memorias - Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

MEMORIASDE LAREAL ACADEMIA DE CIENCIASEXACTAS, FÍSICAS Y NATURALESDEMADRIDSERIE DE CIENCIAS EXACTASTOMO VIH.—MEMORIA NUM. 1

MEMORIASDEREAL ACADEMIA DE CIENCIASEXACTAS, FÍSICAS Y NATURALESDELAM A D R I DSERIE DE CIENCIAS EXACTASTOMO VIII.—MEMORIA NUM. 1Una teoría para redes lógicas combinacionalescon incertidumbrePORJOSÉ MIRO NICOLAUMADRIDDOMICILIO DE LA ACADEMIA:VALVERDE, 22.—TELEFONO 221-25-291972

ES PROPIEDAD DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIASEXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES DE MADRIDDepósito Legal M. 8.267-1973.I. S. B. N. 84-600-5616-5.TALLERES GRAF. VDA. DI C. BERMEJO.—J. GARCÍA MORATO, 122.—TIL. 2330619. — MADBID

PRÓLOGOEn los últimos treinta años han ocurrido cambios significativos en°el interés con que se han acogido las diversas teorías lógicas de sistemasdigitales. Con el advenimiento de los circuitos ÑOR, del diodo túnel,de los dispositivos de umbral, etc., aparecieron nuevos temas querequerían la creación de nuevas doctrinas. La teoría de diseño de circuitosV a O (AND to OR) ya no servía para diseñar con circvútosÑOR, que requerían otro método, ninguno de los métodos podría utilizarsepara los circuitos umbral. Y si la naturaleza humana sigue siendolo que es ; mañana habrá otro circuito a utilizar y ninguno de lostres métodos va a servir tampoco.Desde hace años hemos creído que debe ser posible la organizaciónde un cuerpo teórico general que pueda abarcar gran variedad de problemas,no sólo los viejos problemas ya estudiados, sino los nuevos problemasque se ven venir, e incluso los que han estado planteados durantemuchos años, pero que no se han podido estudiar bien por falta de laherramienta matemática adecuada.Estas preocupaciones no fueron pasivas : poco a poco las ideas evolucionaronconvirtiéndose en un cuerpo de doctrina original, en el quese manejan nuevos conceptos de nuevas maneras para tratar nuevos problemas.Creemos que los resultados obtenidos arrojan mucha luz sobrela naturaleza de los problemas que surgen del estudio de los sistemas'lógicos.Esta memoria contiene una parte de esa teoría: la que estudia lossistemas lógicos combinacionales.El primer capítulo es una introducción y sirve para enfocar la atenciónsobre la nueva problemática.El capítulo II expone brevemente unos cuantos conceptos clásicosbien conocidos. Hemos considerado conveniente incluir esta breve discusiónde los conceptos más fundamentales utilizados en los siguientes•capítulos.La contribución- original empieza en el •capitulo III. En este capítulo•se introduce el álgebra- reflexiva. Es un álg'ebra no booleana de tresvalores, llamada así porque no describe la verdad o falsedad en sí, sino

el conocimiento reflexivo de esta verdad. Aunque un sistema en sí seabinario, el álgebra que pretenda describir nuestro conocimiento del sistemaha de ser ternaria para ser capaz de incorporar la descripción dela mcertidumbre. De la misma manera que en aritmética el 0 es un símbolorepresentando ausencia de valor, se va a utilizar un símbolo pararepresentarausencia de conocimiento y un álgebra para calcular con él.El análisis de redes lógicas formadas por unidades lógicas interconectadasse estudia en el capítulo IV.El capítulo V dedica su atención a dos temas. Por un lado estudíalospro.blemas de síntesis, que ofrecen gran interés por cuanto resulta,posible el diseño de sistemas de comportamiento cierto a partir de unidadesde comportamiento incierto. Por otro lado, se extienden los resultadosal estudio de redes estocásticas, cuyas unidades tienen un comportamientoprobabilístico.El capítulo VI. estudia algunos problemas relacionados con clases deequivalenciae.ilustra cómo los métodos presentados se pueden utilizarpara resolver problemas tan diversos como la identificación de circuitosyla teoría de la descomposición.El capítulo VII demuestra la eficacia de la teoría en la consideración'de un problema práctico de diseño, llegando a una solución inalcanzablemediante cualquier otra teoría que nos sea conocida.Algunas observaciones ayudarán al lector.1. Las referencias bibliográficas se indican en corchetes [ ] queaveces aparecen junto al nombre del autor correspondiente.2. Se han introducido algunos términos ingleses por creerlo menosconfusoque la traducción castellana, por ejemplo ÑOR en vez de NO O,.ya que la O y el «cero» se pueden confundir con facilidad.3. Las referencias a las ecuaciones dentro del mismo capítulo se hacenmediante un número en paréntesis. Ejemplo: (18). Si se cita unaecuación de un capítulo anterior, entonces se precede el número del'capítulo al de la ecuación. Ejemplo : (3-18).4. Cuando en una frase, formal o informalmente, se pretende introduciro definir un concepto nuevo, el término definido va en cursiva..f>. . El estudio se refiere a «redes lógicas combinacionales sin retroalimentación».Para evitar repeticiones innecesarias, en donde no puededar origen a confusión, se denominan simplemente redes lógicas.6. El símbolo del producto booleano « • » se omite en donde seconsidere conveniente, así a • b = a b.1. Con objeto de establecer una marcada separación entre los problemas,demostraciones y los comentarios que siguen, el fin del ejemplose ha señalado con la letras f. d. e. y el fin de las demostraciones conel clásico c. q. d.

— 9 —8. Una de las dificultades de dicción ha sido el doble uso de la palabra«uno» como artículo y como valor lógico. Para salvar esta dificultaden vez de referirse a «los unos» se ha escrito «los 1», aunquerealmente le falta una ese al sonido de la lectura. Creemos que haciéndoloasí se han evitado confusiones. Por extensión se utilizan las expresiones«los 0» y dos *», etc.9. Los ejemplos utilizados para demostrar la eficacia de la teoría*se han elegido de una manera arbitraria.10. Con frecuencia se ha de hacer referencia a la teoría original distinguiéndolade la clásica. Se ha optado por utilizar la palabra Teoría,con mayúscula para denominar la nueva teoría presentada en esta memoria.

. CAPITULO PRIMEROINTRODUCCIÓNEl estudio de los sistemas lógicos y digitales ha cobrado gran relievedurante los últimos veinte años. Las apariciones del ordenadorelectrónico, calculadoras de propósito específico y control numérico handado un tremendo impulso al desarrollo de la teoría mal llamada de conmutación.Aquí se referirá como teoría de sistemas lógicos.Los conceptos centrales de esta teoría son los de variables y funcionesbinarias, tabla verdad, álgebra de Boole y máquinas secuenciales, etcétera.En ellos se han basado la gran mayoría de los trabajos realizadoshasta le fecha y son bien conocidos.El progreso en el campo de sistemas digitales se debe fundamentalmentea los impresionantes avances de la técnica. Basta recordar queShannon propuso el uso del álgebra de Boole para el estudio de redesde contactos con relés hace apenas treinta añas y desde entonces, yen casi vertiginosa sucesión, se ha introducido el uso de válvulas devacío, materiales magnéticos, rectificadores de selenio, diodos de unión,transistores, lógica neumática y criogénica y últimamente los circuitosintegrados. Estos avances se han hecho en dirección múltiple porqueno sólo se ha aumentado la velocidad de operación, sino que se ha reducidoel volumen, el consumo de energía y el coste, sin reducir porello la confiabilidad.Pero las nuevas técnicas llevan consigo nuevos problemas que requieresnuevas teorías para tratarlos. Antes de empezar la presentación•de la Teoría, objeto de este estudio, bueno será dar una breve ojeadaa la evolución del campo que nos ocupa. De este examen podrá surgiruna visión en perspectiva de cuáles lian sido los problemas que han merecidomás interés en el pasada y porqué, de las razones que motivaron.el uso de ciertas soluciones y finalmente de dónde surgen los problemasde hoy y la necesidad de nuevos métodos para atacarlos.1.1. El problema del diseño lógico. Formulación clásicaEs interesante observar que, en líneas g'enerales, el prog'reso en la

- 12 -mayoría de los campos ha seguido una pauta parecida a la siguiente.Aparecen primero unos avances técnicos y más tarde aparecen las descripcionesmatemáticas de los fenómenos implicados. En una segunda,etapa se empiezan a formular problemas utilizando estas técnicas descriptivas.En esta segunda etapa quedan de relieve la importancia delas técnicas de descripción y las ventajas de su uso, olvidándose a menudode los inconvenientes. Uno de ellos suele ser que la técnica dedescripción no sólo permite formular problemas, sino que coacciona a.la mente humana a la investigación de aquellos problemas que la técnicadescriptiva es capaz de manejar. Hay muchas situaciones históricas,que ilustran el caso: por ejemplo, el concepto corpuscular de la lurimpulsó el desarrollo de la óptica, pero sólo la geométrica, el conceptodelcalórico estimuló el desarrollo de la termología y a la vez fue causade considerable retraso en el desarrollo de la termodinámica; el cálculode variaciones impulsó la investigación en ciertos problemas de optimización,pero sólo en algunos de ellos. Más recientemente el uso dela transformada de Laplace ha contribuido considerablemente al estudiodesistemas, pero sólo lineales. Hicieron falta nuevos conceptos, técnicasdescriptivas y las teorías que llevan consigo, como la teoría ondulatoriade la luz, el concepto energético del calor, las técnicas de programacióndinámica y los métodos matriciales de los espacios de estadospara establecer firmemente nuevos puntos de partida que permitieronulteriordesarrollo. Cada una de estas técnicas ha aportado sus ventajas,,ha estimulado la investigación y la ha polarizado en una dirección.Este tipo de evolución ha ocurrido también en el estudio de los sistemasdigitales. La técnica de descripción que se ha utilizado más fuecreadapor Boole [4, 5]. Los primeros circuitos lógicos fueron construidosa base de relés. Le cupo a Shannon [50] la g'loria de descubrir queelálgebra de Boole proporcionaba una herramienta adecuada para ladescripción de los circuitos lógicos combinacionales, que son aquellos"cuya respuesta en el instante t depende únicamente de las entradas en elmismo instante í. Richards [46] refiere que el primer ingenio calculadorfue diseñado sin ayuda del álgebra de Boole. En este primer ingenioyahabía sistemas secuenciales > que son aquellos cuya respuesta en elinstante t depende no solamente de las entradas en el instante t, sinode lo que haya ocurrido antes, es decir, de la secuencia de entradas queestimularon el sistema antes de í y son responsables de la historia desucomportamiento. El concepto de máquina secuencial fue exploradapor Turmg [50], Kleene [38], Huffman [37], Mealy [28] y otros. Alrededorde estos conceptos se ha elaborado un vasto edificio teóricoconimpresionantes resultados prácticos, como es, por ejemplo, la cuartageneración

— 13 —Uno puede preguntarse cuáles fueron las causas de tan rápido desarrolloy el examen revela que fueron principalmente dos. Por una parte,está el hecho de que los problemas lógicos suelen tener un conjunto•de soluciones muy amplio. Las soluciones posibles se cuentan por potenciasde 2, y 2" crece deprisa con n. Veremos más adelante que enproblemas relativamente pequeños no es raro encontrar conjuntos delorden de 2 50 soluciones. La existencia de tantas soluciones estimuló el•desarrollo técnico, ya que fue fácil encontrar una solución razonable,quedando para más adelante la identificación de una solución óptima.La segunda causa está en la afortunada coincidencia de que la funciónbooleana que describe una cierta operación lógica combinacional describetambién un circuito formado por unidades Y (inglés AND) alimentandoa una unidad O (inglés OR) (o viceversa) que realiza estafunción. Este hecho, junto con la existencia de circuitos que realizabanlas funciones Y y funciones O, provocó toda una línea de investigación.El simple uso del álgebra de Boole para describir la función a realizarpermitía la identificación de todo un conjunto de soluciones de realización técnica inmediata. La línea de investigación quedaba marcada ;Tiabía que investigar la mejor solución dentro del conjunto.Aparecieron docenas de trabajos destinados a la identificación delcircuito más simple con estructura Y a O (O a Y), llamados circuitos dedos niveles. Primero se investigó la minimización del circuito que realizauna solo función de n variables. En este campo hay que recordar lastablas de Harvard, seguidas más tarde por los métodos de Quine [44.45], McCluskey [25], Nelson [37, 38] y Mott [35], para nombrar sólounos pocos. Más tarde surgió la necesidad de minimizar redes con variassalidas, cada una realizando una función diferente. Los trabajos de'Bartee [3], Polansky [41] y McCluskey [26] deben ser mencionadoscomo principales contribuidores.Además, en el campo de máquinas secuenciales se progresó de unamanera parecida. El concepto de estado fue muy fecundo y de nuevo-en los problemas de síntesis el conjunto de soluciones podía ser amplísimo.Fue reacción natural la búsqueda de soluciones con mínimo númerode estados. Dada una máquina secuencial cualquiera, Huffman [17],Mealy [28], Paull y Unger [40] originaron métodos para encontrar unamáquina equivalente con mínimo número de estados, aunque no hayninguna garantía de que la minimización de estados conduzca a unaminimización del circuito. Una vez decidido el número de estados hayque elegir un código para representarlos y de todos los posibles códigos"hay, al menos, uno que minimiza el circuito combinacional de la máquinasecuencial. Armstrong [1], Stearns [15] y Hartmanis [14] han ofre-

— 14 —cido métodos heurísticos que parecen razonables, pero que no ofrecenninguna garantía de encontrar el mejor código.Así, pues, el uso del álgebra de Boole dio lugar a un tremendo progresoen el desarrollo de la teoría de sistemas lógicos, aunque, por otraparte, aparentemente ignorados, quedaban vario's problemas que estabanclaramente fuera del alcance de las técnicas en boga.Por una parte estaba el circuito puente. La bilaterilidad de la conducciónen el contacto de un relé permitía la estructura de circuitopuente y la función booleana no revela la posibilidad de minimizar elcircuito mediante un puente. A lo más conduce a un mínimo circuitodentro del conjunto de soluciones con estructuras serie-paralelo, quepuede envolver más elementos que el puente.Otro problema que fue fácilmente identificado y que ha resistidomuchos ataques ha sido el diseño de circuitos de tres niveles, es decir,estructuras del tipo O a Y a O, o Y a O a Y. Se sabe que algunas funcionesse sintetizan con menos elementos mediante estructuras de estostipos, pero el problema de identificar soluciones óptimas de tres nivelespara una función dada cualquiera sigue en pie.Otre problema, que es fundamental, puede formularse de la siguienteforma. Supóngase que se desea diseñar una función:2 =/(x u x 2 ... x n ) (1)donde s es la salida y .x\, x 2 , ..., x n son las variables y se dispone deun circuito con m entradas

— 15 —ble es que el álgebra de Boole no está equipada para tratarlos. La técnicade descripción booleana apunta a toda una problemática diferentey la investigación ha tenido la tendencia a orientarse hacia los problemasnaturalmente sugeridos por las especiales características de la notaciónusada.1.2. Nueva problemáticaSin duda se puede afirmar que en el campo de teorías de sistemaslógicosexiste una nueva problemática. Dos razones fundamentales hanforjado la situación actual. La primera es la historia misma. Hace veinteaños lo importante era buscar una solución razonable. Hoy no existeninguna ansiedad en este respecto. Una solución, y bastante buena, ya.está asegurada. Lo importante es mejorarla, simplificarla y abaratarla.Por otra parte, las nuevas técnicas han traído consigo nuevos problemas,no sólo problemas de tecnología, sino también problemas lógicos.Un simple ejemplo basta para ilustrar el caso. La incorporación deltransistor en los circuitos digitales no sólo llevó consigo los problemastécnicos de FAN-IN y FAN-OUT, sino que al producir la inversión dela señal convirtió la función del circuito OR en su negación ÑOR y elAND en su negación NAND, y el problema lógico de minimizar elcircuito cobró un cariz completamente nuevo. Este problema ha motivadono pocos trabajos de investigación [51]. No obstante, queda sinresolver la cuestión de minimizar absolutamente un circuito formadopor unidades ÑOR que realice una función booleana cualquiera dada.Para tratar de formular la nueva problemática se van a examinar losnuevos desarrollos técnicos para adquirir conciencia de los problemas'lógicos a que conducen.Los desarrollos más notables de los últimos años han sido los circuitosde uno o .más umbrales y los circuitos integrados. Sin estudiaren detalle los circuitos de umbral, que no son objeto de esta memoria,se puede hacer una idea de la importancia que pueden llegar a tenerconsiderando que un tipo de circuitos muy simples descrito por Miró [32],formado por dos transistores, uno o dos diodos y unas pocas componentespasivas, puede sintetizar a todas las funciones de hasta tres umbralesde cuatro variables, que fueron identificadas por Miró [34] y son170 de las posibles 221 clases en que se dividen las 2 16 funciones decuatro variables No se sabe todavía qué funciones de cinco o más variablespudieran realizar este circuito, pero ya se ve que el número vaa ser impresionante.Todos los circuitos de umbrales tienen sus problemas de tolerancias,no sólo de componentes, sino de niveles de tensiones en las señales de

- 16 -•entrada. Si no se satisfacen estas tolerancias, es posible que para algunasconfiguraciones de entrada, y sólo para ellas, la respuesta puedaser a veces incorrecta. Es importante notar que estas configuraciones•de entrada, para las que la salida es insegura, son teóricamente identificablessin lugar a duda. Es decir, en algunos casos puede existirignorancia o incertidumbre sobre cuál va a ser el comportamiento delos circuitos de umbrales para unas configuraciones de entrada específicas.No se ve claro que los diseños del futuro se cayan a hacer utilizandocualquiera de los posibles circuitos de umbrales, por cuanto cada circuitotiene un diseño especial y al fabricante le interesa utilizar pocostipos de circuitos. Pero puede concebirse muy bien que se identifiqueuna función de seis o siete variables realizada por un circuito F dadoy se utilicen los circuitos F como componentes fundamentales de lamisma manera que hoy se utilizan los ÑOR. Esto está lejos de sertm sueño. Ciertas investigaciones preliminares realizadas por el autorapuntan a la existencia de funciones de seis o más variables que adecuadamenteutilizadas podrían abaratar enormemente el diseño.Las técnicas de circuitos integrados aumentan la posibilidad de que•este futuro se realice, porque, sin encarecer la unidad, es posible añadirunos elementos activos que pueden ajustar los niveles de las señalesrebajando algo las tolerancias.Del mismo modo que han aparecido funciones de umbrales, pudieranaparecer otro tipo de funciones. El problema de diseño de mañana noserá cómo diseñar con cirtuitos ÑOR o con circuitos de timbales, sino•cómo diseñar con lo que sea, con las unidades que el futuro nos depare.Visto en esta luz el diseño lógico, empieza a presentar sus problemas: unos viejos, otros nuevos. Vale la pena examinarlos..1.2.1. Identificación de circuitos.El problema de si un circuito dado (2) puede realizar una función•deseada (1), que ya se formuló en la sección .1.1, sigue teniendo granimportancia, por cuanto el número de funciones diferentes de n variablesque un circuito cualquiera de n entradas puede efectuar, puede llegara ser n ! x 2", que excepto para valores bajos de n es un númerobastante considerable. Es importante desarrollar métodos que permitanidentificar las posibles conexiones de las variables a las entradas. Tambiénes importante considerar que el problema se puede extender alcaso en que el número de entradas exceda al de variables, que por ahorase ha escapado al estudio.

