Astronáutica y Vehículos Espaciales - Tema 2: Mecánica Orbital ...

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesÓrbita en un plano. Sistema de referencia perifocal.Dado el plano de la órbita y un sistema de referencia Ox O y O z Ocentrado en el foco tal que el plano Ox O y O coincide con el planode la órbita, son necesarios tres valores para determinar la órbita.plano de referencia#&*#! %!!%)&)$Órbita #'(!"$ # !!"línea de ápsidesLos parámetros a (o p) y e determinan eltipo de órbita y su forma y tamaño.El parámetro ω, llamado el argumento delperigeo (o de periapsis) orienta la ĺınea deápsides (en la dirección del vectorexcentricidad ⃗e, que apunta al perigeo).Un cuarto parámetro (θ, E, M o ∆t)determina la posición del cuerpo.El Sistema de referencia perifocal Ox F y F z F está centrado enel foco, con Ox F paralelo a ⃗e, y el eje Oz F hacia “arriba”(paralelo al vector ⃗ h).67 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesDeterminación de una órbita en el espacioPara una orbita arbitraria en el espacio, además de los 4 parámetrosanteriores, es necesario ubicar el plano orbital respecto a un planode referencia; para ello son necesarios dos parámetros más. Los 6parámetros resultantes reciben el nombre de elementos orbitales.plano de referenciaapoapsislínea de nodosplanoorbitallínea de ápsides !"periapsisEl plano de referencia será:Para órbitas planetocéntricas: el planoecuatorial del planeta.Para órbitas heliocéntricas: el plano de laecĺıptica.#"La intersección entre el plano orbital y el dereferencia determina la llamada ĺınea denodos.La órbita corta la ĺınea de nodos en dos puntos, los nodos.Aquel donde la trayectoria “asciende” (de abajo a arriba) es elnodo ascendente (); el otro es el nodo descendente ().El vector nodo ⃗n es un vector unitario en la dirección de . 68 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesLos elementos orbitales IEs el conjunto mínimo de datos que, junto a la época (tiempoinicial t 0 ) permite determinar la posición de un cuerpo en unaórbita en cualquier instante de tiempo. Es decir, 6 datos (más t 0 ).Los elementos clásicos (keplerianos) son los siguientes:plano de referenciaapoapsislínea de nodos!#&planoorbitallínea de ápsidesperiapsis$%"!"Ω: Ascensión recta del nodoascendente (RAAN). Es el ángulo,medido en el sentido contrario de lasagujas del reloj, entre ♈ y ⃗n.ω: Argumento de periapsis (o delperigeo/perihelio). Es el ángulo,medido en el plano orbital y en ladirección del movimiento, entre ⃗n y ⃗e.69 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesLos elementos orbitales IIplanoorbitali: Inclinación de la órbita entre 0 yπ, mide el ángulo entre el plano dereferencia y el plano orbital, con elsentido indicado por ⃗n.plano de referenciaapoapsislínea de nodos!$&línea de ápsidesperiapsis#sentido de #%"!"a, e: Determinan la forma ytamaño de la órbita. A veces a sesustituye por p, T o n.θ: Determina la posición del cuerpoen la órbita (para la época). Sepuede sustituir por ∆t, M o E (H).Las órbitas con inclinación i = 0 o se denominan ecuatoriales,mientras que si i ≈ 90 o las órbitas se llaman polares. Sii < 90 o la órbita es directa, mientras que si i > 90 o la órbitaes retrógrada.70 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesLos elementos orbitales IIIsentido de $plano de referenciaapoapsis"!$línea de nodos#!&"planoorbitallínea de ápsidesperiapsis"%Ejemplo de órbita retrógradaÉsta órbita es la misma que en laanterior figura pero con sentidocontrario en su movimiento.Puesto que el nodo ascendente seencuentra opuesto al caso anterior, elángulo se mide al revés, obteniéndosei > 90 o .Dado que está en el lado opuesto,Ω es π mayor que en la figura anterior,mientras que ω es el complementariode la figura anterior y θ cambia designo.El término retrógrado se debe a que el movimiento del cuerpose opone a la rotación del cuerpo central. 71 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesLos elementos orbitales IVExisten casos especiales en los que algún elemento no está biendefinido; estos casos son importantes porque se dan en la práctica.Órbitas eĺıpticas ecuatoriales: ni Ω ni ω están bien definidos(no existe linea de nodos). Se sustituyen por el ángulo ϖ(longitud del perigeo) entre ♈ y ⃗e, medido en el sentidocontrario de las agujas del reloj, de forma que ϖ = Ω + ω.Órbitas circulares no ecuatoriales: ω y θ no están biendefinidos (no existe ĺınea de ápsides). Se sustituyen por elángulo u = ω + θ (el argumento de la latitud) para medir laposición del cuerpo desde en el sentido del movimiento.Órbitas circulares ecuatoriales: no existe ni linea de nodos nilinea de ápsides. Por tanto ni Ω, ni ω ni θ están biendefinidos. Se sustituyen por λ T = Ω + ω + θ, la longitudverdadera, que es la que forma el cuerpo con ♈, medido en elsentido contrario de las agujas del reloj.72 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesConversión entre representaciones de una órbita IProblema I: (⃗r(t 0 ),⃗v(t 0 )) → (Ω, ω, i, a, e, θ)En primer lugar se determina ⃗ h = ⃗r × ⃗v y ⃗e = ⃗v×⃗ h−(µ/r)⃗rµ.✞ ☎✞ ☎Se tiene e = |⃗e| . Aplicamos ɛ = v 2 /2 − µ/r y a = −µ/2ɛ .✝ ✞ ✆ ☎✝ ✆Obtenemos cos θ = ⃗e·⃗r✝er(si ⃗r · ⃗v < 0 entonces θ ∈ [π, 2π]).✆Puesto ✞ que ⃗ h es perpendicular ☎ al plano orbital, se obtiene quecos i =✝⃗ h · ⃗k R /|h| = h z /| ⃗ h| (i ∈ [0, π]), y por otro lado✆⃗n = ⃗ k R × ⃗ h/| ⃗ k R × ⃗ √√h| = [−h y / hx 2 + hy 2 , h x / hx 2 + hy 2 , 0].Ω se obtiene de ✞ ☎cos Ω = n✝ x (si n✆ y < 0, Ω ∈ [π, 2π]).✞☎Finalmente ω es el ángulo entre ⃗n y ⃗e, luego cos ω = ⃗e · ⃗n/e✝✆(si e z < 0, ω ∈ [π, 2π]).73 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesCorrección de cuadrantesDados los vectores ⃗a = (a x , a y , a z ) y ⃗ b = (b x , b y , b z ),determinar el ángulo α entre ⃗a y ⃗ b medido desde ⃗a en unsentido dado.El ángulo siempre viene dado por cos α = ⃗a·⃗b|⃗a|| ⃗ b| .El problema es que la función arc cos ofrece un resultadoα 1 ∈ [0, π], pero α 2 = 2π − α 1 también es solución. ¿Cuálelegir? Según la geometría planteamos una condición.θ: Si ⃗r · ⃗v < 0, entonces el ángulo de trayectoria es negativo,ya que ⃗r · ⃗v = vr sen γ: se está viajando de apoapsis aperiapsis, luego θ ∈ [π, 2π]. Esto se deduce de la expresióntan γ = e sen θ/(1 + e cos θ).Ω: Si n y < 0, el vector ⃗n está “a la izquierda” de ♈, luegoΩ ∈ [π, 2π].