Tema 1: Preliminares

El método diagonal de Cántor.Proposición: Si A es numerable entonces P (A) esinfinito y no numerable.Bastará con considerar A = N.a) P (N) es infinito pues es inyectiva la aplicación:ϕ : N −→ P (N)definida por ϕ(n) = {n}b) P (N) es no numerable (método diagonal):Si fuese numerable sería P (N) = {a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n , ...}donde si,0 1 2 .. n ..a 0 SI no no .. no ..a 1 no NO si .. si ..a 2 si si NO .. no ... . . . .. . ..a n no si no .. SI ...... ... ..entonces, el subconjunto b ⊆ N definido como sigueb0 1 2 ... n ...NO – – ... – ...– SI – ... – ...– – SI ... – ...– – – ... – ...– – – ... NO ...– – – ... – ...sería, por construcción, distinto de a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n , ...;→← con la suposición de que P (N) es numerable.Por tanto, P (N) es no numerable.Proposición:no numerable.A, B numerables ⇒ F (A; B) infinito y1.- Preliminares03/04C C I AM. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.5

Familia de Conjuntos. Sucesiones.Definición. Sea I ≠ ∅. Una familia de conjuntos esuna aplicación cuyo dominio es I.La notación (A i ) i∈I indica una familia de conjuntos indexada con los elementosde I. Si I es finito hablaremos de una familia finita de conjuntos.Si es numerable, de una familia numerable.Definición. Definimos la unión y la intersección deuna familia, como sigue:⋃A i =i∈I ⋂A i =i∈I{x : ∃j ∈ I(x ∈ Aj)}{x : ∀j ∈ I(x ∈ Aj)}Definición. Una familia (B) i∈I es una partición deun conjunto A no vacío si se verifica:1) ∀j ∈ I(∅ ≠ B j ⊆ A)2) ∀j, k ∈ I(j ≠ k → B j ∩ B k = ∅)3)⋃i∈IB i = ADefinición. Una sucesión finita de elementos de unconjunto A es una aplicación de p = {0, 1, ..p − 1} enA. Si p = 0 la sucesión se denomina sucesión vacía.Nota: p se denomina también la longitud de la sucesión.Definición. Una sucesión infinita o, simplemente, sucesiónde elementos de A es una aplicación de N en A.Proposición Sea A ≠ ∅ un conjunto finito o numerable, entonces:a) El conjunto de sucesiones finitas de A es numerable.b) El conjunto de sucesiones infinitas es infinito y no numerable, salvocuando |A| = 1, en cuyo caso es numerable.1.- Preliminares03/04C C I AM. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.6

Predicados sobre conjuntosNota: Toda función definida sobre un conjunto A n = A× (n ... ×A,(con n ≥ 1) diremos que es n − aria.Definición. Un predicado, θ, n − ario (n ≥ 1) sobreA es una aplicación de A n en {0, 1}Nota: Si θ(x 1 , ..., x n ) = 1 diremos que el predicado se verifica para(x 1 , ..., x n ) o bien que es cierto para (x 1 , ..., x n ).Si θ(x 1 , ..., x n ) = 0diremos que el predicado no se verifica para (x 1 , ..., x n ) o bien que esfalso para (x 1 , ..., x n ).Definición. Sea B ⊆ A n . Llamaremos aplicación característicadel subconjunto B, al predicado C B definidosobre A n como sigue:{1 si ⃗x ∈ BC B (⃗x) =0 si ⃗x /∈ BDefinición. Dados los predicados θ y θ ′ , definimoslos predicados ¬θ, θ ∨ θ ′ , θ ∧ θ ′ , θ → θ ′ y θ ↔ θ ′ , así:(¬θ)(⃗x) ≡ ¬θ(⃗x) = 1 − θ(⃗x)(θ ∨ θ ′ )(⃗x) ≡ θ(⃗x) ∨ θ ′ (⃗x) = θ(⃗x) + θ ′ (⃗x) − θ(⃗x)·θ ′ (⃗x)(θ ∧ θ ′ )(⃗x) ≡ θ(⃗x) ∧ θ ′ (⃗x) = θ(⃗x)·θ ′ (⃗x)θ → θ ′ = (¬θ) ∨ θ ′θ ↔ θ ′ = (θ → θ ′ ) ∧ (θ ′ → θ)Cuantificadores sobre predicadosCuantificación acotadaDefinición. Sea θ(x 1 , ..., x n , y) un predicado (n+1)−ario. Definimos los cuantificadores existencial y universalacotados, así:∃z ≤ y θ(⃗x, z) = θ(⃗x, 0) ∨ θ(⃗x, 1) ∨ ... ∨ θ(⃗x, y)∀z ≤ y θ(⃗x, z) = θ(⃗x, 0) ∧ θ(⃗x, 1) ∧ ... ∧ θ(⃗x, y)que son, a su vez, predicados (n + 1) − arios.1.- Preliminares03/04C C I AM. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.7

