FUNCIONES

Resúmenes de Matemáticas para BachilleratoI.E.S. “Ramón Giraldo”FUNCIONESCONCEPTO de función y elementosUna función real de variable real es una correspondencia de un conjunto D en el conjunto delos números reales , es decir, una ley que a cada valor del conjunto D asigna un único númeroreal.La función f de D en se simboliza así:f : D x f xEl conjunto D recibe el nombre de dominio de la función, y se representa por Dom f , y elconjunto de los transformados mediante f recibe el nombre de recorrido o imagen de la función, yse representa porImg f: f x f x f valores que toma la función Dom : tiene sentidoImg y / existe al menos un xD:y f xLas funciones también se suelen escribir en la formaindependiente e y la variable dependiente o función.y fx, y se dice que x es la variableDos funcionesx Dom f .f y g son iguales, f g , cuando Dom f Domg y f xg xGeométricamente, una correspondencia es una función cuando la gráfica de la correspondenciacorta a cada recta vertical en un único punto.FUNCIONES ALGEBRAICAS Funciones polinómicasf x A x donde A x es un polinomio.Son del tipo Domf Funciones racionalesA xx donde Ax y Bx0Bx f x B x x B x Son de la formaf son polinomios.Dom : 0 : 0Funciones irracionalesSon funciones en las que normalmente su expresión algebraica viene dada por una raíz. Si f x kg x gx: g x 0 si el índice de la raíz es parDomf Dom si el índice de la raíz es imparFunciones definidas a trozosCuando una función se define utilizando más de una expresión algebraica, se dice que estádefinida a trozos.Su dominio variará dependiendo de las expresiones algebraicas de los trozos.Cipri Departamento de Matemáticas 1

Resúmenes de Matemáticas para BachilleratoI.E.S. “Ramón Giraldo”OPERACIONES con funciones■ Función sumaf g x f x g x x Dom f Dom gPropiedades:(1) Conmutativa: f xgxgxf x(2) Asociativa: f xgxhx f xgx hx(3) Elemento neutro: f x0x f x donde 0x 0f x f x 0 x (4) Elemento opuesto: ■ Función productofgxf xgx x Dom f DomgPropiedades:(5) Conmutativa: f xgxgx f x(6) Asociativa: f xgxhx f xgxhx(7) Elemento neutro: f xIxf x donde Ix 11(8) Elemento simétrico: f x Ixf x(9) Distributiva: f xgxhxf xgx f xhx■ Función cocientefgxfgxxx 0x: g ■ Función compuesta f gx f gx (se lee g compuesta con f )Propiedades:(1) Asociativa: h g f x h gf x(2) Elemento neutro: f I x I f x f x11(3) Elemento simétrico: f f x f f x IxLa función1f recibe el nombre de función inversa 1 de f .o Cálculo de la función inversa:a) Expresar la variable y en función de la variable x .b) Despejar la variable x de la igualdad anterior con el fin de hallar laexpresión de x en función de y .c) Intercambiar las variables, ya que cualquier función se expresa siempre apartir de la variable x .d) Realizar la comprobación.Geométricamente, si existe la función inversa, su gráfica se obtiene tomando la simétrica de lagráfica de la función respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.11 ¡Alerta! f1 (la función 1 recibe el nombre de función recíproca de f , aunque también es usual en laf f1bibliografía que llamen función recíproca a f )Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 2

Resúmenes de Matemáticas para BachilleratoI.E.S. “Ramón Giraldo”MONOTONÍA (crecimiento, decrecimiento), máximos y mínimos relativos.Sea f : D una función. Se dice que f es x , x D : x x se tiene que f x f xa) estrictamente creciente sii0 10 10 1b) creciente sii x0, x1 D : x0 x1se tiene que f x0 f x1c) estrictamente decreciente sii x0, x1 D : x0 x1se tiene que f x0f x1d) decreciente sii x0, x1 D : x0 x1se tiene que f x0 f x1e) constante sii x , x D : x x se tiene que f x f x0101Una función es estrictamente monótona sii es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, yes monótona si es creciente o decreciente.Diremos que f tiene un máximo relativo enque f x f x x D E .0x 00x 0 D sii existe un entorno abierto 2 de01x , E talx 0Diremos que f tiene un mínimo relativo enque f x f x x D E .0x 0x 0 D sii existe un entorno abierto de0x , E talx 0Geométricamente una función tiene un máximo relativo cuando en ese punto la función pasa deser creciente a ser decreciente y tiene un mínimo relativo cuando pasa de ser decreciente a sercreciente.SIMETRÍAS (funciones pares e impares)Sea f : D una función. Se dice que f esxDa) par o simétrica respecto del eje OY sii f x f xxDb) impar o simétrica respecto del origen de coordenadas sii x D yf x f x xD Geométricamente una función es:a) par si al doblar la gráfica respecto del eje OY las ramas positiva y negativa de la funcióncoinciden.b) es impar si al girarla 180º vuelve a coincidir con ella misma.PERIODICIDAD (funciones periódicas)Una función f : D es periódica de período T 0 sii se cumplen las siguientes doscondiciones:1) f x T f x x D2) T 0 es el menor de los números que cumple 1).CONTINUIDAD (funciones continuas)2 Un entorno abierto de x0es un intervalo de la forma x 0 , x0 para algún 0 . Lo representaremos porE x o E x , si necesitamos precisar el radio, , que tiene. 0 0Cipri Departamento de Matemáticas 3

