Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realLos problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a plantearseen la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero no se encontraron métodossistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII, por obra deNewton y Leibniz).9.1 Introducción histórica de la derivadaVea el módulo 9 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.Figura 9.184 U de @ - Educación no presencialEn lo que atañe a las derivadas, hay dos conceptos de tipo geométrico: el problemade la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el conceptocinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos), queen su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.El problema de la tangente a una curva fue analizado y resuelto primeramente porApolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, este matemático hizo el estudio de losdiámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un puntocualquiera de una hipérbola de centro C, Apolonio demuestra que la tangente en Pcorta las asíntotas en los puntos L y L′ que equidistan de P (figura 9.1a).

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEn 1669, Isaac Barrow (1630-1677) recibió de su alumno Isaac Newton un folletotitulado De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. Contenía, nadamenos, que el esbozo casi completo del cálculo diferencial e integral. Aquel mismoaño Barrow decidió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por tantomucho más derecho a la cátedra de matemáticas, con más merecimientos que elpropio Barrow, su titular. Con una generosidad y un desinterés difíciles de igualar,Escuche el audio Fermat: su último teorema y Barrow cedió su cátedra a Newton.una historia increíble de fin de siglo en sumultimedia de Elementos Básicos de Cálculo A los 40 años, siendo profesor de matemáticas de Cambridge, Newton escribió losDiferencial.Principia mathematica, tal vez el tratado científico de mayor influencia jamás publicado.En él aplicó los conceptos del cálculo para explorar el universo, incluyendolos movimientos de la Tierra, la Luna y los planetas alrededor del Sol. Se dice que unestudiante observó: «Ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los demáscomprenden».Leibniz comparte con Isaac Newton el crédito del descubrimiento del cálculo. Fue elprimero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez años antes.Sin embargo, la historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir lasprincipales ideas (1665-1666), pero que Leibniz las descubrió independientementedurante los años de 1673 a 1676.Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben losnombres del cálculo diferencial y el cálculo integral, así como los símbolos dydx y ∫para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el término «función» y el usodel símbolo «=» para la igualdad. Por esta razón, debido a la superioridad delsimbolismo, el cálculo se desarrolló con mucha mayor rapidez en el continenteeuropeo que en Inglaterra, de donde era oriundo Newton.9.2 Definición de la derivada de una función y notaciones usadasDefiniciónSea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto I que contienelos puntos x 1y x 1+ h.a. Se dice que f es derivable o f es diferenciable o f tiene derivada en x 1sif ( x1+ h) − f ( x1)limhexiste.→0hA dicho límite, cuando existe, se le denota por f ′( x1). En consecuencia, sepuede escribir en este casof ( x1+ h) − f ( x1)f′ ( x1) = lim .(1)h→0h86 U de @ - Educación no presencial

Módulo 9: Introducción histórica de la derivada. Definición de derivada y notaciónSi f es derivable en todos los puntos x ∈ I,entonces la función( + ) − ( )f′ ( x) = lim(2)hf x h f xh →0se llamará función derivada de f con respecto a x.Otras notaciones para la función derivada de f con respecto a x son:Observaciónd dyDxf, f( x),(notación de Leinbniz), y´,dx dxlas cuales se usarán en adelante de manera indistinta.Al hacer x = x 1+ h, entonces x → x1cuando h → 0. De x = x 1+ h se tiene h = x − x 1,y al hacer las sustituciones correspondientes en (1) se obtiene la expresión equivalentepara la derivada en x 1:f′ x =( ) − ( )f x f x1(1) lim .x→x1x−x1En los ejemplos resueltos 19.1 y 19.2 al final del capítulo 3 se ilustra la manera decalcular la derivada de algunas funciones usando la definición.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial87

U de @ - Educación no presencial88

10Relación derivada-continuidad y derivadaslateralesIntroducciónComo se afirmó antes, la propiedad de continuidad es una propiedad local queindica geométricamente que la curva no se «rompe» en ningún punto de su dominio.Igualmente, la derivabilidad de una función es también una propiedad local, eindica que a la gráfica de la función se le puede trazar una recta tangente en cadapunto de su dominio. Parece por tanto natural que esta segunda condición sea másfuerte que la primera. Este resultado es el que efectivamente se da y es el que seenuncia y demuestra en la sección 10.1.Waclaw Sierpinski creó un fractal utilizando un triánguloequilátero como semilla.Objetivos del módulo1. Destacar la relación existente entre derivada y continuidad de una función, medianteun teorema cuyo contrarrecíproco establece un criterio de discontinuidad.2. Mostrar con ejemplos gráficos el significado de las expresiones «función derivable»y «no derivable» y cómo influyen en el grado de «suavidad» de una curva.3. Definir las derivadas laterales de una función en un punto y su relación con laderivada unilateral.Preguntas básicas1. ¿Cree usted que existen funciones que sean continuas en todos los puntos de sudominio (sin huecos), pero que no tienen recta tangente en ninguna parte?Trate de hacer un gráfico aproximado de alguna de ellas.Contenidos del módulo10.1 Relación entre la derivada y la continuidad de una función de variable real10.2 Derivadas lateralesFractalesPara ver los enlaces relacionados con este tema,visite la sección Sitios de Interés del cursoElementos Básicos de Cálculo Diferencial en laplataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/Elementos Básicos de Cálculo Diferencial89

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realVea el módulo 10 del programa de televisión10.1 Relación entre la derivada y la continuidad de una función devariable realEl siguiente teorema establece una relación entre las funciones continuas y lasfunciones derivables.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial. Teorema 1: Derivable ⇒ ContinuaSi f es una función derivable en el punto x 1, entonces f es continua en x 1.DemostraciónPara demostrar que f es continua en x 1, basta demostrar queoVea la animación «Construcción del triánguloequivalentemente, lim ⎡f ( x) − f ( x1) ⎤ = 0.Sierpinski» en su multimedia de Elementosx→x⎣⎦1Básicos de Cálculo Diferencial.f ( x) − f ( x1)En efecto, como f ( x) − f ( x1)= ( x−x1) ,1x−x≠ x , se tiene que1f ( x) − f ( x1)lim ⎡f ( x) − f ( x1) ⎤x→x⎣⎦ = lim1( x −x1) ,x→x1x−x1⎛ f ( x) − f ( x1) ⎞= ⎜lim ⎟( lim ( x−x1)),x→x1 x−xx→x1⎝1 ⎠= f′( x1) .0=0Observaciones importantesa. El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, existen funcionesque son continuas en un punto x 1y no son derivables allí. Considérese porejemplo la función f ( x) = x .Puede demostrarse fácilmente que f es continua en x = 0. Sin embargo, f ´(0)no existe (es decir, f no es derivable en x = 0).f (0 + h) − f(0)f ( h) − f ( 0)En efecto, f ′(0) = lim= lim ,h→0hh→0hh= lim .h→0hPara determinar la existencia o no del último límite se utilizan los límiteslaterales (módulo 5). Esto es,limx→x1

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realFigura 10.2Continuando el proceso infinitamente, se obtiene una función que satisfacelas condiciones antes establecidas.c. Muchas veces es útil considerar el contrarrecíproco del teorema 1, o sea: «sif no es continua en x 1, entonces f no es derivable en dicho punto».El siguiente ejemplo ilustra la manera de usar el teorema 1 en su forma equivalentedel contrarrecíproco.Sea f la función definida por⎧ x⎪ si x ≥ 1f ( x)= ⎨1⎪ x si x < 1⎩2Demuestre que f (x) no es derivable en x = 1.En efecto, al hacer el análisis de la continuidad de f en x = 1, se tiene:lim f ( x) = lim x = 1 ⎫+ +x→1 x→1⎪1 1⎬⇒ lim f ( x) no existe.x→1lim f ( x) = lim x = ⎪−−x→1 x→12 2⎭92 U de @ - Educación no presencial

En consecuencia, f no es continua en x = 1, y por tanto f no es derivable (f ´(1)no existe) en x = 1.10.2 Derivadas lateralesMódulo 10: Relación derivada-continuidad y derivadas lateralesDefinicióna La derivada de una función f, por la derecha de x 1, denotada por f ′ +( x1) sedefine comof′ x =( + ) − ( )f x h f x1 1+(1) lim ,+h→0o equivalentemente comof′ x =h( ) − ( )f x f x1+(1) lim .+x→x1x−x1b. La derivada de una función f por la izquierda de x 1, denotada por f ( x1)se define comof′ x =( + ) − ( )f x h f x1 1−( 1) lim ,−h→0o equivalentemente:f′ x =h( ) − ( )f x f x1−(1) lim .−x→x1x−x1Las derivadas laterales son útiles para determinar analíticamente la existencia o node la derivada de una función a tramos, en los puntos extremos de los subdominios.Así por ejemplo, considere la función f definida por− ′f( x)2⎧ x + x+1 si x ≥ 1= ⎨⎩4x−1si x < 1Si se desea determinar la existencia o no de la derivada de f en el punto x 1= 1, lasderivadas laterales f +′(1)y f −′(1)nos proporcionan la información.Ahora,f +′(1)( ) − f ( 1)f x= lim ,+x→1x −12( x x )+ + 1 −3= lim ,+x→1x −1Elementos Básicos de Cálculo Diferencial93

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real2x + x−2= lim ,+x→1x −1( x+ 2)( x−1)= lim+x→1x −1= lim ( x + 2)= 3.+x→1f ( x) − f ( 1)También, f −′(1)= lim ,−x→1x−1( 4x−1)−3= lim ,−x→1x −14x− 4 4( x −1)= lim = lim = 4.−−x→1 x−1 x→1x−1Figura 10.394 U de @ - Educación no presencialEs decir, f +′(1) = 3.(1)Esto es, f −′(1) = 4.(2)Puede notarse de (1) y (2) que las derivadas laterales son diferentes, y en consecuenciaf ´(1) no existe.La figura 10.3 muestra el comportamiento de la función f en el punto x = 1. Nóteseque en el punto P (1, 3) la gráfica presenta un «pico», indicando con esto de maneraintuitiva que f no es derivable allí.

11Reglas de derivaciónIntroducciónEn este módulo se demostrarán la mayoría de las reglas básicas del cálculo diferencial.A lo largo de las demostraciones el estudiante podrá comprobar que todas ellasse basan en la teoría de los límites funcionales y de la continuidad. Por esta razón,le recomendamos revisar los conceptos previos de los capítulos 1 y 2, en particularlo referente a la forma indeterminada 0 0y la manera de eliminarla para calcular elIsaac NewtonIsaac Newton nació el 25 de diciembre de 1642(correspondiente al 4 de enero de 1643 en el nuevocalendario) en Woolsthorpe, Inglaterra, y murió en Londresel 20 de marzo de 1727.límite.Objetivos del módulo1. Establecer las propiedades de las funciones derivables (reglas de derivación)y cómo usarlas en la solución de ejercicios.Preguntas básicas1. ¿Existen funciones f y g tales que ( f ⋅ g) ′ = f′ ⋅g′?2. ¿Cree usted que Galileo se equivocó cuando afirmó: «Si un cuerpo cae unadistancia s(t) en t segundos, entonces su velocidad s′ () t es proporcional as(t)»?Contenidos del módulo11.1 Reglas de derivación11.2 Teorema: Derivada de la función compuesta (regla de la cadena)Elementos Básicos de Cálculo Diferencial95

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real11.1 Reglas de derivaciónVea el módulo 11 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.dCSe suele escribir 0.dx =Prueba: f xhf ( x)= x ⇒ f′() x = 1.dxSe suele escribir 1.dx =Prueba: f xh(f – g), ( f ⋅ g)de derivación:tx ( ) f( x) gx ( )tx ( ) f( x) gx ( )tx ( ) f( x) gx ( )Prueba: t xh→h=h→0Las siguientes reglas tienen por objeto calcular la derivada de una función sin usardirectamente la definición, convirtiendo la derivación de funciones en un procesomecánico.Regla de derivación 1 (RD1): Derivada de una constantesiendo C una constante ⇒ f′( x) = 0.f( x+ h) − f( x)C−C′( ) = lim = lim = lim0=0.h → 0 h → 0 h h → 0Regla de derivación 2 (RD2): Derivada de la función identidadf( x+ h) − f( x)x+ h−x′( ) = lim = lim = lim1 = 1.h → 0 h → 0 h h → 0Si f (x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, entonces (f + g),y (f /g) son también derivables en x, y se generan las siguientes reglasRegla de derivación 3 (RD3): Derivada de una suma de funciones= + ⇒ t′ ( x) = f′ ( x) + g′( x).Regla de derivación 4 (RD4): Derivada de una diferencia de funciones= − ⇒ t′ ( x) = f′ ( x) −g′( x).Regla de derivación 5 (RD5): Derivada de un producto de funciones= ⋅ ⇒ t′ ( x) = f′ ( x) ⋅ g( x) + f( x) ⋅g′( x).tx ( + h) − tx ( ) f( x+ hgx ) ( + h) − f( xgx ) ( )′( ) = lim = lim ,0 h→0hf ( x+ h) g( x+ h) − g( x+ h) f( x) + g( x+ h) f( x) − f( x) g( x)lim ,hf(x

Módulo 11: Reglas de derivación[ ] [ ]g( x+ h) f( x+ h) − f( x) + f( x) g( x+ h) −g( x)= lim ,h→0hf ( x+ h) − f( x) g( x+ h) −g( x)= lim gx ( + h) ⋅ lim + lim f( x) ⋅lim ,h→0 h→0 hh→0 h→0h= g( x) ⋅ f′ ( x) + f( x) ⋅g′( x).Regla de derivación 6 (RD6)1tx ( ) =g( x)−g′( x)⇒ t′( x) = .[ gx ( )] 2Prueba: t′( x)1 1−tx ( + h) − tx ( ) g( x+h) g( x)= lim = lim ,h→0 hh→0hgx ( ) − gx ( + h) ⎡gx ( + h) −gx( ) 1 ⎤= lim =−lim ⋅,h→0 hgx 0[ ( + h) ⋅ gx ( )⎢h→]h gx ( + h) ⋅gx( )⎥⎣⎦⎡ gx ( + h) −gx( ) ⎤⎡1 ⎤=−⎢lim lim ,h→0 h ⎥ ⎢ ⎥h→0⎣ ⎦⎣ g( x+ h) ⋅g( x)⎦1 g '( x)=− g′( x). = − .2 2gx ( ) ( )[ gx]Regla de derivación 7 (RD7): Derivada de un cociente de funcionesf( x)tx ( ) = , gx ( ) ≠ 0gx ( )f ′( x) ⋅g( x) − f( x) ⋅g′( x)⇒ t′( x) =.[ gx ( )] 2f( x) ⎛ 1 ⎞Prueba: tx ( ) = = ⎜ f( x) ⋅ ⎟.Así que, usando RD5, se tiene que:g( x) ⎝ g( x)⎠Isaac NewtonNewton realizó sus primeros estudios universitarios en1661, en Trinity College de Cambridge. Al comienzo desus estudios se interesó por la química y este interés,según se dice, se manifestó a lo largo de toda su vida.Durante su primer año de estudios, y probablementepor primera vez, leyó una obra de matemáticas sobre lageometría de Euclides, lo que despertó en él el deseo deleer otras obras.t′( x)⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞′= f′( x) ⎜ ⎟+ f( x) ⋅⎜ ⎟ ,⎝gx( ) ⎠ ⎝gx( ) ⎠f ′( x ) ⎛ ( )( )g ′ x ⎞= + f x ⎜−2 ⎟ (regla de derivación 6),gx ( ) ⎝ gx ( ) ⎠f ′( x) f( xg ) ′( x) f′ ( xgx ) ( ) − f( xg ) ′( x) = − =2 2 .gx ( ) gx ( ) gx ( )[ ] [ ]Su primer tutor fue Benjamín Pulleyn, posteriormenteprofesor de griego en la universidad. En 1663 Newtonleyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, laGeometría de Descartes, la Óptica de Kepler, la Operamathematica de Francisco Vieta, editadas por Francis vanSchooten y, en 1644, la Aritmética de John Wallis, que leserviría como introducción a sus investigaciones sobre lasseries infinitas, el teorema del binomio y ciertascuadraturas. En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dioclases como primer profesor lucasiano de matemáticas.En la misma época entró en contacto con los trabajos deGalileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente,de la edición de 1659 de la Geometría de Descartes porVan Schooten.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial97

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real11.2 Teorema: Derivada de la función compuesta (regla de laEpitafio de Isaac Newtoncadena)Aquí descansaSir Isaac Newton, caballeroque con fuerza mental casi divinademostró el primero,con su resplandeciente matemática,Si y = g (u) y u = f (x), entonces se puede obtener la composicióny = (g o f )(x) = g (f (x)).los movimientos y figuras de los planetas,los senderos de los cometas y el flujo y reflujo deldyocéano.Ahora, si se quiere calcular , basta con derivar esta última relación.Investigó cuidadosamentedxlas diferentes refrangibilidades de los rayos de luzy las propiedades de los colores originados por aquellos.Intérprete laborioso, sagaz y fielde la Naturaleza, la Antigüedad y la Santa Escritura,defendió en su Filosofía la majestad del Todopoderosoy manifestó en su conducta la sencillez del Evangelio. Regla de derivación 8 (RD8): Regla de la cadenaDad las gracias, mortales,al que ha existido así,y tan grandemente como adorno de la raza humana.Nació el 25 de diciembre de 1642; falleció el 20 de marzode 1727.Entonces:H '( x) = ( g o f) '( x) = g'( f( x)) . f '( x).⎧ gu ( + h) −gu( )⎪−g′( u) si h ≠ 0Gh ( ) = ⎨ h⎩ ⎪ 0 si h = 0Por tanto:a. G es continua en h = 0 ( lim Gh ( ) = G(0) = 0 ).h→0b. g( u+ h) − g( u) = h[ g′( u) + G( h) ].Prueba de la regla:Como H (x) = g (f (x)), entonces:H (x + t) – H (x) = g (f (x + t)) – g (f (x)),= g (f (x + t)) – f (x) + f (x)) – g (f (x)).Sea h = f (x + t) – f (x). (1)Así que: H (x + t) – H (x) = g (h + u) – g (u). (2)Como f es una función continua, se sigue de (1) que t →0⇔ h→0.La siguiente regla, conocida como la regla de la cadena, proporciona otra manerade hallar la derivada sin efectuar la composición.Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que H = g(u) y u = f (x).En la demostración se hace uso del siguiente lema, que se puede demostrar fácilmente:Lema: sea g una función tal que g'( u)existe y considere la siguiente función:

Ahora, aplicando el lema en su parte b en (2), se tiene queMódulo 11: Reglas de derivaciónH (x + t) – H (x) = h [g´ (u) + G (h)].Luego,H ( x + t ) − H ( x )= [ g'( u) + G( h) ] ⋅h ,ttH ( x + t ) − H ( x ) ( ) ( )[ '( ) ( )]f x +g u G ht −= + ⋅f x .ttAl tomar límite en ambos lados de la última igualdad cuando t → 0, se obtiene:H ( x+ t) − H( x) f( x+ t) − f( x)lim = lim [ g'( u) + G( h) ] ⋅ .(3)t→0 tt→0tPerot→0[ g u + G h ] [ g u G h ]lim '( ) ( )= lim '( ) + ( ) , (de (1)),h→0= g '( u) + lim G( h),h→0= g′( u) + G(0)(por ser G continua),= g '( u) + 0 = g'( u).Además,f( x+ t) − f( x)H( x+ t) −H( x)lim = f '( x), y lim = H '( x).t→0tt→0tAsí que, de (3), se obtiene finalmenteH '( x) = g'( u) ⋅ f '( x) = g'( f( x)) ⋅ f '( x).Observacionesa. Muchas veces, la regla de la cadena se recuerda más fácilmente usando lanotación de Leibniz para la derivada. Esto es:dy dy duSi y = g (u) y u = f (x), entonces = ⋅ .dx du dxEscuche el audio La garra del leónen su multimedia de Elementos Básicos deCálculo Diferencial.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial99

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realb. Regla de la cadena compuesta.dy dy du dtSi y = g (u), u = f (t) y t = h (x), entonces = ⋅ ⋅ .dx du dt dxRegla de derivación 9 (RD9)n dy n−y = x ⇒ = nx1 , para todo n, n ∈R.dx(Para n < 0, la función x n está definida solamente en R−{ 0) }Prueba:Caso 1: n ∈ (n es un número entero)+Cuando n∈ , la prueba se hace por inducción sobre n.d 1 dx1−1Para n = 1, se sabe que ( x ) = = 1= 1⋅ x (regla de derivación 2).dx dxdSea+k ∈ . Supóngase que xk kxk−1= (hipótesis de inducción) y demostremosdxque:d 1( k 1)1xk + + −= ( k + 1) x .dxEn efecto,d xk + 1= d ( x ⋅ x k),dx dx= d k k dxx ⋅ x xdx+ ⋅ dx(regla de derivación 5),k−1k= x ⋅ kx + x ⋅ 1 (hipótesis de inducción y regla de derivación 2),k k k( k 1)1= k⋅ x + x = ( k+ 1) x = ( k+1) x + −.Cuando n < 0, hacemos n = – m, con m > 0. De esta manera:m−1d n dd ⎛ 1 ⎞ −mx−mx xdx= = ⎜ m ⎟=dx( m)2dx ⎝ x ⎠ x(regla de derivación 6).−m−1 n−=− mx = nx1 .100 U de @ - Educación no presencial

Caso 2: n ∈ (n es un número racional)Módulo 11: Reglas de derivación1Considere primero que n = , y x ≠ 0. En este caso, la función y = f (x) = x n puedeqescribirse en la formay = f x = x1/ q( ) .De acuerdo a la definición de derivada, se tiene quedy=dxf ′( x)f ( x+ h) − f( x)= lim ,h→0h1/ q 1/ q( x + h)−x= lim(indeterminado de la forma 0 h→0h0 ).Para eliminar la indeterminación en este último límite, se multiplican el numerador yel denominador por el factor racionalizante:Esto es,q − 1 q − 2 q − 11/ q 1/ q 1/ q 1/ q( x+ h) + ( x+ h) ⋅ x + + ( x )⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦... .1 q−1{ }q−1 q−1⎡{ ( + ) ⎤ + ... +⎣ ⎦( ) }1/ q 1/ 1/ qq−q1/ q( x+ h) −x ⋅ ( x+ h) + ... + ( x )⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦f′ ( x) = lim ,h→0 1/ q 1/ qh x h x1/ qq1/q⎡q( x+ h) ⎤ −( x⎣ ⎦)q−1 q−1⎡{ ( + ) ⎤ + ... +⎣ ⎦( ) }= lim ,h→0 1/ q 1/ qh x h xn n n−1 n−2 n−1(aquí se utilizó la identidad a − b = ( a− b)( a + a b+ ... + b )( ) lim x+ h−xf′ x =,h→0 1/ q 1/ qh x h xq−1 q−1⎡{ ( + ) ⎤ + ... +⎣ ⎦( ) }1= lim ,q−1 q−1⎡{ ( x+ h) ⎤ + ... + ( x⎣ ⎦) }h→0 1/ q 1/ q1 1 1 1= = = ⋅q−1 q−1 q−1 1 ,q 1−q q q qx + ... + x qx xq−vecesElementos Básicos de Cálculo Diferencial101

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real11− 1q n−1= x = nx .qpConsidere ahora que n = ,+qcon p, q ∈ . En este caso, la función potenciany = f( x)= x puede escribirse en la formap/ q 1/ qpy= x = ⎡ ⎣ x ⎤ ⎦ ,y para derivarla se aplica la regla de la cadena (regla de derivación 8).1/ qHacemos u=x .De esta forma,1/ qppy= ⎡⎣x ⎤⎦ = u , y1/ qu = x .dy dy duEntonces, = ⋅ ,dx du dx1 11 1−p−q= pu ⋅ x (casos 1 y 2),q1p−11p ⎛ ⎞ −q q 1,= ⋅ x⋅xq ⎜ ⎟⎝ ⎠p 1 1p− + − 1xq q q= (leyes de los exponentes),qxp−1xq nxn−= =1 .qCaso 3: n ∈R(n es un número real)En este caso la demostración se sale del alcance de este curso. Por tanto, no presentamossu demostración. Sin embargo, en el módulo 14 se demuestra este caso usandola RD23 (observación a del teorema 1).Regla de derivación 10 (RD10)Sea f (x) una función derivable de x, y sea n ∈R . Entonces,102 U de @ - Educación no presencial

n dyn−y = [ f( x) ] ⇒ = n[ f( x) ] 1⋅ f′( x).dxMódulo 11: Reglas de derivaciónPrueba:Haga u = f(x). Entonces y = u n , u = f(x) y aplique la regla de derivación 8.En los ejemplos 19.4 y 19.5 de los ejercicios resueltos al final del capítulo 3 se ilustrala manera de usar las reglas de derivación mencionadas anteriormente.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial103

12Derivadas de orden superior y derivaciónimplícitaIntroducciónEn los dos módulos anteriores se abordó el problema de determinar la funciónf ′( x)para una función dada f (x). Podemos considerar ahora la función g(x) = f ′( x)y determinar la función g′ ( x)y que llamaremos la segunda derivada de f (x). Igualmentese puede considerar ahora la función hx ( ) = g′( x)y determinar para ella lafunción h′ ( x)que llamaremos la tercera derivada de f (x). De esta manera se puedecontinuar el proceso para generar la enésima derivada de f. De otro lado, todas lasfunciones que se han considerado hasta ahora para derivar son tales que la reglaque asigna a cada x de su dominio, su imagen f (x) las relaciona de manera explícitaen la fórmula y = f (x). Existen funciones para las cuales las variables x e y estánrelacionadas entre sí, pero es imposible escribirlas en la forma y = f (x). Por ejemplo,la ecuación x 3 – y 3 – 7y = 0, que se considera en este módulo, y que para cadax0∈R existe un único y0∈R que la satisface, presenta esta particularidad. Sindyembargo, esto no es impedimento para determinar la derivada . La regla dedxderivación implícita nos indicará la forma de hacerlo.Gottfried Wilhelm LeibnizLeibniz nació en Leipzig en 1646 y falleció en Hannover el 14de noviembre de 1716.Objetivos del módulo1. Mostrar cómo el operador «derivada» puede aplicarse de manera reiterada auna función, generando las llamadas derivadas de orden superior, y de estaforma dar sentido a la expresión «función n-veces derivable».2. Introducir la noción de derivada implícita y la forma de usarla para calcular la derivadade una función, sin necesidad de despejar la variable y como funciónexplícita de x.Preguntas básicas1. Dada la ecuación x 2 + y 2 − 4 = 0, ¿cuántas funciones implícitas de la forma y =f (x) están incluidas en la ecuación? Escriba al menos tres de ellas.Contenidos del módulo12.1 Derivadas de orden superior12.2 Derivación implícita

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realHasta ahora se ha estudiado la derivada de una función, o la primera derivada deuna función, o la derivada de primer orden de una función.Muchas veces interesa el caso en el cual la función derivada f '( x)se puede derivarnuevamente en un intervalo I obteniéndose de esta forma la segunda derivada de lafunción.12.1 Derivadas de orden superiorVea el módulo 12 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.f '( x+ h) − f '( x)Es decir, si existe limh →0h22 d yf′′ ( x), f′′ , Dx ( f), y′′, .2dx33 d yf′′′ ( x), f′′′ , Dx ( f), y′′′, .3dxn( n) ( n) n ( n)d yf x f Dx f yndxObservación2 3⎛dy d y d y ⎞⎜ , , ,... ,2 3 ⎟⎝dx dx dx ⎠él al escribir2d ⎛dy⎞⎜ ⎟dx ⎝dx⎠ como dy, 2dx3d ⎛ d ⎛dy⎞⎞⎜ ⎜ ⎟⎟dx ⎝dx ⎝dx⎠⎠ como dy. 3dx106 U de @ - Educación no presencial, se llamará la segunda derivada de f, o tambiénla derivada de segundo orden, y se denotará por cualquiera de los símbolos:Igualmente, se puede analizar si f’’ es derivable, en cuyo caso se llama a la funciónresultante la tercera derivada de f, o la derivada de orden 3, y se denotará porSiguiendo este proceso, se puede preguntar por la existencia o no de la derivadan-sima o la derivada de orden n de f, la cual se denotará por( ), , ( ), , .Todas estas notaciones se extienden a las llamadas derivadas de orden superior.Observe que aunque la notación de Leibniz para las derivadas es complicada,resulta ser la más apropiada y natural. Al menos así lo pensaba

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realDe (6) se deduce quedy 12−= ( −2x)( 25− x ) 1/2(regla de derivación 10),dx 2Escuche el audio Las fluxiones de Newton en sudy x xmultimedia de Elementos Básicos de Cálculo=− =− .dx2( 25 − x ) 1/2 y(8)Diferencial.De (7) se tiene:dy 12−=− ( −2x)( 25− x ) 1/2(regla de derivación 10),dx 2dy x −x x= = =− .21/221/2dx( 25 −x) −( 25 −x)y(9)De (8) y (9) se deduce que independientemente de la elección de la función y, elresultado de la derivada es el mismo.3 3Considérese ahora la ecuación x − y − 7y= 0, (10)la cual define a y como una función implícita de x y cuya gráfica aparece en la figura12.1.Figura 12.1dySi se quiere calcular , lo primero que se debe hacer es «despejar» y como unadxfunción de x, y luego aplicar las reglas de derivación mencionadas anteriormente.Pero aquí surge la primera dificultad, ya que no es posible despejar y en formadyexplícita. Sin embargo, esto no es inconveniente para calcular .dx108 U de @ - Educación no presencial

En general, si se quiere hallar dydxsuponiendo que F( x, y ) = 0 define a y comofunción implícita de x, y sabiendo además que dicha función es derivable, existe unprocedimiento llamado derivación implícita y que consiste en derivar respecto a xambos miembros de la ecuación dada, teniendo en cuenta que al derivar los términosque contengan la variable y, debe utilizarse la regla de derivación 10. Finalmente,de la expresión obtenida se despeja .dydxEn el caso particular considerado, de la ecuación (10) se tiene que:Módulo 12: Derivadas de orden superior y derivación implícitad⎡dx ⎣d− − 7 ⎤⎦ = [ 0 ].dx3 3x y yd 3 d 3 d( x ) − ( y ) − ( 7y)= 0 (regla de derivación 3 y regla de derivación 1).dx dx dx− ⋅ dy dydx− dx= (regla de derivación 9 y regla de derivación 10).2 23x3y7 0dy 2 2( 3y+ 7)= 3x(transposición de términos y factorización).dxDe dondedy=dx23xy +23 7.De manera similar, en el caso de la ecuación (2) se tiene:2 2x + y − 25 = 0.d d d+ − (25) = 0,dx dx dx2 2Entonces ( x ) ( y )dy2x+ 2y⋅ − 0=0. dxdy xDe donde =− .dx ySe obtiene de esta manera más sencilla el mismo resultado que el conseguido alderivar las igualdades (6) y (7).En los ejemplos resueltos 19.6 y 19.7 del módulo 19 se ilustra nuevamente esteprocedimiento.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial109

U de @ - Educación no presencial110

13Funciones trascendentes y sus derivadasIntroducciónLas funciones que se han considerado hasta ahora reciben el nombre de funcionesalgebraicas (combinaciones de sumas, productos, potenciación, radicación y composiciónde polinomios, incluyendo las funciones racionales). Una función noalgebraica se denomina trascendente. La clase de funciones trascendentes incluyeentre otras las trigonométricas, las trigonométricas inversas, las exponenciales ylas logarítmicas.Carl Friedrich GaussCarl Gauss nació el 30 de abril 1777 en Brunswick, Alemania,y falleció en ese mismo país el 23 de febrero de 1855 (enGotinga).Iniciamos en este módulo el estudio de las dos primeras funciones trascendentes,en lo concerniente a la derivación.Objetivos del módulo1. Repasar las funciones trascendentes: trigonométricas y trigonométricas inversasy sus reglas correspondientes de derivación.Preguntas básicas1. Una valla rectangular de 6 m de altura se coloca verticalmente en la parte superiorde un edificio, con su base inferior a una altura de 20 m. Si un observadorestá a una distancia x del pie del edificio, ¿cuál es la función en términos de lavariable x que expresa el ángulo subtendido por las rectas que van del ojo delobservador a las bases superior e inferior de la valla?Contenidos del módulo13.1 Dos límites fundamentales13.2 Derivada de las funciones trigonométricas13.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadasElementos Básicos de Cálculo Diferencial111

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEn esta sección presentamos dos límites básicos para calcular límites de funcionestrigonométricas, que también serán usados en la deducción de las fórmulas para laderivada de las funciones seno y coseno.Cuando se discutan los tópicos antes mencionados para alguna función trigonométricaespecífica (sen t, tan x, cos θ ), se asumirá que las variables que representanángulos están dadas en radianes.13.1 Dos límites fundamentalesVea el módulo 13 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.sen tLa función f()ttTeorema 1sen tlim = 1.t→0tTeorema 21−costlim = 0.t→0t13.2 Derivada de las funciones trigonométricasTeorema 3: Derivada de las funciones trigonométricasa. Dx(sen x) = cos x.b. Dx(cos x) =−sen x.2c. Dx(tan x) = sec x.2d. Dx(cot x) =−csc x.e. Dx(sec x) = sec x ⋅ tan x.f. Dx(csc x) =−csc x ⋅cot x.112 U de @ - Educación no presencial= no está definida para t = 0. Sin embargo, cuando t tiende acero, f (t) se aproxima a 1, como lo muestra el siguiente teorema.Demostración: ver el ejercicio 5a de los ejercicios resueltos del capítulo 1.Demostración : ver el ejercicio 5b de los ejercicios resueltos del capítulo 1.

Pruebaa. D (sen x )x( )sen x + h −senx= lim ,h→0hsen x cosh+ senh cos x−senx= lim .h→0hMódulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas(recuerde que sen ( α + β) = senαcos β + sen βcosα)Dx(sen x )senh cos x−sen x(1 −cosh)= lim ,h→0h⎡senh 1−cosh ⎤= lim cos x sen x .h→0⎢ ⋅ − ⋅hh ⎥⎣⎦Comosenhsenhlim ⋅ cos x = cos x⋅ lim = ( cos x)⋅ 1 (teorema 1),h→0 hh→0h= cos xy1−coshlim sen x ⋅h→0h1−cosh= sen x⋅lim ,h→0h= 0,se puede escribir entonces( )( sen x)( 0)D sen x = cos x− 0 = cos x.x= (teorema 2),b. D (cos x )x( )cos x + h −cosx= lim ,h→0hcos x cosh−sen xsenh−cosx= lim .h→0h(recuerde que cos( α + β) = cosαcos β − senαsenβ )( cos )Dxxh→0⎡ senh ⎛1−cosh⎞⎤= lim ⎢−sen x⋅ −cos x⎜ ⎟ ,hh⎥⎣⎝ ⎠⎦=−sen x(1) −cos x(0),=−sen x.Carl Friedrich GaussGauss fue un niño prodigio que aprendió a contar antes dehablar correctamente. Su capacidad matemática le ayudópara ser el protegido del Duque de Brunswick mientrashacía sus estudios. A los 20 años se dedicó a la matemáticay al año siguiente se doctoró con la tesis: «Una nuevaprueba de que toda función algebraica racional entera deuna variable puede ser descompuesta en factores realesde primero y segundo grados». Gauss fue uno de lospredecesores de la física nuclear. Fue también astrónomo,físico, geodesta e inventor. A principios del siglo XIX,Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, quebrindaban un análisis de su teoría de números,comprendiendo las ecuaciones que confirmaban su teoría.Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una basepara encontrar la solución de problemas de las cienciasfísicas y naturales.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial113

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realsen xc. Use la identidad tan x = y la regla de derivación 7 del módulo 11 y lascos xpartes a y b.1d. Use la identidad cot x = , la parte c y la regla de derivación 6 deltan xmódulo 11.1e. Use la identidad sec x = , la parte b y la regla de derivación 6 delcos xmódulo 11.1f. Use la identidad csc x = , la parte a y la regla de derivación 6 delsen xmódulo 11.ObservaciónSi u (x) es una función derivable, entonces mediante el teorema anterior y la regla dela cadena (regla de derivación 8 del módulo 11) se pueden demostrar las siguientesreglas generales para derivar funciones trigonométricas:Regla de derivación 11 (RD11)dy duy = sen u( x) ⇒ cos u( x) .dx= ⋅ dxRegla de derivación 12 (RD12)dyduy = cos u( x) ⇒ sen u( x) .dx=− ⋅ dxRegla de derivación 13 (RD13)dy 2 duy = tan u( x) ⇒ sec u( x) .dx= ⋅ dxRegla de derivación 14 (RD14)dy2 duy = cot u( x) ⇒ csc u( x) .dx=− ⋅ dxRegla de derivación 15 (RD15)dyduy = sec u( x) ⇒ sec u( x) tan u( x) .dx= ⋅ ⋅ dxRegla de derivación 16 (RD16)dyduy = csc u( x) ⇒ csc u( x) cot u( x) .dx=− ⋅ ⋅ dx114 U de @ - Educación no presencial