Cuantificación no acotadaSea θ(x 1 , ..., x n , y) un predicado (n + 1) − ario. Definimosinformalmente los cuantificadores existencial yuniversal no acotados, así:∃z θ(⃗x, z) ={1 si existe z0 tal que θ(⃗x, z 0 )0 e.c.o.c.∀z θ(⃗x, z) ={1 si para todo z0 θ(⃗x, z 0 )0 e.c.o.c.Nota: Obsérvese que los predicados resultantes en la cuantificación noacotada son n − arios (mientras que en la acotada, siguen siendo(n + 1) − arios).El principio de minimizacióna) Expresión sobre predicadosProposición: Sea θ predicado 1 − ario sobre N.Si ∃x θ(x) entonces ∃m (θ(m) ∧ ∀y < m ¬θ(y))Notación: indicaremos que m es mínimo escribiendo: m = µx(θ(x))b) Expresión conjuntista.Proposición: Sea A ⊆ N.Si A ≠ ∅ entonces ∃m (m ∈ A ∧ ∀y < m(y /∈ A))Notación: indicaremos que m e mínimo escribiendo: m = min(A)La expresión conjuntista resulta directamente de la expresión mediantepredicados; dado A ⊆ N, no vacío, basta considerar el predicado: θ(x) ≡x ∈ A.1.- Preliminares03/04C C I AM. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.8

El método de Inducción.• Inducción débil.Teorema Si θ es un predicado sobre el conjunto delos números naturales N tal que:a) Caso base: θ(0)b) Paso inductivo: ∀n(θ(n) −→ θ(n + 1))Entonces, ∀n θ(n).Consideraciones:• El método puede aplicarse a partir de un elemento dado p; en estecaso, θ(p) sería el caso base y el paso inductivo quedaría así:∀n ≥ p(θ(n) → θ(n + 1)) y la conclusión: ∀n ≥ p θ(n)• Puede aplicarse a conjuntos finitos, A = {p, p + 1, p + 2, ..., n}:1) De forma ascendente:a) Caso base: θ(p)b) Paso inductivo: ∀x(p ≤ x < n ∧ θ(x) → θ(x + 1))Entonces: ∀x ∈ A(θ(x))2) De forma descendente:a) Caso base: θ(n)b) Paso inductivo: ∀x(p < x ≤ n ∧ θ(x) → θ(x − 1))Entonces: ∀x ∈ A(θ(x))• Inducción fuerte.Teorema Si θ es una predicado sobre el conjuntode los números naturales N tal que:a) Caso base: θ(0)b) Paso inductivo: ∀n([∀p ≤ n θ(p)] −→ θ(n + 1))Entonces, ∀n φ(n).Nota: Podemos hacer consideraciones análogas a las realizadas en el casode inducción débil.1.- Preliminares03/04C C I AM. J. Pérez; J. Borrego; A. J. Pérez pág.9