— 171.2.2. Eliminación de inversores.En el diseño clásico se supone que las entradas van a ser descritaspor las variables x¡ o por las variables complementadas x t . Para obteneruna variable complementada se necesita un inversor cuyo coste.110 es despreciable. Es, pues, importante identificar soluciones de diseñopara las que ninguna variable esté complementada. Este problemaha sido bien formulado para el diseño lógico con circuitos ÑOR [23],pero las soluciones propuestas [10] no ofrecen ninguna garantía demínimización del circuito. El problema de identificación de solucionesque no exijan complementación de las variables es un problema queno es específico de las funciones ÑOR y tiene que ser consideradopara cualquier tipo de circuito fundamental.1.2.3. Incertidumbre.La existencia de incertidumbre en cuanto al comportamiento de uncircuito no implica que el circuito sea inútil. Sin embargo, lleva consigoproblemas de análisis : si no se está seguro del comportamiento delas unidades, ¿qué seguridades se pueden tener acerca del comportamientodel sistema entero? O más interesante todavía, el problema desíntesis. ¿Se puede diseñar un sistema de operación segura utilizandounidades de operación incierta? ¿Cómo?1.2.4. Confiabüidad.El lallo es una realidad con la que el hombre ha tenido siempre quevivir. La actitud más corriente solía ser tratar de evitarlo. Hoy es necesarioademás describirlo. El fallo se considera ya parte integrantede: individuo o sistema, y así un circuito o unidad ya no se describiríamediante una función, sino mediante un conjunto de funciones consu correspondiente distribución de probabilidades. El análisis se complicaporque dado un sistema lóg'ico compuesto de funciones probabilísticas,"hay que determinar el conjunto de funciones que describen larespuesta del sistema y sus probabilidades. El concepto puede ser taml)iénincorporado a problemas de síntesis.1.2.5. De composición.El problema más general de diseño lógico puede expresarse comoun problema de descomposición de funciones como sigue:

- 18 -Sea X= {X'Ú x 2 , ..., x n } un conjunto de variables, y X¡ c X ri = 1,2,... subconjuntos de X. Una función F (X) se dice que estádescompuesta siF (X) =

CAPITULO IILA MATEMÁTICA DE LOS PROCESOS LÓGICOSLos razonamientos lógicos que interesaron a los filósofos clasicosfuerondescritos matemáticamente mediante el álgebra desarrollada porBoole [4, 5]. Su uso fue incorporado al diseño de sistemas digitalespor Shannon [50]. Su cuerpo teórico ha tenido un enorme desarrollo^durante los últimos treinta años.Este capítulo no pretende hacer una revisión de toda la teoría, sinosolamentepresentar lo más escuetamente posible unos pocos conceptosy métodos utilizados en el ulterior desarrollo de la memoria. Ellector interesado en un desarrollo riguroso del tema puede consultarHarrison [13].2.1. Funciones booleanas2.1.1. Representación algebraica.Es bien sabido que en su forma más usual una función booleanapuede representarse mediante una tabla verdad o mediante una expresiónalgebraica que envuelve unas variables binarias, negadas o no,relacionadas mediante dos operaciones: la suma booleana representadapor+, que se puede leer «O», y el producto booleano, cuyo símboloes •, que a veces se omite, que se puede leer «Y». Para la negaciónse utiliza el símbolo ~.Si los valores binarios son 1 (cierto) y 0 (falso), la expresiónx—a+¿7(i)significa que x es cierto si, y sólo si, a es cierto «o» si b es cierto «y»c «no» lo es. La figura 2.1 muestra la tabla verdad correspondiente aesta expresión, mostrando las ocho posibles combinaciones que las variablesbinarias pueden presentar y el valor de la función para cadauna de ellas. La función puede también representarse mediante una

- 20 —suma de tantos productos como símbolos 1 hay en la columna correspondientea x, así:abc (2)Un producto en que aparezcan todas las variables de la función sellama producto fundamental. En su forma más general una función den variables puede siempre representarse como una suma de productosfundamentales llamada forma normal desarrollada, representada así:X = £ m¡ d, (3)> = o•donde m, son los productos fundamentales, y d¡ son los correspondientesvalores de la función. Así, pues, aplicando el álgebra de Boole,el desarrollo de (3), correspondiente a la tabla verdad de la figura 2.1,toma la formax = (a 1 ~c). 0 + [a ~b c). 0 + (a b c). 1 + (a b c). 0 + (a 1 c). 1 + (a b c). 1 + (a b c) • 1 +que coincide con (2).2.1.2. Representación geométrica.Se puede hacer corresponder.a cada producto fundamental de n variablesa., i = 1,2. ..., n un vértice de un hipercubo de dimensión ny lado 1, de forma que. la coordenada correspondiente al eje a¡,i = 1, 2, .... n sea 1 si a¡ aparece en in¡, y sea 0 si aparece a¡. Estacorrespondencia es biunívoca y con esta interpretación una funciónbooleana viene descrita (o se corresponde) con un conjunto de vérticesdel hipercubo. Así, por ejemplo, la figura 2.2 ilustra la representacióngeométrica de la función dada por (~\) y (2). La función vienerepresentada por el conjunto de vértices marcados.Debido a la dualidad existente en el álgebra de Boole, una funciónbooleana también puede expresarse como un producto de sumas.2.2. Minimiza ñonDe la comparación entre (1) y (2) se deduce que una función booleanapuede tener más de una repesentación algebraica y el problema

- 21 —abe0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 05 10 11 1 01 1 1 i 1Fig. 2.1.—La tabla verdad correspondiente a x = a + h c.II OIII001Fig. 2.2.—Representación geométrica de la función x = a + b c.de determinar una expresión mínima para una función dada ha recibidogran atención. En esta sección va a examinarse brevemente.2.2.1. Adyacencias.Sea un hiperciibo de lado 1 con aristas sobre los ejes como en 2.1.2.Dos vértices del hiperciibo son adyacentes si sólo difieren en una co-

— 22 —ordenada. Dos vértices adyacentes constituyen una adyacencia de primerorden. Una adyacencia de primer orden puede representarse medianteun producto de n — 1 variables.Así, en el ejemplo de la función (1) (fig. 2.2), los vértices 6 y 7constituyen una adyacencia de primer orden, o «lado», que se puede representarasí:¡6,7{ = ab7+abc=ab(c + c) = ab (5)Similarmente, la adyacencia formada por los vértices 4 y o se puederepresentar así:¡4,5j = at7+ a be = ab(c + c) = al (6)Un conjunto de 2 2 = 4 vértices que tengan n — 2 coordenadas conlos mismos valores constituyen una adyacencia de segundo orden, quese puede describir mediante un producto de B — 2 variables.Así, pues, los cuatro vértices 2, 6, 3, 7 constituyen una adyacenciade segundo orden, o «cara»,análogamente,¡2, "A, §,7 \ = a b c + a b c + a b c + a b c = a b (c + c) + a b (c + c) == a b + a.b = (a + a) b = b¡4, 5, 6,7! = ¡4, 5¡'+ )6, 7¡ = a b + af= a (b + F) = aEn general, un conjunto de 2' vértices que tengan n — i coordenadascon los mismos valores se denomina adyacencia de orden i y es expresablemediante un producto de n—i zwriables.Considerando una función booleana como un conjunto de vértices,se dice que una adyacencia está incluida en la función si todos sus puntosson miembros del conjunto.Las adyacencias se pueden describir má fácilmente mediante las coordenadasbinarias de todos sus puntos. Esta notación se simplificagrandemente si se utiliza el símbolo — para denotar que el valor binariode una coordenada es cero o uno, así:J (0, 0, 0), (0, 0, 1) f se representa por 0, 0, —y con esta notacióny¡2, 3, 6, 7 ( se representa por — 1 —j 4, 5, 6, 7 j se representa por 1

— 23 —Una tabla verdad en la que aparezcan r símbolos — en la columnacorrespondiente a la función, representa, pues, un conjunto C de 2 rfunciones booleanas. Cuando se pide diseñar una función descrita de•esta manera, equivale a pedir diseñar una función cualquiera del conjuntoC. Por esto, al símbolo — se le suele llamar signo de indiferencia.-(Inglés, «don't care».)5.2.2. Implicantes primos.Una adyacencia A, perteneciente a una función /, se dice que es unimplicante primo de / cuando no existe ninguna otra adyecencia de or--den superior B, tal queAcBC/.El proble.ma de la minimización se reduce, pues, a encontrar para/ una expresión que sea una suma de implicantes primos.Existen muchísimos métodos para la determinación de implicantesprimos. Uno de los más conocidos es el de Ouine-McCluskey [25],

— 24 -tado en una tabla verdad de n variables, realmente no se necesitantodas las variables para representarla. Las variables vacuas son innecesarias,por ejemplo ena es vacua, porque realmentex = b + cEl problema de la determinación de variables vacuas puede tenerinterés cuando la función contenga muchos vértices indiferentes. Elmétodo de McCluskey puede entonces modificarse para adaptarse a estecaso [24], o los posibles conjuntos de variables vacuas pueden determinarsedirectamente, Kuntzman [10].2.3. Clases de funcionesExisten ciertas propiedades que son privativas de sólo algunas funcionesbooleanas. Estas propiedades pueden a veces hacer atractivo eluso de los circuitos que las posean. Otras veces su consideración puedefacilitar los problemas de diseño. Esta sección se destina a consideraralgunas de estas propiedades.2.3.1. Mono tonicidad-uno.Una función se llama positiva en una variable no vacua x si x noapareceen ninguno de sus implicantes primos.Análogamente, una función se llama negativa en x si sólo x apareceen sus implicantes primos.Una función tal que con respecto a cada variable o bien es positiva,o negativa, se llama monotónica-uno. La palabra «uno» se añade para,distinguirlas de las funciones monotónicas-dos, monotónicas-tres, etcétera[57], cuya consideración no interesa aquí.Una función monotónica-uno se llama positiva o negativa si es, respectivamente,positiva o negativa con respecto a todas sus variables..Ejemplos:1) x = a c + b c es una función positiva en a, positiva en b y no'es monotónica-uno, porque ambos c y c aparecen en sns implicantesprimos.

— 25 --2) x = a• c + b c es una función posiiva en a y en b; es monotónica-uno,pero no es positiva ni negativa.3) x = a c + b c es una función positiva, lo cual implica que esmonotónica-unoy positiva en a, b y c, f. d. e.2.3.2. Funciones equivalentes.Sea % el conjunto de las transformaciones que consisten en complementarlas variables de una función, permutarlas, complementar lafunción o cualquier combinación de estas tres. Dos funciones

- 26 -2.4. Redes bien formadasSe llama unidad lógica a un sistema o circuito lógico de entradastrinarías y salida binaria, cuyo comportamiento viene descrito por unafunción booleana que establece la salida como función de las entradas.La unidad lógica viene descrita por la correspondiente función booleanay en esta memoria se representa como en la figura 2.3, donde launidad G, tiene una sola salida y¡ que es función de sus entradas y¡, y ty E¡ = {e L , e 2> ..., e s ).Fig. 2.S.—Representación de una unidad lógica.Por comodidad se representa todo el conjunto de entradasK, Í¡, • • • , e,\mediante una flecha de doble trazo.Un sistema formado por unidades lógicas interconectadas entre síse denomina red lógica.Una red lógica combinacional se dice bien formada si todas las unidadese interconexiones obedecen las siguientes reglas :1. Todas las unidades de la red son unidades lógicas como las descritas.2. Cada entrada a una unidad está conectada o bien a la salida deuna unidad, o bien a una fuente de señales exterior a la red.3. Las salidas de dos unidades cualesquiera no pueden estar inlerconectadas.Esta definición de redes bien formadas es más amplia que la definiciónde «well formed nets» de Burles y otros [6, 7], ya que permitevías de retroalimentacion y bucles cerrados, en los que la salida de unaunidad está conectada a una de sus propias entradas.Tiene interés el caso especial de redes bien formadas en las que noexiste retroalimentacion. La determinación de si en una red existe retroalimentaciono no es simple. Una unidad se llama de orden cero si

— 27 —no tiene ninguna entrada que esté conectada a la salida de otra unidado de si misma. Se llama «poda» a la transformación que elimina unaunidad de orden cero de una red y las interconexiones entre la unidadeliminada y otras unidades. Si una red no tiene ninguna unidad de ordencero, entonces existe retroalimentacion; si tiene algunas, su podano destruye ninguna posible vía de retroalimentacion. De ahí se deduceel criterio: si en una red, por sucesivas podas, se pueden eliminartodas sus unidades, entonces no tiene vías de retroalimentacion.Esta memoria se limita al estudio de redes lógicas sin retroalimentacion.

CAPITULO IIIUNA FORMULACIÓN REFLEXIVAEn la teoría de redes lógicas bien formadas sin retroalimentacion,•que empezará a desarrollarse en el capítulo IV, se utiliza una notaciónalgebraica, formulación, operadores matemáticos y conceptos especiales•que son objeto de breve estudio en este capítulo.-3.1.1. Nota.3.1. Una álgebra reflexiva para la incertidumbreEn 1963 Miró [33] formuló la primera versión del álgebra utilizada-en esta memoria. Era parecida a la de Lukasiewicz y Tarski [21], queya había sido utilizada para el estudio de redes de contactos triples porRoginskii [47], y más tarde lo fue por Valentinuzzi [54]. Aunque prácticamentetodas las álgebras de Boole de n valores están cubiertas porlos trabajos de Post [43], Yoelí [58] anunció un álgebra ternaria parecidapara el estudio de riesgos. El contenido de esta sección es unresumen del contenido del apéndice primero.3.1.2. Introducción.El comportamiento de un sistema de respuesta binaria (alta o baja)puede serperfectamente descrito por una variable binaria. En cambio,el conocimiento de este comportamiento necesita por lo menos tres valores,que podemos representar por 1, 0, *, con los sig'uientes significados:1. Se sabe que la salida es alta.0. Se sabe que la salida es baja.Se verá más tarde que * puede representar incertidumbre de si laisalida es alta o baja.

- 30 — •Nótese que el sistema físico es binario sin duda. El cálculo proposicionalse torna ternario al pretender ser reflexivo, es decir, cuando sepreocupa no de la verdad o falsedad de una afirmación, sino del conocimientoque se posea de esta verdad o falsedad.Como en el álgebra de Boole, se pueden definir las operaciones• («Y»), •'+ («O») y — (complementación) y resulta:000***111. 0 = 0= 0. 1 = 0. 0 = 0. * = *. 1 = *. 0 = 0= *-1. 1Q- h 0 = 00- f- * = *0 Hr 1 = 1* H-0=*[- * = ** 4-1 = 11 4- 0 = 11 4- * = 11 4-1 = 10=11 = 0* = *3.1.3.Teoremas.El álgebra que resulta es ciertamente no booleana, por cuanto nose puede afirmar que para cada elemento a exista un complemento atal que a • a = 0 y a + á=l, ya que para a ••= * :El desarrollo formal del álgebra, aunque interesante, cae fuera delpropósito de este capítulo, que se limita a hacer uso de los resultados.Baste decir que todos los teoremas fundamentales del álgebra de Boole,que no envuelven complementaciones, se cumplen en el álgebra y queel teorema de De Morgan:a + b = a . ba . b = a + bse cumple también.Los otros teoremas, en cuyas expresiones aparecen variables con ysin complementar, también se cumplen si no existe ignorancia referentea los valores de estas variables, es decir, son 0 y 1. Por ejemplo:a + a b — a + b deja de cumplirse para a = *. Pero se cumple para

— 31 —3.1.4. El valor lógico de la incertidumbre.El álgebra desarrollada en [29] es un sistema matemático formal queemerge de unos postulados y cuya validez es independiente de la interpetaciónque se dé al valor lógico *. Se comprueba a continuación queinterpretando * como incertidumbre en la respuesta de un sistema digitalse satisfacen las definiciones formales de las operaciones lógicas.La comprobación se ilustra para la operación Y en la figura 3.1. En;ella se muestra repetidamente el circuito Y con dos entradas, utilizandoel símbolo ? para representar la ignorancia en las entradas o salidas.Se va a describir cada situación mediante una frase gramatical yuna expresión matemática que utiliza la ignorancia ? y se comprueba queesta expresión corresponde a una de las operaciones definidas en 3.1.2.Los casos (a), (c), (g), (i) de la figura 3.1 tienen la interpretación clásica.Figura 3.1 (b) y (d).—Si una entrada al circuito Y es 0, la salida es,0 aunque el valor de la otra sea incierta. O sea:0 . ? = 0 que corresponde a 0 . * — 0? . 0 = 0 » > » * . 0 — 0Figura 3.1 (f) y (h).—Si el valor de una entrada es 1 y la otra esincierta,la salida es incierta también. O sea:1 . ? = ? que corresponde a 1 . * = *? . 1 = ? » » » * . 1 = *Figura 3.1 (e).—Si ambas entradas son inciertas, la salida lo es también.O sea:? . ? = f que corresponde a * . * = *La justificación con respecto a la operación «O» es similar y se ilustraen la figura 3.2. De nuevo los casos (a), (c), (g), (i) tienen interpretaciónclásica.Figura 33.2 (b) y (d).—Si una entrada a un circuito «O» es cero y nosesabe lo que es la otra, la salida es incierta. O sea:0 + ? = f que corresponde a 0 + * = *f + 0 = ? » > » * + 0 = *Figura 3.2 (f) y (h).—Si la entrada a un circuito «O» es 1, la salida:es 1, aunque la otra sea incierta. O sea:1 + ? = 1 que corresponde al + * -= 1? + 1 = 1 » % » * + 1 = 1

— 32 —(c)1 ^^-^ ?id.le¡1(f)(9,Ifl)Fig. 3.1.—Interpretación de la incertidumbre. Circuito «Y».H)la)' b)i c )Id,ie)ífl(g¡Fig. 3.2.—Interpretación de la incertidumbre. Circuito «0».CU

- 33 -Figura 3.2 (e).—Si las entradas a un circuito «O» son inciertas, larsalida también lo es. O sea:í + ? = ? que corresponde a * + * = *oFinalmente, la figura 3.3 ilustra la operación del inversor o complementador.Los casos (a) y (c) son clásicos.-\j—-Fig. 3.3.—Interpretación de la incerlidumbre. Circuito inversor.Figura 3.3 (b).—Si la entrada es incierta la salida también lo es :•O sea:7= í que corresponde a * = *Así, pues, la utilización de * para representar el valor lógico de laincertidumbre está justificado.3.1.5. La función ((equivalencia)).Resulta de especial interés la funciónfe (b, a) =f e (a, b) — a . b + a . bllamada clásicamente función «equivalencia» porque f e (a, b) = 1 cuandoa••= b — 0 o a••= b = 1, es decir, que /«.(o, b) = 1 significa quea = b. En el álgebra que nos ocupa el valor de f t (a, b) dice lo que sesabe referente a la igualdad de a y b. En particular,f e (0, *) =/, d, *) =./(*, *) = *Es decir, si una variable es incierta, no se sabe si es igual o no a-otra.

— 34 —Esta es una importantísima consideración que sirve para comprobarsi el uso de * es correcto. Un simple ejemplo ilustrará el caso.ab000110110011íi(a)Fig. 3.4.—Ejemplo en el uso de la incertidumbre.(b)Considérese la red de la figura 3.4 (a), donde las entradas a y b>alimentan las unidades combinacionales f lt / 2 , cuyo comportamientoestádescrito en la tabla de la figura 3.4 (b) para tres de las cuatroconfiguraciones de entrada. La cuestión es: ¿cuál es la salida x paraa = b = 1? Se consideran dos casos.En el primer caso supóngase que no se sabe cuál es la salida y L defx ni la salida y 2 de / 2 para o = b = 1, y no se sabe absolutamente nada>referente a y 1 e y 2 . Entonces uno escribeyi (1,1) = *y t (1,1) = *x =. y í 4- y¡ = * -f- * = # 4- * ==: •*es decir, la salida es incierta.En el segundo caso, supóngase que siguen sin saberse los valores-'-de y x (1,1) e y 2 (1,1), pero en cambio se sabe que los circuitos f 1 y f^son iguales. En este caso el uso de ;y, (1,1) = *, y 2 (1,1) = * es ilícitoporque se sabe que y 1 = y 2 , o sea, que f e (y. u y 2 ) = 1 y no puede sery 1 = *, ya que /„ (*, y 2 ) = *.Entonces uno tiene que escribiry la salida está completamente determinada. Este ejemplo trivial ilustraclaramente que la incertidumbre en el comportamiento de las unidadesno implica incertidumbre en el comportamiento de las salidas del'sistema.

- 35 -Este capítulo no se extiende más en el estudio de esta álgebra booleana.El lector interesado puede consultar el Apéndice I.3.2. Formulación matricialSea una tabla verdad con variables x x , x 2 , ..,, x n que describe unafunción lógica; sean d 0 , d v .... d s , s 2 >l — 1 las entradas en la columnade la función /. De acuerdo con el teorema de Shannon [13]:"dondeLa ecuación (1) puede escribirse en forma matricial:i_ tns _j\_d 0 , d 1 , ..., d s ] se llama matriz de designación; (§> es el símbolo de multiplicaciónde matrices realizada de la manera usual, pero donde el producto• es en el sentido «Y»; •+ se entiende en el sentido «O», y[x lt x. 2 , ..., x n ] es un símbolo que representa la matriz de productosfundamentalesque aparece en (2). Al conjunto ordenado {x¡, x 2 , ..., x n }se le llama base. En general, los elementos d t serán 0,1, * (incierto)..En el diseño lógico tiene interés describir conjuntos de funciones.Para simplificar la notación se ha venido usando el símbolo •— para,indicar ó 0 ó 1, siendo indiferente. El símbolo de indiferencia •— esrealmenteun símbolo de inespecificación.(3)Ejemplo.^ = [01*0 11] ® [a, b, c]

— 36 —es una expresión que describe un conjunto de cuatro funciones. El valorde la función cuando los valores de las variables son tales quetn 0 = 1 o «? 3 = 1 es 0. Este tipo de frase puede abreviarse como sigue :«para m 0 y m ¿ , f — 0». Con esta nomenclatura diremos : para m¡_, m am 7 , / = 1; para m í y m ¡t , ó 0 ó 1, a voluntad, y para m 2 . es / = *, devalor incierto, f. d. e.No debe confundirse * y —. Una matriz de designación con cercs,unos y m símbolos — representa un conjunto de 2 m funciones, o en•el lenguaje del diseñador, una función cualquiera de este conjunto. Lamisma matriz con los mismos ceros y unos, pero con m símbolos *representa una función incierta del conjunto de 2 m posibles funciones.Ciertamente no es una función cualquiera, es una sola, pero no se sabe•cuál. Es la función que es, r.o la que el diseñador quiera.La matriz de designación se representará por el símbolo D, con osin subíndice. Cuando la base se conoce es conveniente representarlapor una simple letra mayúscula como sigue :/=K¿, ..• ¿J® l*¡,x 2 . .«•„] = U ® [X] -4)Cuando D y X se conocen, la tabla verdad está completamente especificadapor (4).3.3. Operaciones v operadores matricialesSe definen operaciones matriciales como la suma, producto, etc., talesque de dos matrices se obtiene una tercera, y operadores, como trasposición,que transforma una matriz en otra. Como el símbolo — esuna notación taquigráfica para denotar «cualquiera de 0 ó 1», pero noes un valor lógico, las operaciones requieren que los elementos de lasmatrice-s sean 0, lo*. En lo que sigue se denotan las matrices pormayúsculas, y sus elementos por las correspondientes minúsculas; lasfilas y columnas se enumeran empezando por cero. Como se conocenmuchas de las operaciones el tratamiento es escueto.3.8.1. Operaciones.3.3.1.1. Producto

— 37 -Si A es de orden ni x w y B es de orden n x p, C es de ordenm x p dado por"-SP L i = 0,1 ... n - 1A=Ó ./ = 0, 1 . . . / - 1donde • es en sentido «Y» y X en sentido «O».3.3.1.2. Producto. En sentido «Y».A . B = CDonde A, B y C son de orden m x n y C viene dada porCij = a¡¡ . bij3.3.1.3. Suma +. En sentido «O».A + B = CDonde A y B son de orden m x n y C viene dada porc¡j = aij + bij3.3.1.4. Producto i¡.A ((i B =CEste producto se define sólo cuando:A es de orden m x n.B es de orden m x p.Entonces C es de orden n x p.Y los elementos de C, c¡j, vienen dados por la expresiónc,j— I I {a+donde 11 es en sentido «Y» y + en sentido «O».Ejemplo.[ 001* * of.'d. e.

