Introducción al análisis numérico - OCW Universidad de Cantabria

Introducción al análisis numéricoJavier SeguraUniversidad de CantabriaCálculo Numérico I. Tema 1Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 1 / 25

Contenidos:1 Sistemas de números y conversiones2 Errores, condición y estabilidad3 Eficiencia. Un ejemplo: el método de HornerJavier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 2 / 25

Sistemas de números y conversionesEstructura de la presentación:1 Sistemas de números y conversiones2 Errores, condición y estabilidad3 Eficiencia. Un ejemplo: el método de HornerJavier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 3 / 25

Sistemas de números y conversionesTema 1Sistemas de números y conversionesProgramación de un algoritmo numérico: sus limitaciones intrínsecas(precisión y rango de valores admisibles) están ligadas a la forma derepresentación de los números enteros y decimales en formato digital.Sistemas de numeración en base q.El sistema de numeración decimal utiliza como base denumeración el 10 (dígitos 0...9).Un número en base q se denota como(a n a n−1 ...a 1 a 0 .b 1 b 2 ...b k ...) q donde a i y b j pertenecen al conjuntode los q dígitos elementales. Estos q dígitos representaránvalores desde 0 hasta q − 1.Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 4 / 25

Sistemas de números y conversionesSistemas de números y conversionesPor definición:(a n a n−1 ...a 1 a 0 .b 1 b 2 ...b k ...) q = a n q n + a n−1 q n−1 + ... + a 1 q+a 0 q 0 + b 1 q −1 + b 2 q −2 + ...+b k q −k + ...El sistema natural de numeración digital es el binario (base 2),utilizando sólo los dígitos 0 y 1.Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 5 / 25

Sistemas de números y conversionesSistemas de números y conversionesEjemplos:Decimal:(123.25) 10 = 1 × 10 2 + 2 × 10 1 + 3 × 10 0 + 2 × 10 −1 + 5 × 10 −2 .Binario:(1011.01) 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 1 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 −1+1 × 2 −2 = 11.25.Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 6 / 25

Sistemas de números y conversionesSistemas de números y conversionesConversión de base decimal a base qConversión de la parte entera(a n ...a 0 ) q = (a n ...a 1 ) q × q + (.a 0 ) q × q = (a n ...a 1 ) q × q + (a 0 ) qAl dividir un número entero entre q el resto es el dígito menos significativo del número en base q. Dividiendosucesivamente (hasta llegar al cociente 0) obtenemos los sucesivos dígitos del número en base q.Conversión de la parte fraccionaria(.b 1 b 2 ...b k ) q × q = (b 1 ) q + (.b 2 ...b k ) qLa parte entera del resultado de multiplicar nuestro número por q es el primer dígito tras el punto decimal. Reteniendo laparte fraccionaria que resulta en cada paso y repitiendo sucesivamente el proceso, vamos obteniendo el resto de cifrastras el punto.Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 7 / 25

Sistemas de números y conversionesSistemas de números y conversionesConversión de base decimal a base qEjemplo: Escribamos (26.1) 10 en base 2.Parte entera: Dividiendo sucesivamente, tenemos que:26 = 2 × 13 + 0 ; 13 = 2 × 6 + 1 ;6 = 2 × 3 + 0 ; 3 = 2 × 1 + 1 ; 1 = 2 × 0 + 1Leyendo de izquierda a derecha los números subrayados:(26) 10 = (11010) 2Parte fraccionaria: Multiplicando sucesivamente por dos y separando laparte fraccionaria:0.1 × 2 = 0.2 ; 0.2 × 2 = 0.4 ; 0.4 × 2 = 0.8 ;0.8 × 2 = 1.6 ; 0.6 × 2 = 1.2 ; 0.2 × 2 = ...Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 8 / 25

Sistemas de números y conversionesSistemas de números y conversionesConversión de base decimal a base qLeyendo de izquierda a derecha tenemos los dígitos de la partefraccionaria (subrayados) luego:(0.1) 10 = (0.00011) 2donde las cifras subrayadas son las cifras periódicas.Obsérvese que el número 0.1 tiene infinitas cifras distintas de cerocuando se escribe en base 2!Sumando los resultados de la parte entera y la fraccionaria tenemosque(26.1) 10 = (11010.00011) 2Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 9 / 25

Sistemas de números y conversionesUn programa desastroso:x=0;while x∼=10x=x+0.1;endJavier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 10 / 25

