MCII-AMG Logaritmos y Exponenciales
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS<br />
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS<br />
DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS<br />
METODOS CUANTITATIVOS II<br />
TERCER PARCIAL<br />
LOGARITMOS<br />
Sea a un número positivo distinto de 1. La definición formal del logaritmo base a de x es:<br />
y=log a<br />
x si y solo si a y =x<br />
Note que y es el logaritmo en la expresión de la izquierda y es el exponente en la expresión de la derecha.<br />
Decimos que el logaritmo base a de x es el exponente al que hay que elevar a para obtener x.<br />
La expresión y=log a<br />
x se llama forma logarítmica y la expresión a y =x se llama forma exponencial de la<br />
msma expresión.<br />
Como: entonces, Como: entonces,<br />
2 0 = 1 log 2<br />
1=0<br />
2 2 = 4 log 2<br />
4=2<br />
2 3 = 8 log 2<br />
8=3<br />
2 -1 = ½ log 2<br />
1/2=−1<br />
3 2 = 9 log 3<br />
9=2<br />
5 3 = 125 log 5<br />
125=3<br />
Por otra parte,<br />
Si entonces, Si entonces<br />
log 2<br />
64=6 …....2 6 = 64<br />
log 10<br />
0.01=−2 ….10 -2 = 0.01<br />
log 3<br />
81=4 …. 3 4 = 81<br />
log 3<br />
2,187=7 ...3 7 = 2,187<br />
log 7<br />
343=3 …..... .7 3 = 343<br />
log 5<br />
625=4 …...... 5 4 = 625<br />
Hay dos logaritmos que tienen una notación especial:<br />
(1) El logaritmo base 10, o logaritmo común, se representa sin el sub-índice después de log:<br />
y=log x si y solo si 10 y = x.<br />
(2) El logaritmo base e, o logaritmo natural, se representa como ln:<br />
y=ln x si y solo si e y = x.<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
I. Escriba en forma logarítmica:<br />
a) 2 8 = 256<br />
b) (1/3) -1 = 3<br />
c) (1/5) 3 = 1/125<br />
d) 5 2 = 25<br />
e) 27 2/3 = 9<br />
f) 6 -2 =1/36<br />
g) b 0 = 1<br />
h) (1/3) -1 = 3<br />
i) 5 -3 = 1/125<br />
1
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
II. Escriba en forma exponencial:<br />
a) log 2 16 = 4<br />
b) log 12 1/1728 = –3<br />
c) log 1/3 1/81 = 4<br />
d) log 2 8 = 3<br />
e) log 2 128 = 7<br />
f) log 12 1/1728 = –3<br />
g) log 6 216 = 3<br />
h) log 3 1/27 = –3<br />
Entendiendo bien la definición de logaritmo base a podemos encontrar logaritmos de potencias conocidas de<br />
varios números sin necesidad de usar calculadora. Ejemplos:<br />
1) Encontrar el log 10<br />
1,000<br />
Sabemos que 1,000 = 10 3 entonces log 10<br />
1,000=3<br />
2) Encontrar el log 7<br />
49<br />
Sabemos que 49 = 7 2 entonces log 7<br />
49=2<br />
3) Encontrar el log 2<br />
256<br />
Sabemos que 256 = 2 8 entonces log 2<br />
256=8<br />
4) Encontrar el log 8<br />
2<br />
Sabemos que 2= 3 √8=8 1 /3 entonces log 8<br />
2=1/3<br />
5) Encontrar el log 2<br />
0.25<br />
Sabemos que 0.25=1/4=1/2 2 =2 −2 entonces log 2<br />
0.25=−2<br />
Como el 10 es la base de nuestro sistema de numeración, conocemos muchas potencias de 10 y podemos escribir<br />
sus logaritmos con facilidad. Como e es un número irracional, casi no podemos encontrar logaritmos naturales<br />
de números comunes sin usar la calculadora.<br />
Escribiendo una expresión logarítmica en su forma exponencial podemos, con un poco de álgebra, resolver otra<br />
clase de problemas asociados con logaritmos. Ejemplos:<br />
1) Encontrar el valor de x si log x<br />
256=4<br />
Esta expresión es equivalente a decir que x 4 =256 y podemos resolverla sacando la raíz cuarta de 256<br />
x= 4 √256=4<br />
2) Encontrar el valor de x si log 3<br />
x=5<br />
Esta expresión es equivalente a decir que 3 5 =x y podemos resolverla evaluando x=3 5 =243<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
I. Calcular, sin usar calculadora, el valor de :<br />
