Diversas formas de visualizar estados en un sistema cuántico [PDF]

Diversas formas de visualizar estados en unsistema cuánticoLeonel Alejandro Pineda EnríquezUniversidad Nacional Autónoma de México, FES Cuautitlán, Centro deComputo, Carretera Cuautitlán–Teoloyucan, Cuautitlán Izcalli, Estado deMéxico CP.54714E-mail: lexleo1000@comunidad.unam.mx, lexleo1000@yahoo.com.mx(Recibido el 9 de Octubre de 2012; aceptado el 15 de Febrero de 2013)ResumenEn el presente artículo se abordara la compresión y clasificación de sistemas cuánticos. Enfatizando en la visualizacióngrafica de estos conceptos puramente abstractos. También se mostrara lo que se puede medir (tecnológicamenteviable) y lo que es matemáticamente correcto pero imposible de medir en un laboratorio. Como por ejemplo; clasificarun estado puro o mixto ¿Se puede medir en un laboratorio probabilidades?Palabras clave: Estado cuántico, producto tensorial de matrices.AbstractThis article will address the compression and classification of quantum systems. Emphasizing in the graphicalvisualization of these purely abstract concepts. Also show what can be measured (technologically feasible) and what ismathematically correct but impossible to measure in a laboratory. Like for example, classify a state pure or mixed.Can you measure odds in a laboratory?Keywords: Quantum state, the tensor product of matrices.PACS: 03; 03.67.-a; 03.65.-w. ISSN 1870-9095I. INTRODUCCIÓNEn el comienzo del siglo XX, se descubrió que elcomportamiento de partículas muy pequeñas, tales comoelectrones, los núcleos de los átomos y moléculas, nopueden ser descritos por la mecánica clásica, la cualdescribe de una manera satisfactoria el mundomacroscópico en que se “acepta” que vivimos, según claroestá desde nuestro punto de vista. Esta nueva física(mecánica cuántica) provoco una verdadera revolución en laforma en cómo se pensaba que se comportaba la naturaleza,provocando que inclusive hoy, cuando ha pasado más deuna década del siglo XXI, aun no se tenga una ideauniversal y claramente concisa por parte de losprofesionales de la física, que nos explique porque secomporta de este modo la naturaleza Morones [1].A pesar de las numerosas aplicaciones que se handerivado de la teoría, iniciando verdaderas revoluciones enotras ciencias diferentes de la física, tales como la química ola biología, las cuales no podrían ni imaginar sus avancessin la aplicación directa o indirecta de esta teoría física.La mecánica cuántica se diferencia de la mecánicaclásica principalmente porque en la cuántica no se puedepredecir el resultado de la medición de una cantidad física,solo se ´puede “hablar” de la probabilidad de obtener undeterminado valor. Esta “simple” diferencia es la verdaderadificultad a la hora de abordar la descripción de sistemasatómicos o subatómicos tales como núcleos y partículaselementales, la razón es muy simple. Los seres humanos aligual que los animales hemos desarrollado formas intuitivasde ver el mundo físico, que sin embargo en la cuántica depoco o nada sirven, por lo tanto probablemente la soluciónpara “entender” la mecánica cuántica resida en ver lo“intuitivo” del mundo subatómico. Esta propuesta podríarequerir eventualmente, el desarrollo de una teoríacompletamente nueva. Es por ello que resulta fundamentalobservar visualmente como es un estado cuántico. En elpresente artículo se propondrá una manera didáctica dehacerlo.II. ¿COMO INTERPRETAR UN ESTADOCUANTICO?Cada estado cuántico es matriz ρ, llamada matriz densidadcon números complejos, cada estado cuántico se interpretaque tiene asociado un espacio de Hilbert H, es decir, unespacio vectorial complejo con producto de composición,esta matriz se interpreta como un proceso y cada vector queentra al proceso, sale con la misma dimensión del proceso.Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 7, No. 1, March 2013 141 http://www.lajpe.org