ω: Si e z < 0, el perigeo (periapsis) está por debajo del planode referencia: ω ∈ [π, 2π].74 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesConversión entre representaciones de una órbita IIProblema II: (⃗r(t 0 ),⃗v(t 0 )) ← (Ω, ω, i, a, e, θ)Usamos el sistema de referencia perifocal. Sabemos ⃗r = r⃗e r ,⃗v = ṙ⃗e r + r ˙θ⃗e θ ,⃗e F r = [cos θ, sen θ, 0] T ,⃗e F θ = [− sen θ, cos θ, 0]T .Calculemos p = a(1 − e 2 ). Entonces r = p/(1 + e cos θ).También h = √ pµ = r 2 √ pµ˙θ, luego r ˙θ =r= (1 + e cos θ)√µp .Finalmenteṙ = ˙θ d dθ r(θ) = ˙θep sen θ(1+e cos θ) 2Operando se llega a:⎡⃗r F p=⎣1 + e cos θcos θsen θ0= r ˙θ e sen θ1+e cos θ = √µp e sen θ⎤⎦ , ⃗v F =√ µp⎡⎣− sen θe + cos θ0⎤⎦75 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesÁngulos de Euler de una órbita ILa forma de pasar del sistema de referencia perifocal (F) algeocéntrico ecuatorial (o heliocéntrico) que denotamosgenéricamente por R es mediante tres rotaciones:#%!# !" ""!!$!%#$La primera rotación es en torno aleje z R con ángulo Ω.La denotamosRSu matriz es⎡CR N (Ω) = ⎣−→Ω Nz R= C 3 (Ω)cos Ω sen Ω 0− sen Ω cos Ω 00 0 1⎤⎦76 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesÁngulos de Euler de una órbita II"&$&"%$%La segunda rotación es en torno aleje x N con ángulo i.La denotamos!!N−→i Ox N!$ "# !#Su matriz es⎡CN O (i) = ⎣= C 1 (i)1 0 00 cos i sen i0 − sen i cos i⎤⎦77 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesÁngulos de Euler de una órbita III" $& !&$%"%La tercera rotación es en torno aleje z O con ángulo ω.La denotamos!!$#O−→ω Fz O"#Su matriz es⎡CO F (ω) = ⎣= C 3 (ω)cos ω sen ω 0− sen ω cos ω 00 0 1⎤⎦78 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesÁngulos de Euler de una órbita IVLa rotación completa será pues.Su matriz esRΩ −→−→z R N ix N O ω−→ Fz OCR F (ω, i, Ω) = C O F C N O C RN= C 3 (ω)C 1 (i)C 3 (Ω)⎡cΩcω − sΩsωci sΩcω + cΩsωci sωsi= ⎣ −cΩsω − sΩcωci −sΩsω + cΩcωci cωsisΩsi −cΩsi ci⎤⎦donde sϕ = sen ϕ y cϕ = cos ϕ.79 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesLeyes horarias. Ecuación de KeplerEl Teorema de LambertElementos orbitalesConversión entre representaciones de una órbita IIIProblema II (cont.): (⃗r(t 0 ),⃗v(t 0 )) ← (Ω, ω, i, a, e, θ)Puesto que ya conocemos ⃗r F y ⃗v F , sólo tenemos que usar lamatriz de rotación que nos lleva los ejes F a los R.Por las propiedades de las matrices de rotación,CFR = (C R F )−1 = (CR F )T . Por tanto:⃗r R = C R F ⃗r F =⃗v R = C R F ⃗v F =⎡p1 + e cos θ (C R F )T ⎣√ µp (C F R )T ⎡⎣cos θsen θ0− sen θe + cos θ0⎤⎦⎤⎦80 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Crítica al problema de los dos cuerposEl modelo de los dos cuerpos es poco realista.Recordemos las hipótesis principales:1 Se considera el sistema aislado del resto del Universo.2 Las masas se pueden considerar puntuales y localizadas en elcentro de masas de cada cuerpo.La primera suposición permite reducir las fuerzas que actúan alas gravitatorias entre los cuerpos. Pero existen otras fuerzas:La fuerza gravitatoria ejercida por otros cuerpos.La resistencia atmosférica en órbitas bajas.Fuerzas propulsivas (especialmente durante maniobras).La presión de radiación solar.La segunda suposición es sólo válida si los cuerpos son esferasmacizas y homogéneas. No obstante:Los planetas (o el Sol) no son esferas perfectas. En concreto laTierra está achatada.Los vehículos espaciales no son esferas perfectas. Un vehículono esférico se ve afectado por el gradiente gravitatorio.81 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Efecto de un tercer cuerpo IConsideramos como ejemplo de perturbaciones un cuerpo en órbitaen torno a la Tierra, pero afectado por la atracción gravitatoria dela Luna:#$##$##$#$#$ !"#$ !#$ "CM#$El vector ⃗r☾ representa el vector posición de la Luna respectode la Tierra.Al incluir el efecto de la Luna, tenemos también queconsiderar que la Tierra ya no es el centro de un sistema dereferencia inercial, sino que se debe considerar el centro demasas Tierra-Luna, CM ⊕☾.82 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Efecto de un tercer cuerpo II#$##$##$#$#$ !"#$ !#$ "CM#$La ecuación del movimiento, escrita en el sistema dereferencia inercial centrado en CM ⊕☾, es¨⃗r IN = −µ ⊕⃗rr 3 + µ ☾ ⃗r ☾ −⃗r|⃗r☾ −⃗r| 3Por otro lado, ⃗r☾ = ⃗r 2 −⃗r 1 , y se tiene que m ⊕ ⃗r 1 + m☾ ⃗r 2 = ⃗0.m ☾Luego ⃗r 1 = −m ☾ +m ⃗r ⊕ ☾. La ecuación del movimiento de laLuna dicta que ¨⃗r☾ = − G(m⊕+m ☾ )⃗r ☾ . De donde¨⃗r 1 = −m ☾m ☾ +m ⊕¨⃗r☾ =m ☾m ☾ +m ⊕r 3 ☾G(m ⊕ +m ☾ )⃗r ☾r 3 ☾= µ ☾ ⃗r ☾r 3 ☾ . 83 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Efecto de un tercer cuerpo III#$##$##$#$#$ !"#$ !#$ "CM#$Puesto que ⃗r IN = ⃗r +⃗r 1 , llegamos a que¨⃗r = −µ ⊕⃗rr 3 + µ ☾ ⃗r ☾ −⃗r|⃗r☾ −⃗r| 3 − µ ☾ ⃗r ☾r 3 ☾Por tanto la fuerza de perturbación ⃗γ P = µ☾ ⃗r ☾ −⃗r|⃗r ☾ −⃗r|3 − µ ☾ ⃗r ☾r 3 ☾ .Usando que si ⃗ 1b ≈ ⃗0, se tiene que|⃗a− ⃗ ≈ 1 b| n a+ n ⃗a·⃗b,n a n+2podemos aproximar a primer orden en ⃗r en la fuerza deperturbación:⃗r ☾ −⃗r|⃗r ☾ −⃗r|3≈ ⃗r ☾r 3 ☾ + 3r ☾⃗r☾·⃗rr 5 ☾ − ⃗rr 3 ☾ . 84 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Efecto de un tercer cuerpo IV[]Se llega a la estimación ⃗γ P ≈ µ ☾⃗r☾·⃗rr3r☾☾3 r☾ −⃗r .2Podemos estimar el orden de magnitud de la perturbación con⃗rrespecto a la fuerza kepleriana ⃗γ K = −µ ⊕ comor 3|γ P /γ K | ≈ ( ) ( 3.µ☾/µ ⊕ r/r ☾)En órbita baja,|γ P /γ K | ≈ 10 −7 , pero en geostacionaria, |γ P /γ K | ≈ 10 −5 .Igualmente considerando el efecto del Sol,|γ P /γ K | ≈ ( ) ( 3,µ⊙/µ ⊕ r/r ⊙)y se tiene que en órbita baja,|γ P /γ K | ≈ 5 × 10 −8 , y en geostacionaria, |γ P /γ K | ≈ 5 × 10 −6 .Como comparación, Venus produciría un efecto del orden de5 × 10 −10 en órbita geostacionaria.Por tanto las perturbaciones (por tercer cuerpo) másimportantes en satélites son debidas al Sol y Luna. Se llamanlunisolares. Producen variaciones constantes (seculares) en ωy en Ω, y variaciones periódicas en a, e, e i; éstas variacionesperiódicas pueden ser importantes y causar el colapso orbital. 85 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Órbitas Keplerianas y no Keplerianas IDesde el punto de vista de un vehículo espacial (o de uncuerpo cualquiera) estos efectos modifican las ecuaciones delmovimiento, y por tanto afectan a la solución. La órbitaresultante será no Kepleriana.Sin embargo, si consideramos que estos efectos son pequeños,la órbita “se parecerá” a una Kepleriana.Por tanto, se considera una órbita Kepleriana para cadapunto, que va cambiando con el tiempo. Esta órbita sedenomina órbita osculante."