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3ESOedebéMatemáticasorientadas a las enseñanzas académicasBloque I: Números y álgebra. Funcionesedebéproyecto global interactivon

9GEOMETRÍARectas y ángulosLos elementos geométricos en el arteMuchos escultores (Chillida, Oteiza, Calder...) han utilizadoy utilizan elementos geométricos básicos, como lasrectas y los ángulos, en sus composiciones.Observa la obra Cerillas (1992), de Claes Oldenburg.Este escultor sueco es uno de los pioneros del Pop Art.Es conocido sobre todo por sus instalaciones de arte públicoque representan réplicas a gran escala de objetoscotidianos.CONTENIDOS1. Elementos básicos de la geometría2. Ángulos3. Construcciones geométricas con ordenadorCre@ctividadConfección de un resumenRutina de pensamientoTITULAREntra en esta página y observa sus imágenes:http://links.edebe.com/tmqa• Escribe un titular que capte el aspecto más importantede su contenido.• Poned en común.• ¿Cambiarías tu titular tras la puesta en común?196

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Representación derectas y planosLas rectas y los planos sonilimi tados, por lo que solamentepodemos representar unaparte de ellos.1. Elementos básicos de la geometríaLos tres elementos básicos de la geometría son los puntos, las rectas y losplanos.1.1. Punto. Recta. PlanoLos puntos permiten representar una posición en el espacio.ABDeterminaciónde una rectaPor un punto pasan infinitasrectas.Por dos puntos solo pasa unarecta.AAEntonces, una recta queda determinadapor dos puntos.BrLos puntos se representan con dos pequeños trazos que se cruzan o con uncírculo pequeño y los simbolizaremos con letras mayúsculas (A, B, C...).Un punto es un elemento geométrico que identifi ca una posición en elespacio.Podemos unir dos puntos mediante una recta.Las rectas se representan mediante una línea recta y las simbolizaremos con letrasminúsculas (r, s, t...).Una recta es una sucesión infi nita de puntos situados en una misma dirección.rLos puntos y las rectas quedan contenidos en planos.Determinaciónde un planoUn plano queda definido por lossiguientes elementos geométricos:• Tres puntos no alineados.• Una recta y un punto exteriora ella.• Dos rectas paralelas.• Dos rectas que se cortan.αLos planos se representan mediante un paralelogramo y los simbolizaremos conletras griegas (α, β, γ...).Un plano es un elemento geométrico que posee dos dimensiones y contieneinfinitos puntos y rectas.1. Representa un plano α y dibuja, a continuación, una rectar que pertenezca al plano.— Después, representa dos puntos, A y B: el punto Apertenece a la recta y el punto B pertenece al plano,pero no a la recta.2. Si tres o más puntos pertenecen a la misma recta, decimosque están alineados. Dibuja tres puntos alineados.3. Traza todas las rectas posibles que pasen por dos de lospuntos de la figura. ¿Cuántas rectas has obtenido?ABDCActividades198 Unidad 9

1.2. Semirrecta. Segmento. SemiplanoCualquier punto de una recta divide a esta en dos partes, denominadas semirrectas.SemirrectaAOrigenSemirrectaEl punto A es el origen de las dos semirrectas.Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una rectapor uno cualquiera de sus puntos.Dos puntos de una recta delimitan un segmento.• Los puntos A y B son los extremos del segmento AB.ASegmento ABExtremos• Los segmentos se simbolizan con las letras mayúsculas que forman sus extremos(AB, BC...).Un segmento es un fragmento de recta que está comprendido entre dospuntos, llamados extremos.Al trazar una recta en un plano, este queda dividido en dos partes, denominadassemiplanos.BSegmentosconsecutivosLos segmentos consecutivosson aquellos que tienen un extremoen común.PSi los segmentos consecutivospertenecen a la misma recta sedenominan segmentos consecutivosalineados.UQVRWSα 1α 2rXUn semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano poruna cualquiera de sus rectas.4. Dibuja una recta y señala dos puntos distintos sobre ella. ¿Cuántas semirrectas resultan? ¿Y cuántos segmentos?— A continuación, señala tres puntos distintos sobre otra recta y determina el número de semirrectas y de segmentos.5. Indica con qué elemento geométrico asociarías cada uno de estos ejemplos:a) Una calle desde una plaza hacia cualquier dirección.b) Un tramo de calle comprendido entre las dos calles que lo cortan.6. ¿Cuáles de estos elementos geométricos se pueden medir y cuáles no: recta, semirrecta, segmento? Justifi ca turespuesta.ActividadesRectas y ángulos199