Leonel Alejandro Pineda EnríquezPor lo que para que esa matriz represente un estado puro setiene que cumplir la siguiente condición:2a bc a.(5)FIGURA 1. Significado de una matriz en mecánica cuántica.Este tipo de procesos son validos solo para partículasindividuales, es decir que se predispone que no existeinteracción con otras partículas., Procesos que comosabemos no existen en el mundo real.FIGURA 2. Ilustración de un proceso ConsecutivoIII. DEFINICION DE ESTADO CUÁNTICOEl estado cuántico codifica toda la información disponiblepara un observador acerca de un determinado sistema físico.Una matriz representa un estado sí y solo si.1nn1 Tr 1 Tr Tr 1, (1)n nDonde el número 1 es probabilidad que indica con certezaque este estado ρ existe. Además el operador ρ necesita serhermitiano.Sin embargo, no todos los estados cuánticos son puros, esdecir, en el caso de un estado que se prepara en una sumaconvexa de estados puros diferentes con ciertasprobabilidades, se dice que ρ no es puro, ósea es mixto.V. EL VECTOR DE BLOCHLa esfera de Bloch representa una opción tecnológicamenteviable para determinar si un estado cuántico es puro omixto, ya que es posible medir en laboratorio el vector depolarización S.IV.TIPOS DE ESTADOS CUÁNTICOCuando disponemos de máxima información acerca de unsistema cuántico, el estado correspondiente, llamado estadopuro se interpreta por un vector normalizado de H y seIlustra como un proceso consecutivo (Figura 2) en el quela fase global es indiferente. El vector normalizado sedenota normalmente por Ψ Vicente-Majua [2], y a veces,FIGURA 3. Representación de Blochrecibe también el nombre de función de onda. Cuando lamatriz densidad es:Con la esfera de Bloch se puede ver a simple vista que tan 2 .(2)mixto es el estado cuántico o que tan puro es. El perímetrode la esfera representa un estado puro, mientras más alejadoeste del perímetro “mas” mixto es.el estado es puro. Lo cual por ejemplo es equivalente a decirEl operador densidad para un sistema en un espacio deen dimensión 2, que la siguiente matriz es:Hilbert de dos dimensiones se puede descomponer de lasiguiente manera McMahon [3]:2a b a b ,(3)Primero definimos las matrices de Pauli:c 1 a c (1 a)0 1 0 i 1 0 X , Y , Z .22a b a bc b 1 0 i 0 0 1 , (4)2 c 1 a c cb (1 a)Ahora se tiene que:(6)Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 7, No. 1, March 2013 142 http://www.lajpe.org

Diversas formas de visualizar estados en un sistema cuántico Sz Sx iSy S XSx YS y ZSz .Sx iSy Sz(7)Por lo tanto, la matriz representa un estado cuántico. Ahoracalculamos ρ²:5 3Tr 1.dim 2 s 1,(19)8 8 29 8iEl operador densidad se puede descomponer como:2 64 32(16) . 1.2 I S 8i13 (8) 32 64 Por lo tanto los componentes de la esfera de Bloch quedanTeóricamente el estado es mixto ya que ρ² no es igual a ρ,como:pero ahora calculemos los componentes del vector de Bloch,como una prueba tecnológicamente viable, o sea verificableSx Tr X , Sy Tr Y , Sz Tr Z,(9)en un laboratorio. 5 i i3Calculando ρ² de (8), se tiene que:0 1 8 44 8Sx Tr( X ) Tr Tr 0,22 S 1 .(10)1 0 i 3 5 i 4 4 8 8 4 5 i 1 i3Donde S es llamado el vector de Bloch o de polarización. Si0 i 8 44 8 1la magnitud del vector de Bloch es igual a uno, el estado enSy Tr( Y ) Tr Tr ,i 0 i 3 i5 1 2cuestión es puro, por otro lado si: 4 8 8 4 0 S 1, 5 i 5 i 1 0 8 48 4 1el estado es mixto.SzTr( Z )Tr Tr . 0 1Por lo tanto, el vector de Bloch probé una manera de i3 i 3 4 determinar si un estado cuántico es puro o mixto. 4 8 4 8 Por otro lado, teóricamente cualquier operador densidad(17)se puede escribir como una combinación convexa de estadospuros.Por lo tanto la magnitud del vector de Bloch es:2 2 pii,(12)2 2 2 1 1S Sx Sy Sz ,i 2 4(18)2 ppi jij.(13)1 1 5 5ijS 0.56 1.4 16 16 4Lo cual justifica la visión de los estados mixtos comomezclas estadísticas de estados puros. Sin embargo es Ya que la magnitud del vector de Bloch es 0.56 y debido aimposible saber en laboratorio probabilidades, por lo cual la la condición de las ecuación (11) concluimos que el estadoecuaciones (12) y (13) resultan tecnológicamente inviables es mixto.para determinar si un estado cuántico es mixto o puro.A. EjemploVI. ESTADOS COMPUESTOSConsideremos la siguiente matriz. ¿Es un estado cuántico? yen caso de serlo ¿Representa un estado puro o mixto? Willi- Los estados compuestos se pueden interpretar en espacio deHans H. Yorick [4].Hilbert como procesos en paralelo. La maquinaria quenecesitamos para trabajar con ellos se llama producto de 5 i Kronecker o producto tensorial.8 4(14)Para ilustrar mejor este problema supongamos un .i3sistema físico compuesto por una partícula A con spin de ½ 4 8y otra partícula B con spin de valor de 1. Lo primero queEn primer lugar usando la ecuación (1) y aplicándola a la debemos hacer es calcular la dimensión de la matrizmatriz tenemos:densidad de cada una de las partículas.Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 7, No. 1, March 2013 143 http://www.lajpe.org

