11-20 Asignación óptima de valores nominales y tolerancias a un ...

I. González et al. XIX Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica 2variables de diseño X pueden ser dependientes como consecuencia del proceso defabricación empleado, y el no tener en cuenta esta dependencia conlleva a una asignaciónno óptima de las tolerancias y los valores nominales de X . Sin embargo, optimizar variablesno independientes no es un problema sencillo de tratar. En [2] se propone una metodologíaque sí tiene en cuenta la posible dependencia de X . El procedimiento que proponen losautores se basa en estimar la dependencia mediante datos obtenidos del proceso defabricación. Los autores suponen normalidad de las variables X y, por tanto, la correlaciónes estimada a través de la matriz de covarianzas de X . El problema se plantea como unproblema de optimización que busca asignar los valores nominales y las tolerancias de X ,de modo que se maximice la suma de tolerancias y se obtenga una pequeña proporción dedefectuosos. Para poder resolver este problema, se proyecta el conjunto de variablesdependientes X en un conjunto de variables independientes Z , las cuales son manipuladasdurante el proceso de optimización. De esta forma, el problema de optimizar un conjunto devariables correladas se transforma en un problema de optimización de variablesindependientes que puede ser resuelto con algoritmos de optimización tradicionales.En este trabajo, se presenta una extensión a la metodología propuesta en [1,2]. En estecaso, se considerará que las variables X no siguen un modelo normal multivariante, si noun modelo de probabilidad no conocido. Teniendo en cuenta este aspecto, se proponeproyectar las variables X en un conjunto de variables independientes Z , mediante el usode la técnica estadística Análisis de Componentes Independientes (ICA). Una vez obtenidaslas variables Z , el problema de asignar los valores nominales y las tolerancias óptimas deX es resuelto como un problema de optimización con variables independientes.El resto del artículo está estructurado de la siguiente manera. En la sección 2 se define elproblema de asignación de tolerancias y valores nominales. En la sección 3 se presentadetalladamente la metodología propuesta. En la sección 4 se ilustra la metodología con unejemplo. Por último se presentan las conclusiones.2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMASe quiere asignar el valor nominal y las tolerancias a un conjunto de K variablesdependientes, X = ( X1, X2,..., X K )' con modelo de probabilidad desconocido. Las toleranciasde X serán definidas como unos intervalos alrededor del valor nominal de cada variable, esdecir:[ ]Xi∈ LTI Xi, LTS Xi = ⎡VN X TIi,VN X TSi⎤⎣− +ii ⎦ , (1)donde TS i y TI i son las tolerancias superior e inferior de X i y VN i su valor nominal. Lastolerancias de X dependerán directamente de la variabilidad de X , pero al no asumirnormalidad de X su variabilidad no es estimada completamente mediante la matriz decovarianzas Σ x . Los valores nominales serán las medias de las variables X , μ x .La asignación de las tolerancias y los valores nominales estará sujeta a que un conjunto dem variables Y = ( Y1, Y2,..., Y m ), que dependen de X , cumplan unas restricciones oespecificaciones, es decir que estén dentro de unos intervalos de especificación:Yj ∈ ⎡LEIYj, LESYj⎤⎣ ⎦, con j = 1,2,..., M . (2)Estas especificaciones pueden generalizarse a especificaciones unilaterales, en cuyo casoalguno de los límites sería infinito. La relación entre Y y X se supone conocida e igual aY = f ( X ), (3)siendo f () . una relación cualquiera, lineal o no lineal.Una pieza defectuosa se define como aquélla que no cumple las especificaciones de Y .Luego, la proporción de defectuosos, denotada por p , es igual a:( ∉ )p ≡ P Y S(4)

