Simulación del modelo de Ising en una retıcula 2D cuadrada con ...

Simulación del modelo de Ising en una retícula 2D cuadrada con condiciones periódicasDel Razo Sarmina Mauricio 1 y Guayaquil Sosa Alejandro 2Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autonoma de México, Ciudad de MéxicoSe obtiene una simulación de la transición de fase en un material ferromagnético usando el modelo de Ising2D encontrando la temperatura crítica T c de transición. El estudio del sistema se hace por medio de unmétodo Monte Carlo usando el algoritmo de metrópolis para los posibles cambios de energía o interaccionespermitidas entre espines. Se presenta también una animación de la retícula de espines en estado inicialdesordenado (sólido no magnetizado) que evoluciona hasta llegar a tener dominios magneticos (sólidomagnetizado).I. IntroducciónLa física estadística hoy en día es de gran importanciaya que conecta los resultados de nivelesmicroscópicos con niveles macroscópicos. La complejidadde su estudio radica en la extensión quetienen las ecuaciones que plantean, ya que el masde los simples sistemas consta de la frontera detamaño dado por “Avogadro” (X ∼ 10 23 dondeX es el número de variables involucradas); juntoa esto, las ideas de mantener un sistema aislado ocon límite de variables (por ejemplo la temperatura)tendiendo a infinito hacen más complejo poderhacer pruebas en un laboratorio o buscar solucionesanalíticas exactas.Con la llegada de computadoras el tiempo que requierenlos procesos de iteración para resolver lasecuaciones de la física estadística se vio dramaticamentedisminuido a tal modo que es posibleencontrar una solución aproximada que se acerquea la solución exacta haciendo el error del cálculotan pequeño como uno quiera.Una forma del uso computacional en física estadísticason los denominados métodos “Monte Carlo”que introducen el concepto de procesos aleatoriosconvergente a una solución en un tiempo finito.Con este marco, introducimos el primer y mas sencilloproblema no trivial del estudio estadístico pormedio de un proceso Monte Carlo: el modelo deIsing.El problema trata de encontrar la temperaturacrítica de transición para un magneto por medio deequilibración de energía cuando actua una gammade temperatura sobre el sistema.II. El modelo de IsingComo ya mencionamos este modelo es para un magnetoy considera que el magnetismo de un material1 e-mail: mauricio delrazo@yahoo.com2 e-mail: alejandro guayaquil@ciencias.unam.mxesta determinado por la combinación de momentosdipolares originados por la interacción entre espinesde sus átomos. Consiste de un arreglo de N puntosfijos en una reticula formando un arreglo periódicon−dimensional (n = 1, 2, 3) cuya geometría puedeser variada, por ejemplo cúbica (cuadrada) o hexagonal.Asociado a cada sitio de la reticula tenemos un momentodipolar o espín σ i (i = 1, . . . , N) que puedetomar los valores ±1, representando así dipolos demagnitud unitaria derechos (arriba) o izquierdos(abajo). Esta simplificación de un material ferromagnéticopermite escribir el hamiltoniano como:H = −J ∑ σ i σ j − B ∑ iσ i (1)donde < i, j > representa la interacción a primerosvecinos y B la magnitud