Bioestadística. Curso 2012-2013 Práctica: La recta de regresión

Bioestadística. Curso 2012-2013Práctica: La recta de regresiónCarmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz PateiroÍndice1. Introducción 22. El diagrama de dispersión 23. Covarianza 44. Coeciente de correlación lineal 55. El modelo de regresión lineal simple 61

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresión1 IntroducciónComo hemos visto a lo largo de las clases de teoría, hasta ahora nos hemos ocupado de la descripción devariables estadísticas unidimensionales, es decir, cada individuo de la muestra era descrito de acuerdo a unaúnica característica. Sin embargo, lo habitual es que tendamos a considerar un conjunto amplio de característicaspara describir a cada uno de los individuos de la población, y que estas características puedan presentar relaciónentre ellas. Nos centraremos en el estudio de variables estadísticas bidimensionales, es decir, tendremos doscaracterísticas por cada individuo. Representaremos por (X; Y ) la variable bidimensional estudiada, donde X eY son las variables unidimensionales correspondientes a las primera y segunda características, respectivamente,medidas para cada individuo. En el estudio de variables bidimensionales tiene mucho interés buscar posiblesrelaciones entre las variables X e Y . El tipo de relación más sencilla que se establece entre un par de variables esla relación lineal. Estudiaremos como analizar este tipo de relaciones con Statistix a través del siguiente ejemplo.Ejemplo:EL Volumen Expiratorio Forzado (VEF) es una medida de la función pulmonar. Se cree que el VEFestá relacionado con la estatura. Nos interesa estudiar la variable bidimensional (X; Y ) siendo Xla estatura de niños de 10 a 15 años de edad e Y el VEF. A continuación se muestra la estatura(en cm.) y el VEF (en l.) de 12 niños en ese rango de edad:Estatura 134 138 142 146 150 154 158 162 166 170 174 178VEF 1.7 1.9 2.0 2.1 2.2 2.5 2.7 3.0 3.1 3.4 3.8 3.9En primer lugar, introduciremos los datos de las variables. Recuerda que para introducir datos debes pulsar enel menú superior Data I Insert I Variables. Escribe en el cuadro de diálogo el nombre de las variables quequieres crear (Figura 1) y pulsa Ok.Figura 1: Cuadro de diálogo para introducir variables en Statistix2 El diagrama de dispersiónLa representación gráca más útil de dos variables continuas es el diagrama de dispersión. Consiste en representaren un eje de coordenadas los pares de observaciones (x i ; y i ). La nube así dibujada (nube de puntos)reeja la posible relación entre las variables. Realizaremos a continuación un gráco de dispersión para nuestrosdatos en el que representaremos la variable Estatura en el eje X y la variable VEF en el eje Y. Debes pulsar enel menú superior Statistics I Summary Statistics I Scatter Plot..., como se muestra en la Figura 2.Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 2 de 9

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresiónFigura 2: Cuadro de diálogo para realizar un gráco de dispersiónObtenemos así el diagrama de dispersión de la Figura 3. A partir de la gráca se observa que parece existir unaclara relación lineal entre ambas variables, de manera que a medida que aumenta la estatura, también aumentael VEF y además lo hace de forma lineal.Figura 3: Diagrama de dispersión para los datos de Estatura y VEFCarmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 3 de 9

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresión3 CovarianzaRecuerda que Statistix nos permitía calcular directamente medidas características de posición, dispersión y formaa través del menú Statistics I Summary Statistics I Descriptive Statistics... Por ejemplo, calculamos acontinuación (Figura 4) la media, varianza y desviación típica de Estatura y VEF. Obtenemos los siguientesresultados:Descriptive StatisticsVariable Mean SD VarianceEstatura 156.00 14.422 208.00VEF 2.6917 0.7489 0.5608Figura 4: Cuadro de diálogo para calcular medidas características de variables individualesHemos visto que en el contexto bidimensional surgen nuevas medidas que nos permiten cuanticar la dispersiónconjunta de dos variables estadísticas. Consideremos una muestra de n observaciones de una variablebidimensional cuantitativa (X; Y ). Se dene la covarianza entre X e Y (que se denota por s xy ) como:Cov(X; Y ) = s xy = 1n 1n∑(x i x )(y i y ):i=1La covarianza puede interpretarse como una medida de relación lineal entre las variables X e Y . En Statistixcalcularemos la covarianza entre dos variables a través del menú Statistics I Linear Models I Variance-Covariance... (ver Figura 5). Obtenemos los siguientes resultados:Variance - Covariance MatrixEstatura VEFEstatura 208.000VEF 10.6727 0.56083Cases Included 12 Missing Cases 0La varianza de la Estatura es 208 cm 2 , la varianza del VEF es 0.56083 l 2 y la covarianza entre estatura y VEFes 10.6727 cm¡l.Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 4 de 9