Resúmenes de Matemáticas para BachilleratoI.E.S. “Ramón Giraldo”Definición no rigurosa 3 : Diremos que una función f : D es continua en un punto x Dsii en un entorno de dicho punto los puntos próximos a0otro entorno de dicho punto.x tienen imágenes próximas a 0f enx 0En el caso de que f sea continua en todos los puntos de un subconjuntocontinua en S.S D , se dice que f esACOTACIÓN (funciones acotadas). Máximo y mínimo absoluto.Una función f : D está:a) acotada sii M 0 : f xM xDb) acotada superiormente sii : c) acotada inferiormente sii : K f x K xDk k f x xDComo consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente caracterización:f acotada f acotada superior e inferiormenteGeométricamente, el hecho de que una función esté acotada (por un número M 0 ), se traduce enque su gráfica está entre las rectas y M e y MSi f está acotada superiormente, el número M recibe el nombre de cota superior. A la menor de lascotas superiores se le llama supremo de f en D. Si el supremo es alcanzado por la función f, es decir, x1 D : f x 1 es el supremo, entonces el número f x 1 recibe el nombre de máximo absoluto de fen D.Si f está acotada inferiormente el número m recibe el nombre de cota inferior. A la menor de lascotas inferiores se le llama ínfimo de f en D. Si el ínfimo es alcanzado por la función f, es decir, x0 D : f x 0 es el ínfimo, entonces el número f x 0 recibe el nombre de mínimo absoluto de fen D.Teorema de WEIERSTRASS: Si f : , a b es continua, entonces f tiene máximo y mínimoabsolutos.CURVATURA (funciones convexas y cóncavas). Puntos de inflexiónDaremos una definición 4 basada en la interpretación geométrica:Una función f : I , donde I es un intervalo, es convexa 5 sii para cualesquiera ab , Icon a bde extremos la gráfica de f restringida al intervalo , a, f a, b,f b .ab “se halla situada por debajo” del segmento3 En el tema siguiente daremos una definición rigurosa de función continua, que involucra límites.4 ¡¡Ojo!! Al consultar la bibliografía es posible encontrar libros donde llaman función cóncava a lo que nosotrosllamamos función convexa.Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 4

Resúmenes de Matemáticas para BachilleratoI.E.S. “Ramón Giraldo”Así, las funciones convexas son aquellas tales que el recinto del plano que queda por encima de sugráfica es un conjunto convexo.Diremos que f : I , donde I es un intervalo, es cóncava cuando f sea convexa.Una función tiene un punto de inflexión, cuando en dicho punto la función pasa de ser convexa aser cóncava o viceversa. En el primer caso se habla de punto de inflexión convexo-cóncavo y en elsegundo de punto e inflexión cóncavo-convexo.FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVASUna función f : D es inyectiva sii x, y D si f xf yx y oequivalentemente x, y D si x y f x f y.Es decir, si elementos distintos de D tienen imágenes distintas en .Geométricamente, una función es inyectiva si cualquier recta paralela al eje OX sólo corta a lagráfica de la función en un único punto.Algunas propiedades importantes son las siguientes:1) Si f : D es estrictamente monótona, entonces f es inyectiva.2) Si f : D es inyectiva, entonces f 1 : f D D.3) Si f : D es continua e inyectiva, entonces f es estrictamente monótona.Una función f : D RImg f es sobreyectiva sii : R . Es decir, si todo elemento de R es imagen de alguno de D .Diremos que f : D es biyectiva sii es inyectiva y sobreyectiva.x R yD f x y, es decir, cuando5 La definición formal de función convexa es:Una función f : I , donde I es un intervalo, es convexa sii para cualesquiera x1,x2 se verifica que f x 1 x f x 1 f x para todo 0,1 1 2 1 2. I con x1 x2yCipri Departamento de Matemáticas 5