a) log 5 25<br />
e) log 4<br />
3 27<br />
b) log 25 5<br />
f) log 27 3<br />
c) log 9 3<br />
g) log 5 25<br />
d) log 4 2<br />
h) log 3 81<br />
h) log 6 32 / log 6 8<br />
i ) log 5 81 / log 5 9<br />
j) log 5 16 / log 5 4<br />
k) log 3 125 /log 3 5<br />
2
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
II. Encontrar el valor de x si:<br />
a) log x 2 =1/8<br />
b) log x 25 = 2<br />
c) log 2 x = 6<br />
d) ln e = x<br />
e) log 2 (x 2 – 1) = log 2 8<br />
f) log (x 2 + 64) = 2<br />
g) log 5 1/125= x<br />
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS<br />
Los logaritmos tienen las siguientes propiedades:<br />
1. log a<br />
1=0<br />
2. log a<br />
a=1<br />
3. log a<br />
1<br />
x =−log ax<br />
4. log a<br />
xy=log a<br />
x+log b<br />
y<br />
5. log a<br />
x<br />
y =log a x−log b y<br />
6. log a x n =n⋅log a x<br />
Estas propiedades son válidas para los logaritmos de cualquier base, incluso base 10 y logaritmos naturales.<br />
Al utilizar estas propiedades podemos expandir una expresión con logaritmos si utilizamos las igualdades de<br />
izquierda a derecha. Así:<br />
(1) log 2<br />
5 x=log 2<br />
5+log 2<br />
x<br />
(2) log 3 x 2 y=log 3 x 2 +log 3 y=2 log 3 x+log 3 y<br />
(3) log 7<br />
xy<br />
z =log 7 xy−log 7 z=log 7 x+log 7 y−log 7 z<br />
√4<br />
(4) log x 15<br />
yz =log 15( x yz ) 1/4 =1/4 log 15 ( x yz ) =1/4[log 15 x−log 15<br />
( yz)] =<br />
= 1/4[log 15 x−(log 15 y+log 15 z)]=1/4(log 15 x−log 15 y−log 15 z)<br />
Es importante notar que ninguna de las propiedades de los logaritmos permite expandir una suma o resta.<br />
Asi, expresiones del tipo log (x+3), ln (x 2 –4x +7) o log 5 (x 2 + 25) no pueden expandirse.<br />
Tambien podemos condensar una expresión con muchos logaritmos convirtiendola en una expresion compleja<br />
con un solo logaritmo si utilizamos las igualdades de derecha a izquierda, asi:<br />
(1) 2log 5<br />
x +3 log 5<br />
y−log 5<br />
z=log 5<br />
x 2 +log 5<br />
y 3 −log 5<br />
z=log 5<br />
(x 2 ⋅y 3 )=log 5<br />
x 2 ⋅y 3 −log 5<br />
z=log 5<br />
x 2 ⋅y 3<br />
(2) 3⋅ln x+1/2⋅lny−4⋅lnz=ln x 3 +ln √ y−ln z 4 =ln(x 3 √ y)−ln z 4 =ln<br />
( x3 √ y<br />
z ) 4<br />
z<br />
3
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
I. Expandir la expresión dada usando las propiedades de los logaritmos<br />
1) log √x2 −1<br />
x<br />
2) log 5 x 3 √1−x<br />
2(x+1) 2<br />
3) log b<br />
x(x 2 −5)<br />
(x 2 +3)(x 2 −3)<br />
√<br />
4) ln 4 x7<br />
y 5 z<br />
√<br />
5) ln 3<br />
2<br />
3 x<br />
4√x+1<br />
6)<br />
(x+2)<br />
ln( x2 1/3<br />
−3 x−4<br />
3 (x−4) )<br />
2<br />
5<br />
√ x<br />
7) ln(<br />
2 yz<br />
/2)) x<br />
8)<br />
b 2 w<br />
log(<br />
2 −9<br />
(1<br />
x 2 −6 x+8)<br />
II. Condensar la expresión dada en un solo logaritmo:<br />
1) ½ log (x 2 – 1) – ½ log (x 2 + 1) 2) 3 log x – log 2 – log (x + 5)<br />
3) 2 log (x + 6) + 3 log (x + 3) – [5 log 2 + 3 log (x + 2)] 4) 3 log x + 2 log (x + 1)<br />
5) 3 log x + 2 log y – 1/3 log y – 3 log z – 3 log w 6) 2 (log x – log 4)<br />
7) 2 log 2 + 3 log x – ½ log (x + 3) – ½ log (x – 2) 8) ln (x 2 – 9) – ln (x 2 + 7x + 12)<br />
9) 3 log 2 (x + 1) + log 2 5 + log 2 x – 1/3 log 2 (x + 4) 10) 2 ln x + 3 ln (x + 2) – ln (x 2 + 5)<br />
+7 x+6<br />
x+2 )<br />
11) ln (<br />
x<br />
x−1 ) +ln ( x+1<br />
x ) −ln(x2 −1) 12) log( x2 +2x−3<br />
x 2 −4 ) −log ( x2<br />
USO DE LA CALCULADORA<br />
Para encontrar logaritmos de números que no pueden expresarse como potencias enteras de la base del<br />
logaritmo, se utiliza la calculadora. Las calculadoras cientificas normalmente solo tienen logaritmos base 10<br />
(log) y logaritmos naturales (ln). Para calcular logaritmos de otras bases se utiliza la<br />
