Àlgebra linial - IES Jaume I de Borriana

ALGEBRA LINEAL1Junio 992Junio 993Junio 994Junio 995Sep. 996Sep. 997Sep. 998Sep. 99Calcula los determinantes121,− 1211,− 1y122. Aplica los1resultados obtenidos en la resolución del sistema ⎨ ⎧ x + y = 2.⎩ 2x− y = 1Un concesionario de coches vende dos modelos, el A con el que gana100.000 ptas. por unidad vendida, y el B con el que gana 50.000 ptas. porunidad vendida. El número de coches x vendidos del modelo A debeverificar que 50 ≤ x ≤ 75 . El número y de coches vendidos del modelo B hade ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo A.Sabiendo que el número máximo de coches que se pueden vender es de 400,determinar cuántos coches se han de vender de cada modelo para que elbeneficio sea máximo.Un comerciante tiene x garrafas de 10 l. de aceite cada una y y botellas de 1 lde aceite cada una. Otro comerciante tiene y garrafas de 10 l. de aceite cadauna y x botellas de 1 l. cada una. El segundo comerciante tiene 9 litros másque el primer comerciante. Sabiendo que los dos tienen más de 30 l. de aceitey menos de 50 l. de aceite. Averigua razonadamente cuántos litros de aceitetiene cada uno.Sea el polígono de vértices (0, 0), (6, 0), (8, 3), (4, 8) y (0, 6). Calcula en quepuntos del polígono P, alcanza la función f ( x,y)= 2x+ 3ylos valoresmáximo y mínimo.Me ofrecen la posibilidad de comprar hasta 6 millones de acciones de lacompañía A, que producen un beneficio de un 30 %, y hasta 10 millones deacciones de la compañía B, que producen un 20 % de beneficio. Tengo 12millones para invertir. Razona como distribuir la inversión para maximizar elbeneficio.Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas del tipo Atienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las del tipoB tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre y las deltipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre.¿Cuántas monedas de cada tipo ha de fundir para obtener 44 gramos de oro,44 gramos de plata y 112 gramos de cobre?Ordeno mi habitación y observo que el número de libros, revistas y discos es60. El triple del número de discos es igual a la suma del número de libros ydel doble del número de revistas. El cuádruple del número de discos es iguala la suma del número de libros y el triple del número de revistas. Calcula elnúmero de libros, revistas y discos.Un carpintero ha de construir mesas rectangulares, las dimensiones de lascuales no sobrepasen los dos metros, de manera que la suma de su dimensiónmayor y el doble de la menor no sobrepase los 4 metros. ¿Cuál es el máximovalor del perímetro de estas mesas?

17Junio 0118Junio 0119Junio 0120Junio 0121Sep. 0122Sep. 0123Sep. 0124Sep. 01Calcular los determinantes1 − 3 1 0 0 − 3, , y . Aplicar los resultados1 2 1 4 4 2obtenidos para resolver por la regla de Cramer el sistema ⎨ ⎧ x − 3y= 0⎩ x + 2y= 4Una fábrica produce bombillas normales a 900 ptas. la unidad y focoshalógenos a 1200 ptas. la unidad. La capacidad máxima diaria de fabricaciónes de 1000 entre bombillas normales y focos halógenos, si bien no se puedenfabricar más de 800 bombillas normales ni más de 600 focos halógenos.Se sabe que la fábrica vende toda la producción. Razonar cuántas bombillasnormales y cuántos focos halógenos se han de producir para obtener lamáxima facturación posible y cuál sería esta.Hemos invertido 4.000.000 de ptas. en acciones de las empresas A, B, y C.Después de un año la empresa A repartió un beneficio del 6 % , la B del 8 %y la C del 10 %. En total recibimos 324.826 ptas.a) Deducir razonadamente si se puede saber o no qué invertimos en cadaempresa.b) Deducir razonadamente que invertimos en cada empresa sabiendo que enla empresa C invertimos el doble que en la empresa A.Una industria fabrica bolígrafos que vende a 400 ptas. cada uno y plumasestilográficas que vende a 1.200 ptas. cada una. Las máquinas limitan laproducción de manera que cada día no se pueden producir más de 200bolígrafos ni más de 150 plumas y el total de la producción no puede superarlas 250 unidades. La industria vende siempre toda su producción. Deducirrazonadamente cuántos bolígrafos y