PRACTICA : SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO DE ISING

PRÁCTICA: SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL MODELO DE ISING.INTRODUCCIÓN:El modelo de Ising es un sistema de N átomos distribuidos en una red (en nuestro caso bidimensional N x xN y ) en los que hemos definido variables de espín S i cuyos valores son +1 o –1. Los espines interaccionancon sus vecinos próximos con una energía de intercambio -J. Si J>0 los espines tienden a alinearseparalelamente (mismo valor) y si J T c y M≠ 0 para T< T c donde T c = z J. La susceptibilidadχ = M/ H está dada por (ley de Curie-Weiss)χ = C/( T − Tc)Con nuestras unidades la constante de Curie C=1.El modelo de Ising es tal vez el modelo más estudiado en Mecánica Estadística. Una variante interesantees aquella en la que el número de espines arriba (y por tanto también el número de abajo ) permanececonstante. Este modelo valdría para estudiar la mezcla de sustanciasen una red cristalina: átomos de tipoA (espín arriba) y átomos de tipo B (espín abajo). Piensa cómo serán las fases de alta y baja temperaturadependiendo del signo del parámetro J.

SIMULACIONES NUMÉRICAS.Cuando no se puede resolver exactamente un modelo en Mecánica Estadística y queremos ir mas allá deaproximaciones de campo medio podemos utilizar otro método aproximado (numérico): la simulación.La idea básica de la simulación numérica que vamos a utilizar (simulación Monte Carlo) es la siguiente:Generar numéricamente microestados con la distribución de probabilidad dada por el macroestado dadopor un formalismo determinado.Este procedimiento es exacto salvo en dos puntos:• Tenemos que tratar con redes finitas, luego no podemos tratar el límite termodinámico.• No podemos generar todos los microestado posibles y tendremos que conformarnos con hacer unmuestreo sobre los más probables. Una vez generados estos microestados podemos calcular losvalores promedios que más nos interesen.El procedimiento (algoritmo) que utiliza el programa ISING es el llamado “heat bath”.1.- Elegimos un sitio al azar. Calculamos la energía del espín en ese sitio mediante la expresión,ε⎛i = −S⎜i J⎜ ∑< j>⎝Sj⎞+ H ⎟ ≡ −SiH⎟⎠2.- Calculamos la probabilidad de que el espín tenga valor +1 o –1 dada con la expresión:efiP(SefHiTy la probabilidad P(S i = -1) = 1 – P(S i =1).i= 1)=eefHiTef−HiT3.- Generamos un número aleatorio “g” ∈ [0,1) y sorteamos el valor del espín:Si g < P(S i =1) entonces S i = 1 ; en otro caso S i = -1.e+ e4.- Recorremos así toda la red (a eso se llama un “paso de tiempo” Monte Carlo). Cada paso correspondea la generación de un microestado.5.- Calculamos los promedios que nos interesen. En nuestro caso se calculan los promedios de laimanación , la energía y sus correspondientes desviaciones cuadráticas medias (fluctuaciones).Este algoritmo corresponde a la simulación en el conjunto canónico. No es el único procedimientoposible; existen otros (como el famoso “algoritmo de Metropolis”) que proporcionan distintas“dinámicas” a la simulación. También hay algoritmos para simular el conjunto microcanónico, grancanónico, etc....Para que los promedios calculados tengan sentido es necesario que los “microestados” sobre los que secalculan sean “representativos” del “macroestado” correspondiente. Para ello debemos empezar elpromediado en un estado que no dependa del estado inicial del que hemos partido. Es decir, debemosequilibrar nuestro sistema. Esto no siempre es fácil ya que el acercamiento al equilibrio puede ser endeterminadas circunstancias (cerca de un punto crítico) extraordinariamente lento.

REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA :El programa ISING permite variar muchos parámetros del modelo. Naturalmente, los parámetros estándados en variables adimensionales. La temperatura (k B T) y el campo externo (µ B H ) se mide en unidadesde J . También se pueden modificar las condiciones iniciales, el tamaño y color de red , el número depasos a realizar , etc. La mayoría de los botones son autoexplicativos. Los “PRESET” permiten cargaruna serie dada de valores de parámetros y condiciones iniciales que son útiles para determinadasdemostraciones.1.- Comportamiento cualitativo. En primer lugar veamos el comportamiento “cualitativo” del modelo.Elige condiciones iniciales en T= infinito. Fijando T=3 varía H desde cero hasta 5. Observa elcomportamiento de la imanación. ¿Por qué aumenta la imanación? . Hazlo también con T=10. ¿Quédiferencias observas? ¿ Por qué?.Ahora fija H=0, y bajando la temperatura “lentamente” desde T = 3. hasta T=0.5 (aumenta el número depasos para que de tiempo), observa de nuevo el comportamiento de la imanación y las configuracionesque se van generando. Estima (muy aproximadamente) la temperatura de transición. Observa que ocurresi “bajas” la temperatura rápidamente. Explica el comportamiento que observas.2.- Respuesta paramagnética: Usa el PRESET 2 para obtener cuantitativamente el comportamiento de laimanación frente al campo externo a temperatura T=50. El programa para a los 200 pasos. Incrementa elcampo de 10 en 10 hasta 100. Observa la curva de imanación. Ahora repite el “experimento” haciendo“reset” cada vez que cambies de campo. Anota el valor promedio de la imanación en cada cambio. ¿ Seajusta a la expresión prevista en la aproximación de campo medio?.3.- Ley de Curie-Weiss : Usando de nuevo el PRESET 2 toma datos de T, H, y empezando con T = 20 y disminuyendo hasta que consideres que la susceptibilidad χ = / H divergeo los datos no tienen sentido. Ajusta el valor de H para que esté por debajo de 0.25 ( y por tantoestemos en la zona lineal de la curva de imanación). Las lecturas de los promedios son sobre los 200pasos de la simulación así que hay que hacer “reset” cada vez que se cambia de temperatura. Esconveniente ir disminuyendo el incremento de temperatura al ir disminuyendo ésta. Si quieres conseguirdatos mejores debes usar más pasos para promediar. Una simulación real se haría haciendo cadatemperatura en dos etapas. En la primera se deja que el sistema alcance el equilibrio y en la segunda setoma el promedio. Otra posibilidad es ir tomando las medias en “runs” consecutivos hasta que seestabilicen los promedios.Dibuja χ −1 frente a T y ajústalo a una ley de Curie-Weiss. El aspecto debe ser una recta de pendiente 1que corta al eje x en T c . ¿ Es así para todo el rango de temperatura que has usado? Si no lo es, ¿Por qué?Determina T c del ajuste de la simulación a la ley de Curie-Weiss. ¿Coincide con el que se espera decampo medio?4.- Teorema de fluctuación – disipación (FD). Este es un importante resultado en mecánica estadísticay que tiene consecuencias prácticas para obtener resultados en simulaciones numéricas. Esencialmenteestablece que las fluctuaciones de equilibrio de una magnitud física (e.g. la imanación) esta relacionadacon la respuesta de esta magnitud frente a un campo o fuerza externo (e.g. la susceptibilidad magnética).La expresión en este caso esχ = M/H = d/ dH = N / T.Es decir, podemos obtener la susceptibilidad sin necesidad de aplicar un campo H externo.a) Demuestra la expresión anterior (dentro del formalismo canónico).b) Repite la simulaciones anteriores con H=0 y comprueba la validez del Teorema FD.Al mismo tiempo anota y .

