X - DIM

1. Cónicas1.1. Definición. Sean D y F una recta y un punto del plano tales que F ∉ D. Sea e un número positivo.Una cónica es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que su distancia a F es e-veces su distanciaa la recta D. Es decir:P ∈ Cónica ⇐⇒ PF = ePDAdemásF se llama foco de la cónica.D se llama directriz de la cónica (veremos sólo el caso en que es vertical u horizontal).e se llama exentricidad de la cónica.Si e < 1 la cónica se llama Elipse.Si e = 1 la cónica se llama Parábola.Si e > 1 la cónica se llama Hipérbola.1

5De este modo, cada vez que en la ecuación de un lugar geométrico aparezcan las expresiones x − x 0 oy − y 0 , estas pueden interpretarse como las coordenadas x ′ e y ′ de los mismos puntos respecto a un sistematrasladado cuyo origen esta en (x 0 ,y 0 )Ejemplos1) L : y = mx es una recta de pendiente m que pasa por el origen y L ′ : (y−y 0 ) = m(x−x 0 ) es una rectade la misma pendiente que pasa por el punto (x 0 ,y 0 ), es decir por el origen de un sistema trasladado aese punto.2) C : x 2 + y 2 = r 2 es una circunferencia de radio r centrada en el origen y C ′ : (x − x o ) 2 + (y − y o ) 2 = r 2también corresponde a una circunferencia de radio r pero centrada (x 0 ,y 0 ).2) P : y = 14p x2 es una parábola de eje vertical con vertice en el origen y P ′ : y − y 0 = 14p (x − x 0) 2 esotra parábola de eje vertical con vértice en el punto (x 0 ,y 0 ). En el último caso, el Foco de la parábolatiene coordenadas (x 0 ,y 0 + p) y la directriz tiene ecuación y = y 0 − p. Es decir las posiciones de estosobjetos son las mismas de la parábola original, pero trasladadas x 0 e y 0 en los sentidos horizontal yvertical respectivamente.ProposiciónLa ecuación y = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 representa una parábola de eje vertical con directriz D : y = −1−△foco F = ( −b2a , 1−△ ) y vértice V = (−b4a 2a , −△4a ), donde △ = b2 − 4ac.DemostraciónEfectivamente, la ecuación y = ax 2 + bx + c puede ordenarse completando cuadrados perfectos del siguiente4a,

modo:6y = ax 2 + bx + c ⇐⇒ y = a[x 2 + b a x + c a ]⇐⇒ y = a[x 2 + 2 b 2a x + ( b 2a )2 − ( b 2a )2 + c a ]⇐⇒⇐⇒⇐⇒⇐⇒y = a[(x + b2a )2 − b24a 2 + c a ]y = a(x + b2a )2 − b2 − 4ac4a(y + b2 − 4ac) = a(x + b4a2a )2(y − y 0 ) = a(x − x 0 ) 2 , donde x 0 = − b 2a , y 0 = − b2 − 4ac.4aEs decir, se trata de una parábola de eje vertical, con vértice desplazado a la posición (x 0 ,y 0 ). Como ya vimosanteriormente,p = 1 y por lo tanto el foco será4aF = (x 0 ,y 0 + p)(= − b 2a ,− △ 4a + 1 )4a(= − b 2a , 1 − △ ).4a

Para la directriz tendremos7y = y 0 − 14a= − △ 4a − 14a= − 1 + △4a .Claramente las coordenadas del vértice serán V = (x 0 ,y 0 ) = (− −b2a ,−△ 4a ), donde △ = b2 − 4ac.