plumas ha de producir al día paramaximizar el beneficio y cuál sería este.En una reunión hay 40 personas. La suma de los hombres y de las mujerestriplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 la suma delnúmero de hombres más el número de niños. Razonar cuántos hombres,mujeres y niños hay.El INSERSO ha organizado un viaje para 800 personas con cierta empresaque dispone de 16 autobuses de 40 plazas cada uno y 20 autobuses de 50plazas cada uno. El alquiler de un autobús pequeño cuesta 3.000 ptas. y el deuno grande 4.000 ptas.Calcular razonadamente cuántos autobuses de cada clase se han de contratarpara minimizar el coste y cuál sería el coste mínimo, sabiendo que laempresa solo dispone de 18 conductores.La función f ( x,y)= 2x+ 3yestá definida en el polígono de vértices (0, 0),(6, 0), (6, 8), (4, 12) y (0, 15). Determinar de forma razonada todos lospuntos en que la función alcanza un máximo. Justificar de forma razonada sieste máximo se alcanza en un solo punto o no. ¿En que punto o puntos sealcanza el valor del máximo?Un estudiante obtuvo un 6 en un examen de matemáticas que constaba detres preguntas. En la primera pregunta obtuvo una calificación igual al doblede la calificación que obtuvo en la segunda pregunta y en la tercera preguntaobtuvo una calificación igual a la suma de las calificaciones de las otraspreguntas. Calcular razonadamente la calificación de cada pregunta.

38Sep. 0339Sep. 0340Sep. 0341Juny 0442Juny 0443Juny 0444Juny 04Una empresa disposa d'un màxim de 16.000 unitats d'un producte que potvendre en unitats soltes o en lots de quatre unitats. Per empaquetar un lot dequatre unitats es necessita el triple de material que per empaquetar una unitatsolta. Si es disposa de material per empaquetar 15.000 unitats soltes, i si elbenefici que s'obté per la venda de cada unitat solta és de 2 € i de cada lot dequatre unitats és de 7 €, calculeu de forma raonada el nombre d'unitats soltesi de lots de quatre unitats que s'ha de preparar per maximitzar el benefici icalculeu-ne aquest.Donats els punts del pla (1, 1) i (3, -2), es demana: a) trobeu de formaraonada l'equació de la recta que passa per ambdós punts, b) deduïu sil'esmentada recta és paral·lela o si talla la recta d'equació 3x + y = 5, i c) eaquest últim cas, calculeu el punt de tall.Es pretén invertir en dos productes financers A i B. La inversió en B ha deser almenys de 3.000 € i no es vol invertir en A més del doble que en B. Sesuposa que A proporcionarà un benefici del 10% i B del 5%. Si es disposa de12.000 €, calculeu de forma raonada quant s'ha d'invertir en cada producteper maximitzar el benefici i determineu-ne aquest.Donades les matrius⎛ − 4 0 ⎞⎛ − 1 2 ⎞⎛ 2 0 ⎞A = ⎜⎟ , B = ⎜ ⎟ i C = ⎜ ⎟⎝ 1 1 ⎠⎝ 2 0 ⎠⎝ − 1 2 ⎠Calculeu la matriu X que verifica l'equació AXB=2C.Un banc disposa de 18 milions d'euros per oferir préstecs de risc alt i mitjà,amb rendiments del 14% i 7%, respectivament. Tot sabent que s'ha dededicar almenys 4 milions d'euros a préstecs de risc mitjà i que els dinersinvertits en alt i mitjà risc ha d'estar com a màxim a raó de 4 a 5, determineuquant ha de dedicar-se a cadascun del tipus de préstec per maximitzar elbenefici i calculeu aquest.Joan decideix invertir una quantitat de 12.000 € en borsa, comprant accionsde tres empreses diferents, A, B i C. Inverteix en A el doble que en B i Cjuntes. Transcorregut un any, les accions de l’empresa A s'han revaloritzat un4%, les de B un 5% i les de C han perdut un 2% del seu valor original. Coma resultat de tot açò, Joan ha obtingut un benefici de 432,5 €. Determineuquant va invertir Joan en cadascuna de les empreses.Un tren de mercaderies pot arrossegar, com. a màxim, 27 vagons. En certviatge, transporta cotxes, i motocicletes. Per a cotxes ha de dedicar un mínimde 12 vagons i per a motocicletes no menys de la meitat dels vagons quededica als cotxes. Si els ingressos de la companyia. ferroviària són de 540 €per vagó de cotxes i 360 € per vagó de motocicletes, calculeu com s'han dedistribuir els vagons perquè el benefici d'un transport de cotxes 1motocicletes siga màxim. i quant val aquest benefici.