Asignación óptima de valores nominales y tolerancias a un conjunto de variables dependientes nonormales 3donde S es la región rectangular definida por las especificaciones de la pieza, es decir:MS = { Y ∈R : ( LESYj ≤Yj ≤ LEIYj), j = 1,..., M}(5)El problema consiste en encontrar las tolerancias óptimas t = ( TS1, TS2,..., TSK, TI1, TI2,..., TIK)'y los valores nominales óptimos VN = ( VN1, VN2,..., VN K )'de cada una de las K variables X .Los valores óptimos serán aquéllos que permitan maximizar la suma total de toleranciassujeto a obtener una proporción de defectuosos p ≤ α , siendo habitualmente α = 0,0027 . Labúsqueda de los valores nominales óptimos se restringirá a un intervalo definido como0 0VNi∈⎡(1 − m) VNi ,(1 + m) VN ⎤i , i = 1,2,..., K , siendo VN0⎣⎦i un valor nominal inicial que puede serel valor establecido en la etapa de diseño de la pieza, y m un valor específico, por ejemplo0.05, 0.1, etc. Para evitar que las tolerancias tomen un valor igual o próximo a cero, seestablecerán unas tolerancias mínimas T i(min).Resumiendo, el problema de optimización a resolver queda formulado como:FO . :⎛ K K ⎞maxTSi+ TIi⎜∑ ∑⎟⎝ i= 1 i=1 ⎠sujeto ap ≤ α (6)0 0VNi∈⎡(1 − m) VNi ,(1 + m) VN ⎤i ,⎣⎦i = 1,2,..., KTS i ≥ Ti(min), i = 1,2,..., KTI i ≥ Ti(min), i = 1,2,..., K3. METODOLOGÍA PROPUESTALa metodología propuesta se basa en los siguientes puntos:1. Proyectar las variables dependientes X en un conjunto de variables independientesZ . Para ello se utilizará la técnica denominada Análisis de ComponentesIndependientes (ICA).2. Modificar la media y la varianza de las variables independientes Z y trasladar esecambio a las variables originales X .3. Con los valores modificados de X obtener los valores Y = f ( X ) y calcular la proporciónde piezas defectuosas, p.4. Iterar, de manera que en cada iteración se obtengan nuevos valores de X e Y , hastaobtener la solución óptima que será aquélla que maximice la suma total de toleranciasde X .Antes de enumerar los pasos de la metodología, se describirán detalladamente los aspectosdescritos en los puntos (1) y (2).3.1 Proyección de las variables dependientes X en un conjunto de variablesindependientes Z mediante ICAEl método más popular para proyectar un conjunto de variables normales correladas en unconjunto de variables independientes es el denominado Análisis de ComponentesPrincipales (PCA). Este método utiliza únicamente la información contenida en la matriz decovarianzas de las variables, ya que bajo normalidad la información de dependencia de lasvariables está reflejada completamente en esta matriz. ICA, sin embargo, es un método quese utiliza con el mismo objetivo, obtener variables independientes, pero se basa eninformación que no está contenida en la matriz de covarianzas. ICA es la herramientaadecuada para el caso de variables no normales.

I. González et al. XIX Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica 4Un modelo ICA considera que las variables originales pueden ser generadas por unacombinación lineal de un conjunto de variables o componentes independientes. El modeloICA puede escribirse como X = SZ +E , donde X = ( X1, X2,..., X K )' es el vector de las Kvariables dependientes con media cero, S es la matriz de combinación de dimensión K × J ,Z = ( Z1, Z2,..., Z J )' es el vector de las J variables independientes, con J < K , y E es el vectorde residuos. Este modelo ICA es muy complejo de estimar, por esta razón, la mayor parte delas aplicaciones se basan en estimar un modelo sin residuos, es decir, el modelo,X = SZ. (7)Teniendo en cuenta que la matriz S es invertible, es posible