Leonel Alejandro Pineda EnríquezDonde “s” es el spin de la partícula. En este caso para lapartícula A su dimensión es 2 que se representa como unamatriz de 2x2 y para la partícula B es 3 (matriz 3x3). Si unamatriz actúa sobre un vector A y otra matriz sobre otrovector B realizando el producto tensorial, el vector de salidaserá de dimensión 6, tal y como se representa en la siguientefigura.abU cdrsV tu r s r s a b t u t u U V r s r s c d t u t u .EstadoMolécula(21)Recordando que si se quiere describir un estado compuestode 2 átomos. La ecuación (12) se representa como:pi i(22) ii FIGURA 4. Ilustración de un proceso en paralelo.Por lo tanto tenemos:dim( U V) dim( U) dim( V),(20)Por lo cual el producto tensorial representa un proceso enparalelo que se puede realizar de distintas maneras. Porejemplo, supongamos que tenemos cuatro matrices A, B, Cy D y queremos realizar el producto tensorial entre estas.Tenemos dos posibilidades:a) Primero realizar el producto tensorial entre A y B, asícomo entre C y D y luego realizar producto decomposición entre ambos resultados.b) Realizar producto de composición entre A y C, asícomo entre B y D y posteriormente realizar productotensorial entre ambos resultados.El resultado de las dos formas mencionadas será el mismo.Donde α y β son estados cuánticos de distintos átomos.Ahora calculando ρ²:22 pi iii2 pi i i pj j jij 2 ppi ji i i jij, , .(23)Tal y como lo describe la figura 5, la ecuación (23) puedeescribirse como: . (24)2 ppi ji ji jijEste estado ρ compuesto es puro si y solo si se cumple laecuación (2), lo que en estados compuestos se traducecomo:pi p j i j i j p i ii.(25)ijiVII. CONCLUSIONESFIGURA 5. Distintas formas de realizar el producto tensorial dematrices.En este artículo se abordo lo que es un estado cuántico, asícomo los diversos tipos que existen, todo desde unaperspectiva visual, también se dieron algunas maneras dediferenciarlos y clasificarlos.Este tipo de conceptos fundamentales, aunque básicos,son muy importantes. Por lo que resulta muy importanteentenderos, ya que a la hora de abordar problemas másavanzados (por ejemplo computación cuántica), resultaimposible innovar y desarrollar proyectos que tengan comobase la mecánica cuántica.Para finalizar veamos un ejemplo con dos átomos de spin de½Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 7, No. 1, March 2013 144 http://www.lajpe.org

AGRADECIMIENTOSEste trabajo se realizo con el apoyo de los Programas:UNAM-DGAPA-PAPIME-#PE101213 y UNAM-FESC-PACIVE-#DOC24-UR884.LAPE agradece al prof Zbigniew Oziewicz (FESC,UNAM) por las aclaraciones sobre distintos aspectos delentrelazamiento y de la mecánica cuántica en general.Diversas formas de visualizar estados en un sistema cuánticoREFERENCIAS[1] Morones, J. Los misterios del mundo cuántico,Ingenierías 7, 12-21 (2005).[2] Vicente-Majua, J. Medidas de información,incertidumbre y entrelazamiento en Mecánica cuántica,(Tesis doctoral, 2008), Universidad Carlos III de Madrid.[3] McMahon, D., Quantum Computing Explained (JohnWiley & Sons, USA, 2008).[4] Willi-Hans, S., Yorick, H., Problems and Solutions inQuantum Computing and Quantum Information, 2nd ed(World Scientific, USA, 2004), pp. 50-55Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 7, No. 1, March 2013 145 http://www.lajpe.org