45Sep. 04Obteniu la matriu X que verificaessent:AX - B = 3X,A =⎛⎜⎜⎜⎝332201− 1⎞⎟1 ⎟3 ⎟⎠i⎛ − 2 ⎞⎜ ⎟B = ⎜ − 1 ⎟⎜ ⎟⎝ 1 ⎠46Sep. 0447Sep. 0448Sep. 0449Juny 05Un fabricant produeix en dos tallers tres models diferents d'arxivadors, el A,el B i el C. S'ha compromés a entregar 12 arxivadors del model A, 8 del B i24 del C. Al fabricant li costa 720 € al dia el funcionament del primer taller i960 € el del segon. El primer taller produeix diàriament 4 arxivadors delmodel A, 2 del B i 4 del C, mentre que el segon produeix 2, 2 i 12arxivadors, respectivament. Quants dies ha de treballar cada taller per a, totcomplint el contracte, aconseguir reduir al màxim els costos defuncionament? Quin és el valor de l’esmentat cost? Quedaria algun excedentd’algun producte als tallers? En cas afirmatiu, determineu-ne quant.Dos fills decideixen fer un regal de 100 € a sa mare. Com que no tenen proudiner, compten amb l'ajuda de son pare i decideixen pagar el regal de lasegüent forma: el pare paga el triple del que paguen els dos fills junts i, percada 2 € que paga el germà menor, el major paga 3 €. Quants diners ha deposar cadascú?Calculeu els punts de la regió definida perx + y ≥ 62x+3 ≤2 ≤y ≤ 15x ≤y ≤on la funció z = 3x + 2y pren els valors màxim i mínim. Calculeu elsesmentats valors.Helena, Pere i Joan col·loquen diàriament fulls de propaganda sobre elsparabrises deis cotxes aparcats al carrer.Pere reparteix sempre el 20% deltotal de la propaganda, Joan reparteix 100 fulls més que Helena i entre Pere iHelena col·loquen 850 fulls als parabrises. Plantegeu un sistema d’equacionsque permeta esbrinar quants fulls reparteixen, respectivament, Helena, Pere iJoan i calculeu aquests valors.65

55Sep. 0556Sep. 0557Juny 0658Juny 0659Juny 06Dos germans decideixen invertir 10000 € cadascun en distints productesfinancers. El major va invertir una quantitat A en un producte que haproporcionat un benefici del 6%, una quantitat B en un altre que ha donat unarendibilitat del 5% i la resta en un termini fix al 2% d’interès. El germàmenor va invertir eixes mateixes quantitats en altres productes que li hanproporcionat, respectivament. uns beneficis del 4, 3 i 7 %. Determineu lesquantitats A, B i C invertides si els guanys del germà major han segut 415 € iles del xicotet 460 €.Representeu la regió factible donada pel sistema d’inequacions:x + y ≥ − 1x ≤2y ≥ − 11x ≥ 3y−2i trobeu els punts de la regió on la funció f(x,y)= 2x+3y assoleix els valorsmàxim i mínim i obtingueu tals valors.Tres constructores inverteixen en la compra de terrenys de la forma següent:la primera va invertir mig milió d’euros en terreny urbà 250.000 euros enterreny industrial i 250.000 euros en terreny rústic. La segona, va invertir125.000, 250.000 i 125.000 euros en terreny urbà industrial i rústic,respectivament, i la tercera, 100.000, 100.000 i 200.000 euros en aquestsmateixos tipus de terreny, respectivament. Transcorregut un any, venen totsels terrenys. La rendibilitat que obté la primera constructora és del 13,75%,la de la segona de 1’11,25% i, finalment la de la tercera és del 10%.Determina la rendibilitat de cada un dels tipus de terreny per separat.Resol el següent sistema d’equacions lineals utilitzant el mètode de Cramer:⎧⎪⎨⎪⎩x + y − 2z= − 6x2x− y+ z = 5= 11Una refineria de petroli adquireix dos tipus de cru, lleuger i pesat, a un preude 70 i 65 euros per barril, respectivament. Amb cada barril de cru lleuger larefineria produeix 0,3 barrils de gasolina 95, 0,4 barrils de gasolina 98 i 