Teoria 9

TEMA 9 – LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 5ECUACIÓN REDUCIDAEcuación de la hipérbola centrada en el origen y de eje mayor OXAplicando la definición de hipérbola d(X,F) - d(X,F’) = 2a y la relación entre suselementos c 2 = a 2 + b 2 :d((x,y),(c,0)) - d((x,y),(-c,0)) = 2a Despejando una raíz y elevando al cuadrado 22 22 2 ( x c) y 2a (x c) y 2y 2 + 4a2 22 2(x c) y (x c) y 2a x 2 – 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 + 2xc + c 2 +cx + a 2 = -a( x 2 2 c) y Simplicando -4cx – 4a 2 = +4a2( x c) y2 Elevando al cuadrado 2( x c) c 2 x 2 + 2cxa 2 + a 4 = a 2 (x 2 + 2cx + c 2 + y 2 ) Agrupando c 2 x 2 – a 2 x 2 –a 2 y 2 = a 2 c 2 – a 4 (c 2 – a 2 )x 2 – a 2 y 2 = a 2 (c 2 - a 2 ) b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 Dividiendo por a 2 b 2 2 2x y 12 2a bEcuación de la hipérbola de centro el origen y de eje mayor OY2 2x y 12 2b aEcuación de la hipérbola de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OX22x y 122a bEcuación de la hipérbola de centro C(,) y el eje mayor paralelo a OY2x y b2a22 1y2

TEMA 9 – LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 69.7 – ESTUDIO DE LA PARÁBOLADEFINICIÓNLugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado focoy de una recta fijo llamada directriz d(X,F) = d(X,d)ELEMENTOS CARACTERÍSTICOSF : Focod : DirectrizV : Vértice de la parábolap : Distancia del foco a la directrizEXCENTRICIDADLa excentricidad de una parábola es siempre 1ECUACIÓN REDUCIDAEcuación reducida de la parábola de vértice el origen y directriz paralela al eje OXF (0,p/2) y d: y = - p/2 Aplicando la definición : d (X,F) = d(X,d)x22 (y p / 2) y p / 2 Elevando al cuadrado x 2 + y 2 – py + p 2 / 4 = y 2 + py+ p 2 /4 x 2 = 2pyNota: Si la parábola se abre hacia abajo : x 2 = -2pyEcuación reducida de la parábola de vértice el origen y directriz paralela al eje OYSi la parábola se abre hacia la derecha:Si la parábola se abre hacia la izquierda :y 2 = 2pxy 2 = -2pxSi está centrada en (,)Si la parábola se abre hacia la arriba: (x - ) 2 = 2p(y-)Si la parábola se abre hacia la abajo: (x - ) 2 = -2p(y - )Si la parábola se abre hacia la derecha: (y - ) 2 = 2p(x - )Si la parábola se abre hacia la izquierda: (y - ) 2 = -2p(x - )