Formula de Cambio de Base:<br />
log a x= ln x<br />
ln a<br />
No confundir esta formula que es el cociente de dos logaritmos con la propiedad de los logaritmos, que es el<br />
logaritmo de un cociente. Esta debe debe evaluarse sacando los dos logaritmos y luego dividiendo. No puede<br />
simplificarse.<br />
Haga el calculo directamente en la calculadora, sin redondear. El resultado final debe anotarlo con cuatro (4)<br />
cifras decimales.<br />
4
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
EJERCICIOS DE PRACTICA:<br />
Encuentre los siguientes logaritmos utilizando la calculadora:<br />
1) log 2<br />
10 2) log 3<br />
15 3) log 5<br />
3<br />
4) log 2<br />
0.8 5) log 7<br />
12 6) log 5<br />
32<br />
7) log 11<br />
43 8) log 9<br />
23 9) log 2<br />
49<br />
10) log 50 11) log 131 13) log 5<br />
93<br />
13) log 6<br />
24 14) ln 45 15) ln 0.75<br />
ECUACIONES EXPONENCIALES<br />
Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la variable cuyo valor se desea encontrar se encuentra como<br />
parte de un exponente. Ejemplos: 2 x = 7, 4 3x = 8 x+1 , 10 x+5 + 3 = 12<br />
Las funciónes exponenciales son funciónes uno-a-uno, en las que para cada valor de x hay un valor diferente de<br />
y. Por lo tanto,<br />
si a m =a n entonces m = n<br />
La función logaritmo y la función exponencial de la misma base son funciónes inversas, que se anulan entre si<br />
cuando se aplican la una a la otra:<br />
log a a x =x y a log a x =x<br />
Las ecuaciónes exponenciales pueden separarse en dos casos:<br />
CASO 1: LA ECUACION PUEDE REDUCIRSE A POTENCIAS DE LA MISMA BASE<br />
En este caso, se resuelve usando la propiedad: si a m = a n entonces m = n<br />
Ejemplos:<br />
(1) 2 3x =4 x+1<br />
Como 4 = 2 2 , podemos reescribir la ecuación como<br />
2 3x =(2 2 ) x+1<br />
2 3x =2 2 (x+1)<br />
y aplicar la propiedad recien mencionada:<br />
3 x=2(x+1)<br />
3 x=2 x+2<br />
3 x−2 x=2<br />
x=2<br />
5
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(2) 25 x+8 =125 2 x<br />
Ambas bases son potencias de 5: 25 = 5 2 y 125 = 5 3 Reescribimos la ecuación como<br />
(5 2 ) x+8 =(5 3 ) 2x<br />
5 2( x+8) =5 3(2x)<br />
ya podemos igualar los exponentes:<br />
2(x+8)=6 x<br />
2x+16=6 x<br />
16=6 x−2 x<br />
16=4 x<br />
4=x<br />
(3) 4 8 16 3 x =8 5 x<br />
Todas las bases son potencias de 2: 4 = 2 , 8 = 2 3 y 16 = 2 4 . Reescribimos la ecuación como<br />
(2 2 ) 8 (2 4 ) 3x =(2 3 ) 5 x<br />
(2 16 )(2 12 x )=2 15 x<br />
2 12 x+16 =2 15 x<br />
ahora igualamos los exponentes:<br />
12x +16=15 x<br />
16=15 x−12 x<br />
16=3x<br />
x=16 /3<br />
Algunos ejercicios requeriran “limpiar” un poco la ecuación original para distinguir que pueden reducirse a una<br />
sola base.<br />
(4) 0.25(3 2 x−1 )=0.75<br />
Aunque 0.25 y 0.75 no son múltiplos de 3, si dividimos ambos lados de la ecuación por 0.25 obtenemos<br />
3 2x−1 =3<br />
2x−1=1<br />
2x=1+1<br />
2x=2<br />
x=2/2<br />
x=1<br />
6
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
1. 2 2 x−3 =32<br />
2. 27 x =3 2 x +5<br />
3. 2 −x 2 =8 3−2 x<br />
4. 3 x 1/2 x +2<br />
=27<br />
5. 10 x−2 =100 x<br />
6. 2 2x−1 =4<br />
7.<br />
3<br />
√8 x =32<br />
8. 2 1−x2 =1/8<br />
9. 2 x 8 −x =4 x<br />
10. 8(2 −x+2 )=(2 1−x ) 3<br />
11. 4 x 2 x 2 =16 2<br />
12. 3 3 x (9)=3 4 x+5<br />
13. 3 3 x (27)=9 4 x+5<br />
14. 9(3 −x−2 )=3(9 x+2 )<br />
15. 10<br />
x−3<br />
2 x+ 1<br />
=100<br />
16.<br />
17.<br />
18.<br />
19.<br />
x+2<br />
1 34<br />
5 ( x+1) 3 = 1 3 45<br />
25<br />
3 (53x−1 )(5 3−2 x )= 1 3<br />
x−1<br />
25 53<br />
3 ( x) 5 =1 3−2 3<br />
√5<br />
33 x+2<br />
9 x−3 =272 +x **<br />
CASO 2: LA ECUACION NO PUEDE REDUCIRSE A UNA SOLA BASE<br />