##! $!!$"##! !%!%$# #!!FOCO!""##! "!86 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Órbitas Keplerianas y no Keplerianas II"##! $!!$"##! !%!%$# #!!FOCO!""##! "!Llamemos ⃗α = [Ω, i, ω, a, e, M 0 ] el vector de elementosorbitales, donde se ha escrito M 0 para evitar confusión conM = M 0 + nt. Recordemos que ⃗α es equivalente a ⃗r(t 0 ), ⃗v(t 0 ).Para una órbita Kepleriana:dΩdt= didt = dωdt = dadt = dedt = dM 0dt= 0,y se podría escribir dM dt= n.Para una órbita no Kepleriana, ˙⃗α(t) determina la órbita. 87 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Ejemplo: método de “variación de las constantes”La solución de la ecuación diferencial ẋ = ax esx(t, C) = Ce at donde C es una constante. Por tanto, dado C,se conoce perfectamente la evolución de x (que por tantodepende de C).Consideremos una perturbación en la ecuación: ẋ = ax + b(t).Una forma de resolver el problema es usar el método de“variación de las constantes”.Se impone que la solución tiene la misma forma que antes,pero ahora se admite que C puede variar con el tiempo:x(t, C(t)) = C(t)e at .Sustituyendo en la ecuación y teniendo en cuenta que∂x∂t = ax se llega a que Ċ = b(t)e−at .Por tanto, conocida la perturbación b(t) podemos determinarla evolución de la “constante” C y por tanto de x.88 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Teoría de Perturbaciones aplicada a Mecánica Orbital IPara el caso del problema de los dos cuerpos perturbado,denominemos ⃗γ K = − µ r 3 ⃗r la fuerza del problema Kepleriano y⃗γ P la fuerza de perturbación. Éstas fuerzas son específicas(por unidad de masa).Las ecuaciones a resolver son¨⃗r = ⃗γ K + ⃗γ P ⇒{˙⃗r = ⃗v˙⃗v = ⃗γ K + ⃗γ PConsideramos ahora la dependencia ⃗r(t, ⃗α(t)) y ⃗v(t, ⃗α(t)), talcomo se vio en el apartado de elementos orbitales:⃗r R =C F R (Ω, i, ω) = 422p1 + e cos θ (C F R )T 4 cos θsen θ035 , ⃗v R =sµp (C F R )T 2cΩcω − sΩsωci sΩcω + cΩsωci sωsi−cΩsω − sΩcωci −sΩsω + cΩcωci cωsisΩsi −cΩsi ci4 − sen θe + cos θ0353589 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Teoría de Perturbaciones aplicada a Mecánica Orbital IIEn las anteriores ecuaciones habría que expresar θ como unafunción de los restantes elementos orbitales.Usando la ecuación del movimiento, obtenemos:d⃗rdtd⃗vdtPuesto que ∂⃗r∂tj=6∑j=1= ∂⃗rj=6∂t + ∑j=1= ∂⃗vj=6∂t + ∑j=1∂⃗r∂α j˙α j = ⃗v∂⃗v∂α j˙α j = ⃗γ K + ⃗γ P= ⃗v y que∂⃗v∂t = ⃗γ K , llegamos a∂⃗r∂α j˙α j = ⃗0,j=6∑j=1∂⃗v∂α j˙α j = ⃗γ Pseis ecuaciones con seis incógnitas ( ˙⃗α).90 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Teoría de Perturbaciones aplicada a Mecánica Orbital IIIDespejar ˙⃗α, en función de la propia α y de la perturbación ⃗γ P ,es decir encontrar ˙⃗α = ⃗ F (⃗α, ⃗γ P ), no es trivial.El sistema de ecuaciones ˙⃗α = ⃗ F (⃗α, ⃗γ P ) se denominaEcuaciones Planetarias, ya que permiten predecir elmovimiento de los planetas, incorporando fuerzas adicionalesa la atracción gravitatoria del Sol como perturbaciones.En el caso de que ⃗γ P derive de un potencial ⃗γ P = ∇U p , lasecuaciones se pueden escribir como ˙⃗α = ⃗ F (⃗α, U p ). En tal casose denominan las Ecuaciones Planetarias de Lagrange.Observación: en Astronomía/Astronáutica no se usa laconvención de Mecánica F = −∇U.En caso contrario consideramos ⃗γ P = R⃗e r + S⃗e θ + W⃗e z . Lasecuaciones escritas como ˙⃗α = ⃗ F (⃗α, R, S, W ) se denominan lasEcuaciones Planetarias de Gauss.La deducción de las ecuaciones está en el apéndice.91 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Ecuaciones Planetarias, forma de LagrangeHipótesis: podemos escribir ⃗γ P = ∇U p y consideramos U pcomo función de los elementos orbitales, es decir, U p = U p (⃗α).dadtdedtdidtdΩdtdωdtdM 0dt= 2 ∂U pna ∂M 0= 1 − √ e2 ∂U p 1 − e2∂U pna 2 −e ∂M 0 na 2 e ∂ω(1 ∂Up= −na 2√ 1 − e 2 sen i ∂Ω + cos i ∂U )p∂ω1 ∂U p=na 2√ 1 − e 2 sen i ∂i√1 − e2∂U p=na 2 ∂e − cos ina 2 e √ ∂U p1 − e 2 sen i ∂i= − 2 ∂U pna ∂a − 1 − e2 ∂U pna 2 e ∂e92 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.dadtdedtdidtdωdtdMdtdΩdtEcuaciones Planetarias, forma de GaussHipótesis: podemos escribir ⃗γ P = R⃗e r + S⃗e θ + W⃗e z .2=n √ [e sen θR + (1 + e cos θ)S]1 − e2 √ [ ( 1 − e21 + e cos θ 1 − e 2 ) ]=sen θR +−Snae e(1 + e cos θ)√1 − e2=cos(θ + ω)Wna(1 + cos θ)√ [ 1 − e2=− cos θ R + sen θ ()11 +S − cos i]na e e 1 + e cos θ sen i sen(θ + ω)W= n − 1 ( 2(1 − e 2 )na 1 + e cos θ − 1 − ) e2cos θ R − 1 − ()e2 11 +Senae 1 + e cos θ√1 − e2sen(θ + ω)=Wna(1 + cos θ) sen iNota: Es conveniente escribir las ecuaciones en función de My no M 0 , donde M = M 0 + nt.93 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesEstudio de perturbaciones IGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.General Perturbation TechniquesPerturbations can be categorized as secular, short period, longperiod.Los cambios en los elementos orbitales debidos aperturbaciones se clasifican como:Seculares: términos de crecimiento monótono en el tiempo.Periódicos (de largo período): términos cuya variación se repite!"#$$#%&'()**+,lecture15.ppt ©R.S. Nerem 2004 2con periodo largo (mayor que el periodo orbital).Periódicos (de corto período): términos cuya variación se repitecon periodo corto (del orden del periodo orbital).Por ejemplo, si a(t) = 3t + sen(ω 1 t) + cos(ω 2 t) y ω 2 ≫ ω 1 ,entonces el primer término es secular, el segundo periódico delargo periodo, y el tercero periódico de corto periodo.94 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Estudio de perturbaciones IISi bien los términos periódicos pueden tener interés, engeneral los efectos más importantes son los seculares.Los términos seculares y periódicos se separan realizando unaexpansión en serie de Fourier con respecto a la anomaĺıamedia M.En concreto el término secular es el primer coeficiente deFourier, que es el valor medio; por tanto se encuentrapromediando en cada órbita. En el ejemplo anterior, a = 3t.∫ 2π0α i (M)dM.En general, α i = 12πIgualmente la variación secular de un elemento se encuentrapromediando su derivada (obtenida de las ecuacionesplanetarias): ˙α i = 1 ∫ 2π2π 0˙α i (M)dM.La variación secular por órbita (cambio por revolución) seobtiene multiplicando ˙α i por el periodo orbital: ∆α i = T ˙α i .95 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Estudio de perturbaciones IIIUna forma de calcular aproximadamente las variacionesseculares es usar un modelo de perturbaciones de primerorden, donde se aproxima a ≈ ā. Por tanto, se tendría:dadt = 2 ∂U pna ∂M 0A la hora de promediar, la siguiente relación puede ser útil:∫ 2π0f (M)dM ===∫ 2π0∫ 2π0∫ 2πdonde se ha utilizado que cos E =0f (E)(1 − e cos E)dE(1 − e cos E)2f (θ) √ dθ1 − e 2f (θ) (1 − e2 ) 3/2(1 + e cos θ) 2 dθcos θ+e1+e cos θ . 