0,2barrils de gas-oil. Així mateix, amb cada barril de cru pesat produeix 0,1, 0,2i 0,5 barrils de cada un d’aquests tres productes, respectivament. La refineriaha de subministrar almenys 26.300 barrils de gasolina 95, 40.600 barrils degasolina 98 i 29.500 barrils de gas-oil. Determina quants barrils de cada tipusde cru ha de comprar la refineria per a cobrir les seues necessitats deproducció amb un cost mínim i calcula aquest.60⎛ 3 − 1⎞tSep. 06 Determina la matriu A què verifica l’equació AB + A = 2Bon B = ⎜ ⎟⎝ 0 2 ⎠tB representa la matriu transposada de B.i

61Sep. 0662Sep. 0663Juny 0764Juny 07Una destil·leria produeix dos tipus de whisky blend mesclant només duesmaltes destil·lades distintes, A i B. El primer té un 70% de malta A i es ven a12 €/litre, mentre que el segon té un 50% de l’esmentada malta i es ven a 16€/litre. La disponibilitat de les maltes A i B són 132 i 90 litres,respectivament Quants litres de cadascun dels whiskys ha de produir ladestil·leria per a maximitzar els seus ingressos, sabent que la demanda delsegon whisky mai supera a la del primer en més del 80%? Quins serien enaquest cas els ingressos de la destil·leria?.En el primer curs de batxillerat d’un institut hi ha matriculats un total de 65alumnes dividits en tres grups: A, B i C. Dinen en el centre 42 d’ells, quecorresponen a la meitat dels del grup A, les quatre cinquenes parts dels del Bi les dues terceres parts dels del C. A una eixida fora del centre van acudir lestres quartes parts dels alumnes del grup A, tots els del B i les dues terceresparts dels del C, sumant en total 52 estudiants. Quants alumnes hi ha en cadagrup?Els tres models existents d’una marca d'automòbils costen 12.000, 15.000 i22.000 euros, respectivament. Un concessionari ha ingressat 1.265.000 eurosper la venda d'automòbils d’aquesta marca. Quants cotxes ha venut decadascun dels models si del més barat es van vendre tants com dels altres dosjunts i del més car la tercera part dels cotxes que costen 15.000 euros?a) Representa gràficament el conjunt de solucions del sistema determinat perles inequacions següents:3y − 4x − 8 ≤ 0 , y ≥ − 4 x + 4 , y ≥ 2 , x ≤ 1b) Troba els vèrtexs de la regió anterior.c) Calcula el punt on assoleix el mínim la funció f(x,y) =3x− y en la ditaregió. Determina aquest valor mínim.65⎛ 1 2 ⎞Juny 07 Donada la matriu A = ⎜ ⎟1, calcula A ⋅ At 5 −t− 1− A , sent A i A les⎝ − 1 3 ⎠matrius transposada i inversa de A ,respectivament.66 Una fàbrica de fertilitzants produeix dos tipus d’adob, A i B, a partir de duesJuny 07 matèries primeres M1i M2. Per a fabricar 1 tona de A fan falta 500 Kg. deM1 i 750 Kg. de M2, mentre que les quantitats de M1 i M2 utilitzades per afabricar 1Tm. de B són 800 Kg. i 400 Kg., respectivament. L’empresa técontractat un subministrament màxim de 10 Tm. de cadascuna de lesmatèries primeres i ven a 1.000 € i 1.500 € cada Tm. d’adob A i B,respectivament. Sabent que la demanda de B mai arriba a triplicar la de A,quantes tones de cadascun dels adobs ha de fabricar per a maximitzar els67Sep. 07seus ingressos i quins són aquestos?S’estan preparant dosis amb dos tipus de complements per als astronautes dela nau Enterprise. Cada gram del complement A conté 2 unitats deriboflavina, 3 de ferro i 2 de carbohidrats. Cada gram del complement Bconté 2 unitats de riboflavina, 1 de ferro i 4 de carbohidrats. Quants grams decada complement són necessaris per a produir exactament una dosi amb 12unitats de riboflavina, 16 de ferro i 14 de carbohidrats?