Cuando las ecuaciónes no pueden reducirse a una sola base, se utilizan logaritmos. Podemos aplicar logaritmos<br />
de cualquier base y utilizar las propiedades de los logaritmos.<br />
Cuando solo hay un exponencial en la ecuación , daremos preferencia al logaritmo de la misma base para<br />
aprovechar que log a a x =x Si hay exponenciales de diferentes bases, utilizaremos el logaritmo natural (ln) o<br />
el logaritmo comun (log) porque son los que aparecen en la calculadora.<br />
Ejemplos:<br />
(1) 10 x =21 Como el exponencial es base 10, aplicamos log a ambos lados de la igualdad:<br />
log(10 x )=log 21<br />
x=log 21<br />
x=1.3222<br />
(2) 3 x =12 Como el exponencial tiene base 3, aplicaremos logaritmo base 3:<br />
log 3 (3 x )=log 3 (12)<br />
x=log 3 (12) Para poder usar la calculadora utilizamos la Formula de Cambio de Base<br />
x=2.2618<br />
(3) 3 x =5 x +1<br />
ln(3 x )=ln(5 x+ 1 )<br />
x ln3=(x+1)ln5<br />
x ln3=x ln5+ln 5<br />
x ln3−x ln5=ln 5<br />
7
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
x(ln 3−ln 5)=ln 5<br />
x= ln 5<br />
ln 3−ln5 =−3.1507<br />
Tambien podemos trabajarlo sacando los logaritmos y haciendo las operaciones con numeros:<br />
3 x =5 x +1<br />
ln(3 x )=ln(5 x+ 1 )<br />
x ln3=(x+1)ln5<br />
1.0986 x=1.6094(x+1)<br />
1.0986 x=1.6094 x+1.6094<br />
1.0986 x−1.6094 x=1.6094<br />
−0.5108 x=1.6094<br />
x= 1.6094<br />
−0.5108 =−3.1507<br />
Tenga en cuenta que para que el resultado final d[e lo mismo que con el procedimiento anterior deben usarse<br />
cuatro decimales en los logaritmos.<br />
(4) 3 x 5 2 x =2<br />
ln(3 x 5 2x )=ln 2<br />
ln(3 x )+ln(5 2 x )=ln2<br />
x ln3+2x ln 5=ln2<br />
x(ln 3+2 ln 5)=ln 2<br />
x= ln 2<br />
ln 3+2ln 5 =0.1605<br />
O, sacando los logaritmos y haciendo las operaciones con numeros:<br />
3 x 5 2x =2<br />
ln(3 x 5 2x )=ln 2<br />
ln(3 x )+ln(5 2 x )=0.6931<br />
x ln3+2 x ln 5=0.6931<br />
1.0986 x+2x(1.6094)=0.6931<br />
1.0986 x+3.2188 x=0.6931<br />
4.3174 x=0.6931<br />
x= 0.6931<br />
4.3174 =0.1605 8
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Muchas ecuaciónes requieren alguna simplificacion antes de aplicar los logaritmos. En los siguientes ejemplos<br />
se presenta algunos de los procedimientos que se puede necesitar utilizar antes de aplicar los logaritmos<br />
(1) 30e 1.4 x =90<br />
e 1.4x =90/30<br />
e 1.4x =3 …<br />
(5) 2e x+1 +3 e x+1 =4<br />
5e x+1 =4<br />
e x+1 =4 /5 …<br />
(2) 2 2 x+3 −6 x−1 =0<br />
2 2x+3 =6 x−1<br />
(3) 5 (3 x−2 ) +4=21<br />
5 (3 x−2) =21−4<br />
5 (3 x−2) =17 …<br />
(4) e ln(6 x2 −4 ) =5 x<br />
6 x 2 −4=5 x …<br />
(6)<br />
e 2 y +4<br />
e 2 y =3<br />
e 2 y +4=3e 2 y<br />
4=3 e 2 y +e 2 y<br />
4=4e 2 y<br />
1=e 2 y …<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
Resuelva las ecuaciónes siguientes:<br />
1. 8 −x =1.2<br />
10. 2 2 x−3 =5 x−2<br />
9. 3 2−3 x =4 2 x+1<br />
2. 10 x+2 =5<br />
11. 2 2 x+3 −6 x−1 =0<br />
3. e 1− x =5<br />
12. e x2 −e 5 e x−1 =0<br />
4. e 2 x+3 =3<br />
13. e −2x −e x−2 =0<br />
5. e 3(x−2) =1/2<br />
14. 2 x 5=10 x<br />
6. 3 x+4 =6 x<br />
15. 4(7 2 x )=9<br />
7. 3 x−2 =8 2 x−1<br />
16. 5e x−3 =5<br />
8. 3 5x−2 =10 x−3<br />
17. 3 x 2 2x =4<br />
18. 3 x 2 1−x =10<br />
19. 3e x =4 e −3 x<br />
20. 5 x =2e x +1<br />
21. 4(5 x+2 )−16=4<br />
22. e ln(x+1) =2 x−3<br />
23. e ln(6 x2−4) =5 x<br />
24. e x+1 +3e x +1 =4<br />
25. 2e 2 x +3e 2 x =25<br />
EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS:<br />
Resuelva las ecuaciónes siguientes:<br />
1. (e x −e −x )−(e x −e −x )=4 2. x−x e x−1 =0<br />
9
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
3. (3 x ) 2 =2√2 x<br />
4.<br />
5.<br />
e 2 y +4<br />
e 2 y =3<br />
6.<br />
7.<br />
4e 2 x −5<br />
e 2x −2 =2<br />
