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Geraldine Cisneros164Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones5. EJERCICIOS PROPUESTOSA continuación se presentan los ejercicios propuestos de los capítulos anteriores.5.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 11. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie definida por la ecuaciónx y z a+ + = y sobre el rectángulo D [ 0,a ] [ 0,a]subcuadrados iguales y tomando como punto de muestra:a. Al punto medio de cada subcuadrado.b. Al extremo superior derecho de cada subcuadrado.+= × , donde a ∈ , considerando una partición de 92 22. Estime el volumen del sólido acotado superiormente por la superficie z = 16 −x − y e inferiormentepor el cuadrado D [ 22 , ] [ 22 , ]subrectángulo y considerando:= − × − , tomando como punto de muestra al centro de cadaa. n = 4 y m = 2b. n = 6 y m = 33. Resuelva la integral iterada ( )UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.∫∫D fx,y dA , donde:a. f ( x,y)= a −x − y y D [ 0,a ] [ 0,a]2 2= × b. f ( x,y) = 16 −x − y y D = [ − 22 , ] × [ − 22 , ]2c. f ( x,y) = 2x− y y D = [ 02 , ] × [ 01 , ] d. f ( x,y) = x + y D = [ − 43 , ] × [ −2,− 1]e. f ( x,y) = ( 2x + 3)y y D ⎡ 0 2 ⎤= , × [ 15 , ]∫∫4. Calcule la integral doble ( )D f⎢⎣3⎥⎦inverso. Además, dibuje la región D , donde:a. f ( x,y) = 2x− y y ( )b. f ( x,y)x y= + y ( )y22 2f. f ( x,y) = x + y y D = [ 01 , ] × [ 01 , ]x,y dxdy , y plantee la integral iterada en el orden de integración= { 1≤ ≤4 ∧ 0≤ ≤ }{ 0 1 0 }D x,y x y xD = x,y ≤ x ≤ ∧ ≤ y ≤ xc. f ( x,y)= xy y D = {( x,y)y≤ x≤ y+ 1 ∧ 0≤ y≤1}

Geraldine Cisneros165Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones⎧x ⎫D = ⎨ x,y ≤ x≤ ∧ ≤ y≤x⎬⎩2 ⎭d. f ( x,y) = x+ ( 2y+ 3) 3y ( ) 0 4 4{ }32e. f ( x,y) = 2 x − y y4D = ( x,y)0≤ x ≤1∧ x ≤ y ≤ xxyf. f ( x,y) = e −2 2y D = {( x,y)x≥ 0 ∧ y≥ 0 ∧ x + y ≤ 1 }2 22 2 2 2g. f ( x,y) = x + y y D = {( x,y)y≥ 0 ∧ x + y ≥ 1 ∧ x + y − 2 x≤0 }2 32h. f ( x,y) = x + 2yy D = {( x,y)y ≤ 4 x −x ∧ y ≥ 0 ∧ y ≥ 6 − 3 x}2i. f ( x,y)= x + y y D = {( x,y)y≤ x ∧ y≥ x − 4}2j f ( x,y)= xey2y D = {( x,y)x≥ 0 ∧ x ≤ y≤9 }h.3 2f ( x,y) = x+ y+ 2 y D = {( x,y)y≤ 3 −x − 2 x ∧ y≥x}5. Calcule la integral doble⎛4 13 , ⎞⎜ ⎟⎝ 3⎠y ( 0,− 1).∫∫, siendo D el paralelogramo de vértices: ⎛ 2 1⎜−, −D xdxdy⎝⎞⎟, ⎛ 2 13 3⎠3 , ⎞,⎜ ⎟⎝ 3⎠6. Calcule la integral doblelas rectas y∫∫D2xx + y2 2= x, y =− x y x = 1 .dxdy , siendo D el triángulo cuyos lados están definidos por7. Calcule la integral doble ( − 2 2) ( + )( 0,π ), ( 2 π , π ) y ( ,2 )π π .∫∫Dx y sen x y dxdy , siendo D el triángulo cuyos vértices son:UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros166Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones5.2 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 2−∫∫∫donde B [ 02 , ] [ 01 , ] [ 13 , ]x + y + z + 2 dxdydzB1. Calcule ( ) 1 2= × × − .2. Calcule∫∫∫donde ⎨( )B zdxdydz2 2 2⎧x y z ⎫B= x,y,z x≥0 ∧ y≥0 ∧ z≥0 ∧ + + ≤12 2 2 ⎬ .