เวกเตอร์

315 102 General Physics I อ. ดร. ศรีประจักร์ ครองสุขเวกเตอร์ (Vectors)• บทนํา• การรวมเวกเตอร์• เวกเตอร์หนึงหน่วย• การแยกเวกเตอร์• ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์• ผลคูณสเกลาร์ของสามเวกเตอร์16/4/2008

บทนํา (Introduction)ปริมาณทีวัดในทางฟิ สิกส์แบ่งออกเป็ น 2 ประเภทคือ• ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริมาณทีระบุขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น อุณหภูมิ,ปริมาตร, มวล, เวลา เป็ นต้น• ปริมาณเวกเตอร์ (vectors) คือ ปริมาณทีต้องระบุทั งขนาดและทิศทางพร้อมกัน เช่นการกระจัด, ความเร็ว, ความเร่ง, แรง, สนามแม่ไฟฟ้ าและสนามแม่เหล็ก เป็ นต้นABθ BNθ AAอุณหภูมิEB2ปริมาณสเกลาร์ปริมาณเวกเตอร์6/4/2008

สมบัติของเวกเตอร์การรวมเวกเตอร์(1) การเท่ากันของสองเวกเตอร์ถ้าเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เท่ากัน จะต้องมีขนาดเท่ากัน (A = B) และมีทิศทางเดียวกันด้วยAABBA = BA ≠ BAA3BA ≠ B แต่ A = -BBA ≠ B6/4/2008

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(2) การบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีเรขาคณิต (geometric method)• การบวกสองเวกเตอร์BAR = A + BθRAB• การบวกเวกเตอร์ทีมีมากกว่าสองเวกเตอร์ขึ นไป4CA120°B60°R = A + B + CRθACB6/4/2008

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)การบวกของสองเวกเตอร์สามารถเขียนในอีกแบบหนึ ง ซึ งเรียกว่าการบวกเวกเตอร์แบบสร้างรูปสีเหลียมด้านขนาน (parallelogram)BBRA(3) การสลับทีของการบวก (commutative law of addition)AA + B = B + ABRAB5A6/4/2008

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(4) การเปลียนกลุ่มของการบวก (associative law of addition)A + (B + C) = (A+ B) + CCC6B+CA+BBBAA(5) เวกเตอร์ทีติดลบ (Negative of a vector)A + (-A) = 0(6) การคูณปริมาณสเกลาร์(m) กับเวกเตอร์B = mAเวกเตอร์ A และ –A มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้ามเวกเตอร์ B ยาวเป็ นจํานวน m เท่าของเวกเตอร์ A6/4/2008

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(7) การลบเวกเตอร์ A – B = A + (– B )R = A - BAB- BBAR = A - B76/4/2008

คําถาม (question)?Cจงหาเวกเตอร์ลัพธ์R = A+B+C+D+EDEBEDCARAB86/4/2008

การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์αRAทิศของเวกเตอร์ลัพธ์tanα=α =tanBsinθA + B cosθ1⎛Bsinθ⎞⎜ ⎟⎝ A + B cosθ⎠−Bβขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์RR22= ( A + B cosθ)=A2+ 2ABcosθ+ B+ ( B sinθ)cos2 2γ θR = A + B + 2ABcosθ( 1.2)( 1.3)2222θ + B2sinสมการที 1.2 และ 1.3 เรียกว่า กฎของโคไซน์(cosine’s law) นอกจากนี ยังสามารถหาค่าเหล่านีได้โดยใช้กฎของไซน์ (sine’s law)R=sin γA=sin βBsinα( 1.4)2θ96/4/2008

เวกเตอร์หนึ งหน่วยเวกเตอร์หนึงหน่วย (unit vectors) คือ เวกเตอร์ทีมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย ซึ งถูกกําหนดโดยe A=AA( 1.1)e AAA = Ae Aในระบบพิกัดแบบคาทีเซียน (cartesian coordinates system) เวกเตอร์หนึงหน่วยในแนวแกนx, y, และ z แทนด้วยสัญลักษณ์ i, j, k ตามลําดับz10kijxy6/4/2008

การแตกเวกเตอร์เวกเตอร์ใดสามารถแตกเป็ นองค์ประกอบทีตั งฉากกัน สําหรับระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียนจะได้ว่าxA xzA zikφθAjA yyA = A x + A y + A z = A x i + A y j + A z kจากรูปจะเห็นว่าAAxyA z =ดังนั นขนาดของเวกเตอร์ AA = A + A +2xz= Asinθcosφ= Asinθsinφ2yและมีเวกเตอร์หน่วย e AAcosθθA2ze A6/4/2008e A=sinθ cosφi + sinθsinφj+cosθk11