2x−1<br />
√3 x−3 =√27<br />
8. 200= 800<br />
1+6 e 0.3 x<br />
ECUACIONES LOGARÍTMICAS<br />
Una ecuación logarítmica es una ecuación en que la variable cuyo valor se desea encontrar se encuentra dentro<br />
de un logaritmo, ya sea sola o en una expresion algebraica. Ejemplos: log 3 (2x+1) = 5, log 5 (2x-1) = log 5 (x+4),<br />
log x + log (x − 4) = 9<br />
Las funciónes logarítmicas son funciónes uno-a-uno, en las que para cada valor de x hay un valor diferente de y.<br />
Por lo tanto,<br />
Si log a<br />
u=log a<br />
v entonces u = v<br />
La función logaritmo y la función exponencial de la misma base son funciónes inversas, que se anulan entre si<br />
cuando se aplican la una a la otra:<br />
log a a x =x y a log a x =x<br />
A diferencia de las ecuaciónes exponenciales, donde todas las soluciones que encontramos son validas, algunas<br />
soluciones de ecuaciónes logarítmicas, que se encuentran usando procedimientos validos, no lo son, porque al<br />
sustituirlas en la ecuación resultan en valores negativos dentro de alguno de los logaritmos. Por esta razon, las<br />
soluciones siempre deben verificarse. Si ninguna de las soluciones encontradas es válida, la ecuación no tiene<br />
solucion.<br />
Las ecuaciónes logarítmicas pueden separarse tambien en dos casos:<br />
CASO 1: TODOS LOS TÉRMINOS CONTIENEN LOGARITMOS.<br />
(1) Se condensan las expresiones a ambos lados del signo igual y obtenemos una expresion de la forma<br />
log a<br />
u=log a<br />
v Entonces u = v.<br />
(2) Eliminamos los logaritmos y resolvemos la ecuación u = v.<br />
(3) Verificamos la(s) solucion(es) obtenidas.<br />
Ejemplos:<br />
(1) log 3 (5 x−1)=log 3 (x+7)<br />
5 x−1=x+7<br />
5 x−x=7+1<br />
4 x=8<br />
x=2<br />
Verificar:<br />
log 3 (5 (2)−1)=log 3 (2+7)<br />
log 3 (9)=log 3 (9) Verdadero.<br />
x=2 es la solucion de la ecuación.<br />
10
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(2) log 2 (x +2)=log 2 (x 2 )<br />
x+2=x 2<br />
0=x 2 −x−2<br />
0=(x−2)(x+1)<br />
x=2 o x=−1<br />
Verificar x=2<br />
log 2 (2+2)=log 2 (2 2 )<br />
log 2 (4)=log 2 (4)<br />
Verdadero.<br />
x=2 es una solucion<br />
Verificar x=−1<br />
log 2 (−1+2)=log 2 ((−1) 2 )<br />
log 2 (1)=log 2 (1)<br />
Verdadero<br />
x=−1 es tambien solucion<br />
(3) log(2 x+5)−log( x+1)=log(x+5)<br />
log (<br />
2 x+5<br />
x+1 ) =log(x+5)<br />
2 x+5<br />
x+1 =x+5<br />
2x +5=(x+5)(x+1)<br />
2 x+5=x 2 +6 x+5<br />
0=x 2 +6 x+5−2 x−5<br />
0=x 2 +4 x<br />
0=x (x +4)<br />
x=0 o x=−4<br />
Verificar x=0<br />
log(0+5)−log(0+1)=log(0+5)<br />
log(5)−log(1)=log(5)<br />
log(5)−0=log(5)<br />
log(5)=log(5)<br />
Verdadero.<br />
Verificar x=−4<br />
log(2(−4)+5)−log(−4+1)=log(−4+5)<br />
log(−3)−log(−3)=log(1)<br />
Falso. No existe log(−3)<br />
La solucion es x=0<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
Resuelva las siguientes ecuaciónes:<br />
1. log(x+4)−log x=log(x+1)<br />
2. ln x=5 ln 2−ln 8<br />
3. ln x+ln(x−1)=ln 12<br />
4. ln(x 2 −4)−ln(x+2)=ln 1<br />
5. log x 2 =log(−3 x−2)<br />
6. log(7 x−12)=2 log x<br />
7. log(x+2)−log x=2 log 4<br />
8. log 3<br />
(x−2)=log 3<br />
27−log 3<br />
(x−4)−5 log 5 1<br />
9. ln x+ln(x+6)=1/2 ln9<br />
10. log 9 (2 x+7)−log 9 (x−1)=log 9 (x−7)<br />
11. ln(x +1)−ln(x 2 −1)=ln 1<br />
12. log(x+1)−log x+log x 2 =log 2<br />
13. ln x=ln(x+6)−ln( x−4)<br />
14. log(x 2 −4)−log(x +2)=log 2<br />
15. ln(x −1)−ln(x 2 −1)=ln(1/3)<br />
16. log x+log(x+3)=2log(x +1)<br />
17. log 2+log(11−x 2 )=2 log(5−x)<br />
18. ln(3 x−2)−ln(x+1)=0<br />
19. log(x−1)−log(x+6)=log(x−2)−log( x+3)<br />
11
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
20. ln x+3ln 2=ln (<br />
2<br />
x )<br />
21. ln x+3ln 2=ln (<br />
x+2<br />
