La recta de mínims quadrats. - Departament de matemàtiques

2 La recta de mínims quadrats.20090Mortalitat infantil (morts per 1000 naixements): y180160140120100806040200405060708090Pes al final de la competició: y80706050405060708090Esperança de vida femenina: xPes a l'inici de la competició: xA cada núvol de punts li hem superposat la recta de regressió que desprésdefinirem. La recta proporciona un model senzill, més o menys benaproximat, per a la relació entre les dues variables i es pot utilitzar per ferprediccions de noves observacions de la variable y quan només coneixem elvalor de la variable x. Per exemple, la predicció del pes final desconegut, sipartim d’un cert pes inicial donat, serà el valor que situarà sobre la recta elpunt determinat pels dos pesos.2 El criteri de mínims quadratsQuan hom es fixa l’objectiu de predir els valors de y a partir dels valors dex, el criteri de mínims quadrats diu que la recta que millor aproxima el núvolde punts és la que fa mínima la suma de quadrats següent:k∑(y i − (mx i + n)) 2 .i=1És a dir, la recta que fa mínimes les diferències al quadrat entre els valors realsi les seves prediccions. La figura inferior il . lustra les diferències que es volen fermínimes: per a cada punt, y i −(mx i +n) és la diferència entre el valor realmentobservat, y i , i el valor predit sobre la recta, mx i + n. Aquestes diferències,anomenades residus de la predicció, poden ser positives o negatives segons elpunt es situï per sota o per sobre de la recta. Per evitar que les diferènciespositives i negatives es compensin i la suma sigui nul . la, es prenen quadrats.

4 La recta de mínims quadrats.⎛⎞⎛ ⎞k∑k x ( )k∑i⎜i=1̂ṋ y i⎟ = ⎜ i=1⎟⎝ k∑ k∑x i x 2 ⎠ m ⎝ k∑ ⎠ ,ix i y ii=1 i=1i=1aleshores y = ̂mx + ̂n és la recta que millor aproxima el conjunt de punts,{(x i , y i ), i = 1, 2, . . . , k}, segons el criteri de mínims quadrats.La solució explícita del sistema és:( ) ( )∑k k k∑ k∑x i y i − x i y ii=1i=1 i=1̂m =( )∑k k k∑ 2i ̂n =x 2 i − x ii=1 i=1k∑ k∑y i x ii=1 i=1− ̂m.k kEl coeficient ̂m és el pendent de la recta i, com a tal, ens indica l’incrementdel valor de y quan x s’incrementa en una unitat. Aquest increment de y s’had’entendre en mitjana ja que no totes les observacions s’ajusten a la recta.El coeficient ̂n és el valor predit de y quan x és zero, és a dir, l’ordenadaa l’origen. També s’anomena intercepció.4 Un primer exemple d’aplicacióLa recta de mínims quadrats té múltiples utilitats en el camp de les ciènciesexperimentals, socials i humanes, tant en l’especificació de models de relaciócom en l’obtenció de prediccions. Vegem-ne una aplicació a l’estudi de lesmarques d’atletisme. La taula següent conté els rècords mundials de la provade 1500 m des del 1912 fins al 1995.Any min s Any min s Any min s1912 3 55.8 1943 3 45 1967 3 33.11917 3 54.7 1944 3 43 1974 3 32.21924 3 52.6 1947 3 43 1979 3 32.111926 3 51 1952 3 43 1980 3 31.361930 3 49.2 1954 3 41.8 1983 3 30.771933 3 49 1955 3 40.8 1985 3 29.461934 3 48.8 1956 3 40.5 1992 3 28.861936 3 47.8 1957 3 38.1 1995 3 27.371941 3 47.6 1958 3 361942 3 45.8 1960 3 35.6

Mercè Farré 5La qüestió és si a partir d’aquestes dades podríem haver previst el rècordmundial de la prova assolit l’any 1998. Amb aquesta finalitat calculem larecta de mínims quadrats, y = ̂mx + ̂n. Per tal de fer menys càlculs prendremcom a valors x i els anys 12, 17, 24, . . . , 95, i com a marques només elssegons 55.8, 54.7, 52.6, . . . , 27.37. Aleshores, els valors ̂m i ̂n seran la soluciódel sistema d’equacions:(28 14761476 91768Explícitament,) ( ̂ṋm)=(1154.3355744.27̂m = −0.36567 i ̂n = 60.50222.Per tant, podem considerar com a possible aproximació al rècord del món de1998 la predicció:3 minuts i (−0.36567 × 98 + 60.50222) segons.És a dir, 3 min 24.67 s, aproximadament. Ara bé, el rècord del món assolit eljuliol del 1998 és de 3 min 26 s. La previsió és bastant bona, amb un residude 1.33 s. Quina previsió de rècord del món faríeu per a l’any 2010?El mètode de mínims quadrats per trobar la recta de regressió s’ha incorporatals fulls de càlcul i a la major part del programari estadístic i matemàtic.El següent resultat, coeficients i diagrama de dispersió amb la rectade mínims quadrats, correspon al mateix exemple de les proves d’atletismefet amb l’Excel. Alternativament, es podria obtenir utilitzant programarilliure (OpenOffice, per exemple).).Recta de regressió o de mínims quadrats605040segons30201000 20 40 60 80 100any (segle XX)Coeficients60,5022227-0,36567225El primer coeficient és l’ordenada a l’origen i el segon el pendent de larecta.MATMATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.2 Publicació electrònica de divulgació del Departamentde la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat

6 La recta de mínims quadrats.5 Un segon exemple d’aplicació: transformacióde les dadesPer a acabar aquesta secció, considerem una situació lleugerament diferent,encara en el món de l’atletisme masculí. A la taula inferior hi figuren elsrècords del món vigents (juny de 2006) des dels 100 m, fins els 20 000 m.Prova h min s100 m 9.77200 m 19.32400 m 43.18800 m 1 41.111 000 m 2 11.961 500 m 3 26.003 000 m 7 20.675 000 m 12 37.3510 000 m 26 17.5320 000 m 56 55.6Pretenem predir el rècord(segons)vigent dels 25 000 m; rècord que d’altra bandadistància temps lndistància lntempsés conegut: 1 h 13 min 55.80 s. En primer lloc, passem els temps a segons100 9,77 4,6051700 2,279316466(vegeu la taula inferior), 200 i seguidament 19,32 5,2983170 ajustem 2,961140829 dos models. El primer modelés la recta de regressió 800 101,11 del temps 6,6846120 (segons) 4,616209033 respecte de la distància. Per400 43,18 5,9914650 3,7653774251000 131,96 6,9077550 4,882498846obtenir el segon model, 1500prèviament 206,00 7,3132200 hem5,327876169transformat el temps i la distància3000 440,67 8,0063680 6,088296296aplicant logaritmes neperians obtenint dues variables noves, lntemps i lndistància.Podeu veure les gràfiques i els coeficients dels dos models a les5000 757,35 8,5171930 6,62982549810000 1577,53 9,2103400 7,36361561220000 3415,60 9,9034880 8,136108452figures següents. 25000 4435,80 10,12663 8,397463262Model 1: temps = - 44.91872 + 0.170278 distància(segons)distància temps4000100 9,773500200 19,323000400 43,18 2500Coeficients800 101,11 -44,9187207620001000 131,96 0,1702780291500 206,0015003000 440,6710005000 757,3550010000 1577,53020000 3415,600 5000 10000 15000 20000 25000temps (segons)distànciaModel 2: lntemps = - 2.87048827 + 1.11481857 lndistància9lndistància lntemps84,6051700 2,2793164775,2983170 2,9611408365,9914650 3,7653774356,6846120 4,61620903 Coeficients46,9077550 4,88249885 -2,870488273lntemps

Model 1: temps = - 44.91872 + 0.170278 distància(segons)distància temps4000100 9,773500200 19,323000400 43,18 2500Coeficients800 101,11 -44,9187207620001000 131,96 0,1702780291500 206,0015003000 440,6710005000 757,3550010000 1577,53020000 3415,600 5000 10000 15000 20000 25000temps (segons)Mercè Farré 7distànciaModel 2: lntemps = - 2.87048827 + 1.11481857 lndistància9lndistància lntemps84,6051700 2,2793164775,2983170 2,9611408365,9914650 3,7653774356,6846120 4,61620903 Coeficients46,9077550 4,88249885 -2,8704882737,3132200 5,32787617 1,1148185728,0063680 6,0882963018,5171930 6,6298255009,2103400 7,363615619,9034880 8,13610845lntemps0,00000002,00000004,00000006,0000000lndistància8,000000010,00000 12,0000000 00Quin model proporciona una millor previsió del rècord real dels 25 000 m,sabent que el vigent és de 1 h 13 min 55.8 s?Observació: Tingueu en compte que les prediccions del segon model sónen logaritmes i que cal retornar-les a les unitats de temps inicials.Si esteu interessats en marques mundials d’atletisme, podeu visitar l’adreçad’Internet següenthttp://www.alltime-athletics.comMercè FarréDept. de MatemàtiquesUniversitat Autònoma de Barcelona08193 Bellaterrafarre@mat.uab.catPublicat el 18 de setembre de 2006MATMATerials MATemàticsVolum 2006, treball no. 1, 14 pp.2 Publicació electrònica de divulgació del Departamentde la Universitat Autònoma de Barcelonawww.mat.uab.cat/matmat