96 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.El potencial gravitatorio de un planeta no esféricoEl potencial gravitatorio U permite obtener la fuerzagravitatoria específica como ⃗γ = ∇U.Para un cuerpo esférico y homogéneo con parámetrogravitatorio µ, se tiene que su potencial gravitatorio esU K = µ r , y por tanto ⃗γ K = ∇U K = − µ r 2 ⃗e r = − µ r 3 ⃗r.¿Cómo se obtiene el potencial gravitatorio para un cuerpocualquiera? El potencial gravitatorio verifica la Ecuación deLaplace ∇ 2 U = 0.Luego U para un cuerpo con forma arbitraria vendrá dado porla solución de la ecuación de Laplace, sujeta a condiciones decontorno dadas por la distribución de masa del cuerpo.En la práctica, se busca una solución en serie de potencias yse ajustan los coeficientes con datos experimentales.La ciencia que estudia la forma de la Tierra y sus variacionesgravitatorias se denomina geodesia.97 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo con simetría de revolución ISupongamos un cuerpo cuya masa está distribuidahomogéneamente con simetría de revolución (alrededor de uneje), es decir, sólo varía con φ (no con λ).&!"#$%En tal caso, usando coordenadas esféricas, U = U(r, φ).La ecuación de Laplace queda como:(1 ∂r 2 r 2 ∂U )(1 ∂+∂r ∂r r 2 cos φ ∂U )= 0cos φ ∂φ ∂φ98 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo con simetría de revolución IILa solución general de la ecuación viene dada por[U = µ ∞∑( ) n R⊕1 − J n p n (sen φ)]rrn=2dondeEl primer término representa el potencial de una esfera,mientras que el resto (la serie) representa la desviación delmodelo esférico.Los coeficientes J n son los llamados armónicos zonales delpotencial.p n es el n-ésimo polinomio de Legendre, definidorecursivamente comop 0 (x) = 1p 1 (x) = xp n+1 (x) =1n + 1 ((2n + 1)xp n(x) − np n−1 (x))99 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo con simetría de revolución IIIEl significado de los diferentes armónicos se puede ver en lasiguientes figuras (segundo, tercer, cuarto y quinto armónicosesféricos).100 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo con simetría de revolución IVLos primeros armónicos son los más importantes. Para laTierra, J 2 = 1,083 × 10 −3 , J 3 = −2,534 × 10 −6 ,J 4 = −1,620 × 10 −6 , J 5 = −2,273 × 10 −7 ...Un modelo frecuentemente utilizado consiste en despreciartodos los armónicos excepto el segundo, lo que equivale aconsiderar la tierra como un elipsoide de revolución.Usando la fórmula encontramos que p 2 = 3x2 −12.Por tanto el modelo de potencial considerando sólo el J 2 es[U = µ r1 + J 22(R⊕r) 2(1 − 3 sen 2 φ)]101 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo general ISupongamos un cuerpo general, donde la distribución de masadepende tanto de la longitud como de la latitud.'"#$%!&De nuevo usando coordenadas esféricas, U = U(r, φ, λ).La ecuación de Laplace queda como:(1 ∂r 2 r 2 ∂U )+ 1 (∂∂r ∂r r 2 cos φ ∂U )1 ∂ 2 U+cos φ ∂φ ∂φ r 2 cos 2 φ ∂λ 2 = 0 102 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo general IILa solución general de la ecuación viene dada por[U = µ ∞∑ n∑( ) n R⊕1 − J nm p nm (sen φ) cos(m(λ − λ nm ))]rrn=2 m=0dondeEl primer término representa el potencial de una esfera,mientras que el resto (la serie) representa la desviación delmodelo esférico.Los coeficientes J nm y λ nm son los coeficientes asociados alarmónico nm.p nm es el polinomio asociado de Legendre de grado n y ordenm, definido a partir de p n comop nm (x) = (1 − x 2 ) n/2 d m p n (x)dx m 103 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo general IIIVisualización de los armónicos mediante las zonas de cambiode signo (en la figura, l corresponde a nuestra definición de n).Zonales: para m = 0, losarmónicos coinciden con losdel modelo con simetría derevolución. Sin variacionesrespecto a λ.Sectoriales: para n = m, notienen variaciones respecto aφ y dividen la esfera en“sectores”.Teserales: para n ≠ m, varíanrespecto a φ y λ, dividen laesfera en “cuadradosesféricos”.104 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Cuerpo general IVModelo triaxial: se toma la serie de segundo orden conJ 20 = J 2 , J 21 = 0, J 22 = −5,35 × 10 −6 y λ 22 = 123 o .Equivale a suponer que la Tierra es un elipsoide (con los tressemiejes diferentes).El coeficiente J 21 = 0 por simetría, ya que se sitúan los ejescoordinados de forma que coincidan con los principales delelipsoide.p 22 = (1 − x 2 ) d2 p 2 (x)= 3(1 − x 2 ). Por tantodx 2p 22 (sen φ) = 3(1 − sen 2 φ) = 3 cos 2 φ.Entonces el modelo queda:[U = µ r1 + J 22−3J 22(R⊕r(R⊕) 2(1 − 3 sen 2 φ)r) 2cos 2 φ cos(2(λ − λ 22 ))]105 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Perturbación debida al achatamiento de la Tierra IEl efecto más importante es el debido al J 2 . Consideremos elmodelo del J 2 antes escrito:[U = µ 1 + J ( ) 22 R⊕(1 − 3 sen φ)]2r 2 rdonde J 2 = 1,083 × 10 −3 .El potencial de perturbación es:U p = µ rJ 22(R⊕r) 2(1 − 3 sen 2 φ)Es necesario expresar U p en función de los elementosorbitales. Usando la trigonometría esférica (que seestudiará en el siguiente tema), se tiene quesen φ = sen i sen(ω + θ). Por tanto:U p = J 2µR 2 ⊕(1 + e cos θ) 32a 3 (1 − e 2 ) 3(1 − 3 sen 2 i sen 2 (ω + θ))106 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Perturbación debida al achatamiento de la Tierra IICalculemos ahora U p :U p = 12π∫ 2π0= J 2µR 2 ⊕4a 3 πJ 2 µR⊕(1 2 + e cos θ) 32a 3 (1 − e 2 ) 3 (1 − 3 sen 2 i sen 2 (ω + θ))dM∫ 2πPuesto que sen 2 ψ =01 + e cos θ(1 − e 2 ) 3/2 (1 − 3 sen2 i sen 2 (ω + θ))dθ1−cos 2ψ2, tenemos:(1 + e cos θ)(1 − 3 sen 2 i sen 2 (ω + θ))= (1 + e cos θ)(1 − 3 sen2 i2Integrando y usando n = √ µ/a 3 :+ 3 sen2 i sen 2(ω + θ)2U p =J 2 n 2 R 2 ⊕4(1 − e 2 ) 3/2 (2 − 3 sen2 i)107 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Perturbación debida al achatamiento de la Tierra IIIPor tanto U p = f (a, e, i). Esto implica queda/dt = di/dt = de/dt = 0, es decir: el J 2 no producevariaciones seculares en a (la energía, en media, no varía) nien la inclinación i o en e.Sí hay cambios seculares en ω y Ω (también en M 0 ):dΩdt= − 3J 2nR 2 ⊕2p 2 cos i,dωdt = 3J 2nR 2 ⊕4p 2 (5 cos 2 i − 1)El primer fenómeno se llama regresión de los nodos, y elsegundo, avance del perigeo.La variación por revolución es, usando T = 2π/n:∆Ω = − 3J 2πR 2 ⊕p 2 cos i, ∆ω = 3J 2πR 2 ⊕2p 2 (5 cos 2 i − 1)El J 2 sí produce variaciones periódicas en todos los elementos.108 / 151

