PRACTICA : SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO DE ISING

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SIMULACIONES NUMÉRICAS.Cuando no se puede resolver exactamente un modelo en Mecánica Estadística y queremos ir mas allá deaproximaciones de campo medio podemos utilizar otro método aproximado (numérico): la simulación.La idea básica de la simulación numérica que vamos a utilizar (simulación Monte Carlo) es la siguiente:Generar numéricamente microestados con la distribución de probabilidad dada por el macroestado dadopor un formalismo determinado.Este procedimiento es exacto salvo en dos puntos:• Tenemos que tratar con redes finitas, luego no podemos tratar el límite termodinámico.• No podemos generar todos los microestado posibles y tendremos que conformarnos con hacer unmuestreo sobre los más probables. Una vez generados estos microestados podemos calcular losvalores promedios que más nos interesen.El procedimiento (algoritmo) que utiliza el programa ISING es el llamado “heat bath”.1.- Elegimos un sitio al azar. Calculamos la energía del espín en ese sitio mediante la expresión,ε⎛i = −S⎜i J⎜ ∑< j>⎝Sj⎞+ H ⎟ ≡ −SiH⎟⎠2.- Calculamos la probabilidad de que el espín tenga valor +1 o –1 dada con la expresión:efiP(SefHiTy la probabilidad P(S i = -1) = 1 – P(S i =1).i= 1)=eefHiTef−HiT3.- Generamos un número aleatorio “g” ∈ [0,1) y sorteamos el valor del espín:Si g < P(S i =1) entonces S i = 1 ; en otro caso S i = -1.e+ e4.- Recorremos así toda la red (a eso se llama un “paso de tiempo” Monte Carlo). Cada paso correspondea la generación de un microestado.5.- Calculamos los promedios que nos interesen. En nuestro caso se calculan los promedios de laimanación , la energía y sus correspondientes desviaciones cuadráticas medias (fluctuaciones).Este algoritmo corresponde a la simulación en el conjunto canónico. No es el único procedimientoposible; existen otros (como el famoso “algoritmo de Metropolis”) que proporcionan distintas“dinámicas” a la simulación. También hay algoritmos para simular el conjunto microcanónico, grancanónico, etc....Para que los promedios calculados tengan sentido es necesario que los “microestados” sobre los que secalculan sean “representativos” del “macroestado” correspondiente. Para ello debemos empezar elpromediado en un estado que no dependa del estado inicial del que hemos partido. Es decir, debemosequilibrar nuestro sistema. Esto no siempre es fácil ya que el acercamiento al equilibrio puede ser endeterminadas circunstancias (cerca de un punto crítico) extraordinariamente lento.
REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA :El programa ISING permite variar muchos parámetros del modelo. Naturalmente, los parámetros estándados en variables adimensionales. La temperatura (k B T) y el campo externo (µ B H ) se mide en unidadesde J . También se pueden modificar las condiciones iniciales, el tamaño y color de red , el número depasos a realizar , etc. La mayoría de los botones son autoexplicativos. Los “PRESET” permiten cargaruna serie dada de valores de parámetros y condiciones iniciales que son útiles para determinadasdemostraciones.1.- Comportamiento cualitativo. En primer lugar veamos el comportamiento “cualitativo” del modelo.Elige condiciones iniciales en T= infinito. Fijando T=3 varía H desde cero hasta 5. Observa elcomportamiento de la imanación. ¿Por qué aumenta la imanación? . Hazlo también con T=10. ¿Quédiferencias observas? ¿ Por qué?.Ahora fija H=0, y bajando la temperatura “lentamente” desde T = 3. hasta T=0.5 (aumenta el número depasos para que de tiempo), observa de nuevo el comportamiento de la imanación y las configuracionesque se van generando. Estima (muy aproximadamente) la temperatura de transición. Observa que ocurresi “bajas” la temperatura rápidamente. Explica el comportamiento que observas.2.- Respuesta paramagnética: Usa el PRESET 2 para obtener cuantitativamente el comportamiento de laimanación frente al campo externo a temperatura T=50. El programa para a los 200 pasos. Incrementa elcampo de 10 en 10 hasta 100. Observa la curva de imanación. Ahora repite el “experimento” haciendo“reset” cada vez que cambies de campo. Anota el valor promedio de la imanación en cada cambio. ¿ Seajusta a la expresión prevista en la aproximación de campo medio?.3.- Ley de Curie-Weiss : Usando de nuevo el PRESET 2 toma datos de T, H, y empezando con T = 20 y disminuyendo hasta que consideres que la susceptibilidad χ = / H divergeo los datos no tienen sentido. Ajusta el valor de H para que esté por debajo de 0.25 ( y por tantoestemos en la zona lineal de la curva de imanación). Las lecturas de los promedios son sobre los 200pasos de la simulación así que hay que hacer “reset” cada vez que se cambia de temperatura. Esconveniente ir disminuyendo el incremento de temperatura al ir disminuyendo ésta. Si quieres conseguirdatos mejores debes usar más pasos para promediar. Una simulación real se haría haciendo cadatemperatura en dos etapas. En la primera se deja que el sistema alcance el equilibrio y en la segunda setoma el promedio. Otra posibilidad es ir tomando las medias en “runs” consecutivos hasta que seestabilicen los promedios.Dibuja χ −1 frente a T y ajústalo a una ley de Curie-Weiss. El aspecto debe ser una recta de pendiente 1que corta al eje x en T c . ¿ Es así para todo el rango de temperatura que has usado? Si no lo es, ¿Por qué?Determina T c del ajuste de la simulación a la ley de Curie-Weiss. ¿Coincide con el que se espera decampo medio?4.- Teorema de fluctuación – disipación (FD). Este es un importante resultado en mecánica estadísticay que tiene consecuencias prácticas para obtener resultados en simulaciones numéricas. Esencialmenteestablece que las fluctuaciones de equilibrio de una magnitud física (e.g. la imanación) esta relacionadacon la respuesta de esta magnitud frente a un campo o fuerza externo (e.g. la susceptibilidad magnética).La expresión en este caso esχ = M/H = d/ dH = N / T.Es decir, podemos obtener la susceptibilidad sin necesidad de aplicar un campo H externo.a) Demuestra la expresión anterior (dentro del formalismo canónico).b) Repite la simulaciones anteriores con H=0 y comprueba la validez del Teorema FD.Al mismo tiempo anota y .
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Page 5: En aproximación de campo medio ν

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