En los ejercicios resueltos 19.4c, 19.4d y 19.9 del módulo 19, y también en el ejemplo22.3, se ilustra la manera de usar las reglas de derivación con funcionestrigonométricas.13.3 Funciones trigonométricas inversas y sus derivadasSi estamos interesados en hallar la inversa de la función y = sen x, entonces, al hacerel intercambio de variables, se obtiene la ecuación x = sen y, cuya gráfica aparece enla figura 13.1.En la gráfica se reconoce inmediatamente que la ecuación x = sen y no define a ycomo función de x, puesto que cualquier recta vertical de la forma x = a, con−1≤a ≤ 1, corta la gráfica en más de un punto.Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadasFigura 13.1Si se examina la gráfica de la función y = sen x (figura 13.2), se observa que extendiendoel dominio a todo el eje real éste puede descomponerse en infinidad desubintervalos de longitud π , en los cuales la función es monótona (o es crecienteo es decreciente).Escuche el audio Leibniz, un pensador universalen su multimedia de Elementos Básicos deCálculo Diferencial.Figura 13.2Elementos Básicos de Cálculo Diferencial115

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEn la figura 13.3 se ilustra uno de los subintervalos en donde la función seno escreciente.Figura 13.3Este hecho, conjuntamente con la continuidad, equivale a afirmar que en cualquierade estos subintervalos la función y = sen x es biyectiva (1 a 1 y sobre) y que, portanto, se garantiza la existencia de la función inversa.Las demás funciones trigonométricas, debido a su periodicidad, tampoco admitenfunción inversa, salvo que se restrinja apropiadamente su dominio a subintervalosen los cuales las funciones sean biyectivas y se garantice de esta forma la existenciade la función trigonométrica inversa correspondiente.Lo anterior nos permite establecer las siguientes definiciones:Definiciones−1• La función seno inversa, denotada por sen x o arcsen x, se define así:π π−1y = sen x⇔ x= sen y,donde −1≤ x≤1, y − ≤ y ≤ .2 2−1• La función coseno inversa, denotada por cos x o arccos x, se define así:−1y = cos x ⇔ x = cos y,donde −1≤ x≤1y 0≤ y≤ π .−1• La función tangente inversa, denotada por tan x o arctan x, se define así:π π−1y = tan x ⇔ x = tan y,donde x∈R y − < y < .2 2−1• La función cotangente inversa, denotada por cot x o arccot x, se defineasí:−1y = cot x ⇔ x = cot y,donde x∈R y − π < y

Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas− 1• La función secante inversa, denotada por sec x o arcsec x, se define así:−1= sec ⇔ = sec , donde x 1e y 0, ∪ , .y x x y⎡ π ⎞ ⎛π ⎤≥ ∈⎢⎟ ⎜ π2 2 ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦• La función cosecante inversa, denotada por cscasí:−1xo arccsc x, se define−1= csc ⇔ = csc , donde x 1e y ,0 ∪ 0, .y x x y⎡ π ⎞ ⎛ π ⎤≥ ∈⎢− ⎟ ⎜2 2⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦En la figura 13.4, aparecen las gráficas de cuatro de las funciones trigonométricasinversas.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial117

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realFigura 13.4Observaciones1. De las definiciones anteriores se sigue que:−1sen (sen x) = 1, para x∈[ −1, 1 ],−1⎡ π π ⎤sen (sen y) = 1, para y∈−⎢ , .2 2 ⎥⎣ ⎦Igualmente,−1cos (cos x) = 1, para x∈[ −1, 1 ],−1cos (cos y) = 1, para y∈[ 0, π].2. Algunos textos clásicos ofrecen definiciones alternativas del coseno, la cotangente,la secante y la cosecante inversas, con base en los diferentesintervalos de definición de la función trigonométrica correspondiente, de lasiguiente forma:−1 π −1• cos x = − sen x,para x ≤ 1.2−1 π −1• cot x = − tan x,para x ∈R.2−1 −1 1• sec x = cos , para x ≥1.x118 U de @ - Educación no presencial

•csc x = sen , para x ≥1.x−1 −1 1Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadasLas definiciones anteriores no solamente presentan un esquema sencillo, sino quetambién son útiles para operaciones con calculadoras y para deducir fácilmente lasfórmulas de derivación de las mismas, como se indica en el siguiente teorema.Teorema 4: Derivada de las funciones trigonométricas inversasSea u(x) una función derivable en su dominio. Entonces:Regla de derivación 17 (RD17)D u x1u x1 − ( ux ( ))− 1x(sen ( )) = ⋅ ′( ),2para − 1 < ux ( ) < 1.Regla de derivación 18 (RD18)D u x−1u′x1 − ( ux ( ))−1x(cos ( )) = ⋅ ( ),2para − 1 < ux ( ) < 1.Regla de derivación 19 (RD19)1D u x u x1 + ( ux ( ))− 1x(tan ( )) = ⋅ ′( ).2Regla de derivación 20 (RD20)−1D u x u′x1 + ( ux ( ))−1x(cot ( )) = ⋅ ( ).2Regla de derivación 21 (RD21)1D u x u xux ( ) ( ux ( )) −1− 1x(sec ( )) = ⋅ ′( ),2siempre que ux () > 1.Regla de derivación 22 (RD22)−1D u x u′xux ( ) ( ux ( )) −1−1x(csc ( )) = ⋅ ( ),2para ux () > 1.DemostraciónDemostraremos solamente la regla de derivación 17 y la regla de derivación 21.Las reglas restantes se demuestran en forma similar y se dejan como ejercicio parael lector.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial119

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real−1Como y = sen x⇔ x= sen y,entonces, derivando implícitamente la última igualdad,se tiene que:Dx( x) = Dx(sen y) = Dy(sen y) ⋅Dx( y).dydy 1Esto es, 1= cos y ⋅ , de donde .dxdx= cos y(1)⎛ π π ⎞Como cos y es positivo en el intervalo ⎜−, ⎟,⎝ 2 2⎠ entonces2 2cos y = 1− sen y = 1−xy sustituyendo en (1) se obtiene finalmente−1dy d(sen x) 1 1= = = ,dx dx cos y 2siempre que x < 1. (2)1−xAhora, si u(x) es una función derivable y tal que ux ( ) < 1, y si además−1y = sen u( x),entonces, de acuerdo a la regla de la cadena (regla de derivación 8,módulo 11), se tiene quedy d −1du= (sen ux ( )) ⋅ .dx du dx− 11Entonces, aplicando (2), se obtiene Dx(sen u( x)) = ⋅u′( x).21 − ( ux ( ))Para demostrar la regla de derivación 21 se tiene que, de acuerdo a la definiciónalternativa de secante inversa,1 1 1sec − ux ( ) = cos ⎛ − ⎜ ⎞⎟,siempre que⎝ux( ) ⎠ ux ( ) ≥ 1.1 11−Ahora, de acuerdo a la segunda fórmula, cos es derivable si 1,u( x)ux ( )< estoes, si ux ( ) > 1.−1Por tanto, sec ux ( ) es derivable si ux ( ) > 1. De esta forma,−1 − 1 1 −1 ⎛−u′( x)⎞Dx(sec u( x)) = Dx(cos ) = ⋅⎜ ,22 ⎟ux ( )⎛ 1 ⎞ ⎝ ux ( ) ⎠1− ⎜ ⎟⎝ux( ) ⎠120 U de @ - Educación no presencial

Módulo 13: Funciones trascendentes y sus derivadas2ux ( )= ⋅u′( x).2 2ux ( ) ⋅ ux ( ) −1Comoux2( ) ux ( ) ,= entonces22( ) u( x)u x= y se tiene finalmente que1D u x u xux ( ) ( ux ( )) −1− 1x(sec ( )) = ⋅ ′( ),2siempre que ux ( ) > 1.En el ejemplo 19.9d de la sección 19.2 se ilustra la manera de usar las reglas dederivación con funciones trigonométricas inversas.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial121

U de @ - Educación no presencial122

14Otras funciones trascendentes y susderivadasIntroducciónEn el texto de Álgebra y Trigonometría de esta misma serie se presentaron con suspropiedades más importantes dos funciones que aparecen en muchas aplicacionesde la matemática, como son la función exponencial y la función logarítmica. Éstasaparecen como funciones inversas una de la otra, y el conocimiento de una de ellaspermite deducir el mismo comportamiento de la otra.El Gateway Arch es un monumento ubicado en el ParqueNacional Jefferson en la ciudad de San Luis, Estadode Missouri, Estados Unidos. Tiene la forma de un arcode la catenaria.En este módulo asumimos que el lector conoce estas dos funciones con sus propiedadesbásicas. Nos compete a nosotros presentar las reglas de derivación de lasmismas y sus respectivas generalizaciones.Objetivos del módulo1. Repasar las funciones trascendentes: exponencial y logarítmica y presentarsus reglas correspondientes de derivación.2. Combinar adecuadamente las funciones e x y e –x para generar las funcioneshiperbólicas, sus derivadas y algunas aplicaciones a la ingeniería.Preguntas básicasTeniendo en cuenta que las funciones trigonométricas están intimamente relacionadascon el círculo trigonométrico, por esta razón en algunas ocasiones se lesllama funciones circulares. En efecto, las ecuaciones paramétricas x = cos t, y = sen tdescriben el círculo unitario x 2 + y 2 = 1.1. ¿Se puede afirmar entonces que las ecuaciones paramétricas x = cosh t, y = senht describen alguna sección cónica conocida?2. ¿Por qué el nombre de hiperbólicas?Contenidos del módulo14.1 Derivada de las funciones exponencial y logarítmica14.2 El número e como un límite14.3 Las funciones hiperbólicas y sus derivadas14.4 Las funciones hiperbólicas inversas y sus derivadas14.5 Aplicaciones de las funciones hiperbólicas: la catenaria y el gudermannianoEscuche el audio Los Bernoulli y la catenaria ensu multimedia de Elementos Básicos de CálculoDiferencial.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial123

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realA pesar de que la función f (x) = e x ha sido estudiada en el curso de Álgebra yTrigonometría, nada se ha dicho acerca de su base e, excepto que es un númeroirracional cuya representación decimal viene dada por e ≈ 2.7182818...Existen muchas definiciones y teoremas acerca del número e, dependiendo en cadacaso de la necesidad teórica del autor. En nuestro caso se dará inicialmente ladefinición del número e como un número real que satisface cierta condición. Posteriormentese presentará como resultado de un límite.14.1 Derivada de las funciones exponencial y logarítmicaVea el módulo 14 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.Definicionesa. e es el número real que satisface la siguiente condición:he − 1lim = 1.h→0hb. Si a > 0, a ≠ 1 yax = e x⋅lna .Teorema 1: Derivada de funciones exponencialesx xa. Dx( e ) = e .b. Regla de derivación 23 (RD23)u( x) u( x)Dx( e ) = e ⋅u′( x).x xc. Dx( a ) = a ⋅ln a.d. Regla de derivación 24 (RD24)u( x) u( x)Dx( a ) = a ⋅u′( x) ⋅ln a.Demostraciónx+h xx h xx e − e e ⋅e −eDx( e ) = lim = lim ,h→0hh→0h124 U de @ - Educación no presencialse define a x (función exponencial de base a) como:Los siguientes teoremas, que se enuncian y se demuestran a continuación, recogenlas reglas de derivación para las funciones exponencial y logarítmica.a. De acuerdo a la definición de derivada para una función, se tiene que:x ∈

Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadasx h he ( e −1) x ( e −1)= lim = e lim ,h→0 hh→0hx= e ⋅ 1 (definición anterior, parte a).x= e .b. Use la parte a y la regla de la cadena (RD8).xc. D ( a )x= D (definición anterior, parte b).ln( x axe ⋅ )x⋅lna= e ⋅D ( x⋅ ln a)(regla de derivación 23).x⋅lna= e ⋅xln a.x= a ⋅ ln a (definición anterior, parte b).d. Use la parte c y la regla de la cadena (RD8).Teorema 2: Derivada de funciones logarítmicasa.1Dx(log ax) = .x ⋅ ln ab. Regla de derivación 25 (RD25)u′( x)Dx(log au( x)) = ,ux ( ) ⋅lnasiendo u (x) una función derivable.c.Dx1(ln x) = .xd. Regla derivación de 26 (RD26)u′( x)Dx(ln u( x)) = .ux ( )Demostracióna. Sea y = log x.De acuerdo a la definición de la función logarítmica,ayy = log x ⇔ x = a .aDerivando con respecto a x ambos miembros de la última igualdad, se tieneque:yD ( x) = D ( a ),xxy1 = aD( y) ⋅ lna(regla de derivación 24),x1 = x ⋅D (log x) ⋅ln a.xaElementos Básicos de Cálculo Diferencial125

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realDe donde,1Dx(log ax) = .x ⋅ ln ab. Use la parte a y la regla de la cadena (RD8)En particular, cuando a = e,entonces log x a= ln x , y log ux ( ) = ln uxa( ).Al sustituir en a y b se deducen inmediatamente las partes c y d.En los ejemplos 19.9, 19.10, 19.13 y 19.15 de la sección 19.2 al final del capítulo 3, y enla sección 14.3 de este mismo capítulo, se ilustra la manera de usar las reglas dederivación mencionadas anteriormente.Observacionesa. Teniendo en cuenta que xn = e n⋅lnx , n ∈R , se tiene entonces que:n n ln xDx( x ) Dx( e ⋅n⋅lnx= ) = e ⋅Dx( n⋅ln x),n⋅ln x 1= e ⋅n⋅, xn −1 n−= x ⋅n⋅ x = n⋅x1 .Nótese entonces que la derivada de x n , con n ∈R,obedece a la mismafórmula desarrollada en la regla de derivación 9 (caso 2) para exponentesracionales.( )b. Para hallar la derivada de expresiones algebraicas de la forma f( x ) g x sepuede aplicar la derivación logarítmica, como se ilustra a continuación.g( x)Sea y= f( x) .(1)Tomando logaritmo natural en ambos miembros de (1), se tiene que:ln y = g( x) ⋅ ln f( x).(2)Derivando ambos miembros de (2) con respecto a x,se puede escribir:Dx(ln y) = Dx[ g( x) ⋅ln f( x) ],Dx( y)= g′( x) ⋅ ln f( x) + g( x) ⋅Dx(ln f( x)),yf ′( x)= g′( x) ⋅ ln f( x) + g( x) ⋅ .f ( x)126 U de @ - Educación no presencial

Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadasDe donde,f ′( x)Dx( y ) = yg ( ′( x) ⋅ ln f( x) + gx ( ) ⋅ ).f ( x)Esto es,g( x) ⎛f ′( x)⎞g( x)Dx( f( x) ) = f( x) ⎜g′( x) ⋅ ln f( x) + g( x) ⋅ ⎟.⎝f ( x)⎠Otra forma en la que puede realizarse la derivada es escribiendo:g ( x) ln f ( x) g( x)g( x) ⋅ln f ( x)f( x) = ⎡⎣e ⎤⎦ = e ,y aplicar luego la regla de derivación 23.En el ejemplo 19.9c de la sección 19.2 al final del capítulo 3 se ilustra la manera deproceder en estos casos.14.2 El número e como un límiteTeorema 3: El número e como un límite1/ he= lim(1 + h) .h→0DemostraciónSe hace la prueba asumiendo que la función ln x es continua en su dominio yademás que su derivada en x = 1 es igual a 1.1Sea f (x) = ln x, entonces f '( x) = y f '(1) = 1.xDe otro lado, usando la definición de derivada para la misma función se tiene que:f (1 + h) − f (1) ln (1 + h) −ln1f '(1) = lim = lim ,h→0 hh→0h11/ h= lim . ln (1 + h) = lim ⎡ln (1 + h) ⎤.h→0 hh→0⎣⎦Por tanto,1/ h1= lim⎡ln(1 + h) ⎤.h→0⎣ ⎦ (1)Ahora, como la función logarítmica es continua en su dominio, se tiene que:1/1= ln⎡lim(1 + h) h ⎤⎣h→0⎦ (sección 7.1.2).Elementos Básicos de Cálculo Diferencial127

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realy de aquí,1/ln e= ln ⎡lim(1 + h) h ⎤⎣h→0⎦ ,o equivalentemente,1/ he= lim(1 + h) .h→0ObservaciónEs común dar la definición del número e mediante el límite anterior.Es interesante hallar un valor aproximado para el número e. Para ello se calcula el valor1/de (1 + h) h para valores pequeños de h (tanto positivos como negativos) (tabla 14.1).Tabla 14.1. Valores aproximados del número e1/h(1 + h) h0.1 2.7048140.001 2.7169240.0001 2.7181460.00001 2.7182680.000001 2.718280h1/(1 + h)h− 0.1 2.731999− 0.001 2.719642− 0.0001 2.718418− 0.00001 2.718295− 0.000001 2.718283La última línea de la tabla anterior nos da valores para el número e con una aproximaciónde cinco cifras decimales. Es decir: e ≈ 2.71828.14.3 Las funciones hiperbólicas y sus derivadasEn algunos problemas de física e ingeniería se presentan ciertas combinaciones delas funciones e x y e –x que por su interés y características especiales merecen serconsideradas con algún detenimiento. Tales combinaciones de e x y e –x se llamanfunciones hiperbólicas y se definen de la siguiente manera:Definicionesa. La función coseno hiperbólico, denotada por cosh x, se define comox − xe + ecosh x = , x cualquier real.2128 U de @ - Educación no presencial

. La función seno hiperbólico, denotada por senh x, se define comoMódulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadasx −xe − esenh x = , x real.2ObservaciónLas funciones senh x y cosh x son las funciones hiperbólicas de más frecuente uso.A partir de éstas se definen las funciones tangente hiperbólica, cotangentehiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica de la siguiente manera:a.senh xtanh x = , x realcosh xb.c.cosh xcoth x= ,senh xx ≠ 0.1sech x=,cosh xx real.d.1csch x= , x ≠ 0.senh xDe acuerdo con las definiciones anteriores, se tiene lo siguiente:x −xe − ea. tanh x = , x real.x −xe + ex −xe + eb. coth x= , x ≠0.x −xe − ec.2sech x= , x real.ex e − x+d.2csch x = , x 0.x xe − e ≠ −En el siguiente teorema se presentan algunas identidades importantes relativas alas funciones hiperbólicas y cuyas demostraciones son sencillas de realizar.Teorema 4a.2 2cosh x− senh x=1.b.xcosh x + senh x=e .c. cosh x − senh x=e −x .d. senh ( a± b) = senh acosh b±cosh asenh b.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial129

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable reale. cosh ( ) cosh cosh senh senh a± b = a b±a b.130 U de @ - Educación no presencial f. senh 2x = 2senh xcosh x.g.2 2cosh 2x = cosh x+senh x.h.2 cosh 2x−1senh x = .2i.2 cosh 2x+ 1cosh x = .2j.2 21− tanh x = sech x.k.2 21− coth x =−csch x.Ejemplo 14.1i. Demuestre que cosh x > 0, para cualquier x ∈R.ii. Demuestre que senh x ≥ 0, siempre que x ≥ 0, y senh x < 0, siempre que x < 0.Solucióni.x xe + e −Puesto que e x > 0 y e –x > 0 para cualquier x ∈R , entonces > 0,2esto es, cosh x > 0, para todo x ∈R.0 0e + e −En particular, cosh 0 = = 1.1ii. Para x ≥ 0, se tiene que x ≥−x,y como la función exponencial e x es creciente,entonces e ≥ e − , de donde ≥0⇔ senhx≥0.2x − xe − ex x0 0e − e −En particular, senh 0 = = 0.2Para x < 0, se tiene que x < −x, y como la función exponencial e x es creciente,x − xe − eentonces e x < e –x , de donde < 0⇔ senhx< 0.2En el ejemplo 25.4 al final del módulo 25 se analiza y se traza la gráfica de la funciónsenh x con todos sus elementos.Por ser combinación de funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas sonderivables para todo x (x ≠ 0, para coth x y para csch x).El siguiente teorema reúne las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas.Teorema 5: Derivada de las funciones hiperbólicasRegla de derivación 27 (RD27)Dx(senh u( x)) = cosh u( x) · u′( x).