del campo magnético externo.El valor de J constante se ha tomado con la premisade que la interacción entre espines es isotrópica yno depende en sí del elemento {i, j} de la retícula;mientras que el signo menos se ha colocado ya quesi J > 0 se tendrá que los espines tratan de mantenersealineados para minimizar la energía causandoregiones donde esten hacia arriba o hacia abajo(dominios magnéticos).Los estados para este modelo son los posibles valoresque pueden tomar cada uno de los espines,que al ser dos posibilidades (izquierdo o derechos)se tienen un total de 2 N estados para una retículacon N espines.III. La solución de Onsager y la existenciade una transición de faseA. Modelo 1DPara fijar ideas tomaremos el caso de N espines enuna arreglo 1D y lo extenderemos para 2D. En este

caso el hamiltoniano esta dado por:cualquier temperatura, no existiendo en este casoEsta solución nos dice que la magnetización delsistema, m := ( ) ∂e∂B , se mantiene con valor 0 paratransición de fase.N∑N∑H 1D = −J σ i σ i+1 − B σ i (2)B. Modelo 2Diidonde nuevamente B representa un campo externoy J es isotrópica.Aquí también haremos un tratamiento matricial delsistema. Consideremos un conjunto de N = L 2 espines,con L columnas y L renglones, i.e. una retículaConsiderando condiciones de frontera periódicas,σ N+1 = σ 1 , en el ensamble canónico la función departición Z queda:cuadrada. Agregemos una columna y un renglón anuestra red como muestra la Fig. 1. manteniendola “topología” toroidal del sistema (condiciones deZ = ∑ · · · ∑e β[J P Ni σiσi+1+ B P N (σi+σi+1)] frontera periodicas).2 i(3)σ 1 σ Ndonde β := 1k B T con k B la constante de Boltzmann.Para poder realizar la suma de la Ec.(3) definamoslos elementos de matriz P :< σ|P |σ´>= e β[Jσσ´+ B (σ+σ´)] 2 (4)Por lo que si calculamos < 1|P |1 >, < 1|P | − 1 >,< −1|P |1 >, < −1|P | − 1 > obtendremos:( )Fig. 1. Esquema del modelo de Ising 2D con geometría cuadraday condiciones periódicaeβ(J+B)eP =e −βJ e β(J−B) (5)La cual es denominada matriz de transferencia.Sea µ α = {σ 1 . . . σ L } la colección de espines quese encuentran en el α-ésimo renglón. Siguiendo laLa Ec.(4) permite escribir la Ec.(3) en la forma:condición periódica del sistema µ L+1 = µ 1 podemosdefinir las siguientes energías:Z = ∑ < σ 1 |P |σ 2 > . . . < σ N |P |σ 1 > (6)L∑{σ i}= ∑ H a (µ, µ´) ≡ −J σ k σ´k (12)< σ 1 |P N |σ 1 > (7)k=1σ 1 L∑L∑= Tr(P N ) (8) H b (µ) ≡ −J σ k σ k+1 − B σ k (13)k=1k=1donde {σ i } representa la suma sobre todos los estadosdel sistema.donde {µ, µ´} representan las colecciones de espinesque son renglones adyacentes.En [3] se encuentra la demostración explícita de quesi se obtienen los eigenvalores de la matrix P setendrá:Esta simplifiación de renglones hace que el sistemaeste determinado por su estado Λ = {µ 1 . . . µ L }.Tr(P N ) = λ N + + λ N − (9)] Las Ecs.(12-13) junto con la condición de periodicidad,σ L+1 = σ 1 , nos lleva a la energía y funcióncon λ ± = e[cosh(βB) βJ ±√sinh 2 (βH) + e −4βJ .de partición siguientes:En el límite termodinámico, N → ∞, dado queλ + > λ − para cualquier valor de B se tendrá:H =L∑[H a (µ α , µ α+1 ) + H b (µ α )] (14)Z → λ + (10)α=1Z = ∑ e −βHPor lo que, la energía libre por espín es:{Λ}(15)e = k B T ln(λ + ) (11)donde {Λ} representa la suma sobre todos los esta-

