เวกเตอร์
เวกเตอร์
เวกเตอร์
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
315 102 General Physics I อ. ดร. ศรีประจักร์ ครองสุข<strong>เวกเตอร์</strong> (Vectors)• บทนํา• การรวม<strong>เวกเตอร์</strong>• <strong>เวกเตอร์</strong>หนึงหน่วย• การแยก<strong>เวกเตอร์</strong>• ผลคูณสเกลาร์และ<strong>เวกเตอร์</strong>• ผลคูณสเกลาร์ของสาม<strong>เวกเตอร์</strong>16/4/2008
บทนํา (Introduction)ปริมาณทีวัดในทางฟิ สิกส์แบ่งออกเป็ น 2 ประเภทคือ• ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริมาณทีระบุขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น อุณหภูมิ,ปริมาตร, มวล, เวลา เป็ นต้น• ปริมาณ<strong>เวกเตอร์</strong> (vectors) คือ ปริมาณทีต้องระบุทั งขนาดและทิศทางพร้อมกัน เช่นการกระจัด, ความเร็ว, ความเร่ง, แรง, สนามแม่ไฟฟ้ าและสนามแม่เหล็ก เป็ นต้นABθ BNθ AAอุณหภูมิEB2ปริมาณสเกลาร์ปริมาณ<strong>เวกเตอร์</strong>6/4/2008
สมบัติของ<strong>เวกเตอร์</strong>การรวม<strong>เวกเตอร์</strong>(1) การเท่ากันของสอง<strong>เวกเตอร์</strong>ถ้า<strong>เวกเตอร์</strong> A และ<strong>เวกเตอร์</strong> B เท่ากัน จะต้องมีขนาดเท่ากัน (A = B) และมีทิศทางเดียวกันด้วยAABBA = BA ≠ BAA3BA ≠ B แต่ A = -BBA ≠ B6/4/2008
การรวม<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)(2) การบวก<strong>เวกเตอร์</strong>โดยใช้วิธีเรขาคณิต (geometric method)• การบวกสอง<strong>เวกเตอร์</strong>BAR = A + BθRAB• การบวก<strong>เวกเตอร์</strong>ทีมีมากกว่าสอง<strong>เวกเตอร์</strong>ขึ นไป4CA120°B60°R = A + B + CRθACB6/4/2008
การรวม<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)การบวกของสอง<strong>เวกเตอร์</strong>สามารถเขียนในอีกแบบหนึ ง ซึ งเรียกว่าการบวก<strong>เวกเตอร์</strong>แบบสร้างรูปสีเหลียมด้านขนาน (parallelogram)BBRA(3) การสลับทีของการบวก (commutative law of addition)AA + B = B + ABRAB5A6/4/2008
การรวม<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)(4) การเปลียนกลุ่มของการบวก (associative law of addition)A + (B + C) = (A+ B) + CCC6B+CA+BBBAA(5) <strong>เวกเตอร์</strong>ทีติดลบ (Negative of a vector)A + (-A) = 0(6) การคูณปริมาณสเกลาร์(m) กับ<strong>เวกเตอร์</strong>B = mA<strong>เวกเตอร์</strong> A และ –A มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้าม<strong>เวกเตอร์</strong> B ยาวเป็ นจํานวน m เท่าของ<strong>เวกเตอร์</strong> A6/4/2008
การรวม<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)(7) การลบ<strong>เวกเตอร์</strong> A – B = A + (– B )R = A - BAB- BBAR = A - B76/4/2008