escribir el modeloZ= WX, (8)−1siendo W = S la matriz de separación. Luego, el objetivo de ICA es encontrar la matriz Wque permita obtener las variables Z lo más independientes posible. Para la obtención de lamatriz W existen distintos procedimientos. Todos ellos obtienen resultados muy similares yse basan en la idea de que siendo las variables X una combinación lineal de loscomponentes independientes Z (ecuación (7)), entonces por el teorema central del límite lasvariables X son más próximas a la normalidad que las variables Z . Por tanto, estasvariables Z pueden ser obtenidas buscando el máximo alejamiento de la normalidad. Eneste trabajo se utilizará el algoritmo FastICA propuesto por [8] que se basa en la negentropíacomo medida de normalidad.Si denotamos como X 0 la matriz de datos obtenida del proceso, de dimensión n× K ,podemos resumir los pasos del algoritmo FastICA como:1. Obtener una matriz de datos con media 0 que será denotada como matriz X :X 0= X0−1μ0x ' , (9)siendo 1 un vector de unos de dimensión n × 1 , yμ0 x el vector de medias de2. Obtener una matriz de datos blanqueados, que será denotada como matriz T . Estamatriz contendrá un conjunto de variables incorreladas (aunque no independientes)con media cero y varianza uno, y tendrá una dimensión reducida n× J . La idea esreducir la dimensión de0X , de manera que el conjunto de J variables representen lamayor parte de la variabilidad total de las K variables originales. Para aplicar estareducción de dimensión se usará PCA, de modo que T puede ser calculada como:0 1/2T=X C( J ) D( −J ), (10)donde C ( J ) es la matriz de los primeros K × J autovectores de la matriz C, y0X .D( J )es lamatriz diagonal con los primeros J autovalores de la matriz D. Las matrices C y D seobtienen mediante descomposición singular (PCA) de la matriz de covarianzas de X0,es decir aplicando Σ0x = CDC ' .3. Aplicar a las variables T el modelo ICA descrito en la Ecuación (8) , es decir:Z=TB, (11)siendo B la matriz de separación de dimensión J × J que será calculada mediante elalgoritmo FastICA, y Z la matriz de las J variables independientes (matriz dedimensión n× J ). Es decir, obtener en este paso la matriz de separación B, y porconsiguiente, la matriz de variables independientes Z.3.2 Modificación de la media y la varianza de las variables dependientes XEl cambio en la media y la varianza de X se obtendrá modificando la media y la varianza delas variables independientes Z. Los pasos se describen a continuación:

Asignación óptima de valores nominales y tolerancias a un conjunto de variables dependientes nonormales 51. Modificar la media de las variables Z, obteniendo una nueva matrizIZ igual a:ZI = Z+1γ '(12)siendo γ = ( γ1, γ2,... γ J ) un vector de J coeficientes independientes entre sí.2. Modificar la varianza de las variables Z I , obteniendo una nueva matriz Z * formada*por los vectores Z i obtenidos como:Z* Ii = Z i gii = 1,2,..., J(13)siendo los valores g i > 0 e independientes entre sí.3. Trasladar el cambio a las variables originales X utilizando las Ecuaciones (9-11):* * −1 −1/2 ' 0X = Z B D( J )C( J ) + 1 μ x '(14)3.3 Pasos de la metodología propuestaLos pasos a seguir son los siguientes:• Paso 1: Obtener del proceso de fabricación un conjunto de n datos de las K variables0X . Denotar esa matriz como X y calcular su vector de medias, μ 0 x , y su matriz decovarianzas, Σ0 x .• Paso 2: Obtener mediante PCA ( Σ 0x = CDC ' ) la matriz de autovectores C y deautovalores D.• Paso 3: Obtener la matriz de descomposición B mediante el algoritmo FastICA,utilizando la matriz de datos blanqueados T (Ecuaciones 9 y 10).• Paso 4: Obtener la matriz de componentes independientes Z, mediante la ecuación(11).