11-20 Asignación óptima de valores nominales y tolerancias a un ...
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I. González et al. XIX Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica 6los algoritmos genéticos. En este trabajo se ha utilizado el algoritmo SQPimplementado en la función fmincon de Matlab.4. EJEMPLOLa metodología propuesta será aplicada a un conjunto mecánico formado por 2 piezas. Laprimera pieza está definida por 5 variables de diseño, variables X1, X2,...,X 5; mientras que lasegunda pieza está definida por 3 variables de diseño, X 6 , X 7 , X 8 . Por tanto, el problemainvolucra K = 8 variables de diseño X = ( X1, X2,..., X8)', que supondremos como noindependientes y no normales.Los datos iniciales del proceso han sido obtenidos mediante simulación. Se han generadon = 1000 datos para cada variable a partir de distribuciones tipo gamma y exponencial. Se haconsiderado correlación entre las variables X 1 a X 5 y entre las variables X 6 a X 8 . En lafigura 1 se muestran los histogramas de las 8 variables. Como se puede ver, con el fin deilustrar la metodología se han supuesto algunas distribuciones muy asimétricas, por lo quese obtendrán tolerancias también bastante asimétricas.40020040020040020040020000 50 100 15000 100 200 30000 50 100 15000 50 100 150 20030020010030020010060040020030020010000 50 100 150 20000 100 200 30000 50 100 15000 100 200 300Figura 1: Histograma de las variables de diseño X = ( X1, X2,..., X8)'La matriz de correlaciones obtenida a partir de los datos iniciales es igual a:⎡ 1 0.84 0.62 0.47 0.98 0.04 0.04 0.02 ⎤⎢0.84 1 0.51 0.40 0.84 0.04 0.03 0.02⎥⎢⎥⎢0.62 0.51 1 0.25 0.63 0.03 0.04 0.01 ⎥⎢⎥0 0.47 0.40 0.25 1 0.47 0.01 −0.01 −0.01R = ⎢⎥x ⎢0.98 0.84 0.63 0.47 1 0.04 0.04 0.02 ⎥⎢⎥⎢0.04 0.04 0.03 0.01 0.04 1 0.84 0.64 ⎥⎢0.04 0.03 0.03 0.01 0.04 0.84 1 0.54 ⎥⎢⎥⎢⎣0.02 0.03 0.01 0.01 0.02 0.64 0.54 1 ⎥⎦
Asignación óptima de valores nominales y tolerancias a un conjunto de variables dependientes nonormales 70A partir de Σ x (que también se obtiene de los datos iniciales) se ha realizado el análisis PCA(paso 2 de la metodología), obteniéndose las matrices C y D, de autovectores y autovalores,respectivamente. La proporción de variabilidad explicada por los 5 primeros componentesprincipales es del 97%, por tanto, nos quedamos con J = 5 variables en el espacio reducido.Es decir, se calcularán 5 componentes independientes (pasos 3 y 4 de la metodología).Las variables funcionales del conjunto mecánica están definidas por las variablesY = ( Y1, Y2, Y3, Y4)', que pueden calcularse como:Y1 = X4 + X5Y2 = X2 − X1− X8+X7,Y3 = X7 − X6− X3+X2Y4 = X4 − X3−X6Es decir, la relación entre X e Y puede escribirse como Y = f ( X) = XA ', siendo A:⎡ 0 0 0 1 1 0 0 0 ⎤⎢−1 1 0 0 0 0 1 −1⎥A = ⎢⎥⎢ 0 1 − 1 0 0 − 1 1 0 ⎥⎢⎥⎣ 0 0 −1 1 0 −1 0 0 ⎦Las especificaciones del conjunto mecánico son las siguientes:Y1 ≤127.13 mm Y2≥0.0076mmY ≥0.0254 mm Y ≥0.0076mm3 4Teniendo en cuenta esta información, el problema de optimización queda planteado como:⎛ 8 8 ⎞F. O : maxTSi+ TIi⎜∑ ∑⎟⎝ i= 1 i=1 ⎠sujeto a( Y4) { YYj j Yj }- p≤ 0.027 donde p = P ∉ S , siendo S = ∈R : ( LES ≤Y ≤ LEI ), j = 1,...,4- VN (1 0.05)0,(1 0.05)0i∈⎡− VNi + VN ⎤i , i = 1,2,...,8⎣⎦con VN0x = ( 25.4,50.8,76.2,101.6,25.4,25.3,50.8,76.1 )'- TSi ≥0.01, TIi ≥ 0.01, i = 1,2,...,8Los resultados obtenidos, aplicando la metodología propuesta, se resumen a continuación:• Matriz de descomposición B obtenida mediante el algoritmo FastICA:⎡−0.01 0.07 −0.32 −0.03 0.94 ⎤⎢0.38 0.28 −0.08 0.88 −0.02⎥⎢⎥B = ⎢−0.52 −0.73 −0.02 0.45 0.06 ⎥⎢⎥⎢−0.06 −0.00 −0.94 −0.07 −0.32⎥⎢⎣0.77 −0.62 −0.05 −0.14 0.03 ⎥⎦• Valores nominales óptimos de las variables X :X1: 25.03 mm X5: 25.07mmX2 :50.36 mm X6: 25.65mmX3:75.14 mm X7:51.30mmX4 :100.94 mm X8:76.01mm
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I. González et al. XIX Congreso Nacional <strong>de</strong> Ingeniería Mecánica 6los algoritmos genéticos. En este trabajo se ha utilizado el algoritmo SQPimplementado en la f<strong>un</strong>ción fmincon <strong>de</strong> Matlab.4. EJEMPLOLa metodología propuesta será aplicada a <strong>un</strong> conj<strong>un</strong>to mecánico formado por 2 piezas. Laprimera pieza está <strong>de</strong>finida por 5 variables <strong>de</strong> diseño, variables X1, X2,...,X 5; mientras que laseg<strong>un</strong>da pieza está <strong>de</strong>finida por 3 variables <strong>de</strong> diseño, X 6 , X 7 , X 8 . Por tanto, el problemainvolucra K = 8 variables <strong>de</strong> diseño X = ( X1, X2,..., X8)', que supondremos como noin<strong>de</strong>pendientes y no normales.Los datos iniciales <strong>de</strong>l proceso han sido obtenidos mediante simulación. Se han generadon = 1000 datos para cada variable a partir <strong>de</strong> distribuciones tipo gamma y exponencial. Se haconsi<strong>de</strong>rado correlación entre las variables X 1 a X 5 y entre las variables X 6 a X 8 . En lafigura 1 se muestran los histogramas <strong>de</strong> las 8 variables. Como se pue<strong>de</strong> ver, con el fin <strong>de</strong>ilustrar la metodología se han supuesto alg<strong>un</strong>as distribuciones muy asimétricas, por lo quese obtendrán <strong>tolerancias</strong> también bastante asimétricas.400<strong>20</strong>0400<strong>20</strong>0400<strong>20</strong>0400<strong>20</strong>000 50 100 15000 100 <strong>20</strong>0 30000 50 100 15000 50 100 150 <strong>20</strong>0300<strong>20</strong>0100300<strong>20</strong>0100600400<strong>20</strong>0300<strong>20</strong>010000 50 100 150 <strong>20</strong>000 100 <strong>20</strong>0 30000 50 100 15000 100 <strong>20</strong>0 300Figura 1: Histograma <strong>de</strong> las variables <strong>de</strong> diseño X = ( X1, X2,..., X8)'La matriz <strong>de</strong> correlaciones obtenida a partir <strong>de</strong> los datos iniciales es igual a:⎡ 1 0.84 0.62 0.47 0.98 0.04 0.04 0.02 ⎤⎢0.84 1 0.51 0.40 0.84 0.04 0.03 0.02⎥⎢⎥⎢0.62 0.51 1 0.25 0.63 0.03 0.04 0.01 ⎥⎢⎥0 0.47 0.40 0.25 1 0.47 0.01 −0.01 −0.01R = ⎢⎥x ⎢0.98 0.84 0.63 0.47 1 0.04 0.04 0.02 ⎥⎢⎥⎢0.04 0.04 0.03 0.01 0.04 1 0.84 0.64 ⎥⎢0.04 0.03 0.03 0.01 0.04 0.84 1 0.54 ⎥⎢⎥⎢⎣0.02 0.03 0.01 0.01 0.02 0.64 0.54 1 ⎥⎦
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