Regla de derivación 28 (RD28)Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadasD (cosh u( x)) = senh u( x) · u′( x).xRegla de derivación 29 (RD29)D u x u x u′x2x(tanh ( )) = sech ( ) · ( ).Regla de derivación 30 (RD30)D u x u x u′x2x(coth ( )) =−csch ( ) · ( ).Regla de derivación 31 (RD31)D (sech u( x)) =−sech u( x) · tanh u( x) · u′( x).xRegla de derivación 32 (RD32)D (csch u( x)) =−csch u( x) · coth u( x) · u′( x).Demostraciónxu( x) −u( x)⎛e+ e ⎞Dx(cosh u( x)) = Dx⎜ ⎟,⎝ 2 ⎠1 u( x) −u( x)= ( e · u′ ( x) −e u′( x) ),21 u( x) − u( x)= ( e −e ) · u′( x),2=senh u( x) · u'( x).⎛ 1 ⎞ −1Dx(sech u( x)) = Dx⎜⎟ =·senh u( x) · u′( x),2⎝cosh u( x) ⎠ cosh u( x)=−sec hu ( x) · tan hu ( x) · u′( x).14.4 Las funciones hiperbólicas inversas y sus derivadasx − xe − ePuesto que la función senh x = es continua y creciente en los reales (vea2el ejemplo 25.4 del módulo 25), entonces existe su inversa (teorema 1, sección 3.7,apéndice III), la cual se denota por senh –1 x. En el caso de la función cosh x esnecesario restringir su dominio (intervalo donde sea continua y monótona) paraque exista la función inversa. La función tanh x toma todos sus valores en elintervalo (–1, 1) y por tanto su inversa tiene su dominio en dicho intervalo. Con lasanotaciones anteriores, la definición de las tres primeras funciones hiperbólicasinversas es la siguiente:Elementos Básicos de Cálculo Diferencial131

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realDefinicionesa.−1y =senh x ⇔ x =senh y; y∈R.b.−1y =cosh x ⇔ x =cosh y; y ≥ 0.c.−1y =tanh x ⇔ x =tanh y; y∈R.Se deja al lector el considerar la definición de las demás funciones hiperbólicasinversas. Las funciones hiperbólicas inversas figuran en algunas calculadoras ytablas.Así como las funciones hiperbólicas se expresan en términos de exponenciales, lasinversas se expresan mediante logaritmos. Comencemos por ejemplo con la inversade senh x.−1y =senh x ⇔ x = senh y,y − ye − ex = ,22 ye −12 y yx= ⇔ e −2xe− 1 = 0,y2ey2y⇔ ( e ) −2x( e ) − 1 = 0.(1)La ecuación (1) corresponde a una ecuación cuadrática en e y y, por tanto,2y 2x± 4x+ 4e =2= ( x± 2x + 1. )yComo e > 0 y x< 2x + 1, el signo ( −)debe descartarse. Así que:ye = x+ 2x + 1 ⇔ y= ln( x+ 2x + 1 ),−1 ⇔ senh x= ln ( x+ 2x + 1 ).−Por tanto, senh ( x= ln x+ x )+ 1 .(2)− 1Si se quiere, por ejemplo, calcular la derivada de senh x,se utiliza la última identidad(2) y la regla de derivación 26.De manera similar se pueden expresar las demás funciones hiperbólicas inversas, entérminos de logaritmos, las cuales aparecen en la tabla 14.2, con sus respectivosdominios y la regla correspondiente de derivación. En el ejercicio 19.11 de la sección19.2 se demuestra la fórmula correspondiente a cosh –1 x.

Tabla 14.2. Funciones hiperbólicas inversas en términos de logaritmosMódulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadasFunción Fórmulasenhcoshtanhcoth−1x2( x+ x + )ln 1− 1x ( )2ln x+ x −1−11 ⎛1x+ x ⎞ln ⎜ ⎟2 ⎝1−x ⎠−11 ⎛ x + 1x⎞ln ⎜ ⎟2 ⎝ x −1⎠Derivada12x +112x −111−x211−x2Dominio de feje xx ≥ 1x < 1x > 1sech−1x⎛1+ 1−xln⎜⎝x2⎞⎟⎠x−11−x20< x ≤1csch−1x⎛1 1 ⎞ln ⎜+ 1+2x x ⎟⎝ ⎠x−11+x2x ≠ 014.5 Aplicaciones de las funciones hiperbólicas: la catenaria y elgudermannianoLa catenariaSi un cable flexible homogéneo o una cadena están suspendidos entre dos puntosfijos a la misma altura, forman una curva llamada catenaria (figura 14.1a). Además,se puede colocar una catenaria en un sistema coordenado, de modo que la ecuacióntoma la forma y = acosh x .aElementos Básicos de Cálculo Diferencial133

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realFigura 14.1Para deducir la ecuación de la catenaria consideremos la sección AP del punto másbajo A al punto P (x, y) (figura 14.1b), e imaginemos que ha sido retirada la parterestante del cable.Las fuerzas que actúan sobre el cable son:H: tensión horizontal que tira de A.T: tensión tangencial que tira de P.W = δ S : peso del cable cuya densidad es δ libras/pie.Para que la porción de cable esté en equilibrio, se debe cumplir que:Tcos ϕ = H.(1)Tsen ϕ = W = δ S.(2)De (1) y (2) se deduce queTsenϕδ S= tan ϕ = .TcosϕHdyDado que tan ϕ = , se obtienedxdy δ= S (S, longitud, es función de x). (3)dx HDerivando nuevamente ambos miembros de (3) con respecto a x, se obtiene2dy dS· ,2dx= δH dx2dS ⎛dy⎞y como = 1 + ⎜ ⎟ , la última ecuación se puede escribir finalmente comodx ⎝dx⎠134 U de @ - Educación no presencial

Módulo 14: Otras funciones trascendentes y sus derivadasδ ⎛dy⎞= 1 + .2 ⎜ ⎟dx H ⎝dx⎠2d y2(4)⎛Demostraremos ahora que y acosh x ⎞= ⎜ ⎟ satisface la ecuación diferencial (4) para⎝a⎠Ha = .δ⎛Si cosh x ⎞ H ⎛ δ ⎞y = a ⎜ ⎟=cosh ⎜ x⎟,⎝a⎠ δ ⎝ H ⎠entoncesdy H ⎛ δ ⎞ δ ⎛ δ ⎞= senh ⎜ x⎟ . = senh ⎜ x⎟,dx δ ⎝H ⎠ H ⎝H⎠2d y d dy ddx2⎛ ⎞ ⎛ δ ⎞ ⎛ δ ⎞ δ= ⎜ ⎟ = ⎜senh x⎟ = cosh ⎜ x⎟. ,dx ⎝dx ⎠ dx ⎝ H ⎠ ⎝H ⎠ H2d ydx2δ ⎛ δ ⎞= cosh ⎜ x⎟.H ⎝H⎠Pero de la identidad⎛ δ ⎞ ⎛ δ ⎞⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =⎝ H ⎠ ⎝ H ⎠2 2cosh x senh x 1(teorema 4, parte a),y teniendo en cuenta que cosh es mayor o igual a 1, se deduce que⎛ δ ⎞ ⎛ δ ⎞⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟⎝ H ⎠ ⎝ H ⎠2cosh x 1 senh x .Así que2d yδ ⎛dy⎞= ⋅ 1 + .2 ⎜ ⎟dx H ⎝dx⎠2El gudermannianoEl gudermanniano de t, denotado por gd (t), se define comogd t−1() = tan (senh t).a. Pruebe que gd (t) es una función impar.Debemos probar que gd( − t) =−gd( t).Elementos Básicos de Cálculo Diferencial135

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEn efecto,−t−( −t)−1 −1⎛e− e ⎞gd( − t) = tan (senh( − t)) = tan ⎜ ⎟,⎝ 2 ⎠−1 −1= tan ( − senh t) = −tan ( senh t),=−gd (). tb. Pruebe que gd (t) es una función creciente.En efecto,−1Dgdtt() = Dt(tan (senh t),1= D (senh ),2 tt1 + senh t1 1= .cosh t = .2cosh t cosh t1Puesto que cos ht ≥ 1, entonces > 0, lo que indica que la derivada decoshtgd (t) es positiva y de esta forma la función es creciente (teorema 23.1).136 U de @ - Educación no presencial

15Límites al infinito y asíntotas de una curvaIntroducciónAl analizar la forma de una curva muchas veces se necesita conocer el comportamientode la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de lacurva, juntas o por separado, tienden en valor absoluto a infinito. Es decir, para unpunto (x, y) o (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes casos:1. Cuando x →∞ , entonces y = f( x)→∞⎫⎬ límites alinfinito2. Cuando x →∞ , entonces y = f ( x)→k⎭3. Cuando x → a, entonces y = f( x) →∞ límitesinfinitosAquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproximaindefinidamente a una recta llamada «asíntota» de la curva y cuya definición ydeterminación se precisarán más adelante.Objetivos del módulo}Seael plano complejo y consideremos una esfera unidadtangente a en z = 0. El diámetro NS esperpendicular a π y llamamos a los puntos N y S los polosnorte y sur de la esfera.Para cualquier punto A sobre el plano podemos construiruna recta NA que corta a S en el punto A´. En este caso, acada punto del plano complejo le corresponde un único puntode la esfera, con lo que podemos representar cualquiernúmero complejo por un punto sobre la esfera.1. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites al infinito, así como tambiénsu significado geométrico en el plano cartesiano.lim π σ( gx ff (( xx)) ⋅=∞− g( gx.()2. x) )Introducir = 0? la noción de asíntota (en particular la asíntota horizontal) y su rela-x→∞ción con los límites al infinito.Preguntas básicas1. Supóngase que lim f( x) =∞= lim g( x).x→∞¿Se puede afirmar quex→∞f( x)¿Se puede afirmar que lim = 1x→∞gx ( ) ?2. Supóngase que lim f( x) = P, P∈R , yx→∞¿Qué puede afirmarse del límite(Analice sus respuestas).?3. ¿Puede una asíntota horizontal de una curva intersecar la curva? Trate de dar surespuesta con un gráfico aproximado.Contenidos del módulo15.1 Límites al infinito15.2 Teoremas sobre límites al infinito15.3 Asíntotas de una curva. Asíntotas horizontales15.3.1 Clasificación de las asíntotasElementos Básicos de Cálculo Diferencial137

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real15.1 Límites al infinitoEn el capítulo 1 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando x → a,x → a + o x → a − , siendo a un número real. Ahora, se quiere conocer el comportamientode f (x) cuando la variable x toma valores positivos o negativos tan grandesen valor absoluto como se quiera. Esto último se expresa frecuentemente en elcálculo usando los símbolos x →+∞ o x →−∞.3x+ 4Considere por ejemplo la función y = f( x) = , x ≠ −3/2,y cuya gráfica2x+ 3aparece en la figura 15.1.Figura 15.1En la tabla 15.1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x tomasucesivamente los valores 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000.Tabla 15.1. Valores de f (x), con x positivo Tabla 15.2. Valores de f (x), con x negativox01101001.00010.000100.0003x+ 4f( x)=2x+ 31.331.41.478261.49753691.49975041.4999751.4999975x−1−10−100−1.000−10.000−100.0003x+ 4f( x)=2x+ 311.52941.5025381.500251.5000251.5000025Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se aproximacada vez más al valor 1.5. Observe, además, que cuando x = 100, entoncesf( x) − 1.5 = 0.00246, y cuando x = 1.000, entonces f( x) − 1.5 = 0.00024.Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces lacantidad f( x) − 1.5 se hace cada vez más pequeña.U de @ - Educación no presencial138

Supóngase ahora que se quiere que f( x) − 1.5 < 0.001. ¿Qué valores de la variablex satisfacen esta desigualdad?Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curvaSe puede demostrar fácilmente que si x > 248.5, entonces f( x) − 1.5 < 0.001. Enparticular, si x= 250, f(250) − 1.5 = 1/1.006 < 1/1.000.Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente:Vea el módulo 15 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.Dado un número ∈> 0, tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un númeroB > 0 tal que si x > B,entonces f( x) − 1,5 0 tal que, para todo x ∈ I,si x > B, entonces f ( x) − L < ∈.b. Sea f una función definida en un intervalo I = (–∞, a]. Por tanto, lim f ( x)= Lx→−∞L ∈R si y sólo si para cada ∈> 0 existe un B < 0 tal que, para todo x ∈ I,si x < B,entonces f( x) − L

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realObservacionesi. La definición anterior (parte a) puede interpretarse geométricamente asi: fijadoun número positivo ∈, siempre es posible encontrar un número positivoB a partir del cual todos los valores funcionales están en el intervalo( L−∈ , L+∈ )(figura 15.2).Similarmente, la parte b puede interpretarse así: fijado un número positivo ∈,siempre es posible encontrar un número negativo B para el cual, si se evalúala función en puntos anteriores a B, dichos valores funcionales están en elintervalo ( L−∈ , L+∈ )(figura 15.2).Figura 15.2ii.Para una función dada puede suceder que:1. lim f ( x) = L,y lim f ( x) = K,L ≠ K.x→−∞x→+∞2x + 4Así por ejemplo, para la función f( x) = , y cuya gráfica apareceen la figura 15.3, se cumplex + 2que:2x + 4lim f( x) = lim =−1,x→−∞x→−∞x + 22x + 4lim f( x) = lim = 1.x→+∞x→+∞x + 2(vea el ejercicio 16 de la sección 19.2).U de @ - Educación no presencial140

Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curvaFigura 15.32. lim f ( x) = lim f( x) = L.x→−∞x→+∞En este caso se puede escribir simplemente lim f ( x) = L.x→∞24x−1Así por ejemplo, para la función f() x = ,2 cuya gráfica aparecex + 2en la figura 15.4, se cumple que:24x−1⎫lim f( x) = lim = 422x→−∞x→−∞x + 1 ⎪ 4x−1lim 4.2⎬ ⇒ =x→∞24x−1x + 1lim f( x) = lim = 4⎪x→+∞x→+∞2x + 1 ⎪ ⎭(vea el ejercicio 18 de la sección 19.2).Figura 15.4Elementos Básicos de Cálculo Diferencial141

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realTeorema del sánduche para límites al infinitoEl teorema del sánduche también es válido para límitescuando x →±∞.Como se sabe,−1≤senx≤ 1.Así, para x > 0,Como− ≤ ≤1 sen x 1x x x.( )1 1lim −x= limx= 0,x→+∞x→+∞por el teorema del sánduche se sigue queTambién, comose sigue quesen xlimx= 0.x →+∞sen( −x) sen x( − x)=xsen xlim = 0.x →−∞x15.2 Teoremas sobre límites al infinitoLos siguientes teoremas proporcionan herramientas importantes para la manipulacióncon límites al infinito.Teorema 1: Álgebra de límites al infinito1. Sean f, g dos funciones tales que lim f ( x)= L1y lim g( x) = L2, y seaK ∈R . Entonces:x→+∞x→+∞lim f ( x) ± g( x) = lim f( x) ± lim g( x) = L ± L .i. [ ] 1 2x→+∞ x→+∞ x→+∞ii. lim f ( x) ⋅ g( x) = lim f( x) ⋅ lim g( x) = L1⋅L2.x→+∞ x→+∞ x→+∞iii. lim K ⋅ f( x) = K⋅ lim f( x) = K⋅L1.iv.x→+∞f( x)x→+∞lim f( x)x→+∞1lim = = , L2≠ 0.x→+∞gx ( ) lim gx ( ) L2x→+∞2. Si existe un real B tal que f (x) = g (x) para todo x > B y si ademáslim f ( x) ,x→+∞= L1entonces g x = L1x→+∞Llim ( ) .3. Si n es un entero positivo y lim f ( x) = L,entoncesx→+∞limnnf ( x) = n lim f( x) = L.x→+∞x→+∞Como se ve, la gráfica oscila en torno del eje x. Lasoscilaciones tienden a cero, cuando x →±∞.Si n es par, L debe ser positivo.Teorema 21lim = 0.x→+∞xGeneralización: si n ∈ , entoncesObservaciones1lim = 0.x→+∞nxi. Los teoremas son igualmente válidos cuando se reemplaza x →+∞ porx →−∞.ii.La hipótesis establecida en el teorema 1, con respecto a la exigencia de quelos límites de f (x) y g (x) sean los números reales L 1y L 2, es esencial, ya quesi esta condición no se cumple, el teorema puede no ser válido; así porejemplo, para la diferencia del límite, se tiene:+ + = ∞ y lim x =∞.lim2x 3x2 ,x→∞x→∞U de @ - Educación no presencial142

Módulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curva2 2Sin embargo, lim( x + 3x+ 2 −x) ≠ lim x + 3x+ 2− limx=∞−∞(indeterminado).En efecto:x→∞ x→∞ x→∞22 ( x + 3x+ 2 −x)2lim x + 3x+ 2 − x= lim ( x + 3x+ 2 + x),x→∞x x xx→∞2( + 3 + 2 + )2 2 2( x + 3x+ 2) − x 3x+2= lim = lim ,x→∞2 x→∞2( x + 3x+ 2 + x) x + 3x+ 2+x= limx→∞23 +x3 2 (dividiendo numerador y denominador por x).1+ + + 12x x2 3 2Pero lim = lim = lim = 0 (teorema 2 y su generalización).x→∞ x x2x →∞ x →∞ xTambién, lim 3 = 3, y lim1 = 1.x→∞x→∞23+23Por tanto, lim x + 3x+ 2 − x = limx= .x→∞x→∞3 2 21+ + + 12x xDe otro lado, para el límite del producto se tiene:3lim = 0, y lim 2 x = ∞.x→∞xx→∞⎛3⎞ ⎛3⎞Sin embargo, lim ⎜ ⎟⋅2x≠ lim ⎜ ⎟⋅ lim 2x= 0 ⋅∞ (indeterminado).x →∞ xx →∞ x x⎝ ⎠ ⎝ ⎠→∞⎛3⎞ 6xPero lim ⎜ ⎟ ⋅ 2x= lim = lim 6 = 6.x →∞ xx →∞ x x⎝ ⎠→∞iii.En los capítulos 1 y 2, al evaluar ciertos límites, se presentó la forma indeterminada0 .0Otras formas indeterminadas son las siguientes:∞ ∞−∞ ⋅∞ ∞∞0 0 ∞,( ),0 ,0 , ,1.En los ejercicios 16, 17 y 18 de la sección 19.2 se ilustra el tratamiento de lasformas ∞ ∞ y ( ∞−∞ ), dejando el tratamiento de las demás para el módulo18, cuando presentemos la regla de L’Hopital.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial143

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEl siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, facilita la evaluación delímites al infinito para funciones racionales y en los cuales sólo se necesita compararlos grados del numerador y del denominador para su determinación.Teorema 3: Límite al infinito para funciones racionalesSeamhx ( ) amx + a x + ... + a x+af( x)= =ngx ( ) bx + b x + ... + bx+bnm−1m−1 1 0n−1n−1 1 0a , b ≠ 0, m y n enteros positivos. Por consiguiente:mnuna función racional, coniSi m < n (grado N < grado D), entonceshx ( )lim = 0.x→+∞gx ( )ii.iii.Si m = n (grado N = grado D), entoncesSi m > n (grado N > grado D), entonceshx ( ) amlim = .x→+∞g( x)bhx ( )lim =∞.x→+∞gx ( )nAsí por ejemplo,3x− 5lim = 0x2(puesto que el grado del numerador es menor→+∞ x + 2x+6que el grado del denominador).34x+ 5x−8 4=2 3 (puesto que el grado del numerador es igual al− x + x − x − 5limx→+∞1 2 3 5grado del denominador).limx→+∞24x− 5x + 2=+∞(puesto que el grado del numerador es mayor queel grado del denominador).Los límites al infinito tratados anteriormente están íntimamente ligados con el conceptode asíntota de una curva, que se describe y detalla a continuación.15.3 Asíntotas de una curva. Asíntotas horizontalesEn primer lugar, se dice que un punto desplazable M se mueve a lo largo de unacurva hacia infinito si la distancia entre este punto M y el origen de coordenadascrece indefinidamente.U de @ - Educación no presencial144

DefiniciónMódulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curvaSi la distanciaδ entre una recta A y el punto desplazable M de una curva tiende acero, mientras que el punto M tiende a infinito, se dice que la recta A es una asíntotade la curva (figura 15.5).Elementos Básicos de Cálculo Diferencial145

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realFigura 15.5U de @ - Educación no presencial146

15.3.1 Clasificación de las asíntotasMódulo 15: Límites al infinito y asíntotas de una curvaEn el trazado de una curva es preciso distinguir las asíntotas verticales, x = a en lafigura 15.5a (rectas paralelas al eje y), las asíntotas horizontales, y = k en la figura15.5b (rectas paralelas al eje x), y las asíntotas oblicuas, que son rectas de la formay = mx + b (figuras 15.5c y d).Asíntotas horizontalesLa recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f (x) si lim f ( x)= k olim f ( x) = k.x→−∞x→+∞Asi por ejemplo, la funciónf( x)=x24x−12(figura 15.4) tiene a la recta y = 4 como+ 2asíntota horizontal. La función2f( x)= x − 3(figura 15.6) tiene a la recta y = 0 (eje x)como asíntota horizontal. La funciónf( x)=2x + 4x + 2(figura 15.3) tiene dos asíntotashorizontales: y = 1 y y = −1.Figura 15.6Las asíntotas horizontales son un caso particular de las asíntotas oblicuas y = mx + b(si m = 0, la asíntota es horizontal) que se describen y determinan con más detalle enel módulo 17 de este mismo capítulo.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial147

16Límites infinitos y asíntotas verticalesIntroducciónpx ( )Las gráficas de las funciones racionales f( x)=qx ( )y de los polinomios tienenvarias características en común. Por ejemplo, una función racional, al igual que lospolinomios, tiene un número finito de raíces, pues f (x)se anula en los puntos en loscuales p(x) se anula.El abstracto concepto matemático de límite se correspondeen el universo real con una serie de fenómenos relacionadosmás o menos íntimamente con el infinito. El límite –ficticio–de estos rieles convergentes es sólo un punto.hx ( ) =f ( x)g( x)Puede llegar a suceder que el polinomio del denominador q(x) tenga una raíz en unpunto x = a, donde no se anula p(x). En este caso, el valor de f (x) será muy grandecuando x esté muy cerca de a. Esto significa que la gráfica de una función racionaltiene una característica que la gráfica de un polinomio no posee, esto es, unaasíntota vertical.Objetivos del módulo1. Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites infinitos, así como tambiénsu significado geométrico en el plano cartesiano.2. Introducir la noción de asíntota vertical y su relación con los límites infinitos.Preguntas básicas1. Frecuentemente en los cursos de cálculo se menciona la siguiente receta: «Parahallar las asíntotas verticales def ( x)hx ( ) = ,g( x)basta resolverg(x) = 0». Dé un ejemplo en el que ga ( ) = 0, pero no existe asíntota vertical en x = a.2. Analice la verdad o falsedad del recíproco de la afirmación anterior. Es decir: sitiene una asíntota vertical en x = a, entonces ga ( ) = 0. ¿Y quésucede si f (x) y g(x) son polinomios?3. ¿Puede una asíntota vertical de una curva intersecar la curva? Trate de dar surespuesta con un gráfico aproximado.Contenidos del módulo16.1 Límites infinitos16.2 Asíntotas verticales

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real16.1 Límites infinitosSe entiende por límites infinitos de una función cuando el valor de la función creceo decrece sin «límite» a medida que la variable x se aproxima a un valor dado.Son límites infinitos uno cualquiera de las formas:1.2. lim f( x) =±∞.x→±∞Para el caso particular del estudio de las asíntotas verticales se hace referencia a loslímites de la primera forma.2Considere por ejemplo, nuevamente, la función f() x = ,x − 3cuya gráfica apareceen la figura 15.6. Nótese que cuando+x → 3 (valores de x mayores que 3), elnumerador de f (x) tiende a 2 y el denominador toma valores cercanos a 0, peropositivos, así que el cociente tiende a +∞ . De una manera más simple, se escribe:2 → tiende 2( + )lim →+∞ .x − 3 → tiende 0( + )+x→3(1)Igualmente,2 → tiende 2( + )lim →−∞ .x −3 → tiende 0( −)−x→3(2)limx→aEn el caso (1) se dice que f (x) crece sin límite, o se hace infinita, cuando x tiende+a 3, y se escribelim f( x) =+∞.+x→3En el caso (2) se dice que f (x) decrece sin cota, o se hace infinitamente negativa,−cuando x tiende a 3, y se escribe:lim f( x) =−∞.−x→3Otro ejemplo importante en el cual se analiza el comportamiento de una funcióncerca de los puntos donde no existe el límite es el siguiente:x−1 x−1Considere la función definida por f( x)= =2x − 4 ( x− 2)( x+2), cuya gráfica apareceen la figura 16.1.U de @ - Educación no presencial150

Módulo 16: Límites infinitos y asíntotas verticalesVea el módulo 16 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.Chistes matemáticos8 5Si lim =∞ ,entonces lim =x→0xx→0xFigura 16.11 1Si lim =∞ ,entonces lim =∞∞x→0 2x→04xxf (x) se hace infinita cuando x → 2 y cuando x →− 2 (valores de x que anulan eldenominador).Así que:⎧ x − 1 → 1 + 1lim f( x) = lim → →+∞.+ ++⎪x→2 x→2( x− 2)( x+ 2) → (0 )( + 4) + 0⎨⎪ x − 1 → 1 + 1lim f( x) = lim → →−∞.−−−x→2 x→2⎩⎪( x− 2)( x+ 2) → (0 )( + 4) −0Igualmente,lim f( x) =x −1 → −3 −3lim → →+∞.+( x− 2)( x+ 2) → ( −4)(0 ) −0lim f( x) =x −1 → −3 −3lim → →−∞.−( x− 2)( x+ 2) → ( −4)(0 ) + 0+ +x→−2 x→−2−−x→−2 x→−2El procedimiento anteriormente seguido es sencillo y determina geométricamente elcomportamiento de la curva cerca de la asíntota vertical, la cual definimos a continuación.16.2 Asíntotas verticalesLa recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x) si lim f ( x ) =±∞ olim f( x) =±∞ ,+o bien lim f ( x ) =±∞.x→a x→a−x→aPor consiguiente, para determinar las asíntotas verticales de una curva es precisoencontrar todos los valores de x = a que, al aproximarse a los mismos, hacen que lafunción tienda a infinito.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial151

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEn particular, cuando la función es racional y está reducida a su mínima expresión,son asíntotas verticales todos aquellos valores de x que anulan el denominador.2Así por ejemplo, la función f( x)= x 3(figura 15.6) tiene como asíntota vertical la−recta x = 3.x−1 x−1La función f( x)= =2x − 4 ( x− 2)( x+2)(figura 16.1) tiene dos asíntotas verticales:x =− 2 y x = 2.sen xπLa curva y = f( x) = tanx= tiene infinidad de asíntotas verticales: x =± ;cos x23π5πx =± ; x =± ;...2 2Esto se deduce del hecho de que tan x →±∞ , cuando x tiende a estos valores(figura 16.2).π 3π 5πNótese que x =± , x =± , x =± ,...2 2 2son los valores de x para los cualescos x = 0.Figura 16.2152 U de @ - Educación no presencial

17Asíntotas oblicuasIntroducciónLas asíntotas horizontales y las verticales son rectas paralelas a los ejes coordenadosx e y, respectivamente. Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y = mx+b,donde m0 es su pendiente.Las asíntotas oblicuas, al igual que las horizontales y las verticales, no hacen partede la gráfica (obsérvelo en una calculadora programable para algún caso en particular).Solamente indican el comportamiento de la curva cuando las variables x y/o y,juntamente o por separado, toman valores grandes en valor absoluto.Peter Gustav Lejeune DirichletPeter Dirichlet nació en Düren, actual Alemania, el 13 defebrero de 1805 y murió en ese mismo país el 5 de mayo de1859 (en Gotinga).Objetivos del módulo≠1. Establecer el razonamiento geométrico que permita definir de una manera precisael concepto de asíntota oblicua.2. Introducir la noción de asíntota oblicua y su relación con los límites al infinito.Preguntas básicas1. ¿Puede una curva tener simultáneamente asíntotas horizontales, verticales yoblicuas? Trate de dar un gráfico aproximado.2. ¿Puede la gráfica de una función racional tener simultáneamente asíntotashorizontales, verticales y oblicuas? Analice su respuesta.3. ¿Puede una asíntota oblicua de una curva intersecar la curva? Trate de dar surespuesta con un gráfico aproximado.4. ¿Puede llegar a suceder que una curva tenga como asíntota otra curva, como sucede por1 1por ejemplo con y = cosh x, cuyas asíntotas son las gráficas de y e − xx= , y y = e ?2 25. Si la ecuación de una curva es una función racional f, ¿cómo deben ser losgrados del numerador y del denominador de f para que la curva tenga comoasíntota una parábola?Contenidos del módulo17.1 Definición precisa de asíntota oblicua17.2 Regla general para determinar las asíntotas de una curvaElementos Básicos de Cálculo Diferencial153

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real17.1 Definición precisa de asíntota oblicuaSea M (x, y) un punto desplazable que se mueve a lo largo de una curva haciainfinito, y supóngase que la curva tiene una asíntota oblicua que forma un ánguloα con el eje x (figura 17.1) y cuya ecuación es de la forma y = mx+b.Vea el módulo 17 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.Figura 17.1Al trazar las perpendiculares MQ al eje x y MP a la asíntota, se forma el triángulorectángulo MPN, en el cual se tiene queNM= MP 1MP.cosα= cosα(1)De acuerdo a la definición de asíntota, lim MP = 0.x→+∞Por tanto,1 1lim NM = lim MP = ⋅ lim MP = 0.(2)x→+∞ x→+∞ cosαcosαx→+∞Recíprocamente, si lim NM = 0, entonces lim MP = 0.x→+∞n→+∞Pero NM = QM − QN = f ( x) − ( mx + b).Así que la igualdad (2) toma la formalim f( x) − ( mx+ b) = 0.x→+∞El razonamiento anterior permite establecer la siguiente definición:U de @ - Educación no presencial154

DefiniciónMódulo 17: Asíntotas oblícuasLa recta no vertical y = mx + b es una asíntota oblicua para la curva y = f (x) si[ f x − mx+ b ] = o [ f x mx b ]lim ( ) ( ) 0,x→+∞lim ( ) − ( + ) = 0, o ambos.x→−∞Estas condiciones significan que cuando x →±∞ (o ambos), la distancia verticalentre el punto (x, f (x)) sobre la curva y el punto (x, mx + b) sobre la recta tienden acero.Para una curva dada y = f (x), que tiene una asíntota oblicua y = mx + b, ¿cómodeterminar las constantes m y b?En primer lugar, de acuerdo a la definición de asíntota oblicua,[ f x mx b]lim ( ) − − = 0.(1)x→+∞⎡ f( x)b⎤O equivalentemente, lim x m 0.x→+∞⎢ − − =x x⎥⎣⎦Puesto que x →∞ , la igualdad anterior se cumple si⎡ f( x)b⎤lim m 0.x→+∞⎢ − − =x x⎥⎣⎦bPero lim = 0, y por tantox→+∞x⎡ f( x)⎤lim m 0x→+∞⎢ − =x ⎥⎣ ⎦y de aquí se deduce quef ( x)m = lim .(2)x→+∞xConociendo el valor de m, se puede hallar b de la igualdad (1), así:b= lim[ f( x) − mx].(3)x→+∞De esta forma, si la recta y = mx + b es una asíntota, entonces m y b se determinansegún las fórmulas (2) y (3). Recíprocamente, si existen los límites (2) y (3), secumple la igualdad (1) y la recta y = mx + b es una asíntota. Si alguno de los límites(2) y (3) no existe, la curva no tiene asíntota oblicua.Nótese que se ha estudiado el problema referente al caso cuando x →+∞ ; sinembargo, todos los razonamientos son válidos también para el caso en que x →−∞.Observacionesi. Aunque las asíntotas de una curva no son parte de su gráfica, proporcionaninformación acerca de la manera como debe verse la gráfica realmente.ii.Si se piensa desde el punto de vista intuitivo que las asíntotas oblicuas deuna curva son «rectas tangentes a la curva en el infinito», entonces otraPeter Gustav Lejeune DirichletDirichlet cursó sus estudios en París, relacionándose conmatemáticos como Joseph Fourier. Tras graduarse, fueprofesor en las universidades de Breslau (1826-1828),Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedradejada por Carl Friedrich Gauss tras su muerte. Susaportaciones más relevantes se centraron en el campode la teoría de los números, prestando especial atenciónal estudio de las series, y desarrolló la teoría de lasseries de Fourier. Consiguió una demostración particulardel problema de Fermat, aplicó las funciones analíticasal cálculo de problemas aritméticos y estableciócriterios de convergencia para las series. En el campodel análisis matemático perfeccionó la definición y elconcepto de función, y en mecánica teórica se centró enel estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto depotencial newtoniano.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial155

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realfórmula válida para determinar la pendiente m de la asíntota oblicua a unacurva esm=lim f′( x).x→+∞iii.iv.Si la recta y = mx + b es una asíntota a una curva cuando x →+∞ y cuando, x →−∞ se dice entonces que se trata de una asíntota doble.En el caso particular en el cual la curva de estudio corresponde a una funciónracional, las siguientes reglas son útiles en la determinación de las asíntotasde la curva.17.2 Regla general para determinar las asíntotas de una curvaSupóngase que la función y = f (x) es una función racional de la formamhx ( ) amx + a x + ... + a x+ay = f( x) = =,ngx ( ) bx + b x + ... + bx+ben la cual el grado del numeradores m y el del denominador es n.nm−1m−1 1 0n−1n−1 1 01. Son asíntotas verticales todos aquellos valores reales de x para los cualesnn−1bxn+ bn− 1x + ... + b1x+ b0= 0 (siempre que la fracción esté reducida asu mínima expresión).2. Si f es una función racional propia (m < n: grado N < grado D), la gráficatendrá a y = 0 (eje x) como asíntota horizontal.3. Si f es una función racional impropia (m ≥ n), se tiene que:a. Si m = n (grado N = grado D), entonces la gráfica tendrá acomo asíntota horizontal.ay =bmnb. Si m = n + 1 (el grado del N supera al grado del D en 1), entonces alefectuar la división de h(x) entre g(x) el cociente es de la forma ax + b,y la recta y = ax + b es una asíntota oblicua de la curva.c. Si m > n + 1 (el grado del N supera en más de 1 unidad al grado del D),al efectuar la división de h(x) entre g(x) el cociente es un polinomiode grado mayor o igual a 2, y de esta forma la curva y = f (x) se comportaen el infinito como la gráfica del cociente.U de @ - Educación no presencial156