— 38 —, El elemento c¡¡ describe el resultado de comparar la columna i deA con las columna / de B. c¡¡ •= 1 si las columnas í-ésima de A y y-ésimade B son equivalentes, c¡¡ — 0 si no son equivalentes en al menos un•elemento y c¡; = * si la equivalencia de columnas es incierta.3.3.2. Operadores.3.3.2.1. Trasposición y complementación.La trasposición tiene el mismo sentido que la trasposición clásica:A' = BcuandoLa complementación*ij = a Hviene dada porA = BEjemplo.SeaentoncesLi o i *3.3.2.2. Operador s.fio * íiA = | I 1. d.e.Lo i o *JO. A r= BA es de orden m x n.B es de orden 1 x n.

- 39 -y-donde £ es en el sentido «O».Ejemplo.3.3.2.3. Operador 9.[ 00*0-11 * 1 0 I = [1*1 0] f. d. e.** o o JDada una matriz de designación D de 2 n elementos se definen los-operadores cp¿, i = 0, 1, ..., n de la manera siguiente. La aplicación deifí a D, escrito 9¡ D, consiste en partir los dígitos de D sin alterar suorden en 2 ¡ grupos de 2 n ~' dígitos cada uno, reorganizando los grupos•en una matriz rectangular. El primer grupo se convierte en la primerafila, el segundo en la segunda y así sucesivamente. Así, pues,

- 40 -3.^.2.4.Teorema.Sean D x y D 2 dos matrices de designación del mismo orden:

— 41 —3.4.1. Teorema.Sea/== Dj ® [x¡ ,X¡ . . . X; . . . XH] — Dj (g) [XV X2 . . . X¡ ... Xn]en donde la segunda base se obtiene de la primera simplemente complementandola variable x¡. Entonces,w; D 2 = H, ' 'f, D,En efecto : para el primer grupo de 2 n ~ ¡ elementos de D 1( x, = 1.Para el segundo grupo de 2 n ~ ¡ elementos de D 1; x, = 0, y¿tienen los tienen los mismos valores para D x que para D.,; así, pues,el primer grupo de 2 n ~' elementos de D,, es igual al segundo grupo de2"~' elementos de D ( y viceversa. Lo mismo ocurre para el tercero ycuarto grupos, y en general para el (2 k — l)-ésimo y 2 &-ésimo grupos.El intercambio de filas es una transformación congruente que sepuede llevar a cabo multiplicando por H¡, c. q. d.3.4.2. Teorema.Sea/ = Dj ® [*,, * 2 ... xy, xj +1 x n ] = D 2 ®[x u x¡... XJ, v v i> 2 ... vdonde z\, v 2 , ...,v m son m variables vacuas. Entonces

_ 42 —3.4.3. Teorema.Seay = D, (g> [jfj, x 2 . ,. x¿, x ;+¡ . . . x H ] = D 2 ® [*í + i> • • • a?«, *!, ifj ... *v]donde la segunda base se obtiene de la primera partiendo la base X endos subconjuntos A, B, intercambiándolos como sigue:Entoncesy = D, «g> [A, B] = D,

- 43 —en este caso:11110#0100—11 —en la que se han marcado las dos submatrices o mitades: la primera,correspondiente a &\ = 0, y la segunda a x x = 1, y como x x sigue ensu sitio, hay que trasponer las dos submatrices por separado y resulta1 1 1 10 10 00 * 1 — 'L - 1 — *o sea,y — [111101000*1 1-*] ®[x t , d, 6, c] f. d.e.Ya se ve que si X, tuviera dos variables, habría que trasponer cuatrosubmatrices parciales, y en general si X a tiene m variables habríaque trasponer m submatrices.Considérese ahora el caso en que Xj es vacio y X 2 = {,r 3 } ; en estecaso para cada posible configuración de AB hay dos puntos de la función,uno correspondiente a x í = 0 y el otro correspondiente a x x = 1.Recordando la demostración del teorema 3.4.?!, se puede ver que la trasposiciónha de efectuarse como si los «elementos» que han de trasponersefueran los bloques formados por dos elementos determinados porla configuración que presente AB, es decir, se deben trasponer las submatricesformadas por los dos .elementos, como ilustra el siguienteejemplo.Ejemplo.y = D 1 ®[a, í, e, x t ] = [1 0 1 1 1 0 1 0 0 — * 1 1 *] [a, 6, c, *-,] = D 2

— 44 —En este caso,10 ir10 10?2 D, =o — * iLl — - *.en donde se han indicado tipográficamente los bloques de dos elementos,y efectuando la trasposición de bloques :nr íoioo — i - iL íiio-xi — =i= Jo sea,y = [1 0 1 0 0 — 1 - 1 1 1 0 * 1 — *] [c, a, b, *,] f. d. e-Ya se ve que en el. caso en que X 2 tenga k variables, los bloques atrasponer serán de 2* elementos. En el caso más general con X t dem variables y X 2 de k variables, se tiene que efectuar la trasposiciónpor bloques de 2* elementos en 2 m submatrices parciales.3.5. Funciones monotónicas-1 y positivasSea f una función descrita por una suma de implicantes primos :según se indicó en 2.3.1, una función monotónica-1 es positiva (negativa)si es positiva (negativa) en todas sus variables.La monotonicidad-1 fue estudiada por primera vez por McNaughton[27], a la que él dio el nombre de unateness. La monotonicidad-w,n— 1,2, ... fue estudiada, por Winder [57] como condición necesariapara que una función sea umbral. Este estudio no tiene nada que vercon funciones umbrales, sin embargo el concepto de monotonicidad esinteresante. En esta sección se estudia primero la relación del operadora> con las. adyacencias de primer orden y luego se interpreta la monotonicidadunocomo una propiedad de las matrices de designación.

- 45 -3.5.1. Adyacencias de primer orden y 9 D.Según se indicó en 2.1.2 desde el punto de vista geométrico, dosvértices del hipercubo constituyen una adyacencia de primer orden sidifieren en sólo una de las coordenadas binarias. Si los dos vérticesi, j correspondientes a m¡ y m¡ son o no adyacentes, puede determinar-'se escribiendo i y j en base dos y comparando sus dígitos correspondientes.Si i y ; son adyacentes y se verifica que i

- 46 —•En efecto: por la construcción de la tabla verdad, de donde se obtuvola matriz de designación, sabemos que para los elementos de lamisma columna las variables x 2 , x s , ...,x n tienen el mismo valor, mientrasque para la primera fila, x x = 0, y para la segunda, x. v — 1. Con.lo cual queda demostrado, c. q. d.El teorema 3.5.1.1 se puede generalizar como sigue.3.5.1.2 Teorema.Cada elemento de una fila par de

- 47 —01 23 45 67 89 10 11 12 13 14 15 16 1718 19Fig. 3.5.—Intepretación gráfica de la regla 3.5.2.3.3.5.2. Funciones positivas.Para tratar las funciones positivas y monotónicas-uno es convenientedistinguir los elementos preadyacentes de los postadyacentes. Seand a y d h dos elementos de D, correspondientes a m 0 y m b , formando unaadyacencia. En esta sección se utiliza a para el elemento preadyacente,b para el postadyacente y b '•= a< + 2'; en esta adyacencia, x ¡rj = n — i es la variable que es 0 en a y 1 en i.3.5.2,1. TeoremaSea {d a , d b } una adyacencia con a + 2' = b ; entonces, si A = 1 yd b = 0, la función no puede ser positiva en x¡.En efecto: m. a está implicado por, al menos, un implicante primo-P,. que no puede contener x¡ porque para m a , x¡ = 0. P debe contenerx¡, porque si no lo contuviera P, que implica a m 0 , implicaría entoncesa 7716, contra la hipótesis de que c? 6 = 0, c. q. d.De. aquí se deduce que para que una función sea positiva (negativa)en x¡ es condición necesaria que en ninguna adyacencia {d a , d b },b = 2'-+ a, i = n — j, se dé la condición 3 a

— 48 —3.C.ResumenEn este capítulo se han introducido los conceptos fundamentales quevan a ser utilizados en capítulos próximos. El capítulo se ha dedicadoa la descripción de las funciones que a su vez describen el comportamientode los sistemas combinacionales y de sus unidades fundamentales.El próximo capítulo se ocupa del análisis de estos sistemas.

CAPITULO IVANÁLISIS DE REDES LÓGICASEn el capítulo III se estableció la formulación ternaria que permitedescribir el comportamiento de sistemas lógicos y sus unidades, incluyendolos casos en que el comportamiento sea incierto. La teoría tieneque desarrollarse ahora cubriendo los problemas del análisis y síntesisde redes bien formadas sin retroalimentación. La fecundidad de la Teoxíatendrá que ser juzgada más tarde al examinar si es o no capaz detratar la nueva problemática presentada en el capítulo primero. Estecapítulo presenta la descripción de las distintas unidades de las redes ylos métodos que permiten determinar el comportamiento de la red.4.1. Formulación del problema4.1.1. Estructura canónica. Notación.Sea la red de la figura 1 en la que n — 1 unidades combinacionalesGj, G 2 , ..., G^.j proporcionan su salida binaria a la unidad combinacionalG n . Sea E = [e x , e o , ...,

- 50 -De acuerdo con la notación del capítulo II:e¡, i = 1, ..., r, representan las variables externas.G¡, i = 1, ..., n, representan las unidades, que en las figuras a vecesserepresentan por el subíndice sin la G.y¡, i = 1, ..., n, representan las salidas o variables internas.E,, i — 1, ...,n, representan los conjuntos de variables externas.Y. n es elconjunto de variables, internas que son entradas a G, y en estecaso son {y l; y 2 , ...,y n^}.4.1.2. Ecuaciones.Fig. 4.1.—Estructm-a canónicaEl comportamiento de la unidad G,, i = 1,2, ..., n—1 viene dado»por una expresión del tipodonde C¡ es una matriz de designación y [E¡] es la matriz de productosfundamentales de base E,-.Análogamente, el comportamiento de la unidad G n viene dada pory K = C n ® [y lt y s ... y n _ v EJ = C B [Y,,, EJ. (1>Ahora bien, como cada una de las salidas y¡, i = 1, 2, ...,n — 1 e&una función de E, se puede anticipar que y,, es una función de E y sepuede escribiry n = K« -® [E] (2>donde K^ es una matriz de designación y [E] la matriz de productosfundamentales de base E.

- 51 -4.1.3. El problema.El problema de análisis puede ser formulado como sigue: dadosC¡, i = 1, 2, ..., n y E¡, i = 1, 2, ..., n, hallar K B .4.2. Matrices de la estructura canónicaTodas las unidades G,, i— 1, ..•.,« — 1 tienen una participación similaren el problema, en cambio C n juega un papel diferente. Se puedeanticipar que en la solución que se obtenga para K B , todas las G¡,i = 1, ...,n — 1 tendrán que intervenir de forma análoga, mientras queG« intervendrá de forma distinta. Se verá que, efectivamente, así sucede.La fatriz K, se obtendrá a través de dos matrices, una llamada9 M, en cuya obtención intervienen G^ G 2 , ..., G«_ 1; y la otra, llamada

- 52 -4.2.2. Ejemplo.Sea la red de la figura 4.2 donde^ = [0111] ® [a, b]^ = [110*]-® [c,6](5)y 3 -r-- [1 0 1 1 1 0 0 0] [a, b,

- 53 -4.2.3. La matriz T.La matriz T es simplemente una tabla verdad traspuesta, no es lafunción, sino la tabla misma indicndo en orden adecuado las combinacionesque los valores de las variables pueden tomar. Así, pues, parael caso de tres variables la matriz T esT =0000111100110011010101014.2.4. Definición de la matriz canónica

— 54 -base 2, y así aparece un 1 en la fila 3 de la columna 0 de 9 M. La se-columna de S es un cero y el 1 aparece en la fila 0 de la colum-ggundana 2 de 9 M. La tercera columna de S es incierta; podría ser un 7 oun 5, y en la tercera columna de 9 M aparece * en la quinta y séptimafila. Estas consideraciones indican que si bien la ecuación (6) es ladefinición dé M, dada una matriz S puede escribirse directamente lacorrespondiente matriz 9 M sin necesidad de escribir la T.4.2.6. Una propiedad de 9 M.Si no existe ningún * en 8, entonces 9 M tiene un 1 y sólo un 1 porcolumna, ya que la correspondiente columna de 8 corresponde a un solonúmero decimal. Se sigue de aquí que los símbolos * que aparecen encada columna de

— 55 —una y sólo una matriz cardinal correspondiente. Si 9 M tiene -/-, entoncesla S correspondiente puede ser una cualquiera de un conjunto•de posibles S. La descripción de este conjunto es importante y se facilitausando el símbolo —para "de nuevo representar {0,1}. Un ejemploilustrará la técnica..Ejemplo.Sea>M =00-/.-^0 1 0 10 0 0 00 0-7¿00 / O / II 0 -/- O1 _^ V_ 0 1 0-^019)El número de posibles matrices cardinales es fácil de calcular. Las•columnas cero, cuarta, quinta y séptima quedan definidas, la primera•da lugar a dos posibilidades. Las columnas segunda y tercera dan lugara dos posibilidades cada una y la sexta da lugar a tres, así que entotal existen 2 x 2x 2 x 3= 24 posibles matrices cardinales. La descripcióndel conjunto puede simplificarse como sigue. Las colunas ceroy cuarta son jj, la primera [J ó ®, es decir ^ . La columna segunda eso bien jj ó J y no se puede simplicar. La tercera es o ° ó J , o sea, T .y la sexta eso°jó°ó*olo que es lo mismo, o _°_ ó T. O sea, que•el conjunto de posibles matrices cardinales es representable mediante elsiguiente conjunto de cuatro matrices:[000 — 0 101]0 — 0 1 n 1 — l|ro o o - oi o n83— iLo —o 1 o 1 o íj[001 — 0 1 o 1]0-110 1 -íjrooi-o 1-1-1Lo — 1 10 1 o íjAsí, pues, la matriz canónica dada por (9) corresponde a una de lasveinticuatro posibles matrices cardinales descritas por las cuatro de(10), f. d. é.(10)

— 56 —El problema general de hallar la descripción mínima mediante Iossímbolos0, 3, —, de una columna de una matriz canónica cualquierapuede ser laborioso, pero las dificultades teóricas que encierra han sidoyaresueltas, puesto que el problema es exactamente idéntico al de minimizaciónclásica de una función booleana, es decir, a hallar los implicantesprimos de la función booleana:donde j es la posición de -/- en la columna y la 2 contendrá tantos términoscomo -/- hay en la columna. El problema ha sido perfectamenteinvestigado[25, 12] y no merece más atención.4.2.8. La matriz central D.El comportamiento de la unidad G n viene dado por> = C« [Y«, E n ]Mediante un cambio de base se puede escribirVn = D« ® [Y*, E]donde Y M es el conjunto de variables internas que son entradas de G».y en este caso sony n = {y 1 .5' 2 -3' M _ 1 }aplicando 9 n _ x a D n se obtiene una matriz que se representa simplementepor

— 574.3. El Teorema FundamentalSea la estructura canónica de la figura 1 con matriz canónica

— 58 —canónica, correspondiente a la configuración dada por el ^-ésimo productofundamental de [E] viene dada porvs . d vs (12)donde la suma es booleana y afecta solamente aquellos términos paralos que m vs ¿£ 0.Vamos a demostrar (12) estudiando el valor que ha de tener k ns ,según se deduce del comportamiento de la estructura y comprobandoque coincide con el valor dado por (12) en cada uno de los posibles casos.Según hemos visto, si hay un m vs = 1 entonces todos los otrosWjt ṡ = 0, k 5¿ v, por la propiedad 4.2.6 y en este caso si d vs = 1, entonceses k ns = 1; si d vs — 0, entonces k ns = 0 y si k vs = *, entoncesd vs = *, o sea, siempre k ns = d vs . En este caso el segundo miembro de(12) se} reduce a un único término de valor d vs y la ecuación (12) se verifica.Por otra parte, si hay un conjunto de /, es decir, si m is = m js =•= ...'= m ts -= é, y si d¡ s = d ]s '= ...'= d ks = 1, entonces la salida tieneque ser 1, puesto que una de las #' esconde un 1. En este caso laexpresión (12) daV »w . d v¡ = mu . 1 + mj s . 1 + . .. m ks . 1 = 1 • (mu + m js + ... + m ks )v— 0columnaEn cambio, si al menos uno de los d, s , d js , ..., d k¡ es diferente de 1,dps 5^ 1, y no todos son cero, entonces no se puede saber lo que va aser la salida, es decir, debe ser k n , = *. En este caso la expresión (12) danij s s • d/, s —= ¿ d is + 4 d js + ••• + /. d ps + ... + 4 d ks = *,ya que al menos d BS es 0 o *.Finalmente, si d is = d js = ... = d ks = 0, entonces la salida tieneque ser cero y la expresión (12) da tambiénkm = 0. Así, pues, la expresión (.12) da correctamente los valores de k ns en

- 59 —todos los casos. Ahora bien, esta expresión equivale a decir que D n yM se multiplican, se aplica •? al producto y i al resultado o sea,K n =

- 60 -Fig. 4.3.—La red del ejemplo 4.4.1.Las unidades G 1; G 2 , G 3 y G 4 constituyen una subestructura canónicade tres unidades alimentando a una cuarta exactamente idéntica ala del ejemplo 4.2.2 e ilustrada en la figura 4.2. Así, pues, la matrizcanónica obtenida en (7) es, sin más, aplicable.La matriz central correspondiente a D 4 puede hallarse cambiandola base de C 4 a [y 1 , y 2 , y s , a, b, r] y aplicando 9. El resultado es"0 0 1 1 0 0 1 1.D =001100111. 1 * * 1 1 * *11001100* * 1 1 * * 1 11100110000110011La matriz canónica encontrada en (7) era0 10000000 000000000000000100000000000010/000/00000000001/001/1 000(15)

- 61 -Es obvio que la escritura de los ceros de 9 M es innecesaria. Cuandoel cálculo se haga normalmente resulta más cómodo escribir unsimple punto en vez de cero, disponiendo las matrices y resultados deuna forma ordenada como sigue.00110011%%%*%%%*00110011,D =1 1 * * 1 1 * *110 0 110 0cp M =1. i(16)**11**11110011000 0 110 0 11. . • 1 * 1 . . .K= [1 0 1 1 0 1 0 0]y por consiguiente uno puede escribir'; Í, C\ (17)Si se sustituye la unidad central de la subestructura canónica consideradapor la equivalente dada por (17), resulta la red de la figuraá.á, en la que se puede distinguir la estructura canónica formadapor las unidades G,, G- ¿ , G 4 , G 6 .Fig. 4.4.—La red después de la sustitución de G f por su equivalente.

— 62 -La matriz cardinal 5 se halla inmediatamente:y»=ii01 1 01*01 1 1 000[a, i, c] = oCx) [a, ¿, c]y*i 01 1 0 100La matriz canónica puede hallarse directamente:.11 ., M =11 . 1 ¿. . .La matriz central correspondiente a G 5 puede hallarse cambiandola base a [y 2 , y 3 , y A , a, b, c\ y aplicando

- 63 —4.5. ResumenEl comportamiento de las redes bien formadas sin retroalimentaciónpuede estudiarse mediante análisis parciales de subestructuras canónicas.El análisis de las estructuras canónicas se ha llevado a cabomediante tres matrices (la cardinal, la canónica y la central) y un teoremafundamental. Su aplicación se ha ilustrado en un ejemplo, mostrandoque el método es aplicable a cualquier red bien formada sinretroalimentaciones. El próximo capítulo estudiará la aplicación delteorema fundamental a otros problemas.

CAPITULO VSÍNTESIS, REDES ESTOCÁSTICASEntre los temas de interés en la nueva problemática figura el manejode la incertidumbre como valor lógico y el estudio de la confiabilidadcomo una de las características del comportamiento de un sistemalógico. Se ha visto que la incertidumbre puede ser tenida encuenta en el análisis de una red. Queda por estudiar el problema desíntesis. En este capítulo se examinan los problemas de síntesis y la•extensión de la teoría a redes estocásticas.5.1. Los problemas de síntesis de redesLa cuestión matemática de la síntesis de redes puede formularse•examinando la estructura canónica de la figura 4.1.El problema de análisis se formulaba como sigue:Dados G,, G¡j, ..., G,,_., y G n determinar K K en _T n =K n ®[E].Los dos problemas de síntesis inmediatos son:a) Dados G,, G 2 , ..., G n _¡ y la función deseada por K re , determinarG B .b) Dada la función deseada por K n y C, determinar G u G 2 , ..., G n^1En problemas intermedios se podrían dar algunas de las unidadespudiendo hallar las otras.Un problema de síntesis de formulación más general todavía, sería:c) Dada la función deseada K K , hallar las unidades G 1; G 3 , ..., G Kque podrían realizarla.El problema c) está tan plag'ado de soluciones que sólo tiene interés

- 66 -5.2. Síntesis IEl primer tipo de problema de síntesis fue enunciado en la secciónanterior así:Dados G 1; G 2 , ..., G«_! y la función deseada dada por K n , determinarG n .El problema siempre tiene solución porque, en el peor de los casos,se puede encontrar una G n en la que todas las variables de Y*sean vacuas. En general el conjunto de soluciones es muy extenso;con objeto de representarlo en una forma compacta se utilizará de nuevoel símbolo — para indicar ó 0 ó 1.El problema puede formularse en términos matriciales así: dadosK n ycp M, encontrar

- $7 -•cación puede hacerse simplemente disponiendo

- 68 —8 =[01011001.10 1*00 * 110001110K = [ 1 1 0 1 — 0 1 0 ]1. . 11. 1. f. . . .,D =— 1 — 3A __ _____base:[y\, y 2 , y s , a, />.. . . . ! . / •. . ¿ . . . 17=' .^AI(4)La expresión (4) da el conjunto de todas las posibles soluciones dtlproblema que son la friolera de 2 55 , todas referidas a la misma base.Una posible solución, la trivial, es aquella en que y lt y 2 e y 3 son variablesvacuas. Pueden elegirse soluciones con otras variables vacuas.Teniendo en cuenta los resultados de la sección 3.4, se ve inmediatamenteque no existe ninguna solución en la que la variable a sea vacua,mientras que b y c pueden serlo. Si se decide utilizar las variablesy L , y 2 , y 3 , a, se pueden eliminar b y c como variables vacuas y resulta•que G._ tiene un conjunto de soluciones dado por•v 4 = | 00-1-1 110-1]® [y¡,y í ,y¡, a]en un subconjunto de las cuales y 2 puede ser vacua, en cuyo caso lasolución viene dada porv 4 = [0 - 1 0 1 0 — 1] . [y v y,, a] < 5)Siguiendo un procedimiento similar se encuentran fácilmente las siguientesotras dos soluciones :y t = [0 1 - 0 1 — 1 0] ® [v,, a, c\ (6)v 4 = [— 1 — 1 — 0 1 — 1 — 01 1 0] ® [y t , a, b, c) f.d.e. (7)Antes de cerrar esta sección, vale la pena comentar que el método dael conjunto de soluciones al problema de síntesis I, aun cuando existaincertidumbre en el comportamiento de las unidades. Matemáticamenteel problema tiene siempre solución, aunque es muy posible queen algunos casos las soluciones matemáticas disponibles conduzcan asoluciones técnicas complejas o imprácticas.