1/2 )<br />
22. ln (<br />
x+1<br />
x ) +ln2=ln(x+3)<br />
CASO 2: AL MENOS UN TERMINO NO CONTIENE UN LOGARITMO.<br />
(1) Se pasan todos los terminos con logaritmos a un solo lado del signo igual y todos los terminos sin<br />
logaritmos al otro lado.<br />
(2) Se condensan las expresiones con logaritmos y obtenemos una expresion de la forma log a<br />
u=v<br />
donde u es una función de x y v es una constante.<br />
(3) Usamos ambas expresiones como exponentes de a y creamos la ecuación a log au =a v<br />
(4) Usamos el hecho de que a log a x =x y resolvemos la ecuación u=a v donde u es una función de x<br />
y a v es una constante.<br />
(5) Verificamos la(s) solucion(es) obtenidas.<br />
Ejemplos:<br />
(1) log 7 (3 x+1)=2<br />
7 log 7(3 x+1) =7 2<br />
3 x+1=49<br />
3 x=49−1<br />
x=48 /3<br />
x=16<br />
Verificar:<br />
log 7 (3 (16)+1)=2<br />
log 7 (49)=2 Verdadero<br />
x=16 es la solucion<br />
(2) log 5 x+log(x−1)=2<br />
ln(5 x(x−1))=2<br />
10 log(5 x (x−1)) =10 2<br />
5 x( x−1)=100<br />
5 x 2 −5 x=100<br />
5 x 2 −5 x−100=0<br />
5(x 2 −x−20)=0<br />
x 2 −x−20=0<br />
(x−5)(x +4)=0<br />
x=5 o x=−4<br />
Verificar x=5<br />
log 5(5)+log(5−1)=2<br />
log 25+log(4)=2<br />
log 25⋅4=2<br />
log 100=2 Verdadero<br />
Verificar x=−4<br />
log 5(−4)+log(−4−1)=2<br />
log(−20)+log(−5)=2<br />
Falso. No existe log(−20)<br />
Solo x=5 es solucion.<br />
12
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
Resuelva las siguientes ecuaciónes:<br />
1. log x+log 5=2<br />
2. log 12 (x−5)+log 12 (x−5)=2<br />
3. log 5 (x+2)=3<br />
4. log 3 x+log 3 (2 x+1)=1<br />
5. log 3 (x+4)=2<br />
6. log 1 /3 (1−2x ) 1/ 2 =−1<br />
7. ln(3 x−2)−ln(x−1)−2=0<br />
8. 1/2log 2 (x+1)=2+1/2log 2 5<br />
9. ln(2 x−3)−ln e=e<br />
10. log √ x−log √2=1/2<br />
11. log 2 (2 x−6)=2+log 2 (x−2)<br />
12. log 2 x+log 2 (x−2)−3=0<br />
13. log 2 (x+2)+log 2 (x−2)=5<br />
14. 2log 3 (x+4)−log 3 9=2<br />
15. log 5 (x+3)=1−log 5 (x−1)<br />
16. log 4 (x 2 −9)=log 4 (x+3)+3<br />
17. log 5 (x+6)−log 5 (x+2)=1<br />
18. log √ x+15+log √x=1<br />
19. log 3<br />
(x−2)−log 3<br />
27=3 log 31<br />
20. ln(2 x−1)=2<br />
21. ln(x−1)=0<br />
22. log 3 (3 x−1)−log 3 (x+1)=2<br />
23. 2log x=3+log(x/10)<br />
24. 2log x−2log(x+1)=0<br />
25. log x 2 −log(x+1) 2 =0<br />
26. log 3 (x+4) 2 −log 3 9=2<br />
27. log 2 (x+1)−log 2 (x 2 −1)=ln1<br />
28. ln(3 x−2)−ln(x−1)=2<br />
EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS:<br />
Resuelva las siguientes ecuaciónes:<br />
1.<br />
log(16−x 2 )<br />
log(3x −2) =2<br />
2. ln(log x 2)=−1<br />
3. log 8 (log 4 (log 2 x))=0<br />
4. (x 2 −5) ln x =x<br />
5. x=(log 2<br />
x) log 2x<br />
6. x=(ln x) ln x<br />
13
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Una función exponencial básica tiene tiene la forma<br />
FUNCIONES EXPONENCIALES<br />
y=a⋅b x<br />
donde a ≠ 0 y b es un numero positivo distinto de uno. A b se le denomiana base de la función exponencial.<br />
El Dominio de la función son todos los numeros reales, y su Rango depende del signo de a: si a es positivo, es<br />
] 0, + ∞ [ y si a es negativo, es ] − ∞, 0 [. En ambos casos, la grafica tiene una asíntota horizontal y = 0, y su<br />
intercepto en y es (0, a). La gráfica nunca cruza la asíntota y por lo tanto, no tiene intercepto en x.<br />
En una tabla de valores, en la que los valores de x aumentan de 1 en 1, cada valor de y es b veces el valor<br />
anterior.<br />
Ejemplos:<br />
(1) y=1⋅2 x<br />
x y<br />
-3 0.125<br />
-2 0.25<br />
-1 0.5<br />
0 1<br />
1 2<br />
2 4<br />
3 8<br />
4 16<br />
(2) y=1⋅( 1 2 ) x<br />
x y<br />
-3 16<br />
-2 8<br />
-1 4<br />
0 2<br />
1 1<br />
2 0.5<br />
3 0.25<br />
4 0.125<br />
14