Lugar geométricoUn lugar geométrico es unconjunto de puntos de un planoque cumplen una propiedad.1.3. Mediatriz de un segmentoObserva la figura:ABLa recta perpendicular al segmento AB, denominada mediatriz, lo corta por supunto medio y lo divide en dos partes iguales.La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento quepasa por su punto medio.También se puede definir la mediatriz a partir de la distancia de sus puntos a losextremos del segmento.Observa esta figura:MediatrizD D’ABFijate en que cualquiera de las líneas de la región D tiene la misma longitud quesu correspondiente en D’; es decir, todos los puntos de la mediatriz equidistande A y B.La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos delplano que equidistan de dos puntos fijos.7. Observa cómo se construye la mediatriz de un segmento en este enlace: http://links.edebe.com/8yyk. A continuación,dibuja la mediatriz de un segmento AB que mide 4 cm y explica el proceso que has seguido para hacerlo.8. Dibuja un segmento de 6 cm y su mediatriz. Construye un triángulo con dos de sus vértices en los extremos del segmento,y el tercer vértice sobre la mediatriz. ¿Qué tipo de triángulo es?Actividades200 Unidad 9

1.4. Teorema de TalesObserva estas dos rectas secantes cortadas por otras rectas paralelas:rCBAuA′ u′B′Cada segmento delimitado en una de las secantes es proporcional al segmentocorrespondiente delimitado en la otra secante.Esta propiedad es el teorema de Tales:Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas,los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentoscorrespondientes determinados en la otra.AB CD= = ...A' B' C' D'C′sDicho teorema permite determinar el paralelismo de dos rectas, hallar medidasindirectas, dividir un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dadoso bien en partes iguales...Observa su aplicación para dividir un segmento en cinco partes iguales.1. Dibujamos el segmento AB.A3. Unimos el extremo libre del últimosegmento b con el punto B.Ab b b b bBB2. Dibujamos una semirrecta con origenen A. Sobre esta semirrectasituamos consecutivos y alineadoscinco segmentos de una mismalongitud b.Ab b b b b4. Trazamos rectas paralelas al segmentoanterior que pasen por lospuntos marcados en la semirrecta.Ab b b b bBBParalelismo de rectasEl teorema de Tales puede aplicarsepara determinar si dosrectas son paralelas o no. Observala figura.saSi se verifica quera’ b’aa'=bbb'entonces las rectas r y s sonparalelas.9. Divide gráficamente un segmento de longitud a = 14 cm en seis partes iguales.10. Las rectas r y s son paralelas. Justifica si la recta t es paralela a las rectas r y s.1,5 cmr3 cms1 cm 2 cmtActividadesRectas y ángulos201

Unidades de medidade ángulosPara medir ángulos habitualmentese utiliza el grado sexagesimal.Un grado sexagesimal es elángulo que obtenemos al dividirun ángulo recto en 90 partesiguales. Se simboliza 1°.Los submúltiplos del gradosexagesimal son el minutosexagesimal (’) y el segundosexagesimal (’’).× 60 × 60Grado (0) Minuto (’) Segundo (’’)sexagesimal sexagesimal sexagesimal: 60 : 60Los ángulos se miden con eltransportador.2. ÁngulosUn ángulo se puede definir como una región del plano o como una región barridaen un giro.BVérticeOALadoLadoÁngulo es cada una de las dos regiones en que queda dividido el planopor dos semirrectas que tienen el mismo origen o vértice.OPosiciónfinalAPosicióninicialSemirecta generatrizÁngulo es la región del plano barrida al girar una semirrecta, semirrectageneratriz, respecto de su origen desde una posición inicial hasta unaposición final.2.1. Clasificación de los ángulosLos ángulos pueden clasificarse según diversos criterios.• Según la región del plano que abarcan:ÁNGULO CONVEXOÁNGULO CÓNCAVOABUn ángulo convexo abarca una de las cuatro regiones delplano determinadas al prolongar sus lados por el vértice.Mide más de 0º y menos de 180º.Un ángulo cóncavo abarca tres de las cuatro regiones delplano determinadas al prolongar sus lados por el vértice.Mide más de 180º y menos de 360º.11. Clasifica estos ángulos en cóncavos y convexos:21 543687Actividades202 Unidad 9

