MODELOS CON VARIOS SERVIDORES
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<strong>MODELOS</strong> <strong>CON</strong><br />
<strong>VARIOS</strong><br />
<strong>SERVIDORES</strong>
(M/M/C):(DG/∞ /∞)<br />
En este momento hay c servidores en paralelo. La<br />
frecuencia de llegadas es λ y la rapidez del<br />
servicio es μ por servidor. Como no hay limite de<br />
cantidad en el sistema, λ ef = λ.<br />
El efecto de usar c servidores en paralelo es un<br />
aumento en la tasa de servicio de la instalación<br />
proporcional a c. Se definen<br />
λ ef = λ<br />
μ nμ n < c<br />
n<br />
cμ n ≥ c
En donde ρ = λ , y suponiendo que ρ μ c<br />
p o se determina por<br />
Y entonces<br />
p o =<br />
p n =<br />
c−1<br />
ρ<br />
n<br />
n=0<br />
n!<br />
ρ n<br />
+ ρc<br />
c!<br />
n! p 0<br />
ρ n<br />
c! c n−c p 0<br />
1<br />
1 − ρ c<br />
n < c<br />
n ≥ c<br />
< 1, el valor de<br />
−1
L q se puede determinar como<br />
ρ c+1<br />
L q =<br />
c − 1 ! c − ρ 2 p 0<br />
Como λ ef = λ,L s = L q + ρ, W s = L s<br />
y W λ<br />
q = L q<br />
λ
EJEMPLO DE (M/M/C):(DG/∞ /∞)<br />
Hay dos empresas de taxis que dan servicio a una<br />
población. Cada empresa es dueña de dos taxis, y se<br />
sabe que las dos empresas comparten partes iguales del<br />
mercado. Esto se ve por que llegan ocho llamadas por<br />
hora a la oficina de cada empresa. El promedio en el viaje<br />
es de 12 minutos. Las llamadas se reciben siguiendo una<br />
distribución de Poisson, y el tiempo de viaje es<br />
exponencial. Hace poco, un inversionista compro las dos<br />
empresas, y le interesa consolidarlas en una sola oficina<br />
para dar mejor servicio a los clientes. Analice la propuesta<br />
del nuevo dueño.
Desde el punto de vista de las líneas de<br />
espera, los taxis son los servidores y el viaje el<br />
servicio. Se pude representar con el modelo<br />
(M/M/2):(DG/N/∞/∞) con λ = 8 llamadas por<br />
hora y viajes por taxi por hora. Al consolidar, se<br />
tendrá un modelo (M/M/4):(DG/N/∞/∞) con<br />
λ = 2 × 8 = 16 y μ = 5 viajes por taxi por hora.<br />
Una medida adecuada para comparar los<br />
dos modelos es el tiempo promedio que<br />
espera un pasajero para un viaje, esto es W q
Entonces para el caso de las dos empresas<br />
ρ = 8 5<br />
p 0 =<br />
2−1 8<br />
n=0<br />
5<br />
n!<br />
n<br />
ρ<br />
c = 8<br />
10 < 1<br />
+<br />
8<br />
5<br />
2!<br />
c<br />
1 −<br />
1<br />
8<br />
5<br />
2<br />
−1<br />
= 0.111
L q =<br />
8<br />
5<br />
2+1<br />
2 − 1 ! 2 − 8 5<br />
2<br />
× 0.111 = 2,844<br />
W q = 2,844<br />
Para una empresa<br />
ρ = 16<br />
5<br />
8<br />
= 0,356
p 0 =<br />
4−1 16<br />
n=0<br />
L q =<br />
5<br />
n!<br />
n<br />
16<br />
5<br />
ρ<br />
c = 16<br />
20 < 1<br />
+<br />
4+1<br />
16<br />
5<br />
4!<br />
c<br />
4 − 1 ! 4 − 16<br />
5<br />
W q = 2,386<br />
8<br />
2<br />
1 −<br />
1<br />
16<br />
5<br />
2<br />
−1<br />
× 0.027 = 2,386<br />
= 0,149<br />
= 0.027
Los resultados indican que el tiempo de espera para<br />
un viaje es de 0.356 horas (≈ 21 minutos) para el<br />
caso de dos empresas y 0.146 horas (≈ 9 minutos)<br />
para el caso de la empresa unificada; es una<br />
notable reducción de mas del 50% y una clara<br />
evidencia de que se garantiza la unificación de la<br />
empresa.<br />
La conclusión del análisis anterior es que al unir los<br />
servicios siempre se tiene un modo mas eficiente de<br />
operación. Este resultado es valido si las<br />
instalaciones separadas están “muy” ocupadas.