18Formas indeterminadas y la regla deL´Hopital 1IntroducciónEn los módulos anteriores se ha ilustrado con ejemplos el tratamiento de algunoslímites que presentaban la formas indeterminadas 0 ,0∞ 0 0 ∞indeterminadas son las siguientes: 0 ,0 , ∞ ,1 .∞∞ y ( ∞−∞ ). Otras formasGuillaume François Antoine de L’HopitalGuillaume de L’Hopital, marqués de Sainte-Mesme, nacióen París en 1661 y murió en esa misma ciudad en 1704.En este módulo se enuncia, sin demostrar, un teorema conocido como la «regla deL´Hopital» (descubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli, pero cuyosderechos de descubrimiento fueron adquiridos por el marqués de L´Hopital) y quepermite calcular límites que presentan la forma indeterminada 0 0 o ∞,∞cómo es posible reducir las otras formas indeterminadas a una de estas dos.Objetivos del móduloy se verá1. Presentar las formas indeterminadas 0 0 y ∞,∞llamada regla de L´Hopital.y cómo eliminarlas usando la∞ 0 0 ∞2. Reducir otras formas indeterminadas: ( ∞−∞),0 ,0 , ∞ ,1 a una de las formas00 o ∞, y aplicarles luego la regla de L´Hopital.∞Preguntas básicas1. Supóngase que lim f ( x) =∞= lim g( x),yx→∞x→∞ln f( x)lim = 1.x→∞ln gx ( )f( x)¿Se puede afirmar que lim = 1x→∞gx ( ) ?1. Vea la historia de la regla de L´Hopital. Nota histórica: «Los marqueses también aprenden (y escriben) cálculo». Cálculo de unavariable. Claudio Pita Ruiz, p. 344.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial157

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real2. Supóngase que lim f ( x) =∞= lim g( x),yx→∞x→∞f( x)lim = 3.x→∞gx ( )ln f ( x)¿Qué puede afirmarse del siguiente límite: limx ln g ( x )(Analice sus respuestas).→∞?3. En RP Feynman, Lectures on physics, Addison-Wesley, Reading, Mass., apareceesta observación: «Aquí está la respuesta cualitativa de qué es lo correcto enhwvez de kT. Esta expresión, ,hw/ kTe −1debe tender a kT cuando w → 0 o cuandoT →∞ . ¿Puede usted probar que en efecto esto se cumple?Contenidos del módulo18.1 La regla de L´Hopital18.2 Variantes de la regla de L´Hopital18.3 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla de L´Hopital y otras formas indeterminadasU de @ - Educación no presencial158

18.1 La regla de L´HopitalMódulo 18: Formas indeterminadas y la regla de L´HopitalSean f y g dos funciones que satisfacen las siguientes condiciones:i. f y g son diferenciables, g′ ( x) ≠ 0 cerca del punto a (excepto posiblementeen a).ii. lim f ( x ) = 0 y lim gx ( ) = 0 (forma indeterminada 0 x→a x→a 0 ) olim f ( x ) =±∞ y lim gx ( ) =±∞ (forma indeterminada ∞ x→a x→a ∞ ).Si ademásf ′( x)limx→ag′( x )existe (o es ±∞ ), entoncesf ( x) f′( x)lim = lim .x→a g( x) x→ag′( x)Observacionesi. La regla de L´Hopital afirma que si un cociente presenta la forma indeterminada0 0 o ∞, el límite del cociente es igual al límite del cociente de las∞derivadas (no la derivada de un cociente).ii.La regla de L´Hopital puede aplicarse de manera reiterada cuando sea necesario.Es decir, sif ′( x)g′( x)es de la forma indeterminada 0 0 o ∞,∞y sif ′′( x)limx→ag′′( x )existe (o es ±∞),entoncesf ( x) f′ ( x) f′′( x)lim = lim = lim ,x→a g( x) x→a g′ ( x) x→ag′′( x)y de esta manera se puede proceder reiteradamente.iii.La regla de L´Hopital es también válida para todos los tipos de límites vistoshasta ahora. Es decir, x → a puede reemplazarse por cualquiera de lossímbolos x → a + , x → a − , x → +∞, x → −∞.18.2 Variantes de la regla de L´HopitalGuillaumeCuando el límite que se desea calcular presenta cualquiera de las formas indeterminadas0 ⋅∞, 0 , ∞ , 1 , ∞−∞, debe transformarse previamente a cualquiera de0 0 ∞las formas 0 0 o ∞ para aplicar luego la regla de L´Hopital.∞François Antoine de L’HôpitalGuillaume de L’Hopital fue militar de profesión, se interesópor el estudio de la matemática por influencia de JohannBernoulli y llevó a cabo la primera exposición completadel cálculo infinitesimal en su obra Análisis de losinfinitamente pequeños para el entendimiento de las líneascurvas (1696). La regla de L’Hôpital permite eliminar ciertasindeterminaciones en el paso al límite del cociente de dosfunciones, aplicando el cálculo diferencial.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial159

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable reala. Si lim f ( x ) = 0 y lim gx ( ) =±∞ , entonces lim f ( x ) ⋅ g ( x ) presenta la formaindeterminada 0 ⋅∞ . En este caso se puede usar cualquiera de las formasx→a x→a x→a equivalentes mencionadas a continuación, antes de aplicar la regla deL´Hopital:Vea el módulo 18 del programa de televisiónElementos Básicos de Cálculo Diferencial.f( x)0lim f( x) ⋅ g( x) = lim (forma indeterminada ) ox→a x→a10gx ( )gx ( )∞lim f( x) ⋅ g( x) = lim (forma indeterminada ).x→a x→a1∞f( x)0 0 ∞b. Las indeterminaciones 0, ∞ ,1, que resultan de calcular lim [ f( x) ] g ( x),x→apueden reducirse a algunas de las formas anteriores utilizando la siguienteigualdad:[ ]lim g( x) ⋅ln f ( x)x alim f( x) = lim e = e → .g( x) g( x) ⋅ ln f ( x)x→a x→ac. La forma indeterminada ( ∞−∞ ) se puede reducir a una de las anteriores empleandola identidad1 1−gx ( ) f( x)0f( x) − g( x) =(forma indeterminada ).1 0f( x) g( x)18.3 Ejemplos ilustrativos del uso de la regla de L´Hopital y otrasformas indeterminadasEjemplo 18.1Use la regla de L´Hopital para evaluar los siguientes límites:a.⎛ 1 ⎞ln ⎜1+⎟xlim⎝ ⎠.x→+∞⎛ 1 ⎞ln ⎜1−⎟⎝ x ⎠b.ln xlim ; 0.xn n >→+∞ xc.⎛πx ⎞lim(1 −x) ⋅tan ⎜ ⎟.⎝ 2 ⎠−x→1⎛ a ⎞d. lim ⎜1 + ⎟ .x→+∞⎝x ⎠xU de @ - Educación no presencial160

SoluciónMódulo 18: Formas indeterminadas y la regla de L´Hopitala. Este límite es de la forma 0 .0 Así que⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞1 ⎛ 1 ⎞ln ⎜1+ ⎟ Dxln ⎜1+ ⎟⋅⎜−2 ⎟1 1lim⎝ x⎠ x + x ⎝ x ⎠= lim⎝ ⎠= lim ,x→+∞ ⎛ 1⎞ x→+∞ ⎛ 1⎞ x→+∞1 ⎛ 1 ⎞ln ⎜1− ⎟ Dxln ⎜1− ⎟ ⋅⎜ 2 ⎟⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 1−1x ⎝ x ⎠−xx( −1) x−1= lim =− lim =−1.x→+∞xx ( + 1) x→+∞x+1+∞b. Este límite es de la forma .+∞Aplicando la regla de L´Hopital se tiene que:1ln x1 1 1 1lim limxlim lim 0 0xnxn 1xnxnx = nx = nx = →+∞ →∞−→+∞ n⋅ →+∞ x= n⋅ = (teorema 2,sección 15.2).c. Este límite es de la foma 0 ⋅∞.Para poder aplicar la regla de L´Hopital se debe transformar a la forma 0 0 o ∞.∞⎛πx⎞1−xComo(1 − x) tan ⎜ ⎟=, se tiene que⎝ 2 ⎠ ⎛π⎞cot ⎜ x⎟⎝ 2 ⎠⎛πx⎞1−x0lim(1 − x) tan ⎜ ⎟=lim (indeterminadodela forma ).⎝ 2 ⎠ ⎛πx ⎞0cot ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠−−x→1 x→1Aplicando la regla de L´Hopital, se puede escribir:⎛π⎞ 1−x Dx(1 − x)lim(1 − x) tan ⎜ x⎟= lim = lim ,⎝ 2 ⎠ ⎛π⎞ ⎛π⎞cot ⎜ x⎟ Dxcot ⎜ x⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠− − −x→1 x→1 x→1−1 2= lim = .−x→1π 2 ⎛π ⎞ π− csc ⎜ x⎟2 ⎝ 2 ⎠Escuche el audio Los marqueses tambiénaprenden (y escriben) cálculo en su multimediade Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.Elementos Básicos de Cálculo Diferencial161

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real∞d. Este límite es de la forma 1 .x ⎛ a ⎞a x ln 1+⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ x ⎠Como⎜1+ ⎟ = e , se tieneque⎝ x ⎠x⎛ a ⎞alim x⋅ ln 1+⎛ ⎞⎜ ⎟x→+∞⎝ x ⎠lim ⎜1 + ⎟ = e .(1)x→+∞⎝x ⎠⎛ a ⎞Pero lim x ⋅ ln ⎜1+⎟ es de la forma indeterminada ∞⋅ 0, y para poderx→+∞⎝ x ⎠aplicar la regla de L´Hopital se debe transformar a la forma 0 0 o ∞.∞Así que:⎛ a ⎞ln⎛ a ⎞⎜1+⎟lim x ln 1+x0⎜ ⎟ = lim⎝ ⎠(indeterminado de la forma ),x→+∞⎝ x ⎠ x→∞1 0x⎛ ⎛ a ⎞⎞Dx⎜ln ⎜1+⎟x⎟⎝ ⎠= lim⎝ ⎠= a.x→∞⎛1⎞Dx⎜ ⎟⎝ x ⎠Por tanto, sustituyendo en (1) se obtiene finalmente:x⎛ a ⎞ alim ⎜1 + ⎟ = e .x→+∞⎝x ⎠Ejemplo 18.2Este ejercicio muestra cómo la regla de L´Hopital puede usarse de manera reiterada.⎛ 1 2 ⎞Evalúe el siguiente límite: lim⎜−2 ⎟x→0⎝ 1 − cos x x ⎠ .SoluciónEn primer lugar note que el límite es de la forma indeterminada (∞−∞).Antes de aplicar la regla de L´Hopital se debe llevar a alguna de las formas indeterminadas0 0 o ∞.∞162 U de @ - Educación no presencial

Módulo 18: Formas indeterminadas y la regla de L´Hopital21 2 x + 2cosx−2− =2 21−cos (1 cos )Pero .x x x − xAsí que:21 2 x + 2cosx−2⎛⎞lim⎜− lim .02 ⎟=x→021 cos x x x→⎝ − ⎠ x (1−cos x)Al sustituir x por 0, se observa la indeterminación 0 .0se tiene:Usando la regla de L´Hopital,2x + 2cosx−2 2x−2senx0lim = lim (forma indeterminada ),x→0 202x (1−cos x) x→2 x(1 − cos x) + x sen x02−2cosx0= lim (forma indeterminada ),x→022− 2cosx+ 4xsenx+x cosx02sen x0= lim (forma indeterminada ),x+ x x−x x0x→026sen 6 cos cos2cosx= lim ,x→026cos x + 6cos x−6xsen x− 2xcos x+x sen x2 1= = .12 6Elementos Básicos de Cálculo Diferencial163

U de @ - Educación no presencial164

19Cuadro general de derivadas y solución deejemplosIntroducciónEn este módulo se dará una tabla que recoge todas las fórmulas de derivaciónobtenidas hasta ahora. Estas fórmulas deben ser aprendidas de memoria para poderser aplicadas con soltura. Seguidamente damos una gran cantidad de ejerciciosresueltos, para que el estudiante se dé cuenta de cómo elegir y aplicar las fórmulas.Al finalizar el capítulo se propondrá una colección extensa de ejercicios para que elalumno practique las técnicas de derivación y adquiera habilidad en la ejecución deesta operación.David HilbertDavid Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en un pueblocerca de Königsberg (hoy Kaliningrado), la capital de la Prusiadel Este, Rusia, y murió en Gotinga (Alemania) el 14 defebrero de 1943.No hay que perder de vista que la derivación es el medio para resolver problemas enlos cuales se involucra la derivada. Aprenderse las reglas de derivación y no saberaplicarlas en un problema particular, es semejante a aprender los nombres de lascapitales de cada uno de los departamentos de nuestro país. Esto es lo que PeterHilton llama «la memorización cruda, estragos tradicionales de las matemáticas, enlos cuales la memoria reemplaza totalmente al pensamiento». Por tanto, es importanteadquirir habilidad en la derivación, para poder resolver multitud de problemas deinterés teórico y práctico como los que aparecerán en el próximo capítulo.Objetivos del módulo1. Resumir en un cuadro todas las reglas de derivación vistas hasta el momento.2. Aplicar las reglas básicas de derivación para que el alumno adquiera habilidaden la ejecución de esta técnica y la aplique en la solución de algunos problemasde la física y la ingeniería.3. Evaluar límites al infinito y límites infinitos y establecer su relación con las asíntotasde una curva.Preguntas básicas1. Una de las aplicaciones de las funciones hiperbólicas en el estudio del movimientocon resistencia del medio proporcional al cuadrado de la velocidad está planteadaen el siguiente problema: «Supongamos que un móvil parte del reposo ycae x metros en t segundos. Sea g (constante) la aceleración de la gravedad.Puede probarse que existe una constante V tal que2V gx() t = ln(cosh t)g V».dxa. Halle la velocidad vt () = como función de t.dtElementos Básicos de Cálculo Diferencial165

at ( )Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realb. Pruebe que lim vt ( ) = V.t→∞c. Calcule la aceleracióncomo función de t.⎛vt() ⎞d. Pruebe que at () = g−g⎜ ⎟⎝ V ⎠ .e. ¿Cuál es el límite de la aceleración cuando t →∞?Contenidos del módulo19.1 Cuadro general de derivadas19.2 Solución de ejemplos sobre derivación2U de @ - Educación no presencial166

19.1 Cuadro general de derivadasMódulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplosRegla Función DerivadaRD1y' = f '( x) = 0RD2 y = f( x)= xy' = f '( x) = 1RD3 y = t( x) = f( x) + g( x)y' = t'( x) = f '( x) + g'( x)RD4 y = t( x) = f( x) − g( x)y' = t'( x) = f '( x) −g'( x)RD5 y = t( x) = f( x) ⋅ g( x)y' = t'( x) = f '( x) ⋅ g( x) + f( x) ⋅g'( x)RD61y = t( x)=g( x)y' = t'( x)=−g '( x)[ g( x)] 2y = f( x)= CRD7f( x)y = t( x) = , g( x) ≠0gx ( )y' = t'( x)=f '( x) ⋅g( x) − f( x) ⋅g'( x)[ gx ( )] 2RD8 H = g(u) y u = f(x) H '( x) = ( g o f)'( x) = g'( f( x)) . f′( x)nRD9 y = x , n∈Ry′ = nx −n 1RD10 y = [ f( x) ]nn−[ ] 1y = sen xy′ = cos xy′ = n f( x) ⋅ f '( x)y = cos xy′ =−senx2y = tan xy′ = sec x2y = cot xy′ =−cscxy = sec xy′ = sec x ⋅ tan xy = csc xy′ =−csc x ⋅cotxdy duRD11 y = sen u( x)= cos ux ( ) ⋅dxdxdyduRD12 y = cos u( x)=−sen ux ( ) ⋅dxdxRD13 y = tan u( x)RD14 y = cot u( x)dydxdydx2= sec ux ( ) ⋅dudx2=−csc ux ( ) ⋅dyduRD15 y = sec u( x)= sec ux ( ) ⋅tan ux ( ) ⋅dxdxdyduRD16 y = csc u( x)=−csc ux ( ) ⋅cot ux ( ) ⋅dxdxRD17y−1= sen u( x)2dudxdy 1= ⋅u′( x)dx 1 − ( ux ( ))David HilbertKönigsberg, ciudad donde nació Hilbert, es famosa no sólopor ser la ciudad natal de Immanuel Kant sino tambiénpor el problema relativo a sus siete puentes, que consistíaen saber si una persona podría cruzarlos todos de solavez, sin repetir el paso por ninguno de ellos. Esteproblema fue abordado por Euler, quien demostró queno era posible. Estudió en la universidad de Königsbergy en la de Berlín, donde asistió a las clases de KartWeierstrass y Leopold Kronecker. Fue amigo del matemáticoruso Hermann Minkowski desde su juventud hasta lamuerte de éste. Ejerció como profesor de la Universidadde Gotinga (Göttingen) desde 1895 hasta 1930, edad en laque se jubiló.Hilbert trabajó sobre los invariantes algebraicos, geometría(su libro Los fundamentos de la Geometría es un clásico)y ecuaciones integrales. También se dedicó a la Física(decía que la Física es demasiado difícil para los físicos)y su libro Los métodos de la Física matemática (con lacoautoría de Richard Courant y conocido como el Courant-Hilbert) se sigue imprimiendo en la actualidad. Tambiéntrabajó en los fundamentos de las matemáticas y en lalógica matemática. El epitafio de Hilbert es: «Wir müssenwissen, wir werden wissen» («Debemos saber, de modoque sabremos»).Elementos Básicos de Cálculo Diferencial167