ElipseCorresponde al caso e < 1. Para escribir su ecuación en forma simple, conviene ubicar el Foco sobre el ejeOX en las coordenadas F = ( f ,0), y la Directriz vertical de ecuación x = d, donde f ≠ d. Con esta elección,la ecuación de la elipse es8P = (x,y) ∈ Elipse ⇐⇒ PF = ePD⇐⇒ √ (x − f ) 2 + y 2 = e|x − d|; elevando al cuadrado,⇐⇒ x 2 − 2 f x + f 2 + y 2 = e 2 ( x 2 − 2dx + d 2)⇐⇒ x 2 (1 − e 2 ) + 2x(e 2 d − f ) + y 2 = e 2 d 2 − f 2 .Como la elección del foco y la directriz se ha realizado para que la ecuación sea simple, impondremos quef = e 2 d, con esto eliminamos el factor de primer grado en la ecuación y nos ahorramos una completación decuadrado perfecto. Con esto, la ecuación de la elipse se reduce ax 2 (1 − e 2 ) + y 2 = e 2 d 2 (1 − e 2 ),la cual suele escribirse del modo siguientex 2e 2 d 2 + y 2e 2 d 2 (1 − e 2 ) = 1.Aquí, si llamemos a = ed y b = ed √ 1 − e 2 , entonces la ecuación quedax 2a 2 + y2b 2 = 1

dondeyAdemásEn consecuencia:(1)f = e 2 d = aed = a eba = √ 1 − e 2 ⇒ e =√a2 − b 2ax 2a 2 + y2b 2 = 1 cona > b9corresponde siempre a una elipse con:Gráfico de la elipse√a 2 −b 2aExcentricidad: e =Foco: F = (ae,0)Directriz: D : x = a e1) Como en la ecuación aparecen x 2 e y 2 , deducimos que se trata de una figura doblemente simétricacon respecto a los ejes. En efecto, si P = (x,y) es un punto cualquiera de la elipse, entoncessus coordenadas satisfacen la ecuación. Pero (−y) 2 = y 2 y además (−x) 2 = x 2 , luego los puntos(x,−y), (−x,y), (−x,−y) , también satisfacen la ecuación, luego pertenecen a ella.Como consecuencia de lo anterior, basta con hacer el análisis gráfico de la elipse sólo en el primercuadrante.

Luegoes decirflash**ObservacionesPF + PF ′ = e(PP ′ + PP ′′ ) = eP ′ P ′′ = e 2a e = 2aPF + PF ′ = 2a121) Si a < b entonces la ecuación x2 + y2 = 1a 2 b 2 corresponde a una elipse donde se han intercambiado losroles de x e y y los roles de a y b, de modo que e =, F(0,be), F ′ (0,−be), D : y = b e y D′ : y = − b e2) En consecuencia la ecuación x2 = 1b 2 con a ≠ b representa siempre a una elipse de semiejes a y b,que es horizontal si a > b o vertical si a < b.a 2 + y23) Si a = b entonces la ecuación corresponde a una circunferencia de radio a y no a una elipse.√b 2 −a 2b

HipérbolaCorresponde al caso e > 1. Nuevamente, para escribir su ecuación en forma simple, conviene ubicar el Focosobre el eje OX en las coordenadas F = ( f ,0), y la Directriz vertical de ecuación x = d, donde f ≠ d. Conesta elección, la ecuación de la hipérbola es13P = (x,y) ∈ Hipérbola ⇐⇒ PF = ePD⇐⇒ √ (x − f ) 2 + y 2 = e|x − d|; elevando al cuadrado,⇐⇒ x 2 − 2 f x + f 2 + y 2 = e 2 ( x 2 − 2dx + d 2)⇐⇒ −x 2 (e 2 − 1) + 2x(e 2 d − f ) + y 2 = e 2 d 2 − f 2 .En este caso también eligiremos f = e 2 d para evitarnos una completación de cuadrados.Con esto la ecuación de la hipérbola será:−x 2 (e 2 − 1) + y 2 = −e 2 d 2 (e 2 − 1),la cual dividiendo por −e 2 d 2 (e 2 − 1) suele escribirse del modo siguientex 2e 2 d 2 − y 2e 2 d 2 (e 2 − 1) = 1.Aquí, si llamemos a = ed y b = ed √ e 2 − 1, entonces la ecuación queda(2)x 2a 2 − y2b 2 = 1