c) Demuestra y compueba con los datos anteriores esta relación también consecuencia del teorema FD.C H = d/ dT = N /T 2 .¿Cuál es el comportamiento de C H a alta temperatura? ¿Tienes alguna explicación sencilla para estecomportamiento?d ) Observa el comportamiento de C H cerca de la temperatura de transición. Puedes ir en intervalos de 0.1desde T=3.0 a T=1.0. Calcula C H como la derivada de E y a partir de las fluctuaciones. ¿Cuál es latemperatura de transición?.5.- Estado ordenado (ferromagnético). A continuación veremos el comportamiento de la imanación atemperaturas bajas (comparadas con T c ). Empezando con la condición inicial ordenada obtener M(T) enel rango 0.7 < M < 1. A alta temperatura (cerca de T c ) es difícil obtener ya que hay fuertesfluctuaciones e incluso cambios en el sentido de la imanación. Comprobar que los datos de pueden ajustara 1- = exp (-A/T) con A constante. Calcula la predicción de la aproximación de campo medio.Cerca de T c la teoría de campo medio predice M = cte (T-T c ) 1/2 . mientras que el resultado exacto (de lasolución de Onsager) es M = cte (T-T c ) 1/8 . ¿Son compatibles estas dependencias con los datos obtenidos?6.- Separación de dominios. Veamos que ocurre si enfriamos rápidamente (“quenching”), por debajo dela temperatura de transición, una configuración de alta temperatura. Para ello, carga el PRESET 4 ypulsando repetidamente “run” observa la separación en dominios (“spin arriba” y “spin abajo” ).Cambiando las condiciones iniciales (dando al botón “init”) y temperaturas de “quenching” observadiferentes patrones de dominios.7.- Nucleación. Habrás observado que cuando estamos cerca de T c la imanación puede cambiar desentido. ¿Cómo se producen esos cambios?. Vamos a observar la formación de núcleos (pequeñosdominios) que provocan el vuelco de la imanación. Carga el PRESET 5 (T=1.9 H= -0.1) y observa (consuerte) la formación de núcleos y su crecimiento.Para que el núcleo crezca debe tener un tamaño mínimo. ¿ Cuál ese tamaño crítico? Si invertimos Nespines disminuimos la energía en NH pero aumenta la energía en la formación de la pared de dominioque separa el núcleo del entorno. Esta energía es proporcional a J(N) 1/2 (el coeficiente concreto dependede la forma del núcleo). El balance entre estas dos energías proporciona el valor del tamaño crítico N c .Escribe la energía E(N) y el valor que maximiza esa energía es el valor crítico. Si un núcleo alcanza esetamaño, su crecimiento posterior disminuye la energía y por tanto crece espontáneamente. Carga elPRESET 6 y observa como el núcleo (que corresponde al valor crítico para ese campo) presentado unasveces aumenta de tamaño y otras desaparece.8.- Longitud de Correlación . Aumenta el tamaño de la red a 100x100 (con la opción configure). Ponun número de pasos grande (10 +5 ) y T= 10. Ve disminuyendo lentamente la temperatura dejando que seestabilicen las configuraciones después de cada cambio. Observa cómo cambia gradualmente el aspectode las configuraciones conforme nos acercamos a la temperatura crítica. A medida que nos acercamosaparecen núcleos de tamaño mayor. El tamaño promedio de esos núcleos corresponde a lo que se llamalongitud de correlación ξ (T). Matemáticamente dicha longitud viene dada a través de la función decorrelación C(r) definida por:C(rij) =S Sij∝ e| i−j|−ξ ( T )para T > Tc. La longitud de correlación ξ (T) diverge en el punto crítico con un exponente ν.−ν( cξ T ) = | T − T |

En aproximación de campo medio ν = ½ y en dos dimensiones la solución exacta es ν = 1.En el punto crítico la función de correlación es una función potencial de la distancia.C ( r )ij−η= SiSj ∝ rijy por tanto no hay una longitud característica y aparecen núcleos de todos los tamaños. De hecho, en elpunto crítico las configuraciones son (estadísticamente) autosimilares o fractales, es decir, laconfiguración es invariante bajo un cambio de escala,. O dicho de otra forma, un punto fijo de unatransformación de grupo de renormalización.9.- Aproximación al equilibrio. En las temperaturas T=3.0, 1.9 y 2.3 observa el tiempo que tarda elsistema en llegar al equilibrio. Para ello, inicia el sistema con una configuración ordenada (M=1) y otradesordenada (T= inf.). Hazlo con dos tamaños de red (30x30) y (100x100). Comenta las diferencias queencuentres en la relajación al equilibrio en función del tamaño, temperatura y condiciones iniciales.EL SOFTWARE UTILIZADO FORMA PARTE DEL PROYECTO “SIMULATIONS FOR SOLIDSTATE PHYSICS” Y ESTÁ ACCESIBLE EN LA SIGUIENTE DIRECCIÓN:http://pages.physics.cornell.edu/sss/