MODELOS CON VARIOS SERVIDORES

MODELOS CON
VARIOS
SERVIDORES

(M/M/C):(DG/∞ /∞)
En este momento hay c servidores en paralelo. La
frecuencia de llegadas es λ y la rapidez del
servicio es μ por servidor. Como no hay limite de
cantidad en el sistema, λ ef = λ.
El efecto de usar c servidores en paralelo es un
aumento en la tasa de servicio de la instalación
proporcional a c. Se definen
λ ef = λ
μ nμ n < c
n
cμ n ≥ c

En donde ρ = λ , y suponiendo que ρ μ c
p o se determina por
Y entonces
p o =
p n =
c−1
ρ
n
n=0
n!
ρ n
+ ρc
c!
n! p 0
ρ n
c! c n−c p 0
1
1 − ρ c
n < c
n ≥ c
< 1, el valor de
−1

L q se puede determinar como
ρ c+1
L q =
c − 1 ! c − ρ 2 p 0
Como λ ef = λ,L s = L q + ρ, W s = L s
y W λ
q = L q
λ

EJEMPLO DE (M/M/C):(DG/∞ /∞)
Hay dos empresas de taxis que dan servicio a una
población. Cada empresa es dueña de dos taxis, y se
sabe que las dos empresas comparten partes iguales del
mercado. Esto se ve por que llegan ocho llamadas por
hora a la oficina de cada empresa. El promedio en el viaje
es de 12 minutos. Las llamadas se reciben siguiendo una
distribución de Poisson, y el tiempo de viaje es
exponencial. Hace poco, un inversionista compro las dos
empresas, y le interesa consolidarlas en una sola oficina
para dar mejor servicio a los clientes. Analice la propuesta
del nuevo dueño.

Desde el punto de vista de las líneas de
espera, los taxis son los servidores y el viaje el
servicio. Se pude representar con el modelo
(M/M/2):(DG/N/∞/∞) con λ = 8 llamadas por
hora y viajes por taxi por hora. Al consolidar, se
tendrá un modelo (M/M/4):(DG/N/∞/∞) con
λ = 2 × 8 = 16 y μ = 5 viajes por taxi por hora.
Una medida adecuada para comparar los
dos modelos es el tiempo promedio que
espera un pasajero para un viaje, esto es W q

Entonces para el caso de las dos empresas
ρ = 8 5
p 0 =
2−1 8
n=0
5
n!
n
ρ
c = 8
10 < 1
+
8
5
2!
c
1 −
1
8
5
2
−1
= 0.111

L q =
8
5
2+1
2 − 1 ! 2 − 8 5
2
× 0.111 = 2,844
W q = 2,844
Para una empresa
ρ = 16
5
8
= 0,356

p 0 =
4−1 16
n=0
L q =
5
n!
n
16
5
ρ
c = 16
20 < 1
+
4+1
16
5
4!
c
4 − 1 ! 4 − 16
5
W q = 2,386
8
2
1 −
1
16
5
2
−1
× 0.027 = 2,386
= 0,149
= 0.027

Los resultados indican que el tiempo de espera para
un viaje es de 0.356 horas (≈ 21 minutos) para el
caso de dos empresas y 0.146 horas (≈ 9 minutos)
para el caso de la empresa unificada; es una
notable reducción de mas del 50% y una clara
evidencia de que se garantiza la unificación de la
empresa.
La conclusión del análisis anterior es que al unir los
servicios siempre se tiene un modo mas eficiente de
operación. Este resultado es valido si las
instalaciones separadas están “muy” ocupadas.

