Taller # 1 - Relaciones y Funciones - Departamento de Matemáticas

Taller # 1 - Relaciones y FuncionesIntroducción al CálculoDepartamento de MatemáticasTipos de Relaciones:Una relación R en un conjunto A es llamada:I. Reflexiva si para cada x ∈ A, se tiene (x, x) ∈ R;II. Simétrica si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R;III. Anti-simétrica si (x, y) ∧ (y, x) ∈ R entonces x = y;IV. Transitiva si (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R.1) Dada las relacionescalculeS = { (a, b), (b, a), (w, w), (b, w), (c, x), (a, a), (x, c) } ;R = { (a, w), (x, w), (x, c), (b, b) }R ◦ S, S ◦ R. Concluya que la composición de relaciones no es conmutativa.2) Considere la siguiente relación R = {(a, 1), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, calcule R −1 , R −1 ◦ R, R ◦ R −1 .3) Considere el conjunto de los dígitos D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},a) Describa los elementos de las siguientes relaciones en DR = {(n, n + 1) : n ∈ D}.S = {(n, n − 1) : n ∈ D}.b) Describa las fórmulas que determinan las siguientes relacionesR = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.S = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.4) Para la relación R = {(x, y) : y = 2x} en los números enteros, calcule la imagen.5) Para las relaciones R, S del ítem 1 calculeDom(R) ∩ Dom(S)Dom(R ∩ S).Dom(R) ∪ Dom(S).Dom(R ∪ S).6) Dada una relación R muestre que (R −1 ) −1 = R, Dom(R −1 ) = Ran(R), Ran(R −1 ) = Dom(R).7) Dadas relaciones R, S muestre que (R ◦ S) −1 = S −1 ◦ R −1 .1

8) De ejemplos de relaciones en los números naturales que cumplan alguna de las condiciones de reflexividad,simetría, anti-simetría y transitividad. Es posible encontrar una relación que cumpla todaslas condiciones al tiempo?9) Dada una relación R en un conjunto A, efectuar la negación de los siguientes enunciadosa) R es reflexiva;b) R es simétrica;c) R es anti-simétrica;d) R es transitiva.10) Si A es un conjunto, denotamos por P(A) las partes del conjunto A, es decir la colección formadapor todos los subconjuntos de A. En P(A) la inclusión ⊂ determina una relación. A saber,R = { (B, C) : B ⊂ C } .Es decir, dos subconjuntos B, C ∈ P(A) están relacionados si B ⊂ C ∨ C ⊂ B. Muestre que R esuna relación reflexiva, anti-simétrica y transitiva.11) Dado un conjunto A denotamos por I A la relación identidad en A, más específicamenteDada una relación R en A muestre quea) R es reflexiva si, y solamente si, I A ⊂ R;b) R es simétrica si y soalmente si, R = R −1 ;I A = { (x, x) : x ∈ A } .c) R es anti-simétrica si, y solamente si, R ∩ R −1 ⊂ I A ;d) R es transitiva si, y solamente si, R ◦ R ⊂ R.12) A seguir se presentan algunas relaciones en el conjunto de los números enteros. Determine cuáles deellas poseen alguna de las propiedades, reflexividad, simetría, anti-simetría, transitividad.a) R = { (x, y) : x + y < 2 } ;b) R = { (x, y) : x = y ∨ x = −y } ;c) R = { (x, y) : y = x + 1 } ;d) R = { (x, y) : x + y es par } .2