• Según su amplitud o medida:ÁNGULO RECTO ÁNGULO AGUDO ÁNGULO OBTUSOA = 90°Dos semirrectas perpendiculares formanun ángulo recto.Mide 90º.Un ángulo agudo tiene una amplitudmenor que un ángulo recto.Mide menos de 90º.Un ángulo obtuso tiene mayor amplitudque un ángulo recto y menor queuno llano.Mide más de 90º.ÁNGULO NULO ÁNGULO LLANO ÁNGULO COMPLETOODos semirrectas con el mismo origeny el mismo sentido forman un ángulonulo.Mide 0º.ODos semirrectas con el mismo origeny sentido contrario forman un ángulollano.Mide 180º.OUn ángulo completo tiene una amplitudequivalente a cuatro ángulos rectos.Mide 360º.Dado un ángulo, podemos definir su ángulo complementario y su ángulo suplementario:ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSÁNGULOS SUPLEMENTARIOS^A + ^B = 90° ^C + ^D = 180°BADCDos ángulos son complementarios si suman 90°. Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.12. Clasifica estos ángulos según su amplitud: 13. Completa esta tabla en tu cuaderno:Ángulo Complementario Suplementario35º 70º125º50ºActividades82ºRectas y ángulos203

2.2. Bisectriz de un ánguloFíjate en la figura:Accede a la páginahttp://links.edebe.com/ihcy efectúa las actividades que seproponen sobre la bisectriz deun ángulo.La semirrecta que se origina en el vértice del ángulo, denominada bisectriz, lodivide en dos ángulos iguales.La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulosiguales.La bisectriz también se puede definir a partir de la distancia de sus puntos a loslados del ángulo.Observa esta figura:BisectrizDD’Las líneas de la región D tienen la misma longitud que sus correspondientes dela región D’. Es decir, todos los puntos de la bisectriz equidistan de los lados delángulo.La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del planoque equidistan de los lados del ángulo.14. Observa cómo se traza la bisectriz de un ángulo en estevídeo: http://links.edebe.com/gix. A continuación, dibujaun ángulo de 40º, traza su bisectriz y explica el procesoque has seguido para ello.15. Traza las bisectrices de los dos ángulos consecutivos dela figura.— ¿Qué relación existe entre estas dos bisectrices?Actividades204 Unidad 9

2.3. Relaciones angularesLas relaciones entre ángulos debidas a su posición comportan propiedades quenos permiten determinar si dos ángulos son iguales o suplementarios sin necesidadde efectuar ninguna operación.Ángulos determinados por dos rectas que se cortanEn la figura se puede apreciar que al cortarse dos rectas se forman cuatro ángulos:Ángulos consecutivosLos ángulos consecutivos sonaquellos que poseen un mismovértice y tienen un lado común.OAB21 43Lado comúmLos ángulos ^A y ^B son consecutivos.Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben distintosnombres:ÁNGULOS ADYACENTESLos ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vérticey un lado en común, y sus otros dos lados son semirrectasopuestas.Lado comúmÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICELos ángulos opuestos por el vértice son aquellos que compartenel vértice y los lados de uno son prolongación de loslados del otro.BCAC^C + ^D = 180°Los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios,porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°).ODD^A y ^D son adyacentes; por tanto, ^A + ^D = 180°.^C y ^D son adyacentes; por tanto, ^C + ^D = 180°.^A = 180° −^D ^A =^C^C = 180° −^D}Del mismo modo se obtiene ^B =^D.Dos ángulos adyacentes son suplementarios.Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.16. Observa esta figura e indica cuáles son los pares de ángulos:a) Adyacentesb) Opuestos por el vérticeCBDAActividadesRectas y ángulos205

