lo tanto, antes de tratar el tipo general del cálculo vertical de la multiplicación por DU
X CDU, hay que enseñar los casos con DO y COO.
Manera de explicar porqué se agrega 0 si se multiplica por 10
Si se multiplica por 10, se agrega 0 (ejemplo: 3 X 10 = 30), para que este proceso no sea mecánico,
es necesario aclarar el mecanismo. Por ej. 3 X 10 quiere decir: 10 grupos de 3 objetos.
Como 100 = 10 X 10, utilizando la propiedad asociativa tenemos, por ejemplo.
3 X 100 = 3 X (10 X 10) = (3 X 10) X 10 = 30 X 10 = 300
Problema: Si los 20 estudiantes del curso, vamos de excursiones, y cada uno debe pagar Bs. 23
por los pasajes, ¿Cuántos Bs. (Bolivianos) se pagarán por los 20 estudiantes?
PLANTEAMIENTO: En el planteamiento, explicamos y conceptualizamos cinco aspectos considerados
para el análisis sistemático de la información (problema matemático).
20 pasajes = x Bs.
Cada pasaje = 23 Bs.
Datos Gráficos Fórmula Operación Respuesta
20 estudiantes
20 x 23
DO X DU
20
X 23
60
40
460
Pagamos 460
Bs. por los 20 pasajes
2 RAMOS LEANDRO, Anibal, “Instrumentos Esquemáticos de Aprendizaje”, 2002 Editorial El Cerebro Jr. Azangaro N° 712 –
Lima Perú
49

50
DATOS: Luego de la lectura comprensiva del problema a resolver se escriben los datos numéricos
y nominales, también la incógnita.
GRÁFICO: Es necesario graficar para focalizar la idea.
FÓRMULA: Debemos comprender y escribir la relación de operación de los dato en forma simbólica
y concreta.
OPERACIÓN: Realizar la operación de multiplicación, luego escribir la respuesta.
TARJETAS NUMÉRICAS 3
Colocamos sobre el pizarrón dos filas de tarjetas numeradas de 10 y de 1.
Ordenamos, diez columnas de tarjetas numeradas de 10 y de 1.
Luego observamos y analizando las tarjetas numeradas efectuamos la multiplicación horizontal
de cada grupo de tarjetas numeradas y los escribimos debajo de las tarjetas.
Hacemos la multiplicación asociativa.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
23 x 2 23 x 2 23 x 2 23 x 2 23 x 2 23 x 2 23 x 2 23 x 2 23 x 2 23 x 2
=46 =46 =46 =46 =46 =46 =46 =46 =46 =46
2323 x 20 = (23 x 2) x 10 = 460
PRÁCTICA ESTRUCTURADA DE LA TABLA DE MULTIPLICAR 20 X 23
En la tabla de multiplicar, observamos que son diferentes los resultados o productos del 20 y de
23. En la Tabla del 20, los productos aumentan de 20 en 20 desde el multiplicando 1 hasta el 23
y en la tabla del 23, observamos que los productos aumentan el doble de DU, desde el multiplicando
1 hasta el 20.
TABLA DEL 20 TABLA DE 23
20 x 1 = 20 20 x 11 = 220 23 x 1 = 23 23 x 11 = 253
20 x 2 = 40 20 x 12 = 240 23 x 2 = 46 23 x 12 = 276
20 x 3 = 60 20 x 13 = 260 23 x 3 = 69 23 x 13 = 299
20 x 4 = 80 20 x 14 = 280 23 x 4 = 92 23 x 14 = 322
20 x 5 = 100 20 x 15 = 300 23 x 5 = 115 23 x 15 = 345
20 x 6 = 120 20 x 16 = 320 23 x 6 = 138 23 x 16 = 368
20 x 7 = 140 20 x 17 = 340 23 x 7 = 151 23 x 17 = 391
20 x 8 = 160 20 x 18 = 360 23 x 8 = 184 23 x 18 = 414
20 x 9 = 180 20 x 19 = 380 23 x 9 = 207 23 x 19 = 437
20 x 10 = 200 20 x 20 = 400
20 x 21 = 420
20 x 22 = 440
20 x 23 = 460
23 x 10 = 230 23 x 20 = 460
3 PROMETAM FASE II, Segunda Edición 2006 “Guía para maestros – Matemática 4to grado pag. 33. Secretaría de Educación
– República de Honduras Universidad Pedagógica Francisco Morazán JICA – Agencia de Cooperación Internacional de
Japón.

Referencias bibliográficas
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global. Santiago de Chile: Ediciones Universitarias de Valparaíso.
PROMETAM Fase II, (2006), Guía para maestros - Matemática, Honduras, 2da. Edición, Secretaría
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Morazán & JICA – Agencia de Cooperación Internacional de Japón.
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Santiago de Huata, La Paz – Bolivia
Yasuhiro Hosomizu (2009). Video de clase “Nuevas Formas de Cálculo”. Escuela Anexa a la Universidad
de Tsukuba – Japón.
51

52 Índice
Prólogo ............................................................................................................................................. 3
Presentación ............................................................................................................................... 4
Introducción ............................................................................................................................... 5
Agradecimientos ................................................................................................................... 6
División temática de los contenidos matemáticos en
primaria (Japón) ................................................................................................................... 7
Estructuración de las clases ...................................................................................... 8
Cómo explican y estructuran su clase los maestros/as
japoneses ....................................................................................................................................... 9
¿Cuántos bloques hay? ................................................................................................. 10
¡Cómo aprender la multiplicación! ................................................................ 11
Multiplicaciones divertidas ...................................................................................... 13
La construcción del pensamiento multiplicativo ........................... 15
Regularidades ........................................................................................................................... 16
Relación entre números ............................................................................................... 19
Problemas de longitud y espacialidad ........................................................ 22
Misterios del cálculo de la multiplicación .............................................. 23
Introducción al estudio de la estadística en nivel primario 25
Fracciones equivalentes ................................................................................................ 28
Explorando el desarrollo de un prisma...................................................... 29
El tetraedro .................................................................................................................................. 31
Cálculos interesantes de sustracción ............................................................. 33
Patrones en la multiplicación ............................................................................... 35
Arreglo de puntos ................................................................................................................ 37
Aumentando el multiplicador .............................................................................. 39
Dados y fracciones equivalentes ........................................................................ 40
Cálculo del área de figuras geométricas ................................................... 41
Dobleces .......................................................................................................................................... 43
La caja proporcional ........................................................................................................ 45
Múltiplos y divisores ......................................................................................................... 47
Multiplicación con tarjetas numéricas ....................................................... 49
Referencias bibliográficas .......................................................................................... 51