คําถาม (question)?Cจงหา<strong>เวกเตอร์</strong>ลัพธ์R = A+B+C+D+EDEBEDCARAB86/4/2008
การหาขนาดและทิศทางของ<strong>เวกเตอร์</strong>ลัพธ์αRAทิศของ<strong>เวกเตอร์</strong>ลัพธ์tanα=α =tanBsinθA + B cosθ1⎛Bsinθ⎞⎜ ⎟⎝ A + B cosθ⎠−Bβขนาดของ<strong>เวกเตอร์</strong>ลัพธ์RR22= ( A + B cosθ)=A2+ 2ABcosθ+ B+ ( B sinθ)cos2 2γ θR = A + B + 2ABcosθ( 1.2)( 1.3)2222θ + B2sinสมการที 1.2 และ 1.3 เรียกว่า กฎของโคไซน์(cosine’s law) นอกจากนี ยังสามารถหาค่าเหล่านีได้โดยใช้กฎของไซน์ (sine’s law)R=sin γA=sin βBsinα( 1.4)2θ96/4/2008
<strong>เวกเตอร์</strong>หนึ งหน่วย<strong>เวกเตอร์</strong>หนึงหน่วย (unit vectors) คือ <strong>เวกเตอร์</strong>ทีมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย ซึ งถูกกําหนดโดยe A=AA( 1.1)e AAA = Ae Aในระบบพิกัดแบบคาทีเซียน (cartesian coordinates system) <strong>เวกเตอร์</strong>หนึงหน่วยในแนวแกนx, y, และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ i, j, k ตามลําดับz10kijxy6/4/2008
การแตก<strong>เวกเตอร์</strong><strong>เวกเตอร์</strong>ใดสามารถแตกเป็ นองค์ประกอบทีตั งฉากกัน สําหรับระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียนจะได้ว่าxA xzA zikφθAjA yyA = A x + A y + A z = A x i + A y j + A z kจากรูปจะเห็นว่าAAxyA z =ดังนั นขนาดของ<strong>เวกเตอร์</strong> AA = A + A +2xz= Asinθcosφ= Asinθsinφ2yและมี<strong>เวกเตอร์</strong>หน่วย e AAcosθθA2ze A6/4/2008e A=sinθ cosφi + sinθsinφj+cosθk11
การแตก<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)ในกรณีทีแตก<strong>เวกเตอร์</strong>บนระนาบ (2 มิติ) จะได้yA yjoiAe AA xθโดยทีA = A x + A y = A x i + A y jAAxy= Acosθ= Asinθxดังนันขนาดของ<strong>เวกเตอร์</strong> A และ <strong>เวกเตอร์</strong>หน่วยAeA2 2= A x+ Ay= cosθ i + sinθj,126/4/2008
การรวม<strong>เวกเตอร์</strong>ด้วยวิธีแยกองค์ประกอบA 2yA 1จากรูปจะเห็นว่าA 1 = A 1x i + A 1y jA 2 = -A 2x i + A 2y jA 3 = -A 3x i - A 3y jx13A 3θRR xyR yxดังนัน<strong>เวกเตอร์</strong>ลัพธ์ของสาม<strong>เวกเตอร์</strong>คือR = A1+ A2+ A3R = ( A1x− A2x− A3x) i + ( A1y+ A2y− A3R= R i + Rxขนาดและทิศทางของ R คือR=Ry2xj+ R2y⎛ R−1y ⎞θ = tan⎜⎟6/4/2008⎝ Rx⎠y) j
การรวม<strong>เวกเตอร์</strong>ด้วยวิธีแยกองค์ประกอบถ้ามี<strong>เวกเตอร์</strong>จํานวนมาก การรวม<strong>เวกเตอร์</strong>ในแต่ละองค์ประกอบจะเป็ นดังนี RRxy==∑i=1∑R= R i+RixRRixiyyjผลบวกแบบพีชคณิตของ<strong>เวกเตอร์</strong>องค์ประกอบตามแกน xผลบวกแบบพีชคณิตของ<strong>เวกเตอร์</strong>องค์ประกอบตามแกน y146/4/2008
