Geometria - IES Jaume I de Borriana

27Juny 0528Juny 0529Sep. 0530Sep. 0531Juny 06Es consideren el pla π : y + z − 12m= 0 (m paràmetre real) i les rectes:⎧ x = 1 ⎧ x = 2 ⎧ x = 3u : ⎨ , v : ⎨ , w: ⎨ . Siguen A, B i C els punts d’intersecció⎩ y = z ⎩ y = 3z⎩ y = 3zde π amb u ,v i w respectivament.a) Calculeu les coordenades de A, B i C en funció de m.b) Trobeu els valors de m per als quals l’área del triangle ABC és 1 u.a.Trobeu les equacions dels plans que passen pel punt (-7, 2, -3) i que lesprojeccions perpendiculars de l’origen sobre els esmentats plans són puntsde la recta (x, y, z)=(O,4,1)+t(1,0,0).Un paral·lepípede rectangular (o ortoedre) té tres de les seues arestes sobreles rectes:l: ⎨ ⎧ x = 0, m: ⎨ ⎧ x − 2y= 0i n: ⎨ ⎧ 2x+ y = 0⎩ y = 0 ⎩ z = 0⎩ z = 0(12,21,-11). Es demanaa) Trobar els vértexs restants. b) Calcular el seu volum.,i un dels seus vèrtexs ésDonats els plans π : 5 x − y − z = 0 , σ : x + y − z = 0 i el punt P(9, 4, -1),determineu:a) L’equació del pla que passa per P i és perpendicular a π i a σ .b) El punt simétric de P respecte de la recta r, intersecció deis plans π i σ .En l’espai es consideren:- La recta r intersecció de dos plans d’equacions implícites: x + y — z = 5 i2x + y — 2z = 2.- I la recta s que passa pels punts P = (3, 10, 5) i Q = (5, 12, 6). Es demana:a) Calculeu les equacions paramètriques de la recta r (0,6 punts) i de larecta s (0,4 punts).b) Calculeu el punt H intersecció de r i s (0,6 punts) i l’angle α quedeterminen r i s (0,4 punts).c) Calculeu els punts M i N de la recta r per als quals l’área de cadascundels triangles de vèrtexs PQM i PQN és 3 unitats d’àrea (1,3 punts).

32Juny 06Donats els punts:demana:⎧⎨⎩A = (4, − 4,9)L = (1,1,4)B = (2,0,5)M=(0,2,3)C = (4,2,6) ⎫⎬N = (3,0,5) ⎭a) Calculeu la distància d del punt C al punt mitjà del segment d’extrems A,B (0,5 punts) i l’àrea S del triangle de vèrtexs A, B, C (1 punt).b) Calculeu les equacions implícites del pla π que passa pels punts A, B, C(0,4 punts) i del pla π ' que passa pels punts L,M,N (0,4 punts)c) Calculeu l’equació paramètrica de la recta r intersecció dels plans π i π ’(0,6 punts) i l’angle α que determinen els plans π i π ’ (0,4 punts), es33Sep. 0634Sep. 0635Juny 07En l’espai es consideren:> La recta r intersecció dels plans d’equacions implícites 2x - 2y — z = 9 i4x - y + z = 42.> I la recta s que passa pels punts (1,3,-4) i (3,-5,-2). Es demana:a) Calculeu les equacions paramètriques de la recta r (0,8 punts) i de larecta s (0,3 punts).b) Justifiqueu que les rectes r i s s’encreuen (0,8 punts).c) Calculeu un vector direccional de la recta t, perpendicular comú a lesrectes r i s, (0,4 punts) i calculeu el punt P d’intersecció de les rectes s i t (1punt).En l’espai es consideren:> El pla π que passa pels punts (11, 1, 2), (5, 7, 5) i (7, -1, -2).> I la recta r intersecció dels plans d’equacions implícites x + y + z = 15 i2x -7y + 2z = 3.a) Calculeu l’equació paramètrica de r (0,6 punts) i l’equació implícita delpla π (0,4 punts).b) Calculen el punt P intersecció de r i π (0,8 punts) i l’angle α quedeterminen r i π (0,5 punts).c) Calculeu els punts M i N de la recta r la distància al pla π dels quals ésigual a 3 u.l. (1 punt).Ateses les dues rectes r i s, que es tallen, d’equacionsx − 1 2y− 1 2z− 3 x − 3 2y+ 3 z − 1r : == i s : ==2 − 6 6− 2 2 4es demana que calculeu:a) El punt P de tall de les rectes r i s. (1,1 punts).b) Un vector direccional de r i un altre de s (0,5 punts), i l’angle α queformen les rectes r i s en el punt de tall P. (0,6 punts).c) L’equació implícita ax + by + cz + d = 0 del pla π que conté les rectes r is (1,1 punts).