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresiónFigura 5: Cuadro de diálogo para el cálculo de la covarianza4 Coeciente de correlación linealObserva que la covarianza depende de las unidades de medida de las variables. El coeciente de correlaciónlineal se calcula dividiendo la covarianza entre el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.r xy =s xys x s y:En Statistix calcularemos el coeciente de correlación lineal a través del menú Statistics I Linear Models ICorrelations (Pearson)... (ver Figura 6). Obtenemos el siguiente resultado:Correlations (Pearson)EstaturaVEF 0,9882Cases Included 12 Missing Cases 0Por lo tanto, el coeciente de correlación lineal será r xyindica que la relación entre ambas variables es directa.= 0:9882. La correlación es próxima a 1, lo que nosCarmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 5 de 9

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresiónFigura 6: Cuadro de diálogo para el cálculo del coeciente de correlación lineal5 El modelo de regresión lineal simpleEl modelo de regresión lineal simple establece que la relación entre la variable dependiente ( Y ) y la variableindependiente (X) es de la forma:Y = 0 + 1X + ":Dada una muestra (x1,y1),. . . ,(x n ,y n ), el objetivo es determinar los valores de los parámetros desconocidos 0y 1 (mediante estimadores ^0 y ^1) de manera que la recta de regresión denida Y = ^0 + ^1X ajuste dela mejor forma posible a los datos. Los valores de los parámetros obtenidos mediante el método de mínimoscuadrados son:^1 = s xys 2 xque serán llamados coecientes de la regresión.; ^0 = y ^1xCalcularemos la recta de regresión en Statistix a través del menú Statistics I Linear Models I LinearRegression... Recuerda que en un modelo de regresión lineal Y = 0 +1X +, la variable Y recibe el nombre devariable dependiente, respuesta o explicada. La variable X recibe el nombre de variable independiente, regresorao explicativa. En nuestro caso, pretendemos explicar el VEF en función de la Estatura, por lo tanto la variabledependiente Y será el VEF y la variable independiente o explicativa X será la Estatura (ver Figura 7).Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 6 de 9

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresiónFigura 7: Cuadro de diálogo para el cálculo de la recta de regresiónLeast Squares Linear Regression of VEFPredictorVariables Coefficient Std Error T PConstant -5.31288 0.39457 -13,46 0,0000Estatura 0.05131 0.00252 20,37 0,0000R-Squared 0,9765 Resid. Mean Square (MSE) 0.01452Adjusted R-Squared 0,9741 Standard Deviation 0.12051AICc -43.972PRESS 0.2217Source DF SS MS F PRegression 1 6.02393 6.02393 414,78 0,0000Residual 10 0.14523 0.01452Total 11 6.16917Cases Included 12 Missing Cases 0Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 7 de 9