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realRD18−1y = cos u( x)dy −1= ⋅u′( x)dx21 − ( ux ( ))168 U de @ - Educación no presencial RD19−1y = tan u( x)dy 1= ⋅u′( x)2dx 1 + ( u( x))dy −1−1RD20 y = cot u( x)u′Vea el módulo 19 del programa de televisión= ⋅ ( x)2dx 1 + ( u( x))Elementos Básicos de Cálculo Diferencial.RD21−1y = sec u( x)dy 1= ⋅u′( x)dx 2ux ( ) ( ux ( )) −1RD22−1y = csc u( x)dy −1= ⋅u′( x)dx 2ux ( ) ( ux ( )) −1xy = exy′ = eRD23u( x)y = edy u( x)= e ⋅u′( x)dxxy = axy′ = a ⋅lnaRD24u( x)y = ady u( x)= a ⋅u′( x) ⋅lnadxy = log ax1y′ =x ⋅ ln aRD25dy u′( x)y = logau( x)=dx u( x) ⋅lnay = ln x1y′ =xRD26 y = ln u( x)dy u′( x)=dx u( x)y = [ f( x) ] g[ ( )] ( x ) ⎡gxy f x g ( x) ln f( x) ( ) ⎤′ = ⎢ ′ ⋅ + f′( x)f( x)⎥⎣⎦RD27 y = senh u( x)dydu= cosh ux ( ) ⋅dxdxRD28 y = cosh u( x)dydu= senh ux ( ) ⋅dxdxRD29 y = tanh u( x)dy2 du= sech ux ( ) ⋅dxdxRD30 y = coth u( x)dy2 du=−csch ux ( ) ⋅dxdxRD31 y = sech u( x)dydu=−sech ux ( ) ⋅tanh ux ( ) ⋅dxdx

Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplosRD32 y = csch u( x)dydu=−csch ux ( ) ⋅coth ux ( ) ⋅dxdxHilbert y el teorema de Fermat19.2 Solución de ejemplos sobre derivaciónEjemplo 19.1Use la definición de la derivada de una función para calcular y'o f '( x)siy = f( x)= x y evaluarla en x1= 2.En los primeros tiempos de la aviación invitaron almatemático alemán David Hilbert (1862-1943) a dar unaconferencia sobre el tema que él quisiera. La conferenciacreó una gran expectación ya que el tema elegido fue «Laprueba del último teorema de Fermat». Llegó el día y Hilbertdio la conferencia. La exposición fue muy brillante pero notuvo nada que ver con el último teorema de Fermat. Cuandole preguntaron el porqué del título, contestó: «Oh, el títuloera solamente para el caso de que el avión se estrellara».SoluciónDe acuerdo a la definición de la sección 9.2, se tiene que:f ( x+ h) − f( x)f′ ( x) = lim ,h→0hx+ h−xlimh →0= (indeterminado de la forma 0 h0 ),h→0( x + h− x)( x+ h+x)h( x+ 4 + x)= lim ,2 2( x+ h) − ( x)x+ h−xh→h( x+ h + x) h( x+ h + x)= lim = lim ,h→0 01 1= lim = .+ + 2h→0x h x xEn particular,1f ′(2) = .2 2Obsérvese quey ' no existe en x1= 0 y, por tanto, aunque el dominio de y = x es[ 0, +∞ ),el dominio de su derivada es ( +∞)Ejemplo 19.20, .Sea f una función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal quef ( x+ y) = f( x) ⋅ f( x)para todo x e y. Además, f (0) = 1 y f ′(0)existe. Pruebe quef ′( x)existe para todo x, y también f ′( x) = f′(0) ⋅ f( x).Elementos Básicos de Cálculo Diferencial169

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realSoluciónDe acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f :f ( x+ h) − f( x)f′ ( x) = lim ,h→0hf ( x) ⋅ f( h) − f( x)= limh(hipótesis),→0hf( x) [ f( h) −1]= limh(factor común),→0hf( h) −1f′ ( x) = f( x) ⋅ lim .(1)h→0hf(0 + h) − f(0) f( h) − f(0)Ahora, f ′(0) = lim = lim , y como por hipótesish→0 hh→0hf (0) = 1, se tiene quef( h) −1f ′(0) = lim .(2)h→0hf( h) −1De la igualdad (2) y la hipótesis, se deduce también que limh →0existe.hSustituyendo (2) en (1) se concluye que f′ ( x) = f( x) ⋅ f′(0), y además que f ′( x)existe.Ejemplo 19.3Sea f la función definida por:2⎧ x si x < 1f( x)= ⎨⎩ax + b si x ≥1Determine el valor de las constantes a y b para que f '(1) exista.SoluciónEn primer lugar, si f '(1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo alteorema 1 (sección 10.1) f es continua en x = 1, o equivalentemente,lim f ( x) = lim f( x) = f(1).+ −x→1 x→12Esto es, lim( ax + b) = lim x ,+ −x→1 x→1o a + b = 1. (1)170 U de @ - Educación no presencial

Ahora, decir que f '(1) existe equivale a afirmar que f +′(1)y f −′(1)(las derivadaslaterales) existen y son iguales.Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplosPerof ( x) − f(1) ( ax+ b) − ( a+b)f ′+(1) = lim = lim+ +x→1 x−1 x→1x−1(¿por qué?),ax −a a( x −1)= lim = lim = a.+ +x→1 x−1 x→1x−1Así que f ′ (1) = +a.(2)Igualmente,f( x) − f(1)f ′−(1) = lim ,−x→1x −1f ′(1) = lim−−x→12x − a+b( )x −1(¿por qué?). (3)Sustituyendo (1) en (3) se tiene que2x −1f′ −(1) = lim = lim( x+ 1) = 2.−−x→1 x −1x→1Es decir, f −′(1) = 2.(4)Puesto que las derivadas laterales son iguales de (2) y (4) se concluye que a = 2 yen consecuencia b =−1.Con los valores de a y b así encontrados, la función f puede escribirse como:2⎧ x x

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real⎛ 1−x ⎞ − 1(2x+ 5) −(1 −x) ⋅2Pero Dx⎜ ⎟ =2⎝2x+ 5⎠(2x+ 5)(RD7),−7= .22x+ 5)2 21−x⎛ −7 ⎞ −21(1 −x)Por tanto, f′ ⎛ ⎞( x) = 3 ⎜ ⎟ ⎜.2 ⎟=4⎝2x+ 5 ⎠ ⎝(2x+ 5) ⎠ (2x+5)b. Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g(t) conexponentes racionales, así:13 2 14gt () = t ⋅ ( t + 4t+1) .1 −23 2 14 13 1 2 −34Entonces g′ ( t) = t ⋅ ( t + 4t+ 1) + t ⋅ ( t + 4t+ 1) ⋅ (2t+4).3 4(se usaron las reglas RD5 y RD8),2 1 4 1 3( t + 4t+ 1) t (2t+4)g′ () t = +,23 2 343t 4( t + 4t+1)2 210t + 28t+ 4 5t + 14t+2= =.23 2 3412 t ( t + 4t+ 1)3 2 4 2 36 t ⋅ ( t + 4t+1)2 2 3c. h′ ( x) = Dx( (2 −x ) ⋅ cos x ) + Dx(2x⋅sen x ).2 2 2 2 2Pero Dx((2 −x ) ⋅ cos x ) = −2x⋅ cos x + (2 −x ) ⋅( −sen x ) ⋅2 x,2 2 2=−2x ⋅cosx −2 x(2 −x ) ⋅sen x .3 3 3 2Dx(2x⋅ sen x ) = 2⋅ sen x + 2 x⋅(cos x ) ⋅3 x ,3 3 3= 2sen x + 6x cos x .2 2 2 3 3 3Por tanto, h′ ( x) =−2xcos x −2 x(2 − x )sen x + 2sen x + 6x cos x .d. En primer lugar, note que ts () = ⎡tan( s 2 3 s) ⎤4⎣+⎦.dt3 dAsí que t′ ( s) = = 4 ⎡tan ( s 2 3s) ⎤ ( tan ( s 2 3 s)).ds ⎣+⎦⋅ +dsdPero ( tan ( s 2 + 3s)) = ⎡sec 2 ( s 2 3s) ⎤ ( 2s3 ),ds⎣+⎦⋅ +172 U de @ - Educación no presencial

3 2 2 2En consecuencia, ( ) ⎡ ( )t′ ( s) = 4 tan s + 3s ⋅ sec s 3 s ⎤⎣+⎦⋅ (2s+3),= + ⋅ + ⋅ +3 2 24(2s 3) tan ( s 3 s) sec (2s 3 s),Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos=3 24(2s + 3) ⋅ sen ( s + 3 s) 5 2 .cos ( s + 3 s)Ejemplo 19.5De dos funciones f y g se sabe que:f(3) = 2; f′ (3) = 4; g(5) = 3; y g′(5) = 7.¿En qué valor de x es posible calcular ( f g)( ′ x)? ¿A qué es igual?¿En qué valor de x es posible calcular ( g f)( ′ x)? ¿A qué es igual?SoluciónLa regla de la cadena (RD8) establece que ( ( ))( f g)( ′ x) = f′ g x ⋅g′( x).Existen, de acuerdo a la información inicial, sólo dos valores de x para evaluar, estoes, x = 3 y x = 5.Si x = 3, ( ( ))( f g) ′(3) = f′ g 3 ⋅g′(3), pero no tenemos información acercade los valores g (3) ni g '(3). Así que no es posible calcular ( f g)( ′ x)enx = 3.Si x = 5, ( ( ))( f g) ′(5) = f′ g 5 ⋅g′(5).Pero g (5) = 3 y g′ (5) = 7. Por tanto, ( f g) ′(5) = f′(3) ⋅ 7 = 4⋅ 7 = 28.Se puede verificar, y se deja como ejercicio, que la información dada es insuficientepara calcular ( g f )(3) ′ y ( g f )′(5).(¡Verifique!).Ejemplo 19.6Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula23x+ yy = ,3x + ydyhalle o y '.dxSoluciónLa ecuación3x + yy =3x + y2puede escribirse en las formas equivalentesElementos Básicos de Cálculo Diferencial173

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real4 2 4 2xy + y = 3x + y ↔ xy + y −3x − y = 0,(1)174 U de @ - Educación no presencial 3siempre que x+ y ≠0Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene:31⋅ y+ xy′ + 4y ⋅y′ −3− 2yy′= 0,3xy′ + 4y y′ − 2yy′= 3 − y,3 − y3y′ ( x+ 4y − 2 y) = 3 − y,de donde y′ = .3x + 4y − 2yEjemplo 19.7Suponga que y(x) es una función diferenciable de la variable x, y además las variablesx e y están ligadas por la fórmula3 4xy+ y = 2.(1)Suponga que y(1) = 1. Halle y′′ (1) siguiendo estos pasos:a.3 2 3Demuestre que xy′ + 3xy+ 4yy′= 0.b. Use la parte a para calcular y '(1).c. Derive la ecuación obtenida en a para demostrar que3 2 3 2 2xy′′ + 6xy′ + 6xy+ 4yy′′ + 12 y( y′) = 0.d. Use la ecuación obtenida en c para calcular y′′ (1) (nota: se conocen y (1) y y´ (1)).Solucióna. Derivando implícitamente en (1) se obtiene:2 3 33xy+ xy′ + 4yy′= 0.(2)b. Teniendo en cuenta que y(x): y depende de x, se puede escribir (2) así:2 3 33 x ⋅ y( x) + x y′ ( x) + 4 y( x) ⋅ y′( x) = 0.Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene que2 3 33 ⋅1 ⋅ y(1) + 1 y′ (1) + 4 y(1) ⋅ y′(1) = 0.3Esto es, 3 y(1) + y′ (1) + 4 y(1) ⋅ y′(1) = 0,−3 y(1) −3⋅1 3de donde y′ (1) = = =− .31+4 y(1)1+ 4⋅1 5

c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene:Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos′ ′ ′′ ′ ′ ′′2 2 3 2 36xy+ 3x y + 3x y + x y + 12y ⋅y ⋅ y + 4y y = 0,+ ′ + ′′ + ′′ + ⋅ ′ = (3)2 3 3 2 26xy 6x y x y 4y y 12 y ( y ) 0.d. Como y depende de x (es decir, y(x)), se puede escribir (3) así:′ ′′ ′′ ′2 3 3 2 26 xy( x) + 6 x y ( x) + x y ( x) + 4 y( x) y ( x) + 12 y( x) ⋅ ( y ( x)) = 0.Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene que′ ′′ ′′ ′2 3 3 2 26 ⋅1 ⋅ y(1) + 6 ⋅ 1 y (1) + 1 y (1) + 4 y(1) ⋅ y (1) + 12 y(1) ⋅ ( y (1)) = 0.Pero y (1) = 1 y3y′ (1) =− (parte b).5Por tanto,3 36+ 6 ⎛ ⎜− ⎞ ⎟+ y′′ (1) + 4 y′′(1) + 12 ⎛ ⎜− ⎞⎟ = 0.⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠2Esto es,18 108 1685 y′′ (1) = − − 6 =− ,5 25 25de donde168y′′ (1) =− .125Ejemplo 19.8Una valla rectangular de 6 m de alta se coloca verticalmente en la parte superior deun edificio, con su base inferior a una altura de 20 m. Si un observador está a unadistancia x del pie del edificio, ¿cuál es la función en términos de la variable x, queexpresa el ángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a lasbases superior e inferior de la valla?SoluciónLa figura 19.1ilustra la situación planteada en el problema.Figura 19.1Elementos Básicos de Cálculo Diferencial175

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realSea x: la distancia del observador al edificio.θ : ángulo subtendidoDe la figura se deduce que θ = α−β.26−1 26Pero tan α = , de donde α = tan .xx20−1 20También, tan β = , de donde β = tan .xxEn consecuencia, θ( x) = α( x) −β( x).−1 26 −120θ ( x) = tan − tan es la función en términos de la variable x que expresa elx xángulo subtendido por las rectas que van del ojo del observador a las bases superiore inferior de la valla. Puede demostrarse fácilmente, usando derivación, que esteángulo es máximo cuando el observador se sitúa a una distancia x = 2 130 m de labase inferior del edificio.Ejemplo 19.9Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:a. gt () = 4tan t, t≥0.b. xye ⋅ cos y = x⋅e.c. ( tan ) 2cos xy=x .d.−1 22 −1y = f( x) = x⎡⎣sen x⎤⎦ − 2x+ 2 1−x ⋅sen x.Solucióna. Si llamamos ut () =1t,entonces u′ () t = , t > 0.2 tPor la regla de la cadena, se tiene que2 2 1 2 2g′ () t = 4( sec u() t ) ⋅ u′() t = 4( sec t)⋅ = sec2 t tt.b. Derivando implícitamente con respecto a x en ambos lados de la ecuación, setiene quexyDx( e ⋅ cos y) = Dx( x⋅ e ).(1)

x x xPero D ( e ⋅ y) = ( D e ) ⋅ y+ e ⋅D ( y)cos cos cos ,x x xMódulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplosxx= e ⋅cos y−e ⋅sen y⋅ D ( y).(2)xIgualmente, D ( x⋅ e y ) = e y ⋅ D ( x) + x⋅D ( ey ),x x xSustituyendo (2) y (3) en (1), se tiene quey y= e + x⋅e ⋅ D ( y).(3)xx x y ye ⋅cosy−e ⋅sen y⋅ D ( y) = e + x⋅e ⋅D ( y),xxye cos y−ede donde Dx ( y)=.x ye sen y+xec. Tomando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad, obtenemosln y = 2cos x⋅ln (tan x).Derivando en ambos lados de la última igualdad con respecto a x se tiene quex1Dyx= Dx(2cos x) ⋅ ln (tan x) + 2cos x⋅Dx(ln (tan x)),yde donde,⎛1 ⎞Dxy = y⎜− x ⋅ x + x⋅ ⋅ x⎟⎝tan x ⎠2( 2sen ) ln (tan ) 2cos sec ,( )= y ( −2sen x) ⋅ ln (tan x) + 2csc x ,( )=− ⋅ −2cosx2(tan x) sen x ln (tan x) csc x .−d. ( )1 2− 1 2′ ′ ⎡⎣⎤⎦⎡⎣⎤⎦−x( − ) ⋅ + − ⋅y = f ( x) = D ( x) sen x + xD sen x − 2 D ( x)+x x x2 1 2 −12D 1 x sen x 2 1 x Dx(sen x).−1 2 1−1= 1⋅ ⎡⎣sen x⎤ ⎦ + x⋅2⋅ ⎡sen 2 12 ⎣ x⎤⎦− ⋅ +1−x11 −2 2 −1 2 12 ⋅ ( −2 x)(1 −x ) ⋅ sen x+ 2 1 −x⋅ .2 21−x−1 −1−1 2 2x sen x 2x sen x−12= ⎡⎣sen x⎤ ⎦ + −2 − + 2 = ⎡sen x⎤.2 2 ⎣ ⎦1−x1−xElementos Básicos de Cálculo Diferencial177

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realEjemplo 19.10Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:24a. ( ) 5 xf x = ⋅3 .b.xy 3 2e − x + 3y= 11.Solución2 2x 4x 4x xa. f′ ( x) = 5 ⋅ Dx(3 ) + 3 ⋅Dx(5 ).2 2 24x 4x 2 4xPero Dx(3 ) = 3 ⋅Dx(4 x ) ⋅ ln 3 = (8xln 3)3 .De otro lado, D (5 ) 5 ln 5 (ln 5)5 x= ⋅ = .2 2x 4x 4x xDe esta forma, f′ ( x) = 5 (8x⋅ ln 3)3 + 3 ⋅ln 5(5 ).2x 4x= 53 [8 x·ln3+ln5].b. Derivando implícitamente con respecto a x en ambos lados de la ecuación, setiene quexy 3 2Dx( e − x + 3 y ) = Dx(11).(1)xy 3 2 xy2Pero Dx( e − x + 3 y ) = e Dx( xy) − 3x + 6 y⋅Dx( y),xy2= e ( xy′ + y) − 3x + 6 yy′.(2)Igualmente, Dx(11) = 0.(3)Sustituyendo (2) y (3) en (1) se tiene quexy2e ( xy′ + y) − 3x + 6yy′= 0.Al destruir el paréntesis y sacar factor común y′ , se obtiene finalmente2 xy3x− yey′ = .xyxe + 6yEjemplo 19.11−1 Demuestre que cosh x = ln ( x+ 2x − 1), siendo x ≥ 1.Solución−1Sea y = cosh x.−1De acuerdo a la definición de cosh x se tiene que