.ppt ©R.S. Nerem 2004 15Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Regresión de los nodosGeneral Perturbation TechniquesLa regresión de los nodoscambia el plano de la órbitade forma continua.Una “explicación gráfica” dela física fenómeno:vhOblateness PerturbationsGeneral Perturbation Techniques!d v f˙ vr = " µv rr 3vr " r ˙ v= # r v "!"#$$#%&'()**+,.ppt ©R.S. Nerem 2004 16d v f!!!ddtvr " rv ˙( ) =!!lecture16.ppt ©R.S. Nerem 2004109 / 151

!"#$$#%&'()**+,Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de Perturbacionesm 2004 17Avance del perigeoneral Perturbation Techniqueso precesses.e critical,(116.6°)Generalidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.El avance del perigeo modifica lalocalización geográfica de la ĺıneade ápsides, y por tanto los puntosdonde la órbita permanece mástiempo (apogeo) y menos tiempo(perigeo).General Perturbation Techniques!"#$$#%&'()**+,m 2004 18110 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Resistencia atmosférica IEs el efecto de perturbación más importante en órbitas bajasy órbitas muy excéntricas con perigeo bajo (r p = a(1 − e)).Muy importante también en estudios de reentrada.La resistencia tiene la dirección del movimiento (la velocidad)pero el sentido opuesto: ⃗γ P = −D ⃗v v .Se modela D como D = 12B ρv 2 , donde B = m VSC D, elcoeficiente baĺıstico, se toma como aproximadamenteconstante. En B, m V es la masa del vehículo, S es lasuperficie “frontal” (depende de la actitud), y C D es elcoeficiente de resistencia aerodinámico.La densidad del medio ρ depende de la altura y es difícil demodelar; para una misma altura los valores fluctúan entre unmáximo y un mínimo debido a múltiples factores (variacionesdebidas a la geografía y el achatamiento, ciclos solares...)111 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Resistencia atmosférica IISe emplea la formulación de Gauss. Se obtienen resultadosanaĺıticos empleando las funciones de Bessel.Se encuentran variaciones seculares en a y e.Si e > 0, el efecto inicial de la perturbación es el decircularizar la órbita, haciendo disminuir el radio de apogeohasta que coincide con el de perigeo.Atmospheric DragUna vez la órbita es circular, el efecto es la lenta disminucióndel radio (caída en espiral), hasta la reentrada del vehículo.If we assume perigee height remains constant, then r P =a(1-e) and:dr da deP = 0 " (1!e ) ! a112 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Resistencia atmosférica IIIAtmospheric DragTambién produce perturbaciones seculares en la inclinación yperiódicas en todos los elementos.Es el efecto que típicamente, para órbitas bajas, determina elMust use Gauss’s form of planetary equations to look at wholeeffect. tiempo Secular dechanges vida un in satélite. a, e, i; periodic changes in allelements.113 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Resistencia atmosférica IVEste efecto se puede aprovechar para realizar maniobras deaerofrenado (aerobraking).Por ejemplo, en la “Mars Reconnaissance Orbiter” (2005), seconsiguieron ahorrar 600 kg. de combustible.Otros ejemplos: Magallanes (Venus) — 1989–1994. MarsSurveyor — 1996–2006. Mars Odissey —2001. 114 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Presión de radiación solar ILa incidencia de la luz solar (fotones) en una superficieproduce un efecto mecánico: la presión de radiación solar.A 1 AU del Sol, el flujo medio de intesidad de radiaciónrecibido es de I = 1358 W/m 2 . La presión mecánica secalcula como p = I /c = 4,5 × 10 −6 N/m 2 , donde c es lavelocidad de la luz en el vacío.La fuerza en una placa plana (como un espejo, o un panelsolar) será F = pA(1 + ε) cos ϕ⊙, donde A es el área, ε elcoeficiente de reflectividad, y ϕ⊙ el ángulo de incidencia.ε ∈ [−1, 1] :⎧⎨⎩ε = 1 : totalmente reflectanteε = 0 : absorbente (cuerpo negro)ε = −1 : totalmente transparenteLa fuerza de perturbación será, aproximadamente:⃗γ P = −4,5 × 10 −6 Am V⃗e⊙(1 + ε) cos ϕ⊙, donde m V es la masadel vehículo y ⃗e⊙ apunta en la dirección del sol desde elvehículo.115 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Presión de radiación solar IIAdemás existirá una fuerza de magnitud similar debida a lareflexión (perpendicular a los rayos reflejados). Todo esto paracada superficie expuesta al Sol.Es complejo de tratar anaĺıticamente. Se puede demostrar quesólo se producen variaciones seculares en Ω y ω, mientras queel resto de variaciones son periódicas (con un periodo delorden de un año).En periodos de eclipse, la fuerza desaparece; además hay quetener en cuenta la sombra de la Tierra.Hay que tener en cuenta el albedo de la Tierra (reflexión de laluz del Sol en la Tierra).Para vehículos con grandes paneles solares, A es grande,ϕ S = 0, y ε ≈ 0,21: el efecto puede ser apreciable.La presión de radiación solar se puede utilizar para obtenerpropulsión (velas solares) o como mecanismo de control deactitud (flaps solares). 116 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Presión de radiación solar IIIFigura: Flap SolarFigura: Vela Solar117 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Resumen de efectos de perturbación IPerturbaciones VOPGravedad 3 er cuerpo Atmosf Pres RadZonal Sect/Tesa P P P P S Pe P P P P S Pi P P P P S PΩ P S P P S P P Sω P S P P S P P SM 0 P S P P S P P SP: PeriódicosS: SecularesTambién: acoplamientosFigura: Efectos de perturbaciónFuente: Vallado118 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Resumen de efectos de perturbación IIPerturbaciones del movimiento keplerianoaceleración (m/s 2 )1e+061000010010.010.0001Aceleraciones sobre el satélite (CB=50)ShuttleISSKeplerJ 2C 22Pert solarPert lunarR aer (baja)R aer (alta)P rad1e!061e!080 100 200 300 400 500 600 700 800 900Altura (km)Figura: Efectos de perturbación en órbita bajaResistencia Atmosférica – p.3/22119 / 151