Así, por ejemplo, suponiendo que se diseñara mediante estructurasY a O, el diseño directo de (3) day i =ia ó + ac + a6 cmientras que la solución (6) viene dada pory i = fl c + y s cSi esta solución es más económica que la anterior, dependerá delsistema concreto, pero es muy posible que lo sea. Por otra parte, lasolución (5) viene dada pory*.—yi a+ y\Vz + y% aque requiere un circuito Y más, pero en cambio un inversor menos.La solución óptima ha de elegirse de acuerdo con las circunstanciastécnicas de cada caso, por eso es deseable que el método matemáticodé todas las soluciones y éste es uno de los puntos fuertes de laTeoría expuesta en esta memoria.5.3. Síntesis IIEl seg-undo tipo de problemas de síntesis fue enunciado en la sección5.1 así: dados K n y G,., determinar Gj, G 2 , ..., G n -i.Se estudiará primero el problema en su forma más simple.Los problemas de síntesis I tenían siempre solución. En su formamás general, los de síntesis II no la tienen siempre. De nuevo el métodoconsiste en una aplicación del teorema fundamental y produce eíconjunto de todas las soluciones. El proceso para entresacar las solucionesindividuales es menos directo que en síntesis I y por eso va amerecer la pena investigar la identificación de las soluciones de interés.De momento este aspecto se deja de lado para más adelante dedicarun capítulo completo a su consideración.El problema de síntesis II admite la siguiente formulación matricial:Dados K n y 9 D, determinar 9 M.Los valores de m vs puede hallarse aplicando de nuevo el teoremafundamental del modo siguiente. De la expresión (4.12), repetida aquíde nuevo,it

— 70 —resultan las siguientes consideraciones:a) Si tiene que ser k ns = 0 y ninguno de los valores de d vs es cero,entonces no existe solución, porqueya que al menos un m^s no es cero y ningún d vs lo es.• b) Si tiene que ser k ns — 1 y ningún valor de d vs es 1, entoncestampoco existe solución, porque en este caso:ya que ningún d v ¡ lo es.•. Cuando existe solución, los valores de m v¡ se deducen a continuacióncon razonamientos análogos a los usados en la sección 5.2.c) Si se desea k ns = 0, entonces para d vs '= 1 o d vs = * tiene.queser m vs = 0. En cambio, para d vs = 0, «,, podría ser 1 ó 0, y se escribem xs = ••/-, puesto que tiene que haber un 1 en la columna.d) Si se desea k ns '= 1, entonces para d vs = 0 o d vs = * tiene queser m vs = 0. En cambio, para d V s= 1, m vs podría ser 1 ó 0 y se escribede nuevo m vs = -/-.e) Finalmente, si no importa el valor de k, ns , k ns ~ —, entoncesm vs puede ser 1 en un elemento cualquiera de la columna y se escribem vs = -/-.La siguiente tabla expresa el valor de m vs para cada posible par devalores k ns , d vs :o o ( 8 >0 0-/.• La aplicación del teorema puede hacerse disponiendo los datos yresultados de una manera similar a la usada en síntesis I. De especialinterés resulta el caso en que la D n sea una función en la que {E} esun conjunto de variables vacuas. En este caso todos los elementos decada fila son iguales y la escritura de

— 71 —hiendo •0 para representar una fila de ceros, -1 para representaruna fila de unos y — * para representar una fila de asteriscos.Del hecho de que el problema de síntesis II tenga solución matemáticano cabe inferir que tenga significado práctico, ya que puede exigirla generación de la misma función que es objetivo final del diseño.El ejemplo que sigue pretende ilustrar una serie de puntos: 1. Laaplicación del teorema. 2. El caso especial en que todas las variables•de {E} son vacuas. 3. El caso de solución sin significado práctico.4. Pretende además ilustrar cómo la incertidumbre emerge naturalmenteen un problema de diseño.5.3.1. Ejemplo.Se desea diseñar la funciónjy 4 = [1 0 0 1 0 11 0] [a, ¿, c] (9)y se dispone de un circuito umbral de tres entradas con pesos 3, 2, 1y umbral 3. Se desea estudiar la posibilidad de utilizar este circuitocomo unidad G 4 en la red de la figura 5.2. La pregunta es: ¿ cuálesdeberían ser las funciones generadasa por G,, G 2 , G 3 ?Fig. 5.2.—Red del ejemplo 5.3.1.El que la función y 4 = D 4 ® [y 1( .y 3 , y 3 ] sea umbral de pesos 3, 2,1 quiere decir, por definición de función umbral, que

— 72 —Para cada posible configuración de entrada se va a verificar unade las dos condiciones, según se ilustra en la tabla a continuación:njViy*0000010011201023011341003510146110571116Hasta aquí la definición matemática. A la hora de utilizar esta unidadpara diseño salta a la vista que las configurciones 3 y 4 no sorr.de fiar. Para estas dos configuraciones :2 cu,- jy,- ^= 3 = umbraly si por la causa que sea, uno de los parámetros cambia un poquitoyla suma no llega a 3, el circuito va a dar salida 0 cuando debiera,dar salida 1. El circuito no es absolutamente malo. Sólo lo es parala tercera y cuarta configuración, en cuyo caso la salida es realmenteincierta.Tratando el problema mediante la teoría expuesta en estamemoria, se puede escribiry* = = [000**11 1]® [y v y s ,y s ] (10) •Con objeto de poder aplicar el teorema con su máxima generalidad,se supone que las tres entradas del circuito van a recibir las señalesy¡, y 2 , y 3! con lo que a, b y c son vacuas en D 4 . El teorema sepuede aplicar ahora directamente así:-D =- o- o- 0- o~~ *-1- 1- 1y--/- • v- • •»M =y- • • y- • y ^ • .K» ^ [ 1 0 0 1 0 11 0 J• / -

— 73 —Existen 3 8 = 6561 posibles soluciones. En el proceso de formar lasmatrices cardinales, cada columna de 9 M da lugar a las dos posibilidadessiguientes :Columna 0 1 2 3 4 5 6 7Primeraposibilidad1 0 0 1 0 1 1 01 0 0 1 0 1 1 0Segundaposibilidad10 0 10 1 1 01 0 0 1 0 1 1 0Así, pues, mediante la ayuda de — se podrían escribir todas las solucionesmediante 2 8 posibles matrices cardinales. Ahora bien, cualquiersolución requiereque es precisamente la función que se desea para y\. La aplicaciónde la Teoría conduce, pues, a la conclusión de que no es posible diseñarun circuito de comportamiento seguro que, utilizando el circuito umbraldado como G 4 , sea capaz de generar la función (9), f. d. e.El ejemplo ha ilustrado los cuatro puntos indicados. Además, laexistencia de un número tan elevado de posibles matrices cardinalesdemuestra el sentido del comentario hecho al comienzo de esta sección,en el que se afirmó la conveniencia de investigar la identificaciónde ciertas soluciones de interés, lo que puede hacerse en la misma matrizcanónica, sin tener que pasar a. las cardinales.5.4. Utilidad de la Teoría en síntesisLas dos secciones anteriores presentan las técnicas para resolver losproblemas fundamentales de síntesis I y II. Antes de proceder con elresto del capítulo, parece oportuno explorar la capacidad de esta teoríaen el campo del diseño lógico. Esta sección no es indispensable enel desarrollo teórico, sino que constituye una pausa destinada a desarrollaruna mejor visión del alcance de la Teoría como herramienta detrabajo. La presentación será, pues, más bien informal apoyándose enejemplos.Es obvio que el teorema fundamental en sus diversas formas puedeaplicarse a diferentes problemas secundarios de síntesis, por ejem-

— 74 —pío: dados G x y G 2 en la red de la figura 5.3, encontrar G 3 y G 4 paraq Ue y 4 = K 4 (g) [EJ. Este y otros problemas similares pueden ser atacadospor uso sucesivo del teorema. Debe realzarse de nuevo que elteorema dará todas las posibles soluciones; ahora, lo que no puedeofrecer es el criterio para que el diseñador elija una de ellas.Fig. 5.3.—Otro problema de síntesis.5.4.1. El diseño clásico «F» a «0».Puede resultar interesante examinar el diseño clásico Y a O desdeel punto de vista de la Teoría. Un simple ejemplo basta para ilustrarel caso. Supóngase que se desea diseñar la funcióny = [1 0 0 1 0 0 1 0] [a, b, c]y se desea que el circuito de salida sea un circuito «O». ¿Cuáles hande ser las entradas al circuito «O»?Como hay tres unos y cada cicuito Y da al menos un uno, un circuito«O» de tres entradas tiene que bastar, es decir,La aplicación del teorema ahora se efectúa así:0_ _ _ _ _ _ _ -1M = [1 0 0 1 0 0 1 O]. 1 1 . 1 1 . 1~D =-j-i.M-* - • • • / - • • - / -1-1. -1/ - • • • / -

— 75 —Para formar las matrices cardinales, existen diversas posibilidadespor columna. Las columnas 1, 2, 4, 5 y 7 van a dar un 0 en cada función.Las columnas 0, 3 y 6 exigen que haya un 1 en al menos unafunción. Si se desea una estructura «Y» a «O», entonces una soluciónaceptable es8-=1 0 0 0 0.0 0 00001000000000010con base {a, b, c).Ya se ve lo que ocurre; de todas las posibles funciones que pudieranalimentar el circuito O, se eligen las Y por conveniencia. Naturalmenteque el uso del teorema en un diseño tan específico comoY a O tiene que resultar ineficiente. El método de McCluskey es probablementemás expedito. Por otra parte, pueden imaginarse otrascondiciones como, por ejemplo, «ningún circuito puede tener más detres entradas» que pudieran ser difíciles de absorber por un métodoclásico, mientras que la Teoría las acepta sin grandes dificultades.5.4.2. Diseño con circuitos ÑOR o NAND.La moderna popularidad de los circuitos ÑOR ha despertado graninterés en los problemas de diseño lógico que su uso lleva consigo. Losesfuerzos encaminados al uso del álgebra de Boole para análisis y síntesisde circuitos de este estilo no se han visto coronados con granéxito. La primera tentativa fue hacer catálogos de circuitos [16, 22]para realizar las diversas funciones de tres variables. Así, por ejemplo,el catálogo de Maley [22] indica que el circuito con mínimo númerode unidades ÑOR para realizar la funciónyi = [10000\ll]®{a,l>,c] (11)es el circuito de la figura 5.4 (a), donde el triángulo representa elcircuito ÑOR en notación clásica. Si uno deseara diseñar^ = [101 —11 10] KM (12)entonces y 2 puede ser una de dos posibles funciones y el examen delcatálogo indicaría que se requieren cinco unidades para realizar tina

— 76 —función y cuatro unidades para realizar la otra. La figura 5.4 (b) indicael circuito. Finalmente, se se desea diseñary 3 = [0 1 - 0 1 0 0 — ] [a, i, c] (13)entonces hay cuatro posibles funciones y después de examinar loscuatro posibles circuitos, el más simple requiere seis unidades ÑOR yse ilustra en la figura 5.4 (c).Ahora bien, nótese que en la figura 5.4 las entradas están complementadas.Esto es lo que se puede obtener del catálogo.¿Y si las entradas han de estar sin complementar? Se puede tratarde arreglar el circuito añadiendo o quitando complementadores, es decir,unidades ÑOR de una entrada, o se puede intentar encontrar lasolución en otro catálogo, o tratar de diseñar el circuito, si bien nohay ningún método que garantice la minimización.¿Y si se desea diseñar un circuito que realice las tres funciones ala vez tratando de compartir las unidades para que se ayuden a realizarlas tres funciones ? Entonces ya no se conoce ningún método queofrezca garantías. Se puede utüitar el sentido común y si hay suertequizá se consiga algo.Para tratar de averiguar la eficacia de la Teoría presentda será interesantetratar de aplicarla al ejemplo en cuestión, que puede formularseasí:'5.4.3.Ejemplo.Diseñar una red con unidades ÑOR, de no más de tres entradas cadauna, que realice las tres funciones/, = [10000111]'®[a,¿, f ]/, = [101 -1110) ®[a,b,¿] (14>/, = [01-01 00-]-® [«,*,

— 11 —Fig\ 5.4.—Realizaciones separadas de y lt y,, y 3 ".

• / / / / • • •= [10 O O O 111] . K = [ 1 O 1 — 111 O] — 0 10 0 —1 • • • .111• - / - - / - , / - - / - . . .1 . 1/111. -A .-/-.... 1/ . 1 .7¿ . ^ -/ --^•/• • ^ 7- • 7^D =M =' - / - • / - - / - - / - • •• • T¿-f •-/-•/- ' /. 7 ¿:. y: ,-Z .-/-/ r yMatrices cardinales elegidas.x¡X,0 0 0 0 .10000 1 0 1 0 0 0 0O'O 1 1 1 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1roo ii « o ii II 101000 00 II o o o o o Í o i IFig. 5.5.—Aplicación del teorema del ejemplo 5-4.3.

- 79 -funciones son inmediatamente reconocibles como circuitos ÑOR. Elcircuito que resulta se ilustra en la figura 5.6, f. d. e.M>t>Fig. 5.6.—Red solución del ejemplo 5.4.3.El resultado es altamente elocuente. Los resultados intermedios soncompartidos por las unidades de salida. No existen otras técnicas capacesde dar estas soluciones. Ahora bien, no se debe sacar de esteejemplo la conclusión de que la teoría expuesta constituye un métodopara diseñar ÑOR No es así porque la Teoría es incapaz de dictar laselección de matrices cardinales. La Teoría constituye una herramientaigualmente manejable para circuitos ÑOR que para otros circuitos.Un método sistemático para diseño con unidades ÑOR podrá quizá resultarde futuras investigaciones apoyándose en las propiedades característicasdel circuito ÑOR. Lo que sí es cierto es que la teoría proporcionaun punto de partida básico y eficaz.

5.5. ConfiabüidadUno de los problemas clásicos de la teoría de la confiabüidad hasido el diseño de circuitos confiables con componentes menos confiables.Las técnicas propuestas [55, 56] casi siempre se apoyaron en elconcepto de redundancia. Si en una unidad el fallo era probable, entoncesse utilizaban varias unidades en paralelo o serie, considerandoque el fallo del conjunto sólo ocurriría cuando todas las unidades fallaran.De este modo la probabilidad de fallo del conjunto es menor.El uso de este tipo de redundancia es indicado siempre que los fallossean de naturaleza catastrófica y por ende imprevisibles. Por el contrario,se ha visto que existen casos en que la naturaleza del fallo es perfectamenteprevisible y afecta solamente a ciertas configuraciones de•entrada. Para compensar esta probabilidad del fallo se necesita redundancialógica, pero no redundancia de toda la unidad. El problema dediseño en este caso, difícilmente atacable con los métodos booleanosclásicos, deja de existir en la Teoría, ya que la incertidumbre de .operaciónpasa a ser parte integrante del álgebra no booleana en que sebasa. Sin necesidad de introducir ninguna teoría de confiabüidad, ypor simple aplicación de los resultados de la Teor.a, en los ejemplos•5.2.1 y 5.3.1 se han atacado problemas típicos de diseño de sistemasconfiables con unidades menos confiables, sin parar demasiada atenciónen ello. Ello es debido a que la Teoría sirve de vehículo natural paratratar este tipo de problemas, sin que resulte forzado en absoluto.Otro tipo de problema que parece en la teoría de confiabüidad tienerelación con la medida de confiabüidad. No se trata ya de determinarqué es lo que un sistema vaya a hacer, sino cuál es la probabilidad deque lo haga. A este problema se le dedica la próxima sección.5.6. Redes estocásticasRedes estocásticas son aquellas cuyas unidades lo son. Una unidadlógica estocástica es una unidad lógica cuyo comportamiento es probabilístico,es decir, viene descrito por un conjunto de funciones y unadistribución de probabilidades asociada.Si se adopta la notación y álgebra de la Teoría, entonces una unidadlógica vendrá descrita por una base, un conjunto de h matrices de designacióny h probabilidades asociadas cuya suma es igual a 1. Si lash matrices de designación se incluyen como las filas de una matriz de h

- 81 -filas, entonces la descripción de una unidad lógica estocástica vendrádada pory,- = D.-A ® [F,], P,- = [P,-,, . . . ?¿ A \< (15)•donde la base es {E} = {e l; e 2 , ..., c r ), D¿" es una matriz de designa-•ción múltiple de orden 4x2':D.-,(16)•y pi¡ es la probabilidad de que(17)y tal queD,y,La estructura canónica es la misma de la figura 4.1, salvo que las•unidades son ahora estocásticas. Como el desarrollo de una teoría deredes estocásticas se extiende fuera de los límites impuestos a estamemoria, esta sección se limita a apuntar los problemas y esbozar losmétodos de solución, presentando un ejemplo que sirva de ilustración.El primer problema es el de análisis. No ofrece ninguna dificultadteórica. La unidad de matriz D¡" puede funcionar de h maneras distintasy cada una de las unidades de la estructura canónica puede funcionarde varias maneras. Sea D i [E] una de las funciones de G,.entonces utilizando el lenguaje del cálculo de probabilidadesÍA,,constituye un «punto en el espacio muestral» al que corresponde laprobabilidadEl problema se ataca estudiando cada uno de los puntos del espaciomuestral por separado. El proceso es laborioso, pero sin dificultades[31],

""""• KJCJ ""•""Los problemas de síntesis de redes estocásticas no están bien estudiadosy desde luego merecen ser investigados. La clasificación de Iosproblemasde síntesis no parece clara. Sin embargo, la Teoría se adaptafácilmente para resolver problemas típicos, como, el que aparece en elejemplo 5.6.2 más adelante.5.6.1. Problema típico.¿Cuál es la función D n que produce una salida y,, = K n 0 [E] paracualquier matriz canónica del conjunto oM ; , j=1,2, ..., s?Según el teorema fundamentalsumando las Í ecuaciones resultaK n — a (

- 83 —y se desea generar la funciónFig. 5.6.—Red del ejemplo 5.6.2.y t = [1 1 0 0 0 1 0 l][a, ¿, c]con una probabilidad P 41 > 0.82. Para realipar la función y A se disponede circuitos de hasta seis entradas con comportamientos de p >•>• 0.9, pero ninguno es capaz de realizar y 4 directamente. La cuestiónes: ¿ qué haría falta para conseguir la y 4 deseada con la probabilidadpedida ?En el peor de los casos los fallos de G 4 ocasionan fallos en y i yen este caso el producto de la probabilidad asociada a y¿, que es >• 0.9 1por la del resto de la red p r , debe ser p > 0.82. O sea,Es decir, si una vez encontrado el resto de la red, con probabilidad;asociada de 0.911 o mayor, G. se sustituyera por una unidad determinística,es decir, con probabilidad 1, entonces el nuevo sistema tendríauna probabilidad asociada > 0.911.Así, pues, en vez de investigar la existencia de un G 4 con p = 0.9 1para dary t = [1 1 0 0 0 1 0 1]® [a, i, e] con / 4 > 0.82,se puede investigar la posibilidad de encontrar una G 4 con p = 1 paradar la misma y\ con P. n •> 0.911.Los dos problemas no son equivalentes, pero una solución del segundoes también solución del primero.

- 84 -La probabilidad de quey x = D,,- ® [a, b, c), v, = D sy [a, b, c\, y 3 = D 3 ¿ [a,b,¿\supuesto que las tres probabilidades son independientes, es el productode las correspondientes probabilidades, y se puede escribirP [o,,-, D,,-, D, A ) =/„•. p v . p lky resultaP [D u , D S1 , D 3l ] = 0.9 X 0.9 X 0.95 = 0.7695que es bastante inferior a 0.911. Ahora bien, hay otros puntos del espaciomuestral con probabilidades no despreciables, como son :P[D U , D M , D S1 ] = 0.9X0 07 X0.95 = 0.05985Si se pudiera, conseguir que en ambos casos la salida fuera la y í deseada,entonces ocurriría con una probabilidadp ^ 0.7695 + 0.05985 = 0 82935 0.911Así, pues, ésta es una combinación que va a dar la probabilidadapetecida y ésta es la combinación más simple de todas ; cualquier otra•envolvería más puntos del espacio muestral.El problema es ahora encontrar una función que en todos los casosdé el mismo V 4 = K n (§) [E], y ahora sí que se está en condiciones deaplicar la Teoría. Para cada caso o punto se busca la matriz cardinal yla canónica correspondiente como se muestra en la figura 5.7. Se desea,pues, hallar una D, tal quey t = [1 1 0 0 0 1 0 1] [a, b, c,] para » M v

- 85 -PuntoPuntoPuntoPuntoD 1S D S1 D 3I>ll D 22 1D u D 2101 00 101100 10 1 11101 01 1100110111010010111101011100010 0101101110 0 01010111000100101100101111111111111 . . . 1 .1.1.1....1. . . . 11 . .1. .. . 1. . . 1. . . .1 ..... 1...1. 1 ......Fig\ 5.7.—Las matrices cardinales y canónicas de los cuatro puntos elegidosde espacio muestf-al.1.. 1..... . 1. . 1. .. 1....1.11Aplicando el método de síntesis I sugerido por (18), resulta con losdatos dispuestos en la forma habitual:K, = [ 1 1 0 0 0 1 I) 1 ]" 1 ~.7=1

el problema de la identificación de circuitos. La expresión (22) nos da, una función como respuesta. ¿ La puede realizar algún circuito disponible?Este es otro tipo de pregunta. El capítulo siguiente examina•esta cuestión entre otras.5.7. ResumenEn este capítulo se han expuesto varias aplicaciones de la teoría•estudiada.. Se han examinado los diversos problemas de síntesis y se havisto cómo la teoría es eficaz en su solución. El número de posibles.soluciones es grande y los métodos propuestos las obtienen todas. Losproblemas de diseñar sistemas confiables mediante componentes decomportamiento incierto cae de lleno dentro de las posibilidades de laTeoría, que incluye este caso sin esfuerzo alguno. Las técnicas se puedenextender fácilmente al estudio, de redes estocásticas.