36Juny 0737Sep. 0738Sep. 0739Juny 0840Juny 0841Sep.08Atesos el punt Q = (3, –1, 4) i la recta r d’equació paramètricar: x = –2 + 3λ, y = –2λ, z = 1 + 4λ, es demana el següent:a) Trobeu la distància del punt Q a la recta r. (1,1 punts).b) Justifiqueu que la recta s que passa per Q i té (1, −1, 1) com a vectordireccional no talla a r.(1,1 punts).c) Calculeu la distància entre les rectes r i s. (1,1 punts).Atès el pla π : 2x +y + 3z -1 = 0 i el punt Q = (2,1,3), es demana quecalculeu:a) La distància del punt Q al pla π . (1,1 punts).b) L’àrea del triangle ∆ els vèrtexs del qual P 1 , P 2 i P 3 són els puntsd’intersecció del pla π amb els eixos coordenats. (1,1 punts).c) El volum del tetraedre de vèrtexs P 1 , P 2 , P 3 i Q. (1,1 punts).Atesos els plans π1 i π2 d’equacionsπ1 : x+2y+z+3=0; π2:2x+y-z-6=0, es demana el següent:a) Calculeu l’angle α que formen els plans π1 i π2 (1,1 punts).b) Calculeu l’equació paramètrica de la recta r, intersecció dels plans π1 iπ (1,1 punts).2c) Comproveu que el pla π d’equació x + y -1 = 0 és el pla bisector de π1 iπ2 , és a dir, π forma un angle α /2 amb cadascun dels plans π1 i π2 , onα és l’angle obtingut en l’apartat a). (1,1 punts).Es donen els punts A = (2, 1, 1) i B = (1, 0, —1), i la recta r d’equacióz + 2r : x − 5 = y = . Es demana que calculeu raonadament:− 2a) El punt C de r que equidista de A i B. (2 punts).b) L’àrea del triangle ABC. (1,3 punts).Ateses la recta r, intersecció dels plans y + z = 0 i x - 2 y-1 = 0, i la recta sxd’equació = y − 1 = − z + 3, es demana el següent:2a) Obteniu, raonadament, equacions paramètriques de r i s. (1,1 punts).b) Expliqueu d’un mode raonat quina és la posició relativa de les rectes r is. (1,1 punts).c) Calculeu la distància entre les rectes r i s. (1,1 punts).Atesos els dos plans π1 : x + y + z = 3 i π2 : x + y— α z = 0, es demanaque calculeu raonadament:a) El valor de α perquè els plans π1 i π2 siguen perpendiculars i, per aaquest valor de α , obteniu les equacions paramètriques de la rectaintersecció d’aquests dos plans. (1,5 punts).b) El valor de α perquè els plans π1 i π2 siguen paral·lels, i per a aquestvalor deα , obteniu la distància entre els dos plans π1 i π2 (1,8 punts).

42Sep.0843Juny 0944Juny 0945Sep.0946Sep.09Atesos el punt O = (0, 0, 0) i el pla π : x + y +z = 6, es demana quecalculeu raonadament:a) L’equació de la recta r que passa per O i és perpendicular al pla π . (1,1punts).b) Les coordenades del punt simètric de O respecte del pla π . (1,1 punís).c) L’equació del pla que conté l’eix X i la recta r. (1,1 punts).Siguen A, B i C els punts d’intersecció del pla d’equacióx + 4 y − 2z− 4 =0amb els tres eixos coordenats OX, OY i OZ, respectivament. Es demanacalcular raonadament:a) L’àrea del triangle ABC. (1,1 punts).b) El perímetre del triangle ABC. (1,1 punts).c) Els tres angles interiors del triangle ABC. (1,1 punts).Donats els punts O (0,0,0), A = (4,4,0) i P = (0,0,12), es demana obtindreraonadament:a) L’equació de la recta que passa per A i és perpendicular al pla d’equacióz = 0. (1 punt).b) L’equació d’un pla que complisca les dues condicions següents:- Passe per P i per un punt Q de la recta d’equació x = y = 4- Siga perpendicular a la recta que passa per O i Q. (2,3 punts per trobar undels dos plans solució).Atesos els punts P = (3, -1, 4) i Q = (1, 0, -1), i el pla π d’equacióπ : x − 2y+ 2z+ 5 = 0 , es demana que calculeu raonadament:a) L’equació de la recta r que passa pel punt P i és perpendicular al pla π .(1,4punts).b) L’equació dels plans que passen pel punt P i són perpendiculars al pla π. (1 punt).c) L’equació del pla π ’ que passa pels punts P i Q i és perpendicular al plaπ . (0,9 punts).Siga π el pla d’equació : 3x + 2y + 4z -12 = 0. Calculeu raonadament:a) Les equacions dels dos plans paral·lels a π que disten 5 unitats de π .(1,2punts).b) Els tres punts A, B i C, intersecció del pla π amb cada un dels tres eixoscoordenats. (0, 6punts).e) Els tres angles del triangle ABC. (1,5punts).