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Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Periodos orbitalesPuesto que la órbita de un satélite sujeto a perturbaciones yano es fija en el espacio, el concepto de “periodo” deja de estarclaro. Por ello se definen los siguientes tipos de periodo:Periodo kepleriano: el periodo clásico definido según elproblema de los dos cuerpos.Periodo nodal (también llamado dracónico): tiempo quetranscurre entre dos pasos consecutivos por el nodoascendente.Periodo anomaĺıstico: tiempo que transcurre entre dos pasosconsecutivos por periapsis.Periodo sidéreo: tiempo que transcurre entre dos pasossucesivos por un mismo valor del argumento de latitudϖ = ω + θ.121 / 151

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Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Propagador J2 medioEmpleando los valores medios seculares encontrados para elJ2, un posible propagador sería:a = a 0 ,e = e 0 ,i = i 0 ,Ω = Ω 0 − 3 2 n R2 Lω = ω 0 + 3 4 n R2 LM = M 0 +(p 2 J 2 cos i(t − t 0 ),p 2 J 2(5 cos i 2 − 1)(t − t 0 ),n + 3 4 n R2 Lp 2 J 2√1 − e 2 (2 − 3 sen i 2 ))(t − t 0 ),Este propagador es simple de usar y útil en misiones en órbitabaja, donde la influencia del J2 es grande.123 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Propagador planetario ILos elementos heliocéntricos de los planetas están sujetos aperturbaciones, pero éstas actúan de una forma bastantelenta.Clásicamente los elementos heliocéntricos de los planetasestán dados en la forma (a, e, i, Ω, ϖ, L), donde ϖ = Ω + ω esla longitud del perihelio, y L = ϖ + M es la llamada longitudmedia.Modelo de primer orden:(a, e, i, Ω, ϖ, L) = (a 0 , e 0 , i 0 , ϖ 0 , L 0 ) + (ȧ, ė, d dt i, ˙Ω, ˙ϖ, ˙L) × T 0donde T 0 es el número de centurias julianas entre J2000 y eldía en el que se quieren calcular los elementos planetariosheliocéntricos. T 0 se calcula con la fórmula T 0 = JD−245154536525,donde JD es el día juliano de cálculo.Los valores de los elementos y su variación están en una tablaen la siguiente transparencia. 124 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Propagador planetario IIValores de los elementos y su variación para su uso en laanterior fórmula:125 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Propagador GPS IUna aplicación en la que es de particular importancia conocercon precisión los elementos es la de los satélites GPS.Los receptores (navegadores) reciben de los propios satélitesinformación (efemérides) que les permite reconstruir laposición; por tanto todo receptor GPS debe contener unpropagador de órbitas.La información emitida por los satélites es:t 0 , √ a, e, Ω 0 , ω 0 , i 0 , M 0 , ∆n, ˙Ω, d dt i, C uc, C us , C rc , C rs , C ic , C is .Las fórmulas que se emplean son:(√ )M = M 0 + µ/a 3 + ∆n (t − t 0 ),Ω = Ω 0 + ˙Ω(t − t 0 ),ω = ω 0 + C uc cos(2u 0 ) + C us sen(2u 0 ),i = i 0 + d dt i(t − t 0) + C ic cos(2u 0 ) + C is sen(2u 0 ).126 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Propagador GPS IIEn las anteriores fórmulas, una vez encontrada M hay queresolver la ecuación de Kepler M = E − e sen E, hallar θ de E,y calcular u 0 = ω 0 + θ.Por otro lado también se suelen dar fórmulas para calcular ladistancia geocéntrica del satélite. Se calcular 0 = a(1 − e cos E) y se emplea la fórmula:r = r 0 + C rc cos(2u 0 ) + C rs sen(2u 0 ).Si bien las anteriores fórmulas permiten reconstruir con unaprecisión razonable la posición de los satélites GPS, dichaprecisión no es suficiente para aplicaciones de mucha precisión.Para dichas aplicaciones, se pueden obtener efeméridespost-procesadas (con precisión de cm), basadas enobservaciones. Estan disponibles de forma gratuita, del IGS(International GPS Service), por ejemplo, en internet, y se danen forma de coeficientes de polinomios de Lagrange queinterpolan con gran precisión los elementos.127 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Modelo de perturbaciones y propagador SGP4Un modelo semianaĺıtico que tiene en cuenta perturbacioneshasta el J3 y rozamiento atmosférico es el SGP4 (SimplifiedGeneral Perturbations Satellite Orbit Model 4).Este modelo, desarrollado por la NASA, es especialmente útilpara órbitas bajas donde la influencia del rozamientoatmosférico es considerable.Existen otras versiones (SGP8, SDP4) con mayor precisión,pero ésta es la más usada por su sencillez y rapidez de cálculo,y sobre todo por compatibilidad.Su precisión es de aproximadamente un kilómetro. Empleaelementos orbitales medios, dados en el formato de dos lineas(TLE: two line elements) que estudiamos a continuación.128 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Formato NASA/NORADLos satélites vienen descritos en las bases de datos por dosĺıneas de números (en inglés “two-line elements”).En la priméra ĺınea viene t 0 (la época, en forma de año yfracción de días), y en la segunda, i, Ω, e (se asume un puntodecimal al principio), ω, M 0 , y n (en revoluciones por día). Elnúmero de revoluciones es el número de vueltas que el satéliteha dado a su órbita en t 0 .Los otros números sirven para clasificar el satélite o paramodelos más complejos, que incluyen perturbaciones. 129 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Formato NASA/NORADEjemplos (celestrak.com):ISS(ZARYA)1 25544U 98067A 07281,99344815 ,0000942300000 − 0 64778 − 4 0 12342 25544 51,6338 236,8689 0003196 79,3949 325,2109 15,75490408508738METEOSAT71 24932U 97049B 07280,81168990 ,00000059 00000 − 0 10000 − 3 0 28092 24932 3,6428 76,9883 0001162 185,2668 103,4399 1,00269406 36985130 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Determinación de órbitas: el Problema de Lambert IEl problema de determinar una órbita a partir de un ciertonúmero de datos (observaciones) fue considerado ya porKepler y más adelante por Newton.Por ejemplo, Newton propuso un método práctico basado entres observaciones, que Edmond Halley (s. XVII-XVIII)empleó para realizar predicciones sobre un cometa—hoyconocido como el cometa Halley.Si el problema está sobredeterminado, son necesarios métodosestadísticos; Gauss desarrolló el método de los mínimoscuadrados para resolver el problema, y alcanzó la fama en elcampo de la astronomía cuando fue capaz de predecir laórbita de Ceres.Un caso de interés es el llamado problema de Lambert:encontrar una órbita conocidos dos puntos y el tiempo detránsito (tiempo de vuelo) entre ambos.131 / 151