CAPITULO VIIDEINTIFICACIÓN DE SOLUCIONES Y CIRCUITOSHasta aquí han venido quedando pendientes los problemas de laidentificación de circuitos y selección de una de las muchas solucionesposibles. Ninguna teoría lógica puede ofrecer el criterio para elegirsolución. La selección casi siempre vendrá determinada por factores•económicos o de tamaño, peso, etc. Ahora bien, algunas solucionestienen interés intrínseco, por ejemplo aquellas en que algunas unidadesdesaparecen, es decir, los casos en que y¡ = e¡.Estos casos y otros que van a definirse se estudian como primerpaso para resolver el problema de la identificación de circuitos, al quese dedica buena parte de este capíttilo. Se concluye con una visión rápidade algunos resultados de la teoría de la descomposición que ilustranla amplitud del cuerpo teórico de este trabajo.6.1. Detección de variables independientesAl llevar a cabo el diseño de sistemas lógicos es típico que el diseñadortenga los circuitos a emplear preespecificados. Así, por ejemplo,el diseño se tiene que hacer con circuitos ÑOR o NAND o ciertotipo de umbral o el circuito que fuere. El problema puede plantearsemediante métodos de síntesis II en la forma que se Usaron en el ejemplo5.4.3. El resultado de aplicar el método de síntesis II es una matrizcanónica 9 M normalmente con multitud de -/-, de la cual se puedenobtener las diferentes matrices cardinales, soluciones del problema.Una de las conclusiones alcanzadas al estudiar estos temas erala conveniencia de identificar ciertos tipos de soluciones directamenteen la matriz canónica, sin necesidad de tener que recurrir al extensodesarrollo de todas las matrices cardinales correspondientes.

- 88 —Un tipo de solución de interés es aquel en que para cierto i, y¡ = e¡o y i •= c¡, es decir, que la función y t es simplemente una variable, independiente.Otro tipo de solución de importancia es aquel en que para un idado E¡ íl E ; = 0, donde 0 es el conjunto vacío, / = 1,2, ..., n — 1,.j -£ i, es decir, que las variables que alimentan G¿ no alimentan ningunaotra G;. Se dice entonces que E¡ es disyuntivo o disjunto. Másinteresantetodavía es el caso en que para cualquier par i, j, E¡ D E y - == 0, es decir, la estructura canónica es completamente disyuntiva..Esta sección se dedica al estudio de la detección de posibles solucionesdonde algunos y¡ sean variables independientes.La identificación de posibles funciones y¡ = e¡ o y¡ = e¡ puede hacerseen la matriz canónica. En vez de discutir el caso general y luegoverejemplos como aplicaciones, resulta más inteligible proceder al revés,considerando primeros casos concretos para proceder después a.la generalización.Un ejemplo servirá de vehículo para el razonamiento.Sea el problema diseñar con circuitos ÑOR de tres entradas la.función/=[0011 0000 0011 0010]'®[íi\ t,c, d]donde la matriz de designación se ha separado en grupos de cuatroelementospor conveniencia.Aplicando el método de síntesis I, resulta la matriz canónica siguiente: .

— 89 -tituir la pregunta previa por la siguiente, más sencilla: ¿ Puede sery. ± una variable independiente? O mejor todavía por partes:1) ¿Puede ser y t = a?Una simple ojeada a la matriz revela que no. El razonamiento essimple: si y\ = a, entonces D t estaría formada por ocho ceros seguidosde ocho unos y, por consiguiente, si representamos la matriz

- 90 -En cambio, y L = d no es posible.La matriz canónica correspondiente a las soluciones para las quety t •= c, se obtiene de (1) llevando a cabo (2), con lo que resulta\ 1 1 1>M =-/-7¿/ /(3)En general, para una matriz 9 M de 2 r columnas y 2" filas, si envez de explorar para y x se explora para ver si y. 2 es independiente, envez de examinar submatrices de 2"" 1 = 4 filas se hubieran examinadosubmatrices de 2"~ 2 = 2 filas, para y 3 se hubieran examinado submatricesde 2"~ 3 filas y en general para y¡ se examinan submatrices de2 n ~ } filas. Siempre las submatrices han de tener 2 r ~ 1 columnas parala primera variable e u 2'~- 2 para la variable e 2 y en general 2 r ~' parala variable e t . El examen es siempre el mismo; ciertas submatricestienen que ser de sólo ceros, mientras que otras tienen que permitirque haya un 1 por columna.Se ha conseguido, pues, identificar una clase de soluciones de interéssin tener primero que desarrollar las matrices cardinales.6.2. Variables independientes disjuntas •Tiene especial interés considerar el caso en que en una de las matricescardinales pueda ser y, = e, y tal que e¡ $ E*, k j¿ i, es decir,fy.es una variable vacua en y k , /e =¿í6.2.1. l.a propiedad' trans.Para estudiar este caso conviene definir una notación especial paradescribir una propiedad específica de algunas matrices. Sea una matrizcanónica 9 M de 2" filas y 2 r columnas, correspondiente a tina estruotura canónica con E = {e u e 2 , ..., e r ) y n unidades alimentando la unidadcentral.Considérese la matriz dividida en submatrices de 2 r columnas de2* filas, k < n. y cada una de estas submatrices dividida en otras dos

— 91 -subrnatrices de 2*" 1 filas cada una. Sean estas dos submatrices A¡, B

- 92 —tiene las propiedades(1) trans (— 3)(2) trans (+ 2)(3) trans (—1)Dada una matriz canónica se puede investig-ar la existencia de solucionesen las que una o más y¡ sean variables • independientes disjun-,tas utilizando el siguiente teorema.bi'¿:2. Teorema.La matriz canónica correspondiente a una matriz cardinal en la quev, = e¡ es disjunta tiene la propiedad (n — i + 1) trans ( + (r •—/•+ l)) rdonde n es el número de unidades G alimentando a la unidad central,,y r el número de variables independientes.En efecto: si y¡ •= e¡ y es disjunta, entonces en la matriz cardinalocurren dos cosas.: 1) D¡ está formado por 2> grupos de 2 r ~' dígitosiguales. Los grupos son alternativamente de ceros y unos. 2) Todaslas otras D kí k n¿ ?', están formadas por 2' grupos de 2 r ~> dígitosen pares de dos grupos iguales, de acuerdo con el teorema 3.4.2. Porconsiguiente, cuando un 1. aparezca en la matriz canónica en una columnaen la que D, tenga un 0, 2 r ~' columnas más adelante D, tendráun 1, mientras que las demás D t tienen los mismos dígitos, o sea, quela matriz canónica tendrá un 1, 2 n ~' filas más abajo y 2 r ~' columnasa la derecha,satisfaciendo la propiedad C o lo que es lo mismo tienelapropiedad (n — 1 + 1) trans ( + (r — ; + 1)), c. q. d.El recíproco es inmediato. Si ceros alternadoscon grupos de 2 r ~' unos, habiendo un total de 2> grupos, de dondese deduce por el teorema 3.4.2 que y, = e¡, c. q. d.Si la matriz 9 M incluye símbolos -/- y es posible asignar a los -/-valores 0 ó T, de forma que esta propiedad trans se cumpla, esto quieredecir que entre todas las matrices cardinales hay al menos una en 1la que y¡ = e¡.Corolario inmediato es que si y¡ = e¡, entonces la propiedad sería{n — /•+ 1) trans (—(r — / -f 1)), y viceversa.Nótese que si. a un conjunto se le cuenta normalmente y al revés,empezando por 1, entonces la numeración es1 2 3 ... / ... N — 2 N — 1 NN N—1 N —2 N -7 + 1 . . 3 2 1

- 93 - 'o sea, que si una estructura canónica con cuatro unidades alimentan-•do a la central y base {a, b,c,d, ...,f,g} tiene una matriz canónicacon la propiedad(3) trans (— 2)quiere decir que v.,..^, = y 2 es la segunda variable a contar por la derecha,complementada, o sea, y 2 = f.Así, pues, el teorema es fácil de aplicar.A guisa de ejemplo se puede investigar si la solución y 1 •= c quese encontró para la matriz canónica (1.) y (3) es disjunta. Como la-base•es {a, b, c, d], c es la segunda de la derecha y por consiguiente lamatriz debería tener la propiedad (3) trans (—2), es decir, que tiene

- 94 -bles en dos o más problemas de síntesis de funciones de un numerade variables mucho más manejable. Esta identificación se va a plantearinvestigando qué propiedades va a tener la matriz canónica correspondientea una matriz cardinal de este estiloSea una estructura canónica con las unidades G 1 , G 2 , •••, G B alimentandoa una unidad central, dondey¿ = D,- ® [E], [E] = I*!, í, . .. ej,

— 95 -6.3.2. Ejemplo.La matriz1...1.1. 1...1.1. 1...1.1.tipo I tipo U tipo II tipo IIpresenta esta propiedad y en ella se notan dos tipos de subraatrices deochocolumnas, con un traslado vertical de 2 o satisfaciendo la condiciónC. Las ocho lilas indican una estructura de tres unidades G ir3V= D¡ (g) [a, b, c, d, e.]. Como hay cuatro submatrices, esto indica quey de acuerdo con el razonamiento hecho en la demostración del teorema6.3.1, se puede escribir directamentey¡ = C 3 [a, ¿>] = (0 11 1] O [a, 6]correspondiendo un dígito de C 3 a cada submatriz, los unos de C 3 correspondiendoa las submatrices que tienen los unos desplazados verticalmentehacia abajo.Nótese que cada una de las submatrices contiene toda la informaciónreferente a la dependencia de y x , y 2 con respecto a las otras variables.Examinando la primera submatriz, para la cual la base es-[c, d, e], resulta~ . 1. 11 .. 11 . 1.1 . 1Tipo: II I II IItraslado: 2 2base : [c, d, e\,

— 96 -por consiguiente,^ = [1011] [c, d\y aplicando el teorema una vez más, resulta inmediato queEl teorema (i.3.1 permite investigar funciones disjuntas de un subconjuntoque se pueda obtener de la base por una simple partición, esdecir, dada una base [

- 97 —Desafortunadamente el teorema no descubre funciones disjuntas decualquier conjunto de variables y si se quieren investigar estas solucionesse puede reformular el problema para diferentes bases, lo cual•equivale a intercambiar columnas de acuerdo con las conclusiones dela sección 3.4. Esto no tiene ninguna dificultad especial, pero puedeser laborioso.En el típico problema de diseño lo normal es que

— 98 -z es la función que describe el comportamiento del circuito; encambio y describe la función, para realizar la cual se desea diseñar tm.circuito. La pregunta que se trata de contestar es la siguiente: ¿sepuede utilizar el circuito z para realizar la función y ?De este problema general emergen problemas más específicos; porejemplo, se puede añadir la hipótesis de que los inversores son admisiblesen las entradas y en la salida, es decir, que las soluciones deambos tipos, a¡ = e¡ y a¡ = é¡, son admisibles y que la generación deJ= K® [ÍJ, «, ... e H ]también se considera una solución.Otro problema específico emerge cuando se hace la hipótesis adicionalde que m = n, es decir, hay tantas entradas al circuito comovariables tiene la función.Kl caso en que se hacen ambas hipótesis ha sido el más estudiado[11, 39] y la clase de funciones que pueden obtenerse una de otra,por permutación o complementación de las variables o de la funciónse han llamado «clases de equivalencia» o «clases de simetría» (symmetryclasses). En este trabajo se utilizará la siguiente nomenclatura.Si z = C® [A] puede realizar y •= D® [E], entonces se dice que zes una junción aplicable a y.6.4.2. Algunos resultados inmediatos.De las definiciones dadas emergen inmediatamente algunas conclusiones,como por ejemplo: si s es una función equivalente a y, z es unafunción aplicable a y, pero no viceversa. Es inmediato que la equivalenciaes un caso particular de apHcabilidad, y que si z es aplicable a.y, y m — n, entonces la apHcabilidad tiene que ser una equivalencia.Desde luego, según se vio en 2.3.2, el nombre de «clases de equivalencia»está justificado puesto que se cumplen las propiedades reflexivasimétrica y transitiva.6.4.2.1. Teorema.Seanz = C ® [a v a 2 ... a m ]jy = K® [e v í 2 ... e n ](10)-donde ninguna variable a t! e¡ es vacua. Si s es aplicable a y, entoncesm 5> n.

— 99 —En efecto, si ninguna variable es vacua se requieren al menos tantanentradas al circuito como variables tiene y. Si m n, c. q. d.Sea K una matriz de designación con ceros, unos y •—, que representaun conjunto de funciones booleanas. Una de ellas, llamada funcióninferior del conjunto K, implica a todas las demás, es decir, tieneceros en las posiciones de K ocupadas por —. Sea N c el númerode ceros en la función inferior de K. Análogamente existe una función!en el conjunto definido por K, en la que todos los — han sido sustituidospor 1 ; que es implicada por todas las otras funciones del conjunto,llamada función superior de K. Sea N tt el número de unos en.la función superior de K. Se pueden establecer unas condiciones necesariaspara equivalencia en función de los números de unos y cerosde las matrices de designación. Para ayudar a establecerlas se utilizala siguiente nomenclatura. Seann c = números de ceros en Kn u = » » unos en Kn_ = » » — en Km c = » » ceros en C»*„ = » > unos en Cm* — » . , enC(11)De acuerdo con esta nomenclatura,4 = WM6.4.2.2. Teorema.• — n cSean xey como en (10), en la quecesaría para equivalencia que= nj= 0. Es condición ne-=: Ticm n = n cEn efecto: de la definición de equivalencia se deduce que existeuna transformación de bases, T, consistente en permutación y complementaciónde variables que transforma la base E en E':E' = T (E)

— 100 -y tal queoy = C ® [£'] = K r g> [E]_y = C ® [E'] = K [E]de donde se deduce que existe un cambio de bases que transforma Cen K o C en K, que según los resultados de la sección 3.4 se limita a«ambiar puestos entre los elementos de la matriz y como consecuencia«1 número de ceros y el número de unos o permanecen invariantes ose intercambian, de donde se deduce (13), c. q. d.•6.4.2.3. Teorema.Sean s e y como en (10). Para que haya seguridad de que existeequivalencia entre ellas son condiciones necesarias :1) m t n um c >H c(15)ü) m > Km u > "c(16)En efecto: si m* > n_, entonces cualquier cambio de base haríacorresponder al menos una respuesta incierta * a una combinación devariables para las que y = K ® [E] requiere que el valor de la funciónsea 0 ó 1, de donde se sigue que m* < n_ es condición necesariapara que el circuito pueda realizar la función, aunque no suficiente.Las condiciones i) corresponden al caso en que la salida del circuitono se complementa. Las condiciones ii) corresponden al caso en queexiste complementación de la salida del circuito. Como las demostracionesson análogas se discute primero el caso i). El razonamientobásico es el usado en el teorema 6.4.2.2 de existencia de cambios debase.r*i u > v,¡ es condición necesaria, porque si fuera m u n c .En el caso en que se complemente la salida del circuito, los cerosse convierten en unos y los unos en ceros, o lo que es lo mismo, se

- 101 -pueden repetir las mismas relaciones intercambiando n u y n c , con loque resultan las condiciones ü), c. q. d.Estas condiciones son necesarias, no suficientes; son inútiles encuanto a la determinación de las conexiones a¡ = e¡ o a t = e¡ para queel circuito realice la función, pero en cambio son útiles para determinarque no existe solución posible, con lo que se puede evitar el trabajode buscarlas, para encontrar al fin de un proceso largo que noexisten soluciones.(j.4.3. La equivalencia como cambio de base.Las consideraciones que siguen, por comodidad, se refieren sólo alcaso en que no existe complementación a la salida del circuito, ya quela existencia de esta complementación no modifica esencialmente lasconclusiones alcanzadas.En el teorema 6.4.2.2 se llegó a la conclusión de que si s e y sonequivalentes :s = C [A]y = K [E](17)entonces existeE' = T (E)tal quey = C'®[V] (18)y puesto quez = C [A] (19)resulta quey = zsi[A] = [E'J (20)La ecuación (20) establece qué variables tienen que conectarse a quéterminales para que s = y.

- 102 -Ahora bien, la igualdad entre (17) y (18) establece la existencia deun cambio de bases que transforma K en C, y el problema de la identificaciónde una equivalencia puede considerarse como un problemade cambio de base. Aunque este punto de vista no es extremadamenteútil, por cuanto no se extiende fácilmente al caso de la aplicabilidad,vale la pena dedicarle un poco de atención.Puesto que un cambio de base ocasiona sólo una permutación deposiciones dentro de la matriz de designación, es bien sabido [20] queestas permutaciones son fácilmente expresables multiplicando la matrizde designación por una matriz de permutación R:•donde el elemento r¡¡ de R es 1 si la permutación sitúa el elementok¡ en posición c¡, y r¡) = 0 en las otras posiciones.De ahí resulta que R es una matriz unitaria que tiene un solo unopor fila y por columna, cuyo determinante | R j esOtra propiedad es que siC = K R (21)K = C ® R'(22)donde R' es la inversa de R, resulta queR' = R>(23)Así, pues, el problema: ¿Puede el circuito z = C(g> |> I; a 2 , ..., a n ]realizar la función y — K (g> [e¡, e. £ , ...,

- 103 —Si bien la metodología pretende no distinguir entre la equivalencia yla aplicabilidad, desde el punto de vista expositorio es más cómodo estudiarlaspor separado, empezando por la equivalencia como caso máscomplejo y luego simplificando las técnicas de solución al caso de laaplicabilidad.Dentro del marco de la Teoría, el problema de identificación de unaequivalencia se puede formular así:Dada una funciónn + 1S, e 2 ,..., ejy un circuito¿es posible hallar una matriz cardinal de la estructura en la que todaslas variables sean independientes?Enfocado el problema desde este punto de vista, el modo de plantearla búsqueda de su solución queda inmediatamente claro. De la matriz•de designación K y de la matriz central cp D se ha de determinar la matrizcanónica M y utilizando las técnicas expuestas al comienzo delcapítulo, se pueden determinar las posibles soluciones. Por fortuna, laestipulación de que en la matriz cardinal deseada todas las variableshan de ser independientes, lleva consigo una propiedad de simetría especialque la matriz ha de tener, lo cual facilita la identificación de lasolución. En esta sección 6.4.4 se estudia esta propiedad de simetría,mientras que la 6.4.5 estudia su aplicación a la identificación de circuitos.El propósito es el siguiente: como la condición de que

— 104 -por fila y por columna. Considérese ahora el siguiente problema desíntesis 1. Dada una matriz de designación de n variables y la matriz,canónica descrita, hallar la matriz central correspondiente en la quetodas las variables son independientes, es decir, la o D correspondientea un circuito que reciba sólo entadas de las 3»,,3' 2 , •••, 3V El problemaes sencillo. La matriz 9 D se puede representar con la notación( 0) (——1) como en el ejemplo 5.3.1. Cada cero o uno en K determinaráceros o unos en la fila correspondiente al uno de

— 105 —Ahora bien, el método siempre nos dará tina solución:tal queM = Ko lo que es lo mismo, la matriz canónica 9 M obtenida es la matrizde permutación R correspondiente a un cambio de variable que transformaC en K. La primera propiedad que se refiere a la interrelaciónentre cambios de bases, equivalencias y matrices canónicas ha quedadoestablecida. Otras propiedades siguen.0.4.4.3. Teorema.Si y n+l -= K(g) [E] e y n+1 = C a+ , [YJ son equivalentes, la matrizcanónica que se obtiene al utilizar * D como matriz central para obtenerK tiene n propiedades:(i) trans (+ j), j = 1, 2,, ..., n.donde i toma todos los valores de 1 a n.En efecto : cada una de las entradas al circuito va a recibir unavariable independiente; así, pues, tendrá que haber n propiedades(?) trans (...), i = 1, 2, ...,«. Por otra parte, ninguna variable va a alimentardos entradas, cada entrada recibe una variable independientedistinta; hay, pues, n propiedades (...) trans (± j), j •= 1, 2, ..., n,e. q. d.Antes de introducir el próximo teorema conviene establecer los dosconceptos siguientes :í) Se dice que una matriz A de a + 1 filas y x ; + 1 columnas enumeradasde 0 a -/., tiene simetría radial sia i j = a (a - i) ( a -f )i, 7 = 0,1 ...aii) Sean los productos fundamentales de n variables m 0 , m L , ..., nia. Ta = 2 n —1. vSe dice, que w¡ y OT a _¡ son productos duales. De la maneracomo los productos fundamentales se generan es inmediato y fácil.de comprobar que las variables que aparecen complementadas en m taparecen sin complementar en w a _¡ y viceversa.

— 106 -6.4.4.4. Teorema.Si y n+1 .= K ® [E] e ;y n+1 = C n+1

- 107 -y se desea saber si se puede utilizar el circuito para realizarla y en sucaso cómo debe conectarse.En primer lugar, ya se ve que D tiene cinco ceros, mientras queK sólo tiene tres. Aplicando los resultados de 6.4.2.2 y 6.4.2.3 ya se veque la única posibilidad es generar K, en cuyo caso la función a generarserá [0 0 0 111 0 0 ] ® [a, b, c], que es la única manera de conseguirque tengan ambas cinco ceros y tres unos.Disponiendo simetría radial,por ser la matriz unitaria.