De manera similar a como se uso la matriz de transferenciaP en el caso 1D se obtiene que:Z =2 L ∑α=1(λ α ) L (16)dando así una generalización de la Ec.(9).La complejidad con que se deben encontrar ahoralos valores de λ, así como su máximo valor asociadoa L → ∞, se encuentran en forma extensiva en [3].El resultado de la energía libre por espín es:e = − 1 1ln(2 cosh 2Jβ)−β 2π∫ π0ln 1 [Ω(χ)] dχ (17)2donde (√ )Ω(χ) ≡ 1 + 1 − κ2 sin 2 2χ y κ :=cosh 2χ coth 2χ .De la Ec.(17) todas la variables termodinámicas(recuerdese que estas se obtienen como derivadasparciales de e) tienen una singularidad en la temperatura:T c =2Jk B tanh −1 ( √ 1 2) ≈ (2,269185) J (18)k BEsta temperatura de transición es conocida comotemperatura de Curie.IV. El algoritmo de MetropolisEste método fue desarrollado por Nicolas Metropolisen 1953 y considera un conjunto de probabilidadesg(µ → ν) de cambiar del estado µ al νcon probabilidades de aceptación A(µ → ν). Elalgoritmo trata de escoger repetidamente un nuevoestado ν y aceptarlo o rechazarlo de acuerdo a laprobabilidad A; si se acepta, el sistema se cambiaal estado ν y si no, se deja el sistema sin cambioalguno.Si se usa el ensamble canónico (T, V, N) se tieneque la densidad de probabilidad es:ρ = 1 Z e−βH (19)Para el caso de ausencia de campo magnético externo(B=0), la función de partición queda:Z = ∑ {σ i}e −βH (20)donde nuevamente {σ i } representa la suma sobretodos los estados del sistema.Esto nos permite obtener que la probabilidad deaceptación es:donde ∆H := H ν − H µ .A(µ → ν)A(ν → µ) = ρ νρ µ= e −β∆H (21)La ecuación de balance detallado [2] nos sugiere colocaruna de las probabilidades de aceptación A comomáxima mientras la otra es la que determina siel sistema sufre cambio o no en su estado. Entonces,si se toma A(ν → µ) = 1 se tiene:{e −β∆H si ∆H > 0A(µ → ν) =1 en otro casoEn otras palabras, el cambio de estado se aceptasiempre que este tenga menor energía que el anterior,en caso contrario habrá cierta probabilidad enque se de el cambio.Para implementar la Ec.(4) del hamiltoniano deIsing con campo externo nulo (B = 0) se tiene:H µ − H ν =⎡J ⎣ ∑σi ν σj ν − ∑⎤⎦(22)= J ∑i vec kσ µ i σµ jσ µ i (σν k − σ µ k ) (23)Si notamos, el cambio para σ µ k puede ser σν k = 1si σ µ k = −1 ó σν k = −1 si σµ k= 1, por lo que encualquier caso se obtiene:σ ν k − σ µ k = −2σµ k(24)Lo cual hace, que el cambio de energía quede como∑H ν − H µ = 2Jσ µ kσ µ i (25)i vec kLa Ec.(25) solo involucra los primeros i vecinos delk-ésimo espín a cambiar y es la que ahorra tiempode cálculo para un algoritmo computacional quedetermine la energía de cambio del sistema. Paraterminar esta sección, el algoritmo a seguir en lasimulación de ising con Metropolis es:1. Se escoge un espin σ k al azar de la retícula.2. Se calcula ∆H con la Ec.(25).3. En caso de que ∆H ≤ 0 se acepta inmediatamenteel cambio σ k → −σ k .4. En otro caso se genera un número aleatoriouniforme r en el intervalo [0, 1).5. Si r < e −β∆H se da el cambio σ k → −σ k .6. En cualquier otro caso el sistema no se altera.7. Se repite para otros espines σ k´ de la retícula.