Introducción Histórica a la Mecánica OrbitalEl Problema de los Dos CuerposLeyes horarias. Teorema de Lambert. Elementos OrbitalesTeoría de PerturbacionesGeneralidades. Ecuaciones planetariasCampo gravitatorio de un cuerpo no esférico. AchatamientoOtros efectos. Resumen. Periodos orbitales.Propagadores. Determinación de órbitas.Determinación de órbitas: el Problema de Lambert IIProblema de LambertDados ⃗r 0 , ⃗r 1 y t v encontrar una órbita tal que si ⃗r(0) = ⃗r 0 ,entonces ⃗r(t v ) = ⃗r 1 .AplicacionesDeterminar la órbita de un cuerpo a partir de dosobservaciones y el tiempo transcurrido entre ambas.Diseño de misiones: dado un origen en t = 0 y un destino ent = t v , encontrar una órbita de transferencia.Intercepción y rendez-vous (encuentro): dado un cuerpoorbitando y un origen, diseñar una órbita de intercepción.Trabajando en el plano definido por el origen, ⃗r 0 y ⃗r 1 , elproblema se reduce a uno plano; el problema se puede resolvernuméricamente.132 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasDeducción del teorema de Lambert ITeorema de Lambert: “El tiempo de vuelo t v entre dos puntosr 1 y r 2 de una elipse depende solamente de la cuerda c, lasuma s = r 1 + r 2 y el semieje mayor de la elipse a.”Sean θ 1 y E 1 las anomaĺıas verdadera y excéntrica de r 1 , y θ 2y E 2 del punto r 2 . De la ecuación de Kepler se tiene:nt v = E 2 − E 1 − e(sen E 2 − sen E 1 ).Usando fórmulas trigonométricas, podemos escribir:(E2 − E 1nt v = 2 − e sen E 2 − E 1cos E )2 − E 122 2Definamos ψ = E 2−E 12, φ tal que cos φ = e cos E 2−E 12. Portanto:nt v = 2 (ψ − sen ψ cos φ)133 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasDeducción del teorema de Lambert IIEn términos de la anomaĺıa excéntrica, r 1 = a(1 − e cos E 1 ).Por tanto:r 1 + r 2 = a(2 − e(cos E 1 + cos E 2 )) = a„ „2 − e 2 cos E 2 + E 12cos E 2 − E 12««= 2a(1 − cos φ cos ψ)Por otro lado, usando el teorema del coseno se tiene quec 2 = r 2 1 + r 2 2 − 2r 1r 2 cos(θ 2 − θ 1 ), lo que se puede escribir:c 2 = (r 1 + r 2 ) 2 − 2r 1 r 2 (cos(θ 2 − θ 1 ) − 1) = (r 1 + r 2 ) 2 − 4r 1 r 2 cos 2 θ 2 − θ 1„= (r 1 + r 2 ) 2 − 4r 1 r 2 cos θ 22 cos θ 12 + sen θ 22 sen θ « 212Partiendo de la ecuación cos θ =fácilmente las siguientes relaciones:√ r cos θ/2 =qa(1 − e) cos E/2,cos E−e1−e cos E, se pueden deducir√ r sen θ/2 =qa(1 + e) sen E/2.Sustituyendo estas expresiones en la ecuación de la cuerda:„c 2 = (r 1 + r 2 ) 2 − 4a 2 (1 − e) cos θ 22 cos θ 12 + (1 + e) sen θ 22 sen θ 12= (r 1 + r 2 ) 2 − 4a 2 „cos E 2 − E 12+ e cos E 2 + E 122« 2« 2134 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasDeducción del teorema de Lambert IIISustituyendo ahora en la ecuación hallada las expresiones deψ y φ y la expresión de r 1 + r 2 , y operando:c 2 = 4a 2 (1 − cos φ cos ψ) 2 − 4a 2 (cos ψ + cos φ) 2= 4a 2 sen 2 φ sen 2 ψ.Se llega finalmente a c = 2a sen φ sen ψ. Recapitulando,tenemos las siguientes ecuaciones:nt v = 2 (ψ − sen ψ cos φ) ,r 1 + r 2 = 2a(1 − cos φ cos ψ),c = 2a sen φ sen ψ.Definamos ahora α = φ + ψ, β = φ − ψ, de modo queφ = (α + β)/2, y ψ = (α − β)/2.Se tiene:r 1 + r 2 + c = 2a(1 − cos φ cos ψ + sen φ sen ψ) = 2a(1 − cos(φ + ψ)) = 2a(1 − cos α),r 1 + r 2 − c = 2a(1 − cos φ cos ψ − sen φ sen ψ) = 2a(1 − cos(φ − ψ)) = 2a(1 − cos β).135 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasDeducción del teorema de Lambert IVPor tanto llamando s = r 1 + r 2 , se pueden calcular α y β delos datos del problema como:Por otro lado:cos α = 1 − s + c2acos β = 1 − s − cnt v = 2 (ψ − sen ψ cos φ)=„2 ψ − 1 2„ α − β= 22„sen ψ + φ2− 1 22a„sen ψ + φ2= (α − β − (sen α − sen β))= α − sen α − (β − sen β)− sen ψ − φ ««2− sen ψ − φ2Con lo que queda demostrado el teorema tal como se presentaen teoría.««136 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasDeducción de las ecuaciones planetariasObjetivo: despejar ( ˙⃗α) de:j=6∑j=1∂⃗r∂α j˙α j = ⃗0,j=6∑j=1∂⃗v∂α j˙α j = ⃗γ P ,donde ⃗α = [Ω, i, ω, a, e, M 0 ] T , sabiendo que⃗r R =C F R (Ω, i, ω) = 422p1 + e cos θ (C F R )T 4 cos θsen θ035 , ⃗v R =sµp (C F R )T 2cΩcω − sΩsωci sΩcω + cΩsωci sωsi−cΩsω − sΩcωci −sΩsω + cΩcωci cωsisΩsi −cΩsi ci4 − sen θe + cos θ03535Forma de Lagrange: ⃗γ P = ∇U P (⃗α) =( ) T ∂UP (⃗α)∂⃗r .Forma de Gauss: ⃗γ = R(⃗α)⃗e r + S(⃗α)⃗e θ + W (⃗α)⃗e z .137 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange IObsérvese que:⃗γ P =( ∂UP∂⃗r) T=j=6∑j=1∂U P∂α j( ∂αj∂⃗r) T.Por tanto, se tiene que:( ) ∂⃗v T ∑j=6∂⃗αj=1∂⃗r∂α j˙α j −( ) ∂⃗r T ∑j=6∂⃗αj=1(∂⃗v∂α j˙α j − ∂U P∂α j( ∂αj∂⃗r) T)= ⃗0.Se calcula que:„ ∂⃗r∂⃗α« T j=6Xj=1∂U P∂α j„ ∂αj∂⃗r« T=j=6Xj=1∂U P∂α j„ « ∂⃗r T „ ∂αj∂⃗α ∂⃗r« T=j=6Xj=1∂U PXi=3∂α ji=1∂α j∂r i„ ∂ri∂⃗α« T=j=6Xj=1∂U P∂α j„ ∂αj∂⃗α« T=„ ∂UP∂⃗α« T138 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange IILlegamos a la siguiente ecuación, escrita en forma vectorial:[ ( ) ∂⃗r T ( ) ( ) ∂⃗v ∂⃗v T ( ) ] ( ) ∂⃗rT ∂UP−˙⃗α = .∂⃗α ∂⃗α ∂⃗α ∂⃗α ∂⃗αDenotemos por L la llamada matriz de Lagrange, que es( ) T ( ) ( ) T ( )necesario calcular: L = ∂⃗r ∂⃗v∂⃗α ∂⃗α− ∂⃗v ∂⃗r∂⃗α ∂⃗α.Se tendrá que:L i,j = ∂⃗r T∂α i∂⃗v− ∂⃗v T∂α j ∂α i∂⃗r∂α jde donde se deduce: L i,i = 0, L i,j = −L i,j . Por tanto la matrizde Lagrange es antisimétrica.139 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange IIIPor otro lado, derivando L i,j con respecto al tiempo:∂∂t L i,j =∂⃗v T∂α i∂⃗v∂α j+ ∂⃗r T∂α i∂ ∂⃗vα j ∂t − ∂ ∂⃗v Tα i ∂t∂⃗r∂α j− ∂⃗v Tα i∂⃗v∂α j=∂⃗r∂α i∂ ∂U Pα j ∂⃗r− ∂ α i∂U P∂⃗r∂⃗r∂α j=∂α j∂U P∂α i− ∂ α i∂U P∂α j= 0de donde se deduce: ∂/∂tL = 0, por lo que la matriz deLagrange no depende expĺıcitamente del tiempo.Para calcular L tomamos las derivadas en la expresión de ⃗r y⃗v en función de los elementos orbitales, y puesto que no haydependencia expĺıcita del tiempo, evaluamos dicha derivada enel instante de tiempo más conveniente, que en nuestro casoserá periapsis.140 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange IVVeamos como se evalúan las derivadas. Por ejemplo, lasderivadas respecto a los ángulos de Euler de la órbita:∂⃗r∂Ω∂⃗r∂ω∂⃗r∂i˛˛per=˛˛per=˛˛per=2p1 + e cos θ ( ∂C RF∂Ω )T 4 cos θsen θ02p1 + e cos θ ( ∂C RF∂ω )T 4 cos θsen θ0p1 + e cos θ ( ∂C RF∂iDonde se ha usado:∂C F R∂Ω∂C F R∂i∂C F R∂ω===242424) T 24 cos θsen θ035˛35˛35˛˛per=˛per=˛per=p1 + e ( ∂C F R∂Ω )T 24 1 00p1 + e ( ∂C F R∂ω )T 24 1 00p1 + e ( ∂C RF∂i) T 24 1 00−sΩcω − cΩsωci sΩcω − sΩsωci 0sΩsω − cΩcωci −cΩsω − sΩcωci 0cΩsi +sΩsi 0sΩsωsi −cΩsωsi sωcisΩcωsi −cΩcωsi cωcisΩci −cΩci −si−cΩsω − sΩcωci −sΩsω + cΩcωci cωsi−cΩcω + sΩsωci −sΩcω − cΩsωci −sωsisΩsi −cΩsi ci3535 = p1 + e35 = p1 + e35 = p1 + e353524242−sΩcω − cΩsωcicΩcω − sΩsωci0−cΩsω − sΩcωci−sΩsω + cΩcωcicωsi4 sΩsωsi−cΩsωsisωci35141 / 1513535