— 108 —Después de haber hecho estos cambios la matriz se reduce a. . l(26). 1 . .Ahora la matriz ya no se puede reducir más y hay que hacer unahipótesis: o bien S w = 1 o S lo ; = 1.Si se admite S 10 = 1 resulta la matrizcon propiedadeso sea que es. . 11... 1.....11..... 1 .......... 11. .(1) trans (—2)(2) trans (+ V)(3) trans (+ 3)(27)128), zz^. C(29>I =OSi se supone, por el contrario, que S Jf , = 1, resulta la matriz(30>

— 109 —•con propiedades•o sea, que es(1) trans(4 (+-3)(2) trans (4-1)(3) trans -2)( "y¡ y s =ayz = c„1(31)(32)así, pues, se necesitan las variables a, b y c y hay dos maneras de poderlasconectar dadas por (29) y (32), . f. d. e.Antes de presentar algunos otros ejemplos vale la pena hacer unpequeño comentario. Nótese que, en cierto modo, al formularse lapregunta ¿puede s realizar y?, y la manera de reaccionar de la Teoríaha sido la más natural y su inmediata respuesta ha sido «no lo sé»,pero no con una ignorancia vaga, sino una ignorancia muy específicadada por la matriz encontrada en (24). Pero se saben otras cosas y al-exigir que se cumplan, la ignorancia va desapareciendo paulatinamente,de (24) a (25) y de (25) eliminando la incertidumbre paso a paso sealcanza a (26), que ofrece las soluciones limpias para que se elija, sibien la matriz «no sabe» cuál uno va a elegir.Otro aspecto importante es que si existen símbolos — en K, nosolamente no acarrea ningún problema, sino que es mucho mejor, yaque es más fácil identificar una solución. En cambio, por los procedimientosclásicos, la introducción de una indiferencia podía duplicar,la cantidad de trabajo necesario para hallar la solución, ya que el métodorequiere hallar los invariantes para la función que describe el circuitoy luego hallarlos para cada una de las funciones que resultan desustituir el — por un cero o por un uno, trabajo que es muy laborioso,y puede alcanzar límites intolerables cuando existan algunas indiferencias.La existencia de indiferencias dificulta el hallazgo de equivalenciascuando realmente debería facilitarlo como ocurre en la Teoría presentadaaquí.Finalmente, hay que notar que cuando en la función de designación•del circuito existe algún * el método es el mismo, como ilustran losdos ejemplos siguientes.•6.4.5.2.Ejemplo.• ¿ Puede el circuito dado por2 = ¡111* 1010]® [?,, jy 2 , y 3 ]

. • / - • - / -• / - . - / - .— 110 —realizar la funcióny = [01011t]®[a,¿,c}íY si puede, ¿cómo debe conectarse?Puesto que las condiciones necesarias de 6.4.2.2 y 6.4.2.3 se satisfacen,se puede hallar © M como de. ordinario.11-1y-cpT> =1o1oM =(33)K= [0 10 1 1 — — 1Al requerir simetría radial la matriz se convierte en- / - •• / - . - / -- / -y puesto que la matriz tiene que ser unitaria, se reduce a1(34)/ /

— 111 -Ahora bien, S 05 = 1 y S 07 = 0 por (2) trans (...); por consiguiente,al exigir las otras propiedades (i) trans) (j) resulta. i1__'. . . 1. 1 .. 1 . .1 . . .11 .• ' _(35)con propiedades(1)(3)(3)transtranstransque correspondenden a la solución(-1)(+2)(—3)y t = 6 (36)y x = ~a f. d. e.6.4.5.3. Ejemplo.Repítase 6.4.5.2 paraz = [10 1*0110] bi> y t , y 3 ]y = [1 — 11 - 0 0 0] [a, ¿>, c]Disponiendo los datos y solución sin discusión, donde el primerpaso es por simetría radial y el segundo es por la propiedad unitaria,(1) trans y simetría:

- / - - / • - / -— 112i D =

- 113 —-/-7 L -7 LD = -M =sim.rad.K= [ O — O O — 1 1 1J/7 a - 7^ V-. . . . 1 . . .. . . 1 . . . ..1(38)- / - • - / -y al ser (1) íra»í (— 2) imposible, resulta que tampoco existe solución.Así, pues, se puede afirmar que con o sin inversiones no es posiblerealizar la función «y» con el circuito «z», f. d. e.6.4.G./.a aplicabilidad y su identificación en la Teoría.Ya se ha visto que la equivalencia es un caso particular de la aplicabilidad.. De ahí se deduce que la identificación de equivalencias tieneque utilizar herramientas más complejas que las disponibles en laidentificación de la aplicabilidad, porque las equivalencias tienen unaspropiedades que la aplicabilidad no tiene.

— 114 —Las condiciones necesarias de 6.4.2.3 siguen verificándose y sonm c > n e(39>o bienm u >n c(40).porque todavía tiene que exigirse que el circuito produzca en su salidaal menos tantos unos y ceros como se desean en la función o en.la función complementada.Por otra parte, la propiedad de simetría radial se ha perdido. Laspropiedades(i) trans (j) siguen existiendo con dos modificaciones:i) ya no tiene por qué existir una propiedad para cada ;', ya que lavariablepuede no ser disjunta o aparecer en más de una entrada;ii) es posible que al comparar las parejas de submatrices A¡, B¡ se déel caso degenerado en que para todos los i, A¡ = 0, lo que indica quela correspondiente entrada es la función degenerada y = 1 o B¡ = 0,.correspondiente a y = 0.Así, pues, el método para descubrir la aplícabilidad con variablesdisjuntas es conceptualmente más simple, permitiendo sólo el uso delaspropiedades (?) trans (f), como hemos indicado. Las variables nodisjuntas pueden buscarse con métodos similares a los usados en 6.3.3,Un ejemplo ilustrará el caso.6.4.6.1. Ejemplo.¿ Puede el circuito dado por la funciónz = [100101 1001 101000]® [y,, y^ y 3 , y,]realizar la funciónjV = [1 0 1 1]® [a, b] }

- / - • •• / -• / •- 115 -Puesto que las condiciones necesarias se satisfacen, se puede determinarsin más la matriz canónica— o— o-y09M =K = [ 1 ' O 1 11En la última submatriz de dos filas la traslación (1) trcms (j) no esposible.Una posible solución sería que una fila de la submatriz se convirtieraen una fila de ceros. Haciendo todas las filas impares de ceros,quiere decir que se hace y¿-= 0, y eliminando estas filas la matrizqueda referida a [3^, y 2 , y 3 ~\ y se puede ver que no conduce aninguna solución disjunta, porque ni (1) trans (7) ni (2) trcms (j) sonposibles.Análogamente se puede comprobar que haciendo y¡ = 0 oy t -= 1, i = 1, 2, 3, 4 no conduce a ninguna solución disjunta.En cambio, si se busca una solución no disjunta y se hace y t = y a .e y t = y A , resulta la matriz•yquecorresponde a la solucióny\ =y> =(42>

— 116 —Si se prefiere se puede tratar de realizar K; en este caso resulta9 D = >M =• / •7""K = [ O 1 O O ]Lo que se busca es una matriz que tenga un uno por columna yque satisfaga las propiedades (?) trans (;'). En la última submatriz decuatro filas puede hacerse; así, pues, se hacen las primeras ocho filasceros, con lo cual resulta y 1 =1, se eliminan los ceros y quedala matriz referida a [y 2 , y 3 , y 4 ). Se hacen las cuatro primeras filas dela nueva matriz ceros, lo que equivale a hacer y 2 = 1, y se eliminanlas cuatro filas, con lo que la matriz queda referida a [y 3 ,y.,], y lanueva matriz es(44)que da lugar a dos soluciones: la primera es. 1 . .1 . . .. . . 1. . 1 .(1) trans (— 1) que conduce a la(2) trans ( + 2) solución(45

— 117 -y la segunda es(1) trans ( + 2) que conduce a la(2) trans (-1) solución— ;v, — x(46)así, pues, existen también estas dos soluciones si se complementa lafunción, f. d. e.Al concluir esta larga sección, hay que comentar que la identificaciónde la aplicabilidad, aunque, conceptualmente más simple, resultamás laboriosa que la detección de equivalencias, porque se eliminanmenos -/- y hay más posibilidades. El número de hipótesis que puedentener que hacerse y quizá rechazarse tiende a ser mayor. Este es unode los casos tan frecuentes en diseño lógico (como el diagrama de Karnaughy otros), donde la experiencia del diseñador y su ojo avezadoa detectar la solución son insustituibles.6.5 Síntesis III. Descomposición disyuntivaEl último problema de síntesis que se menciona en 5.1 es el problemade síntesis III, en el cual sólo se especifica la matriz de designaciónK que se desea y se pretende diseñar una estructura para quela realice, es decir, dada K hallar ambas, sM y «D [2]. En su máximageneralidad el problema no tiene gran sentido, porque el númerode sus soluciones es enorme, ya que para cada o M que se elija arbitrariamenteexiste una 9 D que produce la función deseada. El problemarecobra su interés cuando se añaden otras especificaciones. Enespecial tiene importancia el caso en que se estipule que la estructuratiene sólo dos unidades G, y G y - como en la figura 6.2, y E¡ y .Ey sondisjuntos, o sea, E¡Í1E, = 0, donde 0 es el conjunto vacío.Este es el caso estudiado por la descomposición disyuntiva, casoespecial de la descomposición mencionada en 1.2.5. En general la teoríade la descomposición estudia el diseño de un?, estructura como lade la figura 6.2 para realizary la descomposición disyuntiva requiere además E; D E¡ = 0.

118 -Fig. 6.2.—Estructura canónica elemental de la descomposiciónde funciones.El objeto de esta sección no es estudiar la teoría de la descomposición,a la que Curtís [9] le dedicó prácticamente un libro entero, sinosimplemente formular la teoría de la descomposición disyuntiva desdeel punto de vista de la Teoría, con dos objetivos: i) Comprobar cómola metodología y teoremas fundamentales se deducen con toda facilidad,ii) Ver cómo esta Teoría ayuda a formulra un problema combinatorioque permaneció borroso en todos los trabajos citados.El problema que se quiere examinar es el de detectar cuándo unafunción dada y = K ® [E] admite una solución como la de la figura6.2, en la que E^iTlE,- =0. • •El problema se puede plantear estudiando primero cuáles son laspropiedades de una estructura de este estilo, para luego tratar de detectarestas propiedades en K.6.5.1. Propiedades de la estructura fundamental.Sea la estructura canónica fundamental de la figura 6.2, en la queE¡ y Ej son disjuntos, dondedondeE,- = ¡E f -, E/i = \t v e t ... «„,., í«,. +1 ... e n¿+ nj\F,- = }«„ e s ... e n .\Sea ademásW=Q®[E,1 (17)

- 119 -•e*=C f [#,Eí] (48)y se sabe quey{ = K [£] (49)La matriz K. se puede determinar aplicando el teorema 4.3.1. Para-ello el primer paso que hay que dar es referir y¡ a la base E, utilizandolas técnicas estudiadas en la sección 3.4, resultandoyj = O,- ® [E/J = [Cj Cy C/ C; . . . C/] [«, E,-] = D,- [E] (50)•en la que hay 2"' iteraciones de Cy.La matriz cardinal está formada por sólo D ; . En el segundo pasoahora hay que buscar la matriz canónica, que tendrá dos filas. Si un•elemento de D ; - es 0, entonces 9 M tendrá el 1 en la fila superior dela columna correspondiente, y si el elemento es 1, entonces lo tendrá•en la fila inferior, o sea, que la matriz canónica esEl tercer paso es determinar la matriz central cp D y para ello hay-que extender C¡ a la base [y^ E,, E ; ] :!y í = D,-®[j. 1 ,E t -,E_ / -] . (52y como las variables de E y son vacuas en y¡, D¡ estará formado por•2"< g-rupos de 2"j dígitos iguales, que serán o 2"j ceros o 2"j unos,es decir, grupos que tienen el mismo tamaño que C¡. Por comodidadun grupo de ceros se representa por 0 y un grupo de unos por í_ ,y un grupo sin especificar, si es de ceros o unos, por . La matrizcentral tiene, pues, la formaUn grupo de la fila superior puede ser 0 o 1 , y el que tieneinmediatamente de bajo puede ser 0 o _J_ ; así, pues, por convenienciavamos a suponer que 9 D¡ tiene la forma[0 0 1 1 11(53)__0 1_ _0 1_ J

- 120 —En (53) hemos supuesto que las cuatro posibilidades ocurren en lasprimeras cuatro parejas de grupos. En general éste no será el caso,pero, como se verá, esta hipótesis no restringe en absoluto la generalidaddel análisis en cuanto al estudio de las propiedades se refiere.El teorema fundamental se puede ahora aplicar directamente:Como sólo pueden ocurrir los casos0 0 10 1 0* \CJCJCJCJ...CJ\\ C C C C C \ (54)K= [0 CJCJ !_..._]se concluye que si E, y E¡ son disjuntos, entonces K está constituidopor 2"' grupos de 2 n i dígitos cada uno, y puede haber sólo cuatro clasesde grupos posibles : grupos de 2*J ceros, grupos de 'l"j unos y losotros dos tipos de grupos son complemento uno del otro. Y recíprocamente,si K tiene la estructura mencionada (54), entonces se puedeelegir la «p M de (51), con lo que resulta una estructura canónica comoJa de la figura Q.2, en la que E¡ y E ; son disjuntos. Si podemos reconoceresta clase de estructura en K, entonces el grupo C¡ da directamentela matriz de designación de C¡, y C 4 puede obtenerse aplicandolos métodos de síntesis I; ahora bien, se puede simplificar la escritura,ya que se puede evitar la innecesaria repetición de ceros y unosy se puede obtener directamente o C¡. Así, si por ejemplo,entonces se escribeK = [0_CjCjCj 1 c) 0 C/]K = [OCj ~Cj Cy í_Cj 0 C/]o i o i i o oiy resultayj = [00 10 11000 1 0 1100 l]4g> [yj, E,-]y E,- consiste en las tres primeras variables de E.

— 121 —G.5.2.Detección de la propiedad.El reconocimiento de esta propiedad resulta más fácil si se aplicael operador 9 a la matriz K. No considerando las filas de sólo ceroso sólo unos, todas las filas que queden tienen que ser de dos tipos yuno tiene que ser el complemento del otro. Uno de estos tipos de filasse considera C, y el otro C¡. La propiedad es todavía más fácil dereconocer observando las columnas de ? K, porque si sólo existen filasde ceros, filas de unos., filas C y filas C, la matriz tiene sólo dostipos de columnas, como es fácil de comprobar (teorema de Ashenhurst).Como es natural, una vez descompuesta K en una Cy alimentandoa una C¡, no hay nada que impida que se traten de descomponer C¡ JC¡, dando lugar a estructuras más complejas.Antes de considerar un ejemplo, conviene hacer un comentario muyimportante.Como el lector ha observado seguramente, a lo largo de la discusiónque precede la base de K ha sido siempre {E¡, E,}, y si se le hadado al diseñador una K descomponible con respecto a la base {E¡, E ; },entonces se van aplicando distintas o s a K, j = 1, 2, 3, ..., y más tardeo más temprano se descubrirá que la partición de E en un E¡ y un E ; -disjuntos es posible y se encontrará la estructura canónica correspondiente.¿ Pero qué ocurriría si la función a diseñar se le hubiera dadocon respecto a otra base en la que las variables de E¡ y E; estuvieranmezcladas ? En este caso no se puede descubrir la descomposición. Estaes una de las dificultades de la descomposición.Otra dificultad es que la teoría de la descomposición da sus respuestasen términos de funciones, no de circuitos, y una vez obtenidasu solución se seguía sin saber si un circuito dado era capaz de realizarla.Por fortuna este problema ha quedado ya resuelto en la Teoría.Si la búsqueda con la base dada no da fruto, entonces hay que permutarlas variables una y otra vez. Afortunadamente el teorema 3.4.3^constituye un pequeño atajo, cuyo uso se ilustrará en el ejemplo si-(>.5.3. Ejemplo.Examínese si la función y;= K (g) [o, b, c, d, e] dada admite unadescomposición disyuntiva :y = [01010110011001010101011001010110] [a, b, c, d,e] (56>

— 122 —Apliqúese el operador

— 123 —pecto a dos diferentes bases a la vez. Así, pues, esta técnica puedeahorrar bastantes cambios de bases.6.5.4. El problema combinatorio.En este momento surge de modo natural el siguiente problema combinatorio.¿Cuál es el mínimo número posible de bases con respecto a las queha de referirse una función para que todas las posibilidades de descomposiciónqueden examinadas?Por ejemplo, considérese el caso de cinco variables. Si tuviera queexaminarse la función con respecto a todas las posibles bases, entoncesse requerirían 5! = 120 cambios de base. Pero utilizando el teorema3.4.3 no se necesitan tantas. ¿Cuántas? y ¿cuáles? El problemaha sido investigado por Miró [30] y baste decir aquí que para elcasó de cinco variables las cinco bases siguientes son suficientes:[a, 6, c, d, e]\b, d. e, c, a][c, c, b, a, d][d, c, a, e, b\\e, a, d, b, c\6.6. ResumenLos problemas de síntesis de redes tienen, muchas soluciones. Suabundancia resulta hasta incómoda. A veces puede resultar interesantedetectar el uso de una variable independiente o efectuar una disyunciónde entradas. La Teoría ofrece técnicas para detectar estos casosque se han estudiado en este capítulo, en el que se ha visto cómo lateoría ofrecida es capaz también de determinar si un circuito puederealizar una función dada y cómo, mediante el estudio de clases de equivalenciay aplicabilidades. Esta identificación ha dado más eficacia alas teorías de descomposición que también encajan dentro del marcode la Teoría, la cual arroja alguna luz sobre el problema del mínimonúmero de cambios de bases necesarios en la aplicación de la teoríade la descomposición disyuntiva.

CAPITULOVIIUN EJEMPLONada mejor que un ejemplo para ilustrar la eficacia del cuepo de•doctrina presentado en este trabajo. El ejemplo 5.4.3 ilustraba laaplicación de la teoría al diseño con circuitos ÑOR de una red de tressalidas. Los resultados entonces fueron satisfactorios. Este capítulose destina a reconsiderar el mismo ejemplo desde otro punto de vista,con el propósito de apuntar la utilidad e importancia de los resultadosobtenidos.7.1. El problemaApoyándose en los resultados de Miró [32], es posible diseñar uncircuito electrónico integrado por sólo dos transistores, un diodo yunas cuantas componentes pasivas, con una salida y seis entradas, decomportamiento descrito por la funcióny = [1001 0110 0110 1000 0110 1000 1000 0000 0110 1000 1000 00001000 0000 0000 0000] [a v a t ,a 3 , a 4 ,

— 126 —car los métodos de síntesis y detección de circuitos y además envuelveunas matrices demasiado grandes para ajustarías al tamaño de la página.Así, pues, se va sólo a comentar la metodología. La soluciónaparece en la figura 7.1.La aplicación del teorema fundamental en su forma de síntesis IIda tres matrices canónicas de tamaño 64 x 8 cada una. Aplicando losresultados de identificación de circuitos es inmediato identificar unasolución para / 3 . El circuito es capaz de realizar la funcióny, = [0 1101 0 0 0] K¿, c]Las funciones f 2 y f x no pueden ser realizadas directamente por elcircuito. Si se considera que f z se conecta a / 2 , entonces existen varíassoluciones para las que todas las entradas son independientes exceptouna. La solución que aparece en la figura 7.1 realiza la función / 2 mediantela unidad 2, que recibe la funciónx=[\ 100001 \]-®[a,b, c]como una de sus entradas.Al efectuar la síntesis de j l es posible hallar una realización mediantela unidad 1, que requiere las funciones «y» y «z» a sus entradas,dadas porz= [0 0 000010] ®{a,b,c]Las realizaciones de «y» y «z» mediante las unidades 4 y 5 son casiinmediatas. La unidad 6 complementa «y» para obtener «x», y las unidades7 y 8 complementan b y a, ya que a y b se requieren en las entradasde las unidades 1 y 4.El resultado final está representado en la figura 7.1, en la que sepuede observar una red de sólo ocho circuitos frente a los doce circuitosÑOR necesarios en la solución de la figura 5.5. La soluciónrequirió unos dos folios a una cara y unas dos horas sin prisas./, = [01101000] ' \a. í, c]f t = [101111101 [a, b.c]/i = [100001111 [a, 6,c]>[a, b, c\y =f00111100]O[a, b,c)z =[00000010]® 'a, b,c]

— 127 —Fig\ 7.1.—Red solución del problema 7.1.7.3. ComentarioLos horizontes que este teoría abre pueden ser muy amplios. Perola teoría no ofrece sólo promesas, sino una madura realidad. Hastaahora no existía ninguna técnica capaz de dar una solución como la dela figura 7.1, en la que utilizando un circuito arbitrario cualquieralos resultados piden que algunas entradas se pongan en paralelo, quealgunas entradas estén permanentemente a cero y otras a uno, quealgunas señales deben complementarse y que algunas funciones producidasdeben alimentar a -otras. Hasta ahora no había ningún cuerpoteórico capaz de atacar los problemas de análisis y diseño con la generalidady eficacia que ofrece esta Teoría.

CAPITULO VIIIPRINCIPALES APORTACIONES Y CONCLUSIONESAl concluir este documento conviene enumerar brevemente cuáleshan sido sus principales aportaciones. Este trabajo aporta contribucionesoriginales a la teoría de sistemas lógicos combinacionales quepueden resumirse así:1) Presenta y utiliza una álgebra no booleana que puede servir deinstrumento para un cálculo proposic.ional reflexivo, capaz de incorporaral cálculo el concepto de incertidumbre.2) Presenta una formulación matricial con un desarrollo de operacionesy operadores matriciales con una extensa gama de resultados.3) Presenta un método de formulación de los problemas de análisisde redes lógicas bien formadas sin retroalimentación y métodossistemáticos para resolverlos, aun cuando exista incertidumbre de qomportamientoen sus unidades.4) Extiende los resultados del análisis a los problemas de síntesisde redes lógicas, ofreciendo métodos g'enerales independientes del númerode salidas requeridas.5) Permite estudiar las redes desde el punto devista de la confiabilidady diseñar redes confiables a partir de unidades con fallos oriesgos de fallo conocidos.C) Permite extender los problemas de análisis y síntesis a redeslógicas estocásticas cuyas unidades tienen comportamiento probabilístico,y permite diseñar con ciertos tipos de especificaciones probabilísticas.7) Presenta el concepto de aplicabilidad de circuitos a funciones,que es más amplio que el de equivalencia de clases.8) Presenta métodos para examinar las matrices obtenidas en lasolución de los problemas de síntesis para poder identificar soluciones•de interés, y así:9) Permite identificar soluciones haciendo máximo uso de variablesindependientes y conjuntos disjuntos de variables.