ตัวอย่าง 1กําหนดให้kjiAkjiA345321+−=−+= จงหาA 1 A 2RAAR(1)−=+=(2)21วิธีทํา(1) (2)21214243)1(4)(51)(3222=++=++=+−+−++=RkjiRkjiR1014)(923)1(4))((51)(3222=−++=+=−−+−−+−=R9j - 4k2iRkjiR(1) (2)6/4/200815
ผลคูณสเกลาร์และ<strong>เวกเตอร์</strong>การคูณ<strong>เวกเตอร์</strong>มี 2 แบบ คือ• การคูณแบบสเกลาร์ (scalar product)• การคูณแบบ<strong>เวกเตอร์</strong> (vector product)ปริมาณสเกลาร์ปริมาณ<strong>เวกเตอร์</strong>ผลคูณแบบสเกลาร์BA. B = AB cosθโดยที(1.2)θAo0 ≤ θ ≤180166/4/2008
ผลคูณสเกลาร์และ<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)สมบัติการคูณแบบสเกลาร์0k.ij.ki.j1k.kj.j(4) i.i(A.B)B)A.(A).B(A.B)(3)A.CA.BC)A.(B(2)B.AA.B(1)=========+=+=( mmmmB0 then AB0,Aif0A.B(6)B.BA.AA.BkjiBk ,jiA(5)⊥≠≠=++==++==++=++=++=22222222zyxzyxzzyyxxzyxzyxBBBBAAAAA BBABABBBAAA6/4/200817
ตัวอย่าง 2จงแสดงให้เห็นว่า i.i j.j = k.k = 1วิธีทํา= และ i.j = j.k = k.i = 0จากนิยามของการคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cosθเนืองจาก<strong>เวกเตอร์</strong>หนึ งหน่วย i, j และ k ทํามุมตั งฉากกันคือ θ = 90°ดังนัน i.j= ijcos 90=0,j.k=jkcos90=0,k.i=kicos90=0ส่วน i.i j.j = k.k = 1= เนืองจาก<strong>เวกเตอร์</strong>มีทิศเดียวกัน186/4/2008
ผลคูณแบบ<strong>เวกเตอร์</strong>ผลคูณสเกลาร์และ<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)A×BA × B อ่านว่า “A cross B”โดยมีขนาดเป็ นA×B=ABsinθ( 1.3)θABจากรูปแสดงให้เห็นว่าA × B = −B×AB× A196/4/2008
ผลคูณสเกลาร์และ<strong>เวกเตอร์</strong> (ต่อ)สมบัติการคูณแบบ<strong>เวกเตอร์</strong>ikjkji0kkjjii(4)B)(AB)(ABA)(B)(A(3)CABAC)(BA(2)AB-BA(1)mmmm=×=×=×=×=××=×=×=××+×=+××=×kjikjiBAkjiBkjiA(5)jikikj)()()( xyyxzxxzyzzyzyxzyxzyxzyxBABABAA BA BBABBBAAABBBAAA−+−+−==×++=++==×=×6/4/200820
การคูณของสาม<strong>เวกเตอร์</strong>การคูณของสาม<strong>เวกเตอร์</strong>มี 2 แบบ คือ• การคูณสามชั นแบบสเกลาร์ (scalar triple product)• การคูณสามชั นแบบ<strong>เวกเตอร์</strong> (vector triple product)การคูณสามชั นแบบสเกลาร์ได้ผลลัพธ์เป็ นปริมาณสเกลาร์ซึ งมีนิยามดังนี A .(B×C)=ABCxxxABCyyyABCzzz( 1.4)การคูณสามชั นแบบ<strong>เวกเตอร์</strong>ได้ผลลัพธ์เป็ นปริมาณ<strong>เวกเตอร์</strong>ซึ งมีนิยามดังนี A × B×C=( 15)( A.C)B − (A.B)C .216/4/2008
คําถาม?kjiCkjiBkjiA4232−+= −+−=−+=กําหนดให้จงหาBA(2)A.B(1)×C)(BA(4)C)A.(B(3)BA(2)××××6/4/200822