13245768Ángulos determinados por dos paralelasy una secanteEn la figura de la izquierda se puede observar que dos rectas paralelas cortadaspor una recta secante determinan ocho ángulos.Estos ángulos guardan entre sí diferentes relaciones según la posición que ocupan.Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son internos y los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externosrespecto a las rectas paralelas.CORRESPONDIENTESALTERNOSINTERNOSALTERNOSEXTERNOSOPUESTOS POREL VÉRTICEBACDFEGHCDFEBAGHBACDFEGHLos ángulos correspondientesson los que estánsituados al mismo lado delas paralelas y al mismolado de la secante.Los ángulos alternos internosson los que están en laparte interior de las paralelas,a distinto lado de ellas ya distinto lado de la secante.Los ángulos alternos externosson los que están en laparte exterior de las paralelas,a distinto lado de ellas ya distinto lado de la secante.Los ángulos opuestos porel vértice son los que estána distinto lado de las paralelasy a distinto lado de lasecante.Dos ángulos correspondientes, dos ángulos alternos internos, dos ángulosalternos externos y dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.ADYACENTES CONJUGADOS INTERNOS CONJUGADOS EXTERNOSBACDFEGHCDFEBAGHLos ángulos adyacentes son aquellos quetienen el vértice y un lado en común, y susotros dos lados son semirrectas opuestas.Los ángulos conjugados internosson los ángulos internos a las paralelasy del mismo lado de la secante.Los ángulos conjugados externosson los ángulos externos a las paralelasy del mismo lado de la secante.Dos ángulos adyacentes, dos ángulos conjugados internos y dos ángulosconjugados externos son suplementarios.17. Observa las tablas de esta página e indica cuáles son lasparejas de ángulos:a) Correspondientes e) Adyacentesb) Alternos internos f) Conjugados internosc) Alternos externos g) Conjugados externosd) Opuestos por el vértice18. Determina los pares de ángulos iguales. Razona tu respuesta.CBAFDEActividades206 Unidad 9

3. Construcciones geométricascon ordenadorLos programas de geometría dinámica, entre ellos GeoGebra, incorporanrecursos para practicar los conceptos presentados en esta unidad; por ejemplo,para trazar pares de ángulos y comprobar sus propiedades.Los iconos de la barra de herramientas que podemos utilizar son los siguientes:Las construcciones geométricasse han desarrollado con elprograma GeoGebra, queestá disponible on line, con laopción Webstart, en la página:www.geogebra.org• Para trazar los lados de los ángulos:Segmento entredos puntos• Para trazar ángulos:ÁnguloRecta que pasapor dos puntosÁngulo dada suamplitudSemirrecta quepasa por dospuntos• Para trazar puntos:Nuevo puntoIntersección dedos objetosVamos a dibujar dos pares de ángulos opuestos por el vértice.— Trazamos un segmento AB con la herramienta .— A continuación, con la misma herramienta, trazamos otro segmento CD quecorte al primero.— Con la herramienta , trazamos el punto punto de intersección de los dossegmentos, E.— Con la herramienta , trazamos los cuatro ángulos determinados por lossegmentos. Para dibujar los ángulos, debemos señalar los tres puntos, siguiendoun orden determinado: AED, BEC, CEA y DEB.— Podemos repetir el proceso, creando nuevos pares de segmentos para comprobarque los ángulos opuestos por el vértice son iguales.Utiliza el programa GeoGebra para resolver las siguientes actividades:19. Construye dos pares de ángulos opuestos por el vértice utilizando otras herramientas. Utilizaestas opciones:— Para trazar los lados de los ángulos: Recta que pasa por dos puntos o Semirrecta que pasapor dos puntos.— Para trazar los ángulos: Ángulo dada su amplitud.— Para trazar el punto de intersección: Nuevo punto.20. Averigua cómo se insertan imágenes en GeoGebra. Utiliza una imagen del plano de una ciudady, con el programa, mide algunos de los ángulos que forman las calles.21. Traza dos rectas paralelas cortadas por una secante. Muestra el valor de los ocho ángulos formados y comprueba quese cumplen las relaciones de igualdad y suplementariedad tratadas en la página anterior.ActividadesRectas y ángulos207