• Paso 5: Iniciar el proceso de optimización para buscar los valores nominales y lastolerancias óptimas de X . El problema de optimización a resolver es el planteado en laEcuación (6), por tanto, es necesario definir previamente los valoresα , m y Ti(min), i = 1,2,..., K . En cada iteración t obtener una nueva matriz de valoresX* t , modificando los valores de los coeficientes γ i y g i , i = 1,2,..., J de las ecuaciones(12-14).• Paso 6: Obtener la matriz de variables Y , utilizando la matriz X * t y la relación( t )Yt* = f X * .• Paso 7: Calcular la proporción de defectuosos p, definida en las ecuaciones (4) y (5).• Paso 8: Seguir iterando (pasos 5 y 6) hasta obtener la solución óptima (que maximizala suma de tolerancias, ecuación 6). Denotar la matriz óptima como matriz X* opt .• Paso 9: Obtener los valores nominales y las tolerancias óptimas de cada variableXi, i = 1,2,..., K como:VN Xi= E ( X* opt ) () i( X* () ) VN*min ( X () )TSi = max opt i − XiTIi = VN Xi − opt isiendo X* opt()i el i-ésimo vector de la matriz óptima X* opt . Como puede deducirse dela metodología presentada, las variables a optimizar son 2 × J variables ycorresponden a los coeficientes independientes γ i y g i . El algoritmo deoptimización puede ser un algoritmo tradicional o cualquier algoritmo global como

I. González et al. XIX Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica 6los algoritmos genéticos. En este trabajo se ha utilizado el algoritmo SQPimplementado en la función fmincon de Matlab.4. EJEMPLOLa metodología propuesta será aplicada a un conjunto mecánico formado por 2 piezas. Laprimera pieza está definida por 5 variables de diseño, variables X1, X2,...,X 5; mientras que lasegunda pieza está definida por 3 variables de diseño, X 6 , X 7 , X 8 . Por tanto, el problemainvolucra K = 8 variables de diseño X = ( X1, X2,..., X8)', que supondremos como noindependientes y no normales.Los datos iniciales del proceso han sido obtenidos mediante simulación. Se han generadon = 1000 datos para cada variable a partir de distribuciones tipo gamma y exponencial. Se haconsiderado correlación entre las variables X 1 a X 5 y entre las variables X 6 a X 8 . En lafigura 1 se muestran los histogramas de las 8 variables. Como se puede ver, con el fin deilustrar la metodología se han supuesto algunas distribuciones muy asimétricas, por lo quese obtendrán tolerancias también bastante asimétricas.40020040020040020040020000 50 100 15000 100 200 30000 50 100 15000 50 100 150 20030020010030020010060040020030020010000 50 100 150 20000 100 200 30000 50 100 15000 100 200 300Figura 1: Histograma de las variables de diseño X = ( X1, X2,..., X8)'La matriz de correlaciones obtenida a partir de los datos iniciales es igual a:⎡ 1 0.84 0.62 0.47 0.98 0.04 0.04 0.02 ⎤⎢0.84 1 0.51 0.40 0.84 0.04 0.03 0.02⎥⎢⎥⎢0.62 0.51 1 0.25 0.63 0.03 0.04 0.01 ⎥⎢⎥0 0.47 0.40 0.25 1 0.47 0.01 −0.01 −0.01R = ⎢⎥x ⎢0.98 0.84 0.63 0.47 1 0.04 0.04 0.02 ⎥⎢⎥⎢0.04 0.04 0.03 0.01 0.04 1 0.84 0.64 ⎥⎢0.04 0.03 0.03 0.01 0.04 0.84 1 0.54 ⎥⎢⎥⎢⎣0.02 0.03 0.01 0.01 0.02 0.64 0.54 1 ⎥⎦

Asignación óptima de valores nominales y tolerancias a un conjunto de variables dependientes nonormales 70A partir de Σ x (que también se obtiene de los datos iniciales) se ha realizado el análisis PCA(paso 2 de la metodología), obteniéndose las matrices C y D, de autovectores y autovalores,respectivamente. La proporción de variabilidad explicada por los 5 primeros componentesprincipales es del 97%, por tanto, nos quedamos con J = 5 variables en el espacio reducido.Es decir, se calcularán 5 componentes independientes (pasos 3 y 4 de la metodología).Las variables funcionales del conjunto mecánica están definidas por las variablesY = ( Y1, Y2, Y3, Y4)', que pueden calcularse como:Y1 = X4 + X5Y2 = X2 − X1− X8+X7,Y3 = X7 − X6− X3+X2Y4 = X4 − X3−X6Es decir, la relación entre X e Y puede escribirse como Y = f ( X) = XA ', siendo A:⎡ 0 0 0 1 1 0 0 0 ⎤⎢−1 1 0 0 0 0 1 −1⎥A = ⎢⎥⎢ 0 1 − 1 0 0 − 1 1 0 ⎥⎢⎥⎣ 0 0 −1 1 0 −1 0 0 ⎦Las especificaciones del conjunto mecánico son las siguientes:Y1 ≤127.13 mm Y2≥0.0076mmY ≥0.0254 mm Y ≥0.0076mm3 4Teniendo en cuenta esta información, el problema de optimización queda planteado como:⎛ 8 8 ⎞F. O : maxTSi+ TIi⎜∑ ∑⎟⎝ i= 1 i=1 ⎠sujeto a( Y4) { YYj j Yj }- p≤ 0.027 donde p = P ∉ S , siendo S = ∈R : ( LES ≤Y ≤ LEI ), j = 1,...,4- VN (1 0.05)0,(1 0.05)0i∈⎡− VNi + VN ⎤i , i = 1,2,...,8⎣⎦con VN0x = ( 25.4,50.8,76.2,101.6,25.4,25.3,50.8,76.1 )'- TSi ≥0.01, TIi ≥ 0.01, i = 1,2,...,8Los resultados obtenidos, aplicando la metodología propuesta, se resumen a continuación:• Matriz de descomposición B obtenida mediante el algoritmo FastICA:⎡−0.01 0.07 −0.32 −0.03 0.94 ⎤⎢0.38 0.28 −0.08 0.88 −0.02⎥⎢⎥B = ⎢−0.52 −0.73 −0.02 0.45 0.06 ⎥⎢⎥⎢−0.06 −0.00 −0.94 −0.07 −0.32⎥⎢⎣0.77 −0.62 −0.05 −0.14 0.03 ⎥⎦• Valores nominales óptimos de las variables X :X1: 25.03 mm X5: 25.07mmX2 :50.36 mm X6: 25.65mmX3:75.14 mm X7:51.30mmX4 :100.94 mm X8:76.01mm

I. González et al. XIX Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica 8• Valores óptimos de las tolerancias superior e inferior, y valores óptimos de los límitesde tolerancias de las variables X :TS1:0.17 mm TI1:0.03 mm X1: [ 25.00,25.20]TS2 :0.19 mm TI2 : 0.03 mm X2:[ 50.33,50.55]TS3:0.20 mm TI3:0.06 mm X3: [ 75.08,75.34]TS4 :0.26 mm TI4 :0.10 mm X4:[ 100.84,101.20]TS5:0.16 mm TI 5:0.03 mm X5:[ 25.04,25.23]TS6 :0.12 mm TI6 :0.03 mm X6:[ 25.62,25.77]TS7 :0.14 mm TI7 :0.03 mm X7:[ 51.27,51.44]TS :0.18 mm TI :0.07 mm X :[ 75.94,76.19]8 8 8• Suma total de tolerancias (valor que se buscaba maximizar): 1.8mm.5. CONCLUSIONESLa metodología propuesta es una metodología bastante general que puede ser aplicada amuchos problemas reales. La metodología tiene en cuenta la posible dependencia entre lasvariables de diseño y no asume ningún modelo de probabilidad específico de dichasvariables. Su aplicación es sencilla y no necesita algoritmos de optimización complejos. Parasu aplicación, es necesario disponer de un conjunto de datos del proceso de fabricación, esdecir, disponer de datos del proceso de fabricación de la pieza o conjunto mecánico que seanaliza.6. REFERENCIAS[1] I. González e I. Sánchez, Statistical tolerances synthesis with correlated variables,Mecanism and Machine Theory, 44 (2009), 1097-1107.[2] I. González e I. Sánchez, Diseño óptimo del valor nominal y las tolerancias de unconjunto de variables correladas, Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, CiudadReal, España, (2010).[3] S. Director, G. Hatchel, The simplicial approximation approach to design centering, IEEETransactions on Circuits and Systems, 7 (1977), 363-372.[4] G. Derringuer, R. Suich, Simultaneous optimization of several response variables,Journal of Quality Technology , 12 (1980), 214-219.[5] A. Jeang, Combined parameter and tolerance design optimization with quality and cost,International Journal of Production Research, 39 (2001), 923-952.[6] A. Jeang, Optimal Parameter and Tolerance Design with a Complete Inspection Plan,International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 20 (2002), 121-127.[7] K. Sivakumar, S. Balamurugan, S., S. Ramabalan, Simultaneous optimal selection ofdesign and manufacturing tolerances with alternative process selection, Computer-AidedDesign, 43 (2011), 207-218.[8] Hyvärinen, A. and Oja, E., Independent component analysis: algorithms andapplications, Neural Networks, 13 (2000), 411-430.