การแตกเวกเตอร์ (ต่อ)ในกรณีทีแตกเวกเตอร์บนระนาบ (2 มิติ) จะได้yA yjoiAe AA xθโดยทีA = A x + A y = A x i + A y jAAxy= Acosθ= Asinθxดังนันขนาดของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์หน่วยAeA2 2= A x+ Ay= cosθ i + sinθj,126/4/2008

การรวมเวกเตอร์ด้วยวิธีแยกองค์ประกอบA 2yA 1จากรูปจะเห็นว่าA 1 = A 1x i + A 1y jA 2 = -A 2x i + A 2y jA 3 = -A 3x i - A 3y jx13A 3θRR xyR yxดังนันเวกเตอร์ลัพธ์ของสามเวกเตอร์คือR = A1+ A2+ A3R = ( A1x− A2x− A3x) i + ( A1y+ A2y− A3R= R i + Rxขนาดและทิศทางของ R คือR=Ry2xj+ R2y⎛ R−1y ⎞θ = tan⎜⎟6/4/2008⎝ Rx⎠y) j

การรวมเวกเตอร์ด้วยวิธีแยกองค์ประกอบถ้ามีเวกเตอร์จํานวนมาก การรวมเวกเตอร์ในแต่ละองค์ประกอบจะเป็ นดังนี RRxy==∑i=1∑R= R i+RixRRixiyyjผลบวกแบบพีชคณิตของเวกเตอร์องค์ประกอบตามแกน xผลบวกแบบพีชคณิตของเวกเตอร์องค์ประกอบตามแกน y146/4/2008

ตัวอย่าง 1กําหนดให้kjiAkjiA345321+−=−+= จงหาA 1 A 2RAAR(1)−=+=(2)21วิธีทํา(1) (2)21214243)1(4)(51)(3222=++=++=+−+−++=RkjiRkjiR1014)(923)1(4))((51)(3222=−++=+=−−+−−+−=R9j - 4k2iRkjiR(1) (2)6/4/200815

ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์การคูณเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ• การคูณแบบสเกลาร์ (scalar product)• การคูณแบบเวกเตอร์ (vector product)ปริมาณสเกลาร์ปริมาณเวกเตอร์ผลคูณแบบสเกลาร์BA. B = AB cosθโดยที(1.2)θAo0 ≤ θ ≤180166/4/2008

ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)สมบัติการคูณแบบสเกลาร์0k.ij.ki.j1k.kj.j(4) i.i(A.B)B)A.(A).B(A.B)(3)A.CA.BC)A.(B(2)B.AA.B(1)=========+=+=( mmmmB0 then AB0,Aif0A.B(6)B.BA.AA.BkjiBk ,jiA(5)⊥≠≠=++==++==++=++=++=22222222zyxzyxzzyyxxzyxzyxBBBBAAAAA BBABABBBAAA6/4/200817

ตัวอย่าง 2จงแสดงให้เห็นว่า i.i j.j = k.k = 1วิธีทํา= และ i.j = j.k = k.i = 0จากนิยามของการคูณแบบสเกลาร์ A.B = AB cosθเนืองจากเวกเตอร์หนึ งหน่วย i, j และ k ทํามุมตั งฉากกันคือ θ = 90°ดังนัน i.j= ijcos 90=0,j.k=jkcos90=0,k.i=kicos90=0ส่วน i.i j.j = k.k = 1= เนืองจากเวกเตอร์มีทิศเดียวกัน186/4/2008

ผลคูณแบบเวกเตอร์ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)A×BA × B อ่านว่า “A cross B”โดยมีขนาดเป็ นA×B=ABsinθ( 1.3)θABจากรูปแสดงให้เห็นว่าA × B = −B×AB× A196/4/2008

ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)สมบัติการคูณแบบเวกเตอร์ikjkji0kkjjii(4)B)(AB)(ABA)(B)(A(3)CABAC)(BA(2)AB-BA(1)mmmm=×=×=×=×=××=×=×=××+×=+××=×kjikjiBAkjiBkjiA(5)jikikj)()()( xyyxzxxzyzzyzyxzyxzyxzyxBABABAA BA BBABBBAAABBBAAA−+−+−==×++=++==×=×6/4/200820

การคูณของสามเวกเตอร์การคูณของสามเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ• การคูณสามชั นแบบสเกลาร์ (scalar triple product)• การคูณสามชั นแบบเวกเตอร์ (vector triple product)การคูณสามชั นแบบสเกลาร์ได้ผลลัพธ์เป็ นปริมาณสเกลาร์ซึ งมีนิยามดังนี A .(B×C)=ABCxxxABCyyyABCzzz( 1.4)การคูณสามชั นแบบเวกเตอร์ได้ผลลัพธ์เป็ นปริมาณเวกเตอร์ซึ งมีนิยามดังนี A × B×C=( 15)( A.C)B − (A.B)C .216/4/2008

คําถาม?kjiCkjiBkjiA4232−+= −+−=−+=กําหนดให้จงหาBA(2)A.B(1)×C)(BA(4)C)A.(B(3)BA(2)××××6/4/200822