ACTIVIDADES RESUELTASCBEn la imagen, las rectas perpendiculares a la base de la pared sonparalelas entre ellas.0,75 mACalcula la distancia entre A y B y la distancia entre B y C.0,6 m 0,9 m 1,5 mCompreder— ¿Entiendes el enunciado?— ¿Distingues cuáles son los datos?— ¿Hay suficiente información?Planificar¿Puedes utilizar alguna de las siguientes estrategias?— Aplicar algún método geométrico.— Construir una figura.— Usar un teorema.Ejecutar el planAhora se trata de implementar la estrategia elegida para resolverel problema.Revisar— ¿Son correctas las soluciones?— ¿Satisfacen tus soluciones lo establecido en el problema?En la imagen se muestran dos rectas secantes cortadas por tresparalelas.Conocemos las longitudes de tres de los segmentos de una delas rectas y la longitud de un segmento de la otra.Podemos aplicar el teorema de Tales para resolver el problema:Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectasparalelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionalesa los segmentos correspondientes determinadosen la otra. Es decir:0,75 AB BC= =0,6 0,9 1,5Escribimos las proporciones para determinar las distanciasdesconocidas:0,75 AB= →0,75 ⋅ 0,9= 0,6⋅AB0,6 0,90,6750,675 = 0,6 ⋅AB → AB = = 1,1250,60,75 CD= →0,75 ⋅ 1,5= 0,6⋅CD0,6 1,51,1251,125 = 0,6 ⋅CD→ CD = = 1,8750,6La distancia AB es de 1,125 m y la distancia BC es de 1,875 m.Para verificar que las soluciones son correctas, comprobamos quese cumplen las proporciones establecidas por el teorema de Tales:0,751,1251,875= 1,25 ; = 1,25 ; = 1,250,60,91,522. Sabiendo que las rectas quecortan a r y s son paralelas,determina la longitud x.r1 cm 5 cms x 7 cm23. Las rectas a y b son paralelas.Justifica si la recta c esparalela a las rectas a y b.6 cm3 cmb9 cm 4,5 cmcActividadesa208 Unidad 9

SÍNTESISELEMENTOS BÁSICOSDE LA GEOMETRÍAPUNTOS RECTAS PLANOS• Elementos geométricosque describen una posiciónen el espacio.• Sucesiones infinitas depuntos situados en unamisma dirección.• Elementos geométricosde dos dimensiones quecontienen infinitos puntosy rectas.permiten definirSEMIRRECTASSEGMENTOSpodemostrazar suMediatrizpermiten definirÁNGULOSpodemostrazar suBisectriz• Cada una de las dos regiones en que quedadividido el plano por dos semirrectas quetienen el mismo punto de origen o vértice.Actividades finalesElementos básicos de la geometría24. a Dibuja en tu cuaderno el lugar geométrico delos puntos equidistantes de los extremos de un segmentoAB de 5 cm de longitud. ¿Qué nombre recibeeste lugar geométrico?25. s Verifica, en cada caso, si el punto A pertenece ala mediatriz del segmento BC.ABCB26. a Observa la figura y elige la opción correcta.a) La distancia desde el punto C al punto A es menorque la distancia desde el punto C al punto B.b) La distancia desde el punto C al punto A es igual ala distancia desde el punto C al punto B.c) La distancia desde el puntoCC al punto A es mayorque la distancia desde elpunto C al punto B. A BCAm ABRectas y ángulos209