Peroy = x ⇔ x = y y ≥x y yigualdad que permite escribirse en la forma de la ecuación reducible a cuadrática( ) 2 ( ) 1 0.Al resolver esta ecuación por la fórmula cuadrática se obtiene para e y :e x x yEn primer lugar, comoAdemás, si x > 1⇒ 0< x− 1< x+ 1, y en consecuenciaEquivalentemente,2lim mv→ y explique por qué m se llama masa en reposo. 0Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplos−1cosh cosh , 0.= coshy − y 2 ye + e e + 1= = ,y2 2e≥0,ye2−yx e + =2y 2x± 4x−42= = ± −1, con2≥ 0.(1)y ≥0, y 0x ≥1 ⇒ e ≥ e = 1.x− 1< x+ 1⇒ x−1 x− 1< x− 1 x+1.2x− 1< x − 1, y de esta forma x− x − 1 entonces x− 2x − 1< 1, y en consecuencia podemos des-y= +2−1⇒ ln(y) = ln( +2−1) ⇔ = ln( +2−1),−1y = cosh x,se tiene finalmente que−1 x= x+ 2x −m =m0,2 21−v cdonde c es la velocidad de la luzAsí que, cuando 1,cartar el signo ( − ) de la igualdad en (1), y podemos escribir:y comoe x x e x x y x xcosh ln ( 1).De la misma forma pueden deducirse las otras fórmulas que expresan las funcioneshiperbólicas inversas en términos de logaritmos y que aparecen en la tabla 14.2.Ejemplo 19.12Según la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de un objeto que viaja avelocidad v viene dada por(300.000 km/s).a. Calcule0Elementos Básicos de Cálculo Diferencial179

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realb. Calcule lim m− y discuta sus implicaciones (en otras palabras, ¿qué le ocurrev→ ca la masa de un objeto si éste viaja en una nave espacial a una velocidadpróxima a la de la luz?).Soluciónm0 m0⋅c m0⋅ca. lim m=lim = lim = = m0.v→0 v→0 2 2 v→02 21−v c c −vcm0 m0⋅c → m0cb. lim m = lim = lim →+∞.− −v c v c 2 2 −v c 2 2 +→ → →1−v c c −v→ 0Ejemplo 19.13Una de las aplicaciones de las funciones hiperbólicas en el estudio del movimientocon resistencia del medio proporcional al cuadrado de la velocidad, estáplanteada en el siguiente problema:Supongamos que un móvil parte del reposo y cae x metros en t segundos. Sea g(constante) la aceleración de la gravedad. Puede probarse que existe una constante2V gV tal que x() t = ln(cosh t).g Vdxa. Halle la velocidad vt () = como función de t.dtb. Pruebe que lim vt ( ) = V.t→∞dvc. Calcule la aceleración at () = como función de t.dt2⎛vt() ⎞d. Pruebe que at () = g−g⎜ ⎟ .⎝ V ⎠e. ¿Cuál es el límite de la aceleración cuando t →∞?Solución2V ⎛ ⎛ g ⎞⎞a. vt () = x′() t = Dt⎜ln⎜cosh t⎟⎟,g ⎝ ⎝ V ⎠⎠2V 1 ⎛ g ⎞= Dtcosh t ,g ⎜ ⎟gcosh t ⎝ V ⎠V2V 1 ⎛ g ⎞ ⎛ g ⎞= sen h t Dtt ,g ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟gcosh t ⎝ V ⎠ ⎝V⎠V180 U de @ - Educación no presencial

Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplosgsenh tgvt () = VV= V⋅tanh t.gcosh tVVb.g g gsenh t t − tV Vlim ( ) limV e − evt = V = Vlim (sección 14.3),t→∞ t→∞ tg gg →∞ t − tcosh t V Ve + eVe= V limt→∞eg2 tVg2 tV−1+ 1(el límite es indeterminado de la forma ∞ ∞ ).Aplicando la regla de L´Hopital, se tiene entonces queg2 tV2ge ⋅lim vt ( ) = Vlim V= V.t→∞t→∞g2 t 2gVe ⋅Vc.dv ⎛ g ⎞ ⎛ g ⎞ g gat D⎜V t⎟ V ⎜ h t⎟g hdt ⎝ V ⎠ ⎝ V ⎠ V V2 2() = =t⋅ tanh = ⋅ sec ⋅ = ⋅sec ,⎛ g ⎞= g⎜− t⎟j⎝ V ⎠21 tanh (teorema 4 , sección 14.3).d. Ahora, de la parte a se tiene quegV(()) vtV22tanh t = .2Así que22vt () ⎛vt() ⎞= − = −2 ⎜ ⎟at () g(1 ) g g .V ⎝ V ⎠e.atggV2lim ( ) = lim ⋅ sech = lim = 0,t→∞ t→∞ t→∞2 gcoshgtVpuesto queEjemplo 19.142coshg tV →∞ cuando t →∞.Supóngase que lim f ( x) =∞= lim g( x)yx→∞x→∞f( x)lim = 3.x→∞gx ( )ln f ( x)¿Qué puede afirmarse del límite limx ln g ( x )→∞?Elementos Básicos de Cálculo Diferencial181

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realAnalice sus respuestas.Soluciónf ( x)Escribiendo a f(x) en la forma f( x) = g( x) ⋅ ,g( x)se tiene entonces⎛ f ( x) ⎞f( x)ln f( x) = ln ⎜gx ( ) ⋅ ⎟ = ln gx ( ) + ln .⎝ g( x) ⎠g( x)Así quef ( x) ⎛ f( x)⎞ln gx ( ) + ln lnln f( x) g( x) ⎜g( x)⎟lim = lim = lim ⎜1 + ⎟.x→∞ ln g( x) x→∞ ln g( x) x→∞ln g( x)⎜ ⎟⎝ ⎠Pero comof( x) ⎛ f( x)⎞lim = 3 ⇒ ln ⎜lim ⎟ = ln 3, se sigue entonces quex→∞gx ( ) x→∞⎝ gx ( ) ⎠⎛ f( x)⎞lim ⎜ln ⎟ = ln 3 (teorema 2 del módulo 7),x→∞⎝ gx ( ) ⎠y, de esta forma,f( x)lngx ( )lim = 0 (ya que lim gx ( ) =∞).x→∞x→∞ln gx ( )Por tanto,⎛ f( x)⎞lnln f( x) ⎜gx ( )⎟lim = lim ⎜1+ ⎟= 1+ 0 = 1.x→∞ln gx ( ) x→∞ln gx ( )⎜ ⎟⎝ ⎠Ejemplo 19.15En R P Feynman, Lectures on physics (Addison-Wesley, Reading, Mass.), apareceesta observación: «Aquí está la respuesta cualitativa de qué es lo correcto en vez dehwkT. Esta expresión, ,hw/ kT debe tender a kT cuando w → 0». ¿Puede usted probare −1que en efecto esto se cumple?182 U de @ - Educación no presencial

SoluciónMódulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemploshwlimEn efecto, w→0hwkTe −1es indeterminado de la forma 0 .0Aplicando la regla de L ´Hopital , se tiene quelim hw lim h lim kT kT= = = = kT .w→0 hw 0hw 0h 0w →h w → w ekT kT kTe −1e ekTEjemplo 19.16Evalúe los siguientes límites:a.2x + 4lim .x→−∞x + 2b.2x + 4lim .x→+∞x + 2Solución∞a. El límite es indeterminado de la forma .∞Para eliminar la indeterminación, se dividen el numerador y el denominadorpor x, así:2x + 42x + 4lim = limx.x→−∞x + 2 x→−∞21+xComo x →−∞, x < 0 y se puede escribir 2x =− x en el numerador. Luego,2x + 4 2x + 42 −2 2x + 4lim = lim− x= limx,x→−∞ x + 2 x→−∞ 2 x→−∞21+ 1+xx4− 1+21 0limx − += = =−1.x→−∞21+1+0xb.∞Este límite también es indeterminado de la forma .∞Para eliminar la indeterminación, se dividen el numerador y el denominadornuevamente por x, y como x →+∞, se puede escribir x =2x en el numerador,así:Elementos Básicos de Cálculo Diferencial183

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable real222x + 4 x + 4 x + 42 2 2x + 4lim = limx = limx = limx,x→+∞ x + 2 x→+∞ 2 x→+∞ 2 x→+∞21+ 1+ 1+x x x41+21 0limx += = = 1.x→+∞21+1+0xEjemplo 19.17Evalúe el siguiente límite:lim ( 4x )2 + 2x+ 1 −2 x .x→+∞SoluciónEl límite es indeterminado de la forma ∞−∞.Para eliminar la indeterminación se multiplica y se divide la expresión inicial por24x + 2x+ 1+ 2 x,y luego se dividen el numerador y el denominador por x.Esto es,( 4x )( )( )2 + 2x+ 1− 2x 4x 2 + 2x+ 1+2x2lim 4x + 2x+ 1 − 2x= lim ,x→+∞x→+∞24x + 2x+ 1+2x2x+ 1= lim ,x→+∞2( 4x + 2x+ 1+2x)12 += limx.x→+∞24x+ 2x+ 1 + 2xAhora, como x > 0, se puede escribir 2x = x en el denominador de la última fracción.De esta manera,12 +21lim ( 4x + 2x+ 1 − 2x)= limx= .x→+∞x→+∞24x+ 2x+ 1 22 + 2x184 U de @ - Educación no presencial

Ejemplo 19.18Módulo 19: Cuadro general de derivadas y solución de ejemplosEvalúe los siguientes límites:a.24x−1lim .x→+∞2x + 1b.24x−1lim .x→−∞2x + 1Solucióna. Al dividir numerador y denominador por x 2 (mayor potencia de x), se obtiene:4x1 122 − 4 −4x − 12 2 22 =x xx2 =x→+∞ x + 1 x→+∞ x 1 x→+∞1+ 1+2 22lim lim lim ,x4−0= = 4.1+0b. Nótese que como la funciónxf( x)=x −x + 14212xes una función par (sección 3.3del apéndice III), o sea f (x) = f ( − x), esto significa entonces que el comportamientode f para valores grandes de x positivos y para valores grandesde x negativos es el mismo. Así que,2 24x−1 4x−1lim = lim = 4.x→−∞2 2x + 1 x→+∞x + 1Elementos Básicos de Cálculo Diferencial185

Ejercicios del capítulo 3 (módulos 9 al 19)Ejercicios propuestos1. Use la definición de la derivada para calcular la derivada de las siguientes funciones:a. f () x = x.b.g t2() = t .c.h( x)1= y evalúela enx1 .22x =− d. ( ) 3tx ( ) = x + x+1 .2. Sea⎧x−4 si − 1< x≤2f( x)= ⎨ 2⎩x− 6 si 2< x≤53. SeaHalle las derivadas laterales de f (x) en x = 2 y determine si f ´(2) existe.2⎧ xx

Ejercicios de los módulos 9 al 197. Usando las reglas de derivación, calcule la derivada de las siguientes funciones:2a. hx ( ) = x + 3x−1b.3 52 85 3gx ( ) x 4x 2x= − + + c. g() t = ( t 2 + t) ⋅( 3−2t)5x+ 2xd. tx ( ) =3x + 122te. mt () =3t + 2t−4−4⎛ z + 3 ⎞= + − ⎜ 2 ⎟⎝ 5 − z ⎠2f. gz ( ) ( z 2z1)5ny ( ) =3 y + 4y−2g. wx ( ) = ( x 5 − 2x+ 1) 3h. st () = ( 3t 4 − 5t 3 + t−1) 5i. 2( ) 4j.f()t =2t+ 53 − tf( x) = x⋅ x + 4x+ 4.l. y = 3sen x−5cosx4 2k.3ll. y = sen 3x⋅cos3xm.y2= 3sen 5xn.tan xy =sen x − cos xo.y = x 2 sen xp.2= + rr. g( t) = cos ( cos( cost))r. f () t sen 4 ( t 4 3t)2x + 1y = q. y = x xsen x+cos xxsenx8. Suponiendo que cada una de las siguientes ecuaciones define una función derivable y = f (x), encuentre y´ o dydxusando derivación implícita.2 2a. 4x+ 9y= 36b.xy2− x + 16 = 0c.3 2x x y xy− 3 + 19 = 03 2d. xy + 3y = 10xe. 6x − 2xy + xy = yf.2y1 y3x − =32g.xy x x2+ sen = h.2cos ( ) 2xy = y + xi.3x + yy =3x + y2x+yj. xy + − 5=0x9. Halle y′ (1) y y′′ (1) si y (1) = 0, y además3sen y = x−x.10. Halle y′ (1) si y(1) = 1, y además⎛π4 xy ⎞⎜ ⎟ + y + x =⎝ ⎠3tan 3.11. Use la definición de límites al infinito para hallar el número positvo B, conociendo f ( x ), L y ∈en los siguientescasos:a.3x+ 1f( x)=x + 2; L = 3; ∈= 0.005Elementos Básicos de Cálculo Diferencial187

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realb.f( x)1= ; L = 0 ; ∈= 0.02xc.1−4xf( x)=x +222 5; L = −2; ∈= 0.001d.f( x)=2x + 4x + 4; L = 1; ∈= 0.0112. Evalúe cada uno de los siguientes límites al infinito:a.3 2lim 8x − 7x + 5x−10x →+∞ 2 3 5 2x − x + 8b.23x+ 4limx→+∞1 + 2 x24x+ 2c.xlim→+∞ 33x − 5 x+8d.limx→+∞8x+ 5x+ 1x + 33 6 238e. lim − xx→−∞2 + xg. lim ( 2x − 4x )2 −5xx→−∞f.limx→+∞24x− x2x + 913. En cada uno de los ejercicios siguientes evalúe los límites infinitos y trace el comportamiento de la curva cerca delpunto.2 + x −xa. limx→1( 1)2x −2b.3x+ 5limx − 3+x→3c.lim−x→−222x+ 1x + 2d.2xlim2x −1+x→12x + 1e. limx→22x −x−22x + 1f. limx→−12x −x−214. Use la regla de L’Hopital para evaluar los siguientes límites:ye + sen y−1a. limy→0ln ( y + 1)b.⎛ 1 ⎞ln ⎜1+⎟xlim⎝ ⎠x→+∞⎛ 1 ⎞ln ⎜1−⎟⎝ x ⎠c.ln ( x)limx→∞x n; n > 0d.⎛π⎞− ⎜ x⎟⎝ ⎠lim(1 x) tan−x→12⎛ a ⎞e. lim 1+ ⎜ + ⎟x→∞⎝ x ⎠x⎡ x 1 ⎤f. lim+⎢ − ⎥x→1⎣x−1 lnx⎦g. lim x · ln x+h. lim(secθ− tan θ )i.2lim(cos x)x→0πθ →2πx→2π−xU de @ - Educación no presencial188

Ejercicios de los módulos 9 al 19sen x − sen aj. limx→ax−ak.ksen x − xxlim (1 + ax); a, k constantes l. lim2x→0x→0(x 1)2e −2 2m. lim (tan x)+x→0tan 2xαxβxe − en. lim ,x→0senαx−sen βxα ≠ β15. Supongamos que lim f( x) = 1 y lim gx ( ) = 1. ¿Cuál de los límites siguientes puede calcularse sin más información?x→0x→0Dé sus valores. ¿Cuáles no? Dé ejemplos que demuestren que tales límites no están determinados.a. lim f ( x) g( x)x→0⋅ b. lim [ f ( x) g( x)]x→0+ f ( x)c. limx→0g ( x )f( x) −1d. limx→0g ( x )−g. lim (1 − f( x)) g xx→01 ( )f( x) −1e. limx→0gx ( ) − 1f. lim (1 − f( x)) g xx→0( )16. El siguiente ejercicio es tomado completamente del texto Cálculo de una variable, de Claudio Pita Ruiz (PrenticeHall, 1998).¡Descifre el mensaje!El objetivo de este último ejercicio del capítulo es asegurarnos de que estamos ya familiarizados con las fórmulas dederivación que fueron estudiadas aquí. Se pide que se conteste una pregunta que está en clave secreta. Las reglas del juegoson las siguientes: a continuación se muestran unos espacios con números que deberán ser cambiados por letras. Estosnúmeros corresponden a la numeración de cada uno de 26 ejercicios que se deberán resolver, las respuestas de los cualestienen otra numeración (por ejemplo, la respuesta correcta del ejercicio 1 es la 5). Se deben cambiar entonces todos losnúmeros que vienen en la pregunta por los de sus respuestas correctas. Una vez hecho esto, simplemente se cambian losnúmeros por las letras del alfabeto que les corresponden, según el orden estándar: A = 1, B = 2,..., Z = 26. Así, se descubrirála pregunta secreta que se está haciendo. Ojalá y la respuesta sea SI.El mensaje es:¿(24)(3)(3)(21)(13)(1)(18)(10)(17)(12)(22)(1)(4)(17)(1)(18)(5)(3)(12)(8)(26)(13)(6)(14)(5)(3)(12)(10)(1)(10)(1)(13)(17)(23)(3)(2)(17)(26)(18)(10)(1)(1)(12)(22)(1)(2)(3)(21)(17)(22)(14)(5)(26)?Elementos Básicos de Cálculo Diferencial189

Capítulo 3: Derivación de funciones de variable realPreguntas: las funciones son f ( x ) =1.sen x1+cosx14. x2 ln x2. x cos x 15.2sen xsecx3. x sen x 16.4 4xx e4. x + sen x17. ( x + 2 x)5.2 2sen3 4x + cos x18. x − tan x6. sen x cos x 19.7. x senh xcoshx 20.cos xcosh x(sen x + senh x)8.2x + 3x+ 121. sen x + tan x9. x 3 senh x 22. x sen xcosx10.1−xx223.x(1 + x)xe2 211. x (1 + x)24. 21+ xln x12. sec x tan x 25. 4x3213.xe ln x 26.2x + 3xRespuestas: las derivadas de las funciones anteriores son f ´(x) =1. xcos x+ sen x14.2. 1+ cosx15.2− tan x32x+23.cos xx sen x2 x − 216. cos x + sec x4.2−x − −117. 2 x (1 + x) + 2 x(1 + x)5.(1 cos )1+ x −18.−112x −2 2x xx e + e ln x6. 2x + 319.3 2sec x + sec xtanx7.3 28.x cosh x+ 3x senh x20. sen x cos x+xcos 2x2 2senh x cosh x x(senh x cosh x)+ + 21. x + 2xlnx2 3 39. 4(3x + 2)( x + 2 x)22. 3 x(1 + x) + (1 + x)1−4lnx10. 2(cos x + cosh x)(sen x+ senh x)23.5x2 3U de @ - Educación no presencial190

Ejercicios de los módulos 9 al 19cosh x sen x+cos xsenhx11. −224.cosh x2(1 + 2 tan x)secx12. 0 25.x 2e ( x−1)2 2( x + 1)13. cos 2x 26.3 4x4 x e (1 + x)«Necesariamente vence siempre el entusiasta al apático.No es la fuerza del brazo, ni la virtud de las armas, sino lafuerza del alma la que alcanza la victoria».Johann G. FichteElementos Básicos de Cálculo Diferencial191