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(3) y=−1⋅2 x<br />
x y<br />
-3 -0.125<br />
-2 -0.25<br />
-1 -0.5<br />
0 -1<br />
1 -2<br />
2 -4<br />
3 -8<br />
(4) y=−1⋅( 1 2 ) x<br />
x y<br />
-3 -16<br />
-2 -8<br />
-1 -4<br />
0 -2<br />
1 -1<br />
2 -0.5<br />
3 -0.25<br />
4 -0.125<br />
Ahora analizaremos la función exponencial general<br />
y=a⋅b mx+c +k<br />
En esta función, la asintota horizontal es y = k . El Dominio siempre son todos los numeros reales yel Rango es<br />
] k, + ∞ [ si a es positivo, y ] − ∞, k [ si a es negativo. La grafica puede tener un intercepto en x, si k ≠ 0.<br />
Lo tendra, en efecto si a y k tienen signos opuestos.<br />
Intercepto en y: x = 0 y=a⋅b c +k<br />
Intercepto en x: y = 0 Resolver la ecuación exponencial b mx+ c =−k/a<br />
Otro punto que podria ayudarnos a dirigir la grafica se obtiene evaluando la función en el valor de x en el que<br />
el exponente se hace cero; el punto es (-c/m, a+k).<br />
15
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
Ejemplos:<br />
Encontrar la asíntota horizontal, interceptos, dominio y rango de la función dada y graficarla.<br />
(1) y=1⋅3 (x−1) +2<br />
Dominio: R<br />
Rango: ] 2, + ∞ [<br />
Asíntota horizontal: y = 2<br />
Intercepto en y: x = 0, y=3 −1 +2=7/3<br />
Intercepto en x: no tiene, porque a = 1 y k =2 tienen signos iguales.<br />
El exponente es cero cuando x = 1<br />
y el valor de y es 1 + 2 = 3 Punto: (1,3)<br />
Calculamos otro punto, arbitrariamente:<br />
x = 2, y = 5 (2,5)<br />
(2) y=3⋅2 ( x+1) −4<br />
Dominio: R<br />
Rango: ] -4, + ∞ [<br />
Asintota horizontal: y = -4<br />
Intercepto en y: x = 0, y=3(2)−4=2<br />
Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando<br />
3⋅2 (x+1) −4=0<br />
3⋅2 (x+1) =4<br />
2 (x+1) =4 /3<br />
x+1=log 2 (4/3)<br />
x+1≈0.4<br />
x≈0.4−1=−0.6<br />
El exponente es cero cuando x = -1<br />
y el valor de y es 3 – 4 = -1<br />
Calculamos otro punto, arbitrariamente:<br />
x = 1, y = 8 (1, 8)<br />
16
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(3) y=−1⋅3 (2−x) +5<br />
Dominio: R<br />
Rango: ] - ∞, 1 [<br />
Asíntota horizontal: y = 5<br />
Intercepto en y: x = 0, y=−1(3) 2 +5=−4<br />
Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando<br />
−1⋅3 (2−x) +5=0<br />
−1⋅3 (2−x) =−5<br />
3 (2− x) =5<br />
2−x=log 3 (5)<br />
2−x≈1.5<br />
2≈1.5+ x<br />
2−1.5≈x<br />
x≈0.5<br />
El exponente es cero cuando x = 2 y el valor de y es -1 + 5 = 4<br />
PuntoÑ (2,4)<br />
Calculamos otro punto, arbitrariamente:<br />
x = 1, y =2 (1, 2)<br />
(4) y=−1⋅(3/2) (x+2 ) +3<br />
Dominio: R<br />
Rango: ] - ∞, 3 [<br />
Asintota horizontal: y = 3<br />
Intercepto en y: x = 0, y=−1⋅(3/2) 2 +3=−9/4+3=3/4<br />
Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando<br />
−1⋅(3/2) (x+2) +3=0<br />
−1⋅(3/2) (x+2) =−3<br />
(3/2) ( x+2) =3<br />
x+2=log 3 / 2 (3)<br />
x+2≈2.7<br />
x≈2.7−2=0.7<br />
El exponente es cero cuando x = -2 y el valor de y es -1 + 3 = 2<br />
Calculamos otro punto, arbitrariamente: x = 2 y ≈ -2<br />
17
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
(5) y=e (x+3) −2<br />
Dominio: R<br />
Rango: ] -2, +∞ [<br />
Asintota horizontal: y = -2<br />
Intercepto en y: x = 0, y=e 3 −2≈18<br />
Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando<br />
e (x +3) −2=0<br />
e (x +3) =2<br />
x+3=ln2<br />
x=ln 2−3≈−2.3<br />
El exponente es cero cuando x = -3 y el valor de y es 1 – 2 = -1<br />
Calculamos otro punto, arbitrariamente: x = -1 y ≈ 5.4<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
Encuentre la asintota horizontal, interceptos, dominio y rango de la función dada y grafiquela.<br />
1. y=2 x+1 +3<br />
2. y=3 −x+1 −1<br />
3. y=3 −x−2 −1<br />
4. y=3 x −5<br />
5. y=4 x −2<br />