Actividades finales27. s Representa en tu cuaderno el lugar geométrico delos puntos cuya distancia al punto B es mayor o igual ala distancia al punto A.A28. s Representa en tu cuadernoel punto que es equidistante de losvértices del cuadrado.29. s Considera las cuerdas AB yCD. Representa en tu cuadernolas mediatrices de AB y de CD.Determina su intersección.ABADBBC34. d Las rectas a, b y c son paralelas. Calcula las longitudesx e y en cada caso.ab15 cmxyrsa3 cm7 cmbc7 cm5 cmr6 cm x 3 cma b c s35. d Representa en tu cuaderno el punto que es equidistantede los vértices del triángulo y, a continuación,dibuja el lugar geométrico de los puntos equidistantesdicho punto y que contiene los vértices del triángulo.Ay30. s Considera la recta r. Representa en tu cuaderno elpunto medio del segmento AB. A continuación, representael lugar geométrico de los puntos que equidistande su punto medio la mitad de la longitud de AB.ABCDÁngulos36. a Representa entu cuaderno el lugargeométrico de los puntosequidistantes de loslados de este ánguloque mide 110º.BC31. s Divide gráficamente un segmento AB de 10 cm ensiete partes iguales y traza un segmento CD que midatres séptimas partes de la longitud de AB.32. s Las rectas r, s y t sonA Bparalelas. Determina la2 cm 3 cmlongitud del segmentoCDDF.6 cm33. s Las rectas a, b y c son paralelas. Halla:a) La longitud x + 1 b) La longitud 2 xx 113 cmr3 cm 5 cms a b crsEa b c5 cm4 cm2 x10 cmxF37. a Considera el trapecio isósceles ABCD.Describe las características de sus ángulos internos.AB38. s Un ángulo ^A mide 40º y su ángulo complementario^B mide (2x)º. Calcula el valor de x.39. s Considera el ángulo AOBque mide 76º. Sabiendo que OCes la bisectriz del ángulo, calculael valor de x.OCD(x 3) oBCA210 Unidad 9

40. s Considera la figura siguiente y calcula el valor de x.B47. s ABCD es un rectángulo. Determina el ángulo formadopor el lado BC y el segmento CE.C(4x 1) o 65 oOA41. s Sabiendo que las rectas r y s son paralelas y que^A = 120º, calcula la amplitud del ángulo ^B.AD30 o BCErs42. s Las rectas r y s son secantes. Determina el valor de x.rs30ºBA(3x 6) o43. s Sabiendo que las rectas r y s son paralelas, calculala amplitud del ángulo ^B en cada caso.rsBA 135 o44. s Determina el valordel ángulo ^A.Br37 o AsA 43 o48. s El triángulo ABC es equilátero y las rectas r y sson paralelas. Clasifica el triángulo ADE según sus ángulos.DBAE49. d ABCD es un trapecio, las rectas r y s son paralelasy el segmento BC es perpendicular a las rectas r y s. Calculael valor de x.(2x) oDACB r110 o50. d La semirrecta que pasa por A y B es la bisectriz delángulo formado por los segmentos AC y AD. Determinael valor de x.12 cmCCrssA13 cmB45. s Las rectas r y s son paralelas. Calcula la amplituddel ángulo ^A.A100 o30 o s46. s ABCD es un cuadrado y DBes la bisectriz del ángulo formadopor los lados AD y DC. Calculael valor de x.AD(3x 6) orBCE2x + 1D51. d El triángulo ABC es isósceles, AF es la bisectriz delángulo formado por los lados AB y AC de dicho triángulo,CDE es un triángulo rectángulo, las rectas quepasan por DE y por AF sonparalelas y las rectas queApasan por AE y por BD sonsecantes. A partir de estosCDdatos, determina la amplitudFBdel ángulo formado por los 40 olados AB y AC del triánguloisósceles.ERectas y ángulos211