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange VIgualmente:∂⃗v∂Ω∂⃗v∂ω∂⃗v∂i˛˛per=s 2µp ( ∂C RF∂Ω )T 4 − sen θe + cos θs 2˛ µ= ˛per p ( ∂C RF∂ω )T 4 − sen θe + cos θs˛ µ= ˛per p ( ∂C RF∂i00) T 24 − sen θe + cos θ035˛35˛35˛˛per˛per˛per= (1 + e)= (1 + e)= (1 + e)s 2µp ( ∂C RF∂Ω )T 4 0 10s 2µp ( ∂C RF∂ω )T 4 0 10s 2µp ( ∂C RF ) T 4 0 1∂i 03 sµ5 = (1 + e)p3 sµ5 = (1 + e)p3 sµ5 = (1 + e)p24242sΩsω − cΩcωci−cΩsω − sΩcωci0−cΩcω + sΩsωci−sΩcω − cΩsωci−sωsi4 sΩcωsi−cΩcωsicωci353535Antes de calcular derivadas respecto a a, e o M 0 , hay quefijarse en que el θ que aparece en las expresiones de ⃗v y ⃗r esuna función de a, e y M 0 , vía la Ecuación de Kepler√M = E − e sen E = M 0 + nt, donde n = µy la relacióna√3 1+eentre θ y E, tan θ/2 =1−e tan E/2. 142 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange VIDerivando respecto a M 0 obtenemos:1 + tan 2 θ/22∂θ∂e=s1 + e1 − e1 + tan 2 E/22∂E∂M 0,Derivando en la ecuación de Kepler respecto a M 0 obtenemos. Por tanto:∂E 1∂M 0=1−e cos E∂θ∂M 0=∂θs1 + e1 − e1 + tan 2 E/21 + tan 2 θ/2√1+e1−e∣Luego en periapsis: ∣per∂M 0=Derivando respecto a a obtenemos:1 + tan 2 θ/22∂θ∂a= 1 + e1 − e11 − e cos E .11−e .1 + tan 2 E/22∂E∂a ,3q µa 5 tDe la ecuación de Kepler : ∂E∂a = − 2(1−e cos E). Por tanto enq ∣periapsis: ∂θ√3 µ ∣ 1+e a∂a per=5 t per1−e 2(1−e)= 0.143 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange VIIDerivando respecto a e obtenemos:1 + tan 2 θ/22∂θ∂e=s1 + e1 − e1 + tan 2 E/22∂E∂e+tan E/2(1 − e) 2 s1 − e1 + e ,Derivando en la ecuación de Kepler respecto a e obtenemossen E . Por tanto:∂E∂e =1−e cos E∂θ∂M 0=s1 + e1 − e1 + tan 2 E/21 + tan 2 θ/2∣per= 0.Luego en periapsis: ∂θ∂eRecordando p = a(1 − e 2 ), calculamos:∂⃗r∂a∂⃗v∂a˛˛per=˛= − 1 s˛per 2= − 1 221 − e 21 + e cos θ (C F R )T 4 cos θsen θ02µa 3 (1 − e 2 ) (C F R )T 4 − sen θe + cos θsµ(1 + e)a 3 (1 − e)24ssen E1 − e cos E + 2 tan E/2 1 − e(1 + tan 2 θ/2)(1 − e) 2 1 + e .325˛ = (1 − e)(C F R ˛per )T 4 1 0035˛ = − 102˛per3−cΩsω − sΩcωci−sΩsω + cΩcωcicωsi5325 = (1 − e) 4sµ(1 + e)a 3 (1 − e) (C F R )T 24 0 10cΩcω − sΩsωcisΩcω + cΩsωcisωsi35144 / 15135

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange VIIIIgualmente:∂⃗r∂e∂⃗v∂e˛˛per=˛˛per== −a 4=2−2ae(1 + e cos θ) − p cos θ(1 + e cos θ) 2 (C F R )T 4 cos θsen θ02cΩcω − sΩsωcisΩcω + cΩsωcisωsi2sµa(1 − e 2 ) (C F R )T 6411 − esµa(1 − e 2 )2435− e sen θ1−e 2e e+cos θ1−e 2 + 10−cΩsω − sΩcωci−sΩsω + cΩcωcicωsi325˛ = −a(C F R ˛per )T 4 1 00375 ˛ = 11 − e˛per3535sµa(1 − e 2 ) (C F R )T 24 0 1035Finalmente, para calcular ∂/∂M 0 , usaremos:∂∣∣∣per= ∂ ∂θ∣ √∣∣per 1 + e 1∣ =∂M 0 ∂θ per ∂M 0 1 − e 1 − e∂∂θ∣per145 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange IXSe llega a:2s∂⃗r1 + e= p∂M 0˛˛˛per (1 − e) 3 (C F R )T 64∂⃗v∂M 0˛˛˛per== ps= −s214(1 + e)(1 − e) 3− sen θ(1+e cos θ)+e sen θ cos θ(1+e cos θ) 2cos θ(1+e cos θ)+e sen 2 θ(1+e cos θ) 20−cΩsω − sΩcωci−sΩsω + cΩcωcicωsis 21 + e µ(1 − e) 3 p (C F R )T 4 − cos θ− sen θ0s1 + e(1 − e) 3 sµp2435˛cΩcω − sΩsωcisΩcω + cΩsωcisωsi35˛per=35s3s217 ˛ = p5(1 + e)(1 − e) ˛per 3 (C F R )T 4 0 10s 21 + e µ(1 − e) 3 p (C F R )T 4 −1003535146 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange XEmpleando los cálculos realizados, podemos calcular loselementos no nulos de L. Por ejemplo:L Ωω =∂⃗r T∂Ω2− 4∂⃗v∂ω − ∂⃗v T∂ΩsΩsω − cΩcωci−cΩsω − sΩcωci002∂⃗r∂ω = √ pµ @ 4325 · 4−sΩcω − cΩsωcisΩcω − cΩsωci0cΩsω − sΩcωci−sΩsω + cΩcωcicωsi33125 · 45A = 0.−cΩcω + sΩsωci−sΩcω − cΩsωci−sωsi35Calculando el resto de elementos de la matriz, encontramos:s sµL Ωω = 0, L Ωi = −pp sen i, L Ωa = − e2 − 1 µ2 pcos i, LΩe = −aesµp cos i, L ΩM 0= 0,sL ωi = 0, L ωa = − e2 − 1 µ2 p ,L ia = 0, L ie = 0, L iM0 = 0,L ωe = −aesµp , L ωM 0= 0,L ae = 0, L aM0 = − 1 2L eM0 = 0.p1 − e 2 sµp ,147 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange XIPor tanto:L =sµp2640 0 −p sen i1−e 221−e 22cos i −ae cos i 00 0 0−ae 0p sen i 0 0 0 0− 1−e22pcos i0 0 0121 − e 2ae cos i ae 0 0 0 00 0 0 − 1 p2 1 − e 2 0 0− 1−e22375Se tiene Det (L) = ae2 µ 3 sen 2 i4. Por tanto la matriz es singularpara órbitas circulares o ecuatoriales (para dichos casos loselementos orbitales keplerianos son singulares).) T. Invirtiendo ˙⃗α = L−1Se tiene L ˙⃗α =(∂UP∂⃗αL −1 =spµ2640 0 − 1p sen i0 0 − 11p sen i1p tan ip tan i(∂UP∂⃗α0 0 001ae00 0 00 0 0 0 0 q 20 − 1ae0 0 00 0 0 − 2 q1−e 2 −q1−e 2ae) Tdonde:1−eq21−e 2ae0375148 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Lagrange XIISustituyendoteoría:√pµ = √1−e 2nase llega a la forma escrita endadtdedtdidtdΩdtdωdt2 ∂U p=na ∂M 01 − e 2 p∂U p 1 − e 2 ∂U p=na 2 −e ∂M 0 na 2 e ∂ω„1∂Up= −na 2p 1 − e 2 sen i ∂Ω+ cos i ∂U «p∂ω==1∂U pna 2p 1 − e 2 sen i ∂ip1 − e 2 ∂U pna 2 ∂e − cos ina 2 e p ∂U p1 − e 2 sen i ∂idM 0dt= n − 2 na∂U p∂a− 1 − e2na 2 e∂U p∂e149 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Gauss IEl procedimiento realizado para deducir las ecuacionesplanetarias de Lagrange se puede aprovechar para deducir lasde Gauss.Siguiendo el mismo razonamiento inicial, se llega a:) T⃗γP . Invirtiendo ˙⃗α = L −1 (∂⃗r∂⃗α) T⃗γP .L ˙⃗α(= ∂⃗r∂⃗αLa inversa ya la conocemos, sería necesario simplementecalcular(∂⃗r∂⃗α) T⃗γP .El procedimiento es ahora más complejo porque(∂⃗r∂⃗α) Thayque calcularlo en un punto genérico, ya no es suficientecalcularlo en periapsis.Puesto que ⃗γ P = R⃗e r + S⃗e θ + W⃗e z , tenemos que escribir ⃗γ Pen el mismo sistema de referencia que ⃗r, llegando a:⃗γ P = R(C F R )T 24 cos θsen θ0325 + S(C F R )T4 − sen θcos θ0325 + W (C F R )T4 0 0135150 / 151

ApéndiceTeorema de LambertEcuaciones PlanetariasEcuaciones planetarias de Gauss IIdadtdedtRealizando las derivadas y efectuando los productos, seencuentra que la expresión de ∂M 0 /∂t contiene términos en t.Para evitar estos términos se utiliza M = M 0 + nt, luego∂M/∂t = ∂M 0 /∂t − 3/2 √ µ/a 5 ∂a/∂t; se comprueba que en∂M/∂t no aparecen términos en t.Se obtiene el resultado escrito en teoría:==2n p [e sen θR + (1 + e cos θ)S]1 − e2 p "1 − e 2sen θR +1 + e cos θ 1 − e 2 ! #−Snae e(1 + e cos θ)didtdωdtdMdt==p1 − e 2cos(θ + ω)Wna(1 + cos θ)p1 − e 2 »− cos θR + sen θna e e= n − 1 na2(1 − e 2 )1 + e cos θ − 1 − e2e„1 +«1S − cos i–sen(θ + ω)W1 + e cos θ sen i!cos θ R − 1 − e2 „«11 +Snae 1 + e cos θdΩdt=p1 − e 2na(1 + cos θ)sen(θ + ω)Wsen i151 / 151