— 130 -10) Extiende la teoría al estudio de las clases equivalentes, resultandométodos para la identificación de los circuitos capaces de realizarlas funciones deseadas.11) Extiende la identificación a la aplícabilídad ensanchando lasposibilidades de diseño a áreas hasta ahora ignoradas.12) Estudia la descomposición disyuntiva, demostrando que la teoríapresentada puede estudiar viejos problemas y arrojar sobre ellosnueva luz.13) Apunta a nuevos problemas y abre nuevos horizontes a la investigaciónen este campo.A pesar de que el poder presentar una teoría de tamaña envergaduray capacidad ofrece motivos de íntima satisfacción, éstos se venenmascarados ante la abrumadora sensación que se siente al considerarlos tremendos problemas que aguardan ser investigados. Vale lapena examinarlos brevemente.1) Al crecer el número de variables los tamaños de las matrices setornan muy incómodos. Son más adecuados para las calculadoras quepara los humanos. La manera de formular los resultados de una formafácilmente utilizable por una colculadora merece ser investigada.2) Los circuitos ÑOR son los circuitos más utilizados. Valdría lapena investigar cómo los métodos de síntesis se verían afectados si lasunidades a utilizar fueran circuitos ÑOR.3) La velocidad de cálculo ha ido siempre un objetivo que impo^ne severas condiciones a los circuitos y sistemas. Es importante sercapaz de diseñar un circuito de sólo tres niveles. ¿Cómo se extenderíala Teoria a este caso concreto ? ¿ Qué nuevas conclusiones y métodosse podrían sacar?4) El concepto de aplicabilidad se ha presentado y utilizado, peroun estudio matemático de la aplicabilidad queda por hacer.5) Los problemas de síntesis de redes estocásticas necesitan serbien formulados y requerirán mucho esfuerzo.6) Todo esto está muy bien, pero hasta ahora se han considerado,los sistemas combinacionales, no los secuenciales. ¿ Cómo se incorporaríala incertidumbre a los sistemas secuenciales? ¿Qué utilidad puedetener la teoría expuesta en jos problemas de diseño de máquinas secuenciales?7) Las redes bien formadas estudiadas no tenían vías de retroalimentación.¿Cómo debería modificarse la teoría si las hubiera? Heahí otro tremendo problema, con su secuela de problemas de análisis,síntesis, incertidumbre, confiabilidad, etc.

APÉNDICE PRIMEROUNA ÁLGEBRA NO BOOLEANA PARA LA INCERTIDUMBRELos problemas de diseño lógico tienen a menudo muchas soluciones.El conjunto de soluciones se ve incrementado cuando la funcióna diseñar está incompletamente especificada en el sentido de que lasnecesidades del diseño están satisfechas si el sistema es capaz de realizaruna función cualquiera de una clase de funciones. Esta situaciónseha tenido en cuenta mediante el uso de indiferencias (véase sección2.2.1). Por otra parte, el conjunto de soluciones se ve disminuidocuando las componentes que han de usarse en el diseño están incompletamenteespecificadas en el sentido de que el comportamiento delas componentes es incierto. En el caso de componentes simples de dosentradas,el simple sentido común suele ser suficiente para tratar lasituación; ahora bien para componentes más complicados es necesarioun procedimiento general sistemático, que se ha desarrollado enesta memoria.Este apéndice desarrolla en detalle un álgebra capaz de tratar laincertidumbre como valor lógico (véase sección 3.1).Este álgebra puede formularse de varias maneras. En este apéndicese sigue bastante fielmente el contenido de Miró [29], en donde sepone especial cuidado en relacionar el álgebra, por un lado con unaestructura elemental, y por otro con un álg'ebra de Boole.1.1. El sistema elementalSea un conjunto S de n elementos S = (s¡, s 2 , ..., s n -i, u) parcialmenteordenado, en el que existe un elemento u y una operación « x »que satisfacen los siguientes postulados:Post. 1. í¡ c « para todo Í¡ 6S.Post. 2. Existe el producto s¡ x s¡ si y sólo si s¡ c s¿ o y ; Cí¡.Post. 3. Si s¡ c: Sj es s¡ x s¿ = s¡ x s¡ = s¡,y si Sj Q s¡ es 5¿ x s¡ = Sj x s¡ = Sj.

- 132 -El postulado .1 define u por su propiedad de ser el máximo delconjunto y por tanto único.El postulado 2 establece cuándo existe la operación x. Nótese quesi entre una pareja s¡, Sj no existe la relación £, entonces la operaciónx no está definida. El postulado 3 establece que el producto x de•dos elementos es su extremo inferior.. Es consecuencia inmediata quela operación es conmutativa.1.1. Teorema.Si M£ S,, entonces s t = u.En efecto, por el postulado 1, s¡ £ «, y por la propiedad antisimétricaque c satisface por ser orden parcial, se deduce que j, = u,c. q. d.De los postulados 1 y 2 se deduce inmediatamente el siguiente teorema:1.2. Teorema.Para todo s¡, s¡ x u = s¡.1.3. Teorema.Sólo u satisface el teorema 1.2.En efecto: si s¡ x u = s, para todo s¡, entonces por el postulado 3•SÍ £ u para todo s¡, y el u que satisface esta relación es único por ser elmáximo, c. q. d.1.4. Teorema.Para todo s,, s¡ x s, = s¡.La demostración se sigue inmediata del postulado 2 y la propiedadreflexiva del orden parcial.1.5. Teorema.Para todos s, y s¡, tal que s¡ x s¡ está definido:(s, X Si) C Sj y (s,- X sj) C. Si

1QOEn efecto : como ¡ x está definido por el postulado 2, o bien s¡ Q s fo s¡ £ s¡. Por conveniencia se llevan las dos demostraciones simultáneas.Sea1) Si C SJ 2) sj £.r,-Por el postulado 3:jPor la propiedad reflexiva:í/ X Sj =S¡ Si X Sj = íySi CZ sj SJ C Í;luegos; x -v c: s,- s¡ x i,- c .yy por la propiedad transitiva:SÍ X .sy C SJ Si x .()• C SÍ c. q. dEs fácil ver que la propiedad asociativa en general no se satisface.Un simple ejemplo basta para ilustrar el caso. Sea S = (0, a, b, u), donde0 C a y Ocj, pero en cambio a y b no están relacionados, entoncesa x b no está definido y resultaaX(íx0) = «Xl) = 0(aXÍ)X0 = no definidosEs interesante estudiar en qué condiciones la operación x va asatisfacer la propiedad asociativa. A continuación se estudia primeroqué relaciones han de existir entre tres elementos para que la operaciónx satisfaga la propiedad asociativa, y segundo, qué relacioneshan de existir en S para que x sea asociativa para tres elementos cualesquierade S.1.6. Teorema.Dados tres elementos s¡, s¡ y St se verifica la propiedad asociativa(SiX Sj) X s k =s¡ X (Sj X s k )

— 134 —en donde s ¿ es el elemento central si y sólo si se cumple una de lascondiciones siguientes:1) Ó~¡ £ Su £ Sj o s k c^c s¡.2) s¡ c s¡ Q s k o i t c jjCjj,3) Sj cz s, y s¡ £ J*.Suficiencia.En efecto: si se cumplen las condiciones 1):(SÍ x sj ) x Í¿ = Í,- x Í¿)J,- X (Í/ X Sk) = J» X J¿Si se cumplen las condiciones 2):a) (s¡ x SJ) x s k = SÍ x s k = siSi X (Sj X S¿) = Si X Sj = í,-b) (SÍ X SJ) x su =• SJ x s k = s kSi se cumplen las condiciones 3):Si X (Sj X i A ) — S¡ X S* = «iU; x S J) *k = i/" x s k = sjSi X (Sj X S k ) = S; X Sj = SjCon lo cual queda demostrada la suficiencia.Necesidad.Sean las condiciones a, b, c, d, f, g las siguientes :a = (SÍ C jy )t = (sj C J,-)Para que se cumpla que/ = (V £ **)g = (Sk C xy)(í/ X Sj) X Sk = Si X (sj X s k )tienen que satisfacerse las condiciones siguientes :[ay(d o c) o by (/o g)\ y [/y (a o b) o gy (c, o d)]Esta expresión resulta más clara con la notación booleana, en la que

— 135 —la suma « + » representa la conjunción «o» y el producto representa laconjunción «y». Con notación booleana el conjunto X de condicionesa satisfacer viene dado porg)] [f(a + b)d)\y aplicando los teoremas del álgebra de Boole resulta que las condicionesa satisfacer vienen dadas por— (a d + a c + bf + bg) (a f + b/+ cg+ dg) == ad(f + g) + ac{/+ g) + bg[c + d) + b fS ¡f a )(b)Fig. 1.1.Ahora bien, la propiedad transitiva del orden parcial hace quecg -*ad —>•bg ^c o seaa > »g » »d » >afc — afa d g = a dbdg—bgTeniendo esto en cuenta, resultaX = ad/ + a dg a cf+ acg + bg c + bg d + bf =bg) + bfel primer paréntesis corresponde a las condiciones 1), el segundo a las2) y el tercero b f a las condiciones 3), con lo cual queda demostrado elteorema, c. q. d.Las condiciones 1), 2) y 3) pueden representarse gráficamente comoen la figura 1-1 (a) (b) (c), utilizando un punto para representar unelemento, y una flecha de j¿ a s¡ para indicar que s¡ c s¡.

— 136 —En otras palabras, el producto entre tres elementos distintos esasociativo en la forma del teorema 1.(5, es decir, con el elemento Sjen medio de los otros dos si y sólo si los tres elementos están relacionadoscomo en la figura I..Í (a) (b) o (c).Nótese que en la figura I.l(c) se especifica solamente que s¡Qs¡y que s¿ c; s k , sin decir nada de cuál sea la relación entre s¡ y s¡c; así,pues, este caso se puede desarrollar en dos, uno en que exista relaciónentre s¡ y s k , que en la figura 1.2 se representa como caso (c) yel caso en que no exista relación entre ellos, representado en la fig'ura1.2 d). Con esta interpretación la representación de los casos posibleses la de la figura 1.2.Vcaso a caso b caso c caso dFig. 1.2.En la figura 1.2 se han representado las relaciones con respecto alelemento s¡; por conveniencia los casos correspondientes se designancomo a¡, b h c¡, d¡. De la misma manera se podría referir a los casosa m, b m , c m , é, n , en donde las relaciones se describen con respecto alelemento s m .Con objeto de facilitar la exposición de las condiciones para queuna estructura sea asociativa, resulta conveniente presentar unos cuantislemas en los que resulta cómodo apoyarse más tarde.Los casos a) b) c) de la figura 1.2 son aquellos en que los tresvalores en cuestión están en secuencia o cadena, o sea, que un elementoestá relacionado con otro y el tercero con los otros dos..1.7. Lema.Si la relación entre tres elementos distintos s m , s n > Su es de la formad m , entonces con notación booleana:d m . a,- = d m . b r = d, n . c r = 0r = n,fiEn efecto, si la estructura de la relación corresponde al caso d m noes una cadena y entonces no puede ser un caso a n o a v , ni b n o b p , ni

— 137 -c n o Cp, porque los casos a, b y c sólo pueden darse en una cadena,que d corresponde al caso en que no hay cadena, por consiguiente1.8. Lema.. d m a r = 0, d m b r — 0 y d m c r = 0. o. q. dPara cualquier m y n, m — n:a m a H = b m b n = Cm.c n = d»> d n = QEn efecto : si es a m , quiere decir que s m está al extremo superiorde la cadena; por consiguiente, si m 5¿ n es fácil ver que no puedeser a n ; el mismo razonamiento aplica a b m y c m , c. q. d.1.9. Lema.La condición necesaria y suficiente para que s m s n Sp formen una cadenaes quea m b n c¿ + a m bf, c n + a n b m Cf, + a H bp c m + ap b m c n + ap b n e m — 1o lo que es lo mismo, se tiene que dar una de las seis situaciones.En efecto, si es una cadena entonces, por cuanto al elemento s, n serefiere, la relación tiene que corresponder al caso a m , b m o c m análogamentepor cuanto al elemento s n se refiere, tiene que ser un casoa n , b n o c n y finalmente, refiriéndose a s p , el caso tiene que ser a v , bpoCp, o sea, que tiene que sera m + b m + c m = 1a H + b n + c n = 1ap + bf, + Cf = 1multiplicando y teniendo en cuenta los resultados del lema 1.8, resulta.{a m + b m + c m ) . (a n + b n + c n ) . (ap + bp + cp) == a m b n cp + a m bp c n + a n b m cp + a n bp c m + ap b m c n + apb H c m — 1Para demostrar la suficiencia, basta ver que cada uno de los productosde la expresión corresponde a una cadena.Así:a m b n cp (sp s n s m )a m bp c n (s H sp s m )etc., con lo que queda demostrado el lema.

— 138 —1.10. Teorema.La condición necesaria y suficiente para que en el conjuntola operación tenga la propiedad asociativa para cualesquiera elementos,y en cualquier orden es que los elementos estén ordenados en formade cadena.En efecto. Si se cumple la aso'ciativa para cada tres elementos cualesquiera,Si x sj ha de estar definido para cada posible pareja s t> s¡;por consiguiente, S es un conjunto finito totalmente ordenado, o sea,una cadena, c. q. d.1.11. Un ejemplo.Dadas dos clases de funciones booleanasY 1 =D,BY, = D 2 (g)Bdonde D x y D 2 son matrices de designación (véase. (3.2) compuestasde símbolos 0, 1 y —, la intersección de las dos clases viene dada por(D, x D,) Bdonde x viene definida sobre el conjunto de valores 0, 1, —, tal queOC-jlC-, y tal que (Dj X T> t )j = D iy - X D s/ -1.2. Sistema más desarrolladoSea un conjunto de elementos R x = {r Xí r 2 , ..., ÍV-I, »V— 1} parcialparcialmenteordenado por la relación

— 139 -y por tantor¡ . rj — fj . n1.1 (a) Teorema.si. lCf(,r,-=l1.2 (a) Teorema.n . 1 = r¡ pan todo n £ R t1.3 (a) Teorema.1 es único1.4 (a) Teorema.n.ri—ri para todo n £ Ri1.5 (a) Teorema.tu . rj C r¡ y ry . rj C r y -1.10 (a) Teorema.(n . rj) . r k = r¡ . (rj . r k ) para cualquiera r,-, ry > r*si y sólo si R x es una cadena.Considérese ahora un conjunto R 3 = {r 1 =0, r 2 , r 3 , ..., r n } parcialmenteordenado por la relación 2 y sobre el cual se ha definido unaoperación ; + satisfaciendo los postulados 1, 2 y 3, donde 0 es la unidad.Las propiedades de este sistema pueden resumirse como sigue:Post. l(b) f,3 0 para todo r,€R 2 .Post. 2 (b) r, + r¡ está definido si y sólo si r¡ 2 r¡ o r¡ Q r^Post. 3 (b) r¡ + r ; = r¡ si r, 2 r¡r t . + r¡ = r ; si r¡ ¡2 »*,y por consecuencia'-,- + '/ = rj + KÍ

- 140 —1.1 (b) Teorema.Si0 3 ru r¿ = 01.2 (b) Teorema.r¡ + O = ri para todo r¿£ Rj1.3 (b) Teorema.0 es único1.4 (b) Teorema.r; + n = r,- para todo r¡ £ Rj1.5 (b) Teorema.r i + r i 2 r í> *"« + O' 3 r > P ara to^° *•«• r Jtal que1.10 (b) Teorema.*7 + rj está definido.(ri + rj) + r k = r¡ + (rj + r k ) para cualesquierar¿, rj, r/,si y sólo si R 2 es una cadena.Considérese ahora, finalmente, el conjuntoR = ¡0, r 2 , r s . . r K _ v l[en el cual se ha definido un orden total tal que para todo r¡, r¡,ri C rj r/ 3 n, y 0 C r 2 C r 3Cr M Cl,sobre el cual se han definido las dos operaciones anteriores: + con

141 -unidad i), y • con unidad 1: entonces los teoremas expuestos en esta.sección se verifican. Además se verifican los teoremas siguientes:2.1 (a) Teorema*.Para todo r¡,En efecto:r¡ . 0 = 00 c.r¡y por el postulado (3) a:r¡ . 0 = 0 c. q. dEn particular, paran = 0 y ri + l,resulta:Corolario.01.0 = = 0.0 =2.1 (b) Teorema.Para todo r¡,En efecto :y por el postulado 3 (b):n+ 11 2 nEn particular, parar¿ + 1 = 1 c. q. d.resulta: . • • '

- 142 -Corolario.0+1 = 11 + 1 = 12.2 (a) Teorema.n + n . rj — r¡En efecto : por el teorema 1.5 (a) :r¡ . rj C. ny por el postulado 3 (b):r { + n . rj.= r¡ c. q. d-2.2 (b) Teorema.r¡ . (n + r¡) = nEn efecto : por el teorema 1.5 (b):r i + r j ¡5 ny por el postulado 3 (a) :r i • i r i + r i) - n c. q. d.Nótese que dada la dualidad de postulados y relaciones para cadateorema, existe un teorema dual cuyas demostraciones son tambiénduales entre sí.2.3. Teorema.Para todo r¡, r¡, r k :a )b )r k • ( r i + rj) — r k • n + rk . rjr k + (n. rj)=z(r k + r¡) . (r h + rj)En efecto, como R es una cadena pueden darse tres casos.

— 143 -Caso 1.r k £ n y r k Qr;Por el teorema 15. (b) :r k ^(n + rj)y por el postulado 3 (a) :r k • 7 + rj) C r kr h • ( r í + r j)=r¡ + rjPor otra parte, por el postulado 3 (a):Caso 3.(r k • r¡) + (r k • rj) = r¡ + rjr; CrjC rjEn este caso, por el postulado 3:r h • ( r i +rj)~y por otra parte, por el postulado 3 (a):r k{rk . ri) + (r k . rj) = r¡ + r k

y por el postulado 3 (b):= r kasí, pues, en los tres casos se verifica quer k • ('"«• + r J) = r k • n + r k • r iLa demostración de la propiedad distributiva en su forma b) es ladual de la anterior.Nótese que todos los teoremas que se han demostrado se correspondencon los postulados y teoremas del álg'ebra de Boole, en los queno interviene la complementación. Esto es natural que sea así, ya que,como habrá observado el lector, el sistema que hemos definido es unretículo distributivo.2.4. Teorema.Si r t • r¡ — r t '+ r¡, entonces r¡ = r¡.En efecto : siupóngase que r¡ ^ r¡, entonces por ser R una cadenatienen que estar relacionados; supóngase, pues, que r¡ c r¡, entoncesy por la hipótesis del teorema:>'¿ . rj = nr¡ + ,-j = rjr¡ = rj c q. d.1.3. Complementación. El teorema de De MorganEn el álgebra de Boole convencional el concepto de complementacióno negación se establece de esta forma: para cada elemento aexiste un elemento negado o complementado a' tal quea . a' = 0a + a' = 1En el sistema R que hemos definido en la sección anterior, en loscorolarios a los teoremas 2 se ha visto que0 . 1 = 00 + 1 = 1

— 145 -de donde se deduce que el 0 y el 1 son complementos uno del otro enel sentido del álgebra de Boole.3.1. Teorema.Para todo r¡ diferente de 0 y 1 no existe ningún r'¡ tal quer¡ + r { = 1 y n . r¡ = 0En efecto, por el postulado 3 (a), sise deducepero entoncesr¡ . r,-' = 0 y r i7 éOri = 0r¡ + t"j' = r,-7'= 1 por hipótesis c. q. á.Resulta, pues, que la definición booleana de complementación nopuede extenderse a todos ios elementos de R.Se denomina «complementación» una aplicación ( r -) R -> R tal que0 = 11 = 0ri = r¡ para i = 2,3 ...» — 1Es decir, para los casos a = 0 y a — 1, la complementación de a,a, equivale a la negación booleana, pero para a — r t no equivale a ella,La unicidad de la complementación se sigue inmediatamente de ladefinición y de los teoremas 1.3. También es inmediato queEl teorema de De Morgan, uno de los más importantes del álgebrade Boole, dice quea .b—a+ba + b = a , bA continuación se estudia en qué condiciones R satisface este teorema.