Actividades finales52. d Representa el punto en que se cortan las bisectricesdel triángulo y, a continuación, representa el lugargeométrico de los Apuntos equidistantesde dicho puntoy que es tangente asus lados.Problemas53. a En Nueva York, la Séptima Aveniday la Novena Avenida son paralelas.ATenemos dos edificios: el A en la Séptimay el B en la Novena. La recta que Bpasa por A y por B es perpendicular alas dos avenidas.¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistande los edificios A y B? Determínalo en el mapa.54. a En una granja, un cobertizoutilizado para proteger a los animalesde la lluvia se apoya en dos4 cmpilares y tiene la forma de la figura.Determina la distancia entre5 cmlos dos pilares.212 Unidad 9B9th4 cm x55. a Mónica tiene un mapa y con los ángulos marcadosen la figura quiere saber si las calles r y s son paralelas.¿Es posible?148 oCalle t56. s Se pretende perforar unpozo para captar gas naturalque sea equidistante de las localizacionesA y B. Calca la figuraen tu cuaderno y representaen ella el lugar geométrico dondese puede perforar el pozo.33 o Calle rACalle sm AB8th7thCBYacimientosubterráneode gas natural57. s Claudia quiere dividir su bizcocho en nueve partesiguales. El bizcocho mide 30 cm de largo. Describecómo puede conseguirloutilizando unrollo de cuerda, unaregla y un cuchillo.58. s Juan había dibujado untriángulo en una hoja de papelpero cayó un poco de pinturaencima de una parte del triángulocomo muestra la ilustración.Juan solamente recuerda que elpunto C pertenece a la mediatrizdel segmento AB. Describe laforma de dibujar otro triánguloigual con estos datos.59. s Un tobogán de un parque de atracciones tienelas dimensiones indicadas en la figura y expresadas enmetros.LGM5AN6O8FBHIFSe sabe que AGFBHC y AJEBID son prismas triangularesrectos y que ABMLJINK es un prisma cuadrangularrecto.Determina el área del rectángulo ABDE.60. s Se ha colocado untablón de madera en laparte superior de una escalerade dos peldaños,Atal como se observa a la25derecha.oDetermina la amplitud del ángulo ^A.61. s Un dispositivo emite un rayo láser en dirección a unespejo. Los ángulos del rayo incidente y del rayo reflejadoson iguales en relación con la normal; esto es, α = β.Determina las amplitudes de α y β.Dispositivo deemisión de láserRayo incidente9CNormalα β35 oEspejo62. s Una cometa tiene la forma de undeltoide (cuadrilátero no regular cuyoslados contiguos son iguales dos ados), tal como muestra la figura.Los puntos A y C pertenecen a la mediatrizdel segmento BD.Calcula el perímetro de la cometa.AEDCDRayo reflejado52 cmA25 cmB40 cmC

63. s La figura muestra la sombrade una antena (representadapor el segmento CE) enun momento dado. Determinala longitud de la sombra de laantena.( x 2 ) o mentos AD y ED.(4x 15) oExD66. d El punto de fuga es el lugar en el cual confluyen lasproyecciones de todas las rectas paralelas a una ciertadirección en el espacio, pero que no son paralelas al planode la proyección.4La figura siguiente representa un cubo según la proyeccióndel punto de fuga en el que las medidas estánA 5 B x + 1 Cexpresadas en centímetros. Los puntos D, F y H pertenecena la mediatriz del segmento AB.AA24BCDE100,8 mF312CD0,6 mGIHBDetermina la longitud de la arista FH en la proyección.Expresa el resultado con tres decimales.67. d Un pendiente tiene la forma de un cuadrado. Unade sus partes, el triángulo rectángulo, es de oro y la otra,el trapecio rectángulo, es de platino.Determina la amplitud del A EBCalle Río de Janeiroángulo formado por los seg-(3x) o64. d Un atleta tiene un arco con una flecha en posiciónde disparo como se muestra en la imagen.El segmento AB corresponde a lacuerda cuando no está en posiciónde disparo. La flecha pertenece a lamediatriz del segmento AB. El segmentoAD mide 0,8 m y el segmentoCD mide 0,6 m cuando está en posiciónde disparo.Determina la longitud de la cuerda cuandoel atleta la pone en posición de disparo.65. d Yolanda estaba conduciendo su coche por la calleRío de Janeiro y luego entró en la calle Jamaica. Determinael ángulo situado en la esquina en que cambió dedirección.0,8 mCalle Jamaica(x) oDCCre@ctividad: Confección de un resumen de relaciones angularesElabora un resumen sobre las propiedades de losángulos determinados por dos paralelas cortadaspor una secante.Para ello:— Utiliza un programa de edición de textos paracrear el documento en que se describen laspropiedades de los ángulos determinados encada caso: ángulos correspondientes, ángulosalternos internos, ángulos alternos externos,ángulos opuestos por el vértice, ángulos adyacentes,ángulos conjugados internos y ángulosconjugados externos.— Utiliza un programa de representación gráficapara dibujar los esquemas correspondientes.— Inserta los esquemas en el documento detexto.ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOSLos ángulos conjugados externos son los ángulos externosa las paralelas y situados en el mismo lado de la secante. Lospares de ángulos α y γ y β y δ son ángulos conjugados externos.Los ángulos conjugados externos son suplementariosporque juntos forman un ángulo llano (180º).Rectas y ángulos213