⎩a b c ⎭3. Calcule ( +2 2∫∫∫ ) donde ( ) ( )B x y dxdydz{ 4 16 }B= x,y,z x + y ≤ z≤ .22 2 24. Calcule∫∫∫ ( 3x − y ) dxdydz donde B {( x,y,z)y z 4 x y }B= ≤ ≤ − − .5. Calcule2 2 2∫∫∫donde B {( x,y,z)x y 2 x 0 z y }B dxdydz= + ≤ ∧ ≤ ≤ .6. CalculeBx+yz dxdydz2∫∫∫donde B es el sólido limitado por las superficies: y x{ }2 2 2y = 2 x , B= ( x,y,z)x + y ≤ 2 x ∧ 0 ≤ z≤ y .= ,7. Calcule2z = 8x.∫∫∫donde B es el sólido limitado por las superficies: y2 22 3x yz dxdydzB= x yUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros167Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones5.3 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 31. Calcule el área entre las circunferenciasC:x + y − y= y2 214 0C :x y y2 22+ − 2 = 02. Plantee el volumen del sólido ( )empleando integrales dobles y triples.2 2 2⎧x y z ⎫B= ⎨ x,y,z x≥0 ∧ y≥0 ∧ z ≥0 ∧ + + ≤12 2 2 ⎬ ,⎩a b c ⎭3. Calcule el volumen del tetraedro acotado por los planos: x = 0 , y = 0 , z = 4 y z = x+ 2y.4. Para el sólido B . Calcule: masa, momentos estáticos, centro de masa y momentos de inercia,siendo ( ){ 0 0 4 2 }B= x,y,z x≥ ∧ y≥ ∧ z≤ ∧ z≥ x+ y .M= + ,32 25. Demuestra que los momentos estáticos para el sólido B son: Mx ( b c )MMya c32 22 2= ( + ) y Mz ( a b )como: ( )M= + , donde M es la masa del sólido y B está definido3{ 0 0 0 }B= x,y,z ≤ x≤a ∧ ≤ y≤b ∧ ≤ z≤ c .6. Plantee el volumen del sólido acotado por el cilindro2 2x y 2x+ = , sobre el plano z = 0 y bajo elparaboloide2 2z = x + y .7. Calcule el centro de masa y los momentos de inercia del sólido definido como:2 2{( ) 2 02}B= x,y,z x + y ≤ x ∧ ≤ z≤ y .UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

Geraldine Cisneros168Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones5.4 EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 41. Calcule la integral1∫∫D2 2( ) 3 21+ x + yempleando un cambio de variable adecuado.dxdydonde ( ){ 0 1 0 }D= x,y ≤ x ≤ ∧ ≤ y ≤ x ,2. Calcule la integral doble⎛4 13 , ⎞⎜ ⎟⎝ 3⎠∫∫, siendo D el paralelogramo de vértices: ⎛ 2 1⎜−, −D xdxdy⎝⎞⎟, ⎛ 2 13 3⎠3 , ⎞,⎜ ⎟⎝ 3⎠y ( 0,− 1), empleando un cambio de variable, de manera que los nuevos vértices sean: ( 00)( 10 , ), ( 11 , ) y ( 01 , ), ,3. Calcule la integralxx + y2∫∫ dxdy dondeD 2 2( ){ 0 1 2 2 2}D= x,y ≤ x≤ ∧ x ≤ y ≤ − x ,empleando el cambio de variable: x = v− u y y = u+ v.4. Calcule el volumen del sólido acotado por el cilindro+ = 2 , sobre el plano z = 0 y bajo el2 2x y xparaboloide2 2z = x + y , empleando un cambio de variable adecuado.5. Dibuje el sólido acotado por la superficie cerrada r = 1− cosφ , definida en coordenadas esféricas.Además, calcule el volumen de dicho sólido, empleando coordenadas esféricas.6. Determine el centro de masa para el sólido limitado por las superficies:2 2 2z = x + y ,2 2 2x + y + z = 2 , donde z ≥ 0 y la densidad es proporcional a la distancia en cada punto,empleando un cambio de variable adecuado.7. Determine momento de inercia de un sólido acotado por la superficie x 2 + y 2 + z2 = 25 , cuya2 2 2− ( x + y + z )ρ x,y,z = e , empleando un cambio de variable adecuado.densidad viene dada ( )8. Calcule el volumen del sólido ( )cilíndricas.2 2{ 2 02}B= x,y,z x + y ≤ x ∧ ≤ z≤ y , empleando coordenadasUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.