(M/M/C):(DG/N/∞), c ≤ N
Este modelo difiere del (M/M/C):(DG /∞ /∞) en que el limite
del sistema es finito, igual a N. Eso quiere decir que el tamaño
máximo de la cola es N − c. Las tasas de llegada y servicio
son λ y μ. La frecuencia efectiva de llegadas λ ef es menor
que λ, a causa del limite N del sistema
Se definen
λ n = λ 0 ≤ n < N
0 n ≥ N
μ n = nμ 0 ≤ n < c
cμ c ≤ n < N

p 0 =
Dado ρ = λ , se obtiene
μ
c−1
ρ
n
n=0
n!
+ ρc 1 −
ρ c
c! 1 −
ρ c
N−c+1
−1
−1
, si ρ c ≠ 1
c−1
ρ
n
n=0
n!
+ ρc
c!
N − c + 1
, si ρ c = 1

p n =
ρ n
n! p 0
ρ n
c! c n−c
Si ρ ≠ 1, L c
q se calcula
si 0 ≤ n < c
si c ≤ n < N
L q
=
ρ c+1
c − 1 ! c − ρ 2 1 −
ρ c
N−c+1

Si ρ c ≠ 1, L q se calcula
L q = ρc N − c N − c + 1
p
2c!
0
λ perdido = λp N
λ ef = λ − λ perdido = 1 − p N λ
W q = L q
λ ef
L s = L q + λ ef
μ
W s = L s
λ ef

EJEMPLO (M/M/C):(DG/N/∞), c ≤ N
En el problema de los taxis suponga que no se pueden
conseguir mas fondos para comprar nuevos automóviles.
Un amigo aconsejo al dueño que una forma de reducir el
tiempo de espera es que la oficina despachadora informe
a los clientes nuevos de las demoras excesivas
potenciales, una ves que la lista de espera llegue a 6
clientes. Se tiene la seguridad de que con esta medida los
clientes nuevos buscaran servicio en otra parte, pero se
reducirá el tiempo de espera para los que ya hay en lista
de espera. Analizar la recomendación del amigo

Limitar la lista de espera a 6 clientes equivale a hacer N = 6 +
4 = 10 clientes. En consecuencia se esta investigando el
modelo (M/M/4):(DG/10/∞) en el que λ = 16 clientes por
hora y μ = 5 viajes por hora. El tiempo promedio de espera
W q , antes de establecer el limite a la capacidad del sistema,
es 0.149 hora (≈ 9 minutos), que es mas o menos el doble del
promedio nuevo de 0.075 horas (≈ 4,5 minutos). Esta notable
reducción se logra a expensas de perder aproximadamente
el 3.6% de los clientes potenciales ( p 10 = 0.03574 ). Sin
embargo, este resultado no refleja la perdida posible de la
buena imagen que tienen los clientes sobre el
funcionamiento de la empresa.

Ejercicios
1. El restaurante de comida rápida McBurger tiene 3 cajeros. Los
clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson cada 3 minutos, y se
forman en una cola para ser servidos por el primer cajero disponible. El
tiempo para llenar un pedido se distribuye exponencialmente, con 5
minutos de promedio. La sala de espera dentro del restaurante tiene
cupo limitado. Sin embargo, la comida es buena, y los clientes están
dispuestos a formar una cola fuera del restaurante, en caso necesario.
Determine el tamaño de la sala de espera dentro del restaurante (sin
tener en cuenta los lugares de los cajeros) tal que la probabilidad de que
un cliente que llegue no deba esperar fuera del restaurante, sea cuando
menos 0.999.

2. El centro de cómputo de la U de A tiene cuatro computadoras
principales idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento
es de 25. Cada usuario puede solicitar un trabajo por una terminal,
cada 15 minutos en promedio, pero el tiempo real entre solicitudes es
exponencial. Los trabajos que llegan pasan en forma automática a la
primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por solicitud
es exponencial, con un promedio de 2 minutos. Calcule lo siguiente:
a) El tiempo promedio en el que el usuario obtiene sus resultados.
b) La cantidad promedio de trabajos que esperan su procesamiento.
c) El porcentaje del tiempo durante el cual el centro de cómputo
está inactivo.
d) La cantidad promedio de computadoras ociosas.