Modelos de Regresión Aditivos Estructurados (STAR) con respuesta ...

donde l(θ|y) = ln(g(y|θ)) es el logaritmo de verosimilitud del modelo y p es elnúmero de parámetros estimados en θ. Para la selección en modelos de regresiónlineal, el vector θ incluye todos los coeficientes de regresión y, posiblemente, unparámetro de escala (en función del tipo de distribución de la variable respuesta).En fórmula 3.25 los modelos g asumidos son funciones de verosimilitud. Enlos modelos aditivos estructurados realizamos inferencia de máxima verosimilitudpenalizada, por lo que los modelos g asumidos ahora son probabilidades penalizadas.En la forma general el AIC tiene la fórmula (comparar Hastie y Tibshirani (1990))AIC = −2l(θ|y) + 2tr(H) = −2l(θ|y) + 2df total , (3.26)donde la matriz hat H es la matriz que proyecta la información y de los valoresajustados, es decir, ŷ = Hy. En el caso de respuesta no gausiana, H es la matrizde evaluación de la última iteración del algoritmo de puntuación, es decir, ˆη = Hȳ.Además, nos referimos a la cantidad df total := tr(H) como los grados de libertad delmodelo. En inferencia de máxima verosimilitud la cantidad tr(H) es igual al númerode parámetros de regresión.3.3.2. Criterio de Información Bayesiano (BIC)El Criterio de Información Bayesiano (BIC) se deriva de Schwarz (1978). El BICse origina a partir de un contexto bayesiano. Supongamos que tenemos dos modelodiferentes M i ,i = 1, 2, los cuales asumen unas probabilidades a priori p(M 1 ) y p(M 2 ).Los ceoficientes de regresión a priori son definidos condicionalmente en el modelopor p(θ i |M i ). Con el teorema de Bayes se obtiene la probabilidad a posteriori paracada modelo porp(M i |y) =p(y|M i )p(M i )p(y|M 1 )p(M 1 ) + p(y|M 2 )p(M 2 ) , (3.27)donde la expresión p(y|M i ) es la verosimilitud marginal del modelo y se calculacomo∫p(M i |y) =p(y|θ i , M i )p(θ i |M i )dθ i . (3.28)El término p(y|θ i , M i ) es la función de verosimilitud para los parámetros θ i . Pararesponder a la cuestión de cuál de los dos modelos es superior, se puede utilizar elfactor de Bayes (ver Kass y Raftery (1995))