V. SimulaciónReticula 60 x 6011Presentamos los resultados del algoritmo computacionalpara los promedios < m >, < m 2 >, dondem := M Nes la magnetización por espín y M lamagnetización 3 ; en todos los casos la configuracióninicial del llenado de la retícula es aletaoria, se usauna constante J unitaria para el hamiltoniano y sehace una equilibración del sistema por un tiempode 10000 intercambios para después barrer sobreuna gamma de temperatura T = [0, 3] con pasosdT = 0,01 4 .El primer conjunto de imágenes (para < m >)muestran como sin importar el tamaño del sistemay la configuración inicial (amarillo=rojo ó abajo=negro)un material magnetizado que pasa latemperatura T c sufre la transición ferromagnética(i.e. se desmagnetiza).10.8Reticula de 30 x 301Magentizacion por espin0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.80 0.5 1 1.5 2 2.5 3TemperaturaFig.2 Magnetización por espín promedio < m > a distintostamanños de la retícula, se observa como a medida queel sistema es grande (N → ∞) la temperatura crítica detransición se hace mas apreciable. La escala de colores es −espines arriba (magnetizado),− espines abajo (magnetizado),− azaroso (no magnetizado)El segundo conjunto de imágenes (para < m 2 >)muestra que debido a la existencia de una caida eneste tipo de curva, la transición es de segundo orden.También para distintos tamaños de la retículase agrega la capacidad calorífica por espín del sistema.0.50-0.5-10.5Magentizacion por espin0.60.40.2010.9Segundo momento magnetico por espinL=30L=40L=50L=60-0.50.800.7-0.20 0.5 1 1.5 2 2.5 3Temperatura-10.60.5Reticula de 50 x 500.40.810.30.60.20.40.50.1Magentizacion por espin0.20-0.2-0.40021.80 0.5 1 1.5 2 2.5 3L=30L=40L=50L=60TemperaturaCapacidad Calorifica por espin-0.6-0.51.6-0.81.4-10 0.5 1 1.5 2 2.5 3Temperatura-1Cv1.21Reticula de 40 x 400.80.810.60.60.40.40.50.2Magentizacion por espin0.20-0.2-0.4-0.6-0.8-10 0.5 1 1.5 2 2.5 30-0.5-100 0.5 1 1.5 2 2.5 3TemperaturaFig.3 Arriba esta graficado el promedio < m 2 > en funciónde la temperatura; Abajo capacidad calorífica por espín.En ambos casos se observa como el proceso de transición esde segundo orden en el valor dado por Onsager en la Ec.(18).Temperatura3 Esta se calcula como M := P i σ i4 Debe notarse que todas las cantidades físicas estan adimensionalizadas y se toma k B = 1

Finalmente agregamos fotos del proceso de transiciónferromagnética.500Intercambios = 0 (No magnetizado)’./matriz.dat’ matrix1500Intercambios = 300’./matriz_4.dat’ matrix1dominios magnéticos(magnetizado)Las imágenes se obtienen cada 100 intercambios paraun sistema con N = (500) 2 espines.4504003500.54504003500.5VI. Conclusión3002502001501005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Intercambios = 1500’./matriz_1.dat’ matrix4504003503002502001501005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Intercambios = 100500’./matriz_2.dat’ matrix4504003503002502001500-0.5-110.50-0.5-110.503002502001501005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Intercambios = 400500’./matriz_5.dat’ matrix4504003503002502001501005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Intercambios = 500500’./matriz_6.dat’ matrix4504003503002502001500-0.5-110.50-0.5-110.50Se presenta con éxito la implementación de un metodoMonte Carlo para el estudio del modelo deIsing 2D que surge en física estadística para modelarun magneto y estudiar transiciones de fase. Lasecuaciones que surgen, por su extensión y númerode términos que involucran, hacen difícil de trataranalíticamente y se usa el algoritmo de metropolispara la evolución energética que tenga en un proceso“infinito” y aleatorio. Se alcanza a observarque bajo las condiciones de: geometría cuadrada,condiciones de frontera periódicas y ausencia decampo externo, la simulación muestra la existenciade una temperatura crítica de transición de segundoorden verificando los resultados exactos que dala solución de Onsager.-0.5-0.51001005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-15000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1Referencias500450400350300Intercambios = 200’./matriz_3.dat’ matrix10.5500450400350300Intercambios = 600 (Magnetizado)’./matriz_7.dat’ matrix10.5[1] David. P. Landau, Kurt Binder, A Guide toMontecarlo Simulations in Statistical Physics (CambridgeUniversity Press, 2000)250025002001501005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.5-12001501005000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.5-1[2] M.E.J. Newman, G.T. Barkena, Monte CarloMethods in Statistical Physics (Oxford ClarendonPress, 1999)Fig.4 Simulación de un material ferromagnético cuyo estadoinicial son espines al azar(no magnetizado) que cambia a[3] Kerson Huang, Statistical Mechanics (John Wiley& Sons)