Estándar IEEESistemas de números y conversionesEl número de dígitos que se pueden almacenar de la mantisa y exponente es limitado!Hay dos tipos de precisión (simple y doble): difieren en el número de bits de los que se dispone para almacenar las cifrasPrecisión simple: 32 bits, de los cuales1 corresponde al signo,8 al exponente, luego -126 ≤ E ≤ 12723 a la mantisaPrecisión doble: 64 bits, de los cuales1 corresponde al signo,≈11 al exponente: -1022 ≤ E ≤ 1023 (2 11 = 2 × 1024)52 a la mantisaLa especificiación del número de bits para almacenar la mantisa y el exponente determinan los límites de overflow y underflow yel denominado ɛ-máquina .Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 13 / 25

Errores, condición y estabilidadEstructura de la presentación:1 Sistemas de números y conversiones2 Errores, condición y estabilidad3 Eficiencia. Un ejemplo: el método de HornerJavier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 14 / 25

ErroresErrores, condición y estabilidadDefinición:Si x A es una aproximación del verdadero valor x T , definimos entonces:Error absoluto: E abs = |x T − x A |Error relativo:E rel = |1 − x Ax T|, si x T ≠ 0.El error relativo mide el número de cifras significativas exactas de x A .Así, si2E rel < 10 −m , m ∈ Nse dirá que x A tiene m cifras significativas exactas.Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 15 / 25

Errores, condición y estabilidadFuentes de errorLos datos de entrada de nuestro algoritmo están afectados decierto error. Importante estudiar como se propaga el error.Errores de punto flotante: errores de redondeo, pérdida de cifrassignificativas por cancelaciones, problemas de underflow/overflowErrores de truncamiento o discretizaciónJavier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 16 / 25

Fuentes de errorUn ejemplo ... catastróficoErrores, condición y estabilidadEl matemático Jacques-Louis Lions del Collège de France fue encargado dedirigir la investigación.Más información en: SIAM News, Vol. 29. Number 8, October 1996Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 17 / 25

Errores, condición y estabilidadPropagacion de erroresCondiciónLa condición de una función f (x) mide la sensibilidad de los valores def (x) a pequeños cambios en x y se define comoC =E rel (f (x))∣ E rel (x) ∣donde E rel (f (x)) es el error relativo de f (x) para un error relativoE rel (x) en x.Para funciones f (x) de una variable real definimos los números decondición comoC(x) =∣ x f ′ (x)f (x) ∣Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 18 / 25

Errores, condición y estabilidadPropagación de erroresEstabilidadEjemplo:Dada la función f (x) = √ x + 1 − √ x, su número de condición es:C(x) =∣ x f ′ (x)f (x) ∣ = x2 √ x √ x + 1y vemos que C(x) < 1/2 para x > 0, luego la función está bien condicionada.Sin embargo, el algoritmo para calcular x consistente en ir realizando lasoperaciones implicadas en f (x) = √ x + 1 − √ x, a saber:1 Input: x2 y = x + 13 f 1 = √ x + 14 f 2 = √ x5 f = f 1 − f 2es inestable para x grande por culpa del paso 5 (hay cancelaciones entrenúmeros similares).Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 21 / 25

Eficiencia. Un ejemplo: el método de HornerEficiencia de un algoritmo numéricoUn ejemplo prácticoSupongamos que nos planteamos evaluar el polinomioP(x) = 2 + 4x − 5x 2 + 2x 3 − 6x 4 + 8x 5 + 10x 6Contando con que cada potencia de exponente k entero cuente como k − 1productos, tendríamos que el número total de productos para evaluar elpolinomio de forma directa es:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21y el número de sumas es 6.Una forma mejor de proceder es ir calculando primero las potencias de formasucesiva:x 2 = x x , x 3 = x x 2 , x 4 = x x 3 , x 5 = x x 4 , x 6 = x x 5con lo que sólo se añade una nueva multiplicación por potencia, haciendo untotal de1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 23 / 25

Eficiencia. Un ejemplo: el método de HornerEficiencia de un algoritmo numéricoUn ejemplo prácticoAlgoritmo de HornerInputs: z, p(x) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n , a n ≠ 0Output: p(z).(1) b = a n(2) Repetir mientras n > 0(3) n = n − 1(4) b = a n + z ∗ b(5) Volver a (2)(6) p(z) = b.Javier Segura (Universidad de Cantabria) Introducción al análisis numérico CNI 25 / 25