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresiónCoecientes de la recta de regresión. Obtenemos en la primera columna de esta tabla (Coefficient)las estimaciones de los coecientes del modelo. En el ejemplo, ^0 = 5:31288 (constante) y ^1 = 0:05131(pendiente). Por lo tanto, la recta ajustada será: Y = 5:31288 + 0:05131X.Contrastes sobre los parámetros del modelo. Las dos últimas columnas de la tabla de coecientes (T, P) nosproporcionan información para realizar los contrastes que nos permiten comprobar si los coecientes del modeloson signicativos (si son distintos de cero). Si escribimos el modelo como Y = 0 + 1X + ", los contrastes seplantean de la siguiente forma:Para la constante: {H0 : 0 = 0H1 : 0 6= 0Para la pendiente: {H0 : 1 = 0H1 : 1 6= 0Estos contrastes son importantes, porque en caso de no rechazar alguna de las hipótesis nulas ( 0 = 0 o1 = 0), podríamos prescindir de alguno de los coecientes del modelo y así simplicarlo. En el ejemplo el valordel estadístico para el contraste sobre la constante del modelo es T = 13; 46, con un p-valor igual a 0, loque nos lleva a rechazar la hipótesis nula H0. Es decir, la constante de la recta es signicativamente distinta decero. Por otra parte, el valor del estadístico para el contraste sobre la pendiente es T = 20; 37, con un p-valorigual a 0. Por lo tanto, también rechazamos la hipótesis nula H0 y concluimos que la pendiente de la recta essignicativamente distinta de cero. Ambos coecientes son signicativos.Coeciente de determinación. Una vez resuelto el problema de estimar los parámetros surge la pregunta de sila recta estimada es o no representativa para los datos. Esto se resuelve mediante el coeciente de determinaciónR 2 . En el ejemplo, el coeciente de determinación (R-Squared) es R 2 = 0; 9765.Descomposición de la variabilidad. Los métodos de regresión pretenden darnos una explicación de cómo lavariable respuesta, Y , se comporta de distinta manera en función del valor que tome la variable explicativa, X.En consecuencia, parte de la variabilidad de Y quedaría justicada por la inuencia de la variable X, mientrasque otra parte sería fruto del error del modelo.La variabilidad de toda la muestra la denominamos variabilidad total (VT) o suma total de cuadrados y sedescompone en dos sumandos:VT = VE + VNE:La variabilidad explicada (VE) sirve como medición de la variabilidad que podemos explicar en base al modelo deregresión. La variabilidad no explicada (VNE) se interpreta como variabilidad residual. En Statistix, la decomposiciónde la variabilidad se muestra en la columna SS (sum of squares). Para los datos del ejemplo tenemosVT=6.16917, VE=6.02393 y VNE=0.14523. Efectivamente, se cumple que VT = VE + VNE:Recuerda que además el coeciente de determinación se denía como la proporción de variabilidad de la variabledependiente que es explicada por la regresión. EfectivamenteR 2 = VEVT = 6:023936:16917 = 0:9765:También puedes comprobar que en el modelo de regresión lineal simple, el coeciente de determinación coincidecon el cuadrado del coeciente de correlación, es decir R 2 = r 2 xy .Carmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 8 de 9

Bioestadística. Grado en MedicinaPráctica: La recta de regresiónEl contraste de regresión. En la misma tabla de la descomposición de la variabilidad Statistix también nos dael resultado del contraste ANOVA. Esta prueba determina si el modelo de regresión aporta información sobre lavariable respuesta. El test es muy útil cuando trabajamos con modelos más generales que el de regresión linealsimple. En nuestro caso contrasta si la pendiente es signicativa (distinta de cero).{H0 : 1 = 0H1 : 1 6= 0En el ejemplo el valor del estadístico del contraste es F = 414:78, con un p-valor igual a 0, lo que nos llevaa rechazar la hipótesis nula H0. Es decir, la pendiente de la recta es signicativamente distinta de cero (es lamisma conclusión que en el contraste correspondiente sobre los parámetros del modelo).Representación de la recta de regresión. Por último, representaremos la recta de regresión estimada. Paraello volvemos al menú desde el que realizamos el gráco de dispersión (Statistics I Summary Statistics IScatter Plot...). En el cuadro de diálogo debes seleccionar en la opción Fitted Curve I Linear Regression(Figura 8). Obtendremos así una gráca como la de la Figura 9.Figura 8: Cuadro de diálogo para representar la recta de regresiónFigura 9: Recta de regresión para los datos de Estatura y VEFCarmen M a Cadarso, M a del Carmen Carollo, Xosé Luis Otero, Beatriz Pateiro Página 9 de 9