(M/M/C):(DG/N/∞), c ≤ N<br />
Este modelo difiere del (M/M/C):(DG /∞ /∞) en que el limite<br />
del sistema es finito, igual a N. Eso quiere decir que el tamaño<br />
máximo de la cola es N − c. Las tasas de llegada y servicio<br />
son λ y μ. La frecuencia efectiva de llegadas λ ef es menor<br />
que λ, a causa del limite N del sistema<br />
Se definen<br />
λ n = λ 0 ≤ n < N<br />
0 n ≥ N<br />
μ n = nμ 0 ≤ n < c<br />
cμ c ≤ n < N
p 0 =<br />
Dado ρ = λ , se obtiene<br />
μ<br />
c−1<br />
ρ<br />
n<br />
n=0<br />
n!<br />
+ ρc 1 −<br />
ρ c<br />
c! 1 −<br />
ρ c<br />
N−c+1<br />
−1<br />
−1<br />
, si ρ c ≠ 1<br />
c−1<br />
ρ<br />
n<br />
n=0<br />
n!<br />
+ ρc<br />
c!<br />
N − c + 1<br />
, si ρ c = 1
p n =<br />
ρ n<br />
n! p 0<br />
ρ n<br />
c! c n−c<br />
Si ρ ≠ 1, L c<br />
q se calcula<br />
si 0 ≤ n < c<br />
si c ≤ n < N<br />
L q<br />
=<br />
ρ c+1<br />
c − 1 ! c − ρ 2 1 −<br />
ρ c<br />
N−c+1
Si ρ c ≠ 1, L q se calcula<br />
L q = ρc N − c N − c + 1<br />
p<br />
2c!<br />
0<br />
λ perdido = λp N<br />
λ ef = λ − λ perdido = 1 − p N λ<br />
W q = L q<br />
λ ef<br />
L s = L q + λ ef<br />
μ<br />
W s = L s<br />
λ ef
EJEMPLO (M/M/C):(DG/N/∞), c ≤ N<br />
En el problema de los taxis suponga que no se pueden<br />
conseguir mas fondos para comprar nuevos automóviles.<br />
Un amigo aconsejo al dueño que una forma de reducir el<br />
tiempo de espera es que la oficina despachadora informe<br />
a los clientes nuevos de las demoras excesivas<br />
potenciales, una ves que la lista de espera llegue a 6<br />
clientes. Se tiene la seguridad de que con esta medida los<br />
clientes nuevos buscaran servicio en otra parte, pero se<br />
reducirá el tiempo de espera para los que ya hay en lista<br />
de espera. Analizar la recomendación del amigo
Limitar la lista de espera a 6 clientes equivale a hacer N = 6 +<br />
4 = 10 clientes. En consecuencia se esta investigando el<br />
modelo (M/M/4):(DG/10/∞) en el que λ = 16 clientes por<br />
hora y μ = 5 viajes por hora. El tiempo promedio de espera<br />
W q , antes de establecer el limite a la capacidad del sistema,<br />
es 0.149 hora (≈ 9 minutos), que es mas o menos el doble del<br />
promedio nuevo de 0.075 horas (≈ 4,5 minutos). Esta notable<br />
reducción se logra a expensas de perder aproximadamente<br />
el 3.6% de los clientes potenciales ( p 10 = 0.03574 ). Sin<br />
embargo, este resultado no refleja la perdida posible de la<br />
buena imagen que tienen los clientes sobre el<br />
funcionamiento de la empresa.
Ejercicios<br />
1. El restaurante de comida rápida McBurger tiene 3 cajeros. Los<br />
clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson cada 3 minutos, y se<br />
forman en una cola para ser servidos por el primer cajero disponible. El<br />
tiempo para llenar un pedido se distribuye exponencialmente, con 5<br />
minutos de promedio. La sala de espera dentro del restaurante tiene<br />
cupo limitado. Sin embargo, la comida es buena, y los clientes están<br />
dispuestos a formar una cola fuera del restaurante, en caso necesario.<br />
Determine el tamaño de la sala de espera dentro del restaurante (sin<br />
tener en cuenta los lugares de los cajeros) tal que la probabilidad de que<br />
un cliente que llegue no deba esperar fuera del restaurante, sea cuando<br />
menos 0.999.
2. El centro de cómputo de la U de A tiene cuatro computadoras<br />
principales idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento<br />
es de 25. Cada usuario puede solicitar un trabajo por una terminal,<br />
cada 15 minutos en promedio, pero el tiempo real entre solicitudes es<br />
exponencial. Los trabajos que llegan pasan en forma automática a la<br />
primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por solicitud<br />
es exponencial, con un promedio de 2 minutos. Calcule lo siguiente:<br />
a) El tiempo promedio en el que el usuario obtiene sus resultados.<br />
b) La cantidad promedio de trabajos que esperan su procesamiento.<br />
c) El porcentaje del tiempo durante el cual el centro de cómputo<br />
está inactivo.<br />
d) La cantidad promedio de computadoras ociosas.