47Juny 1048Juny 1049Sep. 1050Sep. 1051Juny 11Donades les rectes d’equacions⎧ 5x+ y − z = 4⎧ x − y = − 5r = ⎨is = ⎨ ,⎩ 2x− 2y− z = − 5⎩ z = 4es demana:a) Justificar que les rectes r i s es creuen. (4 punts).b) Calcular raonadament la distància entre les rectes r i s. (3 punts).c) Determinar l’equació del pla r que és paral·lel i equidistant a les rectes r is. (3 punts).Siga r la recta de vector director (2, -1, 1) que passa pel punt P = (0,3,-1).Es demana:a) Obtindre raonadament la distància del punt A = (0, 1,0) a la recta r. (4punts).b) Calcular raonadament l’angle que forma la recta que passa pels punts P iA amb la recta r en el punt P. (4 punts).c) Si Q és el punt on la recta r talla el pla d’equació z = 0, comprovar que eltriangle de vèrtexs APQ té angles iguals en els vèrtexs P i Q. (2 punts).Es demana obtindre raonadament:a) L’equació del pla π que passa pels punts O = (0,0,0), A= (6,—3,0) iB = (3,0,1). (3 punts).b) L’equació de la recta r que passa pel punt P = (8,7,—2) i ésperpendicular al pla π .(3 punts).c) El punt Q del pla π , la distància al punt P del qual és menor que ladistància de qualsevol altre punt del pla π al punt P. (4punts).Donades les dues rectes r i s d’equacionsx − 4 y − 4y zr : = = z − 4 i s : x = =3 22 3es demana calcular raonadament:a) Les coordenades del punt P d’intersecció de les rectes r i s. (3 punts).b) L’angle que formen les rectes r i s. (3 punts).c) Equació implícita Ax + By + Cz + D = 0 del pla π que conté les rectes ri s. (4 punts).⎧ x + z = 2⎧ 2x− y = 3En l’espai es donen les rectes r : ⎨i s : ⎨.⎩ 2x− y + z = 0 ⎩ x − y − z = 2Obtingueu raonadament:a) Un punt i un vector director de cada recta. (3 punts).b) La posició relativa de les rectes r i s. (4 punts).c) L’equació del pla que conté a r i és paral·lela a s. (3 punts).

52Juny 11En l’espai es donen les rectes⎧ x =⎪r : ⎨ y =⎪⎩ z =λ1 −3λi : { x − 1 = y = z − 3}s .53Sep. 11Obtingueu raonadament:a) Un vector director de cada una de dites rectes r i s. (2 punts).b) L’equació del pla perpendicular a la recta r que passa pel punt (0, 1, 3).(3 punts).e) El punt d’intersecció de les rectes r i s (2 punts) i l’equació del pla π queconté aquestes rectes r i s. (3punts).En l’espai es donen les rectes i .Obtingueu raonadament:a) El valor de α per al qual les rectes r i s estan contingudes en un pla. (4punts)b) L’equació del pla que conté les rectes r i s per al valor d’obtingut enl’apartat anterior. (2 punts).c) L’equació del pla perpendicular a la recta r que conté el punt (1, 2, 1).(4 punts).54Sep. 11 Es dona la recta i el plaObtingueu raonadament:dependent del paràmetre real α.a) L’equació del pla que passa pel punt (1, 1, 0). (3 punts)b) L’equació del pla que és paral·lel a la recta r. (4 punts).c) L’equació del pla que és perpendicular a la recta r. (3 punts).