Pon a prueba tus competencias2 mA1. Un molino de viento tiene 8 velas con forma de triángulo equilátero de2 m de lado. Obsérvalo en la ilustración de la derecha.a) Determina la amplitud del ángulo α.αb) Determina la amplitud del ángulo β.Cc) Sabiendo que el punto A pertenece a la bisectriz del ángulo α, determinala amplitud del ángulo formado por dicha bisectriz y el segmentoAB.45°d) Calcula el área de una vela.2. Fernando está visitando varias ciudades españolas. En una de ellas tomó una fotografía del monumento aColón. Para poder obtener una imagen de todo el monumento, tuvo que retroceder x metros, tal y como semuestra en la figura siguiente. La altura del monumento es la longitud del segmento CD. Los segmentos CD yBE son paralelos.Da) ¿Cuántos metros retrocedió Fernando?E35 mb) ¿Cuánto miden la base y la hipotenusa del triángulo ACD?c) Calcula la altura del monumento a Colón.A60 mxB28 mCd) Sabiendo que los monumentos a Colón de Huelva, Madridy Barcelona tienen una altura de 7 m, 17 m y 57 m,respectivamente, ¿en qué ciudad tomó la fotografía Fernando?3. Javier es afi cionado a la jardinería. Su jardín de fl oresestá dividido en dos rectángulos, ABCD y AEFG, tal ycomo se muestra en la figura:a) Calcula el valor de x.b) Halla la longitud del segmento BC. Expresa el resultadocon un decimal.c) Determina el valor de y.d) Javier utiliza un compuesto orgánico para abonar susflores: periódicamente vierte 5 L por cada metro cuadradode jardín. Calcula la cantidad de compuesto orgánicoque utiliza para abonar todo el jardín.yA 10 m B 15 mE12 mD CxG F214Unidad 9

4. Un centro comercial dispone de una escalera mecánica que une tres plantas.a) Determina el ángulo que forma la escalera mecánicacon la planta 0.Piso 0(15x) oPiso 2Piso 113,7 m(x 20) o10 mb) Calcula la longitud de la escalera mecánica entrelas plantas 0 y 1. Expresa el resultado sin decimales.c) Halla la altura entre las plantas 1 y 2. Presenta elresultado con un decimal.d) Sabiendo que la velocidad de la escalera mecánicaes de 0,5 m/s, calcula cuántos minutos y segundosson necesarios para llegar de la planta 0 a laplanta 2.Visión 360ºVisita una galería o un museo de arte contemporáneo, o realizauna visita virtual, por ejemplo en la página http://links.edebe.com/f79¿De qué modo están presentes las rectas y los ángulos enlas obras?Justifícalo con algunos ejemplos.Juan Gris, The open window (1921).ReflexionaDiario de aprendizaje— ¿Existe relación entre el arte (pintura, escultura, fotografía...) y los conceptos estudiados en launidad? Arguméntalo.— ¿Qué aspectos de la unidad te han llamado más la atención?— Si tuvieras que volver a trabajar este tema, ¿qué cambiarías? Aporta sugerencias.Rectas y ángulos215