- 146En el caso en que a o b es 0 ó 1, el teorema de De Morgan se satisfaceindependientemente de cuál sea la definición de la complementacióndelotro elemento, como se puede comprobar a continuación:0 . a = Ü = 1Ü + ~= 1 + ~a = 12) 0 + a = a0 . a = 1 . a = a3)1 + a = 0 + a =~a4 ) 1 + a = 1 = 01 . a = 0. ¿T=03.2. Teorema.La condición necesaria y suficiente para que R satisfaga el teoremade De Morgan es que para todo r t , r¡ diferentes de 0 y 1 sear i + r j = n •r jEn efecto, como r¡ y r¡ son diferentes de 0 y 1, su suma r¡ + r¡también es diferente de 0 y 1 y por consiguienten . rj = r¡ . r }por otra parte,ñ + rj = r¡ + rjluego dese deduce quer¡ . rj = n + rjn . rj — n -f rjCon el mismo procedimiento se demuestra a partir del teorema deDe Morgan en su otra forma.La suficiencia se demuestra también fácilmente. Sean + rj = r¡ . rj , n, rj =zí 0, r,- . rj jé 1

— 147- —Por definición:fi.rj~n.t-jpor hipótesis:= fi + rjpor definición:= r¿ + rjAnálogamente,r i = rj — r¡ + rj = n . n = r t - , r¡5.3. Teorema.Si R = R m satisface el teorema de De Morgan, entonces R m consistesólo de tres elementos.En efecto, por definición contiene el 0 y el 1. Supongamos que ademáscontiene dos elementos r t , r¡, entonces por el teorema 3.2n •+ rj — n . rjy por el teorema 2.4r¿ -= rjAsí, pues, se sigue que un sistema R m que satisface el teorema deDe Morgan tiene tres elementos : 0, 1 y un tercer elemento que aquíse representa por el símbolo *.La relación entre los diferentes sistemas mencionados se representaen la figura 1.3. Cada rectángulo representa una estructura algebraica.Un rectángulo A es interior a. otro B si el álgebra representada por Aes un caso particular de la representada por B. El rectángulo interiora todos es el caso más particular, correspondiente al álgebra de Boole,Los tres teoremas que aparecen en el recuadro del álgebra de Boole(fig. 1.3) tienen una contrapartida que se satisface en R m .3.4. Teorema.Si a es 0 ó 1, entoncesa + ab=.a 4- b

Sistema: S, x, u CPostulados1) SÍ Qu2) Existencia de S, X ty3) s,- X SJ — extremo inferior de (s¿, SJ)TeoremasSi U C Si, Si = US{ X U — Siu es únicoS¡ X Si = SiSi X Sj cr j,-, í¿ X í> C.SjS = cadena(íf XÍ;)Xí*- ti X (sj X Sk) Sistema: R, . ,' + ,0,10 . r { = 01 4- n =1r; + r/ .., r 'f' k • (^"í "f" r>)-= (r~k • n%+(r k .rj)= (r* + n) . (r k + rj)Sistema: R = = jo, * 1 i + . £•; Ó~=l; f=0,* = *. (n.+ r?'J == O"in . r/) ~ = O'Sistemas¿= JO, 15 4-, ., 0, =T,Ó"= 1Algebra de Boolea + ¡

— 149 —En efecto,a -j- a b = (a -f- a) . {a -\- b)y por definición de á, puesto que es 0 ó 1:El teorema dual es3.5. Teorema.Si a es .0 ó 1:3.6. Teorema,... Si a es 0 ó 1:b . (a -\- ¿) = a . b(a + b) .(a + c) =ac -f aba. b -f a . c = a . b -\-a . cc. q. d.Las demostraciones de los teoremas 3.5 y 3.6 son simples y se dejanal. lector.Para futura referencia se estalecen a continuación las labias de lasoperaciones fundamentales en R m :+0*10*1—00*1000001***1*0****111110*110De especial interés es la función /¡ (a b) = a b + a b. Los valoresdeesta función son los de la tabla siguiente:V«\00110****i0*1

- 150 -1.4. FuncionesDefinimos como funciones de n variables a las aplicaciones(0, *, 1)« -~ (0, *, 1)Sea F el conjunto de estas funciones. Sean m¡, i = 0, 1, ..., 3" — 1, losíí-plas de (0, *, 1)" y d¡ el valor 0, *, 1 que corresponde a m t en virtud4e la aplicación.A continuación se define la suma y producto de funciones.Sea f¡ una función que hace corresponder d Jt a w¡» j't » » » » » d ki a m¡Se define / ; - + f k » »- » » » d¡¡:+ d hi a m¡» y> f¡ • f k » » » )> » d¡i • d ki a m t! J i l lComo la suma, producto y complementación se define entre elementoscorrespondientes, resulta inmediato que la suma y el productosatisfacen las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.Si se define la función /„ como la función, tal quey /j como la funciónÍ/, = 0,Í=0,1 ... 3" — 1entonces /„ es el elemento neutro respecto a la :+ en F, o cero de lasfunciones y f 1 el elemento unidad respecto a • en F o «uno» de lasfunciones y los otros teoremas también se cumplen. De nuevo es fá-•cil ver que el conjunto de funciones es un retículo distributivo con complementacióny De Morganiano.En especial son de gran interés las funciones(0,1)"- '0,*. 1)•que como caso particular de las anteriores también forman un retículoy son las utilizadas en la memoria.

— 151 —1.5. Cálculo proposicional reflexivoUna de las aplicaciones de R« es describir el estado de ignoranciao incertidumbre en el cálculo proposicional. Sean A, By C, ... proposiciones,entonces ABC... son o ciertas o falsas, porque por definiciónuna proposición es una afirmación que ha de ser cierta o falsa.Como es bien sabido, el cálculo proposicional directo es una álgebrade Boole.Al pretender generar un cálculo proposicional reflexivo en el queno se pretenda describir el estado de certeza o falsedad de una proposión,sino el estado de conocimiento sobre la afirmación de esta certezao falsedad, entonces se requieren tres valores lógicos que puedenser:CSe sabe que es ciertoFSe sabe que es falsoN , No se sabe si es cierto o falsoLa función «D es cierto si y sólo si A es cierto y B es cierto tomalos siguientes valores:\AB\FNCFFFFNFNNCFNCAsimismo, la función «E es cierto si y sólo si A es cierto o B escierto, o ambos» corresponde a la siguiente tabla:B \FNcFFNcNNNceCCc

- 152 -y finalmente, si no se sabe si A es cierto tampoco se sabe si la afirmaciónopuesta a A es cierta o no. Lo opuesto al «no se sabe» tampocose sabe, o sea que la tabla correspondiente esF =• CN =Se puede ver inmediatamente que estas tablas coinciden con las quese obtuvieron en la sección 3 si se sustituye 0 por F, 1 por C y * porN. Así, pues, el valor * de (0, #, 1) constituye una representación adecuadadel concepto de «ignorancia» o «incertidumbre» y un cálculo propbsicionalreflexivo que pretenda manipular no con la verdad o falsedadde las proposiciones, sino con el conocimiento reflexivo de estaverdad o falsedad, es el retículo que se ha estudiado.Es interesante considerar qué función en este retículo correspondeal concepto de igualdad en el cálculo proposicional reflexivo. Sea lafunción «I es cierto si A es igual a B. Y falso si A no es igual a B».La tabla correspondiente a I esNIFNCFCNFNNNNCFNCque corresponde a la función /, {A B) = A B + A B, estudiada en lasección 3. Así, pues, el concepto de conocimiento de igualdad entre entesen el cálculo proposicional reflexivo coresponde a la función' fi = a b-\-~a~B'convencionalmente llamada función de equivalencia. Por otra parte,el signo = utilizado en el retículo ha de entenderse como igualdad formalde símbolos, así del hecho de que el valor de A sea *, el de B sea*, se puede inferir que entre símbolos * = *, pero no se puede inferiría igualdad entre entes. No se sabe si A es cierto ni si B es cierto,ni si A es igual a B.Es muy interesante notar que el concepto de igualdad entre entesen el cálculo proposicional reflexivo no es una relación de equivalen-

— 153 —cia, ya que no se puede afirmar que * sea, entre entes, igual a * y porconsiguiente la igualdad entre entes no es una relación reflexiva enel retículo. Esta relación no define un conjunto parcialmente ordenadotampoco, sin embargo el cálculo es un retículo. Nótese que tampocose puede decir que * -> *. Por otra parte, si a -> b y b -> a, entoncesa y b tienen que ser o 0 ó 1.La aplicación más importante del retículo (0, •*, 1) es el diseño lóg'ico.Su estudio constituye la principal aportación de esta memoria.

AgradecimientosQuiero expresar mi sincero agradecimiento al Excmo. Sr. D. JoséGarcía Santesmases, cuya mano me guió en mis primeros pasos eneste campo y cuyo estímulo ha sido muy valioso en el desarrollo deeste trabajo.Reconozco una profunda deuda de gratitud a Case Institute of Technologyy Ohio University, que durante muchos años me permitieroninvestigar estas materias y presentar algunos resultados en cursos dela escuela de graduados especialmente diseñados a este fin.Quiero agradecer sinceramente a la Fundación Juan March, al Centrode Cálculo de la Universidad de Madrid y al Centro de InvestigacionesTécnicas de Guiptízcoa (Universidad de Navarra) su asistenciaen la fase final de preparación de este trabajo.Asimismo agradezco a D. Manuel Pargada la atenta lectura del manuscritoy sus valiosos comentarios, y a la Srta. Lolita Arregui, sueficaz colaboración en la ingrata tarea de mecanografiar el texto.Finalmente, deseo expresar mi profunda gratitud a mi esposa porsu paciencia en las horas de soledad a que las exigencias de estas investigacionesla obligaron.

BIBLIOGRAFÍA[1] ARMSTRONG, D. B. : On the efficient assignment of infernal codeslo sequential machines. «IRÉ Trans. on Electron. Comp.»,vol. EC-.11, núm. 5, octubre 1962, págs. 611-622.[2] . ASHENHURST, R. L. : The decomposiúon of Suñtching functions.Proc. Intern. Symp. Theory of Switching\ Harvard University,págs. 74-116, J.957.[3] BARTEE, T. C. : Computer design of múltiple output networks.«IRÉ Trans. on Electron. Comp.», vol. EC-10, núm. 1, marzo1959.[4] BOOLE, G. : An investigation of the Icnvs of thought. Londres,1854.[5] The mathematical analysis of logic, Cambridge, 1847.[6] BURKS, A. W,, y WANG, H. : The logic of autómata. I and II.«T. Ássoc. Comp. Machinery», vol. 4, núm. 2, págs. 193-218,.abril 1957; vol. 4, núm. 3, págs. 279-297, julio 1957.[7] — y WRIGHT, 1. B.: Theory of logical rtets. «Proc. IRÉ»,.vol. 4.1, págs. 1357-1366, octubre 1953.[8] CHOUDHURY, A. K. y BASU, M. S.: On the dasification of Booleanfunctions I and II. «Iridian J. .Pys.», vol. 36, núm. 6, páginas317-329, junio 1962: «Iridian T- Phys.», vol. 36, núm. 8,págs. 383-407, agosto 1962.[9] CURTÍS, H. A. : A new approach to the design of swhching cincuits.D. Van Nostrand Comp. Inc. Princeton, N. ]., 1962.[10] GIMPEL, J. F. : The mhmnisation of Tant Ncbworks.. «IEEE.Trans. Electron. Comp.», vol. EC-16, núm. 1, págs. 18-38, febrero1967.[11] GOLOMB, S. W.: On the classification of Boolcam, functions.«IRÉ Trans. on Circ. Theory», vol. CT-6, págs. 176-Í86, mayo-1959.[12] HALL, F. B. : Boolean prime implicants by the bynary sieve me~thod. «AIEE Trans. part. II. Comm. and Electr.», núm. 58,.págs. 709-713, enero 1962.[13] HARRISON, M. A. : Introduction to siühching and autómatatheory.Me. Gravv-Hill Book Co. Tnc. Nueva York, 1965.[14] HARTMANIS, J.: On the state assignnient problem for sequentialmachines I. «IRIÍ Trans. Electron. Comp.», vol. EC-10, número2, págs. 157-165, junio 1961.

— 156 —[15] HARTMANLS, J. y STEARNS, S. E.: On the state assignment pro-Uem for sequential machines II. «IRÉ Trans. Electron. Comp.»,vol. EC-1.0, núm. 4, págs. 593-603, diciembre 1961.[16] HELLERMAN, L. : A cátalog of three vaiable OR-inverl and ANDinvertlogicen circuits. «IEEE Trans on Electron. Comp.», volumenEC-12, núm. 3, págs. 198-223, junio 1963.[17] HUFFMAN. D. A.: The synthesis of sequential snñtchmg circuits.«Tour of the Franklin Ins.», vol. 257, núm. 3, págs. 161-190,1954; vol. 257, núm. 4-, págs. 275-303, 1954.[18] 'KI.EENE, S. C.: Reptesentation of evenis in nerve nets and finiteautómata. Autómata studics. Princeton Univ. Press. PrincetonN. J., 195C.[19] KUNTZMANN, J. : Algebre, de Boole. Dunod Ed. París, págs. 28-30, 1956.[20] LEDLEY, R. : Digital Computer and Control Engineering. Me.Graw Hig Book. Co. Inc., Nueva York, 1960".[21] LUKASIEWICZ, J. : Philosophische Bemerkugen su mehrzvertigenSystemen des Aussage Kalkuls. «Comptes rendus des Seances dela Soc. des Sciences et des Lettres de Vars.ovie», XXIII, CfasseIII, págs. 57-77, 1930.[22] MALEY, G. A. y EARLE, J. : The logic design of transistor digitalcomputers: Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1963.[23] MCCLUSKEY. E. j. JR. : Lógica! design theory of ÑOR gatenetii'orks 'imth no complemented inputs. «Proc. of 4th. Ann.vSymp. on S.witching Circ. Theory and Logical Desig.», Chicago,págs. 137-148, octubre 1963.[24] • Minimal sums for Boolean functions having many unspecifiedfundamental producís. «Proc. of 2" d Ann. Symp. onSwitching Circ. Theory and Logical Design.», págs. 10-17, Detroit,1961.[25] Minimization of Boolean functions. «Bell System Tech.Jonr.», vol. 35, págs. 1417-1444, noviembre 1956.[26] y SCHORR, H.: Essentml múltiple outpul prime im-plicants.«Proc. of Symp. on Math. Theory of Autómata». Pólyt. Inst.of Brooklin, págs. 437-458, 1962.[27] MCNAUGHTON : Uñate Truth Functions. «IRÉ Trans. Electron.Comp.», vol. EC-10, núm. 1, págs. 1-6, 1961.[28] MEALY, G. H. : A metliod for synthesizing sequential circuits.«Bell Svstem Tech. Jour.», vol .34, núm. 5, págs. 1045-1079,1955.[29] MIRÓ, J.: A non Boolean algebra for uncertainty. «Rep. EED-1.7-1». Ohio University, Athens, Áhio, agosto Í960.[30] On minimal sets of permutations. «Rep. EED-18-1». OhioUniversity, Athens, Ohio, agosto 1966.[31] . Reliability anahsis of feed-fonuard logical nets. «Proc. 8thNat. Symp. on Reliability and Qual. Contr.», págs. 473-483,enero 1962.

- 157 -[32] MIRÓ, J., APPLE, H, y VLACK, D..: A nonlinearly separable logiccircuit. «Proc. of IEEE», vol. 52, núm. 0, septiembre 1964.£33] y BROUSIL, I. : An algebra for uncertainty. «Rep. SRC26-A-63-13, Case'lnst. of Tech.», febrero 1963"{34] y LENZ, R. : Multithreshold functions of four variables.«Rep. EED-20-1», Ohio Üniversity, Athens, Ohio, agosto 1960.£35] MOTT, T. H. : Determination of the irredundant normal formsof a truth fwnction by iterated consensus of the prime implicants.«IRÉ Trans. on Electron. Comp.», vol. EC19, páginas245-252.[36] MUKHOPADHYAY, A. : Non disjunctive decomposition of swítchingfunctions. «J. Sci. Indus.tr. Research.», vol. 20 D, número10, págs. 387-389, octubre 1961.{37] NELSON, R. |. : Simplest normal truth functions. «Jour. of SymbolicLogic», vol. 20, págs. 105-108, junio 1955. ,[38] — Weak simplest normal truth' functions. «Jour. of SymbolicLogic», vol. 20, págs. 232-284, septiembre .1955.[39] NETHERWOOD, D. B. : Logic matrices and the truth function problem.«Jour. Ass. Comp. Mach.», págs. 405-414, julio 1959.[40] PAULL, M. y UNGER, S. : Minimizing the number of states in íncom-pletelyspecified sequential suñtching functions. «IRÉ Trans.Electron. Comp.». vol. EC-S, núm. 3, págs. 356-367, 1959.[41] POLANSKY, R. B. : Further notes on simplifying múltiple outputs'iñtching circuits. «MIT Electronics Sys. Lab. Cambridge Mass.Mem. 7849-M-330», págs. 1-6, octubre 1959.£42] POI.YA, G. : Sur les iypes des propositions compasees. «Jour. ofSymbolic logic», vol. 5, núm. 3, págs. 98-1.03, septiembre 1940.[43] POST, E. L. : A general theorv of elementary propositions. «Am.J. Math.», vol." 43, 98-103, i.940.[44] QUINE, W. V. : A -May to sUnplify truth functions. «Am. Math.Monthly», vol. 62, págs. (527-631, 1955.[45] The problem of simplifying truth functions. «Am. Math.Monthly», vol. 59, págs. 521-531, 1952.[46] RICHARDS : Digital Computer Components and circuits. VanNostrand, Co. Inc., Nueva York, 1957.{47] ROGINSKII, V. N. : The synthesis of switching (contad) circuitsivith real contaets. «Avtomat i Telemekh», vol. 22, núm. 10,págs. 1.355-9, octubre 1961.[48] Rom, J. P. : Minimisalion over Boolean trees. «IBM J. Res.Dev.», vol. 4, núm. 5, págs. 543-558, noviembre 1960.[49] y KARJP, R. M. : Minimisation over Boolean graphs. «IBMT. Res. Dev.», vol. 6, núm. 2, págs. 227-238, abril 1962.[50] S.ITANNON, C. : A svmbolic arialysis of relay switching circuits.«Trans. AIEE», vol. 57, págs'. 713-723, 1938.

- 158 -[51] TODD, C. D.: An annotated bibliography on ÑOR and NANDlogic. «IEEE Trans, Electron. Comp.», vol. EC-12, núm. 5 rpágs. 462-463, octubre 1963.[52] TURINGJ A.: Computing machinery and intelligence. «Mind», volumen59, págs. 433-460, 1950.[53] On computable numbers wi-th applications to the entscheidungs-problem.«Proc. London Math. Soc. Series 2», vol. 42,págs. 230-265, 1936, vol. 43, págs. 544-546, 1937,[54] VALENTINUZZI, M. E. : Three valued propositional calcwlus ofLukasiewcs and three- poskion double siuitches. «IEEE Trans.Electron. Comp.», EC-16, núm. 1, págs. 39-44, febrero 1967.[55] VON NEUMAN, J. : Probabilistic logics and the synthesis of reliableorganwrns from unreliable components. Autómata studies ypágs. 43-98, Princeton Univ. Prínceton N. ]., 1956.[56] WILCOX, R. H. y MANN, W. C. : Redundancy techniques for computingsystems. Spartan Books, Washington D. C, 1962.•[57]VVINDER, R. O. : Threshold logics. Ph. D. Disertation-PrincetonUniversity, mayo 1.962.[58] YOELI, M. y RIÑON, S. : Application of temary algebra to thestudy of static hasards. «J. Assoc. of Comp. Machinery», volumen11, núm. 1, págs. 84-97, 1964.

Í N D I C EPáginas.Prólogo'CAPITULO PRIMEROINTRODUCCIÓN 111.1. EL PROBLEMA DE DISEÑO LÓGICO 111.2. LA NUEVA PROBLEMÁTICA 151.2.1. Identificación de circuitos 101.2.2. Eliminación de inversores 171.2.3. Incertidumbre 171.2.4. Confiabilidad 171.2.5. Descomposición 17CAPITULO IIÜJA MATEMÁTICA DE LOS I'ROCESQS LÓGICOS 192.1. FUNCIONES BOOLEANAS ..' 19' '2.1.1. Representación algebraica 192.1.2. Representación geométrica 202.2. MINTMIZACIÓN 202.2.1. Adyacencias 212.2.2. Implicantes primos 232.3.1. Monotonicidad-uno 242.3. CLASES DE FUNCIONES 242.3.2. Funciones equivalentes 252.4. REDIÍS BIEN FORMADAS 26^CAPITULO IIIXTNA FORMULACIÓN REFLEXIVA 298.1. UNA ÁLCEBRA REFLEXIVA PARA LA INCERTIDUMBRE 29Nota 293.1.2. Introducción ... 293.1.3. Teoremas 303.1.4. El valor lógico de la incertidumbre 318.1.5. La función equivalencia 33

— 160 -Páginas3.2. FORMULACIÓN MATRICIAL ... 353.3. OPERACIONES Y OPERADORES MATRICIALES 363.3.1. Operaciones 363.3.2. Operadores 383.4. CAMBIOS DE BASE 403.5. FUNCIONES MONOTÓNICAS-1 Y POSITIVAS ;-••• , 443.5.1. Adyacencias de primer orden y cp D 453.5.2. Funciones positivas 473.6. RESUMEN 48CAPITULO IVANÁFISIS DE REDES LÓGICAS 49-4.1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA • ••• 49 14.1.1. Estructura canónica. Notación 494.1.2. Ecuaciones 50-4.1.3. El problema:" 514.2. MATRICES DE LA ESTRUCTURA CANÓNICA :. ... 514.2.1. La matriz cardinal 8 ... ... 514.2.2. Ejemplo ."..' 52:4.2.3. La matriz T 534.2.4* Definición de la matriz canónica

- 161 —Páginas5.6. RKDES ESTOCÁSTICAS 805.0.1. Problema típico 825.6.2. Ejemplo 825.7. RESUMEN 86CAPITULO VIIDENTIFICACIÓN DE SOLUCIONES Y CIRCUITOS 876.1. DETECCIÓN MÍ VARIABLES INDEPENDIENTES 8T6.2. VARIABLES INDEPENDIENTES DISJUNTAS 90'0.2.1. La propiedad trans • 906.2.2. Teorema 92;6.8. FUNCIONES DISJUNTAS 936.3.1. Teorema 94-6.3.2. Ejemplo 95-0.3.3. Ejemplo 966.4. IDENTIFICACIÓN DE CIRCUITOS 976.4.1. Conceptos fundamentales 976.4.2. Algunos resultados inmediatos 9S6.4.3. La equivalencia como cambio de base 1016.4.4. La equivalencia en la teoría 102'6.4.5. La determinación de equivalencias 106 16.4.6. La aplicabilidad y su identificación en la teoría 1136.5. SÍNTESIS. J1T. DESCOMPOSICIÓN DISYUNTIVA 1176.5.1. Propiedades de la estructura fundamental US6.5.2. Detección de la propiedad 3216.5.3. Ejemplo 1216.5.4. El problema combinatorio 123"6.6. RESUMEN 125CAPITULO VIIUN EJEMPLO125^7.1. El. PROBLEMA 1257.2. LA SOLUCIÓN 1.257.3. COMENTARIO 127CAPITULO VIIIPRINCIPALES APORTACIONES Y CONCLUSIONES 129*APÉNDICE I 131BIBLIOGRAFÍA 155índice 159>