Prácticas de Mecánica Cuántica I, 2011 - Instituto Balseiro

Práctica 5OperadoresMecánica Cuántica IInstituto Balseiro26 de agosto de 20141 Pruebe 2 de las siguientes propiedades de conmutadores:(a) [Â, ˆB] = −[ ˆB, Â](b) [Â, ˆB 1 + ˆB 2 ] = [Â, ˆB 1 ] + [Â, ˆB 2 ](c) [ ˆB, Ĉ] = [Â, Ĉ] ˆB + Â[ ˆB, Ĉ](d)[Â, ˆBĈ] = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ](e) α[Â, ˆB] = [αÂ, ˆB] = [Â, α ˆB], con α complejo.(f)[Â, Â] = [Â, f(Â)] = 0(f analítica)(g) [Â, [ ˆB, Ĉ]] + [ ˆB, [Ĉ, Â]] + [Ĉ, [Â, ˆB]] = 02 Verificar los siguientes conmutadores[ˆx, ˆp x ] = i¯h [(ˆx) n , ˆp x ] = n i¯h ˆx n−1 [ˆx, (ˆp x ) n ] = n i¯h ˆp n−13 Sean los operadores ˆp, ˆx. Muestre que para todo operador  de la forma  = ∑ n≥0 a nˆx n , con a ncomplejo, ∀n ≥ 0, se cumple:[ ]ˆp,  = −i¯h dÂdx .4 Probar que(a) ( ˆB) † = ˆB †  †(b) (λÂ)† = λ ∗  †5 Muestre que el operador impulso es un operador hermítico. Considere que el dominio lo formantodas las funciones de cuadrado integrable.6 Usar la notación de Dirac para probar las siguientes propiedades de operadores hermíticos.(a) Las autofunciones correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales.(b) Los autovalores son reales.(c) Sean u y v autofunciones de  correspondientes a autovalores diferentes. Si [Â, ˆB] = 0entonces se cumple que 〈u| ˆB|v〉 = 07 Indique cuáles de los siguientes operadores son hermíticos. Justifique.(a) ˆxˆp x(b) ˆxˆp x + ˆp xˆx(c) ŷˆp x8 Considere un subespacio de dimensión 3 y una base de estados ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 . Los operadores Â, ˆBy Ĉ tienen la siguiente representación en dicha base⎛ √ ⎞ ⎛A = 1 1 2 1⎝− √ √2 0 221 − √ ⎠ B = i 1 −i √ ⎞ ⎛⎞2 −1⎝− √ 2 0 − √ 0 0 −i222 11 i √ ⎠ C = ⎝ 0 −1 0 ⎠2 −1−i 0 0Determinar si los operadores correspondientes son hermíticos o unitarios.

Práctica 5OperadoresMecánica Cuántica IInstituto Balseiro26 de agosto de 20149 El espacio de estados de cierto sistema físico es generado por la base ortonormal {|u 1 〉 , |u 2 〉 , |u 3 〉}.Sean los kets|ψ 0 〉 = 1 √2|u 1 〉 + i 2 |u 2〉 + 1 2 |u 3〉|ψ 1 〉 = 1 √3|u 1 〉 + i 3 |u 3〉(a) ¿Están estos estados normalizados?(b) Construya los proyectores sobre los vectores |ψ 0 〉 y |ψ 1 〉 respectivamente, y verifique que sonhermíticos.10 Un sistema cuántico tiene un espacio de estados de dimensión 2, siendo {|1〉 , |2〉} una base deautovectores del hamiltoniano, correspondientes a energías E 1 y E 2 , respectivamente. Para unobservable Ô se han determinado experimentalmente los siguientes valores medios:〈〉∣1 ∣Ô ∣ 1 = 1;(a) Determine los autovalores de Ô.〈∣ 〉∣ ∣∣1 ∣Ô2 1 = 5 ∣ 〉 〈14 ; ∣ ∣∣ ∣Ô3 1 = 7 4 .(b) Si inicialmente el sistema se encuentra en un autoestado de Ô, encuentre la expresión parasu evolución temporal posterior.