6. y=−1⋅2 (2− x) +7<br />
7. y=−3⋅2 (x−4 ) +6<br />
8. y=(1/2) (2x) −1<br />
9. y=−(3 /2) (x−1) +1<br />
10. y=−2⋅(3/5) (2x+1) +1<br />
11. y=(1/2) (x−2) +3<br />
12. y=(2/3) x −1/2<br />
13. y=e (x+3) −2<br />
14. y=−e −2x +2<br />
15. y=−1+e ( x−3)<br />
16. y=e (x−2) +e<br />
17. y=e (x+1) −1<br />
18. y=e (x−3) +2<br />
Una función logarítmica básica tiene tiene la forma<br />
FUNCIONES LOGARÍTMICAS<br />
y=log a<br />
x<br />
donde a es un número positivo distinto de uno. A a se le denomiana base de la función logarítmica.<br />
El Dominio de la función son todos los números reales positivos: ] 0, + ∞ [ (no se le puede sacar ningun<br />
logaritmo a cero ni a números negativos), y su Rango son todos los números reales. La gráfica tiene una<br />
asíntota vertical en x = 0, y su intercepto en x es (1,0). No hay intercepto en y porque x = 0 no esta en el<br />
dominio de la función, sin embargo, un punto de interes es (a,1).<br />
18
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
y=log 2<br />
x y=log 5<br />
x y=log 1/ 2<br />
x<br />
Ahora analizaremos la función logarítmica general<br />
y=c⋅log a (mx+b)+k<br />
En esta función, la asíntota vertical es x = -b/m , el valor de x donde la expresión dentro del logaritmo se hace<br />
cero.<br />
No se pueden sacar logaritmos a números negativos, de modo que el dominio de la función se obtiene<br />
encontrando para qué valores de x mx+b>0 El dominio dependerá del signo de m: si es positivo, el<br />
dominio sera ] -b/m, + ∞ [ ; si es negativo, el dominio sera ] - ∞, -b/m [<br />
La grafica tendra intercepto en y solo cuando x = 0 este en el dominio de la función. Siempre tendra intercepto<br />
en x y se calcula resolviendo la ecuación c⋅log a (mx+b)+k=0<br />
Un punto de interés es aquel donde mx+b=a porque el logaritmo sera 1 y y=c+k<br />
Ejemplos:<br />
Encontrar la asíntota horizontal, interceptos, dominio y rango de la función dada y graficarla.<br />
(1) y=log 2 (3−2 x)+1<br />
Dominio: 3 – 2x > 0 A.V. x = 3/2 = 1.5 Rango: R<br />
3 > 2x<br />
3/2 > x<br />
] − ∞, 3/2 [<br />
Interceptos: si x = 0,<br />
y = 0 cuando log 2 (3−2x )+1=0<br />
log 2 (3−2x )=−1<br />
y=log 2 (3)+1≈1.6+1=2.6<br />
19
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
2 log 2(3−2x) =2 −1<br />
3−2 x=0.5<br />
3=0.5+2 x<br />
3−0.5=2 x<br />
2x =2.5<br />
x=1.25<br />
Punto de interés: 3−2 x=2<br />
cuando x=0.5 y y=1+1=2<br />
(2) y=log 1/ 2 (2 x−1)+4<br />
Dominio: 2x − 1 > 0 A.V. x = 1/2 Rango: R<br />
2x > 1<br />
x > 1/2<br />
] ½, +∞ [<br />
Interceptos:<br />
No tiene intercepto en y<br />
y = 0 cuando<br />
log 1 /2 (2 x−1)=−4<br />
2x −1=(1/2) −4 =16<br />
2x =16+1=17<br />
x=17/2=8.5<br />
log 1 /2 (2 x−1)+4=0<br />
Punto de interés: 2x−1=1/2<br />
cuando x=3/ 4 y y=1+4=5<br />
(3) y=−2 ln(3−x)+1<br />
Dominio: 3 - x > 0 A.V. x = 3 Rango: R<br />
3 > x<br />
] − ∞, 3 [<br />
Interceptos: si x = 0,<br />
y = 0 cuando<br />
y=−2ln(3)+1≈−1.2<br />
−2 ln(3−x)+1=0<br />
20
Metodos Cuantitativos II UNAH Ana María Girón<br />
−2 ln(3−x)=−1<br />
ln(3−x)=1/2<br />
e ln(3−x) =e 1/ 2<br />
3−x≈1.65<br />
x≈3−1.65=1.35<br />
Punto de interés: 3−x=e<br />
cuando x=0.28 y y=−2+1=−1<br />
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:<br />
Encuentre la asíntota vertical, interceptos, dominio y rango de la función dada y grafíquela.<br />
1. y=log 2 (x+2)<br />
2. y=log 1/ 2 (x+1)−3<br />
3. y=log(−x+1)+2<br />
4. y=log 4 (x+1)−4<br />
5. y=ln(x−1)−2<br />
6. y=3−log 2 (x+3)<br />
7. y=log 1/ 2 (2x+1)−3<br />
8. y=2+log 2/ 3 (4 x−5)<br />
9. y=(1/2)ln (x+4)+2<br />
10. y=log 2 (1−2 x)−3<br />
11. y=ln(−x+1)+2<br />
12. y=log 2 (−x)+2<br />
13. y=log 1/ 2 (−2 x+1)+3<br />
14. y=log 2/ 3 (3 x−2)+1<br />
21